Фгосв УМК
Ю.А. Глазков, П.М. Камаев
Рабочая
тетрадь
по геометрии
учени класса
_____школы___
класс
Учебно-методический комплект
Ю.А. Глазков, П.М. Камаев
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
по геометрии
К учебнику Л.С. Атанасяна и др.
«Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение)
7 класс
Рекомендовано
Российской Академией Образования
Издание четвертое, переработанное и дополненное
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА • 2013
УДК 373:514
ББК 22.151Я72
Г52
Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе
данной книги (ст. 1274 п. I части четвертой Гоажданского кодекса Российской
Федерации).
Изображение учебника «Геометрия. 7 9 классы: учеб, для общеобразоват. уч-
реждений / [Л. С. Атанасян, П Ф. Бутузов. С.Б. Кадомцев и др./. М. : Просвеще-
ние» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюст-
ративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса
Российской Федерации).
Глазков, Ю.А.
Г52 Рабочая тетрадь по геометрии: 7 класс: к учебнику Л.С. Атанасяна и др.
«Геометрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. учреждений» /
Ю.Л. Глазков. П.М. Камаев. 4-е изд., перераб. и доп. М. : Издательство
«Экзамен», 2013. — 77, [3] с. (Серия «Учебно-методический комплект»)
ISBN 978-5-377-05201-2
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному об-
разовательному стандарту (второго поколения).
Пособие является необходимым дополнением к школьному учебнику J1.C. Ата-
насяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» (издательство «Просвещение»), рекомендо-
ванному Министерством образования и науки Российской Федерации и включен-
ному в Федеральный перечень учебников.
Основное назначение тетради обеспечение решения задач учащимися на
уроке и дома после ознакомления с новым учебным материалом. Тетрадь окажется
полезной и при самостоятельном изучении материала учебника, например, если
ученик пропустил занятия из-за болезни.
Приказом .Vs 729 Министерства образования и науки Российской Федерации
учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобра-
зовательных учреждениях.
УДК 373:514
ББК 22.151я72
Формат 70x100/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная
Уч.-изд. л. 2,79. Уел. печ. л. 6,5. Тираж 10 000 экз. Заказ № 2755/12.
ISBN 978-5-377-05201-2
С Глазков Ю.А., Камаев П.М., 2013
С Издательство «ЭКЗАМЕН». 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Начальные геометрические сведения
§1	. Прямая и отрезок...................................4
§2	. Луч и угол.........................................6
§3	. Сравнение отрезков и углов.........................8
§4	. Измерение отрезков................................12
§5	. Измерение углов...................................15
§6	. Перпендикулярные прямые...........................19
Глава 2. Треугольники
§1	. Первый признак равенства треугольников............24
§2	. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника........29
§3	. Второй и третий признаки равенства треугольников..35
§4	. Задачи на построение..............................39
Глава 3. Параллельные прямые
§1	. Признаки параллельности двух прямых...............42
§2	. Аксиома параллельных прямых.......................48
1 i.i ;u I. Сои гношенин между сторонами и углами треугольника
§1	. Сумма углов треугольника..........................57
§2	. Соотношения между сторонами и углами треугольника.61
§3	. Прямоугольные треугольники........................65
§4	. Построение треугольника по трем элементам.........72
ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Глава 1
Начальные геометрические сведения
Прямая и отрезок 
Укажите, какие точки на рисунке
лежат на прямой т, и какие точки
не лежат на прямой т.
А е т; В е т; D_т; .
Укажите точки, через которые проходит
прямая р, и точки, через которые она не
проходит.
С с р; D е р; Е_р; К_р;А; 
Отметьте па рисунке точки Н и К так, чтобы выпол-
нялись условия Н е а, К г а.
Запишите, как читаются эти условия.
Н с а: точка Н
на прямой а или прямая
а ,через точку Н.
Кеа: точка К на прямой а или пря-
мая а через
Отметьте на прямой ВС точку Т.	С
Как еще можно обозначить прямую ВС?	д
: СВ; ВТ;.	*
4
Через любые две точки  провести прямую, и притом
5................................................
Проведите прямые бис так, чтобы выполнялись уело-	м
вия К сЬиМ е Ь, К ecuMtc.
Каково взаимное расположение прямых бис?
Ойв&Я: прямые бис.	к
Две прямые могут иметь общей точки.
6......:........................................
Прямые а и п пересекаются в точке О. Точка С лежит с
на прямой а. Проведите прямые вил. Может ли точка	0
С лежать на прямой л?	•
Решение. По условию общая точка прямых аил — точка_____, а две
прямые могут иметь одной общей точки. Поэтому точка С
лежать на прямой л.
Ошвет : точка С лежать на прямой л.
На прямой т отмечены точки А, С, Е, К, М и Р.
Укажите точки, которые
а)	лежат между точками Е и М;
б)	принадлежат отрезку ЕМ;
в)	не лежат на отрезке ЕМ.
0>п£е>п: а); б); в).
ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВ
8...............................................................
На рисунке отмечены пять точек.	А *
Пересекаются ли:
а)	прямые АВ и CD;
б)	отрезки АВ и CD;
в)	отрезки АС и DB;	В
г)	прямая AF и отрезок СВ;
д)	отрезок AF и прямая CD?	D
Otd£erii: а); б); в); г); д).
Луч и угол
Заполните пропуски в предложениях:
а) на луче АС лежат точки;
б) луч АН совпадает с лучами;
в) продолжениями луча СА являются лучи
Предложение «точка А лежит между точками
В и М* будем записывать так: В—А—М или
М-А—В.
а)	Отметьте на прямой ВМ точки С; О и Р
так, чтобы выполнялись условия: В—О—М;
В-М-Р.С—В—М-,
б)	Какая точка — С, О или Р — лежит между двумя другими?
Обвей:____.
в)	Какие лучи совпадают с лучом МВ?
Ойвеб : лучи.
г)	Какой луч является продолжением луча МВ?
Ойвеб: луч__.
6
3.................................................
Начертите луч q так, чтобы он являлся продолже-
н ием луча р.
Отметьте на луче р точку С, а на луче q точку N.
Опишите взаимное расположение точек О, С и N, используя форму за
писи, введенную в задании 2.
Огнве/н:или.
а)	Запишите обозначения всех углов, изо-
браженных на рисунке.
б)	Какие из углов являются развернутыми?
a)	Zkm;___________________
б)	развернутыми углами являются Z_и Z
На рисунке изображен угол ab. Закрасьте
внутреннюю область этого угла. Заполните
пропуски в предложениях:
а)	вершиной угла аЬ является точка_;
б)	другие обозначения угла ab:
ZAPB-, Z;
в)	на сторонах угла лежат точки;
г) внутри угла лежат точки;
д) вне угла лежат точки.
Какой луч на рисунке делит угол ВОН на два угла?
Решение. Луч делит угол на два угла, если он
1) исходит угла и
2) проходит угла.
Из вершины угла ВОН, кроме лучей ОВ и ОН,
исходят лучи___и_____. Из них внутри угла
ВОН проходит луч . Следовательно, луч 
делит угол ВОН на два угла.
О/Я^е/d: луч___делит угол ВОН на два угла.
Н
ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Проведите лучи т и п так, чтобы луч т делил угол ab на два угла, а луч п
не делил угол ab па два угла. Закрасьте внутреннюю область угла ab.
В какой области, внутренней или внешней, лежит луч гп?
ОМ: луч т лежит
Сравнение отрезков и углов
А. Две геометрические фигуры называются равными, если их
можно наложением.
С помощью прозрачной пленки выясните, какие из фигур на рисунке
равны фигуре А.
(baton : фигуре А равны фигуры 
R
			
8
2............................................................
Объясните, почему любые два разверну- —
тых угла равны.	—----
Решение. По условию ZABC и Z.KMN	q
_________________, значит, луч ВС ----------------	•----
является продолжением луча BA, а К----------------------м	N
луч МК является луча_________________________. Луч ВС
наложить на луч МК так, чтобы они совпали. Тогда совместят-
ся лучи ___ и ___, так как они являются 
лучей ВС и ___. Получили, что углы АВС и KMN при наложении
, поэтому они.
3................................................................
Отметьте на луче ОМ точки А и В так, чтобы выполни- о
лись условия ОА < ОМ и ОВ > ОМ.
Зачеркните записи, которые не соответствуют полу- \ м
ценному расположению точек: А—В—М, В—М—А,
М—А—В,А—М—В.	\
4................................................................
На луче РА отмечены точки В и С так, что	.
Р—А—В и Р—С—А. Сравните отрезки РВ и PC.
Решение. По условию Р—А—В, поэтому точка __________
лежит между точками____и В, и отрезок РА являет- /д
ся частью РВ. По условию Р—С—А, по- '
этому точка___лежит между точками____и А и отрезок PC является
Получили, что отрезок PC —отрезка РА, а отрезок РА —
 отрезка_________________, значит, PC_РВ.
0/И4е/И:РС____РВ.
5................................................................
Используя текст учебника, заполните пропуски в предложениях:
Б. Если точка М — середина отрезка CD, то_“_____;
Если точки D, F и К лежат на одной прямой и FK = KD, то точка_
середина отрезка_.
ЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
6......................................................
Отметьте точку N — середину отрезка АВ. Можно д	д
ли совместить наложением отрезки:	•"	'	*
a)	AN и BN; б) AN и АВ?
Решение. а) Так как точка N —отрезка АВ, то AN =
__, а отрезки совместить наложением.
б)	Так как точка N — середина отрезка АВ, то AN_АВ, а неравные от-
резки совместить наложением.
: отрезки AN и BN совместить наложением, а отрезки
AN и АВ.
Известно, что CD = DE = EF = FG = GH.	C	D	E	F	G H
_	»	•----•----•---•——•
Закончите предложения:
а)	точка G является серединой отрезка__;
б)	серединой отрезка DH является точка_;
в)	точка Е является серединой отрезков_и__.
На каком из рисунков неразвернутые утлы 1 и 2 наложены друг на друга
так, что можно установить, какой из них больше другого? Сравните эти
углы.
а)	б)	в)	г)
Тешение. Сравнивая углы, надо наложить их друг на друга так, чтобы:
1) сторона одного из них со стороной другого;
2) две другие стороны оказались сторону от совместив-
шихся сторон.
10
Первое условие выполняется на рисунках.
Второе условие выполняется на рисунках.
Оба условия выполняются только на рисунке.
Ortitofi: Zl_ Z2.
В. Определение.
Луч k называется биссектрисой угла со сторонами р и q, если он вы
ходит из угла и делит его на угла.
На каком рисунке луч т является биссектрисой угла АВС?
Теюение. Отметьте в таблице знаком « + » рисунки, на которых выпол
няется каждое из перечисленных условий:	__
: луч т является биссектрисой угла АВС на рисунке_.
10 ......................................*.
ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Известно, что Zl = Z2 = Z3 = Z4 = Z5.
Закончите предложения:
а)	луч MD является биссектрисой угла;
б)	биссектрисой угла DMH является луч__;
в)	луч ME является биссектрисой углов
Известно, что луч р является биссектрисой угла cd.
Зачеркните неверные утверждения.
a)	Zcp < Zpd;
б)	луч р делит угол cd на два угла;
в)	Zed > Zpd;
г)	луч р проходит через середину любого отрезка,
концы которого лежат на сторонах угла cd;
д)	Zdp - Zpc?
§4
Измерение отрезков
Основные свойства.
А.	Чтобы измерить длину отрезка, нужно выбрать
	отрезок.
Б. Длина отрезка выражается  числом.
В.	Если отрезки равны, то их длины.
Г. Если M—N—K, то__= MN +_____.
Отрезок РМ разделен на восемь равных частей.
Р	М
•--•--* * >---
АВ СЕР
12
Найдите длины указанных отрезков при различных единичных отрезках.
Измеряемый отрезок	Единичный отрезок			
	PC	РВ	РА	ВМ
PC	1	2		
BF	1		4	
РМ	2		8	
РВ	0,5			1/3
Найдите длину отрезка в сантиметрах.
ОЯве/н: АВ =; CD -; EF -
Точки А, ВпС лежат на одной прямой. АВ - 7 см, ВС - 3 см.
Найдите длину отрезка АС. Сделайте чертеж.
Решение.
1)	Если А—В—С, то АС = АВ +_.	__•-----
Подставив известные значения длин отрез-
ков, получим АС = + 3 __.
2)	Если В—А—С, то ВС = ВА +_.	*
Подставив известные значения длин отрезков,
получим__—____+ АС, откуда АС -_7 —___,
что противоречит свойству Б.	—•------
Значит точка А между точками В и С.
3)	Если А—С—В, то рассуждая аналогично, получим АВ -_+
АС + АС --
Orttfe*:АС=	см или АС— см.
ЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
4...........................................................
Лежат ли на одной прямой точки М, Р и К, если МР - 2 см, РК = 3 см,
а КМ = 4 см?
Решение. Если точки М, Р и К лежат на одной прямой, то больший отре-
зок КМ равен двух других, то есть КМ =.
Подставив значения, получим 4 -, что неверно. Поэтому точки
М, Р и К на одной прямой.
5...........................................................
Точка Е делит отрезок СН на два отрезка, СЕ — 3,2 см, а ЕН = 2,9 см.
Найдите длину отрезка СН. Сделайте чертеж.
Решение. По свойству В имеем СН — СЕ +___—______ -______.
0th6e/h: СН =см.
6.............................................................
Точка К лежит на отрезке MP, МР = 4,5 см, а КР = 2,8 см.
Найдите длину отрезка МК. Сделайте чертеж.
Решение. По свойству_имеем МР = МК +	.
Подставив значения, получим 4,5 - МК + , откуда МК =
- 2,8 -_.
Он&еш:МК~см.
Точки М и Р — середины отрезков АВ и ВС
соответственно. Найдите длину отрезка МР,
если длина отрезка АС равна т.
Решение.
1)	По условию задачи точка М —
отрезка АВ. Поэтому ВМ « 0,5__.
А"
В"
С"
14
2)	По условию задачи точка Р —отрезка_, поэтому
ВР -_ВС.
3)	По свойству _ имеем МР = МВ + _ - 0,5_ + _ВС —
= 0,5(+_) — 0,5_=.
§5
Измерение углов 
Основные свойства измерения углов.
А. Единица измерения углов —.
10 равен___части угла.
1	V 10.
часть градуса называется_____________. 1 “	-1 >
60	60
1	it*ш	v
часть минуты называется______________. 1 —	-1 •
60	60
Б. Развернутый угол равен.
Неразвернутый угол 180°.
В. Если углы равны, то их градусные меры.
Г. Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла
равна градусных мер углов.
1...........................................................
Используя учебник, дополните таблицу.
ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
2...........................
Укажите величины углов:
ЛАОС - ЛВОА -
ЛАОТ = ЛОО В =
ЛАОВ = л DOT =
ЛАОй - ЛООС =
3...............................................
Лист бумаги согнули по лучу АВ так, что луч АС
совместился с его продолжением — лучом AD.	\
Найдите градусные меры углов ВАС и BAD? \ \
Решение.	\ \ \ \_
\	\ Я ’ г»
1)	Из условия задачи следует, что углы ВАС и BAD
при наложении, поэто-
му они, По свойству В их градусные меры
2)	Луч АВ делит угол CAD на углы ВАС и HAD. По свойству
ZCAD = ЛВАС + Л.
3)	Угол CAD —и по свойству его градус-
ная мера равна 180°.
4)	Следовательно, 180° - ЛСАВ + Л, 180е =_ZCAB.
0*£ет: ЛСАВ = ЛВАО =
4............................................
Сравните градусные меры углов CDE и EDF, изо-
браженных на рисунке.
Решение. Угол EDF составляет 
угла CDE. Поэтому градусная мера угла EDF
градусной меры угла CDE, что мож-
но записать в виде неравенства Z£DF ЛСОЕ.
О/Я£е/Я: ЛСОЕ_ЛЕОР.
5.........................................
Па рисунке угол АОМ равен 30°.
Отложите с помощью транспортира от луча ОМ
угол МОК, равный 40°.
Найдите величину угла АОК.
16
Решение.От луча ОМ можно отложить угла, равных 40°.
Если луч ОМ делит угол АОК на два угла,
то по свойству Г АЛОК = Z_+ Z___—____+ 40° =_.
Если луч ОА делит угол МОК на два угла, то по свойству_
АМОК = АМОА + Z, откуда
ААОК - AMOK _ Z= 40° -__________-.
0>И£е/н: угол АОК равен или________.
6..................................................................
Луч ОС делит угол КОМ на два угла. Найдите угол КОМ, если
a)	ZXOC = 25’17’, ZCOAf - 12’43';
б)	АКОС = 72’34', АСОМ = 21’39'.
Решение. Так как луч ОС делит угол КОМ на два угла, то по свойству_
АКОМ = АКОС + А,
а)	АКОМ - 25’17’ +--;
б)	АКОМ - 72’34' +==•
ОгЬвеъ: а) АКОМ -; б) АКОМ =.
Луч CF делит угол ECD на два угла. Известно, что AFCD = 90°.
Какой может быть градусная мера угла ECD1
Решение. Так как луч____делит угол на два угла, то по свойству
__AECD - AECF + А.
Пусть AECF — острый, то есть AECF_90°.
Тогда 90°_AECD_____180°, то есть AECD —.
Пусть AECF — прямой, то есть AECF_90°.
Тогда AECD = 90° +=, то есть
AECD —.
Пусть AECF — тупой, то есть 90° AECF 180°.
Тогда AECD___180°, что невозможно по свойству_.
AECD может быть	или.
ЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
8...........................................................
Луч DF — биссектриса угла CDE, равного 45°.
Найдите градусную меру угла CDF.
Решение. Так как луч DF —угла CDE, то ZCDE —
— ZCDF, то есть 45° — 2-Z_, откуда Z.CDF =.
Ош£еш : ZCDF =.
9...........................................................
Луч DF — биссектриса угла CDE. ZFDE = 63°43'.
Найдите градусную меру угла CDE.
Решение.. Так как луч DF —угла CDE, то Z.CDF
- Z-.
Посвойству__ZCDE-Z.CDF____Z= ZFDE-2--=
Ош£еш : ZCDE =.
10 ..........................................
Угол DEF—развернутый. Луч ЕС делит его на два угла. Постройте бис-
сектрисы ЕН и ЕК углов DEC и CEF. Измерьте угол, образованный бис-
сектрисами построенных углов. Результат измерения проверьте с помо-
щью вычислений.
D Е	F
— •------------------
Решение. Так как ЕН и ЕК — биссектрисы углов DEC и___, то
ZHEC - 0,5 Z, a ZCEK -ZCEF.
По свойству__ ZHEK - ZHEC + Z- ____________Z.DEC + 0,5Z =
-0.5Z=.
.'угол, образованный биссектрисами смежных углов, равен
18
§6
Перпендикулярные прямые
А. Определение.
Смежными называются угла, у которых сто-
рона , а две другие являются одна
другой.
На каком из рисунков углы 1 и 2 смежные?
Решение.
1) Смежными называются два угла, у которых  сторона
, а две другие являются одна другой.
2)сторону углы 1 и 2 имеют на рисунках.
3) Стороны углов 1 и 2 являются друг друга на
рисунках.
4) Оба условия выполняются на рисунке_.
.'смежные углы изображены на рисунке_.
2.................................................
Проведите луч DF, являющийся продолже-
нием луча DC. Измерьте градусные меры
углов CDE и EDF и найдите их сумму.
Решение. ^CDE -; ZEDF =;
ACDE + ZEDF -	+
ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Б. Свойство смежных углов.
Сумма смежных углов равна.
Действительно, если углы CDE и EDF смежные, то лучи DC и
являются друг друга.
Поэтому угол— развернутый,
и по свойству измерения углов /CDE + /EDF - Z=.
3.............................................................
Сумма градусных мер углов CDE и EDF равна 170°.
Могут ли эти углы быть смежными? Ответ объясните.
ОШе*. .'если бы углы CDE и EDF были смежными, то по свойству смеж-
ных углов /CDE + Z-, что противоречит условию задачи.
4.............................................................
Сумма градусных мер двух углов равна 180°.
Обязательно ли эти углы смежные? Ответ объясните.
ОгнДе/н: Рассмотрим два прямых угла 1 и 2.
Сумма их градусных равна.
Но они являются смежными только на рисунке_.
а)	б)	в)	г)	д)
Поэтому утверждать, что «если сумма градусных мер двух углов равна
180°, то они смежные» —.
5...........................................................
Найдите смежные углы ab и Ьс, если:
a)	Zab в пять раз меньше Zbc;
б)	/ah больше /Ьс на 24°;
в)	/аЪ:/Ъс - 2:7.
20
Решение.
а)	Пусть меньший угол__равен х, тогда Zftc =_.
По свойству смежных углов /аЬ +—.
Составим уравнение х +_=, откуда
х — 180:_или х -____, то есть
Z.ab =__и Zftc “ 5-_•.
б)	Пусть меньший угол__равен х, тогда Zaft - х.
По свойству смежных углов Zaft +=.
Составим уравнение (х + 24) +_=, откуда
2х = 180 или х -,
то есть Zftc —_и Zaft “=•
в)	Zaft:Zftc “2:7 — это равенство называется•
Переставив в этой пропорции члены, получим пропор-
цию Zaft:_= Zftc:___.
Пусть каждое из этих отношений равно х, тогда
Zaft -__, а Zftc -__.
По свойству смежных углов составим уравнение_х +_х —, откуда
х - 180 :_или х -___. Значит, Zaft -_, Zftc -.
Otiitofi: а) Zaft =, б) Zaft -, в) Zaft =,
Zftc =;	Zftc -;	Zftc -.
В. Определение.
Вертикальными углами называются два угла, стороны которых
являются ДРУГ друга.
6.............................................
Па каком из рисунков углы 1 и 2 — вертикальные?
ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Решение. Два угла называются вертикальными, если одно-
го угла являются сторон другого. Это
условие выполняется на рисунке_.
: вертикальные углы изображены на рисунке_.
Г. Свойство вертикальных углов.
Вертикальные углы.
Действительно, если углы 1 и 2 вертикаль-	з
ные, то угол 3 является с
углом 1 и углом_.
По свойству углов:
Zl + Z3 =и Z2 + Z3 =. Отсюда следует, что Z1________Z2.
7...............................................................
Прямые р и q пересекаются в точке М и	Р
Z1 = 38°. Найдите остальные углы.	М 2^-'
Решение.	q
1)	Углы 1 и 3 вертикальные. По свойству
вертикальных углов они поэтому Z3 =.
2)	Углы 1 и 2 и по свойству смежных углов Zl + Z2 =
—. Отсюда Z2 = 180° -=.
3)	Углы 2 и 4 и по свойству вертикальных
углов они поэтому Z4____________Z2 -.
Offtfetfi: Zl - Z3 =; Z4 = Z2 -.
8.............................................
При пересечении двух прямых один из образо-
вавшихся углов равен 90°.
Найдите остальные углы.
Решение. Пусть Z1 = 90°. Тогда
1)	Z3 “ Z1", как углы.
2)	Z2 " 180° - Z1 =, как углы.
3)	Z4 — Z2 =, как углы.
ОЖе*. : все углы равны .
22
Д. Определение.
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными,
если они образуют угла.
Е. Теорема.
*
Две прямые,  к третьей, не
пересекаются.
9................................................
Из точки М провели две прямые МР и МО, пересекающие прямую а в
точках Р и О. Оказалось, что угол МРО прямой. Может ли угол РОМ
равняться 90°? Сделайте чертеж.
Решение. 1) Так как ZМРО - 90°, то MP 1 а.
2) Предположим, что АМОР — 90°, тогда МО а.
3) Так как прямые МО и МР к прямой а, то они
пересекаться.
0>Я£е/н: угол РОМ равняться 90°.
Глава 2
Треугольники
ЛАВА 2. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Первым признак равенства
треугольников
Заполните пропуски:	с
а)	треугольник CDM можно обозначить
так: Д CMD, а можно и так	\
б)	против стороны CD лежит угол , кото-
рый можно обозначить также и тремя буквами или
в)	против угла С лежит сторона ;
г)	утлы М и D прилежат к стороне_;
д)	к стороне МС прилежат углы.
2.......................................................
а)	Измерьте сторону GF и противо-	£
лежащий ей угол.
OtH£etfi:GF -_см;___=______.	X.
б)	Найдите периметр треугольника q
GEF.
Решение. Периметром треугольника называется	длин всех
его. Так как GF -см, FE —см, EG -см,
то	++“см.
0>О£е/н: Р - см.
---------------—
3.......................................................
На рисунке изображены равные треугольники АВС и РКМ.
а)	Укажите соответственно равные элементы этих треугольников:
АВ-____; ВС —__; СА =__
ZA =___; ZB =__; ZC -__;
24
б)	Измерьте длины сторон и градусные меры углов треугольника РКМ-.
РМ =______; ЛК -____;	Kv--------—р
МК -; ЛР -;	\
КР -; ЛМ -;
в)	Не измеряя сторон и углов треугольника АВС,
укажите:	р
длину стороны, противолежащей углу В;
градусную меру угла, лежащего против стороны ВС;	s' \
длину стороны, к которой прилежат углы А и В.	___С
Решение. В треугольнике АВС против угла В лежит д
сторона___, которой в треугольнике РКМ соответ-
ствует сторона РМ, поэтому_“__=.
Против стороны ВС в треугольнике АВС лежит угол ,
которому в треугольнике РКМ соответствует угол Р, равный.
Углы А и В прилежат к стороне_,
которой в треугольнике РКМ соответствует сторона РК, равная,
поэтому АВ =__“.
г)	Найдите периметр треугольника АВС,
Нужно ли для этого измерять длины его сторон?
Решение. Так как ДАВС = Д, то
АВ-_____-_____;ВС =___=;СА-________-.
Поэтому Рквс “ АВ +_+______— РК +__+____“___.
Ош£еш: Рлм. -см.
Измерять длины сторон треугольника АВС.
4..............................................................
При наложении треугольника АВС на треугольник ORT сторона АВ со-
вместилась со стороной OR, а сторона ВС со стороной RT.
Совместятся ли при этом наложении стороны АС и ОТ?
Решение. По условию задачи при наложении треугольника АВС на тре-
угольник __сторона АВ совместилась со стороной__, а сторона ВС со
стороной __. Поэтому точка В совместилась с точкой_, точка А — с
точкой__точка С — с точкой____. Тем самым совместились концы от-
резков АС и , значит, совместились и сами отрезки.
_, стороны АС и ОТ.
ГЛАВА 2. ТРЕУГОЛЬНИКИ
А. Теорема. Первый признак равенства треугольников.
Если две стороны и одного треу-
гольника соответственно равны и
углу между ними другого треугольника, то такие треугольники
Дано: \АВС и ЛМРК; АВ = МР; АС = МК; ХА - Z_.
Доказательство.
1)	По условию ХА = X, поэтому треугольник АВС
наложить на треугольник МРК так, что
(можно; нельзя)
вершина А совместится с вершиной__, а стороны АВ и нало-
жатся на лучи МР и________________соответственно.
2)	По условию АВ =__, АС -____, поэтому вершина В треугольни-
ка АВС совместится с вершиной_треугольника МКР, а вершина
С — с вершиной__. Значит, совместятся и стороны ВС и_.
3)	Итак, треугольники АВС и МРК полностью
• а потому они. Что и требовалось доказать.
5..............................................
Точка О — середина отрезков АВ и CD,
Докажите, что ЛАОС — ЛВОИ.
Доказательство.
По условию задачи
1)	точка О — середина отрезка АВ, поэтому
АО»____;
26
2)	точка О — середина отрезка CD, поэтому СО =_;
3)	углы АОС и BOD вертикальные, поэтому ZAOC -___.
Поэтому ДАОС — ABOD по двум  и углу
6.................................................
На рисунке CD = FG, DE - EF и ZCDE -	Сч------
- ZEFG.
Докажите, что точка Е — середина отрез-
ка CG.
Доказательство.	F	G
1)	Рассмотрим треугольники CDE и GFE.
Они	 по двум сторонам и углу между ними, так как по
условию CD «, DE “и Z.CDE —.
2)	Из равенства треугольников следует их соответствую-
щих сторон. Поэтому СЕ -_.
3)	Точка Е на отрезке CG и СЕ -______.
Поэтому точка Е —отрезка EG.
На рисунке MP NP и Z.MPK “ Z.NPK. Докажите, что МК = NK.
Доказательство.
1) АМР К - ДУРЕ по
______ , так как
МР “__по условию;
РК —сторона;
/1МРК =по условию.
2) Соответственные стороны равных треугольников , то
есть МК
8......................
Дано: ДЕРЯ, РЯ-ЯЕ;
Z.PRH - ZKRH.
Докажите: a) Z.PHR - 90°;
б) точка И — середина отрезка РЕ.
ГЛАВА 2. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Доказательство. Рассмотрим треугольники PRH и KRH.
Они равны по, так как по
условию PR =___; Z.PRH -и RH —сторона.
В равных треугольниках соответственные стороны и углы, поэ-
тому PH =_и Z.PHR .
Так как ZPHR =_и они, то Z.PHR -
Так как Н е РК и PH =_, то точка Н —РК.
9....................................................
Дано: точка О — середина отрезка TN; OP ± TN.	т\
Сделайте чертеж и докажите, что Z.NPO “ Z.TPO.	\
Доказательство.	\
Рассмотрим треугольники NOP и TOP.	N
ТО __, так как по условию точка О —отрезка TN',
ОР —сторона;
/.ТОР -=_______, так как по условию ОР TN.
В ранных треугольниках соответственные стороны и углы
, поэтому.
10...................................................
Луч ТХ — биссектриса угла PTS; PT = TS; точка V f	т
лежит на продолжении луча ТХ.	Х\
Сделайте чертеж и докажите, что отрезки VP и VS	/	1
равны.	/ I
Доказательство. Рассмотрим треугольники X. Is
VTP и VTS.	х
По условию РТ =_; сторона TV —;
/VTP = ZVTS, так как равны смежные с ними углы и.
Поэтому треугольники VTP и равны по 
VP =__, так как они являются	 сторонами
треугольников.
28
§2
Медианы, биссектрисы и высоты
треугольника
А. Прямая CD перпендикулярна_____________Z;
отрезок CD________________________прямой I;
точка D —_____________перпендикуляра.
--------------------------=------=---------—--------------Ч
Б. Теорема.
Из точки, _____________________ на прямой, можно провести
__________________к этой прямой, и притом только__.
1..................................................
а)	Установите с помощью чертежного треугольника, какой из отрезков
AD, AF vuunAG является перпендикуляром к прямой РК, проведенным
из точки А.
б)	Проведите из точки А перпендикуляр к прямой РМ.
OtMem: а) 1 РК, б) А_ 1 РМ.
ГЛАВА 2. ТРЕУГОЛЬНИКИ
2.......................................................
Точка М не лежит на прямой т, а точки В и С лежат на прямой т.
Известно, что /МВС = 80®, a /МСВ = 90°. Какой из отрезков МВ или
МС является перпендикуляром, проведенным из точки М к прямой /и?
Решение.
1)	По условию задачи М е._, В_т, /МВС =, значит, отрезок
МВ перпендикуляром, проведенным из точки______________к
•
2)	По задачи М______________т,С е__, /МСВ =, значит, от-
резок МС перпендикуляром, проведенным к 
т из.
3	
Дано: В ё а, С, D в a, BD1 а.	• &
Сделайте чертеж и докажите, что /.BCD * 90°.
Доказательство.
1) По условию точка В_a, BD_а и точка D_а,
поэтому отрезок BD является проведенным из
точки В к прямой_.
2) Из точки В,на прямой а, можно провести перпенди-
куляр к этой, и притом только, поэтому /.BCD 90°.
В. Определение.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой про-
тивоположной , называется 
треугольника.
Г. Определение.
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину
треугольника с точкой стороны, назы-
вается треугольника.
30
Д. Определение.
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к
, содержащей противоположную ,
называется треугольника.
Е. В любом треугольнике
медианы пересекаются в точке,
биссектрисы в одной точке;
высоты или  пересекаются в
точке.
Какой из отрезков AM, АН и АР яв-
ляется медианой, какой — биссек-
трисой, а какой — высотой треу-
гольника АВС?
1)	Медианой треугольника АВС яв-
ляется отрезок___, так как точка
___является стороны ВС.
2)	Биссектрисой треугольника АВС является отрезок_, так как
АН является биссектрисой угла треугольника АВС.
3)	Высотой треугольника АВС является отрезок___, так как он являет-
ся к стороне ВС.
С помощью чертежных инструментов проведите в треугольнике МРК
а) биссектрису из вершины Р; б) высоту из вершины К; в) медиану из
вершины М.
Р
6
ГЛАВА 2. ТРЕУГОЛЬНИКИ
В треугольнике АВС медианы AM и СН пере-
секаются в точке Т. Докажите, что прямая
ВТ пересекает сторону АС в ее середине.
Доказательство.
Так как медианы любого треугольника
 в одной точке, то тре-
тья медиана лежит на прямой, то есть
прямая ВТ сторону АС в ее
В треугольнике CDF провели высоты СК и FH. С помощью только одной
линейки постройте третью высоту треугольника CDF.
Решение. Высоты треугольника или их пере-
секаются в точке.
а)	Пусть высоты СК и FH пересекаются в точке О. Проведем прямую
DO и обозначим точку пересечения прямой и CF буквой М.
Отрезок DM —треугольника CDF.
б)	Пусть продолжения высот СК и FH пересекаются в точке О. Проведем
прямую DO и обозначим точку пересечения прямой и CF
буквой М. Отрезок DM — третья треугольника.
Ж. Треугольник называется равнобедренным, если его сто-
роны .
Равные стороны называются  сторонами, а третья
сторона —равнобедренного треугольника.
8..............................................................
Является ли треугольник DEF равнобедренным, если DE — 17, EF = 6, а
периметр треугольника равен 40?
Решение. Треугольник называется равнобедренным, если две его сторо-
ны.
PoeF - DE + EF +__, то есть 40-17 +_+, отсюда FD =_________.
Значит, треугольник DEF равнобедренным,
ОгИве/И: треугольник DEF равнобедренным.
9..............................................................
Найдите периметр равнобедренного треугольника МКР, еслиМР - 7,
РЛГ = 4.
Решение. Треугольник называется равнобедренным, если
 , но в условии задачи не сказано, какие
стороны треугольника являются.
Поэтому рассмотрим два случая.
а)	Пусть стороны МР и МК являются боковыми сторонами треугольни-
ка МКР, тогда Рурк = 7 + 4 +_=____.
б)	Пусть стороны РК и__являются боковыми сторонами треугольника
МКР, тогда Рмрк “7’4-_____—_____.
Otnton: периметр равнобедренного треугольника МКР равен____или
см.
10...........................................................
Сколько равнобедренных треугольников изображено на рисунке?
Сколько из них равносторонних?
ОгЫет: на рисунке изображено ____ равнобедренных треугольника:
Равносторонними из них являются__треугольника:.
3. Теорема.
В равнобедренном треугольнике
ЛАВА 2. ТРЕУГОЛЬНИКИ
углы	/	-~р
равны.	/
Дано: SFEG', FE -.	/	.S'
Доказать: ZF - Z_.	/
Доказательство.	¥
1)	Проведем биссектрису ЕН угла
. (Проведите ее на чертеже).
2)	\FEH____ &GEH по двум сторонам и 
ЕН —сторона; Z.FEH “ Z_____, потому что ЕН —
угла , FE в_по условию.
3)	В равных треугольниках соответствующие углы по-
этому ZF = Z_.
11
Является ли треугольник HKN равнобедренным, если ZH = 32°, ZX — 48°,
/.N = 100 ? Ответ обоснуйте.
, в равнобедренном треугольнике углы при___________
равны, а в треугольнике HKN равных углов_____.
Докажите, что медиана равнобедренного _____________
треугольника, проведенная к основанию, х.
делит его на два равных треугольника.	X.	/
Дано: AMPQ; MP— MQ-, МТ—медиана.	^Х.	/
Доказать: ЛМРТ - &MQT.	у,/
'’р
Доказательство. АМРТ Д по двум
сторонам и углу между ними: МР =__по условию; РТ «=__, так как
МТ—; ZP — Z как углы при
равнобедренного треугольника.
И. Теорема.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к
. является медианой и
----------------------------------- D
Дано: ЛС1>£; DC - DE;
DH — биссектриса.	\
Доказать: DH — медиана и высота.	\
Доказательство.	\
1) &CDH = XEDH по двум сторонам и
; *
CD  по условию; DH—сторона; Z.CDH =
— Z, так как DH —.
2) В равных треугольниках стороны и
углы равны. Поэтому СН —_, то есть DH —.
Z.CHD " Z и они являются, поэтому Z.CHD -
—___, то есть DH —.
Второй и третий признаки
равенства треугольников
А. Теорема. Второй признак равенства треугольников.
Если сторона и два к ней одно-
го треугольника соответственно равны  и двум
к ней углам другого треугольника, то такие
треугольники.
О
ГЛАВА 2. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Доказательство.
1)	Пусть Z.D = ZD,, Z.K = ZA\, DK = DXKX.
2)	Наложим треугольник DXKXOX па треугольник так, чтобы
вершина Dt совместилась с вершиной_, вершина Кх — с вершиной
__, а вершины О и___оказались по одну сторону от прямой_.
3)	Так как Z.DX — Z_, ZK\ = Z_, то сторона DXOX наложится на луч
__, а сторона КХОХ — на луч. Поэтому общая точка сторон
DtOx и К,ОХ треугольника окажется лежащей на лучах DO и
__, то есть совместится с вершиной_треугольника DKO.
4)	Итак, вершины треугольников при нало-
жении, поэтому треугольники.
Докажите, что MS = QR.
Доказательство.
Для доказательства равенства отрез-
ков докажем, что треугольники MSP и
QRP.
По условию задачи ZM = Z__и МР =____, /IMPS - Z____, как верти-
кальные.
Поэтому треугольники MSP и равны по призна-
ку равенства треугольников. Значит, MS «__ как соответственные
равных треугольников.
Какое условие надо добавить, чтобы можно было утверждать, что треу-
гольники равны
а) по первому признаку равенства треугольников;
б) по второму признаку равенства треугольников?
а)___=____; б)___=	_.
36
3.............................................................
Для каждого условия, стоящего в левом столбце, подберите заключе-
ние из правого столбца так, чтобы получилось верное предложение.
Соедините эти высказывания стрелками.
Если в треугольниках АВС и MPQ ЛА = ZAf, ZB - ZP и АС “ MQ,		
Если в треугольниках АВС и MPQ ЛА - ZM, ЛС = ЛЦпАС~ MQ,		то треугольники равны по первому признаку равен- ства треугольников.
Если в треугольниках АВС и MPQ ЛА - ЛМ, АВ-МРнАС~ MQ,		
Если в треугольниках АВС и MPQ ЛА-^,АВ~МРнАС = MQ,		то треугольники равны по второму признаку равен- ства треугольников.
Если треугольники АВС и MPQ равнобедренные и ЛА ~ ЛС = ЛМ, АВ = МР,		
Если треугольники АВС и MPQ равнобедренные с равными основа- ниями АВ и МР и ЛА “ ЛQ,		то для утверждения о ра- венстве треугольников не хватает данных.
Если треугольники АВС и MPQ рав- носторонние и АВ = М Р,		
Б. Теорема. Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного	м
треугольника соответствен-	х.	—«ч-р,
но равны________сторо-	\
нам другого треугольника,	\	\
то такие треугольники	\
.	Р	*---—м К,
Доказательство. Пусть у треугольников МРК и М1Р1К1
МР - МРК - PtKt и КМ -.
Приложим треугольник MtPyKx к треугольнику МРК так, чтобы сто-
рона К}МУ совместилась со стороной КМ, а вершины и_оказа-
лись стороны от прямой___________________________.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
37
Возможны три случая:
а)	прямая РРу делит отрезок КМ\
б)	прямая РРу проходит через один из концов отрезка
в)	прямая РРу не пересекает отрезок_.
(*.)
Рассмотрим третий случай.
По условию РК “и МР —поэтому треугольники РуКР
и РуМР —. Поэтому
ZKP.P - Z и ZMPtP - Z
по свойству углов при равнобедренного треу-
гольника.
ZKPyMx ZKP{P — Z, a ZKPM= ZMPPy, поэтому они
Значит, треугольники МРК и МуР1К1 равны по при-
знаку равенства треугольников.
4............................................................
Периметры двух треугольников равны 52 см, а их стороны равны 18 и
12 см и 22 и 12 см. Равны ли эти треугольники?
Решение.
Обозначим третьи стороны этих треугольников буквами тит,. Найдем
их длины: т - 52 - (_-I-18) -_см;
т, -__- (12 +__) -___см.
Итак, стороны треугольников попарно.
Значит, эти треугольники по при-
знаку равенства треугольников.
5....................................
Дано: АВ = CD; AC « DB.
Доказать: /BAD = /CDA.
Доказательство.
AABD « &DCA по  признаку
равенства треугольников, так как АВ =_и
BD =____по, а сторона AD —
Поэтому /BAD = Z как углы
треугольников.
§4
Задачи на построение 
а)	Надпишите отмеченные на рисунке фигуры.
б)	Сколько хорд изображено на рисунке?
ОЖгт:
на рисунке изображено хорды.
в)	Сколько дуг изображено на рисунке?
: на рисунке изображено дут.
г)	Закончите предложения:
Если диаметр окружности равен 13 см, то ра-
диус равен см.
Если радиус окружности равен 15 см, то ее диаметр равен см.
Будем обозначать окружность с центром в точке А так: окрА.
Дано: А е окрВ; В е окрА; окрВ пересекает окрА в точках С и D.
Сделайте чертеж и докажите, что треугольники АВС и ABD равны и они
равносторонние.
Доказательство.
1)	АВ = АС =__как окрА.
2)	ВА =__= BD как окрВ.
3)	ДАВС — AABD по признаку равен-
ства треугольников. ДАВС и ДАВИ равносторонние,
так как их стороны.
ГЛАВА 2. ТРЕУГОЛЬНИКИ
3......................................................
Постройте окружность с центром в точке В так, чтобы она
а)	не пересекала окружность с центром в точке А;
б)	имела с окружностью с центром в точке А одну общую точку;
в)	имела с окружностью с центром в точке А две общие точки.
в* *
а)	б)	в)
Что можно утверждать о величине радиуса окружности с центром в точке
В, если радиус окружности с центром в точке А равен 1 см, а АВ = 3 см?
О^ет: a) RB <__или RH;
б)	RK = или Ru —	;
в)<яд<•
4......................................................
Постройте точку С, удаленную от точки D на 2 см и от точки Е на 3 см.
Сколько решений имеет задача, если
a) DE — 1 см; б) DE - 4 см; в) DE = 5 см?
D •	D •	D •
а)	б)	в)
5...........................................................
Постройте 5 точек, равноудаленных от точек А и В.
А «
40
6
Постройте угол, величина которого в два раза больше величины данного
угла М.
Постройте угол, равный четверти развернутого угла Н, если построе-
ния можно проводить только в нижней полуплоскости относительно
прямой т.
Глава 3
Параллельные прямые
ГЛАВА 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Признаки параллельности двух
прямых
А. Определение.
Две прямые называются параллельными» если они
---------------•
1..................................................
Заполните пропуски, используя знаки II (параллельны) или 4" (не парал-
лельны).
На рисунке прямая m перпендикулярна к прямым р и q. Параллельны
ли прямые puq? Ответ объясните.
0>Я£е*:р_«у.таккакдвепрямые.перпендикулярныек
прямой.
42
Точки А, В, С е т; D, F € п. Прямые тип параллельны. Какие из отрез-
ков и лучей параллельны? Рассмотрите рисунок и заполните таблицу,
используя знаки II или -If.
Б.
Прямая р — секущая для прямых
тип.
Накрест лежащими углами являются
углы 3 и__; 4 и__.
Односторонними углами являются углы
3 и___; 4 и_.
Соответственными углами являются углы 1 и__; 2 и
Прямые ЕК и RK пересекаются прямой DN в точках М и Р, причем
D-P-M. Сделайте чертеж.
Как называются указанные ниже углы?
3 и____; 4 и
Oriitoii: углы МРК и РМК —
углы МРК и ЕМР —___________________________________________
углы МРК и NMK — _________________________________
В. Если при пересечении двух прямых секущей 
углы равны, то прямые
ГЛАВА 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Дано: прямые т и р и секущая МР.
Zl — Z2 и они.
Доказать: /п||р.
Доказательство.
1-й случай. Если Z1 - 90°, то т_МР.
Тогда и Z2 = , то есть и р_________МР, а две прямые
к третьей прямой, то
есть они,
2-й случай. Пусть Z1 * 90°.
Тогда Z2__90а.
Отметим точку Q —отрез-
ка МР.
Проведем QC_т и отложим на прямой р
отрезок PD, равный(см. рисунок).
В треугольниках QMC и QPD:
QM =, так как точка Q середина МР;
МС “_____по; Z.QMC = Z___________________по условию.
Поэтому треугольники QMC и равны по при-
знаку .
Из равенства треугольников следует, что Z.MQC=Z и ZC = Z ,
поэтому точка D лежит на продолжении, то есть точки С,
QhD лежат на одной прямой.
mi___ир__CD. Следовательно, т||р.
5................................................
Дано: прямые а и Ь и секущая с.	___
Zl = 117°; Z2 - 63°.	'
Доказать: a||d.	1
Доказательство. Для доказательства па-
рал дельности прямых а и	докажем, что cs
накрест лежащие углы 1 и 3 равны (отметь-
те угол 3 на рисунке).
Действительно, так как углы 3 и 2 являются, то
Z3 =- 63° =. Итак, Zl = Z3 поэтому а_Ь.
44
6
На рисунке Zl - 132°, aZ2- 48°.
Докажите, что с||</.
Доказательство. Рассмотрим накрест ле-
жащиеугл ы 2 и 3( отметьте угол 3 на рисунке).
Углы 1 и 3 являются,
поэтому Z3 =- 132° =_____. Так, Z3 =
= Z_, а они накрест лежащие, значит с_d.
Дано: точка А — середина отрезков BD и CF.
Доказать: BC\\DF.
Доказательство.
1)	Из того, что точка А — середина отрезков В
BD и CF, следует, что АС ”__, АВ -____. ЛВАС =
Z____, так как они. Поэтому ДАВС = Д по
признаку равенства треугольников.
2)	Из треугольников следует, что ZC ” Z__________________, но эти
углы	, поэтому ВС____________________DF.
Г. Если при двух прямых со-
ответственные углы, то прямые.
Дано: прямая f пересекает прямые
с и d в точках С и D; Z1 и Z2 соответ-
ственные и Zl = Z2.
Доказать: с__d.
Доказательство.	2
1)	Рассмотрим вертикальные углы 2 и 3
(отметьте угол 3 на рисунке).
2)	Тогда Z2 = Z3 	;
Zl = Z, следовательно, Z3 - Z_____________________.
3)	Z3 и Z____ накрест лежащие, поэтому прямые с и d
ГЛАВА 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Дано: прямая k пересекает прямыер и т в точках Р
иМ./У = 43°; Z2 = 137°.
Доказать: р|| т.
Доказательство.
1)	Рассмотрим соответственные углы 1 и 3 (отметьте
угол 3 на рисунке).
2)	Z3 и Z2 —, следовательно,
Z3--Z2-180-= _.
3)	Итак, Z3 “ Z_, и они являются 
Дано: АС - СВ; ZB - 80°; ZDCB = 160°, СЕ — бис-
сектриса угла DCB.
Доказать: СЕНАВ.
Доказательство.
1)	Z.DCE - ZDCB :	«=: 2 =,
так как СЕ —угла DCB.
2)	ZA = ZB = _____, так как треугольник АВС
, поэтому р_т.
3)	ZDCE  /А =____и они являются соответственными, поэтому СЕ__АВ.
Д. Если при двух прямых
секущей односторонних углов
равна, то прямые.
10 ........................................
Дано: ДАВС; АС = ВС; ZB = 70°; ZBAF - 35°; AD - DF.
Доказать: DF||AB.
Доказательство.
1)	Чтобы доказать параллельность прямых, докажем
равенство или соот-
ветственных углов.
46
2)	Для угла BAF накрест лежащим углом при пересечении прямых DF и
АВ секущей____является угол.
3)	ADFA является. Поэтому/ЛЛ4 = Z______________________.
4)	/ DAF = /ВАС - Z= 70° -=.
5)	Итак, Z.DFA — /BAF =  и они 
при пересечении прямых DF и____________________________секу-
щей ___________________________________________________, поэтому DF.
11 ...........................................
Дано: CD- EF; Zl = Z2.
Доказать: CFllDE.
Доказательство.
1) В треугольниках CDF и:
CD “по;
Zl — Z_по;
сторона DF —	.
Следовательно, .\C.DF = \EFD по_
угольников.
Поэтому Z.CFD = Z(отметьте их на рисунке).
2) Углы CFD и EDF являются накрест лежащими при пересечении пря-
мых CF и секущей, а так как они, то прямые CF и
признаку равенства тре-
12..........................................
Почему, перемещая прямоугольный треу-
гольник вдоль неподвижной линейки и
проводя прямые по свободному катету или
гипотенузе, мы получаем параллельные
между собой прямые?
Объяснение.
1) Треугольники 1 и 2 равны, поэтому пря-
мые с и d пря-
мой I, поэтому с_d.
2) Треугольники 1 и 2, поэто-
му равны и углы при пересечении прямых т и п се
кущей I. Следовательно, т п.
§2
Аксиома параллельных прямых
ГЛАВА 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
А. Аксиома.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит
прямая, параллельная данной прямой.
Дано: Zaft и прямая с.
Доказать, что, хотя бы одна из прямых а или b пересекает прямую с.
Доказательство. Пусть вершина угла находится в точке О.
Допустим, что каждая из прямых а и Ь пря-
мую с.
Тогда по определению параллельных прямых а_с и Ь_с, следовательно,
через точку О проходят прямые,прямой с. Но это
противоречит аксиоме прямых.
Поэтому прямая с пересекает или прямую а или прямую_.
Б. Следствие 1.
Если прямая пересекает одну из
параллельных прямых, то
она и другую.
Дано: т||р; прямая 1г пересекает пря-
мую р.
Доказать, что прямая k пересекает прямуюр.
48
Доказательство.
По условию прямые кит, значит
имеют только одну общую. Обозначим ее буквой А.
Допустим, что прямая k не пересекает р.
Тогда прямые к и р и через точку А проходят
прямые (А и_)прямой р.
Но это противоречит параллельных прямых, и по-
этому прямая k прямую р.
В. Следствие 2.
Если две прямые параллельны
Дапо: m\\q;p\\q.
Доказать: м||р.
Доказательство. Допустим, что прямая
т не параллельна  р. Тогда
прямые тир в некото-
рой точке А. То есть через точку А проходят
прямой, то они
прямые, параллельные прямой____. Но это противоречит
параллельных прямых. Поэтому прямые т и р не
пересекаются, то есть они
Дапо: /||d; Zl - 61°; Z2 - 119°.
Доказать: /11с.
Доказательство.
1)	Пусть углы 1 и 3 — соответственные углы
при пересечении прямых end секущей__.
(Отметьте угол 3 на чертеже).
АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
2)	Углы 3 и 2, поэтому Z3 =______________- Z2 -____-____=
3)	Получили, что Z3 — Z_, но они, поэтому d_____________с.
4)	Имеем f\\d и d|lc, значит, по следствию 2 f с.
49
ГЛАВА 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
3........................................
Дано: Zl - Z3 = 52°; Z2 = 128°.
Определить: взаимное расположение прямых
Ь, с и d.
Решение.
1)	Рассмотрим взаимное расположение прямых Ь
и с. Углы 1 и 4 —вертикальные. (Отметьте угол 4
на чертеже). Следовательно,	'"'''--Л.
Z4 Z1 -____и Z4 + Z_ “ _ +_-_,
но углы 4 и 2 являются углами при пере-
сечении прямых___и_секущей_, поэтому Ь_с.
2)	Рассмотрим взаимное расположение прямых Ь и d.
Z4 = Z3 —__, а эти углы являются при пересечении
прямых_и__секущей__. Следовательно, Ь__d.
3)	Итак, b_с и b_d, поэтому по с____d.
0>п4еш : прямые Ь, с и d попарно.
4.......................................
Дано: А, В,С е a; D <L а;
D — середина отрезков ААр ВВр СС(.
Доказать: точки Ар В, и лежат на одной пря-
мой.
Доказательство.
1) Допустим, что точки Ар В] и С, не лежат на
одной прямой, следовательно, прямые AjB, и
ВД----------------,
2)	Рассмотрим взаимное расположение прямых А1В1 и а.
A,D- ;B.D= по	;
ZAtDBt — Z___как, следовательно,
KA^B'D «  по  признаку равенства треугольников.
Поэтому ZBjAjD = Z____ и они  при пересечении
прямых а и секущей_______. Поэтому АуВ{__а.
3)	Так же можно доказать, что B{Ct_а.
4)	Получили, что через точку Bt проходят __ прямые AjB, и _____
прямой а, что противоречит параллель-
ных прямых. Поэтому прямые А(В, и совпадают, то есть точки Ар
Bj и С, лежат на.
50
Г. Во всякой теореме различают части:
и.
Условие теоремы — это то, что известно, дано.
Оно, как правило, начинается со слова «если».
То, что требуется доказать —, оно, как правило, за-
писывается после слова «то».
5.......................................................
Заполните пропуски и подчеркните условие теоремы одной чертой, а за-
ключение теоремы — волнистой линией.
а)	«Если прямая пересекает одну из двух прямых, то
она и другую прямую».
б)	«Сумма смежных углов равна».
Решение. Чтобы выделить условие и в этой теореме, ее
формулировку нужно записать в форме «Если ..., то ... ».
Что известно (дано) в этой теореме? — То, что углы.
Что надо доказать? — Нужно доказать, что их равна.
Значит, теорему можно записать так:
«Если углы, то их».
в)	«В равнобедренном треугольнике углы равны».
Решение. Запишем теорему в форме «Если ...» то ... ♦.
«Если треугольник, то рав-
ны».
г)	«Медиана равнобедренного треугольника,  к его
, является высотой и».
Решение. Запишем теорему в форме «Если ..., то ... ».
«Если в равнобедренном треугольнике проведена медиана __
, то она является и».
Д. Определение.
Теоремой, обратной данной, называют теорему, в которой услови-
ем является данной теоремы, а заключением —
данной теоремы.
6
ГЛАВА 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Заполните пропуски и подчеркните условие теоремы одной чертой, а за-
ключение теоремы — волнистой линией.
Запишите теоремы, обратные данным,
а) Теорема'. «Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
__________».
Обратная теорема: «Если две прямые, то они парал-
лельны »•
б) Теорема: «Если при пересечении двух прямых секущей соответствен-
ные углы, то прямые».
Обратная теорема: «Если то
секущей соответственные углы».
в) Теорема: «В равнобедренном треугольнике углы равны».
Решение. Запишем теорему в форме «Если ..., то... ».
Теорема: «Если треугольник,» то
___________________равны ».
Обратная теорема: «Если равны,
то треугольник».
г) «Вертикальные углы».
Решение. Запишем теорему в форме «Если ..., то... ♦.
Теорема: «Если, то* •
Обратная теорема: «Если , то 
_____________».
В каких случаях обратная теорема также верна?
: обратная теорема верна в случаях б) и_.
Е. Свойства углов, образованных двумя параллельными
прямыми и секущей.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то
накрест лежащие	соответственные	сумма односторонних
углы		углы		углов	.
52
Дано: т||р, q — секущая;
Z1 и Z2 — накрест лежащие.
Доказать: Zl = Z2.
Доказательство.
1)	Допустим, что Zl * Z_.
2)	Отложим от луча ВА угол АВС, накрест ле-
жащий с углом 1 и равный ему. Постройте этот угол на рисунке.
3)	Получим, что ВС_т, так как ZABC_Z1 и они накрест лежа-
щие при пересечении прямых ВС и____секущей q.
4)	ВС__т и р___т, но это противоречит 
______________________________прямых. Значит, допущение
и Zl _Z2.
Дано: did; е — секущая;
Z1 и Z2 — соответственные.
Доказать: Zl - Z2.
Доказательство.
1)	Рассмотрим угол 3, вертикальный углу 2.
Тогда Z3__Z2. Отметьте этот угол на чертеже.
2)	Углы 1 и 3 углы при
мых____и__и секущей___, поэтому Z1_Z3.
3)	Получили Z1_Z3 и Z3__Z2, а значит, Z1_Z2.
параллельных пря-
Дано: dip и f — секущая;
Z1 и Z2 — односторонние.
Докажите, что Z1____Z2 - 180°.
Доказательство.
1)	Рассмотрим угол 3, смежный с углом 2.
Отметьте углы 1, 2 и 3 на чертеже.
Тогда Z3__Z2.
2)	Углы 3 и 1 являются углами
при параллельных прямых____и__и секущей__, следовательно,
Z3_Z1.
3)	Получили, что Z3 + Z2 =_и Z3_Z1, поэтому Z1_Z2 =___.
Прямые а и с па рисунке параллельны, а сумма
двух соответственных углов равна 110°.
Найдите величины всех отмеченных углов.
Решение.
1) Так как а || с, то соответственные углы
и величина каждого из них равна_:2 =___, то
есть они. Поэтому можно считать, что в условии задачи гово
рится об углах 1 и или о вертикальных им углах и
2) Остальные углы являются с углами 1 или____________, поэтому
их величины равны_______-____=______.
Offtferii: Zl = Z_ = Z_ - Z_ = _; Z3 = Z_ = Z_ - Z_ =
На рисунке изображены параллельные
прямые bud, известно,что Z3:Z4 = 1:3.
Найдите величины всех отмеченных углов.
Решение.
1)	Равенство Z3:Z4 =1:3 является.
Воспользуемся  пропорции и	у
запишем ее так: Z8:_ = Z4:_ - х. Отсюда получим, что /
Z3 = х и Z4 =_х.
2)	По условию b_d, a Z3 и Z4 — у 2
углы, поэтому Z3__Z4 =____.
3)	Составим уравнение х +_= 180. Откуда х = _
6We^.-Z3 - Z_ = Z_« Z_ = _ и Z4 = Z_ = Z_ = Z =__.
На рисунке Zl 127°, m||n и p||/n .
Найдите величину Z3.
Решение.
1)	m || n, а углы 1 и 2 —при пересечении
прямых___и___секущей___. Поэтому Z1_Z2 =____.
Откуда Z2 — 18O_Z1 =___—____=
2)	miln и p||m, поэтому p_n по следствию_.
3)	p||n, а углы 2 и 3 при пересечении прямых_____________и
секущей___, поэтому Z3____Z2 “_.
(5/>^m.-Z3=	.
10......................................................
На рисунке прямые АВ и МК параллель- Л______р________в
ны, ZAf - 48° и ZK - 32°.	/X.
Найдите величину угла МРК.	/ X.
Теисение.
1)	ZAPM - Z. как углы при па-
раллельных прямых АВ и_и секущей_.
Поэтому ZAPM “ Z_—___.
2)	ZBPK — Z как углы при параллельных прямых
__и___и секущей РК. Поэтому ZВРК “ Z_—__.
3)	ZAP В “_, так как это угол,
ZAPB = - /АРМ + Z__+ Z__,
180° -_ + ZMPK + _, ZMPK = 180°.
tbb£e/fi:/MPK =
С	ЕН
На рисунке ZC = 42°, ZM — 54°,
прямые СМ и ЕО параллельны.
Найдите величину угла СЕМ.
Решение.
1)	ZOEH = Z__=___, так как это соответ-
ственные углы при параллельных прямых_и__и секущей__.
2)	Z.MEO “ Z_=___, так как это углы при парал-
лельных прямых___и____и секущей___.
3)	Z.CEH —_, так как это угол,
ZCEH - ZCEM + Z_____-I- Z_.
Отсюда ZCEM —____- Z__- Z___- 180° -__-__—___.
Ctf&e*i:zCEM =	.
ГЛАВА 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
12.................................................
На рисунке биссектриса угла ВСЕ параллельна стороне	.
РЕ треугольника СРЕ.	\
Докажите, что треугольник СРЕ — равнобедренный.	X
Доказательство.	/	\
1)	Проведем биссектрису СА угла ВСЕ.	/	\
2)	Z.BCA = Z___, так как	/	\
СА-.	zL-----АР
3)	Z.BCA = Z_как соответственные углы, a ЛЕСА — Z_ как накрест ле-
жащие углы при параллельных прямых_и_и секущих__и_.
Отсюда следует, что ZP_Z.E.
Поэтому треугольник СРЕ —.
56
Глава 4
Соотношения меЖду сторонами
и углами треугольника
Сумма углов треугольника
А. Теорема.
Сумма углов треугольника равна 180°.	q	Ен
Дано:ЛРЕЕ.	s' \
Доказать: ZD+ZE + ZF =______.	\
Доказательство.
1) Проведем через точку Е прямую GH параллельно прямой_.
Обозначим: Z1 — угол, накрест лежащий с углом D,
Z2 — угол, накрест лежащий с углом F при пересечении параллель-
ных прямых GH и__секущими DE и___. (Отметьте их на чертеже).
2)	Получим ZD - Z_, ZF -Z_h Zl + ZE + Z2 =.
Следовательно, Z.D + ZE + ZF =.
Найдите угол P треугольника HPM, если:
a)	ZH = 38°, ZAf = 115°;
б)	Z.H в 2 раза больше ZAf, a ZP в 3 раза меньше ZAf;
B)ZH:ZP:ZAf = 2:8:1.
Решение.
а)	По теореме треугольника
ZH + ZP + ZAf-.
ZP = 180° - (ZH + ZAf) = 180° -(_+) =_____.
б)	Пусть ZAf = х, тогда ZH - _ х, a ZP = £ х.
По теореме треугольника, составим уравнение:
__++ х = 180,
LA УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
57
ГЛАВА 4. СООТНОШЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ Д
_х = 180, х -. ZP = J .
в)	Запишем условие в виде ZH:2 - ZP:_= ZA/:_.
Каждое из отношений равно некоторому числу а.
Тогда: ZH —__a, ZP “ 3_, ZM “__.
По теореме  треугольника, составим уравнение:
2а 4-_+ _ “ 180, _а =, а =*____.
ZP - 3 _ =___.
0>Ме>н: a)___; б)__; в)__.
2...............................................................
Один из углов равнобедренного треугольника равен 110°.
Найдите внешние углы этого треугольника.
Решение.
1)	Внешний угол, смежный с углом 110°, равен_- 110° -__.
2)	По теореме о треугольника, сумма двух других углов
этого треугольника равна 180 -__“___.
3)	В равнобедренном треугольнике углы при основании.
Угол 110°быть углом при основании равнобедренного треу-
гольника, так как этот угол.
Значит, углы при основании равны 70°:_=______.
4)	Найдем внешние углы при основании равнобедренного треугольника.
По свойству углов они равны 180° -___________=__.
OtHtofi:___;;.
58
Б. Теорема.
Внешний угол треугольника равен 
треугольника,с ним.
Дано: \CDF-, /.DFE — внешний угол.
Доказать: Z.DFE - ZC + Z_.
Доказательство.
1)	/.DFE + Z1 ”_, так как они.
2)	Zl + (Z2 + Z3) -_, по теореме о
углов
3)	Сравнивая эти равенства, видим, что ZDFE — Z___+ Z___.
Докажите, что, если один из углов треугольника — прямой, то сумма
двух других его углов равна 90й.
Доказательство.
1)	Пусть в треугольнике АВС угол А —
прямой, а угол 1 — внешний угол треу-
гольника АВС, смежный с углом А.
(Сделайте чертеж.)
2)	Тогда, по свойству углов
Z1 -____- ZA =____.
По теореме о  угле
треугольника Zl “ Z_ + Z_.
3)	Следовательно, ZB + ZC “_.
4	
Найдите, чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых по
одному при каждой вершине.
Решение. Пусть дан треугольник АВС. Обозначим внешние углы при
его вершинах А, В, С буквами А , В,, С, соответственно.
Так как углы А и Ае В и Вр С и С, —, то
ZA, -___- ZA, ZBt - 180° - Z_, ZC, -____- Z_. Тогда
ГЛАВА 4. СООТНОШЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ Д
ZA, + ZB, + ZC, = (180° - ZA) + (180° - Z__) + (_- Z_) = 3 180° -
- (ZA + Z_ + Z__).
По теореме о углов треугольника, ZA + Z.B + Z_ =________, поэто-
му ZAI + ZB1 + ZCj = 3 180° -___________________________=_.
5..............................................................
Могут ли два внешних угла треугольника, взятых при разных верши-
нах, быть оба: а) прямыми; б) острыми? Ответ обоснуйте.
а)___так как, если бы два внешних угла треугольника были прямыми,
то по предыдущей задаче третий внешний угол был бы равен 360° - 2-_—
=____, что невозможно.
б)	, так как тогда  внешний угол треугольника был бы
	180°.
Г. Следствие из теоремы о сумме углов треугольника.
В треугольнике может быть только прямой или угол.
Действительно, если бы в треугольнике было два прямых или
угла, то сумма углов треугольника была бы 180’, что
Д. Виды треугольников.
Треугольники различают по длинам сторон:
а)	две стороны равны —треугольник;
б)	все стороны равны —треугольник.
в)	все стороны разной длины — 
Треугольники различают по углам:
а)	все углы острые —треугольник;
б)	один из углов прямой —треугольник;
в)	один из углов— тупоугольный треугольник.
6...............................................................
Под каждым рисунком напишите вид треугольника.
В прямоугольных треугольниках подпишите названия сторон.
60
прямоугольный
неравнобедренный
Соотношения между сторонами
и углами треугольника
А. Теорема.
В треугольнике против большей стороны лежит угол.
Дано: ЛСЕН; СЕ > ЕН.	Н
Доказать: ZH > ZC.
Доказательство.	s'	'ч
1) Отметьте, на луче ЕС, точку М, s'______________\
так чтобы ЕМ = ЕН. Так как СЕ_ С	* Е 2 3 4
ЕН, то точка _ лежит между точками _ и Поэтому угол ЕНМ
часть угла то есть Z.H_ZEHM.
2) Угол НМЕ —угол треугольника СМИ, по-
этому ЕНМЕ____ЛС.
3) Треугольник ЕМН — равнобедренный, поэтому Z.EHM ЕНМЕ.
4) Итак, ЛН_ЛЕНМ, Z.EHM__Z.HME, АНМЕ_£С.
Отсюда: ZH__ZC.
1
Известно, что для сторон тупоугольного треугольника САЕ выполняют-
ся неравенства АС < АЕ < ЕС. Какой из углов треугольника САЕ может
быть тупым? Ответ объясните.
бм&а*: угол___. Из доказанной теоремы следует: чем больше сторона
треугольника, тем противолежащий ей угол. Поэтому
для углов треугольника выполняются неравенства Z_< Z_< Z_____и
только больший угол может быть.
А. Обратная теорема.
Против большего угла треугольника лежит сторона.
Дано: АМРЕ; £Р > ZAf.
Доказать: ME > РЕ.
Доказательство.
Допустим, что ME не больше РЕ, то есть ME < РЕ или ME_РЕ.
Рассмотрим каждую из этих возможностей.
1) Пусть ME ” , тогда треугольник МРЕ — 
 и ZP = ZAf, что противоречит
______________________теоремы.
2) Пусть ME < РЕ, тогда по предыдущей теореме ZP_Z.M, что
условию теоремы.
Следовательно, оба допущения, поэтому ME_______РЕ.
2.............................................
Докажите, что сторона треугольника, лежащая против тупого угла,
больше каждой из двух других сторон треугольника.
Доказательство.
Пусть угол М треугольника СЕМ — тупой, тогда углы С и Е —
. Поэтому ZC______________ZM и ZE___ZAf.
Против угла С лежит сторона __, против угла М — сторона ____,
ZC_ZAf.
Следовательно, ЕМ___СЕ и СМ___СЕ, так как в треугольнике против
большего угла лежит сторона.
62
3
Докажите, что любой отрезок, соединяющий вершину острого угла пря-
моугольного треугольника с точкой противолежащего катета, меньше
гипотенузы, но больше другого катета.
Дано: ДАВС; ZC " 90°; ЕеСВ.
Доказать: АС < АЕ <АВ.
Доказательство.
1) ЛАСЕ —и АЕ —, поэтому АС________________________________
АЕ.
2) ZBEA —угол треугольника АСЕ и поэтому ZBEA 90°.
По предыдущей задаче в треугольнике ВЕА имеем: АЕ АВ.
4
Дано: ЛМЕН; МН > НЕ;
НО — высота.
Доказать: МО > ОЕ.
Доказательство.
1)	Так как НЕ___МН, то ZM<ZE (В треу-
гольнике против меньшей стороны лежит угол.)
2)	НО — высота, следовательно, треугольники МНО и—прямоу-
гольные.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна__.
Поэтому ZMHO -_____- ZM и ZEHO —____- Z___, а так как ZM_ZE, то
ZMHO ZEHO.
3)	Проведем луч НЕу внутри угла МНО так, чтобы ZEXHO • ZEHO.
ЛЕНО  ЛЕуНО по признаку равенства треугольни-
ков (НО —сторона; ZEOH - Z______________= 90°, ZEyHO - ZEHO по
Следовательно, ЕуО » ОЕ, но отрезок ЕУО отрезка МО, то есть
МО Е.О, значит, и МО ОЕ.
— 1 ’ —
ГЛАВА 4. СООТНОШЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ А
В. Теорема. Неравенство треугольника.
Каждая сторона треугольника суммы двух дру-
гих сторон.	р
Дано: АМРН.	./А
Доказать: Л/Р < МН 4-HP.	I
Доказательство.	/
1)	Отложим на продолжении стороны МН от-	Л/	Н
резок НТ, равный стороне HP.
2)	Треугольник НРТ — , следовательно,
Z.T _ЛТРН.
3)	В треугольнике МРТ /Т_Z.MPT, а против меньшего угла треу-
гольника лежит сторона, то есть МР_______МТ.
4)	МТ = МН +___= МН +____и МР___МТ, следовательно,
МР_____МН + HP.
5..................................................
Можно ли построить треугольник, если длины его сторон равны
а) 3; 6 и 5 см; б) 5; 9 и 14 см?
^Решение. Треугольник можно построить, если для его сторон выполне-
на теорема треугольника.
Если неравенство будет выполнено для самой большой стороны, то и
остальные неравенства будут. Поэтому проверять
три неравенства.
а)	6 < 3 + 5 неравенство , значит, треугольник построить
	•
б)	14 < 5 + 9 неравенство, значит, треугольник постро-
ить.
О/пЯе/н: а); б).
6..................................................
Две стороны равнобедренного треугольника равны 6 см и 13 см.
Найдите длину третьей стороны треугольника.
Решение. Пусть длина боковой стороны равна 6 см, а равно
13 см, тогда длина боковой стороны равна___см.
64
Проверим, выполняется ли______________________________________
13 < 6 + _, что. Значит, такой равнобедренный треуголь-
ник .
Пусть длина основания — 6 см, тогда длины сторон
равны___см.
Проверим, выполняется ли неравенство треугольника: 13 < 6 + __,
что . Значит, такой равнобедренный треугольник
ОШе/Я:
третья сторона треугольника равна_см.
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 17 см, а другая рав-
на 8 см. Какова длина основания этого равнобедренного треугольника?
Ответ объясните.
ёМйал.* основание треугольника равно___см, так как предположив,
что основание равнобедренного треугольника равно 17 см, получим, что
сумма боковых сторон будет равна см, что третьей
стороны, а это неравенству треугольника.
Прямоугольные треугольники
А. Основные сведения.
В прямоугольном треугольнике:
1)	сумма острых углов равна_;
2)	катет гипотенузы;
3)	катет, лежащий против угла в 30
равен гипотенузы;
4)	если катет равен половине гипотену-
зы, то угол, лежащий против этого катета, равен
(Подпишите на чертеже названия сторон прямоугольного треу-
гольника.)
ГЛАВА 4. СООТНОШЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ Д
1.............................................................
Один из углов прямоугольного треугольника на 18° больше другого.
Найдите величины всех углов треугольника.
Решение.
1)	Пусть больший из двух данных углов — прямой, тогда второй угол -
и он равен 90°-________=_____. Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна___, поэтому третий угол равен 90°-_=___.
2)	Пусть оба угла острые. Обозначим меньший из них буквой X, другой
будет равен (х +_). Сумма углов прямоугольного треуголь-
ника равна 90®, составим уравнение:
х + (_ + 18) =_. Отсюда _х ”_, х “_.
Оньвеш: 90°;___;___или ;	;___.
Один из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз больше дру-
гого. Найдите острые углы этого треугольника.
Решение. Пусть в прямоугольном треугольнике углы М и Р — острые и
ZAf < ZP. Обозначим градусную меру угла М буквой х.
Тогда ZP “ 5, ZAf + ZP — _ + _ х —_.
Отсюда получим 6 = ____, х - 15°.
Итак, ZAf =___, ZP »___.
Otaeofi: ,
3	
Докажите, что в неравнобедренном прямоугольном треугольнике один
острый угол меньше 45°, а другой - больше 45°.
Доказательство.
1)	Если в прямоугольном треугольнике СЕН один из острых углов С или
Е равен 45°, то и второй угол 45°.
Тогда НЕ = НС, что условию, следовательно,
ZC_Z£.
2)	Пусть в прямоугольном треугольнике СЕН оба острых угла С и £ боль-
ше 45°. Тогда ZC + Z£_90°, но сумма острых углов прямоугольного тре-
угольника 90°.
66
Поэтому наше предположение , следовательно, оба
острых угла быть больше 45°.
3)	Пусть в прямоугольном треугольнике СЕН оба острых угла С и Е
меньше 45°. Тогда ZC + ZE_90е, но сумма острых углов прямоугольно-
го треугольника 90°.
Поэтому наше предположение, следовательно, оба острых
угла не могут быть 45°.
Значит, один из них больше 45°, а другой -45°.
Дано: ЛМРН-, ZH - 90°; ZAf = 30°.
Доказать: HP = ?МР.
Доказательство.
1)	На луче PH отложим отрезок НО, равный
отрезку HP.
2)	В треугольниках МРН и МОН сторона НМ —;
PH -___по;
Z.PHM — ZOHM, так как они и ЛРНМ »___________.
Значит, треугольники равны по признаку равенства треу-
гольников, следовательно, ОМ РМ, Z.OMH “ Z_“_.
3)	Треугольник РМО - равнобедренный, так как РМ -_.
/РМО — ЛРМН + Z__- 30° +__=___. Поэтому треугольник РМО -
и РМ - РО - PH + _ - _НР, значит, HP -.
В треугольнике СМЕ гипотенуза СЕ равна 24 см, а
внешний угол при вершине Е равен 120°.
Найдите длину катета МЕ.
Теисение.
1) По свойству внешнего угла треугольника имеем
ZE _ u “	+	’ то есть 120° ” ZC +_. Отсюда
ZC-
2) Катет ME лежит против угла_, поэтому ME — _
0и1&е/н: см.
6
ГЛАВА 4. СООТНОШЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ Д
В треугольнике АВС меньшая сторона равна 7 см, а углы А, В и С про-
порциональны числам 1, 2 и 3.
Найдите наибольшую сторону треугольника.
Решение:
1)	По условию задачи Z-A-. 1 = ZB:_“ ZC:_= х, поэтому
ZA = х, ZB - 2_, ZC =__, а так как ZA + ZB + ZC =,
то х + х + 3 = 180, откуда х -____.
Значит, ZA “___, ZB = 2 •_=________, ZC = 3-_“_.
2)	Меньшая сторона треугольника лежит против угла.
Меньшим углом треугольника является угол_____, поэтому_-7 см.
3)	Большая сторона треугольника лежит против
угла.
Значит, надо найти сторону АВ, лежащую против угла_и являющуюся
треугольника АВС.
4)	Сторона ВС лежит против угла в_, поэтому ВС —___АВ.
Отсюда АВ =____ВС — 2-_=__.
ОМе*. : наибольшая сторона треугольника равна__см.
Б. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Если в прямоугольных треугольниках равны выделенные элементы
(1)	(2)	(3)
0	0	А
__________________________и	катет и
прилежащий к
нему
------------ ему угол
угол
68
(4)
и острый угол
(5)
гипотенуза и
то треугольники
В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60°, а при-
лежащий к нему катет равен 12 см. Найдите длины отрезков, на которые
высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу.
Дано: ДАВС; ZC - 90°; ZB = 60°;
ВС = 12 см; СН — высота.
Найти: длины отрезков АН и НВ.
Решение.
1)	ZA "___- ZB “ 90° -__=_____по свойству углов пря-
моугольного треугольника.
2)	Катет ВС лежит против угла в_, поэтому ВС =__АВ, откуда АВ =
_ ВС - 2 _ -
3)	АВСН — прямоугольный, так как СН —и ZBCH — 90°
- Z__— 90° -__=____. ВН — катет, лежащий____________угла в
поэтому ВН - * •_- g •__=__.
4)	АВ = АН +__, откуда АН ^АВНВ =____-_ =___.
6 и 18 см.
8
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипоте-
нузы. Докажите, что угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
Доказательство.
Пусть в треугольнике MPT Z.P — 90" и РТ = gAfT.
1)	Отложим на луче ТР отрезок РЕ, равный от-
резку ТР (выполните построение).
2)	Рассмотрим треугольники МРТ и МРЕ.
РЕ =_по;
МР —сторона;
АМРЕ “ Z__ “ ___, так как они
Значит, АМРЕ____АМРТ по	 признаку равенства треуголь-
ников и поэтому ME МТ.
3)	Итак, ME- МТ- _РТ_ТЕ и АМТЕ —	. а МР
его высота и.
Поэтому А.ТМР - 1/.ТМЕ “	“____.
£	4а
Из точки В окружности проведены диаметр АВ и
хорда ВС, равная радиусу окружности. Найдите ве- /	\
личины углов треугольника ABC.	I	1
Решение.	\	°	/
1)	Сделайте чертеж и проведите радиус ОС.	у
2)	АОСВ —, поэтому
ZB = АОСВ___АВОС.
3)	АСОВ по отношению к ДАОС —поэтому
ZCOB = Z_ + Z___=____.
4)	ДАСО —, так как АО - — , поэтому
ZACO___ZA.
5)	Из п. 3) и 4) получим 2ZA -_, откуда ZA =_.
6)	ZC =-(Z_ + Z_) = 180"-(____+____)-________.
Otfitofi:_;___;___.
70
10.........................................................
Докажите, что, если медиана треугольника равна половине стороны, к
которой она проведена, то треугольник — прямоугольный.
Дано: ДАВС; СМ — медиана; СМ = 0.5АВ.
Доказать: ДАВС — прямоугольный.
Доказательство.
1)	По условию задачи СМ — АВ. поэ-
тому СМ__ВМ - ____ и \ВМС и ЬАСМ —
2)	Так как АВМС и ДАСЛГ равнобедренные, то углы при основаниях ВС
и	равны.
Значит, ZB “ Z__; ZA “ Z___.
3)	ZBCA = ЛВСМ + Z___- Z_ + Z_.
4)	По теореме о треугольника
ZC + Z_ + Z_ “. Откуда _ZC ”, ZC ”__________.
11 ..........................................
Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из
вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Дано: ДАВС; ZC - 90°; СМ —.
Доказать: СМ —АВ.
Доказательство.
1)	Отложим на продолжении медианы СМ за точку М
отрезок МН, равный отрезку СМ. Соединим точки А и
Н. Выполните указанные построения на чертеже.
2)	Рассмотрим треугольники ВСМ пАНМ.
СМ -__по;
ВМ —___, так как СМ —;
Z.CMВ — Z_, так как они.
Поэтому треугольники ВСМ и АНМ равны по
призна
ку равенства треугольников.
3)	ZB — /МАИ как соответственные углы треугольников и
они являются при прямых ВС и__________________________________
и секущей__, потому ВС АН.
4)	ВС\\АН, значит, сумма односторонних равна . Отсюда
ZCAH- 180° -Z -180°-
ГЛАВА 4. СООТНОШЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ А
5)	Рассмотрим треугольники АВС и САН.
СА —сторона, ZC - Z.CAH “_______________, ВС “__как соответствен-
ные стороны треугольников ВСМ иАНМ.
Поэтому треугольники АВС и равны по призна-
ку равенства треугольников, и СН =___как соответственные стороны
треугольников.
6)	Имеем СН =___“ _СМ, откуда СМ — АВ.
Построение треугольника по трем
элементам
А. Определение.
Расстояние между точками — это, соединяющего
эти точки.
1		
Найдите расстояние между точками А, Ни	А*
М, отмеченными на рисунке.	,	•
АН -см, НМ -см, н	м
AM *см.
2	
Постройте точку В на расстоянии 2 см от точки А.
Сколько таких точек можно построить?
.точек, удаленныхотточкиАна расстояние_
см, можно построить.
Все эти точки лежат на окружности с центром в точ-
ке _и радиусом, равным_см.
3	
Даны точки А и В так, что АВ - 2 см.	* в
Найдите точку С такую, что АС - 3 см, а ВС - 1 см.
Сколько таких точек можно найти?
А*
72
Решение.
1)	По условию АС = поэтому точка С лежит на окружности с
в точке_____________и равным__________________см.
2)	Так как ВС —_, то точка С лежит на с центром в
точке _ и равным_______________см.
3)	Оба условия выполняются для точек этих окружностей
или точек их. Поэтому задача имеет_______________решения.
Б. Определение.
Расстоянием от точки М до прямой а называется длина
, проведенного из точки_________________к а.
4	
Из точки Р проведены два отрезка РМ и РО, концы которых лежат на
прямой с, причем РМ = 4 см, а РО - б см. Может ли расстояние от точки
Р до прямой с быть равным 3, 4, 5, 6 или 7 см?
Он&е/к : расстояние от точки до прямой — это длина,
опущенного из на прямую, а перпендикуляр на-
клонной, поэтому расстояние от точки Р до прямой с не должно быть
см и может равняться только__или____см.
В. Теорема.
Все точки каждой из двух  прямых
______________________от другой прямой.
Доказательство.	р
Пусть рlie, М, Рес, Н, Тер	" "Т""
и MHlp, РТ1р.	\
Так как р II с и PTAj>, то PT с.	\
Р 	т
У треугольников МНТ и ТРМ МТ —	•1
п
_____________гипотенуза.
ZMTH = Z_____ как______________________________________
углы при параллельных прямых_и___и секущей___.
Поэтому треугольники МНТ и равны по и
углу. Отсюда МН =_.
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ ЭЛЕМЕНТАМ
73
ГЛАВА 4. СООТНОШЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ А
Определение.
Расстоянием между параллельными прямыми называется рас-
стояние от точки одной из прямых до
другой.
5.................................................
Докажите, что, если расстояния от точек А и В, лежащих по одну сторо-
ну от прямой с, до этой прямой равны, то АВ IIс.
Доказательство.	И—'"'Г—
1)	Пусть АН 1с и ВМ 1с, тогда АН_ВМ.	—\
2)	Из п. 1 следует, что /АН В = Z_как_	\	'
_________________________________ углы	-""д	В
при параллельных прямых АН и и секущей .
3)	ААНВ__АМВН по признаку равенства треугольни-
ков, следовательно, ZABH = Z_, а они являются
углами при прямых си_и секущей_
и поэтому.
Г. Построение треугольника по двум сторонам и углу
между ними.
Постройте &АВС, t с 9
если АВ » с; АС — b; n b______9
ZA = а.
Уа \
Построение 1) Построим ZA — а.
2) Отложим на его сторонах
отрезки АВ - с и АС = Ь.
3) ААВС—искомый.
74
Действительно, в построенном треугольнике ABC ZA = а; АВ = с;
АС = Ьи все треугольники, построенные таким образом, будут равны
по признаку равенства треугольников. Поэтому
считают, что данная задача имеет решение.
Д. Построение треугольника по стороне и двум приле-
жащим углам.
ПостройтеЛСЕН,
если СЕ — Л;
ZC = p; ZE = y.
Построение 1) Построим отрезок СЕ — Л.
2)	Построим ZECX - р.
3)	Построим Z.CEY "_.
4)	Найдем точку пересечения
лучей СХ и EY — точку_.
5)	АСЕН — искомый.
Действительно, в построенном треугольнике СЕН СЕ = _________;
ZC =___; ZE = у. Любые два треугольника, построенные таким об-
разом, будут равны по признаку равенства треу-
гольников.
Поэтому считается, что задача имеет решение.
Всегда ли можно построить треугольник, зная его сторону и два
угла, прилежащие к ней?
. Если треугольник можно построить, то по теореме
о  треугольника должно выпол-
няться неравенство р + у___180°. Следовательно, если неравен-
ство р + __________________ <180° не выполняется, то треугольник построить
ГЛАВА 4. СООТНОШЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ А
Е. Построение треугольника по трем сторонам.
Постройте ХМ PH, если МР = й, PH - т; НМ = р.
h
__________________________е______
_________________________________ш_
Построение 1) Построим отрезок МР = й.
2) Расстояние от вершины М до вершины Н
равно МН — _____, значит, точка Н лежит на
с центром в точке М и ра-
диусом, равным. Аналогично рассуждая, по-
лучим, что точка Н лежит на с
в точке__, радиуса__.
3) Найдем точки пересечения окружностей — точки
Я и Я,.
ХМ PH = Д___— искомые.
Действительно, МР “ , МН = МН, = , так как точки Н и Н;
лежат на окружности с центром в точке , радиуса , PH - РН{
=	, так как точки Н и Я, лежат на
с центром в точке __, . ХМ PH Д по
признаку равенства треугольников. 
76
Поэтому говорят, что задача имеет решение.
Всегда ли можно построить треугольник с данными сторонами?
. Если треугольник можно построить, то по теореме о
треугольника для сторо-
ны треугольника должно выполняться неравенство т______р___Л.
Следовательно, если неравенство т <___+ й не выполняется, то
треугольник построить.
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ ЭЛЕМЕНТАМ
77
Учебное издание
Глазков Юрий Александрович
Камаев Петр Михайлович
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
ПО ГЕОМЕТРИИ
7 класс
К учебнику Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова,
С.Б. Кадомцева и др.
«Геометрия. 7-9 классы»
Издательство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат
№ РОСС RU. AE5I. Н 16054 от 28.02.2012 г.
Главный редактор Л.Д. Лаппа
Редактор И.М. Бокова
Художественный редактор Л.В. Демьянова
Технический редактор ТВ. Фатюхина
Корректор И.В. Русанова
Дизайн обложки AM. Позднякова
Компьютерная верстка А.П. Юскова
105066. Москва, ул. Нижняя Красносельская, д. 35, стр. 1.
www.examcn.biz
E-mail: по общим вопросам: mfoi'aexamen.biz,
по вопросам реализации: sale@examen.biz
тел./факс 641-00-30 (многоканальный)
Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами
в ЗАО «ИПК Парето-Принт», г. Тверь, www.pareto-print.ru
По вопросам реализации обращаться по тел.:
641-00-30 (многоканальный).