____®______
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МГУ - ШКОЛЕ
В. Ф. Бутузов
Ю. А. Глазков И. И. Юдина
Геометрия
Пособие для учащихся
общеобразовательных учреждений
Базовый и профильный уровни
5-е издание
Москва «Просвещение» 2010
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
Б93
Серия «МГУ — школе* основана в 1999 году
Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геомет-
рия, 10—11» Л. С. Атанасяна и др. и предназначена для органи-
зации решения задач учащимися на уроке после их ознакомления
с новым учебным материалом.
ISBN 978-5-09-024157-1
© Издательство «Просвещение», 2004
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2010
Все права защищены
Глава V
Метод координат в пространстве
Координаты точки
и координаты вектора
1
Заполните пропуски.
В пространстве задана прямоугольная система координат, если:
а)	заданы три попарно прямые,
проходящие через  точку пространства;
б)	на каждой из этих прямых выбрано
в)	выбрана единица  отрезков.
2------------------------------------------------------------
Заполните пропуски.
Если прямоугольная система координат обозначена Охуг, то прямая
Ох называется осью , прямая Оу — осью ,
прямая Ог — ___________________________
3
Заполните пропуски.
Дана точка М (2; -3; 0). Числа 2,-3, _ называются 
 точки М; число 2 — это точки,
число -3 — , число 0 — 
Заполните пропуски.
Если аппликата точки А равна -2, абсцисса равна 0 и ордината
равна 3, то А(_; __; __).
3
5------------------------------------------------------------
Чему равна аппликата точки А, лежащей на: а) оси ординат; б) оси
Ох; в) координатной плоскости Оху!
Ответ, а)___; б) __; в)_
6------------------------------------------------------------
Заполните пропуски:
а)	точка С(0; -3; 0) лежит на оси 
б)	точка Е(2; 0; -1) лежит на________________________________
в)	точка М(0; 0; т) лежит на_________________________________
г)	точка Т(0; t; 0) лежит на_________________________________
7------------------------------------------------------------
Дан вектор а«2/-у-0,5Л, где i, у, k —координатные векторы.
Запишите координаты вектора а.
Решение.
Координатами вектора в данной  координат называ-
ются  х, у. г разложения этого вектора по
 векторам. Для данного вектора а имеем
х = 2, i/ =_, г =, следовательно, а{___; -1; }.
Ответ, а________________
8
На рисунке изображен прямоуголь-
ный параллелепипед с измерениями
АВ = 4, АО = 2 и АО = 6. Найдите коорди-
наты вектора: а) ОА; б) ОМ; в) ОР.
Решение.
Пусть i, j , k — координатные
векторы. Тогда:
а) | k | =_, | ОАI =_, следовательно,
GA = _ Л;
~.	 *
б)|/| =____, |ОМ| =_, следователь-
»	—•
но, ОМ =______j ;
4
в) 111 - , | OP | = , следовательно, OP =
Ответ, a) OA {0; 0; _}; б) OM {}; в) 
9--------------------------------------------------------
Разложите векторы с{-1; 2; -3} и р {3; 0; -5} по координатным век-
торам.
Ответ, с —_i +-; р = 3 
10----------------------------------------------------------
Найдите значения х и г, если а{х; 2; - 1} = Ь {0; 2; г}.
Решение.
По условию задачи векторы а и Ь, следовательно, их со-
ответственные координаты, т. е. х=___________, г =__
Ответ. ______________
11 ---------------------------------------------------------
Докажите, что для любых векторов а{х,; у,; zj и b {х2; у2; z2} век-
тор d + b имеет координаты {х, + х2, yt+y2; Zi + z2}.
Доказательство.
Координаты вектора — это  его разло-
жения по координатным Значит, a-x,i + /' + k,
Ь = х2Г +------+--------
Используя законы сложения векторов и  вектора
на число, получаем
а + b = (x,i ++) + (++ z2k) =
= (xj + x2i) +----------------------------=
что означает: вектор d + b имеет координаты {xt+x2;;}.
5
12--------------------------------------------------------
Найдите координаты вектора 4а, если а {2; 0; -0,5}.
Решение.
Каждая координата произведения вектора на  равна
 соответствующей координаты данного 
на это число.
Поэтому вектор 4а имеет координаты {4*2; ; }, и,
значит, 4а {_; _; -2}.
Ответ. 4а {__; _; ___}.
13--------------------------------------------------------
Найдите координаты вектора р-4а-0,5Ь-с, если а {2; 0;-0,5},
Й-4; 2; 0}, с{0; -3; 2}.
Решение.
Используя правило умножения вектора на , получаем
4а{_;	_}, -0,55	_}, -с{_;	_}.
Следовательно, координаты х, у, z вектора р равны:
х = 8 +   +   = ; у = -------------- - — ; z- ----------= —
Ответ. р{; _______; _}.
14------------------------------------------------------------
Докажите утверждения:
а)	если соответственные координаты двух векторов пропорциональ-
ны, то векторы коллинеарны;
б)	если соответственные координаты двух векторов не пропорцио-
нальны, то векторы не коллинеарны.
Доказательство.
а)	Пусть даны векторы а{х,; zj и b (х2; у2; z2}.
Так как соответственные  векторов пропор-
циональны, то — =——	=k.
Х2 ___ ___
Следовательно, xx = kx2, у} =, г, =, т. е. вектор а имеет
координаты {Ахг; ; }, поэтому а'=_____________Ь. Из определения
6
вектора на число следует, что векторы а и Ь
б)	Предположим, что векторы а и _ коллинеарны и а*0. Тогда
b = ka, где k — некоторое число. Отсюда следует, что координаты век-
торов Ь и а пропорциональны, что противоречит условию задачи.
Следовательно, предположение , т. е. векторы ____________ и b
15--------------------------------------------------
Даны векторы гп{2; 6; -3}, л{0; -3; 1,5}, р{-4; -12; 6}. Установите,
какие из них являются коллинеарными.
Решение.
а)	Сравним отношения соответственных координат векторов тип:
О ~3
=• # —. Итак, абсциссы этих  не пропорциональны
, поэтому векторы тип _______________________________
б)	Сравним  соответственных 
векторов тир: — =	=-0,5. Координаты этих векторов
____________________, значит, векторы т и 
в)	Итак, векторы _ и _ коллинеарны, а вектор _ не коллинеа-
рен вектору _____________________________________, следовательно, он  быть коллинеар-
ным вектору _____________________________________
Ответ. Коллинеарны векторы _ и _
16--------------------------------------------------
Компланарны ли векторы:
а)	а (-6; 4; -12}, 6(1,5; -1; 3}, с{0; 4; -12};
б)	р{-1; 0; 2}, д(-1; 3; 0}, t {2; 3; -6}?
Решение.
а)	Любые три вектора, два из которых коллинеарны, являются
Векторы а и b коллинеарны, так как их
-6	4	„
координаты:	= — =	. Поэтому век-
торы а,_____________________________________ и с_
7
б)	Векторы р и q , так как их 
 не пропорциональны: зу ___у. В соответствии с
компланарности трех , если вектор t
можно разложить по р и q, то векторы р,______________________ и t
Проверим, можно ли вектор t по векторам р
и ___, т. е. существуют ли  х и р, такие, что t = хр +
Запишем это равенство в координатах:
2 = х • (-1)4-
3 =-------+ у • 3
Решим полученную систему уравнений: из третьего уравнения нахо-
дим х =__, а из второго уравнения находим у =___. Подставляя най-
денные значения х и у в первое , получаем верное
Следовательно, пара чисел х-__ и р=1 
решением системы уравнений, т. е. f =-Зр +__ q. Поэтому векторы р,
q и t _______________________
Ответ.
а)	Векторы а, Ь, с ______________________
б)	Векторы р , g, t _____________________
17----------------------------------------------------------
Запишите координаты радиуса-вектора точки Р(2; -1; 3).
Решение.
Радиусом-вектором точки Р является , начало которого
совпадает с  координат, а конец — с точкой —, т. е. век-
тор с координатами {_______; ___; _}.
Ответ. ОР {}.
8
18
Дан вектор ОТ {2; -1; 0}. Запишите координаты точки Т, если точ-
ка О — начало координат.
Решение.
Так как началом вектора ОТ служит координат, то
вектор является точки Т, поэтому
Т(_; _; _).
Ответ. ______________
19----------------------------------------------------
Даны три точки: А(5; -3; 2), В(0; 1; -2), С(2; -2; 0).
а)	Найдите координаты вектора АВ .
б)	Разложите по координатным векторам I, j, k вектор ВС .
Решение.
а)	АВ{0-_; __-(-3); }, т. е. АВ {; ; };
б)	ВС{2-_;-1; }, т. е. ВС {}.
* —•	—•
Следовательно, ВС = 21 - j +
Ответ.
а)		
б)		
20------------------------------------------------------------
Даны точки Р(0; 1;-4), ЛТ(-2; — 1; 0), Е(3; 5; 0), С(-1; 0;-2),
Т(1; 3; 4).
а)	Лежит ли точка С на прямой РМ?
б)	Лежит ли точка Е на прямой СМ2
в)	Равны ли векторы РМ и ЕС ?
г)	Равны ли векторы РМ и ЕТ?
Решение.
а)	Если векторы РМ и МС коллинеарны, то точки Р, М и С
 на одной прямой. РМ {-2-0; ; }, т. е.
РМ{	;_____; 4}. МС{; 0-(-1); }, т. е. МС {}.
2 Бутузов	р
Так как РМ =  МС, то векторы РМ и МС,
следовательно, точки Р, М и С на одной прямой.
б)	Выясним, являются ли коллинеарными СМ и СЕ:
СМ {	; ___; __}, СЕ {__; __; __}, следовательно, векторы СМ и СЕ
___________________________ Значит, точки С, М и Е 
на одной прямой, иначе векторы СМ и СЕ были бы 
в)	Найдем координаты векторов РМ и ЕС: РМ{-2; ________; ____},
ЕС {_____; __; -2}. Следовательно, РМ ЕС .
г)	РМ{_;____;_____}, ЕТ{__;____;____}, следовательно, РМ ЕТ.
Ответ.
а)	Точка С на прямой РМ;
б)	точка Е  на прямой 
в)	РМ_ЕС;
г)	РМ—ЕТ.
21 --------------------------------------------------------
Какие из точек А(2; -1; -3), В(5; -3; -3), С(1; -1; -1), Е(2; -2; -1),
Н(2; 1; -9) лежат в одной плоскости?
Решение.
Если векторы АВ , АС и АЕ компланарны, то точки А, В, __ и Е
 в одной плоскости, а если не компланарны, то точки А,
В, __ и в одной 
1) Найдем координаты этих векторов: АВ {3; _;_}, АС {_; 0;_
АЕ {__; __; 2}. Три вектора АВ , АС и АЕ компланарны, если один
из них разложить по двум другим, т. е. если существуют
 х и у, такие, что АВ =+ уАЕ . Запишем это равен-
ство в координатах:
3 = -1х +_у
-2 =_________
0=__________
10
Из двух первых уравнений системы получаем х = и «/ =
Подставим эти значения в третье уравнение: 0 = -3*2 +  Это
равенство неверно, поэтому векторы АВ ,  и АЕ
, и, значит, точки А, В, С и-----------------в одной
плоскости.
2) Выясним, компланарны ли векторы АВ , АС и АН: АВ {3; -2;_},
АС {_; 0; 2}, АН{_; _; _
3=-х+
-2 =__________
Из двух первых  системы получаем х= _______________________ и
у=____. Подставим эти значения в третье уравнение: ___________=
=. Последнее равенство , поэтому векто-
ры АВ , АС и  , и, следовательно, точ-
ки А, В, С и _  в одной плоскости.
Ответ. В одной плоскости лежат точки 
22----------------------------------------------
Точки А(3; 0; -2), В(0; -3; 1) и 0(1; -2; 0) являются вершинами
параллелограмма ABCD. Найдите координаты точки пересечения его
диагоналей.
Решение.
Точка пересечения диагоналей параллелограмма является
 каждой из диагоналей, поэтому достаточно найти
координаты середины АС:
х = | (3 +-)=-; у--------------; г ==___________
£
Ответ. (___; ___; __).
23-----------------------------------------------------------
Точки М(7; 7; 11), А(0; 8; 1), В(6; 0; 1) и С(14; 6; 1) являются верши-
нами правильной четырехугольной пирамиды MABCD. Найдите высо-
ту, апофему и площадь боковой поверхности пирамиды.
11
Решение.
1)	Высота правильной пирамиды про-
ходит через  ее основания.
Основанием правильной четырехуголь-
ной  служит 
Его центр совпадает с точкой пересечения
, которая является
 каждой из диагона-
лей квадрата.
Найдем координаты точки Н — середины АС:
х«у(14+____) =_; </ ==_____________; z ==____________. Итак,
Н(7; _; _).
Вычислим высоту МН пирамиды:
МН = ^(7-	)* + (	)’+	= V =
2)	Апофема правильной пирамиды — это отрезок, соединяющий
 пирамиды с  стороны основания. Най-
дем координаты точки Р — середины АВ основания:
х = у(О +_)-_; </=; г =. Итак,
Р(). Следовательно, МР= ^/(3-	)2 +	=
== _ \ 5.
3)	Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна
 произведения  основания и апофе-
мы пирамиды. Найдем сторону АВ  пирамиды:
АВ - у	- -
Вычислим площадь боковой  пирамиды:
S.1-------- .------.----------
Ответ.
Высота пирамиды равна ______ Апофема пирамиды равна 
Площадь боковой поверхности пирамиды равна 
12
24-------------------------------------------------------
Докажите, что треугольник АВС, где А(-5; 5; 1), В(-4; 3; 0),
С(-5; 3; 1), является прямоугольным.
Доказательство.
Проверим, выполняется ли для данного треугольника условие тео-
ремы, теореме Пифагора. Найдем квадраты  тре-
угольника: АВ2 = (-4 -( ))2 + ()2 += 1*+___________+ = 
АС2 =______________________________________________________
ВС2 =______________________________________________________
Так как АС2 + ВС2 =, то по теореме, обратной теореме ,
треугольник АВС прямоугольным, причем Z. _____________ =90°.
Скалярное произведение векторов
25
Отрезок МН — высота правильного
тетраэдра МАВС с ребром, равным 2 см.
Вычислите скалярное произведение век-
торов: а) АВ и АС; б) АВ и ВС; в) ВС
и АС; г) АВ и ОВ; д) АВ и СМ; е) МН
и АВ.
Решение.
Все грани правильного тетраэдра —
______________________ треугольники,
поэтому каждый из углов в этих
треугольниках равен 
а)	Векторы АВ и АС отложены от
ВАС, т. е. ABAC
-4 ____-____
 точки, поэтому угол
между векторами АВ и  равен углу
Отсюда получаем АВ • АС = 2 • _ • cos
б)	Отложим от точки В вектор ВАХ=АВ (выполните построение на
рисунке). Тогда угол между векторами АВ и ВС будет равен углу
Так как углы АХВС и АВС , то ААХВС =
13
= 180°-—____________ Поэтому АВВС =. Следовательно,
АВ • ВС =_•_• cos==
в)	Отложим от точки С векторы СВ2 = ВС и СА2=АС (выполните по-
строение на рисунке). Угол между векторами ВС и АС равен углу
Так как углы А2СВ2 и АС В — ,
► ♦
то Z-A2CB2 = /-__=. Следовательно, АС • ВС =  • х
х=__________
г)	Векторы АВ и О В , поэтому угол между
ними равен__Следовательно, АВ • ОВ=
д)	Так как отрезок МН является  правильного те-
траэдра, то точка Н — основания тетраэдра, поэтому точка Н
лежит на  треугольника АВС, и, значит, COJ_______ По-
скольку прямая СО является проекцией прямой  на плоскость
АВС и СО J, то по теореме о трех 
CM J. Следовательно, АВ СМ =Поэтому АВ -СМ =
е)	Так как отрезок МН —  тетраэдра, то МН___________________АВС.
Следовательно, по определению прямой, 
плоскости, прямая МН  к 
прямой этой плоскости, в том числе МН_____АВ. Поэтому МН АВ =_______
Ответ, а) ___; б) ____; в) ___; г) ____; д) ___; е) ___
26
Даны векторы а {4; 0; 0} и б{1; 0; -\3}. Найдите: a) ab; б) Ьа; в) а2;
г) Ift'l; д) ab.
Решение.
а)	а b' = 4 •_++=_____
б)	По  закону скалярного 
 векторов имеем Ьа ==_
в)	а2 = а •___= 4 •_++•=
14
г)	Idl-у , где b2 = I2 ++ ()2 —___________________ Следовательно,
~	14-—+--------+------1	___
д)	cos а о - --- -------------=-----=	. Следовательно, ab =_
\42 +_+____ -2	4 —	---
27----------------------------------------------------------
При каком значении х векторы d{x; -1; 0} и Ь{2; 6; -3} перпенди-
кулярны?
Решение.
Поскольку а__0 и Ь____0, то aJ__тогда и только тогда, когда
afe =   Из условия ab=  получаем х- + ( ) • 6+=0.
Решим полученное уравнение: 2х-_-0; х —__
Ответ. ______
28
Точки А(ОЦО; 0), В (3; 0; 0), 0(0; 4; 0)
и А,(0; 0; 5\3) — вершины прямоуголь-
ного параллелепипеда ABCDAiBtCjD,.
 > » » *
Найдите: а) AAt *А(О; б) СА • CAt; в) ко-
синус угла <р между прямыми AtD и АС;
г) синус угла а между прямой СА} и
плоскостью АВС; д) длину диагонали
А,С.
Решение.
а)	Найдем координаты 
АА, и А(О : ^Ai {_; ____; }.
аТБ{— ; _ ; ---------}.
Следовательно, АА, • AXD= 0 • _ +
+-------- +------- (-5\3) =------
б)	СА = - АС = - (АВ +), СА1=-А/? = -(А|в’ + +А^А) =
= -(АВ +-), где АВ {},	А0{},
АА,{}. Значит, СА{-3; ; 0}, CAt{ ; -4; }.
Отсюда получаем СА • СА, = 3 •++ =
15
в)	Направляющими векторами прямых AXD и АС служат векто-
ры AXD{__; __; } и АС{________; _; _}. Поэтому
СОЗФ-	1------И----Jly
V	у1 ' V_ +_+ _ VM------
г)	Синус угла а между прямой СА} и  АВС равен
модулю  угла Р между направляющим 
САХ прямой САХ и вектором ААИ перпендикулярным плоскости 
Так как САХ {}, АА} {}, то sin а = I I =
д)	Длина отрезка АХС равна  вектора СА19 т. е. А}С =
“IСАу । - V()2 -= \ (~ 3)2+-
Ответ, а) ; б) ; в) ; г) ; д) 
В параллелепипеде ABCDA}BXC}DX все
грани — ромбы со стороной а. Все углы
граней при вершине А равны 60°.
Найдите длину диагонали АСХ.
Решение.
По правилу параллелепипеда получа-
ем АСХ=ААХ ++________________ Так как
1-ЙА найдем сначала АСХ:
АС*= (+ АВ +)2 =
= (АА,+ (-----+------))2 =
--*2	-
= АА} + 2АА, (+) + (+)2 =
= АА* ++ AD2 + 2(ААХ • АВ ++) =
= а2 + а2 +2 (а2 cos 60° + +) =
-_а2 + 2 3_ • |»6
Итак, АСХ2 =_а2, следовательно, АСХ =
Ответ. ____________
16
30
В тетраэдре ABCD Z_ABC = /LABD =
= £CBD = 90°, AB = BD = 2, BC=1. Вы-
числите синус угла между прямой, про-
ходящей через середины ребер AD и ВС
и плоскостью грани ABD. (Задача 470а
учебника.)
Решение.
По условию Z.ABC = Z=
= Z_CBD =__Поэтому можно ввести
прямоугольную систему координат с на-
чалом в точке В так, как показано на
рисунке. Тогда А(2; 0; _), С(0; _; 0),
0(0;
1) Пусть точка К — середина ребра
AD, точка Р — середина  ВС.
Тогда К(1; _ ; _ ), Р(_ ; 0,5; _ ).
2) Пусть ф — угол между прямой КР
и  грани ABD. Синус угла ф равен модулю
 угла Р между  вектором КР
прямой КР и вектором ВС,  к плоскости ABD.
Так как КР{-1; ; }, ВС{0; _; _то
81Пф = 1сО8 1 =
1-1 0 + 0,5  + (—) !
Ответ. _______
3
Движения
31
Найдите координаты точек, в которые переходят точки А(2; -1; 3),
В(2; 0; -3), С(0; -1; 2) при:
а)	центральной симметрии относительно начала координат;
б)	осевой симметрии относительно оси ординат;
в)	зеркальной симметрии относительно плоскости Охг.
Решение.
а)	При центральной  относительно начала
координат точка М(х; у; z) переходит в точку МД-х; ; ).
Следовательно, точка А (2; -1; _) переходит в точку АД___; __; -3),
точка В() — в точку Вх (-2; ___________; ___), точка С() —
в точку СД).
б)	При осевой  относительно  ор-
динат точка Af(x; у\ z) переходит в точку М2(__; _; -г). Следова-
тельно, точка А( ; -1; 3) переходит в точку А2(-2;  ;  ), точка
В(2;  ;  ) — в точку В2( ;  ; 3), точка С() — в точку
С2(_; -1; _).
в)	При  симметрии относительно  Oxz
точка Л/(х; «/; г) переходит в точку Af3(x;_; _). Следовательно, точ-
ка А(2;  ; 3) переходит в точку А3( ; 1;  ), точка В(  ; 0; -3) —
в точку В3(2;  ;  ), точка С() — в точку С3( ;  ;  ).
Ответ.
а)	АД----------), ВД-----------), СД----------);
б)	АД----------), -----------------------------
в)	--------------------------------------------
32
Докажите, что при центральной сим-
метрии прямая, не проходящая через
центр симметрии, отображается на па-
раллельную ей прямую. (Задача 479а
учебника.)
Доказательство.
1)	Рассмотрим центральную 
_____________________ с центром О
и произвольную прямую АВ, не прохо-
дящую через точку О. Через прямую АВ
и  О проходит , и притом только
___________ Обозначим ее буквой а. Точки А и В переходят при дан-
ной симметрии в  Aj и Ви также лежащие
в  а. Поэтому и вся прямая АХВ{ 
в плоскости а.
18
2)	Докажем, что АХВХII  Так как ДОАВ&ОА}ВХ (по двум
 и  между ними: ОА =, = ОВИ
ZAOB = Z.______), то ДАВО =. Значит, равны 
лежащие углы при пересечении прямых АВ и  секущей 
Поэтому АВ АХВХ.
3)	Осталось доказать, что при симметрии с центром О прямая АВ
 на прямую ____________________ Для этого нужно доказать, что
при данной симметрии любая  М прямой АВ переходит
в некоторую точку прямой , и, обратно, произвольная точка N,
прямой АХВХ симметрична какой-то точке  АВ.
Рассмотрим произвольную точку М на  АВ, отличную
от точки А, и проведем прямую МО. Она пересекает АХВХ
в точке Мх. Тогда Z_MOA = А___________ (вертикальные углы),
Z_MAO = Z_ ( при пересечении
 прямых  и АХВХ секущей ).
Кроме того, АО= (точки А и Ах  относи-
тельно точки О). Следовательно, ДЛ/АО = Д_______ (по стороне и
________________________________). Отсюда следует, что МО =
=, и, значит, точка М при симметрии с центром О переходит
в точку , лежащую на прямой АХВХ.
Аналогично доказывается, что любая точка Nx прямой АХВХ симме-
трична некоторой  N прямой АВ.
33
Докажите, что при движении прямая
отображается на прямую. (Задача 486а
учебника.)
Доказательство.
Рассмотрим произвольную прямую а.
Пусть точки А и В, лежащие на прямой
__, при данном движении f переходят в
точки Ах и Вх. Докажем, что при этом
прямая а отображается на 
АХВХ9 т. е.:
а)	каждая точка М прямой а перехо-
дит в какую-то  прямой АХВХ;
б)	в каждую точку Мх прямой АХВХ
	 какая-то точка
м,
В.
б)
прямой __
19
Возьмем произвольную точку М на  а. Пусть для оп-
ределенности точка М лежит между А и В (при другом рас-
положении точек доказательство аналогично). Тогда AM + МВ =
Пусть при данном движении f точка М переходит в какую-то
 Мх. Поскольку f — движение, то АХМХ_______________AM. М}В} =
=, АХВХ =  Следовательно, АХМХ + М ХВХ = АМ +=
=------
Итак, АХМХ +=АХВ^ т. е. точка Мх лежит  точ-
ками  Вх (в противном случае согласно неравенству
______________________ АХМХ ___ МХВХ>АХВХ).
б) Аналогично можно доказать, что в  точку Мх
прямой A]Bi переходит какая-то  а.
Таким образом, при движении прямая 
на прямую.
34
Докажите, что при движении
плоскость отображается на плоскость.
(Задача 4866 учебника.)
Доказательство.
Возьмем произвольную плоскость а
и проведем в ней две пересекающиеся
прямые а и b (О — точка пересечения).
При данном движении  а
и Ь переходят в некоторые 
ах и Ьх. точка О — в какую-то точку Ох.
Так как Об____и О____Ь. то Ох____ах
и Охе__, следовательно, прямые ах и Ьх
_______________________ в точке Ох.
Через пересекающиеся прямые ах и _ проходит плоскость, и при-
том  (обозначим ее оц). Докажем, что при данном
движении  а отображается на плоскость а.
20
Для этого надо доказать, что:
а)	произвольная точка М плоскости а переходит в некоторую
 Мх плоскости __________
б)	в любую точку плоскости 0ц переходит некоторая 
	 а.
а)	Через произвольную точку М плоскости а проведем прямую, пе-
ресекающую  а и ________________ в каких-то точках А и В. При дан-
ном движении точка А  в некоторую  Ах
прямой ах, точка В — в  Вх прямой _____________, а прямая АВ — в
прямую При этом точка М прямой АВ переходит в некоторую
 МХ9 лежащую на АХВХ. Так как Ах____________________ах и
Вх __ аи то прямая АХВХ лежит в , в частности
Л/, — eq.
б)	Аналогично доказывается, что в любую точку 
а, переходит  точка плоскости ______________
Таким образом, при движении плоскость 
на плоскость.
Глава VI
Цилиндр, конус и шар
Цилиндр
35
Диагональ осевого сечения цилиндра
равна 48 см. Угол между этой диагона-
лью и образующей цилиндра равен 60°.
Найдите:
а)	высоту цилиндра;
б)	радиус цилиндра;
в)	площадь боковой поверхности ци-
линдра.
Решение.
Осевое сечение цилиндра представля-
ет собой , сторо-
ны ВС и AD которого являются
_____________________ цилиндра, а
две другие стороны — 
оснований цилиндра. По условию задачи
BD= см, <LDBC=
а)	Высота цилиндра равна его , а ВС =
= BD • cos=_______ •	=____ (см), т. е. высота 
равна  см.
б)	Радиус цилиндра — это  основания цилиндра:
OC=|DC-|BD----------------1 •---- •£---------- (см).
в)	Площадь боковой  цилиндра равна произве-
дению  окружности  цилиндра
на  цилиндра, т. е. 86ок = 2л____________й = ’2\3-________—
=\ Зл (см2).
Ответ.
а)  см; б)  см; в)  см2.
22
36
Концы отрезка ВС лежат на окруж-
ностях оснований цилиндра. Радиус ци-
линдра равен 10 дм, ВС =13 дм, а рас-
стояние между прямой ВС и осью ци-
линдра равно 8 дм. Найдите высоту
цилиндра. (Задача 527а учебника.)
Решение.
1)	Проведем образующуюся цилинд-
ра (выполните построение на рисунке).
Так как OOJIAB, то прямая ООХ
____________________ плоскости АВС
(по  параллельности
прямой и плоскости).
2)	Проведем перпендикуляр ОК к
прямой АС (выполните построение на
рисунке). Так как ОК лежит в плоскости АОС
основания
, OOj _ АВС, то ОО, _ ОК.
Итак, ООХ __АВ и ООХ ___ОК, следовательно, ОК ___ . Таким обра-
зом, прямая ОК перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АС
и  плоскости  , следовательно, ОК ______________АВС (по 
____________________________________ прямой и плоскости). Поэтому
расстояние между прямыми АВ и ООХ равно , т. е. ОК =дм.
3)	По условию задачи АО = дм (радиус ).
В прямоугольном треугольнике АКО катет АК=-\АО2 -=
= \-82= (дм), поэтому АС = дм.
4)	В треугольнике АВС катет АВ = \-АС2 = \132-=
=	 (дм).
Ответ.
ДМ.
37-----------------------------------------------------------
Через образующую ААХ цилиндра проведены две секущие плоскости,
одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение пло-
щадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними
равен ф. (Задача 532 учебника.)
23
Решен ие.
На рисунке изображены образующая
ААХ и секущие  СААХСХ
и ВААХВХ. причем плоскость ВААХВХ
проходит через ось 
1) Образующая ААХ 
 к плоскости АВС ос-
нования цилиндра, следовательно,
ААХ__АВ и ААХ___АС. Поэтому /.ВАС —
________________ угол двугранного
угла, образованного секущими 
________________. По условию
задачи /ВАС =___
2) Так как плоскость ВААХВХ проходит через  цилиндра, то
отрезок АВ —  основания, и поэтому Z_ACB = 90°.
В прямоугольном треугольнике АВС катет АС =созф.
3)
^СЛЛ1С1 _ АС •	АС
SBAAXBX ' 
Ответ. _________
38
Плоскость, параллельная оси цилин-
дра, отсекает от окружности основания
дугу в 120°. Найдите площадь сечения,
если высота цилиндра равна Л, а рассто-
яние между осью цилиндра и секущей
плоскостью равно d. (Задача 534 учеб-
ника.)
Решение.
Искомое сечение представляет собой
_________________________ АВВХАХ
(закончите построение на рисунке).
1)	По условию задачи АА1 =,
^АСВ =Проведем ОН ±АВ,
тогда ОН — ____________________
к плоскости сечения. По условию зада-
чи ОН = _
24
2)	В равнобедренном АОВ отрезок ОН — вы-
сота и, следовательно,  и 
Поэтому АВ = 2, а так как ZAOB=, то ZLAOH =
В прямоугольном треугольнике АОН АН = ОН •=_______________
3)	Итак, ДВ=AH = 2d\~, АА} = 9 следовательно,
&лвв\А\ =----*	= 2 \ 3----
Ответ. dh.
39---------------------------------------------------------
Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь
осевого сечения цилиндра. (Задача 538 учебника.)
Решение.
Пусть Л — высота цилиндра, г — его радиус. По условию задачи
5бок= -’
2лг_ = S.	(1)
Осевым сечением цилиндра является  со
сторонами 2г и___Поэтому площадь осевого сечения равна • Л.
Учитывая равенство (1), получаем 2гЛ=—.
Ответ. _________
40
Найдите площадь поверхности (внеш-
ней и внутренней) шляпы, размеры ко-
торой (в см) указаны на рисунке.
Решение.
Если дно шляпы опустить на плос-
кость ее полей, то получим круг радиу-
са г« см.
Площадь этого круга SKp = n в (см2).
Площадь боковой поверхности цилиндрической части вычисля-
ем по формуле 5бок =г,Л, где г,= см, = 10 см.
Следовательно, 5^ =10- 10 = (см2).
Итак, вшляпы = 2(5кр+-----)=----------- см2.
Ответ.  см2.
3 Бутузов
25
41
Угол между диагоналями развертки
боковой поверхности цилиндра равен 60°,
диагональ равна 6 м. Найдите площадь
полной поверхности цилиндра.
Решение.
На рисунке изображена развертка бо-
ковой  цилинд-
ра — прямоугольник AA}BtB, где AAt и
ВВХ —
цилинд-
ра. По условию zLAOA1 =, АВ,=
1)	Так как в прямоугольнике AAtBtB АВ}AtB, АО ОВ} и
AtO__ОВ, то треугольник АОА} — ______________________ Следовательно,
его высота ОН является  и 
Поэтому АН =____AAlt Z.AOH =, АН = АО • sin=____________• =- —__,
НО = АО  = _ •=, AAt = - АН =,
АВ = _ЯО =
2)	Пусть г—радиус цилиндра, тогда АВ=г, т. е. 2пг =
=, откуда г = ——
3)	^цил ~ ^бок + 2--------, где S6oK — АВ •----------
-------- (м2), SXB = n------=-------- (м2).
Итак, 5ЦМЛ =+--------------------------------- (м2).
Ответ. ____________________
42
Цилиндр получен вращением прямо-
угольника со сторонами а и 2а вокруг
большей стороны. Найдите площадь:
а)	осевого сечения цилиндра;
б)	боковой поверхности цилиндра.
Решение.
Пусть г — радиус цилиндра, h — его
высота. По условию г=__, h=*
a)	S„, = 2а •-----= 4-----
б)	Seoit = 2л — h =---- • а •-------
=_____я_____
Ответ, а) ; б) 
26
Вершины А и В прямоугольника
ABCD лежат на окружности одного из
оснований цилиндра, а вершины С
и D — на окружности другого основа-
ния. Вычислите радиус цилиндра, если
его образующая равна а, АВ = а, а угол
между прямой ВС и плоскостью цилинд-
ра равен 60°. (Задача 602 учебника.)
Решение.
1)	Пусть ВВХ — образующая цилинд-
ра, тогда отрезок ВВХ — перпендикуляр
к  основания и по-
этому прямая ВХС — проекция прямой
 на плоскость _____________________
цилиндра. Следовательно, угол между
 ВС и плоскостью  цилиндра
равен углу __________ По условию Z_BCBX =, ВВХ =___________, поэтому
о г»___________
2)	Так как по условию BCJ, то BjCJ(по обратной
теореме ), т. е. ZBjCD»
Поэтому отрезок BXD — основания цилиндра.
3)	В прямоугольном треугольнике BXCD CD ==а, ВХС =,
следовательно, BXD = \CD2 += V+=. Поэтому
радиус цилиндра равен 
Ответ. 
44------------------------------------------------------
Найдите радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой
поверхности, если периметр его осевого сечения равен 12 м.
Решение.
Пусть радиус цилиндра равен г, тогда высота цилиндра равна _- 2г,
-----г(6-2_ ) = 4л(-г2 +----).
Квадратный двучлен + Зг имеет корни г=______________ и г =_
Поэтому имеет наибольшее значение, если г= м.
Ответ. _______
27
45
В цилиндр вписана треугольная
призма (основания призмы вписаны
в основания цилиндра), каждое ребро
которой равно а. Найдите площадь боко-
вой поверхности цилиндра.
Решение.
Высота Л данного цилиндра равна _,
радиус г цилиндра равен 
окружности, описанной около правиль-
ного ____________
ной __, т. е. г = а
со сторо-
^бок — 2я--------
а\3
~ 3
а2.
Ответ. ____________
Конус
Радиус основания конуса равен 2 м,
а осевое сечение — прямоугольный тре-
угольник. Найдите площадь сечения,
проведенного через две образующие,
угол между которыми равен 30°.
Решение.
По условию задачи треугольник АРВ —
________________________, а так как
РА =, то /LPAO = 45°. В прямо-
угольном треугольнике РАО катет РА = А
=----—----=___V2 м.
СОЗ-----
Пусть ^АРС = 30°, тогда сечение,
проведенное через образующие РА и
с
28
, является  треугольником, в
котором PC -= 2  м. Поэтому SAPC — j РА* 2 3 4 5’=
= |(--------)2-	— (М2).
Ответ. ________
47
Высота конуса равна 10 см. Найдите
площадь сечения, проходящего через
вершину конуса и хорду основания, стя-
гивающую дугу в 60°, если плоскость се-
чения образует с плоскостью основания
конуса угол 45°. (Задача 5556 учебника.)
Решение.
1) Так как хорда АВ стягивает дугу
в 60°, то АВ=ОА=
2) Проведем ОС перпендикулярно к
АВ. Тогда АВ J(по теореме о трех
_______________________ ) и Z.MCO —
 угол двугранного
угла с ребром По условию Z_MCO=
3) В треугольнике МСО СО == см, МС=см.
4) Из треугольника АОС получаем ОА= со> оу * см. Поэтому
АВ=	см.
5) SUAB- |- МС =	’-=(см2).
Ответ. ______________
48------------------------------------------------------------
Развертка боковой поверхности конуса — сектор с радиусом 4 м и
дугой в 90°. Найдите радиус основания и высоту конуса.
29
Решение.
Обозначим радиус основания данного
 буквой г, высоту — бук-
вой Л, образующую — буквой I. По усло-
вию / =_м, площадь развертки (секто-
ра) равна •=_____________л м2. Поэто-
му S6olt = n_/ = 4л, откуда получаем
г=___м.
Из прямоугольного треугольника РОА
находим: Л = \/l2-	= \=
= V-----(м).
Ответ, г =; Л =
49
Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и прилежа-
щим углом 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Решение.
Осевым сечением конуса является
_________________________ треуголь-
ник. По условию задачи один из углов
этого треугольника равен , сле-
довательно, это угол, противолежащий
стороне треугольника, а
потому боковые стороны треугольника
равны __см, т. е. образующая I конуса
равна __ см. Из прямоугольного треугольника РОА находим радиус
\з
основания конуса: г = 1 • =__________—=(см). Таким обра-
зом, 5^ = л=_ -4\3 _=(см2), 5^ = £*,,< +-
=+ ()2л = 16()л (см2).
Ответ. ________________
30
50
Образующая конуса наклонена к пло-
скости основания под углом ф. В основа-
ние конуса вписан треугольник, у кото-
рого одна сторона равна а, а противоле-
жащий угол равен а. Найдите площадь
полной поверхности конуса. (Задача 564
учебника.)
Решение.
1) Находим радиус основания кону-
са: г= -.
2 sin а
2) Из прямоугольного треугольника
РОА находим образующую: 1 = РА = —
________а_______
2 sin а *_____
1
СО8 ф
Ответ. ____________________
51 ----------------------------------------------------------
Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна т, а
угол при основании равен <р, вращается вокруг основания. Найдите пло-
щадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.
(Задача 566 учебника.)
31
Решение.
1) Тело, полученное при вращении
равнобедренного треугольника АВС во-
круг основания АС, состоит из двух
с общим основанием,
радиусом которого служит отрезок
Искомая площадь равна удвоен-
ной площади  поверхности
конуса: S = =ОВ •
2) В прямоугольном треугольни-
ке АОВ АВ = ,ОВ =  • sin <р. Следо-
вательно, S =• т •=
=sin ф.
Ответ. ______________
52
Высота конуса равна 4 см, а радиус
основания равен 3 см. Вычислите пло-
щадь полной поверхности правильной
шестиугольной пирамиды, вписанной
в конус. (Задача 617в учебника.)
Решение.
1)	Пирамида вписана в конус, если
ее основание вписано в основание
, а вершина пирамиды
совпадает с конуса.
Пусть правильная шестиугольная
 PABCDEF вписана
в  с высотой РО. По усло-
вию РО =___см, ОА=ОВ=_____см.
2)	Сторона правильного шестиугольника равна радиусу
_____________________ около него
поэтому
АВ ==_____________см.
32
Площадь основания пирамиды S^, в _раз больше площади
V4
 АОВ, т. е. S<>CH = 6 = _ ОА2 • — =
==(см2).
3)	Из прямоугольного  РОА находим:
РА = \РО2 +	(см).
4)	Проведем апофему РК пирамиды. В прямоугольном треугольни-
ке АРК = _ АВ = _ см, РА =__ см. Поэтому РУ = У -ДУ2 =
= У25- —- =-----(см).
5)	Площадь боковой поверхности S&OK пирамиды в _раз больше
площади грани РАВ, поэтому
= 6- 6 • _ АВ -=(см2),
S„p =	=-------------= 4,5 (\ 91 +-) (см2).
Ответ. ___________________
53
Радиусы оснований усеченного кону-
са равны Я и г, где R> г, а площадь
осевого сечения равна (^-г^ХЗ. Найди-
те угол а между образующей и плоско-
стью основания конуса.
Решение.
Изобразим данный усеченный конус
и построим его осевое сечение ABCD,
которое является _________________
трапецией. По условию задачи ОХА =__,
ОВ = _
1)	Проведем АНИООр Тогда АН — перпендикуляр к
основания конуса, и, следовательно, ААВН=а — угол между
АВ и основания.
33
2)	В прямоугольном треугольнике АВН АН = tg а. Так как
НВ = ОВ-=- ДО, = Я-_, то АН=(_____-__) tg а.
3)	S^- ВС+~-  АН = * 1 2 3*+Т-(_)tga-(B2-_)-
& &
4)	По условию задачи SXBCD = ()\3. Следовательно, tga =
=, откуда a =
Ответ.
54
В трапеции ABCD Z.A = 90°, Z.D = 45°,
ВС = 4 см, С£> = 3\2 см. Вычислите пло-
щади боковой и полной поверхностей
усеченного конуса, образованного вра-
щением данной трапеции вокруг сторо-
ны АВ. (Задача 571 учебника.)
Решение.
При вращении данной трапеции по-
лучается конус.
1) Проведем СНА_______Тогда HD =
 - cos 45° = 3\2 •= _ см, AD=AH+=+ HD =
=___ CM.
2) S6oit = 7t(BC +----)•-------(_ + 7) • 3\2--------------7г\СГ(см2).
3) 5ПОЛИ = S&OK + nBC2 +------------------=----------------4----------------4- 49л =
= (4-65) л (CM2).
Ответ.
_________см2 и ____________________
34
55---------------------------------------------------------
В усеченный конус вписана правильная усеченная треугольная
пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченного
конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а
высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.
(Задача 631а учебника.)
Решение.
Пусть правильная усеченная пирамида ABCAtBtCi вписана в усечен-
ный конус с осью ОО1 (см. рис. а). По условию задачи ОА =_см,
OjA, =_ см, ООХ =__см.
1) Радиус ОА окружности, описанной около правильного
АВС, выражается через сторону АВ формулой
ОА = АВ — , откуда АВ=ОА V_ = (см), 8ЛЖ=АВ2- — =(см2).
3
Аналогично получаем А{ВХ «см, SX1B1C1= А(В(2 •=
=-------- (см2).
2) Проведем AHXOjAp Тогда АН =ОО} =___см, НА^О^-=
—-ОА =-_________________(см). В прямоугольном треугольнике АНАХ
АА, = \АН* 2 +	= V	 fe==^xA /'	!	!\ Л	•	' \ /1	1	1	\ х	1-.\А /<вк	г~—ч-^-ДА1 С, а)	=	 (см). В	А /у	п\ Вх М	К А, б)
35
3)	Боковая грань ААХВХВ усеченной пирамиды (см. рис. б) является
трапецией, основания которой равны см
и см, а боковая сторона равна________см.
Проведем в трапеции высоты АК и ВМ. Тогда КАХ«~ (-АВ)-
=\3 см, АК = \ АА2 ——V	— (см).
4)	Площадь боковой поверхности S6oK усеченной пирамиды в ______ раза
больше площади грани, т. е. S6oK = в =см2.
5)	5ПОЛИ = SABC 4- SXjBiCi4--— 3 V3 4--------------4--------------=
-	_ \ 73) (см2).
Ответ. ______________________
Сфера
56
Точки А и В лежат на сфере с цент-
ром О^АВ. а точка М лежит на отрез-
ке АВ. Докажите, что:
а)	если М — середина отрезка АВ, то
OMLAB;
б)	если ОМ LAB. то М — середина
отрезка АВ.
(Задача 573 учебника.)
Доказательство.
а) Пусть точка М — середина отрез-
ка АВ, R — радиус сферы. Д АОВ рав-
нобедренный, так как = Д,
поэтому медиана ОМ является также
__________________________, т. е.
АВ.
36
б)	Пусть ОМ .LAB. Треугольник АОВ равнобедренный, и ОМ — его
высота по, следовательно, ОМ — его,
т. е. М —___________________
57--------------------------------------------
Точки А и В лежат на сфере с центром О, радиус которой равен 15 см.
Найдите расстояние от центра сферы до прямой АВ, если 7_АОВ =
- arccos -f-.
О
Решение.
Пусть М — середина отрезка АВ (см. рис. к задаче 56), тогда
ОМJ(задача 56), и, следовательно, ОМ — искомое
________Треугольник ОМВ
прямоугольный (ZAf =), поэтому ОМ = ОВ • cos Z, /LBOM =
= Z.____По условию cos ZAOB= 4, следовательно, cos ZAOB =
2	э	2
= (так как cos2 =). Итак, ОМ =
=--------------- (см).
Ответ. см.
58--------------------------------------------
Напишите уравнение сферы с центром в точке Р(-1; 3; 5) и радиу-
9
сом v.
4
Решение.
(х----)2 + (у-У + (г--У  ---
59--------------------------------------------
Напишите уравнение сферы с центром в точке Р(2; 3; -3), проходя-
щей через точку М(2; -1; 1).
Решение.
R = PM =Уравнение сферы
имеет вид (х-_У + (у-_)* + (* +_)2 =
37
60---------------------------------------------------
Напишите уравнение сферы с диаметром MN, если Л/(-3; 5; 0),
N(l; -7; -2).
Решение.
Пусть С(х0; Уо> го) — центр искомой сферы. Так как точка С — сере-
дина отрезка MN, то х0 —------—; у0 -=;
г0 ==; С (). Радиус сферы равен
отрезку СМ, поэтому
Я = \()2 + ()2 + ()2 =
Итак, уравнение сферы имеет вид
(х----)2 + (у---)2 + (г-)2------
61 ------------------------------------------------------------
Найдите координаты центра С и радиус R сферы, заданной уравне-
нием:
а)	x2+y2 + z2~ £;
б)	(x + 2)2 + (j/-4)2 + z2 = 13;
в)	(х-3)2 + (у-2)2 + (г+8)2 = 25.
Решение.
а)	С(---------),	Я--------
б)	С(---------),	Я =------
в)	С(---------),	Я =------
62-------------------------------------------------------------
Докажите, что данное уравнение является уравнением сферы, и най-
дите координаты центра и радиус этой сферы:
а)	х2-8х + у2 + г2-16 = 0;
б)	x2-6x + 2y + z2 + y2-10z = 14.
38
Решение.
а)	Уравнение x2-Sx + y2 + z2- 16 = 0 можно записать в виде х2-8х +
+ 16 + у2 + г2 = 32 или (х)2 + (у)2 + (z)2 -, поэто-
му оно является уравнением сферы с центром С() и радиу-
сом /? =
б)	Уравнение х2-6х + 2у + г2 + у2- 10z = 14 можно записать в виде
(x2-6x+9)+(i/2+2y + l)-i-(z2-10z-)=----или (х-----УЧО/'Ь----^-ь
+ (z)2 =, поэтому оно является уравнением сферы с цент-
ром С() и радиусом R =
63-----------------------------------------------------------
Напишите уравнение сферы, радиус которой равен единице,
если известно, что сфера проходит через точки 0(0; 0; 0), А(0; 1; 0),
В(0; 0; -1).
Решение.
Уравнение сферы имеет вид
(_ -х0)2 + (---------------)2 + (----)2 = Я2 = —
Так как координаты данных точек должны удовлетворять этому
уравнению, то, подставляя их в уравнение, получаем следующую сис-
тему:
*0 + Уо + *о “ 1
«о + (1“!/о)2+ го =1
xg + y$+(-l-z0)a-l
Вычитая из первого уравнения второе, получаем 2у0, т. е.
у0 =, а вычитая из третьего уравнения первое, находим: г0 = --|-.
Подставив найденные значения у0 и z0 в первое уравнение, найдем х0:
х0 =------
Следовательно, уравнение сферы имеет вид (два решения):
(х--------)2 + (!/-----)2 + (z +-----)а-1
и
(X +------)2 + (у  ----)2 + (Z +-----)2 = 
39
64
Шар радиуса 17 см пересечен плоско-
стью, находящейся на расстоянии 8 см
от центра. Найдите площадь сечения.
Решение.
Пусть точка О — центр шара радиу-
са Я = 17 см, а — секущая плоскость и
OOjla. По условию задачи расстояние
ООХ от центра шара до секущей плоско-
сти меньше радиуса шара, поэтому сече-
нием шара плоскостью а является
, площадь которого S =_____г2,
где __— радиус сечения. Возьмем точку М на линии пересечения сфе-
ры и плоскости а, тогда треугольник ООХМ
(ZO, =, ОМ = R =, ООХ =______________________ см), откуда находим:
OjAf = г =---------, Sce4 =---------------
Ответ. см2.
Через середину радиуса шара прове-
дена перпендикулярная к этому радиусу
плоскость. Найдите отношение площади
полученного сечения к площади большо-
го круга.
Решение.
Пусть точка О — центр данного ша-
ра, OB=R — его радиус, точка Ох —
середина радиуса ОВ. Сечение шара пло-
скостью, перпендикулярной к ОВ и про-
ходящей через точку Ои есть ,
радиус которого г =Из 
________________________________ООХА
находим: г2*Сле-
довательно, -	=_____________________
*^6ол кр
Ответ. 
40
Вершины треугольника АВС лежат
на сфере. Найдите радиус сферы, если
расстояние от центра сферы до плоско-
сти треугольника равно \ 26 см, АВ = 7 см,
ВС = 24 см, АС = 25 см.
Решение.
Пусть точки А, В и С лежат на сфере
с центром О. Через точки А, В и С про-
ведем плоскость а, а из точки О — пер-
пендикуляр ОО, к этой плоскости. Тог-
да в сечении сферы плоскостью а получим
_____________________________________с центром в Ot,
а точки А, В и С будут лежать на___________________________ Таким
образом, точка О{ является центром окружности, 
около По условию АС = 25 см, ВС = 24 см,
АВ = 7 см, следовательно, треугольник АВС
(по теореме, обратной : 252=+).
Поэтому АС — диаметр окружности с центром Olt OtA =см.
Так как OOj±a, то ЛАОХО —и Я=АО =
-------(см).
Ответ. Я=
67
Q
Точки М, N и Р лежат на сфере радиуса -=, MN = МР = 3,
Z.NMP = а. На каком расстоянии от центра сферы находится плоскость
MNP2
Решение.
Пусть точки М, N и Р лежат на сфере с центром О, ОО} — перпен-
дикуляр, проведенный из точки О к плоскости MNP (см. рис. а). Сече-
ние сферы плоскостью MNP является с цент-
ром , а точки М, N и Р лежат на
Следовательно, Ot — центр ___________________________________________
около _____________________________
41
Найдем радиус г этой окружности. Так как MN = MP, то треуголь-
ник MNP(см. рис. б), поэтому
NP = _ MN=
С другой стороны, -=2_________(теорема синусов), поэтому r=OtM =
sin а
NP ______________________
а
с°8 g Так как OOtA.MNP, то	AMOiO прямоугольный и 0,0 =
А /	=	з	, /	 =	 =	\cosa. Л a
2сов —
2
Ответ. ___________
68
Все стороны треугольника АВС каса-
ются сферы с центром О. Найдите ради-
ус сферы, если расстояние от ее центра
у'з
до плоскости АВС равно см, АВ = 3 см,
ВС = 5 см, АС =7 см.
Решение.
Пусть М, N и Р — точки касания
сферы со сторонами треугольника АВС,
ООХ — перпендикуляр, проведенный из
42
центра сферы к плоскости АВС. Сечением сферы плоскостью АВС яв-
ляется окружность с центром Olt вписанная в
Найдем радиус этой окружности:
вдвс = \р (р - а)"”(см2).
С другой стороны, SABC=p • г, где р —, аг —
____________________Поэтому 3 =,
откуда г= см.
Так как ОО{±АВС, то треугольник ООХМ
(ZO, = 90°, OOj = см, ОХМ = см), поэтому R = OM =
--------=----- =-- (см).
Ответ.  см.
69
Вершины прямоугольного треуголь-
ника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат
на сфере.
а)	Докажите, что если радиус сферы
равен 1,5 см, то центр сферы лежит в
плоскости треугольника.
б)	Найдите расстояние от центра сфе-
ры до плоскости треугольника, если ра-
диус сферы равен 6,5 см. (Задача 620
учебника.)
Решение.	-------------
а)	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна \+=
=__(см), т. е. равна сферы. Поэтому центр сферы яв-
ляется гипотенузы и, следовательно, лежит в плоско-
сти ________________________________
б)	Пусть вершины прямоугольного треугольника АВС с катетами
АС =1,8 см и ВС = 2,4 см лежат на сфере с центром О, ООХ — перпен-
дикуляр, проведенный из точки О к плоскости АВС. Сечение
сферы этой плоскостью является  с центром
43
, а прямоугольный треугольник ABC  в эту
окружность. Следовательно, точка Ох — гипотенузы АВ,
а так как АВ ==—=______________ (см),
то АОХ =_
Так как ОО,±а, то треугольник АОХО
ООХ —==(см).
Ответ, б)  см.
70
Найдите радиус сечения сферы
х2 4- у2 4- г2 = 36 плоскостью, проходящей
через точку М(2; 4; 5) и перпендикуляр-
ной к оси абсцисс. (Задача 623 учебника.)
Решение.
Центром данной сферы является точ-
ка О(__; __; ___), а ее радиус R равен
___Пусть ООХ — перпендикуляр, прове-
денный из точки О к секущей плоско-
сти. Так как секущая плоскость по усло-
вию перпендикулярна к, то отрезок ООХ лежит
на Абсцисса любой точки секущей плоскости
равна абсциссе данной точки Л/, т. е. равна Поэтому ООХ -
а искомый радиус г сечения находим по формуле г = О1Л/=\Я2-
т. е. r=V
Ответ. ____________
71 ----------------------------------------------------------------
Все стороны равнобедренной^ трапеции ABCD (AD II ВС) касаются
сферы, радиус которой равен а\3. Найдите расстояние от центра сферы
до плоскости трапеции, если AB = CD = a\5, AD = a(14-\5).
44
Решение.
Пусть стороны трапеции ABCD касаются сферы с центром О и ра-
диусом Я, отрезок ОО1 — перпендикуляр, проведенный из точки О к
плоскости трапеции. Тогда точки касания сторон трапеции и сферы ле-
жат на окружности,
в эту трапецию, и О, —
 (см. рис. а). Рассмотрим трапецию ABCD
(см. рис. б). Пусть г — радиус вписанной в нее окружности, BE —
высота трапеции. Так как в трапецию можно вписать окружность, то
2АВ =, откуда ВС ==
Далее, АЕ = *==________________________________________
Из  треугольника ВЕА находим:
ВЕ =—. Но ВЕ = 2г, поэтому OxF = r =___________________. Так как
F — точка касания сферы и трапеции, ОО, J, то OF =
и из треугольника OOXF (см. рис. а) находим:
ОО,=
Ответ. ______________
72--------------------------------------------------------
Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса
R так, что угол между диаметром и плоскостью равен а. Найдите дли-
ну окружности, получившейся в сечении. (Задача 589 учебника.)
45
Решение.
Пусть секущая плоскость 0 проходит
через конец А диаметра АВ сферы с цен-
тром О и радиусом Я, а окружность с
центром О, и радиусом ОХА является
сечением сферы плоскостью 0. Тогда
ООХ J и Z= а, так как это
угол между прямой АВ и
________________________ на плоскость 0.
Из треугольника
ОАОХ находим радиус окружности сече-
ния: АО, =
. Длина этой
окружности равна 
Ответ. ______________
73
Плоскость а касается сферы в точке
А. Докажите, что сечения сферы плоско-
стями, проходящими через точку А и об-
разующими равные углы с плоскостью
а, имеют равные радиусы.
Доказательство.
Пусть секущая плоскость 0, прове-
денная через точку А, лежащую на сфе-
ре с центром О и радиусом Я, образует
угол ф с плоскостью а, касающейся этой
сферы в точке А. Тогда OAJ__Пусть
О, — центр, г — радиус полученного се-
чения, I — линия пересечения плоско-
стей а и 0, ОХН — перпендикуляр к пло-
скости а.
1)	Так как /±О,А (/ —
к окружности
с центром О,, ОХА — радиус , проведенный
 касания), то ILHA (теорема
). Поэтому Z.= Ф (линейный
46
----------- между----------------------------).
2)	Поскольку ОАА.а и OgZf _|_ <х, то ОА_OtH, и, следовательно,
отрезки АН, OtA и ОА лежат в одной , а значит,
ГОАО,-
3)	Из треугольника AOtO получаем
г = О, А =-
Итак, радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью
Р, зависит лишь от радиуса  и угла между 
__________ Отсюда следует, что сечения сферы плоскостями, проходя-
щими через точку А и образующими равные углы с плоскостью а, име-
ют равные радиусы.
74
Через точку А сферы проведены две
плоскости, одна из которых является
касательной к сфере, а другая наклоне-
на под углом в 60° к касательной плос-
кости. Найдите расстояние от центра
сферы до секущей плоскости, если ра-
диус сферы равен 13 см.
Решение.
Пусть секущая плоскость р, прове-
денная через точку А, лежащую на сфе-
ре с центром О и радиусом ОА= 13 см,
образует угол в 60° с плоскостью а, ка-
сающейся этой сферы в точке А (см. ри-
сунок к задаче 73 и ее решение). Рас-
смотрим плоскость, заданную парал-
лельными прямыми OtH и ОА (см. рис.),
где — искомое расстояние от центра сферы до секущей плоско-
сти р. Так как X.__________= 60° (по), то Z.OAO| ==
------------------ (см).
Поэтому в прямоугольном треугольнике
---- (см).
ОО,-___ОА =
Ответ.  см.
47
75
Две касательные плоскости к сфере
пересекаются по прямой I. Докажите,
что прямая, соединяющая точки каса-
ния, перпендикулярна /.
Доказательство.
Пусть А и В — точки касания сферы
с центром О и плоскостей а и р, I — ли-
ния пересечения этих плоскостей. Тогда
ОА±а, ОВ±Р (так как радиус, прове-
денный в  касания сферы и
________________________________________________к этой плоскости).
Через пересекающиеся прямые ОА и ОВ проведем плоскость у. Так
как ОА±а, то прямая ОА перпендикулярна к любой ,
лежащей , и, следовательно, OA.LI. Аналогично
ОВ1_
Таким образом, прямая I перпендикулярна к двум пересекающим-
ся прямым (и), лежащим у. Поэтому
ZJ___, а так как прямая АВ лежит , то ZJ_________________________
76
Сфера касается граней двугранного
угла 120°. Найдите радиус сферы и рас-
стояние между точками касания, если
расстояние от центра сферы до ребра
двугранного угла равно а. (Задача 591
учебника.)
Решение.
Пусть полуплоскости аир — грани данного двугранного угла, пря-
мая т — ребро этого угла, а точка О — центр сферы, касающейся гра-
ней двугранного угла в точках А и В. Тогда ОА±а, ОВ±Р (так как
радиус, ------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------).
Проведем через пересекающиеся прямые ОА и ОВ плоскость у. Она
пересечет ребро т в некоторой точке С.
48
1)	m LOA, так как ОА, аналогично т, поэтому
ni±Y (по признаку _________________________________________________
). Отсюда следует, что угол АСВ линейный
__________________________________________, т. е. Z.АСВ =,
а ОС =
2)	Точка О равноудалена от сторон угла АСВ, так как =
-=R, где Я — радиус сферы, следовательно, она лежит на его
	, т. е. Z.OCB =. Из 
треугольника ОСВ находим: ОВ = Я ==,
ВС =  Аналогично получаем АС =
3)	Из равнобедренного треугольника АСВ, в котором АС==
=, Z.АСВ =, находим АВ: АВ = 2 • АС • sin=
Ответ. _______
Радиусы двух параллельных сечений
сферы, расположенных по разные сторо-
ны от ее центра, равны 3 см и 4 см. Рас-
стояние между секущими плоскостями
равно 7 см. Найдите площадь сферы.
Решение.
Рассмотрим сечение сферы радиуса Я
плоскостью, проходящей через ее центр
О и перпендикулярной секущим плоско-
стям. В сечении получим окружность с
центром О и радиусом Я (окружность
большого ), хорды АВ и
CD которой — диаметры 
, причем АВ II. Пусть ОО,±АВ. OO2LCD, тогда
ОА ==, О]А = 4 см, О2С = 3 см, О,О2 = 7 см. Пусть OOt = x (см),
тогда ОО2 =(см). Из ________
49
треугольников АОХО и СО2О получаем Я2 =___+_____ и Я2 =+
+____, откуда х2+16 = и х-____________________________
Итак, ОО,= см, поэтому /? = см, 5сферы =-
=-------- =------- (см2).
Ответ.  см2.
78
Все стороны ромба касаются сферы.
Сторона ромба равна 2 см, а угол равен
60°. Расстояние от центра сферы до пло-
скости ромба равно 2\3 см. Найдите пло-
щадь сферы.
Решение.
Пусть стороны ромба ABCD касаются
сферы с центром О и радиусом R, отре-
зок ООХ — перпендикуляр, проведенный
из точки О к плоскости ромба. Тогда
точки касания сторон ромба и сферы
лежат на окружности, 
 в этот ромб и О, — центр
_____________________Проведем высо-
ту ВН ромба. Радиус г вписанной окружности равен ВН. Из пря-
моугольного треугольника АВН находим: ВН = АВ-
==  (см), следовательно, г= _____________________________ Пусть F —
точка касания стороны AD ромба и сферы. Из 
треугольника OXOF, в котором ОО, =  см, OXF=  см, нахо-
дим радиус сферы: R = OF= = =  (см).
^сф»ры = --------“ ----------= .... (СМ2).
Ответ.  см2.
50
79
Докажите, что через четыре точки, не
лежащие в одной плоскости, проходит
сфера, и притом только одна.
Доказательство.
Пусть данные точки А, В, С и D не
лежат в одной плоскости. Через любые
три из них, например через точки А, В и
С, проведем плоскость айв ней отметим
точку Ох — центр окружности, 
Множество всех точек пространства,
равноудаленных от точек А, В и С, есть
прямая Z, проходящая через 
окружности, описанной около треугольника  и перпендикуляр-
ная ___________________________________________
Множеством всех точек пространства, равноудаленных от двух то-
чек, например А и В, является плоскость р, перпендикулярная
______________________и проходящая через его
Докажем, что прямая I пересекается с плоскостью р. Предположим,
что прямая I не пересекает плоскость р. Тогда /||р либо /<=р, и так как
1А___, то PJ_____ Отсюда следует, что АВ<=____ (поскольку ADA_____
и Ас____), а значит, все данные точки А, В, С и D лежат
в, что противоречит условию. Итак, прямая I пере-
секает плоскость р в некоторой точке О. Точка О равноудалена от
А,  и, следовательно, является центром
сферы, проходящей через ________________________
Единственность сферы, проходящей через точки А, В, С и В, следу-
ет из того, что центр такой сферы лежит как на прямой /, так и в пло-
скости р и, следовательно, совпадает с точкой О.
80----------------------------------------------------------
Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую
сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на
одной сфере.
51
Доказательство.
Пусть ABCD и ABEF — данные прямо-
угольники с общей стороной 
Множеством всех точек пространства,
равноудаленных от вершин прямоуголь-
ника ABCD, является прямая 1Х, перпен-
дикулярная к _____________________
и проходящая через точку О, пересе-
чения _____________________________
Аналогично множество всех точек
пространства, равноудаленных от вер-
шин прямоугольника ABEF, есть прямая 12, перпендикулярная к
и проходящая через точку О2 ___________________________________
Докажем, что прямые и 12 пересекаются. Для этого рассмотрим
плоскость ОХРО2, где точка Р — середина В плоско-
сти ОХРО2 через точки О, и О2 проведем прямые, перпендикулярные со-
ответственно РОХ и . Они пересекаются в некоторой точке О.
АВ ±ОХРО29 так как АВ J и АВ J Следовательно, прямая АВ
 прямым ОХО и, лежащим в плоско-
сти ОХРО2. Так как OjOIPOj и OjOJ___________________ то ОХО1.АВС
(по признаку __________________________________________________
_______________________________________________). Аналогично до-
казывается, что O2OJ. Отсюда следует, что прямые 1Х и ОХО
и также совпадают прямые, а это оз-
начает, что прямые 1Х и 12  в точке Итак,
OD =«««= ОЕ, т. е. точка О — центр сферы,
проходящей через точки А, __, ___, __, ___ и __
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар
81
Докажите, что если одна из граней
вписанной в цилиндр треугольной приз-
мы проходит через ось цилиндра, то две
другие грани взаимно перпендикулярны.
(Задача 629 учебника.)
Доказательство.
На рисунке изображена призма
АВСАХВХСХ, вписанная в цилиндр так,
что ее боковая грань ААХВХВ проходит
через ось ООХ цилиндра.
Требуется доказать, что боковые гра-
ни ААХСХС и ВВХСХС взаимно перпенди-
кулярны, т. е. двугранный угол с реб-
ром ССП образованный плоскостями этих граней,— прямой.
Боковые ребра вписанной призмы являются образующими цилинд-
ра, поэтому они перпендикулярны 
в частности CCXLABC. Отсюда следует, что ССХ±СА и ССХ J
а значит, угол АСВ линейный____________________________________
Так как грань ААХВХВ проходит через точку О, то АВ —
основания цилиндра. Поэтому ZACB =, т. е. указан-
ный двугранный угол с ребром ССХ , что и требовалось
доказать.
82
В конус с высотой 12 см вписана тре-
угольная пирамида, основанием которой
является прямоугольный треугольник
с катетами 6 см и 8 см. Найдите отно-
шение площадей полных поверхностей
пирамиды и конуса.
Решение.
На рисунке изображена пирамида
МАВС, вписанная в конус с осью МО
так, что ее вершина М совпадает с вер-
шиной конуса, а прямоугольный тре-
угольник АВС с катетами АС = 8 см и
ВС = 6 см вписан в основание конуса. От-
53
резок МО — высота конуса и по условию МО =__________________ Так как
треугольник АВС , то гипотенуза АВ яв-
ляется  основания конуса, АВ = и точка О —
___________________отрезка АВ.
Из  треугольника АМО, в котором
МО =, АО =, находим: AM =	+	-
= \122 +___“ = 13 (см).
Боковые ребра пирамиды МА,и являются
 конуса, поэтому МА =—=______________________________ Пусть
МНХ и МН2 — высоты треугольников АМС и , тогда
МН1 = \ AM2  ------= \------------------— (см),
МН2 = \ МВ2 -= V	-9 = (см).
^полн. пир &ЛВС +------- +----------- +---------- =
= | (АС •+ АВ ++) =
= |(8 -6+ 10- 12 ++) =
=------------------------------------ (см2),
SKOH = nr(-----+-----) = л •----(-----+------) =----------- (см2).
Ответ.
83----------------------------------------------------------
Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то
центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры осно-
ваний этой призмы. (Задача 632 учебника.)
Доказательство.
Центр сферы, вписанной в многогранник, в частности в правильную
призму, является точкой, равноудаленной от плоскостей всех
Пусть А1А2А3...АЛВ1В2В3...ВЛ — правильная призма,
в которую можно вписать сферу, точка О — центр вписанной сферы, Ох
и О2 — центры оснований призмы.
54
Так как точка О равноудалена от пло-
скостей граней АХА2В2ВХ и АхАпВпВх. то
она лежит в полуплоскости (обозначим
ее а), делящей пополам
угол с ребром Полуплос-
кость а проходит через ребро и
параллельную ему прямую ,
поскольку углы АъАхАп и В2ВхВп являют-
ся ------------------------------ дву
гранного угла с ребром , а лучи
АХОХ и ВХО2 —________________________
 этих линейных углов. Точно так
же точка О лежит в полуплоскости р,
делящей пополам двугранный угол с ребром А2В2. Полуплоскости аир
пересекаются по _______________________ Следовательно, точка О лежит
на ____________________
С другой стороны, так как точка О равноудалена от плоскостей ос-
нований призмы, то она лежит в плоскости, параллельной плоскостям
оснований и проходящей через  отрезка ОХО2. Итак,
точка О есть , что и требовалось
доказать.
84-----------------------------
Докажите, что центр сферы, вписан-
ной в правильную пирамиду, лежит на
высоте этой пирамиды. (Задача 633
учебника).
Доказательство.
На рисунке изображена правильная
л-угольная пирамида МАхА2...Ап, МН —
ее высота. Обозначим через aj полупло-
скость, делящую пополам двугранный
угол пирамиды при ребре АХА2, через
а2 — полуплоскость, делящую пополам
______________________ при ребре
55
через а„ —I
----------------------------------- В силу правильности пирамиды
каждая из этих полуплоскостей пересекается с высотой МН в
(обозначим ее О). Следовательно, точ-
ка О равноудалена от всех  и потому
является __________________________________________________________
Точка О — единственная общая точка полуплоскостей оц, 
В самом деле, ах и а2 пересекаются по лучу, а луч А2О имеет с по-
луплоскостью а3 только  точку — точку О.
Итак, в правильную пирамиду можно ,
причем центр вписанной сферы лежит
85
Докажите, что центр сферы, описан-
ной около:
а)	правильной призмы, лежит на сере-
дине отрезка, соединяющего центры
оснований призмы;
б)	правильной пирамиды, лежит на
высоте пирамиды или ее продолжении.
(Задача 637 учебника.)
Доказательство.
Центр сферы, описанной около мно-
гогранника, является точкой, равноуда-
ленной от всех ___________________
а)	Пусть АхА2А3...АпВхВ2...Вп — пра-
вильная призма, точки Ох и О2 — центры ее оснований. Множеством
всех точек пространства, равноудаленных от вершин основания А^А2..Лп9
является , проходящая через 
и перпендикулярная  этого основания, т. е. прямая
_ Эта же прямая является множеством всех точек пространст-
ва, равноудаленных от __________________________________________
Следовательно, центр сферы, описанной около правильной призмы, ле-
жит на ________________
56
Множеством всех точек пространства, равноудаленных от точек
и В), является, проходящая через
 и перпендикулярная ______________ Эта плоскость
пересекается с отрезком ОХО2 в его_________________ Таким образом,
центром сферы, описанной около,
является __________________________________
б)	Множеством всех точек пространства, равноудаленных от вершин
основания правильной пирамиды, является , проходящая
через  и 
	_________________________ Эта прямая содержит 
пирамиды, поэтому центр описанной 
 сферы лежит  или
86
В правильной треугольной пирамиде
сторона основания равна а, а угол на-
клона боковой грани к плоскости осно-
вания равен 60°. Найдите радиус впи-
санной в пирамиду сферы.
Решение.
Пусть МАВС — правильная тре-
угольная пирамида, МН — ее высота.
Центр О вписанной в пирамиду сферы
лежит на высоте МН и ОН = г — искомый
__________________________________Пусть CDVAB. тъгдд Не и
Z.MDC — линейный  при ребре АВ.
По условию он равен Так как точка О — центр вписанной
сферы, то она является точкой пересечения полуплоскости, делящей по-
полам  при ребре АВ. и ее высо-
ты МН. Поэтому луч DO — угла MDC и /LODH —
Из  треугольника  находим радиус
сферы: ОН ==
Ответ. _______________
57
87----------------------------------------------------
Сфера вписана в цилиндр (т. е. она ка-
сается оснований цилиндра и каждой его
образующей). Найдите отношение пло-
щади сферы к площади полной поверх-
ности цилиндра. (Задача 642 учебника.)
Решение.
На рисунке изображена сфера с цент-
ром О и радиусом R, вписанная в ци-
линдр с осью ОХО2 (точки Ох и О2 —
центры).
Центр сферы делит отрезок ОХО2
ООХ==Плоскость,
проходящая через центр сферы О и пер-
пендикулярная оси цилиндра ОХО2, пересекает сферу по 
, а боковую поверхность цилиндра — по
окружности, равной _______________________________________ Таким
образом, радиус основания цилиндра равен , а высота цилиндра
равна ---------. Так как ^сферы -------------------, 5»полн цил ------------------------
=---------------------» ТО ^сферы • поли, цил “------------- • ------------ ------------
Ответ. ________________
88---------------------------------------------------------
Конус с углом ф при вершине осевого сечения и радиусом основа-
ния г вписан в сферу радиуса R (т. е. вершина конуса лежит на сфере,
а основание конуса является сечением сферы). Найдите угол ф, если
7? = 2г. (Задача 646в учебника.)
Решение.
На рисунке изображен конус с высотой МН, вписанный в сферу
с центром О и радиусом R. Так как отрезок МН перпендикулярен
к плоскости  и отрезок ОН, соединяющий
центр  с центром сечения 
, перпендикулярен к плоскости основания,
то прямые  и  совпадают, а значит, О€_________________ Возможны
два случая:
58
1) точка О лежит между точками М и _____ (см. рис. а и 0);
2) точка Н лежит между точками ____ и __ (см. рис. в и г).
1) Рассмотрим осевое сечение конуса —тре-
угольник (см. рис. б). В этом треугольнике ААМВ =___________, поэто-
му /_АМН =, а так как ОЛ/ == Я, то /.ОАМ = А=
=Угол АОН — внешний угол АОМ, поэтому
ААОН =+=__________________В  треугольнике
АОН АО = , АН = , а так как по условию Я =, то =
АО
=» i. Следовательно, ААОН =, т. е. ф =
2) Второй случай рассмотрите самостоятельно.
Ответ. __________________
59
Глава VII
Объемы тел
Объем прямоугольного
параллелепипеда
89
Найдите объем прямоугольного парал-
лелепипеда ABCDAXBXCXDX, если АС= 15 см,
DCX = 4 \ 13 см, DBX = \1 см.
Решение.
Пусть V — искомый объем, тогда
V = AB • AD • AAj. Из определения прямо-
угольного параллелепипеда следует, что
его боковые ребра __________________
к плоскости основания, а основанием яв-
ляется _____________________________
1)	&BXBD —,
так как ВХВ  АВС, причем
BD == см, DBX= см. По теореме 
ВВХ == (см).
2)	/\BXCXD —, так как ВХСХ,
причем DCX =см, BXD == см. Следовательно,
ВХСХ == (см).
3)	/\BAD — и BD == см, AD =
см, поэтому АВ =—(см).
Итак, V =	•__________________
---------- (см3).
Ответ.  см3.
90------------------------------------------------------------
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что
его диагональ равна 4 \ 2 см и составляет с плоскостью основания угол
в 30°, а с плоскостью боковой грани угол в 45°.
60
Решение.
На рисунке изображен данный прямо-
угольный параллелепипед ABCDA1B1C1.D|.
1)	Так как прямая BD — проекция
прямой  на _________________________
--------, то Z_BXDB =
Из  треуголь-
ника BXDB находим: ВВХ ==
=(см), BD = 4 \ 2 •=
«------- (см).
2)	Так как прямая CXD — проекция
 на плоскость DXCCX
треугольника BXDCX находим: ВХСХ =
~BXD:-(см).
3)	ABAD ____________________ BD =, AD =
см, поэтому АВ
Итак, V=AB •__________________
Ответ. _______________
91
В прямоугольном параллелепипеде
ABCDAXBXCXDX диагональ B,D составляет
с плоскостью основания угол в 45°,
а двугранный угол AXBXBD равен 60°.
Найдите объем параллелепипеда, если
диагональ основания равна 12 см. (Зада-
ча 656 учебника.)
Решение.
На рисунке изображен данный прямо-
угольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX.
1) По условию /LBXDB = 45°, поэтому
из треугольни-
ка BXBD находим: ВВ, =—
(см).
61
2) /-ABD — линейный угол угла AXBXBD
(так как BAJ и BD J), поэтому /.ABD — 60°,
АВ =, AD-=(см).
Итак, V=AB ==
Ответ. __________________
Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны V5 см,
\ 10 см и \ 13 см. Найдите объем параллелепипеда.
Решение.
На рисунке к задаче 91 изображен прямоугольный параллелепи
пед ABCDAXBXCXDX. Пусть BZ> = \5 см, £>С( = \10 см, ВС, = \ 13 см.
Тогда
АВ2 + АВ2 =
АВ2 + СС2 =
АВ' + СС2 =
. Отсюда
2АВ2 + 2АР2 + 2СС) =, АВ2+АВ2 + СС12-, АС,-см
(так как в прямоугольном параллелепипеде 
-----------------------------------------------).
Теперь находим измерения параллелепипеда:
АВ - \АС, -= \-_______=___ (см),
AD = \AC2x--\- =  (см),
СС, = \ВСгх -= V-_____=___(см).
Итак, V—
(см3).
Ответ.  см3.
93-----------------------------------------------------------
Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 4 см и
составляет с диагональю основания угол в 30°. Через данную сторону
и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение,
62
плоскость которого составляет с плоскостью основания угол в 60°.
Найдите объем параллелепипеда.
Решение.
На рисунке к задаче 91 изображен прямоугольный параллелепипед
ABCDAXB}CXDX. Пусть АО = 4 см, Z.CAD==30°. Из прямоугольного
треугольника ADC находим: DC =—=
—(см). Плоскость сечения, проходящего через ребра AD и BjCp
составляет с плоскостью основания ABCD угол в 60°, поэтому
£CXDC =(как двугранного угла).
Из треугольника CC{D находим:
СС1 ===
Итак, V=AD•==(см3).
Ответ.  см3.
а
Объем прямой призмы и цилиндра
94
В правильной треугольной призме
АВСАХВХСХ через сторону АВ нижнего ос-
нования и середину ребра СС( проведено
сечение, составляющее с плоскостью
основания угол в 30°. Найдите объем
призмы, если ее боковое ребро равно 2ft.
Решение.
На рисунке изображена правильная
треугольная призма АВСАХВХСХ. Точка
D — середина ребра ССХ и ДАОВ — про-
веденное сечение. Поскольку призма
правильная, то ССХ J и объем V
призмы равен SABC •Так как
AD = BD (как гипотенузы равных _____
ADC и ), то треугольник ADB .
Пусть точка Е — середина АВ. Тогда DE J и СЕ J, и, сле-
довательно, Z.DEC — двугранного 
63
_______ По условию Z_DEC =, поэтому из 
треугольника DCE, в котором DC =_____, находим: EC = fe:»
В  треугольнике АСЕ Z_ACE =, поэтому
АЕ = ЕС •=_______, и, следовательно, АВ = 2=,
$авс =---=------
Итак,  CCj-•-
Ответ. ________________
95
В цилиндр, площадь осевого сечения
которого равна 24 см2, вписана призма.
Основанием призмы является прямо-
угольный треугольник с катетом, рав-
ным 2\3 см, и прилежащим к нему уг-
лом в 30°. Найдите объем цилиндра.
Решение.
На рисунке изображены цилиндр и
вписанная в него призма АВСАХВХСХ. Из
определения вписанной в цилиндр приз-
мы следует, что ДА) J, и основа-
ния призмы вписаны в 
Имеем:  тре-
угольник АВС вписан в окружность осно-
вания цилиндра, поэтому его гипотенуза  является 
, а прямоугольник ААХВХВ — осевое
__________________________________ Из треугольника АВС находим:
АВ = АС:—= (см).
Следовательно, радиус цилиндра г ==
По условию SXXlBlfl = AB-= (см2), откуда А4,=
Vu = n •== (см3).
Ответ. см3.
64
Объем наклонной призмы,
пирамиды и конуса______
96
Найдите объем наклонной призмы
АВСА^С^ если известно, что ее основа-
ния — правильные треугольники, боко-
вая грань ВВХСХС является ромбом и об-
разует с плоскостью АВС угол в 90°,
причем В|С=12 см, ВСХ = 16 см.
Решение.
Пусть ABCA^jCj — данная призма.
Так как Рприз>«ы = •, то требуется
найти _______________________________
1) Четырехугольник ВВХСХС — ромб с
диагоналями ВХС = 12 см и ВС| = 16 см.
Поскольку /\ВОС —
и его катеты ВО» -
то сторона ромба ВС =, 5^ ===
=---------- (см1 2).
2) По условию плоскости BB|Cj и АВС ,
поэтому высота BtD ромба ВВ,С,С является и
Таким образом, надо найти высоту BXD ромба. В треугольнике ВВХС
имеем: ВО  ВХС-ВС-, откуда В,В ==
=----------=-------(см).
Итак, Рпрн4МЫ =-------------------------(см3).
Ответ. ________________
97 ----------------------------------------------
Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ является правильный тре-
угольник со стороной АВ «6 см, ZA1AB«ZA1AC = 60°, АА^всм.
Найдите объем призмы.
65
Решение.
На рисунке изображена данная на-
клонная призма АВСАХВХСХ. Ее объем
вычисляется по формуле V=S • Н, где S —
площадь треугольника , Н —
___________________Так как по усло-
вию ДАВС — правильный, то его пло-
щадь S ==—
= (см2). Остается найти 
Пусть AXOLABC, OP LAB, OF LAC,
тогда по теореме___________________
АХР L и А>Р±
AAPAj= по гипотенузе (ААХ — гипотенуза) и
острому углу (ДА1АР =
 по условию), поэтому
ОР =, и, следовательно, луч АО —
, а значит, Z_OAP =
Из  треугольников АХАР, АРО и АХАО
находим последовательно: АР = ААХ • =«
= см, АО = АР •—= см и
АХО = \=—см.
Итак, V== (см3).
Ответ. см3.
98--------------------------------------------------------
Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ является прямоугольный
треугольник АВС с катетами АВ = 7 см и АС = 24 см. Вершина А, рав-
ноудалена от вершин А, В и С. Найдите объем призмы, если ребро ААХ
составляет с плоскостью основания угол в 45°. (Задача 679 учебника.)
66
Решение.
На рисунке изображена данная приз-
ма АВСАХВХСХ. Середина О гипотенузы
ВС треугольника АВС является центром
окружности, _______________________
___________________________Так как
по условию точка А! равноудалена от вер-
шин А, В и С, то она лежит на пря-
мой, перпендикулярной к 
 и проходящей через центр
___________________— точку О,
поэтому АХО J, т. е. АХО — призмы
Объем призмы вычисляется по формуле V = Sxsc АХО. следовательно,
нужно найти SABC и АХО.
&АВС = 7-----=----------=---- (см2).
Из треугольника АОАХ найдем высоту AtO. Так
как прямая АО — проекция  на плоскость,
то Z-AjAO — угол между  и плоскостью По
 ZAjAO = 45°, поэтому AtO ==СВ»(см).
Итак, V»= (см3).
Ответ см3.
99
В основании пирамиды лежит равно-
бедренный треугольник со сторонами 10,
10 и 12 см. Боковые ребра наклонены
к плоскости основания под углом 45°.
Найдите объем пирамиды.
Решение.
Пусть МАВС — данная пирамида,
отрезок МО — ее высота. Тогда
. МАО =-=
__________________________ треуголь-
ники МАО, МВО и  равны по
67
 (МО —) и 
углу, поэтому ОА ==, а значит, точка О — центр 
R = OA — ее радиус.
Искомый объем  вычисляется по формуле
V=^SXBC-Площадь треугольника АВС находим по формуле
Герона:
SABC = \p   == (см2).
Далее найдем Я, воспользовавшись формулой R = (abc):Получаем
Я = см.
Из  треугольника МАО находим 
MO = R-= (см).
Итак, V»== (см3).
Ответ.  см3.
100
В основании пирамиды лежит равно-
бедренная трапеция с углом в 30°. Каж-
дая боковая грань наклонена к основа-
нию под углом 60°, высота пирамиды
равна 3\3 см. Найдите объем пирамиды.
Решение.
Пусть MABCD — данная пирамида,
отрезок МО — ее высота, ME, МР,
MF, MQ —высоты боковых граней. Тогда
OEL, ОР±, OF±,
OQ J(по теореме о
), и, следовательно, Z_MEO =
 (как углы 
____________ углов между _______________________________________
).  треугольники МОЕ, МОР,
 и  равны по катету (МО — ) и
68
___________________________________, поэтому ОЕ ===
=. Отсюда следует, что окружность с центром О радиуса 
является __________________________
Из  треугольника МОР находим:
ОР = МО •= =_______________________ (см).
Пусть ВТ — высота трапеции, тогда ВТ == 2 •________=6 (см). Из
 треугольника АВТ, в котором Z_A =,
находим: АВ = 2 •= 12 см.
Так как в равнобедренную трапецию ABCD можно вписать
, то ВС -h AD = 2 •= 24 (см). Следовательно,
$ABCD = ------------------- ’ ВТ = --------- * ---- = ----- (СМ2),
KwABCD= 3 * &ABCD ' -- = -------------- в ------- (СМ3).
Ответ.  см3.
101 -----------------------------------------------------------
Угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°, а площадь
боковой поверхности конуса равна 24п. Найдите объем конуса.
69
Решение.
Данный конус с вершиной М и высотой МО изображен на рисун-
ке а, развертка его боковой поверхности — на рисунке б. Пусть образу-
ющая конуса равна /, а радиус основания равен г. Тогда по
 S6oK = n= 24л, откуда rl=*______ С другой стороны,
«бок = «развертки = 3^ '--=---------= 24 л. Отсюда получаем:
/-, г=24:=
Из  треугольника МОА находим: МО =
=	-	= yj -	=	. Объем V конуса вычисляем
по формуле	«
Ответ. ________________
102
В правильной четырехугольной усе-
ченной пирамиде стороны оснований
равны 3 см и 6 см, апофема пирамиды
равна —~ см. Найдите объем усеченной
пирамиды.
Решение.
Пусть ABCDAXBXCXDX —данная пра-
вильная четырехугольная усеченная пи-
рамида, тогда ее основаниями являются
______________________ABCD и AjBjCjDj,
отрезок ООХ, соединяющий центры оснований —
а отрезок MMlt соединяющий середины сторон оснований АВ и
АХВХ------------------------------
Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле
И-------------(Sj +------------),
где h —, S и 
Так как АВ = 6 см, АХВХ = Ъ см, то S =, Sj =
70
Для нахождения высоты пирамиды рассмотрим четырехугольник
ООХМХМ, который является __________________________________________
Пусть МХР\\ООХ, тогда МР =-МХОХ == и
из  треугольника МРМХ н&хъдуп*-. МР =
(см).
Следовательно, OOj =см.
Итак, V=
---------- (см3).
Ответ. см3.
103
В усеченном конусе диагонали осево-
го сечения взаимно перпендикулярны,
а образующая составляет с плоскостью
большего основания угол в 60° и равна
4 см. Найдите объем усеченного конуса.
Решение.
Пусть точки О и Ох — центры ос-
нований данного усеченного конуса,
__________________________ трапеция
ABCD — осевое сечение, М — точка пере-
сечения его диагоналей. Тогда A DAB —
это угол, который составляет образующая AD конуса с плоскостью
большего основания, т. е. z_DAB =, АО = г и DOx = rx — радиусы
оснований усеченного конуса. Поскольку Z.AAfB =, то Z.AMB =
—=______________ Поэтому в треугольнике ADC имеем AD = 4 см,
Z.ACZ) ==, ADAC ==По теореме
 •	=	, откуда получаем: CD= =
sin z—ZxCtA	.	—
=___________(СМ), а г, = |--------------------(см).
В треугольнике АВС ВС =см, =, Z_B =, a Z.C =
= 180°--По 
71
=	, откуда находим: АВ=	—,
" г-1--------------------------
• Проведем высоту DK трапеции, она является высотой 
_________________ Из  треугольника ADK
находим: DK === (см), т. е. высота Л
усеченного конуса равна 
Объем усеченного конуса V=	(S + S^), где S и S, —
Итак, V=(лН +________________+)-
----------------=-------------- (CM3).
Ответ. см3.
Объем шара и площадь сферы
104
Найдите отношение объемов шара и цилиндра, если высота цилин-
дра равна его диаметру, а радиус шара равен радиусу цилиндра.
Решение.
Пусть г — радиус цилиндра, тогда его высота равна , а ради-
ус шара равен г. Следовательно, Уцил ==,
V
V	и =
шара	Г1 г’
___________ г ЦИ.1 ___________ _______
Ответ. ____________________
СП 100
105----------------------------------------------------------
Шар и цилиндр имеют равные объемы, причем радиус шара равен
высоты цилиндра. Найдите отношение радиусов шара и цилиндра.
72
Решение.
Объемы данных тел вычисляются по формулам РШ1р1 =• R3,
Рцжл-------• Л, где Я —----------------, г —-----------------
_______________________________, Л —__________________
Так как по условию объемы шара и цилиндра равны, то
--------, откуда 4^ =
О
. Поскольку по условию /? = 4 Л, то
э

, и поэтому 4 Я3 =
о
Отсюда получим
Ответ. ____________________
106-----------------------------------------------------
Расстояние между двумя плоскостями, перпендикулярными диаме-
тру шара и расположенными псводку сторону от его центра, равно
1 см, радиусы сечений равны 3\3 см и 4\2 см. Найдите объем шаро-
вого слоя, заключенного между этими плоскостями.
Решение.
Пусть шар с центром О пересечен плоскостями аир, перпендику-
лярными его диаметру С£>, А и В — точки пересечения диаметра CD
этими плоскостями (см. рис. а). Тогда АВ = 1, а объем слоя, т. е. части
шара, заключенной между этими плоскостями, равен разности объемов
двух шаровых сегментов, один из которых имеет высоту АС, а другой —
Так как объем шарового сегмента вычисляется по формуле
где R -------------------------, Л -----------
, то необходимо найти R и высоты hx=AC и Л2 = ВС.
Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через диаметр
CD. Эта плоскость пересекает основания указанных шаровых сегментов
по их диаметрам ММХ и NNX (см. рис. б). В 
треугольниках ОАМ и OBN имеем: ОМ = ON =, AM =,
BN =. Пусть ОА = х, тогда ОВ =
По теореме Пифагора R2 = x2 +, R2 =+27. Отсюда полу-
чаем х2 + 32 = (1+х)2 + 27, или х2 + 32 =, и, следо-
вательно, х = ОА =
Далее, R = \ х2 +- V= (см), Л1 = АС = ОС -=
=-= 4 см, Л2 = ВС=АС-=--
Таким образом, Услоя = лЛ2 R- у Л,
----------(см8).
Ответ см8.
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПУНКТАМИ УЧЕБНИКА
И ЗАДАЧАМИ ТЕТРАДИ
Номера пунктов учебника	Тема	Номера задач тетради
46, 47	Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора	1—16
48	Связь между координатами векторов и координа- тами точек	17—21
49	Простейшие задачи в координатах	22-24
50, 51	Угол между векторами. Скалярное произведение векторов	25—27
52	Вычисление углов между прямыми и плоскостями	28—30
54—57	Центральная симметрия. Осевая симметрия. Зер- кальная симметрия. Параллельный перенос	31—34
59	Понятие цилиндра	35—38
60	Площадь поверхности цилиндра	39—45
61	Понятие конуса	46, 47
62	Площадь поверхности конуса	48—53
63	Усеченный конус	5 1, 55
64	Сфера и шар	56, 57
65	Уравнение сферы	58—63
66	Взаимное расположение сферы и плоскости	64—72
67	Касательная плоскость к сфере	73—76
68	Площадь сферы	77-80
	Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар	81—88
74, 75	Понятие объема. Объем прямоугольного паралле- лепипеда	89—93
76	Объем прямой призмы	94
77	Объем цилиндра	95
79	Объем наклонной призмы	96-98
80	Объем пирамиды	99—102
81	Объем конуса	103
82	Объем шара	104, 105
83	Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шаро- вого сектора	106
75
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Метод координат в пространстве
§ 1. Координаты точки и координаты вектора	 § 2. Скалярное произведение векторов		3 13
§ 3. Движения	17
Глава VI. Цилиндр, конус и шар	
§ 1. Цилиндр		22
§ 2. Конус		28
§ 3. Сфера		36
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар	53
Глава VII. Объемы тел	
§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда		60
§ 2. Объем прямой призмы и цилиндра		63
§ 3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса		65
§ 4. Объем шара и площадь сферы		72
Соответствие между пунктами учебника и задачами тетради	75
Учебное издание
Серия «МГУ — школе»
Бутузов Валентин Федорович
Глазков Юрий Александрович
Юдина Ирина Игоревна
ГЕОМЕТРИЯ
Рабочая тетрадь
11 класс
Пособие для учащихся
общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Кузнецова
Младший редактор Н. В. Ноговицина
Художники Е. В. Соганова, О. П. Богомолова
Компьютерная графика В. В. Брагина
Художественный редактор О. П. Богомолова
Технические редакторы Е. А. Сиротинская, Л. В. Марухно
Корректоры И. А. Григалашвили, Н. И. Новикова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд.
лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 13.01.10. Формат ТОхЮО’/ц.
Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3.52. Тираж 10000 экз.
Заказ № 29562.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521. Москва. 3-й проезд Марьиной рощи. 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат».
410004. г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
В издательстве «Просвещение»
вышли следующие учебники
для 10—11 классов:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Поз-
няк Э. Г. Геометрия, 10—11 (базовый и профильный уровни)
Погорелов А. В. Геометрия, 10—11 (базовый и профильный уровни)
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия, 10—11 (ба-
зовый и профильный уровни)
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия, 10 (про
фильный уровень, углубленное изучение математики)
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия, 11 (про-
фильный уровень, углубленное изучение математики)
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Ивлев Б. М.,
Шварцбурд С. И. Алгебра и начала математического анализа, 10—11
(базовый уровень)
Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Алгебра и начала математического анализа, 10 (базовый и профиль-
ный уровни)
Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Алгебра и начала математического анализа, 11 (базовый и профиль
ный уровни)
Алимов III. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Федорова Н. Е., Ша-
бунин М. И. Алгебра и начала математического анализа, 10—11 (ба-
зовый уровень)
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И. Ал-
гебра и начала математического анализа, 10 (базовый и профильный
уровни)
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И. Ал-
гебра и начала математического анализа, 11 (базовый и профильный
уровни)
Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Головин А. Н. Алгебра и начала ма-
тематического анализа, 10 (профильный уровень, углубленное изучение
математики )
Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Головин А. Н. Алгебра и начала ма-
тематического анализа, 11 (профильный уровень, углубленное изучение
математики )
Издательство «Просвещение»
127521, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41
Тел (495)789-3040
Факс (495) 789 3041
E-mail prosv^prosv.ru
www.prosv.ru
Выпускаем
► Учебники
►	Методическую литературу
►	Научно-познавательную литературу
►	Словари и справочную литературу
►	Наглядные пособия и карты
►	Учебные мультимедийные пособия
Обучаем
1Ъпернет-школа *11росвсщсние.ги»
125315, Москва, ул. Балтийская, 14
Тел.: (495) 155-4403, 729-3522, 729-3533
E-mail: office@internct-school.ru
Представляем
На сайте издательства для наших
партнеров, учителей и родителей
►	Катало» выпускаемой продукции
► Методические пособия, презентации,
программы повышения квалификации, поурочные
разработки, аудиокурсы mp3
►	11н<|м)рмационно- публицистический
бюллетень «Просвещение»
►	Форумы «Просвещение», «Спрашивайте!
( Ъъечаем!»
►	Ссылки на образовательные интернет-ресурсы
► /\дреса pci иональных книготорговых структур
Приглашаем к сотрудничеству
►	Учреждения допо.мштелыюго педагогического
образования и библиотеки с целью проведения
авторских и методических семинаров
►	Книготорговые структуры для сотрудничества
по продвижению литературы издательства
Интернет-магазин Umlit.ru
Доставка почтой по России, курьером по Москве
129075, Москва, ул. Калибровская, 31А
ООО «Абрис Д»
Тел (495)981-1039
E-mail: zakaz@>umlit ru
www.umlit.ru
ПРОСВЕЩЕНИЕ
АЛЛ i
АЛЛ А


В помощь педагогам, готовящим детей к участию
в олимпиадах, издательство «Просвещение» совместно
с Рособразованием РФ и Академией повышения квалификации
работников образования выпускает
серию «Пять колец»
Подготовка к олимпиадам требует знаний, выходящих за рамки
стандартной школьной программы.
Олимпиады дают возможность:
получить льготы при поступлении в вуз
«ь выявить наиболее способных школьников
•	ь обучить новым методам усвоения знаний
В серию входят пособия
для подготовки к всероссийским олимпиадам
по биологии, физике, истории и обществознанию, литературе,
математике, информатике, русскому, английскому, немецкому
и французскому языкам;
для подготовки к международным олимпиадам
по физике, математике, информатике, биологии.
Пособия по подготовке к всероссийским олимпиадам включают:
•	условия и решения заданий прошедших олимпиад
•	методические рекомендации
•	задания для олимпиад текущего года
•	практические советы по организации
Издательство «Просвещение»
127521, Москва.
3-й проезд Маркиной рощи, 41
Тел (495)789-3040
Фокс (495)789-3041
E-mail: prosv^prosv.ru
Интернвт-могавмм UmlH.ru
Доставка почтой по России, курьером по Москве
129075, Москва, ул. Калибровская, 31 А,
ООО «Абрис Д»
Тел : (495) 981-1039
E-mail хакахФитЙ.ги
ОО
о
Учебно*методический
комплект включает:
МГУ - ШКОЛЕ

Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев,
Л.С. Киселева, Э.Г. Позняк
ГЕОМЕТРИЯ
Учебник для 10-11 классов
Б.Г. Зив
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
по геометрии для 10 и 11 классов
В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И.И. Юдина
РАБОЧИЕ ТЕТРАДИ
по геометрии для 10 и 11 классов
ISBN 978-5-09-024157-1
Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
для 7-11 классов
С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ
в 10-11 классах
Книга для учителя
9 785090 241571
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО