9 785799 640675

ОСНОВЫ
КРИСТАЛЛОГРАФИИ
ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ

Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

ОСНОВЫ
КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета для студентов вуза,
обучающихся по направлениям подготовки
22.03.01 — Материаловедение и технологии материалов,
22.03.02 — Металлургия

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2025

УДК 548(075.8)
ББК 22.37я73
О-75
Авторы:
К. И. Луговая, И. В. Нарыгина, Д. Ю. Распосиенко, А. В. Корелин
Рецензенты:
М. П. Кащенко, проф., д-р физ.-мат. наук, завкафедрой общей физики Уральского государственного лесотехнического университета;
Ю. Н. Горностырев, д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник
лаборатории цветных сплавов Института физики металлов имени
М. Н. Михеева УрО РАН;
Научный редактор — д-р техн. наук, проф. А. А. Попов
На обложке использовано изображение с сайта www.freepik.com.

Основы кристаллографии : учебное пособие / К. И. Луговая,
О-75 И. В. Нарыгина, Д. Ю. Распосиенко, А. В. Корелин ; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Уральский федеральный университет. — Екатеринбург :
Изд-во Урал. ун-та, 2025. — 208 с. — ISBN 978‑5‑7996‑4067‑5. —
Текст : непосредственный.
ISBN 978‑5‑7996‑4067‑5
В учебном пособии приводятся основы классической кристаллографии, включающие понятие кристаллического состояния вещества,
его описание с помощью метода кристаллографического индицирования, учение о симметрии (как внешней формы, так и внутренней
структуры), а также характеристика основных типов структур.
Учебное пособие предназначено для студентов, бакалавров, магистров и аспирантов металлургического профиля, изучающих общие и специальные курсы кристаллографии.
Библиогр.: 36 назв. Рис. 125. Табл. 26.

УДК 548(075.8)
ББК 22.37я73

ISBN 978-5-7996-4067‑5

© Уральский федеральный
университет, 2025

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение........................................................................................... 7
1. Кристаллическое состояние........................................................ 9
1.1. Понятие о кристалле........................................................ 9
1.2. Свой­ства кристаллов...................................................... 12
Симметрия кристаллов............................................................. 13
Огранка кристаллов.................................................................. 14
Однородность кристаллов........................................................ 16
Анизотропия............................................................................. 17

1.3. Монокристаллы и поликристаллы................................ 18
1.4. Методы исследования кристаллов................................. 20
Вопросы для самопроверки к главе 1...................................... 24
2. Структура кристалла и пространственная решетка.
Метод кристаллографического индицирования........................ 25
2.1. Структура кристалла
и пространственная решетка.......................................... 25
2.2. Метод кристаллографического индицирования.
Индицирование узлов, направлений и плоскостей
в трехосной системе координат..................................... 33
Символы узлов в трехосной системе координат...................... 34
Символы направлений в трехосной системе координат............36
Символы плоскостей в трехосной системе координат............. 37

2.3.

Понятие семейства и совокупности семейств плоскостей,
семейства и совокупности семейств направлений.............. 42
3

Оглавление

2.4.

Метод кристаллографического индицирования.
Индицирование узлов, направлений и плоскостей
в четырехосной системе................................................. 46
Символы плоскостей в четырехосной системе
координат для кристаллов гексагональной
и тригональной сингоний......................................................... 47
Символы направлений в четырехосной
системе координат для кристаллов гексагональной
и тригональной сингоний......................................................... 48

2.5. Понятие зоны. Ось зоны. Закон зон.............................. 50
Вопросы для самопроверки к главе 2...................................... 51
3. Обратная решетка..................................................................... 53
Построение Эвальда, или сфера отражения............................ 56
Применение обратной решетки............................................... 58

Вопросы для самопроверки к главе 3...................................... 59
4. Кристаллографические проекции.............................................. 60
4.1. Сферическая проекция.................................................. 62
4.2. Стереографическая проекция........................................ 64
4.3. Гномостереографическая проекция.............................. 67
4.4. Гномоническая проекция.............................................. 69
Вопросы для самопроверки к главе 4...................................... 70
5. Геометрическая кристаллография............................................. 71
5.1. Операции и элементы симметрии................................. 72
Операции и элементы симметрии I-го рода............................ 72
Операции и элементы симметрии II-го рода........................... 79

5.2.
5.3.

Теоремы о сочетании преобразований
симметрии (элементов симметрии)............................... 82
Кристаллографические категории, сингонии
и системы координат. Классы симметрии.................... 88
Кристаллографические категории........................................... 88
Сингонии. Системы координат................................................ 90
Классы симметрии (точечные группы симметрии — ТГС)........ 96

4

Оглавление

5.4.

Вывод и описание классов симметрии (ТГС)
средней категории. Формы кристаллов......................... 99
5.5. Основные формулы структурной
кристаллографии...........................................................121
Вопросы для самопроверки к главе 5.....................................122
6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)........124
6.1. Элементы симметрии кристаллических структур........124
Трансляция...............................................................................124
Плоскость скользящего отражения.........................................126
Клиноплоскость.......................................................................129
Алмазная плоскость.................................................................130
Винтовые оси симметрии........................................................132

6.2.
6.3.

Плоские (двумерные) сетки (решетки). Элементарная
и примитивная ячейки. Решетки Браве..........................135
Симметрия структуры кристаллов................................148
Полное количество атомов, приходящихся
на элементарные ячейки Браве кубической сингонии..........148
Примитивные ячейки ГЦК- и ОЦК-структур........................150

6.4.
6.5.
6.6.

Трансляционная группа................................................151
Базис ячейки..................................................................156
Координационные сферы, радиусы координационных
сфер, координационные числа, координационные
многогранники................................................................158
6.7. Плотнейшие шаровые упаковки (ПШУ)......................162
6.8. Поры в кристаллах.........................................................168
Вопросы для самопроверки к главе 6.....................................171
7. Основные типы структур..........................................................173
7.1. Структурный тип меди (А1)..........................................174
7.2. Структурный тип вольфрама W (А2)............................178
7.3. Структурный тип магния (А3)......................................181
7.4. Структурный тип алмаза (А4).......................................186
7.5. Структурный тип NaCl (В1)..........................................188
5

Оглавление

7.6.
7.7.

Структурный тип CsCl (В2)...........................................190
Сверхструктуры.............................................................192
Сверхструктура Cu3Au (L12).....................................................192

7.8. Сверхструктура CuAu (L10)............................................194
Вопросы для самопроверки к главе 7.....................................196
8. Твердые растворы....................................................................197
8.1. Твердые растворы внедрения........................................198
8.2. Твердые растворы замещения.......................................199
Вопросы для самопроверки к главе 8.....................................201
Список библиографических ссылок..............................................202

6

ВВЕДЕНИЕ

Кристаллография используется в минералогии, материаловедении, физике твердого тела, химии и молекулярной биологии. Методы кристаллографии позволяют устанавливать атомное строение металлов и сплавов, минералов, неорганических
и органических соединений.
Кристаллография — наука о кристаллах, их структуре (внешней форме и кристаллической структуре), возникновении и свой­
ствах [1]. Самостоятельно эта наука оформилась в XVII–XVIII вв.,
когда были найдены основные законы огранки кристаллов и открыто явление преломления в них света. Достаточно долго кристаллография неразрывно была связана с минералогией — наукой о минералах.
Современная кристаллография состоит из нескольких самостоятельных разделов:
‒ теория симметрии, которая занимается описанием важнейшего свой­ства кристаллов — симметрии;
‒ геометрической кристаллографии — устанавливает связь
между симметрией кристалла и его огранкой;
‒ структурная кристаллография занимается исследованием внутреннего строения кристаллов методами дифракционного анализа;
‒ кристаллохимия устанавливает связь между природой
химической связи в кристалле и его структурой;
‒ кристаллофизика изучает физические и другие свой­ства
кристаллов, рассматривает вопросы фазовых переходов
в кристаллах;
7

Введение

‒ теория дефектов занимается изучением несовершенств
кристаллических веществ [2].
Последние три из указанных разделов кристаллографии
можно изучать независимо друг от друга, но все они базируются на первых трех разделах (теория симметрии, геометрическая
кристаллография и структурная кристаллография) классической
кристаллографии, без знания которых невозможно не только
рациональное изложение кристаллохимии, кристаллофизики
и теории дефектов кристаллического строения, но и понимание теории термической обработки, теории фазовых и структурных превращений в металлических материалах.

8

1
КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ
СОСТОЯНИЕ

В природе существует два предельных состояния дискретной материи: хаос и идеальный кристалл. Все остальные состояния — промежуточные между этими двумя. Поскольку абсолютный хаос описать невозможно, то отправным пунктом строгих
теорий может быть только идеальный кристалл [3].

1.1.

Понятие о кристалле

Кристаллами (от греч. κρύσταλλος — лед) называют твердые тела, обладающие упорядоченной трехмерной атомно-­
периодической структурой и способные при определенных условиях
само­ограняться (принимать в процессе роста форму многогранника или полиэдра (от греч. «поли» — много, «эдра» — грань) [2].
В зависимости от своей природы они бывают: природными, синтетическими, кристаллами неорганических веществ,
кристаллами органических веществ, кристаллами полимерных
веществ, жидкими кристаллами, кристаллами биологического
происхождения (рис. 1.1).
Если вещество при определенных внешних условиях переходит из аморфной фазы (газ, жидкость или стеклообразное состояние) в кристаллическую фазу (рис. 1.2), то расположение
составляющих его частиц (атомов, ионов или молекул) становится упорядоченным, т. е. закономерным: система приходит
9

1. Кристаллическое состояние

к минимуму свободной энергии при данных условиях. Закономерность расположения частиц, их природа, энергетический
спектр, а также силы связи между ними будут определять физические свой­ства кристалла [4].
а

б

г

д

в

е

Рис. 1.1. Различные по природе кристаллы 1:
а — природные кристаллы кварца (горный хрусталь);
б — природные кристаллы изумруда; в — природные
кристаллы топаза; г — кристалл полиэтилена; д — кристалл
белка лизоцима; е — кристаллы вирусов табака
твердое вещество (кристалл)
жидкость

газ

Рис. 1.2. Различные агрегатные
состояния вещества [2]
1

10

Природные кристаллы // Яндекс картинки. URL: https://clck.ru/3PQ8Ce
(дата обращения: 01.08.2025).

1.1. Понятие о кристалле

Закономерность и симметрия структуры кристалла являются следствием динамического равновесия многих сил или
процессов. Внешние воздействия, например, такие, как электрическое или магнитное поле, механическое усилие или добавление чужеродных атомов в кристалл, могут приводить к нарушению этого динамического равновесия и, соответственно,
менять свой­ства кристалла. Это открывает широкие возможности управления свой­ствами кристаллов, используемые в современной технике [2; 5].
Кристаллические структуры — это системы с дальним порядком. Дальний порядок — это упорядоченность (закономерность) во взаимном расположении атомов или молекул в веществе, повторяющаяся на неограниченно больших расстояниях
и сохраняющаяся сколь угодно длительное время при неизменности внешних условий (рис. 1.3, а) [6].
Эту закономерность можно определить качественно и количественно. Например, если атом B в представленной кубической кристаллической структуре находится от атома A на расстоянии а, то атом C от атома A — на расстоянии a 2 , а атом
D от атома A — на расстоянии a 3 . Таким образом, расстояние
между любыми двумя атомами кристаллической решетки с периодом а можно выразить конкретной цифрой (рис. 1.4).
а

б

в

Рис. 1.3. Взаимное расположение атомов в веществе
в твердом и аморфном состояниях:
а — макрообъем с дальним порядком;
б, в — микрообъемы с ближним порядком
(на в дополнительно выделены более темным цветом)

11

1. Кристаллическое состояние

С
D

а
а

а

А

В

Рис. 1.4. Закономерность во взаимном
расположении атомов

Жидкости и аморфные сплавы не обладают дальним порядком и характеризуются наличием только ближнего порядка (рис. 1.3, б, в).
Ближним порядком считают упорядоченность во взаимном
расположении атомов или молекул в веществе, которая (в отличие от дальнего порядка) повторяется лишь на расстояниях,
соизмеримых с расстояниями между атомами, т. е. ближний порядок — это наличие закономерности в расположении соседних
атомов или молекул (подобное кристаллу) в микрообъемах вещества (на рис. 1.3, в, микрообъемы с ближним порядком выделены более темным цветом) [7].
При этом в кристаллическом состоянии при наличии дальнего порядка всегда присутствует и ближний порядок.

1.2. Свой­ства кристаллов
Как в природе, так и в лабораторных условиях кристаллы
растут в виде правильных многогранников с плоскими гранями
и прямыми ребрами (рис. 1.5, а). Отличительная особенность
кристаллов — это симметрия и правильность внешней формы
природных кристаллических многогранников [2].
В лабораторных условиях могут быть выращены немногогранные кристаллы, и затем из них могут быть вырезаны какие‑либо пластинки, стержни или линзы (рис. 1.5, б).
12

1.2. Свой­ства кристаллов

а

б

Рис. 1.5. Кристаллы лейкосапфира 2:
а — природные; б — выращенные в лабораторных условиях

При этом свой­ства выращенных в лабораторных условиях
кристаллов не будут отличаться от природных: симметрия их
структуры и свой­ств будет сохранятся, а внешняя форма не будет оказывать на них влияния.
Симметрия кристаллов

Огранка кристаллов в форме правильных геометрических
многогранников указывает на симметрию кристаллов. Симметрия — это свой­ство объекта совмещаться с самим собой
в результате преобразований симметрии (поворотов вокруг
осей симметрии, отражений относительно плоскостей симметрии) [2].
Например, кристалл, имеющий форму додекаэдра (правильного многогранника, составленного из двенадцати равносторонних пятиугольников), имеет 15 плоскостей симметрии.
Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через середину противоположного ребра и вершину. Для примера на рис. 1.6, а показаны 2 из 15 возможных плоскостей симметрии додекаэдра.
2

Кристаллы лейкосапфира // Яндекс картинки. URL: https://clck.
ru/3PQCko (дата обращения: 01.08.2025).

13

1. Кристаллическое состояние

а

б

Рис. 1.6. Элементы симметрии геометрических тел:
а — плоскости симметрии додекаэдра 3;
б — ось симметрии тетрагональной пирамиды

Например, кристалл, имеющий форму пирамиды (рис. 1.6, б),
имеет ось симметрии, проходящую через центр его основания
и противоположную основанию вершину. При повороте вокруг
этой оси на угол 90° многогранник будет всегда полностью совмещаться сам с собой.
Огранка кристаллов

Кристаллы, обладающие трехмерной периодически упорядоченной атомной структурой, имеют вследствие этого форму правильных многогранников или можно сказать, что они огранены.
Во время роста кристалла его частицы выстраиваются в закономерные и симметричные ряды, сетки, решетки. Грани кристаллических многогранников представляют собой плоскости,
составленные из материальных частиц. В свою очередь, ребра
кристалла — это линии пересечения этих плоскостей (ряды материальных частиц). При этом центры масс этих частиц образуют плоские сетки и ряды решетки [2].
Рост кристалла происходит таким образом, что частицы
кристаллизующегося вещества «отлагаются» на его гранях. Нарастание этих граней происходит так, что они располагаются
параллельно самим себе (рис. 1.7).
3

14

Симметрия в пространстве — презентация по Геометрии // Mungfali :
[сайт]. URL: https://clck.ru/3PQCvw (дата обращения: 05.08.2025).

1.2. Свой­ства кристаллов

Рис. 1.7. Схема параллельного нарастания
граней кристалла (в разрезе)

В процессе роста изменяются площади граней и их форма, какие‑то грани могут вытесняться соседними и зарастать,
но при этом взаимный наклон граней сохраняется [8; 9]. В связи с этим и углы между гранями во время роста кристалла тоже
остаются постоянными.
Опыт показывает, что если поместить обломок или пластинку из кристалла в раствор или расплав того же вещества и дать
им возможность свободно расти, то опять вырастет кристалл
в форме правильного, симметричного многогранника [2; 5; 10].
Кристаллы одного и того же вещества, в зависимости
от внешних условий, в процессе роста могут иметь отличающуюся друг от друга форму (рис. 1.8).
а

б

в

г

Рис. 1.8. Различные формы кристаллов кальцита 4:
а, б — ромбоэдрическая; в, г — скаленоэдрическая
4

Элементы ограничения кристаллов // Studfiles: файловый архив студентов :
[сайт]. URL: https://clck.ru/3PQDH6 (дата обращения: 05.08.2025).

15

1. Кристаллическое состояние

Форма кристалла зависит от условий кристаллизации (температуры, скорости, давления и пр.). Однако кристаллографы
установили, на первый взгляд, в высшей степени поразительный факт: в кристаллах одного вещества углы между соответственными гранями всегда одинаковы (закон постоянства углов,
открытый Николаем Стеноном в 1669 г.) [11].
Что понимают под соответственными гранями?
В геометрии грани считаются равными, если они при наложении друг на друга совпадают всеми своими точками.
Но в кристаллографии равенство граней рассматривается другим образом. Грани могут быть различны по форме и все‑таки
считаться равными, если они обладают одинаковыми физическими и химическими свой­ствами [12]. На рис. 1.9 кристаллографически равные грани закрашены одинаково.

Рис. 1.9. Изображение кристаллографически равных граней
в разных по форме кристаллах кварца [13]

Итак, не форма кристаллов, не размер граней, а угол между
ними является определенной величиной для каждого кристалла.
Однородность кристаллов

Наличие в кристаллах дальнего порядка определяет свой­
ство однородности кристаллических веществ. Под однородностью понимают, что в каком бы месте ни вырезали одинаково
ориентированный микрообъем определенного размера и формы (рис. 1.10, микрообъемы А и А*), он будет всегда обладать
идентичной структурой и свой­ствами.
16

1.2. Свой­ства кристаллов

А*

х+х´

х´

А

х

Рис. 1.10. Графическое изображение свой­ства
однородности микрообъемов А и А* [14]

Из экспериментальных данных известно, что в кристаллах
металлов такие микрообъемы могут отстоять друг от друга всего лишь на несколько десятых долей нанометра [2].
Анизотропия

Анизотропия — это зависимость свой­ств (физических, механических и т. д.) вещества от направления [15].
Вдоль разных кристаллографических направлений (например, рис. 1.11, вдоль направлений u, v, w и t) могут меняться
межатомные расстояния, а также соседи (т. е. меняется сила
меж­атомного взаимодействия). Это дает существенную разницу в свой­ствах вдоль различных направлений.

u

v

w

t
Рис. 1.11. Схема двумерного кристалла
17

1. Кристаллическое состояние

Стоит отметить, что анизотропия кристаллов также всегда
тесно связана с симметрией.
Анизотропия выражена ярче у кристаллов, обладающих
более низкой симметрией. В самой наименьшей степени анизотропия выражена у кубических кристаллов [2].

1.3. Монокристаллы и поликристаллы
Кристаллические вещества делятся на монокристаллические и поликристаллические (рис. 1.12).
Монокристалл — отдельный однородный кристалл, имеющий непрерывную кристаллическую решетку (рис. 1.13, а) [16].
В случае монокристаллов выполняются все вышеприведенные
положения (симметрия, огранка, анизотропия, однородность).
Поликристалл — конгломерат сросшихся монокристаллов
вещества (рис. 1.13, б, в) [17]. Монокристаллы в поликристаллическом объекте называют зернами.
а

б

Рис. 1.12. Природные моно- и поликристаллы 5:
а — монокристалл алмаза; б — поликристалл аметиста

5

18

Кристаллы // Яндекс картинки. URL: https://yandex.ru/images/
search?from=tabbar&text=кристаллы (дата обращения: 01.08.2025).

1.3. Монокристаллы и поликристаллы

а

б

в

Рис. 1.13. Кристаллическая решетка моно- и поликристаллов:
а — монокристалл (схема); б — поликристалл (схема);
в — структура поликристаллического титанового сплава,
наблюдаемая с помощью оптического микроскопа

В силу «случайного» взаимного расположения монокристаллов (зерен) в поликристаллическом объекте соседние зерна становятся взаимно разориентированы друг относительно
друга на несколько градусов (рис. 1.14).
Граница зерен — это поверхность, с двух сторон от которой
кристаллические решетки различаются своей пространственной
ориентацией (рис. 1.14). Граница между зернами — особый переходный слой шириной до 10 межатомных расстояний, обычно с неупорядоченным расположением атомов.



Рис. 1.14. Схема строения границ зерен
в поликристаллическом материале 6

6

Линейные дефекты // Studfiles: файловый архив студентов : [сайт]. URL:
https://studfile.net/preview/9791435/page:6 (дата обращения: 01.08.2025).

19

1. Кристаллическое состояние

У поликристаллических объектов в силу «случайной» взаимной ориентировки соседних кристаллитов (монокристаллов)
практически подавляется свой­ство анизотропии. Поликристаллы считают изотропными (квазиизотропными).
Поликристалл может проявлять анизотропию свой­ств в тех
случаях, когда в результате внешних воздействий (пластической деформации, термического поля, электромагнитного поля
и др.) в поликристаллическом материале формируется текстура (рис. 1.15).
а

б
действие
пластической
деформации

Рис. 1.15. Формирование текстуры в поликристаллическом
металле при действии пластической деформации:
а — зерна разориентированы;
б — преимущественная ориентировка зерен

Под текстурой понимают преимущественную ориентировку
зерен (монокристаллов) в поликристаллическом материале [18].

1.4. Методы исследования кристаллов
До открытия явления дифракции рентгеновских лучей
на кристаллах вещества характеризовали и классифицировали только по углам между их гранями [19]. Основным методом
диагностики кристаллических веществ было измерение углов
между гранями с помощью специального прибора — гониометра (рис. 1.16).
Прикладной гониометр обычно применялся для исследования достаточно крупных монокристаллов (рис. 1.16, а).
20

1.4. Методы исследования кристаллов

а

б

Рис. 1.16. Гониометры:
а — прикладной 7; б — отражательный

Более точные измерения могут быть выполнены отражательным гониометром (рис. 1.16, б). Пучок света, идущий от источника S, попадает на грань кристалла, отражается и входит в зрительную трубку Т. Затем кристалл медленно поворачивают. При
повороте кристалла на определенный угол α пучок света вновь
попадает в зрительную трубу Т. По шкале D гониометра отсчитывают угол между гранями (θ). Измерив углы между гранями неизвестного кристалла (θ1, θ2, θ3, …), можно по специальному каталогу определить, к какому веществу относится кристалл [2; 9].
Основным недостатком метода является использование достаточно большого кристалла с правильной внешней огранкой
(неразрушенного).
В 1912 г. М. Лауэ с помощью дифракции рентгеновских лучей доказал, что кристаллы имеют решетчатое строение. Поскольку длины волн рентгеновского излучения (λ ~ 10–10 м) соизмеримы с межатомными расстояниями в кристаллических
структурах, то кристаллы являются природными дифракционными решетками. На основе этого явления был разработан метод рентгеноструктурного анализа.
Если пучок монохроматических рентгеновских лучей S (обладающий одной длиной волны λ, одинаковой амплитудой и частотой) направить на семейство параллельных атомных плоскостей
7

Измерение гранных углов кристаллов. Гониометры // StudRef : [сайт].
URL: https://clck.ru/3PQFGB (дата обращения: 05.08.2025).

21

1. Кристаллическое состояние

кристалла под углом θ (рис. 1.17), то часть волны падающего пучка рентгеновских лучей будет рассеиваться на атомах верхней
плоскости — лучи S′, а другая часть лучей будет дифрагировать
(огибать атомы верхнего слоя атомов, проникать вглубь вещества,
рассеиваться на атомах внутренних плоскостей) — лучи S′′ [20].

S

S


d

О



S

 

В

А
C

Рис. 1.17. Схема выполнения условия Вульфа — Брэгга [20]

Дифракция — явление, наблюдаемое при прохождении волн
мимо края препятствия, связанное с отклонением волн от прямолинейного распространения при взаимодействии с препятствием [21].
Показатель преломления всех веществ для рентгеновских
лучей равен 1 (n = 1). Пучок рассеянных лучей S′ и пучок дифрагированных лучей S′′ способны интерферировать.
Интерференция — постоянное во времени явление взаимного усиления и ослабления колебаний в разных точках среды
в результате наложения когерентных волн.
Если согласно условию интерференции разность хода δ между ними равна целому числу длин волн, то дифрагированные
и отраженные лучи взаимно усиливают друг друга, т. е. δ = nλ
(n = 1, 2, 3, …) [19].
Из рис. 1.17 видно, что разность хода между рассеянными S′
и дифрагированным S′′ лучами равна: δ = AC + CB. Рассматривая
треугольники ΔАОС и ΔВОС, нетрудно увидеть, что они подобны, а значит АС = СВ, тем самым δ = 2AC. Кроме того, поскольку
ΔАОС является прямоугольным, то АС = OC ⋅ sin θ = d ⋅ sin θ. Тогда δ = 2AC = 2ОС ⋅ sin θ = 2d ⋅ sin θ.
22

1.4. Методы исследования кристаллов

Таким образом, чтобы волны, рассеянные двумя соседними
плоскими сетками (а значит, и всем семейством параллельных
плоских сеток атомов), дали максимум интенсивности, необходимо выполнение основного закона дифракции рентгеновских
лучей в кристаллах:
2d ⋅ sin θ = nλ.
Это равенство выражает условие Вульфа — Брэгга [2; 20].
Иначе говоря, если луч с длиной волны λ падает на совокупность параллельных атомных плоскостей, отстоящих друг
от друга на расстоянии d, то он порождает дифрагированный
луч, идущий так, как шел бы луч, отраженный под углом θ. Таким образом, при определенных углах падения плоские сетки
в структуре кристалла могут «отражать» рентгеновские лучи.
Эти отражения (точнее, максимумы интенсивности дифрагированных лучей) можно зарегистрировать [2].
Например, максимумы интенсивности дифрагированных
лучей можно зарегистрировать в рентгеновской камере с помощью ионизационного спектрометра на фотографической пластинке (рис. 1.18, а).
а

б

Рис. 1.18. Регистрация дифрагированных на кристалле
рентгеновских лучей с помощью ионизационного
спектрометра и дифрактометра:
а — рентгенограмма кристалла топаза 8; б — дифрактограмма
кристаллического вещества с примитивной ячейкой
8

Китайгородский А. И. Кристаллы. М. ; Л. : Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950. 64 с.

23

1. Кристаллическое состояние

Узор, зафиксированный на рентгенограмме (каждая точка
соответствует отражению дифрагированных лучей от какой‑либо
конкретной плоскости кристалла), отображает симметрию и закономерность структуры кристалла. Это дает возможность измерять расстояния между атомными плоскостями и углы между
ними, которые являются углами между гранями кристаллов [19].
Максимумы интенсивности дифрагированных лучей можно
зарегистрировать в дифрактометре с помощью различных типов
счетчиков (сцинтилляционных, пропорциональных, полупроводниковых). В этом случае информация фиксируется не на фотографическую пластинку в виде точечных рефлексов, а в виде
угловой зависимости положения дифракционных максимумов
(рис. 1.18, б) на бумаге или в электронном файле. Каждый пик
на дифрактограмме соответствует отражению рентгеновских
лучей, направленных на кристалл под углом θ, от какой‑либо
плоскости в изучаемом кристалле.
На основании условия Вульфа — Брэгга по полученным рентгенограммам и дифрактограммам могут быть изучены структуры
кристаллов, найдены их межплоскостные расстояния d.

Вопросы для самопроверки к главе 1
1. Что такое кристаллы? Каким порядком они обладают — дальним или ближним?
2. Перечислите основные свой­ства кристаллов.
3. Назовите главные отличия поликристаллов от монокристаллов.
4. Какими основными методами изучения кристаллов
пользуются ученые на сегодняшний день?
5. Какими методами можно исследовать внешнюю форму кристаллов? Какими методами можно изучить внутреннее
строение кристаллов?

24

2
СТРУКТУРА КРИСТАЛЛА
И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА.
МЕТОД КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОГО
ИНДИЦИРОВАНИЯ

В реальных кристаллах закономерное чередование частиц
может быть незначительно нарушено из-за их теплового движения, возбуждения заряженных частиц, а также ряда других
причин. В дальнейшем при изучении кристаллографии рассматривается идеальный кристалл, а дефекты и нарушения кристаллического строения не учитываются [2].

2.1. Структура кристалла
и пространственная решетка
Кристалл считается идеальным, если в его структуре отсутствуют нарушения, все частицы одного сорта расположены одинаковыми параллельными рядами, которые могут быть представлены бесконечными.
Расстояния между частицами в большинстве кристаллических веществ составляют несколько десятых долей нанометра, поэтому даже на длине в 1 мм в кристалле располагается ~107 частиц, что можно считать практически бесконечным
числом [5; 4].

25

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Рассмотрев ряд материальных частиц (атомов, молекул, ионов или пр.), получим: элементарная трансляция (период идентичности, период трансляции или параметр ряда) — это кратчайшее из возможных расстояний между одинаковыми точками
в ряду (рис. 2.1).

а

а
Рис. 2.1. Симметричный бесконечный
ряд

с кратчайшей трансляцией a

Чтобы получить из одной заданной точки бесконечный ряд

одинаковых точек с элементарной трансляцией a , ее необходимо сдвинуть:
1) через равные расстояния (т. е. на а, 2а, 3а, …, nа);
2) вдоль определенного заданного направления.
Трансляция — симметричное преобразование, с помощью
которого точка повторяется в пространстве (сдвигается) (преобразование с помощью трансляции) [2; 5].
Преобразование с помощью трансляции всегда характе
ризуется трансляционным вектором a (т. е. сдвиг точки производится вдоль определенного направления и на определенную длину).
Одинаковые материальные точки, которые связаны между

собой элементарными трансляциями � a в бесконечном ряду, —
узлы ряда. Узлы могут и не совпадать с материальными частицами вещества и в этом случае представляют собой одинаковые точки между частицами (рис. 2.1).
Повторяя одинаковые точки с помощью другой трансляции, непараллельной первой (рис. 2.2), получим двумерную
плоскую сетку, которая полностью определена двумя элемен

тарными трансляциями a и b [13].
26

2.1. Структура кристалла и пространственная решетка

а
b
Рис. 2.2. Двумерная сетка, построенная


на двух трансляциях a и b [14]

Плоскую сетку можно определить любой парой основных


трансляций a� и b , не лежащих на одной прямой. Выбор такой пары основных параметров плоской сетки неоднозначен,
но принято выбирать элементарные трансляции и именно те,
которые лучше всего отражают симметрию сетки [2; 22].
Ячейки сетки представляют собой параллелограммы, вершины которых являются узлами (рис. 2.3).
Повторяя любую из ячеек сетки с помощью трансляций,
на которых она построена, мы получим двумерную плоскую
сетку, заполняющую всю плоскость без промежутков.
Чтобы однозначно описать плоскую двумерную сетку, вводится понятие элементарной ячейки.
Правила выбора элементарной ячейки [13]:
1) ячейка должна наилучшим образом отражать симметрию сетки;
2) ячейка должна иметь прямые углы, если это возможно
(или близкие к 90°);
3) ячейка должна обладать наименьшей площадью.

Рис. 2.3. Различные ячейки плоской
двумерной сетки [13]
27

2. Структура кристалла и пространственная решетка

При этом принято следующее: первый пункт правила важнее второго, второй пункт важнее третьего.
Рассмотрим пример выбора элементарной ячейки в плоской двумерной сетке (рис. 2.4).
2

1

3

5
m
m

6

4

Рис. 2.4. К выбору элементарной ячейки

Схематично прямыми с символами m обозначены линии
пересечения плоскостей симметрии, перпендикулярные к плоской сетке атомов (перпендикулярные к плоскости чертежа).
Относительно них плоская сетка атомов отражается зеркально.
1. Ячейка должна наилучшим образом отражать симметрию сетки. Из приведенных ячеек (рис. 2.4) ячейка 1 не удовлетворяет требованию симметрии (она относительно плоскостей симметрии m не зеркальна); фигура 3 вообще не является
ячейкой, т. к. ячейка по определению — это параллелограмм.
Ячейки 2, 4, 5 и 6 удовлетворяют первому пункту правила выбора элементарной ячейки.
2. Ячейка должна иметь прямые углы, если это возможно (или близкие к 90°). Ячейки 2 и 4 не имеют прямых углов
(рис. 2.4). Эти ячейки из приведенных неэлементарные. Ячейки 5 и 6 удовлетворяют второму (и первому тоже) пункту правила выбора элементарных ячеек.
28

2.1. Структура кристалла и пространственная решетка

3. Ячейка должна обладать наименьшей площадью. Ячейки 5 и 6 отражают симметрию всего кристалла, имеют углы
по 90°. При этом из них минимальной площадью обладает ячейка 6. Ячейка 5 имеет вдвое большую площадь. Значит,
ячейка 6 и является элементарной.
Примитивная ячейка — это ячейка, внутри которой отсутствуют узлы. Каждый узел, который находится в вершине примитивной ячейки, принадлежит одновременно четырем смежным ячейкам, что означает: на данную ячейку приходится один
полный узел. Примитивную ячейку можно выбрать по-разному, но все площади примитивных ячеек одинаковы, независимо от формы ячеек [2].
На рис. 2.5, а, показано, что выделенные ячейки внутри
не имеют узлов, в целом на них приходится один полный узел
(доли узлов, лежащие во внутренней области каждой из ячеек,
окрашены темным цветом; их общая площадь на ячейку будет равна площади одного целого узла), значит, эти ячейки примитивные.
Равенство площадей примитивных ячеек можно доказать равенством суммы площадей треугольников, которыми их можно представить (рис. 2.5, б, одинаковые треугольники выделены одинаковым цветом).
Площадь, приходящаяся на один узел, есть величина постоянная для данной сетки.
а

б

Рис. 2.5. Примитивные ячейки плоской сетки:
а — доли узлов, лежащие во внутренней области ячеек;
б — равенство площадей ячеек
29

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Ретикулярная плотность сетки — число узлов, приходящееся на единицу площади сетки [5].
Если теперь к произвольной точке приложить три трансля 

ции — a , � b и c ,� — не лежащие в одной плоскости (т. е. некомпланарные) (рис. 2.6, а), и повторить ее бесконечно в пространстве, то в конечном итоге получаем пространственную решетку
(рис. 2.6, б), а именно: трехмерную систему узлов, эквивалентных друг другу [13].
а

б
Z

Z

а
X

с

b

Y

Y
X

Рис. 2.6. Построение пространственной решетки [2]:
а — три трансляции, приложенные к произвольной точке;
б — трехмерная система узлов

Основная тройка трансляций, или трансляционная группа
  
(a, � b и c ), может быть выбрана по-разному, но общепринято выбирать кратчайшие расстояния трансляции, которые соответствуют симметрии решетки и по возможности образуют между
собой прямые углы (как для плоской сетки).
Полученный путем такого построения на трех элементар  
ных трансляциях — a, � b и c — параллелепипед называется элементарным параллелепипедом (ячейкой) (рис. 2.7) [2].
Элементарная ячейка пространственной решетки может
быть характеризована шестью параметрами:
‒ длинами трех ребер: а, b, c;
‒ тремя углами между этими ребрами: α, β, γ (в общем случае: а ≠ b ≠ c и α ≠ β ≠ γ≠ 90°).
30

2.1. Структура кристалла и пространственная решетка

Z
с




а



b
Y

X
Рис. 2.7. Элементарная ячейка
пространственной решетки [13]

Пространственную решетку можно рассматривать так же,
как систему параллельных элементарных ячеек, которые касаются друг друга целыми гранями и заполняют пространство без
промежутков. Как и в плоской сетке, объем примитивной пространственной ячейки не зависит от ее формы и является величиной постоянной для данной решетки; он равен объему, приходящемуся на один узел [2; 4].
Если мы будем рассматривать трехмерную кристаллическую
решетку, то за ребра этой элементарной ячейки (элементарные
трансляции) будут приниматься те направления пространственной решетки, в которых периоды трансляции будут наименьшими и наилучшим образом отражать симметрию решетки.
Если, исходя из соображений симметрии, представляется возможным, то предпочтительно выбираются взаимно перпендикулярные трансляции и (или) так, чтобы периоды элементарных трансляций были равны друг другу.
Выбор основных трансляций в структуре кристалла является
достаточно важным, поскольку ими в дальнейшем будут определяться кристаллографические системы координат.
Когда в структуре определена элементарная ячейка, то кристаллографические оси координат (X, Y, Z) направляют вдоль
ребер элементарной ячейки кристалла, а масштабные отрезки
по осям координат приравнивают к длинам этих ребер.
31

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Такой выбор кристаллографической системы координат
дает возможность провести разделение кристаллов на сингонии (Вейсс, 1814 г.). В сингонию объединяются кристаллы,
у которых одинакова симметрия элементарных ячеек их структур и одинакова кристаллографическая система координат [5].
Пространственная решетка — представляет собой бесконечное трехмерное периодическое образование (геометрическое
построение), с помощью которого в кристаллическом пространстве выявляются одинаковые точки [23]. Узел пространственной решетки необязательно должен соответствовать атому или
материальной точке. Представленная сетка (рис. 2.8) точно отражает и повторяет симметрию узора, вне зависимости от того,
приложен ли ее исходный узел к точке, являющейся основой
узора (рис. 2.8, а), или к пустому пространству (рис. 2.8, б).
Если узел приложен к точке (рис. 2.8, а), мы встретим такую же точку на месте каждого узла сетки. Если узел попадает
в промежуток (рис. 2.8, б), он отмечает повторяемость одинаковых промежутков [5].
Этот пример точно иллюстрирует различие между такими
важными фундаментальными понятиями, как кристаллическая
структура и пространственная решетка кристалла.
Структура кристалла — это конкретное расположение частиц в пространстве.
а

б

Рис. 2.8. Построение пространственной решетки:
а — узел пространственной решетки совмещен с атомом
(материальной точкой); б — узел пространственной решетки
не совмещен с атомом (материальной точкой)
32

2.2. Метод кристаллографического индицирования

Пространственная решетка — это способ представления
периодичности повторения в пространстве отдельных материальных частиц или групп частиц (или пустых мест между частицами). Узел плоской сетки или пространственной решетки
необязательно отождествлять с атомом, ионом или иной частицей; также не следует отождествлять пространственную решетку с кристаллической структурой.
Принципиальное различие между структурой кристалла и пространственной решеткой не всегда осознается четко,
т. к. в большинстве случаев и структуру, и решетку невольно отождествляют с теми моделями из шариков и проволочек, которыми принято иллюстрировать расположение частиц в кристаллах.
Также стоит отметить, что кристаллическая структура является физической реальностью, а пространственная решетка при этом только лишь геометрическое построение, которое
помогает выявить существующие законы симметрии или наборы симметричных преобразований кристаллической структуры [2; 5; 13].

2.2. Метод кристаллографического
индицирования. Индицирование
узлов, направлений и плоскостей
в трехосной системе координат
Любую вершину кристалла всегда можно охарактеризовать определенным узлом, ребро кристалла — направлением,
а грань — плоскостью.
Метод кристаллографического индицирования применяется для описания кристаллических многогранников и структур.
Он является удобным для всех возможных кристаллографических систем координат, независимо от того, прямоугольны они
или косоугольны, а также не завит от одинаковости масштабных отрезков по осям координат.
33

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Символы узлов в трехосной системе координат

Если один из узлов решетки выбрать за начало координат,
то
любой
другой узел решетки определяется радиусом-­вектором

R , так что:




R  ma  nb  pc ,
где m, n, p — три числа, которые называют индексами данного
узла [2; 4; 13].
Символ узла — это совокупность чисел m, n, p, которые последовательно записаны в двой­ных квадратных скобках [[m n p]].
Эти числа в символе записываются подряд, без запятых, но читаются порознь. Запятые могут ставиться лишь в тех случаях,
когда индекс двузначен (трехзначен и т. д.). Знак «–» всегда пишется над конкретной цифрой. Дробные индексы записываются простыми правильными дробями (когда значения меньше 1) и неправильными дробями (когда значения больше 1) [2].
Узел, выбранный за начало координат, имеет символ [[000]].
Некоторые примеры индицирования узлов кристаллических многогранников приведены на рис. 2.9.
Так, если один из узлов решетки косоугольной призмы выбрать за начало координат (рис. 2.9, а, этот узел обозначен символом [[000]]), оси координат X, Y, Z вдоль трансляционных
 

векторов a , b и c соответственно, то выделенный
узел решет
ки определится радиусом-­вектором R , проведенным в этот
узел из начала координат. Если вектор R выразить через сумму трансляционных векторов (а иначе, чтобы прийти от узла
[[000]] в выбранный узел необходимо передвигаться от [[000]]
параллельно осям координат по пунктирной траектории),
 
 
то R  1a  2b  1c . Индексами выбранного узла будут являться
числа 1, 2, 1. А его символ запишется как [[121]] (рис. 2.9, а).
Символы узлов могут иметь дробные значения. Так,
на рис. 2.9, б, выделенный узел косоугольной призмы может

 1 3 
быть описан радиусом-­вектором R , равным R  a  b  1c .
2
2
34

2.2. Метод кристаллографического индицирования

Следовательно, первые два индекса выбранного узла будут дроб1 3
ными , , третий же индекс будет целочисленным и равным 1.
2 2
13
А его символ запишется как [[ 1]] (рис. 2.9, б).
22
Принцип индицирования узлов в гексагональной призме
будет аналогичным (рис. 2.9, в, г).
Узел, выделенный на рис. 2.9, в, опишется радиусом
   
вектором R , равным R  1a  1b  1c . А значит, индексы узла
запишем как 1, 1, 1 и присвоим этому узлу символ [[111]].
а

б
Z

Z
[[121]]

c
R

[[000]]

[[000]]

Y

b

a

R

c

Y

b

a

X

X

в

г

Z

𝟐𝟐

[[111]]

c

a

X

Z

𝟏𝟏

[[ 𝟏𝟏𝟏𝟏]]

R

R

b

a

Y

c

b

Y

X

Рис. 2.9. Примеры индицирования узлов
кристаллических многогранников:
а, б — в косоульной призме; в, г — в гексагональной призме
35

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Узел, выделенный на рис. 2.9, г, опишется радиусом-­


1  
вектором R, равным R   a  1b  1c . Первый индекс узла бу2
дет принимать дробное значение, кроме того, первые два индекса будут отрицательными, и знак «–» будет записываться
1
над цифрами. Значит, индексы узла запишем как , 1, 1 и при2
1
своим этому узлу символ [[ 11 ]] (рис. 2.9, г).
2
 

Трансляционные векторы a , b и c приходят в узлы с символами [[100]], [[010]] и [[001]] соответственно.
Символы направлений
в трехосной системе координат

Символ направления [uvw], записанный в одних квадратных
скобках, совпадает с символом ближайшего от начала координат узла, лежащего на этом направлении, приведенный к целочисленным значениям (т. е. недробным значениям, не имеющим общего делителя). При этом если направление проходит
не через начало координат, то необходимо перенести его мысленно параллельно самому себе так, чтобы оно проходило через начало координат (или за начало координат обозначить любой узел, лежащий на этом направлении).
Таким образом, существует следующий порядок для определения индексов направления [uvw]:
1) любой узел, лежащий на направлении, выбрать за начало координат;
2) двигаясь вдоль этого направления, найти ближайший
от начала координат узел и определить его индексы
m, n, p;
3) привести индексы m, n, p к целым числам и записать их
в одинарных квадратных скобках [2; 13].
Разберем индицирование направлений в кристаллических
многогранниках на следующих примерах (рис. 2.10).
36

2.2. Метод кристаллографического индицирования

а
Z

б

[[

Z

[𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏]

R
𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝟐𝟐

𝟐𝟐]]

c
c
[[000]]

a

X

b

Y

a

X

b
𝟏𝟏

[[ 𝟏𝟏𝟏𝟏]]

R

𝟐𝟐

Y
[𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐]

Рис. 2.10. Примеры индицирования направлений
кристаллических многогранников:
а — в косоугольной призме; б — в гексагональной призме


В косоугольной призме (рис. 2.10, а) направление R (опи 1 1 
сываемое радиусом-­вектором, равным R  a  b  2c ) прохо2
2
дит через ближайший от начала координат и лежащий на этом
11
2]]. Индексы этого узла необходимо принаправлении узел [[
22
вести к целочисленным значениям (избавиться от дробных значений можно, помножив каждое из чисел на 2). Следовательно, индексами указанного направления R будут являться
числа 1, 1, 4, а символ направления запишется как [114].
В гексагональной
призме, приведенной на рис. 2.10, б, на
правление R (описываемое радиусом-­в ектором, равным
 1 

R  a  1b  0c ) проходит через ближайший от начала коорди2
1
нат и лежащий на этом направлении узел [[ 10 ]]. Для того что2
бы привести индексы этого узла к целочисленным значениям,
37

2. Структура кристалла и пространственная решетка

помножим каждое из чисел
 на 2. Следовательно, индексами
указанного направления R будут являться числа 1, 2, 0, а символ направления запишется как [120].
Осям координат OX, OY, OZ соответствуют символы направлений [100], [010], [001].
Символы плоскостей
в трехосной системе координат

Возьмем некую плоскость кристаллической решетки, пересекающую все три оси координат и отсекающую на них
  
отрезки sa , db , f c [24]. Например, согласно рис. 2.11, плоскость А пересекает все три оси координат и отсекает по осям

3 
отрезки a , 2b и 1c , а плоскость В отсекает по осям отрезки
2
 

3a , 4b � и 2c .
Отношение между числами s : d : f характеризует наклон этой
плоскости к осям координат. Это отношение для любой плоскости можно выразить отношением целых взаимно простых
чисел p : q : r, называемых параметрами Вейсса [2].
Например, для плоскости А (рис. 2.11) отношение s : d : f, рав1
ное
: 2 : 1, можно выразить (домножив на 2, чтобы избавиться
2
Z
В

с
a

b

А
Y

X

Рис. 2.11. Определение символов плоскостей
38

2.2. Метод кристаллографического индицирования

от знаменателя) отношением целых взаимно простых чисел p : q : r
как 3 : 4 : 2 — это параметры Вейсса; для плоскости В (рис. 2.11) отношение отрезков s : d : f, отсекаемых по осям координат, уже выражено отношением целых взаимно простых чисел p : q : r, а именно — 3 : 4 : 2 — параметрами Вейсса. Все параллельные плоскости
характеризуются идентичными параметрами Вейсса!
Однако в кристаллографии плоскости принято характеризовать не параметрами Вейсса, а индексами Миллера — h, k, l.
Индексы Миллера — это величины, обратные параметрам
Вейсса, приведенные к целым числам [24]. Таким образом, если
параметры плоскости p, q, r, то индексы Миллера h, k, l определяются из соотношения:
1 1 1
: : = h : k : l.
p q r
Индексы Миллера, написанные подряд и заключенные
в круглые скобки (hkl), называют символом плоскости. В нашем
примере для плоскости А и плоскости В (рис. 2.11) — h : k : l =
1 1 1
= : : . Приведя эти дроби к целочисленным значениям (до3 4 2
множив дроби на 12), получим соотношение 4 : 3 : 6. Значит,
символы приведенных плоскостей А и В запишутся как (436).
Символом (hkl) характеризуется вся совокупность параллельных плоскостей [2].
Порядок определения индексов плоскости (hkl):
1) за начало координат выбрать любой узел вне плоскости;
2) определить отрезки, которые отсекает плоскость по осям
координат;
3) найти к этим отрезкам обратные величины;
4) привести их к целочисленным значениям и заключить
в круглые скобки [13].
Рассмотрим некоторые примеры определения индексов плоскостей в кристаллах (рис. 2.12–2.14).
Определим индексы заштрихованной на рис. 2.12 плоскости в кристалле с кубической ячейкой.
39

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Z
1

[[000]]
X

2

Y

2

Рис. 2.12. Пример индицирования заштрихованной
плоскости в кубическом кристалле

Для этого воспользуемся порядком определения индексов
плоскости, приведенным выше:
1) за начало координат выбрали узел, лежащий вне плоскости. Вдоль ребер куба (параллельно осям четвертого
порядка) провели оси координат X, Y, Z;
2) плоскость отсекает по осям координат X, Y, Z отрезки 2,
2 и 1 соответственно. Это параметры Вейсса;
1 1 1
3) найдем к ним обратные величины: : : . Приведем эти
2 2 1
величины к целым числам путем умножения на общий
знаменатель (домножим на 2). Получим значения 1 : 1 : 2;
4) заключим числа в круглые скобки — (112);
5) итого: символ заштрихованной на рис. 2.12 плоскости — (112).
Определим индексы заштрихованной на рис. 2.13 плоскости в кристалле с кубической ячейкой.
Для этого:
1) за начало координат выбрали узел, лежащий вне плоскости. Вдоль ребер куба (параллельно осям четвертого
порядка) провели оси координат X, Y, Z;
2) плоскость отсекает по осям координат X, Y, Z отрезки
1, ∞ и 1 соответственно. Это параметры Вейсса (оси Y
плоскость параллельна, предполагаем, что параллельные фигуры пересекутся в бесконечности);
40

2.2. Метод кристаллографического индицирования

Z
1

∞ Y

[[000]]
X

1

Рис. 2.13. Пример индицирования заштрихованной
плоскости в кубическом кристалле

1 1 1
3) найдем к ним обратные величины: : : = 1 : 0 : 1. Чис1 ∞ 1
ла получились целыми, домножать на общий множитель не нужно;
4) заключим полученные числа в круглые скобки — (101);
5) итого: символ заштрихованной на рис. 2.13 плоскости — (101).
Определим индексы заштрихованной на рис. 2.14 плоскости в кристалле с гексагональной ячейкой.
Z

[[000]]
Y
X

Рис. 2.14. Пример индицирования заштрихованной
плоскости в гексагональном кристалле
41

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Для этого:
1) за начало координат выбрали узел, лежащий вне плоскости. Вдоль главной оси шестого порядка провели
ось Z, оси X, Y направили перпендикулярно оси Z через
вершины основания гексагональной призмы так, чтобы угол между осями X, Y составил 120°;
2) представленная плоскость отсекает по осям координат
1
1
отрезки , –1 и . Это параметры Вейсса;
2
2
1 1 1
3) найдем к ним обратные величины: : : = 2 : –1 : 2.
1 −1 1
2
2
Числа получились целыми, домножать на общий множитель не нужно;
4) заключим числа в круглые скобки — ( 2 12 );
5) итого: символ заштрихованной на рис. 2.14 плоскости — (2 12 ).

2.3. Понятие семейства и совокупности
семейств плоскостей, семейства
и совокупности семейств направлений
Вследствие периодичности кристаллической решетки каждая плоскость имеет очень много параллельных ей плоскостей (рис. 2.15). Кратчайшее расстояние между параллельными
плоскостями, измеренное по нормали к ним, называется межплоскостным расстоянием и обозначается dhkl.
Семейство плоскостей — это несколько параллельных кристаллографических плоскостей, находящихся на равных расстояниях dhkl друг от друга. Для обозначения всего семейства
параллельных плоскостей, как правило, пользуются индексами ближайшей к началу координат плоскости.
 

Вследствие равенства длин трансляций a , b и c в кубической кристаллической решетке можно заметить, что
42

2.3. Понятие семейства и совокупности семейств плоскостей

а

б

в

Z

Z

(100)

Z

Y

Y

Y
(011)

(111)

X

X

X

Рис. 2.15. Различные семейства плоскостей
в кубической решетке:
а — семейство плоскостей (100); б — семейство плоскостей (011);
в — семейство плоскостей (111)

межплоскостное расстояние d для семейств плоскостей (100),

(010) и (001) одинаково (рис. 2.16) и равно длине трансляции a .
Все кристаллографически идентичные семейства плоскостей, т. е. семейства плоскостей с одинаковым межплоскостным расстоянием, образуют совокупность плоскостей, обозначаемую фигурными скобками {hkl}.
Например, в кубе совокупность плоскостей куба {100} содержит шесть кристаллографически идентичных семейств плоскостей: (100), ( 100 ), (010), ( 0 10 ), (001) и ( 00 1 ) [25].
а

б

Z

в

Z

2a

Z

a
a

2a
X

a

Y
(100)

2a

Y

Y

(010)
X

(001)
X

Рис. 2.16. Кристаллографически идентичные семейства
плоскостей в кубической решетке:
а — семейство плоскостей (100); б — семейство плоскостей (010);
в — семейство плоскостей (001)

43

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Если с помощью различных операций симметрии (отражений в плоскости симметрии или поворотов вокруг осей симметрии) повернуть многогранник так, чтобы он совместился сам
с собой, то в этом случае одна из плоскостей (граней) кристалла заменится другой плоскостью (гранью), что является кристаллографической идентичностью плоскостей [14].
Например, если тетрагональную пирамиду (рис. 2.17) поворачивать вокруг вертикальной оси на угол 90°, то ее передняя грань
с индексами (101) совместится с правой боковой гранью с индексами (011). Если совершить еще один поворот, то передняя
грань займет место задней грани с индексами ( 101), при дальнейшем повороте — место левой боковой грани с индексами (0 11).
Всякий раз плоскости семейства (101) замещали плоскости других семейств — (011), ( 101) и (0 11). При этом положение
кристалла при повороте каждый раз совпадало с его начальным
положением, и форма кристалла не изменялась. В этом и заключается кристаллографическая идентичность плоскостей семейств (101), (011), ( 101) и (0 11) — они образуют совокупность
плоскостей {101}.
Z

(101)

90

(011)

(101)

(011)
Y

X

Рис. 2.17. Кристаллографически идентичные семейства
плоскостей в тетрагональной пирамиде
44

2.3. Понятие семейства и совокупности семейств плоскостей

Таким образом, к совокупности кристаллографически
идентичных плоскостей относятся те плоскости кристаллической решетки (многогранника), которые можно получить
из одной плоскости путем действия на нее всех преобразований симметрии, свойственных кристаллической решетке
(многограннику).
Нетрудно заметить, что количество кристаллографически
идентичных плоскостей (семейств плоскостей) для любой совокупности {hkl} равно числу возможных перестановок местами
и знаками индексов, входящих в данную совокупность, не изменяющих величины межплоскостного расстояния с учетом
симметрии кристалла [25].
Т. е. менять друг с другом местами можно те индексы, длины
трансляций по соответствующим осям которых равны. В кристаллах высшей категории (где a = b = c) все три индекса можно
менять местами; в кристаллах средней категории (где a = b ≠ c)
менять местами можно только два первых индекса; в кристаллах низшей категории (где a ≠ b ≠ c) индексы местами не меняются [14].
Аналогично вводится понятие семейства и совокупности семейств направлений. Параллельные кристаллографические направления, вдоль которых узлы кристаллической решетки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 2.18),
образуют семейство направлений, обозначаемое [uvw].

Рис. 2.18. Семейство направлений [ 101]
45

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Все кристаллографически идентичные семейства направлений, т. е. семейства направлений с одинаковым расстоянием
между идентичными узлами кристаллической решетки, образуют совокупность направлений, обозначаемую скобками <uvw>.
Так, например, в кубической сингонии совокупность направлений <110> содержит 12 кристаллографически идентичных семейств направлений: [110],[1 10], [ 110 ],[ 1 10 ], [101],
[ 101], [10 1 ], [ 10 1 ], [011], [0 11], [01 1 ], [0 1 1 ].

2.4. Метод кристаллографического
индицирования. Индицирование
узлов, направлений и плоскостей
в четырехосной системе
В гексагональной и тригональной сингониях индицирование плоскостей имеет некоторые особенности. Рассмотрим боковые плоскости шестигранной призмы (рис. 2.19, а) [4].
а

б

Z

Z

(110)

(010)

(100)

(1100)

(0110)

(1010)

t
120°

X

Y

120°

Y

X

Рис. 2.19. Символы некоторых плоскостей гексагональной
решетки в различных системах координат:
а — трехосной; б — четырехосной
46

2.4. Метод кристаллографического  индицирования

При индицировании в трехосной системе координат передняя грань гексагональной призмы имеет символ (100), боковая
левая (1 10), правая боковая (010) и т. д. (рис. 2.19, а). Эти (обозначенные штриховкой) плоскости принадлежат одной совокупности идентичных плоскостей.
Как было сказано выше (п. 2.3), символы всех идентичных
плоскостей можно получить из символа одной плоскости путем
смены знаков ее индексов (с положительного на отрицательный или наоборот) и перестановок индексов местами (не изменяющих величины межплоскостного расстояния с учетом
симметрии кристалла).
Однако по символам неочевидно, что это идентичные плоскости: из символа плоскости (100) путем перестановок индексов местами и смены у них знаков невозможно получить символ
плоскости (1 10). В связи с этим, для гексагональной и тригональной сингонии рассматривается система координат из четырех осей, и индицирование проводится обычно в четырехосной системе координат.
Символы плоскостей в четырехосной
системе координат для кристаллов
гексагональной и тригональной сингоний

В гексагональной сингонии система координат из четырех
осей описывается вертикальной осью Z и тремя горизонтальными осями X, Y, t, параллельными ребрам оснований и составляющими друг с другом угол 120° (рис. 2.20).
Любая плоскость в четырехосной системе координат характеризуется индексами (hkil), где возникающий третий индекс
i соответствует оси координат t. При этом необходимо учитывать, что индекс i не является независимым, он определяется
значениями индексов h и k и может быть вычислен по формуле: i = −(h + k) [26]. Также может встречаться и запись, в которой индексом i пренебрегают, а на его место ставят в символе
плоскости только точку: (hk.l).

47

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Z

t

120°

Y

X

Рис. 2.20. Расположение осей координат
в гексагональном кристалле в трехосной системе [14]

В четырехосной системе координат индексы рассматриваемых на рис. 2.19, а, боковых граней шестигранной призмы будут (10 10) для передней грани, (1 100 ) для левой боковой грани и ( 01 10 ) для правой боковой грани (рис. 2.19, б). Индексы
указывают, что плоскости принадлежат к одной совокупности,
и их индексы можно получить перестановкой и сменой знака
первых трех индексов [26].
Символы направлений в четырехосной
системе координат для кристаллов
гексагональной и тригональной сингоний

Если направление в четырехосной системе координат выразить
через индексы r1, r2, r3, r4, то для перехода от символа направления
[uvw], выраженного в трехосной системе координат, к символу направления [r1r2r3r4] в четырехосной системе координат используют следующие соотношения:
r1 = 2u − v; r2 = 2v − u; r3 = −u − v; r4 = 3w.
Между индексами направления r1, r2, r3 существует простое
соотношение: r3 = −(r1 + r2), которое напоминает аналогичное
48

2.4. Метод кристаллографического индицирования

соотношение между индексами плоскостей (напомним: если символ плоскости в четырехосной системе координат выражен как
(hkil), то i = −(h + k)).
На рис. 2.21 представлены некоторые направления в гексагональном кристалле, выраженные в трехосной системе координат.
А на рис. 2.22 приведены эти же направления в четырехосной системе координат, рассчитанные с помощью вышеприведенных
формул.

Рис. 2.21. Индицирование
направлений в гексагональном
кристалле в трехмерной
системе координат

Рис. 2.22. Индицирование
направлений в гексагональном
кристалле в четырехмерной
системе координат

Так, направление ОА проходит через ближайший от начала
координат и лежащий на этом направлении узел А с символом
1
[[01 ]], указанным для трехосной системы координат (рис. 2.21).
2
Чтобы узнать символ направления ОА, необходимо индексы узла
А привести к целочисленным значениям (помножив каждое
из чисел индексов на 2). Тогда символ направления ОА запишется как [021].
Для перевода символа направления ОА из трехосной системы
координат в четырехосную с помощью соотношений r1 = 2u − v;
r2 = 2v − u; r3 = −u − v; r4 = 3w получим, что r1 = 2 ⋅ 0 − 2 = − 2;
49

2. Структура кристалла и пространственная решетка

r2 = 2 ⋅ 2 − 0 = 4; r3 = −u − v = −0 − 2 = − 2; r4 = 3w = 3 ⋅ 1 = 3. Таким образом, символ направления ОА в четырехосной системе координат запишется как [ 2423] (рис. 2.22).
Символ направления ОB [0 11] из трехосной системы координат (рис. 2.21) перейдет (при помощи соотношений r1 = 2u − v =
=2 ⋅ 0 − (−1) = 1; r2 = 2v − u = 2 ⋅ (−1) − 0 = −2; r3 = −u − v = −0 − (−1) = 1;
r4 = 3w = 3 ⋅ 1 = 3) в символ [1213] четырехосной системы координат (рис. 2.22).
Символ направления ОС [1 10] из трехосной системы координат (рис. 2.21) перейдет (при помощи соотношений r1 = 2u − v =
= 2 ⋅ 1 − (−1) = 3; r2 = 2v − u = 2 ⋅ (−1) − 1 = −3; r3 = −u − v = −1 − (−1) = 0;
r4 = 3w = 3 ⋅ 0 = 0) в символ [3300], но если индексы содержат общий множитель, то на него принято сократить. Таким образом,
символ направления ОС в четырехосной системе координат запишется как [1 100] (рис. 2.22).
Для обратного перехода применяют аналогичные отношения:
r
2r  r
r  2r2
u 1 2, v  1
, w= 4.
3
3
3
В четырехосной системе координат осям координат OX, OY,
OZ соответствуют символы направлений [2 1 10], [ 12 10], [0001].

2.5. Понятие зоны. Ось зоны. Закон зон
Семейство плоскостей, имеющих общую прямую, называют кристаллографической зоной, а общую прямую — осью
зоны (рис. 2.23) [13].
Например, на рис. 2.23 плоскости семейств (h1k1l1) и (h2k2l2)
входят в одну кристаллографическую зону с осью зоны [uvw], т. е.
направление [uvw] лежит как в плоскости (h1k1l1), так и в плоскости (h2k2l2). Если направление [uvw] лежит в плоскости (hkl),
то соблюдается следующее уравнение, называемое законом зон:
hu + kv + lw = 0.
50

Понятие зоны. Ось зоны. Закон зон

[uvw]
(h1k1l1)

(h2k2l2)

Рис. 2.23. Изображение оси зоны [13]

Значит, для рис. 2.23 соблюдаются следующие два уравнения:
h1u + k1v + l1w = 0
и
h2u + k2v + l2w = 0.
Если для исследователя стоит задача найти по известным
символам пересекающихся плоскостей (h1k1l1) и (h2k2l2) ось зоны
(т. е. направление, по которому они пересекаются), можно воспользоваться следующими формулами:
u = k1l2 − k2l1;
v = l1h2 − l2h1;
w = h1k2 − h2k1.
Ценность закона зон заключается в том, что он позволяет,
зная четыре плоскости (грани) или четыре направления (ребра)
кристалла (из которых никакие три не пересекаются в параллельных направлениях (ребрах), т. е. плоскостях (гранях)), вывести все возможные плоскости (грани) или направления (ребра) кристалла.
51

2. Структура кристалла и пространственная решетка

Вопросы для самопроверки к главе 2
1. Как обозначаются и располагаются оси при индицировании различных кристаллов? Как обозначаются углы между
осями и каково их положение?
2. Покажите положительные и отрицательные положения осей.
3. Расскажите, как правильно проиндицировать узел
в решетке.
4. Какие индексы будут иметь параллельные направления, но разнонаправленные между собой?
5. Какая зависимость между отношениями отсекаемых плоскостью отрезков по осям координат и индексами Миллера?
6. Какие символы будут у граней кристалла, осекающих
1
3
1
по осям координат следующие отрезки: a : 3b : c;� 2a : ∞b : c;
2
4
2
2
5a : b : 2c?
3
7. Какие отрезки по осям координат будут отсекать плоскости кубического кристалла со следующими символами
(432), (156), (301)?
8. Нарисуйте плоскость (1230) в гексагональном кристалле.
9. Объясните термин «ось зоны».
10. Найдите ось зоны для плоскостей (111) и ( 201) кубического кристалла.
11. Перечислите все направления, относящиеся к семейству направлений [210].
12. Перечислите все плоскости, относящиеся к совокупности семейства плоскостей {102} в кубическом кристалле.

52

3
ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА

В структурном анализе наряду с прямой пространственной
решеткой целесообразно рассматривать сопряженную ей или
обратную решетку, т. е. решетку, в которой каждая точка эквивалентна плоской сетке прямой решетки.
Нулевая точка обратной решетки соответствует начальному
узлу кристаллической решетки. Представим себе эту точку как
точку пересечения нормалей ко всем группам плоских сеток (hkl)
кристалла. На нормалях откладываются отрезки, обратно пропорциональные межплоскостным расстояниям сеток dhkl. Конечные
точки всех этих отрезков лежат на прямых или на плоскостях решетки и образуют трехмерную обратную решетку. Существует
следующая зависимость между обратной и прямой решетками:
d * hkl  c 

1
,
dhkl �

где d * — вектор обратной решетки, а с — коэффициент пропорциональности [27].
Осевыми отрезками обратной решетки являются:
1
1
1
a*  c  ; b*  c  ; c *  c  ,
a
b
c
*
а объем элементарной ячейки обратной решетки: V =

1
, где
V

V — объем прямой решетки.
53

3. Обратная решетка

Например, плоскостям зоны [001] ромбического кристалла
должны быть эквивалентны точки обратной решетки Р *hkl, лежащие в обратной решетке на прямых, перпендикулярных соответственным плоскостям кристалла. Это построение наглядно
показано на рис. 3.1, на котором направление [001] перпендикулярно к плоскости рисунка.
Например, точки обратной решетки Р *hkl, эквивалентные
плоским сеткам (210) прямой решетки, лежат на ближайшем
расстоянии d *210 от нулевой точки. Точки обратной решетки Р *420,
соответствующие группе плоских сеток (420) прямой решетки
или отражениям второго порядка от группы плоских сеток (210),
лежат на удвоенном расстоянии от нулевой точки. Точки, эквивалентные отражениям более высоких порядков, удалены

a*
400

420

300

300
220

210
110

b*

030

020

200

030 020

010

100

b

010
600
400
300
200

100

a
Рис. 3.1. Следы плоских сеток зоны [001] ромбической
решетки и узлы соответствующих обратных решеток [27]
54

3. Обратная решетка

на соответствующее n-кратное расстояние от нулевой точки.
Это расстояние равно n-кратной длине обратного вектора [27].
Обратная и прямая (кристаллическая) решетки относятся
всегда к одной и той же кристаллической системе. Трехмерная
обратная решетка ромбического кристалла показана в перспективном изображении на рис. 3.2.
Для общего случая триклинной решетки уравнение Вульфа — Брэгга для обратных осей будет иметь следующий вид (квадратичная форма) [27]:
1
d

2
hkl

 d *2 hkl 

4
 sin 2   h2 a*2  k 2 b*2  l 2 c *2  2klb* c * cos * 
2
2lhc * a* cos *  2hka* b* cos  *

101

100

001

000

101

100

111

110

011

010

111

110

001

Рис. 3.2. Обратная решетка
ромбического кристалла [27]
55

3. Обратная решетка

a* 

b� � c sin 
cos � cos   cos 
, cos * 
V
sin � sin 

b* 

c �� a sin 
cos  � cos   cos 
, cos * 
V
sin  � sin 

c* 

a � b sin 
cos �  cos   cos 
, cos  * 
.
V
sin  � sin 

V  abc  1  2 cos  cos  cos   cos 2   � cos 2 �  cos 2  � — объем
элементарной ячейки.
Обратной к гранецентрированной решетке будет объемноцентрированная решетка. Кубической объемноцентрированной решетке соответствует обратная кубическая гране­
центрированная [2].
Миллеровские индексы системы параллельных плоскостей прямой решетки являются координатами ряда обратной
решетки [2].
Построение Эвальда, или сфера отражения

Обратная решетка пространственно изображает все возможные отражения, возникающие под действием рентгеновских излучений различных длин волн, сфера же отражения
П. П. Эвальда определяет конкретные условия эксперимента.
В условия эксперимента входят:
1) λ — длина волны рентгеновского излучения;

1 1
2) Si — направление первичного луча Si = = ;
x λ

1
3) Sr — направление отраженного луча [Si] = ;
λ
1
4) R = � — радиус сферы;
λ

*
5) d � – обратный вектор отражающих групп плоских сеток
1
с межплоскостным расстоянием d [d *] = ;
d
56

3. Обратная решетка

6) O — выход оси вращения кристалла и вместе с тем нулевая точка обратной решетки;
7) Θ — угол отражения;
8) P * — точка обратной решетки.
Связь между обратной решеткой и построением Эвальда
показана на рис. 3.3.
Из треугольника OMN следует:
sin OMN 

ON
,
OM

кроме того,
OP *

1 OP * 1 1
1
;

 ON ; OM  ;
dhkl
2
2 dhkl


O

b*
N


M

Первичный
пучок

1


1
2𝑑𝑑

P*

a*

Рис. 3.3. Схема сферы отражения Эвальда [27]
57

3. Обратная решетка

1
2d

sin OMN  hkl 
1
2dhkl

или, по аналогии с формулой Вульфа — Брэгга:
2dhkl ⋅ sin∠OMN = λ.
Таким образом, из построения Эвальда видно, что угол между первичным и отраженным лучом равен 2θ.
Отражение от данной плоскости сетки происходит только
тогда, когда выполняется условие Вульфа — Брэгга, и определяется равенством:
2sin  


 
� d * ,
a

т. е. если соответствующий узел обратной решетки лежит на поверхности сферы. С возрастанием λ уменьшается диаметр сферы
отражения до тех пор, пока при очень больших λ он не достигнет наименьшего расстояния между точками обратной решетки. Лучи с такой длиной волны уже не дают отражений [27].
Применение обратной решетки

Преобразовав уравнение Вульфа — Брэгга в виде

1 2
 sin ,
d 

убеждаемся, что (независимо от порядкового числа n) вектор
1
обратной решетки d * =
пропорционален sinθ. Для обратной
d
решетки ромбического кристалла удаление каждой точки обратной решетки P *hkl от нулевой точки определяется равенством:
1
4
 � d *2 hkl �  2  sin   h2 a*2  k 2 b*2  l 2 c *2 .
2
dhkl

58

Вопросы для самопроверки к главе 3

Поскольку обычно λ известна и является величиной постоянной и поскольку по рентгенограмме вращения вдоль оси
соответствующих осей вращения можно определить константы кристаллической решетки а0, b0, c0, а также и sin θ, то легко
произвести и индицирование отражений, рассматривая их как
узлы обратной решетки.
Кроме того, построение Эвальда позволяет получить общее
представление о возможных отражениях при данных условиях
эксперимента. Соответствующие точки обратной решетки Р *hkl
должны лежать на поверхности сферы Эвальда. Поскольку для
структурного анализа требуется максимальное количество отражений, то условия съемки должны соответствовать наиболее
выгодному взаимному положению обратной решетки и сферы
Эвальда. Это достигается поворотом обратной решетки, т. е.
кристалла, по отношению к сфере Эвальда или по отношению
к направлению первичного пучка (рис. 3.3) [27].

Вопросы для самопроверки к главе 3
1. Что такое обратная решетка?
2. Каким образом обратная решетка связана с уравнением Вульфа — Брэгга?
3. Что такое d *hkl?
4. Как связаны между собой d *hkl и dhkl?

59

4
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ
ПРОЕКЦИИ

Согласно закону постоянства гранных углов, характерными
параметрами любого кристаллического вещества являются углы
между гранями [28]. Описание взаимного расположения граней
кристалла, основанное на величине углов между ними, не дает
наглядной картины симметрии кристалла. И только графический
способ описания расположения граней с помощью кристаллографических проекций позволяет выделить грани кристалла (а также направления), связанные элементами симметрии.
При аналитическом описании граней в кристалле важно
фиксировать лишь наклон плоской грани относительно координатных осей, не обращая при этом внимания ни на размеры
грани, ни на расстояние грани от начала координат, ни на форму грани. Любая плоскость и любое направление в кристаллографическом пространстве могут быть мысленно перенесены
параллельно самим себе, в частности, путем такого параллельного переноса можно заменить весь кристалл совокупностью
плоскостей и прямых линий, проходящих через одну точку
в пространстве [4]. Прямой кристаллический комплекс — совокупность плоскостей и прямых, проходящих через одну точку
в пространстве. Например, для кубического кристалла, изображенного на рис. 4.1, а, представлен его кристаллический комплекс (рис. 4.1, б), проходящий через точку О.
В кристаллографии чаще пользуются не углами между гранями, а углами между нормалями к граням, потому что именно эти
60

4. Кристаллографические проекции

углы определяют по гониометрическим измерениям и по рентгенограммам.
Зная углы между нормалями к граням, можно мысленно
заменить кристаллический многогранник его полярным комплексом или совокупностью полупрямых, перпендикулярных
к граням кристалла и проходящих через одну точку О центра
комплекса [2; 4]. Например, для кубического кристалла, изображенного на рис. 4.2, а, построены нормали к его граням
и перенесены параллельно самим себе так, чтобы они проходили через одну точку О, являющуюся центром комплекса. Получен полярный комплекс кубического кристалла (рис. 4.2, б).
а

б

О

О

Рис. 4.1. Пример построения кристаллического
комплекса для кубического кристалла [2]:
а — внешняя форма кристалла;
б — его кристаллический комплекс
а

О

б

О

Рис. 4.2. Пример построения кристаллического
комплекса для кубического кристалла [13]:
а — внешняя форма кристалла с нормалями к его граням;
б — полярный комплекс кристалла
61

4. Кристаллографические проекции

Кроме использования полярного комплекса в кристаллографических проекциях, его применяют в задачах на определение взаимных ориентаций плоскостей и направлений, при индицировании рентгенограмм, при анализе текстур.

4.1. Сферическая проекция
Опишем вокруг точки О (рис. 4.2, б) сферу (рис. 4.3, а). Пересечение нормалей к граням кристалла (направлений) с поверхностью сферы представляет собой сферическую проекцию нормалей граней кристалла (направлений). Полученные
точки на сфере проекций называют полюсами граней. Каждой
из точек сферической проекции соответствует одна из граней
кристалла [2; 4].
Например, к плоскости (01 1) кубического кристалла нормалью является направление [01 1 ] (показано на рис. 4.3, г). Если
его перенести параллельно самому себе в центр сферы проекций, то при пересечении этого направления со сферой проекций образуется точка, обозначенная на рис. 4.3, г, — это и есть
сферическая проекция направления [01 1 ], или сферическая
проекция нормали к плоскости (01 1 ).
Сферическую проекцию кристалла можно строить, не заменяя грани кристалла их нормалями. В этом случае все грани кристалла путем параллельного переноса перемещают в центр сферы проекции и строят следы пересечения этих граней со сферой
проекций (рис. 4.3, б, в). Каждая такая сферическая проекция
представляет собой дугу большого круга (выделены черными
жирными линиями, рис. 4.3, б, в) [4].

62

в

О

O

г

[011]

Рис. 4.3. Сферическая проекция:

O

О

О

б

O

О

а — нормалей к граням кубического кристалла (или направлений);
б — граней кристалла; в — диагональной плоскости (011);
г — диагонального направления [01 1 ]

(011)

О

а

4.1. Сферическая проекция

63

4. Кристаллографические проекции

Сферическая проекция кристалла наглядна, но практика показала, что ее удобнее спроецировать на плоскость, и в таком
случае используется стереографическая и гномостереографическая проекция (реже гномоническая проекция).

4.2. Стереографическая проекция
За плоскость стереографической проекции Q выбираем экваториальную плоскость (рис. 4.4), на нее сфера проекций проецируется в виде круга проекций (заштрихован на рис. 4.4). В одном из полюсов сферы проекций помещается точка зрения S
(«глазная точка») [2].
Чтобы спроецировать прямую ОА (направление ОА), которая
протыкает сферу в точке А (точка А при этом является сферической проекцией направления ОА), необходимо провести линию АS
от полюсной точки А этого направления на сфере проекций до точки зрения S. Точка A пересечения линии АS с кругом проекций и является стереографической проекцией направления ОА (рис. 4.4).
Стереографические проекции направления изображаются
точками внутри круга проекций, причем вертикальное направление проектируется как точка в центре круга проекций, горизонтальное — как два выхода на окружность экватора [4; 28].
Пример построения стереографической проекции направления [111] в кубе представлен на рис. 4.5.

А

О

а

Q

s
Рис. 4.4. Построение стереографической
проекции направления [4]
64

4.2. Стереографическая проекция

а

б

в

[111]
[111]
O

O

[111]

s

(001)

Рис. 4.5. Пример построения стереографической
проекции направления [111] в кубе:
а — направление [111] в кубе; б — направление [111] в сфере
проекций; в — стереографическая проекция направления [111]
на круге проекций (на экваториальной плоскости)

Для того чтобы найти стереографическую проекцию плоскости, например плоскости (011) для куба (рис. 4.6, а), необходимо выполнить параллельный перенос плоскости в центр проекций, а затем продлить плоскость до пересечения ее со сферой
проекций (рис. 4.6, б). В результате пересечения на сфере получается дуга большого круга mnp.
После соединения всех точек этой дуги большого круга mnp
с точкой зрения S образуется проекционный конус из лучей зрения Sm, Sn, Sp [2; 4].
Результат пересечения проектирующего конуса с плоскостью проекций Q представляет собой дугу на плоскости проекции Q (рис. 4.6, в) и соответствует стереографической проекции заданной плоскости.
Чтобы не загружать чертежи, проецируют только пересечение плоскости с верхней полусферой, а нижнюю часть плоскости обычно не проецируют.
Плоскость проекции Q принято изображать не на диметрическом виде чертежа (рис. 4.6, в), а «разворачивать ее к себе лицом» — совмещать плоскость проекции Q с плоскостью чертежа
65

4. Кристаллографические проекции

(рис. 4.6, г). Стереографическую проекцию плоскости (дугу)
на круге проекций изображают двумя близкорасположенными параллельными дугами (рис. 4.6, г).
Стереографические проекции горизонтальных плоскостей совпадают с окружностями круга проекций (рис. 4.7, б),
проекции вертикальных плоскостей — с диаметром круга
проекций (рис. 4.7, а), а проекции наклонных плоскостей
изображают дугами, опирающимися на концы диаметра
(рис. 4.7, в) [2].
а

б

(011)

n
p
O

m

в

n

Q

г

p

m

O

S

(001)

Рис. 4.6. Построение стереографической
проекции плоскости (011) в кубе:
а — плоскость (011) в кубе; б — плоскость (011) в сфере
проекций; в, г — стереографическая проекция плоскости (011)
на круге проекций (на экваториальной плоскости)

66

4.3. Гномостереографическая проекция

а

б

(100)

(010)

в

(011)

Рис. 4.7. Стереографические проекции плоскостей,
ориентированных [14]:
а — перпендикулярно плоскости проекции;
б — параллельно плоскости проекции;
в — под наклоном к плоскости проекции

Стереографические проекции применяются главным образом для изображения симметричных преобразований и внешней
формы кристалла, представления анизотропических свой­ств
кристалла, рассмотрения пластической деформации и дефектов структуры кристаллов [4].

4.3. Гномостереографическая проекция
Гномостереографическую проекцию применяют чаще всего для изображения кристаллических многогранников. При
этом проектируют не многогранник, а его полярный комплекс
(рис. 4.2, б) [2].
67

4. Кристаллографические проекции

Плоскостью гномостереографической проекции служит
та же экваториальная плоскость сферы проекций Q, что и для
стереографической проекции [28].
Для построения гномостереографической проекции грани
(плоскости) кристалла необходимо к этой грани (плоскости)
построить нормаль (перпендикулярное направление). Например, для грани (1 11) октаэдрического кристалла (рис. 4.8, а) построена нормаль к грани [1 11].
Далее, необходимо перенести параллельно самой себе эту
нормаль в сферу проекций и продолжить ее до пересечения
с ней (рис. 4.8, б). Точка пересечения нормали со сферой проекций обозначена как А. Соединим полюсную точку А с точкой
зрения S. На пересечении круга проекций с прямой АS образуется точка А* — этот полюс и служит гномостереографической
проекцией плоскости (1 11) октаэдра на круге проекций.
Нормали к граням, пересекающие сферу проекции в верхней полусфере, проецируются внутри круга проекций.
Нормали, пересекающие сферу проекций в нижней полусфере, проектируются же вне этого круга. Чтобы этого избежать,
необходимо для таких нормалей переносить точку зрения S
а
[111]

(111)

б

в

[111]

А
О

А*

[111]

(001)

s
Рис. 4.8. Пример построения гномостереографической
проекции плоскости (1 11) в октаэдре:
а — плоскость (1 11) и нормаль к ней; б — нормаль в сфере проекций;
в — гномостереографическая проекция плоскости (1 11) на круге
проекций (на экваториальной плоскости)
68

4.4. Гномоническая проекция

из южного полюса в северный полюс N сферы. В этом случае
и проекции нижних граней окажутся внутри круга проекций [4].
Чтобы отличить друг от друга проекции нормалей к верхним
и нижним граням, первые обозначают кружками (или пустым
кружком), вторые — крестиками (или зачерненным кружком).
Гномостереографические проекции направлений (ребер
кристалла) изображают так же, как нормали к граням [2].

4.4. Гномоническая проекция
Гномоническую проекцию применяют широко в рентгеноструктурном анализе. Полюсом в этой проекции является центр
сферы, а плоскостью проекции — плоскость, касательная к северному полюсу сферы N и параллельная плоскости стереографической и гномостереографической проекции Q [2].
Нормаль к грани кристалла или плоскости кристалла (например, нормаль [ 1 11 ] для грани ( 1 11 ) октаэдра, рис. 4.9,
а) параллельно самой себе переносится в центр сферы проекций (параллельное направление ОА, рис. 4.9, б) и продолжается
до пересечения с плоскостью проекции (точка А* на рис. 4.9, б).
а
[111]

(111)

б
Q

N

А*

А
О

Рис. 4.9. Пример построения гномонической
проекции плоскости ( 1 11 ) в октаэдре:
а — плоскость ( 1 11 ) и нормаль к ней; б — гномоническая
проекция плоскости ( 1 11 ) на плоскости проекции,
касающейся северного полюса сферы проекций
69

4. Кристаллографические проекции

Гномоническая проекция плоскости представляет собой точку. Гномоническая проекция направления представляет собой
прямую.
Таким образом, принцип построения стереографической
и гномостереографической проекций одинаков: различие заключается в том, что стереографическая проекция строится
по комплексу граней кристалла, гномостереографическая —
по полярному комплексу [2].
Соотношения между всеми вышеописанными типами проекций можно свести к следующим двум предложениям:
1) проекция направления дает на сферической проекции
точку; на стереографической проекции — точку; на гномостереографической проекции — дугу большого круга;
на гномонической проекции — прямую;
2) проекция плоскости дает на сферической проекции
окружность, проходящую через центр сферы проекций;
на стереографической проекции — дугу большого круга;
на гномостереографической проекции — точку; на гномонической проекции — точку.

Вопросы для самопроверки к главе 4
1. Почему неудобно при описании кристаллов пользоваться сферическими проекциями?
2. Стереографическая проекция и гномостереографическая проекция считаются взаимнообратными друг другу. Объясните почему?
3. Постройте стереографические проекции для всех граней и всех ребер кубического кристалла.
4. Постройте стереографические проекции для всех граней и всех ребер гексагонального кристалла.
5. Постройте гномостереографические проекции координатных плоскостей в кристаллах различных сингоний.

70

5
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

Принято считать, что плоскости — это грани многогранников, узлы — вершины многогранников, направления — ребра многогранников.
Симметрия форм кристаллов отражает симметрию их физических свой­ств, причем в первую очередь симметрию скоростей роста [5].
Симметричным многогранником (кристаллом) называется многогранник, который может совместиться сам с собой
в результате симметричных преобразований (отражений, вращений).
Преобразования симметрии (операции симметрии) «производятся» за счет элементов симметрии. Характерные элементы
симметрии кристаллических многогранников представляют собой: плоскости симметрии, оси симметрии, инверсионные оси
симметрии, центр симметрии [19].
Для обозначения симметричных преобразований и соответствующих им элементов симметрии в кристаллографии используют условные символы:
1) международная символика («интернациональная»),
принятая Интернациональным союзом кристаллографов;
2) символика, основанная на формулах симметрии [5].

71

5. Геометрическая кристаллография

5.1. Операции и элементы симметрии
В зависимости от характера преобразований симметрии различают операции и элементы симметрии I и II родов. Элементы симметрии I рода «связывают» друг с другом фигуры (или
их части), полностью совпадающие при наложении (или «вложении»), в то время как элементы симметрии II рода «связывают» зеркально равные фигуры (или их части).
Если по какому‑­нибудь признаку условно назвать фигуру
(или ее часть) «правой», очевидно, следует «правыми» называть
все фигуры, равные ей, а «левыми» — зеркально равные ей. Таким образом, операции элементов симметрии I рода связывают «правые» фигуры с «правыми», «левые» с «левыми», а операции элементов симметрии II рода — «правые» с «левыми» или
«левые» с «правыми» [29].
Операции и элементы симметрии I-го рода

Плоскость симметрии — плоскость, которая делит фигуру
на две части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение [2].
Международный символ плоскость симметрии записывается буквой m. Буквой Р приводится обозначение плоскости симметрии в записи через формулу симметрии [14].
Например, в кубе три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии делят пополам противоположные ребра куба как
координатные плоскости прямоугольной системы координат
(рис. 5.1, а), а шесть плоскостей симметрии проходят по диагоналям граней куба (рис. 5.1, б). Все существующие девять плоскостей симметрии куба пересекаются в одной точке — в центре
куба. Других же плоскостей симметрии в кубе нет. Плоскости
симметрии располагаются в симметричной фигуре строго определенно, и все пересекаются друг с другом [13].
Если вместо куба рассмотреть шар, то мы найдем бесконечное число плоскостей симметрии, которые проходят через диаметры и пересекаются в центре шара [19].
72

5.1. Операции и элементы симметрии

а

б

Рис. 5.1. Плоскости симметрии куба
и их стереографические проекции [13]:
а — координатные плоскости; б — диагональные плоскости

Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный минимальный угол
α (элементарный угол) фигура совмещается сама с собой [2].
Порядок оси симметрии n показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси:
n �

360
360
и a �
.
a
n

В кристаллических структурах существуют оси симметрии
1, 2, 3, 4 и 6‑го порядков, элементарные углы для которых равны 360°, 180°, 120°, 90° и 60° соответственно.
73

5. Геометрическая кристаллография

В формуле симметрии ось симметрии обозначается буквой
Ln, а как международный символ оси симметрии — буквой n или
цифрой, соответствующей порядку оси [30].
Например, у куба сеть три оси 4‑го порядка (3L4), которые
проходят через центры противоположных граней, четыре оси
3‑го порядка (4L3), являющиеся пространственными диагоналями куба, и шесть осей 2‑го порядка (6L2), проходящих через
середины пар противоположных ребер (рис. 5.2). Углы поворота для них 2π/4 (90°), 2π/3 (120°), 2π/2 (180°) соответственно. Все оси симметрии куба пересекаются в одной точке в центре куба [2].
В природе и в произведениях искусства можно найти примеры осей симметрии различного порядка: так, у пятиконечной звезды есть ось симметрии 5‑го порядка (L5), у кругового
конуса есть одна ось симметрии бесконечного порядка (L∞).
Формально можно говорить и об оси симметрии 1‑го порядка: любая фигура, даже несимметричная, совместится сама
с собой при полном обороте вокруг любой оси, проходящей через эту фигуру [2].
В кристаллах возможно существование только осей симметрии 1, 2, 3, 4, 6‑го порядков, а оси симметрии 5‑го порядка
и порядка, большего 6‑и, — невозможны.
а

б

Рис. 5.2. Некоторые из осей симметрии куба
и их стереографические проекции [2]:
а — оси 4‑го порядка; б — оси 3‑го порядка;
в — оси 2‑го порядка

74

в

5.1. Операции и элементы симметрии

Это ограничение обусловлено тем, что кристаллическое
вещество — бесконечная система материальных частиц, симметрично повторяющихся в пространстве. Такие симметричные бесконечные ряды, сетки, решетки, непрерывно заполняющие пространство, несовместимы с осями 5, 7 и других
порядков [5].
Все вышесказанное может быть доказано простым рассуждением. Пусть ось симметрии n-го порядка с углом поворота
α = 2π/n будет выходить перпендикулярно плоскости чертежа
в точке А, являющейся узлом в симметричном бесконечном

ряду А, А*, А**, А***, … с трансляцией � a . Тогда, очевидно, в каждой из эквивалентных точек А*, А**, А***, … тоже выходит такая же ось n (рис. 5.3).
Если поворот в точке А вокруг оси п на угол α переведет точку А* в положение B, то такой же поворот вокруг оси п, выходящей в точке А*, переведет точку А в положение В *. Продолжая
такие повороты, получим ряд точек — В, В *, …, — параллельный
ряду А, А*, …, причем расстояние BB * = Na, где N — целое число.
Из рис. 5.3 видно, что ВВ * = а – 2a cos α, откуда а — 2a cos α =
=Na и cos α = (1 – N)/2. Зная, что –1 ≤ cos α ≤ +1, находим все
возможные значения (табл. 5.1).
В

В*



А


a

А*

А**

А***

Рис. 5.3. К доказательству невозможности существования
оси симметрии 5‑го порядка в кристаллах [14]

75

5. Геометрическая кристаллография

Таблица 5.1
Характеристики осей симметрии
Основные параметры
оси симметрии

N
–1

cos α

1

0
1
2

1
0

2
1
−
2

3
–1

α

0°

60°

90°

120°

180°

Порядок оси n

1

6

4

3

2

Таким образом, условию периодичности и непрерывности
ряда симметричных точек удовлетворяют только оси симметрии порядка 1, 2, 3, 4, 6. Очевидно, в плоской сетке и трехмерной решетке тоже могут существовать только оси симметрии
того же порядка.
На рис. 5.4 показаны плоские сетки паркета или мозаики,
составленные из одинаковых многоугольников.
Видно, что ячейки с осями симметрии 2, 3, 4, 6 заполняют плоскость симметрично и непрерывно. Но непрерывно заполнить плоскость пяти- или семиугольниками не удается —
остаются промежутки. На узоре паркета такие промежутки

n=2

n=5

n=3

n=7

n=4

n=6

n=8

Рис. 5.4. Плоские узоры, составленные из правильных
многогранников с осями симметрии различных порядков [2]
76

5.1. Операции и элементы симметрии

заполняются другими фигурками (на рис. 5.4 они черные), нарушающими симметрию, но в системе материальных частиц
наличие таких «промежутков» создавало бы возможности перемещения частиц, т. е. неустойчивость структуры.
Может показаться, что восьмиугольники все же заполняют
плоскость, т. е. что ось L8 в непрерывном узоре возможна. На самом деле промежутки между восьмиугольниками пришлось
заполнить черными квадратиками, а в результате изменилась
симметрия: как ни странно, но в этом узоре у совершенно симметричного восьмиугольника нет оси 8‑го порядка, есть только ось 4‑го порядка, потому что восьмиугольник симметрично
окружен лишь четырьмя квадратиками [2].
Рассматривая симметрию фигуры, нужно четко различать,
говорим ли мы о симметрии только самой фигуры или же о симметрии фигуры и ее окружения. У отдельно взятого восьмиугольника, конечно, есть ось симметрии 8‑го порядка, но в окружении других восьмиугольников его симметрия понизилась
до оси 4‑го порядка, что видно по четырем квадратикам.
Центр симметрии (центр инверсии, центр обратного равенства) — особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем,
что любая прямая, проведенная через центр симметрии, встречает одинаковые (эквивалентные) точки фигуры по обе стороны
от центра на равных расстояниях (рис. 5.5, а, АС = СВ, EC = CD,
FC = CG, C — центр симметрии) [2; 5].
а

б

A
F
E

C

D

C

G

B

Рис. 5.5. Действие центра симметрии [14]
77

5. Геометрическая кристаллография

Симметричное преобразование, происходящее в центре
симметрии, по своей сути — это зеркальное отражение в точке
(на рис. 5.5 это точка С), где каждая точка фигуры будет отражаться в центре так, что фигура как бы поворачивается при этом
«с лица наизнанку» (рис. 5.5, б), т. е. центр симметрии можно
считать точечным зеркалом. Лицевой считается белая сторона,
изнанкой — черная.
Например, у кристалла на рис. 5.6 нет ни плоскостей,
ни осей симметрии, есть только центр симметрии: каждой грани здесь соответствует грань параллельная и обратно расположенная [2].
В кубе есть центр симметрии, совпадающий с геометрическим центром куба. Любая прямая, проведенная через этот
центр симметрии, встретит одинаковые части куба на равных
расстояниях от центра. Также они отражаются в центре симметрии, как в точечном зеркале. После всех симметричных преобразований все расстояния между точками фигуры остаются
неизменными, т. е. фигура не испытывает растяжения, сжатия, изгиба.

C

Рис. 5.6. Кристаллический многогранник,
обладающий только центром симметрии
78

5.1. Операции и элементы симметрии

При отражении в плоскости симметрии зеркально отражаются все точки, кроме точек, находящихся на самой плоскости
симметрии. Когда фигура поворачивается вокруг разных осей
симметрии, поворачиваются все точки фигуры, кроме точек,
лежащих на самой оси симметрии. А при отражении в центре
симметрии остается одна точка, не отражающаяся и не смещающаяся, — это сам центр.
Отражение в плоскости, поворот вокруг оси симметрии,
зеркальное отражение в центре симметрии — представляют собой конечные, или точечные, симметричные преобразования.
При этих преобразованиях фигура не перемещается как целое,
хотя бы одна точка фигуры остается на месте [2; 5].
Операции и элементы симметрии II-го рода

Инверсионная ось симметрии представляет собой совместное
действие оси вращения и одновременного отражения в центре
симметрии [2; 5].
В кристаллических структурах не может быть инверсионных
осей 5‑го порядка или большего, чем 6‑й. Инверсионные оси
обозначаются международными символами 1 , 2 , 3 , 4 и 6
или в формулах симметрии как L 1, L 2, L 3, L 4 и L 6.
На рис. 5.7 приведен кристалл, обладающий инверсионной осью. Его грани (например, грань А и грань А*) можно совместить друг с другом только путем следующего преобразования: многогранник необходимо повернуть вокруг вертикальной
оси на 90°, а его грани одновременно отразить в центре симметрии. Это и есть симметричное преобразование инверсионной осью 4 (L 4) [13].
При этом важно понимать, что этот многогранник не имеет ни оси, ни центра симметрии. В действительности грань А
не может быть совмещена с гранью А* ни операцией инверсии
в центре симметрии, ни поворотом на 90°. Поэтому симметричное преобразование в данном случае состоит из поворота на 90°
и отражения в центре, действующих совместно, т. е. представляет собой инверсионную ось 4 .
79

5. Геометрическая кристаллография

А

А*

Рис. 5.7. Кристалл, обладающий
инверсионной осью 4 [13]

На рис. 5.8 показаны гномостереографические проекции
граней, симметричных относительно инверсионных осей 1 , 2 ,
�3 , �4 и �6 .
Нетрудно увидеть, что инверсионная ось 1 эквивалентна
центру симметрии С. Инверсионная ось 2 тождественна действию плоскости симметрии m, перпендикулярной этой оси.
Инверсионная ось 3 рассматривается как совокупность отдельно действующих оси 3‑го порядка и центра симметрии С.
Инверсионная ось 4 всегда будет являться поворотной осью
а
1

б
2

в
3

г
4

д
6

Рис. 5.8. Преобразования симметрии
относительно инверсионных осей [13]:
а — 1‑го порядка; б — 2‑го порядка; в — 3‑го порядка;
г — 4‑го порядка; д — 6‑го порядка
80

5.1. Операции и элементы симметрии

2‑го порядка (но не наоборот!). Инверсионная ось 6 всегда является одновременно поворотной осью 3‑го порядка (но не наоборот!), кроме того, инверсионная ось 6 тождественна совокупности действующих оси 3‑го порядка и плоскости симметрии
m, перпендикулярной этой оси [4].
Тогда получим, что внешняя, видимая симметрия кристаллов может быть исчерпывающе описана такими элементами
симметрии, как m, 1 , 2, 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , а также всеми возможными их сочетаниями.
Все эти элементы симметрии, которыми характеризуется
симметрия физических свой­ств кристаллов, сведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Элементы симметрии конечных фигур и их обозначения
на стереографической проекции [2]

Р

т

Центр симметрии

С

Поворотная ось
симметрии:
‒ двой­ная;
‒ тройная;
‒ четверная;
‒ шестерная

Ln

1
n

6

Инверсионная ось
симметрии:
‒ тройная;
‒ четверная;
‒ шестерная

L6
Ln

n

L3

3

L4

4

L6

6

L2
L3
L4

параллельно
плоскости
чертежа

междуна­родный
символ

Плоскость cимметрии

Название
элемента симметрии

Изображение
элемента симметрии
перпендикулярно
плоскости
чертежа

формула
симметрии

Обозначение

C
—

—

—

—

2
3
4

81

5. Геометрическая кристаллография

В табл. представлены: международная символика элементов симметрии, их обозначение в формулах симметрии, а также
международные условные изображения этих элементов симметрии на плоскости стереографической проекции.

5.2. Теоремы о сочетании преобразований
симметрии (элементов симметрии)
В симметричных многогранниках операции симметрии сочетаются друг с другом. Но не все сочетания элементов симметрии возможны: ось 4‑порядка не может быть перпендикулярна
оси 3‑го или оси 6‑го порядков. Два последовательно выполненных симметричных преобразования всегда могут быть заменены эквивалентным третьим преобразованием. Все возможные сочетания элементов симметрии четко ограничены
несколькими теоремами о сочетании операций (или элементов) симметрии [2; 9].
Теорема 1. Если две плоскости симметрии пересекаются
между собой под углом α, то линия пересечения этих плоскостей всегда является осью симметрии с элементарным
углом поворота вокруг этой оси, равным 2α [2].
Отражения фигуры А (месяца) в двух зеркалах, поставленных под углом α, приведут к последовательному отражению
фигуры А в фигуру А*, а затем фигуры А* в фигуру А** (рис. 5.9).
Если рассмотреть треугольники ΔОАВ и ΔОА*В, нетрудно убедиться, что они равны. Кроме того, будут равны между собой
и треугольники ΔОА*С и ΔОА**С. Тогда угол ∠ВОС равен α,
а угол ∠АОА** равен 2α. Значит, последовательное отражение
фигуры в двух плоскостях симметрии, пересекающихся между собой под углом α, будет эквивалентно повороту на угол 2α
вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О.
82

5.2. Теоремы о сочетании преобразований симметрии (элементов симметрии)



А**

О
2

А

С

В

А*
Рис. 5.9. Наглядное построение
для доказательства теорем 1 и 1а

Теорема 1а (обратная). Поворот вокруг оси симметрии
на угол α тождественен отражениям в двух плоскостях симметрии, проходящих вдоль этой оси; при этом угол между
этими плоскостями симметрии составит α/2 (отсчет угла
производится в направлении поворота) [2].
Теорема 2. Если четная ось симметрии проходит перпендикулярно плоскости симметрии, то точка их пересечения будет являться центром симметрии [2].
Первая проекция на рис. 5.10, а, демонстрирует действие
оси 4‑го порядка, перпендикулярной плоскости чертежа: фигура А при последовательных поворотах переходит в фигуры
В, С, D и вновь совмещается с фигурой А. Вторая проекция
на рис. 5.10, б, показывает действие плоскости симметрии, совпадающей с плоскостью чертежа: фигура С отражается в фигуру С * (т. к. фигура С расположена выше плоскости чертежа, она
обозначена на проекции пустым кружком; т. к. фигура С * расположена ниже плоскости чертежа, она обозначена на проекции
крестиком). Сочетание же этих двух преобразований симметрии
(оси симметрии и плоскости симметрии) приведет к результату, продемонстрированному на правой проекции, показанной
83

5. Геометрическая кристаллография

на рис. 5.10, в: здесь для каждой фигуры имеется парная, связанная с ней центром симметрии, например, для фигуры А пару
составит фигура С *, для В–D *, C–A*, D–B *.
Используя международные символы, такое сочетание обо4
значим, как 4/т, или , в общем случае п/т, где п — порядок
m
оси. Дробная черта в написании символа обозначает, что плоскость симметрии перпендикулярна оси.
Теорема 2а (обратная). Если на четной оси симметрии есть
центр симметрии, то через центр симметрии перпендикулярно оси симметрии проходит плоскость симметрии [2].
Теорема 2б (обратная). Если в плоскости симметрии лежит
центр симметрии, то через центр симметрии перпендикулярно плоскости симметрии проходит ось симметрии, причем только четного порядка [2].
Теорема 3. Если перпендикулярно оси симметрии п-го порядка проходит ось симметрии 2‑го порядка, то всего перпендикулярно оси п-го порядка будет проходить п осей 2‑го порядка [2].
а

А

б

в

А

D

A*
С*
В

С

С

В

D*

С

B*

D
С*
С

Рис. 5.10. Наглядное построение
для доказательства теорем 2, 2а, 2б:
а — действие оси 4‑го порядка, перпендикулярной
плоскости чертежа; б — действие плоскости симметрии,
параллельной плоскости чертежа; в — совместное действие
двух операций симметрии а и б
84

5.2. Теоремы о сочетании преобразований симметрии (элементов симметрии)

Разберем проекцию случая, когда ось 2‑го порядка лежит
в плоскости чертежа, ось 3‑го порядка перпендикулярна оси
2‑го порядка и перпендикулярна плоскости чертежа (рис. 5.11).
При повороте вокруг оси 2‑го порядка фигура А (с лицевой
стороны) переходит в положение фигуры А* (на изнаночную
сторону). Последовательные повороты вокруг оси 3‑го порядка переводят фигуру А в фигуры В и С, а фигуру А* — в фигуры В * и С *. Нетрудно заметить, что пары фигур В и В *, а также
С и С * становятся связаны между собой и поворотами вокруг
осей 2‑го порядка, проходящих между ними в плоскости чертежа. Итого имеется три оси 2‑го порядка, а не одна, и все они
перпендикулярны оси 3‑го порядка.
Можно заключить, что вокруг оси симметрии п-го порядка
любой объект может быть симметрично повторен п раз. Такое
сочетание операций может быть обозначено: n2 (LnnL2).
Теорема 4. Если вдоль оси симметрии n-го порядка проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей симметрии,
проходящих вдоль оси симметрии, имеется п штук [2].
Разберем проекцию случая, когда вдоль оси 3‑го порядка,
расположенной перпендикулярно плоскости чертежа, проходит плоскость симметрии (рис. 5.12).

А

В

С*
С
Рис. 5.11. Наглядное
построение для доказательства
теоремы 3

А*

В*

Рис. 5.12. Наглядное
построение для доказательства
теоремы 4
85

5. Геометрическая кристаллография

При отражении фигуры А в плоскости симметрии формируется фигура А*. Последовательные повороты вокруг оси 3‑го порядка переводят фигуру А в фигуры В и С, а фигуру А* — в фигуры В * и С *. Нетрудно заметить, что пары фигур В и В *, а также
С и С * становятся связаны между собой плоскостями симметрии,
проходящими вдоль оси симметрии 3‑го порядка и перпендикулярно плоскости чертежа. Итого имеется три плоскости симметрии, проходящие вдоль оси симметрии 3‑го порядка, а не одна.
Если вдоль оси симметрии n-го порядка проходит плоскость
симметрии m, то таких плоскостей симметрии n-штук. Обозначается как пт (LnnP).
Теорема 5 (теорема Эйлера). Если две оси симметрии пересекаются между собой, то через точку их пересечения проходит третья ось, называемая равнодействующей [2].
Разберем проекцию случая, когда две оси симметрии 2‑го
порядка пересекаются между собой под углом α. Они лежат
в плоскости чертежа (рис. 5.13).
Поворот вокруг первой оси 2‑го порядка приводит фигуру
А в положение фигуры А*, поворачивая ее с лицевой стороны наизнанку. Последующий поворот вокруг второй оси 2‑го порядка
приводит фигуру А* в положение фигуры А**, снова поворачивая
фигуру с изнаночной стороны на лицевую. Нетрудно заметить,
что пара фигур А и А** связана между собой поворотом вокруг оси
симметрии, проходящей через точку пересечения осей 2‑го порядка и перпендикулярно оси чертежа, на угол 2α.
Теорема 6. Если вдоль четной инверсионной оси симметрии проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно
инверсионной оси симметрии и по биссектрисам к плоскостям симметрии проходят оси 2‑го порядка [2].
Разберем проекцию случая, когда четная инверсионная ось
4‑го порядка перпендикулярна плоскости чертежа и вдоль нее
проходит плоскость симметрии (рис. 5.14).
86

5.2. Теоремы о сочетании преобразований симметрии (элементов симметрии)

А
С
А



А**

А*

Рис. 5.13. Наглядное
построение для доказательства
теоремы 5

А*

В
Рис. 5.14. Наглядное
построение для доказательства
теоремы 6

Инверсионная ось 4 тождественна простой оси симметрии
2‑го порядка, значит, по теореме 4 всего вдоль оси симметрии 4�
проходят 2 плоскости симметрии. Действие оси 4 приводит фигуру А в положение фигуры В через положение фигуры А*. Действие второй плоскости симметрии приводит фигуру В в положение фигуры С.
Тогда нетрудно заметить, что фигура А (повернута изнанкой) связана с фигурой С (повернута лицевой стороной) также
поворотом вокруг оси симметрии 2‑го порядка, которая проходит по биссектрисе угла между плоскостями симметрии.
Согласно теореме 3, полученная ось 2‑го порядка проходит
перпендикулярно оси 4 (которая тождественна оси 2‑го порядка), значит, таких осей симметрии 2‑го порядка 2 шт.
Таким образом, полное сочетание элементов симметрии
в рассматриваемом примере (рис. 5.14) может быть записано формулой L 42L2 2P ( L4 2L2 2PC ) и международным символом 42m.
Исходя из описанных теорем о сочетании элементов симметрии, может быть выведено одно из важных понятий: класс
симметрии, или точечная группа симметрии (ТГС), — это полное сочетание всех элементов симметрии кристаллического
многогранника [30].
87

5. Геометрическая кристаллография

5.3. Кристаллографические категории,
сингонии и системы координат.
Классы симметрии
Уже известно, что в кристаллах в различных сочетаниях обнаруживаются плоскости симметрии, оси симметрии, центр инверсии. В симметричных многогранниках плоскости симметрии
и оси одного порядка могут повторяться. Наряду с этим в кристаллах встречаются единственные неповторяющиеся оси симметрии (единичные). Так, в шестигранной призме вдоль оси Z
проходит L6, а в четырехгранной призме — L4 (рис. 5.15).
а

б

Z

Z

𝐿𝐿6

𝐿𝐿4

Y
X

Y
X

Рис. 5.15. Единичные направления в кристаллах:
а — ось 6‑го порядка в шестигранной призме;
б — ось 4‑го порядка в четырехгранной призме

Единичные направления отсутствуют в высокосимметричных фигурах, таких как куб и октаэдр [14].
Кристаллографические категории

По симметрии и числу единичных направлений кристаллы могут быть разделены на три категории: высшую, среднюю
и низшую [9].
88

5.3. Кристаллографические категории, сингонии и системы координат

В кристаллах высшей категории не может быть единичных
направлений. У них обязательно есть несколько осей порядка
n > 2 (рис. 5.16, а).
Так, в кубе присутствуют: три оси L4, располагающиеся параллельно координатным осям; четыре оси L3 вдоль объемных
диагоналей куба и шесть осей L2. Любому направлению в кубе
найдется эквивалентно-­симметричное.
Внешняя форма кристаллов высшей категории является изометричной (т. е. развитой одинаково во всех направлениях). Высокая симметрия снижает анизотропию в этих кристаллах. Многие физические свой­ства изотропны в большинстве направлений.
Кристаллы средней категории имеют одно единичное направление, которое является осью порядка n > 2 (рис. 5.16, б).
Вдоль оси Z (рис. 5.16, б) в призмах проходят оси L3 в тригональной; L4 в тетрагональной; L6 в гексагональной. Эти оси
являются единственными или главными. Для кристаллов средней категории ярко выражена анизотропия вдоль главных осей.
а

б

в

Рис. 5.16. Многогранники разных категории:
а — высшей (тетраэдр, октаэдр, куб);
б — средней (тригональная, тетрагональная, гексагональная
призмы); в — низшей (косоугольная призма)
89

5. Геометрическая кристаллография

У кристаллов низшей категории нет осей порядка n > 2,
а единичных направлений может быть несколько.
К многогранникам низшей категории относятся различные
косоугольные призмы (рис. 5.16, в) и пирамиды; а также призмы и пирамиды, у которых ребра не равны друг другу. У кристаллов низшей категории резко выражена анизотропия [31].
Сингонии. Системы координат

Сингония (от греч. σύν — «согласно, вместе, рядом»
и γωνία — «угол», дословно — «сходноугольность») — классификация кристаллографических групп симметрии, кристаллов и кристаллических решеток в зависимости от системы координат. В сингонию объединяют те кристаллы, для которых
одинакова симметрия элементарных ячеек их структур и одинакова система координат [2; 31].
Для описания пространственной кристаллической структуры используют элементарный объем (ячейку), который называют примитивным параллелепипедом, — внутри него нет дополнительных узлов. Форма параллелепипеда определяется
точечной симметрией кристалла. Разделение кристаллов по вариантам элементарных ячеек называется разделением на сингонии. Всего существует семь вариантов примитивных параллелепипедов — семь сингоний.
В кристаллографии используется правая система координат. Оси координат могут быть выбраны по осям симметрии
или по нормалям к плоскостям симметрии; в случае низшей
категории (если нет ни тех, ни других) — по ребрам кристаллического многогранника (табл. 5.3).
В высшей категории имеется только одна сингония — кубическая. Это единственная сингония, симметрия которой совпадает с привычной нам декартовой системой координат: а = b = с,
α = β = γ = 90°, соответственно, элементарной ячейкой здесь является куб. Кристаллы кубической сингонии всегда обладают
четырьмя осями 3‑го порядка, которые располагаются вдоль
пространственных диагоналей куба.
90

Несколько

Количество
единичных
направлений
Выбор осей
координат

Ось 1 или 1

Ось 2 или
плоскость m

Моноклинная

Ось Y  оси 2 или
⊥m

По ребрам
кристалла

Низшая категория

Характерная
симметрия

Триклинная

Сингония

b

c

b 2,m

β ≠ 90°

α = γ = 90°,

а ≠ b ≠ с,

прямая призма (в ее основании
параллелограмм)

а

c

α ≠ β ≠ γ ≠ 90°

а ≠ b ≠ с,

косоугольный параллелепипед

а

Форма элементарной
ячейки, характерные
параметры вещества

Кристаллографические категории, сингонии, их характеристики [2]

Таблица 5.3

5.3. Кристаллографические категории, сингонии и системы координат

91

92
Ось 3 или 3

Ось 6 или 6

Тригональная

Гексагональная

Одно

Оси X, Y, Z  осям
2 или ⊥ m

Выбор осей
координат

Главная ось вдоль
Z, остальные —
в плоскости XY

Средняя категория

Три оси 2 или
три плоскости m

Характерная
симметрия

Ромбическая

Сингония

Несколько

Количество
единичных
направлений
c

b 2,m

а
120

2,m

γ = 120°

α = β = 90°,

а = b ≠ с,

призма (в основании — ромб
с углом 120°)

а

2,m

c

α = β = γ = 90°

а ≠ b ≠ с,

прямоугольный параллелепипед

а

2,m

2,m

Форма элементарной
ячейки, характерные
параметры вещества

Продолжение табл. 5.3

5. Геометрическая кристаллография

Тетрагональная

Кубическая

Нет

Сингония

Одно

Количество
единичных
направлений
Главная ось вдоль
Z, остальные —
в плоскости XY

Выбор осей
координат

Четыре оси 3

ОсиX, Y, Z  трем
взаимно перпендикулярным осям
4 или 4 , или 2

Высшая категория

Ось 4 или 4

Характерная
симметрия

c

а

а 4,4,2

α = β = γ = 90°

а = b = с,

куб

4,4,2

а

4,4,2

α = β = γ = 90°

а = b ≠ с,

а 2,m
а
2,m
призма с квадратным
основанием

4,4

Форма элементарной
ячейки, характерные
параметры вещества

Окончание табл. 5.3

5.3. Кристаллографические категории, сингонии и системы координат

93

5. Геометрическая кристаллография

К кристаллам средней категории относятся уже целых три
сингонии:
1) тригональная — содержит главную ось симметрии 3 или 3;
характеризующие сингонию параметры: а = b ≠ с;
α = β = 90°, γ = 120°;
2) тетрагональная — главная ось симметрии 4 или 4 ;
характеризующие сингонию параметры: а = b ≠ с;
α = β = γ = 90°;
3) гексагональная — главная ось симметрии 6 или 6 ;
характеризующие сингонию параметры а = b ≠ с,
α = β = 90°, γ = 120°.
Главной осью симметрии в этих трех сингониях всегда принимается ось Z, а оси X, Y располагаются в плоскости, находящейся перпендикулярно главной оси. Отрезки, отсекаемые
по осям X, Y, одинаковой длины (а = b), поэтому для кристаллов средней категории существует характеризующее их отношение: с/а, которое является константой для вещества [5; 31].
Стоит отметить, что для гексагональной и тригональной сингоний в основном применяется одинаковая система координат:
главная ось 3 или 3 (тригональная), 6 или 6 (гексагональная) принимается за ось Z. Оси X и Y, перпендикулярные оси Z, составляют
между собой угол γ = 120°. Исходя из симметрии, к ним добавляется
четвертая координатная ось t, также расположенная в плоскости,
перпендикулярной оси Z и под углом 120° к X и Y. Примитивной
ячейкой в данной системе координат является прямоугольная призма с основанием в форме ромба с углами 120°. Три такие призмы
вместе составляют шестигранную призму, уже непримитивную [5].
Для кристаллов тригональной сингонии также может быть
выбрана элементарная ячейка в форме ромбоэдра (рис. 5.17).
Данная фигура представляет собой куб, который равномерно
растянут или сжат вдоль одной из его пространственных диагоналей таким образом, что: а = b = с, α = β = γ ≠ 90°. Такая система координат будет называться ромбоэдрической. Эта же пространственная диагональ, которая оказывается единственной
осью симметрии 3 или 3 , принимается за ось Z.
94

5.3. Кристаллографические категории, сингонии и системы координат

а

а

а

Рис. 5.17. Элементарная ячейка
в форме ромбоэдра [2]

К низшей категории относятся также три сингонии:
1) ромбическая;
2) моноклинная;
3) триклинная.
Ромбической (орторомбической) сингонии (а ≠ b ≠ с,
α = β = γ = 90°) будет соответствовать прямоугольная система
координат, но отрезки, отсекаемые по осям, будут неодинаковы; принято считать, что с < а < b для структурной установки.
Элементарная ячейка своего рода «кирпичик». Оси координат
в данном случае будут проходить вдоль осей 2 или являются
нормалями к плоскостям симметрии.
Моноклинная сингония (а ≠ b ≠ с, α = γ = 90° ≠ β) будет характеризоваться примитивной ячейкой в форме параллелепипеда с одним косым углом. Ось Y будет располагаться вдоль
оси 2 или перпендикулярно m, оси X, Z находятся в плоскости,
перпендикулярной оси Y, при этом их взаимное расположение,
а также угол между ними не задаются симметрией кристалла,
а выбираются по ребрам кристалла.
Иногда может быть принято и другое расположение осей —
так называемая вторая установка моноклинной сингонии: ось 2
или нормаль к m — вдоль Z; соответственно, изменится и расположение остальных осей, а следовательно, и индексы граней и ребер.
95

5. Геометрическая кристаллография

У триклинной сингонии (а ≠ b ≠ с, α ≠ β ≠ γ ≠ 90°) примитивная ячейка будет являться самой несимметричной. Ни одна
из осей координат не будет задаваться элементами симметрии
и выбирается только по ребрам кристалла при обязательном
выполнении условия: с < а < b [5; 13].
Для каждой сингонии необходимо знать свой установленный условный порядок расположения осей координат
или правила кристаллографической установки (табл. 5.3),
поскольку от взаимного расположения осей будут зависеть
кристаллографические индексы. Это является необходимым
для единообразия описания кристалла одинаковыми символами разными исследователями. Если установка будет изменена, придется поменять индексы всех плоскостей и направлений в кристалле.
Классы симметрии
(точечные группы симметрии — ТГС)

Классом симметрии какого‑либо объекта называется полная
совокупность операций симметрии (возможных симметричных
преобразований) этого объекта [2].
Точечные группы симметрии — это классы симметрии, операции которых оставляют хотя бы одну точку пространства
на месте [2]. 32 кристаллографические точечные группы были
впервые выведены И. Гесселем в 1830 г. и независимо от него
А. В. Гадолиным в 1867 г. Большинство способов вывода основано на переборе допустимых сочетаний порождающих операций симметрии.
Каждый класс симметрии записывается специальными международными символами и характеризуется своей формулой
симметрии. Формула симметрии состоит из записанных подряд всех элементов симметрии — начиная с осей высшего порядка к низшим и заканчивая плоскостями и центром инверсии [4]. Вывод формулы симметрии осуществляется из записи
класса симметрии согласно теоремам о сочетании элементов
симметрии.
96

5.3. Кристаллографические категории, сингонии и системы координат

В кристаллографии для записи точечной группы используют международную символику Германа — Могена. Правила
зашифровки классов симметрии приведены в табл. 5.4 и 5.5.
Элементы, которые располагаются вдоль координатных осей,
называют координатными элементами. Диагональные элементы проходят по биссектрисе угла между координатными осями.
Таблица 5.4
Правила записи международных символов точечных групп [2]
Сингония

Позиция в записи группы
1

2

3

Низшая категория
Триклинная

Только один символ, соответствующий любому направлению

Моноклинная

Единственная ось L2 вдоль оси Y или плоскость
симметрии P ⊥ оси Y

Ромбическая

Ось L2 ‖ оси X
или плоскость
P ⊥ оси X

Ось L2 ‖ оси Y
или плоскость
P ⊥ оси Y

Ось L2 ‖ оси Z
или плоскость
P ⊥ оси Z

Средняя категория
Тригональная

Главная ось
симметрии
‖ оси Z

Оси L2 ‖ осям
X, Y или
плоскости P ⊥
осям X, Y

Диагональные
оси L2 или
плоскости P

Гексагональная

Главная ось
симметрии ‖
оси Z

Оси L2 ‖ осям X,
Y, U или
плоскости P ⊥
осям X, Y, U

Диагольные
оси L2 или
плоскости P

Тетрагональная

Главная ось
симметрии ‖
оси Z

Оси L2 ‖ осям
X, Y или
плоскости P ⊥
осям X, Y

Диагональные
оси L2 или
плоскости P

Высшая категория
Кубическая

Координатные
элементы
симметрии

Оси L3

Диагональные
элементы
симметрии
97

5. Геометрическая кристаллография

Таблица 5.5
Формулы симметрии и международные символы
32 классов симметрии [14]
Категория
Низшая

Формула
симметрии

Международный
символ

Триклинная

–(L1)
C(L 1 )

1
1

Моноклинная

L2
P
L2PC

2
m
2/m

Сингония

Ромбическая

Средняя

3L2
L22P
3L23PC

222
mm (mm2)
mmm (2/mmm)

L 3 3L 2 3P = L3 3L2 3PC

3m

L33P
L33L2
L 3 = L3C
L3

3m
32
3
3

Тетрагональная

L44L2
L44P
L4PC
L44L25PC
L 4 2L2 2P
L4

422
4mm
4/m
4/mmm
42m
4
4

Гексагональная

L66L2
L66P
L6PC
L66L27PC
L 6 3L2 3P = L3 3L2 4 P

Тригональная

L4

L 6 = L3 P
L6

98

622
6mm
6/m
6/mmm
6 m2
6
6

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

Окончание табл. 5.5
Категория
Высшая

Сингония
Кубическая

Формула
симметрии

Международный
символ

3L24L3
3L44L36L2
3L24L33PC
3L 4 4 L3 6P
3L44L36L29PC

23
432
m3
43m
m3m

При записи международного символа точечной группы используют следующие обозначения:
‒ n, n — поворотные и инверсионные оси;
‒ m — плоскости симметрии;
‒ nm — вдоль оси n-го порядка проходит плоскость симметрии (согласно теореме 4, таких плоскостей n штук);
n
‒
(n/m) — оси симметрии n-го порядка перпендикуm
лярна плоскость симметрии (одна позиция в записи
символа);
n
‒
m (n/mm) — оси симметрии n-го порядка перпендикуm
лярна одна m плоскость симметрии и одна плоскость
параллельна ей (две позиции в записи класса) [5].

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС)
средней категории. Формы кристаллов
Для того чтобы вывести все возможные классы симметрии,
примем ось симметрии за основной порождающий элемент
симметрии. Добавляя поочередно другие порождающие элементы, образуем все возможные их сочетания [2].
Сначала рассмотрим случай, когда выбранная ось симметрии является единичным направлением и остается единичной
99

5. Геометрическая кристаллография

при добавлении других элементов симметрии (эти случаи характерны для кристаллов средней и низшей категорий).
Примитивными (или простейшими) классами симметрии называются классы, в которых есть только поворотная ось симметрии n-го порядка, проходящая вдоль единичного направления [24]. Все возможные такие сочетания в классах средней
категории приведены в табл. 5.6.
Так, кристаллы средней категории будут относиться к примитивному классу, если они будут обладать только поворотной
осью симметрии n-го порядка, проходящей вдоль единичного
направления.
Таблица 5.6

Международный
символ

L6

6

Примитивный
класс
гексагональной
сингонии

L4

—

L4

4

Примитивный
класс
тетрагональной
сингонии

L3

—

L3

3

Примитивный
класс
тригональной
сингонии

100

Название класса
симметрии

Формула симметрии

—

Стереографическая
проекция элементов
симметрии

Порожденный
элемент симметрии

L6

Комплексы
элементов
симметрии

Порождающий
элемент симметрии

Сочетания элементов симметрии в классах средней категории

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

Чтобы представить внешний вид кристалла (его форму), необходимо ввести несколько новых понятий.
Простой формой называется многогранник, который может
быть получен из одной грани с помощью всех элементов симметрии, свой­ственных классу. Простые формы могут быть общими
и частными, в зависимости от того, как расположена исходная
грань по отношению к элементам симметрии. Если исходная
грань кристалла располагается косо, т. е. в общем положении,
то и простая форма, получаемая из нее, будет общей. Если же
исходная грань кристалла расположена параллельно или перпендикулярно хотя бы к одному из элементов симметрии класса, то получается частная простая форма [24].
Исходная грань, взятая по отношению к элементам симметрии в общем положении, подвергается действию всех операций симметрии для класса. Поэтому число граней общей
формы максимально и равно числу операций симметрии для
класса. Число граней частной простой формы может быть
либо равным, либо меньше, чем число граней общей формы,
т. к. элементы симметрии, перпендикулярные к грани, грань
не размножают.
Простые формы могут быть как замыкающими пространство целиком — закрытыми формами, так и открытыми — не замыкающими пространство со всех сторон [24].
Рассмотрим все возможные простые формы примитивных
классов кристаллов средней категории:
‒ если расположить исходную грань кристалла по отношению к оси симметрии n-го порядка перпендикулярно (исходная грань ⊥Ln), то, поворачивая эту грань
кристалла n раз на элементарный угол оси и тем самым
совершая полный оборот вокруг оси симметрии, грань
каждый раз будет совмещаться сама с собой. Тем самым
образовавшийся кристалл состоит из одной грани, называемой моноэдром (табл. 5.7; далее, для примера будут приведены простые формы для кристаллов только
тетрагональной сингонии);
101

5. Геометрическая кристаллография

Таблица 5.7
Возможные простые частные и общая формы
кристаллов примитивного класса тетрагональной сингонии
Положение исходной грани
Характери‑
стики формы
кристаллов

исходная
грань ⊥ L4

исходная
грань ‖ L4

исходная грань
в общем положении
(наклонена к оси
симметрии)

Графическое
отображение
формы

сечение пирамиды
сечение призмы
Описание
формы

Моноэдр
частная
форма,
открытая

Тетрагональная
призма
частная форма,
открытая
(т. к. отсутствуют
верхняя и нижняя
«крышки» призмы)

Тетрагональная
пирамида
общая форма,
открытая
(т. к. отсутствует
основание
пирамиды)

‒ если расположить исходную грань кристалла по отношению к оси симметрии n-го порядка параллельно (исходная грань  Ln), то при повороте этой грани кристалла
n раз на элементарный угол оси и совершении тем самым
полного оборота вокруг оси симметрии образовавшийся кристалл будет являться призмой с основанием в виде
правильного шестиугольника для гексагональной сингонии, квадрата для тетрагональной сингонии и правильного треугольника для тригональной сингонии;
102

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

‒ если исходная грань кристалла будет расположена произвольно по отношению к оси симметрии n-го порядка (исходная грань наклонена к Ln), то при повороте этой грани
кристалла n раз на элементарный угол оси и совершении
тем самым полного оборота вокруг оси симметрии образовавшийся кристалл будет являться пирамидой с основанием в виде правильного шестиугольника для гексагональной сингонии, квадрата для тетрагональной сингонии
и правильного треугольника для тригональной сингонии.
Таким образом, простыми частными формами примитивных классов кристаллов средней категории являются: моноэдр для гексагональной, тетрагональной и тригональной сингоний, гексагональная призма для гексагональной сингонии,
тетрагональная призма для тетрагональной сингонии, тригональная призма для тригональной сингонии; простыми общими формами примитивных классов кристаллов средней категории являются: гексагональная пирамида для гексагональной
сингонии, тетрагональная пирамида для тетрагональной сингонии, тригональная пирамида для тригональной сингонии. Все
эти формы являются открытыми [30].
При выводе остальных классов симметрии должно выполняться следующее: плоскость симметрии может проходить вдоль
единичного направления или нормально к нему, но не может располагаться косо, т. к., отразившись в косой плоскости, единичное
направление повторилось бы, а значит, перестало бы быть единичным. По этой же причине ось 2 может быть перпендикулярна
единичному направлению, но не может составлять с ним косой
угол; другие оси симметрии вообще не могут сочетаться с единичной осью [2]. Центр симметрии, если он находится на единичном направлении, оставит это направление единичным.
Центральные классы образуются из примитивных добавлением к ним центра симметрии (табл. 5.8). При этом если ось симметрии является четной, то по теореме 2 возникает и плоскость симметрии, перпендикулярная этой оси. Сочетание оси 3‑го порядка
и центра симметрии привело к инверсионной оси 3. Класс 3
обычно считают не центральным, а инверсионно-­примитивным.
103

5. Геометрическая кристаллография

Таблица 5.8

Стереографическая
проекция элементов
симметрии

P ⊥ L6

L6PC

6
m

Центральный
класс
гексагональной
сингонии

L4 + С

P ⊥ L4

L4PC

4
m

Центральный
класс
тетрагональной
сингонии

L3 + С

—

L3C ≡ L 3

3

Инверсионно-­
примитивный
класс
тригональной
сингонии

Название класса
симметрии

L6 + С

Международный
символ

Порожденный
элемент симметрии

Формула симметрии

Порождающий
элемент симметрии

Комплексы элементов
симметрии

Сочетания элементов симметрии
в классах средней категории центрального класса

Все возможные простые формы центральных классов кристаллов средней категории (инверсионно-­примитивный класс
тригональной сингонии здесь исключается) сводятся к следующим случаям:
‒ если расположить исходную грань кристалла по отношению к оси симметрии n-го порядка перпендикулярно (исходная грань ⊥ Ln), то, поворачивая эту грань кристалла
n раз на элементарный угол оси и тем самым совершая
полный оборот вокруг оси симметрии, грань каждый раз
будет совмещаться сама с собой. Наличие плоскости симметрии приведет к образованию грани, параллельной исходной грани. При действии центра симметрии каждая
104

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

точка исходной грани «встретит» эквивалентную ей точку на образовавшейся ранее второй (параллельной исходной) грани кристалла. Тем самым образовавшийся
кристалл будет состоять из двух параллельных граней
и называться пинакоидом (табл. 5.9);
Таблица 5.9
Возможные простые частные и общая формы
кристаллов центрального класса тетрагональной сингонии
Положение исходной грани
Характери‑
стики формы
кристаллов

исходная
грань ⊥ L4

исходная
грань ‖ L4

исходная грань
в общем положении
(наклонена к оси
симметрии)

Графическое
отображение
формы

сечение призмы
Описание
формы

Пинакоид
частная
форма,
открытая

Тетрагональная
призма
частная форма,
открытая
(т. к. отсутствуют
верхняя и нижняя
«крышки» призмы)

Тетрагональная
бипирамида
общая форма,
закрытая

‒ если расположить исходную грань кристалла по отношению к оси симметрии n-го порядка параллельно (исходная грань ‖ Ln), то при повороте этой грани кристалла
105

5. Геометрическая кристаллография

n раз на элементарный угол оси и совершении тем самым
полного оборота вокруг оси симметрии образовавшийся кристалл будет являться призмой с основанием в виде
правильного шестиугольника для гексагональной сингонии, квадрата для тетрагональной сингонии. Плоскость
симметрии будет делить образовавшуюся призму на две
части, где верхняя и нижняя половинки призмы будут
зеркальны друг другу, что не приведет к образованию
новых граней. Аналогично действие центра симметрии
не приведет к образованию новых граней;
‒ если исходная грань кристалла будет расположена произвольно по отношению к оси симметрии n-го порядка
(исходная грань наклонена к Ln), то при повороте этой
грани кристалла n раз на элементарный угол оси и совершении тем самым полного оборота вокруг оси симметрии образовавшийся кристалл будет являться пирамидой с основанием в виде правильного шестиугольника
для гексагональной сингонии, квадрата для тетрагональной сингонии. Наличие горизонтальной плоскости симметрии приведет к образованию второй пирамиды, расположенной по отношению к первой зеркально (пирамиды
«склеены» основаниями), и форма такого кристалла будет называться бипирамидой. Действие центра симметрии
уже не приведет к образованию новых граней.
Таким образом, простыми частными формами центральных
классов кристаллов средней категории являются: пинакоид для
гексагональной и тетрагональной сингонии, гексагональная призма для гексагональной сингонии, тетрагональная призма для
тетрагональной сингонии; простыми общими формами центральных классов кристаллов средней категории являются: гексагональная пирамида для гексагональной сингонии, тетрагональная пирамида для тетрагональной сингонии. Частные формы
являются открытыми, общие формы — закрытыми [2].
Планальные классы симметрии получаем, добавляя к оси
симметрии плоскость, проходящую вдоль нее (табл. 5.10).
На основании теоремы 4 таких плоскостей будет n.
106

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

Таблица 5.10

Стереографическая
проекция элементов
симметрии

L66P 6mm

Планальный
класс
гексагональной
сингонии

L4 + P ‖ L4

P ‖ L4 еще
(n − 1) шт.
(т. е. 3 шт.)

L44P 4mm

Планальный
класс
тетрагональной
сингонии

L3 + P ‖ L3

P ‖ L3 еще
(n − 1) шт.
(т. е. 1 шт.)

L33P

3m

Название класса
симметрии

P ‖ L6 еще
(n − 1) шт.
(т. е. 5 шт.)

Международный
символ

Порожденный
элемент симметрии

L6 + P ‖ L6

Формула
симметрии

Порождающий
элемент симметрии

Комплексы элементов
симметрии

Сочетания элементов симметрии
в классах средней категории планального класса

Планальный
класс
тригональной
сингонии

Все возможные простые формы планальных классов кристаллов средней категории следующие:
‒ если расположить исходную грань кристалла по отношению к оси симметрии n-го порядка перпендикулярно
(исходная грань ⊥ Ln), то при повороте этой грани кристалла n раз на элементарный угол оси и тем самым совершении полного оборота вокруг оси симметрии грань
каждый раз будет совмещаться сама с собой. Действие
плоскостей симметрии не приводит к образованию новых граней. Тем самым образовавшийся кристалл состоит из одной грани, называемой моноэдром (табл. 5.11);
‒ если расположить исходную грань кристалла по отношению к оси симметрии n-го порядка параллельно (исход107

5. Геометрическая кристаллография

ная грань ‖ Ln) и перпендикулярно одной из вертикальных плоскостей симметрии (исходная грань ⊥ Р), то при
повороте этой грани кристалла n раз на элементарный
угол оси и совершении тем самым полного оборота вокруг оси симметрии образовавшийся кристалл будет являться призмой с основанием в виде правильного шестиугольника для гексагональной сингонии, квадрата
для тетрагональной сингонии и правильного треугольника для тригональной сингонии. При отражении граней кристалла во всех плоскостях симметрии новых граней образовываться не будет. Тем самым кристалл так
и будет оставаться призмой;
‒ если расположить исходную грань кристалла по отношению к оси симметрии n-го порядка произвольно (исходная грань произвольно к Ln), но перпендикулярно одной
из плоскостей симметрии (исходная грань ⊥ Р), то при повороте этой грани кристалла n раз на элементарный угол
оси и совершении тем самым полного оборота вокруг
оси симметрии образовавшийся кристалл будет являться пирамидой с основанием в виде правильного шестиугольника для гексагональной сингонии, квадрата для тетрагональной сингонии и правильного треугольника для
тригональной сингонии. При отражении граней кристалла во всех плоскостях симметрии новых граней образовываться не будет. Тем самым кристалл так и будет оставаться пирамидой;
‒ если расположить исходную грань кристалла по отношению к оси симметрии n-го порядка параллельно (исходная
грань ‖ Ln) и произвольно к вертикальным плоскостям,
то при повороте этой грани кристалла n раз на элементарный угол оси и совершении тем самым полного оборота
вокруг оси симметрии образовавшийся кристалл будет являться призмой с основанием в виде правильного шестиугольника для гексагональной сингонии, квадрата для тетрагональной сингонии и правильного треугольника для
тригональной сингонии. При отражении граней кристал108

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

ла во всех плоскостях симметрии происходит «удвоение»
граней. Такая форма кристалла будет называться дитригональной призмой для тригональной сингонии, дитетрагональной призмой для тетрагональной сингонии, дигексагональной призмой для гексагональной сингонии;
‒ если исходная грань кристалла будет занимать общее
положение (произвольно по отношению к оси симметрии n-го порядка и произвольно к плоскостям симметрии), то при повороте этой грани кристалла n раз
на элементарный угол оси и совершении тем самым полного оборота вокруг оси симметрии образовавшийся
кристалл будет являться пирамидой с основанием в виде
правильного шестиугольника для гексагональной сингонии, квадрата для тетрагональной сингонии и правильного треугольника для тригональной сингонии.
Действие плоскостей симметрии приведет к удвоению
граней (каждая грань кристалла как бы «преломится»
на две), и формой кристалла будет служить дитригональная пирамида для тригональной сингонии, дитетрагональная пирамида для тетрагональной сингонии, дигексагональная пирамида для гексагональной сингонии [2].
Таким образом, простыми частными формами планальных
классов кристаллов средней категории являются: моноэдр для
гексагональной, тетрагональной и тригональной сингонии,
гексагональная призма для гексагональной сингонии, тетрагональная призма для тетрагональной, тригональная призма
для тригональной, дигексагональная призма для гексагональной сингонии, дитетрагональная призма для тетрагональной,
дитригональная призма для тригональной, гексагональная пирамида для гексагональной сингонии, тетрагональная пирамида
для тетрагональной, тригональная пирамида для тригональной.
Простыми общими формами планальных классов кристаллов
средней категории являются: дигексагональная пирамида для
гексагональной сингонии, дитетрагональная пирамида для тетрагональной сингонии, дитригональная пирамида для тригональной сингонии. Все эти формы являются открытыми [2].
109

110

Графическое
отображение
формы

Характери‑
стики формы
кристаллов

исходная
грань ⊥ L4

сечение призмы

стереографическая проекция
элементов симметрии
и схематичное расположение
граней по отношению к ним

исходная грань ‖ L4

сечение пирамиды

исходная грань
в общем положении
(наклонена к оси
симметрии)
исходная грань ‖ L4
и произвольно к Р

сечение призмы

действие + действие конечная
только L4 плоскостей
форма
симметрии кристалла

Положение исходной грани

Возможные простые частные и общая формы кристаллов
планального класса тетрагональной сингонии

сечение
пирамиды

исходная
грань в общем
положении
(наклонена
к оси симметрии
и плоскостям
симметрии)

Таблица 5.11

5. Геометрическая кристаллография

Описание
формы

Характери‑
стики формы
кристаллов

Моноэдр
частная
форма,
открытая

исходная
грань ⊥ L4

Тетрагональная призма
частная форма, открытая
(т. к. отсутствуют верхняя
и нижняя «крышки» призмы)

исходная грань ‖ L4

Тетрагональная
пирамида
частная форма,
открытая
(т. к. отсутствует
основание
пирамиды)

исходная грань
в общем положении
(наклонена к оси
симметрии)
исходная грань ‖ L4
и произвольно к Р

Дитетрагональная призма
частная форма, открытая
(т. к. отсутствуют верхняя
и нижняя «крышки» призмы)

Положение исходной грани

Дитетрагональная пирамида
общая форма,
открытая
(т. к. отсутствует
основание
пирамиды)

исходная
грань в общем
положении
(наклонена
к оси симметрии
и плоскостям
симметрии)

Окончание табл. 5.11

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

111

5. Геометрическая кристаллография

Аксиальные классы получаем, добавляя к порождающей оси
симметрии n-го порядка ось 2‑го порядка, перпендикулярную
к порождающей оси (табл. 5.12) [24]. Тогда по теореме 3 таких
осей будет n штук.
Таблица 5.12

Аксиальный
класс
гексагональной
сингонии

L4 + L2 ⊥ L4 L2 ⊥ L4 еще
(n − 1) шт.
(т. е. 3 шт.)

L44L2

422

Аксиальный
класс
тетрагональной
сингонии

L3 + L2 ⊥ L3 L2 ⊥ L3 еще
(n − 1) шт.
(т. е. 3 шт.)

L33L2

32

Аксиальный
класс
тригональной
сингонии

Название класса
симметрии

622

Стереографическая
проекция элементов
симметрии

Международный
символ

L66L2

Порожденный
элемент симметрии

L6 + L2 ⊥ L6 L2 ⊥ L6 еще
(n − 1) шт.
(т. е. 5 шт.)

Порождающий
элемент симметрии

Формула симметрии

Комплексы
элементов симметрии

Сочетания элементов симметрии
в классах средней категории аксиального класса

Подробного описания получения всех возможных простых
форм кристаллов аксиальных классов средней категории приводить не будем. В табл. 5.13 покажем эти простые формы для
тетрагональной сингонии.
Общей формой кристаллов аксиального класса тетрагональной сингонии служит тетрагональный трапецоэдр.

112

Описание
формы

Графическое
отображение
формы

Характери‑
стики формы
кристаллов

Пинакоид
частная
форма,
открытая

исходная
грань ⊥ L4

Тетрагональная
призма
частная форма,
открытая

сечение призмы

исходная
грань ‖ L4 и ⊥ L2

Дитетрагональная
призма
частная форма,
открытая

сечение призмы

исходная
грань ‖ L4
и произвольно к L2

Тетрагональная
бипирамида
частная форма,
закрытая

исходная грань
произвольно
к L4 и ⊥ L2

Положение исходной грани

Возможные простые частные и общая формы кристаллов
аксиального класса тетрагональной сингонии

Тетрагональный
трапецоэдр
общая форма,
закрытая

исходная грань
в общем положении
(наклонена к оси
симметрии и осям
2‑го порядка)

Таблица 5.13

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

113

5. Геометрическая кристаллография

Грани трапецоэдра — четырехугольники с двумя равными
смежными сторонами. Эти грани расположены под косыми
углами к главной оси и составляют неравные углы с осями 2,
перпендикулярными главной оси [2]. Верхняя и нижняя «пирамидки» трапецоэдров, связанные друг с другом поворотом вокруг оси 2, повернуты друг относительно друга на угол, не фиксированный операциями симметрии кристалла.
Планаксиальные (аксиально-­центральные, центрально-­планальные)
классы симметрии получаем, добавляя к порождающей оси n-го
порядка центр симметрии, ось 2‑го порядка, перпендикулярную к порождающей оси, и плоскость симметрии, проходящую
вдоль порождающей оси (табл. 5.14) [24].
При добавлении центра симметрии, если ось симметрии является четной, то по теореме 2 возникает и плоскость симметрии, перпендикулярная этой оси (в данном случае возникает
горизонтальная плоскость, идущая вдоль осей X и Y). Сочетание оси 3‑го порядка и центра симметрии привело к инверсионной оси 3.
Добавление к порождающей оси симметрии n-го порядка
хотя бы одной перпендикулярно направленной оси 2‑го порядка, согласно теореме 3, приведет к возникновению в кристалле
и других осей 2‑го порядка, перпендикулярных порождающей,
в количестве n шт. (для всех осей 2‑го прядка).
Кроме того, добавление к порождающей оси симметрии
n-го порядка плоскости симметрии, проходящей вдоль нее,
согласно теореме 4, приведет к возникновению в кристалле
и других плоскостей симметрии, проходящих вдоль порождающей оси, при этом всего таких плоскостей симметрии будет n шт.
Все возможные простые формы кристаллов центрально-­
аксиальных классов средней категории приводить не будем.
В табл. 5.15 приведены эти простые формы для тетрагональной сингонии.

114

L66L27РС

L44L25РС

L33L23РС ≡
≡ 3L23Р

Порожденный элемент
симметрии

P ⊥ L6; L2 ⊥ L6 еще
(n − 1) шт. (т. е. 5 шт.);
P ‖ L6 (n − 1) шт. (т. е. 5 шт.)

P ⊥ L4; L2 ⊥ L4 еще
(n − 1) шт. (т. е. 3 шт.);
P ‖ L4 (n − 1) шт. (т. е. 3 шт.)

L2 ⊥ L3 еще (n − 1) шт.
(т. е. 3 шт.); P ‖ L3 (n − 1) шт.
(т. е. 2 шт.)

L6 + С +
+ L2 ⊥ L6 +
+ P ‖ L6

L4 + С +
+ L2 ⊥ L4 +
+ P ‖ L4

L3 + С +
+ L2 ⊥ L3 +
+ P ‖ L3

Комплексы
элемен‑
Формула
тов симме‑ симметрии
трии

Порождаю‑
щий
элемент
симметрии

3m

4
mm
m

6
mm
m

Между­
народный
символ

Аксиально-­
центральный
класс
тригональной
сингонии

Аксиально-­
центральный
класс
тетрагональной
сингонии

Аксиально-­
центральный
класс
гексагональной
сингонии

Стереогра‑
фическая
проекция Название класса
элемен‑
симметрии
тов симме‑
трии

Сочетания элементов симметрии
в классах средней категории планаксиального класса

Таблица 5.14

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

115

116

Описание
формы

Графическое
отображение
формы

Характери‑
стика формы
кристаллов

Пинакоид
частная
форма,
открытая

исходная
грань ⊥ L4

Тетрагональная
призма
частная форма,
открытая

сечение призмы

исходная
грань ‖ L4
и ⊥ L2 и ⊥ Р

Дитетрагональная
призма
частная форма,
открытая

сечение призмы

исходная грань ‖ L4
и произвольно к L2,
произвольно
кР

Тетрагональная
бипирамида
частная форма,
закрытая

исходная грань
произвольно
к L4 и ⊥ L2
и⊥Р

Положение исходной грани

Возможные простые частные и общая формы кристаллов
планаксиального класса тетрагональной сингонии

Дитетрагональная
бипирамида
общая форма,
закрытая

сечение пирамиды

исходная грань
в общем положении
(наклонена к оси
симметрии, осям
2‑го порядка
и плоскости симметрии)

Таблица 5.15

5. Геометрическая кристаллография

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

Общей формой кристаллов центрально-­аксиального класса
тетрагональной сингонии служат дитетрагональные пирамиды.
Инверсионно-­примитивные классы — классы, в которых
есть единственная инверсионная ось n-го порядка (табл. 5.16).
Инверсионно-­примитивный класс тригональной сингонии
выведен ранее, и он эквивалентен центральному классу тригональной сингонии.
Таблица 5.16

Формула симметрии

Международный
символ

—

L6

6

Инверсионно-­
примитивный
класс
гексагональной
сингонии

L4

—

L4

4

Инверсионно-­
примитивный
класс
тетрагональной
сингонии

Название класса
симметрии

Порожденный
элемент симметрии

L6

Стереографическая
проекция элементов
симметрии

Порождающий
элемент симметрии

Комплексы
элементов симметрии

Сочетания элементов симметрии в классах
средней категории инверсионно-­примитивного класса

В табл. 5.17 приведены простые формы инверсионно-­
примитивного класса тетрагональной сингонии.
Общей формой кристаллов инверсионно-­примитивного
класса тетрагональной сингонии служат тетрагональные тетраэдры. Тетраэдр — это замкнутый четырехгранник. Грани тетрагонального тетраэдра — равнобедренные треугольники, а сечение, нормальное к оси 4, — квадрат (тетрагон) [2].
117

5. Геометрическая кристаллография

Таблица 5.17
Возможные простые частные и общая формы кристаллов
инверсионно-­примитивного класса тетрагональной сингонии
Положение исходной грани
Характери‑
стика формы
кристаллов

исходная
грань ⊥ L4

исходная
грань ‖ L4

исходная
грань в общем
положении
(наклонена к оси
симметрии)

Графическое
отображение
формы

сечение призмы
Описание
формы

Пинакоид
частная форма,
открытая

Тетрагональная
призма
частная форма,
открытая

Тетрагональный
тетраэдр
общая форма,
закрытая

Инверсионно-­планальные классы получаются, если к порождающей инверсионной оси добавить плоскости, проходящие
вдоль нее [24].
При этом зная, что L 4 ≡ L2 и L 6 ≡ L3, по теореме 4 плоскостей симметрии, проходящих вдоль инверсионных осей, будет
в сумме 2 шт. для L 4 и 3 шт. для L 6.
А по теореме 6 образуются оси 2‑го порядка по биссектрисам к плоскостям симметрии, и в итоге возникает только два
класса: L 6 3L2 3P = L3 3L2 4P , L 4 2L2 2P (табл. 5.18).
В табл. 5.19 покажем простые формы инверсионно-­
планального класса тетрагональной сингонии.
118

L4 + P  L4

P  L 6 еще 2 шт.

L6 + P  L6

(т. к. L 4 ≡ L2 ); L2  L 4
по биссектрисам
к плоскостям
симметрии (2 шт.)

P  L 4 еще 1 шт.

(т. к. L 6 ≡ L3 ); L2  L 6
по биссектрисам
к плоскостям
симметрии (3 шт.)

Порожденный
элемент симметрии

Порождаю‑
щий
элемент
симметрии
Комплексы
элементов
симметрии

L 4 2L2 2P

L 6 3L2 3P

42m

6m2

Между‑
Формула
народ‑
симметрии
ный
символ

Стереогра‑
фическая
проекция
элементов
симметрии

Сочетания элементов симметрии в классах
средней категории инверсионно-­планального класса

Инверсионно-­
планальный класс
тетрагональной
сингонии

Инверсионно-­
планальный класс
гексагональной
сингонии

Название класса
симметрии

Таблица 5.18

5.4. Вывод и описание классов симметрии (ТГС) средней категории

119

120

Описание
формы

Графическое
отображение
формы

Характери‑
стика формы
кристаллов

Пинакоид
частная
форма,
открытая

исходная
грань ⊥ L 4

Тетрагональная
призма
частная форма,
открытая

сечение призмы

исходная грань
‖ L4 и ⊥ Р
или исходная грань
‖ L 4 и ⊥ L2

Дитетрагональная
призма
частная форма,
открытая

сечение призмы

исходная грань
L 4 и произвольно
к L2, произвольно к Р

‖

Тетрагональная
бипирамида
частная форма,
закрытая

исходная грань
произвольно
к L 4 и ⊥ L2

Положение исходной грани

Тетрагональный
тетраэдр
частная форма,
закрытая

исходная грань
произвольно
к L4 и ‖ Р

Возможные простые частные и общая формы кристаллов
инверсионно-­планального класса тетрагональной сингонии

Тетрагональный
скаленоэдр
общая форма,
закрытая

исходная грань
в общем положении
(наклонена
к инверсионной
оси симметрии,
плоскостям
симметрии, осям
2‑го порядка)

Таблица 5.19

5. Геометрическая кристаллография

5.5. Основные формулы структурной кристаллографии

Общей формой кристаллов инверсионно-­планального
класса тетрагональной сингонии служат тетрагональные скаленоэдры. Тетрагональный скаленоэдр можно описать как
дитетрагональный тетраэдр («преломленный тетрагональный
тетраэдр»), т. е. как форму, полученную удвоением граней тетрагонального тетраэдра. При этом удвоение граней тетраэдра
происходит так, что грань делится пополам вдоль нормальной
к ней плоскости симметрии. Поэтому в скаленоэдрах верхняя и нижняя пирамиды повернуты друг относительно друга
на угол, равный половине элементарного угла поворота вокруг
главной оси. Пара верхних граней расположена симметрично
между двумя парами нижних граней. В этом состоит характерное отличие скаленоэдров от трапецоэдров и дипирамид [2].
В итоге для классов средней категории имеем 19 классов
симметрии.
Вывод и описание классов симметрии высшей категории
проводятся по тем же принципам, что и для классов симметрии
средней категории, описанным выше.
Все простые формы кристаллов в высшей категории закрытые. Основными из этих форм являются гексаэдр (куб), октаэдр, тетраэдр. Остальные простые формы кубической сингонии можно получить из этих, удваивая, утраивая, учетверяя,
ушестеряя число их граней [2].

5.5. Основные формулы структурной
кристаллографии
Межплоскостное расстояние d hkl для серии плоскостей
(hkl) — это кратчайшее расстояние (т. е. определяемое по нормали к плоскостям) между ближайшими одинаковыми плоскостями атомов (ионов) в кристалле. Его можно определить
по формулам [13]:
a2
2
;
‒ для кубической сингонии: dhkl  2
h  k2  l 2
121

5. Геометрическая кристаллография

1
.
4 h  hk  k 2 l 2
 2
3
a2
c
Объем элементарной ячейки вычисляется по формулам [13]:
3
‒ для кубической сингонии: V = a ;
2
‒ для гексагональной сингонии: V = 0, 86a c.
Угол φ между двумя плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) [13]:
h1h2  k1k2  l1l2
.
‒ для кубической сингонии: cos   2
h1  k12  l12 h22  k22  l22
2
‒ для гексагональной сингонии: dhkl 

2

Безусловно, здесь не перечислены основные формулы для
нахождения межплоскостных расстояний и углов между плоскостями в кристаллах, объемов их элементарных ячеек для таких сингоний, как триклинная, моноклинная, ромбическая,
тригональная и тетрагональная, но эти формулы можно найти в справочнике [32].

Вопросы для самопроверки к главе 5
1. Что такое плоскость симметрии?
2. Что понимают под осью симметрии, и каких видов она
бывает?
3. Чем отличаются друг от друга элементы симметрии
I и II рода?
4. Какие сочетания элементов симметрии невозможны
в кристаллах?
5. Перечислите существующие кристаллографические категории. По какому принципу кристаллы разделяются на эти
категории?
6. По какому признаку происходит объединение в сингонии?
7. Что такое ТГС? Каким образом может быть записана ТГС?
8. Какие элементы симметрии содержит примитивный
класс симметрии?
122

Вопросы для самопроверки к главе 5

9. Что такое простая форма? Назовите отличие общих
и частных форм кристаллов.
10. Как образуется центральный класс симметрии?
11. Образование планального класса. Какие простые формы возможны для этого класса?
12. Как получить аксиальный и планаксиальный классы
симметрии?
13. Что такое межплоскостное расстояние?

123

6
СИММЕТРИЯ
СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ
(ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА)

Основное свой­ство идеальной кристаллической структуры
и характеризующей ее пространственной решетки — бесконечная периодичность: узлы кристаллической решетки повторяются в пространстве через определенный промежуток.

6.1. Элементы симметрии
кристаллических структур
Рассматривая кристаллическую структуру, а именно конкретное расположение всех атомов в кристалле, так же, как и при
рассмотрении внешней формы кристалла, можно отметить существование таких элементов симметрии, как плоскости симметрии, простые и инверсионные оси симметрии 1‑го, 2‑го, 3‑го,
4‑го и 6‑го порядков, центр симметрии. Но, кроме того, существуют такие элементы симметрии, которые возможны только
в кристаллических структурах, они рассматриваются как бесконечно повторяющиеся ряды, сетки, решетки из частиц, связанных между собой симметричными преобразованиями [4].
Трансляция

Самым характерным элементом симметрии кристаллических структур является трансляция (рис. 6.1) — это бесконечно
124

6.1. Элементы симметрии кристаллических структур

повторяющийся перенос фрагмента (узла) кристаллической решетки вдоль одной прямой на одно и то же определенное расстояние (период трансляции). Трансляционный вектор всегда
показывает направление и величину сдвига.
а

а
б

а
Рис. 6.1. Примеры симметричных

бесконечных рядов с трансляцией a [26]:
а — из атомов одного сорта; б — из двух сортов атомов

Любую трехмерную кристаллическую решетку всегда можно описать тройкой некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) трансляционных векторов. Минимальный среди них
по длине вектор называют минимальным трансляционным век
тором и обозначают, как правило, вектором a.
Минимальные трансляционные векторы для элементарных
ячеек кубической сингонии приведены на рис. 6.2 [5].
а

𝒂𝒂 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

б

𝒂𝒂
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐

в

𝒂𝒂
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐

Рис. 6.2. Минимальный трансляционный вектор
для элементарных ячеек кубической сингонии:
а — примитивная ячейка;
б — ОЦК-ячейка; в — ГЦК-ячейка
125

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

Сочетание операции трансляции совместно с плоскостями
симметрии приводит к возникновению новых элементов симметрии кристаллических структур: плоскости скользящего отражения, клиноплоскости, алмазной плоскости.
Плоскость скользящего отражения

Плоскость скользящего отражения — это совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельной
ей трансляции — переноса на величину,
равную половине пе 

a b
c
риода трансляции (например, на , или ) (рис. 6.3) [5].
2 2
2
а

б

a
2

m

Отражение

a
Отражение и последующий сдвиг
вдоль плоскости на половину трансляции

Рис. 6.3. Преобразования симметрии
кристаллических структур:
а — действие плоскости симметрии m;
б — действие плоскости скользящего отражения типа а

126

6.1. Элементы симметрии кристаллических структур

Плоскости скользящего отражения, как правило, обозначают символами:
‒ а, если после отражения в плоскости скольжение направлено соответственно вдоль оси X (т. е. параллельно


a
трансляции a ) на величину ;
2
‒ b, если после отражения в плоскости скольжение направлено соответственно вдоль
 оси Y (т. е. параллельно

b
трансляции b ) на величину ;
2
‒ c, если после отражения в плоскости скольжение направлено соответственно вдоль оси Z (т. е. параллельно


c
трансляции c ) на величину
[2].
2
Плоскости скользящего отражения можно найти в кристаллической структуре NaCl (рис. 6.4): ион Na (маленький кружок) совместится с другим ионом Na, если его отразить в плоскости скользящего отражения (совершить первое действие
от 1 → 2) и перенести параллельно этой плоскости вдоль одной
из осей на величину, равную половине трансляции (совершить
второе действие 2 → 3).
При таком преобразовании происходит симметричное совмещение друг с другом и всех остальных ионов Na, а также
и всех ионов Сl (большие кружки). Плоскости скользящего
отражения на чертежах, как правило, изображают пунктирными линиями.
При отражении атома и последующем его сдвиге вдоль плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 6.5), чтобы показать, что атом после всех действий (1 → 2 → 3) распо1
ложен над плоскостью чертежа, около него пишут , при этом
2
плоскость скользящего отражения на чертеже изображают линией, состоящей из точек [2].
127

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

а

б

в

Z
1

2

a
2

Y

3
1

2
3

X

a
2

Y

a

X

(001)

г

д
Z
Y
1
2

1
2

X

Y
b
2

3

X

3

b

b
2

(001)

Рис. 6.4. Примеры плоскостей скользящего
отражения в структуре NaCl:
а — структура NaCl; б — действие плоскости скользящего
отражения типа a; в — проекция плоскости скользящего
отражения типа a, приведенной на б, на плоскость (001);
г — действие плоскости скользящего отражения типа b;
д — проекция плоскости скользящего отражения типа b,
приведенной на г, на плоскость (001)
128

6.1. Элементы симметрии кристаллических структур

а

б

a ,b
2 2

a, b

a, b

1
2

с

Рис. 6.5. Действие плоскостей скользящего отражения:
а — отражение и последующий сдвиг вдоль плоскости
чертежа; б — отражение и последующий сдвиг
перпендикулярно плоскости чертежа

При следующем отражении атом сместится еще на 1/2
вдоль оси Z, это указывать уже не нужно, т. к. от исходного
атома отраженный атом повторяется уже через целый период трансляции.
Клиноплоскость

Клиноплоскость — это совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельного ей переноса на величину,
равную половине суммы двух трансляций (например,
 
   
a +�c
a +� b b +� c
на
,
или �
).
2
2
2
Клиноплоскость, как правило, на чертежах обозначают символом n и изображают штрихпунктирными линиями.
Клиноплоскость можно обнаружить, например, в объемно-­
центрированной кубической решетке (рис. 6.6).
Атом в вершине ячейки можно совместить с атомом в центре, если осуществить одновременно отражение в плоскости n
129

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

а

б
Z

2

3
2

3

b+c
2

1

Y

b+c
2

𝟏𝟏
𝟐𝟐

n

1

Y

X

(001)

Х

Рис. 6.6. Пример клиноплоскости в ОЦК-структуре:

 
b +� c
а — действие клиноплоскости типа
; б — проекция
 
2
b +� c
клиноплоскости типа
, приведенной на а, на плоскость (001)
2

(совершить первое действие от 1 →
 2) и скольжение
  параллельb
c
b +� c
но этой плоскости на величину + , т. е.
(совершить
2 2
2
второе действие 2 → 3).
Алмазная плоскость

Компоненты скольжения для алмазных плоскостей, обозначаемых на чертежах символом d и штрихпунктирными линиями со значками, указывающими направления скольжения,
рав   
a +� b b +� c
ны четверти суммы двух трансляций (например,
,
 
4
4
a +�c
или �
).
4
Элементарная ячейка структуры алмаза (рис. 6.7) — это
ГЦК-ячейка, внутри которой есть еще четыре атома — два
1
3
на высоте и два на высоте , причем высота измеряется в до4
4
лях параметра ячейки по оси с. Атомы размещаются в центрах
130

6.1. Элементы симметрии кристаллических структур

октантов, на которые мысленно можно разбить куб, проведя
плоскости через середины граней параллельно координатным
плоскостям [2].
Алмазные плоскости можно обнаружить в структуре алмаза (рис. 6.8).

Рис. 6.7. Элементарная ячейка структуры алмаза
а

б
2
1
3
𝟏𝟏
𝟐𝟐

3

1

𝒂𝒂 + 𝒄𝒄
𝟒𝟒

X

d

Y
𝟑𝟑
𝟒𝟒

𝟏𝟏
𝟒𝟒

𝟑𝟑
𝟒𝟒

2

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟏𝟏
𝟒𝟒

𝟏𝟏
𝟐𝟐

(001)

Рис. 6.8. Пример алмазной плоскости в структуре алмаза:

 
a +�c
а — действие алмазной плоскости типа �
; б — проекция алмазной
 
4
a +�c
плоскости типа �
, приведенной на а, на плоскость (001)
4

131

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

Атом, находящийся в вершине куба, можно совместить
с атомом в центре октанта, если отразить его в плоскости d (со 
a +�c
вершить первое действие от 1 → 2) и сместить на величину �
4
(совершить второе действие 2 → 3).
Винтовые оси симметрии

Винтовая ось симметрии — это совокупность оси симметрии
и последующего сдвига параллельно этой оси.
Винтовые оси могут быть следующих порядков: 1‑го (поворот на 360°), 2‑го (поворот на 180°), 3‑го (поворот на 120°), 4‑го
(поворот на 90°), 6‑го (поворот на 60°).
Различают правые и левые винтовые оси. В случае правой
винтовой оси перемещение вдоль оси сопряжено с вращением
по часовой стрелке, в случае левой — против часовой стрелки [2].
Винтовая ось обозначается двумя цифрами, например 61
(рис. 6.9). Большая цифра указывает порядок оси. Величина переноса вдоль оси, выраженная через элементарную трансляцию вдоль этой оси, равна частному от деления цифры, стоящей в индексе (1), на большую (6), т. е. для оси 61 величина
1
сдвига равна [2].
6
Винтовая ось симметрии встречается в структуре алмаза.
Например, атом в центре нижней грани (рис. 6.10) и близлежащие атомы на высотах ¼, 2/4 (т. е. ½), ¾ могут совместиться
друг с другом при повороте вокруг оси 4‑го порядка и одновременном их переносе параллельно этой оси, как по винту — на ¼
периода трансляции, т. е. это винтовая ось 41.
Для винтовой оси 21 правые и левые повороты приводят
к одному результату, т. е. правая 21 ось эквивалентна левой 21,
или, иначе говоря, ось 21 нейтральна.
Эквивалентность правой 3 1 и левой 3 2 осей видна
из рис. 6.11: левая ось 32 переводит точку в такие же положения, как и правая 31 [5].
132

6.1. Элементы симметрии кристаллических структур

а

б

в

г

𝟓𝟓
𝟔𝟔

𝟒𝟒
𝟔𝟔

𝟑𝟑
𝟔𝟔
𝟏𝟏
𝟔𝟔

(001)

(001)

𝟐𝟐
𝟔𝟔

Рис. 6.9. Действие осей 6‑го порядка в кристаллической
структуре с гексагональной решеткой:
а — поворотной оси 6‑го порядка; в — левой винтовой оси 61;
б, г — соответствующие при действии оси а и в проекции
кристаллических структур на плоскость (001)
а

б

𝟒𝟒𝟏𝟏

2

5
4

3

3

2

X

𝟏𝟏
𝟒𝟒

𝟒𝟒𝟏𝟏

𝟏𝟏
𝟐𝟐

4
1

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟑𝟑
𝟒𝟒

Y
𝟑𝟑
𝟒𝟒

1

𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟏𝟏
𝟒𝟒

𝟏𝟏
𝟐𝟐

(001)

Рис. 6.10. Пример винтовой оси
в кристаллической структуре алмаза:
а — действие левой винтовой оси 41; б — проекция левой
винтовой оси 41, приведенной на а, на плоскость (001)

133

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

а

б
𝟑𝟑𝟏𝟏 правая
𝟑𝟑𝟐𝟐 левая

4

3
2

𝟏𝟏
𝟑𝟑

𝟐𝟐
𝟑𝟑

(001)

1
Рис. 6.11. Действие винтовых осей
симметрии 3‑го порядка:
а — правой 31 и левой 32 (они эквивалентны);
б — проекция правой 31 и левой 32 винтовых осей,
приведенных на а, на плоскость (001)

Правая ось 41 эквивалентна левой 43, так же как левая 41 эквивалентна правой 43. Винтовая ось 42 нейтральна, при этом она
является одновременно простой поворотной осью 2‑го порядка (но не наоборот!).
Левая ось 61 равнозначна правой 65 и обратно, так же как
левая 62 равнозначна правой 64 и обратно. Ось 63 является
нейтральной, т. к. здесь правый и левый повороты приводят
к одинаковому результату. Оси 62 и 64 одновременно являются осями 2, а ось 63 есть одновременно простая ось 3 (но не наоборот!) [2].
Эквивалентность соответствующих правых и левых винтовых осей позволяет при описании симметрии структур пользоваться только правыми или только левыми осями [2].
При рассмотрении дальнейшего материала всегда пользуемся только левыми винтовыми осями, т. е. поворот осуществляем против часовой стрелки.

134

6.2. Плоские (двумерные) сетки (решетки)

6.2. Плоские (двумерные) сетки (решетки).
Элементарная и примитивная ячейки.
Решетки Браве
Образующие кристаллическую структуру материальные
частицы (атомы, ионы, молекулы) располагаются в пространстве закономерно и повторяются в строго определенных направлениях, через определенные промежутки [19]. Пространственной решеткой называется геометрическая схема, которая
будет описывать точное расположение материальных частиц
в кристалле. Такая решетка должна быть построена на трех
основных некомпланарных (не лежащих в одной плоскости)
трансляциях или параметрах решетки а, b и с. Исходя из этого,
в зависимости от величины и взаимного расположения транс 

ляций a , b и c , пространственные решетки могут обладать
различной симметрией. Число возможных решеток в данном
случае всегда ограничивается симметрией исходной кристаллической структуры.
Узел — точка пересечения трансляций, слагающих пространственную решетку [2].
Три элементарные трансляции решетки определяют
элементарную ячейку, или параллелепипед повторяемости
(рис. 2.6, 2.7).
Все многообразие кристаллических структур может быть
описано с помощью 14 типов решеток, которые отличаются
формами элементарных ячеек и симметрией, а также подразделяются на семь кристаллографических сингоний. Эти решетки получили название решетки Браве.
Решетка Браве представляет собой совокупность трансляций, которые характеризуют расположение материальных частиц в пространстве.
Для того чтобы выбрать ячейку Браве, необходимо использовать три условия:
1) симметрия элементарной ячейки должна полностью соответствовать симметрии кристалла (т. е. элементарная
135

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

ячейка должна иметь все элементы симметрии (оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии), как
кристалл в целом). Трансляциями решетки являются ребра элементарной ячейки;
2) элементарная ячейка выбирается таким образом, что
содержит максимально возможное количество прямых
углов или же равных углов и равных ребер;
3) элементарная ячейка должна всегда выбираться минимальной по объему.
Выполнение всех этих условий должно происходить только
строго последовательно, т. е. при выборе элементарной ячейки сначала выполняется первое условие, затем второе, а только после него третье.
Напомним, пример выбора элементарной ячейки в плоской
двумерной сетке подробно рассматривался в гл. 2 (рис. 2.4).
Перейдем к разбору всех возможных типов ячеек Браве для
любых двумерных решеток.
Двумерная решетка должна быть определена парой транс

ляций a и b , а плоскость при этом должна заполняться ячейками плоской сетки атомов без каких‑либо промежутков.
По этой причине в плоской сетке атомов могут существовать
только повороты вокруг осей 1‑го, 2‑го, 3‑го, 4‑го и 6‑го порядков, перпендикулярных этой плоской сетке атомов, и отражения в плоскостях симметрии, тоже перпендикулярных
плоской сетке.
 
Все возможные значения трансляций a� , b� и угла между
ними γ, а следовательно, и все типы элементарных ячеек Браве, которые возможны в плоских сетках, показаны на рис. 6.12.


Двумерная решетка с неодинаковыми сторонами a ≠ b�
и углом между ними γ ≠ 90° (рис. 6.12, а) отвечает точечным
группам симметрии 1 (у решетки имеется только ось симметрии 1‑го порядка) и 2 (у решетки имеется только ось симметрии 2‑го порядка).


Чтобы двумерная решетка была квадратной a� = b , γ = 90°
(рис. 6.12, б), необходимо наличие оси симметрии 4‑го порядка,
136

6.2. Плоские (двумерные) сетки (решетки)

а

б

1

4

или

или

2

в

г

3

m

или

4mm

3m

или

mm2

или

6
или

6mm

Рис. 6.12. Пять типов двумерных решеток Браве
для плоских сеток атомов с элементами симметрии [2]:
а — для ТГС 1 и 2; б — для ТГС 4 и 4mm;
в — для ТГС 3, 3m, 6 и 6mm; г — для ТГС m и mm2

которая может встречаться в точечных группах симметрии 4
(у решетки имеется только ось симметрии 4-го порядка) и 4mm
(у решетки имеется ось симметрии 4-го порядка и 4 плоскости
симметрии).
Гексагональная решетка с элементарной ячейкой в фор

ме ромба a = b , γ = 120° (рис. 6.12, в) отвечает плоским точечным группам 3 (у решетки имеется только ось симметрии 3-го
порядка), 3m (у решетки имеется ось симметрии 3-го порядка
и 3 плоскости симметрии), 6 (у решетки имеется только ось
симметрии 6-го порядка) и 6mm (у решетки имеется ось симметрии 6-го порядка и 6 плоскостей симметрии).
137

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)



Прямоугольная решетка с прямоугольной ячейкой a ≠ b ,
γ = 90° (рис. 6.12, г) соответствует плоским точечным группам
m (у решетки имеется только плоскость симметрии) и mm2 (у решетки имеется ось симметрии 2‑го порядка и 2 плоскости симметрии). При этом этим же группам отвечает еще одна прямоугольная сетка, в которой также a ≠ b, γ = 90°, но элементарная
ячейка не примитивная, а центрированная (рис. 6.12, д): в центре такой элементарной ячейки
есть узел, который будет опре 
a+b
деляться трансляциями
. Для такой ячейки можно было бы
2
выбрать элементарную ячейку в форме ромба, но выбор центрированной ячейки удовлетворяет первым двум условиями,
а примитивная ячейка в форме ромба — только третьему.
Итак, в конечном итоге мы получаем, что для двумерных
решеток имеется всего пять двумерных ячеек Браве. Аналогичным способом выводятся 14 решеток Браве для трехмерного пространства [2; 5].
По характеру взаимного расположения основных трансляций или расположению узлов все кристаллические решетки
Браве разбиваются на четыре типа: примитивные (обозначаются Р), базоцентрированные (А, В или С), объемноцентрированные (I), гранецентрированные (F) [2].
В примитивной Р-ячейке узлы решетки располагаются только по вершинам ячейки, а в сложных ячейках появляются дополнительные узлы:
‒ для объемноцентрированной I-ячейки — один узел
в центре ячейки;
‒ для гранецентрированной F-ячейки — по одному узлу
в центре каждой грани;
‒ для базоцентрированных А-, В- и С-ячеек — по одному
узлу в центрах пары параллельных граней [5].
Примитивная ячейка — это ячейка, внутри которой нет узлов. Каждый узел, который находится в вершине такой ячейки, лежит не только в этой ячейке, но еще и в трех соседних,
138

6.2. Плоские (двумерные) сетки (решетки)

т. е. он одновременно принадлежит всем четырем смежным
ячейкам, а следовательно, на данную ячейку приходится один
полный узел. Примитивную ячейку можно выбрать по-разному, но все площади примитивных ячеек будут одинаковы вне
зависимости от формы ячеек (доказательства этого факта подробно приведены в гл. 2).
Базоцентрированная ячейка А — это ячейка, у которой цен
трирована пара граней, перпендикулярных трансляции a (оси Х)
(рис. 6.13, а).
Базоцентрированная ячейка B — это ячейка, у которой цен
трирована пара граней, перпендикулярных трансляции b (оси Y)
(рис. 6.13, б).
Базоцентрированная ячейка C — это ячейка, у которой
 цен�
c
трирована пара граней, перпендикулярных трансляции (оси Z)
(рис. 6.13, в).
а

б

в

Рис. 6.13. Базоцентрированные ячейки:
а — типа А; б — типа В; в — типа С

Основные ячейки, характеризующие сингонии кристалла, —
это примитивные ячейки Браве. При определенных соотноше  
ниях a , b , c , α, β, γ выгоднее пользоваться сложными (F, I, A,
B, C), а не примитивными ячейками, т. к. они лучше отражают
симметрию структуры [2].
Для того чтобы в структуре выделить элементарную ячейку
 
Браве, необходимо найти три кратчайшие трансляции — a , b

и c , — некомпланарные друг другу, при этом каждая трансля139

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

ция должна начинаться и кончаться на одинаковых узлах. Далее, следует проверить выполнение основных требований:
1) возможно ли на этих трансляциях построение ячейки, отвечающей всем трем основным правилам выбора ячейки Браве;
2) все ли частицы в структуре могут быть получены при помощи такого набора трансляций.
В общем случае каждой сингонии могут отвечать решетки
всех четырех типов (примитивная, объемноцентрированная,
базоцентрированная и гранецентрированная), однако на деле
во всех сингониях, кроме ромбической, число возможных решеток Браве сокращается за счет сведения одних типов решеток к другим [2].
Итак, начнем с кубической сингонии.
В кубической сингонии (a = b = с, α = β = γ = 90°) существуют
только три типа решеток Браве — примитивная, гранецентрированная (ГЦК) и объемноцентрированная (ОЦК) (табл. 6.1).
В кубической сингонии не может быть базоцентрированной
решетки: если пара граней кубической элементарной ячейки
оказывается центрированной (например, имеем базоцентрированную решетку типа С, у которой центрированы верхнее
и нижнее основания, рис. 6.14, а), то на основании кубической
симметрии центрируются все остальные грани (а именно: наличие горизонтальной оси симметрии 4‑го порядка — поворот ячейки на 90° вокруг горизонтальной оси (6.14, б) — приведет к центрированию передней и задней грани (рис. 6.14, в);
наличие вертикальной оси симметрии 4‑го порядка (6.14, г) —
поворот ячейки на 90° вокруг вертикальной оси — приведет
к центрированию правой и левой боковых граней (рис. 6.14, д)),
и вместо базоцентрированной ячейки получается гранецентрированная.
В тетрагональной сингонии (a = b ≠ с, α = β = γ = 90°) существуют два типа решеток Браве — примитивная и объемноцентрированная (ОЦТ) (табл. 6.1).
В тетрагональной сингонии не может быть базоцентрированной решетки: если верхнее и нижнее основания тетрагональной
140

6.2. Плоские (двумерные) сетки (решетки)

а

б

в
90°

г

д
90°

Рис. 6.14. Невозможность существования
базоцентрированной ячейки в кубической сингонии:
а — базоцентрированная кубическая типа С;
б, в, г — центрирование остальных граней при действии
осей 4‑го порядка; д — гранецентрированная (ГЦК)

ячейки оказываются центрированными (например, имеем базоцентрированную тетрагональную решетку типа С, рис. 6.15, а),
то на основании условий выбора элементарной ячейки Браве
(должна отражать симметрию кристалла, иметь максимальное
количество прямых углов и минимальный объем) для тетрагональной сингонии базоцентрированная тетрагональная ячейка
должна быть сведена к примитивной (рис. 6.15, в).
Из рис. 6.15, в, видно, что ячейки, выделенные тонкими линиями, и ячейка, выделенная толстой линией, отражают полную
 

симметрию кристалла; между трансляциями a , b� и c для обеих (тонкой и толстой) ячеек сохраняются углы 90°, но при этом

для ячейки, представленной толстыми линиями, трансляции a

и b� оказываются меньшими по длине, чем для ячейки из тонких линий, значит, и объем элементарной ячейки из толстых
линий оказывается меньшим, чем для ячейки из тонких линий.
141

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

а

б

в

𝑏𝑏
𝑎𝑎Ԧ

𝒃𝒃

𝒂𝒂

(001)
Рис. 6.15. Невозможность существования
базоцентрированной ячейки в тетрагональной сингонии:
а — базоцентрированная тетрагональная ячейка;
б — две базоцентрированные тетрагональные ячейки;
в — примитивная тетрагональная

Также на основании условий выбора элементарной ячейки
Браве (должна отражать симметрию кристалла, иметь максимальное количество прямых углов и минимальный объем) для
тетрагональной сингонии гранецентрированная тетрагональная ячейка должна быть сведена к объемноцентрированной тетрагональной — ОЦТ (рис. 6.16).
В ромбической (орторомбической) сингонии (a ≠ b ≠ с, α = β =
= γ = 90°) существуют все четыре типа решеток Браве — примитивная, базоцентрированная, гранецентрированная и объемноцентрированная (табл. 6.1).
В моноклинной сингонии (a ≠ b ≠ с, α = γ = 90°, β = 90°) возможно существование двух типов решеток Браве — примитивной и базоцентрированной (табл. 6.1).
Объемноцентрированная и гранецентрированная ячейки
Браве моноклинной сингонии должны быть сведены согласно
трем условиям выбора элементарной ячейки к базоцентрированной (рис. 6.17, 6.18).
142

6.2. Плоские (двумерные) сетки (решетки)

а

б

в

Рис. 6.16. Невозможность существования
гранецентрированной ячейки в тетрагональной сингонии:
а — гранецентрированная тетрагональная ячейка;
б — две гранецентрированные тетрагональные ячейки;
в — объемноцентрированная тетрагональная ячейка
а

б

в

Z



Y
X
Рис. 6.17. Невозможность существования
объемноцентрированной ячейки в моноклинной сингонии:
а — объемноцентрированная ячейка;
б — две объемноцентрированные ячейки;
в — базоцентрированная ячейка

143

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

а

б

в

Z

Y
X
Рис. 6.18. Невозможность существования
гранецентрированной ячейки в моноклинной сингонии:
а — гранецентрированная ячейка;
б — две гранецентрированные ячейки;
в — базоцентрированная ячейка

В триклинной сингонии (a ≠ b ≠ с, α ≠ β ≠ γ ≠ 90°) все непримитивные решетки (C, I, F) сводят к примитивной, выбирая
по-другому элементарную ячейку (табл. 6.1).
Объемноцентрированную решетку триклинной сингонии,
 

построенную на «старых» трансляциях a , b� и c , можно свести
   * 
=
,� b � b ,
a * a=
к примитивной,
построенной
на
«новых»:
  
 ab c
c * �
.
2
Гранецентрированную решетку триклинной сингонии, по  
строенной на «старых» трансляциях a, b� и c , можно
свести к при    
* c  b * a  c
митивной, построенной на «новых»: a  �
; b �
.
2
2
Базоцентрированную решетку триклинной сингонии, по 

строенной на «старых» трансляциях a , b� и c , можно свести
к примитивной с вдвое меньшей элементарной
ячейкой,
постро 
 
* a  b * b  a * 
енной на «новых» трансляциях: a  �
; b �
, c =� c .
2
2
144

6.2. Плоские (двумерные) сетки (решетки)

В гексагональной сингонии (a = b ≠ с, α = β = 90°, γ = 120°) примитивной элементарной ячейкой принимается призма с основанием в форме ромба и ребром, параллельным оси 6‑го порядка [5]. Она определяется только двумя параметрами — а и с.
В действительности используется не примитивная ячейка, а гексагональная призма, которая составлена из трех ячеек. Ячейка кристалла в виде гексагональной призмы уже непримитивна (табл. 6.1).
Ни один из обычных способов центровки (дополнительные
узлы в центрах всех граней примитивной ячейки, чтобы получить гранецентрированную ячейку; ни в центре объема примитивной ячейки, чтобы получить объемноцентрированную
ячейку; ни в центре нижнего и верхнего оснований, чтобы получить базоцентрированную ячейку) не приводит к новой решетке Браве.
Проверим это на примере базоцентрированной ячейки.
На рис. 6.19 изображен вид сверху трех смежных базоцентрированных гексагональных ячеек.
Наличие оси симметрии 6‑го порядка, идущей через центр
гексагональной призмы, приводит к тому, что при повороте
на 60° узел 1 кристаллической решетки обуславливает возникновение дополнительного узла 1*, узел 2 — дополнительного
а

б

в

1*
2

1
3*

2*
3

Рис. 6.19. Невозможность существования
базоцентрированной ячейки в гексагональной сингонии
(проекция кристалла на базисную плоскость):
а — базоцентрированные три примитивные ячейки;
б — действие оси 6‑го порядка; в — три примитивные ячейки
145

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

узла 2*, узел 3 — дополнительного узла 3* в плоскостях верхнего и нижнего оснований призмы (рис. 6.19, б). Тогда, согласно
трем правилам выбора элементарной ячейки Браве, в качестве
ячейки мы должны принять не выбранную ранее базоцентрированную ячейку (рис. 6.19, а), а ячейку с заштрихованным основанием (рис. 6.19, в), являющуюся примитивной.
Для тригональной сингонии ромбоэдр (R-ячейка) является примитивной элементарной ячейкой, удовлетворяющей условиям
Браве. Характеризующие его параметры: a = b = с, α = β = γ ≠ 90°.
Координатные ребра ромбоэдра образуют одинаковые косые углы
с главной осью симметрии 3‑го порядка [5]. Тригональная система также называется ромбоэдрической (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Типы решеток Браве для всех кристаллографических сингоний [14]
Тип ячейки
Сингония

базоцентри-­ гранецент-­
примитивная
рованная
рированная

объемноцент-­
рированная

Триклинная

—

—

—

—

—

F

I

a ≠ b ≠ с,
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°






P
Моноклинная
a ≠ b ≠ с,
α = γ = 90°,
β ≠ 90°





P

C

P

C

Ромбическая
a ≠ b ≠ с,
α = β = γ = 90°

146

6.2. Плоские (двумерные) сетки (решетки)

Окончание табл. 6.1
Тип ячейки
Сингония

примитивная

Тригональная
(ромбо­эдри­
ческая)

базоцентри-­ гранецент-­
рованная
рированная
—

—

—

—

объемноцент-­
рированная
—

a = b = с,
α = β = γ ≠ 90°
R
Тетрагональная
a = b ≠ с,
α = β = γ = 90°

P

I

Гексагональная

—

—

—

F

I

a =b ≠ с,
α = β = 90°,
γ = 120°


P
Кубическая

—

a = b = с,
α = β = γ = 90°
P

Таким образом, мы познакомились со всеми 14 возможными типами решеток Браве для всех семи сингоний.

147

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

6.3. Симметрия структуры кристаллов
Общее свой­ство металлов и сплавов — их кристаллическое
строение, характеризующееся определенным закономерным
расположением атомов в пространстве. Чтобы описать атомно-­
кристаллическую структуру, используют понятие кристаллической решетки, которое является лишь пространственной сеткой с атомами в узлах.
Полная атомно-­кристаллическая структура может быть
представлена лишь одной элементарной ячейкой, повторяющейся во всех трех измерениях, а не рядом периодически повторяющихся объемов. Трансляцией этого наименьшего объема структура кристалла может быть полностью воспроизведена.
Для упрощения пространственного изображения эти ячейки
принято приводить в виде схем, где центры тяжести частиц
представлены точками, но в кристалле же элементарные частицы (атомы, ионы) сближены до соприкосновения.
Полное количество атомов, приходящихся
на элементарные ячейки Браве
кубической сингонии

Для металлов кубической сингонии наиболее характерны
три типа элементарных ячеек кристаллических решеток: примитивная кубическая (рис. 6.20, а); объемноцентрированная
кубическая (ОЦК, рис. 6.20, в) и гранецентрированная кубическая (ГЦК, рис. 6.20, б).
В примитивной ячейке атомы расположены только в вершинах куба. В ГЦК-решетке атомы располагаются как в вершинах куба, так и в центре каждой грани. В ОЦК-решетке
атомы расположены в вершинах куба, а один атом — в центре его объема.
Для того чтобы характеризовать кристаллические решетки, вводят понятие полного количества атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку.

148

6.3. Симметрия структуры кристаллов

а

б

в

Рис. 6.20. Элементарные ячейки Браве кубической сингонии:
а — примитивная P; б — гранецентрированная F;
в — объемноцентрированная I

Атомы в примитивной кубической ячейке локализованы
в восьми вершинах куба. Поскольку каждый из восьми «вершинных» атомов принадлежит одновременно восьми соседним элементарным ячейкам — кубам, то лишь часть каждого из них принадлежит исходной примитивной ячейке. Вклад
одного «вершинного» атома в исходную примитивную ячейку
будет равен 1/8, таких вершин в элементарной ячейке восемь,
таким образом, на всю примитивную ячейку будет приходиться один полный атом (1/8 ⋅ 8 = 1) [33].
Расположение атомов в ГЦК-решетке (рис. 6.21, а) отлично от примитивной.
Часть из атомов локализована в восьми вершинах кубической ячейки структуры, другая часть — в центрах всех шести ее
граней. Поскольку каждый из восьми «вершинных» атомов принадлежит одновременно восьми соседним элементарным ячейкам — кубам, то лишь 1/8 часть каждого из них принадлежит
исходной ячейке. Таким образом, вклад «вершинных» атомов
в исходную ГЦК-ячейку будет равен 1 (1/8 ⋅ 8 = 1). Каждый же
из шести атомов, расположенных в центрах граней кубической
ячейки, принадлежит одновременно двум соседним ячейкам.
Отсюда вклад шести центрирующих грани куба атомов будет равен 1/2 ⋅ 6 = 3. В итоге на одну элементарную ГЦК-ячейку будет приходиться 1 + 3 = 4 полных атома [32].

149

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

а

б

Рис. 6.21. Расположение атомов в элементарных ячейках 9:
а — в ГЦК; б — в ОЦК

Кроме восьми атомов, локализованных в восьми вершинах
куба, ОЦК-решетка (рис. 6.21, б) имеет еще один атом в центре
ячейки. Вклад «вершинных» атомов в исходную ОЦК-ячейку
будет равен 1 (1/8 ⋅ 8 = 1). Атом, расположенный в центре ячейки, полностью принадлежит исходной ОЦК-ячейке, т. е. его
вклад равен также 1. В итоге на одну элементарную ОЦК-ячейку будет приходиться 1 + 1 = 2 полных атома [32].
Примитивные ячейки ГЦК- и ОЦК-структур

Иногда для описания кристаллических структур требуется построить и рассмотреть не сложные элементарные ячейки
(с двумя или четырьмя приходящимися на них полными атомами), а примитивные ячейки (на которые приходится один полный атом). Для ГЦК и ОЦК кристаллических структур примитивные ячейки будут выглядеть следующим образом (рис. 6.22).
Примитивные ячейки ГЦК- и ОЦК-кристаллов являются ромбоэдрами (ромбоэдр — это куб, растянутый вдоль одной из диагоналей, т. е. все ребра ромбоэдра равны между собой, все грани ромбоэдра являются ромбами). Координатные
ребра ромбоэдра образуют одинаковые углы с телесной диагональю, вдоль которой вытянут куб).
9

150

Кубическая кристаллическая система // Википедия : [сайт]. URL: https://
clck.ru/3Pe7EP (дата обращения: 10.08.2025).

6.4. Трансляционная группа

а
60°
60°

ромбоэдр

б
109°28´

109°28´

ромбоэдр

Рис. 6.22. Примитивные ячейки кристаллов:
а — ГЦК; б — ОЦК

У примитивной ячейки ГЦК-кристалла углы ромбоэдра оказываются равными 60° (рис. 6.22, а). Если же угол примитивного
ромбоэдра принимает значение 109°28´ (рис. 6.22, б), то данный
ромбоэдр становится примитивной ячейкой ОЦК-кристалла.

6.4. Трансляционная группа
Приняв один из узлов решетки за начало координат, т. е.
за узел с символом [[000]], все остальные узлы кристаллической
решетки можно найти с помощью трансляционной группы — совокупности основных трансляций, описывающих структуру [2].
151

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

Трансляционная группа — это совокупность трансляций, с помощью которых можно из одного узла кристаллической решетки, помещенного в начало координат, воссоздать всю кристаллическую структуру в целом.
Если один из атомов поместить в начало координат и по
действовать на него трансляцией a (сдвинуть его через равные

промежутки вдоль направления трансляционного вектора a ,
рис. 6.23, а, б), затем на образовавшийся ряд атомов подей
ствовать трансляцией b (рис. 6.23, в), а далее на образовав
шуюся плоскую сетку атомов подействовать трансляцией c
(рис. 6.23, г), то получим кристаллическую структуру с примитивной ячейкой Браве (рис. 6.23, д).
Таким образом, трансляционной группой для кристаллической решетки с примитивной ячейкой служит совокупность
  
трех трансляций: a , b и c .
а

б

𝒂𝒂

000

г

𝒄𝒄

𝒂𝒂

000

в

𝒂𝒂

𝒃𝒃

000

д

𝒃𝒃

000

Рис. 6.23. Образование кристаллической структуры
с примитивной ячейкой Браве из одного узла
с помощью трансляционной группы:
а — один узел решетки, помещенный в начало координат;

б — действие на узел трансляции a ; в — действие на ряд узлов

трансляции b ; г — действие на плоскую сетку узлов

трансляции c ; д — сформированная структура
152

6.4. Трансляционная группа

Чтобы получить всю кристаллическую решетку с объемноцентрированной кубической ячейкой Браве из одного атома,
необходимо подействовать на единственный атом трансляци
ей a и получить ряд атомов, далее на ряд атомов — трансляци
ей b и получить плоский слой атомов, далее на слой атомов —

трансляцией c и получить все атомы кристаллической
структуры, расположенные в вершинах куба. Чтобы получить
все атомы, которые центрируют элементарные ячейки, необходимо на исходный атом подействовать сложной трансляци

a+b +с
ей
(рис. 6.24). Таким образом, трансляционной груп2
пой для кристаллической решетки с объемноцентрированной
  
a, b , c
ячейкой
служит
совокупность
четырех
трансляций:
  
a+b +с
и
.
2

𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄
𝟐𝟐

𝒄𝒄

𝒂𝒂

𝒃𝒃

Рис. 6.24. Трансляционная группа
для ОЦК-структуры

Нетрудно доказать, что для воссоздания из одного атома
всей гранецентрированной кристаллической структуры, кро 

ме трансляций a , b и c , с помощью которых образуются все
«вершинные» атомы, необходимы (рис. 6.25):
‒ для получения атомов, центрирующих боковые грани,
 
a+с
применить трансляцию
;
2
153

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

‒ для получения атомов, центрирующих переднюю
и за
b + �c
днюю грань, применить трансляцию
;
2
‒ для получения атомов, центрирующих верхнюю
и ниж 
a+b
нюю грань, применить трансляцию
.
2
Очевидно, трансляционной группой для базоцентрированной ячейки, например типа В (рис. 6.26), будет служить сово 
   a+с
купность четырех трансляций a , b , c и
.
2
Все трансляционные группы, характеризующие различные
ячейки Браве, сведены в табл. форму ниже.

𝒂𝒂 + 𝒄𝒄
𝟐𝟐

𝒂𝒂

𝒄𝒄

𝒃𝒃 + 𝒄𝒄
𝟐𝟐

𝒃𝒃

𝒂𝒂 + 𝒃𝒃

Рис. 6.25. Трансляционная группа
𝟐𝟐
для ГЦК-структуры

𝒂𝒂 + 𝒄𝒄
𝟐𝟐

𝒂𝒂

𝒄𝒄

𝒃𝒃

Рис. 6.26. Базоцентрированная решетка типа В

154

6.4. Трансляционная группа

Трансляционные группы для различных ячеек Браве [4]
Тип ячейки и символ
Примитивная Р

Трансляционная группа
  
a, b , c

Гранецентрированная F

     
   a +b b +c a +c
a, b , c ,
,
,
2
2
2

Объемноцентрированная I

  
   a +b +c
a, b , c ,
2

Базоцентрированная А

 
   b +c
a, b , c ,
2

Базоцентрированная В

 
   a +c
a, b , c ,
2

Базоцентрированная С

 
   a +b
a, b , c ,
2

155

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

Чем меньшее количество атомов приходится на ячейку, тем
меньшее количество трансляционных векторов входит в трансляционную группу.

6.5. Базис ячейки
Базисом ячейки называется совокупность координат узлов
элементарной ячейки, в которые необходимо поместить атомы

 
и, подействовав на них только трансляциями a , b и c , воссоздать всю кристаллическую структуру [2]. При этом координаты узлов, в которые помещают атомы, выбираются наиболее
близкие к началу координат, т. е. изначально мы имеем лишь
 

три трансляции a , b и c .
Чтобы описать примитивную ячейку с помощью этих трех
трансляций, достаточно поместить атом в узел с координатами [[000]]. Все остальные атомы кристаллической структуры
можно получить из этого атома, повторяя его с помощью трех
 

трансляций: a , b и c .
Чтобы описать ОЦК-ячейку только лишь с помощью
трех трансляций, одного атома, помещенного в начало координат [[000]], недостаточно. Также необходимо поместить
атом в центр элементарной ячейки, т. е. в узел с координатами [[½½½]].
Чтобы подействовать на атомы лишь тремя трансляциями
 

a , b и c и получить ГЦК-структуру, необходимо взять уже четыре атома и поместить их в узлы, наиболее близкие к началу
координат, т. е. в узлы с координатами [[000]], [[0½½]], [[½0 ½]],
[[½½0]].
Базисы для различных ячеек Браве сведены в табл. 6.2.
Можно отметить, что количество координат узлов, которое
необходимо указать для базиса ячейки, равно количеству полных атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

156

6.5. Базис ячейки

Таблица 6.2
Базисы для различных ячеек Браве [14]
Тип ячейки и символ

Базис ячейки

Количество атомов,
приходящихся на одну
элементарную ячейку

Примитивная Р

[[000]]

1

Гранецентрированная F

[[000]], [[0½½]],
[[½0½]], [[½½0]]

4

Объемноцентрированная I

[[000]], [[½½½]]

2

Базоцентрированная А

[[000]], [[0½½]]

2

Базоцентрированная В

[[000]], [[½0½]]

2

Базоцентрированная С

[[000]], [[½½0]]

2

157

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

6.6. Координационные сферы,
радиусы координационных сфер,
координационные числа,
координационные многогранники
Для характеристики кристаллических решеток вводят понятия координации атомов (координационная сфера, координационное число).
Координационная сфера — это окружение данного атома
на расстоянии определенного радиуса однотипными (одного
сорта и элемента) атомами.
Например, любой атом в гранецентрированном кубическом
кристалле (в табл. 6.3 такой атом обозначен буквой А) имеет
12 первых ближайших соседей (находящихся на первой коордиa 2
национной сфере) на расстояниях
, 6 вторых ближайших
2
соседей (находящихся на второй координационной сфере)
на расстояниях а, третьих 12 (находящихся на третьей сфере) —
на расстояниях a 2 и 24 (находящихся на четвертой сфере) —
на расстоянии

a 6
.
2

Координационным числом (КЧ) называется число однотипных атомов, находящихся на равном расстоянии (радиусе N-й
координационной сферы) от данного атома [9].
Например, для ОЦК-решетки (табл. 6.4) координационное
число для первой координационной сферы равно 8, второй сферы — 6, третьей сферы — 12, четвертой сферы — 8.
Для решеток ГЦК и ГПУ координационное число первых
ближайших соседей составляет 12. Из этого следует, что решетка ОЦК менее компактна, чем решетки ГЦК и ГПУ. В решетке ОЦК каждый атом имеет всего 8 ближайших соседей, а в решетках ГЦК и ГПУ их 12.

158

Радиус координационной сферы, выраженный
через радиус атома

Радиус координационной сферы, выраженный
через период кристаллической решетки а

Координационное число

Изображение

Основные параметры
координационных сфер

А
1

1

a 2
2

R1 = 2rат

R1 =

КЧ1 = 12

1

первая
координационная
сфера

R2 = а

КЧ2 = 6

А

2

R2  2 2  rат

2

2

вторая
координационная
сфера
3

3

R3 = 4rат

R3 = a 2

КЧ3 = 12

А

3

третья
координационная
сфера

Порядок координационной сферы

Параметры координационных сфер для ГЦК-решетки

4

a 6
2

R4  2 3  rат

R4 =

КЧ4 = 24

А

4

4

четвертая
координационная
сфера

Таблица 6.3

6.6. Координационные сферы, радиусы координационных сфер

159

160

Радиус координационной сферы, выраженный
через радиус атома

Радиус координационной сферы, выраженный
через период кристаллической решетки а

Координационное число

Изображение

Основные параметры
координационных сфер

a 3
2

R1 = 2rат

R1 =

КЧ1 = 8

А

1

первая
координационная
сфера

2

4 3  rат
3

R2 = а

КЧ2 = 6

А

R2 

2

2

вторая
координационная
сфера

3

4 6  rат
3

R3 = a 2

КЧ3 = 12

А

R3 

3

3

третья
координационная
сфера

Порядок координационной сферы

Параметры координационных сфер для ОЦК-решетки

R4 = 4rат

R4 = a 3

КЧ4 = 8

А

4

четвертая
координационная
сфера

Таблица 6.4

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

6.6. Координационные сферы, радиусы координационных сфер

Рассмотрим параметры, характеризующие координационные сферы в ГЦК-кристалле (табл. 6.3). Радиусы координационных сфер могут быть выражены через период а кристаллической решетки, а также через радиус атома rат. Зная, что
в ГЦК-кристалле плотноупакованным направлением (т. е. вдоль
которого атомы соприкасаются друг с другом) является направление типа <110>, можно выразить связь между атомным радиусом и периодом кристаллической решетки а как 4rат = a 2 .
Аналогичным образом рассмотрим параметры для координационных сфер в ОЦК-кристаллах (табл. 6.4). Зная, что
в ОЦК-кристалле плотноупакованным направлением (т. е. вдоль
которого атомы соприкасаются друг с другом) является направление типа <111>, можно выразить связь между атомным радиусом и периодом кристаллической решетки а как 4rат = a 3.
Если центры этих ближайших атомов или ионов мысленно
соединить друг с другом прямыми линиями, то в общем случае
получается координационный многогранник (К. М.). Координационный многогранник никаким образом не связан с внешней формой кристалла и не соответствует ей, а атом, для которого он строится, должен находиться в центре многогранника [4].
Например, в ГЦК-структуре координационным многогранником является кубооктаэдр (рис. 6.27).

Рис. 6.27. Две элементарные ячейки ГЦК с выделенным
в них координационным кубооктаэдром [13]
161

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

В ОЦК-структуре координационным многогранником является куб (если выберем атом в центре элементарной ОЦКячейки за исходный, то как раз ближайшие к нему атомы будут располагаться в вершинах ячейки). Описание кристаллической структуры можно строить не совокупностью «склеенных»
в пространстве элементарных ячеек, а совокупностью «склеенных» координационных многогранников.

6.7. Плотнейшие шаровые упаковки (ПШУ)
Для устойчивости кристаллической структуры требуется условие минимума ее потенциальной энергии. При данной температуре у вещества в твердой фазе уровень свободной энергии наинизший, по сравнению с жидкой и газообразной фазами. Одним
из факторов, уменьшающих потенциальную энергию, является
максимальное сближение структурных единиц, их плотнейшая
упаковка. Тенденция к осуществлению плотнейшей упаковки
свой­ственна всем типам кристаллических структур, но сильнее
всего она выражена в металлических и ионных структурах, где
связи не направлены, атомы или ионы можно считать сферическими [2; 5].
Рассмотрим модель структуры, построенной из материальных частиц одного сорта, имеющих сферическую симметрию,
т. е. из равновеликих несжимаемых шаров, притягивающихся
друг к другу. Шары касаются друг друга, заполняя большую часть
пространства. Ионы не поляризуются, т. е. их сферичность не нарушается. Между шарами имеются промежутки (пустоты), в которых могут размещаться меньшие шары других сортов. Стремление к минимуму потенциальной энергии означает, что каждая
частица должна взаимодействовать с возможно большим числом
других частиц, иначе говоря, координационное число должно
быть максимальным. Чем больше координационное число, тем
больше и коэффициент компактности (К) в структуре, определяемый отношением К =
162

объем шаров
[5].
общий объем (шары + пустоты)

6.7. Плотнейшие шаровые упаковки (ПШУ)

На рис. 6.28 изображен плоский слой шаров, плотнейшим
образом прилегающих друг к другу. Каждый шар соприкасается с шестью шарами и окружен шестью лунками (пустотами),
а каждая из лунок — тремя шарами [2].

– лунка типа В
– лунка типа С

плоский атомный слой А

Рис. 6.28. Плоский слой плотноупакованных шаров

Такое расположение атомов характерно для плоскостей
{111} гранецентрированной кубической структуры и плоскости базиса (0001) гексагональной плотноупакованной структуры. Число лунок (пустот) в слое вдвое больше числа шаров.
Обозначим шары буквами А, лунки — буквами В и С: лунки В —
треугольники, обращенные вершинами вверх, С — вниз [2].
Каким же образом должен быть наложен второй такой же
плотноупакованный слой? Очевидно, что накладывать непосредственно шар на шар не имеет смысла (чередование А–А),
т. к. упаковка в данном случае не будет плотной; шары А второго слоя необходимо расположить в лунки В или С (рис. 6.29).

Рис. 6.29. Плотнейшая упаковка
из двух слоев шаров [13]
163

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

При наложении такого типа происходит образование пустот двух типов, которые различаются по координационному
окружению (рис. 6.30) [5]:
1) над лункой первого слоя находится шар второго слоя
(или лунка второго слоя над шаром первого слоя). Пустота в обоих слоях окружена четырьмя шарами, центры
которых образуют правильный тетраэдр (рис. 6.30, а).
Такие пустоты называются тетраэдрическими и обозначаются Т;
2) пустота второго слоя находится над пустотой первого
слоя; пустота окружена шестью шарами, располагающимися по вершинам октаэдра (рис. 6.30, б). Соответственно, пустоту называют октаэдрической и обозначают О [2].
Число пустот О равно числу шаров, а число пустот Т вдвое
больше. Размеры пустот между шарами характеризуются радиусом шара, который можно в них разместить.
а

б

Рис. 6.30. Пустоты плотнейшей упаковки
(изометрические виды кристаллической структуры
с обозначенными цветными шарами центрами
пустот и проекции структуры на плоскость (001)):
а — тетраэдрическая; б — октаэдрическая
164

6.7. Плотнейшие шаровые упаковки (ПШУ)

Если принять радиус основного шара за единицу, то радиусы шаров, которые можно разместить в пустотах типа О, — 0,41,
в пустотах Т — 0,22. Поскольку во втором слое имеется два типа
пустот, шары третьего слоя можно укладывать двояким путем:
либо в лунки Т, либо в лунки О. Если шары третьего слоя уложены в лунки Т, т. е. каждый шар слоя III находится над шаром слоя I, то третий слой повторяет укладку первого. Соответственно, получаем упаковку: …АВАВАВ… . Если шары третьего
слоя уложены в лунки О, т. е. слой III не повторяет слой I, то получаем упаковку: …АВСАВС… . Дальнейшие слои можно укладывать по тем же правилам, получая любое чередование (кроме повторения двух букв) [2; 5].
Однако плотнейшими упаковками оказываются только две:
двухслойная и трехслойная (рис. 6.31).
Как в двухслойной, так и в трехслойной упаковках коэффициент компактности К = 74,05 %, это означает, что шары занимают около ¾ объема.
В двухслойной, или гексагональной, плотнейшей упаковке
(ГПУ) …АВАВАВ… шары четного слоя находятся над шарами четного слоя, а шары нечетного слоя — над нечетными (рис. 6.32).
а

б
–А

–А

–С

–В

А

–В

А

–А

В
–А

С
В

А
А

Рис. 6.31. Виды плотнейших упаковок [13]:
а — двухслойная …АВАВАВ…;
б — трехслойная …ABCABCABC…
165

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

Каждый шар окружен 12 шарами: шестью в той же плоскости,
тремя снизу и тремя сверху, т. е. К. Ч. = 12. Сквозные пустоты
типа О продолжаются из ряда в ряд как сплошные каналы [2].
Гексагональная плотнейшая упаковка характерна для металлов Mg, Be, Zn, Cd, Tl, Ti, Zr, Hf, Sr, Os и др., для интерметаллидов AgCd, AgCd3, AuCd, CuZn и др. Отношение параметров с/а для этой ячейки в случае плотнейшей упаковки должно
быть равно 1,633.
В трехслойной, или кубической, плотнейшей упаковке
…АВСАВС… перпендикулярно слоям плотнейшей упаковки располагается ось симметрии 3-го порядка. Над пустотой О размещается пустота Т и наоборот; сплошных колонок из пустот нет.
Четвертый слой повторяет расположение первого. В результате шары размещаются по узлам гранецентрированной кубической решетки (ГЦК) (рис. 6.33) [2].
Плотноупакованные слои перпендикулярны четырем объемным диагоналям куба, т. е. направлениям <111>. В этой
структуре все плоскости {111} наиболее плотноупакованные,
а лежащие в этих плоскостях ряды <110>, т. е. диагонали граней, — наиболее плотноупакованные: атомы касаются друг
111
0001

–А
–А

–C

–В

–B

–А

–А
111

Рис. 6.32. Гексагональная
плотнейшая упаковка
166

Рис. 6.33. Плотная
упаковка в ГЦК

6.7. Плотнейшие шаровые упаковки (ПШУ)

друга вдоль диагоналей граней. Поэтому в кубической плотнейшей упаковке не одно, а четыре направления <111>, перпендикулярно которым располагаются плотнейшие плоские слои.
Координационное число здесь также равно 12 [2].
Плотноупакованной кубической структурой обладают металлы Сu, Au, Ag, Al, Pb, γ-­Fe, Са, Sr, Th, Pb, Nb, α-­Co, Ni, Rh,
Pd, It, Pt. В пустотах между шарами плотнейших упаковок металлов могут располагаться Si, С, О, Н, N, образуя силициды,
карбиды, окислы, гидриды, нитриды.
Двухслойная и трехслойная упаковки — плотнейшие. У всех
остальных структур коэффициент компактности К < 74,05 %.
Все остальные плотные упаковки представляют собой различное сочетание упаковок: гексагональной …АВАВАВ… или кубической …АВСАВСАВС… [2].
Также возможно и существование четырехслойных, пятислойных и т. п. упаковок, и при этом известны структуры с многослойной упаковкой, состоящей из десятков и сотен слоев.
Увеличение количества слоев приводит и к появлению новых
вариантов каждой n-слойной упаковки. Так, четырех- и пятислойных упаковок по 1, шестислойных — 2, семислойных — 3,
восьмислойных — 6, десятислойных — 16, двенадцатислойных — 43 [2].
Для того чтобы обозначить упаковку любой слойности, достаточно использовать только три символа. Например, четырехслойная упаковка будет обозначена …АВСВАВСВ…, а пятислойная …АВСАВАВСАВАВСАВ… и т. д. При этом существование
символов с двумя одинаковыми соседними буквами невозможно, поскольку такое сочетание означает, что шары из соседних
слоев располагаются друг над другом, а следовательно, укладываются не плотнейшим образом.
Идея плотнейших упаковок очень актуальна при описании известных структур и отыскании новых. В большинстве
случаев более крупные частицы в структурах укладываются
по законам плотнейших упаковок. Отдельные структуры могут различаться по количеству и качеству заполненных пустот
между шарами.
167

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

Плотные упаковки характерны для структур с ненаправленными связями. Стремление к осуществлению плотных упаковок — один из основных принципов структурной кристаллографии [2].

6.8. Поры в кристаллах
При исследовании возможности «растворения» атомов внедрения в кристаллической решетке растворителя необходимо
понимать, какие типы пустот встречаются в кристаллической
решетке растворителя, где расположены (отметить координаты
центров пор, указать базис), размер, а также число пор, которые
приходятся на одну элементарную ячейку кристаллической решетки растворителя. Разберем все эти характеризующие параметры пор для ГЦК- (табл. 6.5), ОЦК- (табл. 6.6) и ГПУ-структур (табл. 6.7) [2; 4; 24; 26].
Таблица 6.5
Пустоты в ГЦК‑структуре
Основные
характеристики
пустот

Вид поры
октаэдрические поры
(О‑поры)

тетраэдрические поры
(Т‑поры)

центры О-пор
обозначены красными
шарами

центры Т-пор
обозначены синими
шарами

4 О-поры приходится
на 1 элементарную
ячейку

8 Т-пор приходится
на 1 элементарную
ячейку

Изображение

Количество

168

6.8. Поры в кристаллах

Окончание табл. 6.5
Основные
характеристики
пустот
Расположение

Базис

Радиус

Вид поры
октаэдрические поры
(О‑поры)

тетраэдрические поры
(Т‑поры)

1 в центре и по ¼ доли
от пор, лежащих в центрах
ребер, ребер 12 шт.,
значит, 1 + ¼ ⋅ 12 = 4
1
1 1 111
00; 00 ; 0 0;
2
2 2 222

Все 8 пор находятся
во внутреннем объеме
ячейки

0,41rатома

0,22rатома

111 131 311
;
;
;
444 444 444
113 133 313
;
;
;
444 444 444
331 333
;
444 444

Таблица 6.6
Пустоты в ОЦК‑структуре
Основные
характеристики
пустот

Вид поры
октаэдрические поры
(О‑поры)

тетраэдрические поры
(Т‑поры)

центры О-пор
обозначены красными
шарами

центры Т-пор
обозначены синими
шарами

6 О-пор приходится
на 1 элементарную
ячейку

12 Т-пор приходится
на 1 элементарную
ячейку

Изображение

Количество

169

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

Окончание табл. 6.6
Основные
характеристики
пустот
Расположение

Базис

Радиус

Вид поры
октаэдрические поры
(О‑поры)

тетраэдрические поры
(Т‑поры)

По ½ доли от пор,
лежащих в центрах
граней, и по ¼ доли
от пор, лежащих
в центрах ребер, граней
6 шт., ребер 12 шт.
½ ⋅ 6 + ¼ ⋅ 12 = 6

По ½ доли от пор,
лежащих на гранях,
на каждой грани по 4
Т-поры, граней 6 шт.
½ ⋅ 4 ⋅ 6 = 12

11 1 1
0; 0 ;
22 2 2
1
1
00; 00 ;
2
2

11 13 11
0;
0;
0;
24 24 42
31
11 13
;0
;
0; 0
42
24 24
11 31 1 1
;0
; 0 ;
0
42 42 2 4
1 3 1 1 3 1
0 ; 0 ; 0
2 4 4 2 4 2

11
;
22
1
0 0
2
0

0,154rатома

0,291rатома

Таблица 6.7
Пустоты в ГПУ‑структуре
Основные
характеристики
пустот

Вид поры
октаэдрические поры
(О‑поры)

тетраэдрические поры
(Т‑поры)

центры О-пор
обозначены красными
шарами

центры Т-пор
обозначены синими
шарами

Изображение

170

Вопросы для самопроверки к главе 6

Окончание табл. 6.7
Основные
характеристики
пустот

Вид поры
октаэдрические поры
(О-поры)

тетраэдрические поры
(Т-поры)

Количество

2 О-поры приходится
на 1 элементарную
ячейку

4 Т-поры приходится
на 1 элементарную
ячейку

Расположение

2 поры находятся
во внутреннем объеме

2 поры находятся
во внутреннем объеме
ячейки и 2 поры
приходится от долей
пор, лежащих на ребрах
ячейки

Базис

121 123
;
334 334

Радиус

0,41rатома

211 213
;
;
334 334
3
1
00 ; 00
4
4
0,22rатома

Тем самым, зная виды пустот, встречающиеся в структуре, их размеры, можно при создании твердых растворов внедрения рассчитывать количество пор, которые будут заняты
в структуре растворителя атомами растворенного вещества,
а значит, прогнозировать свой­ства, которыми будет обладать
твердый раствор.

Вопросы для самопроверки к главе 6
1. Приведите пример кристаллической структуры, обладающей плоскостью скользящего отражения.
2. Докажите эквивалентность правой винтовой оси 41, левой винтовой оси 43.
3. Что такое решетка Браве?
4. Почему невозможно существование базоцентрированной и гранецентрированной ячеек в тетрагональной сингонии?
171

6. Симметрия структуры кристаллов (внутренняя структура)

5. Приведите пример расчета полного количества атомов,
приходящихся на элементарную ГПУ-ячейку.
6. Рассчитайте коэффициент компактности в решетке
алмаза.
7. Приведите расчет радиусов первых трех координационных сфер для ГПУ-решетки.

172

7
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ
СТРУКТУР

Чтобы описать структуру любого кристалла, а точнее, конкретное расположение составляющих его частиц, необходимо
указать вид частиц, их размер и расстояния между ними. Описывая конкретное расположение частиц в кристалле, можно
отметить, что в природе многие структуры сходны между собой — относительное расположение частиц в кристалле совпадает, но не совпадают абсолютные расстояния между ними.
Именно относительное расположение частиц (атомов или
атомных групп) в кристалле без указаний абсолютных расстояний между ними определяется структурным типом.
Структуры кристаллов, принадлежащих к одному структурному типу, одинаковы с точностью до подобия. Чтобы описать
конкретную структуру, надо указать структурный тип и параметры структуры (ближайшие межплоскостные расстояния между
атомами). В Международном структурном справочнике10 принята классификация по группам структур, которая в дальнейшем указывается в скобках при названии типа:
‒ А — элементы;
‒ В — соединения типа АВ (например, NaCl, CsCl);
‒ С — соединения типа АВ2 (CaF2, TiO2);
‒ D — соединения типа АnВm (Al2O3);
10

Open-access collection of crystal structures of organic, inorganic, metal-organic
compounds and minerals, excluding biopolymers // Crystallography Open Database : [website]. URL: https://clck.ru/3Pij3g (date of accesed: 08.08.2025).

173

7. Основные типы структур

‒ E — соединения, образованные больше, чем двумя сортами атомов без радикалов или комплексных ионов (например, CuFeS);
‒ F — структуры соединений с двух- или трехатомными
ионами (KCNS, NaHF2);
‒ G — соединения с четырехатомными ионами (СаСО3,
NaClO3);
‒ Н — соединения с пятиатомными ионами (CaSO4, 2H2O,
CaWO4);
‒ L — сплавы;
‒ S — силикаты [2; 25].
Разновидности типов внутри групп различаются номерами.

7.1.

Структурный тип меди (А1)

Структурным типом меди обладают преимущественно мягкие, легкодеформируемые, пластичные металлы. Яркими примерами являются такие металлы, как алюминий, медь, золото,
никель, палладий, родий, серебро, иридий, платина, свинец,
актиний, β-кобальт, γ-железо, α-кальций, α-стронций. Многие из таких металлов образуют непрерывные ряды твердых
растворов (например, Ag–Au, Cu–Au).
Элементарная ячейка меди — кубическая (ТГС m3m), гранецентрированная структура Браве (рис. 7.1): атомы располагаются в вершинах куба и в центрах граней куба.

Рис. 7.1. Структурный тип меди (А1) 11
11

174

Список структурных типов // Википедия : [сайт]. URL: https://clck.
ru/3Per65 (дата обращения: 08.08.2025).

7.1. Структурный тип меди (А1)

Основные характеристики структуры кристаллической решетки меди представлены в табл. форме ниже [20].
Всего на элементарную ячейку меди приходится четыре
атома. Соответственно, в структуре имеется одна правильная
система точек с кратностью 4. Координаты всех атомов в ячейке, т. е. базис: [[000]], [[1/2, 1/2, 0]], [[1/2, 0, 1/2]], [[0, 1/2, 1/2]].
Основная кристаллохимическая информация
о структурном типе меди (А1)
Характеризующий параметр

Значение

Решетка Браве

ГЦК

ТГС

m3m

ПГС

Fm3m

Число атомов на элементарную ячейку

4

Число атомов первой координационной
сферы (КЧ1)

12

Коэффициент компактности решетки К
Базис элементарной ячейки

74,05 %
11
0;
22
1 1 11
0 ;� 0
2 2 22
� 000;

Каждый атом в кристалле окружен 12 ближайшими атомами, координационное число первой координационной сферы КЧ1 = 12. Например, для выбранного атома А показаны
его ближайшие соседи (рис. 7.2): атомы 1–4 в плоскости XZ,
атомы 5–8 в плоскости YZ, атомы 9–12 в плоскости XY. Координационным многогранником является кубооктаэдр [2].
Основными элементами симметрии в такой ячейке служат плоскости зеркального отражения. Они располагаются
параллельно граням элементарной ячейки (вдоль координатных осей) и диагоналям граней. На рис. 7.3 приведены примеры таких плоскостей. Пространственная группа
Fm3m [20].
175

7. Основные типы структур

3
6
9

2

7

10
А

12
4

5

11
8

1

Рис. 7.2. Расположение 12‑ти ближайших атомов
в ГЦК-структуре для выбранного атома А [2]

Основными элементами симметрии в такой ячейке служат
плоскости зеркального отражения. Они располагаются параллельно граням элементарной ячейки (вдоль координатных осей)
и диагоналям граней. На рис. 7.3 приведены примеры таких
плоскостей. Пространственная группа Fm3m [20].

Рис. 7.3. Две элементарные ячейки структуры меди
с указанием плоскостей симметрии (плоскостей
зеркального отражения) [2]

Плотноупакованными направлениями в структуре являются
направления типа <110> (рис. 7.4). Плотноупакованные слои атомов типа {111} перпендикулярны осям 3‑го порядка, а значит, перпендикулярны направлениям типа <111>; каждый атом в плотноупакованном слое окружен шестью атомами (рис. 7.4) [13].
Эти слои сочетаются между собой тоже плотнейшим образом: атом одного плотноупакованного слоя ложится в лунку
176

7.1. Структурный тип меди (А1)

A

<111>

С
В
A

{111}

<110>

Рис. 7.4. Плотноупакованные направления
и плотноупакованные слои атомов в структуре ГЦК

между тремя атомами предыдущего такого же слоя. Создается
плотнейшая упаковка. Она является кубической, трехслойной
…АВСАВСАВС… (рис. 7.4). Все пустоты между атомами не заполнены.
Формируется два типа пустот — октаэдрические и тетраэдрические поры. Центры октаэдрических пустот расположены
в серединах ребер элементарной ячейки и центре самой ячейки
(рис. 7.5, а), центры же тетраэдрических пустот расположены
в серединах каждого из восьми октантов, на которые мысленно
можно разделить кубическую ячейку (рис. 7.5, б). На рис. 7.5 для
примера представлено только по одной из двух типов пор [20].
а

б

Рис. 7.5. Поры в ГЦК-ячейке [20]:
а — О-пора; б — Т-пора
177

7. Основные типы структур

Октаэдрические пустоты в ГЦК-решетке имеют объем, в зависимости от радиуса атома rат равный 0,41 ⋅ rат, тетраэдрические пустоты составляют 0,22 ⋅ rат.
На каждый атом в ГЦК-структуре приходится по одной октаэдрической и по две тетраэдрических пустоты. Коэффициент
компактности структуры составляет 74,05 %.

7.2. Структурный тип вольфрама W (А2)
Структурным типом вольфрама обладают преимущественно тугоплавкие металлы. Яркими примерами являются такие металлы,
как ванадий, ниобий, тантал, вольфрам, молибден, хром, α-железо,
β-титан, β-гафний. Кроме того, структурным типом вольфрама (А2)
обладают щелочные металлы — литий, натрий, калий, рубидий, цезий; щелочно-земельные металлы— γ-кальций, γ-стронций, барий.
Элементарная ячейка вольфрама — кубическая (ТГС m3m),
объемноцентрированная структура Браве (рис. 7.6): атомы располагаются в вершинах куба и в самом центре куба [2].

Рис. 7.6. Структурный тип вольфрама (А2) 12

Основные характеристики структуры кристаллической решетки вольфрама представлены в табл. форме ниже [20].
Всего на элементарную ячейку вольфрама приходится
два полных атома. Соответственно, в структуре имеется одна
правильная система точек с кратностью 2. Координаты всех
атомов в ячейке, т. е. базис: [[000]], [[1/2, 1/2, 1/2]].
12

178

Список структурных типов // Википедия : [сайт]. URL: https://clck.
ru/3PerFS (дата обращения: 08.08.2025).

7.2. Структурный тип вольфрама W (А2)

Основная кристаллохимическая информация
о структурном типе вольфрама (А2)
Характеризующий параметр

Значение

Решетка Браве

ОЦК

ТГС

m3m

ПГС

Im3m

Число атомов на элементарную ячейку

2

Число атомов первой координационной
сферы (КЧ1)

8

Коэффициент компактности решетки К

68 %
111
000;�
222

Базис элементарной ячейки

Каждый атом в кристалле окружен восемью ближайшими
атомами, координационное число первой координационной сферы КЧ1 = 8. Например, для выбранного атома А, располагающегося в центре кубической ячейки, ближайшими соседями являются атомы 1–8, расположенные в вершинах кубической ячейки
(рис. 7.7). Координационным многогранником является куб [2].
Основные элементы симметрии — плоскости зеркального
отражения –проходят параллельно грани элементарной ячейки и диагоналям граней, как и в ГЦК-структуре (рис. 7.3). Пространственная группа Im3m.
6

7

5

8

А
2
1

3
4

Рис. 7.7. Расположение восьми ближайших
атомов в ОЦК-структуре для выбранного атома А [2]
179

7. Основные типы структур

Плотноупакованными направлениями в ОЦК-структуре
служат направления типа <111> (рис. 7.8). Плотноупакованных
плоскостей в структуре нет. Наибольшей плотнейшей упаковкой обладают плоскости типа {110} (рис. 7.8).

{110}

<111>
Рис. 7.8. Плотноупакованные направления
и плоскости наибольшей плотнейшей упаковки
атомов в структуре ОЦК

Октаэдрические пустоты в ОЦК-решетке находятся в центрах
граней куба и в серединах ребер куба (рис. 7.9, а). Эти октаэдры
неравноосны. Центры тетраэдрических пустот находятся на гранях куба, но эти центры Т-пор смещены от центра грани куба
на а/4 вдоль координатных направлений (рис. 7.9, б). На рис. 7.9
для примера представлено только по одной из двух типов пор.
а

б

Рис. 7.9. Поры в ОЦК-ячейке [20]:
а — О-поры; б — Т-поры
180

7.3. Структурный тип магния (А3)

Октаэдрические пустоты в ОЦК-решетке имеют объем значительно меньший, чем в ГЦК: радиус О-пор, в зависимости
от радиуса атома rат, составляет всего 0,154 ⋅ rат. Тетраэдрические же пустоты в ОЦК-структуре больше по объему октаэдрических, и их радиус составляет 0,291 ⋅ rат.
На каждый атом в структуре приходится по три октаэдрических и по шесть тетраэдрических пустот. Большое число пустот обеспечивает «рыхлость» ОЦК-структуры и более легкое
вхождение примесей. Коэффициент компактности ОЦК-структуры равен 68 % [25].

7.3. Структурный тип магния (А3)
В структурном типе магния кристаллизуются гексагональные металлы: кадмий, бериллий, α-титан, α-кобальт, рений,
рутений, цинк, α-цирконий и др.
Ячейка магния — гексагональная (ТГС 63 / mmc): атомы располагаются в вершинах гексагональной призмы — в центрах
верхнего и нижнего оснований призмы, а также три атома находятся во внутреннем объеме ячейки (рис. 7.10, а) [14].
а

б

Рис. 7.10. Структурный тип магния (А3):
а — вид структуры 13; б — элементарная ячейка
13

Список структурных типов // Википедия : [сайт]. URL: https://clck.
ru/3PerKc (дата обращения: 08.08.2025).

181

7. Основные типы структур

В качестве элементарной ячейки структурного типа магния лучше всего рассматривать всего одну третью часть гексагональной призмы — призму, в основании которой лежит ромб
с углом 120° (рис. 7.10, б). Атомы располагаются в вершинах
этой призмы, и если элементарную ячейку разделить плоскостью на две тригональные призмы, то в центре одной из призм
будет расположен атом, в центре же другой тригональной призмы атома нет. «Заселенные» атомом и пустые тригональные
призмы в кристаллической структуре магния чередуются между собой в шахматном порядке.
Основные характеристики структуры кристаллической решетки магния представлены в табл. форме ниже [14].
На элементарную ячейку приходится два атома магния. Соответственно, в структуре имеется одна правильная система точек с кратностью 2. Координаты всех атомов в ячейке, т. е. базис: [[000]], [[2/3, 1/3, 1/2]].
Основная кристаллохимическая информация
о структурном типе магния (А3)
Характеризующий параметр
Решетка Браве
ТГС
ПГС
Число атомов на элементарную ячейку
Число атомов первой координационной
сферы (КЧ1)
Коэффициент компактности решетки К
Базис элементарной ячейки

Значение
Гексагональная
63 / mmc

P63 / mmc
2

12
74,05 %
211
000;�
332

Каждый атом в кристалле окружен 12 ближайшими атомами, координационное число первой координационной сферы КЧ1 = 12. Например, для выбранного атома А, располагающегося в центре одного из оснований гексагональной призмы,
ближайшими соседями являются атомы 1–6, расположенные
182

7.3. Структурный тип магния (А3)

в этой же плоскости основания призмы, атомы 7–9 — это атомы, расположенные во внутренней области верхней ячейки,
атомы 10–12 — это атомы, расположенные во внутренней области нижней ячейки (рис. 7.11). Координационным многогранником является гексагональный кубооктаэдр [2].
Основными элементами симметрии в гексагональной
структуре магния являются плоскость зеркального отражения,
расположенная перпендикулярно главной оси (рис. 7.12, а),
плоскость зеркального отражения, проходящая вдоль оси Z
и вдоль диагональных направлений к координатным осям
X, Y, t (рис. 7.12, б). Кроме того, элементами симметрии являются винтовые оси симметрии 63 и плоскости скользящего отражения типа с, проходящие вдоль оси 63 и параллельно осям
X, Y, t (рис. 7.12, в). На рис. 7.12 приведены примеры по одному из каждого вида элементов симметрии [2].

8

9

7
4

5

6

3

А
2

1
12

11

10

Рис. 7.11. Расположение 12‑ти ближайших атомов,
окружающих атом А, в ГПУ-структуре
183

7. Основные типы структур

Решетка магния является примитивной, для лучшего понимания такую структуру можно представить следующим образом:
одна примитивная элементарная ячейка — призма, в основании
которой лежит ромб с углом 120° (рис. 7.10, б), но без атома
во внутренней области, — сдвинута относительно другой точно
такой же эквивалентной
примитивной ячейки на трансляцион  
2a b c
ный вектор ( + + ). Пространственная группа: P63 / mmc [14].
3 3 2
а

б

в
63

m

m

с
с2

Рис. 7.12. Элементы симметрии
кристаллической структуры магния [2]:
а, б — плоскости зеркального отражения;
в — плоскость скользящего отражения и винтовая ось

Плотноупакованными направлениями в структуре являются направления типа 1120. Плотноупакованными слоями атомов являются плоскости базиса типа {0001}, они перпендикулярны винтовым осям 63 (рис. 7.13).
Эти плотноупакованные слои (в плоскости базиса) сочетаются между собой тоже плотнейшим образом: атом одного
плотноупакованного слоя ложится в лунку между тремя атомами предыдущего такого же слоя. Создается плотнейшая упаковка. Она является гексагональной, двухслойной …АВАВАВ…
(рис. 7.13). Все пустоты между атомами не заполнены.
184

7.3. Структурный тип магния (А3)

{0001}
А

В

А

<1120>

Рис. 7.13. Плотноупакованные плоскости
и направления в ГПУ-структуре

Октаэдрические пустоты (рис. 7.14, а) находятся между тремя атомами плоскости базиса и тремя атомами внутри объема
гексагональной призмы.
Тетраэдрические пустоты находятся между тремя атомами
плоскости базиса и одним атомом внутри объема гексагональной призмы (рис. 7.14, б). На рис. 7.14 для примера представлено только по одной из двух типов пор.
а

б

Рис. 7.14. Расположение пор в гексагональной
плотноупакованной структуре [20]:
а — О-пора; б — Т-пора
185

7. Основные типы структур

Радиусы октаэдрических и тетраэдрических пустот для
ГПУ-структуры в зависимости от радиуса атома rат равны 0,41 ⋅ rат
и 0,22 ⋅ rат соответственно.
На каждый атом в ГПУ-структуре приходится по одной октаэдрической и по две тетраэдрических пустоты. Коэффициент
компактности структуры составляет 74,05 %.
В идеальных плотноупакованных гексагональных металлах отношение высоты элементарной ячейки (с) к расстоянию
между соседними атомами в базисной плоскости (а), т. е. отношение с/а, равно 1,633, хотя сами параметры с и а для разных
веществ различны.

7.4. Структурный тип алмаза (А4)
Структурным типом алмаза обладают простые вещества,
полупроводники: кремний, германий, серое олово (α-олово).
Элементарная ячейка алмаза — кубическая (ТГС m3m), гранецентрированная структура Браве (рис. 7.15): атомы располагаются в вершинах куба и в центрах граней куба (такие атомы
на рис. представлены черным цветом), а также, если куб мысленно разбить на восемь октантов, то и в центрах четырех из восьми
октантов (такие атомы для большего понимания на рис. представлены серым цветом, но они ничем не отличаются от черных атомов, они им эквивалентны). Причем «заселенные»

Рис. 7.15. Структурный тип алмаза (А4) 14
14

186

Список структурных типов // Википедия : [сайт]. URL: https://clck.
ru/3PerVe (дата обращения: 08.08.2025).

7.4. Структурный тип алмаза (А4)

и «незаселенные» атомами октанты чередуются между собой
в шахматном порядке [14].
Для лучшего понимания такую структуру можно представить следующим образом: одна ГЦК-решетка сдвинута относительно другой ГЦК-решетки вдоль направления [111] на 1/4
длины диагонали куба.
Основные характеристики структуры кристаллической решетки алмаза представлены в табл. форме ниже [4].
Основная кристаллохимическая информация
о структурном типе алмаза (А4)
Характеризующий параметр
Решетка Браве

Значение
ГЦК

ТГС

m3m

ПГС

Fd3m

Число атомов на элементарную ячейку

8

Число атомов первой координационной
сферы (КЧ1)

4

Коэффициент компактности решетки К
Базис элементарной ячейки

34 %
11 1 1
000;�
0� ; 0 ;�
22 2 2
11 111 331
� ;
; �
;
0
22 444 444
313 133
;�
444 444

Всего на элементарную ячейку алмаза приходится восемь
атомов: четыре атома от ГЦК-ячейки и четыре атома, расположенные во внутренней области ГЦК-ячейки (рис. 7.15). Соответственно, в структуре имеется одна правильная система точек
с кратностью 8. Координаты всех атомов в ячейке, т. е. базис:
[[000]], [[1/2, 1/2, 0]], [[1/2, 0, 1/2]], [[0, 1/2, 1/2]], [[1/4, 1/4,
1/4]], [[3/4, 3/4, 1/4]], [[3/4, 1/4, 3/4]], [[1/4, 3/4, 3/4]].
Каждый атом в кристалле окружен четырьмя ближайшими атомами (рис. 7.15), координационное число первой
187

7. Основные типы структур

координационной сферы КЧ1 = 4. Координационным многогранником является тетраэдр [2].
Основными элементами симметрии в такой ячейке служат
плоскости скользящего отражения типа d (алмазные плоскости), проходящие вдоль координатных направлений (рис. 6.8),
и плоскости зеркального отражения m, проходящие вдоль диагональных направлений. Вдоль пересечений этих плоскостей
проходят винтовые оси 41 (рис. 6.10). Пространственная группа симметрии: Fd3m.
Плотноупакованными направлениями в структуре являются направления <110>. Плотноупакованных плоскостей
нет. Однако наибольшей плотнейшей упаковкой обладают
плоскости типа {111}, перпендикулярные осям 3‑го порядка (аналогичные плотноупакованным плоскостям в ГЦК-решетке, рис. 7.4).
Коэффициент компактности структуры составляет 34 % [25].

7.5. Структурный тип NaCl (В1)
Структурным типом NaCl (В1) обладают соединения большинства галогенидов металлов — LiCl, KCl, AgCl, RbCl, окислов
двухвалентных металлов — MgO (периклаз), FeO (вюстит), CaO,
SrO, BaO, ZrO и т. п. В этом же структурном типе кристаллизуются и сульфиды PbS, BaS, а также соединения KBr, LiF, UC.
Структуру NaCl можно описать двумя ГЦК-решетками
(узлы одной из ГЦК-решеток заняты атомами Cl, узлы другой
ГЦК-решетки заняты атомами Na), сдвинутыми относительно друг друга вдоль направления типа <111> на половину пространственной диагонали куба (рис. 7.16).
Или иначе структуру соединения NaCl можно описать как
ГЦК-решетку атомов Cl, у которой все октаэдрические поры
«заселены» атомами Na.
Основные характеристики структуры кристаллической решетки NaCl представлены в табл. форме ниже [4].
188

7.5. Структурный тип NaCl (В1)

Na
Сl
Рис. 7.16. Элементарная ячейка NaCl 15
Основная кристаллохимическая информация
о структурном типеNaCl (В1)
Характеризующий параметр

Значение

Решетка Браве

ГЦК

ТГС

m3m

ПГС

Fm3m

Число атомов на элементарную ячейку
Число атомов первой координационной
сферы (КЧ1)
Базис элементарной ячейки

8
КЧ (Сl) = 6 Nа;
КЧ (Nа) = 6 Сl
Для атомов Cl:
11 1 1
11
000;�
0� ; 0 ; � 0
;
22 2 2
22
Для атомов Na:
111 1
1
1
;� 00
� ; 0 0;� 00
222 2
2
2

Всего на элементарную ячейку соединения NaCl приходится восемь атомов: четыре атома Na и четыре атома Cl. Соответственно, в структуре имеется одна правильная система точек
с кратностью 8. Координаты всех атомов в ячейке, т. е. базис: для
атомов Cl: [[000]], [[1/2, 1/2, 0]], [[1/2, 0, 1/2]], [[0, 1/2, 1/2]]; для
атомов Na: [[1/2, 1/2, 1/2]], [[0, 0, 1/2]], [[0, 1/2, 0]], [[1/2, 0, 0]].
15

Какова причина образования кристаллической решетки хлорида натрия? //
Яндекс Кью. URL: https://clck.ru/3PUozr (дата обращения: 08.08.2025).

189

7. Основные типы структур

Каждый атом Cl в кристалле окружен шестью ближайшими атомами Na, соответственно, координационное число первой координационной сферы для атомов Cl атомами Na равно шести [31].
Каждый атом Na в кристалле окружен шестью ближайшими атомами Cl, соответственно, координационное число первой координационной сферы для атомов Na атомами Cl также равно шести.
Координационным многогранником как для атома хлора,
так и для атома натрия является октаэдр.
Основные элементы симметрии ячейки NaCl эквивалентны
элементам симметрии ячейки меди (рис. 7.3). Пространственная группа симметрии: Fm3m.
Плотноупакованными направлениями в структуре являются направления <110>. Плотноупакованные слои атомов
типа {111} перпендикулярны осям 3‑го порядка. Эти слои
сочетаются между собой тоже плотнейшим образом: атом
одного плотноупакованного слоя ложится в лунку между
тремя атомами предыдущего такого же слоя. Создается плотнейшая упаковка. Она является кубической, трехслойной
…АВСАВСАВС… [2].
Все октаэдрические поры в ГЦК-структуре Cl заняты атомами Na, тетраэдрические пустоты остаются свободными.

7.6. Структурный тип CsCl (В2)
Структурным типом CsCl (В2) обладают такие соединения, как CsCl, AgZn, CuZn, FeAl, NiAl, CsBr, CsI, RbCl, AlCo,
BeCu, RuAl и др.
Элементарная ячейка структуры CsCl (В2) — кубическая,
атомы Cl располагаются в вершинах куба, а атом Cs — в центре куба (рис. 7.17).
CsCl относится к простой кубической структуре пространственной группы Pm3m: атомы Cl образуют примитивную кубическую решетку (ПГС Pm3m), атомы Cs также образуют
190

7.6. Структурный тип CsCl (В2)

примитивную кубическую решетку (ПГС Pm3m), но эти две
кристал­лические решетки оказываются сдвинуты относительно друг друга на половину пространственной диагонали куба
a 3
111).
(т. е. смещены на
2

Cs
Сl

Рис. 7.17. Элементарная ячейка CsCl 16

Основные характеристики структуры кристаллической решетки CsCl представлены в табл. форме ниже.
Основная кристаллохимическая информация
о структурном типе CsCl (В2)
Характеризующий параметр
Решетка Браве

Значение
Примитивная
кубическая

ТГС

m3m

ПГС

Pm3m

Число атомов на элементарную ячейку

2

Число атомов первой координационной
сферы (КЧ1)

КЧ (Cs) = 8 Cl;

Базис элементарной ячейки

Для атомов Cl:
000;
Для атомов Cs:
111
222

16

КЧ (Cl) = 8 Cs

Кристаллические решетки. URL: https://hemi.nsu.ru/text139.htm (дата
обращения: 08.08.2025).

191

7. Основные типы структур

Всего на элементарную ячейку CsCl приходится два атома:
один полный атом Cs и один полный атом Cl. Соответственно,
в структуре имеется одна правильная система точек с кратностью 2. Координаты всех атомов в ячейке, т. е. базис: для атомов Cl: [[000]]; для атомов Cs: [[1/2, 1/2, 1/2]].
Каждый атом Cl в кристалле окружен восемью ближайшими
атомами Cs, соответственно, координационное число первой координационной сферы для атомов Cl атомами Cs равно восьми.
Каждый атом Cs в кристалле окружен восемью ближайшими атомами Cl, соответственно, координационное число первой
координационной сферы для атомов Cs атомами Cl также равно восьми. Координационным многогранником как для атома
хлора, так и для атома цезия является куб [20].
Основные элементы симметрии — плоскости зеркального
отражения –проходят параллельно грани элементарной ячейки
и диагоналям граней, как и в ГЦК-структуре (рис. 7.3).

7.7. Сверхструктуры
Атомы компонентов, составляющих твердый раствор, обычно беспорядочно распределены по узлам (или междоузлиям)
структуры, однако в ряде случаев при температурах ниже некоторой критической распределение перестает быть неупорядоченным, и возникает так называемое упорядочение.
Полностью упорядоченное состояние характеризуется более низкой симметрией, и оно обычно обладает решеткой с элементарной ячейкой большего размера и поэтому называется
сверхструктурой.
Сверхструктура Cu3Au (L12)

Структурным типом Cu3Au (L12), помимо соединения Cu3Au
(аурикуприд), обладает жаростойкая фаза Ni3Al.
Элементарная ячейка структуры Cu3Au (L12) — кубическая:
атомы Au располагаются в вершинах куба, а атомы Cu — в центрах граней куба (рис. 7.18).
192

7.7. Сверхструктуры

Cu3Au относится к простой кубической структуре пространственной группы Pm3 m.

Cu

Au
Рис. 7.18. Элементарная ячейка Cu3Au 17

Основные характеристики структуры кристаллической решетки Cu3Au представлены в табл. форме ниже [14].
Основная кристаллохимическая информация
о структурном типе Cu3Au (L12)
Характеризующий параметр
Решетка Браве

Значение
Примитивная
кубическая

ТГС

m3 m

ПГС

Pm3 m

Число атомов на элементарную ячейку
Число атомов первой координационной
сферы (КЧ1)
Базис элементарной ячейки

17

4
КЧ (Cu) = 4 Au
КЧ (Au) = 12 Cu
Для атомов Au:
000;
Для атомов Cu:
11 1 1 11
0;� 0 ; 0
22 2 2 22

Описание некоторых простых кристаллических структур («Джентельменский набор»). URL: https://clck.ru/3PUtLU (дата обращения: 08.08.2025).

193

7. Основные типы структур

Всего на элементарную ячейку Cu3Au приходится четыре атома: один полный атом Au и три полных атома Cu. Соответственно,
в структуре имеется одна правильная система точек с кратностью 4.
Координаты всех атомов в ячейке, т. е. базис: для атомов Au —
[[000]]; для атомов Cu — [[1/2, 1/2, 0]], [[1/2, 0, 1/2]], [[0, 1/2, 1/2]].
Каждый атом Au в кристалле окружен 12 ближайшими атомами Cu, соответственно, координационное число первой координационной сферы для атомов Au атомами Cu равно 12. Координационный многогранник — кубооктаэдр [31].
Каждый атом Cu в кристалле окружен четырьмя ближайшими атомами Au, соответственно, координационное число первой координационной сферы для атомов Cu атомами Au также
равно четырем. Эти атомы лежат в одной плоскости (соединив
вершины которых, получим квадрат). Для второй и последующих координационных сфер координационным многогранником является куб.
Основные элементы симметрии — плоскости зеркального отражения –проходящие параллельно грани элементарной
ячейки и диагоналям граней, как и в ГЦК-структуре (рис. 7.3),
а также инверсионные оси 3‑го порядка, проходящие по пространственным диагоналям элементарной ячейки [25].

7.8. Сверхструктура CuAu (L10)
Структурным типом CuAu (L10), помимо соединения CuAu,
обладают фазы PtNi, TiAl.
Элементарная ячейка структуры CuAu (L10) — тетрагональная: атомы Au располагаются в вершинах ячейки — тетрагональной призмы, а также в центрах нижнего и верхнего оснований
призмы; атомы Cu — в центрах боковых граней тетрагональной призмы (рис. 7.19).
CuAu относится к простой тетрагональной структуре про4
странственной группы P mm.
m
194

7.8. Сверхструктура CuAu (L10)

Основные характеристики структуры кристаллической решетки Cu3Au представлены в табл. форме ниже.

Cu
Au
Рис. 7.19 Элементарная ячейка CuAu 18
Основная кристаллохимическая информация
о структурном типе CuAu (L10)
Характеризующий параметр
Решетка Браве
ТГС
ПГС
Число атомов на элементарную ячейку

Значение
Примитивная
тетрагональная
4
mm
m
4
P mm
m
4

Число атомов первой координационной
сферы (КЧ1)

КЧ (Cu) = 4 Сu;

Базис элементарной ячейки

Для атомовAu:
11
000;
0;
22

КЧ (Au) = 8 Cu

Для атомов Cu:
1 1 11
� 0 ;0
2 2 22
18

Описание некоторых простых кристаллических структур («Джентельменский набор»). URL: https://clck.ru/3PUtLU (дата обращения: 08.08.2025).

195

7. Основные типы структур

Всего на элементарную ячейку CuAu приходится четыре атома: два полных атома Au и два полных атома Cu. Соответственно,
в структуре имеется одна правильная система точек с кратностью 4.
Координаты всех атомов в ячейке, т. е. базис: для атомов Au —
[[000]], [[1/2, 1/2, 0]]; для атомов Cu — [[1/2, 0, 1/2]], [[0, 1/2, 1/2]].
Каждый атом Au в кристалле окружен восемью ближайшими
атомами Cu, соответственно, координационное число первой координационной сферы для атомов Au атомами Cu равно восьми.
Координационный многогранник для атома Au — куб [31].
Каждый атом Cu в кристалле окружен четырьмя ближайшими атомами Сu, соответственно, координационное число первой
координационной сферы для атомов Cu атомами Сu также равно
четырем. Координационный многогранник для атома Cu — куб.
Основные элементы симметрии — плоскости зеркального
отражения –проходят параллельно граням элементарной ячейки и диагоналям граней, а также главная ось 4‑го порядка, сонаправленная с осью Z.

Вопросы для самопроверки к главе 7
1. Что такое структурный тип кристалла?
2. Какой элементарной ячейкой обладает структурный тип А1?
3. Какие параметры включает в себя основная кристаллохимическая информация о структурном типе? Приведите пример на основании структурного типа вольфрама.
4. Какую элементарную ячейку рассматривают для структурного типа магния?
5. Назовите базис элементарной ячейки структурного типа А4.
6. Число атомов на элементарную ячейку структурного
типа В1?
7. В чем основное отличие структурного типа А2 от В2?
8. Что такое сверхструктура?
9. Как располагаются атомы в структурном типе L10?
Приведите основную кристаллохимическую информацию
о данном структурном типе.
196

8
ТВЕРДЫЕ РАСТВОРЫ

Понятие «твердый раствор» было введено в науку для описания однородных твердых веществ переменного химического
состава по аналогии с понятием «жидкий раствор».
Твердыми растворами называют фазы, в которых один
из компонентов сплава сохраняет свою кристаллическую решетку, а атомы других (или другого) компонентов располагаются в решетке первого компонента (растворителя), изменяя ее
размеры (периоды). Таким образом, твердый раствор, состоящий из двух или нескольких компонентов, имеет один тип решетки и представляет собой одну фазу.
Поскольку размеры растворенных атомов отличаются
от размеров атомов растворителя, то образование твердого раствора сопровождается искажением кристаллической решетки
растворителя [34].
Например, на рис. 8.1 показано, что если атом второго компонента по размеру больше атомов основной решетки
(рис. 8.1, а), то в кристаллической решетке растворителя вблизи этого атома возникают растягивающие напряжения.

197

8. Твердые растворы

Рис. 8.1. Искажение кристаллической решетки
при образовании твердого раствора 19

Если же атом второго компонента по размеру меньше атомов основной решетки (рис. 8.1, б), то в кристаллической решетке растворителя вблизи этого атома возникают сжимающие напряжения.

8.1. Твердые растворы внедрения
По способу внедрения в металле растворяются металлоиды
с малым атомным радиусом — водород, кислород, азот, углерод и бор — 0,046; 0,060; 0,071; 0,077 и 0,097 нм соответственно.
Внедренные атомы В располагаются в пустотах упаковки
из атомов растворителя А (рис. 8.2). За исключением водорода,
все элементы, растворяющиеся по способу внедрения, имеют
размер атомов больше самых крупных пустот, и поэтому внедренные атомы, как уже говорилось, смещают вокруг себя атомы растворителя [35; 36].

‒А
‒В

Рис. 8.2. Твердый раствор внедрения 20
19

20

198

Твердые растворы замещения и внедрения // Яндекс картинки. URL:
https://clck.ru/3PUudm (дата обращения: 08.08.2025).
Там же.

8.2. Твердые растворы замещения

Твердые растворы внедрения не могут образовывать непрерывные ряды от одного компонента до другого: концентрация раствора не может быть больше той, что соответствует заполнению всех пустот в решетке. Реальная же предельная
растворимость несравненно меньше из-за высокой энергии
упругих искажений кристаллической решетки, возникающих при внедрении инородных атомов. Например, в ГЦК-решетке γ-­Fe на каждый атом приходится одна октаэдрическая
пора, и если бы все октаэдрические поры в γ-­Fe заполнялись
атомами углерода, то его концентрация в твердом растворе
была бы равна 50 % (ат.). В действительности же предельная
концентрация углерода в растворе на базе γ-­Fe равна 8,9 % (ат.)
(2,14 вес.%) [35].

8.2. Твердые растворы замещения
В твердых растворах замещения атомы растворенного элемента В замещают в узлах решетки атомы растворителя А (рис. 8.3).
По способу замещения могут образовываться непрерывные ряды твердых растворов. Для этого должны выполняться три условия.
1. Компоненты должны иметь решетку одинакового типа.
Действительно, заменяя атомы одного компонента на атомы

‒А
‒В

Рис. 8.3. Твердый раствор замещения 21
21

Твердые растворы замещения и внедрения // Яндекс картинки. URL:
https://clck.ru/3PUudm (дата обращения: 08.08.2025).

199

8. Твердые растворы

другого компонента, невозможно непрерывно перейти,
например, от кубической решетки к гексагональной.
2. Малое химическое сродство компонентов, малая вероятность образования химических соединений (промежуточных фаз). Эта вероятность тем больше, чем более электроположителен один элемент и более электроотрицателен
другой.
3. Благоприятный размерный фактор. Атомные диаметры
компонентов могут различаться не более чем на 15 %. В противном случае при больших концентрациях возникает столь
большая энергия упругих искажений решетки раствора, что он
не может существовать. Поэтому непрерывные ряды твердых
растворов образуют элементы из одной группы или из соседних групп периодической системы.
Указанные три условия являются необходимыми, но недостаточными для образования непрерывного ряда твердых растворов. Например, в системе Cu–Au, Cu–Ni, Ag–Au пр. имеется непрерывный ряд твердых растворов, а в системе Cu–Ag,
AlCu, Cu–Zn и пр., удовлетворяющей перечисленным трем условиям, компоненты ограниченно взаимно растворимы в твердом состоянии.
В многокомпонентном сплаве одни элементы могут растворяться по способу внедрения, а другие по способу замещения.
Например, в хромоникелевой стали углерод растворен в железе по способу внедрения, а хром и никель — по способу замещения.
С понижением температуры в твердых растворах замещения
может произойти процесс перераспределения атомов: атомы
растворенного элемента займут строго определенные места в решетке растворителя (например, на рис. 7.19 атомы Au занимают
в решетке Cu не хаотичные положения, а строго расположены
только в верхней и нижней плоскостях основания элементарной ячейки). Такие твердые растворы называют упорядоченными
твердыми растворами, а их структуру — сверхструктурой [35].

200

Вопросы для самопроверки к главе 8

Вопросы для самопроверки к главе 8
1. Что такое твердый раствор?
2. Какие искажения кристаллической решетки могут возникать при образовании твердых растворов?
3. В чем отличие твердого раствора внедрения от твердого раствора замещения?

201

СПИСОК БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ
ССЫЛОК

1. Кристаллография // Википедия : [сайт]. URL: https://clck.
ru/3PUwCg (дата обращения: 15.09.2025).
2. Шаскольская М. М. Кристаллография : учебное пособие.
М. : Высшая школа, 1982. 376 с.
3. Кузьмичева Г. М. Основные разделы кристаллографии :
учебное пособие. М. : МИТХТ, 2002. 80 с.
4. Аникина В. И., Сапарова А. С. Основы кристаллографии
и дефекты кристаллического строения : практикум. Красноярск :
Сиб. федер. ун-т, 2011. 148 с.
5. Физика твердого тела : учебное пособие / Н. А. Рудь,
И. А. Куз­нецова, А. С. Рудый [и др.] ; под ред. А. С. Рудого,
А. В. Проказникова. Ярославль : ЯрГУ, 2009. 260 с.
6. Дальний порядок // Википедия : [сайт]. URL: https://clck.
ru/3PUwLF (дата обращения: 15.09.2025).
7. Ближний порядок // Википедия : [сайт]. URL: https://clck.
ru/3PUwLv (дата обращения: 15.09.2025).
8. Чернова О. Б., Березовская А. В. Химия твердого тела :
учебное пособие. Владимир : Изд-во ВлГУ, 2020. 238 с.
9. Гордина Н. Е. Химия твердого тела : учебно-­методическое
пособие. Иваново : Ивановский государственный химико-­
технологический университет, 2006. 216 с.
10. Кристаллографические свой­ства минералов // Лекции.Нет :
[сайт]. URL: https://clck.ru/3PUxaA (дата обращения: 15.09.2025).
11. Законы геометрической кристаллографии // ecosystema.ru :
[сайт]. URL: https://clck.ru/3PUwUH (дата обращения: 15.09.2025).
202

Список библиографических ссылок

12. Кристаллы. Виды кристаллов // do.gendocs.ru : [сайт].
URL: https://do.gendocs.ru/docs/index‑224174.html (дата обращения: 15.09.2025).
13. Семенова О. Р. Кристаллография : учебное пособие. Пермь :
Перм. гос. нац. исслед. ун-т, 2017. 136 с.
14. Вайнштейн Б. К. Современная кристаллография : в 4-х т.
Т. 1. Симметрия кристаллов, методы структурной кристаллографии. М. : Наука, 1979. 384 с.
15. Анизотропия // Большая советская энциклопедия : [сайт].
URL: https://clck.ru/3PUwxg (дата обращения: 15.09.2025).
16. Монокристалл // Википедия : [сайт]. URL: https://clck.
ru/3PUwyQ (дата обращения: 15.09.2025).
17. Поликристалл // Википедия : [сайт]. URL: https://clck.
ru/3PUwz9 (дата обращения: 15.09.2025).
18. Текстура (кристаллография) // Википедия : [сайт]. URL:
https://clck.ru/3PUx3G (дата обращения: 15.09.2025).
19. Контроль качества материалов и изделий : учебно-­
методическое пособие / А. Ф. Дресвянников, М. Е. Колпаков,
Е. А. Ермолаева, Е. В. Петрова. Казань : Казан. нац. исслед. технол. ун-т, 2019. 80 с.
20. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия / А. Н. Иванов, Л. Н. Расторгуев, Ю. А. Скаков, Я. С. Уманский. М. : Металлургия, 1982. 632 с.
21. Брагина В. И. Кристаллография, минералогия и обогащение
полезных ископаемых. Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2012. 153 с.
22. Батаев А. А., Веселов С. В. Кристаллография. Индицирование граней и ребер кристаллов : учебное пособие. Новосибирск :
Изд-во НГТУ, 2019. 118 с.
23. Бараз В. Р., Левченко В. П., Повзнер А. А. Строение и физические свой­ства кристаллов : учебное пособие. Екатеринбург :
УГТУ-УПИ, 2009. 164 с.
24. Савельева А. Д., Нарциссова П. В. Кристаллография и минералогия : учебное пособие : в 3 ч. Ч. 1. Владимир : Владим. гос.
ун-т, 2003. 72 с.
25. Бердинский В. Л., Каныгина О. Н., Четверикова А. Г. Кристаллофизика : учебное пособие для самостоятельной работы.
Оренбург : ОГУ, 2016. 104 с.
203

Список библиографических ссылок

26. Купрекова Е. И. Физика твердого тела. Сборник заданий :
учебное пособие. Томск : Томск. политех. ун-т, 2014. 172 с.
27. Лейтвейн Ф., Зоммер-­Кулачевски Ш. Кристаллография /
сокр. пер. с немецкого. М. : Высшая школа, 1968. 380 с.
28. Минералогия с основами кристаллографии / В. А. Буланов, А. И. Сизых, А. А. Белоголовов, Ф. А. Летников. М. : Юрайт,
2020. 230 c.
29. Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П. Геометрическая кристаллография. М. : МГУ, 1973. 164 с.
30. Батаев И. А., Батаев А. А. Кристаллография. Обозначение
и вывод классов симметрии. Новосибирск : НГТУ, 2018. 60 с.
31. Калистратова Л. Ф. Физические основы кристаллографии :
учебное пособие. Омск : ОмГТУ, 2020. 154 с.
32. Горелик С. С., Расторгуев Л. Н., Скаков Ю. А. Рентгенографический и электронно-­оптический анализ : справочник. М. :
МИСИС, 1994. 328 с.
33. Расщепкина Н. А. Кристаллохимия : электронное учебное
пособие. Самара : Самар. гос. аэрокосм. ун-т им. С. П. Королева
(нац. исслед. ун-т), 2013.
34. Твердые растворы // Megabook : универсальная энциклопедия Кирилла и Мефодия : [сайт]. URL: https://megabook.ru/article/
Твердые%20растворы (дата обращения: 15.09.2025).
35. Как образуются твердые растворы внедрения и замещения?
Приведите примеры систем ком-в // Студопедия : [сайт]. URL:
https://clck.ru/3PUxSh (дата обращения: 15.09.2025).
36. Идеальные кристаллы. Симметрия кристаллов //
Turboreferat : [сайт]. URL: https://www.turboreferat.ru/geology/
idealnye-­kristally-simmetriya-­kristallov/234372–1180104‑page2.html
(дата обращения: 15.09.2025).

204

Учебное издание

Луговая Ксения Игоревна
Нарыгина Ирина Вячеславовна
Распосиенко Дмитрий Юрьевич
Корелин Андрей Викторович

ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ

Редактор Н. Ф. Тофан
Верстка Ю. В. Ершовой

Подписано в печать 14.10.2025. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Цифровая печать. Усл. печ. л. 12,1.
Уч.-изд. л. 11,5. Тираж 30 экз. Заказ 161.
Издательство Уральского университета
Редакционно-­издательский отдел ИПЦ УрФУ ЦСД
620062, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5
Тел.: 8 (343) 375‑48‑25, 375‑46‑85, 374‑19‑41
E-mail: rio@urfu.ru
Отпечатано в ИПЦ УрФУ ЦСД
620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4
Тел.: 8 (343) 358‑93‑06, 350‑58‑20, 350‑90‑13
http://print.urfu.ru

Для заметок

Для заметок

Для заметок

9 785799 640675

ОСНОВЫ
КРИСТАЛЛОГРАФИИ
ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ

Учебное пособие