/
Author: Денисов В.П. Дубинин Д.В.
Tags: электротехника радиолокация электроника радиотехника радиоконструктор монография
ISBN: 5-86889-067-1
Year: 2002
Text
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ
РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Томск 2002
УДК 621.396.96
ББК 32.953
ДЗЗ
Денисов B.IL, Дубинин Д.В.
Д 33 Фазовые радиопеленгаторы: Монография. — Томск: Томский государ-
ственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2002. — 251 с.
ISBN 5-86889-067-1
Рассматриваются пеленгаторы, основанные на измерении разностей фаз сигналов,
принятых на разнесенные в пространстве антенны, совокупность которых представ-
ляет собой линейные, плоские либо объемные (конформные) решетки. Получены ста-
тистически оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы обработки совокупности из-
меренных разностей фаз, включая и устранение неоднозначности измерений. Предло-
жены методы расчета пеленгаторов, найдены предельные характеристики точности
при заданных статистических характеристиках помех. Рассматриваются вопросы опти-
мизации расположения элементов антенных решеток.
Для студентов старших курсов радиотехнических факультетов, аспирантов, на-
учных сотрудников и инженеров, занимающихся разработкой фазовых многошкаль-
ных измерительных систем .
УДК 621.396.96
ББК 32.953
ISBN 5-86889-067-1
© В.П.Денисов, Д.В.Дубинин, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......................................................6
1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВЫХ ПЕЛЕНГАТОРОВ...................8
1.1. Фазовые пеленгаторы для пеленгации в одной плоскости...8
1.2. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы..................15
2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОШИБОК
ФАЗОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ............................................19
2.1. Статистические свойства разности фаз сигналов
в двухканальных системах в присутствии аддитивных
гауссовских помех..........................................19
2.2. Влияние трассы распространения радиоволн
на фазовые характеристики принимаемых сигналов.............24
2.2.1. Физические причины возникновения фазовых
искажений сигналов.................................24
2.2.2. Экспериментальные данные о пространственных
флуктуациях радиосигналов..............................30
2.2.3. Экспериментальные данные о быстрых
пространственно-временных флуктуациях радиосигналов....33
2.2.4. Экспериментальные данные о «медленных»
пространственно-временных флуктуациях разности фаз.......36
2.2.5. Влияние сканирования антенны источника излучения
на искажения фазового фронта.............................36
2.3. Вероятностная модель принимаемых сигналов и ее параметры....39
3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ФАЗОВЫХ ПЕЛЕНГАТОРОВ
С АНТЕННЫМИ СИСТЕМАМИ В ВИДЕ ЛИНЕЙНЫХ РЕШЕТОК....................46
3.1. Потенциальная точность пеленгования антенной решеткой.46
3.2. Потенциальная точность многобазового фазового пеленгатора
и алгоритм ее реализации..................................53
3.3. Влияние структуры антенной системы на точность пеленгования.57
3.4. Влияние априорной неопределенности на точность пеленгования
и вопросы адаптации пеленгаторов к статистическим
параметрам сигналов........................................58
3.5. Влияние способа образования фазометрических баз на точность
пеленгования...............................................62
3.6. Максимально правдоподобное устранение неоднозначности
фазовых измерений.........................................66
3.7. Получение расчетных соотношений для вероятности
правильного устранения неоднозначности....................74
3.8. Геометрическая интерпретация максимально правдоподобного
устранения неоднозначности.................................81
3.9. Влияние способа образования фазометрических баз
на вероятность правильного устранения неоднозначности......84
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
3.10. Влияние искажений фазового фронта радиоволн
на вероятность правильного устранения неоднозначности......87
3.11. Методы приближенного расчета вероятности правильного
устранения неоднозначности................................90
3.12. Квазиоптимальный алгоритм устранения неоднозначности.98
3.13. Алгоритмы обработки сигналов в фазовых пеленгаторах,
работающих в вертикальной плоскости..................104
4. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АППАРАТУРЫ, РЕАЛИЗУЮЩЕЙ
ОПТИМАЛЬНЫЙ И КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМЫ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ..........................................109
4.1. Реализация потенциальной точности методом
«суммирование косинусоид»..............................109
4.2. Устранение неоднозначности методом совмещения
выходных импульсов фазовременных преобразователей..........115
4.3. Техническая реализация алгоритма максимального
правдоподобия..............................................125
4.4. Реализация квазиоптимального алгоритма
устранения неоднозначности.................................130
5. ОЦЕНКА ПРЕДЕЛЬНО ДОСТИЖИМЫХ ПАРАМЕТРОВ
ФАЗОВЫХ ПЕЛЕНГАТОРОВ С АНТЕННЫМИ СИСТЕМАМИ
ИЗ СЛАБОНАПРАВЛЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ..............................134
5.1. Чувствительность к слабым сигналам...................134
5.2. Угловая разрешающая способность......................139
5.3. Предельные соотношения между числом измерительных
каналов, вероятностью правильного устранения
неоднозначности и дисперсией фазовых ошибок...........149
5.4. Предельно допустимые фазовые погрешности
в трактах многошкальных фазовых пеленгаторов.............158
6. ДВУХКООРДИНАТНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕЛЕНГАТОРЫ
С ПЛОСКИМИ АНТЕННЫМИ РЕШЕТКАМИ................................164
6.1. Алгоритм оценивания направляющих косинусов
методом максимального правдоподобия....................164
6.2. Точность оценивания угловых координат при правильном
устранении неоднозначности. Эллипс рассеяния...............168
6.3. Максимально правдоподобное устранение неоднозначности
фазовых измерений..........................................173
6.4. Геометрическая интерпретация процесса устранения
неоднозначности и оценки направляющих косинусов............176
6.5. Расчетные соотношения для вероятности правильного
устранения неоднозначности.................................182
6.6. Методы приближенного расчета вероятности правильного
устранения неоднозначности.................................185
6.7. Квазиоптимальный алгоритм устранения неоднозначности
измерений..................................................189
4
Оглавление
6.8. Методика оценки верхней границы вероятности
правильного устранения неоднозначности для пеленгаторов с
антенной системой заданной структуры......................192
6.9. Связь между характеристиками точности, вероятностью
правильного устранения неоднозначности и числом
элементов плоской антенной решетки........................195
6.10. Принципы оптимизации расположения элементов
антенной решетки........................................ 200
6.11. Структурные схемы оптимальных и квазиоптимальных
фазовых пеленгаторов с плоскими антенными решетками........204
7. ДВУХКООРДИНАТНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕЛЕНГАТОРЫ
С ОБЪЕМНЫМИ (КОНФОРМНЫМИ) АНТЕННЫМИ СИСТЕМАМИ .... 207
7.1. Получение расчетных соотношений для оценок направляющих
косинусов методом максимального правдоподобия..............207
7.2. Точность оценивания угловых координат
при правильном устранений неоднозначности..................211
7.3. Зависимость точности пеленгования от способа
подключения фазометров к приемным трактам.................213
7.4. Максимально правдоподобное устранение неоднозначности
фазовых измерений....................................-....214
7.5. Геометрическая интерпретация процесса устранения
неоднозначности и оценки направляющих косинусов...........215
7.6. Квазиоптимальный алгоритм устранения неоднозначности
фазовых измерений..................................... 219
7.7. Методика точного расчета вероятности правильного
устранения неоднозначности.................................220
7.8. Методы приближенного расчета вероятности правильного
устранения неоднозначности............................... 222
7.9. Связь между предельными характеристиками точности
пеленгования, числом и расположением элементов антенной
системы...................................................224
7.10. Улучшение технических характеристик пеленгатора
за счет учета зависимости между направляющими
косинусами источника сигнала в трехмерном пространстве......226
7.10.1. Уменьшение дисперсий оценок направляющих
косинусов при правильном устранении неоднозначности .... 227
7.10.2. Повышение вероятности правильного устранения
неоднозначности фазовых измерений....................231
7.11. Совместное измерение пеленга и частоты...............234
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Доказательство формулы (3.11.5)................238
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Методика расчета на ЭВМ фазового пеленгатора....240
ЛИТЕРАТУРА...................................................245
5
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая читателю книга посвящена радиопеленгаторам — устрой-
ствам для определения направления на источник радиосигналов. Источника-
ми радиосигналов могут быть объекты радиолокационного наблюдения,
отражающие падающие на них радиоволны, либо различного рода радиопе-
редатчики. В данной книге акцент делается на второй случай. Информация о
направлении прихода к пеленгатору излученной (переизлученной) волны со-
держится в положении ее фазового фронта. Нормаль к фазовому фронту в
однородной среде распространения радиоволн совпадает с направлением на
источник излучения. Пространственное положение фазового фронта, кото-
рый на большом удалении от источника является плоским, можно опреде-
лить различными методами. В данной книге рассматривается метод, основан-
ный на измерении разности фаз сигналов, принятых на разнесенные в
пространстве антенны. Такой метод пеленгования называется фазовым.
Радиопеленгаторы, реализующие данный метод, также называются фазовы-
ми. Они и являются объектом исследования в данной книге. Изложенный
принцип пеленгования не налагает каких-либо ограничений на диаграммы
направленности применяемых приемных антенн. Ширина диаграммы зави-
сит от назначения пеленгатора. В следящих фазовых пеленгаторах, предназ-
наченных для работы по выбранным источникам сигналов, применяются
остронаправленные антенны. Подобные пеленгаторы используются в составе
активных моноимпульсных радиолокационных станций [1]. Применение ост-
ронаправленных антенн, с одной стороны, увеличивает отношение сигнал/
собственный шум приемных устройств, с другой — ограничивает изменение
измеряемой разности фаз интервалом 360 градусов, на котором она и опре-
делена.
В пеленгаторах, предназначенных для работы в широком секторе одно-
временного обзора, применяются слабонаправленные антенны. Применение
слабонаправленных антенн придает фазовым пеленгаторам такое важное
достоинство, как быстродействие. Время, необходимое для пеленгования ис-
точника излучения в широком секторе углов, может измеряться единицами
микросекунд. В пределе достаточно одного принятого радиоимпульса. Дру-
гим важным достоинством фазовых пеленгаторов является возможность по-
лучения высокой точности пеленгования.
Перечисленные особенности фазовых радиопеленгаторов со слабонаправ-
ленными антеннами определяют область их применения. Они используются
там, где надо быстро и точно измерить угловые координаты объектов в
широком угловом секторе. В литературе описано применение фазовых пе-
ленгаторов в метеорной радиолокации [2], радиосистемах слежения за кос-
мическими объектами [3], радиосистемах ближней навигации и слепой по-
садки самолетов [4], системах радиоэлектронной борьбы [5, 6] и т.д.
Наибольшие технические трудности возникают при создании пеленгаторов,
предназначенных для работы в составе систем радиоэлектронной борьбы по
б
Введение
сигналам радиотехнических станций противоборствующей стороны. Эти труд-
ности связаны с априорной неопределенностью несущей частоты и парамет-
ров модуляции принимаемых сигналов, кратковременностью их существова-
ния. В книге учитывается такая возможность использования пеленгаторов,
хотя большая часть материала носит общий характер.
Применение слабонаправленных антенн уменьшает дальность действия
пеленгаторов. Поэтому большей частью они входят в состав систем, работа-
ющих по излученным, а не отраженным сигналам.
Для достижения высокой точности пеленгования расстояние между фазо-
выми центрами антенн (фазометрическая база) должно значительно превы-
шать длину волны. При этом разность фаз сигналов может многократно
превосходить интервал ее однозначного определения, равный 360 градусам.
Если неоднозначность не раскрывается за счет использования направленнос-
ти приемных антенн, то в состав пеленгационной системы входят более гру-
бые измерители [7]. Обычно они представляют собой такие же фазовые пе-
ленгаторы, но с меньшими базами. Принципы совместной обработки
совокупности разностей фаз, измеренных на различных базах пеленгацион-
ной системы, занимают центральное место в данной книге. Статистическая
оптимизация этой обработки позволяет увеличить уровень допустимых фа-
зовых погрешностей в приемно-измерительных каналах пеленгатора, при
котором он еще остается работоспособным. Это в свою очередь позволяет
понизить допустимый уровень отношения сигнал/шум приемных устройств,
то есть в конечном счете увеличить дальность действия пеленгатора.
Источниками ошибок пеленгования являются собственные шумы прием-
ных устройств, паразитные фазовые сдвиги в приемно-усилительных кана-
лах, погрешности измерителей разности фаз, а также фазовые искажения
радиоволн на трассе распространения.
Проблемы минимизации фазовых погрешностей в приемно-усилительных
и измерительных трактах выходят за рамки данной книги. Они достаточно
хорошо освещены в литературе. Работы И.Д. Золотарева [8], М.К. Чмыха [9]
дают представление о сегодняшнем состоянии техники фазометрии. Значи-
тельно меньше работ посвящено влиянию искажений фазового фронта ра-
диоволн в среде распространения на точность угломерных устройств. Книга
в некоторой степени устраняет этот пробел.
Монография написана в основном по результатам работ, выполненных авто-
рами в разное время в интересах проектных организаций промышленности.
Поэтому изложенные в ней материалы представляют практический интерес.
Фазовые пеленгаторы представляют собой частный случай многошкаль-
ных фазовых измерительных систем. Имеется целый ряд работ, посвящен-
ных различным аспектам статистической оптимизации многошкальных из-
мерений. Авторы этих работ — Н.Д. Попов, И Г. Неплохое, В.И. Белов,
Н.В. Собцов, А.А. Поваляев, В.К. Пензин, получили интересные теоретические
и практические результаты. В книге используются материалы указанных
авторов в той мере, в которой это необходимо для целостности изложения.
Разделы 1-6, приложение 1 написаны В.П. Денисовым, подраздел 4.4 —
совместно с В.В. Сластионом, подраздел 5.1 — совместно с Д.Л. Антоновым.
Раздел 7, приложение 2 написаны Д.В. Дубининым.
Книга рассчитана на студентов старших курсов радиотехнических фа-
культетов вузов, аспирантов, научных сотрудников и инженеров, занимаю-
щихся разработкой фазовых радиопеленгаторов. Она может представлять
интерес и для разработчиков многошкальных измерительных систем иного
типа.
7
1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВЫХ
ПЕЛЕНГАТОРОВ
1.1. Фазовые пеленгаторы для пеленгации
в одной плоскости
Простейший фазовый пеленгатор (рис. 1.1.1) содержит две одинаковые
антенны, разнесенные в пространстве на известное расстояние I, называемое
обычно базой, а также устройства для усиления принятых сигналов и изме-
рения разности фаз между ними.
•^Вычислитель
_____Z2____I
Рис. 1.1.1. Структурная схема простейшего фазового пеленгатора:
П — приемные устройства с ограничителями амплитуд
принимаемых сигналов; Ф — фазометр
Амплитудные диаграммы направленности антенн не имеют принципиаль-
ного значения.
Приемные устройства фазовых пеленгаторов имеют ряд особенностей,
следующих из того, что вносимые ими фазовые сдвиги должны быть одина-
ковыми при изменении частоты входных сигналов в рабочем диапазоне, амп-
литуды в пределах, определяемых изменением расстояния до источника из-
лучения и его мощности, а также при климатических и механических
воздействиях. В ряде случаев применяются специальные схемы для переноса
измеряемой разности фаз на строго фиксированную частоту с целью умень-
шения инструментальных ошибок фазометров [8]. Фазометры в настоящее
время выполняются преимущественно цифровыми [9].
Предположим, что расстояние от пеленгатора до источника сигнала на-
много больше базы I. Тогда падающую на антенную систему волну можно
считать плоской. Задержка сигнала, поступающего на антенну Аь относи-
8
1. Принципы построения
фазовых пеленгаторов
тельно сигнала, поступающего на антенну А, (рис. 1.1.2), выражается фор-
мулой
где т. — задержка сигнала, с — скорость распространения радиоволн,
<х с — угол прихода волны, отсчитанный относительно оси х, на которой рас-
положены фазовые центры антенн At, А,.
Рис. 1.1.2. Геометрические соотношения на плоскости
Фазовый сдвиг сигналов, соответствующий задержке т3, определяется
формулой
I
Ф = 2л—cosaa., (1.1.2)
где Ф — фазовый сдвиг в радианах, X — длина волны.
Часто удобно угол прихода волны а отсчитывать не от координатной оси х,
а от нормали к ней (см. рис. 1.1.2). Из выражения (1.1.2) следует, что
Ф А,
a = arcsin--. (1.1.3)
2itl
Формула (1.1.3) является основой для определения угла а по результатам
измерения разности фаз сигналов Ф.
Как всякая измерительная система фазовый пеленгатор характеризуется
точностью и разрешающей способностью. Термин «разрешающая способность»
в различных работах истолковывается по-разному. В данной монографии под
разрешающей способностью будем понимать минимальный угол между ис-
точниками сигналов, при котором каждый из них может быть запеленгован
отдельно. Такой подход называется разрешением-измерением [10]. Очевидно,
простейший фазовый пеленгатор вовсе не обладает угловой разрешающей
способностью.
Действительно, при наличии в диаграммах направленности антенн Аи А,
двух и более одновременно излучающих источников сигналов на выходах
антенн будем иметь результат их интерференции. Фазометр измеряет раз-
ность фаз между результирующими сигналами, зависящую от углов прихода
и амплитуд интерферирующих волн. В результате единичного измерения
9
В.П. Денисов, Д. В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
пеленг а, рассчитанный по формуле (1.1.3), не будет соответствовать угло-
вому положению ни одной из целей.
Источниками погрешностей определения пеленга а являются следующие
факторы:
1) неидеальность среды распространения радиоволн: рефракция радио-
волн в атмосфере, которая может иметь регулярный или случайный харак-
тер [11-13]; отражения радиоволн от подстилающей поверхности и местных
предметов, приводящие к искривлению их фазовых фронтов [14]; дифрак-
ция радиоволн на неровностях земной поверхности, кромках лесных масси-
вов и т.п. [15-16];
2) неидентичность приемно-усилительных трактов от антенн до фазомет-
ров и наличие вследствие этого неучтенных фазовых сдвигов [8];
3) внутренние шумы аппаратуры и организованные внешние помехи [17];
4) неидеальность фазоизмерительной аппаратуры, в частности наличие
шумов квантования при ее цифровой реализации.
Можно считать, что совокупность перечисленных факторов приводит к
случайной погрешности измерения разности фаз Ф. Предположим, что сред-
неквадратичное значение этой погрешности аф. Из формулы (1.1.3) получим
выражение для среднеквадратичной погрешности пеленгования
2 л - cos а
л
Из формулы (1.1.4) видно, что угловая погрешность при фиксированной
фазовой ошибке <т. обратно пропорциональна cos а. Эта зависимость харак-
терна для всех пеленгаторов, основанных на использовании неподвижных
антенных решеток. Поэтому такие пеленгаторы обычно работают в секторе,
не превышающем ±60 ° относительно нормали к антенной системе.
В дальнейшем будет удобно рассматривать не погрешность измерения
угла а, а погрешность измерения v = sin а = cos ас — направляющего коси-
нуса приходящей волны по отношению к координатной оси х.
Из формулы (1.1.2) имеем
=-Л-, (1.1.5)
2л с
к
где — среднеквадратичная погрешность измерения направляющего ко-
синуса.
Можно считать также, что allt — среднеквадратичная ошибка пеленго-
вания объекта, находящегося вблизи нормали к антенной системе пеленгато-
ра, выраженная в радианах.
Формула (1.1.4) выявляет одно из важнейших достоинств фазового пелен-
гатора: при фиксированной фазовой погрешности угловая погрешность
может быть сделана сколь угодно малой, если отношение l/к достаточно
велико.
Препятствием к увеличению антенной базы I в двухканальных пеленга-
торах является неоднозначность фазовых измерений. Действительно,
разность фаз <р двух гармонических колебаний с частотой /0 определена лишь
10
1. Принципы построения
фазовых пеленгаторов
на периоде Т = 1//0, а разность времени прихода сигналов на различные
антенны т3 в формуле (1.1.1) может значительно превосходить период , если
(> 1/2. Поэтому разность фаз сигналов Ф (1.1.2) на антеннах должна быть
представлена в виде
Ф = <р+2лк, (1.1.6)
где <р — разность фаз, измеренная фазометром; к — число полных периодов
разности фаз, утраченных при измерениях в силу периодичности сигналов.
Ликвидация неоднозначности измерений заключается в восстановлении к
тем или иным способом.
Измеряемая разность фаз ф в зависимости от назначения пеленгатора и
типа измерителя может находиться в интервалах 0 < ф < 2л, -л < ф < л или иных
пределах. Изменению ф в заданных пределах при фиксированном к соответ-
ствует некоторый угловой сектор — сектор однозначности. Границы секто-
ров однозначности для фиксированных к определяются формулой (1.1.3) при
подстановке в нее Ф = ф• + 2лк и изменении ф в пределах показаний фазо-
метра.
Из формулы (1.1.3) следует, что величина углового сектора однознач-
ности зависит от соответствующего ему целого числа к (рис. 1.1.3). В тео-
ретических выкладках наличие этой зависимости является неудобным, по-
этому рассматривают интервалы однозначности направляющего косинуса
v = sin а = cos ах.
Рис 1.1.3. Секторы однозначного пеленгования для пеленгатора
с базой I = 2Х при измерении разности фаз в пределах от -л до л
Из формул (1.1.2), (1.1.6) имеем
Аиода = VI, (1.1.7)
где Диодн — интервал однозначного измерения направляющего косинуса.
Очевидно, при больших l/к интервал однозначного измерения направляю-
щего косинуса Аиодн равен угловому сектору однозначности при к = 0, выра-
женному в радианах. Ликвидацию неоднозначности можно рассматривать
как выбор сектора однозначности, в котором находится источник сигнала.
В следящих фазовых пеленгаторах, осуществляющих угловое сопровож-
дение объекта наблюдения, устранение неоднозначности производится за
счет использования направленных свойств антенн: сектору однозначности
к = 0 соответствует нахождение цели в главном лепестке диаграммы на-
правленности [1]. Для согласования ширины главного лепестка диаграммы,
равного приблизительно Х/L, где L — размер антенны в плоскости пелен-
гования, с сектором однозначности размер антенны L выбирается равным
базе I.
11
В.П. Денисов, Д. В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
В обзорных фазовых пеленгаторах устранение неоднозначности произво-
дится с помощью применения дополнительных более грубых измерителей с
меньшими базами. Известный подход к построению пеленгатора, получив-
ший название «метода уточнений», основан на включении в его состав грубо-
го измерителя с базой Ij, обеспечивающего однозначный, но недостаточно
точный пеленг в заданном секторе углов, а также одного или более измери-
телей с базами 1,- (г = 2, 3, ..., n, li+l > lt), обеспечивающих последовательное
уточнение пеленга при сужении сектора однозначности. При этом устране-
ние неоднозначности на г-й базе производится на основании измерений на
(г - 1)-й [18, 19].
Рассмотрим алгоритм последовательного раскрытия неоднозначности.
Предположим, что ошибки фазовых измерений отсутствуют. На базе lj
производится однозначный отсчет
<Р] = 2л — sina.
7.
Полная разность фаз на неоднозначной базе 1,
Ф-, = ф2 + 2лкэ = 2л —sin а
7.
Здесь |<р2| < л, к2 — число полных периодов разности фаз Ф2, утраченных при
измерениях.
Из выражений для <pj и Ф, находим
Так как реально разности фаз <р! и ф, измеряются с ошибками, правая
часть этого соотношения не является целым числом. Поэтому к2 определяют,
округляя ее до ближайшего целого. Определив к2, можно затем таким же
путем найти /с3, то есть
Ч =Ш‘Рмг— Ф< П- d-1-8)
\ 2 л li_t )
где < • > — операция округления до ближайшего целого.
Устройство, реализующее алгоритм (1.1.8) для двухбазового пеленгатора,
может быть выполнено по схеме рис. 1.1.4 как на дискретных, так и на анало-
говых элементах.
Подобные устройства используются в многобазовых пеленгаторах, реа-
лизующих «метод уточнений» (рис. 1.1.5).
На схеме Ф, — фазометры, УУН — устройства устранения неоднозначно-
сти, каждое из которых может быть выполнено по схеме рис. 1.1.4. Приемные
устройства не показаны. Вычислитель выдает оценку пеленга а* в соответ-
ствии с формулой (1.1.3), где Ф =ФТ1 — полная разность фаз на самой большой
базе пеленгатора 1п. Совокупность антенн пеленгатора образует линейную
антенную решетку.
12
1. Принципы построения
фазовых пеленгаторов
Рис. 1.1.4. Устройство последовательного устранения неоднозначности
Рис. 1.1.5. Укрупненная структурная схема пеленгатора,
работающего по «методу уточнений»
Качество устранения неоднозначности характеризуется вероятностью того,
что она устранена правильно, то есть вычисленное значение к соответству-
ет минимальной погрешности пеленгования. Из (1.1.8) следует, что при пере-
ходе от базы Ij-j к условие правильного определения к заключается в
том, чтобы стоящее в квадратных скобках выражение отличалось от истин-
ного целочисленного значения не более чем на 0,5.
Представим измеренные разности фаз в виде
9t = <Poi+8i, (1.1.9)
где ф0, — разность фаз, точно соответствующая углу прихода волны;
8, — ошибка измерений.
Тогда на основании (1.1.8) условие правильного устранения неоднозначно-
сти запишется в виде
|П,^О,5, (1.1.10)
13
Б.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
где
(1.1.11)
Для выяснения физического смысла соотношения (1.1.10) запишем его в виде
5j iA. 8Д X
(1.1.12)
Поскольку 8Д/2тг(; — погрешность измерения направляющего косинуса v на
г-й базе, a Х/1, — сектор однозначности на той же базе, условие правильного
устранения неоднозначности заключается в том, что разность погрешностей
измерений на «грубой» базе и «точной» базе не превосходит полови-
ны сектора однозначности по «точной» базе. Если же Ц/1М»1, угловая
погрешность на «точной» базе в левой части (1.1.12) не существенна по срав-
нению с погрешностью пеленгования на «грубой». И условие правильного
устранения неоднозначности сводится к тому, что погрешность измерения на
«грубой» базе не превышает половины сектора однозначности на «точной».
Условие правильного устранения неоднозначности в n-базовом пе-
ленгаторе описывается совокупностью (п - 1) неравенств (1.1.10), где
г — 2, 3,..., п. В соответствии с этим условием вероятность правильного устра-
нения неоднозначности можно вычислить по формуле
0,5 0,5
Ро = f - J Wn-i (У2,---,Уп)йу2.Луп , (1.1.13)
-0,5 -0,5
где Wn_1(y2> У») — плотность распределения вероятностей случайных
величин г], (1.1.11).
Случайные величины т]ь r|i±1 коррелированы между собой даже в том
случае, если фазовые погрешности 8f независимы. Поэтому в общем случае
вероятность Ро (1.1.13) не равна произведению вероятностей правильного
устранения неоднозначности при переходе от г-й базы к (г+ 1)-й, г = 1, 2,...,
(п-1) [20]. Действительно, пусть 8, — независимые случайные величины с
нулевыми средними и равными дисперсиями Тогда дисперсии случай-
ных величин т], равны
(1.1.14)
а коэффициенты корреляции
(1.1.15)
Отсюда следует, что корреляция действительно имеет место, однако при
большом отношении баз она становится несущественной.
Особенностью пеленгатора, построенного по схеме рис. 1.1.5, является то,
что точность пеленгования определяется самой большой базой, а все осталь-
14
1. Принципы построения
фазовых пеленгаторов
ные служат только для определения сектора однозначности, в котором
лежит истинный пеленг. Часть информации о пеленге, заложенная в измере-
ниях, выполненных на этих базах, при этом теряется. Это относится ко всем
схемам последовательной обработки сигналов в многобазовых пеленгаторах,
в частности, основанных на известных алгоритмах, отличающихся от рас-
смотренного, например, изложенных в работах [20, 21]. Последовательное
устранение неоднозначности не претендует на статистическую оптималь-
ность.
Другой подход к построению многобазовых фазовых пеленгаторов основан
на статистической оптимизации алгоритма отыскания направляющего коси-
нуса по совокупности всех измеренных разностей фаз <р1; ..., <рп , включая и
устранение неоднозначности.
Измеряемая величина рассматривается как скалярный параметр распре-
деления вероятностей совокупности разностей фаз на неоднозначных шкалах.
Теоретической основой оптимизации обработки служит принцип максималь-
ного правдоподобия. Многобазовые пеленгаторы являются частным случаем
многошкальных фазовых измерителей, поэтому можно воспользоваться
результатами, имеющими обобщающий характер. Значительный вклад в
статистическую теорию оценки скалярного параметра по многоканальным
измерениям внесли Н.Д. Попов, Н.В. Собцов [22-26], В.И. Белов [27-29],
А.А. Поваляев [30, 31].
Применение метода максимального правдоподобия к фазовым пеленгато-
рам с линейными антенными решетками рассмотрено в разделах 3, 4 данной
книги.
1.2. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
Угловое положение объекта наблюдения в трехмерном пространстве за-
дается двумя угловыми координатами. Обычно это азимут а и угол места Д
либо направляющие косинусы относительно осей прямоугольной декартовой
системы координат. Азимут а характеризует угловое положение объекта в
плоскости земли, угол места [3 — его возвышение над землей.
Предположим, что координатные оси Ох, Оу антенной системы пеленга-
тора расположены в плоскости земли, а ось Oz направлена вертикально
вверх. Тогда азимут и угол места характеризуют положение объекта С
(рис. 1.2.1) относительно антенной системы.
Углы ах и а задают направление на объект относительно осей координат
Ох и Оу. Обозначим направляющие косинусы принимаемой волны cos<xx=v,
cosa = и. Используя рис. 1.2.1 нетрудно получить следующие соотношения:
v = cosa.. = = cos В cosa, (1.2.1)
|ос|
V
и = cosa,, = Aj-~ = cos В sin a , (1.2.2)
J | ОС |
где xc, у.. — проекции точки излучения на координатные оси Ох и Оу.
15
Б.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Рис. 1.2.1. Угловое положение объекта наблюдения
в трехмерном пространстве
Поскольку антенная система пеленгатора далеко не всегда расположена в
плоскости земли, направляющие косинусы относительно ее осей во многих
случаях являются более удобной характеристикой углового положения объекта,
чем азимут и угол места.
Для определения углового положения источника излучения в трехмерном
пространстве антенная система пеленгатора должна содержать ряд элемен-
тов, размещенных на плоскости либо поверхности более сложного профиля.
Рассмотрим фазовые соотношения сигналов, наведенных в антеннах, распо-
ложенных на плоскости.
Пусть на плоскости хОу (рис. 1.2.2) имеются две произвольно расположен-
ные точки приема: А1(х1, уг) и А2(х2, у2), а источник излучения находится в
точке С(хс, ус, zc). Расстояние ОС от приемных антенн до точечного источника
сигнала положим намного большим фазометрической базы AjA2, так чтобы
падающую на антенны волну можно было считать плоской. Тогда разность
фаз сигналов, наведенных в антеннах Aj и А2, можно найти по формуле
(1.1.2), которую запишем в новых обозначениях,
Ф =
(1.2.3)
Угол между векторами и ОС определяется уравнением
, л \ ЛА: > ос
cos А,Ао ОС = У г, -г >
( ) |ла||ос|
где (.) — скалярное произведение векторов.
Очевидно,
AjA2 ,ОС = (Xi -х2)хс +(у! -у2)ус>
(1-2.4)
16
1. Принципы построения
фазовых пеленгаторов
где - х2), (i/i - у2) — проекции вектора ДЛ2 на координатные оси.
Подставляя (1.2.4) в (1.2.3), имеем с учетом последнего уравнения, а также
(1.2.1), (1.2.2):
Ф = -у[(х1 -*2)cosax +(yj -y2)cosay], (1.2.5)
Естественно, полная разность фаз Ф может быть больше измеренной <р,
если | |> А./2.
Рис. 1.2.2. Взаимное положение источника сигналов С
и антенн пеленгатора в трехмерном пространстве
Традиционно антенны двухкоординатных фазовых пеленгаторов распола-
гают на плоскости вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат
[3, 7]. Подобная антенная система в целом имеет вид креста (рис. 1.2.3).
У ,
А4 "---1-
Рис. 1.2.3. Пример расположения на плоскости
антенн фазового пеленгатора:
А, — антенны; — измеряемые разности фаз
Предположим, что антенны Aj и А2 расположены на координатной
оси х. Тогда фазометрическая база l12 = (х2 - хД у2 - yi = 0, и формула (1.2.5)
с учетом (1.2.1) примет вид
17
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
2 7t (io п
Ф12 =----— cos р cos а ,
А.
где Ф12 — полная разность фаз сигналов на антеннах Аь А2.
Аналогично, если пара антенн, например А3, А4, располагается на оси у,
фазометрическая база l3i = (у4 - у3), и из (1.2.5) с учетом (1.2.2) получаем
2тт 134 п .
Ф34 =----— cos Р sin а,
А.
где Ф34 — полная разность фаз сигналов на антеннах А3, А4.
Из последних формул получаем соотношения для вычисления азимута а
и угла места р
(1.2.6)
(1.2.7)
а = arctg Фз4 *12
®12 ^34
(1.2.8)
Р = arccos— ,([^1^-1 + ( —— | (1.2.9)
2л (12 ) V ^34 J
Формулы (1.2.8), (1.2.9) являются основой для расчета азимута и угла мес-
та при традиционном построении двухкоординатных фазовых пеленгаторов.
Разности фаз Ф12, Ф34 могут быть неоднозначными, если антенные базы
больше А/2. Для раскрытия неоднозначности по каждой из осей координат
устанавливаются дополнительные антенны и используются алгоритмы, рас-
смотренные в предыдущем разделе. Таким образом, формулы (1.2.8), (1.2.9)
предполагают использование двух отдельных пеленгаторов с ортогональным
расположением линейных антенных решеток. На рис. 1.2.3 антенна Ао введена
для устранения неоднозначности измерений.
Другой способ построения двухкоординатных фазовых пеленгаторов осно-
ван на использовании всей совокупности разностей фаз, измеренных между
антеннами, расположенными в некоторой плоскости, одновременно для опре-
деления двух угловых координат, включая и устранение неоднозначности.
Антенная система рассматривается как плоская антенная решетка, а изме-
ряемые угловые координаты — как векторный параметр распределения
вероятностей совокупности измеренных разностей фаз. Теоретической
основой оптимизации алгоритма получения оценок является метод макси-
мального правдоподобия, а фазовый пеленгатор рассматривается в контек-
сте более общей задачи оценки векторной величины по многошкальным из-
мерениям. Данный подход рассматривается в работах [32-34] и используется
в разделе 6 книги.
18
2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ОШИБОК ФАЗОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
2.1. Статистические свойства разности фаз сигналов
в двухканальных системах в присутствии
аддитивных гауссовских помех
Рассмотрим статистические характеристики ошибок измерения разности
фаз сигналов в схеме двухканального пеленгатора (рис. 1.1.1), возникающих
вследствие наличия на его входах кроме гармонического сигнала аддитив-
ной гауссовской помехи. Двухканальные измерители входят в состав много-
базовых пеленгаторов, поэтому искомые статистические характеристики
являются основой для анализа последних. Аддитивная гауссова помеха
может представлять внутренние шумы приемных устройств, внешние орга-
низованные помехи или быть следствием рассеяния сигнала пеленгуемого
источника неоднородностями атмосферы и подстилающей поверхностью.
Статистические свойства разностей фаз в двухканальных системах при
воздействии на них гармонических сигналов и гауссовых помех подробно
рассмотрены в работах В.В. Цветнова [35]. Ниже мы будем опираться на
полученные им результаты.
Представим сумму сигналов и помех на каждом из входов фазометра в
виде
Uj(t) = s/t) + n/t), i - 1, 2, (2.1.1)
где s,(t) — полезный сигнал:
Sj(t) = 170 cos (®ot - y^) = cos <o0t + Vj sin co0t; (2.1.2)
n/t) — стационарный узкополосный гауссов случайный процесс.
Узкополосность понимается в обычном смысле — ширина Дю энергети-
ческого спектра процесса Гп(ю) значительно меньше средней частоты юе.
Узкополосный случайный процесс представим в виде квазигармонического
колебания
n/t) = E,(t) cos (<o0t + 'I'^/t)) = Aj cos co0t + C{ sin coot, (2.1.3)
где E,(t), — огибающая и фаза помехи, A/t), C/t) — ее квадратурные
составляющие.
Суммируясь в каждом канале, полезные сигналы и помехи образуют
новое колебание
u,(t) = U,(t) cos (<aot - \|/»(^))> г = 1» 2, (2-1.4)
19
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
К , , C,(t)+K-
фаза которого 4/ (t) = arctg—------ отличается от фазы полезного сигнала
- А, (1) + и<
q/sj, что и вызывает погрешности измерений. Огибающая U,(t) и фаза
vp/t) суммарного колебания — медленные функции по сравнению с cos <o0t,
поскольку их интервал корреляции т0 определяется шириной энергетическо-
го спектра процесса: т0 = I / Ди0; Дсо « <о0 [37]. Обозначим <р0 = - \|/j2 —
разность фаз «чистых» сигналов, <р = <pt - <р2 — разность фаз смесей сигналов
и шумов, тогда 5 = <р ~ <р0 — мгновенная фазовая ошибка.
Векторная диаграмма, поясняющая образование фазовой ошибки 8, при-
ведена на рис. 2.1.1.
Рис. 2.1.1. Векторная диаграмма сигналов и помех
в двухканальной фазовой системе
Статистические свойства мгновенной фазовой ошибки 8 определяются со-
вместным законом распределения вероятностей квадратурных составляю-
щих помехи.
Квадратурные составляющие в каждом из каналов — стационарные и
стационарно-связанные нормальные случайные процессы, некоррелирован-
ные в совпадающие моменты времени [37]. Совместное распределение квад-
ратур в двухканальной системе подчиняется четырехмерному нормальному
закону с корреляционной матрицей
af 0 г s
I 0 -s г
Bn= 2 п , (2.1.5)
г -s а2 О
s т О
где ст? — дисперсия помехи в г-м канале; г = mjA/t) A,(t)} = C,(t)} —
корреляционный момент одноименных квадратур двухканальной помехи;
s = C,(t)} = A,(t)} — корреляционный момент разноименных
квадратур двухканальной помехи.
20
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
Корреляционная матрица позволяет вычислить «обобщенный коэффици-
ент корреляции двухканальной помехи»
и ее «обобщенный фазовый параметр» [35]
s
y = arctg —. (2.1.7)
Г
Параметр у представляет собой среднее значение разности фаз помехи
Ч'п1 “ Ч'пз на интервале от -л до л [35]. В дальнейшем будем считать прием-
ные каналы статистически идентичными, так что справедливо соотношение
ст2 - ст2 = ст2 - Это делает задачу нахождения закона распределения мгновен-
ной фазовой погрешности в двухканальной системе методически тождествен-
ной задаче нахождения разности фаз смеси сигнала и узкополосного гауссов-
ского шума в различные моменты времени, рассмотренной в монографии
Б.Р. Левина [37].
Нахождение закона распределения мгновенной фазовой ошибки заключа-
ется в записи четырехмерной нормальной плотности распределения вероят-
ностей квадратур А1; А2, Сп С, с корреляционной матрицей (2.1.5), переходе
от квадратур к огибающим и фазам с помощью формул
Ai = Uj cos vpf - 17 о cos фи ,
Cj = U{ sin ф< - Uo sin <р^, i = 1, 2,
замене \|/2 на ч^ + сри последующем интегрировании полученного выраже-
ния по огибающим и U2 в пределах от 0 до « и по ф] в пределах от О
до 2 л.
К сожалению, получить простое выражение для плотности распределе-
ния разности фаз ф при произвольных параметрах помехи и произвольном
отношении сигнал/помеха не удается.
При отсутствии фазовой расстройки, Дф = ф0 - у = О, В.В. Цветновым
получена следующая формула [17]:
w(s), «Pfo)
2л 1 - р" cos" 8
, 1 + р(р + 2) cos2 5 ,
1 + Ъ t > 2, L W +
1 - р" cos 8
1 - р cos" 6 )
ехр
л----
(i + p)cqs26
1 - р2 cos2 8
yjl - р2 cos2 8
Щ 1 - р
где q = —- — отношение сигнал/шум по мощности; q =q-------------— —
2ст" 1 + р
эквивалентное отношение сигнал/шум по мощности; L(0(8),X(5)) —
е
введенная В.В. Цветновым L-функция [17]. L(9(8),k(8)) = — |exp(Zcosx)d.r;
Я о
21
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
ТС
L'(0(S),X(5)) — первая производная L(0(6),Z(5)) по л, 8(6) = — arcsinfp cos6),
. . (l + p)cosS
1 - р' cos“ б
Нетрудно видеть, что при сделанном допущении об отсутствии фазовой
расстройки закон распределения фазовой ошибки симметричен относитель-
но нуля, поскольку 5 входит в формулу под знаком косинуса. По этой же
причине плотность распределения (2.1.8) периодична с периодом 2л, соответ-
ствующим интервалу однозначного определения разности фаз. Поэтому дос-
таточно рассмотреть ее на этом интервале.
При большом отношении сигнал/шум выражение (2.1.8) можно существенно
упростить [17]:
W(8) = L_expJ-q(1-......COS6)L (2.1.9)
2яVu -t -I
Разлагая cos 6 в степенной ряд и в силу малости 5 при большом q огра-
ничиваясь двумя первыми членами разложения, получаем из (2.1.9)
W(8) = —^==г ехр •
(2.1.10)
где
< =(l-p)/q- (2.1.11)
Таким образом, при отсутствии фазовой расстройки и большом отноше-
нии сигнал/помеха плотность распределения мгновенной фазовой погрешно-
сти на интервале (-л;л) описывается нормальным законом с нулевым сред-
ним значением и дисперсией (2.1.11). Если помехи в каналах фазометра
не коррелированы, дисперсия мгновенной фазовой погрешности зависит только
от отношения сигнал/помеха
<4 =l/q- (2.1.12)
На рис. 2.1.2 приведены распределения мгновенной фазовой погрешности,
построенные по точной формуле при р = 0. Сравнение точного закона с его
аппроксимацией (2.1.10) показывает, что при q > 5 они практически совпада-
ют, при q=3 аппроксимация дает ошибку, не превосходящую 7 % на боль-
шей части кривой, и заметное расхождение имеет место только на «хвостах»
распределения, где плотность вероятности мала.
При малом отношении сигнал/помеха формула (2.1.8) также может быть
значительно упрощена и представлена в виде ряда Фурье. При q < 0,6 удов-
летворительная аппроксимация получается при использовании первых трех
членов разложения [17, 35]
W(8) = —(1 + Acos6 + Bcos28)
2л
(2.1.13)
Коэффициенты А и В зависят от отношения сигнал/помеха и корреля-
ции помех. При некоррелированных помехах (р = 0)
22
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
А = л —
2
/ о2
exp о В =--------
’ 2 exp q '
Если q = 0,5, максимальная погрешность аппроксимации составляет
3,5 %, при q = 1 она возрастает до 15 %.
при различных значениях q
При наличии фазовой расстройки у - <р0 * 0 плотность распределения мгно-
венной фазовой погрешности 8 не симметрична относительно 8 = 0, и, следо-
вательно, среднее значение полной разности фаз <р не совпадает с
разностью фаз полезных сигналов [35].
Приведенные соотношения характеризуют шумовую ошибку фазовых из-
мерений в импульсном режиме работы, когда время измерения приблизи-
тельно равно интервалу корреляции шума или меньше его. При работе по
непрерывным сигналам время измерения может быть значительно больше
интервала корреляции шума, а ошибка измерений — меньше указанной в
данном разделе. Так, при оптимальном измерении фазы сигнала на фоне
белого шума фазовая ошибка распределена нормально с дисперсией
ст2 = No /2Е , где No — спектральная плотность мощности белого шума; Е —
энергия сигнала за время измерения [38].
В двухканальных системах сохраняется нормальный закон распределения,
а дисперсия измерения удваивается, если вероятность выхода ошибки за
интервал ±л исчезающе мала. Такой результат получен, в частности, в
статье [39].
25
Б.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
2.2. Влияние трассы распространения радиоволн
на фазовые характеристики принимаемых сигналов
2.2.1. Физические причины возникновения
фазовых искажений сигналов
При распространении радиоволн в реальных условиях, в отличие от рас-
пространения в свободном пространстве, параметры электромагнитного поля
— амплитуда, фаза и поляризация, испытывают как регулярные, так и слу-
чайные пространственно-временные искажения. В конкретных условиях при-
менения радиосистем средой, вносящей искажения, может быть тропосфера
либо ионосфера [17]. Ниже мы ограничимся рассмотрением тропосферных
трасс распространения сантиметровых и дециметровых радиоволн.
Существенное влияние на распространение радиоволн на тропосферных
трассах оказывают два фактора: граница раздела двух сред (тропосферы и
земной или водной поверхности) и метеорологические условия, определяю-
щие пространственно-временное распределение показателя преломления воз-
духа. Оба этих фактора действуют совместно, причем влияние метеоусловий
проявляется по-разному на трассах, отличающихся видом и рельефом по-
верхности раздела. Структура показателя преломления приземного слоя воз-
духа в свою очередь в значительной степени зависит от свойств поверхности
раздела. При качественном описании искажающего действия среды распрос-
транения на параметры радиоволн целесообразно рассмотреть вначале вли-
яние поверхности раздела в предположении равенства единице показателя
преломления воздуха в тропосфере, а затем рассмотреть влияние его регу-
лярной и случайной изменчивости.
На открытых трассах, когда антенны источника и приемника излучения
находятся в области прямой радиовидимости, поле в точке наблюдения можно
представить в виде суммы двух составляющих: первая соответствует рас-
пространению волны от источника излучения к точке приема в отсутствие
поверхности раздела, а вторая является результатом дифракции поля ис-
точника излучения на поверхности раздела. Интерференция поля прямой
волны с полем, рассеянным поверхностью раздела, обуславливает простран-
ственную неоднородность фазового фронта принимаемой волны.
Структура и параметры поля, рассеянного поверхностью раздела, опре-
деляются ее электрическими и геометрическими характеристиками, а также
параметрами источника излучения — длиной волны, поляризацией, шири-
ной диаграммы направленности антенны. В области сравнительно длинных
волн, когда подстилающая поверхность гладкая, рассеянное поле можно
представить как зеркальное отражение от плоскости раздела излученных
сигналов. Критерием применимости концепции зеркального отражения яв-
ляется неравенство
^-S-in Р «1, (2.2.1)
7-
где Q, — высота неровностей поверхности в пределах области, формирую-
щей отраженное поле, р — угол скольжения в точке зеркального отражения.
24
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
Наличие гладкой поверхности раздела приводит к лепестковой структу-
ре зависимости амплитуды поля от утла места и значительным фазовым
искажениям в вертикальной плоскости [15].
Фазовые искажения зависят от коэффициента отражения радиоволн по-
верхностью раздела, разности фаз прямого и отраженного сигналов, направ-
ленности антенн источника и пеленгатора.
Рассмотрим характер фазовых искажений в вертикальной плоскости.
Пусть решетка приемных элементов расположена вертикально над глад-
кой поверхностью раздела, как показано на рис. 2.2.1.
Рис. 2.2.1. Вертикальная решетка над гладкой поверхностью раздела
На рисунке с — высота нижнего элемента решетки над поверхностью
раздела, х1 — расстояние между г-м и нижним элементами. Комплексную
амплитуду сигнала, являющегося суммой прямого и зеркально отраженного,
в точке х, запишем в виде [40]
Ь'(х,) = Uo ехр
2 it
— (x(+c)sinP х
X (1 + R ехр
,4я Ч П
Жтр -J—<х, +c)smp >,
(2.2.2)
где U о — амплитуда прямого сигнала; R, <ротр — амплитуда и фаза коэффи-
циента отражения.
Фаза сигнала (2.2.2) выражается формулой
2л ч . „
\ |/, = — (л; + с) sin р + arctg
г, Г 4л . .
«sin фо1р - — (х, + с)snip
। 4л
l+«cos <рото----(х, +c)sinp
(2.2.3)
Первый член этой формулы представляет фазу прямого сигнала, второй
— пространственные изменения фазы, вызванные интерференцией прямой
и отраженной волн. Нетрудно видеть, что возникшая фазовая добавка
— периодическая функция пространственной координаты х с периодом
л/(2 sinp). Вид функции \|1,(х) (2.2.3) иллюстрируется графиком рис. 2.2.2, где
по горизонтали отложена разность фаз <р{ = ц/(х( + с) - \р(с).
25
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Во многих случаях высоты неровностей поверхности раздела на сухопут-
ных и надводных трассах в области дециметровых и более коротких длин
волн не удовлетворяют критерию зеркального отражения (2.1.1). В этом слу-
чае поле, рассеянное поверхностью раздела, можно рассматривать как сум-
му множества элементарных сферических волн, переизлученных квазиплос-
кими участками неровностей, угол наклона которых соответствует зеркальному
отражению падающей волны в направлении на точку наблюдения [46]. Поле
в точке приема в этом случае представляет собой сумму прямой волны и
элементарных вторичных волн, распространяющихся по лучам с зеркальным
отражением. Такой механизм формирования поля над поверхностью раздела
послужил основанием для термина «многолучевое распространение» [15].
Рис. 2.2.2. Разность фаз между элементами вертикальной решетки
при наличии зеркального отражения от земли:
R = 0,9; 9отр = я; р = Г; с = О
При многолучевом распространении поле в точке приема имеет сложную
интерференционную структуру. Фазовый фронт принимаемой волны суще-
ственно искажается. При случайных перемещениях элементов поверхности
раздела, а также при движении источника или приемника излучения над
неровной поверхностью, каковыми являются реальные земная и морская по-
верхности, фазовый фронт волны становится случайной функцией простран-
ственных координат и времени. Вследствие этого разность фаз сигналов в
пространственно разнесенных точках приема становится случайной функци-
ей разноса и времени. Отличие этой разности от той, которая была бы в
свободном пространстве, можно трактовать как погрешность фазовых изме-
рений в устройствах пеленгования. Отметим, что в отличие от ошибки пе-
ленгования в угломестной плоскости систематическая ошибка пеленга в ази-
мутальной плоскости возникает лишь в случае асимметрии углового
распределения энергии рассеянного поля по азимуту. Такая асимметрия имеет
место при отличии характеристик неровностей поверхности, расположен-
ных слева и справа относительно прямой, соединяющей источник излучения
и центр разнесенных приемных антенн, или при наличии вблизи этой
прямой одного или нескольких препятствий либо отражателей, играющих
основную роль в формировании поля в месте приема.
На закрытых трассах, когда прямая видимость между источником и при-
емником излучения отсутствует, поле в области приема является результа-
том дифракции поля источника излучения на экранирующем препятствии.
26
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
Переизлучение электромагнитной энергии отдельными неровностями пре-
пятствия обуславливает многолучевую структуру поля в месте приема и
является причиной возникновения ошибок пеленгования.
Рассмотрим влияние на структуру поля в месте приема пространствен-
но-временного распределения показателя преломления приземного слоя воз-
духа. Значение показателя преломления воздуха определяется метеопара-
метрами: температурой, атмосферным давлением и влажностью. Вследствие
случайной пространственно-временной изменчивости метеопараметров
показатель преломления изменяется случайным образом в пространстве и
времени. Это вызывает изменение электрической длины трассы распростра-
нения радиоволн и флуктуации разности фаз сигналов в разнесенных точках
приема. Большие по размерам неоднородности вызывают медленные флук-
туации, малые — быстрые. По экспериментальным данным спектральная
плотность мощности флуктуаций длины трассы распространения заключена
в интервале от 10 й до 10 Гц, причем подавляющая часть мощности сосредо-
точена на частотах выше 10-э Гц (приблизительно один период в сутки) [12,
42, 431
Среднеквадратические флуктуации длины трассы протяженностью в не-
сколько десятков километров за период в несколько месяцев составляют
десятки сантиметров [12}, что приводит к весьма существенным флуктуаци-
ям фазы принимаемого сигнала, поскольку
2z
фу _ ~аЯ ,
К
где ст,р — среднеквадратические флуктуации фазы принимаемого сигнала,
стк — среднеквадратические флуктуации протяженности трассы.
В задачах, рассматриваемых в данной книге, важную роль играет диспер-
сия флуктуаций разности фаз сигналов в разнесенных точках приема. Пред-
положим, что точки приема разнесены вдоль некоторой пространственной
координатной оси х. Следует оценить дисперсию разности фаз <р(хьх,) =
= - Ч'(хз)> гДе 4/(xi),'l'(x2)_ начальные фазы сигналов, принятых в точках
х2. Фазу сигнала можно считать стационарной случайной функцией про-
странственной координаты х, если интервал наблюдения не превосходит ра-
диуса пространственной стационарности тропосферы. Задаваясь статисти-
ческими характеристиками тропосферы, можно аналитически вычислить
статистические характеристики фазы [44, 45].
В предположении о стационарности фазы принимаемого сигнала как
случайной функции координат точки приема запишем формулу для дис-
персии ст' разности фаз в разнесённых точках
ст*(П = 2ст* [1-^(1)], (2.2.4)
где Гу(1) — функция пространственной корреляции фазы; I = - х2|.
Соотношение (2.2.4) справедливо, если с вероятностью, близкой к единице,
флуктуации разности фаз не превышают интервала однозначного измере-
ния, равного 2 л.
Флуктуации разности фаз всегда измеряются в некотором ограниченном
интервале частот. Измеряемая дисперсия разности фаз зависит от величины
этого интервала следующим образом:
27
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
А
<(Ui,/2)= МЖ
fi
где fi,f2 — границы частотного интервала регистрации флуктуаций,
G<p(Z,f) — энергетический спектр флуктуаций на базе I.
По современным представлениям случайное поле показателя преломле-
ния воздуха в тропосфере состоит из трех компонентов: регулярной состав-
ляющей, которая определяется средними значениями метеопараметров; круп-
номасштабных неоднородностей, в том числе неоднородностей в виде
протяженных в горизонтальном направлении слоев; мелкомасштабного ком-
понента, свойства которого могут быть описаны в рамках локально одно-
родной изотропной модели турбулентности [45].
Для регулярной составляющей показателя преломления характерна
отчетливо выраженная зависимость от высоты над земной поверхностью.
Изменения в горизонтальном направлении менее значительны и наиболее
выражены при резкой смене метеоусловий, в частности при прохождении
метеорологических фронтов. Это послужило основанием для использования
при теоретическом анализе распространения радиоволн модели сферически
слоистой атмосферы с экспоненциальной зависимостью показателя прелом-
ления от высоты.
Регулярная зависимость показателя преломления от высоты является
причиной искривления траекторий распространения радиоволн (рефракции)
в угломестной плоскости. Рефракция приводит к отличию измеряемого угла
места от истинного вне зависимости от метода пеленгования. Существует
методика введения поправок в измеряемые углы места по метеоданным.
Характерный период изменения условий рефракции составляет единицы
часов [12].
При многолучевом распространении влияние рефракции оказывается бо-
лее сложным. Флуктуации рефракции приводят к изменению фазовых соот-
ношений между отдельными волнами. В результате изменяется простран-
ственная структура электромагнитного поля в месте приема, а следовательно,
и «угол прихода», измеряемый тем или иным методом.
Модель сферически-слоистой атмосферы справедлива для морских и
сухопутных трасс, однородных по структуре подстилающей поверхности.
Для трасс, проходящих над пересеченной местностью, включающей в себя
холмы, лес, участки водной поверхности и т.п., сферически-слоистая
модель атмосферы экспериментального подтверждения не находит [46].
Из-за зависимости показателя преломления от характера подстилающей
поверхности на трассе возможны его горизонтальные градиенты, приводя-
щие к рефракции в азимутальной плоскости. Угловые флуктуации могут
достигать 0,05° [11].
Локальные слоистые неоднородности показателя преломления почти все-
гда присутствуют в тропосфере [11]. Удовлетворительной модели для их
описания не существует. Наличие на трассе распространения слоистых нео-
днородностей, переизлучающих энергию источника сигнала в точку приема,
ведет к интерференционным искажениям пространственной структуры поля.
Временные периоды интерференционных замираний зависят от длины
волны, скорости перемещения неоднородностей и имеют порядок от долей до
нескольких секунд. Характерные масштабы пространственных вариаций поля
28
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых изнереют
составляют десятки-сотни длин волн. Изменения угла прихода в горизон-
тальной плоскости, обусловленные наклоном слоистых неоднородностей, мо-
гут достигать 0,01° [47].
Исследованию мелкомасштабных и быстрых флуктуаций показателя
преломления тропосферы посвящено большое количество теоретических и
экспериментальных работ. Согласно теоретическим работам флуктуации
показателя преломления представляют собой локально-однородное случай-
ное поле в интервале пространственных масштабов от миллиметров до
сотен метров. Для такого представления турбулентности получены форму-
лы, позволяющие рассчитать основные параметры флуктуаций: дисперсии
амплитуды и фазы, пространственные и временные корреляционные функ-
ции и т.д. [44, 45]. Однако упрощенность теоретической модели тропосферы,
а также влияние реальной поверхности раздела делают теоретические рас-
четы параметров флуктуаций ненадежными. Как отмечается в работах [15,
47], теория распространения радиоволн с учетом влияния поверхности раз-
дела и неоднородностей показателя преломления воздуха в тропосфере пока
чаще объясняет экспериментальные данные, а не прогнозирует ожидаемые
явления. Поэтому основным способом получения количественных данных об
искажениях параметров радиоволн средой распространения остаются экспе-
риментальные исследования.
Обычно целью экспериментальных исследований в области распростра-
нения радиоволн является решение конкретной прикладной задачи Для оценки
влияния трассы распространения на точность пеленгования радиоисточников
эксперименты должны выявить количественные характеристики искажений
фазовой структуры электромагнитного поля в месте приема. Подобные
исследования длительное время проводились на радиотехническом факуль-
тете Томского государственного университета систем управления и радио-
электроники (ТУСУР). Ниже приводятся некоторые результаты этих иссле-
дований, дополненные данными других авторов.
Как показали эксперименты, на тропосферных трассах фаза принимае-
мого сигнала является нестационарной случайной функцией пространствен-
ных координат и времени. Фазовый фронт волны в каждый момент времени
является нестационарной функцией координат. На наземных трассах можно
выделить пространственные искажения фазового фронта (отклонения его от
плоского), обусловленные рассеянием радиоволн подстилающей поверхнос-
тью и отражениями от местных предметов, и его пространственно-времен-
ные флуктуации, обусловленные турбулентностью тропосферы, а также
отражениями от перемещающихся отражателей, например качающегося под
действием ветра растительного покрова. В экспериментальных исследовани-
ях, проводившихся в ТУСУРе, эти искажения измерялись раздельно. Про-
странственные искажения фазового фронта, систематические для конкретной
трассы и фиксированного положения передающей и приемных антенн, полу-
чили название «стабильных» [14]. Они фиксировались как средние отклоне-
ния разности фаз сигналов, принимаемых на разнесенные антенны, от рас-
чётного значения.
Пространственно-временные флуктуации фазового фронта оценивались
по временным флуктуациям разностей фаз сигналов на разнесенных антен-
нах. Вследствие нестационарное™ флуктуаций за период наблюдения при
29
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
их обработке выделялись интервалы времени, на которых условия стацио-
нарности приблизительно выполнялись. Длительность этих интервалов
составляла 2~5 минут. Флуктуации на этих интервалах назывались «быст-
рыми». Флуктуации средних значений разности фаз на интервалах стацио-
нарности назывались «медленными».
2.2.2. Экспериментальные данные
о пространственных флуктуациях радиосигналов
Пространственные искажения фазового фронта исследовались в Западной
Сибири в диапазонах длин волн 3 и 10 см на открытых и закрытых трассах
протяженностью 5-103 км, проходящих над пересеченной местностью [14].
Двухканальная приемная установка с измерителем разности фаз последова-
тельно подключалась к парам различно разнесенных четырех приемных ан-
тенн. Для исключения флуктуационной составляющей искажений фазового
фронта на каждой из пар антенн регистрировались усредненные за 3-минут-
ный интервал разности фаз. С целью набора характерных для исследуемой
трассы совокупности реализаций фазового фронта, источник излучения (им-
пульсная РЛС) перемещался поперек трассы на расстояния 100-1000 м.
При расположении источника в фиксированных точках производились серии
измерений разностей фаз.
При обработке результатов измерений для каждого разнесения приемных
антенн I и фиксированного положения источника излучения вычислялась
величина отклонения <pt.,.(l) усредненной за серию разности фаз <р(?) от регу-
лярного хода <р0(!) = 2Ttl/%sinAa, где Дос — угловое перемещение источника
излучения относительно начальной точки:
<рст (I) = ф(1} - ф() (Л. (2.2.5)
В ряде опытов имелась возможность производить точное измерение на-
правления на передатчик с помощью теодолита. Результаты двух опытов
изображены на рис. 2.2.3.
На рис. 2.2.3,а по горизонтальной оси отложены условные номера точек
расположения передатчика, в которых производились измерения разности
фаз. Расстояние между точками 50-200 м. На рис. 2.2.3,6 по горизонтали
отложено перемещение передатчика.
Одновременно проводились оптические измерения направления на пере-
датчик, погрешность которых не превышала 6". Результаты оптических изме-
рений показаны на рисунках сплошными линиями. Точки показывают резуль-
таты фазовых измерений, усредненных за 3-5 минут. Как видно из графиков,
результаты электрических измерений колеблются вокруг некоторой прямой,
которая на рис. 2.2.3,а не совпадает с линией оптических пеленгов.
Подобное смещение имелось в большинстве опытов, оставаясь приблизи-
тельно постоянным при перемещении передатчика в пределах ±5°. Его вели-
чина составляла ±(1-3)'. Можно предположить, что указанное смещение выз-
вано рефракцией радиоволн в горизонтальной плоскости.
Экспериментальные исследования рефракции сантиметровых радиоволн
в нижних слоях атмосферы подтверждают такую возможность [13]. За выче-
том смещения пространственные фазовые флуктуации <pCT(Z) подчиняются
30
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
нормальному закону распределения вероятностей с дисперсией, зависящей
от базы I в соответствии с формулой (2.2.4),
ст (0 = 2ст;„ (1 -1; (2)), (2.2.6)
где ст;ст — дисперсия пространственных флуктуаций фазы сигнала;
г (I) — нормированная пространственная корреляционная функция.
б
Рис. 2.2.3. «Стабильные» изменения углов прихода
Корреляционная функция тч,(I) в большинстве опытов удовлетворительно
аппроксимируется гауссоидой
= exp{-((/(0)2} (2.2.7)
либо экспонентой
гч,(() = ехр(-1/10), !>0. (2.2.8)
В таблице 2.2.1 представлены данные экспериментальных оценок средне-
квадратического отклонения фазы ст^ст и интервала пространственной кор-
реляции по уровню 0,37 по результатам измерений на наземных трассах
прямой радиовидимости на волне X = 3,2 см. В таблице R — протяженность
трассы.
Как видно из таблицы, в пределах прямой радиовидимости среднеквадра-
тические флуктуации фазы лежат в пределах (5-11) градусов, а интервал
пространственной корреляции в пределах (35-150)Х.
На рис. 2.2.4 и рис. 2.2.5 представлены среднеквадратичные пространствен-
ные флуктуации фазы о^,ст и интервала пространственной корреляции 10 в
зависимости от протяженности загоризонтного участка трассы Rpr. Как видно
из графиков, среднеквадратические флуктуации фазы несколько возрастают
при увеличении Rpr (примерно, как ^Rpr ), а интервал пространственной
корреляции линейно убывает.
31
В.П. Денисов, Д-В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Экспериментальные данные о «стабильных»
пространственных флуктуациях радиосигналов
Таблица 2.2.1
R, км ст¥ст> град /о/Х
16,1 10 77
15,8 10 87
16,0 7 35
16,1 11 67
20,0 7 148
20,5 7 130
21,5 9 80
25,7 5 117
Приведенные экспериментальные данные показывают, что пространствен-
ные фазовые флуктуации весьма сильно зависят от рельефа и протяженно-
сти трассы. Разумеется, они не исчерпывают все возможные реализации
условий распространения радиоволн. Можно считать, что они дают пред-
ставление о порядке статистических характеристик «стабильных» простран-
ственных флуктуаций фазы в типовых условиях.
Рис. 2.2.4. Зависимость интенсивности пространственных
О 20 40 60 80 Rpr, км
Рис. 2.2.5. Зависимость интервала корреляции пространственных
фазовых флуктуаций от протяженности трассы
32
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
2.2.3. Экспериментальные данные о быстрых
пространственно-временных флуктуациях рцдаоснгааоов
Экспериментальные исследования флуктуационных искажений фазового
фронта над сушей и над морем выявили их значительную изменчивость как
по интенсивности, так и по степени коррелированности в пространстве.
В качестве примера такой изменчивости на рис. 2.2.6 приведена кривая су-
точного хода среднеквадратического значения флуктуаций разности фаз на
открытой приземной трассе протяженностью 53 км при горизонтальном раз-
носе приемных антенн I — 6 м на длине волны 3,2 см.
Рис. 2.2.6. Суточный ход интенсивности быстрых
флуктуаций разности фаз
Кривая построена по результатам синхронных измерений на трех разне-
сенных в пространстве приемно-измерительных установках. Расстояния между
соседними установками были равны 200 и 700 м.
Как видно из рис. 2.2.6, в течение суток дисперсия разности фаз может
изменяться в 5—10 раз. Такая изменчивость затрудняет выявление статисти-
ческих зависимостей фазовых флуктуаций от различных факторов: вида
трассы, дальности, длины волны, метеоусловий и т. д. Данные, полученные
в конкретных условиях, следует считать ориентировочными для трасс дан-
ного типа.
В большинстве проведенных экспериментов эмпирические функции
распределения мгновенных значений разностей фаз на различных базах на
интервале стационарности флуктуаций удовлетворительно аппроксимиру-
ются кривой нормального закона.
Одной из важнейших в прикладном отношении характеристик фазового
фронта является зависимость дисперсии разности фаз от разноса приемных
антенн (базы).
На рис. 2.2.7 приведены реализации зависимости среднеквадратического
отклонения разности фаз оф от базы I приемных антенн, полученные на дли-
не волны 3,2 см (рис. 2.2.7,а) и 10 см (рис. 2 .2.7,6). Оценки стф рассчитывались
по 5-минутным реализациям мгновенных значений разностей фаз. Верти-
кальные линии на рис. 2.2.7,а показывают разброс оценок аф, полученных в
отдельных сериях измерений. Точками на рис. 2.2.7,б нанесены усредненные
по сериям измерений значения стф. Трассы диапазона 3,2 см были открытыми,
а диапазона 10 см — закрытыми.
33
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Рис. 2.2.7. Зависимость интенсивности быстрых фазовых
флуктуаций от базы: а — Х= 3,2 см; б — % = 10 см
Приведенные кривые, а также аналогичные зависимости, полученные на
других трассах, удовлетворительно описываются формулой, следующей из
(2.2.4):
= V2 . (2.2.9)
При использовании этой формулы в 70-80 % опытов нормированная про-
странственная корреляционная функция rv(() аппроксимируется экспонентой
(2.2.8). В 10-30 % опытов больше подходит гауссоида (2.2.7).
По результатам статистической обработки экспериментальных данных
установлено, 'что отношение интервала пространственной корреляции
фазовых флуктуаций к длине волны 10/к в сантиметровом и дециметровом
диапазонах практически не зависит от А и имеет тот же порядок, что и для
флуктуаций амплитуды. Поэтому для оценки величины 10 можно использо-
вать данные амплитудных измерений как более объемные. Полученная по
экспериментальным данным зависимость среднего значения отношения (0/Х
км
Рис. 2.2.8. Зависимость среднего значения интервала
пространственной корреляции от дальности
Входящую в формулу (2.2.9) величину среднеквадратических флуктуа-
ций фазы можно найти по графикам = f(l): в области «насыщения»
34
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
Теоретически в безграничной слабонеоднородной среде дисперсия фазы
прямо пропорциональна дальности R и обратно пропорциональна длине
волны А. [44]. Измерения, проведенные в условиях отрыва диаграммы излу-
чения от земной поверхности, подтверждают эту закономерность [48].
На пересеченной местности интенсивность флуктуаций больше зависит от
характера подстилающей поверхности, чем от протяженности трассы.
Для практических целей можно считать, что в пределах прямой радиови-
димости аф<5°.
На рис. 2.2.9 приведены экспериментальные зависимости оф от протяжен-
ности загоризонтного участка трассы, полученные в трехсантиметровом и
десятисантиметровом диапазонах волн. В обоих случаях точки показывают
значения стф, усредненные по дневным измерениям, а вертикальные линии —
разброс оф в дневных сеансах записи. Большая часть измерений на волнах
А = 3,2 см и А. = 10 см выполнена на одних и тех же трассах. Измерения про-
ведены на базах f = 200 А. (А, = 3,2 см) и I = 100 А. (А. = 10 см).
фазовых флуктуаций от дальности
Поскольку интервал пространственной корреляции быстрых флуктуаций
составляет (25~100)А. (см. рис. 2.2.8), флуктуации на базе (100~200)А. прак-
тически декоррелированы. Поэтому среднеквадратические флуктуации
(см. рис. 2.2.9) характеризуют кривую стф = /(f) в области «насыщения». Рису-
нок позволяет дать ориентировочную оценку интенсивности этих флуктуа-
ций в зависимости от дальности в сантиметровом диапазоне волн: на удале-
нии до 40—50 км за радиогоризонт среднеквадратические флуктуации в
области «насыщения» кривой стф = f(l) составляют 5-15°, а на удалении 60-
150 км — 15—25°. Рис. 2.2.9 позволяет также оценить среднеквадратические
флуктуации начальной фазы сигнала \|/(t). Полагая в формуле (2.2.9) гф =
= 0, получаем оф = оф/>/2 , где стф — точки на графике рис. 2.2.9.
Временные корреляционные функции флуктуаций разности фаз на
приземных трассах на интервалах стационарности аппроксимируются экспо-
нентой
'•ф('О = ехр(-|т|/то) (2.2.10)
либо гауссоидой
^(т) = ехр{-(т/т0)2]. (2.2.11)
35
Б.П. Денисов, Д-В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Интервал временной корреляции т0 зависит от разноса приемных антенн
I (увеличивается с ростом I), длины трассы R (уменьшается с ростом R),
времени суток. В 90% измерений на наземных трассах интервал временной
корреляции по уровню 0,37 лежит в пределах 0,5-6 с.
Обширные исследования флуктуаций разности фаз над морем при разно-
се приемных антенн в горизонтальной плоскости проведены коллективом
сотрудников Института радиоэлектроники Академии наук Украинской ССР.
Некоторые обобщенные данные приводятся в работах [49-51]. Эксперименты
проводились на волне Z = 10 см на дальности до 33 км.
Зависимость = /(() имеет качественно такой же характер, что и на на-
земных трассах, причем в спектре от 0,01 до 100 Гц среднеквадратические
флуктуации разности фаз в области «насыщения» кривой составляют
1—10 градусов (за исключением редких случаев аномально больших флукту-
аций), а интервал пространственной корреляции составляет (40~80)А..
2.2.4. Экспериментальные данные о «медаенных»
пространственно-временных флуктуациях разности фаз
Рассматриваются флуктуации средних за 1-5-минутные интервалы раз-
ностей фаз сигналов на горизонтально разнесенных антеннах [14]. Для выяв-
ления этих флуктуаций в течение нескольких суток производились перио-
дические измерения на одной и той же трассе. Получившиеся реализации
носят характер нормального случайного процесса. По данным измерений
интервал пространственной корреляции флуктуаций значительно превы-
шал максимальный разнос антенн, использовавшийся в экспериментах, —
300/.. Поскольку антенные системы пеленгаторов обычно имеют меньшие раз-
меры, медленные флуктуации проявляются как флуктуации «угла прихода»
радиоволн. В условиях среднепересеченной местности на дистанции до
100 км медленные флуктуации не выходят за пределы 4 угловых минут.
В ряде опытов наблюдалась значительная корреляция флуктуаций углов
прихода, измеренных установками, разнесенными на 1063 м. Этот результат
качественно совпадает с выводами работы [42], где утверждается, что
горизонтальные размеры крупномасштабных атмосферных образований,
приводящих к медленным флуктуациям углов прихода, значительно превы-
шают 10 км.
С ростом протяженности трассы интенсивность медленных флуктуаций
углов прихода увеличивается. По данным [52] на приземных трассах протя-
женностью 86-182 км на волне 10 см среднеквадратические угловые флук-
туации составляют 6-12 минут.
2.2.5. Влияние сканирования антенны источника излучения
на искажения фазового фронта
Приведенные выше экспериментальные данные о фазовых флуктуациях
радиосигналов на наземных трассах получены при использовании в качестве
источника излучения радиолокационных станций с узконаправленными ан-
36
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
теинами. Во время проведения фазовых измерений антенны локаторов наво-
дились на приемные позиции.
Имеется ряд практически важных случаев, когда пеленгование ведется
по боковому излучению направленных антенн. Такая ситуация типична,
например, для разведки наземных радиолокационных станций с борта лета-
тельного аппарата [5]. Для выяснения влияния положения направленной
передающей антенны на статистические характеристики флуктуаций были
поставлены специальные эксперименты.
При приеме бокового излучения направленной антенны резко уменьша-
ется прямой сигнал и столь же резко увеличивается роль сигналов, пере-
излученных местными предметами. Как показали экспериментальные
исследования, влияние положения передающей антенны на статистические
характеристики фазового фронта волны в месте приема в значительной
степени зависит от рельефа местности вблизи позиции излучающего сред-
ства [14].
Если РЛС расположена на ровной позиции, свободной от местных пред-
метов в радиусе не менее 500 м, на открытых наземных трассах протяжен-
ностью 15-20 км пространственные «стабильные» искажения фазового фронта
практически не зависят от положения антенны РЛС. Изменения разности
фаз сигналов, принятых на разнесенные антенны, в функции углового поло-
жения антенны РЛС можно рассматривать в этом случае как случайный
процесс с интервалом корреляции (0,25-0,5) О0 5, где О0 5 — ширина диаграм-
мы направленности РЛС по половинной мощности.
При наличии местных предметов в непосредственной близости от переда-
ющей антенны РЛС (групп деревьев, холмов и т.п.) пространственные иска-
жения фазового фронта резко возрастают, когда передающая антенна отвер-
нута от направления на пеленгатор. Если при работе по главному лепестку
фазовые искажения обычно лежат в пределах 1,5-7,5 ° на базе I = 200л, то
при работе по боковым лепесткам они возрастают до 100” [14].
При приеме сигналов бокового излучения передающей антенны возраста-
ют и флуктуационные искажения фазового фронта: при отвороте передаю-
щей антенны на угол, равный полуширине главного лепестка диаграммы
направленности, в сантиметровом диапазоне волн среднеквадратическое
отклонение флуктуаций фазы возрастает в 4-6 раз.
Теоретическое изучение статистических характеристик сигналов при ра-
боте по источникам с вращающейся диаграммой проведено А.Г. Буймовым,
Г.С. Шарыгиным [14] на основании замены реальной среды распространения
радиоволн фазовым экраном. Основные результаты исследований заключа-
ются в следующем.
Математическое ожидание разности фаз сигналов mjcp}, принимаемых раз-
несенными антеннами по основному излучению, можно в первом приближении
считать линейной функцией угла отворота антенны передатчика от направ-
ления на приемное устройство 9, причем mjtp} = 0, если 9=0.
Дисперсии пространственных («стабильных») искажений и временных
флуктуаций разности фаз на базе I в зависимости от угла отворота антенны
передатчика представимы в виде
o;(i,y) = 2o“,(Y)[l-r4/(l,y)], (2.2.12)
37
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
где
^(y) = <^/Fh2(y), (2-2.13)
о2 — дисперсия флуктуаций фазы для & = 0; FH(y) — нормированная диаг-
рамма излучения по напряженности поля; у = 29/&0 5; Эо 5— ширина диаг-
раммы направленности излучения по половинной мощности; гф((,у) — коэф-
фициент пространственной корреляции фазы:
Г/Y
гч,(/,У) = ехр-
л I
---Y
2/0 J
(2.2.14)
Как видно из формулы (2.2.14), интервал пространственной корреляции
фазовых искажений уменьшается при увеличении отворота антенны
передатчика у.
Временная корреляционная функция быстрых флуктуаций разности фаз
может быть представлена в виде
(2.2.15)
где тф(т) выражается формулами (2.2.10), (2.2.11).
Из формулы (2.2.15) следует, что интервал временной корреляции флук-
туаций уменьшается с увеличением отворота.
Полученные теоретические формулы соответствуют экспериментальным
данным. На рис. 2.2.10 приведены результаты экспериментальной оценки дис-
персии быстрых флуктуаций разности фаз, полученные путем усреднения
по совокупности из 30 наземных трасс протяженностью от 20 до 100 км в
десятисантиметровом диапазоне волн. Сплошной линией изображена теоре-
тическая кривая, соответствующая формуле (2.2.12) при аппроксимации
диаграммы излучения функцией типа (sin х)/х.
Проверка по критерию х2 Пирсона при пятипроцентном уровне значимо-
сти показала, что экспериментальные результаты не противоречат аппрок-
симации на интервале |Э| < 90 5. Из графика следует также, что при отвороте
порядка 90 5 среднеквадратические флуктуации возрастают в 5~6 раз.
Рис. 2.2.10. Зависимость дисперсии быстрых флуктуаций
от углового положения антенны источника излучения
38
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
2.3. Вероятностная модель принимаемых сигналов
и ее параметры
В данном подразделе будем рассматривать сигналы, принимаемые линей-
ной антенной решеткой, расположенной горизонтально. Антенную решетку
считаем «сплошной», то есть позволяющей принимать сигналы в каждой
точке х координатной оси [53]. Представим эти сигналы в комплексной фор-
ме в виде суммы регулярной и случайной составляющих
й(Г,х) = й0(/,х) + йр(Г,х). (2.3.1)
Регулярную составляющую й0(цх) будем считать гармоническим коле-
банием с постоянными за время измерения амплитудой 17 0 и начальной
фазой ф0
iiQ(t,x) = Ug exp
7 ®gt-2n-sina0 “ФО
V Л
(2.3.2)
где a0 — угол прихода прямой волны с учетом его изменений на трассе
распространения.
Сигнал й0(/,х) (2.3.2) учитывает только те пространственные искажения
фазового фронта, масштаб которых значительно превышает размеры антен-
ной системы.
В случайную (рассеянную) составляющую йр(/,х) включим сигналы,
рассеянные тропосферой и подстилающей поверхностью, интервал простран-
ственной корреляции которых сравним с апертурой антенной системы пе-
ленгатора. В соответствии с классификацией, принятой ранее,
wp (t, х) = й„ (t, х) + йфл (I, х),
где йст (t,х) — составляющая, описывающая «стабильные» (не изменяющи-
еся за время пеленгования) пространственные искажения фазового фронта;
йфл (7, х) — флуктуационная составляющая.
В зависимости от конкретного вида трассы йр(/,х) может быть обуслов-
лена наличием одной, нескольких или множества плоских волн, находящихся
в различных амплитудных и фазовых соотношениях. Очевидно, многообразие
случаев нельзя отразить в одной одинаково удобной вероятностной модели
йр(/,х). Примем, что йр(/,х) представляет собой узкополосный нормальный
случайный процесс, стационарный по времени и пространственной коорди-
нате:
йр (/,х) = Up (I,х) ехр[у(ю0/ - фр (/,х))] , (2.3.3)
где Up(t,x) и фр(£,х) — огибающая и фаза случайного процесса up(t,x) =
= Re йр(г,х).
В действительной форме up(t,x) удобно представлять в виде сумм.» квад-
ратурных составляющих
ип (t, х) = Up (t, х) cos фр (t, х) cos ogt +
+Up(t,x) 5Шфр^,х) sincogt = A(t,x) COSOJgt + C(t,x) sincogt. (2.3.4)
39
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Если процесс up(t,ar) стационарен по времени t и пространственной ко-
ординате х, то квадратуры A(t,x), C(t.x) некоррелированы в совпадающих
точках t и х, имеют нулевые средние значения и равные дисперсии:
сг4 = = стр [37]. Здесь Стр — дисперсия случайного сигнала.
Представление флуктуирующих сигналов УКВ в виде суммы детермини-
рованного гармонического колебания и стационарного гауссова случайного
процесса предложено авторами работы [54] и широко используется в лите-
ратуре. Статистические свойства такой суммы хорошо изучены.
Вследствие нормальности и стационарности процесса нр(/.х) многомер-
ное распределение сигнала (2.3.1), взятого в различных точках t и х, полнос-
тью определяется пространственно-временной корреляционной функцией,
Вр(т,() = тех ^ip(t,a-) йр(Г +т,х + 1)|. (2.3.5)
Знак * означает, что берется комплексно сопряженная величина, a mj{ }
— усреднение по совокупности трасс.
При определенных условиях пространственно-временная корреляционная
функция может быть представлена в виде произведения пространствен-
ной Bp (I) и временной р(т)
Вр(т,/) = Вр(/)р(г). (2.3.6)
В общем случае пространственную корреляционную функцию комплекс-
ного сигнала йр (I. х) запишем в виде
Bp (I) = тх{йр (t,a?) й*, (t.x +1)} = 2[r(Z) + j s(Z)] =
= 2Bp (Z) exp у (Z)], (2.3.7)
где r(l) —пространственная корреляционная функция одноименных квадра-
тур сигнала up(t,x); s(Z) — пространственная корреляционная функция раз-
ноименных квадратур сигнала wp(t,x);
2Bp(Z) = |Bp(Z)| = 2jr2(/) + s2(Z) — (2.3.8)
модуль корреляционной функции комплексного рассеянного сигнала;
у = arctg [s(Z)/r(Z)]— фаза корреляционной функции комплексного рассеянного
сигнала.
Пространственная корреляционная функция действительного рассеянного
сигнала равна корреляционной функции одноименных квадратур. В самом
деле:
mj{Re ilp(t, х) Reiip(t,x + Z)} = iReBp(Z) = r(Z). (2.3.9)
Пространственные статистические свойства нормального стационарного
процесса uD(t,x) могут быть заданы не только корреляционной функцией, но
и угловым энергетическим спектром рассеянных волн
Z . . +»
_[ sma г ь
Gl ——I = j Вр(I) ехр
-;2я—sin a al.
(2.3.10)
40
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
Положим, что модуль корреляционной функции выражается формулой
Вр(1) = 2стр exp [- Z//o], I > О,
а ее фаза —
у = 2тг sinotp.
Тогда корреляционная функция (2.3.7) имеет вид
Вр(/) = 2сТр ехр
— exp j2п
к) J
I .
— sinap
(2.3.11)
(2.3.12)
(2.3.13)
Подставляя (2.3.13) в (2.3.10), вычислим угловой энергетический спектр:
2 а р 4)
1+ 2я —(sina-
(2.3.14)
Отсюда следует, что угловой энергетический спектр симметричен отно-
сительно угла ар. Нетрудно показать, что его ширина, определенная как
оо
Аг., = —— f G(v)dv ,
G(O)J
О
(2.3.15)
где v = sin а, обратно пропорциональна интервалу пространственной корре-
ляции 10,
Диэ=Х/2-10. (2.3.16)
Формула (2.3.15) справедлива, когда Диэ « тс.
Аналогичные результаты получаются, если модуль пространственной
корреляционной функции представить другой симметричной функцией, а
для фазы оставить предположение (2.3.12).
Для нахождения закона распределения разности фаз сигналов (2.3.1) в
пространственно разнесенных точках <p(l) = y(t,x) - vp(t, х+l) можно воспользо-
ваться результатами, полученными В.В. Цветновым при рассмотрении воз-
действия коррелированных гауссовых помех на двухканальные фазометри-
ческие системы, изложенными в подразделе 2.1. Плотность распределения
разности фаз <р зависит от отношения мощности регулярного компонента
сигнала к случайному q = , а также от величины
рр (о=4- ^2(o+s2(o=-4 вр ® > <2-зл7)
°р °р
называемой в работах В.В. Цветнова обобщенным коэффициентом корреля-
ции, и введённой им фазовой расстройки Д<р = <р0 - у, где <р0 — разность фаз
регулярного сигнала в точках х и х +I:
2тс I .
ф()= —sina0; (2.3.18)
у — фаза корреляционной функции (2.3.13).
41
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Учитывая соотношение (2.3.12), имеем
Дф = 2л — (sin а0 - sin ар).
(2.3.19)
Как видим, фазовая расстройка Дф зависит от «угловой расстройки» Да
между регулярной волной и центром симметрии рассеянных волн. Она равна
нулю, если угловой энергетический центр рассеянных волн симметричен
относительно угла прихода регулярной волны.
Предположим, что фазовая расстройка отсутствует, а отношение мощ-
ности регулярной составляющей к мощности рассеянной достаточно велико,
q > 2-3.
Отсутствие угловой расстройки можно предполагать, если не связывать
ее с угловым положением направленной антенны пеленгуемого источника
сигналов. Действительно, функция корреляции Bp(Z) в формуле (2.3.10), оп-
ределяющей угловой энергетический спектр рассеянных волн, предполагает
усреднение по совокупности трасс. Нет оснований считать, что в случайной
совокупности трасс какой-либо центр симметрии рассеянных волн ар более
вероятен, чем а0.
При сделанных допущениях плотность распределения разности фаз сиг-
налов в разнесенных точках приема ф = ф(() может быть представлена на
основании приближенной формулы (2.1.9) в виде
ИДф) =
1
ехр
д[1 - соз(ф - ф0)]
1-Рр(0
(2.3.20)
Разлагая в (2.3.20) соз(ф - ф0) в степенной ряд и ограничиваясь двумя пер-
выми членами разложения, получаем нормальный закон распределения
УИ(ф) =
ехр
д(ф-Фо)2
2[1-Рр(0].
(2.3.21)
Дисперсия распределения (2.3.21) равна
o*(Z) = i[l-pp(Z)].
(2.3.22)
С другой стороны, ввиду предположенной пространственной стационар-
ности процесса up(t,x) можем записать
CT2(Z) = 2ct2 [1-TV(Z)], (2.3.23)
где — дисперсия флуктуаций фазы сигнала up(t,x); r,p(Z) — нормирован-
ная пространственная корреляционная функция фазы
’•v(0 = -yTn1{v(t,x) \|/(t,x + Z)}.
Сравнивая (2.3.22) и (2.3.23), видим, что
(2.3.24)
42
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
rv(Z) = pp(Z), (2.3.25)
4=l/2q. (2.3.26)
Таким образом, при сделанных предположениях статистические харак-
теристики пространственных фазовых флуктуаций полностью определяются
параметром q и интервалом пространственной корреляции 10.
Для практического использования гауссовой модели принимаемого сигна-
ла параметр q, а также интервалы временной и пространственной корреля-
ции должны быть определены опытным путем. Параметр q можно найти
путем анализа зависимости дисперсии разности фаз от разноса точек
приема I. Другим путем оценки q является анализ одномерного закона рас-
пределения вероятностей амплитуды сигнала. Возможность аппроксимации
распределения обобщенным релеевским законом (законом Райса) может слу-
жить критерием справедливости представления рассеянного сигнала стаци-
онарным нормальным случайным процессом [37].
Закон распределения амплитуды можно характеризовать глубиной флук-
туаций, определяя ее как разность уровней (в децибелах), соответствующих
90% и 10% вероятности превышения. Для распределения Релея (q = 0) дан-
ная величина является предельной в рамках распределения Райса и состав-
ляет 13,4 дБ. Как следует из работ [55, 56], содержащих экспериментальные
данные многих исследователей, быстрые флуктуации амплитуды при рас-
пространении радиоволн в тропосфере подчиняются закону Райса в 60-70 %
случаев.
Результаты изучения параметра q быстрых временных флуктуаций
сигналов изложены в статье [57], обобщающей работы сотрудников ТУСУРа
на наземных трассах в десятисантиметровом диапазоне. На рис. 2.3.1 пред-
ставлена усредненная за 6 часов зависимость величины ^[q от дальности.
Вертикальными линиями показан разброс оценок . График построен по
результатам амплитудных измерений. Как следует из графика, в условиях
проведения опытов всегда имелась регулярная составляющая сигнала, при-
чем q > 2.
0 50 100 150 R
км
Рис. 2.3.1. Оценка q по данным амплитудных измерений
43
Б.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Экспериментальные данные о быстрых фазовых флуктуациях, приве-
денные в п. 2.2.3 для трехсантиметрового и десятисантиметрового диапазо-
нов волн, удовлетворительно ложатся на график рис. 2.3.1. Его удобно ис-
пользовать для ориентировочной оценки параметра q быстрых флуктуаций
в функции от дальности.
Параметр q «стабильных» искажений сантиметровых радиоволн на
наземных трассах можно оценить по результатам разностно-фазовых изме-
рений, приведенных в п. 2.2.2. В трехсантиметровом и десятисантиметровом
диапазонах на дальности до 100 км среднеквадратическое значение простран-
ственных флуктуаций фазы лежит в пределах 5-30°, что соответству-
ет Jq е(2,2;80).
Так как временные флуктуации и «стабильные» искажения электромаг-
нитного поля статистически независимы, результирующая дисперсия рассе-
янного сигнала
= <4i+a£r>
где Стфд, — дисперсии флуктуирующей и «стабильной» во времени
составляющих рассеянного сигнала.
Отсюда нетрудно получить
Чфл 9ст
q = —----->
Чфл *?ст
где 9фл, qCT — значения параметра q для флуктуирующей во времени и
«стабильной» составляющих рассеянного сигнала.
Не все экспериментальные данные о быстрых флуктуациях радиосигна-
лов укладываются в рамки представления (2.3.1), где up(t,x) — стационар-
ный нормальный случайный процесс. Кроме уже упомянутых глубоких за-
мираний амплитуды, не соответствующих закону Релея, замечено различие
в оценке параметра q по фазовым и амплитудным измерениям в одних и
тех же опытах: результатам фазовых измерений соответствуют большие
значения q, чем результатам амплитудных [58].
Путем введения дополнительных параметров в закон распределения
вероятностей процесса up(t,x) можно добиться соответствия модели сигнала
большему числу опытных данных. Один из путей получения таких моделей
заключается в представлении рассеянного сигнала в виде суммы квадратур-
ных составляющих, распределенных по нормальному закону, но имеющих
неравные дисперсии или коррелированных. Рассмотрение соответствующих
одномерных распределений амплитуды и фазы сигнала имеется в моногра-
фиях [59, 60]. В соответствии с принятой терминологией такое представле-
ние сигнала будем называть обобщенной гауссовой моделью.
Пространственно-временная статистическая структура сигнала вида (2.3.1),
где случайная составляющая йр(/,х) имеет независимые нормально распре-
деленные квадратуры A(t,x), C(t,x) с различными дисперсиями, рассмотрена
Ю.М. Полищуком [58]. Соответствующее одномерное распределение ампли-
туды носит имя Бекмана, а в частном случае, когда регулярная составляю-
щая отсутствует, — Хойта [60]. Рассеянный сигнал является нестационарным
нормальным случайным процессом.
44
2. Статистические характеристики
ошибок фазовых измерений
В работе [58] двумерное распределение квадратур A(t,x) и C(t,ar) в со-
впадающих точках t и х таково, что на векторной диаграмме большая ось
эллипса рассеяния перпендикулярна вектору регулярного сигнала. Это пред-
положение влечет за собой неравномерность распределения фазы рассеян-
ного сигнала: плотность распределения имеет максимумы в точках <р0 = ± л/2,
где <р0 — фаза регулярного сигнала. Данная модель позволяет объяснить
разницу в оценке параметра q по амплитудным и фазовым измерениям.
Ее статистические свойства зависят от параметров К = о.й/сЛ, где сх — сред-
неквадратическое значение составляющей up(t,x), синфазной с u0(t,x),
— среднеквадратическое значение составляющей up(t,x), находящейся в
квадратуре с первой, и В = ('0/+ сф — отношения регулярной составля-
ющей сигнала к случайной по напряжению.
При К = 1 имеем уже рассмотренный случай, когда up(t,x) — стационар-
ный нормальный процесс.
На рис. 2.3.2 приведены заимствованные из [58] зависимости <тр от пара-
метров В, К и коэффициента корреляции одноименных квадратур р(х) (счи-
тается, что разноименные квадратуры некоррелированы). Из графиков вид-
Рис. 2.3.2. Зависимость среднеквадратических фазовых флуктуаций
от параметров обобщенной гауссовой модели сигнала
Так как статистические характеристики разности фаз являются основным
фактором, влияющим на работу пеленгаторов, не следует ожидать значи-
тельного изменения точности при переходе от одной модели поля к другой.
Это подтверждается результатами работы [61], где показано, что точность
моноимпульсных пеленгаторов на основе линейных антенных решеток с амп-
литудной обработкой сигналов вообще не зависит от К, а при фазовой или
суммарно-разностной обработке зависит от К только вне равносигнального
направления.
Поэтому в дальнейшем ограничимся представлением входных сигналов
пеленгатора в форме (2.3.1), где действительная часть iip(t,x) — стацио-
нарный нормальный случайный процесс, параметры которого зависят от
вида и протяженности трассы распространения радиоволн, как это показано
выше.
45
3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ФАЗОВЫХ
ПЕЛЕНГАТОРОВ С АНТЕННЫМИ СИСТЕМАМИ
В ВИДЕ ЛИНЕЙНЫХ РЕШЕТОК
3.1. Потенциальная точность пеленгования
антенной решеткой
В данном подразделе рассматриваются пеленгаторы, предназначенные
для определения углового положения источника излучения в одной плоско-
сти. Размер антенной системы в плоскости пеленгования является важным
ограничением, накладываемым на пеленгатор в процессе его создания.
Указанный размер связан с предельно достижимой точностью пеленгования
при учете неизбежных источников погрешностей: внутренних шумов аппа-
ратуры и пространственно-временных флуктуаций сигнала на трассе рас-
пространения. Выяснению этой зависимости посвящен настоящий подраздел.
Потенциальная точность измерительных систем находится обычно на ос-
новании неравенства Рао-Крамера либо как точность максимально правдо-
подобных оценок при достаточно большом отношении сигнал/шум [37].
Естественно, что как потенциальная точность пеленгования, так и струк-
тура оптимальных угломеров зависят от пространственно-временных харак-
теристик сигналов и помех. Простые конечные результаты получены для
случая, когда источник сигнала точечный и неподвижный, а внешняя помеха
представляет собой аддитивный гауссов шум с равномерным в секторе об-
зора угловым энергетическим спектром [62, 63]. При данных условиях
оптимальная пространственно-временная обработка распадается на две
независимые: пространственную, выполняемую антенной, и временную,
выполняемую приемником.
Мы также будем рассматривать пространственную и временную обра-
ботку сигналов. Оптимизация пространственной обработки позволяет полу-
чить максимально возможную точность при «мгновенном» съеме данных с
антенной решетки, что во многих случаях актуально для фазовых пеленга-
торов. Например, при работе в импульсном режиме, когда измерения про-
водятся по каждому принятому радиоимпульсу и время измерения много
меньше интервала временной корреляции помех.
Оптимальная пространственная обработка при пеленгации нефлуктуиру-
ющего точечного источника может быть выполнена сканирующей антенной с
равномерным амплитудно-фазовым распределением на сплошном раскрыве
[63]. Если отношение сигнал/шум достаточно велико, дисперсия эффектив-
ной оценки пеленга находится из общего соотношения для дисперсии макси-
46
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
мально правдоподобной оценки неэнергетического параметра сигнала X* со
случайной начальной фазой, принимаемого на фоне белого шума:
с2 * *х. =-, (3.1.1)
2<7^2-Ж1х=о
где <|/(А) — функция неопределенности сигнала по параметру X; q = E/No,
Е — энергия сигнала за время наблюдения, No — односторонняя спектраль-
ная плотность мощности шума.
Для пеленгатора, работающего по узкополосным сигналам, функция нео-
пределенности по углу прихода а имеет вид
сц - а) daT
(3.1.2)
где Р(а) — комплексная диаграмма направленности антенны.
Подстановка (3.1.2) в (3.1.1) дает
1
а2.
(3.1.3)
где LCK — среднеквадратический размер антенны, который для линейной
антенны выражается формулой
(3.1.4)
где Цх) — функция возбуждения раскрыва; L — физический размер ан-
тенны в плоскости пеленгования.
При равномерном возбуждении раскрыва антенны из (3.1.3), (3.1.4)
имеем [64]
2 6
<-эф=----✓ х2 ' <ЗЛ-5)
Е (
N0UJ
Формула (3.1.5) верна для непрерывных сигналов, когерентных импульс-
ных сигналов, а также некогерентных импульсных сигналов, если отноше-
ние сигнал/шум достаточно велико [64]. Влияние релеевских флуктуаций
амплитуды на потенциальную точность пеленгования учтено Сверлингом
[65]. Однако этот подход не учитывает пространственных флуктуаций
сигнала.
Бреннан [66], используя неравенство Рао-Крамера, получил формулу для
потенциальной точности пеленгования с помощью эквидистантной
антенной решетки при следующих предположениях: пеленгуется источник
гармонического сигнала со случайной начальной фазой; ошибки являются
следствием аддитивных гауссовых шумов, статистисчески независимых в при-
емных каналах; производится мгновенная выборка. Структурная схема
47
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
решетки изображена на рис. 3.1.1, приемные элементы считаются ненаправ-
ленными.
Рис 3.1.1. Структурная схема антенной решетки
Согласно [66] дисперсия эффективной оценки синуса пеленга u = sina,
отсчитанного от нормали к антенной решетке, выражается формулой
(3.1.6)
где Zj — шаг решетки; РС1/РШ — отношение сигнал/шум в каждом канале;
N — количество элементов решетки.
Показано, что при достаточно большом отношении сигнал/шум к потен-
циальной точности можно приблизиться, формируя на основе решетки на-
правленные диаграммы. Однако хорошее приближение получается только
при расположении цели вблизи равносигнального направления.
Если число элементов решетки N велико, формулу (3.1.6) можно пред-
ставить в виде
— L2 —
рш
где Рс = PclW — полная мощность принимаемых сигналов.
Из (3.1.7) следует, что при фиксированном отношении суммарной мощно-
сти сигналов Рс к мощности шума в отдельном канале Рш предельно дости-
жимая точность не зависит от числа антенн, а зависит только от размера
решетки L.
Формула (3.1.6) получена также Л.С. Гуткиным [67]. Г.Урковитц [68] вывел
выражение для дисперсии максимально правдоподобной оценки пеленга с
помощью антенной решетки произвольной структуры, в каждом из каналов
которой имеются взаимно-независимые белые шумы. Для линейных решеток
дисперсия максимально правдоподобной оценки синуса пеленга находится в
соответствии с формулой (3.1.1), в которой функция неопределенности име-
ет вид
48
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в ваде линейных решеток
1 Т °’5L 2 /
v(u) = — J J |l(x)|2a(t)a*(t-vx/c)exp >0v— dtdx, (3.1.8)
Z& • * \ С J
О -0.5L
где Е — энергия сигнала, принимаемого за время наблюдения Т; a(t) — ком-
плексная амплитуда принимаемого поля на решетке; х — пространственная
координата точки приема.
Функция (3.1.8) в работах Урковитца называется угловой функцией нео-
пределенности (неоднозначности) [68,69]. Подстановка (3.1.8) в (3.1.1) дает для
узкополосных сигналов
о2. =-----, (3.1.9)
”=♦ f2ТС ] 2£ г 2
UJ No ск
где Е — энергия принятого сигнала.
В работе [68] рассматриваются сплошные, дискретные и непрерывно-
дискретные решетки. Сплошные решетки являются идеализацией, предпо-
лагающей возможность независимой обработки сигналов, принятых каждой
точкой апертуры. Для них среднеквадратичная длина LCK может быть
вычислена по формуле (3.1.4), если апертурная функция Цх) симметрична
относительно х = 0. Дискретная решетка состоит из точечных элементов.
Для нее
i N i—Г
т2 _ 1 V* ^2 / 1
ск N2% Ч N2
( N
(3.1.10)
Реальные решетки являются непрерывно-дискретными. Однако соответ-
ствующие им выражения громоздки, и мы ограничимся использованием
формул, полученных в результате их идеализации.
Формула Бреннана (3.1.6) является частным случаем (3.1.9) при подстановке
в нее величины Ь2К (3.1.10), рассчитанной для эквидистантной решетки.
Из формул (3.1.9), (3.1.10) следуют важные выводы.
При фиксированной полной энергии сигналов, принимаемых решеткой,
E = NE1> потенциальная точность тем выше, чем ближе элементы решетки
расположены к ее краям.
При фиксированной энергии, принимаемой отдельными элементами
2
решетки, минимум достигается при равномерном и полном заполнении
ее апертуры.
Следовательно, дисперсия эффективной оценки при фиксированной дли-
не решетки может быть вычислена по формуле (3.1.7). Вблизи нормали к
решетке, когда sina « а, она полностью совпадает с выражением (3.1.5) для
дисперсии пеленгования сканирующей направленной антенной, если заме-
нить в ней Рс/Рш на E/No, имея в виду оптимизацию временной обработки.
Вывод об одинаковой потенциальной точности пеленгования антенной со
сплошным раскрывом (зеркальной) и решеткой, в каждом канале которой
стоит шумящий усилитель, согласуется с известным положением о том, что
в решетке, цепи суммирования которой не имеют потерь, отношение
49
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
сигнал/шум на выходе не зависит от того, поставить ли единственный уси-
литель на выходе сумматора или такие усилители включить на выходах
каждого приемного элемента [70,71].
Потенциальная точность пеленгования пространственно-флуктуирующих
сигналов, типичных для трасс тропосферного распространения, вычислена
Ген. Н. Глазовым, Гр. Н. Глазовым, Н.П. Красненко [72]. Рассматривается
эквидистантная решетка из N ненаправленных элементов (см. рис. 3.1.1).
Принимаемые сигналы представлены суммой регулярной составляющей (плос-
кой волны)
й0 (t, х) = Uo exp [j (root + kx sin <x{1 - \p0)] ,
где a0 — угол прихода относительно нормали к решетке, ц/0 — случайная
начальная фаза, к = 2л/Х, и случайной составляющей up(t,x), которая
считается нормальным стационарным случайным процессом с пространствен-
ной корреляционной функцией
В? 0) = 2прр(()ехр j2n^-sina0 1 (3.1.11)
\ ‘и /
где ст" — мощность случайной составляющей; I = |х2 - Xjj, г, и г, — коорди-
наты элементов решетки;
р(1) = ехр|----
(3.1.12)
/(| — интервал пространственной корреляции случайной составляющей.
Такое представление сигнала соответствует модели, принятой в разд. 2.3.
С учетом аддитивных внутренних шумов, белых и независимых в отдельных
каналах корреляционная матрица сигналов имеет вид
В = || Pt i exP(j\к ~ Ф ||,
где к, I — номера элементов решетки;
(3.1.13)
1;
Pw = 2g2 h
l+hPkl’
k = l,
к* I.
(3.1.14)
где h - ст2 /стщ ; a2 = ст2 + a2 ; — дисперсия внутренних шумов; =
= p(Z1|k-(|).
Для нахождения потенциальной точности вычисляется информационная
матрица Фишера [62] относительно начальной фазы сигнала \|/0 и фазового
сдвига сигналов 8, принимаемых соседними элементами решетки:
1 =
(3.1.15)
Фишеровская информация I относительно разности баз 8 находится как
элемент обратной матрицы
50
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
2
Здесь
I = ст
г2
г J8n>
88 •
(3.1.16)
2
— дисперсия эффективной оценки фазового сдвига d.
Информационная матрица (3.1.15) состоит из элементов
Rn-14+ 1
<ЭХ,- 2 дк; dkj ’
I » \ * J J
(3.1.17)
где u0 — вектор-столбец регулярных сигналов; индекс + означает Эрмитово
сопряжение; Sp — след матрицы.
Преодолев значительные математические трудности, авторы работы [72]
получили следующую формулу для дисперсии несмещенной и эффективной
оценки фазового сдвига 8:
(3.1.18)
где q = Ug /2ст2, — элементы матрицы, обратной ||р J с элементами (3.1.14).
В частном случае отсутствия флуктуаций сигнала (h = 0) (3.1.18) совпада-
ет с результатом Бреннана (3.1.6).
На рис. 3.1.2 приведены графики дисперсии эффективной оценки синуса
пеленга v = рассчитанные на ЭВМ при использовании форму-
лы (3.1.18).
Рис. 3.1.2,а характеризует зависимость
.2
от числа антенн при фикси-
рованном габаритном размере решетки l^ = (N~ l)Zb который положен рав-
ным интервалу пространственной корреляции флуктуаций сигнала 10.
Как видно из графика, при большом h - ct2/ct^ (собственные шумы прием-
ника малы по сравнению с рассеянным сигналом) потенциальная точность
практически не зависит от числа антенн. Две антенны, разнесенные на 10,
извлекают практически всю информацию о точном значении пеленга, заклю-
ченную в поле, падающем на апертуру.
При малом h (собственные шумы велики по сравнению с рассеянным сиг-
налом) с увеличением N дисперсия оценки пеленга уменьшается, так как
взаимно некоррелированные шумы приемников усредняются в процессе обра-
ботки.
Из рис. 3.1.2,б следует, что потенциальная точность при любом N растет
с увеличением l^/lg.
Кривые рис. 3.1.2 построены для конкретного значения параметра
д = Пц/2ст2 =5. Характер кривых не изменится при изменении q, поскольку в
формулу для дисперсии (3.1.18) величина 1/q входит как сомножитель.
51
В.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
а
Рис. 3.1.2. Зависимость дисперсии эффективной оценки
синуса пеленга от числа элементов антенной решетки:
а — при lz = 10; б — при изменении отношения ZE/Z0
Формула (3.1.18) может быть использована для оценки потенциальной
точности пеленгования на тропосферных трассах в горизонтальной плоско-
сти, если использовать экспериментальные данные о флуктуациях радио-
сигналов, приведенные в разделе 2.
52
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
3.2. Потенциальная точность многобазового
фазового пеленгатора и алгоритм ее реализации
В данном подразделе рассматриваются пеленгаторы, антенные системы
которых представляют собой линейные решетки, состоящие из слабонаправ-
ленных элементов. Принятые каждым элементом сигналы проходят через
отдельные приемные каналы. Такие пеленгаторы в литературе иногда назы-
вают фазовыми независимо от способа обработки сигналов даже тогда, когда
структура пеленгатора предусматривает операции над сигналами, а не над
измеренными разностями фаз [73].
Здесь фазовыми пеленгаторами называются такие, в которых оценка
пеленга формируется на основании разностей фаз, измеренных между эле-
ментами антенной системы.
Как известно (см. подраздел 1.1), обзорные фазовые пеленгаторы для дос-
тижения одновременно высокой точности и достоверности измерений
делают многобазовыми. Точность таких пеленгаторов характеризуется двумя
параметрами: дисперсией условной оценки, полученной при условии, что
неоднозначность пеленгования правильно разрешена, и вероятностью пра-
вильного разрешения неоднозначности. В этом подразделе оценивается по-
тенциальная точность пеленгования при условии, что неоднозначность изме-
рений устранена. Разрешение неоднозначности исследуется ниже.
Под потенциальной понимается точность, которая определяется внутрен-
ними шумами приемных устройств и искажениями фазового фронта радио-
волн на трассе распространения. Эта точность является предельной для фа-
зового пеленгатора при данных условиях приема.
Как указано в подразделе 1.1, существуют два подхода к построению
многобазовых фазовых пеленгаторов. В первом из них точный отсчет пеленга
производится по самой большой базе, а все остальные служат только для
устранения неоднозначности измерений. Структурная схема подобного пе-
ленгатора дана на рис. 1.1.5. Часть информации о пеленге, содержащаяся в
разности фаз на меньших базах, при этом теряется. Другой подход заключа-
ется в получении статистической оценки по совокупности фазовых измере-
ний. Этот подход рассмотрен в ряде работ: [22-26, 74-78]. Однако ошибки
фазовых измерений на разных базах обычно считаются независимыми. Кор-
реляция ошибок в двухбазовых пеленгаторах учтена в [39], а в случае произ-
вольного количества баз — в [22, 79].
Для получения статистической оценки пеленга используем метод макси-
мального правдоподобия. Рассмотрим n-базовый фазовый пеленгатор с
произвольным п. Полная разность фаз сигналов на г-й базе
Ф,; =<pi+‘2itki = 2л^-г;+6(> (3.2.1)
где <р, — измеренная разность фаз, -л < <р; < л; 6, — ошибка измерений.
Будем считать, что ошибки измерений 6,-, i = 1, 2,..., п,— случайные вели-
чины с нулевыми средними значениями, совокупность которых подчиняется
нормальному закону распределения вероятностей с известной корреляцион-
ной матрицей В,р. Тогда плотность распределения вероятностей измеренных
разностей фаз <р,, i = 1,2,..., п, выражается формулой:
53
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Wn (ф/г) = -======= х
7(27г)паегвф
' ехр|- (ф + 2лй - 2лпа.г)т В^ф + 2лк - 2лпа.у)|, (3.2.2)
где ф = (ф),...,ф(г)1 —вектор измерений; к = (к;,...,к,х)т — вектор однознач-
ности; -п,. = (пХ1.пт)Т — вектор относительных баз; nxi = IJk; буква «Т»
означает транспонирование.
Рассматривая (3.2.2) как функцию правдоподобия параметра v, составим
уравнение правдоподобия
7—W (ф/п) = 0.
(V
Решая данное уравнение относительно v, получим:
«* = -^фТ(ф + 2лк*) (3.2.3)
2л у '
где ф — вектор-столбец измеренных разностей фаз в радианах,
-г , ч «X1
Ч =(%....<7п) = ~Т—у— — (3.2.4)
п,Вф*пх
вектор весов.
Формула (3.2.3) определяет алгоритм получения максимально правдопо-
добной оценки пеленга. Это суммирование полных разностей фаз (j-p, + 2лк*)
с весами (3.2.4), зависящими от структуры антенной системы и корреляци-
онной матрицы ошибок измерений:
= + 2яК). (3.2.5)
»=1
Вычисление оценки v* требует предварительного нахождения вектора
неоднозначности к* с координатами к* такого, что подстановка (3.2.3) в
функцию правдоподобия обеспечивает получение ее главного максимума.
Рассмотрению данного вопроса посвящен подраздел 3.6.
Если ошибки фазовых измерений независимы, а их дисперсии равны ст".,
формула (3.2.5) приобретает вид:
* (ф; + 2лк; )пХ! / JL, nxi
y =L---------Э’------/2я2- (3.2.6)
t=l I Г1 \ Фг
Так как (<pi+2itki)/2imJ.i — оценка синуса пеленга по г-й базе, а оф / (2лпа.})“
— дисперсия этой оценки, то (3.2.6) представляет собой обычную процедуру
обработки неравноточных измерений при независимых нормальных ошиб-
ках [80].
54
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
По существу формулы (3.2.3) и (3.2.6) дают оценку среднего значения нор-
мального распределения. Эта оценка несмещенная и эффективная [37].
Ее дисперсию находим из (3.2.3),
ст«- = И2йтв-1й = ЕЕ9’ & Ь* , (3.2.7)
(2 л) пх Оф пх i=i fc=i
где bik — элементы корреляционной матрицы фазовых ошибок Вф.
В частности, если фазовые ошибки в каналах пеленгатора независимы и
имеют равные дисперсии, то
г _ 1 ст<р
'v* (ъ п
(2л)
1=1
(3.2.8)
При выводе формул (3.2.7), (3.2.8) считалось, что количество полных
периодов разностей фаз на каждой базе fc, точно известно. Поэтому полу-
ченные выражения представляют условную дисперсию оценки синуса пе-
ленга при условии правильного устранения неоднозначности.
Предположим теперь, что антенная система фазового пеленгатора —
экивидистантная решетка с четным количеством элементов N, на которой
образовано n = N/2 «параллельных» фазометрических баз, как показано на
рис. 1.1.5, так что
nxi = «хЛ2* “ 1)- (3-2.9)
Предположим также, что фазовые ошибки обусловлены только собствен-
ными шумами приемников, независимыми от канала к каналу и имеющими
равные мощности, так что в соответствии с формулой (2.1.12) при «мгновен-
ном» отсчете можно положить
= ст2 = рш/рс , i = I, 2,..., N, (3.2.10)
где Рс, Рш — мощности сигнала и шума на входе каждого из каналов.
Подставляя соотношения (3.2.9) и (3.2.10) в (3.2.8), получим
2 1 3
= 77^2-Р------7^-----Г" - (3-2.11)
(2л) -1) п
Так как n = N/2, формула (3.2.11) совпадает с выражением для предель-
ной дисперсии пеленгования антенной решеткой (3.1.6), полученной Брен-
наном.
Таким образом, при независимых шумах в приемных каналах фазовый
пеленгатор с «параллельными» базами полностью реализует потенциаль-
ные возможности антенной системы. Оценим его потенциальную точность
при коррелированных флуктуациях сигналов.
Предположим, что входной сигнал на каждой из антенн представляет
собой аддитивную смесь детерминированного колебания вида (2.3.2) (регу-
лярная составляющая) и стационарного нормального узкополосного слу-
чайного процесса, который в свою очередь является суперпозицией двух
55
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
независимых нормальных процессов: внутренних шумов приемных устройств
и флуктуаций сигнала up(t,x) вида (2.3.3), обусловленных неоднород-
ностью среды распространения радиоволн (рассеянная составляющая). Запи-
шем в комплексной форме случайную составляющую входного сигнала:
йсл(Е х) = «ul(t. + “р(Е а,’).
Предположим, что рассеянная составляющая стационарна по простран-
ственной координате х, а ее угловой энергетический спектр симметричен
относительно угла прихода регулярного сигнала. Тогда на основании (2.3.13)
пространственную корреляционную функцию процесса йр(г, х) можно за-
писать в виде
Вг(() = 2<7pPr(Z)expp27iy-sin (хор (3.2.12)
где <х(1 — угол прихода регулярной волны.
Взаимную (пространственную) корреляционную функцию шумов, приве-
денных ко входу в г'-м и j-м каналах, запишем в виде:
(3.2.13)
где Иц, — мощность шумов в каждом канале; — символ Кронекера.
Для расчета потенциальной точности пеленгования и вектора весов (3.2.4)
необходимо знать элементы корреляционной матрицы разности фаз Вф.
Найдем их, считая, что при большом отношении мощности регулярного сиг-
нала к суммарной мощности флуктуаций фазовые погрешности, вызванные
шумами и рассеянной компонентой сигнала, суммируются
Зф = &Рш + бфр.
где Sip — результирующая фазовая погрешность; бср,,,, 6<рр — составляющие
погрешности, вызванные шумами и пространственными флуктуациями сиг-
нала соответственно.
Используя далее определение элемента корреляционной матрицы Вф
= т1 {(б<р, - й<р; )(6<р., - й<р'.)},
где 6<р,,6(р' —флуктуации фазы сигнала на антеннах А,, А] (см. рис. 1.1.5),
получаем [81]
где h = Пр/гТщ , q = ), предполагается, что q > (2-3).
Используя формулу (3.2.14), можно рассчитывать вектор весов (3.2.4) и
дисперсию максимально правдоподобной оценки (3.2.7).
Сравнение дисперсии оценки v*, полученной фазовым методом при усло-
вии, что антенная система пеленгатора — эквидистантная решетка, с
дисперсией эффективной оценки v* по совокупности сигналов, принятых этой
решеткой, показывает, что для широкого диапазона изменения параметров
сигнала первая превышает вторую не более чем на 6 %.
Таким образом, алгоритм оценки пеленга (3.2.3) практически полностью
56
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
реализует потенциальные возможности антенной решетки, если источника-
ми ошибок являются внутренние шумы аппаратуры и флуктуации фазового
фронта радиоволн.
3.3. Влияние структуры антенной системы
на точность пеленгования
Максимально правдоподобная оценка пеленга (3.2.3) представляет собой
результат совместной обработки разностей фаз, измеренных на всех базах
пеленгатора. Однако на точность пеленгования влияют в основном большие
базы. Рассмотрим, как изменяется дисперсия (3.2.7) при исключении из
антенной системы части элементов, расположенных ближе к центру. Схема-
тически несколько таких антенных систем изображено на рис. 3.3.1. Способ
подключения фазометров по-прежнему считаем симметричным.
Рис. 3.3.1. Антенные системы фазового пеленгатора
На рис. 3.3.2 приведены результаты расчетов дисперсии (3.2.7) в функции
от числа пар антенн п. Элементы корреляционной матрицы Вф рассчитаны
по формуле (3.2.14). Из графиков видно, что влияние структуры антенной
решетки на точность пеленгования существенно зависит от отношения мощ-
ности рассеянной составляющей сигнала к мощности собственного шума при-
емника h = Ор/стщ . При h > 1 две-три пары антенн, расположенных по кра-
ям апертуры L < 21д, обеспечивают почти такую же точность, как и «полная»
решетка данного размера.
Чем меньше h, тем заметнее увеличивается дисперсия оценки при умень-
шении числа пар антенн. В крайнем случае, при h = 0 она рассчитывается по
формуле (3.2.8). Используем эту формулу для вычисления отношения дис-
персии оценки синуса пеленга о^.п, когда эквидистантная антенная решетка
состоит из 2п элементов, к дисперсии , имеющей место, когда в антен-
ной системе осталось 21 элементов. Получим
57
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
ст2.п I f 8n2 - 12nZ + 4Z2'
у n = — 1ч-------------------------------
ст2.г Ц 4n2-l
1 < I < п.
Рис. 3.3.2 Зависимость дисперсии синуса пеленга
от количества пар антенн: = X, l0 = 15Х, q = 5
Как частный случай при I = 1, п -» а> получаем 2 ~
ст„.1 п
Это соотношение характеризует предельное увеличение точности
пеленгования n-базовым пеленгатором (n>> 1) по сравнению с простейшим
однобазовым, имеющим такой же разнос антенн. Одновременно оно характе-
ризует выигрыш в точности при использовании правила (3.2.3) по сравнению
с традиционным алгоритмом обработки сигналов в фазовых пеленгаторах.
Как видим, выигрыш может быть значительным.
3.4. Влияние априорной неопределенности
на точность пеленгования и вопросы адаптации
пеленгаторов к статистическим параметрам сигналов
Оценка пеленга по формуле (3.2.5) обеспечивает наивысшую точность
только тогда, когда входящие в нее коэффициенты (3.2.4) соответствуют
статистическим характеристикам принимаемых сигналов: интервалу про-
странственной корреляции 10, отношению мощности регулярной составляю-
щей сигнала к суммарной мощности флуктуаций q = 0,5 Ug/(о2 + Ощ ) и от-
ношению мощности рассеянной компоненты сигнала к мощности внутреннего
шума h = CT2/a^. Указанные характеристики непостоянны, так как они
зависят от типа трассы, мощности передатчика, метеоусловий и других
факторов. Таким образом, в рамках принятой модели искажений сигналов на
58
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
трассе распространения статистический синтез пеленгаторов относится к
классу задач с параметрической априорной неопределенностью [82].
Исходя из вышесказанного, можно рассматривать два варианта построе-
ния пеленгатора.
1. Адаптивная система, предполагающая наличие автоматического уст-
ройства измерения текущих значений параметров модели сигнала, которые
затем используются для расчетов коэффициентов q,. Этот вариант в прин-
ципе реализуем, однако значительное усложнение аппаратуры (по сравне-
нию с обычным пеленгатором) намного уменьшает его преимущества.
2. Пеленгатор, реализующий алгоритм (3.2.5) при фиксированных коэффи-
циентах q,, рассчитанных по некоторой априорной корреляционной матрице
ВА, элементы которой соответствуют конкретным значениям параметров мо-
дели сигнала qA, l0A, hA. Дисперсия оценки синуса пеленга в этом случае
равна
9 ( 1 А2 пГвА ВтВАпх
<&А = — Ф , , (3.4.1)
W (пХпх)2
где Вф — корреляционная матрица разностей фаз фактически действующих
входных сигналов. Из этого выражения видно, что дисперсия равна нижней
границе (3.2.7), если ВА = Вф.
Формула (3.4.1) может быть использована для оптимизации пеленгатора
по критерию минимума среднего квадрата ошибки, если q, lQ, h — случай-
ные величины с известной совместной плотностью распределения вероятно-
стей W(h, q, Zo). Математически задача сводится к отысканию значений qA,
l0A, hA, минимизирующих интеграл
^2v.A(hA,lOA,qA,h,l0,q)W(h,l0,q)dhdl0dq t
h Q
где a^»A определяется формулой (3.4.1).
Плотность распределения W(Zi, l0, q) зависит от технических характерис-
тик пеленгатора, условий его применения и априори неизвестна. Поэтому
для сравнения указанных вариантов построения пеленгатора ограничимся
анализом отношения дисперсий (3.4.1) и (3.2.7),
_ М* ВФВА йх)(^хВ<р
2 ~ -------<2------' (ОЛ.Л)
(пТхВА1пх)
Предположим, что фазометрические базы образованы параллельно
(рис. 3.5.1,а). Тогда элементы матриц ВЛ, Вф определяются формулой (3.2.14)
при подстановке в нее принятых априори или истинных параметров сигна-
лов. Нетрудно видеть, что при подстановке матриц в формулу (3.4.2) коэф-
фициенты q, qA сокращаются. Это означает, что алгоритм оптимальной об-
работки не зависит от отношения мощности регулярной составляющей сигнала
к суммарной мощности флуктуаций и следует рассматривать оптимизацию
обработки только по параметрам 10 и h.
Вычисления проведены в цифровой форме с помощью ЭВМ. Принята сле-
дующая методика расчетов. Берется по одному значению каждого параметра
59
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
из областей их возможных значений: h е (0; 0,01; 0,1; 1; 10; 100); Zo/A е (3; 6;
9; 21; 33; 66; 99), и по ним вычисляется матрица Вл, определяющая вектор
весов. На основании других значений параметров, взятых из этих же облас-
тей, вычисляется матрица Вф и подсчитывается отношение (3.4.2). Затем для
следующих значений параметров вычисляется новая матрица Вф, и эта про-
цедура повторяется до тех пор, пока не будут перебраны все значения
параметров. После чего меняется матрица ВА, и процесс вычислений повто-
ряется. Анализ отношения (3.4.2) проводился для шестибазового пеленгатора
с эквидистантной антенной решеткой, 1п/Х = 33.
На рис. 3.4.1 представлены типовые результаты расчетов отношения (3.4.2)
при согласовании аппаратуры и сигнала по параметру 10 и рассогласовании
по параметру h. Как следует из графиков, рассогласование по параметру 7i
может привести к увеличению дисперсии до двух раз по сравнению с
потенциально достижимой. Однако при выборе hA = 1 это увеличение
не превышает 9,8 % (имеет место при lA = l0 = 2Zn, 1п — максимальная база).
Рис. 3.4.1. Отношение дисперсии синуса пеленга
к потенциально достижимой: ln = ЗЗА; 1оЛ = 10
На рис. 3.4.2 представлены некоторые результаты расчетов отношения
(3.4.2) при согласовании аппаратуры и сигнала по параметру h и рассогла-
совании по параметру 10. Как видно из графиков, рассогласование по пара-
метру 10 приводит к увеличению дисперсии синуса пеленга не более чем на
30% по отношению к минимальной. Если же исключить из рассмотре-
ния случай Zo = ЗА, вероятность которого мала (см. раздел 2), то выбор
Z0A — 0,27Zn теоретически обеспечивает получение дисперсии пеленга, пре-
восходящей предельно малую не более чем на 2,5 %.
Отношение (3.4.2) позволяет подойти к оптимизации пеленгатора при
отсутствии сведений о распределении Zo, h по принципу минимакса [82].
На рис. 3.4.3 представлены максимальные значения отношения (3.4.2), по-
лученные при фиксированных l0A, hA и изменении Zo, h в диапазоне значе-
ний, оговоренных выше. Как следует из графиков, настройка устройства
60
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
обработки на hA = 1, 1$ = 0,27ln теоретически обеспечивает пеленгование с
дисперсией, превышающей предельно малую не более чем на 7,5%.
Рис. 3.4.2. Отношение дисперсии синуса пеленга
к потенциально достижимой: п = 6; 1п = 337.
Изложенные результаты позволяют сделать следующие выводы.
В рамках принятой модели сигнала адаптивный подход к построению
многобазовых фазовых пеленгаторов нерационален, так как не дает суще-
ственного выигрыша по точности перед алгоритмом (3.2.3) при соответству-
Рис. 3.4.3. Максимальное значение отношения дисперсии синуса пеленга
к потенциально достижимой при изменении l0, h : п = 6; 1п = 337.
61
Б.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Принцип минимакса позволяет определять параметры системы обработ-
ки разностей фаз hA, 1М и вектор весов q (3.2.4) по заданным границам
изменения параметров сигнала l0, h, зависящим от условий применения
пеленгатора.
3.5. Влияние способа образования фазометрических баз
на точность пеленгования
Предположим, что антенная система фазового пеленгатора представляет
собой произвольную линейную решетку из N элементов. Рассмотрим, как
условная дисперсия синуса пеленга (3.2.7) зависит от способа подключе-
ния фазометров к приемно-усилительным трактам, то есть от способа орга-
низации на антенной решетке фазометрических баз. При рассмотрении дан-
ной задачи принципиальное значение имеет, что является источником
фазовых погрешностей. Возможны два крайних случая.
1. Фазовые погрешности возникают в измерительных устройствах (фазо-
метрах) и независимы от одного измерителя к другому.
2. Фазовые погрешности возникают в приемно-усилительных трактах или
в среде распространения радиоволн. Погрешности измерений оказываются
взаимно зависимыми, если к одному и тому же приемнику подключены вхо-
ды двух или более фазометров.
В первом случае любое увеличение числа фазометров приводит к повы-
шению точности измерений. Если дисперсия погрешности каждого из фазо-
метров равна аф, для дисперсии справедлива формула (3.2.8) при лю-
бом числе измерений п.
Во втором случае не имеет смысла увеличивать число независимых из-
мерителей более чем до (IV-1), ибо любая другая разность фаз между
выходами N приемных каналов может быть получена путем линейной ком-
бинации измеренных.
Покажем, что в этом случае дисперсия (3.2.7) не зависит от способа фор-
мирования (N - 1) линейно независимых баз на решетке из N элементов [83].
Линейная независимость баз понимается в следующем смысле. Пусть база Ц
образована как разность координат хт и хп элементов антенной решетки
Ат и Ап (рис. 3.5.1). Базы линейно независимы, если ни одна из них не может
быть получена линейной комбинацией других. Система из (IV -1) баз явля-
ется полной в том смысле, что добавление еще хотя бы одной делает ее
линейно зависимой.
Пусть каким-либо образом сформировано (IV-1) линейно независимых баз.
Соответствующий вектор баз обозначим 1в. Данному способу формирования
баз соответствует вектор фазовых ошибок 8В = (8Х, S2>--,3W_ j) с корреляци-
онной матрицей Вфв. В рассматриваемом случае компоненты этого вектора
8/ — фазовые погрешности на г-й базе — представляют собой разности
фазовых погрешностей, возникающих на трассе распространения радиоволн
либо в приемно-усилительных каналах 8к:
= б,™ ~ ,
62
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в ввде линейных решеток
где индексы тип относятся к антеннам, образующим базу Другой
вектор (N - 1) линейно независимых баз обозначим , соответствующий
вектор ошибок — <5б, а корреляционную матрицу — Вф6. Так как коорди-
наты векторов линейно независимы, существует такая невырожденная
матрица А размерами (N- 1)х(Лт- 1), что [84]
Так как матрица А невырожденная, она имеет обратную А-1. Любая коор-
дината векторов и представляет собой сумму расстояний между эле-
ментами антенной решётки, взятых в определенной комбинации. Поэтому
матрицы А, А-1 состоят из нулей и единиц с различными знаками. Напри-
мер, если вектору соответствует рис. 3.5.1,б, а вектору — рис.3.5.1,в, то
1 0 0 0 ••• 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 ••• 0 -1 1 0 ••• 0 0
А = 1 1 1 0 0 , А 1 = 0-11 — 0 0 . (3.5.1)
1111-1 0 0 0 - -1 1
Используя А, А \ получаем
=(аг)-1Вф’аЛ (3.5.2)
^в^-^вД, (3.5.3)
Учитывая соотношение (3.2.7), видим, что дисперсии ошибок в рассматри-
ваемых случаях равны.
а
б
Рис. 3.5.1. Способы образования фазометрических баз
Существенно, что этот вывод сделан без каких-либо ограничений на
корреляционную функцию разностей фаз. Поэтому он справедлив как при
63
Б.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
оценке влияния внутренних шумов и рассеянного сигнала, так и случайных
фазовых ошибок в приемно-усилительных каналах, если оценка пеленга
производится с помощью формулы (3.2.3).
Покажем, что, если источником погрешности измерений являются внут-
ренние шумы, независимые от канала к каналу, дисперсия (3.2.7) совпадает с
(3.1.9), рассчитанной для оптимальной обработки совокупности сигналов.
Для вычисления примем схему рис. 3.5.1,6. Соответствующий пеленгатор
будем в дальнейшем называть фазовым пеленгатором с опорной антенной.
Предположим, что дисперсия каждой из измеряемых разностей фаз рав-
на предельно малой при полном использовании энергии сигнала, принимае-
мого на фоне белого шума, о^, = No/E. Перепишем формулу (3.2.7) в виде
2 Г х У n0 1
CTv*-l2nJ Е FR'1!’
где R”1 — матрица, обратная нормированной корреляционной.
Сравнивая формулы (3.1.9) и (3.5.4), видим, что соотношение дисперсий
для пеленгатора с оптимальной обработкой сигналов и фазового пелен-
гатора зависит от величин 2I$.KN и ITR“1Z . Значение 4к определяется фор-
мулой (3.1.10).
Условимся отсчитывать координаты х, на рис. 3.5.1,б от крайней левой
антенны. Тогда величина 2I%,KN может быть представлена в виде,
(3.5.4)
1 (N~i
N-l
2Ь’Л = 2 2>2
= 2хтВгх,
где х — вектор-столбец координат элементов решетки, Вг — матрица раз-
мерами (IV-l)x(]V-1), диагональные элементы которой равны (1-.1/JV), а
остальные (-1/1V).
Вектор баз фазового пеленгатора с опорной антенной совпадает с х, а
нормированная корреляционная матрица фазовых ошибок имеет вид
а
Ь
а
Ъ
Ъ
Ъ
Ъ
где а = 1, Ь = 0,5.
(3.5.5)
Ъ Ь Ь
а
Матрица, обратная (3.5.5), вычислена в монографии [85]:
А В В
В А В
В В В
В
В
А
где А = 2(1- 1/N), В = -2/N. (3.5.6)
Как видим, R^ = 2ВГ и, следовательно, с учетом того, что = х, 2L2CKN =
= что и доказывает равенство условных дисперсий ошибок для
64
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в вцде линейных решеток
фазового пеленгатора, имеющего (Л' - 1) линейно независимых баз на
антенной решетке из N элементов, и пеленгатора с максимально правдо-
подобной обработкой сигналов, принятых этой решеткой.
Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда антенная сис-
тема пеленгатора симметрична и на ней образовано Л’/2 фазометрических
баз, как показано на рис. 3.5.1,а (такой способ образования баз использовался
в подразд. 3.2-3.4 и известен как параллельный).
Действительно, поместим начало отсчета координат х, элементов решет-
ки в ее центр симметрии. Тогда, используя (3.1.10), получим
V-1
2I£n = 2У х?
i-Л
Матрица R^1 в этом случае единичная, и
Л//2 N/2 N/2
j ~ У, (Х1 - X.y-i+l) ~ У - , X* xN-i+l •
. 1 I I 11
Находя разницу
д = 2Ь^-Ггкф1*.
получаем, что
N / 2
А = У (а:> + xN- i±i )2 - ° .
»=1
причем Д = 0 только в том случае, если xi = -xA,_i+1, i = 1, 2,.... N/2, то есть
когда антенная система симметричная.
Полученный результат объясняется тем, что при сделанных предполо-
жениях сумма д - У (<р, -2ттГ1у) является достаточной статистикой
i
параметра v при его оценке по совокупности начальных фаз сигналов, при-
нимаемых всеми элементами антенной решетки. Действительно, обозначая
начальные фазы на антеннах Ай символами у.,, у’-, i= 1,2, ...,N/2, а на-
чальную фазу сигнала в центре симметрии решетки у, А-мерную плотность
распределения начальных фаз сигналов Wiy (ч'/у) представим в виде
wn (ф/т) = А: ехр-
~ X (<Р/ ~ 2ттЛ,г)2
х ехр
(М'(-Y)2+(М<-У)2 -•
Так как в правой части данной формулы от v зависит только первая
экспонента, аргумент этой экспоненты является достаточной статистикой
параметра v [37].
Дадим физическое объяснение данному результату. Рассмотрим четы-
рехантенный пеленгатор с антенной системой рис. 3.5.2.
65
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Рис. 3.5.2. Совокупность разностей фаз
между элементами антенной системы
При параллельном способе образования баз измеряются разности фаз <р4
и ф2. Вклад в оценку v (3.2.5) разностей фаз <р3 и <р4 представим в виде
и = q (<p3Z + <p4Z) = q Z (<р2 - <рг) ,
где q — постоянный коэффициент.
Отсюда следует, что измерение <р4 и <р2 является достаточным для оцен-
ки вклада <р3 и <р4. Данный вывод можно распространить на ZV-элементную
решетку, где N — любое четное число.
3.6. Максимально правдоподобное устранение
неоднозначности фазовых измерений
В подразделе 1.1 рассмотрен метод последовательного устранения нео-
днозначности фазовых измерений от одной базы к другой. Характерной осо-
бенностью метода является определение полного числа периодов разности
фаз на г-й базе только по результатам измерений на (г - 1)-й и г-й базах.
Результаты остальных измерений на данном шаге последовательного устра-
нения неоднозначности не используются.
В данном подразделе рассматривается принципиально другой подход.
Его особенностью является использование измерений на всех базах для
определения целого числа периодов разности фаз на каждой базе. В резуль-
тате находится вектор неоднозначности
к = (k1,k2,...,kn)T,
где kt- — число полных периодов разности фаз на г-й базе, г= 1,2,..., п.
В основу указанного подхода положен принцип максимального правдопо-
добия. Исходной позицией здесь является функция правдоподобия (3.2.2), в
которую входит совокупность всех измеренных разностей фаз ф;. В решение
уравнения правдоподобия входит целочисленный вектор неоднозначности к.
Каждое из возможных значений к соответствует максимуму функции прав-
доподобия (3.2.2). Задача заключается в отыскании такого целочисленного
вектора к, который соответствует главному максимуму. В формуле (3.2.3)
это значение вектора неоднозначности обозначается к*. Сохраним это обо-
значение и в дальнейшем.
66
3. Статистичес кая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в ваде линейных решеток
Поскольку вектор к* целочисленный, отыскание его по правилам на-
хождения максимумов непрерывных функций невозможно. Один из способов
отыскания к~ заключается в подстановке в функцию правдоподобия (3.2.2)
решений (3.2.3), в которых вектор к* принимает последовательно каждое из
возможных значений, и в сравнении полученных результатов. Однако эта
процедура при большом числе баз п приводит к очень объемным вычисле-
ниям, ибо число возможных значений векторов к велико. Покажем, что су-
ществуют более простые в вычислительном отношении способы отыскания fc*.
Для удобства дальнейших выкладок условимся нормировать все измерен-
ные разности фаз <р, к 2 л. Тогда полная разность фаз на г-й базе Ф; пред-
ставляется в виде
где к{ — целое число периодов разности фаз, утраченных при измерении,
k(=[Oj+0,5], если Ф,-положительное число, 1с^=[Ф^—0,5], если Ф4 отрицатель-
ное число, [ ] означает выделение целой части; <р; — разность фаз, измерен-
ная t-м измерителем, <р, = {Ф, + 0,5} — 0,5, { } означает выделение дробной
части, —0,5 < <р, < 0,5.
Будем считать, что каждая из относительных баз = IJk превосходит
0,5, то есть, что каждое измерение разности фаз может быть неоднозначным.
Фазовые погрешности 5, по-прежнему считаем нормальными случайными
величинами с нулевыми средними значениями и известной корреляционной
матрицей Вф. Тогда функцию правдоподобия (3.2.2) можно переписать в виде
n.v
(3.6.2)
а решение уравнения правдоподобия (3.2.3) — в виде
njB^1 (ф + к*)
(3.6.3)
Рассмотрим сначала простейший случай. Предположим, что фазовые по-
грешности взаимно независимы, а их дисперсии равны . Тогда функцию
правдоподобия (3.6.2) можно записать так:
n-i:
(3.6.4)
W„ (ф/и) = кехр- —~у (ф + к- nxv
Решение уравнения правдоподобия (3.6.4) в векторной форме выражается
формулой
, (<р +
v ~ -т -
п~п.
(3.6.5)
Как видно из формулы (3.6.5), оценка v* с точностью до сомножителя
1/пх, где пх =(^’пь) — модуль вектора пЛ., находится как проекция
вектора полных разностей фаз (ф + к*) на вектор относительных баз пд. в
67
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
•n-мерном пространстве полных разностей фаз. Используем это обстоятель-
ство для представления функции правдоподобия (3.6.4) в виде произведения
двух сомножителей, один из которых определяет положение ее максиму-
мов, соответствующих определенным векторам неоднозначности к, а дру-
гой — величину этих максимумов. С этой целью вектор 8 = (ф + к - п в
показателе экспоненты (3.6.4) разложим на две составляющие, одна из кото-
рых £ совпадает по направлению с пг , а другая £н — нормальна к тц,.
Квадратичная форма в показателе экспоненты (3.6.4) примет вид
чТ (
ф + к-пт1’1 (ф + к
|ф + kl П;.
= ——:-----: ;----Й.,.Г
(3.6.6)
где
- ..J-
G = - (3.6.7)
ц г п г
квадратная матрица размером пхп, ортогональная по отношению к векто-
ру , Gnx = 0; Е — единичная матрица.
Из формулы (3.6.7) следует, что элементы матрицы G равны
9i, = п2х- , вц = -nxinrj, i* j.
Нетрудно показать, что ее угловые миноры могут быть вычислены по
формулам
= п* - «xi > Dk = п* 2 Н " ~ - ~ - 2 < к < п •
Отсюда следует, что Dk О, к < п, D„ = 0, то есть ранг матрицы G равен
п - 1.
Функция правдоподобия (3.6.4) запишется в виде
(ФЛО = fcexP
(3.6.8)
Первый из экспоненциальных сомножителей формулы (3.6.8) определяет
положение максимумов функции правдоподобия. Он обращается в единицу
во всех точках w; = (ф + k,) n.,. /п2 , где к, — вектор из совокупности воз-
можных значений векторов неоднозначности {к,} при данном пд.. Методика
определения совокупности {к,} предложена В.И. Беловым в работе [29].
68
3. Статистическая оптимизации фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
Второй экспоненциальный сомножитель определяет величину максиму-
мов. Поскольку (ф + k) б(ф + к) —квадрат модуля нормальной по отноше-
нию к п,. составляющей полной разности фаз, максимально правдоподобная
оценка v* соответствует такому вектору к*, при котором «конец» векто-
ра ф + к* наиболее близко расположен к вектору пй. Если фазовые ошиб-
ки отсутствуют, то в соответствии с формулой (3.6.1) имеется такой вектор
Ф + к* , который совпадает по направлению с пт , ф + k = nxv. Для него вто-
рой экспоненциальный сомножитель в (3.6.8) достигает максимального значе-
ния, равного единице, так как (ф + kj G^p + k) = 0.
По существу формула (3.6.8) получена из (3.6.4) путем ортогонального пре-
образования переменных, соответствующего повороту осей координат так,
чтобы одна из них совпала с п,.. Ортогональную матрицу преобразования
размерами пхп обозначим А. Запишем
Аф =
( Фо
Ак =
ко '
knpi
^Фпр(п-1) ,
L-
(""npfil-l) У
где <р0, к(, — составляющие ф, к, ориентированные вдоль вектора пА.,
<р„р1, .... <pnp(r„ j), ктар1, ..., knp^-D — проекции этих векторов на оси, ортогональ-
ные по отношению к пг .
Элементы аг. матрицы А равны [86]:
«-I
К.
k-1
12
fc=l
(3.6.9)
йу = 0, 3 < i < n, j < i - 2.
3 < i < n, i < j <n.
Поскольку матрица А ортогональная, якобиан преобразования перемен-
ных функции правдоподобия равен единице [37] и ее можно записать в виде
60
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
(ф/r) = кехр-
- (1Р« + ~гтУ ’х
хехр<
(3.6.10)
где knpi — проекция вектора к на соответствующую координатную ось.
Произведя перемножение Ак, находим
(3.6.11)
Простым перемножением убеждаемся, что
оХ1Л-1,л = G , (3.6.12)
где А,,., „ — матрица А размерами пхп без первой строки; матрица G
размерами п*п определяется формулой (3.6.7).
Рассмотрим частный случай. Пусть п = 2, n.t. = (п,.;, п.г2 )Т . Функция прав-
доподобия (3.6.8) запишется в виде
-^Фнк
2п“
W, (ф/и) = к ехр-
Дг(Ф0 -vnrf
2%
ехр-
(3.6.13)
(<р, + к, )-п,., (<р-, +к.,)п„.>
где Фо= —------12 — проекция вектора <р + ф на пг.;
nr п.(.
, , (ф| +k,)nTo (ср, + к>) пг1
fc1; к, — координаты вектора к; Фн = --------—- + —=------—— — проек-
пх пх
ция вектора ф + к на нормаль к пт.
На рис. 3.6.1 приведен пример. Функция правдоподобия W2 (ф/«) развер-
нута вдоль вектора nv для двухбазового пеленгатора с г!,. = (2;3)Т. На ри-
сунке показано, что максимумы функции правдоподобия находятся в точках
проекций на п* векторов ф + к, причем максимум максиморум находится
в точке ф+(0;0)т.
Таким образом, мы показали для частного случая, когда фазовые погреш-
ности независимы и имеют равные дисперсии, что процесс максимально прав-
доподобного устранения неоднозначности измерений предшествует вычисле-
нию оценки v* по формуле (3.6.3) и заключается в минимизации квадратичной
70
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
формы в показателе степени второго экспоненциального сомножителя в
формуле (3.6.8). Соответствующий алгоритм можно записать следующим
образом:
k* = a rg min (ф + к,-) G (<р + к,) (3.6.14)
где матрица G определяется формулой (3.6.7).
Отметим, что в отличие от последовательного устранения неоднозначно-
сти каждая из координат вектора к* зависит от совокупности всех изме-
ренных разностей фаз ср.
Рис. 3.6.1. Геометрические построения в пространстве
полных разностей фаз
Распространим теперь алгоритм (3.6.14) на случай общего вида матрицы Вф.
Квадратичная форма в показателе степени функции правдоподобия (3.6.2)
достигает экстремальных значений в точках vit определяемых формулой (3.6.3).
Подставив в указанную квадратичную форму (3.6.3), получим
где
ВуЧ-ПгВф
П.тВф пг
(3.6.16)
71
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Таким образом, сравнение экстремальных значений функции правдопо-
добия свелось к сравнению квадратичных форм вида правой части формулы
(3.6.15). Алгоритм максимального правдоподобного устранения неоднозначно-
сти можно в общем случае представить формулой (3.6.14), где матрица G
определяется формулой (3.6.16). Легко видеть, что матрица G (3.6.7) являет-
ся частным случаем (3.6.16) при В,р = ст(рЕ, где Е — единичная матрица.
Из формулы (3.6.3) следует, что в общем случае оценка v* находится
не как проекция вектора полных разностей фаз ф на вектор относитель-
ных баз пл., как это имеет место при В(р = п'Е, а как проекция ф на век-
тор В^п.... Это правило выполняется с точностью до постоянного коэффици-
ента при данных пт и Вфг. Тем не менее квадратичную форму (3.6.15),
нижняя граница которой соответствует максимально правдоподобному век-
тору к, можно рассматривать как квадрат проекции вектора полных разно-
стей фаз на (л - 1)-мерное подпространство пространства полных разностей
фаз, ортогональное по отношению к вектору пт Действительно, простым
перемножением убеждаемся, что матрица G (3.6.16) ортогональна по отно-
шению к вектору и,.: GriT - 0 •
Матрица G (3.6.16) так же, как и ее частный случай (3.6.7), имеет ранг
(п - 1). Действительно, введем в рассмотрение неособенную матрицу Bj,2
размерами (n~ l)x(n~ 1), такую, что
Вф^В^Вф2 = Е , (3.6.17)
где Е — единичная матрица.
Такие матрицы известны и используются для приведения нормального
распределения вероятностей общего вида к канонической форме [87].
Преобразование B!p2GBjp* приводит матрицу G (3.6.16) к виду (3.6.7), где
вектор ?i4. заменен на B'1,2nT • Поскольку матрица (3.6.7) имеет ранг (п - 1),
как показано выше, а матрица В*;2 неособенная, матрица G (3.6.16) также
имеет ранг (-п-1) [88].
Соотношение (3.6.17) использовано И.Г. Неплоховым [89] для приведения
функции правдоподобия (3.6.2) к виду канонического нормального распреде-
ления вероятностей и последующего раскрытия неоднозначности фазовых
измерений по методике, разработанной для этого случая.
Получение оценки v* как проекции вектора полных разностей фаз (ф + к)
на вектор баз , а устранение неоднозначности как отыскание векто-
ра (ф + к) с минимальной составляющей, ортогональной по отношению к п4.,
можно рассматривать при любом виде матрицы Вф. Для этого скалярное
произведение векторов в пространстве полных разностей фаз надо опреде-
лить как (ф, пг ) = фтВф'пг. Подобную трактовку использовал В.И. Белов в
статье [27].
Отыскание максимально правдоподобного значения вектора неоднознач-
ности к* по правилу (3.6.14) предполагает вычисление квадратичной фор-
мы
72
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в вцде линейных решеток
Пф (kt) = (ф + к; )7 G (<р + к,) (3.6.18)
для каждого вектора из совокупности |к;| и последующее сравнение
результатов. Вычисления могут быть существенно упрощены, если исклю-
чить из формы 11ф (кг j члены, не зависящие от Д', при данной выборке ср.
Производя перемножение в правой части (3.6.18), получаем
Пф (к,j = ф1 Оф + k(-f Gcp + фг Gk, + kj^Gikj.
Отбрасывая член ф'Оф, не зависящий от & , и учитывая, что k^Gcp =
= ф' Gk., получаем следующее правило раскрытия неоднозначности:
к' = arg min Q.. (к.), (3.6.19)
где
<ЭФ (k-) = 2ф7Ск, + k,TGk,-. (3.6.20)
Величина к/ Gk, является константой для данного к. при фиксирован-
ных й... и В?. Обозначим
k/Gk, =d;. (3.6.21)
С учетом этого обозначения формула (3.6.20) запишется в виде
QT (к,-) = 2ф' Gk, + d“. (3.6.22)
Таким образом, мы перешли от сравнения квадратичных форм (3.6.18) к
сравнению билинейных форм (3.6.22).
Из предыдущего изложения следует, что форма Пф (kj (3.6.18) достигает
нижней границы при фиксированных йг и Вф, когда проекции векторов ф
и к на подпространство, ортогональное по отношению к йЛ., равны по мо-
дулю и противоположны по знаку, то есть, когда
фтСф = k,TGk, = -qfGki = d-
Подставляя эти соотношения в Q,p (к,) (3.6.20), получаем нижнюю грани-
цу этой формы
т1<Эф(к;) = -с^, (3.6.23)
где обозначение inf означает «точная нижняя граница».
Билинейная форма (?ф(к,) (3.6.20) и квадратичная форма Пф(к) (3.6.18)
не изменятся, если к вектору к, добавить произвольный вектор, коллине-
арный по отношению к йа., ё = Av й.,.: поскольку матрица G ортогональна
к й,, Ge.,. = 0 . Полученный новый вектор (к, + ёг) может быть вектором
неоднозначности, если вектор с целочисленный. Коэффициент Дтсда, при
котором вектор ё* целочисленный, а его компоненты не имеют общего
73
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
целого делителя (то есть ёг — целочисленный вектор, коллинеарный с
минимальным модулем), представляет собой интервал однозначности фун-
кции правдоподобия (3.6,2) многошкальной системы. Действительно, под-
ставляя в формулу (3.6.3) к = к* +Ди п ., получим, что максимум функ-
ОДН
ции сместился из точки v* в точку v +Дгодн. Аналогичное смещение
претерпевают и другие максимумы функции правдоподобия.
Таким образом, алгоритм (3.6.19) позволяет найти положение главного
максимума функции правдоподобия на интервале однозначности Лиодн> равном
такому числу, на которое надо умножить п^., чтобы получить вектор вза-
имно простых целых чисел.
При однозначном измерении разности фаз в пределах ±л пространство
перед пеленгатором разбивается на угловые секторы однозначности, грани-
цы которых а, = ±arcsin[At’OAU(0,5 +:)], где i принимает значения 0, 1, 2 и т.д.,
пока аргумент функции не достигнет единицы.
Если пЛ. целочисленный вектор, координаты которого не имеют общего
делителя. Аг„.,н = 1, угловой сектор однозначности, симметричный относи-
тельно линии а = 0, равен ±30°.
Для обеспечения однозначной работы в пределах полуплоскости (угловой
сектор однозначности ±90°) должно выполняться соотношение Лг>одн = 2.
Это означает, что среди баз пеленгатора должны быть такие, которые
содержат 0,5/. нечетное количество раз. Иметь малую базу, равную 0,5Х, как
это требуется при последовательном устранении неоднозначности, не обя-
зательно.
3.7. Получение расчетных соотношений ддя вероятности
правильного устранения неоднозначности
Условимся считать, что неоднозначность фазовых измерений устранена
правильно, если истинное значение пеленга лежит в пределах главного
лепестка функции правдоподобия. В противном случае возникает аномально
большая ошибка в измерении пеленга, превышающая половину ширины
главного лепестка функции правдоподобия. Такой подход является обычным
в теории многошкальных фазовых измерений.
Для определения вероятности правильного устранения неоднозначности
Ро вернемся к квадратичной форме пД//,} (3.6.18), задающей значение фун-
кции правдоподобия в точках максимумов:
П,р (к,) = (<р + к{ )Т G (ф + fc,) = <pTG<p + 2(pTGfc, + k^Gkt. (3.7.1)
Предположим, что истинное значение пеленга равно нулю. Тогда измерен-
ные разности фаз по существу представляют собой фазовые погрешности,
возникающие на трассе распространения радиоволн, в приемно-усилитель-
ных трактах и фазометрах: ф, = 8,. Они могут привести к ошибкам в устране-
нии неоднозначности. В соответствии с материалами раздела 2 будем
считать фазовые погрешности нормальными случайными величинами с
74
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в вцде линейных решеток
нулевыми средними значениями. При правильном устранении неоднозначно-
сти к* = 0. В этой точке
П‘Р (Ч К _ А = • (3.7.2)
К — U
Каждый из боковых максимумов функции правдоподобия соответствует
какому-либо вектору кг- *0. Квадратичная форма (3.7.1) содержит слагае-
мое вида (3.7.2), которое не зависит от fc. и поэтому характеризует «друж-
ные» флуктуации главного и боковых максимумов, слагаемое
тр = 8TG к,, (3.7.3)
характеризующее флуктуации боковых максимумов относительно главного,
а также слагаемое
k-rG кл = df, (3.7.4)
характеризующее среднюю разницу между уровнями главного и боковых
максимумов. Величина rft введена ранее формулой (3.6.21). Случайные
величины т|,- (3.7.3) получаются путем линейного преобразования нормаль-
ного случайного вектора ошибок и поэтому распределены нормально.
В силу предположения о нулевом среднем значении фазовых ошибок 6;
математическое ожидание
mjp,} = 0.
Корреляционные моменты
Ъц = тпг {г|г- п /} = k^GB^Gk, = k^Gkj. (3.7.5)
Последнее равенство легко проверить простым перемножением, исполь-
зуя формулу (3.6.16) для матрицы G. Формула (3.7.5) характеризует взаим-
ную корреляцию флуктуаций боковых максимумов функции правдоподобия
относительно главного. Из формулы (3.7.3) следует, что число боковых макси-
мумов функции правдоподобия, флуктуации которых линейно независимы,
не превышает ранга матрицы G, то есть (n- 1).
Неоднозначность разрешается правильно, если максимум функции правдо-
подобия, соответствующий к = 0, превосходит все остальные максимумы:
пф(0)>пДк!), к^0
Из (3.7.1) следует, что это происходит, если
2<pTGkj + ic^Gki = Qp (k,) > 0, м 0, (3.7.6)
ИЛИ
|rp|<d;/2. (3-7.7)
Из последних соотношений видно, что билинейная форма ) ха-
рактеризует разницу между главным и боковыми максимумами функции
правдоподобия.
75
Б.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Соотношения (3.7.6), (3.7.7) должны выполняться для всех n-мерных цело-
численных векторов, исключая к = аё , где а — целое число, ё — введен-
ный в подразделе 3.6 целочисленный вектор, коллинеарный пх. В послед-
нем случае имеют место максимумы, отстоящие от главного на а периодов
Диодн функции правдоподобия. На практике, естественно, рассматривается
совокупность {й,} возможных векторов неоднозначности на определенном за-
ранее интервале Диодн.
Из формулы (3.7.3) заменой й, на -й,- получаем, что симметричным
относительно оценки V* максимумам функции правдоподобия соответству-
ют разные по знаку, но равные по модулю величины т]; (3.7.3):
Т1_£ = 8TG(-kj) = -т]£ = -8TGki,
С учетом сказанного вероятность правильного устранения неоднозначнос-
ти вычисляется по формуле
0,5dJ 0,5djj,
= J •• f wm(yi,y2,-,ym)dy1.~dym, (3.7.8)
-0,5dJ -0,5d^
где m — число боковых максимумов функции правдоподобия на периоде
однозначности по одну сторону от главного, Wm(y1,y2,..., ym) — тп-мерная плот-
ность распределения вероятностей случайных величин (3.7.3).
Число переменных в формуле (3.7.8) может быть уменьшено до (п -1),
поскольку имеется только (n - 1) независимых переменных интегрирования,
а остальные могут быть выражены через них путем линейного преобразо-
вания. Действительно, выберем (п - 1) векторов к{ так, чтобы совместно с
ёх они образовывали полную группу линейно независимых n-мерных век-
торов. Тогда любой целочисленный n-мерный вектор может быть представ-
лен их линейной комбинацией:
к,- = ау1Й! + а;2й2 +... + + ajnex , (3.7.9)
где а<3- — целые числа.
Подставляя данное выражение в (3.7.3) и учитывая, что Gex =0, полу-
чаем
(3.7.10)
что и доказывает сделанное утверждение.
Из данного соотношения следует, что m-мерная плотность распределения
Wm(yi,y2,..., уот) содержит rn-(n-l) 8-функций [37] и интеграл (3.7.8) сводит-
ся к (п-1)-мерному:
F° = . (3.7.11)
В формуле (3.7.11) интегрирование ведется по (п~1)-мерной области D,
определяемой совокупностью всех неравенств, входящих в левую часть фор-
мулы (3.7.8).
76
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в ввде линейных решеток
В качестве совокупности векторов, определяющих область интегрирова-
ния, примем (п-1) целочисленных векторов, обладающих минимальными
величинами d2 (3.7.4) среди всех других целочисленных векторов и состав-
ляющих совместно с ё,. полную группу линейно независимых п-мерных
векторов. Будем называть эту совокупность векторов /с, опорной. Соответ-
ствующие случайные величины (3.7.3) подчиняются (п - 1)-мерному
нормальному закону распределения. Корреляционная матрица этого распре-
деления имеет элементы (3.7.5). Обозначим ее В„,
С учетом сказанного формулу (3.7.11) перепишем в виде
ро = I '.- - =[ •(ехр|-|п7 12)
^(2л)п 1 det Bn J I 2 J ’
где у — (n~ 1)-мерный вектор-столбец переменных интегрирования.
Границы (п~1)-мерной области интегрирования D задаются системой
уравнений
У, =+-&, 1<г<п- 1; (3.7.13а)
п-1 1
= ±^dj, п<}<т, (3.7.136)
к ,
где коэффициенты a.i} следуют из формулы (3.7.9).
Первые (п - 1) границ (3.7.13а) определяются формулой (3.7.4) при подста-
новке в нее векторов к. из опорной совокупности. Границы (3.7.136) образу-
ются путем подстановки в (3.7.4) всех других целочисленных векторов kj, для
которых выполнение неравенства |ц.;| < 0,5d“ не следует из того, что оно
выполняется для (п~1) первых.
Используя формулу (3.7.10), нетрудно показать, что совокупность урав-
нений (3.7.136) определяется такими векторами к}, для которых
п-1
1ат'1, (3.7.14)
i=i
где а}1 — коэффициенты формулы (3.7.9).
Рассмотрим частные случаи. Пусть сначала пеленгатор двухбазовый. Тог-
да п = 2, п - 1 = 1, интеграл (3.7.12) однократный, а область интегрирования
задается единственным уравнением из (3.7.13а)
у, = ±df/2,
где dj — минимальная из величин d2 (3.7.4).
Дисперсия случайной величины т|- в соответствии с (3.7.5) также равня-
ется d{, поэтому
77
В.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
0,5df
г,- * I
У1
MfJ
(3.715)
где Ф(х) = Jexp(-t2)dt — интеграл вероятности [37].
Область интегрирования схематически изображена на рис. 3.7.1. Отметим,
что случайную величину можно рассматривать как отображение вектора
фазовых ошибок на прямую у1г ортогональную к вектору пх, с помощью опе-
ратора Gkj, а точку df — как отображение на ней самого вектора kY.
В даумерном случае (п = 2) величину df можно вычислить аналитичес-
ки. Подставим в формулу (3.7.4) произвольный целочисленный вектор
kJ =(ka,ki2) и матрицу G (3.6.16) размерами 2x2. Произведя перемноже-
ние, получим
,2 _ (nxl^»2 ~ Пх2^Л ) _ _____(exl^i2 ex2^il )_______
' 7* —1 2 2 2 2 (37 16)
йе1Вф пхВф пх стф2еХ1 + ’
где сгф1, оф2 — дисперсии фазовых ошибок 8t и б2, г — их коэффициент
корреляции.
Рис. 3.7.1. Одномерная область интегрирования D в формуле (3.7.12)
Минимальное значение d? получается, когда числитель формулы дости-
гает наименьшего значения отличного от нуля, то есть
Таким образом,
I exl^t'2 ex2^il I ~ 1-
2 2.2 2 о
ст<р2ех1 + стф1ех2 ^Сф1°ф2ех1ех2
Подставляя данное соотношение в (3.7.15), получаем
Частный случай формулы (3.7.18) при аф1 = сгф2 получен в работе [39].
Поскольку интеграл вероятности Ф(х) — монотонно возрастающая функ-
ция, из (3.7.18) следует, что наличие «положительной» корреляции между
фазовыми ошибками и 32 ведет к увеличению вероятности Ро, а «отри-
78
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
дательной» — к уменьшению. В частном случае, когда г = 1, оф1/пх1 = оф,/пх2,
вектор фазовых погрешностей § коллинеарен пт и ошибки в устранении
неоднозначности не возникают. Данную ситуацию можно рассматривать как
угловые флуктуации плоской волны, принимаемой антенной системой пе-
ленгатора, которые измеряются им без ошибок. Уменьшение коэффициента
корреляции приводит к увеличению нормальной по отношению к пА. со-
ставляющей фазовой погрешности и, как следствие, к увеличению вероят-
ности аномальных ошибок.
В практически важном случае, когда фазовые погрешности некоррели-
рованы и имеют равные дисперсии ст2, из (3.7.17), (3.7.18) получаем
df = 1/<V* - (3.7.19)
р"=фйУ’ (з-7-ад
где — модуль целочисленного вектора ёя..
В полученных формулах величина d^n зависит как от расположения ан-
тенн, так и от корреляционной матрицы фазовых ошибок Вф. Последняя
может изменяться в процессе эксплуатации пеленгатора, например, при изме-
нении отношения сигнал/шум. Чтобы характеризировать только антенную си-
стему, введено понятие кодового расстояния, под которым понимается мини-
мальное расстояние от точки kj до и,. в пространстве полных разностей фаз.
Термин «кодовое расстояние» заимствован из теории связи [90].
Понятие кодового расстояния удобно использовать, когда корреляционная
матрица фазовых погрешностей представима в виде Вф = ст2Кф.
Тогда кодовые расстояния находятся из формулы
d^aXin- (3.7.21)
В частности, из (3.7.19) получаем для двухбазового пеленгатора
dfc = ^df = 1/е2 .
Перейдем к рассмотрению трехбазовых пеленгаторов, п = 3. Область ин-
тегрирования в (3.7.12) будет в этом случае двумерной.
Предположим, что при фиксированных пг , Вф подобраны линейно неза-
висимые векторы kj, , для которых величины d2 (3.7.4) наименьшие. Пусть
df = d^n с d-2. Рассмотрим также вектор к-3 = к} + к2, d-2 > (i2 - В соответ-
ствии с (3.7.14) вектор к3 влияет на границы области интегрирования, если
dj<df+df. (3.7.22)
Выразим d:( через элементы корреляционной матрицы случайных ве-
личин (3.7.3):
d?
ML
||b12
Ь12
d.?
(3.7.23)
79
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Из (3.7.4) имеем
ск — + к, j G + k> j = dj" + di> + 2bj2 • (3.7.24)
Отсюда видно, что условие (3.7.22) выполняется, если Ь12<0. Однако если
Ь12> 0, то можно рассмотреть вектор к', = к2 -кг, для которого
(d2): = <% + d% -2bu, (3.7.25)
так что условие (3.7.22) выполняется.
Таким образом, если Ь12 * 0, один из векторов к; или к!:< (и соответ-
ственно -к-. или -kj) влияет на область D. Обобщая (3.7.24), (3.7.25), запи-
шем для данного вектора
d2 = df + d-2 - 2|b12| > d2.
Отсюда следует, что
|b12|<dt (3.7.26)
' Покажем, что другие векторы к, полученные из к\, к2 путем линей-
ного преобразования, не влияют на область интегрирования D. Пусть
kj =а]}кл +iij2k2, где а^, — целые числа. В соответствии с (3.7.14) век-
тор к; влияет на границы области D, если
d; < jayjdf +|о;2р2 (3.7.27)
Выразим df через элементы корреляционной матрицы Вт. Аналогично
(3.7.25) получаем df = + a~'2d2 ± 2апа j2b12. Учитывая (3.7.26), имеем
dy > + а,л(a.,-, - a^jdf. Подстановкой сюда любых целочисленных вд, ад,
не равных нулю либо ±1, нетрудно убедиться, что условие (3.7.27) не выпол-
няется.
Следовательно, при любых па. и Вф область интегрирования определя-
ется линейно независимыми векторами fcj и fc2 и вектором к3 = ± к->,
где знак обратен знаку элемента Ь12 матрицы Вг Форма области для этих
случаев иллюстрируется рис. 3.7.2 а,б. Она представляет собой прямоуголь-
ник со сторонами, ориентированными вдоль осей координат, два противопо-
ложных угла которого срезаны прямыми, проходящими под углом 45° к осям
координат. Прямые подчиняются уравнениям (у2 ± j;2) = + d:? /2. Знак в скоб-
ках противоположен знаку элемента Ь12 матрицы Вг. Если Ь12 = 0, область D
представляет собой прямоугольник со сторонами d[, d-J.
Произвести наглядные построения области интегрирования D для четы-
рехбазового пеленгатора сложно, а для пеленгатора с большим количеством
баз — невозможно. Однако, рассуждая аналогичным путем о системах с про-
извольно большим числом баз п, можно по выбранной совокупности
(п - 1) линейно независимых векторов к, найти линейно зависимые век-
торы kj, образующие уравнения (3.7.136), и тем самым влияющие на фор-
му области О:
80
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
п-1
(3:7.28)
•iwl
Число членов суммы лежит в пределах от двух до (п~ 1), а коэффициен-
ты а;Ч принимают значения ±1 либо 0 в зависимости от величин (3.7.5).
Рис. 3.7.2. Типичный вид области интегрирования при п = 3:
при Ь12 > 0 (а) и Ь12 < 0 (б)
Максимальное число граней N такой области размерностью m = n~l равно
N = 2 (С}„ + С2т + С3т +... + С™ ) = 2 (2га -1), (3.7.29)
где С^, — число сочетаний из тп по г.
Отметим, что в размерности тп = 2 и более интеграл (3.7.12) аналитически
не берется. Вычисления Ро могут быть проведены численным способом с
помощью ЭВМ.
3.8. Геометрическая интерпретация максимально
правдоподобного устранения неоднозначности
В предыдущем подразделе установлено, что, если истинное значение
пеленга равно нулю, неоднозначность разрешается правильно (т.е. прини-
мается к* = 0 ), когда проекция вектора rj, координаты которого находятся
по формуле = 8TGki, г =1,2,3...(п-1), не выходит за пределы некото-
рой области D. В приведенной формуле к,- — векторы из опорной совокуп-
ности векторов неоднозначности. Будем называть область D в дальнейшем
собственной областью нулевого вектора. Покажем, что это правило можно
распространить на все другие значения пеленга, с той разницей, что каж-
дому вектору к соответствует своя собственная область.
Предположим, что в процессе устранения неоднозначности сравниваются
между собой векторы кр и к;- = кр + к,-. На основании формул (3.6.19), (3.6.20)
предпочтение отдается вектору кр, если
81
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
2<pTGkp + fcjGfcp < 2^TGkj + kjGkj,
или с учетом того, что каждому вектору ki можно поставить в соответ-
ствие -к{,
Т
(ip + kp) Gkj <^-. (3.8.1)
Рассмотрим (п - 1)-мерное евклидово пространство Ш“-1. Введем в нем де-
картову прямоугольную систему координат, по осям которой отложим про-
екции вектора измерений <р, полученные по правилу
Г)4 = 9TGk,, 1 < г < п - 1, (3.8.2)
а также проекции векторов неоднозначности к?
Zpi^Gki, 1 < г < п - 1. (3.8.3)
В последних формулах к; — векторы из опорной совокупности. Отме-
тим, что формула (3.7.3) является частным случаем (3.8.2) при v = 0.
Из формул (3.8.2), (3.8.3) следует, что пространство SR“-1 можно рассмат-
ривать как подпространство n-мерного пространства полных разностей фаз,
проектирование на которое осуществляется с помощью матрицы
М = GK, (3.8.4)
где К = — матрица размерами пх(п~1), столбцами которой
являются векторы из опорной совокупности {kJ- В соответствии с этим
можем записать
жр =Мткр =KTGkp, (3.8.5)
где жр — отображение на 91п-1 вектора неоднозначности кр .
Матрица М имеет размеры пх(п~1) и ранг (п~1), поскольку ее сомно-
житель матрица К состоит из линейно независимых векторов-столбцов, а
ранг G равен (п~1).
Векторы опорной совокупности совместно с вектором ёх образуют пол-
ную группу n-мерных линейно независимых целочисленных векторов.
Поэтому можем записать аналогично (3.7.9)
кр = ар1к! + ар2к2 +... + арпёх,
где Ор£ — целые числа.
Подставляя данное выражение в (3.8.5) и учитывая, что Gex = 0, получим
Хр = “Р1«1 + аР2«2 + - + ар(п-1)»п-1 = “рВп, (3.8.6)
где dp — вектор-строка с целочисленными коэффициентами, Вп — квад-
ратная матрица размерами (п_1)х(п_1), составленная из элементов (3.7.5)
= k^Gkj, kf, kj — векторы из опорной совокупности.
Из формулы (3.8.6) следует, что отображения векторов неоднозначности
к на подпространство 9?”1 образуют в нем решетку, а Вп — порождающая
82
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
матрица этой решетки [91]. Обозначим данную решетку символом Л.
Пространство l полностью заполнено непересекающимися областями
Dp, центры которых хр являются отображениями на $ИП-1 векторов кр.
Эти области одинаковы и называются в математике фундаментальными об-
ластями решетки. Размеры и особенности формы фундаментальных облас-
тей определены в предыдущем параграфе для вектора к = 0. В общем слу-
чае собственная область нулевого вектора ограничена (п~1) плоскостями
= 0,5dit ортогональными осям координат и пересекающими середины ба-
зисных векторов , а также рядом плоскостей, проходящих через середи-
п-1
ны векторов , где коэффициенты равны ±1 либо 0 в зави-
4=1
симости от вида корреляционной матрицы Вп случайных величин т|, (3.8.2).
Учитывая специфику рассматриваемых задач, мы будем в дальнейшем на-
зывать область Dp собственной областью вектора неоднозначности кр .
Таким образом, соотношение (3.8.1) позволяет сформулировать следую-
щее правило максимально правдоподобного устранения неоднозначности:
выбирается вектор кр , если в пространстве 91п-1 конец вектора
i] = Мгф (3.8.7)
попал в его собственную область, координаты центра которой определяются
соотношением х = -М^кр , а форма — совокупностью уравнений (3.7.13).
Области Dp, которые надо рассматривать в процессе устранения неодноз-
начности, полностью заполняют часть пространства Ш”-1, являющуюся ото-
бражением на него n-мерной области измерений — единичного куба с цент-
ром в начале координат. На рис. 3.8.1 показаны для примера собственные
области трехбазового пеленгатора с вектором масштабных коэффициенто-
в = (2; 3; 7) и корреляционной матрицей фазовых погрешностей вида (3.5.5).
Тройки цифр внутри областей показывают, каким векторам неоднозначности
они соответствуют. Собственные области не входят друг в друга, не имеют
пустот между собой и могут быть получены одна из другой путем парал-
лельного переноса. В математике плоские многоугольники, обладающие та-
кими свойствами, называют параллелогонами [94]. Существует только два
вида параллелогонов: параллелограмм (в частном случае прямоугольник) и
шестиугольник, обладающий центральной симметрией [94].
Если размерность пространства 91п-1 больше или равна трем, собствен-
ные области векторов неоднозначности представляют собой выпуклые мно-
гогранники — параллелоэдры. В трехмерном пространстве существует пять
типов параллелоэдров. Они различаются количеством и формой граней.
Простейшие из них — параллелепипед (в частности, прямоугольный) и шес-
тигранная призма. Наиболее сложный имеет четырнадцать граней [94], что
соответствует формуле (3.7.29). С увеличением размерности пространства
количество типов параллелоэдров быстро возрастает. В четырехмерном про-
странстве их пятьдесят два [94]. Тип параллелоэдра, задающего собственные
области векторов неоднозначности, определяется матрицей Вп.
83
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Рис. 3.8.1. Структура собственных областей
векторов неоднозначности: nJ =(2;3;7)
Изложенный подход позволяет существенно сократить процесс устране-
ния неоднозначности, поскольку перебор всех возможных значений , ко-
торый предусматривается правилом (3.6.19), заменяется отысканием центра
собственной области путем покоординатного округления вектора к (3.8.7)
[92] и последующей проверки, не попала ли точка fj в соседнюю собствен-
ную область. Данный материал будет освещен в разделе 4.
3.9. Влияние способа образования фазометрических баз
на вероятность правильного устранения
неоднозначности
В данном подразделе рассматривается зависимость вероятности правиль-
ного устранения неоднозначности Ро от того, между какими выходами при-
емно-усилительных трактов включены фазометры, то есть от способа обра-
зования фазометрических баз на антенной решетке. При рассмотрении
данной задачи принципиальное значение имеет, что является источником
случайных фазовых погрешностей 3, — фазометры либо приемно-усили-
тельные тракты и трасса распространения радиоволн. Если погрешности
возникают в фазометрах и взаимно независимы, то произвольное увеличе-
ние числа измерителей, очевидно, приводит к увеличению Ро. Этот случай
не представляет аналитического интереса. В конкретных случаях вероят-
ность Ро можно рассчитать по формуле (3.7.12).
84
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
Будем считать, что фазовые погрешности обусловлены приемно-усили-
тельными каналами либо трассой распространения радиоволн. Данное пред-
положение уже использовалось в подразделе 3.5. На практике обычно имен-
но эти составляющие вносят основной вклад в суммарную фазовую
погрешность.
Покажем, что в этом случае вероятность правильного устранения не-
однозначности не зависит от способа формирования (N - 1) линейно не-
зависимых баз на решетке из элементов при произвольной корреляцион-
ной матрице фазовых ошибок В,р [83].
Рассмотрим два различных способа формирования баз, обозначив их ус-
ловно символами бив, так что 4 = AfB. Здесь jj. , 1в — векторы баз, А —
введенная в подразд. 3.5 неособенная матрица преобразования размерами
(АГ - 1) х (Л‘- 1), состоящая из нулей и единиц с различными знаками.
Вероятность Р„ полностью определяется видом матрицы G (3.6.16). Для рас-
сматриваемых способов образования баз соответствующие матрицы
обозначим G3 и Gft. Используя формулы (3.6.16), (3.5.2), (3.5.3), нетрудно по-
казать, что
G6=(a4)TGbA‘. (3.9.1)
Для способа б условие правильного устранения неоднозначности запишем
в виде
с- • i 1 —г • -
|o6G6fcj| < —kj G6kj, kj^O, (3.9.2)
Ct
где k; — произвольный целочисленный вектор, сб — целочисленный век-
тор с координатами, пропорциональными еС), h — коэффициент пропорци-
ональное™.
Подставляя сюда G,-; из (3.9.1), получаем
(А1<5П)Г GeA < |(А ЧУ Gb (А ^)- (3.9.3)
Матрица А состоит из нулей и единиц. Поэтому А 1к. — новый цело-
численный вектор, причем А1 (Ьеб) = heB , где ёв —целочисленный вектор,
координаты которого пропорциональны ZBi. Учитывая также, что Ачёб = ёв
(см. подраздел 3.5), имеем из (3.9.3)
I - - । 1 -т
J < -к‘ Gek,, fc. * о, к{ * 1гёл. (3.9.4)
Неравенства (3.9.2), (3.9.4) равносильны в вероятностном смысле, что и
доказывает независимость вероятности Ро от способа образования (N-1)
линейно независимых баз на решетке из N элементов.
Существенно, что не налагалось каких-либо ограничений на вид корре-
ляционной матрицы . Поэтому сделанный вывод справедлив как при оценке
влияния внутренних шумов и рассеянного сигнала, так и случайных фазовых
сдвигов, возникающих в приемно-усилительных каналах.
Вычислим вероятность правильного устранения неоднозначности в
случае, когда источники фазовых погрешностей содержатся в приемно-
85
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
усилительных каналах, причем флуктуации фазы имеют равные дисперсии.
Такую ситуацию порождают внутренние шумы приемных устройств.
Примем для вычислений пеленгатор с опорной антенной (см. рис. 3.5.1,б), для
которого нормированная корреляционная матрица фазовых ошибок имеет
вид (3.5.5). Эта схема позволяет в общем виде вычислить матрицу G (3.6.16).
Отсчитывая координаты х1: от крайней левой антенны и учитывая (3.5.6),
имеем из (3.6.16)
(N-1)^4 -
2_____k*i \k*i J
2 AM Ат-1
<p ^4-^xk
A-=l k-1
AM
X x* ~ Nx‘x> ~ (*> + xi) Ex*
k~i k=l
(3.9.5)
где — дисперсия разности фаз.
Матрица G (3.9.5) позволяет для произвольной линейной антенной ре-
шетки найти опорную совокупность векторов неоднозначности {й.}, вычис-
лить элементы матрицы В„ (3.7.5) и далее рассчитать Ро по формуле (3.7.12).
Эти расчеты выполняются на ЭВМ. Фактически они характеризуют N-эле-
ментную антенную решетку, на которой произвольным образом сформиро-
вана полная система фазометрических баз.
Сравним по вероятности Ро два разных пеленгатора, построенных на од-
ной и той же антенной системе: с полной системой баз и с «параллельными»
базами (см. рис. 3.5.1,а). В последнем случае корреляционная матрица фазо-
вых погрешностей
вф=о;е, (3.9.6)
где Е —единичная матрица размерами (N/2) х (Лт/2),
Матрица G легко вычисляется по формуле (3.6.16). Ее элементы
i = j,
9 г.)
i * },
где ел, exj — координаты целочисленного вектора cv, коллинеарного пт,
ех — его модуль.
Дальнейшие расчеты проводятся в порядке, указанном для пеленгатора с
полной системой баз.
86
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
В табл. 3.9.1 приведены некоторые конкретные результаты расчетов Р(,
для одних и тех же антенных систем, на которых образована полная сис-
тема баз (п = 3) либо параллельные базы (п = 2). Антенная система приня-
та симметричной, ее структура задана векторами параллельных баз. Расче-
ты выполнены для = 1/>/з рад.
Таблица 3.9.1
Расчетная вероятность правильного устранения неоднозначности
пЛ. = (1, 3) = (1. 5)
Параллельные базы Полная система баз ДО Ди V II О о С0 ед ед ед г- о> to о> о о" II II сд йГ
Данные табл. 3.9.1 свидетельствуют, что увеличение числа измерителей
от (N/2) до (Л' - 1) приводит к уменьшению вероятности аномальных оши-
бок (1 - Р(1). Так как более чем (N - 1) линейно независимых баз на решетке
из N элементов создать невозможно, величина (1 - Ptl), рассчитанная для это-
го случая, является предельно малой.
С целью увеличения эксплуатационной надежности в схему пеленгатора
иногда вводится функциональная избыточность. Избыточными в информаци-
онном плане оказываются только измерители, не входящие в число (Л’ - 1)
линейно независимых.
3.10. Влияние искажений фазового фронта радиоволн
на вероятность правильного устранения
неоднозначности
Рассмотрим влияние искажений фазового фронта радиоволн на трассе
распространения на вероятность правильного устранения неоднозначности.
Предположим, что пеленгование производится в горизонтальной плоско-
сти. Тогда в соответствии с материалом раздела 2 фазовые погрешности
вызываются присутствием на антенной системе рассеянного сигнала в виде
аддитивного нормального случайного процесса, стационарного по времени и
пространственной координате х антенной системы. Дисперсия пространствен-
ных флуктуаций разности фаз cjj, на базе I определяется формулой (2.3.23)
<(0 = 2ст* [1-лДО], (3.10.1)
где Ъц = с>р— дисперсия флуктуаций фазы принимаемого сигнала,
Пр — дисперсия рассеянного сигнала, 17 у — амплитуда регулярного сигна-
ла, Гц,(/) —нормированная пространственная корреляционная функция фазы.
Кроме того, будем считать, что на каждой из антенн действуют аддитив-
ные внутренние шумы, независимые от канала к каналу, с дисперсией .
Очевидно, влияние пространственных флуктуаций фазы на вероятность
Р(, зависит от размеров антенной системы, числа и расположения ее эле-
ментов.
87
В.П. Денисов, Д. В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Для выяснения влияния флуктуаций фазы на вероятность Р(1 ограничимся
рассмотрением случая, когда оно проявляется наиболее сильно: на антенной
решетке заданного размера образованы две фазометрические базы.
Вероятность Ро для двухбазового пеленгатора рассчитывается по фор-
муле (3.7.18)
где — дисперсии суммарных флуктуаций разностей фаз <Р] и <р2.
вызванных как условиями распространения, так и внутренними шумами,
т — коэффициент корреляции.
Обратим внимание, что выражение под знаком корня в знаменателе —
дисперсия случайной величины
8Н ~ ^1ех2 - ^2ел1 > (3.10.3)
равной проекции вектора фазовых ошибок 8 на нормаль к с точностью
до постоянного коэффициента. Обозначим
пф142 +стф2ех1 =ст8н.
(3.104)
и перепишем (3.10.2) в виде
(3.105)
откуда видно, что Ро можно рассматривать как вероятность попадания слу-
чайной величины 8jj (3.10.3) на интервал (—0,5; 0,5).
Оценим зависимость дисперсии случайной величины 8ц (3.10.3) от про-
странственных флуктуаций фазы. Примем для конкретности, что антенная
система симметричная и на ней образованы «параллельные» базы, как пока-
зано на рис. 3.5.1,а. Тогда элементы Ъ1} корреляционной матрицы Вф -суммар-
ных флуктуаций разностей фаз ст*,, гст М0ГУт быть определены по
формуле (3.2.14). Учитывая (2.3.25), перепишем формулу (3.2.14) в виде
Ь„.
п . + п
—-------— +8„-
9/
(3.10.6)
где тч,(х) — коэффициент пространственной корреляции «трассовых» флук-
туаций фазы, !()Н = Io/X, lu — интервал пространственной корреляции «трас-
совых» флуктуаций фазы.
Используя формулу (3.10.6), получаем из (3.10.4)
(3.10.7)
88
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
Как видно из этой формулы, дисперсии случайной величины 8Н (3.10.3)
делится на две составляющие: одна из них полностью определяется внут-
ренними шумами приемника, вторая — рассеянной составляющей сигнала,
о 2
Обозначим первую , вторую — ст8р и запишем
а 2 2 6Н = °5ш + ст8р , (3.10.8)
где
_2
_2 _ 9 стш Л2 °8ш - 2 2 ех ио (3.10.9)
„2 2 ( \ 2 (
_2 _ О Р z,2 °8Р -2772 вх и0 1 лх2 1—у-г ”х "х! "х! 2x2 1 2 Г 1 к'ОН 7 «х к'ОН
2”х1”х2 Г пх2 ~ Их1 Vrf ”х2 + ”xl 1 (3.10.10) У,
«х2 L %н / 1 24>н J.
Из сравнения формул (3.10.9), (3.10.10) видно, что при равных мощностях
рассеянного сигнала и собственного шума на входе пеленгатора стр = Стщ рас-
сеянный сигнал в общем случае меньше влияет на дисперсию ОдН, чем соб-
ственный шум благодаря сомножителю в фигурных скобках (3.10.10).
Можем записать:
СТ8р _ 1 Лх2
2 1 2
СТ8ш <?р=<?ш
Лх1
Уон.
f
Voh j
2 *
2«х1Лх2
<Лх2~«х1
24>h
<Лх2 +”x/
< %H ,
(3.10.11)
Рассмотрим частные случаи.
Пусть »Zo, Z2_ii » Jq. Тогда <т8р/ст8ш = 1, то есть при большом, по
сравнению с Zo, разнесении антенн пространственные флуктуации действу-
ют на устранение неоднозначности как внутренние шумы, некоррелирован-
ные от канала к каналу.
Пусть теперь Ц « 10, 12 « 10- Тогда все коэффициенты корреляции в
формуле (3.10.11) равны 1 и Ogp/o&n =0, то есть пространственные флук-
туации сигналов вообще не влияют на устранение неоднозначности. Этот
случай имеет место в бортовых пеленгаторах самолетов и ракет, размеры
антенных систем которых во многих случаях не превышают 101.
Предположим, что габариты антенной системы соизмеримы с интерва-
лом пространственной корреляции сигналов 10. На рис. 3.10.1 представлено
отношение п|р/а8ш при аппроксимации коэффициента корреляции фазы эк-
спонентой (2.2.8). Как видно из графика, влияние пространственных флукту-
аций сигналов на дисперсию ст8Н, а следовательно, и на вероятность Ро
пренебрежимо мало по сравнению с влиянием внутреннего шума прием-
ников.
89
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Рис. 3.10.1. Соотношение между трассовой и шумовой составляющими фазовых
погрешностей, влияющих на устранение неоднозначности
3.11. Методы приближенного расчета вероятности
правильного устранения неоднозначности
Формула (3.7.12) определяет точное значение вероятности правильного
устранения неоднозначности Ро при использовании для получения одно-
значного отсчета метода максимального правдоподобия и нормального рас-
пределения вероятностей фазовых ошибок. Расчет Ро включает в себя вы-
числение многомерного нормального интеграла. Если кратность интеграла
т = п - 1 < 2, вычисления могут быть произведены с помощью таблиц [93].
При т > 3 аналитические методы вычисления нормального интеграла к на-
стоящему времени не разработаны. Численное интегрирование при боль-
шой кратности приводит к большим затратам машинного времени. Поэтому
представляет интерес методика относительно быстрого ориентировочного
расчета Ро. Рассмотрим некоторые варианты такого расчета [95].
Технические требования на радиотехническую аппаратуру обычно вклю-
чают в себя не точное значение ее параметров, а их допустимые границы.
В связи с этим особый интерес представляет такая оценка вероятности пра-
вильного устранения неоднозначности Р0*н , что Р0*н < Ро, то есть оценка, яв-
ляющаяся нижней границей Ро. Интеграл (3.7.12) определяет Ро как вероят-
ность того, что случайный вектор ц с координатами (3.7.3) не выходит за
рамки области D (3.7.13). Оценку Рон можно найти как вероятность попада-
90
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
ния вектора р в эллипсоид равной плотности распределения его вероятности
утИ~1 .у = , (3.11.1)
расположенный в области D и касающийся ее границ. Если корреляцион-
ная матрица В, неособенная, квадратичная форма в левой части (3.11.1)
подчиняется '/’-распределению с (п-1) степенями свободы [85]. Поэтому
foH = Р{хй 1 - Qhj (3.11.2)
Оценку вероятности аномальных ошибок (1 - р'н) удобно находить по таб-
лице процентных точек "//-распределения, определив предварительно
QH. Величину QH найдем, исходя из единственности совместного решения си-
стемы двух уравнений, одним из которых является (3.11.1), а другим — урав-
нение (п - 1)-мерной плоскости yt=dj/2, где d21'2 —минимальная из гра-
ниц в (3.7.13а).
Рассмотрим методику нахождения правой части уравнения (3.11.1) для
трехбазового пеленгатора, п = 3. Уравнение (3.11.1) запишем в виде
+ 2У1У1№ + i/W1 = Qh - (3-11-3)
где bjj !> — элементы матрицы В,^ размерами 2x2.
Обозначим минимальное значение rfr символом ctf Решение квадратно-
го уравнения (3.11.3) относительно у 2 при фиксированном единственно, если
его дискриминант равен нулю [96]:
)' - (yfb^11 -QH) = 0.
Отсюда получаем
Qh - У1
(3.11.4)
Так как ь{,<ь!]ь - (b),1’)" = detB„I, a b'^/detB’ = bn = d? , из <3.11.4) име-
1 1 4> t >1 i. _ I ! I L .1 1
ем QH - у; /d^ Подставляя сюда yt = (dj'2)2, получаем окончательно
QH=(d,/2)2. (3.11.5)
Формула (3.11.5) справедлива не только для п = 3, но и для п = 4;5 и т.д.
(см. приложение 1). Таким образом, из (3.11.2) , (3.11.5) можем записать
(3.11.6)
где d,„in — минимальная из величин df (3.6.21).
В частном случае, когда погрешности измерения разностей фаз взаимно
независимы и имеют равные дисперсии ст(р, из (3.6.12), (3.6.21) имеем
а2=4^А^1)Лп-.1).Л- (З.п.7)
где А(п_1)п — матрица проектирования пространства измерений на (п-1)-
мерное подпространство, ортогональное к пд. •
91
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ .
Следовательно, соотношение (3.11.6) можно трактовать как вероятность
того, что вектор нормальной по отношению к пл. составляющей фазовой
ошибки не выходит за пределы (п-1)-мерной сферы радиуса dmin/2.
Проиллюстрируем методику расчета Ри‘н примером. Рассмотрим четы-
рехантенный пеленгатор со способом образования баз, показанном на
рис. 3.5.1,б и вектором баз пх = (1,2,3)т. Фазовые погрешности в приемных
каналах считаем взаимно независимыми и имеющими равные дисперсии, так
что матрица G выражается формулой (3.9.5). Имеем
1,4 -0,4 -0,2
G = -^--0,4 1,4 -0,8
-0,2 -0,8 0,6
По матрице G находим совокупность векторов /сг, определяющих область
интегрирования D:
кх = (0; 0; 1)т. df = 0,6стф2.
к, = (0; 1; 1)г, do = 0,4ст~2
— линейно независимые векторы,
ks = к{ +к2= (0, 1, 2)т, d2lin = d; = 0,4 а/.
Для сгф = 0,1 рад/2л находим по формуле (3.11.5) QH = 10. В соответствии
с (3.11.2) по таблице процентных точек "/-распределения с двумя степенями
свободы находим 1 - Р(*н = 0,006 [97]. Область интегрирования и ее аппрок-
симация вписанным эллипсоидом показаны на рис. 3.11.1.
Рис. 3.11.1. Область интегрирования D и ее аппроксимация, nr = (1,2,3)Т
Для характеристики качества оценки Р(*н в таблице 3.11.1 приведены дан-
ные расчетов по формуле (3.11.6), а также результаты цифрового моделиро-
вания на ЭВМ максимально правдоподобного устранения неоднозначности
(метод Монте-Карло). Последние заимствованы из работы В.И. Белова [29].
92
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
Относительная ошибка вычислений вероятности аномальных ошибок
(1- Р0) составляет (10-15) %. Считается, что фазовые ошибки имеют дис-
персии = 0,01[рад/2л]2 •
Таблица 3.11.1
Результаты оценивания вероятности аномальных ошибок
различными методами
Вектор относи- тельных баз (1 " -Ро), % Монте- Карло 4in 1 ~ PflH ’ % ^х 1-Ров. % |4_Y J 1-Ро*, %
Пеленгатор с опорной антенной, оф = 0,1 рад/2л
2 3 7 1 5 7 2 4 7 1 2 7 3 4 7 2 5 7 1 6 7 3 5 9 13 2 5 6 13 2 5 13 17 4,3 7 10,2 11,3 15,4 19,7 25,8 3,7 2,6 6,25 19,2 15,38 11,32 10,34 8,00 6,90 5,40 22,7 28,74 21,57 9,0 14,2 24 26,2 36 42 52 8,0 6,6 14 26 32,75 26,75 29 25 29 37 104 98,8 213,2 4,6 6 4,7 5,2 4,4 5,2 7,6 2,2 2,1 5,6 1,2 1,4 3 3,3 6,5 4 9,5 9,4 13,3 15,7 19,7 23,0
Пеленгатор с параллельными базами, оф = 0,1 рад/2л
5 6 7 9 3 4 9 11 1 3 5 7 9 9,0 11,0 2,4 17,2 16,8 30,30 23 24 10 191 227 8,2 9,8 1,4
Из табл. 3.11.1 видно следующее.
При п = 3~5 вероятность аномальной ошибки, рассчитанная методом впи-
санного эллипсоида, в 2-4 раза больше ее истинного значения. Данное превы-
шение, безусловно, носит частный характер, так как зависит от дисперсии
фазовых ошибок, числа и способа формирования баз и вектора пх. Учиты-
вая, что эти цифры получены при относительно малых вероятностях ано-
мальных ошибок (1 - Ро), метод можно считать приемлемым для ориентиро-
вочных расчетов.
При фиксированных количестве антенн и способе образования фазомет-
рических баз вероятность правильного устранения неоднозначности являет-
ся возрастающей функцией . Это обстоятельство можно эффективно ис-
пользовать для выбора наилучшего расположения антенн пеленгатора в
процессе проектирования.
Другой метод оценки Ра заключается в аппроксимации области интегри-
рования D эллипсоидом равной плотности вероятности вектора ц с коорди-
натами (3.7.3)
93
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
yTB~ly = Qv, (3.11.8)
имеющим такой же объем (в двумерном случае — площадь, в одномерном
— длину), что и область D. Соответствующая оценка Р0*в является верх-
ней границей Ро. Объем m-мерного эллипсоида (3.11.8) выражается форму-
лой [37]
Г(0,5т + 1)
VdetBn,
(3.11.9)
где Г(х) — гамма-функция [98]. Приравнивая его объему области D, который
обозначим символом VD, находим
£37 _ VDr(0,5m +1)
• (3.11.10)
Объем VD может быть найден по границам области D (3.7.13). Далее оцен-
ку РцВ находим как вероятность
^ов =-Р{Хп-1 - QvJ (3.11.11)
по таблицам ^-распределения с (п - 1) степенями свободы.
Объем вычислений значительно уменьшается, если учесть, что
VD = det Вл , (3.11.12)
где Вп — корреляционная матрица (п - 1) случайных величин = 5rGfc,- > к{
— векторы неоднозначности из опорной совокупности.
В подразделе 3.8 показано, что собственные области О, векторов неодноз-
начности являются фундаментальными областями цифровой решетки Л, по-
лученной отображением векторов неоднозначности к^ из n-мерного про-
странства полных разностей фаз на пространство 9?п-1 с помощью матрицы М
(3.8.4). Матрица Вп является порождающей для этой решетки. Одно из
свойств решетки заключается в том, что если окружить ее точки одинако-
выми областями, полностью заполняющими все пространство, то объем
каждой из них равен детерминанту порождающей матрицы [91]. Это и
доказывает равенство (3.11.12). Для двухбазового пеленгатора соотношение
(3.11.12) очевидно, ибо в этом случае Вп состоит из единственного элемен-
та df, так что det Bn = dj2. Область интегрирования D представляет со-
бой отрезок прямой с границами ух = ±0,5df, его длина равна VD = det Bn-
Так как Qv совпадает с точным значением области интегрирования D, фор-
мула (3.11.11) дает истинное значение вероятности Ро для двухбазового
пеленгатора.
Форма области D для трехбазового пеленгатора показана на рис. 3.7.2,а,б.
Нетрудно видеть, что в каждом из представленных на рисунке случаев
площадь области равна VD = dfd^ - bf2 = detBn , что совпадает с (3.11.12).
С учетом (3.11.12) из (3.11.10) имеем
(det Вп )^™ Г^”1 (0,5m +1)
Qv=--------(3.11.13)
7t
94
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
(3.11.14)
В частном случае т = п - 1 = 2
_ ^detB,
—
я
Используя (3.11.13), формулу (3.11.11) для оценки вероятности правильно-
го устранения неоднозначности перепишем в виде
Ров _ ? 7--п
detBn ”’Г та(0,5тп + 1)
(3.11.15)
где т = п - 1, п = 2, 3,... — число баз.
Проиллюстрируем метод расчета на примере трехбазового пеленга-
тора с вектором баз nT = (1,2,3)г, для которого ранее найдена нижняя грани-
ца вероятности правильного устранения неоднозначности Р()‘н. Имеем
bi2 = k^Gk-, = 0,2a,f', det В,, = d^d^ - b[2 = 0,2 cr^1.
По формуле (3.11.10) находим Qv = 0,142 и по таблицам %"-распределе-
ния с двумя степенями свободы для <тр = 0,1 рад/2я находим (1 -Р0*в) = 0,001-
Эллипс (3.11.8) показан на рис. 3.11.1.
Детерминант det В,, можно вычислить, не находя самой матрицы Вт.
Действительно,
k,TGk, kiGk., ••• kjGkn ,
detB,, =
(3.11.16)
где к,, г = 1, 2, ..., n - 1, — векторы неоднозначности из опорной совокупности.
Используя формулу (3.6.16) для матрицы G и производя перемножение,
получаем
det В = 1 —detFcB^c] = 1 IdetCl2--------- ,, ,, 17,
” е;в;4 L Ф 2 ёХёх 'Не1Вф> (3.11.17)
где С = (к1,кг>,...,кп_л,ёх) — матрица, столбцами которой являются векторы
неоднозначности ki из опорной совокупности и целочисленный вектор
ёх , коллинеарный пх . Матрица С введена в научную литературу В.И. Бело-
вым [28].
Векторы к- из опорной совокупности формируют область D минималь-
ных размеров. Поэтому модуль детерминанта матрицы С равен минимально-
му целому числу, отличному от нуля, то есть det С = 1. С учетом этого
формула (3.11.17) примет вид
detBn = ё?вФЧ detB«” (3-1П8)
а формула (3.11.15)
95
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
1 Г2 (0,5m+1).
— т—=--;--------
я У^,В'1ст det Вф
(3.11.19)
где т = п - 1, п — число баз.
Дальнейшее упрощение расчетов возможно для частных случаев, допус-
кающих представление det В,., минуя матричные операции. Рассмотрим два
важных частных случая.
1. Пеленгатор с опорной антенной. Фазовые погрешности возникают в
приемно-усилительных каналах, дисперсии разностей фаз равны ст2, так что
нормированная корреляционная матрица фазовых погрешностей имеет вид
(3.5.5). Используя (3.11.18), получаем
2» 1^2(11 1)
det В. =----. (3.11.20)
п N ё^1ёх
Здесь Л” — число антенн, п = N - 1.
Величина ёуК“’еа., как следует из подразд. 3.5, может быть представлена
в виде
(3.11.21)
Подставляя это соотношение в (3.11.20), будем иметь
det Bq
(3.11.22)
2. Пеленгатор с параллельными базами. Ошибки измерения разности
фаз независимы и имеют равные дисперсии. Используя (3.11.18), нетрудно
получить
detBl1=-^--
(3.11.23)
В таблице 3.11.1 представлены данные расчетов Р()‘в по формулам (3.11.15)-
(3.11.23).
Как следует из таблицы 3.11.1 и данных других аналогичных расчетов, в
некоторых случаях (1-Р(*в) и (1-Р(|) совпадают с точностью до погрешнос-
ти расчетов (1-Р}|). Однако бывает, что (I-Pqb) меньше, чем (1-Р0) поч-
ти в 4 раза. Точность оценки низка в тех случаях, когда величины d2, зада-
ющие область интегрирования, сильно различаются между собой. В графе
. о
-7- таблицы 3.11.1 дано отношение di I dr, для трехбазовых пеленгаторов.
\d2 )
96
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
Видно, что разница между (1-Р0*в) и (1 - Ро) велика, если d^/df >3- Для
нахождения оценки вероятности Ро в этом случае вообще лучше снять ин-
тегрирование по переменной с большими пределами. При п = 3 формула
(3.11.12) сводится в этом случае к интегралу вероятности.
Проиллюстрируем сказанное примером. Для пеленгатора с (игорной ан-
тенной и вектором баз пх = (3, 4. 7)т корреляционная матрица имеет вид
В^°’04СТЧ1 2
= 6,5.
Область интегрирования D показана на рис. 3.11.2. Здесь же указаны век-
торы, определяющие границы области, и эллипсы (3.11.1) и (3.11.8). Они
сильно отличаются от области О, что и ведет к плохому качеству оцено-
к рц*в и PqH. Снимая интегрирование по переменной у{, имеем
р0* = ф
Полагая = 0,1, получим Р0*в - 0,483, что практически совпадает с расче-
том по точной формуле методом численного интегрирования.
Рис. 3.11.2. Область интегрирования D и ее аппроксимация, П^, = (3,4,7)Т
В таблице 3.11.1 вероятность аномальной ошибки, вычисленная подобным,
путем для случаев d{ /d> > 3, обозначена (1 - Р*). Как видим, эта оценка
весьма близка к (1 - Ро).
Достоинством метода эллипсоида равного объема является то, что в ти-
повых случаях он позволяет просто оценить Ро по вектору относительных
баз , не прибегая к использованию ЭВМ.
97
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
3.12. Квазноптимальнын алгоритм устраиевня
неоднозначности
Термин «квазиоптимальный алгоритм устранения неоднозначности» вве-
ден в литературу В.И. Беловым [28]. Термин «квазиоптимальный» принят в
связи с тем, что этот алгоритм является некоторым упрощением изложен-
ного выше алгоритма, основанного на принципе максимального правдопо-
добия. Упрощение приводит к увеличению вероятности аномально больших
ошибок измерения и уменьшению вероятности противоположного события
— правильного устранения неоднозначности.
Цель данного подраздела — изложить существо алгоритма, а также по-
лучить соотношения для точного и ориентировочного расчета вероятности
правильного устранения неоднозначности. Используем то обстоятельство, что
квазиоптимальный алгоритм по существу является первым этапом в рас-
крытии неоднозначности методом максимального правдоподобия в том виде,
который дан в подразд 3.8.
Для обоснования квазиоптимального алгоритма устранения неоднозначно-
сти в работе [28] вводится целочисленная квадратная матрица С размерами
пхп, первые (п - 1) столбцов которой — векторы из опорной совокуп-
ности {kt}, а последний — вектор ёх,
С = (к1,к2.kn_ltex). (3.12.1)
Как показано в подразделе 3.11, особенностью матрицы С является то,
что модуль ее детерминанта равен единице. Поэтому обратная матрица
С-1 существует и является целочисленной.
Переходя в исходной для метода максимального правдоподобия квадра-
тичной форме (3.6.18) от ф и к к новым переменным
Ф = С ^ф > к = С-1к > (3.12.2)
запишем ее в виде
Пф(к) = (ф + к) б(ф + к), (3.12.3)
где
G = CTGC (3.12.4)
Элемент дпп матрицы G всегда равен нулю. Это следует из определения
матрицы G (3.6.16) и формулы (3.12.1), в соответствии с которой
gnn=elGex, (3.12.5)
а также ортогональности матрицы G вектору ёх.
Квазиоптимальный алгоритм основан на том, что матрицу G полагают
диагональной. Тогда вектор к*, минимизирующий форму (3.12.3), находится
по правилу
к* = Кж + иёх, (3.12.6)
98
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
где К — матрица размерами nx(n-l), составленная из векторов к{ опор-
ной совокупности (матрица С без последнего столбца), х — вектор
к = - < ф > без последней координаты, знак < > означает округление до
ближайшего целого.
Значение v не может быть вычислено по выборке ф, оно определяется
на основании априорных данных об измеряемой величине.
Для дальнейшего анализа используем геометрическую трактовку про-
цесса устранения неоднозначности.
Рассмотрим (п~1)-мерное евклидово пространство 91п-1, на которое век-
тор измерений ф и векторы неоднозначности к отображаются с помощью
матрицы (3.8.4)
М = KG, (3.12.7)
где К — матрица, столбцами которой являются векторы из опорной сово-
купности {к.}.
В соответствии с этим можем записать
Xi = MTki, (3.12.8)
где — проекция на 91п-1 вектора неоднозначности .
Векторы проекции х^, полученные путем подстановки в (3.12.8) к{ из
опорной совокупности, образуют в 91п-1 полную систему линейно независи-
мых векторов с минимальными модулями. Все остальные векторы х,, по-
лученные по формуле (3.12.8), могут быть выражены через них путем цело-
численного линейного преобразования. Таким образом, векторы х{ (3.12.8)
имеют в базисе sel,se2,...,xn_1 целочисленные координаты. Как отмечалось в
подразд. 3.8, совокупность соответствующих точек образует в 91п-1 решетку.
В соответствии с материалом подраздела 3.8 процесс устранения неодно-
значности можно трактовать как отыскание собственной области вектора
неоднозначности kj, в которую попал конец проекции вектора измерений
fj = MT<p. (3.12.9)
Обозначив символом rj„ координаты соответствующего вектора а?, в
базисе #i,z2> •••»#»-! > получим формулу для оценки вектора неоднозначнос-
ти к с точностью до слагаемого, кратного интервалу однозначности много-
шкальной системы [92]:
к* = -Кйц. (3.12.10)
Алгоритм раскрытия неоднозначности (3.12.10) гарантирует попадание точки
rj (3.12.9) в параллелепипед, построенный на базисных векторах х{ и име-
ющий центр в точке йц (фундаментальный параллелепипед решетки [91]).
Собственные области векторов неоднозначности имеют более сложную
форму.
На рис. 3.12.1 показаны в качестве примера векторы собственная
область нулевого вектора неоднозначности (сплошные линии) и соответ-
99
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
ствующий фундаментальный параллепипед решетки (штриховые линии) для
трехшкальной измерительной системы, рассмотренной в [28], где
~ (Ъ 3; ?) , Вф = стф = {о г’
Рис. 3.12.1. Собственная область вектора неоднозначности к = (0; 0; 0)Т
и ее аппроксимация параллелограммом,
построенным на базисных векторах
На рисунке цифры рядом с символами ж, показывают, проекциями ка-
ких векторов /с4 они являются. Нетрудно видеть, что отрезки прямых, обра-
зующих стороны фундаментального параллелограмма, проходят через точки
п-1
с координатами 0,5^ • Соответствующее правило нахождения вершин
t=i
фундаментального параллелепипеда можно распространить на измерители
с большим числом шкал п.
В связи с существующей разницей между формой собственной области и
фундаментального параллелепипеда раскрытие неоднозначности методом
максимального правдоподобия в строгой форме проводится в два этапа [92].
На первом этапе определяются координаты rjj, центра фундаментального
параллепипеда, в который попал конец вектора fj (3.12.9), позволяющие
вычислить к* по формуле (3.12.10). Затем проводится проверка, не попала
ли точка fj в соседнюю собственную область. В случае необходимости коор-
динаты Цц корректируются.
Для выражения fj^ в базисе векторов set введем преобразование над <р
и к{, при котором базисные векторы станут единичными:
= Рй, = UZc£, (3.12.11)
где
U = РМТ (3.12.12)
— прямоугольная матрица размерами (n~l)xn, М — матрица (3.12.7).
100
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в вцде линейных решеток
С учетом изложенного, используя формулу (3.12.10), алгоритм устране-
ния неоднозначности при аппроксимации собственной области фундамен-
тальным параллелепипедом запишем в виде
/с* = -К<ц'>, (3.12.13)
где fj' = иф, знак <...> означает округление до ближайшего целого.
Найдем матрицу U. Совокупность единичных векторов (3.12.11) пред-
ставим единичной матрицей размерами (n~l)x(n— 1), (£;) = Е. На основа-
нии (3.12.11) можно записать
Е = РМТК = PKTGK = РВЛ,
откуда
р = в“1, и = в;1мт.
Таким образом,
fj' = РМтф = В"1МТф. (3.12.14)
Сравнивая между собой алгоритмы раскрытия неоднозначности (3.12.6) и
(3.12.13), видим, что они идентичны. При этом идентичными должны быть
также матрицы С-1 (без последней строки) и B“JMT, при помощи которых
по выборке <р рассчитываются вектор fj' (3.12.14) и первые (п~1) коорди-
нат вектора ф (3.12.2). Численные расчеты подтверждают это.
Следовательно, алгоритм (3.12.6), как и (3.12.13), можно трактовать как
отыскание центра фундаментального параллелепипеда, в который попал
конец вектора fj (3.12.9). При этом не требуется каких-либо допущений от-
носительно вида матрицы G (3.6.16). Нетрудно показать, что матрица G
представляет собой матрицу Вп с элементами Ц- (3.7.5), дополненную стро-
кой и столбцом нулей. Диагональный вид G (а следовательно, и Вп) приводит
к тому, что собственные области векторов неоднозначности в пространстве
91”-1 становятся прямоугольными параллелепипедами и совпадают с фунда-
ментальными параллелепипедами решетки. Квазиоптимальный алгоритм
(3.12.6), (3.12.13) становится в этом случае оптимальным по критерию макси-
мального правдоподобия [99].
Перейдем к расчету вероятности правильного устранения неоднозначнос-
ти с помощью квазиоптимального алгоритма.
Ошибки в раскрытии неоднозначности не возникают, если ни одна из
координат вектора fj' в формуле (3.12.13) не отклонится более чем на ±0,5
от истинного значения. Вероятность этой ситуации
Ро =P{jn'i| <0,5} , i=l,2,...,(п-1), (3.12.15)
где т|'- — координаты вектора fj', рассчитанные по формуле (3.12.14), если
в ней Ф — вектор фазовых погрешностей.
Найдем корреляционную матрицу случайных величин г]', используя
(3.12.14). Получим
= mr {fj'fj'T} = В’1.
101
Б.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Используя далее предположение о нормальности распределения коор-
динат вектора <р, а следовательно, и д', получаем из (3.12.15) выражение
для Рр в виде (п - 1)-кратного интеграла:
I л . п 0,5 0.5 г -.
det В р А 1
Р" = J - J ехр (312.16)
’ ' ' -0.5 -0.5 L J
где Вт — матрица с элементами (3.7.5).
Формула (3.12.16) позволяет вычислить точное значение вероятности пра-
вильного устранения неоднозначности при произвольном числе шкал п.
Однако при п > 3 возможно только численное интегрирование, поскольку ме-
тоды аналитического расчета многомерного нормального интеграла
не разработаны. Поэтому представляют интерес методы приближенной оценки
вероятности Р(„ подобные разработанным для алгоритма максимального прав-
доподобия.
Величину Ро (3.12.16) представим как вероятность того, что проекция д
вектора фазовых погрешностей <S в пространстве 'Л’1-1 не выходит за пре-
делы фундаментального параллелепипеда:
detBn
1 т
ехр --у Вл у dy>
(3-12.17)
где В, — корреляционная матрица случайных величин rj (3.7.3) с элемен-
тами (3.7.5), а область интегрирования О — фундаментальный параллеле-
пипед.
Заменим область интегрирования О равновеликим эллипсоидом равной
плотности вероятности случайных величин д, (3.7.3).
На основании свойств решеток фундаментальный параллелепипед и соб-
ственная область вектора неоднозначности в 'Л”-1 равновелики. Соответству-
ющий объем равен детерминанту матрицы В,р являющейся порождающей
матрицей решетки [91]. При данных условиях дальнейшее решение задачи
ничем не отличается от полученного в подразделе 3.11 для метода макси-
мального правдоподобия. Поэтому справедлива формула (3.11.15):
Л)в _ ' Zn-i
<-n-JdetB Г2 [^±1
л V ’ U
(3.12.18)
где %2 — случайная величина,
(n- 1) степенями свободы, Г(х) — гамма-функция.
подчиненная хи-квадрат распределению с
Оценка Р0*в является верхней границей вероятности правильного устра-
нения неоднозначности квазиоптимальным методом, поскольку истинное зна-
чение вероятности Ро для этого метода меньше, чем для оптимального.
Нижнюю границу вероятности Рс можно найти как вероятность попада-
ния конца случайного вектора д с координатами д< (3.7.3) в эллипсоид рав-
ной плотности вероятности:
утВлУ = «н> (3.12.19)
расположенный внутри фундаментального параллелепипеда и касающийся
его границ:
102
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
Рон =Р0 {xLi — Он} > (3.12.20)
где — случайная величина, подчиняющаяся хи-квадрат распределе-
нию с (п_1) степенями свободы.
Величина QH вычисляется по следующей схеме. Находятся уравнения
сечений эллипсоида вида (3.12.19) (п~2)-мерными плоскостями, в которых
лежат грани фундаментального параллелепипеда. Рассматриваются условия
вырождения полученных сечений в точку [96], из которых и находится QH.
Наименьшая из (n~ 1) полученных величин является искомой.
Проиллюстрируем сказанное на примере трехшкального измерителя,
п = 3.
Уравнение прямой, проходящей через вершины О,^ + «j) и O.S^-SBj)
фундаментального параллелограмма (рис. 3.12.1), имеет вид
k detBn
Уг = т^У1 + °-5—Г—’ • (3.12.21)
°и °п
Заменяя у2 в уравнении эллипса (3.12.19) правой частью данной форму-
лы, получаем новое уравнение, решением которого являются точки пересе-
чения эллипса и прямой (3.12.21). Это уравнение приводится к виду
yfdetB^QH--^,
где Ъ[11) — элемент матрицы, обратной по отношению к Bq.
Решение данного уравнения единственное (т.е. прямая (3.12.21) является
касательной к эллипсу (3.12.19)), если
Аналогичное решение можно найти, рассматривая пересечение эллипса
(3.12.19) и прямой, проходящей через вершины параллелограмма
0,5(«! + х2), 0,5(3»! -ж2).
Окончательное решение запишем в виде
QH = min.
1 I
4bH’
i = е(1; n-1).
(3.12.22)
В соответствии с этой формулой для вычисления QH надо найти наи-
больший диагональный элемент матрицы, .обратной Bq. Нижняя граница ве-
роятности правильного устранения неоднозначности вычисляется далее по
формуле (3.12.20).
Проводя аналогичные выкладки, можно показать, что формула (3.12.22)
справедлива и для фазовых систем с большим числом шкал.
В частном случае, когда матрица Вп диагональная, = dj-2 и из (3.12.22)
получаем QH = d^/4. Этот результат совпадает с полученным для оцен-
ки Р0*н методом максимального правдоподобия, что логично, поскольку ди-
агональный вид матрицы Вп обращает фундаментальный параллелепипед в
103
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
прямоугольный, точно совпадающий с собственной областью вектора
неоднозначности.
На рис. 3.12.1 показаны равновеликий и вписанный эллипсоиды для рас-
сматриваемой в качестве примера измерительной системы. Приведем для
нее количественные расчеты, полагая = 0,015. Используя формулы (3.12.18),
(3.12.20), (3.12.22), получаем верхнюю и нижнюю границы вероятности пра-
вильного устранения неоднозначности Р0*в = 0,86 , Р0*н = 0,77 • Численное
интегрирование по точной формуле (3.12.16) дает Ро = 0,827. Сравнивая Ро
с РдВ — верхней границей вероятности правильного устранения неодноз-
начности — как квазиоптимальным, так и оптимальным методом, видим, что
в данном случае различие в эффективности алгоритмов невелико. Этот вы-
вод нельзя считать общим, поскольку различие зависит от соотношения между
масштабными коэффициентами шкал измерительной системы и дисперсии
фазовых ошибок. Однако существуют такие антенные структуры фазовых
пеленгаторов, при которых применение квазиоптимального алгоритма оп-
равдано, поскольку при малой потере в эффективности он приводит к суще-
ственному упрощению аппаратуры обработки совокупности измеренных раз-
ностей фаз.
3.13. Алгоритмы обработки сигналов
в фазовых пеленгаторах,
работающих в вертикальной плоскости
Отдельного рассмотрения заслуживают фазовые пеленгаторы, работаю-
щие в вертикальной плоскости над земной поверхностью. Такие пеленгаторы
находят применение в сантиметровых системах посадки самолетов [4] и в
других случаях, когда требуется точное и быстрое измерение угла места
источника излучения или переизлучения. Особенностью работы таких пе-
ленгаторов является мешающее воздействие отражений принимаемого сиг-
нала от земной поверхности, ограничивающее точность измерений.
Рассмотрим известные методы обработки сигналов в фазовых пеленгато-
рах, направленные на уменьшение этого влияния. Антенную систему пелен-
гатора будем считать линейной решеткой, состоящей из слабонаправленных
элементов и расположенной вертикально над земной поверхностью. Схема-
тически такая решетка изображена на рис. 2.2.1. Земную поверхность примем
гладкой, зеркально отражающей. В этом случае фазу сигнала, принимаемо-
го элементом А, антенной решетки, расположенным в точке xit можно пред-
ставить формулой (2.2.3).
Vi
2?t
— (х£ + с) sin Р + arctg
Rsin <ротр
4л, \ • о
+c)sinp
К
(3.13.1)
Как отмечено в подразд. 2.2, фаза состоит из двух слагаемых:
V. = Voi + ¥фл.-
104
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в виде линейных решеток
Первое из этих слагаемых точно представляет фазу прямого сигнала
2л. . . „
Фо; = -T~(xi + c)sin Р , второе
А
Ффл,- = arctg
„ . ( 4л, \ - о |
Ksrn (х; +c)smp
у Л, у
1 + К cos [ фотр - (х,- + с) sin Р
к Л.
— пространственные флуктуации фазы, вызванные интерференцией прямой
и отраженной волн. Нетрудно видеть, что ффд(х;) — периодическая функ-
ция пространственной координаты х с периодом 2X/sinP, не превосходящая
в максимумах величину arctg(R/(l - R)) < п/2. Поэтому средний наклон
функции ф,(х,) к оси х всегда точно соответствует углу Р прихода прямой
волны. Это обстоятельство и используется для уменьшения влияния отра-
жений от земли на результаты пеленгования в вертикальной плоскости.
Ограничения на точность пеленгования угла Р связаны с тем, что, как
правило, длина антенной решетки соизмерима с пространственным перио-
дом функции Ффд(х{), а также с дискретностью решетки. Иные источники
погрешности пеленгования в данном подразделе не учитываются.
Пусть измеряются разности фаз между нижним элементом решетки, на-
ходящимся на высоте с, и каждым из остальных. В этом случае будут фик-
сироваться разности фаз
2л
Ф, = Ф; - Фо = —-х,- sm р + arctg
X
„ . ( 4л . . . „
Rsin Фотр (х4 +c)smP
\ А
(х4 +c)sinP
А
- arctg
( 4л ]
Rsin <Po-rp-^~csinP
\ A J
, „ ( 4л . „
1+Rcos фотр csmp
\ A-
(3.13.2)
Как видно из этой формулы, разности фаз ф„ так же, как и начальная
фаза сигнала ф,, состоят из двух слагаемых: ф, = фо; + ффд,-.
Первое из этих слагаемых
2л .
ФО. =-T-XiSmP
А
равно разности фаз прямой волны на базе х,.
Второе слагаемое
Ффлг = arctg
- arctg
Rsin[ фотр - (х,- + c)sinp |
\ A J
1 + Rcos[ фотр -^(хг +c)sinp
„ . ( 4л . A
Rsml Фотр - —csinP
\ A J
’ _ ( 4л . o')
1 + Rcos фотр - — csinP
\ A 7
(3.13.3)
105
В.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
обусловлено интерференцией прямой и отраженной волн. Его можно рас-
сматривать как фазовую погрешность при пеленговании. Нетрудно видеть,
что фазовая погрешность — периодическая функция базы (х - с) с периодам
А./2 sinp.
Для частного случая с = 0 вид функции <р,(х^ представлен на рис. 2.2.2.
Как следует из формулы (3.13.2), изменение уровня нижней антенны, отно-
сительно которой выполняются измерения, приводит к сдвигу кривых
вдоль линии (2лх sinP)/X .
Один из использующихся способов уменьшения влияния отражений от
земли заключается в образовании на антенной решетке пеленгатора равных
баз, расположенных на разных высотах, и усреднении результатов измере-
ний на этих базах с равными весами.
Такой метод обработки сигналов применяется в угломестном пеленгаторе
радиосистемы посадки самолетов Setae [100] и называется методом равной
базы. При его реализации используется эквидистантная антенная решетка.
Измеряются разности фаз <р{ между сигналами, принятыми нижним, опор-
ным, элементом и остальными n=N-l элементами, п — четное число.
По результатам измерений вычисляется величина р:
п п/2 п/2
Р = У <Pi - 2u <Pi = Д (фп-ш - <Pi). (3.13.4)
,=n+1 i-l i=l
2
Нетрудно видеть, что р —' сумма п/2 разностей фаз на базах (n/2)d,
образованных на эквидистантной решетке с шагом d.
Находя среднюю разность фаз на этой базе, вычислим затем оценку сину-
са угла места источника сигнала
(sin₽)'=5^«мад
Система Setae разработана в ФРГ. Входящий в нее наземный угломест-
ный пеленгатор работает по сигналам бортовых самолетных передатчиков в
диапазоне частот 900-1213 МГц. Антенная система угломестного пеленгато-
ра содержит 21 элемент.
Подобный изложенному алгоритм обработки сигналов реализован в угло-
местном пеленгаторе микроволновой системы посадки самолетов Madge [4],
разработанной в Англии. Наземный угломестный пеленгатор работает по
сигналам бортового передатчика в диапазоне X = 6 см. Антенная система дан-
ного пеленгатора — вертикальная эквидистантная антенная решетка с шагом
d, п = 7.
Найдем разности фаз на базах 4d, которые можно образовать на этой
решетке:
Д<р1=(Р1-ф3, Дф2=фб-Ф2> Дфз=Ф5-Фь Дф4= Ф4-
Вычислим среднюю разность фаз на базах 4d
л 1 V л
Д<БР=7ЛА<Р<
u »=i
и оценку синуса угла места
106
3. Статистическая оптимизация фазовых пеленгаторов
с антенными системами в воде линейных решеток
(sinfl)*
ДфдЛ
8xd
л,
32nd
[(ф7 + <рй + <р5 + ср4 ) - (<Р;; + Ср2 + Ф1)]. (3.13.6)
Погрешность пеленгования может быть рассчитана по формулам (3.13.5),
(3.13.6) при подстановке в них вместо разностей фаз <р,- флуктуационных ошибок
<рфл{ (3.13.3). В соответствии с формулой (3.13.3) она зависит от угла р места
источника сигнала, модуля и фазы коэффициента отражения.
Другой известный способ обработки сигналов заключается в оценке sin р
по каждой из разностей фаз <р4
(sin р)‘
Аф, а
2 л id
и в последующем равновесном усреднении полученных результатов [101]:
(sin.p)* =— S"1 (sinP)* =— —— V” — (3.13.7)
7 N ' N'2r.d^-! i
1-1 r-I
Погрешность измерений может быть рассчитана путем подстановки в эту
формулу величин <рфЛ, (3.13.3) вместо <р,.
Точность оценки угла места, вычисленная таким образом, не является
наивысшей. Действительно, фазовые ошибки на разных базах имеют иден-
тичные статистические характеристики и, следовательно, угловые измере-
ния тем точнее, чем больше база. Поэтому оптимальной процедурой оцени-
вания является весовое суммирование результатов угловых измерений.
В формуле же (3.13.7) результаты угловых измерений суммируются с рав-
ными весами.
Предлагается также алгоритм обработки сигналов, основанный на
п
использовании суммарной разности фаз ф,-, приведенной к суммарной
i=i
базе l = d^i [101]:
(sinf!)’
(3.13.8)
Для восьмиэлементной эквидистантной решетки (п = 7)
X 1
(sin Р)‘
2л 28d •
(3.13.9)
Приведенные выше алгоритмы обработки совокупности измеренных раз-
ностей фаз могут быть реализованы после предварительного устранения
неоднозначности фазовых измерений на каждой из баз. В действующих сис-
темах посадки самолетов устранение неоднозначности производится после-
довательно от однозначной малой базы к большим.
Переотражения радиоволн от местных предметов и подстилающей
поверхности в равной мере ухудшают точность пеленгационного оборудо-
вания как фазового, так и амплитудного типа. Существуют общие методы
107
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
уменьшения этого влияния, состоящие в планировании приаэродромной зоны,
рациональном размещении оборудования и т.д. [100-103].
Вопрос о рациональном выборе апертуры приемной антенной системы в
литературе не освещен. По опубликованным данным точность угломестных
измерений системой Setae оценивается в 0,0Г, а системой Madge — 0,05'.
108
4. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АППАРАТУРЫ
РЕАЛИЗУЮЩЕЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ
И КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМЫ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
4.1. Реализация потенциальной точности методом
«суммирование косинусоид»
Известен способ обработки результатов измерений в многошкальных фа-
зовых системах, заключающийся в определении временного положения глав-
ного максимума суммы гармонических колебаний с частотами wit пропор-
циональными масштабным коэффициентам шкал, и начальными фазами, рав-
ными измеряемым разностям фаз сигналов на соответствующих шкалах [104]:
= (4.1.1)
>=«
В этой формуле <р, — разность фаз на г-й шкале, = т 2л nxi, т — коэф-
фициент пропорциональности, п — количество шкал.
Первоначально этот метод использовался в радионавигационных фазовых
разностно-дальномерных системах [18, 105], а затем стал применяться и в
фазовых пеленгаторах, где получил название «суммирование косинусоид».
Функциональная схема пеленгатора, предназначенного для работы по им-
пульсным сигналам, приведена на рис. 4.1.1.
Напряжения от пары УПЧ каждой из баз поступают на фазовременные
преобразователи ФВП, где формируются гармонические колебания с часто-
тами пропорциональными базам и начальными фазами, равными раз-
ностям фаз <р? Такие преобразователи могут быть выполнены на основе ли-
ний задержки, фазируемых гетеродинов или фазовых детекторов. Напряжения
с выходов ФВП поступают на сумматор Сум., образующий сумму (4.1.1).
Главный максимум суммы выделяется с помощью порогового устройства
ПУ. Схема индикации Сх.И служит для определения его временного положе-
ния относительно опорного импульса t = 0, формируемого схемой запуска
Сх.З. На рис. 4.1.2 для примера приведена структурная схема фазовременного
преобразователя, в котором используются фазируемые гетеродины.
В основу схемы положен принцип фазовой синхронизации автогенераторов
радиоимпульсными сигналами. Поскольку фазовая синхронизация возможна
только в узкой полосе частот, принимаемые сигналы переносятся на фикси-
рованную частоту с помощью схемы, включающей в себя смесители СМ1,
109
Б.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
СМ2, СМ3 и опорный гетеродин ОГ. Фазируемые гетеродины ФГ1, ФГ2
вводятся в режим самовозбуждения отпирающим видеоимпульсом, пере-
дний фронт которого совпадает с моментами прихода фазирующих радио-
импульсных сигналов. Собственные частоты фазируемых гетеродинов
различаются на величину со,. С их выходов радиочастотные колебания по-
ступают на смеситель СМ4. Фильтр низкой частоты выделяет сигнал
частоты со,, начальная фаза которого равна разности фаз входных сигналов.
Фазовращатель ФВ служит для компенсации паразитных фазовых сдвигов в
цепях преобразователя.
Рис. 4.1.1. Структурная схема устрайства обработки сигналов
методом «суммирование косинусоид»
Рис. 4.1.2. Структурная схема фазовременного преобразователя
НО
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
Покажем, что при соответствующем подборе коэффициентов в формуле
(4.1.1) метод «суммирование косинусоид» позволяет в принципе получить
потенциальную точность, если фазовые погрешности малы и подчинены мно-
гомерному нормальному закону распределения вероятностей [106].
Воспользуемся следующей методикой. Определим координату главного
максимума кривой (t) при наличии фазовых погрешностей, вычислим ее
дисперсию а2,, определим вектор амплитудных коэффициентов в формуле
(4.1.1) А = (Aj, А2,..., Ап), минимизирующих of., и сравним полученную дис-
персию с потенциально достижимой.
При отсутствии фазовых погрешностей сумма S^(t) имеет главный мак-
симум в точке t0 = (<р,- + 2 л/с, )/со,, так что v* = mt0, где v*— оценка синуса
пеленга.
При наличии погрешностей измерений положение главного максимума
смещается. Считая эти погрешности малыми, разложим (t) в ряд Тейлора
вокруг точки t0, ограничиваясь первыми двумя членами разложения. Полу-
чим
п п
(*) = s cos - <pi) “ S А
i=0 i=0
1-
(cOft-cpj -2лк,)2
2
(4.1.2)
Приравняв нулю первую производную, определим временную координату
главного максимума:
А)
та^А(<р,- + 2лк,)
2л т пхАпх
(4.1.3)
где А — диагональная матрица размерами п х п,
А = Aj 0 0 ... 0 0 Аг 0 ... 0 0 0 А3 ... 0 0 0 0 ... Ап
Нетрудно видеть, что, если фазы ср,- не имеют систематических погрешно-
стей, оценка несмещенная. Ее дисперсия
2 п^АВфАД,
‘ 4п2т2пхА(пх)Апх
где Вф — корреляционная матрица фазовых погрешностей, (пх) = пх пх
особенная матрица размерами п х п с рангом единица.
Обозначив через х = Апх вектор с координатами х, = А{ПХ., представим
of. в виде отношения квадратичных форм:
4 = —Ц- . (4.1.4)
4л т2 хТ(пх)х N(x,x)
111
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Определим минимальное значение и тот вектор х, на котором оно
получается, с помощью экстремальных свойств регулярного пучка квадра-
тичных форм [107]. Известно, что максимум (минимум) отношения квадра-
тичных форм А(х, х)/В(х, х), где В(х,х) положительно определена, равен
максимальному (минимальному) характеристическому числу пучка форм
А(х, х) - ХВ(х, х). Максимальное (минимальное) характеристическое число
находится как соответствующий корень уравнения det(A - ХВ) = 0, причем
экстремальное отношение форм достигается, когда вектор х = (xj,x2,...,xn)T
является главным вектором пучка форм, соответствующим данному харак-
теристическому числу X. Главный вектор хк, соответствующий Xfc, находится
из матричного уравнения Ахк = XBxJ.
Для проведения данного анализа необходимо, чтобы стоящая в знаменате-
ле квадратичная форма была положительно определенной. Квадратичная
форма N(x, х) таковой не является. Поэтому будем искать максимальное
значение величины, обратной дисперсии ст*.:
-2 л 2*Т(йх)г
Qt. = 4л т‘ —
х Вфх
Наибольшее характеристическое число пучка форм N(x,x) - ХВф(х,.х)
является максимумом отношения форм:
Xj
= max
' N (х, х)
АС®*®),
Этот максимум достигается на векторах, являющихся главными для
характеристического числа Xv Значения Хь Х2, ..., Хп являются корнями ха-
рактеристического уравнения пучка форм
det[(nJ-XB<p] = 0. (4.1.5)
Можно показать, что максимальное характеристическое число Xj равно
п^В^Пд., а все остальные собственные числа равны нулю. Действительно,
так как Вф — неособенная матрица, уравнение (4.1.5) можно записать в виде
det [(nJ В’1-ХЕ] =0,
где Е — единичная матрица размером п х п.
Решения данного уравнения являются характеристическими числами мат-
рицы (nJ в;1.
Так как ранг (nJ равен единице, ранг (nJ В”1 также равен единице, и
матрица (nJ В'1 имеет единственное отличное от нуля характеристическое
число, равное ее следу:
x1=sP [(nJ в;1] =njB"4-
Следовательно, выражение для дисперсии временной координаты глав-
ного максимума
112
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
_2 ; 1 1
* 4л2тп2 п^В^Пд,
(4.1.6)
с точностью до масштабного коэффициента совпадает с формулой для дис-
персии максимально правдоподобной оценки пеленга. Координаты вектора
х, на котором достигается экстремальное значение отношения квадратичных
форм, найдутся как результат решения системы линейных уравнений
х = 0. (4.1.7)
Поскольку ранг матрицы (М-ХВф) равен (п-1), система уравнений (4.1.7)
имеет множество линейно зависимых решений. Доопределим ее условием
нормировки:
У—= 1- (4.1.8)
Z1 п«
Поделив полученные значения xt на соответствующие относительные базы
п^, получим искомые весовые коэффициенты, причем
ЁА=1.
Легко проверить, что, если Вф = стфЕ, решение уравнения (4.1.7) имеет
вид х = а пх , где а — произвольная константа. С учетом условия нормиров-
ки (4.1.8) получаем А,= 1/п, где г = 1,2,...,п. Полученное равновесное сумми-
рование обычно используется на практике. Разумный выбор вектора баз пх
обеспечивает при этом достаточное превышение главного максимума суммы
5ф (t) над побочными для устранения неоднозначности фазовых измерений.
Рассчитаем весовые коэффициенты для частного случая. Пусть пеленгатор
имеет антенную систему в виде эквидистантной решетки, на которой образова-
но N/2 параллельных баз (см. рис. 3.5.1, а), а фазовые погрешности вызваны
наличием внутренних шумов и рассеянного сигнала, так что элементы корре-
ляционной матрицы Вф выражаются формулой (3.2.14), где pp(Z) = ехр{—Z/Zo},
1>0.
На рис. 4.1.3 приведены результаты расчетов Ai для восьмибазового пе-
ленгатора. Параметром семейства кривых служит отношение дисперсии рас-
сеянной составляющей сигнала к дисперсии внутреннего шума h = ст2 /о2 .
Как видно из графика, при h < 0,1 «косинусоиды» складываются практичес-
ки с равными амплитудами, так как в этом случае фазовые погрешности
практически некоррелированны. При h = 10 для достижения предельной
точности следует суммировать «косинусоиды» с существенно различными
весами.
На рис. 4.1.4 приведена реализация суммы S^(v) для h= 1, полученная
методом моделирования на ЭВМ. Расчеты проводились по формуле
п
(и) = 2Х cos [2л (2г -1) - <р£ ],
i=i
ИЗ
В.П. Денисов, Д. В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
где амплитудные коэффициенты А{ брались из графика рис. 4.1.3. Положено,
что истинное значение пеленга равно нулю, поэтому фазы <р^ (в данном слу-
чае это фазовые погрешности) получены как выборка из нормального рас-
пределения с корреляционной матрицей Вф (3.2.14) и нулевыми средними
значениями. На графике главный максимум значительно превышает побоч-
ные, так что неравновесное суммирование обеспечивает разрешение неод-
нозначности измерений.
Рис. 4.1.4 Реализация «суммы косинусоид» при » = 0, h = 1
Изложенная методика расчета весовых коэффициентов А,- не учитывает
условие получения в точке tg (4.1.3) главного максимума суммы (t) . Те-
ория допускает наложение на решение х системы уравнений (4.1.7) таких
связей, чтобы это условие выполнялось [107]. Однако при этом не исключено
получение отрицательных или нулевых решений для коэффициентов Ait что
недопустимо. В частности, такое решение возникает при использовании кор-
реляционной матрицы Вф вида (3.5.5), характерной для фазового пеленгато-
ра с опорной антенной. В таких случаях можно использовать равновесное
114
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
суммирование косинусоид, что приведет, однако, к неполной реализации
потенциальной точности.
Достоинством метода совместной обработки совокупности разностей фаз
путем «суммирования косинусоид» является его простота. Его недостаток
следует из того, что многошкальная система по существу сводится к одно-
шкальной, а это приводит к повышению требований к точности измеритель-
ной аппаратуры.
4.2. Устранение нео/щозначностн методом
совмещения выходных импульсов
фазовременных преобразователей
Известен метод обработки результатов многошкальных фазовых измере-
ний, заключающийся в перемножении на схеме совпадений последователь-
ностей прямоугольных импульсов, полученных при помощи фазовременных
преобразователей [108, 109, 110].
Существо метода заключается в следующим. С помощью фазовременных
преобразователей из выходных сигналов УПЧ каждой базы формируются
последовательности прямоугольных видеоимпульсов, симметричных во вре-
мени относительно моментов перехода через нуль (снизу вверх) гармонич-
ных колебаний
й<(4) ~ Umaxsm(2nfit - (р^), i= l,2,...,n. (4.2.1)
Положение Z-го импульса г-й базы определяется соотношением
2яд
где ка — целое число периодов, соответствующее I-му переходу через нуль
колебаний u,(t) (4.2.1).
С другой стороны, при отсутствии ошибок измерений имеем
Ф, + 2nk,i
sin а = —----—, »=1,2 п, (4.2.3)
2т„
где — целое число периодов разности фаз, утраченных при измерении.
Сравнивая (4.2.2) и (4.2.3), видим, что если частоты пропорциональны
базам, /, = konxt> то моменты переходов через нуль колебаний (4.2.14 совпадут
в точке
f = Ф,- + 2пкй , (4.2.4)
2лкоп^
Фиксируя эту точку по моменту совпадения импульсов, определяем
v=sina=tk0. (4.2.5)
Пеленгатор, использующий данный принцип обработки разностей фаз,
может иметь одну однозначную базу или не иметь ни одной. В последнем
случае сектор однозначного пеленгования такой же, как при использовании
метода максимального правдоподобия.
115
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Структурная схема аппаратуры, реализующая данный принцип, не от-
личается от таковой для метода «суммирование косинусоид» (см. рис. 4.1.1).
Разница заключается в том, что в методе «суммирование косинусо-
ид» фазовременные преобразователи формируют гармонические колебания
типа ui(t) = l7maxcos(2?r/jt - <рД а в данном случае — прямоугольные импуль-
сы, оси симметрии которых совпадают по времени с максимумами косинусо-
ид (t). На выходе порогового устройства импульсы появляются только тог-
да, когда они имеются на каждом из входов сумматора.
Эпюры напряжений на выходах фазовременных преобразователей
(ui, u2) и порогового устройства (и№ВП ) для двухбазового пеленгатора приве-
дены на рис. 4.2.1. Принято, что сектор однозначности соответствует периоду
повторения импульсов грубой базы 1Х, точное значение угла прихода плоской
волны соответствует моменту времени t0. За счет фазовых искажений сигна-
лов на трассе распространения радиоволн и в приемно-измерительных трактах
импульсы Uj(t) смещаются относительно t0 на величины 5Ъ i = 1,2. Для того
чтобы они совпадали в какой-либо момент времени с высокой вероятностью,
их суммарная длительность должна превышать сумму ошибок 5;. В рассмат-
риваемом варианте построения аппаратуры принято, что длительность им-
пульсов выбирается исходя из требуемых статистических характеристик раз-
решения неоднозначности.
Рис. 4.2.1. Временные соотношения при устранении неоднозначности:
п = 2; l2 = 2lj
Особенностью данного метода обработки разностей фаз является то, что
он, как и «суммирование косинусоид», сводит многошкальную измеритель-
ную систему к одношкальной, так что возникает необходимость производить
измерения с высокой относительной точностью. Действительно, измеряемая
величина t0 принадлежит интервалу t0 е (OjTj). Как будет показано ниже,
разность tg -10 можно приблизительно характеризовать среднеквадрати-
ческой временной ошибкой на точной базе otn. Используя (4.2.4), нетрудно
получить
116
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный. алгоритмы обработки сигналов
gtn = % nxi (4.2.6)
2л Пхп
Таким образом, требования к относительной точности временных изме-
рений увеличиваются в раз по сравнению с точностью фазовых из-
мерений. Соотношение (4.2.6) ограничивает максимальное отношение «сво-
димых» баз.
Если фазовременные преобразователи выполнены на основе фазируемых
гетеродинов, наибольшая из частот следования импульсов Fn определяется
максимальной разностью между собственной частотой гетеродина и
частотой фазирующих колебаний. Минимальная частота определяется ста-
бильностью гетеродинов. Последняя зависит от добротности колебательной
системы, которая не может быть принята очень высокой при коротком фази-
рующем импульсе. Практически Fmax/Fmin = пХат /Пхтп = 15 - 20.
Данное ограничение на отношение /пх^„ в полной мере относится к
методу «суммирование косинусоид».
На рис. 4.2.2 представлена предложенная В.И. Беловым эквивалентная схема
сумматора и порогового устройства схемы, приведенной на рис. 4.1.1. Она
сводит анализ многобазового пеленгатора к последовательному рассмотре-
нию ряда двухбазовых. Поэтому рассмотрим сначала двухбазовый пеленга-
тор. В зависимости от ошибок 5„ длительностей импульсов т, и периодов Т,
(см. рис. 4.2.1) возможны следующие ситуации.
Рис. 4.2.2. Эквивалентная схема устранения неоднозначности
методом «совмещение импульсов»
1. Правильное устранение неоднозначности — результирующая угловая
ошибка не превосходит половины сектора однозначности точной базы. Усло-
вие появления этого события:
15,-5^^. (4.2.7)
2. Неправильное устранение неоднозначности (ложный пеленг) — допус-
каются аномально болыпйе ошибки пеленга. Условие их возникновения
запишем в виде совокупности несовместимых неравенств:
117
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
|82 + »Т2 -8]| < ^>г= 1,2,...,р. (4.2.8)
Здесь г — число полных периодов последовательности u,(t), укладываю-
щихся между точкой t0 и моментом совпадения импульсов на интервале
t6±T1/2; р = (п-1)/2, если отношение баз т —нечетное число; р = т/2, если
т — четное число.
3. Пропуск пеленга (стирание [39]) — импульсы перемножаемых последо-
вательностей не совпадают ни в один момент времени. Условие пропуска
пеленга представим в виде совокупности двойных неравенств
г'Т, + < |S2 - 8i | < (г + 1)Т2 - , i = 1,2, ...,р. (4.2.9)
Оценим вероятности указанных ситуаций, а также дисперсию временно-
го положения импульсов на выходе порогового устройства.
Найдем плотность распределения временных флуктуаций выходных
импульсов при условии правильной ликвидации неоднозначности. Из (4.2.7)
следует, что фактически надо найти условную плотность распределения слу-
чайной величины 8, при условии, что |8,-8! |<Т!/2. Для этого рассмотрим
функциональное преобразование случайных величин
т|1 = 81-8,,т=82. (42.10)
По известной плотности распределения случайных величин 8,,8,,, которую
обозначим d2), найдем плотность распределения W,(y,t) случайных
величин Цр т. Так как якобиан преобразования (4.2.10) равен единице,
W2(t/,t) = W25(t-J/i,t). (4.2.11)
На основании теоремы умножения вероятностей имеем
. ,, . . Р [ т < 1.1 б2 - Si I < 0,5т, I
Р [ , S ,/1S, - 811 < 0,5т,) . (4.2.12)
Знаменатель правой части этой формулы представляет собой вероят-
ность правильного устранения неоднозначности Ро. Ее можно вычислить,
используя плотность распределения (4.2.11):
0,5т,
ро = р{!82-М <0>5т1) = j W26(t - y},t) dy^t. (42.13)
-П,5т,
Выражая вероятность в числителе правой части (4.2.12) через плотность
распределения (4.2.11), дифференцируя левую и правую части полученного
равенства по t, получаем искомую плотность распределения
0,5т,
WCOBn(t) = W2S(t/|82-61|<0,5T1) = -l- f W-^t-y^dy,. (42.14)
-0 5Т,
Предположим, что фазовые ошибки на базах и I, распределены нор-
мально, независимы, имеют нулевые средние значения и дисперсии с^.
Из (4.2.13), (4.2.14) получим
118
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиопгимальный алгоритмы обработки сигнале»
exp-
^=2F
(4.2.15)
_ [ t + 0,5т, | _ [ t - О,5т,
р __________L — F ’ 1
\ °rl J k °Г1
. (4.2.16)
Здесь Е(х) — функция Лапласа [37],
у — (4.2.17)
2лкопх.,
среднеквадратические временные флуктуации
Как следует из (4.2.15), вероятность Ро зависит от отношения длитель-
ности импульса т к среднеквадратическим флуктуациям разности 8, -
На рис. 4.2.3 сплошными линиями изображена зависимость вероятности Ро
от отношения "Ч/Т,. Параметром семейства кривых служит отношение сиг-
нал/шум q, введенное формулой аф = 1/^/q. Как видно из графиков, отно-
шение Tj/T,, при котором вероятность Ро близка к единице, зависит от q.
При q > 50 Ро-> 1, если Tj/T, >0,3. Если q^3, то Ро не достигает единицы
при максимально возможной длительности ?! = Т2.
Рис. 4.2.4 иллюстрирует вид плотности распределения (4.2.16). По верти-
кальной оси отложено W<,OBn(t)P0af2, так что площадь под кривой пропорцио-
нальна вероятности Ро. Как следует из рисунка, с уменьшением длительно-
сти импульсов на грубой шкале т. уменьшается вероятность Ро и дисперсия
временного положения выходных импульсов. Так как кривые симметричны
относительно t = 0, условная оценка , полученная при условии, что нео-
днозначность правильно устранена, несмещенная.
Рис. 4.2.3. Вероятность правильного устранения неоднозначности
и дисперсия соответствующей оценки
119
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Рис. 4.2.4. Распределение вероятностей оценки
при правильном устранении неоднозначности
Выведем формулу для условной дисперсии временного положения вы-
ходных импульсов о2. Используя (4.2.14), получим
°о =
оо O.Stj
J I *2ехр-
-оо -0,512
t
2crt2
(t-yf
2^ .
>dtdy
1
Сначала выполним интегрирование по переменной t, для чего дополним
показатель экспоненты под знаком интеграла до полного квадрата. Будем
иметь
2 = 1 Г
° >/2Р0ол1
2
у
ехр------=- ~7=-----
2а{1] л/2лопо,
-—— J t2 ехр
42 ~
Y
0*2
t+y-F
20^0^2
_2
СТТ]1
dtdy. (4.2.18)
Здесь обозначено о2! = o2j + о22 •
Внутренний интеграл представляет собой второй начальный момент т2
нормальной случайной величины t со средним значением 7ПХ = уо22/и
дисперсией М2 = cr^o^/c^i Так как т? = гп£ +М2, имеем из (4.2.18)
_2 „2 2
.2 _ CTtlCTt2 f
О ~ I— I ехР
V2^poCTniCTn ч
2
_2
CTt2
_2
\2
-7=^---- f tZ ехр
V2xP0om Д
_jd_ldy
о У .
2CTnlJ
ГТ гу +
2о2 J
Второй из этих интегралов путем подстановки у2 = 2зст2 приводится к
неполной гамме-функции [98]
120
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
у(ш,х) = ’е Zdz.
о
После простых преобразований получим
_2 0—2 Го _2 (- А2 1
СТ° " 1 + (Ш2 + ^p0[i + (W2]Р w) i + GiA)2
(4.2.19)
Как видим, дисперсия временных флуктуаций выходных импульсов зави-
сит от отношения и/Тг- Так как у(тп,О) = О, то при т1/Т2—>0
СГ0 ~--------o’’
1+(W2
то есть рассматриваемый способ обработки фазовых измерений обеспечива-
ет получение минимально возможной дисперсии. Однако вероятность полу-
чения выходного импульса при -> 0 также стремится к нулю. В другом
крайнем случае, когда Xi/T2 настолько велико, что аргумент х функции
у(3/2,х) намного больше единицы (практически х>5), у(3/2,г)®0,5л, Р0->0
и из (4.2.19) получаем ст2 = ст22. Это и понятно, так как при Р0->0 каждый из
импульсов точной шкалы, соответствующий пеленгу, проходит на выход схемы.
На рис. 4.2.3 пунктирными линиями приведены зависимости о§/о^2 от
Tj/Tjj. Как видно из графиков, значение Tj/Тг, при котором достигает
единицы, зависит от q: с ростом q оно уменьшается.
Вычислим вероятность неправильного устранения неоднозначности и плот-
ность распределения временного положения соответствующих выходных им-
пульсов. Используя условие появления «ложных пеленгов» (4.2.8), получаем
по аналогии с вышеизложенным
Wnirf(t) =
^(0 =
1=1
гТ2;ач> ^+{пх21пхХ)г
exp- -
(t-fT2)2
2ст22
+ ехр
(t + xT2)2
2of2
(4.2.20)
(42.21)
(4.2.22)
Распределение (4.2.22) имеет два узких лепестка, расположенных при-
близительно в точках t = ± г’Т2 и симметричных относительно точки t = 0.
Поэтому соответствующая условная оценка несмещенная, а ее дисперсия
Олп» = (гТ2)2. Рис. 4.2.5 иллюстрирует вид распределения для i= 1.
Полученные соотношения позволяют вычислить результирующую дис-
персию оценки
121
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
ст
ст0^0 +
(4.2.23)
2
t
По этой формуле на рис. 4.2.6 пунктиром построены зависимости
от Tj/Tg. Как следует из графиков, при малом q дисперсия временного по-
ложения выходных импульсов намного превышает дисперсию импульсов
точной базы, если близко к Т2. С этой точки зрения рационально выб-
рать Ti/T2 малым.
Рис. 4.2.5. Распределение вероятностей ложных пеленгов
Рис. 4.2.6. Вероятность пропуска и дисперсия пропущенных импульсов
Ограничением в уменьшении является возрастание вероятности «про-
пуска пеленга». Действуя так же, как при выводе формул (4.2.15), (4.2.16) и
исходя из условия (4.2.9), нетрудно получить соотношение для вероятности
пропуска Рпр и плотности распределения временного положения пропущен-
ных импульсов:
122
. 4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
р-i
р = У р
пр / , х прг ,
г=0
71(2(2+1)-^/^)
(4.2.24)
Wnp(t)=2PnP*WnPi(0,
4=0
Wnpi(t) = г—1 „ ехр
<2тю(,Рпр
рГгТ2 -0,5т; - t'
. I ММЛ J
iT2 +0,5x1 + t>| _( 0,5?! +t"
l CTt2(Uli) J ^ггОгЛ);
(4.2.25)
На рис. 4.2.6 сплошными линиями даны зависимости Рпр =/(Ti/^2)- Эти
кривые наряду с зависимостями Gt/of2 = /(т1/Т2), помещенными там же, могут
служить основанием для выбора ^i/T2. В частности из них следует, что при
L>/1} = 2, q= 3 рационально иметь = (0,5 0,6)Т2-
Рисунок 4.2.7 иллюстрирует вид плотности распределения вероятностей
(4.2.25), г=1. По вертикальной оси отложено Wnp(i)Pnpat2, поэтому площадь
под кривыми пропорциональна вероятности пропусков Рпр1. Кривые свиде-
тельствуют, что пропущенные импульсы имеют больший временной раз-
брос, чем импульсы на точной шкале. Распределения (4.2.25) обладают дан-
ным свойством при любом г. Этим и объясняется уменьшение дисперсии
временных флуктуаций импульсов, прошедших на выход в результате пра-
вильного устранения неоднозначности, по сравнению с g,2.
125
Б.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Перейдем к рассмотрению многобазовых пеленгаторов. На рис. 4.2.8 изоб-
ражены выходные импульсы фазовременных преобразователей для п = 4.
Из рис. 4.2.8 нетрудно видеть, что в n-базовом пеленгаторе условие пра-
вильного устранения неоднозначности можно записать в виде
|б - 6; I < — , * = 1,2, ...,п - 1.
। it I I <2
Рис. 4.2.8. Временные соотношения при устранении неоднозначности, тг=4
Действуя далее так же, как при выводе формул (4.2.13), (4.2.14), получим
0,51 [ 0.5 г„_.
№0ВПЮ = J ••• j W,l5(t,t-y1,...,t-yn_1)dy1...dyn_1> (4.2.26)
-0.5т, -О.бТд,]
Ро= JwcoBn(t)dt. (4.2.27)
Дальнейшие вычисления требуют знания плотности распределения фазо-
вых ошибок W,15(y ], у2, ..., уп). Если они распределены нормально, независимы,
имеют нулевые средние значения и равные дисперсии о", то из (4.2.26),
(4.2.27) получаем [ПО]
1 [ t2 1 ттТД' t + 0,5т-р-0,5т^
(П = -rr----^р - —- | J F — --------- F — ------- . (4.2.29)
<27tP0atI1 [ 2ot,,]%{•[ I ) V °ti J J
124
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
Вычисления по этим формулам могут быть выполнены численным мето-
дом. Дисперсия распределения (4.2.29) также может быть найдена методом
численного интегрирования. Ее приближенное значение можно найти и ана-
литическим путем, аппроксимируя плотность распределения на каж-
дом шаге устранения неоднозначности по схеме рис. 4^2 нормальным зако-
ном и используя методику, изложенную выше для двухбазовых пеленгаторов.
В работе [108] для вычисления Ро получена формула в виде (п~ 1 ^крат-
ного нормального интеграла.
Соотношения для вероятности ложных пеленгов и вероятности «пропуска
пеленга» в n-базовом пеленгаторе выводятся аналогично (4.2.18).
4.3. Техническая реализация алгоритма
максимального правдоподобия
Особенности максимально правдоподобного алгоритма обработки сигна-
лов в фазовых пеленгаторах заключаются в следующем:
— устранение неоднозначности по каждой из баз производится по сово-
купности всех измеренных разностей фаз;
— оценка пеленга выполняется по совокупности всех полных разностей
фаз, полученных в результате устранения неоднозначности измерений.
Обобщенная структурная схема пеленгатора, построенного в соответствии
с указанными принципами, представлена на рис. 4.3.1.
Сигналы, принятые антеннами Aj-Ajy, поступают на приемные устройства,
где выполняется необходимое усиление, ограничение амплитуды и преобразо-
вание частоты. Частота и амплитуда выходных сигналов приемников должны
быть такими, чтобы обеспечить нормальную работу фазометров.
Построение приемных устройств и фазометров зависит от вида модуля-
ции, полосы частот и динамического диапазона принимаемых сигналов, а
также от необходимого быстродействия пеленгатора. Синтез соответствую-
щих устройств выходит за рамки данной книги.
Рис. 4.3.1. Обобщенная структурная схема фазового пеленгатора
с линейной АР, реализующего принцип максимального правдоподобия
125
Б.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Вычисление пеленга по совокупности полных разностей фаз <р 4- к не
представляет технических трудностей. Сначала с помощью весового сумма-
то-ра, реализующего формулу (3.2.8), находится оценка направляющего коси-
нуса
v* = дтФ . (4.3.1)
Затем путем нелинейного преобразования v* находится угол прихода
волны относительно нормали к антенной системе
а* = arcsin v * (4.3.2)
В соответствии со сказанным, в данном разделе основное внимание уделя-
ется устройствам устранения неоднозначности.
Формула (3.6.14) задает алгоритм максимального правдоподобия как отыс-
кание целочисленного вектора, минимизирующего билинейную форму:
к' = arg min +2qjTGfc"|. (4.3.3)
Непосредственное использование формулы (4.3.3) предполагает априор-
ное вычисление всех векторов неоднозначности , которые могут иметь
место в данном пеленгаторе. Правило вычисления векторов к{ по вектору
баз пх и корреляционной матрице фазовых погрешностей разработано
В.И. Беловым [27]. Оно приводится также в приложении 2.
Если не налагать жестких требований на быстродействие пеленгатора, то
алгоритм (4.3.3) легко реализуется на современных персональных ЭВМ, когда
правая часть формулы последовательно вычисляется для каждого из векто-
ров неоднозначности. Однако бывают случаи, в которых устранение неодноз-
начности должно выполняться за время порядка единиц микросекунд.
Например, такая ситуация возникает, если пеленгатор работает в системе
радиоэлектронной борьбы по импульсным радиолокационным станциям.
В целях повышения быстродействия математические операции по устране-
нию неоднозначности должны выполняться параллельно специальными циф-
ровыми устройствами. Однако такой подход приводит к быстрому разраста-
нию вычислительного устройства по мере увеличения количества баз.
Другой подход к синтезу схемы устранения неоднозначности основан на
геометрической интерпретации данного процесса. Геометрическая интерпре-
тация рассмотрена в подразделе 3.8. Показано, что устранение неоднозначно-
сти можно трактовать как отображение вектора измерений ф на (n~ 1)-
мерное подпространство 91”-1 пространства полных разностей фаз по правилу
д = Мгф (4.3.4)
и определение, в какую из собственных областей векторов неоднозначности,
заполняющих данное подпространство, попала точка с соответствующими
координатами. В выражении (4.3.4) матрица М определяется формулой (3.8.4).
Центры собственных областей векторов неоднозначности представляют со-
бой координаты отображений этих векторов на 91”-1. Например, отображе-
ние жр вектора кр можно записать в виде формулы
Жр=Мткр. (4.3.5)
126
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
В подразделе 3.8 показано, что точки йр образуют в 1 решетку и
имеют целочисленные координаты в базисе, представляющем собой проек-
ции на 9?” ~1 векторов опорной совокупности. Данное обстоятельство выра-
жается формулой
«Р = В„ар. (4.3.6)
Столбцы входящей в нее матрицы Вп можно рассматривать как коорди-
наты проекций на SR”-1 векторов опорной совокупности > а
элементы целочисленного вектора ар — как координаты отображения век-
тора кр в соответствующем базисе.
Устранение неоднозначности заключается в отыскании по вектору т]
центра собственной области хр и последующего вычисления кр путем об-
ратного преобразования по отношению к (4.3.6). Последнее, однако, возможно
лишь с точностью до векторного слагаемого, коллинеарного ёх:
к* = -Rift + и ёх , (4.3.7)
где К — матрица размерами пх(п~1), столбцами которой являются векто-
ры из опорной совокупности nx(n- 1), Цц — координаты центра собствен-
ной области вектора неоднозначности в базисе s&x,z2>-’Xn-i-
Если собственная область принадлежит вектору кр , то
Пц = ар , (4.3.8)
где ар — вектор из уравнения (4.3.6).
Наличие второго слагаемого в правой части формулы (4.3.8) является след-
ствием ортогональности матрицы M = KG размерами пх(п~1) по отноше-
нию к вектору ёх. В связи с этим соотношение (4.3.6) определяет проекции
на 9?” ”1 не только точек кр , но и всех точек кр + и ёх , где и — целое
число, хр = Мт (кр + и • ёх ).
Отсюда и следует формула (4.3.7). Структурная схема устройства устра-
нения неоднозначности, построенная в соответствии с изложенными принци-
пами, представлена на рис. 4.3.2.
Коды измеренных разностей фаз ф1,ф2,--,ф,1 поступают на весовые сум-
маторы ВС1-ВСП_1. Совокупность сумматоров выполняет преобразование
fi' = U<p, (4.3.9)
где U = B“!MT — матрица размерами (п -1) х п, введенная формулой (3.12.12).
Выходные сигналы весовых сумматоров представляют собой координаты
вектора fj'. В блоках ОБЩ-ОВЦ,^ происходит округление координат векто-
ра ff до ближайшего целого. Выходные коды блоков представляют собой
координаты целочисленного вектора Цц. Соответствующая точка располо-
жена в центре параллелепипеда, построенного на векторах хх -JBn-i — фун-
даментального параллелепипеда решетки. Правило построения фундамен-
тальных параллелепипедов изложено в подразделе 3.12.
127
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Фундаментальный параллелепипед не совпадает с собственной областью
вектора неоднозначности. Поэтому требуется проверка, не попала ли точка
q' в соседнюю собственную область, и уточнение в случае необходимости
координат собственной области вектора неоднозначности. Собственные обла-
сти векторов неоднозначности и фундаментальные параллелепипеды для ча-
стного случая представлены на рис. 3.8.1. Собственные области показаны сплош-
ными линиями, фундаментальные параллелепипеды — пунктиром.
Рис. 4.3.2. Структурная схема устройства устранения неоднозначности
в пеленгаторе с линейной антенной решеткой, реализующем
принцип максимального правдоподобия
Для уточнения центра собственной области в блоках ВОК^ВОКп.!
выделяются остатки от округления координат вектора fj'. На выходах бло-
ков получаем
По^'-Пц- (4.3.10)
Координаты вектора fjg поступают в блок уточнения координат центра
собственной области БУ, где вырабатываются поправки к координатам век-
тора т]ц. Поправки могут принимать значения 0 либо ±1 и добавляются к
координатам вектора Цц на сумматорах С1-Сп_1.
В блоке уточнения выполняются следующие операции. Сначала остат-
ки от округления qj, преобразуются к исходному базису по
правилу
По=впПо- (4.3.11)
Данная операция может быть выполнена с помощью весовых сумматоров.
Затем проверяется, не выходит ли точка qj, за пределы собственной облас-
ти нулевого вектора неоднозначности к = 0 • Учитывая, что указанная точ-
128
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
ка расположена внутри фундаментального параллелепипеда, данное усло-
вие можно записать в виде
|т|0*| <d?/2, i = l,2,...,n-l. (4.3.12)
Если совокупность неравенств (3.4.12) удовлетворяется, координаты
собственной области уточнять не требуется. На выходе БУ в этом случае
будут нули. В противном случае производится отыскание (п - 1)-мерного
вектор-столбца ait координаты которого могут принимать значения 0 ли-
бо ±1 и добавляются к д'ц на сумматорах Cj-Cn-i- Правило отыскания
вектора выводится из уравнения (4.3.3), если выразить в нем векторы
к{ через dj и заменить G<p на остаток от округления вектора ff.
Получим
d; = arg min (Kdi)Tii0 +|(Kdj)T G(Kd<) ,
OjelaJL Z
где К —матрица размерами nx(n-l), столбцами которой являются векто-
ры опорной совокупности, {dj} — совокупность возможных значений век-
тора di-
Блок уточнения может быть выполнен как вычислительное либо запоми-
нающее устройство. В последнем случае работа блока основана на разбиении
(п - 1)-мерного параллелепипеда, построенного на векторах ,
на (п - 1)-мерные дискреты. Каждому дискрету ставится в соответствие
вектор df, код которого и появляется на выходе блока.
На выходах сумматоров Ci~Cn_i имеем
й' = Пц+^. (4.3.13)
Весовые сумматоры BCi-BCn-j преобразуют полученный вектор в соот-
ветствии с формулой
к* = К2' • (4.3.14)
В блоке приведения оценки в заданный сектор однозначности БП к вектору
к (4.3.14) добавляется слагаемое иёх в соответствии с формулой (4.3.7).
Приведение вектора к* к интервалу однозначности измерительной
системы может выполняться по методике, предложенной И.Г. Неплоховым и
основанной на сравнении одной из его координат с возможными значениями
на заданном интервале [89]. Например, если пеленгатор рассчитан на работу в
секторе углов, симметричном относительно нормали к антенной системе, то
» = (кп/ет),
где знак о — округление до ближайшего целого, кп — п-я координата
вектора к (4.3.14), — n-я координата вектора ёх.
129
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
4.4. Реализация квазиоптимальиого алгоритма
устранения неоднозначности
Использование оптимального алгоритма устранения неоднозначности со-
пряжено с проверкой пересечения проекцией вектора фазовых погрешнос-
тей т)0 (4.3.11) каждой грани собственной области вектора неоднозначности.
Количество граней (п~ 1)-мерного параллелоэдра достигает 2(2n-1). Как ви-
дим, при увеличении числа баз п количество необходимых сравнений для
выбора оптимального вектора неоднозначности быстро возрастает. Это при-
водит либо к усложнению аппаратуры, либо к увеличению времени устра-
нения неоднозначности.
Более простая процедура получается при использовании квазиоптималь-
ного алгоритма устранения неоднозначности, рассмотренного в подразде-
ле 3.12 и основанного на аппроксимации собственных областей векторов
неоднозначности (п~ 1)-мерными параллелепипедами.
Исключение из структурной схемы устройства устранения неоднознач-
ности (рис. 4.3.2) блока уточнения центра собственной области БУ делает ее
соответствующей квазиоптимальному алгоритму устранения неоднознач-
ности.
Однако можно построить многобазовый пеленгатор, реализующий прин-
цип квазиоптимальиого устранения неоднозначности, в котором вектор нео-
днозначности в явном виде не вычисляется. Покажем это.
Оценка направляющего косинуса определяется по формуле (3.2.3):
тфВ^ф + к*)
^Х
(4-4.1)
где <р = (ф1,Фг, —,фп)Т—вектор измерений, -0,5<<pt<0,5, к —оценка вектора
неоднозначности.
Представим данную формулу в виде
nX’CC-^cp + fc*)
v =------, (4.4.2)
пх ’
где С — матрица (3.12.1) размерами пхп, составленная из вектор-столбцов
опорной совокупности kit г = 1,2,..., п, и вектора ёх.
Как было отмечено в подразделе 3.12, матрица С имеет обратную,
СС"1 = Е,
поэтому формулы (4.4.2) и (4.4.1) идентичны.
В соответствии с формулой (3.7.9) любой n-мерный вектор неоднозначнос-
ти можно представить в виде
fcj = ацК + а,2^2 +.+ a,(n-i)^n-i + ajnex = Cd,..
Используем далее формулу (3.8.6). Она показывает, что первые (п - 1)
координат вектора d, — координаты проекции вектора kj на подпростран-
ство 91п-1 в базисе ,ж 2>..
130
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
Поэтому для вектора неоднозначности к* имеем
С-1к* = С’^Пц!, <2....... <(n-i)>u) = (пц1.Иц2.Ч(п-1)>и)- (4.4.3)
Далее используем, что первые (п~1) строк матрицы С идентичны мат-
рице Р = В^МГ, определяющей проекции вектора измерений <р на под-
пространство SR"-1 в базисе х1,х2,...,хп. Таким образом,
С-1Ф = (П1, Иг Лп-i, М , (4-4.4)
где .Лз, .., Пп-1 — координаты проекции вектора ф на <Rn-1 в базисе
xv,x2,...,xn_i, h — произведение n-й строки матрицы С-1 на вектор <р,
ь=4-1)ф.
Поскольку л' = ~Лц + f)о, где -fj„ — координаты центра собственной обла-
сти вектора к , По — координаты остатка от округления, можем записать
С'1 (<р + к) = (пи, Пог > •••> nj>(n_i), и + &). (4.4.5)
Обозначив
фН) =С-1(ф + к’), (4.4.6)
получим из (4.4.2)
V* = рТфс-1', (4.4.7)
где
n-мерная вектор-строка весовых коэффициентов.
Формулы (4.4.6), (4.4.7) позволяют построить многобазовый пеленгатор, в
котором отсутствуют блоки, предназначенные для устранения неоднозначно-
сти измерений в явном виде. Соответствующая структурная схема изобра-
жена на рис. 4.4.1.
Рис. 4.4.1. Структурная схема устройства обработки сигналов
в квазиоптимальном пеленгаторе с линейной антенной решеткой
131
Б.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Коды разностей фаз ф1-ф„ поступают на п весовых сумматоров BCj-BCT1,
где преобразуются по формуле (4.4.4). На выходах весовых сумматоров
имеем Блоки БОКОВОЕ,, _ , выделяют остатки от округле-
ния до ближайшего целого. Выходные сигналы блоков вместе с сигналом
от ВСТ1 поступают на весовой сумматор ВС. Совокупность входных сигналов
блока ВС представляет собой вектор ф’.1' (4.4.6). В весовом сумматоре ВС
выполняется операция (4.4.7). На его выходе получаем оценку v*, которая
может отличаться от истинной на целое число секторов однозначности Дгодн.
Приведение оценки к априорно известному сектору однозначности выполня-
ется в блоке БП. Работа блока БП аналогична работе одноименного устрой-
ства в схеме рис. 4.3.2.
Схему рис. 4.4.1 можно упростить. Действительно, в формуле (4.4.5) г]^,
г = l,2,3,...,n- 1, — преобразованные фазовые погрешности, вектор которых в
пространстве полных разностей фаз ортогонален . Положим их равными
нулю. Тогда формулу (4.4.5) можно записать в виде
С ' (<р + kj = (fl,0,0,..., <1!ф + vj , (4.4.9)
где с*( 11 — n-я строка матрицы С’1.
Перемножая С и с^'ф, получим
С • 4-11ф = сх1 (с’/Гр + и) + ех2 (с^'ф + и) +
н----he.m г,ф + vj = сд. (с^ф + и). (4.4.10)
Подставим данный результат в (4.4.2). Учитывая, чтоп,. = Дг\1днёг , получим
«’* = Дюодн (сп 1 ’Ф + и) • (4.4.11)
Таким образом, с точностью до целого числа секторов однозначности оценка
находится как весовая сумма измеренных разностей фаз, каждая из которых
может быть неоднозначной.
Проверим полученный результат на численном примере. В качестве при-
мера возьмем измерительную систему, описанную в авторском свидетель-
стве [89]. Для нее ст = пд. = (8, 9, 14), Дг>одн = 1, Вф = о^Е. Опорную совокуп-
ность векторов неоднозначности образуют линейно независимые векторы
kj = (1; 1; 2)г и =(2; 2; 3)г, для которых величины dj = k-Gkt минималь-
ные. Таким образом, матрица С имеет вид
Нетрудно найти
132
4. Принципы построения аппаратуры, реализующей оптимальный
и квазиоптимальный алгоритмы обработки сигналов
Пусть, для примера, v = 0,3, фазовые погрешности отсутствуют. Тогда
вектор полных разностей фаз, выраженных в долях 2 л, составит
ф + к = nxv = (8; 9; 14)Г 0,3 = (2.4; 2,7; 4,2)Т.
Округляя координаты данного вектора до ближайшего целого, получаем
вектор неоднозначности к = (2; 3; 4)т . Остатки от округления представляют
собой вектор измерений ф = (0,4;-0,3;0,2)т • Убедимся, что первые две коор-
динаты вектора СГ’(ф + к) равны нулю. Перемножая, получаем
С 1 (ф + k) = (0;0;0,3).
Находим оценку v по формуле (4.4.11). Последняя строка матрицы
С-1 — (—1;1;0). Подставляя ее в (4.4.11), имеем
v* = -0,7 + и.
Априорный сектор однозначности измерительной системы равен ±0,5. При-
водим к нему v*, полагая и = 1. Получим v* = 0,3. Справедливость форму-
лы (4.4.11) подтверждается.
К сожалению, полученный простой алгоритм обработки разностей фаз
не обеспечивает максимально возможной точности получения оценки v*, ибо
весовые коэффициенты при суммировании по формуле (4.4.11) (последняя
строка матрицы С-1) не соответствуют формуле (4.4.1).
133
5. ОЦЕНКА ПРЕДЕЛЬНО ДОСТИЖИМЫХ
ПАРАМЕТРОВ ФАЗОВЫХ ПЕЛЕНГАТОРОВ
С АНТЕННЫМИ СИСТЕМАМИ
ИЗ СЛАБО НАПРАВЛЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
5.1. Чувствительность к слабым сигналам
Одним из важнейших в практическом использовании параметров пелен-
гаторов является дальность действия. Технической характеристикой пелен-
гатора, определяющей дальность действия, является эквивалентная чувстви-
тельность
где G, — коэффициент усиления каждой из антенн, S'] — ее эффективная
приемная площадь, Рс min — минимально необходимая мощность сигнала на
входе.
Penin = ч-Ли, (5.1.2)
q — отношение сигнал/шум на входе приемных каналов, Рш — мощность
собственных шумов приемника, приведённых к входу.
Отношение сигнал/шум q при фиксированных шумовых свойствах прием-
ников определяет их реальную чувствительность Рс min и зависит от допус-
тимого уровня фазовых погрешностей.
Обычно чувствительность фазовых пеленгаторов рассчитывается приме-
нительно к двухканальным устройствам без учета возможности ее повыше-
ния за счет совместной обработки разностей фаз сигналов, принятых
совокупностью антенн [111, 112]. В данном разделе рассматривается такая
возможность на основе метода максимального правдоподобия.
В многобазовых фазовых пеленгаторах на приемлемое отношение сиг-
нал/шум q влияют три фактора: дисперсия условной ошибки пеленга при
условии, что неоднозначность пеленгования разрешена; вероятность ошибки
при ликвидации неоднозначности; качественные показатели обнаружения. Блок
обнаружения обычно входит в пеленгатор в виде устройства, разрешающего
измерение разностей фаз и их совместную обработку. С целью повышения
отношения сигнал/шум в канале обнаружения используются обычно сигна-
лы, принимаемые всеми антеннами пеленгатора, а иногда и отдельные при-
емные устройства.
Выясним влияние на q и Рэкв перечисленных факторов.
Рассмотрим предельный случай, когда антенная система представляет со-
бой эквидистантную решетку с шагом 1] и числом элементов N, а источником
134
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
ошибок являются внутренние шумы приемников. Тогда дисперсия эффек-
тивной оценки синуса пеленга выражается формулой (3.2.11), в которой
п = N/2. Из нее получаем
Ч = -^= - 6-----:--- (51-3>
“ (2тг)2 Ь- j лг(№-1)с£.
Предположим, что раскрывы антенн пеленгатора полностью заполняют
некоторую площадь S%, как показано на рис. 5.1.1.
Рис. 5.1.1. Антенная система пеленгатора, для которого рассчитано
предельно малое отношение сигнал/шум
Из (5.1.1)-(5.1.3) получим при IV2 »1 (практически при N>3)
(S.1-4)
8п3о^./сн \.Ь7 h
где L — длина антенной решетки, h — высота ее элементов, к„ — коэффи-
циент использования площади каждой из антенн.
Отсюда следует, что при фиксированных коэффициенте использования
площади антенн /си и габаритном размере антенной решетки L эквивалент-
ная чувствительность Рэка не зависит от числа антенн N. Следовательно, при
оптимальной обработке дальность действия пеленгатора, оцененная по допу-
стимой дисперсии , не зависит от ширины диаграммы направленности
антенн, если их раскрывы полностью заполняют некоторую фиксированную
апертуру.
Сказанное справедливо до тех пор, пока отношение сигнал/шум q в кана-
лах пеленгатора будет достаточным для надежного устранения неоднознач-
ности измерений. Определим q исходя из вероятности правильного устране-
ния неоднозначности Ро.
Особенность данного расчета заключается в том, что отношение сигнал/шум
q в каждом из каналов может оказаться меньше трех. В этом случае закон
распределения вероятностей фазовых погрешностей, вызванных наличием
шума, отличается от нормального, как это показано в подразделе 2.1. Поэто-
му формула (3.7.12) для расчета Ро не применима, поскольку она получена в
предположении о нормальности распределения вероятностей фазовых
погрешностей. Для оценки предельно малого отношения сигнал/шум в дан-
135
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
ном разделе используется прямое моделирование процесса устранения нео-
днозначности в предположении, что распределение вероятностей фазовых
погрешностей подчиняется точной формуле (2.1.8). Максимально правдопо-
добный алгоритм устранения неоднозначности моделируется в соответствии
с формулой (3.6.19), квазиоптимальный — в соответствии с формулой (3.12.6).
Антенная решетка по-прежнему считается эквидистантной, однако, чтобы
получить предельное значение Ро, на ней образуется максимально возмож-
ное количество линейно независимых фазометрических баз N — 1. Поскольку
при этом Ро не зависит от способа образования баз, для расчетов принят
пеленгатор с опорной антенной (см. рис. 3.5.1,б), так что ёх = (1,2,3,...,(1V-1))T.
Результаты моделирования представлены на графиках рис. 5.1.2, где по-
казана зависимость вероятности правильного устранения неоднозначности
Ро от отношения сигнал/шум q для оптимального и квазиоптимального
алгоритмов устранения неоднозначности. Параметром семейства кривых на
рисунках является число элементов решетки N. Шаг решетки фиксирован,
поэтому возрастание N эквивалентно увеличению длины решетки.
Ро
0,98
0,98
0,94
0,92
0,9
0,88
0,88
0,84
а
Рис. 5.1.2. Зависимость вероятности правильного устранения
неоднозначности от отношения сигнал/шум q
для оптимального (а) и квазиоптимального (б) алгоритмов,
N — число антенн
136
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
Как следует из рис. 5.1.2,а, использование оптимального алгоритма по-
зволяет иметь Р0>0,9 уже при q> 1,2, причем увеличение числа элементов
антенной решетки при фиксированных q и шаге решетки приводит к уве-
личению вероятности Ро. Отметим этот факт как преимущество оптималь-
ного алгоритма перед традиционным последовательным устранением нео-
днозначности, когда увеличение числа баз приводит к уменьшению Ро.
Рис. 5.1.3 иллюстрирует уменьшение требуемого отношения сигнал/шум с
увеличением числа элементов антенной решетки N (и, следовательно, ее
длины) при фиксированной вероятности Ро.
Рис. 5.1.3. Зависимость предельно малого отношения сигнал/шум qnpefl
от числа антенн N (оптимальный алгоритм) при фиксированной
вероятности правильного устранения неоднозначности Ро
Использование квазиоптимального алгоритма приводит к традиционной
зависимости вероятности Ро от числа баз (см. рис. 5.1.2,б): при фиксирован-
ном q с ростом числа баз вероятность Ро уменьшается.
Рис. 5.1.4 показывает проигрыш квазиоптимального алгоритма оптималь-
ному. Этот проигрыш существенен и возрастает с ростом числа антенн N.
137
В.П. Денисов, Д. В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Подставляя значение q из графиков рис. 5.1.2 в формулу (5.1.2), можно
найти мощность сигнала в каждом из каналов, минимально необходимую
для устранения неоднозначности измерений.
На рис. 5.1.5 представлена зависимость вероятности Ро от числа элемен-
тов решетки при фиксированном отношении суммарной мощности сигналов,
принимаемых всеми элементами решетки, к шуму в одном канале. Очевидно,
это отношение равно Nq. Его фиксация означает постоянство суммарной эф-
фективной приемной площади антенн пеленгатора, если сохранять неизмен-
ной мощность шума в каждом канале. Рис. 5.1.5 построен для оптимального
алгоритма устранения неоднозначности. Видно, что вероятность Ро мало
зависит от того, на сколько элементов N разбита суммарная приемная пло-
щадь S, а больше зависит от величины 5. Уменьшение эффективной
приемной площади каждой из антенн за счет сокращения ее размера в
плоскости пеленгования и сохранение суммарной эффективной приемной
площади за счет соответствующего увеличения количества антенн приводит
к расширению сектора обзора, но не означает существенного сокращения
дальности действия.
Ро
Рис. 5.1.5. Зависимость вероятности Ро от числа антенн N
при фиксированном произведении N q
Устройство для разрешения неоднозначности измерений ограничивает
чувствительность пеленгатора, если требуемое для его работы отношение
сигнал/шум больше, чем необходимое для надежного обнаружения сигнала.
Очевидно, характеристики обнаружения будут наилучшими, если исполь-
зовать сигналы, принимаемые всеми антеннами. Чтобы результирующий сигнал
не зависел от направления прихода радиоволн в секторе обзора, суммирова-
ние должно производиться после детектирования, как показано на рис. 5.1.6.
В энергетическом отношении данная схема эквивалентна последетектор-
ному накоплению пакета импульсов в одноканальных импульсных РЛС.
В литературе этот процесс называется некогерентным интегрированием.
Некогерентное интегрирование дает худшее выходное отношение сигнал/шум,
чем когерентное за счет подавления слабого сигнала шумом в детекторах.
Для нефлуктуирующей цели выигрыш в отношении Рс/Рш при интегрирова-
138
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
нии N импульсов по сравнению с входным воздействием можно оценить
приближенной формулой [113]
<7вых = q №’8-
Рис. 5.1.6. Структурная схема обнаружителя:
Df — детекторы, Z — сумматор, ПУ — пороговое устройство,
СР — сигнал, разрешающий измерение разностей фаз
Потери на некогерентное интегрирование составляют приблизительно
ад = №’2. Более точный расчет потерь можно производить по кривым обна-
ружения, в которых учитывается зависимость ад от отношения сигнал/шум
на входах детекторов [113, 114].
Использование этих результатов показывает, что необходимое отношение
сигнал/шум сильно зависит от допустимой вероятности ложной тревоги Рлт.
Если принять число интегрируемых импульсов W = 8 и Рлт = IO-8—104, то
суммарное отношение сигнал/шум Nq при вероятности правильного обна-
ружения РПО=0,99 колеблется в пределах 11-17 дБ.
Сравнивая данные цифры с отношением сигнал/шум, необходимым для
устранения неоднозначности методом максимального правдоподобия (см.
рис. 5.1.5), убеждаемся, что использование данного метода позволяет доста-
точно уверенно устранять неоднозначность, если сигнал обнаружен. Поэтому
энергетический проигрыш фазового пеленгатора с эквидистантной антенной
решеткой и оптимальной обработкой разностей фаз амплитудному можно
приближенно оценить как потери на некогерентное интегрирование приня-
тых сигналов. Предполагается, что в амплитудном пеленгаторе производится
синфазное суммирование сигналов, принятых в максимуме диаграммы на-
правленности решетки.
5.2. Угловая разрешающая способность
В данном подразделе исследуется угловая разрешающая способность
фазовых пеленгаторов с антенными системами в виде линейных решеток.
Известно, что моноимпульсные фазовые пеленгаторы, содержащие две
разнесенные в пространстве антенны и фазометр, угловым разрешением не
обладают [7]. Известно также, что пеленгаторы на основе фазированных
антенных решеток (ФАР), в которых формируются сканирующие амплитудные
139
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
диаграммы, обладают угловым разрешением даже в том случае, если в
каждом из приемных каналов имеется идеальный ограничитель [115]. Отсюда
следует, что фазовая информация в принципе достаточна для углового
разрешения. Задача заключается в изыскании методов его реализации по
совокупности измеренных разностей фаз при сохранении свойственного фа-
зовым пеленгаторам широкого сектора одновременного обзора.
Предположим, что антенная система пеленгатора представляет собой ли-
нейную решетку из N ненаправленных элементов, а фазометрические базы
образованы, как показано на рис. 3.5.1,б (пеленгатор с опорной антенной).
В рассматриваемой проблеме возможности угломерной системы опреде-
ляются пространственным распределением фазы электромагнитного поля,
создаваемого источниками излучения. Остановимся коротко на этой задаче.
Предположим, что на антенную систему (см. рис. 3.1.1) падают две плоские
одинаково поляризованные волны под углами <xt и <х2. Сигнал, принимае-
мый точечной антенной, расположенной в точке х, можно представить в
виде
u(t,x) ~ U(x)cos[fflc,f - '('ML
(5.2.1)
где
U (х) = + U2 + 2U1U-+ cos[fcx(rj - v2) + yt - у2] — (5.2.2)
амплитуда результирующего сигнала,
U-. sin(fcx?.’, + у.) + U., sinikxv, + у.,)
tg ЧМ = ту1-------, (5.2.3)
U} cosffcxt'j + у;) + U., cos(fcxr2 + у2)
>|/(х) — фаза результирующего сигнала; U{, U2 — амплитуды принимаемых
сигналов; уь у, — их начальные фазы в точке х = 0, к = 2тг/л..
В частном случае U{ = U2,
U(x) = 2Ц
(кх , Л у,-у.
(5.2.4)
.Х‘
V|/(x) = +и2) +
+ кк .
(5.2.5)
В последней формуле к=0, если выражение, стоящее под знаком модуля
в (5.2.4) положительно, и к = 1, если оно отрицательно. По формулам (5.2.4),
(5.2.5) на рис. 5.2.1 построены кривые у(х). Одним из параметров семейства
кривых является отношение R = U,/Uj.
Как видно из графиков, при UU2 функция \р(х) носит характер раз-
рывных колебаний вокруг прямой
Ч'о(*) = + «’).
А
За вычетом \|/0(х) зависимость ц/(х) представляет собой периодическую
функцию с периодом Т4 = 2л/Ди, Д« = 7 - v2. Скачки фазы имеют место в
точках х, где амплитуда П(х) = 0. Как видим, в данном случае ц/(х) содержит
точную информацию об угловом положении обеих полей.
Случай, когда U^U2, рассмотрим особо. Представим комплексную амп-
литуду суммарного сигнала в виде
140
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
U(x) = U(x)exp{jv(x)} =
= Щ ехр[; (kx»i + Yi)] {[1 + R ехр j[far (и2 ~ «i) + У 2 “ Yi]]} ’
где R = U2/^i — отношение амплитуд падающих волн.
Рис. 5.2.1. Зависимость фазы принимаемых сигналов
от координаты антенной решетки х при Uj = 0,05; v2 = 0,25:
----------R = 0,8; Yi - у2 = я; ---------R = 1; - у2 = 0:
------- • ------- R = 0,8; yi - у2 = 0
Отсюда нетрудно получить формулу для фазы суммарного сигнала,
. . . Rsinffarft^-и,) + у2-Til
V (х) = (faruj + Yi) + arctg ——-L --------------=Ц. (5.2.6)
1 + Kcos[far(u2 -vj + Уг — YiJ
He уменьшая общности результатов анализа, положим R< 1. Тогда выра-
жение под знаком arctg всегда конечно и, следовательно, соответствующий
фазовый угол не выходит за пределы +л/2. Зависимость у(х) (5.2.6) представ-
ляется в виде суммы двух слагаемых: у(х) = \|/0(х) + А\|/(х). Первое из слага-
емых показывает изменение вдоль оси х фазы более сильного сигнала
у0(х) = kxvr + Yi> второе —
z ч Ksinffarfv,-v2) + Yi-У2"1
у(х) = arctg Lr --------------------=Ц _ (5.2.7)
1 + J?cos[far(vi -v2) + yi -y2J
периодические колебания фазы вокруг этой прямой с периодом Х/Ди.
Из (5.2.7) нетрудно получить, что амплитуда этих колебаний
. a R
AVmax=arctg -------(5.2.8)
Vl-R2
Вид функции (5.2.6) иллюстрируется графиками рис. 5.2.1.
Заметим, что частный случай решаемой задачи уже рассматривался в дан-
ной работе при анализе влияния отражений от земной поверхности на поведе-
ние фазы сигнала, излученного приподнятым над землей источником, вдоль
вертикальной прямой. Формула (2.2.3) является частным случаем (5.2.6), а ее
график (рис. 2.2.2) качественно такой же, как соответствующие кривые на
рис. 5.2.1.
141
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Оценим разрешающую способность фазового пеленгатора, работающего
по методу «суммирование косинусоид» (см. подраздел 4.1). Выбор аналогового
метода обработки обусловлен тем, что он позволяет просто подойти к оценке
разрешающей способности по критерию Релея [116], выявляя наличие
максимумов, соответствующих положению каждого из источников в кри-
вой ^(t) (4.1.1). По этому критерию предел углового разрешения ампли-
тудного пеленгатора, имеющего антенну с равномерно возбужденным прямо-
угольным раскрывом, равен a/L, где L — размер антенны в плоскости
пеленгования. Положим сначала, что мощности принимаемых сигналов рав-
ны между собой. Для оценки возможностей разрешения, определяемых толь-
ко пространственным распределением фазы, будем считать, что число то-
чечных антенн бесконечно велико, а расстояния между ними бесконечно малы.
В работе [53] такая решетка называется сплошной. Нормируя пеленгацион-
ную характеристику вида (4.1.1) к числу фазометров IV-1 и заменяя
в пределе при W ->оо суммирование интегрированием, получаем
A v-1 f
Аф(и) = lim - - V cos(kXfV - <р,) = А() cos (кх - <р(.т)) йг , (5.2.9)
«=--1 и
где <р(лс) = ф(х) - \|/(0) — разность фаз сигналов в точках х и 0 антенной ре-
шетки. Используя (5.2.5), получаем
ф(.г) = + г.’2) + а (т) л: , (5.2.10)
где
fYi~Y->]
sign cos —----— - sign cos
(5.2.11)
периодическая функция с периодом 2л/Av, принимающая значения ноль либо
единица.
Амплитуду А,, положим равной единице. Предположим, что длина ре-
шетки не превосходит периода функции а(х) (5.2.11), L < 2л/Av. Как будет
ясно из дальнейшего, такой длины достаточно для выяснения наличия угло-
вого разрешения. При вычислении интеграла (5.2.9) может представиться
два случая: 1) X/Av < L < 2X/Av; 2) L < X/Av.
Пусть сначала л/Av < L < 27,/Av. Подынтегральная функция в зависимос-
ти от величины а(х) (5.2.11) принимает следующие значения:
cos [/сам; -<р(т)]
а(т) - 0,
а(х) = 1.
(5.2.12)
Из (5.2.11) следует, что
если .г, н---< х < L, либо х < х,
Av
I
если х, < х < х, + —,
1 Av
(5.2.13)
142
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
X (1 ₽)
где х, = —------— точка, в которой функция а(х) претерпевает скачок
Ди \2 nJ
от 0 до 1,
Р = ^(Т1-Т2),
Из условия Х/Дг> < L < 2 А./Ди следует, что на интервале интегрирования
такой скачок всегда один (рис. 5.2.2).
В соответствии с графиками рис. 5.2.2 при вычислении (и) могут пред-
ставиться два случая:
если
SM = 2F
Ди<2 п.
<3 ЬДгЛ
р < л------
<2 X )
(5.2.14)
(5.2.15)
~х
О
х
Рис. 5.2.2. Типовые графики функции а(х) (5.2.11) на интервале (0.L)
S^(y) = 2F
_аД1 _р\
Ди<2 п)
-2F Af3_P
Дик 2 п
-F(L),
(5.2.16)
если
«Г3 L^v
Р > л--
U X
(5.2.17)
Здесь и далее
sin x v-
F(x) =
Vl+V2
2
2л ( и, +v,
-- V —------
X < 2
(5.2.18)
Проанализируем полученные соотношения. Предположим, что длина ре-
шетки Ь = Х/До. Тогда условие (5.2.15) безусловно выполняется, и из (5.2.14)
имеем
143
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Как следует из этого выражения, пеленгационная характеристика (г)
зависит от разности начальных фаз сигналов Yj—у2 = 2₽- При р= 0 она имеет
два одинаковых максимума, симметричных относительно точки 0,5(+ ®2),
в которой равна нулю. Сигналы разрешаются. При р=—тг/2 функция
имеет вид (sino)/o с главным максимумом в точке 0,5(Vj+®,). Сигналы
не разрешаются.
Предположим, что принимаемые колебания не когерентны между собой.
Найдем математическое ожидание S^(v) функции считая разность
фаз р равномерно распределенной на интервале (-0,5л; 0,5л),
- , ч (3 LAvAl (3 *
8ф О’) = ш, ] —— < л - - ИР; + 7»! ——- > л - - -— >Р,, (5.220)
I р \ £л К / | р k, Z А /
где Pb Р, — вероятности выполнения условий (5.2.15), (5.2.17):
Р1 = Г dp = 2-L—, P^l-P,.
-0,5я
Подставляя последние соотношения в (5.2.20), получаем
S^) =
2FCM_ pE-XfJL
\2AwJ V а ) {2 Av
3-2^W). (5.2.21)
А /
2Д?;
Как следует из рис. 5.2.3, функция S,-p(r) (5.2.21) имеет два одинаковых
максимума, симметричных относительно точки (о1+о2)/2, в которой она име-
ет глубокий минимум. Положение максимумов соответствует пеленгам це-
лей с некоторой ошибкой. При L/k=5 она составляет 5-20% от пеленгов в
зависимости от разноса целей. Рис. 5.2.3 свидетельствует, что нахождение
Зф (г) обеспечивает угловое разрешение.
Вычислим теперь Бф (г?) для случая L < /JAv. Производя выкладки, по-
добные выполненным выше, получим
- , . 4Ь(Дг.’Г 7.А ( L А , .
Бф(« = -Г — Н 2^Д?5 "1 F(L) - (5.2.22)
\2Av ) < А )
На рис. 5.2.4 построены зависимости 8ф (г) для различных разносов Дг>.
При Дг? > 0,85>7L кривые имеют два одинаковых максимума, симметричных
относительно (v1+v2)/2. Случай Av =0,85X/L —критический и может быть
принят за предел углового разрешения. При Av = )JL значение функции
144
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
Бф (v) в точке + г>2)/2 равно нулю, что следует из рис. 5.2.3. Как видим,
при полном использовании апертуры антенной системы, фазовый пеленга-
тор обладает приблизительно такой же разрешающей способностью, как и
Рис. 5.2.3. Отклик пеленгатора со сплошной решеткой
на воздействие двух плоских волн
Рис. 5.2.4. Отклик пеленгатора со сплошной решеткой
на воздействие двух плоских волн
Выясним особенности разрешения, связанные с дискретностью реальных
решеток и неравенством амплитуд принимаемых сигналов. Вычислим функ-
цию (г>) для пеленгатора с антенной решеткой рис. 3.5.1,б, положив Щ *U2.
Сначала, воспользовавшись известным тригонометрическим соотноше-
а — Ъ
нием arctgа - arctgЪ = arctg-- и формулой (5.2.3), найдем тангенс
1 + аЬ
разности фаз сигналов, принятых антеннами Aj и Ао, tg = Cj/d^ Затем
вычислим
145
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
и далее
N-l N-1
= У cos <Pi cos + У sin <р,- sin 2nnxiv. (5.2.23)
1=1 1=1
Подставляя сюда вычисленные значения sin ср,-, cos ср^ и производя сумми-
рование, получаем
с М _ V A(i)
(5.2.24)
где
А(г) = cos[kx,(v - г^)] + R2 соз[кх,(и - vj] +
Jex •
+2Kcos —^-(v-vJ + y
2
cos [kXj [u - 0,5(v - Vj)]],
kx, .
—Hv-vJ + y
&
B(i) = l + R4 + 4R2 cos2
+ 2R2 cos [kx, (v -«!)] +
+(R + R3)cos
'kXj
-?(«-«1)
cos[R(« -uj
+ y],
Y = Y2 - Yi , -R = tT2/[7i.
Разрешение сигналов на основе этого выражения носит вероятностный
характер, поскольку оно зависит от разности случайных начальных фаз сиг-
налов у. Для исключения случайности так же, как и в случае «сплошной»
решетки, используем усредненное по у значение (и). Однако получить
его аналитически не удается. Поэтому реализации (v) были вычислены
на ЭВМ. Как показали вычисления (и), при равномерном распределении у
обеспечивает угловое расширение, предел которого зависит от соотношения
амплитуд сигналов R. При R>0,9 он составляет приблизительно 0.85A./L,
как и в случае, когда решетка сплошная, a R = 1. Особенностью является
подавление слабого сигнала более сильным. Это свойство антенных решеток
с ограничением сигналов отмечено в [115]. Величина подавления зависит от
углового разноса источников сигнала и соотношения их мощностей.
В работе [117] замечено, что в мультипликативных антенных решетках сла-
бый сигнал подавляется более сильным не менее чем на 50 %, если соотноше-
ние амплитуд на входе более чем 1,1. Примерно это же имеет место и в
рассматриваемом фазовом пеленгаторе, причем «слабый» сигнал практичес-
ки не вносит ошибки в пеленгование более сильного. Это свойство фазового
пеленгатора можно связать с поведением фазового фронта двух интерфери-
рующих плоских волн: в соответствии с формулами (5.2.6), (5.2.7) усредненное
по у=У1-у2 значение фазы сигнала в любой точке х антенной решетки пол-
ностью определяется более сильным сигналом. На рис. 5.2.5 дан график (и),
построенный на ЭВМ как среднее из 6 реализаций S^(v) (5.2.24) при
146
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
переменном у. Величина у изменялась от реализации к реализации по зако-
ну у1 = 2ти/6, г = 0,1,2,..., 5. Как разрешение, так и подавление видны на графике.
Для выяснения максимального количества источников излучения, которые
можно разрешить пеленгатором с ЛГ-элементной антенной решеткой путем
анализа функции (v), представим математическое ожидание функции
(5.2.23) в виде
w-i
• Уcos(kxiv - ф,) =
N-l _____ _____________ N-l __
У[cosср, cos+ sin(p, sin= У cos(kxtv - <pf j,
1=1 t=l
(5.2.25)
где
Ai =^(sin<pt)2 +(cos<pi)2 , <Pi = arctg(sin <pj/ costpj,
черта над символом означает усреднение по случайным начальным фазам
принимаемых сигналов.
Рис. 5.2.5. Отклик пеленгатора
на воздействие двух плоских волн
Формула (5.2.25) представляет (v) как отклик пеленгатора на воздей-
ствие (N - 1) плоских волн, падающих под углами а, = arcsin^/ffarjj.
Каждая из волн может принадлежать отдельному источнику колебаний,
поэтому максимальное количество разрешаемых источников не превышает
(N-1). Аналогичный вывод для сканирующих антенных решеток содержится
в работе [118]. Цифровое моделирование подтверждает данное положение.
Рассмотрим вопросы технической реализации пеленгатора, обладающего
разрешающей способностью.
Один из возможных вариантов построения пеленгатора заключается в
дополнении известной схемы «суммирование косинусоид» (см. рис. 4.1.1) уст-
ройством суммирования ряда последовательных реализаций функции (v)
и индикаторным устройством, позволяющим анализировать полученный
результат.
147
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Недостатком такой схемы являются слишком большие для некоторых
применений затраты времени на пеленгование. Рассматриваемый ниже ва-
риант построения пеленгатора свободен от этого недостатка. Он предполага-
ет разбиение сектора обзора на ряд интервалов (элементов разрешения), в
которых производится выявление наличия или отсутствия цели.
Основой для синтеза схемы является формула (5.2.25).
Для получения функции
= У £cos срi cos kx(Vj + sin ф,- sin kx^j ]
напряжения, пропорциональные созф< и зтф<, образуются с помощью фа-
зовых детекторов. Затем они суммируются с весами соз(кхуг>;) и sin(fac{Vj),
соответственно, где Vj — значение синуса пеленга в средней точке j-ro эле-
мента разрешения. Предполагается, что временное усреднение выполняется
в нагрузках фазовых детекторов. Для этого изменение разности начальных
фаз принимаемых сигналов у2 ~ Yi за время входного воздействия должно
быть достаточно большим. В противном случае схема должна быть дополне-
на накопителями сигналов в каждом элементе разрешения.
Структурная схема двухбазового пеленгатора приведена на рис. 5.2.6.
На схеме обозначено: ФВ — фазовращатели на л/2; ФД — фазовые детекто-
ры; С^, — линейные цепи с коэффициентами передачи cos(2itnxivJ),
sin^imxiDj).
Устройство индикации фиксирует превышение порогового уровня на вы-
ходах накопителей или выдает функцию (v) в дискретных точках сектора
обзора.
Рис. 5.2.6. Структурная схема фазового пеленгатора,
обладающего угловой разрешающей способностью
Недостатком схемы является необходимость иметь большое число кана-
лов для получения высокой точности пеленгования, достоинством — возмож-
ность производить разрешение за один импульс, если частоты принимае-
мых сигналов не совпадают, хотя и попадают в полосу пропускания приемника.
148
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
При разнице частот Дю за время входного воздействия длительностью т
разность фаз сигналов на каждой из антенн изменится на у2 _ Yi ~ А<от.
Эффективное усреднение произойдет, если Д/т» 1. Это и есть условие
разрешения сигналов.
Рассмотренные структурные схемы иллюстрируют техническую осуще-
ствимость рассмотренной принципиальной возможности углового разреше-
ния некогерентных сигналов в фазовом пеленгаторе и не претендуют на
оптимальность в каком-либо отношении. Безусловно, существует целый ряд
других вариантов реализации указанной возможности, которые могут ока-
заться более подходящими в конкретных условиях применения.
5.3. Предельные соотношения между
числом измерительных каналов,
вероятностью правильного устранения
неоднозначности и дисперсией фазовых ошибок
В подразделе 3.8 рассмотрена геометрическая интерпретация процесса
устранения неоднозначности по принципу максимального правдоподобия.
В соответствии с ней n-мерные векторы неоднозначности к и вектор фазо-
вых измерений ф отображаются на (п- 1)-мерное пространство 'ЛП-1 с помо-
щью матрицы М (3.8.4). Концы векторов к образуют в Лп-1 решетку с по-
рождающей матрицей Вп, составленной из элементов by =k?Gkj, где kitkj
— векторы из опорной совокупности. В процессе устранения неоднозначнос-
ти выбирается вектор -kj, если вектор fj = Мтф в 91п-1 попадает в некото-
рую область вокруг точки (собственную область вектора к; ). Правила
построения собственных областей определены в подразделах 3.7, 3.8.
Данная геометрическая интерпретация весьма удобна для вычисления ве-
роятности правильного устранения неоднозначности Ро. В частности, как по-
казано в подразделе 3.11, нижняя граница вероятности правильного устране-
ния неоднозначности pJH находится как вероятность попадания (п- 1)-мерного
случайного вектора rj в эллипсоид рассеяния, расположенный внутри соб-
ственной области и касающийся хотя бы одной из ее границ:
•Рон - Р' %п-1 -
(5.3.1)
4
9
где Хп-1 — случайная величина, подчиненная хи-квадрат распределению с
(п-1) степенями свободы, d^n — минимальная из величин d2 (3.6.21).
Однако остается открытым вопрос об оптимальной форме собственной
области, позволяющей получить максимальную вероятность Ро при заданной
точности измерения. Величина d^in связана с объемом собственной области
VD, который на основании свойств решетки А равен detBn и в свою очередь
связан с точностью измерений. В общем случае для многошкальной системы,
предназначенной для измерения скалярной величины и, имеем
149
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
VD
= detBn =
„2
gvH
detBq,
(5.3.2)
\2
Д4>дн ,
1
?
где <н =
— нормированная дисперсия оценки параметра v.
Для установления связи между точностью измерений и нижней границей
вероятности Ро надо найти зависимость между объемом оптимальной соб-
ственной области вектора неоднозначности и d^in Используем для этой цели
теорию упаковок многомерных шаров [91], рассматривая «упаковку» эллип-
соидов рассеяния в собственные области векторов неоднозначности. Однако
эллипсоид рассеяния случайного вектора fj с координатами (3.8.2) в общем
случае не является сферой. Поэтому найдем иной способ отображения векто-
ров kj на пространство, ортогональное по отношению к векторам масштаб-
ных коэффициентов, при котором эллипсоиды рассеяния проекций вектора
<р всегда являются (п~ 1)-мерными сферами.
Нетрудно показать, что GTB9G = G. Поэтому элементы матрицы Bt| можно
представить в виде
Ъц=кТск,=кТстВ%В$Ск},
где В^ — квадратная симметричная матрица, введенная формулой (3.6.17).
Отсюда следует, что можно рассматривать как скалярное произведе-
ние векторов вида
к<пр=В^СкР (5.3.3)
Будем рассматривать полученные векторы kjnp как проекции векторов
неоднозначности kf на подпространство З?71*1, ортогональное по отношению к
ё , а формулу (5.3.3) — как правило проектирования. Аналогично формуле
(3.8.6) проекцию на ЭД"-1 любого целочисленного вектора кр можно предста-
вить в виде
пр * ^pi^i пр
(5.3.4)
где к,- пр — проекции на З}”^1 векторов опорной совокупности, i = 1, 2,..., п-1.
Отсюда следует, что (п~ 1) проекций векторов опорной совокупности к£
порождают в ЗГ'1 решетку [91]. Обозначим ее Д.
В соответствии с формулой (5.3.3) отображение на 31п-1 вектора измере-
ний ф находится по правилу
Фпр=В^Сф. (5.3.5)
Корреляционная матрица этого вектора
Вф пр = B^GB^. (5.3.6)
Как отмечено в подразделе 3.6, преобразование вида (5.3.6) приводит
матрицу G к виду (3.6.7), характерному для многошкальной системы, имею-
150
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
независимые от канала к каналу фазовые погрешности с равными дисперси-
ями. Можно показать, что матрица (3.6.7) имеет одно собственное число,
равное нулю, и (n- 1) собственных чисел, равных единице. Отсюда вытека-
ет, что эллипсоид рассеяния вектора Фпр представляет собой (п- ^-мер-
ную сферу при любой корреляционной матрице фазовых погрешностей В,г.
Из формулы (5.3.3) следует, что В, — матрица Грама решетки Л . Следо-
вательно, объем VD ее фундаментальной области (собственной области век-
тора неоднозначности) равен ^'det Вп [91], а задача максимизации вероятно-
сти Дн (5.3.1) при заданной точности измерений сводится к определению
формы (п - 1)-мерной собственной области заданного объема, для которой
радиус вписанной в него сферической поверхности, равной плотности веро-
ятности случайного вектора <р,,р (5.3.5), был бы наибольшим.
Таким образом, задача обеспечения максимального значения Г])Н при за-
данной точности измерений совпадает с задачей отыскания плотнейших ре-
шетчатых упаковок шаров в (и - 1)-мерном пространстве ЭД'11. Векторы ре-
шетки Л являются центрами плотно упакованных шаров в й’1'1 и однозначно
соответствуют векторам решетки Л в 'Л”-1. Матрица Вг является матрицей
Грама для А и порождающей для Л.
Для установления связи между точностью измерений и нижней границей
вероятности правильного устранения неоднозначности воспользуемся тем,
что матрицы Грама плотнейших решетчатых упаковок известны, по край-
ней мере, в размерностях до 8 [91]. В размерностях до 7 они приведены в
работах [33,119]. Основываясь на рассмотренных исследованиях, можно за-
писать вид оптимальной матрицы В,, указанных размеров:
~ , (5.3.7)
где d^.n — минимальная из величин df = k-Gk,, А„_) — матрица Грама
наилучшей решетчатой упаковки, нормированная так, что наименьшее число
на главной диагонали равно единице. Например, для п - 1 = 2 имеем [119]
В И ^min
1 0,5
0,5 1
(5.3.8)
Поскольку в последней формуле элементы матрицы, стоящие на главной
диагонали, равны между собой, векторы опорной совокупности к{ и Ц име-
ют одинаковые величины d“: df = dj = dfnin. Третий вектор, влияющий на
вид собственной области, — fc, = /q - fc, (см. подраздел 3.7). В соответствии с
формулой (3.7.25) для него также d~ = d^in. В опорной совокупности любой
из векторов kt может быть заменен на -к,. Это не изменит величины квад-
ратичной формы df, но изменит знак перед элементами матрицы Вг (5.3.8),
стоящими на побочной диагонали. Вид оптимальной собственной области в
'1?” \ соответствующей порождающей матрице (5.3.8), приведен на
рис. 5.3.1,а. В пространстве Ф1Л 1 модули проекций векторов к, пр и
151
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
равны а косинус угла между ними равен b12/(d,<£,)= 0,5. Собственная
область по этим условиям построена на рис. 5.3.1,б. Она представляет собой
правильный шестиугольник.
Из формулы (5.3.7) находим детерминант матрицы Вт,
detBn =d^;;1!detA.
Входящая в данное соотношение величина detA может быть вычислена
непосредственно по матрице А. Однако можно обойтись без вычисления де-
терминанта, если использовать понятие о плотности упаковки шаров. Цент-
ральная плотность (л - 1)-мерной решетчатой упаковки определяется
формулой [91]
Р' ' _ Р
Vn ^detB^
(5.3.9)
где р — радиус (и - 1)-мерного вписанного шара, VT) — объем собствен-
ных областей векторов неоднозначности в подпространстве IH” 1. Очевидно,
рМпь./З-
Рис. 5.3.1. Оптимальная собственная область вектора неоднозначности
при я - 1 = 2 в пространстве (о.) и оптимальная собственная
область в пространстве '.Й2 (б)
Из формул (5.3.8), (5.3.9) имеем
det В,, -4-- (5.3.Ю)
’ 2 ) бГ) !
Используя далее формулы (5.3.1), (5.3.2), получаем из последнего соотно-
шения связь между теоретически предельной нижней границей вероятности
правильного устранения неоднозначности F>j 11ОТ и дисперсией оценки скаляр-
ного параметра v, полученной при условии правильного устранения неодноз-
начности:
152
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
^0 пот
= pjy2 , <
2 Лп-1 —
.2 е2
и н u(n-l)max
<1е1Вф
(5.3.11)
где 8^n_1)rnax— предельная центральная плотность (п - 1)-мерной решетча-
той упаковки шаров.
В математике известны верхние границы центральной плотности упаков-
ки в размерностях, по крайней мере, до 106. Но найдено относительно не-
большое число решеток, в которых эта граница достигнута [91].
В данной работе под 8(2n_1)max мы имеем в виду предельные достигнутые
значения центральной плотности решетчатых упаковок, то есть принимаем
во внимание только известные решетки, заданные соответствующими обра-
зующими матрицами либо матрицами Грама.
В табл. 5.3.1 приведены значения предельно достигнутой центральной плот-
ности упаковки шаров в размерности до 8, заимствованные из книги [91].
Таблица 5.3.1
Достигнутые центральные плотности решетчатых упаковок
n-мерных шаров
Размерность пространства, т 1 2 3 4 5 6 7 8
Достигнутая центральная плотность 8mmax 1 2 1 2-Уз 1 4^2 1 8 1 8^2 1 8>/з 1 16 1 16
Для расчета Ро пот можно воспользоваться также постоянной Эрмита, оп-
ределяемой равенством уп = 43„/тпах , где 5птах — предельная центральная
плотность n-мерной решетчатой упаковки шаров. По смыслу уп — мини-
мальная норма оптимальной n-мерной решетки с детерминантом 1 [91]. Под-
ставляя уп-! в (5.3.11), получаем
р
•г0пот
„ „2
2 < У п-1 п~~ч н
“ л J.1 1 г»
4 у det В,?
(5.3.12)
Формулы (5.3.11), (5.3.12) определяют предельную вероятность правиль-
ного устранения неоднозначности при заданных погрешностях измерения,
числе измерительных шкал и корреляционной матрице фазовых погрешно-
стей. Исходные положения, при которых они получены, позволяют исполь-
зовать их не только для пеленгаторов, но и для других видов многошкаль-
ных измерительных систем. Они приобретают более простой вид, если
задаться корреляционной матрицей фазовых погрешностей Вф.
Предположим, что фазовые погрешности возникают в приемно-усили-
тельных трактах и имеют равные дисперсии стф. Тогда для пеленгатора с
«параллельными базами» (см. рис. 3.5.1,а) имеем Вф = стфЕ, с1е1Вф=а2п.
Подставляя последнюю формулу в (5.3.11), получаем
153
В.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
р
*0 пот
I 2 с2
2 . п-1|ап н°(п-1)тах
\---------------
V. стф
(5.3.13)
С целью получения аналогичной формулы для пеленгатора с полной сис-
темой баз примем схему включения фазометров, изображенную на рис. 3.5.1,б
(пеленгатор «с опорной антенной»). Тогда матрица Вф будет иметь вид (3.5.5).
Ее детерминант
ае1Вф=о2п(п + 1)/2п. (5.3.14)
Подставляя данное соотношение в (5.3.11), получаем
1—2 с2 пП
р* - р J v2 < п-1 °” H°(n-l)max*
HlnoT r]Xn-l - J 2n- |.
у Стф (w+i)
Формулы (5.3.13), (5.3.15) позволяют в процессе проектирования пеленга-
тора определить минимальное необходимое количество фазометрических баз,
не задаваясь их конкретными значениями. Из них, в частности, следует, что
при фиксированных вероятности Ро и числе фазометров пеленгатор с пол-
ной системой баз может иметь дисперсию фазовых погрешностей в 2/у!п + 1
раз большую, чем пеленгатор с «параллельными базами». Это отношение
равно 1,15 при п=2 и возрастает при увеличении числа баз, стремясь в
пределе к двум. На рис. 5.3.2 приведена зависимость нижней границы веро-
ятности правильного устранения неоднозначности для пеленгатора с парал-
лельными базами от числа баз п. Расчеты выполнены по формуле (5.3.13).
Параметром семейства кривых служит среднеквадратическая фазовая по-
грешность. При расчетах положено а„н = 0,001. Эти графики справедливы и
для пеленгатора с полной системой баз, если увеличить среднеквадратичес-
кие фазовые погрешности в у/2/2$п+1 раз.
Рис. 5.3.2. Зависимость предельной вероятности правильного
устранения неоднозначности от числа фазометрических баз п:
оот = 0,001; 1 — стф = 20"; 2 — стф = 25"; 3 —.п„ = 30'
154
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторе»
с антенными системами из слабонаправленных элементов
Иногда, вместо нормированной дисперсии оценки удобнее задавать
структуру антенной системы и корреляционную матрицу фазовых погреш-
ностей, при которых она получается. Подставляя в формулу (5.3.11)
о2 -
”н eTRv'e ’
получаем искомую зависимость:
р'
л 0 пот
1 п-1
(5.3.16)
Формула (5.3.16) определяет нижнюю границу теоретически предельной
вероятности правильного устранения неоднозначности, но оставляет откры-
тым вопрос о том, насколько к этой вероятности можно приблизиться прак-
тически и какую структуру для этой цели должна иметь антенная система
пеленгатора.
В «хороших» структурах форма собственных областей векторов неодноз-
начности в пространстве 9?п4 мало отличается от сферы, поэтому вероят-
ность Ро (3.7.12) мало отличается от своей нижней границы Р0 пог-
Качество антенной структуры можно оценить величиной центральной
плотности упаковки сферических поверхностей, равной плотности рас-
пределения вероятностей вектора ФПр в пространстве 1Й"*1, сравнивая ее с
предельно достижимой в данной размерности.
Из (5.3.10) имеем
\-1 = (0- , (5.3.17)
где dmin — минимальная из величин k(TGk,. для данной антенной системы.
Используя (3.11.23), имеем для пеленгатора с «параллельными базами»
8n_! =(0,5dJn 1 (5.3.18)
V *=1
где dk = dmin — кодовое расстояние.
Для пеленгатора с полной системой баз получаем аналогично, используя
(3.11.22),
(5.3.19)
Из последних формул видно, что плотность упаковки зависит от кодового
расстояния dk и среднеквадратической длины антенной решетки.
Отношение
б„_,
Н„-1 = s 1 (5.3.20)
н-1)тах
можно принять за критерий близости структуры антенной системы фазового
пеленгатора, реализующего принцип максимального правдоподобия, к иде-
альной.
155
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Проиллюстрируем полученные зависимости примером. Рассмотрим уст-
ройство, предложенное ИГ. Неплоховым в авторском свидетельстве [89]. Уст-
ройство представляет собой трехшкальный измеритель скалярной величины с
вектором масштабных коэффициентов = (8, 9,14)Т , = ст2Е.В частности,
это может быть и фазовый пеленгатор с «параллельными базами».
Вычисляем у = 341, по формуле (3.6.7) находим матрицу G:
ст *
G=-i-
341
277
-72
-112
-72 -112
260 -126
-126 145
(5.321)
Далее найдем п - 1 = 2 целочисленных линейно независимых вектора и
, имеющих минимальные значения к?Ок; — опорную совокупность векто-
ров неоднозначности. С этой целью значения d~ вычисляем для всех возмож-
ных векторов неоднозначности fc. при заданном сг. Методика расчета опор-
ной совокупности векторов на ЭВМ дана в приложении 2. Получаем
jq = (1,1, 2)Т, = (6, 7,11)т, df = d2 = 0,06158стф2, d2 = 0,066158. Используя
далее формулу (3.7.5), находим матрицу В^:
2II 1 0,4761|
-Вп=0,06158ст-|м7б х |. (5.3.22)
Как видим, матрица (5.3.22) весьма близка к матрице Грама наилучшей
решетчатой упаковки (5.3.8).
По формуле (5.3.18) вычисляем центральную плотность упаковки
5, = — ЛЧ =0,28428.
Из табл. 5.3.1 находим б2тах = 1/(2->/3). По формуле (5.3.20) вычисляем
ц, = 0,9847. Таким образом, в рассматриваемом примере вектор маештабных
коэффициентов близок к идеальному и, следовательно, антенные структу-
ры, весьма близкие к оптимальным, существуют. К сожалению, не разра-
ботаны иные методы их поиска, кроме перебора всех возможных вариантов
и выбора наилучшего среди них. Сравнение вариантов можно производить
по плотности упаковки 6n_t, вычисленной по формулам (5.3.18), (5.3.19), а
также по величине кодового расстояния, входящего в эти формулы, если
среднеквадратическая длина решетки остается постоянной. В лучших решет-
ках оно максимально.
Практически значительно более удобно фиксировать не среднеквадра-
тическую длину решетки, а ет — максимальную координату целочисленно-
го вектора ёх. Действительно, обычно существуют физические ограничения
на максимальную базу 1п = Поскольку ел. = Д-уоднпх. , где Довдн — сектор
однозначного пеленгования, находим ел = При этом единичная ко-
ордината вектора е.с соответствует расстоянию X/ Д«одн на физической длине
решетки, базы Ij = еХ1Х/Дг)ода, г = 1,2,..., п, а вектор задает расположение
антенн на базе 1п.
156
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
При изменении вектора ёх с фиксированной координатой ет плотность
упаковки 8 (5.3.17), (5.3.19) изменяется как вследствие изменения кодового
расстояния dk, так и вследствие изменения среднеквадратической длины ре-
шетки eTR~le. Однако на среднеквадратическую длину решетки решающее
влияние оказывает максимальная координата ет, так что плотность упаков-
ки 8 зависит в основном от кодового расстояния dk, и эту величину можно
использовать для сравнения качества решеток. Для иллюстрации данного
положения в табл. 5.3.2 приведены данные расчетов dk, ёхИ~'ёх и 82 для всех
возможных вариантов построения трехбазового пеленгатора с полной систе-
мой баз и е3 = 7.В соответствии с табл. 5.3.1 32тах = 0,28867.
Таблица 5.3.2.
Параметры трехбазового пеленгатора
ei> вг, ез сч О етВфё (б2 - Ров) % Зг/Згтах
2, 3, 7 19,2 52,0 0,245 0,85
1, 5, 7 17,4 57,5 0,234 0.81
1, 5, 7 15,4 65,5 0,220 0,764
2, 4, 7 11,3 53,5 0,146 0,508
1, 2, 7 10,3 58,0 0,139 0,483
1, 4, 7 10,0 60,0 0,137 0,475
3, 4, 7 8,0 50,0 0,100 0,347
2, 5, 7 6,9 58,0 0,039 0,320
1. 6, 7 5,4 74,0 0,082 0,285
Из таблицы видно, что плотность упаковки 32 является монотонно возрас-
тающей функцией dfc и немонотонной функцией ётЛ^ё. Используя также
данные табл. 3.11.1, видим, что не только нижняя граница вероятности Ро, но
и ее значение, подсчитанное по точной формуле методом численного интег-
рирования, являются монотонной функцией d£. На этом основании в работе
[120] найдены лучшие по критерию максимума с£ антенные структуры трех-
пятибазовых пеленгаторов с фиксированным значением ет в диапазоне от
3 до 20 при полном переборе возможных вариантов расположения антенн.
Исследования относятся к пеленгатору с опорной антенной, имеющему кор-
реляционную матрицу фазовых ошибок (3.5.5). Расчеты на ЭВМ проведены
В.И. Беловым. Выбор антенной структуры по максимуму 8n-i (5.3.17) обеспе-
чивает максимальную вероятность правильного устранения неоднозначности
при заданной дисперсии измерений.
Выбор наилучшей структуры при фиксированном максимальном масш-
табном коэффициенте пхп = ехп/Дцодн обеспечивает получение дисперсии мак-
симально правдоподобной оценки, меньшей, чем
= <*$/»£. • (5.3.23)
Поэтому критерий оптимальности при данном подходе можно сформули-
ровать следующим образом: минимизация вероятности аномальной ошибки
157
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
9 9
при условии, что дисперсия ст”» не превосходит ст„в, задаваемую форму-
лой (5.323).
Наилучшие по указанному критерию антенные структуры приведены в
таблице 5.3.3.
Таблица 5.3.3.
Наилучшие антенные структуры фазовых пеленгаторов
е1-е2'€3 № "л ft "ft Л ел "ft Л ft ft Л ei,e2,e3,€4 ft Л ls3 Л Л QI
1, 2, 3 — - з, 7, 12 2, 3, 8, 12 1, 2,4, 7, 12
1, 2, 4 1, 2, 3, 4 - 3, 4, 13 2, 5, 6, 13 1, 2,4, 7, 13
1, 2, 5 1, 2, 3, 5 1, 2, 3, 4, 5 5, 6, 14 2, 6, 9, 14 3, 5, 6, 7, 14
1, 4, 6 2, 3, 4, 6 1, 2, 3, 4, 6 2, 8, 15 4, 6, 7, 15 4, 5, 6, 8, 15
2, 3, 7 1, 2, 4, 7 1, 2, 3, 4, 7 4, 7, 16 1, 4, 6, 16 4, 5, 6, 8, 16
1, 3, 8 2, 3, 4, 8 2, 3, 4, 5, 8 6, 8, 17 2, 5, 13, 17 3, 4, 10, 12, 17
3, 5, 9 2, 3, 4, 9 1, 2, 3, 5, 9 1, 11, 18 4, 6, 7, 18 2, 4, 7, 8, 18
2, 3, 10 2, 6, 7, 10 1, 2, 3, 6, 10 3, 5, 19 5, 7, 8, 19 4, 11, 13, 14, 19
4, 6, 11 2, 7, 8, 11 3, 5, 6, 7, И 3, 8, 20 7, 9, 12, 20 3, 5, 13, 14, 20
Кодовые расстояния для решеток, указанных в таблице, приведены в ра-
боте [29]. Эффективность решеток по критерию близости к единице отноше-
ния max легко подсчитать по формуле (5.3.20) для каждого конкрет-
ного случая.
5.4. Предельно допустимые фазовые погрешности
в трактах многошкальных фазовых пеленгаторов
Под допустимыми фазовыми погрешностями в приемно-измерительных
каналах понимаются такие, которые не приводят к появлению аномально
больших ошибок определения координат в процессе устранения неоднознач-
ности фазовых измерений. Поэтому в данном подразделе рассматриваются
именно устройства устранения неоднозначности. Предполагается, что данные
устройства оптимизированы по отношению к фазовым погрешностям, имею-
щим нормальное распределение вероятностей.
Вероятность правильного устранения неоднозначности Ро является неудоб-
ной характеристикой измерительной системы в процессе ее промышленного
производства, где каждый из каналов в ходе технологического контроля при-
знается годным, если фазовые погрешности лежат в пределах некоторого
допуска ±Д, и бракуется, если фазовые погрешности выходят за его преде-
лы. Закон распределения вероятностей фазовых погрешностей внутри ука-
занного интервала при таком подходе не имеет никакого значения. Другое
неудобство использования вероятности Ро заключается в том, что для ее
реальной оценки необходимо проведение статистических испытаний.
В связи с этим рассмотрим методику расчета предельно допустимых фа-
зовых погрешностей в трактах многошкальных фазовых пеленгаторов,
не зависящую от закона распределения вероятностей, при которой ошибки
устранения неоднозначности вообще не возникают.
158
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
При решении данной задачи будем опираться на геометрическую интер-
претацию процесса устранения неоднозначности, изложенную в подразде-
ле 3.8. Предположим, что приемно-измерительные каналы идентичны в ста-
тистическом смысле. Предельно допустимую фазовую погрешность обозна-
чим символом А и будем считать, что для нормальной работы пеленгатора
она не должна быть превышена ни в одном из каналов.
В n-мерном пространстве измерений соответствующая область допусти-
мых ошибок определяется кубом со стороной 2А с центром в начале коорди-
нат. Координаты вершин куба 5у, j = l,2n, представим в виде п-мерных
вектор-столбцов
85 = Д-Ф1р j = l,2n, (5.4.1)
где — координаты вершин куба со стороной, равной 2, и центром в
начале координат. Векторы ф1}- состоят из единиц с соответствующими зна-
ками. Проекция куба погрешностей на подпространство 9?"1 подобна проек-
ции единичного куба возможных результатов измерений. Пример последней
для частного случая дан на рис. 3.8.1 как часть двумерного пространства 912,
заполненного собственными областями векторов неоднозначности. Размеры
проекции куба погрешностей должны быть такими, чтобы она не выходила
за пределы собственной области нулевого вектора, что является условием
отсутствия ошибок в устранении неоднозначности измерений. В предельном
случае одна (или более) вершина проекции лежит на границе собственной
области. Обозначим эту вершину индексом j. Пример собственной области
вектора к = (0,0,0)т и вписанного в нее куба со стороной 2А для измеритель-
ной системы с вектором масштабных коэффициентов пх =(8,9,14)т дан на
рис. 5.4.1.
Рис. 5.4.1. Собственная область нулевого вектора
и вписанная в нее область допустимых фазовых погрешностей
В соответствии с правилом отображения на пространство Ш”-1 векторов
измерений, определенным формулой (3.8.7), для вершины куба ошибок,
159
В.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
лежащей на границе собственной области вектора к = (б), должно выпол-
няться условие
А • <pf3G/q = 0,5/с 'Gki, (5.4.2)
где к,- — вектор неоднозначности, определяющий одну из тп границ соот-
ветственной области, а матрица G определяется формулой (3.6.16).
Правило нахождения векторов к-, влияющих на собственную область ну-
левого вектора, изложено в подразделе 3.7. Количество таких векторов, от-
личающихся не только знаком, т < 2П-1 - 1.
Формулу (5.4.2) можно пояснить следующим образом. Как показано в под-
разделе 3.6, сравнивая в процессе устранения неоднозначности векторы к = О
и ]i = ki, мы отдаем предпочтение первому, если A-<p^Gk, <0,5k-Gk,.
Формула (5.4.2) представляет граничный случай.
Из (5.4.2) находим предельно допустимую фазовую погрешность
А = inf
0,5k,rGkt
(pfjGk,.
i e (l,m), j e (1,2n),
(5.4.3)
где символ inf означает «точная нижняя граница».
При вычислении по формуле (5.4.3) для каждого из т векторов неодноз-
начности kt, от которых зависит собственная область нулевого вектора к = 0,
находится числитель d2 (3.6.2) и наибольшее значение знаменателя qi^G/c,.
Поскольку любой вектор состоит из единиц с различными знаками, наи-
большее значение знаменателя соответствует суммированию модулей ком-
понент вектора Gk,. Обозначая р-ю строку матрицы G как вектор др, имеем
из (5.4.3)
(5.4.4)
где т — число векторов к,, влияющих на форму собственных областей
векторов неоднозначности.
Правило вычисления предельно допустимой фазовой погрешности (5.4.3),
(5.4.4) относится к максимально правдоподобному алгоритму устранения нео-
днозначности, который является оптимальным в смысле минимума вероятнос-
ти аномальных ошибок, если матрица G (3.6.16), являющаяся основой для рас-
четов, соответствует реальным характеристикам измерительной системы
В подразделе 3.12 изложен квазиоптимальный алгоритм устранения нео-
днозначности, вытекающий из максимально правдоподобного при некоторых
допущениях относительно вида матрицы G и более простой в реализации.
Найдем предельно допустимые фазовые погрешности Дк, соответствую-
щие квазиоптимальному алгоритму.
Квазиоптимальный алгоритм основан на том, что элементы матрицы G
(3.12.4), не лежащие на главной диагонали, принимаются равными нулю, так
что квадратичная форма, служащая для сравнения векторов в процессе
устранения неоднозначности, преобразуется к виду
160
5, Оценка предельно д остижимых параметров фазовых пелегиаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
Q'(ф, к,) = 2фтС,’к1 + G'Jc,, (5.4.5)
где к, , г = 1, 2,..., (п - 1), — векторы из опорной совокупности.
Из (5.4.5) определим величину граничного значения фазовых погрешнос-
тей Дк, допустимых при использовании квазиоптимальиого алгоритма устра-
нения неоднозначности:
te(l,n-i), ;е(1,2").
(5.4.6)
Рассмотрим формулу (5.4.6) более подробно. Квадратичная форма в чис-
лителе имеет вид
(5.4.7)
поскольку вектор к, содержит единицу на i-й позиции, а остальные его
координаты равны нулю.
Знаменатель в этой же формуле можно записать так:
(pfjG'k, = , (5.4.8)
где — г-я координата вектора <р^.
С учетом (5.4.7) и (5.4.8) выражение для Дя можно представить в следую-
щем виде:
Л£ = inf[0,5/ф^-], ге(1,п- 1), ;е(1,2я).
(5.4.9)
В соответствии с формулой (3.12.2) ф = С *<р, поэтому
Дк = inf
(5.4.10)
где — элементы г-й строки матрицы С \
В формулах (5.4.4), (5.4.10) предельно допустимые фазовые погрешности
Д, Дя выражены в рад/2л.
В табл. 5.4.1 приведены результаты расчета предельно допустимых фазо-
вых погрешностей для фазовых пеленгаторов с линейными антенными ре-
шетками, имеющими четыре приемных канала и три фазометра, подключен-
ных по схеме с «опорной антенной».
Таблица 5.4.1
Значения допустимых фазовых погрешностей
п.т' д, град/360 А, град дк. град/360 Ак, град
8,9,14 0,08 29 0,062 22,5
1,5,7 0,083 30 0,083 30
161
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
В первом из примеров, приведенных в табл. 5.4.1 ( п? = (8,9,14)), исполь-
зование более простого квазиоптимального алгоритма требует уменьшения
предельно допустимых фазовых погрешностей с 29” до 22,5°. Вторая антенная
структура (nJ = (1,5,7)) оказалась значительно менее удачной: ее апертура
вдвое меньше, а допустимые фазовые погрешности при оптимальной обра-
ботке сигналов практически такие же, как в первой. Но они не уменьшаются
при переходе от оптимальной к квазиоптимальной обработке.
Для двухбазового пеленгатора формулы (5.4.3), (5.4.4) приобретают более
простую форму7. Покажем это.
Рассмотрим двухбазовый пеленгатор «с опорной антенной». Схема вклю-
чения фазометров показана на рис. 3.5.1,б.
Расположение антенн задается вектором взаимно простых целых чисел
с\. = Дг-одн п л. . Предположим, что фазовые погрешности возникают в статис-
тически идентичных приемно-усилительных каналах, так что их корреля-
ционная матрица выражается формулой (3.5.5), а обратная ей —- формулой
(3.5.6). Из последней получаем, положив N = 3:
R-._2(2
ф з1-1 2/
По формуле (3.6.16) находим матрицу G:
с _ <
ei- - Wi-2
(5.4.11)
^.Т1
и далее вычисляем для произвольного вектора неоднозначности k, = (kn,ki-2)T
d2 = kjGk,. = стт2 . (5.4.12)
2х -е.гЛех2
Формула (5.4.12) является частным случаем (3.7.16).
Минимальное значение dj получается, когда модуль числителя равен
единице. Исходя из этого, получаем связь между координатами кй и к,2
вектора к,, минимизирующего dj:
, . к.,е,.2+1
к,., = '* ----- или к,., = z-----. (5.4.13)
С.т1 ‘ Са-1
Соответствующие различным ординатам kt2 точки к, находятся в разных
интервалах однозначного измерения пеленга.
Подставляя единицу в числитель (5.4.12), получим минимальное значение
d2 = dj:
df = ^-^----- (5.4.14)
ex-exiex2
Далее вычислим вектор Gk, , входящий в знаменатель формулы (5.4.3).
Используя формулу (5.4.11) и вектор fc, = к, с первой координатой кй и
любой из вторых координат к,2 (5.4.13), получаем после перемножения
G% = ( Cj:2 ----------
k -e.ri J - exlcr2
162
5, Оценка предельно достижимых параметров фазовых пеленгаторов
с антенными системами из слабонаправленных элементов
Сумма модулей координат этого вектора — знаменатель формулы (5.4.4)
2
£gp^=g-2-f^+ex2... (5.4.15)
р=1 ®zl®x2
Подставляя (5.4.14) и (5.4.15) в (5.4.4), получаем
А = — ------- [рад/2л]. (5.4.16)
2(ех1 + е12)
Отметим, что в рассматриваемом примере одномерная собственная об-
ласть вектора к = б задается единственным вектором к^. Поэтому использо-
вание формулы (5.4.3) не потребовало решения задачи минимизации.
На рис. 5.4.2 приведен пример построения области допустимых фазовых
погрешностей для пеленгатора с вектором относительных баз пх ='ёх = (2,3)т •
Легко проверить, что ближайшая к вектору пх точка кх = (1,1)т удовлетво-
ряет соотношениям (5.4.13). На соответствующей ей границе собственной об-
ласти вектора к = б лежит вершина (А, -А) квадрата допустимых фазовых
погрешностей.
Рис. 5.4.2. Фазовые соотношения в двухбазовом пеленгаторе: п,. = (2,3)
Формулу (5.4.16) можно распространить на случай независимых фазовых
погрешностей в каналах пеленгатора. Ее достоинство заключается в том,
что она позволяет оценить предельно допустимые значения этих погрешно-
стей путем простейших вычислений.
Величины А (5.4.4), Ак (5.4.6) не являются параметрами закона распреде-
ления вероятностей фазовых погрешностей и не зависят от того, каким этот
закон фактически является. При таком подходе устранение неоднозначности
можно рассматривать как статистическую задачу с непараметрической ап-
риорной неопределенностью.
163
6. ДВУХКООРДИНАТНЫЕ ФАЗОВЫЕ
ПЕЛЕНГАТОРЫ С ПЛОСКИМИ
АНТЕННЫМИ РЕШЕТКАМИ
6.1. Алгоритм оценивания направляющих косинусов
методом максимального правдоподобия
В подразделе 1.2 приведены краткие сведения о фазовых пеленгаторах,
измеряющих угловое положение источника излучения в трехмерном про-
странстве. Антенны этих пеленгаторов расположены вдоль осей прямоуголь-
ной декартовой системы координат. Такое расположение антенн не всегда
позволяет рационально использовать все пространство, которое по конст-
руктивным и эксплуатационным условиям может занимать антенная систе-
ма пеленгатора для получения максимальной возможной точности измере-
ния. Например, двухкоординатный пеленгатор системы радиоэлектронной
борьбы может находиться в подвесном контейнере самолета или вертолета,
имеющем форму, близкую к цилиндру [6]. Антенная система такого пеленга-
тора должна быть рационально размещена в круге заданного диаметра. Цель
данного подраздела — найти алгоритм оценки углового положения источни-
ка излучения по совокупности разностей фаз сигналов, принятых антеннами,
произвольным образом расположенными на некоторой плоскости.
Предположим сначала, что на плоскости хОу (см. рис. 1.2.2) произвольным
образом расположены две идентичные слабонаправленные антенны Aj и А,
с координатами (хр у;) и (х2, у,). Разность фаз сигналов, наведенных в этих
антеннах удаленным источником излучения, выражается формулой (1.2.5)
где Ф|, — полная разность фаз, <р12 — измеренная разность фаз в радианах,
к — целое число периодов разности фаз.
Перейдем в этой формуле к обозначениям, аналогичным принятым при
рассмотрении линейных антенных решеток:
~ пт — нормированная проекция базы АхАг на координатную ось х,
Уг~У1
‘ ' = % — нормированная проекция базы А, А, на координатную ось у,
v - cos ах, u = cos Оу.
Формула (6.1.1) примет более компактный вид:
Ф12 = (ф12 + к) = nxV + 1lyU,
где разность фаз ср12 выражена в рад/2л
(6.1.2)
164
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
Предположим теперь, что на плоскости хОу имеется N точек, в кото-
рых располагаются слабонаправленные антенны. Между антеннами подклю-
чено п фазометров, на выходах которых имеется совокупность из п разно-
стей фаз, образующих вектор фазовых измерений ip = (<р1.<р.,,...,<р11 )г •
Допустим, что в силу причин, изложенных в главе 2, погрешности фазо-
вых измерений подчиняются нормальному закону распределения вероятнос-
тей. Предположим также, что они имеют нулевые средние значения, а их
корреляционная матрица В , известна. Тогда совместную плотность распре-
деления вероятностей результатов измерений ср., <р,. .... <р„ можно записать в
виде
11/-.-, - \г 1 /, - -
IV. (ф/;.’.и) = кехр-г-— (<р + к - «Д-’ ~ Вф (ср + к - п>:т> - пуиЬ, (6.1.3)
где <р = (<pj.<p2....,<p,. )’ — вектор измерений; k = (/ср/о,...,^, )т — вектор нео-
днозначности; п,. = (п.,.ь п,.2..пл), пу-(п^,пу.2......Пу,.,) — векторы масш-
табных коэффициентов, представляющие собой нормированные проекции фа-
зометрических баз на координатные оси антенной решетки, В.р1 — матрица,
обратная корреляционной.
Рассматривая плотность распределения (6.1.3) как функцию правдоподо-
бия направляющих косинусов v и и, решим систему уравнений правдопо-
добия (<Р ») f) (6.1.4) (ср г, и) _ о си
Получим [121] г*=(ср + /с’) q„, (6.1.5) и* = нр + к* 1 qu , (6.1.6)
где G./n.,. q,: = , (6.1.7) n.rGHnT ’ G,.n,. 9., = i. - (6.1.8) n,. G...nw
весовые векторы. °"' ’ ix1». ' <Ш) - В Г 1- ~ (6.1.10)
квадратные матрицы размерами п х п.
165
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАД ИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Весовые векторы (6.1.7), (6.1.8) можно представить в несколько ином виде:
в^нв;1^
° п^в^нв;1^ ’
(6.1.11)
в^нв^п.
(6.1.12)
где
_ г* zi zt'I’
~ ПхПу nynx
(6.1.13)
квадратная матрица размерности n x n, обладающая свойством Нт = -H, вве-
денная В.И. Беловым [29].
В формулах (6.1.5), (6.1.6) к — оценка вектора неоднозначности к.
Подстановка в функцию правдоподобия (6.1.3) оценок v* и и*, вычисленных
по формулам (6.1.5), (6.1.6), приводит к достижению ею главного максимума.
Алгоритм отыскания к рассмотрен ниже.
Таким образом, нахождение максимально правдоподобных оценок направ-
ляющих косинусов v и и заключается в отыскании единого для всей
совокупности измеренных разностей фаз вектора неоднозначности и после-
дующем суммировании полных разностей фаз с различными весовыми
коэффициентами.
В общем случае весовые векторы qv, qu зависят от проекций фазомет-
рических баз на каждую из координатных осей и корреляционной матрицы
фазовых ошибок. Подставляя в формулы (6.1.7), (6.1.8) выражения (6.1.9), (6.1.10),
убеждаемся, что весовые коэффициенты становятся неопределенными, если
векторы масштабных коэффициентов пх и пу линейно зависимы. Практи-
чески это означает, что антенны двухкоординатного пеленгатора не должны
располагаться на одной линии.
Если фазовые ошибки взаимно независимы и имеют равные дисперсии,
из (6.1.11), (6.1.12) получаем
(6.1.14)
у
Нпх
9и ~ -ти- •
n_Hnu
Л У
Отсюда следует, что векторы весов с точностью до сомножителя совпада-
ют с пх и пу •в том и только в том случае, если
п
£(пЛ) = 0.
(6.1.15)
Считая, что это соотношение выполняется, получим из (6.1.14), (6.1.15)
- пх
Qv =z^;
nrn.
(6.1.16)
166
6. Двух координатные фазовые пеленгаторы
с плоскими ангенными решетками
<7« = -ft- • (6.1.17)
«!; п!>
Очевидный пример, когда последние соотношения справедливы - распо-
ложение антенн пеленгатора вдоль осей прямоугольной системы координат
при условии взаимной независимости ошибок измерений.
Рассмотрим пример расчета векторов весов. Пусть расположение антенн
пеленгатора на плоскости хОу задано рис. 1.2.3, и измеряются следующие
разности фаз: <р, =<рц], <р2 = <р,,, <р5 = <р03, <р4 = <р;;4, где двойные индексы обозна-
чают номера антенн (рис. 1.2.3). Положим AtrA1 = ЛГгА:> = L, -4Д2 = А1А= k- Тогда
векторы масштабных коэффициентов
>'1х О- 0); % = у(°. О, (6.1.18)
Предположим также, что фазовые погрешности возникают в приемно-
усилительных каналах, имеют равные дисперсии и взаимно независимы. Тогда
корреляционная матрица погрешностей фазовых измерений, зависимых вслед-
ствие подключения пар фазометров одним из входов к общему приемному
каналу, будет иметь вид
В
ф ф
f 1 0,5 0,5 0
0,5 1 0 0
0,5 0 1 0.5
, 0 0 0,5 1 ,
(6.1.19)
Расчеты по формулам (6.1.11), (6.1.12) дают
=-(9<.ь9„2»9»зЛг4)Т; Ъ
а а
где
а = А1* + 3% +1- 8ф., - ;
q,,t = ~Чи?> - ~ U - 2Z-2;
— ~2Zj + bZj'Z.j — 6Z4Z.2 + 3/._>
= -Qui = - 2/1/;;
qr4 = -q1(2 = 2/^2 “ Ф1
Как видно из приведенных формул, для расчета каждого из направляю-
щих косинусов используются все измеренные разности фаз, причем весовые
коэффициенты имеют сложную зависимость от расстояний между антен-
нами.
167
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
6.2. Точность оценивания угловых координат
при правильном устранении неоднозначности.
Эллипс рассеяния
Рассмотрим фазовый пеленгатор с плоской антенной решеткой произ-
вольной конфигурации. Точность пеленгования характеризуется вероятнос-
тью правильного устранения неоднозначности (в рассматриваемом случае
вероятность отсутствия погрешностей, выходящих за пределы главного ле-
пестка функции правдоподобия) и условными статистическими характерис-
тиками оценок v* и и* при правильном устранении неоднозначности.
Из формул (6.1.5), (6.1.6) видно, что оценки V* и и* являются линейными
функциями совокупности полных разностей фаз. Вследствие этого, а также
предположения о нормальности распределения погрешностей фазовых
измерений при правильном устранении неоднозначности, оценки v* и и*
распределены нормально. Кроме того, в силу центральной предельной тео-
ремы теории вероятностей при большом числе фазометрических баз п рас-
пределение оценок v* и и* близко к нормальному и в том случае, когда
распределение фазовых ошибок отличается от нормального.
Используя формулы (6.1.5), (6.1.6), нетрудно показать, что оценки
v* и и* несмещенные. Поэтому их дисперсии и . > а также корреля-
ционный момент Bvu являются исчерпывающими характеристиками точнос-
ти. Из (6.1.5), (6.1.6), (6.1.11), (6.1.12) находим
где Н — матрица (6.1.13).
Формулы (6.2.1)~(6.2.3) справедливы при любом числе фазометрических
баз, образованных на TV-элементной антенной решетке, и при любой невы-
рожденной корреляционной матрице фазовых ошибок Вф. Вид матрицы Вф
зависит от ряда факторов: пространственных флуктуаций принимаемых сиг-
налов, возникающих на трассе распространения, наличия общих каналов при-
ема на различных базах и т.д. Из формул (6.2.1)-(6.2.3) видно, что в общем
случае дисперсии и зависят как от расположения элементов ан-
тенной системы, так и от вида матрицы Вф. В важном частном случае, когда
фазовые погрешности возникают в статистически идентичных и независи-
мых приемно-усилительных каналах, матрица Вф может быть представле-
на в виде
Вф=а>ф, (6.2.4)
где аф — дисперсия разности фаз, а нормированная корреляционная матри-
ца Кф зависит только от схемы подключения фазометров к выходам прием-
168
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
ных устройств. Типичный случай такой ситуации возникает, когда фазовые
погрешности обусловлены собственными шумами приемных устройств, неза-
висимыми от канала к каналу. Формулы (6.2.1)~(6.2.3) тогда записываются в
виде
о .
V
.2 _ 2 ГСуВ<р Пу
^х**ф НКф 71у
2 _ 2 Пх**(р Пх ,
U Ф 1 уттэ—1г? *
^Х**<р
о = ст2 ГСдВф Пу
vu Ф лТп-1и1г-1-; •
ГГдВф НКф 71у
(6.2.5)
(6.2.6)
(6.2.7)
Используя данные формулы и методику, примененную в подразделе 3.5,
можно показать, что в данном случае потенциальные возможности антенной
решетки полностью реализуются, если к N приемным каналам подключить
п = N - 1 фазометров, так чтобы результаты измерений были линейно неза-
висимыми. Как и в пеленгаторе с линейной антенной решеткой такая систе-
ма фазометрических баз является полной, в том смысле, что совокупность
результатов измерений после устранения неоднозначности достаточна для
вычисления разности фаз между любыми антеннами. Для вычисления харак-
теристик точности N элементной решетки с полной системой баз можно
считать, что все N - 1 разностей фаз измеряются относительно одной (опор-
ной) антенны. Матрицы Вф, R"1 в этом случае, как и для линейной решетки,
выражаются формулами (3.5.5), (3.5.6). Данные формулы позволяют привести
соотношения (6.2.5)-(6.2.7) к следующему виду
где
2 л г
„2,2
2, 2
в =——м (мм -М2 1
Мх = 22(х£ - х)2 , Му = £(yf - у)2 ;
i=i i=i
N
MXy=^(xi-x)(yi-y) _
1=1
(6.2.8)
(6.2.9)
(6.2.10)
(6.2.11)
(6.2.12)
моменты распределения на плоскости элементов антенной решетки,
1 N ! N
y = N^i - (6.2.13)
i=l i=l
координаты геометрического центра антенной решетки,
х„ У( — координаты фазовых центров антенн,
ст2 — дисперсии измеряемых разностей фаз в (рад/2л)2.
169
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Из формул (6.2.8)-(6.2.10) следует, что точность измерений зависит от
моментов распределения на плоскости элементов антенной решетки Мх, Му,
Mj-y. Эта зависимость становится более простой и наглядной, если = О,
что имеет место, когда решетка симметрична относительно хотя бы одной из
осей координат.
Действительно, в этом случае имеем
v' 2МХ ’
“ 2Му ’
(6.2.14)
(6.2.15)
Вт — 0.
Видно, что точность измерения направляющих косинусов относительно
осей X или Y зависит только от среднеквадратического размера решетки
вдоль этих осей. Среднеквадратический размер линейной антенной решетки
L^, расположенной вдоль оси X, введен формулой (3.1.10). Нетрудно видеть,
что Мх = NLCK, и формулы (3.1.9) и (6.2.14), определяющие дисперсию ст2,
при пеленговании линейной и плоской решеткой, эквивалентны.
Можно показать, что выражения (6.2.8) - (6.2.10) определяют предел точ-
ности оценивания направляющих косинусов по совокупности начальных фаз
сигналов, принятых N-элементной плоской решеткой с независимыми фазо-
выми погрешностями в приемных каналах. Соответствующие выкладки,
основанные на применении неравенства Рао-Крамера, содержатся в работе
С.В. Борджиотти [40].
В общем случае корреляционный момент погрешностей измерения
направляющих косинусов 8U = v* - v, 8и = и* - и (6.2.10) не равен нулю.
Поэтому дисперсии с2. и ст2. не являются исчерпывающими характеристи-
ками точности пеленгования. Такой характеристикой является совместный
закон распределения вероятностей погрешностей измерений 8„, 8и.
Ранее указывалось, что существуют основания считать этот закон нор-
мальным. Запишем его в виде
UZ2(s) =----5---expf-i^Bg'al, (6.2.16)
2' > 2ndetBg Ч 2 5 )’
где 8 = (8„ ,8и) — вектор ошибок измерений направляющих косинусов, В8 —
корреляционная матрица этого вектора, элементы которой в общем случае
определяются формулами (6.2.1)-(6.2.3).
Удобной характеристикой закона распределения (6.2.16) является эллипс
рассеяния ошибок 8„, Зи.
Уравнение эллипса рассеяния получим из (6.2.16), положив показатель
экспоненты равным константе:
1
1-р2
82 , 82 2р8„8ц
= 12,
(6.2.17)
где р — коэффициент корреляции ошибок 8V, 8U.
170
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
Из (6.2.1)—(6.2.3) имеем
Р = ТГЬ (6.2.18)
ylnxBvnx-nyBvny
Разным значениям X > 0 соответствуют разные, но постоянные при задан-
ном X, значения плотности вероятности. В соответствии с [37] длины боль-
шой и малой полуосей эллипса равных вероятностей равны:
Ь = Хст„.,/1 + Р; а = Хст^.^/1 - р, (6.2.19)
а угол наклона эллипса к оси 8„ определяется из выражения
tg(2o)_ 4-4 • <“М|
Мерой точности оценок v* и и* может служить детерминант корреля-
ционной матрицы ошибок В5, пропорциональный квадрату площади эллип-
са рассеяния V5 [37],
V8 = xX27detBg . (6.2.21)
Недостатком такого подхода является то, что при малой площади эллипса
рассеяния одна из его полуосей может быть недопустимо большой. Такая
ситуация возникает, когда модуль коэффициента корреляции ошибок 8„, 8и
(6.2.18) близок к единице. Из формул (6.2.8)—(6.2.10) видно, что к такой ситуа-
ции приводит расположение антенн пеленгатора вблизи некоторой прямой.
В этом случае точность пеленгования в плоскости, ортогональной данной
прямой, значительно выше, чем вдоль нее.
Рассмотрим пример оценки точности пеленгования. Найдем дисперсии и
корреляционный момент погрешностей оценок направляющих косинусов для
пеленгатора, антенная система которого изображена на рис. 1.2.3. Сохраним
предположение об источниках фазовых погрешностей и схеме подключения
фазометров, сделанные в предыдущем параграфе. Тогда векторы масштаб-
ных коэффициентов выражаются формулами (6.1.18), а матрица Вф — фор-
мулой (6.1.19). Проводя далее вычисления по формулам (6.2.5)-(6.2.7), полу-
чим
2 2 о^з^+г^-згл)
+ 3Z« - 8)^ -8^ + 12^)
ct2(4Z1Z2-4Z2-Z22)
&vu — 1
^-(4Z4 + 3Z2 -8^!% - 81$ +121$)
Положим Zj/X = 1, Z2/X = 3. Получим
ст2. = ст2. = 0,104ct2; p = ^- =-0,157,
a<p
где дисперсия ст2 выражена в (рад/2л)2.
Сравним вычисленную дисперсию с той, которая имеет место, когда по
каждой из осей координат пеленгование проводится раздельно и точность
определяется самой большой базой. Получим
171
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Нетрудно видеть, что выигрыш в точности при полном использовании
антенной решетки существует, но в данном случае он мал. Очевидно, после-
днее является следствием структуры решетки.
На рис. 6.2.1 по формуле (6.2.17) построен эллипс рассеяния ошибок в
оценке направляющих косинусов. В (6.2.17) положено X = 1.
Рис. 6.2.1. Эллипс
рассеяния
ошибок в оценке
направляющих
косинусов
Направляющие косинусы v и и полностью
определяют угловое положение источника излуче-
ния в пространстве. Однако иногда предпочтитель-
нее использовать непосредственно угловые коор-
динаты, а не их тригонометрические функции.
Такими координатами могут служить угол а меж-
ду осью ОХ антенной системы и проекций радиу-
са-вектора источника сигнала на плоскость антен-
ной системы, а также угол Р между направлением
на источник сигнала и плоскостью антенной систе-
мы. При расположении антенной системы пеленга-
тора на земной поверхности угол а имеет смысл
азимута, ар — угла места источника излучения.
Углы аир показаны на рис. 1.2.1. Как следует из
рисунка, угловые координаты выражаются через
направляющие косинусы следующими формулами
Р = arctg
а = arctg(u*/v*) I
(6.2.22)
fl-(у*)2-(и*)2
(у*)2 + (и*)2
(.6.2.23)
Данные формулы позволяют выразить дисперсии оценок углов а*, Р*
через дисперсии и коэффициент корреляции оценок направляющих косину-
сов. Разлагая а* и Р* в ряды по степеням у* и и*, ограничиваясь первыми
приращениями и переходя от них к дисперсиям, получим
.2 = (Ц*)2о„. + (у*)2 ст2. ~ 2ст„.стц.ру * и *
(у*)2+(и*)2 ’
а2 = (и*)2ст2. + (п*)2а2» + 2ст„.сти.ру * и *
СТ₽’ [(и*)2 + (и*)2 ] • [1 - (и*)2 - (и*)2 ]
(6.2.21)
(6.2.25)
Используя полученные ранее формулы для дисперсий а2., ст2, и коэф-
фициента корреляции В™, можно рассчитать погрешности измерения угло-
вых координат в зависимости от структуры антенной решетки и статисти-
ческих характеристик фазовых измерений.
Формулы (6.2.24), (6.2.25) упрощаются и становятся наглядными, если дис-
персии оценок направляющих косинусов равны между собой, а2. = ст2., а
коэффициент корреляции равен нулю. Тогда
172
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
ст2, = °"* ~ °р* -
° (г>*)2 + (u*)2 cos2 р
2 q««________~ °%»
₽’ 1 - (г>*)2 - (и*)2 ~ sin2 Р
(6226)
(6227)
Таким образом, при сделанных предположениях точность измерения
угловой координаты а (азимута) не зависит от ее значения и тем выше, чем
ближе расположен источник сигнала к плоскости антенной системы. Наихуд-
шая точность измерения азимута имеет место при расположении источника
сигнала вблизи нормали к плоскости антенной системы.
Точность измерения координаты р (угол места), наоборот, тем выше, чем
ближе источник расположен к указанной нормали.
Фазовые пеленгаторы с плоскими антенными решетками могут приме-
няться для пеленгования целей, о которых заранее известно, что они лежат в
плоскости решетки. Преимущество таких систем перед фазовыми пеленга-
торами с линейными АР состоит в том, что у них сектор однозначного пелен-
гования может составлять 360°, в то время как при использовании линейных
решеток невозможно по разности фаз различить пеленги а и а+180°.
Если априорно известно, что источник сигнала расположен в плоскости
антенной решетки, то с точностью до погрешностей измерений имеют место
соотношения;
и* = sin a; v* = cos а; (о*)2 + (u*)2 = 1.
Тогда выражение (6.2.24) для дисперсии ст2. примет вид
ст2. = (v*)2ст2. + (и*)2ст2. - 2ст„.сти. р v * и *. (6.2.28)
Из этой формулы видно, что точность измерения азимута зависит от
самого азимута, причем вид этой зависимости определяется дисперсиями и
коэффициентом корреляции оценок направляющих косинусов.
6.3. Максимально правдоподобное устранение
неоднозначности фазовых измерений
Решение задачи нахождения максимального правдоподобного вектора нео-
днозначности для фазового пеленгатора с плоской антенной решеткой подоб-
но проделанному в подразделе 3.5 для пеленгатора с линейной антенной
решеткой. Полные разности фаз Ф; = <pt + к, на базах пеленгатора связаны с
направляющими косинусами принимаемой волны соотношением (6.1.2)
Ф, = nxv + nyu . (6.3.1)
Изменению направляющих косинусов v и и в пределах области их опре-
деления соответствует некоторый набор целочисленных векторов к резуль-
татов покоординатного округления вектора Ф(и,и) с учетом погрешностей
фазовых измерений. Методика отыскания данной совокупности изложена в
приложении 2. Обозначим ее {к}-
173
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Задача устранения неоднозначности решается путем отыскания такого
вектора к из совокупности его возможных значений, который максимизиро-
вал бы функцию правдоподобия (6.1.3) или, что равносильно, минимизировал
бы показатель входящей в нее экспоненты:
Пф(к, V, и) = (ф + k- nxv - nyuf Bjp1 (ф + k - nxv - n^u) .
(6.3.2)
Исключим зависимость от v и и приведенной формы путем подстановки
в нее оценок v* (6.1.5) и и* (6.1.6). Получим:
Пф(к) = (ф + к)т С(ф + к), (6.3.3)
где , Gxn п^В:1 G п^п^В’1 G = B<₽ -т! - ~ (6.3.4) nyGxny nxGynx
квадратная матрица размером п х п,
Gx, Gy — квадратные матрицы (6.1.9.), (6.1.10),
п — число фазометрических баз.
Иногда матрицу G удобно использовать в более компактном виде, следу-
ющем из (6.3.4):
(6.3.5)
r_B-i в^нв^нв;1
пХнв;Ч
где Н — квадратная матрица (6.1.13).
Алгоритм устранения неоднозначности запишем в виде
П-(/?)<П-(к,.), kfe{kf},
где к — оценка вектора неоднозначности.
Алгоритм (6.3.6) предполагает перебор всех возможных векторов неодао-
значности ki из совокупности {kJ для отыскания нижней границы формы
(6.3.3).
Вычисление по данной формуле можно упростить, если исключить из
ГЦ (к) (6.3.3) члены, не зависящие от к при данной выборке ф. Выполняя
эту операцию, получим
Q$(k) = 2<pTGk + kTGk. (6.3.7.)
(6.3.6)
Отметим, что формула (6.3.3) формально совпадает с (3.6.18), а формула
(6.3.7.) — с (3.6.20). Поэтому алгоритм устранения неоднозначности в пеленга-
торах с плоскими антенными решетками формально такой же, как в пелен-
гаторах с линейными антенными решетками. Его можно записать в виде
(3.6.19):
k’=arg jnin Q-(kJ. (6.3.8)
ММ
Принципиальная разница заключается в виде матрицы G. Для линейных
антенных решеток матрица G имеет ранг (п-1), что показано в подраз-
деле 3.6. Для плоских антенных решеток ранг матрицы G равен (п - 2). Пока-
жем это.
174
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
Рассмотрим сначала частный случай, когда Вф = Е, где Е — единичная
.матрица. Тогда матрица G, которую в данном случае обозначим Gn приво-
дится к виду
G j=E-
ПуЪу
пТуПу
пяпх nxnj пупТ "
п^пуптхпя птЛп^пу>
(6.3.9)
Обозначим
= ПД< , пупу _
-tT-» ’ _.т -»
п,п3. пупу
квадратные матрицы размерами пхп. Запишем уравнение (6.3.9) в виде
G j = Е - N - N - (NXN„ + NN J. (6.3.10)
Нетрудно показать, что каждая из матриц Nx, N имеет по одному соб-
ственному числу, равному единице, и по (п-1) собственных чисел, равных
нулю. Кроме этого, Nj.Ny = NyNx, то есть матрицы Nx, коммутативны,
вследствие чего они приводятся к диагональному виду с помощью одной и
той же ортогональной матрицы [107]. Обозначим ее Т. Вследствие ортого-
нальности Т 1 =ТГ, ТГТ = Е.
Из (6.3.10) имеем
TG,Tr = Е - TNxTr - TN„Tr - 2[TNxTrTN,/Tr] . (6.3.11)
Матрицы Nx, N образованы линейно независимыми векторами пх , пу,
поэтому собственным числам, равным единице, соответствуют разные соб-
ственные векторы, и единицы в TNxTr, TNyT? занимают разные места на
главных диагоналях. Вследствие этого матрица, стоящая в квадратных скоб-
ках в формуле (6.3.11), состоит из одних нулей. Поэтому матрица TGjTr, а
следовательно, и G j имеет (п - 2) собственных числа, равных единице, и два
собственных числа, равных нулю. Отсюда следует, что ранг Gj равен (п - 2).
Перейдем к общему случаю, когда Вф положительно определенная нео-
собенная симметричная матрица. Используем матрицу Вф1/2, введенную в
подразделе 3.6. Преобразование B"^2GB”^2 приводит матрицу G (6.3.4) к
виду G! (6.3.9), где вектор пг заменен на В'1/2пх, а п — на BT!/“ny.
Поскольку матрица Gi имеет ранг (п-2), а матрица В^2 — неособенная,
ранг G также равен (п - 2).
Ранг матрицы G имеет непосредственное отношение к геометрической
интерпретации процесса устранения неоднозначности, которая рассматрива-
ется в следующем подразделе.
Используя простое перемножение, убеждаемся, что матрица G (6.3.4) ор-
тогональна по отношению к векторам пя и пу, Gnx. = 0, Gri^, = 0. Поэтому
форма Q^Qc) (6.3.6), составляющая основу алгоритма отыскания к* (6.3.8),
не изменится, если заменить в ней к на другой целочисленный вектор
к + Д?;„днпх + Диоднпу. Координаты векторов пг и пу могут быть в общем
175
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
случае дробными числами. Коэффициенты Аиодн, Аиодн введены в это вы-
ражение для того, чтобы сделать результирующий вектор целочисленным.
Подставляя его в формулы (6.1.5), (6.1.6) для оценок направляющих косинусов
v* и и* и замечая, что nxqu = 0 , qv = 0 > получаем, что Аг>одн, Аиодн -
интервалы однозначного измерения направляющих косинусов, если
Аиоднпх = ех ; Аг1одн1гу - еу , (6.3.12)
где ех, еу — целочисленные векторы, координаты которых не имеют обще-
го делителя.
Из сказанного выше следует, что многомодальная функция правдоподобия
(6.1.3) периодична по переменным v и и с периодами Аиодн, Аиодн соответ-
ственно. Для применимости изложенных алгоритмов обработки сигналов
должны существовать априорные сведения о положении объекта наблюде-
ния, позволяющие выбрать нужный двумерный сектор однозначности. Вели-
чина интервалов А«одн, Аиодн зависит от расположения элементов антенной
системы в соответствии с формулами (6.3.12).
6.4. Геометрическая интерпретация процесса
устранения неоднозначности и оценки
направляющих косинусов
Геометрическая интерпретация процесса оценки пеленга и ликвидации
неоднозначности фазовых измерений весьма плодотворно использовалась при
разработке теории фазовых пеленгаторов с линейными антенными решетка-
ми. Применим ее к пеленгаторам с плоскими антенными решетками, опира-
ясь на полученные ранее результаты.
Будем исходить из того, что обработка совокупности измеренных разно-
стей фаз ф заключается в устранении неоднозначности измерений путем
отыскания вектора неоднозначности к*, минимизирующего квадратичную фор-
му Пф(/с) (6.3.3), и последующего весового суммирования координат вектора
полных разностей фаз Ф = <р + к* по формулам (6.1.5, 6.1.6). Весовые коэффи-
циенты qv и qu для нахождения направляющих косинусов и и и различны и
даются формулами (6.1.7, 6.1.8).
Геометрическую интерпретацию указанных соотношений начнем с част-
ного случая, когда фазовые погрешности некоррелированы и имеют равные
дисперсии, а векторы относительных баз ортогональны между собой
nxiiy = ^пх =0
Введем в n-мерном евклидовом пространстве полных разностей фаз Ф,
векторы пх , пу, ф, kj, Ф, = Ф + к, . В рассматриваемом частном случае весо-
вые коэффициенты qv , qu определяются формулами (6.1.16), (6.1.17), поэтому
в соответствии с (6.1.5), (6.1.6) оценки направляющих косинусов
176
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
ФТПХ _ (Ф.Пд.)
2 — 2
Пх пх
(6.4.1)
Фт п (Ф,п )
и * =--2^ =---2, (6.4.2)
ПУПУ
где пх, пу — модули соответствующих векторов, а символ (_,_.) означает
скалярное произведение векторов.
Из последних соотношений следует, что nxv* и пуи* — проекции вектора
полных разностей фаз на векторы пх и Пу соответственно.
В рассматриваемом частном случае квадратичная форма ГЦ (к) (6.3.3)
легко приводится к виду
ГЦ (к) = ФТСФ = Фт Ф-
(ФТпх)2
(ФТп9)2
„2
(6.4.3)
Отсюда следует, что П-(к) квадрат расстояния от конца вектора ф до
плоскости, задаваемой векторами пх и пу (плоскости оценок).
Сказанное иллюстрируется рис. 6.4.1, построенном для п = 3. Чтобы
не затенять рисунок, на нем не показаны координатные оси Ф, и показан
только один вектор к (и, следовательно, один вектор Ф).
Рис. 6.4.1. Геометрические построения
в пространстве полных разностей фаз
На плоскости оценок показан эллипс, полуоси которого — пх, пу. Внутрь
этого эллипса попадает любая точка с координатами vnx и ипу , поскольку
|v| < 1, |u| < 1. На рисунке показана также проекция вектора полных разно-
стей фаз на плоскость оценок, обозначенная Фо. Уравнение этой проекции
Фо = v * пх + и * пу,
а углы по отношению к векторам пх, пу
177
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
ахпр = arccos
V* п.
*
аупр
U* П
= arccos-j= .
^(v* пх)г + (и* пу)2
Нетрудно видеть, что если пх= пу , а источник сигнала лежит в плоскости
антенной решетки так, что (v*)2 + (u*)2 ~ 1, углы а*пр , а*пр задают его поло-
жение относительно осей координат антенной решетки.
Устранение неоднозначности измерений заключается в подборе такого
целочисленного вектора к*, что квадрат расстояния между концом вектора
полных разностей фаз Ф = $ + к* и плоскостью оценок минимален. В рас-
сматриваемом примере это квадрат отрезка прямой в трехмерном простран-
стве. В общем случае это квадрат проекции вектора Ф на подпространство,
ортогональное по отношению к векторам пх и пу. Размерность этого под-
пространства определяется рангом матрицы G и равна (п - 2), то есть ука-
занная проекция может быть представлена в виде суммы (п - 2) линейно
независимых векторов. Обозначим указанное подпространство символом 9?п-2.
Рассмотрим теперь общий случай, когда на корреляционную матрицу Вф
не налагается никаких ограничений, кроме того, что она должна быть сим-
метричной и положительно определенной, и не требуется ортогональности
векторов баз пх и пу.
Оценки направляющих косинусов г>* и и* в соответствии с (6.1.5)-(6.1.8)
могут быть рассчитаны по формулам
v* = Фтд„ =
^х
(6.4.4)
и* = Фт qu =
ФТСхпу
™yGx"y ’
(6.4.5)
где матрицы Gx, Gy определены формулами (6.1.9), (6.1.10).
Данные формулы показывают, что с точностью до константы оценки
v* и и* представляют собой проекции вектора полных разностей фаз Ф на
векторы весов qu (6.1.7), qv (6.1.8). Легко проверить, что вектор qu ортого-
нален вектору пх , q^nx = 0, а вектор qv ортогонален пу , q„ny =0.
Формулы (6.4.4), (6.4.5) можно представить и в виде (6.4.1), (6.4.2):
(пх,пх)’
. (фА)
(Пу,Пу)’
если определить скалярные произведения как
(ф, пх) = $TGynx; (Ф, пу ) = <t>TGxny.
178
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
Матрица Gx (6.-1.9) идентична матрице G (3.6.16), которая, как было ус-
тановлено, отображает векторы из пространства полных разностей фаз на
подпространство, ортогональное по отношению к вектору пх Таким обра-
зом, с точностью до коистанты оценка и* представляет собой проекцию
ортогональной по отношению к пх составляющей вектора полных разностей
фаз ф на ортогональную к пх составляющую вектора пу
Аналогично, оценка ю с точностью до константы представляет собой про-
екцию ортогональной по отношению к пу составляющей вектора полных
разностей фаз ф на ортогональную по отношению к пу составляющую
вектора пх.
Векторы qu и qv в общем случае не лежат в плоскости векторов пх , пу,
поскольку не представляются суммой вида апх + Ъпу, как это следует из
формул (6.1.7), (6.1.8). Тем не менее, процесс устранения неоднозначности
измерений можно трактовать как отыскание вектора к, обеспечивающего
минимум расстояния от конца вектора полных разностей фаз Ф = <р + к до
плоскости, задаваемой векторами пх и пу. Действительно, устранение неод-
нозначности заключается в подборе вектора к, минимизирующего квадра-
тичную форму Пф(к) (6.3.3). Данная форма определяет квадрат указанного
расстояния, поскольку матрица G ортогональна векторам пх и пу и ее ранг
равен п - 2.
Отметим, что при отсутствии погрешностей фазовых измерений в соот-
ветствии с (6.1.2)
Ф = nxv + пуи , (6.4.6)
то есть вектор полных разностей фаз лежит в плоскости векторов пх , пу.
Подставляя данное соотношение в (6.3.3), получаем n^(fc) = 0 в силу ортого-
нальности матрицы G векторам пх и пу, что согласуется с геометрически-
ми представлениями.
В подпространстве 91п-2 проеккции векторов <р и к можно представить в
различных базисах. Как и при рассмотрении пеленгаторов с линейными ан-
тенными решетками, используем разложение по векторам из опорной сово-
купности. К опорной совокупности векторов неоднозначности фазового пе-
ленгатора с плоской антенной решеткой отнесем целочисленные векторы к{,
i- 1,2,..., п - 2, имеющие минимальные значения величин
d?=kfGkf, (6.4.7)
где G определяется формулой (6.3.4), и образующие совместно с векторами
ех, еу (6.3.12) полную группу линейно независимых n-мерных целочислен-
ных векторов.
Так как Gex = 0, Gey = 0, координату а^,- отображения на 91п~2 произ-
вольного целочисленного вектора кр определяем по формуле вида (3.8.3):
179
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
zpi =K$Gkit i = 1, 2,(n - 2), (6.4.8)
а отображение на 9?п-2 вектора кр — по формуле (3.8.5):
агр=Мткр. (6.4.9)
Матрица М находится по формуле вида (3.8.4)
М = GK, (6.4.10)
с той разницей, что теперь матрица К имеет размеры п х (п - 2),
K = (k1,k2„..,kn. 2), где к(. — вектор-столбцы из опорной совокупности.
Аналогично отображается на SR”-2 и вектор измерений ср :
П = МТф. (6.4.11)
Из (6.4.9) следует, что множество точек зёр образует в 9?п-2 решетку, а
М — образующая матрица этой решетки. Алгоритм раскрытия неоднознач-
ности фазовых измерений (6.3.8) задает области вокруг точек зёр, при попа-
дании в которые конца вектора i] максимально правдоподобное значение
вектора неоднозначности равно кр. Как и при рассмотрении линейных ре-
шеток будем называть данные области собственными областями векторов
неоднозначности. Границы собственных областей непосредственно следуют
из (6.3.8) и с учетом размерности определяются системой уравнений вида
(3.8.1).
Границы подпространства 91п-2, в которые возможно попадание точек т]
(6.4.11), задаются проекцией на него области измерений — n-мерного единич-
ного куба с центром в начале координат.
Отметим, что инвариантная форма записи Q$(k) для плоской и линейной
решеток не говорит о том, что собственные области будут совпадать по
форме при одинаковой размерности.
Для примера приведем построения в плоскости 9?п-2, выполненные в со-
ответствии с полученными формулами для четырехбазового пеленгатора с
антенной системой, схематически изображенной на рис. 1.2.3.
Примем пх =ех = (1; 3; 0; 0)т > пу = еу = (0; 0; 1; 3)т. На рис. 6.4.2 при-
ведена проекция на 91п-2 единичного куба и собственные области векто-
ров неоднозначности, рассчитанные для Вф = ст2 Е. Указаны проекции век-
торов fcj и , образующих опорную совокупность векторов неоднозначно-
сти: = (0; 0; 0; 1), к£ = (0; 1; 0; 0) • Символами В,. обозначены проекции
вершин четырехмерного куба. Соответствующие точки лежат внутри
квадрата, вершины которого — проекции точек ±Д. = ±0,5(1; -1; -1; 1)т и
±В8 = ±0,5(1; -1; -1; -1)т. Собственные области четырех векторов выделены
штриховкой.
На рис 6.4.3 подобные построения приведены для той же антенной систе-
мы, но матрица Вф принята в виде (6.1.9). Опорную совокупность образуют
180
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
показанные векторы jq = (0; 1; 0; 1)т, Й2 = (0; 0; 0; 1)т. Штриховкой показа-
ны собственные области двух векторов. Из сравнения рис. 6.4.2, 6.4.3 видно,
что корреляция фазовых погрешностей существенно влияет на собственные
области векторов неоднозначности, так что может измениться и тип парал-
лелоэдров, которыми они представляются.
Рис. 6.4.2. Проекции пространства измерений и векторов неоднозначности
на плоскость: Яп-2; = (1,3,0,0); п? - (0,0,1,3); Вф = афЕ
Рис. 6.4.3. Проекции пространства измерений и векторов
неоднозначности на плоскость SR"-2: nJ = (1,3,0,0), iiy = (0,0,1,3).
Матрица Вф имеет вид (6.1.19)
181
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
6.5. Расчетные соотношения для вероятности
правильного устранения неоднозначности
В предыдущем подразделе показано, что устранение неоднозначности из-
мерений в фазовых пеленгаторах с плоскими антенными решетками можно
трактовать как отображение вектора изменений <р, принадлежащего «-мер-
ному пространству полных разностей фаз, на (п - 2)-мерное подпростран-
ство 91п-2 с помощью формулы (6.4.11) и определения, в какую из непересека-
ющихся областей этого подпространства (собственных областей векторов
неоднозначности) попал конец этого отображения. После разбиения 9Jn-2 на
собственные области векторов неоднозначности и проектирования на него
вектора <р задача устранения неоднозначности измерений ничем не отлича-
ется от рассмотренной для фазовых пеленгаторов с линейными антенными
решетками. На этом основании формулу для вероятности правильного уст-
ранения неоднозначности запишем в виде, подобном (3.7.11):
Р° = JL > У2, •••> yn-2)dVi-dyn-2 , (6.5.1)
где Wn_2(yi, у2, , Уп-г) — (п~ 2)-мерная плотность распределения вероятно-
стей случайных величин T)f:
т]<=5тОкР (6.5.2)
где 5 — n-мерный вектор погрешностей фазовых измерений; kit
i = 1, 2,...,(n-2) —векторы неоднозначности из опорной совокупности.
Границы (п - 2)-мерной области интегрирования в формуле (6.5.1) задают-
ся системой уравнений
1 9
У, = - dt, г = 1,2,..., (п - 2); (6.5.3а)
А
п-2 J
£ °-jiVi = 2 d> ’ П "1 - j" т ’ (6.5.36)
где величины d2,d2 определяются по формуле (6.4.7) при подстановке в нее
соответствующих векторов неоднозначности.
Первые (п - 2) границы области интегрирования (6.5.3а) определяются под-
становкой в (6.4.7) векторов к из опорной совокупности. Границы (6.5.36)
определяются подстановкой в (6.4.7) таких векторов
п-2
kj = ki (a{j — целые числа),
t=i
для которых выполнение условия |т]^| < 0,5d2 не следует из того, что оно
выполняется для (п - 2) первых. Исходным соотношением для отыскания
совокупности векторов неоднозначности является алгоритм раскрытия
неоднозначности (6.3.8).
Формула (6.5.1) справедлива при определенном алгоритме устранения
неоднозначности, заданном формулой (6.3.8), но различных законах распре-
182
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
деления вероятностей фазовых ошибок 6,. Если это n-мерный нормальный
закон, то формула (6.5.1) приобретает вид (3.7.12), с той разницей, что раз-
мерность вектора переменных у и кратность интеграла равны (п - 2). Рас-
пределение вероятностей случайны величин р, (6.5.2) в этом случае полнос-
тью определяется корреляционной матрицей Вг размерами (п - 2)х(п - 2). Ее
элементы Ь;. находятся по формуле (3.7.5), в которой матрица G в данном
случае определяется формулами (6.3.4), (6.3.5).
Возникает вопрос о зависимости вероятности Ро от количества фазомет-
рических баз на плоской антенной решетке из N элементов и схемы под-
ключения фазометров к приемным каналам. Можно показать, чт» если фазо-
вые погрешности возникают на трассе распространения радиоволн либо в
приемно-усилительных каналах, то вероятность Ро максимальна при исполь-
зовании N - 1 фазометрических баз и не зависит от схемы подключения
фазометров, лишь бы результаты измерений были взаимно независимы.
Доказательство этого положения совершенно аналогично проведенному в под-
разделе 3.9 для фазовых пеленгаторов с линейными антенными решетками.
Применим изложенные теоретические положения к простейшему случаю.
Пусть антенная система пеленгатора состоит из четырех антенн, располо-
женных в плоскости, например, так, как показано на рис. 6.5.1. Разности фаз
Ф1, <р2, ф;>, измеряются между антенной А(), расположенной в начале коорди-
нат, и антеннами Аи А,, А3. Тогда
п'г = /.1(х1,х,,х3); Пу = л1(у1,у2,у3).
Рис. 6.5.1. Пример расположения антенн
двухкоординатного фазового пеленгатора на плоскости
Задаваясь интервалом однозначного измерения направляющих косинусов
Диодн, Aw,14H, получаем из (6.3.12), что антенны должны располагаться с шагом,
кратным л/Л^’ода вдоль оси Ох и л/Даодн вдоль оси Оу. Например, при
однозначном пеленговании в пределах полусферы шаг дискретности вдоль
185
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
каждой из осей составляет Х/2. Конкретное положение антенн задается век-
торами взаимно простых чисел ех, еу согласно равенствам (6.3.12). Векторы
ех, еу влияют на вероятность правильного устранения неоднозначности, так
как от них зависит (п - 2)-мерная плотность распределения в интеграле (6.5.1).
Вычисление интеграла при нормальном распределении вероятностей не пред-
ставляет трудностей, поскольку в данном случае его кратность п - 2 = 1.
Область интегрирования представляет собой отрезок прямой (-df/2, d2/2),
где df находится по формуле (6.4.7) с матрицей G (6.3.4) путем подстановки
в нее такого целочисленного вектора к,, который минимизирует левую часть.
Одномерная область интегрирования D показана на рис. 3.7.1. Дисперсия
нормальной случайной величины, по которой проводится интегрирование, в
соответствии с формулой (3.7.5) также равна d2, поэтому
Ро =®(di/2>/2), (6.5.4)
где Ф(х) — интеграл вероятности [37].
Для трехбазового пеленгатора с произвольным расположением антенн на
плоскости можно вычислить минимальное значение df, не находя соответ-
ствующего вектора kt.
Действительно, подставляя в формулу (3.7.5) матрицу G (6.3.4) для любо-
го к{ можно получить
J2 ___________________________________
* ?Тп-1т* /T*T«—1т* \2
®x Вф ®х®у Вф еУ Вф ey)
1
“*Tw> —1т* т*Т
ех®<р ехеу“ф еу
4ТВф‘ех %в~1ёу %В~1к
®уВф Сд. 5«ТвфЧ еТуВ^к =
ктв~1ёх kTB-\ kTBjk
(е£в;Ч)2 |ств-1с| (6.5.5)
1
где C = (ex,ey,k) — квадратная матрица размерами 3x3.
Детерминант произведения квадратных матриц равен произведению их
детерминантов, поэтому из (6.5.5) получаем
d? =
(det С)2
detBq, ёхВ^ёх -вуВ/бу -(ejB/eJ2
(6.5.6)
Поскольку элементы матрицы С — целые числа, ее детерминант —
целое число, минимальное отличное от нуля, значение которого равно ±1.
Поэтому
d? =—--------------------!------------=• (в.5.7)
В частном случае, когда фазовые погрешности независимы и имеют рав-
ные дисперсии а2 , а векторы ёх,ёу ортогональны, из (6.5.4), (6.5.7) получаем
184
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
' . Г з з
Ро =Ф
(6.5.8)
Отсюда видно, что вероятность правильного устранения неоднозначности
в двухкоординатном пеленгаторе, реализующем метод максимального прав-
доподобия, не представляется произведением вероятностей правильного ус-
транения неоднозначности по каждой угловой координате, определяемой фор-
мулой (3.7.20).
Для фазовых пеленгаторов с плоскими антенными решетками можно най-
ти предельно допустимые погрешности в приемно-измерительных каналах,
при которых аномально большие ошибки пеленгования не возникают с веро-
ятностью единица.
Следуя методике, изложенной в подразделе 5.4 применительно к пеленга-
торам с линейными антенными решетками, опять приходим к формуле вида
(5.4.4)
i = 1, т
p=i
где А — предельно допустимые фазовые погрешности, — векторы нео-
днозначности, входящие в формулы (6.5.3а), (6.5.36), т — их общее количе-
ство, др — p-я строка матрицы G (6.3.4).
6.6. Методы приближенного расчета вероятности
правильного устранения неоднозначности
Формулы (3.7.11) и (6.5.1) для расчета вероятности правильного устране-
ния неоднозначности Ро в фазовых пеленгаторах с линейными и плоскими
антенными решетками различаются только кратностью интегралов. В пер-
вом случае это (п - 1), во втором — (п - 2). С учетом этого обстоятельства
методы приближенного расчета Ро, рассмотренные в подразделе 3.11, можно
распространить на пеленгаторы с плоскими антенными решетками.
Будем считать, что в n-базовом пеленгаторе с плоской антенной решет-
кой фазовые погрешности подчиняются нормальному закону распределения
вероятностей с невырожденной корреляционной матрицей Вф. Тогда нижняя
граница вероятности правильного устранения неоднозначности Р0*н находит-
ся как вероятность попадания (п - 2)-мерной случайной величины fj с коор-
динатами т]г (6.5.2) в эллипсоид рассеяния (3.11.1), расположенный внутри
собственной области нулевого вектора неоднозначности, и касающийся хотя
бы одной из ее границ. Указанная граница может быть вычислена по форму-
ле (3.11.6) с учетом изменения размерности. Получим
185
В.П. Денисов, Д. В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Рон
= р xU
(6.6.1)
2 «-
где Хп-2 — случайная величина, подчиненная хи-квадрат распределению с
(п-2) степенями свободы, d^in — минимальная из величин d? = kfGk{,
матрица G определяется формулой (6.3.4).
Аналогично, верхняя граница вероятности правильного устранения
неоднозначности Р0’в находится как вероятность попадания (п - 2)-мерной слу-
чайной величин ц с координатами г), (6.5.2) в эллипсоид рассеяния, равнове-
ликий с собственными областями векторов неоднозначности. Оценка Р0’в для
пеленгатора с плоской антенной решеткой может быть вычислена по фор-
муле (3.11.15) с учетом изменения размерности
Пв=Р- 2 n(detB„)^-2r%-2(0,5n) Хп-2 " 2лп-2 ► > (6.6.2)
где Г(х) — гамма-функция.
Детерминант корреляционной матрицы Вп случайных величин г], (6.5.2)
можно вычислить, минуя нахождение самой матрицы. Покажем, что для пе-
ленгатора с плоской антенной решеткой справедливо соотношение
delB» [4в;Ч^в;Ч-«ХЧ>2]
Для этого матрицу G (6.3.4) представим в виде
G = в;1 - д^в;1 - д^в;1,
где qo, qu — весовые векторы (6.1.7), (6.1.8).
Перепишем данную формулу в виде
Вф1 = G + g^n^B”1 + д^В;1
и умножим ее левую и правую части слева на Ст и справа на С, где
С = (k1,k2,..jcn_2,eI,ey) — (6.6.4)
матрица размерами пхп;
к,- — векторы неоднозначности из опорной совокупности 1' = 1, 2,..., п - 2.
Составляющие матрицу С векторы образуют полную совокупность
n-мерных линейно независимых целочисленных векторов.
Получим
ств-1с = CTGC + ст§„йхв;1с+стдип„в;1с.
Очевидно,
186
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
det СТВ’1С = det [cTGC + CTq„na.B;1C + CTqunyB;1c] . (6.6.5)
Детерминант произведения квадратных матриц в левой части этого соот-
ношения равен произведению детерминантов сомножителей. Поэтому
det CTB:XC = (detC) . (6.6.6)
Ф detB,,
Для нахождения детерминанта правой части (6.6.5) используем известное
правило упрощения подобных вычислений: детерминант матрицы не изме-
няется, если к какой-либо строке прибавить другую, умноженную на произ-
вольное число. Произведем в правой части (6.6.5) матричное перемножение и
затем прибавим к каждой г-й строке, г = 1,2,..., п - 2, предпоследнюю строку,
умноженную на klqv/svoaH , и последнюю строку, умноженную на к^ди/ды0ДН .
Учтем, что nxqv = nyqu = 1 ( nxqu = nyqv = 0. Получим
det[cTGC + CTqt,n^B-1C + C^n^c] =
О О
вп ... о о
ejB;1^ ejB^ ... СВФЧ ejB-1^
ejB;4 ... e^ex e^ey
Разлагая данный определитель по элементам
пользуя равенство (6.6.6), получим
последнего столбца и ис-
detBn
___________(det С)2________
detB^ejB-^ejB;1^ -(^XV] ’
(6.6.7)
Матрица Вп является образующей для цифровой решетки, которую
создают в пространстве ЭР-2 отображения векторов неоднозначности
Поэтому det Вл — объем фундаментальной области решетки. Входящие в
матрицу С векторы опорной совокупности fc. подбираются так, чтобы дан-
ный объем был минимальным. Это имеет место, когда модуль детерминанта
целочисленной матрицы С равен единице
|detC| = l. (6.6.8)
Подстановка этого соотношения в (6.6.7) доказывает справедливость (6.6.3).
Соотношение (6.6.8) может служить также критерием правильности отыска-
ния опорной совокупности векторов неоднозначности.
Отметим, что формулы (3.11.18) и (6.6.3), позволяющие вычислить det Вп ,
одинаковы по структуре. Различающиеся выражения в знаменателях можно
представить как определители матриц, составленных из скалярных про-
изведений векторов масштабных коэффициентов, определенных как
(ёх,ёх) = ёхВ~1ёх С учетом этого замечания формулу (6.6.3) перепишем в виде
187
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
где
Пежёу) =
det Вп =---1 ,
n detB^e^)’
(6.6.9)
е^Вф1ёу
ё^в^ё ётв-1ё
Подставляя (6.6.9) в (6.6.2), получим простую формулу для верхней грани-
цы вероятности правильного устранения неоднозначности
^0В - Р
2 <2. I ’
п-2 “ _ J
К Ъе1Вф
Г2(п/2)
ё^в^ёХв^ёу -(ё^в^ёу)2
(6.6.10)
В частном случае, когда Вф = офЕ, где ст2 — дисперсия фазовых ошибок,
Е — единичная матрица размерами п х п, и кроме того ejey = 0, из форму-
лы (6.6.10) получаем
^о*в
(6.6.11)
Из этого соотношения видно, что верхняя граница вероятности правиль-
ного устранения неоднозначности тем больше, чем меньше произведение
модулей векторов взаимно простых целых чисел ех и еу, коллинеарных
векторам баз пх и пу. Отметим, что оценка р0‘в не распадается на произ-
ведение вероятностей правильного устранения неоднозначности по коорди-
натам v и и.
Достоинством рассмотренного метода оценки вероятности правильного
устранения неоднозначности является то, что он позволяет произвести быст-
рые расчеты практически при любом числе баз с использованием простей-
ших вычислительных средств.
По изложенной методике были проведены расчеты d^in, Р0’н, PqB для
частных случаев. Для этих же случаев были получены значения Ро путем
моделирования процесса максимально правдоподобного устранения неодноз-
начности на ЭВМ. При расчетах и моделировании элементы корреляцион-
ной матрицы фазовых ошибок Вф принимались равными
(2 • •
стф, при 1 = ]
[0,5оф, при i*j’
полагалось стф = 20° = 0,055-^. Полученные результаты приведены в табли-
це 6.6.1.
188
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
Таблица 6.6.1
Оценки вероятности правильного устранения неоднозначности
в пеленгаторах с плоской антенной решеткой
Вектор ех Вектор ёу Ро,% j2 ^min. PflH ' % Ров - %
-3, 0,- 1, 3 2, 3, 6, 3 91,8 18,14 89,5 92,6
-3, -3, 0, 2 6, 3, 4, 5 89,4 15,88 87 90
-3, 3, 1, -2 6, 4, 3, 1 86,9 12,64 80 87
-3, -3, -2, 2, 3 6, 3, 1, 1, 6 99,6 36,94 97,4 100
-3, -3, -1, 3, 3 6, 2, 7, 6, 3 98,2 24,62 90 100
Как видно из таблицы, при сделанных предположениях о структуре ре-
шетки и фазовых ошибках относительная погрешность нижней границы ве-
роятности правильного устранения неоднозначности (Ро - Р^)/Ро лежит в
пределах от 2,21 % до 8,352 %, а верхней границы (Р0*в - Р0)/Р0 — от 0,12 % до
1,82%.
Безусловно, полученные цифровые данные носят частный характер, по-
скольку погрешность оценивания зависит как от близости решетки, образо-
ванной в 91п~2 отображениями векторов неоднозначности, к идеальной, так и
от дисперсии фазовых ошибок. Однако они свидетельствуют, что предпола-
гаемые методы оценки Ро пригодны для ориентировочных расчетов.
6.7. Квазиоптимальный алгоритм устранения
неоднозначности измерений
Квазиоптимальный алгоритм устранения неоднозначности измерений в
n-базовом фазовом пеленгаторе с линейной антенной решеткой рассмотрен в
подразделе 3.12.
Его сущность заключается в том, что сложные по форме собственные
области векторов неоднозначности в подпространстве ЭГ*-1, на которое в про-
цессе раскрытия неоднозначности отображаются все векторы к, а также
вектор измерений <р , аппроксимируются (п— 1)-мерными параллелепипеда-
ми. Пример такой аппроксимации приведен на рис. 3.12.1. Устранение
неоднозначности измерений в двухкоординатных фазовых пеленгаторах с плос-
кими антенными решетками отличается только тем, что отображение векто-
ров к и <р осуществляется на подпространство размерности п - 2, где п —
число баз, хотя и выполняется по тем же формальным правилам. После
отображения векторов к и <р в первом случае на 9tn-1, во втором на $Rn-2
все операции по устранению неоднозначности в фазовых пеленгаторах с
линейными и плоскими антенными решетками идентичны. Поэтому восполь-
зуемся результатами подраздела 3.12 для изложения квазиоптимальиого ал-
горитма устранения неоднозначности применительно к плоским антенным
решеткам, считая, что в принципе он заключается в замене (п - 2)-мерных
собственных областей векторов неоднозначности в 91п-2 параллелепипедами.
189
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
В квадратичной форме П^(к) (6.3.3) перейдем к новым переменным
ф = С-1<р, к = С-1к,
где С-1 — матрица, обратная С (6.6.4).
Матрица С имеет обратную, поскольку det С = 1. По этой же причине
матрица С-1 — целочисленная, и к{ — целочисленные векторы.
В результате замены переменных получим
П-(к) = (ф + £)тО(ф + к), (6.7.1)
где G = CTGC •
Нетрудно убедиться, что Gex = 0, Gey = 0, вследствие чего две последних
строки и два последних столбца матрицы G нулевые.
Квазиоптимальный алгоритм устранения неоднозначности основан на том,
что все элементы матрицы G , не лежащие на главной диагонали, полагают-
ся равными нулю, так что
п-2
Пф$) = , (6.7.2)
t=i
где к( — координаты вектора к{, g{i — диагональные элементы матрицы G.
Все элементы ди > 0, так как форма П-(к) положительно определенная.
Сумма (6.7.2) достигает своей нижней границы, когда все ее слагаемые
принимают минимальные значения, то есть при выборе целочисленных
координат к*, равными ближайшим целым значениям <р,-. В результате по-
лучим алгоритм оценки вектора к{, не требующий перебора его возможных
значений:
к* г = 1,2,...,п-2, (6.7.3)
где (•) — операция нахождения ближайшего целого.
По правилу (6.7.3) определяются первые (п-2) координаты вектора к*г
Оставшиеся две координаты — неизвестны, то есть
к* = (k1,k2,...kn_2,u,p)
где и, ц — неизвестные целые числа, требующие определения.
Оценка вектора неоднозначности к* находится путем обратного преобра-
зования
к* = Ск* = kjkj + к2к2 + кп_2кп_2 + и ех + ц еу , (6.7.4)
которое может быть представлено и в форме (3.12.6)
к* = (k)ic + и ех + ц еу, (6.7.5)
где (к) — матрица размерами п х (п - 2), составленная из векторов к,- опор-
ной совокупности (матрица С без двух последних столбцов), 5 — вектор
к* = < ф,- > без двух последних координат.
190
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
Как следует из последних соотношений, вектор к* восстанавливается с
точностью до слагаемого и + ц <?,,. Наличие указанных слагаемых изменяет
оценки направляющих косинусов v* и и* (6.1.5), (6.1.6) на целое число пери-
одов однозначности многошкальной измерительной системы Длодн, Длида.
Значения о и ц могут быть найдены только на основании априорных
данных о v и и с точностью до Дг>одн, Длота. Например, если известно, что
-0,5 < v < 0,5, -0,5 < и < 0,5, то
V* = v(k*)~ < v(k*} > J
(6.7.6)
и* = u(k!’)- < u(k*) > , (6.7.7)
где при вычислении г#?), и(к*) по формулам (6.1.5), (6.1.6) и и ц могут
быть произвольными числами, например, равными нулю.
Перейдем к оценке качественных характеристик квазиоптимального алго-
ритма устранения неоднозначности для фазового пеленгатора с плоской ан-
тенной решеткой. Предположим, что погрешности фазовых измерений под-
чиняются многомерному нормальному закону распределения вероятностей с
нулевым вектором средних значений и известной корреляционной матрицей.
Тогда, воспользовавшись методикой, изложенной в подразделе 3.12, можно
показать, что вероятность правильного устранения неоднозначности может
быть вычислена по формуле вида (3.12.16) с корректировкой размерности
0,5
ч,= J
-0.5
Г detBn
<\(2лУ’2
-0,5 ’ v '
1 Т
ехр --у В,,?/ dy,
(6.7.8)
где В, — корреляционная матрица случайных величин г],- (6.5.2) размерами
(л - 2) х (л - 2) с элементами b- = fc(TGfc,-; к,-, — векторы неоднозначности
из опорной совокупности; матрица G определяется по формуле (6.3.4); крат-
ность интеграла (6.7.8) равна (л - 2).
Вероятность Ро для квазиоптимального алгоритма устранения неодноз-
начности меньше, чем при строгом использовании метода максимального прав-
доподобия. Поэтому ее верхняя граница fj’g (6.6.10), полученная для метода
максимального правдоподобия, является таковой и для интеграла (6.7.8).
Нижняя граница Р()’н вероятности правильного устранения неоднозначно-
сти для пеленгатора с плоской антенной решеткой определяется формулами
вида (3.12.20), (3.12.22) с учетом изменения размерности
Рои = рИ
(6.7.9)
где 2 — случайная величина, подчиненная хи-квадрат распределению с
(л — 2) степенями свободы,
QH = min
, i = 1, 2,..., (л - 2),
(6.7.10)
где b’-1’ — диагональные элементы матрицы размерами (л-2)х(л-2),
обратной В,,.
191
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Для пеленгатора с плоской антенной решеткой можно найти также
максимально допустимое значение фазовых погрешностей в приемно-изме-
рительных трактах, при котором аномально большие ошибки пеленгования
не возникают. Применяя к плоским решеткам выкладки, аналогичные прове-
денным в подразделе 5.4 применительно к квазиоптимальному алгоритму
обработки сигналов в линейных решетках, получим формулу вида (5.4.10)
Дк = inf
( п А
2Xc<h1}
k i=1 )
г е (1,п),
(6.7.11)
где Дк — предельно допустимые фазовые погрешности; с^1' — элементы
г-й строки матрицы С-1, обратной по отношению к матрице С (6.6.4); знак
inf означает «точная нижняя граница».
Величина Дк не зависит от распределения вероятностей фазовых погреш-
ностей.
6.8. Методика оценки верхней границы вероятности
правильного устранения неоднозначности
для пеленгаторов с антенной системой
заданной структуры
Оценим предельно достижимую вероятность правильного устранения нео-
днозначности в фазовых пеленгаторах с антенной системой в виде АГ-элемен-
тной плоской решетки заданной структуры. Для этого будем считать, что к
этой решетке подключено п = N - 1 фазометров, так что результаты их из-
мерений линейно независимы, а фазовые погрешности возникают в приемно-
усилительных трактах. В подразделе 6.5 замечено, что при этом вероятность
правильного устранения неоднозначности не зависит от схемы подключения
фазометров. Система из п = N - 1 баз является полной, поэтому вероятность
правильного устранения неоднозначности, соответствующая оптимальному
алгоритму обработки результатов измерений, является предельно большой.
Для определенности предположим, что разности фаз измеряются между
одной из антенн (опорной) и (п - 1) остальными, фазовые погрешности в из-
мерительных каналах имеют нулевые средние значения и равные дисперсии
. Тогда корреляционная матрица фазовых ошибок будет иметь вид
ВФ =СТфКф.Кф = {’•«}.
(бад
Для расчета верхней границы вероятности правильного устранения
неоднозначности используем формулу (6.6.10). Предположим, что проекции
фазометрических баз на координатные оси антенной решетки относятся между
собой как целые числа, так что
®х — ^^одн^х > — Ли^Пу,
где А^одн, А^одн — периоды однозначности оценок v* и и*.
192
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
С учетом этих соотношений формула (6.6.10) примет вид
Р0В ~ Р" Х„_3
Г2 (Доодн Диодн )-2 det R^1
\ & J
(6.8.2)
Детерминант корреляционной матрицы (6.8.1) может быть вычислен по
формуле
N
det R<p = ,
£
(6.8.3)
а обратная ей матрица R^ — по формуле (3.5.6). Используя формулу (3.5.6)
и выкладки, аналогичные примененным в подразделе 3.5, нетрудно пока-
зать, что
nTxBjnx = 2Мх/к2 ; (6.8.4)
п^пу = 2Му/Х2 ; (6.8.5)
пХЧ = ЗМ^/Х2 , (6.8.6)
где Мх, Му, — моменты распределения на плоскости элементов антен-
ной решетки, введенные формулами (6.2.11), (6.2.12); X — длина волны.
Подставляя (6.8.3)-(6.8.6) в (6.8.2), получаем
^ов
4X4r2f^-i
2 ns______________у 2 J_______
ха2 N(MxMy - М^)(ДиоднДиодн)2
(6.8.7)
Формула (6.8.7) устанавливает зависимость верхней границы вероятности
правильного устранения неоднозначности р^в от двумерного сектора одно-
значности Дуп„„хДилп„ числа элементов N антенной решетки, а также число-
вых характеристик расположения элементов антенной решетки на плоско-
сти. Очевидно, Мх, Му характеризуют разнос элементов вдоль соответствую-
щих осей координат, М^ — симметрию решетки. Из формулы (6.8.7) следу-
ет, что верхняя граница вероятности Ро увеличивается с уменьшением
пространственного разноса элементов решетки. Однако это приводит к уве-
личению условных дисперсий ст2., ст2. при правильном устранении
неоднозначности, как это следует из подраздела 6.2. При равенстве момен-
тов Мх, Му верхняя граница вероятности Ро тем выше, чем больше IM^I,
то есть с точки зрения увеличения Ро предпочтительнее несимметричные
антенные решетки.
Величина уменьшается при увеличении двумерного сектора одно-
значного пеленгования, задаваемого произведением Доо_Диопн. Если , п„
— векторы, составленные из дробных чисел, то для получения коллинеар-
ных им целочисленных векторов ех , еу может потребоваться, чтобы вели-
чины Дг>одн, Диодн были больше двух. Однако физический смысл имеет
193
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
сектор пеленгования, не входящий по каждому направляющему косинусу
за пределы интервала [-1,4-1], то есть Аиодн -2, Ап0ДН<2.Если же расчет-
ные значения Аиодн > 2 либо Аиодн> 2, то среди векторов к , которые могут
быть получены при раскрытии неодноз-
расположения элементов
плоской антенной решетки
начности методом максимального прав-
доподобия, есть такие, которые соот-
ветствуют несуществующим пеленгам.
Эти векторы можно отбросить априори.
Однако в этом случае вероятность Ро
будет зависеть от углового положения
источника сигнала и не может быть оце-
нена по формуле (6.7.8).
Рассмотрим конкретные примеры
расчета. Пусть дана семиэлементная ре-
шетка, изображенная на рис. 6.8.1.
Рисунку соответствуют векторы ко-
ординат:
хт = 1(0; 4; 5; 2; - 3; - 6; - 5);
ут = 1(6; 4; -1; - 5; - 5; -1; 4).
Положим, что N - 1 = 6, разности фаз измеряются относительно опорной
антенны АР Тогда векторы относительных баз будут
п% = (4; 5; 2; -3; -6; -5);
Пу = (-2; -7; -1; -11; -7; -2).
Нетрудно видеть, что ех = пх ,еу = пу, так что Аиодн=1, Аиодн=1.
Из формул (6.8.4)-(6.8.6) получаем Мх = 113,71 I2, Му = 117,39 I2, = 2,86 %2.
Если ст,, = 0,1 рад/2л, то
Рис. 6.8.2. Пример '
расположения элементов
плоской антенной решетки
= 5,15; Р0’в = р{х^ 5,15} «0,71.
Для данной решетки вероятность Рй
рассчитана также методом статистиче-
ских испытаний при использовании
максимально правдоподобного алгорит-
ма устранения неоднозначности. Полу-
чено Ро = 0,66.
Рассмотрим другой пример. Пусть эле-
менты пятиэлементной антенной решетки
расположены, как показано на рис. 6.8.2,
так что векторы их координат
хт = 1(0; 1; 3; 0; 0);
ут = Х(О, 0; 0; 1; 3).
Примем антенну Ао за опорную.
Тогда векторы относительных баз
nJ =(1,3,0,0); nJ =(0,0,1,3),
194
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
откуда следует, что пх = ех, пу= еу, Диодн=1, Диодн=1. Проводя
вычисления, получаем Мх = Му = 6,8 X2; Мху= 3,2 X2; Qv= 5,36;
Р0‘в =^{xU 5,36} «0,93.
Вероятность правильного устранения неоднозначности, полученная мето-
дом статистических испытаний с использованием оптимального алгоритма,
равна 0,92.
Как видно из приведенных примеров, полученные по предлагаемой мето-
дике оценки верхней границы вероятности Ро весьма близки к рассчитанным
методом статистических испытаний для оптимального способа устранения
неоднозначности.
6.9. Связь меледу характеристиками точности,
вероятностью правильного устранения
неоднозначности и числом элементов
плоской антенной решетки
Найдем сначала связь между верхней границей вероятности правильного
устранения неоднозначности PqB и дисперсиями направляющих косинусов
2 2
ст„., сти., полученными при условии, что неоднозначность правильно устра-
нена. Структуру антенной системы и корреляционную матрицу фазовых
погрешностей считаем заданными.
Исходим из формулы (6.6.10) для верхней границы вероятности правиль-
ного устранения неоднозначности Ров. Выразим входящий в правую часть
данной формулы детерминант (6.3.7) матрицы Вп
det ;—г=г (6.9.1)
detB,, [ejB;ЧЛХЧ - (?ХЧ) ]
2 2
через условные дисперсии , сти* оценок направляющих косинусов и их
корреляционный момент Buv.
С этой целью дисперсию ст2. оценки v* (6.1.5) представим в виде
= mi |q„38Tq„| = дХЛ > (6.9.2)
где 5 — вектор фазовых погрешностей, qv — вектор весов (6.1.7), (6.1.11),
т»1{’} — операция нахождения математического ожидания.
Подставляя в последнее соотношение вектор весов qv в форме (6.1.7),
получаем
где Gy — матрица (6.1.10) размерами пхп. Подставляя в (6.9.3) (6.1.10), будем
иметь
195
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
’ (0.У.4)
\^Х®ф
Аналогичным путем нетрудно получить
<£. = ~Т Т-. 2 ’ (6-9.5)
«хВф пхПуВф'пу -(пхВ^Пу)2
П^Пу
“ = «ХЧЖЧ - Чв.Ч>г '
Из (6.9.4)~(6.9.6) имеем
_2 2 п2 __ _______________1_____________ I'fi Q 7'|
av*°u* Dmi ~ -jTwj-I- -Тп-1- /йтИ-1й \2 • (О.У./J
^x®(p ПУ V^X®V Пу)
Подставляя данное соотношение в (6.9.1), получим
2 2 _ r2
det в,, =-----. (6.9.8)
det Вф (Диодн Диодн J
С учетом последних соотношений формула (6.6.10) приводится к виду
^ов
= Р Хп-2 <-"-2 Г2(0,5п)
Л V
-2 ~2 R2
________________
detB(p(AwoaH Ли
одн)
(6.9.9)
Формула (6.9.9) справедлива при произвольной структуре антенной сис-
темы, произвольном числе баз п и известной корреляционной матрице фазо-
вых погрешностей Вф, на вид которой не налагается каких-либо специальных
ограничений.
Рассмотрим частные случаи. Пусть сначала Вф = о^Е, где Е — единичная
матрица размерами пхп. Такой случай имеет место при любой схеме под-
ключения фазометров к приемным каналам, если фазовые погрешности
возникают в фазометрах и взаимно независимы. Очевидно, в этом случае
с1е1Вф = ст2п, и из (6.9.9) получаем
^ов
= Р Хп-2 *-"'2 Г2(0,5п)
л V
„2 ~2 R2
ст«,сти* ~ Dvu
СТФ (А^одн А^одн)
(6.9.10)
Предположим теперь, что на N-элементной антенной решетке образовано
п = N - 1 фазометрических баз, фазовые погрешности возникают в статисти-
чески идентичных приемно-усилительных каналах, а фазометры подключе-
ны к этим каналам по схеме «с опорной антенной». Тогда корреляционная
матрица фазовых ошибок Вф представима в виде Вф = а2 Вф, где матрица
Вф определяется формулой (6.8.1), а ее детерминант в соответствии с (6.8.3)
равен
det Вф
_ 2(ЛГ-1) N
9 г"’1 ’
(6.9.11)
Подставляя данное соотношение в (6.9.9), получаем
196
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
Р0В - Р' Х^-з
с 2 э /4Г2 [0,5(7У - 1)](аХ. - в£?
п у Диодн)2
(6.9.12)
Нетрудно видеть, что
а2.ст2. -В^ = detB8,
(6.9.13)
где det В8 — детерминант корреляционной матрицы оценок направляющих
косинусов v* и и*, пропорциональный квадрату площади эллипса их рассе-
яния (6.2.17) при Х= 1.
Подставляя данную формулу в (6.9.12), получим
* 9 м
^ОВ = Р Xw-3 - —
2„ / 4Г2[0,5(ЛГ - l)]detB8
л Jwct^^Au^ Диодн)2
(6.9.14)
Формулы (6.9.10), (6.9.12), (6.9.14) свидетельствуют, что при фиксирован-
ном двумерном секторе однозначного пеленгования ДиОДихЛиодн и фиксиро-
ванном числе фазометрических баз верхняя граница вероятности правиль-
ного устранения неоднозначности PqB тем больше, чем больше условные
2 2
дисперсии ст„. , сти. оценок направляющих косинусов, то есть чем ниже
точность. Отметим, что это утверждение касается не точного значения ве-
роятности Ро, а ее верхней границы, которая может существенно отличать-
ся от точного значения.
Формулы (6.9.12), (6.9.14), кроме того, определяют предельные соотноше-
ния между верхней границей Ро, точностью пеленгования и числом элемен-
тов антенной решетки N, поскольку они получены при условии, что на ан-
тенной решетке образована полная система фазометрических баз.
Формулы (6.9.10), (6.9.12), (6.9.14) интересны с практической точки зрения.
В процессе проектирования пеленгатора они позволяют оценить нижнюю
границу необходимого числа элементов антенной решетки по заданным точ-
ности и вероятности правильного устранения неоднозначности, не прибегая к
громоздким расчетам.
Рис. 6.9.1, 6.9.2 иллюстрируют такую возможность. На рис. 6.9.1 представ-
лена зависимость верхней границы вероятности правильного устранения
неоднозначности от числа антенн N при фиксированной точности. Расчеты
выполнены по формуле (6.9.14). Точность задана величиной ^det В8 . Из фор-
мулы (6.2.21) следует, что ^det В8 = jab , где а, b — полуоси эллипса рассе-
яния направляющих косинусов (6.2.17) при X = 1. Если ст2. = ст2., то
VdetB8 = ctv» = ctu. • Для расчетов принято ^/detB5 =0,0175, что соответ-
ствует при выполнении последних соотношений среднеквадратичной погреш-
ности измерения углов ах и ау (см. рис. 1.2.1) на нормали к решетке, равной
одному градусу.
Как видно из рис. 6.9.1, при среднеквадратичной фазовой погрешности
стф = 20° Ров близка к единице, если N > 5.
На рис. 6.9.2 показана зависимость погрешности угловых измерений, пред-
ставленной как ^/detB8 , от числа антенн N при Р0*в =0,95 и различных
197
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
фазовых погрешностях стф. Видно, что при указанных условиях погрешность
пеленгования монотонно уменьшается с увеличением числа антенн N.
Рис. 6.9.1. Зависимость верхней границы вероятности
правильного устранения неоднозначности от числа антенн N
Рис. 6.9.2. Зависимость СКО направляющих косинусов
от числа антенн N
Формулы (6.9.10) (6.9.12) (6.9.14) задают верхнюю границу вероятности пра-
вильного устранения неоднозначности, которая реально не может быть дос-
тигнута. Действительно, исходной для выкладок, приведших к этим форму-
лам, является соотношение (6.6.10), определяющее Рдв как вероятность
попадания случайного (п - 2)-мерного вектора fj с координатами (6.5.2) в
эллипсоид рассеяния, равновеликий с собственными областями векторов нео-
днозначности. Истинная вероятность правильного устранения неоднозначнос-
ти Ро соответствует попаданию вектора fj в собственную область нулевого
вектора неоднозначности, отличающуюся по форме от эллипсоида рассеяния,
и всегда меньше рассчитанной. Вероятность Ро тем более близка к Р0*в > чем
лучше аппроксимирует эллипсоид рассеяния собственные области векторов
неоднозначности. Можно сказать, что графики на рис. 6.9.1 определяют гра-
ницу, к которой стремится Ро при наилучшей форме собственных областей
векторов неоднозначности, оставаясь тем не менее меньше нее.
Форма собственных областей векторов неоднозначности зависит от струк-
туры антенной решетки и корреляционной матрицы фазовых погрешностей.
Формулы (6.9.10), (6.9.12), (6.9.14) определяют предел, к которому можно
198
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
приблизиться при заданной корреляционной матрице фазовых погрешнос-
тей и при наилучшей структуре антенной системы.
Вопрос об оптимальной форме собственных областей рассмотрен в под-
разделе 5.3 применительно к фазовым пеленгаторам с линейными антенны-
ми решетками. Показано, что наилучшие собственные области обеспечивают
плотнейшую упаковку вписанных в них эллипсоидов рассеяния.
Анализ, проделанный в подразделе 5.3, можно применить к плоским ан-
тенным решеткам, учитывая их специфику. В частности, можно определить
нижнюю границу вероятности правильного устранения неоднозначности Ро’пот,
имеющую место для идеальных антенных структур. Проделаем соответству-
ющие выкладки.
За исходную примем формулу (6.6.1) для оценки нижней границы вероят-
ности правильного устранения неоднозначности Р0*н. Найдем предельно боль-
шое значение входящей в него величины dj^ при фиксированной точности
пеленгования.
Рассмотрим подпространство <Rn-2 n-мерного пространства измерений,
проектирование на которое векторов неоднозначности ведется по форму-
ле, аналогичной (5.3.5):
(6.9.15)
где G — матрица (6.3.4).
Используя методику подраздела 5.3, нетрудно показать, что эллипсоиды
рассеяния проекций на это подпространство вектора фазовых погрешностей
— всегда (п - 2)-мерные сферы. Центральную плотность решетчатой «упа-
ковки» данных сфер с центрами, определенными по формуле (6.9.15), найдем
из соотношения, аналогичного (5.3.9):
с _ р”"2 р"'2
n-2- vD (6.9.1©)
где р — радиус сферы, вписанной в собственную область вектора неодноз-
начности в подпространстве JJn~2; VD — объем данной области; п — число
фазометрических баз.
Очевидно, р = dmin/2, так что из формулы (6.9.16) имеем
= "~^detBn 82_2 • (6.9.17)
Максимальное значение d^n имеет место в плотнейших решетчатых упа-
ковках шаров, когда Sn_2 = 8п_2,тах- Как указывалось в подразделе 5.3, такие
структуры найдены по крайней мере в размерностях до 8. Соответствующие
значения центральных плотностей упаковок приведены в табл. 5.3.1, где при-
менительно к данному рассмотрению надо считать т = п - 2.
Полагая далее в (6.9.17) 82_2=82_2тах и используя (6.9.8), получаем
из (6.6.1)
*^min
2
199
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
^Опот
det Bs82 2max
= Р-М <
г Л.П-2 <1 , , __ . . ' ч9
у det Вф(Дг>одн Ди
одн)
(6.9.18)
где Р0‘пот — максимальная при заданных det В6 и det Вф нижняя граница
вероятности правильного устранения неоднозначности, имеющая место в
идеальных антенных структурах (если они существуют). В реальных антен-
ных решетках вероятность Ро ниже Pq пот •
Рассмотрим частные случаи формулы (6.9.18).
Пусть Вф = ОфЕ. Подставляя detBQ = а2п в (6.9.18), получаем
^Опот — -Р
у2 9 <
Л>П—4
det Bs8n_2max
стФП(Д%днА«одн)2 J
(6.9.19)
Пусть теперь на плоской n-элементной решетке образовано N-1 фазо-
метрических баз, фазовые погрешности возникают в статистически идентич-
ных приемно-усилительных каналах, а схема подключения фазометров обес-
печивает линейную независимость результатов измерений. Тогда детерминант
матрицы Вф выражается формулой (6.9.11). Подставляя ее в (6.9.18), получаем
р
х 0 пот
= р(
X2
Л'Ы-З
1 4detB88*f_3>max
(ДиоднДиодн)2
(6.9.20)
Формулы (6.9.18)-(6.9.20) определяют предельные характеристики двух-
координатных фазовых пеленгаторов с плоскими антенными решетками, но
оставляют открытым вопрос о возможности создания систем, обладающих
такими или близкими к ним характеристиками.
6.10. Принципы оптимизации расположения
элементов антенной решетки
Процесс оптимизации структуры плоской антенной решетки фазового
пеленгатора начинается с выбора критерия, позволяющего из множества воз-
можных структур выбрать наилучшую. Характеристикой качества решетки
может служить точность пеленгования, рассчитанная с учетом ложных пе-
ленгов, возникающих за счет неправильного устранения неоднозначности.
Дисперсии оценок направляющих косинусов с учетом «нормальных» и ано-
мальных ошибок могут быть представлены формулами:
о2^ =G2. Ро+о2.А (1-Р0); (6.10.1)
= о2- Ро + <4а (1 -Р0)’ (6.10.2)
где q2.a, — дисперсии аномальных ошибок в оценке направляющих
косинусов v и и, возникающих вследствие неправильного устранения
неоднозначности.
200
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
Рассмотрим методику расчета дисперсии аномальных ошибок. Предполо-
жим, что прием сигналов осуществляется в секторе однозначности пеленга-
тора Д^одн, Аиодн и истинное положение цели характеризуется направляю-
щими косинусами v = 0, и = 0. Тогда «нормальной» ошибке соответствует
вектор неоднозначности к = 0, а аномальной — любое другое значение к
Для оценки вероятностей данных ситуаций используем геометрическую трак-
товку процесса устранения неоднозначности. Аномально большие ошибки
возникают, когда конец вектора фазовых ошибок fj с координатами г)* (6.5.2)
в пространстве SR”-2 попадает в собственную область некоторого вектора
неоднозначности кР * 0. Вероятность этого события Р{кр} может быть най-
дена по формуле вида (6.5.1), если интегрирование вести по собственной
области вектора кр, смещенной на гёр относительно собственной области
нулевого вектора. Обычно вероятность аномальных ошибок относительно мала
(не превышает 10-20 %), поэтому можно ограничиться учетом только соб-
ственных областей векторов неоднозначности, ближайших к нулевой.
Эти области соответствуют векторам jq из опорной совокупности, а также
их линейным комбинациям, задаваемым уравнениями (6.5.36). Дисперсии ано-
мальных ошибок оценим по формулам
771
<&А = £ («*(к<))2Р{кЛ;
т
а2.д = £ (uW)2W, (6-10-3)
i=—т
где v* (kJ, и* (kJ находятся по формулам (6.1.5), (6.1.6) при подстановке
к* = kt; т — количество пар плоскостей (прямых при п - 2 = 2), ограничи-
вающих собственную область нулевого вектора неоднозначности в соответ-
ствии с формулами (6.5.3).
Итак, можно оценить результирующие дисперсии ст2.£, ct2.l по форму-
лам (6.10.1), (6.10.2). Однако при фиксированном количестве элементов плос-
кой антенной решетки не существует такого их расположения, которое одно-
временно минимизировало бы как ст2., так и ст2., что следует из формул
(6.2.8), (6.2.9).
Можно применить другие характеристики точности пеленгования, где ука-
занное противоречие снимается. Одной из таких характеристик может слу-
жить обобщенная дисперсия — детерминант корреляционной матрицы оце-
нок V* И и*
detBg =ст^.ст2.-В^,
пропорциональный площади их эллипса рассеяния. Однако при таком подхо-
де одна из дисперсий ст2. либо ст2, может оказаться больше предельно
допустимой.
201
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Этот же недостаток касается и другой возможности — минимизировать
дисперсию направляющего косинуса w принимаемой волны относительно
нормали к решетке. Используя равенство
2 1 2 2
W = 1 ~ V - U ,
нетрудно показать, что
_2 _ _2 , 2 । о о
Минимизация не означает, что одна из дисперсий либо ст^.
не окажется выше допустимой.
Кроме того, все рассмотренные критерии оптимизации страдают общим
недостатком: вероятность правильного устранения неоднозначности и услов-
2 2
ные дисперсии ov*, по-разному зависят от статистических характери-
стик фазовых ошибок, поэтому для каждого уровня фазовых ошибок суще-
ствует свое оптимальное расположение антенных элементов.
' На основании изложенного практически приемлемым является следую-
щий подход к оптимизации расположения элементов антенной решетки.
Наилучшим является такое расположение, которое максимизирует веро-
ятность правильного устранения неоднозначности Ро с условием, что
дисперсии «нормальных» ошибок не превосходят допустимых при
заданной корреляционной матрице фазовых ошибок Вф. Если вероятность
правильного устранения неоднозначности окажется слишком малой, следует
увеличить количество элементов антенной решетки.
Алгоритм реализации такого подхода на основе использования персо-
нальных ЭВМ изложен в приложении 2. Кроме рассмотренных принципи-
альных соображений о построении плоской антенной решетки фазового пе-
ленгатора, существуют некоторые технические ограничения на расположение
ее элементов.
Рассмотрим, какие требования налагает на расположение элементов ан-
тенной решетки необходимость устранения неоднозначности измерений.
Как было показано выше, векторы проекций относительных баз на коор-
динатные оси антенной системы пх , пу и интервалы однозначного пеленго-
вания Диодв, Диодн связаны между собой формулами:
®Х ~ Д^ОДН^Х ’ ~ ,
где ех , еу — целочисленные векторы, координаты которых не имеют общих
делителей.
Отсюда следует, что центры антенн должны располагаться в узлах коор-
динатной сетки, имеющей шаг Xmin/Дг>одн вдоль оси х и А.т1п/Диодн вдоль оси
у. Здесь Xmin — минимальная длина волны, на которую рассчитан пеленгатор.
Кроме того, что координаты векторов ех, еу не должны иметь общих
делителей, их не должны иметь и координаты векторов ех ± тпеу , пех ± еу,
где т, п — целые числа.
Действительно, детерминант матрицы С, составленной из (п - 2) векто-
ров опорной совокупности, а также векторов ех и еу, равен единице:
202
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
detC = det^/c1,k2,...,kn_2,ei,ey J =1.
Поскольку kf, ex , ёу — целочисленные векторы, det С — всегда целое
число и единица — его минимальное значение по модулю. По этой причине
координаты векторов, образующих столбцы матрицы С, не должны иметь
общего целого делителя. В противном случае детерминант окажется рав-
ным этому целому делителю. Как известно, детерминант матрицы не изме-
няется, если к одному его столбцу прибавить (отнять) другой, умноженный
на произвольное число. Поэтому координаты векторов ех ± тёу, пех ± еу также
не должны иметь общего делителя, чтобы выполнялось условие det С = 1.
Это означает, в частности, что векторы ех и еу не могут быть равными, а
все их координаты не могут быть нечетными числами.
Рассмотрим частный случай. Выясним, к чему физически приводит нали-
чие общего целого делителя координат вектора ех + еу •
Пусть ех + ёу = ае , где а — целое число, большее единицы, е — цело-
численный вектор, координаты которого взаимно простые числа. В соответ-
ствии с исходной формулой вектор полных разностей фаз
ф = + (6.10.4)
А^ОДН ^^одн
Положим и/Диодн = и/Диодн . Тогда
- U _ _ V
Ф = -----(ех + е ) = ----ае.
^^одн Аиодн
Последнее уравнение удовлетворяется при целочисленном векторе Ф,
если v = 0, либо и/Д«одн = 1/а, либо г>/Диодн = 2/а и т.д., пока будет выпол-
няться условие физического существования полученных направляющих ко-
синусов v2 + и2 <, 1. Таким образом, измерения в секторе Диодн, Диодн оказыва-
ются неоднозначными, поскольку есть ряд координатных точек v и и, в
которых уравнение (6.10.4) удовлетворяется одновременно.
С учетом указанных ограничений оптимизацию расположения элементов
антенной решетки можно производить по изложенным выше критериям.
Препятствием к их корректному применению является невозможность вы-
числить аналитическим путем точное значение вероятности правильного ус-
транения неоднозначности, если число фазометрических баз превышает три,
а также большой объем вычислений при ее оценке методом статистических
испытаний. Приемлемым решением при сравнении антенных структур явля-
ется оценка вероятности Ро по ее нижней границе Р0*н, что практически
выполняется путем сравнения величин d^in, вычисленных для каждой из
структур.
203
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
6.11. Структурные схемы оптимальных
и квазиоптимальных фазовых пеленгаторов
с плоскими антенными решетками
Особенности построения фазового пеленгатора с плоской антенной ре-
шеткой, работающего в соответствии с принципом максимального правдо-
подобия, заключаются в следующем:
— устранение неоднозначности измерений на каждой из баз производит-
ся по всей совокупности измеренных разностей фаз;
— оценка углового положения источника сигнала в ортогональных пло-
скостях производится по одной и той же совокупности полных разностей
фаз путем их суммирования с разными весовыми коэффициентами.
Обобщенная структурная схема такого пеленгатора (рис. 6.11.1) незначи-
тельно отличается от схемы пеленгатора с линейной антенной решеткой
(см. рис. 4.3.1).
Рис. 6.11.1. Обобщенная структурная схема фазового пеленгатора
с плоской АР, реализующего принцип максимального правдоподобия
Принципиальное различие, заключающееся в виде антенной системы (плос-
кая или линейная решетка), не отражается на электрической схеме.
Другое принципиальное отличие схемы рис. 6.11.1 от схемы рис. 4.3.1 зак-
лючается в том, что в первой из них к точке, где образуется совокупность
полных разностей фаз <р + к, подключены два весовых сумматора вместо
одного во второй. Весовые сумматоры в схеме рис. 6.11.1 реализуют форму-
лы (6.1.5), (6.1.6). Их выходные напряжения (коды) соответствуют оценкам
направляющих косинусов v* = cos ах, и* = cos ау.
Полученные оценки могут использоваться далее для вычисления углов
ах, а.у (см. рис. 1.2.1) путем их нелинейного преобразования либо азимута а
и угла места р по формулам (6.2.22), (6.2.23).
204
6. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с плоскими антенными решетками
Устройство устранения неоднозначности в схеме рис. 6.11.1 также подоб-
но таковому для пеленгатора с линейной антенной решеткой, структурная
схема которого изображена на рис. 4.3.2.
В отличие от рис. 4.3.2 схема устранения неоднозначности двухкоординат-
ного пеленгатора содержит не (п-1), а (п-2) первых весовых сумматора
ВС]—ВСп_2, вычисляющих координаты вектора ц в соответствии с формулой
(6.4.11).
Данное отличие вытекает из того, что для двухкоординатного пеленга-
тора матрица G (6.3.4) имеет ранг (п - 2), а не (п - 1), как в формуле (3.6.16).
Дальнейшая процедура нахождения центра собственной области и расчета
по ней вектора неоднозначности не отличается от изложенной в подразделе
4.3 для пеленгатора с линейной решеткой.
Однако полученное на выходах вторых весовых сумматоров значение век-
тора неоднозначности fc* может отличаться от истинного на вектор и ех + ц еу
в соответствии с формулой (6.7.5). Изменение параметров и или ц на еди-
ницу означает смещение соответствующего направляющего косинуса на ин-
тервал однозначности Дподн либо Диодн соответственно.
В блоке БП устройства устранения неоднозначности двухкоординатного
пеленгатора, построенном по схеме рис. 4.3.2, производится приведение век-
тора к к априорно известному двумерному сектору пеленгования. Алго-
ритм приведения по каждой координате аналогичен изложенному в подраз-
деле 4.3.
Пеленгатор с плоской антенной решеткой можно построить и по квазиоп-
тимальной схеме, в которой вектор неоднозначности в явном виде не вычис-
ляется.
Действительно, выражения (6.1.5), (6.1.6) для оценок направляющих коси-
нусов v* и и* можно переписать в виде:
и* = qJCCT1 (ф + к*); (6.11.1)
и* = q^CC-1 (ф + к*), (6.11.2)
где qv, qu — векторы весов (6.1.6), (6.1.8), С — матрица (6.6.4) размерами
nxn, С-1 — обратная ей.
В приведенных формулах целые части первых (п - 2) координат векто-
ров С-1ф равны по модулю и противоположны по знаку соответствующим
координатам вектора С-1к* , как это следует из подраздела 6.7. Поэтому
первые (п - 2) координат вектора С-1(<р + к*) — остатки от округления соот-
ветствующих координат вектора С-1ф.
Проводя на этой основе выкладки, подобные изложенным в подразделе
4.4, приходим к схеме обработки совокупности измеренных разностей фаз,
представленной на рис. 6.11.2.
Измеренные разности фаз фь ф2,..., фп поступают на n-входовые весовые
сумматоры BCj-BCn, где преобразуются в соответствии с формулой
=С’1ф. (6.11.3)
205
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Остатки от округления до ближайшего целого первых (п - 2) коорди-
нат полученного вектора выделяются блоками ВОК!-ВОКП_2. Остатки
Tloi>Tlo2>-Tlo(n-2) вместе с последними двумя координатами h и f вектора
(6.11.3) представляют собой вектор С-1(ф + к)-
Обозначим = С-1(ф + к)-
Рис. 6.11.2. Структурная схема устройства обработки сигналов
в квазиоптимальном пеленгаторе с плоской антенной решеткой
Координаты данного вектора поступают на весовые сумматоры ВСЬ ВС2,
выполняющие операции (6.11.1), (6.11.2):
U* = q^C<1h (6.11.4)
н* = ^Сф<-1). (6.11.5)
Полученные оценки могут отличаться от истинных на целое число секто-
ров однозначности. Приведение к априорно известному сектору однозначнос-
ти производится в блоках БЩ, ВП2.
206
7. ДВУХКООРДИНАТНЫЕ ФАЗОВЫЕ
ПЕЛЕНГАТОРЫ С ОБЪЕМНЫМИ
(КОНФОРМНЫМИ) АНТЕННЫМИ СИСТЕМАМИ
7.1. Получение расчетных соотношений для оценок
направляющих косинусов методом максимального
правдоподобия
Хотя фазовые пеленгаторы с плоскими антенными системами позволяют
определять две угловые координаты источника излучения, в ряде случаев
антенные элементы конструктивно удобнее размещать на объемной выпук-
лой поверхности. Например, при установке фазового пеленгатора на летаю-
щем носителе (самолете, вертолете, ракете) [122]. Установка обтекателей
плоских решеток вносит дополнительные фазовые погрешности, которые за-
висят от длины волны приходящего сигнала и угла прихода [114]. Установка
элементов решетки на выпуклых частях конструкций позволяет избавиться
от применения обтекателей [123]. В литературе описаны конформные ре-
шетки, формирующие остронаправленные сканирующие диаграммы. Повер-
хности, на которых они расположены, могут иметь цилиндрическую, кони-
ческую, шарообразную или иную форму [123, 124]. Некоторые типы таких
антенн нашли практическое применение в радиолокационной технике.
Рассмотрим возможные алгоритмы обработки сигналов для построения на
выпуклой антенной решетке беспоискового по углу фазового пеленгатора.
Пусть в произвольных точках пространства А(ха, уА, zA) и В(хв, ув, zB)
располагаются антенные элементы (рис. 7.1.1). Источник радиоизлучения
находится в точке С(хс, ус, гс), удаление которой от точек А и В много
больше расстояния между ними. Разность фаз сигналов, принимаемых антен-
ными элементами определяется по формуле
Ф
АВ = — |АВ| cos АВ ОС
X I
(7.1.1)
где А. — длина волны приходящего сигнала; |АВ| — длина отрезка АВ,
фазометрическая база; АВ ОС — угол между вектором АВ и направлением
на источник излучения.
Рассмотрим последний сомножитель подробнее.
АВ = (хв - хА,ув - yA,zB - zA), ОС = (xc,yc,zc).
207
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Рис. 7.1.1. Взаимное положение источника сигналов (С)
и антенн пеленгатора в трехмерном пространстве
_ I - АВ’ ОС - (хв - жа) хс + (Ув - Уа) Ус + (2в " za) zc
COS /Ю LzU. — I i| I d ” I ,i / 1 =
< J |OC| l-^®! \xc +Ус + zc
Направляющие косинусы v, и, w источника излучения к осям прямо-
угольной системы координат определяются по формулам
Ус
V = . Хс ; и = . -----------; w = , Zc .
7жс + Ус + zc Т^с + Ус + zc 7хс + Ус + zc
Подставим их в выражение (7.1.1). После сокращений получим
Ф = пх v + пу и + пг w, (7-1.2)
где Ф = ФАВ/2п — полная разность фаз сигналов в точках А и В, выражен-
ная в долях 2л; пх = (хв - хА)/к, пу = (ув - уА)/К, пг = (zB - zA)/X — масштабные
коэффициенты, определяющиеся положением антенных элементов.
Предположим, что антенная система состоит из N элементов, между ко-
торыми измеряются разности фаз. На количество элементов антенной систе-
мы и их расположение не налагается никаких ограничений, кроме того, что
они не должны затенять друг друга, так чтобы для каждой из измеренных
разностей фаз было справедливым соотношение (7.1.2). Для реализации этого
положения в конкретных условиях может использоваться «эффект прозрач-
ности» объемных решеток [125]. В иных случаях затененные элементы ре-
шетки можно просто отключать при работе в определенных угловых секто-
рах. Тогда на основании выражений (7.1.2) можно записать
Ф = nr v + п„ и + п„ w,
Л У * ’
(7.1.3)
где Ф — вектор полных разностей фаз сигналов, приходящих от источника
излучения; пх , пу , nz — векторы масштабных коэффициентов.
Векторы пх, Пу, п^, Ф зависят от схемы подключения фазометров к
приемным каналам. Если разности фаз измеряются между сигналом на выхо-
208
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
де одного антенного элемента (опорного) и остальными, то i-я координата
вектора Ф есть полная разность фаз сигналов, принятых г-м антенным эле-
ментом и опорным; г-е координаты векторов масштабных коэффициентов
пх, пу, п? равны:
= (xi - *о)А; nyi = (у, - Уо)А; па = - z0)/k,
где xit yit zt — координаты г-го антенного элемента; х0, у0, z0 — координаты
опорного элемента.
Если ошибки фазовых измерений распределены по нормальному закону с
нулевыми средними значениями и известной корреляционной матрицей Вф,
то условную плотность распределения разностей фаз при фиксированных
значениях v, и, w можно записать в виде
W ^>/v,u,wj = К ехр|-^Ф - nxv - пуи - nzwj В"1 (ф - nxv - пуи -
где К — коэффициент пропорциональности; В’1 — матрица, обратная кор-
реляционной матрице разностей фаз Вф.
Решая систему уравнений правдоподобия
oW(<S>/u,u,w) _
ди
dW(<t>/v,u,w) _
ди
dW(<b/v,u,w) _ Q
dw
получим оценки направляющих косинусов источника излучения:
ФТРугПх -т_ ФТР Пг __
= ~Тг> = Ф Qv ; = -.Тт> - = ф Чи; «>* = = *4
^х-^уг^х ^y^xz^y
(7.1.4)
(7.15)
где матрицы Руг, Рхг, Р^ определяются по формулам
Ф ®ф Вф + Вф ^z^y Вф Пгпу Вф Вф 'Мд.Ну Вф ПуПг Вф j,
-В^п^В^пХВф1 +В-1пуптхВ^пуп1в^ -Вф1пуп^Вф1пжп^В;1).
209
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Таким образом, алгоритм максимально правдоподобной обработки сигна-
лов в фазовом пеленгаторе с объемной антенной решеткой по структуре не
отличается от алгоритма, полученного ранее для пеленгаторов с плоскими
антенными решетками. Он заключается в нахождении по совокупности изме-
ренных разностей фаз <р, вектора полных разностей фаз Ф = <р + к и весовом
суммировании его составляющих по формулам (7.1.5) для нахождения оценок
направляющих косинусов. Векторы весовых коэффициентов зависят от рас-
положения антенных элементов и корреляционной матрицы фазовых
погрешностей. Необходимым условием того, чтобы система уравнений прав-
доподобия (7.1.4) была невырожденной, является линейная независимость
векторов масштабных коэффициентов.
Если антенная решетка ориентирована в пространстве так, что ее коор-
динатная ось Ох направлена на север, ось Оу — на запад, а ось Oz —
вверх, перпендикулярно поверхности Земли, оценки направляющих ко-
синусов v*, и*, w* позволяют получить значения азимута а и угла
места р источника сигнала:
f 'll *Л -ц?*
а* = arctg — , р* = arctg , . (7.1.6)
> U(v*)2+(u*)2J 1 ’
На рис. 7.1.2 приведены примеры расположения элементов объемных ре-
шеток. На рис. 7.1.2,а точки А,, отображающие положения фазовых центров
антенн, размещены на сфере, на рис. 7.1.2,б — вдоль осей декартовой систе-
мы координат. Такое расположение антенн удобно для иллюстрации даль-
нейших теоретических выкладок.
На рис. 7.1.2,б разности фаз измеряются между опорным антенным эле-
ментом Ао и пятью остальными. Для данного расположения антенных эле-
ментов и способа измерения разностей фаз векторы масштабных коэффици-
ентов принимают значения пх = (1; 3; 0; 0; 0)т, пу = (0; 0; 1; 3; 0)т, п2 = (-3; -3; -3; -3; -1)т.
В случае, когда погрешности их фазовых измерений возникают при прохож-
дении сигналов через приемно-усилительные тракты, корреляционная мат-
рица имеет вид (3.5.5).
Рис. 7.1.2. Примеры объемных антенных решеток
210
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
7.2. Точность оценивания угловых координат
при правильном устранении неоднозначности
Оценки направляющих косинусов v*, и*, го*, полученные по соотношени-
ям (7.1.5), являются несмещенными. Докажем это утверждение на примере
оценки v*:
m1{v - о*} = m^v - Фтд„} = v - (nxv + пуи + п2го)Т qv =
= v - v nxqv + и nyqv + w nzq„.
Поскольку
ПуЪ = n7qv = njqu = njqu = njqw = n7qw = 0 ; n^q„ = n7qu = n7qw = 1,
получим
ml{v -v*} = v- mjv*} = 0,
что и требовалось доказать. Аналогично можно показать, что оценки и*, w*
также являются несмещенными.
Дисперсии оценок г?*, и*, го* найдем по правилам теории вероятностей:
с2„. = mjUu*)2} = т1{^7ФФт^„} =
п^Р!/гФФтР!/8па.
(п2Рпх)
I Л- Л j
Учитывая, что
ЩХ{ФФ } = Вф; РугВфРу2 Pyzi Рхг> Рху®фРху Рху
получим
ст2. = т1{(о*)2} = ; ст2. = т^и*)2} = ;
ПхРугПх ПуРхгПу
a2w. = m1{(w*)2} = - (7.2.1)
nz PxW«z
Аналогично определим взаимные корреляционные моменты:
d ( * *1 ^'х®>угВфРг2Пу
= 7П1{о» и*} = - * I . Bvw = mjv* го*}
nxPyznxnyPxzny
пхРугВч> Рху пг
— rjT tj z; j
^x^yz^x^z t-xy^z
Buw = mju* го*} =
ny Рдг^фРху^г
ПуРххПуП^П,
(7.2.2)
Так как взаимные корреляционные моменты в общем случае не равны
нулю, дисперсии оценок направляющих косинусов не являются достаточны-
ми характеристиками точности фазового пеленгатора. Полной характеристи-
кой точности может служить совместный закон распределения вероятностей
погрешностей измерения направляющих косинусов.
211
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Поскольку закон распределения погрешностей измерения разностей фаз
принят нормальным и эти погрешности входят в формулы для оценок
направляющих косинусов как аргументы линейных функций, совместный
закон распределения погрешностей направляющих косинусов также являет-
ся нормальным
w(s) = К • ехр(-|5тВ515
(7.2.3)
где 8 = (и* - v,u* - и, w* - w) ; К — коэффициент пропорциональности;
Bj1 — матрица, обратная корреляционной матрице погрешностей измере-
ния направляющих косинусов
ч &vu ®inu
Bs = а2. Buw
$vw о2.
Для сравнения двух пеленгаторов с разными антенными системами необ-
ходимо ввести количественную скалярную меру точности. Такой мерой точ-
ности может служить объем эллипсоида рассеяния погрешностей измере-
ний. Уравнение эллипсоида рассеяния в пространстве v, и, w имеет вид
Гв^З = X2, (7.2.4)
где X — любое постоянное число, определяющее вероятность попадания слу-
чайного вектора погрешностей 8 в эллипсоид рассеяния.
Мерой точности может служить и детерминант корреляционной матрицы
В5, пропорциональный квадрату объема эллипсоида рассеяния [37].
Недостатком такого подхода является то, что при малом объеме эллипсо-
ида рассеяния одна из его полуосей может оказаться недопустимо большой.
Возможные причины такой ситуации аналогичны изложенным в подразделе
6.2 применительно к плоским антенным решеткам.
Свободной от этого недостатка скалярной мерой точности фазового пелен-
гатора может служить дисперсия угловой ошибки. Угловая ошибка опреде-
ляется как угол между истинным направлением на источник излучения и
измеренным направлением
0 = arccos
v • и* +и • и* +w • w*
7(v*)2+(u*)2+(w*)2
(7.2.5)
где v, и, w — истинные значения направляющих косинусов.
Дисперсию угловой ошибки 0 можно усреднить по азимуту и углу места
и использовать в качестве меры точности при сравнении фазовых пеленга-
торов с разными антенными системами.
212
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
7.3. Зависимость точности пеленгования от способа
подключения фазометров к приемным трактам
При рассмотрении данной задачи принципиальное значение имеет, что
является источником фазовых ошибок. Возможны два крайних случая:
1) фазовые погрешности возникают в измерительных приборах (фазомет-
рах) и независимы от одного прибора к другому;
2) фазовые погрешности возникают в приемно-усилительных трактах или
в среде распространения радиоволн.
В первом случае любое увеличение числа фазометров приводит к увели-
чению точности угловых измерений и не безразлично как они подключены к
выходам приемников.
Во втором случае с информационной точки зрения не имеет смысла уве-
личивать число независимых измерителей более чем до N - 1, где N —число
приемных каналов, ибо любая другая разность фаз между выходами прием-
ных каналов может быть получена путем линейной комбинации измеренных.
Покажем, что в данном случае дисперсии ст2., ст2., не зависят от спосо-
ба подключения N - 1 фазометров к выходам приемных каналов.
Разность фаз на каждой из фазометрических баз определяется формулой
Ф,- = n-v + п„{и + + 8,-, 1 < i < N - 1,
следовательно, каждому из способов формирования баз соответствует свой
вектор ошибок 8г.
Пусть первый способ формирования баз характеризуется векторами баз
пх1, пу1, пг1 и ему соответствует вектор погрешностей 8j, а второй —
соответственно пх2, Пу2, пг2 и 82. Между первыми и вторыми векторами
баз и погрешностей существует однозначное соответствие:
пх2 = А пх1; пу2 = А пу1 пг2 = А п21; 32 = A 8j,
где А — невырожденная целочисленная матрица преобразования размера-
ми (п - 1) х (п - 1).
Запишем дисперсию оценки v* для второго способа формирования баз
из (7.2.1)
а2. = 1 = 1
™х2^уг2™х2 ^х1АТРаг2Апж1
Раскроем матрицу АтРуг2А.
АтРу2,А = АТВ~2А + (АгВ^Апу1пу1АтВ^Апг1п^АтВ^А -
-АтВ“2Апу1п21АтВф2Ап21пу1АтВф2А +
+АтВф2Ап21пу1АтВф2Апг1пу1АтВф2А-
-атв’£ап21пу1атв;2апу1п^атв^а) х
х пу1АтВ~2Апу1пх1АтВ~2Апл - (пу1АтВ;2Апг1)2
213
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Т -1
Рассмотрим матричное произведение А Вф2А.
Вф2 = м[б232т ] = М[А3232тАт J = АВф1Ат.
Вследствие того, что Вф1 и Вф2 симметричные матрицы:
Вф2 = Вф2 = АтВф1А = АтВф1А ; В^ = (а7)’1 В’
атвф2а = ат (ат)-1 вф}а-1а = в;}.
В итоге получаем:
A- Pyz2^ ~~ — Вф1Н|дПг1Вф1712|Т1у1В<р1
+B;fo1n£1B;JnHn£1B;} -в^пг1п^вФ1пи1п^в;}) х
Pyzi-
с2. = 1 = 1
^xlPyzl^xl ™х2?уг2Пх2
То есть дисперсия оценки V* не зависит от способа подключения фазо-
метров к выходам приемных каналов, что и требовалось доказать.
Аналогичные преобразования можно провести для дисперсий оценок и*
и w*.
В реальных пеленгаторах есть погрешности обоих типов, то есть как
относящиеся к приемным каналам, так и к измерителям. Рациональность
увеличения числа фазометров сверх п - 1 зависит от соотношения между
этими погрешностями.
7.4. Максимально правдоподобное устранение
неоднозначности фазовых измерений
Устранение неоднозначности фазовых измерений в любой фазовой сис-
теме представляет собой процесс отыскания целочисленного вектора
к = (k1,/c2,...,/cn), являющегося целой частью вектора полных разностей фаз
(<р + к), утраченной при измерении.
Для определенного сектора пеленгования имеется совокупность возмож-
ных векторов неоднозначности {fcj. Задача устранения неоднозначности ре-
шается путем отыскания из совокупности возможных векторов такого век-
тора к , который давал бы максимум функции правдоподобия. Аналогично
тому, как это сделано для пеленгаторов с линейными и плоскими антенными
решетками, можно показать, что максимально правдоподобная оценка векто-
ра неоднозначности минимизирует квадратичную форму
П-(/с) = (ф + /с)та(ф + к), (7.4.1)
214
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
где
j Р;г2ЙуПу Вф РхуПгПг Вф
Ь = Вф-------~------------=-------------=------- — (7.4.2)
nxPyznx пуРхгпу
квадратная матрица с размерами п х п и рангом (п - 3), п — число фазо-
метрических баз.
Алгоритм устранения неоднозначности можно записать в виде
к*
= arg
тт{П-(Й)}
fce{M Ф
(7.4.3)
где к* — оценка вектора неоднозначности, {fc,} — совокупность возможных
векторов неоднозначности.
Векторы совокупности {к.} определяются из уравнения
Ф = <р + к = nxv + nyu + nzw
путем изменения v, u, w в пределах своих секторов однозначности с учетом
возможных ошибок фазовых измерений и округления координат вектора Ф
до ближайшего целого.
Алгоритм (7.4.3) предполагает перебор всех возможных векторов неодноз-
начности к- из совокупности {fcf}.
Алгоритм устранения неоднозначности можно упростить, если раскрыть
форму (7.4.1) и отбросить слагаемое, не зависящее от к{. Тогда форма П-(к)
примет вид
n$(kf) = 2q>TGk + d?, d2 = kfGki. (7.4.4)
Качественной характеристикой алгоритма устранения неоднозначности
может служить вероятность правильного устранения неоднозначности Ро или
вероятность аномальных ошибок РА = 1 - Ро. Как и в предыдущих разделах
под аномальной ошибкой понимаем такую, которая выходит за главный мак-
симум функции правдоподобия.
Алгоритм (7.4.3) формально не отличается от такового для пеленгаторов с
линейными и плоскими антенными решетками. Отличие заключается в ранге
матрицы G, который в данном случае равен (п - 3). Это не мешает применить
подход к построению устройства устранения неоднозначности, развитый для
пеленгаторов с линейными и плоскими антенными решетками.
7.5. Геометрическая интерпретация процесса
устранения неоднозначности и оценки
направляющих косинусов
Как следует из подраздела 7.1, оценки направляющих косинусов и*, и*, ги*
находятся по формулам (7.1.5), а устранение неоднозначности заключается в
подборе к , минимизирующего квадратичную форму (7.4.1).
215
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Нетрудно убедиться, что в общем случае вектор qv ортогонален векто-
рам пу, пг, вектор qu ортогонален пх, п2, а вектор qw — пх, пу.
Геометрическую интерпретацию приведенных соотношений начнем с част-
ного случая, когда фазовые погрешности не коррелированы и имеют рав-
ные дисперсии, а векторы пх , пу , п? ортогональны между собой. Последнее
имеет место, например, когда антенны пеленгатора располагаются вдоль
осей прямоугольной системы координат. При сделанных предположениях век-
торы весов qv, qu, qw оказываются равными:
_ fL _ п _ П,
Qv ~ |_ i2 > Qv ~ 1 й > Qw ~ I-. |2 > (7.5.1)
Ы Ы N
а квадратичная форма (7.4.1) примет вид
Введем в n-мерном евклидовом пространстве полных разностей фаз Ф
векторы пх, пу, rl,, ф, к, • Поскольку Фтпх , ФТпу, Фтпг — скалярные
произведения векторов, из (7.5.1), (7.5.2) следует, что с точностью до констант
оценки v*, и*, w* суть проекции полных разностей фаз Ф на векторы от-
носительных баз пх , Пу , nz, а квадратичная форма (7.4.1) — квадрат рассто-
яния от конца вектора Ф до пространства задаваемого этими векторами
(пространства оценок).
Форму (7.5.2) можно рассматривать как квадрат проекции вектора Ф
на подпространство, ортогональное трехмерному пространству оценок.
Для n-базового пеленгатора размерность этого подпространства равна п - 3.
Теперь пусть по-прежнему фазовые погрешности не коррелированы и
имеют равные дисперсии, но векторы пх , пу, nz не ортогональны между
собой.
Тогда оценки и*, и*, ю* будут представлять собой проекции вектора Ф
на весовые векторы
Pvznx -. ^*xz^y -. ^*xynz
qv = ; Qv = = ~T- ,
^•x^yznx nyPxzny nzPxynz
каждый из которых ортогонален двум остальным векторам масштабных ко-
эффициентов.
В случае, когда фазовые погрешности некоррелированны и имеют рав-
ные дисперсии, векторы qD, qu, qw лежат в одном подпространстве с
векторами масштабных коэффициентов пх , пу, п?, поскольку получаются
из них путем линейного преобразования, форма (7.5.2) приводится к виду
Пф(к) = |ф|2 -|Фо|2.
216
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
где |<р0|2 — квадрат проекции Ф на подпространство векторов пх, пу, nz;
Пф(к) — квадрат проекции вектора ф на подпространство, ортогональное
подпространству векторов qv , qu, qw. Если погрешности измерений отсут-
ствуют, вектор полных разностей фаз лежит в подпространстве оценок, по-
скольку ф = Фо. В этом случае квадратичная форма (7.5.2) равна нулю.
Если фазовые погрешности коррелированны, все сказанное остается
справедливым в предположении, что скалярное произведение задается фор-
мулой
(ф,пх) = (ртВ;1пх.
Рисунок, который пояснял бы изложенное выше, представить нельзя,
так как минимальная размерность пространства полных разностей фаз для
пеленгатора с объемной антенной решеткой равна четырем.
Тем не менее из изложенного следует, что в общем случае оценки на-
правляющих косинусов с точностью до сомножителей можно трактовать как
проекции n-мерного вектора полных разностей фаз на трехмерное подпрос-
транство, задаваемое векторами пх , пу, п2, а устранение неоднозначности
— как отыскание такого n-мерного целочисленного вектора к, который ми-
нимизировал бы квадрат расстояния (<р + k)TG(q> + к) от конца вектора (ф + к)
до указанного трехмерного подпространства. В свою очередь величину
(<р + k)TG(<p + к) можно рассматривать как квадрат проекции вектора (ф + к)
на (п - 3)-мерное подпространство 9?п-3, ортогональное по отношению к век-
торам пх , Пу , пг.
Отображение на 9?п-3 векторов ф и к можно представлять в различных
базисах, как это было сделано в разделах 3—6 для пеленгаторов с линейны-
ми и плоскими решетками. В частности, можно использовать формулы вида
(6.4.9), (6.4.11)
гёр = Мткр, fj = Мг<р , (7.5.3)
где матрица М определяется по формулам вида (6.4.10) М = GK, с той разни-
цей, что теперь матрица К имеет размеры пх(п-З), К = (к1,к2,...,кп_3), где
к{ — вектор-столбцы из опорной совокупности. Понятие опорной совокуп-
ности векторов неоднозначности соответствует введенному в подразделе 3.7
с учетом размерности.
Из уравнений (7.5.3) следует, что множество точек гер образует (п - 3)-
мерную решетку, а М — образующая матрица этой решетки. Алгоритм рас-
крытия неоднозначности (7.4.2) задает вокруг точек жр области, при попада-
нии в которые конца вектора fj максимально правдоподобное значение
вектора неоднозначности равно кр . Как и при рассмотрении пеленгаторов с
линейными и плоскими антенными решетками, будем называть эти области
собственными областями векторов неоднозначности. Границы собственных об-
ластей следуют из формулы (7.4.2) и с учетом вида и размерности матрицы
217
В.П. Денисов, Д. В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
G задаются уравнениями (3.8.1). Форма собственных областей определяется
уравнениями вида (3.7.13) также с учетом размерности. По-прежнему они
представляют собой параллелоэдры — фигуры, ограниченные парами па-
раллельных плоскостей, полностью заполняющие область (п-З)-мерного под-
пространства 9?п3, являющуюся отображениями на нее n-мерного единич-
ного куба с центром в начале координат.
На рис 7.5.1 показана проекция пятимерного единичного куба на двумер-
ное подпространство 912. Построения выполнены для антенной решетки, пред-
ставленной на рис. 7.1.2,б, где векторы относительных баз пх = (1; 3; 0; 0; 0)т,
пу = (0; 0; 1; 3;0)г, п2 = (-3;-3;-3;-3;-1)т • Корреляционная матрица фазовых
погрешностей имеет вид (3.5.5). На рис. 7.5.2 показаны собственные области
нулевого вектора неоднозначности при максимально правдоподобном и
квазиоптимальном (см. подраздел 7.6) способах устранения неоднозначности
фазовых измерений.
Рис. 7.5.1. Проекция пятимерного единичного куба
на двумерное подпространство
Рис. 7.5.2. Собственные области (СО) нулевого вектора неоднозначности
при устранении неоднозначности максимально правдоподобным
и квазиоптимальным алгоритмами
218
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
Собственная область нулевого вектора неоднозначности при максимально
правдоподобном способе ее устранения представляет собой шестиугольник,
являющийся пересечением областей
|1/1| < 0,0175, |у2| < 0,0544, + у2| < 0,0544.
7.6. Квазиоптимальный алгоритм устранения
неоднозначности фазовых измерений
В подразделах 3.12, 6.6 изложен квазиоптимальный алгоритм устранения
неоднозначности для пеленгаторов с плоскими и линейными антенными ре-
шетками, который имеет в своей основе принцип максимального правдопо-
добия, реализуемый при некоторых упрощающих допущениях. Ниже этот
подход используется при получении квазиоптимального алгоритма устране-
ния неоднозначности для фазовых пеленгаторов с объемной антенной решет-
кой (АР).
Устранение неоднозначности квазиоптимальным алгоритмом осуществля-
ется в несколько этапов. Сначала формируется матрица С. Матрица С
имеет размерность п х п. Она состоит из п - 3 векторов неоднозначности
, образующих опорную совокупность, а также векторов взаимно
простых целых чисел ех,еу,ег , таких, что
4 = Агоднпх ; еу = ^иотпу ; е2 = Аюоднпг, (7.6.1)
где Аиодн, Аиодв, Ашодн — интервалы однозначности оценок V*, и*, w*.
Модуль детерминанта матрицы С равен 1. Матрица С является матри-
цей перехода к новому базису. Обозначим векторы <р и £ в новом базисе как
ф и к.
Ф = С-1ф, Й = (7.6.2)
где С-1 — матрица, обратная матрице С.
Правило для нахождения оценки вектора неоднозначности (7.4.2) в новом
базисе имеет вид
к* = arg
где квадратичная форма П=(к) определяется формулой (3.12.3) с учетом осо-
бенностей матрицы С для пеленгатора с объемной АР.
Квазиоптимальный алгоритм устранения неоднозначности основывается
на допущении, что матрица G является диагональной, а ее элементы
9n,n,9(n-i),(n-i)>9(n-2),(n-2) равны нулю. Последнее следует из определения
матрицы С, в которой тремя последними столбцами являются векторы
ех,еу,е2, ортогональные матрице G,
njG = nyG = n?G = 0.
min Ш к
fce{k,} I ф \
(7.6.3)
219
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Так как векторы ех,еу,ег коллинеарны соответственно векторам пх,пу,п2,
то они также ортогональны матрице G. После сделанных допущений форма
П,(к) принимает вид
Па (к) = df (ф! + kj)2 +... + а2_3(фп_3 + kn_3)2 > (7.6.4)
где df = k/’Gk,-•
Поскольку d2 > 0, квадратичная форма (7.6.4) достигает минимума при
наименьших слагаемых. Значения первых (п - 3) элементов оценки вектора
неоднозначности к* находятся по правилу
к,- = - < ф,- >, 1 < i < п - 3, (7.6.5)
где <> — операция выделения ближайшего целого.
В качестве последних трех элементов вектора к* можно взять произ-
вольные целые числа аь а2, а3. Оценка вектора неоднозначности к* опреде-
ляется по формуле
к* = Ск* (7.6.6)
с точностью до слагаемого + а^у + а$гг, которое не может быть вычисле-
но по выборке ф и определяется на основании априорных данных о возмож-
ных значениях направляющих косинусов.
Алгоритм приведения оценок к известному интервалу однозначности мо-
жет быть принят таким же, как изложенный в подразделе 6.7, с учетом
размерности.
Как видно из материала данного подраздела, квазиоптимальный алгоритм
устранения неоднозначности в фазовых пеленгаторах с объемными антенны-
ми решетками формально не отличается от такового для пеленгаторов с
плоскими антенными решетками, рассмотренного в подразделе 6.7. По су-
ществу, различие заключается только в ранге матрицы G и, как след-
ствие, в размерности пространства 91п~3. Поэтому процессу устранения
неоднозначности в пеленгаторах с объемными антенными решетками можно
дать такую же геометрическую интерпретацию, как и с плоскими. Она зак-
лючается в аппроксимации сложных по форме собственных областей векто-
ров неоднозначности в Э?п-3 (п - 3)-мерными параллелепипедами, построен-
ными на проекциях опорной совокупности векторов неоднозначности. На рис.
7.5.2 приведен пример аппроксимации шестиугольной собственной области
нулевого вектора неоднозначности при максимально правдоподобном спосо-
бе устранения неоднозначности параллелограммом.
7.7. Методика точного расчета вероятности
правильного устранения неоднозначности
Для получения формулы, определяющей вероятность правильного устра-
нения неоднозначности Ро, воспользуемся подходом, разработанным приме-
нительно к пеленгаторам с линейными и плоскими антенными решетками.
220
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
Во всех случаях устранение неоднозначности трактуется как проектирова-
ние n-мерного вектора фазовых измерений на подпространство размернос-
тью (п - г), где г — размерность антенной решетки, и нахождение собствен-
ной области вектора неоднозначности, в которую попал конец этой проекции.
По аналогии с формулами (3.7.11), (6.5.1) запишем
Ро = J /••• Jwn_3 [У1.Уп-з]йУ1---йуп-3 , (7.7.1)
D
где W[ylt...,yn_3] — (п - 3)-мерная плотность распределения вероятностей
случайных величин
т], = 8TGk,-, (7.7.2)
3 — n-мерный вектор погрешностей фазовых измерений, G — матрица
(7.4.2), к{, i = 1, 2,..., (п - 3), — векторы неоднозначности из опорной совокуп-
ности. Границы (п - 3)-мерной области интегрирования в (7.7.1) задаются сис-
темой уравнений, подобных (6.5.3):
у,- = ±0,5d?, i = 1, 2,..., n - 3, (7.7.3а)
n-з
S I a»-n+3j| = ±0,, n - 2 < i < m. (7.7.36)
j=i
Первые (n - 3) границы области интегрирования (7.7.3a) определяются под-
становкой в формулу = kiGki векторов неоднозначности из опорной со-
вокупности. Границы (7.7.36) задаются подстановкой в данную формулу таких
векторов
_ п-3
ki= Е ai,iki,
г=1
где aj j — целые числа, для которых выполнение условия |Л;| < 0,5dJ не сле-
дует из того, что оно выполняется для (п - 3) первых. Максимальное коли-
чество пар плоскостей, ограничивающих область интегрирования D (индекс
т в формуле (7.7.36)), можно найти по формуле
п-3
= Ё<-з = (2п‘3-1).
j=i
Совокупность векторов к , определяющих область интегрирования, зави-
сит только от вида матрицы G (7.4.2).
Если распределение вероятностей фазовых погрешностей 8i подчиняется
многомерному нормальному закону с нулевыми средними значениями и из-
вестной корреляционной матрицей Вф, формула (7.7.1) примет вид (3.7.12) с
той разницей, что размерность вектора переменных у и кратность интегра-
ла будут равны (п - 3).
221
В.П. Денисов, Д.Б. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
7.8. Методы приближенного расчета вероятности
правильного устранения неоднозначности
Методы приближенного расчета вероятности правильного устранения
неоднозначности Ро, развитые в подразделах 3.7, 6.5 для пеленгаторов с ли-
нейными и плоскими антенными решетками, можно распространить и на
пеленгаторы с объемными решетками. Как и прежде, они основаны на
аппроксимации области интегрирования в формуле (7.7.1) эллипсоидами равной
плотности вероятности случайных величин г],, по (п - 3)-мерной плотности
распределения которых ведется интегрирование. Предполагается, что по-
грешности фазовых измерений подчиняются многомерному нормальному за-
кону распределения вероятностей с нулевым вектором средних и известной
корреляционной матрицей Вф. Случайные величины ц, (7.7.2) в этом случае
также подчиняются нормальному закону распределения с нулевыми средни-
ми значениями и корреляционной матрицей Вп, элементы которой
=klTGki, i = 1,2,...,n-3, j = l,2,...,n-3, (7.8.1)
где kitkj — векторы неоднозначности из опорной совокупности, G — мат-
рица (7.4.2).
Нижнюю границу вероятности Ро, которую, как и прежде, будем обозна-
чать Р0*н, найдем как вероятность попадания случайной точки с координата-
ми ц (7.7.2) в эллипсоид равной плотности вероятности (3.11.1), расположен-
ный внутри области интегрирования и касающийся хотя бы одной из ее
границ. Корректируя формулу (3.11.6) с учетом изменения размерности, за-
пишем
Р0‘н = -Р{Хп-з 0,25djL}, (7.8.2)
О „
где Хп-з — случайная величина, подчиняющаяся хи-квадрат распределению
с (п-2) степенями свободы [85], d2^ — минимальная из величин by- (7.8.1)
при i = j.
Верхнюю границу вероятности правильного устранения неоднозначности
Р0’в найдем как вероятность попадания случайной точки с координатами т]
(7.7.2) в эллипсоид равной плотности вероятности, равновеликий с собствен-
ными областями векторов неоднозначности. Переписывая формулу (3.11.15) с
учетом изменения размерности, получим
Ров = Р (Хп-3 S - "-^detBTir2[0,5(n-l)]|, (7.8.3)
I n J
где Г(х) — гамма-функция.
Детерминант матрицы Вп можно найти, минуя нахождение самой
матрицы Вп. Распространим формулу (6.6.9) на рассматриваемый случай оцен-
ки трех направляющих косинусов. Производя выкладки, аналогичные приве-
денным в подразделе 6.6, получим
222
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
detBn
= detB;1
1
Г(ёх,ёу,ёг)’
где Г(ех,ё9,ёг) — определитель Грама системы векторов ex, еу, ег,
Г(ёх,ёу,ёг) =
ехВФ е:
егВ -1ё
ёТ В“хё.
z <р .
£Bi4
Произведем замены ех = Аиоднпх , еу = Аиодап9 , ё2 = Aw^n.
Получим
det В = det В 1 —---------* _
Диодн Диодн Aw„w Г(пх, пу, п2)
Проводя некоторые математические преобразования, можно заметить, что
prz; - = С7и"аи,стги* ~ °v*Buw “ au,®vu> ~ CTw'^uu + ,
Цпх,пу,пг)
где Buu, B^,, Buv — корреляционные моменты оценок v*, и*, w“, определя-
емые по формулам (7.2.2).
С учетом данного соотношения приведем формулу (7.8.4) к виду
detB : ~ ~ ~ + ЧА5»
11 Дг,одн Диоди А^„да det Вф
Подставляя данное выражение в (7.8.3), получим:
(7.8.4)
^ов
1—2 2 _2 2 р2 2 р2 __2 о2 , лп D о
Q _ n—3 l^v>ou,qw* ^u'^vw ®w*&vu “Byu&vw&uw
B \ Г2 [0,5(n -1)] Аи2даАш2дн det Вф
(7.8.5)
Из (7.8.5) видно, что при фиксированных значениях интервалов однознач-
ности А«одн, Аиода, Ашода верхняя граница вероятности правильного устра-
нения неоднозначности тем выше, чем больше дисперсии оценок направляю-
щих косинусов , а2и., a2w. и чем меньше Вт, В^, Buv.
Формула (7.8.5) имеет большое значение в инженерных расчетах. Она
определяет число фазометрических баз, которые необходимы для выполне-
ния предъявленных к пеленгатору требований по вероятности правильного
устранения неоднозначности и дисперсиям направляющих косинусов при
заданных статистических характеристиках фазовых погрешностей.
223
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
7.9. Связь меавду предельными характеристиками
точности пеленгования, числом и расположением
элементов антенной системы
Оценим предельно достижимую вероятность правильного устранения
неоднозначности в фазовом пеленгаторе с антенной системой в виде объем-
ной W-элементной решетки при заданных статистических характеристиках
фазовых погрешностей. Для этого будем считать, что фазовые погрешности
возникают в приемно-усилительных трактах. К решетке подключено N -1
фазометров, так что результаты их измерений линейно независимы. По-
скольку в этом случае характеристики пеленгатора не зависят от способа
подключения фазометров, как показано в подразд. 7.3, считаем, что одна из
антенн является опорной.
Верхняя граница Ро для фазового пеленгатора с антенной системой в виде
объемной решетки, построенного в соответствии с принципом максимально-
го правдоподобия, может быть рассчитана по формуле (7.8.3). Детерминант
матрицы Вл определяется по формуле (7.8.4). Рассмотрим подробнее опре-
делитель Грама системы векторов пх , пу , п-,
Г(пх,пу,п2) = + 2й^Вф1йуп^Вф1п2ПуВ;1п2 -
-п^в;1^ [n^B^nJ2 - ПуВ^пу [п!ХЧ]2 - [ЙХЧ]2 •
При сделанных предположениях, что фазовые погрешности возникают в
приемно-усилительных трактах и один антенный элемент является опор-
ным, их корреляционная матрица имеет вид Вф = еГфВф, нормированная кор-
реляционная матрица Вф задается формулой (3.5.5).
В этом случае матрица В”1 в соответствии с (3.5.6) может быть пред-
ставлена выражением
В”1 = <у”2В-1 = ст“2 ^2Е - ,
где N — число антенных элементов, Е — единичная матрица размерами
(п — 1)х(п- 1), I — матрица размерами (n- l)x(n- 1), все элементы которой
равны единице.
Рассмотрим более подробно множитель п^В”1^ в выражении для опре-
делителя Грама:
njB;1^ = <tfnTx [2Е - 2N-1!] пх.
Векторы пх , пу , nz можно записать в виде
пх = Ах, пу = Ау, пг - Az,
где х — вектор, г-й элемент которого есть проекция г-й базы на ось Ох,
нормированная к длине волны; у — вектор, г-й элемент которого есть про-
екция г-й базы на ось Оу, нормированная к длине волны, z — вектор,
224
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
i-й элемент которого есть проекция г-й базы на ось Ог, нормированная к
длине волны.
Матрица А имеет размерность ^x(^ - 1) и вид
'-I 1 0 0 ... О'
-1 0 1 0 ... 0
А = -1 0 0 1 ... 0
-1 0 0 0 ... 1
С учетом этого
njB’1^ = nJ [2Е - 2ЛГ1!] пх = 2[хтАгАх - AT^WlAx].
После математических преобразований, используя обозначения, введен-
ные в подразделе 6.2, получаем
= 2Мх,
где
W , N
Действуя аналогичным образом, получим
п^пу = 2Му ; njB^n, = 2Мг;
= 2М^ ; njB/nz = 2MIZ; njB’% = 2Myz,
где
N N _
МУ =Y(yi~y) ; Mz = E(zi - z) ;
i=l i=l
N N
м«/=Х(Ж«-5)(У«-У); Mxz =E(xi -*);
1=1 1=1
N i N 1 N
му:=Х(У.-у)(г<-г); У = - * = •
В результате подстановок формула (7.8.4) примет следующий вид:
2JV-4N-1AU±Au;i1Aw;iio;2(JV-4)
det В —___________________°ди од» оди ф
” ” МХМУМ, + - МХМ2 - МиМ2 - ММ2 • (791)
л у х ху хх ул х ух у jcz z ху
Подставляя (7.9.1) в (7.8.3), получим
^Ьв = Р{хлг-4 - Qb}, (7.9.2)
где
= 2 t! I 2JV~4r2[0,5(n-l)]AvXAu^Aw^Ho;2(W-4W-1
лог? V МХМ Мг + М-^М^М,.; - мхм2 - MVM2 - м,м2 ’
т | у * '•^У xz yz х у& у XX Z Ху
225
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Полученная формула устанавливает зависимость Ров от секторов одно-
значности направляющих косинусов Аиодн, Аиодн, А^одн, числа элементов
антенной решетки N, а также числовых характеристик расположения эле-
ментов АР в объеме. Очевидно, что моменты Мх, Му, Mz характеризуют
дисперсию распределения элементов вдоль соответствующих осей, М^, Mxz,
Myz — симметрию решетки. Увеличение моментов приводит к уменьшению
вероятности Ро, так же как симметрирование решетки по любой из осей.
С увеличением оф вероятность Ров уменьшается. Характер зависимости Ров
от числа антенных элементов N в формуле (7.9.2) менее очевиден, но расче-
ты показывают, что с увеличением N вероятность Ров увеличивается.
Особо следует остановиться на секторе однозначного пеленгования Диодн,
Аиодн, Агоодн. С увеличением Аиодн, Аиодн, Аадодн вероятность Ров уменьша-
ется. Если пх , пу, rij — векторы, составленные из дробных чисел, то для
получения ех , еу, ег — векторов состоящих из целых чисел, может потре-
боваться, чтобы АОодл, Аиодн, АгОодл были большими числами. Однако физи-
ческий смысл имеет сектор пеленгования, в котором направляющие косину-
сы лежат в пределах интервала [-1; 1], то есть Аиодн < 2, Аиодн < 2,
Дгипдн < 2. Если же эти неравенства не будут выполняться, то среди векто-
ров к , которые могут быть получены при раскрытии неоднозначности мето-
дом максимального правдоподобия, будут такие, которые соответствуют не-
существующим пеленгам. Эти векторы можно заранее отбросить. Однако в
этом случае вероятность правильного устранения неоднозначности будет за-
висеть от углового положения источника излучения и не может быть оцене-
на по предложенной методике.
Появление векторов неоднозначности к , соответствующих несуществую-
щим пеленгам, аналогично наличию мнимых дифракционных максимумов в
диаграммах направленности фазированных антенных решеток [124].
7.10. Улучшение технических характеристик
пеленгатора за счет учета зависимости
между направляющими косинусами источника
сигнала в трехмерном пространстве
Возможность улучшения технических характеристик фазового пеленгато-
ра с объемной антенной решеткой возникает при учете того, что направляю-
щие косинусы связаны соотношением
v2 + u2 + w2 = 1. (7.10.1)
Строгое решение подобных задач ведется по методу множителей Лагран-
жа [126]. Составляется функция Лагранжа
L[и, и, w, X] = (ф - nxv - пуи - nzw} В"1 (ф - nxv - пуи - nzw) +
+х(и2 +и2 + w2 -1),
где X — множитель Лагранжа.
226
7. Двухкоордкнатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформньпчи) антенными системами
Чтобы найти параметры v, и, w, к, при которых функция Лагранжа
достигает минимума, необходимо решить систему уравнений
fLfr.a, w, к]
—-т = а
CV
oL[c,u.w.k]
ди
clAv, и, w,a]
———------^-О.
(7.102)
dw
’ ’ ’ * = 0.
ё/.
Однако для общего случая (произвольное расположение антенных эле-
ментов, произвольный вид корреляционной матрицы фазовых ошибок)
не удается аналитически записать решение системы уравнений (7.10.2).
7.10.1. Уменьшение дисперсии оценок направляющих
косинусов при правильном устранении
неоднозначности
Уравнение (7.10.1) является уравнением сферы единичного радиуса.
При отсутствии ошибок фазовых измерений оценки направляющих косину-
сов v*, и*, w* являются координатами точки, лежащей на сфере. При нали-
чии ошибок фазовых измерений оценки направляющих косинусов v*, и*, w'
являются координатами точки, лежащей вне сферы. Задача повышения точ-
ности пеленгования при условии правильного устранения неоднозначности
сводится к нахождению правила, по которому точке вне сферы (7.10.1)
ставится в соответствие точка на сфере, которая имеет координаты и*, u(*,
. При нахождении такого правила следует учесть, что оценки v*, и*, w*
могут определяться с различной точностью и иметь корреляцию между
собой.
На рис. 7.10.1 изображена геометрическая интерпретация процесса на-
хождения точки на сфере в сечении плоскости vOu. Оценки направляющих
косинусов v*, и*, w* являются координатами точки Т. Для получения анали-
тического решения в окрестности точки T^v^, ult wx) сфера аппроксимиру-
ется плоскостью, которая на рис. 7.10.1 изображена прямой. Т; является точ-
кой пересечения сферы (7.10.1) и луча, который исходит из начала координат
и проходит через точку Т*.
Распределение погрешностей определения направляющих косинусов 8V,
5U, 8,u характеризуется эллипсоидом рассеяния (7.2.4). Эллипсоид рассеяния с
центром в точке T*(v*, и*, w*) можно записать в виде уравнения
v -v"
и-и*
w -w*
т г »'
г’ -v
Вй* и-и”
w - w*
227
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Параметр X2 должен быть таким, чтобы эллипсоид рассеяния касался
плоскости. Тогда точка касания То будет искомой точкой.
Рис. 7.10.1. Геометрическая интерпретация оценок
направляющих косинусов
В точке касания То нормаль к поверхности эллипсоида и нормаль к плос-
кости параллельны. Нормалью к плоскости является вектор ОТ* = (v*, и*, го*).
Вектор нормали к поверхности эллипсоида т в точке с координатами
(о, и, го) можно записать как [96]
(7.10.3)
В точке То
т = а ОТ* ,
(7.10.4)
где а — число.
Подставим (7.10.3) в (7.10.4) и найдем уточненные оценки направляющих
косинусов «J, гг^, ioj из уравнения
uj
-В81ОТ* = аОТ*.
Получим
«о
uj
го£
= (aB8 + Е) ОТ* ,
(7.10.5)
где Е — единичная матрица размерами 3x3.
Теперь необходимо найти коэффициент а. Для этого нужно подставить
координаты точки касания (7.10.5) в уравнение плоскости, аппроксимирую-
щей сферу (7.10.1) в окрестности точки Т*. Точка пересечения луча ОТ* и
сферы имеет координаты v', и', w':
228
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
и' = |^7(и*)2 + (u*)2 + (w*)2 j v*; и’= ^>/(г’*)2 + + f10*)2 j «*;
w' = ^7(и*)2 + (u*)2 + (w*)2 ]” w*- (7.10.6)
Уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами (у', и',
и>'), нормалью к которой является вектор ОТ*, можно записать в виде
у* (у - v') + и*(и - и') + w*(w - го') = 0 • (7.10.7)
Подставим (7.10.6) в (7.10.7) и после некоторых преобразований получим
v* v + и* и + w* w - -J(u*)2 +(u*)2 +(го*)2 = 0,
v
ОТ? и
W
= 7(f*)2+(u*)2+(w*)2
(7.10.8)
Теперь подставим координаты точки касания (7.10.5) в уравнение плоско-
сти (7.10.8) и найдем коэффициент а:
ОТ? (аВ5 + Е) ОТ* = д/(«*)2 + (u*)2 +(w*)2 -
Учитывая, что
ОТ? ОТ* = (V*)2 + (u*)2 + (w*)2,
получим
у/(у*)2 + (и*)2 + (w*)2 - (у*)2 - (и*)2 - (w*)2 ( (7 10 9)
от?в5от*
где
от*тв5от* =
Элементы матрицы В8 определяются по формулам (7.2.1), (7.2.2). Таким
образом, предлагаемый алгоритм повышения точности осуществляется в два
этапа;
1. Оценки направляющих косинусов у*, и*, го*, полученные из формулы
(7.1.5), подставляются в (7.10.9) для нахождения а;
2. Оценки направляющих косинусов и*, и*, w* и параметр а подставля-
ются в формулу (7.10.5) для нахождения уточненных оценок направляющих
КОСИНУСОВ у* , Щ , Wq .
Улучшение точности определения азимута и угла места зависит от кор-
реляции между оценками у*, и*, w*. Если оценки у*, и*, w* имеют одина-
ковую дисперсию и некоррелированы, то улучшения точности не происхо-
дит. В этом случае В5 = ст2Е (Е — единичная матрица):
229
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
ОТ*ТВ5ОТ* = а2 • [(и*)2 + (u*)2 + (w*)2];
Vg = + (и*)2 + (w*)2 j v*;
Ug = ^7(u*)2 + (u*)2 + (w*)2 u*;
Wg = ^л/С2’*)2 + (U*)2 + (W*)2
Коэффициент y](v*)2 + (u*)2 + (w*)2 при подстановке оценок и*, щ, w‘o в
формулу (7.1.6) для получения оценок азимута и угла места сокращается.
Следовательно, оценки pj, щ, w(* и оценки v*, и*, w* определяют одно и
то же направление прихода электромагнитной волны.
Предположим, что оценки направляющих косинусов и*, и*, w* имеют оди-
наковую дисперсию ст2 и коэффициент корреляции погрешностей их измере-
ний равен г. В этом случае элементы матрицы В5 равны
Г 2 .
о , если г = ],
2
г • о , если г *
(7.10.10)
Определим зависимость повышения точности пеленгования от коэффици-
ента корреляции между оценками направляющих косинусов. В качестве меры
точности пеленгования будем рассматривать дисперсию угловой ошибки 0
между истинным и измеренным направлениями. Для фазового пеленгатора с
объемной АР, в котором учитывается зависимость между направляющими
косинусами (7.10.1), для получения угла рассогласования 0 в формуле (7.2.5)
будут использоваться оценки г>г*, Ug, Wg, а для фазового пеленгатора, в
котором не учитывается соотношение (7.10.1), — v*, и*, w*. Повышение точ-
9
ности определим как отношение дисперсии угла рассогласования , кото-
рая получается при использовании оценок v*, и*, го*, к дисперсии угла
рассогласования ст|о , которая получается при использовании оценок Vg,
Шц. В таблице 7.10.1 приведены зависимости указанного отношения от
коэффициента корреляции г между погрешностями измерений направляю-
щих косинусов v*, и*, w* при различных положениях источника излучения.
На рис. 7.10.2 изображена зависимость отношения к от коэффициен-
та корреляции г для случая, когда положение источника излучения равно-
вероятно в пределах полусферы. Результаты получены с помощью компью-
терного моделирования работы фазового пеленгатора.
Из рис. 7.10.2 видно, что по мере увеличения коэффициента корреляции г
увеличивается выигрыш в точности пеленгования для фазового пеленгатора,
в котором учитывается связь между направляющими косинусами (7.10.1).
Коэффициент корреляции г в формуле (7.10.10) зависит от структуры ан-
тенной решетки, корреляционной матрицы фазовых погрешностей и может
быть вычислен с помощью формул (7.2.2).
230
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
Таблица 7.10.1
Зависимость отношения к ст|о от коэффициента корреляции г
для различных значений азимута а и угла места р источника излучения
Угол места, град Азимут, град 2 / _2 сте / сте0
Коэффициент корреляции г
0,0 0,3 0,6 0,7 0,8 0,9
0 0 1,0 1,2 1,8 2,4 3,6 7,5
30 1,0 1,0 1,7 2,3 3,3 7,0
120 1,0 1,0 1,1 1,2 1,5 2,2
30 0 1,0 1,1 1,7 2,2 3,2 6,8
30 1,0 1,0 1,1 1,2 1,4 1,8
120 1,0 1,1 1,5 2,0 3,0 6,3
60 0 1,0 1,0 1,7 2,2 3,2 6,8
30 - 1,0 1,0 1,4 1,7 2,2 4,4
120 1,0 1,1 1,8 2,5 3,8 7,7
Рис. 7.10.2 Зависимость отношения сг| / ^е0 от коэффициента
корреляции г оценок направляющих косинусов при равновероятном
положении источника сигнала в пределах полусферы
7.IO.2. Повышение вероятности правильного устранения
неоднозначности фазовых измерений
Самый простой способ повысить вероятность правильного устранения
неоднозначности — это просуммировать квадраты оценок направляющих
косинусов V*, и*, w*, и если полученное число отличается от единицы больше
определенного значения, то такой отсчет нужно отбросить как ложный.
Другой способ повысить вероятность правильного устранения неодно-
значности более сложный. Для каждого вектора из общей совокупности
231
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
векторов неоднозначности при заданных результатах фазовых измерений ф
вычисляется сумма квадратов оценок направляющих косинусов. Если эта
величина отличается от единицы больше некоторого порогового значения,
то такой вектор не участвует в нахождении оценки вектора неоднозначнос-
ти по правилу (7.4.3).
Третий способ повысить вероятность правильного устранения неодноз-
начности — это внести изменения в сам алгоритм устранения неоднозначно-
сти, чтобы учитывать взаимную зависимость направляющих косинусов.
В подразделе 7.5 рассматривалась геометрическая интерпретация процесса
устранения неоднозначности и оценок направляющих косинусов. Показано,
что квадратичная форма (7.4.1) с точностью до коэффициента является квад-
ратом расстояния от конца вектора полных разностей фаз ф до простран-
ства оценок, а оценки направляющих косинусов являются координатами точ-
ки проекции Ф на указанное пространство. При устранении неоднозначности
по максимально правдоподобному алгоритму в качестве оценки вектора
неоднозначности к берется такой вектор к , у которого форма (7.4.1) мини-
мальна. Расстояние от точки проекции, координатами которой являются оценки
направляющих косинусов, до сферы (7.10.1) есть длина отрезка между точ-
ками Т*(и*, и*, w*) и T0(Vq,u^,wI) , изображенными на рис. 7.10.1. При этом
учитывается, что оценки о*, и*, w* имеют разные дисперсии и различную
коррелированы между собой. Квадрат расстояния между точками Т* и То
записывается в виде
|Т* Т0|2 = а^ОТ^В^ОТ1 , (7.10.11)
где а — коэффициент, определяемый по формуле (7.10.9).
Так как (п - 3)-мерное подпространство собственных областей векторов
неоднозначности ортогонально трехмерному подпространству оценок, то квад-
рат расстояния от конца вектора полных разностей фаз до сферы (7.10.1)
можно записать [88]
О(Ф) = det ВфФгОФ + a26TQ7’B8BsQO , (7.10.12)
где Q — матрица, строками которой являются векторы весовых коэффици-
ентов qv, qu, qw.
Формула (7.10.12) является обобщением формулы (6.4.3) на случай, когда
не любая точка в подпространстве оценок характеризует реально существу-
ющий пеленг. Подобную формулу можно написать и для пеленгатора с плос-
кой антенной решеткой, если априорно известно, что источник радиосигнала
лежит в плоскости антенной решетки. Первое слагаемое в формуле (7.10.12)
равно квадрату расстояния от конца вектора полных разностей фаз до под-
пространства оценок. Второе слагаемое равно квадрату расстояния от сферы
единичного радиуса до точки проекции вектора полных разностей фаз на
подпространство оценок. Поясняющий рисунок привести нельзя, так как он
должен быть как минимум четырехмерным.
В качестве оценки вектора неоднозначности к' необходимо из совокупно-
сти возможных векторов неоднозначности {к,} выбрать такой, у которого
расстояние (7.10.12) будет наименьшим. Предлагаемый алгоритм записывает-
ся в виде
252
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
где
к* = arg
min{D-(k)}
(7.10.13)
%(к) = det Вф(ф + k)TG($ + к) + ($ + fc)TQTBjB8Q(9 + k) х
7(Ф + k)TQTB^BsQ(^ + k) - (ф + k)TQTB^B8Q(^ + к)
(<p + k)TQTB5Q(cp + k)
Последний из рассматриваемых способов повышения вероятности пра-
вильного устранения неоднозначности свободен от недостатка, присущего двум
первым. При использовании двух первых способов сам факт устранения нео-
днозначности и получения оценок направляющих косинусов зависит от вели-
чины устанавливаемого порога. Возможны случаи, когда отбрасываются при-
емлемые по точности результаты.
Для пеленгатора с объемной антенной решеткой, изображенной на
рис. 7.1.2,б, было проведено сравнение различных способов устранения
неоднозначности:
1) оценка вектора неоднозначности находится по алгоритму (7.4.3), кото-
рый является оптимальным, если направляющие косинусы v, и, w — незави-
симые;
2) оценка вектора неоднозначности находится первым способом. Однако,
если после вычисления оценок направляющих косинусов v*, и*, w* сумма
их квадратов отличается от единицы больше некоторого порогового значе-
ния, то такие оценки отбрасываются;
3) оценка вектора неоднозначности находится первым способом. Из общей
совокупности векторов неоднозначности отбрасываются такие векторы, для
которых сумма квадратов оценок направляющих косинусов и*, и*, w* отли-
чается от единицы больше некоторого порогового значения;
4) оценка вектора неоднозначности находится по алгоритму (7.10.13);
5) оценка вектора неоднозначности находится квазиоптимальным алго-
ритмом, который описан в подразделе 7.6;
6) оценка вектора неоднозначности находится пятым способом. Однако,
если после вычисления оценок направляющих косинусов v*, и*, w* сумма
их квадратов отличается от единицы больше некорого порогового значения,
то результаты измерений отбрасываются.
Результаты компьютерного моделирования процесса устранения неодно-
значности фазовых измерений в пеленгаторе с объемной решеткой приведе-
ны в табл. 7.10.2.
Как видно из табл. 7.10.2, вероятность правильного устранения неодно-
значности Ро увеличилась во всех случаях, когда учитывалось соотношение
(7.10.1). Повышение Ро при использовании второго и пятого способов объяс-
няется тем, что часть отсчетов отбрасывалась. Вероятность Ро определялась
как отношение числа отсчетов, при которых неоднозначность была устранена
правильно, к разности общего числа отсчетов и числа отброшенных отсчетов.
Однако число отсчетов, при которых определяется положение источника
излучения, уменьшается с ростом фазовых погрешностей. При стф = 10 ° из
233
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
1000 отсчетов остается 998, при стф = 15 ° — 980, при стф = 20 ° — 935, при
стф = 25 ° — 895, при аф = 30 ° — 834, при аф = 35 ° — 800 (для шестого
варианта соответственно — 997, 979, 928, 880, 845, 810). Вероятность пра-
вильного устранения неоднозначности можно повысить за счет уменьшения
порогового значения, но это приведет к еще большему числу отброшенных
отсчетов. Фактически, вероятность пропуска цели для этих алгоритмов уст-
ранения неоднозначности равна вероятности аномальных ошибок для перво-
го и пятого способов.
Таблица 7.10.2
Зависимость вероятности правильного устранения неоднозначности
от СКО разности фаз
Способ устранения неоднознач- ности СКО разности фаз, град
0 5 10 15 20 25 30 35
1 1 1 0,998 0,972 0,899 0,8 0,677 0,587
2 1 1 1 0,992 0,962 0,894 0,812 0,734
3 1 1 1 0,992 0,963 0,898 0,831 0,76
4 1 1 1 0,993 0,964 0,894 0,814 0,729
5 1 1 0,997 0,967 0,879 0,767 0,671 0,577
6 1 1 1 0,988 0,947 0,872 0,794 0,715
Третий способ устранения неоднозначности меньше зависит от величины
порогового значения, а четвертый — полностью свободен от нее. Вероятность
аномальных ошибок уменьшается в 1,5—2,8 раза.
7.11. Совместное измерение пеленга и частоты
Достоинством фазового пеленгатора с объемной антенной решеткой явля-
ется то, что пеленгация источников сигналов может осуществляться при
неизвестной частоте излучения. Кроме того, появляется возможность изме-
рить эту частоту, практически не изменяя схему пеленгатора.
Предположим, что частота излучаемого сигнала f неизвестна и лежит в
пределах от /min до Представим f как
/ = Ц/шах, (7.11.1)
где ц — неизвестное число меньшее единицы.
Длина волны излучения X связана с Xmin соотношением
X = — = с — ^'m'n
f Н /max И
Если векторы масштабных коэффициентов пх , пу, пг определить на
длине волны Xmin, то уравнение (7.1.3) примет вид
Ф - пхци + пуци + пгци>.
234
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
Обозначим ци, ци, /iw как ug, wg. Проводя обработку вектора изме-
ренных разностей фаз <р по методике, изложенной в подразд. 7.1, 7.4, 7.6,
получим оценки v^, и’, ш*. Заметим, что поскольку ц<1, то оценки г>‘, и*,
w’ не выходят за пределы интервалов однозначного отсчета Дцодн, ДиОдш
ДшоднЫпри любом значении частоты в пределах указанного диапазона.
Значит, устранение неоднозначности может осуществляться, как показано в
подразделах 7.4, 7.6.
Подставляя оценки v^, иц, в выражения (7.1.6), убеждаемся, что
параметр ц сокращается при вычислении азимута а и угла места
а* = arctg
= arctg
= arctg
Р* = arctg
J(<)2 +(u*)2
= arctg
7(g и*)2 +(ц u*)2
w*
= arctg . — =
J(«*)2+(u*)2_
Следовательно, оценки азимута а и угла места р не зависят от частоты
излучения /. Следует заметить, что точность оценок а* и р* ухудшается
при уменьшении частоты, так как уменьшаются фазометрические базы, вы-
раженные в длинах волн.
Учитывая, что направляющие косинусы связаны соотношением (7.10.1),
можно определить частоту источника излучения. Суммируя квадраты оце-
нок , получим квадрат оценки ц*
(<)2 +(<)2 +(<)2 = ц2(и*)2 +Ц2(ц*)2 +ц2(ю*)2 =
= ц2 [(и*)2 +(u*)2 +(w*)2].
Считая, что сумма квадратов оценок направляющих косинусов равна еди-
нице, получим формулу для нахождения оценки ц*
Ц* = 7(<)2 +(<)2 +(wg)2 • (7-11-2)
Подставляя р* в выражение (7.11.1), определим частоту излучения /.
Дисперсию оценки ц* найдем по правилу теории вероятностей
= ТП1{(Ц*)2} - (^11{Ц*})2,
где mJ-} — символ математического ожидания.
Трудность получения аналитически формулы для расчета дисперсии ц*
связана с вычислением mjp*}. Разлагая функцию квадратного корня в сте-
пенной ряд и ограничиваясь тремя первыми слагаемыми этого ряда, после
некоторых математических преобразований получаем приближенную фор-
мулу для расчета дисперсии оценки ц*
ст2. = v2q2< + ц2(у2 • + + 2vuBvu + 2vwBvw + 2uwBuw т и
235
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
где ст*., , о*,. — дисперсии оценок направляющих косинусов, вычисля-
емые по формуле (7.2.1); Вт, В„, Buw — корреляционные моменты оценок
направляющих косинусов, вычисляемые по формуле (7.2.2).
Как видно из формулы (7.11.3), погрешность определения частоты увели-
чивается пропорционально уменьшению частоты. Кроме того, дисперсия оценки
ц* зависит от положения источника излучения. Однако, если предположить,
что дисперсии оценок направляющих косинусов равны между собой, а коэф-
фициент корреляции между ними равен 0,5, дисперсия оценки ц* не превы-
шает величины
ни для одного из направлений.
Предложенная методика нахождения частоты сигнала была проверена
моделированием на ЭВМ. Расположение антенных элементов принято соот-
ветствующим рис. 7.1.2,б, а схема подключения фазометров, вектор баз и
корреляционная матрица фазовых погрешностей приняты такими же, как
при построении рис. 7.5.2. Положение источника излучения задавалось ази-
мутом и углом места. Для каждого положения обрабатывалась тысяча отсче-
тов. На рис. 7.11.1 показана зависимость СКО частотного коэффициента ц от
положения источника излучения при СКО разности фаз 15’. Различие харак-
теристик при а = 0’ и а = 45’ объясняется определенной направленностью
эллипсоида ошибок (7.2.4). СКО частотного коэффициента ц лежит в преде-
лах от 0,014 до 0,023. Это означает, что если /тах = 1 ГГц, то погрешность
измерения частоты при стф = 15’ не превысит 23 МГц (при частоте сигнала
1 ГГц).
Рис. 7.11.1. Зависимость СКО частотного коэффициента ц
от угла места источника излучения при азимутах 0 и 45’:
кривые 1 получены по приближенной формуле,
кривые 2 получены с помощью моделирования на ЭВМ
На рис. 7.11.1 также изображена зависимость СКО частотного коэффици-
ента ц, полученная по приближенной формуле (7.11.3), от положения источ-
ника излучения. Рис. 7.11.1 показывает хорошее совпадение результатов,
236
7. Двухкоординатные фазовые пеленгаторы
с объемными (конформными) антенными системами
полученных по приближенной формуле и компьютерным моделированием.
Разница в Стц* не превышает четырех процентов.
В данном разделе рассмотрены принципиальные вопросы построения
фазовых пеленгаторов с антенными системами в виде объемных решеток
Переход от плоских решеток к объемным требует решения целого ряда
новых задач внутреннего проектирования [123]. Решение этих задач состав-
ляет самостоятельную сложную научно-техническую проблему. В книге дан-
ная проблема не затрагивается.
237
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Доказательство формулы (3.11.5)
Доказательство формулы (3.11.5) для различных п>4 отличается по су-
ществу только размерностью используемых матриц. Поэтому ограничимся
рассмотрением простейшего случая п = 4, когда уравнение (3.11.1) задает
эллипсоид в трехмерном евклидовом пространстве и может быть записано в
виде
уМ?’ +У2^!21’ +?/3Ь331' +2У1У-1Ь'12'' + ^У1У^\^ +^У2УзЬ23> = -Qh
Обозначим минимальное значение d, символом dp Эллипсоид (3.11.1)
касается границ области интегрирования, если плоскость уг = df / 2 будет
касательной по отношению к нему. Для нахождения QH, соответствующего
данному условию, зафиксируем у1 и рассмотрим уравнение относительно уг,
у-,. Новое уравнение можно представить в виде
апу2 +а2зУз + 2а12у2Уз + 2а13у-2 + 2а23у3 +ад3 = О,
где обозначено
,(-1) ,1-1) .
«и=Ц2; а12=ь^;; «1з=ь12ур
,(-1) >1-1) ,(-1) 2
«22=^3 ; «23 ^ Уь азз =Ьц У1 -Q„.
Уравнения подобного вида называют квадриками [96]. Данная квадрика
является уравнением кривой второго порядка, по которой плоскость у = const
пересекает эллипсоид (3.11.1). Если это пересечение происходит только в
одной точке, то есть плоскость касается эллипсоида, квадрика является вы-
рожденной. Соответствующее условие инвариантно относительно поворота и
параллельного переноса осей координат и имеет вид
«II «12
а21 а22
«31 «32
«13
«23
= 0, «у = «;1
Данное условие справедливо и для пространств большей размерности,
если соответствующим образом увеличить порядок определителя. Разлагая
определитель по элементам третьей строки, получаем
238
Приложение 1
Доказательство формулы (3.11.5)
Так как выражения, стоящие в квадратных скобках, представляют собой
алгебраические дополнения 1 ’ к элементам первой строки обратной мат-
рицы В*1, из последней формулы следует
Qh = у2
det В"1
rji-i'
Mi
Подставляя сюда у1 = dj2/2, d± = Ьи = Dj/'^detB,,1), приходим к (3.11.5).
Доказательство данного соотношения для п = 5, п = 6 и т. д. аналогично
приве д енн ому.
239
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Методака расчета на ЭВМ фазового пеленгатора
Расчет основных характеристик фазового пеленгатора включает в себя
определение векторов весовых коэффициентов, дисперсий и корреляцион-
ных моментов оценок направляющих косинусов в случае правильного устра-
нения неоднозначности фазовых измерений, матриц G и С, вероятности
правильного устранения неоднозначности.
Важной задачей проектирования является оптимальное расположение
элементов антенной системы на заданной апертуре.
Рассмотрим коротко порядок решения этих задач.
1. Определение характеристик точности при условии правильного устра-
нения неоднозначности
Предположим, что исходными данными при расчете фазового пеленгато-
ра с заданной антенной системой являются число и расположение антенных
элементов, а также корреляционная матрица фазовых погрешностей.
Вначале определяются векторы масштабных коэффициентов. Если один
антенный элемент является опорным, то г-я координата векторов пх , пу, пг
определяется по формулам:
X,- - Хп У; - уп Z; - Zn
п~ = -*---2-; nu = ; пг = -4—2-,
‘ к Vi к ' X
где х„ уь Zi — координаты г-го антенного элемента в прямоугольной системе
координат; х0, у0, z0 — координаты опорного антенного элемента в прямоу-
гольной системе координат; к — длина волны сигнала. Если к тому же ис-
точником фазовых погрешностей являются внутренние шумы приемных уст-
ройств, независимые от каналу к каналу, корреляционная матрица фазовых
погрешностей Вф имеет вид, определяемый формулами (6.2.4) и (3.5.5).
Если же требуется учесть влияние на матрицу Вф пространственных
флуктуаций радиосигналов, можно воспользоваться методикой, изложенной
в подразделе 3.2. В частности, если антенная решетка линейная, а фазометры
подключены к приемным устройствам «параллельно» (см. рис. 3.5.1,а), для
расчета элементов матрицы Вф можно использовать формулу (3.2.14).
Далее по формулам (3.2.4), (6.1.7)-(6.1.10) или (7.1.5) определяются векторы
весовых коэффициентов, которые используются для получения оценок на-
правляющих косинусов. Затем по формулам (3.2.7), (6.2.1), (6.2.3) или (7.2.1),
(7.2.2) получаем характеристики точности: дисперсии оценок направляющих
косинусов и корреляционные моменты оценок направляющих косинусов.
Таким образом определяется матрица В5.
240
Приложение 2
Методика расчета на ЭВМ фазового пеленгатора
2. Определение вероятности правильного устранения неоднозначности
Наиболее сложной задачей при определении вероятности правильного
устранения неоднозначности является нахождение совокупности векторов
неоднозначности. Сначала найдем матрицу G по формулам (3.6.7), (6.3.4) или
(7.4.2).
Зная векторы масштабных коэффициентов, найдем секторы однозначнос-
ти Дг’одн, Диодн, Д »одн для каждого направляющего косинуса из формул:
4 = Мднпт ; = ЛиодЛ/; е. = Аи’однп.,
где ё,., ёу, е. — векторы взаимно простых целых чисел.
Изменяя направляющие косинусы в пределах своих секторов однозначно-
сти, найдем совокупность векторов неоднозначности по формуле
к = + пуи + n.w + б] ,
где [•] — покоординатное выделение ближайшего целого, б — вектор фа-
зовых погрешностей. В случае, когда рассчитывается пеленгатор с плоской
решеткой, в формуле отсутствует третье слагаемое, а в случае с линейной
решеткой — еще и второе.
Шаг, с которым меняются направляющие косинусы, выбрать однозначно
сложно. С одной стороны, он должен быть не слишком маленьким, иначе
процедура поиска совокупности векторов неоднозначности может затянуть-
ся. Это особенно важно при решении задачи оптимизации расположения
антенных элементов. С другой стороны, он должен выбираться достаточно
маленьким, чтобы не пропустить какой-либо вектор неоднозначности. В боль-
шинстве случаев рационально изменять значения направляющих косинусов с
шагом
, 0,95 . , 0,95 , _ 0,95
_ i । ’ ~ I I ’ 1с I
Ытах Nmax
(П2.1)
где | е, |тах, |тах, |е.|тах — максимальные по модулю значения координат
векторов масштабных коэффициентов.
Вектор фазовых погрешностей 8 необходимо ввести для того, чтобы не
пропустить вектор неоднозначности при двойном или большем «перескоке»
разностей фаз. Например, предположим, что линейная решетка фазового
пеленгатора состоит из пяти фазометрических баз, которые равны трем,
пяти, семи, десяти и одиннадцати длинам волн. Сектор однозначности на-
правляющего косинуса лежит в пределах от -0,5 до 0,5. При изменении
направляющего косинуса от 0,195 до 0,205 на базах 5л и Юл произойдет
одновременное изменение координат вектора неоднозначности. Первая коор-
дината изменит свое значение с 0 на 1, а вторая — с 1 на 2. Однако, кроме
сочетаний (0; 1) и (1; 2), необходимо учесть сочетания (0; 2) и (1; 1). Векторы
неоднозначности, которые соответствуют этим сочетаниям, могут иметь соб-
ственные области, которые пересекаются с проекцией пятимерного единич-
ного куба измеренных разностей фаз на четырехмерное пространство, орто-
гональное вектору масштабных коэффициентов п.е. Более подробно вопрос
получения совокупности векторов неоднозначности рассматривается в рабо-
тах [27, 29].
241
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
После нахождения общей совокупности векторов неоднозначности из нее
выбираются (n - j) векторов опорной совокупности, где п — число фазомет-
рических баз, j = 1 для пеленгатора с линейной АР, j = 2 для пеленгатора
с плоской АР, j = 3 для пеленгатора с объемной АР. Эти векторы должны
быть линейно независимыми, иметь наименьшие d2 = kTGk и совместно с
векторами ех , еу, е2 образовывать матрицу С. Матрица С используется в
квазиоптимальном алгоритме устранения неоднозначности. Ее детерминант
по модулю должен быть равен единице. Если детерминант найденной матри-
цы равен нулю, то это означает, что выбранная совокупность векторов нео-
днозначности линейно зависима. А если детерминант больше единицы (равен
какому-либо целому числу 2, 3,... и т.д.), то это означает, что хотя бы один из
найденных векторов неоднозначности должен быть заменен на вектор с мень-
шим d2. В этом случае нужно уменьшить шаг перебора направляющих коси-
нусов и повторить процедуру отыскания полной совокупности векторов нео-
днозначности. Нахождение опорной совокупности требует наибольших
временных затрат при расчете характеристик пеленгатора на ЭВМ.
На основе выбранных векторов неоднозначности можно найти матрицу Вп
с элементами (3.7.5), с помощью которой можно аналитически найти значения
вероятности правильного устранения неоднозначности Ро по формулам (3.7.12),
(6.5.1) или (7.7.1), ее нижнюю и верхнюю границы по формулам (3.11.6), (3.11.15),
(6.6.1), (6.9.14), (7.8.2), (7.8.3). Кроме того, можно определить предельно допус-
тимые фазовые погрешности по формулам (5.4.4), (5.4.10)., (6.5.9), (6.7.11).
Вероятность правильного устранения неоднозначности фазовых измере-
ний можно определить при помощи моделирования работы пеленгатора на
ЭВМ. Моделирование проводится следующим образом. Выбирается угловое
положение источника излучения в секторе пеленгования, например, в виде
азимута а и угла места р. Затем вычисляются значения направляющих ко-
синусов
v = cos a sin р; и = sin а sin Р; w = cos р.
Зная способ образования фазометрических баз, можно рассчитать вектор
истинных полных разностей фаз Фи на входах антенных элементов, получа-
емую за счет разности хода волн:
Фи = n_v + п,.и + rLw.
п х у z
Затем к вектору Фи нужно прибавить вектор фазовых ошибок 8 с задан-
ными корреляционными свойствами, моделируя погрешности измерений. По-
лученный вектор полных разностей фаз Ф = Фи + 8 необходимо округлить
до ближайшего целого
<р = Ф- < Ф >,
где <•> — операция округления до ближайшего целого; <р — вектор изме-
ренных разностей фаз.
Далее в зависимости от способа устранения неоднозначности фазовых из-
мерений определяется оценка вектора неоднозначности к* . При использова-
нии максимально правдоподобного алгоритма к* находится по формулам
242
Приложение 2
Методика расчета на ЭВМ фазового пеленгатора
(3.6.19), (6.3.8) или (7.4.3), в случае квазиоптимальиого алгоритма — (3.12.2),
(3.12.6), (6.7.3), (7.6.2), (7.6.5), (7.6.6). Подставляя векторы ф и к* в выражения
(3.2.3), (6.1.5), (6.1.6) или (7.1.5), в зависимости от типа антенной решетки полу-
чим оценки направляющих косинусов и*, и*, w*. Полученные оценки необхо-
димо привести к сектору однозначности Аиодн, Диодн, Дгоодн. Если оценки на-
правляющих косинусов V*, и*, w* отличаются от истинных значений v, и, w
на величину, меньшую половины ширины основного лепестка функции прав-
доподобия, то неоднозначность фазовых измерений устранена правильно
। 0,5 । *| 0,5 । 0,5
|и - г>*| < -—- u*| < j—-----; |w - w*| < т—।. (П2.2)
r® Imax | У Imax ' 2 ’max
Вероятность правильного устранения неоднозначности определяется как
отношение числа отсчетов, при которых выполняются неравенства (П2.2), ж
общему числу отсчетов.
3. Оптимизация расположения элементов антенной системы фазового
пеленгатора
Расчет технических характеристик фазового пеленгатора является составной
частью задачи оптимизации антенной системы. Исходными данными в этом
случае являются угловой сектор работы пеленгатора; полоса частот, в кото-
рой ведется прием сигналов; корреляционная матрица фазовых погрешнос-
тей и апертура, на которой могут располагаться антенные элементы. Кроме
того, на параметры и показатели качества системы могут накладываться
различного рода ограничения. Например, размеры антенных элементов, ми-
нимальное расстояние между фазовыми центрами антенных элементов, мак-
симальные значения дисперсий направляющих косинусов при правильном
устранении неоднозначности, минимальное значение вероятности правильно-
го устранения неоднозначности.
Первым шагом при оптимизации антенной системы является определе-
ние точек возможного расположения антенных элементов на заданной апер-
туре. Эти точки определяются исходя из углового сектора работы пеленгато-
ра и полосы частот, в котором он работает. Фазовые центры антенн должны
располагаться в узлах координатной сетки с шагом Хт;п/Д^одн по оси ж (для
линейной, плоской и объемной АР), Хт;п/Диодн по оси у (для плоской и
объемной АР), Xmin/Дгиодн по оси г (для объемной АР). Расположение антенн
должно быть таким, чтобы координаты векторов г ёх ± jey ±кёг , где
г, j, к — целые числа, не имели общего целого делителя (см. подраздел
6.10). Например, если длина волны принимаемого сигнала X, антенные эле-
менты располагаются на плоскости и источник излучения может находиться
в пределах полусферы, то на апертуре следует разбить координатную сет-
ку с шагом, равным половине длине волны X. В этом случае секторы одно-
значности направляющих косинусов равны двум, что позволит однозначно
определять положение источника излучения в заданном угловом секторе.
Во вторых, необходимо определить количество антенных элементов. Хотя
увеличение числа приемных антенн в целом позволяет уменьшить диспер-
сии направляющих косинусов и увеличить вероятность правильного устра-
нения неоднозначности, добавление нового антенного элемента ведет к увели-
чению габаритов и массы пеленгатора, усложняет устройство обработки
243
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
совокупности разностей фаз. В ряде случаев (например, при размещении
пеленгатора на борту летательного аппарата) увеличение массогабаритных
характеристик является неприемлемым.
Минимальное число антенных элементов определяется из формул для
верхней границы вероятности правильного устранения неоднозначности (3.11.19),
(6.9.9) или (7.8.5) на основании требований, предъявляемых к дисперсиям на-
правляющих косинусов и вероятности правильного устранения неоднознач-
ности при известных характеристиках фазовых погрешностей.
Поскольку зависимость вероятности правильного устранения неоднознач-
ности от расположения антенных элементов носит дискретный характер, то
аналитически решить задачу оптимизации антенной системы не удается.
Приходится использовать полный или частичный перебор антенных струк-
тур. Если число антенных элементов небольшое, то можно рассчитать харак-
теристики всех возможных антенных структур. В противном случае можно
положение нескольких антенных элементов зафиксировать на апертуре, чтобы
уменьшить область перебора. Например, при оптимизации антенной систе-
мы пеленгатора с плоской решеткой, состоящей из одиннадцати элементов,
общее число структур настолько велико, что даже при фиксированном поло-
жении семи антенных элементов компьютер типа Pentium 100 решет задачу
в течение трех часов.
Для каждой возможной антенной структуры следует рассчитать характе-
ристики пеленгатора и, пользуясь выбранным критерием оптимальности,
определить наилучшую структуру. Однозначно выбрать какой-либо крите-
рий оптимальности сложно. На практике чаще всего в качестве наилучшей
выбирается такая антенная структура, которая при выполнении требования
к точности пеленгования имеет наибольшее кодовое расстояние dk, опреде-
ляемое в соответствии с формулами (3.6.21), (3.7.21) для решеток любой
размерности (линейных, плоских, объемных) при подстановке матрицы G
должного вида. Этот подход не требует вычисления полной совокупности
векторов неоднозначности, что значительно сокращает время расчета ха-
рактеристик отдельной антенной структуры. При определении кодового
расстояния шаг (П2.1) можно взять достаточно большим. Векторы неодно-
значности, получаемые при двойном или большем перескоке разностей фаз,
можно не рассматривать, так как не они определяют кодовое расстояние.
Характеристики полученной наилучшей антенной структуры следует
более тщательно рассчитать, чтобы убедиться, что фазовый пеленгатор
полностью отвечает всем требованиям технического задания.
Если проектируется пеленгатор с линейной антенной решеткой, рацио-
нально использовать уже имеющиеся данные о наилучших структурах.
Такие данные приведены в подразделе 5.3.
244
ЛИТЕРАТУРА
1. Леонов А.И., Фомичев К.И. Моноимпульсная радиолокация. — М.: Сов.
радио,1970. — 391 с.
2. Золотарев И.Д. Фазометрическая аппаратура для метеорных исследо-
ваний // Изв. ТПИ. — 1960. — Т. 105. — Томск: Изд-во ТГУ. — С. 72.
3. Менгел Т. Сопровождение спутника Земли и передача данных по радио
//В кн. Искусственный спутник Земли (материалы семинара по американс-
кому проекту «Авангард»): Сов. Радио, 1957. — С. 46.
4. Южаков В.В. Фазовые интерферометры в микроволновых системах по-
садки: Обзор. — Зарубежная радиоэлектроника. — 1977. — № 6. — С. 50-66.
5. Вакин С.А., Шустов Л.Н. Основы радиопротиводействия и радиотехни-
ческой разведки. — М.: Сов. Радио, 1968. — 444 с.
6. Палий А.И. Радиоэлектронная борьба. — М.: Военное издательство, 1989.
— 342 с.
7. Коростелев А.А., Мельник Ю.А., Касаткин Ю.С. Методы измерения ко-
ординат объектов обработки радиолокационных сигналов. — Л.: Изд-во ЛВИКА
им. Можайского, 1968. — 241 с.
8. Золотарев И.Д. Теория построения двухканальных фазово-импульсных
пеленгаторов: Дисс... д-ра техн. наук. — Омск, 1995. — 156 с.
9. Чмых М.К. Цифровая фазометрия. — М.: Радио и связь, 1993. — 185 с.
10. Ширман Я.Д. Разрешение и сжатие сигналов. — М.: Сов. радио, 1970.
— 360 с.
11. Казаков Л.Я., Ломакин А.Н. Неоднородности коэффициента преломле-
ния воздуха в тропосфере // Распространение радиоволн. — М.: Наука, 1975.
— С. 5.
12. Бартон Д., Вард Г. Справочник по радиолокационным измерениям /
Пер. с англ, под ред. М.М. Вейсбейна. — М.: Сов. Радио, 1976. — 392 с.
13. Бадулин Н.Н., Ерохин А.В., Масалов Е.В. Экспериментальное исследо-
вание рефракции электромагнитных волн в приземном слое атмосферы //
Радиотехника и электроника. — 1976. — Т. 23. — № 10. — С. 2027.
14. Шарыгин Г.С., Полищук Ю.М. и др. Экспериментальное исследование
структуры электромагнитного поля при распространении радиоволн санти-
метрового диапазона над земной поверхностью. — Томск: Изд-во ТГУ, 1970.
— 128 с.
15. Кулемин Г.П., Рассказовский В.Б. Рассеяние радиоволн миллиметрово-
го диапазона поверхностью земли под малыми углами. — Киев: Паукова
думка, 1978. — 232 с.
16. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной по-
верхности. — М.: Наука, 1972. — 424 с.
245
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
17. Цветной В.В. Воздействие гауссовых помех на двухканальные фазо-
вые системы //В кн.: Исследование точности и помехоустойчивости фазо-
вых пеленгаторов. — Л.: Судпромгиз, 1959. — 26 с.
18. Агроскин В.И., Никитенко Ю.И. Анализ многоступенчатого и односту-
пенчатого способов устранения многозначности фазовых отсчетов // Вопро-
сы радиоэлектроники. Серия ОТ. — 1970. — Вып. 3. — С. 12.
19. Акиндинов В.В. О расчете вероятности «грубой» ошибки при двух-
шкальном способе измерения параметра сигнала // Радиотехника и элект-
роника. — 1963. — Т. 8, № 7. — С. 1099.
20. Белов В.И. О выборе периодов и длительностей импульсов шкал при
устранении неоднозначности в многоканальной фазовой измерительной сис-
теме // Радиотехника и электроника. — 1978. — Т. 23, № 10. — С. 2225.
21. Александров Б.Н., Горев В.И. Об устранении неоднозначности фазовых
измерений // Вопросы радиоэлектроники. — Серия ОТ.— 1975. — Вып. 6. —
С. 108.
22. Собцов Н.В. Оценка максимального правдоподобия в многошкальной
измерительной системе // Радиотехника и электроника. — 1972. — Т. 17,
№ 10. — С. 2076.
23. Собцов Н.В. Оценка максимального правдоподобия в многошкальной
фазовой измерительной системе // Радиотехника и электроника. — 1973. —
Т. 18, № 6. — С. 1180.
24. Собцов Н.В. Об условиях применения двухшкальных измерительных
систем // Радиотехника и электроника. — 1973. — Т. 16, № 3. — С. 636.
25. Собцов Н.В. Анализ и синтез двухшкальных фазовых измерительных
систем // Радиотехника и электроника. — 1977. — Т. 22, № 4. — С. 736.
26. Собцов Н.В. Оптимальная обработка и оптимальные соотношения в
фазовых пеленгаторах и фазовых дальномерах //Радиотехника и электрони-
ка. — 1977. — Т. 22, № 11. — С. 2420.
27. Белов В.И. Алгоритмы устранения неоднозначности в фазовой много-
канальной измерительной системе // Радиотехника и электроника. — 1978.
— Т. 21, № 8. — С. 1657.
28. Белов В.И. Квазиоптимальный алгоритм устранения неоднозначности
в многошкальной фазовой измерительной системе // Радиотехника и элект-
роника. — 1990. — Т: 35, № 8. — С. 1842.
29. Белов В.И. Теория фазовых измерительных систем. — Томск: ТАСУР,
1994. — 144 с.
30. Поваляев А.А. Об оценке максимального правдоподобия в многошкаль-
ном измерительном устройстве // Радиотехника и электроника. — 1976. —
Т. 21, № 5.
31. Поваляев А.А. Вычисление характеристик качества и синтез много-
шкальных измерительных устройств, осуществляющих построение оценки
максимального правдоподобия // Радиотехника и электроника. — 1978. —
Т. 23, № 1. — С. 48.
32. Собцов Н.В. К задаче регрессии при неоднозначных измерениях //
Радиотехника и электроника. — 1978. — Т. 23, № 6. — С. 1303.
33. Пензин В.К. Алгоритмы оперативной обработки многошкальных изме-
рений по критерию максимального правдоподобия // Радиотехника и элект-
роника. — 1990. — Т. 35, № 1. — С. 97.
246
Литература
34. Пензин В.К. Синтез структуры многошкальных многопараметрических
систем // Радиотехника и электроника. — 1990. — Т. 35, № 11.
35. Цветное В.В. Статистические свойства сигналов и помех в двухканаль-
ных фазовых системах // Радиотехника. — 1957. — Т. 12, № 5.
36. Цветнов В.В. Безусловные статистические характеристики разности
фаз двух гауссовых случайных процессов / / Радиотехника и электроника. —
1969. — Т. 14, № 1. — С. 49.
37. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.:
Сов. радио. — Книга 1. — 1974. — 550 с.; Книга 2. — 1975 г. — 391 с.
38. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. — М.: Радио и связь, 1983.
— 320 с..
39. Кендэл В.Б. Однозначное и точное измерение углов интерферометри-
ческой системой // Зарубежная радиоэлектроника. — 1966. — № 6. — С. 36.
40. Borgiotti C.V. Maximum Theoretical Angular Accuracy of Planar and
linear Arrays of Sensors // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic
Sistems. — 1977, March.
41. Herbstreit J. W., Thompson M. S. Measurment of the phase of radio
waves reseived over transmission path with electrical lengths variing as a
result of atmospheric turbulense // Pros. IRE. — 1955. — V. 43, No 10. —
P. 1391.
42. Стоцкий A.A. О флуктуационных характеристиках тропосферы Земли
// Изв. вузов СССР. Радиофизика. — 1973. — Т. 16, № 5.
43. Janes Н.В. Correlation of the Phase of Microwave Signals on the Same
Line-of-Sight Path of Different Frequensies // IEE Trans., Ant. And Prop., 1963.
— V. AP—11, № 6. — P. 716.
44. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. —
М.: Наука, 1967. — 548 с.
45. Рытов С.М., Кравцов В.А., Татарский В.И. Введение в статистическую
радиофизику. Часть 2: Случайные поля. — М.: Наука, 1978.
46. Рукина АН. Одновременные исследования метеорологических условий
в пунктах, разнесенных на 100 километров // Радиотехника и электроника.
— 1980. — Т. 25, № 2. — С. 407.
47. Семенов А.А., Арсеньян Т.Н. Флуктуации электромагнитных волн на
приземных трассах. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
48. Deam А.Р., Fanning B.N. Phase-difference Variations in 9350 М/с radio
Signals Arriving at Spaced Antennas // Pros. IRE. — 1955. — V. 43, No 10.
49. Мень A.B., Горбач В.И., Брауде С.Я. Влияние поверхности раздела на
флуктуации радиоволн, распространяющихся в неоднородной среде // Из-
вестия вузов СССР. Радиофизика. — 1959. — Т. 2, вып. 3. — С. 388.
50. Басс Ф.Г., Брауде С.Я., Канер Э.А., Мень А.В. Флуктуации электромаг-
нитной волны в тропосфере при наличии поверхности раздела // Успехи
физических наук. — 1961. — Т. 28, № 1. — С. 89.
51. Мень А.В. Спектральные характеристики флуктуаций разности фаз /
/Радиотехника. — 1968. — Т. 18, № 7.
52. Киселев ОН., Короткова В.М. и др. Экспериментальные исследования
медленных флуктуаций амплитуды и фазы 10-см радиоволн на приземных
трассах. Известия вузов СССР. Радиофизика. — 1969. — Т. 12, № 1. — С. 9.
247
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
53. Урковитц Г. Функция угловой неоднозначности дискретно-непрерыв-
ной решетки // Труды института радиоинженеров. — 1963. — Т. 51, № 12. —
С. 1745.
54. Нортон, Воглер, Мансфилд, Шорт. Вероятностное распределение сум-
марной амплитуды постоянного вектора и вектора, распределенного по зако-
ну Релея //В кн.: Вопросы дальней связи на УКВ. — М.: Сов. радио, 1957. —
С. 161.
55. Калинин А.И., Троицкий В.Н., Шур А.А. Исследование дальнего тро-
посферного распространения УКВ // В кн. Распространение радиоволн. —
М.: Наука, 1975. — С. 127.
56. Шур А.А. Характеристики сигнала на тропосферных радиолиниях. —
М.: Связь, 1972.
57. Полищук Ю.М., Рыбаков Б.С. Экспериментальное исследование пара-
метров статистической гауссовой модели поля сантиметровых волн за гори-
зонтом // Радиотехника и электроника. —1972. — Т. 17, № 6. — С. 1191.
58. Полищук Ю.М. Пространственно-временная структура случайных элек-
тромагнитных полей при распространении в тропосфере. — Томск, Изд-во
ТГУ, 1975. — 92 с.
59. Кловский Д.Д. Передача дискретных сообщений по раиоканалам. — М.:
Связь, 1969. — 252 с.
60. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерент-
ный прием сигналов. — М.: Сов. радио, 1975. — 704 с.
61. Красненко Н.П., Полещук Ю.М. Влияние неравномерности распределе-
ния фазы некогерентной составляющей УКВ на точность угломерных систем
// Известия вузов СССР. Радиоэлектроника. — 1976. — Т. 19, № 4. — С. 104.
62. Курикша А.А. Об оптимальном использовании пространственно-
временных сигналов // Радиотехника и электроника. — 1963. — Т. 8, № 4.
63. Фалькович С.Е. Оценка параметров сигнала. — М.: Сов. радио, 1970.
— 335 с.
64. Фалькович С.Е. Прием радиолокационных сигналов на фоне флуктуа-
ционных помех. — М.: Сов. радио, 1961. — 308 с.
65. Сверлинг П. Максимальная точность определения угловых координат
импульсной радиолокационной станцией // Вопросы радиолокационной тех-
ники. — 1957. — № 2 (38). — С. 3.
66. Бреннан Л.Б. Точность измерения угловых координат радиолокатором
с антенной в виде фазированной решетки // Зарубежная радиоэлектроника.
— 1962. — № 1. — С. 17.
67. Гуткин Л.С. Потенциальная точность измерения в одноканальных и
многоканальных измерителях параметров сигнала // Радиотехника. — 1964,
№ 3. — С. 3; № 4. — С. 19.
68. Урковитц Г. Точность оценки угловых координат в радиолокации и
гидролокации по методу максимального правдоподобия // Зарубежная ра-
диоэлектроника. — 1964. — № 10. — С. 19.
69. Урковитц Г., Хауэр К., Коваль Д. Обобщенная разрешающая способ-
ность радиолокационных систем // Труды института радиоинженеров. —
1962. — Т. 50, № 10. — С. 2126.
70. Grimm Н.Н. Noise Computation in Array Antenna ReseivingSistems //
Microwave Yournal. — 1963. — V. 6, № 6. — P. 86.
248
Литература
71. Антенные решетки /Пер. с англ, под ред. Л.С. Бененнсона. — М.: Сов.
радио, 1996. — 366 с.
72. Глазов Г.Н., Глазов Гр.Н., Красненко Н.П. Потенциальная точность пе-
ленгования антенными решетками // Изв. вузов. Радиоэлектроника. — 1974.
— Т. 17, № 10. — С. 46.
73. Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. —
М.: Сов. радио, 1971. — 415 с.
74. Антонов А.Е., Демин В.П., Ильченко Ю.В. Оценка параметров с помо-
щью двухшкальной измерительной системы // Радиотехника и электроника.
— 1976. — Т. 21, № 6. — С. 1242.
75. Антонов А.Е., Демин В.П., Ильченко Ю.В. Оценка параметров с помо-
щью многошкальной измерительной системы // Радиотехника и электрони-
ка. — 1976. — Т. 21, № 8. — С. 1638.
76. Башаринов А.Е., Акиндинов В.В. Об оптимальных параметрах много-
шкальных измерительных систем // Радиотехника и электроника. — 1968. —
Т. 8, № 1. — С. 3.
77. Тотенбаум М.М., Созиев А.С. К вопросу о точности двухшкальных из-
мерительных систем // Радиотехника и электроника. — 1968. — Т. 13, № 9.
— С. 1591.
78. Тетнев Г.С. К вопросу о выборе параметров многошкальных измери-
тельных систем // Радиотехника и электроника. — 1965. — Т. 10, № 9. —
С. 1710.
79. Лернер В.Л. Оптимальная обработка результатов многошкальных из-
мерений // В кн.: 5 конференция по теории кодирования и передачи инфор-
мации. — Москва-Горький, 1972. — С. 80.
80. Щеголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. — М.: Физмат-
гиз, 1962.
81. Денисов В.П., Лиготский А.В. Потенциальная точность многобазового
фазового пеленгатора, работающего по флуктуирующим сигналам // Извес-
тия вузов. Радиоэлектроника. — 1976. — Т. 19, № 9.
82. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной
неопределенности и адаптация информационных систем. — М.: Сов. радио,
1977. — 432 с.
83. Денисов В.П. О потенциальной точности фазового пеленгатора с антен-
ной системой в виде линейной решетки / / Радиотехника и электроника. —
1978. — Т. 25, № 8. — С. 1631.
84. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1965. — 432 с.
85. Уилкс С. Математическая статистика / Перевод с англ. — М.: Наука,
1967. — 652 с.
86. Денисов В.П. Максимально правдоподобное разрешение неоднозначно-
сти многошкальных фазовых измерений // Известия вузов. Радиоэлектрони-
ка. — 1977. — Т. 20, № 7. — С. 63.
87. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обра-
ботки наблюдений. — М.: Физматгиз, 1962. — 349 с.
88. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные про-
странства. — М.: Наука, 1969. — 432 с.
89. Неплохое И.Г. Устройство разрешения многозначности фазовых изме-
рений: А.с.993146 СССР Ц Б.И. 1983, № 4. — С. 227.
249
В.П. Денисов, Д.В. Дубинин
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
90. Харкевич А.А. Борьба с помехами. — М.: Наука, 1965. — 275 с.
91. Конвей Д., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Книга 1 /
Перевод с англ. — М.: Мир, 1990. — 413 с.
92. Денисов В.П., Сластион В.В. Развитие метода устранения неоднознач-
ности многошкальных фазовых измерений на основе принципа максимально-
го правдоподобия // Известия вузов. Радиоэлектроника. — 1990. — Т. 33,
№ 11. — С. 3.
93. Смирнов Н.В., Большее Л.Н. Таблицы для вычисления функции дву-
мерного нормального распределения. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. — 204 с.
94. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. — М.-Л., ГИТТЛ, 1950. —
428 с.
95. Денисов В.П. Методы приближенного расчета вероятности правильно-
го устранения неоднозначности в многошкальных фазовых измерительных
системах // Радиотехника и электроника. — 1980. — Т. 25, № 11. — С. 2323.
96. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. — М.: Наука, 1968. — 720 с.
97. Болыпев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. —
М.: Наука, 1965. — 474 с.
98. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1977.
— 342 с.
99. Денисов В.П. Анализ квазиоптимального алгоритма устранения
неоднозначности в многошкальной фазовой измерительной системе// Радио-
техника и электроника. — 1995. — Т. 40, № 4. — С. 591.
100. Бенин В.И., Шолупов Е.И., Кожевников В.А., Хаймович И.В. Санти-
метровые системы посадки самолетов. — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с.
101. Радиоинтерферометр. Патент Великобритании N1337099, МКИ
G01S 3/48.
102. Шестакова Н.А. СВЧ-система инструментальной посадки самолетов
// Зарубежная радиоэлектроника. — 1988. — № 12. — С. 3.
103. Гришин Ю.П., Демьяненко В.Л., Казаринов Ю.М., Пономарев Б.В.
Обработка сигналов в РТС посадки с учетом влияния переотражений от
местных предметов // Зарубежная радиоэлектроника. — 1988. — № 12. — С. 3.
104. Кинкулькин М.Е., Рубцов В.Д., Фабрик М.А. Фазовый метод опреде-
ления координат. — М.: Сов. радио, 1979.
105. Байрашевский А.М., Быков Ю.И., Никитенко Ю.И., Полотанцев В.А.
Радионавигационные приборы. — М.: Транспорт, 1996.
106. Денисов В.П. Анализ аналогового метода обработки многошкальных
фазовых измерений //Радиотехника и электроника. — 1982. — Т. 27, №9. —
С. 1842.
107. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 с.
108. Белов В.И. О выборе периодов и длительности импульсов шкал при
устранении неоднозначности в многоканальной фазовой измерительной сис-
теме // Радиотехника и электроника. — 1978. — Т. 23, № 10. — С. 2225.
109. Kaufman F.G., Lynch D.W. Spase Surveillance Sistem with instantaneous
resolutions of multiple cycle phase ambiguity. — US Patent N 3,217,326; 1965.
110. Денисов В.П. Вероятностные характеристики одного способа обработ-
ки многошкальных фазовых измерений // Радиотехника и электроника. —
1982. — Т. 27, № 10. — С. 2167.
250
Литература
111. Вартанесян В.А., Гойхман Э.Ш., Рогаткин М.И. Радиопеленгация. —
М.: Воениздат, 1966. — 248 с.
112. Цветнов В.В. Пороговая чувствительность фазовых пеленгаторов //
Радиотехника. — 1962. — Т. 17, № 3. — С. 48.
113. Маркум Д. Статистическая теория обнаружения целей импульсной
радиолокационной станцией / / Зарубежная радиоэлектроника. — 1960. —
№ 10. — С. 11.
114. Справочник по радиолокации. Т. 1 / Под ред. М.И. Сколника. — М.:
Сов. радио, 1976.
115. Сканирующие антенные системы СВЧ. Т. 3 / Пер. с англ. Под ред.
Г.Т. Маркова и А.Ф. Чаплина. — М.: Сов. радио, 1971. — 463 с.
116. Хургин Я.Н., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. —
М.: Наука, 1971.
117. Шоу Е., Девис Д. Теоретические и экспериментальные исследования
разрешающей способности мультипликативных и аддитивных антенных ре-
шеток // Зарубежная радиоэлектроника. — 1965. —- № 11. — С. 103.
118. Девис Д.Е., Лонгстаф И.Д. Некоторые новые результаты исследований
разрешающей способности линейной антенной решетки по угловым коорди-
натам // Зарубежная радиоэлектроника. — 1967. — № 8. — С. 26.
119. Рышков С.С., Барановский Е.П. Классические методы теории решет-
чатых упаковок // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, вып. 4. —
С. 3.
120. Белов В.И., Денисов В.П. Оптимизация антенных структур фазовых
пеленгаторов по критерию минимума вероятности аномальной ошибки //
Радиотехника и электроника. —1990. — Т. 35, № 3. — С. 521.
121. Армизонов А.Н., Денисов В.П. Применение метода максимального прав-
доподобия к обработке сигналов в фазовых пеленгаторах с плоскими антен-
ными решетками // Радиотехника и электроника. — 1995. — Т. 40, № 5. —
С. 727.
122. Резников Г.Б. Антенны летательных аппаратов. — М., 1967.
123. Воскресенский Д.И., Пономарев Л.И., Филиппов В.С. Выпуклые скани-
рующие антенны. — М.: Сов. радио, 1978. — 301 с.
124. Чаплин А.Ф. Анализ и синтез антенных решеток. —.Львов: Вища
школа, 1987. — 178 с.
125. Ветлужский А.Ю., Ломухин Ю.Л., Михайлова О.Т. Эффект прозрачно-
сти объемных решеток // Радиотехника и электроника. —-1998. — Т. 43, № 7.
— С. 797.
126. Гуткин Л.С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокуп-
ности показателей качества. — М.: Сов. радио, 1975. — 386 с.
251
Научное издание
Денисов Вадим Прокопьевич
Дубинин Дмитрий Владимирович
ФАЗОВЫЕ РАДИОПЕЛЕНГАТОРЫ
Монография
Редактор Н.Н. Чернышева
Технический редактор Н.С. Голикова
Корректор Л.И. Кирпиченко
Подписано в печать 14.11.02. Формат 70x108/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Гарнитура Journal.
Усл. печ. л. 21,96. Учет.-изд. л. 22,80. Тираж 300. Заказ № 3848.
Издано в Томском государственном университете систем управления
и радиоэлектроники. 634050, Томск, пр. Ленина, 40.
Отпечатано в ОГУП «Асиновская типография»,
г. Асино, ул. Проектная, 22.