DIE GRUNDLEHREN
DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN
MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG
DER ANWENDUNGSGEBIETE
Band 190
CARL FAITH
ALGEBRA: RINGS, MODULES
AND CATEGORIES I
Springer-Verlag
Berlin • Heidelberg
New York 1973
К.0ЕЙС
алгебра:
КОЛЬЦА,
МОДУЛИ
И КАТЕГОРИИ
1
Перевод с английского
Л. А. КОЙШМАНА
А. В. МИХАЛЕВА
т. с. тольской
Г. М. ЦУКЕРМАН
Под редакцией
Л. А. СКОРНЯКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1977

УДК 519.4
В т. 1 двухтомной монографии известного американского
алгебраиста освещено современное состояние развития отдель-
отдельных разделов алгебры. Автор широко использует аппарат тео-
теории модулей, категорий и гомологии. Наряду с классическими
изложены результаты, полученные в недавнее время. Много-
Многочисленные упражнения разной трудности способствуют более
глубокому усвоению материала. От читателя не требуется спе-
специальных знаний, хотя и предполагается достаточно высокая
математическая культура.
Книга полезна всем алгебраистам, интересующимся коль-
кольцами, модулями и категориями. Она может служить учебным
пособием для студентов-старшекурсников и аспирантов, изу-
изучающих современную алгебру.
Редакция литературы по математическим наукам
20203-009
041@1)—77
Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg, 1973
Перевод на русский язык, «Мир», 1977
Предисловие редактора перевода
В развитии теории колец (в этой книге, и в частности в насто-
настоящем предисловии, под кольцом всегда понимается ассоциативное
кольцо с единицей) до настоящего времени усматриваются четыре
этапа. Первый из них связан с исследованием конечномерных
алгебр и подытожен книгой Диксона (L. E. Dickson, «Algebras
and their arithmetics», 1923).
На следующем этапе исследования пошли по линии перехода
от алгебр к кольцам, удовлетворяющим условиям обрыва убываю-
убывающих цепей односторонних идеалов. Итоговая монография принад-
принадлежит Артину, Несбиту и Троллу (Е. Artin, E. Nesbitt, R. Thrall,
«Rings with minimum condition», 1944). Третий этап прошел под
знаменем радикала. Кроме того, в этот период уже началось при-
привлечение к исследованию колец модулей над ними (напомним, что
одно из определений радикала было связано с рассмотрением
неприводимых модулей). И снова можно назвать подытоживающую
монографию — N. Jacobson, «Structure of rings», 1956 (русский
перевод: Н. Джекобсон, «Строение колец», 1961).
В дальнейшем модули начинают играть в теории ассоциативных
колец все большую и большую роль. Появляется значительное
число результатов, относящихся к гомологической классификации
колец, т. е. к исследованию связей между свойствами кольца
и категории модулей над ним. Выясняется также, что кольца част-
частных естественно рассматривать с гомологической точки зрения.
Наблюдается значительное продвижение в исследовании колец
с условием обрыва возрастающих цепей односторонних идеалов.
Отдельные аспекты этого развития отражены в известных моно-
монографиях Ламбека [71а], Херстейна [72], Кона [75].
Монография Фейса — очередная итоговая монография, дове-
доведенная до последних дней. Я не рискнул бы предложить эту
книгу для первоначального ознакомления с предметом; но для
лиц, уже немного знакомых с теорией колец и модулей, моногра-
монография Фейса будет безусловно полезной. Прежде всего она избавит
от необходимости чтения многих журнальных статей, содержащих
интересные новые результаты самых последних лет. Кроме того,
алгебраисты, ведущие исследования в области колец и модулей,
найдут в ней немало полезных идей и четко сформулированных
интересных проблем. Таким образом, монография Фейса окажется
полезной и нужной достаточно широкому кругу читателей.

Предисловие редактора перевода
Необходимо отметить, что в тексте не нашли отражения работы
советских авторов, достаточно тесно примыкающие к рассматри-
рассматривавшимся вопросам.
Обнаруженные в ходе работы над переводом неточности и опе-
опечатки устранены при любезном участии автора. В некоторых слу-
случаях слишком лаконичные доказательства снабжены разъясня-
разъясняющими примечаниями.
Распределение работы между переводчиками было следующим:
Л. А. Койфман — вторая половина гл. 4, гл. 6, 11—16, А. В. Ми-
Михалёв — гл. 1, 7—10, Т. С. Тольская — гл. 2 и 5, Г. М. Цукер-
ман — гл. 3 и первая половина гл. 4. Теоретико-множественное
введение переведено М. П. Дорофеевой.
Л. А. Скорняков
Моим трем музам'.
Микки, Хайди и Синди
К русскому изданию
Мне хочется поблагодарить профессора Л. А. Скорнякова
и переводчиков за их самоотверженную работу над переводом
моей книги. В процессе этой работы они нашли и исправили
множество опечаток, сомнительных утверждений, а в некоторых
случаях и прямых ошибок. Такое тщательное чтение, несомненно,
оказалось очень полезным для книги. Более того, благодаря этому
изданию мои труды вознаграждаются богатым урожаем: они
станут доступными советским студентам и математикам. Это —
большая честь для меня.
Декабрь 1976
Карл Фейс
Предисловие
Цель этой книги — сначала ввести студентов в круг основных
идей и методов теории колец, модулей и категорий (настолько
постепенно и основательно, насколько позволяет время и объем),
а затем подвести их к современным границам исследований (на-
(настолько быстро и широко, насколько позволяют их способности).
Поэтому элементарность начала, включающего теоретико-множе-
теоретико-множественное введение и первую главу с элементарными сведениями
по теории групп и теории категорий, не должна вводить читателя
в заблуждение.
В книге освещен ряд аспектов теории колец в их развитии
начиная со времени опубликования монографии Джекобсона
в 1956 г. (переработанное издание вышло в 1964 г.). Весь второй
том нашей книги посвящен теории колец. Многие из глав основаны
на статьях из тех областей, в которых сейчас интенсивно ведутся
научные исследования. Авторы этих работ упоминаются в конце
предисловия, а их содержание обсуждается во введении. Поэтому
студенты получают широкие возможности найти отправные точки
в текущей литературе, если у них возникнет желание продолжить
изучение предмета.
Хотя быстрый рост объема знаний обучающихся и желателен,
но именно период роста больше всего волнует преподавателя.

8
Предисловие
Поэтому не следует слишком бегло сообщать новые идеи, если мы
хотим добиться их серьезного усвоения. По этой причине многие
теоремы представлены в тексте в различных видах: включены три
независимых доказательства теорем Голди, Лезьё и Круазо
о кольцах с классически полупростыми кольцами частных, два
независимых доказательства теоремы Джонсона и Утуми о мак-
максимальных правых кольцах частных, три доказательства одной
из наиболее важных теорем Мориты, в которой тензорные про-
произведения рассматриваются одновременно и как сопряженные
функторы и как традиционная конструкция (это же относится
и к теории локализации Габриеля и к локализациям в коммута-
коммутативных кольцах). Во многих других местах из педагогических
соображений дается материал, который уже предлагался ранее
читателю в качестве, так сказать, предварительного просмотра.
Это объясняет переплетение чисто кольцевых и чисто категор-
ных частей и отражается на размерах книги: два тома в пяти ча-
частях. Вся теория категорий появляется в первом томе. Второй том,
как уже отмечалось, посвящен почти целиком теории колец.
Видимо, первое систематическое изучение категории правых
модулей над кольцом А было предпринято Моритой в 1958 г.
В Орегонских лекциях в 1962 г. Басе упростил доказательства
ряда «теорем Мориты», при этом были учтены идеи Чейза и Шану-
эля. Одна из теорем Мориты выясняет условия, при которых су-
существует эквивалентность категорий mod-^4 и mod-Б. Решение
Мориты построено так эффективно, что, например, классическая
теорема Веддербёрна — Артина является простым его следстви-
следствием. Более того, класс подобия [А] в группе Брауэра Вг(&) алгебр
над коммутативным кольцом к состоит из всех алгебр В, таких,
что соответствующие категории mod-^4 и mod-2?, состоящие из
/с-линейных морфизмов, эквивалентны, причем эквивалентность
осуществляется с помощью к-линейных функторов. (В случае поля
к группа Брауэра Вг (к) состоит из классов подобия простых
центральных алгебр, а в случае произвольного коммутативного
кольца к группа Брауэра понимается в смысле Адзумаи [51] *)
и Ауслендера — Голдмана [60Ь].) Различные другие примеры, свя-
связанные с брачным союзом (увы, вынужденным!) теории колец
и теории категорий, приводятся в тексте. Кроме того, стремясь
к дальнейшему упрощению доказательств, в частности желая
избежать применения тензорных произведений, использованных
Бассом, я обнаружил круг новых идей и теорем, целиком лежа-
лежащих в рамках теории колец. Это занимает большую часть гл. 4
Предисловие
J) Ссылка вида «Адзумая [51]» относится к статье в списке литературы,
опубликованной Адзумаей в 1951 г. Если в этом году автор опубликовал
более чем одну работу, то они различаются малыми буквами. Например,
Джекобсон [45а], [45Ь] и [45с].
(теорема Мориты — это лишь теорема 4.29). Основной здесь явля-
является теоремао соответствии для проективных модулей (теорема4.7),
подсказываемая ситуацией Мориты. В качестве побочного про-
продукта это создает базу для весьма полной теории простых нётеро-
вых колец. Подробнее об этом будет сказано во введении.
Теория категорий медленно перерастала рамки «теории». Сей-
Сейчас она является одним из фундаментальных математических
средств, объединяющим многие дисциплины (подобно теории
групп). Универсальность понятий морфизма, функтора и естест-
естественного преобразования изменила идейный базис математических
знаний, думаю, безвозвратно: от 19 века с его полной зависимо-
зависимостью от множеств и функций к 20 веку. (Поразительно, что катего-
категории и функторы были введены лишь в середине 20 века *).)
Тем не менее я воздержался от функториального обоснования
теории множеств и, в основном, я думаю, потому, что не мыслю
о кольцах и модулях функториально. Теория категорий скорее
поднимает интересные вопросы, углубляющие наше понимание
предмета 2), чем решает какие-либо проблемы теории колец.
Таким образом, различные теоремы Веддербёрна — Артина, Дже-
кобсона, Джонсона, Голди, Лезьё, Круазо, Утуми, Мориты
и Адзумаи могут быть введены в рамки теории Гротендика —
Габриеля абелевых категорий частных и локализующих функторов
(из диссертации Габриеля). Более подробно об этом говорится во
введении.
Практика перечислять авторов, работы которых отражены
в тексте, порочна не только потому, что некоторые авторы неиз-
неизбежно будут пропущены (просто из-за того, что важность их работы
не была осознана автором монографии), но и потому, что авторы
могут быть представлены не лучшими из их работ. Тем не менее
должны быть воспеты следующие бессмертные: Э. Артин, Г. Берн-
сайд, Дж. Веддербёрн, Р. Дедекинд, К. Гаусс, Д. Гильберт,
О. Гёльдер, К. Жордан, Л. Кронекер, В. Крулль, Дж. Левиц-
Левицкий, Э. Машке, Т. Накаяма, Дж. фон Нейман, Э. Нётер, О. Оре,
Р. Ремак, Г. Фиттинг, Г. Фробениус, О. Ю. Шмидт, О. Шрейер,
И. Шур.
Основной вклад в ту часть теории колец и модулей, которая
представлена в тексте, внесли: Д. Айзенбуд, Ш. Амицур, Г. Адзу-
Адзумая, К. Асано, М. Ауслендер, X. Басе, Р. Брауэр, Н. Бурбаки,
Я.-Э. Бьёрк, Р. Бэр, П. Вамош, Д. Веббер, Д. Гилл, О. Голдман,
Ф. Гриффите, К. Гудёрл, Н. Джекобсон, Р.Джонсон, Ж. Дьёдон-
не, М. Икеда, И. Капланский, А. Картан, Г. Кёте, Дж. Коззенс,
г) В 1945 г. Эйленбергом и Маклейном, см. Маклейн [66, стр. 52].
2) «Понятия категории и функтора обеспечивают не глубокие теоремы, а
удобный способ выражения», там же, стр. 50. (Однако одна из теорем в не-
недавней работе Митчелла [72] может сделать эту цитату устаревшей!)

10
Благодарности
П. Кон, И. Коннел, Э. Колчин, Й. Коэн, Р. Круазо, И. Ламбек,
Ч. «Панский, Ж. Лафон, Л. Леви, Л. Лезьё,Н. Маккой, Э. Матлис,
Ю. Миясита, К. Морита, Б. Ософская, 3. Папп, С. Перлис,
Г. Прюфер, Дж. Робсон, Ф. Сандомирский, Э. Своковский,
Л. Смолл, Р. Суон, X. Тахикава, Э. Уонг, Р. Уорфилд, Ю. Утуми,
К. и Э. Уокеры, Э. Феллер, Дж. Финдлей, К. Фуллер, М. Харада,
И. Херстейн, А. Чаттерс, С. Чейз, К. Шевалле, Р. Шок, А. Шопф,
С. Эйленберг, Б. Экман, а в теорию категорий — Д. Буксбаум,
П. Габриель, А. Гротендик, Н. Йонеда, Д. Кан, С. Лабкин, С. Мак-
лейн, Б. Митчелл, Н. Попеску, К. Уотс, Р. Фрейд, С. Эйленберг.
Мы спешим заметить, что это разделение едва ли точно! Мы
комментировали категорные аспекты работы Мориты, но можно
было бы также проследить и влияние теории колец на теорию
категорий. Здесь можно назвать теорему Джекобсона о строении
колец без условий на цепи идеалов или инъективную оболочку,
изобретенную Бэром, Экманом и Шопфом. Неоценим и вклад Эйлен-
берга и Маклейна в теорию колец.
Принстон, февраль 1973 г.
Карл Фейс
Благодарности
Ни одна книга не была написана усилиями лишь одного чело-
человека. Мне хочется поблагодарить мою жену за это замечание и за
помощь, которую она мне оказала (отсюда это замечание и возник-
возникло). Я должен выразить благодарность моим тинейджерам *)—
дочерям Хайди и Синди за то, что они терпеливо переносили мое
состояние отчаяния, прощали мою невнимательность и не считали
меня страдальцем. Все это помогло мне справиться с работой.
Я с удовольствием выражаю благодарность и за другого рода
поддержку. Исследования, которые в конечном счете вошли как
часть в текст книги, субсидировались рядом стипендий. В 1959—
1960 гг. я получал последокторскую стипендию НАТО в Хайдель-
Хайдельберге, в 1960—1961 гг.— последокторскую стипендию Националь-
Национального научного фонда в Институте высших исследований, за кото-
которой в 1961—1962 гг. последовала дотация. Во время основной
работы над текстом мне была оказана помощь в виде двух стипен-
стипендий Ратгерского университета — одна в 1965—1966 гг. для работы
в университете Калифорнии в Беркли, другая — в 1969—1970 гг.
для работы в Принстоне. Я благодарен за них Ратгерскому Совету
по исследованиям.
Благодарности
11
г) teen-age — в возрасте от 13 до 19 лет.— Прим. перев.
Я отдаю себе полный отчет в преимуществах, созданных такой
щедрой помощью, и в сопутствующих ей и налагаемых ею обя-
обязательствах.
Написание этой книги, любовь и труд, вложенные в нее,
являются моей искренней попыткой выполнить эти обязательства
и доказательством мой признательности. Я в долгу перед факуль-
факультетами и персоналом Института высших исследований и Матема-
Математическим институтом в Хайдельберге. Я не могу перечислить всех
поименно — слишком многие относились ко мне с расположением.
Но я вечно буду благодарен Дину Монтгомери и Фридриху Кашу
за помощь.
Помимо моих бывших студентов Энн К. Бойл, Джона X. Коз-
зенса и Барбары Л. Ософской я обязан многим математикам,
прочитавшим те или иные части рукописи в различных вариантах.
За многочисленные предложения, включенные в текст без особых
оговорок, я хочу поблагодарить Поля М. Кона, Кента Р. Фуллера,
Натана Джекобсона, Аруна Ятегаонкара, Сержа Ленга, Уильяма
Р. Скотта и Уолмера Васконселоса. Я хочу поблагодарить Хайме-
на Басса за любезно предоставленную мне возможность исполь-
использовать части его записок в Тата-институте [67]. Материал гл. 12
о теоремах Мориты и группе Пикара почти без изменения взят из
этой работы. Я благодарен Рихарду Брауэру за присланный по
моей просьбе экземпляр его главы о фробениусовых алгебрах и за
стимулирующую переписку из Бэйлстренда. Сандерс Маклейн
задал вопрос в связи с моим определением категорий. Я надеюсь,
что я разрешил его корректно. Что касается другой помощи по
категориям, то я полагался на моих коллег Майлса Тирни и Барри
Митчелла. Особенно мне помогла прекрасная книга Митчелла [65].
Мой друг Джо Розенштейн нашел и исправил столько логических
ошибок в теоретико-множественном введении, сколько я ему позво-
позволил! Я также хочу поблагодарить Билла Скотта за один искренний
совет, основанный на его собственном опыте написания книг
(которым я и воспользовался).
Я признателен за сердечное сотрудничество моим студентам,
коллегам и друзьям-математикам в Ратгерсе и в других местах,
но, конечно, они не несут ответственности за мои ошибки! Нельзя
перехвалить Джона X. Коззенса и Джона Кёля за усердие,
с которым они вылавливали бесчисленные опечатки. Большое
им спасибо!
Печатание математического текста требует опыта особого типа,
не говоря уже об интеллекте или мужестве. За отвагу, за работу
«не за страх, а за совесть», я хочу восхвалить мисс «Таффи» Грифф-
Гриффите, мисс «Юти» Антони и мисс Кэролин Ундервуд. Мисс Ундер-
вуд оказала помощь легионам приглашенных в Институт высших
исследований, но что мне помогло больше всего — это ее жизне-
жизнерадостность и доброта.

12
Благодарност и
Задача аккуратного подбора библиографии по сотням карточек
была быстро решена моим другом и соседом Френком Кроуфордом,
президентом Принстонской компании микрофильмирования. Он —
обладатель моего лучшего «Кордон Руж-66».
У математиков есть на все свои теории. У меня — теория
о математиках. Мы так сосредоточены на наших рукописях и урав-
уравнениях, что нас принято считать слишком отрешенными и, следо-
следовательно, слишком холодными и неэмоциональными. Моя теория
заключается в том, что именно потому, что математики так эмоци-
эмоциональны, они могут стать математиками. Им по крайней мере
присуща способность увлечься аскетической красотой, кото-
которой обладает математика —«белая богиня», как поэт Роберт Грейвс
назвал музу поэзии — музу всех нас.
Введение
Работа Гротендика [57] перенесла гомологическую алгебру
в абелевы категории с точными прямыми пределами (гл. 14).
В большей части текста требуется лишь незначительная подготовка
по теории категорий и почти не нужны сведения об абелевых ка-
категориях. Однако далеко идущая теорема Попеску — Габрие-
Габриеля [64] опирается не только на основы теории абелевых категорий
(гл. 5 и 6), но и весьма существенно использует диссертацию
Габриеля [62]. Об этом будет рассказано в гл. 15 и 16, которым
предшествуют теорема Фрейда о сопряженных функторах (гл. 5)
и сведения об абелевых категориях (гл. 6) и категориях Гротендика,
включая теоремы о вложении Фрейда и Митчелла (гл. 14). Сопря-
Сопряженность функторов Нотв(М, ) и ®М для любого -R-модуля М
R
(Кан [58]) доказывается в гл. 5, а также еще раз в гл. 11, где тра-
традиционным образом устанавливаются основные свойства тензор-
тензорных произведений и вводятся плоские модули.
Эти пять глав о категориях занимают тем не менее лишь шестую
часть текста. Несмотря на то что теоремы Мориты и теоремы
о кольцах частных являются частными случаями результатов
о локализующих функторах Габриеля, мы доказываем их теорети-
теоретико-кольцевыми методами. Так, например, теорема Мориты [58]
(см. также Фрейд [60]) описывает подобие колец А и В, т. е.
выясняет, когда mod-^4 да mod-B (теорема 29 гл. 4). Оказывается,
это имеет место тогда и только тогда, когда существуют конечно
порожденный проективный образующий Р в категории mod-B
и кольцевой изоморфизм А да End.PB = HomB (P, P). Это условие
право-лево симметрично, и мы используем обозначение А ~ В.
(Наиболее знакомый пример: В ~ Вп, где В„ — кольцо (п X п)-
матриц над кольцом В.) Этому в гл. 4 предшествует теорема о соот-
соответствии для проективных модулей, обобщающая соответствие
Мориты на тот случай, когда U— конечно порожденный проектив-
проективный точный левый модуль над кольцом В жА = EndBU. Оказывает-
Оказывается, что в данной ситуации существует структурный изоморфизм
между структурой (правых) А -подмодулей модуля U и структурой
правых идеалов из В вида / = IT, где Т — идеал следа модуля U
в кольце В. При этом изоморфизме I — IT переходит в IU, причем
двусторонним идеалам вида / = IT соответствуют (В, ^-подмо-
^-подмодули бимодуля U. Кроме того, отображение S •—•¦ S' множества
идеалов кольца А в множество идеалов кольца В вида S' = TS'T

14
Введение
Введение
15
является изоморфизмом структур и полугрупп, при котором
S'U = US. Основные применения относятся к тем случаям, когда
Л полупервично, первично, просто, артиново или нётерово справа,
обладает однородным или латеральным правым идеалом. Затем
простые нётеровы кольца охарактеризованы как кольца эндомор-
эндоморфизмов А = EndB?/ в приведенной выше ситуации, где В — пра-
правая область Оре х), содержащая хотя бы один нетривиальный идеал
Т', удовлетворяющий условию обрыва возрастающих цепей правых
идеалов вида / = IT.
Глава 3 содержит более шестидесяти разрозненных предложе-
предложений, которые я рассматриваю как введение к более глубокому пони-
пониманию строения колец и модулей. В какой степени эта часть
является вводной, можно пояснить, например, следующим заме-
замечанием: теорема плотности Шевалле — Джекобсона излагается не
здесь, а получается в гл. 19 как следствие более общей теоремы
Джекобсона и Джонсона — Уонга об условии на вторые аннуля-
торы для квазиинъективных модулей. Для полупростых модулей
эта теорема дает теорему Тейта (см. Артин [50]). Вторая половина
гл. 3 посвящена инъективным модулям, критерию инъективности
Бэра, понятию инъективной оболочки модуля, которое было
введено Экманом и Шопфом. Все это — основные орудия для
изучения модулей, и, как мне кажется, важно, что они помещены
в начале, а не в конце изложения предмета. Более подробный пере-
перечень тем предлагается во введении к этой главе. Мы откладываем
какие-либо ссылки на гл. 1 и 2 до введения к тому 1.
Часть II в большой степени посвящена элементарному изложе-
изложению теорем Веддербёрна — Артина о строении полупервичных
колец (т. е. колец без нетривиальных нильпотентных идеалов),
удовлетворяющих условию обрыва убывающих цепей правых
идеалов (т. е. артиновых справа колец). Это классически полу-
полупростые кольца, т. е. кольца, над которыми каждый модуль явля-
является прямой суммой простых модулей, а если кольцо этого класса
простое, то оно изоморфно кольцу (п X ге)-матриц над телом
(гл. 7 и 8). Далее исследуется строение колец с классически полу-
полупростым правым кольцом частных. Сюда включены теоремы
Голди, Лезьё — Круазо, а также теорема Левицкого (гл. 9)
и теорема Фейса — Утуми о порядках в полулокальных кольцах
матриц (гл. 10).
В гл. 7 требуется минимальное количество сведений из час-
части I, перечисляемых во введении к части II. В ней содержится ряд
теорем о простых кольцах, в частности теоремы Харта и Коззенса.
*) Правая область Оре — область целостности, обладающая правым телом
частных D (Оре [31]). В рассматриваемом случае из теоремы Голди и теоремы
Лезьё — Круазо, о которых пойдет речь ниже, следует, что А имеет (класси-
(классическое) правое кольцо частных, изоморфное полному кольцу (п X гс)-матриц
над D для некоторого (единственного) п.
Вводятся кольца многочленов и кольца дифференциальных много-
многочленов. Доказывается теорема Гильберта о базисе. Устанавливает-
Устанавливается теорема Амицура о простоте кольца -дифференциальных много-
многочленов А [у, D] над простым кольцом А нулевой характеристики
с внешним дифференцированием D. Включены примеры Коззенса
простых областей целостности с единственным простым модулем,
который инъективен. (Для построения одной из областей Коззенса
требуется существование универсального дифференциального по-
поля относительно дифференцирования D, оно было получено
Колчином [53], но его построение здесь не приводится.) Источни-
Источником всех этих примеров (простых) областей целостности служат
работы Оре [31], [33], Литтлвуда [33] и Джекобсона [47].
Часть II начинается (гл. 7) с элементарного доказательства
важной теоремы Мориты о сбалансированных модулях, использу-
использующего лишь линейную и матричную алгебру. (Более идейное
доказательство предлагается в гл. 4, в нем используются сообра-
соображения, вытекающие из теоремы о соответствии.)
Правый .R-модуль М называется сбалансированным, если
канонический гомоморфизм кольца R в кольцо биэндоморфизмов
(его называют также бицентрализатором или бикоммутатором г))
модуля М является сюръективным. Классическая теорема Веддер-
Веддербёрна — Артина утверждает, что каждый минимальный правый
идеал М простого артинова справа кольца R является сбаланси-
сбалансированным модулем, и в этом случае кольцо R можно представить
в виде кольца всех линейных преобразований конечномерного
векторного пространства над (вообще говоря, некоммутатив-
некоммутативным) телом D = End MR. Теорема Мориты D.13, 7.1 и 7.3) приме-
применяется к произвольному кольцу R: любой образующий М в катего-
категории mod-i? сбалансирован, и, более того, М — конечно порожденный
проективный левый В-модулъ, где В = End MR (M превращается
в 5-модуль каноническим образом). Если теперь R — простое
кольцо, то легко проверяется, что любой ненулевой правый иде-
идеал М является образующим в категории mod-i? и поэтому отобра-
отображение R —*- EndBM сюръективно. Кроме того, из простоты коль-
кольца R вытекает, что ядро этого отображения равно нулю, R «
^ EndBikf. Поэтому из теоремы Мориты следует общая теорема
Веддербёрна — Артина (Риффель [65]). Если М — конечно
порожденный проективный .R-модуль, то при подходящем числе п
в кольце (п X ге)-матриц Вп существует идемпотент е и имеет место
кольцевой изоморфизм R w еВпе. Кроме того, ВпеВп = Вп.
Поэтому из теоремы Мориты вытекает результат Харта [67]. Если
М — минимальный правый идеал кольца Л, то в силу леммы
Шура кольцо В является телом и потому М — конечномерное
(в силу конечнопорожденности -R-модуля М) векторное простран-
пространство над телом В. В этом случае М — свободный Б-модуль, скажем
г) А иногда и вторым централизатором.— Прим. перев.

16
Введение
Введение
17
М та Вп. Тогда кольцо R изоморфно кольцу (п X гс)-матриц Вп.
Таким образом, из теоремы Мориты следуют результаты Веддер-
бёрна [08] и Артина [27]. Кроме того, если М — однородный пра-
правый идеал (т. е. каждый ненулевой подмодуль в нем неразложим
в прямую сумму), то В — правая область Оре с телом частных D,
a R обладает правым кольцом частных Q (R) та Dm для некоторо-
некоторого числа m (теорема Голди [58], Лезьё — Круазо [59]).
Теорема о кольце эндоморфизмов для нётерова справа простого
кольца R утверждает, что кольцо R изоморфно кольцу эндомор-
эндоморфизмов модуля без кручения U конечного ранга над правой обла-
областью Оре К, где в качестве U можно взять любой однородный пра-
правый идеал (Фейс [64]). [На самом деле R может быть любым про-
простым кольцом с однородным правым идеалом U.] Из теорем Голди,
Харта и Мориты, цитированных выше, следует, что U — конечно
порожденный проективный модуль над правой областью Оре
В = End UR. Обратная задача о том, когда кольцо А эндоморфиз-
эндоморфизмов конечно порожденного проективного точного модуля U над
правой областью Оре В является простым (нётеровым) кольцом,
обсуждается в гл. 4 с использованием теоремы о соответствии.
В этом случае центр С кольца В является полем, которое изомор-
изоморфно центру кольца А, а подкольцо Во = С + Т содержит не более
одного нетривиального идеала, а именно Т = tvBU, и U —также
конечно порожденный проективный модуль над кольцом Во.
Более того, имеется канонический изоморфизм А та EndBoC/.
Это показывает, что значительная часть структурной теории про-
простых нётеровых колец может быть сведена к выяснению строения
правых областей Оре, содержащих не более одного нетривиального
идеала. Неизвестно, можно ли выбрать в качестве Во (и В) про-
простую область целостности (см. гипотезы о простых кольцах,
стр. 467-—469 1)). Однако возникающее таким образом кольцо В
является простым, только когда кольцо R наследственно справа
(предложение 4.40).
Глава 8 посвящена классически полупростым кольцам и полу-
полупростым модулям, а также теоремам Веддербёрна — Артина
и результатам о глобальной размерности колец. Доказываются
теоремы Ауслендера о глобальной размерности, а именно: правая
глобальная размерность совпадает с точной верхней гранью
проективных размерностей циклических правых модулей; если
кольцо не является классически полупростым, то глобальная
размерность равна точной верхней грани проективных размерно-
размерностей правых идеалов, увеличенной на 1. Таким образом, gl.
dim R ^ 1, если каждый правый идеал кольца R проективен.
(Такие кольца называются наследственными справа.) Доказывается
теорема Гильберта о сизигиях в форме, предложенной Эйленбер-
А также прим. перев. к ним.— Прим. перев.
том, Розенбергом и Зелинским, а именно: глобальная размерность
кольца многочленов над кольцом R от п переменных равна гло-
глобальной размерности кольца R, увеличенной на п. Глава 8 завер-
завершается теоремой, утверждающей, что любое простое нётерово
кольцо глобальной размерности п -^ 2 подобно правой области
Оре. Заметим, что классическая теорема Веддербёрна — Артина
для артиновых справа классичеки полупростых колец содер-
содержится здесь при п = 0.
В гл. 9 доказываются теоремы Голди [58, 60] и Лезьё —
Круазо [59], описывающие кольцо R, классическое правое кольцо
частных Q (R) которого — полупростое артиново кольцо. Под
классическим правым кольцом частных Q понимается кольцо Q,
содержащее кольцо R и такое, что: A) каждый регулярный эле-
элемент (т. е. неделитель нуля) кольца R обратим в R; B) каждый эле-
элемент q 6 Q можно записать в виде q = ab'1, где а, Ъ ? R. В этом
случае говорят, что R — правый порядок кольца Q. Существова-
Существование кольца Q влечет за собой условие Оре: для заданных эле-
элементов а, Ъ 6 R, где Ъ — регулярный элемент, существуют alt
bi_ 6 Ri Ьг — регулярный элемент, такие, что аЪг = Ьа,. Условие
Оре необходимо и достаточно для того, чтобы существовало правое
кольцо частных, и тогда кольцо частных можно построить из пар
(а, Ъ), где а, Ъ ? R и Ъ — регулярный элемент (во многом эта
конструкция похожа на построение рациональных чисел, исходя
из целых чисел). Необходимое и достаточное условие Голди
и Лезьё — Круазо для существования классически полупростого
кольца частных Q (R) заключается в следующем: R — кольцо без
ненулевых нильпотентных идеалов (т. е. полупервичное кольцо),
удовлетворяющее двум условиям обрыва возрастающих цепей идеа-
идеалов, а именно условию обрыва возрастающих цепей аннуляторных
правых идеалов кольца R и условию обрыва возрастающих цепей
прямых сумм правых идеалов кольца R. (Последнее условие
равносильно тому, что инъективная оболочка R модуля RR явля-
является конечной прямой суммой неразложимых модулей.) Кольцо R,
удовлетворяющее двум последним условиям, называется правым
кольцом Голди.
В том случае, когда Q (R) — простое артиново кольцо, эта тео-
теорема приводит к (исторически первой) теории конечного пред-
представления произвольных первичных нётеровых справа колец:
именно, кольцо R обладает правым кольцом частных Q (R), кото-
которое изоморфно кольцу (п X д)-матриц Dn над телом D, тогда
и только тогда, когда R — первичное кольцо, удовлетворяющее
условию максимальности для правых аннуляторных идеалов и для
прямых сумм правых идеалов. Таким образом, элементы кольца R
представляются в этом случае как (п X п)-матрицы над D. Это
было доказано Голди [58] в том случае, когда Q (R) — левое и пра-
правое кольцо частных, Лезьё и Круазо для случая, когда Q (R) —
К. Фейс

18
Введение
правое кольцо частных, но R — первичное кольцо, и Голди [60}
для полупервичного кольца R. Мы приводим три независимых
доказательства этой важной теоремы: одно в гл. 9 (Голди [69]),
другое в гл. 16 (Габриель [62]) и, наконец, в гл. 19 (Фейс [72]).
Доказательство Голди использует сингулярный идеал кольца
в смысле Джонсона, который связан с вопросом существования
максимального правого кольца частных Джонсона [51] и Утуми [56]
(см. ниже). Доказательство Габриеля использует принадлежащее
Гротендику и Габриелю понятие факторкатегории абелевой кате-
категории и локализующие функторы. Метод Габриеля также при-
приводит к максимальному правому кольцу частных кольца с нуле-
нулевым сингулярным идеалом. Последний вопрос рассматривается
вновь с чисто теоретико-кольцевой точки зрения в гл. 19.
Третье доказательство явно использует максимальное правое
кольцо частных в духе первоначального доказательства теоремы
Голди, предложенного автором в 1961—1962 гг. (опубликовано
в [67]), кроме того, первичные правые кольца Голди характеризу-
характеризуются как кольца, у которых существует неразложимый инъектив-
ный точный модуль Е, не содержащий нетривиальных вполне
инвариантных подмодулей и конечно порожденный над своим
кольцом эндоморфизмов. В этом случае D = End ER — тело
и Q = EndD Е- — классическое правое кольцо частных кольца R.
Полупервичное правое кольцо Голди обладает точным инъектив-
ным модулем F, являющимся прямой суммой конечного числа
модулей, аналогичных описанному выше модулю Е. При этом
В = End FR оказывается конечным произведением тел и EndBF—
классическое правое кольцо частных.
Модуль М называется рациональным расширением подмоду-
подмодуля N (Финдлей — Ламбек [58]), если HomR {PIN, M) = 0 для
любого подмодуля Р, такого, что N д= Р с= М. Это равносильно
тому, что для любого элемента х ? М и ненулевого элемента
у ? М существует элемент г ? R, такой, что хг ? N и у г Ф 0.
Таким образом, любое рациональное расширение является сущест-
существенным расширением. Каждый модуль N обладает максимальным
рациональным расширением N, определенным однозначно с точ-
точностью до изоморфизма над N. На самом деле annE anns N —
максимальное рациональное расширение, где Е — инъективная
оболочка модуля N и S = End ER. Максимальное рациональное
расширение R модуля RR является кольцом, содержащим R
в качестве подкольца, которое называют (Джонсон [51], Уту-
Утуми [56]) максимальным правым кольцом частных кольца R.
Правый сингулярный идеал кольца R определяется как мно-
множество всех элементов, правые аннуляторы которых являются
существенными правыми идеалами. Кольцо R называется анти-
антисингулярным, если этот идеал равен нулю. В этом случае R —
Введение
19
самоинъективное справа регулярное (в смысле Неймана) кольцо
(Джонсон [51а], Джонсон и Уонг [59]). Кроме того, кольцо R
классически полупросто тогда и только тогда, когда R удовлетво-
удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей прямых сумм правых
идеалов (тогда R удовлетворяет и условию обрыва возрастающих
цепей правых аннуляторных идеалов). В этом случае R является
(классическим) правым кольцом частных кольца R тогда и только
тогда, когда кольцо R полупервично. Итак, для полупервичного
правого кольца Голди максимальное правое кольцо частных R
совпадает с кольцом Q (R). (См. гл. 19.)
Глава 10 содержит обобщение Фейса [71Ь] теоремы Фейса —
Утуми [65а]. Эта теорема выясняет, когда кольцо R обладает
правым кольцом частных Dn, где соответственно D — классически
полупростое кольцо или полулокальное кольцо. Последнее озна-
означает, что факторкольцо кольца D по радикалу классически полу-
полупросто. Теорема звучит одинаково во всех трех случаях. Именно,
меняя, если это необходимо, матричные единицы кольца Dn,
можно утверждать, что кольцо R содержит кольцо {п X ^-мат-
^-матриц Fn над правым порядком F кольца D. (Если Dn является так-
также и левым кольцом частных кольца R, то изменения матричных
единиц не требуется.) Как было отмечено в уже упоминавшейся
статье Фейса — Утуми [65а], в доказательстве теоремы не исполь-
используется теорема Голди — Лезьё — Круазо. В качестве следствия
получается теорема Голди [62]: любое первичное кольцо главных
правых идеалов является кольцом {п X п)-матриц Fn над правой
областью Ope F.
Я уже дал очень краткие введения к частям I, II, и IV. Сейчас
я проделаю то же самое для остальных частей книги. Часть III
начинается с изложения классических свойств тензорных произ-
произведений, хотя в одном или двух местах сделаны ссылки на более
общие свойства сопряженных слева функторов (гл. 5). В наиболее
важной части гл. 11 излагаются основные свойства плоских моду-
модулей. Сюда входят: характеризация Лазара [64] *) плоского модуля
как прямого предела конечно порожденных проективных моду-
модулей; характеризация регулярных (в смысле Неймана) колец
Ауслендера [57] и Харады [56] как колец нулевой слабой гло-
глобальной размерности, т. е. колец, над которыми все модули пло-
плоские; характеризация Чейза [60] колец, которые сейчас называют-
называются когерентными слева кольцами (т. е. колец, в которых конечно
порожденные левые идеалы конечно представимы).
Теоремы Мориты и их применения к группе Пикара появляют-
появляются в гл. 12 с использованием тензорных произведений. В гл. 13
1) Эта теорема была независимо (и раньше) доказана В. Е. Говоровым
(Говоров В. Е., ДАН СССР, 144, № 2 A962), 965—967; Алгебра и логика
(семинар) 2, № 6 A963), 21 — 50).— Прим. ред.
2*

20
Введение
даны приложения теоремы Веддербёрна — Артина к конечномер-
конечномерным алгебрам над полем (включая алгебраически замкнутые поля).
Доказывается теорема Веддербёрна о сепарабельных алгебрах
и, следовательно, теорема Машке о полупростоте групповых алгебр
конечных групп над полями нулевой характеристики. Доказатель-
Доказательства теорем Сколема — Нётер и Брауэра намечены в упражне-
упражнениях гл. 13.
Часть V «Теория колец» х) (наибольшая часть текста) уже
настолько велика, что трудно дать набросок ее содержания. Она
включает широкое многообразие теорем о строении модулей над
неполупростыми кольцами. Глава 17 посвящена модулям конеч-
конечной длины, теоремам Куроша — Оре (для модулярных структур),
Жордана — Гёльдера, Шрайера и Фиттинга.
В гл. 18 вводится радикал Джекобсона кольца и модуля (как
пересечение максимальных подмодулей). Радикал характеризует-
характеризуется в духе Перлиса [42] и Джекобсона [45] как максимальный
квазирегулярный идеал (идеал / называется квазирегулярным,
если 1 + х — обратимый элемент для любого элемента х ? /).
Кольцо R называется полулокальным, если RIt&AR — класси-
классически полупростое кольцо, и локальным, если R/rad R — тело.
Объект М абелевой категории С разлагается в прямую сумму
конечного числа объектов с локальными кольцами эндоморфизмов
тогда и только тогда, когда EndcM обладает аналогичным свой-
свойством. Это бывает тогда и только тогда, когда кольцо EndcM
полулокально и идемпотенты можно поднимать по модулю радика-
радикала. Среди других теорем упомянем теорему Гопкинса и Левиц-
Левицкого (утверждающую, что артиновы справа кольца являются
нётеровыми справа), теорему Асано о примерных разложениях
колец и китайскую теорему об остатках для взаимно простых
идеалов.
В гл. 19 изучаются квазиинъективные модули (QI-модули)
и их кольца эндоморфизмов. Основные результаты здесь следую-
следующие: теорема Уонга — Джонсона, описывающая QI-модули как
вполне инвариантные подмодули своей инъективной оболочки,
и теорема Утуми о том, что радикал кольца эндоморфизмов QI-
модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, ядра которых —
-существенные подмодули. (Кроме того, по модулю радикала
«ольцо эндоморфизмов такого модуля регулярно в смысле Ней-
Неймана.) Это дает характеризацию радикала самоинъективного спра-
справа кольца. Приведен ряд теорем о модулях, конечно порожден-
яных над их кольцом эндоморфизмов. Таким образом, каждый пра-
правый QI-модуль, конечно порожденный как модуль над своим
кольцом эндоморфизмов, инъективен по модулю своего аннулятора.
К|юме того, каждый правый QI-модуль конечно порожден над
Введение
21
Составляющая содержание второго тома.— Прим. ред.
своим кольцом эндоморфизмов тогда и только тогда, когда исход-
исходное кольцо R артиново справа.
В гл. 19 также включены правые кольца частных Джонсона —
Утуми и теорема Бернсайда. Глава 20 посвящена разложениям
модулей в прямые суммы. Сюда включены теорема Фейса о 2-
инъективных модулях, теорема Матлиса — Паппа о разложимости
инъективных модулей в прямую сумму неразложимых модулей,
теорема Фейса — Уокера о разложимости модулей в прямую
сумму модулей из некоторого множества. Мы откладываем теорему
Чейза, выясняющую, когда прямое произведение проективных
модулей проективно, до гл. 22, но предварительные леммы появ-
появляются уже здесь. В частности, замечание Басса о том, что
прямое произведение бесконечного множества экземпляров абеле-
абелевой группы Z не является свободным, выводится из лемм Чейза.
В гл. 22 классическая теория артиновых неполупростых колец
рассматривается как часть теории совершенных колец в смысле
Басса. Суть этой теории — достижение двойственности с инъек-
тивными оболочками в предположении о том, что правые Д-модули
обладают проективными накрытиями. Басе [60] установил, что
такие кольца удовлетворяют условию минимальности для главных
левых идеалов (и обратно). Название «совершенные кольца»
отражает обилие хороших свойств у этих колец. Например,
каждый проективный модуль (с той же стороны, что и проектив-
проективные накрытия) изоморфен прямой сумме неразложимых модулей,
а каждый неразложимый проективный модуль устроен наиболее
простым из возможных способов: он изоморфен главному нераз-
неразложимому правому идеалу. Базисный модуль полусовершенного
кольца является прямым слагаемым каждого образующего. Дока-
Доказывается теорема Бьёрка, утверждающая, что из условия мини-
минимальности для циклических подмодулей модуля вытекает условие
минимальности для конечно порожденных подмодулей. Глава
завершается изложением теории Брауэра блоков, которая обоб-
обобщена на случай совершенных колец.
В гл. 23 и 24 изучается теория двойственности Мориты для
категории mod-yl правых ^4-модулей. Дуальным вариантом экви-
эквивалентности является двойственность С ~* D между категориями:
именно, пара контравариантных функторов Т: С ~» D и S: D ~*
-•>• С, для которых TS » 1D и iST» lc- В теореме Мориты выяс-
выясняется, что двойственность между классом Серра tf A в категории
mod-^4, содержащим модуль АА, и классом Серра в<У в B-mod,
содержащим ВВ, оказывается [/-двойственностью, т. е. индуцирует-
индуцируется функторами Т = НотА ( , V) и S = Нотв ( , U) для вы-
выбранного подходящим образом (Б, ^4)-бимодуля U. Оказывается,
что (В, Л)-бимодуль U определяет [/-двойственность тогда и только
тогда, когда U — инъективный кообразующий как в mod-^4, так
и в B-mod, причем имеют место канонические изоморфизмы

22
Введение
А т EndB?7 и В «^ End UA. В этом случае кольцо А должно
быть полусовершенным, а если кольцо А артиново справа, то мо-
модуль UA должен быть конечно порожденным. Обратно, если
кольцо А артиново справа и U А — конечно порожденный инъек-
тивный кообразующий, то U определяет [/-двойственность of A ~»
~*Bcf, где В — End UA. Квазифробениусовы кольца, изучаемые
в гл. 24, обладают А -двойственностью из категории конечно поро-
порожденных правых 4-модулей в категорию конечно порожден-
порожденных левых ^-модулей, а также рядом других интересных харак-
теризаций.
Глава 25 посвящена цепным кольцам и более общему классу
колец, над которыми каждый модуль является прямой суммой
циклических модулей (эти кольца называются 2-циклическими
кольцами).
Глава 26 посвящена полупримитивным кольцам, т. е. кольцам,
радикал Джекобсона которых равен нулю. Кольцо А называется
примитивным (справа), если оно обладает простым точным правым
модулем V. В этом случае кольцо А оказывается изоморфным
плотному подкольцу кольца L всех линейных преобразований
векторного пространства V над телом (в силу леммы Шура) его
эндоморфизмов. [Плотность понимается в конечной топологии
в кольце L (теорема плотности Шевалле — Джекобсона 19.22).]
Кольцо R полупримитивно тогда и только тогда, когда оно изо-
изоморфно подпрямому произведению примитивных колец (Джекоб-
сон [45]). Доказывается теорема Амицура о полупримитивности
групповых алгебр над несчетными полями. Это требует в свою
очередь теорем Амицура о радикале колец многочленов. Первич-
Первичный радикал (Брауна — Маккоя) описывается в духе Левицкого.
Но об этом будет сказано больше в томе 2.
Приблизительная схема
логической зависимости глав
Часть I
Введение операций:
полугруппа, моноид, группа,
категория, кольцо и модуль
Необходимые
сведения
для части Е
Гл. 5 Пределы, сопряженные функ-
функторы и гл. п.
Гл. 6 Абелевы категории
Часть Л
Строение нет ера-
вых тлупервич-
пых колеа
Часть Ш
Тензорная
алгебра
Часть Ш
Строение абелевых категорий
Часть Y
Теория
молей,
»- означает существенную
зависимость
—VW** означает несущественную
зависимость
Рекомендации читателю
Во-первых, надо отметить, что часть II зависит далеко не от
всей части I. Часть II состоит из ряда разделов классической тео-
теории колец, изложенных с весьма традиционных точек зрения,
хотя имеются и некоторые нововведения в гл. 7. Многое из мате-
материала части I включено либо в качестве общих сведений, либо
Для использования в какой-то мере в тексте следующей далее
Части II. Поэтому читатель, который хочет получить лишь отдель-
отдельные сведения о кольцах из части II, может не обременять себя
Чтением всей части I.
Не нужно строго следовать за ходом изложения и в других
случаях. Хорошее правило при чтении любой книги: пропускать

24
Рекомендации читателю
не интересующие Вас части и чередовать более трудные главы
с более легкими.
Некоторые указания на связи между результатами различных
глав разбросаны по тексту в виде перекрестных ссылок. Кроме
того, трудные упражнения в конце каждой из глав часто приводят
решившего их к доказательствам, имеющимся в следующих гла-
главах. Упражнения служат также и для того, чтобы привлечь
внимание к примыкающим результатам, отраженным в литературе.
В этих случаях я попытался дать полную библиографическую
справку. Но в отличие от других авторов я не пытался включать
в упражнения важные теоремы, такие, как теорема Кона и Хох-
шильда о том, что правые идеалы свободной алгебры над полем
свободны (приведенная в гл. 8). Вместо этого я поощрял читателя
к размышлениям о примыкающих теоремах, выходящих за рамки
текста. [Я думаю, что некоторые студенты смогут сделать многие
упражнения, но, например, в случае теоремы о подгруппе (гл. 2)
это маловероятно!]
ПРЕДИСЛОВИЕ К Т. 1
В теоретико-множественном введении изложены необходимые
основные сведения из теории множеств и кардинальных (орди-
(ординальных) чисел. Понятия группы (и теоремы Нётер о гомоморфиз-
гомоморфизмах), моноида, категории, функтора вводятся в гл. 1. Произведе-
Произведения, копроизведения и функтор свободы в различных категориях
составляют предмет гл. 2. Кольца, модули, идеалы, а также воз-
возникшие в работах Бэра, Экмана и Шопфа понятия инъективности,
существенного расширения и инъективной оболочки появляются
в гл. 3. Глава 4 содержит элементарное (без тензорных произведе-
произведений) изложение теорем Мориты о эквивалентности категорий
модулей над двумя кольцами. Основой для него служит теорема
о соответствии для проективных модулей, из которой выводится
большая часть построенной к настоящему времени структурной
теории некоммутативных нётеровых простых колец. В гл. 5 и 6
рассматриваются пределы, функторы, сохраняющие пределы,
аддитивные и абелевы категории, свободные алгебры, (полу)-
групповые алгебры и алгебры многочленов, а также теоремы
о сопряженных функторах, принадлежащие Эйленбергу, Фрейду,
Габриелю, Кану, Митчеллу и Уотсу. Эти шесть глав составляют
часть I.
Часть II, в основном независимая от части I, состоит из четы-
четырех глав, которые посвящены структурной теории полупервичных
колец Голди, развитой в работах Веддербёрна — Артина, Гоп-
кинса, Левицкого, Голди, Лезьё — Круазо, Фейса — Утуми,
Харта и Робсона, причем здесь центральную роль играют обла-
области Оре 1).
Часть III: тензорная алгебра в духе Кронекера, Уитни, Мориты
и ее приложения к теоремам Мориты, к группе Пикара категории
модулей и к теореме Веддербёрна о конечномерных алгебрах над
-1) Принадлежащие Амицуру, Коззенсу и Литтлвуду примеры простых
областей Оре приведены в гл. 7.

26
Предисловие к т. 1
телом. Группа Брауэра и теоремы Сколема — Нётер включены
только в упражнения (к гл. 13). Основные результаты о плоских
модулях содержатся в гл. 11.
В часть IV, которая завершает т. 1, вошли категории Гротен-
дика, теоремы Габриеля о локализующих функторах, категориях
частных и радикальных фильтрах идеалов, теоремы о вложении
Фрейда —• Митчелла — Габриеля и теорема Габриеля — Попеску.
Кольца частных Голди (о которых шла речь в части II) и макси-
максимальные кольца частных Джонсона — Утуми (которые с теоретико-
кольцевых позиций изучаются в т. 2) возникают здесь как при-
примеры локализации Габриеля.
ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ ВВЕДЕНИЕ
Основным строительным материалом математики являются мно-
множества, однако никто не может сказать, что это такое. Аксио-
Аксиоматическая трактовка теории множеств постулирует существо-
существование некоторых неопределяемых, или примитивных, объектов,
называемых множествами, вместе с символами и аксиомами, регу-
регулирующими их использование. Можно провести наглядную ана-
аналогию с геометрией, где задаются неопределяемые объекты, назы-
называемые точками, прямыми и плоскостями, вместе с системой акси-
аксиом, связывающих эти объекты друг с другом. Аксиомой проектив-
проективной геометрии является
е?5. Если Li и L2 —различные прямые, то существует единствен-
единственная точка Р, лежащая на обеих прямых Ьг и L2-
Здесь отношение «Р лежит на L4» не определяется. Другая аксиома:
&**. Если Рх и Р% — различные точки, то существует един-
единственная прямая L, проходящая через обе точки Рг и Р2.
Любая совокупность объектов, которая, если подходящим образом
назвать входящие в нее объекты «точками» и «прямыми», удовле-
удовлетворяет аксиомам геометрии, годится в качестве точек и прямых, так
же как и любая другая такая совокупность. Должно быть возмож-
возможным заменить во всех геометрических утверждениях слова «точка»,
«прямая», «плоскость» словами «стол», «стул», «кружка» (Д. Гиль-
Гильберт, цитируется по Вейлю [44, стр. 635]). Тем не менее, рассмат-
рассматривая аксиомы, мы скоро обнаруживаем, что некоторые геометри-
геометрические объекты не являются «точками», а некоторые не являются
«прямыми». Аналогичным образом, в теории множеств, после того
как мы назвали наших кандидатов на роль множеств и перечислили
неопределяемые символы и аксиомы, ими управляющие, мы
обнаруживаем, что не все рассматриваемые нами объекты явля-
являются множествами. Например, как заметил Кантор, не существует
такого множества, как «множество всех множеств».
Мы не собираемся давать здесь полный обзор теории мно-
множеств. Существует много превосходных работ по этому вопросу,
часть из которых перечислена в приведенном нами списке лите-
литературы, и требуется значительное количество времени, чтобы
овладеть теми частями теории множеств, которые должен знать
каждый математик. С другой стороны, мы не хотели бы обсуждать
теорию множеств только с утилитарной точки зрения. Это было
бы несправедливо по отношению к этой прекрасной и признанной

28
Теоретико-множественное введение
части математики. Кроме того, такие вопросы, как аксиома выбо-
выбора, теорема о полном упорядочивании и континуум-гипотеза, всегда
вызывают споры и тем самым стимулируют развитие математики.
В результате этих споров студент узнает, что математика не
является «островом спокойствия», как ему показалось при изуче-
изучении дифференциального и интегрального исчисления и теории
функций комплексного переменного. Я считаю, что ему важно
это узнать.
Минимальная цель этого введения — снабдить читателя удоб-
удобными справками о терминологии, обозначениях и теоремах теории
множеств, используемых в этой книге. Предполагается, что мно-
многие читатели пропустят его; некоторые, однако, могут найти этот
краткий обзор полезным.
Основные понятия теории множеств
В математике используются следующие символы:
~ & V => <^>
не и или влечет за собой тогда и только тогда
V 3 = ( , ) { , }
для всех существует равняется круглые скобки фигурные скобки
Символы из первого ряда называются пропозициональными связ-
связками. Символ V называется квантором всеобщности, а 3 —
квантором существования. Круглые и фигурные скобки группиру-
группируют выражения для того, чтобы ограничить область действия кван-
кванторов и образовать грамматически правильные высказывания
математического языка. Правила для образования верных выска-
высказываний известны как исчисление высказываний или пропозицио-
пропозициональное исчисление. Эти правила, подобные правилам обычной
грамматики, чаще всего употребляются неосознанно. Формаль-
Формальный язык, как подчеркивается в превосходной книге Коэна [69]
(стр. 22—26), особенно ясно показывает, что исчисление высказы-
высказываний является подсистемой исчисления предикатов. Однако
большей частью мы используем традиционные неформальные, или
«наивные», математический язык и теорию множеств.
Натуральные числа
1, 2, 3, . . ., п, . . .
и целые числа
О, ±1, ±2, ±3, . . ., ±п, . . .
— хорошо известные примеры множеств. Обычные дроби alb,
где а и Ъ — целые числа, называются рациональными числами.
Теоретико-множественное введение
29
Вот стандартные обозначения для этих и других множеств:
ы z <& к с
натуральные целые рациональные действительные комплексные
числа
Символ
знак принадлежности
употребляется, чтобы связать множества х и у следующим образом:
что означает
х — элемент из у
(х принадлежит у, х лежит в у, х содержится в у — все это одно
и то же).
Аксиомы теории множеств Цермело—Френкеля
Аксиомы теории множеств, предложенные Цермело [08] и ви-
видоизмененные Френкелем [22], обычно упоминаются как теория
множеств ZF. (Мы следуем Коэну [69, стр. 88 и далее].) Они
перенумерованы как аксиомы ZFX — ZF9. Неопределяемые основ-
основные понятия в ZF — множество, ? и =.
ZF,. Аксиома экстенсиональности
V.4, B(Vx(x?A<=>x?B)=>A = B).
Другими словами, два множества А и В равны, если они
имеют в точности одни и те же элементы, или, эквивалентно, множе-
множество определяется своими элементами. Интуитивно ясно, что если
А ж В имеют одни и те же элементы, то одно можно заменять дру-
другим в любом высказывании независимо от его истинности или
ложности. Символ А =?В обозначает отрицание того факта, что
А = В, т. е. ~ {А = В); символ
обозначает отрицание того факта, что а ? В, т. е. ~ (а ? В).
Символ
А ?В
определяется так:
A S В <=> Ух (х ? А =ф х е В).
В этом случае мы говорим, что А является подмножеством мно-
множества В (А содержится в В, А включается'в В или В содержит А,
Бсе это означает одно и то же). Если А ^ В, но А ф В, то А

30
Теоретико-множественное введение
Теоретико-множественное введение
является собственным подмножеством множества В. Если множе-
множество А не является подмножеством в В, то мы пишем А с? В или!
ZF2. Аксиома пустого множества
(У $ х).
Эта аксиома утверждает существование по меньшей мере одного
множества. Определенное таким образом множество х называется
пустым множеством. Из ZFt следует, что существует единственное
пустое множество, и мы его обозначим через 0.
ZF3. Аксиома неупорядоченных пар
Так определенное множество С называется неупорядоченной
парой {^4, В}. Это множество, состоящее из элементов А и В, где
А ж В — множества. Символ {А} обозначает {А, А) для любого
множества А и называется одиночкой А.
Упорядоченная пара (А, В) определяется как
U, В) = {{А}, {А, В}}.
Легко вывести, что
{А, В) = <С, ?>=Ф А = С&В = D.
(Эта импликация часто используется для определения упорядо-
упорядоченной пары.)
Теперь мы используем понятие упорядоченной пары для опре-
определения функции. Пусть А и В — множества. Функцией / назы-
называется множество, состоящее из упорядоченных пар {х, у), где
х € А, у ? В, по одной для каждого х ? А, т. е.
;(аг, у) ef&{x, z) ef=$y = z.
Синонимом функции является отображение. Множество А назы-
называется областью определения функции /, множество В — областью
значений, а множество г) всех у ? В, таких, что существует
х ? А, для которого (х, у) ? /, называется образом функции /
и обозначается через im /. Через /: А -> В обозначается функция /
с областью определения А и областью значений В.
Символ
,А
у
1) Для существования множества, обладающего этим свойством, требуется
некоторая аксиома. См. аксиому ZFen- Термины «область определения» и
«область значений» будут употребляться в более общем категорном смысле,
определяемом в гл. 1, стр. 88.
означает ту же функцию и, кроме того, что (х, у) ? /. То же самое
можно высказать, говоря, что /: А -> В является функцией, опре-
определяемой правилом /: х >-*¦ у. Символ у = / {х) используется как
синоним выражения (х, у) ? /, и тогда мы говорим, что у является
образом, или значением, функции f на элементе (или в точке) х.
Функция / : А -> В называется также семейством элементов
(или множеств), индексированных множеством А. Интуитивно мы
можем представлять себе его как множество элементов из В вида
/ (а) для некоторого а?А. Символ {ха}а?А, или {ха \а?А),
будет обозначать семейство элементов из В, где ха — f (a) ? В для
всех a g А. Последовательность элементов из В — это функция
/: Ы —»- В. Таким образом, полагая xt = / (?), получаем
Если b ? В, а А — произвольное множество, то существует
отображение
Г A-+B
"const л ,
называемое константой (или постоянным отображением), опреде-
определяемой элементом Ъ.
ZF4. Аксиомы объединения
ЧАЗВЧх(х?В<=> ЗХ
Если А — множество, то В — множество, элементы которого
являются элементами множеств, принадлежащих ^4. Множество В
называется объединением множеств из А. Это множество обозна-
обозначается через U X, или если А является семейством множеств,
Х?А
индексированных множеством /, то то же самое означает символ
U Хг.
Символ
Z = X U Y
используется для обозначения объединения X и Y в случае, когда
А = {X, Y}. Таким образом, t ? Z тогда и только тогда, когда
t 6 X или t 6 Y.
Пересечение определяется следующим образом:
VA3BVх (х <Е В <^> VX <Е А (х ? X)).
Множество В состоит из тех элементов, которые являются эле-
элементами каждого множества из А. Существование пересечения
заданных множеств следует из аксиомы ZF6'. Это множество

32
Теоретико-множественное введение
обозначается через
П X
и называется пересечением семейства множеств^!. Если {J-,,1CJ
семейство множеств, индексированных множеством /, то пересе-
пересечение обозначается через
В случае когда А = {X, У}, используется обозначение Z =
= X П Y. Таким образом, t ? Z тогда и только тогда, когда
t ? X и t ? Y. Заметим, что
п
с= у).
Семейство множеств {X;}iej называется свободным, когда Xi {]Xj
пусто для любых i, j ? /, г ф].
Пересечение дуально объединению в смысле, формулируемом
принципом двойственности (теорема 10).
Пусть Р — свойство, которым могут обладать или не обладать
некоторые элементы множества А и такое, что можно опреде-
определить, обладает ли данный элемент х ? А свойством Р. (Свойство
определено аксиомой ZF6n и обсуждается после аксиом ZF.)
Тогда множество, состоящее из всех элементов множества А,
обладающих свойством Р, обозначается символом
{х ? А | х обладает свойством Р}.
Другими словами, символ | читается «такой, что». Например,
если В — подмножество в А, то
{х ? А | х § В}
— подмножество в А, называемое дополнением подмножества В
в А (или относительным дополнением множества В). Это подмно-
подмножество обозначается через А — В. В действительности А — В
имеет смысл, даже если В не содержится в А. Таким образом,
А — В — {х ? А \ х § В}.
Формулы де Моргана для семейства {Хг
множества U устанавливают, что
U- r\Xt=\J (U-Xt)
подмножеств
и
U-UXt=c\(U-Xt).
i?/ i?I
Это легко проверяемая иллюстрация дуальности пересечения
и объединения.
Теоретико-множественное введение
33
ZF5. Аксиома бесконечности
Этот влечет за собой существование множества, имеющего
бесконечно много элементов. (Бесконечное множество может быть
определено как множество, эквивалентное некоторому своему соб-
собственному подмножеству. Эквивалентность понимается в смысле
теоремы 3. Счетное бесконечное множество в этом смысле экви-
эквивалентно Ы.) Кромд того, из ZF2 и ZF3 следует существование
бесконечного множества множеств.
Для описания следующей аксиомы отсылаем читателя к Коэну
[69, стр. 21] за определением «свободных переменных» с тем, чтобы
занумеровать счетную совокупность формул Ап (х, у; tu . . ., th)
с по меньшей мере двумя свободными переменными, где к зависит
от п. Восклицательный знак «!» употребляется для обозначения
единственности.
где
ZF6n. Аксиома подстановки
tu ..., th{4x3ly(An(x, y;tu..., th) =
В (и, i;)s
и, v))),
3s(s?u&An (s, r; tu ..., th)))
и формула В (и, v) не содержит свободных вхождений переменной у.
Эту аксиому можно выразить следующим образом. Если для
фиксированных tu . . ., tk справедливо, что Ап (х, у; tu . . ., th)
однозначно определяет у как функцию от х, скажем у = / (х),
то для каждого и значение функции / на элементе и является
множеством. (Заметим, что tt, . . ., tk играют лишь роль «парамет-
«параметров» в определении функции/.) Аксиома ZF6n— сильная аксиома,
так как она позволяет образовывать новые множества, если уже
имеются множества, выбранные из всего мира множеств (опреде-
(определяемого непосредственно).
Более слабой является следующая аксиома.
ZF6». Аксиома выделения
п
thVx3y\fz (z ? у <=> z ? x & An (z; tu •. •, h)).
Эту аксиому можно выразить утверждением, что для любого х
и свойства, определяемого формулами Ап (z; tu . . ., tn), пробегаю-
пробегающими все формулы, имеющие хотя бы одну свободную переменную
и не содержащие свободных вхождений переменной у, существует
3
3 К. Фейс

34
Теоретико-множественное введение
множество у, состоящее из всех тех z в х, которые обладают
данным свойством. (Как мы отмечали после ZF4, эта аксиома
позволяет образовывать пересечение любого семейства подмно-
подмножеств данного множества.)
ZF7. Аксиома степени
Определенное таким образом множество X является множест-
множеством всех подмножеств множества А и обозначается через Pow^l.'
Оно называется булеаном или степенью множества А. Из аксиомы
степени следует существование несчетных множеств, поскольку,
согласно теореме Кантора (теорема 5), Pow А «больше», чем А.
Таким образом, если А — произвольное бесконечное счетное'
множество (например, М), то Pow А несчетно. (См. теорему 43,
которая сравнивает Pow Ы и R.)
ZFe. Аксиома выбора
Пусть / — непустое множество и {Xt} ie/ — непустое семейст-
семейство непустых множеств. Тогда аксиома выбора представляет собой
утверждение, что существует отображение
такое, что
их,,
/ d) e x(
для всех i ? /. Другими словами, если задано отображение непу-
непустого множества /, скажем { {i, Xt >} iei, такое, что Xt — непустое
мнржество при любом i ? /, то существует другое отображение
{<?, f(i))}i?i, такое, что f(i)?Xt для любого i?l. Из этой
аксиомы следует, что для всех i ? / можно одновременно выбрать
по одному элементу xt 6 Хг.
Декартово произведение X Xt семейства множеств {ХЛ^т
определяется как множество всех отображений
U Х„
таких, что
Иначе говоря, аксиома выбора утверждает, что декартово про-
произведение непустого семейства непустых множеств непусто.
Теоретико-множественное введение
35
Если Xt = Xj = X для всех i, j ? /, то обозначим X Xt
через X1. В этом случае X1 Ф 0 без аксиомы выбора, поскольку
X1 содержит xconsU где х ? X.
ZF9. Аксиома регулярности
Чх3у(х=0 V (y?z&Vz(z?x=>~z?y))).
Эта аксиома запрещает существование бесконечных убываю-
убывающих последовательностей {^п}„е|^> таких, что хп+1 ? хп для всех
п ? IN, и из нее следует, что х (J x для любого х.
Этим завершается список аксиом теории множеств ZF. Аксио-
Аксиома бесконечности необходима для классической математики, так как
существует модель М теории множеств, которая удовлетворяет
другим аксиомам, но содержит только конечные множества. Та-
Таким примером является множество М конечных множеств, со-
состоящее из пустого множества 0, «непосредственно следующе-
следующего» г) за ним множества 0 (J {0} и т. д.
На первый взгляд в ZF конечное число аксиом. В действитель-
действительности, аксиома подстановки требует бесконечного числа высказы-
высказываний. По существу в аксиоме подстановки утверждается, что
если у = / (х) — функция, определяемая свойством А, то область
значений / на любом множестве и является множеством. Однако,
чтобы аксиоматизировать понятие «свойство», необходимо беско-
бесконечное число высказываний. Тем не менее мы можем конечным
образом аксиоматизировать классы с помощью аксиом GBi —¦
GB18, приводимых далее.
Аксиомы Гёделя—Бернайса
Будем называть это GB-системой (или теорией классов). При-
Примитивные объекты здесь называются классами.
GB. Аксиомы для множеств
Y — множество.
gb,. y ex
Эта аксиома утверждает, что каждый элемент класса является
множеством. Если понятие класса является единственным не-
неопределяемым понятием, то эта аксиома определяет «множество».
Далее идут аксиомы GB2 — GB7, повторяющие аксиомы
™! — ZF5 и ZF7 в теории множеств ZF с заменой слова «множет-
ство» словом «класс».
1 В оригинале «succesor». Множество М есть не что иное, как обычный
натуральный ряд.— Прим. перев.
3*

36
Теоретико-множественное введение
GBg. Аксиома подстановки
VX(Vm3! v(u, u)?X=^Vu3i> (v — образ функции,
определенной классом X, на и).
Эта аксиома устанавливает, что если у = ср (х) является функ-
функцией, определенной некоторым свойством, т. е. классом, то для
любого множества и существует значение ср на и.
GB. Аксиомы для образования классов
GB9. 3XVa (a ?X -Ф^> З&Эс(а = (Ъ,с)&Ь?с)).
GB10.
GBlt.
GB12. VX3YVu (u G У <=> V» ({v, и) GX)).
GB13. VX3YV^ (и G У <^> 3r3s (и = (r, s) & s
GB14. VX3FVa(aG^<=>3b, с«Ь, с) = а&(с, b)GX)).
GB15. VX3У Va (u G У <?=> За, b, с ({a, b, c) ? X & (Ь, с, a)? Y &
&(Ь, с, a) = u)).
GBie. VXaYVu (и G Y <=> За, Ь, с ((а, b,c)?X& {a, c,b}?
Естественно называть аксиому GB9 аксиомой ^-отношения,
аксиому GB12 — аксиомой области значений и аксиому GB13 —
аксиомой декартова произведения. Аксиомы GB14 — GB16 явля-
являются аксиомами «перестановки».
GB17. Аксиома выбора
3XVa (а ф 0 => 3! и (и ? а & (а, и) ? X)).
Таким образом, существует класс, содержащий по одному
элементу из каждого множества.
GB18. Аксиома регулярности
Замечания.
1. Каждая теорема теории ZF является теоремой в GB и каж-
каждая теорема из GB, в которой говорится только о множествах,
является теоремой в ZF (см. Коэн [69, стр. 149]).
2. Из-за аксиомы подстановки число аксиом в ZF бесконечно,
в то время как в GB число аксиом конечно (см. Коэн [69, стр. 163]).
Теоретико-множественное введение
37
3. Гёдель [40] доказал, что аксиома выбора (АС) (а также обоб-
обобщенная континуум-гипотеза (GGH), которая формулируется далее
в теореме 39) совместима с GB-аксиомами для классов.
4. Коэн [63, 64] доказал, что аксиома выбора (а также и GCH)
независима от остальных аксиом теории GB.
5. Серпинский [47] доказал, что из GCH следует АС.
Множества и классы
Математика длительное время развивалась, не различая мно-
множество и класс; однако парадокс Рассела (стр. 44) изменил поло-
положение. Теорема о вложении абелевых категорий в категорию
абелевых групп 14.21, теорема Фрейда о сопряженном функторе
5.50 и теорема Уокера и автора 20.8 различают множество
и класс г).
Универсум
Универсум — непустое множество U, удовлетворяющее сле-
следующим условиям:
1. Если X 6 U, то X s U.
2. Если X 6 U, то Pow X eU.
3. Если {Xj | i 6 /} — семейство множеств, где / g U и Хг ? U
для любого i ? /, то U X; 6 U.
ш
4. Если X, Y 6 U, то упорядоченная пара (X, У) принадле-
принадлежит U.
Аксиома, утверждающая, что каждое множество является
элементом некоторого универсума, приводит к существованию
бесконечных множеств (ср. Кон [68, стр. 18]).
Упражнения. Пусть U — универсум.
1. Если X 6 U и У — множество, содержащееся в X, то
Y е U.
2. Если X € U и У 6 U, то X U У б U, {ХД}(РиХх
х у е и.
3. Если {Xt | i ? /} — семейство множеств, такое, что / ? U
и Xt ?U для любого i 6 /, то X Хг 6 U.
х) Обозначение 20.8 отсылает к теореме 8 гл. 20.

38
Теоретико-множественное введение
Диаграммы
Диаграмма
* У
означает, что X, У и W — множества и что /: X -*¦ У, g: X -> W
и h: W -> У—отображения. Такая диаграмма называется ком-
коммутативной, если hg = /. Произвольная многоугольная диаграм-
диаграмма коммутативна, если коммутативен каждый ее треугольник х).
Дополнение диаграммы
Следующие высказывания I и II по определению имеют одно
и то же значение:
I. Диаграмма
Г
может быть дополнена (с помощью отображения h: W-*-Y).
П. Существует отображение h: W-*¦ У и коммутативная
диаграмма
1) Это определение автора не достаточно точно. Под коммутативной диа-
диаграммой понимают такую сеть изображающих отображения стрелок между
множествами, что любые два пути (идущие в направлении стрелок) из одного
множества в другое определяют одно и то же отображение между этими мно-
Теоретико-множественное введение
39
Аналогично, утверждение, что диаграмму
f
можно дополнить, означает по определению, что существует ото-
отображение h: W -*¦ U, такое, что эта диаграмма коммутативна.
Введенная терминология будет использоваться в дальнейшем
без дополнительных пояснений для диаграмм, состоящих из объек-
объектов и морфизмов, в абстрактных категориях.
Произведение и ограничение
Пусть X, Y, U ж V — множества, а
/: X -> У, g: У -> U, h: U -> V
— отображения. Тогда отображение
X-+U
называется произведением (или композицией) отображений / и g,
обозначаемым через gf или g ° / *). (Доказательство существования
произведения? ) 2) Умножение отображений ассоциативно в том
смысле, что
(hg) / = h (gf).
(Множество отображений X -*- X дает пример моноида, определя-
определяемого в гл. 1.)
Только что введенное обозначение gf для произведения двух
отображений может привести к недоразумениям, поскольку пер-
зкествами. На практике большинство диаграмм составляется из треугольни-
треугольников или квадратов. Коммутативность квадратной диаграммы
w—> и
означает, что hg = kf.— Прим. перев.
х) Термин «произведение» используется также и в смысле «прямое про-
произведение» (см. стр. 59). Мы, как правило, воздерживаемся от использова-
вия реже употребляемого в русской литературе термина «композиция», по-
поскольку из контекста всегда ясно, о каком понятии идет речь.— Прим. ред.
2) Фразами такого рода автор призывает читателя самостоятельно про-
провести соответствующее доказательство.— Прим. ред.

40
Теоретико-множественное введение
вое отображение / следует за g в gf. Однако написание сомножите
лей в другом порядке тоже приводит к путанице. Например,
fg (x) должно было бы равняться g(f (x)). Из соображений симмет-
симметрии мы иногда употребляем запись (х) f для значения / на элемен-
элементе х ? X вместо введенного ранее символа / {х). При этом более
удобным для произведения является символ fg. Таким образом,|
в этом случае (х) fg = ((х) /) g.
Пусть /: X —*- Y — отображение, a U — подмножество в X.j
Тогда существует отображение
Г U-+Y
называемое ограничением / на U и обозначаемое через / | U'\
(Доказательство существования ограничения ?) Если h: U -*¦ Yl
и / : X -> Y — такие отображения, что h = f | U, то / называется!
продолжением h на X, и мы говорим, что / продолжает или инду-1
цирует h. Отображение
Теорет ико-множественное введение
— тождественное отображение. Таким образом, 1Х (х) = х для!
всех х ? X. Отображение Ц]\ U-+¦ X, индуцированное тождест-1
венным отображением 1Х : X -> X, называется включением Щ
в X. Мы обозначаем это включение также через 1^. Заметим, что!
любое отображение h : U ->- Y можно продолжить до отображе-j
ния /: X -*- Y, например, взяв произвольный элемент г/ g y|
и определив / так, что / | U = h и / | (X — U) = yCOnst- Вообще
говоря, h может быть продолжено многими способами.
Если /: А -> В — отображение, то im / — подмножество в В,\
состоящее из всех Ь ? В, таких, что Ъ = f (а) для некоторого!
а ?А. Если im/=^2?, то существует другая функция h: A -*•]
->'im/, определяемая равенством h (а) = / (а) для всех аб-4-J
Мы будем различать отображения / и h. На самом деле, если|
С = im /, то
* .в.
гВ
где ic : С -> В — включение, диаграмма
-»- В
коммутативна, и мы говорим, что h: А -*- im / индуцировано f.\
Отображение f : X -*¦ Y называется наложением или сюръек-
тнвным отображением, если im / = У, вложением или инъектив-
йым отображением, если / (х) = f (х') влечет за собой х = х' для
любых х, х' g X, взаимно однозначным или биективным отображе-
отображением, если / — вложение и наложение одновременно. Биективное
отображение X -*-Х называется перестановкой1). Символ / : X -<->-
*-*¦ Y будет означать, что / биективно. Заметим, что если f: X -*-
^Y — вложение, то существует единственное отображение
h: im /-*• X, такое, что h (/ (х)) = х для всех х ? X (на самом
деле, если g: Y -> X — произвольное отображение, индуцирую-
индуцирующее h, то gf = 1.x). Таким образом, вложение /: X -> Y индуци-
индуцирует взаимно однозначное отображение X —*- im /.
1. Предложение. Пусть /: А -> В — отображение непустых
множеств. Тогда
1.1. Отображение f инъективно в том и только том случае,
когда существует отображение g: В->~А, такое, что gf = 1А.
1.2. Отображение / сюръектиено в том и только том случае,
когда существует отображение g: В-^-А, такое, что fg = 1д.
1.3. Отображение f биективно в том и только в том случае,
когда существует отображение g: В -> А, такое, что gf = iA
ufg = iB- ±
Доказательство 1.1. Предположим, что gf — 1Л для
некоторого g: В -> А. Если а, а' ? А я f (a) = f {а'), то
а = 1а (а) = gf (a) = gf (а1) = 1А (а1) = а'.
Таким образом, / — вложение. Обратно, если / — вложение
и С = im /, то существует отображение h: С —у А, определяемое
формулой / (а) 1-*- а для любого а ? А. Если g: В ->¦ А — любое
отображение, продолжающее h, то gf — 1Л.
Доказательство 1.2. Если g: В ->¦ А удовлетворяет
заданным условиям и b ? В, то
Ь = 1В (Ь) = / (g (Ь)) € im /,
таким образом, / — наложение. (Это показывает, что отображение
?в 1.1 является наложением, а 1.1 показывает, что g в 1.2 —вложе-
—вложение.) Для любого Ъ 6 В пусть Аъ = {а 6 А \ / (а) = Ь}. Каждое
множество Аъ непусто, и в каждом Аъ выберем по одному элемен-
элементу Ь'. Таким образом, существует отображение g: В -> А, где
g (Ь) = Ъ' для любого Ъ 6 В. Очевидно, fg = 1В.
Доказательство 1.3. Согласно 1.1 и 1.2, / биективно
т°гда и только тогда, когда существуют отображения g: В -> А
а h: В ->¦ А, такие, что gf = 1А и fh = iB. В этом случае для
1) Точнее, перестановкой множества X.— Прим. ред.

42
Теоретико-множественное введение
Теоретико-множественное введение
43
любого Ъ ? В имеем
g(b) = g {fh (b)) = gf (h (b)) = h (b),
следовательно, g =h. Вместе с 1.1 и 1.2 это доказывает 1.3. ?
Требуется ли в доказательстве аксиома выбора?
Обратные
Пусть /: А ->¦ В — отображение. Левое обратное к / — это j
отображение g: В ->¦ А, такое, что gf = 1А, а правое обратное]
к / — отображение h: В ->¦ А, такое, что fh = 1 в. Обратное!
к / — это отображение В —у А, которое является левым и правым!
обратным одновременно. Доказательство 1.3 показывает, что]
отображение / имеет не более одного обратного. Если / имеет обрат-1
ное, то обозначаем его через /-1. Пусть С — произвольное под-.|
множество в В. Независимо от того, имеет ли отображение /: А
—*- В обратное, определяем
f-\C) = {aeA\f(a)e С}.
В этой терминологии можно переформулировать предложение 1.1
2. Предложение. Пусть /: А -> В — отображение непусты?\
множеств. Тогда
2.1. / инъективно в том и только в том случае, когда f имеет\
левое обратное.
2.2. / сюръективно в том и только в том случае, когда f имеет\
правое обратное.
2.3. / биективно в том и только в том случае, когда f имеет1^
обратное.
Это предложение устанавливает, что множество взаимно одно-1
значных отображений X ->- X непустого множества X является|
примером группы (это понятие определяется в гл. 1) относительно
операции умножения отображений. Если X — множество, содер-
содержащее не менее трех элементов, то эта группа не коммутативна j
в том смысле, что существуют взаимно однозначные отображения
и g, для которых fg Ф-gf. (Докажите это и покажите, что дл*
некоммутативности этой группы X должно иметь по меньшей мере
три элемента.)
Эквивалентные множества
Два множества А и В эквивалентны, если существуют отобра-
отображения /: А -*¦ В и g: В -*¦ А, такие, что gf = 1А и fg = 1В 1Ц
Тогда мы пишем А да В; в противном случае А и В называются
неэквивалентными. Из предыдущего предложения сразу следует^
х) Отображения fug называются экеивалентностями.— Прим. перев.
что А & В тогда и только тогда, когда существует взаимно одно-
однозначное отображение h: A ->¦ В.
Следующая теорема приписывается Хаусдорфом [37] Берн-
штейну, а Халмошем [60] — Шредеру — Бернштейну; она иногда
называется теоремой Кантора — Шредера — Бернштейна.
3. Теорема. Если А и В — множества и существуют вложения
д: А ->• В и h: В —у А, то А ж В.
Доказательство. Предположим сначала, что В ^ А,
т. е. h = 1А- Если Х17 Х2, . . ., Хп, . . . — подмножества в А, то
по определению символ Хх + Х2 + . . . + Хп + . • • обозначает
их теоретико-множественное объединение в том и только том
случае, когда они попарно не пересекаются, т. е. X, |~| Х^ = 0
ори i ф]. Например, А = В -\- С, где С — дополнение множест-
множества В в А. Пусть Q обозначает объединение множеств g (С),
g (g (C))> • • • • Так как# — вложение, множества g{C), g (g(C)),...
попарно не пересекаются; поэтому Q = g (С) + g (g (С)) + • • ¦ •
Пусть Р = g(g (С)) + g(g(g (С))) + . . . . Тогда Q = g (С) + Р
и Р = g (Q). Поскольку g — вложение, то g | Q — взаимно одно-
однозначное отображение множества Q на Р. Аналогично, / = g \ С —
взаимно однозначное отображение множества С на g (С). Таким
образом, С да g (С) и Q ж Р. Поскольку Q = g (С) -\- Р (объеди-
(объединение попарно непересекающихся множеств), то отсюда следует,
что С -\- Q да Q. (На самом деле, взаимно однозначное отображе-
отображение к: С -\- Q -> Q есть просто к = g \ (С + Q).) Далее, В =
= Q + К, где К — дополнение подмножества Q в В, и тогда
А = Q + К + С. Поскольку Q + К да (С + Q) + К, то В да А.
(В явном виде взаимно однозначное отображение р: А ->¦ В задает-
задается такими формулами: р (а) = к (а) = g (а), если а ? А и of
6 Q + С, и р {а) = а, если а ? К.)
Доказательство в общем случае. Пусть В' = h (В).
Тогда существует вложение q: А ->¦ В'', где q = h'g, ah' —h \ g(A).
По доказанному выше А да В'. Но отображение h'\ В -> В' явля-
является взаимно однозначным, поэтому В я* В' и, следовательно,
А да В, что завершает доказательство. ?
Характеристические функции
Пусть символ 2 обозначает множество {0,1}, состоящее из двух
элементов. Для любого множества А обозначим тогда через 2А
совокупность отображений множества А в множество {0,1}.
ели X — проиавольное непустое подмножество в А, то харак-
еристическая функция %А (X) множества X (относительно А) —
то отображение %\ А -^- {0,1}, определяемое так:
I, если а?Х,
), если

44
Теоретико-множественное введение
Таким образом, каждое непустое подмножество X в А определяв
элемент %А (X) ? 2А. Обратно, если / 6 2А и Y = {а 6 А | / (а)
= 1}, то / — характеристическая функция подмножества
Поскольку различные подмножества множества А имеют различ
ные характеристические функции, то нами доказана следующа
теорема.
4. Теорема. Для произвольного множества А множество Pow
эквивалентно 2А. ?
Если А — конечное множество, состоящее из п элементов
то Pow А состоит из 2" элементов. (Доказательство?) Так ка|
2" > п, то Pow А неэквивалентно А. Это частный случай следу!
щей теоремы.
5. Теорема Кантора. Если А — произвольное непустое множё
ство, то А неэквивалентно Pow A.
Доказательство. Предположим, что существует вз«
имно однозначное отображение /: А -> Pow А. Нужно показат^
что это предположение ведет к противоречию. Для этого полож!
X = {х ? А \ х Qf (х)}. Поскольку X ? Pow А и / сюръектив!
то существует элемент а ? А, такой, что / (а) — X. Если а ? X,
а (J1 (а) ~ X по определению множества X. Это противоре*
вынуждает а находиться вне X. Но, опять-таки по определен^!
X имеем а ? / (а) = X. В итоге а?Хяа$Х — противоречи|
которое доказывает теорему Кантора.
Парадокс Рассела
Существуют множества, которые не являются элементами
себя. Пусть А обозначает множество всех тех множеств, которв
не являются элементами самих себя, т. е. А = {В \ В — множес
во и В QB}. Верно ли, что А ? А? Предположим, что да.
определения А выводим, что А ($ А — противоречие. Тощ
естественно предположить, что A QA. Но если это справедлив^
то из определения А следует, что А ? А — снова противореч
Этот пример «множества» и противоречие, с ним связанное, извес
ны как парадокс Рассела (по имени открывшего его Бертра!
Рассела).
Парадокс Кантора
Теорема Кантора приводит к следующему утверждению.
6. Парадокс Кантора. lie существует множества А, обладп
щего тем свойством, что для любого множества В существую
инъективное отображение /: В ->¦ А
Теоретико-множественное введение
45
Доказательство. Пусть это не так. Тогда существует
/: Pow A -> А. С другой стороны, существует вложе-
вложение
Pow A
f A -> Рол\
\ X ^-*¦ {x}.
Лз теоремы (Кантора —) Шредера — Бернштейна выводим, что
Pow A » А, что противоречит теореме Кантора. ?
Это утверждение показывает, что не существует «предмета»,
который можно было бы назвать «наибольшим» множеством, т. е.
Ее существует множества, в которое каждое другое множество
могло бы быть вложено. Противоречие, которое возникает из
предположения существования такого наибольшего множества,
известно как парадокс Кантора.
Этот парадокс также можно интерпретировать следующим об-
образом. Для данной «совокупности» множеств мы можем образовать
их объединение. Поэтому рассмотрим множество А, которое явля-
является объединением «совокупности» всех множеств. Тогда4 явля-
является «наибольшим» множеством в только что сформулированном
смысле, поскольку каждое множество является подмножеством
в Л, и все же мы показали, что А не может быть множеством.
Из этого и других парадоксов, таких, как парадокс Рассе-
Рассела, вытекает, что некоторые «предметы» не являются множествами
или, вернее, что некоторые высказывания, преследующие цель
определить множества, фактически этого не делают. Это лишь
кажущийся парадокс, поскольку нет аксиом, позволяющих обра-
образовывать, например, «множество всех множеств».
Эти парадоксы привели к такой перестройке аксиом теории
множеств, что примитивными понятиями становятся «классы»,
-«множества» и «принадлежность», и можно говорить о «классе
всех множеств» (см. аксиомы Гёделя — Бернайса).
Интересно заметить, что из парадокса Рассела следует пара-
парадокс Кантора: Пусть А — такое множество, что если X — множе-
множество, то X 6 А. Тогда по аксиомам степени и выделения сущест-
существует множество В, состоящее из всех тех множеств, которые не
являются элементами самих себя. Но парадокс Рассела показывает,
ulu а не может быть множеством; значит, А не является мно-
множеством.
Иногда бывает удобно обходиться без индексов и писать А X В,
X В х С и т. д. для непустых множеств А, В, С, . . .'. Мы опре-
определяем ixB = Xlb где / = {1, 2}, Хг = А и Х2 = В.
^ аметим, что, вообще, А X В = В X А тогда и только тогда,
гДа А = в.) Если / = {1, . . ., п}, то для краткости пишем

46
Теоретико-множественное введение
Теоретико-множественное введение
47
X Xt вместо Х-^>- Таким образом, А X В = XX*- Определ
Транзитивность: если аМЪ и bfflc, то а?Яс.
Симметричность: если аМЪ, то M
Л X В X С = X Xt, где Xi = А, Х2 = В я Х3 = С. Заметив
что (А X В) X С =^= А X 5 X С, поскольку / 6 (^ X В) X
является отображением, область определения которого имеет
элемента, тогда как g 6 А X В X С — отображение, область onj
деления которого имеет три элемента.
7. Упражнения.
7.1. Доказать, что (А X В) X С » А X В X С и А X (В
X С) « А X В X С для любых множеств А, В и С. Обобщить
утверждение. Сравнить А X В с множеством всех упорядоченнь
пар (а, 6), а ? A, b ? В.
7.2. Отображение /: X ->- У называется эпиморфизмом, ее
для любой пары отображений gi'. Y —*¦ Z, i = 1, 2, выполняет
следующая импликация: gx/ = ?3/ =ф- gx — g2- Показать, что от
бражение множеств является эпиморфизмом тогда и только тог?
когда оно сюръективно. Отображение /: X ->- Y называет^
мономорфизмом, если для любой пары отображений ht : U ¦
—>- X, ? = 1,2, выполняется следующая импликация: //&х = fh2
=$. hi = h2. Показать, что отображение является мономорфизме
тогда и только тогда, когда оно инъективно. (Ср. параграф «Эг
морфизмы и мономорфизмы» в гл. 2.)
Бинарные отношения
Пусть А — множество. Бинарное отношение на А — это пс
множество Л декартова произведения А X А. Если (а, Ь) ? А X
то мы пишем аМЬ тогда и только тогда, когда (а, Ъ) 6 №¦ Если
обозначает дополнение А X А — № множества М в А X А,
М' — тоже бинарное отношение. Существует также обрати^
бинарное отношение J?, определяемое следующим условие
а$1-хЪ тогда и только тогда, когда (Ь, а) 6 М- (Какое подмножеств
в А X А соответствует отношению j^-1? Почему это бинарн^
отношение обозначается через 1)
Если В — произвольное подмножество в А и М — бинарн<|
отношение на А, то М индуцирует бинарное отношение на В.
отношение на В, соответствующее подмножеству J? (] (В X
множества В X В.
Одним из важнейших понятий математики является понят^
отношения эквивалентности. Отношение эквивалентности на
жестве А — это бинарное отношение J? на i, удовлетворяю!
для любых а, Ь, с ? А следующим трем условиям:
Рефлексивность:
Если М — отношение эквивалентности на А, то для а ? А
множество Ма = {Ь 6 А | ЪЛа) называется классом эквивалент-
эквивалентности, определяемым (или содержащим) а. Класс всех классов
эквивалентности множества А относительно М является множест-
множеством, обозначаемым через Ма-> и существует наложение
f А-+ПА
называемое каноническим. Обратно, всякое отображение множест-
множества А определяет отношение эквивалентности, согласно следующе-
следующему утверждению.
8. Утверждение. Если R: А -+ X — некоторое отображение,
то существует отношение эквивалентности М на А, определяемое
следующим образом:
Отображение
инъективно {говорят, что оно индуцировано отобра
жением В.), и существует коммутативная диаграмма
где п — каноническое наложение, a i — индуцированное вложение.
Если Y — такое множество, что диаграмма
R
-*¦ X

48
Теоретико-множественное введение
Теоретико-множественное введение
49
где л — наложение, a i — вложение, коммутативна, то существуй
ет единственная эквивалентность множества Y на Mai тпакау
что диаграмма
Y
коммутативна. ?
Частично упорядоченные множества
Отношение, определенное на множестве А, называется ai
симметричным, если оно удовлетворяет следующему закон}
А. Антисимметричность: из аЛЪ и Ъ$а следует а = Ъ.
Порядок на множестве А — рефлексивное, транзитивнс
и антисимметричное отношение. Множество А, на котором зафикс^
рован некоторый порядок, называется частично упорядоченшг
множеством. Если М — порядок на множестве А, то обыч:
отношение М обозначается символом ^. Таким образом, если
упорядочено отношением ^, то оно удовлетворяет условиям
A) а
B) а
C) а
а,
Ъ
с
а
- а ^ с
а = Ъ.
Символ а^Ъ читается «а больше или равен 6». Положим
определению, что Ъ ^ а означает и^би читается «Ь меньше
равен а».
Обозначение (А, ^) указывает, что А — множество, упоряд|
ченное отношением, обозначаемым через ^. Это обозначе!
удобно, когда нужно различить несколько порядков на однс
и том же множестве.
Основным (и в некотором смысле единственным — см. ел
щее предложение) примером порядка является порядок, кото pi
определяется в Pow X для любого множества X следующим пр|
вилом:
Это называется упорядочиванием по включению. Этот порядв
определен для всех множеств, т. е. нам нет необходимости ограг*
упорядочивание по включению множеством подмножеств
некоторого конкретного множества.
Если А и В — частично упорядоченные множества, то отобра-
отображение /: А —>- В называется гомоморфизмом частично упорядо-
ченных множеств, если
а > 6 => / (а) > / F)
для любых a, b ? А. При этом / является вложением (соотв.
наложением, взаимно однозначным отображением) частично упо-
упорядоченных множеств, если / — гомоморфизм частично упорядо-
упорядоченных множеств и инъективное (соотв. сюръективное, биектив-
биективное) отображение.
Изоморфизм частично упорядоченных множеств /: А -> В —•
это такое взаимно однозначное отображение, что / и /-1 являются
гомоморфизмами частично упорядоченных множеств.
9. Предложение. Если А — частично упорядоченное множе-
множество, то существует вложение частично упорядоченных множеств
А —*¦ Pow A, где Pow А упорядочено по включению.
Доказательство. Функция
f
I a
является гомоморфизмом частично упорядоченных множеств. Если
/ (а) — / (Ь), то а ^ ^ и 6 4 з и, значит, а — Ъ. Таким образом,
/ — вложение. ?
Интуитивно это предложение показывает, что любой порядок на
произвольном множестве «индуцирован» порядком относительно
включения на некотором множестве. Каждое отображение мно-
множеств /: X —>¦ Y индуцирует гомоморфизм упорядоченных множеств
ф: Pow X —v Pow Y, при котором ф (А) = / (А) для любого
А е Pow X.
Двойственность
Отображение /: А -+¦ В частично упорядоченных множеств А
И В обращает порядок или является антигомоморфизмом частично
Упорядоченных множеств, если а ^ b ъ А влечет за собой / (b) ^
> / (а) в В.
Двойственность или антиизоморфизм частично упорядоченных
ножеств — это такое взаимно однозначное отображение /: А —>¦
~*"-°' что / и /-1 являются антигомоморфизмами частично упоря-
упорядоченных множеств. Для любого частично упорядоченного мно-
СТВа А существует частично упорядоченное множество А* и двой-
двойственность A -v А*. Действительно, если (А, ^) — частично упо-
4 к. ф8йс

50
Теоретико-множественное введение
Теоретико-множественное введение
51
рядоченное множество, то существует новый порядок ^*, ощ
деляемый так:
Этот порядок называется обратным или дуальным порядком. 4ai
тично упорядоченное множество (А, ^*) называется частив
упорядоченным множеством, дуальным к А, и обозначается чер(|
А*. Таким образом, тождественное отображение 1А : А
является двойственностью А -> А*. Очень простой фа)
существования множества А* для каждого частично
рядоченного множества А имеет полезные следствия, kotoj
создают впечатление, что этот факт не так уж тривиален. Наибол^
важным из них является принцип двойственности, KOTopbJ
утверждает, что для любой теоремы о частично упорядоченных mhJ
жествах существует дуальная теорема, получающаяся из я4
просто обращением порядка.
Пусть U — универсум множеств. Тогда U упорядочено по вкль
чению. Назовем обратный к этому порядок на U исключение
Тогда существует двойственность
а\ х*-+и-х,
которая отображает пересечения в объединения и объединен!
в пересечения. Таким образом, для любого семейства множес^
{Хг}{?1 из U
U-UXi=n(U-Xi)
И
=и {u-xt\.
?1
Для любого утверждения S о частично упорядоченных мно>
ствах существует дуальное утверждение S*, полученное из
обращением порядка, т. е. изменением всюду ^ на ^!. Утвержг
ние S является автодуальным, если S = S*. Множество {St}
утверждений о частично упорядоченных множествах называет»!
автодуальным, если существует перестановка р множества
такая, что S* = Spa> для любого i ? /. Множество утвержден!
{Si}i?i называется системой аксиом для класса С частично упор
доченных множеств, если А ? С тогда и только тогда, когда
удовлетворяет St для всех i ? /. (Здесь предполагается, что
но определить, удовлетворяет ли данное частично упорядочен!
множество А заданной аксиоме, или условию, Si).
Та же терминология применяется к классам множеств. Класс!
частично упорядоченных множеств, замкнутый относителг
изоморфизмов частично упорядоченных множеств, называется "'
кн>тым. Пусть
С* = {А* | А € С}.
Тогда С* называется классом, дуальным к С. Поскольку С замкнут
оТлосительно изоморфизмов частично упорядоченных множеств
и А как частично упорядоченное множество изоморфно мно-
множеству (А*)* для любого А 6 С, то С = С**, где X** обозначает
(X*)*• Скажем, что класс С автодуален, если С = С*. Таким
образом, С автодуален, когда из А ? С следует А* ? С.
10. Принцип двойственности.
10.1. Если S — теорема о частично упорядоченных множествах,
то и S* — теорема о частично упорядоченных множествах, на-
называемая теоремой, дуальной к S.
10.2. Пусть С — замкнутый класс частично упорядоченных
множеств, аксиоматизированный множеством утверждений S.
Если S автодуально, то и класс С автодуален.
10.3. Пусть С — замкнутый класс частично упорядоченных
множеств. Тогда следующие два условия эквивалентны:
(a) С автодуален.
(b) Утверждение S является теоремой о классе С тогда и только
тогда, когда дуальное утверждение является теоремой о классе С.
Доказательство.
10.1. Первое утверждение является частным случаем второго,
поскольку каждая из трех аксиом порядка (рефлексивности, тран-
транзитивности и антисимметричности) автодуальна.
10.2. Ясно, что частично упорядоченное множество А принад-
принадлежит С тогда и только тогда, когда А* принадлежит С*, т. е. А ?
6 С тогда и только тогда, когда А* удовлетворяет аксиомам S*,
но поскольку S автодуально, то это эквивалентно требованию, что-
чтобы А* удовлетворяло аксиомам S, т. е. А* 6 С.
Ю.З. Предположим, что класс С автодуален, a S — некоторая
теорема. Если А 6 С, то А* ? С, следовательно, А* удовлетворя-
ет S или, эквивалентно, А удовлетворяет S*. Таким образом,
^* — теорема о классе С. Обратно, пусть S — такое утверждение:
S. Если А ? С и существует двойственность А -> В, то В 6 С*.
Поскольку мы предполагаем, что С и, следовательно, С* замкнуты
относительно изоморфизмов частично упорядоченных множеств,
То ? является верным утверждением о С, т. е. теоремой. Дуальным
Утверждением является утверждение:
" : Если А 6 С и существует изоморфизм частично упорядо-
^ных множеств А-+¦ В, то В 6 С*.
0 Условию (Ь) утверждение S* должно быть справедливо. Таким
Разом, А ? С влечет за собой А ? С*. Записывая А = В*, где
с С, мы видим, что А* = E*)* изоморфно как частично упоря-
4*

52
Теоретико-множественное введение
доченное множество множеству В ? С, значит, А* ? С. Там
образом, класс С автодуален. ?
Цепи или линейно упорядоченные множества
Цепью называется частично упорядоченное множество (А, \
такое, что для любых а, Ъ ? А имеет место либо а ^ Ъ, либ|
Ь -^ а. (Цепь называется иногда линейно упорядоченным множе
ством.) Множество К всех действительных чисел является цепы
относительно естественного порядка (по величине). Если (А, ^)
произвольное частично упорядоченное множество, то цепь в А
это такое подмножество С множества А, что если a, b ? С, то либ
а -^ Ъ, либо Ъ -^ а.
Элемент а частично упорядоченного множества (А, ^) назь
вается минимальным элементом в А, если Ъ ^ а влечет за собо|
Ъ — а для любого Ъ ? А. (Максимальные элементы определяют^
двойственным образом.) Говорят, что А имеет наименьший (соотй
наибольший) элемент, если существует элемент а ? А, удовлетво
ряющий условию а ^.Ъ (соотв. Ъ ^ а) для любого Ь ? А. Из onpd
деления порядка следует, что в частично упорядоченном множест
ве А может быть самое большее один наименьший элемент,
в общем случае существует много минимальных элементов. Ее
Б — подмножество частично упорядоченного множества А,
наименьший элемент в Б — это элемент Ь, удовлетворяющий уело
вию Ъ -^ с для всех с ? В. Такой элемент может существовать ил
не существовать. Например, не существует наименьшего положу
тельного действительного числа.
Вполне упорядоченные множества
Вполне упорядоченное множество — это цепь (А, ^), всяко
непустое подмножество которой содержит наименьший элемен
Тогда мы говорим, что А вполне упорядочено относительно
Например, Н вполне упорядочено относительно естественно!
порядка (по величине).
Говорим, что множество А может быть вполне упорядочен^
если существует порядок ^, определенный на А, такой, что пол%
ценное частично упорядоченное множество (А, ^) является вполн
упорядоченным.
Поскольку порядок ^= на множестве А индуцирует порядо
на любом подмножестве из А, то всякое подмножество впол!
упорядоченного множества может быть вполне упорядочен!
Более того, если А — вполне упорядоченное множество
f: В -> А — вложение, то В может быть вполне упорядочен!
причем Ъ ^ с тогда и только тогда, когда / (Ь) ^ / (с). Следов!
тельно, любое счетное множество (множество, эквивалентное nojj
множеству множества Ы) может быть вполне упорядочено.
Теоретико-множественное введение
53
Следующие множества не являются вполне упорядоченными
относительно их естественного (по величине) порядка: Z, Q., К,
рациональные и действительные числа на отрезке [0, 1] (ср. с тео-
теоремой о полном упорядочивании, обсуждаемой ниже).
И. Упражнения.
11.1. Если (А, ^?) — частично упорядоченное множество,
каждое непустое подмножество которого имеет наименьший эле-
элемент, то А вполне упорядочено.
11.2. Показать, что если А и В — вполне упорядоченные мно-
множества, тоАуйиЛхВ могут быть вполне упорядочены
«естественным» образом.
Условия минимальности и максимальности
Частично упорядоченное множество А удовлетворяет условию
максимальности (соотв. минимальности), если каждое непустое
подмножество X в А содержит элемент, являющийся максималь-
максимальным (соотв. минимальным) в X.
Любое вполне упорядоченное множество А удовлетворяет
условию минимальности, а А* (т. е. А с обратным порядком)
удовлетворяет условию максимальности. Примером такого мно-
множества является IN, которое удовлетворяет условию минималь-
минимальности, но не максимальности относительно естественного порядка.
Для дуального порядка справедливо дуальное утверждение.
Упорядоченное множество удовлетворяет условию обрыва воз-
возрастающих цепей (соотв. условию обрыва убывающих цепей), если
для произвольной счетной последовательности {ап \ п =1, 2, . . .}
элементов из А, такой, что ах <! а2 -< . . .-^ ап -< . . . (соотв.
^ . . .), существует число к, такое, что
к
а2
ап
= «ft для всех п
к.
12. Предложение. В частично упорядоченном множестве А
Условие максимальности (соотв. минимальности) эквивалентно усло-
вию обрыва возрастающих (соотв. убывающих) цепей.
Доказательство. Предположим, что выполняется ус-
условие максимальности и ах < а2 < . . . < ап < . . . — счетная
Цепь элементов^из А. Пусть'а — максимальный элемент в подмно-
подмножестве {ап | п = 1, 2, . . .} множества А. Тогда а = ah для неко-
°Рого к и, следовательно, ап = а = ak для всех п^к.
пР „ Ратно> пусть выполняется условие обрыва возрастающих
пей и X—непустое подмножество множества А. Тогда X содер-
cvm элемент аь и если аг не является максимальным в X, то
^Чествует элемент а2 6 X, такой, что ах < а2. Предположим, что
УЩествуют аи . . <? ^ е z> такие? Чт0 ^ < ^ < _ < ^
либо ап является максимальным в X, либо существует

54
Теоретико-множественное введение
Теоретико-множественное введение
55
элемент an+i 6 X, такой, что ап << an+i. Мы заключаем *), что ^
X имеет максимальный элемент, либо существует бесконечна^
цепь пг < а2 < . . . < ап < . . . элементов из X. По предположе
нию возможен только первый случай. Из принципа двойственности
10 следует справедливость части теоремы, стоящей в скобках.
Структуры
Пусть (А, ^) — частично упорядоченное множество и X
непустое подмножество в А. Если а — элемент из А, такой, чт
а ^ х (соотв. а ^ х) для всех х ? X, то а называется верхне
гранью (соотв. нижней) гранью множества X в А; а является точно
верхней гранью множества X (sup X), если а — наименыш
элемент множества верхних граней множества X в А. Таким обра
зом, если X имеет в А точную верхнюю грань, то она единственна
Существует дуальное понятие точной нижней грани (inf). C/rpj
тура (или решетка) — это частично упорядоченное множество А
в котором каждое подмножество {а, Ь}, состоящее из двух элемев
тов а, Ъ 6 А, имеет точную верхнюю грань sup {а, Ъ) = а \/
и точную нижнюю грань inf {а, Ъ) =а Д Ъ в А. Класс всех струи
тур является замкнутым и автодуальным; см. п. 10.
13. Примеры и упражнения
13.1. Пусть А = Pow Y, где Y =Ф 0. Тогда А упорядочен
по включению и для а, Ъ ? А имеем а \/ Ъ = a U Ъ (теоретик^
множественное объединение) и а Д Ъ = а (") Ъ (теоретико-множес|
венное пересечение). Следовательно, Pow Y является структурою
Кроме того, для любого множества А существует двойственное^
Г Pow A -> Pow A
\ Х^-*А — X.
Эта двойственность отображает пересечения подмножеств из
в объединения, а объединения — в пересечения:
d({JXi)=(\dXl.
iEI Ш
13.2. Пусть Z, как обычно, обозначает множество цель
чисел. Для любых а, Ъ ? Z пишем а ^.Ъ тогда и только totj
когда а \ Ъ (а делит Ь). Пусть (а, Ъ) — наибольший общий дел|
тель а и 6, а [а, Ъ] — их наименьшее общее кратное. Тогда Z
структура, поскольку a \J Ъ = [а, Ъ] и а Д Ъ = (а, Ь).
13.3. Любая цепь А является структурой, так как для даннь
а, Ъ 6 А либо а ^ Ъ, либо Ъ ^= а. В первом случае а = a \J\
и Ъ = а Д Ъ.
х) Здесь по существу используется математическая индукция, см.
65.— Прим. ред.
13.4. Любая «геометрическая» решетка является структурой,
геометрической решеткой мы понимаем конфигурацию, состоя-
дую из двух пересекающих друг друга классов параллельных пря-
прямых- Точки пересечения называются точками решетки. Множество
д точек решетки является частично упорядоченным множеством,
если положить аг ^ а, когда а можно соединить с аг ломаной,
отрезки которой поднимаются, начиная с а. Таким образом, на
приведенном рисунке bx ^ b, но а, Ъ и аг несравнимы. Аналогично,
несравнимы а2 и ^ъ н0 &i 5^ а- Частично упорядоченное множест-
множество А является структурой: для любых а, Ъ 6 А, а =ф Ь, прямые,
содержащие а, и прямые, содержащие Ъ, пересекаются в точности
в двух точках cad, которые являются сравнимыми. Если с ^ d,
то с == а V Ъ и d = а /\ Ь.
13.5. Множество подгрупп (соотв. множество нормальных под-
подгрупп) произвольной группы G является структурой. Здесь
G\ Д G.2 = G1 П G2, a G1\J Gt — групповое объединение 4) для
любых двух (нормальных) подгрупп Gx, G2.
13.6. Множество А всех действительных функций, определен-
определенных на единичном интервале [0,1], является частично упорядо-
упорядоченным множеством, где / ^ g означает, что / {х) ^> g (x) для
всех х ? [0,1]. Множество А также является структурой, в кото-
Р°й / V g и/Л?- такие функции: (/ V g) (х) = тах {/ (*).
S И} ц (/ Д g) (х) = min {/ (х), g (x)} для всех х 6 [0,1].
У1
'г?0 есть наименьшая подгруппа группы G, содержащая как G,,
Прим. ред.
так и

56
Теоретико-множественное введение
Теоретико-множественное введение
57
13.7. Частично упорядоченное множество называется п
ным сверху, если любое его подмножество имеет точную верх
грань, и условно полным сверху, если точную верхнюю гр;
имеет любое его непустое ограниченное сверху подмножество
Доказать, что частично упорядоченное множество А являв1
условно полным сверху тогда и только тогда, когда каждое
непустое ограниченное снизу подмножество имеет точную ниж
грань. Структуры в примерах 13.1 и 13.5 являются полными
ху и снизу.
13.8. Если А — условно полное сверху частично упорядочи
ное множество, /: А ->¦ А — неубывающая функция [в том смы
что х ^ у влечет за собой / (х) SC / (у) для всех х, у ? А] и су:
ствуют а и Ъ в А, такие, что
то существует элемент с ? А, такой, что а^Сс^СЬ и / (с) =;
(с называется неподвижной точкой функции /.)
13.9. Любая неубывающая функция /: А -*- А, где А — по|
ное сверху частично упорядоченное множество, имеет по крайн|
мере одну неподвижную точку.
13.10. Если А — частично упорядоченное множество, мноя
ство подмножеств которого удовлетворяет условию обрыва во
растающих цепей, то всякое сюръективное отображение /: А -
является биективным. Дуальное утверждение справедливо
инъективных отображений 2).
13.11. (а) Существуют в точности два неизоморфных двухэл
ментных частично упорядоченных множества, каждое из котор8
автодуально.
(b) Существуют пять неизоморфных трехэлементных частич|
упорядоченных множеств, три из которых самодуальны.
(c) Число неизоморфных частично упорядоченных четырехэ^
ментных множеств равно 16, но существует 219 различных во
можных порядков (см. Биркгоф [52, стр. 20]).
13.12. (а) Существуют в точности пять неизоморфных пят|
элементных структур, три из которых автодуальны.
(b) Существуют ровно пять неизоморфных структур, со дер?
щих менее пяти элементов.
(c) Существует в точности 15 шестиэлементных структур, ceij
из которых автодуальны (см. Биркгоф [52, стр. 38]).
-1) Подмножество частично упорядоченного множества называется or
ничейным сверху (снизу), если оно имеет верхнюю (нижнюю) грань.— Прь
ред.
2) Тот факт, что А — частично упорядоченное множество, не существ
Очевидно, что если множество подмножеств множества А удовлетвори
условию обрыва возрастающих или убывающих цепей, то А конечно.—Прь
пер ев.
13.13. (а) (Капланский) Любая структура, имеющая более
шести элементов, содержит подструктуру, состоящую ровно из-
шести элементов.
(Ь) Для семи элементов аналогичное утверждение неверно.
Индуктивные множества
Существует одно следствие аксиомы выбора, чаще всего исполь-
используемое в алгебре, а именно лемма Цорна. Пусть М — множество.
Напомним, что цепь в М — это совокупность С подмножеств и*
U, такая, что для любой пары X, Y ? С либо X э Y, либо Y э
э X Ч. Совокупность Р подмножеств из М называется индуктив-
индуктивной, если она обладает следующим свойством: если С — произволь-
произвольная цепь в М, такая, что каждый элемент I 6 С принадлежит
Р, то объединение множеств цепи С принадлежит Р. Теперь мы
можем сформулировать лемму Цорна.
14. Лемма Цорна. Если совокупность Р непустых подмножеств:
множества М индуктивна, то она содержит максимальный эле-
элемент S, т. е. Р содержит элемент S, который не содержится ни
в каком другом элементе из Р, отличном от S.
Для более подробного знакомства с леммой Цорна и ее связью-
с аксиомой выбора см. Келли [68, стр. 55—59], А. Г. Курош [73,
стр. 28—32] или Халмош [60, стр. 59 и далее]. (У Куроша лемма
Цорна в эквивалентной форме называется теоремой Куратовско-
го — Цорна.)
Теорема о полном упорядочивании
Теорема о полном упорядочивании утверждает, что любое-
множество А может быть вполне упорядочено. Эта теорема вызы-
вызывает много споров. Полемика возникает в связи со следующим во-
вопросом: если К может быть вполне упорядочено, то что это за по-
Рядок? Дело в том, что полный порядок на К трудно, если не не-
невозможно, представить наглядно. Иначе говоря, если Л вполне
Упорядочено, то неизвестен эффективный метод, позволяющий
ДЛя^ любой пары а, Ъ ? Л определить, имеет ли место а~^> Ъ. По
этой причине некоторая часть (меньшинство) математиков пред-
предпочитает не использовать эту теорему. Поскольку теорема о пол-
полном упорядочивании эквивалентна аксиоме выбора, то это равно-
ильно игнорированию этой аксиомы, что приводит к потере ряда
е°рем н ликвидации многих направлений в математике, которые
°ДьщИнство математиков считают интересными. Во всяком слу-
ае- математическая «экономика» могла бы потребовать, чтобы
¦ .
) Точнее было бы говорить о цепи в Pow M.— Прим. ред.

58
Теоретико-множественное введение
эта аксиома использовалась только тогда, когда это необходимо^
(Аксиома необходимости?) Это поднимает важный вопрос (част
игнорируемый): когда употребление этой аксиомы необходимо?
Исследования Гёделя и Коэна показали, что аксиома выбора
не зависит от других аксиом теории множеств. Большинству
математиков принимают аксиому выбора без оговорок и част
используют ее саму или ее эквиваленты без комментариев,
дальнейшем мы большей частью будем поступать так же.
Математическая школа, которая отвергает аксиому выбора,-
зто так называемая интуиционистская математика. По ирош
судьбы, главой этой школы является Л. Э. Дж. Брауер, авто^
теоремы о неподвижной точке в топологии, которая доказа*
с использованием аксиомы выбора.
15. Теорема о полном упорядочивании. Любое множество
может быть вполне упорядочено.
Доказательство. Доказательство использует лемм^
Цорна. Пусть W обозначает совокупность всех вполне упорядочен
ных подмножеств данного множества А. Упорядочим W следующий
образом: если (X, ^) и (Y, ;>2) — вполне упорядоченные пор
множества из А, то (X, ^2) ^> (У, ^>2) тогда и только тогда
когда A) X э У; B) порядок >-х индуцирует порядок ^>2 ]
¦если я 6 X и г/ 6 У и если у ^>4 х, то х ? У. Совокупност
W содержит пустое множество и поэтому не пуста. Если С=
= {(Хг, ^>г) | i ? /} — произвольная цепь в W, то W содержв
(X, ^>), где X = U Хг, а ^> — порядок на X, индуцированнь
^>i для всех i ? /. Точнее, если х, у ? X, то х, у ? X; для некот<
рого / 6 /, и полагаем по определению х ^> у тогда и только тогда
когда х ^>j у. Если при этом х, у 6 Xh, то х ^ у в том и толь:
в том случае, когда х ^-h у. Поскольку каждое множество Xt я
ляется цепью, то (X, ^) — тоже цепь. Кроме того, если У
произвольное непустое подмножество в X, то У [~] Xt непус
для некоторого i. Пусть а — наименьший элемент в У [~] Xt о1
носительно порядка ^>г. Если Ъ 6 У, то Ъ ? У [~] X^ для некот!
рого /'. Предположим, что Ъ ^ а. Тогда Ъ ^г а и, согласно C|
Ъ 6 Xt. Значит, Ъ ? У П Хг и 6 ^-j а, поэтому 6 = а по выбору
Это показывает, что а — наименьший элемент в У, следователь»
X вполне упорядочено, т. е. (X, ^>) 6 W. Таким образом W и
дуктивно и по лемме Цорна имеет максимальный элемент, котор:
мы обозначим через (X, ;». Допустим, что А Ф X. Если а 6
и а $ X, то пусть X' = X (J {а}. Определим порядок ^>' на
следующим образом: если х, у ? X' ж х = а, то х ^> 'у; оставшая
возможность — это когда оба элемента х, у лежат в X, и зд|
полагаем х ^ 'у в том и только том случае, когда х ^> у. Тог,
{X', ^>') вполне упорядочено и (X', ^>') > (X, j>) отиоситель
Теоретико-множественное введение
59
порядка в W7. Это противоречие показывает, что X = А. Следова-
Следовательно, А может быть вполне упорядочено. ?
16. Теорема. Из теоремы о полном упорядочивании следует
аксиома выбора.
Доказательство. Пусть {XJigj — непустое семей-
стВо непустых множеств. Допустим, что каждое из них вполне
упорядочено, тогда существует наименьший элемент xt ? Xt для
любого i 6 /. Таким образом, X %i Ф 0- ?
Произведение множеств
Пусть {X, | ? 6 ^} обозначает семейство множеств, индексиро-
индексированных множеством /. Множество Р называется произведением се-
семейства {X, | i 6 I}, если существует совокупность отображений
{я;: Р -*- Xt}, обладающая следующим свойством: если X —
произвольное множество и {gt: X->- Xt} — совокупность отобра-
отображений, то существует единственное отображение jj gt'. X —>¦ Р,
такое, что диаграмма
коммутативна при всех i 6 /. Если это так, то обозначаем Р через
Л Хи
1?1
Отображение П St'- X
I
называется произведением семей-
ства отображений {gi}xei- Отображение я;: Р ->¦ Хг называется
*~й проекцией этого произведения.
17. Предложение. Пусть {Хг \ i ? 1} — семейство множеств.
17.1. Декартово произведение X %i является произведением
проекциями
Pi
¦/(О

60
Теоретико-множественное введение
Теоретико-множественное введение
61
17.2. Если {nt: Р -*¦ Xг} — произведение семейства
то
П Pl:
является единственной эквивалентностью, такой, что диаграл
»- Р
коммутативна для всех i 6 I• ч,
Доказательство. Декартово произведение X
ляется произведением, поскольку если заданы {gt: A
то
i?I
где g(a): i -> gt (а) для всех i ? /, является единственным так!
отображением, что диаграмма
* *
коммутативна. Пусть F = Д Pi обозначает такое (единственнс
отображение, что диаграмма, приведенная в формулировке пр(
ложения, коммутативна, и пусть G: Р->- X хг обозначает со<
ветствующее отображение, такое, что pfi = лг для всех i
оно существует, поскольку X xt ~ произведение. Тогда
PiGF = TiiF — pi
для всех i 6 /• Но по определению произведения тождествен!
отображение \х является единственным отображением #: А
-> X, где X = X xi' Для к°т°Рого PtH = Pt для всех 1 "
кям образом, GF = 1Х. В силу симметрии i^G = 1р. Поэтому
= II Pi является эквивалентностью, причем единственной,
как и утверждалось. ?
Копроизведение и свободное объединение
Пусть {Аг | i ? /} обозначает семейство множеств, индекси-
индексированных множеством /. Множество А называется копроизведе-
нием семейства {At | i g /},если существует совокупность отобра-
отображений {/г: At -v Л}гб1, обладающая следующим свойством: если
X — произвольное множество и {^: 4г ->- X}i?j — совокупность
отображений, то существует единственное отображение g: А —>¦ X,
такое, что диаграмма
-*¦ X
коммутативна при всех i ? I.
Предложение о существовании копроизведений (предложе-
(предложение 19) утверждает, что любые два копроизведения семейства
{At | i ? /} эквивалентны. Обозначим копроизведение через
jj^i, а отображение g, называемое копроизведением семейства
отображений {gi}i?i,— через [] gt.
Помимо принципа двойственности для упорядоченных мно-
множеств существует принцип двойственности для отображений. Его
точная формулировка для категорий дается в гл. 1 A.6) и здесь
приводиться не будет. Интуитивно этот принцип можно приме-
применять к любому утверждению об отображениях множеств для того,
чтобы получить другое утверждение, обратив стрелки и поменяв
Местами область определения и область значений. В этом смысле
к°произведение двойственно произведению, а вложение — нало-
наложению.
По определению свободное объединение семейства множеств
V/1 1^6^} — это множество В вместе с семейством вложений
У'й Ai-ь-В), таких, что
' 1т/;ГИт/; = 0 Для любых i, j?I, таких, что Ьфу,

62
Теоретико-множественное введение
18. Лемма. Если {At | i ? /} — некоторое семейство множесп
то существует его свободное объединение.
Доказательство. Пусть В — объединение семейст!
множеств {С; | i ? /}, где Сг = {{а} X {j} | а ? 4;} для все!
i ? I. Таким образом, множества {Сг | i ? /} попарно не перес
каются и вложения
7«
показывают, что В является свободным объединением. ?
19. Предложение.
19.1. Свободное объединение {/г: At-+B) является копроиз
дением семейства множеств {At}^i.
19.2. Если {X;}i?i — произвольное семейство множеств и {/
Xi —>¦ X}i?i и {gf. Xi —>¦ У}^/ — копроизведения, то существуе
единственная эквивалентность /: X -> У, такая, что диагро
Теоретико-множественное введение
63
коммутативна при любом i ? /. 5 частности, отображенъ.
{ht: Xt —>¦ X} являются вложениями. Кроме того, если {kt: Xt
—>- Уг}{?1 — произвольное семейство эквивалентностей мь
жесте, то копроизведение Ц /сг этого семейства отображень
к г?1
является эквивалентностью Д Хг « [] Уг.
i?I i?I
Доказательство оставляем читателю в качестве yi
ражнения. П
20. Упражнения.
20.1. Если {Хг | ? ? /} и {Yj | / 6 /} — два семейства мне
жеств и существуют эквивалентность р: I -> / и эквивалентное!
X, « Ур<г) Для каждого i ? /, то [J Xj эквивалентно ff
Аналогично, J]
;?J
20.2. Для любых множеств X, / и / из эквивалентности / ',
следует эквивалентность X1 « XJ. Верно и обратное утвержде
ние.
20.3. Проекция Д X; —*- Xj является наложением для лки-
бого / 6 I- Указать вложение Xj ->¦ Д X,. Установить двойствен-
двойственные утверждения для копроизведения.
20.4. Пусть {Xj}iej — семейство упорядоченных множеств
я / вполне упорядочено; тогда лексикографический порядок на
V Xi определяется следующим образом: если / и g принадлежат
произведению, а а — наименьший элемент множества /, для
которого / (а) Ф g (а), то / < g тогда и только тогда, когда / (а) <
< S (а).
(a) Показать, что если каждое множество Xt вполне упорядо-
упорядочено, то произведение является вполне упорядоченным множест-
множеством относительно лексикографического порядка.
(b) Превратить копроизведение семейства вполне упорядочен-
упорядоченных множеств {X;}i?j, индексированных вполне упорядоченным;
множеством /, во вполне упорядоченное множество так, чтобы
введенный порядок индуцировал данный порядок на каждом из
20.5. Доказать, что лемма Цорна следует из теоремы о полном
упорядочивании.
20.6. Доказать, что из аксиомы выбора следует лемма Цорна.
20.7. Дать точную формулировку и доказательство утвержде-
утверждения о том, что понятия вложения и наложения двойственны.
20.8. Доказать предложение 19, «дуализируя» предложение 17.
Ординальные числа
Остальная часть введения посвящена ординальным и карди-
кардинальным числам, и здесь наше изложение следует Коэну [69].
Мы опускаем доказательства, которые можно найти в этой книге.
Пусть А —¦ вполне упорядоченное множество. Сегментом мно-
множества А называется его подмножество В, такое, что если а ? А
и существуют Ъг, Ь2 ? В, такие, что Ъг ^. а ^.Ь2, то а ? В. Сегмент
в А, содержащий наименьший элемент множества А, называется
начальным сегментом. Так, для любого с ? А множество
(а 6 А | а ^ с} является начальным сегментом, обозначаемым
ЧеРез Ас.
Если А вполне упорядочено и С != А, то sup С обозначает
наименьший элемент а 6 А, такой, что с ^С а для всех с ? С.
Вложение вполне упорядоченных множеств /: А -> В назы-
Вается начальным вложением, если im / — начальный сегмент
¦°> а / — гомоморфизм частично упорядоченных множеств.
У 21. Лемма. Пусть А и В — вполне упорядоченные множества.
°гда существует не более одного начального вложения /: 4 —э- 2?..

Теоретико-множественное введение
22. Теорема. Если А и В — вполне упорядоченные множества,
то существует единственное начальное вложение одного из этги
множеств в другое.
23. Следствие (сравнимость множеств). Если А и В — дв(
множества, то существует либо вложение А в В, либо вложены
В в А.
Если А и В — вполне упорядоченные множества, то полагав
по определению:
23.1. А ^ В, если существует начальное вложение А в Ь
23.2. А = В, если существует изоморфизм частично упоря
доченных множеств А -> В.
23.3. А<В, если А^В, но АфВ.
24. Предложение. Если А и В — вполне упорядоченные множе
ства, то имеет место одно и только одно из следующих соотношу
ний: А < В, А = В или В < А.
Множество А является транзитивным, если
Чх, у, z?A(y?x&z?y=>z?x).
Отношение М, определенное на А следующим образом:
называется ^-отношением. Таким образом, если А транзитивно, т
у < х <=> у ? х
и
Другими словами, если А транзитивно, то ^-отношение ча(
тично упорядочивает А. Ординал (порядковое или ординаль»
число) — это транзитивное множество, которое вполне упоря
чено ^-отношением.
25. Предложение. Ординалы обладают следующими свойствам,
25.1. Любой начальный сегмент ординала — ординал.
25.2. Если а — ординал и х ? а, то х = {у?а\у<.х
х — ординал.
25.3. Если а — ординал, то a \j {a} — ординал, чнепосре,
ственно следующий» за а.
26. Примеры. Из 25.3 вытекают следующие примеры о
диналов:
0,
{0}=0U{0b
и т. д.
Теоретико-множественное введение
65
27. Упражнение. Единственным ординалом, содержа-
содержащим только один элемент, является {0}.
28. Теорема. Если А — произвольное вполне упорядоченное
множество, то существует единственный ординал а и изомор-
изоморфизм упорядоченных множеств /: А -> а.
29. Следствие. Если аир — ординалы, то
30. Следствие. Если а — ординал, то
а}- ?
Следствие 30 выражает тот факт, что ординал является множе-
множеством всех ординалов, предшествующих ему.
31. Следствие. Если а — ординал, то а {] {а} является наи-
наименьшим ординалом, большим, чем а, и обозначается через а + 1
32. Следствие. Если S — непустое множество ординалов, то
в нем существует наименьший ординал.
33. Теорема. Если S — множество ординалов, то существует
наименьший ординал а, такой, что р =sC а для всех р ? S; в этом
случае пишем а = sup S.
Ординал а называется непредельным, если существует орди-
ординал р, такой, что а = р + 1. Ординал а называется предельным,
если а =Ф 0 @ — наименьший ординал) и а не является непредель-
непредельным.
Ординал а называется целым (или натуральным числом),
если из р ^С а следует, что р — либо 0, либо непредельный орди-
ординал.
34. Теорема. Существуют предельные ординалы.
35. Теорема. Пусть х — произвольный предельный ординал.
Наименьшим предельным ординалом to ^ x является множество
всех целых {натуральных чисел).
36. Теорема (математическая индукция). Пусть х = со и 0 ? х.
Предположим, что
Vra (га ? х => п -{-1 € ?') •
Тогда х = со. ?
37. Теорема о трансфинитной индукции. Пусть Ап (х, у; tx, ...
• . ., th) пробегает все формулы в ZF, имеющие хотя бы две свобод-
Г) К. Фейс

66
Теоретико-множественное введение
Теоретико-множественное введение
67
ные переменные, скажем х и у, и пусть заданы tx, . . ., th; допусти
что
V х 3! у (Ап {х, у; tv . . ., th)),
так что Ап определяет функцию у = ср (х). Тогда для любо
ординала а и множества z существует единственная функция
определенная на множестве а + 1 = {Р1Р^а}, такая,
f @) = z и для всех р ^ а имеет место равенство f (Р) = <р (Щ
где h — ограничение функции f на ординал р.
Простейшим следствием теоремы о трансфинитной индукг
является такое: пусть А — класс ординалов, содержащий 0,
держащий а + 1, если и ?А, и содержащий sup X, если X
подмножество в А. Тогда А содержит все ординалы. В качеств
иллюстраций трансфинитной индукции можно определить opj
нальную сумму, произведение и степень.
38. Ординальная сумма. Для фиксированного а полагав
a-f-0 = a и a + P = sup {а + у \ у < Р}, если р — предел!
ный ординал. Полагаем a + (р + 1) = (а + Р) + 1.
Ординальное произведение. Для фиксированного а полагаем
а-0 = 0 и а- (Р + 1) = а-Р + а, и если р — предельный ор;
нал, то полагаем a-P = sup {а-? | у < Р}.
Степень. Для фиксированного а полагаем а0 = 1, af
= аР»а и, если р — предельный ординал, то
Кардинальные числа
Пусть А и В — множества. Будем писать, что \ А | < | В
если существует вложение АвВ,я\А\ = \В\, если существуе
взаимно однозначное отображение множества А на В. Из следсх
вия 23 о сравнимости множеств вытекает, что если А и В — мно
жества, то либо | А \ < | В \, либо \ В | ^ | А |. Согласно теоЙ
ме Кантора — Шредера — Бернштейна, справедлива импликацЕ
Скажем, что множества А и В имеют одну и ту же мощность, есл|
\А\=\В\.
Кардинальным числом (кардиналом) является по определение
такое ординальное число а, что для любых ординальных чисел
имеет место следующая импликация:
Это определяет кардинал как наименьший ординал данной мои
ности.
Поскольку, согласно теореме 15 о полном упорядочивании,
каждое множество можно вполне упорядочить и каждое вполне
упорядоченное множество по теореме 28' изоморфно как частично
упорядоченное множество некоторому ординалу, то каждое мно-
множество А эквивалентно единственному кардиналу | А \. В этом
случае мы говорим, что А имеет кардинал | А \ и, следовательно,
иножества А и В эквивалентны, если они имеют один и тот же
кардинал, т. е. тогда и только тогда, когда \ А | = \ В \. (По-
(Поэтому обозначение | А | для кардинала не противоречит исполь-
использованию этого обозначения для мощности.) Из теоремы Кантора
(теоремы 5) следует, что | Pow А \ > | А \ для любого множества
А и, значит, существуют сколь угодно большие кардиналы (и ор-
ординалы).
39. Теорема. Существует взаимно однозначное отображение
( ординалы -v кардиналы
где аа — наименьший бесконечный кардинал, больший чем Хр,
для всех Р < а.
Мощность множества со равна к0. Ординал является счетным,
если его кардинал есть к0. Значит, со — наименьший счетный
ординал, т. е. со = х0. Ординал а называется конечным, если
a ? со. Таким образом, конечные ординалы являются кардиналами
(целыми).
Поскольку | Pow со | > со = х0, возникает вопрос, каким
из кардиналов ха является | Pow со |. Континуум-гипотеза ут-
утверждает, что
С = | POW СО | = «j,
т- е. что мощность множества Pow со является первым несчетным
кардиналом. Обобщенная континуум-гипотеза утверждает, что-
Для любого ординала а
Pow
== я
а+1.
Множество действительных чисел на отрезке [0, 1] является по
°пределению континуумом. Континуум-гипотеза (СН) получила
•jBoe название в связи с тем фактом, что континуум имеет мощность
I "ow со | (теорема 43). В теории множеств ZF из обобщенной кон-
ТинУУм-гипотезы следует аксиома выбора (Серпинский [47]), но
ксиома выбора не влечет за собой обобщенную континуум-ги-
°тезу (Коэн [63, 64]). Более того, ни из континуум-гипотезы не
ледует аксиома выбора, ни из аксиомы выбора и континуум-ги-
J®3 не следует обобщенная континуум-гипотеза (Соловэй
5*

68
Теоретико-множественное введение
Если а и Р — счетные ординалы, то а + р, ар и ар — тоже сч
ные ординалы, например | 2 е0 | = со. Это иллюстрирует тот оч
видный факт, что ординальная степень связана с декартовым npoi
ведением лишь обозначением. Выше Ав обозначало декарто^
произведение, т. е. множество всех отображений множества
в А. Например, степень множества Pow со эквивалентна декартов
произведению 2е0 (теорема 4), и Pow со не эквивалентно со по те
реме Кантора. Таким образом, | 2е0 | Ф со. Но ординальная ст
пень используется так редко, что недоразумений возникнуть
должно.
Кардинальная арифметика
Ординальная сумма а + Р и произведение ар двух ординале
уже были определены. Кардиналы являются ординалами, одна!
ни ординальная сумма, ни ординальное произведение двух каря
налов не обязаны быть кардиналами. Например, со + 1
однако | со + 1 | = | со |. Таким образом, поскольку кардинал
это наименьший ординал данной мощности, то со + 1 не явля€
кардиналом.
40. Теорема и определение.
40.1. Для любых двух ординалов аир
а| + | р|| = | а + р | = | а IJ р | = max
а
а
= |ар | = |а X р | = max{|a
где а X р обозначает декартово произведение, а а JJ р — свобо
ное объединение (или копроизведение) множеств аир.
40.2. Кардинальная сумма и произведение опреде
ются для семейства ординалов {аг}г?1 так:
Доказательство мы оставляем в качестве упражв
ния. ?
41. Упражнения.
41.1. Доказать, что для произвольного предельного ордина
а имеют место равенства 1 + а = а фа + 1 и па фап
любого целого п фО.
41.2. Доказать, что для любого множества А множество вс
отображений А в себя эквивалентно Pow А, т. е. АА « 2А.
Теоретико-множественное введение
69
41.3. Доказать, что континуум эквивалентен множеству Е
действительных чисел, т. е. с = | Л |.
41.4. Показать, что для любых множеств А и В множество
взаимно однозначных отображений множества А на себя эквива-
эквивалентно множеству взаимно однозначных отображений множества
/,' на себя тогда и только тогда, когда А эквивалентно В. Показать,
что если А имеет бесконечную мощность а, то множество всех
его перестановок имеет мощность аа. Доказать, что множество
всех перестановок множества А имеет мощность 2", где а — мощ-
мощность множества А.
41.5. Доказать, что ар, а + Р и ^ счетны, если а и рсчетны.
41.6. Показать, что кардинальная сумма и произведение ком-
коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны (см. определение
в гл. 1).
41.7. Пусть {at \ i 6 1} — семейство кардинальных чисел, где
а( = а при любом i 6 I- Тогда 2 сц — я I I I = max {a, | / |}.
41.8. Для любого бесконечного кардинального числа а и нату-
натурального числа п
ап = а и па = а.
41.9. Пусть X и Y — бесконечные множества и /: X -> Y —
наложение. Для любого у ? У пусть ау = | /-1 (у) \. Тогда
Кроме того, если | f'1 (у)
X
Y | для любого у ? У, то
= \Y I.
X \ — \ Y
если | Z (у) | < м0 при любом
{В частности,
И 6 Y.)
41.10. Рассмотрим счетную последовательность {Fn \ n =
== 1, 2, . . .} конечных множеств и предположим, что для каждого
" существует отображение Фп множества Fn в Pow Fn+1. Для про-
простоты обозначим Фп через Ф при любом га, а объединение данного
семейства конечных множеств — через $f. Путем (в упорядочен-
упорядоченной паре) {,<F, Ф) называется конечная или бесконечная последо-
вательность элементов Ьи . . ., Ъп из вр, такая, что bt ? Ft
11 ^г-ь! 6 Ф {bi), i = 1, 2 .... Длина конечного пути Ъг, ¦ ¦ ., Ът
Равиа т; длина бесконечного пути Ъг, 62, . . . бесконечна. Дока-
За'гь лемму Кёнига о графах: если пара {jf, Ф) имеет пути сколь
Угодно большой длины, то она имеет путь бесконечной длины.
Из континуум-гипотезы следует, что с несчетно. Это можно
Доказать, и не обращаясь к континуум-гипотезе.
42 Теорема Кардинал с несчетен.

70
Теоретико-множественное введение
Доказательство. Любое действительное число из щ
имеет по существу единственное десятичное представле*
0, a-fli . . . ап . . ., где at — натуральное число между 0 и 9:
существу» единственное, поскольку, например,
0,1575999...
имеет также представление в виде
0,1576000...
Этой неоднозначности можно избежать, например, выбирая всег
первое представление, т. е. не разрешая десятичной дроби
канчиваться нулями.
Если кардинал с счетен, то можно расположить десяи
дроби 0, аха% ... в виде счетной последовательности:
0, аи а12 ... ain ...
0, a2i а22 • ¦ • ^2n
Теоретико-множественное введение
71
0, ami
.. . а„
45.2. Используя равенство с = 2No, показать, что с = с2 =
= с3 = ... = cN'°. Показать, что все действительные векторные
пространства конечной или счетной размерности имеют одну и ту
дее мощность.
45.3. Доказать, что сс = 2е.
45.4. Доказать, что >*|j = 2°.
45.5. Доказать теорему Кёнига: сумма бесконечного ряда кар-
кардинальных чисел, отличных от нуля, меньше, чем их произведение.
45.6. Если а, Ъ, с nd — кардиналы и а ^ с, Ъ ^ d, то ab ^ cd.
45.7. Если а — кардинал, а = 2а' и а = За", то а = 6а"
(здесь а', а", а" — кардиналы).
Ссылки
Абиан [65], Биркгоф [52], [67], Бурбаки [65], Гёдель [40,
58], Камке [50], Кантор [42], Келли [68], Кон [68], Коэн [63,
64], [69], Курош [67], [73], Лоувер [64], [65], Серпинский [47],
[58], Соловэй [69], Френкель [22], Френкель — Бар-Хиллел [66],
Халмош [60], Хаусдорф [37], Цермело [04].
Пусть b = 0,b1b2 . . -bn ... — десятичная дробь, п-ш знак кс
рой Ъп является натуральным числом (от 0 до 9), не равным
апп, ни 0. Тогда Ъ не входит в выписанную последовательное1!
поскольку ее п-ш знак отличен от re-го знака любой десятичЕ
дроби последовательности. Но мы предположили, что в этой сч
ной последовательности перечислены все десятичные дроби,
противоречие доказывает несчетность кардинала с. ?
Метод, использованный в доказательстве, называется кан
ровым диагональным методом и распространен в бесконеч!
математике. (Доказательство теоремы Кантора, теоремы
использует теорему Кантора о диагонали. Ср. Абиан [65, стр. 25|
См. также Коэн [69, стр. 67] о диагональном методе Гёделя.)
43. Теорема. 2Ne = с = | Е |.
44. Следствие. Для любого натурального числа п
45. Упражнения.
45.1. Если а и Ъ — кардинальные числа и п — натурал*
число, то
(a) а-\-п = Ъ-\-п=$га = Ъ
и
(b) па = nb =$* а = Ь

Часть I
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
ВВЕДЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ:
ПОЛУГРУППА, МОНОИД, ГРУППА, КАТЕГОРШ
КОЛЬЦО И МОДУЛЬ
Глава 1
ОПЕРАЦИИ:
ПОЛУГРУППА, МОНОИД, ГРУППА И КАТЕГОРИЯ
Помимо перечисленного в заглавии, в этой главе рассмат
ваются такие темы и понятия: определение операций прямо!
произведения и прямой суммы, понятие факторгруппы, теоре»
Нётер о гомоморфизмах, лемма Цассенхауза о бабочке, упражв
ния, относящиеся к группам подстановок и знакопеременЕ
группам, понятие разрешимых и нильпотентных групп, прость
групп, теоремы Силова и основные теоремы об абелевых группаз
Операция
Понятие операции является основным в определениях полз
группы, моноида, группы, категории, кольца и модуля, поя
ляющихся в первых двух главах, которые в свою очеред
являются основными объектами изучения в этой книге. Если
и S — непустые множества, то говорят, что G действует на S, ее
существует отображение /: G X S —>- S. Отображение / назь
вается (бинарной) операцией, а элементы множества G — опер
торами. Если отображение / фиксировано, то через gx обознач
элемент / (g, x) (если имеются две операции, то в некоторых слз
чаях g-x, gox или g + x будет обозначать образ элемента (g,
при второй операции). Если x?S, то множество {gx\g?G}
зывается орбитой элемента х при действии множества G. Подмнв
жество Т в S называется инвариантным относительно G, если ов
содержит орбиту любого своего элемента.
Полугруппы и моноиды
В частности, рассматриваются операции, где множество S
ствует на S. Операция S x S -*¦ S называется ассоциативной,
(xy)z = x(yz)
для всех х, у я z яз S. Полугруппа определяется как упорядочен-
упорядоченная пара, состоящая из множества S и ассоциативной операции
g X S -*¦ S. Единицей полугруппы S называется элемент l?S,
дЛя которого
\х = х\ =х
лрп всех x?S. Полугруппа может иметь лишь одну единицу,
так как если е — другая единица, то 1 = е1 = е. Полугруппа
с единицей называется моноидом*). Под мультипликативным
(аддитивным) моноидом или полугруппой понимаются такие моно-
моноид или полугруппа, в которых образ элемента (х, у) при операции
обозначается через ху (соотв. х + у); в этом случае операция назы-
называется умножением (сложением). В аддитивном моноиде символ
О обозначает единичный элемент, называемый нулем, и в этом
случае 0-\-х = х + 0 = х для всех х
Подоперация
Если S X S -> S — операция, то подоперацией называется
индуцированная операция Т X Т —> Т', где Т — подмножества
в 5 2). Если S — полугруппа, то Г — также полугруппа, назы-
называемая подполугруппой полугруппы S. Однако если S — моноид,
то подполугруппа Т в S может не быть моноидом, так как может
не обладать единицей. Если S — моноид с единицей 1, то под-
моноидом Т называется подполугруппа с единицей е. Итак, под-
моноидом является моноид с единицей е, которая, возможно,
отлична от 1 3). Пересечение4) любого числа подполугрупп является
подполугруппой, а пересечение любого числа подмоноидов с одной
и той же единицей также является подмоноидом.
Обратимым элементом в моноиде S называется элемент х,
Для которого существует элемент у ? S, такой, что ху = ух = е,
где е — единица. Элемент у определен однозначно, обозначается
через х~1 и называется обратным элементом к х. Если полугруппа
^ аддитивна, то обратный элемент к х обозначается через —х
и называется противоположным элементом для х. В этом случае
U = х + (—х) = — х -\- х. Для любого у 6 S положим у — х =
= У + (~х).
х) Следуя терминологии, принятой в учебниках А. Г.;Куроша и А. И. Маль-
IJ Bai а также в ряде других монографий, авторский термин «semigroup» м»
вреводили как «моноид», a «monoid» — как «полугруппа». Заметим, однако,
встречается и противоположное словоупотребление.— Прим. ред.
^Разумеется, предполагается, что t't"? T для всех*', t°? Т.— Прим. ред.
) С точки зрения общей теории универсальных алгебр это означает, что-
ица «не входит в сигнатуру».— Прим. ред.
) Имеется в виду непустое пересечение.— Прим. ред.

74 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Группа
Группой называется моноид, в котором каждый элемент обр|
тим. Для любого моноида S через 11 (S) обозначим множест!
всех обратимых элементов в S, которое, конечно, является по!
моноидом в S. Более того, подмоноид °11 (S) является группе
Ее называют группой обратимых элементов моноида S *).
Подгруппой Т группы S называется подоперация, являющая
группой 2). Если Т = {1}, то Г называется единичной подгрушгоЗ
Если хи . . ., хп — элементы полугруппы S, то произведе*
хх . . . хп определяется по индукции*
. . Хп = [] XI ==
) Хп
Если моноид S аддитивный, то под суммой понимается
п
i | ¦ * | **'7l "^ ^^ i ~~ \ 1 "т~ * " I Xji^t) I Xr*
(Эти формулы не содержат двусмысленности, поскольку onepai
в S ассоциативна 3). Если х = хг = ... = хп, то через хп об
значим произведение хх . . . хп (а через пх — сумму хх +
. . . + хп). Если х — обратимый элемент, то х~п определим
{а;)". В моноиде S с единицей 1 положим х° = 1. Тогда выпо|
няется равенство хпхт = хп+т, которое справедливо для люб!
целых чисел, если элемент х обратим 4).
Абелевы полугруппы
Полугруппа (группа) S называется коммутативной (или &t
войN), если ху — ух для всех х, у ? S. Если S — моноид, то ц«
трализатор любого непустого подмножества X в S
1$8{Х) = {а ? S | ах = xaVx 6 X}
1) Иногда ее называют «группой единиц», однако мы воздержались1'
употребления этого термина, желая избежать нежелательных ассоциап
с понятием единицы полугруппы.— Прим. перев.
2) То есть такое множество Т группы S, что 1 ? Т, a tj, B€ Т влечет 3
собой ttt2E T и t-x6 Т.— Прим. ред.
3) По индукции следует показать, что результат ассоциативной операи
не зависит от расстановки скобок (в произвольной расстановке скобок след"
взять последнее применение операции и использовать последовательно
положение индукции и аксиому ассоциативности для доказательства ра
-ства с так определенным элементом хг. . . хп).— Прим. перев.
4) Следует рассмотреть четыре случая в зависимости от того, положит
вы или отрицательны числа m и п.— Прим. перев.
5) Абелевы группы названы в честь Нильса Хенрика Абеля, норвежско
математика, установившего, что не каждое уравнение вида аохп-{- a1xn~1-\-i
. • . + ап = 0 имеет решение, которое может быть получено применен!*
к «коэффициентам» о0,. . . , ап рациональных операций и операции извле
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория 75
является подмоноидом в S с той же единицей. Центр % (S) полу-
полугруппы S определяется как %s (S). Итак, центр полугруппы (мо-
(моноида) S является абелевой полугруппбй (моноидом) х).
Если полугруппа коммутативна, то для полугрупповой опера-
операции обычно используется аддитивная запись х + у. Конечно,
этого соглашения придерживаются не всегда. Например, множе-
множество Ы натуральных чисел 1, 2, 3, ... с операцией умножения
является коммутативным моноидом.
Относительно операции сложения 1Ы является коммутативной
полугруппой. Аналогично, К, О,и Z являются аддитивными и муль-
мультипликативными моноидами.
Map (X)
Через Map (X) обозначим множество всех отображений X -*- X,
где X — непустое множество. (Конечно, это множество совпадает
с декартовым произведением Xх, но это обозначение зарезерви-
зарезервировано для прямого произведения, которое вскоре будет опреде-
определено.) Множество Map (X) оказывается моноидом относительно
операции (/, g) с* fg, где fg — произведение отображений
fg (х) = / (g (*))
для всех х ? X. Тождественное отображение I* является единицей
в Map (X). Если X ж Y — произвольные множества и у 6 Y,
то отображение
X-+Y
называется константой, определенной элементом у. Это отображе-
отображение удовлетворяет соотношениям
fУ const = / (#)const
и
2/const/ = J/const
для всех у ? X, f ? Map (X). Отсюда следует, что моноид Map (X)
абелев тогда и только тогда, когда множество X состоит из одного
элемента. Идемпотентом в некоторой полугруппе называется
такой элемент е этой полугруппы, чтое2 = е. В группе единствен-
единственным идемпотентом является единица. В моноиде Map (X) эле-
ния m-го корня. Однако уравнения с абелевой группой Галуа разрешимы в
этом смысле. Изложение этого вопроса можно найти у Артина [59], Джекоб-
сона [64] или у Капланского [69а]. (См. также Постников М. М., Теория
Галуа, Физматгиз, М., 1963 — перев.)
*) Если полугруппа не содержит единицы, то ее центр может оказаться
Пустым.— Прим. перев.

76
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
мент г/const является идемпотентом при любом у ? X. Следовал
тельно, Map (X) — группа тогда и только тогда, когда множество
состоит из одного элемента. Если е — идемпотент в полугр;
S, то подмножество
eSe = {еае | a g S}
является полугруппой, которая оказывается моноидом с едини-
единицей е. Обратно, если Т — подмоноид моноида S, то единица е в Т
является идемпотентом и fc eSe.
Симметрическая группа
Если X — множество, то через of (X) будем обозначать мно-
множество биективных отображений X ->¦ X. В силу предложения 2
из теоретико-множественного введения ё (X) = 11 (Map (X)) яв-
является группой относительно умножения отображений. Если /:
X —>- Y — эквивалентность множеств, то отображение
YY
х
X
¦Г1*/
является эквивалентностью, индуцирующей эквивалентность
Если га > О — целое число, то множество Sn биективных отобра-
отображений множества из п элементов называется симметрической
группой степепи га.
1.1. Упражнения.
1.1.1. Число элементов в Sn равно п\ = п (га — 1) ... 2»1.
1.1.2. Группа Sn при га > 2 некоммутативна.
1.1.3. Найти мощность множества биективных отображений
множества X.
1.1.4. Доказать, что из of (X) « «f (Y) следует X « У.
1.1.5. Если iS — полугруппа, а Л и 5 — ее подполугруппы,
то положим А В = {аЪ \ а ? A, b ? В}. Если полугруппа S абе-
лева, то множество подполугрупп в ? является полугруппой отно-
относительно так определенного произведения АВ.
1.1.6. Пусть S — полугруппа, А и В — ее подполугруппы
и А°В — наименьшая подполугруппа, содержащая А и В. По-
Показать, что множество подполугрупп из S является полугруппой
относительно операции А°В, в которой каждый элемент оказы-
оказывается идемпотентом. Рассмотреть дуальный вариант с опера-
операцией А°В = А (] В.
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
77
Прямые произведения и сумма
Если {Xj}jg/ — непустое семейство полугрупп, то (декартово)
произведение \\ Х^ оказывается полугруппой г) относительно
операции (/, g) >-*¦ fg, определенной для любого i ? / равенством
fg @ = / @ * (О-
Эта полугруппа называется (прямым) произведением семейства
{Х^ полугрупп. Рассмотренная операция называется поточечным
умножением функций. Если используется аддитивное обозначение,
го эта операция определяется равенством
(/ + g) @ = / @ + g @
и называется поточечным сложением функций. (Синонимы: покоор-
покоординатное или покомпонентное сложение.) В этом случае множе-
множество Xi называется компонентой (именно, i-й компонентой) произ-
произведения. Ассоциативность умножения (fg) h = f (gh) немедлен-
немедленно следует из ассоциативности умножения в каждой компо-
компоненте. В мультипликативном варианте компоненты называются
(прямыми) сомножителями произведения, а в аддитивном вариан-
варианте — (прямыми) слагаемыми. Произведение ] \ Xt является моно-
моноидом тогда и только тогда, когда каждая компонента — моноид.
В этом случае если 1г — единица моноида Xt, то функция
является единицей произведения. Носитель элемента / из произ-
произведения моноидов определяется как множество всех тех i ? I,
для которых / (i) =#=1*. Носитель элемента / называется конеч-
конечным, если он — конечное подмножество в /. Множество всех
функций из произведения, имеющих конечные носители, является
полугруппой относительно поточечного умножения (или сложения)
функций. Эта полугруппа обозначается через 2 © %i или © %t
и называется прямой суммой семейства {Xi}i^i моноидов. Если
множество / конечно, то прямое произведение совпадает с пря-
прямой суммой. Прямое произведение или прямая сумма являются
группой тогда и только тогда, когда каждая компонента — группа.
Прямое произведение или прямая сумма абелевы тогда и только
тогда, когда абелева каждая компонента. Многие свойства пря-
прямого произведения или суммы наследуются или сводятся к соот-
х) См. произведение множеств, теоретико-множественное введение, пред-
предложение 17.

78 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
ветствующим свойствам компонент Xt. Другими словами, час
оказывается, что прямое произведение или сумма принадле*
некоторому классу полугрупп тогда и только тогда, когда эток
классу принадлежит каждая компонента.
Важным примером прямого произведения является множес
X1 всех" отображений / -> X непустого множества / в моноид
В этом случае прямая сумма х) обозначается через X(I>. ju
ницей в моноиде X1 (а также и в моноиде Х{1)) является отобра
жение 1 const, где через 1 обозначена единица моноида X. (В ел)
чае аддитивной записи операции в моноиде X единицей являете^
отображение Oconst-) Заметим, что если X — моноид, то на мной
стве X можно определить два моноида: прямое произведен
и Map (X).
1.2. Упражнение. Показать, что для любого кардинал!
ного числа А существует группа G, такая, что множество G имее
мощность А.
Гомоморфизмы
В полугрупп называется гомоморфизмом^
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
79
f(ab)=f(a).f(b)
Отображение /: А
если
A)
для всех a, b ? А 2). Грубо говоря, гомоморфизм любой алгебраи-^
ческой системы — это отображение, сохраняющее операцию
системы. Если операция в полугруппе 4 записана аддитивно, a-f-fc.l
а в полугруппе В мультипликативно, х°у, то каждый гомоморфизл
/: А -*¦ В удовлетворяет соотношению
B) / (а + Ъ) = / (a)of F)
для всех а, Ъ ?А. Множество Е+ всех положительных действи-1
тельных чисел является группой относительно обычной опера-1
ции умножения. Каждое действительное число г, большее нуля|
и не равное 1, определяет гомоморфизм
ехр
f 01
I a
Е->Е+
аддитивной группы Е действительных чисел в группу Ш+. Отобра-1
жение ехр удовлетворяет соотношению B), поскольку в этом слу-1
чае оно выражает экспоненциальный закон го+ь = га-гь. Одно]
*) Некоторые авторы для обозначения прямой суммы используют символ 1
X. Мы отказались от такого обозначения по чисто зрительным соображе*!
ниям. Г
2) Обычно, говоря о гомоморфизме моноидов, дополнительно предпола-
предполагают, что / A) = 1.— Прим. ред.
0з свойств действительных чисел состоит в том, что отображение
ехр: Ш-^Е+ обладает обратным отображением log: E+ ->- R.
(Для г = 10 это обычный логарифм, а для г = е — натуральный
догарифм.) Таким образом,
log ху = log х + log у
log (ехр а) = а,
ехр (log x) = х
для всех а 6 Е и х ? Е+.
Другим примером гомоморфизма является степенное отобра-
отображение х *-*¦ хп (или х I-» пх в аддитивной записи), определенное для
любой абелевой полугруппы А и фиксированного положительного
целого числа п. Если А — абелева группа, то степенное отобра-
отображение можно определить и для отрицательных целых чисел,
если положить а~п равным (а)" (или (—пх) = п (—х) в аддитив-
аддитивной записи). В частности, в случае абелевой группы отображение,
переводящее каждый элемент а в его обратный а, является биек-
биективным гомоморфизмом. Кроме того, каждая подгруппа N абеле-
вой группы А определяет группу A/N и гомоморфизм А -> AIN (об
этом будет рассказано позже). Короче, абелевы группы насыщены
гомоморфизмами!
Нот (ХД)
Если X и Y — полугруппы, причем полугруппа Y абелева,
то множество Нот (X, Y), состоящее из всех гомоморфизмов
X -v У, является подполугруппой полугруппы Yx, т. е. для
всех /, g 6 Нот (X, Y) и а, Ъ 6 X имеем
U И) = / (flfc) g И) = /(«)/ Ф) е (в) g (b) =
= f(a)g(a)f(b)g(b) =
Если к тому же Y — абелева группа (абелев моноид), то полугруп-
полугруппа Yx , а следовательно и Нот (X, Y), является абелевой груп-
группой (абелевым моноидом).
Для любой полугруппы X, если /, g 6 Нот (X, X) и а, Ъ ? X,
ТО
fg (ab) = / (g (a) g (b)) = fg (a) fg (Ь),
и поэтому множество Нот (X, X) — моноид. Этот моноид является
подмоноидом моноида Map (X) с той же самой единицей. Он
Называется моноидом эндоморфизмов полугруппы X и обозначается
Через End X. Элементы моноида End X называются эндоморфиз-
эндоморфизмами.

80
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Если /: А
множество
Образ и ядро
А' —гомоморфизм группы А в группу А1,
{Ъ еА' \3aeA &Ь =/(а)}
является подгруппой в А', называемой образом гомоморфизма 4
и обозначаемой через im/. Если е — единица группы А, е' -J
единица группы А', то, поскольку гомоморфизм сохраняет идем-
потенты и е' — единственный идемпотент в группе А', получаем,
что / (е) = е'. Итак, единица е' лежит в образе каждого гомомор-;
физма /: А -> А'. Применяя это утверждение в частном случае,
когда А — подгруппа группы А' и /: А -»- А' — включение, полу*
чаем, что единица е' лежит в каждой подгруппе группы А'. Отме-ч
тим также, что / (а) = / (а) для каждого а ? А. Отсюда еле*]
дует, что im / — подгруппа в А'.
Ядро гомоморфизма / определяется как множество
ker/ = {а ?А \ f (а) = е'}.
Это множество является подгруппой в А, причем х~1ах ? ker/l
для всех х ? А и а ? ker /. Любая подгруппа N группы А, такая,
что х~1ах 6 N для всех х 6 А и а ? N, называется нормальной под-
подгруппой г) в А. В абелевой группе каждая подгруппа нормальна 2).
Факторгруппа
Если N — подгруппа группы А ях?А, то левым смежным
классом по подгруппе /V, содержащим элемент х, назовем множе-
множество
xN = {ха | а ? N}.
Таким образом,
у 6 xN <=> х~гу 6 N.
Правый смежный класс Nx определяется симметрично. Из опре-
определения следует, что подгруппа N нормальна тогда и только тогда,
когда xN = Nx для каждого х 6 А. Для любой подгруппы 7V
группы А отношение
является отношением эквивалентности. Если xN = yN, то мы
пишем х == у (mod N) и говорим, что х конгруэнтно (сравнимо с)
у по модулю N.
х) Часто нормальная подгруппа называется нормальным делителем.—
Прим. ред.
2) Существуют и неабелевы группы с этим свойством, они называются
гамильтоновыми. См. гл. 1, упр. 19.
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
81
Обозначим множество {xN \ х ? А} через AIN. Если N —
нормальная подгруппа (и только в этом случае), множество A/N
оказывается группой относительно операции
(xN) (yN) = xyN
Группу A/N называют факторгруппой группы А по нормальной
подгруппе N, а отображение
f A-+A/N
являющееся гомоморфизмом, называется каноническим. Отметим,
что N оказывается ядром канонического гомоморфизма.
Если А — абелева группа, то в аддитивной записи смежный
класс, определенный элементом х, обозначается через х + N.
Таким образом, операция в группе A/N принимает вид
(x + N) + (y + N) = (х
+ N.
Например, если п — любое целое число и nZ — множество целых
чисел, делящихся на п, то множество Z/reZ является группой, ко-
которая обозначается через Zn. Другие примеры факторгрупп: груп-
группа Gl/Z рациональных чисел по модулю целых и группа BI/Z дей-
действительных чисел по модулю целых.
Вложения и наложения
Гомоморфизм /: А—>А' полугрупп, являющийся наложением,
называется гомоморфным наложением или наложением полугруп-
полугруппы А на А' (а также сюръективным гомоморфизмом этих полу-
полугрупп). В этом случае говорят, что полугруппа А' является го-
гомоморфным образом полугруппы А. Таким образом, для любой
нормальной подгруппы N группы А каноническое отображение
А —»- AIN — гомоморфное наложение (ср. с первой теоремой Нётер
об изоморфизме 1.10). Гомоморфизм /: А ->¦ А' полугрупп, яв-
являющийся вложением, называется гомоморфным вложением или
просто вложением моноида А в А' (а также инъективным гомо-
гомоморфизмом). Если А —¦ группа, а А' — моноид, то гомоморфизм
/ оказывается вложением тогда и только тогда, когда его ядро
содержит лишь единицу е группы А, т. е. когда ker/ = e (или
ker / = 0, если группа А аддитивна). Включение ljj: В ->¦ А
любой подполугруппы В полугруппы А в полугруппу А является
вложением, которое обозначается также через in: В -
или В <= А.
6 к. Фейс
in
, В-+А,

82 Ч. I. Полугруппа, моноид, грь
группа, категория, к
Проекции и инъекции
Snrn /?V}i?I ~ СемеЙСТВ° п°лугрупп, то /-Й проекцией дл*
здого / ? I называется отображение
каждого
/-/(/),
которое оказывается гомоморфным наложением прямого произ-
произведения на /-ю компоненту и индуцирует наложение полугрупп
называемое j-й проекцией прямой суммы.
Если {Хг};е1 — семейство моноидов, то для каждого / ? / су-
существует гомоморфное вложение
и,:
Xt,
определенное следующим образом:
Г uj (х) (/) = х V j
\ Uj (x) (i) = единица, если i Ф j.
Это вложение называется канонической инъекцией (или вло-
вложением) моноида Xj в указанное произведение. Так как для всех
х ? Xj носитель элемента Uj (x) конечен, то im u,- содержится
в прямой сумме, и индуцированное отображение Xj -*¦ 2 © Xt
называется канонической инъекцией моноида Xj в прямую сумму.
В обоих случаях
Ui (x) Uj (у) = Uj (у) Ut (X)
для всех i ф] ? / и всех х 6 Xt и у ? Xj.
Точные последовательности
Если М, N и Р — группы, то последовательность
М Л N Л Р
означает, что /: М —>• N и g: N —v P — гомоморфизмы. Говорят,
что эта последовательность точна, если im / = ker g. В этой
терминологии гомоморфизм /: М —>• N инъективен тогда и только
тогда, когда последовательность
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
83
точна, и / сюръективеы тогда и только тогда, когда точна после-
последовательность
Здесь через 0 обозначена единичная группа.
Если {Mt} — семейство групп, то последовательность
h+% „, fi+i n, h ,, fi-i -,
. . . >Mi+i >Mt >Mt_i >M;_2-> . . .
точна в том случае, когда im ft = ker /г_х для каждого i
Образующие
Если N — подполугруппа полугруппы М, то говорят, что
подмножество S в М порождает N или является ее системой
образующих (и пишут N = E)), если выполнены следующие два
эквивалентных условия:
A) N является пересечением всех подполугрупп в М, содер-
содержащих множество S;
B) S — подмножество в N, и каждый элемент х ? N есть
произведение элементов из S.
Здесь по определению предполагается, что каждый элемент
s ? S является «произведением элементов из S». Итак, для любо-
любого непустого подмножества Т множество всех конечных произ-
произведений элементов из Т является подполугруппой (Т) э 7\'
В частности, подполугруппа N порождается всеми своими эле-
элементами. Если М — моноид и N — его подмоноид с той же едини-
единицей, то подмножество S в М порождает N, если N — подполу-
подполугруппа, порожденная множеством S [} {1}. Если М — группа и
Лг — ее подгруппа, то говорят, что подмножество S порождает Л^
(и обозначают N = (?)), если выполнены два эквивалентных
условия: >
(S-l) N является пересечением всех подгрупп в М, содержа-
содержащих множество S;
(S-2) S — подмножество в N и N — подполугруппа в М,
порожденная множеством S [} S'1, где S'1 = {s | s 6 ?}•
Подгруппа, подмоноид или подполугруппа N конечно (соотв.
счетно) порождена, если N порождается конечным (соотв. счет-
счетным) подмножеством. Полугруппа (моноид или группа) G назы-
называется циклической, если она порождается одним элементом а,
т. е. G = (а) 1).
1) Циклическую полугруппу называют также моногенной.— Прим. ред.
6*

84 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Индекс и порядок
Порядок полугруппы М — это ее мощность \ М \. Порядков
элемента а ? М называется порядок подполугруппы (а), порож-
порожденной этим элементом. Если порядок элемента а конечен, т«|
существуют целые числа 0 < к < п, такие, что ап — ah (ср.
с бициклической полугруппой в упр. 1.8). Если п — наименьшее
число с таким свойством, то порядок элемента а равен п — 1.
Если порядок элемента а бесконечен, то отображение
(IN - (а)
является биективным гомоморфизмом. С другой стороны, если!
G — группа и элемент а ? G имеет бесконечный порядок, то ото-|
бражение
является биективным гомоморфизмом. Полугруппа S называется]
полугруппой с сокращением, если
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
85
для всех а, х, у, Ъ, х', у' 6 S. В моноиде с сокращением ап = ак
влечет за собой а1 = 1, где t = п — к, и, таким образом, а —
обратимый элемент с обратным а1'1.
1.3. Предложение. Если Н — подгруппа группы G, то система!
всех левых смежных классов по подгруппе Н образует разбиение]
множества G. Множество левых смежных классов группы G по \
подгруппе Н обозначается через G : Н. Мощность \ G : Н \ совпа- \
дает с мощностью множества всех правых смежных классов группы ''-
G по подгруппе Н и называется индексом подгруппы Н в группе]
G. Таким образом,
|С|=|С:1| = |б:ЯЦЯ:1|,
т. е. порядок подгруппы делит порядок группы (теорема
Лагранжа).
Доказательство. Каждый элемент g ? G принадле-
принадлежит некоторому смежному классу, именно классу gH. Кроме
того, два смежных левых класса аН и ЪН равны тогда и только
тогда," когда Ъ~1а ?Н (или, эквивалентно, а-1Ъ ? Н) г). Следова-
Действительно, если аН = ЪН, то а = bh, где h ? Я, т. е. h = b^a ?
'"" ' = Ъ~ха ? Я, то а = bh, Ъ = ah~l и, следовательно, ah'= Ъ (hh'),
'),. т, е. аН = ЪН.— Прим.
тельно, если существует g = ahx — bh2 ? аН fl ЬН, где hx 6 Н
и h2 6 Н, то Ъ~ха = hjii1 ? Н, откуда аН — ЪН. Итак, различные
смежные классы не пересекаются, а это доказывает, что они обра-
образуют разбиение группы G, что и требуется *). Отображение
f (G : Н) ->¦ множество правых смежных классов
1 аЯи> Наг1
является биективным, откуда следует, что \ G : Н \ — мощность
множества правых смежных классов. ?
В этих обозначениях, если N — нормальная подгруппа группы
G, то | GIH | = | G : Н \.
Делимые группы
Для каждой аддитивной абелевой группы G и целого числа
п ^> 0 множество nG = {па \ а 6 G} является подгруппой. Гово-
Говорят, что абелева группа G делима, если nG = G для всех п > 0.
Примерами делимых групп служат группы И, Q, и мультиплика-
мультипликативная группа всех комплексных корней из единицы. Любой
гомоморфный образ делимой группы делим. Например, фактор-
факторгруппы JI/Z и Q7Z делимы. Делимая группа обязательно либо
бесконечна, либо нулевая.
Если {Хг}{?1 — цепь полугрупп, то теоретико-множественное
объединение U Хг — полугруппа, являющаяся группой при
условии, что все Xi — группы. Для каждого простого числа р
и целого числа 7г>1 существует вложение /n: Zp«-^- Q-/Z (доказа-
(доказательство?), и группа Q/Z содержит цепь
Жр a Zp2 a ... с: ЖрП с: ....
Объединение выписанной цепи обозначается через Zp°° (см. упр.
1.8.13). Заметим, что если какая-либо группа G содержит такую
цепь подгрупп, то их объединение в G изоморфно Zp°° (доказатель-
(доказательство?).
Периодические группы и группы без кручения
Группа G называется периодической, если каждый ее элемент
имеет конечный порядок. Если существует такое простое число р,
что порядок каждого элемента х 6 G равен некоторой степени
числа р, то группа G называется р-группой. Таким образом, Zpr —
конечная р-группа, a Zp°° — бесконечная р-группа. Мультипли-
*) Заметим, что для завершения доказательства следует установить,
что | off | = 1 Я | = | Я : 1 |. Последнее устанавливает биективное отобра-
отображение ah i—*¦ h.— Прим. ред. и перев.

86
Ч. I. Полугруппа, моноид,
группа, категория, колъио
кативная группа всех комплексных корней из единицы, группа]
R./Z и прямая сумма семейства {Zn}n?jv являются примерами бес-]
конечных периодических групп. (Отметим, что прямое произвел;
дение семейства {Ln}n^N не является периодической группой.);
Группа G называется ограниченной, если существует такое
целое число т > О, что mG = 0. Наименьшее из этих чисел т
называется экспонентой группы G. Ограниченная группа может ]
быть и бесконечной, как показывает пример бесконечной прямой]
суммы счетного семейства групп, каждая из которых равна группе ]
Z2. (В этом случае прямое произведение также является ограни-]
ченной группой.) Любая подгруппа или факторгруппа периодиче-
периодической (ограниченной) группы является периодической (ограни-;
ченной).
Периодической частью Т (G) абелевой группы G называется
подгруппа, состоящая из всех элементов группы G, имеющих
конечный порядок. Периодическая часть группы G, очевидно, |
является периодической группой. Группа называется группой без ;
кручения, если единица является ее единственным периодическим
элементом. Факторгруппа GIT (G) — группа без кручения. Сво-
Свободной абелевой группой называется группа, изоморфная группе
1SA^ для некоторого множества А. Любая подгруппа свободной
абелевой группы — группа без кручения (в действительности,
свободная группа; см. упр. 27 в конце главы).
1.4. Упражнения.
1.4.1. (а) Пусть А — моноид. Для каждого а ? А через as обо-
обозначим отображение
( А-+А
\
а через ad — отображение
ad
А
¦ ах,
ха.
¦ Map (A)
¦ a<i-
Тогда adbs = bsad для всех a, b ? А.
(b) Рассмотрим отображения
Г A -> Map (А) (А
sA { dA{
[ а у-*¦ as, { а \
Тогда sA: A —>• Map (А) является гомоморфным вложением (a dA:
А —>- Map (А) — антигомоморфным вложением, т. е. таким вло-
вложением /, что / (ху) = /(*/)•/ (x) для всех х, у).
(c) Если А — группа, то im sA ^ tf (A) = °U (Map (А)) и так-
также im dA c= tf (A).
(d) Если А — группа конечного порядка п, то существует
вложение А ->¦ Sn группы А в симметрическую группу Sn.
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
87
1.4.2. Показать, что собственные подгруппы группы Z «,
исчерпываются циклическими группами порядка рп по одной для
каждого целого числа п.
1.4.3. Показать, что любая абелева полугруппа S с сокраще-
сокращением вложима в группу G, такую, что G = {si \ s, I ? S}.
1.4.4. Каждая подгруппа циклической группы циклическая,
при этом циклическая группа содержит в точности одну подгруппу
порядка d для каждого делителя d порядка группы.
1.4.5. Доказать обратное утверждение к 1.4.4, а именно что
<>сли G — конечная группа порядка п, такая, что отображение
множества подгрупп в множество делителей числа п
является биективным, то группа G циклическая.
1.4.6. Порядки циклических групп А и В равны тогда и только
тогда, когда существует биективный гомоморфизм А —>• В.
1.4.7. Если Н — подгруппа группы G, то существует подмно-
подмножество элементов {аг}{с/в G, такое, что G:H = {atff}i?i и ото-
отображение
(G : Н) -v множество правых смежных классов по Н
atH ^ Hat
биективно.
1.4.8. Если Н— подгруппа (конечного индекса) группы G, то
— нормальная подгруппа (конечного индекса).
1.4.9. Нормализатором ,Ж'0{А) подгруппы А группы G назо-
назовем пересечение всех подгрупп В группы G, таких, что А — нор-
нормальная подгруппа в В. Таким образом, Жg (A) =
== {х 6 G | х~гАх = А}. Подгруппа группы G вида х~гАх назы-
называется сопряженной с подгруппой А. Показать, что число под-
подгрупп в G, сопряженных с А, равно индексу нормализатора
подгруппы А в G.
1.4.10. Пусть / — элемент порядка 2 симметрической группы
Sn и г — число элементов х, таких, что / (х) = х. Проверить, что
число п — г четное. Показать, что каждая конечная группа G
четного порядка содержит элемент порядка 2.
1.4.11. Если порядок каждого элемента группы G не превосхо-
превосходит 2, то группа G абелева.
1.4.12. Если N — подгруппа индекса 2 группы G, то N — нор-
нормальная группа.
1.4.13. Показать, что группа S3 содержит точно шесть под-
подгрупп, из которых три нормальные, а три не являются нормаль-
нормальными.

88
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и моду
тции: полугруппа,
моноид, группа и категория
1.4.14. Пусть Н и К — различные собственные подгруппы!
группы G, каждая из которых содержит по крайней мере два эле-1
мента. Показать, что G не совпадает с теоретико-множественным!
объединением Н и К. \
*1.4.15. d) (а) Любая конечно порожденная абелева группа бее)
кручения вложима в свободную абелеву группу (и, следовательно,]
является свободной абелевой группой, см. гл. 1, упр. 27). '\
(Ь) Любая абелева группа N является гомоморфным образом]
свободной абелевой группы. [Указание: пусть А — множество!
образующих группы N; существует единственный гомоморфизм]
h: Z(A) -у- N, такой, что каждый элемент иа A), где а ? А и иа: j
Z —*- 1Sa^i ¦— каноническая инъекция, переходит в а. При этом
^ B' тциа- A)) = ~2j n^i для любых rii 6 Z и at 6 А.]
i=l ' 1=1
Категория
Категория С состоит из класса Obj С, элементы которого назы-
называются объектами, и класса Мог С, состоящего из упорядочен-
упорядоченных троек /: А —>¦ В, где Л и В — объекты. Элемент /: А —>• В
из Мог С называется морфизмом (с областью определения А
и областью значений В). Для каждой упорядоченной пары {А, В)
требуется, чтобы класс Могс (А, В) всех морфизмов А-=>-В был
множеством2). Кроме того, для каждой упорядоченной тройки
(А, В, С) объектов определена операция
Г Могс (В, С) х Могс (А, В) -v Могс (А, С)
1 (g, f) ^> gf,
которая ассоциативна (в том смысле, что h (gf) = (kg) f, как только
hg и gf< определены).
(Заметим, что произведение hg определено, если область зна-
значений морфизма g совпадает с областью определения морфизма h.)
Наконец, для каждого объекта А множество Могс (А, А) является
моноидом с единицей 1А, для которой /1л=/и1а§' = й' Для всех
морфизмов f: А —>- В ш g: С —>¦ А.
Для каждого объекта А категории С моноид Могс (А, А)
называется моноидом эндоморфизмов объекта А и обозначается
*) См. примечание на стр. 108.— Прим. ред.
2) Для Могс (А, В) используются и другие обозначения: Ношс {А, В) ш
Ш(А,В) (поскольку Габриель и Циссман [71] и Маклейн [72] называют
морфизмы стрелками (arrow)). He всегда предполагается, что More (А, В) —
множество. Например, можно было бы определить моноид как класс, а не мно-
множество, с ассоциативной операцией. Однако все интересные примеры — мно-
множества. Употребляются также обозначения С (А, В) и Не (А, В).— Прим.
ред.
через Endc А. Элемент моноида Endc А называется эндоморфизмов
объекта А.
Если С и D — категории, Obj D S Obj С, Мог D s Мог С,
а операция Мог D X Мог D —>- Мог D индуцирована операцией,
определенной на Мог С, то D называется подкатегорией катего-
категории С. Любой подкласс S объектов категории С определяет под-
подкатегорию S', в которой морфизмы А —*- В между объектами те же
самые, что и в С, и перемножаются морфизмы в S' так же, как
и в С. Тогда S' — категория, являющаяся подкатегорией в С.
Она называется полной подкатегорией категории С на подклассе
S или полной подкатегорией, порожденной подклассом 5.
Функторы
Если С и D — категории, то под ковариантным функтором
Т: С ~* D понимается пара отображений
f Obj С -v Obj D < Мог С -v Мог D
Т{ Х^ТХ, Т{ f*-+Tf,
которые сохраняют композицию морфизмов и тождественные ото-
отображения:
Tfg = TfTg V/, g 6 Мог С,
Г1А = 1ГА \/А?ОЪ]С.
Таким образом, если /: X -*- Y и g: Y-*- Z — морфизмы в С,
то диаграмма
коммутативна.
Контравариантный функтор S: С ~ D является парой отобра-
отображений
f Obj С -»- Obj D | Мог С -v Мог D
I A^*SA, \ fr+Sf,
сохраняющих тождественные морфизмы, но обращающих произ-
произведение морфизмов:
~ f = SfSg,

•90
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуЛ
Таким образом, если /: X —>¦ Y и g: 7->Zb С, то для контрава-
риантного функтора S диаграмма
SZ-
Sgf
-SX
коммутативна.
Термин функтор будет означать ковариантный функтор. Если
функтор Т: С ~> D ковариантен и X, Y — объекты из С, то будем
говорить, что отображение
Могс (Z, Г)
MorD (TX, TY)
¦Tf
индуцировано функтором Т. В частности, для каждого объекта
X категории С функтор Т индуцирует гомоморфизм моноидов
EndcX —>¦ End^^X. Функтор Т: С •--¦ D называется унивалент-
ным, если индуцированные отображения Тх, у инъективны для
всех X, Y ? Obj С. В этом случае индуцированный гомоморфизм
Endc X ->¦ EndD TX является инъективным для любого X. Если,
с другой стороны, индуцированное отображение Т х. у сюръек-
тивно для всех X, Y ? Obj С, то функтор Т называется полным.
В частности, в этом случае индуцированные гомоморфизмы
Endc X ->¦ EndD TX являются сюръективными для всех X ? Obj С.
Двойственность
Если С — категория, то существует категория С*, называемая
дуальной или противоположной категорией, или кокатегорией,
которая определяется таким образом: объекты у нее те же самые,
что и в С, а морфизмы те же, что и в С, но у каждого морфизма
меняются местами область определения и область значений,
а кроме того, обращается порядок морфизмов в произведении. Мы
иногда будем обозначать такую категорию символом С°р. Же-
Желая отличить объект А и морфизм / категории С от соответствую-
соответствующих объекта и морфизма в С*, мы будем обозначать последние
через А* и /*. Таким образом, Могс* (А*, В*) — Могс (В, А) и
f*g* = (gf)* для объектов А*, В* и морфизмов /*, g*. Итак, произ-
произведение f*g* определено тогда и только тогда, когда определено
произведение gf, а функтор
С
А*
является контравариантным функтором, называемым функтором
двойственности.
Если Р — любое свойство, описываемое с помощью диаграмм,
морфизмов и дополняемости диаграмм, то существует дуальное
свойство (или косвойство) Р*, описываемое с помощью дуальных
диаграмм, получаемых применением функтора двойственности.
В этом смысле дуальный вариант одной из аксиом категории
является одной из аксиом категории (это другой способ доказа-
доказательства существования дуальной категории С*). Принцип двой-
двойственности для упорядоченного множества (п. 10 из теоретико-
множественного введения) таким же образом применяется к кате-
категориям, а именно, дуальное утверждение S* к любой теореме S
о категориях является теоремой о категориях. Более того, если
*ё — класс категорий, аксиоматизируемый с помощью автодуаль-
автодуального множества аксиом, и если этот класс замкнут относительно
эквивалентностей категории, то дуальное утверждение S* к любой
теореме S о классе % является теоремой о классе %. (Эквивалент-
(Эквивалентность категорий будет вскоре определена, см. стр. 96.)
1.5. Примеры.
1.5.1. Составные функторы. Если Т: С ~* D и S: D ~ Е —
функторы, то составной функтор •— это функтор
(С~Е
ST I A*->S {ТА)
[
[ f^S(Tf).
Если функторы S и Т оба ковариантны или оба контравариантны»
то ST — ковариантный функтор. Иногда функтор ST обозначают
и через S о Т.
1.5.2. Тождественный функтор. Тождественный функтор 1С:
С ~* С категории С переводит каждый объект и каждый морфизм
этой категории в себя.
1.5.3. Функтор включения. Если D — подкатегория катего-
категории С, то функтор включения 1%: D ~* С — это функтор, инду-
индуцированный тождественным функтором 1С. Таким образом, Id —
унивалентный функтор (при этом он полон тогда и только тогда,
когда D — полная подкатегория в С).
1.5.4. Категория множеств SETS. Категория С, у которой
Obj С — класс всех множеств, а Мог С — класс всех отображе-
отображений множеств, обозначается через SETS x).
х) Употребляются также обозначения <5, %ns и др.— Прим. ред. и перев.

92
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
93
1.5.5. Забывающий функтор. Подкатегория категории SETSi
называется конкретной, а функтор включения С ~* SETS — за-'j
бывающим функтором *¦). ¦
1.5.6. Моноиды. Имеется подкатегория С в категории SETS,'
такая, что Obj С — класс всех моноидов, a Morc (X, Y) для любой.
пары моноидов X, Y является множеством всех гомоморфизмов]
X ->- Y. Эту категорию будем обозначать через MONOIDS, а образ;
объекта при забывающем функторе называется несущим множе-;
ством.
Любой моноид S является категорией С с одним объектом St
причем Мог С — это моноид S. Если С и D — категории с един-
единственными объектами X и Y соответственно, то любой ковариант-
ный функтор Т: С ~* D индуцирует гомоморфизм
Г Мог С -> Мог D
и, обратно, любой гомоморфизм Мог С—>¦ Мог D определяет кова-
риантный функтор. Таким образом, теория категорий с одним
объектом совпадает с теорией моноидов 2). Часто один и тот же
символ S употребляется для обозначения моноида, соответствую-
соответствующей категории, ее единственного объекта, а также множества ее
морфизмов, т. е. Мог S = Morg (S, S) — Ends S.
1.5.7. Группы. Полная подкатегория категории моноидов,
объекты которой составляют класс всех групп, обозначается через
GROUPS.
1.5.8. Абелевы группы. Полная подкатегория в категории
GROUPS, объекты которой составляют класс всех абелевых групп,
обозначается через mod-Z (здесь мы несколько опережаем терми-
терминологию, вводимую в гл. 3, согласно которой абелевы группы
являются Z-модулями).
1.5.91: Делимые группы. Категория DIV mod-Z — полная под-
подкатегория в mod-Z, объектами которой служат делимые абелевы
группы.
1.5.10. Категория высказываний. Объекты — предложения,
а морфизм /: А —>¦ В — импликация «из А следует В».
1.5.11. Категория частично упорядоченных множеств. Объек-
Объекты — частично упорядоченные множества, а морфизмы — отобра-
отображения, сохраняющие отношение порядка.
1.5.12. Основные функторы (или представления). Если А —
объект категории С, то первым представлением (или ковариант-
ным основным функтором) называется функтор, определяемый
1) Употребляются также термины: «пренебрегающий» или «стирающий».—
Прим. пер ев.
2) Это традиционный (неопределенный) способ высказать нечто вполне
точно. См. эквивалентные категории, стр. 97.
следующим образом:
С ~ SETS
X *-* Могс (А, X) (на объектах),
а для любого морфизма /: X -*- Y из С
А , Могс {А, X) -»- Могс (A, Y)
h f •
Таким образом, (hAf) g = fg (как только произведение fg опреде-
определено). Функтор hA также обозначают через More (А, ), а иногда
через (А, ). Если объекты hA X = Могс (А, X) являются объек-
объектами категории GROUPS (MONOIDS) для всех X, то индуциро-
индуцированный функтор С ~* GROUPS (MONOIDS) также обозначается
через hA и называется основным функтором со значениями в груп-
группах (моноидах). Аналогично, если D — подкатегория категории
SETS (т. е. D —конкретная категория), такая, что hA X ? Obj D
для всех X ? Obj С, то индуцированный функтор называется основ-
основным функтором со значениями в категории D или основным D-знач-
ным функтором *). (В главах, следующих за гл. 2, мы сталкиваем-
сталкиваемся с основными функторами со значениями в категории mod-Z.)
Второе представление (или контравариантный основной
функтор) hA: С ~+ SETS определяется так: для любого морфизма
/: X —>- Y категории С
, Л Morc(Y,4)->Morc(X, A)
Другие обозначения для этого функтора: Могс ( , А) и ( , А).
1.5.13. Категория последовательностей над С, индексиро-
индексированных множеством /. Если С — категория, то можно рассмотреть
другую категорию, объекты которой суть последовательности
{X;b?J объектов из С, индексированные множеством /. Эта кате-
категория обозначается через С1. Морфизм в категории С1— это после-
последовательность {gi}tei морфизмов категории С. Произведение этого
морфизма на другой морфизм {fej}iei определено тогда и только
тогда, когда произведение htgi определено для всех i ? /, и в этом
случае {ht} {gt} = {higt}.
1.5.14. Категория коммутативных последовательностей над
С, индексированных множеством /. Объекты — это последова-
последовательности {/;: X;->-FJjg/ морфизмов категории С (т. е. объек-
объекты — морфизмы категории С1). Морфизм такого объекта в объект
{gt: Ui -*- Vi}iei — это упорядоченная пара {Xt -у Ut}, {Yt ->-
Предполагается, что h индуцирует функтор С ~> D.

94
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа,
категория, кольцо
F;} морфизмов из С1, таких, что диаграмма
/5
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
95
сГ «орфизмов опреде-
1.5.15. Коммутативные последовательности над С с об
ластью определения X, индексированные множеством / Это
подкатегория категории коммутативных последовательностей над
С, индексированных множеством /, объекты которой - последо-
последовательности морфизмов {/,: ЛГ^У|}|61 о областью определения
X, где X — данный объект категории С. Если {<?•• X -»¦ Z \ —
другой объект, то морфизм - это последовательность {h-- Y-*-
-+/>i}ieI, такая, что диаграмма '* '
(или X
коммутативна. Таким образом, упорядоченная пара {1^-: Xt ->-
-*¦ Xt), {/^: F; ->¦ Z,}, индексированная множеством /, где X, — X
для всех i (z I, является морфизмом в категории коммутативных
последовательностей.
1.5.16. Source X. Если X — объект категории С, то source X —
категория коммутативных последовательностей над С с областью-
определения X, индексированных одноэлементным множеством,
т. е. объектами этой категории служат морфизмы 1->У катего-
категории С, а морфизм из объекта X —>¦ У в объект X —>- Z — это мор-
морфизм Y —*¦ Z, такой, что диаграмма
X * Y
коммутативна.
1.5.17. Target Ж. Эта категория дуальна к категории из при-
примера 1.5.16. Именно, ее объектами являются морфизмы Y ->¦ X.
Категория примера 1.5.15 имеет аналогичную дуальную кате-
категорию.
Эквивалентности и автоморфизмы
Морфизм /: А -*- В в категории С называется эквивалентно-
эквивалентностью, если существует морфизм g: В -у А, такой, что gf = 1А
и fg = i-в- Может существовать только один морфизм g с этим
свойством, и он обозначается через f. Объект А эквивалентен
объекту В, если существует эквивалентность /: А -у В. Эквива-
Эквивалентность — рефлексивное, симметричное и транзитивное отно-
отношение на классе объектов категории С. Символ 4«5 обозначает
эквивалентность А ->¦ В.
Эквивалентность А—*-А называется автоморфизмом объекта А.
Множество всех эквивалентностей А —*- А совпадает с группой
обратимых элементов в моноиде Endc А и обозначается через
Aut A.
Эквивалентность в категории MONOIDS называется изомор-
изоморфизмом. В этой категории в силу предположения 1 из теоретико-
множественного введения изоморфизм А » В обязательно явля-
является биекцией.
Два объекта называются неэквивалентными, если они не яв-
являются эквивалентными. Если D — класс объектов категории С,
то класс эквивалентности объектов из D, определяемый объектом
А ? D, определяется как подкласс в D, состоящий из всех
объектов в D, эквивалентных объекту А. Тогда существует под-
подкласс Equiv D класса D с тем свойством, что каждый объект
из D эквивалентен какому-либо объекту из Equiv D, а два раз-
различных объекта в Equiv D неэквивалентны. Если Equiv D —
множество, то его мощность называется числом неэквивалент-
неэквивалентных объектов в классе D.
Если С является категорией MONOIDS, то класс эквивалент-
эквивалентности называется классом (множеством) изоморфных объектов
(см. стр. 47).
Естественное преобразование функторов
Пусть S: С ~* D и Т: С ~* D — два ковариантных функтора.
Естественное преобразование S —*- Т — это функция h, сопостав-
сопоставляющая каждому объекту А 6 С морфизм h {A): S (А) -*¦ Т {А)
таким образом, что для каждого морфизма /: А —*- А' категории С

96 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
диаграмма
S(A) — * Т(А)
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
97
МЛ)
коммутативна, т. е.
Т (/) h(A)=h (A') S (/).
Естественное преобразование h: S -*- Т между функторами S)
и Т называется естественной эквивалентностью функторов S
и Т, если h (А) является эквивалентностью для всех А ? Obj С.
В этом случае используем обозначение ? да Г. Естественным обра-
образом определяемое отношение эквивалентности функторов рефлек-
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Если g: R ->- S и h: S -*- Т — естественные преобразования
функторов, то произведение kg: R -*¦ Т является естественным
преобразованием (оно определяется произведением морфизмов: '
hg (A) =h(A)g (A)).
Фраза «несмотря на размеры, С является категорией» означает,
что мы отказываемся от требования, чтобы Morc (X, Y) было
множеством. «Несмотря на размеры», существует категория CAT ;
категорий, объекты которой — категории х), морфизмы — функ-
функторы С ~* D, а операция — произведение функторов. Тождествен-
Тождественный функтор обозначается через 1С.
Опять же, «несмотря на размеры», можно для двух категорий С
и D рассмотреть категорию Funct (С, D), объекты которой состав-
составляют KJjacc всех функторов С -* D, а морфизм между двумя функ-
функторами S и Т — это естественное преобразование функторов.
Операция в этой категории — произведение естественных пре-
преобразований. Термин морфизм функторов используется как сино-
синоним естественного преобразования, а эквивалентность функторов
означает естественную эквивалентность функторов. Часто
Funct (С, D) обозначают и через Dc.
Эквивалентные категории
Эквивалентность С ~* D между двумя категориями состоит
из упорядоченной пары (Т, S) (пара эквивалентности) ковариант-
ных функторов Т: С ~> D и S: D ~»Си пары естественных экви-
1 Здесь «несмотря на размеры» означает и то, что автор игнорирует свя-
связанные с этим определением теоретико-множественные трудности.— Прим.
ред. и перев.
валентностей
ST да 1С и TS
функторов. В этом случае мы говорим, что С и D — эквива-
эквивалентные категории (обозначение С да D), а Т: С ~* D — экви-
эквивалентность. Отношение С да D рефлексивно, симметрично и
транзитивно. Эквивалентность С ~* С называется автоэквива-
автоэквивалентностью. Покажем теперь, что эквивалентность С ~* D опре-
определена с точностью до автоэквивалентности категории С (или D).
Если (Тг, St) и (Т2, S2) — две пары эквивалентности С ~* D,
то TtS^T^St да TtSt да 1D, а также T^SiTxS^ да 1D, поэтому
TiS^iD ~* D — автоэквивалентность Н категории D. Следова-
Следовательно,
я, симметрично, St да 52. Для каждой упорядоченной пары (С, D)
эквивалентных категорий С и D выбирается одна пара эквивалент-
эквивалентности (Т, Т'1), при этом Т'1 называется обратной эквивалентно-
эквивалентностью. Класс автоэквивалентностей С ~+ С обозначается через
Aut С (если он является множеством, то это группа). В том слу-
случае когда ST = 1С и TS = 1D, T называют изоморфизмом
категорий С ~+ D.
Сейчас мы можем сформулировать более точно то, что было
несколько неопределенно высказано в 1.5.6: полная подкатегория
категории CAT на подклассе категорий с одним объектом экви-
эквивалентна категории MONOIDS.
Примеры.
1. Функтор перехода к факторгруппе по коммутанту. Если
G — группа, то коммутант или производная подгруппа группы G
является ее подгруппой [G, G], порожденной коммутаторами
{aba^b-1 | а, Ъ ? G}, и совпадает с пересечением всех нормальных
подгрупп N группы G, таких, что факторгруппа GIN абелева.
Функтор перехода к факторгруппе по коммутанту
f GROUPS ~ mod-Z
1 G>~*GI\G, G] (на объектах)
отображает каждый гомоморфизм h : G —*- Н групп в гомоморфизм
г g/ig, G] -»- Him, m
I g[G,G]-+h (g) [Н, Н\
абелевых групп. Канонический гомоморфизм
can (G) : G -»- G/IG, G]
определяет естественное преобразование тождественного функтора
категории GROUPS в функтор перехода к факторгруппе по ком-
коммутанту.
7 К. Фейс

Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
2. Основной функтор
mod-Z ~* mod-Z
A t-+ Horn (Z, А),
естественно эквивалентен тождественному функтору / категории
mod-Z при естественном преобразовании g~l : I-*¦ h , где для
любого А ? mod-Z
Hom(Z, A)-* A
Для проверки этого заметим сначала, что все gA сюръективны.
Действительно, если а ? А, то существует отображение
М
{ п \-+ па,
и ёл (as) = as A) — la — а. Далее, если / A) = 0, то / (а) —-
= af A) = 0 и, следовательно, / = 0. Таким образом, ker gA =
= 0. Это доказывает, что gA — изоморфизм. Естественность про-
проверяется непосредственно.
Это же доказательство годится и для категории mod-i? всех
правых /^-модулей над кольцом R, определяемой в гл. 3, т. е.
основной функтор hR : mod-/? ~ SETS индуцирует автоэквива-
автоэквивалентность категории mod-/?.
Функтор Т : С ~» D называется двойственностью или анти-
антиэквивалентностью, если он контравариантен и существует контра-
вариантный функтор S : D ~* С и естественные эквивалентности
функторов
TS « 1D и ST ж 1С.
Упорядоченная пара (Г, 5) называется парой двойственности.
Двойственность С ~* С называется инволюцией.
1.6. Предложение и определение.
1.6.1. ?сли G\, iSi) и (Тг, 52) — пары двойственности С ~» Z),
7no TiTnT^uSx^-S^. Для каждой двойственности С ~* D выби-
выбирается одна пара двойственности (Т, Т'1), называемая канониче-
канонической, а Г называется обратной двойственностью. Канонический
функтор С ~» С* называется функтором двойственности.
1.6.2. Каждому функтору Т : С ^* D сопоставляется произ-
произведение функтора обратной двойственности С* ¦-+ С на функтор Т,
обозначаемое через Т* и называемое первым функтором, ду-
дуальным к Т. Произведение функтора Т на функтор двойственно-
двойственности D ~* D* обозначается через Г» и называется вторым функ-
функтором, дуальным к Т. Таким образом, функтор Т ковариан-
тен {контравариантен) тогда и только тогда, когда дуальный
функтор, первый или второй, контравариантен (ковариантен)г
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
99
и Т является двойственностью (эквивалентностью) тогда и только
тогда, когда дуальный функтор является эквивалентностью
(дво йственностъю).
1.6.3. Для любой категории С и объекта А первый функтор,
дуальный к функтору hA (соотв. к hA), совпадает с hA* (соотв.
с hA*).
Доказательство. Утверждение 1.6.1 доказывается
в точности так же, как утверждение о парах эквивалентности.
Доказательства остальных утверждений очевидны. ?
Если S — моноид, то дуальная категория является моноидом,
называемым моноидом, противоположным к S, и обозначается
через S°v. Если S и S' — моноиды, то отображение / : S -*- S'
называется антигомоморфизмом, если оно является контравари-
антным функтором г). Наконец, / называется антиизоморфизмом,
если оно является двойственностью. Инволюция 5—>¦ S является
поэтому антиизоморфизмом. Каждая группа G обладает антиизо-
антиизоморфизмом, осуществляемым, например, переходом к обратному:
Г G
1 х*
Из этого следует, что существует изоморфизм G я* ?°р (см. 1.6.2).
Вообще говоря, группа может иметь довольно много автомор-
автоморфизмов. Если группа G абелева, то отображение z>-*—x является
автоморфизмом, который совпадает с тождественным отображе-
отображением тогда и только тогда, когда х + х — О для всех х. Впрочем,
и в этом случае группа обладает нетождественным автоморфиз-
автоморфизмом, если только она не изоморфна Z/2Z 2).
Допустим, что группа G неабелева, и примем мультипликатив-
мультипликативную форму записи. Центр %(G) группы G — нормальная под-
подгруппа, состоящая из всех элементов х ? G, таких, что ху~ух
для всех у ? G. Для любого у ? G отображение 1У, такое, что
Ту (х) = уху-1 для любого х ? G, называется внутренним автомор-
автоморфизмом группы G, определяемым элементом у. Множество In Aut G
всех внутренних автоморфизмов группы G является нормальной
подгруппой группы Aut G, что вытекает из формулы
fht1 = Inn
для всех у ? G и / 6 Aut G. Более того, отображение
f In Aut G -> Gfe (G)
¦y&(G)
является изоморфизмом групп.
J) To есть / (ab) = / F) / (а) для всех а, Ь 6 S.— Прим. перев.
2) Это замечание Капланского.
7*

100 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
1.7. Предложение (Келли).
1.7.1. Для любой группы А и любого элемента а ? А имеет
место биективное отображение
А-+А
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
101
Отображение
¦ ах.
ai
а.
является гомоморфным вложением. Таким образом, если А —
конечная группа порядка п, то существует вложение А —у Sn груп-
группы А в симметрическую группу Sn.
1.7.2. Группа Aut А является подгруппой группы <!? (А), и
faj-i = (fa),
для всех f с Aut А и а ? А.
1.7.3. Каждый автоморфизм f группы im sA индуцируется
внутренним автоморфизмом группы of (А); именно, f (as) =
= f (a)s = faj'1 для некоторого f ? Aut А, а тогда If индуцирует
автоморфизм /'.
1.7.4. Отображение
¦ 3 (A)
d.
V
{ a i
¦ ad,
где ad (х) = ха для всех х ? А, является антигомоморфным вложе-
вложением.
1.7.5. Вложения sA: A —*- #" (А) и dA : A —*- of (А) перестано-
перестановочны, т. е. asbd = bdas для всех а, Ъ ? А. ?
1.8. Упражнения.
1.8.1\ Найти число неизоморфных моноидов, состоящих ровно
из четырех элементов.
1.8.2. Пусть п — положительное целое число, & к — такое
целое число, что 0 ^ к <С п. Доказать существование цикличе-
циклического аддитивного моноида Ап, h, такого, что Ап< k = (а) и па =
= ка. Если А' — любой циклический моноид, то либо А' — бес-
бесконечный моноид (в этом случае А' изоморфен аддитивному моно-
моноиду Z+ неотрицательных целых чисел), либо существует един-
единственная упорядоченная пара (п, к) и изоморфизм А' л; Ап> h.
Моноид Ап% k называется бициклическим моноидом.
1.8.3. Число неизоморфных конечных моноидов счетно, но
существует счетный моноид М с несчетным множеством неизоморф-
неизоморфных гомоморфных образов.
1.8.4. Если моноид М конечно порожден, то множество его
неизоморфных гомоморфных образов счетно.
1.8.5. Показать, что мультипликативный моноид N натураль-
натуральных чисел изоморфен прямой сумме счетного числа экземпляров
аддитивного моноида Z+ неотрицательных целых чисел.
1.8.6. Будет ли циклической группа Aut G, если группа G
циклическая?
1.8.7. Показать, что Aut (T/pZ) « Z/(p — 1) Z, где р — про-
простое число. Описать Aut (Z/raZ) для любого п ^ 0 из Z.
1.8.8. Найти условие на положительные целые числа пх, ...
. . ., «ft, необходимое и достаточное для того, чтобы прямое произ-
произведение циклических групп Zn., i = 1, . . ., к, было циклической
группой.
1.8.9. Если {-STJigj — семейство моноидов и / S /, то суще-
существует точная последовательность
о-* П
i?I-
Установить изоморфизм
П
?7
1.8.10. Прямая сумма семейства групп является нормальной
подгруппой их прямого произведения.
1.8.11. (а) Пусть {Xt | i 6 /} — семейство подмоноидов моно-
моноида G. Показать, что гомоморфизм прямой суммы h : 2 © Xi~*~
гт ieI
->• G, такой, что h :(..., xt, . . .) *—*¦ П xt (конечное произведе-
ние), существует тогда и только тогда, когда выполнено следую-
следующее условие перестановочности: каждый элемент Xi из Xt пере-
перестановочен с каждым элементом х, из Xj при i Ф j.
(b) Пусть {Yt \ i 6 1} — семейство моноидов. Показать, что
G « У, ф Yt тогда и только тогда, когда G содержит семейство
{Xj | i ^ /} подмоноидов, удовлетворяющее следующим четырем
условиям: A) существует семейство {fi)i^i изоморфизмов
ft: Yi « Xt; B) выполнено условие перестановочности (а); C) G
как моноид порождается множеством U Xi, D) для каждого i (z I
i?j
пересечение множества Xt с подмоноидом, порожденным множе-
множеством U Xj, является единичным моноидом. [Из этого следует,
что каждый подмоноид Xt содержит единичный элемент моно-
моноида G.]
В этом случае каждый элемент х 6 G обладает единственным
представлением в виде конечного произведения х = [J xit где
xt ? Xt. Кроме того, если G — группа, то отсюда следует, что
Xt — нормальная подгруппа для каждого I 6 /.

1.8.12. Пусть {Xt | г ? /} — семейство групп и 1 = {] Хи
Показать, что если мощность множества / отлична от 1, то
в Map (X) имеются идемпотенты, отличные от тождественного
отображения. Если / s /, то существует идемпотентное отобра-
отображение
называемое проектирующим идемпотентом. В случае произволь-
произвольной абелевой группы X обсудить, в какой мере верно, что каждый
идемпотент е из End X является проектирующим идемпотентом.
{Указание: показать, что группа X изоморфна произведению
(im e) X (ker е)Л
1.8.13. Показать, что группа @,/Ж изоморфна прямой сумме
j>-rpynn Zv<*> по одной для каждого простого числа. Показать, что
каждая конечная подгруппа в Q/Z является циклической.
Три теоремы об изоморфизме
Имеются три основные теоремы об изоморфизме. Первая ана-
аналогична формуле {А1КI{В1К) = А/В для обычных числовых
дробей. Вторая является законом сокращения для групп:
(АВIВ
АВI(А Л В) = А1(А Л В),
где А и В — подгруппы данной группы, а АВ — групповое про-
произведение {ab | а ? А, Ъ 6 В}. Если группа некоммутативна, то
предполагается, что подгруппа В нормальна. Если группа ком-
коммутативна, то используется аддитивная форма записи: (А -+- В)IB «
« А/А {] В. Третья теорема об изоморфизме — лемма Цассен-
хауза 1.12 (или лемма о бабочке).
1.9. Теорема о соответствии. Пусть f: А —*¦ А' — гомоморфное
наложение групп. Пусть В — подгруппа группы А, и пусть f (В) —
= {/ (Ь) | Ъ ? В}. Тогда соответствие В *-*¦ f (В) является биек-
биективным отображением множества подгрупп группы А, содержа-
содержащих ядро гомоморфизма /, на множество подгрупп группы А'.
Пусть В и К — нормальные подгруппы группы А и В э К. Тогда
отображение
А/К
аК\
А/В
аВ
является гомоморфизмом групп с ядром {аК | a (j В), и следующая
диаграмма с точными строками, где а — канонический гомомор-
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория 103
физм, коммутативна:
-»> о
ы.
-в к-
\
-+А/В
Доказательство. Пусть S — множество подгрупп
группы А, содержащих ker /, S' — множество подгрупп группы
А', и пусть
Напомним, что если Y — подмножество в А', то f~lY =
= {х 6 А | / (х) ? У}. Ясно, что ff'lY = Y для любой подгруппы
Y в А'. Поэтому отображение /' сюръективно. Более того,
f-lfB S В для всех В ? S. Но если Ь 6 В, то / (Ь) = / (f^fb).
Если К = ker /, то это доказывает, что f-xfbK = ЪК s В. Таким
образом, f~lfb 6 В для любого b ? В. Следовательно, f~lfB = В,
что доказывает инъективность отображения /'. Коммутативность
диаграммы очевидна. ?
1.10. Первая теорема Нётер об изоморфизме. Если f : A ->-
->¦ А' — гомоморфное наложение групп и N — нормальная под-
подгруппа группы А, содержащая ядро гомоморфизма f, mo существует
единственный изоморфизм f : AIN —*- A'/f(N), называемый изо-
изоморфизмом, индуцированным наложением /, который
дополняет диаграмму
CL
МП-
¦ A'/fiN)
где а и а' — канонические гомоморфизмы. В частности, / инду-
индуцирует изоморфизм A/kev f*A'. Таким образом множество
факторгрупп совпадает с множеством классов изоморфных ооъек-
тов из класса гомоморфных образов группы А.

104 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа
^ ' ьилъцо и модуль
с т в о.
коммутативная диаграмма
W
где а' — канонический гомоморфизм. Во-вторых, поскольку в силу
теоремы о соответствии N — f~xf (N), то следующие утверждения
эквивалентны: A) а ? ker g; B) / (а) ? / (iV); C) а ? N. Итак,
ker g = N. В силу теоремы о соответствии, имеет место комму-
коммутативная диаграмма
A/N
f
-л/т
где /' — изоморфизм, а а — канонический гомоморфизм. Эти две
диаграммы вместе и дают нужную нам диаграмму. ?
Первая теорема Нётер об изоморфизме для точных категорий
появится в гл. 5, стр. 330.
1.11. Следствие. Пусть А Э В Э N — группы, а В и N —
нормальные подгруппы в А. Тогда существует изоморфизм А/В ->
—>¦ (A/N)/(B/N), дополняющий диаграмму
v
'I
-* B/N ¦
\
- A/N-
Л
А/В -
О
О
вЛ0Жение> а а' Р' У' а - канонические гомо-
Вторая теорема Нётер об изоморфизме. Если А и В — под-
подгруппы группы G, причем В нормальна, то АВ =- {аЪ\а?А,
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и'категория
105
Ь 6 В) — подгруппа группы G и А [} В — нормальная подгруппа
е А. Отображение А -> АВ/В, индуцированное каноническим отоб-
отображением G-+GIB, называется каноническим, а его ядро равно
А П В. Таким образом,
А1(А[\В)-+АВ1В
является изоморфизмом, и существует коммутативная диаграмма
с точными строками и столбцами
о —*лпв
-* А
о-
1'
¦АВ-
4ЛЛПЮ -*-0
АВ-'В—*0
где i, j, I и k —гомоморфные вложения, а а и р — канонические
гомоморфизмы.
Доказательство. Каждый элемент в АВ/В имеет вид
аВ для некоторого а б А. Поэтому отображение А -> АВ/В, состоя-
состоящее в переходе к смежному классу, является гомоморфным нало-
наложением, а его ядро совпадает с А р| В. Тогда аналогично опреде-
определяемое отображение А/(А (") В) -*¦ АВ/В дополняет диаграмму. ?
Мнемоническое правило-диаграмма (Хассе):
АПВ
Или, иначе, АВ/В «D П АВ)/(А (]В) =А/(А fl В), т. е. АВ/В
изоморфна пересечению «числителя» и «знаменателя» дроби АВ/В
с Л. В аддитивных обозначениях:
(А + В)/В « (А П (А + В))/(А Л В).
1.12. Лемма о бабочке для групп (Цассенхауз). Пусть а, А, Ъ
и В — подгруппы группы G, причем а — нормальная подгруппа
в А, а Ъ — нормальная подгруппа в В. Тогда a (A f| Ъ) — нор-

106 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
малъная подгруппа группы a (A f\ В) и
или
в аддитивных
a(Af\B) _
а(АПЬ) ~
а+(А[]Ь) '
обозначениях.
. Ь(А(]В)
' Ь(а(]В) '
~ Ь+(а[)В)
Доказательство. Вторая теорема об изоморфизме для ¦
аддитивных групп утверждает, что С!(С f| D) л; (С + D)ID для '
любых подгруппы С и нормальной подгруппы D. Пусть С — A f|
(] В ж D = а. Тогда СГ1^=яП^'И поэтому
(i)
Симметрично,
(И)
.Ь+(А(\В)
Если обозначить через /i гомоморфизм h : A f| В
-{- (А 0 В)Iа, определенный изоморфизмом (i), то
(в
,(a+(A
\ а
Af]B
(iii)
¦Симметрично,
(iv)
Так как левая часть в (iii) совпадает с левой частью в (iv), то это
доказывает лемму. ?
А[\В
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
107
В силу первой теоремы об изоморфизме, утверждающей, что ;
AIN « / (A)/f (N), имеем ;
!
!
В силу следствия к этой теореме, утверждающего, что *
(М1КI(ЫК) л* MIL, правая часть может быть заменена на (а +
+ (А Г) В)I{а + (Ь П А)). Следовательно,
Название леммы о бабочке происходит от диаграммы Хассе:
а+(АГ\В)
аПВ
АГ\Ь
Упражнения к гл. 1
1. Каждая группа, порядок которой не превосходит 5, абеле-
ва. Сколько неабелевых групп порядка 6? Показать, что суще-
существуют всего две неабелевы группы порядка 8. А именно группа
кватернионов
Н = {±1; ±i; ±j; ±k},
где +х = х, +1х = х, —1х = х, (—х) (—х) = х2 для всех х € Н и
i» = f = k* = -1,
ii — —ji — k,
ki = —ik = /,
jk = —kj = i,
и диэдральная группа
D = {aty \i = 0, 1, 2, 3, / = 0, 1},
где a0 = b° = a°b° = 1 (единичный элемент) и
a4 = Ь2 = 4>
йдЬ-i = a3.

108
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
(Так как b'1 = b, то последнее условие равносильно равенству*
ЪаЬ = й3. См. упр. 17.)
2. Каждая группа порядка 15 циклическая. |
3. Если индекс подгруппы Н конечной группы — простое!
число, которое меньше любого другого простого делителя числа*!
\ G |, то Н — нормальная подгруппа. Указать группу G, содер-
содержащую подгруппу Н простого индекса, не являющуюся нор-
нормальной.
4. Показать, что группа Sn содержит элементы порядка п.
5. Группа порядка р2, где р — простое число, абелева; при
этом она либо циклическая, либо является прямой суммой двух
циклических групп.
6. Если р, q — простые числа и р
порядка pq циклическая.
*7 х). Доказать теорему Жордана
(См. 17.7 и 17.9.4.)
*8. Для группы G определим по индукции ряд коммутантов
q, то абелева группа
Гёльдера для групп.
где (?<П) — коммутант группы С™-1' для каждого натурального чис-
числа п (называемый п-ж производной группой группы G). Группа G
называется разрешимой, если п-я производная подгруппа для
некоторого п совпадает с единичной подгруппой. Показать, что
любая подгруппа или факторгруппа разрешимой группы разре-
разрешима. Если конечная группа G не является разрешимой, то она
содержит неединичную нормальную подгруппу N, которая совпа-
совпадает со своей производной группой. Неединичная разрешимая
группа содержит неединичную абелеву нормальную подгруппу.
Показать, что группа G разрешима тогда и только тогда, когда
существует конечная последовательность
G = iV0 э • • . э Nt э Ni+1 э ... 2iV(=« (единица группы), ?
такая, что Ni+1 — нормальная подгруппа в Nt, а группа
Ni/Ni+г — абелева, i = 0, 1, . . ., t — 1. Доказать, что симмет-
г) Звездочкой отмечены упражнения следующих категорий: A) представ-
представляющие несколько больший интерес, чем обычные упражнения; B) представ-
представляющие большую трудность; C) результаты, примыкающие к изложенным и
имеющиеся в литературе. Последняя категория приведена в большей мере
для удобства ссылок, чем в качестве упражнений, например, теоремы Силова .
(и их доказательства, намеченные в упр. 15) и теоремы Бэра — Шпекера, ¦
упр. 21. Отсутствие звездочки, однако, не означает отрицание какого-либо
из этих свойств!
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
109
рические группы S3 и ?4 разрешимы. Известно, что при п > 4
группа Sn не является разрешимой.
*9. Пусть G — группа. Определим возрастающий центральный
ряд:
Z0 = esZ1g ... = Zi «= Zt+1 «= . . .,
где Zt — нормальная подгруппа в Zi+1 и Zi+JZi — центр группы
i, i = 0, 1, 2, .... Определим убывающий центральный ряд:
No = G э N, = ... 2
Nl+1 => . . . ,
где Nt — нормальная подгруппа в G и Ni+1 = [G, Nt] для каждого
i. Группа G называется нильпотентной, если выполнено одно
из следующих эквивалентных условий: (a) Zn = G для некоторого
п > 0; (b) Nt = е для некоторого t > 0. (Если группа G нильпо-
тентна, то п = t.) Каждая подгруппа или факторгруппа нильпо-
нильпотентной группы нильпотентна. Показать, что группа S3 не являет-
является нильпотентной. Вывести отсюда, что группа G может содержать
нильпотентную нормальную подгруппу N. такую, что фактор-
факторгруппа GIN нильпотентна, но не быть нильпотентной. Каждая
нильпотентная группа разрешима. Каждая /ьгруппа нильпо-
нильпотентна. (Ср. упр. 15).
10. Взаимно однозначное отображение / двумерной плоскости
Р = К X HI на себя называется изометрией, если / сохраняет
расстояние PXP2 между любыми двумя точками Рг и Р2- Если Pt =
= (xt, у,), ? = 1, 2, то
Перенос на плоскости Р, определяемый двумя действительными
числами h и А, является отображением (х, у) *-* (х + h, у + к).
Показать, что множество Т переносов плоскости Р является нор-
нормальной подгруппой группы G всех изометрий плоскости Р. Пока-
Показать, что GIT содержит нормальную подгруппу индекса 2, кото-
которая изоморфна группе вращений плоскости Р вокруг некоторой
фиксированной точки. Вывести из этого, что группа G разрешима.
11. Перестановка / 6 Sn называется r-циклом (или циклом
длины г), если существуют числа ц, . . ., iT, такие, что / (xs) = Xj
для чисел /, не совпадающих ни с одним из ik, и
/ (Xit) = Xi2, f (ач2) = xi3, ..., f {xiri) = xlr, f (xir) = Xit.
Порядок г-цикла (как элемента группы S n) равен г. Транспози-
Транспозицией называется 2-цикл. Показать, что каждый цикл является
произведением транспозиций. Будем говорить, что две переста-
перестановки / и g не пересекаются, если каждый элемент, перемещае-
перемещаемый одной, остается неподвижным при действии другой (т. е.

Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
/ (х) ф х =#> g (x) = x и g (у) ф у =Ф / (у) = у). Если переста-fi
новки / и g не пересекаются, то /#¦ = gf. Доказать, что при и ^ 2'
каждая перестановка в Sn является произведением непересекаю-
непересекающихся циклов длины ^2 и что это разложение единственно с точ- \
ностью до порядка, в котором записаны циклы. Вывести из этого,!
что порядок каждого элемента группы Sn не превосходит п и что!
экспонента группы Sn равна п. Кроме того, поскольку каждый
цикл — произведение транспозиций, то каждая перестановка,
является произведением транспозиций.
12. Моноид S называется простым J), если каждый гомомор-
гомоморфизм/ : S -*¦ S', не являющийся константой (точнее, отличный от
iconst), будет вложением. Если S — группа, то это равносильно
отсутствию нормальных делителей, отличных от единичной под-
подгруппы и всей группы. Доказать, что абелева группа G проста
тогда и только тогда, когда она изоморфна циклической группе
Жр из р элементов, где р — простое число 2).
13. Рассмотрим многочлен от п переменных #:, . . ., хп
A (xlt . . ., хп) = [] (xt — Xj).
Перестановка / в симметрической группе Sn, действующей на мно-
множестве {х1: . . ., хп}, называется четной или нечетной в соот-
соответствии с тем, будет строчка (/х1; . . ., fxn) давать А (хь . . ., хп)
с плюсом или с минусом. Доказать, что множество Ап четных
подстановок — нормальная подгруппа в Sn индекса 2 (называемая
знакопеременной группой). (Известно, что Ап—простая группа,
за исключением случая п = 4. См. Холл [62, стр. 73] или Ротман
[65, стр. 45] 3). Это утверждение остается верным и для подгруп-
подгруппы А а симметрической группы 5Ш над со, состоящей из всех пере-
перестановок, которые можно записать в виде конечного произведе-
произведения четоного числа транспозиций.)
14. Показать, что число различных вложений группы Sn
в Sn+i равно п + 1. Показать, что Sn можно вложить в нормаль-
нормальную подгруппу группы ?„+2 [на самом деле Sn вкладывается
в Ап+2].
15. Пусть группа G действует на конечном множестве X,
и Ох — орбита элемента х. Стабилизатор элемента х, Stab x,—
*) Чаще под простым моноидом понимают моноид, который не содержит
нетривиальных идеалов.— Прим. ред.
2) Фейт и Томпсон [63] доказали, что каждая конечная группа нечетного
порядка разрешима. По теореме Жордана — Гёльдера (см. упр. 7) из этого
следует, что порядок каждой конечной некоммутативной простой группы
является четным числом.— Прим. перев.
3) См. также монографии А. Г. Куроша [67] и М. И. Каргаполова,
Ю. И. Мерзлякова [76].— Прим. перев.
I
это группа всех элементов g из G, оставляющих элемент х непод-
неподвижным. Тогда
| Ох | = | G : Stab x.\.
Поэтому | Ох | — делитель порядка группы G. Представим X
как разбиение на орбиты:
Таким образом, xt принадлежит одной и только одной орбите, и
t
|Х|= 2 \G : Stab ж; I.
Это равенство называется формулой разложения на орбиты*
Пусть fix g — множество всех элементов х, неподвижных при
действии g. Тогда
Пусть теперь G — произвольная группа, и пусть она действует
на множестве (?по формуле g-h = ghg'1. Эта операция называется
сопряжением, а орбита элемента группы G при этом действии —
классом сопряженных элементов. В этом случае Stab x — нор-
нормализатор элемента х (централизатор элемента х), а формула раз-
разложения на орбиты превращается в равенство
(*)
Элемент х лежит в центре группы G тогда и только тогда, когда его
нормализатор совпадает с G. Таким образом, если элементы
{xt}i<t занумерованы так, что 4S (G) = {xt | i = 1, . . ., с}, где
с — | % (?)|, то формула (*) означает, что
Использовать эту формулу для доказательства следующего утвер-
утверждения: центр неединичной конечной р-группы отличен от едини-
единицы. Вывести отсюда, что конечная р-группа нильпотентна. Дока-
Доказать, что конечная абелева группа G для любого простого дели-
делителя р числа | G | содержит элемент порядка р. Используя это
замечание и формулу (*), доказать, что каждая конечная группа
содержит подгруппу порядка рп для любого делителя вида рп
числа | G |, где р — простое число. Назовем максимальную р-под-

112 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
группу группы G силовской р-подгруплой. Доказать теоремы
Силова:
(S-1) Каждая р-подгруппа конечной группы содержится в неко-
некоторой силовской />-подгруппе.
(S-2) Любые две силовские р-подгруппы (для одного и того же
р) сопряжены.
(S-3). Число силовских />-подгрупп для простого числа р
сравнимо с 1 по модулю р.
16. Доказать, что конечная группа G изоморфна прямому про-
произведению своих силовских ^-подгрупп (где р пробегает множе-
множество всех простых делителей числа \'G |) тогда и только тогда,
когда каждая силовская /ьподгруппа группы G нормальна.
17. Пусть Р — правильный многоугольник с вершинами >
Хх, . . ., хп. Диэдралышя группа D.in определяется как группа^
симметрии многоугольника Р, т. е. как группа перестановок
многоугольника Р, которые являются «жесткими» движениями*
действительной плоскости, переводящими вершины в вершины.
Пусть S — вращение по часовой стрелке, переводящее каждую
вершину в соседнюю, а Г — отражение относительно оси сим-
симметрии, проходящей через хг и центр многоугольника Р. Пока-
Показать, что
5" = 1, Тг = 1 и TST = S-1.
Применить теоремы Силова и доказать, что каждая группа поряд-
порядка 2р, где р — нечетное простое число, либо циклическая, либо
диэдральная.
18. Если G — группа порядка pq, где р, q — простые числа
и р > q, то G — либо циклическая группа, либо порождается
элементами s и t, такими, что
SP = 1, f = 1 И t^St = /,
где г ф 1 (mod р) и r'sl (mod р). Вывести из этого, что G —
разрешимая группа, а ее силовская р-подгруппа нормальна *).
19. Конечная неабелева группа G гамильтонова (т. е. каждая
подгруппа в ней нормальна) тогда и только тогда, когда
G ~ Н X А X Zg,
где Н — группа кватернионов, а А — абелева группа, в которой
порядок любого элемента нечетен (сомножитель 22 может отсут-
ствовать).
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
ИЗ
г) Теорема Бернсайда утверждает, что любая группа порядка paqb, где
р и q — простые числа, разрешима (см. М. Холл [62, стр. 317, теорема 16.8.7],
а также монографии А. Г. Куроша [67] и М. И. Каргаполова, Ю. И. Мерзля-
кова [76]).
20. Функция Эйлера сопоставляет каждому целому числу п
число ф (тг) чисел, меньших чем п и взаимно простых с п. Кроме
того, если а < п и а взаимно просто с 7г,,то существует наимень-
наименьшее число е (экспонента числа а по mod n), такое, что ае =
== 1 (mod n). Если эта экспонента равна ф (п), то а называется
примитивным корнем степени п. Показать, что группа Aut Zn
является циклической тогда и только тогда, когда п обладает
примитивным корнем. Показать, что это возможно тогда и только
тогда, когда п равно 2, 4, рп или 2рп, где р — нечетное простое
число.
*21. Показать, что прямое произведение ТУ не является сво-
свободной абелевой группой (Бэр). Доказать, что любая счетная
подгруппа в Жа является свободной абелевой группой (Шпекер
[50]). Более того, в группе ограниченных функций со -*- 7L любая
подгруппа мощности -^ х свободна. [См. т. 2, гл. 20, замечание
перед теоремой 20.23, по поводу дальнейших ссылок.]
22. Подгруппа А называется (прямым) сомножителем группы
G, если существует подгруппа В в G, такая, что прямая сумма
включений А -у G я В ^>- G есть изоморфизм. Показать, что необ-
необходимым и достаточным условием для этого является следующее:
А и В — нормальные подгруппы в G, такие, что G = АВ =
= {аЪ \ а ? А, Ъ ? В) и А {] В = {е}. В этом случае аЪ = Ъа
для всех а ? А и Ъ ? В. Если группа G аддитивна, то будем гово-
говорить, что А — (прямое) слагаемое группы G.
23. Гомоморфизм f: А -у В называется ретракцией, если
существует гомоморфизм g: В -*- А, такой, что fg = 1В. Двой-
Двойственным образом определяется коретракция. (Заметим, что отоб-
отображение g в определении ретракции является ко ретракцией.)
Ретракция оказывается гомоморфным наложением, а коретрак-
коретракция — гомоморфным вложением. Говорят, что гомоморфное нало-
наложение /: А —>¦ В расщепляется, если оно является ретракцией.
Двойственным образом определяется расщепляемость для гомо-
гомоморфных вложений. Доказать, что в категории MONOIDS кано-
канонические инъекции Xt -V © Xt являются коретракциями, а ка-
*1
[J Xt
ii
ретракциями. Показать, что
ионические проекции
для каждой ретракции (коретракции) f: A -*¦ В в mod-Z ядро
ker / (соотв. im /) является прямым слагаемым в А (соотв. в В),
и обратно.
24. Показать, что для любой абелевой группы В существует
делимая абелева группа D и гомоморфное вложение 0 ->- В -> D.
Абелева группа инъективна, если выполнено одно из следующих
эквивалентных условий:
8 к. Фейс

114 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
(D-1) образ каждого гомоморфного вложения А -+ В ъ кате-
категории mod-Z является прямым слагаемым;
(D-2) если последовательность 0 ->¦ К -*¦ L точна в mod-Z, то
последовательность hA (L) -у hA (К) -*- О точна в mod-Z (это рав-
равносильно тому, что отображение hA (L) -*• hA (К) сюръективно);
(D-3) каждое гомоморфное вложение /: А -+¦ В в категории
mod-Z является коретракцией.
Доказать эквивалентность условий (D-1), (D-2) и (D-3). Пока-
Показать, что абелева группа инъективна тогда и только тогда, когда
она делима. [Указание: использовать гомоморфное вложение груп-
группы А в делимую группу.] Введем отношение порядка в mod-Z: A^
-^ В тогда и только тогда, когда существует вложение групп
А —>• В. Доказать, что в категории делимых абелевых групп это
отношение порядка индуцирует порядок, для которого А ^ В,
В ^С А =^> А я* В. Показать, что каждая абелева группа А
может быть вложена в инъективную абелеву группу D, мини-
минимальную в классе всех делимых групп/)', для которых существует
вложение А —у D'. Доказать, что любые две минимальные инъек-
тивные абелевы группы D и D', в которые вкладывается группа А,
изоморфны, причем изоморфизм D —>¦ D' может быть выбран так,
что диаграмма
А
D
коммутативна. В этом случае назовем вложение А -*- D инъек-
инъективной оболочкой1). Показать, что включения I_pn ->ZP°° и Z -*-
-*- Q, являются инъективными оболочками. Показать, что любая
инъективная абелева группа является прямой суммой групп, изо-
изоморфных либо Q,, либо Zp°° для подходящих простых чисел р.
25. Абелева группа А проективна, если А удовлетворяет любо-
любому из трех условий, дуальных к (D-1), (D-2) и (D-3) из упражне-
упражнения 24, например, если ядро каждого наложения В -*- А—прямое
слагаемое. Показать, что абелева группа А проективна тогда
и только тогда, когда она свободна, т. е. изоморфна группе Z^
для некоторого множества S. Показать, что любая подгруппа В
свободной абелевой группы А та Z'S) — свободная абелева груп-
группа, изоморфная группе Z(S<) для некоторого множества S', тако-
*) Под инъективной оболочкой группы А часто понимают и саму группу
D.— Прим. ред.
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория
115
го. что | S'\ <^ \ S |. Понятие, дуальное понятию инъективной
оболочки в mod-Z, называется проективным накрытием (предмет
рассмотрения гл. 22). Показать, что абелева группа А в mod-Z
обладает проективным накрытием тогда и только тогда, когда
она — свободная абелева группа.
26. Рассмотреть аналог понятия инъективной группы для слу-
случая полной подкатегории mod-Zn категории mod-Z, состоящей
из всех периодических групп, экспонента которых делит число п
[т. е. заменяя mod-Z на mod-Zn в (D-1)]. Показать, что кольцо Zn
самоинъективно (т. е. что Zn — инъективный объект в mod-Zn).
Бели п = mm' и т, т' взаимно просты, то показать, что Zn я»
де Zm © Zm>. Это сводит задачу к случаю п = ре, где р — про-
простое число. Используя самоинъективность кольца Zn, доказать,
что любая ограниченная абелева группа изоморфна прямой сумме
циклических групп. Если п = рЦ . . . pett — разложение п в про-
произведение степеней различных простых чисел pt, . . ., pt, то пока-
показать, что любая группа из mod-Zn изоморфна прямой сумме цикли-
циклических рггрупп, ? = 1, - • ., t. (Свести рассмотрение к случаю
t = 1, показав, что любая ограниченная группа является прямой
суммой р-групп. Любая группа А экспоненты ре содержит под-
подгруппу В, изоморфную группе Zpe; при этом В — прямое сла-
слагаемое в А, поскольку Жре, а следовательно и В,— инъективный
объект в mod-Zpe. Пусть А = Zpe © А'. Завершить доказатель-
доказательство проведением индукции по числу образующих группы А,
если группа А конечна. С другой стороны, показать, что прямая
сумма инъективных объектов в mod-Zn инъективна. Если В —
подгруппа в А, которая максимальна относительно следующего
свойства: В — прямая сумма групп, изоморфных циклическим
группам Zpi для подходящих i ^ е, то В — прямое слагаемое
в А. Пусть А = В © С. Но если С Ф 0, то в С найдется прямое
слагаемое, изоморфное Zpi, что противоречит максимальности
подгруппы В. Итак, А = В, что доказывает существование тре-
требуемого прямого разложения.)
27. Основная теорема об абелевых группах. Любая конечно
порожденная абелева группа G является прямой суммой цикли-
циклических групп, при этом периодическая часть Т (G) выделяется
прямым слагаемым. Следовательно,
G « (G/T (G)) © Т (G).
[Указание: любая конечно порожденная абелева группа без
кручения — свободная абелева группа. Показать сначала, что
такая группа может быть вложена в Zn, а затем рассмотреть дей-
действие на ней проекций Zn -> Z.]
8*

116 7. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Ссылки
Артин [55], [69], Артин - Несбит - Тролл [44], Басе [73], Бирк-1
гоф [52], [67], Букур - Деляну [72], Ван-дер-Варден [48], Вейдь
1о ]^/ВиЛанД [64]' ГоРенштейн [68], Джанс [64], Джекобсон [51J
5d, Ь4], Капланский [69Ь], Картан — Эйленберг [60], Клиффорд —!
Престон [72], Кон [66а], Курош [67], [73], Ленг [68],Маклейн [66]
171], Биркгоф — Маклейн [67], Митчелл [65], Норскотт [60] ПоЫ
трягин [72], Ротман [65], Фейт [67], Фрейд [64] Фукс [74 77] I
Херстейн [64], Холл [62], Цассенхауз [58], Шевалле [561. ' ?3
Глава 2
ПРОИЗВЕДЕНИЕ И КОПРОИЗВЕДЕНИЕ
Понятия, вводимые и исследуемые в этой главе, настолько
фундаментальны, что вряд ли в дальнейшем возможно обойтись
без какого-либо из них.
Функтор Т: С ~<- D называется унивалентным (соотв. пол-
полным), если для любой пары X, Y объектов категории С он инду-
индуцирует вложение (наложение)
Могс (X, Y) -+ MorD (TX, TY).
Объект А 6 С называется образующим, если основной кова-
риантный функтор
hA : С ~ SETS
унивалентен. Объект А категории mod-Z является образующим
в том и только том случае, если каждый объект этой категории
является гомоморфным образом прямой суммы некоторого количе-
количества экземпляров объекта А или, что то же самое, если А имеет
прямое слагаемое, изоморфное группе Z. Объект А называют
проективным, если функтор hA со значениями в категории мно-
множеств сохраняет эпиморфизмы; объект А категории mod-Z про-
ективен в том и только том случае, когда он является свободной
абелевой группой. (См. упр. 2.6.) Дуальным к понятию проектив-
проективного объекта является понятие инъективного объекта. Абелева
группа А инъективна тогда и только тогда, когда она делима
B.6.5).
Для каждой конкретной категории С определяется функтор
свободы
F: SETS ~ С.
Когда этот функтор существует, то он унивалентен, если только
категория С содержит объекты сколь угодно большой мощности.
(В терминологии гл. 5 функтор свободы является сопряженным
слева к забывающему функтору С ~>- SETS.) Мы построим функтор
F для трех категорий: mod-Z, MONOIDS и GROUPS.
В этой главе произведение и копроизведение определяются
в произвольных категориях и реализуются в нескольких конкрет-
конкретных категориях. Во всех рассмотренных случаях произведение
совпадает с прямым произведением. Копроизведение в категории
множеств совпадает со свободным объединением, а в категории
mod- Z— с прямой суммой. В категории mod-Z копроизведение
любого семейства гомоморфизмов {Z-уА}, индексированного
множеством S, есть прямая сумма Z<s> -*- А, т. е. семейство вло-
¦

118
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 2. Произведение и копроизведение
119
жений {Z -*- Z<S)} x) является копроизведением в категории
mod-Z, называемым свободной абелевой группой над множеством
S. Аналогично, в категории групп существует семейство {Z -*....
-v F (S)} гомоморфных вложений в свободную группу F (S) над;
множеством S, которое также является копроизведением. ;>
Определяются функции Йонеды. Они демонстрируют естествен-]
ность функторов представления.
Нуль
Объект Т называется левым нулем (а также начальным шп
инициальным объектом) категории С, если для каждого объекта -.
существует единственный морфизм Т -*- X. Объект F называется
правым нулем (или конечным, или финальным объектом), если он
обладает дуальным свойством, т. е. если для каждого объекта X,
существует единственный морфизм X —>¦ F. Категория может
иметь несколько левых (или правых) нулей, но если объекты Т\
и Т» являются левыми нулями, то произведение единственных
морфизмов Тх -*¦ Т2 и 7*2 ""*" ^i должно совпадать с единственным1
морфизмом Тх —>¦ 7*1, т. е. является тождественным морфизмом
In- По симметрии произведение морфизмов Т2 -у 2\ и 2\ -> Tt
совпадает с 1у2. Это доказывает следующее предложение.
2.1. Предложение и определение. Если Тг и Т2 — левые нули\
категории С, то существует единственная эквивалентность Т± —*•]
->¦ Т2- Объект категории С называется нулевым объектом,!
если он является левым и правым нулем одновременно. Нулевой*
объект единствен с точностью до эквивалентности и обозначается
символом 0.
Формула X = 0 означает, что X — нулевой объект, но из того,
что X = 0 и У — 0, не следует, что X = У. (Возможно, лучше
было бы писать I ж 0 и 7 « 0, в этом случае X « У.) Говорят,
что морфизм /: X -> У пропускается через объект О, если имеется
коммутативная диаграмма
В этом случае говорят также, что морфизм / разлагается на (про-
(пропускается через) морфизмы X -> Q и О -*- Y или что эти мор-
*) Имеется в виду объект Z*s) вместе с этим семейством вложений.—
Прим. ред.
физмы составляют /. В частности, в категории групп морфизм /:
X —*- Y пропускается через каноническое наложение X —>• XIК
в том и только том случае, когда ядро морфизма / содержит К.
Морфизм называется нулевым, если он пропускается через
нулевой объект. Хотя множества Могс (X, Y) и Могс (X', Y')
не имеют общих элементов, если {X, Y) Ф {X', Y'), мы обозна-
обозначаем нулевой морфизм в каждом из них одним и тем же симво-
символом 0. [Таким образом, / = 0 в Могс {X, Y) и /' = 0 в Могс {X', Y')
не означает непременно, что
Мог с (X, У) П Могс (X1, У) Ф 0.}
Если / = 0, то fg = 0 и hf = 0 для любых морфизмов hug, таких,
что fg и hf определены. В категории групп для каждой группы G
ее единичная подгруппа, т. е. единственная подгруппа, состоящая
в точности из одного элемента е, является нулевым объектом, а го-
гомоморфизм / : Н -у G является нулевым морфизмом тогда и толь-
только тогда, когда im / = е. Таким образом, нулевой морфизм отобра-
отображает все в единичный элемент. В категории моноидов это невер-
неверно, так как если / — идемпотент, не совпадающий с единичным
элементом е моноида S, и если (е) и (/) означают моноиды, состоя-
состоящие из е и / соответственно, то (е) г» (/). Значит, существуют
по крайней мере два различных морфизма (е) —>- S, т. е. (е) не яв-
является левым нулем.
Сохранение свойств
Пусть Р — свойство категорий, определенное для морфизмов,
объектов или диаграмм объектов и морфизмов. Тогда говорят, что
функтор Т: С —> D сохраняет свойство Р, если для любого мор-
морфизма, объекта или диаграммы Q из того, что О обладает свойством
Р, следует, что Т (Q) также им обладает. Очевидно, каждый функ-
функтор, ковариантный или контравариантный, сохраняет эквивалент-
эквивалентности. (Если бы это было не так, то от одного из двух понятий —
эквивалентности или функтора — пришлось бы отказаться.) Изуче-
Изучение любой алгебраической системы неизбежно приводит к вопро-
вопросу о том, какие свойства сохраняются заданными классами мор-
морфизмов или функторов, и к двойственной проблеме — какие клас-
классы морфизмов или функторов сохраняют данный класс свойств.
(Этот принцип был впервые сформулирован Клейном для гео-
геометрии и известен как Эрлангенская программа Клейна. В этой
программе в качестве морфизмов выступали элементы групп,
содержащих группу движений плоскости.) Свойств^ категорий
называется категорным, если оно сохраняется при категорных
эквивалентностях (см. 2.4).
Функтор Т: С ~* D дуализирует свойство Р, если дуальный
функтор Т^. С* ~> D (или, что то же самое, Т* : С -— D*) сохра-

120
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модул
Гл. 2. Проигведепие и копроизведение
121
няет это свойство. Будем говорить также, что Т превращает Р
в Р*. Функтор Т: С ~> D отражает свойство Р, если для любого
объекта, морфизма или диаграммы Q из того, что Т (Q) обладает
свойством Р, следует, что им обладает и Q. Функтор, сохраняю-
сохраняющий нулевые объекты, называется функтором, сохраняющим нуль.
Так как нулевой объект А характеризуется тем, что 1Л — нуле-
нулевой морфизм, то любой функтор, сохраняющий нуль, сохраняет
также и нулевые морфизмы.
Ретракции
Морфизм /: А ->¦ В называют ретракцией, если существует
морфизм g: В —*¦ А, такой, что fg — \в. Дуальное свойство опре-
определяет коретракцию. Таким образом, указанный выше морфизм g:
В-*-А является коретракцией, так как g* : A* -*-В* есть ретрак-
ретракция в дуальной категории. Из предложения 1 теоретико-множе-
теоретико-множественного введения вытекает, что наложение (вложение) в катего-
категории множеств является ретракцией (коретракцией). В любой
категории С морфизм / есть эквивалентность в том и только том
случае, когда он является ретракцией и коретракцией одновре-
одновременно. Если в точной последовательности
0-> А -+ В-+А' -+0
морфизм В -у А' является ретракцией, то говорят, что эта после-
последовательность расщепляется и называют ее расщепляющейся
последовательностью. Ретракции и коретракции сохраняются
ковариантными функторами и дуализируются контравариантны-
ми. Таким образом, быть ретракцией — категорное свойство.
Если А —>¦ В — коретракция, то А называют ретрактом объекта В.
Та же терминология используется и для функторов: функтор
Т: А ~* В — ретракция, если существуют функтор S: В ~» А
и эквивалентность функторов TS да 1В. Функтор Т: А ~* В назы-
называется представительным, если для любого объекта Y категории В
существуют объект X категории А и эквивалентность Y да ТХ
в категории В. Таким образом, любая ретракция Т: А ~* В
представительна, так как из того, что Г5да1в, следует, что
Y да TSY.
Полные и унивалентные функторы
Функтор Т: С --* D называется унивалентным (соотв. полным
или вполне унивалентным), если для любых объектов X, Y кате-
категории С индуцированное отображение
| Мою (X,Y)^ MorD (TX, TY)
инъективно (соотв. сюръективно или биективно). Любая коре-
коретракция Т: А ~* В унивалентна, так как если функтор S: В ~* А
таков, что ST да 1А, и если Tfx = Tf2 для каких-либо морфизмов
/?: X -> Y, i = 1, 2, то из коммутативности диаграммы
MX)
STY
где h: lc -> ST — естественная эквивалентность функторов, сле-
следует, что h (Y) ft = h (Y) /2 и, значит, /j. = /a, поскольку h (Y) —
эквивалентность. (Отсюда легко получается, что коретракция Т
отражает каждое свойство, которое можно определить как предел
или копредел в терминологии гл. 5; в частности, Т отражает точ-
точные последовательности, ядра и коядра, произведения и копроиз-
ведения.) Аналогичное рассуждение показывает, что ретракция
S: D ~* С индуцирует наложения
MorD {TX, TY) -+ Могс {STX, STY),
а значит, и наложения
MorD (TX, TY) -»- Могс (X, Y) г).
Отметим, что любой унивалентный функтор отражает ненуле-
ненулевые морфизмы и, следовательно, ненулевые объекты. [Будет пока-
показано, что для абелевых категорий унивалентный функтор отра-
отражает неточные последовательности (см. 3.49, а также гл. 5).]
Унивалентный функтор С ~* D, инъективный на объектах,
называют вложением категорий. Если С — подкатегория катего-
категории D, то функтор включения оказывается вложением категорий,
обозначаемым через 1с- (Тождественный функтор 1д обозначается
просто 1Л.) Подкатегория С категории D полна тогда и только
тогда, когда функтор включения является полным.
2.2. Критерий эквивалентности. Ковариантяный функтор
Т: А ~* В является эквивалентностью в том и только том слу-
случае, когда он вполне унивалентен и представителен.
Доказательство. Любая ретракция представительна,
любая коретракция унивалентна, а эквивалентность Т: А ~* В
х) Если ф ? More (STX, STY) и h: TS -> iD — эквивалентность, то, по-
положив y=h(TY)T (ф) (h(TX))-1, получим h (TY) T (q>) = -фА (ТХ),
причемг|) EMorD(TX, TY). Поэтому h (TY)- TS Сф) = i|>fc (TX) = h (TY) T (<p),
откуда TS (i()) = T (ф) и в силу доказанного выше <р = S (ty).— Прим. ред.

122 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 2. Произведение и копроизведение
123
полна, поскольку, как только что было отмечено, функтор
Г: В -<¦ А индуцирует наложения
Шотв(ТХ, TY)-+MorA(T-1TX, T-XTY).
(На самом деле это показывает, что функтор 71-1 полон.)
Обратно, пусть Т: А ~> В — вполне унивалентный и предста-
представительный ковариантный функтор. Тогда каждому У ? Obj В
соответствуют объект SY ? Obj А и эквивалентность h (Y): Y ->¦
-v T (SY). Это определяет ковариантный функтор
{В ~ В
Y ь-* TSY (на объектах)
fv-*h(Y')fh(Y)~1 (на морфизмах /: Г->У).
Диаграмма
TSY
Л (Г)
показывает, что h: 1В ->¦ U — естественная эквивалентность функ-
функторов, т. е. что U да 1В.
Поскольку Т индуцирует биективное отображение
MorA(X, Y)-+MorB(TX, TY),
то для любой пары X, У ? Obj А на множестве Мог (ТХ, TY)
определено отображение Т'1. Определим теперь ковариантный
функтсф
А
SY (объекты)
T-W(f) (морфизмы),
который, очевидно, удовлетворяет условию
TS = С/да 1В.
Таким образом, чтобы доказать, что Т — эквивалентность,гнам
осталось только проверить, что SТ да 1А. Пусть X, X' ? Obj A
и предположим, что в категории В существует эквивалентность
t: ТХ да ТХ'.
Это означает, что существует морфизм t': ТХ' ->- ГХ, такой, что
('( = lri и й' = 1Н.. Так как Т биективен на морфизмах, мож-
но применить Г:
Г (*') Г (t) = Г (*'*) = Г'1 AТХ) - 1Х.
Аналогично, T~l (t) Т~х {?) = 1Х-. Таким образом, из того, что
t — эквивалентность, следует, что
Г-1 (t) : X « X'
— также эквивалентность. Далее, для каждого У 6 Obj В мы име-
имеем эквивалентность h (У): У да Г5У. Если Y = ТХ, положим
g (X) = T~lh (TX).
Тогда
? (X): X да ЗГХ
является эквивалентностью, так как
h (ТХ): ТХ да TS (ТХ).
Для краткости положим k = h (ТХ), h' = h (ТХ'), g — g (X)
и g' = g (X'). Тогда
g = Г-% и g' = T-W.
Вычислим теперь функтор 5Г на морфизме /: Х->Г. Исполь-
Используя приведенную выше диаграмму, мы можем вычислить TS от
Tf: тх -v ГХ'; именно:
2\SB7) = ?7 (Г/) =h'<Tf.h-1
или
(TSTf)h =h'-Tf,
пли
Г (STf-T^h) = Г (T-lh' -f),
или
STf-T-1h = T'lh'-f,
или
Таким образом, мы установили равенство
и, значит, коммутативность диаграммы
X

124 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
откуда следует, что g: \A ~* ST — естественная эквивалентность
функторов, т. е.
5Г«1Д. П
2.3. Предложение (Йонеда [54]).
2.3.1. Пусть С — категория, А 6 Obj С и Т: С ~ SETS —
ковариантный функтор. Тогда функция Йонеды
A)
ТА
определенная на множестве [hA, Т] всех естественных преобразо-
преобразований hA -*- Т, биективна и естественна как по А, так и по Т.
2.3.2. Функтор
С°р ~ Funct (С, SETS)
вполне унивалентен, он называется функтором представле-
представления.
2.3.3. Если А и В — объекты категории С, то функция Йонеды
[hA, hB] -> Могс (В, А)
биективна. Основные ковариантные функторы hA и hB со значе-
значениями в категории множеств естественно эквивалентны в том
и только том случае, когда объекты А и В эквивалентны в кате-
категории С.
Доказательство. Определим функцию
у': ТА -> [hA, T],
положив
B) у' (х) (В) (/) = Т (/) (х),
где В Е Obj С, х е ТА и / 6 hA (В) = Могс (А, В). Таким образом,
у' (х): hA —*- Т — естественное преобразование функторов, кото-
которое каждому В 6 Obj С ставит в соответствие функцию
у' (х) (В): hA (В) -> ТВ,
отображающую / ?hA (В) в Т (/) (х). Тот факт, что у' (х) действи-
действительно является естественным преобразованием, вытекает из того,
что функтор Т ковариантен и, значит, Т (gf) = T (g)-T (/). Для
любого естественного преобразования т) ? [hA, T\ имеем комму-
Гл. 2. Произведение и копроизведение
125
тативную диаграмму
I.
ТА
h*{f)
hA(B)=Mor{A,B)
Tlf)
Для 1Д ? hA (А), идя по часовой стрелке, получим
C) Т (/) г, (А) AД) = Т (/) (у (г])) = у' (у (Л) (В)) (/),
а идя против часовой стрелки —
D) 4(B)kA(f)(lA) =т)(Д)(/).
Следовательно, из коммутативности этой диаграммы вытекает, что
У'У Сп) = Л Для любого ц 6 [hA, T], т. е. что у'у — тождествен-
тождественная функция. Если х 6 ТА, то
У (У' (*)) = У' (*) (А) Aа) - Т AА) (я) = х,
т. е. функция уу' тоже тождественна. Это доказывает, как и тре-
требовалось, биективность функции у. [Если С — аддитивная кате-
категория и Т —аддитивный функтор (см. стр. 195—197), то опреде-
определение B) функции у' показывает, что у' (х) (В) — групповой гомо-
гомоморфизм. Так как, ввиду A), очевидно, что у — групповой гомо-
гомоморфизм, то из предыдущего результата вытекает, что у — изо-
изоморфизм. (Позже это будет использовано.)]
Чтобы показать, что функция у естественна по А, мы должны
установить, что для любого морфизма /: А ->¦ В диаграмма
-ТА
П.
тв
Ув.т
коммутативна. Начиная с ц ? [hA, T] и идя по часовой стрелке, мы
получим Т (/) т} (A) (lA)i a иДя против часовой стрелки ув т(т]') =
= т) (В) (/), где r\'(X){g) = r\(X)(gf) Для каждого gEhB(X). Зна-
чит, коммутативность диаграммы II следует из коммутативности
диаграммы I, повлекшей за собой равенство выражений C) и D).
Чтобы доказать естественность функции у по Г, нам нужно
проверить, что для любого естественного преобразования функто-

126 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
ров р: Т -*¦ S диаграмма
III
коммутативна. Для т] 6 \h , Т], идя по часовой стрелке, мы полу-
получаем р (А) (г\ (А) Aд)), а идя против часовой стрелки —
(рт)) (А) Aд). В силу определения произведения естественных пре-
преобразований эти выражения равны, т. е. диаграмма III коммута-
коммутативна. Это доказывает 2.3.1.
Для любого объекта X категории С положим теперь Т = hx.
В силу доказанного в первой части (уАш г) существует и опреде-
определяется правилом B). Введем обозначение у'х, а — (уА, т)'1- Тогда
функтор представления определяется следующим образом:
Сор ~ Funct (С, SETS)
Гл. 2. Произведение и копроизведение
127
A* >-*hA (на объектах)
Ух, a (t) (на морфизмах t: X ¦
Таким образом, для любого В 6 Obj С имеем
iA(B)-
¦ А).
hx(B)
Если s: Y -v X, то
Н (s*t*) = Я ((ts)*) = y'Y, a (ts) = hY (ts) = hY (s) hx (t) =
т. е. функтор представления ковариантен. Из доказательства 2.3.1
вытекает, что он вполне унивалентен. Этим доказано 2.3.2, а 2.3.3
является следствием 2.3.1. ?
Образующие и кообразующие
Объект А категории С называется образующим, если основной
ковариантный функтор hA = Morc (А, ) со значениями в кате-
категории множеств унивалентен. Объект А называется кообразую-
щим категории С, если А* — образующий объект категории С*
или, что эквивалентно, если дуальный функтор
(hA)* = h *: С*-SETS
унивалентен. Таким образом, объект А является образующим
(кообразующим) в том и только том случае, когда для любой пары
различных морфизмов /;: X->-Y (i = d, 2) категории С суще-
существует морфизм g: А -*- X (соотв. g:Y-*~ А), такой, что fig Ф
Ф1ч? (соотв. gfx Ф gf2). Справедливость этого утверждения совер-
совершенно очевидна, если заметить, что
hA (/) (g) =fg vhA (/) (g) = gf
для всех морфизмов /, g категории С, для которых определено
произведение fg или gf. Короче говоря, объект А является обра-
образующим, если для любого объекта X существует достаточно много
морфизмов A -v X для того, чтобы отличить друг от друга разные
морфизмы X ->¦ Y для любого объекта Y. Для кообразующего
справедливо дуальное утверждение. В категории множеств эти
понятия тривиальны, так как любое непустое множество является
образующим и любое множество, содержащее не менее двух эле-
элементов,— кообразующим. Если объект А является образующим
(кообразующим) и В -*¦ А — эпиморфизм (соотв. А ->- В — моно-
мономорфизм), то В — тоже образующий (кообразующий).
2.4. Предложение и определение. Пусть С — категория. Сле-
Следующие свойства в каждой из групп разд. I или II категории и
эквивалентны между собой. Они служат определениями терминов,
входящих в п. (а).
I. Категорные свойства морфизма /.
A) (а) / — мономорфизм.
(b) Для всех объектов А категории С, т. е. для всех
функторов hA = Могс (А, ) отображение hA(f) инъективно.
(c) fgx = fg2=^- g\ = #2 для любых морфизмов gx, g2 катего-
категории С.
(А) На f можно сокращать слева.
B) (а) / — эпиморфизм.
(b) Для всех А 6 Obj С отображение hA (/) сюръективно;
здесь hA = Могс ( , А).
(c) gj = gj =>gi = §2-
(А) На f можно сокращать справа.
C) (а) / — собственный мономорфизм.
(Ъ) f — мономорфизм, не являющийся эквивалентностью.
D) (а) / < g.
(b) fug — мономорфизмы, такие, что f — gh для некото-
некоторого морфизма h.
E) Дуализация свойств C) и D) для эпиморфизмов.
II. Категорные свойства объекта А.
A) (а) Объект А проективен.
(Ь) Основной ковариантный функтор h со значениями
в категории множеств сохраняет эпиморфизмы.

128 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
(с) Если /: X -*- Y — эпиморфизм, то отображение
hA (/): hA (X) -»¦ hA (Y) сюръективно.
B) (а) Объект А инъективен.
(b) Основной контравариантный функтор hA со значениями
в категории множеств превращает мономорфизмы в эпиморфизмы.
(c) Если f: X -*-Y — мономорфизм, то отображение
hA (/): hA (Y) -v hA (X) сюръективно.
C) (a) A — образующий категории С.
(b) Функтор hA унивалентен.
(c) Если gf. X -*-Y (i = 1,2) — различные морфизмы кате-
категории С, то существует морфизм /: А —>¦ X, такой, что g-J ф
D) (а) А — кообразующий категории С.
(b) Функтор hA унивалентен.
(c) Дуализация свойства 3 (с). ?
2.5. Примеры.
2.5.1. В категории множеств понятия наложения, ретракции
и эпиморфизма совпадают (см. предложение 1 теоретико-множе-
теоретико-множественного введения). Двойственно, в категории множеств совпа-
совпадают понятия вложения, коретракции и мономорфизма. Это объяс-
объясняет эквивалентность свойств (Ь) и (с) в каждой из групп A) и B)
разд. II.
2.5.2. В любой категории ретракция является эпиморфизмом,
а коретракция — мономорфизмом.
2.5.3. В категории моноидов вложение Z —>¦ Q. мультиплика-
мультипликативного моноида Z в группу Q, является эпиморфизмом, но не
сюръективно. Это следует из того, что любое отображение /: О, -*¦
—>¦ А определяется его значениями на Z, так как
f (аЬ-1) =* f (a) f (Ь)-1
для любых а, Ъ ? Z, таких, что Ъ фО.
Вообще, пусть /: В ->¦ А — морфизм в категории моноидов,
причем А является группой и как группа порождается образом
морфизма /. Тогда / — эпиморфизм в категории моноидов.
2.5.4. Вложение любого всюду плотного подпространства топо-
топологического пространства является эпиморфизмом в категории С,
объектами которой служат топологические пространства, а мор-
физмами — непрерывные функции; таково, например, включение
О,в R как топологических пространств.
2.5.5. В категории mod-Z гомоморфизм /: А -> В является
эпиморфизмом (соотв. мономорфизмом) тогда и только тогда, когда
/ —Тналожение (соотв. вложение).
Тот факт, что наложения (соотв. вложения) являются эпимор-
эпиморфизмами (соотв. мономорфизмами), следует из примера 1. Обратно,
пусть /: А ->¦ В не является наложением, т. е. im / = С фВ.
Гл. 2. Произведение и копроизеедение
129
Если g: В —>- В/С —• канонический гомоморфизм, то g фО, в то
время как gf: В —>- В/С — нулевой гомоморфизм. Тогда
gf = о = о/,
г. е. на / нельзя сократить справа, значит, / — не эпиморфизм.
Доказательство для мономорфизмов дуально.
2.5.6. Если / и g — эпиморфизмы (мономорфизмы) в категории
С и произведение fg определено, то fg — также эпиморфизм (моно-
(мономорфизм). Очевидно, что на fg можно сокращать справа (слева).
2.5.7. Унивалентный функтор F: А ~* В является мономор-
мономорфизмом в категории категорий, а полный функтор — эпимор-
эпиморфизмом.
2.5.8. Порядковой категорией называют такую категорию
С, в которой Могс (А, В) либо пусто, либо состоит из единствен-
единственного морфизма А-*-В, причем, если А фВ, Могс (В, А) пу-
пусто. В последнем случае пишут А ^.В. Отношение А ^ В
является отношением порядка. Обратно, любое частично упоря-
упорядоченное множество, очевидно, можно рассматривать как поряд-
порядковую категорию. В порядковой категории каждый морфизм
является и эпиморфизмом, и мономорфизмом, но, разумеется,
А —v В — эквивалентность тогда и только тогда, когда А = В.
Таким образом, морфизм, являющийся эпиморфизмом и мономор-
мономорфизмом одновременно, не обязан быть эквивалентностью. Кроме
того, если С — подкатегория категории SETS, объектами которой
служат все множества, а морфизмами — включения, то морфизм
А —> В будет эпиморфизмом, который является наложением тогда
и только тогда, когда А = В. Таким образом, в конкретных кате-
категориях эпиморфизмы быть наложениями не обязаны. ?
2.6. Упражнения.
2.6.1. Пусть D — категория всех делимых абелевых групп,
U — (мультипликативная) группа всех корней из единицы, и пусть
отображение /: U —>- U определяется так: / (и) = и2 для любого
и d U. Показать, что / — мономорфизм, не являющийся вложе-
вложением.
2.6.2. Показать, что в категории моноидов включение аддитив-
аддитивных моноидов Z+ -*- Z — эпиморфизм, не являющийся наложе-
наложением.
2.6.3. Если А — инъективный объект категории С, то любой
мономорфизм А —>- В является коретракцией. Двойственное
утверждение справедливо для проективного объекта.
*2.6.4. В категории mod-Z для любого множества / прямая
сумма Т^\ а значит, и любая подгруппа группы Z(J) проективны
(см. гл. 1, упр. 25).
*2.6.5. (а) Абелева группа G является образующим категории
mod-Z тогда и только тогда, когда G та 7L ® А для некоторой
9 к. Фейс

130 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 2. Произведение и копроизведение
131
группы A 6 mod-Z. (Это утверждение, высказанное во введении
к настоящей главе, об образующих в категории mod-Z.)
(b) Абелева группа А инъективна в категории mod-Z тогда
и только тогда, когда она делима. Показать, что <Q,/Z является
инъективным кообразующим категории mod-Z.
(c) Показать, что объект Е категории mod-Z является кооб-
кообразующим в том и только том случае, когда <Q,/Z вкладывается в Е.
2.6.6. Для любой абелевой группы А группа Л'=Нот (A, <Q7Z)j
называется группой характеров группы А. Функтор бихарактеров ]
определяется как функтор
mod-Z
4Q,/Z
mod-Z
¦A",
являющийся произведением функтора
зом, А" = (А')'. Преобразование
mod-Z
A^
на себя. Таким обра-',
А",
такое, что пА (a) f — f (а) для любых а
Кроме того, пА: А -*¦ А" для любого А
морфизмом, a
A, f ? А', естественно.
? mod-Z является моно-]
— расщепляющимся эпиморфизмом. Убедиться, что каждая ко-
конечная абелева группа А изоморфна своей группе характеров А'.
[Указание: каждая конечная абелева группа А есть прямая сумма
р-групп (гл. 1, упр. 25). Пусть А есть р-группа порядка рп. Пока-
Показать, что А' является /з-группой порядка <р™. Тогда | А" | ^
<! | А1 | sC | А |. Но А вкладывается в А", значит, \ А | = \ А' \
И Т. Д.]
*2.6.7. В категории групп мономорфизмы являются вложе-
вложениями, так как мономорфизм должен иметь нулевое ядро. Пока-
Показать, что эпиморфизмы являются наложениями.
2.6.8. Исследовать все понятия, введенные в этой главе, для
порядковой категории С, а также для категории множеств.
Функтор свободы
Пусть С — конкретная категория. Для произвольного множе-
множества S рассмотрим категорию (S, С), объектами которой являются
отображения / : S -+¦ А, где А — объект категории С. Морфизмы
категории E, С) определяются как такие морфизмы А -*¦ В кате-
гории С, что для данных объектов S —>- А и S
(S, С) диаграмма
В категории
коммутативна. Произведение морфизмов определяется естественным
образом. Левый пуль fs: S ->- F (S) категории (S, С) называется
свободным объектом категории С над множеством S. Из един-
единственности левого нуля в категории вытекает, что если Ft (S)
и F2 (S) — два объекта категории С, свободные над S, то суще-
существует единственная эквивалентность F± (S) —>- F2 (S) в категории
С, для которой диаграмма
FAS)
коммутативна.
Функтор свободы
F-
SETS ~ С
S^F(S)
определяется как ковариантный функтор, переводящий каждое
множество S в объект F (S) категории С, свободный над S, а каж-
каждое отображение h : S —>- Т множеств в единственный морфизм
F(h):F{S)-+F(T),
определенный свободным объектом /s: S ->- F (S) и условием
F Qi) is = fTh. Это определение предполагает существование сво-
свободных объектов для каждого множества S.
2.7. Предложение о функторе свободы. Пусть С — кате-
категория, для которой функтор свободы F: SETS ~* С существует.
9*

132 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
2.1 Л. Тогда для любого ординального числа а функтор F инду~
цирует унивалентный функтор на подкатегории категории SETS,
состоящей из всех множеств мощности sC на, в том и только в то
случае, когда С содержит объект мощности, не меньшей чем ,ча
В частности, fs'.S^-F {S) является вложением в том и только \
том случае, когда \ S | ^ | X \ для некоторого объекта X кате- \
гории С. Таким образом, функтор F: SETS ~* С унивалентен, •
если категория С содержит объекты сколь угодно большой мощ~\
ности.
2.7.2. Если диаграмма
Гл. 2. Произведение и копроиэведение
133
где Н — объект категории С и jh(S) — отображение включения^
множеств, коммутативна, то Н = F (S), т. е. fs: S -> F EI
не пропускается чере? вложение Н —>- F (S) нч для какого объекта!
H^F(S).
Доказательство 2.7.1. Покажем сначала, что отобра-|
жение fs: S ->- F (S) является вложением тогда и только тогда,)
когда мощность множества S меньше мощности некоторого объекта !
X категории С. В одну сторону это утверждение очевидно, так]
как если fs — вложение, то | S | ^ | F (S) |. Пусть категория С\
содержит объект X мощности J> | S |. Тогда если h: S —>- X -
вложение, то существует морфизм t: F (S) ->¦ X, такой, что tfs =
= h. Из того что h — вложение, следует, что /s — вложение.
Пусть теперь категория С содержит объект мощности, не мень-!
шей чем яа, a S и Т —¦ множества мощности ^ ^а. Пусть, далее,
hx, h2: S ->- Т — такие отображения, что F (hj) = F (fo2). Тогда ;
/А = F (К) fs = F iK) fs = frK-
Так как /г — вложение, то hx = h2.
Если же категория С не содержит объектов мощности ^ к(
а Т — множество мощности ха, то /г: Т -v F (Т) по доказан-!
ному не может быть вложением. Значит, существуют такие различ- ;
ные отображения hu h2: S ->¦ Т, что /А — /т^а- При этом, оче-
очевидно, можно считать, что | S \ ^ ча. По определению свобод-
свободного объекта существует единственный морфизм g: F (S) —*¦ F (Т),
такой, что gfs = /r^i- Значит, F (hj) = F (h2), т. е. функтор F
не унивалентен. Этим доказано 2.7.1.
Доказательство 2.7.2. Существует морфизм
g- F (S) -> Я, такой, что gfs = h. Поэтому
•F(S) x •¦f1(|S') in 4 *
1н gls = ih "¦ = js-
Отсюда следует, что iHS)g = 1f(S), поскольку lf(S) — единствен-
единственный морфизм p: F (S)-+ F (S), для которого pf8 = fs- Следова-
Следовательно, отображение jh(S> сюръективно и, значит, Я = F (S). О
2.8. Теорема. Если S — непустое множество, то существует
свободный моноид
где F {S) — множество всех конечных последовательностей (а15 . . .
. . ., ап) элементов множества S, (s) — последовательность длины 1,
умножение в F (S) определяется условием
(аг, . . ., ап) (&J., . . ., Ът) = (%, . . ., ап, Ъъ . . ., Ът),
а пустая последовательность Е служит единицей моноида F (S).
Отображение fs '. S -*¦ F (S) инъективно, и im fs порождает F (S).
Доказательство. Если h : S
жества S в моноид Н, то
Я — отображение мно-
мноg
H
(ai, ..., ап) t—*- h (а4) ... h (an)
единственный гомоморфизм, такой, что диаграмма
fs * F($)
коммутативна. Последнее утверждение есть следствие предложе-
предложения 2.7.2 о функторе свободы. ?
2.9. Теорема о свободной группе. Для каждого множества S
существует свободная группа fs: S -v F (S), называемая свобод-
свободной группой над множеством S. Отображение fs инъек-
инъективно, и im fB порождает группу F(S). Ранг свободной группы
F (S) определяется х) как мощность множества S.
Ранг единствен. См. упр. 8 в конце главы.

134 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство (Шевалле [56, стр. 40]). Пусть S' —
множество, эквивалентное множеству S при отображении ai-^-a',
и /0: S]JS' ->- М — свободный моноид над свободным объедине-
объединением множеств S и S'. Обозначим через X множество всех гомо-]
морфных наложений pQ: M-*-Q, где Q — моноид, такой, что]
для всех а в S элемент pQ (/0 (а)) обратим в Q и]
A) (pQ (/о (и)) = Pq (/о («'))•
Так как М — подполугруппа, порожденная образом отображения
/0 (теорема 2.8) (это означает, что каждый элемент из М представ-
представляется в виде произведения элементов из im /0), то каждый эле-
элемент из Q представляется в виде произведения элементов из образа
отображения pqf0. Из условия A) тогда следует, что Q — группа.
Но тогда и прямое произведение Р = [J Q также является груп-
пой. Обозначим через g: M -*- Р произведение семейства эпимор-
эпиморфизмов {pq}, через] Wq — каноническую проекцию Р -+- Q, где
Pq пробегает множество X, через F — образ отображения g и через
/ : S —>- F — отображение, индуцированное ограничением отобра-j
жения gf0 на S. Так как элемент
Щ (g (/о (а)) = Pq (/о (а))
является обратным для элемента, полученного заменой а на а'\
в этом выражении, то
е (/о («')) = е (/о (а))-1-
Поскольку образ отображения / = gf0 порождает F, то это
показывает, что F — тоже группа. Пусть Н — любая группа
hs: S^-*- H — отображение. Тогда s можно продолжить до отобра-
отображения v S II S' -*¦ Н, положив
Гл. 2. Произведение и копроизведение
135
s0 (a1) = s0 (a)-1 = s (a)
-i
Значит, существует единственный гомоморфизм h: М ->- Н сво-
свободного над iSjJ 5' моноида М, такой, что hf0 = s0. Обозначим
через Q образ гомоморфизма h, и пусть pQ: М' -*- Q — индуциро-
индуцированное наложение моноидов. Так как s0 (a') = s0 (a) для любого
а ? S, то
Pq (/о (a')) = Pq (/о С»))'1
и, значит, Q ? X. Кроме того, если t означает ограничение отобра-
отображения \qWq на F, то t: F ->- Н — единственный такой гомомор-
гомоморфизм, что tf = s. ?
2.10. Теорема о свободной абелевой группе. Функтор свободы
{ SETS
\ S >-* Z(S)
существует, и для каждого t ? S функция fs (t) переводит t в 1,
а .? ф1 — в 0.
Доказательство. Если /: S —>¦ А — отображение мно-
множества S в абелеву группу А, то существует единственный гомо-
гомоморфизм g: Z(S) -*- А, такой, что gfs = /¦ ?
2.11. Предложение и определение.
2.11.1. Если S — множество образующих группы (моноида)
М, то существует единственное наложение g: F (S) —>- М свобод-
свободной группы (свободного моноида) F (S), такое, что диаграмма
где S -v M — естественное вложение, коммутативна.
2.11.2. Если М — группа и ядро К наложения g является нор-
нормальной подгруппой, порожденной множеством {/;}ге/! то говс-
рят, что М — группа с системой образующих S и опре-
определяющими соотношениями {гг = l}jgi. Если в этом
случае обозначить через А множество определяющих соотношений,
то пару (S \ А) называют представлением группы Мг).
Если К = 1, то говорят, что группа М свободно порождена
множеством S. ?
2.12. Упражнения.
2.12.1. Циклическая группа порядка 6 имеет образующие х, у
и определяющие соотношения х2 = 1, г/3 = 1 и х~1у~1ху = 1.
Группа с представлением {х, у \ х2 = 1, у9 = 1} бесконечна.
2.12.2. Найти множество образующих свободной абелевой
группы над множеством S.
2.12.3. Найти множество образующих и определяющих со-
соотношений для группы диэдра Dn, группы кватернионов и каж-
каждой из групп, встречавшихся в тексте до сих пор (см. упр. к гл. 1).
х) В теории групп термин «представление» обычно употребляется в дру-
другом смысле.— Прим. ред.

136
Ч. I. Полугруппа, моноид, г
группа, категория, кольцо
2.12.4. Бесконечная циклическая группа является образую-
образующим категории групп. Найти образующие для других категорий.
2.12.5. Группа М изоморфна свободной группе над множеством
S в том и только том случае, когда М — группа, свободно порож-
порожденная множеством S.
2.12.6. (Группа слов.) Пусть S — множество, которое для
удобства мы будем считать конечным: S = {аг, . . ., ап}, a S' ==
= {а[, . . ., а'п} — множество, не пересекающееся с S. Через X
обозначим их свободное объединение, X = ?]J^'- Образуем мно-
множество F всех слов (в алфавите X), т. е. всех конечных последова-
последовательностей ЬгЪг . . . bt, где bt ? X, i = 1, . . ., t. Пустое слово
обозначим через 1. Слово называется редуцированным, если ни ра-
равенство &;+! = Ъ\ ни bt — bi+i не выполняется ни для какой пары
рядом стоящих букв bibi+v Два слова wx и w2 будем называть род-
родственными, если они имеют следующий вид: wx равно uuju'j v или
и a'jujV, a.w2 = uv для некоторого / и слов u,v ?F. Наконец, два слова
и и v будем называть эквивалентными, если существует последова-
последовательность слов wx, .... wm, такая, что wt, wi+1 — родственные слова
для любого i ^С. т — 1, wx = u, a wm = v. Доказать, что класс
[w] слов, эквивалентных данному слову w, содержит в точности
одно редуцированное слово. Доказать, что множество W классов
эквивалентных слов образует группу относительно операции
[wx] [iv2] = [w^o^]. Группа ^называется группой слов в алфави-
алфавите S. Доказать, что отображение S —>- W, переводящее s в [s] для
любого s ? S, является свободной группой над множеством S.
Другие упражнения о свободных группах приведены в конце
этой главы.
Произведение и копроизведение
Пусть С — любая категория, / — подмножество универсума,
{At}i?iy— семейство объектов категории С. Рассмотрим катего-
категорию, объектами которой являются семейства {/>,-: А —>- Af}i^r
морфизмов категории С. Морфизм из {рг: А ->- Ajj^i
в {/,-: В ->- Ai}i?i определим как такой морфизм h: A ->- В кате-
категории С, для которого fth = pi для всех i ? /. Правый нуль
{Pii A -*- Ai}i?i этой категории называется произведением семей-
семейства {pt: А -*¦ Ai}i?i морфизмов и обозначается через [Г At.
Когда мы пишем J| Ai, то имеется в виду семейство морфизмов
гт i?I
pt: \\ At-*- Ai1). Морфизм pt называется i-й проекцией про-
изведения. Иногда мы будем называть произведением семейства
it и семейство морфизмов pt.— Прим.
Гл. 2. Произведение и. копроизведение
137
ред.
Точнее, имеется в виду объект
объектов {Аг \ i ? 1} объект [J Аи имея в виду фиксированные
проекции. Для любого семейства морфизмов {/г: В —> At) един-
единственный морфизм h: В -> [I At, такой, что ft = p(h, обозна-
г?1
чается через [| /г и называется произведением морфизмов {fi}i?i-
Если At = А для всех i ? /, то такое произведение \\ At будем
обозначать через А1. Тогда морфизм f1: В -> А1 означает произ-
произведение морфизмов [Т ft, где через /г: В -> А для всех i обозна-
i?I
чен один и тот же морфизм /. В этом случае определяется диаго-
диагональный морфизм
А: А-+А1
как такой морфизм, что р;Д = 1Д для всех i ? / х). Диагональный
морфизм является мономорфизмом.
Копроизведение] jj At определяется дуально. Если копроиз-
г?1
ведение существует и {g,: At-+B}—любое семейство морфиз-
морфизмов, то единственный морфизм k: \\ At-+- В, такой, что kut = gt
г
для всех г2), называется копроизведением морфизмов {#;}.
Если A t =A для всех i g /, то копроизведение обозначается
через А , а копроизведение морфизмов \\ gt, где gt = g для
любого i 6 11— через g^: A ' —>- В. Дуально диагональному мор-
физму вводится кодиагональный морфизм V: АA) -> А, опреде-
определяемый как копроизведение 1д', т. е. Yut = 1А для всех i g /.
Кодиагональный морфизм является эпиморфизмом.
Произведение конечного семейства At, . . ., Ап обозначается
через
[J At или Ai х А2 X ... X Ап,
ii
в то время как
71
I] At или
Ап
означает копроизведение. В этом случае для морфизмов /г: В
~> At (i = 1, . . ., п) через
X
!) То есть Д = 1^. — Прим. ред.
2) Здесь u?: 4;-^-]J Аг.—Прим. ред.
г?1

138 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
будем обозначать произведение морфизмов, а для gt: At
(i = 1, . . ., п) через
(?,Ф ...©?„): Л© ...@4^В
их копроизведение (или прямую сумму). Если в первом случае
4; = Л и /; = / (i = 1, . . ., и), то Л" или А X ... X 4 будет
означать произведение; аналогично, А или 4 © . . . © А будет
означать копроизведение. Если /г- = / (? = 1, . . ., п), то f1 : В
-+Ап означает произведение морфизмов. Аналогично, gn: An ¦
•-*- 5 означает копроизведение морфизмов, когда gt = g (i = 1, ...
. . ., и). Термин конечное произведение (или копроизведение)
означает произведение (или копроизведение) конечного семей-
семейства морфизмов *).
/ X /-матрицей над множеством S называют отображение
/: I x J -*- S. Если положить / (i, j) = ftj, то (ftj) также будет
обозначать матрицу /. Таким образом, матрица есть просто эле-
элемент множества S х . Если S содержит два различных элемента О
и 1, то дельта Кронекера — матрица S: / X / —>- S, такая, что
8ц = 1 и бг/ = 0, если i
Гл. 2. Произведение и копроизведение
139
2.13. Предложение и определение. Пусть С — категория
с нулем.
2.13.1. Если {pt'. А —>¦ At} — произведение в категории С, то
Pi'. A-*-Ai —ретракция и существуют коретракции ut: At
-*- А, которые однозначно определяются соотношениями
PiUj = 8ijlA.
для любых i, j ? / 2).
2.13.2. Дуально, если {ut: At -*- А} — копроизведение, то ut —
коретракция и существуют однозначно определенные ретракции
Pi'. A ;-> At, такие, что
PiUj = 8ij\Ai
для любых i, j ? I.
В любом из этих случаев мы будем говорить, что А — произ-
произведение (копроизведение) с каноническими инъек-
ui pj
циями Ui и проекциями Pi, i ^ I, и что At —> А—^> Aj есть
представление объекта А в виде произведения
(копроизведения).
х) Пожалуй, нагляднее говорить о произведении (или копроизведении)
конечного семейства объектов.— Прим. ред.
2) Точнее,
{0? Могс (Aj, A^, если i ф j,
iA., если * = ;.
То же относится к п. 2.13.2. — Прим. ред.
Доказательство. Для каждого i ? / существует един-
единственный морфизм ut: Ai-*- А, такой, что для любого j ? I диа-
диаграмма
коммутативна. Так как ргиг = 1А., то pt (ut) является (ко)ре-
тракцией. Утверждение 2.13.2 доказывается двойственным обра-
образом. ?
2.14. Предложение о матрице. Пусть {Aj}j^j и {Вг}^1 —
семейства объектов категории С. Если f: ]J Aj -v [] Bt, то для
любых i 6 /, / 6 J морфизм
Ptfuji Aj->~ Bt,
определяемый инъекциями Uj объектов в копроизведение и проек-
проекциями pi произведения на объекты Bt, называется координат-
координатным морфизмом и представляет собой элемент множества
Morc [Aj,Bi), обозначаемый через /,;. Матрица (ftj), представляю-
представляющая собой отображение I X / ->- U Morc (Aj, Bt), есть эле-
мент декартова произведения
X Morc (Aj, Bt).
(i, ""-"
Отображение
Morc (П Aj, П Bt) -> X Morc (Aj, Bt)
i?J i?I <.i.3)?lxJ
биективно. Если С содержит нуль, то существует морфизм
такой, что 8 есть дельта Кронекера, т. е. 8ц = 1а. и 8tj = О,
когда i ф). Копроизведение называется бипроизведением,
если 8 — эквивалентность.
Доказательство. Два морфизма / и g равны в том
и только в том случае, когда для любых i, j ? / они имеют равные
координатные морфизмы fu = gtj. Остальное оставляем в каче-
качестве упражнения. ?

140 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Матрица / : / X / -> S в аддитивный моноид S называется
конечно-строчной, если подмножество множества /, состоящее
из всех i, для которых существует j, такое, что ftj =#=0, конечно,
т. е. если существует только конечное число i ? I, Для которых
(i, j) лежит в носителе отображения /. Конечно-столбцовая матрица
определяется дуально. (См. 2.17.4.)
Если S — моноид, то каждый элемент а 6 S определяет матрицу
diag (a): I X / -> S,
такую, что diag (a) = (a8tj), называемую диагональной матри-
матрицей. Отображение S-*- 51х1, переводящее a i—»- diag (а), является
гомоморфным вложением.
2.15. Предложение и определение. Пусть С — категория с ну-
нулем, {Ai}i?i — семейство объектов категории С и I = ТТ Ik —
свободное объединение множеств.
2.15.1. Для каждого к 6 К пусть {phj: Bh -*- Ajj^r — произ-
произ{th: В -*¦ Bh}h?K — тоже произведение. Тогда
Гл. 2. IIроизведение и копроизведение
141
ведение и { h}?K р
{Pkjtk- В -> Aj}ferk,h?K — произведение семейства {Аг}^1. Сле-
Следовательно, если [\ At — любое произведение этого семейства, та
существует эквивалентность
2.15.2. Двойственным образом,
2.15.3. Если J — подмножество множества I и если написан-
написанные ниже произведения существуют, то существует эпиморфизм
Рл, называемый канонической проекцией, такой, что
диаграмма
A)
коммутативна для каждого k ? J, где p'h и pk — проекции. Двой-
Двойственным образом, существует мономорфизм
называемый канонической инъекцией.
Доказательство 2.15.1. Если / € I, то / 6 1ъ. Для не-
некоторого к. Положим р) = pkytk. Если {/;: X -> 4;}igj— се-
семейство морфизмов, то для каждого к ? -К существует произведе-
произведение морфизмов Fh= \\ fj. Здесь Fk: X -+- Bh, и тогда существует
произведение морфизмов F == \\ Fh, причем F: Х-^-В. Ясно,
к?К
что {р\: В -»- At}i?i есть произведение П^*> а ^ = П/г*Так как
i?I i?I
любые два произведения одного и того же семейства эквива-
эквивалентны, то
что и требовалось.
Доказательство
и рй- U.A)->
Рл- IiAi-+ \] А} и q:
2.15.3.
— проекции. Тогда
/
Пусть ph: [\Ai^Ak
i?I
существуют морфизмы
такие, что р'ьРл = р\
и PkQ = Ph Для всех к ? J. Отсюда pkPjrf = p'k = рЫца и' сле"
довательно, pnq = lrjA . Таким образом, рп — ретракция и,
согласно 2.5.2, эпиморфизм. ?
2.16. Примеры произведений и копроиз-
ведений.
2.16.1. В категории множеств семейство проекции {
-*¦ ^i!i?/ декартова произведения семейства множеств {^"Jtgi
является произведением, а семейство инъекций [Xt —*- \ \ X^n^i
в свободное объединение множеств — копроизведением. (См. пред-
ложенияТ17|н 19 теоретико-множественного введения.)
2.16.2. В категории групп семейство проекций
Ц
прямого произведения семейства групп является произведением.
В категории групп существует и копроизведение {Хг -> [] Xt}.
(В математической литературе оно также называется свободным
произведением.) Если /s: S —>• F (S) — свободная группа над
множеством S, то {{fs (?)) ->- F (S)}tes — копроизведение. Здесь
ifs if)) — циклическая группа, порожденная элементом /s (t)
в группе F E). Таким образом, в другой терминологии, если
F — группа, свободно порожденная множеством S, то семейство
вложений {(t) ^- F}t?s — копроизведение в категории групп. [Это
часто выражают следующим образом: свободная группа есть копро-

142 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
изведение бесконечных циклических групп. Доказательство суще-
существования произвольных копроизведений аналогично доказатель-
доказательству существования произвольных свободных групп; его мы остав-
оставляем любознательному читателю (см. 2.17.1).]
2.16.3. В категории mod-Z семейство инъекций в прямую сум-
сумму является копроизведением.
2.17. Упражнения.
2.17.1. Если {5;}igi — семейство групп, где St порождается
множеством Xt с определяющими соотношениями A/, a F —
группа, порожденная множеством X = \\Xt с определяющими
Гл. 2. Произведение и копроизведение
143
= \\
соотношениями JJ А,, где знак ]} означает свободное объедине-
ние множеств, то для любого i ? / группа St = (Xt) есть подгруп-
подгруппа группы F, а семейство вложений {St —>- F}i^i является копро-
копроизведением в категории GROUPS. Более общим образом: когда
копроизведение «циклических» объектов (s), каждый из которых
порожден элементом s ? S, будет свободным над S объектом F (?)?
2.17.2. Показать, что Z — образующий в категории GROUPS.
2.17.3. Показать, что в категории моноидов существуют про-
произвольные копроизведения.
2.17.4. Если (fij)'- I X / -> S — матрица над аддитивной
S
полугруппой, то
сложения матриц
— аддитивная полугруппа
(fij) + (gfj) = (fij + gu).
относительно
(Это операция в прямом произведении SIxJ. Таким образом, Slxj
является абелевой полугруппой или группой, или моноидом, если
S такова.) Если S — к тому же мультипликативная полугруппаf
а К — другое множество, определим умножение матриц
положив (fu) (gu) = {htj) в том случае, когда сумма
определена или конечна [например, когда (ftj) — конечно-строч-
конечно-строчная или (gu) — конечно-столбцевая матрица]. При каких усло-
условиях на S множество SIxJ или множество конечно-строчных, или
конечно-столбцевых матриц является (полугруппой) моноидом
относительно матричного умножения?
2.17.5. (а) Для любых категорий С и L постоянный функтор-
С ~ Funct (L, С)
вполне унивалентен. Здесь с (А) (В) = А и с (А)^) = 1А для
любого объекта В ? L и любого морфизма / : В -> В' категории L.
(Ь) Если F — объект категории Fun6t (L, С), a F — объект
категории С, такой, что для каждого А существует вложение
Могс (A, F) -> [с (A), F], естественное по переменным А и F, то
f называется пределом функтора F. Объект Y категории С назы-
называется пределом, если Y « F для некоторого функтора F:L~>C.
Двойственным образом определяется копредел. Показать, что
в любой категории произведение [] Xt является пределом функ-
тора F: L ~> С, такого, что F (i) = Xt. Показать, что правый
нуль есть предел пустого функтора. Показать, что в категории
модулей mod-i? над произвольным кольцом R ядра и пересечения
являются пределами. Изучить функторы, «сохраняющие пределы»,
и доказать, что
hA: mod-i? — mod-Z
сохраняет пределы для каждого объекта А категории mod-i?.
(с) Показать, что в порядковой категории С для любого функ-
функтора F: L ~* С имеет место равенство
= inf
j l
Вывести отсюда, что в порядковой категории С пределы, пересе-
пересечения и произведения совпадают, т. е. что семейство морфизмов
является произведением в категории С.
За определениями сопряженных слева и справа функторов
в следующих упражнениях обратитесь к гл. 5.
2.17.6. Сопряженный справа (слева) к постоянному функтору
С ~* Funct (L, С) называется предельным функтором или функтором
предела
Hm: Funct (L, С) ~+ С
(соотв. копредельным функтором или функтором копредела).
Показать, что
lim: Funct (L, С) - С
существует в том и только том случае, когда для каждого функто-
функтора F: L ~* С существует F, и что тогда существует эквивалент-
эквивалентность lim F « F, естественная по F.

144 Ч. I. Полугрупиа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
*2.17.7. Доказать, что функтор предела
lim: Funct (L, С) ~ С
сохраняет пределы.
*2.17.8. Функтор свободы SETS ~* С сопряжен слева к забы-
забывающему функтору (или функтору включения) С ~* SETS.
*2.17.9. Функтор свободы SETS --¦ С сохраняет копределы,
в частности копроизведения [ср. 2.17.5(а) и 2.17.7].
Коммутирующие гомоморфизмы и строение
прямой суммы
Два гомоморфизма h: X —>- S и g: Y -> S в моноид S назы-
называются коммутирующими, если
h (х) g(y) = g (у) h (х)
для любых х ? X, у ? У. Семейство гомоморфизмов {ht: Xt —>-
-»- 5}j?j в моноид S называется коммутирующим, если для всех
i ф) гомоморфизмы h% и hj коммутируют. Таким образом, кано-
канонические инъекции
являются коммутирующими. Если каждое Хг — подмоноид моно-
моноида S и если вложения {Xt —*- S}i^i коммутируют, то {Хг}*?/
образуют множество коммутирующих подмоноидов. (Это ничего
не говорит об умножении в каждом из X,-, которое может быть
и некоммутативным.) Прямая сумма семейства {ht: Xt -*- S] ком-
коммутирующих гомоморфизмов определяется как единственное ото-
отображение
такое, что диаграмма
Гл. 2. Произведение и ко произведение
145
коммутативна для любого / g /.
2.18. Предложение. Если {Xt} — семейство коммутирующих
подмоноидов аддитивного моноида S, то множество 2j Xt, состоя-
щее из всех элементов моноида S, которые могут быть записаны
виде (конечной) суммы
s =
где t зависит от s, ij ? /, a Sj. ? X,. (/ = 1, . . ., t), является под-
моноидом моноида S, называемым суммой подмоноидов {Хг}{?г.
Если S — группа и {Хг}<?/ — семейство ее коммутирующих под-
подгрупп, то 2 %i является образом прямой суммы включений
{Xt —>- S}i?i и представляет собой подмоноид группы S, порож-
порожденный множеством [}Хг.
г?Г
Если S — группа и {X,-}i?j — семейство ее коммутирующих
подгрупп, то 2 %t — тоже группа.
Доказательство. Ясно, что 2 ^г — моноид, порож-
денный объединением множеств Х(. В частности, 2 %i содер-
жится в образе Т прямой суммы включений {Xt ->- 5}i?j. С дру-
другой стороны, каждый элемент из Т представляет собой конечную
сумму элементов из различных Х$. Значит, Т = 2-^г- В том
случае, когда S и все Xt являются группами, прямая сумма
2 © Xt — тоже группа, и тогда образ Т = 2 %i прямой сум-
мы указанных включений также будет группой. ?
2.19. Предложение о строении прямой суммы.
2.19.1. Следующие условия (А) и (В) для множества {X;}je/
подмоноидов аддитивного моноида S эквивалентны:
(A) {Xj}j?x — коммутирующее семейство, и прямая сумма
включений {Xi —>- 5}г?/ является изоморфизмом.
(B) {Xi}i?i — коммутирующее семейство подмоноидов, каж-
каждый из которых содержит 0, и каждый элемент s ? S единствен-
единственным образом представляется в виде конечной суммы
где t зависит от s, ij ? / и si# ? Xi- для всех / = 1, . . .
2.19.2. Если условия (А) и (В) выполнены, то
(С) {Xjjjgj—коммутирующие моноиды, такие, что
и для любого i б /
2.19.3. Если S и все Xt являются группами, то и, обратно,
из условия (С) вытекают условия (А) и (В).
W к. Фейс

146 1Т" Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 2. Произведение и копроигведение
147
Доказательство 2.19.1. (А) =>¦ (В). Поскольку укан
занная прямая сумма отображений является по условию изомор-.
физмом, достаточно доказать утверждение (В) для прямой сума
и семейства {Х1}г?/, где Х\ — образ моноида Xt при канониче
ской инъекции ut. Ясно, что ut переводит единицу моноида X-'t
в 0. Значит, 0 является единицей моноида Х\ для каждого i 6
Далее, если / — элемент прямой суммы, то
/=2:«i(/(o)=2«tp«/,
i?I t?/
где для любого i 6 I через pt обозначена каноническая проекция
прямой суммы. (Ср. с 2.14.) Сумма конечна, поскольку / имее
конечный носитель. Функции, стоящие в левой и правой частях!
равенства, совпадают, поскольку на произвольном элементе к
каждая из них равна / (к). Отсюда также следует единственность
представления / в виде конечной суммы
где /i ? Х\ для любого i 6 /, так как f\ = ut (/ (г)) для любого
(В) => (А). Для любого i ? / через ht: Xt -> S обозначи»
включение. Пусть fug — элементы прямой суммы, такие, что
t?
Так как / (i) и g (i) — элементы полугруппы Xt, то из единствен-
единственности представления элемента
®hi(f)=®hi(g)
i?l i?I
в виде конечной суммы элементов из Xt (по одному из каждого
вытекает, что / (Г) = g (?) для любого i 6 /, т. е. что / = g. Этил
доказано, что прямая сумма отображений Ф ht является изо-
г?1
морфизмом.
Доказательство 2.19.2. (В) =*> (С). Равенство S =|
= Zj Xt следует из того, что каждый элемент s ? S представ-1
ляется в виде конечной суммы, указанной в (В). Если элемент
s ? S принадлежит пересечению какого-то Xt. с суммой X;fe, где
к ф], то s есть сумма элементов, каждый из которых принадле-
принадлежит одному из Xih, к ф]. Для краткости предположим, что / = 1,1
и запишем s — st + . . • + sif. Тогда
qTo нарушает единственность представления s в виде суммы эле-
элементов из Xt , по одному из каждого Xt , q = 1, 2, . . ., t, если
s ^=0. Это доказывает, что (В) =ф- (С).
Доказательство 2.19.3. (С) =ф (А). Предположим
теперь, что S и все Z, являются группами. Тогда сумма 2 Xt тоже
является группой. Будем применять обозначения из доказатель-
доказательства (В) =ф (А), и пусть / — элемент из ядра отображения ®ht.
W
Тогда для любого / 6 ¦* элемент
/(/) = -S/(*)
лежит в пересечении группы X; с суммой групп Хк, к Ф /. Из (С)
тогда следует, что / (/) = 0 для любого / ? I, т- е. / = 0. Таким
образом, ядро прямой суммы отображений равно нулю. Это дока-
доказывает, что (С) ==> (А). ?
2.20 Следствие о строении прямой суммы. Пусть {Yi}i&1 —
множество моноидов, {ut: Yt—>-2® ^i) —канонические инъек-
ции в прямую сумму и Xi= im ut для всех г 6 /. Тогда прямая сумма
включений {Хг—>¦ 2 ® ^г} является изоморфизмом. ?
г?1
Семейство {XJiei подгрупп абелевой группы называется неза-
независимым, если каноническое отображение
? Ш
является изоморфизмом.
Упражнения к гл. 2
1. В любой категории С, если {Х-ъ-Х^^ —произведение
и если каждый объект Xt инъективен, то и X инъективен. Если С—
категория с нулем, то верно и обратное. (Это выражается утвержде-
утверждением: в любой категории с нулем произведение объектов инъектив-
но тогда и только тогда, когда каждый объект инъективен. Дуаль-
Дуальное утверждение имеет место для проективных объектов.)
2. Изучить понятие инъективных, проективных, кообразующих
объектов и другие категорные понятия для категорий GROUPS
11 mod-Z (а также mod-Zn) и сравнить. (Например, содержит ли
GROUPS проективные и инъективные объекты?)
3. Изучить строение End^M для фиксированного объекта М
различных категорий С = mod-Z, GROUPS, MONOIDS,
1таеколько это возможно по изложенному в тексте.
10*

148 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
4.1. Если К — нормальная подгруппа группы G, а А — rpj
изоморфная группе GIK, то G называется расширением группы*
при помощи группы А. Если Q — подгруппа группы G, такая,
G = KQ viK(]Q = i,ToG называется полупрямым произвед
нием группы К на группу Q. (Тогда G — расширение группы
при помощи Q.) Следующие условия эквивалентны:
(a) G — полупрямое произведение группы К на некоторз
подгруппу.
(b) Канонический гомоморфизм р: G ->- G/K расщепляется.
(c) Существует идемпотентный эндоморфизм /: G —>¦ G, такс
что К — нормальная подгруппа, порожденная множество
{gf (r1) \g € G}.
Если указанные условия выполнены и отображение q: GIK
таково, что pq = Ig/k» to:
(a') G — полупрямое произведение группы К на im q.
(с') Эндоморфизм qp: G-+G обладает свойством, указаннь
в (с) для гомоморфизма /.
4.2. Группа G порядка pq, где р, q — простые числа и р > i
является расширением своей силовской р-подгрушш при помо
группы порядка q (гл. 1, упр. 18.)
5. Группа F является свободной группой над некоторым mi
жеством S в том и только в том случае, когда каждый эпиморф*
групп G -> F расщепляется, или, что то же самое, если каж;
расширение группы К с помощью группы F есть полупрямое щ
изведение группы К на некоторую подгруппу.
6. Каждая подгруппа свободной абелевой группы Z(l"' иа
морфна свободной абелевой группе Z(S'\ где | S'\ -^ | S |. Вывес!
отсюда, что Z(S) ж Z(T) тогда и только тогда, когда | S | = \ Т \
т. е. что свободная абелева группа имеет однозначно определенш
ранг | S |, а каждая ее подгруппа есть свободная группа ранг
< | S |. (Ср. упр. 13.)
*7. (Теорема Нильсона — Шрайера о подгруппе.) Каждая по|
группа свободной группы изоморфна свободной группе над некй
торым множеством S'. Если свободная группа имеет конечный pai
п, то подгруппа индекса / является свободной группой ран!
nj — 7 + 1.
8. Свободная группа/1 (S) имеет однозначно определенный ра
<Ср. упр. 6 и 11.)
Гл. 2. Произведение и копроизведение
149
10. Центр свободной группы над множеством S мощности,
большей 1, совпадает с ее единицей, которая является единствен-
IIbiM элементом конечного порядка.
11. Если /s: S -*- F (S) — свободная группа, то включение мно-
множества ~S левых смежных классов группы F (S) по коммутанту
\Р (S), F (S)], содержащих элементы из S, в факторгруппу
р (S)/[F (S), F (S)] есть свободная абелева группа над этим
множеством S, изоморфная группе Z(S). Кроме того, для любого
подмножества Т множества S группа, порожденная множеством
S с определяющими соотношениями {t = 1}<ет, есть свободная
группа над множеством содержащих элементы из S левых смежных
классов группы F (S) по нормальной подгруппе, порожденной
множеством Т.
*12. Если F — свободная группа ранга >1, то коммутант
[F, F] — свободная группа бесконечного ранга.
*13. Если S — нормальная подгруппа свободной группы F
конечного ранга, а факторгруппа F/S конечная, но не циклическая
группа, то ранг S больше ранга F.
14. Теорема о подгруппе (упр. 7) утверждает, что любая под-
подгруппа ф\ свободной группы свободна. Показать, что для под-
моноида свободного моноида такая теорема не имеет места. (См.
Кон [62].)
Ссылки
См. ссылки в гл. 1, в особенности Басе [73], Букур — Деляну
[72], Курош [73], Ленг [68], Митчелл [65], Ротман [65], Фрейд [64],
Фукс [74,77], Шевалле [56].
9. Свободная
морфна Z.
группа над одноэлементным множеством иа

Гл. 3. Кольца и модули
151
Глава 3
КОЛЬЦА И МОДУЛИ
В список понятий и тем, которых мы коснемся в этой главе
входят: кольцо, модуль, кольцо эндоморфизмов, кольцо биэндй
морфизмов (бицентрализатор) модуля, левый идеал, нильпоте!
ность, простота в категориях (т. е. простые группы, проста
модули, простые кольца), представления простых колец полным!
кольцами линейных преобразований (прелюдия к теореме плот
ности Шевалле — Джекобсона, доказанной в гл. 19), кольц!
матриц, дуальные модули, лемма о дуальном базисе для проектив!
ных модулей, теорема двойственности для образующих категории
mod-i? всех правых Д-модулей, след модуля, аддитивные катего|
рии и функторы, точные последовательности, точные (полуточные
слева (справа) функторы, точность слева основных (hom) фун«
торов h : mod-/? ~* mod-Z и hA: mod-i? ~* mod-Z для произ|
вольного объекта А категории mod-i?, критерий инъективност!
Бэра, утверждение, что категория mod-i? инъективно богатв
существование в ней инъективных кообразующих, вполне унк
валентные функторы, идеализаторы, ортогональные идемпотента
и разложения модулей в прямые суммы, вполне инвариантный
подмодули, в частности радикал и цоколь.
Вот некоторые из введенных в этой главе понятий: категория
RINGS колец, категория Д-модулей mod-i? для произвольного
кольца R, кольцо эндоморфизмов End MR произвольного R-mo4
дуля М и кольцо его биэндоморфизмов1) Biend MR. Объект Л/|
категории mod-i? сбалансирован, если каноническое отображение
R ->¦ Biend MR сюръективно. [Любой образующий категории
mod-i? сбалансирован (теорема Мориты 4.1.3).] Категория mod-iZJ
содержит произведения, копроизведения и свободные объекты. 1
Свободный объект над множеством / — это прямая сумма (конро-|
изведение) i?(J) (предложение 4.9). Кольцо Rn всех (п X гс)-матриц|
канонически изоморфно кольцу эндоморфизмов модуля Rn для!
любого целого п > 0 (ср. 3.33.3). Соответствие идеалов 3.12.2 есть!
биективное соответствие / н-> С (I) между множеством всех идеалов!
кольца R и множеством классов модулей в категории mod-i?, замк-j
нутых относительно фактормодулей, подмодулей и произведений.!
Следствием этого является тот факт, что эквивалентность катего-
*) Во введении к гл. 4 намечены некоторые связи между различными кате-1
гориями: mod-i?, mod-End MR и mod-Biend MR.
рий mod-i? и mod-S для колец R и S влечет за собой изоморфизм
структур идеалов колец R и S (ср. инвариант Мориты, 4.31
и далее).
Здесь же определено понятие абелевой категории и выведен
в пп. 3.32—3.38 ряд ее элементарных свойств (см. также гл. 6).
Доказывается точность слева основных функторов hA и hA для
любого объекта А категории mod-i? C.39, ср. соответствующий
результат 6.11 для точных аддитивных категорий).
Кроме того, приведен ряд свойств унивалентных функторов
C.49) и доказано существование инъективных кообразующих кате-
категории mod-i? C.53). TaK,Q/Z является инъективным кообразую-
щим в mod-Z, более общо, если К — тело частных области главных
правых идеалов i?, то K/R — инъективный кообразующий кате-
категории mod-i? C.45). Кроме того, модуль характеров i?' =
= Hom(i?, Q/Z) модуля i? является инъективным кообразующим
категории mod-i? C.53). Каждый объект М категории mod-i? вло-
вложим в единственный (с точностью до изоморфизма) минимальный
инъективный модуль М, инъективную оболочку модуля М, при-
причем М одновременно является существенным расширением моду-
модуля М C.59). (Соответствующие теоремы для категорий Гротен-
дика установлены в гл. 14.)
Многочисленные упражнения иллюстрируют и обобщают тео-
теоремы, доказанные в основном тексте. Некоторые из них в свою
очередь являются теоремами, доказанными в других главах, на-
например теорема Веддербёрна — Артина и теорема плотности Дже-
Джекобсона и Уонга — Джонсона для (квази)инъективных модулей.
(Ср. гл. 7 и 8 по поводу первой и гл. 19, особенно п. 19.10, по по-
поводу второй.)
Кольца
Кольцом называется упорядоченная тройка, состоящая из
непустого множества i? и двух операций, относительно которых
R является аддитивной группой и мультипликативным моноидом,
удовлетворяющих законам дистрибутивности
{Х + у) 2 = XZ + J/Z,
z'(x + у) = z'x + z'y,
где х, у, z, z' — любые элементы из i?. Пусть 0 — нулевой эле-
элемент аддитивной группы, а 1 — единичный элемент мультиплика-
мультипликативного моноида кольца i?. Если i? состоит из одного элемента, то
0 = 1, и в этом случае R называют нулевым кольцом. Если R
содержит не менее двух элементов, то 0 Ф 1, так как в силу закона
дистрибутивности Ох = хО = 0 для всех х 6 i?- Можно проверить
такие тождества: 1. Ох = хО = 0; 2. {—х) у = — (ху) = х (—у);
3. (—я) (—у) = ху.

152 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Кольцо коммутативно, если коммутативен его мультиплика-13
тивный моноид. Подкольцо кольца R — это подмножество тЛ
одновременно являющееся подгруппой аддитивной группы и подч!
моноидом мультипликативного моноида кольца R и такое, что или
Т = {0}, или 1 ? Г. Во втором случае Т имеет тот же единичный
элемент, что и Д. В первом случае мы будем писать Т = 0. Таким •
образом, подкольцо является кольцом. Группа обратимых эле-'j
ментов мультипликативного моноида кольца R обозначается через;
V, (R) и называется группой обратимых элементов кольца R.
Тело — это кольцо F, содержащее не менее двух элементов и такое,
что любой ненулевой элемент из F обратим. (Таким образом, мы?
не предполагаем, что тело коммутативно1).)
Примеры.
N — коммутативная полугруппа как относительно сложения,,
так и относительно умножения, состоящая из всех натураль-
натуральных чисел.
Z = —Ы U {0} [} Ы — множество целых чисел — коммутатив-
коммутативное кольцо относительно операций сложения и умножения/
К — поле действительных чисел.
& — поле рациональных чисел.
С — поле комплексных чисел а + Ы, где а и Ъ — действитель-
действительные числа и i2— —1, относительно операций
(а + Ы) (с + di) = (ас — bd) + (ad + be) i,
(а + Ы) + (с + di) = (а + с) + (Ь + d) i.
Н — тело кватернионов а + Ы + с/ + dk, где а, Ь, с и d —
действительные числа и {±1, ±i, ±/, ±k} — группа кватер-
кватернионов. Умножение и сложение определяется аналогично
тому, как это делалось для комплексных чисел. (Иначе гово-
говоря, в терминологии гл. 5 Н — алгебра над R, порожденная
множеством {1, i, j, к} с соотношениями группы кватернио-
кватернионов. (См. 5.75.) Аналогично, С — алгебра над R, порожден-
порожденная элементами 1, i, удовлетворяющими соотношению ?2 =
_ \
Центр
Центр кольца R, определяемый как множество
Гл. 3. Кольца и модули
153
является подкольцом кольца R. Более общо, если X — непустое
подмножество в й, то его централизатор
%R(X) = {yeR\xy = yxVxeX}
является подкольцом в R.
х) Коммутативное тело называется полем.— Прим. перев.
Гомоморфизм
Отображение колец /: R —> R' называется (кольцевым) гомо-
гомоморфизмом, если оно является гомоморфизмом как аддитивной
группы кольца R, так и его мультипликативного моноида1). Таким
образом, im / есть подкольцо кольца R'. Для аддитивных групп R
и R' нулевое отображение R —*- R' — это такое отображение h,
что h (х) ==0 для всех х 6 R- Этот же термин употребляется, когда
R и R'— кольца. Таким образом, нулевое отображение колец
R -> R' есть кольцевой гомоморфизм, а / A) = 1 для любого нену-
ненулевого гомоморфизма /: R-*-R'.
Термины «образ», «ядро», «вложение» и «наложение» для гомо-
гомоморфизмов колец /: R —>¦ R' будут означать то же, что и для гомо-
гомоморфизмов соответствующих аддитивных групп. Идеал кольца R
определяется как ядро какого-либо гомоморфизма /: R ->¦ R' для
некоторого кольца R'. Если / = ker/, то для любых а,Ь ? I,
г 6 R выполняются условия
A-1) a-bei,
A-2) га 6 / и Ъг € /.
Обратно, пусть / — непустое подмножество в R, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям A-1) и A-2). Тогда / — аддитивная подгруппа в R
и факторгруппа R/I оказывается кольцом, называемым фактор-
кольцом кольца R по /, относительно своей групповой операции
и умножения, задаваемого формулой
(а + I) (Ь + I) = аЪ + I.
Таким образом, канонический групповой гомоморфизм R —*- RII
оказывается кольцевым гомоморфизмом, также называемым кано-
каноническим, и / — его ядро. Тем самым показано, что непустое под-
подмножество I ъ R есть идеал в том и только том случае, когда выпол-
выполняются условия A-1) и A-2).
Группа Zn = TLlriL является коммутативным кольцом, состоя-
состоящим из п элементов, где п 6 N. (Отметим, что пИ_ — идеал кольца
?.) Если R — ненулевое кольцо, то отображение, заданное усло-
условиями
Г Z-+R
\ п и-»- ral = 1 + . . . + 1 (га слагаемых),
оказывается каноническим кольцевым гомоморфизмом, и его ядром
служит идеал mL кольца Z, где m ^ 0 определено однозначно и
называется характеристикой кольца R. Таким образом, кольцо
нулевой характеристики содержит подкольцо, канонически изо-
изоморфное кольцу Z. Обычно мы пишем п вместо ral, даже когда
характеристика кольца не равна нулю.
х) См. примечание на стр. 78.— Прим. ред.

154 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3. Кольца и модули
155
Кольцо эндоморфизмов
3.1. Предложение и определение. Если А — аддитивная абе-
лева группа, то End А является кольцом относительно умножения
и поточечного сложения гомоморфизмов.
Доказательство. Пусть А — произвольная полу-
полугруппа. Тогда
(/ + g) h = fh + gh
для любых f, g, h ? AA. Кроме того,
для любых /, g, h 6 End А. Таким образом, End А удовлетворяет
законам дистрибутивности, а если А — абелева группа, то абелева
и группа АА, следовательно, End A — аддитивная абелева груп-
группа, откуда вытекает, что End A — кольцо1). ?
3.2. Упражнения.
3.2.1. Показать, что множество всех гауссовых целых чисел
¦а -f Ы, где а я b — элементы из Z, образует подкольцо в С. Мно-
Множество всех выражений а + Ы, где а и Ъ — элементы из Q,, состав-
составляет подполе в С. Обобщить на подкольца и подтела тела кватер-
кватернионов Н.
3.2.2. Показать, что если А ф О — абелева группа, то End A2 —
некоммутативное кольцо. Найти наименьшее конечное некоммута-
некоммутативное кольцо. Для любой пары целых чисел гейт определить
инъективный кольцевой гомоморфизм End A™-*- End Amn.
3.2.3. Показать, что Z/nZ является полем тогда и только тогда,
когда п — простое число. Доказать, что характеристика любого
тела равна либо нулю, либо простому числу.
3.2v4. Запишем re = p[i. . . pett ъ виде произведения степеней
различных простых чисел. Доказать, что Z/nZ изоморфно произве-
произведению [J Z г.и, следовательно, является произведением колец
i *
характеристик р^,. . . , pp. Обобщить на любое коммутативное
кольцо характеристики п.
3.2.5. Элемент х кольца R называется делителем нуля, если
ху = 0 или ух = 0 для некоторого ненулевого у 6 R- Областью
целостности или целостным кольцом называется кольцо без нену-
ненулевых делителей нуля. Доказать, что любая конечная область
целостности является телом. Показать, что характеристика целост-
целостного кольца равна 0 или простому числу.
3.2.6. Булево кольцо — это коммутативное кольцо R, такое,
что а2= а для любого а ? R. Показать, что а + а = 0 для любого
а 6 Я. Показать, что следующие два условия необходимы и доста-
достаточны для того, чтобы коммутативное кольцо было булевым:
(a) Если ап = 0 для некоторого а ? R я некоторого натурально-
натурального числа ге, то а = 0.
(b) (а + Ъ) аЪ = 0 для всех a, b ? R.
3.2.7. Если X — непустое множество, то множество Pow X
всех подмножеств из X является кольцом относительно следующих
операций:
A)
B)
А + Б = (A U В)-(А
АВ = А П В.
В),
Кольцо Pow X коммутативно (X — кольцевая единица, а пустое
множество 0 — нулевой элемент) и называется булевым кольцом
подмножеств множества X. Любой его элемент А является идем-
потентом.
3.2.8. Если каждый элемент кольца R является идемпотентом,
то R коммутативно1).
3.2.9. Пусть R — булево кольцо, определенное в упражнении
3.2.6. Показать, что R «изоморфно» подкольцу булева кольца под-
подмножеств некоторого множества S. (Пусть S — множество всех
максимальных семейств Р = {ха} элементов ха из R, таких, что
произведение любого конечного множества элементов из Р отлично
от нуля в R. Используя лемму Цорна, показать, что каждый эле-
элемент х Ф 0 из R входит в некоторое такое Р. Пусть (х > обозначает
подмножество в S, состоящее из всех таких Р, что х Q.P. Рассмо-
Рассмотреть отображение х i-»- (x).)
3.2.10. Коммутатор в кольце R — это элемент вида аЪ — Ъа,
где а, Ъ 6 R- Показать, что если х и у — элементы из R, а р —
простое число, то (х + у)р = хр + ур + z + pt, где z — сумма ком-
коммутаторов и t — элемент кольца R. Показать также, что это не-
неверно, если число р не простое.
3.2.11. Не обязательно ассоциативное кольцо L называется
кольцом Ли, если
аЪ = — Ъа, а (Ъс) + Ъ (са) + с{аЪ) = 0
для всех а, Ъ, с 6 L. (В случае, когда 2а = 0, дополнительно
предполагается, что а2 = 0 для всех a g L.) Показать, что если А —
произвольное (ассоциативное) кольцо, то, определив в нем новое
х) Напомним, что End A — всегда мультипликативный моноид, см.
«тр. 88—89.— Прим. перев.
J) Теорема Джекобсона устанавливает, что если R — кольцо, в котором
каждому элементу а можно поставить в соответствие целое число п (а) так,
чтобы ап(о> = а, то i? коммутативно (см. Джекобсон [61, теорема 1, стр. 314]).
В отличие от нашего упражнения доказательство этой теоремы требует слож-
сложного математического аппарата.

156 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
произведение а X Ъ элементов а и Ъ из А по формуле
а X Ъ = аЪ — Ьа,
мы превратим его в кольцо Ли. Показать, что кольцо Ли L содер-
содержит единичный элемент тогда и только тогда, когда L = 0.
3.2.12. Кольцо целых чисел можно построить как кольцо эндо-
эндоморфизмов бесконечной циклической группы Z. Указать аналогич-
аналогичный способ построения поля О, рациональных чисел. (Рассмотреть
множество Т всех гомоморфизмов всевозможных ненулевых под-
подгрупп группы Z в Z. Показать прежде всего, что для каждого
элемента t ? Т существует единственное максимальное продолже-
продолжение [t] 6 Т. Пусть Q — множество всех максимальных элементов
из Г и на нем определено подходящее сложение; рациональные
числа alb соответствуют отображениям х н-*¦ ах/b подходящих под-
подгрупп из Z.)
3.2.13. Если е — идемпотент кольца R, то множество eRe =
= {ere | г 6 R} — кольцо относительно операции умножения,
индуцированной соответствующей операцией кольца R, но под-
кольцом оно будет тогда и только тогда, когда или е = 0, или
е = 1.
Категория колец
Объектами категории RINGS служат кольца, а морфизмами —
кольцевые гомоморфизмы. Как отмечалось в гл. 1, эквивалентности
в конкретных категориях называются изоморфизмами. Кольцевой
гомоморфизм А-*-А' является мономорфизмом тогда и только
тогда, когда он является вложением, т. е. инъективен. Однако
каноническое вложение Z —> Q, колец, которое не является нало-
наложением, будет эпиморфизмом в категории RINGS.
Кольцо А является категорией с одним объектом А, морфиз-
морфизмами служат элементы из А. Дуальная категория также является
кольцом, обозначаемым А0?1). Кольцевой гомоморфизм А ->¦ А'
определяет, как и в случае моноидов, ковариантный функтор.
Верно и обратное утверждение. Контрвариантный функтор А —*¦
-*¦ А' индуцирует отображение колец А -*¦ А', которое называется
антигомоморфизмом. Инволюция есть двойственность А -*¦ А.
3.3.(а) Предложение. Если R — кольцо и К — его идеал, то
R/K является кольцом, а каноническое отображение a: R -*¦ RIK —
кольцевым гомоморфизмом. Если /: R -> R' — произвольный коль-
кольцевой гомоморфизм, то существует единственный инъективный
Гл. 3. Кольца и модули
157
гомоморфизм h: i?/ker/-v R', такой, что диаграмма
f
где а — канонический гомоморфизм, коммутативна. Кроме того,
f индуцирует кольцевой изоморфизм R/ker / -v im /.
Если p. R-*- R'—антигомоморфизм, mo ker/ = {x 6 R \ f (x)=
= 0} есть идеал, и имеет место коммутативная диаграмма
¦* R'
х) При этом по определению считается, что сложение сохраняется.
Прим. ред.
Л/herf
где [J — инъективный антигомоморфизм. П
Декартово произведение П Xt семейства колец есть кольцо отно-
относительно обычных операций в прямом произведении аддитивных
групп и мультипликативных моноидов колец этого семейства соот-
соответственно и называется (прямым) произведением колец этого
семейства. Проекция такого произведения на Xj является кольце-
кольцевым гомоморфизмом для любого / 6 L но, когда | / | > 1, канони-
каноническая инъекция Uj: Xj-^Ц Xt не будет кольцевым гомоморфизмом,
так как образ этого отображения не есть подкольцо в указанном
произведении. Если \t — кольцевая единица из Хь, то u,(lj) =
= ej — идемпотент, содержащийся в центре произведения X =
= 11 Xt и im Uj = ejXe, для любого / 6 /¦ В частности, im щ явля-
является идеалом X) в X и Х',Х'и = 0 для любых / фк?1. Копроизве-
дения колец рассматриваются в гл. 5.
3.3. (Ь) Упражнения.
1. (Кольца многочленов.) Для любого кольца R существует
кольцо R [х], содержащее R в качестве подкольца и характери-
характеризуемое следующими свойствами: в центре кольца R [х] существует
элемент х, такой, что если R — произвольное подкольцо некото-
некоторого кольца S и если t — любой элемент из централизатора R в
S, то существует единственный гомоморфизм h: R [х] ->- S, такой,

158 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
что h (х) = t и h (г) = г для любого г ? R. Если Д [х] — только
что описанное кольцо, то любой элемент / ? Д [х] имеет единствен-
п
Гл. 3. Кольца и модули
159
г = 0,. . . , п, и
ное представление /= 2 а(х\ где аг?
т
Таким образом, если, кроме того, / = 2 Ъ}х?, где Ь, 6 Д, / = 0,. . .
3=0
. . ., то, и 6m^=0, то ге = /ли а,-= Ьг, г = 0,. . . , п. (Тогда и называ-
называется степенью элемента /.) Кольцо R [х] называется кольцом много-
многочленов (или полиномов) над R от переменной х, а элементы этого
кольца — многочленами (или полиномами). Если R 1х'] —также
кольцо многочленов над Д, но от переменной х', то существует
кольцевой изоморфизм g: R[x]-+ R [х'\, такой, что g (x) = х' и
g (г) = г для любого г ? R.
2. Для произвольного кольца R обозначим через Р (R) кольцо-
полиномиальных функций R-* R. Таким образом, элемент из
Р (Д) определяется элементом f ? R [х], если положить r*-*f (г)
для любого г 6 R- Кроме того, Р (R) является подкольцом произ-
произведения RR, и только что определенное отображение есть кольце-
кольцевой гомоморфизм R [х] -*- Р (Д). Найти необходимое и достаточное
условие на кольцо R для того, чтобы этот гомоморфизм был изо-
изоморфизмом.
3. Показать, что С да К [х]/(х*+ 1), где (х2 + 1) обозначает
идеал кольца 01 [х], состоящий из кратных элемента х2+ 1.
Модуль
Пусть R — кольцо. Тогда аддитивная абелева группа М явля-
является левым Д-модулем, если R действует на М, причем выполня-
выполняются следующие условия:
(Ml)
(М2)
(МЗ)
(М4)
г(х + у) = гх + гу,
(г + s) х = гх + sx,
(rs) х = г (sx),
1х = х
для любых г, s ? R и х, у 6 М. Если отображение и: R X М ->-
-»¦ М задает это действие, то (R, М, и) или, проще, RM обозна-
обозначает соответствующий модуль. Понятие правого Д-модуля (М, R,
и) вводится симметрично. В обоих случаях R называется кольцом
скаляров, а его элементы — скалярами.
3.4. Предложение. Пусть R — кольцо, а М — аддитивная абе-
абелева группа.
3.4.1. Если (R, М, и) —левый R-модулъ, то отображение /:
R ->¦ End М, такое, что f (г) (х) = гх для любых х 6 М, г 6 R,
является кольцевым гомоморфизмом. Обратно, велик: R —*¦ End M —
кольцевой гомоморфизм, то существует левый R-модулъ (R, M, v)r
такой, что v (г, х) = гх = h (г) (х) для любых г ? R, х ? М. Сим-
Символ [R, M, h] обозначает этот же модуль.
3.4.2. Утверждение 3.4.1 выполняется для правых модулей
(М, R, и), если заменить «левый» на «правый» и присоединить
приставку «анти» к слову «гомоморфизм». Символ [М, R, h], где
ji: R —*- End M — кольцевой антигомоморфизм, обозначает тот
же самый модуль.
Доказательство. Если задано отображение /: R ->-
—>- End М с указанным в формулировке свойством, то (М 1) выпол-
выполняется тогда и только тогда, когда / (г) есть эндоморфизм группы
М, (М 2) [соотв. (М 3)] выполняется тогда и только тогда, когда /
есть гомоморфизм аддитивной группы (соотв. мультипликативного
моноида) кольца R и (М 4) выполняется тогда и только тогда,
когда / A) является кольцевой единицей в End M. Таким образом,
/ будет кольцевым гомоморфизмом тогда и только тогда, когда
действие кольца R на М, заданное отображением /, превращает М
в левый Д-модуль. ?
Каждый антигомоморфизм коммутативного кольца является
гомоморфизмом, так что для этих колец понятия левого и правого
модулей совпадают.
Категория mod-R правых JR-модулей
Объектами категории mod-Д, обозначаемой также через о#н,
служат все правые Д-модули, а морфизмы /: М ->¦ N задаются
как гомоморфизмы соответствующих абелевых групп, удовлетво-
удовлетворяющие соотношению
/ (xr) =f(x)r
для любых х 6 М, г ? Д. Как обычно, через Нотд(Л/\ N) обозна-
обозначается МогтОA-к(М, N). Категорной операцией является произ-
произведение гомоморфизмов. Моноид эндоморфизмов объекта М кате-
категории mod-Д обозначается через End MR и является подкольцом
кольца эндоморфизмов End M абелевой группы М. Он называется
кольцом эндоморфизмов модуля MR. В этих обозначениях End M =
= End Mj, где мы рассматриваем М как Z-модуль с канониче-
каноническим отображением Z -> End M. Включение End MH-> End M
превращает М в левый End Мн-модуль.
Объекты категории Д-mod — это все левые Д-модули, а ее
морфизмы — групповые гомоморфизмы /: M-*-N, такие, что
/ (гх) = г/ (х) для всех г ? Д, х ? М.
Если [М, R, g] (соотв. [Д, М, g\) — правый (соотв. левый)
Л-модуль и /: 5 —>- Д — кольцевой гомоморфизм, то правый

160
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, килъцо и модуль
(соотв. левый) 5-модуль [М, S, gf] (соотв. \S, М, gf]) называется!
притягивающим 5-модулем и
mod-/
mod-5
[М, S, gf] (на объектах)
h (на морфизмах)
— унивалентный функтор, т. е. вложение mod-/? ~* mod-<S.
Среди частных случаев отметим случаи, когда /: S -*- R — вло-
вложение, например когда S — подкольцо в R, или наложение,
например когда R = SII и S -*¦ R — каноническое отобра-
отображение.
Если /: S -*¦ R — антигомоморфизм, то
{mod-J? ~* 5-mod
[М, R, g] н-*- [S, М, gf] (на объектах)
h ь-*¦ h (на морфизмах)
— ковариантный унивалентный функтор, и если д,~г: Rop—*- R —\
отображение, обратное к канонической двойственности, то полу-;
чаем каноническую эквивалентность mod-i? ~* jRop-mod.
3.5. Следствие. Канонический антигомоморфизм d: R-*¦ Rop i
индуцирует эквивалентность
mod-d: mod-i? яа i?op-mod.
Следовательно, имеет место
« i?op-mod. D
двойственность (moA-Rf
Гомоморфизмы с противоположной
' от скаляров стороны
Rnpedb мы будем следовать соглашению, что гомоморфизмы
левых R-модулей записываются справа. Итак, если заданы морфизмы
/: М -+ N vl g: N -*~ Р ъ категории i?-mod, то xf или (х) f — это
значение, которое принимает / на элементе х, а
(х) (fg) = (xf) g
— значение произведения fg морфизмов/и g в категории /?-mod.
Пусть кольцо Т задано так:
Т = {/ 6 End М | / (гх) = г/ (х) V г 6 Я, х 6 М).
Включение Т —*- End М естественным образом превращает М в
левый Г-модуль и правый Т^Р-модуль. Соглашение записывать
Гл. 3. Кольца и, модули.
161
гомоморфизмы левых модулей справа устанавливает симметрию
с ситуацией для правых модулей, у которых гомоморфизмы запи-
записываются с противоположной стороны от скаляров. Это соглаше-
соглашение эквивалентно использованию обозначения (Мог i?-mod)op
для морфизмов категории i?-mod, и как следствие мы получаем,
что EndRM = Tov— кольцо, антиизоморфное Т, для любого левого
Д-модуля М. Однако в этом случае эквивалентность 3.5 между
mod-i? и i?op-mod не сохраняется, так как mod-d тогда перево-
переводит произведение gf морфизмов /: X ->- Y и g: X -*- Z в категории
mod-i? в fg в i?op-mod, поскольку в последней мы записываем мор-
морфизмы справа.
Для того чтобы принять соглашение записывать гомоморфизмы
с противоположной стороны от скаляров и чтобы при этом оста-
осталось в силе следствие 3.5, необходимо несколько изменить опреде-
определение ковариантного функтора. Для этого наряду с категориями,
определенными на стр. 88, которые мы будем называть категория-
категориями с левой записью морфизмов, рассмотрим категории с правой
записью морфизмов, определение которых совпадает с определе-
определением категории за исключением того, что на сей раз для любых
трех объектов А, В, С определена операция
f Могс (А, В) х Могс (В, С) -v Могс (А, С)
1 (/, g) ~ fg-
Если теперь С и D — категории с противоположными записями
морфизмов и Т: С ~* D — пара отображений
Obj С-
Мог С
Obj Я,
MovD,
таких, что Т AА) = 1ТА для любого объекта А категории С и
Т (fg) == Tg- Tf для всех морфизмов /, g ? Мог С, то Т называется
реверсивным ковариантным функтором. Например, если записы-
записывать гомоморфизмы и скаляры с противоположных сторон, то
категория i?-mod левых Д-модулей будет категорией с правой
записью морфизмов и если /: S -*- R — любой кольцевой антиго-
антигомоморфизм, то mod-/: mod-i? ->- 5-mod — реверсивный ковариант-
ковариантный функтор. Если заданы реверсивные функторы Т: С ~* D и
S: D —¦ С, такие, что TS л; 1D и ST fa 1С, то Т — реверсивная
эквивалентность, а С и О называются реверсивно эквивалентными
категориями. Таким образом, mod-d в следствии 3.5 — реверсив-
реверсивная эквивалентность, а категории mod-i? и i?op-mod являются
реверсивно эквивалентными. Аналогично определяется ревер-
реверсивная двойственность.
И К. Фейс

162 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Кольцо биэндоморфизмов
Кольцо биэндоморфизмов Biend MR произвольного Д-модуля
М определяется как кольцо эндоморфизмов этого модуля, рас-
рассматриваемого как модуль над S = End MR. Таким образом,
Biend MR= EndEndмн М\ а
Biend MR
каноническое
отображение
[ a i
ad (M)
— кольцевой гомоморфизм, где ad {M) — правое умножение модуля
М на а, или гомотетия модуля М с коэффициентом а, которое опре-
определяется так:
т н-*¦ та.
Когда в рассуждениях участвует лишь один модуль, то вместо
ad(M) пишут ad. Аналогичным образом для левого Д-модуля М
определяется as(M). Модуль М называется точным (соотв. сбалан-
сбалансированным), если каноническое отображение i? —>¦ Biend MR
инъективно (соотв. сюръективно). Любой образующий и любой
кообразующий категории mod-i? точен. (Доказательство?) Кроме
того, любой образующий сбалансирован (ср. упр. 3.16.3, 3.19.1
и предложение 4.1). Вопрос о том, когда кообразующие являются
сбалансированными модулями, поднимается в гл. 23.
3.6. Примеры.
3.6.1. Абелева группа М является левым модулем [i?, M, 1R]
над i? = End M.
3.6.2. Канонический гомоморфизм Z —у End М превращает М
в левый и правый Z-модуль.
3.6.3.v Пусть R — кольцо. Тогда для любого а ? R определено
отображение
R-+ R
X н-*¦ Ха.
Ясно, что ad ? Horn (i?, i?) = End i? и что отображение
i? -> End i?
a i—» ad
d = dR
является кольцевым антиизоморфизмом. Следовательно, R —
правый Д-модуль [R, R, d], обозначаемый через Rd или RR.
Аналогично, отображения
f R-+R f i?-> E
fl, { S = Sr i
[ x*-* ax, [ a i-*- a
Endi?
Гл. З. Кольца и модули
163
определяют левый Д-модуль [R, R, s], обозначаемый через „R
или RR.
Пусть М — правый Д-модуль, тогда элемент т g M определяет
отображения
т.
( RR
\ г
RR-+M
каноническое
отображение
Нотй (R, М)
Правое из них есть изоморфизм М -> Нотй(Д, M) в категории
mod-i?, называемый каноническим. Ковариантный основной функ-
функтор hR индуцирует автоэквивалентность категории mod-i? (ср.
раздел «Эквивалентность категорий» из гл. 1). Это влечет за собой
канонический кольцевой изоморфизм i? —>- End Дй— Нотй(Д, i?).
Таким образом, если А — идеал кольца R, то существуют кано-
канонические кольцевые изоморфизмы R/A —у End R/AR/A и RIA ->
-> EndR/ARlA, т. е. RIA — сбалансированный Д-модуль, если
А — идеал. Это, вообще говоря, неверно, если рассматривать
R/I, где / — правый идеал. (Доказательство?)
3.6.4. Если i? — тело, то правый Д-модуль V называется век-
векторным пространством, а морфизм V —у W категории mod-i? —
линейным преобразованием (л. п.). Кольцо End VR называется
кольцом всех линейных преобразований пространства V над i?.
3.6.5. Пусть {Ми Д, Uj}i?i — семейство правых Д-модулей.
Тогда теоретико-множественное произведение х) семейства
{ut: MtX R ->- М^щ— это отображение \\Мt X i? —>- \\Mt, и его
композиция с биективным отображением (Пл/Л X R—>- \\MiX R
г?7 г?7
превращает декартово произведение \\Мг в правый Д-модуль.
и индуцирует отображение B ® Mt) X R -у \\Ми которое пре-
превращает 2 © Mt в правый Д-модуль. Короче говоря, если / ?
6 \]М(, то модульная операция (в любом случае) определяется
формулой /г (i) == / (?) г для любых i ? /, г G Д- Ясно, что семей-
семейство проекций {[\Mf-у Mi}i?i является произведением в кате-
категории mod-Д, во-первых, потому что проекции суть морфизмы
этой категории, и, во-вторых, потому что это семейство является
произведением в категории mod-Z. Аналогично, в силу 2.19 семей-
семейство инъекций
{Mt~>® Mi}ieI
х) Имеется в виду прямое произведение в категории SETS.— Прим. ред~
11*

164 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
является копроизведением в mod-Д. Отсюда следует существование
функтора свободы
SETS ~> mod-Д
F { I *-*¦ Д( (прямая сумма)
где отображение
грамма
ft: I -*- R ' таково, что для каждого i ? / диа-
диагде а отображает i в 1, a ut: R -*• Л(/) — каноническая инъекция,
коммутативна, т. е. Д(/) — свободный объект над множеством
{Uj(l)}{?/ при отображении включения.
Бимодуль
Модуль М, который является левым Г-модулем и правым
Д-модулем одновременно, причем выполняется закон ассоциатив-
ассоциативности (tx) r = t (хг) для любых t ? Т, х ? М, г ? Л, называется
(Т, Д)-бимодулем. Таким образом, М — всегда (А, 5)-бимодуль
для любого подкольца А из End MR и подкольца В из Biend MR.
Для (А, !8)-бимодуля употребляется обозначение АМВ.
3.7. Примеры. Пусть М — правый Д-модуль.
3.7.1. (а) Если М есть (S, Д)-бимодуль, а N — правый Д-мо-
дуль, то F — Нотй(М, N) является правым ^-модулем относи-
относительно операции (/, s) t—*/s, / ? F, s ? S, где fs определяется фор-
формулой fs (x) = / (s, x) для любого x ? M.
(b) Аналогично, если TV есть (Т, Д)-бимодуль, a iW" — правый
/?-модуль, то F = HomR(M, N) является левым Г-модулем отно-
относительно операции (t, /) >—*¦ tf,t ? Т, f ? F, где tf определяется фор-
формулой tf (x) = i (/ (х)) для любого а; ? М.
3.7.2. HomH(ilf, R) является левым /?-модулем по 3.7.1 (Ь).
3.7.3. Если R коммутативно, то М является (R, 7?)-бимодулем,
a HomR(M, М) есть (R, R)-6nMOjxynb, согласно 3.7.1 (а) и (Ь).
3.7.4. Пусть Е — произвольное непустое множество. Тогда
произведение RE есть (R, ./?)-бимодуль, а прямая сумма
Гл. 3. Кольца и модули
165
его (R, Д)-подбимодуль, где (г/) (х) = rf (x) определяет на RE
структуру левого Л-модуля.
3.7.5. Пусть М, N е mod-Л, S = End MR, и пусть Т =
= End NR. Тогда Нотй(М, N) является (Г, 5)-бимодулем.
Подмодули
Модуль (N, R, р) есть подмодуль модуля (М, R, и), если N —
подгруппа вМиы: М X R ->- М индуцирует операцию р: N X
X R -»- iV, или, что то же самое, iV — подгруппа в М, инвариант-
инвариантная относительно R. Собственный подмодуль — это подмодуль,
отличный от М.
Фактормодулем модуля (М, R, и) по подмодулю N называется
модуль (M/N, R, t), где t — единственное отображение MIN X
X i?-> MIN, такое, что диаграмма
M/N
коммутативна. Короче говоря, модульная операция в MIN опре-
определяется формулой (а + N) г = аг + N для любых г ? R, a (i M.
Подмодуль модуля RR называется правым идеалом, а подмо-
подмодуль модуля н-Я — левым идеалом. Отсюда следует, что подмно-
подмножество / кольца R является идеалом тогда и только тогда, когда
/ — правый и левый идеал.
Пусть С — конкретная категория. Если В и А — ее объекты
и В ? Л1), то В — подобъект в А. Если S — подмножество, а N —
подобъект в А, то S порождает N, если N является пересечением
всех подобъектов объекта А, содержащих S. В этом случае мы
употребляем обозначение N = (S). Подобъект М объекта А назы-
называется конечно порожденным, счетно порожденным или порожден-
порожденным а элементами, если М = (Т), где | Т \ < н0 и | Т \ < н0 или
| Т | < а соответственно. Если А — абелева группа (абелев мо-
моноид), то сумма 2^i семейства подгрупп (подмоноидов) является
Ш
подгруппой (подмоноидом), порожденной теоретико-множествен-
теоретико-множественным объединением \}Xt (см. 2.19). Когда А является Д-модулем,
а каждая из групп Xt — подмодулем, то и сумма оказывается под-
подмодулем. Модуль М называется циклическим, если он порожда-
1) То есть В — подмножество в А и включение В -*¦ А — морфизм этой
категории — Прим. перее.

166 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
ется одним элементом. Циклический правый идеал называется
главным. Если А — правый идеал кольца R и М — правый R-
модуль, то через МА обозначается подмодуль, порожденный мно-
множеством {та | т ? М, а ? А). Для любого х ? М положим хА =
= {ха \ а ? А}. Таким образом, xR — циклический подмодуль,
порожденный элементом х, и МА = 2 тА ¦ Это определяет произ-
ведение АВ любых двух правых идеалов А и В. Если С — третий
идеал, то, разумеется, определено и {АВ) С, и в силу ассоциатив-
ассоциативности кольцевой операции умножения (АВ) С = А (ВС). Отсюда |
следует, что множество всех правых идеалов кольца образует по-
полугруппу, а множество всех идеалов — моноид, единицей которого
является R. Произведение А± . . . Ап любого конечного числа
правых идеалов Аъ. . . , Ап определяется по индукции как
(Аг . . . Ап.г) Ап и
конечные
суммы
Идеал А называется нильпотентным (индекса нильпотентности к),
если произведение Ап = А . . . А (п сомножителей) равно нулю
(и к есть точная нижняя грань всех таких п). Таким образом,
идеал р?1рп1_ кольца Ж/рп? является нильпотентным идеалом
индекса нильпотентности п для любого целого числа р > 0. Более
общим образом, если А — произвольный идеал кольца R, то
А/Ап — нильпотентный идеал кольца RlAn индекса нильпотент- j
ности ^ге. Множество всех нильпотентных правых идеалов (индек-
(индекса нильпотентности ^.п) образует подполугруппу полугруппы всех I
правых идеалов. Если А и В — нильпотентные идеалы индекса
нильпотентности пшт соответственно, то A -f- В — нильпотентный
идеал индекса нильпотентности ^.п + т, как показывает ;
включение
(А + ВI сл' + в\
где t = п + т.
Кольцо R называется полупервичным, если 0 — его единствен-
единственный нильпотентный идеал. В этом случае говорят также, что коль-
кольцо R не имеет нильпотентных идеалов. Кольцо R называется пер-
первичным, если произведение ненулевых идеалов является ненуле-
ненулевым идеалом. Таким образом, первичное кольцо полупервично.
Делителем нуля в кольце называется такой элемент х этого
кольца, что ху = 0 или ух = 0 для некоторого элемента у Ф0
этого кольца. Кольцо R называется областью целостности или
целостным кольцом, если в нем нет отличных от нуля делителей
нуля. В этом случае говорят также, что R не имеет делителей нуля.
Тело есть область целостности, и любая область целостности пер-
первична. Коммутативное кольцо является областью целостности
тогда и только тогда, когда оно первично.
Гл. 3. Кольца и модули
167
Элемент х ? R нильпотентен, если хп = 0 для некоторого п > 0.
Его индексом нильпотентности называется наименьшее из таких
п, что хп = 0. Односторонний идеал называется ниль-идеалом, если
каждый из его элементов нильпотентен. Таким образом, любой
односторонний нильпотентный идеал является ниль-идеалом.
Обратное неверно. (Пример?) Если R коммутативно, то х 6 R —
нильпотентный элемент индекса нильпотентности п тогда и только
тогда, когда xR — нильпотентный идеал индекса нильпотентно-
нильпотентности п. Кольцо может не иметь максимального нильпотентного
правого идеала, однако сумма всех нильпотентных правых идеа-
идеалов является ниль-идеалом, содержащим любой нильпотентный
левый идеал. (Доказательство?) Пока не известен ответ на вопрос,
существует ли кольцо R, не содержащее двусторонних ниль-идеа-
лов (кроме 0), но обладающее ненулевым правым ниль-идеалом.
Следующее предложение представляет интерес в связи с вопро-
вопросами конечной порожденности.
3.8. Предложение. Пусть R — кольцо, а М — некоторый R-
модулъ. Тогда М конечно порожден в том и только том случае,
когда множество собственных подмодулей модуля М индуктивно.
Доказательство. Пусть М порожден элементами
хи. . . , хп, и пусть {Mt\ i 6 /} — некоторая цепь подмодулей,
объединением которой служит М. Каждому j = 1,. . . , п соответ-
соответствует номер i;-6 /, такой, что ж,-? Mtj. Тогда существует к, для
которого Xj? Mik, / = 1,. . . , п, откуда следует, что М = ikfjft.
Обратно, среди множеств, порождающих модуль М, выберем
имеющее наименьшую мощность, скажем с, и превратим его во
вполне упорядоченное множество, например {xt\ i < а}, где а —
первое ординальное число мощности с. Пусть далее Mt обозначает
подмодуль, порожденный множеством {х}\ ) < i}. Если с беско-
бесконечна, то а — предельное ординальное число, и подмодуль Mt
является собственным, так как порожден менее, чем с, элемента-
элементами. Но тогда М = U Mt также собственный. Противоречие. ?
Базис
Семейство {?;}iei, которое порождает подмодуль N модуля
М, называется системой образующих подмодуля N. Если же пря-
прямая сумма включений {xtR ->¦ N}i?i является изоморфизмом
© xtR -*¦ N, то {а;г};?/ называют базисом модуля N, а мощность
множества / — базисным числом этого модуля. Согласно 2.19, пре-
предыдущее условие эквивалентно независимости семейства {xtR}i?t
подмодулей модуля N, поэтому семейство {xt}i?i называется ли-
линейно независимым над R.

168
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3. Кольца и модули
169
3.9. Предложение.
3.9.1. Если R — кольцо, а X — объект категории mod-R,
то существуют множество индексов I и некоторый эпиморфизм
R -+Х, т. е. любой объект X категории mod-i? изоморфен
фактормодулю свободного R-модуля.
3.9.2. Если {ut: R ->¦ Л( ^igj суть инъекции в прямую сумму
(копроизведение), то {w;(l)}i?i — базис свободного модуля R \
3.9.3. Объект R является образующим в категории mod-R.
Доказательство 3.9.1. Воспользуемся предложением
2.7 о функторе свободы, утверждающим, что существует единст-
единственный морфизм i?( '->¦ X, для которого коммутативна диаграмма
¦RW-FV0
где а — каноническое отображение. Так как очевидно, что X
порождает X как модуль, т. е. так как (X) = X, то R{X)-+X —
наложение.
Доказательство 3.9.2. Прежде всего, множеств»
{uj(l)}iej порождает R1 в силу части 2.7.2 предложения о функ-
функторе свободы, и, далее, прямая сумма канонических вложений
{ut: R -*- RT}i?i является изоморфизмом, согласно следствию
2.20 о строении прямой суммы.
Доказательство 3.9.3. Наконец, в силу эквивалент-
эквивалентности функторов Ношн(Л, ) « lmoa-R объект R является
образующим (ср. 3.26). ?
Базисное число, вообще говоря, зависит от выбора базиса иг
следовательно, не может служить инвариантом модуля F = R(I).
Оно, однако, не зависит от выбора базиса, если F — свободный
модуль над бесконечным множеством/. Это можно вывести из того,
что операции в R финитарны, используя элементарную арифме-
арифметику кардинальных чисел. Базисное число однозначно определено
также для векторного пространства V и называется в этом случае
его размерностью, обозначаемой через dimHV, где R — тело
скаляров. Кольцо R, такое, что базисное число любого свободного
Л-модуля определено однозначно, называется IBN-кольцом или
кольцом с инвариантным базисным числом. Любое тело является
IBN-кольцом; IBN-кольцом будет также любое кольцо R, обла-
обладающее ненулевым кольцевым гомоморфизмом /: R -*¦ S в IBN-
кольцо S A1.14). Любое кольцо с условием обрыва возрастающих
цепей правых идеалов есть IBN-кольцо (см. 3.10.3 и упр. к гл. 17).
3.10. Упражнения.
3.10.1. .R-модуль М называется простым, если он содержит
лишь два подмодуля, а именно ОиМ.
(a) (лемма Шура) Если U и V — простые Д-модули и / ?
? Нотй(^, V), то или / = 0, или / — изоморфизм.
(b) Кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом.
(c) Если Ut, i = 1,. . . , п,— конечное множество попарно
неизоморфных простых Д-модулей, то кольцо эндоморфизмов их
прямой суммы изоморфно кольцевому прямому произведению тел
Dt= EndHf/j, i = 1,. . . , п.
3.10.2. Пусть / — произвольный правый идеал кольца Д.
Назовем его идеализатором множество У (I) = {а 6 R I ах ? /
Va;?/}. Это наименьшее подкольцо кольца R, содержащее /
в качестве идеала.
(а) Доказать, что
f End (R/I)R -+ 3 AI1
— кольцевой изоморфизм.
(b) (Кох) Доказать, что если / — максимальный аннуляторный
правый идеал, то End (R/I)R — область целостности.
3.10.3. Кольцо R является телом тогда и только тогда, когда
оно содержит не менее двух элементов и только два левых идеала.
Любой }?-модуль над телом R свободен. [Указание: применить
лемму Цорна.] Доказать, что ненулевое подкольцо любого тела есть
IBN-кольцо. Любое коммутативное кольцо является IBN-коль-
IBN-кольцом.
3.10.4. Главный правый идеал кольца R — это идеал вида xRr
где х ? R. Кольцо R называется кольцом главных правых идеалов,
если любой его правый идеал является главным. Область главных:
правых идеалов — это область целостности, которая является
кольцом главных правых идеалов. Доказать, что над областью
главных правых идеалов любой проективный модуль свободен.
Тело R является областью главных правых и левых идеалов, коль-
кольцо многочленов R [х] тоже будет областью главных правых и левых
идеалов. Показать, что кольцо многочленов R [х, у] этим свойст-
свойством не обладает.
3.10.5. Пусть G — аддитивная группа бесконечных последова-
последовательностей v — (хг, хг, х3,. .. )с компонентами из заданного тела.

170 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Определим четыре отображения группы G в себя:
g: {хх, х2, х3,. . .) i—*¦ (х1: х3, х$,. • .),
IV. (Ху, Х%, Х3,. . .) >—*¦ \Х%, %i, %ъ,- • • ),
q: (xi, х2, х3,. . .) и-* (хи 0, х2, 0, х3, 0,. . .),
г: (хх, х%, х3,. . .) и-*- @, хи 0, хг, 0, х3,. . .).
Показать, что q, h, q и г лежат в кольце Е эндоморфизмов группы |
G и что выполняются следующие соотношения:
gq = hr = /, hq = gr = 0, qg + rh = i, / = 1G.
3.10.6. Пусть G — неабелева группа порядка 6. Найти два ее
эндоморфизма, сумма которых не является эндоморфизмом.
3.10.7. Построить кольцо без максимальных нильпотентных
идеалов.
3.11. Упражнения.
3.11.1. (а) Для любого А из категории mod-i? функтор hA со
значениями в категории групп сохраняет произведения и ядра,
в то время как hA переводит копроизведения в произведения и ко-
коядра в ядра. (Отметим, что коядром гомоморфизма /: А -у В назы-
называется B/im / — понятие, определяемое дуализацией понятия
ядра.)
(Ь) Функтор mod-i? ~* mod Z точен слева, если он сохраняет
ядра, точен справа, если он сохраняет коядра, и точен, если он
точен и слева и справа. Показать, что объект А категории mod-i?
проективен (инъективен) тогда и только тогда, когда функтор hA
(соотв. hA) со значениями в категории групп точен.
3.11.2. i?-мoдyль Р проективен тогда и только тогда, когда
выполняются следующие эквивалентные условия:
(a) модуль Р изоморфен прямому слагаемому свободного
Д-модуля;
(b) каждая точная последовательность М ->¦ Р -*¦ 0 расщепля-
расщепляется.
Вывести отсюда, что любой свободный модуль проективен.
Показать, что Р конечно порожден и проективен тогда и только
тогда, когда i?n «; Р© X для некоторого целого числа п > 0
и модуля X.
3.11.3. Если А — делимая абелева группа и Р — произволь-
произвольный проективный левый R-моцуяъ, то Нот (Р, А) — инъективный
правый i?-MOflynb. (Напомним, что если для произвольного гомо-
гомоморфизма /: Р ^>- A vl г ? В. положить (/г) (р) = f (rp) для любого
р ? Р, то Нот (Р, А) превращается в правый R-мопупъ.)
3.11.4. Показать, что любая абелева группа А вкладывается
в делимую абелеву группу.
3.11.5. С помощью упр. 3.11.3. и 3.11.4 показать, что каждый
левый R-молулъ М вкладывается в инъективный левый R-шодулъ.
Гл. 3. Кольца и модули
171
3.11.6. Объект G категории mod-i? является образующим тогда
и только тогда, когда существуют целое число п>0и изоморфизм
Gn « i? © X для некоторого объекта X категории mod-i?. Если
i? — область главных правых идеалов, то каждый образующий
содержит прямое слагаемое, изоморфное i?.
3.12. Предложение об идеальности. Пусть R — кольцо. Под-
Подкатегория С категории mod-i? называется идеальной, если вы-
выполняются следующие эквивалентные условия:
3.12.1. Существует идеал А кольца R, такой, что каноническое
вложение mod-i?M ~* mod-i? индуцирует категорную эквивалент-
эквивалентность mod-i?/А ~> С.
3.12.2. (а) Если {X;},?i — произвольное семейство объектов из
С и если {\\Xi~+ ХЛ —произведение в mod-i?, то \\Xt — объект
?1 i?/
категории С.
(Ь) Если X
объект категории С и
0 -> Х'-+ X -+ X"-
¦0
— точная последовательность в категории mod-i?, то X' и X" —
объекты из С.
Класс С, удовлетворяющий условиям 3.12.2 (а) и (Ь), называется
идеальным классом1).
Отображение
{{идеалы из R} —у {идеальные классы из mod-i?}
А ,-*- {М ? Ob j mod-i? | аппй М э А) = mod-R/A 2)
биективно, и для любого идеального класса С
С~1(С') = П {правые идеалы А \ RIA 6 Obj С'}.
Доказательство. Для любого идеала А канонический
функтор mod-i?M ~* mod-i? — это просто функтор включения.
Следовательно, если выполняется условие 3.12.1, то категория
С = mod-i?A4 удовлетворяет условию 3.12.2. Обратно, предполо-
предположим, что справедливо 3.12.2. Тогда в качестве А можно взять
пересечение всех таких правых идеалов К, что циклические модули
RIK принадлежат С. Чтобы в этом убедиться, отметим, прежде
всего, что для любого М ? Obj mod-i? имеет место равенство
annfiilf = f~| аппйа. Левая гомотетия as(R) индуцирует точную
а?М
последовательность
0 -у аппйя -у R ->- aR ->- 0.
*) Иными словами, класс модулей называется идеальным, если он замкнут
относительно подмодулей, фактормодулей и прямых произведений. В другой
терминологии это многообразие.— Прим. ред.
2) По поводу обозначений аппд М, аппй а см. стр. 187.— Прим. перев.

172
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и моду.
Отсюда вытекает, что
аппй М =
&
Гл. 3. Кольца и модули
173
п
т. е. аппнМ оказывается пересечением всех правых идеалов К
кольца i?, для которых RIK вкладывается в М. Следовательно,
существует такое семейство {Kj}^j правых идеалов кольца i?,
что R/Kj? Obj С для любого / ? / и А = f| Kj. Пусть
О -+ Kj/A -> RIA -*¦ R/Ki-+ О
— каноническая точная последовательность для любого / ? /.
Тогда произведение RIA —*¦ \\ RIKt канонических проекций {R/A —*-
—*¦ RlKj}j?j является вложением. Таким образом, RIA ? С по
3.12.2 (а) и (Ь). Значит, в силу 3.12.2 (а) категория С содержит
прямое произведение (RIA)X для любого множества индексов, а
следовательно, согласно 3.12.2 (Ь),— прямую сумму (RlAyx\
Поскольку RIA свободен в категории vaoA-RIA, любой объект Y
последней можно включить в точную последовательность
(R/A)W -+ Y ->¦ 0, а тогда С = moA-R/A в силу 3.12.2 (Ь).
Последнее утверждение теоремы теперь получается непосред-
непосредственно. ?
Вопрос о том, что произойдет, если 3.12.2 (а) заменить более
слабым требованием, чтобы класс С содержал копроизведение
ЙХ{ любого семейства своих объектов, поставлен в гл. 15 в связи
с вопросом о локализующих подкатегориях. С другой стороны, как
в гл. 23, так и в гл. 15 рассматривается вопрос, что будет, если за-
заменить условие 3.12.2 (Ь) более сильным, а именно потребовать,
чтобы X 6 Obj С тогда и тольке тогда, когда X' и X" являются
объектами из С. (Такой класс называется классом Серра.)
Произведение С (I) С (J) двух идеальных классов определя-
определяется так: X принадлежит произведению тогда и только тогда,
когда существует точная последовательность
0_>Х'->- Х->Х"->0,
где Х'е С (J) и Х"е С (/). Очевидно, что С (I) С (J) = С (//).
Таким образом, множество идеальных классов составляет моноид,
изоморфный моноиду идеалов кольца i?. Кроме того, модуль М
из mod-i? точен тогда и только тогда, когда класс, который он
порождает, совпадает со всей категорией mod-i?. Идеал I нильпо-
тентен тогда и только тогда, когда С (/)" = mod-i? для некоторого
п >0.
Радикал (правый) кольца i? определяется как пересечение всех
его максимальных правых идеалов и обозначается через rad i?.
Таким образом, rad i? соответствует классу С (rad R), порожден-
порожденному простыми правыми Л-модулями, т- е. пересечению всех
классов, содержащих все простые правые 7?-модули. Следователь-
Следовательно,
rad if? = p| annH V
простые
модули V?
?Obj mod-R
является идеалом кольца R. Радикал содержит как все левые, так
и все правые ниль-идеалы, а также все правые и все левые нильпо-
тентные идеалы. Для любого х 6 rad R элемент 1 + х обратим.
Левый радикал кольца i? определяется симметричным образом
и совпадает с радикалом кольца i?. (См. 18.5 и далее.) В математи-
математической литературе rad i? называют радикалом Джекобсона.
3.13. Упражнения.
3.13.1. Доказать утверждения, содержащиеся в последних
фразах.
3.13.2. Проверить, что rad (i?/rad i?) = 0.
3.13.3. Показать на примерах, что возможна ситуация, когда
rad i? = 0, но rad (R/I) фО для некоторого идеала /.
3.13.4. Доказать все теоремы из гл. 18 и 26.
3.13.5. Пусть Л и 5 — идеалы кольца i?. Показать, что кано-
канонический гомоморфизм R/(A П B)^>-(RIA) X {RIB) является изо-
изоморфизмом тогда и только тогда, когда А и В комаксимальны в том
смысле, что i? = A + В. (Этот канонический гомоморфизм опре-
определяется как прямое произведение канонических гомоморфизмов
R/(A Г) В) -н- RIA и R/(A (]B) ->- RIB.) Обобщить это утверждение
на множество из п идеалов Alt. . . , Ап. [Указание: потребовать,
чтобы идеалы At и А] при i Ф) были комаксимальны, т. е. А-г-\-
А, = R.\
Простые объекты
Ненулевой объект А категории С с нулем называется простым,
«ели каждый морфизм А —> В категории С является либо нулевым,
либо мономорфизмом.
3.14. Примеры.
3.14.1. Группа А в категории GROUPS проста тогда и только
тогда, когда А имеет ровно две нормальные подгруппы, а именно
А и единичную подгруппу. Знакопеременная группа Ап при п > 4
является простой. Абелева группа проста тогда и только тогда,
когда А « Zp для какого-либо простого р (см. упр. к гл. 1).
3.14.2. Кольцо А в категории RINGS просто тогда и только
тогда, когда оно имеет ровно два идеала. Так как любое кольцо А

174 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
содержит 1, то оно обладает максимальным идеалом1). Если М —
максимальный идеал, то AIM — простое кольцо. Обратно, если
/ — идеал и АН ¦— простое кольцо, то / — максимальный идеал.
Любое тело просто, поскольку имеет лишь два идеала. Кроме тогог
простым будет кольцо эндоморфизмов любого конечно порожденно-
порожденного модуля (векторного пространства) над телом к (см. упр. 3. 16.6).
Согласно предложению об идеальности 3.12, если mod-4 ~ тоА-В
для двух колец А и В, то А просто тогда и только тогда, когда
просто В.
3.14.3. Объект М категории mod-Д прост тогда и только тогда,
когда он имеет ровно два подмодуля. Таким образом, если М —
некоторый модуль, a S — его подмодуль, то MIS прост тогда
и только тогда, когда S — максимальный подмодуль. (Согласи»
3.8, любой конечно порожденный модуль М имеет максимальные
подмодули. На самом деле любой собственный подмодуль такого
модуля вкладывается в максимальный подмодуль.) Отсюда сле-
следует, что М прост тогда и только тогда, когда он порождается
любым своим ненулевым элементом. Если х ? М — ненулевой
элемент, то имеет место точная последовательность
0-^Z-> Д^ Af-»-O,
где / (а) = ха для любого а ? R и К = ker /. Отсюда вытекает,
что К — максимальный правый идеал кольца R (максимальный
в множестве всех собственных правых идеалов, упорядоченных по
включению). Обратно, если К — максимальный правый идеал,
то RIК — простой модуль. Любой минимальный подмодуль
произвольного модуля (минимальный в частично упорядоченном
множестве ненулевых подмодулей) прост, и, обратно, простой
модуль является минимальным подмодулем в любом модуле,
в котодом он содержится. Если V — простой Д-модуль, то End VR—
тело, так как его ненулевые элементы обратимы. Таким образом,
любой простой правый Д-модуль V является левым векторным
пространством над кольцом эндоморфизмов к = End VR и, следо-
следовательно, каноническое отображение
Гл. 3. Кольца и модули
175
d(V)
г,
rd (V)
является кольцевым гомоморфизмом кольца R в кольцо всех
линейных преобразований левого векторного пространства. В не-
некоторых случаях это каноническое отображение оказывается вло-
вложением.
х) Для доказательства достаточно рассмотреть множество идеалов, не
содержащих 1, убедиться, что, оно индуктивно, и применить лемму Цорна
(ср. 3.8).— Прим. перев.
3.15. Теорема. Любое простое кольцо можно вложить в кольцо
всех линейных преобразований левого (или правого) векторного
пространства над некоторым телом. Если R — простое кольцо,
а V — произвольный простой правый R-модулъ, то канонический
гомоморфизм
осуществляет такое вложение.
Доказательство. Любое кольцо R содержит макси-
максимальные правые идеалы, поскольку оно конечно порождено как
правый Д-модуль C.8). Следовательно, над ним существует простой
правый Д-модуль V. По соображениям симметрии существуют
и простые левые Д-модули. Но если Д — простое кольцо, то ядро
канонического отображения R —*- Endfe V должно равняться нулю,
где k = End VR. (Это ядро не может совпадать с Д, так как xl = х
для любого х ? V.) ?
[Вложение, которое указано в этой теореме, является плотным
в конечной топологии кольца End^ V, базис которой составляют
подмножества кольца Endfe V вида
U (а, хг,. . . , хп) = {Ъ 6 Endfe V | xta = xtb, i = 1,. . . , п),
где а ? Endh V, хг . . . , х„( 7 и и f Z4 (ср. теорему плотности
Джекобсона — Шевалле 19.22).]
3.16. Упражнения.
3.16.1. (а) Пусть Д — простое кольцо. Показать, что любой
ненулевой подмодуль произведения R1, в частности любой правый
идеал кольца Д, является образующим в категории mod-Д.
(Ь) Центр простого кольца является полем.
3.16.2. Для произвольного кольца Д любой образующий U
категории mod-Д конечно порожден и проективен над End UR.
*3.16.3 (Морита [58]). Для произвольного кольца Д модуль U
категории mod-Д является образующим тогда и только тогда,
когда он сбалансирован в этой категории, а также конечно порож-
порожден и проективен в категории End C7R-mod.
3.16.4 (Риффель [65]). Любой ненулевой правый идеал про-
простого кольца R сбалансирован в категории mod-Д.
3.16.5. Любой минимальный правый идеал /полупервичного
кольца Д проективен. На самом деле он порожден идемпотен-
том кольца Д, т. е. /= eR для некоторого идемпотента е ? Д.
*3.16.6 (Веддербёрн — Артин). Простое кольцо Д обладает
минимальным правым идеалом тогда и только тогда, когда оно
является кольцом эндоморфизмов конечномерного векторного
пространства над телом к. В этом случае mod-Д да mod-k.

176 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Кольца матриц
Пусть А — произвольное множество. Тогда (т X ге)-матрицу
(atj): m X га ->- А над А для положительных то и ге можно изобра-
изобразить в виде прямоугольной таблицы:
Л «12 ••¦
Гл. 3. Кольца и модули
177
ат2 • • •
Транспонированная к ней матрица — это (ге X то)-матрица:
и a2i ... ami
[п а2п ... O.JT
Для случая, когда А — аддитивная полугруппа, сумма двух
матриц была определена в 2.17.4:
(aij) + (bij) = (ctj),
где си= uij + bij для любых i, j. Множество Атп всех (т X п)-
матриц над полугруппой А образует полугруппу относительно
операции сложения матриц, причем она будет абелевой полугруп-
полугруппой или моноидом, или группой, если соответствующим свойством
обладает А. Нулевая матрица @) — это функция, т X га-»- А,
тождественно равная нулю. Кроме того, если А — мультиплика-
мультипликативная' полугруппа, то произведением (ciq) = (atj) (bpq) произ-
произвольной (т X ге)-матрицы (аи) и произвольной (ге X х)-матрицы
п
(bpq) называется (т X $)-матрица, в которой ciq = 2 aikbkq.
Это определяет операцию Атп X Ans-+Ams, называемую умноже-
умножением матриц. Если А — моноид, то определена дельта Кронекера
f re х «-»- А
1 (*,/)-*6,„
где 8ц= 1 и 6^=0 для всех i и / ф i. Если а ?А, то diag (а)
есть (ге X га)-матрица (a6ti). В случае когда 0а = аО для всех
a g А, (ге х ге)-матрица diag A) удовлетворяет условиям М diag A) =
= Ми diag A) N = N для любых (т х га)-матрицы М и (ге X т)-
матрицы N и называется единичной матрицей.
3.17. Предложение.
3.17.1. Если А — аддитивная полугруппа, то множество Атп
всех (т X п)-матриц над А образует аддитивную полугруппу
относительно сложения матриц, причем если А абелева или
является моноидом или группой, то соответствующим свойством
обладает и Атп.
3.17.2. Если А — кольцо, то множество всех квадратных
(п X п)-матриц над ним является кольцом относительно сложения
и умножения матриц. Оно называется полным кольцом мат-
матриц над А порядка га и обозначается через Ап или Мп (А).
Доказательство. Часть 3.17.1 очевидна. Чтобы дока-
доказать 3.17.2, рассмотрим три (га X ге)-матрицы (пц), (bpq) и (cuv)
над А. Используя законы ассоциативности и дистрибутивности,
мы можем установить закон ассоциативности для квадратных
матриц:
2 aihbhq) cqv — 2 2 (aik
h q h
cqv
(bhqCqv) =
2j2j
q k
Доказательство закона дистрибутивности проводится аналогично.
Единичная матрица diag A) служит мультипликативной единицей
[нулевая матрица @) является аддитивной единицей или, лучше
сказать, нулем], так что Ап— мультипликативный моноид и,
следовательно, кольцо. ?
Кольцо матриц Ап служит простым примером некоммутативного
кольца. Пусть {ег;-}г-,/е „ — семейство таких матриц e,j = (е'рд)
из Ап, что e\j = 1 и e'pq= 0, когда р Ф i или q ф]. Тогда для него
выполняются условия
eijepq~°jpeiq
I
Любое множество элементов {eu}i,j?n в кольце R, удовлетво-
удовлетворяющее этим двум условиям, называется множеством (га X га)-
матричных единиц кольца R. Если R обладает множеством (га х га)-
матричных единиц, то при га > 1 оно должно быть некоммутатив-
некоммутативным, так как еие12 = е1%, в то время как е12еп= 0. Таким образом,
для А = Z2 кольцо М2 (Z2) всех B X 2)-матриц над Z2 некоммута-
некоммутативно и состоит из 16 элементов.
12 к. Фейс

178 i 4. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
3.18. Предложение. Кольцо А содержит множество (п X п)-
матричных единиц тогда и только тогда, когда оно изоморфно пол-
полному кольцу матриц Вп порядка п над некоторым кольцом В.
Если М = {etj}it j?n — множество (п X п)-матричных единиц
из А, а В — его централизатор в А, то каждый элемент а ? А
единственным образом представляется в виде
п
где aij = 2 ehia^jh € В для любых i,j ? n, и отображение
А->Вп
Г А->Вп
\ а\-+ (ai}
является кольцевым изоморфизмом. Кроме того, для каждого i 6 га
f В -> ецАеп
— кольцевой изоморфизм, а диагональное отображение
Ъ *-*¦ diag (Ъ)
— вложение колец.
Доказательство. Если а ? А, положим
п
аИ= 2 ehiaejh,
fti
г, 7 = 1, ..., га. Тогда
aijepq = epiaejq =
i, ] = 1) ..., п. Таким образом, atj?B для любого а?А, i, / =
= 1, ..., п; в частности, а^е^ = ецае^. Следовательно, используя
п
равенство 2 ег i ~ 1 > получаем
п п
о-= 2 euaejj= 2
i, i=l i, j=i
n
Если, кроме того, а— 2 eij^ij' гДе hj^B, i, / = 1, ...,n, то
i jl
П 71 П
apq — 2 ehPaegh = 2 eftp ( 2
= B
*.f=
n
ft, 1=1
Гл. З. Кольца и модули
179
р, 9 = 1, . . ., п. Это доказывает единственность представления
элемента а. Остальные утверждения теоремы очевидны. ?
3.19. Упражнения.
3.19.1. Пусть А и В — объекты категории mod-i?.
(a) Если М = А ® В и Г = Biend MR, то Л и Б являются
Г-подмодулями модуля МТ.
(b) Если М = В.Ф В n S = End MR, то SM — циклический
модуль, порожденный элементом A, 0), где 1 — единица кольца
R, а (а, Ь) обозначает произвольный элемент из М, а ? R, Ъ ? В.
(c) Любой модуль, изоморфный прямой сумме R © А, где А —
некоторый правый .R-модуль, сбалансирован.
(d) Если А ? mod-i?, то для любого положительного целого
числа п модуль Ап сбалансирован тогда и только тогда, когда
сбалансирован модуль А.
(e) Показать, что G является образующим категории mod-i?
тогда и только тогда, когда Gn л* i? Ф А для некоторого целого
числа п и R-молуля А. Вывести отсюда, что любой образующий
категории mod-i? сбалансирован.
(f) Пусть i? — кольцо, п — целое число, большее нуля, и
i?" — левый i?7,-Mon,ynb, определяемый с помощью канонического
кольцевого изоморфизма i?n -*¦ End Rr. Тогда функтор
k j
mod-i?
mod-/?n
HomH (i?n, X)
(индуцированный основным ковариантным функтором со значе-
значениями в категории множеств, определенным модулем i?n) является
эквивалентностью и называется функтором возведения в (ге-ю)
степень. Вывести отсюда, что категория mod-i?n обладает
всеми категорными свойствами, которыми обладает категория
mod-i?.
(g) Показать, что любой идеал кольца i?n имеет вид 1п, где / —
идеал кольца i?. Проделать это двумя способами: во-первых, пря-
прямыми вычислениями, во-вторых, с использованием упр. (f). Дока-
Доказать, что rad i?n = (rad i?)n.
(h) Показать, что кольцо i?n удовлетворяет условию обрыва
возрастающих цепей (соотв. убывающих цепей) правых идеалов
тогда и только тогда, когда R ему удовлетворяет. Показать, что
это категорное свойство категории mod-i?. Будет ли категорным
свойство инвариантности базисного числа? [Указание: показать,
что i? есть IBN-кольцо тогда и только тогда, когда i?n является
IBN-кольцом. Вывести отсюда, что i?n является IBN-кольцом,
если i? — тело или коммутативное кольцо.]
(i) Установить взаимно однозначное соответствие между пра-
правыми идеалами кольца i?n и i?-подмодулями модуля i?n так, чтобы
идеалы соответствовали (i?n, i?)-6nMon.yflflM [ср. (f)].
12*

180
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3- Кольца и модули
181
3.19.2. (а) Любой модуль MR — сбалансированный (End MR)-
модуль.
(b) Циклический модуль RIA сбалансирован для любого идеала
А.
3.19.3. Пусть D — инволюция кольца R. Показать, что D
единственным образом продолжается до инволюции D' полного
кольца матриц Rn, так что D' (а1}) = (Dai}Y для любой матрицы
(atj) кольца Rn. Обратно, показать, что каждая инволюция кольца
Rn получается таким образом. Вывести отсюда, что если R —
коммутативное кольцо, то отображение транспонирования А —*-
-*- А* для матриц из Rn является инволюцией.
3.19.4. Пусть А — множество всех матриц вида
\ — Ъ о] '
где а и Ъ — комплексные числа, а а, Ъ — их комплексно сопря-
сопряженные. Показать, что А — тело (относительно обычных опера-
операций сложения и умножения матриц), изоморфное телу кватернио-
кватернионов Н.
*3.19.5. Любое тело F является векторным пространством над
любым своим подтелом. Показать, что если центр тела F содер-
содержит поле К действительных чисел и dim ^F конечна, то F да Й, С
или К х).
3.19.6. Пусть В — произвольное кольцо. Тогда центром кольца
Вп служит {diag (с) | с б % (В)}.
3.19.7. Пусть D — тело.
(a) Показать, что Dn содержит нильиотентный элемент индекса
нильпотентности п, но не содержит ни одного нильпотентного
элемента с большим индексом нильпотентности.
(b) Доказать, что если D и Н — такие тела, что Dn да Нт,
то т =* п и D да Н.
3.19.8. Пусть R — кольцо, содержащее множество матричных
единиц М = {etj | i, j = 1, . . ., п), п > 1, и пусть В — цент-
централизатор множества М в R. Проверить следующие формулы:
(a) х} = х]1, где х} = 1 — е1Х — е}] + ех} + ejx, j = 1, . . ., п.
(b) ej} = х]1еххХ), / = 1, . . ., п.
(c) betJ = ttJ (b) — ej) для любых Ъ б В, где
hi (Ь) = A + betJ) еп A - bei}), i, j = 1, . . ., п.
(d) e}j = etj — A — en) el} A -f eJt) ei} при i ф j.
Пусть e = etj — элемент из М, п > 1. Показать, что если S —
подкольцо кольца R, содержащее каждый сопряженный к е эле-
элемент х~хех, где а;пробегает все обратимые элементы из R, то S — R.
Другими словами, если п > 1, то R = Bn порождается как коль-
кольцо всеми сопряженными к произвольной матричной единице из R
элементами.
3.19.9. Пусть А — счетная бесконечная матрица
•^12 • • • w^Iti • . . 1
2-22 • • • ^71 • •
2-32 • • • хЪп • •
Это утверждение известно как теорема Фробениуса.— Прим. ред.
с элементами хи из кольца R. Она называется конечно-строчной,
если каждая строка содержит лишь конечное множество ненуле-
ненулевых элементов. Обозначим через 7?ш множество всех конечно-строч-
ных матриц над R. Если (хи) и (ypq) б -Яш, т0 си = 2 х1Ъ.Уъ! Для
любых i, / является элементом кольца R, так как существует
целое число Ки такое, что xih = 0 для любого k ^ Kt.
(а) Показать, что Ra образует кольцо относительно операций
(*ц) + (Я и) = (ХИ +
где сц определен выше.
(b) Показать, что если i?(tD) — свободный правый R-модуль
со счетным бесконечным базисом, то его кольцо эндоморфизмов
изоморфно Ra.
(c) Обобщить (Ь) на случай i?<J>, где / — произвольное вполне
упорядоченное множество.
* 3.19.10 (Дьёдонне [42]). Пусть К — тело, Мп — группа
обратимых элементов мультипликативного моноида кольца Кп,
а Сп — ее коммутант. Тогда MJCn да К* 1С, где К* — мультипли-
мультипликативная группа ненулевых элементов тела К, & С — ее комму-
коммутант. (Может ли быть С — К*?) Если К — поле, то С состоит
из одной единицы и функция взятия определителя устанавливает
искомый изоморфизм.
Дуальные модули
Нотд (R, М) состоит из всех гомоморфизмов RR —v M, а
Нотн (М, R) — из всех гомоморфизмов М'->- RR. Мы уже отме-
отмечали, что Нотй (М, R) является левым Л-модулем, который мы
обозначаем через М*. Так как определение HomR (M, R) дуально
определению HomH(i?, M), то, как показывает естественный изо-

182 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
морфизм М » HomH (R, М), модуль М* = Нотн (М, R) разум-
разумно назвать дуальным к модулю М. Аналогично, если N — левый
.ff-модуль, то HomR (N, R) — правый Л-модуль, также обозна-
обозначаемый через N*. Таким образом, для любого правого Л-модуля
М определен правый .R-модуль (М*)*, обозначаемый через М**,
который называется бидуальным к М.
Далее, D = Нот ( , R) — контравариантный функтор
mod-i? ~* i?-mod и, значит, для каждого гомоморфизма /: А -*- В
правых Л-модулей определен гомоморфизм D (/): В* —>А*. Иногда
мы используем для этого функтора обозначение ( )*, и тогда
D (/) обозначается через /*. Если D2 обозначает функтор
mod-i? ~* mod-i?, являющийся произведением функтора D: mod-i? ~*
~» i?-mod и функтора D: i?-mod ~* mod-i?, то полагаем
/** =D(D(f)) =(/*)*.
Если х ? М, то существует элемент х** ? М**, определенный
соотношением
(/)*** =f(x).
для всех / ? М*.
Так как для любых х, у ? М, a, b ? R
(ха + yb)** = х**а + у**Ь,
то имеет место i?-MOflynbHbifi гомоморфизм 8М- М^>-М**, где
бдг (х) = х** Для любого х g M. Этот гомоморфизм называется
каноническим. Модуль Мназывается полурефлексивным х) (соотв.
рефлексивным) модулем, если канонический гомоморфизм М ->¦
-*¦ М** инъективен (является изоморфизмом).
3.20. Пример. Существует естественное преобразование
б: / ~* D2, где I — тождественный функтор mod-i? ~> mod-i?,
определяемое с помощью диаграммы
где 8М (х) = х** для любого х 6 М и б (М) = М**.
J) В советской литературе принят также термин «модуль без кручения в
смысле Басса».— Прим. перев.
Гл. 3. Кольца и модули
183
Доказательство. Для простоты будем писать все
морфизмы слева. Если а ? М**, то /** отображает а в а/*:
1Г-
м
Если а = х** и g € N*, то
м
Следовательно, gf ? М* и
x**f*
f*; g
х**
(gf).
Но
A)
X** (gf) = gf (X)
для любого х ? M. Это показывает, что /** отображает г** в ту
функцию из N**, которая переводит g ? N* в gf (x). Но 8Nf (x) ?
g _/V** ведет себя точно таким же образом:
8Nf(x) =/(*)**
и, следовательно,
B) 8Nf (x): g ,-* f (x)** (g) =g(f (x)) = gf (x).
Таким образом, A) и B) показывают, что первая диаграмма ком-
коммутативна, что завершает рассмотрение примера.
3.21. Дуальные базисы. Пусть к — произвольное кольцо и
V — свободный левый k-модулъ с конечным базисом vt, . . ., vn.
Тогда дуальный модуль D (V) — это свободный правый к-модулъ,
базис которого состоит из п проекций
¦* at, i = I, ..., п.

184 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3. Кольца и модули
185
Доказательство. Чтобы доказать, что эти элементы
образуют базис модуля D (V), мы прежде всего должны доказать
п
их линейную независимость над к. Это так, поскольку/ = 2e;Pj =
= 0 влечет за собой / (vt) = р,- = 0, i — 1, . . ., п. Далее, если
g 6 Z) (V), то g =
(vt), так как g (vj) =
(vt)
j =
или, иначе говоря, так как
(vt) совпадает
с g на vlt . . ., vn. Это доказывает, что система ег, . . ., еп — базис
модуля D (V). Ока называется базисом модуля Z?.(V), дуальным
к базису vu . . ., vn, или дуальным базисом. (См! 3.22.1 ниже.)
Преобразование, не являющееся естественным. Пусть к —
поле. Тогде F»fl (V), причем изоморфизм осуществляется ото-
отображением
V -> D (V)
1,
п.
Пусть С обозначает категорию всех конечномерных вектор-
векторных пространств над к с изоморфизмами в качестве морфизмов.
Так как h: V -+¦ D (V) определено для всех V ? Obj С и так как
D (V) ? Obj С, то мы получаем преобразование I: I -*¦ D, перево-
переводящее ковариантный функтор / (тождественный функтор) в конт-
равариантный функтор D, где I (V): V-+¦ D (V) для каждого V —
это указанный выше изоморфизм. Теперь пусть D — функтор,
который каждому V ? Obj С ставит в соответствие объект D (F),
а каждому изоморфизму /: V-+¦ V — изоморфизм D (/-1). Тогда
преобразование I, где I (V): V -*- D (V), не будет естественным,
так как если V одномерно и /: V -> V — изоморфизм умножения
на скаляр, / (z^) = а^ для некоторого а ? к, а Ф 0, 1, то
D (/) I (V) (Vi) = а-геи в то время как / (V) f (vt) = aex. Таким
образом, диаграмма
коммутативной не является. Этот пример приведен в книге Мак-
лейна [66].
3.22. Упражнения.
3.22.1. Пусть к — тело, С — полная подкатегория категории
mod-A, состоящая из конечномерных правых векторных пространств
a D — аналогичная подкатегория категории &-mod.
(a) Функтор hk со значениями в категории ^-модулей индуци-
индуцирует функтор Т: С ~> D. Аналогично определяется функтор S:
D -* С. Показать, что (Т, S) — пара двойственности.
(b) Далее, для произвольного поля к и фиксированного целого
числа п > 0 пусть С — полная подкатегория категории mod-&,
состоящая из правых векторных пространств конечной размер-
размерности ^ п, и пусть ?" — аналогичная подкатегория левых вектор-
векторных пространств. Прямая в С (соотв. Е') определяется как
1-мерное векторное пространство. Гиперплоскость — это (п — 1)-
мерное векторное пространство. (Плоскость 2-мерна.) Показать,
что Нъ индуцирует двойственность С ~* Е', отображающую
f прямые -*- гиперплоскости
I гиперплоскости —*- прямые.
(c) Более общим образом, показать, что для любого конечно-
конечномерного правого векторного пространства V функтор двойствен-
двойственности индуцирует структурный антиизоморфизм между струк-
структурой векторных подпространств пространства V и аналогичной
структурой для пространства V = Homfe (F, к).
3.22.2. Каждому правому векторному пространству V над к
соответствует проективное пространство V, определяемое как
структура подпространств пространства V. Для каждого элемента
X ? V определим проективную размерность dvX = dimftZ — 1.
Элемент X называется «точкой» пространства V, если он имеет
нулевую проективную размерность, «прямой», если он имеет
проективную размерность 1, и т. д. Таким образом, прямые про-
пространства V становятся точками в V, плоскости в V — это «пря-
«прямые» в V и т. д. (О-подпространство пространства V можно пред-
представлять себе как пустой элемент проективного пространства V.)
(a) Пусть V и W — конечномерные векторные пространства
над к. Коллинеацией проективного пространства V называется
структурный изоморфизм V ->¦ W, а корреляцией — структурный
антиизоморфизм. Показать, что для каждого правого векторного
пространства V найдется коллинеация (соотв. корреляция) в ле-
левое векторное пространство W.
(b) Пусть 0 — автоморфизм тела к и /: V -*¦ W — гомомор-
гомоморфизм аддитивных групп векторных пространств над к, такой, что
/ (ха) =f(x)Q (a)
для любых х 6 V, а 6 к. Тогда / называется полулинейным преоб-
преобразованием (см. также гл. 23), и оно индуцирует коллинеацию

186 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
J: V~>W, где
Гл. 3. Кольца и модули
187
для любого X 6 V.
* (с) Основная теорема проективной геометрии. При dimftF ^
^== 3 любая коллинеация V —> W индуцируется полулинейным
преобразованием. (По поводу этой и других теорем проективной
геометрии см. Артин [69, гл. II, § 10, стр. 119 и далее] *).)
3.23. Лемма о дуальном базисе. Правый R-модулъ Р проекти-
проективен тогда и только тогда, когда в Р существует семейство эле-
элементов {zi}i?i, а в Р* = HomH (P, R) — семейство морфизмов
{/«}i?/i такие, что любой элемент р ? Р представим в виде ко-
конечной суммы
где ft (p) = 0 почти для всех i ? /. Если Р проективен, то в ка-
качестве {xi}i?i можно взять любую систему образующих.
Доказательство. Пусть {xt}i^r — произвольная сис-
система образующих модуля Р, F — i?(J> — свободный модуль с ба-
базисом {j/i}j?/, и пусть h: F ->¦ Р — гомоморфное наложение,
переводящее yt в xt для любого i. Тогда Р проективен в том
и только том случае, когда h расщепляется, т. е. в том и только
том случае, когда существует гомоморфизм g: P ->¦ F, такой, что
hg = 1р2).
Необходимость. Если Р проективен, a g: P —>¦ F — такой гомо-
гомоморфизм, что hg = 1Р, то для любого р 6 Р можно записать
g (р) =
(р).
где г; (р) е R игг(р) = 0 почти для всех i. Семейство {/Ji?/, где
¦•{
ft
удовлетворяет соотношению
Достаточность. Пусть {
лировке теоремы семейства.
Р
Р
R
i и {/Jig/ — указанные в форму-
'огда {хJig/ порождает Р и сущест-
г) См. также Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, М,
1955, в особенности гл. III—V.— Прим. ред.
2) Этим доказано, что модуль проективен тогда и только тогда, когда он
выделяется прямым слагаемым из некоторого свободного.— Прим. ред.
вуют эпиморфизм h:
и гомоморфизм g: P^>-F, где р =
Так как hg=lP, то Р проективен. ?
Аннуляторы
Спаривание — это отображение множеств
Тогда А и В спарены относительно R. Если множества А ж В
спарены относительно моноида R с нулем, то аннулятор в В эле-
элемента а ? А есть подмножество
a-L = annBa = {b 6 В \ аЪ = 0}.
Если X — подмножество из А, то аппвХ = П аппва также
обозначается через Xх. Далее, ХЬ = 0 означает, что Ъ 6 annBZ.
Аналогичные обозначения употребляются для аппАУ, где Y —
произвольное подмножество из В, но индекс -1- ставится с другой
стороны. Таким образом, *-Y = аппАУ. Отображение
f Pow A -> Pow В
\ Xv-^ Xх
является структурным антигомоморфизмом, который индуцирует
структурный антиизоморфизм подструктур, состоящих из анну-
ляторных подмножеств. Иными словами,
= annB (annA (annBZ)) =
для любого подмножества X из А. Аннуляторные подмножества
множества А (соотв. В) образуют полную подструктуру структуры
Pow А (соотв. Pow В).
Это определяет аннулятор аппдХ произвольного подмножества
X правого Л-модуля М X R —v R. Ясно, что это правый идеал,
он называется правым аннулятором множества X. Если X —
подмножество из RR, то его аннулятор аппй-Х^ в RR назы-
называется правым аннуляторным идеалом. Кроме того, для правого
модуля М и подмножества X из R определен аннулятор аппмХ,
он является End Мн-подмодулем х) в М. Левые аннуляторные идеа-
идеалы определяются симметричным образом.
х) Это не значит, что асапм X является Л-подмодулем в М. Однако
X будет Л-подмодулем в М, если X — левый идеал кольца Л.

188 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Если X е MR, a N — некоторый подмодуль в MR, то опре-
определим
аппд (X/N) =
\Xr<=N}.
Если X — подмодуль, содержащий N, то annR (X/N) совпадает
с аннулятором фактормодуля X/N и, таким образом, мы последо-
последовательны в выборе обозначений.
Если R — подкольцо кольца А, то для любого подмножества
X из R имеет место равенство annHX = R {] аппАХ, которое пока-
показывает, что R удовлетворяет условию обрыва возрастающих (убы-
(убывающих) цепей правых аннуляторных идеалов, если А обладает
соответствующим свойством.
Два канонических гомоморфизма
Пусть М и G — правые Л-модули. Рассмотрим канонический
гомоморфизм
G(H°m«(G'M))->M
X = (..., Xf, ...)
/енотн (G,M) | X = (..., Xf, ...)*-*¦ 2 f{xf)i
к /?HomH (G, м)
где х\-+х} — проекция G(HomR(Gl M)W G, определяемая элементом / ?
6 HomH (G, М). Образ этого гомоморфизма называется сле-
следом модуля G в М и обозначается через trMG. Если а 6 End MR и
/: G^- М, то af: G -> М. Отсюда вытекает, что trM G есть (End MR,
7?)-бимодуль и канонический гомоморфизм индуцирует точную
последовательность
(HomH
Сг
ТГМ Or —>U.
Если ^ = End AfH и x?G, то
оказывается 5-модулем и trMc7 = 2 Og (%)• Если М = R, то
trH G является идеалом в R, называемым идеалом следа. В этом
случае OG (x) обозначает левый идеал 0% (x)J кольца R и trH G
сокращается до tr G.
Двойственным образом, существует канонический гомомор-
гомоморфизм
( ,, _Нотд (М, G)
/eHomH(M, G)\ Х^*{ , X),
где { , х) (g) = g (х) для любого g ? Нотн (М, G). Ядро этого
гомоморфизма совпадает с аннулятором аппмНошд (М, G) груп-
Гл. 3. Кольца и модули
189
пы HomH (M, G) в М относительно спаривания
f HomH (M,G)xM-*-G
I (g, x)^>g (x).
Таким образом,
О -> annMHomR (M, G) ^ M-
- G)
•— точная последовательность, которая при М = R с помощью
канонического изоморфизма G та HomH (R, G) превращается
в точную последовательность
О ~
Значит, канонический гомоморфизм R —*~ GR оказывается вло-
вложением тогда и только тогда, когда G — точный модуль (ср. 3.28).
Дуальным к этому свойству служит такое: последовательность
?(HomR(G, я» _^_ д _^_ q точна Зто бывает тогда и только тогда, когда
G — образующий (см. далее 3.26), и по этой причине в литературе
образующий называют также коточным модулем.
3.24. Упражнения.
3.24.1. Пусть е — идемпотент кольца А. Тогда НошА (еА, А) »
« НошА (.4/A — ё) А, А) та Ае = аппА A — е) А. Кроме того,
модуль EndA&4 канонически изоморфен еАе. (Если еА — обра-
образующий в mod-Л, то А канонически изоморфно EndeAee.4. Ср.
4.1. Заметим, что еА — образующий тогда и только тогда, когда
АеА = А. См. 3.24.4.)
3.24.2. Если {e^Kjgn — матричные единицы кольца матриц
Ап порядка п, то правый идеал ецАп кольца Ап служат образую-
образующим в категории mod-.4n и является конечно порожденным проек-
проективным модулем над своим кольцом эндоморфизмов, которое кано-
канонически изоморфно кольцу ецАеп для любого i 6 п.
*3.24.3. Пусть А — произвольное кольцо. Тогда mod-A та
та moA-B для некоторого кольца В в том и только том случае,
когда существует целое число п и идемпотент е полного кольца
матриц Вп порядка га, такие, что ВпеВп = Вп и что кольцо А
изоморфно кольцу еВпе.
3.24.4. (а) Пусть R — кольцо. Если G — некоторый его пра-
правый идеал, то tr G содержит идеал RG, порожденный G.
(Ь) Если G = eR, где е —¦ идемпотент, то tr G = ReR.
3.24.5. Доказать все утверждения из упр. 7.22 и 7.23.
3.24.6. Если R — тело, то кольцо матриц Rn — кольцо глав-
главных правых (левых) идеалов и каждый его односторонний идеал
порождается идемпотентом. Вывести отсюда, что любой односто-
односторонний идеал кольца Rn является аннуляторным идеалом.

190 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3. Кольца и модули
191
3.25. Предложение. Если С — категория с копроизведениями,
то для каждого объекта X этой категории^ каждого объекта U
копроизведение всех морфизмов /: U —*- X является морфизмом
У-
A).1>
называемым каноническим. Кроме того, U будет образующим
категории С тогда и только тогда, когда выполняются следующие
эквивалентные условия (а) и (Ь):
(a) Для каждого объекта X категории С канонический мор-
физм A) является эпиморфизмом.
(b) Для каждого объекта X категории С существует множество
I, зависящее от X, и эпиморфизм СД1) —> X.
Дуальное утверждение имеет место для кообразующего U ка-
категории С с произведениями.
Доказательство. Если U — образующий, то (а) вы-
выполняется, и ясно, что (а)<=>(Ь). Покажем, что из условия (а)
вытекает, что U — образующий. Пусть /: X -*¦ Y и g: X ->¦ Y —
морфизмы. Если для всех h: U -»- X справедливо равенство fh =
= gh, то fp = gp и для канонического морфизма р, указанного
в формулировке теоремы. Так как р — эпиморфизм по (а), то
f — g. Таким образом, из того, что / Ф g, следует, что fh Ф gh
для некоторого h: U-*-X. Значит, U — образующий. ?
3.26. Предложение. Следующие утверждения об объекте G
категории mod-i? эквивалентны:
3.26.1. Для каждого объекта X существует множество I и
эпиморфизм G(J> ->¦ X.
3.26.2. Gn та i? ® Q для некоторого целого числа п и объекта Q.
3.26.3. G — образующий, т. е. функтор hG со значениями в ка-
категории множеств унивалентен.
3.26.4. Для каждого правого R-модуля М канонический гомо-
гомоморфизм Gt-F) -> М, где F = HomH (G, М), сюръективен.
3.26.5. tr G = R.
3.26.6. Существует конечное множество элементов /i . . ., /п €
6 Нотн (G, R) и gu . . ., gn ?G, таких, что
Доказательство. 3.26.1 <=> 3.26.3 <=> 3.26.4 <=> 3.26.5,
согласно предложению 3.25, а 3.26.5 <^-3.26.6 очевидно.
3.26.1=^3.26.2, если положить X = R, так как если /: G(J) ->¦
-> R сюръективен и если/ — носитель множества /~1A),то/
индуцирует наложение /': C?(J> ->- R. Следовательно, Gn -*- R -> 0—
точная последовательность, где п — мощность множества /.
3.26.2 =^ 3.26.1. Утверждение 3.26.1 справедливо для G = R
в силу 3.9 и, следовательно, выполняется для любого образующего
G, так как существует эпиморфизм GlJ)—*¦ R и, следовательно,
эпиморфизм G^IXJ~> —>¦ i?(/> для любого множества индексов /. Та-
Таким образом, если RW ->¦ X — эпиморфизм, то композиция 6?(IxJ> ->.
*~ X — эпиморфизм. П
3.27. (а) Следствие. Пусть R — подколъцо кольца S (следо-
(следовательно, единицей кольца S является единица из R). Тогда R-
модулъ S служит образующим в категории mod-R в том и только
том случае, когда RR выделяется прямым слагаемым в S.
Доказательство. Любой Л-модуль вида R® А является
образующим. Обратно, предположим, что S — образующий, и
п
пусть fi 6 HomH (S, R), xt ? S таковы, что 2 U (xi) = 1 (CM-
l
3.26.6). Отображение
у 6 S, есть Д-гомоморфизм qp: S -*¦ R. Далее, ф (а) = <p A) a —
= 1 a = а для любого а ? R. Более того, для любого у ? S имеем
Ф (у) == У тогда и только тогда, когда у ? R. Таким образом, S =
= кег ф © R !). О
3.27. (Ь) Пример. Пусть G — такая группа автоморфизмов
кольца R, что для каждого х ? R множество Gx = {g (x)}g^a
конечно и | Gx | обратимо в R. «Отображение усреднения» пере-
переводит произвольный элемент х в элемент 2 У I (*х I- Пусть А
V?Gx
обозначает множество неподвижных относительно G элементов
fix G, А = {у ? R | g (у) = у V# 6 G}- Оно называется под-
кольцом Галуа кольца R, и отображение усреднения R —> А рас-
расщепляется2) в mod-Л (а также в A-mod). Отсюда видно, что А вы-
выделяется прямым слагаемым в R, если на R задать каноническую
структуру Л-модуля. Группа G обладает нужными свойствами,
если, например, она конечна и либо | G | обратимо в R, либо,
более общим образом, существует элемент х ? R, такой, что 2 ё(х)
g?G
обратим в R. (См. теорему Машке 13.21, а также доказательство
теоремы 13.23.)
Другие примеры дает упражнение 3.30 (Ь).
х) Достаточно записать s = (s — ф (s)) -}- <p (s) и заметить, что s — ф (s)
лежит в кег ф.— Прим. ред.
2) Определение см. на стр. 200.— Прим. перев.

192 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Подобъекты и факторобъекты
Два морфизма /;: Xi —>• Y, i = 1, 2, категории С с областью
значений Y называются эквивалентными, если они являются
эквивалентными объектами в категории target Y. В этом случае
мы пишем Д » /2. Таким образом, Д » /2 тогда и только тогда,..
когда Д = f2h для некоторой эквивалентности h: Хг —>- Х2. В слу-
случае когда Д: Xt ->- Y — мономорфизмы (i = 1, 2), мы пишем
/2 ^ Д, если Д пропускается через /2. Тогда Д ^ /2 и /2 ^ Д в
том и только том случае, когда Д « /2. Это показывает, что отно-
отношение г=^ задает частичный порядок на классах эквивалентности
мономорфизмов категории target Y для любого объекта Y. Если
к: К -*- X — мономорфизм, то К называется подобъектом, а к—
вложением или включением К в X. Выражение К S X означает,
что К — подобъект объекта X, а через if мы обозначим вложение
К в X. Двойственным образом, если q: Y -*- Q — эпиморфизм,
то Q — факторобъект.
Объект X категории С нетёров (артинов), если класс его под-
объектов удовлетворяет условию обрыва возрастающих (убываю-
(убывающих) цепей Таким образом, если для любой последовательности
Х-± !~ Х% !~ • • • <~ Хп ^ ». •
подобъектов Хь объекта X существуют целое число п и эквивалент-
эквивалентности Xt ?& Xj (как подобъектов) для всех i ^ / ^> п, то X
нётеров. Дуальное утверждение справедливо для артиновых объ-
объектов. Нётеровость объекта эквивалентна условию максималь-
максимальности, а именно условию, что любой непустой класс его подобъ-
подобъектов содержит подобъект, который максимален в этом классе
подобъектов, упорядоченном по включению.
Кольцо R называется артиновым (нётеровым) справа, если оно
является артиновым (нётеровым) объектом категории mod-i?. Лют
бое те^ло является артиновым и нётеровым как справа, так и сле-
слева, и тем же свойством обладает полное кольцо матриц Rn над
телом. (Доказательство?) Такие кольца образуют очень важный
класс колец, который будет подробно исследоваться в других гла-
главах, а здесь вводится для характеризации конечно порожден-
порожденных точных модулей над артиновыми кольцами, содержащейся
в следующем предложении.
3.28. Предложение. Пусть М — некоторый модуль над коль-
кольцом R, причем или (а)"*/? коммутативно и М конечно порожден,
или (b) R артиново справа. Тогда М точен в том и только том
случае, когда существует вложение R —>• М™ R-модуля R в произ-
произведение конечного числа экземпляров модуля М.
Доказательство. Если R -*- М71 — вложение, то М™,
а следовательно, и М точен, поскольку RR точен. Предположим
Гл. 3. Кольца и модули
193
теперь, что М точен. Пусть F = Нотй (R, М) и допустим, что
(*) существует конечное множество {/г ? F \ i = 1, . . ., п},
п
для которого п ker ft — 0.
г=1
Тогда, если положить F' = {/17 ...,/„}, то включение F' ->- F
и канонический гомоморфизм R ->¦ MF (предложение 3.25) инду-
индуцируют мономорфизм R -»- MF' ж Мп. Теперь если R коммута-
коммутативно и если {Д A), ...,/„ A)} порождает М, где U 6 F,
i — 1, . . ., п, то Д, ...,/„ удовлетворяют условию (*). Если
же R артиново, то найдутся Д, . . ., /„, удовлетворяющие (*)
для некоторого конечного п. Действительно, пусть А = ("| ker Д
минимален в множестве всех правых идеалов кольца R, предста-
вимых в виде конечных пересечений ядер элементов из F; тогда
А П ker / = А для всех / ? F, т. е. (в силу точности модуля М)
0 = П ker / = А. Морфизмы Д, . . ., /п и являются искомыми. ?
3.29. Упражнения.
3.29.1. Кольцо R нётерово справа тогда и только тогда, когда
каждый правый идеал конечно порожден. В этом случае кольцо
многочленов R [х] также нётерово справа (теорема Гильберта о
базисе 7.13).
3.29.2. Если R — нётерово справа, то любой конечно порож-
порожденный модуль из категории mod-i? нётеров и полная подкатего-
подкатегория категории mod-Д, состоящая из конечно порожденных моду-
модулей, нётерова. Дуальное утверждение справедливо для артинова
случая.
* 3.29.3 (Хопкинс — Левицкий). Любое артиново справа коль-
кольцо нётерово справа.
3.29.4. Если R вкладывается в правый Л-модуль Мп для не-
некоторого целого п > 0, то существует канонический морфизм
Вп ->- М, где В = End MR; если М квазиинъективен (стр. 222),
то последовательность Вп ->- М -*- 0 точна. Вывести из 3.28, что
любой квазиинъективный модуль над артиновым справа кольцом
R конечно порожден над своим кольцом эндоморфизмов (ср. 19.5).
3.30 (а). Предложение. Если Р — проективный R-модулъ, то
(tr Р)* = tr Р
Р (tr Р) = Р.
Кроме того, в этом случае для произвольного левого идеала I кольца
R эквивалентны следующие условия: A) / э tr P; B) (tr P) I =
= tr Р; C) PI = Р.
13 К. Фейс

194 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство. Согласно лемме 3.23 о дуальном
базисе, существуют множества {xt}i?i ^ Р я {/;}г?/ s Р*, такие,
что любой элемент х ? Р можно представить в виде конечной
суммы
х = 21xifi (х)-
Так как ft (х) g Ор (х) <= tr Р, то Р = Р (tr P).
Если / — левый идеал кольца R, такой, что PI = Р, то
Т = txRP = trH {PI) = (trH P) I = TI g= /.
Таким образом, C) =>- B) доказано, а импликация B) =>- A) очевидна,
так как / — левый идеал. Поскольку РТ = Р, то ясно, что A)=Ф-
=ЦЗ). Таким образом, A), B) и C) эквивалентны, откуда Т2 =
= Т. ?
3.30 (Ь). Упражнения. 1. Если R — коммутативное коль-
кольцо, то любой идемпотентный конечно порожденный идеал / = Р
порождается идемпотентным элементом. Вывести отсюда, что ан-
нулятор проективного модуля порождается идемпотентом тогда
и только тогда, когда его след конечно порожден.
2. Любой конечно порожденный точный проективный модуль
над коммутативным кольцом R является образующим.
3. Пусть кольцо S является конечно порожденным и проек-
проективным модулем над своим коммутативным подкольцом R. Тог-
Тогда RR выделяется в SR прямым слагаемым и, следовательно,
SR — образующий в mod-i?.
Пред образующие
Модуль М является предобразующим, если 'каждый простой
модуль является гомоморфным образом модуля М. Двойственным
образом определяется предкообразующий. Любой образующий
оказывается предобразующим, а любой кообразующий — пред-
кообразующим. Если N — предобразующий (соотв. образующий)
и М -*¦ N — эпиморфизм, то М — предобразующий (соотв. об-
образующий). Дуальное утверждение справедливо для предкообра-
зующих и кообразующих.
3.31. Предложение.
3.31.1. Проективный модуль G является образующим тогда и-
только тогда, когда он — предобразующий.
3.31.2. Инъективный модуль С является кообразующим тогд&
и только тогда, когда он — предкообразующий.
Доказательство 3.31.1. Необходимость очевидна
Обратно, пусть G — проективный предобразующий, и пусть /: М ->
-*- N — ненулевой гомоморфизм модулей. Так как кег / Ф Мг
Гл. 3. Кольца и модули
195
то существует элемент х ? М, такой, что х $ кег /. Пусть К =
= кег / и К' = К + xR. Поскольку К'/К — циклический
модуль, то в нем существует максимальный подмодуль К"/К. Так
как S = К'/К" — простой модуль, то существует эпиморфизм
G-+S.
К
В силу проективности модуля G существует гомоморфизм g: G —*-
->- К', пополняющий приведенную выше диаграмму, где а —
канонический гомоморфизм. Так как К' ^ М, g индуцирует гомо-
гомоморфизм G -> М, и im g c? ker /. Согласно 3.26.3, G — образую-
образующий. Это доказывает 3.31.1. Доказательство 3.31.2 проводится
двойственным образом. ?
Аксиомы аддитивной категории
Категория С называется аддитивной, если для каждой пары
X, Y ее объектов Могс (X, Y) является абелевой группой, удов-
удовлетворяющей следующим аксиомам:
(Ad 1) Умножение морфизмов
Могс (У, Z) х Могс (X, Y) ->» Morc (X, Z)
билинейно, т. е.
f (gi + ?2) = fgi + fgi,
(/1 + /2) g = hg + fig,
когда произведения определены.
(Ad 2) С имеет нулевой объект 0.
(Ad 3) Существует копроизведение любого конечного семейства
объектов категории С х).
Нулевой элемент 0 группы Morc (X, Y), т. е. ее аддитивная
единица, удовлетворяет условию
0 =/0
для всех морфизмов /, так как (Ad 1) влечет за собой /0 = / @+
+ 0) = /0 + /0, и, прибавив —(/0), получаем 0 = /0. Кроме того,
Обычно выполнение этой аксиомы не предполагается.
13*

196 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3. Кольца и модули
197
так что
/ (-*) = -(/*).
Аналогично,
(-/) g = -(/?) и (-/) (~g) = fg.
Категория С называется категорией с (ко)произведениями,]
если в ней существует (ко)произведение любого семейства мор-]
физмов. Если (как, например, в аддитивных категориях) суще-]
ствует (ко)произведение любого конечного семейства морфизмов,]
то С называется категорией с конечными (ко)произведениями.
Аддитивные функторы
Если С — аддитивная категория и X ? Obj С, то EndcX —'
кольцо относительно операции сложения в абелевой группе]
и произведения морфизмов. Его называют кольцом эндоморфизмов
объекта X. Для любого объекта У группа Могс (X, Y) является'
левым модулем над Endc Y относительно индуцированной операции;
Могс (У, У) X Могс (X, У) -> Могс (X, У).
Таким образом, если а ? Endc У и / ? Могс (X, У), то а/
?Могс (X, У). Аналогично, Могс (X, У) — правый модуль над]
Endc X.
Пусть С и D — аддитивные категории. Тогда функтор Т: С ~*
~* D аддитивен, если индуцированные морфизмы Могс (X, У) ~*
~* Motd(TX, TY) являются групповыми гомоморфизмами, т. е.
т (/ + g) = Tf + Tg
для любых /, g ? Мог с (X, У) и любых объектов X и У катего-
категории С. Тогда, если Т ковариантен (соотв. контравариантен), он
индуцирует кольцевые гомоморфизмы (соотв. антигомоморфизмы)
Endc X -*• Endc TX для каждого объекта X. Билинейность опера-
операции в Мог С влечет за собой аддитивность основных функторов
hx и hx для любого X (и наоборот). Таким образом, hx пропу-
пропускается через mod-Endc X и mod-Z:
SETS
mod-End-!
той-2
Категория аддитивных категорий содержит аддитивные катего-
категории в качестве объектов, а морфизмами служат аддитивные кова-
риантные функторы. Однообъектная полная подкатегория любой
аддитивной категории эквивалентна категории RINGS.
Мы обозначим через Adfunct (С, D) категорию аддитивных
функторов С ~* D, где С и D — аддитивные категории.
3.32. Предложение. Пусть At, . . ., Ап — конечный набор
объектов некоторой аддитивной категории С.
3.32.1. Семейство {ut: At ->¦ А | i = 1, . . ., п} морфизмов
является копроизведением семейства {At \ i = 1, . . ., п) тогда
и только тогда, когда существуют морфизмы {pt: A -> At), такие,
что
3.32.2. Если 3.32.1 выполняется, то {pt: A
ведение семейства {Ai | i = 1, . . ., n}.
At} — произ-
произn
3.32.3. В категории С конечные произведения [J A t существуют
г=1
для любого конечного семейства объектов {At | i = 1, . . ., п}.
3.32.4. Дуальная категория С* аддитивна.
3.32.5. Каждое конечное произведение является бипроизведе-
нием.
Доказательство 3.32.1. Если {ut: At ->¦ А | i =
= 1, . . ., п} — копроизведение, то существуют морфизмы pt:
А —у Ai, i = 1, . . ., п, удовлетворяющие соотношениям ptUj =
&V t, / = 1, • • ., п. Тогда для каждого i имеем
п
n
Следовательно, по определению копроизведения 2 ukPk == 1д*
ft=i
Обратно, если морфизмы {pt} удовлетворяют заданным усло-
условиям и если /,: At ->¦ А' — морфизмы категории С, i = 1, . . ., п,
п
то морфизм / = 2 fhPh удовлетворяет условию
где а и р — забывающие функторы. Аналогично, hx пр пускается
через Endc X-mod.

198 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Кроме того, если /' — другой морфизм, такой, что f'ut = ft, i =
= 1, . . ., ге, то
Гл. 3. Кольца и модули
199
/'=/'1а = /' 2
fti
= 2 fkPk-f-
fei
Значит, / единствен, и, следовательно, А — копроизведение.
Если в дуальной категории С* мы определим /* + g* = (/ ~f-
+ g)* для морфизмов /, g категории С, то Могс* (X*, У*) ста-
станет абелевой группой для любых X, Y ? Obj Си С* удовлетво-
удовлетворяет (Ad 1) и (Ad 2). В обозначениях 3.32.1, если {ut: At ->- А} —
конечное копроизведение в категории С, то {и*: А* -> А*} —
конечное произведение в С*, такое, что
п
2
h= 1
для некоторых морфизмов pt: A ->- А{. Тогда из доказательства
утверждения 3.32.1 вытекает, что {р*: Af -у А*} является ко-
копроизведением семейства {А* | i = 1, . . ., re} в С*. (Следователь-
(Следовательно, С* удовлетворяет (Ad 3).) Отсюда получаем, что {pt: А ->- Л ;} —
произведение в С. Это доказывает 3.32.2 и 3.32.3. Так как С*
удовлетворяет (Ad 3), то она аддитивна, т. е. доказано 3.32.4.
Морфизм б = (бг;- 1А{), отображающий копроизведение А = \\ At в
произведение А = [J At, — это просто 14, и тем самым доказа-
доказано 3.32.5. ?
Таким образом, теорема, дуальная к некоторой теореме об
аддитивных категориях, есть теорема об аддитивных категориях.
Категория, эквивалентная категории mod-Л для некоторого коль-
кольца А, называется категорией модульного типа и является аддитив-
аддитивной. Категория, дуальная к такой категории, несмотря на адди-
аддитивность, не обязана быть категорией модульного типа. (Упраж-
(Упражнение 14.3.4.)
3.33. Предложение.
3.33.1. Пусть С — аддитивная категория, и пусть {Aj | / =
= 1, . . ., ге} и {Вь | i = 1, . . ., т) — два конечных семейства
объектов. Биективное отображение
Ф
G = Могс ( Ц
Bt)
f
X Morc
U, i)?nxm
(ftj)
j, Bt)
(установленное в предложении 2.14 о матрице) — это изоморфизм
абелевых групп. (Правая группа есть абелева группа всех матриц
/fu), где ftf. Aj -> Bt в С для любых i ? т, j ? п. В случае когда
?!= mod-i?, элемент ф-1 (Т) группы G, соответствующий задан-
заданной матрице Т = (fu), действует следующим образом:
Ф (fu) (at-
. 2
\j=l
где
.П
3.33.2. В частности, группа Morc (An, Bm) изоморфна абелевой
группе всех (т X п)-матриц (ftj) с элементами из Мотс(А, В).
3.33.3. Наконец, Ф: Endc An ->- (Endc A)n — кольцевой изо-
изоморфизм между кольцом эндоморфизмов объекта Ап и полным
кольцом матриц порядка п над Endc А. Для любого кольца R
он устанавливает канонический кольцевой изоморфизм Rn -у End Rr,
т. е. кольцо эндоморфизмов свободного R-модуля Rn с базисным
числом п канонически изоморфно полному кольцу матриц Rn по-
порядка ге над R. ?
3.34. Предложение об аддитивной категориии С.
3.34.1. Если {ut: At ->- А | i = 1, 2} и {pt: A->At\i =
= 1, 2} — такие морфизмы, что
+ и2р2 = 1А и ptUi = 1А. , i = 1, 2,
то А является копроизведением морфизмов ых и и2.
3342 Е А А
3.34.2. Если иг:
А
физма 1) 1А
рф х
А — коретракция,
= 1А1 для
34.2. Если иг: А±> А коретракция, р{^ А1 дл р^
А\, то ег = ЩРх — идемпотент, а их является ядром мор-
а 1) 1А — вх-
3.34.3. Если вх € Endc А — идемпотент, wx: Aj_~> A — ядро
морфизма ех, а иг: А2 —>¦ А — ядро морфизма 1А — et, то А —
копроизведение морфизмов иу и и2,
А = кег ег © кег A — ех).
Доказательство 3.34.1. Из данных соотношений сле-
следует, что pxU2 = р2иг = 0, так что 3.34.1 вытекает из 3.32.
Доказательство 3.34.2. Очевидно, что eL — идемпо-
идемпотент. Далее, AА — ег) щ = 0, значит, их ^ кег AА — ех); однако
если AА — ег) f = 0, то их (pj) = e-J = /. Так как щ — моно-
мономорфизм, то Uj — ядро морфизма 1А — ег.
х) Мономорфизм ц: К -*¦ А называется ядром морфизма а: А ->- В (в
обозначениях кег а), если а\х = 0 и соотношение а? = 0, где |: 7Г->- А, вле-
влечет за собой существование единственного морфизма т|: К''-*¦ К, такого, что
t11! = ?• Коядро определяется двойственно.—Прим. ред.

200 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство 3.34.3. Так как и2 — ядро 1А —
и AА — ег) ву = 0, то существует морфизм р2: А —>- А2, такой,'
что игр2 = е-у. Поэтому и2р2и2 = e1w2 = и2, т. е. и2 (р2и2 — 1А ) =
= 0, значит, р2и2 = 1Аг, поскольку и2 — мономорфизм. Анало-
Аналогично, существует р-у. А -*¦ А2, такой, что
uiPi = 1а — е1жр1и1 = iM.
Таким образом, щр-у + и2р% = ву + AА — ех) = 1А, следователь-
следовательно, 3.34.3 вытекает из 3.34.1.
3.35. Предложение и определение. Пусть С — категория мо-
модульного типа (или, более общим образом, аддитивная категория,]
которая точна в смысле 5.24). Тогда мономорфизм щ: Ау —>¦ А
называется расгцепляющимся J), если он удовлетворяет следу-
следующим эквивалентным условиям:
3.35.1. щ — ко ретракция.
3.35.2. сокег их — ретракция.
3.35.3. 0 —>- Ау —т> А -4> А2 —у 0 — расщепляющаяся точная по-
последовательность для некоторого р2: А —>- А2.
3.35.4. А является копроизведением щ и и2 для некоторого'^
мономорфизма и2: А2-у А.
Доказательство. Импликация 3.35.1 => 3.35.4 сле-
следует из 3.34.2 и 3.34.3, а 3.35.4 =>- 3.35.3 — это утверждение 2.13,
что проекции копроизведения являются ретракциями. Докажем,
что 3.35.3 =>- 3.35.2. Если выполняется 3.35.3, то щ — ядро мор-
физма р2, согласно 3.34. Так как вложения в копроизведение
являются коретракциями, то 3.35.2 выполняется 2). Остается
установить импликацию 3.35.2 =ф- 3.35.1. Предположим, что р2:
А -у А2 — коядро морфизма иг. Поскольку все коядра являются
ретракциями в том и только том случае, когда хотя бы одно из
них является ретракцией, то мы можем записать р2и2 = 1Аг для
некоторого иг: А2-*~ А. Тогда е = и2рг ? Endc А — идемпотент,
так что 3.35.1 вытекает из 3.34.3 и того факта, что инъекции
в копроизведение являются коретракциями. ?
Образ функтора
Пусть Т: С <-* D — функтор, инъективный на объектах, и пусть
/ — класс всех объектов из D вида ТА с морфизмами Т (/): ТА -*-
->¦ ТВ, где /: А ->¦ В — любой морфизм. Тогда / — подкатегория
категории D, ее обозначают через im Т.
1) Расщепляющийся эпиморфизм определяеется двойственным обра-
образом. —Прим. перев.
2) Пусть v: А -»- С есть сокег щ. Тогда T|v = рг, где г\: С -*¦ А2- Отсюда,
в частности, следует, что т] — эпиморфизм. Так как р2 — ретракция, то
iAt = p2q для некоторого q:A2-+A. Следовательно, (vgrj)vq = vgp29 =
= vq lAa = \g — icA'Qi откуда vqj) = lc, т. e. v — ретракция.— Прим. ред.
Гл. 3. Кольца и модули
201
3.36. Предложение. Пусть Т: С ~* mod-Z — аддитивный
функтор. Тогда Т естественно эквивалентен некоторому инъектив-
ному на объектах функтору.
Доказательство. Пусть Т'А — группа, состоящая из
всех упорядоченных пар (А, х), где х 6 ТА, причем сложение
определено формулой (А, х) + (А, у) — (А, х + у)- Если /: А -у
-*¦ В — морфизм из категории С, то 7" (/) (А, х) = (В, Т (/) х).
Тогда h: Т ->¦ Т', где hA (x) = (А, х), есть эквивалентность функ-
функторов. ?
3.37. Упражнения. Пусть С — произвольная категория
с нулем, и пусть AWE и А\\В существуют для любых двух объ-
объектов категории С. Согласно 2.14, морфизм /: А\\В ->- ^4Цй един-
единственным образом представляется матрицей
/ = Пав),
где 1ав = Ра^в и Ра и рв (соотв. иА и ив) — проекции (инъ-
(инъекции) произведения (в копроизведение).
3.37.1. Показать, что
1А 0
0 1ь,
— изоморфизм. В силу этого изоморфизма в дальнейшем
А © В будет обозначать произведение и копроизведение.
3.37.2. Если / и g — элементы из Могс (А, В), то единствен-
единственный такой морфизм h, что диаграмма
вПв
коммутативна, можно назвать их суммой, h = / + g, и относи-
относительно такого сложения Могс (А, В) будет абелевым моноидом
(Басе [73, стр. 27 и далее]). Вывести отсюда, что в категории С с
нулем и конечными произведениями и копроизведениями суще-

202 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
-ствует не более одного способа определить сложение, превращаю-
превращающее С в аддитивную категорию.
3.37.3. Если А и В — объекты аддитивной категории С, то
сумма / + g для /, g 6 Могс (А, В) задается любым из следую-
следующих произведений:
Гл. 3. Кольца и модули
203
тде А — диагональный, а V — кодиагональный морфизмы.
3.37.4. Объект А категории С называется малым, если каж-
каждый его морфизм А —>¦ \\ Ai в копроизведение пропускается через
конечное копроизведение в том смысле, что существует конечное
.подмножество / множества / и коммутативная диаграмма
тде \\ Aj -*¦ \\ At — канонический гомоморфизм. Таким образом,
малость объекта — категорное свойство.
(a) Показать, что любой конечно порожденный объект кате-
категории mod-Л мал.
(b) Показать, что любой малый проективный объект Р кате-
категории С с копроизведениями и с образующим U конечно порож-
порожден относительно U, т. е. существуют целое число п >0 и неко-
некоторый эпиморфизм ?/(П> —>¦ Р. Вывести отсюда, что любой малый
проективный объект категории mod-/? конечно порожден.
3.37.5. Пусть С — аддитивная категория. Следующие утвер-
утверждения об ее объекте А эквивалентны:
(a) Объект А мал.
(b) Функтор hA со значениями в категории групп сохраняет
копроизведения.
(c) Функтор С -* mod-Endc А, индуцированный функтором
hA, сохраняет копроизведения.
3.37.6. Если Т: mod-/? ~» mod-5 — эквивалентность, то X
в mod-/? конечно порожден тогда и только тогда, когда ТХ ко-
конечно порожден в mod-61.
3.38. Предложение об аддитивных категориях. Пусть Т: С ~»
^ D — ковариантный функтор аддитивных категорий. Следую-
Следующие условия эквивалентны:
3.38.1. Функтор Т аддитивен.
3.38.2. Т сохраняет конечные (ко)произведения.
3.38.3. Т сохраняет (ко)произведения А\\В (А\]В) для любой
пары А, В 6 Obj С.
Доказательство. Импликация 3.38.1 =^ 3.38.2 вытекает
непосредственно из характеризации конечных копроизведений
в аддитивных категориях (см. 3.32.1). Импликация 3.38.2 =>¦ 3.38.3
очевидна.
3.38.3 => 3.38.1. Пусть
"г Р/
At—> A —> Aj,
i, ] = 1, 2, — (ко)произведение в С. Тогда из 3.38.3 следует, что
Г(и.) Г(р,)
Т (At) —U T (A) —U T (Aj)
— (ко)произведение в D. Пусть I: А -> В и g: A ->- В — морфизмы
из категории С. Тогда морфизм / + g: A -*- В можно разложить
следующим образом:
f+8 ^ „
АШ
т- е. / + g = (/ ф g) AД, 1А). Следовательно,
T{f + g) = T(f®g)-T(iA, 1А
= (T(f)® т
Так как Т (/) + Т (g) — это единственный морфизм Т (А) -> Т (В),
обладающий указанным разложением (см. упр. 3.37.2, 3.37.3), то
т (/ + S) = Т (/) + Т (g) и функтор Т аддитивен. ?
Точные последовательности
Последовательность морфизмов
. . .-^A1->A2-^A3-^-Ait-^. . .
называется точной, если для каждого i
im (At-! -*-At) = ker (At -*¦ Ai+1).
В противном случае она неточна.

204
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3. Кольца и модули
205
Короткая точная последовательность — это точная последо-
последовательность вида
О^А^В^Х-^0.
Точная последовательность А —>¦ В -> X называется средней точ-
точной последовательностью. Левая точная последовательность —
это точная последовательность вида
0 ->¦ А ->¦ В -> X.
Аналогично определяется правая точная последовательность.
Ковариантный функтор Т: С ~* D точен слева (справа), если
он сохраняет левые (правые) точные последовательности. Точ-
Точный функтор — это функтор, который точен и слева, и справа.
Полуточным называется функтор, который короткую точную
последовательность переводит в среднюю точную последователь-
последовательность.
3.39. Предложение. Пусть А — некоторое кольцо. Функторы
ЬР и hv со значениями в категории групп точны слева для любого
объекта U категории mod-Л. Более того, функтор Ьи точен тог-
тогда и только тогда, когда U — проективный объект категории
mod-A, a hu точен тогда и только тогда, когда U — инъективный
объект категории mod-Л. (Аналогом этого предложения в точных
аддитивных категориях служит [теорема 5.8.2. Ср. также 6.11.)
Доказательство. Пусть
0-> К
X
Y
— точная последовательность в категории mod-A. Для любого
объекта U функтор Ьи со значениями в категории множеств сох-
сохраняет мономорфизмы, согласно 2.4. Следовательно, отображе-
отображение huk: hFK -+¦ huX инъективно и, очевидно, im hPk s ker huf.
Если g 6 ker hPf, то g: U ->• X и fg = 0, так что существует кано-
канонический морфизм h: U -+¦ К, для которого g = kh. Таким обра-
образом, g = hPk (h) ? im huk, а это доказывает, что последователь-
последовательность
О
huX
iPf
huY
точна. Значит, функтор ЬР точен слева. Доказательство точности
слева функтора hv проводится двойственным образом. Согласно
2.4, модуль U проективен тогда и только тогда, когда функтор ЬР
со значениями в категории множеств сохраняет эпиморфизмы, а
это равносильно требованию, чтобы функтор ЬР со значениями
в категории групп сохранял «коядра», т. е. правые точные после-
последовательности. Двойственным образом устанавливается точность
справа функтора hv в случае, когда U инъективен. ?
3.40. Упражнение.
3.40.1. Любой полуточный функтор Т: mod-Л ~* mod-Z адди-
аддитивен.
3.40.2. Функтор Т: rn.oA.-A ~ mod-Z точен тогда и только
тогда, когда он сохраняет точные последовательности.
Инъективные модули
Проективные модули легко выделить: это прямые слагаемые
свободных модулей. Аналогичного простого описания для инъек-
тивных модулей не существует, но тем не менее можно привести
следующий простой критерий инъективности:
3.41. Теорема (критерий Бэра). Правый R-модуль М инъек-
инъективен тогда и только тогда, когда для каждого гомоморфизма
/: / ->- М правого идеала I кольца R в М можно найти элемент
т 6 М, такой, что f (х) = тх для любого х 6 /.
Доказательство. Необходимость. Если М инъективен
и если /: I —>- М, где / — правый идеал, то / продолжается до.
гомоморфизма g: R ->• М и тогда т = g A) будет искомым эле-
элементом.
Достаточность. Рассмотрим модуль А, его подмодуль В и
гомоморфизм /: В ->- М. Мы хотим показать, что существует гомо-
гомоморфизм g: А ->- М, продолжающий /. Пусть Р — совокупность
пар (А1, /'), где А' — подмодуль модуля А, содержащий В, а
/': А' ->- М — гомоморфизм, продолжающий /. Эта совокупность
непуста, так как (В, f) ? Р. На ^ можно естественным образом
ввести частичный порядок, положив (А', /') ^ (А", /") тогда и
только тогда, когда А' ^ А" и /' \ А" = /". Если {(Аи ft) \ i 6
? /} — произвольная цепь в Р ж С = \J At, то существует гомо-
гомоморфизм Ь: С -*¦ М, определенный следующим образом: если а 6
6 С, то а ? Ai для некоторого i, и тогда положим h (a) = ft (a);
если а принадлежит также А}, то /; (а) = fj (а), т. е. h (а) не за-
зависит от i. Далее, пара (С, Ь) принадлежит Р, откуда следует,
что Р индуктивно. Теперь применяем лемму Цорна и получаем,
что в Р существует максимальный элемент, обозначим его снова
через (С, Ь). Если С = А, то доказательство завершено. Мы пред-
предположим, что С фА, и придем к противоречию.
Если х ? А ш х $ С, то D = С + xR — подмодуль, строго
содержащий С. Далее, / = {г ? R | хг 6 С) — правый идеал коль-
да Л и соответствие г i—»- h (хг), заданное для любого г ? J, —
это гомоморфизм 0: J -*¦ М. (Отметим, что 6 = h о xs, где xs —
умножения слева элементов из / на х, а следовательно, является
гомоморфизмом.) По предположению существует m 6 М, такой,
что 6 (г) == h (хг) = mr для любого г 6 J-

206 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Далее, рассмотрим отображение
h': с + хг *-+ h (с) + тг,
определенное для любых с 6 С, г ? R. Если ct + хгх = с2 + xrit,
где сх, сг 6 С, гх, г2 6 i?, то а; (гх — г2) = с2 — сх 6 С, значи^
гх — г2 6 Л откуда следует, что
5. Кольца и модули
207
fo — г2) = 0 (га — г2) = /г (ж (г,
= /i (ca) — h (cO,
r2)) = А (с2 — Cl) =
т. е.
h
= h (c2) + m2r.
Это показывает, что h' отображает D = С -f- xR в М. На самолм
деле h' является гомоморфизмом модуля D в М, продолжающим]
/. Так как D zd С, то (D, ti) > {С, К) в противоречие с макси-
максимальностью пары (С, К). Это завершает доказательство. ?
Таким образом, М инъективен (что, согласно 3.39, равносильно-!
точности функтора hM) тогда и только тогда, когда для каждого-!
правого идеала / кольца R функтор hM индуцирует сюръективное-]
отображение HomH (R, М) -*¦ Нотн (/, М).
Регулярные элементы
Элемент х некоторого кольца называется регулярным справа
(слева), если он не является левым (соотв. правым) делителем
нуля, т. е. если для него из равенства ху = 0 следует, что у = О'
для любого у 6 R (соотв. ух = 0 =>- у = 0 для любого у 6 R)*
Элемент называется регулярным, если он регулярен и справа
и слева.
3.42. Пример. Пусть L — кольцо всех линейных преобра-
преобразований бесконечномерного правого векторного пространства V!
над полем К. Пусть {xt | i = 1, 2, . . .} — базис пространства
V, а / — такое линейное преобразование, что / (х2п) — xnvif (a^n-i) =
= 0, п = 1, 2, ... . Так как V — проективный объект категории !
mod-if, то существует линейное преобразование g, такое, что fg =
= 1. Следовательно, / регулярно слева, поскольку hj — 0 вле-
влечет за собой h = 0 для любого h ? L. Если бы / было регулярно,
то из инъективности пространства V в категории mod-ZsT следовало
бы существование преобразования g' 6 L, такого, что g'f == 1
(и тогда g' совпадало бы с g), но это невозможно, так как / не яв-
является автоморфизмом пространства V. ?
Делимые группы
Как уже установлено, правый идеал 1 кольца R является глав-
главным (циклическим), если / = xR для некоторого х 6 R. Кольцо-
]{ называется кольцом главных правых идеалов, если каждый
правый идеал в R главный. Область главных правых идеалов —
это кольцо главных правых идеалов, являющееся областью цело-
целостности. Правый Д-модуль М называется делимым, если М =
= Мх для каждого регулярного элемента х 6 R. Здесь Мх =
= {тх | т 6 М).
Критерий Бэра инъективности модуля М состоит в следую-
следующем: если I — правый идеал кольца R и /: / —*- М — гомоморфизм?
то существует элемент т ? М, такой, что f (х) = тх для любого
х 6 I- Если это выполняется для фиксированного правого идеала
/, то мы назовем М /-полным. Тогда критерий Бэра примет вид:
М инъективен тогда и только тогда, когда он I-полон для каж-
каждого правого идеала I кольца R. Первый из приведенных ниже
результатов описывает /-полные модули М, когда / — главный
правый идеал. Напомним, что если X — подмножество из М, то
annR X = {а 6 R | ха = 0} = X1, а если Хдй, то
аппм X = {т € М | тХ = 0} = IX.
3.43. Предложение. Если I = xR — главный правый идеал
кольца R, то правый R-модуль М является I-полным тогда и толь-
только тогда, когда -L(annH x) s Мх.
Доказательство. Для краткости обозначим annH x
через х1. Предположим сначала, что М является /-полным. Пусть
у ? -L(a;-L), и рассмотрим соответствие /: хп-* уг, определенное для
любого г ? R- Если хг = хг', где г, г' f i?, то г — г' ? х1, п так
как у ? 1(х1), должно быть уг = уг', т. е. / — гомоморфизм идеала
/ в М. В силу /-полноты модуля М существует т 6 М, такой, что
/ (w) = mw для любого w ? I', в частности, у = / (х) = тх. Это
доказывает, что 1(х1) s Мх.
Обратно, предположим, что 1{х1) s Мх. Если /: / -*- М —
произвольный гомоморфизм, то
f(x)a=f (ха) = / @) = 0
Для любого а ? х1, значит, / (х) 6 1(%1)- Следовательно, / (х) =
= тх для некоторого т ? М, и тогда / (w) = mw для любого
и> е I = xR. и
Если R — область целостности, то х1 = 0 для любого нену-
ненулевого х 6 R, и тогда 1(хх) = J-O = М. Применяя предложение
3.43 к этому случаю, получаем такое следствие:

208 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
3.44. Следствие. Пусть R — область целостности, а М —
некоторый R-модулъ.
3.44.1. Если М инъективен, то он делим.
3.44.2. Если М делим, то он xR-полон для любого х ? R. ?
3.45. Следствие. Если R — область главных идеалов, то пра-
правый R-модулъ инъективен тогда и только тогда, когда, он делим. ?
Это следствие не является наилучшим из возможных. (Любой
делимый модуль над дедекиндовой областью инъективен! См. гл. 4,
упр. 9.)
Пусть М — некоторый Д-модуль. Он называется модулем без
кручения, если для любого регулярного элемента а 6 R из ра-
равенства ха = 0, где х 6 М, следует, что х = 0. Кольцо R обладает
(классическим) правым кольцом частных Q, если в категории
RINGS существует такое вложение h: R —*¦ Q, что h (x) обратим
в Q для всех регулярных элементов х ? R и что
Q = {h (a) h (х)'1 \ а ? R, х регулярен в R}.
Впредь мы будем предполагать, что если Q — кольцо частных
кольца R, то R s Q. Таким образом, Q = {аЪ~х \ а 6 R, Ъ регу-
регулярен в R). Для того чтобы кольцо R обладало правым кольцом ,
частных, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух эле-
элементов а, Ъ, второй из которых регулярен, существовали эле-
элементы с, d 6 R, где с — регулярный элемент, такие, что
ас = bd (условие Оре)
(Или, удобнее для запоминания, Ь~га = dc~x.) Любое коммута-
коммутативное кольцо удовлетворяет этому условию. Любая область цело-
целостности, обладающая правым кольцом частных D, называется
правой областью Оре, и тогда D обязательно будет телом, назы-
называемым ее правым телом частных. Детали его построения приве-
дены^в гл. 9.
3.46. Упражнения.
3.46.1. (а) Любые два правых кольца частных Qt кольца R,
ht: R ->- Qi, i = 1, 2, изоморфны, причем соответствующий изо-
изоморфизм g: Qx -*¦ Qz удовлетворяет условию ght = h2.
(b) Если Q — правое кольцо частных кольца R, то Q является
своим левым и правым кольцом частных.
(c) Если Q — правое кольцо частных кольца R, то оно является
его левым кольцом частных в том и только том случае, когда R
обладает левым кольцом частных.
3.46.2. (а) Если R — область целостности, то Д-модуль без
кручения инъективен тогда и только тогда, когда он делим. Если
К — тело частных кольца R, то любой делимый Д-модуль без
кручения является векторным пространством над К. Далее,
Д-модуль KIR делим, но не обязательно инъективен.
I
Гл. 3. Кольца и модули
209
(Ь) Если R — правая область Оре, то ее правое тело частных
К является инъективным Д-модулем.
3.46.3. Если R — область главных правых идеалов или, более
общим образом, любая нётерова справа область, то она является
правой областью Оре. Область целостности будет правой областью
Оре тогда и только тогда, когда она не содержит ни одного пра-
правого идеала, являющегося бесконечной прямой суммой ненуле-
ненулевых подмодулей. (Теорема Голди [58].)
3.46.4. Абелева группа Q/R. служит инъективным кообразую-
щим категории mod-Z.
3.47. Следствие. Если R — область главных правых идеалов,
то ее правое тело частных К существует и KIR оказывается инъ-
инъективным кообразующим категории mod-R.
Доказательство. Тот факт, что R имеет правое тело
частных К, вытекает из того, что aR (~| bR — xR для заданных,
элементов а, Ъ и некоторого х. Таким образом, если а фОжЪ фО,
то х = ас = bd для некоторых элементов с и d кольца R. Тогда
R удовлетворяет условию Оре, равносильному существованию
правого тела частных К. Так как К, а также KIR — делимые
-ff-модули, то оба они инъективны по 3.45. Остается показать,
что KIR — инъективный кообразующий. Согласно 3.31, для этого
достаточно установить, что каждый простой модуль V вклады-
вкладывается в KIR. Однако V та RIpR для некоторого максимального
правого идеала pR кольца R, и тогда {p~xR + R)IR — подмодуль
модуля KIR, изоморфный модулю R/pR, причем этот изоморфизм
осуществляется отображением, переводящим смежный класс р~ха-\-
+ R из KIR в смежный класс [а + pR] из R/pR. ?
Для некоторых из приведенных ниже упражнений отметим,
что любое произведение инъективных модулей инъективно (гл. 2,
упр. 1), но прямая сумма инъективных модулей быть инъективной
не обязана.
3.48. Упражнения.
* 3.48.1. Если Q — инъективный модуль и если прямая сум-
сумма любой счетной совокупности экземпляров модуля Q инъективна,
то прямая сумма любой совокупности экземпляров модуля Q инъ-
инъективна. Верно ли дуальное утверждение? (Ср. Фейс [66].)
* 3.48.2. Показать, что если над кольцом R каждая прямая
сумма изоморфных инъективных правых й-модулей инъективна,
то любая прямая сумма инъективных правых Д-модулей инъек-
инъективна. Верно ли дуальное утверждение? (Ср. Фейс — Уокер [67].)
* 3.48.3 (Картан — Эйленберг — Басе — Папп). Показать, что
условия упражнения 3.48.2 выполняются тогда и только тогда,
когда 7? удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей пра-
14 к. Фейс

210 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3. Кольца и модули
211
вых идеалов. [Указание: пусть /х < ... < 1п < ... — цепь пра-|
вых идеалов кольца R. Вложить фактормодуль RIIn в некоторьй
оо а
инъективный модуль Еп. Рассмотреть модуль Е = \\Еп и есте-j
п I
ОО J
ственное отображение идеала / = U 1п в Е и использовать кри-1
п=1
терий Бэра. При доказательстве обратного утверждения заме-
заметить, что каждый правый идеал / конечно порожден.]
3.48.4 (Фейс — Уокер). Каждый инъективный проективный!
неразложимый модуль изоморфен прямому слагаемому модуля|
RB (а следовательно, цикличен).
3.48.5. Пусть R — коммутативная область целостности с по-1
лем частных К. Доказать эквивалентность следующих утвержде-j
ний для произвольного ненулевого идеала / кольца R:
(a) / проективен.
(b) Существует конечное число элементов kt 6 К и xt 6 1,\
таких, что
R, i = 1, . . ., п, и
2
г=1
(с) / — образующий.
[Указание: использовать лемму о дуальном базисе 3.23. Исполь-|
зовать также тот факт, что К инъективен в mod-i?, и с его по-1
мощью показать, что гомоморфизмы из Нотн (/, R) индуцируются]
умножениями на элементы из К.]
Вывести отсюда, что любой проективный идеал области цело-]
стности R конечно порожден. Однако, кольцо R не обязательно}
удовлетворяет условию максимальности для проективных идеалов.
3.48.6. Модулем характеров произвольного левого /?-модуля]
М называется естественным образом определенный правый i?-Mo-|
дуль М' — Horn (M, ©,/Z). Для любого / : М -*- N пусть /' =1
= Aq ,j (/). Тогда / является мономорфизмом в том и только том!
случае, когда /' — эпиморфизм.
3.48.7. Показать, что модуль характеров Р' = Нот (Р, <Q,/Z)J
произвольного проективного модуля Р категории i?-mod инъ-j
ективен в категории mod-/?.
Используя тот факт B.6.6), что каждая конечная абелева)
группа изоморфна своей группе характеров, установить само-]
инъективность кольца Zn, т. е. его инъективность в категории!
mod-Zn, для каждого п Ф 0. С помощью модулей характеров]
и бихарактеров доказать, что любой идеал кольца Zn является]
аннуляторным.
Унивалентные точные функторы
Диаграмма
Т
¦*- D
где Т, S, R — функторы, называется коммутативной, если суще-
существует эквивалентность функторов Т « RS. Для любого адди-
аддитивного унивалентного функтора Т: С ~* SETS найдется функтор
^mod-Z' ^ "* mod-Z, такой, что диаграмма
SETS
'mod-Z
mod-Z
где а — забывающий функтор, коммутативна, т. е. Т пропускается
через mod-Z. В следующем предложении устанавливается, что если
С и D — категории, точные в смысле 5.24, то любой унивалентный
функтор Т: С ~* D отражает коммутативные диаграммы и точные
последовательности. Таким образом, для этих категорий из суще-
существования унивалентного точного функтора Т: С ~* D следует, что
диаграмма или последовательность S коммутативна или точна
в С тогда и только тогда, когда коммутативна или точна соот-
соответствующая диаграмма или последовательность TS в D.
Если U — проективный образующий аддитивной категории
С, то ЬР индуцирует точный унивалентный функтор С ~ mod-Z.
Двойственным образом, если U — инъективный кообразующий,
то hv индуцирует контравариантное точное вложение С ~» mod-Z.
(Ср. теорему о точном вложении 14.21.)
Некоммутативная диаграмма — это диаграмма, содержащая
треугольник
*¦ В
14*

212 Ч- I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
или квадрат
который не является коммутативным. Неточная последовател!
ность — это последовательность, которая не является точной.
3.49. Предложение. Пусть С и D — категории.
3.49.1. Унивалентный функтор Т: С ~* D сохраняет
левые объекты, ненулевые морфизмы и некоммутативные диагрс
мы, т. е. отражает нулевые объекты, мономорфизмы, эпимор-»
физмы и коммутативные диаграммы.
3.49.2. Пусть С = mod-i? и D = mod-5, где R и S — колъъ
(или, более общим образом, С и D могут быть категориями,
ными в смысле 5.24). Тогда унивалентный функтор Т: С ~* D ompc
жает точные последовательности. Таким образом, унивалентный
точный функтор отражает и сохраняет точные последователь
ности.
Эти утверждения верны также для контравариантного
тора Т, если проделать очевидные изменения в связи с переходов
эпиморфизмов в мономорфизмы и наоборот.
Доказательство 3.49.1. Сначала предположим, что
С и D — категории с нулем. Нулевой объект характеризуете*
тем, что его единичный морфизм является нулевым морфизмом.1
Таким образом, если А 6 Obj С и ТА ф О, то Т AА) Ф Т @А)|
и, поскольку Т — отображение, 1А Ф 0А. Это показывает, что!
Т отражает нулевые объекты. Для остального нет необходимости]
предполагать существование нулевых объектов. Если /, g и h
морфизмы и / = gh, то Т сохраняет произведение, значит, Т (/) —!
= Т (g) T (h). Таким образом,1 Т сохраняет коммутативные диа-|
граммы, а следовательно, отражает некоммутативные. Пусть те-|
перь fit = fg и Т (/) — мономорфизм. Тогда Т (/) Т (К) =
= Т (f)T (g), T (h) =T (g) и, значит, h = g. Таким образом,!
/ — мономорфизм, значит, Т отражает мономорфизмы; двойствен-!
ным образом получается аналогичное утверждение для эпимор-|
физмов, а следовательно, и для эквивалентностей. Для контрава'
риантных функторов это предложение также справедливо,!
поскольку функтор Т*: D* —>- С* ковариантен и все рассматривае-1
мые свойства при С ~* С*, где С* —дуальная категория, coxpa-j
няются (за исключением того, что эпиморфизмы переходят в]
мономорфизмы и наоборот).
Гл. 3. Кольца и модули
213
Доказательство 3.49.2. Предположим, что
В
T(gf)
ПС)
и диаграмма II точна в члене Т (В). Пусть К —> В — ядро мор-
физма g. Тогда gk = 0 и Т (g) T (k) = T (gk) = 0. Таким обра-
образом, существует морфизм Т (ker g) -*- ker (Tg), при котором тре-
треугольная диаграмма Г коммутативна.
her (Tg)
CoheriTf)
rfcoherf)
Треугольник II' коммутативен по двойственности. Так как диа-
диаграмма II точна в Т (В), то
(ker (Tg)-+T (В) -* coker (Tf)) = 0
и, следовательно,
(Т (ker g)-+ T (?) -»- Т (coker /)) = 0.
Так как Т унивалентен, то (ker g ->- В ->- coker /) = 0, откуда
следует, что I точна в В. ?
3.50. Лемма (Экман — Шопф [53]). Пусть R — кольцо, a G —
делимая абелева группа. Тогда Hom-^ (R, G) — инъективный пра-
правый R-модулъ.

214 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3. Кольца и модули
215
Доказательство. Пусть Е = Homz (R, G). Прежде)
всего если f?E,x?Rnr?R, to fr (x) = / (гх). Рассмотрим диа-|
грамму
В - * А
Е
где В — подмодуль некоторого /?-модуля А, а а — включениеj
Если h 6 Е и х ? R, то h [x] обозначает образ элемента х при h.,
Пусть, далее, я обозначает Z-гомоморфизм Е ->- G, который пере-
переводит /igi? в Ы1] ? G. Тогда ijj = я о / является Z-гомомор-
физмом модуля В в G. Поскольку G — инъективный Z-модулт
по 3.15, то существует Z-гомоморфизм if: A -*- G, продолжающий 1|э.|
Если а ?А, то as обозначает левое умножение R на а. Тогда
1|э ° as является Z-гомоморфизмом R в G, т. е. if ° as ? Е
любого a ? А. Далее, рассмотрим отображение/: А -*-Е, где/ (а) —\
= 1|з о as для любого а f i. Если г 6 -R и х g i?, то
/ (аг) [ж] = ijj о (ar)s [ж] = 1|э (аг -х) —
= 1|э (д«гж) = 1|э о as [r'x] = / (а)г [ж],
т. е. / (аг) = f (а) г для любых г ? R, а ? А. Значит, / есть i?-ro-
моморфизм Л -^i?. Так как 1|э индуцирует 1|э, ясно, что /индуцируй
ет /. Таким образом, / пополняет приведенную выше диа-
диаграмму. ?
3.51. Упражнения.
3.51.1. Показать, что если Р — проективный левый Д-мо?
дуль и C?z делим, то Homz (P, G) — инъективный правы!
Д-модуль. [Указание: если Р = i?(J>, то Е = Homz (P, G) — левыв
Д-модуль, изоморфный F1 (прямое произведение), где F
= (R, G). В общем случае использовать изоморфизм левыз
Homz (Р ф Q, G) « Homz (P, G) ф
((?, G).J
3.51.2. Пусть А\ и В — кольца и М — произвольный!
(В, Л)-бимодуль. Если М — проективный левый 2?-модуль,|
то HomA (M, U) — инъективный правый 5-модуль для любого!
инъективного правого Л-модуля U. Вывести отсюда, что функтор!
0 mod-5, индуцированный функтором hM, сохраняет
инъективные объекты. Ср. упр. 3.51.1.
Для следующих двух упражнений нужно понятие функтора,
сопряженного к ковариантному основному функтору. Если М есть
E, Л)-бимодуль, то левый сопряженный к функтору hM: mod-A ~+
~> mod-5 обозначается через ® М (ср. тензорное произведение
в
в гл.5 и 11). Таким образом, для любого правого 5-модуля X суще-
существуют естественные изоморфизмы
Нотв (X, НотА (М, U)) « НотА (X ® М, U).
в
*3.51.3. Показать, что в условиях упражнения 3.51.2 контра-
вариантный основной функтор со значениями в категории групп,
индуцированный правым ^-модулем HomA (M, U), естественно
эквивалентен произведению точных функторов <8> МиНотА ( ,17)
в
и, следовательно, точен. Отсюда вытекает инъективность модуля
HomA (M, U) в категории mod-Z?, и, значит, hM сохраняет инъек-
инъективные объекты. (Ср. 6.28.)
3.51.4. Применить упр. 3.51.3 для уточнения леммы 3.50.
Именно, для любого объекта X категории /?-mod
HomR (Z, Homz (R, Q/Z)) at Homz (Z ® R, Q/Z) »
« Hom^ (Z, Q/Z),
а это показывает, что контравариантный основной функтор, инду-
индуцированный модулем Нот (R, Q/Z), естественно изоморфен основ-
основному функтору, индуцированному Q/Z, и отсюда следует, что
Нот (R, Q/Z) — кообразующий в mod-i?. (Ср. 3.53.)
Модуль характеров
По 3.47 аддитивный функтор со значениями в категории групп
mod-Z ~* mod-Z
A t-> v4'=Homz (A, Q/Z) (на объектах)
/_*/'==/iQ/z (/) (на морфизмах)
га/ж
унивалентен и точен.
Группа А' называется группой характеров группы А для
любой абелевой группы А, а. А" = (А')' — группой бихарактеров.
Аналогичное обозначение употребляется для группы характеров
М' левого /?-модуля М. В этом случае М' каноническим образом
наделяется структурой правого Д-модуля C.7.1) и называется
модулем характеров модуля М.

216 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 3. Кольца и модули
217
3.52. Предложение. Каноническое отображение
( А-> А"
где
4' _> Q/Z
F -*</,«) =/(a),
инъективно. Если А — левый R-модуль, то А" каноническим обра\
зом наделяется структурой левого R-модуля и л А: А ->• А" — монс
морфизм в категории i?-mod.
Доказательство. Следующие утверждения эквива-1
лентны:
1. лА: А -»- А" — мономорфизм (гомоморфное вложение).
2. Для каждого а Ф 0 из А существует / Ф 0 из А', такое, чтс
3. Канонический морфизм (дуальный к морфизму из 3.25)
А —+¦ (Q/Z)-4' — мономорфизм (гомоморфное вложение).
Так как Q./Z — инъективный кообразующий в категори!
mod-Z по 3.47, то условие 3 выполняется как дуальное к 3.25,1
следовательно, выполняется и 1. Если А — левый Д-модуль,1
то формула fr (a) = f (га), которая справедлива для любых а ? А Л
f g A', r g i?, показывает, что лА: А —>- А" — мономорфизм кате-]
гории i?-mod. П
3.53. Теорема. Категория mod-i? для любого кольца R обладает!
инъективным кообразующим. Им является, например, модуль\
характеров модуля R.
Доказательство. В силу 3.50 модуль характеров i?'
левого iJ-модуля i? инъективен в mod-i?, и, согласно 3.31, i?'
является кообразующим тогда и только тогда, когда каждый!
объект М из mod-i? вкладывается в произведение i?'7 для неко-j
торого множества /. Чтобы доказать существование такого вло-
вложения, возьмем точную последовательность i?W —*- М' —*- 0 j
в i?-mod. Тогда 0 ->- М" -*¦ i?<J>' точна в mod-i? по 3.49. Поскольку '
0 —*¦ М -*- М" точна по 3.52, а h^rj^ превращает копроизведения
в произведения,! то i?G>' «
точная последовательность
получить. ?
3.54. Следствие (Бэр [40]). Для любого кольца R категория
mod-i? инъективно богата, т. е. для каждого модуля М из
mod-i? существует мономорфизм М -> Е модуля М в некоторый
инъективный модуль Е. ?
R'1 и, следовательно, имеет место
0 -*- М -*- R'1, а это и требовалось
Наименьший кообразующий
Если С — кообразующий категории. D и С -*- М — мономор-
мономорфизм этой категории, то М — кообразующий. Кообразующий С
категории D называется наименьшим, если для любого кообра-
зующего М этой категории найдется мономорфизм С —*- М.
3.55. Предложение. Пусть R — кольцо, a {St \ i ? 1} — мно-
множество всех представителей классов изоморфных простых R-моду-
лей. Для каждого i 6 I пусть Ei обозначает, инъективную оболочку
модуля St (см. стр. 218 — 220). Тогда
3.55.1. С = \\ Ei — наименьший кообразующий в mod-i?.
3.55.2. Каждый наименьший кообразующий изоморфен С.
3.55.3. Каждый эндоморфизм модуля С, являющийся мономор-
мономорфизмом, будет автоморфизмом.
Доказательство 3.55.1 и 3.55.2. Пусть М — кообра-
кообразующий, a f(: Et ->- М — мономорфизмы, дуальные к указанным
в 3.26.1 эпиморфизмам, и пусть
— их копроизведение. Так как St попарно неизоморфны, семей-
семейство подмодулей {/ (Si)} независимо и, следовательно, незави-
независимо семейство {/ (Ei)\. Отсюда получается, что / — мономорфизм.
Действительно, если xt 6 Et и ^jXt — конечная сумма в С =
г
[] ?j, то из равенства / B хд =0 вытекает, что
г?/ г
г?
Значит, / (xt) = 0, откуда xt = 0 для любого i 6 I- Этим дока-
доказано, что С — наименьший кообразующий.
Доказательство 3.55.3. Сумма S = 2 $i прямая,
поскольку каждый St прост (упражнение). Кроме того, S — суще-
существенный подмодуль модуля С, так как каждый St существенен
в Et. Если h: С -*- С — мономорфизм, то Vt = h (St) — простой
модуль, изоморфный St, следовательно Vt = St для всех i E /.
Это доказывает, что Н = im h содержит существенный подмодуль
модуля С, а именно S. С другой стороны, Н инъективен, так как
Я « С. Поэтому, ввиду следующего предложения, Н — прямое
слагаемое модуля С. Это доказывает, что Н = С и, следовательно,
h — изоморфизм. ?

218 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
3.56. Предложение. Объект Е категории mod-i? инъективещ
тогда и только тогда, когда каждый мономорфизм Е -*- F в mod-i
расщепляется.
Доказательство. Если /: Е -*- F — мономорфиз^
в какой-либо категории, а Е — инъективный объект, то отображе
ние hEf: hE (F) -*- hE (E) сюръективно. Значит, существует мор
физм g: F ->- Е, такой, что hE (/) g = gf = 1Е, т.е./ — корет-j
ракция. Обратно, если /: Е —>- F — вложение произвольно^
объекта в инъективный, то из его расщепляемости следует инъеь
тивность Е. Действительно, если gf = 1Е для некоторого g: F -*- El
то для любого мономорфизма h: М —*- N и морфизма k: M ¦
имеет место коммутативный внешний треугольник
Гл. 3. Кольца и модули
219
где t: N —>¦ F существует в силу инъективности объекта F. ?
3.57. Следствие. Объект Р категории mod-i? проективен тогда
и только тогда, когда любой эпиморфизм X -*¦ Р в mod-i? рас
щепляется. ?
Существенные расширения
Подмодуль N модуляМ называется существенным, есляА (~| Ыф
Ф Q для любого подмодуля А Ф 0. В этом случае также говорят,
что М — существенное расширение 1) модуля N. Это условие
равносильно требованию, чтобы любой подмодуль aR, порож-
порожденный элементом О Ф а ? М, пересекался с iV, т. е. aR f\ N Ф О,
или чтобы для каждого а ? М существовал г 6 R, такой, что
аг Ф 0 и аг ? N.
Пусть М, N — некоторые ii-модули, причем М э N. Тогда
(М D> ^V)B, или просто М \> N, обозначает, что N — существен-
существенный подмодуль в М. Очевидно, что если М \> N и N [> Р,
то М \> Р.
Гомоморфизм /: А —*- В называется существенным, если im / —|
существенный подмодуль.
Отметим, что если /: А -*¦ В — гомоморфизм и В t> С, то А [>
flC
3.58А. Лемма. Любая диаграмма вида
М
h
с точными строкой и столбцом, где модуль Е инъективен, а гомо-
гомоморфизм N —>- М существен, может быть пополнена точной после-
дователъностью 0 ->¦ М—>Е. Иными словами, любое вложение неко-
некоторого модуля в инъективный может быть продолжено до вло-
вложения любого существенного расширения этого модуля в тот же
инъективный модуль.
Доказательство. Из инъективности Е следует суще-
существование такого гомоморфизма g, что gh = /. Так как / — моно-
мономорфизм, то ker g Г) im h = 0 и М j> im h влечет за собой
ker g = 0. ?
3.58 В. Предложение. Модуль М инъективен тогда и только
тогда, когда каждый существенный мономорфизм f:M—*-A
является изоморфизмом.
Доказательство. Доказательство в одну сторону
содержится в доказательстве следствия 3.56 *). Обратно, пусть h:
М -*- Е — мономорфизм, где Е — инъективный модуль. Так как
М ?» im h, то im h обладает всеми теми свойствами, которыми
обладает М. Таким образом, можно положить М = im h s E.
Пусть S — полученный по лемме Цорна подмодуль из Е, макси-
максимальный в множестве таких подмодулей К, что К |~| М = 0.
Пусть f: E -> EIS — канонический гомоморфизм, и пусть g:
1) Есть мнение, что его следует называть несущественным.
г) Точнее, если М инъективен и /: М -»- N — существенный мономорфизм,
то, согласно C.35) и B.19.2), N = im / + М' и im / П М'= 0, что возможно
лишь при М'= 0.— Прим. ред.

220 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
М —*~ EIS — индуцированное им отображение. Так как g — монс
морфизм и (E!S) \> М '), то g — существенный мономорфиз*
а значит, g — изоморфизм по предположению. Так как im g
= (М + S)/S, то Е = М + S, а значит, Е = М ® S *). Пря<]
мое же слагаемое инъективного модуля инъективно. ?
Инъективная оболочка Л-модуля М определяется как суще
ственный мономорфизм М —*¦ М в инъективный модуль М. В сле\
дующей теореме устанавливается, что любой модуль имеет
хотя бы одну инъективную оболочку, а тогда из 3.58 В следует^
что любые две различные инъективные оболочки являются эквивсщ
лентными мономорфизмами.
Максимальное существенное расширение модуля М определя-
определяется как правый нуль в полной подкатегории категории source Mj
состоящей из всех существенных мономорфизмов М -*¦ F'.
3.59. Теорема (Бэр [40]), Экман — Шопф [53]. Для любого
объекта М категории mod-i? существует инъективная оболочка,
а также максимальное существенное расширение, и оба эти объекта
совпадают2). Таким образом, М —>• Е — инъективная оболочка
модуля М тогда и только тогда, когда М ->- Е является макси-
максимальным существенным расширением. Кроме того, любое гомоморф-
гомоморфное вложение М —*- F, где F инъективен, продолжается до вло-
вложения Е —*- F инъективной оболочки Е модуля М.
Доказательство. Пусть F — инъективный модуль,
содержащий М, существование которого доказано в 3.54. По лемме;
Цорна среди всех подмодулей Е из F, таких, что Е > М, суще-!
ствует максимальный. Если /¦: Е —*- А — существенный мономор-1
физм, то по 2.4 (II) B) мономорфизм /-1: В -> F, где В = im /,
можно продолжить до мономорфизма g: A -> F. Тогда М — суще-
существенный подмодуль модуля im g, M s E E im g, и в силу
максимальности расширения Е имеем Е = im g. Таким образом,
В — А и f~l = g. Значит, каждый существенный мономорфизм
Е —у- А является изоморфизмом и Е инъективен по предыдущему
предложению. ?
Последнее высказывание в этой теореме вытекает из 3.58А
и имеет такое следствие:
любой инъективный модуль F, содержащий модуль М, содержит
и его инъективную оболочку.
Гл. 3. Кольца и модули
221
J) Если X + S ф S, то (X + S) П М Э а, а $ S. .Следовательно, а ?
€ S + (X + S) П М = (X + S) П (М -j- S), отсюда (E/S) О М.— Прим.
перев.
2) Учесть 2.19.2.— Прим. ред.
3) См. замечания к гл. 3 (стр. 236—237).
Модули, каждый из которых изоморфен
подмодулю другого
Может быть так, что каждый из двух модулей А и В изоморфен
подмодулю другого и тем не менее эти модули не изоморфны.
Например, пусть А — область целостности, не являющаяся коль-
кольцом главных идеалов, а В — правый идеал, не являющийся
главным. Если х — произвольный ненулевой элемент из В,
то правый Л-модуль А изоморфен правому идеалу С = хА,
но В не изоморфен А, так как он не порождается одним элементом.
Другой пример: пусть В — прямая сумма бесконечной совокуп-
совокупности экземпляров циклической группы Z4 порядка 4, и пусть
А = Z3 Ф В. Тогда каждая из групп А ж В изоморфна подгруппе
другой, но А и В не изоморфны, так как В не содержит прямого
слагаемого, изоморфного Z2. Однако в каждом из рассмотренных
примеров А и В имеют изоморфные инъективные оболочки. Этот
факт является следствием приводимого ниже предложения 3.60.
Доказательство повторяет и в действительности влечет за собой
соответствующий результат для множеств. (Теоретико-множествен-
(Теоретико-множественное введение, теорема 3.)
3.60. Предложение х). Пусть А я В — инъективные модули.
Если существуют мономорфизмы А —*- В и В —*- А, то А да В.
Доказательство. Достаточно предположить, что В —
подмодуль модуля А и что есть мономорфизм /: А —>¦ В. Так
как В инъективен, то он выделяется в А прямым слагаемым,
значит, А = Н © В. Пусть
р = н © / (Н) © / (/ (Я)) е ... .
Так как
А = Н ® В =>Н ® f (A)=> H ® f (H) ® f (В) => . . . ,
то
р[\в = / (я) е / (/ (#)) ©
т. е. Р[\В = / (Р).
Далее, пусть Q — максимальное существенное расширение
модуля Р П В в В. Поскольку В инъективен, то Q инъективен,
а значит, В = Q © К для некоторого подмодуля К. Тогда
А = Я Ф В = Я Ф (Q Ф К) = (Н Ф Q) ф К,
следовательно, Я Ф Q также инъективен. Определение модуля Р
показывает, что Р s Я + Q, а из тождества Р |~| В = / (Р)
*) Вопрос о справедливости этой теоремы возник в семинаре по инъектив-
ным модулям и кольцам частных, который я вел в Ратгере в 1962—1963 гг.
На следующей же неделе я получил два независимых решения от Бамби и от
Ософской. Здесь приведено доказательство Бамби [65].

222 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
следует, что / индуцирует гомоморфизм g: P -*- Q, который в crnij,
инъективности модуля Q можно продолжить до гомоморфизма g';
Н ф Q -*- Q. Из определения модуля Q вытекает, что g' — изомот
физм и тогда прямая сумма гомоморфизмов
g' © 1К : (Н ф Q) ф К -> Q ф К
и есть нужный изоморфизм А -*- В. П
Понятия, примыкающие к инъективности
Есть очень много связанных с инъективностью понятий, кото-1
рые следовало бы на этом этапе ввести в любой курс, касающийся^
инъективных модулей. В особенности это относится к неразло-1
жимым (инъективным) модулям и их кольцам эндоморфизмов,!
прямым суммам инъективных модулей (когда они инъективны?)']
вполне инвариантным подмодулям, квазиинъективным модулям!
и таким понятиям, как проективное накрытие, дуальное к поня-1
тию инъективной оболочки, а также дуальное к понятию конеч-1
но порожденного модуля, и ко многим другим. Но, включив!
уже в эту главу около шестидесяти результатов, мы вынуждены
удовольствоваться некоторым количеством упражнений, приве-|
денных здесь и в конце главы. В них формулируется ряд важных}
результатов, на которые я буду ссылаться. Более полно об этом]
будет сказано в томе 2, особенно в гл. 17—22.
Вкратце, модуль М называется неразложимым, если в нем!
прямыми слагаемыми выделяются лишь 0 и сам М. Далее, модуль
U однороден, если каждый подмодуль из U неразложим. Вполне
инвариантный подмодуль некоторое модуля — это подмодуль^;
который отображается в себя при любом эндоморфизме этого!
модуля. Модуль квазиинъективен, если любой гомоморфизм любого
его подмодуля в сам модуль индуцируется некоторым эндоморфиз-
эндоморфизмом ^ всего модуля.
Кольцо R называется локальным, если его необратимые эле-
элементы составляют идеал. (Можно показать, что R локально тогда
и только тогда, когда i?/rad R — тело A8.10).) Локальных колец
очень много. С каждой коммутативной областью целостности R
связано ее поле частных К, которое с точностью до изоморфизма
характеризуется тем свойством, что К = {ab~l \ a, b Ф 0 ? R}.
Тогда для любого простого идеала Р кольца R подкольцо RS'1
поля К7 состоящее из всех элементов as-1, где а ? R, a s принад-
принадлежит дополнению S = R — Р идеала Р в R, является локальным
кольцом, называемым локальным кольцом кольца R относительно
простого идеала Р. [Построение поля частных К как множества
всех пар (а, Ь), а, Ъ ф 0 ? R, с очевидным определением сложе-
сложения и умножения проводится аналогично построению поля О.
по кольцу Z. Более того, подобным же образом строится кольцо
Гл. 3. Кольца и модули
223
частных К произвольного коммутативного кольца R, характери-
характеризуемое с точностью до изоморфизма следующими двумя свой-
свойствами: К — кольцо, содержащее R и такое, что каждый регуляр-
регулярный элемент из R обратим в К и К = {ab-1 \ а ? R, Ъ б R регу-
регулярен}. И здесь также по любому простому идеалу Р находится
локальное кольцо RS~1.]
3.61. Упражнения.
3.61.1. Модуль однороден тогда в только тогда, когда
он является существенным расширением каждого своего нену-
ненулевого подмодуля.
(а) Показать, что М однороден тогда и только тогда, когда
его инъективная оболочка неразложима.
* (Ь) Показать, что кольцо эндоморфизмов неразложимого
инъективного модуля является локальным кольцом.
(с) (лемма Фиттинга). Кольцо эндоморфизмов любого нераз-
неразложимого модуля, который одновременно артинов и нётеров,
является локальным кольцом.
3.61.2. Кольцо А нётерово справа тогда и только тогда, когда
в категории mod-A любая прямая сумма инъективных модулей
инъективна. В этом случае любой инъективный модуль будет
прямой суммой неразложимых модулей. (Ср. 3.48.3.)
3.61.3. Пусть модуль М инъективен в категории va.oA.-A. Тогда
любая прямая сумма MW инъективна в том и только том случае,
когда А удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей пра-
правых идеалов вида / = аппд X, где X — подмножество из М.
В этом случае модуль М называется 2-инъективным. Каждый
2-инъективный модуль является прямой суммой неразложимых
модулей. Следующие утверждения равносильны: (а) все Л-модули
2-инъективны; (Ь) любая прямая сумма инъективных Л-модулей
инъективна: (с) А нётерово справа. (Ср. 3.48.2—3.48.3.)
3.61.4. Дуальным к понятию существенного подмодуля является
понятие косущественного подмодуля. А именно подмодуль N
модуля Мназывается косущественным, если из того, что N + А =
= М, следует, что А = М, где А — произвольный подмодуль
модуля М. Мы записываем это так: М о- N. (Это понятие будет
вновь обсуждаться в гл. 18 и 22.) Эпиморфизм /: Р -> М назы-
называется минимальным, если ker / косуществен. Таким образом,
минимальные эпиморфизмы двойственны существенным мономор-
мономорфизмам. Проективное накрытие модуля М определяется как
минимальный эпиморфизм/: Р -*- М, гдеР — проективный модуль.
Когда М обладает проективным накрытием, оно единственно
в смысле, двойственном к единственности инъективной оболочки.
Однако в отличие от инъективной оболочки проективное накрытие
существует не всегда (даже для модулей над Z). (Доказать
это.)

224 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
* 3.61.5. Показать, что класс Inj А инъективных Д-модулей*
содержащих данный Д-модуль А, можно упорядочить. (Дл*|
Е, F б Inj А положить Е ^ F, если существует мономорфизм Н
Е —*- F', который на А индуцирует тождественный гомоморфизм.}
* 3.61.6. (а) Модуль М квазиинъективен тогда и только тогда|
когда он является вполне инвариантным подмодулем своей инъек-1
тивной оболочки Е, т. е. тогда и только тогда, когда ХМ ?
для любого X 6 EndR E (Уонг — Джонсон [61]).
(b) Для любого модуля М существует единственный минималь-
минимальный существенный мономорфизм М -*- О, где О — квазиинъектив-1|
ный модуль (Уонг — Джонсон [61]). Любое минимальное квази-|
инъективное расширение модуля Мявляется существенным (Фейс—I
Утуми). ¦•
(c) Перенести теорему 3.60 на квазиинъективные модули. ,
(d) Если М — А ф В — квазиинъективный модуль, то квази-]
инъективны и модули А ж В.
Прямая сумма R @ М квазиинъективна тогда и только тогда,-
когда R и М инъективны в категории mod-i?.
(e) Прямая сумма двух квазиинъективных модулей может
не быть квазиинъективной.
(f) Если М квазиинъективен, то квазиинъективен и модуль Мп
для любого целого числа п > 0.
(g) Пусть М — квазиинъективный модуль, и пусть S-End MR.
Тогда L{NL) = N для каждого конечно порожденного 5=подмо-
дуля iV (Артин — Тейт (Артин [50]), Джекобсон [61, стр. 47]
и Уонг — Джонсон [61]).
Идеализатор
Пусть S — некоторое кольцо, а Л — его подкольцо. Опреде-
Определим тогда идеализатор Js (А) подкольца А в S следующим образом:
Js (A) = {s б S | sA = А и As = A}.
Это подкольцо кольца S, содержащее А, я А является в нем!
идеалом. На самом деле идеализатор А в S является наибольшим ]
подкольцом кольца S, содержащим А в качестве идеала.
3.62. Предложение. Пусть Р — произвольный R-модулъ и S =
= End PR.
3.62.1. Если Q — подмодуль в Р, то множество
(P:Q) = {f?S\f(P)<=Q}
является подкольцом кольца S, а множество
Гл. 3. Кольца и модули
225
содержится в идеализаторе подколъца (Р : Q) в Ь5. Кроме того,
имеет место точная последовательность колец
О -> (Р : <?) + (<?:<?) -^ End (P/Q)R,
где Ф
такой кольцевой гомоморфизм, что
Ф (/): х + Q н* / (х) + Q
для всех f б «? : <?), т. е. ц> (/) (х + Q) = f (х) + Q, где х б Р.
3.62.2. Если модуль Р проективен, то <р — наложение и, значит,
(Q : Q)/(P : Q) « End (P/Q)R.
3.62.3. Если Р = R, то RIQ — циклический правый R-модулъ
и последовательность
О + Q -> JR(Q) Л End (R/Q)R -> 0,
где
1|э (а): х + Q -> ах + Q
для каждого а из идеализатора подмодуля Q, точна. Окончательно'.
Jn(Q)/Q » End (R/Q)R.
Доказательство 3.62.1. Если / 6 (О : О), х, у б Р
и х + Q = у + О, то х - у б Q и / (х - у) = / (х) - / (у) б Q,
откуда/ (х) + О = f (у) + О. Таким образом, соответствие х + <?>—»-
(-*• / (х) + О задает отображение P/Q^-P\Q, которое мы обозна-
обозначим через ф (/). Ясно, что ф (/) б End (P/Q)R и / н->- ф (/) опреде-
определяет кольцевой гомоморфизм ф: (Q : О) ->- End (P/Q)R с ядром
ker ф = (Р : Q). Этим установлено, что указанная в формулировке
последовательность точна, и показано, что (Р : О) является
идеалом в (О : О). Тогда очевидно, что (О : 0s Js (P : Q), как
и утверждалось.
Доказательство 3.62.2. Если модуль Р проективен
и к б End (P/Q)R, то диаграмму
p
P/Q-
+ P/Q
где v — канонический гомоморфизм, можно дополнить (сначала
гомоморфизмом к' = kv, а затем гомоморфизмом к" в силу проек-
проективности модуля Р). Если х б Q, то v (х) = 0 и vk" (х) = kv (x) =
= 0. Следовательно, к" (х) б ker v = Q. Таким образом, к" б
? (Q '• <?)• Ясно, что ф (к") — к, значит, ф — наложение.
к. Фейс

226 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство 3.62.3. Это частный случай 3.62.J
при Р = R. Действительно, здесь кольцо S = End RR изоморфв
R, причем изоморфизм осуществляется отображением /н-*¦ f A|
Это отображение, конечно, является вложением, так как равен
ство / A) = g A) влечет за собой / (г) = / A) г = g A) г = g
для любого г g R, откуда / = g. Оно — наложение, так как дл|
каждого а ? R существует гомоморфизм h ? End RR, определенны!
формулой h (г) = аг для любого г^й, и ясно, что h A) =
Следовательно, если мы заменим в 3.62.1 и 3.62.2 кольцо S кол!
цом R, то получим доказываемый результат, так как (Q : Q)
= 3R (<?)• ?
Ортогональное представление единицы
идемпотентами
Элементы множества {et | i 6 1} идемпотентов кольца S орте
тональны, если etej = Ьцег для всех i, j ? /. Если / = {1, . . ., п }.
конечное множество и
2
i—1
то это семейство идемпотентов называется ортогональным пред!
ставлением единицы. Центральный элемент кольца — это элемент
из его центра. Таким образом, центральный идемпотент — эти
идемпотент, который коммутирует с каждым из элементов исход|
ного кольца.
3.63. Предложение. Пусть М — некоторый R-модулъ, и пусъ
S = End MR.
3.63.1. Если {et | i ~ 1, . . ., n) — ортогональное предстс
Гл. З. Кольца и модули
227
ние единицы, et ? S, mo M =
1=1
и ker в) = 2 etM.
3.63.2. Если М = 2 © Mi, то существует ортогонально
1=1
представление единицы {ei, . . ., еп}, ег, . . ., еп 6 S, такое, чг,
etM — Mi и ker e} = 2 Mt.
3.63.3. Подмодуль N модуля М выделяется в нем прямы*
слагаемым тогда и только тогда, когда N = еМ для некоторого
идемпотента е 6 S. Каждый элемент t ? eSe индуцирует эндс
морфизм t' 6 EndH еМ, где t' (х) = tx для любого х 6 еМ. Отобра*
жение ф: t *-*¦ f является кольцевым изоморфизмом eSe
i-> EndH еМ.
Доказательство 3.63.3. Отображение ф сюръективног|
поскольку N выделяется прямым слагаемым, и инъективно, тал!
как
eSe П ker ф Е Se |~| S A — е) = 0.
Доказательство 3.63.1 получается теперь индукцией
до п. Случай п = 2 тривиален. (Ср. 3.34.) Пусть е = ei + . . .
. . . + en_i. Тогда еп = 1 — е ж М — еМ Ф епМ, поскольку здесь
лишь два слагаемых. Так как е — сумма п — 1 ортогональных
идемпотентов и так как е лежит в кольце eSe, изоморфном кольцу
еМ, предположение индукции показывает, что
еМ = et (еМ) ф .. . ф en_i (еМ) =
откуда
М=е^М ф ... ф епМ,
как и утверждалось.
Доказательство 3.63.2. Если М = Mi Ф М2, то iMi
можно продолжить до элемента е ? S, такого, что ker e = М2.
Тогда Мг = еМ и М2 = A — е) М. Это доказывает наше утверж-
утверждение для случая п = 2, а дальше доказательство, как и в 3.63.1,
проводится просто по индукции. ?
3.64. Следствие. Если e±, . . ., еп — ортогональные идемпо-
тенты из R, то следующие утверждения эквивалентны:
3.64.1. {ei, . . ., еп} — ортогональное представление единицы.
3.64.2. Д= 2 ®etR.
п
Ч fiA Ч R — У ffi Rp
Доказательство 3.64.1 <=> 3.64.2 следует из предло-
предложения 3.63 при М = R и по симметричным соображениям
3.64.1 <=> 3.64.3.
3.65. Предложение. Пусть R — кольцо.
3.65.1. Если {б!, . . ., еп} — ортогональное представление еди-
единицы в R с центральными идемпотентами ег, то Si = eiR =
= Ret = efiei — кольцо, являющееся идеалом в R, i = 1, . . ., п, и.
3.65.2 Пусть
ред.
Имеется в виду групповая прямая сумма (см. 2.19.1 и 2.20).— Прим.

228 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
— представление кольца R в виде прямого произведения конечного
семейства колец Rx, . . ., Rn. Тогда St = ut (Rt) — кольцо, явль
щееся идеалом в R, ? = 1, ..., п. Если ег — кольцевая единиц
¦в St, то etR = Ret = ег/?ег = St, i = 1, . . ., п, {et | ? = 1, . .
.. . ., п) — ортогональное представление единицы, причем идемг
тенты ег центральные и R = St Ф . . . Ф Sn.
Доказательство 3.65.1. Согласно 3.64, R =
г
где St = etR. Так как ег — центральный идемпотент,
= etR = Si, значит, St — кольцо с единицей et, i = 1, . . ., п\
Поскольку RSi = RetR = etR = St, правый идеал St является]
левым идеалом, т. е. идеалом в R.
Доказательство 3.65.2. Ясно, что St = щ (/?,), i =1
п I
— 1, . . ., п,— идеалы кольца R = П^ь такие, что SiSj =]
Гл. 3. Кольца и модули
229
= 0, когда i ф j, и R =
Так как i?,- — ]
кольцо, то кольцом будет и St = ut (Rt); пусть et — единица^
кольца St, ? = 1, . . ., п. Тогда из равенства StSj = 0 следует^
что etej = 0 при i Ф j. Таким образом, {е,- | ? = 1, . . ., п}
ортогональное представление единицы. Ясно, что St = etR
= Ret = ej-ffe,-. Так как et перестановочен со всеми элементам!
из St и аннулирует (слева и справа) все элементы из Sj, j Ф i\
то, значит, et перестановочен со всеми элементами из R, т. е. лежит
в центре кольца R, ? = 1, . . ., п. ?
3.66. Предложение.
3.66.1. Пусть R = Si Ф . . . Ф Sn — прямое произведем
конечного числа простых колец. Если А — идеал в R, то А совпа-
совпадает с суммой некоторого подмножества из {0, Si, . . ., <Sn}j
и существует центральный идемпотент е, такой, что А = eR =\
= Re = eRe.
3.66.2. Если, кроме того, R = S[ Ф . . . Ф S'm, где S\ — про
стые кольца, ? = 1, . . ., т, то п = т и найдется такая пере-1
становкал множества {1, . . ., n},4moS\ = Sn(i), ? = 1, . . ., п.\
Доказательство 3.66.1. Если п = 1, то утверждение
тривиально. Допустим, что оно верно для R' = Si Ф . . . ф
Если / — идеал в R = R' ф Sn и если х ? I, х = о + Ь, где!
а ? R', Ъ g Sn, то ех = еа — а и епх = епЬ = Ь, где е — единица!
кольца R', а еп — единица кольца Sn. Таким образом, а ? /|~|i?'|
и beIf\Sn. Это показывает, что / = (I (] R') Ф G|~| Sn). Пс
*) Действительно, ввиду 2.13.1
Ph(ui(x)'u](y)) = Phui(x)'Pku](y) = °»
в остается принять во внимание 2.19.1.— Прим. перев.
предположению индукции / f] R' — сумма подмножества из
{О, Si, . . ., Sn_i}. Кроме того, I(\Sn=0 или / П Sn = Sn.
Таким образом, / имеет нужный вид. Если / = Sti Ф . . . Ф Sir
и если ей — единица кольца St., то е = е{ + . . . + е\ — цен-
центральный идемпотент и / = eR — Re = eRe.
Доказательство 3.66.2. Доказательство вытекает
из 3.66.1, где установлено строение идеалов кольца R, если учесть,
что идеалы S'j кольца R являются его минимальными идеалами.
Действительно, S'j является суммой некоторых из St, только
когда S'j = Sh для некоторого к. ?
3.67. Упражнения.
3.67.1. Пусть Е\ (А) — частично упорядоченное (по включе-
включению) множество левых идеалов кольца А вида Af, где /— идем-
идемпотент из А, и пусть Е (А) — аналогично определенное множество
правых идеалов. Для произвольного Д-модуля N обозначим через
5 кольцо его эндоморфизмов End MR. Отображение N у-* annsiV
задает антиизоморфизм частично упорядоченного множества пря-
прямых слагаемых модуля М на частично упорядоченное множество
Ег (S) (I i-> аппм / — обратное отображение). Таким образом,
модуль М неразложим тогда и только тогда, когда неразло-
неразложим SS.
(a) RR неразложим тогда и только тогда, когда единственными
его идемпотентами являются 0 и 1 (и тогда н^ неразло-
неразложим).
(b) Пусть М — произвольный модуль и S = End MR. Пусть
е — идемпотент из S. Следующие пять утверждений эквивалентны:
(i) подмодуль еМ модуля М неразложим; (ii) Se — неразложи-
неразложимый левый идеал кольца S; (iii) eS — неразложимый правый идеал
кольца S; (iv) e не представим в виде суммы и + v ненулевых орто-
ортогональных идемпотентов и, v; (v) eSe неразложим.
3.67.2. Перенести 3.63 на аддитивные категории.
3.67.3. Следующие свойства ортогонального представления еди-
единицы {e;}?=i в кольце R эквивалентны: A) каждый из идемпотен-
идемпотентов еь j = 1, . . ., п, централен; B) etR A — ег) = 0, i = 1, ...
• ¦ ., п; C) etRej = 0, / Ф i = 1, . . ., п; D) etR — идеал, i =
= 1, . . ., щ E) etR = Reu t = 1, . . ., я; F) (е,ДI =
= R A — et), i =• 1, . . ., п.
3.67.4. Если эквивалентные условия из упражнения 3.67.3
выполнены, то etR = etRei, i = 1, . . ., п, и R канонически
п
изоморфно произведению колец fj etRej. (Ср. 18.30 и далее.)

230 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Вполне инвариантные подмодули
Любой Д-модуль М является (S, Д)-бимодулем, где S =
= End MR. Если iV — вполне инвариантный подмодуль модул*
М, то каждый эндоморфизм / последнего индуцирует эндоморфиа
/' модуля N и соответствие / •—>¦ /' есть кольцевой гомоморфизм ф
End MR -*¦ End NR. Если, кроме того, N выделяется в М прямы»
слагаемым, то ф — наложение.
3.68. Предложение. Пусть М — некоторый R-модуль, являй,
щийся {внутренней) прямой суммой^ Ф Mt, где {Mt}ici — семей
ie-r
ство вполне инвариантных подмодулей модуля MR. Пусть S
= End Mr, Si = End {M{)R и pt: S -> St — гомоморфное нало-\
жение колец, получаемое ограничением элементов кольца S на
где г 6 /. Тогда произведение S -*- [J St семейства {pt: S ->- St)
кольцевых морфизмов является кольцевым изоморфизмом. ?
3.69. Примеры вполне инвариантных под
модулей.
3.69.1. (а) Подмодуль модуля М, порожденный всеми миши!
мальными подмодулями, называется цоколем модуля М и обоана-*|
чается через soc M. if
(a) * [дуальный к п. (а)]. Пересечение всех максимальных"!
подмодулей модуля М называется его радикалом и обозначается \
через rad М. м
Если М не имеет минимальных подмодулей, то soc М — Щ
и, двойственным образом, rad М -— М, когда у М нет максималь-
максимальных подмодулей. (Например, в Z нет минимальных подгрупп,'
а в Q/Z — максимальных.)
(b) Подмодуль Н {N), порожденный всеми подмодулями, изо-
изоморфными данному минимальному подмодулю N.
(c) Если А — (левый) идеал кольца R, то х-4 = annM A —
вполне инвариантный подмодуль модуля М. Любой идеал А
кольца R является в R вполне инвариантным подмодулем.
3.69.2. Если {Nt | г 6 /} — семейство вполне инвариантных
подмодулей модуля MR, то 2 Nt ж f\ Nt — вполне инвариант-
ные подмодули. (Множество вполне инвариантных подмодулей
составляет полную структуру.)
Упражнения к гл. 3
1. (Мазур — Эйленберг). Если Р — проективный модуль,
не являющийся конечно порожденным, то существует такой проек-
проективный модуль Q, что Р Ф Q л? Q.
Гл. 3. Кольца и модули
231
2. Если I ш J — проективные подмодули модуля М, то модуль
/ -г- / проективен тогда и только тогда, когда / Ф / « (/ + /) Ф
®(IuJ)-
3. Пусть / — идеал кольца R. Если Р — проективный R-мо-
R-модуль, то PIPI — проективный Д/Т-модуль.
4. Пусть Р — проективный Д-модуль, a S = End PR.
(a) Элемент / ? S является эпиморфизмом тогда и только тогда,
когда он имеет в S правый обратный.
(b) Привести пример, показывающий, что элемент / из п. (а)
может не иметь левого обратного.
(c) Если или модуль Р удовлетворяет условию обрыва возра-
возрастающих цепей подмодулей, или кольцо R коммутативно, то эле-
элемент / из п. (а) обратим.
* (d) (Васконселос). Если М — конечно порожденный модуль
над коммутативным кольцом R, то любой эпиморфный эндомор-
эндоморфизм / является автоморфизмом.
5. (Бэр [40]). Пусть М содержится в инъективном модуле Е.
(a) Показать, что существует подмодуль / (М) модуля Е,
содержащий М и удовлетворяющий такому условию: каждое вло-
вложение модуля М в некоторый инъективный модуль можно про-
продолжить до вложения в него модуля / (М).
(b) Доказать, что / (М) — максимальное существенное расши-
расширение модуля М (соотв. его инъективная оболочка).
6. Сумма всех косущественных подмодулей модуля М является
подмодулем, обозначаемым через superfl М. Элемент х ? М назы-
называется необразующим, если порожденный им подмодуль является
несущественным. (Ср. 3.61.4.)
(a) Показать, что superfl M совпадает с множеством всех необра-
зугощих модуля М.
(b) Показать, что superfl Q, = CL Обобщить этот результат.
7. Любая диаграмма
-* о
Рг
с точными строками, где Рг и Рг — проективные модули, может
быть дополнена гомоморфизмом 02, как указано выше. Доказать
следующие утверждения:

232 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
(a) Если Р2 о- кег а2, то 92 будет эпиморфизмом, если
является эпиморфизмом (ср. 3.61.4).
(b) Если Р2 о- кег а2 и Рг о- кег ^ и 8,- изоморфизм]
то 02 — также изоморфизм.
8. Доказать, что если модуль Р проективен, то rad P =j
= Р -rad R. [Указание: показать, что взятие радикала переста-
перестановочно со взятием прямой суммы, т. е. rad B © At) =Л
i *
Гл. 3. Кольца и модули
233
9. Пусть Pj ж Р2 — конечно порожденные проективные пра-
правые Л-модули. Тогда Px/rad Pt » P2/rad Рг в том и только том]
случае, когда Pi « Р2.
10. Если Р — конечно порожденный проективный правый]
R-модуль с кольцом эндоморфизмов S, то факторкольцо S/rad Si
изоморфно кольцу EndH (P/P-rad R).
11 (лемма об унимодулярных строках). Пусть F— свобод-]
ный правый Д-модуль с базисом хи . . ., хп, и пусть х
= ZjXifi 6 F, г, 6 R для любого i ? /. Обозначим через А левый]
идеал, порожденный элементами ги . . ., гп. Доказать эквива--
лентность следующих утверждений:
(a) А = Re для некоторого элемента е б R.
(b) Подмодуль xR выделяется в F прямым слагаемым, причем
он изоморфен модулю eR при гомоморфизме, переводящем х в е.
Вывести из этого, что если R — регулярное кольцо (т. е. кольцо,
в котором каждый правый или левый конечно порожденный идеал
выделяется прямым слагаемым), то каждый циклический (а также-
конечно порожденный) подмодуль свободного Л-модуля выде-
выделяется в нем прямым слагаемым.
* 12 (Капланский). Любой проективный модуль является пря-
прямой суммой счетно порожденных модулей.
13. Доказать эквивалентность следующих утверждений отно-
относительно правого идеала / кольца R:
(a) / = eR для некоторого идемпотента е ? R.
(b) / изоморфен прямому слагаемому правого Д-модуля R.
(c) RII — проективный правый Д-модуль.
14. Пусть / — множество правых идеалов кольца"R вида eR,
где е — идемпотент кольца R. Доказать эквивалентность следую-
следующих утверждений:
(а) Каждое подмножество множества / содержит максимальный
элемент.
(b) Каждое подмножество множества / содержит минимальный
элемент.
(c) / не содержит ни одного бесконечного независимого под-
подмножества.
(d) R не содержит бесконечного множества ортогональных
идемпотентов.
Показать, что если эти условия выполняются, то R является
прямой суммой (конечного числа) неразложимых правых идеалов,
15. Категория С колец называется центрально замкнутой, если
для каждого объекта R из С центр кольца R изоморфен некоторому
объекту категории С. Аналогично, скажем, что С (конечно) замкнута
по Галуа, если для любого R € С и (конечной) группы G автомор-
автоморфизмов кольца R имеем fix G 6 С. (Ср. 3.27 (Ь).) Выяснить, какие-
из категорий колец, которые уже рассматривались выше или будут
рассматриваться в дальнейшем, являются центрально замкну-
замкнутыми или замкнутыми по Галуа.
* 16. Доказать, что объект Е категории mod-i? является
кообразующим тогда и только тогда, когда для любого объекта X
и его подобъекта Хо выполняется равенство Хо =annxannEZ0>
Если R — кообразующий, то каждый правый идеал является
аннуляторным правым идеалом. Ср. упр. 20.
17. Пусть А — правый идеал кольца R, и пусть аннуляторный
левый идеал LA порождается элементами {xi | ? ? /}.
(a) Показать, что соответствие h: а + А *-*¦(..., xta, . . .),
определенное для всех а 6 R, является гомоморфизмом правых
Д-модулей R/A -*- R1.
(b) Доказать, что в п. (а) гомоморфизм h является мономор-
мономорфизмом тогда и только тогда, когда А — аннуляторный правый
идеал.
(c) Доказать, что RIA можно вложить в прямое произведение-
экземпляров кольца R тогда и только тогда, когда А — аннулятор-
аннуляторный правый идеал.
(d) Доказать, что RIA можно вложить в свободный Л-модуль
тогда и только тогда, когда А является аннулятором конечного-
подмножества кольца R.
(e) Вывести отсюда, что если каждый правый R-модуль содер-
содержится в свободном Д-модуле, то каждый правый идеал кольца R
является аннулятором конечного подмножества кольца R.
18. Показать, что следующие условия на кольцо R эквива-
эквивалентны:
(a) R удовлетворяет условию максимальности для аннулятор-
вых правых идеалов.
(b) R удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей
аннуляторных правых идеалов.

234 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
(с) Каждому правому идеалу А соответствует такой конечно!
порожденный правый идеал Ах <=, А, что LA = 1А1.
19. Показать, что кольцо R удовлетворяет условию обрыва!
убывающих цепей правых идеалов и условию обрыва убывающиз
цепей левых идеалов при условии, что каждый правый идеал
является аннулятором конечного подмножества кольца R и каж-
каждый левый идеал является аннулятором конечного подмножеств^»
кольца R. Вывести отсюда, что коммутативное кольцо R удовлет-
удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей идеалов, если каждьц
его идеал является аннулятором конечного подмножества кольца,
Л. (В этом случае кольцо R самоинъективно. Ср. гл. 12, упр. 6.^
20. (а) Доказать эквивалентность следующих двух условийл
{i) M полурефлексивен; (ii) M изоморфен подмодулю прямого!
произведения экземпляров Д-модуля R. Вывести отсюда, что1
над областью целостности любой полурефлексивный модуль)
является модулем без кручения.
(b) Показать, что для любого Д-модуля М левый модуль М*
полурефлексивен.
(c) Пусть А — правый идеал кольца R. Доказать, что цикличе-1
-ский модуль RIA полурефлексивен тогда и только тогда, когда А\
является аннуляторным правым идеалом.
(d) Все правые Д-модули полурефлексивны тогда и только!
тогда, когда R — кообразующий категории mod-i?. (Ср. упр. 16.)
21. Пусть R — кольцо, а А и В — его правые идеалы.
(a) Мономорфизм модуля R/A в модуль RIB, где А и В — пра-»
вые идеалы, существует тогда и только тогда, когда А = &&nR(xlB)
для некоторого элемента х ? R.
(b) Таким образом, мономорфизм h: RIA —*- R существует тогда'
и только тогда, когда А = хх для некоторого х ? R. В этом слу-
случае im h = xR и LA э Rx.
(c) Если А и В — идеалы, то RIA « RIB как Д-модули1
тогда и только тогда, когда А = В.
(d) Пусть {/?j}i?/ — семейство колец и R = [J Rt — произве-
дение колец. Тогда, превращая Rt в Д-модуль при помощи про-"
окции (в категории колец) R ->- Rt, i = 1, . . ., п, доказать, что
Rt ^ Rj как Д-модули тогда и только тогда, когда i = /. Вывести..
отсюда, что даже если iJj и й2 — изоморфные кольца, получаю-
получающиеся при этом i?i X Д2-модули R1 и R2 неизоморфны. Пусть,
R = Ri X R2. Тогда Rt ж End (Rt)R, i = 1, 2. Получить из этого,
что неизоморфные модули могут иметь изоморфные кольца эндо-
эндоморфизмов.
Гл. 3. Кольца и модули
235
I
22. Пусть А — правый идеал кольца R. Показать, что
HomR (RIA, Д) ->- R
f _* / A + А)
— мономорфизм левых Д-модулей и что образ этого отображения
является левым аннулятором идеала А в R. Вывести отсюда, что
HomH (R/A, R) « ХЛ. Обобщить этот результат на произвольный
подмодуль проективного правого Д-модуля Р, т. е. доказать, что
Нотн (Р/А, R) « аппнотн(Р, щА-
23. Если G — абелева группа, a End G — тело характеристики
О, то G изоморфна аддитивной группе рациональных чисел О,.
24. (а) Любой гомоморфизм структур Pow A -> Pow В
является кольцевым гомоморфизмом соответствующих булевых
колец.
(Ь) Множество Е (R) идемпотентов коммутативного кольца R
является булевым кольцом относительно обычных операций сло-
сложения и умножения кольца R.
25. Если Д-модуль М удовлетворяет условию обрыва возра-
возрастающих цепей подмодулей, то любой его эндоморфизм, являющий-
являющийся эпиморфизмом, обратим. Сформулировать дуальное утвержде-
утверждение. Вывести отсюда, что если R удовлетворяет условию обрыва
убывающих цепей правых идеалов, то любой неделитель нуля
х g R обратим.
* 26. Если С — конечно порожденный и проективный кооб-
кообразующий категории mod-Л и если Л/rad А полупрост, то С ж А
инъективны в категории mod-A.
27. Любой неразложимый проективный инъективный объект
М категории mod-Л изоморфен прямому слагаемому объекта А,
т. е. существует е = е2 ? А, такой, что М = еА.
* 28. (Матлис — Папп). Кольцо А нётерово справа тогда
и только тогда, когда каждый инъективный объект категории
raod-A изоморфен прямой сумме неразложимых модулей.
29. Кольцо эндоморфизмов неразложимого (квази)инъектив-
ного модуля, не имеющего нетривиальных вполне инвариантных
подмодулей, является телом.
30. Каждая периодическая абелева группа вкладывается в пря-
прямую сумму некоторого множества экземпляров группы Q/Z. [Ука
зание: свести к случаю р-примарной группы. Затем рассмотреть
подгруппу S, состоящую из всех элементов порядка -^р. Исполь-
Использовать тот факт, что S является векторным пространством над
полем Ж/рЖ, и применить 3.58.1

236 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
31. Ограниченная х) абелева группа Л является прямой суммой
циклических групп. [Указание: свести к случаю р-примарной
группы. Применить упр. 30 и вложить А в Zp« для подходящего
кардинального числа а. Показать, что А пересекается с каждой
из групп ZpOO по циклической группе и что она является прямой
суммой этих своих пересечений.
32. Доказать основную теорему о конечно порожденных абел&З
вых группах. (См. гл. 1, упр. 27.)
33. (Селе). Абелева группа Н вкладывается в O-/Z тогда
и только тогда, когда никакие две ее различные подгруппы не
морфны.
Замечания к гл. 3
В вопросах истории математики большинство математиков
стоит на нетвердой, хотя и освященной земле. За пределами устньц
преданий и собственных ограниченных познаний лежит малоизве
стный мир действительности, вымысла и фантазии. Однако есл!
сами теоремы составляют основу блюда, то непременные указав
ния авторства, устные или нет, добавляют необходимую остру*
приправу. Лишь малодушные или очень благоразумные лкц
способны отказаться внести свою долю в царящую здесь всеобщу]
неразбериху. Крайне эмоциональные «Исторические очеркг
в конце книг трактата Бурбаки по математике в большинстве
случаев носят отчетливый (и преднамеренный) французский при-
привкус. В частности, в своем «Историческом очерке» к гл. «Полу-
«Полупростые модули и кольца» Бурбаки [66] приписывает введение
понятия факторалгебры, идеала и гомоморфизма Молину и
тану и дает набросок истории исследований колец и алгебр, кото-j
рые *не полностью отражены в книге Джекобсона [56], переиздан-
переизданной в 1964 г. 2). По вопросам приоритета мы отсылаем читателя
к этим двум трудам.
Большинству книг, выходящих в свет, авторы придают остроту,]
приписывая результаты конкретным людям целиком в соответ-
соответствии со своими вкусами и прихотями.
Настоящая книга в этом плане не составляет исключения,!
но, как и в других книгах, я ставил перед собой цель указать!
автора статьи, в которой тот или иной результат появился впер-1
вые, а не воздавать почести. В случаях когда авторство не указы-1
валось, я был не уверен в источнике, особенно это относится^
к вопросам теории категорий. Здесь читатель может насладиться^
Гл. 3. Кольца и модули
237
как это делал я, чтением стимулирующего сообщения Питера
Фрейда [60] (я не могу, конечно, ручаться за его точность!).
Тартан — Эйленберг [60], Маклейн [66], Митчелл [65], а также
Кэртис — Райнер [69] и Басе [73] сообщают некоторые истори-
исторические данные по теории категории и гомологической алгебре.
См. также Маклейн [72].
Бэр [40] ввел понятие инъективного модуля над произвольным
кольцом (но не сам термин, терминология восходит к Экману —
Шопфу [53]) и показал, что любая категория модульного типа
«инъективно богата». Экману и Шопфу обычно приписывается
понятие инъективной оболочки модуля, но Бэр на самом деле
тоже говорил о «наименьшей полной группе», содержащей данную
группу. Существование такой группы утверждалось некоторыми
теоремами из его статьи, но это была только «наименьшая суще-
существенная», а не «действительно наименьшая» группа. Слова в кавыч-
кавычках принадлежат Бэру (цитированная выше статья). Бэровские
полные группы над кольцом R — это Д-модули, удовлетворяющие
условию, которое мы называем условием Бэра, т. е. инъективные
модули. Наименьший инъективный модуль, содержащий данный
модуль М, определяется как модуль / (М) из упражнения 5.
Очевидно, что модули /х {М) и /2 (М), определенные с помощью
различных модулей F-i и F2, содержащих М, изоморфны, причем
изоморфизм осуществляется отображением, продолжающим 1М.
Более того, вопреки тому, что сказал Бэр, / (М) — наименьший
инъективный модуль, содержащий М, а именно если / (М) э
э Е э М и Е инъективен, то / (М) = Е. Таким образом, нет
сомнения, что понятие минимального инъективного модуля, содер-
содержащего М, принадлежит Бэру. Замечательный вклад Экмана
и Шопфа — это характеризация модуля / (М) как максимального
существенного расширения. Кроме того, они показали, что инъек-
инъективный модуль, содержащий М, можно построить с помощью
вложения модуля М в делимую группу G.
Ссылки
Артин [50], Артин — Несбит — Тролл [44], Басе [73], Бра-
уэр — Вейс [64], Бурбаки [66], Бэр [403, Ван-дер-Варден [48],
Джанс [64], Джекобсон [47], [56, 64], Зарисский — Самуэль [63],
Капланский [69], Кэртис — Райнер [69], Ламбек [71а], Маклейн
166], [721, Митчелл [65], Морита [58], Понтрягин [72], Фейс [67а],
Херстейн [72], Экман — Шопф [53].
х) Напомним, что абелева группа А называется ограниченной, если тА
= 0 для некоторого натурального т.— Прим. ред.
2) См. Джекобсон [61].— Прим. перев.

Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
23»
Глава 4
ТЕОРЕМА О СООТВЕТСТВИИ ДЛЯ ПРОЕКТИВНЫХ
МОДУЛЕЙ И СТРОЕНИЕ ПРОСТЫХ НЁТЕРОВЫХ КОЛЕЦ
Большая часть гл. 4 посвящена изложению результатов о стр
нии нётеровых справа колец. Основной аппарат составляют обо
щения теорем Мориты [58], дающих критерий подобия
колец А и В (подобие колец А ж В означает эквивалентнос
категорий mod-Л и mod-/?). Критерий Мориты 4.29 устанавлива
существование конечно порожденного проективного модуля
являющегося образующим категории mod-Z? и такого, что А из
морфно EndB P. В ситуации Мориты D.30) имеет место структу
ный изоморфизм
{правые Л-подмодули из Р —*- правые идеалы из В
IP ^ I
переводящий (В, Л)-подмодули в идеалы кольца В. Более обпр
образом D.7), если U — конечно порожденный проективный точ
ный левый модуль над произвольным кольцом В и А = End B
то имеет место структурный изоморфизм
правые Л-подмодули из U
IU -
(правые идеалы из В) Т
I = IT
где Т — след модуля U в В (теорема о соответствии для проектш
ных модулей). Этот изоморфизм переводит (В, Л)-подмодули из
в (идеалы из В) Т. Таким образом, когда Т = В (и только в это»
случае) эти две теоремы совпадают. t|
Только что приведенную теорему о соответствии для проектив-
проективных модулей можно применить для решения следующей проб-
проблемы: выяснить, когда кольцо эндоморфизмов А = EndB
конечно порожденного проективного точного модуля U над коль-
кольцом В A) просто, B) нётерово справа или C) просто и нётеровс
справа одновременно. Так, A) А просто тогда и только т
когда Т = trB U аннулирует любой идеал К кольца В, строго
содержащийся в Т, т. е. ТК = 0. В этом случае (КТJ 0
Если В полупервично, то КТ = 0 и К = 0, а тогда А простс
втом и только том случае, когда Т — наименьший идеал кольца,
D.8.6).
Проблема B) имеет аналогичное решение. Так как U обяза-
обязательно является образующим категории mod-A, то из теоред
о соответствии следует, что U нётеров справа в категории mod-./
тогда и только тогда, когда В удовлетворяет условию обрыва
возрастающих цепей правых идеалов вида / = IT. В этом слу
чае А нётерово справа. Если же U конечно порожден в mod-A,.
то верно и обратное утверждение, а именно из нётеровости справа
кольца А следует, что В удовлетворяет условию обрыва возрастаю-
возрастающих цепей правых идеалов вида / = IT. (Ср. 4.9.)
Если А одновременно просто и нётерово справа, то по теореме-
Голди [58] оно содержит такой правый идеал U, что В = End UA —
правая область Оре. В этом случае U — обязательно конечно-
порожденный проективный 5-модуль и решение проблемы C)
можно сформулировать для колец эндоморфизмов проективных
модулей над правыми областями Оре следующим образом.
(A) Теорема. Кольцо А является простым и нётеровым справа
тогда и только тогда, когда А л; EndB U, где U — конечно порож-
порожденный и проективный модуль над правой областью Оре В, все
идеалы которой исчерпываются следующими тремя: 0, Г — trB С/"
и В, и которая удовлетворяет условию обрыва возрастающих-
цепей идемпотентных правых идеалов, содержащихся в Т (возможен
случай Т = В). (Ср. 4.22. В.)
(B) Предложение. В формулировке теоремы (А) кольцо В можно
выбрать так, чтобы его центр С был телом, изоморфным центру
кольца А, и, кроме того, В = С + Т. (Ср. 4.14 и 4.22.ЗА.)
(C) Предложение. Если А — кольцо, удовлетворяющее усло-
еиям теоремы (А), то для существования изоморфизма А » EndB-U'r
где В' — некоторая правая область Оре, a U' — конечно порож-
порожденный проективный левый В'-модуль, необходимо и достаточно^
чтобы В и В' имели одно и то же тело частных D и были эквива-
эквивалентными правыми порядками последнего. (Ср. 4.37.)
Утверждения (А), (В) и (С) сводят каждый вопрос о строении
простого нётерового кольца А к соответствующему вопросу для
правой области Оре В, определенной с точностью до эквивалент-
эквивалентности порядков в ее правом теле частных. Кроме того, В имеет
не более одного нетривиального идеала. Это наилучшая из возмож-
возможных теорем в том смысле, что все возникающие таким образом
кольца В могут быть простыми лишь в случае, когда А наслед-
наследственно справа D.40). Однако если правая глобальная размерность
кольца А не превосходит 2, то оно подобно некоторой простой
области целостности, т. е. в этом случае какое-то кольцо В просто
(ср. 8.27). Мы также выясняем, при каком условии (в терминах
категории mod-2?) кольцо А подобно области целостности. Оно
состоит в том, что для некоторого правого идеала / кольца В
подкольцо (/:/) = {d g D | d/ ?=/} является простым кольцом
D.23В).
Связь между категорией RINGS и категориями mod-i? пра-
правых .ff-модулей, где R пробегает множество объектов категории

240 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
241
BINGS, любопытным образом «зациклена», так как каждый модул
имеет кольцо эндоморфизмов.
Вот несколько типичных проблем теории абстрактных колев
1. Если кольцо абстрактно определено, попытаться найти ег
«конкретную» реализацию.
(а) Изоморфно ли оно какому-либо «известному» кольцу?:
(в) Изоморфно ли оно кольцу эндоморфизмов некоторо!
«известного» модуля над «известным» кольцом?
(Ь') Можно ли его вложить в такое кольцо?
(c) Можно ли найти для него полное множество инвариантов
Будет ли оно конечным (счетным)?
(d) Если кольцо принадлежит некоторой подкатегории катего
рии RINGS, то что можно сказать о его факторкольцах?
2. Если абстрактно задан модуль М из mod-R, то относительна
него можно поставить аналогичные вопросы. Но, кроме того
можно задать все вопросы из п. 1 применительно к кольцу эндо
морфизмов этого модуля. Тогда, если ответ на вопрос 1 (Ь) поле
жителей, скажем End MR та End NA, где «А — известное кольц|
и N — известный модуль», то в каком соотношении находятс
кольца R и А? И если они «близки», например изоморфны|
то в каком отношении находятся модули М и N? Наконец, ка|
соотносятся кольца R и Biend MR (и категории модулей на
ними)?
Некоторые из представленных ниже примеров использув
понятие алгебры и тензорного произведения алгебр, определяемы^
в следующей главе. (Таким образом, эти примеры также по,с
водят нас к гл. 5.)
4.0. Примеры.
4.0.1. Каждое простое кольцо вложимо в качестве плотног^
лодкольца в кольцо всех линейных преобразований некоторого
векторного пространства. Необходимым и достаточным условие»
для вложимости кольца в качестве плотного подкольца в кольцу
всех линейных преобразований некоторого векторного простра!
ства является существование простого точного модуля над эти*
кольцом (теорема Шевалле — Джекобсона). Такое кольцо назы^
вается примитивным A9.22).
4.0.2. Кольцо R изоморфно кольцу всех линейных преобра!
зований конечномерного векторного пространства над телом
тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом с уело
вием минимальности для правых идеалов (теорема Веддербёрна
Артина, гл. 8).
х) Полное множество инвариантов объекта А категории С есть множеств
d (А), определенное так, что А х В тогда, и только тогда, когда d (A) —
= d {В). Для «хороших» теорий d (А) оказывается обычно множеством целы:)
чисел.— Прим. ред.
4.0.3. Если тело К в 4.0.2 коммутативно и алгебраически
зад1кнуто, например К = С, то кольцо R является центральной
ангеброй над С и имеет конечный базис, с известными структур-
структурными константами. На самом деле R — полная алгебра матриц
над С. В случае произвольного алгебраически замкнутого поля
само поле и порядок кольца матрицх) составляют полную систему
инвариантов простой конечномерной алгебры (теорема Веддер-
Веддербёрна, гл. 13).
4.0.4. Если М — образующий в mod-Z?, то R канонически
изоморфно кольцу Biend MR (теоремы Мориты 4.1 и 7.3). Следо-
Следовательно, каждый образующий является сбалансированным моду-
модулем. Если R — простое кольцо, то каждый его ненулевой правый
идеал сбалансирован.
4.0.5. Два кольца А и В подобны (т. е. vaoi-A та mod-B)
тогда и только тогда, когда В изоморфно кольцу эндоморфизмов
некоторого конечно порожденного проективного образующего
категории mod-Л (теорема Мориты 4.29).
4.0.6. Дуальным к понятию подобия служит понятие двой-
двойственности. Однако между категориями mod-Л и 5-mod не суще-
существует двойственности ни для какой пары колец А, В. Тем не менее
в категориях mod-Л и Z?-mod могут существовать подкатегории
Ч§А и вё, содержащие А ж В соответственно и такие, что имеет
место двойственность %А ~* в^- Достаточным (и в некотором
смысле необходимым) условием для этого служит существование
(В, Л)-бимодуля U, который является инъективным кообразую-
щим в обеих категориях. Тогда НотА ( , U) и Нотв ( , U)
индуцируют пару двойственности (теорема Мориты, гл. 23). Слу-
Случай А = U = В характеризует квазифробениусовы кольца (гл. 24).
Эти кольца самоинъективны справа и артиновы (теорема Икеды),
любой односторонний идеал такого кольца является аннулятором.
(Ср. гл. 12, упр. 6.)
4.0.7. Говорят, что модуль М из mod-i? определяется своим
кольцом эндоморфизмов, если изоморфизм End MR та End NR
влечет за собой изоморфизм М та N. Любое векторное простран-
пространство определяется своим кольцом эндоморфизмов (см. упр. 2 в конце
этой главы). Э. Уокер поставил в связи с этим такой вопрос:
когда изоморфизм End MА та End ,/VB для двух различных колец
А и В влечет за собой категорную эквивалентность Т: mod-A та
я» mod-Z? и эквивалентность Лг та ТМ в категории mod-Z?? (Ср. 16.20
и 24.27.)
4.0.8. В связи с вопросом о соотношении между категориями
mod-Л и mod-5, где В = End MA, теорема Попеску — Габриеля
Утверждает, что если М — образующий в mod-Л, то категория
-1) То есть порядок (или размер) матриц, составляющих это кольцо.—
Прим. ред.
1fi К. Фейс

242 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
243
mod-A может быть восстановлена по категории mod-i? одш
из следующих способов:
(a) mod-A — это некоторая полная подкатегория категор*
mod-i? [вложение mod-A ~* mod-i?, индуцированное функторов
hM, полно (теорема Мориты и Габриеля — Попеску 4.24)].
(b) Существует точный функтор S: mod-i? ~* mod-A (сопряже!
ный слева к hM), такой, что ShM ж 1тоа-д (см. 5.70), и mod-Л
абелева категория, эквивалентная факторкатегории mod-5/ker
категории mod-i? в смысле определения Габриеля [62] (см. 15.26I
4.0.9. Если к — коммутативное кольцо, то категория /c-ALC
всех алгебр над к (гл. 5) представляет собой абелев моноид отнс
сительно тензорного умножения А ® В алгебр А ж В. Пуст
[А] = [А'] тогда и только тогда, когда А и А' подобны как Аг-ал|
гебры х). Тогда множество всех \А] составляет моноид относительно
операции [А] [В] = [А ® В]. Группа Брауэра Вг (к) определяется
как группа обратимых элементов этого моноида. Она состой^
из всех таких [А], что А — алгебра Адзумаи. (Теорема Брауэра
[когда к — поле], Адзумаи [к — локальное кольцо] и Ауслен|
дера — Голдмана [к — произвольное коммутативное кольцо].
4.0.10. Редуцированное кольцо R без кручения конечног<|
ранга п изоморфно кольцу эндоморфизмов абелевой группы бе
кручения ранга ^ 2п (Корнер [63]). Кольцо называется кольцо»
без кручения, если его аддитивная группа — группа без кручения|
Оно называется редуцированным, если 0 — его единственная
делимая подгруппа. Ранг — это максимальная мощность его под|
множеств, линейно независимых над Z. В этом направление
Цассенхауз [67] доказал, что любое кольцо с конечным базисо*
ранга п над Z изоморфно кольцу эндоморфизмов некоторой абелев
вой группы М ранга п.
4.0.11. Следуя Троллу [48], назовем кольцо А QF-1-коль!
цом, если любой точный модуль над ним сбалансирован. Следуя
Камилло [70], будем называть кольцо А сбалансированным, есл!
сбалансирован каждый правый модуль над ним. Таким образом^
А сбалансировано тогда и только тогда, когда каждое фактор-*
кольцо АН является QF-1-кольцом. Тролл поставил проблем}
описания всех конечномерных QF-1-алгебр над полем к. Любе
квазифробениусово кольцо (QF-кольцо) является С)Г-1-кольцом,1
но класс QF-1-алгебр строго содержит класс QF-алгебр (Троллг|
там же). (Недавние результаты см. Камилло [70], Диксон
Фуллер [70], Фуллер [71], Камилло — Фуллер[72], Длаб и Рин-|
гель [72], Джанс [70].)
Более общий, но примыкающий сюда вопрос: когда канониче
ское отображение А —>• Biend MА является эпиморфизмом в кат
горни RINGS? Например, вложение любого кольца в его клас-
С0ческое кольцо частных (в частности, вложение области целост-
целостности в ее тело частных) есть кольцевей эпиморфизм. (Любое
гомоморфное наложение колец является разумеется, эпиморфиз-
эпиморфизмом категории RINGS.)
4.1. Предложение. Пусть U — объект категории mod-A,
и пусть В — End UA.
4.1.1. Существует канонический (А, В)-бимодульнып гомо-
гомоморфизм
f HomA (U, A) -> HomB (U, В)
такой, что
В
где [и, /] — эндоморфизм объекта U, определяемый как
C) [и, /
Таким образом,
D) [и, f\v = uf (v)
для любых и, v ? U, / 6 Ноша (U, А).
4.1.2. Если, кроме того, А = EndB U, то по симметрии суще-
существует канонический гомоморфизм
E)
где
HomB (U, В) _» НотА (U, А)
g >-* (?» ).
, )
U
A
(g, и)
См. стр. 587—589.— Прим. ред.
и
F) v (g, и) = (у) g-u.
G) В этом случае ( , ) и I , ] — взаимно обратные изо-
изоморфизмы г).
4.1.3 (Морита). Следующие условия на U, А, В эквивалентны:
(a) U — образующий категории mod-A.
(b) U — конечно порожденный проективный объект кате-
г°рии End UA-mod и А канонически изоморфно EndB U.
г) Морита доказал эту часть в предположении, что U — образующий
Категории mod-Л.
16*

244 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
245
АЛЛ. Если U — образующий в mod-A, то [ , |
HomA (U, А) -*- Нотв (U, В) есть (А, В)-бимодульный изо
физм, а E) — изоморфизм, обратный к нему.
Доказательство. Пусть U* = HomA (U, А) и V
= Нотв (U, В) — канонические (А, 5)-бимодули. Если а
Ъ Е В и / 6 U*, то
[и, afb] v = uaf (bv) = [иа, f] bv,
так что [ , afb] = a I , /] b. Тогда A) определяет (A, 5)-roi
морфизм; по симметрии то же самое можно сказать про E). 1
дество
«¦[ . (g, I (V) = [U, (g, )] (У) = и (?,||У) = (U) g-V
показывает, что [ , (g, )] = g для любого g ? U', т. е.
[ , ( , )] == 1У. Когда А = EndB U, то по симметрии ([ , /],
= / для любого/ 6 U* и ([ , ], ) = iv*. Это доказывает,
( , ) и [ , ] при А = EndB U и В = End UA — взаим!
обратные изоморфизмы.
Согласно 3.27, U является образующим категории mod-A тог|
и только тогда, когда существует конечное множество элемент!
/15 ...,/„ из J7* и мх, . . ., ип т U, таких, что
In
С другой стороны, по лемме о дуальном базисе 3.23 5-моду|
U конечно порожден и проективен тогда и только тогда, ког|
существует конечное множество элементов gx, . . ., gn из
и ulf . . ., ип из U, таких, что
для любого v ? U. Таким образом, если умножить v на (8), то ст
новится ясно, что (9) выполняется при gt = [ , /,] 6 С^', ? = 1,
. . ., п. Это доказывает, что если U является образующим в mod-Л
то он конечно порожден и проективен над В. Кроме того, ее
t ? EndB С/, то, применяя t к v в (9), получаем, что
vt=
2
t=l
2
2 w/
ii
откуда вытекает, что t есть образ элемента а
каноническом гомоморфизме
n
именно yf = va для любого у g U, откуда t = ad. Значит,
4.1.3 (а) влечет за собой 4.1.3 (Ь), поскольку канонический гомо-
гомоморфизм A1) инъективен в силу того, что образующий является
точным модулем и, как мы уже показали, сюръективен. Обратно,
яз 4.1.3 (Ь) следует 4.1.3(а). Действительно, пусть имеет место
4.1.3 (Ь). Тогда (9) выполняется, и с помощью гомоморфизма E)
ложно найти элементы /х, ...,/„?[/*, а именно ft = (gt, ),
I = 1, . . ., п, такие, что
п п п
A2) v= 2 (v)gtu,= 2 v(gt, мг) = г;2 /*("t).
^ i=l i=l i=l
чем доказывается справедливость равенства (8). Следовательно,
U — образующий в категории mod-A.
Осталось доказать АЛА. Пусть U — образующий в mod-A.
Тогда по 4.1.3 (Ь) кольцо А канонически изоморфно кольцу
End в U и, следовательно, можно применять G). ?
4.2. Следствие.
4.2.1. Если U — образующий в mod-A, то U* = HomA (U, А) я;
« Нотв (U, В) — образующий в A-mod, который конечно порож-
порожден и проективен в mod-B. Кроме того, существует канонический
изоморфизм А та End C/B.
4.2.2. Если U конечно порожден и проективен в B-mod, то U —
образующий категории mod-End U в.
Доказательство 4.2.1. Пусть
и -> U**
обозначает канонический (В, Л)-гомоморфизм модуля U в его
бидуальный модуль U**. Таким образом,
/ ( , и > = (/, и) = / (и)
Для любых / g С/*, и ? U. Если U — образующий в mod-A,
то (8) из доказательства предыдущей теоремы выполняется и
2 fi( . И!>=1а.
г=1
а это показывает, что U* — образующий в yl-mod. Остальное
теперь следует из предыдущей теоремы *).
*) Непосредственно из теоремы вытекает лишь, что V* конечно порожден
и Проективен в mod-B' и^4 « End Ub' , где В' = End^t/*. Чтобы доказать
^•2.1, нужно на самом деле провести рассуждения, аналогичные доказатель-
СТпУ предложения 4.1. Например, изоморфизм End TJ%-*- А задается соответ-
ствием t ь-»- 2 <*/i» ";>•— Прим. перев.

246 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство 4.2.2. Это следствие доказательс^
импликации 4.1.3 (а) =4> 4.1.3 (Ь) предыдущей теоремы, так
тот факт, что В = End UА, в этом доказательстве не испол!
вался. ?
4.3. Предложение и определение. Объект U категории тос
называется прообразующим, если он обладает следуюг
эквивалентными свойствами:
(a) U — образующий в категории mod-4 u конечно порожё
и проективен в этой категории.
(b) U — образующий в категории тоА-А и в катего^
End f/A-mod.
(c) U конечно порожден и проективен как в категории mod-
так и в категории End C/A-mod.
(d) U—образующий в End C7A-mod и конечно порожден и про
тивен над End UА и кольцо А канонически изоморфно Biend UA.
Иногда прообразующие называют вполне проективными moj
ля ми.
4.4. Упражнения
4.4.1. (Коззенс — Эллингер). В 4.2.1 канонический изомс
физм В ж EndA U* не обязан иметь место х). Показать, что дос|
точным условием для его существования является рефлексивное
модуля UА. См. также упражнение 10 к этой главе.
4.4.2. Если В — коммутативное кольцо, то любой конечя
порожденный точный проективный модуль U является образующъ
в категории mod-5.
Кольцо биэндоморфизмов проективного модуля
v Если 50-модуль U проективен и точен, то приведенное н»;
предложение 4.6 устанавливает, что он проективен также к&
5-модуль, где В = BiendB0 U, и, кроме того, В есть рациональна
расширение (в определенном ниже смысле) 2?0-модуля Во, а сл«
модуля U в Во является левым идеалом кольца В.
4.5. Упражнения (Джонсон, Утуми и Финдлей — Ла
бек).
4.5.1. Правый Д-модуль М называется рациональным рас
рением некоторого своего подмодуля N, если выполняются елв
дующие эквивалентные условия:
(a) HomR (S/N, М) = 0 для любого модуля S, такого, ч
М =з S з N.
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей 2А1
(Ь) Если а и Ъ — элементы модуля М и Ъ фО, то существует
эЛемент г 6 R, такой, что аг 6 N и Ъг фО.
4.5.2. Любое рациональное расширение является существен-
ш, но обратное, вообще говоря, неверно.
.5.3 (Финдлей — Ламбек [58]). Если М -—^правый Д-модуль,
i\[ — его инъективная оболочка и В = End MR, то
М = ann^ annBAf
__ максимальное рациональное расширение модуля М. Любое мак-
сюгальное рациональное расширение модуля М изоморфно
модулю М, причем соответствующий изоморфизм индуцирует
на М тождественное отображение. Модуль М называется рацио-
рационально замкнутым, если М = М. Отметим, что М всегда рацио-
рационально замкнут.
4.5.4 (Джонсон [51а] и Утуми [56]). Максимальное рациональ-
рациональное расширение R модуля RB является кольцом, причем R — его
подкольцо. Кроме того (Ламбек [63]),
J Biend RR -> R
х) Точнее, кольца В) и EndAU* могут оказаться как вообще неизомора
ными, так и изоморфными, но не канонически.— Прим. перев.
— изоморфизм колец, который индуцирует на R тождественное
отображение. Кольцо R — это максимальное правое кольцо част-
частных (Джонсона — Утуми) кольца R. Кольцо R является своим
собственным максимальным правым кольцом частных.
4.5.5. Если R обладает классическим правым кольцом част-
частных Q, то QsR и, возможно, Q фЙ. ?
Доказательства можно найти в книге Ламбека [71а] или в лек-
лекциях Фейса [67а, гл. 7 и 8]. Однако в дальнейшем по существу
используется лишь определение рационального расширения.
4.6. Предложение. Если U — точный проективный левый
модуль над кольцом Во, то он проективен над В = Biends0 U.
Пусть Go и G обозначают соответствующие дуальные модули,
а То и Т — следы модуля U в Во и В соответственно. Тогда вклю-
включение Во <= В индуцирует включение Go <=. G и G — G0B. Кроме
того, каждый правый идеал I кольца В является рациональным рас-
расширением модуля 1Т0. В частности, В содержится в максималь-
максимальном правом кольце частных кольца Во и То — левый идеал кольца В,
такой, что
Т$ = Го = ТТ0 = ВТ0
и
тов = тот = т = т2.

248 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Таким образом, имеет место структурный изоморфизм х)
(правые идеалы из В) Г -> (правые идеалы из Во) То
I = IT 1-* 1Т0,
который индуцирует изоморфизм
{Т (идеалы из В) Г ->¦ Го (идеалы из Во) Го
/ = TIT 1-* Т01Т0
мультипликативных моноидов.
Доказательство. Пусть А = End?0 U и рассмотри»
канонический (А, 5)-бимодульный гомоморфизм
Г НошВо (U, Во) -+ HomA (U, А)
1 / — (/, ),
такой, что
и (/, ) у = м (/, у) = (и)/-у
для любых и, v ? U. Так как В = End UA и (/, у) ?4, то
(Ьи) /у = (Ьи) (/, у) = Ъ-{и) f-v
для любых u, v ? U, b ? В. Таким образом, (bu) f = Ъ (и) /, а эт«
доказывает требуемое включение
Go = HomBo (U, В0) = Нош в (С/, В) = G.
По лемме 3.23 о дуальном базисе существует множество элемещ|
тов {fi}t?x из Go, каждый с конечным носителем, и соответствующе
множество {и{};?Х элементов из U, таких, что
для любого у ? U. Так как /г ? HomB (?/, В) для любого i 6
то из леммы о дуальном базисе следует, что семейство {/;}itA
порождает правый В-модуль G, т. е. G = G0B, и, кроме того^
что U проективен над В. Таким образом, выполняются условия
TU = U = T0U, Г2 = Г, Т\ = Го по 3.30. Значит,
.Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
249
KG
To=
= 2
G
2 0()f
f?G
= 2 T(U)g =
?G
Следовательно, отображение A) биективно.
Если / = TIT и / = Г/Г, то / = TI = Го/ и
Го//Го = T0IT0JT0 = TOITIJTO = (Го/Го) (Го/Го),
что доказывает B).
Остается только показать, что / — рациональное расширение
модуля /Го для любого правого идеала / из В. Если а и b — эле-
элементы из / и b фО, то bU фО, а это значит, что ЬТ0 фО. Таким
образом, at ? 1Т0 ж bt ФО для некоторого t ? Го, а это доказы-
доказывает, что / — рациональное расширение В0-модуля 1Т0. В част-
частности, В — рациональное расширение #0-модуля ВТ0 = ВТТ0 =
= ТТ0 = То и, следовательно, модуля Во. D
4.7. Теорема о соответствии для проективных модулей (Морита
[58], Фейс [71а, 72а]). Пусть U — конечно порожденный точный
проективный левый В „-модуль, Го = trBo U и А = EndB0 U. Если
I и J — правые идеалы в Во, то
(I n /) и = iu n JU,
и множество (правые идеалы из Во) Го, состоящее из всех правых
идеалов кольца Во вида I = 1Т0, является структурой, причем
I \/ J = 1 + К,
I /\ J = (I [} J) То.
Отображение
{4-подмодули из f/ч* (правые идеалы из Во) Го
W н* (аш1во(С//ИО) То -= П К = / (И7)
KCJ=W
— структурный изоморфизм, и I (W) — наименьший правый идеал
из Во, такой, что I (W) U = W. Кроме того, I (W) = 2 (W7) /»
/?G0
где Go = HomBo (U, Bo).
Отображение A) индуцирует структурный изоморфизм
( (Во, Л)-подбимодули из U -*¦ (идеалы из Во) Го
¦* 1 W у* I (W).
Отображение
{идеалы из А -*- Го ((Во, 4)-подбимодули из U)
J ^* UJ
C)
х) Структура, стоящая слева, состоит из тех и только тех правых идеалов|
/ кольца В, для которых IT = /.— Прим. rupee.
— структурный изоморфизм, где
W /\V = T

250
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
для (Во, А)-подбимодулей W = T0W и V = T0V из U. Обрать
к отображению C) индуцируется отображением
{(Во, Л)-подмодули из U ->- идеалы из А
где
V*
W v* U*(W),
f(W)=U*(T0W)
(W) = 2
/?HomA(U, A)
есть образ подмодуля W при каноническом отображении
-+А, где ?/* = Нотл (?/, Л).
Наконец, отображение
идеалы из А
Го (идеалы из 50) То
5 (/) = / (?//)
является
образом,
то последовательное!
изоморфизмом мультипликативных моноидов. Такъ
UJ = S (/) U
для любого идеала J из А.)
Доказательство. Учитывая структурный изоморфная
{1) и изоморфизм моноидов B) из 4.6, достаточно доказать теорем^
в предположении, что Во совпадает с В = Biend BoU = End UA,
Положим также Т = То. Если
О-*» W X U
— точная последовательность в mod-4,
О -> HomA (U, W) —14 Нотл (U, U) = B
точна в mod-5. Если k — 1^ — включение, то
G) 70 (W) = im йр(А) = {& € 5 | Ъ U = И7} = аппв (С//И7)
есть правый идеал в В. Поскольку U является образующие
в mod-A, то по 3.26 образом канонического гомоморфизма
(8) yCHomAV.W)) _^ ^р
служит W. Таким образом, 70 (И7) U = W. Если iiT — правые
идеал кольца В и ZU = И7, то равенство TU — U влечет за co6oi™
(КТ) U = W. Значит, I (W) = 70 (W) Т есть пересечение всех!
таких правых идеалов К, что KU — W1). Тогда 7 (И7) T = I {W)A
Если I = IT и Z = ЛГ77 — правые идеалы кольца В,\
то G П К) Т является суммой всех таких правых идеалов Q, чтс
г) Это следует из того, что еслш'К^'-К^ — правые идеалы кольца В, такие,!
что Ki.U = K2U = W, to^KxT = КгТ. В самом деле KtT = Kt (J) (U) f) =j
= 2Zi(^) / = 2 (^^7) / = У, (W) i для i = 1, 2.- Яриж. wpee.
/eu* /ер* /ее/*
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей 251
Q = QT, содержащихся в / {] К. Жз определения G) следует, что
= /0
для всех 4-подмодулей Wx и W2 из С/, и тогда
A0)
n
(J + (8),
Проверим первое из равенств A0). Во-первых, поскольку
(/ + К) Т = IT + ^Г для любых правых идеалов I ж К кольца
В, то из (9) следует, что
/ (w1 + w2)^i (wx) +1 (ид.
С другой стороны, так как (/ (\?г) + I (W2)) U — I {W-^ U +
+ / (W2) U = Wx + W2, то в силу доказанного выше представ-
представления / (W) в виде пересечения, / (Wj) + / (W2) э / {\?г + VF)
и, таким образом,
Далее,
W2) = 7 (ИУ
П W.) Г = [70
У П /о
= 70
= /о
так что
7 (^ n^)s/ TO n
и, следовательно,
(И) I (Wi {]W,)U = Io (Wi П W,
= [7 (WJ П I {WJ] U
T =
Отсюда вытекает *), что
I (Wi П W,) = [7 TO П 7 ТО1Г.
Это доказывает, что A) — структурный изоморфизм. Если W есть
{В, 4)-подбимодуль, то 7 (W) = 7 ETF) •= 57 (W) — идеал
кольца 5 и, значит, B) выполняется.
Рассмотрим теперь отображение C). Если / — произвольный
идеал кольца А, то
2
feu*
2
teu*
*) Следует учесть примечание на предыдущей странице. —Прим. перев.

{[и, /] | и е U, f 6 U*} = {(и) ? I и б U, g 6 U'}
252 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Изоморфизм
г и* -+U' = HomB (U, В)
I / -* [ , Л,
определенный в 4.1, обладает тем свойством, что
[и, f]v ~uj (v).
Пусть W есть (В, 4)-подбимодуль модуля U, и пусть / = ?<т* (W)*
Подмодуль UJ порождается множеством
A2) {иа ] и е V, а € /} = {и/ И | и 6 U, f ? U*, w € W} =
= {[и, /] w | ueU,f?U*, we W}.
Поскольку [ , ]: U* —*- U' является изоморфизмом,] то мно-
множество
A3)
порождает Т = trB U. Значит, множество A3) порождает и TW
и ?// как (В, 4)-подбимодули модуля U, т. е.
A4) UJ = TW.
Это доказывает, что отображение C) является структурным изо-
изоморфизмом, а именно любой (В, 4)-подбимодуль W = TW может
быть записан так: W = UJ для единственного идеала / кольца А,
где / = V* (W).
E) Это справедливо, поскольку если W = IU, где / = / (W), то
(W)U'=
F) Отображение / -> SJ, описанное в F), составлено из отобра-
отображения / -> UJ [формула C)] и отображения W'-*¦ I (W) [фор-
[формула A)]. Таким образом, UJ = S (/) U, и так как TUJ — UJ,
то Г5 (/) ГС/ = UJ, т. е. Г5 (J) Т = S (/). Кроме того, 5 (JK) =
= S (J) S (К) для любых идеалов / и if из А- ?
4.8. Следствие. Пусть U — конечно порожденный точный и про-
проективный модуль над кольцом 50, А = Ends,, U и То = tiB0 U.
Например, U может быть произвольным образующим категории
mod-А для некоторого кольца А и Во = End UA.
4.8.1. Пусть Р — любое свойство мультипликативных монои-
моноидов, которое сохраняется при гомоморфизмах. В этом случае
моноид (идеалы из А) обладает свойством Р тогда и только тогда,
когда им обладает моноид То (идеалы из В„) То.
4.8.2. А полупервично тогда и только тогда, когда T0Q = О
для каждого нилъпотентного идеала Q из Во.
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
253
4.8.3. А первично тогда и только тогда, когда T0Q = 0 для
каждого аннуляторного идеала Q из Во.
4.8.4. Если кольцо Во полупервично, то оно является первичным
тогда и только тогда, когда А первично.
4.8.5. Структура идеалов кольца А конечна в том и только
том случае, когда множество идеалов вида I = Т01Т0 кольца ?0
конечно. В частности, А оказывается простым кольцом тогда
и только тогда, когда Т0К = 0 для любого идеала К ф. То,
содержащегося в То.
4.8.6. Если Во полупервично, то кольцо А просто в том и только
том случае, когда То — наименьший идеал кольца Во. При этом
правый идеал I кольца Во удовлетворяет условию I = 1Т0 в том
и только том случае, когда I идемпотентен и содержится в То.
4.8.7. Все идеалы кольца А попарно перестановочны тогда
и только тогда, когда любые два идеала I = Т01Т0 и J — T0JT0
кольца Во перестановочны.
Доказательство. В силу 4.6 мы можем предположить,
что Во = В = End UА. Пусть Т = То. Тогда доказываемое след-
следствие вытекает из изоморфизма моноидов
идеалы из А -> Т (идеалы из В) Т,
заданного формулой F) из 4.7. Поэтому если Р есть утверждение,
что каждый элемент из некоторого подмножества Р (R) моноида R
есть нуль, то, в частности, Р (идеалы из А) = 0 влечет за собой
Р {Т (идеалы из В) Т) = 0. Так как TU = U х), то НТ = 0 для
правого или левого идеала Н кольца В тогда и только тогда, когда
Н = 0. Значит, ТНТ = 0 тогда и только тогда, когда ТН = 0.
Отсюда следуют остальные утверждения 2).
Если В полупервично, то из равенства TI = 0 для некото-
некоторого правого идеала / кольца В следует, что (ITJ = 0, а значит,
IT = 0, т. е. / = 0. Таким образом, в этом случае В первично
тогда и только тогда, когда А первично. Кроме того, в этом же слу-
случае А просто тогда и только тогда, когда Т есть наименьший идеал
из В. Но тогда если / = /2 — правый идеал, содержащийся в Т, то
а значит, I--IT. Обратно, 1 = 1Т влечет за собой
Р = I (TIT) = IT = I,
так как TIT должно равняться Т, когда / ф0. ?
1) И U — точный левой В-модуль.— Прим. перев.
2) Доказательство утверждений 4.8.4 и 4.8.6 приведено в следующем
абзаце. Утверждения 4.8.5 и 4.8.7 очевидны. Докажем для примера 4.8.2
D.8.3 доказывается аналогично). Свойство Р здесь таково: Jn = 0 =Ф / =0
для любого идеала J ?А. Пусть Q — нильпотентный идеал из В, Qn~ 0.
Поскольку QT s <?, io(TQT)n— T (QT)n^ TQ" = 0, т. е. TQT — нильпо-
нильпотентный идеал и в силу 4.8.1 равен нулю. Но тогда TQ = 0.— Прим. перев.

254 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
4.9. Следствие. Пусть U — конечно порожденный точный про-}
ективный модуль над кольцом R, Т = trH U и А = End R f/,
4.9.1. Пусть L — произвольное свойство структур, сохраняю-
сохраняющееся при их изоморфизмах. Тогда из изоморфизмов структур]
7 Л-подмодули из U ->- (правые идеалы из R) Т
\ W -* п К
(R, Л)-подмодули из U -> (идеалы из R) Т
следует, что структура, стоящая слева, обладает свойством L '¦
тогда и только тогда, когда им обладает правая. Кроме того,
если R полупервично, а А просто (а значит, Т — наименьший ¦
идеал в R), то это эквивалентно утверждению, что структура.;
идемпотентных правых идеалов кольца R, содержащихся в Т,
обладает свойством L.
4.9.2. Если L — свойство структур подобъектов, сохраняю-
сохраняющееся при гомоморфизмах объектов и при взятии конечных про-
произведений объектов, то структура правых идеалов кольца А обла-
обладает свойством L, если этим свойством обладает структура
А-подмодулей модуля U. Если модуль U конечно порожден, то верно
и обратное.
Доказательство 4.9.1. Первое утверждение из 4.9.1
очевидно. Остальное следует из 4.8.6.
Доказательство 4.9.2. Так как U — образующий
категории mod-Л по 4.3, то Un да А ® X для некоторого X
из mod-Л. Если L сохраняется при взятии конечных произведе-
произведений, то Un обладает свойством L х) и, значит, этим свойством
обладает и А, поскольку оно сохраняется при гомоморфизме
(проекции) С/™-> Л. Обратно, если U конечно порожден в mod-Л,
точна, например, последовательность Л" —>- U -*- 0, и если Л обла-
обладает свойством L, то Лп, а значит, и U обладают этим свойством. ?
4.10. Предложение. Для любого левого R-модуля М и любого
целого числа п > 0 имеем
BiendH M = BiendH Mn
(канонический изоморфизм). Таким образом, М сбалансирован
в категории R-mod тогда и только тогда, когда сбалансирован Мп.
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
255
*) Допуская вольность речи, будем говорить, что объект обладает свой-
свойством L, имея в виду, что этим свойством обладает структура его подобъек-
подобъектов.— Прим. перев.
Доказательство,
кольцевой мономорфизм
Нетрудно показать, имеет место
такой, что
для всех
Чтобы показать,
Пусть et: RMn
) (
BiendH M ¦
г
. . ., хп) =
Mn
гхп)
. . ., хп) ? Мп, где xt eM,
что это изоморфизм, возьмем
= 1, . . ., п.
f BiendH Mn.
RM — проекция Мп на i-e слагаемое и t (хг,
. ., уп). Поскольку е; ? EndH Mn, то @, ...
. . ., у'и . .'".,' 0) = [t {ху, . . ., хп)] е; = t [(Ху, . . ., хп) ej =
= t @, . . ., xt, . . ., 0). Следовательно, t (хг, . . ., хп) =
= (tyXy, . . ., tnxn), где, как нетрудно убедиться, tt 6 BiendH M.
Покажем, что tt = t}. Пусть ft]: (xx, . . ., xt, . . ., Xj. . ., хп) -+-
-> (ху, . . ., xj, . . ., xt, . . ., хп). Ясно, что ftj e End H Мп и, зна-
значит, перестановочно с t. Но [t @, . . ., xt, ¦ ¦ ., xj, . ¦ ., 0)] ftj =
= @, . . ., tjxj, . . ., ttXi, . . ., 0), a t [@, . . ., Xi, . . ., Xj, ...
... 0) fij] = @, . . ., ttxj, . . ., tjx,, . . ., 0), т. e.JiXi = tjXt.
Таким образом, t (xx, . . ., xn) = (txy, . . ., txn), где t 6 BiendH M.
4.11. Упражнения.
4.11.1. (а) Если R — кольцо, являющееся своим максималь-
максимальным правым кольцом частных, т. е. если R рационально замкнуто
(см. 4.5.3), то любой точный проективный правый модуль над R
сбалансирован. Это выполняется, в частности, если R самоинъек-
тивно справа.
(Ь) (Като) Если U — произвольный полурефлексивный точный
левый модуль над некоторым кольцом R, то BiendH U содержится
в максимальном правом кольце частных кольца R. (Ср. 4.6.)
4.11.2. Пусть U = А © X в категории mod-Л, и пусть В =
= End UА. Тогда U — циклический точный проективный модуль
в категории B-mod. Кроме того, U сбалансирован. Однако обра-
образующим в 5-mod модуль U является тогда и только тогда, когда
X конечно порожден и проективен.
4.11.3. Пусть В = End UD, где U — правое бесконечномер-
бесконечномерное векторное пространство над телом D. Тогда U — простой
точный проективный левый модуль над В, не являющийся, однако,
образующим в категории 5-mod.
4.11.4. Пусть R — произведение бесконечной совокупности
тел. Тогда правый цоколь кольца R точен и проективен,
но не является образующим.
4.11.5. Используя равенство BiendHM = BiendHM" для
любого целого п, показать, сводя все к случаю U = R © X
в категории mod-i?, что любой образующий сбалансирован (ср. 7.3).

256 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
4.11.6. Пусть V — точный рефлексивный левый Д-модуль|
и пусть V* = HomH (V, R) каноническим образом наделен струг
турой (А, .й)-бимодуля, где А = EndH V.
(a) Тогда V канонически изоморфен некоторому правому идеалу
кольца А в том и только том случае, когда R вкладывается в V*l
(b) Достаточным условием для существования изоморфизма^
упомянутого в п. (а), является условие, что R — область целост
ности.
(c) Если V конечно порожден и проективен над R или если
самоинъективно справа, то изоморфизм из п. (а) существует в той
и только том случае, когда R вкладывается в V.
4.11.7. Если R — правая область Оре, то правое кольцо част
ных кольца R является его инъективной оболочкой в mod-i?j
4.11.8 (Джонсон). Если ни один из элементов кольца
не аннулирует существенный правый идеал, то инъективна*
оболочка R модуля R в mod-i? является самоинъективным справ||
кольцом, причем каждый его главный правый (левый) идеал
порождается идемпотентом. (В терминологии гл. 11 R — регуля{
ное кольцо. Ср. с кольцами частных Джонсона в гл. 16.) В этой
случае следующие три условия эквивалентны: (a) R артиновс
и нётерово справа; (b) R артиново и нётерово слева; (с) любе
семейство идемпотентных правых идеалов кольца R конечной
4.11.9. Если R — область целостности, то R — простое самс
инъективное справа кольцо (ср. упр. 8).
4.11.10. В упражнении 4.11.9 показать, что каждый конечнй
порожденный правый идеал кольца R или изоморфен всем;
кольцу, или равен 0.
4.12. Лемма. Если U является таким (В, А)-бимодулем, чг,
канонические гомоморфизмы
А -> Biend UA = EndB U,
В -> Biend B U = End UA
оказываются изоморфизмами, то канонические гомоморфизмы
<ё(А)-+Чё (В)
<ё(В)-+<ё (А)
изоморфизмы. В частности, если U — образующий в категории!
od-A, то имеет место канонический изоморфизм % (А)
Чё (End UA).
Доказательство. Канонический гомоморфизм
А -> EndB U
а у* ad
индуцирует канонический гомоморфизм Чё (А) -*~ Чё (End UA).\
{
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей 257
Предположим, что В = End UA и А = End U в. Тогда имеют
место взаимно обратные канонические гомоморфизмы Чё (А) -*¦
__^ <ё (В) и Чё (В) -> Чё [А) и, следовательно, эти гомоморфизмы
являются изоморфизмами. Общий случай является следствием
этого. Значит, если V — образующий в mod-4 и В = End UA,
то по 4.1 кольцо А канонически изоморфно EndB U и можно при-
применять уже доказанный частный случай. ?
Из этой леммы следует, что Чё (Вп) совпадает с множеством
диагональных матриц diag (с), где с ? С — Чё (В), и что
ср ip т> р \ р . <р (Я \ е- "^ С
для любой идемпотентной матричной единицы etl.
4.13. Предложение о сужении. Пусть U — проективный
модуль категории i?-mod, последовательность
fi(I) Р> JJ > Q
точна в i?-mod и Т = trH V. Если Ro — произвольное подколъцо
кольца R, содержащее Т, mo U проективен над Ro и р индуцирует
точную последовательность
щп -+ и ->¦ 0.
Кроме того, канонический гомоморфизм EndH U -> EndHo U
является изоморфизмом. Если U точен над R, то Ч§ (Ro) = Ro П
Доказательство. Пусть
включение. Тогда
э TW — каноническое
р (R[Iy) э р (Т{1)) = Тр (R(I)) = TU =
Так как U проективен над R, то
и р индуцирует изоморфизм р: W->¦ U в категории i?-mod. Тогда
и р: W -*- U является изоморфизмом в i?0-mod. Это показывает,
Что U проективен над Ro.
Теперь пусть t ?Т, и ?U, b ? R и /? EndHo U. Тогда,
поскольку bt g T s Ro,
Ъ (tu) f = bt(u)f = (btu) f.
г) Здесь неявно предполагается, что w s R$\ Действительно, так как W
есть образ U при некотором отображении U -*¦ Л^\ то по определению следа
W е r(f)= RtfK— При», пёрев.
П К. Фейс

258 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Так как TU = U порождается множеством {tu | t ? Т, и ? U),
отсюда следует, что / ? EndH U. Это доказывает, что EndH U =
= EndHo С/.
Наконец, если я 6 ^ (Ro), b ? R и ? 6 Т, то
(xb) t = х (bt) = (bt) x = (bx) t,
откуда (xb — bx) T = 0. Значит, (xb — bx) U = 0, т. е. 2:6 = bx,
когда U точен. Таким образом, х ? 'ё (В). ?
4.14. Предложение. Пусть U есть (В, А)-бимодулъ, причем
В = End UА и А = End в U, такой, что выполняются следующие
эквивалентные условия:
(a) U конечно порожден и проективен над В.
(b) U — образующий в категории mod-yl.
4.14.1. Центр С кольца В канонически изоморфен центру
кольца А, и для любого подкольца Во кольца В, содержащего Т =
= ti в U, в частности для Во = С + Т, модуль U конечно порож-
порожден и проективен над Во, tr.?0 U = Т и А = End?0 U.
4.14.2. Имеют место канонические изоморфизмы из 4.7:
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
259
(правые идеалы из Во) Т
Т (идеалы из Во) Т
I = TIT 1
yl-подмодули из U
-> IU
>¦ идеалы из А
/?HomA(t7, A)
Доказательство. Эквивалентность условий (а) и (Ь)
содержится в 4.1. Тогда 4S (В) = % (А) по 4.12, и 4.14.1 следует
из 4.13. Теперь 4.14.2 следует из 4.6. ?
Кольца с латеральными идеалами
В следующем предложении мы определяем понятие латераль-
латерального правого идеала.
4.15. Предложение и определение. Правый идеал V кольца А
называется латеральным, если V Ф 0 и End VA — область
целостности. Главный правый идеал V = vA является лате-
латеральным тогда и только тогда, когда
— область целостности.
Доказательство.
ническим изоморфизмом vA
Достаточно воспользоваться кано-
каноА/и1 и применить 3.62.3. ?
4.16. Предложение. Для того, чтобы ненулевой правый идеал
V кольца А был латеральным, достаточно, чтобы выполнялось
любое из следующих условий:
A) V = vA для некоторого v 6 А, такого, что it3 фО и, если
xL з Vх для какого-нибудь х ? А, то либо хх = Vх, либо их = 0.
B) (Кох) V = vA для некоторого v 6 А, такого, что v1 — мак-
максимальный правый аннуляторный идеал.
C) V = vA и v содержится в минимальном левом аннуляторном
идеале кольца А.
Доказательство. A) Ввиду 4.15 нам нужно показать,
что если a, b ? J (v1) и ab ^v1, b ($ v1, то а 6 v1. Но легко про-
проверяется, что
(шI э vL + ЪА zd Vх.
Следовательно, v (va) = v2a = 0. Так как vs фО, то vZl = vL
и поэтому а 6 v1, что и требуется.
B) Как и в доказательстве A), имеем (vaI гэ v1, откуда
(va)x = А. Следовательно, va = 0 и а ? Vх.
C) В этом случае Vх — максимальный правый аннуляторный
идеал. ?
4.17. Лемма. Пусть BV — точный конечно порожденный проек-
проективный модуль и А = EndB V. Тогда VА изоморфен правому
идеалу кольца А в том и только том случае, когда Вв вкладывается
в VS. ?
4.18А. Теорема о наименьшем идеале. Кольцо А является про-
простым кольцом с латеральным правым идеалом тогда и только
тогда, когда А изоморфно кольцу эндоморфизмов сбалансирован-
сбалансированного конечно порожденного проективного левого модуля V над
областью целостности В, такой, что Т = trB V — ее наимень-
наименьший идеал.
Доказательство. Так как Т = trB V — наименьший
идеал области целостности В, по 4.8.6 кольцо А = EndB V просто.
Поскольку V точен и проективен, мы в силу 4.17 можем пред-
предположить, что VА — правый идеал кольца А. Так как ВУ сбалан-
сбалансирован, то End VА = В — область целостности и, следовательно,,
V — латеральный правый идеал кольца А.
Обратно, если V — латеральный правый идеал, то В —¦
~ End VА — область целостности. Так как VА — правый идеал
кольца А ж А просто, то VА — образующий, откуда по 4.1.3 заклю-
заключаем, что VА сбалансирован, BV конечно порожден и проективей
и А = EndB V, что и требуется. ?
17*

260
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
261
По предложению 4.14 х) если А = EndB V, В = End VA и BV
конечно порожден, проективен и точен, то А — End b0V, где
J30 = С -\- Т, С = % (В) « 4S {А) и вйУ конечно порожден, проек-
проективен и точен. Кроме того, То = trBoF = trB У = Ги5? (Во) =
= % (В). Равенство То = Т выполняется в силу доказательства
шторой части предложения 4.14.1. Если с ? % {Во), Ъ ? В,
то (be — сЪ) Т — 0, потому что ВТ = Т и ct = tc для всех t 6 Т.
Следовательно, be = сЪ для всех b ? В, откуда с ? 'ё (В). Обрат-
Обратное включение очевидно. Таким образом, мы имеем
4.18В. Теорема о единственном идеале. Простое кольцо А
с латеральным правым идеалом V изоморфно кольцу эндоморфизмов
конечно порожденного проективного левого В-модуля, где В —
область целостности с не более чем тремя идеалами. В действи-
действительности В можно выбрать так, чтобы В = С + Т, Т = trB V
и С = 4S (В) ж <ё (А) — поле. ?
Кольца с однородными идеалами
Напомним понятия, введенные в упражнении 3.61. Объект U
категории mod-A однороден тогда и только тогда, когда он удовлет-
удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:
A) Любые два ненулевых подобъекта объекта U имеют ненуле-
ненулевое пересечение.
B) Инъективная оболочка объекта U неразложима.
C) Каждый ненулевой подмодуль модуля U неразложим.
4.19. Определение и предложение. Следующие три условия
на правый R-модулъ М эквивалентны, и, если они выполняются,
будем говорить, что М имеет конечную размерность
(Голди) и писать dim М <Г оо.
4.19.1. Никакую бесконечную прямую сумму ненулевых модулей
нельзя вложить в М.
4.19.2. Существует конечное независимое множество однород-
п
ных подмодулей {иЛ1=ъ такое, что 2 Ut — существенный под-
{=1
модуль 2) в М.
4.19.3. Инъективная оболочка модуля М является прямой сум-
суммой конечного числа неразложимых модулей {E^^L-^.
Любой нётеров модуль имеет конечную размерность. Любой
ненулевой подмодуль модуля конечной размерности содержит нену-
ненулевой однородный модуль.
г) Учитывая, что его можно применить к рассматриваемой ситуации,
ввиду 4.1.3.— Прим. перев.
2) Наибольшее из таких п называется размерностью Голди модуля М.—
Прим. перев.
Замечание по поводу доказательства.
Это предложение будет доказано позднее, а в настоящий момент
его можно рассматривать как упражнение. На самом деле можно
усилить сформулированное здесь утверждение, а именно доказать,
что п = т. Этот более глубокий результат нам в ближайшее время
не потребуется. Он является следствием теоремы Крулля — Ре-
мака — Шмидта, которая будет рассматриваться в гл. 17, 18 и 21.
Очевидно, что любой нётеров модуль удовлетворяет условиям
предложения 4.19.1, а следовательно, имеет конечную размерность.
Кроме того, 4.19.2 показывает, что любой ненулевой модуль М
конечной размерности содержит ненулевой однородный модуль.
Наконец, отметим, что любой подмодуль модуля конечной раз-
размерности является модулем конечной размерности. ?
4.20. Предложение. Пусть U — конечно порожденный проек-
проективный точный левый В-модулъ, и пусть А = EndBC/. Тогда
U имеет конечную размерность п в категории mod-yl в том и только
том случае, когда В имеет конечную размерность п в mod-jS.
Доказательство. По A) из 4.7 (см. A0) из доказатель-
доказательства 4.7) для любых 4-подмодулей Wx и PF2 из U имеем
A) Wx (}W2 = Q<±>[I (Wi) П / (Wt)] T = 0.
В силу A1) из 4.7 и точности ^-модуля U это эквивалентно
равенству / (И^) f] I (Wa) = 0. Таким образом, U однороден
в mod-4 тогда и только тогда, когда выполняется такое условие:
B) / П К = 0 =Ф / = 0 или К = 0
для всех правых идеалов / = IT и К = КТ кольца В. Далее,
В однороден в mod-5 в том и только том случае, когда B) выпол-
выполняется для всех правых идеалов I ж К кольца В, следовательно,
если В однороден в mod-5, то U однороден в категории mod-yl.
Обратно, если выполняется B) и Н f| Q = 0 для некоторых двух
идеалов кольца В, то НТ [\ QT = 0. Тогда НТ = 0 или QT = 0,
а значит, или Н = 0, или Q = 0. Итак, мы доказали, что В одно-
однороден в категории mod-5. Таким образом, предложение доказано
для случая п = 1. Общий случай можно доказать аналогичным
образом, используя индукцию.
4.21. Предложение. 1). Пусть U— однородный правый идеал
кольца А.
х) Это предложение за исключением утверждения, что В является правой
областью Оре, если А просто, и его доказательства, принадлежит Голди
[58, стр. 593—594, леммы 2.2, 2.3]. А это утверждение по существу получена
Джонсоном [53] (в предположении что А содержит однородные левые идеалы
(см. Фейс — Утуми [65Ь]). Однако простое кольцо А с однородным правым
идеалом удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей левых и правых
аннуляторных идеалов (доказательство?), и, значит, первый случай включает
в себя второй.

262
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модул
4.21.1. Тогда
X = {х
(I U
— левый идеал, содержащий идеал XU.
4.21.2. Если А — простое кольцо или если А — первичное
кольцо, удовлетворяющее условию обрыва возрастающих цепей левых
аннуляторных идеалов, то X = ±V. В обоих случаях Б = End U А—
правая область О ре и, в частности, идеал U латерален.
4.21.3. Любое кольцо, обладающее однородным правым идеалом,
имеет конечную правую размерность (Голди).
Доказательство. Прежде всего отметим, что
(z + y)L=>xx П У1
(ахI э х*-
для любых х, у ? X, а 6 А, откуда следует, что X — левый идеал
кольца А. Если х ? X, и ? U, то хи ? X. Действительно, если
ull = 0, то хи ? X, и если uU фО, то х1 f\uU фО, а значит,
(хмI П U ф 0. Так как каждый элемент а идеала XU является
конечной суммой элементов вида хи, то aL [~| С/ содержит конечное
пересечение аннуляторов таких элементов, следовательно, a-L f| 17ф
фО. Этим доказано, что X э XU. Тогда если кольцо А просто,
то, поскольку X фА, имеем XU = 0, т. е. X — левый аннуля-
тор г) идеала U.
Далее, предположим, что А — первичное кольцо с условием
обрыва возрастающих цепей левых аннуляторных идеалов,
т. е. с условием обрыва убывающих цепей правых аннуляторных
идеалов, и пусть М — правый аннуляторный идеал, минимальный
в множестве S ненулевых правых аннуляторных идеалов кольца А,
являющихся конечными пересечениями
а1 П • • • П «п Ф 0
правых аннуляторов элементов аи . . ., ап из XU. Так как
XU сг X, то М П U Ф 0. Если N — другой минимальный аннуля-
аннуляторный идеал из S, то и N (] U фО, но тогда М f| N фО в силу
однородности U. Поскольку N [\ М — элемент множества S,
то М = N — единственный минимальный элемент множества S,
т. е. XUM = 0 2). Так как А первично и М фО, то XU = 0
и опять X = LU.
Докажем, что в обоих случаях В — область целостности. Пусть
/ ? В таков, что ker / фО. Если и ? С/ и uf/ =^0, то ker / (~|
J) В силу определения идеала X.— Прим. перев.
2) Так как М в силу своей единственности и условия минимальности для
аннуляторных правых идеалов лежит в а1 для любого а ? Х?/. — Прим. перев.
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
263
[~| и U фО, а следовательно, / (и) х[~| U фО. Это показывает, что
/ (и) ? X = LU, т. е. f {и) U = 0 для любого и ? U. Значит,
(im /)a = 0. Так как любой ненулевой правый идеал первичного
кольца точен, то im / = 0. Получаем, что любой эндоморфизм /
правого А -модуля U является мономорфизмом. Значит, В —
область целостности.
Остается показать, что В — правая область Оре. Если /и g — два
ненулевых элемента из В, то im / [~| im g Ф 0 и (im / (~| im g) U Ф
ф0. Можем записать х = / {и) — g (v) для некоторых элементов
и и v из U, причем xU фО. Тогда uU фО и vU фО, а значит,
умножения модуля U на и и v слева являются эндоморфизмами
us и vs соответственно, причем
xs =/ (u)s = }us = gvs,
т. е. в 5 выполняется правое условие Оре.
4.21.3 остается читателю в качестве упражнения. ?
Строение простых нётеровых колец
В этом разделе простое нётерево справа кольцо А характери-
характеризуется с помощью кольца эндоморфизмов своего однородного
правого идеала. С этой целью мы доказываем следующее пред-
предложение, характеризующее подобным же образом простые кольца
с однородными правыми идеалами. Вопрос о том, когда кольцо А
подобно области целостности В, заключительный результат 4.23В
этого раздела сводит к вопросу о строении правых идеалов этой
области целостности.
4.22А. Предложение. Пусть А — кольцо. Следующие условия
эквивалентны:
4.22.1А. А — простое кольцо с однородным правым идеалом V.
4.22.2А. Кольцо А изоморфно кольцу эндоморфизмов конечно
порожденного проективного модуля W над правой областью Оре
R, содержащей не более трех идеалов и такой, что Т = trHTF —
наименьший идеал.
4.22.ЗА. Кольцо А изоморфно кольцу эндоморфизмов конечно
порожденного проективного модуля V над правой областью Оре Во,
центр С которой является полем и такой, что либо Во — простое
кольцо, либо Во = С + То — кольцо, имеющее точно три идеала,
причем То = trs0F.
Доказательство. 4.22.2А =ф 4.22.1А вытекает из 4.8.5
и 4.20.
4.22.1А=Ф 4.22.3А. По 4.21.2 кольцо В = End UA — правая
область Оре. Кроме того, по 4.1 модуль U конечно порожден
и проективен над В. Поэтому применимо 4.14. Наконец, имплика-
импликация 4.22.3 А=ф 4.22.2А тривиальна. ?

264 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
4.22В. Предложение. Кольцо А является простым и нётеровът
(артиновым) справа тогда и только тогда, когда А изоморфно коль-
кольцу эндоморфизмов конечно порожденного проективного левого моду-
модуля U над правой областью Оре Во, удовлетворяющей условиям
4.22.ЗА и условию обрыва возрастающих (убывающих) цепей идем-
идемпотентных правых идеалов, содержащихся в То. В этом случае
кольцо В = End UА удовлетворяет условию обрыва возрастающих
(убывающих) цепей главных правых идеалов. Кроме того, А арти-
артиново справа тогда и только тогда, когда Во — тело х). При этом
Во = В и имеют место изоморфизмы U да Вп в B-modk
и А да Вп, где Вп — полное кольцо матриц порядка п над В.
Доказательство. Если А нётерово справа, то по 4.19
оно содержит однородный правый идеал U, так что для А спра-
справедливо 4.22.ЗА. Теперь из 4.7 и 4.8.6 вытекает условие обрыва
возрастающих цепей идемпотентных правых идеалов кольца ВОУ
содержащихся в То. Далее, если
ххВ ? . . . ? хпВ ? хп+1В ? . . .
— главные правые идеалы кольца В, то из условия обрыва воз-
возрастающих цепей ^.-подмодулей модуля U вытекает, что xnU —
= xn+1U для некоторого числа п > 0. Так как Во и В — правые
области Оре, то х^+х лежит в правом теле частных К кольца В.
Теперь если xU = yU для двух элементов х и у кольца В, то
хт= 2 i
/?Нотв(и, В)
и поэтому для элемента у~хх = и выполнены равенства иТ = Т
и uU = U. Но любой эпиморфизм и нётерова модуля является
автоморфизмом (доказательство?), т. е. и — обратимый элемент
кольца В = End UА. Таким образом, Хп\ххп — обратимый элемент
кольца В, откуда вытекает, что хпВ = хп+хВ. Это доказывает,
что В удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей глав-
главных правых идеалов.
Обратно, предположим, что 4.22.ЗА выполнено. Тогда условие
обрыва возрастающих цепей идемпотентных правых идеалов
кольца Во, содержащихся в То, влечет за собой по 4.7, 4.8.6
и 4.9.2, что U, а следовательно и А, нётеровы справа. Двойствен-
Двойственным образом доказывается правая артиновость кольца А.
Наконец, по 4.9.1 кольцо А содержит минимальный правый идеал
тогда и только тогда, когда Во содержит минимальный правый
х) Приводимое ниже доказательство показывает, что если А удовлетворяет
условию обрыва убывающих цепей главных правых идеалов, то Во= В —
тело и А артиново справа. В этом случае наше предложение есть не что иное,
как классическая теорема 7.9 Веддербёрна — Артина.
Гл. 4. Теорема о
соответствии для проективных модулей 265
идеал. В этом случае Во — тело и поэтому В = BQ, a U — конеч-
конечномерное векторное пространство над Во и U да Вп для некото-
некоторого целого п > 0. Тогда по 3.33 А = EndB U » Вп. В частно-
частности, этот случай имеет место, когда А артиново справа или, что-
эквивалентно, когда Во — тело. (Относительно примечания 1
на стр. 264 заметим, что минимальный главный правый идеал,
является минимальным правым идеалом.) ?
Хотя 4.22В представляет собой характеризацшо простых нёте-
ровых справа колец в терминах правых областей Оре, возникаю-
возникающие при этом области Оре, вообще говоря, не изоморфны друг
другу г) и не просты. (Ср. 4.40.)
4.22С. Следствие. Если В — простое кольцо и U — конечно-
порожденный проективный левый модуль над В, то А = EndB U —
простое кольцо и U — прообразующий (В, А)-бимодуль 2).
Доказательство. Простота кольца А следует из 4.8.6»
Так как В просто и Нот в (U, В) Ф 0, то ввиду 3.26 U — обра-
образующий категории fi-mod. Поэтому по 4.3 U — прообразующий
как в mod-Л, так и 5-mod. ?
4.23А. Предложение. Рассмотрим следующие условия:
(a) U — конечно порожденный проективный точный модуль
над правой областью Оре R, содержащей наименьший идеал Т =
= trH U.
(b) U — однородный правый идеал простого кольца A, a R —
подколъцо кольца В = End UA, над которым U конечно порожден
и проективен, и В = BiendH U.
Условия (а) и (Ь) эквивалентны. Если они выполнены, то
4.23.1А. Правое тело частных D кольца В является правым
телом частных кольца R, а также подкольца (I : I) — {d ? D \ dl E
Е /} для любого правого идеала I кольца R.
4.23.2А. Любой правый идеал Y кольца А, кольцо эндоморфизмов
которого не имеет делителей нуля, является однородным, и любой
однородный правый идеал кольца А изоморфен подмодулю модуля U.
Пусть Y —любой однородный правый идеал кольца А, содержа-
содержащийся в U, а I — правый идеал кольца R, такой, что IU = Y
и IT — I, где Т — след модуля U в R. Тогда имеют место канони-
канонические изоморфизмы
где
(I: I) Л End IR Л End Y
g (d) (x) = dx
A,
*) Имеются в виду области Оре, возникающие при описании одного
кольца.— Прим. перев.
2) То есть BU и UA— прообразующие категорий B-mod и mod-.4 соответ-
соответственно.— Прим. перев.

266
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категор
ия, кольцо
и
(/) (хи) = f(x)u
для всех d ? D, х ? I, и ? U', / ? End /д. В частности, End FA —
правая область Оре, изоморфная кольцу эндоморфизмов пра-
правого идеала кольца R, и D — ее правое тело частных.
Доказательство. (а) =ф (Ь). Предположив справед-
справедливость условия (а), получим по 4.20, что U — однородный
^.-модуль, где А = EndH U. Поскольку R — область целостности,
то R вкладывается в дуальный к Л-модулю U модуль U* и поэтому
U канонически вкладывается в А = End в U (ср. 4.11.6). Кроме
того, из 4.8.6 следует, что А — простое кольцо.
(Ь) =ф(а). В — правая область Оре в силу 4.20. По 4.6 В —
рациональное расширение кольца R, и потому R — правая область
Оре с тем же самым правым телом частных D. Кроме того, след
модуля U в В является в силу 4.8.6 наименьшим идеалом кольца В,
откуда по 4.6 след модуля U в R является наименьшим идеалом
кольца R.
Докажем теперь 4.23.1А. Пусть d = аЪ~1 — произвольный
элемент тела D, где а, Ъ ? R. Поскольку R — правая область
Оре, то существует такой элемент х ? R, что х =ф 0 и ах, Ъх ? /.
Тогда d = (ах) (Ъх)~1 и ах и Ъх — элементы кольца A:1). Тем
самым доказано, что D — правое тело частных кольца A:1).
Если Y — правый идеал, такой, что S = End YА — область
целостности, то по 4.20 и 4.21 dim Ss = dim YA < oo. Тогда,
как показывает легкая проверка (см., например, 7.18.2), dim Ss =
— 1. Поэтому Y — однородный правый идеал. Это доказывает,
что если а ? А, то либо aY = 0, либо ау фО для каждого нену-
ненулевого у 6 Y 1). Так как UY фО, отсюда следует, что для неко-
некоторого а ? U подмодуль aY модуля U отличен от нуля и изомор-
изоморфен Y. Поэтому можно допустить, что Y s U. Обозначим через I
правый идеал / (Y) кольца R, определенный в 4.7, так что IU = Y
и IT — I, где Т = %vR U. Если D — правое тело частных
области В, то поскольку D — инъективная оболочка модуля R
в mod-i? (доказательство?), определен мономорфизм колец
End /H -v D
где обратное отображение /' t-»*/ индуцируется умножением пра-
правого идеала / слева на/'. Следовательно, можно предположить, что
Q = End /R = {d e D \dl ?= /}.
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
267
Теперь, поскольку U конечно порожден и проективен над R,
мы можем считать, что U содержится в конечно порожденном сво-
свободном левом .й-модуле, скажем V s Rn. .Модуль Rn канонически
вкладывается в Dn. Тогда du ? Dn для любых d ? D ж и ? U. В то-
тоже время если q 6 Q, то
qY = q (IU) = (ql) U S Ц] = y.
Таким образом, Y каноническим образом превращается в левый
^-модуль. Следовательно, имеет место мономорфизм колец
такой, что
q (у) = ям-,
Ч 6 Q-, У ?Y. Более того, t — изоморфизм, так как любой / 6
? End YА определяет элемент /0 ? Q, для которого
/о (х) и = / (хи) х),
для всех х 6 /, и 6 U и отображение
Г EnAYA~+Q
I / — /о
является обратным к (. Q
Следующее предложение дает классический ответ на вопрос
о том, когда области целостности в 4.22А являются простыми коль-
кольцами. (Ср. предложение 8.27.)
4.23В. Предложение. Пусть А — простое кольцо с однородным
правым идеалом U, a D — правое тело частных области целост-
целостности В = End UA.
Следующие условия эквивалентны:
4.23.1В. Кольцо А изоморфно кольцу эндоморфизмов конечно
порожденного проективного модуля W над простой областью цело-
целостности R.
4.23.2В. Кольцо А изоморфно кольцу эндоморфизмов конечно
порожденного проективного модуля W над областью целостности S,
такой, что кольцо эндоморфизмов некоторого ее правого идеала
является простым кольцом.
4.23.3В. Кольцо эндоморфизмов некоторого ненулевого правого
идеала области целостности В является простым кольцом.
!) В силу первой части утверждения 4.21.2.- Прим. перев.
*) Действительно, для каждого х ? / соответствие и у—*- f (хи) задает
гомоморфизм UA-+ YA, принадлежащий правому идеалу / (У) = /.— Прим.
перев.

268
Ч. 1. Полугруппа, моноид, группа, категория,
кольцо и моду
4.23.4В. Кольцо эндоморфизмов некоторого А-подмодуля моду-
модуля U просто.
4.23.5В. Кольцо эндоморфизмов некоторого однородного право-
правого идеала кольца А просто.
4.23.6В. Существуют ненулевой правый идеал I области
целостности В и простое подкольцо Q тела D, такие, что QI е /
и D — правое тело частных кольца Q.
4.23.7В. Существует прообразующий V в mod-Л, такой, что
L = End VA — область целостности. В этом случае L — простое
кольцо. (В терминологии, вводимой ниже в 4.29, А подобно области
целостности L и НошА (V, ) индуцирует эквивалентность кате-
категорий mod-A да mod-L.)
Доказательство. Импликация 4.23.1В =>- 4.23.2В три-
тривиальна.
4.23.2В =ф 4.23.5В. Во-первых, модуль W канонически изо-
изоморфен правому идеалу кольца А в силу 4.11.6(Ь). Действитель-
Действительно, W однороден и вкладывается в U по 4.23.2А. Кроме того, если
/ — такой правый идеал области целостности S, что End Is = R —
простое кольцо, то из 4.23А следует, что IW — однородный пра-
правый идеал кольца А, кольцо эндоморфизмов которого изоморф-
изоморфно R.
4.23.5В =ф 4.23.4В тривиально, а 4.23.4В =>- 4.23.3В следует
из 4.23А: если Y есть 4-подмодуль модуля U и / — такой правый
идеал области целостности В, что IU = Y, то End /B = End YA—
простое кольцо.
4.23.3В => 4.23.6В. Если / — правый идеал, удовлетворяю-
удовлетворяющий 4.23.3В, то Q = A:1) по 4.23.1А изоморфно End IB и, сле-
следовательно, Q — простое кольцо. Кроме того, D — правое тело
частных области целостности Q в силу 4.23.1А.
4.23.6В => 4.23.7В. По условию 4.23.6В Q содержится в R =
= (/ : I\ = End IB. Кроме того, по 4.23А Y = IU — однородный
правый идеал и R = End YA. Теперь если / — любой ненулевой
идеал кольца R, то, снова используя 4.23.2А, получаем / ("| Q ф
Ф О, поскольку D — правое тело частных кольца Q. Из простоты
кольца Q вытекает, что / f| Q = Q S /. Итак, 1 ? / и поэтому
/ = R. Это доказывает, что кольцо R просто. Кроме того,
поскольку Л просто, то У — образующий категории mod-Л, сле-
следовательно, в силу 4.1 У конечно порожден и проективен над
R = End YA. Теперь из простоты кольца R вытекает, что Y —
образующий в i?-mod. Поэтому в силу 4.3 У — прообразующий
категории i?-mod и, следовательно, категории то&-А х). Это завер-
завершает доказательство импликации 4.23.6В =$ 4.23.7В. Имплика-
Импликация 4.23.7В =ф 4.23.1В тривиальна. Q
и перее
Поскольку EndH У ж А в силу простоты кольца А.— Прим. ред.
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
269
Доказанная теорема дает «классический» ответ на вопрос,
когда кольцо А = End B U подобно области целостности, посколь-
поскольку ответ сводится к вопросу о структуре области целостности В
и ее тела частных.
4.24. Теорема Мориты и Попеску — Габриеля о полном вло-
вложении. Пусть R — кольцо и С = mod-i? (или, в терминологии
гл. 14, С — произвольная категория Гротендика). Тогда любой
образующий U категории С индуцирует полное вложение 1), т. е.
полный унивалентный функтор
hv: С ~ mod-Endc U.
Доказательство. Пусть А = Endc U, т. е. А =
= End UR, где С = mod-i?, и Т: С ~* mod-Л — функтор, инду-
индуцированный функтором hu. Наша цель — найти для каждого
морфизма t ? HomA (ТХ, ТХ') морфизм Ъ: X ->¦ X' категории С,
такой, что t = Т (Ь). Пусть I = ТХ = Могс (U, X). Тогда t (/) 6
? ТХ' = Могс (U, X') для всех / 6 I — ТХ. Рассмотрим копро-
изведения
: С7<" -* X
я
Г-ПФ v
¦(Л
X'.
Так как U — образующий в С, то g: С/(Г> -*- X — эпиморфизм.
По 2.15.3 для каждого конечного подмножества / множества I
определена коммутативная диаграмма с точными строками:
где морфизмы, образующие левый квадрат,— канонические вло-
вложения.
Для того чтобы получить отображение Ъ: X -*¦ X', такое, что
t = ТЪ, необходимо и достаточно, чтобы ker g' з К, т. е. чтобы g'
*) В некоторых источниках, говоря о вложениях, кроме их унивалент-
унивалентности, требуют, чтобы они являлись точными функторами. Здесь этого не
требуется. Теорема о полном вложении Митчелла (гл. 14) дает пример точного
вложения.

270
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
аннулировал К. Каждый k ? C^(J) имеет конечный носитель и,
следовательно, принадлежит некоторому C/W, где / зависит от к.
Поэтому каждый к ? К принадлежит некоторому Kj. Отсюда сле-
следует, что g' аннулирует К тогда и только тогда, когда g' анну-
аннулирует каждое Kj. (Если С — категория Гротендика, то К =
= lim Kj и X « U^VK та lim UW/Kj no 14.4, откуда вытекает
соответствующее утверждение.) Так как U — образующий, то для
того, чтобы доказать, что g' аннулирует К, достаточно показать
что g' аннулирует каждый такой морфизм h: U —>- CAJ), что диа-
диаграмма
коммутативна.
Запишем h = kjhu где ку. W» + С/О - включение, a h, -
изведение U + Kj -+ ?W. Мы покажем, что g' аннулирует
jzи р> -инъекции и
произведение U
A)
'/ (/¦)
для любого / 6 /, откуда
№Т
= 0
/?,
(для любого конечного подмножества / s /). Поэтому g'\ =
= 0, следовательно, g' аннулирует К = ker g. Таким образом,
существует морфизм Ъ: coker g -+- сокег g' s X', т. е. морфизм Ь:
X —>- X' категории С, такой, что g' = bg, откуда t = Т (Ъ). О
Говорят, что объект А категории С мал, если каждый морфизм
/: А —>- \\At объекта А в копроизведение объектов категории С
пропускается через конечное копроизведение, т. е. существует
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей 271
конечное подмножество / множества /, зависящее от /, такое,
что диаграмма
где а — каноническая инъекция, коммутативна.
4.25А. Предложение для аддитивной категории. Пусть {Ai\ i 6
? 1} —семейство объектов и \\Аг —копроизведение с инъекция-
г?/
ми {ut} и проекциями {pt}. Пусть А — произвольный объект и J —
любое конечное подмножество множества I. Тогда морфизм /:
А —>¦ \\Ai пропускается через конечное копроизведение \\А]\
i ? I j? J
тогда и только тогда, когда
/=
— соответственно i-яинъек-
i-яинъекДоказательство. Пусть u pj
ция и /-я проекция конечного копроизведения П А]. Тогда мор-
морфизм uXJ может быть записан в виде ии= 2 uiPi- Если / про-
i?J
пускается через \] Aj, то/= ^jUjPjf- Тогда для любого
j?J i?J
имеем
Таким образом, /= 2 uiPjfi как и утверждалось. Обратно, если
i?J _ _
/ имеет такое представление, то положим /= ZjUjpjf. Тогда
j 2 2 UjPjij = f. ?
4.25В. Предложение и определение. Пусть С и D—категории
и Т: С ~> D — ковариантный функтор.

272 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Если {At | i ? I) — семейство объектов категории С, таких,
что определены копроизведения Т\А( и ]]Т (At), mo в категории D
существует единственный морфизм t, такой, что диаграмма
ш
коммутативна для всех j ? I, где {uj} и {vj} — канонические инъек-
инъекции соответственно в ]]А{ и ]]T(Ai). Морфизм t называется ка-
i?I i?l
ионическим. Говорят, что функтор Т перестановочен
с копроизведения ми (сохраняет копроизведение),
если t является эквивалентностью для каждого копроизведения
в категории С. Если А— произвольный объект аддитивной кате-
категории, то для функтора hA со значениями в категории абелевых
¦групп канонический морфизм
является мономорфизмом (т. е. инъективен).
Доказательство. Морфизм t существует в силу опре-
определения копроизведения. Предположим, теперь, что С аддитивна.
Для каждого объекта А функтор hA : С ~* mod Z индуцирован
функтором Мог (А, ). Воспользуемся тем обстоятельством, что
копроизведения Bmod-Z — это прямые суммы. Пусть/ 6 ]\пА (At)-
Поскольку hA (At) = Morc (A, At), то существует семейство {ft:
А -> Ai) морфизмов, такое, что ft фО лишь для конечного чис-
числа i g I и
t?l
Применение морфизма t дает
t(/) = 2 (tvoh-
i?I
Если /=^=0, то fk=7^0 для некоторого к, и поэтому
Ph 2 uifi =fh?=O.
i?I
Итак, 2 utfi Ф 0 и) следовательно, t — мономорфизм. ?
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
273
4.25G. Предложение для аддитивной категории с копроизведе-
копроизведениями. Объект А мал тогда и только тогда, когда функтор hA
со значениями в категории абелевых групп перестановочен с копро-
изведениями.
Доказательство. Согласно предыдущему результату,
канонический морфизм
t: \\hA(At)-+hA(UAt)
i?I i?I
является мономорфизмом, где ]\ Ai — копроизведение с инъек-
циями {ui} и проекциями {pi).
Предположим теперь, что t — эпиморфизм. Тогда t — изомор-
изоморфизм. Если g: А -*- [J Ai — морфизм, то ^S^A(LI^j) и поэтому
g можно записать в виде 2 ui8i Для некоторых морфизмов gt ').
i?^
Тогда phg—gk Для всех k?I. Таким образом, g= 2 utpig,
i?f
откуда по 4.25А g пропускается через конечное копроизведение.
Следовательно, А мал.
Обратно, если А мал и ^6^Л(П^г). то g= 2 ui(ptg).
i?I t?/
Таким образом, t ( 2 Vtptg) = g. Следовательно, t—эпиморфизм,
HI
а значит, и изоморфизм.
4.25D. Предложение. Пусть R — кольцо и А — некоторый R-
модуль. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
4.25.ID. hA: mod-i? ->¦ mod-Z перестановочен с копроизведе-
копроизведениями.
4.25.2D. А мал как объект категории mod-i?.
4.25.3D. Если
Si = S2 ? . . . ?= Sn = . . .
— любая возрастающая (счетная) последовательность собственных
оо
подмодулей модуля А, то U ^п — собственный подмодуль моду-
п = 1
ля А.
Доказательство. 4.25. ID <=> 4.25.2D вытекает из пре-
предыдущего предложения. Воспользуемся обозначениями, приня-
принятыми при его доказательстве. Тогда для любого копроизведения
\\Ai в mod-i? морфизм t: [\hA (At) -> hA ([] At) является моно-
t?J i?I i?I
морфизмом.
x) Таких, что g^ 0 лишь для конечного числа i g /.— Прим. перев.
18 к. Фейс

274 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
4.25.3D =?• 4.25.2D. Если А не мал, то по 4.25А существует
копроизведение Д At в mod-i? с инъекциями ut и проекциями р^
и морфизм /: Л-*-_ДЛг, такие, что p}f фО для каждого /г
принадлежащего счетному подмножеству / множества I. (В про-
противном случае / = 2ujPj/ Для конечного подмножества /.) Пусть
/ = U /п, где /„ — конечное подмножество из /n+l5 и пусть Вп —
71=1
= Д Aj, п = 1, 2, .... Положим также В = [] Aj, и пусть g:
Д Ai —*-В — проекция. Тогда морфизм gf: A -> В также не мо-
может быть пропущен через конечное копроизведение. Пусть Sn =
'Вп, п = 1, 2, . . . . Так как im (gf) ^ 5n, то S,
и ^> 1. В то же время 4 = U S
п=1
4.25.2D =>- 4.25.3D. Пусть Sx = S2 <= . . . = Sn = . . . - воз-
возрастающая последовательность собственных подмодулей, объеди-
объединение которых равно А, и fn: А -> Л/5П — канонические эпи-
оо
морфизмы. Пусть /i: 4 -»- [Т A/Sn — их произведение. Тогда imfes
l
n=l
оо оо
S Д Л/5П, и поэтому /г определяет отображение /: А ->¦ [J
п=1
71=1
Ясно, что / не пропускается ни через какое конечное копроизве-
h
дение Д A/Sn, k < оо, и, следовательно, 4 не мал. ?
п=1
4.26. Упражнение. Найти пример малого модуля, не яв-
являющегося конечно порожденным.
4.27. Следствие. В обозначениях теоремы 4.24 функтор hu:
С -<• mod-End UR является эквивалентностью тогда и только
тогда, когда U — малый проективный образующий.
Доказательство. Малость объекта — категорное свой-
свойство. Если hu — эквивалентность с обратным функтором S,
то В = huU — малый объект, следовательно, таков и SB = U.
Аналогичным образом устанавливается, что U проективен и явля-
является образующим.
Обратно, если U — малый проективный образующий, то по
теореме 4.24 функтор ЬР индуцирует вполне унивалентный функ-
функтор С ¦—¦ mod-5. Тогда по 2.2 hu — эквивалентность в том и толь-
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей 275
ко том случае, когда hu — представительный функтор. Итак, пусть
М — объект категории mod-5 и
В{
B(J) ->. М -> О
— точная последовательность в mod-5. (Такая последователь-
последовательность существует, например в качестве / можно взять множество
образующих модуля М.) Теперь мы воспользуемся утверждением
D.25С) о том, что ЬР перестановочен с копроизведениями тогда
и только тогда, когда U — малый объект категории С. Таким обра-
образом, если Т — ЬР и {иь: U -»- t/^bgi — копроизведение в С,
то {Tut: TU -*¦ Т (?7(/))}iei — копроизведение в mod-Z?. Поскольку
В = TU, отсюда следует существование эквивалентностей гг:
?<!)_> т (?/№) и t2: 5№-> T (UW). Так как Т = ЬР — полный
функтор, то существует g: ?AJ)-v C/W, такой, что диаграмма
коммутативна. Поскольку U проективен, функтор Т = ЬР
точен. Следовательно, Т (coker g) да coker Tg. Поэтому из ком-
коммутативности диаграммы вытекает эквивалентность М = coker / да
да Т (coker g). Это доказывает, что Т — ЬР — представительный
функтор. Следовательно, ЬР — эквивалентность. ?
4.28. Следствие. Если R — кольцо, то объект U категории
mod-i? является прообразующим тогда и только тогда, когда функ-
функтор hv: mod-R ~* mod-End UR является эквивалентностью. D
4.29. Теорема Мориты. Говорят, что два кольца А и В подоб-
подобны х) (обозначается через А—В), если выполняется одно из трех,
следующих эквивалентных условий:
4.29.1. mod-A да mod-B.
4.29.2. A-mod да g-mod.
4.29.3. Существуют конечно порожденный проективный обра-
образующий (прообразующий) U в mod-yl и изоморфизм колец В та
да End UA.
Если эти условия выполнены, то имеет место эквивалентность
hv = HomA (U, ): mod-Л ~» mod-5
г) В русской литературе часто употребляется термин «эквивалентны
В смысле Мориты».— Прим. ред.
18*

276 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
с обратной эквивалентностью
hu* = HomB (С/*, ): mod-Z? ~ mod-A,
где U* = Нотд (U, А). Таким образом, hv* = {hv)-1. Сим-
.метрично, имеет место эквивалентность
HomB (?/, ): Z?-mod ~* A-mod
с обратной эквивалентностью
Нотд (?/', ): A-mod ~<- 5-mod.
Любая эквивалентность Т: mod-Л да mod-Z? индуцирует
для каждого объекта X категории mod-4 естественный изомор-
изоморфизм
h' (X): НотА (А, X) ->¦ Нот
ГХ),
который влечет за собой категорную эквивалентность hTA ж T~l,
т. е. любая эквивалентность Т: mod-A та mod-Z? представила и Т
естественно эквивалентен функтору, индуцированному основным
ковариантным функтором /г<ГА>*.
Доказательство. Любой изоморфизм /: В -> R колец
влечет за собой категорную эквивалентность mod-/: mod-Z? ~*
'-* mod-Z?. Таким образом, импликация 4.29.3=4-4.29.1 — след-
следствие из 4.28 и данного по условию изоморфизма End UА та В.
Обратно, если Т: mod-A ~+ mod-5 — эквивалентность, то для
каждого объекта X категории mod-A функтор Т индуцирует изо-
изоморфизм
h' (X): HomA (A, X) -> HomB (ТА, ТХ),
естественный по X. Тогда если h (X) — произведение естествен-
естественного изоморфизма X —*- Нотд (А, X) и h' (X), то определена
естественная эквивалентность функторов
- I mod-A
hTAT.
A)
где hTA : mod-Z? ~* mod-Л — функтор, индуцированный модулем
ТА. Чтобы доказать это, прежде всего заметим, что h (A) — изо-
изоморфизм колец
B) А -> End ТА в,
откуда следует, что Р = ТА является (А, Z?)-бимoдyлeм. Тогда
л hpY — правый Л-модуль для любого объекта У категории
mod-Z?. Это показывает, что hp — действительно функтор из
mod-Z? в mod-yl и h — естественное преобразование. По симметрии
существует эквивалентность функторов
~ lmod-S.
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
277
а значит, и эквивалентность
h
Т-1В
Т.
Поскольку Т — эквивалентность, то hTA — эквивалентность, ей
обратная. По 4.28 Р = ТА — прообразующий в mod-Z? и в 4-mod,
откуда по 4.1 определен канонический изоморфизм
Р* = НотА (Р, А) -»- Р' = Нот в (Р, В) г).
Кроме того, Р' — прообразующий в 5-mod и mod-A ввиду 4.2,
так что по 4.28 имеют место эквивалентности
HomA
HomB
HomB
(P,
(P\
(P,
):
):
):
4-mod r.
Z?-mod ',
mod-Z? д
» Z?-mod,
« yl-mod,
i mod-yl.
П
4.30. Следствие. Пусть U — прообразующий в mod-4 и В =
= End UA. Тогда A) T = trBt/ = 5; B) соответствие W -—
•*-*¦ I (W) теоремы 4.7 — изоморфизм структур А-подмодулей мо-
модуля U и правых идеалов кольца В, отображающий (В, А)-под-
бимодули бимодуля U на идеалы кольца В, и C) / ¦*-* SJ, где
(SJ) U = UJ,— изоморфизм структур идеалов колец А и В.
Подобные кольца обладают изоморфными структурами иде-
идеалов. ?
4.31. Следствие. Пусть Т: mod-4 ~* mod-Z? — эквивалентность.
4.31.1. Длялюбого oбъeкmaY категории mod-A эквивалентность
Т индуцирует изоморфизм.
Ш н* [Тк]
частично упорядоченного множества классов эквивалентных под-
объектов объекта Y на частично упорядоченное множество клас-
классов эквивалентных подобъектов объекта TY.
4.31.2. Т индуцирует биективное отображение
идеальные классы из mod-A ->- идеальные классы из mod-Z?
С (I) *-+ ТС (I) = С (/')
X ^ ТХ
и изоморфизм структур
f идеалы из А
идеалы из В
Г.
J) Отсюда и из изоморфизма ИотА(А, Т-гВ) ж Нотв (ТА, В) — Р'
получаем, что Т-гВ ж Р* и таким образом Т = hp*. В качестве U, существо-
существование которого утверждается в 4.29.3, теперь можно взять Р*.— Прим. перев.

278 Ч. I, Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
4.31.3. Для каждого идеала I кольца А функтор Т индуцирует
эквивалентность Т'\ mod-Л// <-> mod-B/Г, такую, что диаграмма
mod- A/I-
Г
¦ mi-3/Г'
mod-ps/[>
mi-A
mod-В
коммутативна, т. е. T'F = TF для любого объекта или морфизма
F категории тоА-AII. Если Т та ЬР для некоторого объекта U
категории mod-Л, то Т' та hulUI, m. е. если U — прообразующий
категории mod-Л и его кольцо эндоморфизмов канонически изо-
изоморфно кольцу В, то UIUI — прообразующий категории mod-4//
и его кольцо эндоморфизмов канонически изоморфно кольцу В/Г.
Доказательство. 4.31.1. Быть мономорфизмом и экви-
эквивалентность мономорфизмов — категорные свойства. То обстоя-
обстоятельство, что Т — эквивалентность, завершает доказательство.
Доказательство 4.31.2. По 3.12 класс ТС (/) объек-
объектов категории mod-5 вида ТХ, где X — объект класса С (/),
является идеальным классом, а отображение /->-/', определен-
определенное равенством ТС (I) = С (/'), биективно и сохраняет порядок.
Доказательство 4.31.3. Поскольку Т' — вполне уни-
валентный и представительный функтор, то Т' — эквивалентность.
Если X — объект категории той-А/1, то кег /э f/I для каждого
морфизма /: {/-*-1и потому/ индуцирует морфизм /': UIUI —*- X.
Тогда бпределена естественная эквивалентность функторов
где для всех X
Т'Х
НотА (?/, X) -> Нотл/1 (U/UI, X) =-- hu/mX
Поскольку Т' — эквивалентность, отсюда по 4.29 получаем,
что UIUI — прообразующий в тоА-(АИ) и mod-(S//'), а осталь-
остальное следует из 4.1. ?
Говорят, что свойство Р колец инвариантно в смысле Мориты,
если кольцо А обладает свойством Р тогда и только тогда, когда
каждое кольцо, подобное А, обладает свойством Р. Таким обра-
образом, любое свойство Р колец, которое для каждого кольца А
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей 279
характеризуется категорным свойством категории mod-4, явля-
является инвариантным в смысле Мориты.
По предложению 3.12 об идеальности, а также по 4.30 и 4.31
свойства структуры идеалов кольца А инвариантны в смысле Мори-
Мориты. Свойство называется вполне кольцевым, если кольцо А обла-
обладает им тогда и только тогда, когда этим свойством обладает каж-
каждое факторкольцо А /К кольца А.
4.32.Следствие. Если все факторколъца кольца А обладают неко-
некоторым свойством, инвариантным в смысле Мориты, то этим же
свойством обладают все факторколъца любого кольца, подобного А. ?
Категория С называется нётеровой, если каждый ее объект
является нётеровым, т. е. если частично упорядоченный класс
классов эквивалентных подобъектов любого объекта Y удовлет-
удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей. Итак, если
fcx < fc2 < . . . < fcn < . . .
— произвольная последовательность мономорфизмов {kt: Xt —>¦
—v У};рм, то существует целое число те>0, такое, что km та кт-
для всех т! ~^> т. Категория С называется артиновой, если дуаль-
дуальная категория нётерова или, что эквивалентно, если упорядочен-
упорядоченный класс классов эквивалентных подобъектов любого объекта У
категории С удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей.
4.33. Упражнения.
4.33.1. Показать, что кольцо А нётерово (артиново) справа
тогда и только тогда, когда полная подкатегория конечно порож-
порожденных Л-модулей нётерова (артинова). Вывести отсюда, что нёте-
ровость (артиновость) справа — свойство, инвариантное в смысле
Мориты.
4.33.2. Показать, что нётерово (артиново) справа кольцо не обя-
обязано быть нётеровым (артиновым) слева.
* 4.33.3 (Гопкинс — Левицкий). Показать, что каждое арти-
артиново справа кольцо нётерово справа.
4.33.4. Показать, что следующие свойства инвариантны в смыс-
смысле Мориты:
(a) Первичность.
(b) Примитивность справа (т. е. существование точного про-
простого правого модуля).
(c) Полупервичность.
(d) Полупримитивность (т. е. равенство нулю радикала коль-
кольца).
(e) Простота.
(f) Полупростота (в том смысле, что кольцо является прямой
суммой простых правых модулей). Показать, что это свойство
право-лево симметрично и из него следует полупростота всех
левых и правых модулей.

280
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
28f
(g) Регулярность (в том смысле, что каждый конечно порож-
порожденный правый идеал порождается идемпотентом; это свойство
право-лево симметрично).
(h) Конечность числа элементов (но не их число).
(i) Мощность х) (если мощность бесконечна).
(j) Самоинъективность (т. е. кольцо является инъективным
правым модулем).
(к) Каждый правый идеал проективен.
A) Каждый правый идеал инъективен.
(т) Каждый подмодуль проективного модуля проективен,
а также дуальное свойство.
* (п) Каждый циклический модуль инъективен, а также
дуальное свойство.
* (о) Каждый модуль удовлетворяет условию обрыва убываю-
убывающих цепей конечно порожденных подмодулей (соотв. циклических
подмодулей).
* (р) Конечнопорожденность кольца как алгебры (соотв. как
модуля) над своим центром.
4.33.5. Показать, что следующие свойства не инвариантны
в смысле Мориты:
(a) Быть областью.
(b) Быть полем.
(c) Отсутствие ненулевых нильпотентных элементов.
(d) Коммутативность.
(e) Справедливость импликации (ab = 1 =>- Ъа = 1).
(f) Каждый правый идеал свободен.
(g) Каждый проективный модуль свободен.
(h) Отсутствие идемпотентов, отличных от 0 и 1.
(j) Существование матричных единиц,
(i) Каждый подмодуль свободного модуля свободен.
* (к) Условие обрыва возрастающих цепей правых аннуляторных
идеялав.
4.33.6. Какие из инвариантных в смысле Мориты свойств
в 4.33.4 являются вполне кольцевыми свойствами?
* 4.33.7. Если R — кольцо главных правых идеалов, то таким
же является каждое полное матричное кольцо Rn. Обратное, вооб-
вообще говоря, неверно, но справедливо, если кольцо R коммута-
коммутативно. (Таким образом, свойство «каждый правый идеал — глав-
главный» не инвариантно в смысле Мориты.)
Центр категории
Если С — категория и 1С: С ~> С — тождественный функтор,
то центр категории С (в обозначениях % (С)) определяется как
класс всех естественных преобразований h: lc -*- 1С. Таким обра-
J) Точнее мощность множества элементов кольца.— Прим. перев»
зом, для каждого А ? С определен морфизм h (A): A -> А, такой,
что для любого морфизма /: А —>- В, где В ? С, диаграмма
НА)
коммутативна, т. е. fh (A) = h (В) /. В частности, морфизм h (A)
перестановочен с каждым /: А -*~ А, т. е. h (A) — эндоморфизм,
принадлежащий центру кольца End An.
4.34. Предложение. Для любого кольца R имеет место изомор-
изоморфизм колец)
<р: %(R)fa% (mod-Д),
такой, что если х ?_Чо (R), h = ф (х) и А 6 Obj mod-/?, то отобра-
отображение h (А): А -> А — это гомотетия с коэффициентом х, т.
е. h (А) (а) = ах для всех а 6 А.
Доказательство. Проверим сначала, что h = ф (х) —
действительно естественное преобразование тождественного функ-
функтора. Если /: А ->- В — отображение модулей, то
h (В) f{a)=f(a)x = f (ax) = fh (А) (а).
Поэтому h (В) 1 = fh (А), как и требовалось. Далее если h 6
6 'ё (mod-R), то h (R) отображает единицу кольца R в элемент
х 6 R и h (R) (у) = ух для всех у ? R. Теперь если А 6 mod-/?,
то 4» HomH (R, А). Если а 6 А, то пусть /: R-*~ А — такой,
модульный гомоморфизм, что / A) = а. Тогда диаграмма
h(R)
h{A)
коммутативна, поскольку h ?.% (mod-i?). Поэтому
h (A) f(y) = h (A) f(l)y =h (A) ay
и
fh (R) (y) = f (yx) = / A) yx = ayx

282 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
для всех у 6 R- Полагая у = 1, получаем
h (А) а = ах
для всех а ? А. Это показывает, что h = ф (х) — гомотетия с
коэффициентом х. Следовательно, ф — наложение. Далее, если
h = ф (х) = ф (г/), то /г (R) A) = я = г/. Поэтому отображение ф
взаимно однозначно и, следовательно, изоморфизм. ?
Тот факт, что для любого п
« (Д) «
(Дп),
является следствием доказанного предложения и эквивалентности
mod-i? » mod-i?n.
Приводимые ниже следствия вытекают также из 4.12.
4.35. Следствие. Если А — коммутативное кольцо и кольцо В
подобно А, то А изоморфно центру кольца В. Таким образом, два
коммутативных кольца подобны тогда и только тогда, когда они
изоморфны. ?
4.36. Следствие. Если А и В — кольца и существует эквива-
эквивалентность Т: mod-Л ~* mod-i?, mo T индуцирует изоморфизм
колец % (А) -> % (В).
Доказательство. Эквивалентность Т индуцирует изо-
изоморфизм центра категории mod-Л на центр категории mod-j9. ?
Правым порядком R кольца S называется подгруппа аддитив-
аддитивной группы кольца S, являющаяся также подполугруппой муль-
мультипликативного моноида кольца S и такая, что каждый элемент
кольца S имеет вид гх~1 для некоторых элементов г, х ? R. (Заме-
(Заметим *), что тогда R есть предкольцо и подпредкольцо кольца S.)
Говорят, что кольцо R имеет правое кольцо частных S, если опре-
определен кольцевой мономорфизм h: R ->- S, такой, что образ отображе-
отображения h является правым порядком кольца S и h отображает каждый
регулярный элемент кольца R в обратимый элемент кольца S. Если
g: R —>¦ Т — другое кольцо частных кольца R, то существует един-
единственный изоморфизм колец /: S -> Т, для которого fh = g. Таким
образом, мы можем говорить о правом кольце частных кольца R.
Необходимым и достаточным условием для существования право-
правого кольца частных кольца R является правое условие Оре: для
любой упорядоченной пары (а, Ь), где а, Ъ ? R и Ъ регулярен, суще-
существуют ах, &х 6 R, такие, что Ъх регулярен и аЬх = Ьах. (Итак,
любое коммутативное кольцо, как мы уже отметили в гл. 3 перед
!) См. стр. 469.
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
283
3.46 и 3.61, обладает кольцом частных.) [Мы предоставляем чита-
читателю возможность самому доказать эти утверждения либо обра-
обратиться к гл. 9, где они доказываются.] Впредь для кольца частных
h: R —>¦ S будем предполагать, что h — включение.
Говорят, что S — кольцо частных, если оно является кольцом
частных некоторого кольца R 1). В этом случае не только каждый
регулярный элемент кольца R обратим в S, но и каждый регуляр-
регулярный элемент кольца S обратим в нем. Таким образом, 5 является
кольцом частных тогда и только тогда, когда оно совпадает со
своим левым и правым кольцом частных. Это показывает, что опе-
операция перехода к кольцам частных в известном смысле идемпотент-
яа (ср. идемпотентные радикалы, гл. 16).
Определения (Джекобсон [47, стр. 226]). Пусть Rx и R2 —
правые порядки в кольце частных Q. Тогда говорят, что
Q
(i) они эквивалентны {символически R1^R2), если eQ суще-
существуют регулярные элементы аъ Ъг, а2, Ь2, такие, что a1R1b1 s R2,
Rb R
г
(ii) они эквивалентны справа (символически i?1~i?2),
если в Q существуют регулярные элементы аи а2, такие, что
«!#! ? R2, a2R2 ? Ri,
(Ш) они эквивалентны слева (символически i?x-~i?2),
если в Q существуют регулярные элементы Ьи Ъ2, такие, что
i?1b1 ? R2, R2b2 ? Дх. Все эти отношения являются отношениями
эквивалентности. Кроме того,
г Q I Q
Ri ~ R2 => Ri~R2 и Ri ~ i?2=> /?i~i?2.
Лемма (Джекобсон). Пусть R — правый порядок в кольце
частных Q и S — подпредкольцо кольца Q.
1. Если в Q существуют регулярные элементы а, Ь, с и d, такие,
что aRb s S и cSd s R, mo S — правый порядок в Q и R~S.
2. Если в Q существуют регулярные элементы а и с, такие, что
aR е S и cS s R, то S — правый порядок в Q и R ~ S. Анало-
Аналогичное утверждение справедливо для эквивалентности слева.
Доказательство 1. Если q 6 Q, то
a~lqa = хс~х
для некоторых х, с ? R. Тогда
q = (axb) (acb)'1,
т. е. S — правый порядок кольца Q, эквивалентный R. Если поло-
положить Ъ = 1, то получаем доказательство утверждения 2. ?
х) То есть является либо левым, либо правым кольцом частных
кольца R.—Прим. перев.

284 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
4.37. Предложение. Пусть Bt — правая область Оре с пра-
правым телом частных Dt, Ut — конечно порожденный проективный-
левый Bi-модулъ, и пусть At = EndB. Uu i = 1, 2. Тогда из суще-
существования кольцевого изоморфизма /: А2 —*¦ Аг вытекает существо-
существование кольцевого изоморфизма g: D2 -> Dx, такого, что g (j92) и
Вх — эквивалентные правые порядки тела Dx.
Доказательство. По 4.20 Ut — однородный правый
Агмод,улъ, i — 1, 2. По предложению 4.23А и его доказательству
модуль Uj канонически изоморфен правому идеалу кольца At.
Следовательно, можно считать, что V\ — однородный правый
идеал кольца Аи i = 1, 2. Тогда / (U2) = V — однородный пра-
правый идеал кольца Ах. Пусть А = Ах, U = Ux, В = Вхж D = Dx.
Тогда по 4.23А правый идеал V изоморфен такому Л-подмодулю Y
модуля U, что IU = Y для некоторого правого идеала / кольца В
и End VA изоморфно В' = End IB, где
В'~=
dl
— правый порядок в D. Если х ? / и х фО,то В'х s В пхВ s В'.
Это доказывает, что В и В' — эквивалентные правые порядки.
Далее, R = BiendBaC/2 — правая область Оре, содержащая В2,
и имеет место кольцевой изоморфизм g: R ->- В', определенный
произведением изоморфизмов
R = End U9
End VA « В'.
По 4.6 R — рациональное расширение кольца Вг, такое, что
RT s В2, где Т = tiB^U2. Это показывает, что йиВ2 имеют одно
и то же тело частных D2 и что йиВ2 — эквивалентные слева пра-
правые порядки, поскольку Rt ? B2 для любого t ? Т и j92 s R.
(Это также^показывает, что 5 и 5 = BiendB U — эквивалентные
правые порядки тела D.) Пусть g: D2-+ D — единственное рас-
расширение изоморфизма R ?& В'. Тогда эквивалентность порядков
В2 и R влечет за собой эквивалентность правых порядков g (B2)
и В', а следовательно, и правых порядков g (B2) и В. ?
4.38. Предложение. Пусть Bt, i = 1, 2 — правые области Оре
с одним и тем же правым телом частных D. Если кольца Вх и В%
подобны, то ВхиВ2 — эквивалентные правые порядки и существует,
правый идеал Р кольца В2, такой, что имеет место кольцевой изо-
изоморфизм
Вхж (Р : Р) = {d?D \dP = Р}.
Доказательство. По 4.29 можем записать Вх = End PB
и В2 = EndBiP для некоторого (Вх, #2)-бимодуля Р, являющего-
являющегося прообразующим. Тогда, как и в доказательстве предложения!
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
285
4.23А, в mod-B2 существует вложение модуля Р в В2, откуда,
поскольку D самоинъективно справа, получаем, как и утвержда-
утверждалось, изоморфизм колец Вхж (Р : Р). -(Ср. 4.23А.) Значит, для
любого р ? Р имеем
Вхр ? Р s В2 и рВ2 ? Р S Вх.
Таким образом, Вхж В2 — эквивалентные правые порядки. ?
Говорят, что кольцо R наследственно справа, если каждый пра-
правый идеал проективен. Любая область главных правых идеалов R
наследственна справа, так как каждый ненулевой правый идеал
является свободным модулем, изоморфным R. Более того, наслед-
наследственность — это свойство, инвариантное в смысле Мориты в силу
упражнения 4.33.4, и в действительности наследственные справа
кольца могут быть охарактеризованы следующим категорным свой-
свойством: любой подмодуль проективного модуля лросктивен. В част-
частности, любое полное матричное кольцо Rn над наследственным
кольцом R наследственно.
4.39А. Предложение. Пусть В — правая область Оре с пра-
правым телом частных D и А — подколъцо тела D, являющееся правым
порядком кольца D. Рассмотрим следующие условия:
4.39.1А. Кольцо А подобно кольцу В, т. е. mod-A « mod-j9.
4.39.2А. Существует правый идеал I кольца В и изоморфизм
колец А « (/ : I) = {d 6 D \ dl = /}.
4.39.ЗА. А и В — эквивалентные правые порядки.
Тогда 4.39.1А =>- 4.39.2А => 4.39.3А.
Если В — простое кольцо и каждое кольцо, удовлетворяющее
условиям 4.39.2А или 4.39.ЗА, является простым, то В наслед-
наследственно справа и нётерово справа. Таким образом, если В — про-
простое кольцо, для которого условия 4.39.1А и 4.39.ЗА равносильны,
то В наследственно справа и нётерово справа. В этом случае
условия 4.39.1 А и 4.39.ЗА эквивалентны для любого максимального
правого порядка А 1).
Доказательство. 4.39.1А => 4.39.2А => 4.39. ЗА по
предложению 4.38 и его доказательству.
Любой ненулевой правый идеал / кольца В является левым
идеалом кольца А = (/ : /) = {d ? D | dl s /}, и А оказывается
правым порядком тела D, эквивалентным В. Если В — простое
кольцо и А — кольцо, подобное В, то А — простое кольцо.
В этом случае / — образующий как в Л-mod, так и в mod-j9 и, сле-
следовательно, по 4.2 и 4.3 является конечно порожденным и проек-
проективным в обеих категориях. Это доказывает, что В нётерово спра-
справа и наследственно справа при условии, что каждое из колец
. определение 10.24.— Прим. перев.

286 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
(I: I) просто. Этот случай имеет место, если В — простое кольцо
и 4.39.ЗА => 4.39.1А.
Обратно, допустим, что В наследственно справа и нётерово
справа, и пусть А — максимальный правый порядок, эквивалент-
эквивалентный В. Тогда хАу s В для ненулевых элементов х, у ? D. Поэтому
ху = Ь 6 В и у = х~гЬ. Отсюда для А' = хАх'1 справедливо
А'Ъ ? В и, следовательно, A I ? I для I = А'ЪВ. Пусть S =
= (/:/) л? End I в. Тогда, так как I — прообразующий катего-
категории mod-5, то по 4.29 S подобно В. Отсюда А = x~lSx, поскольку
А — максимальный правый порядок и потому А подобно В. Q
4.39В. Упражнение (Фейс [65]). Простая правая область Оре
В является максимальным порядком в множестве правых порядков
своего правого тела частных, которые эквивалентны слева В. Обоб-
Обобщить.
4.40. Предложение. Для простого кольца с однородным правым
идеалом U эквивалентны следующие условия:
4.40.1. Кольцо эндоморфизмов каждого однородного правого
идеала V кольца А просто (соотв. подобно А).
4.40.2. Каждый однородный правый идеал кольца А конечно
порожден и проективен.
4.40.3. А наследственно справа и нётерово справа.
Доказательство. Применение утверждений 4.22С, 4.29
и теоремы 4.7 о соответствии доказывает эквивалентность двух
утверждений, указанных в АЛО А, а также эквивалентность
4.40.1 <=> 4.40.2. Ясно, что 4.40.3 => 4.40.2.
4.40.1 =>¦ 4.40.3. По условию В= End U А является простым
кольцом, подобным А. Если I — правый идеал кольца Ви/ ^0,
то по 4.23А V = IU оказывается однородным правым идеалом коль-
кольца А, таким, что End VA имеет то же самое правое тело частных,
что и В, и, кроме того, End VA » End IB. Тогда 4.40.3 справед-
справедливо в силу 4.39.ЗА. ?
Другие результаты о порядках см. в гл. 7, 9, 10 и 18.
Упражнения к гл. 4
1. Доказать все теоремы в гл. 7 и 8.
2. Любое простое кольцо А с однородным правым идеалом U
вкладывается в полное матричное кольцо Dn, где п = dim AA
и D — правое тело частных кольца В = End UА. (Ср. 4.22.)
[Это частный случай утверждения 9.13, из которого следует, что А
имеет правое кольцо частных, изоморфное Dn.} Вывести отсюда,
что А удовлетворяет условиям обрыва возрастающих и убываю-
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
287
щих цепей правых и левых аннуляторных идеалов. (См. стр. 187,.
перед пунктом «Два канонических отображения»; ср. также 4.21.)
3.1. Доказать, что если A is. В — тела и если существуют объек-
объекты V в mod-Л и W в mod-i? и кольцевой изоморфизм End VA —>
->• End Wв, то существуют эквивалентность Т: mod-Л « mod-5"
и эквивалентность W « TV в mod-j9. Обобщить. (Ср. 16.7 и 24.26.)>
3.2. Если к — тело и А — кольцо, подобное /t, то i « Endfe V
для некоторого конечномерного векторного пространства V над кг
и обратно.
4. Кольцо R называется классически полупростым, если каж-
каждый правый /?-модуль полупрост. Показать, что любое подобное-
телу кольцо R классически полупросто. Показать, что кольцо R
классически полупросто тогда и только тогда, когда R подобно-
конечному произведению тел. Заключить, что свойство кольца
быть классически полупростым право-лево симметрично. Пока-
Показать, что любое классически полупростое кольцо наследственно.
5 (теорема Веддербёрна — Артина). (а) Кольцо R классически^
полупросто тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию-
обрыва убывающих цепей правых идеалов и не содержит ненуле-
ненулевых нильпотентных идеалов. Заключить с помощью упр. 4, что-
это условие право-лево симметрично.
(Ь) Простое кольцо R классически полупросто тогда и только-
тогда, когда R удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей
правых идеалов (и тогда и только тогда, когда R подобно телу).
6. Следующие свойства кольца R эквивалентны:
(a) R полупросто в mod-i?.
(b) R полупросто в i?-mod.
(c) R — конечное произведение колец всех линейных преобра-
преобразований конечномерных векторных пространств над какими-либо-
телами.
(d) R — конечное произведение полных колец матриц (разных
порядков) над какими-либо телами.
(e) Каждый объект категории mod-i? полупрост.
(f) Каждый объект категории mod-i? инъективен.
(g) Каждый объект категории mod-i? проективен.
7. Если F — тело, то пересечение всех его подтел является
полем, которое называется простым подполем тела F и которое
изоморфно либо Q, либо Zp для некоторого простого р. Если F
конечно, то F — векторное пространство конечной размерности п
над простым подполем ~LV и поэтому F состоит из рп элементов.
Показать, что два конечных поля изоморфны тогда и только тогда,
когда они содержат одинаковое число элементов. [Теорема Мура

288 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
¦(Е. Н. Moore).] Доказать, что для каждого простого р и целого п
существует конечное поле, состоящее из рп элементов и называе-
называемое полем Галуа из рп элементов (обозначение: GF (рп)). Доказать
теорему Веддербёрна, которая утверждает, что каждое конечное
тело коммутативно и, следовательно, является полем Галуа.
8. Доказать, что мультипликативная группа конечного поля
является циклической, группа автоморфизмов конечного поля
также является циклической, и ее порядок равен степени про-
простого числа.
*9 (Картан — Эйленберг). Кольцо R наследственно справа
тогда и только тогда, когда каждый гомоморфный образ инъек-
тивного модуля инъективен. Доказать, что если над кольцом R
каждый делимый правый модуль инъективен, то R наследственно
справа.
*10 (Козенс). Если А — максимальный порядок в простом
артиновом кольце Q и МА — полурефлективный модуль конечной
размерности Голди, то В' = EndA M* — максимальный порядок
в End {М ф Q)Q (где М* = Нотл (М, А)); кроме того В' мак-
максимален среди эквивалентных справа порядков, содержащих В =
= End МА. При этом В = В' тогда и только тогда, когда М реф-
рефлексивен. (Ср. Коззенс — Фейс [75], в частности теорему о мак-
максимальных порядках, стр. 76).
Замечания к гл. 4
Первородный грех и эдипов комплекс
Математик, философ, гуманист (и т. д.) Бертран Расселл начал
изучение философии с двух вопросов: 1. Возможно ли познание?
2. Еслиv ответ на первый вопрос положительный, то что я могу
познать? Я не знаю точно, каковы были его выводы, но сами по себе
эти вопросы замечательны и вызывают в памяти принципы Декар-
Декарта. Существует третий вопрос: 3. Каким образом я могу что-либо
познать? Здесь я имею в виду часто совершенно различные формы,
в которых представимо знание. Математик обнаруживает, что
трудно даже выяснить, когда два объекта совпадают — доказано,
что в случае слов или элементов группы, заданной образующими
и соотношениями, эта задача невыполнима. (Неразрешимость проб-
проблемы тождества слов.)
Эдипов комплекс — это неспособность математических объек'
тов узнавать своего родителя (мать) х). Свободен ли подобъект сво-
свободного объекта? Свободно ли прямое слагаемое произведения
{или копроизведения) свободных объектов? Многие типы матема-
г) Как и в греческом мифе, в этом случае мать]также пе узнает своего сына.
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей
289
тических теорем утверждают неэдиповость, давая положительные
ответы на подобные вопросы. Теорема о подгруппах свободных
групп представляет собой положительный ответ на первый вопрос.
Тем не менее подсистемы свободных полугрупп (моноидов)
и алгебр эдиповы *), и проблема состоит в том, чтобы изучить род-
родственные отношения и с их помощью найти аксиомы, определяющие
свободные подмоноиды (алгебры). (Эти аксиомы не должны отсы-
отсылать за рамки подсистемы. См. Кон [62].)
Утвердительный ответ на второй вопрос называетсяХтеоремой
об однозначном разложении или теоремой Крулля — Шмидта.
К этим именам (перед ними или после) часто добавляют имена
Адзумаи, Ремака, Веддербёрна и других (гл. 21). Основной моде-
моделью здесь является теорема об однозначном разложении целого
числа на простые сомножители.
Первородный грех в алгебраическом саду был свершен, когда
обнаружилось, что теорема об однозначном разложении алгебраи-
алгебраических чисел для поля алгебраических чисел (=конечномерного
расширения поля О.) неверна. Основываясь на ошибочном предпо-
предположении о том, что алгебраическое число не эдипово, Ламе дал не-
неверное доказательство последней теоремы Ферма. Дедекинд в из-
известной мере восстановил приличия, создав теорию идеалов — он
доказал, что разложение идеалов в произведение простых в полях
алгебраических чисел единственно. Но это не удовлетворило Кро-
некера, который неоднократно говорил «Бог создал целые числа;
все остальное — дело рук человеческих». Его высказывание сни-
снижало ценность многих диссертаций того времени, а также работ
Кантора, в которых он зашел совсем далеко, создав свои транс-
трансфинитные кардинальные (а может папские?) числа.
Замечания о простых кольцах
То обстоятельство, что в структурной теории простых нётеровых
колец появляются области Оре, было впервые замечено Голди [58]
и Лезьё — Круазо [59], обобщившими лемму Шура 3.10.1. Литтл-
вуд [33] отметил, что некоммутативные нётеровы простые области
Оре встречаются в природе как «алгебры квантовой механики».
Часть его теоремы в обобщенной форме есть не что иное, как теоре-
теорема 7.30 Амицура. Новые простые области были обнаружены Коззен-
сом [70] 2). О них подробно рассказывается в гл. 7, в особенности
7.40 и далее.
Что касается теории простых колец, то теорема Веддербёрна
датируется 1908 г., теоремы Веддербёрна — Артина появились
!) См. предыдущее примечание.
2) См. также Л. А. Койфман, Мат. заметки, 7 A970), 359—367.—
Прим. ред.
19 к. Фсйс

290 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
двадцать лет спустя [см. Артин [27а, Ь]], далее — Артин и Уэйплс
[43] и Артин — Несбитт — Тролл [44] — приблизительно в то
же время, что и теорема плотности (Джекобсон [45]). Следующи-
Следующими — полвека спустя после теоремы Веддербёрна — явились теоре-
теоремы Голди [58], [60] — Лезьё — Круазо [59] и Мориты [58]. Теорема
Фейса [64] о кольце эндоморфизмов для простых колец с однород-
однородными правыми идеалами опиралась на результаты Голди и Джон-
Джонсона [51 а, Ь]. Однако даже ее усиленный вариант, установленный
Хартом [67], оказался, как заметил Фейс [67Ь], довольно легким
следствием из теорем Мориты и Голди — Лезьё — Круазо.
Теорема о соответствии для проективных модулей и большая
часть структурной теории простых колец с однородными правыми
идеалами и/или латеральными правыми идеалами были аннонси-
рованы Фейсом [71а] и полностью опубликованы в [72а]. Несколько
содержащихся там гипотез, касающихся простых колец, пред-
представлено в гл. 8, стр. 467—468.
Замечания о кольцах частных
Является ли условие Оре свойством, инвариантным в смысле
Мориты? В общем случае ответ неизвестен. Тем не менее если R —
произвольное коммутативное кольцо, то любое кольцо А, подоб-
подобное i?, имеет кольцо частных (доказательство?). Аналогично если R
имеет правое полупростое кольцо частных, то этим же свойством
обладает любое кольцо, подобное R. (Ср. гл. 9.) Это лишь два
примера из большого числа частных случаев, для которых ответ
утвердителен. Во всех этих случаях из А ~ R следует Q (А) ~
~ Q (R), где через Q ( ) обозначено кольцо частных. Если даже
условие Оре инвариантно в смысле Мориты, то верно ли, что
Q (А) обладает указанным функториальным свойством? Если это
так, то справедливо следующее утверждение: если S — кольцо
частных, то Sn — также кольцо частных для любого целого п,
т. е. каждый регулярный элемент кольца Sn обратим. Верно ли это?
В общем случае ответ отрицательный, см. Бергман [74].
Ссылки
Артин [27 а, Ы, Артин — Несбитт — Тролл [44], Артин — Уэйплс
[43], Ауслендер и Голдман 160а], Басе [62], [73], Бергман [74], Вед-
дербёрн [08], Габриель [62], Голди [58], [60], Джанс [70], Джекоб-
Джекобсон [45Ь], [45с], [47], Джонсон [51а], [51Ы, Диксон — Фуллер [70],
Длаб — Рингель [72], Камилло [701, Камилло — Фуллер [72],
Кон [62], [66а], Коззенс [70], Морита [58], Попеску — Габриель [64],
Утуми [56], Фейс [64], [67а], [67Ь], [71а], [72а], Фейс — Утуми
[65], Финдлей — Ламбек [58], Харт [67], Шефердсон [51].
Глава 5
ПРЕДЕЛЫ, СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКТОРЫ И АЛГЕБРЫ
В перечень тем и понятий, изучаемых в гл. 5, следует включить:
бифункторы, представимые функторы, сопряженные слева и спра-
справа функторы, биекции и морфизмы сопряжения, сопряженные
пары, забывающий функтор и функтор свободы, пределы, согла-
согласованные семейства морфизмов, направленные классы, прямые
и обратные пределы, ядра, коядра, уравнители, пересечения,
расслоенные произведения или универсальные (или кодекартовы)
квадраты, образы, прообразы, гомоморфные образы, полные
категории, нормальные объекты и категории, сбалансированные
категории, локально малые категории, точные категории, диаграмм-
диаграммный поиск, теоремы Нётер об изоморфизме для точных категорий,
функторы, сохраняющие пределы, непрерывные справа функторы,
теоремы Фрейда, сопряженные функторы со значениями в кате-
категории модулей, функторы тензорного'умножения, плоские модули,
модули характеров, сопряженные к унивалентным функторам,
теорема Габриэля — Попеску (второй вариант), алгебры над
коммутативными кольцами, полугрупповые и групповые кольца,
свободные алгебры, коммутативные и некоммутативные кольца
многочленов.
Определенное в этой главе свойство функтора S: D ~* С быть
сопряженным слева к функтору Т: С ~* D эквивалентно требова-
требованию, чтобы для каждого объекта В категории D существовала
естественная эквивалентность hBT л; hSB основных ковариантных
функторов со значениями в категории множеств. Например, функ-
функтор свободы SETS <-> С сопряжен слева к забывающему функ-
функтору С ~* SETS. Функтор Т обладает сопряженным слева функ-
функтором тогда и только тогда, когда он «почти» представим в том
смысле, что для каждого объекта В категории D функтор hBT
со значениями в категории множеств является представимым.
Любой аддитивный функтор Т: С~* mod-i?, обладающий сопря-
сопряженным слева функтором S, представим и Т sa hSR (предложе-
(предложение 5.52). Обратно, любой представимый функтор Т: С ~ mod-i?
обладает левым сопряженным, если С — локально малая полная
аддитивная категория с кообразующим, например если С =
= mod-A для произвольного кольца А. (Локально малыми назы-
называют категории, в которых неэквивалентные подобъекты любого
объекта составляют множество; полные категории определены
чуть ниже.)
19*

292 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Теорема Фрейда 5.51 характеризует функторы Т: С ~* D,
обладающие сопряженными слева функторами. Если С — полная
локально малая категория с кообразующим, то функтор Т обла-
обладает сопряженным слева функтором тогда и только тогда, когда
он сохраняет пределы. Если, кроме того, категория С аддитивна,
то следующие три свойства функтора совпадают: сохранять пре-
пределы, иметь сопряженный слева и быть представимым E.56).
Уравнители, произведения, пересечения и расслоенные про-
произведения являются пределами функторов, и категория С (конеч-
(конечно) полна тогда и только тогда, когда она обладает уравнителями
и (конечными) произведениями. Если С имеет нулевой объект,
то ядро морфизма / является уравнителем морфизмов / и 0. Адди-
Аддитивная категория обладает ядрами в том и только том случае,
когда она обладает уравнителями. Функтор Т: С ~> D сохраняет
(конечные) пределы тогда и только тогда, когда он сохраняет урав-
уравнители и (конечные) произведения E.39).
Если L и С — категории, то через CL обозначают категорию
Funct (L, С), объектами которой являются функторы F: L ~* С,
а морфизмами — естественные преобразования функторов х). Функ-
Функтор lim: CL ~» С, сопряженный слева к постоянному (диагональ-
(диагональному) функтору с: С ^-CL, называется предельным функтором
или функтором предела. Объект А категории С называется пре-
пределом, если A =lim F для некоторого функтора F: L ~* С. [Таким
образом, А = lim с (А) для любой категории L.\ Говорят, что
функтор Т: С ~* D сохраняет пределы, если существует естествен-
естественная эквивалентность функторов lim Т » Т lim, где Т: CL ~* DL —
функтор, индуцированный функтором Т и переводящий любой
функтор F ? CL в TF. Для любой категории С основные функторы
hA и hA со значениями в категории множеств сохраняют пределы
для любого объекта А (предложение 5.41) 2). Любой обладающий
левым сопряженным функтор Т: С ~* D сохраняет пределы, а функ-
функтор S: D ~* С, сопряженный к функтору Т слева, сохраняет копре-
копределы (предложение 5.43). Отсюда следует, в частности, что любой
функтор предела lim: CL ~* С сохраняет пределы, а функтор свобо-
свободы F: SETS "->• С сохраняет копределы. Из последнего результата
вытекает, что для свободного объединения П St в категории мно-
жеств копроизведение [] F (St) свободных объектов {F Ej)}iei
в категории С совпадает с F ([] St). Это используется в катего-
»е /
риях k-ALG алгебр над коммутативным кольцом к, в категории
г) Автор пренебрегает возникающими здесь теоретико-множественными
трудностями.— Прим. ред.
2) Здесь hA рассматривается как ковариантный функтор С* ~* SETS.—
Прим. перев.
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
293
(полу)групповых колец любой группы (моноида) G над произ-
произвольным кольцом Лив кольце (коммутативных или некоммута-
некоммутативных) многочленов над произвольным кольцом; все эти примеры
рассматриваются в данной главе.
Бифункторы
Если {С; }iej — семейство категорий, то произведение у Ct
г ? -Г
определяется как категория, имеющая в качестве объектов семей-
семейства объектов {Zj}iei, где Xt — объект категории Ct для каждого
i 6 /. Морфизм {Xi}-+{Yi} есть элемент {/J произведения
П Могс (Хг, Yt). Если {gi} — другой морфизм, то произведе-
i?I
ние {gj} {/г} определено тогда и только тогда, когда для любого
i ? / область значений морфизма /г совпадает с областью опреде-
определения морфизма g^ В этом случае полагают {gt}•{/,} = {gift}-
Произведение двух категорий С и D обозначают через С X D.
Основные функторы определяют основной бифунктор
С Сор х С ~ SETS
Могс ( , ) { (А*, В) -> Могс (А, В)
I (/*, g) -+M(f,g),
где для /: Ах -> А2 и g: Вг -> В% через М (/, g) обозначено произ-
произведение hA* (g) hBi (/).
Бифунктор F: С X D ~» Е для каждого объекта Y 6 Obj D
и каждого объекта X ? Obj С определяет индуцированные част-
частные функторы
(С~Е
F( ,Y)\A>-*F(A,Y) (на объектах)
[ / *-*¦ F (/, 1У) (на морфизмах)
и F (X, ): D --> Е (определяется аналогично). Если F, G: С X
X D ~> Е — ковариантные бифункторы и h: F -> G — естест-
естественное преобразование, то для каждого X 6 Obj С и каждого
У ? Obj D преобразование h индуцирует естественные преобра-
преобразования
h ( ,Y):F( , У) -> G ( , Y)
и
h (X, ): F(X, )-+G (X, )
индуцированных функторов. Фраза «преобразование h (X, Y)
естественно по X и У» выражает как раз этот факт. Обратно, если
h' (X, У): F (X, Y)^G (X, Y)

294
Ч- I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
— эквивалентность в категории Е для каждого X ? Obj С и каж-
каждого У ? Obj D, естественная по X и У в указанном смысле, то h'
определяет естественное преобразование бифункторов F ~* G.
Сопряженные функторы
Ковариантные функторы Т: C^DtiS: D^C называются
сопряженными, если существует естественная эквивалентность
A) h( , ): Morc (S ( ), )-^MorD( ,T{ ))
основных бифункторов со значениями в категории множеств.
В этом случае говорят, что функтор S сопряжен слева к функтору
Т, а функтор Т сопряжен справа к функтору S; говорят также,
что S обладает сопряженным функтором Г, а Г — косопряженным
функтором S. Таким образом, для каждого объекта А категории С
и каждого объекта В категории D существуют биективные ото-
отображения
B) h(B, A): Morc(SB, A) -^ MorD(B, ТА),
естественные по А и В, называемые биекциями сопряжения.
Символ (h, S, Т, С, D) или, более коротко, (S, Т), означает
только что описанную ситуацию сопряжения, т. е. тот факт, что
функтор S сопряжен слева к функтору Т. В этом случае (S, Т)
называют сопряженной парой. Ввиду предложения 5.2, доказан-
доказанного несколько ниже, если (S', Т) и (S, Т) — сопряженные пары,
то существует естественная эквивалентность функторов S' л; S,
так что можно говорить просто о левом сопряженном к Г. В этом
случае ввиду предложения 5.67 существует естественное преобра-
преобразование функторов
где
, А) AГД)
есть морфизм STA -*¦ А, определенный для каждого объекта А
категории С. Естественное преобразование ST -*¦ 1С и морфизм
¦фЛ: STA -*¦ А называют морфизмом сопряжения. Дуально, суще-
существует естественное преобразование
TS,
где
cpB = h(B, SB) (lSB)
— морфизм сопряжения В -> TSB.
5.1. Примеры.
5.1.1. Функтор свободы. Этот функтор сопряжен слева к забы-
забывающему функтору
G: С ~ SETS.
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
295
Для любых объекта У категории С и множества S пусть h: S —>¦
—> 6У — отображение, & h': F (S) —>• У — единственный морфизм
категории С, такой, что fe'/s = h, где /s: S ->- F (S) — канониче-
каноническое отображение. Отображение
h (S, У): Morc (FS, Y) -»- MorSETS E, СУ),
которое переводит морфизм g: FS -> У категории С в отображение
gfs = ?и является обратным для отображения h \-* h'. (Иначе
говоря, (h'I = h по определению, a gj = ^, так как g — един-
единственный морфизм, такой, что g'Js = gfs = g\-) Поскольку h (S,
У) биективно и естественно по 5 и У, то указанные функторы со-
сопряжены. (Ср. 2.7, стр. 131.)
5.1.2. Для (В, Л)-бимодуля U контравариантные функторы
hv : mod-A ^ 5-mod: hv
сопряжены в том смысле, что существуют биективные отображения
g (X, У): Нотл (X, Нотв (У, U)) « Нотв (У, Нотл (X, U)),
естественные и по X, и по У, где по определению
(Vg if)) (*) = (У) f (x)
для любых х ? X, у ?Y та f ? Нотл (X, Нотв (У, U)).
5.1.3. Для данных трех множеств S, А и В биективные отобра-
отображения
^АХ? / сА\Б
где g (/) Ъ (а) = / {а, Ъ), естественны по А и В и
g (А, В): MorSETS (-4 X В, S) » MorSETS (В, MorSETS (A, S)),
т. е. основной ковариантный функтор hA сопряжен справа к функ-
функтору А X ( ).
5.1.4. Функтор S: D ~* С обладает сопряженным справа в том
и только том случае, когда произведение функторов
?*: D* ~ D ~ С - С*,
где первый и третий функторы канонические, обладает сопряжен-
сопряженным слева. Таким образом, (S, Т) — сопряженная пара тогда
и только тогда, когда G1*, S%) — сопряженная пара.
5.1.5. Обозначим через ORE DOM полную подкатегорию кате-
категории RINGS, объектами которой являются правые области Оре.
Тогда забывающий функтор из категории тел в ORE DOM имеет
сопряженный слева функтор, который переводит каждую область
Оре в ее правое тело частных. Обобщить.

296 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
5.1.6. Для (В, Л)-бимодуля U функтор
h : mod-Л ~* mod-5
со значениями в категории mod-Я, индуцированный функтором
h со значениями в категории абелевых групп, имеет сопряжен-
сопряженный слева функтор
(g> U: mod-j? ~ mod-Л.
в
Существование функтора, сопряженного слева к функтору hu,
есть следствие предложения 5.46, но более элементарное доказа-
доказательство дает теорема 11.4. ?
5.2. Предложение и определение. Функтор Т: С ~ D имеет
сопряженный слева функтор в том и только том случае, когда для
каждого объекта У категории G комма-категория (У, Т) об-
обладает левым нулем. Объектами категории (У, Т) служат пары
(/, X), состоящие из объекта X категории С и морфизма /: У -»-
-> ТХ категории D; морфизм (/, Х)-+ (g, Z) категории (У, Т) опре-
определяется какморфизм h: X-+Z категории С, такой, что диаграмма
коммутативна.
Доказательство. Если (/, SY) — левый нуль кате-
категории (У, Т), то для каждого объекта У категории D и каждого
объекта Z категории С существует биекция
rD (У, TZ) ->- Morc (SY, Z)
g '-*¦ #V
естественная по Z и У, где g': SY -> Z - единственный морфизм
такой, что Г (?') / = g. Если t: У -»- У - морфизм в категории Д
то существует единственный морфизм S (t): SY-^ SY', такой
что диаграмма '
У
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
297
коммутативна1); здесь /': У -> SY' — канонический морфизм.
Поскольку (/, SY) — левый нуль категории (У, Т), то S AУ) =
= lgy и S (tf) = S (t)-S (?') для любых морфизмов t и f. Этим
доказано существование функтора S: D ~ С, переводящего в SA
объект А категории D. Биекция A) показывает, что функтор S
сопряжен слева к функтору Т.
Обратно, если S — функтор, сопряженный слева к функтору Т,
то морфизм сопряжения сру: У ->¦ TSY определяет левый нуль
(фу, SY) категории (У, Т). ?
С комма-категорией мы еще встретимся в 5.50.
5.3. Предложение. Пусть Т и Т' — функторы из категории С
в категорию D, a S и S' — функторы, сопряженные слева к Т
и Т' соответственно. Тогда Т та Т' {как функторы) в том и только
том случае, когда S fa S'.
Доказательство. Пусть нам даны эквивалентности
функторов
h( , ):Movc(S( ), )
h' ( , ): Morc (S' ( ), ) « Могв ( , Г ( )).
По предложению, дуальному к 2.3.3, эквивалентность функторов
Т да Т' влечет за собой эквивалентность функторов
Могв ( , Т ( )) да Могл ( , Г ( ))
и, значит, эквивалентность функторов
к ( , ): Morc (S ( ), ) да Morc (S' ( ), ).
Этим для каждого В 6 Obj D определяется естественная эквива-
эквивалентность функторов
к (В, ): Morc (SB, ) да Morc (S'B, ).
Но тогда из предложения 2.3 вытекает естественная эквивалент-
эквивалентность функторов S да S'. Обратное получается аналогично. ?
Существование сопряженных функторов
Для любого объекта А категории С обозначим, как всегда,
через hA основной ковариантный функтор Мог (А, ) [соотв.
hA = Мог ( , А)]. Тогда легко видеть, что если функтор Т сопря-
х) Поскольку (/, SY) — левый нуль, то Мог(г>г) ((/, SY), (ft, SY'))
состоит из одного морфизма, скажем S (t): SY -*¦ SY', являющегося морфиз-
мом категории С, такого, что TS (t) } = ft. Аналогичные соображения исполь-
используются и для доказательства некоторых из высказываемых ниже утвержде-
утверждений.— Прим. ред.

298
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
жен справа к функтору S, то для каждого А ? Obj С существует
эквивалентность функторов
A)
hAS ж К
ТА)
индуцированная эквивалентностью
6 Obj D — эквивалентность
h ( , А), а для каждого В
hBT,
B) hs
индуцированная эквивалентностью h (В, ).
Следующее предложение утверждает, что функтор, обладаю-
обладающий сопряженным слева, «почти» представим (см. 5.55 и 5.56).
5.4. Предложение. Сопряженный слева для функтора Т: C->~D
существует в том и только том случае, когда для каждого В ?
? Obj D функтор
hBT: С ~ SETS
представим.
Доказательство. Если функтор S сопряжен слева
к функтору Т, то, ввиду B), существует эквивалентность функто-
функторов hBT » hSB. Обратно, для каждого В ? Obj D выберем
объект SB и естественную эквивалентность функторов hSB ?» hBT,
которую мы обозначим через f(B). Тогда
/ (В) (А) : hSB (А) -> ЬР (Т (А))
для любого объекта А категории С представляет собой биективное
отображение, естественное по переменным В и А. Таким образом,
h (А, В) = f (В) (А) определяет нужные нам биекции сопря-
сопряжения.
Пределы
Если L и С — категории, то постоянный (или диагональный)
функтор определяется как
С
X
где
Funct(L, C)=
С
M
{ f
Понятно, что морфизм /: X
ственное преобразование
с (/): с(Х)-+с (Y),
так что постоянный функтор определен и вполне унивалентен.
*• X (на объектах)
>- 1Х (на морфизмах).
Y категории С определяет есте-
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
299
5.5. Предложение и определение. Пусть L и С — категории
и CL = Funct (L, С). Тогда постоянный функтор с: С -* Сь
вполне унивалентен. Функтор lim: CL ~* С, сопряженный справа
к функтору с: С ~* CL, если он существует, называется предель-
предельным функтором {или функтором предела) и обозна-
обозначается также через lim^c. Для каждого естественного преобра-
преобразования функторов /: F ->- F', где F, F': L ~*С, т. е. для каждо-
каждого морфизма f категории Сь, морфизм lim / называется предель-
предельным морфизмом (или морфизмом предела) lim F ->
m
Двойственным образом функтор colim: CL ~* С, сопряженный
слева к функтору с: С ~* CL, называется копределъным фун-
функтором (или функтором копредела).
Согласованные семейства морфизмов
Пусть L и С — категории, F: L ~> С — функтор. Говорят, что
семейство {А -> F (Х)}хе оыг. категории С согласовано с функ-
функтором F, если для каждого морфизма t: X —> Y категории L диа-
диаграмма
коммутативна [и, следовательно, определяет морфизм
с (А) -э- F в категории СЦ. Через compati/ обозначим категорию,
объектами которой служат семейства морфизмов, согласованные
с функтором F, а морфизм между двумя согласованными семей-
семействами определяется как морфизм А -> В категории С, такой,
что диаграмма

300 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
коммутативна для всех X 6 Obj L. Если категория L фиксирована,
то указанную категорию будем обозначать просто compat F.
Категория cocompatj,/1 определяется двойственно.
5.6. Предложение и определение. Пусть F: L ~*С — функтор.
5.6.1. Для каждого объекта А категории С существует биек-
биективное отображение
Г МогсЧс(Л), F)
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
301
compat F
{h(X): A
F(X)}
5.6.2. Категория compat F имеет правый нуль в том и только
том случае, когда существует биективное отображение
), F)
h
Morc (A, F)
V,
естественное по А. В этом случае объект {/ (X): F -> F (X)}x g оыь,
где /' = IF, является правым нулем категории compat F.
5.6.3. Функтор предела lim: CL ~+ С существует тогда и толь-
только тогда, когда для каждого функтора F: L ~* С категория com-
compat F имеет правый нуль. Функтор CL ~* С, переводящий функ-
функтор F в F, сопряжен справа к функтору с: С ~* CL и, значит, есте-
естественно эквивалентен функтору lim: CL ~* С.
5.6.4. Если справедливо 5.6.2, то F обозначается также через
lim F или lim F. В этом случае для любого морфизма h: с (А) —*-
-»- F, т. е. для любого элемента {h (X): А -> F (Х)}х^оъ)ь кате-
категории compat F единственный морфизм Ы называется предель-
предельным или каноническим морфизмом lim h: A -> lim F.
Двойственным образом в случае копределов применяются обозначения
F и colim F, и для любого элемента {/ (X): F (X) -> А}х g objL
категории cocompat F существует канонический морфизм
colim /: colim F—*-A.
Доказательство. Часть 5.6.1 ясна. Предполагая, что
{/ (Z): F-*¦ F (Х)}Х?оъ)ь — правый нуль категории compat F,
определим отображение ht-*- h', взяв в качестве h': A -*• F един-
единственный морфизм, определенный согласованным семейством
{h (X): А -у- F (Х)}х?оыь- Поскольку любой морфизм /: А -у F
категории С определяет объект {А -*- F -> F (X)}x g objx. категории
compat F, который в свою очередь в силу 5.6.1 определяет есте-
естественное преобразование g: с (А) -*- F, такое, что g' — f, то ото-
отображение h*-*-h' биективно и естественно по А. Обратно, пусть
существует биекция h*-*-k', указанная в 5.6.2. Тогда, полагая
А = F, найдем морфизм / ? MorcL (с (F), F), такой, что /' = ljr.
В силу биекции 5.6.1 / определяет объект {/ (X): F -> F (X)}xg objx.
категории compat F. Покажем, что он является правым нулем.
Действительно, если {h (X): А -> F (Х)}х? оых—согласованное
семейство морфизмов, то по 5.6.1 ему соответствует морфизм h 6
? Могсх. (с (A), F). Рассмотрим морфизм К: А -> F. Учитывая,
что биекция 5.6.2 естественна по А, получим коммутативную диа-
диаграмму
Moty (с (f),F)-
Morci{c{A),F)
- Morc(F,f)
-Morc(>l,F)
откуда (вычисляя значение морфизма 1*; вдоль обоих путей на
диаграмме) следует, что h = с (ti) •/, т. е. для любого X ? Obj L
диаграмма
коммутативна. Единственность морфизма Ы с таким свойством
вытекает из биективности соответствия 5.6.2. Это доказывает,
что {/ (х): F -> F (X)}x?ObiL — правый нуль категории compat F.
Часть 5.6.3. Биекции 5.6.1, естественные по А, естественны
также и по F. Следовательно, функтор, определенный в 5.6.3,
сопряжен справа к постоянному функтору, как и требовалось.
Эквивалентность функторов следует из 5.3. ?
5.7. Упражнения.
5.7.1. Пусть L — категория, а Т: С ~* D и S
женная пара. Пусть Т: Сь ~* DL и S: DL ~
индуцированные Т и S соответственно. _
(a) Доказать, что функтор S сопряжен слева к функтору Т.
(b) Убедиться, что
€ Obj D.
В ^ С — сопря-
CL — функторы,
р р
= hc(SX) и hc(X)?=hc<-SX) для всех

302 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
(с) Проверить, что hh}im F (hY) = lim hYF для всех объектов Y
категории С и функторов F: L ~* С, т. е. что
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
303
MorcS(u
limi?
= \imhYF, где 5 = SETS.
(d) Проверить, что hc( \A = hxhc<iA) для любых множества X
и объекта А категории С.
(e) Сохраняется ли утверждение примера 5.1.3 для категорий?
Пусть S = SETS, А и В — категории. Исследовать SAxB ~<-
~<- (SA)B, т. е. функтор
Funct (A xB, S) ~ Funct (В, Funct (A, S)).
(f) Показать, что, «несмотря на размеры»,
SAXB « (SB)A « EЛ)В.
5.7.2. Если (S, Г) —¦ сопряженная пара и для некоторого
объекта А категории С морфизм сопряжения А -> STA является
изоморфизмом, то для каждого ретракта В объекта ТА морфизм
сопряжения В -> TSB также является изоморфизмом. Таким
образом, если сопряжение 1С -> S Т — эквивалентность функто-
функторов и если каждый объект В категории D эквивалентен ретракту
объекта ТА для некоторого объекта А категории С, то морфизм
сопряжения TS -> lD — эквивалентность, т. е. Т: С ~* D —
эквивалентность категорий с обратным функтором 5. Установить
двойственную теорему. (Ср. Басе [73, стр. 50].)
Направленные классы
Частично упорядоченным классом называют категорию С,
такую, что множество Могс (А, В) для каждой пары объектов А,
В имеет не более одного элемента. Если /: А —*- В — морфизм,
то мы пишем А <1 В. Если А -^ В, но А Ф В, то пишут А < В.
В частично упорядоченном классе всегда Л-^Л, и из А -^ В
и В <^ С следует, что Л ^ С х).
Направленный класс — это частично упорядоченный класс С,
такой, что для любых объектов А и В существует объект X, для
которого 4 ^1иВ<^1. Класс называют линейно упорядочен-
упорядоченным, если для всех объектов А, В либо А <1 В, либо В<4и оба
условия выполнены одновременно только для А = В. Упорядо-
Упорядоченный подкласс — это полная подкатегория частично упорядо-
упорядоченного класса. Частично упорядоченный класс С называют индук-
г) Поскольку для такого отношения может не выполняться закон
антисимметричности, то его обычно называют квазипорядком.— Прим. ред.
и перее.
тивным, если каждый его линейно упорядоченный подкласс имеет
верхнюю грань в категории С.
Если L — направленный класс, то
lim F, limxeL F (X), lim F (X)
различные обозначения предела функтора F: L <-<• С, называе-
называемого в этом случае обратным пределом функтора F. Функтор lim:
CL <-+ С тогда называется функтором обратного предела. Двой-
Двойственным образом,
colimF, limx?LF(X), lim F (X)
обозначают копредел функтора F, который называется прямым
пределом функтора F. Функтор colim: CL — С тогда называется
функтором прямого предела. Если этот функтор существует для
каждого направленного класса L, то говорят, что С — категория
с прямыми пределами.
Если L — направленный класс и если функтор
Г
А% (на объектах)
Ял (на морфизмах)
инъективен на объектах и морфизмах, то существует направлен-
направленный класс {Аи n}i?L с указанными объектами, удовлетворяю-
удовлетворяющий следующим двум условиям:
1. Морфизм At-^Aj существует в том и только том случае,
когда i < /, и тогда пп: At
2. Диаграмма
единственный морфизм.
коммутативна для всех i < / < к и яп = 1 . для любого г 6
6 Obj L.
Категория {At, я}гех называется классом объектов катего-
категории С, направленным по функтору я или по категории L. Если L —

304 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
малая категория х), то категория {Аи я} называется направ-
направленным семейством или направленным множеством. Обратно,
если {At}ieL — подкатегория категории С, индексированная с по-
помощью категории L так, что отображение i*-*-At инъективно,
и если {Ai}t?i, — направленный класс, то
(a) L — направленный класс, такой, что
i <I / <=> существует морфизм At ->- Aj,
(b) морфизмы я7-(-: At-^-Aj удовлетворяют условиям 1 и 2.
(c) существует функтор я: L ~* С, такой, что категория {At,
я}гех, направлена по я.
Примеры.
1. Класс подобъектов объекта А категории С направлен с по-
помощью вложений. Таким образом, если {ut: At ->- A}t?L — класс
подобъектов, то следующие условия эквивалентны:
(i) A t <ЛУ,
(ii) ut < Uj,
(iii) Существует в точности один морфизм пп: А-г -> Aj, такой,
что диаграмма
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
305
коммут ативна. ?
2. Если L — направленный класс, то подкатегория / назы-
называется кофинальной, если для каждого объекта X категории L
существует объект Y категории /, такой, что Y ^ X. Если L —
направленный класс, а / —• кофинальный подкласс, то / — на-
направленный класс и для любого функтора F: L —»¦ С существует
индуцированный функтор F': J ~» С и эквивалентность
)imF'(Y)
в категории С. ?
х) Напомним, что категория называется малой, если класс ее объектов
является множеством.— Прим. ред. и перев.
5.8. Примеры.
5.8.1. Если L — частично упорядоченный класс, то для любо-
любого функтора F: I ~* L существует биективное соответствие между
элементами {/ (X) : А-+ F (X)}x e obj i категории compat F и объек-
объектами А категории L, содержащимися в F (X) для любого X 6
€ Obj /. Отсюда следует, что
lira F = inf {F (X)} = Д
хеоь) i А'еоь] i
П F(X),
¦= sup {^(Х)}= V F(X)= U F(X).
xeobj i xeobj i хеоы i
Таким образом, пределы, произведения, пересечения и точные
нижние грани (inf) совпадают, и категория L (конечно) полна :)
тогда и только тогда, когда существует точная нижняя грань
любого (конечного) семейства объектов категории L. Кроме того,
если L направленна и (конечно) кополна, то L (конечно) полна,
так как
inf{^j}igj= sup {Х^Лг для любого ??/}.
5.8.2. (а) Для любых категории С и функтора предела lim: CL ~+
~* С любой объект А категории С является пределом, например
А = lim с (А). Таким образом, бессмысленно говорить, что неко-
некоторый объект категории является пределом, если не сказано,
пределом какого функтора он является.
(Ь) Правые нули являются пределами. Если А — любой правый
нуль категории С, то А = lim F, где F: L ~* С — пустой функ-
функтор, определенный на пустой категории L.
5.8.3. Произведения являются пределами. Конечно, произведе-
произведения определяются как правые нули, но не обязательно как нули
категории С. Если {А ->¦ At};ej — произведение в категории С,
то обозначим через / категорию, объектами которой являются
элементы i множества /, а морфизм i -> / определен только для
i = j и совпадает с тождественным морфизмом ?—>-?. Тогда А =
= lim F, где
(I ~ С
Щ, ~ Л,.
5.8.4. Уравнители являются пределами. Если /х, /2: А ->- В —
морфизмы категории С, то их уравнитель определяется как мор-
морфизм к: К -у А, являющийся правым нулем полной подкатего-
подкатегории категории target А, состоящей из таких морфизмов к': /?'—>-
->¦ А, для которых ftk' = f2k'. Этот морфизм (а иногда и объект К)
обозначают через eq (fx, /2); он является однозначно (с точностью
до эквивалентности) определенным мономорфизмом (объектом)
х) Определение полной категории см. на стр. 312.— Прим. ред. и перес
20 к. Фейс

306 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
307
категории target А. Если L — категория, состоящая из двух
объектов X и Y и двух морфизмов &г: X —v Y, г= 1, 2, a F: L ~-
~ С — такой функтор, что FX — A, FY = В, Fkt = ft, i = 1, 2r
то eq (Д, /2) — правый нуль категории compat T*1, т. е.
lim F = eq (/b /2).
(a) eq (f1: /2) является мономорфизмом. Действительно, пусть
к: К -> Л — уравнитель пары /1? /2 и q: Q-+ К, q': Q->~ К —
такие морфизмы, что kq = kq'. Так как Д/с = fjt, то для морфиз-
ua h = kg справедливо равенство: f-Ji = fji. Поэтому существует
единственный морфизм q": Q ->- К такой, что h = kq". Но это-
равенство верно для обоих морфизмов q и q'. Отсюда q = q" = q'.
Следовательно, k — мономорфизм. Двойственным образом, ко-
уравнитель /х и /2 [coeq (fx, /2)] является эпиморфизмом.
Пусть f: A —>- В и g: А -^- В — морфизмы в категории С.
(b) Если С — аддитивная категория, то
eq (/, g) = ker (/ — g),
coeq (/, g) = coker (/ — g).
(c) Если С — любая конкретная категория, то eq (/, g) есть
подобъект, порожденный уравнителем / и g в категории множеств,
т. е. подмножеством {х ? А | / (х) = g (x)}. Если С — одна из
категорий GROUPS, MONOIDS, RINGS или mod-i? для
произвольного кольца R, то забывающий функтор отображает
уравнитель / и g в категории С на уравнитель / и g в категории
множеств.
(d) В категории множеств определим отношение R на мно-
множестве В формулой
xRy <=> f-xx П g~xy -ф Ф-
Пусть Д — отношение эквивалентности на В, порожденное отпо-
шением R. Тогда каноническое отображение
Г В -> множество классов эквивалентности отношения R
\х ^-*~RX
совпадает с коуравнителем морфизмов / и g в категории множеств.
(e) В категории групп коуравнителем морфизмов / и g являет-
является канонический эпиморфизм В -> BIH, где Н — нормальная
подгруппа, порожденная множеством {/ (х) g (х)'1 \ х 6 А}. Анало-
Аналогично, в категории колец коуравнителем является канонический
эпиморфизм В -> BIH, где Н — идеал, порожденный множеством
{f(x)-g(x) \xeA}.
5.8.5. Пусть /х: А -> С и f2: В -> С — морфизмы категории
D, L — категория, содержащая три объекта X, Y и Z и пять мор-
морфизмов: три тождественных, кг: X -> Z и /с2: У -> Z, a F: L ~ D —
такой функтор, что
F(X)=A, F(Y)=B, F(Z) = C,
F(kt) =ft, i = 1,'2.
Тогда lim F, если он существует, называется расслоенным произ-
произведением объектов А т В относительно С и обозначается через
4 []с-#- Объектами категории compat F являются классы всех
пар морфизмов Р ->¦ А и Р -+ В, таких, что диаграмма
коммутативна. Морфизм в категории compat F между этим и дру-
другим объектом Р' ->¦ А и Р' -> В категории compat F есть морфизм
Р —V Р', такой, что диаграмма
коммутативна. Таким образом, lim F является правым нулем Р
этой категории, а канонический морфизм Р ->¦ С называется рас-
расслоенным морфизмом. Правый нуль Р и соответствующая диаг-
диаграмма называются коуниверсальным квадратом (pullback). Эта
диаграмма называется также декартовым квадратом. Двойствен-
Двойственными понятиями являются расслоенное копроизведение А []с В
и универсальный, или кодекартов, квадрат (pushout).
Для любого морфизма /: А -» В в категории с нулем ядро
определяется как
кег/ = А ПвО = eq(/, 0),
20*

308 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
а коядро
coker / = 0 ЦАВ = coeq (/, 0).
Таким образом, канонический (расслоенный) морфизм ker / —»-
-> А является мономорфизмом, а морфизм В ->- coker / — эпимор-
эпиморфизмом. Для любого мономорфизма К ->- А выбирается канони-
канонический мономорфизм в классе эквивалентности мономорфизмов,
эквивалентных морфизму К -*- А; он обозначается через i& : К ->
-> А. Тогда рА/К : А ->- coker i# обозначает коядро.
Пусть /: X —>- Y — морфизм в категории С с нулем. Обозна-
Обозначим через arm / множество всех морфизмов g, таких, что gf опре-
определено и gf = 0. В этом случае говорят, что морфизм g аннули-
аннулирует / или что / аннулируется морфизмом g. Дуальная категория
С* также имеет нуль, поэтому можно определить соапп / как
множество всех морфизмов к, для которых к* ?апп/*. Таким
образом, соапп / — это множество всех морфизмов, аннулирую-
аннулирующихся морфизмом /. Таким образом, / аннулирует ker / (см.
упр. 5.10.5).
5.8.6. Морфизм А ->- В называют составляющим морфизма
Y—f-B, если существует морфизм Y-*-А, такой, что диаграмма
коммутативна х).
Если {At—> A}i?i — семейство мономорфизмов категории С,
а /' = / \\ {р} — частично упорядоченный класс, такой, что
г <! р для всех i 6 /, то предел функтора
[
[
С
At
А
называется пересечением f| At данного семейства. Рассмотрим
категорию, состоящую из всех морфизмов А'-*-А, таких, что
At-^-A является составляющим морфизма А'-у А для всех
i 6 /• Морфизм в этой категории между А' ->- А и/?^-4 опреде-
х) В этом случае говорят также, что У-
Прим. пер ее.
¦ В\ пропускается через А
В.—
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
309
ляется как такой морфизм А' —>• В, что диаграмма
коммутативна для каждого i ? /. Тогда правый нуль А' -> А
этой категории есть мономорфизм, эквивалентный пересечению
семейства {А г ->• A }i?j.
5.8.7. Образ морфизма /: А ->- В определяется как левый нуль
im / ->• В категории всех мономорфизмов / ->- В, которые являют-
являются составляющими морфизма /. Тогда диаграмма
В
коммутативна. Таким образом, im / -> В — наименьший моно-
мономорфизм / —> В, являющийся составляющим морфизма /, и любые
два образа являются эквивалентными мономорфизмами в катего-
категории target В. Мономорфизм im / -> В и единственный морфизм
А -^ im /, который вместе с ним составляет /, называются кано-
каноническими; говорят, что они индуцированы морфизмом /. Кате-
Категория С называется категорией с (эпиморфными) образамих),
если каждый морфизм /: А -> В имеет образ (а индуцированный
морфизм А —*- im / всегда является эпиморфизмом). Если g: A' —*-
->- А —мономорфизм, то через f (А') обозначают образ моно-
мономорфизма fg: А' ->- В. Таким образом, / (А) = im/.
Если /: А —>- В ш. В' — подобъект объекта В, то расслоенное
произведение А Д ВВ' называется полным прообразом объекта В'
и обозначается через f'^-B'. Говорят, что расслоенный морфизм
/': f^B' —>¦ В индуцирован морфизмом /, а сам в свою очередь
индуцирует мономорфизм im/'—> В'.
Если /: X —*¦ Y — отображение множеств, S — подмножество
-множества У, причем соответствующее включение является сос-
х) В конкретных категориях обычно говорят о гомоморфных образах.—
Прим. перев.

310 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
311
тавляющим морфизма /, и g — такое отображение X ->- S, что
/ = isg, то / (х) = g (х) для любого х 6 X, т. е. im / s S. Таким
образом, im / — наименьшее подмножество множества У, такое,
что его включение в Y является составляющим морфизма /, т. е.
определение образа в категориях совпадает с его обычным толко-
толкованием в категории множеств. То же самое справедливо для пол-
полного прообраза, ядра, коядра и пересечения. ?
5.9. Предложение. Если С — категория с уравнителями, то
для любого морфизма /: А —>• В канонический морфизм А —>• im /
является эпиморфизмом.
Доказательство. Пусть /': А ->• im / — канонический
морфизм (предполагается, что образ морфизма / существует)
и hj' = hj' для двух морфизмов ht: im / -> X, i = 1, 2. Тогда
/', а значит, и / пропускаются через уравнитель / морфизмов
hx и /i2. Следовательно, / — подобъект образа морфизма / и, зна-
значит, объекта В, который является составляющим морфизма /.
Но поскольку im / является наименьшим подобъектом объекта В
с этим свойством, то отсюда следует, что включение объекта /
в im / есть эквивалентность. Значит, \ = /j2, т. е. /' — эпимор-
эпиморфизм. ?
5.10. Упражнения.
5.10.1. Если каждый квадрат диаграммы
является коуниверсальным квадратом, то и весь прямоугольник
является коуниверсальным квадратом.
5.10.2. Если
— коуниверсальный квадрат и f1 (соотв. /2) — мономорфизм, то g2
(соотв. gO — тоже мономорфизм.
5.10.3. Если в диаграмме упр. 5.10.2 /х и /2 — мономорфиз-
мономорфизмы, то расслоенное произведение является пересечением Аг[] Аг.
5.10.4. Если А = 0, то диаграмма 5.10.2 является декартовым
квадратом в том и только том случае, когда {gt: Р -> ^lj}i=i,2 —
произведение.
5.10.5. В категории с произведениями ядро произведения
морфизмов есть произведение ядер. Таким образом, произведение
мономорфизмов — мономорфизм.
5.10.6. Морфизм,/: А ->- В является мономорфизмом тогда
и только тогда, когда А = im /.
5.10.7. Пусть Ах а Аг а А, Вх cz B2cz В — объекты, а/: А ->
-*¦ В — морфизм категории С. Если / переводит подобъект А'
в В' 1), то обозначим В' через / (А1). Тогда следующие соотношения
справедливы, если соответствующие объекты определены:
(a) / (А,) = / (Л2),
(b) /-1 (В,) cr /-1 E2),
(c) А1 = Г1 (/Л),
<d) в, = / (Z-1^),
(e) / DJ = / (/-1 (/ (А,))),
(f) /-1 E0 = /-1 (/ (/-1 (Bt))),
(g) если мономорфизм В' —>- В является составляющим морфиз-
морфизма / и пересечение В' |~| 5г определено, то /-1 (i?' П 5Х) = f'1 (B^;
таким образом, f'1 (im / f| Вг) = /~151,
(h) полный прообраз коммутирует с пересечениями, т. е.
5.10.8. (а) Ядро К ->- X морфизма /: Х->Ув категории с ну-
нулем является правым нулем категории соапп / (] target X, если
правые нули в этой категории существуют, и единственно с точ-
точностью до эквивалентности в категории target X. Любое ядро
является мономорфизмом.
(а*) Коядро Y —>¦ Q морфизма /: X —>• Y категории С с нулем
является левым нулем в подкатегории arm / [~1 source Y и единст-
единственно с точностью до эквивалентности в категории source Y.
Коядро является эпиморфизмом.
(Ь) Существует такой канонический морфизм coker (ker /) ->
—>• ker (coker /), ччп комч/пгпиячг следующая диаграмма (ср.5.20):
her/
I
А
I
coker f
t
-*- herfcoher/)
То есть если В' равен образу морфизма 4'-»- А -»- В.— Прим. перев.

312 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
5.10.9. Если Т: I ~* L — функтор, a F: L -* С — представи-
представительный и полный функтор, который переводит канонический
морфизм (lim Т) -> Т (г) для некоторого i ? / в какой-то моно-
мономорфизм категории С, то lim FT = F lim T. Таким образом, если
{р (i): Y -> Т (Ohei — правый нуль категории compat T, та-
такой, что F (р (i)) для некоторого i ? / — мономорфизм, то
{F (p (i)): FY —у- FT (i)}i?i — правый нуль категории compat FT.
5.10.10. Доказать, что в любой категории С копроизведение
есть прямой предел некоторого функтора L ~* С.
5.10.11. Доказать, что категория С кополна г) тогда и только
тогда, когда она является категорией с прямыми пределами.
5.10.12 (Фрейд). Вполне унивалентный функтор Т: С ~* D
отражает пределы и копределы, т. е. если F: L ~>- С — такой
функтор, что lim TF существует, и если ТХ = lim TF для
L,D L,D
некоторого X ? Obj С, то X = lim F. [Указание: Могс (У,
\imF) =Mor_L (с (У), F) = MoTnL(c(TY), TF) =MovD (TY, limTF).)
L,C U L,D
Категория С называется полной (конечно полной), если lim:
CL ~* С существует для любой (конечной) малой категории L.
5.11. Предложение. Категория С (конечно) полна в том и толь-
только том случае, когда она обладает (конечными) произведениями
и уравнителями.
Доказательство. Из примеров 5.8.3 и 5.8.4 следует,
что произведения и уравнители являются пределами. Обратно,
ввиду предложения 5.6 достаточно доказать, что для любой
малой категории L категория compat F, объектами которой
являются семейства морфизмов {А —*- F (Х)}х^оъ\ь, согласован-
согласованные с функтором F, имеет правый нуль. Рассмотрим коммутатив-
коммутативные диаграммы
Р = Ш(Х)
XeObjL
Q = ПЯУ/
У? Obj ?
teUorL
target t~
q(t,Y)
Понятие кополной категории двойственно понятию полной.—Прим.ред.
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
313
т
P(Y)
q(t,Y)
где t: X ->¦ Y — произвольный морфизм категории L, р (X): Р -*¦
->- F (X), q (t, Y): Q ->- F (Y) — канонические проекции произве-
произведений и iv: P ->- Q, w: Р ->¦ Q — канонические морфизмы. Обозна-
Обозначим через к: А —>¦ Р уравнитель морфизмов w и w. Тогда семей-
семейство морфизмов {и (X): А ->- F (Х)}хеоъ)Ь согласовано с функ-
функтором F, и диаграмма
и(Х)
коммутативна. Действительно, для каждого морфизма t: X ->¦ У
категории L имеем
F (t) и(Х) = F (t) р (Х)к = q (t, Y) wk = q (t, Y) wk =
= p (Y) k=u(Y).
Чтобы показать, что А х lim F, достаточно ввиду предложе-
предложения 5.6.2 убедиться, что А — правый нуль категории compat F.
Для этой цели рассмотрим семейство {;; (А'): В —>• Ъ? (X)}x?ObiL
морфизмов категории С, согласованное с функтором F. По опре-
определению произведения существует единственный морфизм h: Б —*-
-> Р, такой, что р (X) h = v (X) для любого объекта X категории
L. Тогда для любого морфизма t: X ->- Y категории L имеем
q (t, Y) wh = F (t)p (X)h = F (t) v (X) = v (Y)
и
q (t, Y)wh = p (Y)h = v (Y).
Из определения произведения теперь следует, что wh = wh.
Так как к = eq (w, w), то существует единственный морфизм
v': В-^-А, такой, что kv' = h, и тогда
и (X) v = р (X) kv' = р (X) h = v (X).

314 I 4. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
А — морфизм категории compat F,
- нужный нам правый нуль, т. е.
Это показывает, что v': B
а {и(Х): A^F(X)}xeobiL
что А л; lim F.
Если категория L конечна, то произведения Р и Q, возникаю-
возникающие в доказательстве, конечны и, значит, утверждения, взятые
в скобки, справедливы. ?
5.12. Следствие. Аддитивная категория С (конечно) полна
тогда и только тогда, когда С- имеет (конечные) произведения
и ядра.
Доказательство. В аддитивной категории ядро раз-
разности двух морфизмов А -у В совпадает с их уравнителем. Поэто-
Поэтому для аддитивной категории С условия следствия совпадают
с условиями предложения 5.11.
5.13. Предложение. Следующие утверждения о категории С
эквивалентны:
(a) С — категория с конечными пересечениями и конечными
произведениями.
(b) С — категория с уравнителями и конечными произведе-
произведениями.
(c) С — конечно полная категория.
Доказательство. Часть (а) =>¦ (Ь) есть следствие того
факта, что для данных двух морфизмов /: А ->- В и g: A -»- В
категории С диаграмма
йвляется декартовым квадратом в том и только том случае, когда
Р —>¦ А — уравнитель подобъектов, определенных вертикальным
и горизонтальным морфизмами А ->- А X В. Так как в этом слу-
случае последние два морфизма непременно являются мономорфиз-
мономорфизмами, то декартов морфизм (т. е. произведение морфизмов) Р ->
-у,А X В обязан совпадать с их пересечением. Это следует из
того, что диаграмма коммутативна тогда и только тогда, когда
fu = gu. Таким образом, (а) =>¦ (b), a (b) =*- (с). Так как конечные
произведения и конечные пересечения являются конечными пре-
пределами, то (с) => (а). ?
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
315
5.14. Следствие. Категория С полна в том и только том слу-
случае, когда она обладает произведениями и конечными пересече-
пересечениями.
Доказательство. В силу 5.12 и 5.13 при наличии
конечных произведений категория С имеет уравнители тогда
и только тогда, когда она имеет конечные пересечения. След-
Следствие теперь вытекает из предложения 5.11. П
5.15. Следствие. Конечно полная категория С обладает рас-
расслоенными произведениями. Обратно, всякая категория с нулем
и расслоенными произведениями конечно полна.
Доказательство. Расслоенное произведение является
конечным пределом. Обратно, существование расслоенных произ-
произведений влечет за собой существование конечных пересечений.
Тогда если С имеет нулевой объект, то расслоенное произведение
является произведением объектов А и В в категории С. Таким
образом, категория С обладает конечными пересечениями и конеч-
конечными произведениями и, значит, конечно полна ввиду предло-
предложения 5.13.
5.16. Упражнения. '
5.16.1. Показать, что категории SETS, GROUPS, mod-R (над
любым кольцом В) и RINGS (а также категория ТОР топологи-
топологических пространств) полны.
5.16.2. Показать, что категории SETS, GROUPS, mod-R и TOP
кополны.
5.16.3. Показать, что категория колед кополна.
5.16.4. Если С (конечно) (кр)цолна, то CL также (конечно)
(ко)полна.
5.16.5. Если категория С или аддитивна, или является кате-
категорией с ядрами или с (конечными) произведениями, или с урав-
уравнителями, то категория Сь обладает соответствующим свойством.
Расширить список подходящих свойств, насколько это воз-
возможно. ¦ , ..

316 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
5.16.6. Любая конечно полная категория С имеет уравнители,,
а ядра имеет тогда и только тогда, когда она имеет нуль J). Выве-
Вывести отсюда, что категория моноидов не является конечно полной.
*5.16.7. В категории групп эпиморфизмы являются наложе-
наложениями.
5.16.8. Если F: L ~* С — функтор, где L — малая категория,
то предел функтора F есть семейство произведений
П eq (p (A), F (t) р (В)) -+\\F(X) —-U F (X),
(? A) X?L
L, A)
где р (А) — проекция произведения для любого А ? Obj L;
предполагается, что произведения, уравнители и пересечения
существуют.
5.16.9. Множество {Х{}^1 объектов категории С называется
прединициальным или левым псевдонулем, если для каждого-
объекта Y существует индекс i ? / и морфизм Xt ->- Y. Показать,
что полная категория С содержит левый псевдонуль тогда и только
тогда, когда она имеет левый нуль.
Нормальные категории
Подобъект В объекта А называется нормальным, если он
является ядром некоторого морфизма. Категорию с нулем назы-
называют нормальной, если каждый подобъект любого объекта нор-
нормален. Таким образом, категория mod-Z нормальна, a GROUPS—
нет. Конормальная категория определяется двойственным об-
образом.
5.17. Предложение. Если is- В —>- А — нормальный подобъект
объекта А, то
is = ker (coker ii) = ker pA/B.
Доказательство. Пусть i = is — ядро морфизма
/: A ->- С. Тогда существует морфизм а: А/В -*- С, такой, что
ар = /, где р = рА/в. Отсюда следует, что / аннулирует любой
мономорфизм К —*-А, который аннулируется морфизмом р. Это
показывает, что iB = ker PaIb- D
5.18. Следствие. Если С — нормальная и конормальная кате-
категория с ядрами и коядрами, то для каждого объекта А функция
coker
подобъекты объекта А
В
факторобъекты объекта А
А/В
х) Заметим, что в силу определения на стр. 307 говорить о ядрах можно
лишь в категории с нулем.— Прим. перев.
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
317
является антиизоморфизмом частично упорядоченных множеств
и обратная функция ker переводит каждый факторобъект А ->- С
в его ядро. Таким образом, для каждого морфизма /: X —> У
ker (coker (ker f)) = ker /
coker (ker (coker /)) = coker /. ?
Если k: К ->- X — ядро морфизма /: X —>- Y и h: H -> X —
мономорфизм, аннулируемый морфизмом /, то существует един-
единственный морфизм g: H -> К, такой, что диаграмма
коммутативна. Так как kg — h — мономорфизм, то g: Н ->• К —
тоже мономорфизм, т. е. Н — подобъект объекта К. Кроме того,
Н ^ К при упорядочивании ^ морфизмов. Таким образом, в двух
разных смыслах ядро морфизма — наибольший мономорфизм,
который этим морфизмом аннулируется. Это утверждение совпа-
совпадает с ситуацией в категории групп, где ядро гомоморфизма /
есть наибольшая подгруппа, включение которой аннулируется
морфизмом /. Двойственным образом, коядро морфизма f — наи-
наименьший эпиморфизм, который аннулирует морфизм /.
5.19. Предложение и определение. Категория называется сба-
сбалансированной, если каждый морфизм, являющийся одно-
одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, оказывается эквива-
эквивалентностью.
5.19.1. Каждая нормальная категория сбалансирована.
5.19.2. В сбалансированной категории из коммутативности
диаграммы
где X ->¦ / — эпиморфизм, a I ->~Y — мономорфизм, следует, что
I —>¦ Y является образом морфизма X —>¦ Y, если только последний
морфизм имеет образ.

318 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
319
5.19.3. В сбалансированной категории, обладающей образами
и уравнителями, морфизм I —>• Y в коммутативной диаграмме
*¦ Y
является образом морфизма X ->• У тогда и только тогда, когда
I ->- Y — мономорфизм, а X -> / — эпиморфизм.
5.19.4 (единственность разложения). Если в сбалан-
сбалансированной категории с образами морфизм f имеет два разложе-
разложения f = kq = k'q', где q и q' — эпиморфизмы, а к и к' —
мономорфизмы, то q « q', а к са к'.
Доказательство 5.19.1. Пусть /: А ->- В — эпимор-
эпиморфизм и мономорфизм одновременно. Тогда coker / = О, и / есть
ядро своего коядра. Но ядром морфизма В -> 0 является 1 в.
Значит, существует морфизм h: В-^-А, такой, что fh = 1 в.
Тогда fhf = \Bf = /. Следовательно, hf = 1А, т. е. / является
эквивалентностью.
Доказательство 5.19.2. Рассмотрим диаграмму
К
I.
Где а _ эпиморфизм, Ъ — мономорфизм, d — образ морфизма / =
= Ьа и с — канонический морфизм в образ. Поскольку Ъ — состав-
составляющий морфизма /, а образ — наименьший мономорфизм с этим
свойством, то морфизм t возникает естественно. Тогда из того,
чт0 а _ эпиморфизм, следует, что t — эпиморфизм, а из того,
чт0 d — мономорфизм, следует, что t — мономорфизм. Так как
категория сбалансирована, это влечет за собой, что t — экви-
эквивалентность. Следовательно, Ъ: I -> Y также является образом.
Доказательство 5.19.3 следует из 5.19.2 и 5.9.
Доказательство 5.19.4 следует из 5.19.2. Так как
оба мономорфизма к и к' являются образами морфизма /, то они
эквивалентны. Эквивалентность t, такая, что kt = к', удовлетво-
удовлетворяет равенству tq' = q, т. е. эпиморфизмы тоже эквивалентны. D
5.20. Предложение. Нормальная категория С с ядрами и кояд-
коядрами обладает образами и для каждого морфизма /: X -*- Y
имеет место равенство
im / = ker (coker /).
Если, кроме того, С обладает уравнителями, то канониче-
канонический морфизм X -> im / является эпиморфизмом, а в этом случае
он является кообразом морфизма /, т. е. coim f « im /. Иначе
говоря, канонический морфизм
coker (ker /) ->- ker (coker /)
является эквивалентностью.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
В
kerf
herg
Для произвольного мономорфизма с: В ->- У, являющегося
составляющим морфизма /, обозначим через е: Y -> Е его коядро.
Так как ее = 0, то е/ = 0. Значит, существует единственный мор-
морфизм h, такой, что hg = e. Тогда ed = hgd = 0. Поскольку кате-
категория нормальна, мономорфизм с является ядром своего коядра е.
Следовательно, существует единственный морфизм t: A -*¦ В,
такой, что ct = d. Так как это справедливо для любого мономор-
мономорфизма с: В -> У, являющегося составляющим морфизма /, то
по определению образа d = ker (coker /) = im /, что и утверж-
утверждалось.
Существование морфизма а: X —>¦ А вытекает из того, что
gf = 0, a d: A -»- У является ядром морфизма g. Так как С—кате-
С—категория с уравнителями, то ввиду 5.9 а — эпиморфизм. Предполо-
Предположим, что Ъ: X -> В — эпиморфизм, являющийся составляющим
морфизма /. Тогда gc — 0, значит, существует единственный мор-
морфизм t: В —>¦ А, такой, что dt = с. Следовательно, / = сЬ =

320 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
= dtb = da и tb = а, поскольку d — мономорфизм. Это показы-
показывает, что а: X —*¦ А — наибольший эпиморфизм, являющийся
составляющим морфизма /, т. е. а — кообраз морфизма /. ?
5.21. Следствие. Пусть U — образующий объект нормальной,
аддитивной категории С с ядрами и коядрами. Для каждого объек-
объекта X категории С существует каноническая точная последова-
последовательность
1 Л\ Tj(№QT~,(UtX)) ~у f\
\ / '
если только указанное копроизведение существует.
Доказательство. Канонический морфизм /г, опреде-
определенный формулой A), ввиду 3.25 является эпиморфизмом. Так
как категория аддитивна и обладает ядрами, то она обладает
и уравнителями. Поэтому, используя предложение 5.20, имеем
im h = ker (coker h) = ker 0 = X,
т. е. последовательность A) точна. ?
Категория С называется локальной малой, если совокупность
представителей классов эквивалентных подобъектов любого объек-
объекта составляет множество. Категория множеств локально мала
в силу аксиом ZF теории множеств. Следовательно, и любая кон-
конкретная категория локально мала.
Множество {Ut}i?r объектов категории С называется множе-
множеством образующих, если для каждой пары различных морфизмов
/: X ->• Y и g: X -> Y существует морфизм h: Ut—>- X (i ? Г),
такой что fh Ф gh.
5.22. Упражнения.
5.22.1. Если {Ui}i?i — множество объектов категории С,
такое, что для каждого A ? Obj С и любого i ? / существует
морфизм f/j->- А, и если существует копроизведение U = \\ Ut,
то для того, чтобы {Ui}i?i было множеством образующих кате-
категории С, необходимо и достаточно, чтобы объект U был образую-
образующим категории С.
5.22.2. Всякое одноэлементное множество является образую-
образующим категории множеств, а всякое двуэлементное—кообразующим.
5.23. Предложение. Пусть С — сбалансированная категория
с конечными пересечениями и {Ui}ieI — множество образующих.
Тогда
5.23.1. Если А — объект категории С, то подобъекгп X —>• А
характеризуется теми морфизмами Ut —у- А, которые пропу-
пропускаются через X —у- А.
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
321
5.23.2. Категория С локально мала, т. е. для любого объекта А
категории С совокупность представителей классов, эквивалентных
подобъектов объекта А составляет множество.
Доказательство 5.23.1. Пусть щ: I^in щ: Х2 ->-
-*- А — различные подобъекты, т. е. неэквивалентные мономор-
мономорфизмы. Если канонические мономорфизмы vx: Хх{\ Х2-> Хх
и v2: Xt[\ Х2->- Х2 окажутся оба эпиморфизмами, то они обя-
обязаны быть эквивалентностями в противоречие с предположением
о том, что Хг и Х2 не эквивалентны. Предположим, что vx не
является эпиморфизмом. Тогда существуют объект В и различ-
различные морфизмы /: Хх -> В и g: Хг ->- В, такие, что fv± = gvx.
Кроме того, существуют i 6 / и морфизм h: Ut -*- Хх, такие, что
fh Ф gh. Тогда vx: Хг[] Х2-+ Хх не является составляющим мор-
морфизма h и, значит, и2: Х2 -> А не является составляющим мор-
морфизма uxh: Ut-+A.
Доказательство 5.23.2. Множества морфизмов
{Ui -> А } достаточно, чтобы различить неэквивалентные подобъек-
подобъекты объекта А. ?
Точные категории
5.24. Определение. Категория С называется точной, если она
нормальна, конормальна, обладает ядрами и коядрами и каждый
ее морфизм /: X -> У обладает разложением
где X -> А — эпиморфизм, а А
вательность морфизмов
Y — мономорфизм. Последо-
'i+i
называется точной, если ker fi+1 = im ft как подобъекты объекта
Al+1 для всех i.
Точная последовательность 0 ->- А ->¦ В ->- X называется левой
точной последовательностью. Ковариантный функтор Т: С ~* D
называется точным слева, если он сохраняет левые точные после-
последовательности, т. е. если из точности последовательности 0 ->¦
->¦ А —> В —> X вытекает точность последовательности 0 ->-
-*-ТА—>ТВ—>ТХ. Функтор Т называется точным, если он точен
21 к. Фейс

322 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
и слева, и справа. Функтор Т называется полуточным, если точ-
/ 8
ность последовательности 0 —>¦ А —> В —>¦ X —> О влечет за собой
т/ Tg
точность последовательности ТА—> ТВ—>ТХ. Очевидно, всякий
точный слева или справа функтор полуточен.
Контравариантный функтор Т: С ~* D называется точным
(слева, справа), если индуцированный им функтор Т*: С* ~> D
точен (справа, слева); здесь Т* (А*) = ТА. Таким образом, Т
точен слева, если из точности последовательности А —*¦ В —>¦ X —*~ О
следует точность последовательности
ТА ч- ТВ ч- ТХ ч- 0.
5.25. Предложение.
5.25.1. Точная категория обладает эпиморфными образами,
любой морфизм /: X ->¦ У представляется однозначно с точностью
до эквивалентности эпиморфизмов и мономорфизмов в виде
-*¦ Y
X/kerf
II
Im/
где X -> Z/ker / — канонический эпиморфизм, a X/ker f —*-Y —
индуцированный мономорфизм. При этом канонический морфизм
coim / —>¦ im / является эквивалентностью.
5.25.2. Нормальная и конормалъная категория с ядрами, кояд-
коядрами и уравнителями точна.
5.25.3. Нормальная и конормалъная аддитивная категория
с ядрами и коядрами точна.
Доказательство. Ввиду предложения 5.20, im / =
= ker (coker /), a coim / = Z/ker /. Кроме того, морфизм X ->•
->- im / является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда
он является кообразом морфизма /. Разложим
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
323
где р — эпиморфизм, d — мономорфизм, ad' — индуцированный
мономорфизм. Тогда d'd: А'->- Y — мономорфизм, который яв-
является составляющим морфизма /: X -> Y. Если морфизм / про-
пропускается через С —>¦ Y, то А —*¦ Y пропускается через С -> Y,
а значит, и А' -*¦ Y пропускается через С ~> У. Это показывает,
что А' —*- У является образом морфизма /, так что морфизм
d: A' ->- А должен быть эквивалентностью. Следовательно, X-*¦
—v А — эпиморфизм, эквивалентный эпиморфизму X —*- А'. Отсю-
Отсюда следует, что X ->- im / — кообраз морфизма /. Поскольку
coim / = Х/(кет /), то коммутативность треугольника в утвер-
утверждении 5.25.1 вытекает из коммутативности соответствующего
треугольника, индуцированного морфизмом X -*- im /. Этим дока-
доказано 5.25.1. Если выполнены условия утверждения 5.25.2, то
X -*¦ im / является эпиморфизмом по 5.9, и тогда каждый мор-
морфизм разлагается в произведение эпиморфизма и мономорфизма.
Аддитивная категория с ядрами обладает уравнителями; следо-
следовательно, 5.25.2 влечет за собой 5.25.3.
5. 26. Предложение.
5.26. 1. В точной категории С справедливы такие утверждения:
(a) Последовательность А —>¦ В —*- X точна в категории С
в том и только том случае, когда последовательность А* -«- В* ч-
•+- X* точна в категории С*.
(b) Последовательность 0 —>¦ А —>¦ В точна тогда и только-
тогда, когда А —>- В —• мономорфизм.
(c) Последовательность А —>- В —>¦ 0 точна тогда и только
тогда, когда А —*- В — эпиморфизм.
(А) Последовательность 0 —*¦ А ->- В ->- 0 точна тогда и только
тогда, когда А -> В — эквивалентность.
(e) Последовательность 0 ->- А ->- В ->¦ X точна тогда и толь-
только тогда, когда А —*- В — ядро морфизма В -> X.
(f) Морфизм /: А -> В является мономорфизмом (эпиморфиз-
(эпиморфизмом) тогда и только тогда, когда ker / = 0 (coker / = 0).
5.26.2. Пусть С и D — точные категории и Т: С ~» D —
ковариантный функтор. Тогда
(i) Функтор Т точен слева в том и только том случае, когда
он сохраняет ядра.
(и) Следующие условия эквивалентны:
(a) Функтор Т точен.
(b) T сохраняет точные последовательности.
(c) Т сохраняет ядра и коядра.
(d) T сохраняет ядра и образы.
5.26.3. Для точности точного справа функтора Т необходима
и достаточно, чтобы он являлся монофунктором J).
*) См. стр. 338.— Прим. перев.
21*

324 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство 5.26.1. Категория С*, дуальная точ-
точной категории С, точна. Чтобы доказать (а), нужно установить,
что для морфизмов /: А ->¦ В и g: В ->¦ X из равенства im / =
= ker g в категории С следует, что im g* = ker /* в категории С*
Но по 5.20 im / = ker (coker /) и coim g = coker (ker g). Таким
образом, из равенства im / = ker g следует, что
coim g = coker (im f) = coker (ker (coker /)) = coker /,
и тогда im g* =ker/*. Это доказывает (а). Далее из точности
последовательности 0 ->- А —> В вытекает, что ker / = im 0 = 0,
откуда im / = coker (ker /) = coker 0. Таким образом, канониче-
канонический морфизм А —*- im / является эквивалентностью, т. е. /: А —*¦
-> В — мономорфизм [это доказывает также и (f)]. Обратно, если
/: А ->- В — мономорфизм, то ker / = 0, т. е. последовательность
0 ->- А —>¦ В точна. Это доказывает (Ь), а (с) дуально (Ь). Утверж-
Утверждение (d) вытекает из (Ь), (с) и того факта, что нормальные кате-
категории сбалансированы (см. 5.19.1).
Докажем пункт (е). Если /: А -*¦ В — ядро морфиз-
ма g: В ->¦ X, то / — мономорфизм, а канонический морфизм
А —*¦ im / является эпиморфизмом и мономорфизмом, а значит,
и эквивалентностью, так как категория С сбалансирована. Следо-
вательно, im / = ker g, т. е. последовательность 0 ->- А —>¦ В —* X
точна. Обратно, если эта последовательность точна, то ker / =
= im 0 = 0, т. е. / — мономорфизм. Следовательно, канониче-
канонический эпиморфизм А ->- im / является эквивалентностью, так что
равенство im / = ker g влечет за собой равенство / = ker g.
Доказательство 5.26.2. (а) <=> (с) ввиду 5.26.1, а (Ь) =>¦
=ф- (а) тривиально.
(c) =ф- (d). Пусть /: А ->- В — морфизм. Ввиду 5.20 im / =
= ker (coker /). Так как функтор Т сохраняет ядра и коядра, то
Т (im /) = ker (Т (coker /)) = ker (coker Tf) = im Tf,
т. е. Т сохраняет образы.
f g
(d) =>- (b). Если последовательность А —>¦ В —>¦ X точна, то
f g
последовательность 0 ->- im / —» В —> X, где /' = im / = ker g'
тоже точна. Так как Т сохраняет ядра, то Tf = ker Tg. Посколь-
Поскольку Т сохраняет образы, то Tf = im Tf = ker Tg, т. е. функтор Т
точен.
Доказательство 5.26.3. Если 4->Б->-Х->0 —
правая точная последовательность, то последовательность 0 ->-
->-Л->-В->-Х->-0 точна в том и только том случае, когда точна
последовательность 0 —>¦ А —+¦ В, т. е. когда А —*¦ В — мономор-
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
325
физм. Следовательно, если функтор Т точен справа, а 0->-4н-
_». В -*~ X -*¦ 0 — точная последовательность, то последователь-
последовательность 0 ->¦ ТА ->¦ ТВ ->¦ ТХ ->¦ 0 точна «тогда и только тогда,
когда морфизм ТА -*- ТВ является мономорфизмом. П
5.27. Упражнения.
5.27.1. Нормальная категория с ядрами обладает полными
прообразами и конечными пересечениями.
5.27.2. Если категория С точна, то для любой категории L
категория Сь точна.
5.27.3. Если С — точная локально малая категория, a L —
малая категория, то категория CL локально мала.
5.27.4. Для любого кольца R категорияmod-i? является локаль-
локально и колокально малой точной аддитивной полной кополной кате-
категорией и имеет проективный образующий и инъективныи кообра-
зующий.
5.27.5. Пусть С — нормальная аддитивная категория с ко-
произведениями, ядрами, коядрами и образующим U. Доказать,
что Obj С совпадает со своим наименьшим подклассом, замкну-
замкнутым относительно копроизведений и коядер и содержащим обра-
образующий категории С.
5.27.6. Если С — точная аддитивная категория, то для каждо-
каждого объекта А функтор hA (соотв. hA) со значениями в категории
абелевых групп точен слева. Более того, функтор hA (соотв. hA)
точен тогда и только тогда, когда А — инъективныи (проектив-
(проективный) объект категории С.
5.27.7 (Пуппе [67]). Категория С с нулем и конечными произ-
произведениями точна и аддитивна в том и только том случае, когда
f g л
каждый морфизм А —> В имеет вид А —> С —> В, где h — ядро,
a g — коядро.
Суммы
Пусть и: А' ->- А —мономорфизм. Будем говорить, что мор-
морфизм f: A -*- В переводит А' в В', если существуют мономорфизм
В' —у- В и морфизм А' —>- В', такие, что диаграмма
коммутативна. (Морфизм А'-+В' определен однозначно.) Гово-
Говорят также, что А' переходит в В' при /.

326
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Пусть {ut: At-yA} — мономорфизмы, представляющие собой
семейство подобъектов объекта А. Суммой подобъектов данного
семейства назовем подобъект и: А' —*-А, определенный следую-
следующими условиями: A) каждый мономорфизм ut: Аг—уА меньше
морфизма и, т. е. ut = uwt для какого-то мономорфизма wt: At —>-
—у А'; B) каждый морфизм А -у В, переводящий все At в В',
переводит А' в В'. Сумму будем обозначать через ^ At. Она
является наименьшим подобъектом в А, содержащим все А^.
Таким образом, сумма 2 ^г определяется однозначно с точ-
ностью до эквивалентности г). Будем говорить, что категория С
обладает (конечными) суммами, если для каждого объекта кате-
категории С существует сумма любого (конечного) семейства его
подобъектов.
Говорят, что семейство подобъектов {Аг}^1 объекта А порож-
порождает этот объект, если канонический морфизм 2 Аг-+ А являет-
ся эквивалентностью.
5.28. Предложение. Если С —¦ категория с образами и прооб-
прообразами, то для любого семейства {Л,}^/ подобъектов объекта А
и любого морфизма f: А —у В имеет место равенство
если только 2 ^г существует. Таким образом, морфизмы пере-
становочны с суммами.
Доказательство. Так как At s
2
г» то / С^О —
— f B Ai)i так чт0 левая часть доказываемого равенства содер-
жится в правой. Пусть теперь D -—> В — подобъект объекта В,
содержащий / (At) для всех i. Тогда 4; е/ (Д) и, следова-
следовательно, 2 A-i s f'1 (D). Отсюда в силу определения образа выте-
кает, что f Bj At) ^D. Это доказывает требуемое равенство.
i?J
5.29. Предложение.
5.29.1. Если С — категория с образами, L — произвольная
малая категория и /: F -*- с (А) — морфизм категории CL, то
образ морфизма копредела colim F ->¦ А является суммой
В литературе сумму иногда обозначают через
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
327
2
/ (X) образов морфизмов косогласованного семейства
{f (X): F (X)-у А}хеь.
5.29.2. Если С — категория, обладающая образами и (конеч-
(конечными) копроизведениями, то С обладает (конечными) суммами
и сумма 2 -41 любого (конечного) семейства подобъектов объекта А
lei
является образом канонического морфизма JJ A j —> А.
Доказательство. Пусть / = im (colim f) — образ ко-
предельного морфизма colim F->-Л. Морфизм F (X) ->- А про-
пропускается через I ->¦ А. Следовательно, существует канонический
морфизм im / (X) -у I, который является составляющим морфиз-
морфизма F (X) ->- /. Остается только показать, что если морфизм I ->¦ А
переводит каждый объект im / (X) в некоторый подобъект U
объекта А, то он переводит также I в U. Произведение
F (X) ~у im / (X) -у U
определяет элемент категории cocompat F. Значит, существует
канонический морфизм colim F -у U, такой, что
(colim F -у А) = (colim F ->- U -у А).
Следовательно, / = im (colim F) g= U. Это доказывает утвержде-
утверждение 5.29.1, а 5.29.2 следует из него непосредственно, так как
копроизведение является копределом ввиду утверждения, дуаль-
дуального 5.8.3. ?
5.30. Следствие. Если С — категория с образами, a L — малая
категория, то для любого функтора F: L ~* С копредел функтора
F порождается образами канонических морфизмов {/ (X): F (X) ->-
->- colim F}xcl- В частности, копроизведение \\ A t порождается
образами канонических инъекций -4г->-П At. Кроме того, если
/: F ->- с (А) — естественное преобразование функтора F в по-
постоянный функтор с (A): L ~>- С, то образ морфизма копредела
colim F —у А совпадает с образом копроизведения морфизмов
{/ (X): F (X) -у A }xgL) если только это копроизведение суще-
существует.
Доказательство. Для частного случая А = colim F
копредельный морфизм colim F —у А равен 1А и его образ есть
colim F, который по предложению 5.29 совпадает с суммой обра-
образов канонических морфизмов F (X) -у- colim F. Копроизведение
оказывается частным случаем копредела. Наконец, ввиду пред-
предложения 5.29 образы копредела и копроизведения как морфиз-
морфизмов совпадают и равны сумме образов канонических мор-
морфизмов. ?

328
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
5.31. Упражнения.
5.31.1. (а) Если С — точная категория с малым образующим,
то каждый конечно порожденный объект категории С мал.
(Ь) Каждый малый проективный объект Р категории С с обра-
образующим U конечно порожден относительно U, т. е. существуют
целое число п > 0 и эпиморфизм Um -> Р.
5.31.2. Доказать первую и вторую теоремы Нётер об изомор-
изоморфизме A.10 и 1.12) для точных категорий.
5.31.3. (а) Пусть С — точная категория, (i) Если А/А' —
копересечение семейства факторобъектов {A/Ai}, то А' — сумма
семейства {At}. (ii) С обладает конечными суммами.
(Ь) Если С — точная аддитивная категория и {ut: At ->¦ А \ i =
= 1, 2} — копроизведение, то Ах Л А2 = 0 и А — Аг -\- Аг —
сумма Аг и А2. Обратно, если {щ: Аь—>-А \ i — 1, 2} — моно-
мономорфизмы с нулевым пересечением и суммой А, то А — их ко-
копроизведение.
5.31.4. В точной аддитивной категории последовательность
аЛвЛс
точна, если gf = 0 и существуют морфизмы /': В -у- А и g': С -+¦
-^ В, такие, что //' + g'g = 1В.
5.31.5 (Фрейд). Унивалентный функтор Т: С ~* D, сохраняю-
сохраняющий нуль, отражает точные последовательности для точных кате-
категорий С и D (см. 5.10.12).
*5.31.6. Пусть (S, Т) — сопряженная пара для точных адди-
аддитивных категорий. Если функтор S точен, то Т сохраняет инъек-
тивные объекты. Обратно, если область определения функтора Т
инъективно богата и Т сохраняет инъективные объекты, то функ-
функтор S точен.
v
Некоторые классические леммы
Мы докажем несколько лемм для точных категорий. В частно-
частности, 3 X 3-, или 9-лемма, содержит теорему Нётер об изоморфиз-
изоморфизме.
5.32. Лемма для точной категории. В диаграмме с точными,
строками
0-
в
¦В/А-
¦0
Гл. 5. Пределы., сопряженные функторы и алгебры
329
морфизм А —>- А', дополняющий квадрат I, существует в том
и только том случае, когда существует морфизм В/А —>¦ В'/А'г
дополняющий квадрат II.
Доказательство. Пусть В/А —*- В'/А' дополняет квад-
квадрат П. Тогда произведение морфизмов А -*- В -*- В/А -у- В'/Аг
равно 0. Так как А'-*-В' — ядро морфизма В'-уВ'/А', то
существует морфизм А—*-А', который дополняет квадрат I.
Обратное утверждение дуально.
5.33. 3x3 = 9 лемма для точной категории. Диаграмма
0
*¦ С
Аг
I
*¦ Вг
\
1
с точными строками и столбцами может быть дополнена точной
последовательностью
O^-Ai-t-A
¦0.
Доказательство. Ввиду 5.32, существуют морфизмы
Аг-*- А и А ->- А2, дополняющие верхние квадраты. Так как
Аг -у- Вг -у- В — мономорфизм, то Ах ->- А — тоже мономорфизм.
Установим сначала точность последовательности
где А -у-
тим, что
0^А1-^А^Вг-^Сг-у-0,
В2 определяется как произведение А -> В -*- В2. Отме-
Отме{А1-уА-^ В2) = (Лг ->#!-> Я ^ В2) = 0.
Пусть X -у- А — такой морфизм, что (X -*- А -*- В -*- В%) = 0.
Выберем морфизм Х-^-В^, для которого (Х-*-В1-^-В) =
= (X ->- А ->- В). Тогда
(X -> J?! -> d -> С) = (X -*- Вх -> В -*- С) =
= (X -»- А -у В -»- С) =0.
Так как Сх —>- С — мономорфизм, то (X —>• Вг —>¦ Сх) = 0. Значит,
существует морфизм X ->- Аг, для которого (X ->- Ах ->- BJ =

330 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
х -> В) =
= (X ->¦ Bj). Следовательно,
(X ->¦ Ах -> А -> В) = (X -> Ах -> Я
= (X -> J?! -»- Д) = (X -»- 4 -»- Я).
Поскольку Л —>¦ 5 — мономорфизм, отсюда вытекает, что
(X ->- Лх ->¦ Л) = (X ->- А), т. е. Лх -> А является ядром морфиз-
ма А -> Л2. Таким образом, последовательность
точна. Двойственным образом, точна и последовательность А —>-
->- 52 ->- С2 ->- 0. Так как Л2 -»- 52 — ядро морфизма В2 ->- С2,
который в свою очередь является коядром морфизма А -> 52,
то Л2->52 оказывается образом морфизма А ->- Z?2, т. е.
Таким образом, ker (Л ->- 42) = ker (А ->¦ В2) = im
доказывает точность последовательности
0-»- А1-+А ->-42->0. П
Л), что
Если Л и Л — объекты и существует фиксированный моно-
мономорфизм В—*-А, т. е. точная последовательность
0-+В-+А-+ А/В -> 0,
то будем писать, что В = А.
7.34. Первая теорема Нётер об изоморфизме для точной кате-
категории. Пусть BsijC A-y. Тогда существует диаграмма
"Аг/В
сточными строками. Следовательно, А 2/В <=,АХ1В и
/
Доказательство. Доказательство вытекает из пред-
предложения, дуального 3 X 3-лемме, примененного к следующей
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
331
диаграмме:
о о.
I 1
о—*в -в »*о —*о
I I I
0 *> Д, '* А\ >А/Аг —* 0
I I 1
Аг/В А,/В
J I \
0 0 0
5.35. 5-лемма для точной категории. Пусть диаграмма
коммутативна и имеет точные строки. Тогда
5.35.1. Если gx — эпиморфизм, a g2 и gk — мономорфизмы,
то gs — мономорфизм.
5.35.2. Если gb — мономорфизм, a g2 и gk — эпиморфизмы,
то g3 — эпиморфизм.
5.35.3. Если gx — эпиморфизм, g5 — мономорфизм, a g2u gk —
эквивалентности, то ga — эквивалентность.
Доказательство. Ограничимся доказательством утвер-
утверждения 5.35.1. Сначала установим его справедливость для кате-
категории mod-Z. Пусть а 6 ker g3. Тогда 0 = h3g3 (а) = gj3 (а)
и /3 (а) = 0, так как gk — мономорфизм. Из точности строк извле-
извлекаем, что а = /2 (а') для некоторого а' 6 Аг. Значит,
KU («') = ?з/2 («') = g, (а) = 0.
Поэтому из точности нижней строки вытекает существование
Ъ 6 Вх, для которого ?2 (а') = hx (b). Используя тот факт, что
gx — эпиморфизм, имеем Ъ = gx (а") для некоторого а" ? Аг.
Тогда
gJi (а") = hxgx (а") = К (Ь) = g2 (а').

332 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Так как g2 — мономорфизм, то отсюда следует, что а' = fx (a").
Следовательно,
a=U («') = /2/1 (а") = 0 (а") = 0.
Проведем теперь доказательство для точной категории. Заме-
Заменим Аг на im f1is.B1 — на im hx. Индуцированный морфизм im fx ->
->- im hx является эквивалентностью. По теореме Нётер об изо-
изоморфизме морфизм im /2 -у- im /i2 оказывается мономорфизмом.
Значит, можно считать, что морфизмы /2, h2 и g2 являются моно-
мономорфизмами. Но тогда из того, что g4 — мономорфизм, следует,
что 8з — мономорфизм. (Идея этого доказательства предложена
Митчеллом [65, стр. 38, упр. 14].) ?
5.36. Упражнение для точной категории.
5.36.1. Если Ахж А2 — подобъекты объекта А, то диаграмма
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
333
коммутативна и ее строки и столбцы точны.
5.36.2. Вторая теорема Нётер об изоморфизме. Если Ах и Аг —
подобъекты объекта А в точной категории, то существует ком-
коммутативная диаграмма
0 »-Л, ¦
с точными строками.
Сохранение пределов
Пусть F: L ~* С и Т: С —¦ D — функторы. Говорят, что
функтор Т сохраняет lim F (или перестановочен с ним), если
в категории D существует эквивалентность
A)
t(F): T(limF)
L,C
lim TF.
L,D
Если функтор Т сохраняет lim F для каждого функтора
F: L ~» С и если существует естественное преобразование функ-
функторов _
t: T lim -*- lim f,
L,C L,D
где функтор
_ f CL ~ DL
7' I F *-* TF
индуцирован функтором Т, то говорят,что Т сохраняет {малые,
конечные) пределы {по малой, конечной) категории L (или переста-
перестановочен с ними). В этом случае существует коммутативная диаг-
диаграмма
т. е. Т lim ^ lim Т как функторы и для каждого F: L ~ С
существует эквивалентность A), естественная по F. Обычно термин
«сохраняет пределы» применяется для функторов из малых кате-
категорий, хотя многие утверждения не нуждаются в этом ограни-
ограничении. Если Т сохраняет пределы из всех (малых, конечных)
категорий L, то Т называют сохраняющим (малые, конечные)
пределы^или перестановочным с соответствующими пределами.
Абелевой категорией называют точную аддитивную катего-
категорию. Абелевы категории детально изучаются в гл. 6 и 14—16,
а здесь определены лишь для того, чтобы сформулировать приве-
приведенное ниже предложение. Функтор называют непрерывным спра-
справа (слева), если он сохраняет копределы (пределы).
5.37. Предложение для абелевой категории. Пусть С — абе-
лева категория с копроизведениями и образующим, D — абелева
категория, ah: S ->- Т — естественное преобразование непрерыв-
непрерывных справа функторов S, Т: С ~* D. Предположим, что сущест-

334 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
вует образующий Р категории С, такой, что морфизм
h (P): S (Р) ->- Т (Р) является эквивалентностью категории D.
Тогда h — естественная эквивалентность.
Доказательство. Ввиду 5.21 для любого X ? Obj С
существует точная последовательность
I
где Р^1) — копроизведение / экземпляров объекта Р. Так как S
и Т — точные справа функторы, то диаграмма
T(P(J))
MX)
имеет точные строки. Так как S и Т сохраняют копроизведения, то
S (P{J)) &S(P)(J) « Т (P)(J) « Т
откуда следует, что h (P(J)) и h (?*(I)) —эквивалентности. Ввиду
5-леммы h (X) также является эквивалентностью для каждого X,
т. е. h — естественная эквивалентность. ?
5.38. Упражнение. Функтор Т: С ~» D сохраняет малые
пределы тогда и только тогда, когда для каждого функтора
F: L ~* С из малой категории L и каждого семейства SF =
= {/ (X): А ->- F (X)}, являющегося правым нулем категории
compat F, объект Т^ = {Г/ (X): ТА ->¦ TF (X)} является пра-
правым нулем категории compat TF.
5.39. Следствие из предложения 5.11. Если категория С обла-
обладает произведениями, то следующие свойства функтора Т: С ~ D
эквивалентны:
5.39.1. Функтор Т сохраняет (конечные) пределы.
5.39.2. Т сохраняет (конечные) произведения и конечные пере-
пересечения.
5.39.3. Т сохраняет (конечные) произведения и уравнители.
Доказательство. 5.39.1=^5.39.2 и 5.39.1=^5.39.3,
так как (конечные) произведения, (конечные) пересечения и урав-
уравнители являются примерами (конечных) пределов.
5.39.3=)- 5.39 1. Пусть F: L ~* С — функтор из малой кате-
категории L. Предел функтора F будем рассматривать как правый
нуль {и (X): А -*- F (Х)}Х?оыь категории compat F. Введем
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
335
те же обозначения, что и в доказательстве предложения 5.11:
р = [J F (X), к: А -> Р — уравнитель канонических мор-
Q и w: P -*- Q, и рассмотрим коммутативную
и(Х)
физмов w: Р
диаграмму
Тогда {Ти (X): ТА ->- TF (X)}^eObjL является правым нулем
категории compat TF, так как ТР « f| TF (X), а морфизм
Тк: ТА ->¦ ТР является уравнителем морфизмов Tw и Tw. Послед-
Последние морфизмы являются каноническими морфизмами ТР ->- TQ
и определены точно так же, как морфизмы w, w: P ->- Q. Доказа-
Доказательство импликации 5.39.2 =*-5.39.1 проводится аналогично
с учетом упражнения 5.16.8. ?
5.40. Упражнение, (а) Нормальная категория (конечно)
полна в том и только том случае, когда она обладает ядрами
и (конечными) произведениями.
(Ь) Функтор Т: С ~» D из нормальной категории С, обладаю-
обладающей (конечными) произведениями и ядрами, сохраняет (конечные)
пределы в том и только том случае, если он сохраняет (конечные)
произведения и ядра.
5.41. Предложение. Для любой категории С и любого ее объек-
объекта А функтор hA: С ~» SETS сохраняет пределы, а функтор
hA: С •-»• SETS превращает копределы в пределы.
Доказательство. Пусть L — произвольная категория.
Нужно установить естественную эквивалентность
lim hA -> hA lim
функторов CL ~* SETS или, что то же самое, найти эквивалент-
эквивалентности
h (F): lim (hAF) я» hA (lim F),
естественные по переменной F 6 Obj CL. Поскольку в си-
силу определения предела
A) MorSETS (X, lim hAF) = MorSETsL (с (X), hAF)

336 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
а
B)
Могс {A, lim F) = MorcL (с (A), F),
для доказательства последнего утверждения достаточно найти
биективные отображения
Т(Х, F) = T: MorSETsi(C(X), hAF) -+
-»¦ MorSETS (X, MorcL (с (A), F)),
естественные по переменным X и F. Если / ? MorSETgL (с (X), hAF),
то определим отображение
T(f): X-+MorcL(c(A),F),
положив T (/) (x) [M] = / (M) (x) для любых М ? Obj L и х 6 X.
Тогда Т (/) {x)\ с (А) ->- F является естественным преобразова-
преобразованием функторов, так как для любого морфизма а: М-+ М' кате-
категории L диаграмма
F(M)
F(a)
F{M')
коммутативна. Обратным для Т является отображение, которое
переводит любое отображение
К: X -> MorcL (с (A), F)
в элемент /i6MorSETsL(c(Z), AAF), такой, что h (M) х —
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
337
5.42. Следствие. Для любой категории С с нулем и любого
ее объекта А функтор hA: С — SETS сохраняет произведения
и уравнители, а функтор hA: С ~+ SETS превращает копроизве-
дения и коуравнители в произведения и уравнители соответст-
соответственно.
Доказательство. Это есть непосредственное следст-
следствие предложения, так как произведения и уравнители являются
пределами. Поучительно, однако, дать прямое доказательство,
поскольку ввиду 5.39 это даст другое (и более простое) доказатель-
доказательство предложения 5.41.
Пусть сначала /: X —>- Y я g: X -*-Y — морфизмы категории
С и к: К ->¦ X — их уравнитель. Вследствие 2.4 отображение
hA (к): hA (К) -> hA (X) является мономорфизмом и, значит, вло-
вложением. Уравнителем отображений hA (/) и hA (g) является под-
подмножество
Для любого такого t существует единственный морфизм t': A -*- К,
удовлетворяющий соотношению kt' = t, поскольку к — урав-
уравнитель пары (/, g). Таким образом, t = hA (к) t' лежит в образе
отображения пА (к), так что hA (к) оказывается уравнителем пары
(hAf, hAg). Для hA рассуждаем двойственным образом.
Пусть теперь (pt: P ->- Х^^ — произведение в категории С,
{р[: Р' ->¦ hAXt}i?i — произведение в категории множеств и
g: hAP -*¦ Р' — канонический морфизм, обеспечивающий комму-
коммутативность диаграммы
кАР
Так как pt — эпиморфизм, то hApt — наложение, вслед-
вследствие 2.4. Поэтому для любого у 6 Р' существует у0 6 hAP, такой,
что hApi (г/о) = Pi (У) Для каждого i 6 /. Но тогда g (y0) = у.
Таким образом, g — эпиморфизм. Если g (a) = g (b), то
hAPi (a) = pta = ptb = hApt (b)
для любого i 6 /, т. е. а = b. Этим доказано, что g — эквивалент-
эквивалентность. Следовательно, hA сохраняет произведения. Двойствен-
Двойственным образом доказывается утверждение для hA. ?
Следующее предложение показывает, что не каждый функтор
S: D ~~* С может быть сопряженным слева для какого-либо функ-
функтора (ср. 5.55 и 5.56).
5.43. Предложение. Пусть (S, Т) — сопряженная пара. Тогда
5.43.1. Функтор S сохраняет копределы, и в частности копроиз-
ведения, коядра, коуравнители и левые нули.
5.43.2. Функтор Т сохраняет пределы, и в частности произ-
произведения, ядра, уравнители, правые нули и пересечения.
22 к. Фейс

338
4.1. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство. Если L— любая категория и F: L ~*
~* С — функтор, то ввиду 5.41 для любого объекта X категории D
справедливы равенства
SXi
hx (T UmF) = /Г (lim F) = lim hOJLF
из которых в силу 2.3.3 следует существование эквивалентно-
стей
t (F): T lim F at lim TF,
естественных по F. Таким образом, существует эквивалентность
функторов Т lim a; lim Т. ?
Функтор называется монофунктором (эпифунктором), если
он сохраняет мономорфизмы (эпиморфизмы).
5.44. Следствие. Если (S, Т) — сопряженная пара, то функ-
функтор S непрерывен справа, а Т является монофунктором, сохра-
сохраняющим пределы.
Доказательство. Сохранение (ко)пределов установле-
установлено в предложении 5.43. Если / — мономорфизм категории С, то
hsxf — мономорфизм категории D для любого объекта X кате-
категории D. Из эквивалентности функторов hxT л; hsx следует, что
hxTf — мономорфизм в категории множеств для всех X 6 Obj D,
откуда вытекает, что Tf — мономорфизм в категории D (см. 2.4). ?
5.45. Следствие. Если С — полная категория, то для каждой
малой категории L функтор предела lim: CL ~>- С является сохра-
сохраняющим пределы монофунктором, а постоянный функтор с: С ~» С^1
сохраняет копределы.
Доказательство. Предельный функтор сопряжен сле-
слева к постоянному функтору С ~* Сь. ?
Сопряженные к представимым функторам
Следующее предложение принадлежит Габриэлю [62].
5.46. Предложение. Пусть С — абелева категория. Для любого
объекта U положим А = EndcC/, и пусть
hP: С - тоА-А
— функтор, индуцированный основным функтором. Тогда функ-
функтор ЬР обладает сопряженным слева функтором S в том и только
том случае, когда для любого множества индексов I в категории С
существует копроизведение UW
Гл. 5. Лредели, сопряженные функторы и алгебры
339
Доказательство. Достаточность. Для произвольного
объекта М категории mod-A напишем точную последовательность
где / и / — некоторые множества. Тогда для любого объекта U
категории С имеем
B)
h h
/7 A, UsI
(h h ) :
Здесь первая и третья эквивалентности имеют место, поскольку
основной контравариантный функтор hY со значениями в кате-
категории множеств при любом Y ? Obj mod-A превращает копроиз-
ведения в произведения, а средняя эквивалентность вытекает
из канонической эквивалентности hA ж lmod-A- Морфизм/:
AW индуцирует канонический морфизм функторов
C) hAK" -»- hf
Учитывая B) и аналогичную эквивалентность
B') hA h
получаем морфизм функторов
D) hUK" -> hL
Но ввиду предложения 2.3 естественное преобразование D)
индуцируется некоторым морфизмом
E) tM: U<J) - Uw.
Тогда функтор
Г mod-A ~* С
' \ М н-* coker tM = SM J)
оказывается сопряженным слева к функтору ЬР. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим диаграмму
G)
О
0-
-hV
¦ hSM-
¦А""
г) Заметим, что coker tM не зависит от выбора морфизмов / и g в точной
последовательности A), так что S — действительно функтор.— Прим. перев.
22*

340 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Точность верхней строки в категории Adfunct (С, mod-Z) выте-
вытекает из точности последовательности A). (Здесь, например,
ЬМЬР означает произведение функтора ЬР и функтора hM: mod-Л ~*
~* mod-Z со значениями в категории абелевых групп.) Точность
нижней строки вытекает из E) и того факта, что SM = coker tM.
Правые вертикальные эквивалентности функторов определены
формулами B) и B'). Применяя леммы 5.32 и 5.35, получаем
вертикальную эквивалентность
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
341
(8)
hMhV
¦h
SM
обеспечивающую коммутативность диаграммы G). Этим доказано,
что функтор S сопряжен слева к функтору ЬР. (Ср. 5.4.)
Необходимость. Если функтор S сопряжен слева к функто-
функтору ЬР, то существует естественная эквивалентность функторов
ЬАЬР ?» hSA со значениями в категории множеств. Тогда, по-
поскольку ЬА « lmod-Ai имеем эквивалентность ЬР т hSA и, зна-
значит, U ж SA. Так как ввиду 5.43 любой сопряженный слева
функтор сохраняет копроизведения, то
для любого множества индексов /. ?
Категория С называется аддитивной с конечными произведе-
произведениями или без них, если она удовлетворяет (Ad 1) и (Ad 2) (стр. 195).
5.47. Предложение. Если (h, S, Т, С, D) — ситуация сопря-
сопряжения для аддитивных категорий С и D с конечными произведе-
произведениями или без них, то следующие условия эквивалентны:
5.47.1. Функтор Т: С ~* D аддитивен.
5.47.2. Функтор S: D ~* С аддитивен.
5.47.3. Биекции сопряжения
Ь (В, A): Morc (SB, A) ->• MorD (В, ТА)
являются изоморфизмами категории mod-Z для всех А 6 Obj С,
В 6 Obj D.
Если одно (а значит, и все) из перечисленных условий выполнено,
то h ( , ) является естественной эквивалентностью индуцирован-
индуцированных бифункторов со значениями в категории групп
Morc (S ( ), ): D°p XC- mod-Z,
Могд ( , Т ( )): D0? X С ~ mod-Z.
Доказательство. Морфизм
hB = h(B,SB){l8B): B-+TSB,
определенный для любого объекта В 6 Obj D, удовлетворяет
условию
h(a) = T (a) hB,
где h = h (В, A), a a: SB ->- А — морфизм в категории С. Поэто-
Поэтому если функтор Т аддитивен, то
Ь (а + а') = Т (а + a') hB = (Та + Та') Ьв =
= Т (а) Ьв + Т (a') hB = h(a) +Ь (а'),
где a': SB -*- А. Этим доказана импликация 5.47.1=^5.47.3.
Импликация 5.47.3=^5.47.1 доказывается аналогично, если ис-
использовать морфизм
gA = Ь-1 (ТА, А) AТА)
и соотношение bgA = h'1 (ТВ) для произвольного морфизма
b: A ->- А' категории С. Эквивалентность условий 5.47.2 и 5.47.3
получается по двойственности. ?
5.48. Следствие. Если Т: С ¦—¦ D — функтор из аддитивной
категории С в аддитивную категорию D и если Т имеет сопря-
сопряженный слева или справа функтор S, то функторы Т и S адди-
аддитивны.
Доказательство. Если функтор Т имеет сопряженный
слева функтор S, то по 5.43 Т сохраняет пределы, в частности
произведения, после чего из 3.38 следует, что функтор Т адди-
аддитивен. Аддитивность функтора S вытекает теперь из предложе-
предложения 5.47. Второе утверждение получается двойственным образом.
5.49. Предложение и определение. Множество {С,}^/ объек-
объектов категории С называетсяпрединициальным или левым
псевдонулем, если для каждого объекта X категории С сущест-
существуют i ? I и морфизм Ct —>¦ X. Если С — полная категория, то
предел любого прединициалъного множества, рассматриваемого как
направленное множество х), является левым нулем категории С.
Доказательство. Пусть А является пределом описан-
описанного выше функтора, и {pt: А —*- Ct}i^i — семейство канониче-
канонических морфизмов. Прежде всего, ясно, что {А} — прединициаль-
ное множество. Пусть, далее, /и g — морфизмы из Могс (А, В)
h
и К —*• А — их уравнитель. По условию найдется i ? I vl h: Ct->-
-> К, а значит,
для всех j. Отсюда khpt = 1А, следовательно,
/ = fJchpt = gkhpt = g. D
х) Точнее, имеется в виду предел функтора включения в категорию С
полной подкатегории, порожденной семейством {С;}^/-— Прим. перев.

342 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Теоремы существования для сопряженных
функторов
Следующая теорема принадлежит Фрейду (ср. 5.51).
5.50. Общая теорема о сопряженном функторе. Если С —
полная категория, то ковариантный функтор Т: С ~* D обладает
сопряженным слева в том и только том случае, когда выполнены
следующие условия:
5.50.1. Функтор Т сохраняет пределы.
5.50.2. Для каждого объекта Y категории D комма-категория
(Y, Т), определенная в 5.2, обладает прединициалъным множе-
множеством.
Доказательство. Вследствие предложения 5.43 любой
функтор Т: С -~* D, обладающий сопряженным слева, сохраняет
пределы, а ввиду 5.2 комма-категория (Y, Т) имеет левый нуль.
Для доказательства обратного утверждения достаточно убе-
убедиться в том, что каждая комма-категория (Y, Т) полна, так как
тогда в силу предыдущего предложения она имеет левый нуль
и из предложения 5.2 вытекает, что функтор Т обладает сопря-
сопряженным слева. Определим функтор Р следующим образом:
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
343
( (Y, Т)
{ (/, X)
[ t.
X (на объектах)
t (на морфизмах).
Если теперь F: L ~> (Y, Т) — произвольный функтор из малой
категории L, то, ввиду полноты категории С, существует lim PF =
= А. Тогда ТА = lim TPF, так как функтор Т сохраняет пре-
пределы. Покажем, что семейство {h (i): Y ->- rZj}i?L, такое, что
F (i) — (h (i), Xt), является элементом категории compat TPF.
Действительно, если a: i —>• / — произвольный морфизм катего-
категории L, то
F (a): (h (i), X,) - (h (i), Xj)
— морфизм категории (Y, T), т.е. F (a): Xt ->-Xj— такой морфизм
категории С, что диаграмма
коммутативна. Поскольку TXt = TPF (i) и TF (a) = TPF (a),
то наше утверждение установлено. Тогда поскольку TA=\im TPF,
то существует единственный морфизм t:' Y ->¦ ТА категории D,
такой, что диаграмма
где ТА -*- TXt — естественный морфизм, коммутативна. Пока-
Покажем, что (t, A) = lim F. Пусть
{g (»): (/, X) -» (h (i), Xt)}ieL
— элемент категории compat F. Тогда диаграмма
Y
коммутативна. Следовательно,
является элементом категории compat TPF. Значит, существует
единственный морфизм Ъ: X-*¦ А, такой, что диаграмма
ТХ
коммутативна для любого i?L. Таким образом, Ь: (f,X)^ ~*(t, A)—
единственный морфизм комма-категории (Y, Т), такой, что диа-

344 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
грамма
(О)
где (t, А) ->- (Л. (i), Хг) — канонический морфизм, коммутативна.
Но это и означает, что (t, A) = lim F. Q
5.51 Л Специальная теорема о сопряженном функторе (Фрейд
[60]). Если С — полная локально малая категория с кообразую-
щим U, то функтор Т: С ~* D обладает сопряженным слева
в том и только том случае, когда он сохраняет пределы.
Доказательство. Ввиду предложения 5.50 достаточ-
достаточно показать, что для каждого объекта Y категории D комма-
категория (Y, Т) обладает прединициальным множеством. Если
(t, X) — объект категории (Y, Т), то из полноты категории С
вытекает существование декартова квадрата
A)
где с — канонический морфизм, а Ь — тот единственный морфизм,
для которого при любом морфизме /: X ->¦ U категории С диаграм-
диаграмма
могс(хд;
коммутативна (р — каноническая проекция). Так как U —кооб-
разующий, то с — мономорфизм вследствие утверждения, дуаль-
дуального к предложению 3.25. Тогда из упр. 5.10.2 следует, что и а —
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
345
мономорфизм. Определим h: Y -*¦ xU^LoTlD<-Y'TU^ условием pgh = /
для любого g: Y ->- TU. Тогда диаграмма
Мог,. (XV)
коммутативна. Так как функтор Т сохраняет пределы, то при-
применение функтора Т к декартову квадрату A) дает декартов
квадрат. Следовательно, существует канонический морфизм Y —*-
—у- ТР, такой, что диаграмма
коммутативна. Таким образом, категория (Y, Т) обладает пред-
инициальным множеством, мощность которого не превосходит
числа подобъектов объекта uMotd<-y-tu\ ц
5.52. Следствие. Если D—колокалъно малая кополная кате-
категория с образующим, то функтор S: D ~ С обладает сопряженным
справа функтором в том и только том случае, когда он сохраняет
копределы.
Доказательство. Если S обладает сопряженным спра-
справа функтором, то, ввиду 5.43, он сохраняет копределы. Пред-
Предположим, что 5 сохраняет копределы. Тогда произведение функ-
функторов
S%: D* ~ D ~+ С ~> С*,
где первый и третий из функторов — канонические, является
функтором D* ~* С*, сохраняющим пределы. Следовательно,
функтор S* имеет сопряженный слева функтор Н. Эквивалент-
Эквивалентности сопряжения
Могд*(#Х*, У*) « Могс*(Х*, S%Y*)
влекут за собой существование эквивалентностей
MorD (У, Н*Х) х Мот с (SY, X).
Но это и означает, что функтор Н* сопряжен справа к функтору

346 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
5.53. Следствие. Полная локально малая категория С с кооб-
разующим кополна.
Доказательство. Для любой категории С постоянный
функтор с: С ~>- CL сохраняет пределы. Это следует из того, что
если F: L ~+ С — функтор ж А — правый нуль категории compat F,
то с (А) —правый нуль категории compat cF. Ввиду следствия 5.52,
функтор с: С ~* CL обладает сопряженным слева функтором
colim: CL ~> С, т. е. категория С кополна. ?
Сопряженные к функторам со значениями
в категории модулей
Приведем теперь некоторые применения изложенной теории
к категориям модульного типа.
5.54. Следствие. Пусть R — кольцо, а С — категория. Тогда
функтор F: mod-i? ~* С обладает сопряженным справа в том
и только том случае, когда он непрерывен справа (сохраняет копре-
копределы).
Доказательство. Категория D — mod-i? удовлетво-
удовлетворяет условиям следствия 5.52, ввиду упр. 5.27.4. Q
5.55. Предложение. Если R — кольцо, а С — аддитивная
категория, то функтор Т: С ~> mod-i?, обладающий сопряжен-
сопряженным слева, представим, т. е. Т та hA для некоторого А 6 Obj С.
Доказательство. Если функтор S: mod-i? ~* С сопря-
сопряжен слева к функтору Т, то для А = SR 6 Obj С и любого X ?
6 Obj С имеем
hAX = Morc (SR, X) » HomH (R, ТХ) « ТХ.
Тот факт, что эквивалентность сопряжения является изоморфиз-
изоморфизмом Л-модулей, вытекает из ее естественности. ?
Следующие два результата представляют собой теоремы Уотса
160], обобщенные Митчеллом [65, стр. 142].
5.56. Предложение. Пусть С — полная локально малая адди-
аддитивная категория с кообразующим, R — кольцо иТ: С ~* mod-i?—
ковариантный функтор. Тогда следующие свойства функтора Т
эквивалентны:
5.56.1. Т сохраняет копределы.
5.56.2. Т обладает сопряженным слева функтором S: mod-i? —>
¦¦*->¦ С.
5.56.3. Т представим, т. е. Т та hA для некоторого А ? Obj С.
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
347
Доказательство. 5.56.1 =>¦ 5.56.2 ввиду 5.52; 5.56.2 =>¦
=> 5.56.3 ввиду 5.55; 5.56.3 => 5.56.1 ввиду 5.42.
5.57. Следствие. Если С — кополная колокально малая адди-
аддитивная категория с образующим, a R — кольцо, то контравариант-
ный функтор Т: С ~* mod-i? превращает копределы в пределы
в том и только том случае, когда он представим, т. е. Г« На
для некоторого А 6 Obj С.
Доказательство. Любой представимый функтор hA
превращает копределы в пределы ввиду предложения 5.41. Обрат-
Обратно, произведение
Т'\С*~С~ mod-i?
является ковариантным функтором, а категория С* удовлетворяет
условиям предыдущего предложения. Следовательно, функтор Т'
представим, т. е. Т та hA*. Но тогда Т ж hA. ?
5.58. Предложение.
5.58.1. Пусть С и D — точные категории.
Тогда функтор Т: С ~* D точен слева {справа) в том и только
том случае, когда он сохраняет ядра (коядра). В частности, функ-
функтор, обладающий сопряженным слева, точен слева, а сопряженный
к нему функтор точен справа.
5.58.2. Для любого объекта А точной аддитивной категории С
функторы hA и hA со значениями в категории абелевых групп
точны слева.
5.58.3. Если С — полная локально малая аддитивная категория
с кообразующим, то для любого объекта А функтор
hA : С ~ mod-5,
где В — Еп&сА, точен слева и имеет точный справа сопряженный
слева функтор.
Доказательство. В точной категории С морфизм
/: А -*~ В является мономорфизмом тогда и только тогда, когда
кег / = 0, т. е. тогда и только тогда, когда последовательность
0 -*¦ А -^ В точна. Таким образом, функтор Т точен слева, если
он сохраняет ядра. Обратно, если Т — точный слева функтор,
а к: К -*- А — ядро морфизма /: А -*¦ В, то из точности последо-
последовательности 0 -*- К ->¦ А ->¦ В вытекает точность последователь-
последовательности 0 -> ТК -> ТА ->- ТВ. Следовательно, im Tk = ker Tf, т. е.
T сохраняет ядра. Если Т имеет сопряженный слева, то в силу
предложения 5.43 он сохраняет пределы, в частности ядра, и, зна-
значит, точен слева, ввиду 5.26. Аналогично, функтор hA в силу 5.42
и 5.41 сохраняет пределы, в частности ядра, и, значит, точен
слева. Это доказывает 5.58.2, а 5.58.3 следует из 5.56. ?

348 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Функтор тензорного умножения
Если U — (В, А)- бимодуль, то вследствие 5.46 (а так-
также 5.56) функтор
ЬР : mod-A ~* mod-Z?,
индуцированный функтором ЬР со значениями в категории мно-
множеств, имеет сопряженный слева функтор
(g» U: mod-Z? ~* mod-A,
в
т. е. существует функтор <g> U, такой, что для любых объекта X
в
категории mod-Z? и объекта У категории mod-Z? определены изо-
изоморфизмы
h (X, У): HomA(X ®U,Y)^ Нотв (X, НотА (U, У)),
в
естественные по X и У. (См. также теорему 11.4.)
Поскольку любой модуль естественно является Z-модулем,
то каждый объект X категории mod-A и каждый объект У кате-
категории A-mod определяют функторы
X (g»: A-mod ~* mod-Z,
А
(g) У: mod-A ~* mod-Z
А
со значениями в категории абелевых групп, которые определяют
бифунктор
mod-A х A-mod ~* mod-Z
(М, N) *-*¦ М (g) Л^ (на объектах)
А
{f,g)*-*f®g (на морфизмах).
Для данных морфизмов /: М -*¦ М' категории mod-A и g: N ->¦ N'
категории A-mod через / ® g: М ® N ->¦ М' ® N' обозначен
А А
единственный морфизм, такой, что диаграмма
*-M®Nr
A)
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
349
коммутативна. (Индекс А в символе ® для простоты опущен.)
А
Из диаграммы A) следует, что если /': М' -у М" и g': N' -»- N" —
морфизмы категорий mod-A и A-mod соответственно, то
(/'
(/ ® g) = /'/ ® g'
Коммутативность диаграммы A) может быть получена как
следствие коммутативности диаграммы
B)
hN'hM
Ввиду предложения 2.3 Йонеды существует биективное отобра-
отображение
C) [hM\ hM] = HomA (M, M')
из множества [hM', hM] естественных преобразований функторов
hM' -> hM в множество морфизмов М -*¦ М', естественное по М
и М'. Таким образом, морфизму /: М-*¦ М' соответствует есте-
естественное преобразование hM ->¦ hM, а морфизму g: N -»- N' —
естественное преобразование hN' -*¦ hN, такое, что диаграмма B)
коммутативна. Таким образом, для каждого объекта У категории
mod-A оказывается коммутативной диаграмма
D)
h"hMY
h"h"Y
Но ввиду биекций сопряжения
hMhNY = HomA (М, Ношд {N, Y)) » HomA(M® N, У),
А
т. е. диаграмма D) является результатом применения функтора hY
к диаграмме A) для произвольного объекта У категории mod-A.
В частности, для любого кообразующего объекта У категории
mod-Л функтор hY унивалентен, и, значит, коммутативность
диаграммы D) влечет за собой коммутативность диаграммы A).
Если R — кольцо и М — объект категории mod-i?, то, по-
поскольку функтор (g> R сопряжен слева к функтору hR та 1моа-н.
R

350 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
351
существует канонический изоморфизм М ® R ->- М. Тогда если
R
А — произвольный левый идеал кольца R, то образ каноническо-
канонического гомоморфизма
М
М ® R
R
М
равен МА, т. е. существует каноническая точная последователь-
последовательность М ig) А ->- МА -у- 0. Модуль М называется плоским в кате^
R
гории mod-i?, если функтор М ® : i?-mod ~» mod-Z является
R
точным. В этом случае поскольку для каждого левого идеала А
кольца R существует точная последовательность 0 -*¦ А -*¦ R,
то существует каноническая точная последовательность
0 -*- М ® А -> МА -> 0,
R
МА естественным образом.
т. е. М <8> А
R
55.9. Упражнение.
5.59.1. Показать, что объект М является плоским в категории
mod-i? в том и только том случае, когда для любого конечно
порожденного левого идеала кольца R существует канонический
изоморфизм М ® А та МА.
R
5.59.2. Показать, что любой проективный объект категории
mod-i? является плоским.
5.59.3. Доказать все предложения гл. 11.
5.59.4. Показать, что если /: А ->- В — гомоморфизм колец,
то функтор
mod-/: mod-i? ~* mod-Л
имеет сЪпряженный слева функтор
® В: то&гА ~» mod-Z?
¦А
и сопряженный справа функтор НотА (В, ). Иными словами,
если Т = mod-/, to существуют естественные эквивалентности
Нотв (М ® В, N) » НотЛ (М, Нотв (В, N)) « НотА (М, TN)
НотЛ (ТМ, Nr) « НотА (М,
НотА (М ® В, Nf)
В
» Нотв (М, НотА (В, N'))
для любых объектов М, N категории mod-i? и объекта Л" кате-
категории mod-А.
5.59.5. Если (В, 4)-бимодуль U является плоским S-модулем,
то функтор ® U: mod-Z? ~* mod-Л точен. Установить это для
в
случая, когда U — образующий категории mod-Л, a Z? = End UA>
5.59.6. Пусть U — образующий категории mod-^4, а В =
= End UА. Показать, что произведение функтора hv: та.о&-А ~-
~* mod-Z? на его сопряженный слева равно тождественному функ-
функтору lmod-Ai т. е. что для всех объектов X категории mod-^4
существуют естественные изоморфизмы
X « HomA (U, X) ® U.
в
*5.59.7. Прямой предел плоских модулей является плоским
модулем.
*5.59.8. Модуль является плоским в том и только том случае,
когда он есть прямой предел проективных модулей.
*5.59.9. Прямой предел проективных модулей не обязан
быть проективным.
По поводу значения следующего результата обратитесь к Лам-
беку [64а].
5.60. Теорема (Бурбаки — Ламбек). Левый R-модуль М являет-
является плоским в том и только том случае, когда его модуль характеров
М' = Hom^ (M, Q/Z) инъективен в категории mod-i?.
Доказательство. Идею доказательства дает упр. 3.51.3
(другой путь доказательства см. в 6.28). ?
5.61. Следствие. Любой проективный объект категории i?-mod
является плоским.
Доказательство. Если Р — проективный объект кате-
категории i?-mod, то модуль характеров Р' = ug^g (P) инъективен
в категории mod-i? (см. 3.51, 6.28 и 11.35), а тогда по теореме 5.60
модуль Р является плоским. ?
Из доказательства теоремы вытекает такое
5.62. Следствие. Z? ситуации RAS, Bs, где RA — плоский,
a Bs — инъективный модули, правый R-модулъ Homs (.4, Z?)
является инъективным модулем.
Кольцо Z? называется самоинъективным (справа), если модуль
Z?H инъективен в категории mod-i?.
5.63. Следствие. Если инъективный S-модуль А является
образующим категории mod-S, то кольцо End-^ls самоинъективно
справа.

352 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство. Пусть R = End As. Так как модуль
As является образующим, то А — конечно порожденный проек-
проективный Л-модуль. Значит, А —плоский Д-модуль. Теперь остается
только применить следствие 5.62 для случая В = А. ?
5.64.
5.64.1. Пример. Пусть S — самоинъективное справа коль-
кольцо, а А — произвольный инъективный свободный модуль. (Если
кольцо А нётерово справа, то прямая сумма инъективных модулей
инъективна, значит, каждый свободный ^-модуль в этом случае
инъективен.) Тогда кольцо End As самоинъективно справа. Это
включает случай, когда S — поле, а А — любое правое векторное
пространство. Таким образом, любое кольцо всех линейных
преобразований правого векторного пространства самоинъективно
справа.
5.64.2. Категория самоинъективных справа колец обладает
прямыми произведениями (Доказательство?)
5.65. Упражнения.
5.65.1. Если А — кольцо, а М — объект категории mod-^l, то
sing М = {т ? М | аппАиг — существенный правый идеал}
есть вполне инвариантный А - подмодуль модуля М, называе-
называемый сингулярным подмодулем.
(a) Если М AN, то sing M = 0 тогда и только тогда, когда
sing N = 0.
(b) sing A — идеал, называемый правым сингулярным идеа-
идеалом.
(c) Если sing A = 0, то инъективная оболочка А правого
Л-модуля А является (S, Л)-бимодулем, где S = End AA, кано-
канонически изоморфным каноническому (S, Л)-бимодулю S. (Кано-
(Канонический правый Л-модуль S определяется отображением А ->- S,
переводящим а ? А в единственный элемент а' 6 S, индуцирую-
индуцирующий на кольце А левое умножение as на элемент а).
(d) Канонический изоморфизм (S, Л)-бимодулей h: S -> А
из п. (с) превращает А в кольцо, такое, что h (s) h (t) — h (st)
для любых s, t 6 S, т. е. кольцо А канонически изоморфно коль-
цу S.
(e) Кольцо 5«i самоинъективно справа, т. е. модуль S
инъективен в mod-<S.
(f) Если А — первичное кольцо с однородным правым идеа-
идеалом U и sing А = 0, то кольцо В = End UА является правой
областью Оре с правым телом частных D, причем кольцо А изо-
изоморфно кольцу всех линейных преобразований левого векторного
пространства V над телом D. При этом канонический правый
Л-модуль V изоморфен простому (минимальному) правому идеа-
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
353
лу W кольца А, такому, что W {] А = U' — однородный правый
0деал кольца A, a W = D- U', т. е. порождается множеством
U' как левое векторное пространство над .D.
(g) Если А — первичное кольцо с условием максимальности
для дополнительных правых идеалов (см. 9.14.1) и правых аннуля-
торных идеалов, то А содержит однородный правый идеал U,
такой, что векторное пространство W п. (f) конечномерно. При
этом А является классическим правым кольцом частных кольца А
в том смысле, что каждый регулярный элемент х ? А обратим в А
(здесь А считается канонически вложенным в А) и
А = {ах'1
А, х — регулярен в А).
(Ср. гл. 9 и 15.);
5.65.2. Первичное кольцо А с нулевым сингулярным идеалом
sing А содержит однородный правый идеал U, являющийся
образующим категории mod-^l, в том и только том случае, когда А
изоморфно кольцу эндоморфизмов конечно порожденного проек-
проективного левого модуля V над правой областью Оре К. В этом
случае Biend К7и End UА оказываются правыми областями Оре.
(Ср. 4.22А.)
5.65.3. Доказать утверждение, обратное 5.63. Если А —
образующий категории mod-5 и кольцо End As самоинъективно
справа, то А (и S) инъективны в категории мод-5.
Эластичные билинейные гомоморфизмы
Если G — абелева группа, то отображение
{х, у)*-* h(x, у)
называется биаддитивным (билинейным), если отображения
Г Y-+G
х \ y^h(x, у)
ty-*h(x, у)
являются гомоморфизмами групп для всех х 6 X и у 6 Y. Если
X — правый, & Y — левый модуль над кольцом А, то мы будем
говорить, что отображение h эластично, если
h (ха, у) = h (x, ay)
23 к.
Фейс

354 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
для всех х ? X, у ? У', а ? А. Отображение h называется сбалан-
сбалансированным, если оно одновременно биаддитивно и эластично.
Обозначим через bal (X, У) подгруппу свободной абелевой груп-
группы F (X, У) над множеством (X, У), порожденную множеством
всех элементов
(х + х', у) — (х, у) — (х', у),
(х, У + у') — {х, у) — (х, у'),
(ха, у) — (х, ау),
где х ? X, у ? Y, а ? А. Тогда произведение
* (X, У): (X, Y)-+F (X, Y) -> F (X, У)/Ьа1 (X, Y)
включения и канонического гомоморфизма сбалансировано. Кроме
того, существует бифунктор
f mod-A x .4-niod ~* mod-Z
1 (X, Y)*-+F(X, У)/Ьа1(Х, У)=*Т(Х, У).
Если (/, g): (X, Y) ->¦ (X1, У) — морфизм, то, поскольку F (X, Y)
— свободная группа, единственный морфизм
F(X,Y)-»T(X',Y'),
такой, что диаграмма
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
355
(X,Y)
*¦ F(X,Y)
F(X'j')/bal(x:YH(XT)
где верхнее отображение — включение, коммутативна, индуци-
индуцирует отображение
T(f,g): T(X,Y)-+T(X',Y'),
которое превращает Т в функтор. Таким образом, ядро правого
вертикального отображения содержит bal (X, Y). Если Y —
правый ^-модуль, то Т (X, Y) естественным образом превращает-
превращается в правый 5-модуль, если положить
, Y)
5.66. Ассоциативность сопряженности. Если А и В — колъцаг
X — объект категории mod-A, Z — объект категории mod-i?
и У — некоторый (А, В)-бимодуль, то существуют изоморфизмы
Нотв (Т (X, У), Z) « Нотл (X, Нотв (У, Z)),
естественные по X, У и Z, где
Т (X, У) = F (X, У)/Ьа1 (X, У)
— объект категории mod-Z?. Таким образом, функтор
Т( v\ J mod-^ ~ mod~B
( ' ' \ Х^Т(Х, У)
сопряжен слева к функтору
v fmod-5 ~> mod-A
\ Z^HomB(y, Z),
т. е. существует естественная эквивалентность
T( ,У)«(8)У
А
непрерывных справа функторов. Если (х, у) ? X X У, то образ?
элемента (х, у) при каноническом отображении X X У -*¦ Т (X, У)
обозначается через х ® у.
Если X — объект категории mod-A, У — объект категории
Л-mod и g: X xY->-C — сбалансированное отображение в кате-
категории mod-Z, то существует единственное отображение h:X® Y-*-
А
-v С, такое, что диаграмма
для всех b ? В.
sde p — каноническое отображение, коммутативна. Таким обра-
образом, g (х, у) = h(x <8> у) для всех х ? X, у ? У.
Доказательство оставляем в качестве упражнения.
23*"

356 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Сопряженные к унивалентным и полным функторам
5.67. Предложение. Рассмотрим ситуацию сопряжения
(h, S, Т, С, D). Тогда
5.67.1. (а) Существует естественное преобразование функто-
функторов
Ф: 1D-+TS,
где для каждого Y 6 Obj D морфизм
Фг : Y -> TSY
определяется равенством
Фг = h (Y, SY) (lsr).
(b) Если X ? Obj С и g: Y ->¦ ТХ — морфизм категории D,
то h-xg: SY ->- X — единственный морфизм, такой, что диаграм-
диаграмма
TSY
коммутативна. Таким образом, функтор Т индуцирует вложе-
вложение
Могс (SY, X) -»- Могд (TSY, ТХ).
5.67.2. (а) Существует естественное преобразование функторов
ф: ST-+1C,
где для каждого X ? Obj С морфизм
грх: STX-+X
определяется равенством
= h-1 (TX, X) AТХ).
(Ь) Следующие условия эквивалентны:
(а) Функтор Т унивалентен.
(Р) Если g: Y -*¦ ТХ — эпиморфизм, то и h~xg — эпимор-
эпиморфизм.
(у) Для всех X ? Obj С морфизм т!рх: STX ->- X является
эпиморфизмом.
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
357
(с) Следующие условия эквивалентны:
(а) Т — полный функтор.
(Р) Для всех X ? Obj С морфизм tyx: STX ->¦ X является
расщепляющимся мономорфизмом.
Доказательство. Для морфизма /: X ->- X' катего-
категории С рассмотрим коммутативную диаграмму
ШгсEТХ,Х)
h [TX,X)
HorD(TX,TX)
Для 1ТХ (идя по и против часовой стрелки) получим
fh-1 (iTZ)= h-'Tf
или
(i) ftx = h~lTf.
Аналогично, из коммутативной диаграммы
написанной для морфизма g: SY—^-X, получим
(И) h(g) = T (g) Фг.
Дуальными к (i) и (ii) являются равенства
(i*) фу/ = hS (/),
(ii*) /г-1 (g) = $XS (g),
где Y, Y' 6 Obj D, X, X' 6 Obj C, f: Y'^-Y, g: Y -»- TX.
5.67.1. Если g: Y ->-У — морфизм категории D, то справед-
справедливы равенства
(i*) qjy.g = hS (g)
и
(ii) hS (g) = TS (g) фу.

358 Ч- I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Следовательно, диаграмма
Y
T$(g)
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
359
коммутативна, что доказывает (а). Биективность морфизма h\
и условие (и) доказывают (Ь).
5.67.2(а). Если /: X ->- X' — морфизм категории С, то спра-
справедливы равенства
(i) ЛЬ = h~lT (/)
и
откуда следует, что tyx: ST -> 1С является естественным преобра-
преобразованием.
5.67.2 (Ь). (а) =>- (Р). Если g: Y -*- ТХ — эпиморфизм, то
яз второй диаграммы нашего доказательства вытекает, что Т (h~lg)
— тоже эпиморфизм. Так как унивалентный функтор отражает
эпиморфизмы, то h-lg — эпиморфизм.
(Р) =ф (у). Положим Y = ТХ, a g = 1ТХ.
(у) =ф (а). Если ft: X -> X', i = 1, 2, и ГД = Г/2, то ввиду
естественности iJ)A- получаем
/itx = Фх'^71 (А) = чЬ'^Т1 (/2) = /2^-
Поскольку г|; Y — эпиморфизм, то /j = /2, т. е. функтор Т унива-
лентен.
5.67.2 (с) следует из 5.68.2 (см. ниже). ?
5.68. Предложение. Рассмотрим ситуацию сопряжения
(h, S, Т, С, D). Тогда
5.68.1. (Гг|з) (фГ) = 1Т.
5.68.2. Если Т — полный функтор, a f— такой морфизм
X -> STX, что
T(f) =Фг*: TX-+TSTX,
то
где i|)x'- STX —у- X является коретракцией1).
х> Это справедливо также в случае, если функтор S является полным
м. Митчелл [65, стр. 120]).
Доказательство. Равенство (ii) для
g = Ob'- S (ТХ) -+ X
приводит к соотношению
= Т
ц>тх.
Но tyx = Л.-1
). поэтому
Если Т — полный функтор, то фтх = Tf для некоторого
морфизма /: X ->¦ STX. Тогда
Т (Utx) Ц>тх = Ц>тх = Ч>тХТ (i|3z) ц>хт =
= T(f)T (фх) Фтх = Г (/^)
Ввиду 5.67.1 (Ь), из равенства
У (Ism) Фтх = Г (f»fc
следует, что lsrjC = ftyx.
5.69. Следствие. ?сли в ситуации сопряжения (h, S, Т, С, D)
функтор Т вполне униваленшен, то существует естественная
эквивалентность функторов
t: ic-^ST,
где t (X) = Цх1 для всех X ? Obj С.
Доказательство. Ввиду 5.67 морфизм г|зх: STX —v X
является эпиморфизмом. Кроме того,из 5.68.2 следует, что т|зх —
расщепляющийся мономорфизм и, значит, tyx — эквивалентность.
Если /: X -*- X', то равенство (i) дает
ЛЬ = h-lTf,
а равенство (ii*) —
qx.ST (/) = h-'Tf.
Следовательно, диаграмма

360
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и мое
коммутативна. Значит, h: 1С -*- ST — естественное преобразова-
преобразование и, следовательно, эквивалентность функторов. ?
5.70. Теорема Мориты и Попеску — Габриеля (второй ва-
вариант). Пусть А — кольцо и С — mod-vl (или С — произвольная
категория Гротендика). Если U — образующий объект категории
С и В = Endc U, то полное вложение hP : С ~* mod-5 является
коретракцией. Функтор ® U: mod-5 ~> С, сопряженный слева
в
к функтору hP, является ретракцией, и существует естественная
эквивалентность функторов
' в
Таким образом, для каждого объекта X категории С имеет место
эквивалентность
More (U, X) ® U « X,
в
естественная по X. В частности, для С = mod-A существует
изоморфизм (А, А)-бимодулей
Доказательство. Ввиду 4.24 функтор ЬР вполне
унивалентен. Следовательно, к нему можно применить 5.69.
Остальное очевидно. ?
Замечание. Так как, ввиду 4.1, модуль U проективен
над кольцом В, то из 5.61 вытекает, что функтор ® U точен.
в
Это справедливо и в том случае, когда С — категория Гротендика
(ср. 15.26). Короткое доказательство этого факта, использующее
функтор Ext, было дано Такэути [71]. См. также короткое дока-
доказательство Ламбека [71].
5.71. Упражнения.
5.71.1. Найти свойства объекта U произвольной кополной
абелевой категории, необходимые и достаточные для того, чтобы
функтор ЬР : С ~» mod-Endc U был полным.
5.71.2. Доказать все теоремы гл. 7 и 8.
Алгебры над коммутативными кольцами
Пусть к — коммутативное кольцо. Рассматривая к как объект
категории RINGS, можно определить категорию source к, объек-
объектами которой являются кольцевые гомоморфизмы /А: к-*-А.
Обозначим через k-ALG полную подкатегорию категории source к,
определяемую таким классом объектов fA, что образ каждого
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
361
гомоморфизма fA: k —у- А содержится в центре кольца А. Произ-
Произведение гомоморфизма fA: к -*- А и канонического кольцевого изо-
изоморфизма А ->¦ End AA превращает А в А;-модуль. Для умноже-
умножения элемента х 6 А на элемент а ? к, определенного условием
(а, х) -v / (а) х = ах,
справедливо равенство
(ах) (by) = (ab) ху
для всех a, b ? к, х, у ? А. Морфизм g: A ->- В категории k-ALG
есть такой кольцевой гомоморфизм, что диаграмма
g
В
коммутативна. Образом гомоморфизма fA является подкольцо
{al | а 6 Щ, и тогда условие коммутативности диаграммы озна-
означает просто, что g (al) = al для любого а ? к, т. е. что гомомор-
гомоморфизм g индуцирует на im fA тождественный гомоморфизм. Значит,
g (ах) = g (aix) = g (al) g (x) = aig (x) = ag (x)
для любых a ? к, х ?А, т. е. морфизм категории k-ALG есть
просто такой кольцевой гомоморфизм g: A —>¦ В fc-алгебр, что
g (ax) = ag (х) для любых а 6 к, х ? А. Если обозначить через ga
произведение гомотетии as: A -+ А тя. гомоморфизма g и аналогич-
аналогично определить ag, то это совпадает с требованием, чтобы g ком-
коммутировал с гомотетиями, определенными любым а ?к. Таким
образом, ga = ag. Назовем й-алгебру к ->- А точной, если она
является инъективным морфизмом, и центральной, если она
индуцирует изоморфизм к—*-'ё(А).
Если А — любая алгебра над кольцом к, а X — объект кате-
категории mod-A, то X канонически превращается в ^-модуль с по-
помощью гомоморфизма к —*¦ А —>¦ End X и для любого морфизма
g: X ->- Y категории mod-Л выполняется условие g (ax) = ag (x).
Если Т — функтор mod-4 ~* mod-5, где А ж В — некоторые
^-алгебры, то Та определяется для всех а 6 к формулой
(Та) f = T (af)
для любого морфизма f: X-*-Y категории mod-Л, где af пред-
представляет собой произведение морфизма / и левого умножения

362 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
модуля Y на а; аналогичным образом для любого а 6 к опреде-
определяется аТ. Функтор Т: mod-A ~* mod-S называется /с-линейным
«ели аТ = Та для всех а ? к. Далее будут рассматриваться только
-А-линейные функторы.
Алгебра к —>- А называется коммутативной, если А — комму-
коммутативное кольцо. Полная подкатегория категории k-ALG, состоя-
состоящая из всех коммутативных А;-алгебр, обозначается через СОММ к-
ALG.
5.72. Примеры.
5.72.1. Если А — произвольное кольцо, то каноническое
¦отображение Z ->- А является алгеброй над кольцом Z.
5.72.2. Если к — любое коммутативное кольцо, то тождест-
тождественное отображение к —>¦ к есть алгебра над кольцом к.
5.72.3. Пусть М — произвольный правый Л-модуль над &-ал-
теброй А. Как уже отмечалось, произведение к ->¦ А ->¦ End M
канонических отображений к ->¦ А и!-+ End M есть ^-модуль,
который индуцирует гомоморфизмы к ->¦ End Mh и к ->¦ End MА.
Таким образом, кольца End Mfe и End MА являются (канони-
(каноническими) /с-алгебрами.
5.72.4. Если М — произвольный (В, Л)-бимодуль, то функтор
mod-5 ^ mod-A является /с-линейным тогда и только
тогда, когда ах = ха для любых а 6 к и х ? М.
5.72.5. Если Л/ — любой правый Л-модуль и В = End Л/А —
каноническая /с-алгебра, то оба функтора hM: mod-A ~* mod-S
ж <g> M: mod-S ^* mod-4 /с-линейны.
в
5.72.6. Если /с — любое ненулевое подкольцо центра кольца А,
то включение к —*- А является точной алгеброй, а включение
% (А) —у А — центральной алгеброй.
i 5.73, Определение и предложение о (полу)групповом кольце.
Пусть Т — мультипликативный моноид, А — кольцо и fT: T —>-
¦-»¦ АТ — свободный левый А-модуль. Для простоты будем считать,
что Т ? АТ и /г — включение. Таким образом, АТ является
(А, А)-бимодулем, таким, что at = ta для всех а ? A, t ? Т.
Тогда АТ — кольцо относительно своей операции сложения и опе-
операции умножения, определенной правилом
где
B)
2
¦= h as
st=r
¦{Каждый элемент в модуле АТ имеет конечный носитель, поэтому
элемент в правой части формулы A) определен.) Таким образом,
отображение fT: T -> АТ является гомоморфизмом моноидов,
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
363
а отображение
C)
1а
¦АТ
аЛ
—¦ кольцевым мономорфизмом. В дальнейшем предполагается, что
А ? АТ и /д является включением.
Обозначим через С (А Т) категорию, объектами которой являют-
являются упорядоченные тройки (/, g, R), где R — кольцо, /: А -> R —
гомоморфизм колец, g: T ->- R — гомоморфизм моноидов, та-
такие, что образы морфизмов fug коммутируют, т. е. f (a) g (t) =
= g (t) f (а) для всех а ? A, t 6 Т. Морфизм между этим и другим
объектом (/', g', R') этой категории есть кольцевой гомоморфизм
h: R —>~ R', такой, что диаграммы
-*- R
коммутативны. Тогда (/А, /т, АТ) —левый нуль категории С (АТ),
называемый полу групповым кольцом полугруппы Т над
кольцом А и обозначаемый через АТ. Если А — коммутативное
кольцо, то АТ — алгебра относительно вложения fA, называемая
полугрупповой алгеброй над кольцом А. Если Т —
группа, то соответственно вводятся понятия группового коль-
кольца и групповой алгебры.
Доказательство.
Чтобы проверить закон дистрибутивности, положим S = С/jJ У
для подмножеств U и V. Тогда
B аи") B м)+B-v;) B ад =
u?U t?T t)?V t?T
= 2
ut=h
= 2
st=r
B
u?[7
2 avhq =
2 a^J btt,
что доказывает один закон дистрибутивности. Второй закон дистри-
дистрибутивности есть следствие симметрии в определении умножения.

364 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Ассоциативность:
B ass 2 btt)
?S iT
= B
st=h
s?S, t?
2j
S?S, t?T,
B си») =
asbtcustu.
Ассоциативность умножения в AT вытекает из симметричности
его определения и ассоциативности умножения в А и Т. Это
доказывает, что AT — кольцо. Если (/, g, R) — объект категории
С (AT), то кольцевой гомоморфизм /: А -*¦ R превращает R в при-
притягивающий левый 4-модуль и существует морфизм h: AT ->¦ R
в категории Л-mod
R
h
f(a.)g(s),
который, очевидно, является также гомоморфизмом колец. Кроме
того, (/А, /г, AT) — левый нуль категории С (AT). ?
Упражнение.
Какие свойства кольца А наследуются кольцом AG, если
G — конечная группа? Как обстоит, например, с классической
полупростотой, самоинъективностью и т. д.? (См. 13 26 )
Пусть 4-GROUP RINGS (A-MONOID RINGS) - категория,
объектами которой являются кольца AG, где G — группа (моноид),
а морфизмы /: AS —>~ AG определяются как кольцевые гомомор-
гомоморфизмы, такие, что
/ (ах) = а/ (х) для любого а 6 А.
Так же как в предложении о полугрупповом кольце, любой мор-
морфизм /: AS -» AG категории 4-GROUP RINGS D-M0N0ID
RINGS) индуцирует гомоморфизмы /А: А->¦ AG т. fG: S ->- AG,
и (/a. /g. AG) — объект категории С E)
5.74. Теорема о свободном (полу)групповом кольце.
5.74.1. Пусть А — кольцо. Забывающий функтор
4-GROUP (MONOID) RINGS - SETS
обладает сопряженным слева функтором
f SETS ~ Л-GROUP (MONOID) RINGS
I St-+A[S],
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
365
где через [S] обозначена свободная группа (моноид) над S, через
A [S] — (полу)групповое кольцо над А, а диаграмма
где наклонные стрелки означают канонические вложения, коммута-
коммутативна. Тогда S\—*¦ A [S\ называется кольцом некомму татив-
ныхмногочленов от переменных(илинеизвестных)из
S. Когда кольцо А коммутативно, то S ->- A [S] определяет
функтор свободы для категории алгебр и A IS] называется сво-
свободной алгеброй над кольцом А на множестве S.
5.74.2. Пусть А — любое кольцо (коммутативное или неком-
некоммутативное). Обозначим через A-ABEL GROUP (MONOID) RINGS
полную подкатегорию категории 4-GROUP (MONOID) RINGS,
состоящую из объектов AG, где G — абелева группа (моноид).
Забывающий функтор
4-ABEL GROUP (MONOID) RINGS - SETS
обладает сопряженным слева функтором
SETS - 4-ABEL GROUP (MONOID) RINGS
где [S]c — свободная над S коммутативная группа (моноид),
a S н-»• A [S]c — произведение канонических вложений S -*¦ [S]c
и [S]c -*- A [S]c. В случае когда нет опасности путаницы, будем
писать A [S] вместо A [S]c. Этоколъцо называется кольцом мно-
многочленов от (коммутирующих) переменных (или не-
неизвестных) из S.
Доказательство. Сопряженный слева к указанному
забывающему функтору обладает тем свойством, что для каждого
множества S и отображения t: S —*- AG множества S в групповое
кольцо, коммутирующего с каноническим вложением А ->- AG,
существует единственный морфизм h: A [S] —>¦ AG категории
Л-GROUP (MONOID) RINGS, такой, что диаграмма

366 Ч. Т. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
367
коммутативна. На самом деле h — морфизм, канонически опреде-
определенный 15-(полу)групповым кольцом A [S], такой, что диаграмма
где t и оба отображения в горизонтальной строке канонические,
коммутативна. Это доказывает существование. Если кольцо А
коммутативно и А —у R — алгебра, обозначим через А' образ
отображения А -у R. Если t: S -> R — отображение, то t ком-
коммутирует с каноническим вложением А' -у R и, таким образом,
существует единственный морфизм h: A [S] —*- R, для которого
диаграмма
Таким образом, каждая алгебра изоморфна факторкольцу
(факторалгебре) свободной алгебры.
5.76. Теорема. Категории GROUPS, RINGS и k-ALG для
любого коммутативного кольца к обладают бипроизведениями.
Доказательство. Забывающий функтор RINGS ~*
~*Z-ALG является эквивалентностью категорий, так как он вполне
унивалентен и представителен B.2). Следовательно, для катего-
категории RINGS теорема вытекает из теоремы для /c-ALG. Функтор
свободы
F: SETS - k-ALG
(который существует ввиду 5.74) сопряжен слева к забывающему
функтору
A:-ALG - SETS
и, следовательно, ввиду 5.44, сохраняет копроизведения. Пусть
где горизонтальное отображение каноническое, коммутативна,
т. е. 5 —у A [S] — свободная алгебра над S. Это заканчивает
доказательство 5.74.1, а 5.74.2 доказывается аналогично. ?
5.75. Следствие и определение. Если А есть k-алгебра и S —
подпространство к-алгебры А, то подалгебра (S), порожденная
множеством S, есть образ канонического гомоморфизма k [S] -> А
свободной алгебры к [S], индуцированного включением S -> А. Если
А = (S), то существует точная последовательность
0-yA-yklS]
¦о,
где А— ядро гомоморфизма k [S] —у А. Если Д — идеал алгебры
к [S], порожденный элементами {rq}q^Q, то говорят, что А —
алгебра с системой образующих S и определяющи-
определяющими соотношениями {rq = 0}. Тогда пару (S | А) называют
представлением алгебры А.
Доказательство. Пусть В — образ канонического го-
гомоморфизма к [S] -у A, a g: k[S]-y В — индуцированное отобра-
отображение. Так как отображение S -> к [S] пропускается через вклю-
включение g-1 (S) -у к [S], то из теоремы 2.7 о свободном объекте сле-
следует, что g--1 (S) ¦= к [S] и, значит, В = (S). О
— свободное объединение объектов в категории множеств. Тогда
{щ: FiS^FdlS^x
— копроизведение в категории /c-ALG, где щ = F (tt) для всех
i 6 /• Положим R = F (\\ St), и пусть St есть А;-алгебра с пред-
ставлением (St I А,), А — идеал кольца R, порожденный U Ui (Аг),
а /г: St^y S = R/A для любого i g / — произведение
St -> F (Si) Д R Л#/Д = S,
где а — канонический морфизм. Тогда {ft: S{ —у S}i^i — копроиз-
копроизведение в категории /c-ALG, так как если {gt: St—y A} — произ-
произвольное семейство морфизмов категории k-ALG, то существует
коммутативная диаграмма

368
Ч- /• Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
369
где все необозначенные отображения и pt канонические, р озна-
означает гомоморфизм представления F (St) -> St, vt: St —> F Eг)/(Дг)
— изоморфизм, индуцированный гомоморфизмом р, ht = g^i1,
a g индуцирован гомоморфизмом h. Диаграмма показывает, что
ker h содержит образ идеала Аг при любом гомоморфизме U;.
Поскольку в этом случае ker h содержит А, то h индуцирует
отображение g: S-*-A, такое, что gft = gt для любого i 6/,
и g — единственный гомоморфизм с этим свойством. Для кате-
категории GROUPS доказательство проводится точно так же с естест-
естественной заменой идеала нормальной подгруппой. ?
5.77. Следствие. Категория 4-GR0UP3 (MONOIDS) RINGS
обладает ко произведениями. Пусть {ut: St —»- G};g/ —копроизведение
в категории GROUPS (MONOIDS). Тогда {ft: ASt -^AG}i?I —
копроизведение в категории 4-GROUP (MONOID) RINGS, где
fi — единственный морфизм категории С (ASi) (см. 5.73), опреде-
определенный каноническими вложениями А —*- ASt и м;: 5; —>- С?. Таким
образом,
i?I
— изоморфизм в категории 4-GROUP (MONOID) RINGS.
Доказательство. Копроизведение
семейства морфизмов {fi}tei существует в категории RINGS,
ввиду 5.76, и / сюръективно, так как G = [\ Si и А порождает
AG. Пусть g: AG -> Jj ASt —единственный морфизм, индуци-
рованный вложением А -*¦ В = [] ASt и копроизведением G->- В
вложений {St —*- 5},ej, индуцированных вложениями
{ASt -> B}iei. Тогда gf = 1 на образах канонических инъекций
ASt -*¦ В, значит, gf = 1 в. Аналогично, fg = iAG- ?
5.78. Следствие. Если А — кольцо, а X и Y — непересекаю-
непересекающиеся множества, то существует единственный изоморфизм
h: A [X][Y]^A [Y)[X],
такой, что диаграмма
AIXIY] ¦
>л тип
коммутативна. Здесь f — единственный морфизм категории
С (А [X] [Y]), определенный каноническими инъекциями
П: А [X] -> А [X Ц Y]
и
/2: [У] -> А [X П У],
a g определяется аналогично. Это справедливо также для комму-
коммутирующих переменных.
Доказательство. Гомоморфизм / (соотв. g) является
копроизведением в категории колец морфизма Д и канонической
инъекции
так как
gl: A[Y]-+A [X\\Y],
\А [Х]Д A[Y]taA [X] ]} [Y] « А [X Ц У].
Первая эквивалентность существует ввиду 5.77, а вторая — так
как свободная группа (моноид) над свободным объединением двух
множеств эквивалентна копроизведению свободных групп (мо-
(моноидов) над множествами, т. е. [X] JJ [Y] ?» [X JJ У] в категории
GROUPS (MONOIDS), что индуцирует последнюю эквивалент-
эквивалентность.
Для множества S = {у1: . . ., уп} и кольца А символ
A [yi, . . ., уп] будет означать кольцо многочленов над А от ком-
коммутирующих переменных уи . . ., уп. Каждый элемент из .4-полу-
.4-полугруппового кольца А [х] имеет единственное представление в виде
2 atx\
где аг ? А и а% = 0 почти для всех i ? ш. Более того, каждый
элемент в Л-групповом кольце А [х] имеет единственное пред-
представление
где только конечное число а% отлично от 0. Таким образом,
Л-групповое кольцо А [х] изоморфно Л-полугрупповому кольцу
А [х, у] х). Это следует из того, что Z = N [J (— N) [J {0} и
I Л l^J ~ AL ,^ ^/11^; 1^1 ~ Л [X] IJ/J ^. Л [X, у\
{ atjxl->>-
J) Здесь [х, у] — моноид с двумя образующими и соотношениями ху-
= ух = 1.— Прим. перев.
24 к. Фейс

370 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
является изоморфизмом. Чтобы избежать путаницы, групповое
кольцо свободной циклической группы с образующим х будем
обозначать через А [х, х-1], т. е. переменное у заменяется его
образом х-1 при обратном к только что определенному изомор-
изоморфизму.
Упражнения к гл. 5
1. Если S — множество и А — кольцо, то факторкольцо сво-
свободного полугруппового кольца A [S] по идеалу СОМ 5, порож-
порожденному множеством коммутаторов
{Is, t] = st — ts\s,teS},
есть кольцо многочленов от коммутирующих переменных из S и
S -> A [S] -> А [ЩСОМ S)
является вложением.
2. Для любого множества S кольцо A [S] коммутативных мно-
многочленов над S является областью целостности, если А — область
целостности, и тогда оно совпадает с кольцом многочленов от ком-
коммутирующих переменных.
3 (Кон [64b]). (а) Показать, что для множества S = {х, у),
состоящего из двух элементов, и поля А подалгебра В алгебры
А [х, у], порожденная всеми коммутаторами, не может быть сво-
свободной алгеброй.
(b) Если / — идеал свободной алгебры A [S] ранга > 1 и если /
порождает подалгебру В =^ A IS], то В не может быть свободной
алгеброй.
(c) Если А — поле и А [х] — кольцо многочленов ранга 1,
то подалгебра В кольца А [х] свободна тогда и только тогда,
когда она целозамкнута в своем поле частных, например подалгеб-
подалгебра, порожденная х2 и Xs, не свободна.
4 (Кон [64Ь]). Пусть А — поле. Свободная Л-алгебра не более
чем счетного ранга может быть вложена в свободную 4-алгебру
ранга 2.
5 (Ятегаонкар [69а]). Если центральная алгебра А является
правой, но не левой областью Оре, то она содержит подалгебру,
являющуюся свободной алгеброй ранга 2, и, значит, в силу упраж-
упражнения 4 содержит свободную алгебру несчетного ранга.
*6 (а) (Хохшильд [58]). Для любого коммутативного кольца к
и множества S глобальная размерность полугруппового кольца
к [S] на 1 больше глобальной размерности кольца к. Если к —
поле, то любой правый идеал кольца к IS] проективен. (Определе-
(Определения и случай свободной коммутативной алгебры над к см. в гл. 8.)
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
371
(Ь) (Кон [64а]). Кольцо R называется правым FI-кольцом,
если R есть IBN-область, а каждый его правый идеал является
свободным модулем. Для любого поля свободная алгебра k [S]
над любым множеством S, а также групповая алгебра к (S) над
свободной группой (S) на множестве S являются левыми и пра-
правыми FI-кольцами.
7. Групповое кольцо ZG называется целочисленным групповым
кольцом группы G. Показать, что для конечной группы G
(a) J.G не имеет идемпотентов, отличных от нуля и единицы.
(b) Каждый проективный модуль над ~LG свободен.
(c) Для любого множества S проективные модули над целочис-
целочисленным групповым кольцом свободной над S группы свободны.
(Это справедливо также для свободного группового кольца над
любым коммутативным кольцом главных идеалов; см. Басе [64].)
8. Пусть А и В являются /с-алгебрами. Тогда произведение
.А;-»- А X В
В,
где к -> А X В диагонально, а. А X В -> А <8> В — каноническое
вложение, является /с-алгеброй относительно группового сложе-
сложения и следующего умножения:
Отображение
является каноническим гомоморфизмом.
9. Для /с-алгебры А и группы G отображение
А X kG-+ AG,
переводящее (a, h) в ah для любых a 6 А, h ? kG, сбалансировано
над к, и канонический морфизм
А ® kG-+AG
h
является изоморфизмом колец.
10. Доказать, что в категории COM /b-ALG над полем й- кано-
канонические гомоморфизмы 4->4 ®? и B->-i 0B определяют
h h
копроизведение. Верно ли это для произвольного коммутативно-
коммутативного кольца к?
11. (Ауслендер — Голдман [60]). Пусть А есть R-модулъ
и S = End AR.
24*

372 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
(a) Тогда имеет место коммутативная диаграмма
Ногпя(ДЯ)®Л — *¦ Ноте
•с = ( . ) ц=[ , ]
k ЕпсЦЛ
где к — канонический гомоморфизм, [х = [ , ]: Нотд (A, S) ®
s
® А —у Ends А определено правилом
8 . ц (/ <8» а) (Ь) = а/ F)
5ля любых a, b ? А, /6 Homs (-4, 5),
г|э: Нотн D, i?) -> Homs D, 5)
— правилом
¦ф (/) (а) = Iх (/ ® а)
¦для всех а ? А и
т = ( , ): Нотн (Л, R) ® Л -»- Д
s
— правилом
т (/ ® а) = / (а)
для любых f ? Нот.д (Л, /?), а ? Л.
(b) Образом отображения т является идеал следа tvR А и
tvRA • annH А = 0.
(c) #слц trH Л + аппд'-А = Д» то М- оказывается эпиморфиз-
эпиморфизмом, а А — конечно порожденным проективным S-модулем. В этом
случае последовательность
О -*- annR A ->¦ R -*- Ends A -> О
»jW,S)®>4
(d) ?сли .AR — образующий, то отображения т, ц, лр и. /п. 5.
«з (а) являются изоморфизмами.
Замечания к гл. 5
Теория сопряженных функторов была построена Каном [58],
который впервые установил соответствие между функтором тен-
тензорного умножения и функтором Нош (возможно, этим объяс-
объясняется таинственное отсутствие одного из этих функторов в раз-
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры
373
витии некоторых математических идей!). Уотс [60] охарактери-
охарактеризовал функторы со значениями в категории модулей, обладающие
сопряженными (см. 5.56—7). Эта характеризация описывает также
непрерывные функторы (ср. 12.9 и Эйленберг [60]). Фрейд [62]
нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы функ-
функтор обладал левым сопряженным.
Ссылки
Габриель [62], Габриель — Цисман [71], Гротендик [57], Кан
[58], Кон [64а, 64Ь],Ламбек [64а], Маклейн [66], Митчелл [65],
Морита [58], Попеску — Габриель [64], Уотс [60], Фрейд [62],
Хохшильд [58], Эйленберг [60], Ятегаонкар [69а].

Гл. 6. Абелевы категории
375
Глава 6
АБЕЛЕВЫ КАТЕГОРИИ
Точная аддитивная категория называется абелевой F.1).
Если С — абелева категория, то для любой (малой) категории L
категория CL также абелева. Кроме того, категория CL наследует
следующие свойства категории С (предложение 6.17): A) конеч-
конечную полноту; B) существование (конечных) произведений; C) суще-
существование ядер и уравнителей; D) существование образов, сумм
или (конечных) пересечений; E) нормальность и существование
коядер; F) аддитивность; G) точность; (8) абелевость; (9) точ-
точность и локальную малость (в предположении, что категория L
мала). Более того, категория CL имеет точные прямые пределы,
если их имеет категория С (предложение 6.25). (Ср. также
упр. 6.13.) В этом случае прямой предел lim F (X) любого семей-
•ЗГ?М
ства {F (Х)}Х?М точных (слева) функторов является точным сле-
слева функтором L ~-> С (следствие 6.24). Отсюда вытекает, что для
любого кольца R прямой предел направленного семейства плоских
модулей в категории mod-/? является плоским модулем. Копредел
функторов, сохраняющих копределы, всегда сохраняет копреде-
копределы F.22).
Для любой категории С функтор представления Н: С°р ~*
~* SETSC сохраняет пределы F.23), и если категория С аддитив-
аддитивна, то функтор Н индуцирует полное вложение С°р ~> (mod-Z)c
F.21). Если вдобавок категория С мала, то функтор Н (А*) = hA
является^ малым проективным объектом в Adfunct (С, mod-Z),
а функтор G= П hA является вложением L ~» mod-Z.
лес
Кроме того, функтор [G, ] является точным вложением
Adfunct (С, mod-Z) ~ mod-Z (см. 6.20 и 6.23). (Ср. с теоремой
14.21 о точном вложении.)
6.1. Предложение и определение. Категория С называется
абелевой, еслиона удовлетворяет любому из следующих условий
I, II, III и IV, которые эквивалентны друг другу:
I
(АЬ 1) Каждый морфизм категории С имеет ядро и коядро.
(АЬ 2) С — нормальная конормалъная аддитивная категория
{таким образом, каждый мономорфизм (эпиморфизм) является
ядром (коядром) некоторого морфизма].
(АЬ 3) Каждый морфизм категории С разлагается в произве-
произведение эпиморфизма и мономорфизма. (Это разложение однозначно
с точностью до эквивалентности эпиморфизмов и мономорфизмов;
ср. 5.25.)
II
Категория С точна и аддитивна.
III
Категория С нормальна, конормалъна, аддитивна и обладает
расслоенными произведениями и расслоенными копроизведениями
(см. 5.8.5).
IV
Категория С нормальна, конормалъна, аддитивна и обладает
ядрами и коядрами.
Доказательство. Если в (АЬ 2) убрать слово «адди-
«аддитивная», то условие I превращается в определение точной кате-
категории (стр. 321). Таким образом, 1<й?-П.
II =4- III. Любая категория с конечными произведениями
и ядрами является конечно полной и, следовательно, обладает
расслоенными произведениями. Так как любая аддитивная кате-
категория имеет конечные копроизведения, то из условия II следует
существование в С расслоенных копроизведений. Следовательно,
11=*-III.
Импликация III =ф IV тривиальна. Допустим теперь, что
выполнено условие IV. Любая аддитивная категория с ядрами
обладает уравнителями, и поэтому, ввиду 5.25.2, категория С
точна. Итак, IV => П. Q
6.2. Упражнения.
6.2.1 (Фрейд [62]). Категория С абелева, если она удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям:
Ао. Категория С имеет нулевой объект.
Ах. Каждая пара объектов обладает произведением.
А*. Каждая пара объектов обладает копроизведением.
А2. Каждый морфизм имеет ядро.
AS. Каждый морфизм имеет коядро.
А3. Каждый мономорфизм является ядром некоторого мор-
морфизма.
А*. Каждый эпиморфизм является коядром некоторого мор-
морфизма.
6.2.2 (Пуппе [67]). Рассмотрим следующие свойства катего-
категории С:

376 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
К: категория С имеет ядра.
N: каждый мономорфизм категории С является ядром неко-
некоторого морфизма.
Р: категория С'имеет конечные произведения.
Z: любой морфизм разлагается в произведение эпиморфизма
и мономорфизма (АЬ 3).
Обозначим через К*, N* и Р* условия, дуальные свойствам
К, N и Р соответственно. Показать, что аддитивная категория С
с нулевым объектом абелева тогда и только тогда, когда она
удовлетворяет какой-нибудь из следующих систем условий:
(I) P, К, К*, N, N*,
(I*) P*, К, К*, N, N*,
(II) Р, N, N*, Z,
(II*) Р*, N, N*, Z.
6.2.3. Если С — малая абелева категория, то категория
Funct (С, mod-Z) абелева.
6.2.4. Если С — произвольная абелева категория и F —
некоторое множество объектов категории С, то существует пол-
полная подкатегория F' категории С, являющаяся малой абелевой
категорией и такая, что F s Obj F'.
6.2.5. Пусть С"— некоторая полная подкатегория категории С
с нулевым объектом 0 и предположим, что 0 6 Obj С". Если F:
L ~* С— произвольный функтор, F': L ~* С — индуцированный
функтор и lim F' является объектом категории С', то lim F'=
l,c l,c
= lim F. Таким образом, если категория С имеет произведения
(ядра), а категория С" замкнута относительно произведений (соотв%
ядер) семейств ее морфизмов в том смысле, что для любого семей-
семейства морфизмов из С по крайней мере один объект, являющийся
произведением (или ядром) этого семейства в категории С, лежит
в С", та категория С" имеет произведения (соотв. ядра). Дуаль-
Дуальное утверждение справедливо для копределов. Следовательно,
если С — точная (или абелева) категория и подкатегория С"
замкнута относительно ядер и коядер (и конечных произведений),
то С" также точна (абелева).
6.2.6. Пусть в аддитивной категории дан квадрат
A)
Гл. 6. Абелевы категории
377
Рассмотрим морфизм X
физмов
Y, являющийся произведением мор-
морa Ax
где X -*- 4j© A 2 определен морфизмами gx и
морфизмами /х и —/2.
Доказать:
(a) Морфизм X -*- Y нулевой тогда и только тогда, когда квад-
квадрат S коммутативен.
(b) Последовательность 0-+ X -+ Аг® А2-+Y точна тогда
и только тогда, когда S является расслоенным произведением.
(c) Последовательность X-+Аг® A2-^Y-+0 точна тогда
и только тогда, когда S является расслоенным копроизведением.
6.2.7. Если категория абелева, квадрат S из предыдущего
упражнения декартов и А2->- Y — эпиморфизм, то X -> А4— также
эпиморфизм. Двойственным образом, для кодекартова квадрата,
если X -*- А 2 — мономорфизм, то At-*Y — также мономорфизм.
6.2.8. Если С — абелева категория и /: А -> В, g: В -> D —
морфизмы, то
(a) im / П ker g = / (кег gf),
(b) im / + кег g = g-l{im gf),
(c) coim g П сокег / = g'^coker gf),
(d) coim g + coker / = / (coim gf).
6.3. Предложение. Любая абелева категория С конечно полна
и конечно кополна. Кроме того, С полна (кополна) в том и только
том случае, когда С обладает произведениями (копроизведениями).
Доказательство. Ввиду 5.11, категория (конечно)
полна тогда и только тогда, когда она имеет конечные произведе-
произведения и ядра. Это и дуальное утверждения доказывают предло-
предложение. П
6.4. Предложение. Пусть С — абелева категория. Тогда спра-
справедливы следующие импликации:
(a) Если С имеет образующий, то кополнота категории влечет
за собой ее полноту.
(b) Если С имеет кообразующий, то полнота категории влечет
за собой ее кополноту.
Доказательство. Ввиду двойственности между ядра-
ядрами и коядрами, абелева категория оказывается локально малой
в том и только том случае, когда она колокальна мала. Таким обра-
образом, если категория С имеет образующий, то С локально и коло-
кально мала по 5.23. Так как категория С* имеет кообразующий,
то, ввиду 5.53, из кополноты категории С следует ее полнота.
Это доказывает (а). Свойство (Ь) устанавливается двойственным
рассуждением. ?

378 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Инъективно богатые категории
Если для каждого объекта А категории С существует инъек-
тивный объект Е и мономорфизм А -> Е, то говорят, что категория
С инъективно богата. Для абелевых категорий это эквивалентно
существованию точной последовательности 0 —у А —>¦ Е, в которой
Е — инъективный объект.
6.5. Предложение. Если С — абелева категория с образующим
U и {U/Ki}i?i — семейство представителей всех классов эквива-
эквивалентных фактор объектов объекта U, то инъективный объект
W, содержащий для всех i ? / в качестве подобъектов объекты
UlKi, является кообразующим категории С.
Доказательство. Достаточно повторить доказатель-
доказательство соответствующего результата 3.31 для категорий модульно-
модульного типа. ?
6.6. Следствие. Инъективно богатая абелева категория С
с образующим является кополной тогда и только тогда, когда она
полна. Если это так, то С имеет инъективный кообразующий.
Доказательство. Полнота следует из кополноты
(без предположения о том, что С инъективно богата), ввиду импли-
импликации (а) предложения 6.4. Обратно, если С — полная категория,
то существует инъективный объект W, удовлетворяющий услови-
условиям последнего предложения; именно, если последовательность
О -> UlKi —*¦ Ei точна и объект Et инъективен, то в качестве W
можно взять произведение W = [J Et. Поскольку в этом случае
для каждого i ? / каноническая инъекция Ег —
мономорфизм UlKi -*" W, объект W является
ввиду предложения 6.5. ?
• W индуцирует
кообразующим,
Гл. 6. Абелевы категории
379
6.7. Упражнения.
6.7.1. Если С — произвольная абелева категория, то объект А
категории С проективен (инъективен) тогда и только тогда, когда
функтор hA (соотв. hA) со значениями в категории абелевых групп
является точным.
6.7.2. Если С — произвольная абелева категория, то любой
ретракт проективного объекта А проективен и каждый эпимор-
эпиморфизм X -»- А расщепляется.
6.7.3. В любой категории С копроизведение проективных
объектов проективно. Если категория С имеет нуль и {A^icz —
произвольное семейство объектов из С, то копроизведение \\ At
проективно тогда и только тогда, когда объекты At для всех i 6 /
проективны.
Пусть С — категория. Говорят, что С проективно богата, если
для каждого объекта X существует проективный объект Р и эпи-
эпиморфизм Р ->¦ X.
6.8. Предложение.
6.8.1. Если категория С проективно богата или является абеле-
абелевой, то объект А проективен тогда и только тогда, когда каждый
эпиморфизм X —*¦ А расщепляется.
6.8.2. Если категория С с проективным образующим U имеет
копроизведения, то объект А проективен тогда и только тогда,
когда для некоторого множества I существует ретракция [Л7>-*- А.
Доказательство 6.8.1.'Необходимость условия—след-
условия—следствие упр. 6.7.2. Докажем достаточность. Если категория С проек-
проективно богата, то это также — следствие упр. 6.7.2. Если же кате-
категория С абелева, то для любых эпиморфизма X —*- Y и морфизма
А —v Y расслоенное произведение
определяет отображение В-*-А, являющееся эпиморфизмом
в силу упр. 6.2.7. Тогда по условию (А -у В ->¦ А) = 1А для
некоторого А -+ В и поэтому
(Л _>. В -у X -> Y) = (А -у В -у А -у Y) = (А -»- У),
т. е. А —у Y пропускается через X —у Y.
Доказательство 6.8.2. Любая категория с проектив-
проективным образующим проективно богата ввиду 3.25. ?
6.9. Предложение. Если С и D — абелевы категории, то полу-
полуточный функтор Т: С ~* D аддитивен.
Доказательство. Ввиду 3.38 функтор Т из аддитив-
аддитивной категории в аддитивную категорию аддитивен тогда и только
тогда, когда он сохраняет конечные копроизведения. Но в силу
3.35 любой полуточный функтор из точной аддитивной (абелевой)
категории в точную аддитивную (абелеву) категорию сохраняет
копроизведения. ?
6.10. Предложение. Если категории С и D абелевы, то точный
функтор Т: С ~» D является унивалентным, если он сохраняет
ненулевые объекты (т. е. переводит ненулевые объекты в нену-
ненулевые).

380 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство. Так как категории Си/) аддитив-
аддитивны, а из предложения 6.9 вытекает аддитивность функтора Т, то
унивалентность функтора Т имеет место тогда и только тогда,
когда он сохраняет ненулевые морфизмы. Предположим теперь,
что Т (/) = 0 для некоторого морфизма /: А -> В. Из точности
функтора Т следует, что Т (im /) = im Tf = 0; поэтому im / = 0,
так как по условию Т сохраняет ненулевые объекты. Но тогда
/ = 0, и, таким образом, Т сохраняет ненулевые морфизмы. ?
6.11. Предложение. Для функтора У: С ~* D из абелевой кате-
категории в абелеву категорию следующие условия эквивалентны:
(a) Т сохраняет конечные пределы.
(b) T точен слева.
(c) У сохраняет конечные произведения и ядра.
Доказательство. Ввиду 5.39, (а) <=?> (с), а ввиду
5.26, (с)=МЬ).
Предположим далее, что условие (Ь) выполнено. Тогда функтор
У, согласно 6.9, аддитивен и поэтому У сохраняет конечные про-
произведения в силу 3.38. Итак, (Ь) =?> (с). ?
6.12. Предложение. Пусть С — полная абелева категория.
Тогда следующие свойства функтора Т: С ~* D эквивалентны:
(a) У сохраняет пределы.
(b) У сохраняет произведения и ядра.
Доказательство. См. 5.39. ?
6.13. yfn ражнения.
*6.13.1. Для произвольных категорий С и D функтор S: D ~+ С
является сопряженным слева к функтору У: С ~» D тогда и только
тогда, когда существуют морфизмы функторов Ф: iD—*-TS и Ч*":
ST —>¦ 1С\ такие, что
(a) (УЧО (ФУ) - 1Г
или, эквивалентно, У (Ч*^) ФТХ — 1гх Для каждого объекта
X категории С и
(b) Wsy S (ФУ) = Uy]
для каждого объекта Y категории D. [Ср. 5.68 A).]
6.13.2. Если (S, У) — сопряженная пара для абелевых кате-
категорий и функтор S точен, то У сохраняет инъективные объекты.
Обратно, если функтор У: С ~* D сохраняет инъективные объек-
объекты, а категория С инъективно богата, то функтор S: D ~» С точен.
6.13.3. Пусть С — абелева категория. Говорят, что С имеет
точные прямые пределы, если для каждого направленного мно-
множества / функтор копредела С1 ~» С является точным.
Гл. 6. Абелевы категории
381
(a) Если С — кополная абелева категория с точными прямыми
пределами, то С удовлетворяет следующему условию: для каж-
каждого направленного семейства {.А;}^ лодобъектов объекта А
и каждого подобъекта В объекта А справедливо соотношение
EМ0 пя= 2 И* пву
Кополная категория С, удовлетворяющая этому условию,
называется АВ 5-категорией.
(b) В кополной АВ 5-категории существуют точные прямые
пределы.
Категории функторов
6.14. Предложение. Пусть L, М и С — категории. Тогда имеют
место канонические эквивалентности
,ЬЛМ Н rMXL g xpM,L
где, например,
<2)
[CLf
h (F) (X, Y) = F (X) (Y)
для всех X 60bj M, Y ? Obj L и морфизмов или объектов F кате-
категории [CL]M. Эквивалентность
C) gh I [C ] ~ [C ]
\ F \-+ F' (на объектах и морфизмах)
такова, что
D) F'(Y) (X) = h (F) (X, Y) = F (X) (Y)
для всех объектов и морфизмов Y категории L и всех объектов и
морфизмов X категории М. Кроме того,
E) (
м, cL
для всех y^objL, откуда
F)
-с
м,<
. С
х) Если правая часть определена.— Прим. перев.
2) Здесь в левой части записано произведение функторов, в то время
как в правой—значение функтора lim на объекте F'. — Прим. перев.
м,с

382 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
для всех F?Obj[CL]M, где lim — функтор, индуцированный пре-
м, с
дельным функтором lim: CM ~ С. Более того, диаграмма
м,с
[CL]
м
Нтп
L,CM
lim
AfxlC
lim
lim
¦CL-
Um
lim
lim
L,C
где отображение [CL]M -»- [CM]L естественное, коммутативна.
Доказательство. Ясно, что gh является эквивалент-
эквивалентностью тогда и только тогда, когда h и g — эквивалентно-
эквивалентности. Достаточно доказать, что, например, gh является функто-
функтором, так как обратный для него определяется равенством
((^)(Я)(Х))(У) = Н (У) (X).
Если t: X -у Хг — любой морфизм категории М и F f
в Obj [С*-]*, то F(t): F (X) -»- F (Zx) - естественное преобразо-
преобразование функторов из категории L в категорию С. Поэтому для лю-
любого морфизма s: Y —*-Y' категории L диаграмма
F(XHY)-
FiXXs)
F(Xi(s)
(8)
коммутативна. Морфизм F'(s) категории См определяется равен-
равенством F'(s) (X) = (F(X) (s). Таким образом, диаграмма
F'(Y№
FlYHt)
(8')
F\s)iX\)
Гл. 6. Абелевы категории
383
коммутативна и тем самым показано, что F'(s) — естественное
преобразование для любого морфизма s: Y —у Yx категории Lt
т. е. F'(s) — морфизм в См. Это доказывает, что F'—функтор,
т. е. является, как и утверждалось, объектом категории [CM]Lt
и что gh — эквивалентность с указанным выше обратным.
Если А — объект категории CL, F: M ~* CL — функтор в
если {А —>~ F (Х)}хеоъш — элемент категории compat F, то
предыдущая диаграммаХ) показывает, что для каждого Y ? Obj L
диаграмма
F\Y)(X)
A(Y)
коммутативна для всех морфизмов t: X —+¦ Хх категории М. По-
Поэтому для каждого Y семейство {A (Y) -у F'(Y) (Х)}х^оым
является элементом категории compat F'(Y). Пусть для каждого
Y 6 Obj L в категории compat F'(Y) имеется правый нуль
Н (Y). Тогда существует объект Н категории CL, который ставит
в соответствие каждому морфизму s: Y —>-Y1 категории L единст-
единственный морфизм Н (s): H (Y) —у Н {Y\j, такой, что диаграмма
H(Y)
H(s)
F\sW
¦FXYM)
коммутативна для любого X E
потому что семейство
{Н (У) -> F' (Y) (X)
j M. Морфизм Н (s) существует,
F' (У4) (Х)}хеОым,
как показывает диаграмма (8'), является элементом категории
compat F^Yj). Кроме того, для каждого X 6 Obj M определено
естественное преобразование функторов Н -у F (X), такое, что
семейство
{Н (Y) -у F (X) (У) = F' (У) (Х)}хсоым
1> И равенство D).— Прим. перев.

384 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
является финальным объектом категории compat F'(Y) для каж-
каждого У 6 Obj L. Таким образом, {Н -> F (X) }х?оы м — пра-
правый нуль категории compat F и, следовательно, Н = lim F.
M,CL
Другими словами,
(lim F) (У) = Я (У) = lim F' (У)
м, cL м, с
для^каждого У ? Obj L. Это доказывает коммутативность второго
квадрата диаграммы G), поскольку по определению (lim F') (Y) =
м,с
= lim F'(Y). Третий квадрат диаграммы коммутативен, так как
м,с
функтор lim сохраняет пределы. Далее, поскольку диаграмма
lim h(F)
MxL.C
коммутативна для любого морфизма (X, У) -»- (Хх, Ух) категории
М X L и
{ lim h(F)^h (F) (X, Y)}(
MY.L, С
— правый нуль категории compat h (F), то
lim h (F) ж lim lim F
LC L,CM<CL
Гл. 6. Абелевы категории
385
— эквивалентность, естественная по F. Поэтому первый квадрат
коммутативен. ?
6.15. Следствие. Пусть L, М и С — категории. Воспользуемся
обозначением lim G = lim G (i) для любого функтора G: I^*-D.
I,D i?l
Тогда для любого функтора F: М ¦—¦ CL
(limF(X)) (У) = lim F (X) (У). l)
Х?М ХМ
Кроме того, если Н (У), где Y — объект категории L, опреде-
определяется как такой объект категории С, что
Н (У) = (lim F) (У) = lim F' (У) = lim F (X) (У),
хем
то семейство канонических морфизмов {Н (У) -> F (X) (Y)}x?ObjM
является правым нулем категории compat F'(Y) и определяет,
объект
Н= limF
м, cL
категории CL.
Доказательство. Это следует из предложения 6.14 и
его доказательства. ?
6.16. Предложение. Для любой категории L следующие свойства
и дуальные им переносятся с категории С на категорию CL:
A) (конечная) полнота; B) существование (конечных или расслоен-
расслоенных) произведений; C) существование ядер или уравнителей; D) су-
существование образов, сумм или (конечных) пересечений; E) нормаль-
нормальность и существование коядер; F) аддитивность; G) точность;
(8) абелевость; (9) точность и локальная малость (в предположении,
что L — малая категория). Если категории С и L аддитивны, то
этими свойствами обладают также и категории Adfunct (L, С)*
если ими обладает С.
Доказательство. Формула E) предложения 6.14
определяет предел функтора F: M ~* CL поточечно через
пределы соответствующих функторов F'(Y): M ~* С. Таким обра-
образом, категория CL (конечно) полна,'если такой является категория
С, и, более того, CL обладает пределами функторов F: M ~> CL
всех тех типов, что и категория С. Итак, если категория С имеет
нулевой объект, то нулем категории CL является постоянный
функтор, принимающий на всех объектах категории L нулевое
значение. Аналогично, если С имеет (конечные) произведения, то
и CL имеет (конечные) произведения. Произведение [\ А (X) в
Х?М
категории CL является пределом функтора А: М <*+ CL, причем
А(Х))(У)= U А(Х)(У)= П A'(Y)(X)
¦ ХМ Х?М
Если правая часть определена.— Прим. перев.
для всех У 6 Obj L. Таким образом, если {^гЬег — семейство
объектов категории CL, то
(U Ft)(Y)=\\Ft(Y).
Свойства B) — D) наследуются категорией CL поточечно
(ср. стр. 391), а следующее предложение 6.17 устанавливает воз-
возможность перенесения свойства E). Если С аддитивна, то сложение
естественных преобразований определяет операцию в Мог CL,
относительно которой CL аддитивна. Если С — точная категория,
то эпиморфизмы (мономорфизмы) категории CL являются эпимор-
25 к. Фейс

386 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 6. Абелевы категории
387
физмами (мономорфизмами) на каждом объекте категории L ввиду
устанавливаемого ниже предложения 6.17, а каждый морфизм
категории CL поточечно разлагается в произведение эпимор-
эпиморфизма и мономорфизма, и притом единственным образом, поскольку
im / = ker (coker /) определяется поточечно. Поэтому CL—
точная категория. Это доказывает возможность перенесения
свойства G). Остается заметить, что свойство (8) следует из G)
и F). Приводимое ниже предложение достаточно для проверки
возможности перенесения свойства (9).
Если С и L — аддитивные категории, то предыдущие рассужде-
рассуждения остаются справедливыми для Adfunct (L, С). ?
6.17. Предложение.
6.17.1. Пусть L и С — такие категории, что мономорфизмы
категории CL поточечно являются мономорфизмами. Тогда
если категория С локально мала, a L — малая категория, то кате-
категория Сь локально мала.
6.17.2. Если мономорфизмы и эпиморфизмы категории Сь
поточечно являются мономорфизмами и эпиморфизмами
соответственно и категория С сбалансирована (или нормальна и
с коядрами), то CL также сбалансирована (или нормальна и с кояд-
коядрами).
6.17.3. Если С — категория с ядрами и любой морфизм /, для
которого ker / = 0, является мономорфизмом, то мономорфизмы
категории CL являются мономорфизмами на каждом объекте
категории L.
6.17.4. Если С — любая точная категория, то 6.17.1, 6.17.2
и 6.17.3 справедливы.
6.17.5. Любая аддитивная категория С с ядрами удовлетворяет
условиям утверждения 6.17.3 и поэтому для любой аддитивной
категории L категория Adfunct (L, С) удовлетворяет 6.17.3.
Кроме того, если вдобавок С — локально малая категория, то
Adfunct (L, С) также локально мала.
Доказательство 6.17.1. Если К ->• F — мономорфизм
в CL, то по предположению К (А) -> F (А) — мономорфизм в С
для любого А 6 Obj L. Поэтому класс S представителей подобъе-
ктов объекта F в категории CL является множеством и существует
вложение множества S в декартово произведение семейства
Доказательство 6.17.2. Мономорфизмы и эпимор-
эпиморфизмы категории CL являются мономорфизмами и эпиморфизмами
на каждом объекте категории L. Следовательно, если / — моно-
мономорфизм и эпиморфизм в CL, то / является эквивалентностью на
каждом объекте категории L. Поэтому категория CL сбалансиро-
сбалансирована.
Пусть теперь С — нормальная категория с коядрами, /: F —>-
-> G — мономорфизм категории Сь и g (A): G (А) —>- Q (А) —
коядро морфизма f (A): F (А) -> G (А)' для всех А 6 Obj L.
Если t: А -у В — произвольный морфизм в L, то
g(B)f(B) = 0 = g (В) / (В) F(f) = g (В) G (t) / (A).
Поскольку coker / (.4) = g (А), то существует канонический
морфизм Q (t): Q (А) -»- Q (В), такой, что диаграмма
коммутативна. Таким образом, если t'\ В
категории L, то
В'— другой морфизм
Q (ft) g(A) =
(В') G (ft) = [g (В1) G (f)} G (t) =
= [Q (f) g (B)} G (t) =
= Q (O [g (B) G (t)] =
= Q (f) [Q (t) g (A)],
откуда, ввиду того что g (A) — эпиморфизм, следует Q (ft) =
= Q (f) Q (*)• Поэтому определен функтор Q: L <— С, приписы-
приписывающий каждому объекту или морфизму h категории L значение
Q (К), а диаграмма показывает, что отображение, приписывающее
каждому объекту А категории L значение g (А), является есте-
естественным преобразованием g: G-+Q. Кроме того, в силу 5.17 /:
F —> G (поточечно) является ядром естественного преобра-
преобразования g: G-> Q. Это доказывает нормальность категории CL.
Доказательство 6.17.3. Если / — мономорфизм кате-
категории С1-, то ker / = 0. По условию категория С имеет ядра.
В силу E) из 6.14 ядра в CL определяются поточечно. Следо-
Следовательно, ker / (А) = 0 для всех А 6 Obj L. Поэтому / (А) —
мономорфизмы.
Доказательств о 6.17.4. Ввиду 5.24 морфизм /: А -*-
-*- В в произвольной точной категории является мономорфизмом
тогда и только тогда, когда ker / = 0. Дуальное утверждение
справедливо для эпиморфизмов.
25*

388 Ч. I. Полугруппа, моцоид, группа, категория, кольцо и модуль
Доказательство 6.17.5. Если кег / = 0 в аддитивной
категории С, то из равенства fk = fq для морфизмов кш q вытекает,
что f (к — q) = О, откуда к = q, и, следовательно, / — мономор-
мономорфизм. Поэтому имеют место утверждения 6.17.1 и 6.17.3. Доказа-
Доказательство того, что категория CL локально мала, годится и для
доказательства того, что категория Adfunct (L, С) локально мала
в случае, когда L является малой аддитивной категорией. ?
Для удобства категория Funct (L, С) — CL будет обозначаться
также через [CL] или [L, С].
6.18. Следствие. Если L, М и С — аддитивные категории, то
полная подкатегория (L, С) категории CL, состоящая из всех
аддитивных функторов L ~+ С, является аддитивной катего-
категорией, обозначаемой также через (CL) или Adfunct (L, С). Предло-
Предложения 6.14 и 6.16 с заменой [CM]L на ((CM)L) = Adfunct (L, См),
CMxL на (CMxL) и т. д. становятся справедливыми для адди-
аддитивных категорий и аддитивных функторов. Таким образом, Km
ь,с
является аддитивным функтором, и если F: M ~* CL — аддитив-
аддитивный функтор, то F': L ~* См и lim F аддитивны. В частности,
m.cL
если категория С имеет одно из перечисленных в предложении 6.16
свойств, то тем же свойством обладает и категория (CL). Итак,
(CL) — абелева категория, если категория С абелева. Наконец,
категория Sex (L, С) точных слева функторов L ~* С, где L и С —
абелевы категории, является абелевой.
Доказательство. Ввиду 3.38 любой функтор из адди-
аддитивной категории в аддитивную категорию, сохраняющий пределы,
является аддитивным, так как он сохраняет (конечные) произве-
произведения. Таким образом, lim — аддитивный функтор для любых
ь,с
аддитивных категорий L и С, поскольку функтор предела сохра-
сохраняет пределы в силу 5.43. Поэтому доказательства предложений
6.14, 6.16 и следствия 6.15 годятся для доказательства всех утвер-
утверждений следствия, кроме последнего, которое остается в качестве
упражнения. (Ср. упражнения в конце главы.) ?
6.19. Упражнения.
.6.19.1. Вопрос: если С — инъективно богатая абелева катего-
категория, а категория L мала, то будет ли инъективно богатой категория
CL? (Gp. AB 5-категории, гл. 14.)
* 6.19.2. (См. 6.13.) Кополная абелева категория С с точными
прямыми пределами и образующим инъективно богата. В случае
когда С = mod-Z, этим же свойством обладает и категория CL для
любой малой абелевой категорди L.
Гл. в. Абелевы. категории
389
6.19.3. (а) Если С — абелева категория с точными прямыми
пределами и L — направленное множество, то с (Е) — инъектив-
ный объект категории CL всякий раз, когда Е — инъективный
объект категории С. Обратно, если С инъективно богата, это
последнее условие (сохранение инъективных объектов) влечет
за собой точность функтора копредела CL ~* С.
(Ь) Привести пример, показывающий, что даже при наличии
в категории С точных прямых пределов, функтор копредела СА ~*
~* С не обязан быть точным для произвольной малой категории А.
(Указание: показать, что функтор коядра1}) не обязательно точен.)
6.19.4. Показать, что mod-i? » Adfunct (R, mod-Z) для любого
кольца R.
6.19.5. В качестве частного случая вывести из 6.18, что любой
предел правых .й-модулей равен пределу, вычисленному в кате*
гории абелевых групп и снабженному «унаследованной» структу-
структурой Л-модуля.
6.20. Предложение (Йонеда [54]). Для любой категории L и
любого ее объекта А функтор
SETSL
F*
SETS
• [hA, F]
FA
сохраняет пределы и копределы. Если L — малая категория, то
G = \\ hA является образующим категории SETSL и вложением
A?Obj L
G: L ~* SETS.
Если L — малая аддитивная категория, то hA —малый прое-
проективный объект категории Adfunct (L, mod-Z) uG: L ~* mod-Z —
вложение, а функтор
[G, ]: Adfunct (L, mod-Z) ~- mod-Z
является точным вложением.
Доказательство. В силу 2.3 функция Йонеды
является биективной и естественной по А и F, и для любого есте-
естественного преобразования f: F -*- G функторов L ~* SETS
г) То есть функтор копредела СА ~* С, где А — категория, все объекты
и неединичные морфизмы которой описываются диаграммой х~^_ у. —
8
Прим. перев.

390 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
грамма
A)
ПА)
коммутативна. (См. диаграмму III в доказательстве 2.3.) Отсюда
следует, что если g: G -*- Н — коуравнитель морфизмов /': F ->¦ G
и /•' F ->¦ G в CL, определенный поточечно, т. е. если g (А):
G (А) -*¦ Н (А) — коуравнитель морфизмов / (А) и f'(A) в SETS
для каждого А 6 Obj L, то [hA, ] g: [hA, G] -> [hA, H] является
коуравнителем морфизмов [hA, ] f и [hA, ] f в SETS. Таким
образом, [hA, ] сохраняет коуравнители. Кроме того, если \\ F i —
произвольное копроизведение в SETSL, то
i?J i
ввиду того что [hA, T] = ТА для любого функтора Т: L ~- SETS.
Поэтому lhA, ] сохраняет копроизведения и коуравнители, а
следовательно, и копределы в силу утверждения, дуального к 5.39.
Кроме того, для любой категории С и объекта X функтор hx: С ~>
•-->¦ SETS сохраняет пределы ввиду 5.41. Это доказывает первое
утверждение. Далее, если / и g — различные морфизмы F -*¦ G,
то / (A) =?=g (А) для некоторого A ? Obj L. Поэтому [hA, ] f Ф
ф[ТъА, ]yg, ввиду диаграммы A). Отсюда следует, что ft ф gt
для некоторого морфизма t: hA-+- F категории SETSL. Если кате-
категория L мала, то {hA}A?Obj l является семейством образующих
категории SETSL и поэтому копроизведение G этого семейства
является образующим. Если а: В —>¦ С и Ъ: В —>¦ С —• морфизмы
категории L, такие, что G (а) = G {Ъ), то hA (a) = hA (b) для всех
объектов А категории L. В частности, hB (а) — hB (b), откуда а = Ь.
Итак, G: L ~* SETS — вложение, индуцирующее вложение
G: L ~* mod-Z в случае, когда L аддитивна.
Если категория L аддитивна, то индуцированный функтор
hA : L ~» mod-2. сохраняет копределы и, следовательно, аддитивен,
ввиду 3.38. Так как функтор [hA, ] сохраняет пределы и копреде-
копределы, то hA —проективный объект категории Adfunct (L, mod-Z),
являющийся малым, ввиду 4.25 С. Так как категория Adfunct (L,
mod-Z) = (mod-Z)L обладает копроизведениями, то объект G
Гл. 6. Абелевы категории
391
принадлежит ей и является проективным образующим, поэтому
[G, 1: (mod-ZI- - mod-Z
является точным вложением. ?
6.21. Следствие.
6.21.1. Если L — аддитивная категория, то существует полное
вложение
L°p ~» (mod-Z)L
A* ~*hA,
Н
индуцированное (и называемое также) функтором пред-
представления.
6.21.2. Если L — малая аддитивная категория, то определено
вложение L ~* mod-Z, являющееся произведением функтора пред-
представления L ~» (raod-Z)L°p и точного вложения (mod-Z)iOp ~*
~ mod-Z.
Доказательство. Во-первых, Н (А*) = hA — объект
категории Adfunct (L, mod-Z) для любого объекта А аддитивной
категории L. Во-вторых, если L — малая аддитивная категория,
то такой же является и категория L°p. Поэтому можно применить
предложение 6.20 и получить точное вложение (mod-Z)L°p ~
¦-¦mod-Z. Это доказывает следствие, так как произведение вложе-
вложений является вложением. ?
Для того чтобы получить из вложения G: L ~* mod-Z точное
вложение Н: L ~ mod-Z, требуются дополнительные условия.
Так, если категория L является малой и абелевой, то будет пока-
показано, что Adfunct (L, mod-Z) имеет инъективные оболочки (см.
гл. 14) и инъективная оболочка Н функтора G является требуемым
точным вложением.
Говорят, что функтор F: M ~> CL поточечно обладает свойст-
свойством Р, если для каждого объекта X категории М функтор F (X):
L ~* С обладает свойством Р.
6.22. Следствие.
6.22.1. Пусть F: M ~* CL поточечно обладает свойством Р.
Тогда образ F' функтора F при канонической эквивалентности
(CL)M та (Cm)l обладает тем же свойством, если Р — одно из
следующих свойств: сохранение (конечных) пределов или (конечных)
копределов.
Кроме того, если F': L ~* См поточечно обладает свойством
Р, то F обладает свойством Р.
6.22.2. Если функтор F сохраняет пределы поточечно, то функ-
функтор lim F: L ~* С сохраняет пределы. Двойственно, если F сохра-
м,сь

392 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
няет копределы поточечно, то функтор colim F: L -~* С сохраняет
M,CL
копределы.
6.22.3. Если категории L и С точны и функтор F: M ~>- CL
точен слева (справа) поточечно, то функтор F' точен слева (справа).
6.22.4. Если L и С — точные категории и функтор F: M ~* CL
точен справа поточечно, то функтор colim F точен справа. Двой-
Двойственным образом, если F точен слева поточечно, то функтор
lim F точен слева.
Доказательство 6.22.1. Пусть Т: N ~* L — функтор.
Тогда Y = lim Т — объект категории L и, поскольку F (X)
сохраняет пределы,
F(lim Т) (X) = F (X) (lim Т) = lim F (X) Т
для каждого объекта X категории L. Следовательно, семейство
{F' (lim Т) (X) -+F{X)T (Z) = F' (TZ) (X)}zeobiN
является правым нулем категории compat F (X) Т и поточечно
определяет правый нуль {F'(lim T) -*- F'(T) (Z)}zeobjiv категории
compat F'T. Таким образом, F'(lim T) = lim F'T, и поэтому
функтор F' сохраняет пределы, т. е. F'lim = lim F'. Если
категория TV конечна, а функтор F поточечно сохраняет ко-
конечные пределы, то это же доказательство показывает, что F'
сохраняет конечные пределы.
Доказательство 6.22.2.
(lim F) (lim T) = lim F' (lim T) =
M| CL N,L M,C N, L
-=lim(lim[FT]) =
M, С Лг_ CM
= lim (lim о [F'T]) =
N,C M,C
= lim (lim F') T = lim (lim F) T.
N,C M,C N,C M_ CL
Это доказывает, что lim F сохраняет пределы.
M,CL
Доказательство 6.22.3. Если 0 ->- Y -*- У-> Y" -> О
— точная последовательность в L, а функтор F поточечно точен
слева (справа), то последовательности
О -> F (X) (Y) ->• F (X) (У) -*¦ F (X) (У") -> О
и
О -> F'(Y) (X) -* F'(Y') (X) -+ F'(Y") (X) ->¦ О
Гл. 6. Абелевы категории
393
точны слева (справа) для каждого объекта X категории М и это
доказывает, что последовательность
О -»- F'(Y) -»- F'(Y') -> F'(Y") -+ О
поточечно является точной слева (справа). Итак, F' точен слева
(справа).
Д о к а зательство 6.22.4. Если предположить, что
функтор F точен справа поточечно и точна справа первая последова-
последовательность в доказательстве утверждения 6.22.3, то последняя
последовательность точна справа в силу 6.22.3.
Тогда, учитывая, что функтор colim сохраняет копределы, по-
получаем, что последовательность
О -»- colim F'(Y) -»- colim F'(Y') -»- colim F'(Y")-+ 0
точна справа. Но по доказанному предложению colim F'(Y) =
= (colim F) (Y), и поэтому последняя последовательность пока-
показывает, что colim F точен справа. ?
ния
6.23. Следствие. Для любой категории С функтор представле-
А*
сохраняет пределы.
~ SETSC
Доказательство. Каноническая эквивалентность
(SETSC)C°P « (SETSC°P)C отображает функтор Н в функтор
И': С ~ SETSC°P. Если А и В — объекты категории С, то
Н'(А) (В*) = Н (В*) (А) = йв (Л) = feA?> (Я*),
где D: С ~* С°р — каноническая двойственность. Так как hA пере-
переводит копределы в пределы, то функтор Н'(А) = hAD сохраняет
пределы для каждого объекта А категории С. Следовательно, в силу
6.22.1 Н сохраняет пределы. ?
Пусть С — кополная абелева категория. Говорят, что С имеет
точные прямые пределы, если выполнены два следующих эквива-
эквивалентных условия:
1. Для любой малой направленной категории L функтор копре-
копредела CL ~* С является точным.
2. Для любой точной последовательности 0 —*¦ F —*¦ G в кате-
категории CL, где L — малая направленная категория, каноническая
последовательность 0 —>- lim F —>¦ lim G в категории С точна.

394 Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
6.24. Следствие. Пусть L и С — точные категории. Если С име-
имеет точные прямые пределы, то любой поточечно точный {слева)
функтор F: M ~» CL из направленного множества М имеет точ-
точный {слева) прямой предел lim F: L ~* С.
Доказательство. Если С имеет точные прямые пре-
пределы, то последовательность в доказательстве утверждения 6.22.4
точна (слева) всякий раз, когда поточечно точен (слева) функтор
F. Поскольку
lim F'{Y) = (lim F) (V),
зто доказывает, что lim F точен (слева). ?
6.25. Предложение. Если С — категория с точными прямыми
пределами, то такой же является и категория CL для любой кате-
категории L, и поэтому для любой аддитивной категории L категория
Adfunct {L, С) имеет точные прямые пределы.
Доказательство. Пусть F' обозначает образ любого
функтора F относительно канонической эквивалентности {CL)M та
a; {Cm)l. Тогда точность последовательности 0-^-F-^Gb {Cl)m
влечет за собой точность последовательности 0 ->¦ F'-> G' в {CM)L.
Таким образом, последовательность
О _> F'{Y) -»- G'{Y)
точна в См для любого объекта Y категории L. Так как С имеет
точные прямые пределы, то последовательность
О-»-lim/"(У)-»-lim G'(У)
точна в С для любого объекта Y категории L. Но поскольку, согла-
согласно формуле, дуальной E) из 6.14, lim F'{Y) = (lim F) (У) для
любого функтора F, то отсюда вытекает, что 0 -*- lim F ->- iim G —
точная последовательность в категории CL. Тем самым доказано,
что CL имеет точные прямые пределы. Если категория L аддитивна,
то это же доказательство показывает, что Adfunct {L, С) имеет
точные прямые пределы, если их имеет категория С. ?
Другие результаты о категориях с точными прямыми пределами
можно найти в упражнениях в конце главы. Вновь эта тема будет
затронута в гл. 14.
6.26. Упражнение. Любой контравариантный функтор
F: L ~+ SETS является копределом представимых контравариант-
ных функторов. Обозначим через L°S категорию контравариант-
ных функторов L ~ S, где S = SETS, и для любого объекта F
Гл. 6. Абелевы категории
395
категории L°S рассмотрим категорию L/F, объекты которой суть
морфизмы a: hA-*- F в L°S, где hA— представимый функтор, опре-
определенный объектом А категории L. Морфизмами категории Lib
являются такие морфизмы /: А -*- В категории L, что диаграмма
где Н (/): hA-+ hB — каноническое отображение, коммутативна.
Тогда
F = colim dF,
где dF: LIF -*- L°S — функтор, приписывающий объекту a: hA-+
-+ F категории LIF значение hA, а каждому морфизму / категории
LIF — значение Н (/).
6.27. Упражнение. Пусть С — любая кополная кате-
категория, at- произвольная категория. Тогда любой ковариант-
ный функтор F: L°S ~ С (из категории L°S контравариантных
функторов L ~> S) имеет сопряженный справа тогда и только
тогда, когда F сохраняет копределы. Кроме того, функтор
Г CL0S ~> CL
\ F ^FH,
где Н: L ~ L°S — функтор контравариантного представления,
индуцирует эквивалентность полной подкатегории сохраняю-
сохраняющих копределы функторов категории Funct (L°S, С) в категорию
Funct (L, С). Таким образом, если С — кополная категория, то
каждая категория функторов CL эквивалентна категории, поро-
порожденной в некоторой категории функторов функторами, сохраняю-
сохраняющими копределы. (См. Габриель и Цисман [71, стр. 65 — 69] или
Букур и Деляну [72, стр. 72-75].) [FH {А) = F {hA) для любого
объекта А категории L.]
Точные сопряженные слева функторы
6.28. Предложение. Пусть {h, S, Т, С, D) — сопряженная пара
для абелевых категорий С и D.
6.28.1. Если S: D ~ С — точный функтор, то Т сохраняет
инъективное объекты.

396
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
Гл. 6. Абелевы категории
397
6.28.2. Если категория С инъективно богата (например, если
С имеет инъективный кообразующий), то верно и обратное: если
Т сохраняет инъективные объекты, то S — точный функтор.
Доказательство. Если Y — произвольный объект
категории С, то существует естественная эквивалентность контра-
вариантных функторов со значениями в категории SETS
A) hyS да hTy.
Таким образом, если S — точный функтор и У — инъектив-
инъективный объект, т. е. точен функтор hy- С ~* mod-Z, то функтор hTT
со значениями в категории абелевых групп точен. Это доказывает
6.28.1. Если категория С имеет инъективный кообразующий Y и,
следовательно, С инъективно богата, то обратно: точность функ-
функтора hTY влечет за собой точность функтора S, поскольку унива-
лентный функтор hy-. С ~* mod-Z сохраняет неточные последо-
последовательности в силу 3.49.
Доказательство 6.28.2. (Общий случай.) Так как
функтор S сохраняет копределы, в частности коядра, то достаточно
показать, что S — монофунктор. Пусть дана точная последова-
h
тельность О-»- X —> Y, и пусть точна последовательность 0 -»-
-+-SX —*¦ Е для некоторого инъективного объекта Е категории С.
Тогда по предположению ТЕ — инъективный объект в D, и поэтому
диаграмма
Tf
может быть дополнена до коммутативной некоторым морфизмом
g: Y ->¦ ТЕ. Отсюда gk = Т (/) ф^ и
A) S (g) S(k)=S (Tf) S (ф2).
Предположим теперь, что S (к) а = 0 для некоторого морфиз-
ма а. Тогда S (Tf) S (<рх) а = 0, и из коммутативности диаграммы
ST[SX)
ST(f)
вытекает, что ftysxS (ч>х) а — 0. Так как по утверждению, дуаль-
дуальному к 5.6.8 (l),^^ (ч>х) — lsxH поскольку / — мономорфизм,
то а =0. Это доказывает, что S (к) — мономорфизм. ?
6.29. Следствие. Пусть /: R -> S — гомоморфизм колец и
mod-(/): mod-5 ~+ mod-i? — индуцированный функтор (ср. 3.4
и далее). Тогда каждый инъективный правый S-модуль является
инъективным каноническим правым R-модулем тогда и только
тогда, когда канонический левый R-модулъ S плоский. ?
В частности, это следствие справедливо либо когда S = RIA —
факторкольцо кольца R по идеалу А, либо когда R — подкольцо
кольца S и /: R -*- S — включение.
Упражнения к гл. 6
1. Кополная абелева категория имеет точные прямые пределы
тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие:
для каждого объекта А категории С и направленного семейства
его подобъектов канонический морфизм lim4j->-4
SOT
является мономорфизмом, т. е. прямой предел направленного
семейства подобъемгов— подобъект. (Ср. 6.13.3.)
2. Показать, что для любого кольца R категория mod-.fi имеет
точные прямые пределы.
3. Если С — абелева категория с точными прямыми пределами
и образующим U, то любой ее объект А является прямым пределом
даправленного семейства конечно порожденных относительно U
подобъектов объекта А. (Объект X называется конечно порожден-
порожденным относительно U, если существует точная последовательность
Un—>- X —*¦ 0, где п — целое число, зависящее от X.)
4. Если М — объект категории mod-Л и М = lim Mt, где
—>>
{Mi}i?i — направленное семейство объектов категории mod-A, то
существует естественная эквивалентность
<8) М = lim ® Mi
А —> А
функторов со значениями в категории абелевых Групп. Кроме
того, если Mt — плоские модули для всех i ? /, то и М — плоский
модуль, т. е. прямой предел плоских модулей плоский.
* 5. Пусть С — малая абелева категория.
(a) Тогда любой инъективный объект категории Funct (С,
mod-Z.) является точным справа функтором F: С ~* mod-Z. Если
категория С нётерова, то верно и обратное.
(b) Любое существенное расширение монофунктора F: С ~>-
~* mod-Z в категории Funct (С, mod-Z) является монофунктором.

398
Ч. I. Полугруппа, моноид, группа, категория, кольцо и модуль
6. Если С — нётерова малая абелева категория, то функтор
представления Н: Сор ¦*+ Funct (С, mod-Z) сохраняет инъектив-
ные объекты и, следовательно, обладает точным сопряженным
слева функтором. [Указание: если Р — проективный объект в С,
то hp — Н (Р*) — инъективный объект в Funct (С, mod-Z) по
предыдущему упражнению. Применить 6.28.]
7 (Фрейд). Категория В эквивалентна категории Adfunct (С,
mod-Z) для некоторой малой аддитивной категории С тогда и
только тогда, когда В — кополная абелева категория с семейством
образующих, состоящим из малых проективных объектов.
8 (Фрейд). Если С — малая аддитивная категория с ядрами,
то Т: С ~* mod-Z является малым проективным объектом катего-
категории Adfunct (С, mod-Z) тогда и только тогда, когда Т представим.
9. Если С — малая абелева категория, то каждый проектив-
проективный объект категории Adfunct {С, mod-Z) сохраняет ядра.
10 (Габриель — Митчелл). Категория С эквивалентна катего-
категории модульного типа тогда и только тогда, когда С — абелева
категория с копроизведениями и малым проективным образующим.
(Ср. с теоремой Мориты 4.29; о малых объектах см. 4.25.)
Замечания к гл. 6
Абелевы категории были введены Маклейном [50], Буксбаумом
[55] и Гротендиком [57] для того, чтобы обобщить гомологические
методы Картана — Эйленберга [56] (и других). Однако теорема
Фрейда — Лабкина 14.21 показала, что любая малая абелева
категория обладает точным вложением в категорию абелевых групп.
Таким образом (перефразируя Фрейда), абелевы группы приводят
к абелевым категориям, а абелевы категории возвращают назад
к абелевым группам. (См. Митчелл [65, метатеорема 2.8, стр. 101,
а также 7.3, стр. 151].) Более того, любая малая абелева категория
обладает полным точным вложением в некоторую категорию мо-
модульного типа (теорема Митчелла 15.30). Наконец, любая абелева
категория с точными прямыми пределами и образующим является
факторкатегорией (и ретрактом) категории модульного типа
(теорема Попеску — Габриеля 15.26; см. также 5.70).
Ссылки
Буксбаум [55], Букур — Деляну [72], Габриель [62], Габри-
Габриель — Цисман [71], Гротендик [61], Йонеда [53], Картан — Эйлен-
берг [60], Лабкин [60], Маклейн [50], Митчелл [65], Пуппе [67],
Фрейд [60], [64].
Часть II
СТРОЕНИЕ
НЁТЕРОВЫХ ПОЛУПЕРВИЧНЫХ КОЛЕЦ
Во-первых, следует сказать, что в части II не требуется знания
всей части I. Мы прилагаем список необходимых разделов (который
не следует воспринимать слишком буквально!) и рекомендуем
перечитать введение, особенно стр. 15—19, чтобы получить об-
общее представление. Также следует перечитать первый абзац из
рекомендаций читателю этой книги (стр. 23).
Минимальные необходимые сведения
0. Введение (декартовы произведения, инъективные и сюръектив-
ные отображения).
1. Глава 1 (категории).
2. Глава 2 (прямые суммы и произведения).
3. Глава 3:
a) свободный модуль Rn C.9);
b) кольца матриц В_п C.16 и 3.17);
c) канонические изоморфизмы C.38, 3.39 и 3.40)
HomR(X, А © В) « Нотл(Х. А) © Нотд(Х,
Нотй(Л © В, X) « HomHU, X) © НотдE,
для любых трех ^-модулей X, А, В;
d) канонический изоморфизм EndR An &¦
к Ап = А ® . . . ® А (п слагаемых C.17));
f) лемма Шура [3.10.1 (а) и (Ь); 3.14.3];
g) определение проективного модуля и его характеризация
как прямого слагаемого свободного модуля C.11.2);
h) понятие существенного расширения C.58);
i) (необязательно) инъективные оболочки C.59).
4. (Необязательно) глава 4:
a) Теорема о соответствии D.7);
b) Теорема Мориты D.29).
В),
X)
Еп, где? = EndRA

400
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Введение к части II
401
Введение к части II
Если М — некоторый Д-модуль, а К — его кольцо эндомор-
эндоморфизмов, то можно рассмотреть кольцевой гомоморфизм
б = бм: R ->- EndK M,
где
хд (а) = ха
для всех х ? М, а ? R. Общая теорема Веддербёрна утверждает,
что при некоторых условиях бм—наложение. В этом случае
модуль М называется сбалансированным.
Кольцо R мы называем простым, если R не содержит идеалов,
отличных от 0 и R. Из теоремы Веддербёрна — Артина следует,
что если R — простое кольцо с условием минимальности для пра-
правых идеалов, то любой минимальный правый идеал / кольца R
сбалансирован (как ^-модуль). Сопоставляя это с леммой Шура,
утверждающей, что кольцо эндоморфизмов R' этого .й-модуля /
является телом, убеждаемся в том, что R есть кольцо эндо-
эндоморфизмов некоторого векторного пространства М. Из условия
минимальности для R следует, что размерность векторного про-
пространства М над R' конечна, т. е. что (R')n a; M (как левые R'-
модули), а тогда существует изоморфизм колец R та R'n.
Назовем й-модуль М образующим, если для каждого й-мо-
й-модуля N существует множество индексов / и эпиморфизм М^ —>¦ N
(это эквивалентно точности последовательности М71 -*¦ R -*- 0 для
некоторого п, т. е. тому, что Мп ж R ® А для некоторых п и
й-модуля А).
В 1958 г. Морита доказал общую теорему Веддербёрна: каждый
образующий М в категории mod-i? сбалансирован. Более того,
сбалансированный модуль М является образующим тогда и только
тогда, когда он конечно порожден и проективен над кольцом
End iifHvG.3). Доказательство этого факта элементарно и требует
совсем небольшого подготовительного материала из части I.
Как все это применяется к простым кольцам? Если кольцо R
простое, то каждый ненулевой правый идеал I кольца R является
образующим, а следовательно, и сбалансирован.
Действительно, RI — идеал, и поэтому RI = ^al = R.
Значит, существуют элементы аг ? .fl, i = 1,. . .
a?R
п, такие, что
2^;/ = R, и найдется наложение /n-> R. Это показывает, что
общие теоремы Веддербёрна совершенно не зависят от традицион-
традиционных условий обрыва цепей. Теорема Веддербёрна — Артина не-
немедленно получается как частный случай.
Кольцо, удовлетворяющее условию обрыва убывающих (воз-
(возрастающих) цепей правых идеалов, называется артиновым (нёте-
ровым) справа. Таким образом, простые артиновы справа кольца
изоморфны кольцам матриц Dn над телами. Кольцо Dn полу-
полупросто в том смысле, что каждый правый модуль над ним является
прямой суммой простых модулей. Теорема Веддербёрна — Артина
8.8 (вместе с 8.9 и 8.11) характеризует все классически полупростые
кольца как конечные произведения полных колец матриц над тела-
телами или как артиновы справа кольца без ненулевых нильпотентных
идеалов.
Теореме Веддербёрна — Артина предшествует в гл. 7 соответ-
соответствующий результат в ситуации, когда R — простое нётерово справа
кольцо. В этом случае лемма утверждает, что можно выбрать
правый идеал / так, что К = End IR является областью целост-
целостности с правым телом частных D, и само кольцо R обладает клас-
классическим правым кольцом частных, которое изоморфно кольцу
матриц Dn над телом D для однозначно определенного числа п > 0.
Этот последний результат является частным случаем общей тео-
теоремы, доказанной в гл. 9 и утверждающей, что кольцо R имеет
классическое правое кольцо частных Q, которое классически полу-
полупросто, тогда и только тогда, когда в R нет ненулевых нильпотент-
нильпотентных идеалов и выполнено условие обрыва возрастающих цепей ан-
нуляторныхи дополнительных правых идеалов. Глава 9 посвящена
доказательству этой теоремы. (Другое доказательство намечено
в гл. 16.)
Одна из теорем гл. 10 описывает все подкольца R полулокаль-
полулокального кольца Q = Dn, для которых Q является классическим пра-
правым кольцом частных. (В этом случае кольцо R называется правым
порядком в Q.) Правые порядки в Q = Dn— это в точности под-
подкольца, содержащие кольцо Кп, где К — правый порядок в D
A0.15 и 10.19). Если же Q — конечное произведение колец матриц
над полулокальными кольцами, то R содержит конечное произве-
произведение колец матриц над правыми порядками в полулокальных
кольцах.
Кольца, являющиеся правыми порядками в полулокальных
кольцах частных Dn, охарактеризованы в гл. 18 (например, 18.48).
Максимальные порядки в Dn оказываются кольцами эндоморфиз-
эндоморфизмов модулей без кручения над правыми порядками в D A0.29).
В гл. 7 содержится теорема Гильберта о базисе, утверждающая,
что кольцо многочленов R [х] (кольцо степенных рядов R (х) )
нётерово справа, если нётерово справа кольцо R. Кольцо А [у, D]
дифференциальных многочленов относительно дифференцирова-
дифференцирования D кольца А также нётерово справа, если нётерово справа
кольцо А G.28). Кроме того, если А — простое кольцо нулевой
характеристики и D не является внутренним дифференцированием,
то A ly, D] — также простое кольцо. Если А — тело, универсаль-
универсальное относительно дифференцирования D, то А [у, D] — нётерово
справа правое F-кольцо (в том смысле, что каждый простой модуль
26 к. Фейс

402
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
403
инъективен) G.42). Это кольцо обладает простым инъективны*
кообразующим, но само кольцо не является классически полу*
простым. Более того, каждый подмодуль содержит максимальнь
подмодуль, а каждый циклический Д-модуль, отличный от R, полу,
прост и инъективен. Каждое правое У-кольцо, обладающее класси-
классически полупростым классическим правым кольцом частных, явля-
является конечным произведением простых правых У-колец G.36).
Над классически полупростыми кольцами каждый модуль проек-
тивен, и, следовательно, глобальная размерность этих колец равна'
нулю. Глобальная размерность кольца многочленов R [хг,. . . , хпЦ
над кольцом R равна сумме числа п и глобальной размерности коль-ij
ца R. Если кольцо R классически полупросто, то глобальная размер-d
ность кольца R [xt,. . . , хп] равна п (теорема Гильберта о сизи-j
гиях, 8.16). Теоремы Ауслендера (8.19—8.21) утверждают, что
г. gl. dim R = sup {proj. dim RII),
а если кольцо R неполупросто, то
г. gl. dim R = 1 + sup {proj. dim I }.
Итак, глобальная размерность кольца R равна 1 тогда и только
тогда, когда каждый правый идеал проективен. Простые нётеровы
кольца глобальной размерности <12 подобны областям Оре (8.27).
Глава 7
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ВЕДДЕРБЁРНА
Изучение колец эндоморфизмов важно как для изучения моду-
модулей, так и для изучения абстрактных колец. Оно играет важную
роль при изучении модулей, поскольку многие свойства модуля
могут быть охарактеризованы свойствами его кольца эндоморфиз-
эндоморфизмов. Действительно, некоторые модули над некоторыми кольцами
определяются своими кольцами эндоморфизмов, т. е. в этих слу-
случаях модули изоморфны тогда и только тогда, когда их кольца
эндоморфизмов изоморфны как кольца. Это верно для векторных
пространств. Изучение колец эндоморфизмов важно при изучении
колец, поскольку некоторые кольца, определенные абстрактно,
могут быть вложены в кольцо эндоморфизмов относительно
«хорошего» модуля, например, векторного пространства.
Один из прекрасных типов теорем — это теоремы, утверждаю-
утверждающие, что данная абстрактно заданная алгебраическая структура
изоморфна известной алгебраической структуре. Например, тео-
теорема Веддербёрна — Артина, доказываемая в гл. 8, утверждает,
ч кольцо R изоморфно кольцу эндоморфизмов векторного про-
пространства V конечной размерности над телом D тогда и только
тогда, когда структура правых идеалов.кольца R удовлетворяет
условию минимальности, а структура идеалов кольца R состоит
из двух элементов. В этом случае информация о кольце R весьма
абстрактна, а заключение, напротив, конкретно. Более того, в ходе
доказательства этой теоремы по кольцу R строятся тело D и век-
векторное пространство V. Точнее, существует идемпотент е ?^i?, та-
такой, что кольцо eRe изоморфно телу D, а правый идеал eR является
векторным пространством над eRe, изоморфным пространству V.
Сбалансированные модули
Пусть R — кольцо, М — Д-модуль,
R'=M'{M) = End MR,
i?" = M"(M) = EndR>M.
Будем называть R" кольцом биэндоморфизмов (кратко BiendAfH).
Гомотетией модуля М называется отображение rd: М-уМ,
такое, что для фиксированного элемента г ? R каждому х ? М
сопоставляется элемент хг. Индекс «d» является сокращением
латинского слова dexter. Обозначение rd является стандартным
у Бурбаки, a rd также называют «правым умножением на элемент
г». Если N — левый .ff-модуль, то rs (s от латинского слова sini-
stra) обозначает соответствующую гомотетию. Отображение R —*-
-v Biend MR, такое, что г >-*¦ rd, называют каноническим, оно явля-
является гомоморфизмом колец. Модуль М называется сбалансирован-
сбалансированным, если каноническое отображение R ->¦ Biend MR сюръектив-
но, и точным, если это вложение. Значение сбалансированных
точных модулей для представления кольца R в виде кольца эндо-
эндоморфизмов другого, возможно более простого, модуля очевидно.
В этой главе будет существенно использоваться эта возможность
для изучения простых колец.
Далее мы приводим элементарное введение к понятию образую-
образующего в категории mod-i?, которое требует лишь немногих сведений
из части I. (Специалисты могут сразу переходить к 7.1.)
В силу 3.26 (или в силу определения в категории mod-i?)
образующий в mod-i? — это R-морупь G, такой, что каждый
объект М в mod-i? является гомоморфным образом прямой суммы
некоторого множества экземпляров модуля G, т. е. существуют
множество I и эпиморфизм G(J)->- М. Очевидно, что i? — образую-
образующий в mod-i?. Для получения других образующих заметим, что
если Н -*- G — эпиморфизм и G — образующий, то Н — образую-
образующий. Следовательно, i? ф А — образующий для всех А из mod-i?.
В частности, любой свободный R-модуль является образующим.
26*

404
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
7.1. Теорема. Любой образующий в mod-i? сбалансирован и
точен.
Доказательство. Во-первых, рассмотрим образую-
образующий G = R ф А. Если х ? R ф А, то, поскольку 1 образует базис
в i?, существует эндоморфизм / ? J?'(i? ф А), такой, что / A) = х.
(Мы рассматриваем Йи4 вложенными в R ф А как R ф 0 и
0 Ф Л соответственно.) Пусть р: ЙШ4^-Л- проекция
и f 6 <#"(# © А). Тогда
A) f = (Pl) t = р (If) 6 Д.
Отсюда
(я) * = (/1) * = / (U) = / A -К) = / A) If = x (If).
Итак, отображение R -»- J2"(i? ф Л) сюръективно, т. е. для
рассматриваемого случая желаемый результат получен.
Пусть теперь G — произвольный образующий. Тогда по 3.26
существует число и>0и изоморфизм Gn та R ф А, где А ? mod-i?.
Так как R ® А — сбалансированный модуль, то сбалансирован
и модуль Gn. Так] как R — точный модуль, то точен модуль Gn,
а следовательно, и модуль G. Доказательство завершает следующая
7.2. Лемма. Если G — модуль и модуль Gn сбалансирован, то
модуль G сбалансирован. Таким образом, для любого модуля М и
любого числа п > 0 имеет место канонический изоморфизм
Biend Мята Biend Mr.
Доказательство. В силу 3.24 End GRTa R'n, где R' =
= 31'(G) = End GR. Поэтому любой элемент / ? M'(Gn) представ-
представляется матрицей (stJ) 6 R'n, а именно, для у = (au. . . , an) ? Gn,
Дг€ G, i<.= 1,. • • , n, имеем
Пусть t ? M"(G). Тогда отображение
у = (alf. . . , an) -*• {ait,. . . , ant),
обозначаемое через t, удовлетворяет равенству / (v) t — f (vt). Сле-
Следовательно, t ? M"(Gn). Так как модуль Gn сбалансирован, то
найдется г ? R, для которого vt = vr для всех у ? G". Взяв у =
= (а,. . . , а) для произвольного а ? G, получаем, что vt —
= (at,. . . , at) — (ar,. . . , ar), т. е. что at = ar. Это показывает,
что G — сбалансированный модуль. ?
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
405
7.3. Предложение Мориты. Пусть А — кольцо. Объект Р
является образующим в категории mod-А тогда и только тогда,
когда Р сбалансирован в mod-Л и является конечно порожденным
проективным В-модулем (когда рассматривается как канонический
левый В-модулъ), где В = End PA (ср. 4.2).
Доказательство. В силу 3.26 Р — образующий в
mod-А тогда и только тогда, когда Рп « А Ф X для некоторого
числа к>0и некоторого модуля X из mod-Л. Так как функтор
hp: mod-A ~+ mod-Z? сохраняет конечные (би)произведения, то
C.38 и далее)
A) Вп « НотА(Р, Р)п « HomA(Pn, P).
Так как функтор hP: m.od-A ~» 5-mod заменяет конечные произ-
произведения на копроизведения, то
B) HomA(Pn, Р) « ЯотА(А ф X, Р) та
та RomA(A, Р) ф HomA(Z, P).
Используя канонический (В, Л)-изоморфизм Р та HomA(A, P)
и полагая Y = HomA(Z, P) в B-mod, из A) и B) получаем, что
C) Впта Р ®Y
в 5-mod, т. е. что модуль ВР конечно порожден и проективен.
Обратное утверждение доказываем обращением сделанных шагов,
применяя функтор hP к C) и используя канонический изоморфизм
А та hP (P), получаемый из предположения о сбалансированности
модуля Р в mod-A. ?
7.4. Упражнения.
7.4.1. Пусть R — простое кольцо. Следующие утверждения
о правом .R-модуле М эквивалентны:
(a) М — образующий в mod-i?.
(b) Существует ненулевой гомоморфизм модуля М в прямое про-
произведение некоторого множества экземпляров кольца i?.
(c) B.omR(M, R) ф 0.
7.4.2. Для любого кольца i? и любого R-ъиощпя А пусть В =
= R Ф А и S = End BR. Тогда S5 — циклический проективный
модуль и, следовательно, существует идемпотент е ? S, такой,
что 8В та Se и eSe та R.
7.4.3. Если i? — простое кольцо и е 6 -Я — ненулевой идемпо-
идемпотент, то ei?e — простое кольцо.
7.4.4. Если i? — простое кольцо, то для любого п ^ 1 кольцо
i?n простое.
7.4.5. Кольцо i? просто тогда и только тогда, когда каждый
ненулевой правый R-мояулъ точен.
7.4.6. Если i? — простое кольцо, то центр кольца В — поле.

406
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
407
*7.4.7. Тензорные произведения векторных пространств и моду-
модулей обсуждаются в гл. 11. Если А ж В — простые кольца и К =
= 'ё (А) (центр кольца А) — подкольцо в 'ё (В), то тензорное
произведение А (g> В — простое кольцо.
к
7.5. Теорема. Если R — простое кольцо, I — ненулевой правый
идеал в R и К = End IR, то I — конечно порожденный проектив-
проективный левый К-модуль, а каноническое отображение R —*- Endx / —
изоморфизм. Кольцо К просто тогда и только тогда, когда I —
конечно порожденный проективный правый R-модулъ; в этом случае
функтор Нотн(/, ) со значениями в категории К-модулей осущест-
осуществляет эквивалентность категорий mod-i? та mod-K.
Доказательство. Мы уже знаем, что IR— образую-
образующий и R та EndKI (канонически) (см. 7.1 и 7.4.1).
Если / — конечно порожденный проективный модуль, то
F = I Ф Q та Rn. Поэтому существует идемпотент е в Rn та
я# End^H, такой, что К та eRne. В силу предыдущих упражнений Rn,
eRne и, следовательно, К — простые кольца.
Обратно, допустим, что К — простое кольцо. Пусть /'— множе-
множество левых умножений на элементы из /. Таким образом, если
х 6 /, то ж'? /'— это гомотетия а *-*¦ ха для всех а ? /. Если к ?К,
то (кх)' = кх'. Итак, /'— левый идеал в К, а отображение х t—*¦ х' —
эпиморфизм левых Х-модулей I -*¦ Г. Так как кольцо К простое,
то левый идеал /'—образующий в if-mod и, следовательно, / —
образующий в if-mod. В силу 7.3 / — конечно порожденный
проективный модуль над R та Endjf /. В этом случае функтор
HomH(/, ) определяет эквивалентность категорий по теореме
Мориты D.29). ?
*7.6. Упражнение (Морита). Два кольца А и В называ-
называются подобными, если существуют число п > 0 и идемпотент
е ? Ап, такие, что АпеАп= Ап, и изоморфизм колец В та еАпе.
В этом случае существует прообразующий Р та еАп, где Апта
та End A\ (канонически) и В та End PA.
Минимальные правые идеалы
Максимальным подмодулем ненулевого модуля М называется
подмодуль, который является максимальным элементом множества
всех подмодулей, отличных от М. Минимальный подмодуль — это
подмодуль, который является минимальным элементом множества
всех ненулевых подмодулей. Модуль М простой, если М ф 0 и
М удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:
(a) 0 — максимальный подмодуль.
(b) M — минимальный подмодуль.
(с) Каждый ненулевой эпиморфизм М -*- N является изомор-
изоморфизмом.
Таким образом, если N — подмодуль в М, то N максимален тогда
я только тогда, когда M/N — простой модуль.
Максимальный (соотв. минимальный) правый идеал / — это
максимальный (соотв. минимальный) подмодуль в модуле RR.
Далее мы докажем предварительный вариант теоремы Вед-
Веддербёрна — Артина G.9).
7.7. Теорема. Пусть R — простое кольцо, содержащее мини-
минимальный правый идеал I. Тогда К = End IR— тело, К1 — конечномер-
конечномерное векторное пространство и R « EndKI. Таким образом, если
dimK/ = п, то R изоморфно кольцу всех (п X п)-матриц над К.
Более того, существует идемпотент е ? R, такой, что I = eR,
а кольцо eRe — тело, изоморфное телу К.
Доказательство. Так как IR— простой модуль, то
по лемме Шура 3.10 К = End IR— тело. Так как кольцо R про-
простое, то IR— образующий, а так как К — тело, то К1 — образую-
образующий. По последней теореме IR (соотв. КГ) — конечно порожден-
порожденный проективный модуль. Так как К1 — векторное пространство
и оно конечно порождено, то К1 обладает базисом, состоящим,
например, из п элементов. Итак, / та Кп (как левые Х-модули).
Так как модуль /н сбалансирован и, будучи образующим, точен, то
R та End
EndK Kn та Кп.
Так как / — точный модуль, то Рф 0, и поэтому су-
существуют х, у ? I, такие, что ху Ф 0. Но / — простой -R-модуль.
Поэтому / = xR и / = yR. К тому же / — проективный модуль.
Значит, отображение <р: R ->- xR, где ф (о) = ха для всех а ? R,
расщепляется C.11.2). Пусть R = ker <р ф Q, где Q — правый
идеал, изоморфный модулю /. Это показывает, что ker <p — макси-
максимальный правый идеал в R. Так как ху Ф 0, то xl = xyR ф 0.
Поэтому / П ker <p = 0. Поскольку ker <p — максимальный пра-
правый идеал, то R является прямой суммой ker ф ф /, т. е. / — пря-
прямое слагаемое в R. Следовательно, / = eR, где е = е2? R- Но для
любого идемпотента / кольца S мы знаем, что r\: fSf та End (fS)s,
где для х ? fSf под ч\ (х) понимается эндоморфизм модуля fS,
отображающий у ? fS в ху. Это завершает доказательство. ?
Лемма Шура 3.10 утверждает, что если V — простой Л-модуль,
то R' = End VR— тело, т. е. V — левое] векторное пространство
над R'. Если V — сбалансированный] и точный модуль, то R та
та EndH«F.

408
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
7.8. Лемма. Кольцо R имеет сбалансированный простой точный!
правый R-модулъ тогда и только тогда, когда оно изоморфно кольцу,
всех линейных преобразований левого векторного пространства.
Доказательство . Как было отмечено, необходимость
условия очевидна. Обратно, если <р: R та EndKW, где KW —
векторное пространство, то W как правый Д-модуль является
простым. Действительно, если U — любой ненулевой .R-подмо-
дуль в W, 0 Ф х ? U и у ? W, то существует элемент t ?
6 Endx W, такой, что (х) t = у. [Например, запишем W — Кх® Q,
где Q — некоторое подпространство, и выберем t так, что (kx) t = ку
для всех к 6 К и (q) t = 0 для всех q ? Q.] Если г = <p-1@i то
у = хг ? U. Поэтому W ^ U и W — U. Таким образом, WB—
простой сбалансированный и точный модуль. ?
Артиновы кольца и модули
Множество подмодулей любого /?-модуля является частично
упорядоченным относительно отношения включения. Модуль М
называется артиновым, если М удовлетворяет одному из следую-
следующих эквивалентных условий (см. «Теоретико-множественное вве-
введение»):
A) частично упорядоченное множество подмодулей модуля М
удовлетворяет условию минимальности,
B) частично упорядоченное множество подмодулей модуля М
удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей.
Таким образом, если модуль М артинов, то A) каждое непустое
семейство {Mt} подмодулей содержит подмодуль, который явля-
является минимальным в этом семействе; B) каждая убывающая цепь
М1=>Мг=>...=>Мп=>...
подмодулей, начиная с некоторого п, стабилизируется, т. е.
Мп= Мп+ != . . . .
Кольцо R артиново справа, если RR— артинов модуль. Кольцо
R артиново слева, если RR — артинов модуль. Артиновы кольца
впервые систематически изучал Эмиль Артин.
7.9. Основная теорема Веддербёрна — Артина. Следующие
условия на кольцо S эквивалентны:
(a) S — простое артиново справа кольцо.
(b) S — простое кольцо, содержащее минимальный правый идеал.
(c) S ж EndK W, где KW — левое векторное пространство
конечной размерности п.
(d) S л; Dn, где D — тело, an — целое число и п ^ 1.
(e) Условия, симметричные (с заменой «правый» на «левый» и
наоборот) условиям (а) — (d).
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
40»
Если эти условия выполнены и I — любой минимальный правый
идеал, то каждый простой S-модулъ изоморфен модулю I. Следова-
Следовательно, любые два минимальных правых идеала кольца S изоморфны.
Если К и D — тела, S «Z?m и S « Кп, то п = т и К 7&D. На-
Наконец, S та Dn— прямая сумма п минимальных правых идеалов.
Доказательство . Импликация (а) =4* (Ь) очевидна.
Импликация (Ь) =*> (с) следует из 7.7.
(c) =*> (d). Если п = dimK W, то KW та кКп, поэтому
S та EndK W та EndK Kn та Кп.
(d) =*- (а). Пусть S та Dn, где D — тело. Тогда D — простое
кольцо. Из предыдущего упражнения следует, что Dn— простое
кольцо. Действительно, если / — идеал, содержащий ненулевой
элемент х =
, где вМ = {etj | г, / = 1,. . . , п) — матричны&
в Dn, то d0— dioj0 Ф
единицы, a D — централизатор множества
Ф 0 для некоторых г0, /0 и
Следовательно,
для всех atj?D. Таким образом, / э 3^ео-== ^ и поэтому S —
г, 3=1
простое кольцо. (Аналогичное доказательство показывает, что
eitS — минимальный правый идеал, i = 1,. . . , п.) Теперь Dn —
правое (а также и левое) векторное пространство размерности я2
над D (п2 матричных единиц {et]\i, / = 1,. . . , п) являются ба-
базисом), а правые идеалы кольца Dn являются .D-подпространст-
вами. Так как конечномерное векторное пространство удовлетво-
удовлетворяет условию минимальности для подпространств, то Dn удовлет-
удовлетворяет условию минимальности для правых идеалов. Следователь-
Следовательно, это верно и для кольца S.
(е) выполняется в силу симметрии в кольце Dn, где D — тело.
Наконец, пусть S та Dm и S та Кп, где D и К — тела. Пусть
W = Dm и V — Кп. Кольцевые изоморфизмы
п
u
К
EndD W,
EndK V
позволяют естественным образом рассматривать W и V как правые
5-модули. Из доказательства леммы 7.8 видно, что Ws и
Vs — простые S-модули. Пусть / — минимальный правый идеал
кольца S (существующий в силу эквивалентности условий (а) —

410
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
(d)). Над простым кольцом любой ненулевой модуль М точен,
поскольку anns М — идеал. В частности, Ws— точный модуль,
и поэтому WI Ф 0. Выберем w ? W так, что wl Ф 0. Из простоты
модуля Ws следует, что wl = W. Следовательно, существует эпи-
эпиморфизм /: / ->- W, для которого / (а) = wa для всех а ? /. Так
как модуль / прост, то ker / = 0 и поэтому I та W. Следовательно,
каждый простой модуль Ws изоморфен любому минимальному пра-
правому идеалу /. Более того, из Is ~ Ws следует, что
Q = End /s»fln dimQ / = т = dimD W.
Из этого также следует, что Q та К, поскольку D та К, и что
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
411
то = dinig / = dimK V = п.
Но теперь А = Dn — прямая сумма минимальных правых идеалов
Dn = А = епА
еппА.
(Сумма прямая, так как 1 = 2еи— сумма ортогональных идем-
потентов {eti\i = 1,. . . , п}.) Следовательно, аналогичное утвер-
утверждение верно и для S та Dn. ?
7.9'. Упражнения.
7.9'.1. Если S та Dn, где D — тело и
правые идеалы кольца 5, такие, что S =
. , Im— минимальные
. . . Ш Im, то m = п,
1, / = 1, 2,. . . , п, и End IRTaD для любого минимального
правого идеала /.
7.9'.2. Если кольцо i? — сумма минимальных правых идеалов,
то каждый правый )?-модуль есть сумма простых подмодулей.
7.9'.3. Если i? = Dn, где D — тело, и е — ненулевой идемпо-
тент в i?, то кольцо eRe — простое артиново (справа и слева)
кольцо, изоморфное кольцу Dm для некоторого m ^ п.
7.9'.4. Доказать эквивалентность следующих условий для
кольца i?:
(a) Каждый объект категории mod-i? проективен.
(b) Каждый факторобъект объекта i?H проективен.
(c) Каждый правый идеал кольца i? выделяется в i?H прямым
слагаемым.
(d) Каждый объект категории mod-i? инъективен.
(e) Каждый правый идеал кольца i? инъективен.
(/) Каждый объект категории mod-i? является (прямой) суммой
простых модулей.
7.9'.5. Если кольца R ж S подобны, то i? удовлетворяет усло-
условиям из 7.9'.4 тогда и только тогда, когда им удовлетворяет кольцо
S. Это верно для S = Rn.
7.9'.6. Использовать 7.9 для доказательства теоремы Веддербер-
на — Артина 8.8 в такой форме: если i? — артиново справа кольцо
и ни один ненулевой правый идеал в i? не является нильпотент-
ным, то i? — сумма минимальных правых идеалов.
7.9'.7. Доказать 7.9 как следствие теоремы Мориты.
7.9'.8. Если V — векторное пространство над телом D ж I —
идеал в EndD V, то существует ординал а, такой, что на <С dim^ V
и / = {/ 6 EndD V | dim / (F) <; ха}. Вывести из этого, что идеа-
идеалы кольца всех линейных преобразований вполне упорядочены.
Нётеровы кольца и модули
Прежде чем приводить частные случаи общей теоремы Веддер-
Веддербёрна, введем в рассмотрение кольца и модули, впервые система-
систематически изучавшиеся Эмми Нётер.
Условием, дуальным к условию минимальности, является усло-
условие максимальности. Модуль MR называется нётеровым, если мно-
множество подмодулей модуля М, упорядоченное по включению,
удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:
(a) Условие максимальности.
(b) Условие обрыва возрастающих цепей.
(c) Каждый подмодуль модуля М конечно порожден.
Кольцо i? называется нётеровым справа, если RR— нётеров
модуль.
Приведем доказательство эквивалентности этих условий. Экви-
Эквивалентность (а) <=> (Ь) уже была установлена (см. «Теоретико-мно-
«Теоретико-множественное введение», предложение 12).
(а)=>-(с). Пусть S — подмодуль, F — совокупность всех ко-
конечно порожденных подмодулей в S. В силу (b) F содержит макси-
максимальный элемент А. Если х — произвольный элемент из S, то
подмодуль (А, х), порожденный А ж х, также конечно порожден
и поэтому принадлежит множеству F. Так как (А, х) э А, то
(А, х) = А, т. е. х 6 А. Итак, А = S, т. е. S — конечно порож-
порожденный модуль.
(с)=>(Ь). Пусть 5[ g , . . S 5, s . . . - цепь подмодулей
модуля MR и S = U Sn. В силу (с) S = 2j XiRi гДе Ж1» • • •
п=1 п=1
. . ., хп б М. Из определения S вытекает существование числа к,
такого, что х±, . . ., хп 6 Sk. Тогда S = (ху, ¦ • ., хп) S Sh S S,
т. е. Sk = Sh+1 = . . . = Sk+} для всех /. Итак, М удовлетворяет
условию обрыва возрастающих цепей. ?
Лемма об артиновых и нётеровых модулях
Следующая лемма показывает, что класс нётеровых (артино-
(артиновых) модулей замкнут относительно операций перехода к эпиморф-
ным образам, подмодулям и конечным прямым суммам.

412
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
413
7.10. Лемма.
7.10.1. Пусть М — модуль, N — подмодуль в М. Тогда М — ]
нётеров (артинов) модуль в том и только том случае, когда N]
и M/N — нётеровы (артиновы) модули.
7.10.2. Конечное произведение [J Мг нётерово (артиново) тогда]
и только тогда, когда Mt — нётеров (артинов) модуль при i =
= 1, . . ., п.
Доказательство утверждения 7.10.1. Если М — нё-
нётеров (артинов) модуль, то любой подмодуль N модуля М удо-
удовлетворяет соответствующему условию обрыва цепей. Это же
верно и для MIN в силу теоремы о гомоморфизме A.9). Обратно,
пусть MIN и N — нётеровы (артиновы) модули и {Ап} — воз-
возрастающая (убывающая) последовательность подмодулей модуля М.
Тогда найдется число ?х, такое, что
(Аи + N)/N = (Ап + N)/N
для п ^ tlt и число t > tlt такое, что
At Л N = Ап [}N
для п ^ t > t-y. Пусть п ^ t и х ? Ап (в случае возрастающей
цепи {Ап}). Поскольку Ап + N — At + N, можно записать
х = а + Ъ, где a (i At, b ? N. Тогда х — а = b ? N f] An =
— N П At. Итак, х = b + а ? At, и поэтому Ап = At для всех
п ^ t. Аналогичное рассуждение применимо для убывающей цепи
Доказательство утверждения 7.10.2 проводится
индукцией по п с применением утверждения 7.10.1 для случая
N = My © . . . © Мп.у s M. ?
7.10v. Упражнения.
7.10М. Напомним определение: модуль М неразложим, если
0 и М — единственные подмодули, являющиеся прямыми слагае-
слагаемыми в М. Доказать, что если М — нётеров или артинов модуль,
то М — прямая сумма конечного числа неразложимых подмо-
подмодулей.
7.10'.2. Пусть N — подмодуль модуля М. Тогда назовем
N П-неприводимым (неприводимым относительно пересечений),
если из того, что А и В — подмодули модуля М и N — A f| В,
вытекает, что либо А = N. либо В = N. Доказать, что каждый
подмодуль нётерова модуля М является пересечением конечного
числа П-непРИВ0Димых подмодулей модуля М.
7.10'.3. Пусть В — кольцо и п — натуральное число. Кольцо
Rn всех (п X м)-матриц над R нётерово (артиново) справа тогда
и только тогда, когда R нётерово (артиново) справа. (Это можно
доказать по крайней мере двумя способами. Один из них — дать
категорную формулировку условия и применить утвержде-
утверждение 3.27.)
7.10'.4. Пусть R — коммутативная область главных идеалов,
и / — ненулевой идеал в R. Тогда RII — артиново кольцо.
7.10'.5. Если модуль MR простой, то кольцо End MR — тело.
Верно ли обратное?
7.10'.6. Если R — нётерово (артиново) справа кольцо и суще-
существует гомоморфное наложение колец R —>- S, то S — нётерово
(артиново) справа кольцо.
*7.10'.7. Описать кольцо Endj Z «>. (Это кольцо изоморфно
кольцу р-адических чисел.)
7.10'.8. Пусть R — коммутативная область главных идеалов.
Показать, что если / — любой собственный идеал кольца R,
оо
то ("I 1п = 0. (Это выполняется и в коммутативных нётеровых
п=1
областях целостности R.)
7.10'.9. Любое подкольцо А нётерова (артинова) справа коль-
кольца R удовлетворяет условию обрыва возрастающих (убывающих)
цепей правых аннуляторных идеалов.
7.10'. 10. Любой эпиморфизм Af->- M нётерова модуля является
автоморфизмом. Двойственным образом любой мономорфизм М —*¦
-*¦ М артинова модуля является автоморфизмом.
7.10'.11. Если R — либо нётерово справа, либо артиново спра-
справа кольцо, п, т — натуральные числа и й"» Rm в mod-i?,
то п = т. Вывести из этого, что любые два базиса в свободном
модуле Rn содержат одинаковое число элементов.
Превращение модулей в идеалы
Имеется способ, который Нагата [62] называет принципом
идеализации, позволяющий вложить данный (R, 5)-бимодуль М
в кольцо А таким образом, что М превращается в идеал коль-
кольца А. Именно, пусть
(R М\
обозначает множество всех матриц вида
0 s
где г ? R, x ? М, s ? S. Сложение и умножение в множестве А
определяется обычным образом, например
г х\ />' х'\ In' rx' + xs'\
0 sj [ 0 «7 = \ 0 as' I ¦

414
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Тогда А является кольцом. Для подмножеств РдЛ, V S Мг
W ? S положим
IV V]
\OWj
7.11. Принцип идеализации. Пусть М есть (R, 8)-бимодулъу
(RM)
— построенное выше кольцо. Рассмотрим отображения:
/О т\
ч|з: М ->- А ,ч|з: т i
А =
ф: R
т): S
: п
): si
О О
гО\
0 0/*
/О О
О s
Тогда
7.11.1. ч|э (М) — идеал кольма Л и г|з (МJ = 0.
7.11.2. Отображения ф: i?->-Л и т): S^-Л являются гомо-
гомоморфными вложениями колец г), удовлетворяющими условиям
(а) г|; (r/res) = ф (г) г|> (/re) v\ (s)
для г 6 R, т ? М, s ? S;
(Ь) прямая сумма отображений
является^ изоморфизмом групп;
С I Uj ч±/ Т1. Л VX/ О —^~ JT.
является гомоморфным вложением колец.
Обратно, если А — кольцо и существуют отображения г|;, q>
и т], удовлетворяющие требованиям из 7.11.1 и 7.11.2, то найдется
изоморфизм колец
IR М\
О S
г т\
О si
J) В этом месте мы не требуем, чтобы образы содержали единичный эле-
элемент кольца А.
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
415
Если /: R -*- S — гомоморфизм колец, то подмножество
(R М\
/R М\
1==Vo sj'
состоящее из всех матриц вида
(о/(г))'
где г 6 R, т ? М, является подколъцом, которое мы будем обо-
обозначать через (А, /).
Доказательство оставляем в качестве упражнения.
Для подмножеств U, X s R, V, Y s M, W, Z ? S имеем
равенства
IV V\ IR M\ _ IUR UM + VS\
[owj [о s} = \ о ws j
и
/R M\ IX Y\ _ IRX RY + MZ\
[о s) [о z)~[ о sz /•
Итак, для правого идеала U кольца R, S-подмодуля V в М
и правого идеала W в S получаем правый идеал кольца А
IV VM + V\
A) [о w /;
это включает частные случаи
/О 0\ IV М\ /О V
.о wr \о о )• [ow
/0F4
1 looj-
По левому идеалу X из R, R-подмодулю Y из М и левому идеа-
идеалу Z в S получаем левый идеал кольца А
(X Y + MZ\
<2> (о z !>
это включает частные случаи
IX О
О О
/О У\ IX Y\ /О М\ IX М\
' vo о/' \о о/' \о z j' \о z)•
Следовательно, если U — идеал в R, W — идеал в S и V является
(R, Б)-подмодулем в М, то получаем идеал кольца А
<3> 0 ' W
\

416
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
417
это включает частные случаи
IV М\ /О V
\О W
f: i?
(OV\ /
' \о о/ • I
/О V
OW
Идеализация бимодулей оказывается полезным средством для
построения асимметричных колец, т. е. колец, обладающих
каким-либо «правым» свойством, но не обладающих его левым
аналогом.
7.11'. Примеры нётеровых колец.
7.ИМ. Кольцо А с тремя левыми идеалами, не являющееся
ни артиновым справа, ни нётеровым справа.
Пусть R — поле, /: R -> S — наложение колец, где S —
подполе поля R, такое, что dim Rs = <х>. Например, пусть R =
= Q, (хи . . ., хп, . . .) — поле рациональных функций от беско-
бесконечного числа переменных, S = Q. (х\, х\, . . ., х%, . . .) и/ (xt) =
= х\, f (а) = а для всех а ? Q. и всех i. Тогда R есть (R, 5)-би-
модуль. Применяя к нему принцип идеализации, получаем кольцо
A =
os
обладающее указанным свойством. Действительно, используя A),
замечаем, что множество
Г)
\0Gi)
является правым идеалом кольца А для любого 5-подпростран-
ства V в R, и, поскольку dims R = °о, кольцо А не является
ни артиновым справа, ни нётеровым справа. Однако кольцо А
имеет рдвно шесть левых идеалов:
/О R\ 1R R\ /О R\ (R R\
¦¦A,
[0 0\ (R 0\
Hoob (;oo)
о о
о o
0 S
Это вытекает из того, что, ввиду B), формула
/aR p
I 0 y
где а, Р, у — либо 0, либо 1, дает общий вид левого идеала х).
Если рассмотреть подкольцо (A, f) для нашего гомоморфизма
перев.
Разумеется, надо еще установить, что других идеалов нет,— Прим.
S, то мы придем к трем левым идеалам
/00^ /ов\м.л.
0 =
0 0
00
в то время как правые идеалы
Ю V
О О
кольца А являются и правыми идеалами кольца (А, /).
7.11'.2. Кольцо А, имеющее три левых идеала и являющееся
артиновым справа (и нётеровым справа).
Пусть R — поле, S — подполе, dim SR = n < оо, и пусть
существует гомоморфизм /: R —>- S. Например, R = Q, (хх, ...
. . ., xt), S = Q, (х\, . . ., х\) и /: R -*¦ S — такой гомоморфизм,
при котором #; r-> a:*, i = 1, . . ., t. Пусть
IR R"
л=\о s,
— идеализация. Тогда кольцо (А, /) содержит три левых идеала,
а длина любой цепи правых идеалов не превосходит п.
7.1Г.З (Херстейн [65]). Нётерово справа кольцо А без свойства
Крулля для пересечений степеней радикала.
,,усть р — простое число из Z и
Тогда Z(p) — подкольцо кольца Q, и поэтому О, есть г(р)-модуль
Идеалы кольца Z(p) исчерпываются цепью
область главных идеа-
идеаZ<p>
(доказать это). Это показывает, что Z,p)
лов, нётерова, но не артинова.
Пусть
'z(p, a
о а.
— идеализация (~1{р), С1)-бимодуля U. Поскольку О. — простой
Cl-модуль, мы видим, что правыми идеалами вида
D) (о
где р, у = 0 или 1 и Р = 1 при у =^0, исчерпываются все правые
идеалы кольца А, когда U пробегает множество всех идеалов коль-
кольца Z(p>. Итак, А — нётерово справа кольцо, поскольку Z(p) —
27 к. Фейс

418
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
419
нётерово кольцо. Однако так как
IUQ
\0 О
— идеал кольца А для любого идеала U кольца Z(p), то А не яе-
ляется артиновым ни справа, ни слева. Так как
/О V
\0 О
— левый идеал для любого Ж<р)-подмодуля V в Q,' то А не являет-
является нётеровым слева кольцом.
Радикал модуля MR был определен в упр. 3.69. 1 (а) как пере-
пересечение rad M максимальных подмодулей модуля М. Итак,
rad R — пересечение максимальных правых идеалов кольца R.
Нетрудно показать, что,
rad Z(p) = pZ(P).
Следовательно, для кольца
/z(p) a\
Л=[о а)
из рассмотрения правых идеалов D) получаем, что
[В
Отсюда следует, что
и
п_1В«а\
' \0 Q/
Jn =
Этот пример важен, поскольку теорема Крулля о пересечении
утверждает, что
П (radi?)n=0
Т1=|
для любого коммутативного нётерова кольца R. В этом примере,
однако, кольцо не является нётеровым слева.
7.11'.4 (Ятегаонкар х) [69]). Для каждого ординального чис-
числа а существует область R главных левых идеалов, такая, что
(rad R)a фО, где /ь+1 = IbI и 1Ь = |"| Iе определены для любого
левого идеала / и непредельного ординального числа 6 + 1 или
предельного ординального числа Ъ.,
Теорема Гильберта о базисе
Основная цель этого параграфа — расширение нашего запаса
нётеровых колец и модулей, а также рассмотрение некоторых
приложений.
Пусть R — кольцо, М — правый .ff-модуль, / = {О, 1,2, ...
. . ., м, . . .} — множество неотрицательных целых чисел, А =
= М1 (прямое произведение), В = Ма) (прямая сумма). Вве-
Введем символ х, называемый переменной, и для каждого а ? М
пусть ахг представляет собой единственную функцию р?А,
оо
такую, что р (i) = а, р (/) = 0, если / ф i. Символ / (х) = 2 aixX
i=0
будет обозначать единственную функцию f ? А, такую, что / (i) =
= at для всех г ? /. Элементы {ajiei называются коэффициентами
функции /, a at — коэффициентом при ж*, ? = 0, 1, . . . . Пусть
со
/ (х) = 2 aix% 6 А- Если / (х) фО, то / (х) С В тогда и только
i=0
тогда, когда существует такое натуральное число п, называемое
степенью /, что ап фО и ат = 0 для всех т ;> п. В этом случае
п
будем писать / (х) — 2 atxX- Договоримся считать, что степень
г=0
нулевого отображения равна —с».
Модуль А = М1 обозначается через М (х), а его элементы
называются формальными степенными рядами над М от пере-
переменной х. Модуль В — Ма) обозначается через М [х], а его эле-
элементы называются многочленами над М от переменной х.
Таким образом, определен Д-модуль R (х). Если f (х) =
со п
— 2 rix% и ё (х) — 2 SJX' — элементы из R (х), то определено
¦i = 0 j=0
оо
их произведение как формальный степенной ряд 2 tkxk,i lrp,e
ft=0
th = 2 rtt] € Rj A; = 0, 1, 2, .... Тем самым R (х) ста-
J) Эти примеры были первыми примерами колец, в которых пересечение
степеней радикала отлично от нуля и которые являются: 1) областями це-
целостности или 2) кольцами главных левых идеалов, или 3) и теми и другими.
См. также работу Ятегаонкара [70] и другие его результаты в упражнениях.
27*

420
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
новится кольцом относительно произведения и суммы формаль-
формальных степенных рядов. Это кольцо называется кольцом формаль-
формальных етепенных рядов над R от х. Если f,g?R (x) — многочлены
степени пит соответственно, то fg — многочлен, степень кото-
которого не превосходит п + т. Следовательно, R [х] — подкольцо
в R (х), называемое кольцом многочленов над R от перемен-
переменной х. (См. 5.74 и З.ЗЬ.) Множество всех многочленов ъ R (х)
степени 0 образует подкольцо кольца R (х), изоморфное коль-
цу R.
п д
Если т (х) = 2j aixl € М [х] и р (х) — 2 rix% 6-й [х], то ПОЛО-
ПОЛОJ=0
n+q
жим т (х) р (х) = 2 bhxh, где bh = 2 atrj ? М, k = 0, 1, ...
. . ., п -\- q. Это определяет операцию [i: М [х] X R [х] —>- М [хЬ
а М [х] можно рассматривать как R Ы-модуль (М [х], R [х], \а).
Как обычно, 1 обозначает единичный элемент кольца R. Тогда
R (х) содержит элемент 1х. А если мы определим Aх)° = 1, то
тогда Aх)п = \хп для всех п. Далее, если М есть Д-модуль, то
каждый элемент р (х) = 2 ria;t G Af (ж) однозначно записывается
2
г=0
ОО
в виде р (х) = 2 Гг (М1-
г=0
Пусть 5 — любой i? Ы-подмодуль модуля Af [ж]. Если S содер-
содержит многочлен степени п, то определим Ln (S) как множество
элементов модуля М, которое состоит из 0 и тех элементов а ? М,
которые встречаются как коэффициенты при хп в многочленах
из S степени п. Тогда Ln (S) есть Л-подмодуль Д-модуля М. Если
I п
степень многочлена т (х) = У^ п(Хг ? S равна п, то степень мно-
i=0
гочлена т (х) х равна п -f- 1. Следовательно, Ln (S) s Ln+1 (S).
7.12. Лемма. Если S, Т суть R [х]-подмодули в М [х], такие,
что S s Т, и если Lt (S) = Lt (Т) для i = 0, 1, . . ., mo S = Т.
Доказательство. Допустим, что S ф Т. Пусть / (х) =
п
= 2 а1х* 6 Т — многочлен наименьшей степени п среди всех
1=0
многочленов из Т, которые не лежат в S. Так как ап ? Ln (T)
и Ln (Т) = Ln (S), то существует многочлен g (х) ? S степени п>
в котором ап является коэффициентом при хп. Тогда степень
многочлена / (х) — g (х) = h (х) не превосходит п — 1. Поэтому
h (х) ? S (в силу предположения о выборе п). Тогда / (х) = g (x) +
+ /i (х) ? 5, что противоречит предположению. Итак, S = Т. ?
/U. 7. Общие теоремы Веддербёрна
421
7.13. Теорема Гильберта о базисе. Пусть R — кольцо, М —
нётеров R-модулъ. Тогда модуль многочленов М [х] является нёте-
ровым R [х]-модулем.
Доказательство. Пусть Мх g= M 2 s . . . s Л/п s ¦ • . —
возрастающая последовательность i? [а;]-подмодулей модуля 7W [ж].
Рассмотрим прямоугольную таблицу {Lt (Mj) \ i, j = 0, 1, . . .}
/^-подмодулей модуля М. При фиксированном индексе j получаем
возрастающую последовательность]
U (M}) ?i1(Ii)s...S Ln (Mi) =
Так как Mj s Mm для всех /re >- у, то L? (Af7) ^ L; (Mm) для
всех т^- j, и мы получаем диагональную возрастающую после-
последовательность
Lo (Мо) = Lx (Мх) s . . . = Ln (Мп) = . . . .
Так как М — нётеров Д-модуль, то найдется индекс q, такой, что
Lq (Mq) = Lq+1 (Mq+1) = . . . . Тогда Lt (Mj) = Lq (Mq) для
всех i ~^- q, j ^- q. С другой стороны, из условия обрыва возрастаю-
возрастающих цепей следует, что для фиксированного индекса i существует
наименьшее число п (j) среди таких к, что Lt (Mj) = Lt (Mh) Для
всех у ^- к. Если i ^- q, то n (j) ^ q. Итак, числа п (i) ограни-
ограничены, скажем, числом п0. Тогда Lt (Mj) = Lt (МПа) для i =
= 0, 1, ... . Из предыдущей леммы следует, что Mj = МП1>
для всех у >- 7г0. Так как М [х] удовлетворяет условию обрыва
возрастающих цепей R Ы-подмодулей, то М [х] является нёте-
ровым R Ы-модулем. ?
7.14. Следствие. Если R — нётерово справа кольцо, MR —
конечно порожденный R-модулъ, то модуль многочленов М [х]
является нётеровым R [х]-модулем; в частности, кольцо много-
многочленов R [х] нётерово справа.
Доказательство. Так как М — нётеров Д-модуль,
то теорема Гильберта о базисе применима. Второе утверждение
вытекает из первого при М = R. ?
Если R [х] — кольцо многочленов над R от переменной х,
то через R [х, у] обозначим кольцо многочленов над R [х] от пере-
переменной у. Будем называть R [х, у] кольцом многочленов над R
от переменных х, у. Допустим, что мы определили кольцо
R [хг, . . ., ?„_],] от п — 1 переменных. Тогда пусть R [хх, . . .
. . ., хп] — кольцо многочленов от переменной хп над R [хг, . . .
. . ., хп^1]. Это кольцо называется кольцом многочленов над R
от переменных хх, . . ., хп 1).
г> Определение не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора пере-
переменной хп.— Прим. перев.

422
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
7.15А. Следствие. Если R — нётерово справа кольцо, то нёте-
рово справа и кольцо многочленов R [хх, . . ., хп] от переменных
ХЪ • • •» хп'
Доказательство проводится индукцией по в с ис-
использованием 7.14.
Пусть S — коммутативное кольцо, R — его подкольцо. Если
аъ . . ., ап — конечный набор элементов из S, то подкольцо
R [а1, . . ., ап], порожденное подкольцом R и элементами аг, . . .
. . ., ап, является гомоморфным образом кольца многочленов
R [хъ . . ., хп] при отображении, которое переводит хг в at,
i = l, . . ., п, и оставляет на месте элементы из R. Следователь-
Следовательно, если кольцо R нётерово, то нётерово и кольцо R [ах, . . ., ап\.
Гипотеза Серра: будет ли каждый проективный модуль свобо-
свободен над кольцом многочленов от п переменных над полем? Ответ
положителен при п = 1, 2 (Сешадри [58]). В любом случае каж-
каждый проективный идеал свободен. В общем случае вопрос остается
открытым (см. Басе [62]) 1).
7.15В. Упражнения.
п
7.15В. 1 (Джилмер [68]). Доказать, что многочлен / = 2 fix%
i=0
в кольце многочленов R [х] над коммутативным кольцом R обра-
обратим тогда и только тогда, когда /0 — обратимый элемент в R,
a ft — нильпотентный элемент кольца R, i = 1, . . ., п.
*7.15В.2 (Снаппер [52]). rad R [х] = N [х], где N — макси-
максимальный ниль-идеал коммутативного кольца R.
7.15В.З. Для любого кольца R обратимые элементы в кольце
R (х) — это элементы вида с + xg, где g ? R {х) и с — обратимый
элемент кольца R. Вывести из этого, что rad R (х} состоит из всех
степенных рядов г + xh, где h ? R (х) и г ? rad R.
7.16. Предложение. Следующие условия на модуль М эквива-
эквивалентны:
7.16.1. М — однородный модуль.
7.16.2. Инъективная оболочка модуля М неразложима.
Доказательство. Пусть М — инъективиая оболочка
модуля М. Если М — разложимый модуль, то М = А © R,
где А, В — ненулевые подмодули. Тогда U = А [} М фО, V —
= В f] М =7^=0 и U {] V ~ 0, т. е. модуль М не является одно-
однородным. Обратно, если М содержит ненулевые независимые под-
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
423
1> Полное решение проблемы получено А. А. Суслиным (ДАН СССР,
229 A976), № 5, 1063 — 1066).— Прим. перее.
модули U, V, то пусть U и V — их инъективные оболочки в М.
Так как U и V — инъективные модули, то они выделяются пря-
мыми слагаемыми в М, и поэтому модуль М не является неразло-
неразложимым. ?
Области Оре
Правый идеал кольца R называется однородным, если он
является однородным Д-модулем. Однородный правый идеал L
играет ту же роль в строении простого нётерова кольца R, что ми-
минимальный правый идеал в строении простого артинового кольца
Именно, R = EndK U, где U — конечно порожденный проектив-
проективный модуль над К = End UR. В этом случае, однако, К является
областью целостности, в то время как в артиновом случае оно
было телом. Тем не менее кольцо К вложимо в тело. Сейчас мы
обсудим, как это может быть осуществлено.
Правой областью Оре называется такая область целостности К,
что К — однородный правый идеал в К. Например, любая комму-
коммутативная область целостности R является областью Оре, посколь-
поскольку ху 6 xR П yR- Симметрично определяется левая область Оре
(Оре [31], [33]). Не каждая область целостности вложима в тело
(А. И. Мальцев [36]). Среди вложимых в тела находятся области
Оре. Тело Q называется (правым) телом частных области целостно-
целостности К, если К — подкольцо тела Q и Q = {ab'1 \ a, b ? К, b фО}.
В этом случае, если а, Ъ — ненулевые элементы из К, то Ь~ха =
= а^1 Для подходящих а^ Ъх ? К. Тогда abx = Ъах фО, т. е.
аК П ЬК фО. Это доказывает, что для того, чтобы К обладала
телом частных, необходимо, чтобы К была областью Оре. Обратно,
пусть К — область Оре. Рассмотрим множество <0Р всех упоря-
упорядоченных пар (а, Ь), где а, Ъ 6 К, Ъ фО. В <ff определим следую-
следующее отношение: (а, Ь)ж(с, d) тогда и только тогда, когда из bdx=
= dbx следует ad1==cb1. Можно проверить, что « есть отношение
эквивалентности на множестве tf'. Пусть alb обозначает множество
пар (с, d), таких, что (с, d) « (а, Ь). Пусть Q = {alb \ a, b ?
? R, Ь ^=0}. В Q определим операции:
A) alb + eld = (аа\ + cbx)lm,
где т = bdx = db±. Если с фО и п = bc2 = cb2, то определим
B) {alb) {eld) = {ac2)/{db2) и {alb) {eld) = Old, если с = 0.
Мы опускаем проверку того, что результат операций A) и B)
не зависит от выбора представителей для alb и eld. Мы оставляем
читателю и проверку того, что Q — тело. (Вопрос о кольцах
частных мы обсудим детально и в большей общности в гл. 9.)
Имеется кольцевой мономорфизм K—>-Q, такой, что а*-*- а/1.
[Это непосредственное следствие формул A) и B).] Если мы отож-

424
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
дествим К с его образом при этом отображении, то увидим, что
Q — тело частных кольца К, поскольку (а/1) = (На) для всех
О ф а 6 К и {alb) = (a/1) (bll)'1 для всех alb ? Q.
Условие максимальности для прямых сумм
Будем изучать следующее условие обрыва цепей для модуля,
которое приведет нас к существованию однородных подмодулей:
модуль М не содержит бесконечного числа независимых подмоду-
подмодулей. Будем говорить, что модуль М, удовлетворяющий этому
условию, удовлетворяет условию максимальности для прямых
сумм. В частности, кольцо R может удовлетворять условию
максимальности для прямых сумм правых или левых идеалов.
Любое кольцо матриц Dn над телом D является конечномерным
векторным пространством над D и поэтому удовлетворяет обоим
условиям максимальности для прямых сумм. Более того, этим
условиям удовлетворяет и конечное произведение таких колец.
Определение размерности (Голди), упоминаемой в следующем
предложении, было дано в 4.19.
7.17. Предложение.
7.17.1. Если М — ненулевой R-модулъ, удовлетворяющий усло-
условию максимальности для прямых сумм, то существует конечное
число независимых однородных подмодулей С717 . . ., Un, таких,
что иг -\- . . . -\- Un — существенный подмодуль в М.
В этом случае dim M = п.
7.17.2. Если М удовлетворяет условию максимальности для
прямых сумм и S — ненулевой подмодуль, то S содержит одно-
однородный подмодуль модуля М.
7.17.3.. Модуль М удовлетворяет условию максимальности для
прямых сумм тогда и только тогда, когда этому условию удовле-
удовлетворяет каждое существенное расширение модуля М.
Доказательство утверждения 7.17.1. Если f и fF' —
семейства независимых подмодулей, то будем говорить, что $р' —
измельчение множества f, если каждый подмодуль из р' содер-
содержится в некотором подмодуле из ?Р. Б этом случае будем гово-
говорить, что $р' — собственное измельчение, если мощность множе-
множества $р' больше, чем мощность множества $Р. Из условия макси-
максимальности для прямых сумм следует, что для данного множества <fp
существует конечное измельчение %¦' множества р, уже не обладаю-
обладающее собственными измельчениями. Покажем теперь, что такое
семейство <р' состоит из однородных подмодулей. Действительно,
если f/g^"' и С/не является однородным, то X |~| Y = 0 для двух
ненулевых подмодулей в U. Тогда семейство $Р", получающееся
из $р' заменой U на X и Y, является собственным измельчением
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
425
для f х). Следовательно, можно считать, что М содержит одно-
однородный подмодуль иг. Если U1 не является существенным под-
подмодулем, то U1 f| M2 = 0 для некоторого ненулевого подмодуля
М2- Но М2 содержит однородный подмодуль С/2. Продолжая,
получим цепь
иг cz Ut в U2 с . . . с: Ux e U% ® . . . Ф Un,
где Ui — однородный модуль, i = 1, . . ., п. Из условия макси-
максимальности для прямых сумм следует, что для некоторого п модуль
п
М является существенным расширением подмодуля 2j Ui- Обрат-
ное утверждение оставляем в качестве упражнения.
Доказательство 7.17.2. Любой подмодуль модуля М
удовлетворяет условию максимальности для прямых сумм, а тогда
применимо утверждение 7.17.1. Доказательство утверждения 7.17.3
оставляем в качестве упражнения (см. 7.18.1). ?
Можно было бы думать, что модуль М, удовлетворяющий усло-
условию максимальности для прямых сумм, может содержать сколь
угодно большое число независимых подмодулей. Это не так.
В действительности число п в утверждении 7.17.1 определено одно-
однозначно, и каждое семейство независимых подмодулей модуля М
содержит не более п подмодулей. Это утверждение можно вывести
из теоремы Крулля — Ремака — Шмидта 21.2 (см. упр. 7.18.1).
7.18. Упражнения.
7.18.1. Пусть М — ненулевой Д-модуль, М — его инъективная
оболочка. Тогда следующие условия равносильны:
(a) М удовлетворяет условию максимальности для прямых
сумм.
(b) Существует конечное число независимых однородных под-
подмодулей Uv . . ., Un, таких, что ?/, + . . . + Un — существен-
существенный подмодуль в М.
(c) М — прямая сумма т неразложимых модулей, т < с».
(d) Существует число t, такое, что М содержит семейство из t
независимых подмодулей, но не содержит такого семейства из
большего числа подмодулей.
В этом случае п = т = t.
7.18.2 (Голди). Область целостности R является областью Оре
тогда и только тогда, когда RR удовлетворяет условию максималь-
максимальности для прямых сумм.
7.18.3. Если R — область Оре, то областью Оре является
и кольцо многочленов R [х].
Поскольку ] 9' | < No-— Прим. перев.

426
Ч. II. Строение нётеровых полупе
рвичных колеи
7.18.4. Если К — тело частных правой области Оре В, то
К — инъективная оболочка модуля BR. Более общим образом,
показать, что над правой областью Оре любой делимый правый
модуль без кручения инъективен.
7.18.5. Если Q и Q' — тела частных кольца К, то существует
единственный изоморфизм колец (тел) <р: Q —*- Q', такой, что
«р {а) = а для всех а ? К.
7.18.6. Если К — правое тело частных кольца Q, то Q —
левое тело частных кольца К тогда и только тогда, когда К —
левая область Оре.
*7.1Э. Упражнения. Пусть Е — неразложимый (ква-
зи)инъективный модуль и В = End ER.
7.19.1. Доказать, что В содержит единственный правый идеал /.
Вывести из этого, что / = rad В и B/J — тело. (Тогда В —
локальное кольцо. Ср. 18.10.)
7.19.2. Если в Е нет вполне инвариантных подмодулей, то
В — тело.
*7.20. Упражнение (обобщение Адзумаи [50] теоремы
Крулля — Ремака — Шмидта). Разложение модуля М в прямую
сумму неразложимых модулей {Mt}i?i с локальными кольцами
End (Mi)R для всех i ? / единственно (в том смысле, что если
М = 2 N] — другое такое разложение, то существуют биектив-
ное отображение /: / —>• / и автоморфизм модуля М, отображаю-
отображающий Mt на Nnn для всех i ? /).
Порядки в простых артиновых кольцах
Предподкольцо Т кольца S называется правым порядком в S,
если для любого х 6 S найдутся а, Ъ ? Т, причем а — обратимый
элемент 'в S, для которых х = Ъа~1. Например, область Оре К
является порядком в своем теле частных D, а кольцо матриц Кп —
порядок в кольце Dn. Действительно, пусть х = (d^) ? Dn, где
dit ?D. Тогда du = kutl,x, ktj, tu 6 K, i, j = 1, . . ., п. Так как
n
К — область Оре, то найдется ненулевой элемент tf f| ttjK.
г, j=l
Поэтому t = tijgij для некоторого gtj ? К. Тогда tij-t = gti
и поэтому для а = diag t получаем
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
427
Ъ = ха =
Кп-
jgtj) в п
Так как а — обратимый элемент в кольце Dn, то х — ba~l, что
и требовалось показать. (Все порядки кольца Dn могут быть опи-
описаны аналогичным образом, см. теорему Фейса — Утуми, гл. 10.)
Более общее утверждение: если В — порядок в кольце S, то
кольцо В„ — порядок в кольце матриц Sn.
7.21 А. Предложение. Если К — правый порядок в D, то кано-
канонический правый К-модулъ D является существенным расширением
(на самом деле рациональным расширением, см. 4.5) модуля К.
Если D — артиново справа кольцо, то для любого натурального
числа п >> 0 и для любого ненулевого идемпотента е в кольце всех
(п X п)-матриц Dn кольцо еКпе является правым порядком в коль-
кольце eDne.
Доказательство. Если d ? D и d Ф 0, то d = ab-1,
где а, Ъ ? К. Поэтому а = db — ненулевой элемент в dK П К.
Это показывает, что D — существенное расширение модуля К.
(Аналогично проверяется, что D ¦— рациональное расширение
модуля К.)
Допустим теперь, что D — артиново справа кольцо. Тогда
любой регулярный справа элемент d (j D обратим в D. Чтобы
убедиться в этом, выберем число к так, что убывающая цепь
{^lZ)}{Li правых идеалов стабилизируется после dkD. Тогда
clk = dh+1c для некоторого с ?D. Так как элемент d регулярен
справа, то 1 = dc. Итак, с — правый обратный для d. Но d (cd —
— 1) = 0, и поэтому cd = 1. Следовательно, d — обратимый
элемент.
Докажем теперь, что В = еКпе — правый порядок в Q =
= eDne. Сначала покажем, что A) для любого 0 ф q ? Q существует
элемент г ? В, такой, что qr ? В и qr ф 0. Действительно, правый
идеал / = {Ъ ? Кп \ qb ? Кп) кольца Кп существенный, посколь-
поскольку, как показано выше перед предложением 7.21А, Кп — правый
порядок в Dn, и потому Dn — существенное расширение для Кп.
Итак, qJ —• ненулевой правый идеал первичного кольца Кп. Сле-
Следовательно, qJe Ф 0. Но q = eqe G eDne. Поэтому существует
элемент г ? В, для которого qr^O.
Далее докажем, что B) каждый регулярный справа элемент х
кольца В обратим в Q. В самом деле, поскольку кольцо Q арти-
артиново, достаточно убедиться в том, что х — регулярный элемент
в Q. Допустим, что xq = 0 для q ? Q- Если q Ф 0, то qr Ф 0 и ле-
лежит в В для некоторого г ? В. Тогда равенство xqr = 0 противо-
противоречит регулярности элемента х в В. Это показывает, что элемент х
регулярен справа в Q, а тогда, как мы доказали для артинова
справа кольца, он является обратимым элементом.
Для того чтобы убедиться, что В — правый порядок в Q,
нам остается лишь показать, что для любого q ? Q множество
q' = {г ? В | qr g В) содержит регулярный справа элемент х.
[Действительно, тогда х — обратимый элемент кольца Q, и поэто-
поэтому q = ах-1, а = qx, х ? В.] Так как В — подкольцо артинова
справа кольца Q, то можно выбрать х 6 q' так, что правый анну-
лятор хх элемента х в В (соотв. в Q) является минимальным в мно-
множестве {у1 | у 6 <?'}• [Указание: правый аннулятор в В совпадает

428
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
с пересечением правого аннулятора в Q с R.] Если х не является
регулярным справа в R, то х не является и обратимым в Q, поэтому
xQ Ф Q. Следовательно, существует ненулевой правый идеал Р
кольца Q, такой, что xQC\P — 0. (Доказательство?) Тогда / =
= Р f\R — ненулевой правый идеал кольца R, такой, что xR f|
П/ = 0. Так как q' — существенный правый идеал кольца R, то-
/ = q' q/ ф 0. Если k G / и t ? (к + x)L, то Ы = —xt ?lf\xR.
Поскольку I f\xR = 0, то Ы = xt = 0, и поэтому (к + хI S
^/cJ-fja;-1-. Обратное включение очевидно. Таким образом, rt =
= kL [\xL для всякого элемента г^ = к -\- х при1 любом к ? q'.
Если гй" = 0, то rh — нужный нам регулярный справа элемент
из q'¦ В противном случае в силу выбора элемента х получаем,
что xL = r? = к1- fix1 для всех к ? q', и поэтому q'xL = 0.
Так как R — первичное кольцо ж q' Ф0, то ж1 = 0. Поэтому
х — регулярный справа элемент (как раз его и требовалось най-
найти). ?
Голди [58], [60], Лезьё — Круазо [59] открыли, что любое нёте-
рово первичное кольцо является порядком в простом артиновом
кольце. Исторически это была первая теорема о конечномерном
представлении для произвольного простого нётерова кольца. Она
доказывается в гл. 9. Сейчас мы получаем лишь такое следствие.
7.21В. Предложение. Если R — простое кольцо с однородным
правым идеалом U, то R — правый порядок в простом артиновом
кольце Dm, где D — тело частных области Оре К = End UR.
Если Т — подколъцо кольца Dm, содержащее R, mo T — порядок
в Dm и простое кольцо, удовлетворяющее условию максимальности
для прямых сумм. Кроме того, существуют число п^ т, идем-
потент е в кольце (п х п)-матриц Dn и изоморфизм J) R « еКпе.
Доказательство. В силу 7.5 R « EndK U, где К —
порядок^ в теле D и KU — конечно порожденный проективный
модуль. Допустим, что U — прямое слагаемое в Кп. В силу G.6)
найдется идемпотент
е е Кп « EndK К",
такой,' что R « еКпе. (Идемпотент е является проекцией Кп ->-
-»- U.) Но Кп — порядок в Dn. Из этого следует, что еКпе —
порядок в eDne G.21A). В силу упражнения 7.10'.3 eDne да Dm
для некоторого т -^ п. Итак, R да еКпе — порядок в простом
артиновом кольце, изоморфном кольцу Dm.
Далее, если Dms Т эЛ, /—идеал кольца Т и Q=?=x =аЪ~1 ? I,
то хЪ = а ? I [\R. Но I[\R — идеал кольца R. Так как х Ф 0,
то If\Rф0. Следовательно, I f\R = R, т.е. I ^ R. Тогда
1 ? /, и поэтому / = Т, т. е. Т — простое кольцо. Также оче-
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
429
видно, что Т — порядок в кольце Dm, удовлетворяющий условию
максимальности для прямых сумм, поскольку этому условию
удовлетворяет кольцо Dm (см. 7.17.3). ¦?
Аннуляторы
Если R — кольцо с делителями нуля, то существует нетри-
нетривиальный аннуляторный идеал, т. е. правый идеал вида А =
= аппн X, где X — некоторое подмножество кольца R. Итак,
правый идеал А является аннуляторным тогда и только тогда,
когда А = XL для некоторого подмножества X. Тогда А =
-¦= (RX)-1-, где RX — левый идеал, порожденный множеством X.
Пусть В = LA — левый аннулятор множества А. Очевидно, что
ВэИи
Это часть теоремы Харта [67].
Однако В А = 0, и поэтому BL э А. Следовательно, А = Вх =
= A4)-L. Итак, правый идеал А является аннуляторным тогда
и только тогда, когда А = (-'-Л)-1-.
7.22. Упражнения.
7.22.1. Пусть А — правый идеал кольца R. Если А = eR,
где е = ег ? R, то А — аннуляторный правый идеал.
7.22.2. Если R = Dn, где D — тело, то каждый правый идеал
кольца R аннуляторный.
7.22.3. Каждый конечно порожденный односторонний идеал
в кольце всех линейных преобразований аннуляторный.
*7.22.4. Циклический модуль RIA вкладывается в произведе-
произведение экземпляров модуля R тогда и только тогда, когда А —
правый аннуляторный идеал. Вывести из этого, что если R —
кообразующий в категории mod-i?, то каждый правый идеал коль-
кольца R аннуляторный.
7.22.5. Показать, что каждый идеал кольца Ll{pn) аннулятор-
аннуляторный. [Указание: собственные идеалы имеют вид (рг)/(рп), i =
= 1, . . ., п — 1. Провести индукцию по i.]
Максимальные и минимальные аннуляторные идеалы
Множество правых аннуляторных идеалов кольца R упорядо-
упорядочено по включению. Минимальным аннуляторным идеалом назы-
называется минимальный элемент частично упорядоченного множества
ненулевых правых аннуляторных идеалов. Двойственным образом,
максимальный аннуляторный идеал — максимальный элемент
в частично упорядоченном множестве правых аннуляторных идеа-
идеалов, отличных от R. Например, если R — область целостности,
то 0 — максимальный аннуляторный идеал, a R — минимальный
аннуляторный идеал. Но это тривиальные примеры. Более типич-

430
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
ная ситуация: любой правый идеал А кольца R, выделяющийся
прямым слагаемым, является аннуляторным идеалом, поскольку
А = еВ. для идемпотента е ? R и, следовательно, А = 5х, где
В — R A — е) — левый аннуляторный идеал. Если К — область
целостности, то для любой матричной единицы eit правый идеал
ецЯ в кольце матриц R = Кп над кольцом К является минималь-
минимальным правым аннуляторным идеалом. Итак, минимальные правые
идеалы простого артинова кольца являются минимальными анну-
ляторными идеалами.
Условие максимальности для правых
аннуляторных идеалов
Наряду с условием максимальности для правых аннуляторных
идеалов (см. «Теоретико-множественное введение», где обсужда-
обсуждалось условие максимальности для упорядоченных множеств) мы
будем иногда рассматривать и условие минимальности для правых
аннуляторных идеалов, а также аналогичные условия для левых
аннуляторных идеалов.
Следующие упражнения не являются необходимыми для даль-
дальнейшего изложения, но они проливают свет на основные свойства
аннуляторных идеалов и иногда будут использоваться в тексте.
7.23. Упражнения.
7.23.1. Множество правых аннуляторных идеалов кольца R
является структурой, где А у В = (ЦА + В)I и A f\B — A f\B.
7.23.2. Соответствие <р: \-*-LA является структурным анти-
антиизоморфизмом между структурой правых аннуляторных идеалов
и структурой левых аннуляторных идеалов. Итак, кольцо R
удовлетворяет условию максимальности для правых аннулятор-
аннуляторных идеалов тогда и только тогда, когда кольцо R удовлетворяет
условию минимальности для левых аннуляторных идеалов. Ана-
Аналогично, А — максимальный правый аннуляторный идеал тогда
и только тогда, когда ±А — минимальный левый аннуляторный
идеал. Каждый максимальный правый аннуляторный идеал А
имеет вид А = bL, где Ъ — некоторый элемент кольца R.
7.23.3. Если S — подкольцо кольца R, то отображение огра-
ограничения А >—*¦ А П S является гомоморфным наложением струк-
структуры правых аннуляторных идеалов кольца R на структуру пра-
правых аннуляторных идеалов кольца S. Вывести из этого, что если
S удовлетворяет условию максимальности (минимальности) для
правых аннуляторных идеалов, то этому же условию удовлетво-
удовлетворяет и кольцо R. (См. стр. 188.)
7.23.4 (Фейс [67]). Кольцо R удовлетворяет условию макси-
максимальности для правых аннуляторных идеалов тогда и только
тогда, когда для каждого правого идеала I существует конечно
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
431
порожденный правый идеал 1и лежащий в / и имеющий тот же
левый аннулятор, что и /.
7.23.5. Если R — правый порядок в классически полупростом
кольце S, то R удовлетворяет условиям максимальности для пря-
прямых сумм правых идеалов и для правых аннуляторных идеалов.
Итак, этим условиям удовлетворяет любое простое кольцо с нену-
ненулевым однородным правым идеалом. Кроме того, эти условия
инвариантны (в смысле Мориты) г).
*7.23.6. Если для любого п > 0 кольцо матриц Rn конеч-
конечно по Дедекинду (т. е. ab = 1 влечет за собой Ъа — 1), то
R — правое IBN-кольцо (см. гл. 3). В противном случае для неко-
некоторого п кольцо Rn содержит бесконечное число ортогональных
идемпотентов и, в частности, не удовлетворяет ни условию макси-
максимальности для прямых сумм правых идеалов, ни условию мак-
максимальности для правых аннуляторных идеалов. Вывести из этого,
что кольцо R не вкладывается в тело.
Для х ? R через ху обозначим его правый аннулятор.
Напомним (см. 4.15), что правый идеал V кольца R называется
латеральным, если кольцо эндоморфизмов End UR является обла-
областью целостности. Некоторые достаточные условия латеральности
правого идеала U приведены в 4.16. Если R — простое кольце
или первичное кольцо с условиями обрыва возрастающих цепей
левых аннуляторных идеалов, то по 4.21.2 любой однородный
правый идеал является латеральным.
7.24. Предложение.
7.241. Если А — максимальный правый аннуляторный идеал
кольца А, то кольцо эндоморфизмов правого R-модуля RIA является
областью целостности.
7.24.2. Пусть максимальный правый аннуляторный идеал А
записан в виде А = bL. Тогда bR — латеральный правый идеал
и End (Ь-Й)н—область целостности, изоморфная кольцу End {RIA)R.
Доказательство. Так как в обоих случаях А = 6х,
то R/A да bR. Поэтому End {R/A)R да End {bR)R. В силу 4.16.2,
End {bR)R —¦ область целостности. ?
7.24.1 является обобщением (Кох [66]) леммы Шура 3.10.1.
Простые кольца с максимальными правыми
аннуляторным и идеалами
Применим предложение 7.24 к простым кольцам.
7.25. Предложение. Пусть R — простое кольцо с максималь-
максимальным правым аннуляторным идеалом. Тогда существует главный
правый идеал U кольца R, такой, что Q = End UR — область
х> См. стр. 278.— Прим. перев.

432
Ч. II. Строение нётерових полупервичных колец
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
433
целостности. Кроме того, U — конечно порожденный проектив-
проективный Q-модулъ, а каноническое отображение R —>¦ EndQ U является
изоморфизмом колец. Итак, для некоторого числа п > 0 суще-
существуют идемпотент е в кольце матриц Qn и изоморфизм колец
R « eQne.
Доказательство. Надо применить общую теорему
Веддербёрна 7.5 и 7.24. В связи с изоморфизмом R ж eQne см.
доказательство утверждений 7.5 и 7.21В. ?
7.26. Упражнения.
7.26.1 (Харт [67]). Если в предложении 7.25 простое кольцо R
содержит однородный правый идеал, то Q — правая область Оре.
*7.26.2. Циклический правый .й-модуль RIA содержится
в некотором свободном Д-модуле тогда и только тогда, когда
X1- = А для некоторого конечного подмножества X кольца R.
7.26.3. Если в кольце R каждый правый идеал А имеет вид
А = Z-1-, где X — некоторое конечное подмножество кольца R,
и соответствующее условие выполнено для левых идеалов, то
кольцо R артиново и нётерово справа и слева.
7.26.4. Если каждый циклический правый и левый -R-модуль
вложим в проективный Д-модуль, то кольцо R артиново и нёте-
нётерово справа и слева, при этом каждый односторонний идеал
является аннуляторным. (См. квазифробениусовы кольца, гл. 24.)
Вопросы единственности
Простые кольца вездесущи в некоммутативной теории колец.
Мы знаем, что простое нётерово кольцо R изоморфно кольцу
эндоморфизмов конечно порожденного проективного модуля U
над областью Оре К, при этом R — правый порядок в простом
артиновом кольце Dn, где D — тело частных кольца К. Получае-
Получаемое таким образом кольцо Dn единственно с точностью до изомор-
изоморфизма (доказательство аналогично доказательству единственности
тела частных области Оре, см. классические кольца частных, гл. 9).
Из теоремы Веддербёрна — Артина G.9) следует, что два простых
артиновых кольца Dm и Qn, где D, Q — тела, изоморфны тогда
и только тогда, когда п = т и D « Q- Итак, тела частных раз-
различных областей Оре К, возникающих при различных реализа-
реализациях описанного процесса, изоморфны. Можно показать, однако,
что в общем случае само кольцо К не определено однозначно.
В случае когда U — проективный однородный правый идеал
кольца R (и только в этом случае), область Оре К является про-
простым кольцом G.5). Итак, мы неизбежно приходим к простому
кольцу (не являющемуся телом) без делителей нуля. Можно
было бы без риска заключать пари, что 99 процентов читателей
ни разу не видели ни одного такого кольца, хотя эти кольца весь-
весьма часто встречаются в природе. Литтлвуд [33] рассматривал
некоторый класс таких колец, связанный с квантовой механикой.
Каждый, желающий выяснить строение всех простых нётеровых
колец, вынужден вступить в схватку с ними (чем мы и займемся
в следующем параграфе).
Дифференцирования
Пусть А — кольцо, ср: А —*- А — мономорфизм колец. Отобра-
Отображение D: А—>-А назовем ф-дифференцированием, если
D (а + Ь) = D (а) + D F),
D (аЬ) = ф (а) D (b) + D (а) Ъ
для всех а, Ь?А. Если ср — тождественное отображение, то
будем называть D (обычным) дифференцированием. Каждому эле-
элементу х ? А можно сопоставить дифференцирование
Dx: a
ах — ха
для любого а ? А, которое будем называть внутренним дифферен-
дифференцированием, определяемым элементом х. Дифференцирование
называется внешним, если оно не является внутренним.
Примеры. 1. Если R — кольцо и А = R [х] — кольцо
многочленов, то обычное дифференцирование D, для которого
D (
atxl) = 2
г=0
( S
г=0
где at ? R, i — 1, . . ., га, является дифференцированием коль-
кольца А.
2. Пусть А э к — тела и dim^ A = 2. (Мы не требуем равен-
равенства dim Ak =2.) Тогда А = к + кх для любого элемента х 6 А,
х (J к. Если а ? к, то существуют единственные элементы ф (а),
D (а) ? к, такие, что
ха = D (а) + ф (а) х.
Это определяет кольцевой мономорфизм ф кольца А и ф-диффе-
ренцирование D. ?
Пусть D есть ф-дифференцирование кольца А, А [у] — кольцо
многочленов. Тогда А [у] является также кольцом относительно
обычного сложения и умножения, которое определяется равен-
равенством
A)
28 к. Фейс
уа = D (а)
(а) у

434
Ч. II. Строение нётероеых полупервичных колец
Гл. 7. Общие теоремы Веддербё'рна
435
и его следствиями.1 Это кольцо называется кольцом ф-дифферен-
циальных многочленов с дифференцированием D и обозначается
А [у, D, ф].
Пусть D — любое дифференцирование кольца А (т. е. ф = 1).
Тогда из A) следует, что
B) уа = D (а) + ау
и
п
где ZJ = D о D, . . ., Dn = Z)"-1 о/)=й. ZO1-1 и ( J ) - бино-
биномиальный коэффициент. В этом случае наше кольцо называется
кольцом дифференциальных многочленов над кольцом А с диффе-
дифференцированием D и обозначается через А [у, D] или А [у, '],,
где штрих означает дифференцирование.
7.27. Предложение. Если А — нётероео слева кольцо и D —
его дифференцирование, то кольцо дифференциальных многочлене»
А [у, D] нётероео слева.
Доказательство. Пусть М — любой левый идеал коль-
кольца А [у, D]. Как и в доказательстве теоремы Гильберта о базисе,,
пусть Lh (M) — левый идеал, состоящий из нуля и старших коэф-
коэффициентов многочленов степени /с, лежащих в левом идеале М~
(Если в М нет элементов степени к, то Lk (M) = 0.) Так как
х 2 акхк = апхпн+
ft=0 i
п
il
то Ln (M) ? Ln+1 (M) для всех п. Тогда дословное повторение
доказательства утверждения 7.13 (и леммы, ему предшествующей)
завершает доказательство. ?
7.28. Теорема (Амицур [57]). Если А — простое кольцо харак-
характеристики 0 с внешним дифференцированием D, то кольцо диф-
дифференциальных многочленов R = А [г/, D] простое.
Доказательство. Если / — ненулевой идеал кольца i?,
то / содержит ненулевой элемент
A) t = ауп + pt (у),
где deg pt (у) < п и п имеет наименьшее возможное значение.
Пусть С (I) множество всех b ? А, таких, что либо Ъ = 0, либо
в / найдется элемент вида A), для которого Ъ = а. Очевидно, что
С (I) — левый идеал кольца А. Если Ъ ? А, то
B) tb = aynb + pt (у)Ъ.
Но из
C)
h=0
следует, что
D) tb = aby11 + ptb (у),
где deg ptb (у) < п, и поэтому ab?C(I). Это доказывает, что
С (I) — идеал кольца А. Так как кольцо А простое и С (I) ф 0,
то СA) = А и 1 ? С (Г). Итак, в / существует элемент
E) t = yn + Pt (у),
где deg pt (у) < п. Пусть Ъ — любой элемент кольца А. Применяя
внутреннее дифференцирование Db к элементу t и используя
D) и E), получаем
F) Db (t) = tb-bt = (byn + Ptb (У)) ~
— (byn + bpt (y)) = ptb (y) — bpt (y).
Тогда Db (t) 6 I и его степень < п. В силу определения числа п
Db (t) = 0 для любого Ь ? А. Итак, t лежит в централизаторе
подкольца А в кольце А [у, D]. Следующая лемма G.29) пока-
показывает, что этот централизатор совпадает с центром. Так как
t = уп + pt (у) лежит в центре кольца А и deg py (t) < n, то
у
в силу независимости элементов 1, у,
0 1
y
уп, . . . над А полу-
полуI l ]
у у у у
чаем, что п = 0, а поэтому t = 1. Так как t ? /, то I = A ly, D],
т. е. А [у, D] — простое кольцо. ?
7.29. Лемма. Если характеристика кольца А равна 0, то цен-
централизатор подколъца А в А [у, D] содержится в центре кольца А.
т
Доказательство. Если х = 2 а1У1 лежит в этом цен-
{=0
трализаторе и deg x = т, то
1=0
г=0
= 2* B A.К
G)
1=0
Сравнивая коэффициенты (при т ^ 1), получаем
(8) Ьат = атЪ
и
(9) bam^ = am^tb + mamD (b).
28*

436
Ч. II. Строение не'теровых полупервичных колец
Из (8) следует, что ат лежит в центре кольца А, а в (9), ввиду
упр. 7.46, утверждается, что
A0) D (Ъ) = bz — zb,
где z = —am-.Jmam, т. е. что D — внутреннее дифференцирова-
дифференцирование, определяемое элементом z. Это противоречит тому, что D —
внешнее дифференцирование. Следовательно, т = 0. Тогда х = а0
и, следовательно, лежит в центре кольца А. Это завершает дока-
доказательство леммы. ?
7.30. Предложение. Пусть R — простое кольцо характери-
характеристики 0, А = R [х] — кольцо многочленов и В -= А 1у, '] — коль-
кольцо дифференциальных многочленов, в котором х' = 1. Тогда В —
простое кольцо.
Доказательство. Пусть t — ненулевой элемент из
ненулевого идеала / кольца В. Запишем
2
в виде многочлена от а; с коэффициентами {gt (у)} из R [у], i =
= 0, . . ., п. Положим It, у] = yt — ty. Так как коммутирование
элемента t ? А с у равносильно применению внутреннего диффе-
дифференцирования, определенного элементом у, то получаем, что
[. . . lit, у], у] . . .] = n\gn (у) е /.
Так как характеристика кольца А равна нулю, то п\ — ненулевой
элемент центра С кольца R. Но С — поле. Отсюда gn (у) ? /.
Предположим, что
g = ?n (у) = гут + (члены степени <т),
где г ? R, г ф 0. Но тогда
gx — xg = mrym~l + (члены степени <Ст — 1).
Коммутируя т раз с х, получаем, что т\г ? / и, следовательно,
г 6 I- Тогда RrR = R *= I. Значит, В s /. Поэтому В — про-
простое кольцо. ?
7.31. Упражнения.
7.31.1. Если А — тело, a D — дифференцирование, то в кольце
R = A ly, D] имеет место как левый, так и правый алгоритм
деления. Например, если /, g ? R, то существуют элементы
q, r 6 А, такие, что
/ = gq + г
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
437
и deg г <; cleg g. Из этого следует, что R
вых и главных левых идеалов.
область главных пра-
пра7.31.2. Если А не является телом, то кольцо А [г/, D] может
не быть кольцом главных правых или главных левых идеалов
(например, если А = к 1х] —¦ кольцо многочленов над полем к
а если Dx = 1).
7.31.3. Каждый правый и левый идеал кольца R = к [х] [г/, D],
где Dx = 1, проективен, если характеристика поля к равна 0.
В этом случае каждый максимальный правый (левый) идеал глав-
главный. (Если характеристика поля к отлична от 0, то gl. dim R = 2,
ср. гл. 8, в частности 8.23.)
7.31.4. (а) Если D — дифференцирование кольца А, то внут-
внутреннее дифференцирование Dy кольца А [г/, D] индуцирует диф-
дифференцирование D.
(b) Показать, что центр кольца А [г/, D] изоморфен .кольцу
многочленов Т [у], где Т — подкольцо центра кольца А, состоя-
состоящее из всех таких элементов а, что D (а) = ау — уа = 0.
(c) (Амицур [56]) Показать, что обратимые элементы кольца
А [у, D] лежат в А. Вывести отсюда, что х^Ах ^ А для всех
обратимых элементов -х кольца A ly, D], но что А не лежит в цен-
центре кольца A ly, D], если D Ф 0.
7.31.5 (Джекобсон [50]). (а) Если в R имеются элементы х и у,
такие, что ху = 1, но ух Ф 1, то R содержит бесконечное множе-
множество ортогональных идемпотентов.
(Ь) Если кольцо удовлетворяет условиям максимальности или
минимальности для главных правых идеалов, то из ху = 1 сле-
следует равенство ух = 1 для любых элементов х, у этого кольца.
Строение V -колец
Окончание этой главы посвящено строению полупервичных
нётеровых справа F-колец.
7.32А. Определение и предложение (Вильямайер). Кольцо R
называется правым V-кольцом, если выполнены следующие экви-
эквивалентные условия:
(a) Каждый простой правый R-модулъ инъективен.
(b) Каждый правый идеал является пересечением максималь-
максимальных правых идеалов.
(c) rad М = 0 х) для всех М ? mod-i?.
Доказательство. Импликация (а) =>¦ (с). Пусть St,
i ? /, множество представителей различных классов изоморф-
изоморфных простых правых Д-модулей. Тогда С = fj Si — инъектив-
ш
ный кообразующий в категории mod-i?. Следовательно, для М ?
G mod-i? существует морфизм 0 —>• М —*¦ С1. (См. 3.55.) Из этого
непосредственно следует, что rad M = 0.
х> Определение rad М см. упр. 3.69.1 (а).— Прим. перев.

438
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Импликация (с) =>- (Ь) очевидна.
Импликация (Ь) =>- (а). Пусть / — ненулевой гомоморфизм
правого идеала / в модуль R/M, где М — максимальный правый
идеал. Покажем, что / продолжается до гомоморфизма R ->¦ R/M.
Действительно, поскольку Кег / = 1Х — максимальный под-
подмодуль в /, то xR 4* h = I для всех х 6 / — /х. В силу (Ь) /
и /i являются пересечениями максимальных правых идеалов.
Так как III ± — простой модуль, то существует максимальный
правый идеал Mi, такой, что Мх П I — Л и Mi + / = R. Тогда
RIIX = MJIi ф I/Ii и / допускает продолжение до гомоморфизма
f: RR -*¦ RIM. U
7.32В. У п"р а ж н е н и е (Капланский). Коммутативное коль-
кольцо R является У-кольцом тогда и только тогда, когда каждый
конечно порожденный идеал порождается идемпотентом 4).
7.32С. Следствие. Если rad R = 0, то кольцо R полупервично.
Итак, любое правое V-колъцо полупервично.
Доказательство. Если / — нильпотентный идеал
кольца R, а V — простой Д-модуль, то VI Ф V (так как из VI = V
следует, что V = VIй = 0 для некоторого п). Итак, VI = 0. Это
показывает, что / содержится в любом максимальном правом
идеале кольца R и, следовательно, / = rad R = 0. ?
Правый Д-модуль М называется полупростым, если М —
прямая сумма простых подмодулей. Кольцо R называется клас-
классически полупростым, если модули RR и RR полупросты.
7.33А. Упражнения.
7.33А.1. Следующие условия эквивалентны: (а) модуль М
полупрост; (Ь) каждый подмодуль модуля М выделяется в нем
прямым слагаемым; (с) каждый фактормодуль модуля М полу-
полупрост.
7.33А.2. Следующие свойства кольца R эквивалентны: (а) мо-
модуль RR полупрост; (Ь) модуль RR полупрост; (с) R — прямая
сумма конечного числа простых правых .R-модулей; (d) каждый
правый Л-модуль инъективен, (е) каждый левый .R-модуль инъек-
тивен; (f) каждый правый Д-модуль проективен; (g) каждый
левый Л-модуль проективен.
Кольцо R называется правым кольцом Голди, если оно удовле-
удовлетворяет условиям максимальности для правых аннуляторных
идеалов и для прямых сумм правых идеалов. (Любое подкольцо
нётерова справа кольца удовлетворяет условию максимальности
для правых аннуляторных идеалов.)
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
439
То есть кольцо R регулярно в смысле Неймана.— Прим. перев.
7.33В. Упражнение (Голди [58], [60], Лезьё и Круазо
[60]). Если кольцо R является правым порядком в классически
нолупростом кольце Q, то R — полупервичное правое кольцо
Голди, и каждый его существенный правый идеал содержит регу-
регулярный элемент. (См. доказательство предложения 7.21А, а также
гл. 9 для доказательства обратного утверждения. Ср. с 7.23.6.)
7.34. Предложение. Если А — правое V-колъцо и В — его соб-
собственный ненулевой идеал, то хА Ф А для любого элемента х ? В.
Доказательство. Пусть М — максимальный правый
идеал, содержащий идеал В. Тогда V — AIM — простой модуль
и, следовательно, инъективен. Условие хА « А равносильно
существованию элементов а и Ъ из А, таких, что правый аннулятор
у1 элемента у = ха в кольце А равен нулю и х = уЪ х). (Тогда
Ъа = 1 и у А = хА.) Кроме того, в этом случае для любого v ? V
существует отображение хА ->- V, при котором уг >-*¦ vr для всех
г?А. Так как модуль V инъективен, то существует элемент
т ? V, такой, что v = ту ? Vy. Итак, V = Vy. Но тогда у $ В
и, следовательно, х$В. ?
7.35. Предложение. Кольцо А является произведением конечного
числа простых колец тогда и только тогда, когда выполняются
следующие три условия:
1) структура идеалов кольца А конечна;
2) кольцо А не содержит собственных двусторонних идеалов,
являющихся существенными правыми идеалами;
3) кольцо А полупервично.
Доказательство. Необходимость условий очевидна.
Обратно, пусть выполнены условия 1) — 3) и В — максимальный
идеал. Так как В не является существенным правым идеалом, то
В П / = 0 для некоторого ненулевого правого идеала /. Отсюда
I В= 0, поскольку IB ? / П В, а значит (ВГJ = 0. Из полу-
первичности кольца А следует, что BI = 0. Итак, Аг = аппА В —
ненулевой идеал. Так как В — максимальный идеал, то А =
= В X Ai. Поскольку кольцо В также удовлетворяет условиям
1) — 3), индукция по числу идеалов кольца А завершает дока-
доказательство. ?
Следующая теорема была впервые доказана Фейсом в 1964 г.
(опубликована в [67]) в предположении, что кольцо А первично,
и Орнстейном [66] для нётерова справа кольца А.
х) Действительно, если ф: хА ж А и ф-1 A) = у = ха, где а ? А , то у —
свободный образующий модуля хА. Следовательно, yJ- = 0 и х = уЪ для неко-
некоторого Ъ g А. Пусть теперь а и Ъ с указанным свойством существуют. Тогда
хА = уА жуА — свободный циклический Л-модуль, т. е. хА ж АА.— Прим.
перев.

440
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
7.36А. Теорема. Если R — правое V-колъцо и R — правый
порядок в некотором классически полупростом кольце, то R —
конечное произведение простых правых V-колец.
Доказательство. В силу 7.32С любое правое У-кольцо
R полупервично (т. е. выполнено 7.35.3). Допустим, что R —
правый порядок в классически полупростом кольце Q. Если Q —
прямая сумма п простых правых модулей, то каждое множество
независимых правых идеалов кольца R содержит не более чем
п элементов. (Доказательство?) Кроме того, каждый существенный
правый идеал содержит регулярный элемент кольца R. Итак,
из упр. 7.33В и из 7.34 следует, что в R выполнено свойство 7.35.2.
Учитывая, что п ограничивает число прямых слагаемых кольца R,
и повторяя доказательство предложения 7.35, получаем, что
в R выполнено условие 7.35.1. В силу 7.35 R — конечное произ-
произведение простых колец. Очевидно, что каждый из этих простых
сомножителей также является F-кольцом. ?
7.36В. Упражнение. Доказать теорему 7.36А для нёте-
нётеровых справа F-колец, предполагая, что она верна для первич-
первичного кольца R. Как получить из 7.36 утверждение для нётерова
справа кольца ?
Решения линейных дифференциальных уравнений
Оставшаяся часть этой главы посвящена результатам Коззенса
[70], выясняющим, когда кольца дифференциальных (косых)
многочленов являются F-кольцами.
Линейным "(однородным) /^-дифференциальным уравнением над
к называется уравнение вида
п>0
(Jei^'W^O. atek, O^i^n),
п
2 atDlt>(x) = b, at, b?k, 0 < i < п.
В дальнейшем в этом параграфе R обозначает кольцо к [у, D].
7.37. Лемма. Допустим, что каждое однородное линейное
D-дифференциальное уравнение над к имеет нетривиальное реше-
т
ние в к. Если / = 2 а1Уг € # = /с [г/, D], то существуют а ? к
г=0
и g (z R, такие, что степень многочлена g равна т — 1 и af =
= (У + 1) g.
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
441
т-\
Доказательство. Пусть g= 2 Ь{уг. Найдем a, bi?k,
г=0 ¦
О ^ i ^ тп—1, такие, что
A) af + (у + 1) g = 0.
Раскрывая уравнение A) и сравнивая коэффициенты, получаем
аа0 + D {Ьо) + Ьо = 0,
аа} + bo + D (Ъг) + W = 0,
aam-! + 6m-2 + D (Ьт_!) + Ьт_! = 0,
аат + йт_! = 0.
Ясно, что эта система уравнений равносильна уравнению вида
B)
2
г=0
с,/**) (а) = 0,
где ct ? к, 0 ^ i ^ т. В силу предположения уравнение B)
имеет нетривиальное решение в к. ?
7.38. Следствие. Если каждое однородное линейное D-дифферен-
циалъное уравнение над к имеет нетривиальное решение в к, то
единственные неприводимые элементы в кольце R = k\y, D] —
элементы степени 1. Следовательно, Va = R/(y — a) R — это
простой правый R-модулъ для всех а^к,и всякий простой модуль
имеет такой вид. ?
7.39. Лемма. Если каждое линейное D-дифференциальное уравне-
уравнение над к имеет решение в к и каждое однородное линейное D-диф-
ференциалъное уравнение над к имеет нетривиальное решение в к,
то Va = R/(y — a) R — делимый правый R-модулъ для всех a f к,
где R = к [у, D].
Доказательство. Достаточно показать, что
V* (у + Р) = Va
для всех а, Р 6 к. Это эквивалентно тому, что для многочлена
нулевой степени h ? R существуют /, g ? R, для которых
A) f(v+V)+(y + a)g = h.
Попробуем найти а, Ъ ? к, такие, что
B) а (у + р) + (у + а) Ъ = h.
Уравнение B) эквивалентно d) уравнению вида
C) D (Ь) + (а — р) Ь = h.
J) Действительно, так как уЪ = by-\-D (Ъ), то (а + Ь) у +D (Ь)-\-(а —
¦—P)b = h — многочлен нулевой степени, и поэтому^а-j-b^O.— Прим. перее.

442
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
I
В силу предположения элемент Ъ ? к, удовлетворяющий усло-
условию C), существует. ?
7.40. Теорема (Коззенс [70]). Следующие условия на кольцо диф-
дифференциальных многочленов R = k ly, D] эквивалентны:
(а) jR — правое V-колъцо, обладающее единственным, с точно-
точностью до изоморфизма, простым правым R-модулем.
(б) Каждое линейное D-дифференциальное уравнение над к
имеет решение в к и каждое однородное линейное D-дифференци-
алъное уравнение над к имеет нетривиальное решение в к.
Доказательство, (а) =>- (Ь). Заметим, что к есте-
естественном образом можно рассматривать как правый Л-модуль
со следующим действием R на к:
г~0 г=0
Очевидно, что правый Д-модуль к простой и, следовательно,
инъективный. Пусть
A) 2 а,/>«>(*) = 0,
г0
2
г=0
at
к,
, — произвольное однородное линейное ?)-диф-
71
71
ференциальное уравнение над к, и пусть d = 2 ап)х- Поскольку
модуль к инъективен и является единственным, с точностью
до изоморфизма, простым правым jR-модулем, диаграмма
dR
дополняется до коммутативной некоторым ненулевым гомомор-
гомоморфизмом /. Таким образом, / A) является нетривиальным решением
уравнения A).
Для того чтобы показать, что линейные дифференциальные
уравнения вида
2 «,/>«>(*)=ь,
1=0
где at, Ъ ? к, имеют в к решение, надо просто продолжить отобра-
п
жение, переводящее d = 2 а1У% в &» на -^ и заметить, как и рань-
i=0
ше, что образ единицы кольца jR является искомым решением.
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
443
(b)=>-(a). В силу 7.38 и 7.39 каждый, простой правый Д-мо-
дуль имеет вид Va = Rl(y — a) R и делим (т. е. Vax = Va для
всех регулярных элементов х 6 Д)- Так как над областью глав-
главных правых идеалов делимость эквивалентна инъективности
(см. 3.45), то, ввиду упр. 7.31.1, Va — инъективный правый Д-
модуль для всех а 6 к. Следовательно, Д — правое F-кольцо.
Для завершения доказательства импликации (Ь) =>- (а) остает-
остается лишь показать, что Д обладает единственным, с точностью
до изоморфизма, простым правым Д-модулем, т. е. что Va «^ V$
для всех а, Р ? к. Из предположения об однородных линейных
дифференциальных уравнениях следует существование ненулевых
элементов а, Ъ ? к, таких, что а (у — а) = (у — Р) Ъ. Отображе-
Отображение
при котором
г + {у — a) R *-* аг + (у — р) R,
является требуемым изоморфизмом. ?
Если в качестве к взять поле частных кольца Q, [X], где Q- —
поле рациональных чисел, а в качестве D — обычное дифферен-
дифференцирование, то к [у, D] не является правым F-кольцом (для доказа-
доказательства можно заметить, что в силу 7.39 уравнение D (t) — Их
не имеет решения, и применить 7.40).
Универсальные дифференциальные поля
Пусть к — поле характеристики 0, D — дифференцирование
поля к. Результат, восходящий к Колчину, утверждает, что суще-
существует поле U =э к и дифференцирование D поля U, продолжаю-
продолжающее дифференцирование D, такое, что уравнение
р (х, D (х), . . ., 5'п> (х)) = 0
при любом п имеет решение | 6 U для всех р (X) ? U \Хг, . . .
.... Хп+1] — U. Более того, каждое однородное линейное Д-диф-
ференциальное уравнение над U имеет нетривиальное решение
в U. Такое поле U называется универсальным расширением поля к
или универсальным дифференциальным полем (Колчин [53]).
7.41. Уп ражнение. Если / — элемент степени п в коль-
кольце к [у, D] дифференциальных многочленов над универсальным
полем, то в к существуют элементы а0, й15 . . ., ап, такие, что
/ (У) = а0 (У — аг) - . . (у — ап).

444
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
445
Кольца дифференциальных многочленов над универсальными
дифференциальными полями дают примеры нётеровых F-областей,
не являющихся полями.
7.42. Теорема (Коззенс [70] 1)). Пусть к — универсальное диф-
дифференциальное поле с дифференцированием D. Тогда кольцо R =
= к [у, D] обладает следующими свойствами:
(a) R — область главных правых и левых идеалов.
(b) R — простое кольцо.
(c) R — правое V-колъцо.
(d) R не является телом.
(e) R обладает единственным, с точностью до изоморфизмаТ
простым правым R-модулем и, следовательно, простым инъек-
тивным кообразующим.
Доказательство. Свойство (а) вытекает из 7.31.1.
Так как R —• область целостности, то из 7.34 следует (Ь).
Свойства (с) и (е).Так как к— универсальное дифференциаль-
дифференциальное поле, то условие (Ь) теоремы 7.40, очевидно, выполнено.
Таким образом, учитывая, кроме того, 7.38, получаем (е), а сле-
следовательно, и (с).
Косые многочлены
Пусть F2 — алгебраическое замыкание поля Z/2Z, р — авто-
автоморфизм поля F2, при котором z н-•¦ z2. Через F2 [t, p] обозначим
кольцо косых многочленов от t над F2, т. е. аддитивная группа
кольца F2 [t, p] — это аддитивная группа кольца многочленов
от переменной t с коэффициентами в поле F2, а умножение
в F2 [t, p] определено условием ta = p (a) t для всех а ? F2 и его
следствиями. Хорошо известно, что F2 [t, p] — область главных
левых и правых идеалов. Более того, легко показать, что все
двусторонние идеалы кольца F2 [t, р] имеют вид tkF2 It, p], где
к — неотрицательное целое число (Джекобсон [47]).
Пусть R = F2 [t, р], М = {tk\ к — целое число, к ^ 0}
ж RM = {aim \a ? R, т? М). Если alth, b/th+i ? RM, то altk =
= b/tk+% тогда и только тогда, когда Ъ — fa. Определим сложение
и умножение, в RM, полагая a/^-j- b/tk — (а + b)/tk и alt1 b/tj =
= р3 (a) bit1*3, где р3 (а) — элемент кольца R, полученный при-
применением р3 ко всем коэффициентам элемента а (Джекобсон [47,
стр. 60—62]). Очевидно, что RM — простая область целостности,
не являющаяся телом. Кроме того, RM — область главных правых
и левых идеалов.
г) См. также Л. А. Койфман, Мат. заметки, 7 A970), 359—367.—
Прим. ред.
7.43. Лемма. Пусть г = 2 М* € R, ап = 1. Тогда найдутся
г=0
п, такие, что
r = f\(t-at). В
частности,
г=0
неприводимые элементы в кольце R имеют вид t — а, где а ? F2.
Доказательство аналогично доказательству лем-
леммы 7.37. ?
Легко заметить, что простые правые Дм-модули имеют вид
RMipRM, где р = t — а, 0 Ф а 6 F2.
7.44. Лемма. RM/(t — a) RM — делимый правый Rjx-модуль
для всех а ? F2 — {0}.
Доказательство аналогично доказательству лем-
леммы 7.39. ?
7.45. Теорема. Кольцо RM обладает следующими свойствами:
(a) RM — область главных правых и левых идеалов; (b) RM —
простое кольцо; (с) Rm — правое V-колъцо; (d) RM неявляется
телом; (е) RM обладает единственным, с точностью до изомор-
изоморфизма, простым правым R^j-модулем.
Доказательство аналогично доказательству тео-
теоремы 7.42. ?
Области целостности, построенные в теоремах 7.42 и 7.45,
называются областями Коззенса.
7.46. Упражнение. Показать, что области Коззенса
являются также левыми F-кольцами.
Упражнения к гл. 7
Первые два упражнения взяты из статьи Коззенса [70].
1. Если R — область главных правых и левых идеалов, то
RII — артиново слева и справа кольцо для любого ненулевого
идеала /. Пусть R = к [у, D], где к — универсальное дифферен-
дифференциальное поле. Тогда:
(a) каждый циклический модуль либо изоморфен модулю R,
либо является прямой суммой конечного числа экземпляров един-
единственного простого модуля V;
(b) если К — правое тело частных кольца R, то KIR — прямая
сумма некоторого множества экземпляров модуля V;
(c) если PiR и p2R — произвольные максимальные правые
идеалы, то ру — ир2, где и — некоторый обратимый элемент
кольца R;

Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
(d) каждый элемент х тела К представим единственным обра-
образом в виде
х = а + (hiPi + • . • + ап/рп,
где pi — неприводимые элементы и a, at ? R, i = 1, . . ., п;
(e) V — простой инъективный кообразующий;
(f) каждый .R-модуль, вполне инвариантный в своей инъектив-
ной оболочке, инъективен.
2. Если в категории mod-i? есть нётеров кообразующий, то
каждый объект категории mod-i? содержит максимальный под-
подмодуль. Это верно, например, для кольца R = к [у, D] над уни-
универсальным полем к. (Ср. с 5-кольцами, гл. 22.)
ЗА (Бойл [71]). Кольцо R называется правым PCI-кольцом, если
каждый циклический правый .R-модуль С, который не изоморфен
модулю R, инъективен. Кольцо R называется правым QI-кольцом,
если каждый квазиинъективный правый .R-модуль инъективен.
Доказать, что каждое нётерово справа правое PCI-кольцо наслед-
наследственно справа. Кроме того, для нётерова слева наследственного
слева кольца R следующие условия эквивалентны: A) R — нёте-
нётерово справа правое PCI-кольцо; B) R — наследственное справа
правое QI-кольцо; C)jR — наследственное справа правое F-кольцо.
В этом случае кольцо либо классически полупросто, либо явля-
является правой областью Оре.
ЗВ (Кёлер [70]). Если каждый правый .R-модуль вполне инва-
инвариантен в своей инъективной оболочке, то R — нётерово справа
F-кольцо.
4 (Ятегаонкар). Пусть D — кольцо, р: D -*- D — гомоморф-
гомоморфное вложение колец. На множестве D [х] левых многочленов опре-
определим операцию D [х] X D[x] —*-D [ж], задаваемую равенством xd =
= р (d) х для всех d 6 D и его следствиями. (Итак, xnd — рп (d) xn
для всех п ^ 0.) Тогда D [х] — кольцо, которое мы будем назы-
называть кольцом косых многочленов и обозначать через D [х, р].
Пусть D* — множество всех ненулевых элементов кольца D.
Если D — кольцо без делителей нуля, то показать, что D [х, р] —
кольцо главных левых идеалов тогда и только тогда, когда D —
кольцо главных левых идеалов, такое, что р (D*) S 11 (D).
5. Кольцо R называется обобщенным кольцом косых многочле-
многочленов (gtp-кольцом) над кольцом D, если для некоторого ординаль-
ординального числа а кольцо R является объединением U R$ цепи колец
р«х
{i?p | р < а}, таких, что
U) Яо =#;
(ii) i?p+i = i?p [х$. рр] — кольцо косых многочленов;
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна
447
(Ш) i?p = [U Ry] [xp, рц] для предельного ординала р.
v<P
Допустим далее, что D — кольпо без делителей нуля.
(а) Показать, что каждый элемента ? R единственным образом
представим как левый многочлен от конечного числа переменных
я в с коэффициентами из кольца D.
*(Ь) Пусть ип — наименьшее ординальное число, такое, что
каждый правый идеал кольца R порождается кп элементами.
Тогда
г. gl. dim R <; (w. г. gl. dim R) + n + 1.
(Слабую размерность w. gl. dim определяем аналогично размер-
размерности dim M, используя плоские модули вместо проективных.)
Показать, что г. gl. dim Л = оо. (Ср. со стр. 456.)
(с) Если i?p — кольцо главных левых идеалов для всех Р < а,
то R — кольцо главных левых идеалов (и наследственно справа).
6. В предыдущем упражнении допустим, что D — тело и
Рр (i?B) s D для всех р. Пусть | Д | = а.
(a) Показать, что {1 + хр}, р<а, — базис свободного пра-
правого идеала кольца R.
(b) Если а — предельное ординальное число, то любой идеал
кольца R содержит х^ для некоторого р.
(c) Каждый ненулевой левый идеал кольца R содержит неко-
некоторый ненулевой идеал этого кольца.
(d) Если / — ненулевой правый идеал кольца R, то / не содер-
содержит ненулевых идеалов.
*(е) Вывести из (с), что R не является примитивным слева
кольцом, а из (d) — что jR — примитивное справа кольцо. (Кольцо
примитивно справа, если оно обладает точным простым правым
модулем, см. гл. 19.)
7. Пусть R — простое кольцо, / — ненулевой правый идеал,
К = End /я. Показать, что эквивалентность категорий mod-jR ~
~» mod-if существует тогда и только тогда, когда К — простое
кольцо.
8. Пусть А — поле, a D: А -*- А есть ф-дифференцирование
поля А, где ф не является автоморфизмом этого поля. Например,
А = Q, (х) и ф: А -*¦ А определяется условием ф: х *—*• х2. Итак,
B
t=0
2
i=0
для всех аг g CL Пусть S — соответствующее кольцо ф-дифферен-
циальных многочленов. Тогда:
(а) кольцо без делителей нуля S обладает левым алгоритмом
деления;

448
Ч. II. Строение, нётеровых полупервичных колец
(b) S — кольцо главных левых идеалов;
(c) S — левое, но не правое кольцо Оре. [Указание: (у + a) S (]
П y'S = 0.]
Замечания к гл. 7
Довольно полные ссылки по материалу этой главы появляются
в тексте. Некоторые комментарии, касающиеся простых колец,
встречались в замечаниях к гл. 4. См. также Коззенс — Фейс
[73/74] *).
Ссылки
Артин [27], Артин — Несбит — Тролл [44], Артин — Уэйплс
[43], Ауслендер — Голдман [60], Басе [62], [73], Бойл [71]; Вед-
дербёрн [08], Габриель [62], Голди [58], Джанс [70], Джекобсон
[45], [47], Джонсон [51а], [51Ь], Камилло [70], Камилло — Фуллер
[72], Кёлер [70], Коззенс [70], Кон [62, 66а], Морита [58],
Попеску —Габриель [64], Утуми [56], Фейс [64], [67а], [67Ы, [71а1,
[72а], Фейс — Утуми [65Ь], Финдлей — Ламбек [58], Фуллер [71].
Шефердсон [51], Ятегаонкар [70а].
*) И Коззенс, Фейс (Gozzens J., Faith С.), Simple noetherian rings, Cam-
Cambridge university press, 1975.
Глава 8
ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ
И ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Модуль MR называется полупростым, если М является пря-
прямой суммой [] Mt семейства простых подмодулей {Mt | i ? /}.
Кольцо R называется классически полупростым, если модуль
RR полупростой. Как мы видели, любое простое артиново кольцо
классически полупросто. Произведение конечного числа про-
простых артиновых колец также классически полупросто. Теорема
Веддербёрна — Артина утверждает обратное: каждое классиче-
классически полупростое кольцо изоморфно конечному произведению
колец матриц тех или иных размеров над некоторыми телами.
Эти кольца также описываются теоремой Веддербёрна — Арти-
Артина 8.8 как артиновы справа кольца без нильпотентных идеалов.
(Это условие право-лево симметрично.)
Над классически полупростыми кольцами каждый модуль
проективен. В этой главе будет определена проективная размер-
размерность модуля. Глобальная размерность кольца определяется
как наименьшая верхняя грань проективных размерностей всех
модулей. Классически полупростые кольца являются кольцами,
глобальная размерность которых (правая или левая) равна нулю.
Простые нётеровы кольца, глобальная размерность которых ^2,
подобны областям Оре (8.27).
Теорема Гильберта о сизигиях 8.17 утверждает, что глобаль-
глобальная размерность кольца многочленов к [хг,
хп] над полем к
равна п. В общем случае правая глобальная размерность коль-
кольца R равна наименьшей верхней грани проективных размерно-
размерностей циклических правых 2?-модулей (8.19), и если кольцо В
не является классически полупростым, то она равна наименьшей
верхней грани проективных размерностей правых идеалов, уве-
увеличенной на единицу. (Глобальная размерность свободной алгеб-
алгебры к [X] от любого числа переменных над любым коммутативным
кольцом к превосходит глобальную размерность кольца к на 1.
Итак, если к — поле, то к [X] — наследственное кольцо. Однако
в тексте последние два результата не доказываются.)
Следующее предложение показывает, что в определении полу-
полупростоты предположение о том, что сумма прямая, может быть
опущено.
29 к. Фейс

450
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
8.1. Предложение. Пусть М — модуль, являющийся суммой
2 Mt семейства {Mt \ i ? /} простых подмодулей. Тогда
%Э1
8.1.1. Если N — подмодуль, отличный от М, то существует
подмножество J в I, такое, что М = N ® (]J Mj).
8.1.2. Модуль М полупрост.
Доказательство. Пусть N Ф М — подмодуль. Если
Mt П N ф 0 для i ? /, то, поскольку Mt — простой модуль,
Mt (] N = Mt, т. е. Mt s N. Так как N ф М, то М} П N = О
для некоторого индекса ; 6 I¦ Пусть Р — совокупность всех под-
подмножеств / в /, для которых
A) сумма 2 Mi—прямая;
B) N(\%Mj = 0.
Так как произвольная совокупность модулей {Mq \ q ? Q}
независима тогда и только тогда, когда каждое подмножество»
{Mj | ; ? J, J S Q} независимо, то множество Р индуктивно.
В силу леммы Цорна Р содержит максимальный элемент /. Рас-
Рассмотрим подмодуль N' = N + 2 Mj. В силу определения JV' =
— N® ([] Mj). Допустим, что JV' ф М. Тогда по доказанному
существует индекс q ? I, такой, что N' Г) Mq = 0. Тогда /' =
= J U {?} 6 Р и /' строго содержит множество /, что приводит
нас к противоречию. Итак, M = N® \\ Mj. Последнее утвер-
ждение предложения получается при N = 0 (ср. теорему о един-
единственности разложения в гл. 21).
8.2. Следствие. Следующие условия на модуль эквивалентны:
(a) Модуль М полупрост.
(b) Каждый подмодуль модуля М выделяется прямым сла-
слагаемым.
(c) Каждый фактормодулъ модуля М полу прост ¦
Доказательство. Импликация (а) =Ф- (Ь) следует из
8.1.1.
(Ь) => (а). Допустим, что каждый подмодуль модуля М выде-
выделяется прямым слагаемым в М. Тогда каждый подмодуль Н
модуля М также обладает этим свойством. [Если G — подмодуль
в Н, то М = G® К, где К — некоторый подмодуль модуля М,
а тогда Н = G® (К П Щ>] В силу предыдущего предложения
модуль М полупрост тогда и только тогда, когда М — сумма
простых подмодулей. Покажем сначала, что М содержит хотя бы
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность
451
один простой подмодуль. Для проверки этого рассмотрим произ-
произвольный ненулевой элемент х модуля М и подмодуль N модуля М,
являющийся максимальным элементом множества Р подмодулей,
не содержащих элемент х. (Множество Р непусто, поскольку
0 С Р\ оно индуктивно; в силу леммы Цорна N существует.)
Пусть М = N Ф Q, где Q — подмодуль. Допустим, что подмо-
подмодуль Q не является простым. Пусть А — подмодуль, такой, что
Q => A zd 0. Тогда Q = А © Б, где Q из Б zd 0. Но N + А
и N + Б оба строго содержат подмодуль N, и поэтому оба содер-
содержат х. Это приводит к противоречию, поскольку (N + A) f~|
П (N + В) = N и х (J N. Это показывает, что М содержит про-
простой модуль Q. Далее, пусть S — сумма всех простых подмодулей
модуля М. Пусть М = S ф Т, где Т — подмодуль. Как мы пока-
показали, если Т ф 0, то Т содержит простой подмодуль, который
должен принадлежать множеству S, что невозможно, поскольку
S П Т = 0. Итак, Т = 0 и М = S — полупростой модуль.
(а) =>¦ (с). Если К — подмодуль, то, поскольку (а) и (Ь) экви-
эквивалентны, М = К® М' для некоторого подмодуля М' и М'— по-
полупростой модуль. Тогда М/К « М' — полупростой модуль.
Это доказывает, что (Ь) =*» (с). Импликация (с) =^ (а) очевидна. ?
8.2'. Упражнения.
8.2'.1. Используя 8.2, показать, что прямая сумма конечного
числа простых модулей является артиновым и нётеровым модулем
одновременно (ср. 8.10).
п
*8.2'.2. Показать, что если М =2© Л/г =
ii
M'i'
i=i j=i
{Mi) и {Mj} — простые подмодули, то m — п и существует пере-
перестановка л чисел {1, . . ., п), такая, что Mi fst Mn(t), i = 1, ...
. . ., п. (Ср. теорему о единственности разложения 21.2.)
Цоколь модуля М определяется как сумма всех простых под-
подмодулей модуля М и обозначается через soc M. В силу 8.2 soc M —
полупростой модуль, содержащий каждый полупростой подмодуль.
8.3. Предложение *). Цоколь модуля М является пересечением
всех существенных подмодулей модуля М.
Доказательство. Если S — простой подмодуль ж А —
существенный подмодуль, то А П S Ф 0. Поэтому A f] S = S
и S s А. Итак, цоколь модуля М содержится'в каждом суще-
существенном подмодуле модуля М.
Обратно, пусть Q — пересечение существенных подмодулей
модуля М. Пусть N — произвольный подмодуль модуля Q.
4) Это предложение встречается в диссертации Сандомирского [64}.
Я видел также ссылки на него как на предложение Каша—Сандомирского.
29*

452
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Если К — максимальный элемент в множестве подмодулей модуля
М, таких, что N (} К = 0, io H — N + К — существенный под-
подмодуль модуля М. Таким образом, поскольку Н = Q та. Н —
= N® К, имеем Q = Nф (К П Q)- Так как каждый подмодуль
N модуля Q выделяется прямым слагаемым, то либо Q = 0, либо
в силу следствия 8.2 Q — полупростой модуль. Итак, Q s
S soc М и Q = soc M. ?
Первичность и полупервичность
Идеал Р кольца R называется первичным'), если для любых
правых идеалов А, ВэРиз соотношения АВ <=, Р следует, что
либо 4дР, либо йеР. (Произведение АВ двух правых идеа-
идеалов А и В было определено в гл. 3.) Произведение RB является
двусторонним идеалом кольца R. Следовательно,
АВ = (AR) В = A (RB) <= Р <=> R (АВ) = (RA) (RB) s Р.
Отсюда следует, что Р — первичный идеал тогда и только тогда,
когда для любых идеалов А', В' кольца R включение А 'В' s P
имеет место в том и только том случае, когда A' s P или В' <^Р.
В частности, любой максимальный идеал первичен, так как
R — единственный идеал, содержащий его. Симметричным обра-
образом идеал Р первичен в том и только том случае, когда в опреде-
определении первичности правые идеалы заменены на левые. Напомним,
что, согласно гл. 3, кольцо R первично, если 0 — первичный идеал,
и полупервично, если 0 — единственный нильпотентный идеал.
Итак, каждое первичное кольцо полупервично.
Каждое классически полупростое кольцо R полупервично:
если / — правый идеал, то / — прямое слагаемое модуля R,
поэтому / = eR для некоторого идемпотента е и, следовательно,
/п = / для любого числа п ^ 1, т. е. R полупервично.
8.4. Предложение. Если I — минимальный правый идеал коль-
кольца R, то либо Р = 0, либо I порождается идемпотентом.
Доказательство. Если /2 Ф 0, то существует элемент
Ь 6 /, такой, что Ы Ф 0. Из минимальности правого идеала / сле-
следует, что / = Ы. Так как/ Ф 0, то правый аннулятор Ь1 элемента Ъ
в Л не содержит/. Из этого и из минимальности правого идеала /
следует, что Ьж |"| / = 0. Так как / = Ы, то существует элемент
е ? I, такой, что Ъ = Ъе. Тогда be = be2. Так как е — е2 6 Ь1 П I,
то е = е2. Так как Ъ Ф 0, то, очевидно, е ф 0 и eR ф 0. Поскольку
eg /, то, заведомо, eR s /. Итак, / = eR. ?
8.5. Следствие. Если R — полупервичное кольцо, то каждый
минимальный правый идеал порождается идемпотентом.
*) А в коммутативном случав простым. — Прим. перев.
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность
453
8.6. Упражнения.
8.6.1. Привести доказательство предложения 8.4, в котором
использовалось бы понятие образующего. (Так как / — мини-
минимальный правый идеал, то D = End IR — тело, поэтому / —
образующий над телом D и, следовательно, / — проективный
модуль над кольцом S — ЕпАрГ. Допустим сначала, что кольцо R
первичное. Тогда кольцо R вложимо в кольцо S = Endr/ и / —
циклический 5-модуль. (Почему?) Показать, что / — прямое
слагаемое в S.)
8.6.2. В полупервичном кольце каждый правый идеал, являю-
являющийся суммой конечного числа простых правых идеалов, порож-
порождается идемпотентом.
8.6.3. Если первичный идеал Р не является существенным
правым идеалом, то он является правым аннуляторным идеалом.
Строение артиновых полупервичных колец
8.7. Теорема. Каждое артиново полупервичное кольцо класси-
классически полупросто.
Доказательство. В силу упражнения 7.ЮМ R
является прямой суммой неразложимых правых идеалов, скажем
п
R = \\ At. Так как кольцо R артиново, то правый идеал At
i=l
содержит минимальный правый идеал Vt, являющийся по след-
следствию 8.5 прямым слагаемым в R, а следовательно и в At и, зна-
значит, совпадающий с At. Итак, каждый модуль At прост, т. е.
кольцо R классически полупросто. ?
8.8. Теорема Веддербёрна — Артина. Следующие свойства нену-
ненулевого кольца R эквивалентны:
(a) Кольцо R артиново справа и полупервично.
(b) R является произведением конечного числа простых арти-
артиновых колец.
(c) Кольцо R артиново слева и полупервично.
Доказательство. (а)=Ф- (Ь). Пусть М — любой мак-
максимальный идеал кольца R, J — минимальный элемент множества
правых идеалов кольца R, строго содержащих М. Тогда S =
= R/M — простое кольцо, содержащее минимальный правый идеал
J/M. В силу основной теоремы Веддербёрна — Артина кольцо S
артиново (и изоморфно кольцу ?)„, где D — тело). Если М = 0,
то доказательство завершено.
Если же М ф0, то заметим, что в силу теоремы 8.7 кольцо R
классически полупросто. По следствию 8.2 R = М ф Q, где Q —
некоторый правый идеал. Но QM s М (] Q и потому QM = 0.

454
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность
455
Следовательно, (MQJ = 0. Так как кольцо R полупервично, то
MQ — 0. Пусть 1 = g + h, где g 6 М, h ? <?¦ Тогда
ga = ag — a, hb = bh = Ъ
для всех а 6 М, b 6 Q, т. е. # (соотв. /j) является единичным
элементом мультипликативной полугруппы М (соотв. Q). Поэтому
идеалы М vlQ оказываются кольцами. Кроме того, Q\= Q л; RIM —
простое артиново кольцо. Так как М — также артиново спра-
справа полупервичное кольцо, то М = Q2 ф Мг, где Q2 — простое
артиново кольцо. Так как R — артиново кольцо, то этот про-
процесс остановится через конечное число шагов, т. е.
Д= t\Qi,
где Qi — простое артиново кольцо.
(Ь) =>¦ (а). Непосредственно вытекает из того, что каждое
простое артиново справа кольцо полупервично и артиново.
Импликации (Ь) <=> (с) получаются симметрично. ?
Мы приведем другое доказательство импликации (а) => (Ь).
Так как модуль RR полупрост (и конечно порожден), то
где Vt — минимальный правый идеал, Vt и Vj не изоморфны при
i Ф] и nt >0. Так как любой гомоморфный образ модуля F,- либо
равен 0, либо изоморфен модулю Уг (лемма Шура), то мы ви-
видим, что HomR (Vi, Vj) = 0 для всех i ф]. Из этого замечания
и формулы
Нот ([] А, П В) да [] Нот {A, R)
для конечных произведений (см. 3.33.2, а также 3.38) вытекает,
что
R да Нотд (R, R) да JJ HomR (Vp, V?') »
(F,,V,)Bf = gMn| (/),),
где /?г — тело HomH (Vi, Vi), a Mn (Dt) — кольцо матриц,
i = 1, . . ., п.
8.9. Следствие. Если R — ненулевое первичное артиново кольцо,
то R ж Dn для некоторого тела D и целого числа п > 0. ?
8.10. Упражнения.
* п
8.10.1. Если i? = [JiSj и jR = [Ji?j — два представления
i=l i=l
кольца R в виде прямого произведения конечного числа простых
колец (предполагается, что Si и Ri лежат в R), то п = t и суще-
существует перестановка я, такая, что St — i?n<i» ? = 1. . ¦ ¦, п.
8.10.2. Центр классически полупростого кольца является пря-
прямой суммой полей.
8.11. Теорема. Следующие свойства кольца R эквивалентны:
(a) RR — полупростой модуль.
(b) Кольцо R артиново справа и полупервично.
(c) RR — полупростой модуль.
Если они выполняются, то каждый правый и каждый левый R-mo-
дулъ полупрост.
Доказательство. (а)=Ф- (Ь). Если RR — полупростой
модуль, то R — прямая сумма минимальных правых идеалов, R =
= ЦAt. Пусть 1 = хи + . . . + Xin, где хк. 6 Aip / = 1, . . .
. . ., п. Это показывает, что R — прямая сумма лишь конечного
п
числа правых идеалов Аи скажем R = Ц^г- Тогда в силу 7.10
кольцо R артиново справа (а также нётерово). Так как каждый
ненулевой правый идеал / классически полупростого кольца R
выделяется прямым слагаемым, то / = eR, где е = е2 6 R, е Ф 0.
Тогда правый идеал / не является нильпотентным.
(Ь) =ф- (с). В силу теоремы Веддербёрна — Артина R = jj Si,
где Sj — простое артиново кольцо, изоморфное кольцу матриц Dn
над некоторым телом D (п и D зависят от кольца Si), i = 1, . . .
. . ., п. Если {etj | i, j — 1, . . ., п) — матричные единицы коль-
кольца А = Dn, то
А = Ае1г ф . . . ф Аепп
— прямая сумма левых идеалов, каждый из которых — простой
модуль. (Это легко проверяется.) Так как каждый (минимальный)
левый идеал кольца Si является (минимальным) левым идеалом
кольца R, то R — прямая сумма минимальных левых идеалов.
В силу теоремы Веддербёрна — Артина 8.8 из (Ь) следует (а).
Доказательство импликации (с) =*» (Ь) симметрично доказатель-
доказательству импликации (а) =>- (Ь).
8.12. Упражнение. Следующие свойства кольца R равно-
равносильны:
8.12.1. R — классически полупростое кольцо.
8.12.2. Каждый правый идеал кольца R выделяется прямым
слагаемым в модуле RR.
8.12.3. Каждый правый идеал кольца R — инъективный модуль.
8.12.4. Каждый правый R-модулъ полупрост.
8.12.5. Каждый правый R-модулъ инъективен.

456
Ч.
II. Строение нётеровых полу первич
тых колец
8.12.6. Каждый правый R-модулъ проективен.
8.12.7. Каждый циклический правый R-модулъ проективен.
8.12.8. Симметричные к 8.12.2—8.12.7 свойства (с заменой
прилагательного «правый» на «левый»).
8.12.9. Кольцо R подобно конечному произведению тел. ?
Размерность колец и модулей
Под инъективной резольвентой модуля М понимается беско-
бесконечная точная последовательность
Полупростые модули и гомологическая размерность
457
О -> М -> М0 -*• М!
¦мп
в которой Мп — инъективный модуль, п ;> 0. Если Мk Ф 0
и Мп — 0 для всех п >к, то говорят, что длина инъективной
резольвенты равна к (и оо, если такого числа не существует).
Инъективная размерность (в обозначениях inj. dim M) моду-
модуля М определяется как наименьшая верхняя грань длин всех
инъективных резольвент. Например, модуль М инъективен тогда
и только тогда, когда inj. dim M = 0.
Проективные резольвенты и проективная размерность опре-
определяются двойственным образом. Проективная размерность моду-
модуля М над кольцом R также называется гомологической размер-
размерностью (в обозначениях: dimH M или кратко dim М).
Правая глобальная размерность кольца R определяется сле-
следующим образом:
г. gl. dim R = sup {dim M \ M ? mod-i?}.
Например, кольцо R классически полупросто тогда и только
тогда, когда г. gl. dim R = 0. Левая глобальная размерность
обозначается через 1. gl. dim. Можно доказать, что
г. gl.^dim R = sup {inj. dim M \ M ? mod-i?}
(см. Картан — Эйленберг [60], Норскотт [60] или Маклейн [66]).
8.13А. Предложение. Каждый модуль М обладает как инъек-
инъективной, так и проективной резольвентами.
Доказательство. Докажем, что существует инъек-
инъективная резольвента. Доказательство существования проективной
резольвенты проводится двойственным образом. Первый шаг —
вложение М ->- Мо, где Мо — инъективная оболочка модуля М.
Допустим, что последовательность
A) М-+М0^*...-+Мп^,
где Mt — инъективный модуль, i = 0, . . ., п — 1, точна. Если
/: М„_2 -*• Mn_! — эпиморфизм, то М обладает инъективной
резольвентой, у которой Mh = 0 при k ^ п. В противном случае
рассмотрим вложение h: M^Jimf -у Мп, где Мп — инъектив-
инъективный модуль. Тогда существует точная, последовательность
М0 -> Мг ->- . . . -> Мп.г -+ Мп,
где отображение Mn_x -*- Мп равно fh. Это завершает шаг
индукции. ?
8.13В. Предложение. Проективная, инъективная и глобальная
размерности являются инвариантными в смысле Мориты. ?
8.14А. Теорема о неравенствах. Пусть А — правый R-модулъ,
и В — подмодуль. Тогда
8.14А.1. Если dim A >dim5, то dim A = dim (А/В).
8.14А.2. Если dim A < dim В, то dim (А/В) = 1 + dim В.
8.14А.З. Если dim A = dim В, то dim (А/В) < 1 + dim A.
Доказательство оставляем в качестве упражнения
(или см. теорему 1.2 из книги Капланского [59] или [69а, стр. 169]).
8.14В. Следствие. Если В s А, то dim В ^ max {dim A,
dim А/В}. Кроме того, из dim В = dim (А/В) следует, что dim В =
= dim A.
8.14С. Следствие. Пусть Т — подкольцо кольца R, являющееся
прямым слагаемым в (Т, Т)-бимодуле R. Тогда
г. gl. dim T < г. gl. dim R + dimTi?.
Доказательство оставляем в качестве упражнения
(или см. Капланский [69а]).
Кольцо R, глобальная размерность которого не превосхо-
превосходит 1, называется наследственным справа. В силу упражне-
упражнения 8.12 глобальная размерность классически полупростых колец
равна нулю. Из следующего результата вытекает следствие тео-
теоремы 8.16 о том, что
г. gl. dim R [x] = г. gl. dim R + 1.
где R [x] — кольцо многочленов. Следовательно, кольцо R [х]
наследственно справа, если кольцо R классически полупросто.
8.15А. Теорема о замене колец. Пусть R — кольцо, х — цен-
центральный элемент иг R, не являющийся делителем нуля в R,
и Rlx обозначает факторколъцо R/(x). Если А — ненулевой RIx-mo-
дуль и размерность dimR/x А = п конечна, то dimH А = п + 1.
Следовательно,
г. gl. dim R > 1 + г. gl. dim Rlx.
Доказательство (Капланский [69а, стр. 172]). Про-
Проведем индукцию по re. В случае п = 0 -R/я-модуль А проективен

458
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность
459
и, следовательно, служит прямым слагаемым некоторого свобод-
свободного Л/ж-модуля F. Так как х не является делителем нуля, то
идеал (х) — свободный модуль. Поэтому dimR Rlx = 1 (равенство
имеет место, поскольку Rlx не является проективным Л-модулем,
так как идеал (х) не является прямым слагаемым в R). Аналогично,
dimR F = 1. Следовательно, dimH A ^ 1. Однако А не может
быть проективным объектом в категории mod-i?, поскольку нену-
ненулевые проективные модули не могут аннулироваться элементом х.
Следовательно, dimB A = 1.
В случае п > 0 отобразим свободный (Д/х)-модуль G на модуль
А с ядром К. Тогда из равенства AimR/x A = n следует, что
dimn/эс К = п — 1. В силу индуктивного предположения dim.RK =
= п. Тогда по теореме 8.14А получаем, что dimB А = п + 1,
кроме случая, когда п = 1, в котором dimR A ^ 2. Итак, тео-
теорема доказана, за исключением случая, когда dim,,/.*. A =
= dimR А = 1. В этом случае надо лишь доказать, что А —
проективный Д/ж-модуль, если dim^ А и dimR А не превосходят
единицы.
Пусть Н —¦ свободный .R-модуль и последовательность 0 ->
—»- Т—*¦ Н—*- А —у 0 точна. Тогда из неравенства dimH А =?^ 1
следует, что Д-модуль Т проективен. Кроме того, из хА = О
вытекает, что Т э хН, а поэтому последовательность 0 -> Т/хН -у
-у HlxH -*¦ А ->¦ 0 точна. Так как (Л/х)-модуль HlxH свободен
и dimn/,,. А ^ 1, то G?/х)-модуль TlxH проективен. Поэтому
хН/хТ выделяется прямым слагаемым в Т/хТ. Так как Л-модуль Т
проективен, то (Д/х)-модуль Т/хТ проективен и, следовательно,
А да HIT да xHlxT. ?
Имеются еще две теоремы о «замене колец», которые связаны
с теоремой 8.15А и приводятся ниже без доказательства.
8.15В* Вторая теорема о замене колец. При тех же предполо-
предположениях об R и х, что и в 8.15А, имеем
dimR/я (AlxA) ^ dimB A
для любого R-модуля А, для которого аппА х = 0.
8.15С. Третья теорема о замене колец. Если R — нётероео
слева кольцо, х лежит в радикале кольца R и для R, х и А справед-
справедливы те же предположения, что и в 8.15В, то
3C (AlxA) = dimR A.
Так как мы не используем ни 8.15В, ни 8.15С, то мы оставляем
доказательство читателю, предупреждая лишь, что в то время
как доказательство теоремы 8.15В относительно коротко и стан-
стандартно, для доказательства теоремы 8.15С потребуется «лемма
Накаямы», приведенная в гл. 18. (Таким образом, не каждый
читатель готов в данный момент доказывать теорему 8.15С, по край-
крайней мере тем способом, как это делает Капланский в [69а, стр. 178].)
Следующая теорема в случае поля R является теоремой Гиль-
Гильберта, а в более общем случае — теоремой Эйленберга — Розен-
берга — Зелинского [57].
8.16. Теорема Гильберта о сизигиях. Для любого ненулевого
кольца R
г. gl. dim R [xt, . . ., xn] = n + r. gl. dim R,
где R \xx, . . ., xn] — кольцо многочленов от п переменных.
Доказательство. В силу теоремы 8.15А имеем
г. gl. dim R [x] > 1 + г. gl. dim (i? [x]/x). Ho R [x]lx « R. Поэто-
Поэтому г. gl. dim R [x] ^ 1 + r. gl. dim R. Приводимая ниже лемма
доказывает обратное неравенство и нашу теорему в случае п = 1.
Общий случай получается применением индукции по п. ?
8.17. Лемма. Если М — модуль над кольцом многочленов R [х]
с коэффициентами из кольца R, то
dimR[3c] M <: dimB M + 1.
Доказательство. Так как
для любого семейства {Мг} Л-модулей, то М [х] — проектив-
проективный R Ы-модуль, если Д-модуль М проективен. Обратно, если
М [х] — проективный R Ы-модуль, то М [х] является прямым
слагаемым свободного R Ы-модуля F. Следовательно, М — пря-
прямое слагаемое Л-модуля М [х], который в свою очередь является
прямым слагаемым свободного Л-модуля F. Поэтому Д-модуль М
проективен, т. е.
dimK М —
M [х].
Если М к тому же и R Ы-модуль, то через К обозначим ядро
гомоморфизма
М [х] -у М
(т0, ..., mt, ...)
Тогда существует R Ы-изоморфизм
M[x]-*-K
(т0, ти ..., mi, ...)>-+¦ (тох, mix —
2
t=0

460
Ч. II. Строение нётеровых полу пер винных колец
Из этого следует, что
(Нтя М = AimRlx] М [х] = AimRlxl К >
> (dim,,!»! (М [х]/К)) — 1 = (Нтн[ж] М — 1. Q
8.18. Предложение (Ауслендер [55]). Пусть А — правый В-мо-
дулъ, J — непустое вполне упорядоченное множество, {Bt \ i ?
€ <?} — семейство подмодулей модуля А, такое, что В% ^ Bs для
i < /, где i, j ? J. Ясли Л = U Bt и dimR Eг/ U #/)< я
i ? J, mo dimH A s^ re.
Доказательство. Если п = 0, то Bi — (U B) ffi Bt
7 w ¦*-* {. у V* Jf VL/ л-^ 1
и модуль Л = 2 © #i — проективен.
Допустим теперь, что и >0. Положим ?j = 5г/и S;. Пусть
Fi — свободный модуль, отображающийся на модуль В\ с ядром
К\. Пусть Fi — 2] Ф F'j. Так как модуль Fi свободный, то суще-
существует отображение F{ -+- Ви такое, что диаграмма
с каноническим горизонтальным отображением коммутативна.
Проводя трансфинитную индукцию, продолжим отображение
F% -*- В\ до отображения Ft->- Bt с ядром Ки такого, что
¦К-1 Э li.j, если i >;,
и
К\ « KJU Kj.
Итак, 3<г
dimH (Kt) = dimR (Bt) — 1 < n — 1.
В силу индуктивного предположения dimB(U Kt) ^ n — 1. Так
как U Ki — ядро отображения U Ft-*A, то A.imRA < п. П
8.19. Теорема о глобальной размерности (Ауслендер [55]).
Если R — кольцо, то
г. gl. dim R = sup {dim (RII)},
I<=R
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность
461
т. е. правая глобальная размерность кольца R равна точной верх-
верхней грани проективных размерностей циклических правых R-mo-
дулей.
Доказательство. Пусть d = г. gl. dim Run — пра-
правая часть доказываемого равенства. Если А есть Д-модуль, то
вполне упорядочим элементы множества А. Пусть Bi (соотв. В\) —
подмодуль модуля А, порожденный всеми Xj, такими, что j ^ i
(соотв. j <C i). Тогда фактормодуль Вг1В\ является циклическим
для всех i. Следовательно, его размерность не превосходит п.
Поэтому из предложения Ауслендера следует, что d ^ re. Итак,
d == п. ?
8.20. Следствие. Для любого кольца R
г. gl. dim R = sup {proj. dim M \ MR — конечно порожденный
R-модулъ}. ?
8.21. Следствие. Если кольцо R не является классически полу-
полупростым, то
г. gl. dim R = 1 + sup {dim /}.
Доказательство. Пусть RII — циклический модуль и
dim RII = r. gl. dim R = n ^ 1.
Тогда из точности последовательности 0 —>¦ / —*- R —*¦ RII -> 0
и проективности модуля R вытекает, что
1 + dim / = dim RII,
чем и доказывается следствие. П
Если М есть Л-модуль, то через g (M) обозначим наименьшую
среди мощностей его систем образующих.
8.22. Предложение (Смолл [66Ы). Пусть к — поле мощности
хк, R = к [хг, . . ., хп] — кольцо многочленов с полем частных
Q = к {хг, . . ., хп), S — мультипликативно замкнутая система
кольца R, М = RS-1 и g (М) = х^. Тогда g (Q) = ик и
dimR М < \л + 1.
Доказательство. Заметим, что R — область с одно-
однозначным разложением на простые множители. Многочлен xt — а
неприводим в R для любого элемента а ? к, и
ti = К [Х±, • • •¦ ^п-1, Хп — CCXjJ
при п ^ 2. В Q отсутствуют 7?-подмодули,"*порожденные менее
чем ах элементами и содержащие множество {(хг — ах2)~г | а 6
6 к}. Поэтому g (Q) = аК.

462
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Допустим, что множество образующих модуля М вполне упо-
упорядочено и его мощность равна х^. Положим Мо — 0. Допустим
что Мi уже определены для всех i < а. Определим Ма как модуль,
порожденный обратными элементами ко всем знаменателям эле-
элементов из Мг для i < а и первым элементом множества образую-
образующих, не лежащих в этом множестве, а также их произведениями.
Тогда Ма порождается менее чем Хр, элементами. В силу трансфи-
трансфинитной индукции М = U Ма. Если \а >0, то по индуктив-
и
ному предположению dimR ( U Мг), dimR Ma ^ \i. Следова-
Следовала
тельно, dimR (MJ\J Mt) ^ \i + 1, и применима лемма Ауслен-
z«x
дера
Если [х = 0, то М порождается обратными элементами к эле-
элементам некоторого счетного множества элементов кольца R,
скажем {г0, гг, . . .}. Положим s0 = r^1, si+1 = str7+i. Тогда
stR ^ si+1R, stR — проективный модуль (на самом деле свобод-
со
ный) и М = U stR. Тогда dimR (si+1R/SiR) ^ 1. Опять же в силу
г=0
леммы Ауслендера dimR M ^ 1. Поскольку проективный модуль
не может делиться на s0, модуль М не является проективным.
Итак, dimR М = 1. ?
Теорема Гильберта и начало предыдущего доказательства
показывают, что
w xJi {хъ . . ., хп) <min (к + 1, п).
(На самом деле имеет место равенство, но мы его здесь не дока-
доказываем.) Если к — счетное поле, то очевидно, что dimH Q = 1.
Кроме того, для любой коммутативной локальной области цело-
целостности R с полем частных () теорема Капланского [66] утверждает,
что dimR Q, если Q — счетно порожденное поле. (См. Смолл [66с],
где R может быть любой областью целостности, такой, что rad R ^
^0л i?/rad R — нётерово кольцо.)
Кольцо R называется полунаследственным справа, если каж-
каждый конечно порожденный правый идеал проективен. Коммута-
Коммутативные наследственные (соотв. полунаследственные) области
целостности называются дедекиндовымп (соотв. прюферовыми)
кольцами или областями.
8.23. Примыкающие результаты и упраж-
упражнения.
8.23.1 (Ауслендер [55]). Если R — нётерово справа и слева
кольцо, то правая и левая глобальные размерности равны. {Ука-
{Указание: заметить, что равны правая и левая слабые глобальные
размерности.]
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность 463-
8.23.2 (Капланский [58Ы). Правая и левая глобальные раз-
размерности в случае произвольного кольца R могут не совпадать.
В частности, наследственное справа кольцо может не быть наслед-
наследственным слева.
8.23.3. (a) gl. dim X/pnZ = оо для любого простого числа р
и натурального числа п.
(Ь) Кольцо, правая глобальная размерность которого равна
бесконечности, может иметь в качестве левой глобальной раз-
размерности любое натуральное число п.
8.23.4. Доказать равенство, приведенное в замечании, следую-
следующем за доказательством предложения 8.22.
8.23.5 (Хохшильд [58]). Если R — кольцо, S — свободная
группа (свободный моноид), R [S] — групповое (полугрупповое)
кольцо, то
г gl dim R [S] = 1 + r. gl. dim R.
В частности, свободное кольцо над S, определяемое как цело-
целочисленное полугрупповое кольцо Z[5], имеет глобальную раз-
размерность, равную 2. Выведите из этого, что любое кольцо Т изо-
изоморфно факторкольцу АН кольца А, глобальная размерность кото-
которого равна 2.
8.23.6. Свободная алгебра над полем наследственна справа
и слева.
8.23.7. Если Тп (R) — кольцо нижних треугольных матриц над
кольцом R, то
1. gl. dim Tn (R) = 1 + 1. gl. dim R.
Итак, кольцо Тп (R) наследственно слева тогда и только тогда,
когда кольцо R классически полупросто.
8.23.8 (Ософская). Если R — нётерово справа кольцо, то
г. gl. dim R = sup {inj. dim {R/I) |/дЛ}.
8.23.9. (а) (Леви [63а]) Если R ¦— наследственное справа и слева
полупервичное кольцо, то R является прямой суммой наслед-
наследственных справа и слева первичных колец.
(b) (Леви, там же) Над таким кольцом R каждый конечно порож-
порожденный правый .R-модуль является прямой суммой периодического
модуля и конечного числа правых идеалов.
(c) (Айзенбуд и Робсон) Любой модуль над наследственным
справа и слева нётеровым справа и слева первичным кольцом,
который аннулируется ненулевым идеалом, является прямой сум-
суммой модулей с единственным рядом Лоева (см. гл. 22) или,
что эквивалентно, для любого ненулевого двустороннего идеала А
факторкольцо RIA обобщенно однорядно (в том смысле, что оно
артиново справа и слева и обладает разложением в прямую сумму

464
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
правых (левых) идеалов с единственным рядом Жордана — Гёль-
дера (см. гл. 17 и 24)).
8.23.10 (Райнехарт [62]). Пусть R — алгебра (кольцо) диффе-
дифференциальных многочленов над полем к. Тогда
и также t ^ 2n. Если характеристика поля к отлична от нуля,
то I = 2и.
(Ь) Проективная размерность модуля R над «обертывающей»
алгеброй R <8> i?op равна 2.
Нётеровы кольца глобальной размерности 2
Теорема Басса, доказываемая в этом параграфе, утверждает,
что глобальная размерность нётерова кольца не превосходит двух
тогда и только тогда, когда дуальный к произвольному конечно
порожденному правому Л-модулю X Л-модуль проективен. Чтобы
привести доказательство Басса, мы введем понятия замкнутых
подмодулей и полурефлексивных модулей. Кратко, правый R-mo-
дуль А называется полурефлексивнымх), если каноническое
отображение
Г A-+A**
\ аь-*-( , а),
где / ( , а) — f (а) для любого / ? А*, является мономорфизмом.
Модуль А называется рефлексивным, если А ->- А** — изомор-
изоморфизм. (См. дуальные модули, стр. 181—182.) Подмодуль К назы-
называется замкнутым в А, если
v К = annA (annA*K).
Для любого Д-модуля К имеется изоморфизм
Г annA*K да (А/К)*
где / (а + К) = / (а). Таким образом, существует изоморфизм
аппА (аппА*К) « (А*/(аппА»К))*.
Если подмодуль К замкнут, то он изоморфен модулю, стоящему
справа, т. е. каждый замкнутый подмодуль модуля А изоморфен
модулю, дуальному к некоторому фактормодулю модуля А*.
х) Их называют иногда модулями без кручения в смысле Басса.— Прим.
перев.
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность
465
8.24. Упражнения.
8.24.1. Подмодуль К модуля А замкнут тогда и только тогда,
когда модуль А/К полурефлексивен.
8.24.2. Каждый правый Д-модуль полурефлексивен тогда
и только тогда, когда R — кообразующий в категории mod-/?.
8.24.3. Подмодуль К модуля А замкнут тогда и только тогда,
когда К = аппл^Г, где Н — некоторый подмодуль модуля А*.
8.25А. Предложение. Пусть R — кольцо, п >0, К — под-
подмодуль модуля Rn из категории mod-jR. Тогда К — замкнутый
подмодуль в том и только том случае, когда модуль К изоморфен
R-модулю В*, дуальному к левому R-модулю В, порожденному п
элементами.
Доказательство. Если подмодуль К замкнут, то для
А — Rn имеет место изоморфизм
К = апплаппл* К л; (A*laxmA*K)*.
Таким образом, К « В*, где В — А*/аппА* К. Так как А* «
ж Rn в категории i?-mod, то модуль В порождается п элементами.
Обратно, если К си В*, где последовательность
0
Я -> Rn -> В -> 0
точна в категории i?-mod, то в силу упражнения 8.24.3 К —
замкнутый подмодуль, поскольку &nnRnH л? (RnIH)* » В*. ?
8.25В. Предложение (Басе [60]). Если R — нётерово справа
и слева кольцо, то 1. gl. dim R ^ 2 тогда и только тогда, когда
любой R-модуль, дуальный к конечно порожденному правому мо-
модулю, проективен.
Доказательство. Пусть М — конечно порожденный
.R-модуль и последовательность
A) 0 -> К -> Rn -»- М -»- 0
точна. В силу следствия 8.20 г. gl. dim R ^ 2 тогда и только тог-
тогда, когда размерность возникающих таким образом модулей К
не превосходит 1. Пусть последовательность
B) 0 -> Н -> Rm -> К -> 0
точна. Тогда dim К <J 1 в том и только том случае, когда dim H —
= 0. Таким образом, 1. gl. dim R <: 2 тогда и только тогда, когда
возникающие таким образом модули Н проективны. Из упр. 8.24
следует, что эти модули Н дуальны к конечно порожденным
модулям. Действительно, модуль К полурефлексивен, и, следо-
следовательно, по 8.24.1 Н — замкнутый подмодуль. В силу изоморфиз-
изоморфизма, установленного перед упр. 8.24, модуль Я изоморфен модулю,
30 к. Фейс

466
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 8. Полу простые модули и гомологическая размерность
467
дуальному к некоторому конечно порожденному модулю. Обрат-
Обратно, любой такой дуальный модуль #' может быть дополнен до
точной последовательности вида B). ?
8.26. Следствие. Если R — нётерово справа и слева кольцо,
глобальная размерность которого ^ 2, то как все правые, так и все
левые аннуляторные идеалы кольца R проективны.
Доказательство. Если / — правый аннуляторный
идеал, скажем / = аппАХ, где X — левый идеал кольца R, то
в силу предложения 8.25В X « (RII)* — проективный модуль. ?
Простые нётеровы кольца,
глобальная размерность которых < 2
Из теоремы Веддербёрна — Артина следует, что простое ар-
тиново кольцо подобно телу и, следовательно, его глобальная раз-
размерность равна 0. Следующая теорема обобщает это утверждение
на простые нётеровы кольца глобальной размерности ^ 2.
8.27. Теорема х). Нётерово справа и слева простое кольцо R,
глобальная размерность которого <12, подобно простой правой об-
области Оре.
Доказательство. В силу следствия 8.26 из теоремы
Басса каждый правый аннуляторный идеал в кольце R проективен.
В силу 4.11, 4.19, 4.29 (см. также 7.5) простое кольцо R подобно
простой правой области Оре тогда и только тогда, когда оно со-
содержит проективный однородный правый идеал U. В силу тео-
теоремы Голди 7.21В существует артиново справа классическое пра-
правое кольцо частных О кольца R. Пусть / — минимальный пра-
правый иде*ал кольца О, содержащийся в UQ. Положим А = I f\ R.
В силу 8.5 правый идеал / порождается идемпотентом, и, следо-
следовательно, является минимальным правым аннуляторным идеа-
идеалом в кольце Q. Тогда в силу 4.23.3 А — правый аннуляторный
идеал в кольце R и, более того, минимальный правый аннулятор-
аннуляторный идеал. Далее, А — однородный правый идеал, поскольку
если X и Y — ненулевые правые идеалы кольца R, лежащие в А,
то XQ и YQ — ненулевые правые идеалы, лежащие в /. Тогда
в силу минимальности правого идеала / имеем XQ = YQ = I.
г) Автор доказал эту теорему в 1965 г. и сообщил о ней в устной и пись-
письменной форме частным образом. Михлер [69] получил ее независимо в более
общем виде. Теорема была представлена в лекциях автора на конференции
по теории колец (Ring Theory Conference at Appalachian State U., Boone,
N. C, August 1969) в августе 1969 г. Коззенс и Фейс обобщили ее на рассма-
рассматриваемый односторонний случай.
Запишем
t = xab'1 = ycd,-1,
где все элементы t ? О, х ? X, у 6 Y, а, Ъ, с, d ? R ненулевые..
(В силу 9.3 это возможно.) Тогда d~xb = Ь^1 для подходящих
элементов Ъъ dx ? R. Поэтому
tbdi = xad-y = ycb1
— ненулевой элемент правого идеала X |~| Y. Это доказывает,
что правый аннулятор А является однородным и проективным.
Тогда к — End AR — правая область Оре (см. 4.21), а кольцо R
подобно области к. ?
Гипотезы о простых кольцах
Приведем переформулировку теоремы 7.21В и части тео-
теоремы 7.5.
8.28А. Теорема. Пусть R — простое кольцо, U — ненулевой
однородный правый идеал и К = End UR — правая область Оре.
Тогда U — конечно порожденный проективный левый К-модулъ.
Кроме того, равносильны следующие условия:
(a) К — простое кольцо.
(b) U — проективный R-модулъ.
(c) Существует эквивалентность категорий
mod- К « mod-i?.
8.28В. Гипотезы1).
A) Можно ли выбрать правый идеал U в предложении
8.28А (Ь) так, чтобы U был свободным модулем над кольцом К? Ги-
Гипотеза: нет.
B) Верно ли, что R » Кп для некоторой области целостности'
К? Гипотеза: нет.
C) Если кольцо .й|не является областью целостности, то обя-
обязано ли кольцо R содержать нетривиальные идемпотенты? Гипо-
Гипотеза: нет.
D) Существует ли простая правая область Оре К и неразло-
неразложимый конечно порожденный проективный iiT-модуль Р, который,
не вкладывается в К? Гипотеза: да.
г) А. Е. Залесский, О. М. Нерославский (Инст. мат. АН БССР, 1976,
препринт № 1) построили пример простого нётерова кольца без идемпотетч^
содержащего делители нуля, что дает ответ на вопрос C) и в качестве след-
следствия на вопросы A), B), D), (9). См. также их статьи в Изв. АН БССР A975),
№ 5, 38—42, и в Сотт. Algebra, 5 A977), № 3, 231—244.— Прим. перев.
30*

468
Ч. II. Строение нётеровых полу первичных колец
E) Если R — простое кольцо с однородным правым идеалом
U, то существует ли однородный ненулевой проективный пра-
правый идеал W в i??
F) Будет ли каждое простое кольцо Голди (или кольцо конеч-
конечной глобальной размерности) подобно области Оре? Гипотеза:
нет.
G) Те же вопросы, но в предположении, что R — простое
нётерово справа и/или нётерово слева кольцо и/или F-кольцо.
(См. гл. 7, в частности 7.31.)
(8) Те же вопросы, но в предположении, что каждый квази-
инъективный правый модуль инъективен. (Тогда кольцо R нёте-
нётерово справа и кольцо эндоморфизмов любого неразложимого инъ-
ективного правого Л-модуля является телом. См. гл. 20.)
(9) Если К — простая правая область Оре и U — конечно
порожденный проективный левый if-модуль, то существует ли
левый идеал V кольца К и изоморфизм U я» Vn для некоторого
целого числа п >0?
8.28С. Замечания. Гипотезы A) и B) равносильны.
Если верно предположение A), то U — конечно порожденный сво-
свободный if-модуль, скажем, U л; Кп. Тогда в силу 3.17 R =
= EndK U «* Кп. Обратно, если R » Кп, то R « End^ W, где
W » Кп — свободный iiT-модуль.
Импликация B) =р- (9). Если R = EndK U, R « Кп, то U =
п
= 2 Uen в категории if-mod, где {ец} ь/еш— матричные еди-
г=1
ницы кольца R и все if-модули 1/ец изоморфны модулю V = Uelx,
причем изоморфизм осуществляется посредством гомотетии модуля
U с коэффициентом еи. (Заметим, что поскольку Ren = Ren, то
Uelx = Uetl.) Из этого следует, что Р» F" в категории K-mod.
В силу 3.17 существует изоморфизм колец
R = EndK U « EndK Vй « Qn,
где Q == EndK V. В силу 7.21В кольцо R обладает правым кольцом
частных Dn, где D — правое тело частных кольца К. Из этого сле-
следует, что Q — правая область Оре, правое тело частных которой
изоморфно телу D. Далее, в силу 4.11.6 модуль V канонически
вкладывается в Q, и, следовательно, FsD. Так как левый К-
модуль V конечно порожден и К — правая область Оре, то суще-
существует ненулевой элемент k ? К, такой, что Vk ? К. Из этого
следует, что модуль V вложим в К, т. е. выполнено условие (9).
Импликация B) =ф- C) очевидна.
Импликация C) =*» F). Допустим, что справедливо предполо-
предположение C). Пусть е — нетривиальный идемпотент кольца R. Так
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность
469
как кольцо R простое, то eR — прообразующий и кольца
End eRR x eRe канонически изоморфны. Таким образом,
R~ eRe. Поэтому если eRe — область целостности, то выполнено F).
В противном случае в силу C) кольцо eRe содержит нетривиаль-
нетривиальный идемпотент /. Правая размерность Голди кольца fRf не пре-
превосходит правой размерности Голди eRe. Проводя индукцию,
можно считать, что fRf подобно области целостности. Тогда
R~eRe—fRf, т. е. кольцо R подобно области целостности.
Утверждение C) равносильно отрицанию утверждения D).
Действительно, пусть Р — конечно порожденный проективный
.ЙТ-модуль. Так как кольцо К простое, то Р является прообразую-
прообразующим в категории K-mod. Тогда кольцо А = End^P подобно
кольцу К. В силу 7.21В кольцо А обладает правым кольцом част-
частных, которое изоморфно кольцу Dm для некоторого числа т >0.
Если модуль Р неразложим, то в кольце А нет нетривиальных
идемпотентов. Поэтому в силу C) А — область целостности, пра-
правое тело частных которой изоморфно телу D. Тогда модуль Р вло-
вложим в К [как это было показано в доказательстве импликации
B) =*. (9)].
Обратно, если Р — неразложимый конечно порожденный
проективный левый iiT-модуль, который не вкладывается в К, то
аналогичные рассуждения показывают, что R = EndKP — про-
простое кольцо Голди без нетривиальных идемпотентов и, кроме того,
R не является областью целостности. (Действительно, если бы
кольцо R было областью целостности Q, то правое тело частных
кольца Q совпадало бы с D, а тогда приведенные выше аргументы
показывают, что модуль Р вложим в К, что противоречит пред-
предположению.)
Предположения E) и F) равносильны в силу 8.28А.
Гипотезы C) и (9) связаны следующим образом. Предположе-
Предположение C) равносильно тому, что каждый конечно порожденный ле-
левый iiT-модуль W изоморфен прямой сумме неразложимых левых
идеалов кольца К, в то время как гипотеза (9) утверждает, что
мы можем предполагать существование изоморфизма .ЙГ-модулей
W » V", где Vn — прямая сумма изоморфных неразложимых
левых идеалов кольца К. ?
Кольца без единичного элемента
Под предкольцом х) понимается множество с двумя бинарными
ассоциативными операциями
умножением: Т X Т-^-Т, (a, b)->a-b
и
сложением: Т X Т -> Т, (а, Ь) —>- а + Ъ,
J) У автора «ring — 1».— Прим, перев.

470
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
такими, что Т — абелева группа относительно сложения и опе-
операции удовлетворяют законам дистрибутивности
(а + Ъ) с = ас + be,
а (Ъ + с) = ab + ас
для всех а, Ь, с ? Т.
Таким образом, каждое кольцо является предкольцом.
Обратно, предкольцо Т является кольцом относительно опера-
операций сложения и умножения тогда и только тогда, когда Т содер-
содержит единичный элемент.
Гомоморфизмы предколец (гомоморфные вложения и т. д.)
определяются очевидным образом: отображение h: Т —>- S пред-
предколец называется гомоморфизмом, если h (ab) = h (a) h (b) и
h (a — Ь) = h (а) — h (b) для всех а, Ъ ? Т.
8.29А. Предложение. Пусть Т — предколъцо, а ?Г — катего-
категория, объектами которой служат гомоморфные вложения предколец
hR: T^R,
где R — кольцо, такое, что
i? = {im h + и-1 | п 6Z}.
Морфизм в ?Г — гомоморфизм колец /: R —>- S, для которого диа-
диаграмма
-*¦ R
коммутативна. Тогда категория .J обладает левым нулем.
Доказательство. Инициальный объект (или левый
нуль) традиционно вводится как произведение R = Т X L, кото-
которое является кольцом относительно операций
умножения: (а, п) {Ъ, m) = (ab + пЪ + та, пт),
сложения: (а, п) + (Ъ, т) — (а + Ь, п + нг).
Единичным элементом кольца R является @,1), и отображение
t и-»- (?, 0) определяет гомоморфное вложение предколец hR: T —>- R.
Очевидно, что hR принадлежит нашей категории 3~. Если hs- T —>-
—*- S — объект категории ST, то существует кольцевой гомоморфизм
| R-+S
I
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность 471
Заметим, что hR (t) + я-1 = (t, n) ? R. Следовательно, hR (t) +
+ пЛ = hR (?) + wi*l тогда и только тогда, когда t — t' и п =
= т. Это показывает, что /: hR (t) + и-1 н->hs (t) + ге-1 действи-
действительно является отображением и, более того, очевидно, морфизмом
в категории ?Г. Если /': R —>- S — морфизм, такой, что f'hR — hs,
то
/'(*, n) = f(t, 0) + /'@, n) = f{t, 0) + в-1 =
т. е. /'=/. Это доказывает, что hR: Т —>- R — левый нуль. ?
Если Т — предкольцо, не являющееся кольцом, то левый
нуль hR: Т -»- R в категории ЗГ, построенный в 8.29А, называется
кольцевым накрытием предкольца Т. Для простоты в качестве
hR будет рассматриваться включение, a R будет называться коль-
кольцевым накрытием предкольца Т. В этом случае Т — идеал кольца
R и факторкольцо RIT изоморфно кольцу целых чисел Т..
(Правый) модуль (М, Т, \i) над предкольцом Т определяется
как абелева группа М и отображение
[ (m, t) >-+mt,
для которых выполнены аксиомы A)—C) из определения модуля
над кольцом (см. гл. 1). Гомоморфизм М -> N Т-модулей опреде-
определяется как гомоморфизм групп /: М -> N, при котором / (xt) =
= / (х) t для всех х 6 М, t ? Т. Как и в категории модулей над
кольцами, Homr (M, N) будет обозначать множество всех Т-
гомоморфизмов М —>~ N. Класс всех Г-модулей является катего-
категорией и обозначается через оМт, в ней Homr {M, N) — множество
всех морфизмов М' -> N.
8.29В. Предложение. Пусть Т — предколъцо, и R — его
кольцевое накрытие. Тогда существует изоморфизм категорий
ф(
I (М, Т,
где
\i)*-*(Af, R,
MXR-+M
(х, (t, п))^\а(х, t) + nx.
Если М, N ?JlT uf 6 HomT (M, N), mo f 6 Нотя (ф (М), ц> {N)),
и мы положим ф (/) = /. Тогда
I (M, R,
*(M, T, лМ),
где т] (v) — ограничение отображения v на Т.

472
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Доказательство. Очевидно, что <рт] = г|ср — тожде-
тождественное отображение на объектах и на морфизмах. ?
Правым идеалом предкольца Т называется подмножество в Т,
являющееся подмодулем относительно индуцированных операций.
Аналогично определяется левый идеал. Нильпотентные идеалы
определяются так же, как и в кольцах.
Заметим, что если R — кольцо (с 1), то mod-i? (в обычном смыс-
смысле) соответствует множеству всех Д-модулей (над предкольцом)т
в которых xi = х для каждого элемента х модуля.
8.30. Теорема. Если Т Ф 0 — предколъцо без ненулевых нилъпо-
пгенпгных идеалов, удовлетворяющее условию обрыва убывающих
цепей правых идеалов, то Т содержит единицу и является, таким
образом, {классически полупростым) кольцом.
Доказательство оставляем читателю с указанием
о том, что R = End ТТ — артиново полупервичное кольцо, а
отображение t —>- ts осуществляет вложение Т -> R.
Упражнения к гл. 8
1. Пусть R — кольцо, ех, е2 — идемпотенты кольца R. Тогда
(а) Правые .fi-модули eyR и e2R изоморфны тогда и только тог-
тогда, когда существуют элементы е12, е21 ? R, такие, что
Гл. 8. Полу простые модули и гомологическая размерность
473
[Указание: если <р — изоморфизм, то положим е21 = ср (е^, е12 =
= qr1 (ea).]
(Ь) Правые Д-модули exR и e2R изоморфны тогда и только
тогда, чкогда левые 7?-модули Rex и Re изоморфны.
2. Пусть е — идемпотент полупервичного кольца. Тогда рав-
равносильны следующие утверждения:
(a) eR — минимальный правый идеал; (b) eRe — тело; (с)
Re — минимальный левый идеал.
3. Следующие утверждения о минимальных правых идеалах
/, К полупервичного кольца R эквивалентны: (а) I ж К.
(b) KI ф 0; (с) К = xi для некоторого элемента х 6 К.
4. Если А — идеал классически полупростого кольца R, то
существует центральный идемпотент е (т. е. идемпотент е, лежа-
лежащий в центре кольца R), такой, что А = eR = Re.
*5. Если R — полупервичное кольцо и каждый правый R-
модуль полурефлексивен, то кольцо R классически полупросто.
*6 (Брауэр). Если кольцо R артиново справа, то каждый
ненильпотентный правый идеал содержит идемпотент.
*7 (Капланский [52]). Если полупервичное кольцо R удовле-
удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей главных правых идеа-
идеалов, то кольцо R классически полупросто. [Указание: показать,
что R совпадает со своим цоколем, заметив, что каждый конечно
порожденный правый идеал, лежащий в цоколе, порождается
идемпотентом.] Это же утверждение верно и для предколец.
8. R = Ап, где А — кольцо, и Т (соотв. N) — множество
нижних (строго) треугольных матриц над R, т. е.
(a) Показать, что Т — кольцо, N — нильпотентный идеал
кольца Т индекса нильпотентности ^ п и факторкольцо TIN —
прямое произведение п экземпляров кольца А.
(b) Если кольцо А классически полупросто, то кольцо нижних
треугольных матриц над А наследственно справа. Обобщить это
утверждение.
*9 (Фейс [66]). Пусть М есть Л-модуль и? — его инъектив-
ная оболочка. Тогда следующие условия равносильны:
(a) Прямая сумма счетного числа экземпляров модуля Е яв-
является инъективным модулем.
(b) Структура правых идеалов кольца R, являющихся анну-
ляторами подмножеств модуля М, удовлетворяет условию обры-
обрыва возрастающих цепей.
(c) Любая прямая сумма экземпляров модуля Е является
инъективным модулем.
10. Пусть С — категория. Если объекты А и В эквивалентны,
то существует эквивалентность категорий Мог (А, А) «
я« Мог (В, В). Обратное, вообще говоря, неверно. Но это спра-
справедливо для категории векторных пространств над телом. Дока-
Доказать это. [Указание: если S = EndD V, где V — векторное про-
пространство над телом D, то правый iS-модуль V прост и изоморфен
правому идеалу / кольца S. Таким образом, К = End Is — тело,
изоморфное телу D, а / — левое векторное пространство над
D, изоморфное V. Любые два минимальных правых идеала
кольца S изоморфны. Поэтому если R « EndgW, где qW — век-
векторное пространство над телом Q, то из изоморфизма R л; S сле-
следует существование изоморфизма Q « D и равенство dimQj^ =
dime V. Это несколько более сильное утверждение, чем то, которое
мы первоначально сформулировали.]

474
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
11. Коммутативное полунаследственное кольцо не содержит
нильпотентных элементов.
*12 (Голди [62]). Если R — полупервичное кольцо главных
правых идеалов, то кольцо R наследственно справа.
*13 (Голди [62]). Если R — первичное кольцо главных пра-
правых идеалов, то R « Кп, где К — наследственная справа область
целостности.
*14. Кольцо R наследственно справа тогда и только тогда, ког-
когда каждый подмодуль проективного модуля проективен. Вывести
из этого, что каждое наследственное кольцо полунаследственно.
*15 (Капланский). Если кольцо R наследственно справа, то
каждый проективный модуль изоморфен прямой сумме правых
идеалов кольца R.
*16 (Альбрехт [61]). Если кольцо R полунаследственно спра-
справа, то каждый проективный модуль изоморфен прямой сумме ко-
конечно порожденных правых идеалов кольца R.
*17 (Басе [64]). Если кольцо R полунаследственно справа, то
каждый проективный левый Д-модуль изоморфен прямой сумме
модулей, дуальных конечно порожденным правым идеалам.
Замечания к гл. 8
Теоремы Веддербёрна — Артина о классически полупростых
кольцах и полупростых модулях, представленные в этой главе,
стандартны и не нуждаются в дальнейших комментариях, исклю-
исключая, возможно, лишь указание на то, что это одно из наиболее
мощных средств в структурной теории артиновых неполупростых
колец (часть V). Почему это так? Во-первых, радикал / любого
артинов^а справа кольца R нильпотентен. Из этого следует, что
любой ненулевой модуль М содержит MJ в качестве собственного
подмодуля. Но канонический ^//-модуль MIMJ должен в силу
8.11 быть полупростым, поскольку R/J классически полупросто и
артиново справа. В частности, J/Jl+1 — полупростой модуль для
любого числа i, меньшего, чем индекс нильпотентности радикала
/. Из этого следует, что R обладает композиционным рядом (гл. 17),
простые факторы которого в силу теоремы Жордана — Гёльдера
определены однозначно с точностью до изоморфизма. Кроме того,
отсюда извлекается несложное следствие: кольцо R нётерово
справа, т. е. любое артиново справа кольцо является нётеровым
справа (теорема Гопкинса [39] и Левицкого [39]). Как мы уже от-
отмечали, важные приложения теорема Веддербёрна — Артина
находит при исследовании строения неполупростых колец. Бо-
лееполное освещение этого вопроса можно найти в томе 2.
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность
475
"?f Как указывалось в упражнении 8.23.3, существуют кольца
бесконечной глобальной размерности. В действительности, при-
приведенные там примеры могут быть обобщены: любое самоинъек-
тивное справа нётерово справа или слева кольцо R либо класси-
классически полупросто, либо его глобальная размерность равна со.
[Эти кольца называются квазифробениусовыми кольцами (QF-
кольца). Класс таких колец совпадает с классом артиновых спра-
справа и слева колец, в которых каждый правый или левый идеал яв-
является аннуляторным. См. гл. 12, упр. 6.]
Теорема Ауслендера — Буксбаума [57] утверждает, что любое
нётерово коммутативное локальное кольцо конечной глобальной
размерности является областью целостности с однозначным раз-
разложением на простые множители. Таким образом, глобальная
размерность любого нётерова коммутативного локального кольца
с делителями нуля равна бесконечности (из этого утверждения сле-
следует 8.23.3(а)). Однако существуют локальные коммутативные
кольца с делителями нуля конечной глобальной размерности
(Ософская [69]).
Результаты Капланского и Смол л а о глобальной размерности
колец частных (см. 8.22) были обобщены Ософской [68с] (см. так-
также Ософская [70], где обсуждается глобальная размерность коль-
кольца линейных преобразований бесконечномерного векторного про-
пространства над телом).
Митчелл [65] изложил теоремы о глобальной размерности для
случая абелевых категорий. Кроме того, он доказывает не только
теорему Гильберта о сизигиях 8.16 для категории многочленов
над абелевой категорией, но также и теорему Хохшильда, сфор-
сформулированную в 8.23.5, для «свободной» категории над абелевой
категорией. Позже Митчелл получил обе эти теоремы единым ме-
методом (не опубликовано).
Ссылки
Айзенбуд — Робсон [70], Альбрехт [61], Артин [27], Ауслен-
дер [55], Ауслендер — Бухсбаум [57], Басе [60а], [64], Вебер [70],
Веддербёрн [08], Голди [62], Капланский [52], [58а], [59], [66],
[69а], [69Ы, Картан — Эйленберг [56], Леви [63], Маклейн [66],
Митчелл [65], Михлер [69], Норскотт [60], Ософская [68с], [69],
[70], Райнхарт [62],' Сандомирский [64], Смолл [66с], Фейс [66],
[72а], Хохшильд [58].

Глава 9
НЁТЕРОВЫ ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ КОЛЬЦА
Кольцо S называется (классическим) правым кольцом частных
своего подкольца Т, если каждый регулярный элемент а ^ Т
обратим в S и
S = {ab'1 | а, Ъ g T, Ъ — регулярный элемент}.
Тогда Т — порядок в кольце S (см. 7.21). Следующее условие
необходимо и достаточно для того, чтобы кольцо Т обладало клас-
классическим кольцом частных: если a, b ? Т и Ъ — регулярный эле-
элемент, то существуют элементы аг, Ъх ? Т, где Ъг регулярен, такие,
что аЬг = Ъах (см. 9.1). Если Т — коммутативное кольцо, то это
условие выполнено автоматически. Если Т — область целостности,
то это условие Оре.
Интересен вопрос о том, когда кольцо (или группа) R вло-
жимо в кольцо (и X ге)-матриц над телом (в этом случае кольцо
называется представимым). Ветвь математики, известная как тео-
теория представлений, посвящена изучению гомоморфизмов данного
кольца (или группы) в кольцо матриц или в кольцо линейных пре-
преобразований над телом. (См. книгу Кэртиса и Райнера [69], где
излагается теория представлений.)
Очень простое, но важное введение в эту область дает следую-
следующая теорема: любое кольцо R, являющееся конечномерным левым
векторным пространством над своим подтелом F, вложимо в коль-
кольцо Fn, ^где п = dimFi?. Вложение *) осуществляется отображе-
отображением, при котором а 1—»• a<j, где a<j—гомотетия с коэффициентом
а ? R. Такое представление называется конечномерным.
В этой связи теорема Веддербёрна — Артина — весьма силь-
сильное утверждение. Артиново первичное кольцо не только предста-
вимо, но и является полным кольцом матриц над телом. В этой
главе мы покажем, что нётерово первичное (или простое) кольцо
не только представимо, но, что является гораздо более точным
утверждением, оказывается порядком в полном кольце матриц
над телом. Исторически как первая теорема о конечномерном
представлении для общего нётерова простого (или первичного)
кольца это утверждение было доказано Голди в 1958 г. для нете-
Гл. 9. Нётеровы полупервичные кольца
477
ровых справа и слева колец, а Лезьё и Круазо в 1959 г. для пер-
первичных нётеровых справа колец 1). Мы приведем предложенное
Голди [69] доказательство утверждения,'характеризующего коль-
кольца с классически полупростыми правыми кольцами частных как
полупервичные кольца с условиями максимальности для аннуля-
торных идеалов и прямых сумм (теорема 9.9). Следствием является
теорема Левицкого 9.16 о том, что любой правый ниль-идеал нёте-
рова справа или слева кольца нильпотентен. Глава заканчивается
рядом упражнений о максимальном (в смысле Джонсона) правом
кольце частных антисингулярного справа кольца, обобщающего
понятие классического правого кольца частных. Кроме того,
теорема Фейса — Утуми [65], определяющая все правые порядки
кольца Dn как подкольца, содержащие кольцо Fn для некоторого
правого порядка F в D, доказывается в следующей гл. 10.
Существование колец частных
Кольцо R] удовлетворяет правому условию Оре, если для
любой пары элементов a, b ? R, где Ъ регулярен, существует пара
элементов аи Ъг ? R, где Ьх регулярен, такая, что
A) аЪг = Ъаг.
Условие Оре, очевидно, необходимо для того, чтобы кольцо
R имело правое кольцо частных S, поскольку тогда Ь~1а ? S, и
поэтому
B) Ъ~1а =а1б71
для подходящих аь Ъх ? R, т. е. выполняется A). Итак, равенство
B) — мнемоническое средство для запоминания равенства A).
В этом случае кольцо R называется правым кольцом Оре.
9.1. Предложение. Кольцо R обладает правым кольцом частных
тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию Оре.
Доказательство2).^ Пусть G — множество регуляр-
регулярных элементов кольца R. Докажем сначала, что (i) если аЪх = balt
где а, Ь, аг ? G и bt ? R, то Ъг ? G. Чтобы убедиться в этом, пусть
х ? &J-. Тогда btx = 0, а значит,
0 = Ьхх = аЬ^х — Ьагх,
*) Забавная патология: R — левое и правое векторное пространство над
любым подтелом F, но возможно, что п— dimF2? < ш и dim RF— со (Кон
[61]). В этом случае отображение а i—*¦ as вкладывает Л не в Fn, а в кольцо Fa
конечно-строчных матриц над F.
4) Теорема плотности Шевалле — Джекобсона дает нам представление
любого простого кольца Л, которое конечномерно лишь тогда, когда R арти-
артиново (см. гл. 19).
2) В связи с доказательством Габриеля см. 16.9. Ср. «обращающие мор-
физмы» у Габриеля и Цисмана [71].

478
Ч. II. Строение нётеровых полу первичных колец
Гл. 9. Нвтеровы полупервичные кольца
479
и из Ьаг ? G следует, что х = 0. Далее, если х ^ ^-Ъх, то существу-
существуют а2, Ь2 6 jR, такие, что ?>2 ? 6? и а?>2 = 6а2, а тогда существуют
с ? G, d ? R, такие, что а2с = %й. Следовательно,
откуда аЬгс = a^iii. Так как а (Ь2с — bxd) = 0 и а ? G, то Ь2с =
= Ьхй и поэтому, поскольку xbx = 0, имеем
0 = хЪг = жЬ^ = хЪ2с
Так как Ь2с ? G, то я = 0, что доказывает утверждение A). Опре-
Определим на произведении R X G отношение ~, где
(a, b) ~ (с, d)
тогда и только тогда, когда верна следующая импликация:
(*) если Ъх = dy для некоторой пары элементов х, у ? G, то
ах = су. Теперь докажем утверждение (п): если для данной пары
(а, Ъ) 6 R X G импликация (*) верна для одной упорядоченной пари
(х, у), то она верна для любой такой пары (х1: г/х) ? G X G1).
Действительно, найдем элементы g, gt 6 G, такие, что yg =
Так как мы допустили, что Ьхх = dyx и Ъх = dy, то
= dyg =
xg и
Следовательно,
т. е. ахг = ci/j, что доказывает (ii). Из этого следует, что ~ —
отношение эквивалентности на R X G. Обозначим множество
классов эквивалентности через RG'1. Класс эквивалентности пары
(а, Ъ) 6 R X G обозначим через alb. Если alb, eld ? RG~X, то суще-
существуют ^элементы х, у ? G, такие, что
т = Ъх = dy.
Тогда определим
AЛ alb + eld = (ах + су)/т.
(Заметим, что a/fr = axlm и c/d = cylm.) Во-первых, определение
A) не зависит от выбора элемента т, поскольку если также т =
= Ъх' — dy', где х', у' ? G, и если ти — m'v для и, v, ? G, то
Ь;ш = Ьх'у, т. е. xu = x'v. Аналогично, уи = y'v, и поэтому
{ах + су) и = (ах' + су') v,
откуда
(аж + суIт = (ах' + су'Iт'.
*) То есть (Ья y
==ci/j)). — Прим. перев.
ax = су) =Ф (V
(bXi =
Далее, определение A) не зависит от выбора представителей для
alb. Действительно, если alb = a'lb', то найдутся элементы х ,
у', z 6 G, такие, что т' = Ъх' = eft/' = b'z, и тогда a#' = a'z. Но
определение A) не зависит от выбора элемента т, т. е.
t = a/Ь + eld = (ax + cy)lm — {ax + cy')/m'.
Следовательно, t = (a'z + cy') m = a'/fc' + eld, т. е. то, что
мы и хотели показать. Аналогично, если уг ? G, х1 ? R таковы, что
п = Ъхг = ci/j, то положим
B) (alb) (eld) = ая^.
(Заметим, что alb = axx/n и eld = nldy^) Как и ранее, формула
B) не зависит от выбора элементов хх уг в равенстве Ъх1 = суг
и также не зависит от выбора представителей для alb, eld. Напри-
Например, если alb = a'lb', то выберем и, v 6 G, такие, что Ъи = b'v,
и тогда аи — a'v. Далее, выберем х, у 6 R, у ? G такими, что
п' = Ъих = cvy.
Тогда, поскольку равенство B) не зависит от выбора п = Ъхг=
= суг, получаем
t = (alb) (eld) = (aux)l(dvy).
Однако аи = a'v и bu — b'v. Отсюда п = b'vx = cvy и
t = a'vx/dvy = (a'IV) (eld),
т. е. то, что мы и хотели показать.
Мы опускаем подробные вычисления, проверяющие аксиомы
кольца. После их проведения равенства A) и B) показывают, что
соответствие а >-*¦ all является гомоморфным вложением колец
<р: R -*- RG'1 (а/1 = ab/b для всех Ъ 6 G). Кроме того, если а ? G,
то а/1 — обратимый элемент кольца RG~* и (а/1) = На. Нако-
Наконец, если alb 6 RG'1, то alb = (a/1) (Ь/1). Это показывает, что
RG~X — классическое правое кольцо частных подкольца im ср.
Из этого следует, что кольцо R обладает классическим правым
кольцом частных. ?
9.2. Упражнения.
9.2.1. Если S — другое классическое кольцо частных кольца
R, то S = {аЪ~г | a 6 R, Ъ ? G}. Тогда существует единственный
изоморфизм колец h: RG'1 ->- S, такой, что h (alb) — ab~x.
9.2.2. Назовем .R-модуль M модулем без кручения, если из
ха = 0 для регулярных элементов a ? R и х ? М следует, что
х = 0. Если М — модуль без кручения и если кольцо R обладает
классическим кольцом частных RG'1, то существует 7?С~1-модуль
MG~X, который является левым нулем в категории всех отображе-
отображений h: M -*- N, где N есть ДС^-модуль и h — мономорфизм

480
Ч. II. Строение нётеровых полу первичных колец
льца R,
6 R, та-
та.R-модулей, такой, что N = {h (х) Ь~г \ х ? М, Ъ ? G}. Итак, суще-
существуют мономорфизм /^-модулей t: М —> MG~X и единственный
гомоморфизм ЛС^-модулей g: MG~X -*¦ N, такие, что gt = h.
9.2.3. Доказать лемму 9.3 (без подглядывания).
9.3. Лемма. Пусть Q — правое кольцо частных кольца R.
Тогда
9.3.1. Если &!, . . ., Ъп — регулярные элементы кольца R,
то существуют регулярный элемент с ? R и элементы
кие, что bj} = gtc~x, ? = 1, . . ., п.
9.3.2. Если хх, . . ., хп 6 О, то существует регулярный эле-
элемент с ? R, такой, что хьс 6 R, ? = 1, . . ., п.
9.3.3. Если I — правый идеал кольца R, то правый идеал коль-
кольца Q, порожденный правым идеалом I, равен 10 и IQ = {хс~г \ х ?
? /, с ? R, с — регулярный элемент}.
9.3.4. Если элемент d ? R регулярен, то dR — существенный
правый идеал кольца R.
Доказательство 9.3.1. Это очевидно для п = 1, по-
поскольку gx = Ъх, сх = Ъ\ годятся для наших целей. Допустим, что
утверждение верно для Ъг, . . ., Ъп^. Пусть gt ? R и регулярный
элемент d ? R таковы, что Ь^1 = gid'1, ? = 1, . . ., п — 1. Тогда
существуют gn и регулярный элемент d ? R, такие, что b^d =
= gnd. Следовательно, с = dd и gt = gtd, ? = 1, ..., п — 1,
являются требуемыми элементами.
Доказательство 9.3.2. Пусть хь = aftf1, где аи
bt ? R. Подберем с, gt, ? = 1, . . ., п, в соответствии с 9.3.1.
Тогда хгс = агЪ?с = a%gx ? R, ? = 1, ..., п, же — регулярный
элемент кольца R.
Доказательство 9.3.3. Очевидно, что /ф — пра-
правый идеал кольца О, порожденный множеством /, и 10 э То =
= {хс'1 | х ? /, с 6 R, с — регулярный элемент}. Произвольный
элемент у 6 10 имеет вид у = 2 J/г^ь где уь ? /, xt g Q, i — 1, ...
г—^
/Vs. S. Нётеровы полупервичные кольца
481
п, ив
целое число. В силу 9.3.2 найдется регулярный эле-
элей ? R ля всех ? Тогда г/ = хс где
. . ., п, ив — целое число. В силу 9 д рур
мент с 6 R, такой, что хгс = gt ? R для всех ?. Тогда г/ = хс
п
Итак, как и утверждалось, имеем /<? = /0-
где
утверждения 9.3.4 является след-
следп
z = 2 ]Jigi 6
1
Доказательство
ствием условия Оре. ?
9.4. Упражнения.
9.4.1. Если R — артиново справа кольцо, то каждый регуляр-
регулярный справа и каждый регулярный слева элементы обратимы
в кольце R. Таким образом, любое артиново кольцо является
своим собственным кольцом частных.
9.4.2. Если R — коммутативное кольцо или область целост-
целостности, то из 9.3.4 вытекает условие Оре. При каких ограничениях
на кольцо R это верно? (Автору ответ неизвестен.)
9.4.3. В кольце R левый аннулятор любого нильпотентного
идеала является существенным правым идеалом.
Сингулярный идеал и подмодуль
Напомним обозначение: М > N означает, что N — существен-
существенный подмодуль модуля М. Если М — произвольный Д-модуль,
то рассмотрим множество
sing М = {х g M | i?>annRx}.
Если х, у ? М, а ? R, то
A) аппн (х—у) э аппд х [\ annHi/,
B) annH xa = annR (a/annR x)l).
В 9.5.1 будет показано, что annR (a/I) — существенный правый
идеал кольца R, если / — существенный правый идеал. Следова-
Следовательно, если х, у ? sing М, то / = annRx — существенный правый
идеал. Поэтому из равенства B) видно, что xa ? sing M для всех
a g R. Кроме того, из A) ясно, что х — у ? sing M для всех х, у 6
? sing M. Поэтому sing M — подмодуль, называемый сингулярным
подмодулем кольца R.
Лемма 9.5 принадлежит Джонсону.
9.5. Лемма. Пусть R — кольцо, М — R-модулъ и I — его
подмодуль. Тогда
9.5.1. Если I — существенный подмодуль модуля М, то
annH (xll) — существенный правый идеал кольца R для любого
элемента х ? М.
9.5.2. Обратно, если sing М = 0, х ? М и annR (xll) — суще-
существенный правый идеал, то I — существенный подмодуль модуля
I + xR.
Доказательство 9.5.1. Если А — ненулевой правый
идеал, то из хА = 0 следует, что 0^45 annH (xll) f) A, a из
¦tA Ф 0 следует, что / f| хА Ф 0. Выбирая у = xa Ф 0 из этого
пересечения, получаем, что а 6 annR (xll) fl А. Следовательно,
во всех случаях annR (xll) f) А. ф 0, что и доказывает 9.5.1.
г) В этом разделе автор систематически использует введенное ранее (см.
стр. 188) обозначение annH (XlN) для {г ? R \ Xr S N), где X s MR is. N —
подмодуль в А/д.— Прим. перев.
31 К. Фейс

482
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Доказательство 9.5.2. Если у + ха 6 / + xR,
у ? 1', а ? R, то мы хотели бы показать, что (у + ха) R (} I ф 0.
Н
Гл. 9. Нётеровы полупервичные кольца
483
у ?
Но
annR {{у
= annR (xa/I) — аппн (а/
где В = annR (ж//). Так как в силу предположения В — сущест-
существенный правый идеал, то из 9.5.1 следует, что annR {(у + хаI1) —
существенный правый идеал. Но тогда из равенства sing М = О
следует, что (у + ха) -aim R((y + xa)ll) =^0и этот подмодуль со-
содержится ъ I [\ {у + ха) R. ?
9.6. Упражнения.
9.6.1. sing M — вполне инвариантный подмодуль.
9.6.2. sing R — идеал кольца R.
Идеал sing R называется (правым) сингулярным идеалом коль-
кольца R.
Равенство (ra)n+1 = г (аг)п а для элементов а, г ? R показы-
показывает, что Ra — левый ниль-идеал, если aR — правый ниль-идеал.
Таким образом, кольцо R не содержит ненулевых правых ниль-
идеалов тогда и только тогда, когда оно не содержит ненулевых
левых ниль-идеалов.
9.7. Лемма. Пусть S — кольцо, удовлетворяющее условию обры-
обрыва возрастающих цепей правых аннуляторных идеалов. Если S со-
содержит ненулевой правый или левый нилъ-идеал А, то S содержит,
ненулевой нильпотентный идеал.
Доказательство (Утуми [63а]). В силу предыдущего
замечания можно считать, что А — ненулевой левый ниль-идеал.
Пусть 0 ф а ? А — такой элемент, что а1 — максимальный эле-
элемент множества {х-1- \0 Ф х ? А}. Если иафО для некоторого.
и ? S, то (иа)п = 0 и (иа)™-1 ф 0 для некоторого п >1. Так
как [{иа)п~х]х Э ах и иа ? А, то [(иа)™]-1- = а1. Из включения
иа ? [(иа)"]1 следует, что аиа = 0. Таким образом, aSa = 0.
Тогда (а)8 = 0, где (а) — идеал кольца S, порожденный элемен-
элементом а. ?
9.8. Лемма. Пусть R — кольцо, удовлетворяющее условиям
максимальности для правых аннуляторных идеалов и прямых сумм
правых идеалов. Если а ? R, то существует такое п > 0, что
anR + (an)x — существенный правый идеал.
Доказательство. Существует такое п > 1, что
(ап)± = (ttn+1)-L. Тогда anR П (ап)х = 0. Пусть / — правый
идеал, и допустим, что
/ П (anR + (aV) = .0. . . ,
Можно показать, что сумма / + ап1 + a2nl + . . . прямая. По-
Поскольку выполнено условие максимальности для прямых сумм,
делаем вывод, что / = 0. ?
9.9. Теорема (Голди [58], [60], Лезье — Круазо [59]). Кольцо R
обладает классически полупростым правым кольцом частных тогда
и только тогда, когда оно полупервично и удовлетворяет условиям
максимальности для правых аннуляторных идеалов и для прямых
сумм правых идеалов.
Доказательство (Голди [69]). Допустим сначала, что
R — полупервичное кольцо, удовлетворяющее сформулирован^
ным выше условиям максимальности. Докажем, что каждый сущег
ственный правый идеал Е содержит регулярный элемент. Заметим,
что в силу леммы 9.7 Е не является ниль-идеалом. Тогда в нем
найдется элемент а1ф0, такой, что а^ = (а^I, причем либо
af- П Е = 0, либо а± |") Е ф 0. В последнем случае выберем эле-
элемент а2 ? а\- Г) Е, удовлетворяющий условиям а2 ф 0 и а? =
= (alI. Если а^ С\ ai- С\ Е Ф 0, то продолжим процесс.
Через некоторое число шагов получаем прямую сумму
aiR ф .. . ф ahR 0 (а± П •.. П К П Е),
где afte«J-n ... ГК_,ПЯ и акф0, eJ- = (a|)J-.
Этот процесс должен остановиться, поскольку кольцо R удов-
удовлетворяет условию максимальности для прямых сумм правых
идеалов. Пусть это произошло на k-м шаге. Тогда
Следовательно,
Пусть Z — сингулярный идеал кольца R и z ? Z. Тогда znR ф
ф (z")-1- — существенный правый идеал для некоторого п >0
(см. лемму 9.8), но (z71)-1- —также существенный правый идеал.
Следовательно, zn R = 0, т. е. Z — ниль-идеал и, таким образом,
Z = 0. Положим с = а\ + • • • + а\ g E. Так как c-L = 0, то
в силу леммы 9.8 cR — существенный правый идеал. Следова-
Следовательно, хс с Z. Поэтому J-c = 0, т. е. с — регулярный элемент.
Это доказывает существование регулярных элементов в Е.
Допустим, что a, d ? R и d — регулярный элемент. Положим
Е = {хе R,\ax? dR}.
Тогда dR — существенный правый идеал. Следовательно, Е —
существенный правый идеал. Поэтому Е содержит регулярный
элемент dx. Выполнено правое условие бре, и, следовательно,
кольцо R обладает правым кольцом частных Q.
31*

484
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Далее, предположим, что F — существенный правый идеал
кольца Q. Тогда F (] R — существенный правый идеал кольца
R. Но правый идеал F {] R содержит регулярный элемент, кото-
который обратим в кольце Q. Следовательно, F = Q. Пусть J, К —
правые идеалы кольца Q, такие, что / (~| К = 0 п J ® К — суще-
существенный правый идеал (надо использовать лемму Цорна). Тогда
/ ф К = Q. Итак, модуль QQ полупрост, т. е. Q — классически
полупростое кольцо.
Обратно, пусть кольцо R обладает классически полупростым
правым кольцом частных Ql Тогда правый идеал Е кольца R яв-
является существенным в том и только том случае, когда EQ — Q.
Действительно, пусть / — ненулевой правый идеал кольца Q.
Тогда I {] R Ф 0 ж I Ц й (] Е ф О, если Е — существенный
правый идеал кольца R. Следовательно, / f| EQ Ф 0, а это озна-
означает, что EQ — существенный правый идеал кольца Q. Так как
QQ — прямая сумма простых модулей, то EQ = Q. С другой сто-
стороны, если EQ = Q и / — ненулевой правый идеал кольца R,
то очевидно, что IQ[\EQ ^=0и, следовательно, / f| E Ф 0. Поэтому
Е — существенный правый идеал кольца R. Эти условия равно-
равносильны тому, что правый идеал Е содержит регулярный элемент.
Если 1 ? EQ, то 1 = ее1, где е ? Е, с ? R и с — регулярный
элемент. Напротив, если правый идеал Е содержит регулярный
элемент, то EQ = Q и Е — существенный правый идеал коль-
кольца R.
Можно теперь утверждать, что R — полупервичное кольцо,
поскольку если N — нильпотентный идеал кольца Д, то в силу
9.4.3 XN — существенный правый идеал и, следовательно, со-
содержит регулярный элемент. Итак, N = 0.
Пусть S — прямая сумма ненулевых правых идеалов {Та \ а ?
6 Л} кольца R, являющаяся существенным правым идеалом.
Тогда в S найдется регулярный элемент с, представимый в виде
конечной суммы
Гл. 9. Нёпгеровы полупервичные кольца
485
С =
Хп
Далее, cR —¦ существенный правый идеал, он лежит в некоторой
сумме (см. лемму 9.8) 1а. + ...+/„. Поэтому множество Л
содержит лишь индексы аъ . . ., а„, и кольцо R удовлетворяет
условию максимальности для прямых сумм правых идеалов.
Наконец, поскольку R — подкольцо нётерова кольца, то
в силу 7.23 R удовлетворяет условию максимальности для пра-
правых аннуляторных идеалов. ?
9.10. Следствие. Первичное кольцо R обладает простым арти-
новим правым кольцом частных тогда и только тогда, когда кольцо
R удовлетворяет условиям максимальности для прямых сумм пра-
правых идеалов и для правых аннуляторных идеалов. Q
Используя терминологию, введенную в гл. 7, можно сказать,
что R является правым кольцом Голди, если оно удовлетворяет
условиям максимальности для прямых сумм правых идеалов и
для правых аннуляторных идеалов. Таким образом, в силу 9.9
и 9.10 кольцо R обладает (простым) классически полупростым
правым кольцом частных тогда и только тогда, когда R — (пер-
(первичное) полупервичное правое кольцо Голди.
Антисингулярные кольца
Модуль М называется антисингулярным, если sing M = 0.
Кольцо R называется антисингулярным справа, если sing RR = 0.
9.11. Лемма. Пусть R — антисингулярное справа кольцо,
А и В — правые аннуляторы и А э В.
9.11.1. Если В — существенный подмодуль модуля А, то
В = А.
9.11.2. Если х, у ? R, xR и yR — существенные правые идеалы,
то yxR — существенный правый идеал.
Доказательство утверждения 9.11.1. Если х ? А,
то из леммы 9.5 следует, что annR (х/В) — существенный правый
идеал кольца R. Так как (±Вх) annR (х/В) = 0, то из антисин-
антисингулярности кольца R следует, что ±Вх = 0. Откуда х Е В — (-^-ВI.
Доказательство 9.11.2. Так как xR s annR (y/yxR),
то annR (ylyxR) — существенный правый идеал, и по лемме 9.5.2
yxR — существенный подмодуль в yR и, следовательно, в R.
9.12 Лемма.
9.12.1. Если R — полупервичное кольцо, удовлетворяющее ус-
условию максимальности для правых аннуляторных идеалов, то коль-
кольцо R антисингулярно справа.
9.12.2. Любое антисингулярное справа кольцо, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию максимальности для прямых сумм правых идеалов,
удовлетворяет также условиям максимальности и минимально-
минимальности для правых аннуляторных идеалов.
Доказательство 9.12.1. (Непрямое доказательство.)
Если Ъ g sing R и Ъ Ф 0, то Ъх Ф R, и, следовательно, -1 (Ь1) —
ненулевой левый аннуляторныи идеал. Но кольцо R удовлетво-
удовлетворяет условию минимальности для левых аннуляторных идеалов.
Поэтому можно выбрать минимальный левый аннуляторныи идеал
A sx (b1). Так как кольцо R полупервично, то А2 ф 0 и Аа ф О
для некоторого элемента а ? А. Поскольку Ьх — существенный
правый идеал, то Ь1 П aR Ф 0, например ах ? Ъ х Г] a.R, где
х ? R, ах Ф 0. Так как ах ? Ьх, то -1- (Ьх) ах = 0. Отсюда Аах = О

486
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
и 0 =т^ Аа != Lx f) А. Из минимальности левого аннуляторного
идеала А следует, что Lx [\ А =А и Ах = 0, но это противоречит
тому, что ах =/= 0.
Доказательство 9.12.2. Если А к В — правые ан-
нуляторные идеалы В а А и В =т^ А, то в силу леммы 9.11.1 А
содержит прямую сумму В ф С, где С — некоторый ненулевой
правый идеал. Этим способом из любой бесконечной цепи правых
аннуляторных идеалов можно извлечь бесконечную прямую сум-
сумму правых идеалов. ?
9.13. Следствие. Следующие три свойства кольца R равно-
равносильны:
(a) Л — полупервичное кольцо с условиями максимальности
для прямых сумм правых идеалов и правых аннуляторных идеалов.
(b) Кольцо R обладает классически полупростым правым кольцом
частных.
(c) R — антисингулярное справа полупервичное кольцо с усло-
условием максимальности для прямых сумм правых идеалов.
Доказательство. По теореме 9.9 (а)
лемме 9.12 (а) <=> (с).
(Ь). По
9.14. Упражнения.
9.14.1. Пусть М — модуль. Дополнительным подмодулем на-
называется подмодуль N'', для которого существует подмодуль N,
такой, что N' — максимальный элемент в множестве подмодулей
А, для которых А П N = 0. В этом случае N' называется отно-
относительным дополнением подмодуля N в М.
(a) Показать, что сумма N + N' подмодуля N и его относитель-
относительного дополнения N' всегда является существенным подмодулем.
(b) Если А и В — независимые подмодули, то показать, ис-
используя лемму Цорна, что всегда существует относительное до-
дополнение А' подмодуля А, содержащее подмодуль В. Если А" •—
относительное дополнение подмодуля А', содержащее подмодуль
А, то А"[> А. Подмодуль С называется замкнутым *), если он не
обладает существенными расширениями в М, отличными от С.
(c) Показать, что замкнутый подмодуль является дополнитель-
дополнительным, и наоборот.
(d) Минимальный дополнительный подмодуль (если он суще-
существует) является однородным.
9.14.2 (Шок [72Ь]). Если правая размерность Голди кольца
R конечна, то она совпадает с такой же размерностью кольца
многочленов R [х].
9.14.3. Пусть R — порядок в классически полупростом коль-
кольце S.
г) Не путать с одноименным понятием из гл. 8 (перед 8.24).— Прим. перев.
Гл. 9. Нётеровы полупервичные кольца
487
(a) Если В — правый идеал кольца R, то BS — инъективная
оболочка модуля BR. Если А — произвольный Д-подмодуль
модуля S, такой, что А — инъективная оболочка модуля В, то
А = BS, т. е. В обладает единственной инъективной оболочкой
в S.
(b) Отображение сокращения А >-*¦ А (} R является изомор-
изоморфизмом структуры всех правых идеалов кольца S на структуру
дополнительных (замкнутых) правых идеалов кольца R.
(c) Правый идеал В кольца R является однородным тогда и
только тогда, когда BS — минимальный правый идеал кольца S.
В этом случае существует идемпотент е ? S, такой, что BS = eS.
Кроме того, К = End BR — правая область Оре, тело частных
которой изоморфно телу eSe (ср. 7.21 и далее).
Теорема Левицкого
(Левый, правый) идеал N называется ниль-идеалом, если каж-
каждый элемент идеала N нильпотентен. В 1930 г. Кёте поставил
вопрос: обязан ли ниль-идеал нётерова справа кольца быть ниль-
потентным? Левицкий решил эту проблему положительно.
9.15. Теорема (Левицкий [45]). Если S — нётерово справа
кольцо, то каждый правый или левый ниль-идеал I кольца S ниль-
нильпотентен.
Доказательство. Пусть N — максимальный ниль-
потентный идеал кольца S. Тогда факторкольцо S/N не содержит
ненулевых нильпотентных идеалов. Если бы / cjr TV, то (/ + N)/N
был бы ненулевым односторонним ниль-идеалом кольца S/N. Но
кольцо S/N нётерово справа. Поэтому в силу леммы 9.7 в (/ +
+ N)/N содержался бы нильпотентный идеал. Это противоречие
показывает, что / != N, т. е. / — нильпотентный идеал. Q
Упражнения к гл. 9
*1 (Джонсон). Если R — антисингулярное справа кольцо,
то инъективная оболочка R правого Л-модуля RR канонически
изоморфна (как кольцо) кольцу End RR, при этом кольцевые опе-
операции на R индуцированы модульными операциями правого R-
модуля R.
(a) (Джонсон — Уонг) Кольцо R является самоинъективным
справа регулярным в смысле Неймана кольцом, a R канонически
вкладывается как подкольцо в R.
(b) (Джонсон) Отображение сокращения / <-* I (] R индуци-
индуцирует изоморфизм структур СТ (if) и Cr (R) замкнутых (дополнитель-
(дополнительных) правых идеалов колец R и R соответственно.

488
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
(c) Показать, что R — классически полупростое кольцо тогда
и только тогда, когда кольцо R удовлетворяет условию максималь-
максимальности (соотв. минимальности) для дополнительных правых идеа-
лов. При этих условиях каждый регулярный элемент d ? R по-
порождает существенный правый идеал. (Ср. 9.4.2.)
(d) Если R — полупервичное антисингулярное справа кольцо
с условием максимальности для дополнительных правых идеалов,
то R — классическое правое кольцо частных кольца R. Обратно,
если кольцо R обладает классически полупростым правым коль-
кольцом частных Q, то Q — инъективная оболочка модуля R в кате-
категории mod-й.
(e) Если R — антисингулярное справа кольцо, то кольцо R
изоморфно произведению колец линейных преобразований пра-
правых векторных пространств тогда и только тогда, когда каждый
дополнительный правый идеал кольца R содержит минимальный
дополнительный правый идеал.
(f) (Фейс — Утуми [65]) Если / — любой правый идеал коль-
кольца R, то / = eS для некоторого идемпотента е= е2 ? S — R и
eSe — самоинъективное справа регулярное кольцо. Кроме того,
К = {х Е eSe | xl s /} « End IR
— подкольцо кольца eSe, канонически изоморфное кольцу
End IR, и eSe — инъективная оболочка модуля К в категории
mod-/?. Таким образом, так как eSe » End eSs (канонически)
и eS = eR является инъективной оболочкой / модуля / в категории
mod-/?, то
End IH = End Ir .
(g) (Фейс — Утуми, там же) В условиях и обозначениях п. (f)
показать, что если либо R — существенное расширение модуля R
в категории R-mod, либо е — примитивный идемпотент (т. е. eS —
минимальный правый идеал кольца S = R, или, что то же самое,
/ — однородный правый идеал кольца R) и если Q = eSe {] R ф
ф 0, то eSe = Q.
*2. Пусть R — ниль-предкольцо. Тогда предкольцо R ниль-
потентно в каждом из следующих случаев:
(a) (Херстейн — Смолл, Левицкий) Предкольцо R удовлетво-
удовлетворяет условию максимальности для левых и правых аннуляторных
идеалов.
(b) (Ланский) Предкольцо R удовлетворяет условиям мак-
максимальности для правых аннуляторных идеалов и для прямых
сумм правых идеалов.
Гл. 9. Нётеровы полупервичные кольца
489
3. Кольцо R обладает правым кольцом частных S тогда и толь-
только тогда, когда для каждого правого .Й-модуля М множество пе-
периодических элементов (т. е. множество элементов модуля Мг
аннулируемых некоторым регулярным элементом кольца R) яв-
является подмодулем модуля М (Жантиль — Леви). В этом случае
модуль М является й-подмодулем некоторого ^-модуля тогда
и только тогда, когда модуль М без кручения, и в этом случае-
MS « М <8> S при отображении, переводящем ms в т <8> s.
R
Кроме того, если к тому же и N — Д-подмодуль некоторого S-
модуля, то любой .й-гомоморфизм f:M-*-N обладает единствен-
единственным продолжением до ^-гомоморфизма /: MS —>- NS. Таким обра-
образом, если N <8> S — инъективный объект категории mod-iS1, то-
R
N <8> S — инъективный объект категории mod-i?, являющийся
к
инъективной оболочкой .й-модуля N. В частности, S — инъектив-
инъективная оболочка модуля R в категории mod-й, если S — само-
самоинъективное справа кольцо (см. Леви [63], а также 6.28).
4 (Леви [63]). Наследственное справа кольцо R с классиче-
классически полупростым правым кольцом частных нётерово справа. Кро-
Кроме того, кольцо R является конечным произведением наследствен-
наследственных первичных колец {Дг}"=1, где Rt— минимальный аннулятор-
ный идеал.
5 (Леви [63]). Если каждый конечно порожденный правый
й-модуль без кручения вложим в свободный й-модуль, то кольцо
й называется правым TF-кольцом. Если R обладает двусторонним
кольцом частных S, а й — правое TF-кольцо, то S — правое TF-
кольцо. Полупервичное кольцо й с правым кольцом частных S яв-
является правым TF-кольцом тогда и только тогда, когда S — клас-
классически полупростое кольцо и левое кольцо частных кольца й.
(Кольцо частных S — правое TF-кольцо тогда и только тогда,
когда каждый конечно порожденный модуль вложим в свободный
модуль. Правое и левое TF-кольцо S является QF-кольцом. См.
Фейс — Уокер [67], а также Фейс [73/74Ь].)
6. Пусть R — полупервичное кольцо, удовлетворяющее усло-
условию максимальности для прямых сумм правых аннуляторных идеа-
идеалов, и А — правый идеал. Если а ? А и ау — минимальный эле-
элемент множества {хх | х ?А}, то aR — существенный подмодуль
правого идеала А.
7. Пусть й — полупервичное кольцо.
(а) Если кольцо Й удовлетворяет условию максимальности
для правых аннуляторных идеалов, а 6 R и aR — существенный
правый идеал, то а — регулярный элемент, т. е. ау = La = 0.

490
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных
колец
(b) Если кольцо R удовлетворяет условию максимальности
для прямых сумм правых идеалов, а ? R и ах — 0, то aR — суще-
существенный правый идеал.
(c) Если кольцо R удовлетворяет условиям максимальности
для прямых сумм правых идеалов и для правых аннуляторных
идеалов, то каждый существенный правый идеал содержит регу-
регулярный элемент.
8. Доказать, что в классе полупервичных правых колец Голди
свойство быть правым кольцом Оре является инвариантным в смыс-
смысле Мориты.
9. Если R — полупервичное правое кольцо Голди, то этим
же свойством обладает и кольцо eRe, где е — любой ненулевой
идемпотент. (Ср. доказательство утверждения 7.21 А.)
Замечания к гл. 9
До работы Голди фундаментальные и весьма общие теоремы
о кольцах частных и сопутствующие теоремы вложения были по-
получены Джонсоном [51].
С публикацией теорем Голди математики увидели, как теоремы
Джонсона могут быть применены для получения новых доказа-
доказательств. Автор отразил эту точку зрения в лекциях, прочитанных
в Пени Стайт в 1961 и в Ратгерсе в 1962—1963 гг. и опубликован-
опубликованных в 1967 г. Ряд других подходов перечисляется далее: Габриель
[65], Лезьё — Круазо [59], Фрейд [64], Джонсон [65], Прочези —
Херстейн (в дополнении В к книге Джекобсона [64]), Прочези
и Смолл [65]. Доказательства Зельмановича [69] и Голди [69] (пред-
(представленные здесь) содержат элементы рассуждений всех упомяну-
упомянутых подходов.
В 1960 г. Голди дал доказательство теоремы Левицкого, осно-
ванное^на его структурной теории нётеровых полупервичных ко-
колец. Далее Херстейн предложил упрощение этого доказатель-
доказательства. Доказательство Утуми [63] (воспроизведенное здесь) — ве-
вероятно, последнее слово на эту тему. Мораль этой истории: не-
нелегко найти оптимальное доказательство х) — предположения час-
часто оказываются более сильными, чем это необходимо. Действи-
Действительно, Левицкий заметил нужные объекты, именно аннуляторные
идеалы, а теорема Левицкого [64] (подготовлена к печати Ами-
цуром) утверждает, что любой ниль-идеал нильпотентен, если
кольцо удовлетворяет условиям максимальности для правых и
левых аннуляторных идеалов. Этот результат независимо был
доказан Херстейном и Смоллом [64]. (См. упр. 2, где сформулиро-
сформулирована теорема Ланского; см. также другие теоремы о ниль и ниль-
нильпотентности Фиттинга и Шока в гл. 17 и 18.)
*) И формулировку утверждения.— Прим. перев.
Гл. 9. Не'теровы полупервичные кольца
491
В. П. Елизаров [69] опубликовал обзор о кольцах частных,
включающий результаты о том, когда кольца частных артиновы
(совершенные или квазифробениусовы), см., например, статьи
Джанса [67], Ятегаонкара [70], Гупты [68], Гупты и Саха [67],
Мьюборна и Уинтона [69], Робсона [67а], Смолла [66Ь] и Талин-
тайра [63], [66]. Кольца с полулокальными правыми кольцами част-
частных будут обсуждаться в главах 10 и 18.
В другом направлении отметим исследования Смолла [66а],
доказавшего, что нётеровы справа и слева наследственные справа
и слева кольца обладают правыми кольцами частных (см. ссылки
на примыкающие статьи о наследственных нётеровых кольцах),
и Чаттерса [72], установившего, что эти кольца являются прямы-
прямыми суммами артиновых и первичных колец. (Ср. Фейс [73/74а].)
Остается нерешенным вопрос, является ли инвариантным
в смысле Мориты свойство быть правым кольцом Оре? Если да, то
будут ли подобные правые кольца Оре иметь подобные правые
кольца частных? (Ср. замечания о кольцах частных, стр. 290.)
Ссылки
Айзенбуд — Гриффите [71], Айзенбуд — Робсон [70], Вебер
[70], Габриель [62], Габриель — Цисман [71], Голди [58], [60],
[69], Гупта [68], Гупта — Саха [67], Джанс [67], Джекобсон [64],
Джонсон [51а], [51Ь], Джонсон — Уонг [59], Елизаров [69],
Зельманович [69], Кэртис — Райнер [69], Ланский [69], Леви
[63], Левицкий [45], [64], Лезьё — Круазо [59], Михлер [69d],
Мьюборн — Уинтон [69], Оре [31], Прочези [63], Прочези —
Смолл [65], Робсон [67а], [68], Смолл [66а], [66Ь], [68], Талинтайр
163], [66], Утуми [63], Фейс [67а], Фейс — Утуми [65Ь], Фрейд [64],
Херстейн — Смолл [64], Чаттерс [70], [72], Шок [71Ь], Ятегаон-
кар [70], [72].

Гл. 10. Порядки в полу локальных кольцах матриц
493
Глава 10
ПОРЯДКИ В ПОЛУЛОКАЛЬНЫХ КОЛЬЦАХ МАТРИЦ
Кольцо R называется полулокальным, если i?/rad R — клас-
классически полупростое кольцо. [Так как i?/rad R — полупервичное
кольцо, то по теореме Веддербёрна — Артина 8.8 это равносильно
тому, что i?/rad R — артиново справа (или слева).] Основная тео-
теорема этой главы описывает правые порядки в полулокальных
кольцах матриц Dn. Правый порядок R кольца S является пред-
подкольцом, таким, что
S = {ас1 | а, с ? R, с — регулярный элемент}.
Из теоремы Фейса — Утуми [65] следует, что каждый порядок R
в кольце матриц S = Dn содержит порядок вида Fn, где F — под-
кольцо централизатора D некоторого множества (п X ^-матрич-
^-матричных единиц М. Кроме того, если Dn — полулокальное кольцо
частных, то в силу 10.15 и 10.19 F является правым поряд-
порядком в D и
Dn = {а/ | а е Fn, / € F}.
Таким образом, в качестве «знаменателей» могут быть выбраны
скаляры / ? F. (Ср. 10.10.) Если R — также и левый порядок, то
это верно независимо от выбора множества М.
В качестве следствия получаем теорему Голди, утверждающую,
что каждое первичное кольцо R главных правых идеалов (являю-
(являющееся по теореме 9.10 правым порядком в кольце матриц Dn над
телом D) изоморфно кольцу матриц Fn над правой областью Оре
(с правым телом частных D). В этом случае F — наследственное
справа кольцо, которое может не быть кольцом главных правых
идеалов.
В последней части этой главы описываются максимальные пра-
правые порядки в полулокальных кольцах частных Dn (в духе Фей-
Фейса [64]) как кольца эндоморфизмов модулей без кручения над
правыми порядками в D. (Это развивает обобщение Робсона [67]
в случае, когда D — артиново справа кольцо.)
Характеризация правых порядков в полулокальных кольцах
приводится в гл. 18, особенно утверждение 18.47.
Для удобства мы повторяем некоторые понятия из гл. 4 (пе-
(перед 4.37) и гл. 7 (перед 7.21).
10.1. Определения (Джекобсон [42]). Пусть i?x и й2 — правые
порядки в кольце частных Q. Тогда
A) они называются эквивалентными, в обозначениях j^,
если существуют регулярные элементы %, fel5 а2, Ъ2 6 Q, такие,
что alR1b1 ? R2 и a2R2b2 s Ri,
B) они называются эквивалентными справа, в обозначениях
/?! ~ R2, если существуют регулярные элементы ах, а2 ? Q, такие,
что a1R1 s R<i, a2R2 ? Rx;
C) они называются эквивалентными слева, в обозначениях
i?! ~ R2, если существуют регулярные элементы Ьи Ъ2 6 Q,
такие, что R1b1 ^ R2, R2b2 ^ Ri-
Эти отношения являются отношениями эквивалентности. Кро-
Кроме того, R1 ~ R2 => R1 2, R2 и Rx I R2 => Rx 2. R2.
10.2. Лемма (Джекобсон). Пусть R — правый порядок в коль-
кольце частных Q, и S — предподколъцо х) кольца Q.
10.2.1. Если существуют регулярные элементы а, Ъ, с, d ? Q,
такие, что aRb <= S, cSd s R, mo S — правый порядок в Q и
R9.S.
10.2.2. Если существуют регулярные элементы а, с ? Q, такие,
что aR ? S, cS ^ R, то S является правым порядком eQ и R ~ S.
Аналогичное утверждение имеет место для левой эквивалентности.
Доказательство утверждения 10.21. Если q ? Q,
то
a~xqa = хс'1
для некоторых элементов х, с 6 R. Тогда
q = (axb) (acb)*1.
Поэтому S — правый порядок кольца Q, эквивалентный правому
порядку R.
Доказательство утверждения 10.2.2 получается при
Ь = 1. ?
10.3. Определение. Q — правое кольцо частных кольца R.
Это понятие может использоваться и тогда, когда R — пред-
подкольцо кольца Q, такое, что
(Ql) R содержит регулярные элементы.
(Q2) Каждый регулярный элемент кольца R обратим в кольце
<?•
(Q3) Если q ? Q, то q = же, где х, с ? R и с — регулярный
элемент.
Если S — правое кольцо частных кольца R, то R — правый
порядок кольца S. Обратное верно, если S — артиново справа
кольцо (см. 10.7).
х) Имеется в виду подкольцо, не обязательно имеющее единицу, даже
отличную от единицы самого кольца.— Прим. перев.

494
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
10.4. Предложение. Предколъцо R обладает правым кольцом
частных Q тогда и только тогда, когда R содержит регулярный
элемент и выполнено правое условие Оре, а именно для каждой
?юры (а, с), где а, с ? R и с — регулярный элемент, существует
пара (а1? сх) элементов кольца R, где сх — регулярный элемент^
такая, что асх = саг.
Доказательство. Ср. 9.1.
10.5. Предложение. Любые два правых кольца частных кольца
R изоморфны, при отображении, которое индуцировано тожде-
тождественным отображением 1Н.
Доказательство. Пусть D и Q — два кольца част-
частных кольца R, ж х-у — операция в Q. Далее, из условия Оре
ас~х — bd~l <=> adx = bcu
где dx, сх ? R, cx — регулярный элемент, причем d~*c = cxd~\.
Это доказывает, что
Гл. 10. Порядки в полулокальных кольцах матриц
495
ас
-1
= bd-1 в D <?=> а-с
-1 =
-1 в Q
и что соответствие ас * ь-+ а-с~х дает нам искомый изоморфизм. ?
Кольцо называется регулярным (в смысле Неймана), если каж-
каждый главный правый идеал порождается идемпотентом, а тогда
и каждый главный левый идеал порождается идемпотентом (см.
11.24).
Кольцо R называется конечным по Дедекинду, если в R имеет
место импликация ху = 1 =>- ух = 1.
10.6. Упражнения.
10.6.1. Следующие условия эквивалентны:
(a) Кольцо R классически полупросто.
(b) Кольцо R регулярно и нётерово справа.
(c) Кольцо R регулярно и артиново справа.
(d) Кольцо Л удовлетворяет условию минимальности для
главных правых идеалов и rad R = 0.
10.6.2. Любое полулокальное кольцо конечно по Дедекпнду.
10.6.3. Кольцо всех линейных преобразований L = EndB V
левого векторного пространства V над телом D является регуляр^
ным самоинъективным слева кольцом. Кроме того, кольцо L ко-
конечно по Дедекинду тогда и только тогда, когда пространство
V конечномерно.
10.6.4. Произведение регулярных колец регулярно. Кольцо
матриц Dn над регулярным кольцом D регулярно.
*10.6.5 (Утуми [65]). Каждое самоинъективное справа и слева
кольцо R конечно по Дедекинду (ср. гл. 19).
*10.6.6 (Рооз [68]). Самоинъективное слева регулярное коль-
кольцо R конечно по Дедекинду тогда и только тогда, когда кольцо R
самоинъективно справа.
10.7. Определение и предложение.
10.7.1. Кольцо S называется кольцом частных, если S
удовлетворяет следующим равносильным условиям:
(a) S — правое кольцо частмых кольца S.
(b) S — правое кольцо частных некоторого предколъца R.
(c) Каждый регулярный элемент кольца S обратим в S.
(d) S — левое кольцо частных кольца S.
В этом случае (см. п. (b)) S называется правым кольцом
частных кольца R.
10.7.2. Кольцо S является кольцом частных, если оно удовле-
удовлетворяет любому из условий:
A) Кольцо S удовлетворяет условию минимальности для глав-
главных правых идеалов вида xnS, где х — регулярный элемент.
B) Кольцо S самоинъективно справа и конечно по Дедекинду.
C) S — регулярное кольцо.
Доказательство. Эквивалентность условий (а), (с) и
(d) очевидна, а поэтому верна импликация (а) => (Ь). Пусть выпол-
выполнено условие (Ь). Если q = хс~х — регулярный элемент кольца Q,
где х, с ? R, то х —¦ регулярный элемент кольца R, и поэтому
д = сх~х — обратимый элемент кольца Q. Итак, (Ь) => (с).
A) Если x"*lS = xnS, то хп = xn+1q, где q ? S. Тогда хп A —
— xq) = 0. Из регулярности (даже регулярности справа) эле-
элемента х следует, что A — xq) = 0. Тогда х A — qx) = 0. По-
Поэтому qx = 1 = xq и х — обратимый элемент, ад — его обратный.
Это доказывает A) =>- (с).
B) Если Ss — инъективный модуль и х — регулярный (спра-
(справа) элемент, то ух = 1 для некоторого у ? S J). Тогда из B) сле-
следует, что ху = 1. Следовательно, S — кольцо частных.
C) Если х ? S, то xS = eS для е = е2 ? S. Поэтому A — е) х —
= 0. Из регулярности элемента х следует, что е = 1, т. е. xS = S.
Таким образом, C) =>¦ A), и поэтому S — кольцо частных. ?
10.8. Упражнение. Если кольцо D удовлетворяет ус-
условиям 10.7.2 A), B) или C), то этим же условиям удовлетворяет
и кольцо матриц Dn.
10.9. Предложение. Рассмотрим следующие условия на эле-
элемент х правого порядка R кольца частных S:
(a) х — регулярный справа элемент кольца R.
(b) х — регулярный справа элемент кольца S.
х) Рассмотреть вложение 0 -> xS -> S и изоморфизм /: xS -> 5, где
/ (xs) = s. Если /: S -*¦ S' — его продолжение, то положим у = f A).— Прим.
перев.

496
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Гл. 10. Порядки в полулокальных кольцах матриц
497
(c) х — регулярный элемент кольца R.
(d) х — регулярный элемент кольца S.
(e) х — обратимый элемент кольца S.
Тогда
(e)<*.(d)=> (с) =>(!>)<=> (а).
Таким образом, условия (а) — (е) эквивалентны тогда и только
тогда, когда (Ь) <=> (d) (например, если S удовлетворяет условию
минимальности для главных правых идеалов или если кольцо S
конечно по Дедекинду и самоинъективно слева). В этом случае S
является правым кольцом частных кольца R.
Доказательство. Импликации (е) =>- (d) =>- (с) =>¦ (а)
и (Ь) =*- (а) очевидны. Для доказательства (а) =*- (Ь) пусть ху = О,
где у ? S. Тогда ус = а ? R для некоторого регулярного элемента
с кольца R и ха = 0. Поэтому из (а) следует, что а = ус = 0 и
У = 0. Это доказывает первую цепочку импликаций. Если (Ь) =>-
=> (d), то (а) => (е), и цикл импликаций замыкается. Если
условия A) или B) предложения 10.7.2 выполнены, то из (Ь) сле-
следует (d). ?
10.10. Предложение. Пусть F — предподколъцо кольца D.
Тогда каждый элемент кольца матриц Dn имеет вид
fc~\
где f ? Fn, с ? F, тогда и только тогда, когда F — правый поря-
порядок кольца D. Кроме того, если Dn — кольцо частных, то D —
кольцо частных. Обратное верно, если кольцо D удовлетворяет ус-
условиям A), B) или C) предложения 10.7.2.
Доказательство. Если F — правый порядок в коль-
кольце D и
х=
где йц ? D для всех i, у,— элемент кольца Dn, то в силу 9.3 най-
найдутся элементы fu, с ? F, такие, что di} = Ujc'x- Тогда х = /с,
п
п
где / = 2
? Fn.
Обратно, если d = хс1 ? Z>, где х ? Fn и с ? F, то х = dc 6
€. Fn П D = F. Поэтому F — правый порядок в D.
Наконец, если Dn — кольцо частных и d — регулярный эле-
элемент кольца D, то d — регулярный элемент кольца Dn. Поэтому
в кольце Dn существует d'1. Но тогда d'1 лежит в централизаторе
матричных единиц {еи} и, следовательно, d~l ? D. Таким обра-
образом, D — кольцо частных.
Обратное следует из 10.7 и 10.8. ?
10.11. Предложение и определение. Правый идеал I предколь-
ца R называется замкнутым L), если для всех х ? I и регулярных
элементов с ? R из хс ? / следует, что х ? /. Каждый правый ан-
нуляторный идеал предкольца замкнут. Каждый правый идеал
кольца частных замкнут. Кроме того, если Q — кольцо частных и
Л — предподкольцо, каждый регулярный элемент которого обра-
обратим в Q, то отображение сокращения
правые идеалы из О-
7-
>- замкнутые правые идеалы из R
¦I[\R
является гомоморфизмом структур. Если к тому же R — правый
порядок кольца О, то отображение сокращения /t-» I (] R является
изоморфизмом структур, при этом обратным отображением слу-
служит
jq
с-1 1 х ? /, с 6 R, с — регулярный элемент}
для любого замкнутого правого идеала J кольца R- Если J — замк-
замкнутый правый идеал, то JQ — идеал кольца Q тогда и только тог-
тогда, когда J — идеал кольца R, замкнутый как левый модуль.
Доказательство. Если I — правый идеал кольца Q,
х 6 R и хс ? I для некоторого регулярного элемента с ? R, то
х ? I П R- Таким образом, правый идеал I {) R замкнут в R.
Если R — правый порядок кольца <? и г/ ? /, то а; = z/c ? / f) Я
для некоторого регулярного элемента с ? R. Поэтому у = хс'1.
Это показывает, что множество I = (/ f\ R) Q совпадает с множе-
множеством всех элементов вида у = хс1, х ? I f) R- Кроме того, если
/ — правый идеал кольца R, то
/' = {хс'1 | х ? /, с ? R, с — регулярный элемент}
— правый идеал кольца Q и
/' = JQ = {JQ П R) <?•
Следовательно, если у ? JQ fl -R, то у — хс~х, где х ? /, с ? R.
Если / — замкнутый правый идеал кольца R, то из х = ус ? /
следует, что у ? /. Поэтому JQ [\ R = /• Это доказывает, что
указанное соответствие является изоморфизмом структур.
Далее, пусть / — идеал кольца R, замкнутый как левый
модуль, с — регулярный элемент кольца R и х ? /. Тогда
у = c~xx = зуг1,
где хи сх ? R, и хсх = схх ? /. Так как / — замкнутый как левый
модуль идеал, то хг ? /. Следовательно, каждый элемент вида
г) Не путать с одноименным понятием из гл. 8 и 9 (ср. примечание на
стр. 486).— Прим. перев.
32 К. Фейс

498
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
у = с~хх, где х Е /, с Е R, лежит в JQ. Поэтому JQ — идеал коль-
кольца Q. Обратно, из / = JQ \] R следует, что / — идеал кольца R,
если JQ — идеал кольца Q. Кроме того, ограничение любого ле-
левого идеала кольца Q является замкнутым левым идеалом кольца
R. ?
10.12. Определение. Пусть С — класс колец частных, замкну-
замкнутый относительно подобия. Свойство быть правым порядком в коль-
кольце из класса С будет называться инвариантным в смысле Мориты,
если для любого правого порядка R в кольце S из класса С каж-
каждое кольцо, подобное подкольцу i?i кольца S, порожденному R,
обладает правым кольцом частных из класса С. (Здесь Rt = R +
+ Zl и равно R, если R — кольцо, т. е. 1 6 R.)
10.13. Упражнения.
10.13.1. Класс правых порядков в классически полупростых
кольцах является инвариантным в смысле Мориты. В частности,
если R = Fn — правый порядок в кольце матриц S = Dn, где
D — классически полупростое кольцо, то F — правый порядок
в кольце D.
10.13.2. Если R — коммутативное кольцо частных, то кольцо
(п X тг)-матриц Rn является кольцом частных. [Указание: если
R — коммутативное кольцо и х ? Rn, то элемент х регулярен
в Rn тогда и только тогда, когда определитель det x регулярен
в R.}
10.14. Предложение.
10.14.1. Следующие условия на кольцо R эквивалентны:
(a) R — полупервичное правое кольцо Голди.
(b) R обладает классически полупростым правым кольцом част-
частных S.
(c) Кольцо R полупервично и кольцо эндоморфизмов End PR
инъективной оболочки Р любого конечно порожденного проективно-
проективного правого R-модуля Р классически полупросто.
10.14.2. Свойство быть полупервичным правым кольцом Голди
инвариантно в смысле Мориты.
Доказательство. Если Т: С ~* D — эквивалентность
категорий, то Т индуцирует биекцию More (X, Y) -> MorD (TX,
TY), где X, Y — любая пара объектов категории С. Для абелевых
категорий эта биекция является изоморфизмом абелевых групп.
Кроме того, в этом случае функтор Т индуцирует изоморфизм ко-
колец EndcX та Endjj TX для любого объекта X. Таким образом,
из 10.14.1(с) следует 10.14.2.
Доказательство утверждения 10.14.1. В силу 9.9
(а) <=> (Ь). Допустим, что выполнены условия (а) и (Ь). Тогда
в силу 9.14 sing R = 0. Поэтому в силу 4.5 R совпадает с мак-
Гл. 10. Порядки в полулокальных кольцах матриц
499
симальным рациональным расширением R кольца R. Правое
кольцо частных S кольца R является рациональным расширением
кольца R и, следовательно, канонически вложимо в R. Так как
кольцо S классически полупросто, то S — инъективный модуль
в категории mod-iS1. Следовательно, S — прямое слагаемое модуля
R в категории mod-iS1. Однако R — существенное расширение мо-
модуля R в категории mod-i?. Поэтому R = S = R — классически
полупростое кольцо. Это доказывает, что из (а) следует (с) в случае
Р = R. Отсюда, очевидно, вытекает (с).
Обратно, допустим, что выполнено условие (с). Тогда кольцо
В = End RR классически полупросто. Так как кольцо R содержит
R, то R — циклический канонический 5-модуль. Значит, А =
= EndB.R — классически полупростое кольцо. Так как в силу
4.5 кольца R и Biend RR канонически изоморфны, то R = А —
классически полупростое кольцо. Поскольку классически полу-
полупростое кольцо удовлетворяет условию максимальности для пря
мых сумм правых идеалов ж R — существенное расширение коль-
кольца R, то кольцо R удовлетворяет условию максимальности для
прямых сумм правых идеалов. Кроме того, любое подкольцо
кольца с условием максимальности для правых аннуляторных
идеалов также обладает этим свойством. Поэтому в силу 9.9 из
(с) следует (а). ?
10.15. Теорема Фейса — Утуми [65]. Пусть R—предподколъцо
кольца матриц S = Dn, где D — централизатор в S множества
М = {^ij}i, i=i матричных единиц. Пусть
и
А = Ам = {aeR\aM <= Д}
В = Вм = {b?R | Mb != R}.
10.15.1. Тогда
= 2 (BA(]D)etj
i jl
является предподкольцом кольца R, АВ — идеал кольца R и
(ВАJ s АВ. Кроме того, F = ВА [\ D и U = B[\D=Aft
П D *) — идеалы кольца Р = R fl D, для которых F э U2. Таким
образом, йэ ВА = Fn = U\.
10.15.2. Если Dn — правое кольцо частных кольца R, то можно
так выбрать М, что А содержит обратимый элемент а кольца
S, В содержит обратимый элемент Ъ кольца S и В А — Fn — пра-
г) В П D = А П D, поскольку элементы из D перестановочны с матрич-
матричными единицами.— Прим. перев.
32*

500
Ч. II. Строение нётероеых полупервичных колец
вый порядок кольца Dn, эквивалентный порядкам R и Рп. Если
к тому же R — и левый порядок кольца Dn, то при любом выборе мно-
множества М матричных единиц оно обладает этими свойствами.
10.15.3. Если в ситуации предложения 10.15.2 кольцо D клас-
классически полупросто *), то D — правое кольцо частных кольца F и
Dn = {af'1 | а ? Fn, f ? F, f — регулярный элемент}.
Доказательство утверждения 10.15.1. Так как АР s
Ei,PB сВиРеВ, то PF ^ FtlFP <= F. Поэтому F — идеал
кольца Р. Так как В — правый идеал кольца R, то U = В f| D —
правый идеал кольца P = R(]DaU = A[]D — левый идеал
кольца Р. Кроме того,
U = F = ВА П D =2 (В П D) (А П D) = IP.
В силу 3.18 каждый элемент t ? Dn единственным образом за-
Гл. 10. Порядки в полулокальных кольцах матриц
501
писывается в виде t =
гДе
= 2 eihtehj 6 D.
fti
Таким образом, если ? = Ъа 6 5А, где 6 6 5, а 6 4, то ttj ? 54 fj
П D— F, поскольку MB s 5 и AM S А. Это доказывает, что
Z?A = Fn. Кроме того, (ВАJ = ВАВА cr AB, так как А — левый
и В — правый идеалы.
Доказательство утверждения 10.15.2. Допустим те-
теперь, что Dn — правое кольцо частных кольца R. Прежде всего
пусть М' — любое множество (п X п)-матричных единиц кольца
Dn с централизатором D'. В силу 9.3 найдется общий знаменатель
а ? R элементов из множества М', т. е. регулярный элемент
а ? R, такой, что М'а s R- Тогда
М = а-гМ'а
является множеством матричных единиц кольца S и
D = a-xD'a
служит централизатором множества Мв 5, который изоморфен
кольцу D'. Кроме того, а — обратимый элемент кольца S, лежа-
лежащий в
А = {х е R \хМ <= R).
Далее,
в = {У е R I му = r}
х) Это верно и в более общем случае для любого полулокального кольца D
A0.19). Первоначально теорема Фейса — Утуми [65] была сформулирована
для тела D. (Большая часть из 10.15.1 и часть из 10.15.2 взяты из статьи
Фейса [65а].)
также содержит обратимый элемент Ъ кольца S. Сейчас мы пока-
покажем, что любое множество М матричных единиц кольца S, для
которого так определенные множества А ж В содержат обратимые
элементы кольца S, обладает сформулированными свойствами.
Так как каждое множество М матричных единиц удовлетворяет
этому требованию в том случае, когда R — также и левый порядок
кольца S, то каждое множество матричных единиц обладает в этом
случае сформулированными свойствами.
Поскольку А В — идеал кольца R и А В содержит регулярный
элемент t = аЪ ? R, то Dn — правое кольцо частных кольца АВ
и каждый элемент у ? Dn имеет вид у = xt (ct)'1, где х, с ? R и
с — регулярный элемент. Так как bSb'1 — S, где 5 = Dn, то
каждый элемент у ? S имеет вид у = byxb~x, где ух = xr~x ? S,
х, г ? R, г — регулярный элемент. Таким образом,
у == Ъ (хг~х) Ъ~х = (Ьха) (bra)-1,
где Ьха ? В А и bra ? В А. Это доказывает, что Dn— правое кольцо
частных кЬдьца В А. Далее, bRa s ВА и В A s R- Поэтому В А —
правый порядок в кольце Dn, эквивалентный порядку R. Кроме
того, в силу 10.15.1 F — идеал кольца Р. Поэтому Fn — идеал
кольца Рп, содержащий регулярный элемент t. Таким образом,
tPn ?= Fn, и, следовательно, порядок Fn эквивалентен порядку Рп.
Доказательство утверждения 10.15.3. Допустим, что
Dn — классически полупростое правое кольцо частных кольца
Fn. Так как в силу 10.14 свойство быть полупервичным правым
кольцом Голди инвариантно в смысле Мориты, то F — полупер-
полупервичное правое кольцо Голди. Следовательно, кольцо F обладает
классически полупростым правым кольцом частных Q. (Если F —
предподкольцо кольца D, то подкольцо F', порожденное множест-
множеством F, является полупервичным правым кольцом Голди с класси-
классически полупростым правым кольцом частных Q, и тогда Q — пра-
правое кольцо частных для F.) Так как каждый регулярный элемент
/ ? F регулярен в Fn, то f'1 ? Dn. На самом деле f~x ? D. Тогда
Q можно вложить в D с помощью отображения, индуцированного
тождественным отображением 1F. Поэтому Fn — правый поря-
порядок в кольце Qn. В силу 10.10
Qn = {ас-1 \а ? Fn, с ? F).
Однако кольцо Qn классически полупросто. Следовательно, каж-
каждый регулярный справа элемент кольца Qn обратим. В силу 10.9
Qn — правое кольцо частных кольца Fn, а в силу 10.5 это доказы-
доказывает, что Qn = Dn. Поэтому Q = D — правое кольцо частных
кольца F. ?

502
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
10.16. Предложение. Пусть S — правое кольцо частных коль-
кольца R. Если I — идеал кольца S, такой, что каждый регулярный
справа элемент факторколъца S = SII обратим в S {например,
если кольцо SII удовлетворяет условию минимальности для глав-
главных правых идеалов; ср. также 10.7), то кольцо S канонически изо-
изоморфно правому кольцу частных кольца R = Rl (/ f) R). Кроме
того, (I П R) S = /.
Доказательство. Если у ? S, то у = ас1, где а, с ? R.
Тогда у = ас'1, где а, с ? R (черточка означает переход к смеж-
смежному классу при S —*- S = S/I). Таким образом, R = (R -f-
+ /)// ?&R I (/ р| R) — правый порядок в кольце S. В силу
10.9 из предположений о кольце S следует, что S — правое коль-
кольцо частных кольца R.
Кольцо S называется полулокальным, если кольцо S/vad S
классически полупросто.
10.17. Следствие. Если кольцо R обладает полулокальным пра-
правым кольцом частных S, то R = R/ (R f\ rad S) — правое кольцо
Голди с правым кольцом частных S = Slrad S,
Доказательство. Так как S/I, где / = rad S —
классически полупростое кольцо (в частности, артиново), то при-
применимо предыдущее предложение. Кольцо R обладает классически
полупростым правым кольцом частных S/I. В силу 10.14 R — пра-
правое кольцо Голди. ?
10.18. Лемма *). Пусть кольцо R = Fn обладает полулокаль-
полулокальным правым кольцом частных S = Dn. R соответствии с 10.15
выберем множество М (п X п)~матричных единиц кольца S так,
что централизатор D множества М в S содержит F. Пусть х =
= (xij) для любого элемента х ? S обозначает его матричное пред-
представление, где i, j = 1, . . ., п. Тогда для любого регулярного эле-
элемента t ? Fn найдется регулярный элемент а ? Fn, такой, что
диагональные элементы хн матрицы х = ta являются регулярными
элементами кольца F, а элементы х^, не лежащие на диагонали,
принадлежат множеству F (] rad D, i = 1, . . ., п, i -ф- ] —
= 1, . . ., п.
Доказательство. В силу 10.17 S = S/vad S — пра-
правое кольцо частных кольца R = R/(R p| rad S). В силу 10.15
1) Эта лемма была доказана Фейсом— Утуми [65] для случая тела D.
Бе обобщение на случай классически полупростого кольца очевидно. Робсон
[67, 3.3, стр. 607] распространил ее на случай, когда кольцо D артиново
справа.
Гл. 10. Порядки в полу локальных кольцах матриц
503
каждый элемент факторкольца S =Dn имеет вид ас~г, где а ? Fn,
с ? F (т. е. а ? R и с ? F). В частности, t~x для любого регуляр-
регулярного элемента t ? Fn имеет такой вид. Поэтому
tac~x =
(wa),
где (и?и) ? (rad D)n. Тогда х = ta ? Fn — такой элемент, что
xu = A + wu) с ? F
регулярен (поскольку 1 + и>ц же — обратимые элементы кольца
D), и
хц = wuc ?F p| rad D,
что и требовалось доказать. ?
10.19. Предложение *). Если кольцо R обладает полу локальным
правым кольцом частных S = Dn, то существует множество М
{п X п)-матричных единиц кольца S, такое, что R содержит пра-
правый порядок Fn кольца Dn, где F — правый порядок централизато-
централизатора D множества М в кольце S. Кроме того,
Dn = {ас-1 | а ? Fn, с ? F).
Доказательство. Все следует из теоремы 10.15,
за исключением того, что F — правый порядок в кольце D. В си-
силу 10.15 Fn — правый порядок кольца Dn, эквивалентный по-
порядку R. Поэтому каждый элемент d ? Dn имеет вид d = yt~x,
где у, t ? Fn и t — регулярный элемент. В частности, любой эле-
элемент d ? D можно записать в таком виде. Из леммы 10.18 вытекает
возможность записать х = ta ? Fn, где элементы хп ? F обратимы
в кольце D, i = l, . . ., п. Так как
уа = dta = dx = d (xi}) = (dxu) ? Fn,
то ftj — dxiS ? Fn ж d = /цХ71, где х1г ? F. Это доказывает, что
Г) — правое кольцо частных кольца F.
10.20. Следствие. Если Т — правый порядок в кольце частных
S, являющемся конечным произведением колец матриц, скажем
п
S = ГТ St, где St = Mn. {Di) — кольцо (nt X п1)-матриц над
i=i l
полу локальным кольцом Di, то Ti = Si р| Т — правый порядок
в кольце St, и поэтому найдется правый порядок Fie кольце Di,
п
такой, что Т содержит произведение И Мп (Fi).
г) Это теорема Фейса и Утуми для полулокальных колец. К ней приме-
применимо все сказанное в примечании к лемме 10.18, см. также замечания к гл. 10.

504
Ч. II. Строение нётероеых полупервичных колец
Доказательство. Нетрудно проверить, что Т i —
правый порядок кольца S; (используя тот факт, что единичный
элемент кольца St лежит в центре кольца S). Далее надо применить
предложение 10.19 к кольцу Tt. ?
Кольца главных идеалов
Если R — правый порядок в кольце Dn, то теорема Фейса и
Утуми утверждает, что найдется порядок F в D, для которого
имеют место включения Fn <= R •= Dn. Даже если Fn и является
порядком в кольце Dn, то строение кольца R не определяется
полностью кольцом Fn. Однако это так при более сильных пред-
предположениях.
10.21. Предложение (Голди [62]). Если R — первичное кольцо
главных правых идеалов, то существует правая область Ope F,
число в>0м изоморфизм R та Fn.
Доказательство (Фейс — Утуми [64а]). Используя
обозначения теоремы 10.15, можно записать R — cR, где с (i R.
Так как R содержит регулярный элемент, то с — регулярный
элемент. Поскольку etjB s R, т. е. e^cR s cR, то
c~leuc = fa ? R
(i, / = 1, . . ., n). Далее, M = {fu \ i, j = 1, . . ., n) —полное
множество матричных единиц кольца S с ассоциированным телом
п
Н = c~xDc. Так как М <= R, то в силу 3.18 R = 2 fuK, где К =
г, 3=1
= Н П R- Но R — порядок в кольце Нп. Тогда К — порядок
в кольце Н. Таким образом, К — область Оре. ?
Кольцо F не обязано быть кольцом главных идеалов (см. Суон
[61]). Тем не менее F — наследственное нётерово справа кольцо
(Доказательство?).]
Дополнительные замечания. 1. Пусть Т —
правый порядок в кольце S = Dn, где п >1. Если / ¦— идемпо-
тент кольца S, такой, что fS — минимальный правый идеал, то
/ = ас~х, где а, с Е R. Таким образом, е = с-1/с — идемпотент и
0 Ф се 6 Se П R- Так как Se f| R ф 0, то из первичности кольца
Т следует, что (eS f\ R) (Se f\ R) ф 0. Поэтому eSe f\ R ф 0.
Из доказательства теоремы 10.15 можно вывести, что F —
= eSe П Т — правая область Оре, айя eSe — ее правое тело
частных. Итак, мы получили, что S та Dn, где D содержит пра-
правую область Оре К, лежащую в R. Это иллюстрирует истинную
сущность утверждения 10.15.2, в котором доказывается значи-
значительно более сильный факт. ?
Гл. 10. Порядки в полу локальных кольцах матриц
505
2. Покажем, далее, что, вообще говоря, не любое множество
М матричных единиц обладает свойством, приведенным в 10.15.2
(если не предполагать, что Т — также и левый порядок в кольце
S).
Пусть К — правая область Оре, D — ее правое тело частных,
но К не является левой областью Оре, х, у — ненулевые элементы
области К, такие, что Кх f] Ky = 0 и
[КхКу\
Кх Ку] •
[Т — множество всех B X 2)-матриц (*d), гДе а> с ? Кх и
b, d ? Ку.] Так как К — правая область Оре, то для произволь-
произвольной матрицы А = (а ,) ? D2 найдется элемент 0 Ф q E К,
такой, что aq, bq, cq, dq 6 К. Тогда
в=
a Ъ
с d
qx 0
\ )
0 qyj
Таким образом, А = ВС-1, где В, С = (J*^) G Т. Следова-
Следовательно, Т — правый порядок в кольце ZJ-
Как и в теореме 10.15, отождествим D с подкольцом кольца
D2, состоящим из всех скалярных матриц (Q А , где k?D.
Допустим временно, что Т содержит подкольцо F2, где F — коль-
кольцо без делителей нуля, лежащее в D. Но тогда немедленно прихо-
приходим к противоречию, поскольку множество Т имеет вид
[Кх Ку\
\Кх Ку) '
где Кх П Ку = 0, что исключает возможность существования
в Т ненулевой скалярной матрицы ( ,1 , где d Е К. П
3. Кольцо R, рассмотренное в упражнении 10.6, не обязано
содержать нетривиальные идемпотенты. Укажем следующий
простейший пример: пусть S = СЦ — кольцо всех B X 2)-матриц
над полем Q. рациональных чисел, R — подкольцо, состоящее из
всех матриц вида ( ,) , где Ъ, с—четные целые числа, a a, d —
целые числа, которые либо оба четные, лцбо оба нечетные. Тогда
R — BZJ + Z не является областью целостности ж R — правый
порядок в кольце Cl2, не содержащий идемпотентов, отличных от
0 и 1. ?

506
4. IT. Строение нётероеых полу первичных колец
Гл. 10. Порядки в полулокальных кольцах матриц
507
10.22. Упражнения.
10.22.1 (Голди). Если R — Fn — кольцо главных правых
идеалов, где F — область целостности, то кольцо F наследственно
справа и каждый правый идеал кольца F порождается не более
чем п элементами.
10.22.2. Если F — кольцо и каждый /^-подмодуль модуля F11
порождается не более чем п элементами, то R = Fn — кольцо
главных правых идеалов. Верно и обратное утверждение.
*10.22.3 (Асано — Голди). Если R — кольцо главных (левых
и правых) идеалов, то R — прямое произведение конечного числа
колец, каждое из которых либо первично, либо артиново. Арти-
ново кольцо главных идеалов является прямым произведением
конечного числа колец, каждое из которых является кольцом
матриц Ап над локальным кольцом А (варьируются А и п).
(См. «Локальные кольца», гл. 181).)
10.22.4. Обобщить утверждение 10.21 на случай, когда R об-
обладает полулокальным правым кольцом частных Dn. Если R —
кольцо главных правых идеалов, то показать, что R = Fn, где F —
правый порядок кольца D. (Заметим, что из упражнения 10.22.3
следует, что любое кольцо главных левых и правых идеалов обла-
обладает полулокальным правым кольцом частных.)
Максимальные порядки в полулокальных
кольцах матриц
В этом параграфе максимальные правые порядки в полуло-
полулокальных кольцах матриц Dn характеризуются как кольца эндо-
эндоморфизмов модулей без кручения над правыми порядками в D.
Эта теорема была впервые доказана Фейсом [64] для простого
правого кольца Голди R, которое, как было показано, является
максимальным правым порядком в кольце Dn, где D — тело.
Имея в руках теорему Фейса — Утуми 10.19 для полулокальных
колец, можно модифицировать доказательство Фейса [64] (как
сделал это Робсон [67] для артинова справа кольца) для случая,
когда кольцо D полулокально.
10.23. Лемма. Пусть R и S — правые порядки в кольце част-
Q
ных Q, R E S и R ~ S. Тогда найдутся правые порядки Т и Т'
в кольце Q, такие, что
RsT^S, R~T~S, R<=T'g=S, R~T'~S.
Доказательство. Существуют такие регулярные эле-
элементы х, у ? Q, что xSy <= R. Положим х = аЬ~г, у = cd~r,
а, Ъ, с, d ? R. Так как d ? R, то Rd s R. Поэтому
ъ е R =>ь е s=$-bs <= s=>s <= b~is.
J) А также теорему 20.37 второго тома.—Прим. перее.
Таким образом,
aSc ? db^Sc <=kRd*=
Пусть теперь Т — подкольцо кольца S, порожденное множе-
множествами aS и R. Тогда Т = R + aS + RaS. Нетрудно убедиться
также в том, что aS S Т и Тс s R- Кроме того, Л g Г е S.
I г
В силу 10.2 R ~ T ~ S. Аналогично строится порядок Т . ?
10.24. Определения. Максимальным правым -^-порядком на-
называется правый порядок, который является максимальным среди
правых порядков, ему эквивалентных. Максимальные правые
г I
~-порядки и ~-порядки определяются аналогично.
Связь между этими тремя понятиями устанавливает следующая
10.25. Теорема. Следующие условия на правый порядок R
в кольце частных Q равносильны:
A) R — максимальный правый ^-порядок.
г
B) R — максимальный правый —-порядок и максимальный пра-
правый -^-порядок.
Доказательство. A) => B). Следует из определения.
B) =$~ A). Пусть S э i? и S ~ R. Тогда в силу леммы 10.23
существует порядок Т, для которого й S Г ? 5 и R -~ Т — S.
Но R — максимальный правый ~ -порядок. Поэтому Т = R
г г
и S ¦— R. В то же время R — максимальный правый '¦—-порядок.
Поэтому S — R. Таким образом, R — максимальный правый
^-порядок. ?
10.26. Определения. Кольцо R с единицей называется ipri-
кольцом, если каждый (двусторонний) идеал кольца R является
главным правым идеалом. Аналогично определяются ipli-кольца
(левый вариант).
Очевидно, что простое кольцо с единицей является одновре-
одновременно ipri-кольцом и ipli-кольцом. Ясно также, что pri-кольцо
(в котором каждый правый идеал главный) является ipri-кольцом.
10.27. Теорема. Пусть R есть i^ri-колъцо (или ipli-коль^о)
с полулокальным правым кольцом частных Q. Тогда R — максималъ-
Т I
ный правый ~-порядок (или ^-порядок) в кольце Q.
г
Доказательство. Пусть S ~ R — правый порядок,
содеожащий кольцо R, с 6 Q — обратимый элемент и cS s R.

508
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
Тогда R (RcS) = RcS и (RcS) R = RcSR = RcS. Поэтому RcS —
идеал кольца R и RcS = dR для некоторого d ? R. Так как 1 ? Д,
то с G di? и с = da для некоторого а ? R. Поскольку с — обра-
обратимый элемент кольца Q и кольцо Q полулокально, то d — обра-
обратимый элемент кольца Q. Если элемент q ? Q, такой, что dRq ?
S dR, то dq = <й, где b ? R. Следовательно, q d R- Это доказы-
доказывает, что
Я = {g 6 <? \dRq <=
Гл. 10. Порядки в полулокальных кольцах матриц
509
Тогда R = S, поскольку dRS = (RcS) S = RcS = сШ. Поэтому
r
/? — максимальный правый ~-порядок.
Аналогичное доказательство проходит для ipli-кольца R. О
10.28. Следствие (Робсон [67]). Полупервичное ^vi-колъцо
Т
является максимальным правым ^-порядком в своем правом кольце
частных.
(Фейс [64]) Простое правое кольцо Голди с единицей является
максимальным правым —-порядком в своем правом кольце частных.
(Ср. 4.39В.) ?
Сейчас мы в состоянии обобщить на полулокальные кольца
упомянутую выше теорему Фейса [64] и Робсона [67а].
I
10.29. Теорема. Пусть R — максимальный правый ~-порядок
в полулокальном кольце частных Q, где Q — кольцо (п X п)-матриц
над некоторым кольцом. Тогда кольцо R изоморфно кольцу эндо-
эндоморфизмов F'-модуля без кручения К, где кольцо F' является пра-
правым порядком в полулокальном кольце D, и Q = Dn.
Доказательство. (См. Фейс [64], Робсон [67].) Выбе-
Выберем полное множество М матричных единиц кольца Q так, как
это делалось в предложении 10.19. Тогда JJFn, где F — пра-
правый порядок в кольце D и Q « Dn. Пусть еи = е. Тогда Qe —
правый ZJ-модуль и Q sa Q = HomB {Qe, Qe), где изоморфизм ср
определяется условием ф (д) д; = qx для всех х ? Qe и всех q ? Q.
Пусть F' — подкольцо кольца D, порожденное предподколь-
цом F и единицей. Тогда F' — правый порядок в кольце D. Кроме
того, если Qe f] R = К, то К — правый /^"-модуль без кручения.
Действительно, К Е Qe, F' — правый порядок^ кольца D и Qe,
очевидно,— правый D-модуль без кручения.
Далее, {Qe fl Щ D э FneD = FnDe = Qe. Очевидно, что
(Qe П Щ D ? Qe. Следовательно, KD — Qe. Но Д - правое
кольцо частных кольца F'. Поэтому
Qe = {xd'1 | х ? К, d ? F', d — регулярный элемент}.
Таким образом^ любой элемент у из кольца Г = Нот*" (К, К)
продолжается единственным образом на Q. Наличие естественного
изоморфизма Q « Q показывает, что
Г « Т = {q e Q
<= К).
i
Ясно, что Т э R- Поэтому если бы мы показали, что Т ~ К,
то все было бы доказано. Пусть К = Кг = Qen f| R и Kt =
= Qeit П R- Тогда Kt э Fnen. Если / — регулярный элемент
кольца F, то KxKi э Kxenj = /sTi. Но /ST; — левый идеал и К\ Е
S /^;. В силу определения множества 7* ясно, что ТК^ s /sTi.
Поэтому Tifi S i^i. Но
/=2 /e«
г г
« e
Следовательно, /2 6 2
Кроме того, Г 2 ^J ^ 2 ^ - ^'
i i i
Таким образом, Tf Е Д. Однако /2 — регулярный элемент коль-
ца Q. Поэтому
П
10.30. Следствие (Фейс [64]). Пусть R — первичное правое
кольцо Голди, и R — максимальный правый ~-порядок в своем
правом кольце частных Q. Тогда кольцо R изоморфно кольцу эндо-
эндоморфизмов модуля без кручения над областью целостности, раз-
размерность Голди которого конечна.
Доказательство. Это непосредственно вытекает из
теоремы 10.29, поскольку Q — простое артиново кольцо. В ситуа-
ситуации теоремы 10.29 утверждение о конечности размерности модуля
К над кольцом F' (т. е. об отсутствии в нем бесконечных прямых
сумм подмодулей) вытекает из конечности размерности модуля
Qe над кольцом D. ?
Если R — простое кольцо, то, учитывая следствие 10.30,
можно усилить предложение 4.22А.
10.31. Следствие (Фейс [65]). Пусть R — правый порядок
кольца S = Dn: где D ¦— тело. Допустим, что R — простое
кольцо с единицей. Тогда
10.31.1. Если z — такой элемент кольца S, что Rz s ZR, то
z — обратимый элемент в S и z, z'1 ? R.
10.31.2. Кольцо R содержит центр кольца S, т. е. центры
колец R и S совпадают.
Доказательство утверждения 10.31.1. Так как R —
правый порядок кольца S, то/ = zR (] R ф 0. Таким образом,
/ — ненулевой правый идеал кольца R. Из включения Rz <=, zR
следует, что / — идеал кольца R. Так как кольцо R простое, то
I = R. Поэтому zR э R. Отсюда вытекает, что z не является пра-

510
Ч. II. Строение нётеровых полупервичных колец
вым делителем нуля в S. Так как S — артиново справа кольцо,
то z ? S. Поскольку R E z~xR, то z ? R. Далее, из простоты
кольца R следует, что Rz~xR (идеал кольца R, порожденный эле-
элементом z) совпадает с R. Так как z~xR ? Rz'1, то
R = Rz~xR <= Лг-1 <= Д,
т. е. Дг = R. Итак, (z) = z ? Д, что доказывает утвержде-
утверждение 10.31.1.
Доказательство 10.31.2 получается непосредственно. ?
Замечания к гл. 10
В этой главе были даны более полные, чем это было возможно
в некоторых других главах, ссылки. Но я не привел упрощение
доказательства теоремы Фейса — Утуми, данное Ламбеком [66].
(Это, я думаю, многое прояснило бы в связи с обобщениями,
появляющимися в гл. 10.) Джекобсон дал более отточенное дока-
доказательство этой теоремы в дополнении В обновленного варианта
своей книги [64].
Одним из следствий этой теоремы является такое утверждение:
любое первичное правое кольцо Голди R должно содержать ниль-
потентные элементы, если оно не является областью целостности.
Это вытекает из того, что R э Fn и п > 1, если R не является
областью целостности. Однако любое первичное кольцо, не являю-
являющееся областью целостности, обязано содержать нильпотентные
элементы! (Устное сообщение Робсона: доказательство тривиально!)
Мы уже отмечали результаты Робсона [67а], [67Ь], часть из
которых в нашей книге перенесена с артиновых на полулокальные
кольца. (На самом деле в теореме 10.27 Q может быть любым
конечным по Дедекинду кольцом.)
Вопрос о единственности кольца F в 10.19 был поставлен
(устно) Леви. Связь между кольцами RmF не ясна. В направлении,
связанном с теоремами о порядках из гл. 4, особенно 4.37 и далее,
можно доказать такой результат: любые две области целостности
F и К, такие, что Fn и Кп — эквивалентные правые порядки
BDn,TppD — тело, являются эквивалентными правыми порядками
в D. Кроме того, между кольцами R и F можно установить связь,
во всяком случае, когда кольцо R просто, с помощью теоремы
типа теоремы 4.7. Таким образом, в этом случае кольцо F должна
содержать наименьший идеал Т, а кольцо R будет нётеровым
справа тогда и только тогда, когда F удовлетворяет условию обры-
обрыва возрастающих цепей идемпотентных правых идеалов.
Ссылки
Голди [62], Джекобсон [47], [64], Ламбек [71а], Робсон [67]г
Рооз [68], Утуми [65], Фейс [64], [65], Фейс — Утуми [65а].
Часть III
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Если дан (В, 4)-бимодуль М, то для любого правого ^-мо-
^-модуля X группа НошА (М, X) канонически наделяется структурой
правого 5-модуля. В результате получается функтор
HomA(M,
который также обозначается через HomA (M, ) или просто hM.
(Двойственным образом определяется HomA ( ,M)=hM.) Этот
функтор непрерывен слева в том смысле, что он сохраняет про-
произведения и ядра E.44), а его левый сопряженный
mod-B ~» mod-A
AT"
в
Y^Y
непрерывен справа, т. е. сохраняет копроизведения и коядра.
(Ср. с ассоциативностью сопряженности, 11.4.) Свобода тензор-
тензорного произведения свободных модулей следует из 11.10.
Левый В-модуль М является плоским тогда и только тогда,
когда функтор <g> M: mod-.B~>mod-Z точен. Фундаментальные свой-
в
ства плоских модулей излагаются в гл. И. Так, например, модуль
М плоский тогда и только тогда, когда он является прямым пре-
пределом проективных модулей (см. 11.32 и 6.24). Следовательно,
каждый проективный модуль является плоским A1.22). Кроме
того, каждый конечно представимый плоский модуль проек-
тивен. Отсюда следует, что над нётеровым справа кольцом каж-
каждый конечно порожденный плоский модуль проективен A1.31).
Регулярные кольца охарактеризованы в 11.24 свойством плоско-
плоскостности всех правых модулей. (Это свойство право-лево симмет-
симметрично.) Как показано в гл. 19, инъективная оболочка R любого
антисингулярного справа кольца R, т. е. кольца с нулевым пра-

512
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули
513
вым сингулярным идеалом, является регулярным самоинъектив-
ныи справа кольцом; более общим образом, кольцо эндоморфиз-
эндоморфизмов любого квазиинъективного антисингулярного правого R-жо-
дуля М регулярно и самоинъективно справа. (Примером такого
кольца служит любое кольцо конечно-строчных матриц над те-
телом.)
Основное место в гл. 12 занимает изложение теорем Мориты,
использующее тензорные произведения в форме, удобной для опи-
описания строения группы Пикара, появляющейся в конце этой гла-
главы, и группы Брауэра. Таким образом, VichA — это группа изо-
изоморфных классов (Р) обратимых (А, Л)-бимодулей Р относительно
операции (Р) (Q) = (Р <8> Q), где А — произвольная алгебра над
k
коммутативным кольцом к. В 12.15 определен изоморфизм
PichA
(Р)
- Pic (A-mod)
где Pic (mod-4) — группа &-линейных автоэквивалентностей кате-
категории mod-Л. Если алгебра А коммутативна, то имеет место изо-
изоморфизм A.v&kA « Picfe4/PicA4, где AuthA — группа автомор-
автоморфизмов ^-алгебры А A2.18).
Некоторые результаты о свойствах конечномерных алгебр над
полем к излагаются в гл. 13. Среди них теорема Веддербёрна —
Артина 13.5 об алгебрах над алгебраически замкнутым полем,
теорема 13.28 о нильпотентности алгебр с базисом из нильпотент-
ных элементов и теорема Машке 13.21 о полупростоте групповых
алгебр, характеристика которых не делит порядок группы. Груп-
Группа Брауэра, результаты, с ней связанные, и теорема Сколема —
Нётер приводятся в упражнениях.
Глава 11
ТЕНЗОРНОЕ] ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ПЛОСКИЕ МОДУЛИ
Пусть R — кольцо, М — правый ж N — левый Д-модули.
Как обычно, М X N обозначает декартово произведение. Если
G — абелева группа ж g: М X N -*¦ G — отображение множеств,
то для каждого у ^N определено отображение gy: M ->• G по
формуле gy (a) == g (а, у) для всех а ? М. Симметрично, если
х ? М, то отображение gx: N -*¦ G определяется формулой gx (b) =
= g (x, b) для всех Ъ ? N. Отображение g: M X N —>¦ G называется
билинейным, если отображения gy: М -*- G и gx: N —*- G для всех
х ? М и у ? N являются групповыми гомоморфизмами. Били-
Билинейное отображение g: M X N —>- G называется сбалансирован-
сбалансированным, если
g (xr, у) = g (x, гу)
для всех х ? М, у 6 N, г 6 R-
Рассмотрим категорию Т (М, R, N), состоящую из сбалан-
сбалансированных отображений М X N -+¦ G в абелевы группы. Ле-
Левый нуль этой категории, который определен однозначно с точ-
точностью до изоморфизма, обозначается через М <8> N и называется
R
тензорным произведением модулей М и N (над R). Иногда, когда
из контекста ясно, о каком кольце идет речь, мы пишем просто
М ® iV, впрочем последний символ обычно обозначает М <8> N.
Z
11.1. Существование тензорного произведения MQN. Если
R
М 6 mod-i? и N ? i?-mod, mo существует абелева группа М <8> N
R
{единственная с точностью до изоморфизма) и сбалансированное
отображение t: М X N ->- М ® N, такое, что для каждого сба-
R
лансированного отображения /: М X N -*¦ Н в абелеву группу су-
существует и притом единственный гомоморфизм h, дополняющий
диаграмму
до коммутативной.
Доказательство. Пусть F — свободная абелева груп-
группа с множеством М X N свободных образующих. Таким образом,
F — Z-модуль, для которого определено вложение р: М X N —>- F,
так что р (М X N) является базисом в F. Для простоты допустим,
что р—тождественное отображение. Для любого сбалансированого
отображения /: М X N ->- Н, из свойства свободных групп
B.10) вытекает существование единственного гомоморфизма /',
33 К. Фейс

514
Ч. III. Тензорная алгебра
дополняющего диаграмму
MXN-
A)
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули
515
до коммутативной. Пересечение W ядер всех полученных таким
образом гомоморфизмов /': F ->¦ Н является подмодулем в F, по-
порожденным всеми элементами вида
(х + х1, у)-{х, у)-(х', у),}
(х, у + у')-(г, у)-(х, у'),\х, x'eM, y,y'eN, r?R.
(x,ry) — (xr,y) J
Пусть л — каноническое отображение F -> F/W, a F/W обозна-
обозначено через М® N. Тогда t = пр — сбалансированное отображе-
отображение М X N -> М ® N. Если /: М XN -+Н—произвольное сба-
сбалансированное отображение, то кег /' э W, поэтому диаграмма
~F/W=M®N
может быть дополнена до коммутативной единственным гомомор-
гомоморфизмом1 h. Тогда / = fp = hnp = ht, и, таким образом, h до-
дополняет диаграмму, приведенную в формулировке, до коммута-
коммутативной. Чтобы показать, что h — единственный гомоморфизм
М ® N —>- Н с таким свойством, допустим, что к — любой другой
гомоморфизм, такой, что / = Ы. Тогда
/ = Ы = (fat) р = (Ля) р r= fp.
Из единственности отображения /', дополняющего до коммута-
коммутативной диаграмму A), получаем /' = кл, т. е. hn = kn. Из един-
единственности отображения k: M<g> N -> Н, удовлетворяющего соот-
н
ношению hn = /', заключаем, что h = к. ?
Образ t (х, у) элемента (х, у) 6 М X N обозначается через
х <8> у. Итак, в М <8> N выполняются тождества:
(х + х') <8> у = (х
х® (У + У') = (*
х ® (rj/) = (a:r
у) + (х' О у),
») + (х® У'),
® г/.
Группа М <8> N порождается множеством {х ® у | а; ? М, г/ g iV},
т. е. состоит из всевозможных конечных сумм элементов такого
вида. Следовательно, если {xt | i 6 /} порождает М и {г/j | / € -О
порождает iV, то {х, (gi yj\i^I, /?/} порождает Л/ ® N.
11.2. Предложение. Пусть А — левый идеал кольца R иМ —
правый R-модулъ. Имеется единственный гомоморфизм
gA: M
м.
такой, что
gA: т® а >-*¦ та, т 6 М, а ? А.
Этот гомоморфизм называется каионическим,его образ равен под-
подгруппе МА, состоящей из всех конечных сумм ^тгаг с mi € М
и at 6 А. Индуцированный гомоморфизм М® А -*- МА также
R
называется каноническим. Каноническое отображение М ® R —*- М
R
является изоморфизмом.
Доказательство. Отображение М X А -> М, при ко-
котором (т, а) переходит в та, сбалансировано, поэтому gA суще-
существует в силу 11.1. Так как М ® А состоит из всех конечных
сумм вида 2"*! ® аи т0 im^A = МА, как и утверждалось. Если
i
2^j ® at лежит в ядре канонического отображения М ® R -> М,
т. е. 2 mi^ = 0, то 2 тг <g> at = 2 miai ® 1 = 0. Следовательно,
i г г
gR — мономорфизм. Так как im gR = MR — М, то gR — изо-
изоморфизм. ?
11.3. Предложение. Пусть М, М' — правые uN, N' —
левые модули над R, и пусть f (соотв. g) — гомоморфизм R-модуля
М в R-модулъ М' (соотв. N в N').
11.3.1. Тогда определен групповой гомоморфизм, обозначае-
обозначаемый через /<g> g, из М® N в М' ® N', такой, что (/<8> g) (x®
R R
®У) = / (ж) ® ё (У) для всех х € М, у 6 N.
33*

516
Ч. III. Тензорная алгебра
11.3.2. Если fug — эпиморфизмы, то /® g — эпиморфизм,
а подгруппа ker (/ (?> g) группы М ® N порождена объединением
R
множеств
{и <g> у | и е кег /, у е N},
{ж <8> v \v 6 ker g, х ? M}.
11.3.3. ?Ьш fug — изоморфизмы, то f ® g — изоморфизм.
Доказательство 11.3.1. Так как отображение к:
М X N ->- М' <8> N', переводящее'^, у) в / (ж) ® g (у), сбаланси-
сбалансировано, то по определению группы М® N существует единствен-
н
ный гомоморфизм h: М (?> N -> М' ® iV', такой, что h (ж<8> у) =
— f (х) <8> g (у) для всех х <8> у 6 М ® 7V; гомоморфизм /г. обозна-
обозначим через / <8> g.
Доказательство 11.3.2. Если / и g — эпиморфизмы
и х' <8> у' 6 М' <8> N' (х' е М', у' 6 N'), то найдутся х G М и г/ 6
6 iV, такие, что / (ж) = ж' и g (г/) = г/', откуда (/<g> g) (ж ® г/) =
— х' ® у'. Так как М® N порождается элементами {ж® г/ | ж 6
? М, у ? N), то / <g> g — эпиморфизм.
Очевидно, что ker (/ <8> g) содержит подгруппу Я, порожден-
порожденную двумя множествами, определенными в 11.3.2. Пусть v —
каноническое отображение v: М ® N —*¦ (М <3> N)IH. Если эле-
элементы ж, х1 ? М, у, Ух 6 N таковы, что и = жг — ж 6 ker /, v =
= J/i — J/ € ker g, то
xx ® j/x = ж <g> i/ +(u ®г/ + ж®у + "®у).
Так как слагаемое, стоящее в скобках, лежит в Н, то v (жг ® г/х) =
= v (ж ®]у) и, следовательно, определено сбалансированное отоб-
отображение р: М' X iV',->- (М ® Л^)/Я, при которому (/ (ж), g (г/)) =
= v (ж ® г/). Поэтому существует гомоморфизм h: M' ® JV' ->
-»- (М® ЛГ)/Я, такой, что h (ж' ® г/') = р (ж', у')- Так как h (/ (*).
g (г/)) = v (ж <8> г/) для всех ж ? Af, у 6 N, то /i о (/ <g>g) = v. Если
w ? ker (/® g), то
)H =Л@) = 0
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули
517
и поэтому w ? Н = ker v. Таким образом, ker (/<8> g) = Я, как
и утверждалось.
Доказательство 11.3.3 непосредственно вытекает из 11.3.2. ?
Тензорное умножение как функтор
Если А, М,\М', М" — правые Д-модули, В, N, N', N" —
левые Я-модули и даны гомоморфизмы
М Л М' Дл/", N Л N' ?* N",
то /'/ <8> g'g отображает М ® N в Af" ® iV" и
R R
Определим теперь функтор:
Для каждого А 6 mod-R определен функтор
R-mod~ ABEL GROUPS
N н-» 4 ®RiV (на объектах)
gi-*- 1A (g> g (на морфизмах).
Аналогично, если В ? .ft-mod, то определим функтор
mod-# - ABEL GROUPS
В (на объектах)
(на морфизмах).
{moA-R — ABEL
м *-*м ® в
/ь->/® 1В
Оба функтора Л® и ®В ковариантны, так как
R R
= (f ® 1
1 ® g'g = A О g') A ® g).
Если R и 5 — кольца и имеет место ситуация AR, B^s> ^s 4)i то
A) Homs (В, С) е mod-i?,
B) A <g> 5 6 mod-5.
н
Если / g Homs (В, С), г ? R, то по определению полагают fr
равным f-rs, где rs — левая гомотетия Ъ >-+¦ гЪ. Полагают также
(а ® Ъ) t = a <8> fei для всех а ? Л, 6 6 5, i ? S.
11.4. Ассоциативность сопряженности. Пусть R, S — кольца
и имеет место ситуация AR, RBS, Cs- Тогда существует есте-
естественный изоморфизм абелевых групп
Homs {A <g> В, С) Л HomR (A, Horn 8 (В, С)),
пределяемый формулой
(tt|/l (а)) F) = / (а ® 6)
J) Это означает, что A ?mou-R, С ? mod-5, а В есть (Я, 5)-бимодуль.—
Прим. перев.

518
Ч. III. Тензорная алгебра
для всех а ? A, b ? В, / ? Homs (A ® В, С). Обратный есте-
R
ственный изоморфизм ф определяется формулой
Ф (g) (a ® b) = [g (a)] (b),
где g?HomR(A, Homs (В, С)). (Ср. 11.19.4.)
Доказательство (Маклейн [63]). Для каждого а 6 А
и каждого / ? Homs (A ® В, С) функция (т)/) (а), которая отоб-
отображает b ? В в f (a® b), действительно является 5-гомоморфиз-
мом В ->¦ С, так как если s 6 S, то
[ti/ (a)] Fs) = / (а <g> Fs)) = / (о О 6) s = ttj/ (а)] F) s.
Аналогично, х\ (Д + /2) = Т]Д + т]/2для всехД,/2. Таким образом,
Т] — групповой гомоморфизм.
Чтобы показать, что т] — изоморфизм, построим обратное
отображение ф. Если g: A -*¦ Homs (В, С) есть Л-гомоморфизм
и а 6 А, 6 6 В, то g (a) 6 Homs E, С), [g (а)] F) 6 С1 и для любого
[g (ar)) F) - [g (а) г) F) = g (а) (гЪ).
Очевидно, отображение А X В -*¦ С, которое переводит (а, 6) в
[g (a)] F), билинейно и, следовательно, сбалансировано (над R);
поэтому по 11.1 существует единственный гомоморфизм ф (g):
А ® В -v С, такой, что
Ф (g) (a ® 6) = [g (a)] F).
Если s ?_ S, то
Ф (g) [(а <8> 6) s] = ф (g) (а О 6s) = [g (а)] Fs) = ([g (а)] F)) s =
= [ф (g) (а <8> 6)] s
и Ф (§) € Homs (Л ® 5, С) для всех g. Если h: At—*- Homs (В,
R
С) — другой гомоморфизм, то
Ф (g + h) (a ® b) = [(g + h) (a)] F) = [g (а)] 6 +
+ [h (а)} Ъ = ф (g) (а <g> 6) + ф (А) (а ® 6),
т. е. ф (g + h) = ф (g) + ф (/г), и поэтому отображение g -»- ф (g)
является групповым гомоморфизмом
ф: HomB (A, Homs (В, С)) -*¦ Homs (A ® В, С).
н
Нам осталось только проверить, что т]ф и фТ] — тождественные
отображения. Если g — гомоморфизм, указанный выше, то ф (g):
А ® В-*- С и
(g)l Га)) F) = Ф (g) (а® 6) = (g (а)) F).
/'л. JJ. Тензорное произведение и плоские модули
519
Такимобразом,Ч]ф (g)=gjflnHBcex g, т.е.гаф=1. Если/: А ® fi-> С,
л
то т)/: А ->¦ Homs (J9, С) и
[фТ|/] (о О 6) = [т|/ (а)] (Ь) = / (а О 6).
Поэтому ф'т) = 1. Итак, т) — изоморфизм.
Так как функтор HomR (X, Y) контравариантен по X и ко-
вариантен по У, а X (?> Y ковариантен по X и Y, то получаем,
я
что функторы 7\ = HomR (A, Homs E, С)) и Г2 = Homs D ®
я
<?> 5, С) контравариантны по Л и 5 и ковариантны по С.
к
Следующим рассуждением покажем, что ф и т) являются есте-
естественными преобразованиями. Пусть а: А'-+А, |5: В' -> В, у:
С-*¦ С. Проверим коммутативность следующей диаграммы:
Пусть а' € Л', 6' € ^', с' е С и / 6 Homs (A ® В, С), тогда
л
Tif\ (/) определяется по формуле
((ГЛ (/)) («')) (Ь') = Y (]Л (/) (««')] (РЬ')) =
= Y [/ (оа' ® РЬ')],
а Л ^2 (/) — по формуле
(а'I F') = ТУ (а' ® 6') = y I/ (ао' ® pb')].
Это доказывает коммутативность диаграммы и завершает доказа-
доказательство. П
11.5. Определение.
11.5.1. Если R и S — кольца, то для (R, 5)-бимодуля М фун-
функтор
A) ®М: mod-R ~ mod-5
л
называется левым сопряженным (или сопряженным слева) к функ-
функтору
B) Homs (M, ): mod-S — mod-R.
(Ср. «Сопряженные функторы», гл. 5.)

520
Ч. III. Тензорная алгебра
11.5.2. Говорят, что функтор Т: С ~* D из абелевой категории
С в абелеву категорию D непрерывен слева (соотв. справа), если
он сохраняет произведения и ядра (соотв. копроизведения и
коядра).
Непрерывность рассматривалась ранее в гл. 5.
11.6. Упражнение. Воспользуемся терминологией опре-
определения 11.5.
11.6.1. (А) Доказать, что функтор Homs (М, ) со значениями
в категории абелевых групп непрерывен слева.
(В) Используя ассоциативность сопряженности A1.4), дока-
доказать, что функтор ®М, сопряженный слева к Homs (М, ),
непрерывен справа.
(Полученное доказательство сравнить с 5.43.)
11.6.2. Воспользовавшись тем, что функтор Homs (М, )
со значениями в категории абелевых групп аддитивен, доказать,
что аддитивен и функтор ®М со значениями в той же категории.
R
(Ср. гл. 5, в частности 5.43, 5.48 и 5.58.)
Пример 11.7.1 показывает, что, вообще говоря, функтор тен-
тензорного произведения не точен слева.
11.7. Примеры.
11.7.1. Пусть R — кольцо а А — такой его идеал, что А2 Ф
ФА ФВ. (например, если R = Z, то для любого ненулевого
идеала А верно А фА2). Если г + А ? R/A, г ? R и а ? А, то
а®' (г + А) ? А ® (R/A), где символ <8>' означает, что тензор-
тензорное произведение берется в А ® (R/A). Так как
Aа® 1щА){а®' (г + А)) -а® (г + А) = 1® (аг + А) =
= 10 0 = О1),
то ker (ЬА ® 1R/a) = A ® R(R/A). По 11.3 ядро К отображения
А ® R ->¦ А ® (R/A) порождается множеством {а® Ъ \ а ? A, Ь ?
6 А}. Гомоморфизм ф: А ® R-+ А, такой, что ср (а ® г) = аг,
отображает К на А2. Так как А фА2, то К фА ® R, а это до-
доказывает, что A® (R/A) фО и, значит, последовательность
0 -> А ® (R/A) -> R ® {RIA)
не является точной (хотя последовательность 0 —*¦ А —*- R точна).
11.7.2. Пусть А — произвольная абелева группа, тп — нату-
натуральное число, Zm = TL/mTL — циклическая группа порядка m
и тпА = {та \ а ? А). Тогда существует изоморфизм h: Aim A ->-
-*- Zm ® А (тензорное произведение над Z), задаваемый формулой
h (а -\- тА) = и® а, где и — произвольный образующий груп-
*) Здесь iA обозначает вложение идеала А в кольцо.— Прим. ред. и перев.
Гл. П. Тензорное произведение и плоские модули
521
пы Zm, например и = 1 + тЖ.. Если а, а' ? А и а — а ? тА,
т. е. а — а' — та" для некоторого а" ? А, то
и ® {а — а') = и
и поэтому
та" = ти
а" = 0 ® а" = 0
{а
а' = А (а' + тА).
Это доказывает, что h — гомоморфизм из А/тА в Zm ® А. Произ-
Произвольный элемент группы Zm ® А имеет вид ku ® а, где к — нату-
натуральное число и а ? А. Покажем теперь, что существует гомо-
гомоморфизм g: Zm<8> A -v А/тА, задаваемый формулой g (ku ® a) =
= ка + тА. Для этого рассмотрим отображение t: Zm X А —*-
-*• А/тА, для которого t (ku, a) = ка + т4. Если /с' — такое
натуральное число, что к'и = Аад, то m делит к' — к и поэтому
(&' — А;) а ? т.Л, т. е.
t (к'и, а) = к'а + тА = ка -\- тА = t (ku, a).
Следовательно, t — отображение. Более того, t — сбалансирован-
сбалансированное отображение из Ът® А в А/тА. Ввиду свойства универсаль-
универсальности тензорного произведения, существует гомоморфизм g: Ът ®
® А -> А/тА, для которого g (ku ® а) = ка + тА. Теперь имеем
hg (ku ® a) = h (ка + тА) = и ® ка = ku ® а,
gh (ка + тА) = g (и® ка) = g (ku ® а) = ка + тА,
поэтому hg и gh — тождественные отображения. Следовательно,
h — изоморфизм (и h'1 = g).
11.7.3. Если А — произвольная делимая группа, например
А = Q, то тА = А а поэтому Тт ® А да А/А = 0. С другой
стороны, если А ¦— произвольная группа порядка т, например
А =:
то %т® А
11.8. Упражнения.
11.8.1. Если т и п — элементы кольца Ъ и d = (т, п) — их
наибольший общий делитель, то (Z/m%) ® (Z/raZ) да Ъ/dTL. Та-
Таким образом, из условия (т, п) — i следует, что Ът ® Ъп = 0.
11.8.2. Если R и S — кольца и имеет место ситуация AR, RBS,
sC, то определен естественный изоморфизм
(А ®В) ® С да А ® (В ® С).
R S R S
11.8.3. Если R — коммутативное кольцо, А и В суть R-mo-
Дули, то имеет место изоморфизм А ® В да В ® А, при кото-
R R
ром а® Ъ отображается в Ъ ® а для всех а ? А, Ь ? В.

522
Ч. III. Тензорная алгебра
Тензорные произведения бимодулей
Групповой гомоморфизм h (S, Л)-бимодуля М называется
(S, #)-гомоморфизмом, если
h (sxr) = sh (х) г для всех х ? M, s ? S, r ? R.
11.9. Предложение. Пусть М и М' суть (S, В)-бимодулиг
N, N' — левые R-модули, и пусть даны (S, Щ-гомоморфизм fv
Л-/-»- М' и R-гомоморфизм g: N -+¦ N'. Тогда / <8> g является S
гомоморфизмом левых S-модулей М ®N и М' <8> N'.
R R
Доказательство. Мы уже показали, что
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули
523
M' <g)N' — левые S-модули. Если s ? S, x ? М, у ? N и и ==|
й
= х <8> г/, то
sw = s.r <8> г/
и
(/ ® g) (ей) = / (sx) ® g(y) = sf (x) ® g (г/) =
Так как М ® N порождается элементами вида и = а; ® у, где
л
я: пробегает все М, а у — все N, то
(/® g)(e») =e(/® g)(ii>)
для всех
. ?
11.10. Следствие. Пусть R — кольцо, a I и J — непустые мно-
множества. Тогда произведение гомоморфизмов
является (R, R)-бuмoдyлъным изоморфизмом. (Другими словамиЛ
тензорное произведение двух свободных модулей — свободный мощ
дуль.)
Доказательство. Воспользоваться каноническим „
морфизмом i? <8> М та М, тем, что <8> сохраняет копроизведе!
A1.6), и 11.9.йр
11.11. Следствие. Пусть даны левый R-модулъ Е и множеством
I. Тогда если {xt \ i 6 1} — базис свободного правого R-модуля
i?(I), то каждый элемент а в R(I) ® E однозначно представляется
R
в виде суммы
где Г — конечное подмножество el, а yi 6 Е для всех i ? /.
Доказательство легко следует из того, что любой
функтор тензорного произведения сохраняет копроизведения (см.
li.6.1). Таким образом, возникают канонические изоморфизмы
/?A) ® Е « ?'(I). D
R
Замена колец
По определению й-модулем [М, R, /] является абелева группа
М вместе с кольцевым антигомоморфизмом /:/?->- End M<% (см.
3.4). Поэтому если h: S ->- R — гомоморфизм колец, то имеем
притягивающий 5-модуль [М, S, fh], который обозначается че-
через (Ms)- Аналогично левый ^-модуль Л' становится левым 5-
модулем (SN).
11.12. Лемма о притяжении. Для кольцевого гомоморфизма
h: S ->- R и R-модулей MR, RN и RA имеют место гомоморфизмы
x ® у
S
Если h — эпиморфизм, mo h# и /г* — изоморфизмы.
Доказательство. Рассмотрим отображения
MXN
где
tz(x, y) =
Если s g S, то
(xs) ®y =
R
=x® (sy).
R
Итак, t± — сбалансированное отображение над S и поэтому в силу
И.1 существует гомоморфизм h#. Аналогично, если h — эпи-

524
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули
525
морфизм, то для каждого г ? R найдется s ? S, такой, что г =
= h{s), откуда
t2 (xr, у) = t2 (xs, у) = t2 (x, sy) = t2 (x, ry).
Следовательно, tz сбалансировано над R и, в силу 11.1, определен i
гомоморфизм g. Так как h#g — gh# — тождественное отобра-
отображение, то h# — изоморфизм.
Если h — эпиморфизм, то фактически HomR (A, N) —
—Homs(A,N), поэтому за hP можно взять тождественное отобра-
отображение.
11.13. Следствие. Если h: S ->- R— кольцевой гомоморфизм,
то R является (притягивающим) левым S-модулем и для любого
множества I правый R-модулъ
Sm <g> R
s
свободен. Если {xt \ i ? /} — базис свободного S-ModyAa.S^, то
{хг <8> 1 | i 6 1} — базис свободного R-модуля 5G) <8> R.
s
Доказательство. Это следует из 11.11.
Напомним, что по определению свободный ^-модуль имеет
инвариантное базисное число, если любые два его базиса имеют
одинаковую мощность (гл. 3). Кольцо, над которым каждый сво^
бодный правый /?-модуль имеет инвариантное базисное число,
называется IBN-кольцом. Это свойство право-лево симметрично.
11.14. Теорема. Пусть /: S —> R — ненулевой кольцевой гомо-
гомоморфизм. Если R есть IBN-колъцо, то таким же является кольцо S.
Доказательство. Пусть F ж 5A) — свободный пра-
правый S-мбдуль. По следствию 11.13, F <8> R — свободный пра-
S
вый ^-модуль, изоморфный i?(I). Так как R есть IBN-кольцо,
каждый базис модуля F имеет мощность | / |, и поэтому S есть
IBN-кольцо. ?
Любое коммутативное кольцо S (а также любое локальное
кольцо) удовлетворяет условию теоремы, поскольку факторкольцо
кольца S по максимальному идеалу является телом. В действи-
действительности, так как каждое нётерово кольцо — IBN-кольцо, то
любое кольцо, обладающее ненулевым нётеровым факторколь-
цом, является IBN-кольцом. (См. Левитт [57] и Кон [66].)
11.15. Следствие. Пусть R и S — кольца, Р — проективный
правый R-модулъ и Q — (R, 3)-бимодулъ, являющийся проек-
проективным S-модулем. Тогда Р ® Q — проективный S-модулъ.
Доказательство. 5-модуль А проективен тогда и
только тогда, когда функтор Homs (A, ) точен, т. е. точность
последовательности В —у С —>- 0 влечет за собой точность после-
последовательности Homs (А, В) -+¦ Homs {А, С)^-0. Так как Р —
проективный ^-модуль, то HomR (P, ) точен и, в частности,
точна последовательность
HomR (P, Homs (Q, В)) -> HomR (P, Homs (<?, С)) -»- 0.
Применяя предложение об ассоциативности сопряженности, по-
получаем, что последовательность
Homs (P <8> Q, В) -> Homs {P ® Q, С) -> 0
R В
точна. Поэтому точен функтор Homs (P <8> Q, ), откуда следует,
в
что 5-модуль Р ® Q проективен. П
R
Следующее утверждение является исходным для определения
и изучения группы Брауэра.
11.16. Следствие. Если R — коммутативное кольцо, то тен-
тензорное произведение двух проективных R-модулей — проективный
R-модулъ. ?
Если А — правый ^-модуль, то его дуальный А* = HomR (A,
R) каноническим образом наделяется структурой левого R-uo-
дуля. (См. 3.7.1 (Ь).) Если В — левый Л-модуль, то его дуальный
обозначим через В* = HomR (В, R).
11.17. Следствие. Если А — правый R-модулъ и В — (R,R)-
бимодулъ, то имеет место естественный изоморфизм HomR (A,
В*) я» (А <8> В)*.
R
Доказательство. Применить 11.4 к ситуации AR,
rBr, Rb. ?
11.18. Следствие. Если D — произвольная абелева группа и
А — правый R-модулъ, то А' = Hom^ (A, D) — левый R-мо-
R-модулъ. Если В — произвольный левый R-модулъ, то имеет место
естественный изоморфизм
HomR(A, В')
В)'.
Доказательство. Применить 11.4 к ситуации AR,
z, Dz. ?

526
Ч. III. Тензорная алгебра
Если Р ш А суть /?-модули, то определен гомоморфизм
\i:A®P*^HomR(P, A),
R
где ц (а ® /) (р) = af (р) для всех f ? Р*, а (: А, р ? Р (см. сле-'j
дующие упражнения).
11.19. Упражнения.
11.19.1. Если PR конечно порожден и проективен и Р* =
= HomR (P, R), то \i: A ® P* —*- HomR (P, А) — изоморфизм.
R
Пусть S = Endfi P. Тогда имеет место изоморфизм (S, 5)-бимо-
дулей.
р ® р* _». Endfl P.
R
11.19.2. Если модуль Р над коммутативным кольцом конечно
порожден и проективен, то для всех ^-модулей А имеет место
естественный изоморфизм Р* ® А* л? (Р ® А)*.
R R
11.19.3. В ситуации PR, SMB, SN определено естественное
преобразование
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули
527
Ф: Р ® Homs (M, N) -*¦ Homs (Нотд (Р, М), N),
R
где
для всех р 6 Р, /6 Homs (M, N), g 6 HomR (Р, М). (а) Если (
Р конечно порожден и проективен над R, то Ф — естественный j
изоморфизм. [Указание: это тривиально для Р = R.] (Ь) Если]
S = End PR, то Ф дает изоморфизм
Р ® Homs (P, S) « 5.
в
[Замечание: Homs (P, S) — модуль, S-дуальный к Р.]
11.19.4. Рассмотрим ситуацию AR, SBR и SC для колец В :
и 5 и модулей А, В, С. (Ср. 11.4.) Тогда существует естественный
изоморфизм
h: Нотд (A, Homs (J5, С)) -»- Homs {В® А, С),
R
такой, что для каждого /: А —у Homs (В, С) имеем
h [f] (b <8> a) = / (а) [Ь].
Характеризации плоских модулей
Как было определено в гл. 5, левый ^-модуль М называется
плоским, если функтор ®М со значениями в категории абелевых
R
групп точен. В этом параграфе предлагаются несколько харак-
характеризации плоскостности модуля.
11.20. Предложение. Следующие свойства правого R-модуля
М эквивалентны:
(a) М плоский.
(b) Для каждого конечно порожденного левого идеала А кольца
R каноническое отображение
М&А-+МА
m
та
М, а
есть изоморфизм.
Если выполнено (а) или (Ъ), то отображение М0А-+МА
R
оказывается изоморфизмом для любого левого идеала А кольца i?.
Доказательство (а)=з-(Ь). Каноническое отображе-
отображение М <8> R —у М — изоморфизм. Так как М — плоский модуль,
g fg
то М <8> А ->- М <8> R — мономорфизм. Следовательно, М ® А ->-
—> М — мономорфизм. Так как im fg = MA, то каноническое ото-
отображение g оказывается изоморфизмом. Это верно для любого
левого идеала А.
(Ь) => (а). Пусть А — произвольный левый идеал и предпо-
t
ложим, что at 6 A, mt 6 М, i = 1, . . ., t, таковы, что 2 тегаг =
¦1=1
t
= 0. Поскольку левый идеал 5=
каноническое отображение М ® В ->- MB по условию является
конечно порожден,
аг — 0 в М® В. Ввиду кано-
R
t
изоморфизмом. Поэтому 2те
нического гомоморфизма М® В -*¦ М® А, имеем 2mi® аг =
R R i=i
= 0 в М® А, и, следовательно, отображение М® А ->- МА —
R R
изоморфизм для всех левых идеалов. Это влечет за собой, что
М ® А -*¦ М — мономорфизм, откуда следует, что М' ->- (М ®
R R
® А)' — эпиморфизм (см. 3.39 и стр. 215). Так как (М ® А)' «
R
HomR (A, M') в силу результата, соответствующего 11.18 и вы-
вытекающего из 11.19.4 (вместо 11.4), то отображение
HomH (R, М') -у HomH (A, M')
является эпиморфизмом. Поэтому из критерия Бэра 3.41 выте-
вытекает инъективность левого ^-модуля М', откуда в силу 5.60
М — плоский ^-модуль. ?

528
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модуль.
529
11.21. Следствие. Пусть Р — плоский R-модулъ и К — его пос
модуль. Тогда модуль Р/К плоский в том и только том случае^
когда
A) КА = РА П К
для каждого конечно порожденного левого идеала А кольца R. Ecjiii
это так, то A) справедливо для каждого левого идеала А.
Доказательство. Так как функтор ® А точен справа,!
то последовательность
К ® А
R
(Р/К) ® А
В
0
точна. Так как модуль Р плоский, то каноническое отображение!
Р ® А -+¦ РА — изоморфизм, который отображает К ® А на КАЛ
R R I
Таким образом, (Р/К)® А да PAIKA. Поэтому по предложению!
R tf
11.20 модуль PIK плоский тогда и только тогда, когда
B) (Р/К) А да PAIKA
для всех (конечно порожденных) левых идеалов А. Мы покажем^!
что этот изоморфизм эквивалентен соотношению A). По теоремв|
о гомоморфизмах 1.14 имеем
C) (Р/К) А = (РА + КIК да РА/РА [} К.
Таким образом, B) эквивалентно изоморфизму
D) PAIKA да РА/РА П К.
Так как РА |~| К з КА, а изоморфизмы B), C) и D) канониче
ские, то B) эквивалентно A). Так как плоскостность модуля Р/1
эквивалентна B), мы получаем желаемый результат. ?
11.22. Следствие. Любой проективный R-модулъ является пло
ским (ср. 5.61). ?
11.23. Следствие. Если Р — плоский R-модулъ и К — его пос
модуль, то модуль Р/К является плоским тогда и только тогдаЛ
когда Ра [\ К s Ка для всех а 6 R. (В этом случае Ра{\ К = Ка.)
Доказательство. РА |"| К з КА для любого левогв
идеала А кольца R. Поэтому соотношение A) выполняется тог
да и только тогда, когда
A') РА П ? = КА.
Из Ра П К ^ Ка для всех а 6 А следует A'). Обратно, из cnpa-j
ведливости A') для конечно порожденных левых идеалов вьи
кает PRa f] К s KRa, или, что то же самое, Ра (~) К ^ Ка
всех а ? А, чем и завершается доказательство. ?
Кольца, определяемые в 11.24, были введены фон Нейманом
[311 и охарактеризованы плоскостностью всех модулей над ними
Харадой [56] и Ауслендером [57].
11.24. Теорема и определение. Говорят, что кольцо R регуляр-
регулярно, если справедливы следующие эквивалентные утверждения:
(a) Каждый правый R-модулъ плоский.
(а') Каждый левый R-модулъ плоский.
(b) Для каждого а 6 R существует х ? R, такой, что а = аха.
(c) Каждый главный правый идеал порождается идемпотентом.
(с') Каждый главный левый идеал порождается идемпотентом.
(d) Каждый конечно порожденный правый идеал порождается
идемпотентом.
(е + i) Утверждение, лево-право симметричное утверждению
(i), где i= a, b, с, d.
Доказательство. Допустим, что каждый Д-модуль
является плоским. Если а 6 R, то RlaR — плоский модуль, и,
применяя следствие 11.23 для случая Р = R, К = aR, получаем
Ra{] aR ^ aRa. Таким образом, а = аха для некоторого х ? R.
Итак (а) =з- (Ь). Обратно, допустим, что справедливо (Ь), и пусть
Р — свободный модуль, К — его подмодуль и а 6 R- Тогда а =
= -• аха для некоторого х 6 i?, откуда е = ха — идемпотент и Ra =
— Re. Поэтому Ma = Me для любого Л-модуля М. Так как е —
идемпотент, то Ре |~| К s Ке, и поэтому Ра |~| К ^ Ка. Это, ввиду
следствия 11.23, показывает, что Р/К — плоский модуль. Так
как любой Д-модуль М изоморфен модулю Р/К для подходящих
свободного ^-модуля Р и подмодуля К, то каждый ^-модуль
является плоским.
(b) <=>(с). Если а = аха, то е = ах — идемпотент, который
порождает циклический правый идеал, порожденный а. Обрат-
Обратное доказывается аналогично.
(c) => (d) предоставляется читателю в качестве упражнения
(к тому же эта импликация устанавливается далее в 19.7), a (d) =>¦
=>¦ (с) тривиальна. Наконец, (е + i) — следствие симметричности
утверждения (Ь).П
11.25. Упражнения.
* 11.25.1. Прямое слагаемое плоского модуля является пло-
плоским модулем, и любой прямой предел плоских модулей — пло-
плоский модуль. В частности, прямая сумма плоских модулей —
плоский модуль. Каждый плоский модуль является прямым пре-
пределом проективных модулей.
11.25.2. Любой плоский модуль является модулем без круче-
кручения (см. стр. 208).
* 11.25.3. Пусть R — коммутативное кольцо. Тогда /?-модуль
М является плоским в том и только том случае, когда М — «ло-
3/' К. Фейс

530
Ч. III. Тензорная алгебра
кально плоский», т. е. для любого простого идеала Р «локаль-|
ный модуль» МР = М ® Rp, где RP—локальное кольцо кольцй!
н 1
R в Р, является плоским. Вывести отсюда, что локальное кольцо!
RP является плоским ^-модулем для любого простого идеала Р.1
11.25.4. Пусть R — коммутативная наследственная областад
целостности. Тогда ^-модуль М является плоским в том и только!
том случае, когда М есть модуль без кручения. Таким образом,!
любое надкольцо кольца R плоское. (Надкольцом кольца R на-|
зывается любое подкольцо кольца частных кольца R, содержащее]
R. См. упражнения к гл. 11.)
11.25.5. Над коммутативным кольцом R тензорное произве-]
дение двух плоских модулей является плоским модулем.
11.25.6. (а) Пусть Р — плоский правый Д-модуль я. К — его
подмодуль. Если модуль PIK плоский, то Ра [\ К = 0 для всех
а 6 апПдЯ\
(Ь) Если / — правый идеал кольца R и RII — плоский /?-мо-
дуль, то I1 П / = 0.
11.26. Предложение. Пусть R—кольцо и 0 —>-К —v F ->- А -+¦ 0-
точная последовательность правых R-модулей, где F — свободный1
модуль с базисом {ха}. Для каждого элемента u = xaia1-{- .. .
. . . -\-xarar модуля F обозначим через 1и левый идеал кольца R,
порожденный элементами аь . . ., аТ. Тогда следующие утвержде-
утверждения эквивалентны:
(a) А плоский.
(b) Если и 6 К, то и ? К1и.
Доказательство, (а) =>- (Ь). Если А плоский и и ?
6 К, то и € К П FIU = KIU по 11.21.
(Ь) =>- (а) Пусть / — произвольный левый идеал в R и и ?
6 К П FI- Тогда ясно, что /, g/и поэтому и 6 KIU e KI. Так
как это верно для всех и 6 К П FI, то отсюда следует, что К (]
П jF/ = ^/. Следовательно, модуль Л плоский, ввиду 11.21, что
и требовалось. ?
Следующую характеризацию плоских модулей Чейз [60] при-
приписывает Вильямайору (не опубликовано).
11.27. Предложение. Пусть R —кольцо и 0 ->-К -> F ->¦ А ->-
—>- 0 — точная последовательность правых R-модулей, причем F
свободен. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(a) А плоский.
(b) Для любого и ? К существует гомоморфизм 8: F -+ К, та-
такой, что 8 (и) — и.
(c) Для любых щ, . . ., ип из К существует гомоморфизм 9:
F —>- К, такой, что 6 {uj)= Ui для i = 1, . . ., и.
/U. 77. Тензорное произведение и плоские модули
531
Доказательство. (а)=з- (Ь). Пусть и ^ К. Опреде-
Определим/ц, как в 11.26, т. е. если и — ха1ал_+ . . . +хагаг, где {ха} —
г •
базис модуля F, то 1и = 2 ^а*- Так как 4 плоский, предложе-
i = l
ние 11.26 влечет за собой, что и ? К1и и поэтому u = vxa{-{-. . .
. . . -\-vrar, где vt 6 К. Определим гомоморфизм 9: F -+ К, пола-
полагая 6 (ха.) = vt для i = 1, . . ., гиб (ха) = 0, если а фах,. . ., аг.
Тогда ясно, что 8 обладает требуемым свойством.
(Ь) =з- (а). Для данного элемента и = ха аг-\-. . . -\-ХагО-г из К
рассмотрим гомоморфизм 0: F —*- К, такой, что 6 (и) = и. Тогда
и = 0 (ха ) аг-\- . . . +9 (ха ) аТ, и, таким образом, и лежит в
К1и- Теперь из 11.26 следует, что А — плоский модуль.
(Ь) => (с). Пусть и1: . . ., ип?К. Если п = 1, то существо-
существование 0 следует из (Ь). Доказательство продолжим индукцией по
п: допустим, что в > 1 и (с) выполнено для к <Сп. Пусть 8n: F —v
—>- К — такой гомоморфизм, что 0П (ип) = ип. Положим vt =
= ut — 0n (ut) для i = 1, ..., и — 1. Тогда по предположению
индукции существует гомоморфизм 0': F -+¦ К, такой, что 9' (vt) =
== vi для всех i = 1, ..., и — 1. Определим гомоморфизм 6:
/<" ->- К, положив 8 = 1 — A — 8') A — 0П). Тогда 9 обладает
требуемым свойством.
Импликация (с) =* (Ь) тривиальна. ?
Конечно представимые плоские модули проективны
В этом параграфе устанавливается, что плоский модуль М =
¦= FIK, где F — свободный, а К конечно порожден, обязательно
проективен. (См. 11.30.) Отсюда следует, что над нётеровыми коль-
кольцами конечно порожденные плоские модули проективны (см. 11.31).
Модуль М над кольцом R называется конечно связанным или
конечно предетавимым, если существует точная последователь-
последовательность
A) 0-+K-+Rn-+ M-+0,
где п — целое число, большее нуля, а К конечно порожден. Это
эквивалентно требованию существования целых чисел то и и, та-
таких, что последовательность
B) Rm -> Rn -*» М -> 0
точна. Из следующей леммы вытекает, что если модуль М конеч-
конечно связанный, то из точности последовательности A) следует,
что модуль К конечно порожден.
34*

Ч. III. Тензорная алгебра
11.28. Лемма (Шанюэль). Пусть последовательности
1
О-
О-
-О,
точны, а модули Ро и Р'е проективны. Тогда имеет место изоморг
физм
Рое Р[&Р'О® Рх.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму с точными строками и столбцами
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули
533
I
>/>¦
Р{
\
Р'
\
I J
О О
где Q~^-M — расслоенное произведение гомоморфизмов / и /'.
Так как Ро проективен, то Q -*- Ро расщепляется и поэтому Q да
да Ро ф Р[. Аналогично, Q да Р'о ф PVU
11.29. Упражнение. Если последовательности
точны, Pt и Р\, О
место изоморфизм
га — 1,— проективные модули, то имеет
11.30. Следствие. Пусть R — произвольное кольцо. Если в точ-
точной последовательности
0-> K-+F -+ M-+Q
М — плоский модуль, F свободен и К конечно порожден, то М
проективен. Таким образом, любой конечно связанный плоский
модуль проективен.
Доказательство. Если М да FIK — плоский мо-
модуль и К конечно порожден, то, ввиду 11.27 (с), определено ото-
отображение и: F —>~ К, продолжающее тождественное отображение
К -*¦ К. Отсюда следует, что F = К ф X, где X = {и (х) —
— х | х ? F} и поэтому М да X. Но X проективен, так как проек-
проективен F. ?
11.31. Следствие. Если R нётерово справа, то любой конечно
порожденный плоский правый R-модулъ проективен.
Доказательство. Над нётеровым справа кольцом
любой конечно порожденный модуль конечно представим, поэто-
поэтому применимо 11.30. П
11.32. Предложение (Лазар [64]I). Над произвольным коль-
кольцом R любой плоский модуль является прямым пределом проектив-
проективных модулей.
Доказательство. Обозначим через Е множество М X
п
X Ы и рассмотрим точную последовательность 0 —>- К —*¦ F —>- М—v
-+¦ 0, В КОТОРОЙ F — СВобоДНЫЙ Л-МОДуЛЬ С баЗИСОМ {с(ж, П)}(ж,
а я задается соответствием с(ж, „>
х.
Если
— направ-
направК
ленное семейство конечно порожденных подмодулей модуля К,
то по упр. к гл. 6 К = lim Kt и тогда М да F/K = lim FlKt
(ср. с гл. 14). Покажем, что в семействе {K^ici имеется кофи-
кофинальное подмножество {Pj)i?j свободных конечно порожден-
порожденных прямых слагаемых модуля F. Для каждого Kt по 11.27 (с)
и его доказательству существует гомоморфизм 6г: F —>- К, такой,
что 6; (и) = и для всех и g Kt и 6г (F) — конечно порожденный
подмодуль в К. В частности, Kt ^ 6г (F) и 6; (F) содержится в не-
некотором свободном конечно порожденном прямом слагаемом
Ft = Rc(Xi<ni) + • • • -\-Rc(X ,-n ) модуля F. Выберем в базисе
модуля F элементы с. п>., . . ., сх п>у такие, что nj-фщ для всех
/ = 1, . . ., г. Тогда если F[ — порожденный ими подмодуль, то
F = Ft ф F\ ф X и соответствие с п'.)*~*- С(Ж., пл определяет изо-
изоморфизм F'i^rFt. Рассмотрим теперь копроизведение h: Ft®
® F'i-^f-Fi этого изоморфизма и гомоморфизма 1 — 0г: Fi~*-Fi,
где 6; — ограничение на Ft гомоморфизма 8г. Очевидно, что h —
эпиморфизм и поэтому Р = ker h — конечно порожденное пря-
прямое слагаемое модуля Ft ф F\ (а следовательно, и модуля F).
Ясно, что Р =2 Kt, так как A — 6;) (Kt) = 0. Наконец из того,
^См.такжеВ. Е. Говоров, Докл. АН СССР, 144 A962), 965—967; Алгебра
и логика, 2, № 6 A963), 21—50.— Прим. перев.

534
Ч. III. Тензорная алгебра
что л (с(ж, n)) == nh (c(Xi n)) для любого элемента из базиса модуля
Ft © F\, следует, что Р Е К. Итак, мы доказали, что семейство
{Pj}i?j кофинально в {Кь}^1. Следовательно, К = lim Pj и
М » FIK = lim FIPj — прямой предел проективных модулей. ?
Несколько следующих предложений и их доказательства заим-
заимствованы из работы Чейза [60].
11.33. Предложение. Пусть R — кольцо и А — правый R-
модулъ. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(a) А — плоский модуль.
(b) Если aAi+ . ..+аДг = 0, где ah^A и Xh(iR, то сущест-
существуют Ъи ..., Ъп?А и {\iik}^R(i = l, ..., п, й=1, ..., г),
п г
такие, что аи = 2 biHih и 2 ЦгДь = 0-
i=i fe=i
(c) Если 2 ahhhj = Q, где ak?A и %kj^R{i — \, ..., s),
то существуют &t, .. ., Ъп ? А и {|Я;ь} !=/?(? = 1, ..., п; /с=1, ...
П г
..., г), такие, что а^ = 2 ^¦¦|1;>- и ^'
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули
535
Доказательство. (а)=^(с). Пусть/:^-»-^—эпиморфизм,
где F — свободный правый fl-модуль, и Z=ker(/). Выберем
г
Xi, ..., хг в F так, что f(xh)=ah, и положим и}— 2 ^fe^fej
для 7 = 1,..., s. Тогда / (и,) = 2 ak^hj = 0- Так как 4 плоский,
то из 11.29 вытекает существование такого гомоморфизма
п
в: F —*¦ К, что б (uj) = ы^. Запишем xh — 6 (xh) = 2 Ztyih, где zj,...
..., zn — элементы базиса модуля F. Положим 6, = /(гг). Тогда
п
О-К — f \%k) == / (%h —¦ 6 (^fe)) == i ^il^ift" ПоЭТОМу
i=l
Г г г n
0 = u— 8 (u) = 2 (« — Э (х )) % •== 2B zii; ) Я =
П г
_ v 7./ у „. 1 \
Так как z4, ..., zn —часть базиса модуля i^, то 2 (-itfe^fej = *-*.
fe=i
(c)=^(b). Тривиально.
(b)=>(a). Пусть f:F^>-A — эпиморфизм, где .F —свободный
правый .fl-модуль с базисом {ха}- Пусть if=ker /, и предполо-
предположим, что u = xaiki-\- .. .-\-хагК лежитвК. Положим ah~--f(xak)-
Тогда а^ -f- ... + аДг = / {и) = 0. По условию существуют bt, ...
п
..., Ьп в А и {ц;й} Si? (i ^ и, к^г), такие, что ah = 2 &;Щь
i=i
г
и 2 ИчЛг=0- Выберем z, g f так, что /(гг)=&г. Определим
/4=1
П
гомоморфизм Q:F-*-F, положив 6 (хак) = хаи— 2 zj.uja Для к ^ г
г=1
и 9(.Га)=0 для а Ф а.^ ..., аг. Тогда / {6 (xKft)} = ah —
П
— 2 bi\iik = O и поэтому 0 (F) <=lK. Окончательно имеем
Г П П Г
9(ц) = и— 2 B ?{щь)%ь = и— 2 2г B ЦгДь) = "-
fe=l i=l i=l ft=l
Тогда из 11.29 следует, что А — плоский модуль . ?
Функториальное доказательство следующего предложения (ис-
(использующее функтор Тог) было дано Колби и Раттером [71, стр.
248]. (Ср. Ленцинг [69].)
11.34. Предложение. Для любого кольца R следующие условия
эквивалентны:
(a) Прямое произведение любого семейства плоских правых R-
модулей является плоским R-модулем.
(b) Прямое произведение любого семейства экземпляров кольца
R является плоским правым R-модулем.
(c) Любой конечно порожденный подмодуль свободного левого
R-модуля конечно связан.
(d) Любой конечно порожденный левый идеал в R конечно связан.
Если эти условия выполнены, то говорят, что R когерентно
слева.
Доказательство, (а) =>- (Ь) тривиально, так как R
является плоским правым ^-модулем.
(Ь) =ф- (с). Пусть G — свободный левый .fl-модуль, и L — ко-
конечно порожденный подмодуль модуля G- Ясно, что мы можем
считать G конечно порожденным и поэтому для некоторого целого
s >>0 отождествить G с левым fl-модулем всех s-строк (Хх, . . ., Ks)
элементов кольца R. Пусть иг, . . ., иг, где uh = (Xhl, . . ., hhs),
порождают L. Рассмотрим свободный левый Л-модуль F с бази-

536
Ч. III. Тензорная алгебра
i
сома^, . . ., хти определим эпиморфизм/: F ->¦ L, положив/ (xh)=\
= uh. Пусть К = кег /, и пусть R{a) — экземпляр кольца R
для каждого а ? К. Рассмотрим правый ^-модуль А = \] i?(a).
Если a = аг (ос) хх-\- . . . +ar (a) xr лежит в К, то аг (ос) иг-\- . . .
г
. . . -\-ат (ос) иг — f (a) = 0 и поэтому 2 аи (а) ^ы = 0 для всех
7 ^ s. Таким образом, полагая ah = {ah (ос)} 6 А для А- = 1, . . ., г,
г
мы получаем, что 2 ah^hj = 0 для / ^ s.
ft=i
По предположению Л — плоский правый ^-модуль. Следова-
Следовательно, существуют Ьи..., Ъп^А и {fiit} g i? (i^. n, k^r),
удовлетворяющие условиям предложения 2.3 (с). Положим
г г
Zj-= 2 V-ihxh^.F для i<^n. Тогда /(z,)= 2 |A;feWfe = 0, так как
fe=i ft=i
г
2 |^гДй; = 0 Для всех 7 ^ s. Следовательно, zd, ..., zn^K. Запи-
fe=i
n
шем b,={bj(a)}, где bt(a)^R. Тогда, поскольку afe= 2
1=1
п
для всех к ^.г, мы легко получаем, что ah (a) = 2 &; (a)
1=1
для к^г и ag/i. Отсюда следует, что ос= 2 afe (a) ж'
й=1
= 2 bi(a)zi. Поэтому zt, ..., zn порождают Z. Этим завер-|
i=i
шается доказательство того, что L конечно связан.
(c) =$>- (d). Тривиально.
(d) => (b). Пусть {i?(a)} — любое семейство экземпляров кольца
R, А = U Д(а\ и предположим, что а^Ч- • • • +аДг = 0, где
ah = №h (а)} ? А и Xh 6 -й, й ^ г. Пусть / — левый идеал в R,
порожденный элементами Хи . . ., Xr, F — свободный левый R-
модуль с базисом хи . . ., хт и /: F ->¦ / — эпиморфизм, опреде-
определенный правилом / (xh) = Хк. Пусть К — ядро эпиморфизма /.
По предположению К конечно связан. Пусть zlt . . ., zn — мно-
жество образующих модуля К. Записав zt = 2 VihXk и полагая!
fe=i
и (а) = аг (а) хг+ . . . +аг (а.) хг, имеем / (и (а)) = аг (a) ^-, ....
. . . +ar (a) Хг — 0. Поэтому существуют Ъг (a) g R, такие, что|
Тензорное произведение и плоские модули
537
П
и (°0 = 2
1=1
Г
2г = 2 (S
ft=l 1=1
Так как
— базис модуля F, то отсюда следует, что ak (a) = 2 bi(a) ущ,,
1=1
п
для всех а и поэтому ah = 2 ^г^гь Для к = 1, . . ., г. Наконец,
1=1
г
2 Kife^ft = / (zt) = 0 Для каждого i ^ и, так как zt g Z. Теперь
fe=i
из 11.33 вытекает, что А плоский.
Доказательство импликации (с) => (а) остается в качестве уп-
упражнения; сошлемся также на Чейза [60, стр. 461]. ?
Мы закончим эту главу применением теоремы из главы 6.
11.35. Предложение (следствие из 6.28).
11.35.1. Если М — (В, А)-бимодуль, то следующие условия
эквивалентны:
(a) НотА (М, ): mod-Л ~* mod-B сохраняет инъективные
модули.
(b) Если Q — наименьший инъективный кообразующий в mod-4,
то HomA (M, Q) инъективен в тоА-В.
(c) Левый сопряженный функтора НотА (М, ) точен.
(d) M — плоский В-модулъ.
11.35.2. Если I — идеал кольца А, то каждый инъективный
правый (А/Г)-модулъ инъективен в mod-A тогда и только тогдаТ
когда АН плоский А-модулъ.
11.35.3. Если В — подколъцо кольца А, то каждый инъектив-
инъективный правый А-модулъ является инъективным правым (канониче-
(каноническим) В-модулем тогда и только тогда, когда А является плоским
как канонический левый В-модулъ. ?
Это дает другое доказательство предложения 5.60, которое
утверждает:
Левый В-модулъ М является плоским тогда и только тогда,
когда модуль характеров Нот (М, Q/Z) модуля М является инъ-
инъективным как канонический правый В-модулъ.
Упражнения к гл. 11
1. Следующие классы колец когерентны слева:
(a) Нётеровы слева.
(b) Полунаследственные слева.
(c) Кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов
от любого числа переменных над любым полем.
(d) Любое факторкольцо RII когерентного слева кольца Rr
если / конечно порожден как левый идеал .
(e) End FR, где F — свободный модуль над когерентным слева
кольцом R.

538
Ч. III. Тензорная алгебра
2. (Чейз [60]). Для любого кольца R следующие утверждения
эквивалентны:
(a) R когерентно слева.
(b) Если / — конечно порожденный левый идеал, то таким же
является левый идеал (/: а) = {г ? R | га 6 1} для каждого а 6 R.
(c) Пересечение двух конечно порожденных левых идеалов
конечно порождено и таким же является @: а) для каждого а ? R.
Если эти условия выполнены, то (/: С) = {г ? R | rC s /} ко-
конечно порожден для любого конечно порожденного левого идеала
/ и конечного подмножества С из R.
* 3. Пусть /: R -*¦ S — морфизм в RINGS. Следующие свой-
свойства эквивалентны: A) R ->- S — эпиморфизм; B) канонический
гомоморфизм S ® S —у S — изоморфизм; C) включение mod-iS ~«-
? является полным вложением.
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули
539
* 4 (Ричман [65]). Коммутативная область целостности полу-
полунаследственна (т. е. прюферова) тогда и только тогда, когда каж-
каждое надкольцо является плоским. (Ср. 11.25.4.) В этом случае
каждое надкольцо полунаследственно.
* 5 (Жантиль [60], Сандомирский [68]). Пусть R — полунас-
полунаследственное справа кольцо. Тогда максимальное правое
кольцо частных R кольца R является плоским левым модулем
над R.' Над антисингулярным справа кольцом при выполнении по-
последнего условия любой конечно порожденный плоский подмо-
подмодуль свободного правого Л-модуля проективен.
6 (Жантиль [60]). Если R — наследственная справа область
целостности, то любой левый .fl-модуль без кручения является
плоским. Обобщить на (антисингулярные справа) наследственные
справа кольца. (Ср. 11.25.4.)
7 (Жантиль [60]). Если R — правая область Оре, то правое
тело частных К кольца R является плоским левым модулем над R.
Кроме того, К является плоским правым ^-модулем тогда и только
тогда, когда К является также левым телом частных кольца R.
Обобщить на полупервичные правые кольца Голди.
* 8 (Басе [60]). Каждый плоский правый ^-модуль проективен
тогда и только тогда, когда R является кольцом с условием мини-
минимальности для главных левых идеалов.
9. Говорят, что кольцо R полупримарно, если i?/rad R клас-
классически полупросто и rad R нильпотентен. (См. гл. 18.) Любое
долупримарное кольцо удовлетворяет условию минимальности
для конечно порожденных правых идеалов. (По симметрии соответ-
соответствующее утверждение верно для конечно порожденных левых
идеалов.)
Таким образом, над полупримарными кольцами, в частности
над артиновыми кольцами, любой плоский модуль проективен.
* 10. Если R — такое кольцо, что i?/rad R классически полу-
полупросто и идемпотенты кольца i?/rad R «поднимаются» (ср. гл. 22),
то любой конечно порожденный плоский модуль проективен.
* 11 (Эндо [62]). Над коммутативной областью целостности
любой конечно порожденный плоский модуль проективен.
(Ср. упр. 15.)
12. Кольцо R является правым IBN-кольцом, если каждое
кольцо матриц Rn, п = 1, 2, . . ., над R конечно по Дедекинду.
Достаточным условием для этого является требование, чтобы Rn
удовлетворяло условию максимальности для главных правых
идеалов. (Если каждый правый идеал кольца R свободен, то это
условие также и необходимо. Ср. Кон [65].) [Указание к доказа-
доказательству: в любом кольце S из соотношений ab = 1 и Ъа =^= 1
следует существование бесконечного множества ортогональных
идемпотентов etj = Ъ1'1 A — Ъа) а}~1 (Джекобсон [50]). [Указа-
[Указание: еиеКч = 8jheiq.]
13. Пусть R = EndB V, где V—бесконечномерное векторное
пространство над телом D. Представим V = Wx ® W2, где И^
и W2 — подпространства, Wx » W2 » V. Итак, V ж V2, и отсюда
заключаем, что R = EndB V ж Л2 = Endp V2. Теперь R2 —
свободный Л-модуль с базисом из четырех элементов. Вывести от-
отсюда,что RmR*, и поэтому R не является ни правым, ни левым
IBN-кольцом.
14. Если R — любая область целостности, не являющаяся
областью Оре, то каждый конечно порожденный ненулевой пра-
правый идеал ее максимального правого кольца частных R изомор-
изоморфен R. Показать, что I « Л2 в mod-i?, поэтому R не является
правым IBN-кольцом.
* 15 (Васконселос [69]). Конечно порожденный идеал / ком-
коммутативного кольца R проективен тогда и только тогда, когда /
плоский и его аннулятор конечно порожден. (Более общим обра-
образом, конечно порожденный плоский модуль М проективен тогда
и только тогда, когда «инвариантные факторы» модуля М конечно
порождены.)

540
Ч. III. Тензорная алгебра
Замечания к гл. 11
Сопряженные функторы и теорему Кана, утверждающую, что
М сопряжен слева к Нотд (М, ), мы обсуждали в гл. 5. Пер-
R
воначально Уитни [44] определил тензорное произведение абеле-
вых групп. Кроме того, старомодным названием тензорного произ-
произведения является кронекерово произведение: «кронекерово» произ-
произведение двух векторных пространств размерностей т и п есть
просто векторное пространство размерности тп. ]
Теорема о слабой глобальной размерности была доказана Ayc-i
лендером [55]: любое кольцо имеет одну и ту же слабую размер-
размерность с обеих сторон. (К тому же над нётеровым справа кольцом
w.gl.dim R =-gl.dim R. См. гл. 8.) Кроме того, класс колец, у кото-
которых w.gl.dim = 0, совпадает с классом регулярных колец A1.24)
(Ауслендер [57] и Харада [56]).
Басе [60] выяснил, когда плоские модули проективны. (См. упр.;
8 и гл. 22.) Лазар [64]1) показал, что каждый плоский модуль,
является прямым пределом направленного множества конечно'
порожденных проективных (на самом деле свободных) модулей
A1.32). Кроме того, Басе [60] выяснил, когда прямой предел проек-
проективных модулей проективен или когда слабая и проективная раз-i
мерности любого модуля совпадают. Чейз [60] выяснил, когда
прямые произведения плоских модулей являются плоскими A1.34) j
и, кроме того, когда произведение проективных модулей проек-
тивно.
Ссылки
Ауслендер [57], Басе [60],Бурбаки[61], Васконселос[69], [70а],
[70Ь], Джекобсон [50], Жантиль [60]," Кан [58], Колби и Раттер
[71]чКон [66, 67], Лазар [64], Левитт [51], Ленцинг [69], Мак-
лейн [66], Раттер [71], Ричмонд [65], Сандомирский [67,68], Уитни
[44], Харада [56], Чейз [60].
Глава 12
ТЕОРЕМЫ МОРИТЫ И ГРУППА ПИКАРА
Теорема Мориты, сформулированная и доказанная в гл. 4, вновь
появляется в этой главе в расширенном и более общем виде, испо-
используемом для определения группы Пикара Pic (mod-4) всех k-лж-
нейных автоэквивалентностей категории тоА-А для произволь-
произвольной алгебры А, а также (в упражнениях к гл. 12) группы Брауэра
коммутативного кольца к.
По теореме Мориты 4.29 любая эквивалентность Т: mod-A «
я* mod-Л представима 4-дуальным модулем Р* = HomA (Р, А),
где Р = ТА. Таким образом, имеет место естественная эквивалент-
эквивалентность функторов
Более того, по ассоциативности сопряженности (см. 11.4) функторы
Нот
Нотв (Р,
А
Р*
!) См. также В. Е. Говоров, Доклады АН СССР, 144 A962), 965—967;
Алгебра и логика, !УA963), № 6, 21 —50.—Прим. перев.
естественно эквивалентны. Отсюда следуют естественные изо-
изоморфизмы
Р® Р*жА и Р* ®Р&В
В А
(А, А)- и (В, 5)-бимодулей соответственно. В этом случае гово-
говорят, что Р и Р* — обратимые (А, В)- и {В, Л)-бимодули соот-
соответственно. Для любой ^-алгебры А группа FickA классов (Р)
обратимых (Р, Р)-бимодулей изоморфна группе Pic (mod-A) при
отображении (Р) н-> РА (см. 12.15).
В гл. 5 мы доказали теорему Попеску — Габриеля 5.70: если
U — образующий в С = mod-Л (или, более общим образом, в кате-
категории Гротендика С) и В = Endc?7, то функтор Т = Morc (U, )
со значениями в категории mod-J9 обладает сопряженным слева
G = ®[/ и
в
GT « 1С.
(На самом деле G — точный функтор, см. 15.26.)

542
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 12. Теоремы Мориты и группа Пикара
543
Из этой теоремы вытекает только что сформулированная тес
рема Мориты. Кроме того, как показано в гл. 15, категория
оказывается эквивалентной факторкатегории mod-5/ker G. Хотя
некоторые теоремы этой главы могут быть получены как след-|
ствия из теорем, отмеченных здесь и доказанных в других частях|
книги, представленные в этой главе доказательства теорем Мори-|
ты не требуют никакого нового аппарата, кроме классическое
теории тензорных произведений (гл. 11), тогда как за большую!
общность теоремы Попеску — Габриеля нужно заплатить теоре-|
тико-категорной подготовкой.
Проективные модули
и образующие над коммутативными кольцами
Когда проективный ^-модуль Р является образующим? Если'
R коммутативно и либо Р конечно порожден, либо R нётерово,
мы получаем, что Р оказывается образующим тогда и только
тогда, когда он точен A2.2). Этот результат дает широкий класс
образующих. К тому же образующими являются и тензорные
произведения образующих A2.4).
12.1. Лемма. Пусть R — коммутативное кольцо, М — конечно
порожденный R-модулъ и А — любой такой идеал в R, что МА =
= М. Тогда М A — а) = 0 для некоторого а ? А.
Доказательство. Если хх, . . ., хп порождают М, то
для некоторых ац 6 A, i, / = 1, . . ., п, откуда
j
для всех i. Тогда xt det F^ — atj) = О1), i = 1, . . ., п, поэтому
М- det (btj — ац) = 0. Ясно, что det F^- — atJ) = 1 — а для неко-
некоторого а ? А. ?
') Действительно, умножая i-e равенство на Ai!t — алгебраическое
дополнение элемента F;^ — aih) — и складывая их вместе, получим 0 =
2
г=1
= 2 B */Fu-«ijMjft)=*fc( 2 F№-e«fc) л
i 1
2
г=1
XAih). Поскольку 2 (s<ft — aik)Alh = det (8и — аа}) (разложение опреде-
7=1
П
лителя по fc-му столбцу )и ^ (&ij~~aii) ^-th — ^ Для всех / Ф к> т0
i=l
хь йеЦ8ц — аи) = 0, k—1, ..., п. — Прим. перее.
12.2. Предложение. Пусть R — коммутативное кольцо и Р —
проективный R-модулъ. Если Р конечно порожден или если R нёте-
нётерово, то tr Р порождается идемпотентом е, a ann P порождается
A — е). Таким образом,
R = tr P © ann P.
При этом Р является образующим категории mod-/? тогда и толь-
только тогда, когда Р точен.
Доказательство. Если Р конечно порожден над
R, то таким же является Р* = HomR (P, R). Поэтому идеал tr P,
порожденный всеми {/ (х) \ х g P, f ? Р*}, конечно порожден.
Итак, в обоих случаях идеал Т = tr P конечно порожден. По 3.30
РТ = Р и Т2 = Т. Полагая в лемме М = Т, имеем Т A — е) =
= 0 для некоторого е ? Т. Таким образом, е A — е) = 0, откуда
е = е2 и Т = Те. Это доказывает, что Т = eR. Теперь Р A —
— е) = РТ A — е) = 0, откуда ann Р э A — е) R, после чего
ясно, что ann Р = A — е) R. Это доказывает, что R = tr Р ф
© ann P. Кроме того, Р является образующим тогда и только
тогда, когда tr Р = R, и, следовательно, тогда и только тогда,
когда ann P = 0. Это завершает доказательство. ?
12.3. Следствие. Пусть R — коммутативное кольцо.
12.3.1. Модуль Р является прообразующим тогда и только
тогда, когда Р конечно порожден, проективен и точен.
12.3.2. Если R не содержит отличных от Owl идемпотентов,
то каждый ненулевой конечно порожденный проективный R-модулъ
является образующим.
12.3.3. Если R нётерово, то любой точный проективный модуль
является образующим в mod-i?. ?
12.4. Предложение. Пусть Р и Q — модули над коммутатив-
коммутативным кольцом R. Тогда Р <8> Q конечно порожден, проективен и точен
R
над R (т. е. является прообразующим) в том и только том случае,
когда такими являются Р и Q.
Доказательство (Басе). По следствию 12.3 модуль
над коммутативным кольцом является прообразующим тогда и толь-
только тогда, когда он конечно порожден, проективен и точен. Если
Р и Q — прообразующие, то Рп т R © А, Qm « R ® В для под-
подходящих целых пяти Л-модулей А и В. Тогда, ввиду аддитив-
аддитивности функторов, имеющих сопряженный (см. 5.48), модуль

544
Ч. III. Тензорная алгебра
содержит R в качестве прямого слагаемого. Следовательно, по 3.261
Р ® Q — образующий. Так как в силу 11.16 Р ® Q проективен,,!
R Я
то заключаем, что Р <8> Q — прообразующий.
л
Обратно, предположим, что Р <8> Q = G — прообразующий. 1
л •
Тогда Р точен, поскольку точен G. Далее, G = Р ® Q конечно'
я
порожден, скажем порождается элементами {xt ® qt \ i = 1, ...
v
. . ., р} и поэтому G — 2 (xt ® (?)• Пусть F — свободный R-
г=1
модуль с р образующими. Если /: F —у Р — гомоморфизм R-шо-1
дулей, переводящий образующие в элементы хх, . . ., хр, то /®
<8> 1<Э : F<8>()->-P<8>() = G — эпиморфизм. Он расщепляется,
так как G проективен. Следовательно, отображение /® 1q®p:
F <8> <? <8> P ->- Р <8> Q ® Р сюръективно и расщепляется. Таким
образом,
Гл. 12. Теоремы Мориты и группа Пикара
545
Определение отображений ( , ) и [ , ]
Пусть Р есть R-модуль, а 5 = End PH. Тензорное произведение
р* ® Р является естественным (.й,.й)-бимодулем: если г, г' 6 ^
s
х (: Р, У € Р*, то г (г/ ® х) г' = (ry) ® (ат'). Имеет место есте-
естественное (R, .#)-бимодульное отображение Р* ® Р -+ R, обоз-
s
начаемое через ( , ) и определяемое правилом
( , ): 2"*® я*"*2 "*(**)•
[Здесь мг g P*, xt g P и иг (яг) — значение мг на xt и по этой при-
причине ( , ) называется вычисляющим отображением.] Если г, г' ?
п
6 R И 2 Щ ® Z; 6 Р* ® Р, ТО
1 S
изоморфно прямому слагаемому модуля
Поскольку в силу первой части предложения F ® G — прообра-1
R *
зующий, заключаем, что Р <8> G конечно порожден и проективен. ¦;
д
Так как G — образующий, то Gn та R ф А для подходящих цело
го числа п и модуля А. Тогда (Р ® G)n2 также проективен и
в
(Р
(Рг
А)
Итак, Р1" изоморфен прямому слагаемому конечно порожденного .
проективного R -модуля (Р ® G). Поэтому Рп, а следова-
я \
тельно, и Р конечно порожден и проективен. Таким \
образом, мы доказали, что Р конечно порожден, проективен и точен,;
т. е. Р — прообразующий. ?
12.5. Следствие. Если Р и Q — модули над коммутативным |
кольцом R, такие, что Р <8> Q « Rn для некоторого п > 0, то Р \
в \
и Q оба конечно порождены, проективны и точны (т. е. являются'
прообразующими). ?
На самом деле для любого конечно порожденного точного про-)
ективного модуля Р существует <?, указанное в 12.5. (См. Басе 5
[67, стр. 37].)
1
Поэтому ( , ) является, как и утверждалось, (R, .^-гомомор-
.^-гомоморфизмом.
Если и ? Р*, х ? Р, то определен элемент [я, м] 6 «S = End PR,
такой, что
A)
[х, и] (у) = х-и (у) = х (и, у)
для всех у 6 Р- Так как ы (j/) g R, то я- и (г/) ? Р. Поэтому соот-
соответствие у—*-х-и(у), действительно, определяет элемент [х, и]
кольца S = End PR. Кроме того, непосредственно проверяется,
что отображение
п
2
Щ
(где 2,- ? Р, ut ? Р*, i = l, . . ., и) является E, 5)-гомоморфиз-
мом E, 5)-бимодуля Р ® Р* в S. Тогда, как уже проверялось
л
при доказательстве предложения 4.1, имеет место равенство
B) g [x, f]=.g{x)f = (g, x) f
Для всех g, f ? Р* я х ? Р.
3 5 К. Фейо

546
Ч. III. Тензорная алгебра
Ситуация эквивалентности
Ситуация предэквивалентности (А, В, Р, Q, /, g) состоит!
из А-алгебр А и В, бимодулей АРви bQa^ бимодульных гомоморф
физмов
¦А,
f:P®Q-
в
g:Q®P-
А
¦в,
таких, что, полагая / (р <8> q) = pq и g (g <8> p) = qp, получаем|
закон ассоциативности
(!') (Р?) Р' = Р (ЯР*)*
B') {qp) q' =q (pq')
для всех р, р' ? Р, q, q' ? (). Если / и g — изоморфизмы, то {А
В, Р, О, /, g) называется ситуацией эквивалентности.
12.6. Предложение. Пусть Р — R-модулъ и Р* — HomR (P, R).
Тогда
(End PB, R, Р, Р* [ , ], ( , ))
— ситуация предэквивалентности.
Доказательство. Здесь / = [ , ], g = ( , ), О =
= Р*, pq — [р, q] и qp = (q, p) = q (p). Тогда (i') суть тожде-
тождества (i), i = l, 2, определенные в предыдущем параграфе. ?
12.7. Предложение. Пусть (А, В, Р, О, /, g) — ситуация
предэквивалентности. Если f сюръективно, то
12.7.1 / — изоморфизм.
12.7.2. Р и О — образующие категории А-модулей.
12.7.3. Р и Q — конечно порожденные и проективные В-модули.
12.7.4. g индуцирует бимодулъные изоморфизмы
Р да Нотв «?, В), Q да Нотв (Р, В).
12.7.5. Отображения гомотетии k-алгебр (см. стр. 162)
A-+EndPB,
А ->- EndB<2
— изоморфизмы.
Доказательство. Так как / сюръективно, мы можем
Гл. 12. Теоремы Мориты и группа Пикара
547
записать
(*)
2
1=1
Доказательство 12.7.1. Если S\ p] ® qj gker /,
то
2
= 2 (л: (?^г))
= 2 (w'»f) B
= 2 Pi
?«= 2
}, i
=° (так
как
'»'=0)-
Доказательство 12.7.2. Пусть ht: P -*¦ A — гомо-
гомоморфизм 4-модулей, определенный правилом /гг {р) = pqt, i =
= 1, . . ., п. Тогда ( * ) влечет за собой сюръективность отобра-
отображения (hi® . . . ®hn) из копроизведения Р"в4. Поэтому, ввиду
3.26, АР — образующий. Для ОА доказательство аналогично.
Доказательство 12.7.3 следует из 4.1.2 или 7.3.
Доказательство 12.7.4. Отображение g индуцирует
(А, 5)-бимодульный гомоморфизм
h: Р^Иотв «?, В),
h (p) (q) = qp.
(Заметим, что здесь мы отказываемся от нашего соглашения запи-
записывать отображения и скаляры с разных сторон.)
Если h (р) = 0, то
/> = 2 (ря«)р = 2 ptiqtp) = 2 л о = о.
i=l i=l i=l
Если f:Q-*-B — гомоморфизм S-модулей, то
= / B
г
=f B
i
= 2
г
Поэтому
т. е. / сюръективно и, следовательно, изоморфизм. Аналогично,
Q « Нотв(Р, В).
Доказательство 12.7.5 аналогично доказательству
12.7.4. ?
12.8. Следствие. Пусть Р есть R-модулъ, S = End Рв и Р* —
= HomR (P, R).
(a) (R, R)-гoмoмopфuзм ( , ): Р* ® Р -*¦ R сюръективен
s
тогда и только тогда, когда PR является образующим в mod-i?.
35*

548
Ч. III. Тензорная алгебра
В этом случае [ , ] — изоморфизм,
« End SP и RP* — образующий.
(b) (S, S)-zoMOMop0u3M [ , ]: P
P% » Homs (P, S), R
<8> P* ->- S сюръективей
тогда и только тогда, когда Рв конечно порожден и проектиеещ
В этом случае [ , ] — изоморфизм, S да EndRP* и SP — обра-i
зующип в 5-mod.
(с) (S, R, Р, Р*, [ , ], ( , )) — ситуация эквивалент*
сти тогда и только тогда, когда PR — конечно порожденный прое
тивный образующий (прообразующий).
Доказательство, (с) следует из (а), (Ь) и 12.6. Kpoi
того, доказанное предложение вместе с 12.6 дает импликацию =
в утверждениях (а) и (Ь) и указанные в них кольцевые изомор-1
физмы. (Ср. также 4.1 и 7.3.) I
(a) Если PR — образующий, то tvRP = R по 3.26, но trRP —\
образ отображения ( , ), поэтому ( , ) сюръективно.
(b) По лемме о дуальном базисе 3.23 Р конечно порожден!
и проективен тогда и только тогда, когда существуют конечное!
число элементов Ху, . . ., хп ? Р и соответствующие им элементы!
их, . . ., ип ? Р*, такие, что
для всех
или, эквивалентно,
A — единица кольца S). Последнее условие выполняется для
некоторого набора х( ? Р, ut 6 Р* тогда и только тогда, когда
[ , ] — эпиморфизм. П
12.9. Предложение (Эйленберг — Уотс). Пусть А и В суть
k-алгебры и АМв и AN в — бимодули.
12.9.1. Если /: М -*¦ N есть (А, В)-бимодулъный гомоморфизм,
то определено естественное преобразование®/: 0 М -*¦ ® N функто-
А А А
ров, где (<8>/) (Р) = 1Р®/ для каждого Р g Obj mod-Л.
А А
12.9.2. Если f: M-*¦ N есть (А, В)-бимодулъный изоморфизм,
то <8>/ — естественная эквивалентность k-линейных функторов.
12.9.3. Два функтора <8>М и <8>N из mod-A в mod-5 естественно
А А
эквивалентны, тогда и только тогда, когда аМв я& ANB как бимо-\
дули.
Гл. 12. Теоремы Мориты. и группа Пикара
549
12.9.4. Соответствие М *-+®М индуцирует биекцию между
А
.множеством классов изоморфных (А, В)-бимодулей и множеством
классов естественно эквивалентных непрерывных справа к-линей-
пых функторов mod-A ~* mod-J5. Если С — еще одна к-алгебра,
то в ситуации АМв, BNC функтор
® (М ® N):vaod-A
а в
естественно эквивалентен функтору
mod-C
N)
М): mod-A ~+ mod-C
Доказательство. 12.9.1—12.9.3 следуют из теоремы
2.3 Йонеды (ср. 6.20 и 6.21) или могут быть проверены непосред-
непосредственно. По 5.53 и 5.54 любой непрерывный справа функтор S
из mod-A в mod-5 сопряжен слева представимому функтору h •
По 5.3 два таких функтора Sx и S2 эквивалентны тогда и только
тогда, когда №A » hs^A. В этом случае по теореме 2.3 Йонеды
правые 5-модули SXA и SZA изоморфны, и этот изоморфизм,
очевидно, является (А, Л)-бимодульным гомоморфизмом. До сих
пор нигде в рассуждении не говорилось о к-линейности функторов,
но эта часть утверждения 12.9.4 очевидна. (Ср. 5.72.4 и 5.72.5.)
Это доказывает 12.9.4, за исключением последнего утверждения,
которое следует из формулы
(® N) о (® М) (Р) = (® <N) (Р ® М) =
В А В А
= (Р ® М) ® N да
А В
А В
= ® (М ® N) {Р). ?
А В
12.10 (Морита I). Пусть (А, В, Р, Q, /, g) — ситуация экви-
эквивалентности, например пусть Р в — прообразующий, А = End.PB,
/ = [ , ], g = ( , ). (См. 12.8.) Тогда
12.10.1.
i Q: mod-5 ~» mod-A
i P: mod-A ~* mod-5

550
Ч. III. Тензорная алгебра
— взаимно обратные эквивалентности категорий. Взаимно обрат~ъ
ными эквивалентностями являются также
Q ®: Л-mod
А
Р ®: B-mod
в
B-mod
A-mod.
12.10.2. Р и Q являются прообразующими как А- и как В-мо-
дули.
12.10.3. fug индуцируют бимодулъные изоморфизмы
Р «»HomB (Q, В) ж НотА (<?, А),
Q х НотА (Р, А) » Нотв (Q, В).
12.10.4. Все гомоморфизмы к-алгебр
EndPB -<r-A -+EndBQ,
EndAP -+-В-+ End(?A,
индуцированные соответствующими каноническими отображениями '
являются изоморфизмами.
12.10.5. Кольца эндоморфизмов бимодулей А, В, Р, Q изо-'
морфны центрам колец А, В и категорий mod-Л, mod-B соот-
соответственно.
12.10.6. Соответствие С >-*¦ СР л; С <8> Р является изоморфиз-
А
мом структуры правых идеалов кольца А на структуру В-подмо-
дулей модуля Р, причем идеалам кольца А соответствуют (А, В)-
биподмодули бимодуля Р. Аналогичные утверждения относительно'
других структурных изоморфизмов следуют из соображений сим-
симметрии. В частности, структуры идеалов колец А и В изоморфны.
(Ср. 4.7:)
Доказательство 12.10.1. Так как по 12.7 Q да
даНотв (Р,В) иР« НотА((?, А), то в силу 12.8 имеем бимодуль-j
ные изоморфизмы
Гл. 12. Теоремы, Моритя и группа Пикара
551
Q &P
А
B и Р
А.
Таким образом, из 12.9 следует эквивалентность функторов
V 0 В Л; lmod-B»
® (Q ®
В А
Аналогично,
Поэтому <8> Q и <8>
в а
(<8> Q) ° (<8> Р) ^ lmod-A.
В А
Р — взаимно обратные эквивалентности.
Доказательство 12.10.2, 12.10.3 и 12.10.4 непосред-
непосредственно вытекает из 12.7.
Доказательство 12.10.5. Имеем изоморфизмы
(А) да Нот(А, А) (А, А) _> Нот(А, ю (Р, Р),
(А) да Ношш, „(В, В)
(А, В)
(Р, Р).
Аналогичные изоморфизмы имеют место для модуля Q. Из этих
изоморфизмов и из 4.34 следует 12.10.5.
Доказательство 12.10.6. Так как Р проективен, то
каноническое отображение С ® Р -> СР — изоморфизм (см.
А
11.20). Поскольку <8> Р: mod-Л ^* mod-5 — эквивалентность, то
А
отображение С >-*• СР является искомым структурным изоморфиз-
изоморфизмом, при котором вполне инвариантные 4-подмодули, т. е.
идеалы кольца А, соответствуют вполне инвариантным В-подмо-
дулям модуля Р, которыми в силу 12.10.4 являются его (А, В)-
подмодули. ?
12.11. Утверждение. Для ситуации эквивалентности (S, R, Р,
Р*> 1 1 1> ( » )) доказанное предложение дает эквивалентность
® Р*: mod-i? ~* mod-5
в
Поскольку существует естественная эквивалентность функторов
$у Р* жНотЕ(Р, ), последний функтор тоже является эквива-
R
лентностью с функтором Homs (P*, ) в качестве обратного.
Вторая и третья теоремы Мориты
Вторая теорема Мориты показывает, что все категорные эквива-
эквивалентности mod-Л ~* mod-B возникают из ситуаций эквивалентно-
эквивалентности. Понятие ^-линейных эквивалентностей было введено ранее в
-3.72. (Ср. 5.72.4 и 5.72.5.)
12.12 (Морита II). Пусть А и В суть k-алгебры и
G: mod-A ~* mod-B,
Н: mod-B — mod-A
— взаимно обратные к-линейные эквивалентности. Положим Р =
= GA, Q = НВ. Тогда Р есть (А, В)-бимодулъ, a Q есть (В, А)-
Ъимодулъ. Более того:

552
Ч. III. Тензорная алгебра
ров
мы
12.12.1. Имеют место естественные эквивалентности функто
G&® Р и Яда ® <?.
А В
12.12.2. Существуют изоморфизмы бимодулей
f:P®Q-+A и g:Q ® P-+B.
в а
12.12.3. fug могут быть выбраны таким образом, что диаграм-]
В А
где правые и нижние стрелки — канонические отображения, ком-
коммутативны.
Доказательство 12.12.1 и 12.12.2 воспроизведите
в качестве упражнения или (если необходимо) обратитесь к дока-
доказательству предложения 4.29.
Доказательство 12.12.3. Все отображения, обозна-
обозначенные на диаграммах, являются бимодульными изоморфизмами.
Если а: Л <8> Р ->- .Р и Ъ: Р <8> В -*¦ Р — канонические отобра-
а в
женин, то существует (А, Л)-автоморфизм и бимодуля Р, такой,
что
Ъ A ® g) = иа (/ ® 1).
Таким образом, u?EndPB?aA, поэтому можно считать, что
и — элемент кольца А и, следовательно, обратимый элемент в А.
Так как и — также и .4-гомоморфизм модуля Р и АР точен, то и
принадлежит центру кольца А. Поскольку иа = а (ы8® 1Р), то
первый квадрат становится коммутативным, если в нем заменить
/ на uf. Далее запишем
f(p ® д) =рд и g(q® p)
ЯР
для всех р ? Р, q ? Q. Тогда (pq) р'= р (qpr) для всех р, р'? Р,
q ?Q. Нам нужно доказать, что (qp) q'= q (pq') для всех g'€ Q.
Гл. 12. Теоремы Мориты и группа Пикара
553
Имеем
({ЯР) я') р'— (ЯР) (q'p') (S — гомоморфизм левых 5-модулей) =
— Я(р(я'р')) (g — гомоморфизм правых Б-модулей) =
— Я((РЯ')р') (по уже доказанному) =
— (Я (РЯ')) Р' (Я ® аР = Яа ® Р Для всех а € А)-'.
Следовательно, если положить d = (qp) q'— q (pq'), то dp' = 0
для всех р'? Р. Пусть h: A ->- Q определяется формулой h (a) =
= da. Тогда произведение гомоморфизмов h ® lf>: A ® P —>-
A A
-*- Q ® P и g равно нулю. Так как g — изоморфизм, то h ® 1P= 0.
А
Поскольку функтор ® Р вполне унивалентен, то h — 0, откуда
d == 0. П
12.13. Определение и предложение. Бимодуль АМВ называется
обратимым, если он удовлетворяет следующим эквивалентным
условиям:
(a) Функтор ® Л/: mod-4 -^-mod-i? является эквивалентностью.
А
(b) Существуют бимодуль BNA и бимодульные изоморфизмы
М ® N ж А и N ® М « 5.
В А
(c) Функтор М ® : mod-5 ~> mod-4 является эквивалент-
эквивалент(Ь). Если Н =®М — экви-
I
ностъю.
Доказательство, (а)
А
валентность, то существует функтор G: mod-5 ~* mod-A, такой,
что HG да lmod-A и GH да lmod-B- Из предыдущего предложения
следует, что G = ®N для некоторого бимодуля BNА. Далее в силу
в
того же предложения любой функтор Q: mod-A ~* mod-A, естест-
естественно эквивалентный функтору lmod-A, естественно эквивалентен
функтору ®А. Итак,
А
HG л; ® (М ® N) « ® А,
А В А
поэтому по 12.9.3 мы получаем изоморфизм бимодулей М ® N ж
в
да А. Аналогично, N ® М да В, Это доказывает импликацию
А
(а) =ф- (Ь). Импликация (Ь) =>- (а) устанавливается осуществлением
шагов доказательства в обратном порядке. Поскольку (Ь) право-
лево симметрично, это завершает доказательство. ?

554
Ч. III. Тензорная алгебра
12.14 (Морита III). Если А и В суть k-алгебры, то соответствие
Р у-*®Р является биещией между множеством классов изоморфных
обратимых (А, В)-бимодулей и множеством классов естественно
эквивалентных k-линейных эквивалентностей из mod-4 в mod-5.
Доказательство. Это непосредственно вытекает из
предыдущего определения, 12.12 и 12.9. Хотя из них никак не
следует /с-линейность функторов, тем не менее, ввиду того, что
В = End PA, возникающие функторы автоматически /с-линейны.
(См. 5.72.4, 5.72.5.) ?
Автоэквивалентности и группа Пикара
Если к — коммутативное кольцо и Jk есть ^-линейная абелева
категория1), то
обозначает группу классов изоморфных /с-линейных эквивалент-
эквивалентностей 2) Т: -А ~ Jh. Таким образом, если S: Jb ~* Л — другая
^-линейная эквивалентность, то S = Т в Y'\<thJb тогда и только
тогда, когда существует естественная эквивалентность h: S ->- Т
функторов. S ж Т. Групповой операцией является композиция функ-
функторов.
Если А — некоторая ^-алгебра, то определим
как группу классов (Р) изоморфных (А, А)-модулей относительно
операции ^
(Р) «?) = (Р ® Q).
А
Из 12.9 и 12.14 следует, что PichA действительно является группой
относительно этой операции и (Р)-1=(Н.отаА(Р, А)). [В определе-
определении НотА(Р, А) может быть использована структура как левых,
так и правых Л-модулей.]
Следующее предложение вытекает из 12.9 и 12.14:
г) То есть категория, где Мог (А, В) есть ft-модуль для любых объектов
А и В.— Прим. перев.
2) Определялись перед 5.72. Если пренебречь «размерами», то центр С
абелевой категории ^ является кольцом. Если С есть й-алгебра, то Мог ЛХ,
Y) для любых объектов X и У канонически превращается в й-модуль. Тогда
А-линейная эквивалентность Т характеризуется тем, что индуцированный
гомоморфизм (X, Y)-*¦ (ТХ, TY) является /с-линейным преобразованием.
Гл. 12. Теоремы Мориты и группа Пикара
555
12.15. Предложение. Пусть А есть к-алгебра. Функторы
' (Р)^Р®
А
FichA ~* Pic (A-mod)
и
( Pic (A-mod) ~* PickA
{ T^-TA
являются взаимно обратными эквивалентностями. ?
Пусть А — алгебра над к. Ее изоморфизмы на себя образуют
группу относительно операции умножения отображений. Эта
группа обозначается через Auth4, а ее элементы называются авто-
автоморфизмами. Автоморфизм / называется внутренним, если сущест-
существует такой обратимый элемент х ? А, что / (а) = х~1ах для всех
а ? А. В этом случае говорят, что / — внутренний автоморфизм,
определяемый (или реализуемый) элементом х. Множество внутрен-
внутренних автоморфизмов является нормальной подгруппой группы
AuthA и обозначается через InAutfe.4.
Пусть Р — обратимый (А, 4)-бимодуль. Если а, {$ ? Aut^A —
автоморфизмы /с-алгебры, то определим (А, А)-бимодуль
а-Рр»
полагая
а-р'Ъ —a (a) p(J (b)
для всех а, Ъ 6 А, р ? Р. Таким образом, iPx= P.
Если /: Р -v Q — изоморфизм левых А-шодулей, где (Р), (Q) ?
6 PicfeА, и если а ? А, то отображение
Р-+Р
является элементом из НотА(дР, АР) = А. Обозначим его через
а (а). Итак,
(ра (а)) / = (р) fa для всех р ? Р.
Отображение а *-*¦ а (а) является автоморфизмом а алгебры А
(а ? Autfe^), a отображение /: iPa^- Q — бимодульным изомор-
изоморфизмом.
12.16. Лемма. Если а, {$, 7 6 AutfeA, то существуют следующие
бимодулъные изоморфизмы:
12.16.1. аАьъУаАп.
12.16.2. хЛ.ОАхЛрячЛ.,».
12.16.3. tAa « iAj<^> a 6 l
12.16.4. Если (Р) P
торого а ? Autfe4.
^ 6 V
Picfe А и АР « АА, то Р «i Aa для неко-

неко556
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 12. Теоремы Мориты и группа Пикара
557
Доказательство 12.16.1. Отображение
(х)
является требуемым (А, 4)-бимодульным изоморфизмом.
Доказательство 12.16.2. По 12.16.1
Доказательство 12.16.3. Если /: i4a-»-i-<4i — изо-
изоморфизм бимодулей, то, рассматривая его как отображение левых
Л-модулей, получаем, что / (х) = хи, где / A) = и — обратимый
элемент кольца А. К тому же
a (a) и = a (a) / A) = / (a (a) 1) = / A -a) = ua.
Поэтому a (a) = uau-1 для всех а ? А и а ? InAutfe4. Обратно,
если a (a) = uau-1, то имеет место изоморфизм бимодулей/: i4a->
—¦чДх, который переводит # в яи для всех х ? 4.
Доказательство 12.16.4. Это уже было доказано в
абзаце, непосредственно предшествующем лемме. D
12.17. Предложение. Пусть А есть k-алгебра, Q—левый А-прооб-
разующий и кольцо В = EndAQ рассматривается как к-алгебра.
Тогда имеет место точная последовательность
A)
где
im<pQ = {(P)
VickA\P ® Q
А
Q как левые А-модули).
Доказательство . Предположим сначала, что Q = А.
Тогда В = А, и мы положим ц>А(а) — гАа для всех a g Autfe4.
По лемме 12.16 фА: Autft A —*¦ Picft А является гомоморфизмом
с ядром InAutfe4, а образ im фА имеет вид, описанный в формули-
формулировке.
В общем случае по 12.10 функтор Т = HomA (Q, ) ж Q*<S> Аг)
является эквивалентностью Л-mod ~> J5-mod, где В = TQ и
Q*= HomA (Q, А). Эквивалентность Т индуцирует изоморфизм
Picft (A-mod) ->- Picft (i?-mod), который в силу 12.15 определяет
изоморфизм
г) Функторы HomA (Q, ) и <?*?>)а естественно эквивалентны в силу
упр. 11.19.1.— Прим. перев.
Пусть фд: Aut kB —у Picfe A —произведение отображений
AnthB
ft-l
PichB —> FichA.
Точность последовательности A) вытекает из ее точности в част-
частном случае, когда Q = А. К тому же если (Р) ? VichA, то Р <8> AQtt
« Q, как левые 4-модули тогда и только тогда, когда Q*® АР <8>
® aQ ^ <?*® aQ как левые 2?-модули. Так как по 12.14 Q*® AQ «
« В как (В, 5)-бимодули, то второе утверждение предложения
также вытекает из этого частного случая. ?
12.18. Предложение. Если А есть к-алгебра с центром С, то
имеет место точная последовательность
0 -> Picc А ->- Picfe А -*¦ Aut hC.
Если А коммутативна, то последовательность
0 -+¦ PicAA ->- PickA ->- Autft A ->- 1
точна и расщепляется.
Доказательство. Пусть Р — обратимый {А, 4)-бимо-
дуль и if С. Поскольку р *-> pt — эндоморфизм бимодуля Р, то,
ввиду 12.10.4 и 12.13, существует aP(t) ? С, такое, что aP(t) р — pt
для всехр ? Р. Так как Хр = рЯ для всех % ? к, то aP(tX) = aPB) Я,
для всех X 6 А. Ясно, что отображение
является эндоморфизмом алгебры.
Если р ® g6Р ® (? и ??С, то
А
(jo
откуда
Так как aA = lc, отсюда следует
A
(=aP*aP).
A
Тем самым доказано, что аР — обратимый элемент в EndftC, т. е.
ap?AutftC Заметим далее, что аР = аР- для всех Р'6 (Р). Действи-
Действительно, если р >-*р' есть (А, Л)-бимодульный изоморфизм Р -*¦ Р'
и t ? С, то равенство
p't = (pt)' = (aP@ p)' = aP@ p'

558
Ч. III. Тензорная алгебра
показывает, что оср< (t) — аР (i). Отсюда следует, что
Г PiCft.4 -> AutfeC
является отображением, которое, ввиду aPaq = ap®Q, есть
А
гомоморфизм. Если (Р) —элемент ядра этого гомоморфизма, т. е.
если аР = 1С, то tp — pt для всех t ? С, р ? Р, откуда (Р) ?
6 Picc А. Обратно, если (Р) 6 Picc4,To (Р) ? Pic kA и аР = 1С.
Таким образом, первая последовательность, указанная в форму-
формулировке, точна. Если А коммутативна, то отображение а н-> tAa
из предложения 12.16 дает требуемое расщепление Aut kA -*- Picfe^.
В следующих примерах под (прюферовой) дедекиндовой обла-
областью понимается коммутативная (полу)наследственная область
целостности.
12.19. Примеры.
12.19.1. Если к— прюферова область, то Pickk изоморфна
группе классов идеалов кольца к, ввиду следующего соображения.
(Группа классов идеалов — это группа классов изоморфных обра-
обратимых идеалов кольца к. Она изоморфна факторгруппе мульти-
мультипликативной группы поля частных кольца к по подгруппе обра-
обратимых элементов кольца к.) Если (Р) ? Pichk, то к = End Ph;
поэтому Р — неразложимый конечно порожденный проективный
^-модуль. Так как к — прюферова область и, следовательно,
полунаследственна, то каждый проективный ^-модуль изоморфен
прямой сумме идеалов кольца к. Таким образом, (Р) = (Р') для
некоторого обратимого идеала Р'.
12.19.2. Пусть А — кольцо (алгебраических) целых чисел в
поле алгебраических чисел К. (Полем алгебраических чисел назы-
называется конечное расширение поля Q-.) Пусть G = G (K/d) обозна-
обозначает группу автоморфизмов поля К, оставляющих неподвижными
элементы поля Q,1). Каждый автоморфизм / из G индуцирует авто-
автоморфизм /' кольца А, который оставляет неподвижными элементы
кольца Z. Итак, /' ? Ant-^A и, обратно, каждый g 6 Aut-^A имеет
единственное расширение h ? G (K/Gl). Короче говоря, отображе-
отображение /(-*•/' является изоморфизмом групп G (К/Щ и Aut-^A. Так
как А — дедекиндова область, то из первого примера следует, что
PicA А — группа классов идеалов кольца А. По предложению
12.18 Pic^ A » Aut^ A ® PicA.A. Заметим, что PicA.4 конечна
(ввиду конечности числа классов) и является также группой авто-
эквивалентностей категории A-mod.
г) Заметим, что любой автоморфизм поля К оставляет неподвижными
элементы поля Q,.— Прим. перев.
Гл. 12. Теоремы Мориты и группа Пикара
559
Упражнения к гл. 12
1. Кольцо R является кообразующим в mod-i? тогда и только
тогда, когда каждый правый ^-модуль полурефлексивен. В этом
случае каждый правый идеал кольца R является правым аннуля-
торным идеалом.
*2. Если R — коммутативная область целостности, то ненуле-
ненулевой правый идеал / проективен в том и только том случае, когда
/ — образующий. В этом случае / обязательно конечно порожден,
а каноническое отображение R -> End IR — изоморфизм. Вывести
отсюда, что дедекиндова область нётерова.
3. Описать все образующие для различных колец, например
для простого кольца. Показать, что если R является кольцом,
в котором каждый ненулевой правый идеал — образующий, то
R — первичное кольцо. (Если R к тому же коммутативно, то каж-
каждый правый идеал кольца R проективен, т. е. R наследственно.)
*4. Доказать последнее утверждение с помощью 12.5.
*5 (Морита [58], Адзумая [59]). Дуализировать теоремы Мориты
об эквивалентности категорий mod-A ~* mod-J5. Сначала заметить,
что не существует двойственности mod-A ~+ i?-mod ни для каких
колец А и В. Затем найти условия на абелевы подкатегории о5°А
категории mod-Л и вс5° категории i?-mod, содержащие в качестве
своих объектов А и В соответственно, необходимые и достаточные
для существования двойственности D: <УА ~* В<$Р. Показать,
что тогда в любой точной последовательности 0—*¦ X —*¦ Y —*- Z —*¦ О
в mod-A модуль Y 6 <Уа в том и только том случае, когда X ? о5°л
и Z 6 <?а- Кроме того, показать, что U = D (А) — такой (В, А)-
бимодуль, что контравариантный основной функтор hv: mod-A ~*
~ i?-mod индуцирует двойственность D и аналогично для D-1.
Показать, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
(В, 4)-бимодуль U индуцировал двойственность, состоит в том,
чтобы U был инъективным кообразующим в обоих категориях
mod-A и 5-mod iB« End UA, A « EndB U. Такая двойствен-
двойственность называется [/-двойственностью. Показать, что условие на
А ж В, необходимое для существования такой двойственности,
заключается в том, чтобы оба кольца были полулокальными коль-
кольцами, в которых идемпотенты поднимаются по модулю радикала.
[Или, что, ввиду гл. 22, эквивалентно, каждый конечно порожден-
порожденный модуль (с каждой стороны и над каждым из колец А и В)
имеет проективное накрытие.] Заключить, что не каждое кольцо
А может обладать двойственностью в описанном смысле. Кроме
того, если А артиново справа, то показать, что В артиново слева
и U конечно порожден в обеих категориях. Заключить, что необ-

560
Ч. IIJ. Тензорная алгебра
ходимое и достаточное условие для существования 4-двойствен-]
ности состоит в том, чтобы А был инъективным кообразующим в|
mod-4 и A-mod. Для того чтобы артиново справа кольцо А обла- \
дало А -двойственностью, необходимо и достаточно, чтобы каждый I
правый и каждый левый идеалы являлись аннуляторными. [Такое
кольцо А называется квазифробениусовым (QF).]
*6 (Икеда [52] и Эйленберг — Накаяма 155J). Для того чтобы
А было QF-кольцом, необходимо и достаточно, чтобы А было
самоинъективно справа и нётерово справа или слева. (Ср. Фейс
[66а, стр. 182].)
*7 (Коннел [63]). Групповое кольцо AG конечной группы G
над QF-кольцом А является QF-кольцом.
*8. Если А — конечномерная алгебра над полем к и U =
= Homfe (А, к), то А обладает [/-двойственностью из категории
конечно порожденных правых 4-модулей в категорию конечно
порожденных левых 4-модулей.
*9 (Адзумая [59], Морита [58]). Любой неразложимый инъектив-
ный модуль над коммутативным артиновым кольцом А конечно
порожден. Вывести отсюда, что над А существует конечно порож-
порожденный инъективный кообразующий U и, следовательно, А обла-
обладает [/-двойственностью.
*10 (Морита [58]). Над артиновым коммутативным кольцом
имеет место биекция между множеством классов естественно экви-
эквивалентных двойственностей mod-A ~* mod-A и множеством авто-
автоморфизмов кольца А порядка ^2. Если С/и W — правые Л-модули,
определяющие U- и W-двойственности соответственно, то сущест-
существует автоморфизм d кольца А порядка ^2 и изоморфизм / аддитив-
аддитивных групп U -*¦ W, такой, что / (иа) = / (и) d (а) для всех и ? U,
а ? А. (Такое отображение называется полулинейным преобра-
преобразованием. См. гл. 23 и прежде всего 23.34.)
Замечания к гл. 12
Как указывалось во введении, большая часть материала этой
главы заимствована из работ Басса [67], [68], который при изложе-
изложении теорем Мориты выражает признательность Чейзу и Шануэлю
(Басе [67, стр. 48]).
Основные результаты об образующих в категории mod-Л заим-
заимствованы из работ Адзумаи [51], [66], Ауслендера — Голдмана [60]
и Мориты [58]. По упражнениям, касающимся двойственности
Гл. 12. Теоремы Мориты и группа Пакара
561
и QF-колец, следует обратиться к статьям Мориты [58] и Адзу-
Адзумаи [59]. (Более детальные ссылки будут даны в гл. 23 и 24.)
Эйленберг [60] и Уотс [60] охарактеризовали непрерывные
справа функторы как тензоры A2.9).
Ссылки
Адзумая [51, 59], Ауслендер—Голдман [60а], [60Ь], Басе [62а],
[67], [73], Икеда [52], Коннел [63], Морита [58], Уотс [60], Фейс
[66а], Эйленберг [60], Эйленберг — Накаяма [55].
36 К. Фейс

Глава 13
Алгебры над полями
Эта глава представляет собой краткое введение к вопросам \
строения алгебр, главным образом конечномерных, над произволь- :
ным полем к. Ее основным содержанием являются теоремы Вед-
дербёрна о конечномерных алгебрах А над алгебраически замкну-
замкнутым полем к. Если в А нет ненулевых нильпотентных идеалов, то '¦
А есть конечное произведение полных матричных алгебр над к.
В этом случае множество d (А) порядков полных матричных алгебр,!
являющихся сомножителями, оказывается полным множест-
множеством инвариантов алгебры А. Таким образом, две конечномер-
конечномерные полупервичные алгебры А и В над к изоморфны тогда и только
тогда, когда? d (А) = d (В) A3.7).
Теорема Веддербёрна о факторах A3.18) определяет строение'
произвольной конечномерной алгебры А над алгебраически зам-
замкнутым или совершенным полем, а именно: если N — максималь-
максимальный нильпотентныйидеал (таким образом, N = rad А), то найдется
полупростая подалгебра S, изоморфная AIN и такая, что А =
= S + N и S [} N = 0. Итак, каждая такая алгебра А есть
прямая сумма над к полупростой алгебры и нильпотентной пред-
алгебры (алгебры без единицы). По существу это сводит изучение
строения алгебры А к изучению строения нильпотентной пред-
алгебры и действия на N ^-линейных преобразований, индуци- .
рованных умножением N на элементы алгебры S.
В эту главу также включены: A) теорема Машке 13.21 о полу-
полупростоте групповых алгебр kG конечной группы G над полями к,;
характеристика которых не делит \G\; B) теорема Веддербёрна ]
о нильпотентности алгебр А, имеющих конечный базис, состоя-]
щий из нильпотентных элементов. (Связанная с ней теорема Нага-|
ты и Хигмана1), не включенная в книгу, утверждает, что любая
ниль-алгебра, элементы которой удовлетворяют тождеству хп = 0,1
является нильпотентной индекса нильпотентности <12П — 1, если]
характеристика поля равна нулю либо больше, чем п.) Теорема \
Сколема — Нётер и группа Брауэра рассматриваются в упраж-j
нениях.
*) Короткое доказательство этой теоремы, данное Хиггинсом, содержится |
в книге Джекобсона [64, Appendix С, стр. 274].
Гл. 13. Алгебры над полями
563
Регулярные представления алгебры
Если к — произвольное коммутативное кольцо и А — алгебра
над к, то канонический гомоморфизм
A-+EndkA
(x)ad =
называется правым регулярным представлением алгебры А.
(Здесь алгебра рассматривается как левое векторное пространство
над Айв соответствии с соглашением, установленным в гл. 3,
эндоморфизмы записываются с противоположной от скаляров
стороны.) Двойственным образом, имеет место антигомоморфное
вложение А —*- End^^, определенное соответствием а *-*¦ as, где
(х) ag= ax, и называемое левым регулярным представлением алгеб-
алгебры А. Если А — свободный модуль над к, скажем А да кт, то
говорят, что А имеет (свободный) Л-базис. Тогда, поскольку имеет
место канонический изоморфизм кт да Endfe А™, правое регулярное
представление вкладывает А в ^-алгебру кт всех конечно-строч-
конечно-строчных (т X те)-матриц над к. Это всегда так, если к — поле, посколь-
поскольку в этом случае А — векторное пространство над к. Следова-
Следовательно, если dimkA = яг < сю, то правое регулярное представ-
представление вкладывает А в алгебру матриц кт.
Скалярные расширения
Если к — подкольцо коммутативного кольца К и А —
/с-алгебра,то АК = А ®hK является /^-алгеброй, которая называ-
называется скалярным расширением алгебры А с помощью К. Если А —
плоский модуль над к, то последовательность
0-
А® к-
k
¦А®К
k
точна, поэтому в этом случае определено вложение алгебры А да
да А ® к в АК, объясняющее термин «расширение». Кроме того,
если К — плоский модуль над к и В — некоторый А-подмодуль
алгебры А, то ВК канонически изоморфен isT-подмодулю алгебры
Ак.
13.1. Следствие. Если А и В — точные алгебры над к и А —
свободный к-модулъ с базисом {xt \i 6 /}, то каждый элемент х 6
6 А <8> В имеет единственное представление
k
X =
<8> bi (конечная сумма),
36»

564
Ч. III. Тензорная алгебра
где 6;6 В для всех i ? I. В этом случае каноническое отображени
а I-*- а ® 1 является мономорфизмом алгебр А -*- А ® В.
к
Доказательство. Первое утверждение следует иа
11.13. Далее а *-*¦ а ® 1 —гомоморфизм алгебр. Если а = ]
? А и а ® 1 = О, то 2 xi® «il = 0, поэтому аг1 = 0 в В, откуда!
СХ{= 0 для всех i ? I. Следовательно, а = 0, и тем самым второе|
утверждение доказано. ?
13.2. Упражнения.
13.2.1. Если А — конечномерная алгебра над полем к, то Д|
является конечномерным векторным пространством над к. Поэтому!
в векторном пространстве А существует базис {иг}™=1 и каждый!
а ? А может быть представлен единственным образом в виде
а =
2
к, i = l, ..., п).
В частности, существуют п3 скаляров ytjg ? к, таких, что
п
2 (i, / = 1, ..., п).
Гл. 13. Алгебры над полями
565
Пусть К — произвольное поле, содержащее к, и рассмотрим век-*
торное пространство В над К, размерность которого равна п.
Выбрав в В базис wt,. . . , wn, показать, что В является isT-алгеб-
рой относительно умножения, задаваемого правилом
i, / = 1, •••> ")•
(Так как это правило зависит только от п3 скаляров yug, то умно-j
жение в В ассоциативно, поскольку оно ассоциативно в А.) Пока-]
зать, что В да А ® К как isT-алгебры.
к
Обобщить на произвольные алгебры над полем к.
13.2.2. Пусть А ® К — скалярное расширение /с-алгебры А я]
h
К — плоский /с-модуль.
(a) Если В — (правый, левый) идеал алгебры А, то ВК —|
(правый, левый) идеал алгебры Ак.
(b) Если К — свободный /с-модуль и Вк — нильпотентный]
(правый, левый) идеал алгебры Ак , то В — нильпотентный (пра-|
вый, левый) идеал алгебры А.
(c) А полупервично, если полупервично Ак. Обратное неверно!
(см. следующий пример).
13.3. Пример. Пусть F = GF B) — конечное поле, состоя-
состоящее из двух элементов, А = F (х) — трансцендентное расширение
поля F ж k = F (х2). Тогда А — алгебра над.А; с базисом 1, хъ х —
корень многочлена / (X) = Хг— р\ где f5 = ?2? к. Возьмем в каче-
качестве расширения К поля к поле А и рассмотрим алгебру АК =
= А ® К. Если мы отождествим А с ее образом при каноническом
k
отображении А —>- Ак, то Ак имеет базис 1,х над К. Пусть 6 =
= х ® 1 —1 <8> х 6 Ак. Тогда 9 6 Ак и
Так как
то мы имеем
92=
хг= р 6 А,
Э2 = р A ® 1 — 1 <8> 1) = О,
т. е. 6 — нильпотентный элемент индекса 2. Поскольку Ак ком-
коммутативно, то 6 порождает нильпотентный идеал индекса 2. Итак,
Ак не полупервично, хотя А — поле. ?
Алгебры над алгебраически замкнутыми полями
п
Если к — поле ш р (х) = ^агхг— многочлен от а; с коэффици-
г=о
ентами в к, т. е. если р (х) ? к [х], то для каждого элемента Р ? к
п
элемент 2агРг лежит в к и обозначается через р (Р). Если р (Р) =
= 0, то р называется корнем или нулем многочлена р (х). Поле к
называется алгебраически замкнутым, если каждому многочлену
р (х) ? к [х] соответствует Р 6 к, такой, что р (Р) = 0 (примером
является поле С комплексных чисел). В этом случае по индукции
п
найдутся ро, рх,. . . , рпе к, такие, что р (х) = ро \\ (х — р;),
г=1
т. е. р (х) разлагается на линейные множители в к [х\.
Если D — алгебра над полем к и D — тело, то D называется
алгеброй с делением над к.
13.4. Предложение. Если D — конечномерная алгебра с деле-
делением над к и к алгебраически замкнуто, то D да к (канонически).
Доказательство. Пусть п обозначает размерность D
над к. Если a ?D, то 1, а,. . . , ап линейно зависимы над к и
поэтому существуют а^ к, не все равные нулю и такие, что
2
г=0

566
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 13. Алгебры над полями
567
= 0. Итак, если обозначить через L подполе тела D, порождение
п
полем к и элементом а, то многочлен р (х) = ^агх{ ?к [х] имее
корень а ? L. Пусть тогда g (х) — многочлен наименьшей степенв
t <; п, для которого g (а) = 0 в L. Так как к алгебраически замкнув
то, то g (х) — (х — a) q (х), где а 6 к, q (х) ? к [х]. Тогда g (а) ==!
= (а — a) q (а) = 0 в L и q (а) Ф 0 по определению g (х). Посколь-J
ку Д — тело, то непременно (а — а)-1 = 0, т. е. а = а-1 R
6 к А. Это доказывает, что Z) совпадает с полем к Л, которое кано-'l
нически изоморфно к при соответствии р1 -1 *-*- E, определенном для|
всех Р ? А. П
13.5. Следствие. Пусть R — конечномерная алгебра над алге-\
браически замкнутым полем к. Если в R нет (ненулевых) нилъпоА
тентных идеалов, то R является прямым произведением конечного]
числа полных матричных алгебр над к.
Доказательство . Так как R является полупервичным;
артиновым кольцом, то по теореме 8.8 Веддербёрна — Артина R \
есть прямое произведение Rt® , . . ф Д,, где каждое Rt— простое
артиново кольцо. Поскольку мы можем считать, что Rг— идеал
кольца R, то отсюда вытекает, что Rt— подалгебра алгебры R и,
следовательно, алгебра над к, i = 1,. . . , t. Таким образом, мы
можем считать само R простым кольцом. Тогда R да Dn для неко-
некоторой алгебры D с делением над к. Так как R, а следовательно, я
D конечномерны, то из предложения 13.4 вытекает, что D « к.
Поэтому R изоморфно полной матричной алгебре кп, что и завер-
завершает доказательство. ?
13.6. Следствие. Если А — конечномерная простая централь-
центральная алгебра над полем к и К — алгебраически замкнутое поле,
содержащее к,']то алгебра А ® К изоморфна полной матричной
К
алгебре Кп.и
Доказательство. В силу 13.5 достаточно доказать,
что Ак проста. (Упражнение, ср. 13.9.) ?
Любое простое артиново кольцо R изоморфно кольцу Dn, где
D — тело, причем D и п определены однозначно (см. 8.9). В раз-
разложении конечномерной полупростой алгебры R над алгебраи-
t
чески замкнутым полем к в прямое произведение R = \jRi, где
i=i
каждая алгебра Rt является алгеброй матриц кп. порядка щ,
алгебры i?!,. . . , Rt также однозначно определены. Поэтому
однозначно определено и множество
d(R) = {пи. . . , щ).
13.7. Теорема (Веддербёрн). Множество d (R) является полным
множеством инвариантов конечномерной полупростой алгебры R
над алгебраически замкнутым полем k. Q .
Выражаясь иначе, если S — другая такая алгебра, то d (S) =
= d (R) тогда и только /тогда, когда S да R.
Простые алгебры
Алгебра А над к называется простой, если А — простое кольцо.
Центр простого кольца является полем. (Доказательство?)
13.8. Предложение. Пусть к — поле, А и В — алгебры над к,
причем А центральна. Если А и В — простые алгебры, то алгебра
А ®1,В также простая и
h'
Щ(А ® <#) = A <g>1 <?(В)) да'ё(.В).
]Д о к а у т е л ь с т в о . Пусть / — ненулевой идеал алгебры
R = А ® В (® обозначает тензорное произведение над к). Если
х ? R, то
A) х ='1^18O>!+ ;• • • + ап® Ъп
и аг? A, bj? В. Если х Ф 0, то определим длину элемента х как
наименьшее число ненулевых at в представлениях A) элемента х.
Выберем в / элемент х наименьшей длины. Если а', а -4» т0
элемент;
B)
лежит в /. Так как А — простая алгебра, то А = АахА\ поэтому
1 равна сумме конечного числа элементов вида а'а^а". Следователь-
Следовательно, складывая элементы вида B), получим
C) о =?«= *!= 1 ® м-... +сп®ьпе z1)-
Тогда для любого а ? А элемент
(a <g> 1) хх— хх(а ®11)= (с2а — ас2) ЩЬ2-\- . . . + (спа — асп) <8> Ъп
[а'® 1) х\Ца"® 1) = а'аф"
. . . +ца'апа"® Ъп
лежит в / и имеет длину, меньшую, чем длина элемента х. Таким
образом, (а ® 1) xt— xt(a <g) 1) = 0 в силу выбора элемента х.
Отсюда сьа = асг для каждого i и любого а 6 А2). Итак, с,- лежит
^^О, так как элементы Ь1 Ьп в силу виэора элемента
х линейно независимы над к.— Прим. перев.
2) В силу линейной независимости элементов Ь1; . . ., Ъп (см. примеча-
примечание 1).—Прим. перев.

568
Ч. III. Тензорная алгебра
в центре алгебры Л, т. е. в к, так что ct® bt= 1 ® сгЪи i = 2,. .
... /г, и мы получаем из C)
D) хг= 1 ® (&!+ сф2+ ...+ спЪп).
Так как ххф 0, то г/ = bt-\- c2b2-\- . . . + спЪпФ 0. Посколь-1
ку ?1=1<8>г/6/и у ф 0, то 1 ® Bf/и, следовательно]
1 <8> 1 ? /. Поэтому 4 <8> 5 = /, что и доказывает простоту
алгебры А ® В. Далее, пусть и =
bt лежит в центре алгеб-
i
ры А ® В, где в^О и Ьг линейно независимы над к. В силу
рассуждения, аналогичного только что проведенному, а,-? к и и =
= 1 ® г/, где г/ = cx&i+ . . . + с„Ь„. Если b ? В, то 1 <S> Ft/ —-
— yb) = 0, поэтому by = yb. Отсюда у ? % (В). Итак,
(A® B) =
(В)},
как и утверждалось. ?
13.9. Следствие. Каждое скалярное расширение А ® К централь-
k
ной простой алгебры А над к с помощью поля К является централь-
центральной простой алгеброй. ?
Теорема Бернсайда
Теперь мы приведем теорему Бернсайда, которая будет дока-
доказана с использованием 13.4, теорем Веддербёрна — Артина и
(чтобы осветить по-новому старую теорему) теоремы Мориты.
13.10А. Теорема. Пусть V — конечномерное векторное про-
пространство над алгебраически замкнутым полем к, и пусть L =
= EndfcF, a R — подалгебра канонически определенной к-алгебры
L. Тогда V — канонически определенный R-модулъ, который прост
в том и только том случае, когда L = R.
Доказательство. Каждый Л-эндоморфизм простран-
пространства V является /^-эндоморфизмом и потому принадлежит L, т. е.
К = End VR s L. Поскольку dimfeL = п2, где п = dimfeF, и так
как по лемме Шура К — тело1), то из 13.4 вытекает, что К = к.
Если V — простой Л-модуль, то из точности Л-модуля V следует,
что R не имеет ненулевых нильпотентных идеалов и что R — пер-
первичное кольцо. Таким образом, теорема Веддербёрна — Артина
для конечномерных алгебр влечет за собой, что R — простая ал-
алгебра. Поэтому каждый простой правый Д-модуль вкладывается
в Ли, следовательно, V — образующий категории mod-Д G.4.1).
В предположении, что VR— простой модуль.— Прим. перев.
Гл. 13. Алгебры над полями
569
Тогда из теоремы 7.3 Мориты вытекает, что R «^End^F = L
канонически, так что R = L. Обратно, V — простой правый
/^-модуль. (Доказательство?) Q
13.10В. Упражнения.
13.10В. 1. Пусть А и В — алгебры над полем к. Если I — идеал
алгебры А, то образ Г канонического отображения I ® В —>-
и
—>¦ А ® В является идеалом алгебры, А ® В. Если В — централъ-
и k
ная простая алгебра и J — идеал алгебры А ® В, то J = Г для
k
некоторого идеала I алгебры А.
13810В.2. В категории коммутативных колец R ® S является
Z
копроизведением R Ц S.
13810В.3. Если к — коммутативное кольцо, а А и В суть
к-алгебры, то
Ап®Вт^ (А®В)пт-
к к
13810В.4. Доказать 13.10В.3 как частный случай более общего
изоморфизма к-алгебр
ср: (EndAM) <g>' (EndBiV)
где
ср (/ ®'g) = f <8> g (тензорное произведение отборажений)
для всех f ? Endfcilf, g ? Endfe./V и проективных А- и В-модулей М
и N соответственно.
Сепарабельные расширения полей
Пусть L — алгебра над полем к. Элемент а ? L называется
алгебраическим над к, если существует ненулевой многочлен
/ (х) =
2
i=0
], где <Х;? к, i = 0,. . . , п, такой, что
f(a)=
2
г=0
Множество всех g (х) ? к [х], таких, что g (а) = 0, является
идеалом Z (а) кольца к [х]. Так как к [х] — кольцо главных идеа-
идеалов, то найдется многочлен fa(x), такой, что Z (а) = fa(x) к [х].
Для однозначности выберем fa(x) таким, что коэффициент при хп
равен 1, где п = deg fa(x). Тогда fa(x) — приведенный многочлен,

570
Ч- III. Тензорная алгебра
который называется минимальным многочленом элемента а над к.
Многочлен р (х) ? к [х] называется неприводимым, если в
любом разложении р (х) = а (х) Ъ (х) в произведение многочленов
а (х), Ъ (х) ? к [х] либо а (х), либо Ъ (х) постоянны, т. е. являются
элементами поля к. Минимальный многочлен fa{x) элемента а ? к
неприводим.
Алгебра L над полем к (в обозначениях Ык) назы-
называется алгебраической, если каждый ее элемент является
алгебраическим над к. Легко видеть, что если dimftL ко-
конечна, то Ык — алгебраическая. Действительно, если а ? L,
то 1, а,. . . , ап линейно зависимы над к для любого п ^
п
^ dim^L. Поэтому 2ja;a* = 0> где аг—¦ элементы из к, не все
i=0
равные нулю, и, следовательно,
, ^
^Z (а). Алгебра Ык назы-
называется трансцендентной, если она не является алгебраической.
Пусть к [х] обозначает кольцо многочленов над к. Тогда эле-
элемент а 6 L трансцендентен (т. е. не является алгебраическим)
над к в том и только том случае, когда канонический гомоморфизм
5.74.1 /с-алгебр к [х] -»- к [а], переводящий х ъа, является изомор-
изоморфизмом.
13.11. Упражнения.
13.11.1. Пусть а ? к. Тогда h (х) ? Z (а) порождает Z (а) в том
и только в том случае, когда h (x) — многочлен минимальной степени
в Z (а).
13.11.2. Если h (х) ? к [х], то h (x) неприводим в том и только
том случае, когда h (x) порождает максимальный идеал в к[х].
При этом к [x]l(h (x)) — поле.
13.11.3. Минимальный многочлен /а (х) элемента а ? к неприво-
неприводим. Пурть L обозначает поле к [x]/(fa (x)). Канонический гомо-
гомоморфизм к [х] -»- L отображает к s к [х] на поле к S L, а каждый
g (х) ? к [х] — в g (х) и, таким образом, /а (х) = 0. Доказать по
индукции, что существует поле Е, содержащее к, в котором fa (x)
разлагается на линейные множители. Такое поле наименьшей
степени называется полем разложения многочлена fa (x) над к.
13.11.4. Пусть Ык — расширение поля к, а ? L и к (а) (соотв.
к [а]) — поле (соотв. кольцо), порожденное элементом а и полем к.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(a) Элемент а алгебраический над к.
(b) dimft к (а) < оо.
(c) к (а) =к [а].
*13.11.5. Обобщить 13.11.4 следующим образом: если at, ...,an?
? L, то подкольцо к [пх, . . ., ап\ является полем тогда и только
тогда, когда алгебра к [ах, ¦ . ., ап]/к алгебраическая.
Гл. 13. Алгебры над полями
571
*13.11.6 (Амицур [56]). Если D — трансцендентная алгебра
с делением над к, то dimkD ^ | к |. [Указание: учесть линейную
независимость над к элементов (t — а), ,где а ?к.]
*13.11.7 (Амицур [56]). Пусть D — алгебра с делением над
полем к ж X — подмножество в D. Обозначим через к (X) подал-
подалгебру с делением, а через к [X] — подалгебру алгебры D, порож-
порожденные подмножеством X, и допустим, что к — несчетное поле,
мощность которого больше | X |. Тогда если D — к [X], то D —
алгебраическая алгебра. (Ср. 13.11.5.)
13.11.8.(а) Если D — произвольная центральная алгебра с де-
делением над к, то кольцо многочленов D [х] является областью
главных правых и главных левых идеалов, такой, что каждый
идеал имеет вид (р (х)) для центрального многочлена р (х), т. е.
для р (х) ? к [х]. (Ср. Джекобсон [42].)
(Ь) Любая область главных левых и главных правых идеалов
обладает тем свойством, что факторкольцо R/I, где I Ф 0, R,
является QF-кольцом (Ср. упр. 6, гл. 12.) В частности, R/I
артиново (справа и слева). Вывести отсюда, что каждый первич-
первичный идеал максимален. Если К — правое тело частных кольца R
(существование?), а Р — его максимальный идеал, то существует
простое кольцо RS~1= {as'1] a ? R, s ? S = R — P}, содержа-
содержащееся в К, которое называется локализацией R в Р (и также обо-
обозначается через Rp).
*13.11.9 (ср. Джекобсон [64], стр. 241 и 248). Пусть D —
центральная алгебра с делением над полем к. Доказать эквива-
эквивалентность условий (а) — (d):
(a) Если L = к (х) — поле частных алгебры многочленов
к [х], то D <8> к (х) — правое тело частных кольца D [х] « D <8>
k h
® к [х].
(b) Каждый d (x) ? D [х] является левым делителем некоторого
центрального многочлена. [Указание: записать d (x)'1— f (х) а (х)'1,
где / (х) 6 D [х] и а (х) ? к [х]. Это можно сделать, если D <8> к (х)
и
является правым телом частных кольца D [х].]
(c) Каждый ненулевой правый идеал кольца D [х] содержит
идеал, порожденный ненулевым многочленом а (х) ? к [х].
(d) D [х] не имеет точных простых модулей (в терминологии
гл. 19 (точнее 19.22) кольцо D [х] не является примитивным).
*13.11.10 (Амицур [56]). Пусть D — центральная алгебраиче-
алгебраическая алгебра с делением над к, и допустим, что справедливо одно
из следующих условий: (A) [D: к] <С оо; (В) Dlk локально конечно-
конечномерна в том смысле, что любое конечное подмножество порождает
конечномерную подалгебру; (С) для любого числа п > 0 алгебра
матриц Dn размера п X п является алгебраической над к; (D) к
несчетно. Тогда D удовлетворяет эквивалентным условиям (а) —
(d) упражнения 13.11.9.

572
Ч. III. Тензорная алгебра
13.11.11. Если D — трансцендентная центральная алгебра-
с делением над к, то кольцо D [х] многочленов является прими- i
тивным кольцом; итак, D ® к (х) — область главных (правых
и левых) идеалов и, более того, простое кольцо, не являющееся
телом. (На самом деле эти свойства выполняются всякий раз, когда
D — алгебра с делением и D [х] примитивно.)
¦13.11.12 (Амицур, loc cit). Если А — алгебра над полем к
и А\ткА < | к |, то rad А — алгебраическая предподалгебра,
В действительности rad А — ниль-идеал.
*13.11.13 (Амицур, loc cit). Радикал конечно порожденной алгеб-
алгебры А над несчетным полем к является ниль-идеалом.
*13.11.14. Пусть к — алгебраически замкнутое поле и R —
кольцо многочленов от переменных хх, . . ., хп. Для любого идеа-
идеала / кольца R определим обычным образом множество Z (/) нулей
в кп и, двойственным образом, для любого подмножества X в кп
определим идеал / (X) как наибольший идеал кольца R, такой,
что Z (/ (X)) = X. Теорема Гильберта о нулях утверждает, что
для любого идеала I фЯ существует число т (зависящее от /),
такое, что fm ? /для всех f ? I {Z (/)). Доказать эту теорему для
случая п = 1.
13.12. Упражнение и определение. Алгебраическим замыка-
замыканием поля к называется поле L, содержащее к и удовлетворяющее
следующим эквивалентным условиям:
13.12.1. L — максимальный элемент в упорядоченном множе-
множестве Alg (к) всех алгебраических расширений поля к.^-
13.12.2. L — минимальный элемент в упорядоченном множе-
множестве всех алгебраически замкнутых полей, содержащих к.
13.12.3. L — алгебраическая алгебра над к и L алгебраически
замкнута.
13.12.4. L — алгебраическая алгебра над к и каждый / (х) ?
6 к [х], не являющийся постоянным, имеет корень в L.
Доказать, что если L и К — два алгебраических замыкания
поля к, то^существует изоморфизм L я? К, индуцирующий lh. ?
Пусть к обозначает алгебраическое замыкание поля к. Тогда
каждый многочлен/ (х) ? к [х] разлагается над Г на линейные мно-
множители
/(*)=«<> П (x — at),
%= 1
где at 6 к, i = 0, . . ., п. Многочлен / (х) называется сепарабель-
ным над к, если элементы аъ. . . , ап все различны. Это опреде-
определение не зависит от к, поскольку в силу 13.12 любые два алгебраи-
алгебраических замыкания поля к изоморфны над к. Если С/к — расшире-
Гл. 13. Алгебры над полями
573
ние поля к, то элемент а 6 С называется сепарабельным, если он
алгебраический над к и его минимальный многочлен над к является
сепарабельным над к. Расширение С/к поля к называется сепара-
сепарабельным, если каждый элемент поля С является сепарабельным
над к. Несепарабельность означает, что расширение не является
сепарабельным. Чтобы отличать только что введенное понятие
от сепарабельности) алгебр, мы будем ссылаться на него как на
сепарабельность полей. Мы откажемся от этой модификации после
того, как соответствующие теоремы A3.16) подтвердят, что это
возможно.
Критерий сепарабельности полей
Для сепарабельности имеется простой тест. Идеалы А и В
кольца R называются взаимно простыми или комаксимальными,
если R = А + В. (Ср. 3.13.5.)
13.13. Тест сепарабельности. Пусть С/к — алгебраическое рас-
расширение поля к.
13.13.1. Элемент а 6 С является сепарабелъным над к тогда
и только тогда, когда минимальный многочлен /а (х) =
и его
г=о
п
производная f'a{x) = S^i^ взаимно просты в к [х].
13.13.2. Элемент а не является сепарабелъным тогда и только
тогда, когда к имеет простую характеристику р и fa{x) = g (xp)
для некоторого многочлена g (x) 6 к [х]. ?
13.14. Упражнения.
13.14.1. Пусть С и к — поля, С з к и С/к — конечномерная
алгебра. Тогда С = к (а) для некоторого элемента а 6 С в том
и только том случае, если существует лишь конечное число полей D
между Сяк, С з D э к. Вывести отсюда, что если С = к (а)
конечномерно ж D — поле между С и к, то D = к (Ь) для некото-
некоторого Ъ 6 С.
*13.14.2. Если С/к — конечное расширение поля к и С/к сепа-
рабельна, то С = к (а) для некоторого а 6 С.
13.15. Предложение. Пусть к — поле и С = к (а) — алгебраи-
алгебраическое расширение поля к, порожденное одним элементом а. Тогда
следующие условия эквивалентны:
(a) С/к — сепарабелъное расширение поля к.
(b) Элемент а\сепарабелен над к.
(c) Для любого расширения L поля к тензорная алгебра С <8> L
h
не имеет отличных от нуля нилъпотентных элементов.

4. III. Тензорная алгебра
(d) Для любого поля L э к алгебра С ® L является {кольцевым)
k
прямым произведением конечного числа экземпляров поля L.
(с') Условие (с) для случая, когда L — алгебраически замкнутое
поле, содержащее к.
(d') Условие (d) для случая, когда L — алгебраически замкнутое
поле, содержащее к.
Если эти условия выполнены, то Dlk — сепарабелъное расшире-
расширение поля для любого поля D, такого, что С э D э к.
Гл. 13. Алгебры над полями
575
Доказательство, (а)
(Ь) тривиально (Ь) =>- (с). Так
п-1
как Clk — алгебраическая алгебра, то С — 2 ка1 и эта сумма пря-
1=0
мая, если п — степень минимального многочлена /„ (ж) элемента а-
Следовательно, {а1 <8> 1 | i = 0, . . ., п — 1} — базис L-алгебры
С <8> L, т. е. существует точная последовательность
ft
0 -»- /„ (х) L [ж] -»- L [ж] -> С ® L -*¦ 0,
ft
где LW-j-C® i — такое отображение, при котором ж ¦->• а <8> 1.
h
Если у ?С ® L, то г/ = G (аI) для некоторого G (ж) ? L [ж]. Если
у нильпотентен, скажем г/ = 0, то G (ж)г dfa(x)-L [x]. Так как
/„ (ж) сепарабельный, то /„ (ж) не делится на квадрат никакого непри-
неприводимого многочлена над L. Поэтому/а(ж) делит G (ж) и г/ = G (а) =
= 0. Итак, любой нильпотентный элемент алгебры С <8> L равен
и
нулю.
(с) =ф- (а). Предположим, что (а) не верно. Если Ъ ? С не яв-
является сепарабельным, то к имеет характеристику р ф 0 и /& (ж) =
= g (жр) для некоторого многочлена g (ж) ? /с [ж]. (См. 13.13.)
Если L -а произвольное расширение поля к, содержащее корни
р-ж степени из коэффициентов многочлена g (ж) (в частности, L
может быть алгебраическим замыканием поля к), то а = |5Р для
некоторого Р ? L, где а — произвольный коэффициент много-
многочлена g (ж). Отсюда вытекает, что /ь (ж) = (h (х))р для h (x) ? L [ж].
Так как deg h <C deg /ь, то h (b) отличен от нуля в С <2> L и
й
/6 F) = А (ЬУ = 0.
Следовательно, из ложности утверждения (а) вытекает лож-
ложность утверждения (с).
(с) -s=> (d). Так как С — конечномерная алгебра над к, то алгеб-
алгебра А = С <8> L конечномерна над L. Поэтому, поскольку алгебра
А артинова, применима теорема 8.8 Веддербёрна — Артина.
г) Правильнее было бы писать а ®1 вместо а,— Прим. перев.
Следовательно, А является произведением конечного числа полей
тогда и только тогда, когда А не имеет ненулевых нильпотентных
идеаловг). Поскольку А коммутативна, это равносильно требова-
требованию, чтобы А не имела ненулевых нильпотентных элементов.
Тем самым доказана эквивалентность условий (а) — (d).
Отсюда вытекает и эквивалентность утверждения (с) или (d)
соответствующему утверждению для случая, когда L — алгебра-
алгебраически замкнутое поле, содержащее к, поскольку любое поле К,
содержащее к, вкладывается в такое поле. Таким образом, если
(с) выполняется для L = К, то (с) справедливо и для L = К,
поскольку С <8> К ? С <8> К не имеет отличных от нуля нильпо-
к к _
тентных элементов. Аналогично, если (d) справедливо для L = К,
то (с) справедливо для L = К и К, откуда, используя доказатель-
доказательство импликации (с) =з> (d), выводим, что (d) справедливо для
L = К. Теперь мы докажем последнее утверждение предложения.
Так как последовательность
0-
¦С ®L
к
точна, то D <8) L s С <8> L. Следовательно, если справедливо (Ь),
h к
то С <8> L, а с ней и D <8> L не имеют ненулевых нильпотентных
к ft
элементов. Поскольку D = к (Ь) для некоторого Ъ ? D (см. 13.14),
то Dlk — сепарабельное расширение, ввиду импликации (с) =>
=Ма). ?
13.16. Критерий сепарабельности. Пусть А — конечномерная
алгебра над полем к. Тогда говорят, что А сепарабельна над
к или что А/к—сепарабелъное расширение, если справедли-
справедливы следующие эквивалентные условия:
13.16.1. L ® А — полупростая алгебра для всех расширений L
ft
поля к.
13.16.2. L-алгебра L <8> А для некоторого алгебраически замкну-
щ
того поля L э к является произведением полных матричных алгебр
над L.
13.16.3. Алгебра А полупроста, а 4$ (А) есть произведение
конечного числа сепарабелъных расширений поля к.
В этом случае 13.16.2 справедливо для L = к — алгебраического
замыкания поля к,— а также для некоторого содержащегося в к
конечного сепарабелъного расширения L поля к.
х) Следует иметь в виду, что коммутативное простое кольцо является
полем.— Прим. ред.

576
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 13. Алгебры над полями
577
Доказательство провести в качестве упражнения. ?
Заметим, что из 13.16.3 следует, что поле А является конечным
сепарабельным расширением поля к тогда и только тогда, когда
алгебра А сепарабельна.
Говорят, что поле совершенно, если каждое его (конечное)
алгебраическое расширение является сепарабельным.
13.17. Упражнение. Поле к совершенно тогда и только
тогда, когда: (а) к имеет характеристику 0 или (Ь) к имеет характе-
характеристику р >> 0 и содержит все корни р-ш степени из элементов
поля к или, что эквивалентно, каждый элемент поля к является
р-й степенью. (Это справедливо для любого алгебраического рас-
ширения конечного поля.)
13.18. Теорема Веддербёрна о факторах. Если А — алгебра
конечной размерности над полем к и алгебра Л/rad А сепарабелъна,
то в А существует полупростая подалгебра S, канонически изо-
изоморфная алгебре Л/rad А и такая, что А — S + rad А и S [)
П rad А = 0. Алгебра S называется полупростым факто-
фактором или полу простой частью алгебры А1).
Доказательство. Доказательство можно разложить
на два случая, а именно если N = rad А, то либо A) М2ф0, либо
B) Мг = 0. В каждом случае можно предположить справедливость
теоремы для всех алгебр размерности, меньшей п = dimkA. Следо-
Следовательно, в случае A) существует подалгебра St, содержащая iV2,
такая, что
где черта обозначает образ при каноническом гомоморфизме
~А -у- А = АШг. Тогда А = Sx+ N nS1 (] N = N2. Так как ради-
радикал алгебры Бг равен N2, a dimft5'1< n = dim.kA, то по предполо-
предположению индукции в S-L существует подалгебра S, такая, что 5t =
= S+ N* и S(]N2='fi. Но тогда A=S + NmS(]N = 0, следо-
следовательно, А = S + N — нужное разложение алгебры А, посколь-
поскольку алгебра S « AIN полупроста.
Доказательство для случая B) проведем только в предположе-
предположении, что А — AIN—произведение полных матричных алгебр над к.
Таким образом, теорема будет справедлива для скалярного рас-
расширения АР = А <8> Р, где Р — конечное сепарабельное расши-
h _
рение поля к, содержащееся в алгебраическом замыкании к (и для
Р = к), так как тогда в силу 13.16 АР является произведением
х) Этот факт вместе с утверждением о единственности полупростой части
известен как теорема Веддербёрна — Мальцева (Кэртис — Райнер [69],
стр. 450).— Прим. рев. и перев.
полных матричных алгебр над Р. Редукция нужного разложения
для Ар и А остается в качестве упражнения либо читатель может
следовать книге Джекобсона [47, стр. 221—222] (как мы и делаем).
__ t
Итак, предположим, что А = []il/n.(A;) —произведение пол-
полных матричных алгебр над к степеней nt, i = 1,. . . , t. Можно
показать, что ортогональные идемпотенты алгебры А = Alvad A
могут быть «подняты» до ортогональных идемпотентов алгебры А.
В частности, существуют ортогональные идемпотенты {ег}{=1
алгебры А, такие, что et— единица алгебры Мп. (к), i = 1, . . ., t
см., например, 18.21). Тогда Bt= etAei— алгебра над к с едини-
единицей et и rad Bt= etNei, Bi/etNei^i Mn. (к), i = 1, . . ., t. Если
t = 1, то матричные единицы алгебры ikfnl(/i:) могут быть «подняты»
до матричных единиц {fa}1}, j=i алгебры А = Вх и тогда кп =
п
= 2
i j
— подалгебра алгебры А, которая является ее полу-
i, j=l
простой частью, поскольку, очевидно, кп (]N = 0, где к = кЛ —
подалгебра скаляров. В случае если t > 1, сумма S = Sx-\- . . .
. . . + St,T%eSi— обозначает полупростую часть алгебры-Bj, i =
t
= 1, ..., t, имеет размерность т = 2 п\ над к и S (]N= 0. Так
г=1
как dim.kA/N = т, отсюда следует, что А = S + N и поэтому
S —полупростая часть алгебры А. ?
13.19. Следствие. Над совершенным полем к любая конечномер-
конечномерная алгебра А имеет полупростую часть. ?
Упражнения по теории Галуа
Алгебраическое расширение Ык поля к называется нормаль-
нормальным, если каждый многочлен / (х) ? к [х], имеющий корень в L,
разлагается в L [х] на линейные множители. Это можно перефра-
перефразировать так: все корни любого многочлена над к, имеющего по
крайней мере один корень в L, лежат в L. Итак, если L и множество
Z (/) корней многочлена / (х) рассматриваются как канонические
подмножества поля к, то либо Z (/) Г] L = 0, либо Z (/) s L.
Расширение Ык поля к называется конечным, если dimfeL конечна.
13.20. Упражнение.
13.20.1. Каждое конечное расширение Ык поля к содержится
в конечном нормальном расширении N (Ык) наименьшей степени
и между любыми двумя такими расширениями существует изо-
изоморфизм, который индуцирует тождественное отображение на к.
37— к. Фейс

578
Ч. III. Тензорная алгебра
Поле N (Ык) называется нормальным замыканием поля ЫкА
Конечлое расширение Ык нормально тогда и только тогда, когдау
L — поле разложения некоторого многочлена над к.
13.20.2. Нормальное замыкание конечного сепарабельного
расширения является конечным сепарабельным расширением.
13.20.3. Расширение Ык является конечными сепарабельным^
и нормальным тогда и только тогда, когда Ык — поле разложе-
разложения сепарабельного многочлена над к.
13.20.4. Расширение Ык называется расширением Галуа, если
существует группа G автоморфизмов поля L, такая, что
fix G — {х 6 L | g (х) = х для всех g ? G) = к.
При этом Aiva.hL <с сю тогда и только тогда, когда | G | конечно,,
и тогда dimfeL = | G \.
13.20.5. Любое конечное расширение конечного поля является
расширением Галуа.
13.20.6. Основная теорема Галуа. Конечное
расширение Ык является расширением Галуа в том и только том
случае, когда Ык конечно, сепарабельно и нормально. Тогда если,
скажем, к = fix G, то отображения множества подгрупп группы G,
в множество подполей поля L, содержащих к, и наоборот, опреде-
определяемые так:
S >-+ fix S
и
G (ЫМ) ч-н М,
являются взаимно обратными. Группа G (ЫМ) х) называется
группой Галуа поля L над М, а М — соответствующим подполем
Галуа. Кроме того, S — нормальная подгруппа группы G тогда
и только тогда, когда fix S — нормальное расширение поля к.
В этом случае fix S/k оказывается расширением Галуа, каждый
элемент g ?G (Ык) индуцирует автоморфизм g ? G (fix S/k) и имеет
место каноническая точная последовательность
A) -*¦ G (L/fix S)-+G (Ык) -»> G(fix S/k) -> A).
13.20.7. Если G — конечная группа автоморфизмов поля L,
то G = G (L/fix G).
13.20.8. Если Ык — конечное сепарабельное расширение, то
L = к [а] для некоторого а 6 L. [Указание: по основной теореме 1
имеется лишь конечное число промежуточных расширений М,
т. е. таких, что L э М =з к.]
х) G (L/M) обозначает подгруппу {g ? G | gx — х для всех х ? М).—
Прим. перев.
Гл. 13. Алгебры над полями
579
След матрицы
Пусть {e;j}"j=i —матричные единицы полной матричной
алгебры кп над полем к1). Тогда каждый элемент а ? кп имеет един-
единственное представление
к
где ao-6 к, i, j = 1, . . ., п. След матрицы а по определению равен
сумме Тг (а) диагональных элементов в ее матричном представле-
представлении,
A)
an.
Тг (а + Ъ) = Тг (а) + Тг (Ъ)
Тг (аЪ) = Тг (Ъа) для всех а, Ъ
Тогда
B)
и
C)
(На самом деле эти формулы верны для любого коммутативного
кольца к.)
След Тг (а) не зависит от выбора матричных единиц в кп, т. е*
если {/^| i, / = 1,. . . , п) — также матричные единицы в кп и
«= 2 hit и Фае к),
i, 7=1
п п
то У, р\, =2 аи- Существует много способов это доказать. Один
i=l i=l
способ состоит в доказательстве того, что если
г 11 — ... — at
— минимальный многочлен элемента а над к, то Тг (а) = а^-
(Элемент а является корнем некоторого многочлена, так как 1,
а, а2,. . . , а™,. . . порождают векторное подпространство конеч-
конечной размерности, меньшей чем п2.) В частности, если а нильпотен-
тен, скажем as — 0, то минимальный многочлен / (х) элемента а,
делит многочлен Xs, и отсюда следует, что / (х) = х1 и поэтому
Тг (а) = 0.
Другой способ доказательства независимости следа от выоора
матричных единиц заключается в том, чтобы установить существо-
х) Автор имеет в виду не обязательно естественные матричные единицы и
рассматривает матричное представление относительно этих матричных еди-
единиц.—Прим. рев.
37*

580
Ч. III. Тензорная алгебра
вание обратимого элемента!/ ? &п> такого, что увцу'1 — ftj, i, j =
= 1,. . . , п. (Это делается в гл. 18.) Тогда
i, i=l г, 3=1 г, j=l
и из того, что Тг (ау) = Тг (уа), т. е. Тг (у^ау) = Тг (а), вытека-
п п
ет, что 2%= 2 Рп-
г=1 г=1
Теорема Машке
Путь G — конечная группа порядка п. Рассмотрим левое регу-
регулярное представление групповой алгебры
| kG-+E
\ ан*а8(у)
Запишем G = {gt = I, ?f2»- • • » gn}- Тогда а = (ai;) — такая
матрица, что
п
H i (/ = 1, •••, и)-
Гл. 13. Алгебры над полями
581
Следовательно, #г(г = 1,. . . , п) есть просто матрица подстановки,
т.е. такая матрица, что в каждой ее строке содержится одна и
только одна единица, остальные коэффициенты строк нулевые и
ни один столбец не содержит более одной единицы. Это соответству-
соответствует следующим фактам: (i) gtgj — базисный элемент (т. е. элемент
группы G) и,(п) gtG = G, i, / = 1,. . . , п. Если матрица gt имеет
единицу на диагонали, скажем на месте (р, р), то gigp = gp и
поэтому непременно gt= 1, т. е. i = 1. Следовательно, Тг (gi) =
= 0, г >kl и Тг (gi) = п. Этот простой факт о матрицах будет
использован в доказательстве теоремы Машке, которая ведет свою
историю от работы Машке [98].
13.21. Теорема (Машке). Пусть А = kG — групповая алгебра
конечной группы G порядка п над полем к. Тогда А — полупростая
алгебра в том и только том случае, когда характеристика п поля
к не делит п.
Доказательство. Предположим сначала, что п делит
п, и пусть h == 2 gt-
Из того, что gth = hgt= h, i = 1,. . .
выводим два результата: (а) h коммутирует с каждым элементом
алгебры A; (b) A2= rih. Поскольку я делит п, из (Ь) следует, что
&а= 0. Свойство (а) влечет за собой, что hA = Ah, поэтому (hAJ=
== Ь?А = 0, и, следовательно, hA — нильпотентный идеал алгеб-
алгебры А. Так как А — конечномерная алгебра над к, из теоремы (8.8)
Веддербёрна — Артина получаем, что А не является полупростой.
Обратно, если А не является полупростой, то по теореме Вед-
Веддербёрна — Артина А содержит ненулевой нильпотентный идеал
п
N. Пусть х — 2 gi^i— ненулевой элемент идеала N. Тогда у =
= аг=т^= 0 для некоторого г, и у — xy^gl1— элемент идеала N вида
0 = 1+ g2$2+ • • • + gnK,
где р\6 к, i = 2,. . . , п. Так как N нильпотентен, то г/ — ниль-
нильпотентный элемент. Мы уже установили, что любая нильпотентная
матрица имеет нулевой след1), поэтому Тг (у) = 0. Но, поскольку
функция следа аддитивна,
Тг (у) = Тг A) + Тг Ы р2+ . . . + Тг (gn) pn.
Ввиду замечаний, предшествовавших теореме, мы знаем, что
Тг Ы = . . . = Тг Ы = 0
и Тг A) = п. Таким образом, Тг (у) = п = 0; поэтому л делит п,
что завершает доказательство. ?
Из теоремы Машке вытекает, что над полем С комплексных
чисел (или над любым полем характеристики нуль) групповая
алгебра CG классически полупроста. Вопрос о том, какие класси-
классически полупростые алгебры над С являются групповыми алгебра-
алгебрами, не решен и представляется исключительно трудным (см. обсуж-
обсуждение этого вопроса Брауэром [63, стр. 135 —137]).
Только что изложенное доказательство использует теорему
Веддербёрна — Артина и некоторые результаты из теории матриц.
Оно иллюстрирует аксиоматический подход в математике: строится
математическая теория (в нашем случае теорема Веддербёрна —
Артина) и затем она последовательно используется для решения
связанных с ней проблем. Это очень мощный принцип в математи-
математике, поскольку многие вопросы получают естественную формули-
формулировку в рамках системы аксиом, которая, в свою очередь, возника-
возникает именно в связи с этими вопросами. Во многих случаях этот метод
оказывается эффективным ввиду того, что широкий класс проблем
без больших усилий приводит к системе аксиом. Но такой прин-
принцип имеет также и недостатки: A) каждая проблема обладает своим
собственным набором аксиом (предположениями), который может
привести к заметно более простым доказательствам, чем те, кото-
которые получены из общей системы аксиом; B) попытки решить
проблему, исходя из первоначальных принципов, могут оказаться
обескураживающими в результате огрубления математической
J) Здесь используется матричное представление алгебры.—Прим. перев.

582
Ч. III. Тензорная алгебра
интуиции. Следующая теорема или, точнее, ее доказательство
представляет собой классическое доказательство теоремы Машке.
Это в высшей степени оригинальное доказательство весьма поучи-
поучительно.
Сначала мы вводим лемму о функции следа на конечной группе,
а затем понятие расщепляемо-расщепляющейся алгебры.
13.22. Лемма и определение. Пусть к — коммутативное кольцо,
G — конечная группа, и пусть А, В, А± и Вх— правые kG-модули,
а Е есть (kG, кС)-бимодулъ. Отображение
Е-+Е
Тг
¦Г"
»1 а у
•2 г»?
?G
является k-гомоморфизмом, таким, что
A) h TrG (х) = TrG (х) h для всех х?
Кроме того,
<2) TrG (А//2) = /aTrG (/) П
для любого к-гомоморфизма / и к @)-гомоморфизмов
h 6 G.
и /в,
и TrG (/) является kG-гомоморфизмом.
Доказательство. Равенство A) следует из того, что
hG = Gh — G для всех h ? G (т. е. умножение на h переставляет
элементы группы G). В самом деле, имеем
h ¦ TrG (x) = h 2^ g-'xg = 2 hg+xg =
ix
) h = TrG (x) h.
Далее, ясно, что Homk(A, В) является (kG, А:С)-бимодулем.
Поэтому для него определено отображение TrG и имеет место A).
В частности, отсюда вытекает, что TrG(/) является AG-гомоморфиз-
мом для любого / 6 Homft(yl, В). Более того,
2
g?G
= 2 А (
g?G
1
= /i
(/) /„
что доказывает B). ?
Гл. 13. Алгебры над полями
583
Говорят, что А-алгебра А является А-расщепляемо-расщепляю-
щейся алгеброй, если для каждой точной последовательности
О
¦О
А-модулей выполняется такое утверждение: последовательность
C) расщепляется как последовательность .Д-модулей тогда и толь-
только тогда, когда она расщепляется как последовательность А-моду-
лей1).
Поскольку из Л-расщепляемости всегда следует А-расщепля-
емость, то суть этого условия состоит в том, что из /е-расщепля-
емости обязана следовать А-расщепляемость. Это эквивалентно
условию, что если 4-подмодуль модуля Q является к -прямым сла-
слагаемым, то он также и 4-прямое слагаемое.
13.23. Теорема. Пусть G — группа конечного порядка пик —
коммутативное кольцо, такое, что п = п-i — обратимый элемент
в к. Тогда групповая алгебра kG является к-расщепляемо-расщепля-
ющейся алгеброй.
Доказательство. Пусть М — Л-модуль й N — его
yl-подмодуль, являющийся прямым слагаемым левого А-модуля М.
Запишем М = N Ф N', где N' есть /с-подмодуль модуля М. Пусть
р: М -> N — проекция параллельно N', a i: N -> М — включе-
включение. Тогда
pi = lw.
Кроме того, поскольку ix = x для всех х, лежащих в N, то
igx
= gx = gix для всех g (E G, x ? N.
Поэтому i является AG-гомоморфизмом. Применяя теперь к равен-
равенству pi = lN отображение TrG и учитывая равенство B) из 13.22,
получаем
TrG(pi) = Tiu(p) i = TrG(lw) = пЛю
где п — порядок группыG. Следовательно, иTrG (p), и /г~1гГгй(р):
N ->• М являются AJG-гомоморфизмами. Поскольку n~xTvG (p) ч =
— iN, это доказывает, что N — прямое AG-слагаемое. ?
13.24. Упражнение. Применить 13.23 для доказатель-
доказательства теоремы Машке.
х) В литературе такую алгебру иногда называют «полупростой» или гово-
говорят, что она имеет нулевую относительную глобальную размерность. (Ср.
Хохшильд [,56,] [58].)

584
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 13. Алгебры над полями
585
Порядки в алгебрах
13.25. Определение. Пусть А — алгебра с конечным базисом
над коммутативным кольцом к, совпадающим со своим кольцом
частных, и R — правый порядок с единицей в к. Тогда /?-порядком
в А называется /?-предподалгебра В, которая конечно порождена
в mod-/? и такова, что справедливы следующие эквивалентные
условия:
13.25.1. В содержит /с-базис алгебры А.
13.25.2. Вк = А.
Тогда
А = {ba~x\ Ъ 6 R, а ? В. я а — регулярный элемент}.
Доказательство предоставляется читателю.
13.26. Пример.
13.26.1. Если В — алгебра, имеющая конечный базис над Rr
то В является Л-порядком в ^-алгебре Bk= В <8> к.
R
13.26.2. Групповая алгебра RG конечной группы является
Л-порядком в /е-алгебре kG.
13.26.3. Пусть В есть /?-порядок в ^-алгебре А над полем к.
Поскольку dimkA конечна, то алгебра А полулокальна и в дей-
действительности артинова. Таким образом, результаты гл. .10 (ср.
также гл. 25) применимы к этим порядкам. Итак, из теоремы Машке
вытекает, что групповая алгебра RG конечной группы является
порядком в полупростой алгебре kG, если R — порядок в бихарак-
бихарактеристика поля к не делит порядок группы G. В любом случае RG
является порядком в квазифробениусовой (QF-) алгебре. (См.
13.27.7.) По /?-порядкам имеется обширная литература. См.г
например, Джекобсон [47], Дейринг [48], Ауслендер — Голдман
[60а] и Кэртис — Райнер [69, в особенности стр. 515 и далее].
13.27. Упражнения.
13.27.1. (а) Если G — конечная группа, то целочисленное
групповое кольцо UG не содержит идемпотентов, отличных от О
и 1. (Ь) Каждый проективный Жб^-модуль свободен.
13.27.2. Если G — конечная группа, R — коммутативное коль-
кольцо и V — простой /?С?-модуль, то V — конечномерное простран-
пространство над End VRG.
13.27.3. Если К — поле характеристики 0, G — конечная груп-
группа и d (KG) = {%,. . . , nd} — инварианты Веддербёрна (см.
13.7) для полупростой алгебры KG, то d равно числу классов
сопряженности группы G.
13.27.4 (Коннел [63]). Пусть G — конечная группа. Если А —
самоинъективное справа кольцо, то групповое кольцо AG также
самоинъективно справа.
13.27.5 (Коннел). Если групповое кольцо AG над кольцом А
самоинъективно справа, то А самоинъективно справа и G —
периодическая группа, т. е. каждый элемент группы G имеет
конечный порядок.
13.27.6 (Коннел). Пусть G —группа и А —кольцо. Тогда A G —
артиново справа кольцо в том и только том случае, когда А арти-
ново справа и группа G конечна.
13.27.7. Если G — конечная группа, то групповое кольцо AG
над кольцом А квазифробениусово тогда и только тогда, когда А
квазифробениусово. (Ср. гл. 12, упр. 6.)
13.27.8. Найти необходимые и достаточные условия на R и G
для того, чтобы RG было первичным кольцом [соотв. совершенным
кольцом (см. гл. 22)]. (Ср. Коннел [63]; Вудс [71].)
13.27.9. Пусть G и Н — конечные группы. Для любого ком-
коммутативного кольца R имеет место канонический изоморфизм
R(G X Я)
RG® RH
R
/?-алгебр, где G X Н — прямое произведение групп.
13.27.10 (Ауслендер [58]). Группа называется локально конеч-
конечной, если каждое ее конечное подмножество порождает конечную
подгруппу. (Таким образом, абелева группа локально конечна
тогда и только тогда, когда она периодическая.) Групповая алгеб-
алгебра kG локально конечной группы G является регулярным коль-
кольцом в том и только том случае, когда к — регулярное кольцо с одно-
однозначным делением на порядок каждого элемента группы G. Для
того чтобы kG было регулярным без предположения локальной
конечности группы G, необходимо, чтобы G была периодической
группой, а к обладало указанным выше свойством делимости.
Нильпотентные базисы
В этом параграфе понятие скалярного расширения вместе
с теоремой Веддербёрна — Артина для алгебр применяются для
того, чтобы получить теорему Веддербёрна об алгебрах, имею-
имеющих нильпотентный базис. (Они являются нильпотентными.)
Подобно первому доказательству теоремы Машке, доказатель-
доказательство этой теоремы показывает, каким образом теория матриц ис-
используется для изучения строения алгебр конечной размерности.
Пусть К — алгебраически замкнутое поле и а — матрица
в полной матричной алгебре Кп степени п над К. Таким образом
а=

586
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 13. Алгебры над полями
587
13.28. Теорема (Веддербёрн [37]). Если R — конечномерная
алгебра над полем к и предподалгебра В имеет базис хи . . ., хп,
состоящий из нильпотентных элементов, то В нилъпотентна.
Доказательство. Множество А = {а -{- b \ a ? к, 6 ?
? В} является подалгеброй. Так как 1 ? А, то А — алгебра и В —
идеал алгебры А, такой, что А/В — поле, изоморфное к. Пусть
N=vadA. Поскольку А артинова, то N нильпотентен, AIN
полупроста, и поэтому N есть пересечение максимальных идеа-
идеалов алгебры А. Теперь ясно, что В нильпотентна тогда и только
тогда, когда В ?= N. Если В с? N, то В не лежит в некотором
максимальном идеале М. Так как В — идеал, то В + М — А.
Тогда простая алгебра С= AIM имеет базис, состоящий из смежных
классов [xi + М], . . ., [xt + М], где t ^ п, т. е. существует
простая алгебра С, обладающая нильпотентным базисом.
(Мы хотим показать, что это невозможно.) Мы можем предпола-
предполагать, что С центральна. Тогда если К — алгебраически замкну-
замкнутое поле, содержащее к, то В' = С <8> К — центральная простая
к
алгебра над К (см. 13.9) с нильпотентным базисом. Пусть 6t, . . .
. . ., bg — нильпотентный базис алгебры В'. По теореме 13.6
Веддербёрна В' — полная алгебра матриц, изоморфная Кп. Если
8 g
а = 2 а,Ь,, а, ? К, i = 1, . . ., g, то Тг (а) = 2 а*Тг (bf). Так
t=l г=1
как bt нильпотентны, то по замечанию, предшествующему 13.21,
Тг (Ьг) = 0, i = 1, . . ., g, и поэтому Тг (а) = 0. Это верно для
всех а ? Кп. Так как Кп содержит нильпотентные элементы, то оно
не может быть полем, следовательно, п > 1. Если {e^jij =i —
любое множество п X га-матричных единиц алгебры Кп, то Тг (еп) =
= 1, что и дает желаемое противоречие. ?
v Упражнения к гл. 13
1. Если А — конечномерная центральная простая алгебра
надполем С, то dimc А = п2, где п — целое число. [Указание: пусть
К — алгебраически замкнутое поле, содержащее С. Тогда Ак =
= А ®СК « Кп в силу 11.41.]
2. Если А — конечномерная центральная простая алгебра
над полем С и п = dimc А, то Аор ® А &Сп. [Указание: пусть R =
с
= Аор (8) А Тогда А — правый Л-модуль, где с (а0 <8> Ъ) — асЪ
с
для любых а, Ъ, с ?А. Пусть /6 End AR. Показать, что соот-
соответствие /i->/A) — изоморфизм End AR « С. Так как/? — про-
простая алгебра, то отображение ср: R-+A, где ф (а0 <8> Ъ) = аЪ,
является расщепляющимся Л-эпиморфизмом. Это отображение рас-
расщепляется, поскольку R — классически полупростое кольцо и,
следовательно, каждый Л-модуль проективен. Но тогда модуль AR
является образующим (почему?) и, следовательно, сбалансирован.
Таким образом, R » Endc4. Ср. с группой Брауэра, упр. 4(Ь) и
]
3. Воспользоваться упр. 2 для того, чтобы показать, что тен-
тензорное произведение центральных алгебр с делением не обязано
быть телом (на самом деле не обязано даже быть областью цело-
целостности).
4. Группа Брауэра. Две конечномерные центральные простыв
алгебры А и В над К называются подобными {А ~ В), если
существуют полные матричные алгебры Кт и Кп и изоморфизм
А <8> Кт « В <8> Кп.
(a) Показать, что А ~ В является отношением эквивалент-
эквивалентности. {Указание: Кр <8> Kq » Kpq.) Установить, что это опре-
определение отношения ~ совпадает с использованным ранее, а именно
что А ~ В тогда и только тогда, когд тоА-А та mod-5.
(b) Пусть [А] обозначает класс эквивалентности конечномер-
конечномерной центральной простой алгебры А. Пусть, далее, Вг (К) обоз-
обозначает множество классов эквивалентности таких алгебр над К.
По теореме Веддербёрна [А] — [D] для некоторой алгебры с деле-
делением D. (Если D и Е — такие алгебры с делением, что [D] =
= [Е], то D яа Е.) Показать, что
[А] [В] = U ® В]
к
— бинарная операция на Вг (К), относительно которой Вг (К)
является абелевой группой, называемой группой Брауэра поля
К. По упражнению 2 [А]-1 = L4°e].
* (с) Показать, что группа Вг (К) для любого поля К является
периодической. Установить, что если dimK А п, то [А]п —
единица группы Брауэра, т. е. если 0пА обозначает п-кратное
к
тензорное произведение, то ®пА та Кт для некоторого т.
к
5. Полем расщепления центральной простой алгебры А над
К называется поле F э К, такое, что А ® F является полной
к
алгеброй матриц над F, т. е. такое, что [А <8> F] — единица в груп-
к
пе Вг (F). Максимальным подполем алгебры А называется под-
подполе F, являющееся максимальным элементом в частично упоря-
упорядоченном множестве подполей алгебры А. (Такое поле F обяза-
обязательно содержит % (А).)
(а) Пусть D — конечномерная центральная алгебра с деле-
делением над К. Тогда любое максимальное подполе алгебры D является
нолем расщепления. Более того, D содержит сепарабеЛьное макси-

588
Ч. III. Тензорная алгебра
мальное подполе и, следовательно, сепарабельное поле расщепле-
расщепления.
(Ь) Любая простая центральная алгебра конечной размерности
имеет сепарабельное поле расщепления.
6. Для любого коммутативного кольца к обертывающей алгеб-
алгеброй Ае алгебры А над к называется алгебра А ® A°v. В этом
k
случае А является каноническим правым у1е-модулем, а именно:
х (а <8> 6°) = Ъха для всех a, b, x ? А.
Тогда А называется сепарабельной алгеброй, если А является
проективным А "-модулем.
(a) (Хохшильд) Показать, что алгебра А сепарабельна тогда ]
и только тогда, когда Ае есть /с-расщепляемо-расщепляющаяся
алгебра. В этом случае алгебра А также Л-расщепляемо-рас-
щепляющаяся.
(b) Если к — поле и А конечномерна, то показать, что условие
а) характеризует сепарабельные алгебры.
7. Говорят, что алгебра А над коммутативным кольцом к есть
алгебра Адзумаи, если А конечно порождена, центральна и сепа-
рабельна над к. В этом случае имеют место канонический изо-
изоморфизм Ае да Endfe^4 и /с-линейная эквивалентность m.od-Ae да
да mod-A. Верно и обратное.
8. Алгебра А является алгеброй Адзумаи тогда и только тогда,
когда для каждого максимального идеала Q кольца к канонически
определенная (А/0-алгебра AIQA центральна и проста и А — \
конечно порожденный проективный точный модуль над к.
9. Алгебра А над к называется идеальной, если идеальное ото-
отображение^ >—*¦ QA идеалов кольца к в идеалы алгебры А является
биекцией. Алгебра А является алгеброй Адзумаи тогда и только
тогда, когда ее обертывающая алгебра Ае идеальна, а модуль Ah
конечно порожден. Каждая алгебра Адзумаи идеальна. (Ср. Рао ;
[72].)
10. (а) Говорят, что две алгебры Адзумаи А ж В подобны, если
существует /с-линейная эквивалентность mod-^l да mod-5. Это
эквивалентно существованию изоморфизма ^-алгебр
А ® EndftP да В ® EndhM
h k
для подходящих конечно порожденных проективных точных к-мо-
дулей Р и М.
(Ь) Группа Брауэра коммутативного кольца (Адзумая [51]),
Ауслендер и Голдман [60]). Пусть (А) обозначает класс подобия
Гл. 13. Алгебры над полями
589
алгебры Адзумаи А над к. Множество Вг (к) всех классов подобия
является абелевой группой относительно операции
(А) (В) = (А ® В). ¦
Показать, что Вг (к) — периодическая группа (Гротендик [65];
ср. Кнус и Оянгурен [72]).
11. Говорят, что центральная алгебра А над к централизуема,
если каноническое отображение) А ® %в (А) -*¦ В является изо-
h
морфизмом для каждой центральной алгебры В над к, содержа-
содержащей А. Любая алгебра Адзумаи и, в частности любая центральная
простая конечномерная алгебра, централизуема. Обратно, если
А конечно порождена и проективна над к я А централизуема,
то А является алгеброй Адзумаи.
Замечания к гл. 13
Теоремы этой главы являются классическими, многие их обоб-
обобщения обсуждаются в упражнениях. Так что «замечания» могут
показаться излишними. Тем не менее мы воспользуемся представ-
представляющейся возможностью и обсудим некоторые относящиеся к теме
результаты из других публикаций.
Простая центральная алгебра А конечной размерности над
к называется скрещенным произведением, если в А существует
сепарабельное нормальное максимальное подполе N. В этом слу-
случае каждый элемент gt группы Галуа G = {gx, . . ., gn} расши-
расширения Nik индуцируется внутренним автоморфизмом 1и. алгебры
А, г = 1, ..., п, и {их, . • ., ип} является базисом векторного
пространства А над N. Алгебра А называется циклической, если
А есть скрещенное произведение и группа G циклическая. Цик-
Циклические алгебры были открыты Диксоном (см., например, его
книгу [23], озаглавленную «Алгебры и их арифметика») и в резуль-
результате их обобщения Брауэром и Нётер (ср. Дейринг [48, стр. 53,
55, 56 и предисловие]) появились скрещенные произведения.
Рациональной алгеброй называется алгебра конечной размерности
над полем к алгебраических чисел (т. е. над конечным расшире-
расширением к поля Q-). Каждая рациональная простая центральная алгеб-
алгебра является циклической (теорема Брауэра — Нётер — Хассе;
ср. Дейринг [48, стр. 118]). Первые нециклические алгебры были
обнаружены Албертом (в 1938 г. в статье в Bull. Amer. Math.
Soc.1), а первая «нескрещенная» алгебра — Амицуром (см. Ами-
цур [72/73]).
А. В. Ройтер [68] доказал гипотезу Брауэра — Тролла: Пусть
А — конечномерная алгебра над полем к, и допустим, что суще-
х) 44 A938), 576—579.— Прим. перев.

590
Ч. III. Тензорная алгебра
Гл. 13. Алгебры над полями
591
ствует целое число N, такое, что каждый неразложимый правый
А -модуль М имеет dimkM < N. Тогда множество классов изо-
изоморфных конечно порожденных неразложимых правых А-моду-
лей конечно. [Кроме того, ввиду двойственности между конечно
порожденными правыми и конечно порожденными левыми моду-
модулями (определенной в гл. 12, упр. 8) множество классов изоморф-
изоморфных конечно порожденных неразложимых левых yl-модулей
конечно.] В действительности, хотя А. В. Ройтер доказывает эти
результаты для конечномерных алгебр, он утверждает, что они
верны для артиновых колец, при этом предполагается, что число
N больше числа элементов минимальной системы образующих
любого неразложимого модуля '). (Ср. замечания к гл.20. О гипо-
гипотезе Брауэра — Тролла для групповых алгебр см. Януш [69]).
Данное нами определение Л-порядка В в алгебре А над полем
к эквивалентно определению Ауслендера — Голдмана [60а], если
R является целозамкнутой областью целостности. В этом случае
при предположении, что А — центральная простая алгебра,
В содержится в максимальном порядке. (Васе [73] это доказал
при несколько иных предположениях. См. его теорему 8.5, стр. 132.)
Если R — дедекиндова область, то любой максимальный порядок
в центральной простой алгебре А является наследственным нёте-
ровым кольцом (об этом, а также о частичном обращении см.,
например, Ауслендер — Голдман [60а, стр. 8, теорема 2.9] и Басе
[73, стр. 136, теорема 8.7]. Ср. также Дейринг [48] и Джекобсон
[47]).
Форманек [72] 2) доказал, что если В — правыйпорядок в конеч-
конечномерной простой алгебре А, то центр кольца В является поряд-
порядком в центре алгебры А. Более того, если В — правый порядок
в теле А и G — конечная группа автоморфизмов кольца В, кано-
канонически расширенная до конечной группы автоморфизмов тела
А, то подкольцо неподвижных относительно G элементов кольца
В есть правый порядок в подкольце неподвижных относительно
G элементов тела А (Фейс [72с]).
Обобщением теоремы о полупростоте групповой алгебры kG
конечной группы G над полем к характеристики 0 является утвер-
утверждение, установленное Амицуром [56] (и другими) о том, что kG
имеет нулевой радикал для любого несчетного поля характери-
характеристики 0 3). (См. гл. 26.) Для счетных полей проблема все еще остается
открытой. Форманек [72Ь] доказал, что kS, где S = U Sn, полу-
*) Тем не менее создается впечатление, что само доказательство не про-
проходит для артинова случая без доказательства некоторых дополнительных
лемм.
2) См. также В. Т. Марков, Изв. АН СССР, серия мат., 37 A973),
стр. 284—288.— Прим. перев.
3) И любой группы G.— Прим. перев.
проста над любым полем к. Форманек — Снайдер [72] доказали
существование примитивных групповых алгебр, воспользовавшись
для этого результатом Коннела [63], выясняющим, когда груп-
групповое кольцо R [G] первично. (Это имеет место тогда и только
тогда, когда R первично, a G не имеет конечных нормальных под-
подгрупп.)
Ссылки
Адзумая [51], Амицур [56], [72], Ауслендер [57], Ауслен-
Ауслендер - Голдман [60а], Брауэр [63], Веддербёрн [08], [37], Вудс 71 ,
Гротендик [65], Джекобсон [47], [64], Дейринг [48], Диксон 123J,
Кнуси Оянгурен [72], Коннел [63], Кэртис — Райнер [69], Машке
[98], Рао [72], Ройтер [68], Фейс [72с], Форманек [72а], [72Ы,
Форманек и Снайдер [72], Хохшильд [56], [58], Януш [69].

Часть IV
СТРОЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ КАТЕГОРИЙ
I
Абелева категория С с копроизведениями является кополной
F.3) и называется АВЗ-категорией. Тогда для каждого объекта
существуют суммы любого семейства его подобъектов. Если
к тому же пересечение дистрибутивно относительно суммы в том
смысле, что
где {Ai}i?i — любое направленное семейство подобъектов произ-
произвольного объекта А категории С я В — любой подобъект объекта
А, то говорят, что категория С является АВ5-категорией (Гротен-
дик [57]). (АВ5-категория, в которой произвольные пересечения
дистрибутивны относительно суммы, называется АВб-категорией.
См. гл. 15, упражнения.) АВЗ-категория является АВб-катего-
АВб-категорией тогда и только тогда, когда она имеет точные прямые пределы
A4.6) или, эквивалентно, прямой предел любого направленного
семейства подобъектов есть подобъект (и в этом случае прямой
предел равен сумме).
Категорией Гротендика называется АВ5-категория с образую-
образующим. В такой категории каждый объект обладает инъективной
оболочкой A4.17). Это свойство необходимо для доказательства
главного результата гл. 14 — теоремы 14.21 (Фрейда, Лабкина)
о вложении, которая утверждает, что каждая малая абелева кате-
категория С допускает точное ковариантное вложение С ~+ mod-Z.
Теорема 15.30 (Митчелла) о полном вложении утверждает, что
малая абелева категория С допускает полное точное вложение
С "->• mod-^4 для подходящего кольца А. (Она также дает и точное
вложение С ~» mod-Z.)
Факторкатегории вводятся в гл. 15. Полная подкатегория <fjP
абелевой категории Л называется классом Серра, если для каж-
каждой точной последовательности 0 —>- X —>- У —>-Z—>-0 в Л верно, что
Ч. IV Строение, абелевых категорий
593
Y ? of тогда и только тогда, когда X, Z ? df. Если Л локально
мала, то существует категория Л/аР, объекты которой суть объ-
объекты категории Л, а морфизмы определяются равенством
(X,Y) = lim
у,
', У/У),
Категория Л/аР является абелевой A5.7) и называется фактор-
категорией. Подкатегория Серра of называется локализующей
подкатегорией, если канонический функтор Т: Л ~+ Л131 имеет
правый сопряженный S: Л/аР ~* Л (называемый функтором
сечений), а их произведение Л ~* Л называется локализующим
функтором. Если Л — категория Гротендика, то для существо-
существования локализующего функтора необходимо и достаточно, чтобы
подкатегория аР обладала произвольными копроизведениями
или, эквивалентно, чтобы прямые пределы направленных семейств
объектов подкатегории <$Р, вычисляемые в Л, принадлежали У.
В этом случае для каждого объекта М категории Л существует
точная последовательность
где X, Y ? of и N of-замкнут в смысле 15.15. Пусть С — пол-
полная подкатегория cf-замкнутых объектов. Тогда локализующий
функтор индуцирует эквивалентность
•ф (N): N -+ STN
и существует эквивалентность категорий' Л131 » С. Морфизм
и: М —>- N определяется однозначно с точностью до эквивалентно-
эквивалентности категории Л и называется оУ-оболочкой объекта М. Она
обозначается через и™: М-+¦ Мд>. Если Л = mod-yl для неко-
некоторого кольца А, то A w — кольцо. В классических ситуациях
A6.8), когда локализующий функтор точен, он естественно экви-
эквивалентен функтору ®А q> и существует эквивалентность категорий
А &
mod-A/af та mod-A^,,
Эта ситуация имеет место в теореме 16.15 о локализации, обоб-
обобщающей на категории Гротендика теоремы о локализации для
коммутативных колец. Этот метод применяется также к частич-
частичным правым кольцам частных A6.9), обобщающим правые кольца
частных гл. 9 и 10, и к максимальным правым кольцам частных
в смысле Джонсона антисингулярных справа колец A6.12). (Ср.
также гл. 19.)
3 8 К. Фейс

594
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Классическое направление теории модулей состоит в уста-
установлении связи между внутренними свойствами кольца А и внеш-
внешними (для А) свойствами категории то&-А. Например, A) каждый
модуль полупрост тогда и только тогда, когда А классически полу-
полупросто (8.12); B) если А не является классически полупростым
кольцом, то
r.gl.dim A = sup{h.dim I\I дй}-)-1
(8.21); C) характеризация 11.24 колец, над которыми все модули
плоские, как регулярных колец, т. е. колец, каждый главный
правый идеал которых порождается идемпотентом. Эти примеры
могут быть по желанию приумножены, так как в известном смысле
это и есть теория колец (и модулей).
В этом направлении, естественно, возникает вопрос о внутрен-
внутренней связи локализующих подкатегорий категории тоА-А с коль-
кольцом А. Ответ на него дает теорема 16.3 Габриеля, которая уста-
устанавливает соответствие
С *-+ & (С) = {/ = А | А/1 6 Obj С}
между локализующими подкатегориями категории mod-yl и семей-
семействами правых идеалов кольца А. Множество ?F (С) является
идемпотентным и топологизирующим радикальным фильтром
в смысле 16.3. Обратно, любое идемпотентное и топологизирую-
щее множество F правых идеалов кольца А соответствует лока-
локализующей подкатегории <SP(F) категории mod-A, состоящей из всех
модулей М, таких, что для каждого х ? М правый идеал аппАх
принадлежит F. Более того, в силу изложенного выше для кате-
категорий Гротендика, факторкатегория mod-yl/cf эквивалентна пол-
полной подкатегории С категории mod-A, состоящей из сУ-замкну-
тых модулей, или подкатегории, состоящей из делимых модулей
без кручения в терминологии теории кручений, появляющихся
в гл. 16. То же самое соответствие может быть использовано для
характеризации классов Серра и классов замкнутых полных под-
подкатегорий категории mod-A A6.2). В этих случаях^ (/^-оболочка
Ma>.F. модуля М обозначается через MF и, в частности, Aa>.F.
обозначается через AF.
Глава 15 содержит теорему 15.26 Попеску—Габриеля, кото-
которая характеризует категории Гротендика как факторкатегории
категорий модульного типа.
Глава 16 завершается теоремой 16.20 супругов Уокер, утвер-
утверждающей, что категория mod-A определяется в очень сильном
смысле кольцом эндоморфизмов любого собственного образую-
образующего. Этот результат обобщает известные теоремы для областей
главных правых идеалов и квазифробениусовых колец. (Ср. гл. 24.)
Гл. 14. Категории Гротендика
595
Глава 14
КАТЕГОРИИ ГРОТЕНДИКА
Гротендик [57] ввел следующие обозначения свойств абелевых
категорий:
АВЗ. Абелева категория с копроизведениями или, эквивалент-
эквивалентно, кополная абелева категория.
АВ4. Категория, являющаяся АВЗ-категорией, в которой
любое копроизведение ПАг-э-П5г мономорфизмов {Аг->
для
произ-
произie
->-B;}iei есть мономорфизм.
АВ5. Категория, являющаяся АВЗ-категорией, в которой
любого направленного семейства {Aj}{gj подобъектов пр
вольного объекта X и любого его подобъекта В
i?Z
2
i?Z
АВХ*. Свойство, дуальное к АВХ, X = 3, 4, 5.
Сумма любого линейно упорядоченного семейства {Ai}i&1 под-
подобъектов произвольного объекта X называется их объединением
и обозначается через U At. Если это семейство конечно и состоит
i?I
из
то U А% = Ап.
г?1
14.1. Предложение и определение. АВ5-категория с образующим
называется категорией Гротендика. Любая категория
Гротендика является локально малой 4) .
Доказательство. Кополная абелева категория с обра-
образующим локально мала (см. 5.23). ?
14.2. Теорема. Если С — абелева категория одного из следую-
следующих пяти типов: АВЗ-категория, ABk-категория, АВЪ-катего-
рия, локально малая категория либо категория Гротендика,
то такой же является и категория С для любой малой категории
L. Если же С — категория одного из первых четырех типов и L
аддитивна, то такой же будет категория (L, С) аддитивных
функторов L ~* С; в случае С — mod-Z (L, С) — категория Гро-
Гротендика.
Доказательство. Свойство АВЗ наследуется катего-
категорией CL в силу 6.16 и 6.18. Сохранение свойства АВ4 . выте-
Локально малые категории были,определены. перед,5.22.
38*

596
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Гл. 14. Категории Гротендика
597
кает из того, что копроизведения в С определяются поточечно,
и из утверждения 6.17 о том, что для точной категории тем же свой-
свойством обладают мономорфизмы. Если С—АВ5-категория и {Hi)^—
семейство объектов категории CL, то для любого объекта К кате-
категории С и объекта А категории С
i?Z
Поэтому С является АВб-категорией1). Если С локально мала,
то такова же и категория С1*, ввиду 6.16 (9). Аналогичные резуль-
результаты имеют место для категории (L, С), если категория L мала
и аддитивна. (Ср. 6.17 и 6.18.) Более того, в случае когда С =
= mod-Z, категория (L, С) имеет образующий F.20). Таким обра-
образом, если С = mod-Z, то (L, С) является категорией Гротендика.
(Ср. 6.25.) ?
14.3. Упражнение.
14.3.1. Пусть Т: С ~* D — вполне унивалентный функтор
из абелевой категории в абелеву, обладающий точным левым
сопряженным S: D ~* С. Тогда С наследует каждое из следующих
свойств категории/): АВЗ, АВ4, АВ5 и АВЗ*. Если, кроме того,
Т точен, то категорией С наследуются свойства АВ4* и АВ5*.
14.3.2. Пусть С — инъективно богатая абелева категория,
а категория D абелева. Тогда вполне унивалентный функтор
Т: С ~» D, сохраняющий инъективные объекты, удовлетворяет
условиям предыдущего упражнения, т. е. каждый левый сопря-
сопряженный к функтору Т точен.
14.3.3 '(Митчелл [65, стр. 84]). Если {At, n}i?L — направлен-
направленное семейство объектов в АВ5-категории и {/г: А—>-At}i?L —
финальный объект в категории compat л (таким образом, А =
= lim я), то
„ = 2 кег/г.
14.3.4. Если категория С удовлетворяет условиям АВ5 и АВ5*, ;
•то С = 0.
а) Тот факт, что CL является категорией Гротендика, если такова кате-
категория С, следует теперь из того, что функтор F: L ~* С, для которого F (X) =
= G — образующий категории С при всех X € Obj L и F (/) = 0 для всех
/ 6 Мог L, является образующим в категории CL.— Прим. перев.
14.4. Предложение. Пусть С есть АВЗ-категория и {ut: At —>-
—>- ^1 }igj — семейство мономорфизмов, направленное по вклю-
включению. Тогда {A/Aj}i^i — направленное семейство, и
—>• г?
Доказательство. Тот факт, что семейство {ut: At —>-
~+ A }i?j направлено по включению, означает, что / становится
направленным множеством, если его упорядочить по такому пра-
правилу: i ^ у тогда и только тогда, когда ui ^ Uj. Если pt: А —>-
-+AlAt — коядро морфизма ut: At-^ А для каждого i ? /, то по пер-
первой теореме Нётер E.34) об изоморфизме последовательность
0-^Aj/Ai -> А1АЬ -> AlAj ^> 0
точна, если i^/. Поэтому {А/Аг}г?1 — нанравленное семей-
семейство. Поскольку функтор прямого предела сохраняет коядра
(см. 5.43), то из точной последовательности
0,
получаем точную последовательность
lim At —> А—> lim A/At ¦
где и — lim ut. По 5.29 образ морфизма и равен ^At, следова-
-^ г?1
тельно, последовательность
0-
2
г?1
точна, что и требовалось. ?
Говорят, что абелева категория С имеет точные прямые
пределы, если для каждого направленного множества L имеют
место следующие эквивалентные условия:
A) Функтор копредела С ~* С точен.
B) Если 0 —>- F —>- G — точная последовательность в С ,
то последовательность 0 —*- lim F —*- lim G точна в С.
14.5. Предложение. Если С — инъективно богатая абелева
категория, то С имеет точные прямые пределы тогда и только
тогда, когда для любого направленного множества L постоянный
функтор С ~» С сохраняет инъективные объекты.
Доказательство. Если категория С инъективно бога-
богата, то по 6.28 функтор Т: С ~*D, обладающий левым сопряжен-
сопряженным, имеет точный левый сопряженный тогда и только тогда,
когда Т сохраняет инъективные объекты. ?

598
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Гл. 14. Категории Гротендика
599
14.6. Предложение. Следующие условия на АВЗ-категорию С
эквивалентны:
(a) С есть КВЪ-категория.
(b) С имеет точные прямые пределы.
(c) Полные прообразы коммутируют с суммами. Таким обра-
образом, для каждого морфизма /: В —>- А и направленного семейства
{^i}i?L подобъектов объекта А выполняется равенство
i?i t?L
(d) Для любого направленного множества L, если А — объект
категории С и О —>¦ F —>- с (А) х) — точная последовательность
в CL, то О ->¦ lim F ->- А точна в С.
(e) Если {F (i): At-^- A}i?L — произвольное направленное се-
семейство подобъектов объекта А категории С, то
limAt = 2 А%.
¦ —> i?L
i?L
(f) Прямой предел любого направленного семейства подобъектов
произвольного объекта А категории С также является его подобъек-
том.
Доказательство. Большей частью доказательство ис-
использует аргументы Митчелла [65, стр. 82—85).
(с) =>- (а). Если / обозначает включение подобъекта В в объект
А и {Аг}г?1 — семейство подобъектов объекта А, то В f] At =
= f^Ai, так что из (с) вытекает
i?I
V
(b)=^(d)<=>(e)
нического морфизма
г?1
2
г?/
(f). По 5.29 в АВЗ-категории образ кано-
каноlira Ai~^-А, где {Аг}г^ь — направленное
?
семейство подобъектов объекта А, равен сумме 2 At. Это уста-
i?L
навливает эквивалентность условий (d) и (е). Более того, условие
(f) есть просто переформулировка условия (d), тогда как (d) —
частный случай условия (Ь). Итак, (b) =^- (d) <=$¦ (е) <=> (f).
(b) =*- (с). Поскольку полный прообраз есть расслоенное произ-
произведение (см. пример 5.8.7, непосредственно предшествующий 5.9)
и так как из точности функтора прямого предела вытекает сохра-
сохрах) Здесь через с D) обозначен постоянный функтор со значением А. —
Прим. перев.
нение им конечных пределов, то отсюда следует, что
Г1 (lim Л,) = lim Г1 (^)-
i?L i?L
Теперь, поскольку (Ь) => (е), применение (е) дает (с),
((а) и (е)) =>- (с). Пусть / = im /. Если X ~> А — мономорфизм,
то последовательность
О _>. f-lX -»- В -> Л(Х П /) -»- О
точна. Итак, для каждого i 6 / последовательность
П Ai)-+0
точна. Поэтому в силу (е) точна последовательность
О -^ lim f-lAt -»- В -»- lim //(/ (]At)-+0,
т. е., ввиду 5.29 и 14.4, последовательность^
o-^2r%-^s-^//2(/n^o-^o
i?I i?Z
точна. По второй теореме E.36) Нётер об изоморфизме для точ-
точных категорий имеем
i?Z
((а) и (с)) =ф- (b). Пусть fe: F -> G — мономорфизм в Сь, где
L — направленное множество. Пусть, далее, А = lim F, В =
= lim G ж и: А -> 5—индуцированный морфизм пределов. Суще-
Существуют каноническиеморфизмы {a;: F(i)-+A}i?L, {be- G(?)—>-.В}i?i,,
{ (
причем по 5.29 4=2 ^i> гДе ^i =
i
Для всех
• Для
i?L
того чтобы установить точность функтора прямого предела,
необходимо и достаточно доказать его точность слева, поскольку,
ввиду 5.43, функтор прямого предела сохраняет копределы х).
Итак, достаточно показать, что морфизм и = lim h является
мономорфизмом. Мы покажем, что предположение К = кег и =/=0
приводит к противоречию. Действительно, тогда
A'k(] К фО ш М = а?(Ак П К) фО
И, следовательно, точен справа.—Прим. перев.

600
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Гл. 14. Категории Гротендика
601
для некоторого k ? L. Кроме того,
bh (h (к) (М)) = и (ak (М)) с= и (А'к П К) = и (К) = О,
т. е. h (к) (М) содержится в 2 Lkn = ker bh, где Lfen = ker G (fkn)
и /fe«: к-^-п (см. упр. 14.3.3). Так как С есть АВ5-категория, то
) = 2 ^пПЛ(Л)(М).
Поскольку, ввиду (с), суммы коммутируют с прообразами, отсюда
следует, что
M = h{k)-'h (к) (М) = h (к)'* B Lhn П h (к) (М)) =
Так как h (i) — мономорфизм для всех i ? L, то
*" (AJ (Л (Л) (Ькп П Л (Л) (М))) = 0
для всех и>- к и поэтому afe (/i (/с) (Lhn {] h (к) (М))) = 0 для
всех п^-к. Поскольку морфизмы перестановочны с суммами
(см. 5.28), то выписанное выше представление объекта М в виде
суммы показывает, что ah (М) = 0. Но ак — мономорфизм. Поэто-
Поэтому М = 0, и мы получаем противоречие. Итак, К = 0, и, следо-
следовательно, и — мономорфизм.
(а) =?- (е). Пусть {ft: At —>¦ А} — направленное семейство моно-
мономорфизмов категории С, f:L-^-A — прямой предел семейства
морфизмов {fi}i?i, и пусть {gt: At—>- L}^ — канонические мор-
морфизмы. По 5.29 L есть сумма 2 gi (^г) образов семейства (giWi
и im/=2^. Если ker/^O, то ker / f] gi (At) ф 0 для
некоторого г ? / и тогда g\l (ker /) ф 0. Итак, ker /г Ф 0, что
противоречит предположению о том, что /, — мономорфизм.
(е) =*- (а). Допустим, что прямой предел направленного семейст-
семейства подобъектов {^1,} есть подобъект. Тогда для подобъекта В
семейство {At + В} также направлено и сумма 2 (At+B) =
= B At) + В равна прямому пределу этого семейства. Так как
прямой предел сохраняет коядра, то последовательности
0-+B-+Ai+B-+(At+ B)/B-+0
индуцируют точную последовательность
В-+(Ц А,) + В-+\im (At+В)/В-+0,
т.е.
lim (At+B)/B =
Аналогично, последовательности
0-*-At [\B-+Ai^{Ai
индуцируют точную последовательность прямых пределов
0-* 2 (At f]B) -> 2 At ~> (B At) +B)/B + О1).
г
Но поскольку точна также и последовательность
(первая теорема Нётер об изоморфизме E.34)), то условие АВ5
2 {At П В) = B At) П В выполняется. ?
г г
14.7. Следствие для категории Гротендика. Каждый объект А
категории Гротендика С является прямым пределом направлен-
направленного семейства конечно порожденных подобъектов объекта А.
Доказательство. По 14.1 С локально мала, поэтому
класс подобъектов объекта А есть множество. Поскольку сумма
Аг-\- Аг двух подобъектов есть образ морфизма из их копроиз-
ведения Аг ® А2~>- А, то объект Ах + А2 конечно порожден,
если конечно порождены Аг и А2. Следовательно, семейство
{At}i?i конечно порожденных подобъектов является направлен-
направленной системой и канонический морфизм / прямого предела L —>- А —
мономорфизм в силу предложения 14.6. Если / — не эквивалент-
эквивалентность, то существует морфизм h: U-*-А, не пропускающийся
через /. С другой стороны, поскольку im h конечно порожден,
то im h меньше /, т. е. h пропускается через /, и мы получили
противоречие. ?
14.8. Упражнение. Категория С называется локально
нётеровой, если С есть категория Гротендика, обладающая таким
множеством образующих {Ut}i?i, что Ut — нётеров объект кате-
категории С для всех i ? /.
Если С — категория Гротендика, М — ее нётеров объект
и Р = lim Pt — объект, являющийся прямым пределом направ-
*) Так как, ввиду (е), 2 Иг П-В) является прямым пределом.— Прим.
г
перев.

602
Ч. IV. Строение абелевых категорий
ленного семейства {JP;}iei своих подобъектов, то канонический
морфизм
lim Morc {M, Pt) -> Morc (M, lim Pt)
"itl ~itl
есть эквивалентность. Вывести отсюда, что в локально нётеровой
категории копроизведения инъективных объектов инъективны.
Инъективные оболочки
В этом параграфе С будет обозначать абелеву категорию.
Если А — объект категории С, то расширением объекта А назы-
называется мономорфизм А -> Е. Расширение А -> Е называется собст-
собственным, если оно не является эквивалентностью, тривиальным,
если А -> Е расщепляется, и существенным, если А' {] А фО
для любого ненулевого мономорфизма А' -> Е.
14.9. Предложение. Расширение А ->- Е является существен-
существенным тогда и только тогда, когда каждый морфизм Е —>¦ В, такой,
что А —*• Е —>¦ В — мономорфизм, является мономорфизмом.
Доказательство. Если кег (Е -> В) ф 0, то 0 ф
^=кег (Е -> В) Г) А — кег (Л -> 5). Обратно, предположим, что
А П -4' = 0 для некоторого ненулевого мономорфизма Л' ~> ?.
Тогда ясно, что А -> Е -> Е/А' — мономорфизм, но Е -> .Е/Л'
таковым не является. ?
14.10. Предложение. Объект А в С инъективен тогда и толь-
только тогда, когда все его расширения тривиальны {т. е. каждый
мономорфизм А -> Е расщепляется). ?
Это предложение дуально к 6.8.1.
14.11. Теорема. В локально малой АВ5-категории С объект А
инъективен в том и только том случае, когда он не имеет собст-
собственных существенных расширений.
Доказательство. Каждое расширение инъективного
объекта тривиально. Следовательно, если оно собственное, то
не может быть существенным.
Допустим теперь, что А не имеет собственных существенных
расширений и А -> Е — произвольное расширение. Так как С
есть АВ5-категория, то упорядоченное множество S подобъектов
А' объекта Е, таких, что А' |~) А = 0, индуктивно, т. е.
Гл. 14. Категории Гротендика
603
B)п 2(
для каждой возрастающей цепи {At \ i ? /} в S. По лемме Цорна
в S существует максимальный элемент А'. Тогда А' — подобъект
объекта Е и A-+E-+EIA' —существенное расширение. Оно
является эквивалентностью тогда и только тогда, когда А есть
ретракт объекта Е. (Ср. 3.59.) ?
14.12. Критерий Бэра. Пусть R — кольцо и А — объект
категории mod-i?. Тогда А инъективен в том и только том слу-
случае, если отображение hA (В.) -> hA (/) является эпиморфизмом
для каждого правого идеала I кольца R.
Доказательство (Фрейд). Если а 6 А, то пусть
i? Д 4 — отображение, определяемое соответствием 1 н-*- а. Мы
покажем, что из условий предложения вытекает отсутствие у А
собственных существенных расширений. Пусть icB, b?B,
bQA, и рассмотрим коуниверсальный квадрат
По 5.10.2 отображение / —>¦ R — мономорфизм. Поэтому по
предположению существует а^А, такой, что (/—> i? —> А) =
= (/ -> А). Тогда Ъ — а ф0 ш {b — a) R ft A = 0. Таким обра-
образом, В не является существенным расширением объекта А. ?
14.13. Лемма. Если А -> Е и Е -> В—расширения, то
(А ->¦ В) = (А -> Е -> В) существенно тогда и только тогда,
когда А —> Е и Е —> В оба существенны.
Доказательство предоставляется читателю. Q
Инъективной оболочкой объекта А называется существенное
расширение А —>¦ Е, в котором Е инъективен.
14.14. Предложение. Если ut: А -> Et, i = 1, 2, — инъектив-
инъективные оболочки объекта А, то существует эквивалентность /: Ег ->
-> Е2, такая, что диаграмма
коммутативна.

604
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Доказательство. Морфизм /: Ег -> Е2 существует
в силу инъективности объекта Е%. Так как fux = и2 — мономор-
мономорфизм и и± существен, то / — мономорфизм по 14.9. Поскольку
и% — также существенный, то по предыдущей лемме существен
морфизм /. По 14.11 расширение /: Ех —>¦ Е2 не может быть собст-
собственным, т. е. / — эквивалентность. ?
14.15. Предложение. Пусть С есть АВ5-категория. Если
{ut: А(—> А} — направленное семейство подобъектов объекта А
категории С и {В —>¦ A i} — существенное расширение для каж-
каждого i, то B-^-^Ai —существенное расширение.
Доказательство. Здесь (i?~>2 At) = {B^-Aj ->2М*)
для любого /. Если X — ненулевой подобъект суммы 2^ь то по
свойству АВ5 X — 2(^41 П ^0- Поэтому At |~| X фО для неко-
некоторого i. Но В—>¦ Аг— существенное расширение, откуда сле-
следует, что В Г) (At Г) X) фЬ. Таким образом, В f\ X фО. П
14.16. Следствие. Если С — локально малая АВ5-категория,
то объект А обладает инъективной оболочкой тогда и только
тогда, когда А имеет инъективное расширение X.
Доказательство. Объект X является расширением
каждого существенного расширения объекта А. Обозначим через Е
функцию Obj С ->¦ Obj С, такую, что EY является существенным
расширением объекта Y для всех Y ? Obj С, причем EY = Y
тогда и только тогда, когда объект Y инъективен. Для каждого
ординального числа а положим
Еа+1А = Е(ЕаА),
а если а — предельное ординальное число, то определим
EfiA= U Е$А.
Р<ех
По предыдущему результату ЕаА — существенное расширение
объекта А для всех A ? Obj С и а. Если а — ординальное число,
мощность которого больше мощности множества всех подобъектов
объекта X, то для всех у ^ а обязательно ЕЧА = ЕаА. Но тогда
ЕаА не имеет собственных существенных расширений и, следо-
следовательно, является инъективной оболочкой объекта А. ?
14.17. Теорема. Пусть С — категория Гротендика. Тогда С
инъективно богата, обладает кообразующим, и каждый объект
имеет инъективную оболочку.
Комментарии к доказательству. A) По лемме 14.16 и следст-
следствию 6.6 достаточно показать, что С инъективно богата.
Гл. 14. Категории Гротендика
605
B) Митчелл [65, стр. 89—90] доказывает это, рассматривая
вложение h : С ~» mod-Z, где U — образующий категории С,
и используя тот факт, что каждый объект категории mod-Z
имеет инъективную оболочку.
C) По теоремам 4.29 и 5.70 Попеску и Габриеля функтор hu
индуцирует полное вложение Т: С — mod-Л, где А = Endc U.
Более того, Т — коретракция (см. 5.70), т. е. Т обладает левым
сопряженным S и ST« 1С. Можно показать (см. 15.24), что
существуют факторкатегория mod-4/ker S, обладающая инъек-
тивными оболочками, и в силу 15.26 эквивалентность С »
л? mod-4/ker S.
С этими замечаниями доказательство предоставляется читате-
читателю в качестве упражнения. ?
14.18. Предложение. Если С — малая абелева категория и Т —
инъективный объект категории Adfunct (С, mod-Z), то функ-
функтор Т точен справа.
Доказательство. Если А' -*¦ А -+ А" ->¦ 0 — точная
последовательность в С, то по 6.23 последовательность 0 ->
->¦ hA" -> hA -> hA' точна в F — Adfunct (С, mod-Z). В силу
инъективности в F объекта Т функтор MorF ( , Т) является точ-
точным. Поэтому последовательность
MorF(/iA', T)-+MorF(hA, T)-+MorF(hA", Г)-»-0
точна. Тогда естественный изоморфизм MorF (hB, T) ж ТВ, уста-
установленный в предложении 2.3.1, показывает, что последователь-
последовательность ТА' -> ТА -> ТА" -> 0 точна. Итак, Т точен справа. ?
14.19. Упражнение (Габриель [62, стр. 357]). Если С —
нётерова категория, то верно и обратное (к 14.18).
14.20. Лемма. Пусть С — малая абелева категория и М —>¦ Е —
существенное расширение в Adfunct (С, mod-Z). Если М — моно-
монофунктор, то и Е — монофунктор.
Доказательство (Фрейд). Предположим, что /: А' —>
-> А — мономорфизм в С, а Е (/) им не является. Если элемент х
из ЕА' не равен нулю и Е (/) х = 0, то определим подобъект F
объекта Е, полагая
FB = {Е (t) х | t 6 Могс (А', В)}
для всех объектов В в С. Тогда, если g: В' -> В, то Е (g) FB' s FB.
Поэтому можно определить F (g) как ограничение морфизма Е (g)
на FB'. Так как FB есть подгруппа группы ЕВ, то F — функтор
со значениями в категории абелевых групп (он равен образу мор-
морфизма функторов i\: hA -> Е, где т| AА<) =х). Поскольку F фО,

606
Ч. IV. Строение абелевых категорий
существует В ? Obj С, такой, что FB f| MB фО, т. е. существует
морфизм Р. А'->В, для которого 0фЕЦ)х?МВ. Если
Гл. 14. Категории Гротендика
607
— кодекартов квадрат, то из 6.2.7 следует, что /d является моно-
мономорфизмом, поскольку / — мономорфизм. Учитывая, что Е (/) х =
= 0, имеем
0 = Е (tx) E{f)x = E (Д) E(t)x = M (U) E (t) x.
Так как М — монофунктор, то М (/х) — мономорфизм, и поэтому
Е (t) х = 0, что противоречит предположению. ?
14.21. Теорема о точном вложении (Фрейд [60], Лабкин [60]).
Если С — малая абелееа категория, то существует точное кова-
риантное вложение С ~* mod-Z.
Доказательство. По 14.2 Adfunct (С, mod-Z) являет-
является категорией Гротендика, и поэтому в силу 14.7 каждый объект
этой категории имеет инъективную оболочку. Кроме того, по 6.20
категория Adfunct (С, mod-Z) обладает проективным образую-
образующим G, таким, что G: С ~* mod-Z является вложением. Тогда
если Н — инъективная оболочка объекта G, то в силу 14.18
и 14.20 функтор Н точен справа и является монофунктором.
Поэтому Н является искомым точным вложением категории С
в категорию mod-Z. ?
*14.22. Упражнение.
14.22.1. Абелева категория С с образующим и кообразующим
обладает точным вложением С ~* mod-Z.
14.22.2. Каждая малая аддитивная категория А эквивалентна
полной подкатегории С категории mod-i? для некоторого кольца R.
Более того, включение С ~* mod-i? сохраняет пределы, и С являет-
является множеством образующих категории mod-i?, состоящим из
проективных модулей. (Ср. 6.20, стр. 389.)
Корефлективные категории
Пусть С — подкатегория категории С. Если А
то корефлекцией объекта А в С называется морфизм
г (А): А -»- RA,
Obj С,
такой, что RA ? Obj С и для каждого объекта А' категории С
и морфизма А -> А' категории С существует единственный мор-
морфизм RA -> А', такой, что диаграмма
коммутативна или, эквивалентно, имеет место биекция
Morc- (RA, А') =Могс (A, l?U')
для каждого А' 6 Obj С, где 1с<: С" ~* С — функтор включения.
Категория С называется корефлективной, если выполнены два
следующих эквивалентных условия:
i?x. Каждый объект А категории С обладает корефлекцией
RA в С.
i?2. Функтор вложения С ~* С имеет левый сопряженный
i?: С ~* С", называемый корефлектором подкатегории С в кате-
категорию С.
Если это так, то объект RA, где R: С ~* С — функтор и А —
объект категории С, есть корефлекция объекта А в С'. Если кате-
категория С полна и корефлективна, то она называется вполне кореф-
корефлективной 1).
Двойственно, скажем, что подкатегория С рефлективна, если
функтор включения имеет правый сопряженный.
Упражнения к гл. 14
1. Если С — вполне корефлективная подкатегория катего-
категории С, F: L ~> С — функтор, a F': L ~+ С — индуцированный
функтор, то
L, С L, С
*2. Вполне корефлективная подкатегория С категории С
абелева (и обладает свойством АВ5), если категория С абелева
(и обладает свойством АВ5), а корефлектор i?: С ~* С точен.
(Для любой категории С функтор i?: С ~* С всегда сохраняет
копределы.)
х) Здесь мы придерживаемся терминологии Митчелла [65]. Тем не менее
в других источниках (например, Маклейн [72, стр. 89]) вместо термина «кореф-
«корефлективная» используется термин «рефлективная».

608
Ч. IV. Строение абелевых категорий
*3. Если С — малая абелева категория, то каждый объект F
категории Adfunct (С, mod-Z) обладает корефлектором в полной
подкатегории Sex (С, mod-/), состоящей из точных слева функ-
функторов.
*4. Если С — малая абелева категория, то полная подкатего-
подкатегория Sex (С, mod-Z) категории Adfunct (С, mod-Z), состоящая
из всех точных слева функторов С ~> mod-Z, корефлективна,
причем корефлектор точен и сохраняет копределы. Кроме того,
Sex (С, mod-Z) есть АВ5-категория с образующим и инъективным
кообразующим.
*5. Если С — малая абелева категория, то полная подкатего-
подкатегория категории Adfunct (С, mod-Z), состоящая из всех точных
справа функторов, рефлективна.
Замечания к гл. 14
Введение в книге Митчелла, заметки Маклейна [66], [72] и после-
послесловие Фрейда [64] составляют краткую историю абелевых кате-
категорий. Габриель [62, стр. 363] приписывает теорему 14.21 о вло-
вложении «студентам Эйленберга», а на подаренном мне оттиске
своей работы Габриель приписал авторство П. Фрейду и С. Лаб-
кину. Эта же теорема в книге Басса [72, стр. 22] приписывается
Фрейду, Гротендику и Лабкину, но никаких ссылок не дается.
Ссылки
Букур и Деляну [68], Габриель [62], Гротендик [57], Лаб-
кин [60], Маклейн [66], [72], Митчелл [65], Попеску и Габриель
[64], Такэути [71], Фрейд [60], [64].
Глава 15
ФАКТОРКАТЕГОРИИ И ЛОКАЛИЗУЮЩИЕ ФУНКТОРЫ
Пусть Jb — абелева категория. Классом или подкатегорией
Серра категории Jk называется непустая полная подкатегория of,
такая, что для каждой точной последовательности
0 -+ А -> В -*¦ С -»- 0
в Jk верно, что
Таким образом, объект В лежит в of тогда и только тогда, когда
каждый его подобъект и каждый его факторобъект принадле-
принадлежат аР. Пересечение любого семейства классов Серра является
классом Серра.
15.1. Примеры.
15.1.1. Подкласс категории moi-A, состоящий из нётеровых
(соотв. артиновых) .4-модулей является классом Серра.
15.1.2. Если F: Л ~* $} — функтор, то ядро функтора F
определяется как полная подкатегория
ker F = .д> = {А е Obj Л | FA = 0} = {А 6 Obj Jh\F (IA) =0}.
Если F точен, то ядро функтора F является классом Серра.
15.1.3. Если JjF — семейство инъективных объектов в Л,
то можно определить класс Серра
= {А ? ЛI hB (А) = 0 для всех Е ? ^} = П ker h
Eegr
Этот класс замкнут относительно копроизведений.
Класс Серра в примере 15.1.3 является пересечением классов
Серра ker hE, определенных для каждого из точных функторов hE.
Если {A t | i 6 1} — семейство объектов в #\ то, поскольку hE
превращает копроизведения в произведения E.42), мы имеем
Поэтому jj At 6 &• Следовательно, категория #" в примере 15.1.3
г
обладает произвольными копроизведениями, если они существуют
в категории Jk.
39 К. Фейо

610
Ч. IV. Строение абелевых категорий
15.1.4. Следующие подкатегории категории mod-Z являются
классами Серра: (а) все периодические группы; (Ь) все конечно
порожденные группы; (с) все конечные группы; (d) все /ьгруппы.
15.1'. Упражнения.
15.1М. Непустая полная подкатегория #" абелевой катего-
категории Л является классом Серра тогда и только тогда, когда из
того, что последовательность
точна в Л, а. А ж С — объекты категории <ff, следует, что В ? #".
15.1'.2. Если <У — подкатегория Серра категории А, то
говорят, что морфизм /: А -> В есть #"-мономорфизм (соотв.
^-эпиморфизм, ^-эквивалентность) в том и только том случае,
когда ker / 6 #" (соотв. coker / ? &', f одновременно является
^"-мономорфизмом и ^-эпиморфизмом). Доказать, что если после-
/ 8
довательность А -> В -> С точна в Jh, то
(a) из того, что / и g являются #"-(...), следует, что gf есть
#"-(...) (заполните скобки).
(b) Если gf есть #"-(...), то таков же и /.
(c) Если / есть ^-эквивалентность, то g является #¦-(...) тогда
и только тогда, когда таков gf.
(d) Если g — ^-эквивалентность, то / является #¦-(...) тогда
и только тогда, когда таков gf.
15.2. Предложение. Если Л — абелева категория, то любая
ее подкатегория Серра также абелева.
Доказательство. Если At ? #", i = 1, 2, где tf —
подкатегория Серра, то имеет место точная последовательность
ч 2
„ m A P2 . „
которая показывает, что [J At ?3f. По индукции 3> имеет конеч-
конечные произведения (копроизведения). Поэтому & аддитивна. Кате-
Категория of удовлетворяет условиям, входящим в определение абеле-
абелевой категории (см. 6.1), так как ядра и коядра морфизмов кате-
категории & существуют в <А и принадлежат #". Отсюда вытекают
свойства (АЫ), (АЬ2), (АЬЗ) предложения 6.1. ?
Понятие класса Серра аР категории А используется далее
для того, чтобы определить факторкатегорию Л131 (по Гротен-
дику [57]). Объекты категории Jlltf суть объекты категории Jt,
а морфизмы категории А131 определяются с помощью 15.3.
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
611
Вместо обозначения Мог Л4, 2?) воспользуемся его сокраще-
сокращениями ^(А, В) или (А, В). Если А, В, А', В' — объекты кате-
категории Jk и А' != Л, В' != В, то канонические эпиморфизм рв/в':
В —*¦ BIB' и мономорфизм i^,: A' -> А определяют гомоморфизм
A) (ii; Рв/в'): (А, В)->(А', В/В'),
который переводит /: А —v В в .рв/в'°/<н гДе /о: А' -*¦ В — мор-
морфизм, индуцированный /.
Пусть / обозначает класс упорядоченных пар (А1, В'), где
А'<=, А, В' s В и А /А' ? #", В' 6 аР- Упорядочим / по правилу
{А', В') ^ {А", В") <=>А'=± А" & В' <== В".
Класс / оказывается направленным относительно этого упоря-
упорядочения, так как (A' f| А", В' + В") принадлежит / и следует
как за {А', В'), так и за (А", В") в смысле этого порядка. Кроме
того, гомоморфизмы A) упорядочивают класс групп
B) {(A', BIB') \A/A' 6^, В' ?<?}.
Этот класс направлен по только что определенному классу /.
т. е. (А' П А", В/(В' + В")) следует за (А', В/В') и (А", В/В")
в мысле упорядочения B). Итак,
(Л', В /В')
К1АПА",ВАВ'+В"))
где g определяется по формуле A) проекцией В/В' ->
МВШ'ЩВ1 +В")/В')жВ/(В' +В") и инъекцией А' Л А" -+А'.
Аналогично определяется к. Это показывает, что класс B), упо-
упорядоченный с помощью гомоморфизмов A), является направлен-
направленным по /.
Мы можем теперь дать следующее определение:
15.3. Определение.
Мог ^ (А, В) =
(А, В) = lim (А', В/В') *).
Если/': А' -> В/В' и/": А" -> В/В" — морфизмы категории А,
х) Это определение имеет смысл лишь в том случае, когда ^# — локально
малая категория.— Прим. перев.
39*

612
Ч. IV. Строение абелевых категорий
где (А', В' > и D", В") — элементы класса /, то мы скажем, что
/' =з /" (mod <?Р) в том и только том случае, когда существует
пара {А'", В" ) в /, следующая как за (А', В' >, так и за 04", В")
и такая, что /' и /" индуцируют один и тот же морфизм А'" -> BIB".
Ясно, что тем самым в Мог Л определено отношение эквивалент-
эквивалентности. Пусть G обозначает множество всех классов {/} эквивалент-
эквивалентности относительно этого отношения. Если /^: 4^ —>¦ BIBi, где
С4г, Bt) ?1, г = 1,2, то определим в G сложение по правилу
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
613
где ft обозначает морфизм Аг (~| 42 ->¦ В/(В1 + В2), индуцирован-
индуцированный морфизмом fi, i = 1, 2. Это определение не зависит от выбора
представителей /г в {/;}, i = 1, 2, и G превращается в абелеву
группу относительно этой операции. Для каждого D1? Вг) ? I
мы имеем отображение
Г МогD4, В /В,)-*- С
I /-{/>•
Эти отображения образуют семейство, согласованное с нашей
направленной системой. Более того, G является ее прямым преде-
пределом, т. е. имеет место изоморфизм
Мог ,, а, (А, В) = lim MoT,(A',B/B')ttG.
lQ/ <A',B')?I ^
Пусть L обозначает только что определенный изоморфизм
Mor^/#,D, B)->G. Если t еМог^/#>D,5) и L (t) = {/}, то
скажем, что t представляется морфизмом /: А' -> В/В', где
А/А' 6 ef и В' ? #¦. Другая терминология для этого: ? возникает
из описанного выше морфизма / или ? есть образ этого морфизма
в прямом пределе.
Определим произведение отображений в Л/аР. Пусть / ?
€^(А, В), g e^/s>(B, С). Тогда / возникает из / 6^D', В/В'),
a g возникает из g е^(В", С/С), где 4/4', В', В/В", С ? #.
Если А" = /-1 (E" Ч- В')/В'), то 4/4" 6 cf и / индуцирует отобра-
отображение /' 6^D", (В" + В')/В'). Если С7С = g {В" П 5'), то
С" 6 сУ и g индуцирует отображение g' e^(B"/(B" A В'), С/С").
Пусть теперь h есть произведение отображений
A*(B" + .
I B') i* СЮ".
Так как 4/4" и С" принадлежат подкатегории аР, то h определяет
элемент h ^^^(A, С). Определенный таким образом элемент h
i
единствен^ Равенство g°f = h определяет билинейное умноже-
умножение, превращающее Altf в аддитивную категорию. Это пред-
представляет собой набросок части доказательства следующей леммы.
15.4. Лемма. Если Л — локально малая абелееа категория
и <!f — класс Серра, то Л/af является аддитивной категорией.
Функтор Т: Л ~* Л/of, который отображает А в А для каж-
каждого объекта А (; Л, а каждый морфизм /: 4 -> В отображает
в предел Tf в прямом пределе Нпх^ D', В/В'), является аддитив-
аддитивным и называется каноническим.
Доказательство. Для того чтобы показать, что кате-
категория Л/аР аддитивна, осталось только показать, что существуют
конечные копроизведения. Это, однако, следует из леммы 15.6,
которая показывает, что Т сохраняет точные последовательности:
Любой точный функтор сохраняет конечные копроизведения.
Поэтому Т аддитивен (см., 3.38 и 3.40.1) я аддитивна категория
Л/tf U \
На самом деле категория Л1<У абелева (см. 15.7).
15.5. Лемма. Если /: 4 ->¦ 2?,— морфизм категории Л, то
(a) Tf — 0 тогда и тдлъко тогда, когда im / 6 о5°;
(b) Г/ — мономорфизм в том и только том случае, если кег / ?
(c) 21/ — эпиморфизм тогда и только тогда, когда сокег / 6 &•
Доказательство, (а) ЕГсли im / 6 <#% то образ морфиз-
морфизма / в АА, B/im f) равен нулю. Следовательно, образ морфизма /
в> прямом пределе lim ^D', В/В') нулевой, т. е. Tf = 0. Обрат-
Обратно, если Tf = 0, то существуют 4' с: 4, В' с: В, такие, что /
индуцирует нулевой морфизм А' ->- В/В'. Следовательно,' / отобра-
отображает 4' на / D') Е В'. Тогда / D') 6 E°, и из точности последо-
последовательности , . _ . . ,
О _v / D') -> im / -> 4/D' + кег /) -*- О
следует, что im /6 <5°-
(Ь) Если Tf —* мономорфизм и i: кег / -> 4 — включение, то
/oi = 0 и TfoTi = 0. Поэтому Ti = 0, откуда кег / = im i 6 <5°.
Обратно, пусть J: ТС -> ТА — ненулевой морфизм в Л/аР, являю-
являющийся образом морфизма /': С" ->4/4', где С/С", 4' 6 <5°- Заме-
Заменив 4' на 4' + кег /, мы можем предположить, что кег /si'.
Тогда / индуцирует мономорфизм /": 4/4' -*- Blf {А'). Так jtaK
f=j?± 0, то im /' и im (/"<>/') не лежат в tf и, следовательно, Г/о/ =?
^= 0. Итак, Tf — мономорфизм.

614
Ч. IV. Строение абелевых категорий
(с) доказывается рассуждением, двойственным к (Ь). ?
15.6. Лемма. Пусть последовательность
точна в Jh.
15.6.1. Тогда
—• точная последовательность в Л/ аР; другими словами, Т: Л ~*
~* Ж/$ — точный функтор.
15.6.2. Морфизм Tf является эквивалентностью в Ж1аР тогда
и только тогда, когда ker / ? <5° и coker / ? E°.
Доказательство 15.6.1. По предыдущей лемме Ti есть
мономорфизм. Если k: TX -> ТА — такой морфизм, что Tfok =
= 0, то мы должны показать, что для некоторого морфизма g
диаграмма
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
615
ТХ-
коммутативна. Чтобы это сделать, заметим, что к есть образ мор-
морфизма к: X' -*¦ А/А', где X' — подобъект в X, XIX' и А' лежат
в ($Р. Диаграмма
где р, q и г — канонические морфизмы, коммутативна. Так как
Г/оГ= 0, то /'о* (X') ? &¦ Пусть X" = k-1 (im i'). Тогда Х'/Х"
и XIX" лежат в <5°, а ограничение к на X" равно произведению
образ морфизма g в aicAX, К). Двойственным образом доказы-
доказывается часть утверждения 15.6.1, касающаяся коядер.
Доказательство 15.6.2. Если Tf — эквивалентность,
то ker / ? #" и coker / ? <!?, ввиду 15.5. Обратно, предположим, что
это так. Пусть q: A -> coim /, /: im / ->- В и h: coim / ~-> im / —
канонические морфизмы. Тождественный морфизм coim / ->- coim /
принадлежит >(coim /, Ali (К)), а его образ в ,i a>(coim /, A)
имеет обратный Tq. Аналогично, эквивалентностью является Tj,
а следовательно, и Tf = Tj°ThoTq. ?
15.7. Теорема. ?сли с5° — класс Серра локально малой абеле-
еой категории Л, то факторкатегория Jhl3> абелева и канониче-
канонический функтор Л ~> JklaP точен.
Доказательство. Пусть /: ТА ->¦ ТВ — любой мор-
морфизм в Л/of. Тогда / представляется некоторым морфизмом
/ ?JA', В/В'), где А/А', В' ? 3>.
Коммутативная диаграмма
морфизмов X" —>К/(К(]
А/А'. Поэтому
где g —
и тот факт, что Ti\, и Тр в/в- являются эквивалентностями, дока-
доказывают, что / имеет ядро и коядро тогда и только тогда, когда
их имеет Tf. Но Tf имеет ядро и коядро по лемме 15.6. Это дока-
доказывает (Abl). Аналогично с помощью 15.6.1 устанавливаются
(АЬ2) и (АЬЗ). ?
15.8. Следствие. Пусть JP — класс Серра категории Л. Если
дана точная последовательность
0-
где М, N, Р ? Obj Jhlaf, то существует точная последователь-
ность 0 ->- Мх—> Nx—> Pi-*- 0 в Л и эквивалентности а, Р и у
в Jbl&, такие, что:

616
Ч. IV. Строение абелевых категорий
(а) диаграмма
1 77,
коммутативна;
(Ь) нижняя строка этой диаграммы точна.
Доказательство. Морфизм / является образом эле-
элемента YSlj. (ЛГ, NIN') в прямом пределе, где М/М', N' ? &¦
Так как З1/' — мономорфизм, то ker /' ?_tf по предыдущей лемме.
Пусть q: М' -*¦ coim /' — канонический морфизм, Мг = coim /',
Nj_ = NIN'. Пусть далее /х — морфизм, индуцированный морфиз-
мом /', Рг = coker fx и ^: Л?х -> .Pi — канонический морфизм.
Положим а = Tqo(TiM')''1, Р = TpN/N>, а у равным морфизму,
индуцированному произведением {Tg^ofy. ?
15.9. Следствие. Пусть F: А ~> $? — точный функтор из
локально малой абелевой категории в абелеву, такой, что класс
{X ? Obj Jb | FX = 0} содержит класс Серра <У. Тогда сущест-
существует единственный функтор Н: Л1аР ~» $}, такой, что треуголь-
треугольн
ник
где Л —>¦ Jbl<iP — канонический функтор, коммутативен. Други-
Другими словами, функтор Н таков, что существует естественная
эквивалентность НоТ ?а F функторов, где функтор Т: Л ~> Д1У
канонический. Если Н' — другой такой функтор, то Н ж Н'.
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы 617
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
где ф определяется по формуле A), следующей за 15.2, и М/М',
N' ? аР. Тогда \|) биективно, и мы имеем отображение
', N/N') -> Л (FM, FN).
Итак,
H
— требуемый функтор. Если к тому же Н' о Т да F, то Н (ТХ) «
« Н' (ТХ), т.е. Н (X) » Н' (X) для каждого объекта X кате-
категории ^/<5° х). Поэтому Н « Я'. П
15.10. Следствие. Пусть Jt и $ — абелеви категории, при-
причем Jt локально мала, а <?Р — класс Серра в Л, и пусть Н: АШ ~*
~ 98 — функтор... Тогда Н точен в том и только том случае,
когда произведение
где первый из функторов канонический, является точным функ-
функтором.
Доказательство. Поскольку канонический функтор
Т: Jb^-Alof точен, то И о Т является точным, если точен Н.
t 8
Обратно, допустим, что НоТ точен. Если 0-*-M->7V->-.P->0
точна в А/аР, то в обозначениях следствия 15.9 последователь-
последовательность
0 -> HTMi
¦0
И эти изоморфизмы естественны по X.— Прим. перев.

618
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
619
точна и поэтому
— точная последовательность. ?
Функтор сечений
Пусть & — класс Серра локально малой абелевой катего-
категории Л, и допустим, что канонический функтор Т: Л ~+ Л1<У
обладает правым сопряженным Л1 tf ~* Л. Любые два функтора,
сопряженные к Т, эквивалентны (см. 5.3). Выберем какой-нибудь
функтор S: Jhltf ~* Л, сопряженный справа к Г, и назовем его
функтором сечений. Подкатегория Серра of есть абелева катего-
категория. Если существует функтор сечения S: A/tf ~* А, то <0Р
называется локализующей подкатегорией категории Л. Тогда
композиция ST: Л ~<¦ Л функторов называется локализующим
функтором.
15.11. Теорема. Пусть Л — категория Гротендика и & —
ее подкатегория Серра. Тогда следующие условия эквивалентны:
(a) о? — локализующая подкатегория категории Л.
(b) Полная подкатегория tf категории Л обладает произволь-
произвольными копроизведениями.
(c) Категория 3> кополна.
(d) Прямой предел в Л направленного семейства объектов
подкатегории tf принадлежит <У.
(e) Канонический функтор Т: Л ~* Alof непрерывен справа.
Доказательство. Абелева категория кополна тогда
и только тогда, когда она имеет копроизведения (см. 6.3). Отсюда
и из A5.7) имеем (Ь) <=> (с).
(b) <=s> (d). Пусть At -^WtfAi (соотв. At —» []Лг) — копро-
изведение в of (соотв. в Л) семейства {у!,}^ объектов категории о?.
Тогда в Л существует морфизм h: [] А, ->- [] ^At, такой, что
иг = h -щ для всех i ? /. Поскольку ut — мономорфизмы в сР,
а следовательно, и в Л (см. 15.2), то h — также мономорфизм,
откуда JjAt g of. Поэтому (b) справедливо тогда и только тогда,
когда копроизведение в Л любого семейства объектов подкатего-
подкатегории of принадлежит &'. Поскольку копроизведение является пря-
прямым пределом (см. 5.8), а прямой предел есть коядро копроизведе-
копроизведения (см. 5.11), мы получаем, что (b) -^=> (d).
(c) ¦$=> (е). Предположив справедливость (е), имеем
для любого семейства объектов {ТА i) подкатегории of. Поэтому
имеет (произвольные) копроизведения. Обратно, если Ц TAt
i
6 Obj <5° и
— канонический морфизм в категории Л\ то, поскольку его ядро
и коядро, будучи нулями, принадлежат #", образ Tf является
изоморфизмом в Л\& в силу 15.5. Таким образом, Т непрерывен
справа.
Пусть Т: Л ~* $? — функтор из абелевой категории в абеле-
ву. Если Л имеет образующий и является кополной и колокально
малой, то Т обладает правым сопряженным тогда и только тогда,
когда Г непрерывен справа (см. 5.52). По условию теоремы, ввиду
14.17, Л имеет (инъективный) кообразующий и, следовательно,
колокально мала. Поэтому (а) <?=> (е). О
15.12. Предложение. Пусть М — объект категории Л и of —
класс Серра категории Л. Тогда говорят, что М ЗР-замкнут,
если М удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:
(a) Если /: Р ->- Q — морфизм, такой, что кег / и сокег /
принадлежат &', то hM (/): hM (Q) -> hM (P) — биекция.
(b) Любой подобъект объекта М, принадлежащий ЗР, равен
нулю, и для каждого Р (j Obj <$Р любая точная последовательность
0-+M-UN-
¦ 0
расщепляется.
(с) Для каждого Р ? Obj Л канонический функтор Т: Л -
индуцирует биективное отображение
Т(Р,М): hM(P)~+hTM(TP).
Доказательство, (а) =*¦ (Ь). Если К ? Ми К (Е Obj E°,
то положим в (а) Р — М и, взяв в качестве /: М -> Л/7 А" канони-
канонический морфизм, запишем 1М = t">/ = hM (f), где у; М/К -> М.
Таким образом, / — мономорфизм, откуда К = 0.
Аналогично, для выписанной точной последовательности в си-
силу (а) существует морфизм g: N -*¦ М, такой, что gf = 1М. Поэто-
Поэтому / расщепляется.
(Ь) => (с). Если Р, М ? Obj .30, то в силу (Ь) мы можем запи-
записать
, ТМ)= lira JP\ M).

620
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Поэтому каждый элемент в ^^(ТР, ТМ) является образом морт
физма /: Р' —*¦ М. В силу 6.2.7 универсальный квадрат
М
где к — каноническое отображение, дает мономорфизм кг: М ->¦ А,
такой, что cok&v кх та PIP'. Следовательно, ввиду (Ь), существует
такой морфизм v: A ~> М, что v°kx = iM. Тогда
/ = 1м / = Vo(kJ) = vo(fjk) = (уоД) к.
Поэтому Т индуцирует наложение hM (Р) —>- hTM {TP). Если
g: Р -> М не равен нулю, то im g ($ Obj #" по (b) и, следователь-
следовательно, Tg: TP -»- ТМ — также не нуль. Итак, Т индуцирует биек-
биективное отображение.
(с) =>¦ (а). Если дан морфизм /: Р -»- Q, то диаграмма
hu(Q)
hM(Tf)
коммутативна и горизонтальные отображения биективны. Если
ker/ и coker/ принадлежат <У, то Tf и, следовательно, hM(f) —
эквивалентность. ?
15.13. Следствие. Если <?— локализующая подкатегория кате-
категории Jb и S: Л/аР ~* Jb — функтор сечений, то каждый объект
категории Jb вида SY является ^-замкнутым.
Доказательство. Пусть f:P-*~Q имеет ядро и кояд-
коядро в E°. Диаграмма
y(P,Y)
JQ.SY)
<f(Q,Y)
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
621
коммутативна, а горизонтальные отображения являются изомор-
изоморфизмами. Поскольку Tf — изоморфизм, то отображение hT (Tf)
биективно, поэтому биективно и A-gy (/). Итак, 15.12 (а) справед-
справедливо. ?
Так как S сопряжен к Т, то по 5.67 мы имеем естественный изо-
изоморфизм
с обратным
и естественные преобразования функторов
•SoT.
15.14. Предложение. Пусть ЗР — локализующая подкатегория
категории Jb, и пусть S: Jb/aP ~* Jb — функтор сечений. Тогда:
15.14.1. Естественное преобразование
Ф: TS-+
является эквивалентностью.
15.14.2. #" содержит ker ? (М) и coker ? (М) для всех М ? Jb.
Доказательство 15.14.1. Если М ? Jb и N 6
то диаграмма
коммутативна. По следствию 15.13 объект SN ^-замкнут, поэто-
поэтому по предложению 15.12 отображение Т (М, SN) биективно.
Так как <р<м, ю — изоморфизм, то отсюда следует, что h (Ф (iV))
биективно для всех М. Поскольку каждый объект категории JI/JP
эквивалентен объекту вида ТМ, то Ф (iV) — эквивалентность.
Доказательство 15.14.2. По 5.67.2 (а) произведение
морфизмов jT? (М) и Ф (ТМ) равно тождественному морфизму

622
Ч. IV. Строение абелевых категорий
объекта ТМ. Так как Ф (ТМ) — изоморфизм, то из этого следует,
что TW (М) — изоморфизм, диаграмма
коммутативна и ker W (М)
?<?. О
15.15. Следствие. Если $ — локализующая подкатегория кате-
категории Л, то объект М категории Л является ?замкну д
и только тогда, когда
W(M): M-+STM
ker Т = S. Аналогично, coker Y (M)
р т
?-замкнутым тогда
— эквивалентность. Более того, ker W (М) для любого объекта М
является наибольшим подобъектом в М, принадлежащим &
и обозначаемым через S" (М), при этом Т {MIS (М)) есть моно-
мономорфизм.
Доказательство. По предыдущему следствию любой
объект из образа функтора S #"-замкнут. Таким образом, из
М» STM следует, что М ^-замкнут. Обратно, поскольку
ker Т (М) принадлежит S для любого М, то ker W (М) непре-
непременно равен нулю, если М с^-замкнут. Двойственным образом
морфизм STM -*• coker Т (М) расщепляется по 15.12 (Ь). Так как
каждый подобъект объекта STM, принадлежащий S', равен
нулю, то coker W(M)=0 и Т (М) является эквивалентностью.
Поскольку Т — естественное преобразование функторов, то
Т {MIS' (М)) — мономорфизм для любого объекта М категории Л.
Поскольку ST {Mltf (M)) является ^-замкнутым, MIS' (M)
не имеет ненулевых подобъектов, принадлежащих & (см. 15.12).
Отсюда следует, что & (М) содержит каждый подобъект объекта М,
принадлежащий S'. П
15.16. Следствие. Если S — локализующая подкатегория кате-
категории Л и {Ui \ i ? 1} — семейство образующих категории Л,
то {TUt | i ? /} — семейство образующих категории
Доказательство остается в качестве упражнения. П
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
623
15.17. Упражнение.
15.17.1. Если & — локализующая подкатегория категории <Л,
а С — полная подкатегория категории Л, состоящая из класса
всех ^-замкнутых объектов категории Jk, то С является корефлек-
тивной подкатегорией и функтор включения С ~* Л имеет левый
сопряженный, который каждому объекту М ставит в соответствие
с^-замкнутый объект, изоморфный ^-оболочке объекта М. (См.
определение 15.19.А.) Вывести отсюда, что С — абелева катего-
категория (но необязательно абелева подкатегория категории Л).
15.17.2. Пусть С — малая абелева категория. Ковариантный
аддитивный функтор F: С ~* mod-Z называется уточняющим х),
если для всех объектов А категории С и каждого х ? F (А) суще-
существует мономорфизм 0 ~-> А—>В, такой, что F (/) х = 0.
Полная подкатегория S категории Adfunct (С, mod-Z), состоя-
состоящая из всех уточняющих функторов, является локализующей
подкатегорией. Более того, объекты полной подкатегории кате-
категории Adfunct (С, mod-Z), состоящей из ^-замкнутых объектов,
являются точными слева функторами С ~* mod-Z. (Ср. упраж-
упражнения к гл. 14, в частности упр. 4.)
*15.17.3 (Митчелл). Пусть С — малая абелева категория.
Существует точный вполне унивалентный функтор С ~+ moi-A
для некоторого кольца А. A5.30; ср. Суон [68, стр. 14—22].)
15.18. Предложение. Пусть
Тг: <А ~» %
— точный функтор из локально малой абелевой категории в абеле-
ву, а функтор
С . Ой _d
О j. JO ~* t7V
сопряжен к Тх в ситуации (<рь Тг, Su Л, 3&). Допустим, что
естественное преобразование
определенное естественным преобразованием <р, является эквива-
эквивалентностью. Тогда ker 7\ — локализующая подкатегория катего-
категории Л, и существует эквивалентность Н: c^/ker Тх?& $8 катпего-
-1) В оригинале «weakly effaceable».— Прим. перев.

624
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
625
рий, такая, что диаграмма
где левый функтор канонический, коммутативна. {Тогда гово-
говорят, что Я—эквивалентность, индуцированная
Т
функтором
Д о к а з а
= {!? Obj A
А ~* A/ker Тг-
единственный
/ — морфизм в
когда и / (ker
в силу 15.6.2,
ние к Wt (М),
тельство. Так как Тг точен, то ker Tj. =
I TtX = 0} является классом Серра. Пусть /:
-канонический функтор и Я: А/кет Тг <-<¦ Л/кет Тх—
функтор (см. 15.10), такой, что Тг = Я о 7. Если
А, то T-J — эквивалентность тогда и только тогда,
/), и / (coker /) равны нулю или, эквивалентно,
если // — эквивалентность. Применим это замеча-
: М -> Si о Тх (М), где М? Obj А. Тогда
= i
TiM.
Так как Фх {ТХМ) — эквивалентность, мы видим, что T^?
эквивалентность, откуда по предыдущему замечанию таковой же
является и J^iiM). Поскольку каждый объект М категории
А1к&т Тг имеет вид JM, морфизм
X (М): JM-+ JS1T1 (АО =
(АО
определяет естественную эквивалентность функторов
А/кет Тг да
Поскольку Ф: T1S1 да 1^ дает
Яо(/5Х) да 1^, то Я: А/ker 2\ да
категорий (с обратным /5г).
Остается только показать, что ker 2\ — локализующая под-
подкатегория. Мы докажем это в предположении, что А — категория
Гротендика, оставляя общий случай в качестве упражнения *).
Поскольку функтор Тг имеет сопряженный, он сохраняет ко-
естественную эквивалентность
fffl является эквивалентностью
а) Для этого достаточно установить справедливость приведенного ниже
замечания.— Прим. перев.
произведения (см. 5.43). Так как Тг = HoJ и Я — эквивалент-
эквивалентность, то отсюда следует, что / сохраняет копроизведения и поэто-
поэтому ker Тг — локализующая подкатегория (см. 15.11). ?
Замечание. SxoH сопряжен к /.
15.19А. Предложение. Пусть & — класс Серра локально малой
абелевой категории А. Тогда следующие условия эквивалентны:
(a) аР — локализующая подкатегория категории А.
(b) Каждый объект М категории А содержит подобъект
<$Р (М), являющийся наибольшим в классе подобъектов объекта М,
принадлежащих &'. Если & (Ж) = 0, то существует мономор-
мономорфизм М —* N, где N есть &-замкнутый объект.
(c) Для каждого объекта М категории А существует точная
последовательность
0-+А'
0,
где А' ? <?Р & А"' ? <0Р и N З1-замкнут. При этом морфизм и назы-
называется аР-оболочкой объекта М.
Доказательство. (а)=^ (Ь). По 15.14 <5° (М) =
= ker Y (М) — наибольший подобъект объекта М, принадлежа-
принадлежащий У. Если ker W (М) = 0, то Т (М): М->¦ STM — мономор-
мономорфизм, а объект STM of -замкнут.
(b) =?- (с). Пусть М' — максимальный подобъект объекта М,
принадлежащий #", и i: MIM' -> F — мономорфизм, где F
.^-замкнут. Пусть N — полный прообраз в F максимального под-
объекта объекта coker i, принадлежащего tf'. Тогда N ^-замкнут
в силу 15.12(а). Так как i \MIM') S iV, то i индуцирует морфизм
/: MIM' -»- N и
] ° рм/м-: М-+N
является аР-оболочкой объекта М.
(c) =s- (а). По определению подкатегория #¦ является локали-
локализующей, если канонический функтор Т: А ~* Altf имеет сопря-
сопряженный S: А13> — А. Если N ? Obj А/ЗГ, то пусть и (N): N ->
-> SN есть cf-оболочка объекта N. Тогда отображение
, TSN,
биективно, ввиду 15.5. В силу 15.12 (с) отображение
Т (М, SN)
40 К. Фейс

626
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
627
также биективно, и произведение этих двух отображений дает;;
естественный изоморфизм
( ,SN).
Поэтому функтор hNoT = Mor^f<^(T ( ), N) представим, и, сле-
следовательно, функтор Т имеет сопряженный в силу утверждения,
двойственного к 5.4. ?
15.19В. Предложение. Если ЗР — локализующая подкатегория
локально малой абелевой категории А, то канонический функ-
функтор Т: Л ~* Jbltf индуцирует эквивалентность Т': С ~* Jtltf
из полной подкатегории С, состоящей из всех ^-замкнутых объек-
объектов, в категорию Altf, а обратная эквивалентность S' индуци-
индуцируется функтором сечений S: А/<ЦР ~* Д.
Доказательство. Так как по 15.13 каждый объект SY
с^-замкнут, то, как и утверждалось, S индуцирует функтор S'.
Кроме того, эквивалентность TS т 1^/«>, установленная в 15.14.1,
дает эквивалентность T'S' та 1^/^. Поскольку, в силу 15.15Г
W(M): М —v STM является эквивалентностью для каждого JP-
замкнутого объекта М, то Т индуцирует естественную эквивалент-
эквивалентность W: 1С -*¦ S'T', что и требовалось. П
Отсюда вытекает, что две любые ^-оболочки ut: M~*-Nt,
i = 1,2, объекта М категории Л эквивалентны, так как из 15.15
мы имеем, что ST (N) л; N для любого (^-замкнутого объекта Nr
и поэтому, используя 15.19А и 15.5, получаем
ST (M) ж ST (Nt) » Nt,
i = 1, 2, откуда JVX л? N2.
В формулируемом ниже следствии вводится терминология,,
которая будет использована в теории кручений, обсуждаемой
в гл. 16.
15.19С. Следствие и определение. Если of — локализующая
подкатегория локально малой абелевой категории Jk, то говорят,
что объект М является of-периодическим или просто перио-
периодическим {соотв.^-полупростым или без <У-круче-
ния, илибез кручения, или не имеющимаР-кручения),
если М = <0Р (М) (соотв. ЗР{М) — 0). Пусть М есть <!?-полупростой
объект. Тогда мономорфизм и: М ->¦ N является ^-оболочкой в том
и только том случае, когда N ^-замкнут, a N/M — периоди-
периодический объект. В этом случае A) и — существенный мономор-
мономорфизм; B) если Е — существенное расширение объекта N. то Е
и EIN полупросты. Обратно, если справедливы A) и B) и NIM —
периодический объект, то и является dP-оболочкой. Более того,
если предположить, что существует инъективная оболочка М
и М — полупростой объект, то его ^-оболочка есть наибольший
среди таких подобъектов D объекта М, что DIM — периоди-
периодический объект. Таким образом, of-полу простой объект М ^-замк-
^-замкнут тогда и только тогда, когда MIM #'-полупрост.
Доказательство. Если и: М' ->¦ N есть с^-оболочка
ж К — подобъект объекта N, такой, что К [\ М = 0, io К кано-
канонически вкладывается в объект NIM, который по определению
15.19А является объектом подкатегории #". Таким образом, К
принадлежит <У. Но ^(N) = 0, поэтому К = 0. Это доказывает,
что и — существенный мономорфизм. Аналогично, любое сущест-
существенное расширение Е объекта N с^-полупросто. Далее, если
р: Е ->¦ EIN — канонический морфизм и Р = of{ElN), то для
подходящего подобъекта Н объекта Е имеет место точная последо-
последовательность 0~>N~>H'-*-P-+0, которая расщепляется, по-
поскольку Н с^-замкнут и Р ? 3*. Так как И — существенный под-
подобъект объекта Н, это может произойти, только если N = Н
и Р = 0. Это доказывает B). Обратно, так как NIM — периоди-
периодический объект, нам только нужно показать, что N ^-замкнут.
Поскольку объект N полупрост, то, ввиду 15.12, нам остается
показать, что любая последовательность 0—viV-^i3—> Q ~>0,
где Р 6 <У, расщепляется. Если, однако, К максимален в множе-
множестве таких подобъектов объекта Q, что К f| N = 0, то канониче-
канонический мономорфизм N -v О/К существен. Таким образом,
(N + КIК — существенный подобъект объекта QIK. Если пред-
предположить, что B) справедливо, то факторобъект объекта QIK
по подобъекту (N + КIК должен быть ^-полупростым, т. е.
Q/(N + К) & -полупрост. С другой стороны, 01 (N + К) является
факторобъектом объекта Р w QlN. Так как Р ? ЗР, то Ql(N + К)—
периодический объект. Поэтому Q/(N + К) = 0, т. е. О = N +
+ К — N Ф К, что дает требуемое расщепление. Это доказывает,
что N с^-замкнут, а и является ^-оболочкой.
Итак, обратное утверждение доказано. Из B) вытекает, что
ни для какого собственного существенного расширения Е объек-
объекта N факторобъект EIN не является периодическим. Это доказы-
доказывает необходимость предпоследнего утверждения. Достаточность
следует из того факта, что DIM является периодическим и D
удовлетворяет A) и B). Последнее утверждение следствия легка
вытекает отсюда. ?
15.20. Упражнение. Если of — локализующая подкате-
подкатегория локально малой абелевой категории Л, то следующие усло-
условия эквивалентны:
15.20.1. Локализующий функтор точен.
40*

628
Ч. IV. Строение абелевых категорий
15.20.2. Если N
кнут-
М и N и М ^-замкнуты, то MIN tf-зам-
Напомним определение: мономорфизм /: М ->¦ Лг называется
существенным, если / (М) f| P Ф 0 или, эквивалентно, если
f~xP ф 0 для любого ненулевого подобъекта Р объекта N.
15.21. Предложение. Пусть df — локализующая подкатегория
локально малой абелевой категории Л. Пусть /: М ~> N — мор-
физм и М' {соотв. N') — максимальный подобъект объекта М
{соотв. N), принадлежащий &, и пусть /': MlM' -»- NIN' обозна-
обозначает морфизм, индуцированный морфизмом /. Тогда Tf: ТМ -*¦ TN
является существенным расширением в том и только том случае,
когда существенным расширением является /': MlM' -> NIN'.
Доказательство. По 15.5 Трм/М>: ТМ ->¦ Т {MlM')
и TpN/N>: TN -> Т (N/N') являются эквивалентностями. Поэто-
Поэтому Tf — существенный мономорфизм тогда и только тогда, когда
таковым является Tf. Следовательно, предложение достаточно
доказать для случая, когда М' = N' = 0. Если / — существен-
существенный мономорфизм, то /~1JP Ф 0 ш f~xP $ & для любого ненулевого
подобъекта ТР объекта N = TN. Тогда {Tf)^TP « Т {f^P)
не равен нулю, и поэтому Tf — существенный мономорфизм.
Обратно, если Tf — существенный мономорфизм и Р — ненулевой
подобъект объекта N, то ТР Ф 0, поскольку из N' = 0 вытекает,
что Р $ &. Таким образом, f~xP ф 0. ?
15.22. Предложение. Пусть ?Р — класс Серра локально малой
абелевой категории Лии: М —> Е — инъективная оболочка в Л
объекта М категории Л. Если М не имеет ненулевых подобъектов,
принадлежащих &, то Е of-замкнут и Ти: ТМ -»- ТЕ — инъек-
тивная^ оболочка в ЛИР объекта ТМ, где Т: Л ~* ЛИР — кано-
канонический функтор.
Доказательство. Если N — подобъект объекта Е,
принадлежащий ?Т, ioM[]N?(!PuMf]N^ M. Следователь-
Следовательно, М [\ N = 0. Так как и — существенный морфизм, то N
непременно равен нулю и поэтому Е еУ-замкнут в силу 15.19С.
Кроме того, Е' = М' = 0 в обозначениях предложения 15.21,
поэтому Ти — существенный мономорфизм. Чтобы доказать, что
ТЕ инъективен, рассмотрим в ЛИР мономорфизм /': ТЕ ->¦ ТМ,
являющийся образом морфизма /": Е' -*¦ М/М', где Е/Е' и М'
принадлежат Ж. Поскольку Tf" — мономорфизм, то ker /" ? of
и, следовательно, ker/" = 0. Пусть г: Е' —> Е — включение. Так
как объект Е инъективен, то существует g: MIM'-^-E, такой,
Гл. 15. Фактпоркатегории и локализующие функторы 629
г = gf. Тогда коммутативна диаграмма
Tf"
1 +-ТШ/М']
Поскольку Ti и Т (рм/м1) являются эквивалентностями, то /'
расщепляется и поэтому ТЕ инъективен. ?
15.23. Следствие. Пусть of — класс Серра локально малой
абелевой категории Л, имеющей инъективные оболочки х). Тогда
следующие условия эквивалентны:
15.23.1. оР — локализующая подкатегория категории Л-
15.23.2. Каждый объект М категории Л содержит наиболь-
наибольший подобъект, принадлежащий #'.
Доказательство. Применить 15.22 и 15.19С. ?
15.24. Следствие. Пусть Л — локально малая абелева катего-
категория с инъективными оболочками и ?Р — локализующая подкате-
подкатегория. Тогда
15.24.1. Категория Л1аР обладает инъективными оболочками,
и каждый ее инъективный объект имеет вид ТЕ, где Е — инъек-
инъективный объект категории Л- Кроме того, функтор сечений
Л/аР •-* Л сохраняет инъективность объектов.
15.24.2. Если Е инъективен в Л, а Ех — инъективная оболочка
максимального в Е подобъекта М\, принадлежащего &', то Е ~
«^8 SE2, где Ег — инъективный объект категории Л1<!р'.
Кроме того, Е± и Е2 единственны с точностью до эквивалентностей
категории Л.
15.24.3. Если инъективная оболочка каждого объекта X под-
подкатегории оР принадлежит zP, то канонический функтор Т: Л ~+
~» Л1оТ сохраняет инъективные объекты, т. е. ТЕ инъективен
в ЛШ, если Е инъективен в Д.
Доказательство 15.24.1. Ввиду 15.6.2, каждый объект
X категории ЛШ эквивалентен объекту ТМ, где М — такой
объект категории Л, что #" {М) = 0. По 15.22 если и: М ->¦ Е —
инъективная оболочка в Л, то Т (u): TM-+ ТЕ — инъективная
оболочка в Л/оТ. Поскольку X л; ТМ, то заключаем, что ЛИР
J) Это означает, что каждый объект категории имеет инъективную обо-
оболочку.— Прим. ред.

630
Ч. IV. Строение абелевых категорий
имеет инъективные оболочки. Если X инъективен в А/<$Р то
X « ТМ « Г?. Тогда SX ъ STE ж Е по 15.15, и поэтому S
сохраняет инъективность объектов. (Ср. 6.28.)
Доказательство 15.24.2. Так как Е инъективен
и Мг ->- Ех — существенное расширение, то мономорфизм Мх -> ?
может быть расширен до мономорфизма Ех -»- ?. Поскольку
Ех-> Е расщепляется, то Е ж Ех@ F, где <5° (F) = 0. В силу 15.22
Е2 = TF — инъективный объект категории ^/#\ а по 15 15
F « ?77? = S?2.
Доказательство. 15.24.3. По условию в обозначениях
следствия 15.24.2 имеем Ех 6 Obj <5°, откуда З1^ = 0 и каждый
из объектов
ТЕ
TF ж Е2
инъективен в
. ?
15.25. Следствие. Пусть А — категория Гротендика Если JF
семейство инъективных объектов категории А, то
— локализующая подкатегория категории А. Обратно, если & —
локализующая подкатегория категории А, то
где .jF
семейство аР-замкнутых инъективных объектов
()
категории А.
Доказательство. Первое утверждение следует из 15.11
ЦР {f7) ( 151)
и из того, что E° (.f7) имеет копроизведения (см. 15.1). Обратно,
если Gf — локализующая подкатегория, то Altf обладает инъек-
тивными оболочками (потому что ими обладает А). В этом случае
объект М категории А принадлежит ef тогда и только тогда,
когда Мог^(М, Е) = 0 для всех Е ? & (<У)• П
Характеризация категорий Гротендика
15.26. Теорема (Попеску — Габриель [64]) (третий вариант).
Пусть С — категория Гротендика. Пусть U ? Obj С, А =
= Endc U. Пусть Т = hu — функтор со значениями в категории
mod-Л, индуцированный объектом U, a S обозначает функтор,
сопряженный слева к Т. Следующие условия эквивалентны:
(a) U — образующий категории С.
(b) T вполне унивалентен.
(c) Естественное преобразование функторов
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
631
определенное ситуацией сопряжения (r\, T, S, С, moi-A), является
эквивалентностью и S — точный функтор.
(d) S точен, т. е. tf = ker S являетс.я локализующей под-
подкатегорией категории mod-A, и S индуцирует эквивалентность
Н: moi-A/of ~* С, такую, что диаграмма
mod-Л
mod-A/У
где]: mod-4 -» mod-^/c^ — канонический функтор, коммутатив-
коммутативна. (Таким образом, H°J » S.)
Доказательство. Импликации (с) => (Ь) =^ (а) очевид-
очевидны, а (с) <=> (d) следует из 15.18 и 15.14. Мы теперь докажем
импликацию (а) => (с).
(а) => (с). По 5.69 и 5.70 ситуация сопряжения порождает
естественную эквивалентность .ST « 1С- Следовательно, остается
только доказать, что функтор S точен. Это осуществлено Попеску
и Габриелем в длинной последовательности лемм. Детали дока-
доказательств этих лемм были написаны Попеску для книги Букура
и Деляну [72, леммы 6.26—6.30, стр. 171—180].
Вместо этого мы приведем короткое доказательство Такэути,
использующее свойства так называемых левых производных функ-
функторов (появляющихся в первый и последний раз в книге!). (См.
также короткое доказательство Ламбека [71Ы.)
15.26.1. Лемма. Если Y g= TX, mo SY g= X w STX, т. е.
SY -*¦ X — мономорфизм.
Доказательство. Так как ТХ = Могс (U, X), то су-
существует канонический морфизм f/(Y) -> X. Для образа / этого
морфизма справедливо, что Fs Г/с ТХ. Применяя метод
доказательства утверждения в 4.24 о том, что hu: С ~* mod-A —
полный функтор, мы видим, что произведение
Могс (/, Z)Д HomA (TIJZ) -> НотА (У, TZ)
является биективным отображением для любого объекта Z катего-
категории С. Следовательно, / может быть отождествлен с SY. Тогда
/с! означает, что SY -> X — мономорфизм. ?
15.26.2. Лемма. Если Y — подобъект свободного объекта F
категории mod-Л, то SY -> SF — мономорфизм.

632
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Доказательство. Существует направленное семейст-
во {Fa} конечно порожденных свободных подмодулей модуля F,
такое, что F = 2 Fa. Тогда Y = 2 (Y П Fa)- Поскольку для
а а
каждого а существует целое число па, такое, что
Fa ж 4"» = (TU)na « Т (Una),
то лемма 15.26.1 показывает, что S (Y {] Fa) -> SFa — мономор-
мономорфизм. Так как С имеет прямые пределы, a S перестановочен
с прямыми пределами то
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
633
SY = lim 5G 0 Fa)
15.26.3. Лемма. Если 0 ч— Y ¦+- Fo
ная резольвента и Ft свободны при i ^
О ч- SY ч- SF0 ч- SFj, ч- ... точна.
SFa = SF.
-<r- Fx <— ... — проектив-
проектив0, то последовательность
Доказательство. S точен справа (как функтор, сопря-
сопряженный слева к hu), и поэтому лемма 15.26.2 дает нужный резуль-
результат. ?
Это завершает доказательство теоремы 15.26, поскольку послед-
последняя лемма показывает, что п-й левый производный функтора S
равен нулю для п > 0. (См., например, Маклейн [66, стр. 494].) Q
15.27. Следствие. Категория Гротендика является категорией
с инъективными оболочками и инъективным кообразующим
(см. 14.17).
Доказательство. Применить 15.24 к 15.26. ?
15.28. Следствие (Габриель [62], Митчелл [64]). Категория С
эквивалентна категории mod-A для некоторого кольца А тогда
и только тогда, когда С есть АВЗ-категория с малым проективным
образующим U. В этом случае функтор hu : С ~> mod-Endc U
является эквивалентностью, а С будет АВ5-категорией. ?
15.29. Следствие (Попеску — Габриель). Категория С эквива-
эквивалентна КЪЪ-категории с образующим тогда и только тогда, когда
существуют кольцо А, локализующая подкатегория <?Р категории
mod-Л и эквивалентность С л? mod-A/ЗР. Более того, в этом
случае С эквивалентна полной подкатегории категории mod-Л,
состоящей из ^-замкнутых модулей. ?
15.30. Теорема о полном точном вложении (Митчелл [64]).
Любая малая абелева категория С обладает полным точным кова-
риантным вложением С ~* mod-^4 l) для некоторого кольца А.
Доказательство (в котором предполагается, что С
обладает полным точным контравариантным вложением Т: С ~*
~> Сх в категорию Гротендика Сх с образующим U, таким, что ТХ
является факторобъектом объекта U для каждого объекта X
категории С. Ср. доказательство Попеску в Букур — Деляну
[72, стр. 181] и Митчелл [65, стр. 151].) Тогда Сг содержит инъек-
тивный кообразующий V, такой, что каждый ТХ есть подобъект
объекта V. Поэтому дуальная категория С°р содержит проектив-
проективный образующий G = V*. Если А — кольцо эндоморфизмов
объекта G в С°р, то по теореме 6.33 из книги Букура — Деляну
[72, стр. 181] существует точный функтор Т±. CiP ~> mod-A,
такой, что для любых объектов X, Y из С морфизм
T^DTX^TY): Horn op (DTX, DTY)-±RomA(T1DTX,TiDTY),
где D: Сх ~* С°р — канонический функтор дуализации, есть изо-
изоморфизм. Тогда произведение
С ~* d — С°р « mod-A,
где функтор Сх ~» С°р канонический, является полным точным
вложением. ?
15.31. Следствие. Если Jh — категория Гротендика и с? —
локализующая подкатегория, то Altf — категория Гротендика.
Доказательство предоставляется в качестве упраж-
упражнения. Ср. Габриель [62, стр. 378]. ?
АВ6-категории
Говорят, что АВЗ-категория С является АВб-категорией, если
для любого семейства {{Ca^}^i }a?j направленных семейств
подобъектов объектов категории С канонический морфизм
n
х) То есть С
Прим. ред.
mod-Л — полный унивалентный и точный функтор.—
J
является изоморфизмом при условии существования пересечений.
Упражнения к гл. 15
1. (Рооз [65]; ср. Рооз [67].) Следующие условия на абелеву
категорию С эквивалентны:
1.1. С является АВ4*- и АВб-категорией с образующим.
1.2. Существуют кольцо А и локализующая подкатегория В
категории mod-il, эквивалентная категории mod-40 для некото-

634
Ч. IV. Строение абелевых категорий
рого кольца А 0, такие, что категории С и (mod-A)iB эквива-
эквивалентны.
1.3. В категории С существует образующий U, такой, что ядро
точного функтора
S: той-А ~* С, где А = Endc U,
являющегося сопряженным слева к каноническому функтору
С ~>- mod-A, задаваемому функтором Morc (U, ), эквивалентно
категории mod-A0 для некоторого кольца Ао.
1.4. Категория С эквивалентна категории вида mod-(^, a),
где а — идемпотентный идеал кольца А и mod-D, a) — полная
подкатегория категории mod-A, состоящая из всех объектов М,
для которых канонический гомоморфизм
М да НотА (А, М) -*- НотА (а, М)
является изоморфизмом.
2. Пусть R — произвольное кольцо и of — полная подкате-
подкатегория категории mod-jff, состоящая из всех модулей М, таких,
что R является рациональным расширением (см. 4.5) аннулятора
любого элемента модуля М. Показать, что <ff — локализующая
подкатегория. Если М есть значение локализующего функтора
на объекте М категории mod-i?, то показать, что М является
максимальным рациональным расширением объекта М (в смысле
4.5) и что R — кольцо. Еще раз доказать 4.5 и упр. 1 гл. 9 х).
Рассмотреть также в качестве частных случаев случаи полупер-
полупервичных правых колец Голди и правых областей Оре.
3 (Попеску — Габриель). Если С — категория Гротендика
с образующим U, то существуют корефлективная подкатегория С1
категории mod-^1 с точным корефлектором и эквивалентность
С т С1. Говорят, что правый Л-модуль N пренебрежим, если
для каждого объекта X в С и морфизма /: А -> N функтор hTX
отображает мономорфизм К -> А в биективное отображение
hTX {f): hTX (A) -+hTX (К), где Т = ЬР, К = ker /. Пусть В
обозначает полную подкатегорию пренебрежимых модулей. Тогда
В — локализующая подкатегория категории mod-A и С экви-
эквивалентна подкатегории Су всех В-замкпутых модулей.
Замечания к гл. 15
Замечания к этой главе были включены во введение к ч. IV.
Мне не удалось найти в книге Габриеля [62] явно сформулиро-
сформулированного утверждения 15.19В, хотя его доказательство, как и боль-
х) Вероятно, имеется в виду доказательство, использующее технику
гл. 15.— Прим. перев.
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы
635
шинство материала главы, заимствовано из этого источника.
Тем не менее предложение 15.19В было установлено для катего-
категорий модульного типа Попеску и Габриелем [64] (см.! упр. 3,
а также предложение 16.8С). Характеризация ^-замкнутых
объектов в 15.19С была подсказана соответствующим результатом
для категорий модульного типа (ср. Ламбек [71, стр. 10]).
Ссылки
Букур —Деляну [72], Габриель [62], Габриель — Попеску [64],
Ламбек [71Ь], Митчелл [64], Такэути [71].

i
Гл. 16. Теория кручений
637
Глава 16
ТЕОРИЯ КРУЧЕНИЙ, РАДИКАЛЫ
И ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ТОПОЛОГИЗИРУЮЩИЕ
И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
Эта глава содержит приложения локализующих функторов
и факторкатегорий, определенных в предыдущей главе. Примене-
Применение их к мультипликативным множествам S кольца R и соот-
соответствующим (частичным) кольцам частных Rs относительно .У
дает предложение 16.9. Теорема 16.12 определяет максимальное
правое кольцо R частных Джонсона антисингулярнго справа
кольца R (ср. гл. 19). Если R полупервично и удовлетворяет
условиям максимальности для аннуляторных правых идеалов
и прямых сумм правых идеалов, то R является классическим
правым кольцом частных.
Предложение 16.3 устанавливает взаимно однозначное соот-
соответствие между классом всех локализующих подкатегорий кате-
категории mod-i? и классом, состоящим из идемпотентных и тополо-
гизирующих множеств идеалов кольца R в смысле, который вскоре
будет указан. (Если R — антисингулярное справа кольцо, то
таким множеством является множество существенных правых
идеалов.) Кручением в категории Гротендика Jk называется упо-
упорядоченная пара (R, С) подкатегорий, таких, что, полагая ( , ) =
= Мог^( , ), имеем
X ? R тогда и только тогда, когда (X, Y) = О
для асех Y ? С, где Y — инъективная оболочка объекта Y.
Y ? С тогда и только тогда, когда {X, Y) = 0 для всех X ? В.
В этом случае объекты подкатегории В называются периоди-
периодическими, а объекты подкатегории С — объектами без кручения
или полупростыми. Между кручениями (В, С) и локализующими
подкатегориями; категории Jt существует биективное соответст-
соответствие A6.18В).
Пусть JF — некоторое множество правых идеалов кольца А.
Тогда говорят, что в? — топологизирующее множество, если
выполнены следующие условия:
F. 1. А принадлежит^, и каждый правый идеал, содержащий
правый идеал из JF, принадлежит J>F.
F.2. Пересечение любых двух правых идеалов из jF принадле-
принадлежит <р.
F.3. Если / ? JF и а ? А, то {Ь \ Ъ ? А, аЪ ? /} ?j^¦
Для краткости правый идеал
{ьел \abei}
будем обозначать через {alI)L или annA (a/I). (В других источни-
источниках используется также обозначение а~Ч.) Для последующих
ссылок сформулируем здесь условие
F.4. Если / ? JF и annA (all) ? вр для всех а ? /, то / 6 J7-
Говорят, что Л-модуль М является ^"-периодическимх)
(^-пренебрежимым по Габриелю), если аннулятор любого эле-
элемента модуля М принадлежит $F. Таким образом, М является
^-периодическим тогда и только тогда, когда для каждого х ? М
найдется / ? ff-', такой, что xl = 0.
Говорят, что полная подкатегория С абелевой категории Л
замкнута, если выполнены следующие условия:
С.1. Если Y ? Obj С, то каждый подобъект и каждый фактор-
объект объекта Y принадлежат С.
С.2. Подкатегория С содержит копроизведение (вычисленное
в Jh ) любой пары своих объектов.
С.З. Прямой предел (вычисленный в категории Л) любого
направленного семейства объектов категории С принадлежит С.
16.1. Упражнение и определение.
16.1.1. Если М ? Obj Jk, а С — замкнутая подкатегория,
то М содержит подобъект СМ, являющийся наибольшим среди
подобъектов объекта М, принадлежащих С, и / (CM) s CN для
всех морфизмов /: М -> N категории Jk. Вывести отсюда, что
функтор Т: Л •-* С, отображающий каждый объект М в СМ,
точен слева и сопряжен справа к функтору вложения С ~* А.
16.1.2. Показать, что топологизирующее множество jF правых
идеалов кольца А является базисом окрестностей нуля для неко-
некоторой топологии на кольце А.
16.1.3. Показать, что если А ? ,f, то F.2 вытекает из F.3 и F.4.
16.1.4. Показать, что систему условий, входящих в определе-
определение замкнутой подкатегории, можно заменить более простой 2).
Если G — множество правых идеалов кольца А, то полную
подкатегорию категории mod-Л, состоящую из всех G-периодиче-
ских модулей, обозначим через с5° (G).
16.2. Лемма. Отображение ?Р, которое сопоставляет каждому
топологизирующему множеству G правых идеалов кольца А под-
подкатегорию #¦ (G), является биекцией между классом всех топологи-
г) Здесь .9" — произвольное множество правых идеалов кольца А.—
Прим. перев.
2) Вероятно, автор имеет в виду возможность замены условий С. 2 и С.З
требованием замкнутости С относительно произвольных копроизведений.—
Прим. перев.

638
Ч. IV. Строение абелевых категорий
зирующих множеств правых идеалов и классом всех замкнутых
подкатегорий категории mod-Л. Обратное отображение jF сопо-
сопоставляет подкатегории С категории mod-A множество
& (С) = {/ 1 / = А & А/1 6 Obj С).
Доказательство. Пусть С — замкнутая подкатегория
категории mod-A и F = jf(C). Если Аэ/э/ и A/J ? Сг
то из точности последовательности
A) 0-+I/J-> A/J-+А/1-* О
следует, что I ? F. Таким образом, условие F.1 выполнено *).
Далее, пусть А/1 и A/J лежат в С. Рассмотрим точную последо-
последовательность
0-у1 Г) J -+A-+AII X AIJ
(морфизм в произведение определен естественными проекциями).
Она индуцирует точную последовательность
B) 0 ->- А/A П /) -> А/1 X AIJ,
откуда следует справедливость условия F.2. Чтобы доказать
справедливость условия F.3, предположим, что All ? С. Тогда,
если / = аппА а/1, то определен мономорфизм
AIJ -> АН
Ь + / I-* об + /.
Поэтому из С.1 следует, что A/J ? С, откуда J d F, чем и дока-
доказывается F.3.
Обратно, допустим, что G — топологизирующее множество,
и пусть С = <SP (G). Пусть
D) v 0 -> X -+ Y -> Z -+ О
— точная последовательность Л-модулей и У ? С. Тогда модуль X
также G-периодичен. Если а ? У, то аппА (а/Х) э annA а, откуда,
ввиду F.1, следует, что аппд (а/Х) ? G. Тем самым доказано, что
модуль Z да YIX является G-периодическим. Поэтому G.1 выпол-
выполнено. Пусть Y = U Xt — копроизведение объектов категории С.
T
л. j?6. Теория кручений
639
Каждый у 6 Y является конечной суммой у = 2 xt элементов
t
xt € Xt- Поэтому аппЛ у содержит 2) конечное пересечение / =
= f) annA xt. Так как annA xt ? G для каждого t, то / g G, вви-
ввиду F.2.
4) То что А ? F следует из того, что любая замкнутая подкатегория в силу
С.З содержит 0.— Прим. пер ев.
2) На самом деле равен.— Прим. перев.
Применяя теперь F.1, получаем, что аппд у 6 G и, таким
образом, Y ? G. Это доказывает С.2. Так как в mod-A прямые
пределы являются факторобъектами копроизведений, то отсюда
же следует справедливость свойства С.З.
Тот факт, что jF = of'1, очевиден. ?
Если С и D — замкнутые подкатегории категории А, то произ-
произведение С -D определяется как полная подкатегория категории Л,
состоящая из всех таких объектов X категории Л, что X/DX
принадлежит С. Операция (С, D) —*¦ C-D, определенная на клас-
классе всех замкнутых подкатегорий, ассоциативна. Обычный способ
для ассоциативных систем позволяет определить классы Сп для
всех п.
16.3. Предложение и определение (Габриель [62]). Пусть А —
кольцо.
16.3.1. Если F и G — топологизирующие множества правых
идеалов кольца А, то произведение ^{F)-af{G) замкнутых под-
подкатегорий af(F) и oP(G) является замкнутой подкатегорией.
Обозначим через F -G топологизирующее множество правых идеа-
идеалов, соответствующее <ff(F) -afifi). Таким образом^
16.3.2. Если I — правый идеал кольца А, то I d F-G тогда
и только тогда, когда существует J ? F, такой что annA (a/I) ? G
для всех а ? /. Множество F называется идемпотентпым,
если FoF = F или, эквивалентно, если выполнено условие:
F.4. / 6F & аппА (а/1) ? FVa ? / =>- I ? F.
16.3.3. Отображение $ осуществляет биективное отображение
из класса всех идемпотентных топологизирующих множеств пра-
правых идеалов на класс всех локализующих подкатегорий ^категории
mod-A.
Доказательство 16.3.1. Пусть
A') 0-+X-+Y-+Z-+0
— точная последовательность в mod-A. Если Y ? aP(F)-^P(G),
то Y/djP(G) Y ? tf(F), где 3f(G) Y — наибольший подобъект объекта
Y, принадлежащий JP(G) (см. упр. 16.1). Теперь имеем
Y П X и
(X + JP(G) Y)/JP(G) Y « Х1(Х П #(G) Y) =
) X.
Поэтому X/^(G)Xe^(F) в силу C.I, т. е. X 6 tf(F) 3P(G).
Аналогично доказывается, что Z ? af(F) -^(G). Следовательно,

640
Ч. IV. Строение абелевых категорий
()() удовлетворяет условию С.1. Пусть {Xt\t?T} —
семейство объектов подкатегории <f(F)-iP(G). Тогда положим
Y = \\Xt и Z = [] (Xt/<SP (G) Xt). Теперь поскольку <?(G) Уда
да jj <SP (G) Xt, то очевидное вложение
П X,/ IJ 3> (G) Xt -> П (Xt/of (G) Xt) = Z
Гл. 16 Теория кручений
641
и ker им и coker им принадлежат tf (F).] Для каждого т ? MF
отображение
f mg:A-*-MF
\ аь* та
обладает единственным расширением ms: AF -*¦ MF. Отображение
индуцирует вложение У/^1 (G) У -> Z. Так как Z ? #¦ (F) и <5° (F) —
замкнутая подкатегория, получаем, что У/E° (G) У ? #" (F) и поэто-
поэтому У 6 <5° (F) • if (G). Это завершает доказательство замкнутости
подкатегории if (F) •# (G).
фм: (т, х)
(ж)
Доказательство 16.3.2. Пусть I ? F-G. Тогда
tif(F)-if (G) и 4///D (Л/7) 6 #¦ (F), где D = <5° (G). По опреде-
определению D (A/I) = J/I — это наибольший подмодуль модуля All,
принадлежащий D. Так как /// ? D, то annA {all) ? G для всех
а ? / в силу F.3. Обратно, пусть существует правый идеал /,
указанный в 16.32. Тогда (/ + /)// 6 # (G) = D, поскольку
annA (all) ? G для всех а ? (/ + /)//. Следовательно, D (А/1) э
Э (/ + /)//, и поэтому (AlI)lD (All) является факторобъектом
объекта (AIU((J + 1I1) да Л/(/ + /). Таким образом,
(AII)ID (All) да AIQ, где Q => J + I. Так как / 6 F, то <? ? F
по F.1 и, следовательно, (AlI)IYi (All) 6 of (F). Тем самым дока-
доказано, что АН е & (F)-tf (G), т. е. / Е F -G.
Доказательство 16.3.3. Ввиду 16.2, нам достаточно
доказать, что множество F идемпотентно тогда и только тогда,
когда <У (F) — локализующая подкатегория. Предположим снача-
сначала, что Fv—идемпотентное (и топологизирующее) множество.
Тогда справедливо условие С.1. Далее, предположим, что в точ-
точной последовательности (I1) модули X и Z принадлежат if (F).
Пусть у ? У, / = аппд у и / = аппд (уIX) 6 F. Тогда / 6 F
и поскольку yJ s X, то annA (all) 6 F для всех а 6 /. Примене-
Применение F.4 теперь показывает, что У ? #" (F). Таким образом, С =
= cf (F) является классом Серра. Поскольку С — замкнутая под-
подкатегория, то С обладает произвольными копроизведениями
(см. доказательство 16.2). Поэтому С — локализующая подкате-
подкатегория в силу 15.11. Обратное утверждение доказывается анало-
аналогично. ?
16.4. Определение. Радикальным [фильтром кольца А назы-
называется идемпотентное топологизирующее множество правых идеа-
идеалов кольца А. Для каждого М 6 mod-Л выберем & (F)-o6ono4Ky
им'- М ->¦ MF. [Ср. 15.19. Таким образом, MF 3P (F) — замкнут
билинейно. Кроме того, Лу — кольцо относительно операции
фд: AF X AF-+AP. При этом отображение фм превращает
группу MF в правый 4у-модуль. Наконец, если / — правый
идеал кольца А, то 1Р можно считать правым идеалом кольца AF.
16.5. Определение и лемма. Пусть F — радикальный фильтр
кольца А и JP (F) — соответствующая ему локализующая подка-
подкатегория. Пусть, далее, Т: va.o6.-A ~* mod-Л/ af(F) — канонический
функтор, a S': mod-A/^P (F) ~* mod-AF — функтор, индуциро-
индуцированный локализующим функтором. Тогда, если через р обозначить
функтор moi-AF ~* mod-A, индуцированный гомоморфизмом колец
А—*¦ AF, то функтор poS' сопряжен справа к Т.
Для каждых М 6 mod-A и N 6 mod-^j. отображение
о (N, MF): НотАу (N, MF)
HomA (piV, pMF)
биективно.
Доказательство. Все утверждения, кроме последне-
последнего, очевидны. Далее, каждый Ар-томошорфизм N -> MF является
Л-гомоморфизмом, так что отображение р (N, MF) инъективно.
Если /: N -*¦ Мр есть ^4-гомоморфизм, то для фиксированного
х ? N отображение g: a \-+ f (xa) для всех а ? AF является А-тожо-
морфизмом и таково же отображение h: a t—*• / (х) а. Поскольку
guA — huA, то g = h (см. 15.12). Это доказывает, что р (N, MF) —
наложение. ?
16.6. Предложение. Предположим, что условия леммы выпол-
выполнены. Тогда множество F" правых идеалов I кольца AF, таких,
что р (Ар/1) — F-периодический модуль, является радикальным
фильтром кольца AF; другими словами, if (F1) — локализующая
подкатегория категории mod-AF. Пусть Т : mod-AF ~*
~* mod-Ap/iP (F1) — канонический функтор.
16.6.1. Функтор Тор индуцирует эквивалентность
mod-AF/jP (F1) — mod-A/'ff (F).
41 К. Фейс

642
Ч. IV. Строение абелееых категорий
Гл. 16. Теория кручений
643
16.6.2. Ар-модуль N аР (Р')-замкнут [соотв. аР (Р')-замкнут
и инъективен} тогда и только тогда, когда pN аР (Р)-замкнут
[соотв. аР (Р)-замкнут и инъективен].
Доказательство. Пусть В — mod-^/cf (F). Если М ?
(Е Obj В, N 6 mod-Лу, то из сопряженности функторов роб" и Т
вытекает изоморфизм
MorB (TpN, M) да HomA (pN, pS'M),
который в силу леммы дает
Могв (TpN, М) = НошАг (N, S'M).
Таким образом, Тр сопряжен слева к S'. Поэтому указанная экви-
эквивалентность категорий действительно имеет место в силу 15.18.
В свою очередь 16.6.2 вытекает из 16.6.1 и 15.15. ?
16.7А. Предложение. Если F — радикальный фильтр кольца А>
то локализующий функтор, определенный фильтром F или, что
эквивалентно, локализующей подкатегорией cf (F), естественно
изоморфен функтору, определенному по правилу
М >-* lim HomA (/, M/cf (F) M).
Доказательство. Отождествим изоморфные Л-модули
р (MF) и HomA (A, MF). По доказательству предыдущего пред^
ложения х)
HomA (A, MF) « Hommod-л/^ (f) (-4, М) = litn HomA (/, MIS' (F) M).
I?F
Прямой предел можно выбрать таким образом, чтобы этот изо-
изоморфизм являлся изоморфизмом Л-модулей. ?
16.7В. Следствие. Пусть F — радикальный фильтр кольца А,
содержащий кофинальное 2) подмножество G, состоящее из конечно
порожденных идеалов, и пусть локализующий функтор, определен-
определенный фильтром F. точен. Тогда локализующий функтор естественно
изоморфен функтору (g)AF и индуцирует эквивалентность кате-
А
горий
mod-A
Доказательство. Следующие функторы сохраняют
копроизведепия:
A) М .-* СУ (F) М,
B) М >-* М!оГ (F) М,
х) Точнее в силу сопряженности функторов Т и p-S'.— Прим. перев.
2) См. пример 2 на стр. 304.— Прим. перев.
C) HomA GV, ) для всех конечно порожденных N 6 mod-Л-
(См. 4.25D.)
Таким образом, локализующий функтор индуцирует функтор
{
М *-> lira HomA (/, M/jP (F) M),
перестановочный с копроизведениями и непрерывный справа 2)-
Используя 5.54 и 5.56 (а также 12.9.4), получаем, что Н та ® AF.
А
Для доказательства второго утверждения положим 98 =
= mod-^/cf (F). Пусть Т: mod-Л ~> 9S — канонический функтор,
a S — правый сопряженный функтора Т. Поскольку
Мог^(Лг, ) да HomA (A, S ( )),
из точности функтора S вытекает проективность объекта AF
в категории 98. Так как S перестановочен с копроизведениями,
то этим же свойством обладает функтор Mor^g (AF, ) и, следова-
следовательно, AF — малый объект категории 98 (см. 4.25D). Так как
End^ (Ар) да Ар 2), то Mor^j (AF, ) индуцирует эквивалентность
категорий $} ~» mod-Л^ в силу 4.29. ?
Теория кручений
Теперь мы, следуя описанию кручений в модулях, предложен-
предложенному Ламбеком [71Ь], дадим краткий обзор (и обобщение) теории
кручений, развитой Диксоном [66] и др.
Радикалом 3) в абелевой категории А называется функция Т,
определенная на объектах категории А, такая, что выполнены
следующие условия:
R.I. Т (М) с= М,
R.2. если /: М -+ N, то / (Т (М)) с= TN,
R.3. Т (MIT (М)) = 0.
Радикал Т называется идемпотентным, если Т — идемпотент-
пая функция, т. е. Т (Т (М)) = М для всех объектов М катего-
категории^. Например, для любого кольца R функция, сопоставляющая
каждому Л-модулю М его радикал rad M, а именно пересечение
всех максимальных подмодулей модуля М, является радикалом
х) Это следует из точности локализующего функтора и того, что Н пере^
становочен с копроизведениями.— Прим. перев.
2) И AF х ТА — образующий категории М-— Прим. перев.
3) В русской литературе (см., например, А. П. Мишина и Л. А. Скорня-
Скорняков [69]) под радикалом обычно понимают идемпотентный радикал (см.
ниже).— Прим. перев.
41*

644
Ч. IV. Строение абелееых категорий
Гл. 16. Теория кручений
645
в mod-/?, но редко оказывается идемпотентным радикалом. (Теад
не менее это так для важного класса колец — У-колец (см. 7.32А),
хотя в этом случае он является нулевой функцией.) Однако если
С — любая локализующая подкатегория абелевой категории Л,
то существует идемпотентный радикал, который сопоставляет
объекту М подобъект СМ (определенный в 16.1.1). Примерами
таких подкатегорий являются подкатегория лоевых г) модулей
(над любым кольцом) и подкатегория периодических модулей над
коммутативными областями целостности. (Полная аналогия с пе-
периодическими модулями проясняется в 16.8В.)
Используя сокращение (X, У) для обозначения Мог . (X, У),
определим для любого класса В категории Л класс
В1 = {У ? Obj Л | (X, У) = 0 для всех X ? В}.
Симметрично определяется для любого подкласса С категории Л
класс ХС. Кроме того, в предположении, что в категории Л суще-
существуют инъективные объекты, положим
BR = {Y С Obj Л \ (X, У) = 0 для всех X ? В}^
где У обозначает инъективную оболочку объекта Y. Для любого
подкласса С категории Л положим
Сь = {X 6 Obj Л | (X, У) = 0 для всех У ? С}.
Говорят, что непустой подкласс В категории Л является
слабым классом Серра или слабой подкатегорией Серра2), если
выполнена первая часть условия из определения класса Серра,
а именно: если О—»- X —>- Л/ —>- У —>- 0 — точная последователь-
последовательность в Л и X и Y принадлежат В, то М ? В.
16.8А. Предложение. Если В и С — полные подкатегории
категории Гротендика Л, то следующие условия эквивалентны:
PTF.1. 5= ХС и С = В1.
PTF.2. В — слабый класс Серра, содержащий факторобъекты
объектов из В и копроизведения любых семейств объектов из В,
и С = Вх.
PTF.3. С — слабый класс Серра, содержащий подобъекты
объектов из С и произведения любых семейств объектов из С,
и ? = ХС.
г) То есть модулей, любой ненулевой фактормодуль которых содержит
простой подмодуль.— Прим. перее.
2) Ламбек [71] использует термин «класс, замкнутый относительно груп-
групповых расширений».
PTF. 4. В категории Л существует идемпотентный радикал Т,
такой, что
В = {X \Т (X) = X} и С = {У |Т (У) = 0}.
Если эти условия выполнены, то С является корефлективной Г,
а В — рефлективной подкатегориями категории Л и левый сопря-
сопряженный к функтору естественного вложения С ~> Л переводит
каждый объект X в XIТ (X).
Доказательство. Импликация PTF.1 => PTF.3 — след-
следствие утверждения 5.41 и того, что функтор hx при любом X сохра-
сохраняет пределы. Двойственно доказывается импликация PTF.1 =>
=> PTF.2. Для того чтобы показать справедливость импликации
PTF.2 =>~ PTF.4, достаточно положить Т (М) равным сумме всех
подобъектов объекта М, принадлежащих В. Двойственным обра-
образом доказывается импликация PTF.3 =ф- PTF.4 х). Если выпол-
выполнено условие PTF.4, то для любого морфизма /: X ->- У, где
X ? В и У 6 С, справедливо / (Т (X)) = / (X) = 0. Таким обра-
образом, ХС э В и В1 э С. Если X 6ХС, то, поскольку Х/ТХ ? С,
мы получаем, что (X, Х/ТХ) = 0, откуда X = Т (X) 6 В. Итак,
В = ХС и двойственным образом, С = Вх. Поэтому условие PTF.1
справедливо, чем завершается доказательство эквивалентности
условий PTF.1 — PTF.4. Кроме того, поскольку (ТХ, У) = 0,
из точности слева функтора ( , У) вытекает
(Х/Т (X), У) = (X, У)
для любой пары X ? Л и У ? С. Итак, функтор естественного
включения С ~* Л обладает указанным в условии левым сопря-
сопряженным. Поэтому подкатегория С корефлективна (см. гл. 14,
стр. 606; ср. также 5.51).
Упорядоченная пара (В, С), удовлетворяющая условиям пред-
предложения 16.18А, называется предкручением. В дополнение к уже
приводившимся примерам хорошо известными примерами пред-
кручений в категории абелевых групп являются упорядоченные
пары (периодические, без кручения) и (делимые, редуцирован-
редуцированные), где под редуцированной понимается группа, не содержащая
ненулевых делимых подгрупп. Ясно, что любой подкласс А кате-
категории Л определяет предкручение A(Л±), Ах), называемое пред-
предкручением, порожденным классом А.
16.8В. Предложение и определение. Упорядоченная пара
(В, С) полных подкатегорий категории Гротендика Л называется
кручением, если выполнены следующие эквивалентные условия:
г) В этом случае Т (М) полагается равным пересечению всех таких под-
подобъектов X объекта М, для которых М/Х € С— Прим. перев.

646
Ч. IV. Строение абелееых категорий
Гл. 16. Теория кручений
647
TF.1. В = CL и С = ди.
TF.2. В — локализующая подкатегория и С = В1.
TF.3. С — слабый класс Серра, содержащий инъективные обо
лочки объектов из С и произведения любых семейств объектов из
и удовлетворяющий условию В = ХС.
TF.4. В категории Jf существует радикал Т, такой, чтЬ
В = {М \Т (М) = М), С = {М \Т (М) = 0} и, более того А
М П Т (N) = Т (М), если М ¦= N.
Кроме того, если Л = mod-й для некоторого кольца R, то
условия эквивалентны условию
TF.5. Существует радикальный фильтр F кольца R, такой,!
что В = of (F).
Доказательство. Сделаем несколько предварительных!
замечаний:
A) TF.1 =*- (В = ХС).
B) TF.2 = (PTF.2 и B')), где B'): класс В замкнут относитель-|
яо подобъектов.
C) TF.3 = (PTF.3 и C')), где C'): класс С замкнут относитель-|
но инъективных оболочек.
D) TF.4 = (PTF.4 и D')), где D'): Т (М) = Т (N) П М дл*
всех подобъектов М любого объекта N.
E) TF.5 эквивалентно TF.2 в силу 16.3.3.
Импликация A) справедлива, поскольку из TF.1 вытекает,;
что подкатегория С = BR замкнута относительно инъективных|
оболочек. Из эквивалентности условий PTF.2 — PTF.4 сразу!
следует эквивалентность условий TF.2 — TF.4, т. е. условий!
B) — D). Например, импликация B) =>- D) справедлива, посколь-1
ку при выполнении PTF.4 из 15.19 получаем, что Т (Y) для любого]
объекта Y является наибольшим его подобъектом, принадлежа-1
щим В. Таким образом, если М cr N, то Т (М) cz T (N) по R.2|
(и поэтому Т (М) ¦= М fl T (N)), тогда как обратное включение]
вытекает из того, что М {] Т (N), являясь подобъектом объекта!
Т (N), принадлежит в силу B') подкатегории В и, следователь-'
но, лежит в Т (М).
Так же просто доказываются и другие импликации. Докажем,
например, импликацию B) => A). Мы можем предположить, что
TF.4 справедливо. Если Y 6 С, то Y 6 С, поскольку Т (Y) (] Y =
= Т (Y) = 0, откуда Т (Y) = 0. Поскольку, таким образом, С '¦
замкнута относительно инъективных оболочек (между прочим это:
доказывает импликацию TF.4 =ф- TF.3), то Вв э С, а обратное
у-
включение вытекает из левой точности функтора h , а именно
.если hx (Y) = 0, то hx (У) = 0. Итак, BR = С. Тогда, как уже
было отмечено, CL = ХС. Теперь В = ХС, ввиду PTF.3, и мы
получаем, что В = CL.
По 16.8А подкатегория С корефлективна, и так как естествен-
естественное вложение С — Л сохраняет инъективность, то корефлектор
подкатегории С точен. (См. 6.28.) ?
В условиях предложения 16.8В, так же, как и в 15.19С, объекты
подкатегории В называются периодическими, объекты подкате-
подкатегории С — полупростыми либо объектами без кручения, а объект
Т (М) — периодической частью объекта М. Радикал Т, удовлетво-
удовлетворяющий условию TF.4, называется кручением х) или наследствен-
наследственным радикалом. Кроме того, говорят, что объект М делим (отно-
(относительно кручения), если М/М — полупростой объект. По 15.19С
делимость полупростого объекта М равносильна его of-замкнуто-
of-замкнутости. Поэтому впредь для категории mod-й мы будем пользоваться
термином «делимый», который более соответствует интуиции, чем
<ьУ-замкнутый». (Отметим, что тем не менее для кручения, порож-
порожденного нулем, каждый объект «делим».) Кроме того, мы будем
говорить о делимой оболочке вместо of-оболочки.
Переформулируем в этой терминологии следствие 15.29.
16.8С Предложение. Категория С эквивалентна полной под-
подкатегории полупростых делимых модулей относительно некоторо-
некоторого кручения в некоторой категории модульного типа тогда и только
тогда, когда С — категория Гротендика. ?
Если радикальный фильтр F данного кручения состоит из
правых плотных идеалов /, т. е. таких идеалов, что R является
рациональным расширением идеала /, то делимая оболочка моду-
модуля М есть не что иное, как его максимальное рациональное рас-
расширение. Если, с другой стороны, F содержит каждый существен-
существенный правый идеал, то полупростой модуль М делим тогда и толь-
только тогда, когда М инъективен, т. е. М = М. (См. упр. к гл. 16.)
Мультипликативные множества
Пусть S — подмножество кольца А. Тогда S называется муль-
мультипликативным, если ab ? S для всех а ? S, b g S. В этом случае
множество
Fв = {/ cz: А | Va € АЗх ?S (as ? I)}
правых идеалов кольца А является радикальным фильтром. Таким
образом, Л-модуль М является /^-периодическим тогда и только
*) Напомним, что упорядоченная пара {В, С), удовлетворяющая TF.1.
также называется кручением.— Прим. перев.

648
Ч. IV. Строение абелееых категорий
тогда, когда каждый т ? М аннулируется некоторым элементом
s ? S. Если / ? Fs, то / (] S #0, т. е. / содержит элемент из S.
(В 16.9 обратное условие обозначено через 5.1.)
Определение. Пусть ср: А -*- В — гомоморфизм колец и S —
мультипликативное множество кольца А. Тогда В называется
правым кольцом частных кольца А относительно S, если выпол-
выполнены следующие условия:
Q.I. ker ф является /^-периодическим или, эквивалентно,
Гл. 16. Теория кручений
649
Для проверки условия S.1 запишем
ф (s)-1^ (a) = ф (с) ф (г)
для подходящих r^S, с ?А. Тогда ср (а) ср (г) = ср (s) ф (с),
откуда аг — sc 6 ker ф, и, следовательно, по Q.1 существует и 6 S,
такой, что аги — scu = 0. Теперь t — ги, Ъ = си удовлетворяют
S.I.
(Ь) =$¦ (с). Покажем сначала, что локализующий функтор
точен х). Пусть
Q.2. ф (S) состоит из обратимых элементов кольца В.
Q.3. В = {ф(а)Ф(8)-1 \а?А, s ? S}.
Для правого кольца частных будет использоваться обозначе-
обозначение (В, ф).
Таким образом, если S — множество регулярных элементов
кольца А, то (В, ф) — классическое правое кольцо частных коль-
кольца А, рассматривавшееся в гл. 9. Для любого М 6 mod-Л обозна-
обозначим Мр (см. 16.4) через Ms.
s
16.9. Предложение. Пусть А — кольцо и S — мультиплика-
мультипликативное подмножество. Тогда следующие условия эквивалентны:
(a) А имеет правое кольцо частных относительно S.
(b) S удовлетворяет следующим двум условиям:
5.1. Vs ? S, Ча?А, lt?S, ЗЬ 6 A (at = sb);
5.2. а ? A, s 6 S & sa = 0 => 3t 6 S (at = 0).
(c) Если иА: А -*- As — канонический гомоморфизм колец (на-
(напомним, что As = AFs), то иА (S) состоит из обратимых эле-
элементов кольца As.
Если эти условия выполнены и (В, ф) — правое кольцо частных
кольца А относительно S, то существует единственный кольцевой
изоморфизм я);: В -> As, такой, что треугольник
коммутативен. В этом случае локализующий функтор Mt-*-Ms
точен и естественно эквивалентен функтору ®a^s>
Доказательство. (а)=>(Ь). Для проверки справедли-
справедливости условия S.2 положим sa = 0. Тогда ф (s) ф (а) = 0, откуда
Ф (а) = 0. Поэтому at = 0 для некоторого t 6 S по свойству Q.I.
М-
— диаграмма с точной строкой и такая, что / ? Fs, а М и ker p
^s-замкнуты.
Достаточно показать, что / содержит правый идеал / 6 Fst
такой, что и \ J — pov, где v: J -у М 2). Если s ? I {) S, то
и (s) = р (т) для некоторого т 6 М. Кроме того, ввиду S.2,
sa = 0 влечет за собой та = 0, следовательно, / = sA и отобра-
отображение v: sa (-»¦ та обладает требуемыми свойствами.
Если t 6 S и ts: a*-* ta — гомотетия, то coker ts ^-периоди-
^-периодичен, поэтому ts: As ->- As — эпиморфизм 3), т. е. иА (t) обратим
справа. Пусть t' — такой элемент, что иА (t)-f = 1. Тогда
иА (t) (t'uA (t) - 1) = 0.
Поскольку иА (t) не является делителем нуля в As, то t'uA (t) — 1
и, таким образом, иА (t) — обратимый элемент в As.
х) По 16.7В отсюда с учетом того, что Fs (по условию S.2) содержит ко-
кофинальное подмножество главных правых идеалов s A, s ? S, следует, что
локализующий функтор естественно эквивалентен функтору (g> As-— Прим.
пер ев.
2)
ер ев.
2) Действительно, это означает, что р индуцирует эпиморфизм Ms =
= lim HomA(/, Mltf (Fs) M) -+ lim HomA(/, Nltf (Fs) N) = Ns, откуда,
s s
поскольку Ms » M, следует, что uN: N -»- Ns — эпиморфизм. Из 7?,д-замк-
нутости модуля ker р вытекает, что uN: N ->- Ns — изоморфизм, т. е. N
fg-замкнут. Теперь применение предложения 15.20 показывает, что локали-
локализующий функтор точен.— Пр им. перев.
2) На самом деле 7S — изоморфизм, поскольку ker ts Fs-периодичен
по S.2. Отсюда сразу следует, что иА (t)— обратимый элемент кольца As- —
Прим. перев.

650
Ч. IV. Строение абелевых
категории
(с) =>¦ (а). Кольцо (As, uA) является правым кольцом частных
кольца А относительно S, и оно единственно в смысле коммута-
коммутативности соответствующей треугольной диаграммы. ?
16.10. Упражнение.
16.10.1. Показать, что условия S.1 и S.2 выполняются, если
16.10.2. Если кольцо А коммутативно и F — радикальный
фильтр, то кольцо Ар также коммутативно и отображение
Р ^ PF
множества простых идеалов Р кольца А, не принадлежащих F,
на множество простых идеалов кольца AF, не принадлежащих
/"'), биективно (ср. 27.4).
Пусть М и N — правые Л-модули. Напомним обозначения
из гл. 4: М г> N означает, что N — существенный подмодуль
модуля М. Кроме того,
sing А = {а ? А | А \> annA а}
обозначает идеал кольца А (9.6). Далее, (loc. cit.) кольцо А
называется антисингулярным справа, если sing A = 0.
16.11. Упражнение. Если sing .4=0, то F =
= {/ s А \ А [> /} — радикальный фильтр.
16.12. Теорема и определение. Пусть А — антисингулярное
справа кольцо и F = {/ s A \ А \> 1} — радикальный фильтр.
Тогда кольцо AF регулярно, самоинъективно справа и является
инъективной оболочкой правого А-модуля А. Кольцо AF называется
максимальным правым кольцом частных в смысле
Джонсона кольца А и обозначается через А.
Доказательство (Габриель [62]). (а) Докажем снача-
сначала, что AF — инъективный Л-модуль. Пусть /:/-*¦ AF — гомо-
гомоморфизм Л-модулей, причем / — правый идеал кольца А, и пусть
J — дополнительный правый идеал для правого идеала /. Тогда
/ + / ^ / © /, так что / можно продолжить до /: / + /->¦ AF.
Поскольку I -\- J ? F, то / можно продолжить до гомоморфизма
А ->¦ Ар. Поэтому Л-модуль AF инъективен. Так как AF \> А,
то Ар — инъективная оболочка Л-модуля А.
Чтобы доказать, что AF регулярно, докажем сначала справед-
справедливость такого свойства: (Ь) каждый of (/^-замкнутый А -модуль
М cz AF является Лр.-прямым слагаемым модуля AF. Действитель-
Действительно, если Л-модуль N — дополнительный подмодуль модуля М {] А
в А, то М П А + N ? F и поэтому AF/(M + N) ^-периодичен.
См. обозначение предложения 16.6.— Прим. перев.
Гл. 16. Теория кручений
651
Ар является of (^-оболочкой модуля
Тогда вложение М + N ¦
М + N. Таким образом,
Ар = (М + N)F fa MF © NF = М © NF.
Докажем теперь, что кольцо AF регулярно, т. е. что каждый
главный правый идеал aAF порождается идемпотентом. Отобра-
Отображение
Г AF —> End AF
I /-*/.,
(где /в — левая гомотетия кольца AF, определенная элементом
/ ? Ар) является гомоморфизмом колец. Так как AF есть F-зашк-
нутый Л-модуль, то таков же и кег /„. Поэтому в силу (Ь) кег fs —
прямое слагаемое правого Лг-модуля. Прямое дополнение М
модуля кег fs в AF инъективно по (а), в силу чего fs индуцирует
изоморфизм модуля М на прямое слагаемое правого Лу-модуля.
Отсюда вытекает, что aAF — прямое слагаемое в4ги, следова-
следовательно, порождается идемпотентом. Тем самым доказана регуляр-
регулярность кольца AF. Кроме того, по 16.6.2 AF — инъективный
Л?.-модуль. ?
16.13. Упражнение.
16.13.1. Если Л — область целостности или простое кольцо,
то sing Л = 0 и Л — простое кольцо.
16.13.2. Если sing Л = 0, то sing Л = 0.
16.13.3. Если sing Л = 0, то кольцо А классически полупросто
тогда и только тогда, когда Л удовлетворяет условию максималь-
максимальности для прямых сумм правых идеалов.
16.13.4. Если Л полупервично и удовлетворяет условию макси-
максимальности для аннуляторных правых идеалов, то sing Л = 0.
16.14. Теорема. (Ср. 9.9.) Если А — полупервичное кольцо,
удовлетворяющее условиям максимальности для прямых сумм пра-
правых идеалов и для аннуляторных правых идеалов, то кольцо А
классически полупросто и является правым кольцом частных коль-
кольца А.
Доказательство (Габриель [62]). Классическая полу-
полупростота кольца Л вытекает из упражнения 16.13. Мы предостав-
предоставляем читателю проверить, что (AF, uA) — правое кольцо частных
кольца Л относительно множества S неделителей нуля кольца Л,
используя следующие указания. Если t ? S, то ts: A —v Л, а с ним
и uAts: A —v AF — мономорфизмы. Поскольку последний из них
может быть продолжен до автоморфизма кольца AF, этим доказы-
доказывается обратимость t в AF. По 16.12 нам остается только показать,

652
Ч. IV. Строение абелееых категорий
что идеал / является существенным тогда и только тогда, когда /
пересекается с S. Читатель мошет проверить это в качестве упраж-
упражнения или обратиться к доказательству 9.9. ?
16.15. Предложение. Пусть Л — абелева категория с семей-
семейством образующих и точными прямыми пределами. Пусть С =
= 'З(Л) (кольцо, состоящее из всех естественных преобразований
1^ ~> 1^), Р— мультипликативное подмножество элементов коль-
кольца С и Лр — полная подкатегория категории Л, состоящая из
всех объектов М, представимых как сумма таких своих подобъек-
тов N, что s (N) = 0 для некоторого s ? Р.
(a) Тогда ЛР— локализующая подкатегория категории Л.
(b) Объект М категории Л Лр-замкнут тогда и только
тогда, когда s (М) — автоморфизм объекта М для всех s ? Р.
Доказательство, (а) очевидно. (См. 15.11.)
(Ь) Пусть М — некоторый ^Р-замкнутый объект. Тогда из
определения ясно, что s (M) — мономорфизм. Поэтому im s (M)
также ^р-замкнут, и отсюда в силу 15.12 (Ь) подобъект im s (M)
выделяется в М прямым слагаемым. Поскольку coker s (M) при-
принадлежит ЛР, то coker s (М) = 0. Таким образом, im s (M) = М
и s (M) — автоморфизм.
Обратно, если s (М) — автоморфизм для всех s, то 0 — един-
единственный подобъект объекта М, принадлежащий ЛГ. Пусть
]м'- М-+МР — ^'р-оболочка объекта М, и предположим, что
N — подобъект объекта МР, содержащий М и такой, что im s {N)<=
s M для некоторого s ? Р. Если i: M ->¦ N — включение, то
1м — s (M)~xos (N)oi, так что морфизм i: M ->¦ N расщепляется.
Поэтому М = N, откуда М = МР. ?
16.16. Следствие. Локализующий функтор М ~ МР точен.
Дока з^а тельство. Воспользоваться 15.20. ?
Кольца эндоморфизмов собственных образующих
16.17. Определение (К. и Э. Уокеры [65]). Образующий U абе-
левой категории С называется собственным, если для каждого
подобъекта V объекта U отображение hv'
Могс (F, U) ч- Могс (U, U),
индуцированное включением V ->- U, биективно тогда и только
тогда, когда V = U.
16.18. Пример. Если G — образующий и С — кообразую-
щий, то U = G\\C — собственный образующий, поскольку для
каждого подобъекта V ф\] существует морфизм /: U/V —>- U,
такой, что композиция его с каноническим морфизмом q: U -> U/V
4
Гл. 16. Теория кручений
653
не равна нулю. С другой стороны, если к: V ->¦ U — включение,
то hjj (к) (fq) = 0 и, таким образом, hv (к) не биективно.
16.19. Упражнение.
16.19.1. Любая область главных правых идеалов А является
собственным образующим категории mod-Л.
*16.19.2 (Уокеры (loc.cit., стр. 419). Образующий G в кате-
категории абелевых р-групп, где р — простое число, является соб-
собственным, если G содержит ненулевую делимую подгруппу, либо
является прямой суммой циклических подгрупп.
16.20. Теорема (К. и Э. Уокеры [65]). Пусть А и R — кольца,
U — собственный образующий категории mod-Л, а V — собст-
собственный образующий категории mod-i?. Если существует кольце-
кольцевой изоморфизм ср: End UА -+¦ End VR, то имеет место категор-
ная эквивалентность F: mod-Л ~> mod-й, такая, что FU = V
и F индуцирует ф.
Доказательство (Уокеры). Пусть В = End U А.
Поскольку U — образующий в mod-Л, то по 15.26 функтор
Т = HomA (U, ) обладает левым сопряженным
® U: mod-Z? ~* mod-А,
для которого имеет место коммутативная диаграмма
mod -В
mod-Л
где Н — эквивалентность категорий, а Р — канонический функ-
функтор. Пусть ,<*FV = ,^(ker (<8> U)) — радикальный фильтр пра-
в
вых идеалов кольца В, определенный локализующей подкатего-
подкатегорией ker (<8> U). Таким образом, по 16.3
в
1?,Ги<^(В/Г) 0*7 = 0.
в
Так как функтор <8> U точен, то точна последовательность
в
®U
в
B ®U
в
(B/I)® U
в
0,

654
Ч. IV. Строение абелевых категорий
откуда
= О
® tf = Я ®
в в
Учитывая теперь, что В ® U » U — собственный образующий
в
категории mod-Л, получаем, что последнее условие равносильно
биективности отображения, индуцированного функтором
Нотд (В ® U, U) -»- НотА (/ ® ?/, ?/).
Наконец, по ассоциативности сопряженности A1.4) коммута-
коммутативен квадрат
Нот,(В® 17,1/)
А в.
Hom,(I®U,t/)
¦ В
UomB(B,B)
^HomMB)
откуда вытекает эквивалентность следующих условий на правый
идеал / кольца В:
(a) / 6 ,<fu\
(b) отображение Нотв (В, В) ->- Нотв (/, В), индуцирован-
индуцированное функтором hB, биективно. Итак, радикальный фильтр Jf =
= jF (ker (<8> U)) полностью определяется кольцом В — End UA.
в
Отождествляя В с EndFfi, мы видим, что .5ги = З-v- Следователь-
Следовательно,
К = ker @ U) =
в
== ker @ F)
в
v mod-Л « mod-5/ЛГ л? mod-й.
Первая эквивалентность равна /У, а вторая индуцирована функ-
функтором ® V (обозначим ее через Н'). Тогда F = Н' -Н~1 — искомая
в
эквивалентность. ?
Упражнения к гл. 16
Большинство следующих упражнений заимствовано из работ
Ламбека [71] и [72].
1. Кручения можно упорядочить по правилу (В, С) ^ (В', С"),
если В ?= В' или, эквивалентно, С ?= С.
1.1. Если дан класс Л модулей, то (А , ALR = А 1) является
наибольшим кручением, относительно которого все модули из А
Гл. 16. Теория кручений
655
полупросты. Двойственно, (А % А ) является наименьшим круче-
кручением, относительно которого все модули из А периодичны.
1.2. Множество плотных правых идеалов кольца R является
радикальным фильтром F, и соответствующее ему по 16.18В
кручение есть наибольшее из кручений, для которых модуль R
полупрост. Для любого модуля М его of (^)-оболочка совпадает
с максимальным рациональным расширением модуля М.
1.3. Показать, что для любого кручения существует Д-модуль
М, такой, что это кручение является наибольшим среди круче-
кручений, относительно которых М полупрост. Если / — инъективная
оболочка модуля М, то модуль X периодичен в том и только том
случае, если Нотд (X, I) = 0.
1.4. Любое кручение имеет вид (ARL, AR), где А — множество
циклических периодических модулей. (Другими словами, любое
кручение порождается циклическими модулями.)
1.5. Любое кручение имеет вид (AL, ALB), где А — множество
инъективных оболочек циклических модулей без кручения.
2.1. Существует взаимно однозначное соответствие между кру-
кручениями и полными подкатегориями категории mod-й, обладаю-
обладающими точными корефлекторами: каждому кручению соответствует
категория делимых модулей без кручения.
2.2. Пусть А — полная подкатегория делимых модулей без
кручения относительно кручения (В, С) в mod-i? и Q — корефлек-
тор подкатегории A (Q является произведением левых сопряжен-
сопряженных к естественным вложениям А -»СиС- mod-й). Тогда если
делимую оболочку модуля X обозначить через D (X), то
Q (М) = D (MIT (M))
для всех М ? mod-Л и Q (М) называется модулем частных моду-
модуля М. Более того, Q (R) — кольцо, называемое кольцом частных
кольца R относительно кручения (В, С).
2.3. Пусть F — радикальный фильтр, соответствующий кру-
кручению (В, С). Для каждого i^-полупростого правого )?-модуля М
положим (как и в 15.3)
IEF
Тогда L — функтор из С в mod-й и для каждого правого Л-моду-
ля М
Q (М) да L (М/Т (М)).

656
Ч. IV. Строение абелевых категорий
Гл. 16. Теория кручений
657
Показать, что функтор включения А ~* С обладает левым сопря-
женным D, который каждому полупростому модулю сопоставляет
его делимую оболочку.
2.4 (Габриель [62, стр. 376], Голдман [69]). Пусть, как и в уп-
ражнении 2.2, А — категория полупростых делимых Л-модулей.
Вложение А ~* mod-R — точный функтор тогда и только тогда,
когда А замкнута относительно коядер или, эквивалентно, когда
каждый факторобъект XIX' объекта X категории А делим. (Доста-
(Достаточным условием для этого является правая наследственность
кольца R.)
3.1 (Ламбек [72]). Пусть g: R ->- Q — канонический гомомор-
гомоморфизм кольца R в кольцо Q = Q (R), определенное в упражне-
упражнении 2.2. Пусть также h: R -у S — канонический гомоморфизм
кольца R в кольцо S биэндоморфизмов такого инъективного моду-
модуля /, что (В, С) является наибольшим кручением, относительно
которого модуль / полупрост (см. упр. 1.3). Показать, что S
содержит Q и ker g = кег h. Если, кроме того, / конечно порожден
над End /д (эндоконечен), то Q = S. (По поводу результатов,
сравнивающих Q и S, см. Ламбек [71, стр. 52].)
3.2. Правый идеал К является периодической частью модуля R
для некоторого кручения mod-i? тогда и только тогда, когда К —
/\ /\
идеал ж К = annH R/K (или, эквивалентно, когда RIK является
Л/^Г-модулем). В этом случае К — ядро канонического гомомор-
гомоморфизма h: R-+Q (R).
3.3 (Силвер [67]). Морфизм h: R ->- S колец является эпимор-
эпиморфизмом в RINGS в том и только том случае, если mod-h: mod-iS ~*
~» mod-i? — полный функтор или, эквивалентно, если S <8> S да
R
да S канонически.
3.4 (Ламбек [71, стр. 45]). Если h: R ->- S — плоский эшшор-
физм колец (это означает, что h — эпиморфизм колец, т. е. S ®
R
® S да S канонически и S — плоский левый Л-модуль), то
E, К) — кольцо частных кольца R относительно наибольшего
кручения (В, С), для которого вложение mod-h: mod-.S ~* mod-i?
отображает каждый iS-модуль в полупростой Л-модуль.
3.5. Пара (S, h), где h: R ->- S — гомоморфизм колец, являет-
является кольцом частных кольца R (относительно некоторого круче-
кручения; см. 2.2) тогда и только тогда, когда существует инъективный
правый .R-модуль /, кольцо биэндоморфизмов которого равно S,
h — канонический гомоморфизм R ->• S и / — циклический модуль
над End /д.
3.6. Если S — точное кольцо частных кольца R (это означает,
что ker h = 0 в 3.5), то 5 — кольцо биэндоморфизмов Л-модуля
S Ф S/S.
4. Идеал Р коммутативного кольца R является простым, если
его дополнение R — Р — мультипликативное множество. В этом
случае, если Р ф 0, кольцо частных относительно R — Р обозна-
обозначается через RP. (а) Показать, что RP — локальное кольцо (назы-
(называемое локальным кольцом в точке Р). (Ь) Если К — полное кольцо
частных кольца R х) и R -*- RP — мономорфизм, то RP изоморфно
подкольцу {х g К | ЗЬ 6 R — Р & хЪ 6 R).
Замечания к гл. 16
Большинство материала этой главы заимствовано из работы
Габриеля [62]. В изложении теории кручений мы следовали книге
Ламбека [71Ь]. Я рекомендую в качестве обязательного чтения
введение из его книги (см. стр. V и VI, а также § 0). Радикалы
в категориях я обнаружил в статье Амицура [54, стр. 119—122]
в ситуации «бикатегорий», введенных Маклейном в статье [50]
(«Двойственность в группах»). (А. Г. Курошу 2) и др. также при-
принадлежат работы в этом направлении.)
Я был далек от мысли исчерпать все темы, затронутые в дис-
диссертации Габриеля [62]. Вместо этого я изложил (в гл. 15 и 16)
лишь самые основные понятия, необходимые для чтения всей
работы, к чему я настоятельно призываю моих читателей. (Подоб-
(Подобно работе Мориты [58], она дает поистине неисчерпаемый источник
вдохновения и идей. См. также К. Уокер и Э. Уокер [72].)
Ссылки
Читатель отсылается к библиографии работы Ламбека [71Ь]
за дополнительными ссылками.
Амицур [54], Габриель [62], Джонсон [51а], Диксон [66],
Ламбек [71а], [71Ы, Маклейн [50], Морита [58], [70], Уокер К.—
Уокер Э. [65], [72], Утуми [56].
х) То есть правое кольцо частных кольца R относительно множества всех
регулярных элементов этого кольца.— Прим. перев.
2) См. Курош А. Г., Матем. сб., 33, № 1 A953), 13—26; Докл. АН
СССР, 141 A961), 789-791.—Прим. перев.
42 к. Фейс

Список литературы
659
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абиан (Abian A.)
[65] The Theory of Sets and transfinite Arithmetic, Philadelphia, Saunders,
1965.
Адзумая (Azumaya G.)
[50] Corrections and supplimentaries to my paper concerning Krull-Re-
mak — Schmidt's theorem, Nagoya Math. J., 1A950), 117—124.
[51] On maximally central algebras, Nagoya Math. J., 2 A951), 119—150.
[59] A duality theory for injective modules (Theory of quasi-Frobenius
modules), Amer. J. Math., 81 A959), 249—278.
[66] Completely faithful modules and self-injective rings, Nagoya Math. J.,
27 A966), 697-708.
Айзенбуд, Гриффите (Eisenbud D., Griffith P.)
[71] Serial rings, /. Algebra, 17 A971), 389-400.
Айзенбуд, Робсон (Eisenbud D., Robson J. C.)
[70] Hereditary noetherian prime rings, /. Algebra, 16 A970), 86—104.
Алберт (Albert A. A.)
[39] Structure of Algebras, Colloquium Publication, Vol. 24, Amer. Math.
Soc, Providence, 1939.
Альбрехт (Albrecht F.)
[61] On projective modules over semi-hereditary rings, Proc. Amer. Math.
Soc, 12 A961), 638-639.
Амицур (Amitsur S. A.)
[54] A general theory of radicals, II, Radicals in rings and bicategories,
Amer. J. Math., 76 A954), 100-125.
[56a]Algebras over infinite fields, Proc. Amer. Math. Soc, 7 A956), 35—48.
[56b]Radicals of polynomial rings. Canad. J. Math., 8 A956), 355—361.
[57] Derivations in simple rings, Proc bond. Math. Soc, C) 7 A957),
87-U12.
[68] Rings with involution, Israel J. Math., 6 A968), 99—106.
[72] On central division algebras, Israel J. Math., 12 A972), 408—420.
Артин (Artin E.)
[27a] Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 5 A927), 251—260.
[27b]Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 5 A927), 261—289.
[50] The influence of J. H. M. Wedderburn on the development of modern
algebra, Bull. Amer. Math. Soc, 56 A950), 65—72.
[55] Calois Theory, South Bend, Notre Dame University, 1955.
[59] Theory of Algebraic Numbers, Mathematical Institute, Gottingen, 1959.
[69] Геометрическая алгебра, «Наука», М., 1969.
Артин, Несбит, Тролл (Artin E., Hesbitt E., Thrall R.)
[44] Rings with Minimum Condition, Ann. Arbor, University of Michigan
Press, 1944.
Артин, Уэйплс (Artin E., Whaples G.)
[43] The theory of simple rings, Amer. J. Math., 65 A943), 87—107.
Ауслендер (Auclander M.)
[55] On the dimension of modules and algebras, III, Nagova Math. J., 9
A955), 67-77.
[57] On regular group rings, Proc. Amer. Math. Soc, 8 A957), 658—664.
[66] Coherent functors, In: Proceedings of the Conference on Categorical
Algebra (La Jolla 1965), Berlin/Heidelberg/New York, Springer, 1966,
pp. 189-231.
Ауслендер, Буксбаум (Auslander M., Buchsbaum D.)
[57] Homological dimension in local rings, Trans. Amer. Math. Soc, 85
A957), 390—405.
Ауслендер, Голдман (Auslander M., Goldman O.)
[60a] Maximal orders, Trans. Amer. Math. Soc, 97 A960), 1—24.
[60b] The Brauer group of a commutative ring, Trans. Amer. Math. Soc,
97 A960), 367—409.
Бальцежик (Balcerzyk S.)
[66] On projective dimension of direct limits of modules, Bull. AcadJPolon
Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 14 A966), 241—244.
Бамби (Bumby R. T.)
[65] Modules which are isomorphic to submodules of each other, Arch, math .
16 A965), 184—185.
Бар-Хиллел, Френкель см. Френкель, Бар-Хиллел.
Басе (Bass H.)
[60] Finitistic dimension and a homological generalization of semiprimary
rings, Trans. Amer. Math. Soc, 95 A960), 466—488.
[62] The Morita Theorems (Lecture Notes), Department of Mathematics,
University of Oregon, Eugene, 1962.
[64] Projective modules over free groups are free, /. Algebra, 1 A964),
367—373.
[67] Lectures on Algebraic Z-Theory, Tata Institute for Advanced Study,
Colaba, 1967.
[73] Алгебраическая .8>теория, «Мир»,|М., 1973.
Бергман (Bergman G. M.)
[64] A ring primitive on the right but not the left, Proc. Amer. Math. Soc,
15 A965), 473-475.
[74] Some examples in P. I. ring theory, Israel J. Math., 18 A974), 257—277.
Биркгоф (Birkhoff G.)
[52] Биркгоф Г., Теория структур, ИЛ, М., 1952. [Русский перевод
II изд. [67] 1948 г.]
[67] Lattice Theory, Colloquium Publication, Vol. 25 (revised), Amer. Math.
Soc, Providence, 1967.
Биркгоф, Маклейн (Birkhoff G., MacLane S.)
[67] Algebra, New York, Macmillan, 1967.
Бойл (Boyle A. K.)
[71] Ph. D. Thesis, 1971, Rutgers University, New Brunswick.
Брауэр (Brauer R.)
[63] Representations of finite groups, Lectures on Modern Mathematics,
Vol. I (T. L. Saaty, Ed.), New York, Wiley, 1953, pp. 133—175.
Брауэр, Вейс (Brauer R., Weiss E.)
[64] Non-commutative Rings, Part I (Lecture Notes), Mathematics Depart-
Department, Harvard University, Cambridge, 1964.
42*

660
Список литературы
Букур, Деляну (Bucur I., Deleanu A.)
[72] Введение в теорию категорий и функторов, «Мир», М., 1972.
Бурбаки (Bourbaki N.)
[63] Theorie des Ensembles, chap. 3 (ASINo. 1243), Paris, Hermann, 1963.
[65] Теория множеств, «Мир», М., 1965.
[66] Алгебра, «Наука», М., 1966.
[71] Коммутативная алгебра, «Мир», М., 1971.
Вуксбаум (Buchsbaum D. А.)
[55] Exact categories and duality, Trans. Amer. Math. Soc, 80 A955), 1—34.
Буксбаум, Ауслендер см. Ауслендер, Буксбаум.
Бэр (Baer R.)
[40] Abelian groups that are direct summands of every containing abelian
group., Bull. Amer. Math., 46 A940), 800—806.
Ван-дер-Варден (Van der Waerden B. L.)
[47] Современная алгебра, т. 1 и 2, ИЛ, М., 1947. [Русский перевод
I изд. [48] 1939 г.]
[48] Modern Algebra, Vols. 1 and 2, New York, Ungar, 1948.
Васконселос (Vasconcelos W. V.)
[69] On finitely generated flat modules, Trans. Amer. Math. Soc, 138
• . A969), 505—512.
[70a] Flat modules over commutative noetherian rings,. Trans. Amer. Math.
Soc, 152 A970), 137—143.
[70b] Simple flat extensions, J. Algebra, 16 A970), 106—107.
Вебер (Webber D. B.) *,
[70] Ideals and modules of simple Noetherian hereditary rings, /. Algebra,
16 A970), 239—242. ¦
Веддербёрн (Wedderburn J. H. M.)
[08] On hypercomplex numbers, Proc. bond. Math. Soc, B) 6 A908),
77—117.
[09] On the direct product in the theory of finite groups, Ann. Math., 10
A909), 173—176.
[14] A type of primitive algebra, Trans. Amer. Math. Soc, 15 A914), 162—
166.
[37] A note on algebras, Ann. Math., 38 A937), 854—856.
Вейль (Weyl H.)
[44] David Hilbert and his mathematical work, Bull. Amer. Math. Soc,
50 D944), 612—654. ^
[46] The Classical Groups (revised), Princeton, Princeton University
Press, 1946.
[47] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, \
ИЛ, М., 1947. [Русский перевод I изд. [46], 1939 г.]
Виланд (Wieland H.)
[64] Finite Permutation Groups, New York, Academic Press, 19Q4.
Вудс (Woods S. M.)
[71] On perfect group rings, Proc. Amer. Math. Soc, 27 A971), 49—52.
Габриель (Gabriel P.)
[62] Des categories abeliennes. Bull. Soc. Math. France, 90 A962), 323—348.
Габриель, Попеску см. Попеску, Габриель.
Габриель, Цисман (Gabriel P., Zisman M.)
[71] Категории частных и теория гомотопий, «Мир», М., 1971. |
Гёдель (Go'del К.)
[40, 58] The Consistency of the Continuum Hypothesis, Princeton, Prince-
Princeton University Press, 1940, 1958.
Список литературы,
661
[64] The Consistency of the Axiom of Choice and the Generalized Continu-
Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Ann. of Math. Studies,
No. 3 (Sixth Printing), Princeton, Princeton University Press, 1964.
Голди (Goldie A. W.)
[58] The structure of prime rings under ascending chain conditions, Proc.
bond. Math. Soc, 8 A958), 589—608.
[60] Semi-prime rings with maximum condition, Proc. Lond. Math., Soc,
10 A960), 201—220.
[61] Rings with maximum condition (Lecture Notes), Yale University
Math. Dept., 1961.
[62] Non-commutative principal ideal rings, Archiv. Math., 13 A962),
213—221.
[67] Localization in non-commutative Noetherian rings, /. Algebra, 5
A967), 89—105.
[69] Some aspects of ring theory, Bull. Lond. Math. Soc, 1 A969), 129—
154.
Голдман {Goldman O.)
[51] Hilbert rings, and the Hilbert Nullstellensatz, Math. Z., 54 A951),
136—140.
[69] Rings and modules of quotients, /. Algebra, 13 A969), 10—47.
Голдман, Ауслендер см. Ауслендер, Голдман.
Горенштейн (Gorenstein D.)
[681 Finite Groups, New York, Harper & Row, 1968.
Гриффите, Айзенбуд см. Айзенбуд, Гриффите.
Гриффите, Робсон (Griffith P., Robson J. С.)
[70] A theorem of Asano and Michler, Proc Amer. Math. Soc, 24 A970),
837—838.
Гротендик (Grothendieck A.)
[57[ Sur quelques points d'algebre homologique, Tohohu Math. /., 9 A957),
119—221. [Русский перевод: О некоторых вопросах гомологической
алгебры, ИЛ, М., 1961.]
[65] Le groupe de Brauerl, Seminaire Bourbaki, expose 290, Paris, Her-
Hermann, 1965.
Гротендик, Дьёдонне (Grothendieck A., Dieudonne J. A.)
[60—64] Elements de Geometrie Algebrique, I—IV, Publications Institute
des Hautes Etudes, Scientifiques, Le Bois-Marie-Bures-sur-Yvette
(S.-et-O.), 1960—1964.
Гупта (Gupta R. N.)
[66] Another characterisation of semi-prime rings with right Goldie con-
conditions, /. Math. Sci., 1 A966), 87—89.
[68] Characterisation of rings whose classical quotient rings are perfect
rings, Osaka J. Math., 5 A968), 69—87.
Гупта, Саха (Gupta R. N., Saha F.)
[67] Remark on a paper of Small, /. Math. Sci., 2 A967), 7—16.
Дейд (Dade E. C.)
[71] Deux groupes finis distincts ayant la meme algebre de groupe sur tout
corps, Math. Z., 119 A971), 345—348.
Дейринг (Deuring M.)
[48] Algebren, New York, Chelsea, 1948.
Деляну, Букур, см. Букур, Деляну.
Джанс (Jans J. P.)
[64] Rings and Homology, New York, Holt, 1964.

662
Список литературы
Список литературы
663
[67] OiTorders in Quasi-Frobenius rings, /. Algebra, 7 A967), 35—43.
[70] On'the double centralizer property, Math. Ann., 188 A970), 85—89.
Джекобсон (Jacobson N.)
[45a]The radical and semisimplicity for arbitrary rings, Amer. J. Math.,
67 A945), 300—342.
[45b] The structure of simple rings without finiteness assumptions, Trans.
Amer. Math. Soc, 57 A945), 228—245.
[45c] Structure theory for algebraic algebras of bounded degree, Ann. of
Math., 46 A945), 695-707.
[47] Теория колец, ИЛ, М., 1947.
[50] Some remarks on one-sided inverses, Proc. Amer. Math. Soc, 1 A950),
352—355.
[51, 53, 64] Lectures in Abstract Algebra, Vol. I—III, New York/Princeton,
Van Nostrand, 1965, 1953, 1964.
[56, 64] Structure of Rings. Colloqium Publication, Vol. 37, Amer. Math.
Soc, Providence, 1956 A964 revised).
[61] Строение колец, ИЛ, 1961. [Русский перевод I изд. [56] 1956 г.]
Дженингс (Jennings S. А.)
[41] The structure of the group ring of a p-group over a modular field,
Trans. Amer. Math. Soc, 50 A941), 175—185.
Джилмер (Gilmer R. W.)
[68] Multiplicative Ideal Theory, Part I and II, Queens Papers on Pure and
Applied Math., vol. 12, Queen's U., Kingston, Ontario, 1968.
Джонсон (Johnson R. E.)
[51a]The extended centralizer of a ring over a module, Proc Amer. Math.
Soc, 2 A951), 891—895.
[51b]Prime rings, Duke Math. J., 18 A951), 799—809.
[53] Representations of prime rings, Trans. Amer. Math. Soc, 74 A953),
351—357.
[69] ExtendedMalcev domains, Proc. Amer. Math. Soc, 21 A969), 211—213.
Джонсон, Уонг (Johnson R. E., Wong E. T.)
[59] Self-injective rings, Canad. Math. Bull., 2 A959), 167—173.
[61] Quasi-injective modules and irreducible rings, /. bond. Math. Soc,
36 A961), 260-268.
Диксон (Dickson L. E.)
[23] Algebras and their Arithmetics, University of Chicago, 1923, and
Stechert & Co. (reprint), 1938.
[66] A torsion theory for Abelian categories, Trans. Amer. Math. Soc, 121
A966), 223—235.
Диксон, Фуллер (Dickson S. E., Fuller K. R.)
[70] Commutative QF-1 artinian rings are QF, Proc Amer. Math. Soc, 24
A970), 667—670.
Длаб, Рингель (Dlab V., Ringel С. М.)
[72a]Balanced rings, /. Algebra, 22 A972), 480—501.
[72b]Balanced rings, Proc. Tulane University Symposium in Ring Theory,
New Orleans, Lecture Notes in Mathematics, No. 246, Berlin/Heidel-
Berlin/Heidelberg/New York, Springer, pp. 73—143, 1972.
Дьёдонне (Dieudonne J. A.)
[42] Les determinants sur un corps non-commutatif, Bull. Soc. Math. Fran-
France, 70 A942), 27—45.
Дьёдонне, Гротендик см. Гротендик, Дьёдонне.
Елизаров В. Л.
[69] Кольца частных, Алгебра и логика, 8 A969), 219—243.
Жантиль (Gentile E.)
[60] On rings with one-sided fields of quotients, Proc. Amer. Math. Soc,
11 A960), 380-384.
Зарисский, Самюэль (Zariski О., Samuel P.)
[63] Коммутативная алгебра, т. 1 и 2, ИЛ, М., 1963.
Зельманович (Zelmanowitz J. M.)
[67] Endomorphism rings of torsion-less modules, /. Algebra, 5 A967),
325—341.
[69] A shorter proof of Goldie's theorem, Canad. Math. Bull., 12 A969),
597—602.
Икеда (Ikeda M.)
[52] A characterization of quasi-Frobenius rings, Osaka J. Math., 4 A952),
203—210.
Йонеда (Yoneda N.)
[54] On the homology theory of modules, /. Fac Sci. Univ. Tokyo, Sect. I
A954), 193—227.
Камилло (Camillo V. P.)
[70] Balanced rings and a problem of Thrall, Trans. Amer. Math. Soc,
149 A970), 143—153.
Камилло, Фуллер (Camillo V. P., Fuller K. R.)
[72] Balanced and QF—1 algebras, Proc. Amer. Math. Soc, 23 A972),
373-378.
Камке (Kamke E.)
[50] Theory of Sets, New York, Dover Publ., 1950.
Кан (Кап D.)
[58] Adjoint functors, Trans. Amer. Math. Soc, 87 A958), 294—329.
Кантор (Cantor G.)
[42] Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers,
Dover/New York, 1942.
Капланский (Kaplansky I.)
[52] Modules over Dedekind rings and valuation rings, Trans. Amer. Math.
Soc, 72 A952), 327—340.
[58a]Projective modules, Ann. Math., 68 A958), 372—377.
[58b]On the dimension of modules and algebras, X, A right hereditary ring
which is not left hereditary, Nagoya Math. /., 13 A958), 85—88.
[59] Homological dimension of rings and modules, Mimeographed notes,
University of Chicago, 1969.
[66] The homological dimension of a quotient field, Nagoya Math. J., 27
A966), 139-142.
[69a]Fields and Rings, Chicago Lectures in Mathematics. Chicago/London,
University of Chicago Press, 1969.
[69b]Infinite Abelian Groups, 2nd Ed., Ann Arbor., University of Mi-
Michigan Press, 1969.
Карагаполов М. И., Мерзляков Ю. И.
[76] Основы теории групп, Наука, М., 1976.
Картан,, Эйленберг (Cartan Н., Eilenberg S.)
[60] Гомологическая алгебра, ИЛ, М., 1960.

664
Список литературы
Каш, Кнезер, Куппиш (Kasch F., Kneser M., Kuppisch H.) ;
[57] Unzerlegbare modulare Darstellungen endicher Gruppen mit zykli-
scher p-Sylow-Gruppe, Arch. Math., 8 A957), 320—321.
Келли (Kelley J.)
[68] Общая топология, «Наука», М., 1968.
Кёлер (Koehler A.)
[70] Quasi-projective covers and direct sums. Proc. Amer. Math. Soc, 24
A970), 655—658.
Клиффорд, Престон (Clifford A. M., Preston G. B.)
[72] Алгебраическая теория полугрупп, т. 1, «Мир», М., 1972.
Кнезер, Каш, Куппиш см. Каш, Кнезер, Куппиш.
Кнус (Knus M. А.)
[70] Algebres d'Azumaya et modules projectifs, Comment. Math. Helv., 45
A970), 372—383.
Кнус, Оянгурен (Knus M. A., Ojanguren M.)
[72] On the torsion of the Brauer group, Preprint, Math. Inst. E.T.H.,
Zurich, 1972.
Коззенс (Cozzens J. H.)
[70] Homological properties of the ring of differential polynomials, Bull.
Amer. Math. Soc, 76 A970), 75—79.
[72] Simple principal left ideal domains, /. Algebra, 23 A972), 66—75.
Коззенс, Фейс (Cozzens J. H., Faith C.)
[73/74] Simple rings with ascending chain conditions: A survey.
Колби, Раттер (Colby R. R., Rutter E. A.)
[71] П-Flat and П-Projective modules, Arch. Math., 22 A971), 246—251.
Колчин (Kolchin E. R.)
[53] Galois theory of differential fields, A mer. J. Math., 75 A953), 753—824.
Кон (Cohn P. M.)
[62] On subsemigroups of free semigroups. Proc. Amer. Math. Soc, 13
A962), 347-351.
[64a]Free ideal rings, /. Algebra, 1 A964), 47—69.
[64b]Subalgebras of free associative algebras, Proc. bond. Math. Soc, C)
14 A964), 618-632.
[66] Morita Equivalence and Duality, University of London, Bookstore,
Queen Mary College, Mile End Road, London, 1966.
[66b] Some remarks on the invariant basis property, Topology, 5 A966),
215—228.
[68] Универсальная алгебра, «Мир», М., 1968.
[69] Free associative algebras, Bull. bond. Math. Soc, 1 A969), 1—39.
[75] Свободные кольца и их связи, «Мир», М., 1975.
Коннел (Connell I.)
[63] On the group ring, Canad. J. Math., 15 A963), 650—685.
Корнер (Corner A. L. S.)
[63] Every countable reduced torsion-free ring is an endomorphism ring,
Proc. bond. Math. Soc, C) 13 A963), 687—710.
Kox (Koh K.)
[66] On simple rings with maximal annihilator right ideal, Canad. Math.
Bull., 9 A966), 667—668.
Список литературы
665
Коэн (Cohen P. J.)
[63 64] The independence of the continuum hypothesis I, II, Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 50 A963), 1143-1148; 51 A964), 105-110.
[69] Теория множеств и континуум-гипотеза, «Мир», М., 1969.
Круазо, Лезьё см. Лезьё, Круазо.
Крулль (Krull W.)
[48] Idealtheorie, New York, Chelsea, 1948.
Ксерксес (Xerxes С.)
[300 В. С] The Athenian plateau problem. Archiv. Manuskriptus, 1,1—100
C00 B. C).
Куппиш, Каш, Кнезер см. Каш, Кнезер, Куппиш.
Курош А. Г.
[67] Теория групп, «Наука», М., 1967.
[73] Лекции по общей алгебре, «Наука», М., 1973.
Куртер (Courter R. С.)
[65] The dimension of a maximal commutative subalgebra oi Kn, Duke
Math. J., 32 A965), 225-232.
Кэртис, Райнер (Curtis С. W., Reiner I.)
[69] Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр.
«Наука, М., 1969.
Лабкин (Lubkin S.)
[60] Imbedding of abelian categories, Trans. Amer. Math. Soc, 97 A960),
410-417.
Лазар (Lazard D.)
[64] Sur les modules plats, C. R. Acad. Sci. Paris., 258 A964), 6313—6316.
Ламбек (Lambek J.)
[63] On Utumi's ring of quotients, Canad. J. Math., 15 A963), 363—370.
[64a]A module is flat if and only if its character module is injective,
Canad. Math. Bull., 7 A964), 237—243.
[64b]Goursat's theorem and homological algebra, Canad. Math. Bull., 7
A964), 597—607.
[71а]Кольца и модули, «Мир», М., 1971.
[71b]Torsion Theories, Additive Semantics, and Rings of Quotients, Lecture
Notes in Mathematics, No. 177. Berlin/Heidelberg/New York,
Springer, 1971.
Ламбек, Финдлей см. Финдлей, Ламбек.
Ланский (Lanski С.)
[69] Nil subrings of Goldie rings are nilpotent, Canad. J. Math., 21 A969),
904—907.
Леви (Levy L.)
[63a]Unique direct sums of prime rings, Trans. Amer. Math. Soc, 106
A963), 64—76.
[63b]Torsionfree and divisible modules over non-integral domains, Canad.
J. Math., 15 A963), 132—151.
Левитт (Leavitt W.)
[57] Modules without invariant basis number, Proc. Amer. Math. Soc,
7, A957), 322—328.
[62] The module type of a ring, Trans. Amer. Math. Soc, 103 A962),
113—130.

666
Список литературы
Левицкий (Levitzki J.)
[45] Solution of a problem of G. Koethe, Amer. J. Math., 67 A945), 437—
442.
[64] On nil subrings (Posthumous paper edited by S. A. Amitsur), Israel
J. Math, 1 A963), 215-216.
Леаьё, Круазо (Lesieur L., Croisot R.)
[58] Thiorie noetherienne des anneaux, des demi-groupes et des modules
dans le cas non commutatif II, Math. Ann., 134 A958), 458—476.
[59] Sur les anneaux premiers noetheriens a gauche, Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup., 76 A959), 161—183.
Ленаган (Lenagan)T. H.)
[71] Bounded Asano orders are hereditary, Bull. Lond. Math. Soc, 3
A971), 67-69.
Ленг (Lang S.)
[68] Алгебра, «Мир», М., 1968.
Ленцинт (Lenzing H.)
[69] Endlich prasentierbare Moduln, Arch. Math., 20 A969), 262—266.
Литтлвуд (Littlewood D. E.)
[33] On the classification of algebras, Proc. Lond. Math. Soc, B) 35
A933), 200—240.
Лоувер (Lawvere F.)
[64] Elementary theory of the category of sets, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 52 A964), 1506—1511.
[65] The category of categories as a foundation for mathematics, Proc. Conf.
Categorical Algebra, Amsterdam, North-Holland Publ., 1965, pp. 1—20.
Маклейн (MacLane S.)
[50] Duality in groups, Bull. Amer. Math. Soc, 56 A950), 485—516.
[66] Гомология, «Мир», М., 1966.
[71] Categorical Algebra and set-theoretical foundations, Amer. Math. Soc.
Proceedings of Symposia in Pure Math., Vol. XIII, Part I, 1971,
pp. 231—240.
[72] Categories for the working mathemacian, Berlin/Heidelberg/New York,
Springer, 1972.
Маклейн, Биркгоф см. Биркгоф, Маклейн.
Маклейн, Эйленберг см. Эйленберг, Маклейн.
Мальцев А. И.
[36] OnTthe immersion of an algebraic ring into a field, Math. Ann., 113
A936), 686—691. [См. также Мальцев А. И., Избранные труды, т. I,
Наука, М., 1976, 12—15.]
[70] Алгебраические системы, Наука, М., 1970.
Машке (Maschke H.)
[98] Uber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutio-
nen endlicher linearer Substitutionsgruppen, Math. Ann., 50 A898),
483-498.
Митчелл (Mitchell B.)
[64] The full embedding theorem, Amer. J. Math., 86 A964), 619—637.
[65] Theory of Categories,«New York, Academic Press, 1965.
[72] Rings with several objects, Advances in Math., 8 A972), 1 — 161.
Михлер (Michler G.)
[69a]On quasi-local noetherian rings, Proc. Amer. Math. See., 20 A969),
222—224.
Список литературы
667
[69b]Structure of semiperfect hereditary Noetherian rings, /. Algebra, 13
A969), 327—344.
[69c]Idempotent ideals in perfect rings, Canad. J. Math., 21 A969), 301—309.
[69d] Asano orders, Proc. Lond. Math. Soc, 19 A969), 421—443.
Морита (Morita K.)
[58] Duality for modules and its applications to the theory of rings with
minimum condition, Sci. Reports, Tokyo Kyoiku Daigaku, 6 A958),
83—142.
[70, 71] Localizations in categories of modules, I; III, Math. Z., 114 A970),
121—144; 119 A971), 313-320.
[71a]Flat modules, injective modules, and quotient rings, Math. Z., 120
A971), 25—40.
Мьюборн, Уинтон (Mewborn A. C, Winton С N.)
[69] Orders in self-injective semi-perfect rings, /. Algebra, 13 A969), 5—9.
Нагата (Nagata M.)
[62] Local Rings, New York, Interscience Publishers, 1962.
Накаяма, Эйленберг см. Эйленберг, Накаяма.
фон Нейман (von Neumann J.)
[36] On regular rings, Proc. Nat. Acad. Sci., 22 A936), 707—713.
[60] Continuous Geometry, Princeton Mathematical Series, No. 25, Prin-
Princeton, Princeton University, 1960.
Несбит, Тролл, Артин, см. Артин, Несбит, Тролл.
Норскотт (Northcott D. G.)
[60] Homological Algebra, Cambridge, Cambridge University Press, 1960.
Ope (Ore O.)
[31] Linear equations in non-commutative fields, Ann. of Math., 32 A931),
463—477.
[33] On a special class of polynomials, Trans. Amer. Math. Soc, 35 A933),
559-584.
Орнстейн (Ornstein A. J.)
[67] Rings with restricted minimum condition, Ph. D. Thesis, Rutgers
University, 1967.
Ософская (Osofsky B. L.)
[68a]Endomorphism rings of Quasi-injective modules, Canad. J. Math., 20
A968), 895—903.
[68b]Noncommutative rings whose cyclic modules have injective hulls,
Pacif. J. Math., 2b A968), 331-340.
[68c]Homological dimensions and the continuum hypothesis, Trans. Amer.
Math. Soc, 132 A968), 217—230.
[68dlUpper bounds on homological dimensions, Nagoya Math. J., 32 A968),
315—322.
[69] A commutative local ring with finite divisors, Trans. Amer. Math. Soc,
141 A969), 377—385.
[70] Homological dimension and cardinality, Trans. Amer. Math. Soc,
151 A970), 641—649.
Пер лис (Perlis S.)
[42] A characterization of the radical of an algebra, Bull. Amer. Math. Soc,
48 A942), 128—132.
Понтрягин Л. С.
[72] Непрерывные группы, «Наука», М., 1972.

668
Список литература
Попеску, Габриель (Popesco N., Gabriel P.)
[64] Caracterisations des categories abeliennes avec generateurs et limites
inductives exactes, C. R. Acad. Sci. Paris, 258 A964), 4188—4190.
Постников М. M.
[63] Теория Галуа, Физматгиз, М., 1963.
Престон, Клиффорд см. Клиффорд, Престон.
Прочези (Procesi С.)
[63] On a theorem of Goldie concerning the structure of prime rings with
maximal condition (in Italian), A cad. Naz. Lincei Rend., 34 A963),
372—377.
[65] On a theorem of Faith andUtumi (in Italian), Rend. Math. e. Appl., 24
A965), 346—347.
Прочези, Смолл (Procesi С, Small L.)
[65] On a theorem of Goldie, J.[Algebra, 2 A965), 80—84.
Пуппе (Puppe D.)
[67] Uber die Axiome fur abelsche Kategorien, Arch. Math.,' 7 A967),
217—222.
Райнер, Кэртис см. Кэртис, Райнер.
Райнхарт (Rinchart G. S.)
[62] Note on the global dimension of a certain ring, Proc. Amer. Math. Soc,
13 A962), 341-346,
Pao (Rao M.L.R.)
[72] Azumaya, semisimple, and ideal algebras, Bull. Amer. Math., Soc,
78, A972), 588—592.
Раттер, Колби см. Колби, Раттер. >
Рингель, Длаб см. Длаб, Рингель.
Риффель (Riffel M. А.)
[65] A general Wedderburn theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 54 A965),
1513.
Ричман (Richman F.)
[65] Generalized quotient rings, Proc. Amer. Math. Soc, 16 A965), 794—
799. ^
Робсон (Robson J. C.)
[67a]Artinian quotient rings, Proc. bond. Math. Soc, 17 A967), 600—616.
[67b]Pri-rings, and Ipri-rings, Quarterly J. Math., 18 A967), 125—145.
[68] Non-commutative Dedekind rings, /. Algebra, 9 A968), 249—265.
Робсон, Айзенбуд см. Айзенбуд, Робсон.
Робсон, Гриффите, см. Гриффите, Робсон.
Ройтер А. В.
[68] Неограниченность размерности неразложимых представлений алгеб-
алгебры, имеющей бесконечно много неразложимых представлений, Изв.
Акад. наук СССР, сер. мат., 32 A968), 1275—1282.
Рооз (Roos J.-E.) r :
[65] Caracterisation des categories qui sont quotients des categories des
modules par des sous-categories bilocalisantes, С R. Acad. Sci. Paris,
261 A965), 4954-4957.
[67] Sur la condition AB6 et ses variantes dans les categories abeliennes,
С R. Acad. Sci. Paris., 264 A967), 991—994.
Список литературы
[68] Sur l'anneau maximal de fractions des 4W-algebras et des anneaux de
Baer, С R. Acad. Sci. Paris, 266 A968), 120—123.
Ротман (Rotman J.)
[65] The Theory of Groups, Boston Allyn & Bacon, 1965.
Сандомирский (Sandomierski F.)
[64] Relative injectivity and projectivity, Ph. D. Thesis, Penna, State
University, University Park, 1964.
[67] Semisimple maximal quotient rings, Trans. Amer. Math. Soc, 128
A967), 112—120.
[68] Nonsingular rings, Proc. Amer. Math. Soc, 19 A968), 225—230.
Саха, Гупта см. Гупта, Саха.
Селе (Szele Т.)
[50] Ein Analogon der Korpertheorie fur abelsche Gruppen, /. reine u. an-
gew. Math., 188 A950),'167—192.
Серпинский (Sierpinski W.)
[47] L'Hipothese generalized du continuet l'axiome du choik, Fund. Math.,
24 A947), 1—5.
[58] Cardinal and Ordinal Numbers, Mathematical Monographs of the
Polish Academy, Warszawa, 1958.
Сешадри (Seshadri C.)
[58] Triviality of vector bundles over the affine space K2, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 44 A958), 456—458.
Силвер (Silver L.I
[67] Noncommutative localizations and applications, J\ Algebra, 7 A967),
44—76.
Скотт (ред.) (Scott D.)
[71] Axiomatic Set Theory, Proceedings of Symposia in Pure Mathema-
Mathematics, Vol. 13, Part I, Amer. Math. Soc, Providence, 1971.
Смолл (Small L. W.)
[65] An example in Noetherian rings, Proc. Nat. Sci. USA, 54 A965),
1035—1036.
[66a]Hereditary rings, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 55 A966), 25—27.
[66b]Orders in Artinian rings, /. Algebra, 4 A966), 13—41; Corrections and
addendum, Ibid:, 4 A966), 505—507.
[66c]Remarks on the homological dimension of a quotient field, Mimeogra-
Mimeographed Notes. University of California, Berkeley, 1966.
[68] Orders in artinian rings, II, J\ Algebra, 9 A968), 266—273.
Смолл, Прочези см. Прочези, Смолл.
Снайдер, Форманек см. Форманек, Снайдер.
Снаппер (Snapper E.)
[50, 51, 52] Completely primary rings, I—IV, Ann. Math., 52; 53; 55
A950—1952),'666—693; 125—142; 207—234; 46—64.
Соловэй (Solovay R.)
[63] Independence results in the theory of cardinals (Preliminary Report),
Notices of the A mer. Math. Soc, 10 A963), 595.
Суон (Swan R.)
[59] Projective modules over finite groups, Bull. Amer. Math. Soc, 65
A959), 365-367.
[68] Algebraic ^-Theory, Lecture Notes in Mathematics, No 76, Berlin/He-
Berlin/Heidelberg/New York, Springer, 1968.

670
Список литературы
Такэути (Takeuchi M.)
[71] A simple proof of Gabiriel and Popesco's theorem, /. Algebra, 18
A971), 112—113.
Талинтайр (Talintyre T. D.)
[63] Quotient rings of rings with maximal condition for right ideals,
/. London. Math. Soc, 38 A963), 439—450.
[66] Quotient rings with minimum condition on right ideals, /. bond.
Math. Soc, 41 A966), 141—144.
Томпсон, Фейт см. Фейт, Томпсон.
Тролл (Thrall R. М.)
[48] Some generalizations of quasi-Frobenius algebras, Trans. A mer. Mathi
Soc, 64 A948), 173—183.
Тролл, Артин, Несбит, см. Артин, Несбит, Тролл.
Уиллард (Willard E.)
[65] Properties of generators, Math. Ann., 158 A965), 352—364.
Уинтон, Мьюборн см. Мьюборн, Уинтон.
Уитни (Whitney H.)
[44] Topics in the theory of abelian groups, I. Divisibility of homomorp-
hisms, Bull. Arner. Math. Soc, 50 A944), 129—144.
Уокер К. (Walker С. L.)
[66] Relative homological algebra and abelian groups, III. J. Math., 10
A966), 186—209.
Уокер Э., Уокер К. (Walker E. A., Walker С L.)
[66] Quotient Categories of Modules, Proceedings of the* Conference on
Categorical Algebra (La Jolla, 1965), Berlin/Heidelberg/New York,
Springer, 1966.
[72] Quotient categories and rings of quotients, Rocky Mountain J. Math.,
2 A972), 513-555.
Уокер Э., Фейс см. Фейс, Уокер Э.
Уонг, Джонсон см. Джонсон, Уонг.
Уотс [WatoC.)
[60] Intrinsic characterizations of some additive functors, Proc. Amer. Math.
Soc, 11 A960), 5-8.
Утуми (Utumi Y.)
[56] On quotient rings, Osaka Math. J., 8 A956), 1—18.
[63a]A theorem of Levitzki, Math. Assoc of Amer. Monthly, 70 A963),
286.
[63b]On rings of which any one-sided quotient ring are two-sided, Proc.
Amer. Math. Soc, 14 A963), 141—147.
[63c]A note on rings of which any two-sided quotient rings are two-sided,
Proc. Japan Acad., 39 A963), 287—288.
[65] On continuous rings and self-injective rings, Trans. Amer. Math.,
Soc, 118 A965), 158-173.
Утуми, Фейс см. Фейс, Утуми.
Уэйплс, Артин см. Артин, Уэйплс.
Фейс (Faith С.)
[64] Noetherian simple rings, Bull. Amer. Math. Soc, 70 A964), 730—731.
[65] Orders in simple artinian rings, Trans. Amer. Math. Soc, 114 A965),
61—64.
Список литературы
671
[66] Rings with ascending condition on annihilators, Nagoya Math. J., 27
A966), 179—191.
[67a]Lectures on Injective Modules and Quotient Rings, Lecture Notes in
Mathematics, No. 49, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, 1967.
[67b]A general Wedderburn theorem, Bull. Amer. Math. Soc, 73 A967),
65—67.
[71a]A correspondence theorem for projective modules and the structure of
simple noetherian rings, Bull. Amer. Math., Soc, 77 A971), 338—342.
[71b]Orders in semilocal rings, Bull. Amer. Math. Soc, 77 A971), 960—962.
[72a]A correspondence theorem for projective modules, and the structure of
simple Noetherian rings, Proceedings of the Conference on Associative
Algebras, Nov. 1970, Istituto Nazionale di Alta Matematica, Sympo-
Symposium Matematica 8, 1972, pp. 309—345.
[72b]Faith, C.: Modules finite over endomorphism ring, Proc. Tulane
University, Symposium in Ring Theory, New Orleans, Lecture Notes
in Mathematics, No. 246.
Berlin/Heidelberg/New York, Springer, 1972, pp. 145—190.
[72c]Galois subrings of Ore domains are Ore domains, Bull. Amer. Math.
Soc, 78 A972), 1077-1080.
[73/74a] On a theorem of Chatters, Preprint, Rutgers University 1973/74.
[73/74b] Embedding modules in projectives, Preprint, Rutgers University,
1973/74.
Фейс, Коззенс см. Коззенс, Фейс,
Фейс, Уокер (Faith С, Walker E. А.)
[67] Direct sum representations of injective modules, /. Algebra, 5 A967),
203—221.
Фейс, Утуми (Faith С, Utumi Y.)
[65a]On noetherian prime rings, Trans. Amer. Math. Soc, 114A965), 53—60.
[65b]Maximal quotient rings, Proc Amer. Math. Soc, 16 A965), 1084—
1089.
Фейс, Чейз см. Чейз, Фейс.
Фейт (Feit W.)
[67] Characters of Finite Groups, New York, Benjamin, 1967.
Фейт, Томпсон (Feit W., Thompson J. G.)
[63] Solvability of groups of odd order, Pacif. J. Math., 13 A963), 775—
1029.
Феллер, Своковский (Feller E. H., Swokowski E. W.)
[61a]Reflective N -prime rings with the ascending condition, Trans. Amer.
Math. Soc, 99 A961), 264—271; Corrections, ibid., p. 555.
[61b]Reflective rings with the ascending chain condition, Proc. Amer. Math.
Soc, 12 A961), 651-653.
Финдлей, Ламбек (Findlay G. D., Lambek J.)
[58] A generalized fing of quotients, I, II, Canad. Math. Bull., 1 A958),
77-85,155-167.
Форманек (Formanek E.)
[72a]Central polinomials and orders, Carleton University preprint, Otta-
Ottawa, 1972.
[72b]A problem of Passman on semisimplicity, Carleton University'preprint,
Ottawa, 1972.
Форманек, Снайдер (Formanek E., Snider R. L.)
[72] Primitive group rings, Carleton University and Miami University,
preprint, Ottawa and Coral Gables, 1972.

672
Список литературы
Список литературы,
673
Фрейд (Freyd P.)
[60] Functor Theory, Ph. D. Thesis, Columbia University, 1960.
[64] Abelian Categories, New York, Harper Row, 1964.
Френкель (Fraenkel A.)
[22] Uber den Begriff «definit» und die Unabhangigkeit des Auswahl axi-
axioms, Sitzungsber, Preuss. Akad. wiss. Phil. Math., 1922, pp. 253—257.
Френкель, Бар-Хиллел (Fraenkel A., Bar-Hillel Y.)
[66] Основания теории множеств, «Мир», М., 1966.
Фукс (Fuch L.)
[74, 77] Бесконечные абелевы группы, «Мир», М., 1974, 1977.
Фуллер (Fuller К. R.)
[71] Primary rings and double centralizers, Pacif. J. Math., 32 A970),
379—383.
Фуллер, Диксон см. Диксон, Фуллер.
Фуллер, Камилло см. Камилло, Фуллер.
Халмош (Halmos P.)
[60] Naive Set Theory, New York, Van Nostrand, 1960.
Харада (Harada M.)
[56] Note on the dimension of modules and algebras, /. Inst. Polytechnics
Osaka City University, Ser. A, 7 A956), 17—27.
Харт (Hart R.)
[67] Simple rings with uniform right ideals, J\ bond. Math,, 42 A967),
614—617.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
[37] Теория множеств, ОНТИ, М.—Л., 1937.
Херстейн (Herstein I. N.)
[64] Topics in Algebra, New York, Harper & Row, 1964.
[65] A counter example in Noetherian rings, Proc. Nat. Acad., Sci., USA,
54, A965), 1036—1037.
[72] Некоммутативные кольца, «Мир», М., 1972.
Холл (Hall M.)
[62] Теория групп, ИЛ, М., 1962.
Хохшильд (Hochschild G.)
[56] Relative homological algebra, Trans. Amer. Math. Soc, 82 A956),
246—269.
[58] Note on relative homological algebra, Nagoya Math. J., 13 A958),
89—94.
Цаленко М. С, Шульгейдгер Е. Г.
[74] Основы теории категорий, Наука, М., 1974.
Цассенхауз (Zassenhaus H.)
[58] The Theory of Groups, 2nd Ed., New York, Chelsea, 1958.
[67] Orders as endomorphism rings of modules of the same rank, /. bond.
Math. Soc, 42 A967), 180—182.
Цермело (Zermelo E.)
[04] Beweiss, dass jede Menge wohlgeordnet kann, Math. Ann. 59 A904),
514—516.
[08a]Neuer Beweis fur die Moglichkeit einer Wohlordnung, Math. Ann., 65
A908), 107—128.
[08b]Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre, I, Math. Ann.,
65 A908), 261 — 281.
Цисман, Габриель см. Габриель, Цисман.
Чаттерс (Chatters A. W.)
[70] The restricted minimum condition in Noetherian hereditary rings,
J. bond. Math. Soc, 4 A971), 83—87.
[72] A decomposition theorem for Noetherian hereditary rings, Bull. Land.
Math. Soc, 4 A972), 125—126.
Чейз (Chase S. U.)
[60] Direct products of modules, Trans. Amer. Math. Soc, 97 A960), 457—
473.
[62a] On direct product and sums of modules, Pacif. J. Math., 12 A962),
847—854.
[62b]A remark on direct products of modules, Proc. Amer. Math. Soc, 13
A962), 214—216.
Чейз, Фейс (Chase S. U., Faith C.)
[65] Quotient rings and direct products of full linear rings, Math. Z., 88
A965), 250—264.
Шевалле (Chevalley C.)
[55] The Construction and Study of Certain Important Algebras, The Mat-
Mathematical Society of Japan, Tokyo, 1955.
[56] Fundamental Concepts of Algebra, New York, Academic Press, 1956.
Шефердсон (Shepherdson J. C.)
[51] Inverse and zero divisors in matrix rings, Proc. bond. Math. Soc, 61
A951), 71—85.
Шок (Shock R. C.)
[71a]Injectivity, annihilators, and orders, /. Algebra, 19 A971), 96—103.
[71b]Nil subrings in finiteness conditions, Amer. Math. Monthly, 78 A971),
741—748.
[72a]Orders in self injective cogenerator rings, preprint, 1972.
[72b]Polynomial rings over finite dimensional rings, preprint, Southern
Illinois University, Carbondale, 1972.
Шопф, Экман см. Экман, Шопф.
Шпекер (Spekcer E.)
[50] Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen, Portugaliae Math., 9
A950), 131—140.
Штейниц (Steinitz E.)
[48] Algebraische Theorie der Korper, New York, Chelsea, 1948.
Штенштрём (Stenstrom B.)
[71] Rings and modules of quotients, Lecture Notes in Mathematics, No. 237,
Berlin/Heidelberg/New York, Springer, 1971.
Эйленберг (Eilenberg S.)
[56] Homological dimension and syzygies, Ann. Math., 64 A956), 328—336.
[60] Abstract description of some basic functors, /. Indian Math. Soc, 24
A960), 221—234.
Эйленберг, Картан см. Картан, Эйленберг.
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S., Maclane S.)
[42] Natural isomorphisms in group theory, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
28 A942), 537—543.
43 К. Фейс

674
Список литературы
[45] General theory of natural equivalences, Trans. Amer. Math. Soc, 58
A945), 231—294.
Эйленберг, Накаяма (Eilenberg S.,Nakayama T.)
[55] On the dimension of modules and algebras, II (Frobenius algebras and
Quasi-Frobenius rings,) Nagoya Math. J., 9 A955), 1—16.
Эйленберг, Розенберг, Зелинский (Eilenberg S., Rosenberg A., Zelinsky D.)
[57] On the dimension of modules and algebras. VIII. Dimension of tensor
products, Nagoya Math. J., 12 A957), 71—93.
[62] On flat modules over commutative rings, /. Math. Soc. Japan, 14
A962), 284—291.
Экман, Шопф (Eckmann В., Schopf A.)
[53] Uber injektive Mоduln, Archiv Math., 4 A953), 75—78.
Эндо (Endo S.,)
Януш (Janusz G. J.)
[69] Indecomposable modules for finite groups. Ann. of Math. 89 A969),
209—241.
Ятегаонкар (Jategoankar A. V.)
[69a]Ore domains and free algebras, Bull. bond. Math. Soc, 1 A969),
45-46.
[69b]A counter-example in ring theory and homological algebra, J.Algebra,
12 A969), 418—440.
[70a]Left Principal Ideal Rings, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 123,
Berlin/Heidelberg/New Vork, Springer, 1970.
[70b]Orders in artinianrings, Bull. Amer. Math. Soc, 75A969), 1258—1259.
[72] Noetherian Prime Rings, Proceedings of Ring Theory Conference,
New York, Academic Press, 1972, pp. 171—229.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
=, ~, &, v,^, <=>,
M, Z, Q, R, С 29
6, 6, s, 3=, 0 29, 30
_^7 H-* 30
U.'n. A - В 31, 32
Pow, x 34
/ 1 U, lx 40
inf, sup, V- Л 54
I] 59, 136, 157
I] 61, 137
| Л | 66
«s(X), ?/(?) 74, 152
« E), Map 75
# (X), Sn 76
2® X; 77
X1, Z<f) 78
Horn 79
im, ker 80
G :H 84
Z,,» 85
^G (A) 87
Obj С, Мог С, Могс D,
End 89, 154, 159
—, С°р, С* 90
lc, SETS 91
MONOIDS, GROUPS,
DlVmod-Z 92
« , ivior (A, ), [j±,
Мог ( , A), ( , Л)
source X 94
target X, Aut, Eqiv, ?»
Funct, CAT 96
[G, G], Aut, can(G) 97
T*, Г* 98
In Aut, S°i> 99
Ox, Stab a; 111
fix g HI
f E), .P8 131
V, 3 28
B) 88
mod-Z,
), hA,
93
95
lim 143
RINGS 156
RM, MR, (M, R,
158
[R, M, h], [M, R
eSR, End MR,
ad, as, Biend, Rd,
SR, RR 163
J (I) 169
radi? 173
Mn (A) 111
M* 181
M** 182
X-J-, -l X, annB X
trM G, annfl (X/N)
fixG 191
Endc X 196
Adfunct 197
im Г 200
<8> Л/ 215
О 218
if 220
O- 223
Js(A) 224
soc M, rad M 230
superfl Л/ 231
Br (jfc) 242
M, R 247
- 275
« (C) 280
<3 r j
-~, ~i ~" 283
CL 292
ORE DOM 295
(Y, T) 296
compatb F, colim
и), (R, M, u)
, h], mod-i?,
Л-mod 159
RR 162
187
188
229
cocompatb F, F, lim, F, colim F,
lim fe 300

676
Список обозначений
lim F (X), colim F (X) 303
x e l x e l
eq(A,/.2) 305
coeq (/j, /2) 306
ker/, coker/ 307, 308
arm /, coann / 308
TOP 315
/ 0 g 348
sing AT 352
bal (X, У) 354
fc-ALG 360
Л-GROUP RINGS, Л-MONOID
RINGS 364
4-ABEL GROUP RINGS,
Л-ABEL MONOID RINGS,
A [S] 365
COM С 370
COM-fc-ALG 371
[CL], [L, C], Sex (L, C) 388
roc 4QZ
M' (M), M" (M) 403
Mix), M (x) 419
A [y, D] 434
D [ж, р] 446
r. gl. dim, inj. dim, dim 456
g
(M8) 523
Pich J,
Л/A: 570
k(x) 571
Ле 588
A 554
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
автодуальное утверждение 50
— множество 50
автодуальный класс 51
автоморфизм 95, 555
— внутренний 555
автоэквивалентность 97
аксиома бесконечности 33
— выбора 34, 36
— выделения 33
— неупорядоченных пар 30
— подстановки 33, 36
— пустого множества 30
— регулярности 35, 36
— степени 34
— экстенсиональности 29
аксиомы Гёделя — Бернайса 35
— для множеств 35
— — образования классов 36
— объединения 31
— Цермело — Френкеля 29
алгебра Адзумаи 588
—• алгебраическая 570
— групповая 363
— идеальная 588
— коммутативная 362
— над коммутативным кольцом 360
— обертывающая 588
— полутрупповая 363
— расщепляемо-расщепляющаяся
583
— рациональная 589
— свободная на множестве 5 365
— с делением 565
— сепарабельная 575, 588
— точная 361
—¦ трансцендентная 570
— централизуемая 589
— центральная 361
— циклическая 589
алгебраически замкнутое поле 565
алгебраический элемент 569
алгебры подобные 587
— Адзумаи подобные 588
аннулятор 187
— правый (левый) 187
аннуляторный правый идеал 187, 429
антигомоморфизм 49, 99
антиизоморфизм 49, 99
антисимметричность 48
антиэквивалентность 98
артинов объект 192
ассоциативная операция 72
ассоциативность сопряженности 355,
517
— умножения 39
базис 167
— дуальный 184
fc-базис свободный 563
базисное число 167
биекция сопряжения 294
билинейное отображение 512
бимодуль 164
— обратимый 553
бинарное отношение 46
бипроизведение 139
бициклический моноид 100
биэндоморфизм 162
булеан 34
векторное пространство 163
взаимно однозначное отображение 41
— — — упорядоченных множеств
49
включение 40, 192
вложение 41, 192
— гомоморфное 81
— моноидов 81
— начальное 63
— частично упорядоченных мно-
множеств 49
вполне упорядоченное множество 52
гауссовы целые числа 154
гиперплоскость 185
гипотеза Брауэра — Тролла 589
— Серра 422
гомоморфизм инъективный 81
— кольцевой 153
— полугрупп 78
— существенный 218
— сюръективный 81
— частично упорядоченных мно-
множеств 49

678
Предметный указатель
Предметный указатель
679
гомоморфный образ 309
гомотетия 162, 403
грань верхняя 54
— — точная 54
— пижняя 54
— — точная 54
группа 74
— абелева 74
— — инъективная 113
— — проективная 114
— — свободная 86
— автоморфизмов 95
— аддитивная 195
— без кручения 86
— бихарактеров 215
— Брауэра 242, 588
— Галуа 578
— гамильтонова 112
— действительных чисел по модулю
целых 81
— делимая 85
— диэдральная 112
— знакопеременная 110
— кватернионов 107
— коммутативная 74
— конечно порожденная 83
— локально конечная 585
— нильпотентная 109
— обратимых элементов 74, 152
— ограниченная 86
— периодическая 85
— Пикара 554
— рациональных чисел по модулю
целых 81
— свободная 133
— свободно порожденная 135
— симметрическая степени п 76
— слов 136
— счетно порожденная 83
— характеров 130, 215
р-группа 85
групповая алгебра 363
групповое кольцо 363
— — целочисленное 371
двойственность 49, 98
[/-двойственность 559
действие 72
делитель нуля 154, 166
дельта Кронекера 138
диаграмма коммутативная 38
— — функторов 211
— некоммутативная 211
Дифференцирование 433
— внешнее 433
— внутреннее 433
^-дифференцирование 433
дополнение 32, 486
— диаграммы 38
— относительное 32
— — подмодуля 486
дополнительный подмодуль 486
дуальное утверждение 50
дуальный порядок 50
единица 73, 88
8акон дистрибутивности 151
вамыкание алгебраическое 572
— нормальное 578
знакопеременная группа 110
значение функции на элементе 31
идеал 153
— аннуляторный 187, 429
— — максимальный 429
— — минимальный 429
— главный 166
— латеральный 258
— левый 165
— — в предкольце 472
— нильпотентный 166
— однородный 423
— первичный 452
— плотный 647
— правый 165
— — аннуляторный 187, 429
— — в предкольце 472
— — максимальный 407
— — минимальный 407
— — сингулярный 352, 482
— простой 452
— следа 188
идеализатор 224
идеалы взаимно простые 573
— комаксималыше 573
идемпотент 75
— проектирующий 102
идемпотентное множество идеалов
639
идемпотенты ортогональные 226
измельчение 424
— собственное 424
изометрия 109
изоморфизм категорий 97
— моноидов 95
— упорядоченных множеств 49
инвариантное подмножество 72
инволюция 98, 156
индекс нильпотентности 166, 167
— подгруппы 84
индуктивное множество 57
индуктивный класс 302—303
индукция математическая 65
— трансфинитная 65
инъективная размерность 456
— резольвента 456
инъективное отображение 41
инъекция 82
исключение 50
каноническая инъекция 82, 138, 140
— проекция 138, 140
кардинал 66
— множества 67
категория 88
— абелева 374
— абелевых групп 92
— аддитивная 195
— артинова 279
— вполне корефлективная 607
— высказываний 92
— Гротендика 596
— групп 92
— делимых групп 92
— дуальная 90
— идеальная 171
— инъективно богатая 216, 378
— категорий 96
— колец 156
— (конечно) замкнутая по Галуа 233
— (—) полная 312
— конкретная 92
— конормальная 316
— кополная 312
— (ко)рефлективная 607
— локально малая 320
— — нётерова 601
— малая 304
— множеств 91
— модульного типа 198
— моноидов 92
— нётерова 279
¦— нормальная 316
— порядковая 129
•— последовательностей 93, 94
— проективно богатая 379
— противоположная 90
— сбалансированная 317
— с (конечными) (ко)произведения-
ми 196
— — (—) суммами 326
— — левой записью морфизмов 161
— — правой записью морфизмов 161
— — прямыми пределами 303
— — точными прямыми пределами
380, 393, 597
— — (эпиморфными) образами 309
— точная 321
— центрально замкнутая 233
— частично упорядоченных мно-
множеств 92
АВЗ-, АВ4-, АВ5-категория 381,
595
АВб-категория 633
категории реверсивно эквивалентные
161
квадрат декартов 307
— кодекартов 307
— коуниверсальный 307
— универсальный 307
квантор всеобщности 28
— существования 28
Класс 35
— автодуальный 51
— дуальный 51
— замкнутый 50—51
— идеальный 171
— изоморфных объектов 95
— линейно упорядоченный 302
— направленный 302
— объектов категории, направлен-
направленный по функтору (по категории)
303
— Серра 172, 609
— — слабый 644
— сопряженных элементов 111
— частично упорядоченный 302
— эквивалентности 47, 95
кокатегория 90
коллинеация 185
кольцо 151
—• антисингулярное справа 485
— артиново слева 408
справа 192, 408
— без кручения 242
— биэндоморфизмов 162, 403
— булево 155
— — подмножеств 155
— всех линейных преобразований
163
— главных правых идеалов 169, 207
— Голди правое 438, 485
— групповое 363
— дедекиндово 462
— дифференциальных многочленов
464
— квазифробениусово 475, 560
— классически полупростое 287, 438
— когерентное слева 535
— коммутативное 152
— конечное по Дедекинду 431, 494
— косых многочленов 446
— — — обобщенное 446
— Ли 155

680
Предметный указатель
кольцо локальное 222, 223
— — в точке 657
— — относительно простого идеала
222
— матриц полное 177
— многочленов (полиномов) 158, 420
— многочленов от коммутирующих
переменных 365
— наследственное справа 285
— некоммутативных многочленов
365
— нётерово справа 192, 411
— нулевое 151
— Оре правое 477
— первичное 166
— полугрупповое 363
— полулокальное 492, 502
— полупервичное 166
— полупримарное 538
— представимое 476
— примитивное 240, 447
— прюферово 462
— регулярное 232, 494, 529
— редуцированное 242
— самоинъективное 115, 351
— сбалансированное 242
— с инвариантным базисным числом
168
— скаляров 158
— формальных степенных рядов 420
— целостное 154, 166
— частных 495
— — относительно кручения 655
— — — мультипликативного мно-
множества 648
— — правое (классическое) 208,
282, 476, 493, 495
— — — максимальное (в смысле
Джонсона) ч 650
— эндоморфизмов модуля 159
— — объекта 196
— ^-дифференцирований 464
FI-кольцо 371
gtp-кольцо 446
IBN-кольцо 168
ipri-кольцо 507
ipli-кольцо 507
PCI-кольцо 446
pri-кольцо 507
QI-кольцо правое 446
QF-кольцо 475
QF-1-кольцо 242
TF-кольцо правое 489
F-кольцо 437
кольца подобные 275, 406
— эквивалентные в смысле Мориты
275
кольцевое накрытие 471
комма-категория 296
коммутант 97
коммутирующие гомоморфизмы 144
— подмоноиды 144
композиция отображений 39
компонента 77
конгруэнтность 80
конечномерное представление 476
континуум-гипотеза 37, 67
константа 31, 75
кообразующий 126, 128
— наименьший 217
копредел 143
копроизведение 137
— множеств 61
— морфизмов 137
— отображений 61
корень многочлена 565
— примитивный 113
коретракция ИЗ, 120
корефлектор 607
корефлекция 606
корреляция 185
коуниверсальный квадрат 307
коэффициент 419
коядро гомоморфизма 170
— морфизма 199, 308
критерий Бэра 207
кручение 645, 647
лемма Кёнига 69
— о бабочке 105
— о дуальном базисе 186
— о притяжении 523
—• об унимодулярных строках 232
— Цорна 57
— Шура 169
— Экмана — Шопфа 213
линейно независимое семейство 167
— упорядоченное множество 52
— упорядоченный класс 302
линейное (однородное) Д-дифферен-
циальное уравнение 440
локализация кольца 571
максимальное подполе 587
— правое кольцо частных в смысле
Джонсона 650
— существенное расширение 220
максимальный элемент 52
математическая индукция 65
матрица диагональная 140
— единичная 177
Предметный указатель
681
матрица конечно-столбцовая 140
— конечно-строчная 140
— нижняя строго треугольная 473
— нулевая 176
— подстановки 580
— транспонированная 176
I X /-матрица 138
матричные единицы 177
минимальный элемент 52
многочлен 158, 419
— минимальный 570
— неприводимый 570
— приведенный 569
— сепарабельный 572
множество вполне упорядоченное 52
— линейно упорядоченное 52
— образующих категории 320
— прединициальное 316, 341
модуль антисингулярный 485
— артинов 192, 408
— без кручения 208, 479
— — — в смысле Басса 182
— бидуальный 182
— бихарактеров 215
— вполне проективный 246
— делимый 207
— дуальный 182
— инъективный 128, 205
— 2-инъективный 223
— квазиинъективный 222
— конечно порожденный 165
— — представимый 531
— — связанный 531
— коточный 189
— левый 158
— неразложимый 222, 412
— нётеров 192, 411
— однородный 222
— определяющийся своим кольцом
эндоморфизмов 241
— плоский 350
— полупростой 438
— полурефлексивный 182
— правый 158
— — над предкольцом 471
— пренебрежимый 634
— притягивающий 160, 523
— проективный 127, 170
— простой 406
— рационально-замкнутый 247
— рефлексивный 182
— сбалансированный 162, 403
— свободный 164, 167
— с инвариантным базисным чис-
числом 524
— счетно порожденный 165
— точный 162, 403
модуль характеров 215
— циклический 165
— частных 655
— ^--периодический 637
— /-полный 207,
моноид 73
— бициклический 100
— конечно порожденный 83
— мультипликативный 73
— простой 110
— противоположный 99
— счетно порожденный 83
— циклический 83
— эндоморфизмов 79, 88
мономорфизм 46, 127
— расщепляющийся 200
— собственный 127
— существенный 628
монофунктор 338
морфизм 88
— аннулирующийся другим морфиз-
мом 308
— диагональный 137
— кодиагональный 137
— координатный 139
— копредела 299
— нулевой 119
— переводящий А в В 325
— предела 299
— предельный 299, 300
— пропускающийся через другой
морфизм 118, 308
— — — объект 118
— разлагающийся 118
— расслоенный 307
— сопряжения 294
— функторов 96
cf-мономорфизм 610
морфизмы эквивалентные 192
мощность 66
мультипликативное подмножество
647
надкольцо 530
наибольший элемент 52
наименьший элемент 52
накрытие кольцевое 471
— проективное 115
наложение 41
— гомоморфное 81
— — расщепляющееся 113
— полугрупп 81
— упорядоченных множеств 49
направленное множество 304
— семейство 304
направленный класс 302
необразующий элемент 231

682
Предметный указатель
неподвижная точка 56
несущее множество 92
ниль-идеал 167
нильпотентный идеал 166
— элемент 167
нормализатор 87
носитель 77
— конечный 77
нуль левый 118
— многочлена 565
— правый 118
область главных правых идеалов 169,
207
— дедекиндова 462, 558
— значений 30, 88
— Коззенса 445
— определения 30, 88
— Оре правая 208, 423
— прюферова 462, 558
— целостности 154, 166
оболочка делимая 647
— инъективная 220, 603
(У-оболочка 625
образ 30, 31, 80, 309
— гомоморфный 309
образующий 126, 128
— собственный 652
обратимый элемент 73
обратный порядок 50
— предел функтора 303
— элемент 73
объединение 31, 595
— свободное 61
объект 88
— артинов 192
— без кручения 647
— — pf-кручения 626
— инициальный 118
— инъективный 128
— конечно порожденный относитель-
относительно U 397
— конечный 118
— малый 202
— начальный 118
— не имеющий кручения 647
¦— — — <5"-кр учения 626
— нётеров 192
— нулевой 118
¦— однородный 260
— периодический 647
— ^-периодический 626
— полупростой 647
— (^-полупростой 626
— порожденный а элементами 165
— проективный 127
— простой 173
объект свободный 131
— счетно порожденный 165
— финальный 118
— ^"-замкнутый 619
объекты эквивалентные 95
ограничение отображения 40
одиночка 30
оператор 72
операция 72
определяющие соотношения 135, 366
орбита 72
ординал 64
— конечный 67
— непредельный 65
— предельный 65
— счетный 67
— целый 65
ортогональное представление едини-
единицы 226
ортогональные идемпотенты 226
отношение антисимметричное 48
— бинарное 46
— рефлексивное 46
— симметричное 47
— транзитивное 47
— эквивалентности 46
отображение 30
— вычисляющее 545
— биаддитивное 353
— биективное 41
— билинейное 353, 512
— взаимно однозначное 41, 49
— диагональное 178
— идеальное 588
— инъективное 41
— обратное 42
— — левое 42
— — правое 42
— постоянное 31
— сбалансированное 354
— сюръективное 41
— тождественное 40
— эластичное 353
пара двойственности 98
— эквивалентности 96
парадокс Кантора 44
— Рассела 44
перенос 109
пересечения 31, 32, 308
перестановка 41
— нечетная 110
— четная 110
переменная 419
периодическая часть ?6, 647
подгруппа 74
Предметный указатель
683
подгруппа единичная 74
— нормальная 80
— сопряженная 87
р-подгруппа силовская 112
подкатегория 89
— замкнутая 637
— кофинальная 304
— локализующая 618
— полная 89
— рефлективная 607
— Серра 609
— — слабая 644
подкольцо 152
— Галуа 191
подмодуль 165
— вполне инвариантный 222
— дополнительный 486
— замкнутый 464, 486, 497
— несущественный 223
— максимальный 406
— минимальный 406
— неприводимый относительно пере-
пересечения 412
— П -неприводимый 412
— собственный 165
— сингулярный 481
— существенный 218
подмножество 29
— инвариантное 72
— собственное 30
подмоноид 73
подобъект 165, 192
— конечно порожденный 165
— нормальный 316
подоперация 73
подполе Галуа 578
подполугруппа 73
поле 152
— алгебраически замкнутое 565
— Галуа 288
— разложения многочлена 570
— расщепления 587
— совершенное 576
— универсальное дифференциальное
443
полный прообраз 309
полугруппа 73
— абелева 74
— коммутативная 74
— конечно порожденная 83
— мо но генная 83
— мультипликативная 73
— с сокращением 84
— счетно порожденная 83
— циклическая 83
полугрупповая алгебра 363
полугрупповое кольцо 363
полупростой модуль 438
— фактор 576
порядок 48
— дуальйый 50
— полугруппы 84
— правый 282, 426
~-, ~-, ^-порядок максимальный
507
— элемента 84
Я-порядок 584
последовательность короткая точная
204
— левая точная 204, 321
— неточная 203, 212
— правая точная 204, 321
— расщепляющаяся 120
— средняя точная 204
— точная 82, 203, 321
— элементов 31
правая глобальная размерность 456
правое умножение 162
правые порядки эквивалентные 283,
493
слева 283, 493
справа 283, 493
предел функтора 143
прединициальное множество 316, 341
предкольцо 469
предкообразующий 194
предкручение 645
предложение Мориты 405
— об сдельности 171
— о строении прямой суммы 145
— — сужении 257
предобразующий 194
представление образующими и опре-
определяющими соотношениями для
алгебры 366
— — — — — — — группы 135
— конечномерное 476
— левое регулярное 563
— объекта в виде произведения 138
— правое регулярное 563
преобразование естественное 95
— полулинейное 185, 560
принцип двойственности 51
— идеализации 413—414
продолжение отображения 40
проективная размерность 185
проективное накрытие 223
— пространство 185
проекция 85, 136
— произведения 136
произведение 136
— декартово 34
— кардинальное 68
— колец 157

684
Предметный указатель
произведение конечное 138
— матриц 176
— множеств 59
— морфизмов (объектов) 137
— ординальное 66
— отображений 39, 59
— подкатегорий 639
— полупрямое 148
— прямое 77
— — колец 157
— расслоенное 307
— скрещенное 589
— тензорное 513
— формальных степенных рядов 419
— элементов 74
производная подгруппа 97
прообразующий 246
противоположный элемент 73
прямая 185
прямое слагаемое 77, 113
прямой предел функтора 303
— сомножитель 77, 113
псевдонуль левый 316, 341
пустое множество 30
радикал Джекобсона 173
— идемпотентный 643
— категории 643
— модуля 230
— наследственный 647
радикальный фильтр 640
размерность векторного пространст-
пространства 168
— глобальная правая 456
— Голди 260
— гомологическая 456
— инъективная 456
— проективная 456
ранг свободной группы 133
расширение Галуа 578
— группы 148
— конечное 577
— несепарабельное 573
— нормальное 577
— объекта 602
— — собственное 602
— — существенное 602
— — тривиальное 602
— рациональное 246
— сепарабельное 573
— скалярное 563
— существенное 218
— — максимальное 220
— универсальное 443
регулярный элемент 206
— слева элемент 206
— справа элемент 206
реверсивная эквивалентность 161
редуцированное слово 136
ретракт 120
ретракция 113, 120
рефлексивность 46
решетка 54
свойство вполне кольцевое 279
— инвариантное в смысле Мориты
278, 498
— категорное 119
сегмент 63
— начальный 63
семейство независимое 147
— подобъектов, порождающих объ-
объект 326
— свободное 32
— согласованное с функтором 299
— элементов (множеств), индекси-
индексированных множеством 31
сепарабельный элемент 573
симметричность 47
система аксиом 50
— образующих 83, 135, 167, 366
ситуация предэквивалентности 546
— эквивалентности 546
скаляр 158
скрещенное произведение 589
след матрицы 579
— модуля 188
сложение 73
— покомпонентное 77
— покоординатное 77
— поточечное 77
смежный класс левый 80
сопряжение 111
сопряженная пара 294
составляющий морфизма 308
спаренные множества 187
степень 66, 158
— множества 34
структура 54
сумма кардинальная 68
— матриц 176
— ординальная 66
— подобъектов 326
— прямая 77, 144
тело 152
— частных правое 208, 423
тензорное произведение 513
теорема Бернсайда 568
— Веддербёрна — Артина 287, 453
— — — основная 408
— Гильберта о базисе 421
— — о нулях 572
— — — сизигиях 459
Предметный указатель
685
теорема Кантора 44
— Кёнига о графах 69
— Машке 580
— Мориты 243, 249, 269, 275, 549,
551, 554
— — и Попеску—Габриеля 269, 360,
630
— Нётер об изоморфизме вторая 104,
332
— — — — первая 103, 330
— Нильсона — Шраера о подгруп-
подгруппе 148
— о глобальной размерности 460
— — замене колец 457, 458, 523
— — неравенствах 457
— — полном точном вложении 632
— — соответствии 102
— — — для проективных модулей
249
— — сопряженном функторе общая
342
— — — — специальная 344
— — точном вложении 606
— основная Галуа 578
— — для абелевых групп 115
— — проективной геометрии 186
— Силова 111, 112
— Фейса — Утуми 499
— Шредера — Бернштейна 43
топологпзирующее множество идеа-
идеалов 636
топология конечная 175
точная последовательность 82, 203,
321
— — короткая 204
левая 204, 321
правая 204, 321
— — средняя 204
транзитивное множество 64
транзитивность 47
транспозиция 109
трансфинитная индукция 65
умножение 73
— матриц 176
— поточечное 77
универсальный квадрат 307
универсум 37
упорядоченная пара 30
упорядоченный подкласс 302
упорядочивание по включению 48
уравнитель 305
условие максимальности 53
— — для аннуляторных идеалов 430
— — — прямых сумм 424
— минимальности 53
— обрыва возрастающих цепей 53
условие обрыва убывающих цепей 53
— Оре 208
фактор полупростой 576
факторгруппа 81
факторкатегория 610
факторкольцо 153
фактормодуль 165
факторобъект 192
формальный степенной ряд 419
формула разложения на орбиты 111
формулы де Моргана 32
функтор 90
— аддитивный 196
— бихарактеров 130
— включения 91
— возведения в степень 179
— вполне унивалентный 120
— двойственности 91, 98
— диагональный 298
— дуальный второй 98
— — первый 98
— дуализирующий свойство 119
— забывающий 92
— канонический 613
— ковариантный 89
— — основной 92
— контравариантнып 89
— — основной 93
— копредела 143, 299
— копредельныи 143
— косопряженный 294
— локализующий 618
— непрерывный слева 333, 520
— наследственный 647
— обладающий свойством Р пото-
поточечно 391
— обратного предела 303
— основной 92
— — со значениями в категории 93
— отражающий свойство 120
— перестановочный с копределами
272
— — — (малыми, конечными) пре-
пределами 333
— перехода к факторугруппе по
коммутанту 97
— полный 90, 120
— полуточный 204, 322
— постоянный 298
— превращающий свойство Р в Р*
120
— предела 143, 299
— предельный 143
— представимый 346
— представительный 120

686
Предметный указатель
функтор представления 124
— пропускающийся через категорию
211
— прямого предела 303
— свободы 131, 294
— сечения 618
— сопряженный 294
— — левый 519
слева 294, 519
— — справа 294
— составной 91
— сохраняющий
272
копроизведения
616
— — (малые, конечные) пределы 333
нуль 120
— — свойство 119
— тождественный 91
— точный 204, 321
слева 170, 204, 321, 322
справа 170, 204, 322
— унивалентный 90, 120
— уточняющий 623
— А-линейный 362
— частный 293
функторы сопряженные 294
функция 30
— Йопеды 124
— следа 582
характеристика кольца 153
центр полугруппы 75, 99
— категории 280
— кольца 152
централизатор 74
центральный идемпотент 226
— ряд возрастающий 109
— — убывающий 109
центральный элемент 22С
цепь 52
цикл 109
цоколь 230
частично упорядоченное множество
48
— — — полное сверху 56
— — — — — условно 56
— упорядоченный класс 302
число базисное 167
— кардинальное 66
— неэквивалентных объектов 95
— ординальное 64
— порядковое 64
экспонента 86
— по модулю п 42, 113
эквивалентность 95—97
— естественная 96
— обратная 97
^-эквивалентность 610
эквивалентные множества 42
— категории 97
— морфизмы 192
— объекты 95
— правые порядки 288, 493
— слева правые порядки 288, 493
— слова 136
— справа правые порядки 288, 493
эндомогфизм 79
эпиморфизм 46, 127
— минимальный 223
^-эпиморфизм 610
эпифунктор 338
ядро гомоморфизма 80
— морфизма 199, 307
— функтора 609
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
К русскому изданию 7
Предисловие 7
Благодарности 10
Введение 13
Рекомендации читателю 23
Предисловие к т. 1 25
Теоретико-множественное введение 27
Часть I
ВВЕДЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ:
ПОЛУГРУППА, МОНОИД, ГРУППА, КАТЕГОРИЯ,
КОЛЬЦО И МОДУЛЬ 72
Гл. 1. Операции: полугруппа, моноид, группа и категория 72
Гл. 2. Произведение и копроизведение 117
Гл. 3. Кольца и модули 150
Гл. 4. Теорема о соответствии для проективных модулей и строение
простых нётеровых колец 238
Гл. 5. Пределы, сопряженные функторы и алгебры 291
Гл. 6. Абелевы категории 374
Часть II
СТРОЕНИЕ НЁТЕРОВЫХ ПОЛУПЕРВИЧНЫХ КОЛЕЦ 400
Гл. 7. Общие теоремы Веддербёрна 402
Гл. 8. Полупростые модули и гомологическая размерность 449
Гл. 9. Нётеровы полупервичные кольца 476
Гл. 10. Порядки в полулокальных кольцах матриц 492

688 Оглавление
Часть III
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 511
Гл. 11. Тензорное произведение и плоские модули 512
Гл. 12. Теоремы Мориты и группа Пикара 541
Гл. 13. Алгебры над полями 562
Часть IV
СТРОЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ КАТЕГОРИЙ 592
Гл. 14. Категории Гротендика 595
Гл. 15. Факторкатегории и локализующие функторы 609
Гл. 16. Теория кручений, радикалы и идемпотентные топологизирую-
щие и мультипликативные множества > . 636
Список литературы 658
Список обозначений 675
Предметный указатель 677
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим
присылать по адресу: 129820, Москва, И-110,
ГСП, 1-Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
4 ИБ № 962
К. Фейс
АЛГЕБРА: КОЛЬЦА, МОДУЛИ И КАТЕГОРИИ
(Т. i)
Редакторы Д. Борисова и Г. Цукерман. Художник Е. Самойлов.
Художественный редактор В. Шаповалов. Технический редактор Н. Толстякова,
Корректор Т. Паглковская.
Сдано в набор 29/IV 1977 г. Подписано к печати 31/Х 1977 г.
Бум. тип. № 1 60x901/16 = 21,50 бум. л. Печ. л. 43,00 Уч.-изд. л. 38,25
Изд. № 1/8492 Цена з р. 10 к. Зак. № 0217
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография № 7 «Искра революции»
Соювполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9.