Гармонический анализ, модуляция и шумы - Гольдман С.

Author: Гольдман С.
Tags: физика электроника радиотехника электротехника
Year: 1951
Similar
Генераторы гармонических колебаний
Методы современной математической физики. Том 2. Гармонический анализ
Радиопередатчик с амплитудной модуляцией на транзисторах
Основные понятия и методы теории шумов в радиотехнике
Text
                    
л*л
Издательство
иностранной
литературы
*
FREQUENCY ANALYSIS
MODULATION
AND NOISE
by
S. GOLDMAN
NEW YORK
1948
С. ГОЛЬДМАН
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ, модуляция
И ШУМЫ
Перевод с английского под редакцией
г. С. ГОРЕЛИКА
1 951
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва
АННОТАЦИЯ
Книга посвящена в основном двум вопросам:
1) гармоническому анализу радиотехнических
устройств и методам его применения, 2)теории
и методам исследования электрических флюк-
туаций и „шумов” в электронных схемах и
приборах. Изложение сопровождается много-
численными примерами из радиотехники.
Рассмотренные в книге вопросы могут быть
использованы в различных областях теорети-
ческой и прикладной радиотехники (электрон-
ные схемы и приборы, телевизионные уста-
новки, радиолокационная аппаратура и т. п.).
Книга рассчитана на широкий круг радио-
физиков и инженеров, работающих в области
электроники и радиотехники.
ОТ РЕДАКЦИИ
Книга С. Гольдмана „Гармонический анализ, модуляция и шумы",
перевод которой предлагается вниманию советского читателя, посвя-
щена основным методам гармонического анализа работы радиотехни-
ческих систем и вопросу о „шумах", который приобрел в последние
годы большое значение при разработке и эксплуатации электронных
приборов и устройств в различных областях радиотехники, особенно
в радиолокации и телевидении. Одна из глав посвящена близко при-
мыкающему к основным проблемам книги вопросу о модуляции и помехах.
Вся эта совокупность довольно сложных вопросов изложена в книге
в форме, доступной для инженеров и физиков, практически работаю-
щих в указанных областях техники. Описание методов гармонического
анализа, теория и способы учета „шумов" сопровождаются много-
численными примерами из современной радиотехники, что значительно
облегчает пользование книгой.
Однако при чтении книги следует иметь в виду ряд ее недостатков,
несомненно снижающих ее качество.
Общим недостатком большинства современных американских науч-
ных изданий является тенденциозное игнорирование советских работ
по затронутым научно-техническим проблемам.
Этот недостаток достаточно ярко проявился и в книге С. Гольд-
мана, тем более, что по каждому из вопросов, освещенных в книге,
в частности, по основам и методам гармонического анализа, по тео-
рии и экспериментальным исследованиям электрических флюктуаций
и шумов, советскими учеными были получены существенные ре-
зультаты.
Кроме того, некоторые принципиальные физические и матема-
тические вопросы, необходимые для изложения основного мате-
риала книги, автором даны недостаточно четко, часто небрежно, что,
естественно, привело в некоторых местах к неточностям и ошиб-
кам.
При редактировании книги эти досадные пробелы по возможности
восполнены.
Во-первых, в примечаниях редактора перевода к соответствующим
местам текста даны указания на работы советских ученых и соответ-
ственно дополнена библиография. Имеющиеся же у автора ссылки
на монографии и пособия дополнены книгами советских авторов.
6	От редакции
Во-вторых, в примечаниях редактора отмечались неточности и ошибки
в изложении, носящие принципиальный характер. Мелкие ошибки и
опечатки исправлялись непосредственно в тексте без специальных
оговорок. В отдельных местах, в тех случаях, когда автор отклонялся
в сторону от изложения рассматриваемого вопроса или вдавался
в общие рассуждения, не представляющие научной ценности, были
сделаны небольшие сокращения.
В целом книга будет полезна для широкого круга научных работ-
ников, физиков и инженеров, имеющих дело с электронными приборами
и радиотехническими схемами.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
В течение нескольких лет автор преподавал радиотехнику на курсах
для инженеров отдела электроники и приемников фирмы Дженерал
электрик. При проведении этих курсов оказалось, что не существует
учебника, охватывающего ряд вопросов, из числа тех, хорошее знание
которых необходимо радиоинженеру. Настоящая книга была написана
с целью восполнить этот пробел. Она содержит доступное изложение
таких важных тем, как разложение в интеграл Фурье, модуляция и
флюктуационные шумы. В другой книге автора х) рассматриваются
неустановившиеся явления в радиоконтурах с помощью преобразования
Лапласа.
Большая часть материала этой книги не излагалась до сих пор ни
в одном учебнике. Часть материала не содержится также и в периоди-
ческой литературе и является оригинальной.
Отдельные главы могут читаться почти целиком независимо одна
от другой. Предполагалось, что некоторые читатели пожелают пользо-
ваться книгой в качестве справочника, поэтому автор постарался сде-
лать так, чтобы читатель, обладающий нужной подготовкой, мог
получить значительное количество сведений по каждому отдельному
вопросу, читая лишь те разделы, которые относятся к этому вопросу.
Для чтения книги необходимо владеть дифференциальным и интеграль-
ным исчислением и хорошо знать общую радиотехнику.
Ч S. Goldman, Transformation Calculus and Electrical Transients, 1949.
Глава I
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. Введение. Пожалуй, ни одно математическое утверждение-
не применяется так широко в радиотехнике, как утверждение о разло-
жимости функции в ряд Фурье. Значение
его настолько велико, что многие, ничего	if у
не слышавшие о рядах Фурье, тем не
менее знакомы с основным связанным	<
с ним физическим явлением — существо-	;	[
ванием гармоник. В этой и следующей	।	[
главах мы познакомимся с теорией ря-	!	i
дов Фурье и с тем, как ими следует ---------------д-------ж х
пользоваться при решении разнообраз-
ных радиотехнических задач.	Фиг. 1. Функция, определенная
Основное утверждение теории ря- в интервале от — к до +«•
дов Фурье заключается в следующем.
Любая 2) функция /(х) (фиг. 1), определенная в интервале от —тс
до 4~ может быть представлена в виде тригонометрического ряда
/(х) == -у 4" (ai cos х + sin х) + (а2 cos %х + sin %х)
+ (a3cos3x-4 ^3sin3x)-r- . ^(ancosnx^bns\nnx)-\- ... (1.1)
или в сокращенной записи
п = со
f (*) =	+ S (an C0S пх + bn sin ПХ}-
п=1
(1.1а).
Здесь а и b—постоянные, значения которых "мы в дальнейшем опре-
делим. Ряд по синусам и косинусам в правых частях разложений (1.1)
и (1.1а) называется рядом Фурье.
Можно доказать, хотя мы не будем здесь этого делать* 2), что
если /(х) имеет лишь конечное число разрывов и конечное число
г) При некоторых оговорках» не имеющих значения для техники.
2) Доказательства приводятся во многих учебниках. См., например [1, 2]^
[См. также [3, 4]. (Прим, ред.)]
10
Глава I
максимумов и минимумов в интервале от —77 до — 77 и если, кроме
того,
j \f(x)\dx
конечен, то разложение в ряд Фурье всегда возможно. Отнюдь не
необходимо, чтобы функция во всем этом интервале выражалась одной
формулой. Так, функция, показанная на фиг. 2 и описываемая фор-
мулами /(х) = 1 от —л до 0 и/(х) =— 1 от 0 до может
быть разложена в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье возможно для
гораздо большего многообразия функций, чем разложение в ряд Тей-
лора; последний требует непрерыв-
Ф и г. 2. Прямоугольная функция.
Фиг. 3. Функция, имеющая разрыв
при а = В.
Необходимо заметить, что если функция имеет точку разрыва
(например, точка В на фиг. 3), то ряд Фурье в ней сходится к зна-
чению
где Д(х) и /2(х)—два различных значения, к которым стремится
функция при приближении к точке В с положительной и отрицатель-
ной сторон. Для значений х = -|- к и х = — г. ряд Фурье сходится
к значению
4 [/(+-)+/(--)].
Если/(к) = /(-—т:), эти точки не отличаются от обыкновенных точек.
Ряд (1.1) можно представить как ряд только синусов или как ряд
только косинусов, если ввести фазовые углы. Так, его можно написать
в виде
/(*) = 4+ Л1 cos(x + ?i) -г
+ AjCos(2x4-«>2)4- ... 4-Апcos(пх-\- ©n)-f- ...,	(1.2)
Ряды Фурье
11
где	________
Ап = ап 4~ Ьп	(1.3)
14
?ra = arctg( —М.	(1.4)
\	“п/
§ 2. Значения коэффициентов Фурье. Для того чтобы можно
было пользоваться разложением (1.1), нужно уметь определять зна-
чения коэффициентов а и Ь. Покажем, как это делается.
Чтобы найти я0, умножим (1.1) на dx и проинтегрируем его от
— те до	77 •
4-т:	4-^	4“г
J / (х) dx = J ~ dx + J ar cos х dx -}-
— г	—“	—~
4-~
J sin х dx 4“ . •. 4~ / ап cos пх dx 4"
--7Z	-Г.
H-7Z	4-П
4- J sin пх dx^ ... — у у dx = a^i,	(1.5)
так как все интегралы ряда, содержащие синус или косинус, равны
нулю. Таким образом,
4-~
а0 = f f (х) dx.	(1.6)
Чтобы найти какой-нибудь другой коэффициент, например ап, умно-
жим (1.1) на cos nxdx и проинтегрируем от —те до 4~77:
-Н	ч-п
У /(х) cos пх dx = [ cos пх dx 4~ cos х cos пх dx 4-
--П	—~	-TZ
4"г
4~ У sinхcos nxdx4- • • . (1*7)
Заметим, что
4-
У sin рх cos qx dx — 0,	(1.8)
—п
если р и q какие угодно целые числа, и
У cosрх cos qx dx = 0,	(1-9)
12
Глава I
если р и q — любые неравные целые числа. Если же p — q> то
J cos2 рх dx = те.	(1.10)
Следовательно, в правой части (1.7) все интегралы, за исключением
одного, равны нулю. В результате получаем
J/ (х) cos nxdx^= J ап cos2 пх dx = апп (1.11)
—л	—г.
или
1
ап = — J / (х) cos пх dx.	(1.12)
Чтобы найти Ьп, мы поступим подобным же образом. Умножим (1.1)
на sinnx'^x и проинтегрируем от —те до 4-к. Найдем
4-к
£п = — J* /(х) sin/гх dx	(1.13)
—л
в силу соотношений
+-
J sin рх sin qx dx — 0,	(1.14)
если pz£q, и
I* sin2/7xrfx = K.	(1.15)
Формулы (1.6), (1.12) и (1.13) дают значения коэффициентов
Фурье1).
2) Формула (1.6) показывает, что я0/'2 есть среднее значение функции/ (х)._
Каждый член с синусом и косинусом в разложении (1.1) имеет в промежутке
от — тс до -{-тс среднее значение нуль. Эти члены исчезают при интегриро-
вании, указанном формулой (1.5), которое сводится, по существу, к усред-
нению.
Вывод формул (1.12) и (1.13) для ап и Ьп может быть назван процессом
усреднения „с весом". По умножении на синус или косинус каждый член
правой части разложения (1.1) имеет среднее значение нуль в интервале от
— тс до -|- тс, если только такой же синус или косинус не входит множителем
в рассматриваемый член. Таким путем исключаются все члены ряда, кроме
содержащих этот синус или косинус. Формулы (1.8)—(1.10), (1.14) и (1.15)
позволяют, следовательно, выделить отдельные члены разложения (1.1). По-
добным же образом поступают при разложении функций в ряд по любым
так называемым ортогональным функциям.
Ряды Фурье
13
Совершенно так же можно показать, что если функция задана
в интервале от 0 до 2тг, ее можно разложить в ряд Фурь,е того же
вида, что (1.1), с тем лишь отличием, что коэффициенты даются фор-
мулами
ап = -1 J* / (х) cos пх dx,	(1.16)
о
2ж
bn = — J/ (х) sin пх dx.	(1-17)
о
Еще до исследований Фурье такие математики, как Даламбер,
Эйлер, Клеро, пользовались частными случаями ряда Фурье и вычи-
сляли коэффициенты разложения по формулам, эквивалентным (1.6),
(1.12) и (1.13). Однако большой заслугой Фурье было указание на
то, что возможность разложения в ряд Фурье существует не только
для немногих частных функций, а является общим свойством любых
функций. Фурье пользовался рядами, носящими теперь его имя, в своих
классических исследованиях, посвященных теплопроводности 2).
§ 3. Некоторые примеры разложения в ряды Фурье, а) Най-
дем разложение в ряд Фурье функции, показанной на фиг. 2. Эта
функция такова:
у—\ (в интервале —к<^х<^0),
у = —1 (в интервале 0<Сх<^тс).
Согласно формуле (1.6), имеем
+7С	ГО	к
«О = 7 f f{x)dx = ^ j ( + 1) dx-\~ J ( — \)dx =
—к	—к	О
= 7-г=°-	(’-is)
Согласно формуле (1.12),
-|-1С	в	“
ап f (x)cos пх dx = j* (-J- 1) cos nx dx-\- 1*(— l)coszzx^x =
—к	— rc	9
О	к
^slnnx!	I	O1 0 = 0.	(1.19)
ТС	П	| К Tl |	1
—re	0
i) Исторический обзор теории рядов Фурье дан в книге Карслоу [1].
14
Глава I
Согласно формуле (1.13),
4-“
Ьп = — f / (х) sin пх dx =
о	-
J (+ 1) sin пх dx-[- — J (— 1) sin пх dx =
--	о
О	к
1	cos пх	I	|	1	cos пх |
п	ТС	I	1	л	п	I
-	о
1
TC7Z
1
----!----— ==----— (если п нечетное) I
™	™	т	Т.П
111 * 7
----1------=0 (если п четное). |
TC/Z 1 тс/z ъп 4	7	I
Следовательно, разложение в ряд Фурье функции, показанной на
фиг. 2, будет иметь вид
г / \	4 ( . sin Зх । sin 5х ,	\	Z1
/(х)= — -(япх—3--!------—(l.2l)
Фиг. 4. Треугольная функция.
б) Разложим в ряд Фурье
функцию, показанную на фиг. 4:
у = — х (от — к до 0)
и
у = 4- X (от О ДО 4“ 7Т)-
Таким образом,
«о =4/ f(x)dx =
—к
О	7Z
= 1 J - л- </л- + A J rfx = 0 + ”2 + й + 0 = к,	(1.22)
—к	О
Т'-
ап = — J /00 cos пх dx =
— к
О	-
— ~f — х cos пх ^х4““ j х cos пх dx. (1.23)
— Г	О
Интегрируя по частям, имеем
/, sin пх г sin пх .
х cos пх dx = х----------------I--------dx =
п J п
___ sin пх . cos пх
Х п 1 л2
(1.24)
Ряды Фурье
15
Следовательно,
о	-
а ______\ fs\nnx , cos пх\ I . 1 /х sin пх , cos пх\ I_
п~'	-Д п ‘	«2 / | “Г Т \ Л 1	Л2-) I ~
—г.	О
1 /	1	1	1	1 \	4 z	ч 1
= Т (- ТА - Л* - Л2 - Та) = - ТТТА (если п нечетное) I
1 / , 1	1,1	1 \ п ,	ч J ( • 5)
ЛД = О <если п четное)’ )
Далее,
-}-к
bn = — J / (х) sin пх dx =
о
х sin пх dx.
(1.26)
Интегрируя, получаем
j* х sin пх dx =
cos пх
х cos пх
f dx =
J п
sin пх
(1.27)
Следовательно,
ьп —
о
cos пх , sin пх \ I
х cos пх
sin пх
О (если
ч 1
п нечетное)
:и
п четное).
(1.28)
п
п
о
п
п2 7 I
о
1
Л
П
Таким образом, разложение в ряд Фурье функции, показанной на
фиг. 4, имеет вид
f(x) = (cosx cos 4“^cos 5х-]“ • • •)• (1-29)
Упражнения
1.	Найти разложение в ряд Фурье обрывка синусоиды, показанного на
фиг. 5.
2.	Разложить в ряд Фурье функцию
f(x) = ех от 0 до 2л.
16
Глава 1
Ответ:
ОО	ОО
—1Г/1 । VI cos пх Vi п sin п
г \2 ‘ ^Т-(-л2 -	1+л2 Л
?1 = 1	П = 1
3.	С помощью уравнения (1.29) показать, что
111	г2
1 Н-З^ + Зг + 72+	=-§--
Д
h
Фиг. 6. Примеры периодических
функций.
А—нечетная; Б—четная.
встречающиеся в технике, могут
§ 4. Разложение периодических функций в ряды Фурье. Пусть
функции, изображенные нафиг. 2 и 4, — периодические, т. е. имеют
вид, показанный на фиг. 6: каждое значение* функции повторяется
через интервалы, равные 2~. Тогда
их разложения в ряды Фурье,
выраженные равенствами (1.21) и
(1.29), справедливы при всех зна-
чениях х. В самом деле, при
увеличении х на 2- значение
каждого члена правой части
равенств (1.21) и (1.29) повто-
ряется, но если функция /(х)
имеет период 2~, ее значение
тоже повторяется при увеличении
х на 2тг. Таким образом, периоди-
ческая функция может быть пред-
ставлена для всех х единственным
рядом Фурье.
Функции, описывающие различ-
ного рода периодические процессы,
ть представлены единственным ря-
дом Фурье, у которого основной период совпадает с периодом
рассматриваемого процесса. Так, при установившемся режиме ток,
даваемый генератором, содержит постоянную слагающую плюс сину-
соидальную составляющую, имеющую период вращения генератора и
ее гармоники. Ток на выходе выпрямителя содержит постоянную со-
ставляющую и составляющую частоты возбуждающего тока и ее гармо-
ники. Эти утверждения, конечно, предполагают, что процесс имеет
строго периодический характер, т. е. повторяется совершенно точно.
Предыдущие высказывания следуют из математического факта
существования разложения в ряд Фурье.	I
§ 5. Нечетные и четные функции. Если /(х) есть нечетная
функция, т. е.
----/(X),	(1.30)
то все коэффициенты ап в разложении (1.1) обращаются в нуль
<и ряд Фурье состоит только из членов с синусами. Мы уже встре-
Ряды Фурье
17
чались с таким случаеАм (см. фиг. 2 или фиг. 6, Д); при этом оказа-
лось, что разложение в ряд Фурье (1.21) содержит только члены
с синусами. Чтобы доказать это в общем случае, рассмотрим
-г я
— J f (х) cos nxdx =
	0	тс = Y J*/(x)cos лхб/х-[-J / (х) cos пх dx.	(1.31) — гс	х 0
Из того,	что для всех значений 0 cos 0 = cos (— 0),	(1.32)
следует,	что если /(—х) = —/(х), 0	гс y/(x)cos/zx^Zx = — У f(x) cosnxdx.	(1.33) — гс	0
Подставляя уравнение (1.33) в (1.31), увидим, что все ап обращаются
в нуль. Кроме того, если /(—х) = — /(х),	'
4-гс	0	я
= J* f(x)dx = ^ J7(x)dx_|-1 J/(x)rfx = 0. (1.34)
— тс	—тс	О
Таким образом, aQ тоже обращается в нуль. Разложение в ряд Фурье
нечетной функции содержит, таким образом, только члены с сину-
сами.	'
Пусть теперь /(х)—четная функция, т. е9
(1.35)
В этом случае все Ьп обращаются в нуль, и ряд Фурье содержит
только члены с косинусами плюс постоянную слагающую.
Мы уже видели примеры такой функции на фиг. 4 (или фиг. 6,Б)
и нашли, что ряд Фурье (1.29) содержит только косинусы и постоян-
ную. Для доказательства общей теоремы рассмотрим равенство
+ гс	О
&п=~- J f(x)smnx dx = ^- j*/(x) sin/гх^х4“
— тс	—тс
+ ~ j* /(х) sin nxdx. (1.36)
о
Из того, что Для всех значений 6
sin 0 = — sin (— 0),
(1.37)
2 Зак. 2263. С. Гольдман
18
Глава I
следует, если / (— х) — f (х),
о	г.
J/(х) sin пх dx = — J/(х) sin nxdx,	(1.38)
— гс	о
так что все Ьп обращаются в нуль. Разложение Фурье в таком слу-
чае содержит только члены с косинусами и (возможно) постоянную.
Разумеется, функции не являются обязательно четными или нечет-
ными, и разложение функции в ряд Фурье содержит, вообще говоря,
как члены с синусами, так и члены с косинусами. Интересно отме-
тить, однако, что, как показывает формула (1.1а), каждая функция,
разложимая в ряд Фурье, является суммой четной и нечетной частей:
П — оо	п = <х>
/(•^)==-у+ ^ancosnx-]- ^Z»rasin«x. (1.39)
п=1	п=1
четная часть	нечетная часть
Возможность разбиения функции на четную и нечетную части сле-
дует из элементарного тождества
/(x)s/(5.)dV(-4 +	(1.40)
четная часть	нечетная часть
Тождество (1.40) дает очень простое средство для разделения
функции на четную и нечетную части.
В практическом гармоническом анализе удобно выбирать начало
координат так, чтобы разлагаемая функция была четной или нечетной,
если только она обладает симметрией, нужной для того, чтобы такой
выбор был возможен. Это избавляет от вычисления либо коэффициен-
тов либо коэффициентов а.
Упражнение
Показать, что shx есть нечетная часть ех, a ch х — четная. Вычертить
график ех, chx и shx в интервале от х = — 3 до х = + 3 и сравнить
с фиг. 10.
§ 6. Функции, разложение которых содержит только четные
или только нечетные гармоники. Типы симметрии. Нечетные и
четные функции, рассмотренные нами в предыдущем параграфе, не
следует смешивать с функциями, разложение которых содержит только
нечетные или только четные гармоники. Относительно последних мы
докажем следующую полезную теорему.
Если функция /(х), имеющая период 2~, такова, что
/(* +«)=-/(*),	(1.41)
Ряды Фурье
19
то ее разложение в ряд Фурье содержит только нечетные гар-
моники. Если
Г(х + «) = 4-/(х),	(1.42)
то ее разложение содержит только четные гармоники.
Доказательство проводится следующим образом.
Пусть ап и Ьп — коэффициенты Фурье, относящиеся к л-й гар-
монике. Тогда
2ге	п	2тс ап= 1* f(x)cosnx dx== 1* f(x) cos nx dx-\- J/(x) cos nx dx,		(1-43)
	0	0	re 2re	re	2re	
bn	= f(x) sin nx dx = J f(x) sin nxdx-\-	/(x)sinnxdx.	(1-44)
Ho	0	0	re cos [n (x 4“ rc)] = cos nx cos niz — sin nx sin niz = = cos nx (если n четное),	j = — cos nx (если n нечетное), J	(1.45)
sin [п (х 4“ К)1 = s*n пх cos пт: + cos пх sin niz =
= sin nx (если n четное), ]
,	X (1-46)
= — sin nx (если n нечетное)* J v 7
Назовем случай
/(х + т:)=-/(х)	(1.47)
случаем А, а случай
/(x + z) = -j-/(x)	(1.48)
случаем В.
Тогда
2ге
cos пх dx
о
(случай Д, п нечетное),
(случай В. п четное),
(1-49)
f / (х) cos пх dx — — f f(x) cos nxdx | (слУчай n четное) ц др)
'	( (случай В, п нечетное).
Подобно этому 2re	re J f (x) sin nx dx = J / (x) sin nx dx re	0 2r	re J /(x) sin nxdx = — J f (x) sin nx dx к	0	( (случай A, n нечетное), <	(1.01) ( (случай В. n четное), I (случай A, n четное), | (случай В, n нечетное),
2*
20
Глава I
‘Таким образом,
ЙП — J
о
dx = 2 J / (х) cos пх dx
о
(случай Д, п нечетное),
(1.53)
bn— f / (х) sin пх dx =2 J / (х) sin пх dx
о	о
Тогда как
(случай В, п четное).
ап = J / (х) cos пх dx = 0
о
2 тс
bn = j* / (х) sin пх dx = 0
о
(случай Д, п четное),
(случай В, п нечетное).
(1.54)
Мы таким образом доказали, что если /(х4~т:)==—/(х), т. е.
в случае Д, / (х) имеет только нечетные гармоники, так как коэф-
фициенты при четных гармониках обращаются в нуль. Точно так же,
если /(х-{-гс) = + /(х), т. е. в случае В, f (х) содержит только
четные гармоники.
Мы можем очень легко разбить любую функцию на части, содержа-
щие только четные и только нечетные гармоники, на основании сле-
дующего тождества, подобного тождеству (1.40):
(|.55)
четные гармоники нечетные гармоники
Мы здесь введем некоторые определения, касающиеся свойств сим-
метрии.
Определения: функция /(х) симметрична относительно Ь, если
/(& + х)=/(^ —х).	(1.56)
Таким образом, четные функции симметричны относительно нуля.
функция /(х) антисимметрична относительно Ь, если
/(^_|_х) = — f(b — х).	(1.57)
Таким образом, нечетная функция антисимметрична относительно нуля.
Периодическая функция f (х) периода 2Т зеркально симме-
трична, если
/(х+Т) = -/(х).
(1.58)
Ряды Фурье
21
Рассмотрение свойств симметрии синусов и косинусов с частотами
гармоник показывает, что косинусы с частотами нечетных гармоник
антисимметричны относительно ^/2, косинусы с частотами четных
гармоник симметрична относительно тг/2, синусы с частотами нечетных
гармоник симметричны относительно гс/2, синусы с частотами четных
гармоник антисимметричны относительно те/2. Рассмотрение этих фак-
тов в связи с фиг. 10 позволяет сделать следующее заключение.
*
Фиг. 7. Периодическая функция, имеющая
только четные гармоники.
1.	Необходимым и достаточным условием того, чтобы разложение
некоторой функции содержало только четные гармоники, состоит в тому
чтобы она имела период, равный половине периода, применяемого для
разложения Фурье. Например, ток на выходе двухполупериодного
выпрямителя (фиг. 7) имеет частоту, вдвое большую, чем ток на входе,,
и поэтому содержит лишь четные гармоники основной частоты послед-
него.
2.	Необходимым и достаточным условием того, чтобы разложение
Фурье некоторой функции содержало только нечетные гармоники,
Фиг. 8. Периодическая функция, имеющая
только нечетные гармоники.
является ее зеркальная симметрия. Примером такой функции может
служить ток на выходе двухтактного (пушпульного) усилителя. Такая
функция изображена на фиг. 8.
3.	Перенос начала координат может влиять на четность или не-
четность периодической функции, но не на присутствие или отсутствие
тех или иных гармоник 1).
2) Только в исключительных случаях нечетная функция может быть сде-
лана четной, и наоборот, посредством переноса начала координат. Такой
именно случай показан на фиг. 9. Нечетная функция общего ;вида, показан-
ная на фиг. 10, О, не может быть сдалана четной при переносе начала; точно
так же четная функция общего вида, показанная на фиг. 10, К, не может
быть таким способом сделана нечетной (см. § 7, упр. 1 и 2).
22
Глава I
Каждый радиоинженер хорошо знаком с этим обстоятельством из
собственного опыта: гармоники той или иной частоты имеют реальное
существование, независимое от выбора начала отсчета времени. Функ-
ция, которая в результате сдвига начала изменяется с четной на не-
четную, показана на фиг. 9 (см. § 9, упр. 2)
Ф и г. 9. Функция, которая переходит из четной в нечетную
в результате сдвига начала координат.
,, .	4 / cos Зх , cos 5х ,	\
4 / . sin 3xf , sin5x' ,	\
Упражнение
Дать точное доказательство утверждений, высказанных в п. 1—3.
§ 7. Анализ функции с точки зрения симметрии. Любая функ-
ция / (х), разложимая в ряд Фурье, может быть представлена в виде
/(х) = у -{“«1 cos х 4-^2C0S 2х4~ ••• 4~ sinx-j- #2sin 2x-j- ... (1.59)
Мы уже показали, что такая функция состоит из четной части
/1 (х) = 4" ai cos х 4~ а2 cos 2х 4~ • • •	(1 -60)
и нечетной части
/2(х) = sinx 4- b2 sin 2х 4~ • • •	(1.61)
Коэффициенты а и b вычисляются посредством интегрирования.
Оно может оказаться трудным, если исходная функция не задана
в удобной аналитической форме. Однако j\ (х) и /2 (х) легко получить
Ряды Фурье
23
из первоначальной функции графическим способом, без интегрирова-
ния. Это делается с помощью формулы (1.40). Из нее следует
(1.62)
/2 (х) =	.	(1.63)
Уравнения (1.62) и (1.63) позволяют вычертить (х) и /2 (х) по
кривым /(х) и /(—х) простым сложением и вычитанием ординат.
Можно разбить функцию на части, имеющие разные типы сим-
метрии, пользуясь либо рядами Фурье, либо функциональными уравне-
ниями, подобными уравнениям (1.62) и (1.63). Последнее особенно
удобно при графическом анализе. Вид и свойства частей с различной
симметрией систематизированы на фиг. 10 и там же проиллюстриро-
ваны для случая функции общего вида, т. е. не обладающей тем или
иным из рассмотренных видов симметрии. Под графиками приведены
функциональные выражения компонент различного типа симметрии
и вид их разложения в ряд Фурье. Эти формулы годятся для всех
функций и поэтому полезны в качестве справок.
Упражнения
1. Показать, что нечетная функция, имеющая только нечетные гармо-
ники, может быть превращена в четную смещением начала координат на те/2.
2. Показать, что четная функция, имеющая только нечетные гармоники,
может быть превращена в нечетную смещением начала координат на тг/2.
§ 8. Изменение интервала разложения. До сих пор в нашем рас-
смотрении разложения в ряд Фурье мы ограничивались функциями,
заданными в интервале от —тс до 4"'1и или от 0 ДО 2тс. Легко, однако,
преобразовать рассмотренные ряды Фурье в ряды для функций, задан-
ных в интервале от —7/2 до 4-Tz2 или от 0 до 2тс, где Т—не-
которая постоянная. В этом случае
f (х) = у -ф- 01 COS у X + 02cos4yx4~ • . • +
+ ап cos 2/г у х 4“ .. . -р sin у х 4“
4- sin 4 у х 4- ... 4- sin 2п у х Д- ...,	(1.64)
* 2Z (an COS nx + 8n Sin ПХ)
n = 1
ffc*n}:& -a,cosx-6jsmT+a2cos2T*e2stn2x♦
f (- x * л) - - at cos x + в, sinx * a2cos 2x - e2 sin 2т *
CD
fi x} (ancos nx-ensm nxl
n=i^
часть
f(x)*f(x + n]_ a0
2	=2
* a2cos2x +e2sin2x * •-
-^o + atcos x*a2cosZx*-"
2	2	2
Нечетная
часть
fix}-f(x^n)=nrrn<:r^^inI^a2COS3jr.e,sin3x^- f(x)’2f.Lx)z etsinx^e2sin2x-8^sm3x^-
Фиг. 10. Типы симметрии.
^a2cos2x + •*•
-atCosT*a2cos2x-
2	2	'	4 •
-a3cos 3x
f (X^Tl)-f (-T *n] -_gf s'in T . g?5in 2x
★e3sin 3x ♦•••
Четные гармоники
четной части
f(xhfl-x}^f[x^n)^f(-x^n)_^
4	* 2
* a2cos2z+ci4coshx+ 
M
Четные гармоники
нечетной части
= e2sin 2х -^6^sin Ьх * —
Нечетные гармоники
четной части
f[x/^{-x)-ffx^n)-f(-x^n) z cosx
ч	1
+ a3cos3x+--
Нечетные гармоники
нечетной чести
f(x)-f(-x}-f(x^nl ^t-x*n/_eiSin
Фиг. 10. Типы симметрии.
26
Глава I
где
Ч-Т/2	Т
= ~ j* f(x)dx,	или a0 = y|/(x)f/x,	(1.65)
— Т/2	О
+ Т/2	Т
ап = у j* ./(х) cos —-у- dx, или ап—~ J/(x)cos^^afx, (1.66)
— Т/2	О
д-Т/2	Т
bn = ^ j* f (*) sin?^^dx, или bn = у J/(x) sindx. (1.67)
—T[2	0
Читатель сможет легко вывести эти формулы тем же методом,
который применяется в этой главе для разложения в интервале
•от —те/2 до 4-^/2.
Одна и та же функция f (х) может быть представлена в опреде-
ленном интервале в виде различных рядов Фурье, имеющих различные
периоды (см. приведенное ниже упражнение). Разумеется, в случае
периодической функции можно пользоваться для выражения функции
при любом значении аргумента только тем рядом Фурье, период
которого совпадает с периодом функции.
Упражнение
Разложить пилообразную функцию (фиг. 11)
f (х) = X	(ОТ — ТС ДО + ?:)
в ряд Фурье.
Ответ:
f (х) = 2 fsin х-----sin 2х + sin Зх---------sin 4х -f~ • • •
\	2	о	4
Если интервалом разложения является интервал от —тс/2 до тс, 2, то
ряд Фурье будет
/ (х) = sin 2х — | Sin 4х + -1- sin 6х + ...	(— 1)п—1 — sin 2пх
2	о	П
Ряды Фурье
27
Б области от —тс/2 до + тс/2 имеют место оба разложения, однако
последнее разложение не годится за пределами интервала —-у <-*<. +“g* •
§ 9. Комплексная форма разложения Фурье. Разложение
Фурье (1.1) или (1.1а) и вспомогательные формулы (1.6), (1.12) и
(1.13) могут быть написаны в более простой и изящной форме с по-
мощью комплексных экспоненциальных функций. Чтобы это сделать,
напишем сначала общий член разложения (1.1), а именно
ап cos пх 4- Ьп sin пх,
в виде комплексной экспоненциальной функции, пользуясь экспонен-
циальными выражениями для косинуса и синуса И:
ejnx I е -jnx	ejnx___е -jnx
ап cos пх + bn sin пх = а„-----±--------1- Ьп-----------=
= ~jbn eJnx ап +Jt>n e-j„x_ q 68j
Следовательно, если мы напишем
сп = 52>.-/*?л,	, (1.69)
=	(1.70)
И
Со = |°>	(1-71)
то формула (1.1а) примет вид
7? = -|-СО
/(х)= 2 Cnei™.	(1.72)
П— —оо
Заметим, что суммирование ведется по целым как положительным,
так и отрицательным значениям п, включая также и нуль.
Формула (1.72) имеет очень простой вид. Мы теперь покажем,
что существует также очень простая формула для определения коэф-
фициентов С по заданной функции /(х). Подставим для этого
Они следуют из тождества Эйлера
= cos 0 + / sin 0.
28
Глава I
значения ап и Ьп из формул (1.12) и (1.13) в формулы (1.69) и (1.70).
Получаем
Сп — ап =~ j f(x) (cos пх — /sin пх) dx =
= ]f(x)e-i™dx,	(1.73)
— те
С_ п =	= ± f f(x) (cos пх -|- j sin пх) dx =
= J f{x)einxdx.
(>•74)
Кроме того, из формул (1.6) и (1.71) получаем
4-те
Со = ? = ^ f/(x)dx.	(1.75)
— те
Формулы (1.73), (1.74) и (1.75) можно объединить в одну,
а именно
+ те
(L76)
— те
где п принимает все положительные и отрицательные целые значения,
включая и нуль.
Таким образом, для написания ряда Фурье в комплексной форме
нужны только две формулы, а именно (1.72) и (1.76). По сравнению
с ними обычные тригонометрические выражения (1.1), (1.6), (1.12) и
(1.13) являются довольно громоздкими.
Простота выражения (1.72) происходит от того, что каждая
гармоническая составляющая выражается в нем суммой двух сопря-
Ряды Фурье
29
ценных комплексных величин 2), т. е. в виде
Спеэ™> 4- С_пе~эпх — ап ~~!Ьп е^пх 4“	е-эпх =
= ап cos пх 4“ Ьп sin пх,	(1.77)
Комплексная форма дает нам сведения относительно фаз гармоник
без необходимости вводить их явно.
Если перейти от разложения в интервале от —~ до 4"77 к раз-
ложению в интервале от 0 до Т (так же, как в § 8), формулы
(1.72) и (1.76) принимают вид
П = 4-00	. 2тшт
/(*) = 2 Спе~^~,	 (1.78)
П = —ОО
. 21СЛЖ
Cn = ^f(x}e~3~dx,	(иэ)
О
Комплексную форму разложения в ряд Фурье часто следует пред-
почитать тригонометрической при решении как практических, так и
теоретических задач, особенно при вычислениях, требующих диффе-
ренцирования и интегрирования 2). Для иллюстрации комплексной
формы разложения Фурье мы разберем теперь несколько примеров.
х) Если z = а-\-jb есть комплексная величина, то а — jb называется ее
сопряженной комплексной величиной и пишется z* (или z). Следующие
формулы, относящиеся к комплексным сопряженным величинам, могут быть
полезны для решения задач, встречающихся в различных частях книги:
z • 2* = а2 + &2
z + z* — 2а,
z — z* = j2b,
2*+z*=(Z1 + z2)*
z* • Z2 = (Zj • z2)*,
Z1 _ / ZY \
I ) ’
Z1 \Z2 J
(Z*)* == Z,
(z*)n = (z7/)*,
1 _ /1\*
z*~\z ) ’
если z действительно, то z* = z,
если z мнимое, то z* = — z,
(Rety* —	, где R и ср —действительные.
2) Это предпочтение объясняется тем, что интегрирование и дифферен-
цирование экспоненциальной функции сводится к умножению ее на постоян-
ную. (Прим, ред.)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(б)
(7)
(8)
(9)
(Ю)
(И)
(12)
30
Глава I
Упражнения
1.	Написать формулы, аналогичные (1.78) и (1.79), для интервала от Т\
№ Л вместо интервала от 0 до Т.
2.	Показать, что если начало координат смещено в положительном напра-
влении на величину xlt абсолютная величина каждого Сп в комплексном
разложении Фурье любой функции не изменяется, но фаза уменьшается на
величину 2ттХ1]Т. Это — обобщение заключения 3 из § 6.
§	10. Примеры, а) Прямоугольный сигнал. Для того чтобы
сравнить применение комплексной и тригонометрической форм разло-
жения Фурье, воспользуемся уже известным нам примером (см. § 3,
пример а). В нем речь идет (см. фиг. 2) о функции
/(%) = + 1	(от —~ до
/(х) = —1	(от 0 до
Подставив эти значения в (1.76), получим
+ л	Ок
Сп = ~^ J f(x)e^nxdx = ^ J e-^nxdx — e-Jnxdxz=
— к	—к	0
0
-1— e-jnx I J------1--
2njn I ” 2njn
— к
d?-/»»! = — дД-
I 2туя
о
+	- 2^ <2 -	~	0 -80>
Из формулы (1.80) следует, что если п — четное целое число или
нуль 2), то
=	(1.81)
так как в этом случае
^ = е^пя=1.	(1.82)
С другой стороны, если п—нечетное число, то
^ = e“^==—1	(1.83)
и, следовательно,
1) При л = 0 правая часть уравнения (1.80) становится неопределенной,
Но вернувшись к исходному интегралу, мы получаем
-{-к	0	к
c«-l J/W^-я J	+	J	=
— я	—к	0
Ряды Фурье
31
Подставив формулы (1.81) и (1.84) в формулу (1.72), получим
,, .	2(^х — е~^\	2(^х-е~^х'
= -- (---j--) -	{---j--
2 /е№_е-1ъх
5я \ j
г, ч 4 / .	. sin Зх . sin 5х .	\
/(х) = —-(япх-|---3— Н--5-+..J.	(1.86)
Формула (1.86) совпадает с формулой (1.21), так что в обоих
случаях мы получили одинаковый результат. Вычисление коэффи-
циентов Фурье в комплексной форме несколько проще, так как нет
необходимости отдельно рассматривать синусы и косинусы. Ком-
плексная форма (1.85) часто удобнее, чем тригонометрическая, также
и при решении практических задач.
6) Импульсы произвольной продолжительности. В качестве дру-
гого примера рассмотрим разложение в ряд Фурье периодической
последовательности импульсов произвольной продолжительности. Та-
Фиг. 12. Свойства периодически повторяющихся узких
импульсов.
А — график функции, представляющей периодически повторяющиеся
импульсы; Б — вид компонент разложения в ряд Фурье функции А
для каждого значения л, если Г^>(4-Л).
кой ряд импульсов показан на фиг. 12, А. Эти импульсы имеют
продолжительность /2— tx и повторяются через интервалы времени Т.
Чтобы найти разложение Фурье, мы воспользуемся формулами (1.78)
и (1.79). Заменим переменную х на /, так как независимой пере-
менной в практических задачах подобного рода обычно является
врелут.
32
Глава I
Имеем	f (/) = А	(от до /2)
и
/(0 = о
в остальных местах интервала — от 0 до Г.
Подставляя эти значения в формулу (1.79), получим
. 2nnt	я ^2	; 2itnt
Cn = ±ff(t)e~3~^dt = £f e~3~^dt =
о
.	_ ,2nnt	t .2кп^	,2xnt,
=	' = — ~{е~3^~—е~3~^).	(1.87)
Т j2nn	I* j2nn 4	' v 7
Следовательно, разложение Фурье таково:
00	-	.2кп^	,2nnti .2nnt
/(0 = 2	(e~3 — -e-3-T-)e3-T-.	(1.88)
П = — оо
/(0=^+2-^-^-/—-»“'^-+
л = 1
tj~l	Л Г . 2~n(t—/2)	. 2~n(t—/]) 1 , n
-н т J=Co+JL — ™Г1П—-----------------------------у--J,(1.89)
п = 1
где, согласно формуле (1.87),
т	ъ
C0 = ^ff(t)di=yfAdt = ^^.	(1.90)
о
Чтобы найти амплитуды и фазы гармоник, развернем выраже-
ние (1.89):
оо
/гл r> । А ( . 2nnt 2nnt* 2nnt . 2тгп/0
f (0 = CQ + 2j — ™ ksin ~~T cos — — cos -y- sin -y-2 —
. ^nt 2^nti .	. 2nnti
— sin ~y~ cos—jA- + cos-y— sin—jA-
I V1 ГЛ. 2тсл/2 2кп1Л . 2^nt f , 2itnt2
= co+ 2j~ ™|дС05~Г---------cos-y-Jsin^--------^sin-yA —
i
co
.Innti \ 2imf\ t V A ( o . Гпп
Sin	J COS J — C04" Xi	Kn | 2sin l^y (/2  ^1) j X
X Sin	(Z2 — )] sin — 2 sin (/2 — /Jj cos + /j] X
X cos} = Co + 2	{sin [t (z2—Л)] cos(?y^ —	, (1.91)
1 •
Ряды Фурье
33
где	(1.92)
Если t\ = — Т/2 и —0, формула (1.91) принимает вид
ОО	СО
А . \12Л . яп /2яп/	\ А VI 2А . 2ътЛ ,л поч
/(0=2+l^s‘nTH-F-^)=2“l^S,n-r-’ <L93)
1	m=l
где т принимает только нечетные значения. Этот результат согла-
суется с формулами (1.21) и (1.86), причем, разумеется, постоянные
составляющие отличаются на Л/2, и вместо 4 в формуле (1.86) в фор-
муле (1.93) стоит 2А.
Согласно формуле (1.91), амплитуда п-й гармоники равна абсо-
лютной величине выражения
Jdsin^-^).	(1.94)
Особенно интересен случай, когда период повторения импульсов Т
велик по сравнению с их продолжительностью /2— tv Диаграмма,
показывающая для этого случая распределение амплитуд гармоник,
изображена на фиг. 12, Б; амплитуда, определяемая выражением (1.94),
дана как функция числа п. Области, отмеченные на диаграмме зна-
ком минус, отличаются от областей со знаком плюс сдвигом фаз
на 180°. Если нас интересуют только амплитуды, соответствующие
части кривой могут быть заменены пунктирной линией.
Распределение имеет главный максимум около нулевой частоты
и побочные максимумы при
(1.95)»)
Минимумы, амплитуда которых равна нулю, расположены при
Т
п = целому кратному от —.	(1.96)
Упражнения
1. Найти разложение Фурье для импульса, показанного на фиг. 13, и
разобрать его свойства.
2. На фиг. 12, А передвинуть ось у в середину одного из импульсов
так, чтобы было = — /2- Это превращает последовательность импульсов
*) Функция sin х/х имеет максимум при № tg х. Это легко показать
дифференцированием.
3 Зак. 2263. С. Гольдман
34
Рлава I
в четную функцию. Получить для этой функции разложение Фурье и за-
метить, как просто оно получается. На практике для упрощения разложения
Фурье, если это возможно, располагают ось у так, чтобы функция была
четной или нечетной.
§ 11. Среднее значение произведения двух функций, выра-
женное через их коэффициенты Фурье. Пусть /(х) и g(x)— две
функции, разложимые в ряд Фурье в интервале от 0 до 2к:
оо
/ (х) = ~ -f- (ап cos пх 4- bn sin пх)	(1-97)
n=l
и
оо
g (х)=j+2 (Ап cos nx +sin nx}‘ 0,98)
n —1
Тогда среднее значение произведения обеих функций в том же
интервале
2 it	00
J /(х) g(x) dx =	|2 (Мп + bnBn\	(1.99)
о	п=1
Формулу (1.99) легко получить, подставив формулы (1.97) и
(1.98) в интеграл формулы (1.99) и проинтегрировав ее почленно.
Мы будем иметь интегралы вида
2п
J apBq cosрх sin qx dx,
о
2ге
J apAq cospx cosgx dx,
о
2 re
У bpBq sin px sin qx dx,
0
2ic
и	У Aa$nCQsnxdx,
0
2rc
У aQBn smnxdx.
0
Все они обращаются в нуль за исключением
2 тс
У апАпсъ& пх dx = TtanAn	(1.100)
о
яды Фурье

и
J bnBnsw? nx dx == itbnBn.	(1.101)
о
Таким образом, мы приходим к формуле (1.99). Полное ее до-
казательство требует доказательства сходимости и интегрируемости
произведения рядов. Такое доказательство можно найти в книге
Карслоу [1]г).
Читатель сможет легко вывести комплексное соотношение, равно-
сильное (1.99), а именно
2л	-J"00
if f (х) g (х) dx = 2 спС-п>	(1.102)
О	?) = — ОО
причем
г , ап j^n и	п  Ап	]Вп
сп	2	и	—	2	9
р   ап ~l~ Jbn и р  Ап jBn
с-п	2	и	~	2
Как следствие формул (1.99) и (1.102), имеем
2п	2	оо
if[/W]2^ = ^ + l 2(4+*»)	[(1.103)
О	п = 1
ИЛИ
2я	+оо
if [/(*)№ = 2 спс-п-	(1.104)
О	?1 =—оо
Предыдущие теоремы нам будут нужны при рассмотрении в следую-
щей главе эффективного значения тока и поглощаемой мощности.
§ 12. Сходимость рядов Фурье. Дифференцирование и интегри-
рование 2). Все ряды Фурье, получаемые в радиотехнических задачах
путем разложения заданной функции, являются сходящимися. Однако
не все они сходятся одинаково быстро. Так, ряд в формуле (1.21)
сходится как 1/п, ряд в формуле (1.29) — как 1/л2. Как известно из
теории бесконечных рядов, для того чтобы была обеспечена абсолютная
сходимость, члены ряда должны уменьшаться с возрастанием п быстрее,
чем 1/л. На этом основании сходимость ряда (1.21) определяется не
только коэффициентами ряда, но зависит также от свойств синусои-
дальных множителей. Это различие между рядами в отношении
О См. также [4]. (Прим, ред.)
2) Глава X т. 1 книги Гильемена [5] содержит дополнительные сведения
о рядах Фурье, в частности, относящиеся к формулам суммирования. Автор
заимствовал из этой книги ценный материал для настоящей главы.
3*
36
Рлава t
быстроты их сходимости имеет большое значение для их дифферен-
цируемости.
Пользуясь хорошо известными формулами для дифференцирования
и для интегрирования функций cos пх, sin пх и einx, можно формально
проинтегрировать и продифференцировать любой ряд Фурье. Однако
при дифференцировании cos/zx, sinzzx или еэпх по х в соответствую-
щем члене ряда появляется множитель п, который уменьшает быстроту
сходимости ряда. Точно так же интегрирование повышает быстроту
сходимости ряда. Ряды Фурье, полученные дифференцированием сходя-
щегося ряда Фурье, не обязательно будут сходящимися. Но ряд Фурье,
полученный почленным интегрированием сходящегося ряда Фурье,
всегда сходится к значению интеграла той функции, которую пред-
ставляет интегрируемый ряд.
Из предыдущего отнюдь не следует, что нельзя дифференцировать
ряд Фурье. Однако после дифференцирования всегда нужно исследо-
вать полученный ряд на сходимость.
Упражнение
Продифференцировать ряд (1.29) и сравнить результат с формулой (1.21).
Можно ли было ожидать такой результат, сравнивая* фиг. 2 и 4?.
§ 13. Гармонический анализ. Явление Гиббса. Следуя термино-
логии, употребляемой в музыке, все составляющие члены вида
/lncos(/zx-4-?w) называют гармониками от /41cos(x4~?i)« Последнее
выражение называется основным колебанием. Частоты составляющих
называются соответственно частотами гармоник и основной частотой.
В технике часто 'встречается необходимость установить состав
гармоник данной интересующей нас функции, например напряжения
или тока определенной формы. Если колебание периодическое и если
Оно дано в электрической форме или может быть переведено в нее,
то его состав можно установить с помощью электрического прибора
(гармонического анализатора), содержащего настроенные фильтры
изменяемой частоты. Такие приборы указывают амплитуду и частоту
составляющих ряда Фурье. Они не дают их фазы, но это часто бывает
не существенно.
Существует также численный метод определения приближенного
значения первых коэффициентов Фурье при анализе кривой. Его
описание можно найти в литературе, например в книге [6] х).
Кроме того, существуют различные типы механических гармони-
ческих анализаторов. Эти машины дают амплитуды и фазы гармоник
изучаемой кривой. Относящийся к этому типу аппарат Майкельсона
и Стрэттона позволяет определять гармоники вплоть до п = 80* 2).
П См. также работу А. Н. Крылова [7]. (Прим, ред.)
2) См. статью Буша [8].
Ряды Фурье
37
Прибором можно также пользоваться для синтеза кривой, если дан
состав ее гармоник.
Когда прибор Майкельсона и Стрэттона был применен для синтеза
кривой, заданной рядом, подобным (1.21), было обнаружено странное
явление. При добавлении гармоник высоких порядков синтезированная
кривая приближается к исходной функции, за исключением точек
разрыва. В этих местах появляются маленькие выступы, как показано
на фиг. 14. При добавлении более высоких гармоник эти выступы
Ф и г. 14. Графическое представление членов ряда Фурье
функции у = х и суммы членов, иллюстрирующее возникно-
вение явления Гиббса.
Цифры около кривых означают номер гармоники; 5^—сумма п гармоник#
сдвигаются к точке разрыва. Таким образом бесконечный ряд в пределе
приближается по виду к требуемой функции, за исключением этих
выступов около точек разрыва. Эта „неправильность" называется явле-
нием Гиббса, так как Гиббсом было указано, что явление, открытое
Майкельсоном и Стрэттоном, — не результат погрешности прибора,
а вытекает из свойств разложения Фурье. Можно показать, что если D
есть величина разрыва функции, т. е., например,
AsW—Л(х)
38
Глава 7
на фиг. 3, то величина выступа для функции с периодом 2тг равна
0,08957) *).
Явление Гиббса служит интересным примером особенностей, ветре*
чающихся при процессах перехода к пределу. На стр. 82 проводится
дальнейшее обсуждение маленьких выступов, характерных для явления
Гиббса. Там указано, что эти выступы равны взятой с обратным знаком
сумме членов, стоящих позади последнего из членов, использованных
при построении графика функции на основании ее разложения в ряд
Фурье. Когда число используемых членов ряда Фурье увеличивается,
суммарная площадь выступа на кривой уменьшается; при этом выступы
не уменьшаются по высоте, а только становятся уже. Это не должно
казаться странным: по мере того как продвигается процесс перехода
к пределу, выступы на кривой образуются составляющими все более
высокой частоты.
Как будет показано в гл. IV, явление Гиббса имеет и техническое
значение вследствие его связи с явлениями, происходящими при про-
хождении сигналов через передающие системы.
§14. Продолжение обсуждения. Прежде чем перейти к радио-
техническим применениям рядов Фурье, сделаем несколько общих
замечаний. В первую очередь следует указать, что функции можнс
разлагать в ряды не только по синусам и косинусам, но и другим
типам функций. Возможно разложение функций по любым функциям,
образующим так называемую полную систему * 2).
Особое значение рядов Фурье в математике объясняется простотой
функций синуса и косинуса. С другой стороны, значение гармони-
ческих колебаний (т. е. синусов и косинусов) в физике и радиотехнике
связано с тем, что они являются единственным типом колебаний, ко-
торые сохраняют свой вид при прохождении через любую линейную
систему с постоянными параметрами 3), например электрические контуры,
в которых параметры L, /?, С не зависят от амплитуды и от времени.
В заключение этой главы приведем выдержку из книги Рэлея [9]
относительно значения гармонических колебаний в акустике. „Убедив-
шись в том, что ноты обычно являются сложными и что только один
*) См. стр. 294 книги Карслоу [1]. Предельное значение выступа имеет
точное значение [(2/тс) Si (тс)—1] D. Функция Si(x) определена и рассмотрена
в гл IV.
2) Подчеркнем значение того факта, что для разложения функции необ-
ходима полная система ортогональных функций. Не следует думать, чтс
возможность разложения в ряд Фурье может быть объяснена просто тем, чтс
раз он состоит из бесчисленного множества членов, его можно подогнать
к любой функции подходящим подбором коэффициентов. Если из совокупности
синусов и косинусов удалить, например, функцию sin Зх, она все еще будет
содержать бесконечное число членов, тем не менее невозможно разложить
по оставшейся совокупности функцию, показанную на фиг. 2 или 6, А.
3) Это связано с тем, что функции ± sin х и zt cos х имеют одинаковую
форму и переходят друг в друга при дифференцировании и интегрировании
Ряды Фурье
39
особый их вид, называемый тонами, недоступен для дальнейшего ана-
лиза, мы должны выяснить, что же является физической характеристи-
кой тонов, определяющей их своеобразие? Какого рода те периоди-
ческие колебания, которые дают простой тон? В соответствии с какой
математической функцией времени меняется давление з слуховом про-
ходе? Более важного вопроса в акустике быть не может.
Простейшими периодическими функциями, с какими знакомы мате-
матики, являются круговые функции, выражаемые с /юмощью синуса
и косинуса; в самом деле, других функций, которые приближались бы
к ним по своей простоте, нет. Они могут обладать любым периодом
и, не допуская никакого другого изменения (за исключением величины),
представляются вполне подходящими, чтобы образовывать простые
тона. Кроме того, Фурье доказал, что наиболее общая однозначная
периодическая функция может быть разложена в ряд по круговым
функциям, периоды которых целое число раз содержатся в периоде
данной функции. Таким образом, следствием общей теории колебаний
является то, что только тот частный их тип, который мы склонны
теперь рассматривать как соответствующий простым тонам, способен
сохранять свою целостность среди превратностей, каким он может
подвергаться. Всякий другой вид колебаний, поскольку одна его часть
затрагивается в иной степени, чем другая, доступен какому-либо физи-
ческому анализу. Если бы анализ внутри уха происходил по принципу,
отличному от того, который имеет место в согласии с. законами нежи-
вой материи вне уха, следствием этого было бы то, что звук, перво-
начально простой, мог бы превратиться в сложный на своем пути
к наблюдателю. Однако нет никаких оснований полагать, что в дей-
ствителЬно*сти происходит что-либо подобное. Если принять, что в согла-
сии с теми представлениями, какие мы можем создать об интересующем
нас предмете, анализ звука внутри уха должен осуществляться физи-
ческим механизмом, подчиняющимся тем же законам, какие господствуют
снаружи, то все говорит за то, что ответственными за образование
тонов следует считать колебания, выражаемые круговыми функциями.
Мы, однако, не доверяемся целиком общим соображениям, подобным
вышеизложенным. В главе о колебаниях струн мы увидим, что теория
во многих случаях заранее осведомляет нас о природе колебания, совер-
шаемого струной, и, в частности, о том, является ли его компонентой
какое-нибудь определенное простое колебание или нет. Здесь мы уже
располагаем решающим критерием. Экспериментальным путем устано-
влено, что всякий раз, когда, согласно теории, имеет место какое-либо
простое колебание, можно слышать соответствующий тон, всякий же
раз, когда такое колебание отсутствует, этого тона слышать нельзя. Мы
вправе поэтому принять, что простые тона и колебания кругового типа
неразрывно связаны друг с другом. Этот закон был открыт Омом.
Глава II
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
РЯДОВ ФУРЬЕ
§ 1. Двухполупериодный выпрямитель. В качестве простого
примера применения рядов Фурье мы рассмотрим двухполупериодный
Фиг 15. Двухполупериодный выпрямитель.
Д—принципиальная схема; Б—упрощенная эквивалентная схема; /?£—со-
противление нагрузки; г —сопротивление диода и одного плеча трансфор-
матора.
Ф и г. 16. Токи в различных цепях двухполупериодного вы-
прямителя.
А—ток через диод 1 (фиг. 15); Б—ток через диод 2; В—ток через на-
. I Е sin (ot I
rpy3Ky/=|^w|-
выпрямитель. На фиг. 15, А приведен схематический чертеж двух-
полупериодного выпрямителя, на фиг. 15, Б—его упрощенная экви-
Радиотехнические применения рядов Фурье
41
валентная схема, причем реактивностью контуров пренебрегается. Во
время одной половины периода приложенного напряжения анод диода 1
положителен относительно его катода, и диоЪ пропускает ток. Во
время следующей половины периода анод отрицателен по отноше-
нию к катоду, так что диод ведет себя как бесконечно большое
сопротивление и не может пропускать ток. Следовательно, ток, про-
ходящий через диод 7, состоит из „полу синусоидальных" импульсов,
показанных на фиг. 16, А. Ток через диод 2 течет в те промежутки
времени, когда он не проходит через диод 7; соответствующая кри-
вая показана на фиг. 16, Б. Оба эти тока проходят через нагрузоч-
ное сопротивление 7?^, следовательно, суммарный ток, проходящий
через это сопротивление, имеет вид „выпрямленной синусоиды", по-
казанной на фиг. 16, В.
Для практики важно знать величину постоянной слагающей вы-
прямленного тока, проходящего через Rl , и также амплитуды гар-
т,	,	I 7: sin |
моник. Их можно легко определить, разложив функцию ъ—г-— ,
I "Г гр I
изображающую выпрямленный ток, в ряд Фурье. Пользуясь уравне-
ниями (1.6), (1.12) и (1.13), будем иметь
Hit =
f
р
Е

«0 = 7 f /(<o0rf(®O = 7
ф£е=0	ц>£ = 0
t 1 f Bsinw/ л
J Яь+'р^ —	+ rp)
<D# = W
x(— cos®/1 4-
<D#«=0
_ 4E
к (7?ь + rp)
u)f ==2я
««=7 J /(®0cosn«<d(®0 = l J
(0^ = 0	0
2rc
I If E sin Ы cos n (at , z
-----------------------d (<»f) =
p
I )= ’'(Яд+'р)
ШГеззЖ
(2.1)
Е sin w/ cos п ">t . / Л >
к
=	Е
E	1
+	2
1 / cos [(п 4- 1) <“/]
2 ( п + 1
COS [(n — 1) co/] I I
n— 1 JI
0
2rc
cos [(n — 1) CD/]
n — 1
42
Глава II
=	___(___________________1_ । _L_
2я(/?ь + г^)\ n + l‘n—1	« + 1тл-1
_L_J_______L__L_L_\ =
n — l «4-1 “ n — l J
4E
=-----7n—; г/-»—г?- (если n четное),
’Ч^ь + 'рМ'г2—1) v	7
_L_ _L
«4-1
(2.2)
—	E ( 1	1	1 I 1	।	1
a,i~~	2л (Rl 4- rp) (. «4-1	n—l	«4-1 ’’« —1 *";« 4-1
-~Г~ 7Г^т + 7“г) = 0 (если " нечетное).	(2.3)
Поскольку функция, показанная на фиг. 16,В,— четная, то, как^
мы знаем из гл. I, § 5, все коэффициенты b должны обратиться
в нуль. Следовательно,
| Е sin mt I 2Е A 2 cos 2<&t	2 cos 4otf \
Г +^)V 23ZTT 43-1	••
Таким образом, постоянная слагающая выпрямленного тока равна
2Е
(R L + гр)
Заметим, что здесь нет четных гармоник. Это видно без всяких
вычислений из того, что ток на фиг. 16, В имеет частоту ш/х.
Упражнения
1. Ре&ить задачу о двухполупериодном выпрямителе, пользуясь ком-
плексной записью ряда Фурье.
2. Ток в однополупериодном выпрямителе имеет приближенно форму,
показанную на фиг. 17 (чередование „полусинусоидальных* импульсов).
Найти: а) значение постоянной слагающей тока; б) амплитуду основной гар-
моники; в) амплитуду второй гармоники.
§ 2. Усилитель, работающий при насыщении. Обычно встре-
чающееся явление в усилителях — отсечка или насыщение сигнала на
данном уровне. Это явление представлено на фиг. 18. Оно вызывает
появление гармоник и известное ослабление сигнала на основной
частоте. Сделаем количественный расчет.
Радиотехнические применения рядов Фурье
43
Пусть сигнал, изображенный на фиг. 18 а), будет Дсобш/, кроме
области насыщения, и пусть насыщение наступает на уровне A cos?
в пределах от со/ = — ? до = ~|- ?.
Фиг. 18. Явление насыщения.
Разложив функцию в ряд Фурье, имеем
4-я	.	— <?	+?
а0 = ~ J* f (<о/) d (w/) = J A coswM (w/) -f“ J* A cos ? d (оо/)-}-
—Я	—Я	— ф
я	—ф	ф	я
J* A cos®td (со/) = — (sin(At | -{-(co/) cos ? | -|-sina>/ | ) =
ф	Ц)£з=с—я	U)^ = — ф	ф£==ф
Я /	\ 2Л
= — (— sin ? 4~ ? cos ? + ? cos ?—sin ?) = — (? cos ? — sin ?),	(2.5)
4-я	— ф
an = — J/ (ш/) cos n odd (<of) = — J A cos a>t cosn mtd(Ы) Ц-
-----------Я	—TC
4-Ф	it
4~ Y J A COS? COS fl ntd + ~ J A COS (At COS П (At d ((At) =
—Ф	Ф
—Ф
__A f	sin [(n Ц-1] <oZj	.	sin[(« — 1) <o/J	|	I	j
“ «I 2(» + l)	I 2(n —1)	f	I	•
(1X1 =—я
4-Ф
। A cos cp / sin n u>t \ |	j A f sin [(n + 1)	f
К	\ n J I	2(n + 1)
u)£==— ф
 sin [(n — !)«>/] 1 I А Г sin(n-|-l)<p n
"1“	2(n— 1) f|	2(«+l) -~u —
U)/ = ф
sin (n — 1) ср	Л"| ।	A cos cp	/'sin лер	(	sin лер \ (
2(n —1) J ' S	k~n	। J +
J) Выбор начала счета времени не влияет на величину гармоник. По-
этому можно исходить из простоты вычисления коэффициентов Фурье. Мы
поэтому пользуемся для ненасыщенной части кривой формой A cos o>Z, кото-
рая делает функцию всюду четной (включая и область насыщения) и таким
образом устраняет члены с синусами.
44
Глава II
I Л ГА sin(n+l)cp , n sin (n —
“Г" я L 2(/z + l)	2(/z—1) J —
__/4 [ sin (тг-J-1) ср 2 cos ср sin nep sin (n—l)cp”|	/о
~Я [	7ZH-1	П	П^П J*
Так как	*
2cos <p sin n <p = sin (n 1) ? + sin (n — 1) <p,	(2.7)
получаем
_A rsin(n + l) cp	sin(n —l)(pl	Z9 n\
n~ я[ n(n+l) n(n-l) J- •
При n = 1 формула (2.8) теряет смысл, и мы должны вернуться
к исходному соотношению для коэффициентов имеем
—<р	+<р
«1 = — J A cos2Wd (“0 + ~ J A cos <р cos add (<о/)-|-
—тс	—ср
тс	-ф
I 1 Г л Q ZJZ А Л /<о/ , COS tot Sin tot \ I .
4--J Acos2«)^(<o/) = -^-]-----------g-------)| +
Ф	—TC
+?	TC
, A cos cp z . л I I Л (tot . cos tot sin tot \ I
+ —^.(sm<»0|4--(-2 +------------2------)| =
-<p	<p
A ( cp , я cos cp sin cp \ . A cos cp , .	.	.	. .
=	2 + 2--------2-------Oj+—*	(sin? 4-sin®) +
1 A f я Ф|Л cos cp sin cp \ A ,	.	.	ч /о
+ * V2 “2 + 0---------“ j = T	? + s,n ? cos ?)•	(2-9)
Как следствие равенств (2.5), (2.8) и (2.9) получаем сигнал =
А	А
=f (ш/) = — (<р cos <р — sin <р) Ц- — (тс — ср 4- sin <р cos ер) cos <о£ —|—
! V А [Sin (п + У	Sin (п — Ц ? 1 сп- n tot	(9 1 m
+ Jt[ и(п4-1) n(n — 1) ]С08ида/-	(2л°)
П«2
Если нет насыщения, то сигнал будет
ДсозфЛ	(2.11)
Сравнивая эту формулу с формулой (2.10), мы видим, что насы-
щение вносит постоянную слагающую, равную
— (ср cosep — sin ср),
и вызывает ослабление колебания основной частоты на величину
д Л я — ср + sin ср cos ср \
я
Радиотехнические применения рядов Фурье	45
Кроме того, оно вносит гармоники с амплитудами
Jd К [_ n(n~Y 1) П (П — 1) J
n— 2
В частном случае, когда
ТС
9 = т,
формула (2.10) дает напряжение на выходе однополупериодного
Фиг. 19. Ток на выходе однополупериодного
выпрямителя.
выпрямителя, но с обратным знаком. Таким образом, напряжение на
выходе однополупериодного выпрямителя, показанное на фиг. 19, будет
А А ,	2Л1 VI	(—I)”/2 cos nut /с>
сигнал =------7^-COSO)^------у	}—-Аг—------—.	(2.12)
к 2	тс	(п-j-1) (/z — 1) к 7
П=2, 4,6
Алгебраические знаки перед отдельными гармониками в фор-
муле (2.12) не имеют большого значения: они соответствуют фазам
колебаний, которые меняются при изменении начала счета времени.
Насыщение в реальном усилителе, конечно, никогда не бывает
в точности таким, как на фиг. 18, т. е. абсолютно резким. Но ана-
лиз, приведенный выше, показывает основные черты явления также и
при неполном насыщении.
В начале этого параграфа мы установили, что насыщение вызывает:
некоторое ослабление сигнала на основной частоте. Все вычисления,
приводящие к формуле (2.10), относятся к случаю, представленному
на фиг. 20, Л, где насыщением срезается определенная часть данного
А	Б	В	Г
Фиг. 20. Различные типы ограничения амплитуды сигнала.
сигнала. Рассмотрим теперь несколько иные случаи, показанные
на фиг. 20, Б и 20, В. Здесь сигнал ограничен величиной наибольшей
амплитуды, которую может пропустить система. На фиг. 20, Б ампли-
4б
Глава'!i
туда ограничивается только в положительном направлении. В обоих
случаях, показанных на фиг. 20, Б и 20, В, величина основной гармоники
возрастает при наступлении насыщения.
Случай, рассмотренный на фиг. 20, В (см. упр. 2), имеет наиболь-
шее практическое значение. В этом случае при полном насыщении
(т. е. при прямоугольном колебании) амплитуда основной гармоники
равна (4/к)Д, т. е. превышает А примерно на 27% *). Вдобавок
уменьшение рассеяния на аноде позволяет применять большие значе-
ния А. По этим причинам мощный двухтактный каскад радиопере-
датчика обычно работает так, как показано на фиг. 20, В, а не на
фиг. 20, Г.
Упражнения
1. Найти состав гармоник на выходе асимметричного ограничителя
(фиг. 21).
2. Найти состав гармоник на выходе симметричного ограничителя, т. е.
для случая 0 = ? (фиг. 21).
§ 3. Возникновение гармоник и комбинационных тонов вслед-
ствие нелинейности второго порядка. Если электронноламповый
усилитель работает в плоской части его характеристической поверх-
ности Zo, еа, ед (ia — анодный ток, еа—анодное напряжение, ед—се-
точное напряжение), то переменная составляющая анодного тока имеет
такую же форму, как переменная составляющая сеточного напряжения.
Если анодная нагрузка имеет характер активного сопротивления, се-
точное напряжение Е cos вызывает при этом появление анодного
тока вида /coscot Если же импеданс анодного контура имеет реак-
тивную составляющую, анодный ток содержит составляющую, сдвину-
тую по фазе по отношению к сеточному напряжению, и имеет вид
/cos (а/—ср).
1) Относительное увеличение мощности равно при этом
/ 4 \2
-1 = 620/0.
Радиотехнические Применения рядов Фурье
До сих пор мы считали, что лампа работает на линейной части
характеристики. Это значит, что при активной нагрузке1) изменение
анодного тока может быть выражено как линейная функция изменения
сеточного напряжения ед
= + (2ДЗ)
До сих пор, пока мы рассматриваем только малые изменения сеточ-
ного напряжения и анодного тока, соотношение (2.13) будет оста-
ваться в силе. Однако когда изменения сеточного напряжения и анод-
ного тока велики, выражение (2.13) уже не является хорошим при-
ближением. Анодный ток может быть выражен в этом случае в виде
ряда по степеням изменения сеточного напряжения2), т. е.
4» — ао 4“ aieg 4“ а2е2д 4~ аьед 4" • • • >	(2-14)
ряд (2.14) означает, что в данной схеме (т. е. при данных парамет-
рах контура и питающего напряжения), не содержащей реактивных
элементов3), мгновенные значения изменения анодного тока зависят
только от мгновенных значений изменений сеточного напряжения.
Допустим теперь, что к сетке подводится переменное напряжение
eg = Ecos<nt.	(2.15)
Соответствующее изменение анодного тока будет
~ ао 4“ а1^ C0S а)^4~ а2^2 COS2 а)^4~ «3^SCOS8 . =
= («О + т £2 +•••) +	+ Ч2 £8 +•••) cos ш/+
cos2o)£ 4-(-^ £34- .. .)cos3a)/-[- ... (2.16)4)
Правая часть формулы (2.16) представляет собой ряд Фурье, хотя
и полученный не с помощью обычного метода, т. е. формул (1.6),
(1.12) и (1.13). Тот факт, что имеются только члены с косинусами,
2) Этим случаем мы здесь ограничимся. Относительно случая реактивной
нагрузки см. упражнение в конце этой главы.
2);.В каждой данной схеме ia может быть выражено как функция только
от ед, так как изменения еа, возникающие в результате изменения /а, опре-
деляются параметрами схемы и могут быть учтены выбором постоянных aQ,
ah а2 и т. д.
3) Если в схеме имеются реактивные элементы, мгновенное значение
изменения анодного тока будет зависеть от всей формы кривой сеточного
напряжения, а не только от его мгновенного значения. Ряд (2.14) в этом слу-
чае неприменим.
*) Так как
11	3	1
COS2 х = —	— cos 2х, COS3 X — COS X 4- -Г cos Зх и т. д.
4	4
48
Глава II
непосредственно следует из свойств симметрии (фиг. 22), которая по-
казывает, что ia — четная функция. Формула (2.16) показывает, что
коэффициент а2 при члене второй степени в разложении (2.14) и коэф-
Ф и г. 22. Влияние нелинейности на форму кривой тока в контуре
с омическим сопротивлением.
фициенты а3, а±, ... при членах более высоких степеней дают в ia
соответствующие гармоники.
Если приложенное напряжение содержит гармонические компоненты
различной частоты, нелинейность порождает не только гармоники, но
и комбинационные тона, в частности суммовой и разностный тон. На-
пример, если
ед = cos <0^+ ^2 cos	(2-17)
и если 1а задается выражением (2.14), имеем
*а = [яо + -у(£1 + ^) + •••] +
+ (йЛ+4 аз£1 + 4 asEiE* + • •• ) COS <0/4-
4“	4“ f аЗЕ2 4- ~2 аЗЕ1Е2 4" • • 4 COS <о2/ -4-
4~(4 ^14- • • •)cos4~("4^2 4~ • • •)cos2<о2^4_
4- (л2£,1£,2-|-) cos {(<02+<01) /]-|-(а2£1^2+...) cos [(<о2- «о/ /]-|-
4~ ("4 4* • • •)cos з<о/ 4" (“4 Е% 4*  • •)cos 4~
4-^f1E?4- .. .)cos[(2o»24-e»1)/J4-(^^1Sl-|- . .JcosX
х [(2<о2— <0,) t] 4-	4- ...) cos [(20)! 4-<o2)z,I4-
4-(^^24-...)соя[(2ш1 — <02)04-...	(2.18)
В формуле (2.18) члены с частотами (<о2 -ф- Ш1)/2тг и (<о2 — ш1)/21г
называются суммовыми и разностными тонами, их частоты — суммовой
и разностной частотами. Для этих членов, а также членов с часто-
Радиотехнические применения рядов Фурье
49
тзми (2<О2 + “1) 2тс> (2ша— <°1), 2я, (2св1 + ®а)/2"> (2<в1 — в>3)/2« и т. д.,
существует общее название — комбинационные тона. Разностный тон
— <о1)/2тс используется в первом детекторе супергетеродинного
приемника. Однако обычно появление комбинационных тонов является
искажением сигнала, и оно должно быть по возможности исключено.
Считается, что при передаче звука появление суммовых и разностных
тонов является для уха более неприятными видами искажения, чем
появление гармоник.
Упражнение
Тирит обладает сопротивлением, не подчиняющимся закону Ома. Его
характеристика напряжение — ток может быть представлена в виде
i == keB.
Пусть напряжение
е = Е cos
приложено к куску тирита с параметрами
В = 3,57,
^ = 1,з.ю-1г
Пусть Е = 2000 в. Каково соотношение амплитуд второй и основной
гармоник тока?
§ 4. Двухтактные усилители. В выходных контурах радио-
передатчика или приемника желательно работать на возможно боль-
шем участке характеристики лампы для того, чтобы получить макси-
мальную мощность на выходе. Это обычно значит, что лампы работают
за пределами своей линейной области, что приводит к образованию
Фиг. 23. Схема двухтактного усилителя и кривые, показываю-
щие форму анодного тока.
гармоник. Поскольку они представляют собой искажения сигнала,
желательно уменьшить насколько возможно их величину.
Одним из способов значительного уменьшения этого искажения
является применение двухтактного (пушпульного) усилителя, схема
которого показана на фиг. 23, А. Если лампы имеют достаточно
4 Зак. 2263. С. Г»ль дм ан
50
Глава II
идентичные характеристики и сбалансированные входные и выходные |
трансформаторы с отводами в середине и если эффективная нагрузка 1
имеет характер активного сопротивления, сеточное напряжение и анод- 1
ные токи выходных ламп можно представить как	1
^1 = jEcoso)£	(2.19) I
= — Г cos cat,	(2.20) |
iai = («о+ > £2+ • • 0 + ^ +	£3+ • • .)cos«>/+
.)COs2o)/ + (-j£3H- ...)cos3«tf-J- ... (2.21)
iai = [«о + - J-](-£)2 + • •. ] + [«! (-£) +	(-£)3 + • • • ] cos
+ ^(_E)94-...]cos2^+[-^-(-E)8+...]cos3^+... (2.22)
Анодные токи zal и za2 текут через выходной трансформатор ']
в противоположных направлениях. Их разность, определяющая э. д. с. j
во вторичной обмотке выходного трансформатора, будет равна 1
г‘(0 = га1 — /о2 = 2(«1£+-^-£8+...)сО5Ш*4-	j
+ 2 (-^£3cos Зю/(2.23)
Мы видим, таким образом, что двухтактная схема устраняет четные
гармоники на выходе. Так как обычно наиболее сильное искажение
обусловлено второй гармоникой, ее уничтожение в двухтактном уси- \
лителе вызывает заметное уменьшение искажения.	j
Четные гармоники погашаются в двухтактном усилителе незави- j
симо от того, является ли нагрузка чисто активным сопротивлением I
или нет. Это видно из фиг. 23, В и Г без разложения в ряд Фурье.
Так как обе стороны усилителя 1 и 2 имеют идентичные характе- J
ристики, кривые фиг. 23, В и Г зеркально симметричны. Тогда, |
согласно сказанному в гл. I, § 6, их разложения в ряд не содержат
четных гармоник.	|
Упражнение	|
Какие из комбинационных тонов формулы (2.18) погашаются в двухтакт- j
ном усилителе?	\
§ 5. Эффективная сила тока и потребляемая мощность, выра- ;
женные через гармоники. Пусть мы имеем периодический ток про- \
извольной формулы.
П=СО	>
z’ = -y- + 2 (.ап cos	sin	(2.24) |
я=1	!
Радиотехнические применения рядов Фурье	51
Если этот ток проходит через сопротивление /?, рассеиваемая мощ-
ность будет
P = ?R.	(2.25)
Поэтому в формуле (1.103) среднее значение мощности, рассеиваемой
в сопротивлении /?, будет
2п
о
2	1 со	со
-Г-+-2 2у?(а”+&”)=/?1»+2/?^	(2-26)
п = 1	п=1
где
z0 =	= (постоянная составляющая)	(2.27)
и	_______
/а“ “Ь Ьп
-------= (эффективная сила тока n-й гармоники) (2.28)
Мы видим из соотношения (2.26), что средняя рассеиваемая мощность
равна сумме средних мощностей, которые рассеивались бы каждой
отдельной гармоникой, если бы остальные отсутствовали. Это значит,
что в рассеиваемой мощности взаимодействие между гармониками,
в среднем за период, равно нулю.
Определим эффективное значение /Эфф тока i посредством равенства
=	(2.29)
г Л:
Тогда, принимая во внимание соотношение (2.26), имеем
4фф =	4 4~ 4 4~ 4 4~ • • •»	(2.30)
т. е. эффективная сила тока произвольной формы равна квадратному
корню из суммы квадратов эффективных сил тока отдельных гар-
моник.
Пусть, наконец, приложенная к контуру периодическая э. д. с.
оо
е = -ф + (Дп cos4“ Вп sin /W)	(2.31)
п = 1
создает периодический ток с тем же основным периодом
со
i = -у- -j-	(ап cos /гео/	bn sin /:о)/).	(2.32)
п= 1
4*
52
Глава II
Мгновенная мощность, отдаваемая источником,
Р = ei.	(2.33)
При этом ее среднее значение, согласно формуле (1.99), равно
2«	оо
РЧ'- = i /eid	4-4 2 (flA + W.	(2.34)
о	п=1
Таким образом, средняя мощность равна сумме мощностей, соот-
ветствующих отдельным гармоникам. Это значит, что в выражении (2.33),
в среднем за период, произведения гармоник различной частоты э. д. с.
и тока равны нулю. Отсюда следует, что если синусоидальное напря-
жение приложено к нелинейному контуру, средняя мощность, давае-
мая источником, равна среднему значению произведения э. д. с. на
основную гармонику тока.
Упражнения
1.	Найти эффективную силу тока „прямоугольной" формы (см. фиг. 9).
2.	Найти эффективную силу тока, состоящего из прямоугольных импуль-
сов продолжительностью t и повторяющихся с периодом Т.
§ 6. Линейные и нелинейные искажения. Контур (или сеть),
в котором значения всех сопротивлений, емкостей и индуктивностей
не зависят от силы тока, называется линейной системой. Такие системы
подчиняются системам линейных дифференциальных уравнений. Если
к тому же параметры контура не изменяются со временем (контур
с постоянными параметрами), дифференциальные уравнения, описы-
вающие систему, будут иметь постоянные коэффициенты.
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением установившегося
режима. Ему соответствует частное решение системы дифферен-
циальных уравнений. Если параметры контура постоянны, каждая
отдельная гармоника приложенной электродвижущей силы вызывает
появление в токе отдельной гармоники той же частоты*). Мы можем,
таким образом, разбить приложенное напряжение на его гармониче-
ские составляющие, найти отклик контура на каждую из них
в отдельности и затем сложить результаты. Это — частный случай
принципа суперпозиции.
В системах, подобных усилителям, всякое отличие между формой
сигнала на выходе и на входе называется искажением. Согласно ска-
занному в предыдущем параграфе, система с постоянными параметрами
не прибавит новых синусоидальных составляющих к тем, которые
*) В системе, описываемой линейными дифференциальными уравнениями,
при сложении э. д. с. Д (t) и /2 (0 соответствующие им токи тоже скла-
дываются. Это верно, независимо от того, является ли Д (^) и Д (О синусои-
дальными колебаниями или нет.
Радиотехнические применения рядов Фурье	53
присутствуют в приложенной э. д. с. В ней выход может отличаться
от входа только относительной величиной и фазой уже имеющихся
гармоник. Такие искажения называются линейными искажениями.
В предыдущих параграфах этой главы мы рассмотрели системы,
в которых значения параметров зависят от токов. Такие системы
описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и назы-
ваются нелинейными системами. К нелинейным системам принцип
суперпозиции неприменим. Мы выяснили, что в нелинейных системах
ток содержит гармонические составляющие с частотами, отсутствую-
щими в э. д. с. Если на вход такой системы подается синусоидаль-
ное колебание, на выходе присутствуют его гармоники. Если на вход
подается сумма нескольких синусоидальных колебаний различной
частоты, на выходе присутствуют не только их гармоники, но также
колебания с суммовыми, разностными и другими комбинационными
частотами. Искажения, связанные с появлением таких новых гармоник,
называются нелинейными искажениями.
Интерес представляют также искажения, возникающие тогда, когда
соответственно подаваемому сигналу меняется не внешняя э. д. с.,
а сами параметры контура. Этот случай имеет место, например,
в угольном или конденсаторном микрофоне; значения параметров кон-
тура меняются в этом случае со временем в соответствии с измене-
нием давления в приходящей звуковой волне.
Такие системы описываются дифференциальными уравнениями,
параметры которых являются явными функциями времени. В частности,
это могут быть линейные уравнения с переменными коэффициентами,
например, колебательный контур, емкость которого периодически
меняется, но не зависит от заряда. (О таких системах см., напр., [5]1).)
Если на такую систему действует, помимо воздействия, изменяю-
щего параметр, синусоидальная э. д. с., отклик системы содержит
комбинационные частоты, образующиеся из частоты э. д. с. и
частоты, с которой изменяется параметр. Так как при таком
искажении появляются новые частоты, его принято иногда называть
нелинейным искажением. Однако эта терминология не вполне удачна,
так как система может описываться, как было только что сказано,
линейным дифференциальным уравнением.
Упражнения
1.	Лампа работает на такой части характеристики, где производные
второго и более высоких порядков могут считаться равными нулю. Выразить
коэффициенты Фурье анодного тока через коэффициенты Фурье сеточного
напряжения для случая, когда импеданс анодного контура имеет реактивную
компоненту. Использовать комплексную форму разложения Фурье.
2.	Составить эквивалентную схему, описывающую возникновение гар-
моник в триоде. Найти сдвиги фаз между гармониками сеточного напряже-
*) См. также [10]. (Прим, ред.)
54
Глава II
ния и анодного тока, возникающие вследствие реактивности анодного кон-
тура.
3.	Исследовать влияние внешнего сопротивления анодного контура на
возникновение гармоник.
4.	Лампа 6L6, включенная как триод с активной анодной нагрузкой
10 000 ом, работает при Ее = —5 и £о = 300. Найти при этих условиях при-
ближенные значения а\ и а2 в ряде (2.14), пользуясь взятой из справочйика
характеристикой лампы 6L6.
5.	Показать, что если сигнал является суперпозицией п гармонических
составляющих вида
Al COS ((Dj/ + <р) + A cos + ?2) + • • • А-п cos + ?п)>
то среднее значение его квадрата будет
2
6.	Сигнал Ех cos от местного гетеродина и приходящий сигнал
£2 cos ю2/ одновременно подаются на сетку смесительной лампы, имеющей
характеристику
Найти амплитуды и частоты всех гармонических составляющих анодного
тока.
Рассмотреть супергетеродинный приемник с гетеродином, дающим ча-
стоту, превышающую на 455кг/{ частоту принимаемого колебания. Пусть диа-
пазон приемника простирается от 540 до 1700 кгц. Приходит сигнал ча-
стоты 1000 кгц. При каких положениях указателя на шкале настройки
(соответствующих частоте гетеродина, превышающей на 455 кгц частоту
настройки) будет откликаться приемник?
7.	Прямоугольная э. д. с., изображенная на фиг. 24, А, приложена
к контуру фиг. 24,5. Найти рассеяние в R.
8.	Пилообразная э. д. с., изображенная на фиг. 24, В, приложена
к контуру фиг. 24, Г. Найти рассеяние в /?.
Глава III
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. Происхождение интегральной формулы Фурье. Во многих
случаях параметры физических систем или радиотехнической аппара-
туры, относящиеся к установившемуся состоянию (синусоидальному
колебанию), легко могут быть определены, между тем как изучение
переходных состояний значительно сложнее. Описывать переходное
состояние в линейных системах посредством параметров, относящихся
к установившимся состояниям, можно при помощи интеграла Фурье.
На фиг. 25 изображен кратковременный сигнал. Покажем, каким
образом такой сигнал может быть представлен в виде суперпозиции
Фиг. 25. Сигнал как функция времени.
(т. е. алгебраической суммы) большого числа синусоидальных (и, следо-
вательно, длящихся бесконечное время) составляющих колебаний, и
тем самым введем интеграл Фурье. Напомним сначала, что в гл. I, § 8,
было показано следующее: в интервале от —Т/2 до -р Т/2 всякая
функция (при некоторых ограничениях) может быть представлена как
сумма основного колебания периода Т и его гармоник. Следовательно,
в интервале от — 7\/2 до Т1(/2 сигнал, показанный на фиг. 25,
может быть выражен как сумма синусоид частоты 1/Тр 2/7\, 3/7\
и т. д. Относительные величины амплитуд отдельных составляющих
для этого случая показаны на фиг. 26, А. Пусть теперь длина интер-
вала разложения увеличивается до Т2, затем до и т. д. и в конце
концов становится бесконечно большой. Частота и амплитуда соста-
вляющих будут при этом меняться, относительные величины амплитуд
показаны на фиг. 26, Б для Т = Т2 и на фиг. 26, В для Т = оо.
Заметим, что когда Т становится все больше, промежутки между часто-
тами становятся все меньше. В конце концов, когда Т стремится
56
Глава III
к бесконечности, промежутки между частотами стремятся к нулю и
распределение гармонических составляющих превращается в непрерывное.
Заметим, что когда Т становится бесконечно большим, отдельные
гармонические составляющие превращаются в синусоидальные колеба-
ния бесконечной продолжительности, т. е. в установившиеся колебания.

I I I I I « » t t -
О 1	1	3	5,	6	2	8_-----
т2	т2	т2	т2 т2	т2	т2	тг
Фиг. 26. Разложение в ряд Фурье сигнала,
изображенного на фиг. 25, для интервалов
разложения различной длины.
А—интервал равен 7\; Б — интервал равен Т2, В —
интервал бесконечно велик.
График, изображенный на фиг. 26, В, показывает, таким образом,
частотное распределение установившихся синусоидальных составляю-
щих сигнала (фиг. 25).
Эти нестрогие соображения позволяют предполагать, что формула
разложения в ряд Фурье
G (0 = -у + S cos nt bn sin nt)
л==1
(3.1)
переходит, когда интервал разложения неограниченно возрастает,
в соотношение вида
О (/) = J* а (со) cos mt dm -J- J* b (co) sin mt dm.
о	о
(3.2) 0
*) Запись а (ш), b (ш) означает, что а и b являются функциями о. Нижний
предел 0 в интегралах соответствует наличию постоянной слагающей в (3.1).
Интеграл Фурье
57
Такое соотношение, если оно существует, описывает частотный
состав функции G(/). И действительно, можно показать [1, 2], что
если О (/) удовлетворяет некоторым условиям х), которым удовлетворяют
и все функции, изображающие радиосигналы, имеет место соотноше-
ние вида (3.2), причем
+ оо
а (ш) = ~ J G (t) cos иtdt	(3.3)
— оо
И
+ оо
b (со) = ~ J Q (/) sip со/ dt.	(3.4)
— оо
Таким образом, имеет место следующая интегральная формула
Фурье, иногда называемая интегральным тождеством Фурье:
ОО H-OO
= f G(/)cosco/d/jcosoo/dco-|-
0	—оо
Н~“У£ J G(/)sinco/rf/jsinco/rfco.	(3.5)
О —оо
Эта формула позволяет производить гармонический анализ неуста-
новившихся процессов, как будет показано на ряде примеров.
Формула (3.5) может быть представлена также в виде
G (/) = j* S (cd) cos [cd/ ? (ш)]	(3.5) * 2)
о
Э Эти условия таковы. Функция G (/) должна иметь в любом конечном
интервале лишь конечное число точек разрыва и конечное число максимумов
Н-ОО
и минимумов, и интеграл У | G (t) | dt должен быть конечным. Это условие
—оо
на первый взгляд кажется очень тяжелым, так как оно исключает всякую
Функцию с постоянной составляющей. Однако если постоянная составляющая
существует лишь в течение конечного промежутка времени, что всегда имеет
место на практике, условие, о котором здесь идет речь, выполнено.
2) Как и в соответствующем случае ряда Фурье, если G (t) имеет точку
разрыва, то правые части формул (3.6), (3.5) и (3.2) принимают в точке разрыв»
значение
l[G(i + 0) + G«-0)].
58
Глава III
где
Г -J-oo	4-00
5(0)) = !/ £ j* G (f) cos dt^ + £ j* G (0 sin otf (3.7)
r —oo	—oo
sin inf dt
tg © (<o) =
+~
J
(3.8)
cos dt
Начертив график S (ш) как функции со, мы получаем изобра-
жение частотного состава G(£). Такой график был показан на
фиг. 26, В.
Необходимо заметить, что лишь существование интегральной фор-
мулы Фурье оправдывает высказывание, что непериодическая функ-
ция имеет определенный частот-
ный состав.
Фиг. 27. Косинусоидальная функция
ограниченной длины.
вание этого случая показывает,
соиды влияет на ее частотный
ряда Фурье к интегралу Фурье.
Начнем с вычисления интеграла:
§ 2. Примеры частотных
распределений. Предположим, что
функция G(t) совпадает с гармо-
ническим колебанием cos<o0^ на
небольшом интервале и равна
нулю всюду вне этого интервала
(фиг. 27). Найдем частотное рас-
пределение этой функции. Исследо-
каким образом длина обрывка сину-
состав и как происходит переход от
-f-ОО	tx
J G (/)cosotf dt= J Ocosa)Z^/-4~ Jcoso>(/cosa)/tft +
— oo	—oo
oo
J Ocosco/^ = J cos w0fcos <»tdt =
tL
= Г—j-----------г sin (a)	0)0) t -4-
L2(oj + wo)	u
1	z	”1^1 2
+ 07------------s Sin (<» — <o0) / .
* 2(<u — ШО) ' u'
(3.9)
Интеграл Фурье
59
Таким же образом
Д- оо	Ла
J G(/)sina)/dr= J cosa)0^sina)^rf/=-
— СО	Л
/
[1	-- 1	"1 ^2
о7---j--г COS (a) 4~ 0)0) / + «7----г COS (ш — %) t\ .
2(o)4-a)0)	4	* и/ 1 2(a) — ш0)	4	°'
С помощью соотношений (3.7), (3.9), (3.10) найдем значение 5(со)
для всех значений со за исключением <d0. При ш = <оо имеехм
У cos cosco/ dt = у cos2a)0/6Z/= j* -J—-~s	dt =
ti	it
t sin 2о)0Я*2
2	4a>0 Д
#2
Г г •	± jj. C sin 2<o0/ ,,
J cos a)or sin a)or dt = J -~~ =
ti
ti
~ 4^ (Sin 2<°о/2 — Sin 2aVi)>
tl
= — (cos 2о)0^о — cos 2о>(/1).
(3.10)
(3.11)
$
(3.12)
С помощью
ции частотного
предыдущих формул мы можем найти значение функ-
распределения для любой длины обрывка синусоиды.
Фиг. 28. Синусоидальные обрывки различной длины и их
спектральное разложение.
На фиг. 28 дается диаграмма, показывающая частотные распреде-
ления для обрывков синусоиды различной длины. Они получены пу-
60
Глава III
тем подстановки в формулы (3.7), (3.9), (3.10), (3.12) значений и tt
соответствующих рассматриваемому обрывку; чем больше циклов со-
держит обрывок синусоиды, тем более острый пик имеет частотное
распределение. Когда обрывок становится все более и более длинным,
частотное распределение приближается к случаю ряда Фурье с одной
составляющей: в случае бесконечно длинного обрывка S (со) равна
нулю всюду, за исключением ш = о)0. Еслиб(/) — периодическая (но
несинусоидальная) функция периода 2тс/со0 на протяжении бесконечно
длинного интервала, S (<о) равна нулю для всех значений о> за исклю-
чением о)о и ее гармоник.
Упражнения
1.	Построить S(gj) для. сигнала, имеющего вид cos шд/и длящегося ровно
один цикл, например для случая = те/2,	— 5гс/2.
I
е
’	Г=0 t = T t = ZT f = 3T — t
Фиг. 29.
2.	Найти частотный состав S (ш) группы из двух прямоугольных импуль-
сов, показанных на фиг. 29. Построить график 5 (ш).
§	3. Комплексная форма интеграла Фурье. Сопряженные по
Фурье. Интегральная формула Фурье, т. е. соотношение (3.5), может
быть представлена также в комплексной форме. При этом появляются
некоторые новые свойства симметрии. Согласно (3.5), всякая действи-
тельная функция G(t) может быть написана в виде
оо -|-оо
G (/) = J j* G (g) cos tog dgj cos tot dm -J-
0	—oo
CO 4-00
— J* £ jf 0(g) sin sin	(3.13)
0	—oo
В формуле (3.13) мы заменили через g те значения t в формуле
(3.5), которые выпадают в результате интегрирования.
Покажем, что формула (3.13) в точности эквивалентна формуле
G(0= / [ J G^eiWU-a'dg^df,	(3.14)
—оо —оо
где
<ЗЛ5>
Интеграл Фурье
61
Для этого разложим (3.14) на действительную и мнимую части:
4-00 4-00
G(/) = j [ J G(g)e^fV~s)d^df =
— оо —оо
4-оо 4-°о
= й j [ j G(g)cosa>(f —
—оо —оо
4- оо 4- оо
4'^с f [ j O(g)sin<o(/—g)rfgjd«.	(3.16)
— оо —оо
Но так как	sin <в (t—g) = — sin [ (— ш) (t—g)J	(3.17)
и	cos <o (t—g) = + cos [(—o>) (t—g)],	(3.18)
имеем	4-oo 4-00 J [ J G(g)cos«>(/ —g)</gjd<o = — oo —oo = 2f [ f G(g)cosw(f—g)dgjda>	(3.19)
и	0	—oo J* [ J* G (g) sin a> (Z — g)dgjda> = 0. — oo —oo	(3.20)
Следовательно, формула (3.14) приводится к виду
О(0=4-Д J G (g) cosco (/ — g) rfgj Ja> =
О —оо
ОО + оо
= Y J £ j* 0(g) (cos ®g cos (ot-j- sin <og sin at) rfgj d<o.
0	—co
(3.21)
Правые части (3.21) и (3.13) тождественны. Мы показали, таким
образом, что (3.14) является одним из выражений интегрального тож-
дества Фурье.
Определим теперь функцию F(f), как
4-оо
F(/)= J e-i^fsQ{g)dg.	(3.22)
--ОО
62
Глава III
Тогда, согласно формуле (3.14) (принимая во внимание, что	1
ej 2xf(t — д) — ej2Kft e—J2Kfg^	1
4-о°
G(f) — f e^F(f)df,	(3.23) |
или в другой записи	1
4-00	j
G (g) = J e^fg F (/) df.	(3.24) |
—00	i
Формулы	(3.22) и (3.24) выражают замечательные соотношения j
между функциями F(f) и G(g*). Функции, находящиеся между собой |
в таких соотношениях, называются преобразованными по Фурье или 1
сопряженными по Фурье.	|
Функции F (f) и G(g) выражают в более симметричном виде то]
же, что функции S (со), G (/), определенные в начале этой главы. 1
В известном смысле можно сказать, что они выражают то же, что |
S (cd), G (/), но в векторном виде. Для того чтобы это показать, j
разложим (3.22) на действительную и мнимую части. Тогда	|
4-00	4" оо	]
G (g) cos ag dg —j J G (g) sin ag dg. (3.25)
— OO	— oo	J
Сравнивая (3.25) c (3.4), (3.7) и (3.9) видим, что	]
действительная часть от F (f) = тга (со) =	'j
f
= действительной части от /7(—/),	(3.26)1
мнимая часть от F(f) = — тг6(со)=—мнимой части от Г(—Д (3.27) |
модуль |F(/)| =5(<o) = |F(—/)|.	(3.28)1
Таким образом,	]
(3.29)0
Так как F(f) выделяет составляющие колебания S (со) cos [со/ + |
-1- ф (со)], находящиеся в фазе и в квадратуре с cosco^, комплексная ।
запись является более ценной и во всяком случае более сжатой. Фор- 1
мулы (3.22) и (3.24) теории интеграла Фурье соответствуют форму- j
лам (1.72) и (1.76) теории рядов Фурье.
Если мы хотим пользоваться со, а не /, в качестве второй пере- j
менной в формулах (3.23) или (3.24), мы можем писать
4-00
G (0 = ~ J 2 (<в) du,	(3.30)
--ОО	J
9 Звездочка в формуле (3.29) означает комплексную сопряженность.
Интеграл Фурье
63
где
4-со
2 (ш) = j* e-i^Gifidt^F (f).
—оо
(3.31)
Недавно Хартли [11] заметил, что интегральному тождеству Фурье
можно придать следующую вполне симметричную действительную-
форму:
= J* ^(<о) (cosotf-J-sinotf) da>,
(3.32)
где
4-СО
6(о)) = —f G(t) (coso)/-j-sin	(3.33)'
'	у 2я *
—oo
Читатель может в качестве упражнения вывести формулы (3.32)г
(3.33) из формулы (3.5) или (3.13).
Влияние смещения начала счета t функции G(t) на сопряженную
по Фурье F (J) легко выяснить с помощью формулы (3.22). Сопря-
женная по Фурье от G(t— Т), где Т—постоянная, есть e&*fT F (/).
Это — аналог результата, выводимого
(см. гл. I, § 9, упр. 2) для ряда Фурье.	I
В случае интеграла, как и в слу-	]
чае ряда Фурье, комплексная запись	И--------------
часто приводит к более простому и
более быстрому решению задач, чем
тригонометрическая.
Проиллюстрируем на примере -------------д	Т * t
применение комплексной записи.	i
।
§ 4. Частотное распределение Фиг.30. Прямоугольный импульс,
прямоугольного импульса. Пусть высота которого равна единице,
имеется прямоугольный импульс про-
извольной длины (фиг. 30) и требуется узнать частотное распреде-
ление его составляющих. Пользуясь формулами (3.22) и (3.31), получаем
4-00	2	_.
2 (со) = F(/) = J e-MG (g) dg= f dg =
—oo	0
--------= ±[sin«>/44 (coswT-1)]. (3.34)
64
Глава III
Следовательно, согласно (3.28), функция частотного распределения
будет равна
s (®) = I F (f) I == -i- У sin2 юГ-f- (cos wT— 1)2 =
= J?^1^C0S“7'=isin®- (з.зб)
Эта функция обращается в нуль при
. /=£ = Т>	(3-36>
где п—целое число.
Абсолютная величина этой функции имеет максимумы при
^-[-sin(^)] = o.	(3.37)
aw L <•>	\ 2 /J	7
Это соотношение приводит к
<3-38>
Особый случай имеет место при / = 0. Для этого случая, раскры-
вая неопределенность, имеем
2
lim S (<о) = lim — sin
Л	—S- п
Ищ
ц)->0
Фиг. 31. Спектральное разложение
прямоугольного импульса.
На фиг. 31 изображено частотное распределение 5(ш) составляю-
щих прямоугольного импульса. Сравнивая фиг. 31 с фиг. 12, Б,
показывающей частотное распределение периодически повторяющихся
прямоугольных импульсов, или сра-
внивая формулу (3.35) с форму-
лой (1.94), видим, что распределение
по полосам частот аналогично, но
при периодическом повторении им-
пульсов гармонические составляющие
сосредоточиваются в виде отдель-
ных линий, расположенных на равных
расстояниях друг от друга. Более
точно переход показан в упражне-
нии 1 в конце этой главы.
Из формул (3.34) и (3.35) видно, насколько просто применение
комплексной формы интеграла Фурье в рассматриваемом случае.
Интеграл Фурье
65
§ 5. Четные и нечетные функции *)• Интеграл Фурье, как и ряд
Фурье, дает возможность разбить функцию на ее четную и нечетную
части. Исходя из выражения (3.23) и пользуясь (3.22), напишем
4-00
G(t)= J eiWF(f)df,	(3.40)
—оо
4-00
0(/)=^ J (cosW-f-/sina)/)F(/)rfa),	(3.41)
— со
4-00	4-00
J У [G G?) cos cog cos (at -f- G (g*) sin (ag sin ш/] dg d(a -f-
—oo — oo
4-00	4-00
4-^ J J [G(^)cosa>gsin<u/ —
— oo — oo
— G (g) sin (ag cos W] dgd(a. (3.42)
Если G (t)—действительная функция от /, мнимая составляю-
щая (3.42) равна нулю. Поэтому
4” со 4* оо
G (t) *= ± J j* G(g) cos mg cos mt dg dm -j-
—oo —oo
4-oo 4-oo
H~2~ J J G (g) sin mg sin mtdg dm.	(3.43)
—oo — oo
Первый член в правой части формулы (3.43) есть четная часть 0(/),
второй член — ее нечетная часть. Это следует из того, что
cos (— /)] == cos а/,	(3.44)
а
sin [<р (— /)] = — sin со/.	(3.45)
Так как G(t), по предположению, действительна, из формулы (3.41)
следует, что если F (f) действительна, то
4-00
G (/)== — f cos (atF (f) d(a	(3.46)
аТС j
—-оо
Ч Мы рассматриваем только случай, когда G(t)—действительная функ-
ция от t.	•
5 Зак. 2263. С. Гольдман
66
Глава III
и G (t) — четная функция от t. Если F(f) — мнимая функция, уравне-
ние (3.41) указывает, что
+ оо
G(/) = ^ J j sin wtF (/) d<»,	(3.47)
—co
так что G(f)— нечетная функция от /.
В общем случае, когда F (f) комплексна, ее действительная часть
дает четную составляющую G (/), а мнимая часть — нечетную составляю-
щую G (t).
Разложим F (/) на ее действительную и мнимую составляющие.
Тогда на основании формулы (3.22) имеем
-4-00	Е
/=•(/)= J e~MG(g)dg =
—оо
—со	оо
— f G (g) cos (ogdg—j J G (g) sin tag dg. (3.48)
— oo	—oo
Мы замечаем также, что действительная часть F(f) есть четная
функция от ш, а следовательно, и от /, а мнимая часть F (/) есть
нечетная функция от со и от /. Отсюда заключаем, что если F(f) — чет-
ная функция от /, то G(t)— четная функция от /. Наоборот, если
F (/) — нечетная функция от /, то 0(/)—нечетная функция от t.
Эти факты часто позволяют упростить вычисления. Например,
при гармоническом анализе импульса (фиг. 30), если начало координат
не задано каким-нибудь другим условием задачи, удобно поместить
его в середине импульса. При этом импульс становится четной функ-
цией времени. Тогда на основании предыдущего F (/) становится чисто
действительной величиной и для нахождения распределения по частотам
не требуется никаких векторных операций.
При этом получается
+4	+-
__Т	2
2
Т	Т
+№f—
е " — е 2
2 . шТ
— SIH-ту-
со 2

Вернемся еще раз к общему случаю. Комплексная величина F (J) может,
быть записана в виде
F (f) —Р
(3.49)
г
Интеграл Фурьё	67
где P(f) и Q(/)— действительные функции. Из формулы (3.48) сле-
дует, что
P(f) = P(-f)	(3.50)
И
Ч-оо
J G (g) sin <s>gdg
Q(f);= arctg - -=^--------------= - Q (-/)• 	(3.51)
J 0(g) cos <ogdg
— oo
Следовательно, P (/) есть четная, a Q(f) — нечетная функции от /.
При этом
P(/) = Pg)^|F(/)| = 5(<o)	(3.52)
Q(/) = ?(a>).	(3.53)
Следовательно, формула (3.23) может быть переписана в виде
	\	4-00 G(/) = -^ J S (а>)^ [«*+?(<»)] dm,	(3.54) —оо
где	S(®) = S(—<в)	(3.55)
и	«(«) = — «(—<о).	(3.56)
Предыдущие свойства симметрии ’ вытекают из того, что G(/) —
действительная функция от /.
Упражнения
1. Показать, что если
F(/) — а (со) -J- j$ (<*>)	(«, ₽ — действительные),
а(ш) — четная, р(ш)—нечетная функция от со, если только G(t)—действи-
тельная функция от t.
2. Показать, что для а (ш), р (со), определенных в упражнении 1, справед-
ливы формулы
оо	оо
а (ш) == ~ J* cos a>t Г J* а (м) cos ut dti\ dt,
о	о
оо	оо
2Г Г Г	1
р (ш) =s= — I sin <dZ I I р (и) sin at du dt.
о	о
5*
6<S	Глава Ill
§ 6. Составление таблиц сопряженных по Фурье. Существует-
полезный справочник [12], где собрано большое число пар сопряжен-
ных по Фурье функций, ставших известными благодаря трудам раз-
личных лиц. В нем даны таблицы пар F (/) и 0(g), т. е. результат
гармонического анализа, для большого числа функций. В качестве
иллюстрации в Приложении II приводятся таблицы тех сопряженных
по Фурье пар, которые используются в этой книге. Пары, выведен-
ные в § 2 и 3, даны в таблицах под номерами 3 и 4.
Несмотря на ценность таблиц справочника [12], иногда проще
провести интегрирования, указанные в формулах (3.22) и (3.24), чем
искать нужные сопряженные по Фурье по таблице. Таблица ценна
тогда, когда вычисление интегралов представляет большие трудности.
Часто для нахождения сопряженных по Фурье требуется интегриро-
вание по контуру в комплексной плоскости.
Упражнения
1. Найти распределение по частотам S(ад) длят импульсов продолжитель-
ностью 71 и периода повторения Г2 (см. фиг. 32, А). Построить график S (оз)
для т = 2 и т == 10.
Фиг. 32.
2. Найти S(co) для трапецоидальнсго импульса, показанного на фиг. 32, Б.
Глава IV
ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ПРИМЕНЕНИЯ РАЗЛОЖЕНИЯ В ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1.	Введение, Интегральное тождество Фурье
оо
G(f) —~ J* 5(<o)cos[o)/4-cp((o)]rfa)	(4.1)
о
выражает функцию G(t) как интеграл (т. е. результат суммирования)
установившихся гармонических колебаний. В следующих парагра-
фах будет показано, что такое представление позволит сводить за-
дачи о неустановившихся колебаниях к задачам об установившихся
колебаниях. Задачи последнего типа обычно решаются легче.
Применения интеграла Фурье, которые будут рассматриваться в этой
главе, заключаются по большей части в исследовании прохождения
определенного сигнала через передающую (преобразующую) линейную
систему с постоянными параметрами, имеющую заданную частотную
характеристику. Общий ход решения следующий:
1.	Найти спектральный состав S (<о) или сигнала, подаваемого
на вход преобразующей системы.
2.	Применить к полученному результату частотную характеристику
преобразующей системы и получить таким образом спектральное раз-
ложение на ее выходе.
3.	Найти форму сигнала, изображаемого этим спектральным раз-
ложением. Это и есть искомый ответ.
Эта схема будет проиллюстрирована нами большим числом при-
меров. Подчеркнем, что она использует принцип суперпозиции, о чем
подробнее будет сказано в § 6.
Анализ с помощью интеграла Фурье является, как показывает
практика, наиболее эффективным методом исследования вынужденных
колебаний в радиоаппаратуре. В конце главы, после того как будет
разобрано достаточное количество примеров, мы рассмотрим глубже
общие черты мётода.
§ 2.	Спектральное разложение и селективное звено. Предпо-
ложим, что импульс напряжения, показанный на фиг. 33, А, подается
на вход селективного звена (например, фиг. 33, £). Спектральное
разложение этого импульса показано на фиг. 33, В, а частотная ха-
рактеристика звена — на фиг. 33, Г. Согласно схеме § 1, спектра ль-
70
Глава IV
ное разложение напряжения на выходе звена равно произведению 5 (о»)
на F(w). Это произведение показано на фиг. 33, Д; оно, очевидно,
имеет острый максимум при
Кривая фиг. 33,Д имеет более острый пик при чем S (ш)
при ш0. Посмотрим, что это означает. Так как кривая напряжения на
Фиг. 33. Влияние настроенного контура на форму сигнала.
А—импульс напряжения на входе; Б—цепь, на вход которой подается
импульс; В—спектральное разложение импульса; Г—частотная характе-
ристика цепи; Д—спектральное разложение напряжения на выходе
[5 (u>) Y (ш)]; Я—почти гармоническое напряжение, получаемое на выходе
при подаче на вход одиночного сигнала.
выходе имеет сильно заостренную форму при Шр она должна состоять
из обрывка синусоиды продолжительностью в несколько периодов и
частотой coj/Stc. С „простой" точки зрения выходное напряжение есть
переходный режим в настроенном звене, вызванный ударным возбуж-
дением. С точки зрения разложения в интеграл Фурье это — устано-
вившееся колебание, определяемое спектральным составом напряжения
и селективностью звена.
§ 3.	Передача без искажения. Найдем условия, при которых
сигнал произвольной формы пройдет без искажения через систему.
Пусть сигналом является напряжение 0(0*
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 71
Тогда, согласно (4.1),
оо
G J 5 (di) cos [gj/ ср (со)] d<a.	(4.2)
о
Переходный импеданс для частоты w/2k обозначим
Z(<d)==|Z(«))|^b(u)).	(4.3)
Тогда на выходе будет
со
1 = Т J Iд«) I cos [<eZ + ? (ш) — 5 (“)]d<a- (4-4) ’)
О
У любого сигнала, встречающегося в технике, S(oj) заметно отли-
чается от нуля лишь в конечном интервале частот, скажем, от
до <о2/2тт, где может быть нулем. Мы можем поэтому перепи-
сать формулу (4.4) в виде
1 (0 = ~ J* 12 (“) | cos + <? О) — в (“)] da. (4.5)
U)j
Предположим теперь, что в интервале частот от до (п2/2п
пропускание системы по амплитуде равномерно, а сдвиг фазы про-
порционален частоте; тогда мы можем написать
1-^	(4.6)
В(о)) = о)Т,	(4.7)
где и 7—постоянные. Подставляя эти величины в формулу (4.5),
получаем
Ш2
=	S(a>)cos[«>(/-T) + ?(‘»)]^ = ^O0-7’). (4.8)
Итак, сигнал на выходе имеет точно такую же форму, как и сиг-
нал на входе, но его амплитуда изменилась в отношении 1//С, и он
запаздывает на время Т. Таким образом, система, характеристика
пропускания которой имеет форму, задаваемую формулами (4.6) и
(4.7), осуществляет передачу без искажения. Мы убедились, что фор-
мулы (4.6) и (4.7) дают достаточные условия для передачи без иска-
жения. Если мы обратим ход рассуждения, приводящий к формуле (4.8),
*) Если Z (оз) имеет размерность электрического сопротивления, а G(/)—
напряжение, то I (t) — ток. Содержание этого параграфа не ограничивается,
однако, этим частным случаем. Z (оз) может представлять собой характе-
ристику пропускания любого типа, a G (t) и I (t) — сигналы любого типа.
При этом размерность G (t) должна быть равна произведению размерностей
Z(w) и I (/).
72
Глава IV *
то найдем, что условия, выражаемые формулами (4.6) и (4.7), являются
также и необходимыми условиями того, чтобы передающая система
вызывала лишь изменение уровня и запаздывание сигнала, но не меняла
его формы. Иными словами, формулы (4.6) и (4.7) указывают един-
ственно возможный вид функций | Z(ш) | и В (со), при котором про-
шедший сигнал имеет вид (1 [К) G(t-~-T). Приведенные результаты могли
бы быть легко получены на основании рассмотренного в гл. III, § 3,
соотношения между смещением начала отсчета времени и изменением
функции, сопряженной по Фурье,
§ 4, Отрицательные частоты и свойства симметрии характе-
ристик пропускания системы. Применяя для гармонического анализа
сигнала G(f) комплексную форму интеграла Фурье, мы пишем, со-
гласно формуле (3.23) или (3.30),
4-00	4-00
G(/)= j	j Л(<о)^.	(4.9)
—-оо	—оо
В любой из этих форм G(/) имеет компоненты как с положитель-
ными, так и с отрицательными частотами. Поэтому приобретает инте-
рес вопрос о характеристиках пропускания системы в области отри-
цательных частот.
Формула (3.29) показывает, что F(—/) — функция, комплексно
сопряженная по отношению к F(f),
F(-/) = [F (/)]*.	(4.10)
Подобным же образом
g(_-a)) = [2(a>)]*.	(4.11)
Следовательно,
gt [Л («) 4- ?f 2 (- <»)] = -^- { Л (ш) + [Л («)]*} =
= — S(w)cos [ш/Ц-<р(ш)],	(4.12)
где
2(ш) = 5(ш)?¥(и,).	(4.13)
Формулы (4.1), (4.9), (4.12) и (4.13) показывают, что применение ком-
плексной записи и отрицательных частот является способом описания
амплитуд и фаз составляющих спектрального разложения функции G (/)
с помощью одной комплексной функции.
Предположим теперь, что сигнал G (/) подается на вход передающей
системы, имеющей такую частотную характеристику, что у колеба-
ния частоты ш/2те амплитуда увеличивается в А (со) раз, а фаза сдви-
гается на угол В(ш). Следовательно, компонента
-^-S(a))cos [ш/ -[- ср (а))]	(4Д4)
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 73
превращается в
-L S (ш) Д (со) cos [со/4“ ? (<*>) + В (ш)]-	(4.15)
Из сказанного прежде следует, что сигнал на выходе системы — обо-
значим его Ох (/) — может быть выражен как
оо
Gx (/) = -i- J* s (co) A (co) cos [co/-]- <? (<tt) 4“ # (co)] Ao =
0
-|" oo
(4.16)
— 00
где
Sj (M) = S (ш) А (ш) ?1  (ю)+2? (ш)1	(4.17)
И
21 (-<»)«=» I Sj (<o)J*.	’	(4.18)
Из формул (4.13), (4.17) и (4.18) следует, что характеристика про-
пускания любой системы может быть выражена в комплексной форме
в виде
ylW^(U,) = 7W>	(4Л9)
где
Д (—со) = Д (<о)	(4.20)
и
В(— «)) = — В (со).	(4.21)
Другими словами,
г (->)== [г ( + >)]*•	(4.22)
Формулы (4.20), (4.21) и (4.22) показывают, каким образом ха-
рактеристики пропускания системы для отрицательных частот могут
быть получены из характеристик для положительных частот.
Из этих формул следует, что если сигнал sin со/ на входе системы
превращается на выходе в сигнал Дзт(ш/4-В), т0 сигнал sin [(—со)/]
превратится в Д$т[(—со)/—В]. Так как sin со/=— sin(— со/) и
sin(co/4~B) = — sin(—со/—В), то этот результат совпадает с тем,
что следовало ожидать заранее.
§ 5. Ширина полосы и передача деталей сигнала в видео- и
импульсных усилителях. Выясним влияние ширины полосы пропу-
скания видеоусилителя или усилителя импульсов на передачу различ-
ных простейших сигналов. На фиг. 34 изображены примеры таких
элементарных сигналов. Фиг. 34, Д и В представляет линию раздела
темного и светлого поля телевизионного изображения, фиг. 34, Д, В
и Ж дает обычно встречающиеся тонкие детали такого изображения,
фиг. 34, В и Г соответствует на экране изолированным точкам или
74
Глава IV
линиям, поэтому они сами по себе не имеют особого значения в теле-
видении. Однако мы найдем, что форма 34, В может быть применена
как удобное средство для анализа деталей картины всех других типов.
Кроме того, это — основной тип сигнала для усилителей импульсов.
Ж
Фиг. 34. Типы простейших сигналов.
Поэтому мы начнем наш анализ с отыскания влияния передающей
системы на сигнал типа, показанного на фиг. 34, В.
Предположим, что усилитель равномерно пропускает частоты в ин-
тервале от 0 до и совсем не пропускает частоты выше <ь812п.
Кроме того, предположим, что усилитель сдвигает фазу колебания
(в пределах полосы пропускания) пропорционально частоте. Выше было
показано, что такая характеристика нужна для того, чтобы не было
искажения. Такая характеристика может быть приближенно осущест-
влена на практике.
Найдем форму сигнала на выходе такого усилителя, если на вход
подается сигнал типа, показанного на фиг. 34, В. Воспользовавшись
формулой (3.30), напишем для сигнала на входе
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 75
Пусть для составляющих с частотами в интервале от 0 до ф8/2тс
амплитуда изменяется в k раз, а сдвиг фазы равен — где g— по-
стоянная. Тогда сигнал на выходе равен *)
v 7 2л j	j<o k	7
~<oe
03
d<& =
+
jk Г ( Гcos оз (Z—^ — T2)_______COSO) (/—g — T±)
2л J 11 ш	оз
оз
sin оз (t—g—T2) sin оз (t — g—
(!)
d<n.
(4.25)
Заметим, что cos (а)Д)/<о является нечетной функцией со, a sin («>Л)/а>
четной (Л — величина, не зависящая от <о). Поэтому
j* c-2^rfo> = 0	(4.26)
— (0g
И
J ^dw = 2	(4.27)
— (Og	о
Таким образом, формула (4.25) превращается в
(Og
G(Z)
О
— g — Л)________Sin оз	Л)~|	_
оз	ш	I
Т.)	<0g (t—g— Т2)
k Г С sin х i	г sin х . 1 z. поч
= — I j ---------------dx—	----dx ;	(4.28)
7C j J	X	J	X I
0	0
j* (s\nx)x)dx не берется с помощью элементарных функций, но
может быть вычислен посредством разложения подинтегрального вы-
ражения в степенной ряд. Этот интеграл имеет большое значение
х) Так как мы применяем комплексную форму интеграла Фурье, то мы
должны включить в рассмотрение вместе с цодо^итедьнцмц также и отри-
цательные частота
Фиг. 35. К исследованию прохождения колебаний, изображаемых ступенча-
тыми функциями и импульсами через низкочастотный фильтр, имеющий острую
отсечку при частоте
Кривые иллюстрируют запаздывание, конечную крутизну, предварение прохождения и пре-
вышение. А—график интегрального синуса; Б—форма импульса; В—представление переднего
<»s
края импульса на выходе интегральным синусом J*	~~7~" ^х> Г—представление
О
k С	sin х , . п „„„
заднего края импульса на выходе интегральным синусом-I	---ах, Д—вид
тс J	х
О
«»s«—a—Tj)
л	k С	sin х .
импульса на выходе фильтра-----I	------dx.
. Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье
17
в физике и технике. Для функции Si(x), определением которой
является формула
Si(x) = Js-^rfx,	(4.29)
е
вычислены таблицы (см. табл. 1). Функция Si(x) называется инте-
гральным синусом. С помощью этой функции формула (4.28) может
быть записана в виде
— ь
G (0 = “ {Si hs (t—g - Л)] - Si К (t-g - T2)H.	(4.30)
Графики Si(x) и G(t) изображены на фиг. 35. Формула (4.30)
дает решение поставленной задачи. Мы, конечно, пришли бы к тому же
самому результату, если бы вместо комплексной формы интеграла
Фурье применили тригонометрическую форму.
Функция Si (х) играет основную роль при анализе влияния ширины
полосы на прохождение импульса. На фиг. 35, А мы видим, что ее
значение равно примерно------гс/2 для х<0 и примерно-j-^/2 для
х > 0. Около х = 0 функция Si (х)/л возрастает от минимума, рав-
ного — 0,59 (при х = — л) до максимума 4“ 0,59 (при х = -f- л). Вне
интервала —л<х<к функция (1/тг) Si(x) совершает небольшие и
быстро убывающие колебания около значения —0,5 для х < — ли
около значения 4~0,5 для х>4“тс- При х = 0 крутизна функции
(l/4r)Si(x) равна 1/л.
Посмотрим теперь, как эти свойства Si(x) влияют на передачу
подробностей изображения.
Из формулы (4.30) и фиг. 35, Д мы видим, что форма переднего
края импульса практически задается выражением
(влияние заднего края импульса пренебрегается). Передний край воз- '
растает от 0 до 1,09 k за время от g*4-7'1— (1,92/ш8) до
4- (3,14/a)g). Другими словами, за время, продолжительностью
5,06	0,805	/л
шв (частота отсечки)	4	'
сигнал возрастает от нуля до своего максимального значения. В мо-
мент g 4“ Л, когда сигнал возрастает всего быстрее, скорость его
возрастания равна *)
тс ’
т. е. равна
2& X (частота отсечки) = ------------------5---------------г. (4.32)
’ (период, соответствующий частоте отсечки) х '
х) Скорость спадания заднего края сигнала такая же.
Таблица 1
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС
х
с., . г sin и ,
SIW=J —da
X	Si (х)	X	Si(x)
0,0	0,00000	3,0	1,84865
0,1	0,09994	3,1	1,85166
0,2	0,19956	3,2	1,85140
0,3	0,29850	3,3	1,84808
0,4	0,39646	3,4	1,84191
0,5	0,49311	3,5	1,83313
0,6	0,58813 .	3,6	1,82195
0,7	0,68122	3,7	1,80862
0,8	0,77210	3,8	1,79333
0,9	0,86047	3,9	1,77650
1,0	0,94608	4,0	1,75820
1Д	1,02869	4,1	1,73874
1,2	1,10805	4,2	1,71837
1,3	1,18396	4,3	1,69732
1.4	1,25623	4,4	1,67583
1,5	1,32468	4,5	1,65414
1,6	1,38918	4,6	1,63246
1,7	1,44959	4,7	1,61101
1,8	1,50582	4,8	1,58998
1,9	1,55778	4,9	1,56956
2,0	1,60541	5,0	1,54993
2,1	1,64870	5,1	1,53125
2,2	1,68763	5,2	1,51367
2,3	1,72221	5,3	1,49732
2,4	1,75249	5,4	1,48230
2,5	1,77852	5,5	1,46872
2,6	1,80039	5,6	1,45667
2,7	1,81821	5,7	1,44620
2,8	1,83210	5,8	1,43736
2,9	1,84219	5,9	1,43018
Таблица I (продолжение)
	X	Si(x)	X	Si(x)
	6,0	1,42469	9,5	1,67446
	6,1	1,42087	9,6	1,67316
	6,2	1,41871	9,7	1,67084
	6,3	1,41817	9,8	1,66757
	6,4	1,41922	9,9	1,66338
	6,5	1,42179	10,0	1,65835
	6,6	1,42582	10,1	1,65253
	6,7	1,43121	10,2	1,64600
	6,8	1,43878	10,3	1,63883
	6,9	1,44570	10,4	1,63112
	7,0	1,45460	10,5	1,62294
	7,1	1,46443	10,6	1,61439
	7,2	1,47509	10,7	1,60556
	7,3	1,48644	10,8	1,59654
	7,4	1,49834	10,9	1,58743
	7,5	1,51068	11,0	1,57831
	7,6	1,52331	11,1	1,56927
	7.7	1,53611	Н,2	1,56042
	7,8	1,54894	11,3	1,55182
	7,9	1,56167	11,4	1,54356
	8,0	1,57419	11,5	1,53571
	8,1	1,58637	11,6	1,52835
	8,2	1,59810	11,7	1,52155
	8,3	1,60928	11,8	1,51535
	8,4	1,61981	11,9	1,50981
	8,5	1,62960	12,0	1,50497
	8,6	1,63857	12,1	1,50088
	8,7	1,64665	12,2	1,49755
	8,8	1,65379	12,3	1,49501
	8,9	1,65993	12,4	1,49327
	9,0	1,66504	12,5	1,49234
	9,1	1,66908	12,6	1,49221
	9,2	1,67205	12,7	1,49287
	9,3	1,67393	12,8	1,49430
	9,4	1,67473	12,9	1,49647
Таблица 1 (продолжение)
X	Si (х)	X	Si (х)
13,0	1,49936	16,5	1,61573
13,1	1,50292	16,6	1,61112
13,2	1,50711	16,7	1,60627
13,3	1,51188	16,8	1,60111
13,4	1,51716	16,9	1,59572
13,5	1,52291	17,0	1,59014
13,6	1,52905	17,1	1,58443
13,7	1,53352	17,2	1,57863
13,8	1,54225	17,3	1,57285
13,9	1,54917	17,4	1,56711
14,0	1,55621	17,5	1,56146
14,1	1,56330	17,6	1,55598
14,2	1,57036	17,7	1,55070
14,3	1,57733	17,8	1,54568
14,4	1,58414	17,9	1,54097
14,5	1,59072	18,0	1,53661
14,6	1,59702	18,1	1,53264
14,7	1,60296	18,2	1,52909
14,8	1,60851	18,3	1,52600
14,9	1,61360	18,4	1,52339
15,0	1,61819	18,5	1,52128
15,1	1,62226	18,6	1,51969
15,2	1,62575	18,7	1,51863
15,3	1,62865	18,8	1,51810
15,4	1,63093	18,9	1,51810
15,5	1,63258	19,0	1,51863
15,6	1,63359	19,1	1,51967
15,7	1,63396	19,2	1,52122
15,8	1,63370	19,3	1,52324
15,9	1,63280	19,4	1,52572
16,0	1,63130	19,5	1,52863
16,1	1,62921	19,6	1,53192
16,2	1,62657	19,7	1,53357
16,3	1,62339	19,8	1,53954
16,4	1,61973	19,9	1,54378
физическая интерпретация ii применения иНтеграЛа Фурье
81
Таблица 1 (продолжение)
X	Si(x)	X	Si(x)
—		Ь-			
20,0	1,54824	22,7	1,60536
20,1	1,55289	22,8	1,60234
20,2	1,55767	22,9	1,59902
20,3	1,56253		
204	1,56743	23,0	1,59546
		23,1	1,59168
20,5	1,57232	23,2	1,58772
20,6	1,57714	23,3	1,58363
20,7	1,58186	23,4	1,57945
20,8	1,58641		
20,9	1,59077	23,5	1,57521
		23,6	1,57097
21,0	1,59489	23,7	1,56676
21,1	1,59873	23,8	1,56262
21,2	1,60225	23,9	1,55860
21,3	1,60543 ’		
21,4	1,60823	24,0	1,55474
		24,1	1,55107
21,5	1,61063	24,2	1,54762
21,6	1,61261	24,3	1,54444
21,7	1,61415	24,4	1,54154
21,8	1,61525		
21,9	1,61590	24,5	1,53897
		24,6	1,53672
22,0	1,61608	24,7	1,54484
22,1	1,61582	24,8	1,53333
22,2	1,61510	24,9	1,53221
22,3	1,61395		
22,4	1,61238	25,0	>	1,53148
		50,0	1,55162
22,5	1,61041		
22,6	1,60806		
Последняя величина является, пожалуй, наиболее наглядной для
описания остроты краев выходного сигнала.
Из фиг. 35, Д мы заключаем, что существует запаздывание между
сигналом на входе и главной частью выходного импульса, численно
равное g.
Отметим, что Сигнал на выходе имеет следующие две особен-
ности.
6 Зак. 2263. С. Голышам
82
Глава IV
1. Перед установлением имеет место превышение уровня сигнала
над его стационарным значением (на фиг. 35, Д превышение соста-
вляет 9%). Компоненты с частотами, лежащими вне интервала
—	(т. е. не пропускаемые усилителем), в точности по-
гасили бы этот эффект.
При увеличении полосы пропускания превышение, соответствую-
щее каждому краю импульса в отдельности (фиг. 35, В или 35, Г),
становится уже, но не уменьшает своего пикового значения. Эти
9°/0-ые превышения продолжают существовать, даже когда <Dg—>оо,
но становятся при этом бесконечно тонкими. Это — пример явления
Гиббса в интегралах Фурье. Заметим, что здесь имеет место то же
значение превышения (9°/0), что и при явлении Гиббса в ряде Фурье х)
(см. гл. I, § 13) 2). В случае узкого импульса имеет место наложе-
ние эффектов от краев и Т2. При этом превышение может быть
устранено для импульсов определенной продолжительности. Это пока-
зано на фиг. 39, Б.
2. Имеет место предварение прохождения', существование сиг-
нала на выходе еще до появления главной части импульса. Пока
идет речь о промежутке времени между 7\ и	предварение
Можно рассматривать как обычное переходное явление в передающей
Э В случае прямоугольной сТупейьки единичной высоты компоненты
Частот в полосе пропускания складываются в (1/л) [к/2 + Si (<os0L как пока-
зано на фиг. 36, Л. Интересно рассмотреть вкратце свойства явления Гиббса
в этом случае. Компоненты с частотами от м8 до бесконечности склады-
ваются в кривую на фиг. 36, Б, которая равна разности между прямоуголь-
ной ступенькой и (1/тс) [я/2 + Si (<osZ)]. Когда увеличивается, кривая на
Фиг. 36. Явление превышения в случае прямоугольного импульса*
Д—отклик низкочастотного фильтра на единичный прямоугольный импульс; Б—
результат сложения составляющих единичного импульса, которые не пропускаются
низкочастотным фильтром.
фиг. 36, Б сжимается в горизонтальном направлении, но остается неизмен-
ной в вертикальном. Следовательно, когда <ds->oo, кривая на фиг. 36, Б
представляет все меньшую и меньшую энергию, но ее максимальное значе-
ние остается неизменным. Явление Гиббса представляет собой влияние тех
компонент, которые были опущены.
2) Явление превышения, которое разбиралось здесь, относится к случаю
резкой отсечки фильтра и обсуждается более подробно в § 19, п. а. Превы-
шение другого типа, обязанное ортогональным компонентам при асиммет-
ричной полосе пропускания, обсуждается в § 9.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье
83
системе. Но наличие сигнала на выходе при /<7\ является нару-
шением закона причинности (следствие предваряет причину) и не
может соответствовать действительности. То, что мы получили сиг-
нал, отличный от нуля при /< 7\, объясняется тем, что амплитудная
и фазовая характеристики усилителя, взятые нами в качестве при-
мера, не могут в точности соответствовать реальной системе.
Можно показать, что между амплитудной и фазовой характеристи-
ками системы должны существовать определенные соотношения
[13] 2).
В частном случае усилителя, где отсечка обусловлена наличием
фильтра низких частот, оказывается, что для получения абсолютно
резкого обрезания характеристики при <os необходимо, чтобы этот
фильтр имел бесконечное число звеньев (а потому и бесконеч-
ное запаздывание gj. Этим устраняется нарушение закона причин-
ности.
Итак, условия, принятые нами, не могут быть в точности реали-
зованы. Но они все же могут выполняться с приближением, доста-
точным для того, чтобы основные явления, описанные в этом пара-
графе, могли действительно наблюдаться. Так, соотношение между
шириной полосы и скоростью нарастания импульса может быть
экспериментально проверено. Явления превышения и колебания перед
установлением стационарного значения могут наблюдаться непосред-
ственно на экране осциллоскопа; они могут быть обнаружены также
на телевизионной картине в виде полосок на границе между светлым
и темным полем. Дальше в этой главе мы обсудим способы умень-
шения этого нежелательного явления.
§ 6. Прохождение группы сигналов. Формула (4.30) дает нам
аналитическое выражение для сигнала на выходе видеоусилителя,
на вход которого подается импульс. Предположим теперь, что на
вход системы поступает группа сигналов типа, показанного на фиг. 37.
Отдельные сигналы обозначены соответственно через G1 (/), G2 (/),. ..,
г) См. также [14]. {Прим, ред>)
6*
84
Глава fV
Gq (0 ’). В этом случае
4-оо	4“°°
F (/) = J G(fidt= f е~™'* [G,(0 + Ga (/)-{-.•• +
— oo	—oo
4-oo
-|-Gg(0]^ = J* e-^G^dt-Y ...4-
— 00
4-00
4- j e-^Gg(0^=F1(/)4-F2(/)4--.-4^J/)- (4-33)
— oo
Предположим, кроме того, что система * 2) вызывает на частоте
®/2гс сдвиг фазы g(<o) и увеличение амплитуды в А7(<о) раз. Тогда
сигнал на выходе равен
4~ОО
G (0 ~ 1 J /< (Ш) [/=-! (Л 4- (/) + • • • +
— оо
4-00
4- Fq (/)]	1 j	К (ш) Ft (/) du 4-
— оо
4-00
— oo
4~i J e^-^K^F^du^
—oo
= Gt (f) 4- G2(0 4- ... 4- Gq (0.	(4.34)
Формула (4.34) показывает, что аналитическое выражение для вели-
чины на выходе при прохождении группы сигналов равно сумме
выражений для величины на выходе при прохождении отдельных
сигналов. Этот результат будет нам в дальнейшем очень поле-
зен. Область его применения ограничена, конечно, линейными систе-
мами.
Совершенно таким же способом можно показать, что если сиг-
нал 0(/), проходя через две различные передающие системы с частот-
*) Сигналы могут частично перекрываться, как это показано на фиг. 37
для Gp(t) и Gq(f)> что не нарушает последующих доказательств. Именно
в таких случаях дальнейшие результаты наиболее полезны.
2) Допущение, что прохождение сигнала может быть полностью описано
сдвигом фазы g(&) и коэффициентом увеличения амплитуды /С(а>), эквива-
лентно допущению линейности системы.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 85
ними характеристиками Fj(/) и F2(/), дает";
на выходе сигналы GJj) и <32(/), то тот
же сигнал, проходя через систему с ха-
рактеристикой Fx (f) F2 (f), даст на ее
выходе сигнал Gi (f) 4~ G2(f). Это показано
на фиг. 38.
§ 7. Ширина полосы и прохождение
подробностей сигналов в видео-* и им-
пульсных усилителях. Требования к ши-
рине полосы. Вернемся к случаю про-
хождения импульсов через фильтр низких
частот. До сих пор мы ничего не сказали
о таком важном вопросе: какая требуется
ширина полосы, чтобы пропустить импульс
заданной длины? Уже формулы (4.31) и
(4.32) показывают, что наклон краев
сигнала пропорционален ширине полосы.
Однако наилучшим подходом к вопросу
о требованиях к ширине полосы является
рассмотрение серии графиков формулы
(4.30), выполненных для заданного зна-
чения Т2—7\ и различных значе-
ний <о8. Такая серия графиков дана на
фиг. 39 *).
Из этой фигуры видно, что когда ши-
рина полосы становится меньше f8 —
= 1/[2(Т2 — TJ], амплитуда сигнала на
выходе начинает быстро падать. Так как
сигнал должен превышать уровень шумов,
то осуществление оптимального отношения
сигнала к шуму предъявляет определенное
требование к ширине полосы; оно будет
обсуждено дальше в этой главе. Другой
эффект, заметный на фиг. 39, заключается
Фиг.38.Иллюстрация прин-
ципа суперпозиции в приме-
нении к диапазонам частот.
Д—характеристика пропускания;
Б—первоначальный сигнал; В—от-
клик системы, характеристика ко-
торой представлена штрихованным
прямоугольником; Г—отклик си-
стемы, характеристика которой
представлена штрихованным на-
крест прямоугольником; Д—от-
клик системы, характеристика ко-
торой представлена двумя прямо-
угольниками.
Вычисление кривых фиг. 39 весьма просто. Рассмотрим, например,
фиг. 39, Л. Если k = 1, то формула (4.30) дает
о (0 = 4- {Si [«>8 (t-g- ЛИ - Si К (t-g- Г2)]} =
= 1 {Si [<о8 ('- £- ЛЯ - Si к (t - g- Л) - <»s (л — ЛЯ> ==
=	[Si (х) — Si (х — 4лЯ ,
где
х = ®5(/—g— Л).
86
Глава IV
в том, что положения переднего и заднего краев импульса становятся
все менее определенными при уменьшении полосы пропускания. Если
импульсы используются для целей радиолокации, это обстоятельство
Фиг. 39. Влияние ширины полосы пропускания на форму импульса.
Низкочастотный фильтр, обрезающий частоты свыше
также предъявляет определенные требования к ширине полосы. В слу-
чае телевидения требования к ширине полосы не могут быть выяснены
на основании изучения прохождения отдельных импульсов. Здесь не-
обходимо исследование прохождения пары импульсов, что мы сейчас
и проделаем.
На фиг. 40 представлена пара импульсов, разделенных во времени
на продолжительность импульса. Это более или менее соответствует
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 87
штрихам, применяемым для определения разрешающей способности
телевизионной системы. Согласно теореме о суперпозиции (см. § 6)
и формуле (4.30), мы можем написать для сигнала на выходе усиди*
теля, если на входе имеется сигнал, показанный на фиг. 40,
k
(сигнал на выходе) = —{Si [<qs(/ — g—7\)] — Si [ш8 (t — g—Г2)]4-
+ Si [co, (t- g - T3)J - Si [a>3 (/- g - T4)] j. (4.35)
Графики на фиг. 41 вычислены по фор’
муле (4,35). В качестве общего заклю-
чения мы можем вывести из них, что
ширина полосы, необходимая для удо-
влетворительной передачи деталей,
равна примерно полосе, соответствую•
щей фиг. 41, В, т. е.
А = 2^ = 2(Г2—	’	(4-36)
Фиг. 40. Два импульса,разделен-
ных интервалом, продолжитель-
ность которого равна продолжи-
тельности импульса.
где Т2—^ — продолжительность наименьшей подробности, которую
требуется увидеть на экране телевизора. Если ширина полосы умень-
шается ниже этого значения, подробности быстро „размываются*.
Фиг. 41. Влияние ширины полосы пропускания на передачу под-
робностей сигнала.
Низкочастотный фильтр, обрезающий частоты свыше /g.
Эффект от увеличения ширины полосы выше значения, даваемого
формулой (4.36), заключается главным образом в том, что края импуль-
сов становятся более резкими.
88
Глаьа IV
Результаты, вытекающие из фиг. 41, настолько важны, что стоит
рассмотреть численный пример. Предположим, что мы имеем два
прямоугольных импульса, каждый длительностью 1 мксек, разделен-
ных интервалом в 1 мксек. Если эти импульсы проходят через пере-
дающую систему с полосой, ширина которой равна 250 кгц, то мы
имеем случай, показанный на фиг. 41, Д*. ширина полосы недостаточна,
чтобы дать хотя бы намек на провал между импульсами. Если ширина
полосы увеличивается до 333 кгц (фиг. 41, Г), подробности еще
полностью скрыты, но общая длительность сигнала на выходе дает
возможность предположить существование двух импульсов. Когда
ширина полосы увеличивается до 500 кгц, начинают выступать под-
робности (фиг. 41, В). Дальнейшее увеличение ширины полосы до
1 мгц (фиг. 41, В) и до 2 мгц (фиг. 41, Д) делает более резкими
края импульсов,
Упражнения
1.	Найти сигнал на выходе видеоусилителя (не являющегося фильтром
низких частот), полоса пропускания которого простирается от <oi до
с линейным сдвигом фазы в полосе пропускания. На вход подаются импульсы,
изображенные на фиг. 40. Обсудить, имеют ли значение при этом очень
низкие частоты.
в
Фиг. 43.
2.	Найти сигнал на выходе усилителя нцзки^ частот § 4 для входного
сигнала, показанного на фиг. 42ф
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 89
Ответ:
k
Сигнал на выходе = - {a Si [ws (/ — g— Гх)] — a Si (t — g — 7^)] h
+ b Si [0>s (t-g- T3)] - b Si К (t-g- r4)J +
+ c Si [<OS (t — g— r6)J — c Si [<ой (t—g — 7(j)]}.
3.	Найти сигнал на выходе усилителя с характеристиками, показанными
на фиг. 43,£>, если на вход его подается сигнал, изображенный на фиг. 43, Л.
4.	Предположим, что на вход цепи, изображенный на фиг. 44, подается
импульс напряжения высотой в единицу и продолжительностью Г2 — Л*
Сигнал
на входе
С выход
Фиг. 44.
Найти с помощью интеграла Фурье напряжение на выходе. Можно восполь-
зоваться таблицей интегралов в Приложении I.
§	8. Ширина полосы и передача подробностей усилителями
промежуточной частоты. Случай симметричной полосы. Предпо-
ложим теперь, что сигнал, изображенный на фиг. 34, В, модулирует по
Фиг. 45. Модуляция прямоугольным импульсом.
Д—несущая частота, модулированная импульсом; Б—характе-
ристика усилителя промежуточной частоты.
амплитуде несущее колебание промежуточной частоты, что дает сиг-
нал, показанный на фиг. 45, А.
Пусть частота несущего колебания равна ше/2тс и предположим,
что усилитель промежуточной частоты имеет равномерную пропускае-
мость К в интервале частот от <ос — ыр ао (ne-\-(nq. Предположим,
кроме того, что сдвиг фазы пропорционален частоте и антисиммет-
ричен относительно частоты несущей:
рдвиг^фазы = g (со — ш^).	(4,37)
90
Глава IV
Сигнал на фиг. 45, А равен
O(/) = cosa)c/ (от 7\ до Г2),
0(/)=?0 (вне этого промежутка).
Проведем анализ этого сигнала
формы интеграла Фурье (3.5), что
удобным. Итак, коэффициенты а(ш)
с
в
и
помощью тригонометрической
данном случае является более
#(ф) выражаются так;
1 +°° 1 т*
#(<°) = —J G(0 cos <&tdt = — J cos cos utdt ==s
т,
sin (со — шс) 72
2л (со — <ос)
1\
 sin (co wc) ^2	sin (° — шс) 71	sin(<.>+«>e) 7i .
” 2л (co 4- 0>c)	2л (<D--- (Dc)	2л ((О 4~	’
1 +«>	T2
b (ш) = — J G (0 sin ад/ dt = — J* cos o)c/ sin	dt =
—co
1 T'2
= 2^ J lS*n -------------- Шс) S^n (W H“ Wc01 =
___ COS (co — cog) 7\ . COS (co 4“ (Dc) 1\ ______________ COS (co — (Oc) Г2
2л (co — OJC) * 2л (co 4- COC)	2л (w — шс)
___ COS (co 4~ COC) T2
2л (co 4- COC)
(4.38)
(4.39)
(4.40)
Если, как мы предположим, частота несущей очень высока по сравне-
нию с модуляционной полосой частот, то члены с <о + <ос в знаме-
нателе становятся пренебрежимыми в сравнении с остальными. Поэтому
получаем приближенное соотношение
оо	оо	оо
О (/) = J а (ш) cos <atd<a -f- J b (<o) sin <s>tdt = J
0	0	0
Sin (co — <0e) T-t 1	, f Г COS (co—^c)T\
cos totdu +	—-------^4-5-
2л (co — (Dc) J	1 J L 2л (co — COC)
0
COS (co — cop) ГоЛ . z ,
— о /----------Sin (at d(a,
(co ---- (Oc) J
(4.41)
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 91
Если теперь сигнал G(/) пропустить через усилитель промежуточной
частоты, то на выходе будет
CQS [(nf—g (ф — w6)] rfco
(ю W— ш0) J	04	‘
и>Л4-юЛ
с
I к С Fcos(o) — w ) Ti COS (о) — <DC) r2l • r J. /	\1 л
+ й J [	(<0-^)-----------
a^ap	(4.42)
Чтобы вычислить эти интегралы, положим
о)1 = о) — о)с	(4.43)
и
g(«c —	=	(4.44)
тогда
cos {mt — g(<o — <оь)] =
= cos [0><У—g (e>c — Ш6) + (<1) — <ос) t—g(a> — ше)] =
= COS [(0)^ — 0) 4- (Oj (t — g)] =
= cos [<»!(/—g)J cos (<oct—6) — sinf®!^—g)J sin (we/—0) (4.45)
sin [art — g (a) — шь)] = sin [<&et—g (a>e—a>6) Ц- («)<.—%) t—g (<«—<%)] =
= sin [(a>c/ — 6) 4- a>j (t—g)] =
= sin [a>j (t — g)] cos (wot— 6) 4“
4~cos[®i(^—g)]sin(o)e^—0).	(4.46)
Кроме того,
rfai1 = rZa).	(4.47)
Подставляя эти равенства в формулу (4.42), получаем
°(/)=£ J (—ш/2,—51П“1Г1-) {c°s [“i (z~ £)i c°s (^—е) -
~шР
+ш4
— sin [«>! (t—g)] sin (a>et— 6)}	4-j* (	71 —	) X
—
p
x {sin [®t (t—g)J cos (<ocf—0) 4~ COS [a>t (t—g)] sin (a>et—9))	=
92
Глава IV
+°>q
= £( J	^^cos[«>x^—g)]-|-
-U)
p
+ C0Sm?ri sin к (z—£)1 -	sin [“1 (z—£)j} rfe»i) x
1 (/
X COS (<ocz— °) + ^( f {8Ш“1Г1 sin [“1G —£)] - S"\;172 sin X
4^** \ </	WL
—u>
p
ЧУ r /z \1 I COScoiTi _	4.	COS (1)1 Го . z
x g)j + --'c°s [“i U—£)J---------------------X
+u>(/
X cos [o)j (/—g)]}	sin (шс/ — 6) = { J [ Sin<01^r/~- ’ 
~wp
— s.in Ю1	j d<o | cos (o>ef— 0)
+<!>„
K_ ( f Г COS <ox(/ —g — Л) _ COS<ax(Z —g — r2)1
2л I J	<*>1	<D1 J	1
—u)
+“>g (t-g-Tt)	+u)g (t—g— T2)
X sin (..<-»)-£[ f	f 44 X
I	</	«А*	J	-A*	|
-u)p (t-g-T,)
4-u)^ (t—g—T,}	+w<2 (t—g-TJ
XeosW-OJ + gl	f 4«х- J 44 X
(t-S-T.)	-U>p (.t-g-T.)
X sin (ше^— 0).	(4.48)
Формула (4.48) определяет сигнал на выходе. Проанализируем
теперь ее смысл, рассмотрев сперва случай, когда полоса пропуска-
ния симметрична относительно несущей. В этом случае <ос находится
в середине полосы пропускания, так что мы можем написать

(4.49)
и
шс s= (так что 0 = 0),
(4.50)
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье
93
где	— полуширина полосы пропускания усилителя промежу-
точной полосы. Заметим, что для произвольного и
и*
/sin х J о Г sin X <
— dx = 2j — dx,	(4.51)
-!>.	О
+!*
js^dx==o.	(4.52)
—н*
Поэтому в случае симметричной полосы
Л'Г Г sin х , г sinx < 1	,
=	~irdx~ J — rfx cosa>e/ =
iw I J	Л	J	-A*	I
о	0
= * {Si К (t-g— Л)] — Si («^ (t-g-T2)]} cos«et (4.53)
Формула (4.53) представляет собой несущую cos<oc£, модулиро-
ванную по амплитуде сигналом совершенно такой же формы, какую
дает формула (4.30). Таким образом, при передаче импульсов и под-
робностей усилитель промежуточной частоты с симметричной поло-
сой в точности соответствует видеоусилителю низких частот с шири-
ной полосы, равной половине |дирины полосы усилителя промежуточ-
ной частоты. Нет необходимости входить здесь в подробности, так
как мы уже обсудили их (см. фиг. 39 и 41).
Упражнения
1. Показать, что если F(f) есть сопряженная по Фурье функции G(f),
то независимо от вида G (t) сопряженная по Фурье F(f) функции G (t) cos
есть
Р(/) = ^(/+Л) + Л/~Л) = ^(Л+Л + RVc-/)!* .
Начертить кривые |F(/)| и |F(/)[ для случая, когда G.(t) представляет
собой импульс, изображенный на фиг. 34, В.
2. Решить задачу о прохождении импульсно модулированной несущей
(фиг. 45, А) через передающую систему (фиг. 45, В) с помощью комплексной
формы интеграла Фурье (вместо тригонометрической). С помощью какой
формы решение получается легче?
§ 9. Ширина полосы и передача подробностей усилителями
промежуточной частоты. Случай асимметричной полосы. Орто-
гональные компоненты }). Случай, когда полоса пропускания асимме-
2) Эта задача рассматривается с точки зрения общей теории модуляции
в гл. V, § 6.
94
Рлава IV
трична относительно несущей, математически отличается от симмет-
ричного случая тем, что интегралы типа
;COS X ,
—dx
—а
в формуле (4.48) не исчезают. Чтобы разобрать этот случай, введем
новую функцию — интегральный косинус Ci(x). Она определяется
следующим образом:
оо
\	f COS X,
Ci (х) = — J —dx.
X
(4.54)
График функции Ci(x) изображен на
фиг. 46, а в табл. 2 даны не-
Ф и г. 46. График интегрального косинуса,
Ci(x).
которые из ее значений *). С помощью формулы (4.52) и (4.54)
можем написать
+&	ь	ь
/COS X . С COSX ,	, С COS X . f COS X <
----dx = --------dx 4- --------dx = ------dx =*
X	J X	J X	J X
—ft	—ft	ft	ft
=	— J £21^ dx = Ci (£) — Ci(a). (4.55)
—a	b
1) Для малых значений x функция Ci(x) может быть вычислена из ее
разложения в ряд
v2 у-4
Ci(x) = C+lnx-2T21 + ^+...,
где С = 0,5772 — постоянная Эйлера*
Таблица 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС
со
/cosX .
—~ dx
X
0,00	— оо		
0,05	-2,4191	2,1	4-0,4005
0,10	-1,7279	2,2	4-0,3751
0/15	—1-.3255	2,3	4-0,3472
0,20	—1,0422	2,4	4-0,3173
		2,5	4-0,2859
0,25	—0,8247		
0,30	-0,6492	2,6	4-0,2533
0,35	-0,5031	2,7	4-0,2201
0,40	—0,3788	2,8	4-0,1865
0,45	—0,2715	2,9	4-0,1529
		3,0	-4-0,1196
0,50	—0,17778		
0,55	—0,09530	3,1	4-0,08699
0,60	-0,02227	3,2	4-0,05526
0,65	4-0,04265	3,3	4-0,02468
0,70	4-0,10051	3,4	—0,004518
		3,5	—0,03213
0,75	4-0,15216		
0,80	4-0,1983	3,6	—0,05797
0,85	4-042394	3,7	—0,08190
0,90	4-0,2761	3,8	—0,1038
0,95	4-0,3086	3,9	—0,1235
		4,0	—0,1410
1,0	4-0,3374		
1,1	4-0,3847	4,1	-0,1562
1,2	4-0,4025	4,2	—0,1690
1,3	4-0,4457	4,3	-0,1795
1,4	4-0,4620	4,4	-0,1877
1,5	4-0,4704	4,5	—0,1935
1,6	4-0,4717	4,6	-0,1970
1,7	4-0,4670	4,7	—0,1984
1,8	4-0,4568	4,8	—0,1976
1,9	4-0,4419	4,9	—0,1948
2,0	4-0,4230	5,0	—0,1900
96
Рлава tV
Таблица 2 (продолжение)
6	—0,06806	45	+0,01863
7	+0,07670	50	—0,00563
8	+0,1224	55	—0,01817
9	+0,05535	60	—0,00481
10	—0,04546	65	+0,01285
11 -	-0,08956	70	+0,01092
12	—0,04978	75	-0,00533
13	+0,02676	80	—0,01240
14	+0,06940	85	-0,001935
15	+0,04628	90	+0,009986
20	+0,04442	95	+0,007110
25	—0,00685	100	—0,005149
30	—0,03303	НО	—0,000320
35	—0,01148	120	+0,004781
40	+0,01902	130	—0,007132
Теперь мы можем написать формулу (4.48) в общем виде:
О {Si [®e it-g-Л)] + Si [шр (t-g- Т\)\ -
— Si g— Ta)] — Si [<вр (t-—g— 7*2)1} cos (<oc/—9) +
+ {Ci {^{t-g-7*01 — Ci [ш, (t-g-Г,)! -
— Ci [<og (t— g— T2)] 4- Ci [<»p {t—g— T*2)l} sin (%/— 0) =
= M cos (<ocZ— 0) -}-^Vsin (шс/— 0),
(4.56)
G (0 = j/ Ma + A/2cos (<eef+<}>).
В формуле (4.57) величины M и N равны соответственно коэф-
фициентам при cos(a)cf—0) и sin(a)c/—*0) в формуле (4.56). Таким
образом*	есть огибающая сигнала на выходе и представ-
ляет основной интерес* а ^ — несущественный сдвиг фазы колебания
промежуточной частоты^
Теперь мы могли бы изучать огибающую )Ли24-^2 для раз
личных сигналов на входе и при различной степени асимметрии в рас
положении несущей по отношению к полосе пропускания. Однако
чтобы увеличить практическую ценность нашего исследования, мы
будем рассматривать несколько более важную для практического
применения полосу пропускания, показанную на фиг. 47.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье ? 97
Для случая, 1$ргда характеристики пропускания такие, как на
фиг. 47, теми же способами, как в § 8, может быть показано1), что
Фиг. 47. Симметричная характеристика пропускания уси-
лителя промежуточной частоты.
Ф—сдвиг фазы.
Л4 и N в формуле (4.57) имеют значения
М = Р (*—g - Т.) - Р (Z-g- Т2),
.V=Q(/„^_7'1)-Q(Z-g-7'2),
(4.58)
(4.59)
где
Р(х)
Q(X)
9---1	\ f sin ИН + о \С f “
2кх (wj — ш3) J	г ‘	1 2тс (<oi — оз3) J
(w3—%) ж	h-u)c^ х
(ц>2—ц>е) х	(ц>4—Ф,) х
*	* sin р. , _____
|Л	2тсх((1)4 — <О2)
^х
х
Г	С S_in|X ,
г 2л(ш4-ш2) J [Л
х
а>с)ж
= ------------- f C0S J.
2тсх (о»! — <D3) J	r r I
(ш3-шс)Ж
х
4> f
1 2к J Р-
(«>£-
1
1
2 е-
(4.60)
(шГ~и>с) ®
ЮС —ш3 f cos Iх di. 1
2я(«>1-«>з) J н
(<u3-u>c)®
(“>4—
п—----------т j COS llrfu -4-
2ях((1)4— Ш2) J	г г I
(и>2-“>с) Х
1 .
(iD4—шс) х
<04—щс f COS р. ,
2^(Ш4 —ш2) J	|Л U^
(4.61)
*) Вычисления — простые, но длинные и поэтому здесь опускаются.
7 Зак. 2263. С. Гольдман.
98
Глава tV
Кривые Р(х) и Q(x) для различных положений1)? несущей в полосе
пропускания, исследованные автором [15] для одного частного слу-<
чая, имеющего значение в телевидении, даны на фиг. 48. Сравнение
Фиг. 48. Графики нормированных функций Р(х) и Q (х).
фиг. 48 с фиг. 35 и формул (4.56)—(4.61) с формулой (4.30) по-
казывает, что Р(х),воспроизводит сигнал, .тогда как Q(x) есть эффект
искажения, который возрастает по величине вместе со степенью
асимметрии в положении несущей. Мы будем называть члены с Р(х)
синфазной компонентой сигнала, а члены с Q (х) — ортогональной
2) Для того чтобы яснее изобразить, что получается в действительности,
на фиг. 48 и 51 дается нормированный сигнал на выходе. При нормирова-
нии величины, соответствующие положению IV, умножаются на 2 * 4/3, соответ-
ствующие положению V—на 2, положению VI—на 4. Это делает уровень
сигнала одинаковым при всех положениях несущей, что осуществляется
в телевизионном приемнике применением регулировки чувствительности.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье $
компонентой, так как в формуле (4.57) эти члены умножаются со-
ответственно на синфазную и ортогональную компоненты несущей.
С помощью формул (4.56)—(4.61) и фиг. 49 легко можно найти
огибающую сигнала на выходе (которая и является продетектирован-
ным видеосигналом) для двух	______
важных типов сигналов на входе,	Г“| Г 1
показанных на фиг. 49. Сиг-	I
нал на выходе, соответствующий	____ I
фиг. 49, Д, покажет резкость	у; т2
границы пятен на экране. Сиг-
нал на выходе, соответствующий
фиг. 49,покажет способность Ф иг. 49. Телевизионные тестсигналы.
системы передавать мелкие под-
робности. Чтобы найти сигнал на выходе в случае фиг. 49, А,
положим в формулах (4.58) и (4.59) Т2~> оо. В случае же фиг. 49, Б,
Фиг. 50. Отклик на одноступенчатый сигнал.
пользуясь теоремой о суперпозиции § 6, напишем
M = P^—g—T1)-P(t-g-T2) + P(t-g-T3)-
— P(t-g-T,),	(4.62)
N=Q(t—g — T\) — Q(t-g—TJ + Q(t—g—Tt) —
-QV—g — TJ,	(4.63)
100
^лйва tV
а затем найдем огибающую
]Ли2+л/2.
На фиг. 50—52 показаны результаты этих операций. Продолжи-
тельность импульсов и промежуток между ними на фиг. 52 выбраны
Фиг. 51. Нормированный отклик на одноступенчатый сигнал.
таким образом, чтобы было видно, стоит ли применять асимметрич-
ный прием (обычно случай V или VI) вместо симметричного (слу-
чай I) для получения при данной полосе пропускания возможно боль-
шего количества подробностей на экране. Фиг. 52 показывает, что
асимметричное по отношению к полосе пропускания расположение
несущей благоприятствует1) воспроизведению подробностей, но из
фиг. 50 и 51 видно, что это не дает преимуществ в отношении рез-
кости границы сигнала в разбираемом случае, когда уровень несу-
щей без сигнала равен нулю.
1) Сравнение фиг. 52 и 41, если в последней шв==2-|- мгц, показывает,
что случай V требует примерно полосы вдвое уже, чем случай /.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 101
Мы покажем, однако, в следующем параграфе, что положение
улучшается, если уровень несущей в отсутствие сигнала отличен от
нуля.
Объяснение того, что при асимметрическом приеме улучшается
передача деталей, но не улучшается резкость границ, заключается
в том, что ортогональные компоненты Q(x), искажающие картину,
взаимно уничтожаются в промежутке между импульсами, показан-
Ф и г. 52. Влияние положения несущей частоты на воспроизве-
дение сигнала.
ными на фиг. 52, в случае же одного резкого края такое явление не
имеет места.
Отметим, что если — <о3 (интервал спадания кривой пропуска-
ния с той стороны, куда смещена несущая) делается очень узким
или несущая по каким-либо причинам находится очень близко к ш3,
„ортогональное искажение* становится настолько большим, что вы-
зывает значительное ухудшение качества изображения.
§ 10. Случай, когда уровень несущей в отсутствие сигнала
отличен от нуля. Предыдущая дискуссия относилась к случаю, когда
уровень несущей в отсутствие сигнала равен нулю. Посмотрим теперь,
какие отличительные черты появляются, когда уровень несущей в от-
102
Глава IV
сутствие сигнала отличен от нуля. Займемся случаем, когда сигнал
на входе имеет вид, показанный на фиг. 53, что соответствует границе
Фиг. 53. Несущая, модулированная си-
гналом ступенчатого типа.
света и тени в телевизионном
изображении. Как мы видели,
другие сигналы импульсного
типа могут быть получены из
этого сигнала с помощью
принципа суперпозиции.
Для того чтобы найти соот-
ветствующий сигнал на выходе
G(/), применим принцип супер-
позиции и напишем
O(0={ft[/>(^—g — T0)—P(-oo)]+a[P(+oo) —
—РУ— g—T'o)] 1 cos («></— 6) + \b [Q (/- g - To) -
— Q(— oo)] + a[Q( + °°) — Q(t—g— T'o)]} sin (<•></—6) =
= [(/’4-а)Р( + оо)-}-(^— a)P(t—g — TJ\ cos (<V—6)4-
-4- (/> — a) Q (t— g — To) sin (ф/ — 0),	(4.64)
так как
p(—oo) = — />(+oo),	(4.65)
Q(-oo) = Q(4-oo) = 0.	(4.66)
Огибающая, т. e. видеосигнал, равна тогда
G(/)={[d + a)P(oo) + (& — d)P(t— g— 7о)]2 +
+ [(* - о) Q (t-g-T^.	(4.67)
Если a = 0, то формула (4.67) сводится к случаю, представленному
на фиг. 50. Если же b — а мало по сравнению с то, разлагая
выражение (4.67) в ряд Тейлора, получаем
G(0 = (/? + a){p(oo) + |T^P(#-g + To) +
члены порядка

(4.68)
В этом случае ортогональные компоненты не имеют практического
значения. Резкость краев для малых изменений амплитуды в случае V
примерно в два раза лучше, чем в случае /. Это можно заметить,
обратившись к фиг. 48 и формуле (4.68). При возрастании величины
(/> — а) / (b -J- я) значение ортогональных компонент возрастает и вызы-
ваемые ими, искажения становятся все более явственными.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 103
§ 11. Оптимальная (по отношению сигнала к шуму) ширина
полосы приемников импульсов. При проектировании приемников
импульсов желательно знать оптимальную ширину полосы усилителя
высокой частоты (как усилителя приходящей радиочастоты, так и
усилителя промежуточной частоты) и усилителя низкой частоты. Мы
можем рассмотреть эти вопросы, пользуясь результатами предыдущих
параграфов.
Обычно при проектировании приемников импульсов ставят целью по-
лучение максимального отношения сигнала к шуму. В главах, посвящен-
ных шумам, мы покажем, что амплитуда шумов, пропорциональна корню
квадратному из ширины полосы системы. Соответственно этому будем
здесь исходить из того, что шум, с которым сравнивается сигнал на
выходе, изменяется по величине, как корень квадратный из ширины
полосы системы. Мы не будем рассматривать такие вопросы, как не-
линейность фазовой характеристики или неравномерность частотных
характеристик в полосе пропускания.
На фиг. 54 показано влияние ширины полосы на прохождение
импульса продолжительностью 1 мксек через видеоусилитель. Эта же
фигура показывает, какое влияние оказывает на прохождение импульса
усилитель высокой частоты с удвоенной полосой пропускания (удвоен-
ной ширины), так как мы видели, что результат в этих двух случаях
одинаков. Кривые выхода взяты из фиг. 39. Отношение сигнала к шуму
для фиг. 54, В произвольно выбрано равным единице; с этим случаем
сравниваются остальные, причем учитывается, что амплитуда шумов
пропорциональна корню квадратному из ширины полосы.
Наилучшее отношение сигнала к шуму получается при боковых
полосах, простирающихся примерно на 3/4 мгц иJTf) от несУ"
щей (фиг. 54, Г). Из фиг. 31, где показаны частотные компоненты
импульса, видно, что амплитуды боковых полос быстро падают выше
частоты, равной примерно
f  	__ 3 1
Jm	2л ~4 Г
(4.69)
поэтому нет ничего удивительного в том, что это значение приблизи-
тельно соответствует наилучшему отношению сигнала к шуму.
Может ли быть получено значительное улучшение путем применения
асимметрического приема? Фиг. 55 показывает, что сильно выраженная
асимметрия дает: 1) уменьшение чувствительности, 2) уменьшение
отношения сигнала к шуму, 3) худшую форму импульса.
Эти неблагоприятные эффекты происходят вследствие появления
ортогональных компонент. Однако умеренная асимметрия может быть
полезной. Благодаря большим уходам частоты в высокочастотной части
аппаратуры, применяемой в настоящее время при импульсной передаче,
в действительности прием, по всей вероятности, меняется от симметрич-
ного к асимметричному много раз в минуту. Поэтому бесполезно^
a
Фиг. 54. Влияние ширины полосы пропускания импульсного
сигнал
усилителя на отношение т) = —.
д—сигнал на выходе; б—сигнал на входе; по оси ординат отложена сравни-
тельная величина шума; /$—ширина полосы видеоусилителя, равная половине
ширины полосы усилителя промежуточной частоты.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 105
-----------	——
повидимому, проектировать аппаратуру специально для одного, а не
для другого типа приема.
Фиг. 55. Влияние асимметричного расположения несущей в по-
лосе пропускания на прием импульса.
а —симметричное положение несущей; б—асимметричное положение несущей.
Подводя итог, мы можем сказать, что для наилучшего отношения
сигнала к шуму следует применять примерно следующие соотношения:
3 1
полоса видеоусилителя = у у,	(4.70)
а вследствие наличия верхних и нижних боковых частот
3 2
полоса пропускания по высокой частоте =-уу. (4.71)
Если важно иметь резко очерченные края импульсов (например, для
точной радиолокации) и если отношение сигнала к шуму не составляет
106
Глава IV
серьезной проблемы, то, обратясь к фиг. 31, можно видеть, что
хорошими значениями для ширины полосы являются
7 1
полоса видеоусилителя =	,	(4.72)
7 2
полоса пропускания по высокой частоте =-у .	(4.73)
Ббльшая ширина полосы для высокой частоты, чем следует из
формул (4.71) и (4.73), может, конечно, потребоваться из-за уходов
частоты в аппаратуре.
§ 12. Интерпретация искажений, как спаренных эхо. Перейдем
к замечательному применению гармонического анализа для нахождения
приближенных решений задачи о влиянии различных типов искажений.
Этот метод был впервые опубликован Уиллером [16], но был незави-
симо разработан Макколом. Изложение, которое дается здесь, более
близко, однако, анализу, данному Бэрроузом [17].
Предположим, что мы имеем на входе системы с характеристикой
пропускания	сигнал 0(f). Согласно формуле (3.54), мы
можем написать
4-оо
G (/) = i J* 5 (ш) ei №+»(“» rfa>.	(4.74)
—оо
Соответственно сигнал на выходе равен
4-оо
G (0 = J 5 (<») А (ш)d [*“*+* (<>)+*(“>)] rfw. (4.75)
— 00
В § 3 мы видели, что если А (со) — постоянная и В((п) пропорцио-
нальна частоте, то 0(f) проходит через систему без искажения. Мы
хотим теперь исследовать, что получается на выходе, если характе-
ристики пропускания очень мало отличаются от тех, которые нужны
для передачи без искажения.
Случай!. Амплитудные искажения первого по-
рядка. Предположим, что сдвиг фазы пропорционален частоте, т. е.
В(ш) = — &0о),	(4.76)
но что амплитудная характеристика имеет вид
W = -г? + cos со),	(4.77) х)
*) В § 4 показано, что А (ад) — четная функция w, тогда как В (ш) — не*
четная,	- -
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 107
где мало по сравнению с а0. Такая частотная характеристика по-
казана на фиг. 56. Величина с обычно выбирается так, чтобы боль-
шинство гармонических компонент G(t) лежало внутри интервала
тс	.тс
------<7 о) <С —.
с-----с
Подставляя формулы (4.76) и (4.77) в формулу (4.75), имеем
4-00
G(0 = J $ (®)(у + «1 С08Сш)^[<“^6оШ + ’(Ш)] rf® =
— оо
= 1 | S (w)	4 ?«“ 4- £1 е-^d(O =
—оо
J ад^[“(<_ад+9(,о)]^+
— оо	*
4-00
_|_*i ’ [ 5	b“+c)+<p W ^4-
& J
—до
? S(«>)^^^-b0-e)-Hf(»)]da)==«oG(/_^) +
£ J	£
— оо
+ J G	b0 4-С) + I1 G (t-b0—с),
где мы использовали формулу
COS*= —
(4-78)
(4-79)
108
Глава IV
Формула (4.78) и фиг. 57 показывают, что в этом случае сигнал
на выходе системы состоит из главного неискаженного прошедшего
сигнала (а0/2) G (t—bQ) и двух «эхо», подобных по форме неискажен-
в
Фиг. 57. Иллюстрация эхо/возникающих из-за искажения ампли-
тудной характеристики.
а—сигнал на входе; б—предваряющее эхо из-за искажений; в—неискаженный
сигнал; г—запаздывающее эхо.
ному сигналу, но сдвинутых от него в обе стороны на время t = c.
Эти эхо изображаются членами («1/2) G(t—b^c) и (at/2) G(t—bQ—с).
Они и представляют собой искажение прошедшего сигнала.
Случай II. Фазовые искажения первого порядка.
Предположим, что амплитудная характеристика не зависит от частоты,
т. е.
4 («>) = |0,	(4.80)
а сдвиг фазы может быть представлен как
В (<о) = —	-f- bi sin ^о),	(4.81)
где bt мало по сравнению с Ь$. Такая частотная характеристика по-
Ф и г. 58. Нелинейная фазовая характеристика.
казана на фиг. 58. Подставляя формулы (4.80) и (4.81) в формулу
(4.75), имеем
4-00
сигнал на выходе = G~(f) = ~ f S («)	(4.82)
—оо.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 109
В Приложении III указано, что
e^sin6 = 2 Л(X)= J0(x) + [Л(х)(х)e“yeJ+- (4.83)0
Л=—оо
Если х мало, мы можем пренебречь членами высших порядков
в правой части формулы (4.83). Функции J0(x), Jx (х), Jw1(x)ht. д.
являются функциями Бесселя, о которых говорится в Приложении III.
Их значения в зависимости от х показаны на фиг. 59; это все, что
нам нужно сейчас знать о них. Если мы подставим в формулу (4.82)
приближенное значение из формулы (4.83), то получим
G (0 =	J S (а) ? [“*+?<“)- W Ио (^) _|_ (^)
— оо
+(^) а» = %j0 (^) о (/—z>0) +Л (^) 0(1— ь0+С1)4-
4-to) о (t-b0—C1) =	o(t-b0} +
' +^JMG(t—b0-\-ci)—^JMQ(t—b0-c^	(4.84)
В приведенной формуле мы использовали известное соотношение
между функциями Бесселя, а именно
♦ Л_ и (х) — ( 1) Vк (х).
Формула (4.84) показывает, что в этом случае сигнал на выходе
системы состоит из главного неискаженного -прошедшего сигнала
(а0/2) JQ(^) Q (t—bQ), положительного эха (aQ/2)J1 (^) G(t—
подобного по форме неискаженному прошедшему сигналу, но пред-
варяющего его на время сХ9 и отрицательного эха (— я0/2) Jx (Z^) G X
Х(^—подобного по форме неискаженному прошедшему
*) Это — формула (11) Приложения III.
116
Рлавй iV

сигналу, но следующего за ним через время cv Эти обстоятельства
отображены на фиг. 60. На фиг. 60, Б величина сг изменена на
Фиг. 60. Иллюстрация эхо, возникающих из-за искажения фазовой харак- |
теристики.	я
а—сигнал на выходе; б—предваряющее эхо из-за искажений; в—неискаженный сигнал; j|
г—запаздывающее	эхо.	'Я
меньшую величину с' таким образом, что имеет место наложение 1
неискаженного сигнала и его эха. Показан также результирующий J
сигнал. Последний тип искажения встречается чаще, чем случай, 3
когда	прошедший	сигнал	и его эхо	полностью разделены.	1
Случай III. Смешанное амплитудное и фазовое 1
искажение первого порядка. Предположим, что амплитуд- |
ная	характеристика	имеет вид	j
А (<о) = ~ ai cos с<»,	(4.85)	I
а фазовая имеет вид
В (<о) = —	-f- sin	(4.86)	I
Действуя, как в предыдущих случаях, получаем для сигнала на |
выходе	|
G(/) = J	-|-fl1cosc<o)?t“<+<p(“)-b^+l,‘sinC1“’dU> =	|
—oo	1
+ °°	I
= f 5(ш)(^0+-|-1^сш4--^1е-уса,)в[шг+<р(“)“г'вЮ1Г0(^1)+	I
—00	1
+ Л M ?c‘“ - J, (^) e~^m\ d® =	Jo (^) G (/- b0) +	]
+ f Л (^) G (t-£0 + C1)Л (M G(t —b0-C1) +
+ j (*i) G (t— + c) + Jo (^) G (t-bQ—c) +	I
Физическая Интерhpemalfait и И'рНМёКёнйя йнтёграЛа Фурьё ill
и- ...... ...    ——  ..................... .............-  
+ ^J1(^1)G(Z-^ + C + C1)-§J1(^)O(/-Z>0 + c-C1) +
+ у Л	G(t— b0 — c + c^-^J, (^) G{t-b0-c-Cl). (4.87)
Формула (4.87) дает главный неискаженный прошедший сигнал
(я0/2) JQ (^) G (t—#0). Она дает также четыре эха первого порядка,
содержащих множители (а0/2) Jx (^), (aj'2) JQ (Z^). Наконец, она дает
2
к------------- Ьа —------------J
Фиг. 61. Схематическое представление эхо, возникающих из-за искажения
амплитудной и фазовой характеристик.
Характер сигналов можно описать с помощью формулы (4.87) в предположении, что
	б	в
«(0	-^^(b^Gd-b.+Zc)	[-^	Л (6.)] х X G (t—— Ьй с)
г	д	•TI е 11
^J^GV-b.}	ХО(/~&о“С)	—^-j^bjatt-b'-ic)
четыре эха второго порядка с множителями (Z4). Если ах и
относительно малы> этими эхо второго порядка можно пренебречь.
Случай III изображен на фиг. 61, где с1 выбрано равным с, чтобы
получить более простую картину.
Общий случай. В общем случае искажение не ограничивается
членами первого порядка. Всегда можно разложить искажения харак-
теристик А (ш) и В ((d) в ряды Фурье
со
А (<п) —	cos new	(4.88)
И	оо
В (оо) — — Ь0<л + V bm sin тс<п.	(4.89)
т=1
112
Глава IV
Эти разложения могут быть подставлены в формулу (4.75). Резуль-
татом будет главный неискаженный сигнал и бесконечная последо-
вательность эхо, отстоящих во времени от него на величины, крат-
ные с. Все эхо будут иметь форму первоначального сигнала, но раз-
личную величину; некоторые будут отрицательны. Такое представление,
однако, имеет скорее теоретический, чем практический интерес.
В практических применениях метод двойных эхо является при-
ближенным методом. Полное искажение передающей системой не
сводится к двойному эху из-за амплитудных искажений и к дру-
гому двойному эху из-за фазовых искажений и даже не сво-
дится к конечному числу эхо. Однако если искажение амплитудной
характеристики системы может быть описано в первом приближении
одним членом с косинусом, а искажение фазовой характеристики од-
ним членом с синусом, что часто имеет место, то метод двойных
эхо дает хорошую картину действительных искажений. Значения с и
с19 входящие в формулы (4.85) и (4.86), выбираются при конкретном
исследовании. Если эти величины выбраны так, что приближения
(4.85) и (4.86) близко подходят к точным значениям, то вычисляемые
эхо будут близко апроксимировать действительные искажения сигнала.
Упражнение
Импульс, изображенный на фиг. 62, А, посылается через передающую
систему, имеющую характеристики, показанные на фиг. 62, Б» Найти
сигнал на выходе.
Обратить внимание на то, что главный прошедший сигнал и его эхо
подобны не импульсу на входе, а сигналу, получающемуся в результате
прохождения импульса через фильтр низких частот.
§ 13. Теорема об энергии, связанная с интегралом Фурье.
В гл. II, § 5, показано, что в случае периодического тока средняя
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 115
Ц|'|		——	'	'	. I !	II	, U!	'Ill !—..1111.— II	I	I		'	
рассеиваемая мощность равна сумме средних рассеиваемых мощностей,
соответствующих отдельным компонентам его разложения в ряд Фурье.
Взаимодействие между разными гармониками, таким образом, не при-
вносит ничего в среднюю мощность. В том же параграфе пока-
зано, что когда э. д. с., выраженная в виде ряда Фурье, приложена
к цепи, средняя мощность, доставляемая ею в цепь, равна сумме
средних мощностей, даваемых отдельными гармониками. Взаимодействие
между напряжением одной гармоники и током другой гармоники ничего
не привносит в среднюю мощность.
Предыдущее высказывание основывалось на формуле (1.102),
а именно
2ft	4-со
f(x)g(x)dx=* 2 С»с-п>	(4-90)
О	п = — ОО
или на ее тригонометрическом эквиваленте. Формула, аналогичная
формуле (4.90), может также быть выведена и для интегралов Фурье х).
Она имеет вид
-I-оо	Ч-oo
f G^G^dt^ f F^F^-fidf' (4.91)
— oo	—oo
где и Gj — сопряженные по Фурье, так же как и Г2 и 02. Со-
гласно формулам (3.26) и (3.27), мы можем написать
Л (/) = К К (®)—К («)],	(4.92)
Г2 (-/) = « («2 (<“)4~ А («Я •	(4.93)
Так как
(4.94)
а (— <о) = а (а)	(4.95)
и
д(—«,) = — £ (а>),	(4.96)
мы можем переписать формулу (4.91) в виде
-f-oo	4"°°
j Ох(0О2(0Л=| j {[«,(«>)а2(«)4-4-
— оо	—оо
оо
4~/ [aL (<о) г»2 (ш)—а2 (®) (ш)1} d<s> = те J [at (ю) а2 (и)
О
оо
4"	(«) ^2 Wl	== V J 51 (®) 52 (“) Cos [?1 (<“) ?2 (®)1	(4-97)
о
*) Смотри таблицу в работе Кэмпбела и Фостера [12J, ч. 2, стр. 39,
и книгу Титчмарша [18].
8 Зак. 2263. С. Гольдман.
114
Глава IV
Ради удобства напоминаем формулы, определяющие а (со), £(а>):
+°°
а(<»)=— J G(t)cos<ntdt,	(4.98)
— оо
+“
£(в>) = -±- у G(t)sm<s>tdt.	(4,99)
— ОО
В качестве следствия из формулы (4.97) имеем
У [G(/)]2^=ir У {[a(a>)]9+[Z>(<o)]2}do) = ^y [S(<o)]az/®. (4.100)
— оо	0	0
Формула (4Л 00) была впервые получена Рэлеем. Ей можно дать
следующую физическую интерпретацию. Пусть (как это часто имеет
место) мгновенная мощность, рассеиваемая при некотором процессе,
пропорциональна G(/)2. Тогда стоящий в левой части формулы (4.100)
интеграл равен энергии, рассеиваемой на протяжении всего рассма-
триваемого процесса. Формула (4Л 00) показывает, что эта полная
рассеиваемая энергия равна сумме составляющих, пропорциональных
квадратам амплитуд 5 (ш) отдельных синусоидальных составляющих
функции G (f). Произведения составляющих различной частоты ничего
не вносят в величину полной рассеиваемой энергии.
Формула (4.100) может быть названа энергетической теоремой,
связанной с интегралом Фурье. Формула (4.100) имеет весьма
разнообразные применения. Например, с ее помощью мы можем
изучать перенос энергии различными сигналами, пользуясь только
частотными характеристиками передающей системы. Это особенно
ценно для следующих глав, где мы будем изучать модуляцию и
шумы.
Более общая формула (4.97) позволяет выразить энергию, рас-
сеиваемую в системе, в которой течет ток /(/) при подведении напря-
жения Е(/), через „ амплитудыа и фазы их гармонических компонент.
Формула (4.97) показывает, что рассеиваемая энергия зависит лишь
от произведений компонент одинаковой частоты; не происходит ни-
какого взаимодействия между компонентами различных частот.
Упражнения
1. Найти энергию, рассеиваемую импульсами фиг. 74, и показать, что
ответ не зависит от того, производится ли вычисление с помощью G (t) или
= |.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 115
2. С помощью формулы (4.91) показать, что
-J-оо	-|-00	-|“СО
j [0(OJMZ= j F(/)r*(/)d/= j
— oo	—oo	’	—oo
(теорема об энергии в комплексной форме).
§ 14. Метод стационарной фазы. Изложим теперь прием, имею-
щий широкое применение во многих отраслях физики и радиотехники.
В качестве первого шага рассмотрим величину
х	#
/> = ] {7(x)cos[V(x)]rfx= Refj и(х)е™ dx\, (4.101)1)
причем амплитуда U (х) подинтегрального выражения изменяется
с х медленно, а множитель cos|V(x)] совершает внутри области
интеграции большое число колебаний. Предположим, в частности, что
изменению V(x) на 2к соответствует изменение С7(х) на величину,
весьма малую по сравнению с U(x). Величина интеграла будет, как
правило, малой, так как интегралы по интервалам, где cos [V (х)] отри-
цателен, будут почти полностью компенсировать интегралы по интер-
валам, где cos [ V (X)] положителен. Исключением является случай,
когда фаза V (х) проходит через стационарные значения, т. е. зна-
чения, для которых
^[VW1=O.
В этом случае значение Р будет определяться в основном той частью
интеграла, которая берется по окрестности значения х, при котором
фаза стационарна. Это показано на фиг. 63, Б, где штрихованные
площади показывают слагаемые одного знака, а накрест штрихован-
ные — слагаемые другого знака. Положительные и отрицательные
площади компенсируют друг друга всюду, за исключением областей
стационарной фазы.
Утверждение, что в интеграле типа (4.101) имеет место общая
компенсация положительных и отрицательных частей, за исключением
части, соответствующей области стационарной фазы, называется прин-
ципом стационарной фазы.
При практическом применении принципа стационарной фазы под-
интегральное выражение является обычно функцией переменной интег-
рирования х и некоторого параметра, который мы можем обозначить а.
Так как после подстановки пределов интегрирования переменная интег-
i) Re означает „действительная часть от“.
8*
116
Глава tV
рирования исчезает, интеграл является функцией только параметра.
Таким образом, формула (4.101) может быть переписана так:
X	N
Р(а) = J U(x, a)cosV(x, a) Jx = Re[j U(x, а) е>Г(х- rfx]. (4.102)
Мы можем поэтому переформулировать принцип стационарной
фазы, сказав, что Р(а) будет принимать наибольшие (по абсолютной
Фиг. 63. Графическая иллюстрация принципа стационар-
ной фазы.
А — способ получения положительных и отрицательных областей
функции cos V (ху, Б — график функции U (х) cos V (х); U (х) меняется
медленно, в то время как cos V (х) многократно меняет знак; значение
интеграла J* £7(x)cos[V(x)] dx в основном определяется большой за-
штрихованной областью—областью стационарной фазы.
величине) значения при тех а, при которых V (х, а) имеет стацио-
нарные значения. Это та формулировка принципа стационарной
фазы, которая обычно наиболее полезна в радиотехнике. Мы вос-
пользуемся ею для рассмотрения нескольких практических примеров.
§ 15.	Примеры на применение метода стационарной фазы.
а)	Оценка момента прохождения главной части сигнала. Пред-
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 117
положим, что мы имеем сигнал G(/). Он может быть представлен
в виде интеграла Фурье
оо
=	5(ф) cos [со/—[— ? (ш)] d<&.	(4.103)
о
Согласно принципу стационарной фазы, если с изменением <о вели-
чина 5(<о) изменяется медленно, a cos [«)/-[-?(ш)] быстро колеблется,
то главная часть сигнала относится к тем значениям для которых
i<“'+?(“)I = ' + g = 0,	(4.104)
т. е.
'=-£• (4ЛО5>
Формула (4.105) приближенно указывает положение сигнала во
времени. На фиг. 64 изображен сигнал 0(f). В случае, когда
Фиг. 64. Определение положения сигнала согласно принципу ста-
ционарной фазы.
меняется с в формулу (4.105) следует подставить среднее значе-
dq>
ние в интервале частот, содержащем наибольшую часть энергии
сигнала.
б)	Передача без искажений. Предположим теперь, что сигнал,
изображенный формулой (4.103), проходит через систему с такой
характеристикой пропускания: изменение амплитуды не зависит от
частоты и равно 1/К, а сдвиг фазы пропорционален частоте и
равен — о)Т. Это — система, осуществляющая пропускание без иска-
жения, как было показано в § 3. Сигнал на выходе при этом равен
оо
О (/) = -L J 5 (ш) cos [()/ + <р (со) — 0)71 d®.	(4.106)
о
Согласно принципу стационарной фазы, главная часть сигнала про-
ходит тогда, когда
^-И+?(ш)_«,Г) = /-Г+й = 0	(4.107)
118
Глава IV
или
t= т—р-.
им
(4.108)
Сравнйвая формулу (4.108) с формулой (4.105), мы видим, что сдвиг
фазы в передающей системе вызывает запаздывание сигнала на время Т.
Это обстоятельство наглядно изображено на фиг. 64.
в)	Сдвоенное эхо при искажениях. Рассмотрим теперь сдвоенное
эхо при искажениях, обсуждавшееся в § 12. Возьмем для конкрет-
ности случай искажения первого порядка амплитудной характеристики.
Другие случаи могут быть исследованы совершенно так же. Для слу-
чая амплитудного искажения первого порядка формула (4.78) дает
-J-00
G (t) == j* <S (w)	4" а\ cos '(mt~ь'ш> =
= i j -у-5 (“)lt ~Ьо) i j 15 (“)('-ь“+с) +
+ i J	(4.109)
Три интеграла в правой части формулы (4.109) имеют тот же
вид, что и в формуле (4.102). Следовательно, главная часть первого
интеграла проходит при
[«>(/—b^\ = t—b0 = О, или t = b0,	(4.110)
второго при
4L [<!>(/—^ + с)] = /—/>04-с = 0, или t=*b0-—c,	(4.111)
и третьего при
—Ь()—c)] = t—b0 — с = 0, или t—b0-[-c. (4.112)
. Таким образом, метод стационарной фазы может быть применен
для оценки моментов прохождения как главной части сигнала, так и
эха.
В предыдущем примере мы имели начальную амплитудную функ-
цию вида
5 (od) ах cos сю).
Так как нельзя считать, что cos cod изменяется медленно с частотой,
понадобилось до применения метода стационарной фазы ввести этот
множитель в фазу.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 119
г)	Спектральное распределение частотных компонент1). Пре-
дыдущие примеры показали, как находится момент прохождения
сигнала. Рассмотрим теперь пример на оценку положения основной
части энергии в спектре сигнала.
Рассмотрим сигнал (см. фиг. 27):
Q (/) = COS (7\ < t < Т2),
0(0 = 0	(/<Л; />Т2).	(4.113)
В этом случае комплексная функция частотного распределения будет
иметь вид
+оо	та
F (/) = J О (/) е~№ dt = J cos (<о00 dt=*
-со	, Tt
н	j-i
. , , » .
/	—^(u) +<o0)f
------2—dt. (4.114)
Tt
Согласно принципу стационарной фазы, основная часть первого
интеграла в правой части формулы (4.114) находится там, где
— <00)/] = Ш — wo==O
ИЛИ
« = ш0,	(4.115)
а основная часть второго интеграла там, где
К®+«о) 0=« 4- «о=°
ИЛИ
со =5= — ш0.	(4.116)
Формулы (4.115) и (4.116) показывают, что главные части F(/)-
для сигнала, описываемого формулой (4.113), расположены около <оо
и — о)0. Читатель может проверить это заключение, обратившись
к фиг. 28 и помня при этом, что
5(ш) = |Г(/)|.	(4.117)
До сих пор мы применяли метод стационарной фазы для оценки
положения сигнала во времени и в спектре. В следующем параграфе
мы используем его для оценки положения сигнала в пространстве и
введем при этом важное понятие групповой скорости^
х) В связи с этим сМг статью Карсона и фрайя [19]. . -.
120
Глава IV
§ 16. Распространение сигналов с групповой скоростью. Пло-
ская волна определенной частоты, распространяющаяся в простран-
стве, или электрическая волна определенной частоты, распространяю-
щаяся вдоль линии передачи, могут быть представлены аналитически
в виде
A cos	(4.118)
где A — амплитуда, t—время, г — путь, V — скорость распростра-
нения.
Выражение (4.118) выводится и обсуждается в большинстве эле-
ментарных учебников физики и радиотехники и, без сомнения, хорошо
известно читателю. Дело, однако, сильно усложняется, когда распро-
страняется возмущениех) G (/), являющееся суперпозицией волн интер-
вала частот от <0^2^ до oo2/2ir, причем скорость распространения
различна для разных частот. Определим, с какой скоростью распро-
страняется это возмущение.
Возмущение может быть представлено интегралом Фурье:
О)2
0(0= J Д(ш)соз|«>(/—(4.119)
По принципу стационарной фазы главная часть возмущения находится
там, где
=	=	(4.120)
d(o L \ V/J \ V/ 1 и2	4	7
Решая уравнение (4.120), мы получаем для положения главной
части возмущения
___ t
r~ 1	<0 dV '	(4.121)
V	V2 da>
Если мы обозначим скорость, с которой движется главная часть
возмущения, через то, по определению скорости, имеем
г = ^.	(4.122)
Сравнивая формулу (4.121) с формулой (4.122), имеем
1 __ J___со dV _ d_ ( w_\
Vq ~~ V V2 dv~ du>\VJ‘	(4.123)
Если мы напишем
fe=V==T’	<4-124)
J) Возмущение есть общий термин, употребляемый при изучении волн
дм описания процесса любого типа, например радиосигнала.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 121
где А — длина волны, соответствующая <о, то мы можем преобразо-
вать формулу (4.123) к обычному виду, данному Рэлеем:
dan d(kV) „ . .dV	/у<
vn —	/174 =	- = Г + k ,	(4.125)
# d(y>IV) dk	1 dk 9	4	7
где — скорость, с которой перемещается главная часть возмуще-
ния, называется групповой скоростью. Скорость V, с которой пере-
двигается вдоль линии фаза волны определенной частоты, называется
фазовой скоростью или волновой скоростью.
Фазовая скорость может быть определена, например, путем изме-
рения длины стоячей волны и частоты, и мы можем таким путем
исследовать изменение фазовой скорости с частотой. Однако скоро-
стью, с которой движется вдоль линии главная часть возмущения,
т. е. скоростью, с которой вдоль линии движется энергия, обычно
является групповая скорость.
Если фазовая скорость не зависит от частоты, то, согласно фор-
муле (4.125), она равна групповой скорости. По всей вероятности,
именно по этой причине отличие между фазовой и групповой скоро-
стями долго оставалось неизвестным. Когда Майкельсон измерил ско-
рость света в сероуглероде методом, который в действительности
дает время, требуемое для того, чтобы свет прошел между двумя
точками, он нашел, что измеренная скорость заметно отличается от
значения, получаемого делением скорости света в воздухе на коэф-
фициент преломления сероуглерода для длины волны, на которой
проводился опыт. Трудность была разрешена, когда Гиббс и Рэлей
указали, что скорость света, определенная по показателю преломле-
ния, есть фазовая скорость, тогда как Майкельсон измерял скорость,
с какой перемещается энергия света, т. е. групповую скорость.
Вычислив разность kdVfdk [см. формулу (4.125)] из известного хода
изменения показателя преломления с частотой, они нашли, что она
совпадает с расхождением, полученным на опыте.
§ 17. Критерии, предъявляемые к фазовым характеристикам •
видео- и импульсных усилителей. В первых параграфах этой главы
мы изучали, как влияет ширина полосы на форму сигнала на выходе
видео- и импульсных усилителей. В частности, мы сделали пример-
ные оценки ширины полосы, необходимой для воспроизведения тех
или иных подробностей и для точного определения положений краев
импульсов. В этом параграфе мы постараемся установить критерии,
которые должны предъявляться к фазовой характеристике системы для
того, чтобы удовлетворить тем же требованиям.
а) Критерии, необходимые для передачи подробностей. В § 7
мы нашли, что полоса частот шириной
f—-—----------------1—------------(4.126)
'3	2 X (продолжительность импульса)	4	7
122
Глава IV
достаточна для пропускания мелких подробностей в виде равных
импульсов и промежутков. Однако уже при полосе шириной
f ____________________1_______________,	(4.127)
4 X (продолжительность импульса)	v }
эти подробности полностью стираются. Теперь мы хотим разобрать
этот случай с помощью представления о спаренных эхо и вывести
соответствующие критерии для фазовой характеристики. Мы займемся
поэтому изучением эхо, соответствующих условию (4.127).
На фиг. 65 показана частотная характеристика, соответствующая
формуле (4.127). Мы рассмотрим лишь эхо, вызванное амплитудным
я
=	= продолжительности первоначального импульса. (4.128)
Фиг. 65. Амплитудно-частотная характеристика фильтра
низких частот и ее первое приближение.
искажением первого порядка; следовательно, мы рассмотрим лишь
составляющую основной частоты в разложении кривой фиг. 65 в ряд
Фурье.
Обращаясь к фиг. 9 и фиг. 56, мы видим, что амплитуда основ-
ного члена равна (4/тс) (а0/2). Если мы теперь обратимся к фор-
муле (4.78), то увидим, что эхо, соответствующее этому основному
члену, будет в 2/тс раза больше неискаженного сигнала и будет отде-
лено от него на время
я
Здесь принята во внимание формула (4.127). Соответствующая
картина изображена на фиг. 66.
Хотя прошедший сигнал на фиг. 66 и сходен с первоначальным
сигналом, детали полностью обязаны своим происхождением эхо и по*
тому случайны. Для наших целей в соответствии с формулой (4.127)
мы можем считать, что пара положительных эхо, величина которых
равна 63°/О (т". е. 2/тс) от величины неискаженного сигнала, смещен-
ных от него на продолжительность импульса, полностью стирает под-
робности сигнала.
Рассмотрим теперь эхо, происходящее из-за фазовых искажений.
Здесь есть одно очевидное отличие от случая амплитудных искажений:
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 123
одно из эхо отрицательно. При равных длительностях импульсов и
промежутков между ними, как показано на фиг. 66, это приведет
к тому, что отрицательное искажение скомпенсирует положительное,
если эхо будут разнесены от главного сигнала на продолжительность
импульса, как в случае, когда имеет место
соотношение (4.128). Отсюда вытекает, что
для эхо, обязанных фазовым искажениям,
допустимы ббльшие смещения. Если смеще-
ния равны 3/2 от продолжительности импуль-
са, картина становится примерно так же
плоха, как на фиг. 66, Г. Мы можем поэтому
считать, что полная потеря деталей из-за
фазовых искажений будет наступать тогда,
когда эхо, возникающие вследствие фазо-
вых искажений, равны по величине 2/к от
величины неискаженного сигнала и разне-
сены от него на 3/2 продолжительности
импульса.
Переведем теперь условия, сформули-
рованные для искажений, в свойства фазо-
вой характеристики. Обращаясь к фиг. 58,
мы видим, что смещение, равное
3
сj = X (продолжительность импульса) =
&
=4=^.	«''Ч
Фиг. 66. Ухудшение вос-
произведения деталей сигна-
ла, происходящее от эхо
из-за искажения амплитуд-
ной характеристики.
А—неискаженный сигнал; 5—пред-
варяющее эхо; В—запаздывающее
эхо; Г—результирующий эффект.
эквивалентно отклонению фазовой характеристики от прямой линии
в полосе частот
f = ----------------1---------------V.	(4.130)
J 3 X (продолжительность импульса)
Величина отклонения определяется1 величиной эха, а именно 2/те,
как было отмечено. Согласно формуле (4.84), это означает, что
211^=2 = 0,636.	(4.131)
Л (М л
Согласно фиг. 59, это означает, что
= 1 (приближенно).	(4.132)
Формулы (4.130) и (4.132) дают нам первый критерий.
Если отклонение от линейной фазовой характеристики равно
1 радиану в интервале частот
_________________1_______________
3 X (продолжительность импульса) ’
то можно ожидать полную потерю подробностей сигнала. Этот кри-
терий аналогичен формуле (4.127)3 являющейся критерием для ампли-
тудной характеристики.
124
Глава IV
По аналогии с формулой (4.126) мы теперь сформулируем (несколько
произвольно) второй критерий.
Если отклонение от линейной фазовой характеристики не больше
*/2 радиана в интервале частот
_________________________________1_______________
3 X (продолжительность импульса) ’
то, повидимому, не должно быть заметных потерь подробностей сиг-
нала.
Приведенные критерии не могут претендовать на большую точ-
ность, но они имеют определенную ценность при суждении о допу-
стимости той или иной фазовой
Фиг. 67. Зависимость сдвига фазы от
частотной характеристики передаю-
щей системы.
характеристики.
В качестве примера рассмот-
рим фазовую характеристику, изо-
браженную на фиг. 67. Система
предназначена для пропускания
импульсов длины Т, так что ши-
рина полосы сделана равной
(4-133)
согласно формуле (4.126). При-
меняя наш второй критерий, мы
требуем, чтобы отклонение от ли-
нейности в пределах 2/3 ширины
полосы было не больше ^2 Ра’
диана. Эти отклонения обозна-
чены как MN или M'Nr на фиг. 67. Если ни одно из них не
больше !/2 радиана, то фазовая характеристика пригодна для передачи
деталей длины Т.
Приведенные критерии относятся к полбсе частот, которая содер-
жит наибольшую часть энергии сигнала. Поэтому, если имеется боль-
шое отклонение от линейности фазы в пределах очень узкой полосы
(/? на фиг. 67), его влиянием на детали, повидимому, можно прене-
брегать, если только эта узкая полоса частот не содержит значитель-
ную часть энергии сигнала. В противном случае вся задача должна
быть исследована заново.
б) Критерии, необходимые для резкого воспроизведения краев.
В § 11 мы нашли, что тогда как полоса шириной 8/4 Т дает наилуч-
шее отношение сигнала к шуму в усилителе импульсов, увеличение
ширины полосы до 7/4 Т дает значительное улучшение резкости краев,
что важно, когда нужно точно определить их положение. Посмотрим
теперь, какое условие должно быть наложено на фазовую характе-
ристику усилителя в этом добавленном интервале частот для того,
чтобы расширение полосы не было напрасным.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 125
Прошедший сигнал может быть записан в виде
2%4
Q (0 = ~ f S(<o)A (ш) [м#+ 9 (“)+в (ш)1	+
О
2К4^
4- 4- J* 5(ш)Л(ю)?м+9(ш)+В(ш),аЧ	(4.134)
где
+°°
G(t) = -^-f S(a>)^tu>*+<f(u>)Va>	(4.135)
— со
первоначальный сигнал и
Л(ш)?В(ш)	(4.136)
характеристика пропускания системы.
Применяя принцип стационарной фазы к формуле (4.134), мы видим,
что главная1) часть энергии, связанной с первым интегралом, прохо-
дит при
.	(4.137)
\	(!<&	J	g
О < СО < 2п —
В формуле (4.137) под производными нужно понимать их сред-
нее значение в интервале частот от 0 до 3/4Т; главная часть энер-
гии второго интеграла находится в
/ =
d<0 d(o
(4.138)
где под производными нужно понимать средние значения между
частотами 3/4Т и 7/47\ При расширении диапазона частот (см.
фиг. 39) можно получить улучшение резкости краев, если значения
постоянны и равны для обоих интервалов.
*) Большинство авторов статей по телевидению предполагали, что пере-
дающая система создает для компонент сигнала в заданном диапазоне частот
о/	dB ~
запаздывание, равное В/ю вместо . Это допущение правильно, если сдвиг
фазы линеен, что не имеет места при наличии фазовых искажений. Такой
способ рассмотрения аналогичен предположению, что при распространении
волн фазовая скорость равна групповой.
126
Рлава IV
Для практических целей можно считать, что край импульса под-
нимается от О до 1, как это показано на фиг. 68, за время (см. § 5)
3 84
tr = (время роста) =	,	(4.139)
<Dg
где <о8/2тс— частота отсечки фильтра. Для сигнала, описываемого
формулой (4.137), время роста равно поэтому
tr =	= 0,81 Т.	(4.140)
Если полоса увеличена до 7/4Т, время роста становится
=	=	(4.141)
Мы примем, несколько произвольно, что ошибка в определении поло-
Фиг. 68. К расчету времени роста сигнала.
А — край импульса; Б—фазовая характеристика.
жения фронта равна примерно */4 времени роста. Поэтому для по-
лосы 7/4Т ошибка в определении положения фронта равна примерно
=	= 0,088 Т.
(4.142)
Потребуем теперь, чтобы время прохождения главной части энер-
гии, связанной со вторым интегралом формулы (4.134), не отличалось
от времени прохождения главной части энергии, связанной с первым
интегралом больше чем на 0,088 Т.
Выражая это математически, мы напишем
(4.143)
в качестве критерия для максимально допустимой разницы между
средними наклонами фазовых характеристик в обоих интервалах
частот. Если разница наклонов превышает это значение, то фазовая
характеристика будет вызывать большую погрешность в определении
моментов прохождения фронтов, чем ограниченная ширина полосы.
&изиЧ,еская Ьнтерпретацйя и применения йнтёграла Фурье 127
Критерии, изложенные в обоих пунктах (а и б) этого параграфа,
содержат скорее подход к рассматриваемому вопросу, чем ответ на
него: Но даже при этой оговорке ясно, что методы этой главы мо-
гут быть приложены к практически важным проблемам, которые
трудно решить другими способами.
§ 18. Ступенчатая и импульсная функции. Рассмотрим теперь
некоторые функции, играющие важную роль в теории колебаний. Эти
функции имеют особые точки, и с этим связаны их наиболее харак-
терные черты. Значение этих функций определяется тем, что они
лучше позволяют описывать определенный класс характерных коле-
бательных явлений, чем какие-либо элементарные функции. Мы будем
применять их, в частности, при изучении шумов1).
а) Ступенчатая функция. Мы будем называть единичной сту-
пенькой функцию независимой переменной, скажем /, имеющую по-
стоянное значение, равное нулю для отрицательных значений /, и
постоянное значение, равное единице для всех положительных значе-
ний При /=0 функция имеет разрыв. Графически эта функция
/|------------------—
' A	U(t) О
/I------ —.
I
б	о;
--------------- - -_--t
/fl........ .........
I
I
fl ______kU(t-t2) p\___________
Фиг. 69. Ступенчатые функции.
изображена на фиг. 69, А. Мы обозначим ее через U(t). Подобная
же функция, но имеющая разрыв при	запишется U(t—/t).
Если высота ступеньки отлична от единицы, то, чтобы описать ее,
следует лишь умножить U(/) на подходящую постоянную (фиг. 69, В).
Для нахождения спектрального состава единичной ступеньки
нельзя непосредственно применить разложение в интеграл Фурье, так
как
4-00	оо
j 47(ОЛ=/Л=оо.	(4.144)
-—со	О
2) Эти же функции очень важны при изучении нестационарных про-
цессов [13].
128
Глава IV
Однако спектральный состав может быть найден путем анализа им-
пульса конечной ширины, как это сделано в § 5, и последующего
увеличения ширины его до -f-oo. Из формул (4.25)— (4.27), пола-
гая k = 1 и g = 0, мы получаем
= Sin [<°г*)] rfco +1 р10	А)].	(4.145)
О	о
Формула (4.145) представляет импульс высотой в единицу, про-
должающийся от до Т2 и образующийся на выходе низкочастот-
ной передающей системы, имеющей пропускание, равное единице
в интервале частот от 0 до <ns. Чтобы перейти к единичной сту-
пеньке, положим сначала 7\ = О, а Т2 устремим к оо. Назовем
получающуюся при этом функцию 02(/).
Тогда
= ~	41 +
О
1 к J О)	т: J х 1 к J to
О	0	0
“4 + Н	(4.146)1)
О
Положим теперь ujs -»оо. Мы переходим, таким образом, к еди-
ничной ступеньке и получаем
<* 4-147)
о
Интеграл в правой части формулы (4.147) равен Si (-[- оо)==те/2 для
всех положительных значений t и Si(—оо) = — те/2 для всех отри-
цательных значений /. Формула (4.147) таким образом согласуется
с первоначальным определением единичной ступеньки. Формула (4.147)
указывает, что единичная ступенька состоит из постоянной соста-
вляющей, имеющей величину и спектра с амплитудой 1/тгш на
частоте ш. Все компоненты этого спектра антисимметричны по отно-
шению к t = 0; иначе говоря, спектр содержит только синусы.
Для дальнейшего также интересно спектральное распределение
энергии единичной ступеньки. Оно может быть найдено с помощью
энергетической теоремы, связанной с интегралом Фурье. Согласно
С sin х , те
Ч Так как I --------=
' J х 2
о
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 129
формуле (4.100), энергия распределена между частотными компонен-
тами пропорционально [S(w)]a. Для единичной ступеньки
=	(4.148)
так что энергия распределена пропорционально 1/аА Энергия в интер-
вале частот от coj до пропорциональна поэтому
ц>2
[-^Ло = ----------(4.149)
J (1)^	(Dj о>2
UJj
Общая энергия на всех частотах, лежащих выше частоты <оо/2к,
пропорциональна, таким образом, 1/ш0, между тем как общая энер-
гия на всех частотах, лежащих ниже <о0/2тг, бесконечна. Итак, мы
можем сказать, что энергия единичной ступеньки сосредоточейа
в области очень низких частот3).
б) Простейшие импульсные функции. Рассмотрим теперь им-
пульсные функции. Начнем с определения единичного импульса 8(/).
Единичный импульс есть функция, значение которой равно нулю
всюду, за исключением точки £=0, где она обращается в беско-
нечность таким образом, что
J 8(/)d/=l.	(4.150)
— О
В формуле (4.150) а и b — любые конечные положительные числа.
Единичный импульс 8 (f) может быть получен из различных
„обыкновенных" функций путем предельного перехода. Например,
8 (/) = lim —,	(4.151)
Д£ -> 0
ИЛИ
S(() = lim uv+ц-ит.,	(4.152)
Д£-> о
или
8(0 = Нт ——д*) ,	(4.153)
Д£ -> 0
ИЛИ
8 (/) = lim — Д(->0	—t/Lt д, (когда t	>0), |	(4.154)
8 (0 = 0	(когда t <	:о). |	
Эти случаи показаны соответственно на фиг. 70, А—Г. При при-
менении этих формул окончательный результат — всегда один и тот
3) Полная энергия единичной ступеньки, очевидно, бесконечна.
9 Зак. 2263. С. Гольдман.
130
Глава IV
же, и следует выбирать ту из них, которая удобнее в данной кон-
кретной задаче. Формулы (4.151), (4.152) или (4.153) показывают,
что единичный импульс формально эквивалентен производной от еди-
ничной ступеньки. Кроме того, ясно, что 8(/—С) выражает еди-
ничный импульс при t=C, и может быть показано1), что
4-00
/ g(f)8(/—С)dt = g(C)	(4.155)
— оо
при условии, что g{t) — конечная и непрерывная функция t.
Если P(t)— любая импульсная функция, т. е. функция, отличная
от нуля только в небольшом интервале между tx и /2 (но не обяза-
тельно единичный импульс), то
^2
f P(f)dt
называется величиной импульса. Таким образом, можно сказать, что
единичный импульс — это импульс, величина которого равна единице.
9 Формула (4.155) может быть выведена следующим образом:
4* co	(у 4- s	(74“®
j g(t)Z(t — C) dt = J g (ty (t — С) dt = g(С) f Z(t-Qdt = g(C),
— со	О—s	C—s
где e — очень малая величина. Если выбрана одна из специальных форм о (/)
[формулы (4.151) — (4.154)], то вывод может быть проведен строго.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 131
Спектральное разложение единичного импульса может быть легко
получено с помощью формулы (4.155)
F(f) = J 8(/)cosatfrf/—j	8 (/) sin ®tdt =
— сю	*	—сю
= cos (0) + j sin (0) = 1.	(4.156)
Таким образом, в случае единичного импульса распределение ампли-
туд в спектре равномерное и амплитуда на любой частоте равна
единице.
Мы можем поэтому писать
^(0=2“ j* d® = — J cos utdu. (4.157)
— oo	0
Формула (4.157) показывает, что все компоненты находятся в фазе
при /=0, что и является причиной большой высоты импульса.
Распределение энергии в спектре единичного импульса находится
с помощью энергетической теоремы (как и для случая единичной
ступеньки). Для единичного импульса
5(о>)=1	(4.158)
энергия равномерно распределена по всем частотам. Доля энергии
единичного импульса, заключенная в каком-либо интервале частот,
пропорциональна, таким образом, ширине интервала. Общая энергия
на всех частотах ниже ш0/2тг пропорциональна, следовательно, ш0,
а общая энергия выше этой частоты бесконечна. Энергия в спектре
единичного импульса сосредоточена в области очень высоких частот.
Необходимо отметить, что хотя
j о (Z) dt
— со
конечен, энергию
4-00
j [8(0]2 dt,
— оо
на основании сказанного выше, следует считать бесконечной (см.,
однако, примечание на стр. 133).
Ступенчатые и импульсные функции являются приближенными
представлениями процессов, встречающихся на практике. Так, когда
величина меняется на конечное значение за интервал времени настолько
9*
132
Глава IV
короткий, что он практически несущественен, а новое значение сохра-
няется затем в продолжение всего времени, рассматриваемого в данной за-
даче, эту величину целесообразно трактовать как ступенчатую функ-
цию. Например, замыкание ключа, соединяющего батарею с цепью,
часто анализируется в предположении, что к цепи приложено напря-
f	жение в виде ступенчатой функции.
Подобным же образом воздействие, имеющее в интервале, про-
должительностью которого можно пренебречь, настолько большое зна-
чение, что оно вызывает заметное изменение состояния системы,
e^S(t)
Фиг. 71. Импульсы напряжения, подаваемые на сетку лампы.
целесообразно трактовать как импульсную функцию. В качестве при-
мера рассмотрим импульс напряжения, подаваемый на сетку радио-
лампы, как показано на фиг. 71. Этот импульс может рассматриваться
как импульсная функция, если его продолжительность пренебрежймо
мала по сравнению с временной постоянной RC цепи, а его величина
настолько велика, что он оказывает заметный эффект в цепи, не-
смотря на малую продолжительность. В случае импульса, поступаю-
щего на вход цепи сетки, изображенного нафиг. 71, таким эффектом
будет появление на сетке настолько большого отрицательного напря-
жения, что лампа запирается на заметный отрезок времени. В этом
случае не имеют значения в отдельности величина и продолжитель-
ность импульса напряжения ег, лишь интеграл по времени от et (т. е.
величина импульса напряжения) определяет, насколько велико будет
отрицательное напряжение на сетке и как долго будет заперта лампа.
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 133
Таким образом, в этом случае целесообразно рассматривать как
импульсную функцию х).
в) Импульсы высших порядков. Существуют функции, родствен-
ные рассмотренным выше ступенчатой функции и простой импульсной
функции, имеющие иногда практическое значение. Некоторые из них
показаны на фиг. 72. Наибольшую важность для практики после
ступенчатой и простой импульсной функций имеют двойные импульсы.
Фиг. 72. Импульсы
-ПО
различных порядков.
А—единичная ступень U (/); Б—единичный импульс 6 (г); (при о->0); В — единичный двойной
импульс 8' (/) (при b 0); Г—единичный тройной импульс 6" (t) (при с->0); Д—единичный
четверной импульс 8’" (/) (при d -> 0). Импульсы более высоких порядков изображаются ана-
логично. Заметим, что высота заштрихованных областей пропорциональна биномиальным коэф-
фициентам, т. е. 4-1, —1 для 8' (/); 4-1, —2, 4-1 для 8" (/); 4-1, —3, 4-3, —1 для 8"' (0 и т. д.
Пример двойного импульса: ток во внешней цепи лампы, появляю-
щийся, когда электрон, вылетевший из катода, возвращается на катод
вследствие того, что его начальная скорость недостаточна для дости-
жения виртуального катода2) (фиг. 73). Этот ток имеет нулевое
среднее значение, низкочастотная часть его спектра такая же, как
1) Отметим, что энергия, связанная с ei (или ZJ, в действительности
всегда конечна, а не бесконечна, как в рассмотренном выше идеальном
случае. Это объясняется тем, что высота и продолжительность импульсов на
практике конечны. Поэтому равномерное распределение амплитуд в спектре,
которое характерно для импульсов, простирается в действительности лишь
до какой-то конечной частоты, затем амплитуды спадают. Компоненты про-
извольно высоких частот, несущие в случае идеального импульса бесконеч-
ную энергию, в действительности отсутствуют.
С физической точки зрения тот факт, что энергия действительных им-
пульсов велика, несмотря на их малую продолжительность, означает, что
из-за своей очень большой величины импульс может вызвать за это корот-
кое время появление значительного заряда на обкладках конденсатора. После
прохождения импульса появляется разрядный ток, как показано на фиг. 71.
2) Определение термина „виртуальный катод" см. в гл. VIII, § 2.
134
Глава IV
у двойного импульса. При частотах, настолько больших, что продол-
жительность импульса тока составляет заметную часть соответствую-
щего периода, соответствие между действительным импульсом тока
и двойным импульсом уже не будет точным.
Фиг. 73. Получение двойного импульса.
А—цепь диода; Б —ток через Z, возникающий благодаря
тому, что электрон возвращается назад, не достигая виртуаль-
ного катода; этот ток в области низких частот имеет свой-
ства двойного импульса.
Чтобы найти спектральное распределение двойного импульса, на-
пишем
F(f)= J G (/) е -&dt=
— оо
Ъ	2Ъ
—е~№ dt—J* e-^tdt^ =
о	о
— -^.(e-j^b— 1 —(4.159)
Мы найдем значение F(f) при #-»0, разлагая экспоненциальные
члены в степенные ряды и отбрасывая члены высших степеней.
Таким образом получим
F (f)={[1	-1 - f1 ->2^++
+	+ (~>-^]} =	=>	(4.160)
S(®) = |F(f)l =“•	(4.161)
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 135
Амплитуды в спектре двойного импульса растут пропорционально
частоте.
Так же как это показано на фиг. 70 для случая единичного
импульса, импульсы высшего порядка могут быть рассматриваемы
как предельные случаи некоторых обыкновенных функций *), имею-
щих подходящее распределение амплитуд в спектре. Отметим, что
любая импульсная функция может рассматриваться как производная
по времени от импульса порядка, низшего на единицу. Свойства
импульсных функций, указанные в этом параграфе, будут использованы
в главах, посвященных шумам.
§ 19. Дальнейшее исследование пар функций, сопряженных
по Фурье. Таблицам, содержащимся в статье Кэмпбела и Фостера [12],
предшествует изложение некоторых важных свойств различных пар
функций, сопряженных по Фурье. Сопряженность функций по Фурье
тесно связана с преобразованием Лапласа, вследствие чего изучение
одного проливает свет на другое [13]* 2). Таблица преобразований
Лапласа может быть использована с незначительными изменениями,
как таблица функций, сопряженных по Фурье, и наоборот.
Заканчивая обсуждение интеграла Фурье, рассмотрим некоторые
общие свойства, имеющие широкое применение.
а)	Влияние резкого обрыва характеристики. В гл. III, § 4, мы
нашли, что если G(/) представляет собой прямоугольный импульс,
то его | F(f) | имеет вид, изображенный на фиг. 74, А. С другой
стороны, если сигнал имеет спектральное распределение F(f) в виде
прямоугольника, то сам сигнал имеет форму, изображенную на
фиг. 74, Б 3).
В каждом из этих примеров одна из функций имеет резкий об-
рыв, а другая, сопряженная ей, простирается до бесконечности.
В § 18 мы нашли, что импульс бесконечно малой продолжи-
тельности имеет для всех частот равномерное распределение амплитуд
без сдвига фазы; Это показано на фиг. 74, В. Следовательно, если
такой импульс проходит через передающую систему, имеющую ча-
стотную характеристику, изображенную на фиг. 74, Б, то на выходе
будет сигнал G (/), показанный на этой же фигуре.
Рассмотрим теперь единичную ступеньку, изображенную на
фиг. 74, Д. Если спектр ее подвергается, резкому обрыванию, как
это показано на фиг. 74, f, то сигнал на выходе не только растя-
*) Семейство таких функций, отличное от показанного на фиг. 71, дано
Кэмпбелом и Фостером [12].
2) См. также [14]. {Прим, ред.)
3) Вывод очень прост:
+/о	.
G(Z) = f
J	тс I
-Го
136
Глава IV
нется, но и даст явление превышения. Оно уже обсуждалось^'в §5.
Упомянутые эффекты родственны некоторым чертам явлений диффрак-
ции в оптике и акустике и явления Гиббса в гармоническом анализе.
В теории диффракции показывается, что распределение интенсивности
Фиг. 74. Кривые, иллюстрирующие некоторые важные
случаи преобразования Фурье.
волны по углам на большом расстоянии от плоской диффрагирующей
структуры (щели, отверстия и т. д.) описывается функцией, сопряженной
по Фурье такой функции, которая описывает распределение амплитуды
в плоскости диффрагирукицей структуры1). Отсюда следует,—и это
хорошо согласуется с опытом, — что при диффракции резкие неодно-
х) См., например, статью С. М. Рытова [85]. (Прим, ред.)
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 137
родности вызывают характерные периодические колебания интенсив-
ности в зависимости от направления и что при сглаживании неодно-
родностей эти колебания также сглаживаются.
Существуют функции, обладающие замечательным свойством быть
сопряженными по Фурье самим себе. Они обсуждаются в уже упо-
мянутой статье Кэмпбела и Фостера [12]. Простейшими'из этих са-
мосопряженных по Фурье функций можно считать
F =	(4.162)
G(/) = e-^2,	(4.163)
показанные на фиг. 74, Ж1). Эти функции в отличие, например, от
функций, показанных на фиг. 74, А, Б, имеют очень плавный спад.
Предыдущие общие рассмотрения подсказывают, что и для сигна-
лов иных, чем показанные на фиг. 74, Ж, частотная характеристика,
показанная на фиг. 74, Ж, менее склонна вызвать растянутые осцил-
ляции и превышение, чем характеристики, имеющие резкий обрыв.
Уиллер и Лоугрен [20] рассматривали способы улучшения пере-
дачи деталей в телевидении с помощью сигналов и частотных харак-
теристик, представляемых самосопряженными функциями. В этой же
статье можно найти подробное обсуждение эффектов, вызываемых
резким обрыванием сигнала или спектра.
б)	Взаимное размывание. Другое явление, тесно связанное с пре-
образованием Фурье, показанным на фиг. 74, может быть названо
взаимным размыванием. Это явление заключается в следующем: когда
одна из сопряженных функций сужается, то другая размывается. Это
явление показано на фиг. 75. Из существования взаимного размыва-
ния непосредственно следует, что ширина полисы, необходимая для
хорошего воспроизведения импульса, обратно пропорциональна его
длительности. В качестве другого следствия можем отметить, что
время установления колебаний в настроенном контуре пропорционально
его избирательности.
При исследовании взаимного размывания вместо F (/) применим 5 (<в).
Этим мы избегнем необходимости отдельного рассмотрения отрицатель-
ных и положительных частот и действительной и мнимой частей F(f).
Э Эта пара обладает тем интересным свойством, что если сигнал формы
Ae~ai* проходит через систему, имеющую частотную характеристику Ве~~ь?\
то вышедший сигнал будет иметь форму Ce~Gt\ Так, если бы все сигналы
имели форму Ae~~at\ а все системы — частотные характеристики формы
Be~bFt то любой случай передачи сигналов характеризовался бы заданием
пары чисел (Af, т}, из которых первое определило бы амплитуду, а вто-
рое— экспоненциальный множитель. Эта ситуация аналогична той, которая
существует при прохождении синусоидальных колебаний через линейные
системы: синусоидальное колебание может при этом измениться только по
амплитуде и по фазе.
138
Глава IV
Если обозначить ширинух) основной части 5 (со) через Дш и ширину
основной части 0(f) через Д£, то для сигнала любого типа мы можегя
написать
<4-164)
символ в этом случае означает „пропорционален и по порядку
величины равен"2).
Фиг. 75. Примеры на соотношение между шириной спектра и дли-
ной сигнала.
В применении к диффракционным задачам (см. выше) этот резуль-
тат означает, что направленность волнового пучка, выходящего
из щели, тем больше (на больших расстояниях), чем шире щель.
В связи с этим напомним, что разрешающая способность спектроскопа
*) Способ, которым определяются Да> и ДА произволен в такой же сте-
пени, в какой произволен способ описывания с их помощью положения основ-
ной части энергии импульса.
2) Строгое рассмотрение обсужденного здесь вопроса дано в работе
А. Г. Майера и Е. А. Леонтович [21]. (Прим, ред.)
Физическая интерпретация и применения интеграла Фурье 139
пропорциональна ширине пучка, выходящего из призмы, а разре-
шающая способность телескопа — диаметру объектива. Указанный ре-
зультат легко переносится и на излучение антенны (направленность
антенны пропорциональна разности хода в длинах волн между ее
крайними лучами). Он означает, что для данной частоты направлен-
ность антенны пропорциональна ее размеру.
Во всех приведенных примерах характерно, что для „обострения* ‘
одной функции необходимо сделать более расплывчатой функцию,
сопряженную ей по Фурье. Аналогичное соотношение имеет место
в квантовой механике (соотношение неопределенностей):
(4.165)
А	Б
Фиг. 76. Простейшие типы
настроенных контуров.-
А — последовательный; Б—парал-
лельный.
В формуле (4.165) величина h — универсальная постоянная Планка,
а р и q — любые канонически сопряженные переменные (например,
импульс и координата электрона).
Ь) Накопление энергии и избирательность. С взаимным размы-
ванием тесно связано соотношение между накоплением энергии и
избирательностью. Рассмотрим сначала избирательность простого коле-
бательного контура. Пусть /0 — его ре-
зонансная частота; определим его доброт-
ность Q как
На фиг. 76 показаны последовательный и
параллельный контуры этого типа.
Кривая импеданса контура как функции
частоты имеет острый пик или минимум;
частота, при которой они наступают, на-
зывается резонансной частотой. Мерой
избирательности контура обычно служит
величина
избирательность =	,	(4.167)
Л —Ji
где /0 — резонансная частота, /1? /2 — частоты ниже и выше резо-
нансной, при которых импеданс отличен от импеданса при резонансе
на множитель ]/2.
Вычислим избирательность контура, изображенного на фиг. 76, А,
для случая большой добротности.
Для любой частоты /=ш/2тг имеем
z = R+j(<»L — ±-) = R + jX.	(4.168)
140
Глава IV
Вблизи резонанса имеем, разлагая X в ряд Тейлора,
*=(,г—	=о+(л+4гИ
—|— (аэ — <о0)4“ ... = ““"С00 — шо) (приближенно) (4.169)
или
z = 4- j2QR	ш°- (приближенно).	(4.170)
При резонансе
z = R	(4.171)
z увеличится в ]Л2/? раз, когда
l2«^l=1=l2Q^l-	(4Л72)
Формула (4.172) определяет частоты /2 и /Р
Итак,
/2-/о = ^=/о-А	(4.173)
и избирательность последовательного колебательного контура равна
-А—<?•	(4.174)
/2—71
Поскольку избирательность последовательного контура равна его
добротности, можно, как обычно и делается, использовать один и
тот же символ Q как для избирательности, так и добротности. Можно
показать, что так же обстоит дело в случае параллельного контура.
Выведем теперь интересное соотношение между запасом и рас-
сеянием энергии, с одной стороны, и избирательностью, с другой.
Энергия, запасенная в колебательном контуре, изображенном на
фиг. 76, Д, в некоторый момент времени есть
•	запасенная энергия = ~(Сг2 + £/2).	(4.175)
Эта энергия перетекает из индуктивности в емкость и обратно; в те
моменты, когда магнитная энергия в индуктивности максимальна,
электрическая энергия конденсатора равна нулю и наоборот1). Мы
можем поэтому найти полную запасенную энергию, вычислив магнит-
ную энергию в момент, когда ток максимален. Таким образом, если
z = /sinco/,	(4.176)
то при пике тока
sin<o/=l	(4.177)
*) Это следует из сдвига фаз на 90° между током и напряжением в ре-
активном сопротивлении.
Фазическая интерпретация и применения интеграла Фурье 141
и запасенная энергия будет равна
^LP.
(4.178)
Энергия, рассеиваемая в сопротивлении R контура за один цикл,
равна
*(-?«'*)• (4-179>
Поэтому для резонансной частоты имеем
запасенная энергия
энергия, рассеиваемая за цикл
=	(4 180)
2nR 2г.	>Л-1ои/
Этим дается еще одно возможное толкование величины Q. Из фор-
мул (4.174) и (4.180) следует, что для последовательного контура
избирательность Q равна
2^ накопленная энергия
энергия, рассеиваемая за цикл *
(4.181)
Можно показать, что подобное соотношение имеет место и для
параллельного контуру Это же соотношение справедливо и для на-
строенного отрезка линии. Можно ожидать, что соотношение между
избирательностью и рассеянием энергии носит довольно общий ха-
рактер; покажем, что оно тесно связано с эффектом взаимного раз-
мывания.
Если приложенная к контуру э. д. с. выключается, то продолжи-
тельность (в циклах) происходящего затухающего колебания опреде-
ляется отношением
_____запасенная энергия____
энергия, рассеиваемая за цикл
Можно показать, что характерный для контура нестационарный про-
цесс одинаково протекает при включении э. д. с. любой формы [13]I1).
Пусть к контуру приложен единичный импульс. Так как продол-
жительность импульса „равна нулю", то в контуре имеет место в этом
случае чисто нестационарный процесс (исключая самый момент подачи
импульса). В § 18 показано, что единичный импульс обладает равно-
мерным распределением амплитуд по частотам. Поэтому отклик кон-
тура на единичный импульс и, следовательно, нестационарный процесс
при включении любой э. д. с. имеет спектральное распределение,
воспроизводящее форму частотной характеристики контура. Из взаим-
ного размывания следует поэтому, что продолжительность процесса
установления пропорциональна избирательности контура.
т) Это следует из того, что он определяется собственным колебанием
контура. (Прим, ред.)
142
Глава IV
Упражнение
Вблизи резонанса активная и реактивная части импеданса параллель-
ного контура с большим Q могут быть записаны в виде
RQ2
\ % /
Показать, что и для этого случая
, *	ч /о лл п	запасенная энергия
(избирательность) =	= Q = 2л-------------------------------.
4 r	А—/1	энергия, рассеиваемая за цикл
§ 20. Заключение. Интеграл Фурье, как мы видели, является
мощным инструментом для анализа явлений в общем виде и общих
проблем. Однако ,он не всегда позволяет легко решить конкретные
задачи, относящиеся к различным цепям. Для этой цели должны быть
применены методы дифференциальных уравнений и более мощные
методы, связанные с преобразованием Лапласа*
Применяя интеграл Фурье, мы обычно вводим такие идеализации,
как прямоугольные импульсы, характеристики с резкими обрывами,
линейный сдвиг фазы. Несмотря на грубость этих идеализаций, мы
получаем с их помощью замечательно ясную картину всех существен-
ных черт того, что в действительности происходит в реальных систе-
мах. Указанный метод позволяет решить задачу о ширине полосы,
необходимой для воспроизведения сигналов различных типов, задачу
о допустимых сдвигах фаз и задачу о типах искажений, которые
можно ожидать. Это — как раз те сведения, которые желательно
иметь перед проектированием отдельных узлов аппаратуры.
Глава V
МОДУЛЯЦИЯ
В широковещании и в любой другой системе радиосвязи нужно
уметь разделять друг от друга одновременно существующие сигналы
(передачи). На практике это достигается модуляцией несущих с после-
дующим их разделением, а следовательно, и разделением сигналов х).
В этой главе мы изучим различные типы модуляции, применяемые
на практике. Мы не будем рассматривать аппаратуру, применяемую
для модуляции и демодуляции, (интересующихся отсылаем к радио-
технической литературе2)), а ограничимся лишь теорией модуляции.
§ 1. Амплитудная модуляция, а) Основные определения. В боль-
шинстве систем связи в качестве несущей выбирается синусоидальное
колебание высокой частоты
Asin(2^+<p),	(5.1)
где А — амплитуда, F— несущая частота, ф — фаза. Если передача
осуществляется изменением амплитуды несущей, то этот тип модуля-
ции называется амплитудной модуляцией. Если модулирующий сигнал
дан в виде
Bcos2Kp/,	(5*2)
то модулированное по амплитуде колебание имеет вид
а = А (1 4~ w cos 2кр/) sin (2k/7/	<p),	(5.3)
*) Есть и другие причины, требующие модуляции. Например, обычные
виды передачи (звуковая, телевизионная и др.) перекрывают диапазон частот,
содержащий много октав. В пределах такого большого диапазона частот
сильно меняются условия распространения, что может вызвать большие частот-
ные искажения. Этого в значительной степени можно избежать, применяя
передачу с помощью несущих; при этом передается относительно узкий
диапазон частот. Необходимость высокой несущей частоты для радиопередачи
вызвана и тем, что эффективное излучение возможно только на высоких
частотах. Любопытно отметить, что то же самое имеет место и в нашем
органе речи. Движение мускулов рта и его полости происходит с частотой
ниже 10 гц. Однако рот человека слишком мал, чтобы быть эффективным
излучателем для длины волны в 33 м (соответствующей частоте 10 гц)\мускулы
полости рта модулируют колебания гораздо более высокой несущей частоты,
генерируемые голосовыми связками.
2) См., например, справочник Термена [22]. Обширную библиографию
о частотной модуляции и модуляции вообще можно найти в книге Хунда [23].
См. также [24, 25, 26]. (Прим. /?ед.)]
144
Глава V
где а — мгновенное значение переменной величины (например, тока
или напряжения), т— коэффициент глубины модуляции или просто
/1
Фиг. 77. Амплитудная модуляция.
А—не моду лированная несущая частота; Б—модулированная несущая частота.
Фиг. 78. Телевизионный
сигнал.
глубина модуляции. Функцию В cos 2тгрь£ мы будем назвать модулирую-
щей функцией, модуляцией, или передачей, р — частотой модуляции.
На фиг. 77 показаны модулированное
и немодулированное колебания. Пунктирные
кривые, показывающие изменение ампли-
туды сигнала, называются огибающими
сигнала. Форма огибающей совпадает с фор-
мой передачи. В более общем случае мо-
дуляция есть некоторая функция времени
g(f). Тогда модулированный сигнал имеет
вид
а — А [1 sin (27г/7/-|~ ?)• (5.4)
Несколько иным определением глубины
модуляции пользуются в системах, подоб-
ных телевидению, где уровень несущей
максимален в отсутствие модуляции, а мо-
дуляция только может понизить этот уро-
вень. Сигнал такого типа показан на
фиг. 78. Здесь можно считать, что g(t)
в формуле (5.4) содержит постоянную составляющую (нулевой
частоты). В телевидении глубиной модуляции называют отношение
Модуляция
145
амплитуды к ее значению в отсутствие модуляции. При таком опре-
делении в отсутствие передачи глубина модуляции равна ЮО°/о.
В дальнейшем контекста будет ясно, каким именно определением
глубины модуляции мы пользуемся.
б) Спектр и распределение энергии. Если модуляция содержит
только одну частоту, то модулированное колебание имеет вид (5.3).
г ______________
У	F-p F F+p —f
A(l+mcos Zitpi) sin(2яFt +tp)
g(t)
A [1 + mg(t)]sin(2,nFt +<p)	(i	F	f
Ф и г. 79. Частотные спектры различных сигналов.
Это колебание может быть представлено в виде суммы частотных
компонент
А (1 т cos 2кр^) sin (2к5/ -]-?) =
= A sin (2к/?/~]“ <?) + A™ cos 27tp./sin (2izFt J- ср) =	(5.5)
= A sin (2kF/-J- ?) sin [2k (F -f- p) ?] +
4^ sin [2ir(F —p)	(5.6)
10 Зак. 2263. С. Гольдман.
Фиг. 80. Блок-схема радиосвязи с амплитудной модуляцией.
Некоторые каскады из обведенных пунктирной линией часто бывают устроены иначе.
Модуляция
14?
Таким образом, эффект модуляции может быть описан как добавле-
ние к первоначальной несущей пары синусоидальных компонент с ампли-
тудой Ат[2 каждая и частотой, равной частоте несущей z±z частота
модуляции. Эти дополнительные синусоидальные компоненты, появляю-
щиеся при модуляции, называются боковыми полосами или боковыми
частотами. На фиг. 79, Л показан частотный спектр такого модули-
рованного сигнала.
Если несущая модулируется сигналом общего вида g(f)b то каждая
частотная компонента функции g(t) дает пару боковых полос. Если
частотный состав gtt) таков, как на фиг. 79, Б, то частотный состав
сигнала, модулированного функцией g(t), будет иметь вид, показан-
ный на фиг. 79, В.
Энергия сигнала, как мы неоднократно отмечали, пропорциональна
квадрату амплитуды. Далее, мы знаем (см. § 13 гл. IV и упр. 5 гл. II),
что энергия сигнала равна сумме энергий его частотных компонент.
Например, энергия сигнала (5.6) пропорциональна
Л2 + (Ату + (Ату = Л2 (1	.	(5.7)
Следовательно, амплитудная модуляция увеличивает энергию си-
гнала. В частном случае (5.7) увеличение энергии сигнала вследствие
модуляции равно А2т2/2.
в) Путь амплитудно модулированного радиосигнала.. На фиг. 80
изображена блок-схема, показывающая прохождение радиосигнала,
модулированного по амплитуде. Показана форма сигнала на каждом
этапе, начиная со звука, поступающего в микрофон передатчика, и
кончая звуком, излучаемым громкоговорителем приемника.
§ 2. Угловая модуляция. Частотная и фазовая модуляции.
а) Основные определения. В предыдущем параграфе мы показали,
что, модулируя (т. е. меняя) амплитуду несущей синусоиды
а — A sin (2kF/-[- ср),	(5*8)
можно передать интересующий нас сигнал, преобразуя его в ампли-
тудно модулированное колебание высокой частоты. Но синусоиду (5.8)
можно модулировать иначе. Например, можно, не меняя амплитуды,
менять аргумент синусоидальной функции в соответствии с передавае-
мым сигналом. Такое изменение несущей синусоиды называется угловой
модуляцией. Простейшими случаями угловой модуляции являются фазо-
вая и частотная модуляции.
При фазовой модуляции фаза в выражении (5.8) меняется в такт
с передачей. Именно, если модулирующая функция равна cos 2тг|х/, то
модулированное колебание при фазовой модуляции имеет вид
а ==* A sin [27tf7-|- (?о + A? cos 2^^/)].	(5-9)
Величина Дсрсоз2тс|л/ называется отклонением или девиацией фазы, ее
мгновенное значение можно выразить в радианах. Глубиной модуляции
10*
14$
t*Aaed V
6 WWWWVW
В WWWWVVVVXA
tA/WWWW
Фиг. 81. Угловая модуляция.
А—модулирующее колебание; Б — немодули-
рованная несущая; В—сигнал высокой частоты
(частотная модуляция); Г—сигнал высокой ча-
стоты (фазовая модуляция).
обычно называют отношение Д<р к максимальному отклонению фазы,
возможному в рассматриваемом передающем или приемном устройстве.
Таким образом, в случае фазовой модуляции, глубина модуляции
характеризует не только модулированное колебание (как в случае
амплитудной модуляции), но и аппаратуру. На фиг. 81 показан сигнал,
модулированный по фазе.
При частотной модуляции в соответствии с передачей меняется
мгновенное значение частоты в выражении (5.8). Нужно, однако, еще
определить, что такое мгновенная частота. Этот термин, вообще говоря,
внутренне противоречив, ибо ча-
стота не может относиться к опре-
деленному мгновению. Однако,
если несущая частота очень вы-
сока по сравнению с модулирую-
щей частотой, можно ввести поня-
тие мгновенной частоты. Пусть по
определению
мгновенная частота == J-—, (5.10)
2тс dr v 7
если сигнал, модулированный по
частоте, записан в виде
0 = i4sin6. (5.И)
Если Q~2nFt, где F— постоян-
ная, имеем
<5Л2>
Таким образом, наше определение мгновенной частоты находится
в согласии с обычным определением частоты.
Найдем вид сигнала, модулированного по частоте, для которого
модулирующая функция (передача) есть со5 2лрЛ На основании (5.10)
можем написать
iS==F+AFcos2’t(iZ’	(5ЛЗ)
где F и ДР — постоянные. Интегрируя (5.13), получаем
9 = 2^4- — sin2it|i/+0o.	(5.14)
И*
При этом частотно модулированный сигнал имеет вид
а = A sin 0 s=s A sin (2~Ft-j- —-sin 2кpt0O^.	(5.15)
Графическое изображение сигнала с частотной модуляцией дано на
фиг. 81.
Модуляция
149
Если обе величины F и Д/7 велики по сравнению с р., то отдель-
ные циклы колебания, описываемого формулой (5.15), полностью
завершаются за время l/(F-f- Д/7 cos 2kjx/). Отсюда видна целесообраз-
ность данного здесь определения частотно модулированного сигнала х).
Величина Д/7 cos 2тг|1^ в равенстве (5.3) называется отклонением или
девиацией частоты, а Д/7 — максимальным отклонением или максималь-
ной девиацией частоты. Глубину модуляции обычно определяют
как отношение Д/7 к максимальному отклонению частоты, разрешае-
мому законом, или как отношение Д/7 к максимальному отклонению
частоты, допускаемому данной аппаратурой. Таким образом, так же
как и в случае фазовой модуляции, глубина модуляции определяется
не только самим сигналом, она зависит от свойств системы или от
норм, установленных законодательством2).
Можно заметить, что выражения (5.9) и (5.15) имеют одинаковый
вид. Следовательно, если модулирующий сигнал имеет только одну
частотную компоненту, то между частотно модулированным и моду-
лированным по фазе сигналами нет никакой разницы, кроме процента
модуляции 3).
______3____
!) Читатель может заинтересоваться, почему не определяют сигнал,
синусоидально модулированный по частоте, как сигнал вида
а = A sin [2tz (F-[- Д/7 cos 2icpt) 60].
Мы понимаем под частотой число полных циклов величины а в единицу вре-
мени (т. е. удвоенное число пересечений графика величины а с осью t за
единицу времени). Нетрудно убедиться, что максимальная девиация частоты
рассматриваемого колебания за цикл модуляции неограниченно растет от
цикла к циклу. Таким образом, изменение частоты здесь не является синусо-
идальным.
2) Можно было бы глубиной модуляции назвать величину Д/7//7, характе-
ризующую только модулированное колебание. Но эта величина практически
не имеет никакого значения в обычной частотной модуляции.
3) Здесь необходимо дать следующее разъяснение. Если дано колебание
а = A sin (2я/7 -|- a cos 2^/ р),	(1)
где а, р — постоянные, причем р мало по сравнению с Т7, мы можем с оди-
наковым правом назвать его колебанием, модулированным по фазе, которая
меняется по закону
? = g a cos 2кр.Л	(2)
и колебанием, модулированным по частоте, меняющейся по закону
/= FДЕ sin 2гс^,	(3)
Различать фазовую и частотную синусоидальные модуляции имеет смысл
лишь при сравнении сигналов, получающихся в данном устройстве при раз-
личной частоте модуляции. Пусть модулирующее устройство в передатчике
таково, что если колебание на выходе усилителя звуковой частоты имеет
вид b ~ В cos 2тср./, то колебание, излучаемое передатчиком, имеет вид
а = A sin (2nFt krB cos 2тс|х/ -|- P),	(4)
где ki — коэффициент пропорциональности, не зависящий от частоты моду-
150
Глава V
Однако, если модулирующий сигнал имеет несколько компонент,
частотная и фазовая модуляции существенно отличаются. Если функ-
ция модулирует сигнал по частоте, то из-за множителей 1/ji в выра-
жении фазы получается меньшее отклонение фазы на высоких частотах,
чем если она его модулирует по фазе. Если модулирующая функ-
ция— звуковой сигнал и фазовые соотношения между слагаемыми
cos2?tp^ несущественны * *), можно систему с частотной модуляцией пре-
вратить в систему с фазовой модуляцией путем предварительного
усиления компонент модулирующего колебания, пропорционального их
частоте перед модулирующим каскадом и соответствующего ослабле-
ния высоких частот после детектирования. Аналогичным приемом
можно перейти от фазовой модуляции к частотной.
Обычно вместо длинных названий: амплитудная модуляция, частот-
ная модуляция, фазовая модуляция пишут кратко: AM, ЧМ, ФМ.
Мы часто будем пользоваться этими сокращениями.
б)	Спектр и энергетические соотношения. Определим теперь
спектры сигналов, модулированных по частоте и по фазе. Математи-
чески эта задача сведется, как мы сейчас увидим, к простому упраж-
ляции В этом случае можно говорить о фазовой модуляции. Пусть теперь
модулирующее устройство в передатчике таково, что при том же b колебание,
излучаемое передатчиком, имеет вид
а = A sin (2кЛ/	— В sin 2л^	Р),	(5)
Р
где &2 — коэффициент пропорциональности, не зависящий от (х. В этом слу-
чае можно говорить о частотной модуляции.
Рассмотрим более общий случай — случай несинусоидальной фазовой
и амплитудной модуляций.
Пусть модулирующее колебание имеет вид
* = Ш	(6)
Если происходит фазовая модуляция, то модулированное колебание будет
иметь вид
а ~ A sin [2я/7	(/) + <р0],	(7)
а если происходит частотная модуляция, то
t
а = Л sin \2nFt + ^2	(0 ^ + %] •	(8)
о
Здесь опять структура обоих колебаний (7) и (8) одинакова. Различие между
фазовой и частотной модуляциями относится не к виду самих колебаний,
а к соотношению между модулирующим и модулированным колебаниями.
Это соотношение в свою очередь определяется модулирующим устройством.
(Прим, ред.)
х)Вид сигнала после детектирования зависит от фазовых соотношений.
Модуляция
151
нению на применение тригонометрических и бесселевых функций.
Исходя из (5.15), получим для частотно модулированного сигнала
4- cos (2к/7 4“ %) sin sin 2ку^ j j.
Но на основании (3) и (4) Приложения III
cos( у sin 2л 4 = /о (у) + 2 р2 (^) cos 4л pif +
4-Л(у)соз8т:^+ •••]>
sin	sin 2тгp.z) = 2 Jt (у) sin 2лр/ -|-
• +-zs(y)sin6K^+
Кроме того,
sin (^,’Kpt + 0О) cos 2ляр/ =
== -1 { sin [2л (F пр) if-f- 0O]
+ sin [2л (F— пр) /у 0O]}
и
cos (2kFt 4“ %) sin 2кл|л/=
{sin [2 л (F-[-np) /-J-0O] —
— sin [2k (F — /гр-)^+0о]}-
Подставляя в (5.16) равенства (5.17)—(5.20), получаем
(5.16)
(5-17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
а = A sin |^2kF/ 4“ ~~ sin 2кр/ 4“ % j ==
®= A { Jo sin (2kF/-(- 0o) +
I \ c* /
+ Л (y) sin [2л (F + p) t + 0O] — Л	sin [2тг (F — p) / + 0O] +
+ Л sin [2л (F + 2p) i + 0O[ + J2(^) sin [2л (F — 2p) tу 0O] У
+ J3(y) sin [2u (F -J- 3pH + 0O)—/8(y) sin [2u (F— 3p) 14- 0O] +
+ 4 sin [2л (F + 4p) t + 0O[ +
+ 4y)sinl2lT(^ — 4l'-K+°ol + •••}•	(5.21)
152
Глава V
Равенство (5.21) дает разложение частотно модулированного колеба-
ния на его частотные компоненты. Мы видим прежде всего, что ампли-
туда несущей уменьшается от 1 (для немодулированного сигнала)
до J0(AF/|i). Далее из (5.21) следует, что имеется бесконечное мно-
жество боковых частот, которые отстоят от несущей на целое кратное
b
В
ДЕ = 75 кгц
- 15 кгц
ДЕ - 75 кгц
= 7,5 кгц
ДЕ- 75кгц
jul3- 3,75 кгц
Г
ДЕ- 75 кгц
1^0
Ф и г. 82. Спектры частотно модулированных сигналов,
имеющих одинаковое максимальное значение девиации
частоты, но различные частоты модуляции.
частоты модуляции. На фиг. 195 (Приложение III) видно, однако, что
величина Jn (&) быстро уменьшается с ростом п, когда п > k. Отсюда
следует, что амплитуды боковых частот, отстоящих от несущей более
чем на ztAF, быстро убывают с ростом их номера. Это показы-
вает фиг. 82, где дан спектр нескольких частотно модулированных
сигналов.
Модуляция
153
Энергия каждой боковой полосы пропорциональна квадрату ее
амплитуды, т. е. квадрату коэффициента Бесселях). На основании
упражнения 5 в конце гл. II полная энергия равна сумме энергий всех
компонент. Так как амплитуда огибающей не изменяется, то можно
ожидать, что средняя энергия модулированного и немодулированного
сигналов одна и та же. Если это так, то при частотной модуляции
энергия несущей частично переходит в энергию боковых полос (полная
энергия не меняется) и из формулы (5.21) следует
[<)]Ч2[<)Г+ФО+... +
+ * 2Р»(т)Г+ =1- (5-22)
Равенство (5.22) справедливо для любых значений AF/p.; это—одно
из важнейших тождеств теории функций Бесселя2). При выводе (5.22)
мы исходили из предположения равенства средних энергий моду-
лированного и немодулированного сигналов. Тождество (5.22) дока-
зывает правильность нашего предположения.
В случае фазовой модуляции формулы для боковых частот и энер-
гии можно получить тем же способом. Для сигнала, модулированного
по фазе, имеем .
а — A sin (2-7tF/ 4~ % 4“ A? cos 2тгjx/) =
= A sin (2kF/4- с?0) cos (A<? cos 2kjxZ) 4-
-|- cos(2itZ?^4' To) sin (A? cos 2*4*0 — A {sin (27rF/-{-To) (Л) (At) —
— 2J2 (Acp)cos 4itp./4"2J4 (Ac?) cos 8-qi/—. ..]4"
4- cos(2kF/4^?o)[27i(^?)cos2^P^—2J3(Ac?)cos 6~p/4- •••]} =
= A {Jo (Д <p)sin ®0) -f-Jj (Д©) cos [2л (F4~ p) /4- ®0] -f-
+ Jj (Д®)cos[2л (F—p) t-|-®o] —J2(A®)sin [2л (F-|- 2y.)/-J-<?ql —
—J2 (Д®) sin [2 л (F—2p) t <p0J — J3 (Д©) cos [2л ( F + 3p) /+ 90] —
— Л (д?) cos I2" (F — 3p) 14- <p0] + J4 (Д<?) sin [2л (F 4- 4p) t + ®0J 4~
4~ J4 (Д<р) sin [2л (F—4p)/4~?ol 4“ • • • )•	(5.23)3)
Величина Ac? при ФМ играет ту же роль, что и отношение AF/p
при ЧМ. Когда п > Дер, то Jn (Ас?) быстро убывает с ростом п. Это
значит, что амплитуда боковых полос быстро убывает с ростом их
номера, если они отстоят от несущей больше чем на рДср. Ширина
частотного спектра при ФМ, таким образом, пропорциональна моду-
Ч Коэффициент Jn (AF/p) в (5.21) называется коэффициентом Бесселя
для боковых частот при ЧМ.
2) Доказательство этого тождества см., например, в книге Кузьмина
[27]. (Прим, ред.)
3) в (5.21) и в (5.23) иногда называют индексом модуляции.
154
Глава V
лирующей частоте. Это показано на фиг. 83, где изображен спектр
нескольких ФМ сигналов.
При ФМ, как и при ЧМ, средние энергии модулированного и не-
модулированного сигналов одинаковы, т. е. при модуляции энергия
несущей частично переходит в энергию боковых частот.
U--------------- 300 кгц
А
Д(р= 10 радиан
Pi = /5 кгц
F


5
Дер-10 радиан
р2- 7,5кгц
F~/i2A(p F Р+/1гД(р
В
Дср= 10 радиан
р3 -3,75 кгц
Г
Д(р= 10 радиан
fi-^O
F^3^V F F+^aA(P
Фиг. 83. Частотные спектры фазово-модулированных сигналов,
имеющих одинаковое максимальное значение девиации фазы, но
различные частоты модуляции.
Заметим, что как при ЧМ, так и при ФМ глубина модуляции
влияет на ширину полосы и не влияет на пиковую и среднюю мощ-
ности, а при AM глубина модуляции влияет на пиковую и среднюю
мощности, но не влияет на ширину полосы.
в) Путь радиосигналов с ФМ и ЧМ. На фиг. 84 изображена
блок-схема, показывающая прохождение радиосигналов с ЧМ и ФМ.
Принципиальная разница между фиг. 84 и фиг. 80 — добавление
ограничителя в приемнике. Назначение ограничителя — срезание и
уничтожение паразитной амплитудной модуляции, с тем чтобы полу-
чить чистую ЧМ или ФМ. Делается это для максимального использо-
вания тех выгод, которые дает употребление ЧМ или ФМ и которые
будут описаны дальше. Ограничитель ограничивает амплитуду сигнала,
поступающего на частотный детектор, но не влияет на частоту сиг-
нала. Так как ограничитель поддерживает амплитуду постоянной, то
он работает и как АРГ (автоматический регулятор громкости). Но
иногда приходится устраивать дополнительный АРГ по обычной
Фиг. 84. Блок-схема радиосвязи с частотной модуляцией.
Некоторые каскады из обведенных пунктирной линией часто бывают устроены иначе.
/156
Глава V
схеме, чтобы помешать возможной перегрузке селективных усилитель-
ных каскадов, так как это влечет за собой ухудшение избиратель-
ности.
Упражнения
1.	Частотно модулированный сигнал
а = A sin (znFt + sin 2 яр/)
имеет
F = 45 мгц,
ДГ = 60 кгц,
|i = 6 кгц.
Подсчитать амплитуды и частоты всех боковых частот, мощность которых
больше 0,1% всей энергии сигнала.
2.	На фиг. 82, Г обозначены боковые частоты через F+ Д/. Показать,
что огибающая боковых частот имеет ординату, пропорциональную
§	3. Одновременная модуляция двумя и большим числом
частот, а) Боковые полосы. Если при амплитудной модуляции моду-
лирующая функция содержит несколько частот, то каждая из них
дает пару боковых полос, которые между собой не связаны. Именно:
А [1 4” cos 2гср4 4 cos (2*jV 4" %)] s^n 2^77 —
ss A sin 2л/7/ 4	{sin [2л (Z7 4 Pi) 4 sin [2л (F — pj /]} 4
+ 4 {sin[2Tr(F4-[x8)/+«2]4-
-)-sin [2ir (F—|л2)/ —<р2]}. (5.24)’)
В случае ЧМ и ФМ все гораздо сложнее. Мы уже знаем, что при
синусоидальной ЧМ и ФМ имеются боковые полосы, соответствую-
щие модулирующей частоте и всем ее гармоникам* 2). Сейчас мы
покажем, что при ЧМ и ФМ, если модулирующая функция содержит
более чем одну частоту, то возникают боковые полосы, соответ-
ствующие не только этим частотам и их гармоникам, но и частотам,
1) Разность фаз введена для общности.
2) То есть отстоящие от несущей на величины, равные частоте модули-
рующей функции и ее целым кратным.
Модуляция
15?
равным суммам и разностям частот всех гармоник модулирующих
частот. Например, разберем ЧМ сигнал вида
A sin £ 2tcF/4" ~~ sin	s5n	~b ¥2) ] =
= Д |sin27rF/cosf^-sin2K|i1/)cos^^- sin (2кр.2/4“?2)^ 4~
4- cos 2itF/sin sin 2ry^t ) cos	sin (2кр2^-1- cp2) j 4“
4- cos 2itFt cos	sin 21:^) sin	sin (2itp2t 4“ %) j —
— sin 2izFt sin	sin 2^/) sin	sin (24" <p2)	. (5.25)
Если выражение (5.25) раскрыть с помощью (5.17) и (5.18) и
произвести разложение встречающихся произведений, то, очевидно,
появятся члены вида
л sin[27t(Fdzznp.1z±znp2)/±:n(p2],	(5.26)
где т и п — любые целые числа. Нам нет надобности проводить
здесь подробно эти громоздкие вычисления, так как речь идет лишь
о структуре спектра.
б) Глубина модуляции. Из равенства (5.24), а также из упражне-
ния 5 в конце гл. II следует, что для модулированного сигнала
а — А [(1 4“ ^iCOs(2kp1/4"?i) +w2C0S(2k!a2^ + ?2) 4~ • • • +
4- тр cos (2тг^4“ ^)] sin 2nFt (5.27)
полная энергия сигнала пропорциональна
2	2	2
t тпЛ	mt	т^\	Л
41+t-+“f+(5-28)
Сравнивая (5.28) с (5.7), определим эффективную глубину модуляции
как	_____________
юэфф = Ут* + ml 4- ... 4- т*р .	(5.29)
При таком определении также пропорциональна средней величине
энергии низкочастотного (например, звукового) колебания.
Таким же способом (по среднему значению энергии низкой частоты)
мы определим и эффективную глубину модуляции для ЧМ сигнала
A sin£ 2тг5/4"~‘ sin (2^4 ^4~?i)“h • • • 4~
k„F	1
Н—sin (2кИ^4- ?«)	(5.30)
Г*	J
15Й
Рлава V
сигнала
sin 2^-1-^
Р-2
&1F = 10 кгц,
A2F= 6 кгц,
D = 50 кгц.
как
V (W + (Д2^Г + ... + (AgF)r ,	(5 31)
где D — максимальное, допустимое для данной системы отклонение
(девиация) частоты.
Упражнения
1.	Найти глубину модуляции для сигнала
а = А (1 + 0,2 cos -j- 0,3 cos 2тцх20 sin 2nFt,
если
F = 45 мгц,
Pi = 5 кгц,
p.2 = 3 кгц.
Ответ: 36%.
2.	Найти глубину модуляции для
а = A sin ^2izFt -|-
если
Л —45 мгц,
Pi = 5 кгц,
р-2 — 3 кгц,
Ответ: 23%.
§ 4. Сложение гармонических колебаний. Большая часть этой
главы, где мы имеем дело с несущей и боковыми полосами, сводится
к рассмотрению сложения (суперпозиции х)) гармонических колебаний.
Поэтому целесообразно рассмотреть здесь этот вопрос более подробно.
а) Сложение колебаний одной частоты, В элементарных книгах
по гушематике простому гармоническому колебанию Д cosco/ ставится
в соответствие движение проекции точки, вращающейся по кругу
радиуса А с постоянной угловой скоростью со, на некоторую прямую.
Это показано на фиг. 85. Здесь точка Р движется по окружности про-
тив часовой стрелки с постоянной угловой скоростью со, в то время как
ее проекция на прямую СОВ (точка Р') движется вперед и назад
около центра О, согласно уравнению
а = ОР' — Дхоб со/.	(5.32)
Расстояния вправо от О считаются положительными, а влево — отри-
цательными.
Уравнение соответствует движению, при котором в момент вре-
мени /=0 точка Р совпадает с В, Если же при /=0 точка Р на-
1) В этой книге под суперпозицией колебаний мы понимаем их сосуще-
ствование в линейной системе, что эквивалентно алгебраическому сложению.
МоЬуляцМ
i&)
ходится не в В, и угол РОВ в этот момент равен ср, то Движение
проекции точки Р на линию СОВ описывается уравнением
а — OP' = A cos (<0/4- ?)•	(5.33)
Рассмотрим теперь графическое представление сложения двух гар-
монических колебаний одной частоты, т. е.
а = А t cos (<^+ ?i) + ^2 cos (°^ “Ь %)•	(5.34)
На фиг. 86 нарисованы два круга, соответствующие двум членам
равенства (5.34). Так как угловая скорость для обоих членов одна и
ских колебаний одинаковой частоты.
та же, то угол между вращающимися линиями ОРХ и ОР2 остается
неизменным и равным <р2— срх в любой момент времени. Правую часть
(5.34) можно представить в виде одного колебания, а именно:
а = Аг cos (ш/?i) + ^2 cos (^4“ %)==
— Ai (cos со/cos <pj — sin со/sin cpj -j-
4~ A2 (cos (at cos ©2 — sin sin %) —
= (Д i cos epi + A2 cos ©2)cos —
— (At sin ©i 4~ ^2 sin %)sin cos ?з)>	(5.35)
где	____________________________________________
Л3 — У(Д! COS	4“ А2 cos ср2)2 + Hisin + ^2 sin %)2	(5.36)
и
• Фз = arc tg ^sm^ + ^sin^.
13	& Д1 COS ср! 4- А2 cos ср2	4	7
Из (5.35) следует, что при сложении двух гармонических колебаний
одной частоты результирующее колебание будет той же частоты.
Далее, как следует из (5.36) и (5.37) и из фиг. 86, амплитуда и фаза
результирующего колебания получаются построением параллелограмма
160
Глава V
на векторах ОРГ и ОР2. Тогда проекция на СОВ вращающейся
точки Р3 соответствует суммарному колебанию.
Отрезок РГР% равен и параллелен ОР2, а Р2Р3 равен и паралле-
лен ОР^ следовательно, в случае простых гармонических колебаний
одной и той же частоты эти колебания можно представить векторами,
такими как ОРХ и Р^Р^ (или их эквивалентами ОР2 и Р2Р3), и Ре“
зультирующее колебание получается замыканием векторного треуголь-
ника, т. е. изображается вектором ОР%. Ясно, что этот процесс можно
обобщить на случай любого числа колебаний той же частоты. Таким
образом, колебание
а — cos (<*^4“ ?i) + ^2 cos ?я) + • • • + An cos	(5.38)
можно получить сложением векторов, как это показано на фиг. 87;
результирующее колебание представляется вектором ОРп. Отсюда
Фиг. 87. Векторное сложение п
простых гармонических колебаний.
щийся на комплексной плоскости
есть Аеэ№+&. Так как
видно, что суперпозиция любого
числа колебаний одинаковой часто-
ты дает гармоническое колебание
той же частоты.
Эти результаты совместимы с
интерпретацией вектора на фиг. 85,
а также всех остальных векторов,
соответствующих простым гармо-
ническим колебаниям, как векто-
ров, вращающихся на комплексной
плоскости; действительные части
этих векторов будут равны нашим
простым гармоническим колеба-
ниям. Именно, вектор длиной А
и с начальным углом ф, вращаю-
постоянной угловой скоростью О),
Л? = A cos(<^+ ф) + У Л sin (W+<p),	(5.39)
то действительная компонента комплексного вращающегося вектора
есть простое гармоническое колебание. Наш графический способ сло-
жения колебаний сразу вытекает из правила сложения комплексных
чисел.
Заметим также, что гармоническое колебание можно представить
. л	A 7(со£Д-<р) А —j (а)£4-се)
как сумму двух сопряженных векторов	и -^е J v ‘ , вра-
щающихся в противоположные стороны с одинаковой угловой ско-
ростью ш. Имеем
Л	(<»#+ ?)	л -з __ Л [Cos	sln
-F~2 [cos(a)/-|-?)—J sin (<о/-{“?)] =4 COS (<о£-}"?)• (5.40)
Модуляция
161
Равенство (5.40) изображено на фиг. 88. Им можно пользоваться во
всех задачах, связанных с простыми гармоническими колебаниями,
в частности, и при рассмотрении суперпозиции колебаний различной
частоты.
б) Сложение колебаний различных частот. Амплитудная и
угловая модуляции результирующего колебания. Рассмотрим теперь
Ф и г. 88. Представление простого гармонического движения
при помощи двух вращающихся сопряженных векторов на комп-
j	лексной плоскости.
сложение двух гармонических колебаний различной частоты, например
а — А1 cos А2 cos (п2/.	(5.41)
Здесь нет никакой необходимости вводить фазы и <р2, ибо их можно
уничтожить подходящим выбором начала отсчета времени !).
Формула (5.41) может быть переписана в таком виде:
а = /Ц cos А2 cos (п2/ =
= COS Д2 cos [<0^+ (^2------------J fl ~
= Ai COS 0)^4-Д2 COS	COS (со2 — (nJ t —
— A2 sin (njsin (oj2 — (nJ t = [4j 4“ Л2 cos (<o2 — (nJ /] cos (nJ —
— A2 sin (a)2— (nJ / sin <oi/= V 4^4“ 24142 cos(co2—(nJ t-^-Ai X
4/	(	7 I А Г Л2 Sin (co9----- <Dj) t 11
X cos {<01/4- arctg	----^-7- >.	(5.42)
I 1 11	LA + A2 cos (gj2 — 03])/])	V 7
Если частоты 0)^2^, (п2/2тг близки, то формула (5.42) имеет сле-
дующее наглядное толкование: в результате сложения двух гармони-
ческих колебаний различных частот получается одно колебание, ампли-
туда и фаза которого меняются с разностной частотой (ш2 — со1)/2т:.
Составляющие и результирующее колебание показаны на фиг. 89.
Изменение амплитуды есть хорошо известное явление биений, поэтому
т) Точнее: это можно сделать, если иц, о)2 несоизмеримы. (Прим. ред.)
11 Зак. 2263. С. Гольдман.
162
Глава V
разностную частоту называют также частотой биений. Фазовые изме-
нения при биениях также давно известны, но раньше они не имели
существенного практического значения.
б /ХЛАЛМЛАЛАЛАЛАЛ^^	A2cosu)2t
в
At cos(Vtt + A2cosu)2t
Фиг. 89. Сложение колебаний различных частот, приводящее
к явлению биений.
А и Б—составляющие; В—результирующая.
Если А1 больше Л2 и если много больше со2— то 41cos<o1f
можно рассматривать как несущую, а Л2 cos ш2/ как боковую частоту.
Величина
]/ -j— 2 A j/42 cos (ojg — (Oj) t	Л2
будет тогда играть роль мгновенной амплитуды, а производная по
времени от
со /л- зге tP- [ A sin (о)2-“j)*	1
1 * ‘	[ Ai + А2 cos (ш2 — о?!) /]
роль мгновенной частоты. Так как обе эти величины меняются с раз-
ностной частотой (о)2 —0)^/2^, то результат суперпозиции двух гар-
монических колебаний можно рассматривать как колебание с ампли-
тудной и угловой (частотной) модуляциями, происходящими с часто-
той (а)2 — Как было показано в § 1, п. б, добавление еще
одной гармонической компоненты частоты — (<о2 — coj, амплитуды Д2
и подходящей фазы (т. е. боковой частоты, находящейся при AM по
другую сторону от несущей) уничтожает угловую модуляцию резуль-
тирующего колебания. Как мы видели в § 2, п. б, устранение ампли-
тудной модуляции более сложно.
Вполне уместно именно здесь сказать несколько слов о реальности
боковых частотх). Некоторые исследователи, допуская реальность
отдельных колебаний, порождающих биения, однако не могли пред-
ставить себе, что медленные изменения амплитуды дают реальные
высокочастотные боковые полосы. Ответом на это может служить
следующее простое замечание: контур с очень высокой селективностью
может быть настроен отдельно на несущую и отдельно на боковые
х) С исчерпывающей полнотой вопрос о физическом смысле боковых
частот был разобран Л. И. Мандельштамом в его лекциях по теории коле-
баний и оптике [28]. {Прим, ред.)
Модуляция
1бЗ
частоты. Боковые частоты обладают такой же реальностью, как гар-
моники на выходе нелинейного усилителя или спектральные цвета,
входящие в состав белого света.
§ 5. Сравнение взаимных помех между радиостанциями, ра-
ботающими на близких частотах, в случае ЧМ и AM. Мы знаем
теперь достаточно из теории модуляции, чтобы рассмотреть интерес-
ный и важный вопрос, как с помощью ЧМ освободиться от взаимных
помех станций, имеющих близкие несущие частоты. Мы рассмотрим это
явление для AM и ЧМ и найдем, насколько оно меньше при ЧМ.
Взаимные помехи, о которых здесь идет речь, весьма нежелательны.
За меру этих взаимных помех мы примем модуляцию принимаемого
смодулированного сигнала, вызванную воздействием мешающего моду-
лированного сигнала (его несущей и его боковых полос). Рассмотрим слу-
чай, когда мешающий сигнал мал по сравнению с полезным сигналом;
здесь мы получим простую и ясную картину эффекта 2).
Прежде всего преобразуем равенство (5.42) для случая, когда
амплитуда одного колебания много больше амплитуды другого,
а именйо
А» А2.	(5.43)
Разлагая амплитуду и фазу выражения (5.42) в ряд Тейлора по сте-
пеням А2/А1 и пренебрегая всеми членами, содержащими А2/А1 в сте-
пени выше первой, получим
Ул?+2Л1Д2СО5(0>2 —«>!)/ +[1 -|-^cos(a)2—(5.44)9)
И
, . .Г Ло sin (оь> — со,) t 1
соarc tg	——-t-----—r-
1	1	& [ /j 4- A2 cos (oj2 — coi)zj
(M-J- ф -sin (co9 — (oj/. (5.45)
/11
Если есть еще слабый сигнал3) 43 cos (со3/-|-?з), то результирую-
щая амплитуда в,этом случае будет иметь вид
Al I1 -Ь^-51П(<О2— “1П-/^С05[(а>з — 0>j)(5.46)
’) Для более детального рассмотрения случая ЧМ, включающего работу
элементов схемы, см. статью Уиллера [29] и работы, цитируемые в ней.
Обсуждение случая с AM для любого соотношения между сигналом -и поме-
хой при наличии модуляции обоих колебаний см. в статье Айкена [30].
В качестве иллюстрации особенностей вида колебаний при ЧМ, когда мешаю-
щий сигнал велик, см. упражнение в конце этого параграфа.
2) Дальнейшее рассмотрение эквивалентности члена А2 cosco2^ паре боко-
вых частот см. в § 6 и 7.
3) Когда взаимодействуют более чем два сигнала даже различных частот,
то нужно учитывать фазу ?3, так как нельзя обеспечить выбором начала
отсчета времени, чтобы все три колебания были в фазе.
11*
164
Глава V
а фаза—.
<°/+^-sin(®2 — wi) z+ ^-sin[(<o3 — ®i)/ + ®8J.	(5.47)
ПодобныхМ же образом мы можем учесть действие других слабых
сигналов.
Частоту результирующего сигнала найдем, взяв производную от
(5.47):
{“1 + (“2 “ “1) COS (®2 — ®j) t +
-f- (ш3 — o>j) A cos [(o>3 — ®t) t -|- ®3] |.	(5.48)
На фиг. 90 показана несущая полезного сигнала, а также несу-
щая и боковые частоты мешающего сигнала как для случая AM, так
и для случая ЧМ. Допустим, что в обоих случаях помехи (несущие
Фиг. 90. Несущие частоты полезного сигнала и помех и боко-
вые частоты помехи.
А—случай амплитудной модуляции; Б—случай частотной модуляции;
—принимаемая несущая, а>2—несущая частота помех.
и боковые) имеют равные энергии, что полезные сигналы также имеют
в обоих случаях одинаковую энергию и что энергия сигнала много
больше энергии помехи. Сравним глубину паразитной модуляции для
случая ЧМ и AM.
Пусть
A cos
является выражением полезного сигнала в обоих случаях. Пусть по-
меха имеет в случае AM амплитуду несущей В, а амплитуды боко-
вых В2, .. ., Вр, а в случае ЧМ—амплитуду несущей С и ампли-
туды боковых С1? С2, ..., Cq. По предположению, энергия помехи
в обоих случаях одинакова. Таким образом,
с2+q+q+• • • + q=s2+^+^ + • • • + ^. (5.49)
Модуляция
165
Согласно равенству (5.29), глубина модуляции в случае AM
(в2 + в13 + в22+.... + в^)1/2
тлм =---------------л----------—
(5.50)
а в случае ЧМ на основании равенства (5.31)
т _ [(|^2 + (нС1)3+(^А)а+ •••
/ПЧМ----——-------------.	(5.51)
AD
Здесь D — максимальное допускаемое отклонение частоты при ЧМ
(соответствует т = 1), а величины р, |лг, р2, ...,	— разностные
частоты между несущей сигнала и различными компонентами помехи.
В частности, р без индекса есть разность частот несущей сигнала и
несущей помехи.
Из (5.49), (5.50) и (5.51) можно получить отношение мешающих
эффектов для ЧМ и для AM при прочих равных условиях:
(5-52) з)
В современных широкополосных системах ЧМ величина D пре-
вышает наивысшие звуковые частоты. Например, в США при частотно
модулированном широковещании
29 = 75 кгц.	(5.53)
С другой стороны, звуковой канал приемника ЧМ пропускает частоты
не свыше, скажем, 12 кгц. Поэтому большинство членов в знамена-
теле выражения (5.52) исключается звуковым каналом и остаются
лишь члены со сравнительно малой величиной р,/29. Следовательно,
отношение (5.52) всегда больше единицы. Итак, ЧМ свойственна
меньшая чувствительность к взаимным помехам, чем AM2).
Простое физическое объяснение ослабления помех соседних (по
частоте) станций в широкополосных системах ЧМ заключается в сле-
дующем. Из-за случайности соотношений фаз боковых (и несущей)
частот помехи и несущей частоты сигнала частоты биений между
обоими сигналами распределены по всему интервалу девиации частоты,
так что большая часть взаимных помех исключается частотной поло-
сой звукового канала (включая человеческое ухо). Кроме того, через
9 Мы предполагаем, что приемник AM не реагирует на частотную моду-
ляцию сигнала и что приемник ЧМ не реагирует на амплитудную модуляцию
сигнала. Первое требование не существенно, так как обычно ЧМ—слабая.
Второе же приближенно верно только в приемниках с хорошим ограничите-
лем и при хорошо сбалансированном детекторе. Уиллер [29] рассматривает
случаи, когда второе требование не выполняется.
2) Количественное рассмотрение ослабления шумов и взаимных помех
при ЧМ дается в следующей главе.
166
Глава V
звуковой канал проходят только те боковые, которые относительно
не эффективны в создании частотной модуляции, т. е. близки к несу-
щей полезного сигнала; это еще больше ослабляет взаимные помехи.
С другой стороны, полезный ЧМ сигнал имеет определенные соот-
ношения между амплитудами, фазами и частотами боковых, так что
все они (включая далекие от несущей), действуя вместе, дают ма-
ксимальную частотную модуляцию; кроме того, ЧМ, которую они
создают, полностью находится в полосе пропускания звукового канала.
В противоположность ЧМ, в AM мешающие составляющие, включая и
несущие помех, всегда одинаково эффективны в отношении создания
взаимных помех; эта их эффективность превосходит эффективность
наиболее мешающей боковой ЧМ помехи в отношении максимального
отклонения частоты при ЧМ к полосе звукового канала.
Упражнение
(Помеха с большой амплитудой при ЧМ)
Если полезная несущая A sin 2nft и несущая помехи В sin 2ngt принимаются
одновременно, то для частотной модуляции результирующего колебания имеем
точное выражение
D
cos [2к (g—f) /] + -д
2к dt

1+^-cos
dtp
Построить кривые для (1/2тг) за один цикл частоты биений (g—/) для
(В/А) = 0,1; 0,5; 0,9; 1. Объяснить физически, почему кривые имеют острые
пики при приближении В)А к единице.
§ 6. Симметричное и несимметричное распределения боковых
частот х). а) Введение. В § 1 и 2 мы рассматривали случай, когда
модуляция была либо чисто амплитудной, либо чисто угловой; при
этом боковые полосы всегда образуют пары, имеющие частоты, сим-
метричные относительно несущей * 2). Таким образом, если F есть частота
несущей и имеется боковая полоса частоты ja, то имеется другая
боковая полоса частоты F—р и той же амплитуды.
Мы рассмотрим теперь случай, когда эти простые условия не
имеют места. Иногда такие условия создаются намеренно, иногда же
они являются следствием дефекта аппаратуры или вызваны внешней
помехой. Намеренно такие условия создаются либо с целью сокраще-
Ч Этот> параграф представляет собой развитие статей Нейквиста [31] и
2) При ЧМ в случае нескольких модулирующих частот распределение
боковых полос может быть несимметричным. Но этот случай несимметрич-
ного распределения не представляет существенного интереса при рассмотре-
нии вопросов данного параграфа.
Модуляция
167
лия ширины полосы частот, либо с целью ослабления шумов, либо
с той и другой целью. При чистой модуляции имеются боковые полосы,
расположенные и выше и ниже несущей частоты. Однако для пере-
дачи сообщений достаточна каждая из этих групп боковых в отдель-
ности, несмотря на то, что отсутствие другой группы боковых полос
вызывает искажения. Во многих практических случаях передача ведется
на одной (верхней или нижней) группе боковых полос. Это так назы-
ваемая передача на одной боковой полосе * 2). Обычно при передаче
на одной боковой полосе несущая не передается; в месте же приема
создается несущая большой амплитуды. В этом случае глубину модуля-
ции можно сделать небольшой, так что, несмотря на передачу только
одной боковой полосы, искажения будут малыми. При этом ширина
спектра уменьшается вдвое против необходимой при передаче обеих
боковых полос. Кроме того, как будет показано в следующей главе,
при передаче на одной боковой полосе можно значительно уменьшить
уровень шума, что является весьма ценным. Иногда при передаче на
одной боковой полосе также передают и несущую, но с пониженной
амплитудой; она служит при этом для автоматического контроля частоты
и автоматической регулировки громкости в приемнике. Для случая,
когда передается 2) преимущественно (но не исключительно) одна боко-
вая полоса, применяется более общее понятие селективной или асим-
метричной передачи боковых полос. Сейчас мы изложим простые методы
для исследования свойств сигналов при любом типе асимметрии боко-
вых полос.
Непреднамеренная асимметрия боковых полос может получиться
вследствие асимметрии характеристик передающей системы относи-
тельно несущей частоты. Мы покажем также, что взаимные помехи
близких частот в общем канале можно рассматривать как один из
случаев асимметричного распределения боковых частот.
б) Симметричные и антисимметричные боковые полосы*, син-
фазная и ортогональная компоненты. При несущей A cos(27t/74~?)
пара боковых полос
Hxcos [2тг (F-J- |i) t-р oj и Л2со8[2тт(Л — р)^+?21
называется симметричной, если
Л1 = Л2, ?1—о = —(?8 —»), ®2 = 2®—
Э Сведения о практических способах и аппаратуре, применяемых для
передачи на одной боковой, содержатся в книге Термена [22] и цитируемой
в ней литературе; по вопросу симметричной передачи в телевидении см. книгу
Зворыкина и Мортона [33].
2) Слова „передается" и „передающая система" в этой главе относятся
ко всему приемно-передаточному тракту, т. е. к передатчику, к среде, в кото-
рой происходит распространение, и к приемнику.
168
Глава V
Суперпозиция несущей с такой парой боковых полос дает чисто
амплитудно модулированный сигнал, так как
A cos (2~F74~ ср) 4- Аг cos [2к (F 4“ ’i) 14~ cpj -J~
+ А1 cos [2it (F — p) 14- (2» — oj] =
= A cos (2?cF/-j- ?) Aicos [(2itF/-®)
~Г С2"!1* + ?i — ?)] +
A1 cos [(2kF/4“ ?) — (2тгр/4~ ?i — ?)] —
— A £ 1 4~	cos (2TtpZ 4- epi — cp)j cos (2uF/4~ ?) =
= 4^1 4“^cos^2~y./4~^^“)j cos(2kF^4"?)-	(5.54)
Равенство (5.54) выполняется точно при любых А и 4Р
При несущей A cos(2kF^4~?) пара боковых полос
Ar cos [2~ (F 4" Р-) Н~ ?i] и ^2 cos [2^ — Р‘И'4~ ?‘J
называется антисимметричной, если
4Х = —42; cpj — ср = — (ср2—ср); ср2 = 2ср — срр
Мы покажем сейчас, что суперпозиция несущей и пары малых
антисимметричных боковых полос дает сигнал с почти чистой угловой
модуляцией. В качестве первого шага напишем следующие соотно-
шения:
A cos ^(2kF/ 4“ ?) 4“ ~ sin (2тир/ 4~ 6)^j =
= А | cos (2uF/4~ ?) cos sin (2^4“	—
•— sin (2nF74~ ?) sinsin (2тф/4~ 6^ | =
= 4 cos (2itF/ + <4 Zo (v) + 2/2 (v) cos t2	+ °)! + • • • ] ~~
— sin(2zF/+ o) [2Ji (y)sin (2^t-f- 0)	=
— A cos (2~Fl-4 е?) — A (Fj’SiH (2“[’^-|-,J) sin (2r<Ft 'p).	(5.55)
Модуляция
169
Последнее равенство верно приближенно1), если AF/p 1. Далее,
преобразовывая, имеем
AF
А — sin 6) sin	’
=4ir{cos [2~
+ (<? — 6)] — cos [2й (F 4- |х) t + (<? 4- 6)]),	(5.56)
и равенство (5.55) принимает вид
A cos ^(2kFZ-|- ср)	”-sin (2~jj7-1- 6)j =
= A cos	ср) cos [2z (^H- НИ + (? + fJ)] —
Z {*
A KF
-|^.Cos[2z(F_p)/+(®_0)J	(5.57)
при AF/u !•
z^3 равенства (5.57) следует, что для Alf много меньшего, чем Л,
можно написать
Л cos(2t774-?)4“ 4tcos [2л (F4~p)	—
— Л1со5[27г(/7 — |i)/-]-(2cp — фх)] =
= Л cos | (2^/7-j- ?) 4"	sin [2тср74~ (?1 — ?)] | “
= Л cos | (2кГ/4~ ?) 4“	sin ^2лр/ 4~ "~2	} •	(5.58)
Итак, суперпозиция несущей с парой малых антисимметричных боко-
вых полос дает сигнал с почти чистой угловой модуляцией.
Рассмотрим более общий случай суперпозиции несущей и пары
антисимметричных боковых полос, не требуя теперь малости амплитуд
последних. Используя прёжние обозначения, напишем
Л cos (2nFt 4~ ?) 4“ Acos Р71 (^ 4“ I* * х) z4“ ?il —
— Ai cos [2л (F — |i) ^4~ (2cp — cpj] =
= A cos (2л F/4~ ?) 4“ Acos	4“ ?) 4“ (2^/ + ?i — ?)] —
— Лх cos [(2kF^4~ ?)’— (2ли/4~ ?i — ?)] —
= A cos (2r.Ft-\- <p) 4“ Л1 [cos (2kF/4~ ?) cos (2rcp74~ ?i — ?) —
— sin (2kF/4~ ?) si*1 (2k|i/4~ ?l — ?)1 —
— Ai [cos (2rF^4~ ?) cos (2ла^ 4~ ?i — ?) 4“
*) Оно справедливо приближенно, когда AF |x мало, вследствие того, что
в первом приближении при малом х (х) — 1; </х (х) = х/2; J2 (х) =	(л) —
(х) — ... — 0. Это следует из равенств (12) — (14) Приложения III.
170
Глава V
4~ sin (2те/7-|- <?) sin (2rqxf 4~ cpj — ф)] =
= A cos (2kF/-p ?) — 2 A sin (2~p^Jr ?i — ?) X
X sin (2tcF/4~ ?) =	(5.59)
= V Al + 4A% sin2	4- (£4 — 7) cos (2kF/4~ 9 -}- ф) =
= 4]/ 1-|-2^{1— cos [2(2кИ/ + ?1 —?)]}X
X cos (2izFt 4~ ? 4“ Ф),	(5.60)
где
6 = arc tg |^2 sin (2k^4" ?i — ?)]•	(5.61)
Из равенства (5.59) следует, что пара антисимметричных боковых
полос дает ортогональную компоненту (сдвинутую на 90° относительно
несущей). Для отыскания результирующей огибающей нужно взять
квадратный корень из суммы квадратов амплитуд синфазной и орто-
гональной компонент, как это и сделано в равенстве (5.60). Отметим,
что амплитудная модуляция, возникающая вследствие ортогональной
компоненты, дает искажения, содержащие лишь четные гармоники.
Так как ф меняется со звуковой частотой, налицо также и угловая
модуляция; этот эффект отсутствует в случае симметричных боковых
полос, что видно из равенства (5.54). Когда антисимметричные боковые
полосы малы, т. е; А1<^_А, то, как показывают равенства (5.60) и (5.61),
частотная модуляция является эффектом первого порядка, а амплитуд-
ная— эффектом лишь второго порядка. Это полностью соответствует
полученному ранее равенству (5.58).
Из (5.54) видно, что пара симметричных боковых полос порождает
синфазную компоненту (в фазе с несущей).
, Дальнейшее изложение выяснит смысл этих результатов и покажет,
как они применяются.
в) Представление произвольного асимметричного распределения
боковых полос суммой симметричных и антисимметричных пар
боковых полос. Практическое применение результатов, полученных
в п. б, основано на том, что любое асимметричное распределение
боковых полос можно представить как сумму симметричных и анти-
симметричных пар боковых полос }).
Чтобы показать это, рассмотрим сначала одну пару асимметричных
боковых полос:	Z^cos^ir (F4-11)/4- OJ	(5.62)
и	В2 cos [2z (F— р) t— 62],	(5.63)
отличающихся от	несущей	
	A cos 2~Ft	(5.64)
Ч Это аналогично представлению произвольной функции как суммы четной
и нечетной составляющих.
Модуляция
171
на частоты 4" Р- и —И- Не будем предполагать никаких соотношений
между 61 и 02, Вг и В2. В частности, либо либо В2 могут быть
равны нулю. Покажем, что сумму боковых полос (5.62) и (5.63) можно
представить как сумму симметричной и антисимметричной пар.
Заметим сначала, что
Вг cos [2тг (F 4~ pi) 0J В2 cos (F— н) =
= Br [cos 2k/7/cos (2тгр/4“ ®i) — sin 2 k/7/sin (2кр,/4~ ^i)l ~г
4" В2 [cos 2itFt cos (2кр/ 4~ %) 4" sin %nFtsin (2кр/ 4~ 02)] =
= [B2 cos (2?ru7 4~ 02) 4“	cos (2кр./4~ ®i)lcos Z^Ft 4~
4- [B2 sin (2*ф/4~ ^2) — s5n (2~u^4~ 0J] sin 2nFt. (5.65)
Член c cos2t:F/ является синфазной компонентой, а следовательно,
является суммой пары симметричных боковых, а член с sin2KF/
является ортогональной компонентой и, следовательно, является суммой
пары антисимметричных боковых. Чтобы отыскать симметричные боко-
вые/ положим в равенстве (5.54) <р = О, A1=AS, ?i = ?s. Тогда
после вычитания несущей равенство (5.54) принимает вид
Аа cos [2к (F -f- ji) t -f- ©s] 4- Xg cos [2- (F — jj.) t—<ps] =
= 2AS cos(2k|i/4~ cos ^Ft. (5.66)
Сравнивая коэффициенты при cos 2k/7/ в равенствах (5.65) и (5.66),
имеем •
2AS cos (2кр/ 4“ ?s) — cos (2т:р/4~ ^2) 4“	cos (2ttul/ 4~ О J
= В2 (cos 2kjx/cos 02— sin 2кр-Zsin 02) 4~
-[- В^ (cos 2k|i/cos — sin 2K[i/sin =
= (B2 cos 02 4" cos ^1)cos — (B2 sin 02 4- Bi sin 0x) sin 2ки/ ==
= 2AS (cos 2k|i/cos cps — sin 2K|i/sin <ps).	(5.67)
Приравнивая коэффициенты при cos2kijl/ и при sift 2кр/, получаем
2AS cos ?s = B2 cos 02 4- Bi cos 0p	(5.68)
2AS sin cps = B2 sin 62 -p sin	(5.69)
Отсюда	____________________
2Д$ — V(B2cos02 4~ /^cos 6)14" (^2 sin 02 4- Bi sin 0j‘ =
= /5F4- s! 4- 25^2 cos (02 — Oj) (5.70)
И
. / B2 sin О® Ч- Bi sin \	/г	\
<ря — arc tg	в •	(5-71)
rs	\ cos 62 -f- Bi cos Oj /	4 J
172
Глава V
Из этих равенств видно, что величины Ад и для симметричной пары
боковых можно получить из Bv и 62 построением векторной
суммы, как показано на фиг. 91.
Подобным же образом, из сравнения (5.59) и (5.65) следует для
антисимметричной пары боковых полос
2Ла= +	—25^2 cos (Oa — Oj),	(5.72)
. / В, sin — В2 sin 6« \
= arc to* —----------------------— I
‘	Lb cos 61 __ cos q2 J .
(5.73)
Величины Aa и cpfl для антисимметричных боковых можно получить
из векторной диаграммы так, как показано на фиг. 92.
Фиг. 91. Векторная диаграмма бо-	Ф и г. 92. Векторная диаграм-
ковых частот, дающая симметрии-	ма боковых частот, дающая
ные компоненты.	антисимметричные компо-
ненты.
Итак, исходная асимметричная пара боковых может быть предста-
влена в виде суммы симметричной и антисимметричной пар боковых
полос согласно соотношению
Bt cos [2л (F-f- р) GJ 4~ #2C0S [2л (F— р-) t— 62] =
= As cos [2л (В Ч~ иХЧ" ©8] 4- Л8 cos [2л (В — p.) t — ©s] Ц-
4~ Aa cos [2л (В-j- [г) t -f- ©J — Aa cos [2л (В — p.) t — ©J,	(5.74)
где Л8, ©g> Aa и ©a даются равенствами (5.70)—(5.73).
Пусть теперь нам задано распределение боковых полос, показан-
ное на фиг. 93,А, где для общности оно считается сплошным. Ра-
венства (5.70)—(5.73) определяют значения As, Аа и <ра для
каждой пары боковых, отстоящих на ztp от несущей, где р— произ-
вольная частота. Кривые для А8, ф8, Аа и легко вычислить и
построить. Все очень упрощается, если фаза боковых полос меняется
линейно с частотой. В этом случае
= 62 = 6	(5.75)
Модуляция
173
и равенства (5.70)—(5.73) дают
| Кв! + В? 4- 2в7в2 = 1 (Bt + В.,),	(5.76)
?s = 0,	(5.77)
Лв = 1 /в; 4- Bi — 2В& = | (Bt — В2),	(5.78)
?о = 0.	(5-79)
Симметричные и антисимметричные составляющие этого распределения
показаны на фиг. 93, Б и В. Так как сдвиги фаз для любой частоты
Фиг. 93. Разложение произвольного распределения
боковых частот на симметричное и антисимметричное
распределения.
на всех кривых одни и те же, то простое сложение кривых на
фиг. 93, £> и В дает кривую, изображенную на фиг. 93, Л.
Упражнение
Дана несущая
500 cos ‘ZnFt
и две боковые полосы
2 cos [2л (F + 1000) f], 5 cos [2л (F— 1000) /];
найти а) глубину амплитудной модуляции составного сигнала; б) максималь-
ную девиацию частоты составного сигнала.

t'Aaeti U
г) Истолкование взаимных помех как несимметричного рас-
пределения боковых полос. Наличие любого мешающего сигнала можно
представить как асимметрию распределения боковых полос относи-
тельно полезной несущей. Действительно, каждую частотную компо-
ненту
В cos [2- (F+ a) t-Y 6]	(5.80)
мешающего сигнала можно представить в виде суммы пары боковых
полос, симметричных относительно несущей
Л cos ‘litFt,
(5.81)
полезного сигнала и пары боковых полос, антисимметричных отно-
сительно нее. Для отыскания этих боковых полос положим в		равен-
।	ствах (5.76)—(5.79)	
। Л 	1		со II of	(5.82)
Г |	f + a	В2 = 0,	(5.83)
6	1	1	!	 0 = 6.	(5.84)
F -ос	| I	+ а	Имеем при этом	
1 в 		j		1	л	В 	1	 As	р , F + a.	—2	(5.85)
F - ос		
	®з = Ф,	(5.86)
Фиг. 94. Разложение помехи на симметрич- ную и антисимметричную боковые частоты.	А =В- 2 ’	(5.87)
А — помеха; Б—симметричная пара боковых частот; В— антисимметричная пара боковых частот.	fa = Ф-	(5.88)
Из равенств (5.54), (5.85) и (5.86) следует, что симметричная
пара боковых полос эквивалентна компоненте, находящейся в фазе
с несущей, и дает амплитудную модуляцию глубины в/л. Из равенств
(5.57), (5.59), (5.87) и (5.88) следует, что антисимметричная пара
боковых полос эквивалентна компоненте, ортогональной по отноше-
нию к несущей, и дает для случая В <^А частотную модуляцию
с индексом модуляции В [А, т. е. с максимальной девиацией частоты,
равной (В/Л)Эти результаты соответствуют тому, что мы полу-
чили в § 5 при изучении взаимных помех.
1 На фиг. 94 показаны те симметричные и антисимметричные пары
боковых полос, на которые разлагается мешающий сигнал (5.80).
Здесь боковая полоса частоты F— а — математическая фикция (в том
смысле, что в действительности в спектре мешающего сигнала нет
синусоидальной составляющей этой частоты).
Этот метод рассмотрения взаимных помех весьма поучителен и
позволяет делать быстрые оценки соответствующих эффектов.
Модуляция
175
д') Асимметричное распределение боковых полос и передача те-
левидения1). Мы применим метод, составляющий предмет этого пара-
графа, для упрощения задач, возникающих при передаче на асимме-
тричных боковых полосах в телевидении. Мы уже рассматривали
подобные задачи в гл. IV, § 8—10, но здесь мы получим те же
результаты проще и более непосредственно.
Д
6
Г/ Тг
Фиг. 95. Телевизионные тестсигналы в форме видеоси-
гналов и в форме модулированных несущих.
В гл. IV указывалось, что пробные сигналы, которыми наиболее
целесообразно пользоваться при исследовании телевизионной пере-
дачи, повидимому, таковы: 1) единичная ступенька, 2) пара прямо-
угольных импульсов.
Первый из них дает сведения о резкости краев картины, вто-
рой— о четкости мелких деталей. Эти сигналы (как в форме видео-
сигналов, так и в форме модулированных сигналов) показаны на
фиг. 95. Частотный спектр единичной ступеньки дается равен-
*) Этот вопрос составляет предмет ряда работ, [15, 34, 35, 36, 37]. Наше
изложение ближе всего к [35].
176
Глава V
ством (3.147);
(5.89)
о
график функции U(t) приведен на фиг. 95, А
Частотный спектр для парных импульсов получается на основании
(5.89) и принципа суперпозиции; этот спектр имеет вид
G(/) =
_ 2 J sin[2it|x(f-Tt)-sin [2rcp.(f—T2)]+sin [2тср.(/~Г3)]~sin Г2то[*(Л—T4)]	до^
О
график функции G (/) приведен на фиг. 95, Б.
Ф и г. 96. Разложение асимметричной телевизионной системы на симметричную
и антисимметричную составляющие.
А — характеристика пропускания телевизионного передатчика; Б — характеристика пропускания
телевизионного приемйика; В—полйая характеристика пропускания телевизионной системы;
Г—симметричная составляющая полной характеристики передающей системы; Д— антисимметрич-
ная составляющая полной характеристики передающей системы.
Модуляция
177
Если эти сигналы используются для модуляции несущей телеви-
зионного сигнала, то модулированные колебания запишутся соот-
ветственно
Л {1 + т [—1	17(0]} cos 2uf7, (фиг. 95, В) (5.91)
и
Л {1 4-лп[— l+G(/)]}cos2Ttf/. (фиг. 95,Г) (5.92)
Отметим, что формулы (5.90) и (5.92) нам не понадобятся, так как
необходимые результаты мы сможем получить из (5.89) и (5.91),
используя принцип суперпозиции.
Допустим, что эти сигналы проходят через две асимметричные
передающие системы, образующие последовательные каскады, чему
соответствует фиг. 96, А и Б, где показаны частотные характери-
стики телевизионного передатчика и приемника. Запишем их в таком
виде:
(5.93)
И
У2(/а>) = Г2 (ш)	(5.94)
Тогда величина
Л(/“) = гз (“)	= У1 OV2 (Л) =	(®) У2 (®)	(5.95)
дает характеристику всего тракта (см. фиг. 96, В).
Пусть сигнал, показанный на фиг. 95, В, проходит через систему,
характеристика которой дана на фиг. 96, В. Сигнал, показанный на
фиг. 95, В, можно записать так:
А {1 + т [—-1 + U (/)]} cos =
оо
=	+	1 + | + -7 / Sin^-
О
/„ т\ Л «у г Ат Г sin 2дм./ п х ,
= Л (1 — -у cos 2-Ft + — ——(cos 2tzFf) d\t =
0
= A — 7r)cos 2izFt—
°? cos 12k (F + [Л) t + ^-14- cos [2k (F — [Л) t — ~ I
f____!____________U---------!---—---------(5.96)
о
12 Зак. 2263. С. Гольдман.
178
Глава V
Итак, для каждого значения .р имеется пара симметричных боковых
полос
-^ГСО5[2г(л+11)/Нт]’	<5-97)
—4?СО5[2’'(/г~!Л)/~т]-	(5-98)
Относительная величина этих боковых полос пропорциональна 1/р,
их распределение показано на фиг. 97.
Когда сигнал, изображаемый формулой (5.96), проходит через
систему с характеристикой,
показанной на фиг. 96, В, то амплитуда
каждой боковой полосы умножается на
соответствующее значение функции У3.
Так как фазовые сдвиги линейно за-
висят от частоты, то они не влияют на
величину боковых полос и на то, обра-
зуют ли они симметричные или анти-
симметричные пары. На фиг. 96, Г и Д
полная характеристика всего тракта раз-
Ф и г. 97. Спектр сигнала, пока-
занного на фиг. 95, В.
ложена на симметричную и антисим-
метричную части, причем для удобства
по оси абсцисс переменная, означающая
частоту, заменена на р. Произведение симметричного распределения
боковых на симметричную часть полной характеристики дает новое
симметричное распределение боковых полос. Произведение же сим-
метричного распределения боковых полос на антисимметричную часть
полной характеристики дает новое антисимметричное распределение
боковых полос. Оконечный сигнал поэтому можно записать в таком
виде:
Г 0 ~у)УзУ cos2^—
- V /	{cos [2^ (F + И) /+ J +
4“ cos 2л (F—р)/ —
У За (^ + Р)
Р
| cos | 2л (F р) #р
— cos (F— р) t----------------— /?р J J- rfp,
где
(о)) = B\i..
(5.99)
(5.100)
Ф и г. 98. Огибающие синфазной и ортогональной ком-
понент сигналов, проходящих через антисимметричную
передающую систему, характеристика которой приве-
дена на фиг. 96, В.
л —результирующая; £—посылаемый сигнал; в—ортогональная ком-
понента; г—синфазная компонента. Для любого t результирующая
выражается соотношением (результирующая)2=(синфазная)5Н- (орто-
гональная)*''.
12*
180
Рлава V
Равенство (5.99) можно еще записать так:
(1 — у) ^3F COS 2~Ft —
— j*	COs (STtpY—f—-T cos 2rcf7-{-
0
oo
d^ J (F +j*) sjn IL d\i. sin 2bFt =
о
oo
— |ji(l — у)	j* (^+ и) sin (2rr;i/H- S[1) 4/p.) cos 2r.Ft-Y
b
4" f	COS 4~ s^n 2^/7. (5.101)
b
Член c cos2t:F/ в соответствии с нашей терминологией называется
синфазной компонентой, а член с sin27r/7—ортогональной компо-
нентой. Результирующая амплитуда равна квадратному корню из
суммы квадратов синфазной и ортогональной компонент. Для случая
т=1, причем величины Y3s и У3а взяты из фиг. 96, величины син-
фазной и ортогональной компонент выражения (5.101), а также ре-
зультирующая амплитуда изображены на фиг. 98, А. Вычисление
интегралов в (5.101) обычно является затруднительным, если не идеали-
зировать характеристики тракта, как это мы и делали в гл. IV, § 8 и 9.
Расчет сделан для модуляции „единичной ступенькой*. Для других
видов модуляций, показанных на фиг. 98, Б, В и Г, результат можно
получить из фиг. 98, А с помощью принципа суперпозиции. Следует
лишь помнить, что синфазные компоненты нужно складывать отдельно,
ортогональные также отдельно, а затем для получения результирую-
щей амплитуды брать квадратный корень из суммы квадратов.
В гл. IV был дан более подробный анализ вопроса об асимметрии
боковых частот при передаче телевизионных деталей. Однако настоя-
щий параграф содержит более общий взгляд на эти вопросы.
§ 7. Представление модуляции с помощью векторных диаграмм1),
В § 4, п. а, и на фиг. 88 показано, что простое гармоническое коле-
бание Xcos(o^4~?) может быть представлено как сумма двух век-
торов ~ и d-e-^ <«>*+?), вращающихся на комплексной пло-
скости в разные стороны с угловой скоростью со. Таким образом, несу-
щую и пару боковых полос при амплитудной модуляции можно пред-
*) Рассмотрение, эквивалентное данному здесь, содержится в работе
Уиллера [29].
Модуляция
181
ставить как шесть комплексных векторов, причем три из них вра-
щаются по часовой стрелке, а три —
этих векторов — всегда действитель-
ная величина и равна мгновенному
значению амплитудно модулирован-
ного колебания. Это показано на
фиг. 99.
Три из этих векторов являются
комплексно сопряженными относи-
тельно трех других; следовательно,
все необходимые сведения нам даны,
если мы знаем любую из этих троек.
Мы будем поэтому рассматривать
только векторы с положительной
угловой скоростью (вращающиеся
против часовой стрелки)1). Отметим,
что вектор, соответствующий боль-
шей боковой частоте, вращается
в положительную сторону относи-
тельно несущей с угловой скоростью,
равной частоте модуляции, а вектор,
соответствующий меньшей боковой
частоте, вращается в отрицательную
сторону относительно несущей с той
же угловой скоростью. Иногда
удобно считать вектор несущей
неподвижным и рассматривать враще-
ние векторов боковых полос относи-
тельно вектора несущей.
Из (5.54) следует, что при
амплитудной модуляции вектор, соот-
ветствующий большей боковой ча-
стоте, повернут на столько радиан2)
против часовой стрелки по отноше-
нию к вектору несущей, на сколько
вектор, соответствующий меньшей
боковой частоте, повернут относи-
тельно вектора несущей по часовой
стрелке. Это показано на фиг. 99, В.
В частном случае, к которому отно-
сятся фиг. 99,В и формула (5.54),
результирующая векторов обеих
против часовой стрелки. Сумма
Л
Фиг. 99. Представления ампли-
тудно модулированного сигнала.
А — полная векторная диаграмма, показы-
вающая обе группы сопряженных векторов:
а—боковые частоты положительно вра-
щающейся несущей, б—боковые частоты
отрицательно вращающейся несущей, в—
несущая частота в виде вектора, вращаю-
щегося в положительном направлении,
г — результирующая амплитуда сигнала;
д—несущая частота в виде вектора, вра-
щающегося в отрицательном направлении;
Б—представление в виде функции от вре-
мени; В— сокращенная векторная диаграм-
ма: е—верхняя боковая частота, вращаю-
щаяся против часовой стрелки; ж — вектор
несущей (неподвижный); а — нижняя боко-
вая частота, вращающаяся по часовой
стрелке.
!) Для простоты мы часто будем опускать множитель т/? в случае, когда
берем лишь одну группу вращающихся векторов,
2) А именно на 2тс|л/ +	? радиан,
182
Глава V
боковых полос направлена вдоль или против вектора несущей; в этом
случае имеется только амплитудная модуляция и полностью отсут-
ствует угловая модуляция. Векторная диаграмма наглядно показывает,
что симметричные боковые частоты добавляют к несущей синфазную
/1
Ф и г. 100. Представления сигна-
ла, модулированного по частоте.
компоненту, вследствие чего получается
чистая амплитудная модуляция.
Для чистой частотной модуляции
с малым индексом полная векторная
диаграмма, соответствующая выраже-
нию (5.59), показана на фиг. 100, Л,
а модулированное колебание — на
фиг. 100, Б. На фиг. 100, В показана
диаграмма с неподвижной несущей.
Отсюда видно, что результирующая
антисимметричных боковых полос
является компонентой, ортогональной
к несущей, и порождает амплитудную
модуляцию лишь в качестве эффекта
второго порядка. Но фаза результи-
рующего колебания (несущая плюс
боковые) отклоняется от фазы немоду-
лированной несущей на	ра-
диан в темпе частоты модуляции р,. Это
и есть частотная модуляция. Так как
мгновенное значение частоты пропор-
ционально производной по времени от
фазы, то максимальное отклонение
частоты (т. е. пик ЧМ) наступает не
тогда, когда изменение фазы макси-
мально, а когда скорость изменения
фазы максимальна. Это будет в мо-
мент, когда фазы результирующего
вектора и вектора несущей совпадают.
Пики же фазовой модуляции наступают
в моменты наибольшего отклонения
Смысл обозначений тот же, что и на
фиг. 99, кроме того: к — результирую-
щая ортогональная компонента; л—бо-
ковые частоты; м— несущая частота
при максимальной девиации; «—немо-
дулированная несущая.
фазы.
Случай чистой частотной модуля-
ции с большим индексом трудно иллю-
стрировать векторной диаграммой.
В этом случае имеется очень много
боковых частот и амплитуда результирующего колебания много
больше амплитуды несущей. При этом вектор, соответствующий
результирующему колебанию, остается постоянным по величине, но
вращается относительно вектора несущей, отклоняясь от него на Д/7/2'пр
полных оборотов и возвращаясь к нему обратно в течение каждого
люлупериода звуковой частоты. В течение следующего полупериода
Модуляция
183
звуковой частоты процесс повторяется, но отклонение происходит
в обратнохм направлении. Этот процесс не трудно себе представить,
но трудно передать его при помощи диаграммы.
Упражнение
Показать, чтоФМ с малым индексом дает, каки ЧМ, пару ашиснмметри'ь
пых боковых полос.
§ 8. Исследование взаимных помех с помощью векторной диа-
граммы1). Векторное- представление позволяет осветить по-новому
общий вопрос о взаимных помехах двух сигналов. Пусть вектор А
на фиг. 101 соответствует полезному сигналу, а В — мешающее воз-
действие; это может быть либо шум. либо мешающий сигнал. Резуль-
тирующее колебание изображается
вектором /?. Изменение длины R
соответствует общей эффективной
амплитудной модуляции, а быстрота
изменения угла vr—общей эффек-
тивной частотной модуляции. В § 5
аналитически рассмотрен тот случай,
когда В является нежелательным
сигналом, причем отношение BIA
мало по сравнению с единицей.
Сейчас мы рассмотрим более общий
случай: не будем ограничивать вели
ваться определенным типом помехи 1
Фиг. 101. Векторное сложение
сигнала и помехи.
шну В[А и не будем ограничи-
Из фиг. 101 видно, что за один цикл разностной частоты ампли-
туда результирующей меняется в пределах от А В до А — Вт так
что полная амплитудная модуляция растет и падает вместе с ампли-
тудами А и В. В то же время, если В<^А, то изменение направле-
ния В даже на очень большие углы (скажем, тысячи градусов) будет
мало изменять срд, так как максимальный -угол между R и А не
превосходит arcsin (В/Д). Таким образом, если угловая модуляция
колебания А очень глубокая, что имеет место при широкополосной
частотной модуляции, так что вектор А (а следовательно, и R) делает
несколько оборотов за один период модулирующего (звукового)
колебания, то относительное влияние колебания В на полную частот-
ную модуляцию будет очень малым, значительно меньшим, чем
в соответствующем случае амплитудной модуляции. Если же В > А,
то ситуация будет как раз обратная, и частотная модуляция коле-
бания А будет весьма мало влиять на эффективную частотную моду-
ляцию • колебания R. Относительная величина и ход изменения взаим-
ных помех при изменении уровня мешающего сигнала будут, таким
образом, при AM и ЧМ совершенно различны,
*) См. статью Родера [38J.
184
Глава V
При AM отношение помехи к сигналу на выходе приемника
плавно меняется с изменением В'А, а при ЧМ помеха на выходе
будет малой, пока В/А значительно меньше единицы; далее помеха
быстро растет до величины,
Ф и г. 102. Кривые, иллюстрирую-
щие' уменьшение помехи при ча-
стотной модуляции, когда уровень
приходящего сигнала превышает
уровень помех.
По оси ординат отложен логарифм отноше-
помеха
ния------ на выходе, по оси абсцисс—
сигнал
помеха
отношение ------на входе; а—частот-
сигнал
ная модуляция; б—амплитудная модуля-
ция.
при которой она подавляет полезный
сигнал. Это схематически’ показано
на фиг. 102.
Отсюда видно, что при ЧМ
имеется резкая граница между хоро-
шим и плохим отношением помехи
к полезному сигналу. По этой при-
чине при распределении ЧМ пере-
датчиков по некоторой территории
границы районов, обслуживаемых
тем или иным передатчиком, могут
быть обозначены гораздо резче, чем
при AM. Но при ЧМ как полезный,
так и мешающий сигналы всегда
имеют кроме частотной модуляции
ещенекоторую паразитную ампли-
тудную модуляцию. Это приводит
к уменьшению резкости перехода
вблизи В/А — 1. Тем не менее при
ЧМ районы уверенного приема очер-
чены гораздо более четко, чем
при AM.
Родер [39] исследовал аналити-
чески и графически влияние по-
мех в случае ЧМ при относительно больших значениях В/A. Его
результаты находятся в хорошем согласии с проведенной здесь дис-
куссией.
§ 9. Помехи от соседнего канала при ЧМ1)- Рассмотрение,
проведенное в предыдущем параграфе, служит хорошим введением
в изучение помех от соседнего канала при ЧМ. Рассмотрим два
частотно модулированных сигнала, образующих два соседних канала,
как это показано на фиг. 103, Л. Положим, что сигналы имеют
чистую частотную модуляцию (т. е. что их амплитуды постоянны, а
частоты меняются). Численные значения, показанные на фиг. 103,
являются обычными для современных условий приема. Примерная
кривая селективности приемника показана на фиг. 103, Б. При этом
сигнал на входе ограничителя будет таким, как показано на
фиг. 103, В.
Согласно сказанному выше, если полезный сигнал значительно
'превосходит мешающий сигнал в течение всего цикла звуковой ча-
х) См. статью Гольдмана [40].
Модуляция
185
стоты, то мешающий сигнал будет давать пренебрежимо малую ча-
стотную модуляцию результирующего сигнала на входе ограничителя.
В
Ф и г. 103. Влияние избирательности на умень-
шение помех от сигнала смежного канала при
частотной модуляции.
А—интенсивности и частоты приходящих сигналов; Б—
кривая избирательности приемника; В—интенсивности и
частоты на входе ограничителя; условие (5.113) выпол-
нено—помехи отсутствуют; а — принимаемый сигнал;
b—сигнал смежного канала. По оси абсцисс отложены
частоты.
Рассмотрим, однако, случай, когда мешающий сигнал превышает по-
лезный сигнал в среднем в течение и°/0 времени (фиг. 104). В тече-
Ф и г. 104. Помеха превышает сигнал в течение промежутков
времени Г2.
ние времени, когда мешающий сигнал больше полезного, получается
заметная частотная модуляция вследствие нх взаимодействия. Даже
186
Глава V
если мешающий сигнал немодулирован, „пропуски* в принимаемом
сигнале дадут искажения. Эффективное отношение искажений к си-
гналу приблизительно «/100. Это отношение желательно поддержи-
вать возможно меньшим.
Ф л г. 105. Спектр боковых частот, соответствующий дан-
ным, приведенным на фиг. 103.
Л — интенсивности гармонических составляющих соседних каналов на
входе приемника; Б — кривая избирательности приемника; В—интенсивно-
сти гармонических составляющих на входе ограничителя. Канал I: звуко-
вая частота 3 кгц, максимальная девиация 75 кгц\ канал II: звуковая
частота 5 кгц, максимальная девиация 75 кгц.
Для того чтобы помехи между соседними каналами были прене-
брежимо малы, нужно, чтобы на входе ограничителя уровень полез-
ного сигнала был больше уровня мешающего сигнала в течение всего
Модуляция
187
цикла звуковой частоты. Для выполнения этого требования нужно,
чтобы в приемнике ЧМ удовлетворялось неравенство
AGr > EG2,	(5.102)
где А — уровень полезного сигнала на входе приемника, Gt—его
усиление в приемнике при максимальном отклонении его частоты
в сторону канала мешающего сигнала, Е— уровень мешающего сиг-
нала на входе приемника, G2 — его усиление в приемнике при ма-
ксимальном отклонении его частоты в сторону канала полезного
сигнала.
Из неравенства (5.102) следует, что селективность приемника
в промежутке, отделяющем частоты соседних каналов при их наи-
большем сближении, должна быть достаточно велика и тем больше,
чем меньше отношение уровней сигнала и помехи на входе ограни-
чителя.
Если неравенство (5.102) выполнено, общую помеху можно под-
считать как сумму помех, вызываемых взаимодействием между не-
сущей полезного сигнала и различными боковыми частотами сосед-
него канала. Метод расчета мы даем ниже в упражнениях. Полное
вычисление не является настолько интересным, чтобы его приводить,
так как, если выполнено условие (5.102), уровень помехи на выходе
приемника обычно децибел на 60 меньше уровня полезного сигнала.
На фиг. 105 показаны для всех боковых полос числовые величины,
соответствующие фиг. 103.
Упражнения
1.	Двд частотно модулированных сигнала
A sin ~ sin и sin (а)W +-р sin V/
накладываются друг на друга. Показать, что если В/А<^ 1, то фаза резуль-
тирующего колебания имеет вид
-- Sin р.^4- — sin C-j- sin Vt— — sin
p*	71	\	V	J
2.	Рассчитать амплитуды и частоты мешающих боковых полос в случае,
рассматриваемом в упражнении 1.
3.	Обсудить на основании упражнений 1 и 2 величину помех от сосед-
него канала при ЧМ. Подсчитать отношение помехи к сигналу для типич-
ного случая; определить звуковые частоты, возникающие в результате взаимо-
действия наиболее интенсивных составляющих.
§ 10. Помехи от соседнего канала при AM. а) Биения несу-
щих и „обезьяний лепет“. Вопрос о помехах от соседнего канала
в случае AM решается просто. Селективность приемника ослабляет
сигнал соседнего канала до сравнительно малой величины, и нали-
чие соседнего канала сказывается во взаимодействии его несущей
188
Глава V
и боковых с несущей полезного сигнала; другие взаимодействия
с соседним каналом дают эффекты второго порядка. Влияние селек-
тивности приемника, ослабляющее несущую и боковые полосы сосед-
него канала, показаны на фиг. 106.
Разностную частоту а между двумя несущими называют биениями
несущих; в широковещании она обычно равна 10 кгц\ эта слышимая
Принимаемая
несущая
Несущая
сметного
канала
F+CK,
В

Ф и г. 106. Спектр помех от смежного канала
при амплитудной модуляции, показывающий
влияние избирательности приемника.
Д — спектр принимаемой несущей и помехи смежного ка-
нала на входе приемника; Б—кривая избирательности
приемника; Б—спектр принимаемой несущей и помехи
смежного канала на входе детектора (а^10 кгц).
частота практически остается неизменной. Разностные частоты между
полезной несущей и ближайшими к ней боковыми частотами соседнего
канала дают так называемую „ перевернутую речь", так как чем
больше (частота модуляции соседнего канала), тем меньше разност-
ная частота а —
Эти разностные частоты меняются при изменении частоты моду-
ляции соседнего канала; они дают совершенно неразборчивую по-
меху, для которой существует жаргонное название „обезьяний лепет".
Разностные колебания, образованные полезной несущей и дальней
группой боковых подос соседнего канала, имеют обычно настолько
Модуляция
189
малую интенсивность и их частоты настолько высоки, что они прак-
тически не проходят через звуковой канал приемника.
Выражения, характеризующие мешающую модуляцию из-за частот
соседнего канала, могут быть легко получены из § 6, п1 г, и равен-
ства (5.6). Так, если амплитуда полезной несущей равна А и ампли-
туда какой-нибудь частотной компоненты соседнего канала равна С,
то сигнал будет модулирован этой компонентой с глубиной модуля-
ции, равной
(5.103)
б) Подавление слабого сигнала сильным1). Интересное явление,
происходящее в приемниках AM при взаимных помехах, как в общем
канале, так и в соседних каналах, — подавление слабого сигнала силь-
ным. Чтобы исследовать это явление, предположим, что имеется
сильный сигнал
Acos2kFZ,	(5.104)
который мы для простоты будем считать смодулированным, и сла-
бый модулированный сигнал
В(1 +/п cos 2ra/)cos [2л (FJ- а)/}.	(5.105)
Если эти сигналы накладываются друг на друга в приемнике AM
(т. е. принимаются одновременно без разделения частот), то их резуль-
тирующее колебание будет иметь вид
'A cos	cos2it|i/) cos [2л (F -1- ос) /] ==
= [А-^-В (1 -[-/псо5 2л1л/)со8 2ла/] cos 2vFt—
—	[В (1 т cos 2ла/) sin 2ла/] sin 2itFt —
—	{[А 4“ т cos 2лр.() cos 2ла/]2 -ф-
-	]- [В (1 -f- /и cos 2лр/) sin 2ла/]2}1А cos (2л/7 -у- о),	(5.106)
где 8— фазовый угол, который нас сейчас не интересует. Согласно
сделанному предположению, А В, поэтому выражение для ампли-
туды результирующего колебания (5.106) можно представить в виде
ряда по степеням В)А и пренебречь членами с высшими степенями В/А.
Ч Это явление детально исследовано в статье Айкена [30]. [См. также
работы В. И. Сифорова [41]. (Прим, ред.)]
190
Глава V
При этом для амплитуды получающегося AM сигнала (5.106) имеем1)
-|- В (1	mcQS 2тгу7) cos 2тш/]24- [В(1 -|- т cos 2~;j7) sin 2~тЛ]2 —
(Г в	12
= A j 1 + j (1 + w cos 2r^t) cos 2nat 4“
4~	(1 4“ m cos 2^/) sin 2rcotfj2|/2 =
-= д|_1 4 j(l Tmcos 2it|i/) cos 2ка/4**
( B2 (1 + m cos 2r^t)2 sin2 2rca/ f ]_
П- J2	2	Г ♦ • • J “
= A 4~ В j cos 2ita/4~ *y cos l2^ (a 4“ Iх) fl 4“ cos [2^ (a — p)fl | 4"
4~ Д- {у О 4"^)4-mcos2^4-~[- cos 4^/—4(14- 4)cos 4aZ“
— cos ^2~ (2a-4 4) t — cos [2~ (2a — ji) t] —
— ^cos[4it(a4-|i)/] — 4“ cos [4т: (a — |i) t] |4" • • •	(5.107)
Члены первого порядка в (5.107) изображают „биение несущих “
и „обезьяний лепет“, рассмотренные в п. а. Среди членов второго
порядка имеется член, содержащий модуляцию слабого сигнала,
т cos 2т:р/.	(5.108)
Когда сильная несущая отсутствует (4 «= 0), выражение (5.107)
содержит член
В/псоз2'грЛ	(5.109)
Таким образом, наш сильный сигнал ослабляет прием слабого в от-
ношении
(5.110)
Эту величину называют коэффициентом подавления*
Все радиослушатели, вероятно, наблюдали (даже сами того не
подозревая) это явление подавления. Так, поздно ночью, когда
Э Читатель легко получит разложение в ряд Тейлора
У(1 + ax)2 + 62х2 = 1 ах + 4- + • • •,
па основе которого написано (5.107).
Модуляция
191
выключается1) мощный местный передатчик, приемник вдруг начи-
нает принимать при неизменной настройке совершенно новый сигнал
либо по прежнему каналу, либо по соседнему. До этого указанием
на наличие такого сигнала являлись биения несущих (свист) и слабый
фон типа „обезьяньего лепета“ 2).
Значение явления подавления для ослабления помех от мешающих
сигналов в приемниках AM не следует преувеличивать, так как
всегда присутствуют мешающие члены первого порядка. Однако,
если звуковой канал приемника пропускает только небольшие звуковые
частоты, то биения несущих и „обезьяний лепет“ будут в значитель-
ной степени исключаться звуковым каналом. В этом случае эффект
подавления будет значительно улучшать эффективную селективность
приемника. Важность явления подавления связана отчасти и с тем
психологическим фактом, что разборчивый мешающий сигнал более
отвлекает, чем неразборчивый шум.
Упражнение
Пусть селективность приемника такова, что амплитуда одной боковой
полосы соседнего канала вдвое больше другой. Исследовать, как это
повлияет на эффект подавления.
§ 11. Общие вопросы, связанные с искажениями модуляции.
Существуют некоторые типы искажений, в частности, зависящие от
настройки аппаратуры, возникающие вследствие того или иного осо-
бенного распределения боковых полос. Вопрос об этих искажениях
имеет прямое отношение к теории модуляции, и мы их рассмотрим
с этой точки зрения. Будем называть их искажениями модуляции.
а) Искажения при амплитудной модуляции. В § 6, п. б, мы
нашли, что симметричное распределение боковых частот дает ком-
поненту, синфазную с несущей, что порождает чисто амплитудную
модуляцию с частотой, равной разности между боковыми частотами
и несущей. Поэтому в случае, когда первоначальное распределение
боковых полос является симметричным, симметричная передающая
система не будет создавать новых модуляционных частот3).
Пример передающей системы, в которой сохраняется при сим-
метричных условиях первоначальное симметричное распределение
*) Мы пренебрегли при нашем обсуждении избирательностью прием-
ника. Она оказывает, разумеется, определенное влияние на подавление
сигнала по соседнему каналу, так как амплитуды боковых полос при этом
не будут равными.
2) Это явление происходит в приемниках как имеющих, так и не имею-
щих АРГ. Но применение квадратичного детектора, который, как известно,
искажает амплитудную огибающую, способствует устранению этого явления.
3) Передающую систему будем называть симметричной, если при подаче
на ее вход симметричного распределения боковых полос на ее выходе
возникает также симметричное распределение боковых полос.
192
Fjlaea V
боковых полос, — настроенная система, характеристики которой
показаны на фиг. 107, причем несущая настроена на частоту, отно-
Ф и г. 107. Характеристика сим-
метричной передающей системы.
сительно которой передающая систе-
ма симметрична.
Если фиг. 107 соответствует
характеристике приемника и приемник
настроен так, что несущая не на-
ходится в центре симметрии, то на
выходе уже не будет симметричного
распределения боковых полос. В соот-
ветствии с § 6, п. бив, в этом
случае возникнут ортогональные ком-
поненты. Как мы сейчас покажем,
это вызывает искажения огибающей.
Из (5.54), (5.59) и (5.74) видно,
что суперпозиция несущей и асим-
метричной пары боковых полос мсжет
быть выражена следующим образом:
[Д 2AS cos (2kjjl/ 4~ <?8)] cos 2nFt — 2Аа sin (2тир£ 4~ ?о) sin =
= У[А-\~ 2Д, cos(27t[i.Z-j- %.)]2+ [2Аа sin (2-p7-f- «J2 X
Xcos(2tcF/4-6), (5.111)
где
6 = arrto* [ S*n (2K^4~	1	/с ] i o\
1 ь [a + 2AS cos у ?s)j ’	* ‘	'
В этом выражении A cos 2vFt— несущая, a As, Aa, <?s и —
амплитуды и фазы симметричных и антисимметричных пар боковых
полос, на которые разлагается по методу, данному в § 6, п. в,
асимметричная пара боковых полос.
Амплитуда колебания
у [4-X2^scos(2wX + ?s)l‘2 + [2/lasin(2KX + ?J]2 (5.113)
является хотя и сложной, но периодической функцией времени. Ее
период равен Г=1/р, так как она не изменяется при увеличении Т
на величину, кратную 1/р. Поэтому амплитуду (5.113) можно пред-
ставить в виде ряда Фурье, содержащего основную частоту р. и ее
гармоники. Такие гармоники будут всегда налицо, за исключением
случая Аа = 0. Так как этот случай имеет место лишь при симме-
тричном распределении боковых полос, tq отсюда следует, что
асимметричная передающая система вносит искажения, состоящие
в появлении гармоник частоты модуляции.
Искажения, получающиеся при настройке несущей не на центр
симметрии полосы пропускания, могут быть названы искажениями
вследствие расстройки. Если в сигнале присутствует больше чем
одна модулирующая частота, то такого рода искажения будут, разу-
Модуляция
193
меется, состоять в появлении не только гармоник, но также и сум-
марных и разностных тонов. Числовой пример из практики на подсчет
искажений вследствие расстройки дан в упражнениях.
Упражнения
1. Несущая, замодулированная частотой 1000 гц, принимается приемни-
ком, характеристика которого дана на фиг. 108.
Найти содержание 2-й и 3-й гармоник при 30°/0-ной модуляции, если
приемник расстроен на 3 кгц. Сделать то же для 100°/0-ной модуляции. Счи-
тать, что фазовая характеристика линейна.
2. Проделать то же самое для частоты модуляции 2000 гц.
б) Искажения при частотной модуляции. Для отсутствия
искажений при частотной модуляции требование симметричной харак-
теристики тракта является недостаточно строгим. Для того чтобы
не было искажений при ЧМ, нужно, чтобы все боковые полосы
сохраняли свои относительные величины и, кроме того, чтобы сохра-
нялись все их фазовые соотношения1). Итак, для отсутствия иска-
жений при ЧМ требуется равномерное пропускание всех боковых
полос, имеющих заметную амплитуду и линейность фазовой харак-
теристики. Эти требования весьма жесткие. Мы сейчас займемся
исследованием результатов, к которым приводит их невыполнение.
Для простоты рассмотрим такую гипотетическую систему, в кото-
рой переходные режимы несущественны, а кривую установившегося
режима, данную на фиг. 109, Д, можно считать пригодной для мгно-
венной частоты сигнала2). Пусть в модулированном сигнале ход
*) С точностью до сдвигов фазы каждой боковой полосы, пропорцио-
нальных разности между ее частотой и несущей, так как такие сдвиги фаз
дают только запаздывание прохождения всего сигнала в целом.
2) Такое рассмотрение законно лишь при достаточно медленной моду-
ляции (|л<^ДГ) или, что сводится к тому же, при большом индексе моду-
ляции. (Прим, ред.)
13 Зак. 2263. С. Гольдман.
194
Глава V
девиации частоты имеет вид, показанный на фиг. 109, Б. Вследствие
нелинейности фазовой характеристики системы мгновенная частота
на ее выходе будет меняться согласно кривой 109, В. Такова же
была бы картина на выходе частотного детектора, если бы ампли-
тудная характеристика была строго равномерной. Амплитудная
характеристика, показанная на фиг. 109, А, сглаживает до некоторой
степени горбы и впадины частотной кривой; этот эффект показан
Фиг. 109. Влияние амплитудной и фазовой характеристик на возникновение
искажений при частотной модуляции.
А—частотные характеристики пропускания системы; Б — модулирующий, сигнал на входе
(зависимость частоты сигнала от времени); В—влияние кривизны фазовой характеристики А
на прохождение сигнала вида Б; Г—изменение формы сигнала вида Б при прохождении
через систему с характеристикой А, связанное с неравномерным пропусканием системы;
сплющивание пиков происходит благодаря уменьшенному выходу дискриминатора; Д—выход
частотного детектора, показывающий суммарное влияние В. и Г.
на фиг. 109, Г. Общий результат, получающийся на выходе частот-
ного детектора, показан на фиг. 109,Д. Если ЧМ приемник имеет
хороший ограничитель, то амплитудная характеристика сглаживается,
остаются искажения только из-за кривизны фазовой характеристики
(мы попрежнему считаем, что неустановившийся режим отсутствует).
На основе этого квазистационлрного рассмотрения мы можем
сделать следующее заключение об искажениях в системах с ЧМ.
1.	Передача без искажения предъявляет при ЧМ более жесткие
требования, чем при AM. Это замечание справедливо независимо
от того, можно ли рассматривать процесс как квазистационарный
или нет.
2.	Расстройка приемника ЧМ дает искажения, величина которых
быстро возрастает с ростом расстройки.
Модуляция
195
3.	Хороший ограничитель уменьшает искажения в системах с ЧМ
вследствие того, что он делает более плоской амплитудно частотную
характеристику.
4.	В приемниках ЧМ с хорошим ограничителем большая часть
искажений модуляции происходит из-за нелинейности фазовой харак-
теристики.
5.	Величина искажений модуляции быстро растет с глубиной
модуляции, т. е. с ростом девиации частоты.
6.	Обычно искажения при ЧМ из-за нелинейности фазовой харак-
теристики растут с ростом числа настроенных контуров в передаю-
щей системе. Причина этого такова: каждый контур добавляет
почти 180° к полной разности фаз между составляющими сигнала,
имеющими наиболее низкие и наиболее высокие частоты; таким
образом, нелинейность приводит к большим числовым значениям
частотного искажения при увеличении числа контуров.
7. Если амплитудная и фазовая характеристики передающей системы
симметричны относительно несущей, вследствие искажения появляются
только нечетные гармоники, так как выход (см. фиг. 109, В и Д)
будет зеркально симметричен.
Так как обычно не снимают фазовые характеристики приемника ЧМ,
то трудно дать какую-нибудь полезную формулу для расчета полного
искажения модуляции. Количест-
венные исследования искажений
при ЧМ для одного каскада
были проведены Родером [39] и
Яффе [42].
в)	Селективное замирание1},
прием по нескольким путям.
Наибольшие искажения модуляции
в радиосвязи обусловлены, вероят-
но, одновременным приемом сигна-
лов, приходящих по нескольким
путям. Типичный случай такого
искажения имеет место ночью на
границе территории, обслуживае-
мой передатчиком, когда земная
и небесная волны имеют прибли-
Ф и г. 110. Прием прямой и отражен-
ной волн.
зительно одинаковую интенсив-
ность. Небесная волна проходит больший путь, чем земная (фиг. 110), и,
следовательно, отстает от нее по фазе. Изменения местных условий
в ионосфере влияют на длину пути небесной волны. Это приводит
к быстрым изменениям разности фаз между земной и небесной волна-
ми, а следовательно, к быстрой смене их взаимного усиления и
1) См. работы Бауна, Мартина и Поттера [43], Поттера [44], Кросби
[45, 46].
13*
196
Глава V
ослабления. Это явление известно под названием замирания (или
фэдинга).
Последствия замирания усугубляются еще тем, что оно происхо-
дит по-разному для несущей и различных боковых полос1). Поэ-
тому для более полной характеристики явления его можно назвать
селективным замиранием. Слабо выраженное селективное замира-
ние создает асимметрию боковых полос, что, как мы знаем, приводит
к искажениям. При сильном селективном замирании сигнала с AM
может случиться, что несущая этого сигнала ослабевает в гораздо
большей степени, чем боковые полосы; в этом случае глубина модуля-
ции станет больше единицы. Искажение при этом настолько велико,
что сигнал становится совершенно неразборчивым (фиг. 111). При
сильном селективном замирании в системах с ЧМ искажения также
будут большими, но их исследование гораздо более сложно. Вопрос
о том, какая модуляция более чувствительна к селективному замира-
нию— AM или ЧМ, является еще спорным.
Э Легко объяснить, почему замирание зависит от частоты. Распро-
страняющаяся волна описывается формулой
A cos ( u>t-(1)
или в другой записи
A Cos(2^--^- + <fo).	(2)
Здесь t—время, х—расстояние, пройденное волной,/—частота, V—фазо-
вая скорость, уд — начальная фаза. Разность фаз между земной и небесной
волнами равна
. 2гДх
д? = -jr
(3)
где Ьх — разность их путей. Если взять для примера
/ = Ю6 гц*, V = 3 • 105 км!сек',
Дх = 100 км,
то
.	2г. 100	2000 г
Д'* = ЗЛбГ-10в
радиан.
(4)
3
Это — огромная разность фаз. Посмотрим, как эта разность фаз зависит от
частоты. Дифференцируя (3), получим
2г Дх
d^ = —y—df.	(о)
Для нашего примера
Д<Р з • 105 *	6
если df = 1500 гц, то d Дер = г, т. е. при изменении частоты на 1500 гц про-
исходит полная смена взаимного усиления обеих волн на их погашение.
Интересно, чтос?Д<р зависит от разности частот df и совершенно не зависит
от значения несущей частоты /.
Модуляция
197
Несколько удивительно, что свойства системы с ЧМ ослаблять
по мехи частично теряются в связи с селективным замиранием. Однако
элементарные соображения покажут, почему это происходит.
Свойство ЧМ систем ослаблять помехи определяется двумя фак-
торами, как было показано в § 5.
1. Боковые полосы мешающего сигнала обычно находятся в таких
амплитудных, частотных и фазовых соотношениях с несущей полез-
ного сигнала, что они значительно менее эффективны в создании
частотной модуляции, чем боковые полосы самого полезного сигнала.
2. Частотная модуляция, создаваемая наиболее эффективными
боковыми полосами мешающего сигнала, имеет настолько высокую
частоту, что последняя не проходит через звуковой канал приемника.
Фиг. 111. Происхождение искажений при амплитудной
модуляции из-за явления сверхмодуляции.
А—ЗО°,о-ная модуляция; Б—90°,'о-ная модуляция; В—сверхмодуляция.
Ни одно из этих свойств не проявляется в борьбе с искажениями
из-за селективного замирания, так как мешающий сигнал в этом слу-
чае имеет тот же спектр, что и полезный сигнал, и поэтому взаимо-
действует непосредственно с его боковыми полосами.
В предыдущем изложении мы считали, что разность хода между
мешающей и полезной волнами мала, так что их можно считать
когерентными. Если разность хода настолько велика, что их уже
нельзя считать когерентными, и, следовательно, модуляция меняется
за время, соответствующее разности хода, все предыдущие рассужде-
ния неприменимы. В этом случае наступает обычный эффект подавле-
ния мешающего сигнала, характерный для ЧМ. Воспользуемся этими
соображениями для того, чтобы выяснить, получится ли ослабление
бликов, возникающих в телевидении вследствие одновременного приема
по нескольким путям, при применении ЧМ вместо применяемой в на-
стоящее время AM. В этой задаче следует считать, что в данный
момент обе приходящие волны модулированы по-разному, и, следо-
вательно, мешающий сигнал не может воздействовать непосредственно
на боковые полосы полезного сигнала1). Поэтому вступает в силу
х) Между телевидением и звуковым широковещанием имеется следующее
существенное отличие. Модуляция практически постоянна в интервале вре-
мени между приходом прямой волны и эха в случае звукового сигнала, но
не в случае телевидения. Кроме того, в случае приема звукового сигнала
значение имеют только нелинейные искажения, являющиеся эффектом вто-
рого порядка.
198
Глава V
при ЧМ эффект ослабления влияния мешающего сигнала, каким является
здесь волна с меньшей интенсивностью. Следовательно, в случае при-
менения в телевидении ЧМ эффект бликов значительно уменьшится.
§ 12. Поднесущие и импульсная модуляция. В некоторых типах
связи применяется двойная настройка. В этом случае имеется широкий
частотный канал, который занимает основная несущая, одновременно
модулируемая несколькими вторичными модулированными несущими. По-
следние называются поднесущими. Настраиваться на отдельные под-
несущие можно либо непосредственно настраиваясь на частоты, близ-
кие к основной радиочастоте, либо настраиваясь на более низкие
частоты, получающиеся после преобразования исходного сигнала. Во
втором случае возможна более острая настройка. Спектр сигнала
частота
Фиг. 112. Распределение боковых частот в сигнале, имеющем .
поднесущие частоты.
7, 2, 3, 4—номера поднесущих.
с несколькими поднесущими показан на фиг. 112. При такой системе
можно одновременно передавать несколько передач одним передатчи-
ком, а также более полно использовать высокочастотный спектр, не-
смотря на сравнительно большие уходы частоты основной несущей.
Имеются также и другие преимущества в ряде специальных задач.
В примере, показанном на фиг. 112, как основная несущая, так
и поднесущие модулированы по амплитуде. Так как необходимо
основную несущую модулировать так, чтобы не было взаимодействия
между отдельными каналами, поднесущие лучше модулировать по
частоте или по фазе.
Видоизменение техники поднесущих, особенно ценное на очень
высоких частотах2), приводит к импульсной модуляции. Вообще
х) Одна из причин того, что импульсная модуляция особенно пригодна
на очень высоких частотах, заключается в следующем: при работе с высокими
пиковыми напряжениями, характерными для импульсной модуляции, передат-
чики на эти частоты имеют наибольший к. п. д. Кроме того, генераторы на
эти частоты имеют большие уходы частоты, что нарушает обычную частот-
ную модуляцию. Наконец, эти генераторы не поддаются плавной амплитуд-
ной модуляции.
Модуляция
199
говоря, импульсно-модулированный сигнал — это сигнал, при котором
энергия сосредоточивается в определенных
(импульсы) и отсутствует в течение
растание отношения пиковой мощ-
ности к средней. Модуляция в таких
случаях выполняется изменением
местоположения амплитуды, числа,
длительности или формы импульсов
в такт с посылаемой передачей.
Различные типы импульсно-моду-
лированных сигналов показаны на
фиг. 113. На ней очерчены области, где
налицо высокочастотная несущая.
В следующей главе мы покажем, что
эти типы модуляции обладают цен-
ными свойствами в отношении ос-
лабления шумов. На фиг. 114
показана блок-схема передатчика и
приемника при импульсно-частотной
модуляции. Было предложено исполь-
зовать импульсную модуляцию син-
хронизирующих импульсов для звуко-
вого сопровождения телевизионной
передачи. Как теория, так и практика
импульсной модуляции развиваются в
настоящее время весьма интенсивно1).
интервалах времени
других интервалов, что дает воз-
И
§ 13. Общие замечания. Как
мы уже говорили в начале этой
главы, несущая и модуляция необ-
ходимы для разделения сигналов,
существующих одновременно. Для
такого разделения применяется почти
исключительно разделение по часто-
те модулированных несущих посред-
ством настройки; однако, как видно
из предыдущего параграфа, возможны
и другие способы разделения. Можно
показать, что разделение можно про-
водить по длительности отдельных
импульсов или по их размещению.
В общем можно сказать, что число возможных типов модуляции
и методов отделения несущих неограничен©, но практическую цен-
ность имеют лишь немногие из них.
Фиг. 113. Типы импульсной моду-
ляции.
А —звуковой сигнал; Б—амплитудная мо-
дуляция; В—частотная модуляция; Г—
модуляция частоты импульсов; Д— моду-
ляция высоты импульсов; Е—модуляция
длины импульсов; 2К—модуляция поло-
жения (фазы) импульсов; И— модуляция
количества импульсов.
*) См. книгу Н. М. Изюмова [47J и книгу И. С. Гоноровского [26]*
(Прим, ред.)
200
Глава V
В течение многих лет амплитудная модуляция была почти един-
ственным типом модуляции, применявшимся на практике. Анализ боко-
вых полос показал, что амплитудная модуляция требует полосы частот,
равной удвоенной звуковой (модулируемой) частоте. После того как
это выяснилось, было высказано предложение уменьшить полосу при-
Усилитель
звуковой
частоты
JWVWW
Гетеродин
ультразвуко-
вой частоты
Каскад
формирования
импульсов
Генератор
высокой
частоты
-л
Днтенна
Б
Фиг. 114. Приемно-передающая система с использованием модуляции частоты
импульсов.
А—блок-схема передатчика; Б— блок-схема приемника. Показана форма волны после про-
хождения различных каскадов.
менением узкополосной частотной модуляции. Но анализ показал, что
даже узкополосная частотная модуляция требует большей полосы,
чем амплитудная модуляция, после чего интерес к частотной модуля-
ции пропал. Лишь спустя много лет после этого было показано3),
что широкополосная частотная модуляция является эффективным сред-
ством уменьшения шумов (об этом будет итти речь в следующей
!) См. работу Амстронга [48].
Модуляция
201
главе), тогда частотная модуляция вновь начала привлекать большое
внимание.
Современное ЧМ широковещание в Америке является в действи-
тельности гибридом частотной и фазовой модуляций. Передатчик из-
лучает частотно модулированный сигнал. Но в цепи модулирующих
частот имеется подъем усиления для частот, больших 2 кгц, причем
этот подъем пропорционален частоте. В результате этого излучаемый
сигнал модулирован по частоте для звуковых частот до 1 кгц и по
фазе для звуковых частот выше 2 кгц с плавным переходом от одного
типа модуляции к другому. В приемниках имеется обратная частот-
ная компенсация, так что тракт в целом уравнивается.
При такой частотной компенсации приемники имеют меньшую
чувствительность к высшим модулирующим частотам, которые соста-
вляют наиболее интенсивную часть помех и шумов. В следующей
главе мы увидим, что этим достигается значительное ослабление помех
от соседних каналов и шумов. То обстоятельство, что высокие моду-
лирующие частоты в принимаемом сигнале неизменно имеют малую
энергию, позволяет использовать этот вид компенсации, не переходя
предела девиации частоты, допускаемого передатчиком.
Относительно малый уровень помех и шумов при приеме частотно-
модулированного сигнала позволяет увеличить динамический диапа-
зон !) широковещательной передачи. Кроме того, большая полоса
частот, отводимая каждому каналу в современном частотно модулиро-
ванном радиовещании, позволяет передавать весьма высокие звуковые
частоты. Все эти обстоятельства приводят к тому, что ЧМ радио-
вещание отличается высококачественной передачей музыкальных про-
грамм.
г) Динамический диапазон — это отношение максимальной глубины моду-
ляции сигнала к минимальной. Обычно оно выражается в децибелах. С умень-
шением помех и шумов динамический диапазон возрастает, так как можно
получить хороший прием при меньшей глубине модуляции. В отсутствие
помех и шумов теоретически нет никакого ограничения уменьшения глубины
модуляции при любом типе модуляции, так что динамический диапазон зву-
чания в этом случае не ограничен.
Глава VI
ШУМЫ. ОБЩИЙ ОБЗОР И МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ
§ 1.	Введение. Одним из основных вопросов радиотехники является
вопрос о шумах. Передача сигнала не достигает цели, если он тонет
в шумах; в случае художественной передачи качество передачи резко
ухудшается с ростом шумов. Шумы, таким образом, ограничивают
пределы успешного применения радиооборудования; это ограничение
можно характеризовать предельной дальностью передачи в кило-
метрах, динамическим диапазоном в децибелах или какой-нибудь иной
величиной.
Некоторые типы шумов можно устранить; таковы шумы от пло-
хих контактов, дрожания аппаратуры или помехи от соседних элек-
трических установок. Хотя устранение таких шумов дело не простое,
но по крайней мере принципиально их можно полностью исключить.
Изучение природы и способов устранения шумов указанного типа
выходит за пределы данной книги. Мы будем рассматривать шумы
другого типа, которые являются более важными и более существен-
ными и которые не могут быть полностью устранены даже принци-
пиально. Эти шумы можно назвать общим термином — флюктуацион-
ные шумы. К ним относятся тепловые шумы, шумы из-за дробового
эффекта, шумы из-за магнитных флюктуаций и другие подобные
явления. Нам предстоит изучить, как вычисляется величина таких
шумов и как строится аппаратура, в которой вызванные этими шубами
помехи сигналу минимальны.
Гл. VI, VII, VIII и IX посвящены шумам. В гл. VI разобраны
вопросы общего характера, связанные с шумами, и даны методы
расчета шумов с помощью формул, полученных в последующих
главах. В этой главе даны практически все сведения и формулы,
необходимые для решения большинства расчетных задач, связанных
с шумами в электрических цепях; она относительно элементарна.
Другие главы (VII, VIII, IX) посвящены изложению основ теории
шумов и выводу формУл Для шумов; Эти главы более сложны, осо-
бенно в математическом отношении.
§ 2.	Общие характеристики хаотического шума. Шумы, имею-
щиеся в радиоаппаратуре вследствие теплового движения и дискрет-
ной структуры электричества, отличаются полным отсутствием регу-
лярности во времени. Вследствие этого такие шумы называются
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
203
хаотическими шумами. Однако средняя энергия этих шумов, а также
среднее распределение энергии по частоте, т. е. так называемая спек-
тральная плотность, обычно являются вполне определенными величи-
нами. С другой стороны, фазы частотных компонент распределены
совершенно хаотически. Эти вопросы подробно обсуждаются в гл. VII,
§ И.
Будем называть квадратичным эффектом интеграл по времени от
квадрата рассматриваемой величины (тока, напряжения). Таким образом,
квадратичный эффект шумов пропорционален средней мощности шумов
или энергии шумов. Весьма важным свойством хаотического шума
является то, что если накладываются два независимых хаотических
шума, то квадратичный эффект результирующего шума равен сумме
квадратичных эффектов отдельных шумов. Другими словами, мощ-
ность шумов аддитивна. Это свойство доказано в гл. VII, § 14, п. ж
и используется в данной главе во многих задачах. Можно также
показать (см. гл. VII, § 14, п. в, д), что физическая величина (ток,
напряжение), изменяющаяся при хаотическом шуме, имеет, по терми-
нологии теории вероятностей, нормальное распределение. Это означает,
что значение величины, изменяющейся при хаотическом шуме, в не-
который момент времени не может быть точно предсказано, но веро-
ятность того, что это значение заключено между I и I-j- di, равна
Gj- У 2тс
а. = V73,
(6.1)
(6-2)
где I2 — средний квадрат значения /.
Итак, любое значение I возможно, но то, насколько часто по-
является данное значение, определяется формулой (6.1).
Свойства спектрального разложения хаотического шума аналогичны
свойствам шума, рассматриваемого как функция от времени. Среднее
распределение энергии шума по частоте изображается плавной кривой,
однако если бы мы рассмотрели шумы в течение некоторого ограни-
ченного интервала времени, то, так же как и сама осциллограмма
хаотического шума, диаграмма частотного распределения энергии ока-
залась бы резко изрезанной.
Детальное обсуждение свойств хаотического шума дано в гл. VII,
§ 14.
§ 3.	Типы шумов, а) Введение. Шумы в радиоаппаратуре могут
быть вызваны множеством причин. В дополнение к тепловым шумам,
шумам из-за дробового эффекта, магнитно-флюктуационным шумам,
которые были уже названы, практически каждый тип радиооборудо-
вания имеет свои характерные шумы. Работающие с этой аппаратурой
обозначают эти шумы такими названиями, как „треск“, „свист“,
204
Глава VI
„шипение", „пульсирующий шум", „вой", „фон" и т. п. Кроме того,,
имеются природные шумы, как, например, атмосферные помехи (иногда
называемые статическими), а также шумы атомного и квазиатомного
происхождения.
Анализ, проведенный в гл. VII, показывает, что шум, возникаю-
щий в результате наложения большого числа отдельных не обяза-
тельно тождественных толчков или возмущений, следующих совер-
шенно нерегулярно друг за другом, будет иметь характер хаотиче-
ского шума. С другой стороны, шум, обнаруживающий определенную
регулярность, имеет скорее характер помехи от мешающего сигнала.
Чтобы проиллюстрировать разницу между этими двумя типами шумов,
рассмотрим отличие в характере влияния ширины полосы передающей
системы на их форму. В случае хаотического шума при увеличении ши-
рины полосы общий характер шума на выходе остается тот же, обнаружи-
вается только увеличение среднего уровня и более тонкая структура.
Эффект увеличения ширины полосы некоторым образом подобен
сжатию шума во времени. С другой стороны, влияние увеличения
ширины полосы на форму помехи заключается в выявлении деталей
процесса. Эффект увеличения ширины полосы в этом случае аналоги-
чен „наведению изображения на фокус".
В случае хаотических шумов, возникающих в результате сложения
большого числа нерегулярных возмущений импульсного типа, таких, как
шумы из-за царапин на звуковой дорожке кинопленки, из-за нару-
шения мельчайших контактов в неустойчивом сопротивлении или
флюктуации электронной эмиссии в лампе, энергия шумов, как пока-
зано в следующей главе, равномерно распределена по частоте в области
низких частот. Такое равномерное распределение будет продолжаться
до частот, при которых элементарные возмущения уже нельзя рас-
сматривать как импульсы. Эта граница частот расположена в области
высоких звуковых частот для шумов из-за царапин на пленке, но она
превышает тысячи мегациклов для тепловых шумов.
Займемся теперь обсуждением некоторых общих свойств обычных,
типов шумов, встречающихся в радиосистемах.
б)	Явление мерцания {фликкер-эффект)1). Кроме дробового
эффекта, в лампах имеется другой источник шумов, который на зву-
ковых и более низких частотах превосходит по величине на несколько
порядков дробовой эффект. Этот второй источник шума Шоттки
назвал явлением мерцания и рассматривал его, следуя Джонсону, как
результат некоторого рода мерцания электронной эмиссии с катода.
В качестве общей характеристики этого эффекта мы даем следующий
отрывок из работы Джонсона.
„Эмиссия электронов в любой момент зависит от условий на
поверхности катода, а эта поверхность, вероятно, находится в про-
9 Для дальнейшего ознакомления см. книгу Муллена [49]. [См. также
книгу В. Л. Грановского [50], стр. 100—108. {Прим. ред.)\
Шумы, Общий обзор и методы расчетов
205
цессе непрерывного изменения, происходящего из-за таких причин,
как испарение, диффузия, химические процессы, структурные изме-
нения, бомбардировка ионами газа. Эти изменения могут быть раз-
личными в различных частях поверхности и покрывают площади
значительно больше тех, с которых происходит эмиссия одного
электрона. Изменения, большие по амплитуде или охватывающие боль-
шие площади, происходят редко, тогда как изменения малые, влияю-
щие только на эмиссии нескольких электронов, теряют свое значение
в общей статистике эмиссии. Общее действие этих изменений при-
ведет к изменениям полного тока эмиссии, налагающимся на флюк-
туации из-за дробового эффекта, причем эффект этих изменений
мал на высоких частотах, но он увеличивается по мере понижения
собственной частоты измерительного контура. “
В противоположность дробовому эффекту, эффект мерцания можно
уменьшить соответствующей обработкой катода, так что его нельзя
рассматривать как принципиально неустранимый источник шума,
подобно дробовому эффекту или тепловым шумам. Чтобы умень-
шить эффект мерцания, катоды ламп, используемых на весьма низких
частотах (например, в электрокардиографах), подвергаются специаль-
ной обработке.
в)	Шумы контактного и пробойного происхождениях). Другой
категорией хаотических шумов являются шумы контактного и про-
бойного происхождения. Это — шумы, происходящие из-за пробоев
изоляции или нарушения контактов в малых участках деталей аппара-
туры. Сюда относятся ненормально большой шум, возникающий
в некоторых типах непроволочных сопротивлений, шум в конден-
саторном микрофоне с большим постоянным напряжением между
близко расположенными пластинками, шум, вызываемый зарядами на
баллоне электронных ламп (шумы заряженной оболочки) и другие
типы шумов из-за переменной проводимости. Все эти шумы могут
быть устранены, хотя необходимые для этого меры не всегда легко
осуществить. Для уничтожения шумов заряженной оболочки баллон
лампы покрывают полупроводником (аквадагом). Уменьшение шумов
конденсаторного микрофона достигают очищением воздуха между
пластинками конденсатора. Уменьшение чрезмерно больших шумов
в непроволочных сопротивлениях дело более сложное, на котором
мы здесь не можем остановиться. Вообще говоря, шумы контактного
и пробойного происхождения сильно возрастают с увеличение^м тока
или напряжения.
г)	Шумы из-за примесей {грязи) и зернистости. Шумы из-за
примесей и зернистости появляются благодаря мельчайшим нерегуляр-
ностям в структуре материалов, специфичным для данного материала
или появившимся при его обработке. Шумы граммофона или звуко-
записывающего устройства являются шумами такого типа.
J) См. книгу Муллена [49], стр. 209—215.
206
Глава VI
д)	Дополнительные шумы атомного происхождения в элек-
тронной лампе х). Кроме шума из-за дробового эффекта, в элек-
тронных лампах имеются также другие, более слабые шумы атомного
происхождения. Вообще говоря, они могут быть устранены путем
изменения режима работы лампы. Сюда относятся шум из-за вторичной
эмиссии, шум из-за ионизации при столкновениях, а также из-за
флюктуаций эмиссии положительных ионов.
Фиг. 115. Зависимость интенсивности радиошумов от частоты для
северо-востока США по измерениям на простой вертикальной антенне.
По оси ординат слева отложена относительная интенсивность шумов, справа—та же
величина в децибелах; сплошные кривые проведены согласно экспериментальным данным»,
пунктирные—на основании расчетов; а—переменная величина; б—местные грозы (интен-
сивность обратно пропорциональна частоте); в—средние значения в полночь; г—сред-
ние значения в полдень. Для кривой б существенное значение имеет лишь ее наклон;
положение кривой б относительно кривых в и г может значительно меняться.
е)	Атмосферные шумы, космические шумы и т. д.* 2) В жаркук?
погоду или в жарком климате весьма значительны принимаемые антен-
ной шумы атмосферного происхождения. Такой шум часто называют
также статическим шумом. Его источником обычно являются грозы,
разряды между облаками и другие подобные явления. Атмосферные
шумы имеют общий характер хаотического шума, но их интенсив-
ность подвергается резким изменениям. Результаты измерений, по-
казывающих распределение интенсивности атмосферных шумов по
*) См. работы Муллена [49] и Томпсона и Норта [87]. [См. также книгу-
В. Л. Грановского [50]. (Прим, ред.)]
2) См. статьи Поттера [51], Янски [52], Чакраварти, Гоша и Гоша [53]..
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
207
частоте х) и по времени суток на северо-востоке США, приведены по
данным Поттера на фиг. 115 и 116. Практически все атмосферные-
Фиг. 116. Среднесуточное изменение атмосферных
помех для различных частот.
По оси ординат отложена относительная интенсивность шумов
в децибелах.
шумы на частотах больше 50 мгц являются местными из-за отсут-
ствия отражения от ионосферы.
х) В этой связи интересна следующая выдержка из справочника Тер-
мена [22]: „Напряженность поля статических шумов оказывается в среднем
приблизительно обратно пропорциональной частоте. Это указывает на то,
что электрический разряд, генерирующий статические помехи, есть импульс
сравнительно большой продолжительности; имеются экспериментальные под-
тверждения этого положения."
“208
Глава VI
Другим источником шума, лежащим вне радиоаппаратуры, являются
космические шумы1), возникающие, повидимому, в области Млечного
пути.
ж)	Нехаотические шумы. До сих пор мы говорили только
о хаотических шумах. Однако в радиоаппаратуре возникают также
шумы, не имеющие хаотической природы, каждый из которых отли-
чается своей характерной формой. Сюда входит „фон*, представляю-
щий результат пролезания тем или иным путем в аппаратуру частоты
сети питания и ее гармоник. Сюда же входят „вой*, происходящий
из-за периодической нерегулярности в частоте вращения некоторых
механических частей, как, например, вращающегося диска граммо-
фона, „микрофонный эффект*—шум из-за механических вибраций
аппаратуры, главным образом электродов ламп, „свист* и „шум
моторной лодки*, возникающие из-за обратных связей и паразитных
колебаний системы. Свист обычно вызывается обратной связью с око-
нечным звуковым выходом, в то время как „шум моторной лодки* —
из-за связей через цепь питания. Все эти шумы устранимы при соот-
ветствующих предосторожностях. Кроме того, имеются нехаотические
шумы, приходящие’ в приемник извне через антенну. Это могут
быть нежелательные сигналы широковещания или шум, вызываемый
токами цепи зажигания мотора автомобиля.
Характерная особенность шумов от цепи зажигания и им подоб-
ных заключается в том, что они имеют импульсный характер. Если
эти импульсы следуют беспорядочно и быстро друг за другом, так
что отдельные импульсы не разделяются радиоаппаратурой, то шум
имеет характерные особенности хаотического шума. Однако, если
отдельные импульсы разделяются, как это обычно имеет место, то
шум уже не является хаотическим. В частности, в этом случае его
амплитуда пропорциональна ширине полосы передающей системы, а
не квадратному корню из ширины полосы, как это имеет место
в случае хаотического шума.
§ 4. Тепловые шумы, а) Основная формула. В 1928 г. Джон-
сон показал, что микротоки, возникающие из-за теплового движения
электронов проводимости в сопротивлении, вызывают шум в усили-
теле с большим усилением. Он назвал этот шум тепловым. Тогда
же Нейквист показал на основе статистической термодинамики, что
э. д. с. теплового шума, возникающего в импедансе Z, дается вы-
ражением
E2==4/W,	(6.3) 2)
1) См. статью Янски [54]. [См. также [86]. (Прим, ред.)]
2 Обычно мы будем пользоваться чертой над Е2, как значком усреднения,
так как Е флюктуирует в течение коротких интервалов. Если знак усред-
нения опущен, то под Е надо, очевидно, понимать среднеквадратичное зна-
чение. В дальнейшем мы будем иногда вместо слова „среднее квадратичное*
писать коротко „эффективное".
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
209
где Е2— средний квадрат э. д. с. теплового шума в воль-
тах, R— активная составляющая импеданса в омах, Т—абсо-
лютная температура, k — постоянная Больцмана, равная 1,37 • 10-23
вт.сек1град, &F—ширина полосы измери-
тельной системы в герцах.
Этот источник шумов можно представлять
включенным последовательно с импедансом Z,
как это показано на фиг. 117.
Вывод формулы (6.3), а также лежащая
в его основе теория приведены в гл. IX. Там
же показано, что тепловой шум есть хаоти-
ческий шум. Формула (6.3) показывает, что
энергия теплового шума равномерно распре-
делена по частоте й) и что квадратичный
эффект (т. е. мощность) теплового шума
пропорционален абсолютной температуре.
Фиг. 117. Схематичное
изображение импеданса
как генератора тепловых
шумов.
Наиболее неожиданным свойством тепловых
шумов, выраженным
формулой (6.3), является то, что э. д. с. теплового шума зави-
сит только от активной составляющей Z и
не зависит от реактивной составляющей. По-
чему это так, мы выясним в гл. IX. Суще-
ствование теплового шума ограничивает ве-
личину полезного коэффициента усиления
усилителя.
Если формула (6.3) применяется к двум
сопротивлениям Rx и включенным после-
довательно, как это показано на фиг. 118,
э. д. с., генерируемые в RT и /?2, выразятся
соответственно формулами
== W'kT &F	(6.3а)
И
£^4/?2/eTAF.	(6.36)
Так как Е1 и Е2— хаотические шумы, их
суммарное действие в соответствии с § 2 экви-
валентно действию одной э. д. с. Е, квадратич-
ный эффект которой равен сумме квадратич-
ных эффектов Е} и Е2. Итак,
Фиг. 118. Схема после-
довательного соединения
двух сопротивлений, каж-
Ё1 = е{ 4-	= 4 (/?! + /?2) kT kF. (6.3b)
дое из которых генери-
рует тепловые шумы.
Это точно та же э. д. с., которую мы получили бы, применяя фор- •
мулу (6.3) к последовательному соединению и /?2. Таким образом,
2) Она справедлива до частот порядка миллиона мегагерц.
14 Зак. 2263. С. Гольдман.
2i6
Глава Vi
формула (6.3) согласуется со свойством аддитивности квадратичных
эффектов хаотических шумов.
б)	Пример первый. Рассмотрим показанный на фиг. 119 вход звуко-
вого усилителя, имеющий активное сопротивление. Вычислим эффектив-
ное напряжение теплового шума на сетке лампы. Под эффективным
напряжением теплового шума мы понимаем ту часть его, которая
лежит в пределах полосы пропускания усилителя. Примем для про-
стоты, что коэффициент усиления постоянен в пределах от 0 до 5 кгц
Фиг. 120. Усилитель с настроен-
ным контуром в цепи сетки.
Ф и г. 119. Входной контур уси-
лителя звуковой частоты.
и равен нулю вне этой полосы. Пусть /?= 10 000 ом, а температура
равна 20° С (т. е. 293° К)« Будем считать далее, что влиянием вход-
ной емкости лампы можно пренебречь в пределах полосы пропуска-
ния усилителя. Тогда, согласно формуле (6.3), получим напряжение
теплового шума на сетке лампы, равное
у4 • 10000 • 1,37 • 10-23 • 293 • 5000 = 0,9 • 10-® в. (6.4)
Для получения от усилителя высококачественного приема необходимо,
чтобы входной сигнал во много раз превосходил напряжение шума,
данное формулой (6.4).
в)	Пример второй. Вычислим напряжение теплового шума на
сетке лампы в схеме, показанной на фиг. 120. Его можно получить
непосредственно из формулы (6,3), беря активную составляющую
импеданса контура в цепи сетки. Подставив величину активной соста-
вляющей в формулу (6.3), построим график спектральной плотно-
сти *) 4 RkT теплового шума на контуре сетки (фиг. 121). На этой же
фигуре изображена типичная зависимость коэффициента усиления от
частоты (с учетом каскадов радиочастоты и каскадов промежуточной
частоты) — так называемая кривая селективности. Умножая спектраль-
ную плотность тепловых шумов на квадрат усиления, мы получим кри-
вую, показывающую, как меняется с частотой спектральная плотность
тепловых шумов на входе детектора. Чтобы получить представле-
ние о порядке величины напряжения теплового шума, мы заметим,
х) Введем отсутствующее в оригинале понятие спектральной плотности
шумовой э. д. с. Она равна, по определению, E?I&F. (Прим, ред.)
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
211
что при резонансе активная составляющая импеданса контура, изо-
браженного на фиг. 120, равна
(2тс.10б.253.10-б)2 1С.ОААА
------йГп------- = 159 000 ом.	(6.5)
Следовательно, напряжение теплового шума, соответствующее вер-
шине резонансной кривой в полосе AF=1000 гц, равно
у4 • 159000 • 1,37 • 10-23.293 • 1000 = 1,6 • 10-6 в. (6.6)
Следует напомнить, что так как тепловой шум — хаотический шум,
то его амплитуда пропорциональна квадратному корню из ширины
полосы, а не самой ширине полосы.
Фиг. 121. Влияние избирательности усилителя на спектр
тепловых шумов на выходе усилителя.
а—спектральная плотность тепловых шумов на входе; б—частотная
характеристика приемника; в—спектральная плотность на выходе.
Читатель может заинтересоваться, получается ли то же самое
напряжение теплового шума, если сопротивление 15,9 ома фиг. 120
рассматривать как источник э. д. с. теплового шума. Ответ должен
быть, конечно, положительным, так как в противном случае фор-
мула (6.3) была бы внутренне противоречивой. В гл. IX показано,
что ответ будет таким всегда, если пользоваться формулой (6,3), но
мы и сейчас можем численно проверить это для частного случая
фиг. 120. Э. д. с. теплового шума в сопротивлении величиной 15,9 ома
будет (в полосе ДГ=1000 гц) иметь значение
Е = /4 • 15,9 • 1,37 • 10-as • 293 -1000 = 0,016 • 10-6 в. (6.7)
Ток теплового шума, текущий в контуре при резонансе,
/ = ^==0,01^У~- х= 1,006 • 10~9 а.	(6.8)
л\	1 О|У
Напряжение теплового шума на сетке равно напряжению, которое
этот ток создает на конденсаторе. Оно будет равно
I
шС
1,006. io-9
2л. 106 • 100.10"12
== 1,6 • ю-8
(6-9)
в
14*
212
Рлава VI
согласно формуле (6.6). Таким образом, безразлично, будем ли мы
считать, что напряжение теплового шума создается активной соста-
вляющей импеданса в целом, или будем отправляться от омических
сопротивлений как источников шума. Формула (6.3) в обоих случаях
дает одинаковый результат. Рассмотрение, проведенное в гл. IX и
основанное на электронной теории, показывает, однако, что истинным
источником шума является активное сопротивление.
г)	Амплитудная и частотная модуляции несущей хаотиче-
ским шумом. Определим теперь, какой получается величина ампли-
тудной и частотной модуляций приходящего сигнала, вызванная хаоти-
ческим шумом. Для простоты предположим, что несущая сигнала
значительно больше хаотического шума. Согласно гл. V, § 6, п. в,
хаотический шум может быть разложен на симметричные и антисим-
метричные боковые полосы несущей. При этом, если несущая велика,
то симметричные боковые полосы вызовут амплитудную модуляцию,
в то время как антисимметричные полосы вызовут частотную моду-
ляцию.
Если А — амплитуда несущей, Ва1 — амплитуда шумовой боковой
частоты, превышающей несущую на а герц, Во2 — амплитуда шумовой
боковой частоты на а герц ниже несущей, то глубина амплитудной
модуляции, вызванная хаотическим шумом, согласно формулам (5.29),
(5.66) и (5.70), равна
тА = X 1^2	cos (9а2 - 0а1)1 =
а
а
Члены с перекрестным умножением уничтожаются
2 2B01Bo2cos (0о2- 9а1) = 0,	(6.П)
а
так как средняя величина cos(6o2— 601) равна нулю при любой
величине а из-за случайности фаз боковых частот, вызванных шумом.
Соответственно равенства (5.31), (5.58) и (5.72) показывают, что
глубина частотной модуляции несущей хаотическим шумом равна
mF =	+ S“3—2S«1S“2 cos	=
а
(6Л2)
а
Для частного случая (см. фиг. 121) при частоте несущей, равной
1000 кгц, обозначая через 7V2 соответствующую этой частоте орди-
Шумы .Общий обзор и методы расчетов
213
нату на кривой зависимости спектральной плотности теплового шума
от частоты, будем иметь
OT^43==j*2№#	(6.13)
И
= A $2a*N*df,	(6.14)
где коэффициент 2 необходим, так как N—среднеквадратичная вели-
чина. Формулы (6.13) и (6.14) показывают глубину модуляции несу-
щей на входе детектора1).
<)) Суперпозиция тепловых шумов. Различные методы расчета.
Рассмотрим случай, когда имеются два последовательно соединенных
источника теплового шума, как показано на
фиг. 122, и мы хотим вычислить напряжение Г~
теплового шума на обозначенное ед. Мы R, <
можем определите это напряжение тремя раз- TQ
личными способами.
1.	Определим сначала полный импеданс <
цепи между землей и точкой Р. Если актив- * «i-
ную составляющую этого импеданса умно-	у
жить на 4kT kF, то произведение должно дать ф и г- 122- ^епь с ДВУМЯ
’	источниками теплового
квадрат искомого напряжения теплового шума.	шума.
Импеданс между Р и землей обозначим Zp,
импеданс параллельного соединения /?2 и С2 обозначим Z2. Тогда
Ру,	.
/?,+ (1/>С2У = i + Rl^cl ~ 7 1 + R^cf
Zp —
1 + ^о>2(?2 / J 1 + /?3ш3С|
(6.15)
1 + Т?з<о2С2
1 R^o^C^
R^C^C, V ,	Rt V
——^4- + Ш’С ( Ri +--)
l + V \ l + R^C^J
(6.16)
1) В этой связи для читателя будет также интересен § 9, п. в.
214
Г лаб a VI
Квадрат напряжения теплового шума на Ct равен произведению 4&Т AF
на активную составляющую Zp. Итак,
AkT^FlRi 4-
/?2
1 +Rl<JC'l
1	4	£
(6-17)
2.	Теперь определим напряжение теплового шума на вычислив
сперва э. д. с. шума, возникающего в импедансе’ Zx, показанном
Фиг. 123. Части цепи, показанной на фиг. 122.
А —импеданс	Б—импеданс Z2.
на фиг. 123, а уже затем пересчитав его на напряжение между зажи-
мами конденсатора С1г соединенного последовательно с Zv С помощью
формулы (6.15) мы получим
Zj---Z2 —
14- /?2<огс|)
(6.18)
Поэтому э. д. с., возникающая в Zn определяется формулой
61 = 4/г ГД F
Ri X
1 + /?2V^/’
(6.19)
а напряжение тепловых шумов на (фиг. 122) равно
2
ед
1
JidCi
+S0’+"’4-+ot^
С2у	у I-f-ZCgCu С2у
(6.20)
Эта величина е2д совпадает с уже найденной по формуле (6.17).
3.	В заключение определим напряжение теплового шума на С19
рассматривая его как суперпозицию тепловых шумов, создаваемых
независимо эквивалентными генераторами в и, Z2. Эквивалентный
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
215
генератор в Rr дает квадрат э. д. с. теплового шума AR^kTbJF, на
конденсаторе Q, чем вызывается напряжение
4RxkTLF
1
Z1 + hCi
(6.21)

В формуле (6.21) eR1 есть напряжение теплового шума на С19 гене-
рируемое сопротивлением
Квадрат э. д. с. теплового шума, генерируемого эквивалентным
генератором в Z2, равен
4-----. kT kF.	(6.22)
Ц-Т?2<Л?2	7
Это дает напряжение на Сх, равное
4
/?2
1 + /?>2с|
kT LF
1
Z1+jir
2
= eZ2l.
(6.23)
3
В формуле (6.23) ^ — напряжение теплового шума на генери-
руемое в Z2.
Полное напряжение теплового шума на Q получается как супер-
позиция напряжений теплового шума от генераторов в и в Z2.
Так как это хаотические шумы, то результирующий квадратичный
эффект равен сумме квадратичных эффектов отдельных составляю-
щих. Итак, имеем
4*ГД5(/?1 + .,5^)
__________X_____1	^2 '________
V , 2га/„ ,
1 +	) + " 1V* + 1 +	)
(6-24)
Как и следовало ожидать, величина е* совпадает с уже полученной
в формулах (6.17) и (6.20).
е) Отсутствие потока энергии между сопротивлениями с оди-
наковой температурой. Теперь мы покажем, что если два сопро-
тивления находятся при одинаковой температуре, то нет передачи
мощности теплового шума от одного сопротивления к другому. Рас-
смотрим сопротивления и /?2, показанные на фиг. 124. Для общности
включен также реактанс X. Пусть — ток из-за э. Д. с. тепловых
шумов в Rlt а /2 — ток из-за э. д, с. в	Тогда
г _________________ и г _____	_______
1	/(/?1+/?S)2+^	8	Г(/?1+/?г)2+Л« ’
(6.25)
216
Глава VI
Мощность, поглощаемая в /?2 и созданная э. д. с. теплонога шума
в будет равна следующей величине:
flR> -	_ UTLFR&	(
~ (7?1 + Я2)2 + Л2 ~ (7?! + ^2)2 + Х2 •
В то же время мощность, поглощаемая в благодаря э. д. с.
теплового шума в /?2 будет иметь вид
(^i + ^ + X2 (Ri + Я2)2 4- X2 •	>
Так как мощности, полученные по формулам (6.26) и (6.27), равны,
передача мощности от одного сопротивления к другому отсутствует.
ж) Цепь с элементами, находящимися при различной темпе-
ратуре. Наконец, рассмотрим случай цепи, элементы которой имеют
разную температуру, как по-
казано на фиг. 125. В этом
случае каждое активное сопро-
Ф и г. 124. Схема цепи, в которой э. д. с.	Фиг. 125. Цепь, имеющая эле-
тепловых шумов генерируется двумя со-	менты с различной темпера-
противлениями.	турой.
тивление генерирует э. д. с., соответствующую его температуре,
и так же, как и ранее, эта э. д. с. определяет' величину шумо-
вого тока. Так, в случае цепи, изображенной на фиг. 125, если
через Е обозначить напряжение теплового шума между Р и землей,
через Ех — часть этого напряжения, созданную э. д. с. в через
£2— часть этого напряжения, созданную в /?2, получим
n2 I 1
= 4k T1R1 bF-----—m?C2 . -,	(6.28)
—
Е* = 4kT2R9 AF----------=—	(6.29)
' ' № + ^)2+^
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
217
и
1
<й2Са
£=£? + £?= ikHF	-----j-
<« + «’>’+да
Для проверки формулы (6.30) мы заметим, что если
Г1 = т2 = т
и емкость замкнута накоротко, т. е. если
'	С=оо,
(6.30)
то формула (6.30) дает
L — им r1 + #2 >
т. е., как и следовало ожидать, напряжение теплового
параллельном соединении двух сопротивлений.
Когда 1\ и Т2 различны, имеется передача энергии
сопротивления к другому. Для простоты рассмотрим схему, изобра-
женную на фиг. 126. Мощность, пере-
даваемая от Ri к R2, равна
— ElR. 4kT.R.R^F
=	(6.32)
В то же время мощность, передаваемая
от /?2 к /?п равна
72 п	^2^1
1zR1=“ WW
Если Т2 > Т19 то происходит
чиной
(6 33)
передача

(6.31)
шума при
от одного
Я2,Т,
Фиг. 126. Цепь, состоящая из
двух сопротивлений с различ-
ной температурой.
мощности от R2 к /?! вели-
(у&х-аЧ)
(6.34)
Несмотря на кажущуюся простоту формулы (6.34), практически
трудно определить, какую долю составляет поток энергии от /?2 к Rx
из-за тепловых шумов от потока энергии, обязанного теплопровод-
ности. Это связано с тем, что входящая в (6.34) величина ДГ сильно
зависит от трудно учитываемых индуктивности и емкости, которыми
обладает любое реальное сопротивление. Вообще, однако, следует
подчеркнуть, что, за исключением весьма искусственных случаев, энер-
гия, передаваемая благодаря тепловым шумам, представляет ничтожную
часть энергии, передаваемой из-за теплопроводности.
§ 5. Эквивалентность представлений о генераторе тока и
генераторе э. д. с. Фиг. 117 и формула (6.3) показывают, как
генерируемый в импедансе тепловой шум может быть представлен и
218
Глава VI
рассчитан введением генератора э. д. с. последовательно с импедан-
сом. Теперь мы покажем, что возможно введение эквивалентного
генератора тока, которое во всех случаях дает тот же результат,
что и введение эквивалентного генератора э. д. с.
На фиг, 127, А тепловой шум представлен генератором э. д. с.
в соответствии с формулой Нейквиста, обсуждавшейся в § 4, п, а.
Фиг. 127. Эквивалентность генераторов э. д. с. и тока.
Здесь э. д. с. теплового шума, возникающая в импедансе Zn создает
напряжение теплового шума Е на внешнем импедансе Z2. Посмотрим,
можно ли найти величину /у в схеме на фиг. 127, Б, представляю-
щей эквивалентный генератор тока, которая дает то же самое напря-
жение Е на Z2, т. е. делает схему на фиг. 127, Б совершенно экви-
валентной схеме на фиг. 127, А.
Прежде всего на основании элементарной теории цепей для полной
эквивалентности должно быть
E = z^zE"	<6-35)
и
<6'36)
Из формул (6.35) и (6.36) следует, что
Е„	-2 EN
так что /у=у-^-р.	(6.37)
Это основное равенство, связывающее эквивалентные генератор тока
и генератор э. д. с. Согласно формуле (6.3),
= IkTR^F,	(6.38)
где — активная составляющая Zv Соответственно из фор-
мул (6.37) и (6.38) следует, что
= ТТ? =	= UTG^F,	(6.39)
I *-11 I I
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
219
где
(6.40).)
есть активная составляющая проводимости двухполюсника ZP
Так как /у, определяемое формулой (6.39), будет давать такой же
внешний эффект при представлении шума генератором тока по схеме,
показанной на фиг. 127, Б, какой дает £#, определяемая формулой (6.3),
при представлении шума генератором э. д. с. по схеме, показанной
на 127, А, то формулу (6.39) можно считать полностью эквивалент-
ной формуле (6,3). При рассмотрении дробового эффекта в следую-
щем параграфе мы будем исходить из представления о генераторе
тока и будем, пользуясь формулой (6.37), находить эквивалентную
э. д, с. генератора,
§ 6. Дробовой эффект, а) Введение. В 1918 г. Шоттки указал,
что так как электрический ток, испускаемый накаленным катодом,
складывается из большого числа независимо испускаемых электронов,
то ток эмиссии никогда не постоянен, а имеет небольшие флюктуа-
ции, происходящие из-за конечного заряда электронов в сочетании
со случайным их испусканием. Часть этих флюктуаций тока эмиссии
превращается во флюктуации анодного тока. В усилителе с большим
усилением такие флюктуации анодного тока первых ламп вызывают
шум в оконечном выходе. Таким образом, флюктуации тока лампы
будут ограничивать полезную величину усиления усилителя так же,
как это делают тепловые шумы. В действительности именно флюктуа-
ции тока ламп и тепловые шумы являются двумя главными причинами
неизбежного шума в усилителе с большим коэффициентом усиления.
Флюктуационный шум, создаваемый электронами, образующими ток
лампы, Шоттки сравнил с шумом, вызываемым градом дробинок, уда-
ряющихся в мишень. Поэтому он назвал это явление дробовым эффек-
том; это название сохранилось в литературе за шумами ламп, про-
исходящими из-за дискретной структуры тока эмиссии (т. е. конечного
заряда электрона).
Теория дробового эффекта рассматривается подробно в гл. VIII.
В данной главе мы опишем результаты, полученные в гл. VIII, и
применим их для решения практических задач.
б)	Дробовой эффект при режиме насыщения. Теория дробового
эффекта наиболее проста для случая работы лампы в режиме насы-
щения, т. е. когда анодное напряжение так, велико, что весь ток
эмиссии попадает на анод. Если /у— эффективное значение флюк-
7	Ri+JXi *1+*! 1 zi I2 ’ 11
Тайим образом, Gj —/?j/|	— действительная часть 1/2ь
220
Глава VI
начинает играть роль,
ние х.
Режим насыщения,
особого интереса для
туирующей компоненты анодного тока, то в этом случае, как пока-
зано в гл. VIII, имеем
7& = 2x/AF,	(6.41)
где х — заряд электрона (х = 1,60 • 10-19 кулона), I—среднее зна-
чение (т. е. постоянная составляющая) анодного тока в амперах,
ДГ—ширина полосы в герцах, fa—в амперах.
Равенство (6.41) справедливо для диодов или триодов с отрица-
тельным смещением на сетке в случае режима насыщения, а также
для любых ламп, в которых весь ток эмиссии попадает на один
электрод х), так как уравнение (6.41) дает флюктуирующую компо-
ненту тока эмиссии. Уравнение (6.41) справедливо до частот, при
которых становится заметным время пролета. Когда время пролета
необходимо изменить эффективное значе-
хотя его теория проста, не представляет
практики, так как лампы в этом режиме не
могут быть использованы в качестве усили-
телей.
в)	Эквивалентный генератор тока и
шунтирующее действие собственного импе-
данса анода лампы* 2). Мы рассмотрим те-
перь, какой ток создается во внешних цепях
лампы дробовым эффектом, и также иссле-
дуем влияние собственного импеданса анода
лампы. В гл. VIII показано, что при вычи-
слении результатов дробового эффекта лампу
можно заменить эквивалентным генератором
тока, как это показано на фиг. 128. Собст-
венный импеданс анода лампы га является шун-
том этого генератора. В режиме насыще-
ния fa дается формулой (6.41). Для более
важного случая наличия пространственного заряда формулы для fa
приведены на следующих страницах. Эти формулы определяют внеш-
ний ток в предположении, что все электроды заземлены по перемен-
ному току. Если же электроды не заземлены, то шунтирующее дей-
ствие собственного импеданса анода лампы должно быть учтено в
соответствии с фиг. 128.
Ф и г. 128. Схема, показы-
вающая шунтирующее
влияние внутреннего со-
противления лампы на
генерацию шумов.
1) Хорошим примером лампы такого типа является фотоэлемент. Эмис-
сия фотоэлектронов в фотоэлементе проявляет статистические флюктуации
того же типа, что и эмиссия электронов с раскаленного катода. Если все
испущенные фотоэлектроны попадают на анод, что обычно имеет место, то
флюктуации фототока I определяются также формулой (6.41).
2) Автор понимает здесь под импедансом анода лампы внутреннее со-
противление лампы, равное бесконечности для идеального режима насыще-
ния в сочетании с сопротивлением емкости анод-катод лампы. (Прим, ред.)
Шумы. Общий обзор и Методы расЧеМой
221'
г)	Дробовой эффект при наличии пространственного заряда *)•
Большинство ламп работает в режиме, когда имеется пространствен-
ный заряд; при этом не весь ток эмиссии попадает на анод и вели-
чина анодного тока является функцией анодного напряжения. В гл. VIII
мы покажем, как пространственное облачко электронов, имеющееся
в этом случае, сильно подавляет дробовые флюктуации анодного
тока, так что дробовой эффект при наличии пространственного
заряда значительно меньше, чем величина, даваемая формулой (6.41).
Дробовой эффект в этом случае дается измененной формулой
^=Г22х/ДГ,	(6.42)
где Г2 — положительная постоянная, меньшая единицы, которая может
быть названа коэффициентом депрессии дробового эффекта.
Аналитическое выражение для Г2 довольно сложно. Однако вместо
формулы (6.42) можно получить более удобные формулы для дро-
бового эффекта при наличии пространственного заряда, справедливые
для большинства практически применяемых режимов. Эти формулы
имеют вид
7^ = 0,644 4kTcg&F	(6.43)
для диодов и
=	(6.44)
для триодов с отрицательным смещением на сетке. В формулах (6.43),
(6.44) Тс — абсолютная температура катода, для бксидных катодов
обычно около 1000°, k — постоянная Больцмана, g в формуле
(6.43) — проводимость диода, а в формуле (6.44) — крутизна
триода. Величина о в формуле (6.44) является параметром лампы,
имеющим величину обычно между 0,5 и 1,0. Формулы (6.43) и (6.44)
весьма схожи с формулой (6.39) для тепловых шумов, однако, исклю-
чая предельные случаи, это сходство лишь формальное. ч
Представление об эквивалентном генераторе тока, шунтированном
собственным импедансом анода лампы (фиг. 128), справедливо как
для режима насыщения, так и при наличии пространственного заряда.
В случае триода на фиг. 128 под га надо понимать истинное внут-
реннее сопротивление 8eo/8ffl, а не величину, обратную крутизне, как
это может показаться на основании формулы (6.44).
д)	Эквивалентное входное сопротивление. Главными источниками
шумов, возникающих в радиоаппаратуре, являются, как ранее отме-
чалось, тепловые и дробовые флюктуации. Поэтому будет удобно
выразить их в сравнимых величинах. Оказывается, что для триодов
и других усилительных ламп это можно сделать, пересчитывая флюк-
*) Этому вопросу посвящена обстоятельная работа Л. А. Вайнштейна [55].
(Прим, ред.)

Глава VI
туации анодного тока из-за дробового эффекта на эквивалентные
флюктуации сеточного напряжения. Эти флюктуации сеточного напря-
жения могут быть в свою очередь представлены как тепловые флюк-
туации напряжений эквивалентного сопротивления в цепи сетки* Так
как, согласно определению gm,
ia = gmeg,	(6.45)
где ia и ед — переменные компоненты соответственно анодного тока
и сеточного напряжения, то уравнение (6.44) может быть преобразо-
вано в следующее:
—	71	0,644
---------4ЙТСДГ,	(6.46)
gm
где В# представляет собой напряжение шумов эквивалентного сопро-
тивления в цепи сетки. Сравнивая уравнение (6.46) с уравнением (6,3),
мы получим величину эквивалентного сеточного сопротивления
Я8кв = ^-£”£’	(6.47)1)
где Т—температура, принятая для эквивалентного сопротивления.
Уравнение (6.47) справедливо для тех же режимов работы, что
и уравнение (6.44), т. е. для нормальных режимов работы большинства
усилительных ламп. Для того чтобы оценить величину /?экв, положим,
например, Т = 20°^С = 293° К, Тс=1000°К, а а = 0,75. Тогда для
значений gm, равных 1, 5, 10 Maje, мы получаем из формулы (6.47)
соответственно значения /?Экв = 2940, 588 и 294 ома. Так как вели-
чина /?экв пропорциональна квадратичному эффекту дробовых шумов,
то ее можно складывать непосредственно с активной компонентой
сеточного импеданса, для того чтобы определить общий дробовой и
тепловой шум. Только что приведенная оценка величины /?Экв показы-
вает, что активная составляющая действительного импеданса в цепи
сетки значительно превышает /?Экв в обычных широковещательных
приемниках* 2), однако в случае микроволнового приемника /?Экв может
преобладать. Числовые примеры вычисления общего шума приемника
даны в § 8, а таблица шумовых характеристик типичных ламп при-
ведена на стр. 229.
*) Можно, конечно, подобным же образом пересчитать тепловые шумы
сопротивления в цепи сетки на флюктуации анодного тока и получить
где IGN — флюктуации анодного тока из-за активной компоненты RG сеточ-
ного импеданса. Однако этой формулой редко пользуются.
2) Если первая лампа приемника является преобразователем, то это не
всегда справедливо (см. § 8, п. а).
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
йХ-——........ "———  ----------------------------------- - -.
Так как величина шума, определяемая формулой (6.47), отнесена
к сеточной цепи и эквивалентна входным шумам, то ее можно исполь-
зовать для определения влияния лампы на отношение сигнала к шуму.
В частности, из формулы (6.47) следует, что если дробовой эффект
является преобладающим источником шума, то отношение сигнала
к шуму улучшается пропорционально ]/gm.
е)	Дробовой эффект в многоэлектродных лампах. Триоды, как
правило, шумят меньше, чем тетроды и пентоды. Вначале думали, что
повышенные шумы в тетродах вызываются вторичной эмиссией элек-
тронов с экранной сетки. Хотя нет сомнения, что такое явление имеет
место, однако оно лишь отчасти объясняет эти шумы, так как такие
же повышенные шумы наблюдаются и в пентодах, где противодина-
тронная сетка исключает влияние вторичной эмиссии.
Норт развил подробную количественную теорию, объясняющую
повышенные шумы тем, что ток в лампе распределяется между элек-
тродами и при этом уменьшается депрессия дробового эффекта, вызы-
ваемая наличием пространственного
заряда. Эта теория изложена в гл. VIII,
§7.
Основные результаты теории Нор-
та заключаются в двух соотношениях:
^a = r|2xZgAF, (6.48)
Гд=1—^-(1-Г2), (6.49)
I Катод »
Фиг. 129. Лампы с различным
расположением электродов.
1111
I Катод 1
Б
А—токи накладываются друг на друга;
где -----ТОК ^-ГО электрода, It—	Б—наложения токов нет.
общий ток всех электродов, Г2 —
коэффициент депрессии дробового эффекта общего тока, определенный
равенством (6.42),	— флюктуирующая компонента тока <?-го элек-
трода, х — заряд электрона в кулонах, Д/7— ширина полосы в
герцах.
Все токи в вышеприведенных соотношениях измеряются в амперах.
Формулы (6.48) и (6.49) применимы к лампам такого типа, в кото-
рых токи, текущие к различным электродам, существенно наклады-
ваются, как показано на фиг. 129, А. Однако нельзя ожидать, чтобы
эти формулы были применимы в случае ламп с сетками, расположен-
ными по одной линии (т. е. лучевых ламп), и они определенно не
могут применяться к таким лампам, как, например, лампа, показанная
на фиг. 129, 5, в которой токи, текущие к различным электродам,
не накладываются друг на друга.
Применим вышеприведенные соотношения к наиболее важному
практическому случаю, а именно к пентоду. • Введем обозначения: 1а—
анодный ток, /с2 — экранный ток, 12д2 — квадратичный эффект флюк-
туирующей компоненты экранного тока, 4 — квадратичный эффект
224
Глава VI
флюктуирующей компоненты анодного тока, It — /а-|- /с2— общий
ток лампы, — квадратичный эффект флюктуаций общего тока.
Тогда, как следует из формул (6.48) и (6.49),
5 = ^^^/с22хДЛ	(6.50)
^=r2k+zc? /о2хДЛ	(6.51)
Кроме того, из формулы (6.42) имеем
Т = Г2(^2хДГ).	(6.52)
Вообще говоря, выходной величиной, имеющей наибольшее прак-
тическое значение, является /д. Пересчитаем поэтому /д на эквивалент-
ный шум в цепи сетки. Так как
= К	(6.53)
sm
где gm — крутизна пентода, то (6.51) примет вид
-	£ Г2/й 4- /с2
(6-54)
Sm gm^t
Если лампа работает как триод, то можно положить
gt==T-gm>	(6.55)
где gt — крутизна лампы, работающей как триод.
Подставляя (6.55) в (6.54), получим
'4 = 0 +2е*.')Г2/^хД7\	(6.56)
Далее, согласно (6.42), эквивалентные шумы в цепи сетки лампы,
работающей как триод, даются выражением
4 = ^^,	(6.57)
g;
где ej — средний квадратичный эффект эквивалентного напряжения
шумов в цепи сетки, когда лампа работает как триод. Поэтому
(6-58)
Соотношение (6.58) показывает, что шумы пентода превышают шумы
триода в отношении
1+т^г.	(6.59)
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
225
Для того чтобы привести это выражение к более удобному для
практики виду, мы найдем величину Г2; пользуясь (6.42) и (6.44).
Имеем
г2=ад44Ш^	(6.60)
О 2^1 t г=>г	4	7
Следовательно, пользуясь (6.55), получим
______ Лй 1 G _ Q 7 -	Ю00
4Г2 — gm Тс 0,644 2* ~ gm Те •
Подставляя эту величину в (6.58), будем иметь
~2 Л I 07	Ю00\ -2
\	ът *с /
(6.61)
(6.62)
Введем обозначения: /?ЭКв (пентод) — для эквивалентного шумового
сопротивления в цепи сетки лампы при ее работе как пентод и /?Экв
(триод)—для эквивалентного шумового сопротивления в цепи сетки
лампы при ее работе триодом. Имеем
е2а
Rana (пентод) = 4kT£ip ,	(6.63)
4
/?экв (триод) = AkTbF •	(6.64)
Поэтому из (6.62)
/?экв (пентод) = (1 + 8,7 а	R3KB (триод).	(6.65)
Величина /?экв (триод) дается формулой (6.47)
п „	0,644 Те 1	,с ссч
/?ЭКВ (триод) = —--Y — •	(6.66)
Теперь применим эти формулы для случая пентода, положив
Тс — 1000° К,	<3 = 0,83,
/с2 = 0,0005 а, ^ш=1,2 ма/в,
gt= 1,5 ла/б
и взяв Т =293° К (т. е. 20°С). Тогда
D ,	„	0,6441000 1	177П п
“экв (триод) — 0>83 293 0,0015“ 1770 °М’
(6.67)
7?ЭКв (пентод) = [1 + 8,7 (0,83) gg] 1770 = 7100 ом. (6.68)
Ясно, что лампа много больше шумит в пентодном режиме.
15 Зак. 2263. С. Гольдман.
$26
Глава Vi
ж) Дробовой эффект в преобразователе1).
Займемся
теперь
флюктуационными шумами в преобразователях. Начнем с рассмотре-
ния триодного смесителя. Флюктуации анодного тока на промежу-
точной частоте определяются формулой (6.44)

(6.69)

где gm—средняя за период колебания гетеродина величина крутизны
лампы, рассматриваемой как триодный усилитель. Пересчитывая на
эквивалентный шум по принимаемой частоте в цепи сетки, имеем
5 = ’ (^4^Д>),
6с
(6/70)
где gc— крутизна преобразования. Поэтому эквивалентное
сопротивление в цепи сетки триодного смесителя
шумовое
/?экв (триодного смесителя) =
egt
4kTbF
0.644
’ Т
(6-71)
Для пентодного смесителя формула (6.65) дает
о ,	ч (л । о 77с2 1000X0,644 Tcgm
7?экв (пентодного.смесителя) = (1 4~ 8,7 -—)----------— — . (6.72)
\	ьт 1 с / а Т
Так как крутизна триода и пентода в три-четыре раза больше
их крутизны преобразования, причем даже средняя за период
гетеродина крутизна больше, чем крутизна преобразования, то,
следовательно, любая лампа будет значительно больше шуметь, ра-
ботая как смеситель, чем как усилитель. Это одна из причин, почему
обычно желательно иметь в приемнике каскад усиления на принимае-
мой частоте перед преобразователем.
Многосеточные преобразователи и смесители шумят больше лю-
бых других ламп. В этом случае токи всех сеток так велики, что
депрессия дробового эффекта анодного тока весьма мала и фор-
мула (6.49) может быть заменена приближенной формулой
Г^1
J4
k
(6.73)
где индекс q теперь относится к аноду. Тогда (6.48) принимает вид
/^ = ^7^2х/оДР
(6.74)
!) См. статьи Герольда [56].
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
227
и эквивалентное шумовое сопротивление в цепи сетки /?Экв (много-
сеточный преобразователь) будет иметь вид
/?экв (многосеточный преобразователь)
/2
2* h Iа
£it
т = io	/
7 а —	9, *а
(6.75)
для Т=293°К. Величина gc в многосеточном преобразователе или
смесителе обычно меньше, чем в триодном или пентодном смесителе,
что еще больше увеличивает шумы. Кроме того, в систему поступает
также некоторый шум с электродов гетеродина, но этот шум мал,
если между этими электродами и землей нет заметного импеданса
для принимаемой частоты.
Из (6.71), (6.72) и (6.75) вытекает, что оптимальный рабочий
режим преобразователя или смесителя с точки зрения шумов будет
таким, при котором крутизна преобразования будет наибольшая.
3) Формулы эквивалентного шумового сопротивления в цепи
сетки1). Соберем теперь вместе наши результаты для шумов, воз-
никающих в различных типах ламп, выражая их в виде простейших
практических формул для эквивалентного шумового сопротивления
в цепи сетки. Сначала мы выпишем эти формулы и затем покажем,
что они являются практическим приближением формул, выведенных
раньше.
Для триодных усилителей
/?экв (триод) = “"•	(6.76)
ьт
Для пентодных усилителей
п /	\__-	^а>	/	[ 20^ \
/<эКв (пентод) — т—— -j- —•
7 а Т 7с2	/
Для триодных смесителей	ф
о /	\__2,5gw
/\экв (триод) =---— .
Для пентодных смесителей
а /
Лг + Лй \ &с
/?экв (пентод) =
(6.77)
(6.78)
(6.79)
20/с2
2) См. работы Гарриса [57].
15*
§28
Глава VI
причем эти формулы обычно могут быть приведены к еще более про-
стому виду:
Лэкв (триод) = ^“,	(6.80)
<5 С
Яэвв (пентод) = —/- + V	(6.81)
/о + 'й\£с	ёс )	\
Для многосеточных преобразователей и смесителей
Г) /	V	\ __ 20/fl (If 1а) /Д ПП\
*\экв (многосеточныи преобразователь) —--------г,---. (o.ozj
ft Sc
В приведенных формулах /?Экв — эквивалентное шумовое сопротивление
в цепи сетки, gm— крутизна, 1а — средний анодный ток, /с2— сред-
ний экранный ток, gm—средняя величина крутизны лампы, исполь-
зуемой как усилитель (усреднение за период гетеродина), gc — кру-
тизна преобразования, It — общий ток лампы (т. е. ток катода).
Формулы (6.76)—(6.82) не являются точными, но они дают хорошее
практическое приближение. Формула (6.76) получается из (6.47), если
положить
о = 0,88,
Те= 1000°К,
Т= 293° К = 20° С.
Формула (6.77) получается из (6.65), (6.66) и (6.76), если положить,
кроме того,
4
Sm 5 St
И
1 а == ^Ze2‘
При этих значениях множитель у /с2 в формуле (6.77) в действитель-
ности будет 19,2, а не 20. Однако так как величины а, Тс и т. д.,
данные выше, не являются точными для любого случая, то вполне
законно округлить' этот множитель до 20.
Формула (6.78) получается из (6.71), если взять значения вели-
чин а, Тс и Г, уже использованные выше. Формула (6.80) получается
из (6.78), если принять приближение
g^= 1,6£с.
Формула (6.79) получается из (6.72) точно так же, как фор-
мула (6.77) из (6.65), (6.66), (6.76). Если использовать вышеприве-
денное приближение для gm, то формула (6.79) переходит в (6.81).
Таблица 3
ШУМОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛАМП (из статьи Гарриса [57])
1 Тип	Применение	Напряжения, в			Токи, ма			Кру- тизна, Mfcaje	Эквивалентное 1 шумовое сопро- тивление, омы		Эквивалент- ное напря- жение шумов на входе, мкв <)
		анодное	экранное	смеще- ние	„ 1 анодный	экранный	катодный		вычислен- ное	измерен- ное	
6SK7	Пентодный усилитель . .	250	100	—3	9,2	2,4	11,6	2000	10 500	9 400—11500	0,94
6SJ7	Пентодный усилитель . .	250	100	-3	3	0,8	3,8	1650	5 800	5800	0,70
6SG7	Пентодный усилитель . .	250	125	—1	11,8	4,4	16,2	4 700	3 300	—	0,53
6АС7/1852	Пентодный усилитель . .	300	150	-2	10	2,5	12,5	9 000	720	600-700	0,25
956	Пентодный усилитель . .	250	100	—3	5,5	1,8	7,3	1800	9 400	—	0,90
IT4	Пентодный усилитель . .	90	45	0	2,0	0,65	2,65	750	20 000	—	1,3
6SA7	Преобразователь частоты	250	100	0	3,4	8,0	11,9	4509	240000	210000	* 4,5
6К8	Преобразователь частоты	250	100	—3	2,5	6,0	8,52)	3503)	290000	—	4,9
1R5	Преобразователь частоты	90	45	0	0,8	1,8	2,75	2503)	170000	—	3,8
6L7	Пентагридный смеситель .	250	100	—3	2,4	7,1	9,5	3753)	255 000	210000	4,6
6J5	Триодный усилитель . . .	250	—	—8	9,0	—	—	2 600	960	1250	0,28
955	Триодный усилитель . . .	180	—	—5	4,5	—	—	2 000	1250	—	0,32
6АС7/1852	Триодный усилитель . . .	150	150	—2	—	—	12,5	11200	220	200	0,14
6АС7/1852	Пентодный смеситель . .	300	150	-I1)	5,2	1,3	6,5	3 4003)	2 750	3 000	0,48
6SG7	Пентодный смеситель . .	250	125	-I1)	3,0	1,1	4,1	1 1803)	13 000	—	1,0
956	Пентодный смеситель . .	250	1-00	-I1)	2,3	0,8	3,1	6503)	33 000	—	1,7
6J5	Триодный смеситель . . .	100	—	-19	2,1	—	—	6209	6 500	—	0,74
6АС7/1852	Триодный смеситель . . .	150	150	-19	—	—	6,5	4200»)	950	—	0,28
955	Триодный смеситель . . .	150	—	-11)	2,8	—	—	6603)	6 100	—	0,72
О При пике напряжения гетеродина.
2) Ток только гексодной части. Триодная часть получает тэк от отдельной части катода.
3) Крутизна преобразования.
4) Для эффективной полосы пропускания 5 кгц.
230
Глава VI
Формула (6.82) является приближением (6.75) с некоторой пере-
меной в обозначениях. Табл. 3 показывает, что многосеточные пре-
образователи и смесители особенно сильно шумят.
В табл. 3 (по Гаррису) приведены подсчитанные величины 7?экв
для многих ламп. Там же даются для сравнения некоторые измеренные .
величины. Эта таблица и выписанные нами формулы будут использо-
ваны в § 8 для решения практических задач.
§ 7. Магнитные шумы. Другим типом шумов, который можно
встретить в усилителях, является магнитный шум, иногда называемый
эффектом Баркгаузена. Он имеет некоторое математическое и физи-
ческое сходство с дробовым эффектом. Состоит этот эффект в сле-
дующем. Так как всякая магнитная среда (например, железо) не является
однородной и непрерывной, а состоит из мелких магнитных зерен
(доменов), намагниченности которых могут располагаться по направе-
лению поля, то намагничение происходит не непрерывно, а маленькими,
но конечными скачками, что и вызывает флюктуационные шумы.
Наиболее важным практическим примером влияния эффекта Барк-
гаузена является современный радиоприемник, имеющий рамочную
антенну и сетевой трансформатор с железным сердечником. В таком
приемнике железо трансформатора перемагничивается с частотой сети.
Магнитные флюктуации, возникающие в железе сердечника в течение
цикла намагничивания, воспринимаются рамочной антенной; и если
связь между рамкой и трансформатором не очень мала, этот источ-
ник шума может ограничивать чувствительность приемника. Чтобы
уменьшить связь, необходимо применить добавочную экранировку
трансформатора и повернуть его таким образом, чтобы его поле рас-
сеяния не пересекало рамку. Математическая теория магнитных флюк-
туационных шумов изложена в гл. VIII, § 9.
§ 8. Шумы приемника. С помощью разобранных в предыдущих
параграфах формул, мы произведем теперь расчет шумов радиоприем-
ника для нескольких типичных случаев и обсудим некоторые общие
вопросы, связанные с шумами приемников.
а)	Первая лампа — преобразователь. Сначала рассмотрим случай,
показанный на фиг. 130, когда первая лампа (6SA7) в приемнике —
преобразователь. Согласно табл. 3, эквивалентное шумовое сопроти-
вление этой лампы 240 ком. Предположим, что импеданс контура
в цепи сетки имеет в среднем активную компоненту 150 ком в пре-
делах полосы пропускания. Ввиду того, что дробовые шумы, так же
как и тепловые, являются хаотическими шумами, то их квадратичные
эффекты, согласно § 2, складываются. Поэтому величины соответ-
ствующих эквивалентных шумовых сопротивлений складываются. Общее
эквивалентное шумовое сопротивление схемы, изображенной на фиг. 130,
можно оценить как
240 000 4-150 000 = 390 000 ом.	(6,83)
Шумы, Общий обзор и методы расчетов
231
Однако это не дает еще полного уровня шумов, так как шумы
по зеркальному каналу *) также проходят через усилитель промежу-
точной частоты. Достаточно тем не менее посмотреть на частотную
характеристику параллельного колебательного контура * 2), чтобы заме-
тить, что активная составляющая импеданса в цепи сетки для зеркаль-
ной частоты весьма мала. Таким образом, формула (6.83) дает
с хорошим приближением эквивалентное сопротивление шумов каскада,
изображенного нафиг. 130. Пересчет формулы (6.83) на микровольты
Фиг. 130. Входная цепь радиоприемника со смеси-
тельной лампой в первом каскаде.
показывает, что шумы приемника в этом случае (для эффективной
полосы, скажем, 6 кгц) эквивалентны
У4kTRУ4 • 1,37.10-23.293 • 390 000-6000 fl = 6,1 мкв (6.84)
шумов на сетке преобразователя.
В приведенном примере мы считали, что активная составляющая
сеточного импеданса имеет температуру приемника. Это равнозначно
допущению, что сопротивление излучения антенной цепи не вносит
в сеточную цепь активной составляющей, сравнимой с активной соста-
вляющей контура в цепи сетки. Для широковещательных приемников
это обычно справедливо. Более подробное обсуждение случая, когда
это несправедливо, будет дано в другом примере.
б)	Супергетеродин с усилителем высокой частоты. Рассмотрим
теперь супергетеродинный приемник с каскадом усиления высокой
(принимаемой) частоты, изображенный на фиг. 131. Этот каскад высо-
кой частоты мы будем предполагать ненастроенным, но не потому,
2) Зеркальная частота супергетеродинного приемника это — частота, рас-
положенная по другую сторону от частоты несущей относительно частоты
гетеродина и отстоящая от частоты гетеродина на величину, равную проме-
жуточной частоте.
2) См. [22Х [См. также [23, 58], {Прим. ред.)\
232
Глава VI
что это целесообразно для практики, а потому, что это позволит нам
выяснить некоторые дополнительные обстоятельства, связанные с расче-
том шумов.
В случае, изображенном на фиг. 131, должны быть приняты во
внимание шумы, генерируемые как в каскаде усиления высокой частоты,
так и в каскаде преобразования. Для того чтобы преобразовать все
Фиг. 131. Входная цепь супергетеродинного радиоприемника,
имеющего каскад усиления высокой частоты.
шумы к виду, удобному для сравнения, мы выразим их через экви-
валентное шумовое сопротивление в цепи сетки усилителя высокой
частоты. Таким образом, например, шум преобразовательной лампы,
который, как это следует из таблицы, эквивалентен шумовому сопро-
тивлению 240 ком, превращается в
240000
——-— = 3750 ом,	(6.85)
если его отнести к сетке усилителя высокой частоты, в предположе-
нии, что усиление по мощности каскада высокой частоты равно 64
(т. е. усиление по напряжению равно 8). Активная составляющая импе-
данса в цепи сетки преобразовательной лампы равна, скажем, 3 ком.
Отнесенная к сетке усилителя высокой частоты, она превращается в
3000
= 47 ом.
64
Этой величиной можно пренебречь.
Шумы лампы усилителя высокой частоты, отнесенные к ее собствен-
ной сетке, эквивалентны, как это следует из таблицы, 10 500 ом.
Однако эта величина представляет шум, который лампа дает по высо-
кой частоте. Мы покажем теперь, что к этой величине должны быть
добавлены некоторые другие, так как усилитель высокой частоты
генерирует также шумы на некоторых других частотах, которые про-
ходят через приемник. Для определенности положим, что высокая
частота равна 1000 кгц, а промежуточная 455 кгц. Тогда зеркальная
частота равна 1910 кгц (полагая, что частота гетеродина 1455 кгц).
(6.86)
Шумы, Общий обзор и методы расчетов
233
Дробовой ток в точке А фиг. 131 имеет компоненты всех частот,
так что все частоты, на которых сигнал, подведенный к А, даст
эффект на выходе, вносят свою долю в общий шум. Относительные
доли в общем шуме различных частот в точке А показаны нафиг. 132.
Она дает относительную чувствительность по мощности приемника,
к которому в точке А подключен сигнал-генератор, дающий ток
3365
455 то
1910	2455
Фиг. 132. Относительная интенсивность шумов, вызывае-
мых’ дробовым эффектом лампы 6SK7 в схеме на фиг. 131
для различных частот.
а—промежуточная частота; б—основной канал; в—гетеродин; г—зер-
кальный канал; д—-канал из-за второй гармоники гетеродина.
постоянной амплитуды. Пользуясь фиг. 132, находим, что сопроти-
вления в цепи сетки, эквивалентные ’шумам на частотах иных, чем
полезная высокая частота !), равны
2,2	• 10 500 = 23	100	ом	(для	455	кгц),
0,6	• 10 500=	6	300	ом	(для	1910	кгц),
0,1	-10 500=	1	050	ом	(для	2450	кгц),
0,06	• 10 500=	630	ом	(для	3365	кгц).
Полное эквивалентное шумовое сопротивление в цепи сетки усилителя
высокой частоты равно поэтому
10 500 + 23 100 + 6300+ 1050 + 630 = 41 580 ом. (6.88)
Пусть сопротивление контура в цепи сетки усилителя высокой частоты
равно 100 ком для принимаемой высокой частоты и пренебрежимо
*) Компоненты шумов на частотах иных, чем частота сигнала, в большой
степени исключаются, если в аноде усилителя высокой частоты имеется
настроенный контур.
234
Глава VI
мало для других частот. Тогда полное эквивалентное шумовое сопро-
тивление, отнесенное к сетке усилителя высокой частоты, равно
100000 ом за счет сопротивления контура в цепи сетки усилителя
высокой частоты
41 580 и за счет усилителя высокой частоты
47 „ за счет сопротивления в цепи сетки преобразователя
3 750 „ за счет преобразователя
Всего 145 377 ом
Полагая, что эффективная ширина полосы 6 кгц, найдем, что
шумы приемника будут равны
J/r4^7'/?AF=l/’4 • 1,37 • 10“83- 293 • 145 000-6000 в = 3,7 мкв (6.89)
на сетке усилителя высокой частоты.
в) Шумы антенны и оптимальная связь антенны с первой
лампой. В предыдущих примерах оставался открытым важный вопрос
об оптимальной связи между антенной и цепью сетки. Оназависит
в большой степени от шумов антенны. В свою очередь шумы антенны
частично обязаны омическому сопротивлению антенной цепи и час-
тично шумам, принимаемым антенной из окружающего пространства.
Шумы из-за омического сопротивления можно рассчитать, как обыч-
ные тепловые шумы, но шумы, принимаемые из окружающего про-
странства, заслуживают особого рассмотрения.
Шумы, принимаемые из пространства, включают атмосферные по-
мехи, помехи от электрических устройств, расположенных вблизи
антенны, и тепловые шумы сопротивления излучения2). Мы можем
сложить квадратичные эффекты различных составляющих этого шума
и получить полный квадрат э. д. с. шумов поступающих в антенну.
Тогда, если /?д—сопротивление излучения антенны, то уравнение
Г6-9О>
*) Эффективная ширина полосы,
которая должна быть принята в расчет,
есть эффективная ширина полосы
Интенсивность
шумов как
Функция частоты
Ф иг. 133. Эффективная ширина полосы.
Площадь, ограниченная пунктирным прямоуголь-
ником, равна площади, ограниченной кривой.
2) Тепловые шумы сопротивления
приемника для сигнала, подводимого
на сетку усилителя высокой частоты.
Эта величина не включает изби-
рательности контура в цепи сетки
усилителя высокой частоты и входной
цепи приемника. По смыслу эффек-
тивная ширина полосы есть ширина
полосы системы с прямоугольной кри-
вой селективности (фиг. 133), кото-
рая дает такой же шум, как рассма-
триваемая реальная система (см. § 10,
п. г).
излучения обсуждаются в § 8.
Шумы, Общий обзор и методы расчетов
235
определяет так называемую эффективную температуру шумов Та со-
противления излучения антенны. Почти для всех радиоустройств вели-
чина Та выше комнатной температуры, сильно меняясь при этом от
местности к местности. С помощью этой фиктивной температуры, ко-
торая является на самом’деле лишь характеристикой шумов местности,
где расположен приемник, мы приступим к обсуждению разбираемой
проблемы связи.
Рассмотрим упрощенную антенную и входную цепи, изображенные
на фиг. 134. В этой цепи будет четыре *) источника шумов: 1) шумы
лампы; 2) тепловые шумы цепи сетки лампы; 3) тепловые шумы антен-
ной цепи (ее омического сопротивления); 4) шумы сопротивления из-
лучения антенны.
Фиг. 134. Схематическое изображение антенной и входной цепи.
/?q—омическое сопротивление антенной цепи;	—сопротивление излучения
антенны; Х&— реактанс цепи антенны.
Посмотрим теперь, как каждый из них может быть пересчитан
на эквивалентное шумовое сопротивление между сеткой и корпусом
первой лампы.
1.	Шумы лампы уже выражены через эквивалентное шумовое со-
противление в цепи сетки (см. табл. 3). Назовем его
2.	Тепловые шумы цепи в сетке лампы обязаны сопротивлению Цв>
Им соответствует последовательно включенная в цепь э. д. с.
4 = 4feT/?BAF,	(6.91)
вызывающая в свою очередь ток
.3_	4	_ 4kTRB&F
 1* = \ZB + (^M^ZAW ~~\ZB + (MPIZA)\'' <6-92)
где
= RB + j (e>LB —	,	(6.93)
ZA=(/?0+/?A) + /X4.	(6.94)
*) В примерах а н б этого параграфа мы в сущности предполагали, что
шумы антенной цепи пренебрежимо мальц
236
Глава VI
Напряжение на сетке, возникающее благодаря /2, даётся следующим
выражением:
%	bkTRrAF
= UTR^F. (6.95)
О) св со св I ZB + (ш М /^д) I
Следовательно, эквивалентное шумовое сопротивление контура
в цепи сетки равно
R*~ ^C2b\Zb + (^M2/Za)\^
3.	Импедансу антенной цепи
Za=(/?04-/?a)+/Xa
соответствует эквивалентный импеданс в контуре сетки
Ф2Л12	+
za	(/?о + *а)3 + *а
Активная составляющая этого импеданса равна
ш2Ж2(/?0 + /?а)
(^о + 7?а)3 + ^Г
часть которого
д>Ш27?0
(^о+^а)3 + ^1
имеет эквивалентную температуру Т сопротивления /?0, а
cdW2^a
(*о + ^1)2 + *1
имеет эквивалентную температуру ТА сопротивления /?д.
разом, если мы подставим выражение (6.99) вместо Rb в формулу (6.96),
то получим /?3, эквивалентное шумовое сопротивление, обязанное шу-
мам омического сопротивления антенной цепи. Следовательно,
3	[(*o+Яд)2 + I zB + (ШWa) l2-2^ •	1	;
(6.96)
(6.97)
(6.98)
(6.99)
часть
(6.100)
Таким об-
4. Эквивалентное шумовое сопротивление, соответствующее шумам,
принимаемым антенной, получится, если подставить в формулу (6.96)
вместо Rb выражение (6.100) и умножить полученное значение на
отношение Тд17\ чтобы учесть разницу эффективных температур.
Таким образом,
<^M*RA (Та/Т)
R. =------------;---7,--Л ------------гл •	(6.102)
[(*0 +	) + *а] \ZB + (“> м !za) ш Св
<^M*RA(TAir>
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
237
Полный квадрат напряжения шумов на сетке равен
е» =	(/?! + /?2 + /?8 +	=
4W
|2aZs + <AM2 |2
р IZ I2
/?j|ZaZb + «>W|2+^-^- +
Ш СВ * *
«fl№R^\ZA\*		0>2^а^1^л12	| f6103)
[(Яо + Ra ? + *а!	“* Т[(/?0 + RA )2+ Х2А] j ' •	'
Для сравнения напишем напряжение сигнала на сетке полученное из
расчета цепи, показанной на фиг. 134. Имеем
(л)2Д|3^2
ш3^В I %А%В + Г
(6.104)
Отношение сигнала к шуму по мощности получится делением формулы
(6.104) на формулу (6.103). Оно равно
1
4
= eW 14 kT Д F <»*CbRi | ZAZB + <«2Л1213 + RbZa 4~
_<ЛиЧ|£аР_ “>2M2RaTa\Za\2 1
+ (R0+Ra? + xa Ф T[(7?0 + 7?a)2 + Х2а] JJ
(6.105)
Наибольшее (т. е. оптимальное) отношение сигнала к шуму полу-
чается, когда правая часть формулы (6.105) принимает максимальное
значение. В каждом частном случае оно может быть определено не-
посредственным вычислением максимума выражения (6.105), если тем-
пература Та известна. Однако некоторые общие заключения из фор-
мулы (6.105) можно вывести без отыскания ее максимума.
а) Если преобладающая часть шумов возникает в антенной цепи или
принимается антенной (т. е. Т?з+/?4^>то отношение сигнала
к шуму не зависит от коэффициента взаимоиндукции 7И, если только М
достаточно велико, чтобы приведенное неравенство было справедливо.
б) Если преобладающая часть шумов возникает во входном
контуре (т. е. Ях + ^з + ^Д то отношение сигнала к шуму
улучшается с возрастанием коэффициента взаимоиндукции.
в) Если преобладающая часть шумов возникает в лампе (т. е.
+ то выражение (6.105) принимает максимальное
значение при величине Л4, дающей максимум выражения
Л42
\ZaZb + ^M^\2 ‘
Если значение М, найденное таким образом, практически реализуемо,
то максимальное отношение сигнала к шуму будет получено именно
при этом значении М.
238	/*лава Vt
г) Если шумы антенной цепи малы по сравнению с шумами лампы
и входного контура, то выражение (6.105) имеет отчетливый максимум
при значении М, для которого выражение
Ж2
/?1 | ZAZB + 0)^2 12 + RB | ZA12	(6-106)
принимает максимальное значение. Если таким образом найденное зна-
чение М практически реализуемо, то оно дает наилучшее отношение
сигнала к шуму.
Нужно иметь в виду два дополнительных замечания. Во-первых,
если знаменатель формулы (6.105) существенно меняется в пределах
полосы пропускания Д/7, то вместо умножения величины в скобках
на Д/7 ее необходимо проинтегрировать по F в интервале Д/7. Во-вто-
рых, в § 11 показано, что когда начинает играть роль входная про-
водимость лампы, необходимо вносить поправку на ее эффективную
температуру.
§ 9. Измерения и выходные характеристики шумов и шумов
вместе с сигналом, а) Общие замечания. Своеобразные и случайные
формы колебаний шумов затрудняют интерпретацию результатов из-
мерений шумов, полученных с помощью обычных измерительных при-
боров. Конечно, возможно измерять энергию (т. е. квадратичный эф-
фект) шумового сигнала тепловым прибором и таким образом опре-
делять его эффективную величину. Однако имеются и другие
Wlw уцьШ/iv	(лИМл/Ы
ш cl ш I с I г ш I с I ш
Фиг. 135. Суперпозиция шума и сигнала импульсного типа.
Ш—шум; С—сигнал+шум.
величины, которые интересно знать при исследовании шумов. Эти
вопросы подробно разбираются в гл. VII, §17—19, а в настоящем
параграфе мы приведем только результаты, которые там выведены и
развиты. Помимо вопроса об измерениях, большое значение имеет
также вопрос о результирующем выходе при наличии шумов и сиг-
нала. Этот вопрос также излагается в настоящем параграфе. Шумовой
фон в радиотелефонных или телевизионных передачах — обычное
явление, и важно разобрать его количественно.
Хорошее представление о комбинации сигнала и шумов дает
фиг. 135, которая показывает осциллографическое изображение су-
Шумы, Общий обзор ii методы расчетов
перпозиции шума и сигнала импульсного типа. В частности, для теле-
визионного сигнала наличие шумов дает зернистую тонкую структуру
в фоне картины. При ослаблении сигнала он постепенно теряется на
фоне шумов. Отметим, что как величина, так и продолжительность
(т. е. мощность X время = энергия) сигнала важны для того, чтобы
сигнал мог быть выделяем на фоне шумов.
Заметим мимоходом следующее. В гл. VII показано, что хотя
хаотические шумы изменяют свою форму с изменением частотной ха-
рактеристики передающей системы, все же они сохраняют свойства
хаотических шумов. Это весьма важно, и как следствие этого поло-
жения — различные формулы пунктов б, в п г этого параграфа верны
независимо от спектрального распределения мощности шумов.
Выходной сигнал, состоящий из шума и полезного сигнала, на-
пример на фиг. 135, является обычно огибающей радиочастотного
колебания, имеющего несущую частоту полезного сигнала. При на-
стройке приемника, который пропускает только узкую полосу частот
вблизи несущей полезного сигнала, из всего генерируемого шума
отбирается лишь часть, которая представляет собой приблизительно
синусоидальный (с частотой настройки) процесс, имеющий огибающую,
частотные компоненты которой лежат в полосе частот от нуля до
частоты, равной (примерно) полосе приемника. Огибающая этого шума
показана на фиг. 135 в областях, обозначенных буквой Ш.
б) Огибающая шумов и шумов с несущей. Если eN есть мгно-
венное значение случайного шума, такого, как например радиочасто-
тный шум, огибающая которого показана в областях, обозначенных
на фиг. 135 буквой Ш, то величина eN в какой-нибудь момент не
может быть точно предсказана, так как она является случайной
функцией. Все, что известно о такой функции, это вероятность того,
что она принимает заданную величину. Так, согласно формуле (6.1),
мы знаем, что вероятность нахождения е$ между значениями eN и
+ Равна
p^deN=4ie~A^de^ (6-107)
где
2	1	1	}
2^Т 2 X средний квадрат eN~	(6.108)
Согласно (6.108), А есть величина, характеризующая средний уровень
шумов. Если величина А известна, то вероятность того, что eN нахо-
дится в заданном узком интервале, полностью определена (6.107).
Как уже упоминалось, один из возможных методов определения А — это
измерение eN тепловым прибором. Другие методы будут указаны ниже.
Если распределение вероятности величины eN определяется фор-
мулой (6.107) и частотные компоненты eN ограничены относительно
240
Глава VI
узким высокочастотным каналом, то, как показано в гл. VII, § 17
распределение вероятности огибающей eN будет
2
Р (Rn) dR„ = 2 AmNe~A'RN dRNj	(6.109)
где RN— огибающая (или амплитуда) eN и
=	(б-110)
Приведенные выше соотношения применимы, если имеется только
шум. Теперь предположим, что шум, имеющий средний квадрат
1/(2Д* 2), накладывается на несущую К cos2k Ft, так что результирую-
щий сигнал равен
^4-/<cos27rZ7.	(6.1 И)1)
Пусть R— огибающая колебания, определяемого (6.111). В гл. VII,
§ 17, показано также, что огибающая результирующего сигнала имеет
распределение вероятности
Р (R) dR = 2A2 Re"*(Е!+ /0(2Л2Л7?) dR.	(6.112) 2)
На фиг. 136 приведены графики, построенные по формуле (6.112)
для различных значений параметра У% АК= В. Здесь изображена
вероятность Р (/?) амплитуды R в зависимости от величин амплитуды
несущей К и от эффективного значения величины шумов 1/Д|/"2«
Точного описания формы процесса, изображенного на фиг. 135, дать
нельзя. Однако спектральное распределение мощности шумов опреде-
ляет степень его „зернистости" (среднюю быстроту чередования „зуб-
цов“).
Одно время много говорилось о „коэффициенте формы" шумов.
Он определялся как отношение наибольшей амплитуды к эффек-
тивному значению амплитуды. Для этого отношения были полу-
чены экспериментальные величины между 3,4 и 4,5. Если мы по-
смотрим на формулу (6.112), то увидим, что возможны пики
весьма большой величины, если только наблюдение будет достаточно
долго длиться. Однако форма кривой для одного шума (}/2Д/С=0)
на фиг. 136 показывает, что значения, которые можно ожидать для
*) Произведение
.	__ /эффективное значение несущей \
А \ эффективное значение шума /
является удобной для практики характеристикой сложного колебания, со-
держащего и сигнал и шум.
2) /0 — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого по-
рядка, которая разобрана в Приложении III.
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
241
коэффициента формы при практических интервалах наблюдения, на-
ходятся как раз между 3,4 и 4,5 х).
Фиг. 136. Распределение вероятностей значений огибающей, когда
на несущую налагается хаотический шум.
V—отношение значения огибающей к эффективному значению шума; АК—отно-
шение эффективного значения несущей к эффективному значению шума.
в) Постоянная составляющая и низкочастотные компоненты
на выходе линейного детектора*). Пусть шум и несущая, записан-
ные в виде (6.111), поданы на линейный детектор, имеющий харак-
теристику (статическую)
/=±=0 (при V<0),
(6.113)
I=aV (при V>0),
где /—ток детектора, а V — приложенное напряжение. Как показано
!) Райс вывел формулу для распределения вероятности максимумов
огибающей колебания [59]. Это распределение несколько отлично от распре-
деления вероятности мгновенных значений огибающей, даваемого форму-
лой (6.112). Однако формула (6.112) дает лучшее представление о том, как
долго нужно ждать, прежде чем появится амплитуда заданной большой
величины.	•
2) Формулы данного параграфа справедливы лишь в том случае, если
детектор можно считать безинерционным, т. е. при достаточной малости
постоянной времени его нагрузки. (Прим, ред.)
16 Зак. 2263. С. Гольдман.
242
Глава VI
в гл. VII, § 18, постоянная составляющая тока детектора равна
4 =	[(1-гЛ2№)/0(^)+^Л (^)] • (6.114)1)
Формула (6.114) дает зависимость постоянной составляющей тока
детектора от А и К. Из нее следует, что IDQ пропорционально эф-
фективному напряжению шума 1/Д)Л2 и зависит, кроме того, только
от отношения сигнала к шуму АК. Для случая одного шума (/С=0)
формула (6.114) приводится к виду
/ =----^ = -^=-^^ = 0,40—^.	(6.115)
лс 2А Уп	У2л А У2 А У2	v
Так как 1/Д]/!2 есть эффективная величина напряжения шума, то
отсюда следует, что выход линейного детектора для случая шума
равен 40% от выхода/ который получается, если на вход подается
постоянное напряжение с тем же эффективным значением 2). Отметим,
что формулы (6.114) и (6.115) справедливы для любого спектраль-
ного распределения мощности хаотических шумов.
Если К создается генератором сигналов и может меняться по жела-
нию, то А может быть определено при помощи линейного детектора
на основании (6.115), а К можно определить из соотношения (6.114).
Вообще говоря, более удобно определять А и К при помощи линей-
ного детектора, чем тепловым прибором. Графическое изображение
формулы (6.114) дано на фиг. 137, которая показывает, как растет
постоянная составляющая выходного тока с ростом уровня несущей
сигнала.
Весьма важным является также вопрос о величине выхода детек-
тора (при звуковой, видео- или другой передачах) в случае линейного
детектирования. Пусть /нч есть ток детектора за вычетом радиочастот-
ной и постоянной компонент. В гл. VII, § 18, показано, что средний
квадратичный эффект (мощность), соответствующий /нч, будет
+ Л«№)/0(^)+Л!№/, I'/Tj]'' (6.116)»)
*) /0 — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого по-
рядка, а 4 — модифицированная функция Бесселя первого рода первого
порядка. Об этих функциях см. в Приложении III.
2) Для сравнения можно отметить, что выход линейного детектора при
подведении синусоидального напряжения равен (У*2/тс) = 0,45 выхода для по-
стоянного напряжения с той же эффективной величиной.
3) Величина /нч в формулах (6.116)— (6.118) включает все частотные
компоненты огибающей (за исключением постоянного тока). Поэтому при
применении этих формул существенно, чтобы измерительное устройство не
подавляло какие-либо частоты, имеющиеся в огибающей подводимого к детек-
тору колебания.

Шумы, Общий обзор и методы расчетов
243
Для случая одного лишь шума (/С = 0) формула (6.116) перехо-
дит в
<6Л|7)
С другой стороны, для больших /С1) (6.116) переходит в
/г =____ct—
нч 2тс‘М2 •
(6.118)
Таким образом, для больших К уровень выходного сигнала не зависит
от К, а зависит только от уровня радиочастотных шумов. Это поло-
жение, конечно, изменится, если несущая сигнала будет модулирована,
Фиг. 137. Постоянная составляющая на выходе линейного дете-
ктора, на вход которого подаются шумы и несущая.
а — шум и несущая; б—та же несущая, шума нет; в—возрастание из-за шума;
1/ЛУ2—эффективное значение шума на входе; K/V2—эффективное значение несущей
на входе; а—постоянная детектирования.
что обсуждается ниже. График формулы (6.116) дан на фиг. 138.
Отношение величины (6.118) к величине (6.117) дает увеличение
шума, всегда наблюдаемое в радиоприемниках при настройке на не-
сущую. Это отношение равно
а2/2тс2Л2	_	2
(а2/4тсМ2) (4— тс) 4 — тс
2,33.
(6.119)
2) Точнее говоря, для больших значений AKt т. е. для больших значений
отношения сигнала к шуму. (Прим, ред.)
16*
244
Глава VI
Отношение, данное в (6.119), в действительности — минимальная
величина, которая наблюдается для отношения шумов с несущей к шумам
без несущей. В реальных приемниках две причины увеличивают это
отношение, причем часто во много раз. Одна из них связана с частот-
ной характеристикой низкочастотного тракта приемника. Так, если не-
сущая находится в центре полосы пропускания шумов и имеет боль-
шую амплитуду, то шумы на выходе низкой частоты довольно резко
ограничиваются полосой, простирающейся от нулевой частоты до
частоты, равной половине ширины полосы пропускания приемника.
Фиг. 138. Интенсивность переменной составляющей на выходе
линейного детектора, на вход которого подаются шумы и не-
сущая.
1/AV2—эффективное значение шума на входе; KIV2—эффективное значение
1-г	4тсД2
несущей на входе. По оси ординат отложены значения величины ——- i
Это можно объяснить тем, что низкочастотный шум в этом случае
появляется из-за биений несущей с отдельными компонентами шума.
Однако, когда несущей нет, то результат биений между частотными
компонентами шума дает частоты, простирающиеся от нулевой частоты
до частоты, равной полной ширине полосы пропускания приемника,
хотя выход и уменьшается на этих более высоких частотах. Кроме того,
асимметричные боковые полосы шума, которые практически дают только
частотную модуляцию при наличии большой несущей, дадут в от-
сутствие несущей увеличение гармоник частот биений шума, что еще
более расширяет диапазон низких частот. Следовательно, если низко-
частотный тракт приемника не имеет очень широкой полосы пропу-
скания, то интересующее нас увеличение превышает величину, давае-
мую формулой (6.119)1).
1) Эффект из-за асимметричных боковых полос особенно заметен
в современных системах телевидения.
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
245
Другая причина, ведущая к увеличению интересующего нас отно-
шения, состоит в том, что детектор при малых амплитудах не является
линейным. Это делает детектор относительно нечувствительным при
малых напряжениях, возникающих при наличии лишь одного шума,
и это явление часто вызывает значительное увеличение отношения
против даваемого формулой (6.119). По этой же причине при вычи-
слении шумов по формуле (6.114), т. е. по измерениям диодным
вольтметром, важно, чтобы уровень несущей был достаточно велик.
Если несущая К cos 2nFt модулирована, так что радиочастотный
сигнал имеет вид
К (1 + т cos 2npf) cos 2тгЕ/,	(6.120)
то обычная теория линейного детектора дает следующее выражение
для мощности переменной составляющей выходного тока:
_ a
7нчс 2л2
(6.121)
Сравнивая это с формулой (6.118), видим, что при малом , уровне
шумов отношение мощности сигнала к шуму будет выражаться так:
7нчо __	_
7ячш а2/2л2Л2
mW.
(6.122)
Таким образом, эффективная глубина амплитудной модуляции, соз-
даваемая шумами, равна 1/АК (см. упр. 3).
Упражнения
1.	Показать, что в соответствии с определением, данным в гл. V, § 3,
п. б>
эффективная глубина амплитудной модуляции=
l/" 2 (сРеДняя энергия симметричных боковых полос)
~~У	(средняя энергия несущей)
Это равенство применимо во всех случаях, когда антисимметричные боко-
вые полосы малы по амплитуде.
2.	Показать, что в соответствии с определением, данным в гл. V, § 3,
п. б, в том случае, когда имеется лишь пара антисимметричных боковых
частот и глубина модуляции мала,
эффективная глубина частотной модуляции»
__ и. 1/" 2 (средняя мощность антисимметричных ^боковых частот)
D Г	(средняя мощность несущей)
3.	Показать, что, согласно формуле (6.122), когда глубина модуляции
шумами мала,
эффективная глубина амплитудной модуляции, вызванной шумами —
__1/" (средняя мощность шумов)
У (средняя мощность несущей)
246
Глава VI
Сравнивая этот результат с результатом упражнения 1 и отмечая исчезнове-
ние множителя 2, мы видим, что существует равное распределение энергий
между симметричными и антисимметричными боковыми полосами, вызван-
ными шумами. Это является в основном следствием случайного распределе-
ния фаз в шумовых боковых полосах.
4.	Положим, что выход усилителя промежуточной частоты приемника
питает линейный детектор и что собственные шумы приемника вызывают на
выходе детектора постоянную составляющую, равную 1 ма. Предположим
затем, что к шуму добавляется немодулированная несущая. Чему будет
равна постоянная составляющая тока детектора, если а) средняя мощность
несущей равна средней мощности шумов, б) средняя мощность несущей
в два раза больше мощности шума? Для нахождения ответа можно исполь-
зовать фиг. 137.
Ответ: а) 1,44 ма\ б) 1,82 ма.
г) Квадратичная передающая система, в частности квадратич-
ный детектор. Предположим, что мы имеем квадратичную передаю-
щую систему с характеристикой пропускания
7=aIZ2+pV+Y,	(6.123)
где I—выход системы, V—приложенное напряжение и а, £ и у —
постоянные системы.
Такой системой может быть электронная лампа, работающая на
нелинейном участке характеристики, или квадратичный детектор. Для
этой системы, как показано в гл. VII, § 19, постоянная составляю-
щая на ее выходе равна
(бЛ24>
Так как у — постоянная, то можно ее либо сбалансировать, либо
вычесть из показаний и писать вместо (6.124)
4 = W(1 + ^2)-	(6-125)
Для одного шума, т. е. при К — 0, формула (6.125) превращается в
4 =	(6-126)
В этом случае постоянная составляющая определяет средний квадрат
шумов.
Теперь рассмотрим низкочастотную часть выхода квадратичного
детектора, имеющего характеристику, задаваемую формулой (6.123).
Как показано в гл. VII, § 19,
.^=-Йт(1 + 2^)-	(6-127)
Мы видим, что в этом случае шумы на выходе непрерывно возрастают
с ростом величины К. Как и в случае линейного детектора, одни
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
247
шумы дают на выходе широкий спектр, так что сужение полосы про-
пускания низкочастотного тракта уменьшает уровень шумов на вы-
ходе. ,
§	10. Оценка шумов. Коэффициент шумов, а) Введение. Для
того чтобы упростить рассмотрение шумов, надо ввести некоторые
количественные характеристики свойств шумов интересующих нас
типов. Здесь мы кратко обсудим количественные оценки 1) шумов
сигналов; 2) шумов приемников или усилителей; 3) шумов приемных
устройств в целом; 4) шумов передающих систем в целом.
б)	Оценка шумов сигналов. В качестве оценки шума сигнала берут
обычно отношение сигнала к шуму (отношение S/N). Эта величина
однако не стандартизована, и под отношением S/N можно понимать
или
или
эффективное напряжение сигнала	(6.128)
эффективное напряжение шума ’	
пиковое напряжение сигнала	(6.129)
пиковое напряжение шума ’	
средняя мощность сигнала средняя мощность шума ’	(6.130)
или другие отношения. Поэтому необходимо в каждом отдельном слу-
чае точно указывать, что именно имеют в виду, когда говорят об
отношении сигнала к шуму. Чаще всего под S/Л/ понимают отношение
эффективных напряжений.
Другой способ оценки шумов, содержащихся в сигнале, заклю-
чается в том, что указывается число децибел, на которое полезный
сигнал превышает шумы. Именно
101g
средняя мощность сигнала
средняя мощность шума
== уровень сигнала над шумами в децибелах.
(6.131)
Формула (6.131) дает довольно хорошую оценку шумливости звуко-
вого сигнала.
Во многих важных случаях, например при изучении эффекта шумов
в системах с ЧМ и импульсной модуляцией, предыдущие определения
совершенно недостаточны и необходимо описать свойства шумов
подробнее. Более того, в приемнике ЧМ или в приемнике импульсно-
модулированных колебаний один и тот же сигнал будет иметь на
промежуточной частоте и на звуковой частоте почти не связанные
между собой значения отношения S/N, независимо от того, каким опре-
делением для S/N пользоваться. Следовательно, отношение S/N
не может рассматриваться как полная характеристика свойств
шумов в сигнале, и поэтому часто требуется более подробное рас-
смотрение.
248
Глава VI
в)	Входной эквивалент шумов1). До войны широко применявшейся
мерой шумов радиоприемников являлся так называемый входной экви-
валент шумов полосы пропускания (ВЭШ). Эта величина имеет то
практическое преимущество, что ее легко определить экспериментально.
Однако имеются серьезные возражения против нее, особенно в случае
коротковолновых приемных устройств, в которых приемник предназна-
чается для работы с определенной антенной. Тем не менее для широко-
вещательных приемников ВЭШ продолжает оставаться стандартной
мерой шумов.
Эквивалент антенны
Сг200пф С2=Ч00пф - С-20ннг R = 400o*
Ф и*г. 139. Схема устройства для измерения входного
эквивалента шумов.
Для того чтобы измерить ВЭШ, приемник включают по схеме
фиг. 139. Величина ВЭШ определяется формулой
ВЭШ = mEs ,	(6.132)
где Ря — эффективная мощность шума на выходе, когда модуляция
сигнала на входе равна нулю, Ps—эффективная мощность сигнала
на выходе при подаче сигнала Ps^>Pn, Es — напряжение несущей
сигнала (эффективное значение немодулированной несущей) на входе,
т— глубина модуляции подводимого сигнала.
По условию, частота модуляции равна 400 гц, а глубина модуляции
несущей шумом и сигналом поддерживается относительно малой. Гене-
ратор стандартных сигналов должен иметь очень маленький или очень
большой импеданс, чтобы он был настолько рассогласован с экви-
валентом антенны и приемником, насколько это практически возможно,
и, таким образом, не передавал бы заметной мощности шумов в прием-
ник. При нашем определении ВЭШ дает эффективное значение напря-
жения шумов на входе в предположении, что приемник работает без
искажений. При этом ВЭШ не зависит от точной величины напряже-
ния на входе, от чувствительности приемника и от уровня громкости
на выходе. Он является непосредственной мерой (отнесенной к входу
приемника) шума, генерируемого в эквиваленте антенны и в приемнике,
1) Автор говорит об американской практике измерения шумов. Приводим
для справок употребляемый им термин: equivalent noise sideband input
(ENST). (Прим, ped.)
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
249
при условии, что от генератора сигналов в приемник не поступает
заметного шума.
ВЭШ является практически удобной мерой интенсивности шумои
широковещательных приемников. Однако эта мера недостаточно гибка.,
чтобы правильно оценивать приемники, предназначенные для работы
с нестандартной антенной. Для этой цели в последние годы была
введена более общая оценка. Это — коэффициент шумов, к рассмотре-
нию которого мы перейдем после предварительного ознакомления с не-
которыми определениями.
г)	Некоторые предварительные определения. 1. Номинальная
мощность сигнала. Если генератор сигналов включен в цепьг
как показано на фиг. 140, и активная составляющая его внутреннего'
Фиг. 140. Схема устройства для измерения коэффициента шумов.
импеданса есть /?0 (в омах), а э. д. с., которую он генерирует, есть Е&
(в вольтах), то максимальная [мощность, которую он может отдать
во внешнюю цепь, равна
£2
4-	<6ЛЗЗ>
Эта мощность развивается при условии согласования импедансов, т. е^
когда
и Х1=~ XQ,	(6.134)
где — активная составляющая входного импеданса цепи нагрузки^
Х1—реактивная составляющая входного импеданса цепи нагрузки^
XG — реактивная составляющая внутреннего импеданса генератора. Мы
назовем максимальную мощность, которую можно получить от гене-
ратора (при определенной установке ручек его управления), номинальной
мощностью сигнала и обозначим ее Sg. Таким образом,
Е2
<6Л35)
2.	Номинальное усиление мощности. Выходные клеммы
четырехполюсника, изображенного на фиг. 140, можно рассматривать
как источник мощности таким же образом, как и генератор сигна-
лов. Если внутренний импеданс выхода четырехполюсника есть R,
250
Глава VI
а эквивалентная э. д. с. сигнала, развиваемая в его выходной цепи,
есть Е, то номинальная мощность сигнала на выходе цепи равна
5 = -^.	(6.136)
Теперь мы определим номинальное усиление мощности (обозначим
его д) цепи как
а=/.	(6.137)
Так как цепь имеет в общем случае избирательную частотную харак-
теристику, то мы определим G как отношение (6.137) для частоты
середины полосы пропускания, если какая-либо другая частота не
«будет специально оговорена в частном случае.
3.	Эффективная ширина полосы. Если G? есть номиналь-
ное усиление мощности цепи при частоте /, то эффективная ширина
полосы в цепи определяется как
B =	(6.138)
4.	Номинальная мощность шум а. Идеальный, с точки зре-
ния шумов, генератор сигналов не должен генерировать никаких шумов
на своем внутреннем активном, сопротивлении /?0, кроме теплового
шума. Таким образом, номинальная мощность шума от идеального
генератора сигналов в частотном интервале df должна быть
Еп ^kTRdf
4^=^^------------kTdf'	<б-139>
Если четырехполюсник на фиг. 140 является трансформатором без
потерь или фильтром, имеющим чисто реактивные сопротивления, то
активная составляющая R внутреннего выходного импеданса цепи будет
просто пересчитанным сопротивлением /?0 генератора. Так как четырех-
полюсник в этом случае не имеет собственных источников шумов, то
номинальная выходная мощность шумов определяется только тепловыми
шумами /?0, преобразованными к сопротивлению /?, но по интенсив-
ности она попрежнему равна
kTdf.
Если четырехполюсник дает увеличение мощности, но не генерирует
«собственных шумов, то номинальная выходная мощность шума с учетом
всех частот будет при использовании определения (6.138) равна
kTBG.	(6.140)
Так как (6.140) дает номинальную выходную мощность шума идеаль-
ного четырехполюсника, который не генерирует собственных шумов,
то мы определяем
Nq — kTB	(6.141)
Шумы. Общий обзор и методы расчетов	251
как идеальную номинальную входную мощность шума четырех-
полюсника, имеющего такую же характеристику усиления, как у идеаль-
ного четырехполюсника.
Если генератор сигналов с точки зрения шумов не идеален, он
создает больший уровень шума, чем следует по формулам (6.139)
и (6.140). Вообще говоря, четырехполюсник, изображенный на фиг. 140,
не будет работать как идеальный генератор сигналов. Мы обозначим
его номинальную выходную мощность шума через N.
д) Коэффициент шумов четырехполюсника 9- С помощью при-
веденных выше определений мы можем теперь ввести коэффициент
шумов четырехполюсника как меру его шумливости. Мы определяем
коэффициент шумов F четырехполюсника как отношение
S^___2V_2)
S/N ~ GkTB ’	v
где Sg — номинальная входная мощность сигнала, kTB — идеальная
номинальная входная мощность шума, S — номинальная выходная мощ-
ность сигнала, N—номинальная выходная мощность шума. Коэффи-
циент шумов четырехполюсника является, таким образом, отношением
действительной номинальной выходной мощности шумов к номинальной
выходной мощности шумов идеального четырехполюсника, имеющего
такую же характеристику усиления. Поэтому коэффициент шумов
идеального четырехполюсника, который не создает собственных шу-
мов, равен единице (F=l); соответственно часть коэффициента шу-
мов, обязанная своим происхождением внутренним шумам какого-нибудь
четырехполюсника, равна F—1.
Для того чтобы сделать наше определение коэффициента шумов
полным, надо еще выбрать температуру Т идеального генератора си-
гналов. Для удобства вычисления будем считать
Т= 290° К == 17° С.	(6.143)
При этом мы имеем
kT = 4 • 10-21 втсек.	(6.144)
После обсуждения способов измерения коэффициента шумов и
расчета коэффициента шумов сложных систем мы вернемся к рассмо-
трению и обсуждению достоинств и недостатков коэффициента шумов
как меры шумливости четырехполюсника.
е) Измерение коэффициента шумов. Измерение коэффициента
шумов обычно производится по схеме, приведенной на фиг. 140.
х) Понятие коэффициента шумов четырехполюсника введено Фрисом [60].
Большая часть § 10 основана на его статье.
2)	Часто коэффициент шумов выражают в децибелах, чтобы указать в деци-
белах превышение шумов над шумами идеального приемника. Однако когда
мощности шумов складываются, то нельзя применять децибелы. Таким обра-
зом, децибелы должны применяться лишь для выражения полных шумов
приемника. Ими нельзя пользоваться в промежуточных вычислениях.
252
Глава VI
Согласно определению, выходной импеданс генератора должен быть
согласован с входным импедансом четырехполюсника по всему инте-
ресующему нас диапазону частот, так что в четырехполюсник посту-
пает полная номинальная мощность как сигнала, так и шума. Обычно,
однако, это требование на практике смягчается, так как условия со-
гласования импедансов одинаковы для сигнала и для шумов, и согла-
сование достигается лишь на частоте середины полосы пропускания,
иногда даже не вполне точно. Это вносит некоторую ошибку, проис-
ходящую из-за различного спектрального распределения сигнала и
шумов. Так же обстоит дело и на выходе четырехполюсника.
Если выход генератора сигналов отрегулирован так, что полный
эффект (по мощности) на выходе четырехполюсника от шумов и сиг-
нала будет в два раза больше, чем от одних шумов, то
S = N.
Так как, кроме того,
S = GSg,
то из (6.142) следует, что
Q	/?2	р'2
Р___	= со
~ kTB ~ M^kTB = R^kTB 7
(6.145)
(6.146)
(6.147)
где для АГ можно принять величину, данную в (6.144), Eq— напряжение
на клеммах генератора сигналов, равное EQ/2, когда импедансы согла-
сованы, Rq — входное сопротивление четырехполюсника, равное /?0,
когда импедансы согласованы.
Применение последнего выражения в (6.147) допустимо только
в том случае, если выходной импеданс генератора сигналов и входной
импеданс четырехполюсника не имеют реактивных составляющих.
Формула (6.147) является стандартной при измерениях коэффици-
ента шумов. Техника определения £0, /?0 и Я. или Ео, Rq и В на очень
высоких частотах, представляющая для практики большой интерес,
выходит за рамки этой книги. Часто применяется шумовой генератор
как генератор сигналов, так как такой генератор, давая малый уро-
вень мощности, легко регулируется и калибруется, что облегчает
измерение полного выхода от шумов и сигнала. При этом также не
возникает вопрос о том, как реагирует второй детектор отдельно на
шумы и на сигнал. Рассмотрение шумовых генераторов заслуживает
некоторого внимания.
ж) Шумовые генераторы. Одним из самых простых и наиболее
употребительных типов шумовых генераторов является диод в режиме
насыщения. Выходная мощность его шумов может быть высчитана
очень точно с помощью формулы (6.41) для частот малых по сравне-
нию с частотой, при которой сказывается время пролета, но больших
по сравнению с частотой, при которой существенен эффект мерцания.
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
253
Фиг. 141. Диод, в режиме
насыщения, используемый в
качестве генератора шумов.
/?0 и Хо изменяются для согласова-
ния со входом приемника.
Применяя большие анодные напряжения и близкое расположение элек-
тродов. можно добиться того, чтобы рабочий диапазон простирался
до очень высоких частот. На еще более высоких частотах выход
можно калибровать тепловым прибором или
детектором.	I	I \
Согласно (6.41), флюктуации тока диода
в режиме насыщения равны
=	, (6.148)
где х— заряд электрона = 1,60 • 10“19
кулона, I—средний анодный ток в ампе-
рах, Д/7—ширина полосы в герцах, 1$ —
в амперах.
Если включить диод, как показано на
фиг» 141, то, как следует из § 5, диод
мбжно рассматривать [см. (6.37)] как гене-
ратор э. д. с. шумов вёличины
Ех==/(^ + 4) 2х/ДР, (6.149)
имеющий выходной импеданс R0-[-JX0. Собственный импеданс диода
для переменного тока нужно учитывать при расчете эффективных
значений /?0 и XQ согласно § 6, п. в. Активная компонента этого
импеданса для диода в режиме насыщения бывает обычно так велика,
что ею можно пренебречь, но важна шунтирующая собственная емкость
диода. Когда измеряется коэффициент шумов, величина Х$ дожна быть
отрегулирована так, чтобы скомпенсировать реактанс входа четырех-
полюсника, подлежащего измерению. Тогда можно считать, что шумо-
вой генератор создает э. д. с. 7?0 ]/*2x/AF, имеет внутреннее после-
довательное сопротивление RQ и работает на активный вход. При этом
получаются наиболее удобные условия для измерения коэффициента
шумов. Можно легко изменять выход генератора шумов, регулируя
ток накала и меняя таким образом I. Диод в режиме насыщения
является очень удобным генератором шумов для обычных и умеренно
высоких частот. На самых высоких частотах нужно применять спе-
циальные генераторы шумов более сложных типов.
з)	Коэффициенты шумов каскадно включенных четырехполюс-
ников. Предположим, что мы имеем два четырехполюсника а и б,
каскадно включенных, как это показано на фиг. 142, и мы хотим
знать коэффициент шумов всей системы.выраженный через коэффициент
шумов отдельных четырехполюсников. Для этого рассмотрим сначала
всю систему как единый четырехполюсник. Тогда, согласно (6.142),
номинальный выход шумов Nab равен
^аЪ	ab@ atfeTB
(6.150)
254
Глава VI
где индекс ab относится ко всей системе, а а и b относятся к от-
дельным четырехполюсникам. Для простоты положим, что полосы про-
пускания обоих четырехполюсников идентичны и равны, следовательно,
полосе всей системы. Тогда
ВаЬ = Ва = Вь = В.	(6.151)
Из фиг. 142 ясно также, что
Gob=GoGb.	(6.152)
Применяя (6.142) к отдельному четырехполюснику я, мы имеем
Na = FaGakTB.	(6.153)
Эти шумы вызовут на выходе четырехполюсника b шумы
GbNa—F aGbGakTB,	(6.154)
если четырехполюсник b не генерирует собственных шумов. Кроме
Фиг. 142. Каскадное соединение двух цепей.
того, согласно § 10, п. д, собственные шумы четырехполюсника на
его выходе равны
(Fb—l)GbkTB.	(6.155)
Общие шумы на выходе b равны сумме (6.154) и (6.155). Таким
образом,
Чь .= (Fb— 1) GbbTB + FaGaGbkTB =
=(Fa + ^1) GaGbkTB =	+ ^=^-) GabkTB. (6.156)
Сравнивая (6.156) c (6.150), имеем
Fab=Fa-^^-±.	(6.157)
Это дает коэффициент шумов системы из двух каскадно включенных
четырехполюсников, выраженный через коэффициенты шумов отдель-
ных четырехполюсников и усиление первого четырехполюсника. Вывод
формулы (6.157) основан на предположении, что полосы пропускания
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
255
обоих четырехполюсников идентичны. Если это не так, то формула
для Fab будет более сложной.
Формула (6.157) может быть легко обобщена на случай большего
числа четырехполюсников. Так, если имеется три четырехполюсника аг
b и с, каскадно соединенных, то
^ = ^ + ^ = Fo+^ + -%=J-.	(6.158>
Если усиления отдельных четырехполюсников много больше единицы,,
то будет существенен лишь коэффициент шумов первого четырех-
полюсника.
Проведенное в § 8, п. в рассмотрение вопроса о влиянии вели-
чины связи между антенной и выходным контуром на отношение си-
гнала к шуму показывает, что наилучший коэффициент шумов системы
из двух четырехполюсников !) получается не обязательно тогда, когда
импедансы четырехполюсников согласованы. Методы, примененные
в § 8, п. в, могут быть использованы при исследовании отдельных
частных случаев.
и)	Измерение коэффициента шумов каскадно включенных
четырехполюсников. Если имеются два каскадно включенных четы-
рехполюсника (фиг. 142) и если усиление первого четырехполюсника
мало, то приходится определять его коэффициент шумов косвенным
образом. Это может случиться, например, когда четырехполюсник а
является высокочастотным каскадом приемника сверхвысоких частот.
В этом случае надо найти Fb и Fab стандартным способом измерения
коэффициента шумов, определить усиление Qa четырехполюсника а,
включая и выключая его, а затем вычислить Fa по формуле (6.157).
Второй метод измерения Fa и Fab связан с так называемой вели-
чиной У составного четырехполюсника. Предположим, что вход четы-
рехполюсника b соединен с пассивным импедансом* 2), величина кото-
рого равна выходному импедансу четырехполюсника а. Тогда шумы,
на выходе четырехполюсника равны
Nb = FbGbkTBb.	(6.159)
Теперь определим Y формулой
У =	(6.160)
Из (6.150), (6.159) и (6.160) следует, что
„ FbY Bb	{r.
а Dab
i) Двумя четырехполюсниками в этом случае являются цепь антенны и
остальная часть приемника.
2) Пассивный импеданс — это такой импеданс, который не содержит
никакой э. д. с., кроме собственных нормальных тепловых шумов.
256
Глава VI
Если мы учтем сделанное ранее укрощающее предположение о равен-
стве полос, то (6.161) превращается в
=	(6.162)
иа
о
Подставляя (6.162) в (6.157), получаем
(6-163)
•Формулы (6.162) и (6.163) часто являются удобными формулами для
определения Fa и Fab, ибо в ряде случаев легче измерить Fb, Y и Gfl,
чем Fa или Fab.
к)	Коэффициент шумов как мера интенсивности шумов. Коэф-
фициент шумов четырехполюсника, в частности приемника, стал в по-
следние годы основной мерой уровня шумов. Рассмотрим кратко
достоинства и недостатки применения этой величины как характе-
ристики шумов.
Основное достоинство коэффициента шумов в том, что он непо-
средственно сравнивает реально получающийся шум с шумом, кото-
рый должен был бы получаться, если бы четырехполюсник был идеаль-
ным (относительно шумов). Это — абсолютная мера шумового качества,
и она непосредственно указывает, возможно ли и имеет ли смысл
пытаться уменьшить уровень шумов. Вторым преимуществом коэф-
фициента шумов является то, что он применим вообще ко всем четы-
рехполюсникам, а не ограничивается приемниками. Наконец, метод
коэффициента шумов удобен тем, что он дает простой способ для
определения коэффициентов шумов четырехполюсников, соединенных
каскадами.
Наряду с этими преимуществами имеются некоторые недостатки,
важность которых должна быть оценена. Основной недостаток опре-
деления коэффициента шумов заключается в том, что оно предпола-
гает, что действительная кривая селективности (зависимость усиления
•от частоты) четырехполюсника является оптимальной для лучшего отно-
шения сигнала к шуму на выходе. В гл. IV мы обсуждали влияние ширины
полосы пропускания на отношение сигнала к шуму для простейшего
случая равномерного усиления в пределах полосы пропускания и нашли,
что существует оптимальная ширина полосы. Коэффициент шумов при
нашем определении не учитывает того, что четырехполюсник может
обладать неподходящей характеристикой пропускания, хотя это свя-
зано с серьезным ухудшением его шумовых качеств. Для того чтобы
отделить шумовую и селективную характеристики, предлагалось
определять коэффициент шумов для узкой полосы частот df отноше-
нием
F = rdbTHf-	(6-164)
(jfklaf	v 7
Шумы. Общий обзор й Методы расчетов
257
Такой „дифференциальный коэффициент шумов*, являющийся функ-
цией частоты, также описывает шумовые свойства четырехполюсника.
Несмотря на то, что эта величина представляет интерес, реальная
величина, интересующая нас, есть отношение действительно наблю-
даемых шумов к величине, которая может быть достигнута при
наилучших условиях. Другими словами, в действительности нужен
правильно определенный коэффициент шумов F, который отражал бы,
насколько близка характеристика пропускания приемника к характе-
ристике, наивыгоднейшей с точки зрения отношения сигнала к шуму.
Другой важный вопрос — уровень шумов по промежуточной частоте
и зеркальному каналу приемника. Если приемник реагирует на имею-
щийся на входе шум на промежуточной частоте или частоте зеркаль-
ного канала, то это должно быть отражено в его характеристиках.
Чтобы решить этот вопрос, мы можем распространить интеграл в
формуле (6.138) лишь на основной канал. Тогда любое усиление, ко-
торое имеет приемник в целом на промежуточной частоте и по зер-
кальному каналу, не будет влиять на ширину полосы В9 которая
входит в формулу (6.142), определяющую коэффициент шумов. При
таком определении В коэффициент шумов будет учитывать шумы по
промежуточной частоте и зеркальному каналу.
л)	„Абсолютная чувствительность* или „чувствительность
по напряженности поля* приемного устройства1). Мы уже обсу-
дили оценки шумов сигналов и приемников или четырехполюсников.
Вернемся теперь к оценке шумов всего
приемного устройства. При оценке всего
приемного устройства важно знать, какая
требуется напряженность поля поступаю-
щего сигнала для того, чтобы сигнал
превышал шум. Для определенности Норт
оценивал приемные устройства по величине
напряженности поля, которая требуется для
того, чтобы на выходе сигнал и шумы были
равны. Он назвал численную ^величину на-
пряженности такого поля абсолютной
чувствительностью приемного устройства.
Для большей точности мы будем называть
эту величину чувствительностью по на-
пряженности поля.
На фиг. 143 дана схема приемного
активная компонента импеданса антенны,
сигнала, которую может получить приемник от антенны, равна
Ф и г. 143. Схема приемного
устройства.
устройства. Если Ra есть
то номинальная мощность
(6.165)
(£7z)2
*)См. работу Норта [61].
17 Зак. 2263. С. Гольдман.
258
Глава Vt
где Е — напряженность поля поступающего сигнала и h — действую-
щая высота антенны. В то же время общая номинальная мощность
шумов равна
kB
TaRa + TR
Ra±R >
(6.166)
где Та — эффективная температура сопротивления излучения [опреде-^
лена формулой (6.90)], В — ширина полосы, Ra— сопротивление
излучения антенны, R — омическая компонента сопротивления антенны,
так что
Ra R = Ra.
(6.167)
Мощность сигнала на выходе приемника будет
4Ra + R)
cG,
(6.168)
где О — усиление приемника по мощности, а с — отношение действи-
тельной мощности сигнала в приемнике к номинальной мощности сиг-
нала. В то же время мощность шума на выходе приемника равна
TaRa + TR
kB Ъ - с0 + kTB {Г— 1) cG.	(6.169)
Последний член в (6.169) обязан шумам, генерируемым в самом
приемнике. Для хорошо сконструированной установки постоянную с
в (6.169) можно положить равной с в (6.168).
Согласно данному выше определению, чувствительность по напря-
женности поля есть та величина Е, при которой выражения (6.168)
и (6.169) равны. Если мы обозначим чувствительность по напряжен-
ности поля через Е& то
El = ^[TARA 4- TR+ T(RA +R)(F-1)].	(6.170)
Действующая высота h зависит от поляризации и направления
распространения падающей волны. Норт [61] показал, что действую-
щая высота может быть выражена через длину волны X, диаграмму
направленности по мощности антенны £)9(а, (3, ср) и через сопротивле-
ние излучения Ra. Именно:
кЦа, р, ?) = _^D’(a, р, ф),	(6.171)9
т) D2 (а, р, ср) нормировано так, что его среднее значение по всем воз-
можным значениям а, р и ср равно единице.
Шумы. Общий обзор й методы расчетов	259
где а и р — угловые координаты, определяющие направление прихода
волны, а ср определяет направление ее поляризации. Подставляя (6.171)
в (6.170), получим
=	у)tТаRa+T(Ra-[-/?)(F-1)], (6.172)
Это общая формула для чувствительности по напряженности поля.
Если 7? очень мало, то ^на переходит в
9	960к2£ГВ / ТА \
Ei =	+ Т -<6'173>
где, как мы раньше условились, можно положить Т — 290° К. Вели»
чина (Р-\-Тд!Т—1) называется, согласно Норту, рабочим коэф*
фициентом шумов. Формула (6.173) дает зависимость чувствитель-
ности по напряженности поля от длины волны, направленности антенны,
шумов приемника и внешних шумов. Однако практическое значение
этой формулы ограничивается трудностями определения Da(a, р, <р)
и Та- Но эти трудности не являются непреодолимыми, а так как
чувствительность по напряженности поля есть величина, представ-
ляющая большой интерес при оценке приемных устройств, то
определение повидимому, найдет более широкое распростра-
нение.
Величина Та—эффективная температура сопротивления излуче-
ния— имеет большое практическое значение. Эта величина зависит
от диаграммы направленности антенны и от длины волны. В широко-
вещательном диапазоне Та из-за атмосферных помех много больше
стандартной температуры (Т = 290° К). На частотах выше 50 мгц
Та продолжает оставаться больше стандартной температуры в город-
ской местности в дневное время из-за так называемых индустриальных
помех и во всех местностях во всякое время в определенных напра-
влениях приема благодаря космическим помехам. Однако, повиди-
мому, на очень высоких частотах и с антенной, направленной
так, чтобы исключить космические помехи, насколько это воз-
можно, удается получить величину Та меньше стандартной темпе-
ратуры.
м) Оценка шумов систем передачи. Прежде чем покончить с рас-
смотрением методов оценки шумов, нужно сказать несколько слов
об оценке шумов систем передачи, включая в это понятие как пере-
датчики, так и приемники. Основной величиной, имеющей для нас
интерес, является мощность, которая требуется для того, чтобы по-
лучить определенную дальность связи в километрах. Другим интерес-
ным вопросом являются свойства системы подавлять шумы на выходе,
после превышения определенного порога отношения сигнала к шуму»
17*
260
Глава Vt
Свойства ЧМ и импульсной модуляции подавлять шумы рассматри-
ваются в следующих параграфах. Здесь же необходимо только сказать,
что пока речь идет о дальности связи, определяемой возможностью
выделения сигнала из фона неизбежных хаотических шумов, то ока-
зывается, что для заданной средней мощности передатчика не суще-
ствует систем лучше, чем системы с обычной амплитудной модуляцией.
Несколько иначе обстоит дело в системах, подавляющих шумы на
выходе при сигналах, превышающих уровень шумов на входе;
в этих системах величина получаемого уменьшения шумов зависит
от ширины полосы и от специфических свойств различных типов
модуляции !).
Упражнения
1.	Показать, что если собственные шумы усилителя создаются лишь ак-
тивной составляющей импеданса цепи сетки первой лампы, то коэффициент
шумов усилителя Л = 2.
2.	Показать, что если входные клеммы усилителя подсоединены непо-
средственно к сетке первой лампы и к корпусу и если первая лампа имеет
большое усиление и пренебрежимо малое эквивалентное шумовое сопроти-
вление, то коэффициент шумов усилителя F=l. Все шумы в этом случае
приходят с сигналом. В самом усилителе шумы не генерируются.
3.	Показать, что если входная цепь усилителя имеет активную составляю-
щую 7?0 между сеткой и корпусом и если первая лампа имеет эквивалентное
шумовое сопротивление /?экв, то
при условии, что в усилителе после первой лампы никакого заметного шума
не создается.
§ 11. Шумы на частотах, для которых существенна входная
проводимость лампы, а) Введение. Теория дробового эффекта на
таких высоких частотах, при которых временем пролета нельзя прене-
бречь, обсуждена кратко в гл. VIII, § 8. Здесь мы лишь опишем ре-
зультаты и покажем их практическое применение. Теория предсказы-
вает, что для случая диода в режиме насыщения дробовые шумы по-
степенно должны падать с частотой, если время пролета становится
заметным. С другой стороны, для диода с пространственным зарядом
теория предсказывает, что дробовые шумы будут возрастать с часто-
той, если время пролета становится заметным, потому что эффект
депрессии шумов пространственным зарядом при этом уменьшается.
Для практически более важного случая триода с отрицательным на-
пряжением на сетке при наличии пространственного заряда в дополне-
ние к увеличению дробовых шумов, которое имеется в диоде, появляется
еще дробовой шум, индуцируемый в сеточной цепи флюктуациями
*) Более полное рассмотрение этого вопроса дано в статье автора [62].
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
261
анодного тока, когда они проходят сетку. Оказывается, что на тех
частотах, для которых становится значительным этот дробовой шум,
индуцируемый в сетке, возникает также заметная входная проводимость
лампы. В гл. VIII, § 8, показано, что величина флюктуаций сеточного
тока, возникающих из-за индуцированного на сетке дробового эффекта,
определяется формулой
zJ=l,43(4ATc^AF),	(6.174)
где gg— входная активная проводимость лампы, а Те — температура
ее катода. Отсюда вытекает, что входная активная проводимость
лампы может быть рассматриваема как источник тепловых шумов.
Однако ее эффективная температура (1,43Те) примерно в пять раз
больше комнатной температуры, так что мощность шумов, которые
генерируются, соответственно в пять раз больше. Таким образом, мы
можем заключить, что из-за времени пролета дробовой эффект воз-
растает с частотой и, кроме того, что он значительно больше для
ламп с сетками, ием для диодов.
б)	Крутизна преобразования линейного детектора. Сейчас мы не-
надолго отклонимся в сторону, для того, чтобы подсчитать крутизну
преобразования линейного детектора при его работе в качестве преобра-
зователя. Предположим, что мы имеем линейный детектор, имеющий
вольтамперную характеристику
i = ge (когда е > 0), )
•а \	'	(6.175)
i = о (когда е <С 0), J
где I — ток, е — напряжение, a g— постоянная. Таким детектором
может быть или диод, или кристалл, работающие при больших уровнях
сигнала. Теперь предположим, что мы подводим к детектору напряжение
е = A cos (0/4- В cos [fo> а)/],	(6.176)
где /IcosooZ—большой сигнал, создаваемый местным гетеродином
супергетеродинного приемника, а В cos [(00 4~ a) fl—относительно ма-
лый поступающий сигнал. Напряжение е, а также его огибающая
показаны на фиг. 144. Если мы обозначим через R огибающую е, то,
согласно формулам (5.42), (5.44), при В!А 1
R=* А-\-Bcvsat.	(6.177)
Если на выходе детектора высокие частоты со и а и т. д. отфиль-
трованы и если а)^>а, то, как это ясно из фиг. 144, оставшийся
входной ток i будет приблизительно равен
ix =	= —-1- cos а/,	(6.178)
1 к тс 1 к ’	7
262
Глава VI
так как средняя величина половины синусоидального колебания будет
равна 1/к от ее максимального значения, т. е,
«
±J/?osin^d(<»/)==^ = ^.	(6.179)
О
Так как а — промежуточная частота, то из (6.176) и (6.178) следует,
что крутизна преобразования линейного детектора имеет величину
(6.180)
в)	Преобразователи сверхвысоких частот. В свете предыдущего
вывода мы сейчас кратко обсудим преобразователи сверхвысоких
частот с точки зрения их шумливости. Этот вопрос весьма важен, так
как преобразователь является одним из основных, если не самым
основным, источников шумов на весьма высоких частотах.
В § 6, п. з, указывалось, что триодный смеситель шумит меньше,
чем пентод или какой-либо другой многосеточный смеситель или пре-
образователь. Следовательно, триоды предпочтительнее других типов
смесителей, рассмотренных в § 6, п. ж и з. Однако на сверхвысоких
частотах наличие дробового шума, индуцируемого на сетке триода,
приводит к тому, что диод, который не имеет такого шума, может
быть менее шумливым преобразователем. Формула (6.71) показывает,
что эквивалентное шумовое сопротивление триодного смесителя на
низких частотах равно
(триод)	(6.181)
°	1 Sc
Если время пролета становится заметным, мы должны прибавить к нему
эквивалентное сопротивление дробового шума, индуцируемого на сетке,
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
263
согласно (6.174). Тогда получим
Яэкв (триод) =	+ 1,43	-L.	(6.182) 1)
°	' £с	Т gg
/?эвв еще больше возрастет, если мы учтем, что эффект депрессии
шумов пространственным зарядом перестает сказываться.
Для сравнения с (6.182) имеем, согласно (6.43) и (6.180), сле-
дующую формулу для диодного детектора:
Яэвв (диод) = 0,644 Ь1 = 0,644 ^4.	(6.183)
Для кристаллического детектора, согласно (6.180), имеем
/?эвв (кристалл) =-2-=.	(6.184)* 2)
6С <8
Из формул (6.182) — (6.184) мы можем сделать вывод, что из
трех рассмотренных случаев наименьший шум создается в преобра-
зователе, если используется кристалл, а наибольший шум создается
в преобразователе с триодом. Но окончательные выводы зависят от
практически достижимых величин различных проводимостей, от того,
возможно или нет практически согласовать импедансы антенны и
входной цепи с входным импедансом преобразователя, или, точнее,
возможно ли получить импедансы, которые' требуются для оптималь-
ного согласования, при котором шумы будут минимальны. Нужно
также указать, что большое усиление преобразователя на триоде,
особенно на низких частотах, делает менее вероятной заметную долю
шумов от следующих ламп. Следовательно, нельзя сделать категоричес-
кого утверждения о том, какого типа преобразователь является луч-
шим в каком-либо конкретном случае, без детального изучения дан-
ного случая.
г)	Входная проводимость из-за индуктивности в катоде*). Мы
уже говорили о том, что из-за времени пролета в триодах появляется
входная активная проводимость, и отмечали, что эта входная прово-
*) Последний член в формуле (6.182) может дать ошибочное представле-
ние о том, что увеличение величины gg уменьшает шумы триодного смеси-
теля. В действительности член 1,43Ге/Г^ представляет эквивалентное шумо-
вое сопротивление в сетке только в том случае, если gg много больше, чем
проводимость контура в цепи сетки. Если это не выполняется, то внешняя
сеточная цепь шунтирует большую часть дробового шума, индуцируемого
на сетке.
2) Обычно шумы кристаллического детектора [Превышают шумы, вто-
рые определяются сопротивлением кристалла и температурой, что указывает
на наличие каких-то < ^контактных* шумов. [Вопрос о шумах кристаллических
детекторов весьма ^сложен? и еще мало исследован. (Прим. ред.)\
3) Более полное обсуждение этого и смежных вопросов дается Стрэттом
и Ван-дер-Цилем[63].
264
Глава VI
димость может рассматриваться как источник шумов. Теперь обсудим
другую причину появления входной проводимости на сверхвысоких
частотах, а именно индуктивность в цепи катода, и исследуем ее
влияние на шумы.
На фиг. 145 дана схема входа лампы, на которой С—емкость
сетка — катод, L — индуктивность в цепи катода. Покажем, что
обратная связь через L дает увели-
Фиг. 145. Входная цепь лампы,
имеющей индуктивность в цепи
катода.
Фиг. 146. Замена большого актив-
ного сопротивления, включенного
параллельно, малым активным со-
противлением, включенным после-
довательно.
Пусть eQ— напряжение сетка — земля (входное), ех — напряжение
сетка — катод, е2 — напряжение на L, Zo — входной ток, ia — анод-
ный ток. Тогда
Далее
ео = е\ + е2 = —+7 Go + Q
; — № =
°	га + % а	(ra -f- Za) ’
(6.185)
(6.186)
где га — внутреннее сопротивление лампы, Za — анодная нагрузка
лампы, причем ra-\-Za'^>> &L. Подставляя (6.186) в (6.185), имеем
«0 == —Л [^С —	+ 7 a>C(ra + Zo)] •	187)
Входной импеданс лампы равен, очевидно, отношению
=	—— -4+/W.	(6.188)
*0 (ro Т Za) , <»С ' J	v '
Пусть	'
И шС(га + ^о)
что обычно выполняется на практике. Преобразуем последовательное
активное срнротивление в эквивалентное параллельное сопротивление.
Используя метод, показанный на фиг. 146, получаем
эффективное параллельное входное сопротивление =
—= Г-^с ’ <6-189)
pvL/vC (ra + Za) y<£>2L,C v 7
Шумы, Общий обзор и методы расчетов
265
откуда эквивалентная активная проводимость равна
^LC
ra + Za ‘
(6.190)
Формула (6.190) или (6.189) выражает входную нагрузку, вызывае-
мую индуктивностью в цепи катода.
Сравнение формулы (6.190) с формулой (8.51) показывает, что
как входная проводимость, вызванная индуктивностью в катоде, так
и входная проводимость из-за времени пролета возрастают пропор-
ционально квадрату частоты. Однако их влияние на шумы различно.
Возрастание шумов из-за катодной нагрузки — это возрастание дро-
бовых флюктуаций анодного тока из-за обратной связи через L.
Однако в то же время эта обратная связь вызывает увеличение сиг-
нала практически на такую же величину. Так как напряжение обрат-
ной связи на L находится в квадратуре как к напряжению на сетке,
так и к анодному току, то нужно складывать мощности сигнала
обратной связи и шумов обратной связи с мощностями исходных
величин сигнала и шума.
Следовательно, отношение сигнала к шуму не меняется обратной
связью через индуктивность в цепи катода.
Методы нейтрализации входной проводимости, происходящей как
из-за времени пролета, так и из-за индуктивности в цепи катода,
изложены во многих местах1). Однако такая нейтрализация не устра-
няет дробовых шумов, индуцированных на сетке.
§ 12. Ослабление шумов при частотной модуляции, а) Вве-
дение. В гл. V, § 5 и 8, мы обсуждали уменьшение помех от ме-
шающей станции, получающееся при применении широкополосной
частотной модуляции вместо амплитудной модуляции. С этим явле-
нием тесно связано уменьшение шумов на выходе, получающееся при
применении ЧМ. Прежде чем заниматься количественным анализом
этого вопроса, рассмотрим физическую картину явления.
При широкополосной частотной модуляции колебания частота
меняется в такт с модулирующим сигналом. Для определенности рас-
смотрим простой ЧМ сигнал
а = A sin(2TrF/-|“~- sin2ir^.	(6.191)
Здесь а — мгновенное значение ЧМ сигнала, А — его амплитуда,
t—время, F— несущая частота, р— частота модуляции и AF—пи-
ковое значение отклонения частоты от ее немодулированного значе-
ния F. Если AF много больше, чем р, то говорят, что сигнал имеет
широкополосную частотную модуляцию.
!) См., например, [22]. [См. также [24]. (Прим. /?ед.)]
266
Глава VI
Распределение амплитуд и частот колебания, определяемого (6.191),
показано на фиг. 147. Подробное исследование соотношений ампли-
туд, фаз1) и частот этих боковых полос друг к другу и к несущей
показывает, что эти соотношения таковы, что вызывают большую
девиацию ДГ частоты колебания, происходящую со скоростью ча-
стоты модуляции р. Если же амплитуды и фазы боковых полос будут
распределены случайно, то девиация частоты с частотой модуляции р
будет очень сильно уменьшена. В этом состоит первая причина,
из-за которой ЧМ уменьшает шумы, так как именно для шумов
характерно случайное распределение боковых частот.
Когда складываются несущая	и отдельная боковая по-
лоса A2coso)2£, девиация частоты колебания, вызываемая боковой
Ф и г. 147. Распределение боковых частот сигнала при широкополосной
частотной модуляции.
полосой, согласно формуле (5.48), пропорциональна <о2 — а ча-
стота модуляции равна (1/2к) (со2 — (dJ. Следовательно, если случай-
ное распределение шумовых боковых полос складывается с несущей,
то те боковые частоты, которые вызывают наибольшее отклонение
частоты колебания, дадут высокие частоты модуляции. При широко-
полосной частотной модуляции, как, например, в ЧМ широковеща-
тельной системе, применяемой в США, большинство этих компонент
частотной модуляции много выше тех звуковых частот, которые
проходят через звуковой тракт приемника ЧМ. Следовательно, они
не вызывают шумов на выходе. Лишь те шумовые боковые полосы,
которые расположены близко к несущей и поэтому относительно
мало эффективны в создании частотной модуляции, вызовут шумы
на выходе приемника ЧМ. Резко иную картину дает сигнал: он
имеет эффективные боковые полосы, далеко отстоящие от несущей,
причем все эти боковые полосы действуют совместно, меняя частоту
колебания с частотой модулирующего сигнала. В этом состоит вто-
рая причина понижения шумов при ЧМ.
Вышеприведенные соображения о причинах понижения шумов при
частотной модуляции справедливы лишь тогда, когда уровень сигнала
превышает уровень шумов и желательно с некоторым запасом. Если
же амплитуда шумов превышает сигнал (см. гл. V, § 8), то шумы
как бы образуют эффективную несущую и амплитуды, частоты и
*) Фазы рассматривались в гл. V, § 2,
Шумы, Общий обзор и методы расчетов	267
фазы боковых полос сигнала уже не будут в совокупности давать
значительное отклонение эффективной частоты колебания. Таким об’
разом, если уровень шумов превышает сигнал, то свойство ЧМ по-
нижать шумы исчезает.
Нужно отметить, что мы пока ничего не говорим об ограничителе
или о балансном дискриминаторе, имеющихся в приемниках ЧМ, кото-
рые, по мнению многих, являются причиной уменьшения шумов при ЧМ.
Эти каскады очень ценны в приемниках ЧМ, но функция ограничителя
состоит в том, чтобы уничтожать амплитудную модуляцию сигнала,
а балансный дискриминатор работает так, что чистая амплитудная
модуляция сигнала ничего не дает на выходе. С помощью этих
устройств приемник становится чувствителен к одной только частотной
модуляции, благодаря чему ранее упомянутые свойства ЧМ понижать
шумы не портятся осложнениями из-за амплитудной модуляции. Как
ограничитель, так и балансный дискриминатор обычно необходимы на
практике вместе, так как ни тот, ни другой не совершенны в работе.
Ограничитель хорош по отношению к хаотическим шумам, но его
временная постоянная может быть такой, что он будет пропускать
передние края острых импульсов. Последние в значительной степени
устраняются на выходе хорошо сбалансированным дискриминатором.
б) Ослабление хаотических шумов.1) Глубина частотной и ампли-
тудной модуляций колебания, создаваемая хаотическими шумами, была
определена в формулах (6.13) и (6.14), а именно
=	(6.192)
И
= I 2flW2 ’ 93>
Эти формулы были получены для стандартного случая, при котором
несущая находится в середине полосы пропускания. В приведенных
равенствах тА — глубина амплитудной модуляции, вызванная шумами,
mF — глубина частотной модуляции, вызванная шумами, Д/7—макси-
мальное отклонение частоты в ЧМ системе, N—эффективная вели-
чина шумов в интервале частот, а — разностная частота между дан-
ной частотой F и несущей Fo, т. е. a = F — FQ.
Для любого приемника интеграл в вышеприведенных формулах
берется по полосе пропускания приемника. Если мы сделаем упро-
щающее предположение, что приемник имеет равномерное усиление
в пределах полосы пропускания, и если речь идет о дробовых и
Э Для полного изучения, включая случай, когда ограничение не полное,
см. работу Карсона и Фрайя [19]. [См. также книгу И. С. Гоноровского [26].
Прим, ред.)]
268
Глава VL
тепловых шумах, то N будет постоянная величина, и тогда вышепри-
веденные формулы перейдут в
Г
=	=	(6.194)
V ~^ВА
+ у Вр
f ZNWda = --?*- 1 2BJ (6.195)
i	А 2 АЛ /3
если полоса пропускания приемника AM имеет ширину В а, а полоса
пропускания приемника ЧМ имеет ширину Вр.
Пусть теперь Га есть ширина полосы пропускания звукового
тракта приемника AM. В нормальном случае
Fa = ±BA.	(6.196)
Отношение шума к сигналу на выходе приемника, считая, что сигнал
имеет 100%-ю модуляцию, будет равно
=	(6.197)
Предположим, что приемник ЧМ имеет такую же полосу пропу-
скания звукового тракта, как и приемник AM. Как ранее отмечалось,
звуковая частота, вызванная шумом, должна быть равна разности
частот между первоначальной радиочастотой шума и частотой несу-
щей, и поэтому эффект на выходе звукового тракта дадут лишь те
частотные компоненты шума, которые отстоят от несущей не более
чем на ± Fa. Поэтому отношение шума к сигналу на выходе прием-
ника ЧМ, считая, что сигнал имеет 100%-ю модуляцию, будет равно
+Fa
f 2NWda
—F
a
JV Fa Vr^
A УЗ
(6.198)
Сравнивая (6.197) с (6.198), мы получаем величину ослабления шумов
на выходе при ЧМ сравнительно с AM. Коэффициент уменьшения
шумового напряжения
па г—
/?==-^ = /3-г-.	(6.199)
п р	г а
Эффект уменьшения шумов при частотной модуляции наглядно
показан на фиг. 148. В американской системе ЧМ широковещания
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
269
(см. гл. V, § 13) имеет место «подчеркивание» высоких звуковых частот
в передатчике и соответствующее компенсирующее ослабление этих
частот в приемнике. Фиг. 148, В показывает, как это ослабление
дополнительно уменьшает шумы на выходе приемника ЧМ. Соответ-
Ф и г. 148. Наглядное представление относительных вели-
чин шумов при приеме AM и ЧМ сигналов (ДЛ — D).
А—приемник AM; Б—приемник ЧМ; В—приемник ЧМ с компенсацией.
ствующее изменение формулы (6.199), как легко показать, можно s
апроксимировать формулой
Я'-Кз^й,	(С.200)
где /?' — коэффициент уменьшения напряжения шумов на выходе
компенсированной ЧМ системы.
в) Ослабление импульсных шумов. Рассмотрим теперь, как ЧМ
ослабляет импульсные шумы. В § 3, п. а, ж, отмечалось, что шумы
импульсного типа, возникающие, например, от цепи зажигания авто-
мобильных моторов, будут иметь более тонкую структуру по мере
увеличения ширины полосы приемника при условии, что ширина по-
лосы достаточна для того, чтобы разделить отдельные импульсы. Мы
нашли в гл. IV, что импульсы имеют равномерный частотный спектр
270	Клава Vi
и что все частотные компоненты имеют одинаковую фазу в момент
импульса. Следовательно, максимальная амплитуда принимаемых импуль-
сов пропорциональна ширине полосы приема. Кроме того, из-за зави-
симости между шириной полосы и разрешаемостью деталей, рассмо-
тренной в гл. IV, продолжительность импульсов на выходе обратно
пропорциональна ширине полосы приема. Для интересующего нас
вопроса об ослаблении импульсных шумов при приеме ЧМ основное
значение имеет то, что амплитуда импульсных шумов пропорциональна
ширине полосы. В этом они отличаются от хаотических шумов, амплитуда
которых пропорциональна квадратному корню из ширины полосы.
Мы теперь рассмотрим задачу аналитически и покажем, что импульс
вообще вызовет как частотную, так и амплитудную модуляцию коле-
бания. Предположим, что мы имеем несущую Acos27rfy и импульс
величины S, происходящий в момент времени t = tv Тогда, согласно
гл. IV, § 18, это может быть выражено как
а = A cos 2izFtS3 (t— /J =
oo
= A cos 2kF/-|- J cos [co (/— ^)] rf(o. (6.201)
о
Если этот сигнал поступает в приемник, имеющий полосу пропускания
от F— (3/2) до F-{-(3/2), то он принимает вид:
аг = A cos 2nFt-j-I cos (о (t — /J rfw =
^=+4
= A cos 2nFt-\-2it J cos [2it (F-J-ji) t—2ir (F-j-R) /J dp. (6.202)
В
Фазовые углы 2тг(Г-]-р)/1 боковых частот в (6.202) несимметричны
относительно несущей из-за присутствия F, если только ^^0.
Поэтому, согласно гл. V, § 6, они будут вызывать частотную моду-
ляцию так же, как и амплитудную модуляцию.»Применяя метод и
обозначения гл. V, § 6, п. в, мы можем быстро определить величину
амплитудной и частотной модуляции. Предположим, что импульсные
шумы в формуле (6.202) малы по сравнению с несущей, так что
можно применить простой анализ малых боковых полос. Таким обра-
зом, пользуясь обозначениями гл. V, § 6, п. в, пишем
= — 2к (F+ р) t19	(6.203)
03 = 2rc(F —ji)^,	(6.204)
в. = В. = — 2«,	(6.205)
Д = Д. "	(6.206)
Шумы. Общий обзор й методы расчетоб '	271
Подставляя в формулы (5.70) и (5.71), имеем
2Дд = 2S /(1 +cos4k«i) = 2 /2 S cos 2-kF^,	(6.207)
to-® sin I2re (F ~ 10*11 + sin I— 2” (F + H-) *i] to-9mi/ CR 90Rt
== coTf2T(?—|T)T]“os [- 2«'(F+ H) *i] “ ~tg 2 14 (6,208)
ИЛИ
<?s =— 2тгр/р	(6.209)
Таким образом, симметричные боковые полосы имеют амплитуду
/2 Seos 2^
и сдвиг фазы, пропорциональный частоте. Согласно формуле (5.66),
AM колебание имеет вид.
' Б/2
алм “ J 2/2 5 cos cos [2тср (f— /J] ф =
о
V2 Seos 2nFti . Го В ,,	, J	/ел1л\
= я (7" ^) sin^2tt —(/—/Jj.	(6.2Ю)
Максимальное значение выражения (6.210) будет при t=t19 причем
аЛМ(макс)= 2/2 5(3/2)005 2^.	(6.211)
Формула (6.2Ю) изображена графически на фиг. 149.х) Максималь-
Ф и г. 149. Амплитудная модуляция несущей импульсом
при =
Несущая—в середине полосы пропускания передающей системы.
ный коэффициент глубины модуляции равняется"*
длм(макс) 2/2S(B/2)
----j----=-------------cos 2tt
(6.212)
*) Наличие эффекта при t < является физически нелепым. Это результат
грубой идеализации характеристик пропускающей системы. Подробней см.
об этом в конце § 5, гл. IV. (Прим, ред.)
272
Глава Vl
Чтобы найти ЧМ колебания, подставим наши данные в формулы (5.72)
и. (5.73) и получим
2Аа = 25 ]/1— cos 4^ = 2 /25 sin 2itF^	(6.213)
И
tp-ф = sin[-27t(f+^)^i] — sin[2rc(F — р)Л] t о , (6 214)
cos [ — 2я (F-j-jx)— cos[2w(F—p)/J	& P-i> V •	)
или
cp^^-2^.	(6.215)
Таким образом, антисимметричные боковые полосы дают, согласно
формулам (5.57) и (5.74), фазу колебания в виде
Б/2 Г~
2л \pt -I* sin sin ^2лр (t—+ф L (6.216)
’	6	'
Мгновенная частота равна 1/2л, умноженной на производную по вре-
мени от выражения (6.216):
В/2
/= F -ф- 2 л J - - 2-^- sin 2r.Ft1 cos ^2лрь (/— /J + yj ф ==
о
В/2
—	F — 2к J	s*n s*n [2лР — ^i)] Ф “
о
—	F__2 У%$ s]n I — 2л 4г (^— /J cos [2л 4г — ^1)] ~h
*	~г А [2л(/-Л)]2 I 2 4	17 L 2	1 J
+ sin [2->t~ (t—t^ II = F-21/2S(В/2)2 sin2тс/71 f 4.( (6.217)
L 2в	II	x	J
где
Х = 2к|(/-у.	(6.218)
Отклонение частоты, таким образом, будет иметь величину
2/2sffysin2««i .	. ч
--------------------/ со^х + smx )	(6.2! 9)
График формулы (6.219) дан на фиг. 150. Максимальное отклонение
частоты будет при % = 1,265, когда величина
----= о,357.	(6.220)
X 1 л2 9	4	'
Шумы. Общий обзор и методы расчетое	273
Таким образом, максимальное отклонение частоты равно . ,	0,357 • 2 / 2 S (5/2)2 Sin 2к5А д/чм—	л Максимальная глубина частотной модуляции равна дучм _ 0,357-2 Уй$(5/2)2sin 2^ ДЕ	Л ДЕ	• (6.221) (6.222)
Так как на выходе будут только те частоты, которые прошли
через звуковой тракт, то мы можем заменить В/2 в формуле (6.217)
через Fa (ширину полосы пропускания звукового тракта), для того
Фиг. 150. Частотная модуляция несущей импульсов
при t —
Несущая—в середине подосы пропускания передающей системы.
чтобы получить истинный звуковой выход. Заменяя В/2 на Fa
в выражении (6.222), мы получим для максимального выхода (при
сравнении с сигналом, имеющим 100%-ю модуляцию)
0,357 • 2 V 2 S (Еа)2 sin 2кЕЛ
А &F
(6.223)
Для приемника AM В/2 равно Fa, так что формула (6.212) может
быть переписана:
2]/~2SFa cqs	(6.224)
Чтобы найти коэффициент ослабления напряжения импульсных
шумов на выходе при ЧМ, разделим (6.224) на (6.223) и получим
г> _ ctg2nFti kF
/Хпмп —	0357 ра
(6.225)
Сложность интерпретации формулы (6.225) для импульсных шумов об-
условлена фактором ctg2-F^, который показывает, что величина вы-
зььваемых импульсом амплитудной и частотной модуляций несущей зави-
сит от т. е. от фазы несущей в момент появления импульса. После
того как импульс проходит через усилитель с шириной полосы В, он
превращается в цуг колебаний с частотой приблизительно F, но сдвиг
его фазы относительно несущей определяется моментом Если пре-
18 Зак. 2263. С. Гольдман.
Глава VI
274
----->
небрежем этим фазовым эффектом и заменим для простоты котангенс
на единицу, то получим коэффициент ослабления напряжения шумов,
на выходе в виде
1 ДЕ ДЕ
0,357 Fa - Fa *
(6.226)
Сравнивая это выражение с соответствующей величиной для хаоти-
ческих шумов, определяемой (6.199), мы видим, что ослабление
шумов в обоих случаях пропорционально &F,Fa.
Практическая ценность формул (6.225) и (6.226) зависит от того,
подобны ли реальные импульсы ряду идеальных импульсов или по-
крайней мере дают ли они после прохождения через усилитель с ши-
риной полосы В цуги колебания, схожие с теми, которые должны
дать идеальные импульсы. Опыт показывает, что в ряде случаев ука-
занное сходство действительно существует. Во всяком случае, теоре-
тические свойства ЧМ подавлять шумы на выходе совершенно одина-
ковы как для хаотических, так и для импульсных шумов, так что,
повидимому, коэффициент &FjFa можно считать справедливым и для
реальных импульсных шумов.
Вышеприведенный анализ приложим к импульсным шумам, кото-
рые имеют меньший уровень, чем несущая, на входе частотного
детектора. Для случая импульсных шумов, больших, чем несущая,
можно заметить, что широкая полоса усилителя перед ограничителем
делает импульсы короткими, так что они не дают очень большого
квадратичного эффекта ЧМ после их прохождения через ограничи-
тель. Таким образом, ограничитель в широкополосной ЧМ способ-
ствует уменьшению импульсных шумов, даже если они превосходят
величину несущей. Как уже упоминалось, ограничитель и балансный
дискриминатор предназначаются для устранения амплитудной модуля-
ции, возникающей из-за импульсных шумов в приемнике ЧМ.
г)	Порог улучшения. Свойство ЧМ понижать шумы на выходе
особенно проявляется для случая хаотических шумов, если только
уровень сигнала превышает уровень шумов. Если шумы превышают
сигнал, то положение меняется, и шумы будут заглушать сигнал.
Соответствующий эффект для помехи мешающей станции изображен
на фиг. 102; такая же картина имеет место и для уменьшения шумов,,
и она воспроизведена на фиг. 151. Следовательно, для приемной
установки, имеющей определенную величину шумов, имеется сравни-
тельно резкий порог величины входного ЧМ сигнала, выше которого
выходной сигнал относительно свободен от шумов и ниже которого
выходной сигнал практически весь состоит из шумов. Этот порог
часто называется порогом улучшения.
Уровень шумов (для случая хаотических шумов) на выходе огра-
ничителя приемника пропорционален квадратному корню из ширины
высокочастотной полосы пропускания, а так как ширина полосы
приблизительно равна двойной максимальной девиации частоты &Fr
Шумы, Общий обзор и методы расчетов
275
тб уровень шумов на входе ограничителя пропорционален AF.
С другой стороны, уменьшение хаотических шумов в ЧМ системе
равно ]ЛЗ А/7//7^ *). Следовательно, большая величина А/7 требует
большего сигнала для того, чтобы достигнуть порога улучшения, но
зато получается большее ослабление шумов при достижении порога
улучшения. Следовательно, оптимальная величина максимальной деви-
ации частоты А/7 в ЧМ системе определяется компромиссом между тре-
Ф и г. 151. Кривые, иллюстрирующие порог улучше-
ния (порог „тишины") при частотной модуляции.
По оси абсцисс отложены значения S[N—отношения сигнала
к шуму на входе ограничителя; по оси ординат отложены зна-
чения логарифма отношения S/ЛГна выходе; а—кривая при ЧМ;
б—кривая при AM.
бованием увеличения радиуса приема сигнала в километрах и „желае-
мым эффектом тишины “ ЧМ в децибелах * 2).
Прежде чем закончить обсуждение вопроса о понижении шумов ЧМ,
отметим, что, в то время как наличие несущей увеличивает шумовой
фон в приемнике AM (как отмечалось в § 9, п. Ь), подача несущей
в приемник ЧМ уменьшает шумовой фон, так как несущая8) умень-
шает частотные отклонения, вызываемые одними шумами, до малой
величины. Поэтому приемники ЧМ отличаются чистотой передачи и
отсутствием шумов во время перерывов. Этот эффект фактически не
отличается от уже обсуждавшегося „эффекта тишины ЧМ“, но дей-
ствие этого эффекта особенно заметно во время пауз в передаче,
т. е. при отсутствии модуляции сигнала.
*) 201g (Д/^/Гд) иногда называют эффектом тишины ЧМ системы
в децибелах.
2) Этот вопрос подробно обсужден Кросби [64].
а) Для этого требуется, чтобы несущая превышала уровень шумов, как
пояснено в гл. V, § 8.
18*
276
Глава VI
д)	Ослабление шумов в системе с импульсной модуляциейх).
Различные системы импульсной модуляции, рассмотренные в гл. V,
§12, также обладают свойством ослаблять шумы. Рассмотрим сигнал
с фазово-импульсной модуляцией, изображенный на фиг, 152 * 2),
а—верхний уровень ограничение; б—нижний уровень ограничения.
на которой показан также фон из-за накладывающегося шума. В этом
случае полезный сигнал, скажем звуковой, модулирует фазу импульсов.
Импульсы повторяются со сверхзвуковой частотой, скажем 50 000 гц,
а их длительность пусть будет равна 1 или 2 мксек. Эти импульсы
модулируют в свою очередь радиочастотное колебание. Две пунктир-
ные линии на фиг. 152 соответствуют верхнему и нижнему уровням
ограничителей, так что конечного фазово-импульсного детектора до-

Ф и г. 153. Один из импульсов, по-
казанных на фиг. 152.
стигает лишь сигнал, лежащий между
двумя пунктирными линиями. На
первый взгляд может показаться,
что шумы полностью исключаются,
но при более внимательном иссле-
довании оказывается, что это не
так. На фиг. 153 показан отдель-
ный импульс, взятый из фиг. 152.
Отметим, чтр края импульсов под-
нимаются и опускаются не верти-
кально, а имеют конечный наклон,
связанный с шириной полосы про-
пускания системы. Пунктирные на-
клонные линии представляют собой
сам импульс, а сплошные линии
изображают импульс с наложенным шумом. Расстояния Af и ЛЛ
суть амплитуды шумов соответственно во время возрастания и спада
импульса.
*) Здесь мы рассмотрим только хаотические шумы.
2) Здесь изображена лишь огибающая высокой частоты.
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
277
Если фазово-импульсный детектор реагирует на местоположение
переднего края импульса, то шумы на фиг. 153 вызовут изменение Д/
в местоположении импульса, где
A/=iVctg6.	(6.227)
Если \ jT = fp—частота немодулированных импульсов, то сдвиг фазы
импульса, вызванный шумом, будет равен
= 2л = 2тг ^ctg 6 = 2Vp/Vctg 6.	(6.228)
Кроме того, приближенно
(время нарастания)
(6.229)
где /с — ширина полосы пропускания системы (см. гл. IV, § 7).
Подставляя (6.229) в (6.228), имеем
, 2*fp N
(6.230)
Это — сдвиг фазы, вызванный шумом.
Однако не все эти шумы проходят через звуковой тракт. Если
Fa— ширина полосы звукового тракта, то только шумовые компо-
ненты, лежащие внутри интервала — Fa от частоты импульсов или
ее гармоник, вызовут шум, который пройдет через звуковой тракт.
Таким образом, если шум имеет компоненты вплоть до частоты /в
(при ширине полосы усилителя промежуточной частоты приемника 2/в),
то лишь часть
2-^-Д=2-^-	(6.231)
J р J В	J р
всей их мощности даст эффект на выходе звукового тракта. Коэф-
фициент fblfp в формуле (6.231) представляет число гармоник
частоты импульсов, лежащих внутри полосы пропускания приемника,
а множитель 2 введен вследствие того, что шум на выходе могут
вызвать компоненты по обе стороны от гармоник частоты импульсов.
Переходя от энергетической формулы (6.231) к напряжениям и
вставляя полученный результат в (6.230), мы имеем для эффективного
сдвига фазы
=	°	,	(6.232)
V fp fe S
Если Дф— максимальный сдвиг фазы импульса, допускаемый в си-
стеме, то
_	__ 1 2Fa2nfpN
,tlN ~ А? “ A? ? fp fc S
(6.233)
278
Глава VI
представляет степень эффективной модуляции, создаваемой шумами.
Мы видим, таким образом, что несмотря на верхнее и нижнее огра-
ничения, показанные на фиг. 152 и 153, существует определенная
величина хаотических шумов на выходе приемника фазово-импульсной
модуляции.
Теперь определим коэффициент уменьшения шумов системы фазово-
импульсной модуляции. При прочих равных условиях мощность
шумов на входе приемника AM и приемника ФИМ (фазовая импульс-
ная модуляция) пропорциональна ширинам их полос пропускания.
Следовательно, если N' — напряжение шумов в приемнике AM,
а /V — напряжение шумов приемника ФИМ, то
X ~V fB
(6.234)
причем ширина полосы пропускания приемника AM равна 2Fa. Так
как мощность при импульсной модуляции сосредоточена в импульсах,
то отношение напряжений сигнала при AM и ФИМ при одинаковом
среднем уровне мощности будет иметь значение
4-=]/	<6-235^
где а — длительность импульса, a T=\jfp — промежуток времени
между центрами импульсов. Комбинируя (6.234) и (6.235), имеем
7W
S' ~~ S
(6.236)
Так как степень эффективной модуляции из-за шумов в приемнике AM
равна N'/S\ то для коэффициента уменьшения напряжения шумов на
выходе ФИМ, согласно (6.233) и (6.236), получим
—— Д©1/ А.	*___Zf. (6.237)
fBafp V ZFa*fp	2л/2 vafB fp v 7
Так как для хорошо сконструированного приемника ФИМ приближенно
2/в=/с = |,	(6.238)
то (6.237) превращается в
= -^= (—) •	(6.239)
2r.V2fp *V2\afp)	V ’
Если теперь положим
До = л,	(6.240)
что является разумной величиной, то получим
п"	11	1 Т	1Ч
/?ФИМ =— =-у= — •	(6.241)
V2 afn У 2 а
Шумы. Общий обзор и методы расчетов
279
Таким образом, уменьшение шума обратно пропорционально относи-
тельной продолжительности импульса.
Проведенное сейчас обсуждение уменьшения шумов при фазово-
импульсной модуляции иллюстрирует общие методы, применяемые при
расчетах ослабления шумов для любых типов импульсной модуляции.
Читатель может подсчитать подобным же образом ослабление шумов для
любого другого типа импульсной модуляции, указанного в гл. V, § 12.
е)	Некоторые общие соображения о пороге улучшения. В п. г
мы отмечали наличие порога улучшения у ЧМ приемника. Следует
отметить, что наличие порога улучшения не ограничивается ЧМ систе-
мами, а характерно для детекторов всех типов модуляции, работа
которых зависит от соотношений амплитуды, фазы и частоты между
передаваемой несущей и одной или многими боковыми полосами.
Практически это относится ко всем модуляционным системам, приме-
няемым в настоящее время, исключая системы с амплитудной модуля-
цией с передачей одной боковой полосы, в которых несущая создается
в приемнике.
В случае рассмотренной выше фазово-импульсной модуляции порог
улучшения достигается тогда, когда импульсы сигнала будут в два
раза выше максимального уровня шумов, возникающих при приеме.
При таком уровне сигнала возможно применение верхнего и нижнего
ограничений для того, чтобы уничтожить все шумы, исключая те,
которые существуют во время возрастания и спада импульсов. Если
уровень сигнала ниже уровня порога улучшения, то прием шумов
в промежутках между импульсами вызывает сильное возрастание шумов
на выходе, обычно настолько большое, что оно может полностью
заглушить полезный сигнал.
Как уже упоминалось, в случае ЧМ, когда сигнал превышает шумы,
поступающие на ограничитель, частотная модуляция сигнала шумами
относительно мала. Однако, если шумы превышают сигнал, то шумы
определяют фазу результирующего колебания. Тогда боковые частоты
полезного сигнала уже некогерентньг с эффективной несущей и не
могут больше действовать в унисон с тем, чтобы дать большую глу-
бину частотной модуляции. Уровень, переходный от уровня большого
сигнала к уровню больших шумов, является порогом улучшения при
частотной модуляции.
В случае амплитудной модуляции с двумя боковыми полосами
также имеется порог улучшения. Ниже этого порога шум так велик,
что несущая большую часть времени более чем на 100% модулиро-
вана шумами. Это уничтожает большую часть полезного сигнала или
сильно его искажает. Выше порога улучшения верхняя и нижняя боко-
вые полосы полезного сигнала имеют удвоенную эффективность в созда-
нии амплитудной модуляции из-за определенных фазовых соотношений
как между ними, так и относительно несущей.
Во всех трех случаях, когда отношение сигнала к шуму превышает
порог улучшения, детектор может использовать когерентность несущей
280
Глава VI
сигнала и его боковых полос, чтобы дать больший выход от полез-
ного сигнала, чем от шумов. Ниже порога улучшения детектор теряет
свою способность отличать когерентность боковых, так как он теряет
базу этой когерентности. Такой базой в фазово-импульсной модуляции
является расположение во времени импульсов, в частотной модуля-
ции— частота и фаза несущей полезного сигнала и в амплитудной
модуляции — также частота и фаза нужной несущей.
Максимальная дальность передачи любой системы связи опреде-
ляется расстоянием, на котором сигнал падает ниже порога улучшения.
При этом даже при обычной (с двумя боковыми полосами) амплитуд-
ной модуляции получается резкое возрастание уровня шумов на выходе,
заглушающее сигнал. Понимание’ этого факта важно при разработке
систем связи. Например, проектируя амплитудно модуляционную
установку или радиолокационный приемник для случая, когда отно-
шение сигнала к шуму много больше порога улучшения, можно зна-
чительно увеличивать ширину полосы приемника до второго детектора
для того, чтобы не терять сигнала при возможном уходе частоты
передатчика или гетеродина приемника. При этом не будет заметного
ухудшения отношения сигнала к шуму на конечном выходе, несмотря
на возрастание шума, поступающего на детектор, из-за увеличенной
ширины полосы, так как ширина полосы снова как бы сужается до
своей оптимальной величины звуковым (или видео-) трактом. Однако
положение совершенно меняется, если отношение сигнала к шуму
близко к порогу улучшения. В этом случае расширение полосы про-
пускания перед детектором до такой величины, при которой отношение
сигнала к шуму попадает в область !) порога улучшения, вызовет уве-
личение шумов на выходе, которое нельзя уничтожить сужением
ширины полосы звукового (или видео-) тракта. Поэтому, если нужна
максимальная дальность, то ширину полосы перед детекторо^м нельзя
делать больше ее нормальной величины, равной двойной модуляцион-
ной частоте, кроме тех случаев, когда это абсолютно необходимо
из-за уходов частоты.
В заключение нужно также отметить, что если бы каким-либо спо-
собом мы могли поддерживать базу когерентности детектора выше его
обычного рабочего предела, то дальность передачи можно было бы
увеличить. Синхронизация развертки осциллоскопа посылаемыми
импульсами в радиолокаторах является примером такого типа устройств.
Любой метод передачи дополнительной, нужным образом фазирован-
ной, несущей в приемник AM, чтобы усилить ту, которая обычно при-
нимается с модулированным сигналом, даст подобный же результат.
2) Порог улучшения имеет узкую область порядка 3—6 дб в зависимости
от типа модуляции. База когерентности постепенно исчезает, когда отношение
сигнала к шуму на входе приближается к нижней границе этой области.
Глава VII
ШУМЫ. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ !)
Основой теории шумов является один из интереснейших отделов'
математики — учение о флюктуациях и распределениях случайных
величин — теория вероятностей. Мы кратко разберем в этой главе
основы теории вероятностей, обращая особое внимание на те вопросы,
которые необходимы для -понимания математической теории шумов,,
излагаемой в конце данной главы, и для теорий дробового эффекта
и тепловых шумов, излагаемых в следующих главах.
§ 1. Перестановки и сочетания — биномиальные коэффициенты.
Возьмем четыре полоски бумаги с написанными на них буквами а,
Ь, с и d} свернем их и положим в урну. Предположим, что эти полоски
бумаги применяются для решения жеребьевкой какого-либо вопроса'
Таким образом, буквы могут, например, обозначать любые предметы,
разыгрываемые в лотерею. Если теперь три человека в определенном
порядке будут вынимать из урны полоски бумаги с буквами, то воз-
можны различные случаи, характеризующиеся следующими располо-
жениями букв:
abc	acb	bac	bca	cab	cba
abd	adb	bad	bda	dab	dba
acd	adc	cad	eda	dac	dca
bed	bdc	cbd	edb	dbc	deb.
Эти 24 различных возможных случая называются 24 различными
перестановками из четырех букв a, b, с, d, взятых по три. Если мы
не будем обращать внимания на порядок букв в группе, то суще-
ствуют лишь 4 различных возможных случая, соответствующие, напри-
мер, первому столбцу приведенных выше перестановок. Таким образом,,
существуют 4 различных сочетания из четырех букв, взятых по три.
В приведенном примере сочетания соответствуют выбранным пред-
метам, но при этом остается неизвестным, кому именно достался тот
или иной из предметов.
х) В качестве источника дополнительных сведений, касающихся существа
первых параграфов этой главы, см. книгу Фрайя [65]. [См. также книги
С. Н. Бернштейна [66], В. И. Гливенко [67], Б. В. Гнеденко [68],
Г. П. Боева [69]. (Прим.
282
Глава VII
Будем применять символ Р™ для обозначения числа различных воз-
можных перестановок из т предметов по п. Легко видеть, что
Рпт = т{т-\){т-2)	=	(7.1)0
Чтобы доказать это, заметим, что для первой вынимаемой буквы
существуют т возможностей, для второй лишь т—1, так как одна
буква уже вынута; для третьей лишь т — 2 возможностей и т. д.
Для описанного выше частного случая перестановок из четырех элемен-
тов по три формула (7.1) дает
Р»=^=24,	(7.2)
что согласуется с найденным ранее.
В частности, при п = т из формулы (7.1) следует
Рж = /и!,	(7.3)
т. е. т предметов могут быть расположены по порядку т\ различ-
ными способами. Например, буквы abc могут быть расположены сле-
дующими способами:
abc acb bac bca cab cba.
Таким образом, существуют
3! = 6
способов расположения в согласии с формулой (7.3).
Обозначим далее символом число различных сочетаний из т пред-
метов по л. Очевидно,
Р” тп\ т(т—l)...(w — п-}-1)
Р” п\ (т—л)!	п\
(7-4)
Для того же частного случая имеем
,з _ 4! _ 24
4 — 3! 1! ~ 6
= 4,
(7-5)
что также согласуется с полученным ранее результатом. Читателю
будет предоставлен случай поупражняться в обращении с перестанов-
ками и сочетаниями при решении некоторых задач.
2) Знак ! означает факториал, т. е. п\ = 1 • 2 • 3 ... (и — 1) п. Кроме того,
ло определению 0! = 1.
Шумы. Основные математические сведения
283
Величины С„г называются также биномиальными коэффициентами,
так как они являются коэффициентами биномиального ряда
+	(7.6)
Чтобы показать, что коэффициенты разложения (7.6) совпадают с опре-
делением С” по формуле (7.4), нужно лишь разложить	в РЯД
Тейлора.
§ 2. Вероятность. В теории шумов мы оперируем с компонентами
Фурье шума. К каждой компоненте применимы обычные законы теории
электрических цепей. Однако практический интерес имеет не отдельная
компонента, а шум, представляющий собой суперпозицию очень боль-
шого числа таких компонент. Поэтому в этой главе мы разовьем
аппарат теории вероятностей, годный для изучения явлений, предста-
вляющих собой результат суперпозиции многих отдельных беспоря-
дочно накладывающихся компонент, с каждой из которых, когда она
существует отдельно, можно обращаться по известным законам.
Другим применением теории вероятностей, имеющим большое науч-
ное значение, является вопрос о флюктуациях. Одной из задач этой
главы является вывод вероятностных законов флюктуаций. Мы увидим,
что они являются основой теории шумов.
§ 3. Элементы теории вероятностей. Чтобы развить математи-
ческую теорию вероятностей, необходимо прежде всего характеризо-
вать вероятности численными величинами. Достоверному событию,
т. е. явлению, которое наверняка произойдет, принято приписывать
вероятность, равную единице. Так, при бросании монеты мы говорим,
что вероятность выпасть гербу равна 0,5, вероятность выпасть
решке также равна 0,5, в то время как вероятность выпасть либо
гербу, либо решке равна единице. Приведенный пример иллюстрирует
также другое свойство вероятностей, а именно, если два события
взаимно исключают друг друга, вероятность того, что либо одно,
либо другое событие произойдет, равна сумме вероятностей каждого
из этих событий отдельно.
Говоря, что вероятность выпасть гербу равна 0,5, мы понимаем
под этим следующее: при очень большом числе независимых испыта-
ний— бросаний монеты — 0,5 будет приблизительно представлять ту
долю общего числа испытаний, при которых выпадает герб1).
Вероятность того или иного события при данном испытании в этом
простом примере не зависит от результатов предыдущих испытаний,
*) Пусть при N кратном (N очень велико) повторении некоторого опыта
(„испытания") определенный результат появляется приблизительно р№ раз
(0<р<1). Тогда говорят: вероятность данного результата опыта есть р.
{Прим, ред.)
284
Глава VII
а вероятность значительных отклонений от среднего (флюктуаций)
приближается к нулю, когда число испытаний становится достаточно
большим. Процессы, которые управляются чисто вероятностными законо-
мерностями, мы будем называть в этой книге случайными процессами 3).
Одна из важнейших теорем теории вероятностей заключается
в том, что вероятность одновременного наступления п случайных со-
бытий равна произведению вероятностей каждого события отдельно.
Так, если вероятность выпадения герба при бросании монеты равна 0,5,
то вероятность выпадения двух гербов при бросании двух монет равна
0,5-0,5 = 0,25.	(7.7)
С другой стороны, вероятность получения одного герба и одной
решки при бросании двух монет больше 0,25, так как выпадание
герба и решки может быть получено двумя различными способами.
Именно, нужная комбинация получается, если первая монета легла
гербом, а вторая решкой или если первая монета легла решкой, а вто-
рая гербом. Эти два возможных случая взаимно исключают друг друга
(т. е. если один произошел, то другой произойти не может); таким образом
вероятность случиться или одному, или другому равна сумме вероят-
ностей случиться каждому из них отдельно. Следовательно, вероятность
выпадения одного герба и одной решки при бросании двух монет
равна сумме вероятности выпадения гербом первой и решкой второй
монеты и вероятности выпадения решкой первой и гербом второй
монеты, т. е.
0,5.0,5 + 0,5 • 0,5 = 0,25 + 0,25 = 0,50.	(7.8)
С помощью приведенных простых правил теории вероятностей?
показанных сейчас на примерах2), мы выведем законы распределения
вероятностей, которые будут служить основой теории шумов.
§ 4. Закон распределения Бернулли, а) Вывод. Будем употреблять
символ Рт(п) для обозначения вероятности наступления случайного
события п раз при tn независимых испытаниях. Мы сейчас покажем,
что если вероятность события при каком-либо отдельном испытании
равна /7, то
/и!
Рт («) = СптРп (1 -РГ-п = пЦ/п-пуРп (1 -РГ-П- (7.9)
Формула (7.9) называется законом распределения Бернулли.
Определение случайного процесса, данное автором, не является общим
и общепринятым. Однако в дальнейшем мы будем иметь дело только с такими
случайными процессами, которые удовлетворяют с этому определению.
(Прим, ред.}
-) Относительно логического обоснования этих правил см. книгу Фрайя
[65]. [См. также [66—69]. (Прим, ред.)]
Шумы. Основные математические сведения
285
Для доказательства формулы заметим, что наступление п событий
при т независимых испытаниях заключается в п наступлениях события
(каждое с вероятностью р) и т — п „ненаступлений" (каждое с вероят-
ностью 1 — р). Если мы будем различать т независимых испытаний,
приписав, например, каждому различные буквы, то вероятность какого-
либо частного наступления п событий при т испытаниях равна
рп(1—p)w“n.
Но существуют различных способов наступления п событий
при т испытаниях, так как имеется различных сочетаний из т пред-
метов по п. Следовательно,
рт(п) = с1Рп(1— рУп-п,	(7Л°)
что и требовалось доказать.
В качестве примера вычислим с помощью формулы (7.10) вероят-
ность выпадения трех гербов при пяти бросаниях монеты. В этом
случае
р = 0,5,	(7.11)
1—	р=0,5,	(7.12)
п = 3,	(7.13)
от = 5,	(7.14)
с~ = с,5==зГ2Г = -Й==10’	(7-15)
PM(«)=10(l)3(l)2 = g.	(7.16)
Чтобы сделать этот результат более наглядным,	обозначим испытания
буквами a, b, с, d, е*. а — первое, b— второе испытание и т. д.
Возможными случаями выпадения трех гербов являются случаи, когда
гербы выпадают при следующих испытаниях:
abc abd abe acd асе ade bed bee bde cde.
Вероятность выпадения трех гербов в каждом из этих случаев равна
(0,5)41—0,5)2=1.	(7.17)
Следовательно, вероятность выпадения трех гербов при пяти испы-
таниях равна 10/32.
Упражнения
1.	Показать, что вероятность выпадения: а) одного герба при пяти испы-
таниях равна 5/з2> б) двух гербов при пяти испытаниях —10/32; в) четырех
гербов при пяти испытаниях — %2; г) пяти гербов при пяти испытаниях —1/з2»
д) ни одного герба при пяти испытаниях —
2.	Показать, что вероятность выпадения либо ни одного, либо одного,
либо двух, либо трех, либо четырех, либо пяти гербов при пяти испытаниях
равна единице.
286
Глава VII
3.	а) Какова вероятность получить сумму очков, равную семи, при бро-
сании двух игральных костей?
Ответ:
\ 6 J 36	6
6) Какова вероятность получить сумму очков, равную двум, при бро-
сании двух костей?
Ответ:
£
36*
б) Среднее значение распределения Бернулли. Найдем среднее |
значение распределения Бернулли (7.9). В качестве предварительного 1
примера вычислим среднее число выпадений герба при пяти броса- I
ниях монеты, если этот процесс будет повторен большое число раз. |
Как мы только что показали, вероятность невыпадения герба равна 1'32,	1
выпадение герба один раз — б/32, два раза —10/32, три раза — 10/32, I
четыре раза — б'32, пять раз — Среднее число выпавших гербов. 1
будет равно поэтому	|
(° ®)+(1 'Й + (2 + гЭ+(4 'Й +	I
+ (5-з±2)-35 = 2|- <7'18>
Это, конечно, тот результат, который мы и ожидали, так как, I
согласно предположению, при большом числе бросаний герб так же j
часто выпадает, как и решка.	1
Вычислим теперь в общем виде среднее значение величины, имею- 1
щей распределение Бернулли. Если п обозначает среднее значение п, 1
то имеем	1
п== 2 яДи(«) = 2 пС'трП(1------р)т~п. (7.19)	|
П=1	П—1	I
Величина п может быть вычислена с помощью следующего приема. 1
Пусть р и q — какие-либо постоянные, а и — переменная. Тогда по 1
формуле бинома (7.6)	j
... + j
-YC™(pa)m (7.20)
и после дифференцирования формулы (7.20)
(<7 ~i~Pu)m — СтЧ™ 1p-JrC'‘mqm '2р (р«) 4~ • • • ~Ь
+ (%тр(ри)т~\ (7.21)
Согласно обычным правилам дифференцирования,
(q+pu)m = mp(q-}-pu)”>-1.	(7.22)
Шумы. Основные математические сведения	Q&T
Поэтому из формул (7.21) и (7.22) следует равенство
Cmqm~1p + C2mqm~22p (ри) -}-.•• + Ст^р (ри)т~1 =
— inp (q	\ (7.23)
Формула (7.23) справедлива для любых значений величин р, q, и.
Полагая
<7 = 1—Р,	(7.24)
я = 1,	(7.25)
будем иметь
Ci, (1 — р)’п-1р + с;, (_1 — р)“-3 2/ 4- ... + С^трт == тр. (7.26)
Сравнивая формулу (7.26) с формулой (7.19), получаем требуемую
величину п
п = тр.	(7.27)
Эта формула очень важна.
Упражнение
Показать, что для распределения Бернулли
п—т
2 рт (п) = 1-
71 = 0
Это тождество должно обязательно выполняться, так как значение п обяза-
тельно находится в интервале < zn.
§	5. Распределение Пуассона, а) Вывод. Если вероятность на-
ступления какого-либо случайного события р очень мала, но число
независимых испытаний т очень велико, и если т^> п, то фор-
мула (7.9) может быть значительно упрощена. Упрощенная формула
называется распределением Пуассона, и мы сейчас приступим к ее
выводу.
Согласно формуле (7.9),
PnV ~РГ-п- (7-28>
Далее, по формуле (7.27),
(7-29)
Кроме того, согласно определению факториала,
(т — п)\
т(т— 1)(т — 2)... (т— п-\- 1).
(7.30)
288
Глава VII
Таким образом, (7.28) может быть переписана в виде
, /яч _ W(zra—l)(zn —2)...(m —йЦ-1) ( п\п Л_____«
т ' '	п\	\т) \ т
Если мы предположим, что т'У^> п и т очень велико, то прибли-
женно
О-Й”'-!.	(7.33)
(1-^Г(7.34) )
Поэтому формула (7.31) превращается в
-Сп}п
л» 4г-	<7-35)
Формула (7.35) называется законом распределения Пуассона. Она
более проста и более удобна для наших целей, чем формула Бернулли,
так как в нее входят лишь величины пип, обычно известные по
крайней мере теоретически, и не входят тир, обычно неизвестные
в тех задачах, которые нас будут интересовать. Нужно, конечно,
помнить, что распределение Пуассона справедливо, когда т велико
и гораздо больше п, а р мало. Для справедливости формул (7.9)
и (7.35) необходимо, чтобы р было постоянной величиной, т. е. не
менялось от испытания к испытанию.
б	) Первый пример на распределение Пуассона — игра в орлянку.
В качестве вводного примера на распределение Пуассона рассмотрим
последовательные испытания, каждое из которых состоит в одновре-
менном бросании пяти монет. Вычислим вероятность выпадения всех
пяти гербов в шести испытаниях из общего числа ста испытаний.
В этом случае
zn=100,	(7.36)
/7 = 6,	(7.37)
п = тр= 100-^ = 3,12,	(7.38)
*) См. определение экспоненциальной функции в любом курсе анализа.
Шумы. Основные математические сведения
289
так как мы знаем, что вероятность выпадения пяти гербов на пяти
монетах равна
р=(4У-г2-	(7-3’>
Подставляя эти величины в формулу (7.35), получим
Лоо (6) =	= 0,0566.	(7.40)
Вероятность выпадения всех пяти гербоЕ
равна, таким образом, 0,0566.
Вероятность выпадения пяти гербов
на пяти монетах в семи испытаниях из
ста находится так же просто. Она
равна
е~3,12(3 1217
Лоо(7) = !----^- = 0,0252. (7.41)
Аналогично вычисляются и другие
подобные вероятности. Легко проверить,
г что в нашем случае Р100(я) имеет макси-
мум при п = 3.
в	) Второй пример на распределе-
ние Пуассона — термоэлектронная
эмиссия. В качестве второго примера
рассмотрим эмиссию электронов с накаленного катода (фиг. 154).
Пусть лампа работает в режиме насыщения, когда все вылетевшие из
катода электроны попадают на анод. Предположим, что общий ток
эмиссии равен 0,1 а. Так как заряд электрона равен 1,59 • 10~* 19 куло-
нов, то это означает, что катод испускает в 1 сек.
—-22^_=6,3 • 1017 электронов.	(7.42)
в шести испытаниях из ста
Oja
Анод
«
Раскален-
ный катод
Фиг. 154. Поток электронов
при термоэлектронной эмиссии.
на распределение Пуассона
Если мы будем рассматривать периоды времени порядка секунды,
то число вылетевших из катода электронов в интервалы, следующие
один за другим, примерно одинаково; мы увидим, почему это так,
когда в следующем параграфе познакомимся с распределением Гаусса.
Будем рассматривать теперь интервалы времени порядка 10~2° сек.
Существует определенная вероятность того, что один электрон вылетит
за такой малый промежуток времени (ничтожно малой вероятностью
вылета больше чем одного электрона мы пренебрегаем). Мы будем
считать (б согласии с законами термоэмиссии), что электрон с оди-
наковой вероятностью может вылететь в любой из рассматриваемых
малых временных интервалов 10-20 сек. х) Этим мы уже предполагаем
т) Тем самым мы будем считать эмиссию электронов случайным про-
цессом.
19 Зак. 2263. С. Гольдман.
290
Глава VIJ
вероятность р постоянной. Она, конечно, очень мала по сравнению
с единицей. Вычислим теперь вероятность того события, что в тече-
ние более длинного интервала 10“17 сек. вылетят шесть электронов.
Этот более длинный интервал состоит из 1000 коротких интервалов.
Мы можем рассматривать каждый из коротких интервалов при при-
менении распределения Пуассона как одно испытание, и вероятность
испускания электрона в этом испытании равна р. Так как вероятности
наступления события в каждом испытании равны, мы можем при жела-
нии, рассматривая тысячу испытаний, считать их происходящими одно
за другим и, таким образом, образующими один длинный интервал.
Следовательно, имеем
т = 1000	(7.43)
и, согласно формуле (7.42),
/г== 6,3.	(7.44)
Таким образом, вероятность испускания точно шести электронов за
время 10“17 сек. равна
Лооо(6) = е-6’3-^ = 0,160.	(7.45)
Подчеркнем еще раз, что в формулу (7.45) значения т и р явно не
входят, а входят лишь значения п и п. В этом особенность формулы
Пуассона.
Упражнения
1. Какова вероятность испускания точно четырех электронов за время
10“37 сек. в приведенном примере?
2. Какова вероятность испускания точно восьми электронов за время
10~17 сек. в приведенном примере?
§ 6. Распределение Гаусса. Когда значение п становится очень
большим, как это имеет место в большинстве случаев, которые будут
нас интересовать, вычисление значений п\ и (я)п в формуле Пуассона
становится громоздким. Мы сейчас покажем, что в таких случаях
формула Пуассона сводится к известной формуле Гаусса.
Согласно формуле Пуассона (7.35),
Отсюда
In (л)] — — п-[~п\п п — In (/г!).
При больших п по формуле Стирлинга ])
In
(zt!) = (я +
In п — п + у In 2 к.
(7-46)
(7-47)
(7-48)
£
2
Э См. книгу В. И. Смирнова [4]. (Прим, ред.)
Шумы. Основные математические сведения
291
Поэтому приближенно
In [Рш(п)] = — п-\- п In п — (п у) In п-\- п — In 2к. (7.49)
Вводя обозначение
D—n — п,	(7.50)
перепишем формулу (7.49) так:
In [Рт (и)] = — (я -Т1) In я 4- (« 4- 4) In Я — 4 In Я —
--2 In 2~ ~г(п— п) = — (« + D -j- у) In (1 + =) 4"
4-я—41п2™- (7-51)
В интересующем нас случае \D'n\	1, так что мы можем разло-
жить In [1 + (7)/п)] в степенной ряд и пренебречь членами высших
степеней.
Ограничиваясь квадратичным членом, имеем
1П (1 + £") = £ —(7.52)
\	1 я/ л 2«2	1
Подставляя это выражение в формулу (7.51), получаем
Ш [(Рн,(я)]=-(л4-£>4-1)(£-	__ 7)2 > 2лЪ	| D — In 2тгп =
7)2 . 7)3	ip	1 °2		Lin	(П
	1 4д2	ill	1 / ,иО 1
— 2й 1 2п2	2л1		2	v 7
Если теперь в дополнение к уже сделанному предположению
- |<С 1 1 П 1	(7-54)
допустим, ЧТО я» 1,	(7.55)
то формула (7.53) примет вид	
In [Я„, (л)] =	— 1 In 21ГЛ,	(7.56)
откуда I)2	(11— 71)2	
Р (			-	 Р		 	-	 Р	(7-57)
У	и 2гстг	
Это —закон распределения Гаусса. Формулой (7.57) очень удобно
пользоваться в тех случаях, когда рассматриваемые величины очень
велики.
19*
292
Глава VII
Кривая, представляемая уравнением (7.57), имеет острый максимум
при п — п. Чтобы показать это, введем переменную
У =	(7-58)
\л /
являющуюся относительным отклонением от среднего значения. Фор-
мула (7.57) примет вид
Рт(п)~-±=е *У .	(7.59)
У 2кп
Если п очень велико [сами формулы (7.54) и (7.55) справедливы лишь
при большом я], то Рт(п) очень мало всюду, кроме окрестности
точки у — 0, т. е. вблизи п = п. Рт (л) поэтому имеет острый макси-
мум при п = п.
Если положить
(7.60)
то правая часть формулы (7.57) превращается в функцию, изобража-
ющую хорошо известную кривую ошибок Гаусса.
В качестве примера на применение формулы распределения Гаусса
рассмотрим случай термоэлектронной эмиссии, уже затронутый в § 5,
п. а, но теперь возьмем интервалы времени продолжительностью
10-9 сек. Тогда
т^Ю11,	(7.61)
т. е. в нашем новом интервале заключено 1011 интервалов длитель-
ностью 10~20 сек. Кроме того, по формуле (7.42)
п = 6,3 • 1017 • 10~9 = 6,3 • 108 электронов. (7.62)
Вероятность того, что в какой-либо интервал 10“9 сек. вылетит
точно 6,3 • 108 электронов, равна по формуле (7.57)
Рт(п) = -—±=-.	'	(7.63)
У 2гсп
Эта вероятность, конечно, мала, так как мало вероятно, что за какой-
либо из интервалов в 10-9 сек. будет испущено точно п электронов.
Однако вероятность отклонения, скажем, на 1% от п чрезвычайно
мала даже по сравнению с (7.63):
Рт (1.01»)
1	-	(9,01)’
' е 2
V 2кп
/2КП	/2ГСП
(7.64)
Шумы. Основные математические сведения
293
Таким образом, когда рассматриваемые величины очень велики,
вероятность большого процентного отклонения от среднего очень
мала. Тем не менее, как мы увидим дальше, именно отклонения от
среднего вызывают, например, такое явление, как дробовой эффект.
§ 7. Обсуждение формул распределения, а) Причина остроты
максимума. В практической деятельности вряд ли встречаются такие
малые числа, какими являются вероятности заметных относительных
отклонений от среднего при случайном распределении для большого
количества испытаний. Мы сначала исследуем причины и смысл этого
обстоятельства.
Выясним сначала, почему распределение Гаусса имеет такой острый
максимум. Чтобы найти причину этого, рассмотрим -распределение
Бернулли (7.9). Оно гласит, что
Рп t1 -Р)т~п-	(7-65)
Здесь Рт (я), как и прежде, — вероятность наступления события при п,
из т независимых испытаний. Если п меняется на л-pl, то, согласно
формуле (7.65), Рт(п) возрастает в отношении
Л-.	(7.66)
п + 1 1 — р	v 7
Согласно формуле (7.66), R всегда уменьшается с увеличением п.
Следовательно, Рт (п) будет иметь максимум !) при
В случае распределения Гаусса т п, п 1, р <d 1; таким обра-
зом, формула (7.67) превращается в следующее условие для макси-
мума:
R =	\ (приблизительно).	(7.68)
Формула (7.68) вместе с формулой (7.27) показывает, что макси-
мум Pm(ti) наблюдается при
п = тр = п.	(7.69)
Для объяснения остроты максимума заметим, что как только отно-
шение R заметно отличается от единицы, каждое изменение п на
единицу вызывает заметное уменьшение Рт(п). Поэтому, если п
очень большая величина, как 6,3 • 108 в примере § 6, то маленькое
относительное процентное изменение всегда означает изменение п на
большое количество единиц (в приведенном примере 6,3 • 106). Общее
х) Если 7? больше единицы, то Рт (п) растет при увеличении п> если R
меньше единицы, то Рт (п) уменьшается с ростом п. Так как R само умень-
шается с ростом и, то максимум Рт (и) имеет место, когда R равно единице.
294
Глава VII
изменение величины Рт(п\ согласно формулам (7.68) и (7.27), будет
поэтому порядка
(1,005)6300000~ 1О13700.	(7.70)!)
Такова причина остроты максимума.
б) Основной смысл	разберем еще раз на простом
примере, что означает в действительности Рт(п). Рассмотрим задачу
о термоэлектронной эмиссии из § 6, но возьмем отрезки времени,
состоящие лишь из пяти коротких интервалов по 1О-20 сек. Хотя
это значение т очень мало для того, чтобы было законно применять
формулу Гаусса или даже Пуассона, такой выбор имеет то достоин-
ство, что малость т позволяет показать, какой смысл имеет Рт(п).
Согласно с нашим прежним обозначением, пустЕ р означает вероят-
ность испускания электрона в один из коротких интервалов (вероят-
ностью испускания за этот интервал более чем одного электрона мы
пренебрежем). Вводя обозначения: 1 = интервал, в теченйе которого
электрон вылетел; 0= интервал, в течение которого электрон не вы-
летел, выпишем 32 возможные комбинации интервалов в форме табл. 4.
Таблица 4
п	Комби- нации	Рт (п)	п	Комби- нации	Рт
0	00000	(1 -р)5		00111	
	00001			01011	
	,00010			10011	
1	00100 .	5р (1 — р)4		01101	
	01000		3	10101	10рЗ(1_р)2
	10000 ,			11001	
	00011			01110	
	00101			ЮНО	
	01001			ПОЮ	
	10001			11100 •	
2	00110	10р2(1 —ру>		01111	
	01010			10111	
	10010		4	11011 •	(1 —р)
	01100			11101	
	10100			11110	
	11000		5	11111	Р-'
Каждая из этих комбинаций имеет определенный вероятностный
„вес" рп(1—р)б“п, где п — полное число электронов, испущенных
!) 1,005 есть -Округленное значение для средней величины R = mp!n
в интервале 0,99 п < п < п.
Шумы. Основные математические сведения
295
при этой комбинации. Они собраны в группы по С” перестановок;
каждой группе соответствует свое число п вылетевших электронов п.
Поэтому
Рт(п) = Ярп(1— р)5-п	(7.71)
является вероятностью вылета п электронов. Значения Рт(п) поме-
щены рядом с каждой группой перестановок в табл. 4.
Выписанным в табл. 4 комбинациям соответствуют вероятности,
даваемые формулой
рЛ(1 — рУ>~п.
Для того чтобы лишний раз убедиться в том, что эта формула верна,
найдем, пользуясь табл. 4, вероятность испускания одного электрона
в течение одного из коротких интервалов, скажем, в течение первого;
исходя из расположения единиц в первом столбце комбинаций табл. 4,
имеем: вероятность испускания электрона в первом интервале, согласно
табл. 4, равна-
Р (1	+ 4р2 (1 -PY + 6^3 (j _р)2 + 4р* (1 -р) +
(1	+ 5Р (1 -р)4 + 10^2 (1 -р? + IO/?3 (1 -ру _|_ 5/>4 (1 -р) +р5
=	(7.72)
[р + (1— р))*	v '
что и требовалось доказать.
На частном примере задачи о термоэлектронной эмиссии мы видели,
что основным условием применимости наших формул является слу-
чайность эмиссии с постоянной вероятностью р при дополнительном
предположении, что в одном весьма малом интервале времени может
быть испущено не более одного электрона. Так как значения вели-
чин р и т не входят явно в формулы Пуассона и Гаусса, ошибка,
связанная с этим предположением, незначительна, тем более, что она
может быть уменьшена по желанию путем уменьшения длины малого
интервала.
Для удобства ссылок мы выпишем здесь все три формулы распре-
деления и отметим условия, при которых одна переходит в другую х).
Формула Бернулли
-Pi'-'-	<7-73)
Она превращается в формулу Пуассона
Рт («) = е~п при
т п,
р<С 1,
т 1.
(7-74)
1) Автор рассматривает лишь частный случай перехода от формулы
Бернулли к формуле Гаусса. Распределение Гаусса имеет место при
также и в том случае, если тип одного порядка. При этом вместо п в
(7.75) входит /г (1 — р). (Прим, ред.)
296
Глава VII
При zz^>l последняя превращается в формулу Гаусса
(п—п)2
/>„(„>= ’Г-*-
У 2кп
(7.75)
§ 8. Предварительное обсуждение вопроса о флюктуациях1).
Теперь мы кратко рассмотрим вероятность отклонений от среднего
значения в случае распределения по Гауссу (7.57), которое, как мы
показали, дается формулой
(и—п)2
рт(п)=—..	(7.76)
У 2кп
Здесь Рт(п)—вероятность наступления случайного события в п из т
независимых испытаний и п — среднее значение п2).
Величина
D = n — n	(7.77)
является отклонением от среднего значения, и вероятность данного
отклонения D, очевидно, есть просто вероятность соответствующего
значения л, равного п Ц-Z). Обозначим через
р'й(О)
вероятность отклонения D от среднего значения п. Согласно фор-
муле (7.76),
(п—w)2	D2
P^D) = Pm(,n)=^—L^e
У 2тт
Тот факт, что п не всегда равно
составляет содержание утверждения:
2" =	2<	(7-781
У 2пп
п или что D не Всегда равно нулю.,
изучаемое явление обнаруживает
2)	Блестящее и более глубокое, но несколько трудное изложение теории
флюктуаций дано Чандрасекаром [70].	_
2)	Следует сказать, что точный смысл п заключается в том, что если т
испытаний будут повторены весьма большое число раз, среднее число п
при т испытаниях будет равно л. Мы раньше показали в формуле (7.27), что
п = тр.
Вся совокупность большого^числа т испытаний называется ансамблем, так
что п является средним значением, взятым по ансамблю. В теории вероят-
ностей п часто называется математическим ожиданием п.
Шумы. Основные математические сведения
2УГ
флюктуации *). Мы знаем, что в случае электронной эмиссии
испускание не всегда равно своему среднему значению, напротив,
наблюдаются небольшие флюктуации, которые дают дробовой эффект.
В более элементарном примере — бросании двух монет — мы не всегда
получаем герб и решку, иногда выпадают два герба или две решки.
Величины последнего примера слишком малы для применения распре-
деления Гаусса, но отклонение от среднего значения — один герб и
одна решка — дает хороший пример флюктуаций.
Теперь мы исследуем, как меняется вероятность флюктуации с из-
менением п. Мы уже имели случай заметить в § 6, как мала вероят-
ность заметного относительного отклонения от п при распределении
Гаусса, когда п велико. Если значение п удвоится, вероятность"
того же процентного отклонения очень сильно падает. Именно, со-
гласно формуле (7.78),
4D* 2	V
P-(2D) = —2	P^D).	(7.79)
И 4яп	V 2
Следовательно, если D/n не слишком мало, а п очень велико, то
P9-(2D) исчезающе мало в сравнении с P^(D). Это означает, что при
удвоении, п вероятность такого же относительного отклонения сильно
уменьшается2).
Величина p'-(D) &D (Д£)<^ D) есть вероятность того, что инте-
ресующее нас отклонение находится в интервале D,	Пусть
теперь п увеличилось в а раз: пх = ап. Каким отклонениям будет
соответствовать та же вероятность? Точнее говоря, когда
p;(D)AD = P^(D1)AD1?	(7.80)
Подставляя в это уравнение значения Р - (Z)) и Р- (DJ, даваемые форму-
лой (7.78), и полагая nt = ап, мы легко найдем, что для выполнения
(7.80) должно быть D1 — ^aD. Это и есть ответ на поставленный
нами вопрос.
Подчеркнем, что при Dr = ]/ a D равны вероятности jroro, что
наши отклонения находятся в интервалах Д£) и Д1)1 = }/a^D соот-
1) В тех случаях, когда случайные значения п следуют одно за другим,
под флюктуациями можно понимать величину D как функцию времени. Здесь
мы не будем, однако, ограничивать определения флюктуаций этим частным
случаем.
2) В связи с неясностями у автора в дальнейшее изложение [до фор-
мулы (7.81)] внесены изменения. (Прим, ред.)
298
Глава VII
ветственно. Что же касается самих функций Р- (D) и Р- (DJ, то они,
очевидно, связаны соотношением
/аР'ой(/ГП) =/<(£>).	(7-81)
Для случая а = 2 соответствующие графики изображены на фиг. 155.
Равенство (7.80) геометрически означает, что равны площади соот-
ветствующих тонких полосок.
•Фиг. 155. Изменение формы гауссовой кривой распределе-
ния при удвоении числа испытаний.
Для того чтобы показать детали, кривые изображены схематически.
В частности, ширина кривых значительно больше, чем в действитель-
ности.
Наконец, мы выведем очень простую, но важную формулу для
среднего значения D2 при любом распределении Бернулли, включая
распределения Пуассона и Гаусса как частные случаи.
По определению
среднее значение = D* =
= (п — л)2 = л2 — 2пп + п2 —
= п2 — 2~пп 4-п2 = и2 — (п)2.	(7.82) *)
Далее
. ^2=2 ^Рт(п).	(7.83)
п = 1
D2 называется иногда дисперсией п, а D2 — стандартным откло-
нением или стандартом.
Шумы. Основные математические сведения	299
Для того чтобы вычислить правую часть (7.83), прибегнем к искус-
ственному приему, подобному тому, которым мы пользовались в § 4,
п. б. Согласно формуле (7.21), имеем
= • • •
...Н-О^СриГ-1.	(7.84)
С другой стороны, непосредственное дифференцирование дает
+р«)’ге + «S(<1 + ри)т =
— тр (q ри)™-1	— \)p2 * * * &{q~{-ри)т~2 и. (7.85)
Из формул (7.84) и (7.85) следует, что
cUW“^+^-24p(p//)+ ... +С^>(р<-1 =
= тр (q -j- ри)™-1 -\-т(т — 1) р2 (q + ри)т~2и. (7.86)
Как и в § 4; мы полагаем
<7=1—Р	(7.87)
и
и=1.	(7.88)
На основании (7.10) уравнение (7.86) примет вид
2 п2Рт(п) == тр-^-т(т—1)р2.	(7.89)
п=1
Но, как следует из формулы (7.27),
п = 1пр.	(7.90)
Таким образом, из формул (7.83) и (7.89) следует
«2 = ^4“ (4)2 — рп-	(7.90а)
Откуда
D2 = V2 — (п)2 = + (п)2 — рп — (д)2 = д (1 — р).	(7.91)
Для случая распределения Гаусса при р 1 формула (7.91) пре-
вращается в формулу
& = п.	(7.92)
Нетрудно показать, что формула (7.92) является следствием фор-
мулы (7.81), но мы дали отдельный вывод потому, что и изложенный
метод и промежуточные результаты имеют самостоятельный интерес.
Из формулы (7.92) видно, что относительное отклонение от сред-
него становится малым при большом числе испытаний. Это — основа
теории флюктуаций.
300
Глава VII
Упражнение
Если мы^ будем бросать 100 монет и п представляет число выпавших
гербов, то п — 50. Сравните вероятность выпадения 48 гербов при броса-
нии 100 монет с вероятностью выпадения 196 гербов при бросании 400 мо-
нет. Сравните результат с формулой (7.81).
§ 9. Сложение двух и более вероятностных распределений.
В этом параграфе мы получим некоторые важные результаты, отно-
сящиеся к сложению двух вероятностных распределений. Чтобы по-
лучить наглядное представление о чем идет ре4ь, рассмотрим в ка-
честве примера лампу, в которой, как это показано на фиг. 156г
Фиг. 156. Два разделенных ка-
тода, независимо испускающих
термоэлектроны.
два разделенных раскаленных катода
испускают электроны. Вероятность вы-
лета одного электрона в течение эле-
ментарного временнбго интервала (см.
§ 5, п. в) для этих катодов равна
и р2 соответственно.
В течение §олее длинного интер-
вала, состоящего из т элементарных
интервалов, вероятности испускания п
электронов нашими катодами соответ-
ственно равны
ЛжЙ и ^2т (п)*
Мы хотим найти вероятность Р2т (п) испускания п электронов обоими
катодами вместе. Возьмем численный пример. Предположим, что мы
хотим найти вероятность испускания пяти электронов двумя катодами.
Это может произойти следующими способами.
Катод № 1 испускает	Катод № 2 испускает	Полная эмиссия
0	5	5
1	4	5
2	3	5
3	2	5
4	1	5
5	0	5
Вероятность одновременного испускания 0 электронов первым ка-
тодом и испускания 5 электронов вторым равна Plw (0), умноженной
на ^2мг (5), И т. д. для других комбинаций. Поэтому
Р^т (5) = Р1т (0) Р2т (5) + Р1т (1) Р2т (4) + Р1т (2) Р2т (3) +
+ рут (3) P2W (2) + Р1т (4) Р2т (1) + Pim (5) Р2т (0).	(7.93)
Шумы, Основные математические сведения
301
В общем случае формула, аналогичная формуле (7.93), имеет вид
?Зт	= 2 ^1т (Л1) ^2т (л2),	’ (7.94)
n=n1-f-n2
где суммирование производится по всем пх и л2, для которых
/г2 = л. Формула (7.94) является общей формулой для сложения
двух вероятностных распределений. Ясно, что ее применение не
ограничивается приведенным примером, а простирается на любые
вероятностные распределения.
Найдем среднее значение п для распределения РЪт (л). Оно равно
— 2m	2m
Л=2'^М«) = 2	2 («l+»2)^lm(«l)^2m(«2) =
П==0	П = 0 П=П14-П3
n=2m
= 2	2	(Л1) ^2m (Ля) ^2^1m (Л1) ^2m (^2)] • (7.95)
n=o
Поэтому
m	m
•« = [ 2 «Лт(«1)] [ 2^ш(«2)]]+
nk=Q	n2 = 0
m	m
+ [ 2 Pim («1)J [ 2 «A> («2)] • (7.96)
nx=o	n2=o
Выражение для n в формуле (7.96) отличается лишь порядком членов
от выражения в (7.95). Имеем далее
| m
2«1Л»»(л1) = «п	(7.97)
пх=о
т
'^1п^>2т(п^= п2	(7.98)
П2==0
и
m	т
2 Р1т («1) = 1 = 2 Р2т №	(7.99)
мх=0	п2—0
Подставляя эти величины в формулу (7.96), получаем важный резуль-
тат:
п = 4“ п2.	(7.100)
Итак, мы доказали, что при сложении (композиции) двух вероятност-
ных распределений получается распределение, среднее значение кото-
рого равно сумме средних значений первоначальных распределений.
Другое важное соотношение получается при нахождении среднего
значения квадрата отклонения от среднего суммарного распределения.
302
Глава VII
Имеем
__	________ 2 m	_
D2 * * * * = (п — л)2 = 2 (л — n)^PSm (п) ==
П = 0
2т	_
= 5 К7* п)2 2 Рlm (п1) ?2т (^2)] =
п=О	п=пк-{-п2
2т	_	_
= 2	2 (^1 + п2 П1 П2^ ^1т (п1) ^2т (^2) ===
п—0 n — nL+n2
2m	_	_	_
= 5	2 [(«-«l)2+2 («1-Л1) (л2~Л2)4"(л2—Л2)2] Plm М Р2т (л2)=
n=0 п=п1 + п2
т	__	т
= [ 2 (Л1	п1)2^1т (^1)] 2 ^2т (Лг)
nL=0	п2=0
т	т
+ 2 [ 5 (»1 — «1)P1OT (/<!)] [ 2 («2 —«2) ^(«2)1 +
nt=Q	п2 = 0
т	_	т
+ [ 2 («2 - «2)2 Р*т («2)] 2 Pim («1) =
«2=0	«Х = 0
= (Л!-^)2 + (Л2 —л2)2	(7.101)
Иными словами,
(«—Я)2 = («! —»t)2 + (л2 —л2)2.	(7.102)
Итак, мы доказали, что при сложении двух случайных величин
среднее значение квадрата отклонения от среднего равно сумме сред-
них значений квадратов отклонений первоначальных случайных величии
от их средних значений.
Формулы (7.100) и (7.102) выражают два основных математиче-
ских факта, фундаментальных для теории шумов.
Упражнения
1. Показать, что
п=2т
2 ^зт(п) = Ь
« = 0
где Р>т определяется формулой (7.94) и
2	(^i) = 1 = 2 ^2т(п2)'
nL=0	п2 — 0
2. Показать, что в формуле (7.101)
т	т
2 ("1 ~ п1) р1»‘ (”J> = ° = 2 ("2 — ”2) ргт («»)>
пх=0	п., = 0
Шумы. Основные математические сведения
303
§ 10. Обобщенная теорема сложения для больших чисел и
непрерывных распределений. Если п является функцией пх и л2
и если пх и п2 велики во всех важных для рассмотрения областях
или если они принимают непрерывное множество значений, то резуль-
таты предшествующего параграфа могут быть обобщены следующим
образом. Если
п = Апг Вп29	(7.103)
где л, п19 п2—случайные величины (стохастические1) переменные),
то
п = Ап1-[- Вп2	(7.104)
и
Р = Л35[ +	(7.105)
Для доказательства этой теоремы обозначим через
P(ri)dn— вероятность нахождения п между п и n-\-dn,	(7.106)
— вероятность нахождения пх между лгх и пх -}- dn^ (7.107)
и
P2(n2)rffl2— вероятность нахождения п2 между п2 и п24~^2, (7.108)
где
J P(n)dn = 1 = j* P1(n1)^n1 = J P2(n2)rfn2. (7.109)
—-оо	—оо	—оо
Для общности мы не исключаем возможности того, что перемен-
ные л, п19 п2 могут принимать отрицательные значения наряду с по-
ложительными. Если отрицательные значения исключены, то Р равно
тождественно нулю для отрицательных значений переменной.
Теперь, согласно правилу умножения вероятностей, имеем
р (л) dn = Рх (nt) Р2 (я2) dnr dn2,
(7.110)
где элемент dn19 dn2 включает те значения п1 и п2, которые соот-
ветствуют элементу dn в согласии с формулой (7.103).
й) Случайной, или стохастической, переменной (величиной) называется
переменная величина, с каждой определенной областью значений которой
может быть связана определенная вероятность [71].
304
Глава VII
Таким образом,
-J-CO	4-00 4-00
л = J* nP(riydn = J J" (Ап у 4- Вп2) Рх (nJ Р2 (n2) dnx dn2 =
— оо	—оо —оо
4-оо	4-о°
= j* AnJ\ (nJ dnx У Р2 («2)</л2 +
—оо	—оо
4-оо	4-оо
4- у Вп2Р2 (п2) dn2 У Pj (nJ dnx — Апх 4- Вп2. (7.111)
— оо	—оо
Аналогично,
__ __________ +°°
,02=(/г — л)2 = J (л— /г)2 Р (/г) dn =
—оо
4-оо 4-°°
(Апх 4* Вп2 — Ап1 — Вп2(* P(nY)P (n2) dnr dn^ =
—оо —оо
4-оо 4-°о
= У У {M(«1-n1)]2 + 2[4(n1-n1)B(n2-n2)]4-
—оо —оо
4- [В (n2—n2)]a}P(nJP(n2)dn1dn2 =
4-00	4-00
= У [4(«1 — tit)]* Р (nJ dll! У В (n2) Р (n2) dn2 4-
— оо	—оо
4-оо	4-оо
4-2 у А(пх — nJ Р (n^dni У B(n2 —n2)B(n2)rfn24-
—оо	—оо
4- f [B(n2 —nJ]2 P(n^)dn2 у Р(П1)б?Л1 =
— оо	—оо
= Д8 (ni — nja -4В2 (л2 — «2)з,	(7.112)
так как
4-00	4-00
У A(nt — n1)P(nl)dn1=O= у В(п2 — n^P(n^dn2. (7.113)
— 00	—00
Если 1ц и п2 принимают лишь целочисленные значения, но рас-
пределены по Гауссу, то величины п, п19 п2 очень велики во всех
Шумы. Основные математические сведения
305
имеющих значение областях, так что формула (7.113) может быть
применена как хорошее приближение1).
С помощью этого же метода мы можем так же легко получить
более общий результат, а именно, если
л =	...	(7.114)
то
л = Л1Я1 + Л2л2+ ... Н-АЛ	(7.115)
и
D2 = АЙ + АЙ + • • • + АЙ- (7.116)
§ 11. Вероятностное распределение идентичных функций.
а) Вводные замечания. До сих пор мы имели дело с вероятностным
распределением отдельных случайных событий, изолированных друг
от друга. Теперь мы обобщим наши рассуждения с тем, чтобы вклю-
чить в рассмотрение те случаи, когда имеет место (или может иметь
место) перекрытие (взаимодействие) случайных событий, распределе-
ние вероятностей которых исследуется.
Рассмотрим еще раз эмиссию электронов — пример, которым мы
уже не раз пользовались. До сих пор мы всегда говорили о флюктуа-
циях тока эмиссии электронов, но ни разу—о флюктуациях анодного
тока. Однако именно флюктуации анодного тока и представляют собой
дробовой эффект, который имеет такое важное техническое-значение.
Флюктуации этих токов тесно связаны, но они, без сомнения, не
одно и то же. Так, когда один
электрон испускается катодом и дви-
жется по направлению к аноду,
то при замкнутой анодной цепи
Фиг. 157. Диод с внешней
цепью.
Фиг. 158. Кривая анодного тока,
вызванного прохождением еди-
ничного электрона между като-
дом и анодом.
(фиг. 157) во внешней анодной цепи начинает течь анодный ток, пока
электрон не достигает анода. Действительная форма анодного тока
как функции времени зависит от геометрии лампы, распределения
потенциала в ней и от скорости электрона. Например, анодный ток
*) Справедливость общих формул (7.104) и (7.105) совершенно не связана
с предположением о большой величине п, (Прим. ред.\
20 Зак. 2263. С. Гольдман.
зоб
Глава VII
как функция времени для случая одного электрона может иметь
вид <5(0 на фиг. 158, где Д/представляет собой время пролета элек-
трона. Для случая обычной лампы с анодным током, скажем, 100 ма
(это составляет 6,3 • 1017 электронов в секунду) и временем пролета
электрона 10“8 сек. постоянно будет происходить перекрытие (т. е.
суперпозиция) анодных токов, вызванных отдельными электронами.
Наша задача — найти результат суперпозиции функций, распределен-
ных случайно по вероятностным законам. Это позволит потом построить
теорию дробового эффекта.
Начнем исследование со случая, когда все функции идентичны по
форме и размерам. Такой случай на практике реализуется при дро-
бовом эффекте в режиме насыщения, когда анодное напряжение
настолько велико, что вариации начальных скоростей отдельных элек-
тронов не имеют большого значения. Наше рассмотрение, однако,
будет носить общий характер и будет касаться распределения вероят-
ностей идентичных функций без оговорок относительно их характера;
таким образом, дальнейшее применение теории не ограничивается дро-
бовым эффектом.
б) Квадратичный эффект в области низких частот. Разло-
жим G(t) на фиг. 158 в интеграл Фурье:
°°
О (0 в “ J* 5 (<о) COS [ш/ ф (со)] Jo).	(7.117)
о
Так как область отличных от нуля значений G(t) ограничена интер-
валом 0</<Д/, то, как мы знаем (см. гл. IV, § 18), О(/)для низких
частот действует как импульс:
оо	Lt
м = J G(t)dt= J Q(t) dt.	(7.118)
о	о
Поэтому, согласно формуле (4.156), для области низких частот, когда
время пролета ничтожно мало, имеем
Lt
S(v) = M = f G(t)dl	(7.119)
о
и
<р(а)) = О.	(7.120)
Для упрощения выкладок нам будет, однако, более удобно предста-
вить О (/ — 7\) в виде ряда Фурье в некотором большом основном
интервале *) от 0 до Т (фиг. 159).
*) За этот интервал^можно взять полное время наблюдения в рассматри-
ваемом эксперименте. Таким образом, замена интеграла Фурье рядом не озна-
чает, что явление периодично.
Шумы. Основные математические сведения
307
Мы можем написать (см. гл. I, § 8):
G(t— Л) = |п+ 2(agCos^ + ^sin^),	(7.121)
3=1
где
т
tz0 = yf О(/—7,)Л = ^,	(7.122)
О
Т
2 f	2nqt .. 2М 2nqTi z_ 1Г.ОЧ
aq~~fj G(*—TJcos^^dt — ^cos-^j—,	(7.123)
о
т
,	2 С п (+ т \ • 2л0/	27И . 2nqT\	лаА\
G(t—TJsin—^rdt —	sin—y2-.	(7.124)
о
Подставляя эти величины в формулу (7.121), имеем
G (/— 7,) = у+cos [ 2"g (-~Г1> 1.	(7.125)
3=1
Формула (7.125) справедлива, конечно, лишь при низких частотах,
когда G(f) можно рассматривать как импульс.
Фиг. 159. Расположение кривой анодного тока, вызванного
прохождением единичного электрона в интервал времени между
71 и 7\ + ДД
Рассмотрим теперь, что получится при сложении многих таких
функций вида G (/), случайно распределенных вдоль оси времени.
Обозначим результирующую функцию через /(/). В особенности нас
будут интересовать две характеристики этой функции:
т
1. Линейный эффект J* I(t) dt.
о
т
/ 2. Квадратичный эффект J P (f}dft
о
20*
308
Глава Vlt
Особенней интерес представляет, конечно, частотный спектр квад-
ратичного эффекта.
Если мы рассматриваем какую-либо определенную компоненту
разложения Фурье функции I (/)
Ccos(^—	(7.126)
то каждая отдельная функция G(t—7\) вносит в выражение (7.126)
элементарную компоненту
2Л1
.сиъ-----
(7.127)
Однако эти компоненты не имеют одинаковых фаз и должны поэтому
складываться векторно, как это описано в гл. V, § 4, п. а. Фазы
„элементарных* компонент зависят от величины 7\. Кроме того, фазы
повторяются для 7\, отстоящих друг от друга на T/q вдоль оси вре-
df,	(1Ъ	dT,
П Г ’*11*	“*1 I*
>	--.......-1.1..  -	I I, .... ,,	.
о I 7<|	* ~ *
t
Фиг. 160. Интервалы времени, в которых фаза функции
cos [2nq(t— Т^)]/Т повторяется.
мени (фиг. 160). Поэтому мы можем считать величину ср заключенной
между 0 и 2тс, и нашей задачей будет сложить векторно все компо-
ненты в этом интервале от 0 до 2к. Каждому интервалу значений <р,
заключенному между <р и ©-{-dtp, соответствуют q маленьких времен-
ных интервалов длиной
=	(7.128)‘)
Любая G(t—7\), имеющая 7\ в этом интервале, вносит элементарную
компоненту в эхом интервале фаз. Теперь, если среднее число импуль-
сов G(f) в секунду равно К, то среднее число этих импульсов, вно-
сящих свою долю в интервал фаз между ср и —Н	определится
соотношением
<7Л29>
причем п есть число импульсов G(/), вносящих свою долю в интер-
вале фаз между ф и cp-j-d<p при отдельном испытании2).
i) Величина dy здесь малая величина, но не бесконечно малая; dy будем
считать настолько большим, чтобы имелось большое число импульсов
G(t—7\), начальные моменты которых Тг соответствуют интервалу между ср
и ср 4- dtp. ~
2) Смысл п здесь, как и в предыдущих случаях, таков: это среднее зна-
чение п, которое было бы найдено при многократном повторении опыта
в одинаковых условиях. Такого рода среднее называется средним по ансамблю.
Шумы, Основные математические сведения
309
Разделим интервал фаз между О и 2тг на большое число равных
интервалов длины d<o. Тогда среднее значение суммы элементарных
компонент Фурье частоты q/T, имеющих фазы в пределах от ср до
будет равно следующей ве-
личине:*
КТ dy 2М
2* Т
f2nqt
COS (-у-

км
=— cos
тс
(2-з£ _»)<(«.
(7.130)
Если теперь все средние значения
вида (7.130) из интервала от Одо 2т:
сложить векторно, то они образуют
замкнутый правильный многоуголь-
ник, как это показано на фиг. 161,
так что если бы п для любого dy
было всегда равно п, результирую-
щее колебание было бы равно нулю.
Если же вместо средних значений
взять действительные значения я, то
длина каждого маленького вектора
будет испытывать флюктуации около
его средней длины (КМ)*) dtp. Зану-
Ф и г. 161. Векторная диаграмма,
показывающая сложение средних
результирующих разных фазовых
интервалов.
меруем различные векторы через
1,2, ..., 5 и обозначим их длины через V\, У2, ..., Vs. Обозна-
чим длину вектора, представляющего собой сумму этих векторов,
через V 1). Тогда для х и у компоненты вектора V имеем
К» = ^11»+ ^2®+ ••• + Vsx = ViCOS^q-V2cos<p2 +
,	.	2Afcos<p1 . 2Afcoscp«> ,
4- ... 4- vscos<pg = —-----------------------^«2+
2M cos <?s
f n8’
(7.131)
vy=viy+ + •• • + vsy = sin®! 4- V2sin<p24-
I _J_ v ein® — 2A,slnft „ , 27Wsin<p2 ,
“Г • • • I Vs sin ?s-----------f---nl 4--------f----й2 4~
2M sin <ps
y. ns.
(7.132)
Мы видим из фиг. 161, что средние значения Vx и Vy равны нулю.
Поэтому можно считать Vx отклонением Vx от среднего и Vy
х) V, таким образом, равно С в формуле (7.126).
310
Глава VII
отклонением Vy от среднего. Тогда из формул (7.114), (7.116) и
(7.131) следует
V* = ^(£>icos2 «pj-j-DaCos3 ©2-|- ... 4-DgCOS2 <ps).	(7.133)
Так как nv п2, ..., п8 распределены по Гауссу, то из формул (7.133),
(7.92) и (7.129) следует
Т уЗ	f ”””	Q	I '	П	I	I '	О X
^ = "7Г (/ZlCOSJ(p14-^2COS?2+	+ П8 C0S“ ?.s) =
2гс
4№КТ Г , ,	2№К	/7 1О.Ч
= J C0S=	(7.134)
О
Аналогично
(7.135)
Так как
И =	(7.136)
то имеем
+	=	=	(7.137)
Величины Vx, Vy и V2 представляют собой по существу флюк-
туации всего круга, состоящего из очень большого числа элементар-
ных векторов (фиг. 161), и поэтому можно ожидать, что их вероят-
ности распределены аналогично вероятности D2 в формуле (7.78).
В отдельных случаях мы, таким образом, можем ожидать относи-
тельно большое процентное отклонение Z)2 от его средней величины.
В частности, из симметрии и физических соображений ясно, что все
значения
? = arctg(-^)	(7.138)
одинаково вероятны.
Из формулы (7.137) следует, что средний квадрат эффективного
значения компоненты Фурье в формуле (7.126)
Ceos — ф) = Vcos (^ — о)	(7.139)
равен
L(А?)эФФ-Г = "2 ~т~ = —т~•	(7•140)
Весьма вероятно, однако, как было отмечено выше, что про-
центное . отклонение от среднего в частных случаях может быть
большим.
На практике мы имеем дело не с отдельными компонентами
Фурье, а с совокупностью таких компонент в полосе частот шириной,
скажем, AF. Так как частота1) какой-либо компоненты Фурье, пред-
*) В этой связи см. также гл. III, § 2.
Шумы. Основные математические сведения
311
ставленной формулой (7.139), равна отношению
Я
Т ’
F =
(7.141)
то число гармонических составляющих в полосе AF равно
Д<7 = ГДГ.	(7.142)1)
Согласно гл. II, § 5, квадраты эффективных значений компонент Фурье
просто складываются. Следовательно, средний квадрат эффективного
значения суммы компонент Фурье в полосе частот ДГ будет выра-
жаться так:	’
[(/дг)эфф.]й = Д<7	= Т’ДГ = 2/ИДГ.	(7.14 3) а)
В § 15 будет показано, что когда Lq становится большим по
сравнению с единицей, относительное отклонение усредненного
квадрата3) от его' среднего значения стремится (по вероятности)
стать весьма малым.. Следовательно, когда Д# велико, то вероятность
заметного отклонения величины [(/дк)эф$.]2 от 2M*K&F при ре-
альном измерении очень мала. Формула (7.143) имеет фундаменталь-
ное значение в теории шумов, потому что, как мы увидим, она по-
зволяет нам вычислить мощность шума в полосе ДГ.
в) Квадратичный эффект в области высоких частот. В области
высоких частот, т. е. в области, где 0(f) не может рассматриваться
как импульс, разложение Фурье для G(t) может быть написано сле-
дующим образом (см. гл. I):
O(0 = ^ + 2cecos(^-T?),	(7.144)
Q = 1
где
т
a0=^fG(t)dt,	(7.145)
О
2
Т
= arc tg
т
G(f) cos^rf/J + [ J G(/)sin?^d/]\ (7.146)
О
т
( G (0 sin (2nqtlT) dt
b
т
_ f G(t) cos (2itqt/T) dt_
6
(7.147)
i) На практике TbF достаточно велико, так что bq велико в сравнении
с единицей.
2) Эта же формула выводится в § 20, исходя из непрерывного спектраль-
ного распределения, а не из дискретных компонент Фурье.
з) Т. е. квадрата эффективного значения	Мы будем в дальней-
шем пользоваться термином среднее только в вероятностном (статистическом)
смысле. Среднее же значение за период колебания мы будем называть усред-
ненным. [Прим, ред.)
312
Глава VII
Таким образом,
о (/- 7\) = + 2 сч cos[^2^=^ — d.
5=1
(7.148)
Результирующее выражение какой-нибудь высокочастотной гармо-
ники от всей совокупности импульсов G(Z—Т2) может быть полу-
чено совершенно тем же путем, как это было сделано для случая
низких частот в п. б, только М теперь .не постоянная, а меняющаяся
с частотой величина. Согласно уравнениям (7.125), (7.144) и (7.146),
формула для М имеет вид
Г т	т
Жд = 1/ Цо(/)со5^Лу+Ц G(/)sin?^d/T. (7.149)
г О	о
Для частоты нуль величина М равна
т
Mq= J G(Z)dt.
О
(7.150)
С этими обозначениями формула (7.140) приложима ко всем гармо-
никам как низкой, так и высокой частоты. Вместо формулы (7.143)
имеем, что средний квадрат эффективного значения суммы компонент
Фурье в полосе частот AFj равен следующей сумме:
g/T=Fx+AFx 2
Z1	Т •
<l/T=Fk
(7.151)
Выражение (7.151) удобнее писать в форме эквивалентного ему ин-
теграла Фурье. Таким образом,
[(ЛЛфф.]2 = 2К j [S («>)]2 df,	(7.152)
Fx
где	________________________________________
S(a>) = '|/<^ J G(0cos<o/rf/]24-[ J* G (t) sin ш/dt^ (7.153)
—oo	—oo
И
a) = 2тг/.
г) Полный линейный и квадратичный эффекты. Если мы че-
рез 1(f) обозначим результирующую множества случайно распреде-
Шумы, Основные математические сведения
313
ленных импульсов G(t\ то для среднего линейного эффекта /(/)
будем иметь
J / (f) dt = NM^ = КТМ0,	(7.154) >)
О
Как было отмечено раньше, это среднее значение равно среднему,
которое было бы получено из найденных много раз при одинаковых
условиях величин
J I(t)dt.
О
Так как N чрезвычайно велико и распределено по кривой Гаусса,
то заметное отклонение от среднего совершенно невероятно, так что
мы можем считать
т
J Iff) dt
О
именно той величиной, какую мы получим практически на опыте.
Поэтому имеем
т
Iq = постоянная составляющая 7(/)=yj* Iffydt—KM^ (7.155)
о
Другими словами, общая постоянная составляющая равна сумме по-
стоянных составляющих отдельных О(/). Подобным же образом, со-
гласно формуле (1.103) и результатам, полученным в п. в, имеем
=	+	Т~-	(7.156)
0	Q=1
Если мы положим
т
G0 = y | G(t)dt = ^-	(7.157)
о
и
Gn(0 = G(0-Go,	(7.158)
то, согласно формуле (1.103) и только что полученным результатам,
получим
т	«> л л/*
у/о2 (0^=42^.	(7.159)
0	5^1
9 W обозначает полное число Q(t) за весь интервал от 0 до Т и рас-
пределено по кривой Гаусса, так что его относительные флюктуации малы.
314
Глава VJI
Подставляя (7.159) в (7.156), находим
“т	т
yj f(t)dt = MlK2 = K^ G2n{t)dt.	(7.160)
О	о
Положим затем
/п(0 = /(/)-/о,	(7.161)
тогда
If ll(f)dt = ^f [7(0—/0М=т/[/а(0-2/(0/о + /?]^ =
0	0	о
=4 J [/2 (f| - 2/о + fadt = 1 У [72 (0 — /о] dt =
0 0
т
= К$ Gl(f)dt.	(7.162)
О
Иначе говоря, значение усредненной мощности переменной слагаемой
тока равно сумме энергий переменных слагаемых отдельных О(/). Таким
образом, результатом случайного распределения G(/) является то, что
при усреднении энергия взаимодействия между отдельными функциями
исчезает.
Так как в образовании энергии
т
У [7(0-/0]2^
о
участвует большое количество частот, то заметное отклонение от
среднего в каком-либо частном случае совершенно невероятно (см.
§ 15), поэтому формула (7.162) дает действительную величину усред-
ненного квадратичного эффекта переменного тока. В практических
случаях она, конечно, пропорциональна мощности шумов.
§ 12. Сложение случайно распределенных функций различ-
ных видов. В предыдущем параграфе мы имели дело со случайно
распределенными функциями G (/), имеющими точно одинаковую
форму и среднее количество наступлений К в секунду.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда имеется несколько
видов функций
! (0,	(/),..., Gp
умеющих соответственно среднее количество наступлений
ка, кь,...,кр
Шумы. Основные математические сведения
315
в секунду. Исследуем линейный и квадратичный эффекты результи-
рующей, а также спектральное распределение квадратичного эффекта.
Пусть
/ т	'	т
Mqr=y	+	(7.163)
о	о
означает в согласии с прежними обозначениями амплитуду #-й гар-
моники Gr(/) и пусть
т
MOr = far(i)dtt	(7.164)
о
Теперь, рассуждая так же, как и гв § 11, мы получим требуемые
результаты. Опуская эти очевидные вычисления, выпишем оконча-
тельные формулы, аналогичные формулам (7.131)—(7.134). Они
будут иметь вид
V* = -у ОЧЛ + Mqbnib + • • • + ^qpnlp) C0S ?1 +
+ у	+ Mqbn2b + ... + МдрПзр) cos ?2 +
4" у (^qansa~\~ ^qbnsb • • • ~\~^qpnsp) Cos ?s> (7.1 65)
Кг = —(Dia COS2 (Sj £>2a COS2 ?24* • • • 4*^sa COS2 ?g) Ц-
+ ~7=r C°S2 ?1 + °2b COS2<f>2+- • • + £>sbC°S2?s) +
4Д/2	--- ----------
+ ... + (Dip cos9?! + Dip cos2 ?9 4~
+ ...+^cos2?g),	(7.166)
V*x = ~T^ frla cos2 ?1 + n2a COS2 ?2 + . . . -j- nta COS2 ?g) Ц-
-f- (Й1Ь COS2 ©j 4-Я2Ь COS9 ?2 + - • 4- «sb cos2 ?s) +
47И2 —	—
+ ••• +~7F-(«1^COS2?1 + «2PCOS2?2 +
+ ••• +«,f>cos2?g)=-^-(_A_ J cos2?z/?j4-
0
, ш1ь/КьТ2г \ .	4Л1® /КпТ2г „	\
+ COS2 ? + -+
*= | (4f^4-Af|^4- ... 4- M^p).	(7,167)
316
Глава VII
В качестве конечного результата для среднего квадрата эффективного
значения <?-й компоненты Фурье ^аналог формулы (7.140)] получим
[(/«)эфф.]9 = 4 {MlaKa + М^ьКь + • • • +	(7.168)
Аналогом формулы (7.143) для области низких частот служит
[(М»фф,18 = 2 (Л/Х + МдьКь + •. • + М^Кр), (7.169)
а аналогом формулы (7.152) для любых частот
[(7ду)эфф.12 = 2 J {/<а15а(а>)Р4-/Сь[5ь(а>Я+...4-
+ Кр (<»)]2} df. (7.170)
Аналогом формулы (7.155) для постоянной составляющей
является
^КаМа^КьМъ^ ...+КрМр	(7.171)
и аналогом формулы (7.162) для среднего квадратичного эффекта
переменного тока
“г :	т
4 I (0 — /012 dt = J\KaGl (п) (/) + KbG\ (п) (/)+...+
О	о
+ ЯР0;(Л)(ОИ/.	(7.172)
Окончательный вытекающий из формул (7.168)—(7.172) резуль-
тат сложения случайно распределенных функций нескольких видов
может быть сформулирован в виде следующего правила.
При сложении случайно распределенных функций нескольких
видов: 1) постоянные составляющие отдельных видов функций скла-
дываются, 2) квадратичные эффекты переменных составляющих
всех видов функций складываются для любой области частот.
Это правило имеет первостепенную важность при сложении токов
и напряжений шумов. Оно было применено в предыдущей главе при
обсуждении сложения шумов от различных источников и будет исполь-
зовано в следующей главе при обсуждении дробового эффекта, огра-
ниченного пространственным зарядом.
Как будет выяснено в § 15, вероятность заметного отклонения
от среднего значения при практическом применении формул (7.169)—
(7.172) настолько мала, что ею можно пренебречь. Следовательно,
знаки усреднения над левыми частями этих формул можно практи-
чески опустить.
§ 13. Нормальное распределение. До сих пор мы давали вывод
всех приводимых в тексте формул, чтобы читатель полностью понял
Шумы. Основные МйтеМатйЧеские сведения	317
способ рассуждения, на котором основываются наши результаты и
заключения, и мог совершенно уверенно применять эти результаты.
Сейчас мы обсудим одно важное обобщение этих результатов, кото-
рое, однако, мы приведем здесь без доказательства, так как это дока-
зательство, во-первых, слишком сложно, а во-вторых, оно не является
исчерпывающим.
Это обобщение касается вопроса о нормальном распределении.
В § 6 мы вывели формулу распределения Гаусса (7.57) для вероят-
ности того, что случайная переменная (п) примет заданное значение
в результате определенного случайного процесса, когда число неза-
висимых случайных событий, составляющих процесс, становится очень
большим. Это частный случай общего математического предложе-
ния, называемого иногда центральной предельной теоремой х), уста-
навливающей предельную форму, к которой стремится распределение
результирующей т случайных слагаемых при zn, стремящемся к бес-
конечности. В нашем выводе формулы распределения Гаусса т слу-
чайных слагаемых были результаты т испытаний на наступление
события, вероятность наступления которого при любом испытании
имела постоянную величину р. Этот случай называется одномерным
распределением, так как результаты т испытаний алгебраически
складываются для получения интересующей нас величины п. Приме-
ром величины, имеющей двумерное распределение, является ампли-
туда V какой-либо компоненты Фурье шума (см. § 11), так как она
изображается вектором на плоскости, проекции которого на оси X и у
образуются сложением большого количества элементарных случайных
компонент, соответственно Vix и Viy. Центральная предельная теорема
указывает форму функции распределения в общем случае любого числа
измерений^ когда число т отдельных случайных членов стремится
к бесконечности. Центральная предельная теорема имеет место, в част-
ности, в интересующих нас здесь задачах, ко&а случайная величина
является суммой большого числа независимых слагаемых (элементарных
векторов), порядок которых одинаков.
Форма функции распределения, даваемая центральной предельной
теоремой, становится очень простой в том специальном случае, когда
выполняются следующие два условия: 1) средние rto ансамблю от
всех координат (суммарных) равны нулю; 2) средние по ансамблю от
1) Дальнейший текст, относящийся к центральной предельной теореме,
содержит в оригинале грубые ошибки, поэтому в перевод внесены необхо-
димые исправления. Доказательство теоремы, тесно связанной с именем
А. М. Ляпунова, читатель может найти в книгах С. Н. Бернштейна [66],
В. И. Гливенко [67], Б. В. Гнеденко [68].
Это доказательство опирается на те или иные достаточные условия
справедливости центральной предельной теоремы. Вопрос же о необходимых
и достаточных условиях пока остается открытым. Поэтому остается откры-
тым и вопрос о границах применимости результатов, базирующихся на этрй
теореме. (Прим, ред*)
31Й
Глава Vit
произведений координат (суммарных), относящихся к различным изме-
рениям, также равны нулю.
Пусть координаты, соответствующие измерениям, суть х, у, z
и т. д. Центральная предельная теорема утверждает, что вероятность
нахождения результирующей в элементе объема dxdydz... равна
« е-^ахe-^dye-™dz	(7.173)
Уте	У те	/те	v 7
где а2, £2, с9 и т. д. определяются формулами
’-i-, (,=i- "*’	(7Л74)‘)
где о2—среднее по ансамблю от х2 и аналогично для ау, <зх и т. д.
Иными словами, при выполнении условий (1) и (2) из центральной
предельной теоремы следует, что суммарные координаты, соответст-
вующие различным измерениям, ведут себя при т -> оо как независи-
мые одномерные случайные величины с гауссовым законом распреде-
ления (в формуле (173) вероятность распадается на произведение
вероятностей).
В дальнейшем, для краткости, когда мы будем говорить, что слу-
чайная многомерная величина удовлетворяет центральной предельной
теореме, мы всегда будем понимать под этим только что указанную
специальную форму центральной предельной теоремы, выражаемую
формулой (7.173).
. Подчеркнем еще раз, что, для того чтобы при т -* оо централь-
ная предельная теорема имела место, все т слагаемых должны быть
величинами одного и того же порядка.
В качестве примера к формуле (7.173) укажем, что отклонение D
в формуле (7.57) складывается из значений, полученных при т испы-
таниях, причем средняя величина D равна нулю. Так как D соответ-
ствует одномерному случайному процессу, то из формулы (7.173)
следует, что функцией распределения D является
р(О) =	(7.175) 2)
у те
2) Эти значения для а2 и т. д. следуют из формулы
+°°
а2=зх2= f х2 —dx =^=—J—.
x J /те	2а2
, 2) Рв(х) есть плотность вероятности, т. е. величина Р(х) dx равна вероят-
ности нахождения переменной х между х и х + dx.
Шумы. Основные математические сведения	319
Мы знаем среднее по ансамблю значение D2, так как по формуле
(7.92) для распределения Гаусса при. р 1
(7.176)
Поэтому, согласно формуле (7.174),
« =	(7.177)
2п
Таким образом, формула (7.175) превращается в
P(D) = —±=e а»,	(7.178)
У 2тгл
что согласуется с формулой (7.57).
Функция распределения, определяемая центральной предельной тео-
ремой, называется нормальным распределением.
§ 14. Хаотические шумы, а) Функция распределения для Iq.
Применим центральную предельную теорему для нахождения распре-
деления вероятностей компонент Фурье тока /(/) из § 11. Через Iq
мы обозначим амплитуду </-й гармоники, через Iqx и Iqy—ее соста-
вляющие по косинусу и синусу, т. е.
iq = Iq cos	= 4. cos + lqy sin , (7.179)
где
4 =	+ 4 и <p? = arctg(^).	(7.180)
Как было выяснено в § 11, п. б, Iqx и Iqy являются результирую-
щими очень большого числа случайных независимых слагаемых, имеющих
один и тот же порядок.
Далее
Jqx == fqy в Iq&Iqy ~	(7.181)
Поэтому центральная предельная теорема применима к lq. Следова-
тельно,
P{I^dIqa> = -^=e dlqa)- Р (lqy)dlqy = ~=е dlqy. (7.182)
Согласно формулам (7.134), (7.135) и (7.174),
а2 = 4ЛР/С И	'	(7.183)
320
Глава VH
Распределение самой величины Iq двумерно. Чтобы найти форму
распределения для Iq, перейдем от прямоугольных координат
к полярным
Поэтому
Фиг. 162. Представление Iq в прямо-
угольных и полярных координатах.
(фиг. 162). Имеем
dlqxdlqy ~ Iqdlgdy,
(7.184)
J J Р (4®) Р (fqy) dlqxdlqy 4^2/^
.00 -00	Tq-
Т1д
[в Iqdlqd<t =
Т
=-L_ f
2МЧ< J
TI2
д
 4ЛРК dlq =
тг
°° 'гт	q
~шп-к .г __
2МЧС	q —
q
= Jp(/M-
2Г°
(7.185)
Для двумерного нормального распределения, такого, как у I ,
форма кривой распределения имеет, таким образом, вид
. А*!2
P^dl^lA^e	«dlq,	(7.186)
где
=	=	(7.187)1)
д
Из формулы (7.187) следует, что 1/А2 является мерой энергии
шумов.
*) Это следует из равенства
J	А2
о
ШуМы. Основные Математические сведения
321
Р (Iq) имеет максимум при
= 2А2е А2/®4-2Л2/3е А’^(—2А2/?) = О, (7 Л 88)
т. е. когда
, == —1 = _= -\f^K
q ~ К2А2 V2 V Т
(7 Л 89)
Таким образом, хотя мы не можем предсказать точное значение Iq
в отдельном случае, мы все-таки знаем его наиболее вероятное зна-
чение; оно дается формулой (7.189), среднее же значение его квад-
рата дается формулой (7.187).
Величина Iq не равна квадрату амплитуды, усредненному по вре-
мени, это среднее от квадратов амплитуд тока iq при большом числе
испытаний. Среднее по ансамблю от усредненного квадрата значе-
ние компоненты Фурье тока 1(f) в § 11, п. б равно, согласно фор-
муле (7.187),
iq _2М*К
2 ~ Т *
(7.190)
Формула (7.190) дает среднее по ансамблю квадратичного эффекта
^-й компоненты Фурье.
б) Определение хаотических шумов. Предыдущее рассмотрение
Iq подсказывает следующее определение хаотических шумов.
Хаотическим шумом мы будем называть любую случайную функ-
цию (в определенном промежутке времени), каждая компонента Фурье
которой имеет двумерное нормальное распределение и случайную
фазу, причем квадратичный эффект любой компоненты ничтожно мал
в сравнении с общим квадратичным эффектом1).
Согласно этому определению, хаотический шум останется хаоти-
ческим шумом даже после прохождения через линейную систему,
имеющую селективные свойства.
В соответствующих местах следующих глав будет показано, что
и дробовой эффект и тепловые шумы являются хаотическими шумами
в смысле приведенного определения. Это определение — более общее,
чем это обычно бывает необходимо. Для многих целей мы можем
ограничиться рассмотрением „белого" шума. В последнем случае сред-
нее значение Iq не зависит от q.
в) Функция распределения для хаотического шума. Найдем
теперь функцию распределения для хаотического шума 1(f) в неко-
*) Требование случайности фаз означает, что средние значения компо-
нент по синусу и косинусу равны для любых частот. Требование малости
каждой компоненты в этом определении эквивалентно тому, что число ком-
понент должно быть велико и что нет заметной постоянной составляющей.
21 Зак. 2263. С. Голвдман.
№
Рлава'уЙ
торый определенный1) момент времени t. /(/) является результирую-
щей суперпозиции многих компонент Фурье
/3cos(^—<?3).
Эти слагаемые — случайные величины, поскольку они зависят от слу-
чайных величин и <рв. Кроме того, среднее значение 1(f) равно
нулю, так как положительные и отрицательные значения одинаково
вероятны. Если Т—общая продолжительность времени наблюдения —
берется достаточно большой, чтобы при образовании 1(f) складыва-
лось очень большое число компонент Фурье, то условия, необходи-
мые для применения центральной предельной теоремы, выполняются.
Поэтому для определенного момента времени t имеем
=	(7Л91)
где	__
а? = /2.	(7.192)
Распределение одномерно, так
Фиг. 163. Графики двух функций,
мало отличающихся друг от друга.
как все компоненты, которые уча-
ствуют в образовании 1(f), склады-
ваются алгебраически.
Для частного случая, разобран-
ного в § 11, п. б,
/2= 2М*К№,	(7.193)
так что формула (7.191) превра-
щается в
__ р
1	4ЖЙГД.Р
Р(1)=—=±=-е	’ (7.194)
г) Правило для низкочастот-
ных составляющих. Предположим,
что мы имеем две функции gt (f) и
g2(0, которые, за исключением
очень мелких подробностей, ведут себя одинаково (фиг. 163). Мате-
матически выразим это так:
j gl(f)dt=j g^dt	(7.195)
i) В случайных функциях, таких, как /(/), частное значение времени t
означает промежуток времени от начала интервала общей продолжительно-
стью Т. Чтобы найти распределение случайной величины, нужно многократно
повторить испытания, каждое из которых длится время Г.
Шумы. Основные математические сведения	323
в любом интервале длины tb — ta, который достаточно короток, чтобы
cos [(2nnf)/T] и sin [(2iznt)IT] не менялись заметно на его протяжении.
Разделим полный интервал Т на короткие интервалы длины tb — ta.
Тогда из формулы
т
ani — an2 = rf — cos dt =
О
tb
= |^cos^J(^(0-^(0]^=0	(7.196) О
и аналогичной формулы для Ьп1 — Ьп2 следует, что эти две функции
имеют одни и те же компоненты Фурье для частот ниже п/Т. На-
оборот, если компоненты Фурье совпадают для частот ниже F = л/Т,
то справедлива формула (7.195). Мы можем назвать это предложение
и ему обратное правилом образования низкочастотных компонент
Фурье. Из этого правила следует, что тонкая структура функций
определяет в разложении Фурье лишь высокочастотные компоненты.
д)	Распределение по ансамблю хаотических шумов является
также распределением во времени. Представление хаотических
шумов как функций времени. Покажем теперь, что распределение
по ансамблю хаотических шумов является также распределением во
времени. Иными словами, покажем, что относительное время пребы-
вания I в промежутке между I и I-^dl в любом эксперименте доста-
точной продолжительности пропорционально Р(1).
Разделим большой интервал Т — время наблюдения шумов — на
очень короткие интервалы одинаковой длины /0, такие, что I суще-
ственно не меняется в течение любого из них.* 2) при каждом испыта-
нии нашего статистического ансамбля. Распределение вероятностей
для I в определенном интервале tQ совершенно такое же, как рас-
пределение в любом /0, и равно Р(Г). Отсюда следует, что в сред-
нем относительное время пребывания I в пределах от I до
пропорционально Р(1). Хотя и существуют отклонения от среднего,
но все же, если интервал Т берется достаточно большим (фиг. 164),
эти отклонения будут малы.
*) Суммирование в формуле (7.196) производится по всем интервалам
длины tb — ta.
2) Всякий хаотический шум имеет высокочастотный предел, выше кото-
рого у него по существу нет компонент. Таким образом, из правила образо-
вания низкочастотных компонент следует, что существует достаточно малый
интервал f0, в котором / заметно не меняется. Высокочастотный предел для
дробового эффекта вызван конечным временем пролета, высокочастотный
предел тепловых шумов существует благодаря квантовым эффектам, а вы-
сокочастотный предел искусственных шумов обусловлен их конечной полной
энергией.
21*
324
Глава Vtf
До сих пор при обсуждении хаотических шумов мы говорили
лишь о распределении вероятностей. В свете предыдущих параграфов
мы теперь в состоянии уточнить условия, при которых мы вполне
определенную функцию конечной длительности, записанную, напри-
мер, на осциллограмму, можем считать хаотическим шумом. Именно,
если у этой функции (сигнала) 1) число членов ряда Фурье велико,
2) отношение квадратичного эффекта любой компоненты к полному
квадратичному эффекту исчезающе мало, 3) фаза компонент распре-
делена случайно, 4) постоянная составляющая отсутствует, то мы
можем описывать такой сигнал как хаотический шум1). Распределе-
ние амплитуд и другие свойства этого сигнала будут такими же, как
и для хаотических шумов. Для полного описания такого шума надо
Фиг. 164. Результат одного специального определения значений /(/)
в интервале от 0 до Т для данных экспериментальных условий.
Изображенный здесь шум не является белым шумом, а скорее отвечает шуму
в узком интервале частот.
еще задать зависимость квадратичного эффекта от частоты или, поль-
зуясь общепринятой терминологией, спектральное распределение его
энергии.
Если спектральное распределение энергии равномерно, то шум,
как говорят, по аналогии с оптикой имеет белый спектр. Большинство
хаотических шумов при возникновении имеет белый спектр, начинаю-
щийся от низких частот и простирающийся на значительный диапазон
частот.
е)	Искусственные шумы. Термин „искусственные шумы" мы будем
применять к таким шумам, как шумы от царапин на пленке, которые
являются обычно результатом суперпозиции большого числа отдель-
ных, но не обязательно идентичных функций, появляющихся через слу-
чайные промежутки времени. Возможно, что такой шум иногда не
является чисто случайным, так как в нем обычно есть некоторые
регулярности. Однако он иногда достаточно близок к настоящему 2
2) Это определение требует разъяснения для тех, кто не читал началь-
ные параграфы этой главы. Основной период, применяемый нами в рядах
Фурье, равен полному времени наблюдения сигнала. Таким образом, осцил-
лограмма тепловых шумов за 10 мксек при ширине полосы 1 мгц не может
считаться графиком хаотического шума, так как каждая низкочастотная
компонента ряда Фурье имеет квадратичный эффект, составляющий заметную
долю от общего квадратичного эффекта. Если, однако, интервал наблюдения
расширяется до 1000 мксек, то снимок может рассматриваться как график
хаотического шума.
Шумы, Основные математические сведения
325
хаотическому шуму, так что к нему могут быть применены законы
сложения хаотических шумов.
Так как индивидуальные функции, о которых упоминалось выше,
обычно очень непродолжительны, то их можно рассматривать для
области низких частот как импульсы. Следовательно, для величины Iq
какой-либо определенной низкочастотной гармоники будет иметь место
двумерное распределение вероятностей и значение а2 будет одинако-
вым для всех этих гармоник. Шумы такого типа будут поэтому иметь
равномерное распределение энергии в области низких частот.
ж)	Законы сложения. Для хаотических шумов имеют место свое-
образные законы сложения, которые будут сейчас сформулированы и
доказаны.
/. Сложение двух и более случайных функций (хаотических
шумов) дает новую случайную функцию (хаотический шум).
Это следует непосредственно из определения, данного в п. б. Так
как при сложении случайных функций складываются весьма малые
компоненты Фурье определенной частоты, то компонента Фурье суммы
также весьма мала. Поэтому, согласно центральной предельной тео-
реме, результирующая функция также имеет двумерное нормальное
распределение.
2. Если две (или более) случайные функции (хаотические шумы)
складываются, то средние по ансамблю от их квадратов склады-
ваются.
Доказательство следует непосредственно из формулы (7.116), так
как среднее значение каждой случайной функции равно нулю, и, сле-
довательно, ее значения могут рассматриваться как флюктуации.
Поэтому, если
7=Л4-/3+ ... +4,	(7.197)
где все / являются случайными функциями, то
?=Л + Л+ ... +Д.	(7.198)
Из формул (7.191) и (7.198) получаем
______—р_______
р (/) == —	1	г 2<*;+’1+ ••• +’»> ф (7л99)
]/2*	+ Од -|- ... -|-
3. Если две (или более) случайные функции (хаотические шумы)
складываются, то квадратичные эффекты складываются.
Доказательство следует непосредственно из формулы (7.198) и из
того факта (указанного в п. д), что распределения по ансамблю для
/, /1У /2 и т. д. являются также их распределениями по времени. Сле-
довательно,
т т т	т
f f/zdt+ ... + f Adt. (7.200)
0	0	0	0
326
Глава VII
§ 15. Уменьшение разброса значений результирующей около
среднего значения при возрастании числа измерений в нормаль-
ном распределении. В § 14, п. а, мы нашли, что при двумерном
распределении, в котором действителен, векторный закон сложения,
т. е.
/•2 = x8 4-j2,	(7.201)
распределение результирующей имеет максимум для значения г, опре-
деляемого средними значениями х2 и у2. Мы покажем теперь, что при
возрастании числа переменных этот максимум становится очень острым.
Это имеет важные следствия для проблем шума.
Для простоты мы будем изучать симметричный случай, когда стан-
дартные отклонения о одинаковы для всех переменных. Предположим,
что мы имеем дело с Л/-мерным нормальным распределением, и назовем
координаты через
Будем предполагать, что N—четное число, как это обычно имеет
место в случаях, представляющих интерес.
Тогда
г2 = х2 + х, + ...	XN.	(7.202)
Затем, согласно определению,
Jp(r)dr=l	(7.203)
о
и из геометрических соображений
4-00	4-00
J...	Р(х1)Р(х2) ... P{xN)dXidx2 ... dXy =
—оо	—оо
4-00	4"00	9 О 9 9	С	'
=	J ••• j e 1122 N N>dX1dx2 ... dxN =
' ' '	—oo	—oo
oo	_
= j*	dr, (7.204)
0
ибо, по предположению,
=	... =4 = a1.	(7.205)
Так как N—четное число, то
J лЛ-1 е~а^ dr = —.	(7.206)
Шумы. Основные математические сведения
327
Согласно формуле (6.203),
(7-207)
Таким образом,
P(f) = /ЛГ-2\' гУ~1б~а°ГЗ	(7-208)
ГК?
имеет максимум, когда
d [Р (г)] 2aw v
dr (N—2\ '*'
I 2 Г
X [e~aV(N— 1)гх~34-2а2г)] = 0, (7.209)
т. е. когда
или
(Af—— 1) — 2д2г2 = 0
(7.210)
(7.211)
Чтобы показать, что максимум острый, когда Af велико, нужно заме-
тить лишь, что г быстро уменьшается при убывании г от г,
соответствующего максимуму, поэтому малые значения г маловероятны;
с другой стороны, е~~а^ быстро убывает при возрастании г от г,
соответствующего максимуму, так что большие значения г также мало-
вероятны. При возрастании N значение г, при котором имеет место
максимум Р(г), возрастает, согласно формуле (7.211), так что макси-
мум перемещается в область, где е~~убывает быстрее. Максимум,
таким образом, становится острее как со стороны меньших, так и
со стороны больших г при возрастании N. Читатель может в качестве
упражнений разобрать несколько численных случаев.
Рассмотрим теперь энергию суммы компонент различных частот,
каждая из которых имеет нормальное распределение. Каждая компо-
нента добавляет к общей картине два измерения (член с косинусом и
член с синусом). Следовательно, когда число компонент велико, заметное
отклонение от средней энергии чрезвычайно маловероятно. Поэтому,
если время наблюдения достаточно велико, так что в полосе частот Д27
существует большое число компонент Фурье, то мощность или энергия,
измеренная в этой полосе AF, не даст на практике заметных флюк-
туаций.
§ 16. Когерентность. Хорошо известно, что когда два идентичных
сигнала складываются в одной фазе, энергия (квадратичный эффект)
результирующего сигнала в четыре раза превышает энергию каждого
из сигналов, взятых отдельно, С другой стороны, если два сигнала
328
Глава VII
(7.213)
складываются в противофазе, энергия результирующей равна нулю.
В общем случае, если мы имеем два сигнала Ev(t) и £2(/), наклады-
вающихся один на другой, то результирующий квадратичный эффект
равен
/ [£t (Z) + Е3 (Z)]adt = J [Е? (t) + 2Е, (О Е2(Z) + El (Z)] dt =
= J [Ei (Z) 4- El (Z)[ dt-]- J 2E, (t) E2 (Z) dt. (7,212)
Первый интеграл в правой части формулы (7,212) представляет собой
сумму квадратичных эффектов двух сигналов, взятых отдельно, вто-
рой же представляет квадратичный эффект взаимодействия. Отношение
f2Et(Z)E2(Z)rfZ
/2|El(Z)||E2(Z)|d/ “ 12
будем называть коэффициентом когерентности между сигналами Et (I)
и E%(t). Значение коэффициента когерентности может, таким образом,
лежать между — 1 и + 1, т. е. он является нормированной характе-
ристикой квадратичного эффекта взаимодействия.
Согласно данному определению, два независимых шума (шумовых
сигнала) имеют коэффициент когерентности, равный нулю, так как их
квадратичные эффекты складываются. Далее, если интегрирование про-
изводится за достаточно большое время, два сигнала различных частот
С cos t и C2cosa)2^
имеют коэффициент когерентности, равный нулю. Два сигнала одина-
ковой частоты, но сдвинутые на фазе на 90°, будут также иметь
коэффициент когерентности, равный нулю, если интегрирование будет
распространено на очень большое число циклов. Сигналы, имеющие
коэффициент когерентности, равный нулю, называются ортогональ-
ными. Сигналы, имеющие коэффициент когерентности, равный 4~1
или —1, могут быть названы вполне когерентными.
Любой сигнал может быть разложен на компоненты ряда Фурье
(каждая компонента имеет члены с sin и cos). Поэтому, если два
сигнала рассматриваются за длинный промежуток времени, то они
могут быть разбиты на ортогональные и вполне когерентные компо-
ненты. Мы, таким образом, можем сформулировать следующее правило.
Средний квадратичный эффект результирующей суперпозиции не-
которого числа сигналов равен сумме средних квадратичных эффектов
отдельных сигналов плюс удвоенная сумма средних значений произ-
ведений вполне когерентных компонент, причем каждое произведение
берется с соответствующим знаком.
Для примера найдем средний квадратичный эффект от сложения
cos со/ и C2cos (wZ4-ср). Здесь когерентными компонентами являются
Cjcosa)/ и С2 cos ср cos со/,
Шумы, Основные математические сведения
329
а единственной ортогональной компонентой
— 6?2sinosina)/.
Полный средний квадратичный эффект равен' поэтому
2 ,Cl 2С&
~2^~Г~2 COS ? "г у sin2 V Н-2~ cos У =
С2 с2
= ^-J-^4-C1C2c°s?.	(7.214)
Общим опытным фактом является то, что два сигнала, происходя-
щие от независимых источников, ортогональны. Даже в случае сигна-
лов практически одинаковой частоты, если они независимы, будет иметь
место изменение разности фаз между ними, так что за большой проме-
жуток времени среднее значение члена взаимодействия C^coscp в
формуле (7.214) равно нулю.
Различные боковые полосы в спектре модулированной волны орто-
гональны. Это справедливо независимо от типа модуляции, так как
разные линии имеют разные частоты. Тем не менее боковые линии
имеют между собой вполне определенные соотношения амплитуд, фаз
и частот. Используя эти соотношения, можно, как мы видели в пре-
дыдущей главе, получить улучшенное отношение сигнала к шуму.
Поэтому было бы разумным называть эти боковые полосы когерент-
ными, хотя энергия взаимодействия их равна нулю. Таким образом,
мы приходим к следующему общему определению.
Два сигнала или какие-нибудь два элемента одного сигнала, имею-
щие определенные соотношения между величинами, их характеризую-
щими (т. е. между их амплитудами как функциями времени, или между
фазами их частотных компонент), когерентны. Два сигнала или два
элемента одного сигнала некогерентны, если они независимы между
собой (т. е. если нет каких-либо соотношений связи между величинами,
их определяющими).
Согласно этим определениям, все некогерентные сигналы орто-
гональны, но ортогональные сигналы не обязательно некогерентны.
Так как квадратичные эффекты некогерентных сигналов склады-
ваются, то любое отклонение от закона сложения указывает на то,
что сигналы не независимы. В частности, уменьшение (или увеличе-
ние) нормальных флюктуаций в случайном процессе может быть
осуществлено лишь путем введения какой-либо когерентности, действие
которой скажется в том, что процесс не будет чисто случайным.
Например, в § И мы вывели формулу
[(Мэфф? = 2Л42КАГ	(7.215)
для флюктуаций результирующей большого числа идентичных импульс-
ных функций, распределенных случайно, но со средним числом
в секунду К и величиной импульса М. Так как квадратичный эффект
330
Глава VII
одиночного импульса в полосе частот ДЛ равен 2/И2ДГ, то фор-
мула (7.215) означает, что квадратичные эффекты случайных импульсов
складываются, т. е. их средняя энергия взаимодействия равна нулю.
Применяя формулу (7.215) для случая дробового эффекта, имеем
М^=е = заряд электрона	(7.216)
и
МК — I — анодный ток.	(7.217)
Таким образом,
[(Лр)эфф.]2 = 2е/ДГ.	(7.218)
При наличии пространственного заряда или внешней анодной нагрузки
действительные флюктуации анодного тока оказываются меньшими,
чем это дается формулой (7.218). Мы можем поэтому заключить,
что наличие пространственного заряда или внешней нагрузки вносит
когерентность (связь) между импульсами, образующими анодный ток.
Иначе говоря, мы можем заключить, что как пространственный заряд,
так и внешняя нагрузка являются причиной взаимодействия между
электронами, движущимися в лампе, так что достижение анода от-
дельными электронами не будет чисто случайным событием. Тем не
менее в случае дробового эффекта (см. гл. VIII, § 4) анодный ток
является все еще хаотическим шумом в смысле определения § 14,
так как форма его во времени не меняется при этой когерентной
связи, а меняется лишь его интенсивность. Увеличение коэффициента
когерентности оказывает такое же влияние, как и регенерация.
Упражнения
1.	Обсудить вопросы когерентности для случая, когда поет хор из
п человек.
2.	Пусть в комнате говорят несколько человек, каждый сам по себе.
Покажите, что средний уровень шумов (измеренный в единицах звуковой
энергии, пропорциональной квадрату амплитуды) прямо пропорционален числу
говорящих людей, если все говорят с одной и той же средней громкостью.
§	17. Огибающая шумов и суммы шумов и несущей *)• Во мно-
гих радиотехнических схемах хаотические шумы проходят через
устройства, имеющие довольно узкие полосы пропускания, скажем
10—30 кгц для воспроизведения звука или 3—6 мгц для телевидения.
Шумы или сумма шумов и сигнала проходят затем через детектор,
так что в действительности имеет значение огибающая шумов или
шумов и сигнала. Поэтому сейчас мы вычислим функцию распреде-
ления вероятностей для огибающей шумов и суммы шумов и несущей.
4
*) Излагаемые в этом и следующих параграфах методы принадлежат
Шумы. Основные математические сведения
331
а) Шумы. Шумы, согласно § 14, п. а, состоят из частотных
компонент вида
Zg = /ecoS(^-<Pg),	(7.219)
где Iq имеет двумерное нормальное распределение и — случайная
фаза. Чтобы найти огибающую шумов, представим iq в виде моду-
лированного колебания
iq = Iq cos ртг	— 2kF/ + ?</] =
— Iq COS	—- F) f -|- <?q j COS 2vFt —•
— Iq sin^2Tr0^ — F^+<pgj sin2zF/.	(7.220)
В формуле (7.220) F— несущая частота, которая может быть вы-
брана в середине полосы пропускания, хотя такой частный выбор и
не обязателен. Член с cos2kF/ можно рассматривать как синфазную
компоненту, а член с sin2KFY — как ортогональную компоненту
в согласии с терминологией гл. V. Общий шум может быть записан
в форме
= IG cos 2icFt— Is sin 2nFt = Rn cos (2izFt -|- 0),	(7.221)
где
и
4 = X z«cos [2k (t _ F) z+?«]
4 = 2z«sIn [2ir("r —
(7.222)
(7.223)
а суммирование производится по всем q в полосе пропускания.
Далее	_________
Я»»/ /1 + 4,	(7.224)
где Rn — амплитуда колебания.
Как /с, так и 18 удовлетворяют условиям центральной предельной
теоремы, так что каждая из этих величин имеет одномерное нормаль-
ное распределение. Следовательно, Rx имеет двумерное нормальное
распределение, которое, согласно формуле (7.186), имеет вид
Р Ш dRx = 2A*RNe А dRN,	(7.225)
где
Из формулы (7.221) следует также, что
5 =	(7.227)
332
Глава VII
так как усредненное значение cos2 равно :/2 и, согласно § 14, п. 5,
распределение по ансамблю хаотических шумов может рассматриваться
как распределение по времени. Поэтому
дз ___________________________J_________________________ (7 228)
2 (усредненный квадрат всего высокочастотного шума)’ ' ’	'
Формула (7.225) вместе со значением Д2 из формулы (7.228)
дает искомое распределение вероятностей амплитуды (огибающей)
хаотических шумов.
Для дальнейшего мы отметим также, что из формул (7.226) и
(7.224) следует, что
(7.229)
Поэтому распределения 1с и /8, согласно формуле (7.174),	имеют
вид	
P(/c)rf7c = ^=e-A'J/°rf/e у к и	(7.230)
P(Jg)dls——=e~A2l^dIs. у к	(7.231)
б) Шумы и несущая. Рассмотрим теперь случай, когда	наряду
с хаотическими шумами имеется несущее колебание	
	(7.232)
Коэффициент при синфазной компоненте будет равен	
4 = ^+4,	(7.233)
а при ортогональной компоненте	
Л = /8.	(7.234)
Амплитуда равна	
Я = У /?±/'в2,	(7.235)
так что	
Ic = Rcos 0	(7.236)
и	
	(7.237)
где	
/ 1\ 0 = arctg	•	(7.238)
Распределение вероятностей для 18 такое же, как и для 18, а	именно
,	,	Д -А2/'2 p(Z,)rf/e = _£Le 8 dl9. у к	(7.239)
Шумы. Основные математические сведения
333
Так как К—постоянная, распределение вероятностей /с, согласно
формулам (7.230) и (7.233), равно
p(jc)dIG = ^=e с dlc.	(7.240)
у л
Поступая так же, как и при выводе формулы (7.185), и используя
выражения (7.239) и (7.240), получим
0==2тс
P(R)dR = f
о=о
А8
— е	RdRdf) =
Л
= J £	cos 6+2Р) RdRd^
0 = 0
=	со. .	№ =
о
= 2 А* 2 * * */?е-Л2(2Р+г!)/0 (2Л8 KR) dR, ,	(7.241)J)
где IQ — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого
порядка (см. Приложение III).
Формула (7.241) дает искомое распределение вероятностей ампли-
туды при наличии хаотических шумов и несущей. Величина А2
дается формулой (7.228) 2).
Упражнение
В некоторых усилителях низкой частоты шумы складываются с сигна-
лом и наблюдаются затем непосредственно без детектирования. Найти для
этого случая распределение вероятностей, если складываются импульс по-
стоянного тока и хаотический шум. Это будет аналогом формулы (7.241) для
этого случая.
!) Это следует из формулы
2ft
1J С03 6 * rf6 = 70 (г),
о
2) Так как
д'
эффективная величина несущей *=
и
эффективная величина шума = ^г^А ’
то
эффективное значение шума 1
эффективное значение несущей	АК
334
Глава VII
§ 18. Линейный и низкочастотный квадратичные эффекты при
линейном детектировании1). Определим теперь, что получается на
выходе линейного детектора, когда на вход его подается либо один
хаотический шум, либо сумма шума и несущей.
Нас будет интересовать: 1) постоянная составляющая тока на вы-
ходе (тока диода), так как она может служить мерой шумов и не-
сущей; 2) средний квадрат низкочастотных составляющих тока на
выходе, так как он является мерой энергии на выходе (звукового,
видео- или другого сигнала).
Допустим, что линейный детектор имеет такую статическую харак-
теристику
1=0 (когда V<O),j	(7242)
I === а V (когда V > 0), J
где V — напряжение на его входе, а I—ток на выходе. На фиг. 165
показаны как огибающая R сигнала, так и сам высокочастотный
сигнал.
Так как
я
f sinxrfx ——,	(7.243)
J	л
о
то, как видно из фиг. 165, полный выход детектора, т. е. постоян-
Ф и г. 165. Модулированная несущая.
Показаны огибающая /? и часть несущей, пропускаемая линейным детектором.
ная и низкочастотные составляющие вместе, равен
/пн —“Z” — /пс 4- Лч,
(7.244)
х) Выводимые ниже формулы, как нетрудно видеть, справедливы лишь
для случая так называемого „безинерционного" детектора, т. е. когда напря-
жение на выходе .следит" за изменением огибающей напряжения на входе
детектора. {Прим, ред.)
Шумы, Основные математические введения
335
где индекс «пн» является сокращением „полный низкий*, /ло означает
постоянную составляющую, а /нч — низкочастотные (т. е. радиочастоты
исключаются) компоненты тока на выходе.
Чтобы найти /пс, достаточно определить среднее значение /пн.
Таким образом, для случая суммы шумов и несущей, согласно фор-
муле (7.241), имеем
/по = ± J RP (R) dR = -^f 2AR* 2e~A’(S4P)/0 (2A^KR) dR =
О	о
А2#3 * * *
в 2Л7^ е * j/1 + Д2*2) 7о(^F) + Л2/<2/1 (^F)] ’ <7-245)
где — модифицированная функция Бесселя первого рода первого
порядка. Для случая только шумов мы либо можем положить в фор-
муле (7.245) К=0, либо можем найти /По непосредственно из фор-
мулы (7.225). Таким образом, для случая шумов имеем
оо	°°	— 42Р2
/no = ^j>NPWRne NdRN= ^=.(7.246)2)
О	о
Это же значение дает формула (7.245) при К = 0. Величина А
дается формулой (7.228).
Формулы (7.246) и (7.245) позволяют измерять шумы и сумму
шумов и сигнала диодным вольтметром. Соответствующие графики
были приведены в р. VI (фиг. 137).
х) Это следует из формулы
со	—А2^
J Zie~AV k$A*Kz)dz = ^e 2 [(1 + AW) Го (4^) +
Формула (7.245) впервые получена Бенетом и Нортом (указание Райса).
2) Это же самое значение /цс должно получаться при непосредственном
выпрямлении хаотического шума, описываемого формулой (7.191), так как
постоянная составляющая не должна зависеть от того, рассматривается ли
шум как беспорядочно модулированная несущая, или нет. Выпрямленный ток,
согласно формуле (7.191), равен
а [ IP(I)dI~a [-----l—е 2’? <//=	=-----а— ,
J	q а1	]Л2гс 2Л
так как = 1/Л У2, согласно формулам (7.192) и (7.228). Результат согла-
суется с формулой (7.246).
336
Глава VII
Найдем теперь низкочастотный квадратичный эффект этой вы-
прямленной огибающей, а именно /нч- Согласно формуле (7.244),
/^н = (/пс + /нч)2 = /йс + 2/цс/нч +	= /йс + /1ч ,	(7.247)
так как
Таким образом,
/нч ---
ТГ ---	___~Г2
'НЧ -- 'ПН 'ПС •
(7.248)
(7.249)
Но, согласно формулам (7.241) и (7.244),
4==J(-v-)p(₽)rf/? =
о
2Л2/?3е'АЧЕ!+ь:’)/0(2Л2Л'/?)^/?==
О
= 4(/<2 + ^)-	(7.250)1)
Комбинируя формулы (7.249), (7.250) и (7.245), получаем
7»(Т) +
7	4-А2№/1(^)]2.	(7-251)
Соответствующий график приведен в гл. VI (фиг. 138). Для гочень
больших и очень малых значений К выражение для /нЧ, даваемое этой
формулой, сильно упрощается. Так, когда А2К2 очень мало [см. фор-
мулы (15) и (16) Приложения III],
7»(Т)=>+т+--	<7-252>
поэтому формула (7.251) переходит в
/Т--^(л2+^)-ж‘’“а’г<1+л2/<2+й-4‘а'*+-"1’' <7'254’
1) Это следует из интегрального тождества
[ 2Л2хЗе“ Д! <^ + К!) /0 (2Л2/Сх) dx = К2+ -^
О
/ . ' \
Шумы. Основные математические сведения *	337
Если /С=0, формула (7.251) превращается в
&	=	z).	(7.255)
А2 \ п* 4тс/ 4п2А2 47	v 7
Эгр же выражение может быть получено из формул (7.224), (7.225),
(7.246) и (7.249) для случая чистого шума.
Когда Л2№ очень велико, можно пользоваться асимптотическими
выражениями для функций Бесселя [формула (21) Приложения III].
Для больших значений аргумента
'«т=о,+^+--)
и,
~' ")	(7.257).
Подстановка этих выражений в формулу (7.251) дает
£ “ да (' +	- ж [г^+4 +
  ‘ ' Срл'-) | =	*	(7.258)
Итак, мы видим, что для больших значений амплитуды несущей К
энергия переменных составляющих на выходе не зависит от К, а зави-
сит лишь от энергии радиочастотных составляющих шумов !/2Д2.
Отношение выражений (7.258) и (7.255) дает возрастание слыши-
мого шума, которое наблюдается в радиоприемнике при настройке
его на несущую. Это отношение равно
2,иа22иУ5--г =	= 2,33.	(7.259)
а2/(4л2Л2) (4 — ~)	4 — к	v 7
Отношение, данное в (7.259), — в действительности минимальная вели-
чина, которая наблюдается для отношения шумов с несущей к шумам
* без несущей. В реальных приемниках две причину увеличивают это
отношение, причем часто во много раз. Одна из них связана с частот-
ной характеристикой низкочастотного тракта приемника. Так, если ’
несущая находится в центре полосы пропускания шумов и имеет боль-
шую амплитуду, то шумы на выходе низкой частоты довольно резко
ограничиваются полосой, простирающейся от нулевой частоты до ча-
стоты, равной половине ширины полосы пропускания приемника.
Это можно объяснить тем, что низкочастотный шум в этом случае
появляется из-за биений несущей с отдельными компонентами шума.
Однако, когда несущей нет, результат биений между частотными ком-
понентами шума дает частоты, простирающиеся от нулевой частоты
. 2?2 Зак. 2263. С. Гольдман.	>
338
Глава VII
до частоты, равной полной ширине полосы пропускания приемника,
хотя выход и уменьшается на этих более высоких частотах. Кроме
того, асимметричные боковые полосы шума, которые практически
дают только частотную модуляцию при наличии большой несущей,
дадут в отсутствие несущей увеличение гармоник частот' биений
шума, что еще более расширит диапазон низких частот. Следова-
тельно, если низкочастотный тракт приемника не имеет очень широ-
кой полосы пропускания, то интересующее нас увеличение превышает
величину, даваемую формулой (7.259).
Другая причина, ведущая к увеличению интересующего нас отно-
шения, состоит в том, что детектор при малых амплитудах не является
линейным. Это делает детектор относительно нечувствительным при
малых напряжениях, возникающих при наличии лишь одного шума,
и это явление часто вызывает значительное увеличение отношения
против даваемого формулой (7.259). По этой же причине при вычис-
лении шумов по формуле (7.245), т. е. по измерениям диодным вольт-
метром важно, чтобы был достаточно большой уровень несущей.
Упражнения
1. Выразить эффективный коэффициент хаотической модуляции в зави-
симости от А и К при большом К-
2. Найти выходное напряжение линейного детектора, если напряжение
на входе имеет вид
АГ(1 т cos at) cos
Ответ:
г _ аК . CLfnK
улн ~ --- Ч----COS as,
п к
2 __ а*т2К2
нч “	2к2	'
_аК
лс— к •
§ 19. Прохождение через квадратичное устройство шума и
шума с несущей (квадратичное детектирование). Найдем теперь,
что получится, если шумы или шумы и несущая проходят через
квадратичное устройство (квадратичный детектор), например через
лампу, работающую на искривленном участке характеристики. Допу-
стим, что характеристика устройства имеет вид
/==aV2 + P^+7,	(7.260)
где V—напряжение сигнала на входе, / — ток на выходе, а, [3, 7—
постоянные устройства. Пусть сигнал на входе состоит или из одних
хаотических шумов, или из шумов и несущей. В обоих сдучаях
сигнал на входе может быть, как показано в § 17, представлен в виде
модулированной несущей
V = R cos (2я/7+ <?),	(7.261)
Шумы. Основные математические сведения
339
где R— огибающая, a F — несущая частота. Дальше мы будем поль-
зоваться теми же обозначениями, что и в § 17.
Из формул (7.260) и (7.261) следует, что
1 = a/?2 cos2 (2kF/+ о) + р/? cos (2~/7-f- ?) + т =
=	4~ cos (4nFt + 2<р) 4- ря cos (2ir/=Y4- о) + т- (7.262)
Предположим теперь, что у нас имеется фильтр, не пропускающий
высокие частоты порядка несущей и выше. Тогда формула (7.262)
превращается в	,ур2
/' = ^-4-7,	(7.263)
где F— та часть /, которая не содержит высоких частот.
Если R есть огибающая несущей и шумов, описываемая форму-
лой (7.241), то постоянная составляющая на выходе равна
__	со
/пс =	4- Т = -J / 2Д2Я3е—13(Д!+г2)/0 (2Л2Л7?) dR -4 7 =
о
==K7<2+i)+^ (7-264>
так как входящий в формулу (7.264) интеграл нам известен (см. при-
мечание к формуле (7.250). Если несущая отсутствует, то нужно
положить в формуле (7.264) К равным нулю. Величина А2 дается
формулой (7.228).
Чтобы найти квадратичный эффект (мощность) переменной части /',
заметим сначала, что, согласно формуле (7.249),
_	4 = 4—4,	(7.265)
где /„н — среднее значение Г2. Таким образом,
= 4 J 2Л2Я5*—42 (S2+K?) /о (2Л2ЯЯ) dR 4-
о
со
4-«Т [ 2AiRae~A'1(^+K°) l0{-2A^RR)dR^-
о
+ ‘^==т(ж + ^+7<4) 4«т(№+^)4-72- (7.266) 1)
9 Первый интеграл вычисляется по формуле
оо
J 2А^е~	+*’> /0 (2Л2ДГх) dx =	+ W.
о
Второй интеграл был вычислен ранее. Общая формула для вычисления такого
интеграла дана Райсом [72].
22'
340
Глава VII
Следовательно,
77	Г2 а2 / 1 . 2К2\	,7 О,7Ч
/нн = /пн—/пс—\^Д4 ~т~^2~р	(7.267)
В формуле (7.267)	—амплитуда несущей, а 1/(2 А2)— средний ква-
драт полного радиочастотного шума. В случае одних шумов нужно
просто положить в формуле (7.267) К = 0. Как и в случае линей-
ного детектора, чистые шумы имеют более широкий низкочастотный
спектр, чем полоса усилителя низкой частоты. Поэтому сужение по-
лосы1 низкочастотного усилителя ослабляет шумы.
Упражнение
С помощью формулы (7.191) для вероятности распределения хаотических
шумов показать, что при прохождении шумов через квадратичное устройство
Z — а I
7ло “ 2А2
§ 20. Связь между дискретными компонентами и сплошным
спектром J). Перед тем как закончить эту главу, обсудим кратко
Фиг. 166. А—ток хаотического шума. Б — q-я
гармоника этого тока.
связь между компонентами ряда Фурье и сплошным спектром хаоти-
ческого шума. На фиг. 166 показан схематически общий ток I(t) и
его #-я компонента Фурье
Cq COS (^- — cj .
г) Тесно связанные с материалом настоящего параграфа вопросы рас-
смотрены в статье С. М. Рытова [73]. {Прим, ред.)
Шумы, Основные математические сведения
341
Так как интервал Т’ конечен, то q-я. компонента Фурье является цугом
колебаний ограниченной длины и, следовательно, как было показано
в гл. III, § 2, представляет собой целый набор синусоид близких
частот. Однако если цуг колебаний содержит большое число полных
периодов колебания
C,cos(«
7-3 Ь
то спектральное разложение будет иметь острый пик около частоты
q/T. Следовательно, обычно можно говорить о ^-й компоненте как
имеющей частоту q/T, особенно, когда q велико, но нужно помнить,
что каждая компонента Фурье в действительности представляет собой
спектральное распределение (целый набор близких частот).
Для многих как теоретических, так и практических целей жела?
тельно иметь выражение для истинного сплошного спектра /(/), а не
только амплитуд его компонент ряда Фурье. Поэтому мы сейчас зай-
мемся определением этого сплошного спектрального распределения.
Для этого сперва найдем комплексный спектр F (/) каждой компо-
ненты ряда Фурье, а затем сложим спектральные распределения, най-
денные для всех компонент ряда Фурье. Согласно формуле (4.33),
это даст спектральное распределение для 1(f).
Итак, найдем сперва спектральное распределение общей компо-
ненты Фурье
п ()px.qt \
C-Zcosv г------
Т
Fq (f) — f Cq COS	cos 2-/Z dt —
0
342
Глава VII
Для высокочастотных компонент
так что в формуле (7.268) первые
сравнению со вторыми, а вторые
/ = q,T. Поэтому приближенно
ряда Фурье q — большое число’
члены внутри скобок малы по 1
заметно велики только около - j
r-f-oj-coscpj. (7.269)
После небольших тригонометрических преобразований это выражение
принимает вид
Fq (/)= Cq Д2-2 cos^2- (/—аго,Ф(/-(7.270)
4 тс (f
На фиг. 167 мы начертили
IW
как функцию /. Так как в формуле (7.270) является случайной
фазой, величины | F(/) |2 для различных значений q нужно просто
складывать, совершенно так же, как квадратичные эффекты хаотиче-
ских шумов. Следовательно, для некоторой частоты / полное значе-
ние будет
IF(/) I2 = I (/) l2 +1 Mi (7) l2 +1 М2(/) 12+ • • •
ММ1(/)12тЮ-2(М+---	(7.271) !)
9 Знак усреднения над величиной означает, как и всюду в этой главе,
среднее по ансамблю.
Шумы, Основные математические сведения
343
Заметим теперь, что
(С )-
lF7+»C0l2 =	yjp {2—2 cos [2тт/Г—2к Оу-р/г)]) =
(С„+„)2 — 	 1+w	(С>	п гп<! Q-fn	(1 979 I
{4' [/-(<? + «)/о]}2 (2	2 C°S 2 /Т)’	
где
/о — у >	(7.273)
поэтому -р оо	—   |С(/)|»-(2 2 00S2VO S („УХ.» ' q = — оо	(7.274)
Наибольший интерес имеет тот случай (см. гл. IX, § 5), когда
мы рассматриваем диапазон частот, в котором q есть большое число,
а — одно и то же для всех значений q. Из физических сообра-
жений вытекает, что в этом случае |F(/)|a не зависит от частоты 2)
Автору было, повидимому, неизвестно тождество (см. [74] стр. 271).
-4-00
VI 1	т:2
(х— q)* sin2 тех ’	(1)
q = — со
и поэтому он вместо доказательства независимости величины [ (У7) 1“ от ча-
стоты проводит довольно громоздкую проверку формулы
<?2 Т
И(/)12 = Н~-	(2)
для специальных значений аргумента /. Эта проверка в переводе опущена;
формулу (2) можно вывести очень просто.
Полагая
/=х/о = у	(3)
и считая, что (С^)2 не зависит от q, приведем выражение (7.274) к виду
I /•’(/) I2 =
(1 — cos 2rx)(CQ)2 у, 1
в ~ оо
_ (С^)2 Г2 sin2 -X у 1
~	4	г.2	(х — q)- '
q = — со
Используя тождество (1), сразу получим (2), откуда видно, что j F(f)21 дей
ствительно не зависит от частоты. {Прим, ред.)
344
Глава VII
Найдем теперь значение [(/дг)Эфф]2 спектрального разложения. Если
мы включим все частотные компоненты /(/), то, согласно энерге-
тической теореме об интегралах Фурье,
Т	со
(W2 = | J /2^) dt=lf |Т(77Г2df. (7.275)
о	о
Следовательно,
ДУ	F1Jr^F	уо
1(Ш2| f rn/w==4 | ~^df=
Fx	Fi
(7.276)
Согласно формуле (7.137),
=	(7.277)
Подставив это значение в выражение (7.276), получаем
[(/ду)Эфф]22Л12АГАЛ	(7.278)
в соответствии с формулой (7.143). Таким образом, как и следовало
ожидать, и разложение шума в ряд Фурье и его представление в виде
интеграла Фурье приводят к одной и той же формуле для Ц/ду)Эфф]2.
Стоит еще раз заметить, что все рассуждения и доказательства
этой главы, связанные с рядами Фурье и спектральным разложением,
никоим образом не предполагают периодичности /(/) (см. фиг. 166, А).
Периодическая функция имеет то преимущество при анализе рядами
Фурье, что разложение Фурье, полученное для одного интервала,
может быть продолжено за пределы этого интервала (см. гл. I, § 4).
Однако гармонический анализ не ограничивается периодическими функ-
циями и читатель не должен считать, что имеется некоторая предпо-
лагаемая периодичность у шумов, анализированных в настоящей
главе.
§ 21. Общие замечания. В этой главе мы изложили те части
математической теории вероятностей и случайных процессов, кото-
рые применяются в этой книге. Для некоторых задач о форме коле-
бания и спектральном разложении шума при специальных условиях
требуются более сложные математические методы, включающие функ-
ции корреляции и теорию матриц 2).
*) См. [72], а также [92]. Эти методы нужны для исследования преобра-
зования спектра шумов селективными и нелинейными устройствами. Для
исследования многих задач теории шумов целесообразно применение уравне-
ния Эйнштейна — Фоккера. См., например, [90] и [93]. (Прим, ред.)
Глава VIII
ДРОБОВОЙ ЭФФЕКТ
§ 1. Введение. Явление термоэлектронной эмиссии имеет большое
значение для радиотехники и этому явлению посвящена обширная
литература. Ток эмиссии никогда не бывает строго постоянным, так
как имеют место небольшие флюктуации из-за случайности моментов
вылета отдельных электронов. Результат воздействия флюктуаций эмис-
сии электронов на цепь, в которой действует электронная лампа,
называется дробовым эффектом !). Интерес к дробовому эффекту
вызван тем, что этот эффект определяет предел полезного усиления
усилителя. Предметом настоящей главы являются методы и резуль-
таты математического анализа дробового эффекта.
§ 2. Термоэлектронная эмиссия и влияние пространственного
заряда. Теория термоэлектронной эмиссии показывает, что нагретое
тело испускает электроны в вакуум (фиг. 168 и 169) в таком коли-
честве, которое дает ток эмиссии
через единицу поверхности
Фиг. 169. Распределение
плотности электронов в
диоде.
Ф и г. 168. Термоэлектрон-
ная эмиссия.
где А и £0— характеристические постоянные излучающего материала^
Т—его абсолютная температура и е = 2,71828... Теория показывает
также, что не все электроны испускаются с одной и той же начальной
скоростью. Начальная скорость испускаемых электронов имеет нор-
мальное распределение 2).
х) Шоттки впервые заметил и правильно интерпретировал дробовой
эффект [75]. Он назвал его дробовым эффектом в связи с шумами, вызван-
ными им в усилителе.
3) См. в гл. VII, § 13, обсуждение нормального распределения.
346
Глава VIII
Именно, если 5 — составляющая скорости электронов, перпенди-
кулярная к поверхности катода, т — масса электрона, х— заряд элек-
трона, k — постоянная Больцмана *),	— абсолютная температура
катода, 1е — ток эмиссии на единицу площади эмитирующей поверх-
ности, dles — часть тока эмиссии, обусловленная электронами с на-
чальной скоростью между 5 и	тогда
dies . т ~
/с ~~kT
-ms3
2кТ sds.
(8/2)
Если испускающий электроны электрод является катодом диода и
анодное напряжение достаточно велико, то все испускаемые элек-
троны будут достигать анода и, таким образом, их поток составит
Фиг. 170. Распределение потенциала в диоде для
различных анодных напряжений.
А — исходное распределение; Bt и В2—распределения при
наличии пространственного заряда.
анодный ток. Однако, если анодное напряжение недостаточно велико,
испущенные электроны образуют заряженное электронное „облако“
(называемое пространственным зарядом) над поверхностью катода.
Это заряженное облако будет отталкивать электроны, замедлять дви-
жение электронов, вылетевших из катода и движущихся к аноду, в то
время как электрическое поле анода будет ускорять их движение.
В результате получится распределение потенциала, изображенное кри-
выми Вх и В% на фиг. 170. Вблизи катода потенциал сначала умень-
шается, достигая минимума в хт, затем увеличивается и достигает
величины анодного потенциала.
Э О смысле и численном значении постоянной Больцмана см. в гл. IX, § 2.
Дробовой эффект
347
Таким образом, между 0 и хт поле пространственного заряда
сильнее, чем поле анода, поэтому электроны, испущенные катодом,
замедляются; если их скорость обратится в нуль, прежде чем они до-
стигнут хт, то они изменят направление движения и возвратятся на
катод. С другой стороны, те электроны, которые вылетают с доста-
точно большой начальной скоростью, так что их скорость не обра-
щается в нуль на пути от 0 до хт, попадут в область, где поле
анода сильнее поля пространственного заряда и результирующее уско-
рение направлено к аноду. Эти электроны достигнут анода и составят
анодный ток.
В результате действия пространственного заряда образуется потен-
циальный барьер в хт, называемый виртуальным катодом. Те элек-
троны, скорость которых достаточна для преодоления барьера, до-
стигнут анода и составят анодный ток. Электроны, не имеющие
достаточной начальной скорости, вернутся к катоду и не дадут
Фиг. 171. Анодный ток в диоде для различных темпера-
тур катода (Ть Т%, Г3).
анодного тока. На фиг. 170 приведены кривые распределения потен-
циала при различных анодных напряжениях. Когда анодное напряжение
становится достаточно большим, виртуальный катод совпадает с дей-
ствительным катодом, так что весь ток эмиссии достигает анода.
- На фиг. 171 даны кривые, изображающие зависимость анодного
тока от анодного напряжения при различных температурах. Подни-
мающаяся часть этих кривых называется областью пространственного
заряда, так как она соответствует условиям, при которых виртуаль-
ный катод не совпадает с действительным катодом; при этом анодный
ток растет с увеличением анодного напряжения. Горизонтальный уча-
сток кривой называется областью насыщения. Этот участок соответ-
348
Глава VIII
ствует условиям, при которых виртуальный катод совпадает с дей-
ствительным, так что весь ток эмиссии является анодным током.
Здесь увеличение анодного напряжения не вызывает увеличения
анодного тока, так как весь ток эмиссии достигает анода. Анодный
ток в этом случае определяется только током эмиссии, который для
данного катода является, согласно (8.1), лишь функцией температуры *)•
Так как теория дробового эффекта наиболее проста в области
насыщения, то начнем с анализа этого случая. Затем мы вернемся
к изучению случая пространственного заряда.
SC
о
Е
Время
пролета
Л ^2
Ф и г. 172. Анодный ток, вызван-
ный пролетом одного электрона
(примерный вид).
§ 3. Дробовой эффект в диоде в области насыщения. Когда
диод находится в режиме насыщения, все испускаемые катодом элек-
троны достигают анода, образуя
анодный ток. Как было объяснено
в гл. VII, §11, п. а. благодаря за-
рядам, индуцированным электроном
на поверхности катода и анода, в те-
чение всего времени движения элек-
трона между анодом и катодом
(время пролета) в анодной цепи течет
ток. Если —-ток в анодной цепи
при пролете некоторого электрона,
то зависимость fj от времени будет
иметь вид, похожий на кривую, изо-
браженную на фиг. 172, точная
форма кривой зависит от геометрии диода, распределения потенциала
в нем и начальной скорости электрона.
При этом, однако, из закона сохранения заряда следует, что всегда
должно выполняться равенство
t
t
dt—v.= заряду электрона.
(8.3)

Эмиссия электронов из катода, являясь, как уже отмечалось в гл. VII,
§ 5, п. в, случайным процессом, испытывает флюктуации, о величине
которых мы уже говорили. Число электронов, испускаемых в секунду
реальным катодом, столь велико, что мы можем разделить электроны
на группы, в каждой из которых начальная скорость электронов за-
ключена между и s-f-As, причем число электронов в таких отдель-
ных группах с квазипостоянной начальной скоростью будет тоже
весьма велико. Следовательно, мы можем применить результаты, полу-
ченные в гл. VII, § 11, к анодным токам, соответствующим таким
т) В оксидированных катодах анодный ток в действительности никогда
не достигает насыщения. Строго говоря, теория тока насыщения никогда не
применима к оксидированным катодам.
Дробовой эффект
349
группам электронов в отдельности, а затем применить к этим токам
методы суперпозиции, изложенные в § 12 главы VII.
Из равенства (7.170) следует, что средний квадрат флюктуаций
анодного тока в полосе частот AF от F1 до F1-\-^F равен
(Лг)эфф =
•F1-EAF
= 2 f { Ка {Sa (ш)]2 + къ [$ь WJ* 2 + К, [S„ WP } dF. (8.4) ’)
Ft
Различные индексы а, Ь, р относятся к различным по скоро-
стям группам электронов. К(Г Кь, ... и т. д. обозначают число элек-
тронов этих групп, испускаемых в секунду,
~-	9	Ч- ОО	9
J ila cos wtdi') +( f iJa sin wt dt) j .	(8.5)
Если AF принадлежит области достаточно низких частот, так что
можно пренебречь временем пролета электрона, то ila действует как
импульс. Тогда
^2
5а(со) = j* iUf dt == z = заряду электрона = Sb (со) = ... = Sp (ш). (8.6)
ti
Далее, среднее значение полного анодного тока равно
(8*7)
Из равенства (8.4), (8.6) и (8.7) следует, что средний квадрат
флюктуаций анодного тока в полосе частот ДГ есть
= (°)2)
Формула (8.8) и является интересующей нас основной формулой
для дробового эффекта в диоде, работающем в режиме насыщения.
Вывод был произведен в предположении, что время пролета элек-
трона можно считать пренебрежимо малым в интересующей области
частот. Когда это предположение не соответствует действительности,
уравнение (8.4) остается справедливым и может быть исходным пунк-
том для дальнейших исследований.
*) (/д^)эфф в этой главе имеет тот же смысл, что и [(^др)Эфф2] в преды-
дущей главе. Знак усреднения опущен, так как было показано, что вероят-
ность значительного отклонения этой величины от среднего практически
ничтожно мала.
2) Эта формула очень ясно показывает влияние конечности заряда элек-
трона на флюктуации тока. Если бы заряд электрона (х) стал бесконечно
малым, то и флюктуации тока стали бы бесконечно малыми при той же вели-
чине среднего тока /.
350
Глава VIII
Однако, за исключением очень высоких частот, предположение
о малости времени пролета справедливо и можно пользоваться равен-
ством (8.8) в области насыщения. Заслуживает внимания то, что рас-
пределение электронов по начальным скоростям не играет роли в этом
случае. Это связано с тем, что по сделанному предположению время
пролета ничтожно мало для всех электронов независимо от их началь-
ной скорости.
Упражнение
Показать, что если взаимодействием импульсов, вызванных отдельными
электронами, можно пренебречь, то формула (8.8) является непосредственным
следствием формулы (7.92). Анализ, проведенный в гл. VII, § 11, показывает,
что указанным взаимодействием можно пренебречь.
§ 4.	Уменьшение шумов дробового эффекта пространственным
зарядом. Формула (8.8) дает величину дробового шума в диоде
в области насыщения. Рассмотрим теперь, как1 влияет пространствен-
ный заряд на этот шум. Из-за пространственного заряда не все элек-
троны, излученные катодом, достигают анода. Только электроны,
имеющие достаточно большую начальную скорость, т. е. достигающие
виртуального катода, попадают на анод. Остальные возвратятся на
катод. Скорость, необходимая для достижения виртуального катода,,
определяется равенством
у ms* = v.Em,	(8.9)
вытекающим из закона сохранения энергии. Из равенства (8.2) сле-
дует, что полный анодный ток равен при этом
J____=
__m
т
_ т£_ |СО	*Ет
= —1се *кТ\	к? .	(8.10)
1/ ~-т-
У 7/Ь
Ток эмиссии есть результат случайного процесса и поэтому флюк-
туирует. В области насыщения анодный ток равен полному току эмис-
сии. При низких частотах, когда временем пролета можно пренебречь,
флюктуации тока эмиссии при дробовом эффекте в области насыще-
ния даются формулой (8.8). Эти флюктуации тока эмиссии не зависят
от того, что происходит вне катода, поэтому такие же флюктуации
тока эмиссии будут и при наличии пространственного заряда.
Однако пространственный заряд влияет на степень превращения
этих флюктуаций в флюктуации анодного тока. В частности, измене-
ния (т. е. флюктуации) тока катода будут менять положение виртуаль-
Дробовой эффект
351
ного катода и, следовательно, величину Ет ]) (фиг. 173). Это в свою
очередь изменяет ту часть тока катода /с, которая, в согласии с равен-
ством (8.10), достигает анода. Легко видеть, что знак изменения Ет
будет такой, что флюктуации анодного тока окажутся меньше, чем
вызывающие их флюктуации тока эмиссии.
Вычисление величины уменьшения флюктуаций анодного тока из-за
влияния пространственного заряда является сложной задачей. Ее реше-
ние выходит за пределы данной книги 2), и мы приведем здесь только
окончательную формулу.
Эта формула для лампы, работающей в практически интересном
режиме, имеет вид
(W<I>« = 3 (1 -	4&7£AF= (0,644) 4kTg&F, (8.11) '
где g—проводимость диода (зависящая от анодного напряжения),
Т—температура катода. Если же величина анодного напряжения умень-
шается до величины потенциала
виртуального катода, то флюкту-
ации тока даются иной формулой:
=	(8.11а)
С другой стороны, когда анод-
ное напряжение станет столь боль-
шим, что в диоде наступит насы-
щение, виртуальный катод совпа-
дет С истинным катодом и не будет
перемещаться из-за флюктуаций
эмиссии. Флюктуации анодного
тока будут совпадать с флюк-
Ф и г. 173. Зависимость анодного тока
в диоде от изменения потенциала
виртуального катода.
туациями тока эмиссии при усло-
вии, что временем пролета можно пренебречь; дробовой эффект при
этом дается формулой (8.8).
Основным предположением, сделанным нами при выводе фор-
мулы (8.8), явилось предположение о статистической независимости
(случайности) отдельных импульсов, из которых слагается ток /. Тот
факт, что в присутствии пространственного заряда флюктуации анод-
ного тока меньше, чем 2х/ДЕ, означает наличие некоторой когерент-
ности между импульсами анодного тока, вызываемыми отдельными
электронами. Мы упоминали уже об этом в гл. VII, § 16. Схемати-
чески 3) это показано на фиг. 174.
Здесь I — средний анодный ток, IЦ- — анодный ток, обязанный
чисто случайной части флюктуаций. Следовательно, среднее значение
-1) В этой главе мы будем пользоваться выражением „перемещение вир-
туального катода® как синонимом выражения „изменение потенциала Ет№
2) См. [76, 77]. [См. также [55]. (Прим, ред.)]
3) Более детальное обсуждение см. в § 7.
-352
Глава VIII
квадрата величины в полосе частот AF равно 2х/ AF, /2— анодный
ток, обусловленный перемещением виртуального катода из-за флюк-
туаций тока 4, — анодный ток, обусловленный перемещением вир-
туального катода из-за флюктуаций эмиссии тех электронов, которые
Фиг. 174. Основные составляющие дробового эффекта
при депрессии пространственным зарядом.
I+i—мгновенный анодный ток; /—средний анодный ток; Z+5—
анодный ток, который тек бы в отсутствие перемещении виртуаль-
ного катода; г? — анодный ток, вызванный перемещением виртуаль-
ного катода из-за флюктуационного тока ц (i2 когерентен iп но сдви-
нут по фазе на 180°); z3—анодный ток, вызванный перемещением
виртуального катода из-за флюктуаций в эмиссии электронов,
имеющих недостаточную скорость, чтобы пересечь виртуальный
катод;
не имеют достаточной начальной скорости, чтобы пересечь виртуаль-
ный катод; I -|- i — мгновенное значение анодного тока, где очевидно
z = /j f2(8.12)
Мы уже говорили, что ток /2 когерентен Он почти равен послед-
нему по величине, но противоположен по направлению. В этом состоит
причина уменьшения шумов при наличии пространственного заряда.
Ток /3, обусловленный движением виртуального катода под влия-
нием электронов, не достигнувших анода, вызывает небольшое увели-
чение флюктуаций анодного тока. Ток /3 не когерентен ни с ни
о /2. Квадратичный эффект флюктуаций анодного тока равен поэтому
/(ч + 1г)2Л+ f ^dt-	(8.12a)
Дробовой эффект
353
Следует отметить, что токи и z3 представляют собой хаотиче-
ский шум, так как они возникают при суперпозиции импульсов, воз-
никающих в случайные моменты времени. Более того, Zj -j-f2 является
также хаотическим шумом, так как он имеет ту же форму, что и
но меньше по величине. Поэтому и полный флюктуирующий ток Z,
т. е. сумма и является также хаотическим шумом в согла-
сии с гл. VII, § 14. Следовательно, дробовой шум является хаоти-
ческим шумом как при насыщении, так и в случае пространственного
заряда в лампе.
Для удобства вычислений принято выражать величину дробового
шума при наличии пространственного заряда таким образом:
(/д^)эфф = Г2(2'/./ДГ),	(8.13)
где /др — часть тока I в полосе частот Д/7, а Г2 — положительная
константа меньше единицы, которая учитывает влияние пространствен-
ного заряда х). Величина Г2 зависит от геометрии пространственного
заряда в лампе. По вычислениям Норта в некоторых случаях вели-
чина Г2 меньше 0,02, так что уменьшение дробового эффекта про-
странственным зарядом может быть очень велико. Из-за сложности
точного выражения для Г2 формула (8.13) очень громоздка для прак-
тического использования, и вместо нее пользуются формулой (8.11) 2).
Читатель может заинтересоваться, в какой степени данная теория
согласуется с экспериментом. Этот вопрос детально продискутировав
Нортом. Формула для дробового шума в области насыщения очень
хорошо согласуется с экспериментальными данными. Хорошее согласие
получается также и при наличии пространственного заряда, когда тео-
рия применяется к триоду, работающему при нормальном режиме,
т. е. в наиболее важном случае. Однако для многих диодов при нали-
чии пространственного заряда и триодов при необычных режимах
измеряемые величины дробового шума выше предсказываемого теорией.
Повидимому, эта разница обязана некоторым дополнительным эффек-
там, также рассмотренным Нортом [76], которые не были учтены при
выводе (8.11).
§ 5.	Эквивалентный генератор тока и шунтирующее действие
внутреннего импеданса3 * * *). На фиг. 175 показан диод с внешним им-
педансом между анодом и источником анодного напряжения. В этом
2) Когда Г2 = 1, „депрессия* дробового эффекта из-за пространственного
заряда отсутствует. В соответствии с этим мы назовем 2vJ ДЛ величиной
„чисто дробового эффекта".
2) Выражение (8.11) получено из (8.13) при наличии пространственного
заряда, когда анодное напряжение не слишком мало.
3) В других параграфах этой главы предполагается, если не оговорено
Противное, что потенциалы электродов постоянны и не флюктуируют. Это
эквивалентно предположению, что они заземлены для токов любой частоты*
23 Зак. 2263. С. Гольдман.
3§4
Глава VII1
случае любые флюктуации анодного тока будут вызывать флюктуа-
ции анодного напряжения, которые в свою очередь будут влиять на
анодный ток.
Определим количественно влияние внешнего импеданса на флюк-
туации анодного тока. Пусть Zo— флюктуация анодного тока, когда
анодное напряжение поддерживается равным его средней величине,
Фиг. 176. Представление дио-
да в виде генератора дробового
эффекта.
i — действительная флюктуация анодного тока при наличии Z, г—вну-
треннее сопротивление диода для переменного тока. Тогда Zi — умень-
шение анодного напряжения из-за флюктуаций тока и, следовательно,
ZZ/r— уменьшение флюктуаций тока из-за флюктуаций анодного напря-
жения.
Очевидно,	=	(8.14)
Решая, имеем	1 (8Л5>
Как определено выше, Zo есть флюктуация тока, которая возникла бы,
если бы анодное напряжение оставалось постоянным. В § 3 и 4 мы
имели дело с величиной Zo, так как там не принимались во внимание
флюктуации тока из-за флюктуаций анодного напряжения. Таким
образом, из формулы (8.15) следует, что диод действует как гене-
ратор силы тока Zo, шунтированный внутренним сопротивлением г,
как показано на фиг. 176.
Необходимо отметить, что изменение флюктуаций тока из-за
флюктуаций анодного напряжения когерентно с первоначальными флюк-
туациями тока. Именно поэтому они уменьшают величину
§ 6.	Дробовой эффект в триоде. В § 3 и 4 мы рассматривали
дробовой эффект в диоде, так как теоретически это наиболее простой
'случай. Выясним теперь, как изменятся полученные нами результаты,
Дробовой, эффект
355
если вместо диода мы будем иметь дело с практически более важным
случаем — с триодом. На фиг. 177 показана схема триода. Для про-
стоты будем предполагать, что сетка имеет отрицательный потенциал,
т. е. сеточный ток отсутствует. Если триод работает в режиме на-
сыщения, когда ток эмиссии с катода становится анодным током,
то все флюктуации тока эмиссии становятся флюктуациями анодного
тока. Поэтому в этом случае выражение (8.8)
дает правильную величину для флюктуаций
анодного тока, т. е.
(Лк)эфФ = 2х/ДГ, (8.16)
где I—теперь анодный ток триода, х— заряд
электрона.
Как указано в § 5, выражение (8.16),
как и (8.8), должно быть изменено, когда
внешний импеданс анодной цепи не равен
нулю. Таким образом, в области насыщения
Ф и г. 177. Триод.
теория триода не сложнее теории диода.
Рассмотрим теперь случай наличия пространственного заряда.
В этом случае, так же как и для диода, виртуальный катод пере-
мещается когерентно с флюктуациями анодного тока, вызывая умень-
шение дробового шума. Однако, так как геометрия пространственного
заряда в триоде другая, формула (8.11) заменяется несколько иной
формулой.
В этом случае
( Wm =	±kTcgm &F,	(8.17) 1)
где gm— крутизна лампы, Тс — температура катода и а — параметр
лампы, который приближенно дается формулой
здесь

(8.18)
(расстояние сетка — анод)
(расстояние сетка — катод) *
(8.19)
Величина о обычно лежит между 0,5 и 1,0. Формула (8.13) с кон-
стантой Г2, меньшей единицы, конечно, также справедлива и для
триода. Однако, как и в случае диода, формула для Г2 очень сложна,
так что для практических целей удобнее формула (8.17).
В гл. VI мы подробно разобрали практическое применение фор-
мулы (8.17) и вытекающих из нее выражений.
Представление о генераторе тока и шунтирующем действии вну-
треннего импеданса, введенное в § 5 для диода, справедливо, конечно,
и для случая триода.
1) См. [76].
23*
fed
Глада VIЯ
§ 7. Дробовой эффект в многосеточных лампах. Широко
известно, что триоды являются более „тихими “ лампами, чем тетроды
и пентоды. В случае тетрода эти дополнительные шумы пытались
объяснить вторичной эмиссией экранной сетки. Хотя нет сомнения
в наличии эффекта такого рода, но этот эффект дает лишь часть
интересующих нас шумов, так как такого же рода дополнительные
шумы имеются и в пентодах, где антидинатронная сетка исключает
вторичную эмиссию.
Норт [78] развил обширную количественную теорию, показываю-
щую, что дополнительные шумы возникают из-за разделения тока
в лампе между электродами, когда лампа работает при наличии про-
странственного заряда. Ввиду практического значения теории Норта
и так как она является хорошим примером использования методов,
развитых в гл. VII, мы рассмотрим ее более подробно.
Изложение теории начнем с более детального анализа депрессии
дробового эффекта из-за пространственного заряда. Хотя при этом
анализе нам придется ввести довольно сложные обозначения, однако,
если читатель проследит за ходом выкладок, он найдет, что конечный
результат Весьма прост. Как уже отмечалось в § 2, электроны,
испускаемые катодом, имеют не одну и ту же скорость; напротив,
Их распределение по скоростям дается формулой (8.2). Сам вид
функции, дающей распределение по скоростям, для нас сейчас не
существенен. Так как время, которое проводит электрон в области
пространственного заряда, зависит от его начальной скорости, действие
электрона на положение виртуального катода будет также зависеть
от его начальной скорости. Поэтому разобьем мысленно общий мгно-
венный ток эмиссии ic на части ics, соответствующие электронам,
Начальные скорости которых лежат в узком интервале $, $ + As. Тогда
4 = 2 4s,	(8.20)
8
Где суммирование проводится по всем значениям начальных скоростей
Электронов. Отдельные компоненты тока ics теперь могут считаться
состоящими из электронов с одной и той же начальной скоростью и
оказывающих поэтому одинаковое воздействие на пространственный
заряд. Кроме того, если /с —среднее значение общего тока эмиссии,
/С8 — средний ток эмиссии электронов Со скоростью $, то
4 = 24s-	(8-21)
8
Эмиссия электронов любой Начальной скорости есть случайный
процесс, так что, в соответствии с формулой (8.8) и § 11 гл. VII,
можно написать
(Ч)Ъ = 2	~ 2 2x/os ДГ = 2х/а ДР,	(8.22)
а	в
Где
4 = 4 — 4 и Д48 = 48 — 4s-	(8-23)
Дробовой эффект
357
Формула (8.22) дает квадратичный эффект флюктуаций тока эмиссии
и показывает, как он разделяется между токами, обязанными элек-
тронам различных начальных скоростей. Мы можем назвать (8.22)
„чистым* дробовым эффектом, так как его величина целиком Опре-
деляется хаотическим процессом эмиссии. Дробовые эффекты
токов во внешних цепях различных электродов, которые умень-
шаются из-за пространственного заряда, мы будем называть умень-
шенными.
Рассмотрим теперь многосеточную лампу, показанную на фиг. 178, Д.
В этой лампе некоторое количество эмитированных электронов не
имеет достаточной начальной скорости, чтобы пересечь виртуаль-
ный катод. Эти электроны возвра-
щаются обратно и не проходят во
внешнюю цепь. Остальные элек-
троны пересекают виртуальный
катод и попадают на один из элек-
тродов *).
Алгебраическую сумму то-
ков всех электродов будем обозна-
чать It. Для удобства записи назо-
вем а-электронами— электроны, не
Ф и г. 178. Многоэлектродные лампы,
В случае А электронные токи склады-
ваются, в случае Б они независимы.
достигающие виртуального катода,
и [3-электронами — остальные электроны, т. е. электроны, попадаю-
щие во внешнюю цепь
Тогда
3
а
(8.24)
fad /С8>
3
(8.25)
где смысл аир под знаками суммы очевиден.
При обсуждении уменьшения дробового эффекта пространственным
зарядом в § 4 было указано, что любая флюктуация эмиссии элек-
тронов вызывает небольшое изменение положения виртуального катода,
вызывающее в свою очередь изменение анодного тока. Мы можем
это выразить математически/ написав
2 ^сз (1 4~ &s) 4" 2
3	«
(8.26)
где bs— функция 5. Величина bs&ics есть изменение lt, вызванное
перемещением виртуального катода, которое произошло вследствие
изменения Д/С6>. Так как эта величина мала, она пропорциональна Afcs.
х) Антидинатронная сетка в пентоде считается здесь одним из собираю-
щих электродов ♦
358
Глава VIII
Величина bs меньше единицы для всех s, и знак bs — отрицательный.
Из формул (7.198), (8.8) и (8.26) следует:
(+)+ = 2(1 + ^з)2 (д++ + 2 (Д*с»)дг =
0	а
= 2(1 + +2 2+з AF + 2 ^2z/cs AF. • (8.27)
3	а
В согласии с формулой (8.13) определим теперь коэффициент депрес-
сии шума из-за пространственного заряда, положив
гз=я+-	<8-28)
Из (8.27) и (8.28) следует, что
2<1++>+* + 2/'Х
Г2 =	.	(8.29)
ч
Чтобы найти численное значение Г2, в первую очередь необходимо
вычислить bs из теории пространственного заряда. Это было сделало
Нортом, но для наших целей в этом нет необходимости.
Рассмотрим теперь некоторый электрод, скажем zz-й, и пусть
in — мгновенное значение тока, который идет через этот электрод,
а 1п— его средняя величина. Если бы потоки электронов, попадающие
на различные электроды, были практически независимы, как показано
на фиг. 178, Б, то не было бы и взаимодействия между флюктуа-
циями токов различных электродов. Следовательно, средний квадрат
флюктуаций тока n-го электрода равнялся бы
(Ди^ = Г22х/пДЛ	(8.30)
где Г2 дано формулой (8.29).
В реальных лампах, однако, обычно имеет место совершенно про-
тивоположный случай, показанный на фиг. 178, Д, когда токи отдель-
ных электродов практически налагаются. В этом случае все электроды
имеют общий виртуальный катод, перемещение которого зависит от
флюктуаций полных а- и р-токов. Поэтому флюктуация тока я-го
электрода дается формулой
Д/„ = V ди + V Lil bg Mcs + 2 bs tics.
3	3	a
Первый член правой части есть флюктуация при неподвижном виртуаль-
ном катоде, второй и третий представляют собой дополнительные
флюктуации, вызванные перемещением виртуального катода из-за
флюктуаций р» и а-токов соответственно.
Дробовой эффект
359
Дополнительный множитель In/It введен потому, что ток на п-й
электрод есть In/It— часть полного тока.
Выделяя во втором члене часть, когерентную с первым, т. е.
представляя Д/с8 в виде
^cs = ^cns Н” (~n)
перепишем последнюю формулу так:
Д/» = 2(1+^- *з)Ч»з +
4-	У -г Мм-») з + У 4 Us- (8.31)
Из формул (7.198), (8.8) и (8.31) следует
(д/»)др= 2 (*+%	+ S (4? ^У14
+ 2(^^У(Чз)дК =
а
= 2 0 + V ^У 2х 17 '^F + 2 Сл О32х ^F +
+2(^^У2х/<”д/7=
а
= [1 —	(1 —Г3)] /„2хДГ, (8.32)
где мы использовали формулу (8.25) и ввели Г2 по формуле (8.29).
Формулу (8.32) можно написать также в форме
(AUlF = lt2x/nAF,	(8.33)
где
г» = 1 — ^-(1— Г2).	(8.34)
Сравнение формул (8.13) и (8.28) с формулами (8.33) и (8.34) по-
казывает влияние разделения токов между электродами на дробовой
шум. Величина Гп монотонно возрастает при уменьшении величины
In It. Когда	то и Г2 = Г;2г, так что дробовой эффект тока
в цепи /г-го электрода равен уменьшенному пространственным заря-
дом дробовому эффекту It. Однако, когда In/It приближается к нулю,
Гп приближается к единице и дробовой эффект тока в цепи л-го
электрода приближается к величине „чистого“ дробового эффекта,
360
Глава VIII
Применение и практическое значение формул (8.33) и (8.34) было
рассмотрено в гл. VI. Резюмируя, можно сказать, что разделение
тока между различными электродами уменьшает депрессию дробового
эффекта из-за пространственного заряда. Главная причина состоит
в том, что в этом случае только часть когерентного тока, обуслов-
ленного движением виртуального катода (которое уменьшает дробовой
эффект в триоде), будет теперь итти к электроду, с током которого
он когерентен.
Формулы (8.33) и (8.34) применимы к лампам, в которых токи
отдельных электродов существенно налагаются, как показано на
Фиг. 179. Схематическое изо-
бражение переменных компо-
нент тока некоторых электро-
дов в пентоде.
фиг. 178, А. Однако без специального
рассмотрения каждого отдельного слу-
чая нельзя ожидать, что они будут
применимы к лампам лучевого типа. Они
определенно не применимы к лампам
типа, показанного на фиг. 178, Б, в ко-
торых токи отдельных электродов не
взаимодействуют.
Интересно отметить, что для тока
в цепи катода многосеточной лампы,
например ik на фиг. 179, величина Г2
не уменьшается, так как в токе катода
полностью участвуют все когерентные
токи, уменьшающие шумы. Из п. 5 при-
веденных ниже выводов следует, что
в цепи катода дробовой эффект меньше,
чем в цепи другого электрода.
Для ламп к которым формулы (8.33) и (8.34) применимы,
Норт [76] делает следующие выводы.
1.	Для любого рассматриваемого тока флюктуации не могут быть
больше „чистого“ дробового эффекта.
2.	Чем меньшая часть полного тока попадает на электрод, тем
ближе шумы этого тока приближаются к „ чистому“ дробовому
эффекту.
3. При исчезающе малом значении Г средний квадрат флюктуа-
ций тока через некоторый электрод равен произведению „чистого“
дробового эффекта для этого тока на часть полного тока, не дости-
гающую указанного электрода.
4.	Отношение действительного шума к „чистому" дробовому
шуму в отдельных частях полного тока превосходит соответствующее
отношение для полного тока.
5.	Шум тока отдельного электрода превосходит шум полного
тока при условии
Г2 hl
1—Г2^ It
1,
Дробовой эффект
361
В обычных лампах это в большинстве случаев справедливо для всех
электродов.
6.	При постоянном Г шумы тока данного электрода максимальны
(считая 1п переменной величиной), когда
4 _	1
It 2(1 —Г2)’
Иными словами, при условии Г2 < ~~ шумы тока любого электрода
не могут превосходить
4(1—Г2) А2хД/?-
§ 8. Дробовой эффект на частотах, при которых необходимо
учитывать время пролета, а) Диод в области насыщения. До сих
пор мы рассматривали дробовой эффект на частотах, при которых
несущественно время пролета. Это предположение значительно упростило
задачу. Однако теперь мы будем рассматривать область частот, для
которых это предположение несправедливо. Удовлетворительной коли-
чественной теории дробового эффекта для этой области частот пока
не существует. Мы опишем здесь в общих чертах качественную тео-
рию и покажем, какого характера изменения дробового эффекта
с частотой можно ожидать в этом случае.
В § 3 мы получили формулу (8.8) для дробового эффекта на
низких частотах в случае режима насыщения. Эта формула полу-
чена в предположении, что ток из-за отдельного электрона, как по-
казано, например, на фиг. 172, может рассматриваться как импульс
силы х. Очевидно, что при частотах, для которых время пролета
составляет заметную часть периода, этим предположением нельзя
пользоваться, и в соответствии с формулами (8.4) и (8.5) дробовой
эффект импульсов тока вида, показанного на фиг. 172, будет умень-
шаться с частотой, когда угол пролета!) достигнет по порядку ве-
личины радиана. Мы можем, таким образом, ожидать уменьшения
дробового эффекта в диоде при режиме насыщения с увеличением
частоты, когда угол пролета по порядку величины достигнет радиана.
б)	Диод при наличии пространственного заряда. Мы покажем,
что при наличии пространственного заряда в диоде можно ожидать
возрастания дробового эффекта с частотой, когда угол пролета ста-
новится значительным. Возрастание дробового эффекта с частотой
в случае наличия пространственного заряда происходит благодаря
нескольким очевидным причинам. Когда мы впервые рассматривали
депрессию шумов пространственным зарядом, было указано, что
флюктуации в токе эмиссии вызывают соответствующие флюктуации
в пространственном заряде. Последние значительно уменьшают пре-
!) Угол пролета равен круговой частоте, умноженной на время пролета.
362
Глава VIII
вращение флюктуаций тока эмиссии в флюктуации анодного тока.
Однако, если мы рассмотрим высокочастотные компоненты флюктуа-
ций эмиссии, то оказывается, что их действие имеет не одну и ту
же фазу по всему облаку пространственного заряда (фиг. 180). Сле-
довательно, на очень высоких частотах, когда среднее время пробега
электрона через облако пространственного заряда содержит много
периодов, происходит компенсация эффектов от флюктуаций в поло-
_____(Длина области______
пространственного заряда
Фиг. 180. Изменения плотности про-
странственного заряда при различных часто-
тах флюктуаций тока эмиссии.
а—низкочастотная компонента; б—высокочастотная
компонента; в—сверхвысокочастотная компонента.
жительной и отрицательной
фазах и потенциал виртуаль-
ного катода почти не изме-
няется. Депрессия шумов
пространственным зарядом
ухудшается с ростом частоты.
Более того, растет разность
фаз между первоначальными
флюктуациями тока и коге-
рентным током, происхо-
дящим из-за флюктуаций
потенциала виртуального
катода. Это еще больше
ослабляет депрессию шумов
пространственным зарядом.
Второй причиной увели-
чения дробового шума с ча-
стотой являются «-электро-
ны. При выводе формулы
(8.11) были учтены шумы,
вызванные движением вир-
туального катода из-за флюк.
туаций в эмиссии «-электро-
нов. Сейчас мы рассмотрим
дополнительный эффект, ко-
торый не существенен на низких частотах, но становится значительным
на высоких частотах, а-электроны никогда не достигают анода,
а возвращаются к катоду. Следовательно, импульсы, которые они
вызывают в анодном токе, имеют вид двойного импульса, как пока-
зано на фиг. 181. Эти импульсы имеют возрастающую частотную
характеристику1) вплоть до частот, при которых их продолжитель-
ность соответствует большому числу радиан, после чего она, воз-
можно, спадает. Поэтому можно ожидать, что в широкой области
частот эти двойные импульсы дадут существенное увеличение дробо-
вого шума.
Вследствие всех перечисленных причин можно ожидать, что для
значительных углов пролета дробовой шум в диоде с пространствен-
*) См. гл. IV, § 18,
Дробовой эффект
363
ним зарядом становится значительным, постепенно сравниваясь и
даже превосходя величину пчистогои дробового шума.
в)	Флюктуации сеточного тока, индуцированные флюктуа-
циями анодного тока в триоде с отрицательной сеткой. Рас-
Ф и г. 181. Двойной импульс тока, вызванный
а-электроном.
такого сеточного тока.
смотрим теперь случай триода с отрицательной сеткой и электрон,
который движется от катода к аноду в триоде, показанном на
фиг. 182. Когда электрон приближается к сетке, его изображение
в сетке вызывает импульс сеточного тока между 0 и как пока-
зано на фиг. 183, А. Затем, после того
как электрон прошел сетку и движется
к аноду, его изображение в сетке
вызывает импульс сеточного тока про-
тивоположного знака между т — т2 и т
(фиг. 183, 4). В действительности им-
пульсы не имеют прямоугольной формы,
но эта идеализация принята для упро-
щения последующих вычислений. Вы-
числим теперь частотную характеристику
Позже мы вычислим его воздействие на анодный ток. Для импульса,
показанного на фиг. 183, А, можно написать (для триода с боль-
шим р)
[5 (со)]2 ^~-cos<sd dt— j* cos utdt
О	т —
sin со/dt
о
где х — заряд электрона,
364
Глава VIII
После интегрирования мы получим
[S (о»)]2 == sin <0Т1 _ -3- Sin «>т 4-sin [ш (т — т2)1|“ 4-
+ {—^(COS<OX1 —И +т^С03<ЙТ — ^-C0SI(B<X —	<8-36)
Для низких частот, когда можно пользоваться приближенными фор-
мулами,
sinx = .r,
cos х —- 1 —
Формула (8.36) переходит в следующую:
s (o)) = x(o(j —	— у).	(8.37)
Таким образом, для малых углов пролета формула (8.37) показывает,
что амплитуды синусоидальных составляющих двойных импульсов
Фиг. 183. Внешние токи, вызванные пролетом элек-
трона в триоде.
А—сеточный ток, вызываемый электроном, попавшим на анод;
Б — анодный /ток, вызываемый тем же электроном. В триоде
с большим р, т. е. при полной экранировке анода сеткой, импульс
анодного тока является зеркальным отображением соответ-
ствующей части импульса сеточного тока.
сеточного тока растут пропорционально частоте. 'С другой стороны.,
когда частота очень велика, из формулы (8.36) следует, что S(cd)
убывает пропорционально частоте.
В области частот, для которых справедлива формула (8.37), ве-
личина S (со) для анодного тока, обусловленного одним электроном,
равна
5(а))^== х,	(8.38)
что, впрочем, очевидно из предыдущего нашего анализа импульсов.
В том же интервале частот полный анодный ток приближенно является
суперпозицией импульсов отдельных электронов, которые достигают
анода. Так как те же самые электроны вызывают сеточный ток, то
Дробовой эффект
365
квадратичный эффект сеточного тока в пределах любой полосы AF
в том же интервале частот равен величине
умноженной на квадратичный эффект анодного тока. Поэтому из
(8.16), (8.17), (8.37), (8.38) приближенно имеем для сеточного тока
= Г* 2 * * (2х/а ДГ) 0,3 (т — -	=
= <tt2(1=——(8.39)
Когда величина угла пролета
“6--?—-т)
становится значительной, флюктуации сеточного тока по порядку
величины приближаются к флюктуациям анодного тока. Однако,
прежде чем исследовать влияние этих флюктуаций сеточного тока
на шумы в лампе, определим сначала влияние времени пролета на
входное сопротивление сетки лампы.
г)	Влияние времени пролета электрона на входное сопро~
тивление сетки *). Синусоидальное напряжение
г	^ед— AZ^sincoZ	(8.40)
на сетке (от сигнала или шумов) будет вызывать изменение потен-
циала виртуального катода, которое вызовет изменение анодного тока
^al=lgm^eg = gm^g^«>t,	(8.41)
где gm — крутизна лампы. Фаза Affl, даваемая формулой (8.41), есть
его фаза на виртуальном катоде. Его фаза в любом другом месте2)
лампы дается формулой
Ma^gmbEgsin[<>>(t-T)],	(8.42)
где Т — время пролета электрона от виртуального катода до инте-
ресующего нас места. Чтобы найти приближенную величину сеточ-
ного тока, будем пользоваться идеализацией, показанной на фиг. 183, Л,
для сеточного тока, обязанного одному электрону из потока электро-
нов к аноду. Тогда для сеточного тока имеем приближенное выра-
жение
4 = ^«»A£fl{sin[<D	— sinJw^-T-b^- Т'о)]}, (8-43)
*) См. работы Норта [79], Ферриса [80] и Левеллина [81].
2) Когда мы говорим о фазе тока в данном месте, то подразумеваем
фазу электронов, составляющих данный ток, в момент прохождения через,
то место, о котором идет речь.
366
Глава Vllf
где TQ—время пробега между точкой, принятой за нуль на фиг. 183, Л,
и виртуальным катодом. Если угол пролета мал, формула (8.43) в пер-
вом приближении переходит в следующую:
sin [« (t—	— То)] —	—т —	— Го)] =
= 2 cos [ш — То — -J + - 20] sin’[o> (2- — 2« — 20], (8.44)
sin [ш — -у — 70] — sin [«, (t— г + -у — 70] —
=	cosfw (t— То— i-|~ 2? — 21)1 (приближенно). (8.45)
Подставляя формулу (8.45) в (8.43), получим
Ч = Sm ЬЕд® (^ — -у	у) cos	— То — 2- + 21 — 20]. (8.46)
Из формул (8.40) и (8.46) находим комплексную проводимость сетки
=	(8-47)
= >«»“ (’- 7 - г)[1 ”> С7»+7- 7 + ?)]
(приближенно), (8.48)
^g~JSmw 2	2*/
+^2(^-т-тХ7'°+1“т + т)’	(8-49)
если пренебрежем членами с высшими степенями
Действие пространственного заряда вызывает увеличение входной
емкости на величину
и появление активной составляющей проводимости, обычно обозна-
чаемой gg, где
+	+	(8.51)
Дробовой эффект
367
Выражения (8.50) и (8.51) весьма приближенные, так как при их
выводе мы предполагали идеализированную форму сеточного тока, обя-
занного одному электрону (показанную на фиг. 183, Л), и прене-
брегли изменением этой формы при наличии сеточного переменного
напряжения. Тем не менее полученные выражения дают хорошее пред-
ставление о влиянии времени пролета электрона. Формула (8.50)
показывает, что имеет место увеличение эффективной емкости между
катодом и сеткой, т. е. существует разность между емкостью холодной
и горячей ламп, которая не зависит от частоты. Далее, согласно (8.51),
появляется входная активная проводимость, которая пропорциональна
квадрату частоты и произведению двух времен пролета
,Т1 м	'Г )	т	' т2	| Т1
Т 2 2И ‘	2	4	4	’
Эта активная*, проводимость является нагрузкой для контура в цепи
сетки, она, как хорошо известно, ограничивает на высоких частотах 9
импеданс колебательного контура, который может быть включен между
сеткой и катодом лампы.
д)	Дробовой эффект, вызванный сеткой. Согласно формуле (8.39),
флюктуации сеточного тока из-за влияния времени пролета имеют
величину
• <8-52)
Подставляя (8.51) в (8.52), получим формулу
, 2 т, \ Т| «‘Kg, IF (8.53)
Л) + у-т + т
для флюктуаций сеточного тока, выраженных через активную прово-
димость сетки. Норт и Феррис [82] приводят формулу
ад^=1,43(4^Тс^ДР),	(8.54)
которая хорошо согласуется с экспериментом. Вывод приближенной
формулы (8.53), данный здесь, показывает, что их результат разумен.
Пусть — индуцированная флюктуация сеточного тока. Тогда
__________ (8-55)
Ч Смысл обоих времен пролета можно видеть из фиг. 183, А, вспомнив^
определение То. Так,	есть вРемя пролета от виртуаль-
М	J*	r—	^*1
ного катода до средней точки между обоими импульсами. Далее, т — -
есть время пролета между средними точками обоих импульсов.
368
Глава VIII
есть соответствующая флюктуация напряжения сетки, где Zg— внеш-
ний импеданс между сеткой и катодом лампы. Поэтому, рассматривая
анод, заземленный для радиочастот (обычное предположение при вы- *
числении дробового тока), получим
^a~Sm^g^g	(8.56)
для флюктуаций в анодном токе в соответствии с (8.55). Тогда из
(8.52) следует, что флюктуации анодного тока из-за эффекта индук-
ции на сетке даются формулой
(US = fe.V	4W (, -	(8.57)
Сравнивая эту формулу с результатами п. г, мы видим, что
в нашем приближении флюктуации, определяемые формулой (8.57),
в случае чисто активного сопротивления Zg сдвинуты по фазе на 90° по
отношению к первоначальным флюктуациям анодного тока, которые
их вызвали. Поэтому квадратичный эффект полного шума анодного
тока нравен в этом случае просто сумме (8.17) и (8.57). Когда
Zg — не чисто активное сопротивление, имеется когерентность между
флюктуациями, даваемыми формулами (8.17) и (8.57), и этот факт
следует принять во внимание.
Сравнивая (8.17) с (8.57), мы видим, что при очень высоких
частотах, для которых справедлива формула (8.57), дробовой эффект
из-за индуцированного в сетке тока (при наличии пространственного
заряда) может значительно превосходить низкочастотную величину дро-
бового эффекта, даваемую формулой (8.17). Во всех случаях, когда
время пролета становится заметным, шумы из-за токов, индуциро-
ванных в цепи сетки, будут вызывать сильное увеличение дробового
шума. На очень высоких частотах, когда депрессия шумов простран-
ственным зарядЬм падает, шумы, вызванные сеткой, увеличиваются
(вместе с увеличением первоначальных флюктуаций анодного тока) на
величины, гораздо большие, чем даваемые формулой (8.57).
Согласно изложенной теории, должно быть периодическое увели-
чение и уменьшение дробового шума при изменении пролетного фак-
тора	— -у) на целое число 2тс; этот периодический эффект
накладывается на общее увеличение шумов из-за ослабления депрессии
шумов пространственным зарядом.
Упражнение
Так как в триоде с отрицательной сеткой электроны не попадают на
сетку, несмотря на существование активной проводимости на высоких часто-
тах, то как происходит рассеяние мощности, обязанное этой проводимости?
Обсудить связь между этим явлением и вопросом когерентности, рассмо-
тренным в главе VII, § 16.
Дробовой эффект
369
§ 9. Флюктуационные шумы магнитного происхождения. Дру-
гим типом флюктуационных шумов, встречающихся в усилителях,
является магнитный шум, иногда называемый эффектом Баркгаузена.
Этот эффект имеет некоторое математическое и физическое сходство
с дробовым эффектом. Намагничиваемый кусок железа не предста-
вляет собой однородный магнитный материал, а состоит из мелких
областей (доменов), которые ориентируются в магнитном поле, так
сказать, полунезависимым образом. Когда изменяется приложенное
поле, некоторые из этих областей растут за счет других. Этот про-
цесс сопровождается случайными флюктуациями, поэтому процесс на-
магничения происходит не плавно, а с наложением мелких флюктуаций.
Эти случайные флюктуации намагничивания вызывают флюктуации
тока в любой катушке, находящейся в магнитном поле железа.
Наиболее важным практическим примером системы, где имеет
место эффект Баркгаузена, является современный радиоприемник с ра-
мочной антенной и силовым трансформатором с железным сердечником.
В таком приемнике железо в силовом трансформаторе перемагничи-
вается с частотой сети. Магнитные флюктуационные шумы, генери-
руемые в железном сердечнике за цикл намагничения, воспринимаются
рамочной антенной, и если связь между рамкой и силовым трансфор-
матором не очень мала, то эти шумы могут ограничить чувствитель-
ность приемника. Чтобы уничтожить связь, необходимо применить
тщательную внешнюю экранировку силового трансформатора и повер-
нуть его в таком направлении, чтобы его поле рассеяния не пересе-
кало рамку.
Идеализированная модель процесса намагничения, которая позволит
применить методы, развитые в настоящей главе, к вычислению магнит-
ных флюктуационных шумов, состоит в следующем. Будем считать,
что магнитный материал представляет собой совокупность большого
числа элементарных магнитных частиц и что процесс намагничения
сводится к ориентации этих частиц в магнитном поле. Чтобы упро-
стить математические выкладки, рассмотрим случай катушки с желез-
ным сердечником (силовой трансформатор). Пусть ее индуктивность L,
и по ней течет ток	. г .	,
i = / sin ад.
(8.58)
Мы будем предполагать, что магнитная энергия трансформатора прак-
тически вся сосредоточена в железе, но что ввиду рассеяния суще-
ствует малая взаимоиндукция М между железным сердечником катушки
и рамкой антенны. Напряжение, возникающее в рамке, обозначим
через оно равно	.
,2=А(Ж).
(8.59)
Согласно теории магнетизма *),
В = Н + 4к/ = Н+ ^sH = И (1 + 4ks) = |i//,	(8.60)
*) См. учебник И. Е. Тамма [83]. (Прим, ред.)
24 Зак. 2263. С. Гольдман.
370
Глава VIII
(8.62)
(8.63)
причем
и = 1 + 4^5.	(8.61) г
Здесь Н — напряженность магнитного поля в сердечнике, р— про-
ницаемость сердечника, В— магнитная индукция в сердечнике, s — маг-
нитная восприимчивость сердечника, J=sH— намагничение (магнит-
ный момент единицы объема). Пусть V—объем железного сердечника,
т — магнитный момент элементарного магнитного домена, п — общее
число элементарных магнитных доменов в объеме V, ориентированных
магнитным полем.
Согласно теории магнетизма, если у. — постоянная, то случайная
величина, равная отношению п/Н, имеет постоянное распределение
вероятности.
Полный магнитный момент равен
sHV = пт,
а полная магнитная энергия приближенно равна
1 . BHV (1 + 4ks) FPV _ sH2 * * *V _ птН
2 Ll	~ 8л ~	2	2 *
Это приближение справедливо, если у. велико. Далее, предположим,
что
Mi — N=Cn,	(8.64)
где М—магнитный поток, пересекающий рамку, и С—коэффициент
пропорциональности. Точность выражения (8.64) будет зависеть от
размагничивающего фактора. Однако оно дает правильное представ-
ление о порядке величиньГ магнитных флюктуационных шумов и о ха-
рактере их изменения при изменении различных параметров. Импульс
напряжения, соответствующий изменению п на единицу, равен
J e2dt—kN—С &п = ~ кп = ^ Ьп = ™,	(8.65)
где
Дя=1.	(8.66)
Мы можем теперь найти формулу для флюктуаций напряжения тем
же методом, который использовался при рассмотрении дробового
эффекта в режиме насыщения. Так, 1М]п соответствует заряду элек-
трона и е2 = /И соответствует среднему анодному току. Без
повторения вывода можно написать
2 (“) Э 4F- м -37 =
W	Н	di
= 2 ~	~ -т	-%-	&F.	Г8.67)
L	i	dt	7
Дробовой эффект
371
При токе, заданном формулой (8.58), имеем
COS mt,	(8.68)
так что формула (8.67) принимает вид
Д^==2 ^-^m<o/|cos<o/|AF.	(8.69)1)
Формула (8.69) показывает, как магнитные флюктуационные шумы
меняются в зависимости от изменения параметров. М есть взаимная
индуктивность между рамкой и катушкой с железным сердечником,
L и 77//— константы катушки, ш — частота цепи, 7—пиковое значе-
ние силового тока и Д77—ширина полосы приемника. Константа т
в формуле (8.69) есть магнитный момент элементарной магнитной
частицы, ориентирующейся в процессе намагничения. Если по наблю-
даемым магнитным флюктуационным шумам в рамке приемника вычи-
слить т с помощью формулы (8.69), то полученная таким образом
величина соответствует небольшому объему, размеры которого, од-
нако, гораздо больше атомных. Точная величина ттг, найденная таким
способом, не имеет большого значения, так как модель, исполь-
зованная при выводе формулы (8.69), была сильно идеализирована и,
кроме того, мы не учитывали когерентное взаимодействие между эле-
ментарными магнитными областями.
х) Формула (8.69) имеет смысл лишь при периоде тока Sit/to очень боль-
шом по сравнению с временем 1/Д77.
Обратный случай был исследован экспериментально А. А. Грачевым [88]<
См. также [89]. (Прим, ред.)
24*
Глава IX
ТЕПЛОВЫЕ ШУМЫ
§ 1. Два закона термодинамики * 2). Мы начнем эту главу с краткого
обзора статистической термодинамики, являющейся основой теории
тепловых шумов. В первую очередь мы напомним два закона термо-
динамики.
Первый закон термодинамики, выражающий закон сохранения энер-
гии, утверждает, что если к системе подводится количество тепла dQ
и при этом система совершает внешнюю работу dW, то увеличение dU
энергии системы равно
dU = dQ — dW.	(9.1)
Второй закон термодинамики выражает всю совокупность опытных
фактов, говорящих о невозможности „вечного двигателя второго рода".
Имеется несколько эквивалентных формулировок второго закона,
например:
1. Тепло не может само по себе переходить от тела с более низкой
температурой к телу с более высокой температурой.
2. Невозможно такое устройство, в результате действия которого
производилась бы положительная работа только за счет охлаждения
одного тела без всякого изменения в других телах.
Следствием второго закона термодинамики является существование
функции состояния системы S, называемой энтропией и определяемой
формулами
= или ,5=J^4-S0.	(9.2)
где dQ — тепло, получаемое системой при обратимом процессе2),
Т—абсолютная температура, при которой это тепло передается, а
интеграл в формуле (9.2) берется от начального состояния системы
х) Здесь приводятся только окончательные результаты, нужные для даль-
нейшего. Их вывод читатель может найти в книгах по термодинамике и ста-
тистической физике, например, [90], [91]. (Прим, ред.)
2) Обратимый процесс есть процесс, направление которого может быть
изменено на обратное бесконечно малым изменением внешних условий. Этот
процесс, следовательно, может происходить только с бесконечно малой ско-
ростью. Если путь интегрирования в формуле (9.2) соответствует необрати-
мому процессу, что обычно имеет место на практике, то, как показывается
в термодинамике,

Тепловые шумы
373
до конечного по пути, соответствующему обратимому процессу. В тер-
модинамике доказывается, что энтропия системы в данном состоянии
(т. е. при данной температуре, давлении, объеме и т. д.) имеет опре-
деленную величину, которая не зависит от пути, по которому система
пришла в это состояние (это и означает, что энтропия есть функция
состояния).
Далее в термодинамике показывается, что функция
7S,	(9.3)
называемая свободной энергией системы, играет роль потенциальной
энергии для изотермических процессов. Иными словами, для обрати-
мого процесса, происходящего при постоянной температуре, работа,
совершенная системой, равна убыли свободной энергии.
§ 2. Статистическая интерпретация термодинамических фор-
мул1). Статистическая теория термодинамики была создана во второй
половине девятнадцатого столетия2). Эта теория называется статисти-
ческой механикой. Согласно статистической механике, внутренняя
энергия системы есть энергия, связанная прежде всего с беспорядоч-
ным движением отдельных атомов, молекул или электронов системы
относительно друг друга»
Вследствие этого макроскопические3 4) характеристики системы по
своей природе являются статистическими и поэтому подвержены флюк-
туациям. В частности, любой параметр (например, давление), опреде-
ляющий состояние системы, подвержен флюктуациям. Если свободная
энергия может быть представлена чисто квадратичной функцией этих
флюктуаций, то, как показывается в статистической механике, флюк-
туации имеют нормальное распределение. Так, вероятность того, что
какой-нибудь параметр системы будет иметь величину, лежащую
между х и x-\-dx, будет выражаться величиной
Р (х) dx = Ве~* dx,	(9.4)
где х0 — наиболее вероятное значение х.
Если х имеет одномерное нормальное распределение, то В — кон-
станта, в противном случае В является функцией х. Статистическая
механика дает также связь между формулой (9.4) и законами термо-
динамики. Именно она показывает, что показатель в формуле (9.4)
-а3(х—х0)2 = А=А,	(9.5)*)
*) Чтобы читать дальше эту главу, читатель должен овладеть предста-
влениями и терминологией гл. VII.
2) Максвеллом, Больцманом, Гиббсом и др.
3) В отличие от микроскопических свойств, которые относятся к отдель-
ным атомам, молекулам или электронам.
4) Из формул (9.4) и (9.5) следует, что So — максимальное значение S,
т. е. наиболее вероятным состоянием системы является то, при’ котором
энтропия максимальна.
374
Глава IX
где S—энтропия, соответствующая величине х, рассматриваемого
параметра системы, So — энтропия, соответствующая х0, k—универ-
сальная постоянная, называемая постоянной Больцмана, или газовая
постоянная для молекулы.
Численное значение k равно
k= 1,371 • 10-16 эрг'град = 1,371 • 10“23 etn • секград.
Из формул (9.5) и (9.4) имеем
. 8-80
P(x)dx—Be к dx.	(9.6)
Таким образом, энтропия системы непосредственно связана с ее
статистическими свойствами.
§ 3. Теорема о равномерном распределении энергии по сте-
пеням свободы. Предположим, что в выражение для свободной энер-
гии системы входит с положительным коэффициентом квадрат некото-
рой переменной у, являющейся мерой отклонения (от наиболее вероят-
ного значения) какого-либо параметра системы. Предположим далее,
что за вычетом этого члена свободная энергия не зависит от у1). Мы
можем написать тогда
+	(9-7)
где <1»0 не зависит от у. Из формулы (9.3) имеем
(9.8)
Подставляя (9.8) в (9.6), получим
P(y)dy — Be кТ dy,	(9.9)
где В — константа. Так как по определению
4-00
J P(y)dy=l, '	(9.10)
—оо
ТО
4-00	Ь22/2
j Be кТ dy=By^kf = 1.	(9.11)
—оо
ИЛИ
Ч у может быть, например, зарядом конденсатора С (фиг. 184) из-за
тепловых шумов в /?. Тогда
Тепловые шумы
375
Среднее по ансамблю от Ь2у2 равно
4-оо	Ъ^у*	___
1 ^тЬв’ИГ£,>’=7Э4Я4/^ = тг К9.13)
Формула (9.13) означает, что среднее значение флюктуаций свобод-
ной энергии, происходящих из-за члена вида Ь2у2, равно kT. Если
в выражение для свободной энергии входит сумма п независимых
квадратичных членов вида Ь2у2, то, повторяя для каждого члена наш
вывод, мы найдем, что среднее значение полных флюктуаций свобод-
ной энергии равно п — kT. Этот результат называется законом равно-
мерного распределения энергии по степеням свободы. Он имеет боль-
шое практическое значение.
Применяя изложенные здесь основные результаты статистической
термодинамики, вместе с общей теорией флюктуаций, развитой в гл. VII,
мы и получим интересующие нас законы и формулы для тепловых
шумов. /
'' § 4. Тепловые шумы2). В начале двадцатого столетия Смолу -
ховский и Эйнштейн применили теорию флюктуаций статистиче-
ской механики для объяснения таких известных явлений, как броу-
новское движение и опалесценция жидкостей в критическом состоя-
нии. При этом они указали, что флюктуационные эффекты могут
иметь место в самых разнообразных явлениях, например в таком про-
стом, как протекание электрического тока в цепи. Этот вопрос,
однако, не имел практического интереса до 1928 г., когда Джонсон
показал, что флюктуации тока наблюдаемы в усилителях с большим
усилением и что они определяют границу чувствительности усили-
теля. Работая вместе с Джонсоном, Нейквист получил хорошо изве-
стную формулу для мощности шумов в данной полосе частот.
Начнем изучение тепловых шумов с рассмотрения лампы с сопро-
тивлением R в цепи сетки и входной емкостью С. Рассмотрим флюк-
туации энтропии в цепи R и С, определяемые свободной энергией,
сосредоточенной во входной емкости лампы. Так как само сопротив-
ление не имеет свободной энергии, изменение энтропии, согласно
формуле (9.3), равно энергии, запасенной конденсатором, взятой со
знаком минус и деленной на температуру:
s-so = -^,	(9.14)
*) Интересное и поучительное изложение теории и экспериментов по
тепловым шумам можно найти в первой главе книги Муллена [49]. [См
также [50]. (Прим. /?ed.)]
376
Глава IX
где Е— напряжение на конденсаторе из-за тепловых шумов. Заменяя х
на Е в формуле (9.6), получим для нашей задачи
СЕ5
Р (Е) dE = Be *kTdE.	(9.15)
Напряжение Е имеет одномерное распределение, так что В будет
постоянной. Поскольку должно быть
4-оо	Ч-оо СЕ9	____
j P(E)dE = j Be ikTdE = B^2-~ = 1,	(9.16)
—oo	—oo
TO
Так как P (E) есть вероятность значения напряжения между Е и
E-\-dE, то, в соответствии с гл. VII, § 14, п. д, Р(Е) представляет
также ту часть времени, в течение которой напряжение будет между
Е и E-^-dE. Поэтому средний по времени квадрат напряжения равен
4-оо	4-оо ______
j E2P(E)dE — J У ^Е^е~^ dE =
— ОО	—ОО
2пЬГ 2 У СЗ — с *
(9 Л 8)
К сожалению, формула (9Л 8) для среднего квадрата напряжения
Ф и г. 184. Пример схемы с оми-
ческим сопротивлением, запа-
сающим свободную энергию
в емкости.
тепловых шумов имеет форму, мало
пригодную для использования. На прак-
тике за источником тепловых шумов
обычно следует настроенный усилитель,
а поэтому желательно знать частотный
спектр тепловых шумов. Он будет
найден в следующем параграфе. Сейчас
же мы рассмотрим несколько общих
положений, относящихся к тепловым
шумам.
Заметим прежде всего следующее:
так как свободная энергия /?С-кон-
тура запасена в его емкости, то
на основании теоремы о равномер-
ном распределении энергии по степе-
ням свободы мы могли бы заранее утверждать, что средний квадрат
напряжения на емкости равен бТ/С, ибо энергия конденса-
Л Формула (9.17) получается сразу из (9.12), если в (9.7) положить
Г'
(Прим, ред.)
Тепловые шумы
377
тора у СЕ2 должна равняться

(9.19)
Мы провели подробный вывод, чтобы проиллюстрировать вывод тео-
ремы о равномерном распределении энергии.
Покажем теперь, что интересующая нас формула Нейквиста сле-
дует из результатов этого параграфа, если предположить, что сопро-
тивление является генератором тепловых шумов с интенсивностью,
равномерно распределенной по частоте. Пусть
A*df	(9.20)
определяет средний квадрат генерируемой э. д. с. сопротивлением,
в бесконечно ^алой полосе частот df. На емкости это дает квадрат
напряжения
2df	=______A*df____
J /?2 + (1/2л/С)2	4к2/2С?7?2_|_ 1 •
Так как, согласно энергетической теореме об интеграле Фурье, средние
квадраты напряжений разных частот просто складываются, полный
средний квадрат напряжения на конденсаторе будет
оо	„ 
J 4тфС>№+1 = afctg (2тс/С/?) I =
о	'
Но, согласно формуле (9.18), величина среднего квадрата э. д. cj
шумов равна kTjC, так что
или
Л2=4/?АТ.	(9.24)
Таким образом, средний квадрат э. д. с. шумов, генерируемых в со-
противлении R и ширине полосы Д/, есть
Д2Д/=4/?^ТД/.	(9.25)
Это и есть формула Нейквиста, но она была выведена при необосно-
ванном пока предположении, что сопротивление является генератором
э. д. с. шумов с интенсивностью, не зависящей от частоты. Мы
дадим теперь вывод, который не будет опираться на это предполо-
жение.
378
Глава IX
§ 5. Вывод формулы Нейквиста для тепловых шумов*)• Рас-
суждения предыдущего параграфа подсказывают, что если вместо
конденсатора взять неселективный по частоте „аккумулятор" свобод-
ной энергии, то распределение тепловых шумов по частоте можно
определить непосредственно. Такой аккумулятор осуществляется, по
крайней мере теоретически, в виде передающей линии без потерь.
Итак, пусть сопротивление подключено к передающей линии
без потерь, волновое сопротивление которой равно R (фиг. 185),
и пусть эта линия будет
разомкнута на удаленном
конце. Наше сопротивление
будет передавать энергию
шумов в линию, т. е. вдоль
линии побегут электромаг-
нитные волны. На удален-
ном разомкнутом конце будет
происходить полное отраже-
ние и, так как R равняется
волновому сопротивлению
линии, отраженные волны
будут полностью погло-
щаться сопротивлением. На
фиг. 185, Б дан график на-
г*-----------d-------------
в
'Фиг. 185. Накопление энергии тепловых
шумов в длинной линии без потерь.
Д—линия, один провод которрй заменен землей; Б—
бегущая волна; В—отраженная волна.
пряжения Б? прямой волны
и на фиг. 185,	—график напряжения Еъ отраженной (обратной)
волны. Согласно теореме Фурье, каждое из этих напряжений может
быть разложено в ряд Фурье
со
A- = af0 4- 2 cos
Q = 1
1Еъ = «ьо + 2 (аи cos 9
 ,	. 2к qx
(9.26)
(9.27)
, , 2tc qx
^^4 sin—7“
9 Вывод, данный здесь, отличается несколько от вывода Нейквиста, но
основная идея вывода — передающая линия в качестве „аккумулятора" энер-
гии — та же.
Прежде чем изучать этот параграф, читателю рекомендуется прочесть
гл. VII, § 20.
Метод, с помощью которого получены результаты этого параграфа, осно-
ван на применении второго закона термодинамики к сильно идеализированным
процессам. Несмотря на некоторую искусственность этого метода, он зани-
мает почетное место в истории физики и дает совершенно надежные резуль-
таты. В частности, он привел Планка к созданию квантовой теории.
Тепловые шумы
379
где d — длина линии; соответствующие токи могут быть получены
делением этих напряжений на волновое сопротивление линии
Zo —
(9.28)
где L — погонная индуктивность, а С—погонная емкость линии.
Энергия #-й гармоники Фурье прямой или обратной волны равна
<1
f/v3<:os
2к qx , ,	. 2тс qx \ 2
—--------к bo S1H ——)
d 1 ® d )
Cia^ + b^d (a2„ + b*)d
. -> <9-29>1)
где
1
0= >—=
V LC
(9.30)
линии. Общая энергия в линии равна, следо-
скорость волны вдоль
вательно,
 энергия = -^-(а}0-}-^0)+2^-^(а2;1 + ^ + ^4-^).	(9.31)
3=1
Все коэффициенты а и b независимы друг от друга, и каждый
имеет одномерное распределение вероятности. Поэтому, если пере-
дающая линия рассматривается как аккумулятор свободной энергии
сопротивления, то из теоремы о равномерном распределении энергии
следует, что
4/	=4 (-W=2fer’	<9-з2>
а для одной бегущей волны средняя энергия </-й гармоники равна

(9.33)
о
и энергия, посланная сопротивлением в линию за 1 сек., относящаяся'
к ^-й гармонике, равна
v г d .----------1	vkT
~d L2flv ^ah	ЬП)J = 2R = ~d~ ‘	(9.34)
Здесь мы должны обратить внимание на то, что q-я гармоника
кривой, изображенной на фиг. 185, Б, состоит по существу не из
*) Энергия на единицу длины линии равна
1c£2 + ^./J2
380
Глава IX
одной частоты, но скорее из узкой полосы частот, так как кривая
является цугом волн конечной длины (см. фиг. 28 и гл. VII, § 20).
Эта полоса группируется вокруг частоты
(9.35)
которая является дискретной частотой <?-й гармоники. Если линия
очень длинная, так что основная ее частота
(9.36)
очень низка, то таких гармоник будет много в любой данной полосе
частот ДЕ. Каждая из этих гармоник будет центром полосы частот
с определенной энергией шумов, и эти полосы перекрываются и дают
сглаженную кривую распределения энергии по частоте1). Число гар-
моник в полосе частот ширины ДЕ будет
так что полная энергия шумов, посылаемая сопротивлением в линию
за 1 сек. в полосе частот ДЕ, равна
ДЕ vkT
AFkT.
(9.38)
Полученная формула очень важна. Она дает величину мощности
тепловых шумов, посылаемой сопротивлением другому сопротивле-
нию2 * * * *) той же величины. Равная мощность шумов передается вторым
сопротивлением (линией) первому (отраженной волной), так что тепло-
вое равновесие не нарушается. Специфические свойства передающей
линии, которые позволяют разделить теоретически бегущую и отра-
женную волны, т. е. энергию шумов, покидающую сопротивление, и
энергию шумов, входящую в сопротивление, и которые позволяют
поэтому выразить эту энергию через частотные компоненты, делают
передающую линию исключительно подходящей для наших целей.
Теперь, когда мы знаем количество энергии, посылаемое сопро-
тивлением в линию, предположим, что на удаленном конце линия
замкнута на нагрузку
= (9-39>
*) Физически ясно, что эта кривая будет сглаженной, так как ока не
зависит от длины линии, ибо свойства бегущей волны не зависят от длины
линии.
2) По отношению к бегущей и обратной волнам, взятым в отдельности,
передающая линия является чисто активным сопротивлением величины Zo
независимо от нагрузки на конце линии. От нагрузки на конце линии зави-
сит величина и фаза отраженной волны, но не отношение тока к напряжению
в бегущей и отраженной волнах.
Тепловые шумы
381
как показано на фиг. 186, и пусть ZM будет иметь ту же темпера-
туру, что и R. Когда энергия шумов бегущей волны от R дости-
гает часть ее, равная | К |2 от первоначальной величины, отра-
жается, где К — коэффициент отражения напряжения. Из теории
передающих линий имеем
„_____—R___________	/ Ч,, Л
так что
1 1	(/?м + ^)3 + ^‘
Далее, часть
^RRm
1—Kl2=
энергии бегущей волны поглощается
(9.41)
(9.42)
(9.40)
Фиг. 186. Передающая линия»,
замкнутая на одном конце сопро-
тивлением, равным волновому;
на другом конце сопротивление
произвольное.
в Z^*
Чтобы упростить наш анализ, будем предполагать, что ZM равно
бесконечности для всех частот, кроме узкой полосы AF. Итак, за
исключением полосы Д5, линия будет открытой на конце ZM и будет
вести себя, как в рассмотренном выше случае. Мы сосредоточим
внимание на том, что будет происходить в сравнительно узкой
полосе частот Д/7, чтобы прийти к существу вопроса о спектре
тепловых шумов.
Мы предположили, что R и Zu имеют одну и ту же темпера-
туру. Следовательно, согласно второму закону термодинамики, мощность
тепловых шумов, идущая от Z^ к /?, должна быть равна мощности
тепловых шумов, идущей от R к ZM- Иначе будет охлаждаться?
a ZM нагреваться, или наоборот, что противоречит второму закону.
Следовательно, на основании (9.42) и (9.38) заключаем, что импе-
данс ZM посылает в линию мощность шумов, равную
±RRMkTbF
(Rm +	+
(9.43)
которая затем вся поглощается в /?. Величины R, R^ и в фор-
муле (9.43) будут, очевидно, значениями этих величин для полосы
частот Д/7. Форма выражения (9.43) показывает, что мощность тепло-
вых шумов, посылаемая ZM сопротивлению /?, равна мощности,
которую посылал бы эквивалентный генератор тепловых шумов,
дающий э. д. с. величиной F, такой, что
£3 = 4/?MW.
(9.44)
382
Глава IX
Если разделить реактанс (см. фиг. 186) на две части, как пока—'
зано на фиг. 187, так что
Хм = Х-уХш,	(9.45)
то получится, что произвольный импеданс
Z12HI =	(9.46)
будет передавать энергию шума в другой произвольный импеданс
Z — R-\-jX,	(9.47)
как будто Zjm содержит генератор э. д. с., заданной по’величине
формулой (9.44). Мы видим, что Е2 пропорционально Rm, темпера-
Фиг. 187. Цепь, на которую действуют тепло-
вые шумы, генерируемые в Zim>
Эквивалентный генератор шумов для /? не показан, энер-
гия, посылаемая им в /?м> равна энергии, посылаемой
в R*
туре Т и ширине полосы Д/7 и не зависит от положения Д/7 в спектре
частот, так как частота непосредственно не входит в формулу (9.44).
Далее, Е не зависит ни от импеданса нагрузки R-\-jX, ни от реак-
танса Х^м „генерирующего" шумы импеданса. Таким образом, только
активное сопротивление является источником напряжения шумов, что
можно обосновать и другими способами.
Выражение (9.44) — известная формула Нейквиста для тепловых
шумов.
Подчеркнем, что Rm есть активная составляющая импеданса
в полосе частот Д/7 и что вывод формулы (9.44) останется справед-
ливым, если Rm обусловлено потерями в конденсаторе или другими
причинами. Формула (9.44) не > ограничивается специальным типом
Тепловые шумы
383
Формула (9.44) есть формула эквивалентного генератора э. д. с.
Как былеГ показано в гл. VI, § 5, можно перейти к эквивалентному
генератору тока
/2 = 4 QtfkT Д/7,	(9.44а)
где Gm — активная составляющая проводимости l/Z^. В этом случае
импеданс включен параллельно генератору тока.
Заметим, что так как, согласно формуле (9.44), средний квадрат
э. д. с. имеет одинаковую величину для каждой полосы частот шири-
ной Д/7, полный средний квадрат э. д. с. во всем интервале частот
от Г = 0 до F=oo будет бесконечным. Подобная трудность возни-
кает в физике в теории теплового излучения, если пользоваться про-
стыми формулами (9.4) — (9.6) классической статистической механики.
Однако если эти формулы изменены в согласии с квантовой теорией,,
то до частот порядка
kT
(9.48У)
где
k= 1,37 • 10“16 эрг)град,
h == 6,6 • 10-27 эрг.сек (квантовая постоянная),
средний квадрат э. д. с. почти неизменен, но при более высоких
частотах энергия быстро убывает. В нашем случае, если
Т = 293°К, что значит 20° С,
то
fF = -^.==6,l • 1012 2^ = 6 100'000 мгц. (9.49)
Следовательно, можно ожидать, что формула Нейквиста дает пра-
вильную величину э. д. с. тепловых шумов для всех частот, порядок
которых мал по сравнению с (9.49). Сюда попадают все частоты,
используемые в настоящее время радиотехникой. Для более высоких,
частот нужно ожидать, что классическая статистическая механика, на
которой базируются наши выводы, будет давать ошибочный резуль-
тат, а истинный результат будет показывать падение энергии с часто-
той в согласии с квантовой теорией.
В заключение заметим, что из формул (9.4), (9.26) и (9.29) сле-
дует, что тепловые шумы являются хаотическими шумами в том смысле,
как это определено в гл. VII, § 14.
*) В квантовой теории энергия на одну колебательную степень свободы
равна
hv
^Пй7=Т(где "-частота)
вместо kT в классической статистической механике. Значение kT в класси-
ческой статистической механике есть следствие теоремы о равномерном рас-
пределении с учетом того, что каждая степень свободы вносит два квадра-
тичных члена в полную энергию.
384
Глава IX
Мы вывели формулу Нейквиста для тепловых шумов на основе
статистической теории термодинамики, не касаясь природы механизма,
вызывающего тепловые шумы. Основное достоинство этого вывода
в том, что он, а следовательно, и окончательные результаты не за-
висят от той или иной теории электропроводности металлов. Однако
интересно выяснить, может ли современная теория электропроводности
указать механизм, который дает правильную величину тепловых
шумов х).
§ 6. Дальнейшее обсуждение тепловых шумов, а) Внутренняя
согласованность формулы Нейквиста в случае сложных цепей. Так
как формула Нейквиста носит характер общего закона, она должна
быть самосогласованной в случае сложных цепей. Так как любые цепи
состоят из комбинаций последовательного и параллельного соединения
отдельных частей, то для общей проверки согласованности этой фор-
мулы достаточно провести проверку для цепей, показанных на фиг. 188.
Проведем эту проверку.
Общий импеданс цепи на фиг. 188, А равен
Z = Z, + Z2 = (/?1 + /?а)+j	+ XJ.
Согласно гл. VII, § 14, э. д. с. тепловых шумов получится сложе-
нием квадратичных эффектов э. д. с. шумов, генерируемых в Zj и Z2,
так как оба шума хаотичны. Поэтому, согласно формуле (9.44),
(£дг У — (Ei др)а + (£2	=
=AF+ ^TR,2	+ LF. (9.50)
Эту величину можно было бы получить, применяя формулу (9.44)
непосредственно к Z. Следовательно, формула (9.44) приводит к пра-
вильному результату при применении к последовательно соединенным
цепям. Рассмотрим теперь параллельно соединенные цепи (фиг. 188, Б).
В этом случае ответ легче получить, используя формулу (9.44) и
представление об эквивалентном генераторе тока (см. гл. VI, § 5).
х) Этому вопросу посвящен ряд работ. Однако до сих пор нет еще убе-
дительной теории, раскрывающей электронный механизм тепловых шумов
в проводниках. Существующие же теории основаны на представлениях о ха-
рактере движения электронов в металле, не имеющих почти ничего общего
с действительностью. Тот факт, что при этом в конце концов получается
правильная формула, отнюдь не является доказательством правильности этих
представлений, а говорит лишь о том, что они не находятся в противоречии
с термодинамикой.
Излагаемый в книге Гольдмана один из вариантов такой статистической
теории является вдобавок далеко не лучшим. Поэтому соответствующий па-
раграф в переводе опущен. {Прим, ред.)
lenf№bte ШуМЫ
&5
Полная (комплексная) провбдймОсть цейй равйД
F=G4-/5=i==b4-rB=l-H-^-^
= (Qa +jSA) + (GB +jSb) = (Ga + GB) +j (Sa + SB). (9.51)
Фиг. 188. Схемы соединения сопротивлений.
А — последовательное соединение сопротивлений; 5 —параллель-
ное соединение.
Полный ток тепловых шумов, генерируемый в У, получается сложе-
нием квадратичных значений шумов тока, генерируемого в Fj и К2.
Таким образом,
(АгГ = (/ддк)2-{~ (1выУ =
= 4kTGA±F-\- 4kTGBkF = 4kT(GA + GB) ДЛ (9.52)
Эту величину можно было бы получить непосредственным примене-
нием формулы (9.44а) к схеме, изображенной на фиг. 188, Б. Итак,
формула Нейквиста дает правильные результаты и для параллельного
соединения импедансов.
Упражнение
Показать, что, согласно формуле (9.44), мощность тепловых шумов
от Z4, поглощающаяся в ZB (фиг. 188, Б), равна мощности тепловых шумов
от ZB, поглощаемой в ZA. Если бы это не имело места, один импеданс не-
прерывно нагревался бы, в то время как другой охлаждался, что противо-
речило бы второму закону термодинамики.
б) Отсутствие генерации тепловых шумов реактансом. Из
формул § 5 следует, что реактанс не генерирует тепловых шумов.
Ввиду особой важности этого результата Вильямс провел экспери-
ментальное исследование, чтобы его проверить. Он показал^ что
25 Зак. 2263. С. Гольдман.
386
Глава IX
в цени, состоящей из конденсатора и сопротивления, напряжение
тепловых шумов пропорционально температуре сопротивления и не
зависит от температуры конденсатора.
Прямое теоретическое доказательство того, что реактанс не гене-
рирует тепловых шумов, может быть получено непосредственным
применением второго закона термодинамики к схемам, изображенным
на фиг. 189. Если бы реактанс (фиг. 189) генерировал тепловые
шумы, он должен был • бы передавать энергию сопротивлению. Так
как средняя за большой промежуток времени энергия, поглощаемая
реактансом, равна нулю, то реактанс непрерывно охлаждался бы,
а сопротивление нагревалось. Это противоречило бы второму за-
кону термодинамики.
Л	* б
Фиг. 189. Простейшие цепи, содержащие
активное и реактивное сопротивления.
в) Суперпозиция постоянного тока или сигнала с тепловыми
шумами !). В большинстве представляющих практический интерес слу-
чаев тепловые шумы накладываются на полезный сигнал. Поэтому
интересно знать, влияет ли присутствие сигнала на тепловые и дру-
гие флюктуационные шумы. Эта задача не может быть решена с помощью
термодинамических законов, использованных ранее для чисто тепловых
щумов, так как в этом случае система уже не будет находиться
в состоянии термодинамического равновесия из-за выделения тепла PR
током сигнала 1. Задача может быть решена на основе теории, учиты-
вающей детальный механизм явления, и, конечно, па основе экспери-
ментального исследования.
Экспериментально этот вопрос исследовал Муллен [49]. На осно-
вании своих измерений он заключил, что наложение постоянного
тока не влияет на тепловые шумы, если элементы, входящие в цепь,
в частности сопротивления, стабильны. Однако иногда применяются
сопротивления, изготовленные из веществ зернистой структуры.
В таких сопротивлениях при прохождении тока возникают дополни-
тельные шумы, действительной причиной которых является скорее
изменение величины сопротивления, чем появление дополнительной
*) Все сказанное в тексте относится к металлическим (линейным) про-
водникам. В кристаллических детекторах тепловые шумы существенно зави-
сят от силы тока. {Прим, ред.)
Тепловые му мы
387
э. д. с. Кроме шумов такого рода, которые могут быть исключены
использованием высококачественных сопротивлений, эксперимент
с очевидностью показывает, что добавление сигнала или постоянного
тока не оказывает никакого влияния на тепловой шум.
г) Цепь, имеющая различную температуру отдельных частей.
Если части электрической цепи находятся при различных температу-
рах, мы можем вычислить э. д. с. шумов каждого сопротивления
при его температуре, а затем воспользоваться тем, что квадратичные
эффекты э. д. с. шумов аддитивны в любом интервале частот. Но
тут возникает новый вопрос: вызывает ли градиент температуры
генерацию дополнительных шумов? Этот вопрос, повидимому, детально
еще не был исследован.
§ 7. Тепловые шумы и сопротивление излучения. Входной
контур радиоприемника всегда связан с антенной. Так как антенна
имеет сопротивление излучения, тепловой шум этого сопротивления
будет существенной частью полных шумов приемника. Поэтому важно
рассмотреть тепловой шум, обязанный сопротивлению излучения ан-
тенны.
Вся трудность нахождения теп-
лового шума сопротивления излу-
чения заключается в трудности
определения эффективной темпе-
ратуры этого сопротивления. Если
антенна окружена удаленной экра-
нирующей оболочкой, имеющей
ту же температуру Т, что и сама
антенна, то, но законам термоди-
намики, температура сопротивле-
ния излучения будет также Т. Од-
нако в действительности антенна
не окружена оболочкой, имеющей
это делает задачу сложной.
Покажем прежде всего, что шумы сопротивления излучения воз-
никают не в антенне, а в окружающем пространстве, из которого
излучение приходит в антенну. Чтобы показать это, рассмотрим иде-
альную антенну, изображенную на фиг. 190. Антенна имеет сопро-
тивление излучения и реактивную часть входного сопротивления, но
не имеет омического сопротивления. Рассмотрим сначала антенну, не
связанную с какой-либо цепью. Если есть ток в антенне (в ее
середине), то мощность, получаемая антенной, равна FaRa, где Ra—
сопротивление излучения, и такую же мощность антенна будет из-
лучать. Антенна, таким образом, не является источником какой-либо
энергии, она просто отражает или рассеивает энергию, приходящую
к ней извне. Если антенна имеет омическое сопротивление, то она со-
держит свободные электроны, движущиеся с столкновениями; в таком
случае она будет генерировать свои собственные тепловые шумы
25*
Фиг. 190. Идеализированная антенна.
одинаковую температуру, и именно
388
Глава IX
интенсивностью ^kTR^kF, но при отсутствии такого омического со-
противления антенна не является непосредственным источником теп-
ловых шумов.
Если антенна связана с входом радиоприемника, то она будет
передавать часть тепловых шумов, получаемых ею из внешнего про-
странства, к приемнику. Мощность передаваемых шумов может быть
определена в предположении, что они создаются источником э. д. с.,
имеющим квадратичный эффект
= 4kTsRA &F,	(9.53)
включенным в импеданс антенны ZA. Средняя температура сопротив-
ления излучения Т8 есть средняя температура окружающего простран-
ства, излучение которого может принимать антенна. При определении
этой средней температуры различные направления имеют разный вес,
пропорциональный эффективности излучения и приема антенны в дан-
ном направлении. Величина Т8 есть, следовательно, некая средняя тем-
пература, зависящая от температуры поверхности земли, эффектив-
ной температуры ионосферы и средней температуры галактики.
Практически невозможно отделить тепловые шумы, обязанные со-
противлению излучения антенны, от других шумов (помех), таких,
например, как атмосферные, космические и индустриальные беспо-
рядочные шумы. Поэтому э. д. с. всех шумов, возникающих в ан-
тенне, исключая шумы, генерируемые ее омическим сопротивлением,
объединяются в некоторую э. д. с. и эффективная температура
сопротивления излучения определяется формулой
тА —	(9
А 4kRAbF *	'
При таком определении ТА есть мера шумливости антенны в дан-
ном месте ее расположения. Она зависит от характеристики направ-
ленности антенны и от длины волны. В полосе частот радиовещания
из-за атмосферных помех 7д много выше комнатной температуры.
На более высоких частотах интенсивность атмосферных помех умень-
шается; ТА уменьшается, но по ряду причин остается значительно
выше комнатной температуры. Среди этих причин — космические
шумы, а в городских условиях, например, шумы от аппаратов для
диатермии1).
1) В последние годы была применена тщательно разработанная остро-
умная аппаратура для нахождения эффективной температуры различных уча-
стков и слоев Солнца посредством измерения излучаемых ими шумов. Были
также проведены исследования излучения Млечного пути. [Относительно
возникшей таким образом новой области науки — радиоастрономии — см,}
например, [86]. {Прим. /?ед.)]
Приложение I1)
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
(Следующая краткая таблица включает главным образом те интегралы,
которые особенно часто использовались в настоящей книге. Более
обширный список интегралов читатель может найти в специальных
справочниках2 * *).)
11	аНй+с=|”(х+^+“г)+с'
2) f ——= arcch ( — 'j-J- C= ln(x4- V x2— a2)-\-C,
' J у х2 — а2	\aJ 1	\ i r > ।
6) f — dx =------------ arccsch ( —) 4- C =
J J x Ya*+x4- a \aj 1
7)	j* sin2 x dx — у — у cos x sin x -}- C — sin 2x C,
8)	J cos2 x dx = y -j- у cos x sin x C = у + sin 2x -j-
f ’inwrntiffrrfj— sinf(/n — n)x]	sin[(m + «)x] ,
9)	J stnmxsmnxdx— ^(m — n)	2(;« + n) +
-j- C (in2^ n2),
10)	f cos mxcosnxrfx^ sM;'»-”)*) + со8 [(т + Я2х]_ +
7 J	2(m — n) 1	2(m-\-n)	1
-J- C (m,2 ф n2),
i) Все логарифмы в этой таблице натуральные.
2) См., например, [74J. Таблица интегралов приведена в сокращен-
ном виде; из таблицы, имеющейся в оригинале, исключены элементарные
общеизвестные формулы. Одно из последующих Приложений, содержащее эле-
ментарные тригонометрические формулы, исключено целиком. (Прим, ред.)
390
Приложение I
Г	ык\(т — п)х]	cos[(^ + n)x] , п
11) J sinznxcos nxdx— 2(т — п)	2(т + п)
12) р"аж^х = у]/Лу,
о
14) /е-°^Мх = ||Л
о
16) $е~ах'х^х = ±,
о
оо	_
13) Г e~axlx* dx = i-1/",
7 J	4 г а3’
о
оо
15) f e~ax'xdx = -^,
о
со
17) fe~ax^dx = y3,
О
18)
ОО
f e~ax\^dx =
о
1 > 3,, .(2Аг — 1)
2&+1
19) e-aa?xik^dx = ~Ti,
о
я
20) i J cos (пф — х sin ф) dy = Jn (х)
о
(если п целое положитель-
ное число, включая нуль),
n
21) — j* sin (x sin sin	=
0
22) J cos (х sin ф) cos пу dv =
о
Jn (х) (если п нечетное положи-
тельное целое),
' (если п четное положи-
0	тельное	целое),
Jn (х) (если п четное положи-
п	тельное	целое),
(если п	нечетное положи-
0	тельное	целое),
23)	Я -j-У cos(xsincp)dy — Jq(x\ 0
24)	co C sin mx .	л 	dx — -^ J X	2 0
25)	Г cos bx . j 2 6 J l+x=^“ ,
26)	=	2’) 0
(если tn положительное целое),
(если b положительное целое),
(если b отрицательное целое).
2к
J ех cos <F d<0 = Z0X.
О
Приложение II
ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ СОПРЯЖЕННЫХ
ПО ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ
-f-OO
G(g) = f FWe&fo.df,
—oo
-i-oo
F(f) = / G^e-^dg,
— oo
to = 2k /
№	F(f)	G(g)	Примечание
1	Fi±F2± ...±Fn	G1^G2±...±Gn	Теорема сложения в гл. IV, § 6
2	kF(f)	kG(g)	
3	e-j (CD -CO0) TL	j (u> — CDU) T2	cos <o0g (Ji<g<T2)	Пример в гл. III, §2
	2j (<0 — ШО)	2J (<I> — <o0)	' e—j (“> + <“») Ti	e—j (w + u>j) To		
	' 2/(<*>-f-a>)0	2/(w f cov)		
4	~ [sin co T + j (cos cd Г — 1)]	К (0<g< T)	Пример в гл. III, §4
5	—7“ ( — “s < ш < <°s)	|{Si[»su- ЛИ- -si [Ms- W	Пример в гл. IV,. § 5, предполагая, что фазовый сдвиг равен нулю
6	It’/2 e~^	_A_ /n	
7	е~*Г	e~ *9*	Частный случай когда k = УН *
8	1 (-/o</<+/o)	1 , o , — sin 2it/0^	Пример в гл. IV, § 18
Приложение III
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Функции Бесселя имеют большое значение во многих отделах
радиотехники. Для читателя, который не знаком с этими функциями,
а также для справок, мы перечислим некоторые их основные свойства
и приведем необходимые формулы.
Функции Бесселя очень похожи на затухающие синусоиды или
косинусоиды. Различные типы функций Бесселя характеризуются раз-
личными индексами, называемыми порядками. Таким образом, Jo (х),
Фиг. 191. Некоторые функции Бесселя первого рода.
J1(x) и J2(x) называются функциями Бесселя нулевого порядка, пер-
вого порядка, второго порядка соответственно. Графики некоторых
функций Бесселя показаны на фиг. 191.
С функциями Бесселя тесно связана группа функций /0(х), ^(х),
/2(х) и т. д., так называемые модифицированные функции Бесселя.
В общей теории показано, что модифицированные функции Бесселя
Функции Бесселя
393:
связаны с обычными функциями Бесселя соотношениями
0>
4(*)=

(2)
Графики некоторых модифицированных функций Бесселя показаны
на фиг. 192.
Фиг. 192. Некоторые модифи-
цированные функции Бесселя
первого рода.
Для теории модуляции очень важны следующие формулы теории
бесселевых функций:
cos (х sin ср) = Jo (х) Ц- 2 [J2 (х) cos 2<р -р Л (х)cos 4ср 4“ • • • L (3)
sin (х sin ср) = 2 [Jj (х) sin ср + J3 (х) sin 3? 4~ А (%) sin 5©	. ],	(4)
cos (х cos ср) = Jo (х) — 2 [ J2 (х) cos 2ср — J4 (х) cos 4ср 4-
4~ Л (х) cos бср — J8 (х) cos 8ср 4~ .. •	(5)
sin (х cos ср) = 2 [Jr (х) cos ср — J3 (х) cos Зср 4~ А (х) cos 5ср —
— J7(x)cos7cp4- ...].	(6)
394
Приложение Ш
Так как ряды (3) —(6) имеют в теории модуляции большое
значение, то мы приводим графики нескольких функций Бесселя
постоянного аргумента и переменного порядка (фиг. 193).
Фиг. 193. Кривые бесселевых функций постоянного аргумента
различных порядков.
Для функций Бесселя целочисленного порядка мы имеем следую-
щие соотношения:
Jn{ — х) = (— 1)'г4(х),	(7)
J.B(X) = (-1)»JB(X),	(8)
тс
Jo (х) = j* cos (х sin о dv),	(9)
о
и если п — положительно,
тс
Jn (х) — ~ J cos (л? — х sin ?)	(Ю)
о
Следствием (3) и (4) является следующее тождество, которым
мы пользовались в гл. IV:
-l-оо
^•®sin?== 2 jk(x)e№ =
к =—оо
4- [J9 (х)	+ J_2 (x) e~^\	(11)
Функции Бесселя
395
Функции Бесселя, подобно тригонометрическим функциям, также
можно разложить в степенные ряды. Именно:
J0(x) = l -	X2	f	X4	.	Х^	. 22	1	22 • 42	22.42 • б2	’	• • • ?	(12)
4W=^(	1—		1	—	. Л 22 - 2 1 2 - 24 - 2 - 3	*	(13)
Лг(х) 2№л!	_	X2	.	Л4	. 22(/г+1) । 2-2‘(« + 1) (и + 2) 1	
। 		(—1)АГ27>	,	I	
‘ />!22Р(л	+ l)(n + 2)...(n+/’)“h,"J’	к1*;
/0(х) = 1 +	v-2	у4	v-6 22 । 22 • 42 * 22 • 42 • б2 ”1" * * * ’	(15)
Л(Х) = |(1	22.2 1	2*24.2.3	1	Г	(16)
4(х) = -^г[1 +	X2	X4	.	1 22 (л + 1) + 2 • 2< (п + 1) (п 4- 2) ' ' •- J	• (17)
Для ^больших аргументов х следующие формулы являются очень хоро-
шим приближением:
4(x) = -^|=|j7cos(x —	Vsin(x~	(18)
где
7 7—1— О2-4”2) (З2 —4п2)	(12^4л2).,.(72-4и2) _ Z1 дл
и ~ 1	2! (8х)2	"1	4! (8х)4	* ‘ ‘ k '
v _ 1 - 4и2 (1 - 4/г2) (з2 - 4/г2) (52 - 4/г2)
V ““ 8х	3! (8х)з	* ‘ ‘ ‘
и
7	' 12-4^ I (12-4и2)(32-4п2)]	2.
4 (х) “ L1 н-----------------------21W--------J •	( }
Для очень больших значений х формулы (18) и (21) принимают
совсем простой вид:
4 (*) = COS (х — -у— -J)	(22)
И
/п(х)=~=.	(23)
У 2тсх
Приложение IV
ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА
ОТ ПОСТОЯННОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА
И ПЕРЕМЕННОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПОРЯДКА!)
р	4(1)	4(2)	4(3)	4 и)	4(5)
0	+ 0,76520	+ 0,22389	— 0,26005	— 0,39714	— 0,17760
1	4- 0,44005	+ 0,57672	+ 0,33906	— 0,06604	— 0,32758
2	+ 0,11490	+ 0,35283	+ 0,48609	+ 0,36413	+ 0,04657
3	+ 0,01956	+ 0,12894	+ 0,30906	+ 0,43017	+ 0,36483
4	+ 0,022477	+ 0,03400	+ 0,13203	+ 0,28113	+ 0,39123
5	+ 0,032498	+ 0,027040	+ 0,04303	+ 0,13208	+ 0,26114
6	+ 0,0*2094	+ 0,021202	+ 0,01139	+ 0,04909	+ 0,13105
7	+ 0.СР1502	+ 0,031749	+ 0,022547	+ 0,01518	+ 0,05338
8	+ 0,079422	+ 0,02218	+ 0,034934	+ 0,024029	+ 0,01841
9	+ 0,085249	+ 0,052492	+ 0,048440	+ 0,033986	+ 0,025520
10	+ 0,092631	+ 0,062515	+ 0,04293	+ 0,031950	+ 0,021468
11	+ 0,0’01198	+ 0,072304	+ 0,031794	+ 0,0*3660	+ 0,033509
12	+ 0,0’25000	+ 0,081933	+ 0,062276	+ 0,056264	+ 0,0*7628
13	+ 0,0’31926	+ 0,091495	+ 0,0’2659	+ 0,069859	+ 0,041521
14	+ 0,015689	+ 0,0’4073	+ 0,082880	+ 0,061436	+ 0,0*2801 i
*) Приложение IV особенно часто использовалось при определении величины полосы частот*
ной и фазовой модуляций.
Таблица функций Бесселя первого рода
397
Продолжение
р	•М6)		^(8)	40)	4(Ю)
0	+ 0,1506	+ 0,3001	+ 0,1717	— 0,09033	— 0,2459
1	— 0,2767	— 0,034683	+ 0,2346	+ 0,2453	+ 0,04347
2	— 0,2429	— 0,3014	— 0,1130	+ 0,1448	+ 0,2546
3	+ 0,1148	— 0,1676	— 0,2911	— 0,1809	+ 0,05838
4	+ 0,3576	+ 0,1578	— 0,1054	— 0,2655	— 0,2196
5	+ 0,3621	+ 0,3479	+ 0,1858	— 0,05504	— 0,2341
6	+ 0,2458	+ 0,3392	+ 0,3376	+ 0,2043	— 0,01446
7	+ 0,1296	+ 0,2336	+ 0,3206	+ 0,3275	+ 0,2167
8	+ 0,05653	+ 0,1280	+ 0,2235	+ 0,3051	+ 0,3179
9	+ 0,02117	+ 0,05892	+ 0,1263	+ 0,2149	+ 0,2919
10	+ 0,026964	+ 0,02354	+ 0,06077	+ 0,1247	+ 0,2075
11	+ 0,022048	+ 0,028335	+ 0,02560	+ 0,06222	+ 0,1231
12	+ 0,035452	+ 0,022656	+ 0,029624	+ 0,02739	+ 0,06337
13	+ 0,031327	+ 0,037702	+ 0,023275	+ 0,01083	+ 0,02897
14	+ 0,042976	+ 0,032052	+ 0,021019	+ 0,023895	+ 0,01196
15	+ 0,036192	+ 0,045059	+ 0,032926	+ 0,021286	+ 0,024508
16	+ 0,031202	+ 0,041161	+ 0,0*7801	+ 0,033933	+ 0,021567
17	+ 0,062187	+ 0,032494	+ 0,0*1942	+ 0,031120	+ 0,035056
18	+ 0,073746	+ 0,065037	+ 0,034538	+ 0,042988	+ 0,031524
19	+ 0,086062	+ 0,079598	+ 0,069992	+ 0,037497	+ 0,0*4315
398
Приложение IV
Продолжение
р	4(П)	4 (12)	4(13)	4(14)	4 (15>
0	— 0,1712	+ 0,04769	+ 0,2069	+ 0,1711	— 0,01422
1	— 0,1768	— 0,2234	— 0,07032	+ 0,1334	+ 0,2051
2	+ 0,1390	— 0,08493	— 0,2177	— 0,1520	+ 0,04157
3	+ 0,2273	+ 0,1951	+ 0,023320	— 0,1768	— 0,1940
4	— 0,01504	+ 0,1825	+ 0,2193	+ 0,07624	— 0,1192
5	— 0,2383	— 0,07347	+ 0,1316	+ 0,2204	+ 0,1305
6	— 0,2016	— 0,2437	— 0,1180	+ 0,08117	+ 0,2061
7	+ 0,01838	— 0,1703	— 0,2406	— 0,1508	+ 0,03446
8	+ 0,2250	+ 0,04510	— 0,1410	— 0,2320	— 0,1740
9	+ 0,3089	+ 0,2304	+ 0,06698	— 0,1143	— 0,2200
10	+ 0,2804	+ 0,3005	+ 0,2338	+ 0,08501	— 0,09007
11	+ 0,2010	+ 0,2704	+ 0,2927	+ 0,2357	+ 0,09995
12	+ 0,1216	+ 0,1953	+ 0,2615	+ 0,2855	+ 0,2367
13	+ 0,06429	+ 0,1201	+ 0,1901	+ 0,2536	+ 0,2787
14	+ 0,03037	+ 0,06504	+ 0,1188	+ 0,1855	+ 0,2464
15	+ 0,01301	+ 0,03161	+ 0,06564	+ 0,1174	+ 0,1813
16	+ 0,025110	+ 0,01399	+ 0,03272	+ 0,06613	+ 0,1162
17	+ 0,021856	+ 0,025698	+ 0,01491	+ 0,03372	+ 0,06653
18	+ 0,036280	+ 0,022152	+ 0,026269	+ 0,01577	+ 0,03463
19	+ 0,031990	+ 0,037590	+ 0,022452	+ 0,026824	+ 0,01657
20	+ 0,045931	+ 0,032512	+ 0,038971	+ 0,022753	+ 0,027360
21	+ 0,041670	+ 0,047839	+ 0,033087	+ 0,021041	+ 0,023054
22	+ 0,04458	+ 0,042315	+ 0,031004	+ 0,033711	+ 0,021190
23	+ 0,04132	+ 0,0*6491	+ 0,043092	+ 0,031251	+ 0,034379
24	+ 0,062738	+ 0,04733	+ 0,0*9060	+ 0,0*4006	+ 0,031527
Таблица функций Бесселя первого рода
399
Продолжение
	Jp (16)	Jp (17)	Jp (18)	Jp (19)	Jp (20)
0	— 0,1749	— 0,1699	— 0,01330	+ 0,1466	+ 0,1670
1	+ 0,09340	— 0,09767	— 0,1880	— 0,1057	+ 0,06683
2	+ 0,1862	+ 0,1584	— 0,027533	— 0,1578 '	— 0,1603
3	— 0,04385	+ 0,1349	+ 0,1863	+ 0,07249	— 0,09890
4	— 0,2026	— 0,1107	+ 0,06964	+ 0,1806	+ 0,1307
5	— 0,05747	— 0,1870	— 0,1554	+ 0,023572	+ 0,1512
6	+ 0,1067	+ 0,037153	— 0,1560	— 0,1788	— 0,05509
।	7	+ 0,1825	+ 0,1875	+ 0,05140	— 0,1165	— 0,1812
8	— 0,027021	+ 0,1537	+ 0,1959	+ 0,09294	— 0,07387
9	— 0,1895	— 0,04286	+ 0,1228	+ 0,1947	+ 0,1251
I	10	— 0,2062	— 0,1991	— 0,07317	+ 0,09155	+ 0,1865
11	— 0,06822	— 0,1914	— 0,2041	— 0,09837	+ 0,06136
12	+ 0,1124	— 0,04857	— 0,1762	— 0,2055	— 0,1190
13	+ 0,2368	+ 0,1228	— 0,03092	— 0,1612	— 0,2041
14	+ 0,2724	+ 0,2364	+ 0,1316	— 0,01507	— 0,1464
15	+ 0,2399	+ 0,2666	+ 0,2356	+ 0,1389	— 0,0*8121
16	+ 0,1775	+ 0,2340	+ 0,2611	+ 0,2345	+ 0,1452
17	+ 0,1150	+ 0,1739	+ 0,2286	+ 0,2559	+ 0,2331
18	+ 0,06685	+ 0,1138	+ 0,1706	+ 0,2235	+ 0,2511
19	+ 0,03544	+ 0,06710	+ 0,1127	+ 0,1676	+ 0,2189
У	20	— 0,01733	+ 0,03619	+ 0,06731	+ 0,1116	+ 0,1647
I	21	. +0,027879	+ 0,01804	+ 0,03686	+ 0,06746	+ 0,1106
и	22	+ 0,023354	+ 0,028380	+ 0,01871	+ 0,03748	+ 0,06758
г	23	+ 0,021343	+ 0,023651	+ 0,028864	+ 0,01934	+ 0,03805
24	+ 0,035087	+ 0,021500	+ 0,023946	+ 0,029331	+ 0,01993.
25 *	+ 0,031828	+ 0,035831	+ 0,021658	+ 0,024237	+ 0,0*9781
26	+ 0,046253	+ 0,032154	+ 0,036607	+ 0,021819	+ 0,024524
27	+ 0,042042	+ 0,047586	+ 0,032504	+ 0,037412	+ 0,0*1981
28	+ 0,056380	+ 0,042553	+ 0,049057	+ 0,032877	+ 0,0*8242
29	+ 0,051912	+ 0,038228	+ 0,043133	+ 0,031066	+ 0,0*3270
400
Приложение IV
Продолжение
р	<р(21)	4(22)	4(23)	4(24)
0	+ 0,03658	— 0,1207	— 0,1624	— 0,05623
1	+ 0,1711	+ 0,1172	=—0,03952	— 0,1540
2	— 0,02028	+ 0,1313	+ 0,1590	+ 0,04339
3	— 0,1750	— 0,09330	+ 0,06717	+ 0,1613
4	— 0,02971	— 0,1568	— 0,1415	— 0,023076
5	+ 0,1637	+ 0,03630	— 0,1164	— 0,1623
6	+ 0,1076	+ 0,1733	+ 0,09086	— 0,06455
7	— 0,1022	+ 0,05820	+ 0,1638	+ 0,1300
8	— 0,1757	— 0,1362	+ 0,028829	+ 0,1404
9	— 0,3175	— 0,1573	— 0,1576	— 0,03643
10	+ 0,1485	+ 0,027547	— 0,1322	— 0,1677
11	+ 0,1732	+ 0,1641	+ 0,04268	— 0,1033
12	+ 0,03293	+ 0,1566	+ 0,1730	+ 0,07299
13	— 0,1353	+ 0,026688	+ 0,1379	+ 0,1763
14	— 0,2008	— 0,1487	— 0,01718	+ 0,1180
15	— 0,1321	— 0,1959	— 0,1588	— 0,03863
16	+ 0,01202	— 0,1185	— 0,1899	— 0,1663
17	+ 0,1505	+ 0,02358	— 0,1055	— 0,1831
18	+ 0,2316	+ 0,1549	+ 0,03402	— 0,09311
19	+ 0,2465	+ 0,2299	+ 0,1587	+ 0,04345
20	+ 0,2145	+ 0,2422	+ 0,2282	+ 0,1619
21	+ 0,1621	+ 0,2105	+ 0,2381	+ 0,2264
22	Н-0,1097	+ 0,1596	+ 0,2067	+ 0,2343
23	+ 0,06767	+ 0,1087	+ 0,1573	+ 0,2031
24	+ 0,03857	+ 0,6773	+ 0,1078	+ 0,1550
25	+ 0,02049	+ 0,03905	' +0,06777	+ 0,1070
26	+ 0,01022	+ 0,02102	+ 0,03949	+ 0,06778
27	+ 0,024806	+ 0,01064	+ 0,02152	+ 0,03990
28	‘ + 0,022143	+ 0,025084	+ 0,01104	+ 0,02200
29	+ 0,039094	+ 0,022307	+ 0,025357	+ 0,01143
30	+ 0,033682	+ 0,039965	+ 0,022470	+ 0,025626
31	+ 0,04427	+ 0,034113	+ 0,021085	+ 0,022633
32	+ 0,045304	+ 0,031626	+ 0,034561	+ 0,021176
33	+ 0,041895	+ 0,04 6171	+ 0,031837	+ 0,035024
34	+ 0,056521	+ 0,042253	+ 0,047110	+ 0,032060
Таблица функций Бесселя первого рода
401
Продолжение
р	/Р(25)	4(26)	4(27)	Jp(28)	4 (29)
0	+ 0,0963	+ 0,1560	+ 0,0727	— 0,0732	— 0,1478
1	— 0,1254	+ 0,0150	+ 0,1366	+ 0,1306	+ 0,0069
2	— 0,1063	— 0,1548	— 0,0626	+ 0,0825	+ 0,1483
3	4- 0,1083	— 0,0389	— 0,1459	— 0,1188	+ 0,0135
4	+ 0,1323	+ 0,1459	+ 0,0302	— 0,1079	— 0,1455
5	— 0,0660	+ 0,0838	+ 0,1548	+ 0,0879	— 0,0537
6	— 0,1587	— 0,1137	+ 0,0271	+ 0,1393	+ ОД 270
7	— 0,0102	— 0,1362	— 0,1428	— 0,0282	+ ОД 062
8	+ 0,1530	+ 0,0403	— 0,1012	— 0,1534	— 0,0757
9	+ 0,1081	+ 0,1610	+ 0,0828	— 0,0595	— 0,1480
10	— 0,0752	+ 0,0712	+ 0,1564	+ 0,1152	— 0,0161
11	— ОД 682	— 0,1063	+ 0,0330	+ 0,1418	+ 0,1369
12	— 0,0729	— 0,1611	— 0,1295	— 0,0038	+ 0,1200
13	+ 0,0983	— 0,0424	— 0,1481	— ОД 450	— 0,0376
14	+ 0,1751	+ 0,1187	— 0,0131	— 0,1309	— 0,1537
15	+ 0,0978	+ 0,1702	+ 0,1345	+ 0,0142	— 0,1108
16	— 0,0577	+ 0,0777	+ 0,1625	+ 0,1461	+ 0,0391
17	— 0,1717	— 0,0745	+ 0,0582	+ 0,1527	+ 0,1539
18	— 0,1758	— 0,1752	— 0,0893	+ 0,0394	+ 0,1414
19	— 0,0814	— 0,1681	— 0,1772	— 0,1021	+ 0,0216
20	+ 0,0520	— 0,0704	— 0,1601	— 0,1779	— 6,1131
21	+ 0,1646	+ 0,0597	— 0,0600	— 0,1521	— ОД 776
22	+ 0,2246	+ 0,1669	+ 0,0668	— 0,0502	— 0,1441
23	+ 0,2306	+ 0,2227	+ 0,1688	+ 0,0732	— 0,0410
24	+ 0,1998	+ 0,2271	+ 0,2209 •	+ 0,1704	+ 0,0790
25	+ 0,1529	+ 0,1966	+ 0,2238	+ 0,2190	+ 0,1718
26	+ 0,1061	+ 0,1510	+ 0,1936	+ 0,2207	+ 0,2172
27	+ 0,06778	+ 0,1053	+ 0,1491	+ 0,1908	+ 0,2176
28	+ 0,04028	+ 0,06776	+ 0,1045	+ 0.1473	+ 0,1881
29	+ 0,02245	+ 0,04063	+ 0,06773	+ ОД 038	+ 0,1456
30	+ 0,01181	+ 0,02288	+ 0,04096	+ 0,06769	+ ОД 030
31	+ 0,025889	+ 0,01217	+ 0,02329	+ 0,04126	+ 0,06763
32	+ 0,022795	+ 0,026147	+ 0,01253	+ 0,02368	+ 0,04155
33	+ 0,021267	+ 0,022957	+ 0,026400	+ 0.01287	+ 0,02405
34	+ 0,0^550	. +0,021360	+ 0,023118	+ 0,026648	+ 0,01320
26 Зак. 2263. С. Гольдман.
402
Приложение IV
Продолжение
р	Jp (30)	4(зп	Jp (32)	Jp (33)
0	— 0,08637	+ 0,05121	+ 0,13808	4- 0,09727
1	— 0,11875	— 0,13302	— 0,02659	+ 0,10062
2	+ 0,07845	— 0,05979	— 0,13974	— 0,09117
3	+ 0,12921	+ 0,12531	+ 0,00912	— 0,11167
4	— 0,05261	+ 0,08404	+ 0,14145	+ 0,07087
5	— 0,14324	— 0,10362	+ 0,02624	+ 0,12885
6	+ 0,00486	— 0,11747	— 0,13325	— 0,03182
7	+ 0,14519	+ 0,05815	— 0,07621	— 0,14042
8	+ 0,06289	+ 0,14373	+ 0,09991	— 0,02775
9	— 0,11164	+ 0,01603	+ 0,12616	+ 0,12697
10	— 0,12988	— 0,13442	— 0,02894	+ 0,09701
И	+ 0,02506	— 0,10276	— 0,14425	— 0,06818
12	+ 0,14825	+ 0,06150	— 0,07023	— 0,14246
13	+ 0,09354	+ 0,15037	+ 0,09158	— 0,03543
14	— 0,06718	+ 0,06462	+ 0,14464	+ 0,11454
15	— 0,15625	— 0,09200	+ 0,03498	+ 0,13262
16	— 0,08907	— 0,15365	— 0,11184	+ 0,00602
17	+ 0,06124	— 0,06661	— 0*14683	— 0,12678
18	+ 0,15848	+ 0,08060	— 0,04416	— 0,13664
19	+ 0,12893	+ 0,16021	+ 0,09715	— 0,02228
20	+ 0,00483	+ 0,11578	+ 0,15952	+ 0,11098
21	— 0,12248	— 0,01081	+ 0,10225	+ 0,15681
22	— 0,17631	— 0,13043	— 0,02531	+ 0,08859
23	— 0,13610	— 0,17431	— 0,13706	— 0,03869
24	— 0,03238	— 0,12823	— 0,17171	— 0,14252
25	+ 0,08429	— 0,02424	— 0,12051	— 0,16861
26	+ 0,17287	+ 0,08914	— 0,01658	— 0,11295
27	+ 0,21535	+ 0,17376	+ 0,09356	— 0,00937
28	+ 0,21476	+ 0,21354	+ 0,17447	+ 0,0976.
29	+ 0,18553	+ 0,21199	+ 0,21176	+ 0,17502
30	+ 0,14394	+ 0,18309	+ 0,20934	+ 0,21000
31	+ 0,10234	+ 0,14237	+ 0,18076	+ 0,20680
32	+ 0,06757	+ 0,10166	+ 0,14087	+ 0,17853
33	+ 0,04181	+ 0,06750	+ 0,10099	+ 0,13944
34	+ 0,02441	+ 0,04205	+ 0,06742	+ 0,10035
35	+ 0,01352	+ 0,02475	+ 0,04228	+ 0,06734
36	+ 0,00713	+ 0,01382	+ 0,02507	+ 0,04250
ЛИТЕРАТУРА1)
1. С ar slaw Н. S., Fourier’s Series and Integrals, London, 1930.
2. Уиттекер E. T., Ватсон Г. H., Курс современного анализа, М. — Л.7 '
1933.	.
3* Привалов И. И., Ряды Фурье, М. — Л., 1934.	J
4* Смирнов В. И., Курс высшей математики, М. — Л., 1948.
5. Guillemin Е. A., Communication Networks, New York, 1935.
6. S о k о I n i k о f f I. S., S о k о 1 n i k о f f E. S., Higher Mathematics for Engine-
ers and Physicists, New York, 1934.
7* К p ы'л о в A. H., Собрание трудов, т. Ill, ч. I, Изд. АН. СССР, 1949.
8. Bush V., Harmonic Analysis, Encyclopedia Brittannica, Изд. 14.
.9. Стр этт Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука, т. I, М. — Л., 1940.
10.	* Мандельштам Л. И., Папалекси Н. Д. и др., Новые исследова-
ния нелинейных колебаний, М. — Л., 1936.
11.	Hartley R. V. L., Proc. Inst. Rad. Eng., 30, 144 (1942).
12.	C a m p b e 11 G. A., F о s t e r R. M., Bell. Teleph. Syst. Mono, B584.
13.	Goldman S., Transformation Calculus and Electrical Transients, New York,
1949.
14*	К о нт о p о в ич M. И., Операционное исчисление и нестационарные явле-
ния в электрических цепях, М. — Л., 1949.
15.	Goldman S., Proc. Inst. Rad. Eng., 27, 725 (1939).
16.	Wheeler H. A., Proc. Inst. Rad. Eng., 27, 359 (1939).
17.	Burrows C. R., Proc. Inst. Rad. Eng., 27, 384 (1939).	xi
18.	Титчмарш E., Введение в теорию интегралов Фурье, М. — Л.,
1948.
19.	Carson J. R., Fry Т. С., Bell. Syst. Techn. Journ., 16, 513 (1937).
20.	Wheeler H. A., Lough ren, Proc. Inst. Rad. Eng., 26, 540 (1938).
21* Майер А. Г., Л еонтович E. А., ДАН СССР, 1, 353 (1934).
22. Ter man F. E., Radio Engineers’ Handbook, New York, 1943.
23. Hund A., Frequency Modulation, New York, 1942.
24* „Справочник по радиотехнике" под редакцией инж. Б. А. Смиренина,
М. —Л., 1950.
25.	* Новаковский С. В., Частотная модуляция, М., 1946.
26.	* Гоноровский И. С., Частотная модуляция и ее применения, М.,
1948.
27.	* Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, М. — Л., 1933.
28.	* Мандельштам Л. И., Полное собрание трудов, т. III. и V, Изд. АН ’
СССР 1950.
29.	Wheeler Н.’а., Proc. Inst. Rad. Eng., 30, 34 (1942).
30.	Aiken С. B., Proc. Inst. Rad. Eng., 21, 601 (1933).
31.	Nyquist H., Trans. Amer. Inst. Electr. Eng., 47, 617 (1928).
32.	Wheeler H. A., Proc. Inst. Rad. Eng., 29, 446 (1941).
33.	Zworykin V. K., Morton G. A., Television, New York, 1946.
34.	Poch W. J., Epstein D. W., Proc. Inst. Rad. Eng., 25, 15 (1937).
9 Звездочками отмечена литература, включенная редактором. {Прим, ред.)
26*
404
Литература
35.	Nyquist Н.» Pfleger К. W., Bell. Syst. Techn. Journ., 19, 63
(1940).
36.	Kell R. D., Fredendall G. L., RCA Rev., 4, 425 (1940).
37.	Kallmann H. E., S p e n g e r R. E., S i n g e г С. P., Proc. Inst. Rad. Eng.,
28, 557 (1940).
38.	Roder H., Electronics, 10, 22 (1937).
39.	Roder H., Proc. Inst. Rad. Eng., 15, 1617 (1927).
40.	Goldman S.. Electronics, 14, 37 (1941).
41.	* С и ф о p о в В. И., Электросвязь, № 3 (1938).
42.	Ja ftе D. L., Proc. Inst. Rad. Eng. 33, 318 (1945).
43.	В own R., Martin L. K, Potter R. K., Proc. Inst. Rad. Eng., 14, 57
(1926).
44.	Potter R. K., Proc. Inst. Rad. Eng., 18, 581 (1930).
45.	Crosby M. G., Proc. Inst. Rad. Eng., 24, 898 (1936).
46.	Crosby M. G., Proc. Inst. Rad. Eng., 29, 398 (1941).
47.	* Изюмов H. M., Импульсные системы многоканальной радиосвязи, М.,
1947.
48.	Armstrong Е. И., Proc. Inst. Rad. Eng., 24, 689 (1936).
49.	M о u 11 i n E. B., Spontaneous Fluctuations of Voltage due to Browian moti-
ons of electricity, short effect, and kinred phenomena, Oxford, 1938.
50.	* Грановский В. Л., Электрические флюктуации, М., 1936.
51.	Potter R. К., Proc. Inst. Rad. Eng., 20, 1512 (1932).
52.	Jansky К. G., Proc. Inst. Rad. Eng., 27, 763 (1939).
53.	Chakravarti, Ghosh and Ghosh, Proc. Inst. Rad. Eng., 27, 780
(1939).
54.	Jan ski K. G., Proc. Inst Rad. Eng., 23, 1158 (1935).
55.	* Вайнштейн Л. А., Сборник научных трудов, вып. XI, Изд. „Совет-
ское радио", 1948.
56.	Herold Е. W., RCA Rev., 4, 324 (1940); Proc. Inst. Rad. Eng., 30, 84 (1942).
57.	Harris W. A., RCA Rev., 5 (1941), 6 (1941).
58.	* Асеев Б. П., Основы радиотехники, M., 1947.
59.	Rice S. О.. Bell. Syst. Techn. Journ., 24 (1945).
60.	Friis H. T., Proc. Inst. Rad. Eng., 32, 419 (1944).
61.	North D. D., RCA Rev., 6 (1942).
62.	Goldman S., Pro;. Inst. Rad. Eng., 36, 584 (1948).
63.	Strutt, Van D er Zi el, Proc. Inst. Rad. Eng., 26, 1011 (1938).
64.	С г о s b у M. G., RCA Rev., 4, 349 (1940).
65.	Фрай T., Теория вероятностей для инженеров, М. — Л., 1934.
ч 66.* Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, М. — Л., 1946.
67*	Гл иве нк о В. И., Курс теории вероятностей, М., 1937.
68.	* Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, М. — Л., 1950.
69.	* Боев Г. П., Теория вероятностей, М — Л., 1950.
S j 70. Ч а н д р а с е к а р С., Стохастические явления в физике и астрономии, М.,
1947.
71.	U s р е n s к у J. V., Introduction to Mathematical Probability, New York,
1937.
72.	Rice S. O., Bell. Syst. Techn. Journ., 23 (1944).
73.	* P ытов С. M., Усп. физ. наук, 29, 147 (1946).
74.	* Рыжик. И.М.,Таблицы интегралов, сумм, рядов, произведений, М. — Л.,
1948.
75.	Schottky, Ann. d. Phys., 57, 541 (1918).
76.	North D. O., RCA Rev., 4, 441 (1940).
77.	Rack A. J., Bell. Syst. Techn. Journ., 17, 592 (1938).
78.	North D. O., RCA Rev., 5, 244 (1940).
79.	North D. O., Proc. Inst. Rad. Eng.. 24, 108 (1936).
80.	Ferris W. R., Proc. Inst. Rad. Eng., 24, 82 (1936).
81.	Llewellyn F. B., Bell. Syst. Techn. Journ., 14, 659 (1935).
Литература	405
82.	North D. О., Ferris W. R., Proc. Inst. Rad. Eng., 29» 49 (1941).
83.	* Тамм И. Е.» Основы теории электричества, М. — Л., 1946.
84.	Bell, Journ. Inst. Electr. Eng., 82, 529 (1938).
85.	* Рыто в С. М., Труды ФИАН, вып. I, 1940.
86.	* Гинзбург В. Л., Усп. физ. наук, 32, 26 (1947); 34, 13 (1948).
87.	Thompson and N о г t h D. D., RCA Rev., 5, 252 (1941).
88.	* Грачев А. А., ДАН СССР, 71, 269 (1950).
89* Горелик Г. С., Изв. АН СССР (сер. физ.), 14, 174 (1950).
90.	* Леонтович М. А., Статистическая физика, М. — Л.» 1944.
91.	* Леонтович М. А., Введение в термодинамику, М. — Л.» 1950.
92.	* Бунимович В. И., ЖТФ, 16, 631 (1946).
93.	* Берштейн И. Л., Изв. АН СССР (сер. физ.), 14, 145 (1950).
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции......................................................... 5
Из предисловия автора....................	.......................... 7
Глава I. Ряды Фурье (Перевод Н. К. Кожиной)......................... 9
§ 1. Введение (9). § 2. Значения коэффициентов Фурье (11).
§ 3. Некоторые примеры разложения в ряды Фурье (13). § 4. Разло-
жение периодических функций в ряды Фурье (16). § 5. Нечетные
и четные функции (16). § 6. Функции, разложение которых содержит
только четные или только нечетные гармоники. Типы симметрии (18).
§ 7. Анализ функции с точки зрения симметрии (22). § 8. Измене-
ние интервала разложения (23). § 9. Комплексная форма разложе-
ния Фурье (27). § 10. Примеры (30). § И. Среднее значение произве-
дения двух функций, выраженное через их коэффициенты Фурье (34)«
§ 12. Сходимость рядов Фурье. Дифференцирование и интегриро-
вание (35). § 13. Гармонический анализ. Явление Гиббса (36).
§ 14. Продолжение обсуждения (38).
Глава П. Радиотехнические применения рядов Фурье (Перевод
Н. К. Кожиной) . ..................................   40
§ 1. Двухполупериодный выпрямитель (40). § 2. Усилитель, работаю-
щий при насыщении (42). § 3. Возникновение гармоник и комбина-
ционных тонов вследствие нелинейности второго порядка (46).
§ 4. Двухтактные усилители (49). § 5. Эффективная сила тока и
потребляемая мощность, выраженные через гармоники (50). § 6. Ли-
нейные и нелинейные искажения (52).
Глава III. Интеграл Фурье (Перевод Н. К. Кожиной).............. 55
§ 1. Происхождение интегральной формулы Фурье (55). § 2. При-
меры частотных распределений (58). § 3. Комплексная форма инте-
грала Фурье. Сопряженные по Фурье (60). § 4. Частотное распре-
деление прямоугольного импульса (63). § 5. Четные и нечетные
функции (65). § 6. Составление таблиц сопряженных по Фурье (68).
Глава IV. Физическая интерпретация и радиотехнические при-
менения разложения в интеграл Фурье (Перевод
С. И. Боровицкого)............................................ 69
§ 1. Введение (69). § 2. Спектральное разложение и селективное
звено (69). § 3. Передача без искажения (70). § 4. Отрицательные
частоты и свойства симметрии характеристик пропускания си-
стемы (72). § 5. Ширина полосы и передача деталей сигнала в видео-
и импульсных усилителях (73). § 6. Прохождение группы сигна-
лов (83). § 7. Ширина полосы и прохождение подробностей сигналов
в видео- и импульсных усилителях. Требования к ширине полосы (85).
§ 8. Ширина полосы и передача подробностей усилителями проме-
жуточной частоты. Случай симметричной полосы (89). § 9. Ширина
полосы и передача подробностей усилителями промежуточной
частоты. Случай асимметричной полосы. Ортогональные компо-
ненты (93). § 10. Случай, когда уровень несущей в отсутствие
сигнала отличен от нуля (101). § 11. Оптимальная (по отношению
дглавЛёние

сигнала к шуму) ширина полосы приемников импульсов (ЮЗ).
§ 12. Интерпретация искажений как спаренных эхо (106). §13. Тео-
рема об энергии интеграла Фурье (ИЗ). § 14. Метод стационарной
фазы (П5). § 15. Примеры на применение метода стационарной
фазы (116). § 16. Распространение сигналов с групповой ско-
ростью (120). §17. Критерии, предъявляемые к фазовым характери-
стикам видео- и импульсных усилителей (121). § 18. Ступенчатая
и импульсная функции (127). § 19. Дальнейшее исследование пар
функций, сопряженных по Фурье (135). § 20. Заключение (142).
Глава V. Модуляция (Перевод А. А. Грачева)....................... 143
§ 1. Амплитудная модуляция (143). §2. Угловая модуляция. Частот-
ная и фазовая модуляции (147). § 3. Одновременная модуляция двумя
и большим числом частот (156). §4. Сложение гармонических колеба-
ний (158). § 5. Сравнение взаимных помех между радиостанциями,
работающими на близких частотах, в случае ЧМ и AM (163). § 6. Сим-
метричное и несимметричное распределения боковых частот (166).
§7. Представление модуляции с помощью векторных диаграмм (180).
§ 8. Исследование взаимных помех с помощью векторной диа-
граммы (183). §9. Помехи от соседнего канала при ЧМ (184). § 10. По-
мехи от соседнего канала при AM (187). § 11. Общие вопросы, свя-
занные с искажениями модуляции (191). § 12. Поднесущие и импульс-
ная модуляция (198). § 13. Общие замечания (199).
Глава VI. Шумы. Общий обзор и методы расчетов (Перевод
Н. М. Забавимой)................................................  202
§ 1. Введение (202). § 2. Общие характеристики хаотического шума
(202). §3. Типы шумов (203). §4. Тепловые шумы (208). § 5. Эквива-
лентность представлений о генераторе тока и генераторе э. д. с. (217).
§6. Дробовой эффект (219). §7. Магнитные шумы (230). § 8. Шумы
приемника (230). §9. Измерения и выходные характеристики шумов
и шумов вместе с сигналом (238). § 10. Оценка шумов. Коэффи-
циент шумов (247). § 11. Шумы на частотах, для которых суще-
ственна входная проводимость лампы (260). § 12. Ослабление шумов
при частотной модуляции (265).
Глава VII. Шумы. Основные математические сведения (Перевод
С. И. Боровицкого).............................................. 281
§ 1.	Перестановки и сочетания — биномиальные коэффициенты (281).
§ 2.	Вероятность (283). § 3. Элементы теории вероятностей (283).
§ 4.	Закон распределения 13ернулли (284). §5. Распределение Пуас-
сона (287). § 6. Распределение Гаусса (290). § 7. Обсуждение фор-
мул распределения (293). §8. Предварительное обсуждение вопроса
о флюктуациях (296). § 9. Сложение двух и более вероятностных
распределений (300). §10. Обобщенная теорема сложения для боль-
ших чисел и непрерывных распределений (303). § 11. Вероятностное
распределение идентичных функций (305). § 12. Сложение случайно
распределенных функций различных видов' (314). § 13. Нормальное
распределение (316). § 14. Хаотические шумы (319). §15. Уменьшение
разброса значений результирующей около среднего значения при
возрастании числа измерений в нормальном распределении (326).
§ 16. Когерентность (327). §17. Огибающая шумов и суммы шумов
и несущей (330). § 18. Линейный и низкочастотный квадратичные
408
Ьглавлениё
эффекты при линейном детектировании (334). § 19. Прохождение через
квадратичное устройство шума и шума с несущей (квадратичное
детектирование) (338). § 20. Связь между дискретными компонен-
тами и сплошным спектром (340). § 21. Общие замечания (344).
Глава VIII* Дробовой эффект {Перевод К. А. Горониной) . . . * . 345
§ 1. Введение (345). § 2. Термоэлектронная эмиссия и влияние
пространственного заряда (345). § 3. Дробовой эффект в диоде
в области насыщения (348). § 4. Уменьшение шумов дробового
эффекта пространственным зарядом (350). § 5. Эквивалентный
генератор тока и шунтирующее действие внутреннего импеданса
(353). § 6. Дробовой эффект в триоде (354). § 7. Дробовой эф-
фект в многосеточных лампах (356). § 8. Дробовой эффект на
^частотах, при которых необходимо учитывать время пролета (361).
§ 9. Флюктуационные шумы магнитного происхождения (369).
Глава IX. Тепловые шумы (Перевод К» А. Горониной)...... 372
§ 1. Два закона термодинамики (372). § 2. Статистическая интер-
претация термодинамических формул (373). § 3. Теорема о равно-
мерном распределении энергии по степеням свободы (374). §4. Тепло-
вые шумы (375). § 5. Вывод формулы Нейквиста для тепловых
шумов (378). § 6. Дальнейшее обсуждение тепловых шумов (384).
§ 7. Тепловые шумы и сопротивление излучения (387).
Приложение I. Таблица интегралов....................... 389
Приложение И. Таблица некоторых сопряженных по Фурье
функций................................................ 391
Приложение III. Функций Бесселя........................ 392
Приложение IV. Таблица функций Бесселя первого рода от постоян-
ного целочисленного аргумента и переменного
целочисленного порядка.................................. 396
Литература............................................. 403
Редактор А. А. Семенов.
Технический редактор Я. А. Печникова.	Корректор А. Ф. Рыбальченко.
Сдано в производство 8/П 1951 г.	Подписано к печати 9/V 1951 г.	А 04228.
Бумага 60х92/1в.=Г2,8 бум. л.	25,6 печ. л.	Уч.-издат. л. 27,1. Изд. № 2/648.
Цена 23 р. Зак. № 2263.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
ОПЕЧАТКИ
Стр.	Строка	Напечатано	Следует читать
77	11 СН.	(влияние заднего края импульса пренебрегается)	(влиянием заднего края импульса пренебрегаются)
145	3 СВ.	контекста	из контекста
152	6 СН.	На фиг 195	На фиг. 193
453	18 сн.	+ COS (4nPt + tfo)	-р A cos (2п77 + То)
Х248	1 сн.	(ENST)	(ENSI)
Зак. 2263.
БЕСПЛАТНЫЕ
УЧЕБНИКИ!
ВРЕМЕН СССР
БОЛЬШАЯ БИБЛИОТЕКА
НА САЙТЕ
«СОВЕТСКОЕ ВРЕМЯ»
sovietime.ru
СКАЧАТЬ