Author: Бородачев Н.А.   Ишлинский А.Ю.   Чудаков Е.А.   Бахвалов С.В.   Андреев В.П.   Астахов К.В.  

Tags: инженерия   машиностроение   энциклопедический справочник   инженерные расчеты  

Year: 1947

Similar

Машиностроение. Энциклопедический справочник. Раздел 1. Инженерные расчёты в машиностроении. Том 1. Книга 2

Машиностроение. Энциклопедический справочник. Том 11

Машиностроение. Энциклопедический справочник. Инженерные расчеты в машиностроении. Том 2

Справочник по инженерной графике

Text 
                    МАШИНОСТРОЕНИЕ
ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ
Председатель Совета и главный редактор
акад. Е. А. ЧУДАКОВ
С. А. АКОПОВ, И. И. АРТОБОЛЕВСКИЙ, Н. С. АЧЕРКАН, И. М. ЕЕСПРОЗВАННЫЙ,
Н. Т. ГУДЦОВ, В. И. ДИКУШИН, А. И. ЕФРЕМОВ. В. К. ЗАПОРОЖЕЦ, А. И. ЗИМИН,
Н. С.КАЗАКОВ, М. В. КИРПИЧЕВ, В. М. КОВАН, Ю. П. КОНЮШАЯ, А. А. ЛИПГАРТ,
В. А. МАЛЫШЕВ, Л. К. МАРТЕНС, Л. М. МАРИЕНБАХ, Г. А. НИКОЛАЕВ, И. А. ОДИНГ
(зам. председателя Редсовета), Е. О. ПАТОН, Л. К. РАМЗИН, Н. Н. РУБЦОВ, М. А. САВЕРИН
(зам. председателя Редсовета), И. И. СЕМЕНЧЕНКО, С. В. СЕРЕНСЕН, К. К. ХРЕНОВ.
М. М. ХРУЩОВ, Н. А. ШАМИН, А. Н. ШЕЛЕСТ, Л. Я- ШУХГАЛЬТЕР (зам. главного редактора),
А. С. ЯКОВЛЕВ
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ИНЖЕНЕРНЫЕ РАСЧЁТЫ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
ТОМ 1
Книга первая
Ответственный редактор
проф., д-р техн. наук М. А. САВЕРИН
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
москва— 1947


ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЧАСТЬ
Зам. начальника издательства Д. М. Польский. Начальник производствен-
ного отдела Машгиза С. А. Соловьев. Зав. производством „Справочника"
М. М. Гельфанд. Техн. редактор Т. Ф. Соколова. Зав. корректорской
С. А. Третьяков, Корректоры Л. А. Стьщко, О. И. Семенова, В. Г. Ма-
тисен. Художник-оформитель А. Л. Бельский. Руководители графич. бюро
Н. Н. Петров, Ф. М. Тихонов. Графики и ксилографы А. М. Тетерин,
А. Ф. Иваницкая, В. С. Киреева, М. И. Серебренников, С. М. Лотохин.
Полиграфические работы выполнены в 1-й типографии Машгиза. Директор
типографии Н. И. Панин. Зав. производством Л. О. Машгиза Я. И. Лебедев.
Зав. производством типографии Н. С. Кондрат. Набор • и верстка
произведены под руководством \И. М. Жабрева \, технолога О. Я- Васина
и бригадира верстальщиков М.Г. Петрова. Печатью руководили М.П. Седов
и технолог С. М. Сундаков. Брошировочно-переплетные работы выполнялись
под руководством И. И. Смирнова. Тиснением руководила Д. Г. Белова.
Матрицы и стереотипы изготовлены под руководством К. Н. Дементьева.
Типографская корректура проведена под руководством Е. А. Беляйкина
Бумага фабрики им. Володарского. Ледерин Щелковской фабрики. Картон
Калининской фабрики. Шрифт изготовлен на 1-м и 2-м шрифтолитейных
заводах.
I и том сдан в производство 2/1—7/1II 1946 г. Подписан к печати 27/1111947 г.
А04497. Закач 1701. Бумага 70xl08Vie-y4.-H3fl. листов 72. Печатных листов 343/4.
Тираж 50000. 1-й завод 1- 25000.
Адрес типографии: Ленинград, ул. Моисеенко, д. 10.


АВТОРЫ ТОМА
В. П. АНДРЕЕВ, доц., К. В. АСТАХОВ, С. В. БАХВАЛОВ, проф., д-р физ.-мат.
наук, Н. А. БОРОДАЧЕВ," д-р техн, наук, А. Ю. ИШЛИНСКИЙ, проф., д-р
физ.-мат. наук, К. Б. КАРАНДЕЕВ, проф., М. В. КЕЛДЫШ, акад., Н. А. КУТЫРИН,
доц., канд. техн. наук, В. Н. ПРОКОФЬЕВ, доц., канд. техн. наук, Ю. Н. РА-
БОТНОВ, проф., д-р физ.-мат. наук, Л. П. СМИРНОВ, доц., канд. физ.-мат. наук,
Б. М. 1ДИГОЛЕВ, проф.
НАУЧНЫЕ РЕДАКТОРЫ
БЛИЗНЯНСКИЙ А. С., инж. (терминология и обозначения), ИШЛИНСКИЙ А. Ю., проф., д-р физ.-
мат. наук (гл. I), КУКОЛЕВСКИЙ И. И., проф., д-р техн. наук (гл. IV), ПОПОВ В. К., проф., д-р
.техн. наук (гл. VI).
Редактор графических материалов инж. В. Г. КАРГАНОВ
*
Редактор-организатор тома Б. А. ЛАДЫЖЕНСКАЯ
*
Зав. редакцией А. Н. КЛУШИНА
Адрес редакции: Москва, Третьяковский пр., д. 1, Машгиз.
Главная редакция Энциклопедического справочника „Машиностроение".


От Редакционного совета и Главной редак-
ции .................... V
От редактора первого тома ......... VII
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ .....
Глава I. МАТЕМАТИКА ..........
Сведения о размерах фигур и тел (проф.,
д-р физ:-мат. наук А. Ю. Ишлпнскип) .
Приближённые вычисления (А. Ю. Ишлин-
ский) ...................
Алгебра и решение уравнений (Л. Ю. Ишлин-
ский) ....................
Трансцендентные функции и специальные по-
линомы (Л. Ю. Ишлинский) .......
Тригонометрия (Л. Ю. ИшаинскиП) .....
Диференциальное исчисление (доц., канд.
физ.-мат. наук Л. П. Смирнов) ....
Интегральное исчисление (Л. П. Смирнов) .
Функции комплексного переменного (акад.
М. В. Келдыш) ..............
Векторный анализ (Л. Ю. Ишлинский) . . .
Аналитическая геометрия (проф., д-р физ.-
мат. наук С. В. Бахвчлов) ........
Диференцйальная геометрия (С. В. Бахва-
лов) ....................
Д"ференциальные уравнения в обыкновен-
ных производных (Л. П. Смирнов) ....
Диференциальные уравнения в частных произ-
водных (проф., д-р физ.-мат. наук Ю. Н.
Работное) ................
Вариационное исчисление (Л. Ю. Ишлин-
ский) ...................
Разностное исчисление (Ю. Н. Работное) . .
Интегральные уравнения (Ю. Н. Работное)
Ряды функций (Л. Ю. Ишлинский) ....
Номография (Ю. Н. Работное) .......
Сведения из теории вероятностей (д-р техн.
наук Н. А. Бородачев и проф. Б. М.
Щаголев) .................
Обработка опытных данных и способ наи-
меньших квадратов Н. А. Бородачев и
Б. М Щаголев ..............
Глава II. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ И
ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ (проф. К. Б.
Карандеев) ........... .....
Единицы измерений ...........
Переводные таблицы ..........
1
103
103
106
111
130
142
146
158
185
190
193
210
221
242
251
253
253
262
271
279
300
322
322
323
Тлава III. ХИМИЯ (К. В. Астахов) .... 337
Неорганическая химия ........... 337
•Физическая (теоретическая) химия ..... 368
Глава IV. ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ (доц., канд. техн.
наук В. Н. Прокофьев).......... 381
Свойства жидкостей и газов ........ 381
Вязкость .................. 382
Гидростатика несжимаемых жидкостей . . . 385
Аэростатика ................. 386
Плавание в жидкости ............ 387
Плавание в сжимаемой среде ........ 388
Элементы гидродинамики .......... 389
Динамическое подобие и принципы модель-
ных испытаний ......... ..... 392
Уравнение Бернулли ............ 394
Элементы газовой динамики ......... 395
Истечение ......... ......... 398
Водосливы .................. 400
Трубопроводы ................ 401
Измерение расходов в трубах ........ 408
Нормальные сопла и диафрагмы ...... 409
Гидравлический удар ............ 414
Местные сопротивления ........... 416
Равномерное движение в открытых руслах . 418
Неравномерное установившееся движение
в открытых руслах ............ 420
Гидрометрия ................ 421
Еолны .................... 423
Волновое сопротивление .......... 423
Гидравлика грунтовых вод ......... 423
Ветер и ветрометрия ............ 424
Реакция струи на стенку ........... 425
Пограничный слой и турбулентность .... 426
Аэродинамические характеристики ..... 427
Крыло .................... 428
Полипланы ................. 430
Подводное крыло .............. 430
Глава V. ТЕПЛОТА (доц., канд. техн. наук
Н. А. Кутырин) ............. 432
Общие тепловые свойства тел ....... 432
Основные законы термодинамики ...... 452
•Газы ..................... 455
Водяной пар ............ ...... 469
Теплопередача ................. 482
Течение газов и паров по трубам, истечение
из резервуаров .............. 505
Глава VI. ЭЛЕКТРОТЕХНИКА (доц. В. П.
Андреев) ................. 513
Основные сведения из электротехники . . . 513
Цепь переменного тока ........... 519
Электрические измерения .......... 522
Машины постоянного тока ......... 527
Машины переменного тока ......... 533
Ионно-электронная аппаратура ....... 541


ОТ РЕДАКЦИОННОГО СОВЕТА И ГЛАВНОЙ
РЕДАКЦИИ ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКОГО СПРАВОЧНИКА
„МАШИНОСТРОЕНИЕ"
Энциклопедический справочник „Машиностроение" выпускается во исполнение
постановления Совета Народных Комиссаров Союза ССР от 5 марта 1944 г. № 240
с целью „систематизации и распространения передового отечественного опыта
и достижений новейшей иностранной техники в области машиностроения,
а также воспогнения недостатка в специальной технической литературе".
„Справочник" должен оказывать помощь в работе конструкторам и технологам,
научным деятелям и заводским специалистам, студентам, профессорско-педагогиче-
скому персоналу и другим работникам советского машиностроения.
Структура и проспект издания „Справочника" рассмотрены и утверждены Редак-
ционным советом с учётом рекомендаций и пожеланий, полученных от министерств,
заводов, научно-исследовательских институтов и проектных организаций машино-
строительной промышленности.
Содержание „Справочника" распределяется по следующим пяти разделам,
охватывающим всю совокупность научно-технических и производственных вопро-
сов современного машиностроения:
первый — „Инженерные расчёты в машиностроении";
второй —„Материалы машиностроения";
третий —„Технология производства машин";
четвёртый — „Конструирование машин";
пятый — „Проектирование машиностроительных заводов и организация произ-
водства".
Особенностью „Справочника" является комплексный характер поме-
щаемых в нём сведений. Отдельные тома '„Справочника" находятся во взаимной
связи, непосредственно дополняя друг друга; Эту взаимосвязь должен учитывать
читатель при пользовании „Справочником". Например, конструктор найдёт необ-
ходимые ему сведения не только в томах четвёртого раздела, непосредственно
посвящённых конструированию машин, но также в томах первого раздела, где
сосредоточены все данные по инженерным (прочностным, кинематическим, тепло-
техническим и иным) расчётам, выполняемым при крнструировании машин, либо
в томах второго раздела, содержащих сведения о свойствах и характеристиках
современных машиностроительных материалов. Технолог должен пользоваться
не только томами третьего раздела, непосредственно посвящёнными технологии
производства машин, но также и томами всех других разделов. В первом разделе он
найдёт сведения из области математики, химии, электротехники и других наук, не-


VI ОТ РЕДАКЦИОННОГО СОВЕТА
обходимые для расчёта и обоснования технологических процессов. Во втором — со-
держатся нужные технологу данные о поведении материалов при термической
обработке и пластической деформации, а также приводятся технологические
свойства (обрабатываемость, свариваемость и т. д.) этих материалов. В четвёртом
разделе имеются сведения о конструировании и эксплоатационных характеристи-
ках литейных и кузнечных машин, металлорежущих станков, сварочного и иного
заводского оборудования. Наконец, в томах пятого раздела технолог найдёт ука-
зания по проектированию машиностроительных заводов и организации производства.
Имеющиеся в „Справочнике" внутренние ссылки на материалы других томов
и глав должны помочь читателю ориентироваться в размещении справочных све-
дений и материалов.
Этой же цели служат предметные указатели, помещённые в следующих томах:
втором (по содержанию первого раздела), третьем (по содержанию второго
раздела), седьмом (по содержанию третьего раздела), десятом (по содержа-
нию первой части четвёртого раздела), тринадцатом (по содержанию второй
ч-асти четвёртого раздела), пятнадцатом (по содержанию пятого раздела).
В процессе работы над „Справочником" авторы и редакторы стремились отразить
накопленный советским машиностроением в годы сталинских пятилеток и Вели-
кой Отечественной войны передовой опыт: практику ведущих заводов, результаты
работ научно-исследовательских институтов и заводских лабораторий, проектно-
конструкторские и иные разработки. Значительное внимание было уделено также
критическому отбору иностранных достижений в области машиностроения.
Формирование материалов „Справочника" в большинстве случаев сопрово-
ждалось обобщением многогранного опыта советских машиностроителей.
К созданию „Справочника" были привлечены высококвалифицированные авторы—
специалисты из разнообразных отраслей машиностроения и различных областей
машиностроительной техники. Работа авторов протекала в соответствии с пред-
варительно утверждёнными Главной редакцией планами отдельных глав и статей.
Представленные авторами рукописи проходили тщательное рецензирование,
имевшее целью всестороннюю выверку и корректирование работ, насыщение их
дополнительными сведениями, почему-либо не попавшими первоначально в поле
зрения автора. В связи с тем большим значением, которое придавалось получению
развёрнутых отзывов по материалам „Справочника", к рецензированию были при-
влечены виднейшие практические работники (в первую очередь производствен-
ники), имена которых указаны в предисловиях к соответствующим томам.
Следующий этап в работе над рукописями „Справочника" был посвящён их
редактированию. В задачу редакторов входило не только повышение науч-
ного уровня рукописей на основе но*вейших данных и полученных отзывов, но
также подготовка рукописей и графических материалов к воспроизведению.
В работе над „Справочником" на всех этапах составления и редактирования
рукописей принимали участие многие ведущие научно-технические и производ-
ственные работники. Весь коллектив был объединён одним стремлением — полнее
осветить опыт, накопленный в период сталинских пятилеток, в годы Отечествен-
ной войны, и создать „Справочник", стоящий на уровне великих задач советского
машиностроения.
Работая над обширными материалами „Справочника", коллектив ощущал
постоянную помощь и поддержку со стороны Советского Правительства, которое
ещё в годы Великой Отечественной войны, среди множества дел по организации


ОТ РЕДАКТОРА ПЕРВОГО ТОМА VII
разгрома ненавистного врага, нашло время для рассмотрения мероприятий, свя-
занных с изданием энциклопедического справочника по машиностроению.
Главная редакция обращается с просьбой ко всем читателям направлять все
свои замечания и пожелания по адресу Главной редакции для использования их
в дальнейшей работе над материалами „Справочника".
Председатель .Редакционного совета
и главный редактор
академик Е. ЧУДАКОВ
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРВОГО ТОМА
Первый том Энциклопедического справочника „Машиностроение" является
одним из двух томов первого раздела, посвящённого инженерным расчётам.
В первый раздел включены сведения, которые в той или иной мере являются
общими для всех отраслей инженерной работы машиностроителей.
Из соображений удобства пользования „Справочником" первый том разбит
на две книги. В настоящей первой книге приведены справочные материалы по
математике, единицам измерения, химии, технической механике жидкостей и газов,
теплоте и электротехнике.
Значительное внимание при формировании настоящего тома уделено главе
„Математика". Математика является одним из краеугольных камней, на ко-
тором базируются все инженерные науки. Технические расчёты в современном
машиностроении, исследования и измерения, постановка экспериментов и обра-
ботка результатов требуют широкого использования математических методов.
В соответствии со сказанным, в томе дано полное изложение сведений, формул
и приёмов вычислений, относящихся к математическим дисциплинам, имеющим
прикладное значение. В „Справочнике", в частности, освещены приближённые ме-
тоды решения алгебраических и диференциальных уравнений. Значительное место
уделено теории вероятностей и способам математической обработки результатов
наблюдений. Математические таблицы даны с подробностью и числом
знаков, достаточным для большинства технических расчётов. Некоторые из ма-
тематических таблиц (четвёртые и пятые степени чисел, функции Бесселя и др.)
появляются в справочных пособиях впервые.
Помещённые в настоящем томе краткие сведения из химии определяются той
значительной ролью, которую в настоящий момент играют химические науки в
металловедении, в производственно-технологических расчётах, а также в рабочих
процессах различных машин. Глава „Химия* включает лишь краткие сведения
о свойствах химических элементов и их важнейших соединений. Приведённые
здесь числовые значения атомных весов, температур кипения и плавления, плот-
ностей элементов в свободном виде и др. заимствованы из последних таблиц,
опубликованных соответствующими исследовательскими (отечественными и между-
народными) организациями.
Учитывая широкое применение, которое за последнее время получила фи-
зическая (теоретическая) химия в различных областях технологии металлов и их
сплавов, в главу „Химия" включена специальная статья, посвящённая справочным


VIII
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРВОГО ТОМА
данным из химической термодинамики. Рассмотрение сплавов как физико-хи-
мических систем, принятое в современной металлографии, побудило ввести
в состав данной главы также и элементарные сведения по термодинамической
теории растворов.
При пользовании настоящей главой читатель должен иметь в виду, что многие
сведения из области химии отражены и в других томах „Справочника". Так, во-
просы химического и структурного анализа освещены в главах, посвящённых
испытанию материалов (том 3), вопросы электрохимии рассматриваются в их
практическом приложении к технологии металлопокрытий (том 7) и т. д.
Глава „Теплота" является вводной к весьма обширным материалам из
области теплового расчёта, посвящённым конструированию двигателей внутрен-
него сгорания, паровых котлов, турбин и другого энергетического оборудования
и приведённым в других томах (преимущественно в тт. 11,12 и 13) „Справочника".
Глава „Техническая механика жидкостей* и га^зов" содержит
необходимые машиностроителю основные справочные сведения из данной области,
непосредственно увязанные с содержанием главы „Гидравлические машины", вхо-
дящей в состав т. 12. Многие вопросы гидравлики, с которыми сталкивается
инженер-гидротехник, например, гидравлика открытых водосливов и т. п.,
затронуты весьма кратко, лишь в той мере, которая может представить интерес
для машиностроителя при определении больших расходов.
Последняя глава настоящей книги—„Электротехника" — содержит све-
дения из области основ электротехники, электротехнических измерений, электро-
оборудования и ионно-электронной аппаратуры. Необходимо иметь в виду,
что, наряду с данной главой, имеющей общий и вводный характер, другие тома
„Справочника', посвящённые конструированию машин, содержат дополнительные
материалы по электрооборудованию. В частности, в т. 8 предусмотрена глава
„Электропривод машин', а в тт. 8, 9 и других — ряд статей по специальному
электрооборудованию различных машин-орудий (например, по электроприводу
прокатного оборудования, кузнечно-прессовых машин, подъёмно-транспортных ме-
ханизмов, металлорежущих станков и т. д.). Справочные сведения по расчёту за-
водских электрических сетей приведены в т. 14, посвящённом проектированию
машиностроительных заводов.
Значительная помощь была оказана авторам и редакции со стороны лиц, при-
влечённых для рецензирования отдельных глав и статей, их программ, структуры
и содержания.
За проведённую в этой области работу Редакция выражает благодарность сле-
дующим лицам: проф., д-ру техн. наук Н. С. Ачеркану; проф., д-ру техн. наук
Н. А. Глаголеву, доц., канд. физ.-мат. наук К. А. Семендяеву; проф.,'д-ру
физ.-мат. наук В. В. Степанову; инж Н. А. Талицких (гл. I); акад. А. А. Бочвару;
проф., д-ру хим. наук Ф. К. Герке; ст. научи, сотр. А. П. Смирягину (гл. III);
проф., д-ру техн. наук Н. В. Иноземцеву; акад. /И. В. Кирпичеву (гл. IV); проф.,
д-ру техн. наук И, И. Куколевскому (гл. V); канд. техн. наук М. А. Перекалину
(гл. VI).
М. Саверин


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Таблаца I. СТЕПЕНИ, КОРНИ И ОБРАТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1,00-1,50
л
1,00
,01
,02
,03
,04
I>°5
,06
,07
,08
,09
1,10
,11
,12
,13
.14
US
,16
,17
.18
,19
1,20
,21
,22
^З
,24
1,25
,26
,27
,28
,29
,31
,32
,33
.34
i,35
,36
,37
,38
-39
1,40
,42
,44
' i О
-44
'45
-46
47
48
-49
1,50
Vn
1,0000
,0050
,0100
,0149
,0198
1,0247
,0296
,0344
,0392
,0440
1,0488
-0536
,0583
,0630
,0677
1,0724
,0770
,0817
,0863
,0909
1,0954.6
,1000
-1045 1
,1091 4
.пзб^5.
44
i,ii8o
>I225 2
,1269 44
•I3I4 !!
,I4S8
' -30 44
'л^б44
-1489 f.
44.
,1533 43
-IS?6
-o/ 43
1,1619
,1662 43
-T7°54
,1747
4-3
'T79042
1,1832
'i8i642
,1958
,2000 ^
42
1,2042
,2083 4*
,2124 4
,2166 ^
,2207 4I
40
1,2247
VlQn
3,l62
Д78
Д94
,209
,225
3,240
,256
,271
,286
" ,3°2
3.317
,33^
,347
,362
-376
3,39i
,406
,421
,435
,45°
3464
-479 J
,493 4
-5°7 4
,421 4
0 15
3 536
'55° z ,
,S64
n 14
'578,;
-592 I4
3-6o6 ig
633 *4
-647;j
' 1 13
3,674 14
I?;:
[728 ;з
3,742
,755 „
,768 I3
,782 I4
13
-795 I3
3-8o8
,821 3
,834 I3
,847 I3
,860 13
13
3.873
s
Vn
1,0000
,0033
,0066
,0099
,0132
1,0164
,0196
,0^28
0260
0291
1,0323
,0354
,0385
,0416
,0446
1,0477
.0507
-0537
.0567
.0597
1,0627
,0656^
,0685 29
,0714s9
,0743 ^
' 29
1,0772
SkJ28
,0858 2
,0886s8
28
1,0914 28
,0942
,0970 2
,0997 2
,1025 a_
1,1052
27
,I079 ;
,1106 '
•«33^
,ii6o-7
27
1,1187
,1213я6
'T24°^
,1266s6
,1292 ^
27 1
I>I3T92,
Д344 J
',1422 *
1,1447
3 __
V 10/z
i
2,154
,162
,369
,176
,183
2,190
,197
,204
,210
,217
2,224
,231
,237
,244
,251
2,257
,264
,270
,277
,283
2,289
,296 7
,302 6
'315б
2,321 6
,327 6
,333 6
-339 6
,345 6
2-35i
-357 6
!з75б
2>38i 6
,387 6
,393 6
,399.
,404 6
2,410 6
,422
,427 ^
О
,433,
2,438 6
,444 6
,440
г
$1
2,466
3
Г100/1
4,642
,657
,672
,688
,703
4,7i8
.733
,747
,762
,777
4-791
,806
,820
,835
,849
4,863
,877
,891
,905
,919
4,932
,946 4
,960 4
,973 J3
4.987 4
^y 13
5,000
,013 3
,027 I4
,040 13
14
.053 x3
5,066
13
,002 13
TO
,104 12
,117 гз
13
5,i3o
Д43 2
ЗЗ*
,i8o12
12
5Д92
,205 I3
,217 12
,229 I2
J3
5-254 „
,266 12
,278 12
'29°ii
12
5>3T3
л''
1,000
I,O2O
1,040
I, Об I
1,082
1,102
1,124
1Д45
1,166
1,188
1,210
1,232
1,254
1,277
1,300
1,322
1,346
1,369
1,392
T,4l6
1,440
I.46424
i,48824
1.513^
1,538 э
'^ 24
1,562
1,588
i,6i32;>
1>6з825
x'664 2б
I j'TlD
I пи 2
i^i
l,8222g
i,85o2
1.9042
1'93228
1,960
I.98828
2!oi628
2,045 ^
2,074^
2ДО2
2,I323°
2,l6l ^
2Д9О ^
2,220 3°
30
2,250
л"
i
I.OOO
1,030
1,061
1,093
1,125
I.IS8
1Д91
1,225
I,26o
1,295
1,331
1,368
1,405
i,443
1,482
1,521
1,561
1,602
1,643
1,685
1,728
I.77244
1,8Гб44
i,86i 45
1,907 *
40
J.953 ._
2,000 47
2,048 48
2,097 49
2Д47 5°
^ 5°
2Д97
2,248 5I
2,300 J
2,406 53
54
2,460
2,515^
2,571 „
2,628 11
2,686 58
58
2,744 „
2,803 5:
2,863^°
2-924.
2>986j
3,049 ,
3,112 3
ЗД77 ^
6*.
3-242,5
3-308 ^
3-375
Л4
j
1,000
1,041
1,032
1,126
1,170
I,2l6
1,262
1,311
I,360
1,412
1,464
i!si8
1,574
1,630
1,689
1,749
1,8 1 1
i,874
i,939
2,005
2074
2Д44 H
2,215
2,289 74
2,464 75
* * 77
2,441
2,520 /y
2,6OI 8l
2,684 83
2,769 f7
2>856 «o
2,945 ^
3,129 93
3,224 g
3'322 go
3,421 "
3,523 J02
3,627 
3,733 j*
3,842
3,953;;:
4,066 
4,182 ll6
4,300 II8
121
4421
4,544 I23
4,669 I25
4,798 I29
4,929 3I
133
5,062
/;5
1,OOO
1,051
1,1O4
1Д59
1,217
1,276
1.338
1,403
1,469
1.539
1,611
1,685
1,762
1,842
1,925
2,011
2,IOO
2,192
2,288
2,386
2,488
2,594 Io6
2,703 109
2,815 II2
2,942 II?
У° 120
3,052
3,176
3,304
3,436 I3^
3'572 *,
3.713 _.„
3.858 4=
4,007 I49
4.162 ;^
4,320 j4
4.484 -
4»о^ч^
1ТЧ
s'oo" I79
5>1 9j8Q
5-378
-'S2-
э-774 ^^
5-98o ^
6,192 2I2
^ 218
6,410
6^864 23°
™4 i
7-594
i
n
1 ,0000
0,9901
,9804
,9709
,9615
0,9524
.9434
.9346
.9259
,9 '74
0,9091
,9009
,8929
,8850
,8772
0,8696
,862 r
,8547
,8475
,8403
0,8333
,8264 ^
'8I97^
^8065 f
°5
O,8OOO
,7937 ?
,7874 2
•78l26c
'7752 &
0,7692 58
'75?657
,751956
-746356
0,7407
,7353 54
,7299s4
,7246 S3
,7194^
0-7 43
,7092 5I
,7042 5°
,699349
,6944 49
0,6897 .
,6849 4*
,6803 4^
!б7 1 1 4б
44
0,6667


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
1,50—2,00
П
1-5°
О1
62
-53
•54
i.55
об
•57
-58
-59
i,6o
.61
,62
,63
,64
1,65
.66
-67
,68
,69
1.70
.71
.72
.73
.74
1-75
.76
.77
.78
.79
1,80
.81
.82
,83
,84
1.85
,86
,87
,88
,89
1.90
.91
.92
.93
,94
Ь95
.96
.97
,98
,99
2,00
/F
1,2247
,2288 4I
,2329 4I
,2369::
,24.10 4
40
1.2450 '
,2490 4
•25з°:
'257° I
,2610 4°
39
1,2649
,2689 4°
,2728 39
,2767 »
,2806 ^
39
1,2845
,2884 S9
QQ
,2923 Л*
,2961 38
,3OOO 39
° 38
I'3«38qo
,3077 dy
48
,31155
,3153^
0 OC5 ^
,3191 ^
0 y 38
1,3229
,3266 37
48
,4304 ^
00 4- ^
,3342 ^
ЭТ
,3379 f;
o/
1,3416
48
'3454эт
,3491 37
,3528 эт
'*J»J ,._
,3565 37
,35 o^
1,3601
.ЗбзЗ37
,3675
37 1?36
•3748»
i,3784 .
,3820s0
3856^
3892 Зб
'О -?Л «Л
,3928^
1-3964ч6
,4ооо 6
,403636
ч1;
,407 if?
чб
,4107^
4 35
1,4142
Т^Юл
3-873 „
,886 13
,899 13
,912 13
,924 "
•у-т13
3,937
,9 so d
962 Ia
•975;2
3,987
13
4,ооо
,012 12
,025 13
,037 "
14
•°5°12
4,об2
,074 I2
,087 13
,099 "
,iii12
12
4-123
12
,I3S
°° 12
,147
«9°
Д71
12
4-183
12
.195 2
,207
,219 12
-2з<;:
4>243„
,2=;4
,266"
,278 12
,2901а
II
4-Зот то
,313
и
,324
,336 "
и
.347;;
4-359 „
,370
JL-
,393
12
,405 „
44i6
,427"
'438"
.450 а
.461 "
и
4>472
>Vn
1,1447 ,
'1473«
Д49825
,1523 5
Д548 1
1Д573,С
J59825
,1б2325
,i6472*
,1672 25
24
1,1696
,1720 24
'17<
'176С
^793^
1,т8т7
,1840я3
,i86424
,i88824
,1911 23
24
IJ93524
,1958 23
,ic8i23
,2005 24
,2028 23
23
1,2051
21
,2074
,2096 аа
,2119 ^
,2142 23
22
I,2l64
,2l87 23
,22О9 ^
,223223
'2254 ^
1,227б
,2298 2а
,2320 22
00
,2342"
,2364-
1,2386
,2407 2*
,2429
,2450 2I
,2472-
1,2493 „
,2515 22
,2536 2
•25572
'2578:;
1,2599
3
V\0n
2,466
,472
ч
,477^
,483 *
,488 5
^ 5
2,493 6
,499,
,5°4
ч,
,509 *
,515 5
2,520
,525 .
,S3°D
>оо
,535'
'54'5
2.S46
,55' '
'55б5
•5б «!
,56б5
2>57Ь
,576 =
.581 5
,586 5
.591 !
О
2,596
,6ог5
,6о65
,6ii5
,616 5
5
2,621
,б2б5
.630*
,635*
,64о5
2,645 .
•65°!
,654'
,659*
,6645
4
2,668
,673*
,678 5
,682 4
,687 5
2,692
,696 4
,?l5
,705*
,710
4
2,714
V ibo/z
5'ЗТ312
•325 2
,337 2
,348 "
&::
5-372
,383
«- "
,39о „
,406 XI
,4i812
^ ii
5-429
II
,44°
Т- г "
,4~»1
ИЗ'2
, "
.4/4 „
5-485 „
,496
_ и
,SO7
•5'в;;
,529
'° ^и
5,^4°
°°^ 10
,550
,561
•57а"
•58з;:
5-593 „
,6о4 "
,615"
,б25 ;°
•бз6;:
5.646
'657 о
,667
,677 10
,688 "
IO
5,698
,708'°
,7i810
,729"
-739;:
5-749
,759 °
'7б9
,779 °
•789::
5-799 то
,8о9го
,8i9 10
,828 9
,838-
5-848
"'
2,2 ад
2,280 5°
2-3-of;
2-341 3t
2,372^
2,4О2
2,434 J
2,405 3
2,49б31
2,528 32
° 32
2,560
2.59232
2,б24 32
2.657 f
2,690 33
32
2,722
2.75634
2,78933
2,822 Э3
2.85634
34
2,890
2,924 34
2,958 34
0=
2,993 *
3,028 35
34
3,о52
З'°98з?
З-'ЗЗ .
3.168 5
3,204 36
3'242зб
3.2763
3,3 12 3
3-349 *L
3,386 я
3-422
° ', ^Я
3,460 зв
3-497 37
3634 37
3,572 6
JO/ 3g
3-бто
? 0 48
3,648 г:
3,686 з8
" on
3,725
i&5
3-802
3-842 4°
3,881 39
3,920 ^9
3,9бО 4
4°
4.ООО
п>
3.37S
68
3-443 "
3-5'2 2
3-582 7°
3,652 J
З'724 „
3-796 2
3,87о 74
3-944 7J
4,020 7б
7б
4-°9б
4- '73 77
4-252 79
70
4'33r so
4'4il S
4'492 8а
4-574 Ц
4-Ь57 !?
4-742 8е
4'827 ?
во
4-913 „
5,ооо 87
5,о88 ю
5-178 *
5,268 9°
0 91
5.359
S452 93
.-,- 93
эо4о п.
5.640 9з
5.735 »
5'832 ,8
S,Q3O ^
9 00
6,029 W
6,128 99
6,230 102
102
6,332
6,435 103
6,539 ^
6,645 Т1
6'7^ S
6.859
6,968 109
7-078 т °
7,189 J J
7,3oi J I
7-415 т е
7.53° , .
7,645
7,762 г 7
7,881 ; 9
8.ООО
и*
5-об2
5-199 37
5-338 2
5'48° Г
_ iC^> . 144
5'°^4 148
5'772 15о
5,922 5
6,076 ^4
6,232 15&
6,391 Т
0:7 1&з
6'554 lfie
6'7Г9 S
6,887 1б8
7,059 1?2
п^
7,234 ^
7'4Т2 ,Ят
7-593 *
7'778 S
7,966 l88
8,157 19'
195
8,352
8,550 198
8,752 f!
8l9gS
9,l66 2°9
213
9,379 ^
„ „Х- 216
9'595 220
9-8i5
10,039 22;
10,266 22?
232
10'5° •«
10.73 3
10,97 .
1 1 ,22 э
11.46 °4
25
11,71
i!-97 S
12,23
12-49 _
12,76 ^
27
Т3-03 ^
Т3-3Г л
13-59 ^
13-87 *
14,16 ^
14-46
14-76 3°
15.о6 3°
01
15-37 3
15,68 зг
0 ^
1б,00
л8
?^s
8,1 14 ^
8-384 %
8,662 278
285
8,947 _2
9-239
9-539 S
9.847 !*
10,1б2 3'5
324
ю-49
10 82 33
11,16 34-
11,51 ^
11,86 33
37
12,23
12,6О 37
12,99 *
13.38 J
13-79
^ '^ 41
14'2° &
14,б2 , ^
1 5-O5
44
15-50 **
15,95 ^
с'^0 46
1б'41 ,й
1б'89 5
17-37 ?
17-87 ^°
18,38 5I
S2
I8-9P '..
19-43 Г*
19-97
--
20-52 *
2^.°э »
21.67
22,26 ^У
22.87 J
23.48 *
0 ^ 64
24,12 64
24'7° 66
25-42 ^
26,09 ,
26'78 2
27,48 Ц
28,2О
28,93 73
29,67 74
3°-43 L
31-21 79
32,00
1
«
0,6667
,6623 *
,6579^
,653б«
,6494 J
0,6452
,64Ю43
.бзбд4;
,6329 ]°
,6289 ^
39 •
0,6250
,621 1 39
V я8
,6i73r!
,6135?
,6098 эт
37
o,6o6i
,6024 37
,5^88^
<W*
,5917 -35
0,5882
15848 2
,58L4f4
,578о 3
,5747^
о-57Ч
.5682 з»
,5650 ^
*-* ^ *^о
,5618 за
,558? 3'
,00 / gj
о-555б
,5525^
,5495 J
.5464^
•5435 ?
°-5405
'53762
•5348*
-5319 2
,5291^
о-52бз
,S236^
•i^"
.518^
•s1»^
0,5128
,5'02j
.5076 f
,5051 2
,5025 --.
0,5008


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
2,00—2,50
п
2,ОО
,О1
,О2
-03
.04
2,05
,06
•о?
,о8
,09
2,Ю
,И
,12
дз
.4
2-15
,16
.17
,i8
,19
2,20
,21
,22
-23
-24
2.25
,26
-27
,28
,29
2,30
31
,32
,33
,34
2,35
,36
.37
.38
-39
2,40
.41
,42
.43
.44
2.45
46
-47
,48
-49
2,50
vV
1,4142
,4T773j
.4213 ?!
,4248 35
,4283 35
35
МЗ1**
ое
,4343
'tO,Jv? „
4387 **
Ч"ч
,4422 -1"
• '44572
М49135
,4526 ЙЭ
45бо34
,4595s5
4629 34
34
1,4663
469734
,4731 34
4765*
,4799 34
1,4832
,4866 34
,4900 34
4933 33
.496734
1,5000
° " 3Q
>5°33 1,
,5об734
,5100 33
•5133 *
1,5166
,5199 ю
,5232 зз
,5264s2
,5297
33
1,5330
,5366 3
->о
,5395
'JO^O
,5427 3
-54бо^
1,5492
-5524 ^
'5556 з2
,5588 32
,5620 з2
32
1-5б52о
л68432
,5716 32
,5748 з*
.5780-
j,58ii
V Юл
4-472
483
494 "
,5о612
-5>7"
4.528
,539
0 ^ и
-55° тт
,5б! "
.572;;
4,58з
0 ° ю
-593 °
,604 "
' ,6i5 ;;
,626 "
II
4.637 т;
,648 "
,658;°
,669
,68о "
IO
4,690
.701 "
• ,Т12"
,722 Ю
,733 "
'^° ю
4-743 „
,754 "
,7б4
.то;1
.785 ;:
4.796
,8об 10
,8i7 "
,827 10
,837 ;:
4,848
,858 10
,868 10
.879 "
,889 10
10
4,899 г
'9°9 о
,919 :
,930
'94°;:
4-950
,9бо 10
.970 ;°
,98о 10
4,990 -
5,ооо
3
/в"
1,2599„т
,2б2021
,2б41 2I
,2662 2I
,2683 2I
20
1,2703
,2724 2*
,2745 2I
,2765 2°
,278s20
21
I,2806
,2826 *»
,2846 »
,2866го
,2887 2I
_2О
I,29O7
,2927 "°
,2947 ^
,2966 *9
,2986 »
20
1,3006
,3026s0
,3045 19
,3о65 =°
,3о84 '9
2О
1,ЗЮ4
,3123 *9
,3142 *9
,3162 2°
,3181 J9
19
1,32ОО
,3219 *9
,3238 '9
,3257 I9
,3276 '9
19
т, 3295
,33 H19
,3333 I9
,3351 18
,337° I9
19
г, 3389
,34°7 l8
,3426 19
-3444 l8
,3463 J9
18
I,348l
,3499 l8
,35*8 19
,3536 l8
,3554 l8
18
i,3572
s
/lOn
2,714
,719
,723
,728
,732
2,737
,74*
,746
,750
,755
2,759
.763
,768
,772
,776
2,781
,785
,789
,794
,798
2,802
,806
,8n
,815
,819
2,823
,827
,831
,836
,840
2,844
,848
,852
,856
,860
2,864
,868
,872
,876
,880
2,884
,888
,892
,896
,900
2,904
,908
,912
,916
,920
2,924
3
/100/z
5,848 т
,858 »
,867 9
,877;°
,887 I0
9
5,896
,906 Ш
•9*5 '
,925
о
•934 r;
5-944
'953 9
,963"
,972 9
,981 9
TO
5,991
6,000 9
,009 9
,018 9
,028 10
9
6,037
,046 9
,055 ;
,064 9
,073 9
6,082
,091 9
,100 9
,109 9
,118 9
9
6,127
,136 9
,145 9
,153 I
,162 9
9
6,171
,180 9
,188 8
Д97 9
,206 9
6,214
,223 9
,232 9
,240 8
,249 9
Ч-У 8
6,257
,266 9
,274 ®
,283 9
,291 8
• 9
6,300
«'
4,000
4,040 4°
4,080 4°
4,121 4I
4,162 4I
40
4,2O2
4,244 1!
4,285 4
4'326^
4,368 42
^^ 42
4,410
4-452 J
4494
dQ
4-537 4:
4,580 43
^° 42
4,622
4,666 44
4-709 *
4,752 43
4,796 44
44
4,840
4,884 44
4,928 44
4,973 4^
5,01 8 45
° 44
5-062
5'108«
5.153^
5,1982
5'244S
5-290
5'33б4'
5-382 f
5429 4^
5476 <"
46
5.522
5,570 48
5.6J7 «
5,664 «
^ ~ ^Q
5'712f8
5.7бо
5.808 48
О ' о
5,85648
5.505 49
5'95449
4°
6.OO2
6,052 5°
6,101 49
6,150 49
6,2OO 5°
5°
6,250
n3
8,000
8,121 I21
8,242 121
8,365 123
8,490 I25
125
8,615
8,742 1%
8,870 I28
8,999 I29
9,129 I3°
132
9,261
9-394 I33
9,528 r34
9,664 »зб
9,800 тзб
138
9,938
10,078 I4°
10,218 I4°
10,360 X42
10,503 143
145
10,648
10,794 I46
10,941 '47
Il.ogo J49
11,239 T49
152
n.391
11,543 I52
11,697 J54
11,852 J55
12,009 J57
158
12,167
12,326 J59
12,487 IDI
12,649 l62
I2,8l3 l64
165
12,978
13,144 166
13,312 168
13,481 169
13,652 i?i
172
13,824
13,998 174
14,172 J74
14,349 177
14,527 i?8
179
i4,7°5
14,887 181
15,069 182
15,253 l84
15,438 -S5
15,625
n*
16,00
16,32 з2
16,65 зз
16,98 зз
17,32 34
34
17,66
18,01 35
18,36 35
18,72 зб
19,08 з6
37
1945
IQ.82 37
20,20 38
20,583s
20,97 39
40
21,37
21,77 4°
22,17 4°
22,59 42
23,00 4I
43
2343
23,8s42
24,29 44
24,73 44
25,18 4э
й 45
25'63 t.
26,09 4
26,55 4*
2^,02 4/
27,5048
48
27,98
28,47 49
28,97 5°
29,47 f
29,98 5I
52
30,50 ^
3I,025
3T.5S 53
4.1
32,09 D4
32,63 54
55
33J855
33-73 55
34-30 f
34,873
35-45*
36,03
36,62 59
37,22 fo
37,83^;
38,44 6I
J ^62
39,06
Л4
32,00
32,8l 8l
ЗЗ'бЗ J
34-47 Jj
oO'OO QQ
oo
36,21
37,10 89
38,01 9I
38,93 *
39-88 «
40,84
41,82 98
42,82 I0°
43'84^
44'88;s
45-94 .
47,02 Io8
48,12 "°
49,24 ;;3
50,38 1I4
0 >0 116
5X'54 Гт8
52,72 "8
53,92 I2°
55-?5;:!
36.39 ?
57'67 Iao
58,96 129
60,27 I31
61,61 134
62,98 I3J,
^ 138
64'36 IAT
65-77^
67,21 J44
68-,67 I46
70,16 I49
' 151
7i,67
73,21 154
'° i=;6
74,77 Л
76,36 ^9
"Is;
79,бз Tfin
81,30 16?
83,00 17°
84,73 ;з
86,49 ^
178
88,27
9°'°9±
91-94 5
93'8C
95-72 I91
yD ; 194
97,66
i
n
0,5000
,4975;
'4950 2*
,4926 a4
,4902 2;
0,4878
'4854!'
,4831 ^
,4808 ^
,47855
0,4762
47392
•47 Г7 „
>4695
>- 2Q
.4673 ^
0-4651 „
,4630^
4608 *
.4587 a;
,4566 2;
0,4 S4S
TOtO
4525 _
4505"
4484^
-4464^
0,4444
4425 ^
-4405 IQ
4386 I9
?• 19
4367
^° ' 19
0,4348
•4329r;
,4310 J
,4292 „
^ ^ 18
'4274 19
°-4255I?
4237 л
,4219
17
,4202 ^
4184 ,,
°'4i67 I8
.4149 r
4132 T'
4115^
•4098 ^
0,4082
,- 17
,40^5 '
^ J 16
4049 ,,
,4032 '
>ч °, Ib
,4016
~ ie>
0,4000


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
2,50-3,00
л
2,50
-5i
-52
-53
-54
2,55
об
-57
,58
-59
2,60
,6l
,62
,63
,64
2,65
,66
,67
,68
,69
2,70
,71
,72
,73
,74
2.75
-76
.77
.78
-79
2,80
,81
,82
.83
,84
2,85
,86
-87
,88
,89
2,90
.91
,92
.93
,94
2-95
,96
•97
,98
-99
3,°°
i Y"
1,5811
.5843 J
,5875^
° ? 41
,5906 31
41
,5937 J,
i-5969OT
,6000^
,6031 3I
,6062 31
,6093 3I
32
] ,6125
.6155 3°
,6186 3I
,6217 3I
,6248 3I
31
1,6279
,6310 31
,6340 3°
,6371 3I
,6401 з°
31
1,6432
,6462 3°
,64923°
,6523 3I
,6553-
1,6583
,6613 3°
.664330
,6673 3°
,6703 з°
30
1,6733
,67633°
,6793s0
,6823 з°
,6852 ^
30
1,6882
,6912 з°
,694I 29
,69713°
,7000 29
29
I,7029
>7059 ^
,7088 =9
,7H7 29
.7146J
1,7176
'^s29
'7224S
,726s29
w;
1,7321
i
V'Wn
S.ooo
,010 '°
,020 !°
-,o3o10
,040 10
^ 10
5'°5° ro
,060 10
,070 10
,079 9
,089 I0
10
S>°99
109 I0
,119 I0
,128 9
.138 10
° 10
5.148
,I58 "
,167 9
•I77™
,187 10
9
5.196
,206 I0
,215 9
,225 I0
,235™
5.244
,254 10
,263 9
,273 I0
,282 9
10
5,292
,301 9
,310 9
' ,320 I0
,329 9
10
5-339 ft
,348 9
,357 9
,367 I0
,376 I
5,385
,394 9
,404 I0
'4*3
,422 y
Л 9
5.431
ЛЛТ I0
,44 -1-
о
,4ЧО у
459 9
,468 9
9
5477
3
V«
1-35/2
•359° т„
,3608 *
,3626 8
,3644;*
1,3662
-3680 8
.3698 *
.3715 1
.3733 18
1-3751 Tn
.3768 ?
.3786 8
'38°3 H
,3821 18
17
1,3838
.3856*
'3873 '
,3890 [I
,3908 -
L3925
,3942 ^
,3959 J'
,3976 ^
,3993 ^
1,4010
,4027 I7
,4044 J7
,4061 *7
,4078 I7
J7
1,4095 ,
,4iii l6
,4128 I7
'4*45 2
,4i6i *
J7
T-4i78 т^
,4195 7
i? i16
,4228 ^
.4244 ;66
1,4260
,4277 T7
16
14293 16
,4309
'4326 J
1,4342
,4358 16
'TOO" 6
,4374 I6
'43?^6
,4406 i6
1,4422
3
Уюя
2,924
,928
.932
.936
,940
2,943
,947
.951
-955
,959
2,962
,966
,970
.974
,978
2,981
.985
,989
.993
2,996
3,000
,004
,007
,011
,015
3,018
,022
,026
,029
,033
3,037
,040
,044
,047
,051
3,055
,058
,062
,065
,069
3-072
,076
,079
,083
,086
3,090
,093
,097
,100
,104
3.107
3
VlQOn
6,3°° R
,308 1
,316
,325 9
.333 I
6,341
.350 I
>3Й 8
,366 8
.374*
6,383 .
,39i I
,399 I
,407 I
.415 I
О
6,423
,431 8
,439 I
,447 !
.455*
6,463
,471
0
,479 I
,487 8
Q
,495 88.
6,503
,5ii I
.519 I
,527 8
.534 '
О
6,542
.550 8
,558 8
>5б5 J
,573 I
a
6,581
,589 8
'Й9б8
,604 8
,6ll 7
8
6,619
,627 8
>6;34 8?
,642 8
,6497
6,657
,664 7
,672 8
.б;9 I
,687 8
6,694
n2
6,250
6,300 5°
6,350 5°
^- 4i
6,401 э
6,452 5I
^Э 5°
*'5°252
6.554 =2
6,605 5I
6,656 *
6,708 53
52
6,760
6,812 52
6,864 5s
6,917 53
6,970 53
53
7,022
7,076 54
7,i2953
7,18253
7,236 54
54
7,290
7.344 54
7.398 54
7.453 55
7,508 55
54
7,562
7,6l8 56
7,67355
7,728 55
7,78456
56
7,840
7,896 g
7,952 f
8,009 57
8,066 57
56
8,122
8,180 58
8,237 57
8,294 57
8,352 g
8,410
8,46858
8,52658
8,5Я5 59
8,644 g
8'7°2^
8,762 ^
8,821 59
8,880 f
8,94o?
9,000
i
i
/z:l
1
15,62
15-81 I9
16,00 I9
16,19 I9
16,39-
16,58
16,78 20
16,97 I9
I7'I7"
i7-37:;
^-s8^
17,78 ж
17.98 2°
18,19 2I
18,40 2I
^ 21
T8,6i
18,82 2I
I9.03 2I
19.25 ::
19.47
* 21
19,68
- oo
[9,90
20,12 22
20,35 23
-•"S
20,80
21,02 ^
2I.2523
21,48 23
21,72 24
23
2i,95
22Д924
22,43 24
22,67 24
22,QI 24
24
23,15
23,39 24
23,64 25
23,89 25
24,14 25
25
24,39
24,64 25
24,90 2б
25,15^
25,41^
зб
25,67
25.93 ^
26,20 27
26,46s6
26,73 ^
27,00
я*
39.06
39,69 66
40,33 g4
40,97 J
41-62 ^
42,28
42'95 2
43.62 g
44'3i ^
45.00 ^
45-70
46,40 7°
47-12 '2
47,84 2
48,58 '4
74
49,32
50,06 74
50,82 76
5I'59 11
52,46 77
0 -3 78
53Д4 _
53'94 2!
54,74 J
5I'5I 8
56,36 ?
57'19 8^
58,03 84
58,87. *
59.73 !!
6o,59 »
88|
6l'47 88
62,35 f
63,24 89
64,14 9°
65,05 9I
93
65,98
66,91 93
67,85 94
68,80 95
69,76 96
97
7°'73 08
71,71 93
72,70 99
73'7° Z
74'71 Z
75-73 т л
76,77 x°4
77,81 I04
78,86 I05
79-93 %
81,00
/z3
97-7 T0
99.6 2
101,6 20
103-7 2I
-5-7 »
107,8
110,0 22
112,1 2I
II4'3 »
116,5 ^
23
118,8
121,1 23
123,5 24
125,8 23
128,2 ^
25
130,7 .
133,2 "э
I35'7 2
J38'3 2
140,9 S
•143,5
146,2 27
148,9 2?
I51'6 2
^4-4 J
157,3
I6o,2 29
I63,I ^
166,0 ^
169,1 3I
3°
172,1
175,2 3I
178,3 3I
181,5 32
184,8 33
32
188,0
191,4 34
44
194,7 33
198,1 34
201,6 35
35
205,1
208,736
212,3 3°
215,9 ^
48
219,7
37
223,4
227,2 38
23I,I 39
235,0 39
239,0 4
40
243-0
1
| "
1
0,4000
•3984 2
,3968 i6
Q 14
.3953 J
-3937 I5
0,3922
,3906
.3«9i
,3876 5
,3861 1э
о I5
0,3846
,3831 '
,3817
,3802 5
.378S;j
0,3774
15
.3759 r.
-3745 I4
•3731 14
,3717 I3
o,3704 r ,
,369° , ,
'3676 з
,3663 I3
-3650^
0,3636 I3
,3623 I3
.Збю
-3597 I3
.3584 J;,
o,357i Ia
,3559 I3
.3546 Ia
,3534 I3
,352i Ia
o,3509 ia
,3497 x3
,3484 la
.3472 ia
.346o I3
o,3448 Ia
,3436 „
,3425 I2
,3413 la
,3401 л
0,339° M
,3378 „
.3367 „
,3356 I2
.3344 ir
0,3333


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
3,00—3,50
п
3,оо
,OI
,02
,03
.04
3.05
,06
,07
,08
,09
5,ю
,11
,12
дз
,14
}Д5
,i6
Д7
,i8
,19
5,20
,21
,22
-23
,24
5>2J
,26
.2?
,28
,29
3-30
.31
,32
.33
.34
3-35
.36
,37
,38
,39
3-40
,4*
-42
43
.44
3-45
,46
.47
,48
,49
Зо°
Y^
•1-7321
,7349^
'7378 ^
,7407
,?436S
1,7464
2Q
•7493 J
-7521
'" 2Q
-7550 J
-7578 J
1-7607.,
,7б35
3^2
,7б9»2
,7720^
L7748 ^
•7776
•7804 ^
,7833 2
.7861 J
1,7889
.79x6 :7
•794428
,7972
,8ооо^
1,8о28
'8°55l
,8083 2
,8т28
•8'3<>2
i,8i66 •
,8193 2
,8221 *
,8248s7
,8276 *
27
1,8303
,8330 27
,8358 28
,8385 2?
.84I227
27
1,8439
,8466 27
,8493 27
•852°^
'85<
Т'8574 а„
,8601 27
,8628 *
•8655!!
,8682 ^
аб
1,8708
Утл
5-477 _
,486 9
'495^
•5<Ъ 9
•5^4 1
5-523
,532 9
'541 9
-550 9
•559
.ОЗУ 9
5-5б8
.577 !
•586*
'^5 9
,6о4 9
5,612 .
,621 9
,63о 9
>б39 ?.
,6489
5-657 0
,666 9
• '^5 1
,683
,692 9
9
5.701
-7Ю 9
,718 8
,727 9
,736 9
9
5-745 я
-753 8
,762 9
,771 9
,779 *
5,788
,797 ^
,8о5 8
,814 9
,822 8
9
5-831 о
,84о 9
,848 8
,857 1
,865 8
5,874 _
,882 8
,89i J
,899 8
,908 1
5-916
3
Vn
1,4422
,4439 J7
'4454 J
-4470
,4486*
г,4502
,4518*
,4534 1б
,4550 *
'4565 Ц
i,458i 1б
,4=597
'toy/ ,
,4612 '5
,4628 1б
,4643 ;*
Мб59 ?В
•4674 Ц
,4боо16
.4705 S
,4721 15
1,4736
,4751 *
,4767 *
,4782 15
и
,4797 'д
1,4812
,4828 1б
,4843 ?
,4858 15
.4873 ^
1,4888
,4903 '!
,4918 15
,4933 **
,4948 *
1.49бЗ те
-4978 15
и
,4993 *J
,5007 4
1=>
,=;022 °
0 15
i,5°37 т.
,5°52 ;J
,5066 4
-5°8i 5
•i°9«;=
i,5iio
,5125 *
'5139х5
,5154 2
*i*s
1,5183
я
ГЮл
ЗДо?
,ш
Д14
,118
,121
ЗД24
,128
Д31
Д35
Д38
3,141
Д45
Д48
,J5i
Д55
3.158
,1б2
Д65
,i68
Д71
ЗД75
,т78
,i8i
,185
,188
ЗД91
Д95
,198
,201
,204
3,208
,211
,214
,217
,220
3,224
,227
,230
-233
,236
3-240
-243
,246
,249
,252
3,255
,259
,262
,265
,268
3,271
3
VlCOn
6,694 „
,702 8
'7°9 о
,717 8
•724 7
i
6,731 я
.739 8
,746 7
,753 1
,761 8
7
6,768
,775 7
•782 1
•790 8
.797 7
6,804
,8ii 7
,8i8 7
,826 8
•833 7
6,840
-847 7
•854 7
,86i 7
,868 7
7
6,875 ,
,882 7
,889 7
,8о6 7
>9°3
7
б,9Ю
,917 7
•924 7
,93i 7
,938 ^
6-945 „
•952 ;
,959 7
,9бб 7
,973 7
/
б,98о
,986 6
6,993 7
7,ооо 7
,007 7
7
7,oi4
,020 °
,027 7
• ,034 I
,o4i 7
7-047
л2
9'000^
9'о6о?
9Д20^
9'181б
9'242бо
9-302
9-364 ^
9-425 6l
9,486 *
9'5482
9'610^
9-672S
9-734 J
9,797°!
9,86о63
ба
9-923
9,986 Ц
10,049
10,112 ^
10,176 б4
б4
10,240
ю,304 6*
ю,з68^4
ю, 433 2
10,498 g
10,562
10,628 а
ю,б93 g
ю,758 g
10,824 ^
10,890
•ю,95б 2
11,022
11,089^
"Д5б2
Т 1,222
1 1,290 №
ir,35764
11-4242
^492S
"'S60^
11,628®
",696®
•"••^sg
11,834 g
11,902
1 1,972 7°
12,041 б9
I2.II069
12,180 7°
7°
12,250
п3
27.ОО
27,27 =7
27-54 ^
27,82 *
28,09^
28,37 ^
28,65 *
28.93 *
29,22 2
29,50 29
29>79
з0.08^
зо,37 J:
30,66 "9
30,96^
ЗТ,2б
зад?
31,86 3I
32,16 3°
32,46^
32,77
33,08 J
33-39 f
33»7°
QT
34,01 g
34,33 м
34,65 J
34,97^
35-29 f"
Я5,б! 3я
Л> 33
35,94 00
36.2633
36,59^
36,93 ft
37-26 ~
37,бо
00
37,93 *
38,27 з4
38,61 34
38,963^
39,30
39,65 &
40,00^
ач
4°,35 fj
40,71 ^
4 35
41,об
4L42 ^
41.78*
42.Н*
42>5rg
42,87
и*
8т, оо
82,09 109
83,18 109
84>29 ;;;
85,41 112
ИЗ
86,54
87,68 114
88,83 IZ*
89'""8
91Д7 "в
92,35
93-55 12°
94-/6 121
95-98 
97,21 123
125
98,46
99,71 125
100,98 12?
102,26 128
юз,55 129
131
104,86
ю6д7 131
107,50 J33
108,85 135
110,20 J35
137
iii,57
112,95 1з8
И4,34 139
ii5,74 14°
117Дб 14а
143
и8,59
120,04 Х45
121,49 145
122,96 J47
124,45 Н9
149
125,94
127,46 152
128,98 J52
130,52 J54
132,07 Z55
156
133,63
135,21 Jf
136,81 ^
138,41 ^
140,03 l62
164
I4T,67
143,32 Xg
144,98 X2
146,66 l68
148,35^
150,06
я5
243,0
247-1 *;
251,2 4i
255lS
259'6S
2бЗ-9„
268,3^
272,7 "
277,2 4J
281,7 «
286'3,6
290,9 46
295,6 ^7
3°°.42
3°5.%
310,1
k^
320,1 э
335,2 j;
330,3^,
335.5 ..
340,353
346,2 J*
351-6 2
357.05
362,6
368,2 5б
373-9 ^7
379,6 J7
385-5 »
Oj
391,4
397,3^
403,4 6l
4°9-562
4*5-7 62
421'96,
428,2 g
434.7 1
44i.'2
447.7^
454,4^
4б1Д ^
467,9 2
^ oQ
474-8 g
481,7 7;
488,8
495.9'
503Д 73
510,4 73
517Л»
525,2
1
Л
0,33333
,33223 tl°
,33113 II0
,33003 ™
-32895 2
0,32787
,32680 107
,32573 ;°j
,32468 2
,32362 ^
0,32258
^^ IOd
,32154 4
,o ot I0_
,320=CI d
° ° 103
,31949 IM
,31847
0 T/ 101
0,31746
,31646 I0°
1^6 '-
.3447 !!
,31348 »
0,31250
,31153 '
•31056 Ц
,30960 ^
,30864 *
0,30769 0,
•30675 !:
,30581 ?*
,30488 f
-30395 ^
0,30303 M
,30211 J»
,30120 9
,30030 ?
,2994° J,
0,29851 fc
,29762 2
.29674 ад
•29586 ^
29499 ^
0,29412
,29326 **
-?<-> 86
,29240
.29155 8J
,29070 ^
0,28986
,28902 ^
,28818 84
,28736 !?
.28653 g
0,28571


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
3,50-4,00
n
3,5°
,5i
,52
,53
-54
3-55
,56
,57
,58
-59
3-6o
,61
,62
,63
,64
3,65
,66
?7
,68
,69
3,7°
.71
.72
-73
-74
3-75
,76
,77
,78
,79
3,8o
,81
,82
,83
,84
3,85
,86
,87
,88
,89
3.90
,91
.92
,93
,94
3.95
,96
,97
,98
,99
4,00
Vn
1,8708
3735 ^
,8762 ^
-87<
-8815 226
1,8841
,8868 fj
,8894^
,892 1 1
« 20
•8947 2?
1,8974 ^
•* *~ 20
,9000
y ^20
,9026
*y 27
,9053^5
'9079,6
1-9105^
-913136
,915726
-9183зб
-9209зб
1,9235 36
,9261 ^
,9287 ,
•^ '20
,931336
-9339 36
1.9365 „6
,9491
^ 25
,9416 ~.
•'^ 26
'9442 _б
'9468 J
1.9494
,9519 J
-9545
'95/o *
,9596 J
J'962i rf
'Й<
,9672^
,969s26
-9723 ^
1,9748
,9774 „
'9799 J
19824 S
,9849 2
i,9875 2.
,9900 °
,9925 J
.99504
i'99754
2.OCOO
V\0n
5,9l6
Q
,925 о
,933 8
«941
q
,950 |
5,958
,967 9
,975 8
,983 8
5,992 J
6,000
,008 8
,017 9
,025 8
,033
9
6,042
.050 I
,058 8
,066 8
,075 9
yC) 8
6,083
ft
,091 8
,099 !
,107 8
,n6 9
8
6,124
Д32 8
Д40 8
,148 8
Д5б 8
0 8
6,164
,173 ;
,181 8
,189 8
,197 ;
6,205
,213 8
,221 8
,229 8
,237 8
6,245 8
'253 8
,261 8
,269 8
'277 ;
6,285
,293 g
,301 8
,309 8
-317 8
6,325
3
Vn
1,5183
,51974
-S2!2^
,5226 4
,5241 15
0 ^ 14
l,5255 TA
,5269|
,5283 4
,5298^
,53124
1,5326
-53404
,5355 t.
'5369 *
,5383;44
i,5397 T .
'5411 !
'5425 ?
,54394
,54534
1,5467 I(
'548i
-5495 „
-55084
,S=522 I4
'°° 14
1.5536
,555° 4
.5564 4
00 14
.SS77
>oo / / .
'5591 4
1.5605 тл
-5619 4
.5632 ^
,5646 4
,56594
1,5б73 T4
,5687 I4
° 14
,5700 Л
,5714 I4
,j/ t j,.
,5727 4
1,5741
J' 14
-5754 „
,5767 J
,5781 14
01 г„
-5794 4
i,58o8
,5821 13
,5834 J4
,5848 4
15861 S
1,5874
8
VWn
1
3,271
,274
,277
,280
,283
3,287
,290
,293
,296
,299
3-302
,305
,308
.311
.314
3,317
,320
,323
,326
,329
3,332
,335
,338
,34i
,344
3,347
,35°
,353
,356
,359
3-362
,365
,368
,37i
,374
3-377
,380
,382
,385
,388
3-391
,394
,397
,400
,4°3
3,4o6
,409
,411
,414
,417
3-420
1 3
I'lOOn
7,047
-°54 1
,061 7
,067 6
•°74 ]
7,081
,087 6
,094 7
,101 (
до? :
7. 6
,120
,I27 I
ДЗЗ
Д40 7
7.147 6
,153 *
,l6o 7
,166 6
,173 1
7Д79 „
,186 7
,192
,198 «
'2°5 J
7.21 1
,218 I
,224
-230
,237 ^
7,243
,250 I
,256 ;
,262 j
,268 6
7
7-275 6
,281 Ь
,287
,294 I
,3oo 6
7,3o6
,312
,319 I
,325 6
,33i 6
7,337 6
,343
,35° I
-356 J
,362 J
7,368
ns
12,250
12,320 '
7O
12,390 7
I2,46l 71
12,532 7;
12,602
12,674 ?2
I2'745 !|
12,816 7I
1 2,888 72
72
12,960
13,032 72
13,Ю4 7
*3,i77 „
13,250 ?
13.322
13,396 74
13,4б9 „
13.542 13
13,616 74
0 74
13-690.,
'3,764 ?
13.838 I4
13.913™
1.3.988 ?
14,062
14Л38 7*
4,213 'Г
I4,288 «
14-Зб4,6
14,440 6
14-516 ^6
14,592'
14,669 77
4.746 J
14,822
14,900 ^
14,977 "
15-054 ,g
15-132 ^
15,210
15.288 1S
15,366;*
15,445;;
15,5245
15,602
15,682 ^
^ ^- TO
15,761 79
ч^
15'92o8o
16,000
ля
42,87
4
43,24^
43,61 37
43'^ЭТ
44-36 g
44-74 8
45-12 f!
45.50^
45-88 38
46,27 да
4 '39
46,66
oq
47.05 J
47-44 *
47'83o
48,23 \0
48'63 40
49-°3 *
4943 *
49.84^
50.24^
50-65,,
si-06 !2
5148 j
51-90^
52-3iJ2
52'73 ..
53,i6 43
J n 42
53,58 4
54'OIS
54.44^
54)87 44
55,314*
55-74 *
56,18 44
56,62 44
0 45
57107 44
57-51 "
57.96*!
58,41 f.
58,86^
59-32 6
59-78 *
6o'24!6
бо<7°!б
6i,i646
47
61,63 J7
62,IO4;
62,57 ';
63,04 "
63'5248
64,00
n1
i So, i
151,8 I7
и
153.5 J.
'55-3
I57'°I8
158.8
160,6 l8
тй_ , i8
162,4
f IQ
164,3 S
166,1 l8
19
168,0
169,8 l8
IQ
I7L7 *
173,6^
'75,6 ~
I77'5I9
I79'42
18м20
18з'С
I85'4^
187,4
I8*5»
191.5 r
193,6
195-7 2
197,8
2
199.9
•" 2
202,0-
22
204,2
206,3 ^
?%J 22
208,5
0 22
210,7
212,9 22
215-2 23
0 22
217,4
24
219,7
23
222,0 °
224.323
226,6 23
229,0 24
23
231 '3 24
233-7 J
236,1 J
238,5 224.
241-0 4
243,4 e
245,9 25
248,4 2*
250,9 4
253-4 j;
256,0
Я»
525'2 ,
532,8 J
540-4 J
548,1 77
555,9 I
5633 80
— —-г Q CO
S7I»o
*-* * QT
579,9 *
588'1 S
596,3 ?
604,7 84
613,1 85
621,6 ^
630,3 87
639,0 88
647,8 90
656,8 ?
Й5>8?
674-9 да
684,i J
•693-4 95
702,9 95
712,4 96
722,0
731,7 99
741,6 99
75L5 IOI
761,6
' IOI
77J-7 IOT
782,0 I03
' 104
792-4 тл
802,8 I0f
813.4 Io6
824Д 
83^9^
845-9 T10
856'9 "
868,1 IM
879-s;"
890,7 II4
^ ' 
902,2
9I3'9"'
925-6 7
9S7-5 2
949-5 »
961,6
973,8 ^
986,2 I24
998,7 I2|
1011,3 126
27
1024,0
i
n
°,2857i .
^8490 8l
^8409?;
,28329 ?
'28249 J
0^28169
,28090 79
^8оц79
,27933 7
^7855^
0,27778 „
,27701 ^
^7624 J7
,27548 ?
^7473/4
0,27397
,27322
^27248 '
^-/ т 74
^7174 74
,27100 73
0,27027
,26954 ,3
,26882 J
,26810 7
,26738,,
0,26667
.26596;
,26525
,26455,0
,2638569
0,26316
' ,° txj
^6247
,26178 №
-^iio^
^6042 M
0,25974 e
,25907 '
°n ' 6-7
,25840 6;
^5773 ^
^5707^
°'2564I66
-255756.
,255107
. JJ 6-;
,25445 6,
-2538i64
0,25316
да53 2
«189S
,25126^
-25063^
0,25000


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
4,00—4,50
"
4,00
.01
,О2
-03
,04
4,05
,06
•о?
,о8
.09
4,ю
Д1
Д2
«13
Д4
4Л5
Дб
Д7
,18
Д9
4,20
,21
,22
,23
,24
4,25
,26
-27
,28
#9
4>3°
-31
-32
-33
-34
4.35
-36
-37
-38
-39
4,40
41
,42
-43
44
445
46
47
48
49
4,50
VlfT
2,<ХЮО
,0025 25
,оо5о25
,007=5
'° 24
OIOO э
25
2,0125
'0149^
-0174 2:
,О224 25
^24
2,0248
,0273 25
,0298 25
,0322 24
•°347 2?
2,0372
,0396 24
-°42124
'°4452!
,0469
2,0494.,
,o5i824
?591 %
2,0616
г 24
,0б40 4
,Обб4 24
,о68824
•°712^
2,0736
,0761 5
,0785 24
,0809 24
,о833 24
2,о857
.088I24
24
,0928 23
'°952^
2,0976
,1ОО024
,102424
,1048 24
, 1 07 1 23
24
2Д095
,Ш9
,Н4223
Д16624
дтоо24
23
2,1213
Vio/;
6,425
^>0 0
,332 7
,340 8
,348 1
,356 J
6,3б4 „
,372 8
,380 8
,387 I
,395 8
6,403 8
',419 8
,427
,434 1
6,442
,450 8
,458 8
,465 J
,473 8
6,481
496 8
' '5°4 я
,512 8
7
6'5Т9 о
,527 1
,535
,542 7
.550 7
6,557 я
,565
,573 8
,58°
.588 8
6,595 а
,603
,6и 8
,6i8 7
,626 8
7
6,633 я
,641
,648 7
,656 8
,663 2
6,6?!
,678 7
. ,686 8
,693 о
,7О1
7
6,708
Vn
[5887 13
14
'59°о';
,5914 ^
1,5940
'j-ncq *3
15966 13
ОУ 14
,5979
'ОУ1У JQ
,5992 ^
1,боо5
,6oi8 з
,6031 13
,6044 ;3
,6о57
• 13
1,6070
,6083 13
,6096 13
,6109 13
' 13
i,6i34 „
,6Ч7 т,
,6i6o -3
,6173 ;3
,6is5;2
1,6198
,6211 1з
,6223 "
,6236 з
.6249 ;3
1,6261
,6274 13
,6287 13
,6299 12
,6312 ^з
1,6324
,6337 13
,6349"
,6362 J
,6374;:
1,6386
,6399 Ц
,6424 13
,6436;:
1,6448
,64б1 '3
,6473 12
,6485 12
,6497 ;3
1,65Ю
s
КШ
3-420
•«423
,426
,428
,431
3,434
,437
,440
,443
,445
3,448
,451
,454
,457
,459
3,4б2
,465
,468
,471
,473
3,47б
,479
,482
,484
,48?
3,490
-493
-495
,498
3,5°3
,5е6
,5°9
,512
,54
3.5?7
,520
,522
,525
,528
3-530
,533
,536
,538
,541
3,544
-546
,549
-552
,554
3-557
3
VlOOn
7,368
,374 *
.З80 1
,386 6
,393 1
7 405 6
6
,423 1
7,429 6
,435 6
,441
,447 6
,453 6
7-459 6
6
477 J
,483^
7,489 л
,495 g
,5°7 *
,513 *
7,518
/>о 6
,524 °
>536 *
>542 *
7-548
,554 6
',565 J
,571 6
о/ 6
7-577 ,
,583 1
,589 6
,594 =
,6оо 6
6
7,6о6
,612 б
,617 5
,623 6
,629
7,635 .
,640 D
,646 1
,652
,657
7,663
л"
l6,OOO
16,080 to
16,160s0
16,241 8I
16,322^
16,402
16,484 f,2
16,565 8
l6'640 82
I6'728^
16,810
16,892
i6,97482
17,057 
83
17,222
17,306 84
17,389 8з
17,472 3
84
17,640
17,724 84
17,808 84
17,893 H
I7,978845
18,062
18,148 ^
18,233 8s
18,318 85
18404 86
18,490
18 S?6^
I8.66286
18,749 ^
18,836 J7
18,922 88
19,097 ?!
19,184 7
19'272&8
19.3бо
19.448 88
1 9,625 89
19/714 2
19,802
19,892 ^
19,981 ^
20,070 9
20,1 60 9°
90
20,250
л»
б4'°° хЯ
64,4848
64,96 48
65.45 ^
65'9449
66,43
66,92 49
67,42 5°
67,92 5°
68,42 5°
5°
68,92
69.43 ^
69,93 f
7°-44„
7o,o6^
71,47
71,99 52
72,51 52
73.03 f
73,56 g
74,09
74,62 g
75-isJ3
75.69 J4
76,23 54
5-t
76,77 e
77,31 54
77.8S54
78,40 55
78,95 55
79-5T cc
80,06 55
80,62 5б
8i,i856
81,75 »
82,31
82,88 57
83-45 H
84.03 f
84,60 57
85,18
85-772
86.35 58
86,94 59
87-53^
88,12
00 -,„ 6o
00,72
89,31 f
89,92
9°'522
91,12
Л*
256,0
258,6 J
261,2
263,8 2
266,4 ^
269,0
27 1,?27
27
274,4
277,1 2?
279-8^
282,6
285'3S
288,1 °
290,9 2
293-82
296,6
299,5!!
302,4^
29
308,2 J
311'2
ЗГ7Д30
320,2^
323,2^
326,3
329,3 „
332.4 ;L
335.6 ,_
338,7 3^
341 '9 42
345I 42
35^
354,8 33
358Д 33
364,7 33
368,0 f
37Г'434
374,8
378,2 f4
38i,7 !J
385Д 3,
388,6 g
392 Л ,
395,7
399,2 g
402,8 ^
4°6 4 3
410,1
Л"
1024
io37 ;3
1063 i3
1076 i3
ч
IOOX)
1103 I3
1117 I4
1131 I4
1145 H
II59
1173 H
1187 '4
1202 I5
I2I614
15
1231 «
1246 5
I26l I5
1276 IS
I29I S
1307
J ' 16
1323
1338 5
00 16
J370 l6
1387
1403 X
420 H
1453 ;;
1470
17
w;;
1522 '
0 18
1558 „
1576
1594 '8
1612
1631 I9
1649 IQ
1668 I9
1687 I9
1706 I9
* " 20
1745
1765^
1805 ^
1825 ^
0 20
1845
1
0,25OOO
,24938f
,24876 62
,24814
•2«5^
0,24691
,24631 ^°
,24570 '
,245IO
,24450^
0,24390
-24331
,24272 59
,24213 ^
.24155 *
0,24096
,24038s8
,23981 JJ
,23923 r!
,23866^
0,23810
,23753?!
,23697 fT
,23641 5°
.23585^
0,23529
,23474 K
,2341985
,23364 55
,2331054
54
0,23256
,23202 54
,23148 54
,23095 53
,23041 54
5»
0,22989
,22936 53
,22883 53
,22831 s2
,22779 5*
52
0,22727
,22676 5 r
,22624 53
,22573 5I
,225-23 5°
0,22472
,22422 5°
,223; I51
,22321 ад
,22272 49
50
0,22222


10
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
4,50—5,00
n
4-5°
-5i
-S2
,53
^54
4-55
,56
-57
,58
-59
4,60
,61
,62
,63
,64
4,65
,66
,67
,68
,69
4,7°
,71
,72
,73
,74
4,75
,76
,77
,78
,79
4,80
,81
,82
,83
,84
4,85
,86
37
,88
,89
4,90
,91
,92
-93
.94
4.95
&
.97
,98
,99
5.oo
"i n
2,1213
,1237s4
Д20023
,1284я4
24
'T307j;
2ДЗЗ*
24
-1354 I
-1378 4
24
Д401 Л
' 24
,1424 d
' ^ ^24
2Д448
24
-1471
24
,1494
24
,1517
° ' 24
,1541
Ot 23
2Д564 „„
-1?7*
дбю J
,1633 2
дб5б23
J 23
2,1679
1703 24
1726 23
24
-174903
Л772
23
2,1794 _
дв!?33
л oo
,i84023
л *- 2.3
,1863 23
,1886 23
23
2,1909
Д932 J
Д954
24
,1977 d
24
,2OOO 6
23
2,2023
,2045
^J 00
,2068 3
,2091 23
12113 Г3
2,2136
24
•2I59j
. ,2181 2
,2204s3
,2226 "
23
2,2249
,2271 22
'229iS
,23 1 6 6
,,338-
2,236l
KlO/z
6,708
,7l6 8
-723 7
-731
-738 7
6,745 „
-753 *
,7бо •
,768 8
* n
-775 7
6,782
-790
.797 I
,804 7
,812 8
7
6,819
,826 7
'834
,841 7
,848 7
6,856
.863
,870 7
,877 о
.885 J
6,892
,899 I
>9°7
7
.9H 7
,921 '
У 1
6,928
,935 I
'943
,95° 1
.957 \
6,964
-971 7
'979 "
,986 7
6,993 7
7,000
,007 7
,014 7
,021 7
,029 8
7,036
,043 7
,050 7
,057 7
,064 7
7,071
3
vn
1,6510
,6522 12
.6534-
,6546"
-6558-
I-6571
,6583-
,6595 :
,66o712
,6619 и
12
1,6631
,6643 -
,6655-
,6667 "
'6679-
1,6691
- TO
,6703 2
,6715-
,6727 -
,6739-
1,6751
,6763 2
.6774 ч
,6786 12
,6798»
i, 68 ю
,6822 I2
,6833"
,6845 2
,6857;:
1,6869
,6880 "
,6892 12
,6904-
*'5-
1,6927
,6939-
,6950 "
!б9б212
'697з;2
1,6985
,6997-
,7008 "
,7020 I2
,7031 IX
' 12
1,7043 TT
,7054 TT
,7065 JI
12
.7077 TT
,7088 "
' 12
1,7100
3
VlOn
3-557
,560
,562
-565
.567
3-570
-573
-575
-578
,580
3.583
,586
,588
-591
-593
3-596
-599
,601
,604
,606
3-609
,611
,614
,616
,619
3,622
,624
,627
,629
,632
3,634
,637
,639
,642
,644
3,647
,649
,652
,654
,657
3.659
,662
,664
,667
,669
3-672
,674
-677
,679
,682
3-684
3
Уюоя
7-663 ,
,669 6
,674^
,680*
,686 б
5
7-691 ,
.697
-703 B
,7o85
,7H
3
7,719
•7*;
>73*5
,736 =
,742J
7,747 6
,753^
,7585
,764
,769^
7.775 .
,780 5
,786 6
,791 5
•™;
7,802
,808 6
,8I3 5
,819 6
,824 5
7.830
,835^
,841 6
,846 5
,851^
7,857 r
,8625
,868 6
,873!
,878 J
7,884
,889 5
,894^
,900
>9°55
7,910
,916 6
,921 5
,9265
-932
5
7-937
n'1
20,250
20,340 ^ •
QO
20,430 ^
OI
20,521 9
2O,6 Г2 y
90
20,702
20,794 93
20,885 9I
20,976 ^
21,068 ^
92
21,160
21,252 92
21,344 92
ОЧ
21,437
go
21,530 93
21,622
21,716 94
21,809 93
04
21,902 yd
21,996 94
^ 94
22,090
22,184 94
22,278 W
22,373 95
22,468 s5
f 94
22,562
22,658 ^
qe
22,753 :!
22,848 2
22,944 g
23-040 -
23,136 r!
23.232 ;
23,329 97
23,426 эт
23-522 q8
23,620 ^
97
23-7i7 „'
23,814 g
23-912 ^
24,010
24,108 ^
24,206 •*
CO
24-305 *
24.404 2
24-502
24,602 10°
24,701 "
24,800 "
24,900 10°
^ ^ 100
25,000
Я3
91, 12
9^.73 :
92,35 ?
92,96 2
93,58 ?
94,20
94.82 f
95'44 2
96,07 ?
96,70 g
07,04
У/ J^ 64
97-97 2
98,61 ^
99-25 65
99-90 ^
100,54
101,19 *
ioi,8sf
102,50 5
103,16 2
103,82
io4,49!l
I05-i5f7
105,82^7
Io6-So"
107,17 ffl
I07'85S
108,53 2
109,22^
109,90^
I10'59^
111,28 ^
111,98 7°
1 12,68 7°
1 13.38 7°
70
114,08
1 14,79 7I
1 1 5.50 7
116,21 7I
116,93 72
117,65
1 1 8,37 'I
119,10 73
119,82 72
120,55 73
121,29
122,02 73
122,76 74
123,51 75
74.
124,25 '4
75
125,00
я*
410,1
413-7 3
417,4 '
421,1 37
424,8 37
4 ^ 38
428,6
432,4$
436,2 38
48
440,0 3
443,9 »
447,7
451-7 4°
455,6 з9
459.5 f
4бз-5::
467,5,,
47I'6!0
475-6 4;
479-7 4
483,8 J
488,0
492Д%41
496,3 42
5oo,5 f
504,8 43
509,1
513-4 43
517.7 43
?ч22,0 43
s26^::
53о,8
535,3 «
539,7 ^
544-2 4J
548,8 J
553.3 (fi
557-9 *
^б2'5!б
5б7Д 4б
571-8-
576'5„
58l,247
585'947
59°'7 4g
595-5 48,
49
600,4
605,2 48
6iO,I 49
615,1 5°
620,0 49
5°
625,0
Л5
1
I8452I
1866 2I
1887 2I
1908 2I
1929 H
195°
197222
от
J9932'
2015 22
2037 I
2060
2082 **
2T°s2
2128 2з
2I5I23
° 23
2I74^
2198 "*
2221 23
2245!t
2269^
24
2293 „.
2318 '5
2343 2:
2368 2э
2393 J
2418,
2444
24§ 2
2495s6
27
2522J
2548
27
2575
^ 27
2602 '
2629 2?
a6562
2684
2711 27
2739 2
2768 2„9
2796 28
Iy 29
2825
2854 29
*J • on
2883 29
2912 ^9
2942?:
2972
3<X>23°
3032 3°
ЗОбЗ 3
3094^
3125
1
rt
O,22222
,22173 49
,22124 49
AQ
,22075 т:
,22026 y
48
0,21978
,21930*
,21882 48
,21834^3
,21786 48
0,21739
,210^2 47
-2l645'77
.2T59847
,«552 .„
0,21505
,21459 46
-21413^.
,21368 J
,21322 J.
0,21277 46
,21231 *
,2II8645
,21142 ?
-2I09744
0,21053
,21008 45
,^964 2
,20921
,20877 1;
0,20833
,20790 «
'20747 4H
,20704;
,2066-1 43
• 42
0,20619
.20576 32
,20534 42
,20492
'^ 4^
.20450 42
0,20408
.203б7 42
,20325
,20284 ,,
41
,20243 4i
O.2O2O2
,20l6l 4T
,20121 4°
,20080 4J
,20040 4°
40
O,200OO


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
И
5,00-5,50
я
5.0°
,or
,02
>°3
,04
5-°5
,06
,о7
,о8
,09
5,ю
Л
,12
,13
,14
5-:5
,16
,1?
Д8
Д9
5-20
,21
,22
-23
,24
5.25
,26
.27
,28
,29
5.30
.31
-32
.33
-34
5.35
.36
.37
.38
-39
5.40
,4i
,42
.43
-44
5.45
,46
.47
,48
-49
5,50
1
Уп
2,2361
'2з8з^:
,2405
,2428 23
-245°:2
2,2472
.2494 22
,25г72з
.2539 22
,2561 22
1>2
2,2583
,2605 ~2
,2б27 22
,2б5023
,2б72 22
22
2,2б94
,271 б22
,27з8 22
,2700 22
,2782 22
22
2,2804
,2825 21
.2847 2а
,2869 22
,2891 22
22
2,2913
,2935 22
-2956 Ц
'29/8г2
,3000
"-* 22
2,3022 >г
,ЧО4Ч ~
'3 JO 22
'3°б5 22
•Зо8722
•3«* «|
2-3130 ^ \
*\&~
161/3 22
'319521
'321622
2.3238
'325922
,3281 22
,3302 2I
,33*4 "
2,3345
,3367 22
,3388 2Г
,3409 2I
-343* 22
21
2-3452
i
Уш
I
7-°7i
,о78 7
,о85 7
! ,092 7
099 7
1 7
7,ю6
ДГЗ7
,12О7
,127 7
Л347
7
7,!4i
Д487
-155 7
,1б27
дб97
7,176
,i83 7
,19°7
J977
,204 7
7
7,211
,218 7
,225 7
,232 7
,239 7
7,246
,253 7
-259*
,2б67
-273 7
7,28о
,2877
,294 7
,3°г 7
,308 7
7.3Т4
/>0 Т
.321 7
,328 7
-335 7
.342 7
7.348
'355 7
,3б27
,3б97
,376 7
7,382
,389 7
,39б7
,403 7
-409 *
•7.416
3
Уп
1,7 loo
.7ITI11
,712312
ii
,7134 т
.7145 м
Ъ7Т57 тт
,7168"
.7179;;
! >7*9° "
! ,7202
II
1,7313 „
,7224
.7235
.7247
,7258;;
1,7269
,7280 IZ
,7291 11
.7303 2
,73ч;;
1-7325 тт
•7336
.7347 тт
,7358
.7369 ;;
i,73So
ii
»739 г
и
,7402
и
-74*3
ii
>7424
'^ и
1-7435 Т1
,7446 "
и
-7457 '
,7468 1г
и
-7479 ?1
i,7490ir
.7501 z
,7512
—99 10
, / л22
II
-7533 „
1-7544
/vj-r-r Т1
-7доо тт
-7566 "
и
-7577 ^
_ -0™ Ю
•7о87 „
1-7598
,7бо9 "
,7620 "
,7б3о;°
,7641 ;;
1,7652
1
3
V iu«
!
!
3,684
,686
,689
,691
-694
3,б9б
,699
,701
-704
,7°6
3,708
,7ti
,713
,716
,7т8
3.721
.723
-725
,728
-730
3,733
,735
,737
,740
,742
3,744
.747
'749
.752
-754
3-756
.759
,i
-763
,766
3,768
.770
,773
-775
-777
3-/80
,782
.784
,787
.789
3<79*
.794
.796
,798
,801
3-803
! 3
V'lOOTz
!
7-937 .
,942^
,948'
-953.
-958f
э
7.963 ,
,9696
,974 э
,979 5
,984^
7,990
7.995^
8,ооо5
,005 5
,010 5
6
8,oi6
,021 5
,О2б 5
,031 5
,036 =>
5
8,041
,04?!
,052°
,057 5
,об25
5
8,о67
,072 5
,077 5
,0825
,о886
5
8,093 B
,098 5
доз5.
,ю8э
,из5
о
8,ii8
,Т235
,1285
,133^
Д385
5 1
8Д43е
Д485
,153^
: ,т585|
Д635|
8,168
.173?
Д78!
,183 5
д885
5
8,193
|
п-
•
25,000
25,ioo 10°
25,200 10°
25^зо! ;:;
25,402 °
^ 100
25,502
25,604 102
25-7°5 ;0°;
25,806 101
25,908 J02
102
26,010
26,112 102
2б,214 102
2б,3Г7103
26,420 Ю3
102
26,522
2б,б2б Ю4
2б,729 103
26,832 Т°3
26,936 г°4
ю4
27,040
27,i44T104
27,248 Т°4
27,353 105
27,458 105
104
27,562
27,668 195
27,773 "J
27,878 105
27,984 Щ
28,090
28,196 Io5
28,302 lo6
28,409 I0?
28,5i6 107
юб
28,622
28,730 IoS
28,837 10?
28,944 HI
29,052 Io8
J ° io8
2ддбо
29,268 1о8
29,3/6 1о8
29,485109
29,594 S
29,702
29,812 110
29,921 т°9
30,030 109
ЗОД40110
но
30,250
п*
125,00
125-75 5
126,51 7.
127,26 75
128,02 7б
77
128,79 ,
129.55;'
130,32 /7
131,10 7
! 131,87 77
132'6578
132,43 7
134,22 /У
135-01 7^
135,80 79
;9
13б'598о
137,39:°
138,19*
138,99^°
139,8о Ц
140,61
I4L42
142,24 °2
143-06 82
43,88 fa
44,70
145,53 f
146,3683
147,2084
' ' Q i
148,04 84
148,88
149,72 f4
150,57*
15^42^
152.27 8з
0 У8б
153ДЗЯЙ
153-99!!
154,85*
155-72 ?
15б,59«7
157'4б8а
158,34^
159.22 ^
QQ
160Д088
160,99 ^
89
i6i,88
162,77 ^
1б3,679°!
I64.5790
165,47 9°
до ;
т66,з7
!
п*
625,0
630,0 5
635,1 ^'
640,1 5°
6«^:
65°-4 .т
655-5 f
66о,7 ^
666,0 53
671,2 5а
53
67б,5м
681,8 53
637,2 54
692,6 54
698,0 54
54
703-4 се
708,9
74,4 ^
72О.О 5°
725,656
731.2
736.856
742,5 57
748,2 57
75Я,957
/Л 58
759,7
7б5,5!«
77L3 э
777,2 59
783Д 59
59
789-0,
795,0 ^
801,0е0
807,1 б1
813,1!°
61
8l9'2^
825,4
831,6е2
837,8 ^2
844,0-
85о,3,
856,6^з
863,о«4
869,4 14
875-82
882,2
888,7 J
895,3 2
901,8 б5
^8,4-
9^5.1
i
и5
312531
3156 3I
! 3188 32
3220 З2
3252J
3284
3317 33
335°^
3383 33
3417 ?
345° яд
3484 34
3518 ™
3553!!
3588 J
Зэ
3623
365335
3694^
QI;
3729 f!
3766 37
3802
383937
387637
3913 ^
3951 1,
3988
4027 39
4о6538
чо
4Ю4 39
4Q
4143 g
4182
4222 4°
42б1 39
4302 to
4342-
4383 .1
4424 4Г|
44бб 42
4507 4I
4549-
4592
4634 42
4677f
4721 44
4764 2
48о8
485244
48974!
4942 4э |
4987«|
5033
i _L
i п
О,2ОООО
,199бо4°
, 19920 4°
,19881 39
Д9841 4°
39
ОД9802
,197бз2
, 19724 39
,19685 39
.19646»
0,19608
>195б93!
^j ^ о8
«I953I Го
-19493,0
-I9455J
од 94i7
QT
,19380 37
УО ч8
Д9342
^ОТ „т
,193°5,!
,19268 37
37
0,19231
47
-19194:;
-19^57 5J
,19120 «
,19084 J
0,19048
, 19011 f7
-18975 J
,18939 J
- 18904 g
0,18868
, 18832 ^
.18797 ^
,18762 35
. 18727 ^
0,18692
,18657 З5
, 18622 ^
,18587^
Д855333:
0,18519
,1848435
,I8450 34
Д841б 34
,18382 34
33
0,18349
Д83Т5 34
,1828233
,l82483*
/I82I533
33
0,18182


12
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
5,50—6,00
71
5-5°
,5i
,52
,53
.54
5-55
-56
.57
-58
.59
5-6о
,6i
,62
.63
,64
5.65
,66
.67
,68
,69
5,7°
,7i
,72
,73
.74
5-75
,76
,77
.78
,79
5>8о
,8i
,82
,83
,84
5.85
,86
,87
,88
,89
5'°о
-91
,92
,93
.94
5,95
,96
,97
,98
.99
6,оо
Vn
2'34522i
•3473 '
,3495
^6-
'3537 „
2-3558 22
>3^°
,3601 2I
,3622 2I
,3643-
2,3664
'3685-
'3707 ~
'3728 »
,3749 2I
2,ЗЦО
,3791 2*
,38i2 2
•3833-
'3854-
2,3875
,3896
'3917 ^
'3937"
,3958-
2,3979
,4000 2I
,4021 2I
,4042 2I
,4062го
21
2,4083
,4104 2I
'4-5^
,4145 "
,4166 2I
^ 21
2,4187
,4207
,4228 I1
,4249-
,4269 ^
2,4290
,4310s0
'4331
'4352-
,4372 aj
2,4393
'4-«<
.4434
,4454!°
.4474 2I
2.4495
YlOn
7,4i6
'423 I
,430 7
-436 *
'443 J
7'45°
,457 I
'463 J
.470 7
.477 ^
7,483
,490 7
,497 7
,503 6
,51° 7
7
7-51? л
,523 6
,530 7
,537 7
,543 6
7
7-55°
,556 6
,5бЗ 7
'570 7
,576 6
7
7,583 л
,589 6
,596 7
,603 7
,609 6
7
7,6l6
,622 6
,629 7
,635 6
,642 7
7
7,649 ,
,655 6
,662 7
,668 6
,675 I
7,681
,688 7
,694 6
,701 7
,707 *
7.74 ,
,720 6
,727 I
,733 !
,740 ^
7,746
3
Y7T
1,7652
,7662 I0
,7673 "
,7684 "
,7694-
L7705
,77i6"
,7726 °
.7737
,7748^
Itl77S5ii
'7769 о
.7779 °
,7790 "
,7800 I0
ii
1,7811
,7821 10
,7832 "
,7842 ;°
,7853;;
1,7863
,7874"
,7884 io
,7894;°
,7905;;
1,7915
,7926 "
,7936 io
.7946»
,7957;:
1,7967
,7977 I0
,7988"
,7998 I0
,8008 I0
10
1, 8018
,8029 "
,8039 10
,8049 10
,8059-
1,8070
,8080 I0
,8090 I0
,8100 10
,8iio10
ii
1,8121
,8131 10
,8141 10
,8151 "
,8161 10
IO
I,8l7I
я
YlOn
3,803
,805
,808
,810
,812
3-814
,817
,819
,821
,824
3,826
,828
,830
,833
,835
3-837
,839
,842
,844
,846
3,849
,851
,853
,855
,857
3,86o
,862
,864
,866
,869
3-871
,873
,875
,878
,880
3,882
,884
,886
,889
,891
3,893
-895
,897
,900
,902
3,904
,906
,908
,9"
,913
3,915
я
ViW
8Д93
,198
,203
,208
,213
8,218
,223
,228
,233
,238
8,243
,247
,252
,257
,262
8,267
,272
.277
,282
,286
8,291
,296
,301
,3°6
.3ii
8,316
,320
,325
,33°
,335
8,340
,344
,349
.354
,359
8,363
,368
,373
,378
,382
8,387
,392
,397
,401
,406
8,411
,416
,420
425
.43°
8,434
т;'
30,250
30,360110
30,470;;°
30,581 '"
30,692 "'
no
30,802
30,914 II2
31,025 r"
3LI36111
3t,248
112
Зт«3бо
31,472 "a
3L584 1I2
31,697 
31,810 
112
31,922
32,036 1I4
32,149 
32,262 
32,376 
114
32.490
32,604 
32,718 
32,833 
32,948 
114
33,062
33.178
33,293 
33,408 
33,524 "*
116
33,640
33.756 
33-872 "b
33,989 II?
34,106 
иб
34,222
34,340 1IB
34,457 
34.574 "'
34,692 "8
118
34,810
34,928 "8
35,046 "8
35,165 II9
35,284 "9
118
35'402
35,522 12°
35.641 119
35.760 "9
35,880-
36,000
n3
166,37 „
167,28 9I
168,20 92
169,11 91
170,03 J
I7°'95 04
171,88 93
172,81 93
OQ
173,74 ~
174,68 H
I/75'62 -,
I76,56 94
177,50 ll
178.45 g
179,41 *
180,36
l8l,32 *
182,28 9°
183,25 97
184,22 97
97
185.19 .
186,17 98
187,15 98
188,13 98
l8g,I2 99
У 99
IOOII
191,10 "
I92,IOIO°
193.Ю I0°
194,10 10°
^^ 101
195,11
1 96,12 101
197,14 102
198,16 102
199,18 102
y* 102
2OO,2O
201,23 I03
202,26 103
203,30 104
IOJ.
2°4'34IOJ
205.38
206'43 2
207,47 \
2о^5з;^
209,58 S
210,64
211,71 I07
212,78 I07
213,85 I0?
214,92^
216,00
77*
9J5'J66
921,7:!
928,4 2
935'22
942,o м
948'86o
955,7^
962'5!!
969.5 1
976,45;
983,4 ^
990,5 7
997,6
io°4-7, 7
101 1,9 7a
71
1019,0
1026,3 73
1033,6 73
1040,9 73
1048,2 73
74
Ю55.6
1063,0 74
1070,575
1078,0 75
1085,5^
1093,1
i Ю0.8 77
iio8,476
ш6д77
1 123,9 78
77
1131,6
1 139,5 '9
7'39
1 155-2 I9
3,2^
1171<28o
1179,2^
"87,3 g
«95-4 g
1203,5 ?
1211,7
1220,0 83
1228,3 f
1236,6 8з
I244,9 °3
«4
1253,3 Яе
I26l,885
1270,385
1278,8 fj
I287'4^
1 296,0
„'
5°33 ^
5°79$
5i25 f
5172^
5219^
5266
53T3 JJ
536i
5410;a
«seS
5507 50
5557 ^0
5606 49
5656 5°
«J 0 -j
5707^
5758
5809 '
586o ?
5912 *
5964^3
6017
6070 53
6123 g
6177::
6231-5
6285
6340 55
63965б
6451 55
6507 56.
57
6564 ,
6620 56
6678 S8
6735 57
6793 58
685I
6910 59
6969 59
70296°
7089^
7149,
7210 6I
7271 ?
7333 f
73952
745/ ,
7520^3
7584^
7647 f4
7711 S
7776
j_
n
0,18182
,18149 ю
,i8ii633
,18083 зз
,18051 &
33
0,1 8018
,17986 V
44
,17953
/-7^>0 43
,17921 *^
,178893°
За
0,17857
,I7825 ЗЭ
Ql
,17794 3
,17762 &
.17730 J
0,17699
,17668 3I
,17637 3I
,17606 31
,17575-
0,17544
QI
,17513
о ЧО
.17483
41
•I7452!0
,17422 ^
/t 3I
0,17391
,17361 ^
.17331*;
,17301 ^
40
,17271 d
y ' 3°
0,17241
, 17212 ^
.I718230
Д7153 J
,17123^
0,17094
.17065 *
.17036*
Д7007 "9
,16978 ^
-9
0,16949
,16920 ^
,16892 ^
,16863 2
,16835^
0,16807
\rtTlg*
v 16750 ^
,16722
,16694
27
0,16667


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
13
6,00-6,50
п
6.ОО
,01
,О2
.03
,04
6,05
,о6
,07
,о8
,о9
6,ю
,и
,12
дз
.Н
6,15
,it>
-17
,18
• *9
6,2О
,21
,22
.23
-24
6,25
,26
,27
,28
.29
6,30
.3'
-32
.33
.34
6,35
.36
•37
.38
•39
6,40
-4'
.42
43
,44
6,45
,46
-47
•48
-49
6,50
V п
2,4495;»
>45 ' о от
,4536 2I
•4556 »
, _ ? ао
,4a;6ai
2,4597
,4617я"
.463720
.4658 2I
,4678-
2,4698
,4/18 ж
,4739 "
«-I&1
*™С
2-4799
^9Ж
4«392°
,48fco2r
,4880 ад
ро
2,4900
,4920 ^
,4940 м
496020
,498° *
2О
2.5ООО
,5020 *>
'5°4°"
,506с20
•508020
20
2,5 ТОО
.5I2020
.5Ч020
'5'59~
•З'ЯС
2-5*99
-52I920
6239*
,5259го
,5278 *
2О
2,5298
•53>8"
,5338*
,5357 *
'5377 "
2,5397
.54I720
6436*
6456"
'5475^
2,5495
КЮл
7<74б
'752
,759 7
•765 !
,772 1
7>7?8
,785 7
,791 1
-797 !
,804 I
7,8го
,8i7 7
,823 1
,829 6
,8367
7,842
,849 7
8_- о
ОО ,
,8Ы 6
,868 7
6
7-874 ,
,88о 6
,887 I
.893 *
,899 J
7,906
,9>2 2
,9i8 б
,Q2S 7
'^ ° 6
,931 6
7-937 '
,944 7
,950 6
•956 J
,962 6
7
7,969 6
,975 6
,98t 6
.987 '
7-994 1
8,ооо
,006 *
,О12
,oi9 I
,025 ;
8,о3т
,037
,044 7
,050
,о56^
8,062
3
Vn
1,8171
,8181 10
,8 [91 Ю
,8201 10
,8211 Ю
ii
1,8222
,8232;°
,8242 ю
,8252 ;°
,8262 Ю
ю
1,8272
,8282 10
,8292 Ш
,8302 ы
,8зи 9
ю
1,8321
,8331 Г°
,8341 Ш
,835 г Ю
•8з°> ;:
i,837i n
,8381 10
,839t ю
,8400 9
,8410 10
10
1,8420
,843о 10
,8440 10
,8450 '°
•8^10
1,8469
' ,8479 10
,8489 Ч
,8498 9
,8508 10
° 10
1,8518
,8528 10
'8537Zo
,3547 °
.8557 W9
1,8566
,8576'°
,8586 10
,8595 t9
,8605 ш
° 10
1,86 [5
,8б24 9
,8634 г°
,8643 9
,8653 ;:
1,866з
s
УТо/г
3-9 ^5
,9'7
,9'9
,921
,924
3>926
,928
,93«
>932
,934
3-936
-939
-94Г
,943
-945
3-947
,949
,951
-954
>956
3,958
,960
,962
>9б4
,966
3-9б9
,97 i
,973
,975
,977
3-979
,981
,983
,985
,987
3,990
,992
,994
,996
3,998
4,000
,002
,004
,006
,008
4,010
,012
,015
,017
,О19
4,021
3
VWOn
8,434
,439
,444
,448
,453
8,458
,462
467
,472
,476
8,481
,486
,490
,495
,499
8,504
,5°9
,5'3
,5 '8
,522
8,527
,532.
,536
,541
-545
8,550
,554
,559
,5б4
.568
8,573
,577
,582
,586
,591
8,595
,6оо
,604
,609
,6i3
8,6т8
,622
,627
.63t
,636
8,640
,645
,649
,653
,658
8,662
1
п»
Зб.ООО
Зб,12012°
36,24012°
36,36l 121
Зб,482 121
120
Зб,6О2
36,724 
36-845 ^
Зб.обб 121
37,о88 122
122
37.2Ю
37,332 122
37454 "з
37-577 ' 3
37,700-
37.822
37.946 124
38,069 123
38,192Г23
38.3I6124
124
38,440
38.564 124
38.688 124
38.8.3 125
38,938 2
39,062
39-I88126
39-3 >312!
39 438 12=
39-564 ^
39,690
39,8i6 **
39-942 126
40.069 12?
40,196 127
^ У 126
40,322
4о.450 128
40,577 Г27
4о ;04 127
40,832 ^
128
40.960
4!.о88128
41.21 б128
41-345 129
4M74S
4Т,б02
4,.732ГЗ°
41,861 129
4L990;29
42,120 13°
130
42,250
п3
2l6,O
2I7.I"
218,2"
2.9,3"
220,3 ^
221,4
222,5 "
223.6 "
224,8 "
225,9 ;;
227-0
228,1 "
2С9.2 "
230,3 "
Ч-.5,"
232,6
233-7 "
234.9 12
236 0 "
237,2-
238,3
239-5 "
240,6 "
241,8 12
24з,о ;а
244Д
245-3 "
246,5
247,7 13
248,9 12
и
250,0
25Г.212
252,4 12
253,6 12
254,8 12
12
256.0
257,3 13
25^-5 12
259-7 12
200,9 12
12
2б2,1
2б3,4 13
264 6 12
2б5,8 12
267,1 13
12
2б8,3
269 6 13
270,8 12
272,1 13
273-4 Ц
274.6
и*
1296
1305 9
13^3
1322 у
да9
1340
1349 9
'358 1
13Ь7 9
13/6 1
1385 0
1394 9
1403 9
1412 9
1421 9
10
1431
1440 9
1449 9
1459 10о
1468 9
10
1478
1487 9
1497 10
1506 9
I5i610
10
1526
1536 10
т - .f. Ю
1546
Т555
1565
0 °ю
1575 „
1585 ;°
1595 10
I00611
1616 10
10
1б2б
1б36 10
1б4610
1б57"
i667 10
и
1678
1688 ю
i699IZ
1709 10
1720 1Т
и
I73T
1742 »
1752 ;;
1763 1Г
1774-
1785
п3
7776 ,
7841 g
79o6g
7972 *
8039^
ОУ66
8 Ю5
8173®
8240 2
8з°82
8377 g
8446 60
8515 *
8585'°
8656 7Г
8727 7;
8798
8870 72
8942 72
9°!5 73
9о8873
73
9161
9235 7*
93Ю 'э
9385 ^
9461 +
9537 w;
9613^
9690 77
9768 2
9846 jj
7°
9924
юооз^
1Со8з^
Ю163^
Ю24381
10324 Яо
Ю4о682
10488 ^
I057i?
у' 8ч
1°б54 о
0 83
Ю737 Я5
10822 Ь5
юдоб8^
Ю99Г Оэ
86
"^вб
Т1ТбЗо7
1 Т25° йя
38*
11425^
"зи*
ибоз
1
л
од6667
.I66392!
дбби28
,165842
,16556
оо 2?
0,16529
,16502^
•1б474 „
,i6447 ^
,- 2Т
,1б420 '
27
0,16393 ^
,i6367J
,1634°
.^313 2
,1б287 *
О,1б2бо
.16234
,1б207 '
.leiSi2:
/- 26
'^SS^
0,16129 ,
,16103^
'1б°772б
,16051
,16026 f?
' 26
0,16000
,15974
,15949*
Д5924 ^
Д5898 J
OJ5873
,15848 ^
•15823Я!
,15798 5
^'^ 2S
,!5773 ^
о-г5748
,15723 J
.i56992J
•15б74а?
'^649;
0-15б252,
,i=;6oi ^
-155/6 25
- оо / 2,
,155Г2
^5528^
о-155040/(
,1548о^
,15456^
J ° 24
-154322:
,15408 ^
си- 23
ОД5385


14
6,5
п
6,50
.51
,52
,53
,54
6,55
.56
,57
,58
,59
6,6о
,6i
.62
.63
,64
6,65
,66
,67
,68
,69
6,70
.71
,72
,73
.74
6,75
.76
.77
,78
,79
6,80
,8 г
,82
,83
,84
6,85
,86
.87
,88
,89
6,ох>
,9*
,92
-93
-94
6,95
.96
.97
.98
99
7,оо
Э— 7,00
VT
2,5495 ж
'55*5 *
,Ч5Я4
ОООЧ-
,5SS4
OOOf
-5573 j|
. 2,5593 n
,5612 I9
,5632 "
*6$2Z
•567* ;
2,5690
,5710s0
,5729 I9
•5749"
,5768^
2,5788
,5807 I9
,5826 I9
,5846 ж
,5865 J9
2,5884
.5904
,5923 '9
-5942 I9
,5962-
2,5981
,6000 I9
,6019 I9
,6038 I9
,6058-
2,6077
,6096 I9
.6115 I9
,6134 I9
*532
2,6173
,6192 I9
,6211 19
,6230 19
,6249 19
19
2,6268
,6287 I9
,6306 19
,6325 19
,6344 I9
19
2,6363
,6382 J9
,6401 ^
,6420 '9
,6439 I9
19
2,6458
Via1»
\
8,062 6
,068 7
,075 J
,081 6
,087 6
8,093 &
,099 7
,106 6
,112 6
,118 6
8,124 6
,130 6
,136 6
Д42 7
,149 6
8-155 6
,l6l 6
Дб7 6
-173 6
Д79 6
8,185 6
,191 7
Д98 6
,204 6
,210 6
8,2l6 6
,222 6
,228 6
,234 6
,240 6
8,246 6
,252 6
,258 6
,264 6
,270 6
8,276 ?
,283 6
,289 6
.295 6
,301 6
8,307 6
.313 6
.319 6
,325 6
,331 6
8,337 6
,343 6
,349 6
,355 6
,361 6
8,367
я
Y'n
1,8663
,8672 9
,8682 I0
,8691 9
3701»
1,8710
,8720 I0
,8729 9
,8739"
,8748^
1,8758
,8767 9
•8777 x!
,8786 9
3796»
1,8805
,8814 9
,8824 I0
,8833 9
,8843-
1,8852
,8861 9
,8871 I0
,8880 9
,8889 9
10
1,8899
,8908 9
,8917 9
,8927 ™
,8936 9
1,8945
,8955"
,8964 9
,8973 9
,8982 9
10
1,8992
,9001 9
,9010 9
,9019 9
,9029'°
1,9038
,9047 9
,9056 9
,9065 9
,9074 9
10
1,9084
,9093 9
,9102 9
,9111 9
,9120 9
9
1,9129
MATE.V
з
V f ой
4,021
,023
.025
,027
,029
4-031
,033
,035
,037
-039
4,041
,043
,045
,047
,049
4,051
.053
,055
,058
,060
4,062
,064
,066
,068
,070
4,072
,074
,076
,078
,080
4,082
,084
,086
,088
,090
4,092
,094
,096
,098
,TOO
'
4,102
,104
,106
,108
,109
4,111
Д13
Д15
Д17
.119
4,121
АТИЧЕСЛ
3
VlOOn
8,662
,667
,671
,676
,680
-8,685
,689
,693
,698
,702
8,707
,711
,715
,720
,724
8,729
,733
,737
,742
,746
8-750
,755
-759
-763
,768
8,772
,776
,781
,785
,789
8,794
,793
,802
,807
,811
8,815
,819
,824
,828
,832
8,837
,841
,845
,849
,854
8,858
,862
,866
.871
.875
8,879
<(!!• ТАБЛИ
n'J
42,250
42,380 I3°
42,510 I3°
42,641 I3t
42,772 j;
42,902
43,034 i32
2 I-U
43ДЙ з
43,296 32
43,428 J
43.5бо ^
43,692 ^
43,824 -
43,957 ™
44,000 •"
132
44,222
44-356 ;34
44,489 33
44,622 133
44-756 134
134
41,893
45,024 If.
45Д58 34
144
45,293 _~
45.4*2
45,5б2
45,698 136
45-833 If.
45.968 я
46-io4;g
46,240
46,376 ^
46, 512 136
46,649 137
46,786 '37
136
46,922
«r 148
47,060 •*
47Д97137
47,334 ;g
47.472 J
47-610 o
47.748 *»
47,886 I38
43-025^9
48дб4 ;39
48,302
48,442 14°
48,581 139
48,720 139
48,860 14°
T 140
49,000
ЦЫ
я1
274,6
«75,9 I34
277,2 3
278.4'!
-79,7-
28l,0
282,3 I3
283, 6 I3
284,9 I3
286,2 I3
13
287.5
288,8 I3
290Д I3
291,4 I3
292,8 H
13
294,1
295, 4 '3
296,7 3
298,1 14
299,4 ;3
300,8
з°2, i13
303.5 14
зо4,8 i3
306,2 i4
13
307.5
308,9 i4
3IO-3 I4
311,7 14
313.0 ;3
314,4 t
315,8 14
317,2 i4
318,6 i4
320,0 i4
321,4 л
322,8 i4
324,2 i4
325.7 *
327,1 H
328,5
329,9 I4
33^4 I5
332,8 I4
334,3 1э
14
335-7
337.2 J5
338,6 14
34° Д ъ
441. ^ I4
d4 5 15
343-0
/z*
1785 „
1796
1807
1818"
1829 ;:
1841
1852;;
1863
1875 2
1886 "
II
1897
12
1909
12
1921 „
i932-ra
1944 M
1956
1967 "
12
1979
12
1991
2003 "
12
2OI5
2027 "
2039 "
205I I2
2064 I3
12
2076
2088 "
2101 I3
2113 I2
2126 I3
12
2T38
2I5I I3
2I63 -
2I76 I3
2l89 13
13
22O2
2215 I3
2228 I3
224T I3
2254 ;3
2267
2280 13
2293 I3
2306 13
2320 *4
J 13
2333
2347 14
2360 I3
2374 14
2387 13
14
2401
/;"
To
i
i
ибо
пб9 9
1178 9
1187 9
1 1196 9
10
]2Эб
1215 9
1224 9
1233 9
1243 »
1252
1262 I0
1271 9
1281 10
1291 10
9
1300
I3IO I0
1320 I0
1330 ;°
i34o io
10
1350
1360 10
1370 10
1381 X1
1391 10
10
1401
1412 ll
1422 10
1433 IJ
I44310-
ii
1454
1465 »
1475 I0
1486 "
1497 "
ii
1508
1519 JI
153° "
T54I11
, _-0 12
1553 „
1564
1575 "
I587 »
1598 »
1610 I2
12
l622
1633 "
1645 I2
I657 I2 |
1669 12 !
12 i
1681
| i
;;
°. 15385
,15361"*
Д533724
,1^314 3
0 24
. Т529Г ^
ОД5267
,IS24423
0 24
,15221 3
, 15198 23
24
,1^175
0 /D23
ОД5152
,15129 J
Д5106 d
iT5±S
Д5о6023
0,15038
24
•I50I5 J
-I49932.
,14970 23
.14948^
0,14925
л 49°3 22
, 14881 22
Д4859 22
^483722:
0,14815
Д479322
Д4771
.14749 ^
.14728 2I
22
ОД4706
Д4684 22
,I4663 2'
Д4641 "
, 14620 21
21
ОД4599
Д457722
Д4556 ai
•Д453521
.1454 ai
21
0,1 4493
,14472 2t
,14451 2J
Д443021
,14409 2l
21
0,14388
Д4368 *>
Д4347 21
,14327 ^
,14306-
20
0,14286


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
15
7,00-7,50
п
7-°°
,OI
,02
-03
,04
7,05
,об
,07
,о8
,09
7,10
,и
,12
дз
Д4
7,14
' ^
Дб
Д7
,18
J9
7,20
,21
,22
-23
.24
7-25
,2б
,27
,28
,29
7-30
-31
-32
,33
-34
7 .35
,36
.37
.38
•39
7-40
41
,42
-43
•44
7-45
-46
•47
,48
.49
7о°
V7T
2,6458
,6476 8
•6495 о
,6514 '
,б5зз i
2,6552 m
.6571 11
,6589 18
,6608 19
,6627 19
19
2,6646
,6665 19
,6683 18
,6702 19
,6721 *9
iB
2,6739
,6758 19
,6777 19
,6796 19
,6814 18
19
2,6833
,6851 18
,6870 '9
,6889 '9
,6907 l8
!9
2,6926
,6944 l8
,6963 *9
,6981 l8
,7000 I9
19
2,7019
.7037*
•7°55 I
,7074g
,7092 l8
*9
2,7111
,7129 18
,7148 *9
,7166 18
,7185 19
' °i8
2,7203
,7221 l8
,7240 *9
,7258 l8
,7276 >8
19
2,7295 -
,734 8
,7331 l8
.735<>2
,7368 ;8
2,7386
VlQn
8,367 6
,373 I
'379'
,385 '
,390 5
О
8,396
,402 &
,408 6
,414 *
,420 6
6
8,426
.432 *
.438 6
,444 !
,450^
8,456 л
,462 6
,468 6
,473 5
,479 *
о
8,485 л
,49i 6
,497 *
,503 *
'5°96
8,515 л
,521 6
,526 5
•S32 !
'S38 6
о
8,544 л
>552 6
,556 *
,562 6
,567*
8,573 .
,579 *
,585 *
,591 *
.597 *
8,602
,608 б
,6i4 6
,620 6
,626 6
5
8,631
,637 *
,643 I
,649 '
,654 *
8,660
3
'V7T
1,9129
,948,9
,9148*;
.947 ;
,9166 9
9
1,9175
,9184 9
,9193 9
,9202 9
,9211 9
9
I,922O
,9229 9
,9238 9
,9247 9
,9256 9
9
1,9265
,9274 9
,9283 9
,9292 9
,9301 9
9
1,93Ю
,9319 9
,9328 9
,9337 9
.9345 8
1-9354
,93бЗ 9
,9372 9
,938i 9
,9390 9
9
L9399
,9408 9
,9416 8
,9425 9
,9434 9
9
1-9443
,9452 9
,9461 9
•*'*. a
,94б9 8
,9478 9
1,9487
,9496 9
,9504 I
,954 *
,9522 9
9
I.953I
-9539
,9548 9
,9557 I
'9566 *
1.9574
3
VlQn
4,121
,123
,125
,127
,129
4,41
,43
,45
-47
,49
4,141
.143
Д45
.147
Д49
4Д51
Д52
,154
,156
Д58
4,160
,162
,164
,166
,168
4,170
,172
Д74
,176
Д77
4Д79
,181
,183
-185
,187
4,189
,191
Д93
Д95
,196
4Д98
,200
,202
,204
,206
4,2O8
,2IO
,212
,213
,215
4,217
3
VlOOn
8,879
,883
,887
,892
,896
8,900
,904
,909
,94
.917
8,921
,925'
,929
,934
,938
8,942
,946
,950
.955
,959
6,963
.967
•971
.975
,979
8,984
,988
,992
8,996
9,000
9,004
,008
,012
,016
,021
9-025
,029
,033
,037
,041
9.045
,049
,053
,057
,06 1
9-065
,069
,073
,078
,082
9,086
n3
49,000
49,140 14°
49,280 I4°
49,421 141
49,562 ;4;
140
49,702
49-844 %
49.985 4
50,126 HI
50,268 i42
° i42
50,410
5°'552 4*
50,694 %
50,837 I43
50,980 143
3 >y 142
51,122
51,266 I44
51,409 '«
51-552 143
51,696 i44
144
51,840
51,984 i44
52,128 i44
52,273 I45
52,418 I45
144
52,562
52,708 I46
52,853 I45
52,998 I4l
53Д44 *4'
146
53.290
53,436 H6
53,582 I46
53,729 147
53-876 M7
54'°22 MB
54,I70 *
54,317 147
54,464 2J
54^
54.760
54,908 I48
55.°56 ?
55-205 49
55,354 
14»
55-502
55'652 15°
55-801 149
55.950^
56,100 Г5°
0 i5o
56,250
я«
343,0
344>5i!
345,9 *
347,4 *
348,9^
350,4
35L9 !
353,4 '.
354,9 *
356,4 JJ
357,9
359,4 5
360,9 J5
362,5^
364.0 5
Зб5,5 ,
Зб7Д r'
368,6 15
370,1 ^
371.7 ?
373.2
374.8;'
376,4'
377-9 *
379.5^
381,1
382,7 1б
384,2 X5
385,8^
387,4^
389,0
390,6^
392,2^
393,8 ^
3954;:
397Д ,
398,7;'
400,3 *
401,9 l6
403,6 H
405.2
406,9 г\
408,5 1б
4IO.2 I7
411,8 1б
I?
445
415,2 17
416,8 1б
418,5;'
420,2 7
*7
421,9
Л4
2401
2415 I4
2429 ;4
2442 1з
з«6;:
2470
2484 14
2498 14
2513 15
2527 14
14
2541
2556 15
257° I4
2584 14
2599 ч
Т5
2614
2б28 14
2643 J5
2658 Z5
2672 I4
15
2687
2702 I5
2717 I5
2732 ^
274e;5
2763
2778 I5
2793 X|
2809 l6
2824 J5
!&
2840
2855 ^
2871 l6
2887 l6
2903 ;6
2918
2934 *'
2950 ^
2966 i6
2982 i6
i?
2999 ,
3015 T'
3031 l6
3048 i7
3064 i6
J7
3o8l
3097'!
3114 г\
3130 10
3^47 I?
17
3164
/25
10
1681
1693"
1705"
1717"
12
1729 "
13
1742
T2
T754 "
1766"
1779 13
14
1792 6
1У 12
1804
I8l7 I3
I830 I3
1843;33
i856 ;3
1869
1882 хз
1895^
1908 3
1922
* *3
I93§ 14
1948 3
1962 I4
1976 ;4
1989 3
^^i4
2003
2017 4
2031 4
2045 *
2059 T4
2073 ..
2087 i4
2IO2 I5
2II614
2130 ;4
2I4S
f 15
2l60 5
2174 ^
2i89
2204 э
i5
2219
2234 |?
2249 „
^4 6
2280
15
2295
^J ie
2зт° 2
2326
2342
is
2357 j
237?
i
n
0,14286
,14265 3I
-14245^
, 14225 ^
~ ° 20
Д42о5з1
0,14184
.14164»
,14144
2O
Д4124
Д4Ю4 ^
ОД4О85
~ r 20
Д4065
° 2O
Д4°45
J 2O
,14025
g 10
,I4006
' 20
0,13986
.13966 ^
,4947 *
,4928^
,13908
^y 19
0,13889
-4870 ^
Д3850
,4331 H
,13812 y
э 19
0,4793
Д3774,;
Д375519
.4736 *
-4717 18
0,4699 I0
.13680 2
.13661 2
-4643,9
.4624 I9
0,4605 I8
Д3587 I8
.4569 I9
.4550 18
Д3532 I8
0,1354 I9
.13495 18
.4477 л
.4459 18
Д3441 18
0,4423 л
Д3405 I8
.4387 л
.4369 l8
Д3351 :8
0,13333


16
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
7,50-8,00
п
7-5°
oi
•52
•53
•54
7о5
.56
,57
-58
.59
7>6о
.6г
,62
.63
.64
7-65
,66
,67
,68
,69
7-70
-71
-/2
-73
-74
7-75
.76
,77
.78
,79
7,8о
,8т
,82
.83
.84
7,85
,86
.87
,88
,89
7-90
.91
-92
•93
.94
7,95
,96
•97
,98
,99
8,00
У1Г
2,7386
,7404 '8
,7423 9
-7441 8
•7459S
2,7477 тЯ
-7495 18
•75 ^2
-7532 *
.7550 ;;
2,7568
-7586 *
,7604 Ч
,7622 l8
^ 11
2-7б59
,7677 18
,7695 8
-7713 8
•77312
2,7749
,7767 8
,7785 8
-7803 8
,7821 l8
' 18
2,7839
,7857 l8
,78/5 l8
-7893 8
,79«*
2,7928
,7946 ;8
.7964 8
,7982 8
,8000 i8
18
2,8078
,8036 '8
,8o54 ;8
'8071 8
,8o89 ;8
2,8107
,8I25>8
,8l42I7
,8160 18
,8178 ;8
2,8196
,8213 ч
,8231 18
,8249;'
.8267 18
ч
2^284
VlQn
8,660 л
,666 6
,672
,678 6
,683 *
8,689
,695 *
,701 f
'7°66
,712 ;
8,718
,724 *
,729 5
,735
>/^o 6
,741 5
8,746
,752 !
,758 «
,764 *
,769 *
8,775 6
,781 6
,786 5
-792 *
,798 J
8,803
,809 J
,815 6
,820 5
,826 6
6
8,832
,837 5
,843 *
,849 6
,854 1
8,860
,866 6
,871 J
-877 *
,883 6
8,888
,894 '
,899 I
,905 ,
*
8,916
,922
,927 J
,933 6
,939 .
О
8,944
3
У7Г
i,9574
,9583 *
,9592 I
,9600 8
,9609 9
9
1,9618
,9626 8
,9635 1
,9644 9
,9652 8
1,9661
,9670 9
,96/8 8
,9687 9
,9695 8
1,9/04
'9713 8
,9721 8
,973° I
,9738 8
1-9747 _
-9755 8
-9/64 I
,9772 °
,978i 9
1.9789
,9798 *
,9806 8
,9815 9
,9823 8
1,9832
,9840 s
,9849 I
^S? *
-9866 9
1,9874
,9883 9
,9891 8
,9899 I
,9908 9
1,9916
-9925 9
,9933 о
,994* I
,9950 I
1,9958
,9967 I
,9975 J
,9983 8
1,9992 I
2,0000
8
Kion"
4,217
,219
,221
,223
,225
4,227
,228
,230
,232
-234
4.236
,238
,240
,241
-243
4.245
-247
,249
,251
,252
4,254
,256
-258
,2бО
,262
4.264
,265
,267
,269
,271
4,273
,274
,276
,278
,280
4,282
,284
,285
,287
,289
4,291
,293
,294
,296
,298
4-300
,3°2
,3°3
,305
-3°7
4,309
S
VlOOn
9,086
,000
,094
,098
,102
9,I06
,110
,114
,118
,122
9,126
-IS0
Д34
,138
Д42
9,146
-IS0
,154
-158
,l62
9,166
Д70
,174
,178
,182
9,185
,189
,193
,397
,201
9,205
,20g
,213
,217
,221
9,225
,229
,233
,237
,240
9,244
,243
,252
;25б
,260
9,264
,268
,272
,275
,279
9,283
i
n>
56,250
56.400 '5°
56,550 ;*
56,701 j;
56,852 ?
57,002
57,154 15*
57,305 э
5M56 ^
57,608 -
57-760
57,912 '52
58,064 *
58,217 ъз
58,370 ;g
58,522
58,676 '54
58,829 I53
58.982 I53
59,136 ;«
59-290
59444 ^
59-508 ».
59-753 T~
59,908 15э
ЭУУ^ 154
6о,об2
6o,2i8 I56
60,373 '!!
60,528 l3^
60,684 '5б
15б
60,840
6o,996 I56
61,152 I56
61,309 I57
61,466 I57
156
61.622
61,780 I58
61.937 I5?
62,094 ;^7
62,252 ;g
62,4TO
62,568 ;jj
62,726 158
62.885 159
63,044 ;»
63,202
63.362 ;2
63,521 ^9
63,680 ^
63,840 %
64,000
i
Л3
421,9 т„
423.6 '
425-3
427-o '
428,7 ;;
430,4
43*i 7
433-8
435-5 'I
437-2^
439.o
440-7 Ч
442,5 '8
444,2 '7
445,9^
447-7
449-5 l8
4^-2;2
453-0 r8
454,3 ;8
456,5 _
458.3 ;8
460,1 i8
461,9 l8
463,7 ;8
4?5>5 18
467.3 18
469,1 ;8
470,9 8
472,7 ;8
474,6
476,4 i8
4/8,2 l8
480,0 l8
48L9;9
483.7
485-6 I9
487,4 l8
489-3 I9
49^1
493.0
494,9 I9
496,8 I9
498,7 19Q
500,6 I
502,5
5044 \90
506.3 9
508.2 I9
5^2
512,0
n*
3164 „
3l8l X7
3198 ]l
3215
3232 ^
3249 .
3267 8
3284 '7
3301 ч
3319;;
зззб
3354*
ЗЗ/i |/
3389 8
3407 1
3425 18
3443 8
346i 8
3479 8
3497 11
35T5
3534 ;9
3552 8
3570 l8
3589 ;9
3608
3626 l8
3645 19
3664 I9
3683 I
3702
3721 19
374o;
3759 9
3778 9
19
3797 о„
3817 0
3836 19
3856^
3875;:
3895 *>
39'5
3935
3955
3974 29
3995 ^
4°'C
lo^-
4OS5
""V 21
4076
^ ' 20
^4096
_«f
10
2373 тЛ
2389 ll
24°5
2421 J°
2«7;:
24-^3 Ifi
2469 l6
2486 ч
2502
25I9.J
2^6
4*
2569 7
2^86 '7
2603 J7
2620
2637 *
2654 '
2б72 '8
2689 Ц
2707
2724 ;j
2/42 8
2760 8
2778 ;8
2/96
2814 8
2832 8
2850 l8
2869 ;9
2887
2906 i9
2924 i8
2943 ;9
2962 y
19
2981
3000 ig
3019 ;9
3038 *
3°58-
3077 20
3097 ,-
31162
3-36^
3'56^
3176 »
3,96^
32 гб20
,-20
3236
325C
3277
i
л
одзззз
,13316 '
,13298 !
,13280 J
,13263 J
ОД3245 „
,13228 7
,13210
,13193''
^15*
0,13158
-13141 '
,13123 „
,13106 '
.13089^
0,13072
^3P55 H
.13038;'
,13021 '
,13004 T{7
0,12987
,12970 I7
Д2953 2
'12937
,12920 '
17
0,12903 16
,12887
,12870 1?
,12853 ч
Д2837 ;:
0,12821
,I2804 Ч
,I2788 l6
,12771 2
.12755 1б
0,12739 16
,12723
,12706 Г7
>- ID
,12690 '
.12674 ;66
0,12658
,12642 z*
,12626 1б
^ 16
,12610 °
Д2594;5
OJ2579 I6
.12563 ,
,12547 I6
J253^ 5
•125'6 ^
0,12500


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
17
8,00-8,50
п
8,00
,О1
,О2
>°3
,04
8-05
.си
.°7
,о8
,09
«до
,11
,12
,13
,Ь
8Д5
дб
,17
,18
,19
8,20
,21
,22
,23
,24
8,25
,26
,27
,28
,29
8,30
-зг
-32
.33
.34
8,35
,36
.37
,38
-39
8,40
.41
,42
-43
.44
8-45
,46
,47
,48
,49
8,5о
У7Г
2,8284
,83о2 ;
,8320
,8337
.8355J
2-8373 т
,839°
,8408
,8425;
,8443 ^
2,8460
.8478 ^
•8496 „
,8513 Ц
«8531^
2,8548 a
,85бб J
-8583 '
,86oi l8
,8618 ;?
2,8636
.8653 2
,867i i8
,8688 I?
^<l
2,8723
,8740 I
,8758 *
,8/75 '
,8792 ;?
2,88io
,8827 I7
,8844^
,8862 l8
,8879 I7
17
2,8896
,8914 8
,8931 7
,8948 1?
,8965 2
2,8983
,9000 *7
,90I7 |7
,9°34 'I
,9052 ;8
2,9069
,9086 i?
,9103 1?
,9120 i?
,9138 ;8
2,9155
VW
8,944 л
.95°°
'955 !
'96l6
,967 I
8,972
,978 *
.983 I
,989*
8,994 g
9,000
,006 6
,011 5
,0176
,022 5
6
9,028
,033^
,039*
,0445
'°5°5
9,055 6
,o6i6
,066 5
,072 6
,077 g
9,083
,088 5
,094 6
,0995
Д°55
9,110
,u66
,121 5
,127 *
ДЗЗ*
9.138
,143;?
,149 6
Д54!
,i6o6
5
9.165
Л7*6
,I76 5
,I826
,187 5
5
9Д92 ,
,198 6
,203 5
,209 6
,214 5
9,220
3
У7Г
2,0000
,0008 '
,0017 '
,0025 '
,0033 9
2,0042
-0050
,0058°
,0066 8
,0075s
2,0083
,0091
,0100 -
,0108
,oii68
2,0124
,0132
,OI4I 9
.0*49 :
,0157 J
2,0165
,oi73 8
,0182 9
,0190 8
,0198 8
2,0206
,0214 8
,0224 ^
0
,0231 °
-0239 я
О
2,0247
,0255 g
,02б3 8
,027I 8
,0279 »
2,0288
,0296 8
,0304 8
,0312 °
,0320 8
2,0328
,0336 8
',0344*
,0352 8
,0360 8
2,0368
,0376 *
,0384 8
,0392
,0400 °
О
2,0408
3
rioF
4,309
,311
,312
,314
,316
4,318
,,320
,321
,323
,325
4,327
-329
,330
,332
,334
4,336
,337
,339
,341
,343
4,344
,346
,348
,35°
,352
4,353
,355
-357
,359
,360
4,362
,364
,366
,367
,369
4'37i
,373
,374
,3/6
,378
4,38o
,38i
,383
,385
,386
4.3-38
,390
,392
,393
,395
4,397
a
VlQQn
9.283
,287
,291
,295
,299
9,302
,3°6
,310
,314
,318
9,322
,326
,329
-333
,337
9,34i
,345
,348
,352
,356
9чЗбо
,364
,368
•371
,375
9,379
,383
,386
,390
-394
9-398
,402
,405
,409
,413
9,417
,420
,424
,428
-432
9-435
-439
,443
-447
-45°
9454
,453
,462
465
,469
9473
ri1
64,000
64,160 1б°
64,320 f
i 64,481 f
J 6^ So
\ 64,802
1 64,964 ^
65'125 Tt
65,286 *'
65'448 2
65,610
65,772 f
65-934 f
66,097 1бз
66,260 1бз
162
66,422
66,586 1б+
66,749 ^
66,912 1б3
67,076 ^4
164
67,240
67404 '4
67.568 ^
67-733 J
67,898 I6°
164
68,062
68,228 l66
68,393 f
68,558 **
68,724 l66
• y ^ 166
68,890
69,056 ^
69,222 l66
69,389 ^7
б^'55б 2
69,722
69,890 l68
70,057 ^
70,224 I07
70,392 ^
70,560
70,728 l68
70,896 l68
71,065 *9
71,234 2
71,402
7I,572 I7°
71,741 ^
71,910 l69
72,080 1?0
170
72,250
n3
512,0
513,9 ^
5^5,8^
517,8 ^
IO
519,7 y
0 У>/ 20
521,7
523.6 2
525,6 ^
0 J iq
527,5 У
° ' ° 20
529'5I9
531,4
533-4 2°
5354
537-4 2°
539-4-
54i,3
543,3 0
545.3 0°
547-3 °
549-4^
5514 20
553-4*
^__ . 20
5^-420
557-4
vjky' i
559,5^
56l'5OT
563-6 2I
565,6-
5б7'720
569,7-
57i,8
21
f7?1?»
575- 9
578,0 2
580'1:;
582,2
584.3 :;
586,4 2I
588,5 2I
590,6-
592,7 9
594,8 2I
596'9"
599,i 22
60I.221
22
603,4
605,5 ^
607, 6 2I
609,8 22
6l2,023
21
6l4,I
n4
4096 OT
4117
4137
4158 2I
21
4179
^ '^ 20
4199
21
4220
424I 2I
4262 2I
**з:
4305
^21
4326
21
4347 22
4369
21
4390^
4412
4434 22
4455 '
W7
4499 22
4521, '
4543"
4565 22
458823
4610 22
23
4633
4655 22
4678 23
4700 22
4723*3
4746
4769 2l
4792 23
4815 23
48382
4861
4885 2i
4908 23
4931 23
4955-
4979,,
4002 3
5026 24
5°5°!!
50743
5098
5122 24
5^73
5I7iS
5IO° ,4
5220
/z5
10
j
3277
3297!°
3318 2
3339
ЗЗбо-
338o
3402
3423
3444"
3465 -
3487
3508 2I
3530 22
3552 22
3574 ::
3596
36i8 »
3640 2a
3662 22
3685^
3707 o
3730 з
3753 23
3776 23
37992
3822
3845 23
3868 23
3892 24
3915 ;3
3939 2Д
3963 2
3987
4011 4
40353
4059 ,
4o83 24
4108 °
4T33^
447 1
4182
4207 25
4232 25
4257 ^
4283-
4308 26
4334 2!
4359 "I
4385
44" 26
4437
l
я
i 0,12500
,12484
,12469 x*
IO
,12453
,124384
0,12422
,12407 JJ
,12392 -?
,12376^
,1^1 s
0,12346
,12330
,12315 4
,12300 '
,12285 ?
0,12270
,122554
,12240
.12225 «
,12210 *
*o
0,12195 IS
,12180 *
'I2l65xJ
,12151
-12136 15
0,12121
,12Ю7
,12C92
-12077
,12обз I5
0,12048 I4
,12034
,12019 14
, 12005 15
."990,4
°,IT976I4
,11062 I5
,"947 14
.И933 14
,"9'9i4
0,1190514
,1189115
л 1876 ч
,11862 ч
,11848 I4
°.n834I4
,Il820I4
Л18с6 ^
,11792 I3
,79 14
0.11765 .
TOM 1, кн. 1
1814


18
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
8,50—9,00
n
8,50
.51
«S2
,53
,54
8,55
,56
,57
,58
,59
8,60
,61
,62
,63
,64
8,65
,66
,67
,68
,69
8,70
,7i
,72
,73
,74
8,75
,76
,77
,78
,79
8,80
,81
,82
.83
,84
8,85
,86
,87
,88
,89
8,90
,91
,92
.93
,94
8,95
,96
,97
,98
.99
9,00
У7Г
2,9i55
,9172 '
,9189 1?
,9206 I7
-9223 I]
2,9240
-9257 'I
.9275 !
.9292 '
9409
^ * I?
2,9326
-70 17
.9343,;
.9360 I
.93774
.9394 I7
2,9411
,9428 7
,.7-Г r_
,9445 '
,9462 T/
17
-9479 x7
2,9496
n
,9513,5
.9530/
-9547 I
'9563*
2,958o
-9597 z
,9614 ,7
,9631 !
,9648;;
2,9665
,9682 I7
,9698;!
,9715 ;
-9732 x7
2,9749 „
-9766 '
.9783 7
.9799 „
,9816 1?
^ 17
2,9833 „
.9850 7
,9866 l6
,9883 n
,9900^
2,9917 I6
-9933
,9950 '
^ 17
,9967 ^
2,9983;'
3,0000
KlOn
9,220
,225 5
,230 *
,236 6
,24I J
9-247
2ч2 5
' ° ч
,257 "
,263 *
,268 5
6
9,274
,279 ^
,284^
,290
,295 I
9-3oi
,306 J
,3H 1
,317
,322 э
9,327 6
.333 ,
,338 5.
,343 I
,349 .
D
9-354
,359 ^
,365 I
,370 ^
от 5
-3/5 б
9,38i
,386-5
,39i *
-397 *
,402 э
9-407 ,
,4i3 J
,4i8 5
,423 ^
,429 5
9,434 .
,439 i
,445 .
,45° J
-455 I
9,460
,466 6
,47i J
'476 5
,482 ;
9.467
i 3
VT
I
2,0408
,0416
,0424 я
-0432 !
,0440 8
2,0448
,0456 !
,04б4 о
,0472 8
,0480 1
2,0488
,0496 1
,0504 я
,0512 !
,0520 fi
2,0528
'°536 J
,0543 7
,0551 I
.0559 8
2,0567
.0575 s
,0583 g
,0591 I
.0599 "
2, 0606
.0614 I
,0622 8
,0630 8
,o638 ;
2,0646
,0653 7
,0661 8
,0669 8
,0677 8
, // g
2,0685
,0692 7
,0700 !
,0708 8
,0716 I
2,0724
,0731 I
,0739 "
-0747 я
.°755 J
2,0762
,0770
,0778 B
,0785 1
,0793 8
2,0801
3
YiOn
4-397
.399
,400
,402
,404
4-405
.407
,4°9
,411
,412
4,414
,416
,417
,4J9
,421
4,423
,424
,426
,428
,429
4,43i
,433
,434
,436
,438
4,440
,441
'.443
.445
,446
4,448
,45°
.451
•453
-455
4-456
,458
,460
,461
,463
4,4б5
,466
,468
,470
,47 1
4,473
.475
.476
,478
,480
4,481
3
Ywon
\ 9-473
,476
,480
,484
,488
9-491
,495
,499
; .S02
,506
9-5TO
,5T3
,5i7
.S2*
,524
9,528
.532
-535
.539
-543
9,546
-55°
-554
-557
,561
9-565
.568
.572
.576
.579
9.583
,586
,59°
•594
,597
9,601
,605
,608
,612
.615
9.619
,623
,626
,630
,633
9-637
,641
.644
,648
,651
9-655
n3
72,250
72,420 I7°
no
72ЛОО '
72,761 171
72,932;^
73,102
73,274 2
73-445 7
73,616 I71
73.788 ?
73,9бо
74-132 7~
74,304 '-
y-jo
74-477 '73,
74,650 173
/ч ° 172
74,822
74,996 ^
75,i69 173
1ТЧ
75.342 «
75.516 74
/0° 174
75,690
75.864 ?
76,038 I74
76,213 I75
76,388 175
174
7б'5б2 тпЛ
76,738 !
76,913 HI
77,088 I7^
77,364 ;*
77,440
77,6l6 1?6
77,792 ;7°
77,969
1^1
78,322
78,500 '
78,677 I77
* * * "ПТ
78,854 77
' ^^ 178
79,032^8
79-2Ю
79,388 1?„
Iy **?? 178
79,566 '
'-^'0 I7Q
79-745179
79-924^
80,102
80,282 IB°
80,4б1 1?9
8o,64o ;g
80,820 j^
81,000
?г3
614,1
616,3 22
618,5 22
620,7 22
^C 0 21
622,8
22
625,0
, 00
627,2 ~
629,4 22
631-6 22
633-8-
636,1
638,3 22
/^ 2^
640,5
642,7 22
645-0-
647,2
649-5 23
651-7 22
б54,о 23
656,2 22
23
658,5
660,8 23
663,1 23
665,3s2
667 ,6 23
23
669.9
672,2 23
674-5 2'3
676,8 23
679,2 24
681,5
683,8 23
686,1 23
688,5 24
690,8 23
24
693,2
695'5!!
697,9s!
700,2 3
702,6 24 .
24
705,0
Us23
709,7^
712,1я4
^4.5 ::
7l6'9o,
719,3 2
721,7 4
724,2 25
726,6 24
1 24
729,0
>!<
i
5220
i 5245 2°
О "TO „ .
1 5269 :
i 5294 "
2S
! 5319 °
| Ol5 ^25
I 5344,,.
! 5369 I-
! 5394^
5419 "?
ОТ ? 26
5445 a.
5470^
5496
О f^ 24
5521 ^
00 26
5547 26
5573 25
5593^
5624 ,
° , ^ 26
5650 ,
5676 2б
о ' 27
5703 26
5729 ,
O> 7 26
5755 27
5782!I
5808s!
*-*_ 27
5835 2?7
5862
5889?,
59i6 "'
07 2_
5943 2
5970 27
5997 2^
б0^^
6052
? 27
6o792o
6107 28
' 27
6l34 28
6162 2
6l9° я
62I82:
, -r s8
6246 2g
6274 28
6302
?33I28
6359 20
6388J
6416
6445 !?
54745
6503!!
65322
6561
и5
10-
|
1 443726
1 44бз2
4489 *
4516^
4542 2?
45б9
2 27
4596 4
4623"
4б5°27
4677 Г7
47°4
4732 28
^'° 27
4759 J
4787 *
48<з
4843^3
4871*
4899$
4927 _
4956 2
4984
'•^ ' '->ci
5013
О ^00
5042 "У
О Т 20
5071
J ' 00
5100 ~*
0 29
512920
5Т5в?
5*88 ?
52182
5247;
5277 „0
5307 3
5338 3
\J\J*J *v»
5368^
••" ~ чо
5398 33i
5429 „
54бо31
ОТ „i
5491
0 31
5522°
00 „I
5553 у
5584 „
5б1б3"
5б4??
5б79
О ' ^ 42
57 и
о/ 32
^744
о/то „2
5775*
5807 3
*-' ' оо
584о J
5872^
0 ' 33
5905
i
л
0,11765 14
,И75 1 ,4
Д1737
.И723 ,4.
,117-1°
14
0,Пб9б
,11682 Ч
,11669 13
,иб55;'
,11641 4
т 13
0,Il628
,n6i4 ;t
,n6oi '-*
,11587 ;3
,11574 J3
0,11561
' J 14
,11547 ,3
.11534 1Ч
,11521 14
,°7 13
о,И494 „
,11481 '
Д1468 *
•II455 13
Д1442 i3
0,11429
,11416 13
,И403 13
."зэо 13
Д1377 13
0,11364 J3
Д1351 к»
,38 13
,*5 13
,i2I3
0,11299 12
,87 13
,11274 13
,11261 12
Д1249 J3
0,11236 ,3
,И2231а
,11211 13
,11198 Ia
,11186 ,3
о,Ш73 i2
,iu6i I3
,11148 ia
,i613
Д3„
один


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
19
9,00—9;50
п
9,оо
,О1
,02
,03
,04
9-°5
,06
-07
,о8
,09
9,ю
,п
,12
,13
,14
9.15
Дб
Д7
До
.19
9>2О
,21
,22
-23
-24
9.25
,26
,2?
,23
,29
9,3о
,3i
,32
,33
-34
9-35
,36
-37
•38
-39
9,4°
,41
,42
-43
.44
9.45
,46
.47
,48
,49
?-5°
Y7T
3,оооо
,ooi7 17
,оозз 1б
,0050 17
,0067 1?
' i6
3,0083
oico 17
оиб16
0133 1?
01^0 1?
0 1б
3-0166
,ох8з 17
,0199 1б
,0216 17
,0232 1б
I?
3,0249 ,
,02б5 1б
,0282 17
,0299 17
,о315 ;6
3-0332
,0348 1б
,о36410
,0381 17
,0397^
3,0414 ,
,0430 1D
,0447 х?
,o46316
,0480 *7
16
3,0496 ,
,0512 10
,0529 17
,0545 *
,05б! 1б
i?
3,0578 л
,0594 '!
,061 о16
,0627 1? I
,о643 «
3,об59
,0676 *7
,0692 1б
,0708 1б
,0725 *7
3,0741 л
,0757 ^
,0773 1б
,0790 1?
,о8о6 1б
i6
3,0822
YlGn
9.487
,492 5
-497 5
,503 *
,508 5
9,513 е
,518 s
,524
-529 ~
-534 *
9-539 ,
,545 ;
-550 ?
-555 I
,560 5
9-566
-571 5
,576 5
,58i 5
,5865
9-592
-597 5
,602 5
,607 5
,612 5
6
9,6 18
,623 5
,628 5
,633 5
,638 5
9-644
,649 5
,654 5
,659 5
,664 5
о
9,670
-675 5
,68о 5
,685 5
,690 5
5
9-695 ,
,701 6
,706 5
,711 s
,716 5
5
9,721
,726 5
>73i f
,737 6
,742 5
5
9,747
! *
^~
2,o8oi
,0809 8
,0816 7
,0824 8
,0832 8
7
| 2,0839 я
,0847 1
,о855 8
,0862 7
,0870 8
' 8
2,0878
'Ч885 I
,о*93 J
,0901 °
,ооо8 7
^ 8
2,0916
,СЮ2Ч 7
° я
,0931 :
,0939
,0946 7
2,0954
,0961 7
,0969 8
,0977
,о984 7
о
2,0992
,0999 7
,1007
,ioi4 7
,1022 °
7
2ДО29
,Ю37 8
,1045
,1052 7
добо 8
7
2,1067
,Ю75 8
Д082 7
,1090 8
ДОО.7 7
^' 8
2,1105
,1112 7
,1120 8
,1127 7
,И34 1
2,1142
,9 7
,1157 8
,Il64 7
,1172 8
7
2Д179
3
/Юя
4,481
,483
,485
,486
,488
4,490
-491
,493
,495
-496
4-498
.5°о
-501
-5°3
-505
4-5°6
,5о8
-509
>5"
-513
4-514
-516
-518
,519
,521
4-523
-524
,526
,527
-529
4.531
,532
,534
>53б
-537
4-539
-540
,542
.544
-545
4,547
,548
.550
-552
,553
4,555
-55б
,558
,5бо
,5б1
4.5бЗ
i
3
YlQun
9,655
,658
,662
! ,666
,669
9-673
,6/6
,680
,683
,687
9,691
-694
,698
,701
,705
9,708
,712
-715
-719
,722
9,726
,729
-733
,736
-740
9-743
.747
.75°
,754
,758
9.761
,764
,768
.771
,775.
9,778
,782
,785
,789
-792
9,79б
,799
,803
,806
,810
9,8i3
,817
,820
,824
,827
9,830
i
«3
|
8i,ooo
81,180 18°
81,360 I8°
| 81,541 ^
i 81,722 I8r
' 180
81,902
82,o84 l82
82,265 l81
82446 l81
82,628 l82
182
82,810
82,992 l82
83Д74 l82
83,357 l83
83,540 l83
182
83,722
83,906 I84
84,o89 18з
84,272 18з
84,456 l84
184
84,640
84,824 l84
85,008 I84
85-193 l85
85,378 r85
i84
85,562
85,748 'f
85,933 t5
86,118 185
86,304 l86
186
36,49O
86,676 l86
86,862 l86
87,049 l87
87,236 I87
. 186
87,422
87,610 l88
87,797 I8?
87,984 Jf7
88,172 l88
188
88,360
88,548 l88
88,736 l88
88,925 I89
89,114 I8q
i8b
9,302
9,492 X9°
9,68l I89
9,870 I89
0,000 Х9°
i9o
90,250
j -
n3
729,0
73M Щ
i 733-9 2°
1 736,3 24
I 738,8 25
24
741,2
743,7 25
746,i^
748,6 a5
751д ;
753,6
756,1 25
7 58,6 25
761 ,o24
763,6 *
25
766,1
768,6 25
771Д 25
773,6 ^
776,2 ^
25
778,7
78l,2 25
783,8 2б
786,з 25
788,9^
zo
79L5
794,0^
796,6 J
799,2 *
801,8 ^
26
804,4
807 ,0я6
8og,6 2б
8l2,226
814,8 ^
^ 26
8l7'4^
820,0 ^
822,7 2?
825,3*?
827,9 *
27
830,6
833.2 *
835,9 27
838,6 27
841,2 =6
27
843,9
846,6 27
849,3 2?
852,0 27
854,7 27
27
857-4
n*
l
i
1
i
656l
6590 29
6620 з°
6649*9
6678 29
3°
6708
6738 з°
676330
6797 29
6827 з°
30
6857
6888 31
6918 so
6948 з°
6979 зг
so
7009
7040 з1
7071 si
7Ю231
7133 3I
3'
7164
7195 3r
722631
72583
72893
32
7321
7353 32
7384 3i
741632
7448 з2
33
7481
7513 ^
7545 ^
7578 33
7610 з2
33
7643
7675 32
7708 33
774.1 33
7774 33
33
7807
7841 34
7874 33
790334
7941 33
34
7975
800934
804334
807734
8lll 34
34
8145
nb
10
5905
593833
5971 3l
6004 з3
6037 33
34
6071
6104 33
6138 34
6172 34
6206 34
34
6240
6275 35
630934
634.4. 35
6379 35
35
6414
6449 35
6484 35
6519 35
655530
л» зб
659*
6627 з6
666336
6609 з6
6735 1
•6772
680937
6845 з6
6882 37
692038
37
6957
699437
7032 *
7070 3s
7108 з8
38
7146
7184 з8
7223 39
7261 з8
7300 39
39
7339
73?839
7417 39
7457 4°
7497 4o
39
7536
757640
7616 4°
7657 4I
769740
41
7738
_i_
n
0,1 Т III
,11099 I2
,11086 13
.11074"
Д10б21а
12
ОДЮ5О
ДЮ38 '2
Д1О25 I3
,11013 "
дтоот Ia
12
0,10989
,10977 "
Д0965 T3
Д0953 '2
,10941
12
ОДО929
,10917 "
,I0905 "
,I0893 Ia
,10881 "
11
ОД087О
Д0858 "
,I0846 ™
,ю834;;
,10823 "
v 12
0,10811
Д°7°9"
-10787 a
-Ю776 ;
,ю7б4;а
o,I0753 M
,10741
и
-I0730
.10718 a
,10707
' ' ia
0,10695
,10684
,10672 "
*-e: J1
,Io66l
'io65°;a.
0,10638
,10627
,10616 "
,10604 iar
,Ю593 "
0,10582
,10571 "
,10560 "
,Ю549 "
,10537 ra
и
0,10526


20
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
9,50—10,00
л
1^—— •——
9-5°
,51
,52
-53
,54
9-55
•56
.57
,58
-59
9,6о
,6i
,62
,63
,64
9.65
,66
.67
,68
,69
9-7°
.71
,72
,73
.74
9,75
,7б
-77
,78,
-79
9,8о
,81
,82
,83
,84
9,85
,86
,87
,88
,89
9,9°
,91
,92
,93
.94
9,95
,96
.97
,98
,99
10,00
e^e^e—— «
•——— —— —•«•———•
Vn
mi '"
3,0822 ,
,0838 *
.0854 '
,0871 '
-0887 S
3-0903 I6
,0919 ,
1 " •* 16
,093=5
. УОО I7
.0952 10
,0968 16
3.0984 16
,1000 .
^ ID
Д016 l6
,1032 I6
Д048 l6
3,1064 T_
o> т^ 17
,io8i I0
Д097 I6
-шЗтб
-II29 I6
3-1145x6
,1161 Tft
* ID
Д1?? 1б
,"93 16
,1209 I6
ЗД225 16
,1241 16
-I257 1б
-I273 I6
,1289 1б
ЗД305 I6
Д321 16
Д337 хб
Д353 16
-1369x6
ЗД385 1б
Д401 16
Д417 I5
Д432 1б
Д448 16
3,14б4 I6
,1480 16
,1496 16
,151216
,1528 16
ЗД544 I5
Д559 16
Д575 16
Д591 16
,1607 I6
ЗД623
!
^HiMMM^MM^i^1"^^
^ ^^и
VIoTz
1
9-747
,752
5
,757 .
,762 ь
,767^
9.772
,778
.783 I
,788 5
,793 |
9.798
,803^
,808^
,813,
1818 5
9-823 6
.829
,834,
,839,
,844^
9-849 =
,8545
,8595
'864s
,869^
9-874 .
,8795
,834 5
,889,
,894 55
9.899 6
'9°55
,91° 5
,915 5
,9205
9.925 5
'93° 5
,935 5
,94° 5
,945 5
9.95° 5
.955 5
>9°°5
,9655
,97° 5
9,975 5
,980
'985 5
,99° 5
9.995 5
10,000
1
_ ———————— '
^••MMM^^M^^^H*
3
V1T
2Д179 я
,1187
Д194 7
7
,1201 ^
,I209 7
2,1216
,1224
,1231 7
,1238 7
Д246 7
2-1253 8
,I26l
,1268 7
Д275 s
,1283 7
2,1290
Д297 я
-^ * О
Д3°5 7
Д312
.1319 s
2, 132? 7
Д334 '
,i34i 8
,1349 -
,1356 7
2Д363 8
,i3?i -
,1378 !
,1385 '
,1392 8
2Д400
7
,140? 7
,1414 8
Д422
7
,1429 7
2Д436
,1443 8
,1451 7
Д458 7
Д465 77
2Д472 8
Д48о 7
Д48? 7
,1494 7
Д501 7
2,1508 8
Д516 7
Д523 7
Д53° 7
,1537 7
2, 1544
«••••••••M^^MI
3
VlOn
• e— ^^•"•—"
I
i
4,563
,565
,566
.568
,569
4.571
,572
.574
.576
.577
4-579
,580
,582
,584
,585
4,587
,588
-590
-592
,593
4-595
.596
.598
.599
,601
4.603
,604
,606
,607
,609
4,610
,612
,614
,615
,617
4,618
,620
,621
,623
,625
4,626
,628
,629
,63t
,632
4-634
,635
,637
,638
,640
4,642
м^шши^мя
«^^•^мм^^н
3
T^lOOn
9-830
,834
,837
,841
,844
9,848
,851
,855
,858
,86 1
9-865
,868
,872
,875
,879
9,882
,885
,889
,892
,896
9-899
,902
,906
,9°9
,913
9,916
,919
,923
,926
,93°
9-933
,936
,940
,943
,94б
9,95°
,953
,956
,960
,963
9,9б7
,97°
,973
,977
,980
9,983
,987
,99°
,993
9-997
10,000
••— ——
•^•^»— •— ~
n'
1
9°'25%0
90,440 y
90,630 ^
90,821 191
IOI
91,012 y
•^ 190
91,202
IQ2
91-394 I
9J'585 9Q
.91-776 9
91,968 I92
y y 192
«Q2,l6o
IQ2
92-352 ^
92,544 193
92,737 Tg
92,930 ^
y y'J 192
9^,122
yo ,- 194
93,316
yj ° 193
93,509
УЭ>0 У Ig3
93.702^
93,896 ^4
94-°9° IQ,
94,284 94
Д 194
94-478 I4
94-673 ^
94-868 ?
95-062 6
95-258 4
95-453 *
95,648,5
95-844 I90
96-040
96,236 6
96,432
96,629^
96,826^
97-022 ^
97-220
97,417 197
97-614 I98
97.812 lgg
98,010 I9g
98,208 I9g
98,406
98,605 Igg
98,804 I98
99,oo2 200
99,202 igq
99,401 199
99-600 200
99.800200
100,000
»_ — ^— • —— —
1
п3
857.4 2„
86од 27
8б2,827
865'5!7
868-з;5
871,0
873,7 ^
876,5;!
879-228
882,о
27
884,7^
887-5^
890,3 28
893-1 2-7
895-8 2
898,6 28
901,428
904-238
907,о 29
9°9-928
912,7 28
9^5,5 28
9i8,3 29
921,2 28
924,о 29
926,9 28
939>7 so
^ ? I 29
932,6 ^
935-4 29
938,3 29
941,229,
944 Д 29
947,о 29
949-9 29
952-8 29
955,7 29
958,6 29
9б!,5 29
964-4 зо
9б7-4 29
970,3 29
973-2 00
97Ь,2 29
979,1 эд
982Д Зо
985-1 29
988,о „0
991-0 до
994-0 30
997-0 зо
IOOOO
••^•^el^e""^™^™
• л*
8l450,
8179 34
8214 ^
8248 34
8283 35
35
8318
835335Ч
8388 35
8423 35
8458 35
0 35
8493 б
8529 3
85б430
86со°°
8бзб*
8672
87°82
87443'
87803?
8816 ?
8853 _б
8Р89
8926 37
8^я
дооо6'
^^ 37
9°3737
9074 37
91" 'в
9149 1,
9i86 %
9224 „,
926i g
9299з8
9337 -и
9375 38
9413 зо
9452 38
9490
952938
956739
9606
9б45з9
9б34Гзд
9723 39
9/62 S9
98oi 40
9841 4о
9»81да
9920 40
99бо 40
IOOOO
^•м^^ввмммм
ns
10
7738 „
7779 4
7820 4I
7861 4;
7902^
7944 ._
7985 *
8027 42
8069 42
8111 42
43
8l5442
8196 42
8239 43
8282 43
8325 s
8368
• *-* л л
8412 44
8455 43
toj 44
8499T;
8543 1
858745
86324*
f76
8721 ^
8766 «
8811
88зб;0
8902 4
8947 40
8993^6
9°39 46
9085"
9132 46
9178 47
9225 47
9272 47
9319 48
9367 47
944 48
9462 48
95то 4g
9558 48
9606 49
9655 49
9/04 48
9752^0
9802
9851 49
9900 _0
99505o
IOOOO
•••^и—— •— •— '
1
n
0,10526
' ° II
,10515
' J J II
Д°5°4 „
, Ю493ц
,10482 „
од 0471 „
,10460,,
,Ю449 п
Д0438 „
,10428 „
0,10417 „
,10406 „
,10395 и
,10384 и
Д0373 ш
0,10363 „
,10352 ii
Д0341 I0
ДОЗЗ1 ii
,10320 n
0,10309 I0
,10299 tl
,10288 „
,10277 ю
,10267 ii
о 10256 ю
,10246 ii
,10235 ю
,10225 ю
,102 Г5 II
0,1020410
,10194 II
,10183 ш
,10173 ю
,10163 «
ОД0152 ю
Д0142 ю
Д0132 ii
ДО121 ю
,10111 ю
O.TOIOI ю
ДОО91 ю
,IOo8l n
ДОО7О ю
ДОобО ю
ОДОО5О ю
Д0040 ю
ДООЗО ш
,10020 ю
ДОО1О ю
ОДОООО
м^^м^^^я^


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
21
10,00-10,50
я
IO,OO
,о
,02
>°3
,о/
1О.°5
,си
>°7
,о8
,09
юдо
Д1
,12
дз
,ь
ЮД5
дб
Д7
,18
Д9
Ю,20
,21
,22
,23
,24
10,25
,26
-2?
,28
,29
10,30
-31
.32
.33
-34
ю,35
,36
.37
-38
.39
10,40
.41
,42
•43
,44
ю,45
,46
.47
,48
-49
10,50
Уя~
ЗДб23
Дб39 т
Д654
,1670
д686 т
i
3.1702
Д7181
Д733 1
Д749 т
.1765 J
ЗД78о
Д796 Тб
,i8i2 ™
Д828 1б
.1843 S
3-1859 1б
Д875 *
•189° 6
,1906 6°
Д922
15
3-1937 1б
Д953 1б
.1969'
Д984 2
,2000 1б
3-2016
,2031 *
.2047 „
,20б2 *5
,2о78*
3-2094
,2109
гб
,2125
IS
,2140 *
«S6-
3-2171 Tft
,2187 16
Iе;
,2202 Ь
,2218 *
ID
.2234 J5
3-2249
,22б5 *
,2280 IS
,2296 1б
,2311 I5
3.2326
,2342
-2357 *
.2373 '
,2388 Ч
3,2404
УЖ
10,000
.005
,010
,015
,020
IO,O25
,030
.035
,040
.045
10,050
.055
,060
.065
*070
IO,O75
,080
,085
,090
,095
10,100
,IO4
,109
Д14
Д19
10,124
,129
Д34
Д39
Д44
10,149
Д54
Д59
,164
,169
ЮД73
Д78
,183
,i88
Д93
0,198
,203
,208
,213
,218
0,223
,227
,232
.237
,242
0,247
s
vr
2Д544
Д552
Д559
,1566
Д573
2,1580
Д587 8
Д595
,1602
,1609 7
2,l6l6
,1623 7
,1630 7
Д637 1
Дб44 I
2,1652
Дб59 I
,1666 7
Д673 *
,1680 7
2,1687
,1694 7
,1701 7
,1708 7
.J7i5 ]
2,1722
Д729 I
Д737 _
Д744 '
.J75i ]
2,1758
,1765 !
,1772 '
Д779 I
,1786 7
2Д793
,1800 7
,1807 7
,1814 7
,1821 7
7
2,1828
•'835 !
,1842 7
,1849 '
,1856 7
2,1863
,1870 7
,i877 !
,1884 7
,1891 7
7
2,1898
3
УШ
4,642
,643
.645
,646
,648
4,649
,651
,652
,654
,655
4,657
,659
,660
,662
,663
4,665
,666
,668
,669
,671
4,672
,674
,675
.677
,678
4,680
,68 1
,683
-685
,686
4,688
,689
,691
,692
.694
4.695
.697
,698
,700
,701
4,703
,7°4
,706
,707
.709
.,710
,712
.713
.715
,716
,718
3
У100л
10,000
,00;
,007
,010
,013
10,017
,020
,O23
,027
,030
*0,033
.°37
,040
.°43
,046
10,050
,053
,056
,060
,063
IO,066
,070
-073
,076
,079
10,083
,086
,089
,092
,096
10,099
,102
,106
,109
,112
10,115
,119
,122
Д25
,128
10,132
Д35
Д38
,141
Д45
0,148
Д51
Д54
Д58
,161
10,164
Л»
100,000
100,200 2°°
100,400 2°°
100,601 2°I
100,802 2°I
200
101,002
IOI,2O4 2°2
101,405 201
IOI,606 201
101,808 2°~
202
I02.0IO
IO2.2I2 2°2
102,414 2°2
102,617 2°3
102,820 2°3
202
103,022
103,226 2°4
103,429 aQ3
103,632-5
103,836s:4
104,040
104,244 4
104,448 2°4
Ю4.653 ^
104,858 ^
105,062
105,268 2o6
105,473 2
105,678 2
105,884 ^
206
106,090
106,296го6
106,502 ^
106,709*7
106,916 2°7
- 206
Ю7Д22
r>rM
107,330
107,537 2°7
107-744 ^
107,952 2
108,160
108,368 "*
108,576 **
108,785 °°9
108,994^
109,202
109,412 2I°
109,621 209
109,830 209
1 10,040 2I°
2IO
110,250
Л"
1000,0
1003,0 3
1006,0 3
1009,0 3°
IOI2,O3
3
1015Д .
ioi8,i 3
1021,1 3°
1024,2 3
1027,2 3°
' 3
I03o,3 ,.
1033-4 ^0
1036,4 л
Ю39, 5
^ Я1
1042,6 d
31
I045-7 „
1048,8 3I
1051,9 3I
QI
IO55,0 d
1058,1 3I
31
Io6l,2
1064,3 3I
1067,5
1070,6 3I
1073,7 11
1076,9
1080,0 3I
1083,2 32
1086,4 32
1089,5 3I
y°32
1092,7
1095,9 32
1099,1 3
1 102,3 32
5-5;
1108,7
1111,9 32
1 1 15,2 33
ni8,432
1121,6 32
33
1124,9
1128, 132
1131,4 33
134,6 32
137,933
141,2
144,4 32
147,7 11
15 1, o33
I54'3S
157.6
Л4
10000
10040 4
10080 4
IOI2I 4
I0l6l 4
4
I02O2
10242 4
10283 4
10324 4
10365 4
4
10406
10447 4
10489 42
10530 4
10572 42
42
10614
10656 &
10698 ^
10740 42
10782 ^
42
10824
10867 43
10909 42
10952 43
10995 43
1Ю38
I108I 43
1 1 125 44
ni6843
1 121 143
44
II255^
1 1299 **
1 1343 44
11387 ?
-431-
11475 «
1 1520 45
11564 44
II60945
1165445
45
11699
117444=
1178945
"834 «
1 1880 4°
45
1925 ,
1971 1б
2017 4
206346
2109 4б
46
2155
Л5
10
1OOOO
10050 5
IOIOO5
IOI5I 5
I02O2 5
5
10253
10304 5
I0355 ,
10406 э
10458 ^
D*"
I0510 «
10562 5
10615 53
10667 52
10720 53
53
I0773 co
10826 53
10879 f3
1093354
10987 54
II04I
1 1095 S4
CJ.
IH4934
I120455
1 12 59 55
Dy55
II3T4«
11369^
35 $
i 1481 g
37 !J6
11593 «6
Ii64956
1 1706 57
11763=7
1 1 820 57
57
11877
"934 5l
"992?!
12050 5
I2I08 58
59
I2I67 ,й
12225 58
12284 59
12343 59
50
12402 эу
6o
2462
25226o
2582 ^
^<
2702-
2763
1
Л
O.IOOOOO
,099900 I0°
,099800 10°
OQ
,099701 w
/• 99
'°99бо2 ^
0,099502 „
-'^O 08
,099404
.099305 59
,099206 ф
•°99io8 98
0,099010 ^
,098912 ^
,098814 !!
,098717 08
,098619 97
0.098522
.098425 97
,098328 g
,098232
,098135 96
0,098039 б
-097943 дб
,097847
.°97752 рб
.097656 95
0,097561
,097466 ^
,097371 95
-097276
.097182 J4
0,097087 „
/• °4
,096993 Q,
,096899 9!
.096805 94
' x- 94
,096712 93
0,096618
.096525 У
/-° a 94
,096432
-' ^° go
.096339 p.
,096246 ^
0,096154
09606Г W
-^ , O2
,095969 02
,095877 92
.095785 9J
0,095694
' ^'J -^ 92
,095602 '
' УО Of
,095511 У
' -7%-)<-1 QI
,095420 ^
-^° QI
,095329 9I
0,095238


22
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
10,50-11,00
n
10,50
.51
.52
.53
.54
10,55
.56
-57
-58
.59
10,60
,61
,62
,63
,64
10,65
,66
-67
,68
,69
10,70
,71
,13
,74
io,75
,76
,77
,78
,79
10,80
,81
,82
.83
,84
10,85
,86
,87
,88
-89
10,90
,9i
,92
,93
,94
Ю-95
,96
,97
,98
,99
11,00
VT
3,2404
,2419 *
16
,2435 „
.2450 ^
.2465 zg
3.2481
,2496 J5
,2512
,2527 '5
,2542 j>
3.2558
.2573 I5
,2588 '5
,2604 l6
,2619 T5
15
3,2634
,2650 l6
,2665 Ч
,2680 J5
,2696 l6
15
3'27H
,2726 X5
,2741 4>
,2757 l6
,2772 Ч
15
3,2787
,2802 T5
,28l8 l6
,2833 45
,2848 T5
3,2863
,2879 l6
,2894 Ч
,2909 Ч
.2924 l\
s
3,2939 I6
,2955
' yjo ie.
,2970 Э
,2985 I5
,3000 J5
3,3015 „
,3030 °
14.
.3045 J
,3061 16
,3076 '5
3-3091 T
,3106 15
,3121 15
,3136 *!
13151 15
3-3166
ViOn
10,247
.252
.257
,262
,266
10,271
,276
,281
,286
,291
10,296
,300
-3°5
,31°
.3*5
10,320
.325
,330
,334
-339
Ю.344
.349
-354
,359
.363
10,368
.373
.378
.383
.387
10,392
.397
,402
.407
,412
10,416
,421
,426
.431
.436
10,440
.445
.45°
.455
,459
10,464
,469
,474
,479
.483
10,488
3
VT
2,1898
,1905 7
,1911
,1918 7
,i9257
2,1932
Д939 7
,1946 7
Д953 7
,1960 7
7
2,1967
Д974 7
,1981 7
Д988 7
Д994 ?
2.2OOI
,2008 7
,2015 7
,2O22 '
,2O29 7
7
2,2036
,2043 7
,2049
,2056 7
,2063 7
7
2,2070
,2077 7
,2084 7
,2091 7
,2097 *
2,2104
,2111 7
,2Il87
.21257
,2131 °
7
2,2138
.2145 7
,21527
,2159 1
,2I65 6
7
2,2172
,2179 7
,2186 7
,2193 7
,2199°
2,2206
,2213 7
,2220 7
,2226 6
.2233 7
2,2240
УЮл
4,718
,719
,721
,722
' .724
4,725
.727
,728
.730
.731
4-733
.734
.736
,737
.739
4,740
.742
-743
.744
,746
4,747
.749
.750
.752
.753
4,755
.756
,758
,759
,761
4,762
,764
.765
,767
,768
4,77°
.771
.772
.774
.775
4,777
,778
,780
,781
,783
4,784
,786
.787
.789
-790
4-791
3
V\QOn
10,164
,I67
,170
Д74
10,180
,183
,187
,190
Д93
10,196
Д99
,203
,206
,209
10,212
,215
,219
,222
,225
10,228
,231
,234
,238
,241
10,244
,247
.250
,254-
.257
Ю,2бо
.263
,266
,269
,273
10,276
,279
,282
,285
,288
10,291
,295
,298
,301
,304
10,307
,310
,313
,317
.320
10,323
Я'
110,250
I Ю,4бО 2I°
110,670 2I°
110,881 2"
111,092 2I1
2IO
III,3O2
111,514 2I2
111,725 2"
?ii,936211
H2,i48212
212
212
1 12Л84 2I2
214
112,997 d
ото
113,210 3
212
113,4-22
113,636 2;4
1 13,849 23
II4,062213
II4,276214
^ ' 214
114,490
1 14,704 2;4
1 14,918 2i4
115.133 2i^
1 15-348 2i;j
115,562
115.778 2I6
«5.993 П
116,208 5
116,424 2IJ
2l6
116,640
116,856 2I*
117,072 2I6
1 17,289 2I7
1 17, 506 217
2IO
117,722
1 17,940 2I8
ii8,I57217
1 18,374 2I?
1 1 8, 592 2I
118,810
119,028 2l8
1 19,246 2l8
1 19,465 219
1 19,684 2I9
119,902
120,122 22°
120,341 2I9
120,560 2I9
120,780 22°
220
I2I,OOO
n3
«5*
1 1 6O,9 3S
II6>3 S4
1167,6^
1 170,9 33
33
1174,2
1 177, 6 34
1 180,9 33
ii84,3S4
1187,6s3
' 34
1191,0
1 194,4 34
1197,8s4
1201,2^
1204,6 34
^ 33
1207,9
1211,4 35
1214,8 34
I2l8,2 34
1221, 6 M
34
1225,0
1228,5 35
1231, 9 34
1235.4 f4
35
1242,3
1245,8 Ж
1249,2 34
1252,7 35
1256,2 35
I259,7 0_
1263,2 °5
1266,7 35
1270,2 35
1273,8 36
35
1277,3
i28o,8 35
1284,4s6
1287,9 3S
1291,5 ^
1295,0
1298,6 36
1302,2 36
1305,8 зб
i3°9.3 I
i3I2,9 ,
1316,5 J
1320,1 J0
1323,8 37
1327,4 S6
1331-0
»•
I220I 4°
12248 47
12295 47
I234I 46
12388
12435 4?
12482 47
12530 f
12577
°;/ 48
12625
12672 47
12720 48
12768 48
I28l6 48
49
12865
12913 4s
12962 49
13010 48
13059 «
49
13108
I3I57 49
13206 49
13256 5°
13305 50
13355
13404 49
13454 5°
13504 5°
13555 50
13605
13655^°
13706 5
13757 5I
13808 5I
51
13859 „
13910 5
13961 5I
14012 5I
14064 52
52
14116
14168 52
14220 52
14272 52
14324 53
14377 ,
14429^
14482 53
4535 ^
14588 53
53
14641
n5
10
12763
12824 6I
12885 J1
12946°'
13008 ?
13070
13132 f
13194 f
13256 f
!33i9g3
13382
13445 *
13509 r4
13573?
13637 g4
13701
13765 Jj4
13830 5
138952
14960^
Jy 66
14026
14091^
MIS?!;
14223
4290 66
14356
4423^
14490 :Z
14558^
4625^
14693 68
14830 ^
14898 *
7°
15037
15106 ^
I5I76 7°
15246 7°
15316 7°
15386
15457 7
I5528 7I
15599 7I
15671 7*
15742
15814 7
15887 73
— 7^
16032 73
73
16105
1
n
0,095238
,095147 9I
^QO
,094967 ^
,094877^
0,094787
,094697 9°
,094607 9°
,094518 g9
.0944298^
0,094340
,094251 89
,094162 89
80
.094073 9
.093985^
0,093897
,093809""
.093721 gg
.°93545*
0,093458
.093371 ^„
,093284 J
.093197 J
.0931 10 8?
0,093023
,092937
,092851
,092764 7
,092678 *
0,00259336
.092507 06
,092421
,092336 ^
,092251 *
°5
0,092166
,092081 5
,091996 gj
,091912 ^
,091827 g5
0,091743
,091659 °4
,091575 a4
,091491 4
,091408 8з
0,091324
,091241 8з
,091 158 8з
]o9io7583
,090992 g
0,090909


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
11,00-11,50
п
I I,OO
,OI
,02
,03
,04
ir.05
.06
,07
,08
,09
II, 10
,11
,12
,13
,H
IT. У5
,16
,17
,18
-19
I 1,20
,21
,22
•23
,24
11,25
,26
^28
,29
1Г.ЗО
,31
,32
,33
,34
"ii
,37
,38
,39
11,40
,4i
,42
,43
,44
11,45
,46
-47
,48
-49
11,50
Vn
!3i8i IS
,3196;;
,3211 5
,3226 ;f.
3,3242
,3257 *
.З2?2 I
,3287 J
,33°2 ^
3,3317
,3332 ?
,3347 ^
!з377 11
Я-3392
000:7 ic
-3407 ?
,3422 *
'3437 *
,345s4,
3-3466
,348i 5
,3496 !
,3511 s
,3526 I5
oo 15
3,3541
,3556^
,3571 *
,3586 5
,3601 *5
3,3615
,3630 *5
,3645 !
,3660 °
,3675 H
3,3б9о is
,3719 I4
3734 *
.37494
3-3764
•3779 s
,3793 4
,38o815
,3823 H
3,3838
,3853^
,3867 4
,3882 I5
-3897 ;'
3-3912
Kion
10,488
,493
,498
,5°2
,5°7
10,512
,517
,521
,53i
10,536
,540
-545
-550
,,555
IO-559
,564
,569
,574
,578
10,583
,588
,592
-597
,602
10,607
,611
,616
,621
.625
10,630
,635
,640
,644
,649
10,654
,658
,663
,668
,672
10,677
,682
,686
,691
,696
IO,7OO
,705
,710
,714
,719
10,724
3
VT
2,2240
,2247 7
,2253
,2260 7
,2267 7
2,2273
,2280 7
,2287 7
,2294 7
,2300°
2,2307
,234!
,2320
,2327 7
,2334 7
2,2340
-2347 7
l2354 1
,2360 D
,2367 7
2,2374
,2380 б
.2387 7
,2394 7
,2400
7
2,2407
,2414 7
,2420 °
,2427 7
,2434 7
2,2440
-2447 7
-2453
,24607
,24677
2,2473
,2480 7
,2486 6
,2493 7
6
2,2506
,2513 7
,2519
,25267
,2532°
2,2539
,2546 7
,2552
,2559'
,2565;
2,2572
3
VlOn
4-791
,793
,794
,796
-797
4,799
,800
,802
,803
,804
4,806
,807
,809
,810
,812
4,8i3
,815
,816
,817
,819
4,820
,822
,823
,825
,826
4,827
,829
,830
,832
,833
4,835
,836
,837
-839
,840
4,842
,843
,845
,846
,847
4,849
,850
,852
,853
,854
4,856
,857
,859
,860
,862
4,863
s
VlOOn
10,323
,326
-329
,332
,335
10,338
,342
,345
,348
•351
ю,354
•357
,360
,363
;366
10,370
,373
,376
,379
,382
10-385
,388
,391
,394
,397
10,400
403
407
,410
,413
10,416
,419
,422
,425
,428
10,431
,434
,437
,440
-443
10,446
,449
,453
,456
-459
10,462
,465
,468
,471
,474
10,477
n
121,000
I2I.220220
121,440 22°
I2I,66l 221
121,882 221
220
122,102
122,324 222
122,545 221
122,766 221
122,088 ЯЯЯ
222
123,210
123,432 222
123,654 222
123,877 3
124, ioo 223
222
124.322
I24'54°S
124-769^
124,992 d
125,2l6 224
°' 224
125,440
125,664 224
125,888 224
126,113 225
126,338 225
224
126,562
126,788 226
127,013 225
127,238 225
127-4°4S
127,690
127,916 **
128,142 226
128,369 227
128,596 2
128,822
129^77 227
129,504^
129,732^
129,960
130,188 ^
130 4I6 ^
130,645 22?
130,874 ^
131,102
I3i,33223°
132,020 23°
230
132,250
Л'
гтб36
1338, 33!
1341,9^
1 345,6 37
36
J 349,2
1352,9 A1
1356,6 37
1360,3 37
1363,9 3?
1367,6
137 !>337
1375,0 37
1378.7 37
1382,5 37
1386,2
I389!9 ?J
1393.7 1
!397,4
о»
1401,2^
37
14040
Qfl
3^
1416,2 37
1420,0 *
14238
1427,6 38
38
1435,2 *
Х439Д g
1442,9 .
1446,7 6
1450,6 39
J 48
1454.4Г_
458,3 »
1462,1
1466,0 39
1469,9 39
1473.8 3^
1477'6^
1481,5
T485,4 f
1489,4 4°
J493,3 3^
1497,2 °9
39
1501,1
1505,1 4
1516,9 39
1520,9
n4
14641
14694 f
14748 54
CO
14801 53
4855 »
14909
14963 54
i5OI7 5J
15072 эа
1 5126 54
0 55
15181 ^
15235 54
15390 55
15401 5б
0 55
Х^'лб
56
15567 2
15623 5
15679 5
I579I 5б
1584857
15904 ^
15961 э7
ОУ 57
16018
16075 57
16132 57
I6IQ058
16247 g
16305
16363 f
16420 57
16479*
16537^3
16654 59
16713 59
16771 53
i683og
16890
16949 59
17008 59
17068 *»
17128 ^
' 60
17188
17248
17308^
^7369^
17429 6I
17490
Л5
10
16105
16178 73
16252 74
1632674
74
16474
16549 75
16624 75
16699 75
16775 76
16851
16927 7°
I700376
17080 77
I7I5676
17234
I73II 77
17389 ^
17467 ^g
17623
17702 79
I778I 79
I786I ^
17940 79
I8O2O
18101 8l
18181 ^
18262 8l
18343 Ц
18424
18506 82
18588 a*
18670 8a
18753 H
18836
18919 8з
19002 8з
19086^
19170^
19254 Яе
19339^
19424 f
!95°9^
19594 86
19680
19766
19853 fJ
19939 „
20020 88
20П4
1
л
0,090909
,090827 f
,090744 J
,090662 a
,090580 2
0,090498
,090416
,090334 oj
,090253 „
i» 00 g2
,O9OI7I
о 090090
,090009
,089928 11
,089847^
,089767 8I
0,089686 ^
,089606^
,089526 8I
,089445 7Q
,089366 ^
0,089286 „
,089206
,089127 79
,089047 *»
088968 79
79
0,088889
,088810 79
,088731 79
,088652 79
-088574 7g
0,088496
,088417 Т9
,088339 7„
,088261 78
,088183 ?a
0,o88lo6
,088028 ?8
)o87873!?
,087796^
°-°о7Г977
,087642 7j
,087566 ^
,087489 77
,0874^3 ^
0,087336
,087260 ^
,087184 7
,087108 J
,087032 ,?
0,086957


24
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
11,50—12,00
л
м
м
>1 СП Сп &1
JO M w О
.54
и,55
,56
«57
,58
J*J
•59
Il,6o
,61
,62
,63
,64
11,65
,66
,67
,68
,69
31,7°
-71
,72
/7Я
• / о
-74
П.75
,76
.77
.76
,79
II. 8о
,8i
,82
,83
,84
11,85
,86
,87
,88
,89
11,90
,91
,92
,93
.94
11,95
,96
.97
,98
,99
12,00
У1Г
3'39i2
,3926 14
.3941 J5
,Я95б 5
,3971 '5
Т4
3.3985 с
,4000 5
,4015 15
,4029 ч
,4044 **
ч,4о=;о
O't О^
,4073 14
,4088 Т5
,4103 15
,4«7 ^
3.4132
,4147 15
,4i6i Т4
,4176 15
,4191 15
14
3,4205
,4220 15
,4234 14
,4249 Т5
,4264 15
Н
3,42у8
,4293 15
,4307 14
,4322 15
,4337 15
*4
3-4351
,4366 '5
,438о 14
,439=; 15
-tO^O
.4409 ;4
3.4424
,4438 14
,44S3 I5
т~ f *_/v->
,4467 Н
,4482 '5
Т4
3-4496
ТГ
.45 JI
.4525;^
454°
^ т л
.4554-
3,4^69
w* i ^J -S
,4583 4
1 i«J О тс
,4598 5
* 1 v^V
,4612 14
,4627 15
14
3-4б41
YlQn
10,724
,728
,733
,738
,742
10,747
,752
* / »_J
,756
,761
,766
10,77°
,775
,780
,784
,789
10,794
,798
,803
,807
,812
10,817
,821
,826
,831
,835
10,840
,844
,849
.854
,858
10,863
,867
,872
,877
,881
10,886
,890
,?95
,900
,904
10,909
,913
,918
,922
,927
10,032
.936
,94i
,945
,95°
io,954
3
VH:
2,2572
,2578 *
,2585 I
,2591 °
,2598 7
2,2604
,2бИ 7
,2б1?
,2624 7
,2631 7
2,2637
,2644 7
,2650 6
,2657 7
,2663 °
7
2,2670
,2б76 6
,2682 Ь
,2689 7
,2б95 \
2,2702
,2708 6
,2715 1
,2721
,2728 7
2,2734
,2741 7
,2747
,2754 7
,2760
2,2/66
,2773 7
,2779
,2786 7
,2792 *
2,2798
,2805 7
,2811 °
,2818 7
,2824 6
2,2831
,2837
*-* ' ?
,2843 б
,2850 7
,2856 *
2,2862
,2869 7
,2875 ?
,2882 7
,2888 6
6
2,2894
3
КЮл
4,863
,864
,866
,867
,869
4,870
,87i
,873
,874
,876
4>877
,87 8
,88о
,88i
,883
4,884
,885
,88?
,888
,8оо
4,891
,892
,894
,895
,897
4,898
,899
,901
,ОХJ
,9°3
4>9<>5
,9°6
.'ос8
,909
,910
4,912
,913
-915
,916
,917
4,9^9
,920
,921
.923
,924
4,926
,927
,928
.930
,931
4,932
3
Vwon
ю,477
,480
,483
,486
•489
io,492
,495
,498
,501
,5°4
10,507
,510
,5*3
.516
,5^9
10,522
,525
,528
«S31
>»JiJ
,534
10,537
,54°
'<и i
,543
,54б
-549
10,552
.555
,558
,56i
,5б4
10,567
,570
,573
,576
.579
10,582
,585
-588
,591
,594
ю,597
,6оо
,6оз
,6с6
,609
IO,6l2
,б15
,6l8
,621
,624
Ю,б27
Л9
1
132,250
132,48023°
132,710 23°
CJQT
132,941 J
133,172 23о
133,402
133,634 2J
133.865 3
134,096 231
134.328 J
Т34-5бо
134,792 232
135-024 23
135-257 У.
135-490 2J
т я 5.722
f 244.
135,956 J:
136,189 33
136422 233
136,656 234
05 ° 234
136,890
244.
Т37Д24 J4
137,358 *
137,593 2Г:
137,828 ^
°' 234
138,062 „
138.298 2эб
138,533 Т.
138,768 J
139-004 2g
139,240
'39,476:
139.71 2
247
139.949 У.
140,186 37
^ 236
140,422
140,660 23
140,897 23?
247
141Д34Л
41,372 5
141,610
i4i,848238
142,с86 2з8
142,325 ^
142,564 ^
^ ° ^238
142,802
143.042 224°
143.281 2°9
143,520 2f
14з-7бо;:о
144,000
л3
i
152°'Ез9
I524,8dy
1528,8 4°
1532,8 4°
'536,8 ?
1540,8
1544,8 4°
1548,8 4°
1552,8 4°
^56,9::
1560,9
1564,9 4°
1569,о^
1573-0 4°
ТГГТП Т 41
157 'Д 41
1581,2
1585.2 4°
1589,3 %
15934 4
1597,5:;
i6oi,6
1605,7 4I
1609,8 4I
1614,0 42
i6i8,i 4I
41
1622,2
1626,4 42
1630,5 42
i634,7 42
1638,9 1
1643,0
1647, 2 42
/- d.2
l6^I,4 4
тЛ__242
l655'6 1
1659,8^
1664,0
1668,2 ^
1672,4 f
1676,7 43
1680,9 42
43
1685,2
1689,4 42
1693,7 43
I697.942
1702,2 43
43
1706,5
' 1710,8 43
1715,1 43
I7I9,4 43
I723,7 43
1728,0
nl
17490,
17551'
17612 6I
17673^
17735 6l
17796,
^858
17920
17982 f
18044 62
I8I06
I8l69 J
18232 63
18294 L
18357 Ц
18421
18484?
18547 S
18611 °4
I8675^:
I8?39 -
I8803J
18867 64
18932 Г5
18996 ^
19061
19126 6s
19191 g
19257"!
19322 ^
19388
19454 f6
I9520S
19586 J
19652 ^
y ° 66
19718
19785 g7
198 52 б7
° бт
19919 Z7
19986 ^
20053
2012 1 68
20189 68
20256^
20324 ^
20393 „
20461 68
20529^8
20598 f
20667 9
69
20736
1
Л5
10
20114
2O20I 7
20289 88
•* OQ
20377 f
20466 89
89
20555 .
20644 89
20733 89
20823 9°
20913 9°
90
21003
21094 91
21185 91
21276 9I
21368 92
92
21460
21552 92
21645 93
21738 93
21831 93
93
21924
22018 94
22II3 95
22207 94
22302 95
95
22397
22492 95
22588 9б
22684 9б
22?8l 97
97
22878
22975 97
23072 97
23170 98
23268 98
23366
23465 99
23564 99
23664 I0°
23763 "
IOI
23864
23964;°°
24065 101
24166 I01
24267 I01
102
24369
24471 I02
24574 T°3
24677 I03
24780 I03
103
24883
l
л
о,о8б957
,086881^
,о868об 75
,086730 ll
,o86655 К
/J
0,086580
,086505 J*
,086430 75
,086356 I4
,086281 /5
74
0,086207
,086133 74
,086059 74
,085985 l\
,08591^:
0,085837
,085763 74
,085690 73
,085616 74
>085543^
0,085470
,085397 73
,085324 73
,085251 73
,0851797°
73
0,085106
,085034 72
,084962 72
,084890 72
,084818 73
72
0,084746
,084674 72
,084602 7a
,084531 7'
.084459 73
0,084388
,084317 7I
,084246 7I
,084175 7I
,084104 ?I
70
0,084034
,083963 7I
,083893 7°
,083822 7t
,083752 ]°o
0,083682
,083612 7°
,083542 7°
,083472'
.083403^
0,083333


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
25
Таблица II. ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТЕЙ И ПЛОЩАДИ КРУГОВ
d
(диа-
метр)
i
2
3
4
5
6
7
8
9
ю
и
12
13
14
15
, !б
i8
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
З2
33
34
35
36
37
38
39
40
4i
42
43
44
45
46
47
48
49
50
5i
52
53
54
55
56
57
58
59
60 ]
Tlrf
3,142
6,283
9425
12,566
15,708
18,850
21,991
25.133
28,274
31416
34.558
37.699
40,841
43.982
47.124
50,265
53407
56,549
59.69°
62,832
65.973
69,115
72,257
75,398
78,540
81,681
84,823
87,965
91,106
94-248
97,389
100,53
103,67
106,81
109,96
113,10
116,24
119,38
122,52
125,66
128,81
i3i,95
135.09
138,23
141,37
144-51
147,65
150,80
153,94
^ 0 / 1^*-*
160,22
163,36
[66,50
[69,65
[72,79
'75-93
i 79.07 :
[82,21 -
'85,35 •
[88,50 :
4"
0,7854
ЗД416
7,0686
12,5664
19,635°
28,2743
38,4845
50,2655
63,6173
78,5398
95,0332
И3.097
132,732
153.938
176,715
2OJ ,062
226,980
254,469
283,529
314.159
346,361
415476
452,389
450,874
530,929
572,555
615,752
660,520
706,858
754.768
?04,248
855,299
507,920
962,113
)OI7,88
10/5,21
I134.II
1194-59
1256,64
1320,25
138544
1452,20
1520,53
155043
1661, go
1734,94
i ?09,56
1885,74
1963,5°
2042,82
2123,72
2206,18
2290,22
2375,83
2463,01
255L76
2642,08
2733-97
2827,43
d
(диа-
метр)
6i
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
?o
81
82
83
84
85
?6
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
IOI
1 02
103
104
105
106
107
1 08
109
no
III
112
ИЗ
114
115
Il6
117
118
119
120
Ttd
191,64
194,78
197,92
201,06
204,20
207,35
210,49
213,63
216,77
219,91
223,05
226,19
229,34
232,48
235.62
238,76
241,90
245,04
248,19
251,33
25447
257,61
260,75
263,89
267,04
270,18
273,32
276,46
279,60
282,74
285,88
289,03
292,17
295,31
298,45
30J ,59
304,73
307,88
311,02
3!4>i6
3i7,3o
320,44
323,58
326,73
329-87
333,01
336,15
339,29
342,43
345,58
348,72
351,86
355,0°
358,14
361,28
36442
367,57
370,71
373,85
376,99
4
2922,47
3019,07
3117,25
3216,99
3318,31
3421,19
3525,65
3631,68
3739,28
384845
3959,19
4071,50
4300.84
4417,86
4536,46
4656,63
4778,36
4501,67
5026,55
5153,00
5281,02
54io,6i
5541,77
5674,5°
5?o8,?o
5944,68
6082,12
6221,14
6361,73
6503,88
6647,61
6792,91
6939,78
7088,22
7238,23,
73?9,8i
7542,96
7^97,^9
7853.98
8011,85
8171.28
8332,29
8494,87
?659,01
8824,73
8992,02
9160,88
9331.32
9503.32
9676,89
9852.03
10028,7
10207,0
10386,9
10568,3
I075i,3
10935,9
11122,0
11309,7
d
(диа-
метр)
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
i3i
T32
133
134
J35
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
ifco
161
162,
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
1 80
r.d
380,13
383.27
386,42
389.56
392,70
395.84
398,98
402,12
405,27
408,41
4",55
414,69
417,83
420,97
424,12
427,26
430,40
433,54
436,68
439,82
442,96
446,11
449.25
452,39
455-53
458,67
461,81
464,96
468,10
471,24
474,38
477.52
480,66
483.81
4*6,95
450,09
493,23
496,37
4S9,5i
502,65
505,8o
508,94
512,08
515-22
518,36
521,50
524-65
527,79
530,93
534,07
537,21
540,35
543-5°
546,64
549,78
552,92
556,o6
559,20
562,35
56549
•rcfl?2
~T
11499,0
11689,9
11882,3
12076,3
12271,8
12469,0
12667,7
12868,0
13069,8
13273,2
13478,2
13684,8
13892,9
14102,6
14313,9
14526,7
14741,1
14957.1
15174.7
15393.8
15614,5
15836,8
16060,6
16286,0
16513.0
16741,5
16971,7
17203,4
17436,6
17671,5
17907,9
18145,8
183854
18626,5
18869,2
19113,4
19359-3
19606,7
19^55,7
20106,2
20358,3
20612,0
20867,2
21124,1
21382,5
21642,4
21904,0
22167,1
22431,8
22698,0
22965,8
23235,2
23506,2
23778,7
24052,8
24328,5
24605,7
24884,6
25164.9
25446,9
d
(диа-
метр)
i8i
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
2OI
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
2l6
217
218
219
22O
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
Ttrf
568,63
571,77
574,91
578,05
581,19
584,34
587,48
590,62
593,76
596,90
600,04
603,19
606,33
609,47
6l2,6l
615.75
618,89
622,04
625,18
628,32
631,46
634,60
637,74
640,88
644.03
647,17
650,31
65345
656,59
659,73
662,88
666,02
669,16
672,30
675,44
678,58
681,73
6^4,87
688,01
691,15
694,29
69743
700,58
703,72
706,86
710,00
713,4
716,28
71942
722,57
725,71
728,85
73L99
735-13
738,27
74142
744,56
747.70
750.84
753-98
4
25730,4
26015,5
26302,2
26590,4
26880,3
27171,6
27464,6
27759,i
28055,2
28352,9
28652,1
28952,9
29255-3
29559-2
29864,8
30I7L9
30480,5
30790.7
31102,6
3i4i5'9
3i730.9
320474
32365,5
32685,1
33006,4
33329,2
33653.5
33979-5
34307.0
34636. i
34966-7
35298,9
35632,7
35968,i
36305,0
36643.5
36983,5
37325,3
3/668,5
38013-3
38359.»
38707,6
39057.1
39408,1
39760,8
40115,0
40470,8
40828,1
41187,1
4I547>°
41909,6
42273-3
42638,5
43005,3
43373,6
43743-5
44115-°
44488, i
44862,7
45238.9


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. II
d
(диа-
метр)
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
•254
2=;ч
л
256
257
258
259
або
26l
2б2
2бЗ
264
2б5
266
267
268
269
27О
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
Зоо
ъ*
757Д2
760,27
76341
766,55
769,69
772,83
775-97
779.И
782,26
785.4°
788,54
791.68
794.82
797.96
801,11
804,25
807,39
810,53
813,67
816,81
819,96
823,10
826,24
829,38
832,52
835-66
838,81
84L95
845.09
848,23
85L37
854.51
857,65
860,80
863,94
867,08
870,22
873.36
876,50
879.65
882,79
885,93
889,07
892,21
895,35
898,50
901,64
904,78
907,92
911,06
914,20
917.35
920,49
923.63
926,77
929,91
933-05
93бД9
939.34
942,48
TTrf3
Т
45616,7
45996,1
4б377.о
46759,5
4743,5
47529.2
47916,4
48305,1
48695,5
49087,4
49480,9
49875.9
50272,6
50670,7
5*070,5
5H7L9
51874,8
52279,2
52685,3
53092,9
53502.1
53912,9
54325.2
54739Д
55i54,6
55571-6
55990,2
56410,4
56832,2
57255,5
57680,4
58106,9
58534,9
58964,6
59395.7
59»2«,5
60262,8
60698,7
61136,2
61575-2
62015,8
62458,0
62901,8
63347,1
63794.0
64242,4
64692,5
65144,1
65597.2
66052,0
66508,3
66966,2
67425,6
67886,7
68349,3
68813,4
69279,2
69746,5
702154
70685,8
d
(диа-
метр)
3oi
302
303
304
3°5
306
307
308
309
310
3ii
312
3i3
3i4
3*5
316
3*7
318
3*9
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
33i
332
333
334
335
336
337
338
339
340
34i
342
343
344
345
346
347
348
349
35°
35i
352
353
354
355
356
357
358
359
360
•Kd
945,62
948,76
95L90
955.04
958.i9
96i,33
964,47
967,61
970,75
973.89
977.04
980,18
983.32
986,46
989,60
992,74
995,88
999-03
1002,2
Ю05,3
J 008,5
1OII.6
1014,7
1017,9
IO2I.O
1024,2
1027,3
1030,4
1033,6
1036,7
1039,9
1043,0
1046,2
1049,3
1052,4
1055-6
1058,7
Юб1,9
1065,0
1068,1
1071,3
1074,4
1077,6
1080,7
1083,8
1087,0
1090,1
1093,3
1096,4
1099,6
1102,7
1105,8
1109,0
1 1 12,1
III5.3
1118,4
1121,5
1124,7
1127,8
1131,0
Tlrf2
4
7Ti57,9
71631,5
72106,6
72583.4
73061,7
73541,5
74023,0
74506,0
74990,6
75476,8
75964,5
76453,8
76944.7
77437-1
7793LI
78426,7
78923,9
79422,6
79922,9
80424,8
80928,2
81433.2
81939,8
82448,0
82957,7
83469,0
83981,8
84496,3
85012,3
85529,9
86049,0
86569,7
87092,0
87615,9
88141,3
88668,3
89196,9
89727,0
90258,7
90792,0
91326,9
91863,3
92401,3
92940,9
93482,0
94024,7
945б9,о
95IT4,9
95662,3
96211,3
96761,8
97314.0
97867,7
98423,0
98979,8
99538.2
100098
100660
101223
101788
d
(диа-
метр)
36i
362
363
364
365
366
367
368
369
370
37i
372
373
374
' 375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
39°
39i
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
4T3
414
4*5
416
417
418
419
420
r.d
1134-1
7-3
1140,4
II43-5
1146,7
1149,8
1153,0
1156,1
1159.2
1162,4
1165,5
1 168,7
1171,8
И75.0
1178,1
1181,2
1184,4
"87,5
1190,7
и 93-8
1196,9
I2OO,I
1203,2
1206,4
1209,5
1212,7
1215,8
I2l8,9
1222,1
1225,2
1228,4
1231,5
1234,6
1237,8
1240,9
1244,1
1247,2
1250,4
I253.5
1256,6
1259,8
1262,9
1266,1
1269,2
1272,3
1275,5
1278,6
1281,8
1284,9
1288,1
1291,2
1294,3
1297.5
1300,6
1303,8
1306,9
1310,0
1313,2
1316,3
iS^o
•xd*
Т
Ю2354
102922
Ю3491
104062
104635
105209
105784
106362
106941
Ю7521
108103
108687
109272
109858
110447
111036
111628
I I 222 I
II28I5
II34II
II4OO9
114608
115209
115812
116416
II702I
117628
118237
118847
H9459
I2O072
120687
I2I304
I2I922
122542
123163
123786
I244IO
125036
125664
126293
126923
127556
128190
128825
129462
I3O1OO
I3074I
131382
132025
132670
I333I7
133965
134614
135265
I359I8
136572
137228
137885
138544
d
(диа-
метр)
421
422
423
424
425
426
42?
428
429
430
43i
432
433
434
435
436
437
438
439
440
44i
442
443
444
445
446
447
448
449
45°
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
47i
472
473
474
475
476
477
478
479
480
Ttd
1322,6
1325,8
1328,9
I332,o
1335,2
1338,3
1341,5
1344,6
1347.7
1350,9
1354-0
1357,2
1360,3
13бЗ,5
1366,6
1369.7
1372,9
1376,0
1379,2
1382,3
1385,4
1388,6
1391,7
1394.9
1398.0
1401,2
404.3
1407,4
1410,6
1413.7
1416,9
1420,0
I423.I
1426,3
1429.4
1432,6
1435.7
1438,8
1442,0
I445-I
1448,3
I45L4
1454,6
1457.7
1460,8
1464,0
1467.1
1470,3
14734
1476,5
1479,7
1482,8
1486,0
1489,1
1492,3
1495,4
1498,5
I5oi,7
I504,8
1508,0
тт^з
~4~
139205
139867
140531
141196
141863
142531
143201
143872
144545
145220
145896
146574
147254
47934
148617
149301
149987
150674
151363
152053
152745
153439
154134
154830
155528
156228
156930
157633
158337
159043
I59751
160460
161171
161883
162597
163313
164030
164748
165468
166190
166914
167639
168365
169093
169823
170554
171287
172021
172757
173494
174234
174974
175716
176460
177205
177952
178701
I7945I
180203
180956


d
(диа-
метр)
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
50i
502
5°3
504
5°5
506
5°7
508
5°9
5ii
5i2
513
515
517
5Г9
520
52i
522
523
524
525
526
S2?
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
itd
IS",1
1514.2
I5I7.4
1523.7
1526,8
1530,0
1533,1
1536,2
1539,4
1542,5
1545.7
1548,8
i55i,9
1555Д
1558,2
1564.5
1567-7
1570,8
1573-9
i577,i
1580,2
1583-4
1586,5
1589,6
1592,8
1595-9
1602,2
1605,4
1608,5
1611,6
1614,8
1617,9
1621,1
1624,2
1627,3
1630,5
1633,6
1636,8
i639,9
1643,1
1646,2
1649-3
1652,5
1655-6
1658,8
1661,9
1665,0
1668,2
1671-3
1674,5
1677,6 •
1 680,8
1683,9
1687,0
1690,2
1693,3
1696,5
i^d
л
181711
182467
183225
183984
184745
185508
186272
187038
187805
188574
189345
190117
190890
191665
192442
193221
194000
194782
195565
196350
197136
197923
198713
199504
200296
201090
201886
202683
203482
204282
205084
205887
206692
207499
208307
209117
209928
210741
211556
212372
213189
214008
214829
215651
216475
217301
218128
218956
219787
220618
221452
222287
223123
223961
224801
225642
226484
227329
228175
229022
d
(диа-
i метр)
54i
542
543
544
545
546
547
54*8
549
550
55i
552
553
554
555
556
557
'558
559
560
56i
562
563
564
5б5
566
567
568
569
570
57i
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
59i
592
593
594
595
596
597
598
599
600
•nd
1699,6
1702,7
1705-9
1709,0
1712,2
1715,3
1718,5
1721,6
1724-7
1727,9
1731-0
1734,2
i737,3
1740-4
1743-6
1746,7
1749-9
1753-0
1756,2
1759-3
1762,4
1765,6
1768,7
I77L9
1775,0
1778,1
1781,3
1784,4
1787,6
1790,7
1793,8
1797-0
1800, i
1803,3
1806,4
1809,6
1812,7
1815,8
1819,0
1822,1
1825,3
1828,4
1831,5
1834,7
1837,8
1841,0
1844,1
1847-3
1850,4
1853-5
1856,7
1859,8
1863,0
1866, i
1869,2
1872,4
i875-5
1878,7
1881,8
1885,0
4
229871
230722
231574
232428
233283
234140
234998
235858
236720
237583
238448
239314
240182
241051
241922
242795
243669
244545
245422
246301
247181
248063
248947
249832
250719
251607
252497
253388
254281
255176
256072
256970
257869
258770
259672
260576
261482
262389
263298
264208
265120
266033
266948
267865
268783
269703
270624
271547
272471
273397
274325
275254
276184
277117
278051
278986
279923
280862
281802
282743
d
(диа-
метр)
6oi
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
itd
1888, i
1891,2
1894,4
i897,5
1900,7
1903,8
1906,9
1910,1
1913-2
1916,4
I9I9.5
1922,7
1925,8
1928,9
1932,1
1935,2
1938,4
I94L5
1944,6
1947,8
1950.9
I954.I
1957.2
1960,4
1963,5
1966,6
1969,8
1972,9
1976,1
1979,2
1982,3
1985,5
1988,6
1991,8
1994-9
1998,1
2001,2
2004,3
2007,5
2010,6
2013,8
2016,9
2020,0
2023,2
2026,3
2029,5
2032,6
2035,8
2038,9
2042,0
2045,2
2048,3
2051,5
2054,6
2057-7
2060,9
2064,0
2067,2
2070,3 .
2073-5 ,
4
283687
284631
285578
286526
287475
288426
289379
290333
291289
292247
293206
294166
295128
296092
297057
298024
298992
299962
300934
301907
302882
303858
304836
305815
306796
307779
308763
309748
310736
311725
312715
313707
314700
315696
316692
317690
318690
319692
320695
321699
322705
323713
324722
325733
326745
327759
328775
329792
330810
331831
332853
333876
33490 r
335927
336955
337985
339oi6
340049
341083
342119
d
(диа-
метр)
66i
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
f
694
695.
696
697
698
699
700
701
702
703 =
704 .
705 :
706 :
707 :
708 :
709 :
710
711 :
712 :
713 :
714 2
715 -
716 :
717 ;
718 2
719 :
720
•nd
2076,6
2079,7
2082,9
2086,0
2089,2
2092,3
2095,4
2098,6
2101,7
2104,9
2IO3,O
2111,2
2114,3
2117,4
2I2O,6
2123,7
2126,9
2I3O,O
2I33-I
2136,3
2139-4
2142,6
2145-7
2148,8
2152,0
2155,1
2158,3
2161,4
2164,6
2167,7
2170,8
21/4,0
2177,1
2180,3
2183,4
2l86,5
2189,7
2192,8
2196,0
2199,1
22O2,3
2205,4
2208,5
2211,7
2214,8
22l8,O
2221,1
2224,2
2227,4
2230,5
2233,7
2236,8
2240,0
^43,1
2246,2
2249,4
2252,5
2255,7
2258,8
^261,9
4
343157
344196
345237
346279
347323
348368
349415
350464
351514
352565
353618
354673
35573°
356788
357847
358908
359971
361035
362101
363168
364237
365308
366380
367453
3685^8
369605
370684
371764
372845
373928
375013
376099
377187
378276
379367
380459
381553
382649
383746
384845
385945
387047
388151
389256
390363
39I47I
392580
393692
394805
395919
397035
398153
399272
400393
401515
402639
403765
404892
406020
407150


28
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. II
(дм- r.d 1*
метр) 4
721 2265,1 408282
722 2з68,2 4°9415
723 2271,4 4*055°
724 22-74,5 4**687
725 2277,7 412825
726 228о,8 4*3965
727 2283,9 4*5*о6
728 2287,1 4*6248
729. 2290,2 417393
730 2293,4 418539
731 2296,5 4*9686
732 2299,6 42<>335
733 2302,8 42*986
734 2305,9 423138
735 2309,1 424292
736 2312,2 425447
737 23154 426604
738 2318,5 427762
739 2321,6 428922
740 2324,8 430084
i 741 2327,9 43I247
742 2331,1 4324Т2
743 2334-2 433578
744 2337.3 434746
745 2340,5 4359*6
746 2343-6 437087
747 2346,8 438259
748 2349.9 439433
749 2353.1 440609
750 2356,2 44!785
75* 2359-3 442965
752 2362,5 444I 46
753 23б5-6 445328
754 2368,8 4465*1
755 2371,9 447697
756 2375.0 448883
757 2378,2 45°072
758 2381,3 45*2б2
759 2384.5 452453
7бо 2387,6 453646
7бт 2390,8 45484I
762 2393.9 45боз7
763 2397-0 457234
764 2400,2 458434
765 2403,3 459635
766 2406,5 460837
767 2409,6 462041
768 2412,7 463247
769 2415,9 464454
770 2419,0 465663
77 1 2422,2 466873
772 2425,3 468085
773 2428,5 4б9298
774 2431,6 47°513
775 2434,7 47173°
7?6 2437.9 472948
777 2441,0 474 1 68
778 2444.2 475389
779 2447,3 4/6612
780 2450,4 477836
(диа- vd ^
метр) 4
781 2453.6 479об2
782 2456,7 480290
783 2459.9 4815*9
784 2463,0 48275°
785 24б6;2 483982
786 2469,3 4852*6
787 2472,4 48645*
788 2473.6 487688
789 2478,7 488927
790 2481,9 49О1б7
791 2485,0 49*409
792 2488,1 492652
793 249*-3 493897
794 2494-4 495*43
795 2497.6 49639*
796 2500,7 49764*
797 2503,8 498892
798 2507,0 5°о*45
799 2510,1 5°*399
8оо 2513,3 5°2б55
8oi 2516,4 5°39*2
8о2 2519,6 505171
803 2522,7 506432
8о4 2525,8 5°7694
805 2529,0 508958
806 2532-* 5*0223
8о7 2535-3 5 90
8о8 2538,4 512758
8о9 254 *,5 5*4028
8*о 2544.7 5*53оо
8и 2547.8 5*6573
8i2 255* ,о 5*7848
8*3 2554.* 5 '9*24
8*4 2557.3 520402
8 15 2560,4 52*68i
816 2563,5 522962
817 2566,7 524245
818 2569,8 525529
8*9 2573-о 5268 14
82о 2576,1 528*02
821 2579,2 52939*
822 2582,4 53°68i
823 2585о 531973
824 2588,7 5332б7
825 259*, 8 534562
826 2595-0 535858
827 2598,1 537*57
828 2601,2 538456
829 2604,4 539758
830 2607,5 54*o6i
83 г 2бю,7 542365
832 2613,8 54367*
83з 2616,9 544979
834 2620,1 546288
8з5 2623,2 547599
836 2626,4 5489*2
837 2629,5 55°22б
838 2632,7 55*54*
839 2б35,8 552858
840 2638,9 554*77
/ ^ ^
(диа- па — -
метр) **
84i 2642,1 555497
842 2645,2 556819
843 2648,4 558*42
844 2б5*,5 559467
845 2654-6 560794
846 2657,8 562122
847 2660,9 563452
848 2664,1 564783
849 2667,2 566116
850 2670,4 567450
85т 2673,5 568786
852 2676.6 570*24
853 2679,8 57*4бЗ
854 2682,9 5728оз
855 2686, i 574'4б
856 2689,2 575490
857 2692,3 576835
858 2695,5 578*82
859 2698,6 579530
86о 2701,8 580880
86 1 2704,9 582232
862 2708,1 583585
863 2711,2 584940
864 2714,3 586297
865 2717,5 587655
866 2720,6 589° ' 4
867 2723,8 590375
868 2726,9 59 ' 738
86д 2730,0 593 ' °2
87° 2733.2 59446S
871 2736,3 595835
872 2739.5 597204
873 2742,6 598575,
874 2745.8 599947
875 2748,9 601320
876 2752>о 602696
877 2755-2 604073
878 2758,3 605451
879 2761,5 606831
88о 2764,6 608212
88i 2767,7 609595
882 2770,9 610980
883 2774-0 612366
884 2777.2 6I3754
885 278о,з 6:543
886 2783,5 616534
887 2786,6 6i7927
888 2789,7 61932*
889 2792,9 620717
890 2796,0 622114
891 2799-2 6235*3
892 2б02,3 6249*3
893 2805,4 626315
894 2808,6 6277*8
895 28 и, 7 629124
896 2814,9 630530
897 28] 8,о 631938
898 2821,2 633348
899 2824,3 634760
9оо 2827,4 636173
(диа- ъй ~
метр) 4
901 2830,6 637587
9°2 2833,7 639003
QO3 2836,9 640421
904 2840,0 641840
905 2843,1 643261
906 2846,3 644683
907 2849,4 646107
9о8 2852,6 647533
909 2855-7 648960
9Ю 2858,8 650388
911 2862,0 651818
912 2865,1 653250
913 2868,3 654684
914 2871,4 656118
915 2874,6 657555
916 2877,7 658993
917 2880,8 660433
918 2884,0 661874
919 2887,1 6633*7
920 2890,3 664761
921 2893,4 666207
922 2896,5 667654
923 2899,7 669103
924 2902,8 670554
925 2906,0 672006
926 2909,1 673460
927 2912,3 6749^5
928 2915,4 676372
929 2918,5 677831
930 2921,7 67929*
93* 2924,8 680752
932 2928,0 682216
933 293*.* 683680
934 2934-2 685147
935 2937.4 6866 Г5
936 2940,5 688084
937 2943,7 689555
938 2946,8 691028
939 295°-о 692502
940 2953- * 693978
94* 2956,2 695455
942 2959-4 696934
943 29б2,5 698415
944 2965,7 699897
945 2968,8 7° ' 38о
946 297*, 9 70286
947 2975-* 704352
948 2978,2 7°5840
949 2981,4 70733°
950 2984,5 7°-822
95* 2987,7 7 юз*5
952 2990,8 7 l J 8°9
953 2993-9 713306
954 2997-* 74803
955 3000,2 7 '6303
956 3003,4 7*7^04
957 3006,5 719306
958 3009.6 720810
959 30*2,8 7223*6
960 зо*5-9 723823


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
29
Продолжение табл. II
d „
(диа- itd -1_-
метр) 4
961 3019,1 725332
9б2 3022,2 726842
963 30254 728354
9б5 3°3i.6 731382
966 з°34-8 732899
96? 3°37-9 734417
968 3041.1 735937
9б9 3°44-2 737458
97° 3°47-3 738981
971 3°5о,5 740506
972 з°53-6 742032
973 3056.8 743559
974 3°59-9 745038
975 3°63-г 746619
97§ з°66,2 748151
977 Зоб9.3 749685
978 3°72,5 75122I
979 3075-6 752758
98о з°78,8 754296
98i з°8т.9 755837
982 3085-0 757378
984 з°91.3 760466
985 3°94,5 7620 гз
986 з°97-6 763561
987 зтоо.8 7651"
988 з|03.9 766662
989 31О7.° 768214
99° З110-2 769769
991 3.3 771325
992 3Ч5 772882
993 3"9.6 774441
994 3Т22,7 7?6оо2
995 3125.9 777564
996 3Г29>° 779 128
997 3Г32,2 780693
998 si 35-3 78226о
999 3138,5 783828
1000 ЗН1.6 785398
looi 3144-7 786970
1002 ЗН7-9 788543
1003 з ' 5 1 >° 79° 1 ' 8
10Э4 3'54.2 791694
10°5 З'57-З 793272
ioo5 з]6о,4 79485!
1007 3[бз,6 796432
ioo3 3166,7 79^° Г5
loog 3I09-9 799599
шю Зг73-° 801185
гоц 3176,2 802772
Ю12 3179,3 е°43б!
Ю1з 3'82,4 805951
юг4 3'85>6 8°7543
10E 3' 88,7 809137
ioi6 3191,9 8ю732
10 '7 3195'° 812329
ioi8 3[98,i 8i3927
1019 32oi,3 815527
IO2O 3204,4 817128
d
(диа- ъй ^—
метр) 4
1021 3207,6 818731
1022 32IO,7 820336
1023 3213,8 821942
1024 3217,0 823550
1025 3220,1 825159
1026 3223,3 826770
1027 3226,4 828382
1028 3229,6 829996
1029 3232,7 831612
1030 3235,8 833229
1031 3239,0 834848
1032 3242,1 836468
1033 3245,3 838090
1034 3248,4 839713
1035 3251,5 841338
1036 3254,7 842965
1037 3257.8 844593
1038 3261,0 846223
1039 3264,1 847854
1040 3267,3 849487
1041 3270,4 851121
1042 3273,5 852757
1043 3276,7 854395
1044 3279,8 856034
1045 3283,0 857674
1046 3286,1 859317
1047 3289,2 860961
1048 3292,4 862606
1049 3295,5 864253
1050 3298,7 865901
1051 3301,8 867552
1052 3305,0 869203
1053 3308,1 870857
1054 3311,2 872511
1055 33144 874168
1056 3317,5 875826
1057 3320,7 877485
1058 3323,8 879146
1 059 3326,9 880809
looo 3330,1 882473
1061 3333,2 884139
1062 3336,4 885807
1063 3339,5 887476
1064 3342,7 889146
1065 3345,8 890818
1066 3348,9 892492
1067 3352,1 894167
io58 3355,2 895844
1069 3358,4 897522
1070 3361,5 899202
1071 3364,6 900884
1072 3367,8 902567
Ю73 3370,9 904252
1074 3374,i 905938
1075 3377,2 907626
1076 3380,4 909315
Ю77 3383,5 9"°°6
1078 3386,6 912699
Ю79 3389,8 914393
1080 3392,9 916088
d
(диа- itrf !L_
метр) 4
io8i 3396,1 917786
1082 3399,2 919484
1083 3402,3 921185
1084 3405,5 922887
1085 3408,6 924590
1086 3411,8 926295
1087 3414,9 928002
1088 3418,1 929710
1089 3421,2 931420
1090 3424,3 933132
1091 3427,5 934845
1092 3430.6 936559
i°93 3433-8 938275
1094 3436,9 939993
1095 344°>o 941712
1096 3443-2 943433
i°97 3446,3 945155
1098 3449,5 946879
i°99 3452,6 948605
1 100 3455,8 950332
noi 3458,9 952060
1 102 3462,0 953791
1103 3465,2 955522
4 3468,3 957256
5 3471.5 958991
1106 3474,6 960727
7 3477.7 962465
1108 3480,9 964205
1109 3484,0 965946
i no 3487,2 967689
1 1 II 3490,3 969433
1 1 12 3493,5 979
i 3496,6 972927
1 1 14 3499.7 974676
i 3502,9 97б427
1116 3506,0 978179
i 3509-2 979933
1118 3512,3 981688
1 1 19 35r54 983445
1 120 3518,6 985203
1 12 1 3521,7 986964
1 122 3524.9 988725
1123 3528,O 990486
1124 353*-2 992253
5 3534-3 994020
1126 3537,4 995787
7 3540,6 997557
1128 3543-7 999328
1129 3546,9 loonoi
0 3550-0 1002875
1 3553-1 1004651
2 3556,3 1006428
3 35594 1008207
4 3562,6 1009987
5 3565,7 10117/0
1136 3568,8 1013553
7 3572,o 1015338
8 3575-1 1017125
9 3578,3 1018914
1140 3581,4 1020703
d
(диа- nd _
метр) 4
1
1 141 3584,6 1022495
1142 3587,7 1024288
3 3590,8 1026083
4 3594,0 1027879
5 3597-1 1029677
1146 3600,3 1031476
1147 3603,4 1033277
1148 3606,5 1035079
1149 3609,7 1036883
1150 3612,8 1038689
i 3616,0 1040496
1152 3619,1 1042305
1153 3622,3 1044115
4 3625,4 1045927
1155 3628,5 1047741
6 3631.7 Ю49556
7 3634,8 1051372
1158 3638,0 1053191
9 3641,1 1055010
ибо 3644,2 1056832
ii6i 3647,4 1058655
2 3650,5 1060479
3 3653,7 1062305
1164 3656,8 1064133
1165 3660,0 1065962
1166 3663,1 1067793
1167 3666,2 1069625
1168 3669,4 1071459
1169 3672,5 1073294
1170 3675,7 1075132
i 3678,8 1076970
1172 3681,9 1078810
3 3685,1 1080652
4 3688,2 1082495
5 36914 1084340
6 3694,5 10861:87
7 3697-7 1088035
8 3700,8 1089884
9 3703,9 1091736
1180 3707,1 1093588
1181 3710,2 1095443
1182 3713,4 1097299
"83 37i6,5 1099156
1184 3719,6 1101015
"85 3722,8 1102876
1186 3725,9 1104738
1187 3729,1 1106602
1188 3732,2 1108467
"89 37354 0334
"90 3738,5 1 1 12202
II9I 3741,6 1114072
1192 3744,8 1115944
"93 3747.9 i8i7
"94 375I-I 1119692
"95 3754-2 1121568
"96 3757-3 3446
1197 3760,5 1125326
"98 3763,6 1127207
1 1 99 3766,8 1 1 29089
1200 3769,9 1130973


30
Продолжение табл. II
d
(диа- r.d — -
метр) 4
i20i 3773,1 1132859
1202 3776,2 И34746
12оз 3779-3 1136635
1204 3782,5 1138526
1205 3785.6 1140418
12Об 3788,8 II423H
1207 3791.9 1144207
1208 3795.0 1146103
1209 3798,2 1148002
1210 3801,3 H4990I
1211 3804,5 И518оЗ
1212 3807,6 II53706
1213 38Ю,8 1155бИ
12I4 3813.9 И57517
1215 38l7,0 H59424
12l6 3820,2 Il6l334
1217 3823.3 Иб3245
1218 3826,5 Иб5157
1219 3829>6 1167071
1220 3832,7 1168987
1 22 1 3835,9 1170904
1222 3839,0 1172823
1223 3842,2 1174743
1224 3845,3 1176665
I225 3848,5 1178588
1226 3851,6 1180513
1227 3854,7 1182440
1228 3857,9 1184368
1229 3861,0 1186298
1230 3864,2 1188229
1231 3867,3 II90162
1232 3870,4 1192096
1233 3873.6 1194032
1234 3876,7 1195970
1235 3879.9 H97909
1236 3883,0 1199850
1237 3886,2 1201792
1238 3889,3 1203736
1239 3892,4 1205681
1240 3895,6 1207628
1241 3898,7 1209577
1242 3901,9 1211527
1243 3905,0 1213479
1244 3908,1 1215432
1245 39H.3 1217387
1246 3914,4 1219343
1247 3917,6 1221301
1248 3920,7 1223261
1249 3923,8 1225222
1250 3927,0 1227185
T25i 3930'1 1229149
1252 3933.3 1231115
I253 3936,4 1333082
I254 3939.6 1235051
I255 3942,7 1237022
1256 39453 1238994
1257 3949,0 1240968
I258 3952Д 1242943
1259 3955-3 1244920
1 260 3958,4 1246898
d I
(диа- r.d ^ —
метр) 4
1261 3961,5 1248878
1262 3964,7 1250860
1263 3967,8 1252843
1264 3971,0 1254828
1265 3974.1 1256814
1266 3977,3 1258802
1267 3980,4 1260791
1268 3983,5 1262782
1269 3986,7 1264775
1270 3989,8 1266769
1271 3993,0 1268764
1272 3996,1 1270762
I273 3999.2 1272761
1274 4002,4 1274761
1275 4005,5 1276763
1276 4008,7 1278766
1277 4011,8 1280772
1278 4015,0 1282778
1279 4018,1 1284787
1280 4021,2 1286796
1281 4024,4 1288808
1282 4027,5 1290821
1283 4030,7 1292835
1284 4033,8 1294851
1285 4036,9 1296369
1286 4040,1 1298888
1287 4043,2 1300909
1288 4046,4 1302932
1289 4049,5 1304956
1290 4052,7 1306981
1291 4055,8 1309008
1292 4058,9 1311037
1293 4062,1 1313067
1294 4065,2 1315099
1295 4068,4 1317132
1296 4071,5 1319167
1297 4074,6 1321204
1298 4077,8 1323242
1299 4080,9 1325282
1300 4084,1 1327323
1301 4087,2 1329366
1302 4090,4 1331410
1303 4093,5 1333456
1304 4096,6 1335504
1305 4099,8 1337553
1306 4102,9 1339603
1307 4106,1 1341656
1308 4109,2 1343709
1309 4112,3 1345765
1310 4115,5 1347822
1311 4118,6 1349880
1312 4121,8 1351940
1313 4124,9 1354002
1314 4128,1 1356065
1315 4131.2 1358130
1316 4134,3 1360197
1317 4137.5 1362264
1318 4140,6 1364334
1319 4Ч3.8 1366405
1320 4146,9 1368478
d ^3
(диа- -nd — -
метр) 4
1321 4150,0 1370552
1322 4153,2 1372628
1323 4156,3 I374705
1324 4159,5 1376784
1325 4i62,6 1378865
1326 4165,8 1380947
1327 4168,9 1383030
1328 4172,0 1385116
1329 4175,2 1387202
1330 4178,3 1389291
1331 4181,5 1391381
1332 4184,6 1393472
1333 4187,7 1395565
1334 4190-9 139/660
1335 4i94,o 1399756
1336 4i97,2 1401854
1337 4200,3 1403953
1338 4203,5 406054
1339 4206,6 1408157
1340 4209,7 1410261
1341 4212,9 1412367
1342 4216,0 1414474
1343 4219,2 1416583
1344 4222,3 1418693
1345 4225,4 1420805
1346 4228,6 1422918
1347 4231,7 1425033
1348 4234,9 14,27150
1349 4238,0 1429268
1350 4241,2 1431388
i35i 4244,3 14335Ю
i352 4247,4 I435632
1353 4250-6 1437757
1354 4253.7 439883
1355 4256,9 1442011
1356 4260,0 1444140
1357 4263,1 1446271
1358 4266,3 1448403
1359 42694 1450537
1360 4272,6 1452672
1361 4275,7 1454810
1362 4278,8 1456948
1363 4282,0 1459088
1364 4285,1 1461230
1365 4288,3 1463373
1366 4291,4 1465518
1367 4294,6 1467665
1368 4297,7 1469813
1369 4300,8 1471963
-370 4304,0 1474114
1371 4307,1 1476267
1372 4310,3 1478421
1373 4313.4 1480577
1374 43i6,5 1482734
1375 4319.7 1484893
1376 4322,8 1487054
1377 4326,0 1489216
1378 4329,1 1491380
1379 4332,3 1493545
1380 43354 1495712
d
(диа- nd ^ —
метр) 4
1381 4338,5 1497881
1382 434i,7 1500051
1383 4344-8 150222^
I384 4348,o 1504396
I385 435I-I 1506570
1386 4354.2 1508747
1387 4357,4 1510925
1388 4360,5 1513104
1389 4363,7 - 1515285
139° 4366,8 1517468
I39i 4370-0 1519652
1392 4373Д 1521838
1393 4376,2 1524025
1394 4379,4 1526214
1395 4382,5 1528404
1396 4385.7 1530597
1397 4388,8 1532790
I398 439L9 1534985
1399 4395Д I537i82
1400 4398,2 1539380
1401 4401,4 1541580
1402 4404,5 1543782
1403 4407,7 i545985
1404 44ro,8 1548189
1405 4413,9 1550396
1406 4417,1 1552603
1407 4420,2 1554813
1408 4423,4 1557024
1409 4426,5 1559236
1410 4429,6 1561450
1411 4432,8 1563666
1412 4435-9 1565883
1413 4439.1 1568102
1414 4442,2 1570322
1415 44454 1572544
1416 4448,5 1574767
1417 4451-6 1576992
1418 4454,8 15792 j 9
M19 4457.9 I58I447
1420 4461,1 1583677
1421 4464,2 1585908
1422 4467,3 1588141
1423 4470,5 1590376
1424 4473,6 1592612
1425 4476,8 1594849
1426 4479,9 1597088
1427 4483,1 1599329
1428 4486,2 1601571
1429 4489,3 1603815
1430 4492,5 1606061
i43i 4495-6 1608308
1432 4498,8 1610556
J433 4501,9 1612806
1434 4505.0 1615058
1435 45o3,2 1617312
1436 45H.3 1619566
*437 4514,5 1621823
1438 4517,6 1624081
1439 4520,8 1626340
1440 4523,9 1628602


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
31
Продолжение табл. II
d
(диа-
метр)
44i
442
443
1444
445
446
447
448
449
45°
45 1
452
453
454
455
456
457
458
459
1460
1461
1462
4бЗ
4б4
465
1466
1467
1468
4б9
470
471
1472
473
474
475
476
477
478
479
1480
1481
1482
483
484
485
i486
487
1488
489
49°
491
492
493
494
495
496
497
498
499
1500
nd
4527.0
4530.2
4533.3
4536,5
4539-6
4542,7
4545.9
4549.0
4552,2
4555.3
4558-5
4561,6
45б4,7
45б7,9
4574-2
4577,3
458о,4
4583.6
4586,7
4589,9
4593,0
4596,2
45993
4602,4
4605,6
4608,7
4611,9
4615,0
4618,1
4621,3
4624,4
4627,6
4630,7
4633,8
4637,0
4640,1
4643.3
4646,4
4649,6
4652,7
4655,8
4659,0
4662,1
4665,3
4668,4
4671,5
4б74.7
4б77.8
4681,0
4684,1
4687,3
4690,4
4693.5
4696,7
4699,8
4703,0
4706,1
4709,2
4712,4
4
1630864
1633129
1635395
1637662
1639931
1642202
1644474
1646747
1649023
1651300
1653578
1655858
1658140
1660423
1662708
1664994
1667282
1669571
1671862
1674155
1676449
1678745
1681042
1683341
1685641
1687943
1690247
1692552
1694859
1697167
1699477
1701788
1704101
1706416
1708732
1711050
1713369
1715690
1718012
1720336
1722662
1724989
1727318
1729648
1731980
I7343I3
1736648
1738985
1741323
1743662
1746004
1748347
1750691
1753037
1755385
1757734
1760084
1762437
176479°
1767146
d
(диа-
метр)
1501
1502
i5°3
1504
1505
1506
IS0?
1508
i5°9
151°
1511
1512
1513
154
1515
1516
1517
1518
1519
1520
1521
1522
1523
i524
1525
1526
1527*
1528
1529
1530
I53i
I532
1533
1534
1535
1536
1537
1539
1540
I54i
1542
1543
1544
1545
1546
1547
1548
1549
155°
1551
1552
1553
1554
1555
1556
1557
1558
1559
1560
•ad
4715.5
4721,8
4725,0
4728,1
473L2
4734,4
4737-5
4740,7
4743.8
474б,9
4750.i
4753.2
4756,4
4759-5
4762,7
4765,8
4768,9
4772,1
4775.2
47784
478i,5
4784,6
4787,8
4790,9
4794,1
4797.2
4800,4
4803,5
4806,6
4809,8
4812,9
4816,1
4819,2
4822,3
4825,5
4828,6
4831,8
4834,9
4838,1
4841,2
4844,3
4847,5
4850,6
4853,8
4856,9
4860,0
4863,2
4866,3
4869,5
4872,6
4875,8
4878,9
4882,0
4885,2
4888,3
489L5
4894,6
4897,7
4900,9
-ко*
4
1769503
1771861
1774222
1776583
1778946
1781311
1783678
1786046
1788415
i 790786
1793159
1795533
1797909
1800287
1802665
1805046
1807428
1809812
1812197
1814584
1816972
1819362
1821754
1824147
1826542
1828938
1831336
1833735
1836136
1838539
1840943
1843348
1845756
1848164
1850575
1852987
1855400
1857815
1860232
1862650
1865070
1867491
1869914
1872339
1874765
1877193
1879622
1882053
1884485
1886919
1889355
1891792
1894230
1896671
1899112
1901556
1904001
1906447
1908895
I9H345
d
(диа-
метр)
1561
1562
1563
1564
1565
1566
1567
1568
1569
1570
I57i
1572
1573
1574
1575
1576
1577
1578
1579
I58o
1581
1582
1583
1584
1585
1586
1587
1588
1589
1590
159 г
1592
1593
1594
1595
1597
1598
1599
i6oo
1601
1602
1603
1604
1605
1606
1607
1608
1609
1610
161 r
1612
1613
1614
1615
1616
1617
1618
1619
1620
r.d
4904,0
4907,2
49ю,3
4913.5
4916,6
4919,7
4922,9
4926,0
4929,2
4932,3
4935.4
4938,6
4941.7
4944,9
4948,0
495i,2
4954,3
4957.4
4960,6
4963,7
4966,9
497o,o
4973,i
4976,3
4979,4
4982,6
4985,7
4988,8
4992,o
4995.1
4998,3
5004,6
5007,7
5010,8
5014,0
5oi7,i
502°.3
5023,4
502б,5
5029,7
5°32-8
5036,0
5039,1
5042.3
5045.4
5048,5
5051.7
5054.8
5058,0
5061,1
5064,2
5067,4
5070,5
5073,7
5076,8
5080,0
5083,1
5086,2
5089.4
?_
4
1913796
1916249
1918703
1921159
1923617
1926076
1928537
1930999
T933463
1935928
1938395
1940863
1943333
1945805
1948278
1950753
1953229
1955707
1958187
1960668
1963151
1965635
1968121
1970608
1973097
1975587
1978079
1980573
1983068
1985565
1988063
1990563
1993065
1995568
1998073
2000579
2003087
2005596
2008107
2010619
2013133
2015649
2018166
2020685
2023205
2025727
2028251
2030776
2033302
2035831
2038360
2040892
2043425
2045959
2048495
2051033
2053572
2056113
2058655
2061199
d
(диа-
метр)
l62I
1622
1623
1624
1625
1626
1627
1628
1629
1630
1б31
1632
1633
1634
1635
1636
1637
I638
1639
1640
1641
1642
1643
1644
1645
1646
1647
1648
1649
1650
1651
1652
1653
1654
1655
I656
1657
1658
1659
l66o
I66l
1662
l663
1664
I665
1666
1667
1668
T669
1670
1671
1672
1673
1674
1675
1676
F77
1678
1679
l680
vd
5092,5
5095-7
5098,8
5101,9
51O5>!
5108,2
5111,4
514.5
5117,7
5120,8
5123,9
5127,1
5130,2
5*33-4
5136,5
5139.6
5423
545-9
549,1
5i52-2
5155.4
5158,5
5161,6
5164,8
5167-9
5171,1
5I74-2
5177,3
5180,5
5183,6
5186,8
5189,9
5193Д
5196,2
5199,3
5202>5
5205-6
5208,8
52n,9
5215,0
5218,2
5221,3
5224,5
5227,6
523°.8
5233-9
5237,o
5240,2
5243.3
5246,5
5249.6
5252,7
5255.9
5259.0
5262,2
5265.3
5268,5
5271,6
5274,7
5277.9
4
2063744
2066291
2068840
2071390
2073942
2076495
2079050
2081607
2084165
2086724
2089286
2091848
2094413
2096979
2099546
2102115
2104686
2107258
2109831
2112407
2114984
2117562
2120142
2122724
2125307
2127892
2130478
2133066
2135655
2138246
2140839
243433
2146029
2148626
2151225
2153826
2156428
2159031
2161636
2164243
2166851
2169461
2172073
2174686
2177300
2179917
2182534
2185154
2187774
2190397
219302-1
2195647
2198274
2200902
2203533
2206165
2208798
2211433
2214070
2216708


32
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. II
d
{диа- -fid —
метр) 4
1681 5281,0 2219347
1682 5284,2 2221989
1683 5287,3 2224632
1684 5290,4 2227276
1685 5293,6 2229922
1686 5296,7 2232570
1687 5299,9 2235219
1688 5303,0 2237870
1689 5306,1 2240522
1690 5309,3 2243176
1691 53124 2245831
1632 5315,6 2248488
1693 53*8,7 2251147
1694 5321,9 2253807
1695 5325'° 2256469
1696 5328,1 2259132
1697 533*,3 2261797
1698 5334.4 2264463
1699 5337.6 2267131
1700 5340,7 2269801
1701 5343,8 2272472
1702 5347.0 2275145
1703 535°Д 2277819
1/04 5353-3 2280495
1705 5356,4 2283172
1706 5359,6 2285851
1707 5362,7 2288532
1708 5365-8 2291214
1709 53б9.о 2293897
I?*0 5372Д 2296583
i?*1 5375.3 2299270
1712 5378,4 23o*958
17*3 538i,5 2304648
*7*4 5384,7 2307340
Г7*5 5387,8 2310033
17*6 539*,° 2312727
*7*7 5394Д 2315424
17*8 53973 2318122
1719 5400,4 2320821
1720 5403,5 2323522
1721 5406,7 2326224
1722 5409,8 2328929
1723 54*3,o 2331634
1724 54*6,1 2334342
1725 54*9,2 2337050
1726 5422,4 2339761
1727 5425,5 2342473
1728 5428,7 2345186
*729 543*,8 2347901
1730 5435.° 2350618
173* 5438Д 2353336
1732 5441 2 2356056
1733 5444,4 2358778
1734 5447-5 236*50*
1735 5450-7 2364225
*73б 5453-8 2366951
*737 5456,9 2369679
1738 54бод 2372408
1739 5463.2 2375139
1740 5466,4 2377871
d ~ 2
(диа- nd —
метр) 4
1741 5469,5 2380605
1742 5472,7 2383341
*743 5475-8 2386078
1744 54/8-9 2388817
1745 5482Д 2391557
1746 5485,2 2394299
1747' 5488,4, 2397042
1748 5491,5 2399787
*749 5494-6 2402534
175° 5497.8 2405282
*75* 550o-9 2408032
*752 55°4Д 2410783
*753 5507,2 2413536
*754 55*0.4 2416290
*755 55*3-5 2419046
*756 55*6,6 2421804
*757 55*9,8 2424563
*758 5522-9 2427323
*759 5526Д 2430086
1760 5529,2 2432849
176* 5532-3 2435615
1762 5535-5 2438382
*7бЗ 5538.6 2441150
*764 554*. 8 2443920
1765 5544,9 2446692
1766 5548,1 2449465
1767 555*. 2 2452240
*768 5554.3 2455016
*7б9 5557.5 2457794
1770 55бо,6 2460574
*77* 55бз,8 2463355
*772 5566,9 2466138
*773 5570,0 2468922
*774 5573-2 2471708
1775 5576,3 2474495
17/6 5579-5 2477284
1777 5582,6 2480075
1778 5585-8 2482867
1779 5588,9 2485660
1780 5592,0 2488456
178* 5595,2 2491252
1782 5598,3 2494051
1783 5601,5 2496851
1784 5604,6 2499652
1785 5607,7 2502455
1786 5610,9 2505260
1787 5614,0 2508066
1788 5617,2 2510874
1789 5620,3 2513683
1790 5623,5 2516494
1791 5626,6 2519307
1792 5629,7 2522121
*793 5632,9 2524937
*794 5636,0 2527754
*795 5639-2 2530573
1796 5642,3 2533393
1797 5645.4 2536215
1798 5648,6 2539038
1799 5б5*-7 2541863
1800 5654,9 2544690
ff
(диа- Ttd - —
метр) 4
1801 5658,0 2547518
1802 5661,1 2550348
1803 5664,3 2553179
1804 5667,4 2556012
1805 5670,6 2558847
1806 5673,7 2561683
1807 5676,9 2564521
1808 5680 о 2567360
1809 5683,1 2570201
1810 5686,3 2573043
1811 5689,4 2575887
1812 5692,6 2578732
1813 5695,7 2581579
1814 5698,8 2584428
1815 5702,0 2587278
1816 5705,1 2590130
1817 5708,3 2592983
1818 5711,4 2595838
1819 5714-6 2598695
1820 5717,7 2601553
1821 5720,8 2604413
1822 5724,0 2607274
1823 5727,1 2610136
1824 5730,3 2613001
1825 5733-4 2615867
1826 5736,5 2618734
1827 5739-7 2621603
1828 5742,8 2624474
1829 5746,0 2627346
l83Q 5749Д 2630220
1831 5752,3 2633095
1832 5755-4 2635972
1833 5758,5 2638851
*834 576*,7 2641731
*835 57б4,8 2644612
*8зб 5768,0 2647496
*837 577* Д 2650380
*8з8 5774-2 2653267
*839 5777.4 2656155
1840 5780,5 2659044
1841 5783-7 2661935
1842 5786,8 2664828
*843 5790-0 2667722
1844 5793Д 2670618
1845 5796,2 26735*5
1846 5799,4 2676414
1847 58о2'5 26793*4
1848 58°5>7 2682216
1849 5808,8 2685120
1850 5811.9 2688025
1851 58Т5Д 2690932
1852 58*8,2 2693840
1853 5821,4 2696750
1854 5824-5 2699662
l855 5827,7 2702575
1856 5830.8 2705489
1857 5833,9 2708405
1858 5837Д 2711323
1859 584°.2 2714243
i860 5843.4 2717163
d
(диа- irrf Л —
метр) 4
i86i 5846,5 2720086
1862 5849-6 2723010
*86з 5852-8 2725936
i864 5855-9 2728863
1865 5859Д 273*792
1866 5862,2 2734722
1867 5865,4 2737б54
1868 5868,5 2740587
1869 587*. 6 2743522
1870 5874-8 2746459
1871 5877.9 2749397
1872 5881,1 2752337
1873 5884,2 2755278
1874 5887.3 2758221
з8?5 5890,5 2761165
1876 5893б 2764111
1877 58968 2767059
1878 5899,9 2770008
1879 59°ЗД 2772959
i88o 59°6,2 27759*1
i88i 5909,3 2778865
1882 59*2.5 2781821
1883 59*5.6 2784778
1884 59*8,8 2787736
1885 592*> 9 2790696
1886 5925.0 2793658
1887 5928,2 2796621
1888 593*- 3 2799586
1889 5934-5 2802553
1890 5937-6 2805521
1891 594°'8 280849°
1892 5943,9 2811462
1893 5947,0 2814434
*894 595°'2 2817409
*895 5953.3 2820384
1896 5956,5 2823362
1897 5959,6 282634*
1898 5962,7 2829321
1899 59б5-9 2832304
1900 5969,0 2835287
*9°* 5972,2 2838273
1902 5975-3 2841260
1903 5978,5 2844248
1904 598*, 6 2847238
*905 59847 2850230
1906 5987-9 2853223
*9°7 599*.° 2856217
1908 5994,2 2859214
1909 5997-3 2862212
1910 6000,4 2865211
1911 6003,6 2868212
1912 6006,7 2871215
1913 6009,9 2874219
1914 6013,0 2877224
1915 6016,1 2880232
1916 6019,3 2883241
1917 6022,4 2886251
19*8 6025,6 2889263
1919 6028,7 2892277
1920 6031,9 2895292


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
33
Продолжение табл.П
d ,3
(диа- тс^ ——
метр) 4
1921 6035,0 2898309
1922 6038,1 2901327
1923 6o4i,3 2904347
1924 6044,4 2907368
1925 6047,6 2910391
1926 6050,7 29134*6
1927 6053,8 2916442
1928 6057,0 2919469
1929 6060,1 2922499
1930 6063,3 2925530
1931 6066,4 2928562
1932 6069,6 2931596
1933 6072,7 2934632
1934 6075,8 2937669
1935 6079,0 2940707
1936 6082 д 2943748
1937 6085,3 2946790
1938 6088,4 2949833
1939 6091,5 2952878
1940 6094,7 2955925
d
(диа- nd ?^L
метр) 4
i94i 6o97,8 2958973
1942 6101,0 2962022
1943 6104,1 2965074
1944 6107,3 2968126
*945 6110,4 2971181
1946 6113,5 2974237
1947 6116,7 2977294
1948 6119,8 2980354
1949 6123,0 2983414
1950 6126,1 2986477
1951 6129,2 2989540
1952 6132,4 2992606
1953 6135,5 2995673
1954 6138,7 2998741
1955 6141,8 3001811
1956 6145,0 3004883
1957 6148,1 3007956
1958 6151,2 3011031
*959 6154,4 3014108
1960 6157,5 3017186
d
(диа- nd - —
метр) 4
1961 6160,7 3020265
1962 6163,8 3023346
1963 6166,9 3026429
1964 6170,1 3029513
1965 6173,2 3032599
1966 6176,4 3035686
1967 6179,5 3038775
1968 6182,7 3041866
1969 6185,8 3044958
1970 6188,9 3048052
1971 6192,1 3051147
1972 6195,2 3054244
1973 6198,4 3°57342
1974 6201,5 3060442
1975 6204,6 3063544
1976 6207,8 3066647
1977 6210,9 3069751
1978 6214,1 3072858
1979 6217,2 3075966
1980 6220,4 3079075
d ,t
(диа- nd — -
метр) 4
1981 6223,5 3082186
I082 6226,6 3085298
1983 6229,8 3088413
IQ84 6232,9 3091528
1985 6236,1 3094645
1986 6239,2 3097764
1987 6242,3 3100885
1988 6245,5 ЗЮ4007
1989 6248,6 3107130
iggo 6251,8 3i Ю255
1991 6254,9 3113382
1992 6258,1 3116510
1993 6261,2 3119640
1994 6264,3 3122771
1995 6267,5 3125904
1996 6270,6 312-9039
1997 6273,8 3*32175
1998 6276,9 3*353*3
1999 6280,0 з '38453
2ооо 6283,2 3*4*593
Таблица III. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФИЦИЕНТЫ
Таблица IV
ФАКТОРИАЛЫ
\
"\
i
2
3
4
5
6
7
8
9
LO
II
12
13
14
*5
i6
*7
18
*9
2О
0
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ю
и
12
*3
*4
*5
i6
*7
18
*9
20
2
6
ю
15
21
28
36
45
55
66
78
9*
120
*зб
О
17*
190
3
20
35
56
84
I2O
165
22О
286
Зб4
455
560
68о
8i6
969
1140
4
— — —
7°
120
210
330
495
7*5
IOOI
*3$5
1820
2380
3060
3876
4845
5
252
462
792
1287
2002
3003
4368
6l88
8568
IT628
*55°4
6
924
17*6
з°°з
5°°5
8оо&
12376
18564
27 гз2
38760
7
3432
6435
1144°
19448
3*824
5°388
7752о
8
12870
243Ю
43758
755
125970
9
-
48620
92378
167960
10
_ _._.._._...
184756
При пользовании таблицей надо учесть, что Ckn —
например С\% = С\^
3 Том I вв. 1
k
п
0
I
2
3
4
5
6
7
•8
9
10
и
12
13
14
15
п!
i
i
2
6
24
12-10
72-10
504-10
4032 • ю
36288 • ю
36288 ю"-
399Г68- ю2
479О016- ю-
62270208 • ю'
871782912- ю'
1307674368 • ю3
Ig п\
о.оооооо
о.оооооо
0,301030
0,778151
1,380211
2,079181
2.857332
3'7°2431
4,605521
5>5597бз
6,559763
7,601156
8,680337
9,794280
10,940408
12,116500
п\= 1.2.3. ... .я


34
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
О
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ii
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
4i
42
43
44
45
46
47
48
49
5o
i
2
3
4
5
6
7
8
9
1 о
....
0000
3010
4771
6021
6990
7782
8451
9031
9542
oooo
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
3OIO 22
.322221
342420
36l7 19
3802 !8
3979 18
4150 16
4314 16
4472 15
4624 15
4771 15
4914 14
5°5r H
5185 13
5315 13
5441 12
5563 12
5682 12
5798 II
5911 II
6O2I io
6l28 io
6232 ii
6335 Ю
6435 9
6532 io
6628 9
6721 9
6812 9
6902 9
6990 8
8 8
08 о
16 i
24 2
32 з
40 4
48 5
56 6
64 7
72 8
Tat
1
oooo
0414
3222
4914
6128
7076
7853
8513
9085
9590
0043
0453
0828
1173
1492
1790
2068
233°
2577
2810
3032 22
324320
344420
3636 19
3820 18
3997 17
416617
4330 16
4487 15
4639 15
4786 14
4928 14
50б5 14
5*98 13
5328 12
5453 и
5575 i2
5^94 "
580912
5922 и
6031 и
6138 ц
6243 io
6345 ю
6444 ю
6542 9
6637 9
6730 9
6821 9
бди 9
6998 9
10
9 i о
8 20
7 Зо
6 40
5 50
4 6о
3 70
2 80
i go
Шца V. МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫ:
0—500
2 | 3 | 4 | 5
Зою 477 J 6o2i 699°
0792 H39 J46i i?61
3424 3617 3802 3979
5051 5l85 53*5 5441
6232 6335 6435 6532
7160 7243 7324 74°4
7924 7993 8062 8129
8573 8633 8692 8751
9138 9*91 9243 9294
9638 9685 9731 9777
ОО86 OI28 OI7O O2I2
0492 0531 0569 Обо?
0864 0899 0934 , 0969
I2o6 1239 1271 * I303
1523 1553 1584 1614
1818 1847 1875 1903
2095 2122 2148 2175
2355 2380 2405 2430
2DOI 2625 2648 2672
2833 2856 2878 2900
3°542i 307521 309622 311821
326321 328420 33042o 332421
346419 348319 350220 352219
3655i9 3674i8 369219 37Hi8
3838 18 3856 18 3874 18 3892 17
4014 17 4031 17 4048 17 4065 17
4183 17 4200 16 4216 16 4232 17
4346i6 4362 16 4378i5 4393i6
4502x6 45l8i5 453315 4548i6
465415 466914 468315 469815
4800 14 4814 15 4829 14 4843 14
494213 4955i4 49б9ч 498314
507913 509213 5T°5i4 5H9i3
5211 13 5224 I3 5237 i3 5250 13
5340i3 5353i3 536612 537813
546513 5478i2 5490 12 5502 „
558712 5599i2 561112 562312
570512 571712 5729И 574012
5821 Ц 5832 II 5843 12 5855 И
5933" 5944" 5955" 5966 „
6042 Ц 6053 ц 6064 ц 6075 ю
6149 и 6l6o ю 6170 I0 6l8o ii
6253 ю 6263 ц 6274 ю 6284 ю
6355ю 6365 10 6з75ю 6385 10
6454 ю 6464 ю 6474 ю 6484 g
6551 ю 6561 ,o 6571 9 6580 ю
6646 jo 6656 9 6665 ю 6675 g
673910 6749 9 6758 9 6767 9
6830 9 6839 9 6848 9 6857 9
6920 8 6928 9 6937 9 6946 9
7007 9 7016 8 7024 9 7033 9
11 12 13 | 14 15 j 16
II 12 13 14 15 I 6
22 24 26 28 3O 32
33 36 39 42 45 48
44 48 52 56 60 64
55 60 65 70 75 80
66 72 78 84 90 96
77 84 91 98 io 5 ii 2
88 96 io 4 112 12 о 1я8
99 ю 8 117 126 135 144
К. ЛОГАРИФМОВ
6 ) 7
7782 8451
204 г 2304
4^5° 434
55бЗ 5682
6628 6721
7482 7559
8i95 8261
8808 8865
9345 9395
9823 9868
0253 0294
0645 0682
1004 1038
1335 1367
1644 1673
I931 1959
220 i 2227
2455 2480
2695 2718
2923 2945
313921 316021
3345 20 3365 зо
3541 19 35бо 19
3729 is 3747 19
3909 is 3927 !8
4082 17 4099 i7
4249 16 4265 16
4409 16 4425 15
4564 15 4579 15
4713 15 4728 14
4857 и 4871 15
4997 14 Son 13
5132 13 5T45 14
5263 13 5276 i3
5391 м 5403 I3
554 13 5527 12
5635 12 5647 II
5752 II 5763 12
5866 II 5877 II
5977" 5988n
6085! i 60961!
6191 ю 62OI ii
6294 ю 6304 ю
6395 ю 6405 ю
6493 ю 6503 ю
6590 9 6599 10
6684 9 6693 Q
6776 9 6785 g
6866 g 6875 g
6955 9 6964 s
7042 8 7050 9
17 38 I 19
17 1 8 19
34 3 ° 38
5i 54 57
68 72 76
85 90 95
io 2 io 8 114
ii о 12 6 13 з
136 144 152
15 3 l6 2 171
8
9031
2553
4472
5798
6812
7б34
8325
8921
9445
9912
°334
0719
1072
1399
1703
1987
2253
2504
2742
2967
318120
33^5 19
3579 19
3766 18
3945 17
4116 17
4281 17
444° l6
4594 15
4742 15
4886 14
5024 14
5J59 13
5289 13
5416 12
5539 12
5658 12
5775 «
5888 ii
5999"
6107 io
6212 Ю
6314 ii
6415 io
65T3 9
6609 9
6702 i0
6794 9
6884 9
6972 9
7059 8
20
2O 21
40 42
60 6;
80 84
io о ю 5
120 12 t
140 14-
16 о 16 E
180 185
9
9542
2788
4624
59"
6902
7709
8388
8976
9494
9956
°374
0755
1106
143°
1732
2014
2279
2529
2765
2989
3201 21
340420
3598 19
3784 18
302i7
4133 i?
4298 16
4456 16
460915
4757 14
490014
5038 13
5172 13
5302 13
5428 13
5551 12
5670 I2
5786 io
5899 12
6OIO II
6lI7lI
6222 Ю
6325 io
6425 io
6522 io
661810
6712 9
6803 9
6893 9
6981 9
7067 9
21 I 22
2 2
4 4
66
88
II О
132
154
176
198


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
500—1000
Продолжение табл. V
5°
5*
52
53
54
55
56
57
58
59
6о
6т
62
63
64
65
66
67
68
69
70
7*
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
9*
92
93
94
95
96
97
98
99
IOO
!
2
3
4
5
6
7
8
9
0
69908
70768
7 сбое
72438
73248
74048
7559?
7709?
7?827
7853?
7924?
79937
8об27
81297
8*957
82616
83256
83887
845*6
85*36
85736
86336
86926
875*5
8808 6
88655
89215
89765
90315
90855
9*385
9*9*5
92435
92945
93455
9395s
9445s
94945
95425
95905
96385
96854
973*5
9777 5
98234
98684
99*2 5
99565
OOOO4
i 4 1
04
08
12
16
2 0
24
28
32
36
1
60989
70849
71689
72518
73328
74*27
74907
75663
76427
77*67
77897
78608
793*7
8ooo7
80696
81366
82027
82677
833*7
83956
84576
85*96
85796
86396
86986
87566
88146
88715
89275
89825
90366
90906
9*436
9*965
92485
92995
93505
94005
94505
94995
95475
9595s
96434
96895
97365
97824
98275
98725
99*74
99614
00045
5 1
05
I О
15
2 0
25
3°
35
40
45
2
70079
70938
7*778
72598
73408
74*98
74978
75748
76498
77238
77967
78687
79387
80077
80757
81427
82096
82746
83386
8401 6
84637
85256
85856
86456
87046
87625
88205
88766
89326
89876
90425
90965
9*495
92015
92535
93045
9355s
94055
94555
95045
95525
96005
96475
96945
974*4
97865
98324
9877 4
9921 5
99654
00094
b | 7 |
об 07
12 14
I 8 21
24 28
30 35
36 42
42 49
48 56
54 63
i 3
70163
7*oi 9
7*858
72678
73488
7427 8
75°58
75827
76577
773*7
78037
78757
7945?
80147
80827
8*497
82157
82807
8344-
8407 7
84705
853*6
859*6
86516
87106
87685
88256
88825
89385
89935
90475
91015
9*545
92066
92585
93096
93605
94*05
94605
95094
9557s
96054
96525
96994
97455
979* 4
98365
98815
99264
99695
00134
» I
08
16
24
32
40
48
56
64
72
! 4
70249
7II08
7*939
72759
73568
74358
75*37
75893
76643
77387
78lO 8
78827
79527
8o2I 7
80897
81566
82226
82876
835*6
84146
84766
85376
85976
86576
87166
87745
88316
88876
89435
89986
90535
9*596
92125
92635
93*55
93655
94*55
94654
95*35
9562 4
9609 с
f
96574
9703 5
975°4
9795s
984*4
98864
993°4
99744
00175
9
09
18
27
36
4 5
54
63
72
81
1 5
70339
71183
72023
72843
73643
74438
75203
75977
76727
7745?
78187
78897
79597
80287
80965
81627
82287
82936
83576
84206
84826
85436
86035
86636
87225
87796
88375
88935
89495
90045
90585
91125
9*655
92*75
92695
93205
937°5
94205
94695
95*85
95665
96*45
96615
97085
9754s
98005
98455
98904
99345
99785
00224
N
it
2Л
4*
4 „
— u
3
it»
V?
ic
ж
! 6
70428
71269
72108
72923
73728
745* 8
75288
76048
76797
77528
78257
78967
79667
80355
81027
81697
82355
82997
83637
84266
84886
85496
86096
86696
87275
87856
88426
88995
89546
90096
90636
9**75
9*7° 5
92225
92745
93255
93755
94255
94745
95235
957*5
96195
96665
97*34
97594
98054
98504
98945
99394
99834
00264
lg N_
0,4971 Vn
0,7982 V~qn
з
1,0992 Vn
3
1 /"
0,6221 1/
09943 e
1,4914 M
8,24*9 ^
7
70509
7*358
72183
73003
73803
74597
75367
76127
76863
77607
78327
79037
7973?
80417
81097
81765
82417
83065
83706
84327
84946
85556
86155
86756
87336
87915
88486
89046
89605
90155
90695
91225
9*755 .
92275
92795
93305
93805
943°5
9479s
95285
95765
96244
967*4
97*75
97635
98095
98545
98994
99435
99874
00305
ig
0,2486
0,5496
0,1657
kq
— 9.7926
0-4343
9,6378
0,3622
8
70598
7*439
72269
73083
73883
74663
75438
76193
76947
77677
78397
79*o7
79807
80487
81165
81827
82486
83127
83766
84396
85006
85616
86216
868i5
87396
8797 5
88545
89*05
89656
90205
90745
91285
91805
92326
92845
9335s
93855
9435s
94845
9533s
958*5
96285
96755
97225
97685
98144
98594
99035
99484
999*5
00354
M = lj
•и0
1 9
70679
7*528
72358
73163
73963
74748
755*8
76277
77013
77748
78467
79*7?
79876
80557
81227
81895
82547
83*96
83825
84456
85067
85676
86275
86866
87456
88026
88596
89*56
897*5
90256
90796
9*335
92385
92895
93405
93905
94405
94895
95384
95864
96335
96805
97274
97734
9818 =
98635
99084
99524
99964
00394
i
10*
10- te^o


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. V
1000—1500
1ОО
101
102
юз
Ю4
J°5
jo6
107
108
109
но
III
112

ii4
"§
иб
117
и8
ii9
I2O
121
122
123
124
125
126
127
128
129
13°
131
132
133
134
135
13°
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
J49
о !
оооо
0043
оо86
OI28
0170
O2I2
0253
0294
0334
0374
°4Т4
0453
0492
0531
0569
0607
0645
0682
0719
0755
0792
0828
0864
0899
0934
0969
IOO4
ю38
1072
поб
9
И73
120б
1239
1271
1303
1335
13°7
1399
143°
1461
1492
1523
1553
15*4
1614
1644
1б73
1703
1732
1
0004
0048
0090
0133
ОГ75
0216
0257
0298
ОЗЗ8
0378
0418
0457
0496
°535
0573
оби
0648
о686
0722
0759
0795
o83i
0867
0903
0938
0973
1007 .
1041
Ю75
под
И43
1176
1209
1242
1274
1307
1339
1370
1402
НЗЗ
1464
Н95
1526
1556
1587
l6l7
1647
1676
1706
1735
2
0009
0052
0095
0137
0179
О22О
02б1
0302
0342
0382
0422
0461
0500
0538
0577
0615
0652
0689
0726
0763
0799
0835
0871
0906
0941
0976
101 1
Ю45
1079
III3
1146
1179
1212
1245
1278
13Ю
1342
1374
1405
1436
1467
1498
1529
1559
1590
1б2О
1649
1679
1708
1738
3
0013
0056
ОО99
0141
Ol83
О224
0265
0306
0346
0386
0426
0465
0504
0542
0580
O6l8
0656
0693
075°
0766
0803
0839
0874
О9Ю
0945
0980
IOI4
1048
1082
шб
И49
и8з
I2l6
1248
I28l
i3J3
1345
1377
1408
1440
1471
1501
1532
1562
1593
1623
1652
1682
1711
1741
'• 4
I *
0017
0060
0103
oi45
0187
0228
0269
0310
035°
0390
0430
0469
0508
0546
0584
0622
0660
0697
0734
0770
0806
0842
0878
0913
0948
0983
1017
1052
1086
1119
1153
1186
1219
1252
1284
1316
1348
1380 •
1411
1443
1474
1504
1535
1505
1596
1626
1655
i6«5
1714
1744
*
OO22
0065
O1O7
0149
0191
0233
0273
034
0354
0394
0434
0473
0512
055°
0588
0626
0663
0700
0737
0774
O8l0
0846
0881
0917
0952
0986
IO2I
Ю55
1089
1123
1156
1189
1222
1255
1287
1319
1351
1383
1414
1446
1477
I508
1538
1569
1599
1629
1658
16^8
1717
1746
6
0026
0069
от
oi54
oi95
0237
0278
o3i8
0358
0398
0438
0477
0515
0554
0592
0630
0667
0704
0741
0777
0813
0849
0885
0920
0955
0990
1024
Ю59
1092
1126
9
И93
1225
1258
1290
1323
1355
1386
1418
1449
1480
IS"
I541
1572
1602
1632
1661
1691
1720
1749
7
0030
0073
0116
0158
0199
0241
0282
0322
0362
0402
0441
0481
0519
0558
0596
0633
0671
0708
0745
0781
0817
0853
0888
0924
0959
0993
1028
1062
1096
1129
1163
1196
1229
1261
1294
1326
1358
1389
1421
1452
1483
1514
1544
1575
1605
i635
1664
1694
1723
1752
1 8
0035
0077
0120
Ol62
0204
0245
02Б6
0326
0366
0406
0445
04^4
0523
0561
0599
0637
0674
0711
0748
0785
0821
0856
0892
0927
0962
0997
1031
1005
1099
3
1166
1199
1232
1205
1297
1329
1361
1392
1424
1455
1486
I51?
1547
1578
Ifco8
1638
1607
1697
1726
i755
9
0039
0082
0124
0166
0208
0249
0290
033°
0370
0410
0449
0488
0527
0565
0603
0641
0678
0715
0752
0788
0824
0860
0896
0931
0966
IOOO
1035
1069
1103
1136
1169
1202
1235
1268
1300
1332
1364
1396
1427
1458
1489
1520
1550
I58l
l6ll
1641
1670
1700
1729
1758
1761 1764
1767
1770
1772
1775
1784
1787


15°
i5i
152
153
154
155
156
157
158
159
гбо
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
0 |
1761
1790
1818
1847
i8?5
1903
I93i
1959
1987
2014
2041
2068
2095
2122
2148
2175
22OI
2227
2253
2279
2304
2330
2355
2380
2405
2430
2455
2480
2504
2529
2553
2577
2601
2625
2648
2672
2695
2718
2743
2765
2788
28lO
2833
2856
2878
29OO
2923
2945
2967
2989
3010
1
1764
1793
1821
I850
1878
1906
1934
1962
1989
2OI7
2044
2071
2098
2125
й15т
2177
2204
2230
2256
2281
2307
2333
2358
2383
2408
2433
2458
2482
2507
2531
2555
2579
2603
2627
2651
2674
2697
2721
2744
2767
2790
2813
2835
2858
2880
2903
2925
2947
2969
2991
3012
2 1
1767
1796
1824
i853
1881
1909
1937
1965
1992
2019
2047
2074
2IOI
2127
2154
2l8o
2206
2232
2258
2284
2310
2335
2360
2385
2410
2435
2460
2485
2509
2533
2558
2582
2605
2629
2653
2676
2700
2723
2746
2769
2792
2815
2838
2860
2882
2905
2927
2949
2971
2993
3015
MATE
3
1770
1798
1827
1855
1884
1912
1940
1967
1995
2O22
2049
2076
2103
2130
2156
2l83
2209
2235
226l
2287
2312
2338
2363
2388
2413
2438
2463
2487
2512
2536
2560
2584
2608
2632
2655
2679
2702
2725
2749
2772
2794
2817
2840
2862
2885
2907
2929
2951
2973
2995
SOI?
МАТИЧЕСК1
1500-
1 4
1772
1801
1830
1858
1886
1915
1942
1970
1998
2025
2052
2079
2106
2133
2159
2185
2212
2238
2263
2289
2315
2340
2365
2390
2415
2440
2465
2490
254
2538
2562
2586
26lO
2634
2658
268l
2704
2728
2751
2774
2797
2819
2842
2865
2887
2909
2931
2953
2975
2997
3019
ЛЕ ТАБЛИ
2000
5
1775
1804
1833
1861
1889
1917
1945
1973
2OOO
2028
2055
2O82
2Ю9
2135
2l62
2188
2214
2240
2266
2292
2317
2343
2368
2393
2418
2443
2467
2492
2516
2541
2565
2589
2613
2636
2660
2683
2707
2730
2753
2776
2799
2822
2844
2867
2889
2911
2934
2956
2978
2999
3021
ЦЫ
6 1
1778
1807
1836
1864
1892
1920
1948
1976
2003
2030
2057
2084
2III
2138
2l64
2191
2217
2243
2269
2294
232O
2345
2370
2395
242O
2445
2470
2494
2519
2543
2567
2591
2615
2639
2662
2686
2709
2732
2755
2778
2801
2824
2847
2869
2891
2914
2936
2958
2980
3002
3023
ПР
7
1781
1810
1838
1867
1895
1923
I951
1978
2006
2033
2060
2087
2114
2140
2167
2193
2219
2245
2271
2297
2322
2348
2373
2398
2423
2448
2472
2497
2521
2545
2570
2594
2617
2641
2665
2688
2711
2735
2758
2781
2804
2826
2849
2871
2894
2916
2938
2960
2982
3004
3025
одолжени
> 8
1784
i8i3
1841
1870
1898
1926
1953
1981
2009
2036
2063
2090
2117
2143
2170
2196
2222
2248
2274
2299
2325
2350
2375
2400
2425
2450
2475
2499
2524
2548
2572
2596
2620
2643
2667
2690
2714.
2737
2760
2783
2806
2828
2851
2874
2896
2918
2940
2962
2984
3006
3028
37
e табл. V
9
1787
i8i6
1844
1872
1901
1928
1956
1984
201 1
2038
20бб
2092
2119
2146
2172
2198
2225
2251
2276
2302
2327
2353
2378
2403
2428
2453
2477
2502
2526
255°
2574
2598
2622
2646
2669
2693
2716
2739
2762
2785
2808
2831
2853
2876
2898
292O
2942
2964
2986
3008
3030


38
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица VI. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
n
1,01
1, 02
1-03
1,04
Ii02
1, 06
1,07
1, 08
1,09
1,10
i,n
1,12
1ДЗ
1, 14
1Дй
i,i6
1,17
1,18
1Д9
1, 20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
i,3°
1,31
1,32
1-33
1,34
i,35
1,36
i,37
1,38
i-39
1,40
1,41
1,42
i,43
1,44
i,45
1,46
i,47
1,48
1,49
i>5°
1-51
1-52
Г. CQ
lOo
i,54
i>55
1,56
t,57
'•^J *
1-58
i,59
i, 60
In n
0,0100
0,0198
0,0296
0,0392
0,0488
0,0583
0,0677
0,0770
0,0862
0,0953
0,1044
0,1133
0,1222
ОДЗЮ
ОД398
0,1484
ОД570
0,1655
ОД740
0,l823
0,1906
0,1989
O,2O7O
0,2151
0,2231
0,2311
0,2390
0,2469
0,2546
0,2624
0,2700
0,2776
0,2852
0,2927
0,3001
0,3075
0,3148
0,3221
0,3293
0,3365
0,3436
0,3507
o,3577
0,3646
0,3716
0,3784
o,3853
0,3920
0,3988
04055
0,4121
0,4187
О.425Ч
V-T OO
0,4318
0,4383
0,4447
0,4511
0,4574
'TV/ / T^
0,4637
0,4700
n
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
i,74
i,75
1,76
i,77
1,78
i,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
i,94
i,95
1,96
i,97
1,98
i-99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,O9
2,IO
2,11
2,12
2ДЗ
2,14
2Д5
i 2,l6
2,17
2,18
2,19
2,20
In n
0,4762
0,4824
0,4886
0,4947
0,5008
0,5068
0,5128
0,5188
0,5247
0,5306
0,5365
0,5423
0,5481
'\Jt
0,5539
0,5596
0,5653
0,571°
0,5766
0,5822
0,5878
o,5933
0,5988
0,6043
0.6098
0,6152
0,6206
0,6259
0,6313
0,6366
0,6419
0,6471
0,6523
0,6575
0,6627
0,6678
0,6729
0,6780
0,6831
0,688 1
0,6931
0,6981
0,7031
0,7080
0,7129
0,7178
0,7227
0,7275
0,7324
0,7372
0,7419
0,7467
0,754
0,7561
0,7608
о,7б55
0,7701
0,7747
0,7793
0,7839
0,7885
л
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
2,33
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2-57
2,58
2,59
2,6о
2,6l
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
In n
0,7930
0,7975 i
0,8020 j
0,8065
0,8109
0,8154
0,8198
0,8242
0,8286
0,8329
0,8372
0,8416
0,8459
0,8502
0,8544
0,8587
0,8629
0,8671
0,8713
0,8755
0,8796
0,8838
0,8879
0,8920
0,8961
0,9002
0,9042
0,9083
0,9123
0,9163
0,9203
0,9243
0,9282
0,9322
0,9361
0,9400
o,9439
0,9478
o,95i7
o,9555
o,9594
0,9632
0,9670
0,9708
0,9746
0,9783
0,9821
0,9858
0,9895
o,9933
0,9969
i, 0006
1,0043
i, 0080
1,0116
1,0152
i, 0188
1,0225
1,0260
179296
n
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
3,01
3-02
3-03
3-04
3'°Л
3,об
3,07
3-o8
3,°9
3,1°
3-1 !
3-12
ЗДЗ
3.14
ЗД5
здб
3-17
ЗД8
ЗД9
3-20
3-21
3-22
3-23
3-24
3-25
3-26
3-27
3,28
3-29
3-3°
3-31
3-32
3,33
3,34
3,35
з.зб
3-37
3-38
3-39
3,4о
In n
1,0332
1,0367
1,0403
1,0438
1,0473
1,0508
1,0543
1,0578
1,0613
1,0647
1,0682
1,0716
1,0750
1,0784
1,0818
1,0852
i, 0886
1,0919
1-0953
1,0986
1,1019
1Д053
1,1086
1,1119
1,1151
1,1184
1,1217
1,1249
1,1282
1,1314
1-1346
1Д378
1,1410
1,1442
1Д474
1,1506
1Д537
1,1569
1,1600
1,1632
1,1663
1,1694
1Д725
1Д756
1,1787
1,1817
1,1848
1,1878
1,1909
I-I939
1,1969
1,2000
1,2030
1,2060
1,2090
1,2119
1,2149
1,2179
1,2208
1,2238
n
3-41
3-42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3-48
3-49
3-5°
3-51
3-52
3-53
3.54
3-55
3-56
3,57
3,58
3,59
3,6o
3-6i
3-62
3.63
3,64
3,65
3-66
3,67
3,68
3,69
3,7°
3,7i
З,?2
3,73
3-74
3,75
3,76
3-77
3,78
3-79
3-8o
3.8i
3-82
3,83
3,84
3-85
3-86
3,87
3-88
3-89
3-9°
3-91
3-92
3-93
3-94
3-95
3,96
3-97
3,98
3>99
4,00
In n
1,2267
1,2296
1,2326
1-2355
1,2384
1,2413-
1,2442
1,2470
1,2499
1,2528
1,2556
1,2585
1,2613
1,2641
1,2669
1,2698
1,2726
i,2754
1,2782
1,2809
1,2837
1,2865
1,2892
1,2920
1,2947
i,2975
1,3002
1,3029
1-3056
1,3083
1,3110
i,3i37
1,3164
1,3191
1,3218
1-3244
1-3271
1-3297
L3324
1,335°
L3376
1.3403
i,3429
1,3455
i,348i
i,3507
i,3533
i,3558
i,3584
1,3610
1-3635
1,3661
1.3686
L37I2
i,3737
1,3762
1,3788
1-3813
1,3838
1.3863
n
4,01
4,02
4-03
4,04
4,05
4,06
4,°7
4,08
4,°9
4,10
4Д1
4,12
4ДЗ
4Д4
4,15
4,16
4Д7
4,18
4Д9
4,20
4,21
4,22
4-23
4,24
4,25
4,26
4,27
4,28
4-29
4,3°
4-31
4,32
4-33
4,34
4-35
4.36
4-37
4,38
4,39
4,40
4-41
4-42
4-43
4-44
4-45
4,46
4-47
4,48
4,49
4-5°
4,5 l
4,52
4,53
4-54
4,55
4,56
4,57
4,58
4,59
4,60
ln/i
1,3888
1,3913
i,3938
1,3962
1,3987
1,4012
1,4036
1,4061
1,4085
1,4110
1,4134
i,4i59
1,4183
1,4207
1,4231
1,4255
1,4279
1,4303
1,4327
i,435i
1-4375
1-4398
1,4422
i,4446
1,4469
1,4493
i,45i6
1,4540
1,4563
1,4586
1,4609
1,4633
1,4656
1,4679
1,4702
" 1,4725
1,4748
1,4770
1,4793
1,4816
i,4839
1,4861
1,4884
1,4907
1,4929
i,495i
1,4974
1,4996
i,5OI9
1,5041
1,5063
1,5085
i,5I07
i,5I29
1.5151
i,5I73
i,5!95
1,5217
1,523°
1,5261


л
4,6i
4,62
4,63
4,64
4.65
4,66
4.67
4.68
4,69
4-7°
4.71
4.72
4-73
4-74
4.75
4.76
4.77
4.78
4.79
4,80
4.81
4,82
4,83
4,84
4-85
4.86
4.87
4,88
4,89
4.90
4.9i
4-92
4.93
4-94
4.95
~Г>УО
4.96
4-97
4,98
4.99
5'°°
5>oi
5.°2
5'°3
5.°4
5.°5
5.°6
5.°7
5.o8
5.°9
5>iQ
S"
5«12
5ДЗ
5-14
5Д5
5Д6
5.17
5.i8
5Д9
5.20
In n
1,5282
i, 53°4
>v>J -J
1,5326
1.5347
L5369
1,539°
i,54T2
1,5433
1,5454
1,5476
1.5497
i.55i8
1,5539
i,556o
i,558i
1,5602
1,5623
i,5644
1,5665
1,5686
1.5/07
L5728
L5748
L5769
1.5790
1,5810
1,5831
1,5851
1,5872
. 1.5892
L59I3
i,5933
i,5953
i,5974
i,5994
1,6014
1,6034
1,6054
1,6074
1,6094
1,6114
1,6134
1,6154
1.6174
1,6194
1,6214
1,6233
1.6253
1,6273
1,6292
1,6312
1,6332
1,635!
1,6371
1,6390
1,6409
1,6429
1,6448
1,6467
1,6487
n
5'2I
5,22
5-23
5,24
5,25
G> 0
5.26
5.27
5.28
5,29
5,3°
5.31
5,32
5-33
5.34
5,35
5'36
5,37
5,38
5-39
5<4o
5,4i
542
5,43
544
545
546
547
548
549
5,5°
5.5i
S.S2
5.53
5-54
5.55
5.56
5,57
5.58
5-59
5-6o
5,6i
5,62
5,63
5.64
5,65
5-66
5,67
5-68
5.69
5-70
5,7i
5.72
5.73
5-74
5-75
5'76
5,77
5,78
5,79
5,8o
In n
I
1,6506
1,6525
i,6544
1,6563
1,6582
i, 6601
1,6620
1,6639
1,6658
1,6677
1,6696
1,6715
i,6734
1,6752
1,6771
1,6790
i ,6808
1,6827
1,6845
1.6864
1,6882
1,6901
1,6919
1,6938
1,6956
1,6974
i,6993
1,7011
1,7029
• i,7047
1,7066
1,7084
1,7102
1,7120
1,7138
!,7i56
L7I74
1,7192
1,7210
1,7228
1,7246
1,7263
1,7281
1,7299
1,7317
i,7334
!>7352
i,737o
i,7387
i,7405
1,7422
1,7440
1,7457
i,7475
1,7492
i,7509
i,7527
1-7544
i,756i
T-7579
n
5.8i
5.82
5-83
5,84
5,85
5-86
5,87
5,88
5,89
5,90
5,91
5,92
5,93
5>94
5>95
5>96
5.97
5.98
5-99
6,00
6,01
6,02
6,03
6,04
6,05
6,06
6,07
6,08
6,09
6,10
6,11
6,12
6,13
6,14
6,15
6,l6
6,17
6,18
6,19
6,20
6,21
6,22
6,23
6,24
6,25
6,26
6,27
6,28
6,29
6,30
6,31
6,32
6,33
6,34
6,35
6,36
6,37
6,38
6,39
6,40
In n
i,7596
1,7613
1,7630
1,7647
1,7664
1,7681
1,7699
1,7716
1,7733
I>775°
1,7766
T,7733
1,7800
1,7817
1,7834
1,7851
1,7867
1,7884
1,7901
i,79i8
J7934
L795I
1,7967
1,7984
i 8001
1,8017
1,8034
1,8050
i, 8066
1,8083
1,8099
1,8116
1,8132
1,8148
1,8165
1,8181
1,8197
1,8213
1,8229
1,8245
т 8262
1,8278
1,8294
1,8310
1,8326
т, 8342
1,8358
18374
т, 8390
1,8405
1,8421
1,8437
i,8453
i .8469
1,8485
1,8500
1,8516
1,8532
1,8547
1,8563
n
6,41
6,42
6,43
6,44
6,45
6,46
647
6,48
6,49
650
6,51
6,52
6,53
6,54
6,55
6,56
6,57
6,58
6,59
6,60
6,61
6,62
6,63
6,64
6,65
6,66
6,67
6,68
6,69
6,70
6,71
6,72
6,73
6,74
6,75
6,76
6,77
6,78
6,79
6,80
6,81
6,82
6,83
6,84
6,85
686
6,87
6,88
6,89
6,90
6,91
6,92
6,93
6,94
6,95
6,96
6,97
6,98
699
7,00
In n
i,8579
i,8594
i, 8610
1,8625
1,8641
1,8656
1,8672
1,8687
1,8703
18718
i,8733
1,8749
1,8764
1,8779
i,8795
1,8810
1,8825
1,8840
1,8856
1,8871
1,8886
1,8901
1,8916
1,8931
1,8946
1,8961
1,8976
1,8991
1,9006
i 9021
1,9036
T^S1
1,9066
1,9081
1,9095
1,9110
1,9*25
1,9140
1,9155
1,9169
1,9184
1,9199
1,9213
1,9228
1,9242
T,9257
1,9272
1,9286
i,93oi
!>93*5
*,933o
i,9344
i,9359
i,9373
i,9387
1,9402
1,9416
1-9430
L9445
1,9459
n
7,01
7,02
7,03
7,04
7.05
7,06
7.07
7,08
7.09
7,10
7Д1
7.12
7-13
7Д4
7ДЙ
7,i6
7Д7
7,18
7Д9
7,20
7,21
7.22
7,23
7,24
7,25
7,26
7,27
7,28
7,29
7,30
7,31
7.32
7,33
7,34
7,35
7,36
7.37
7.38
7,39
740
7,41
742
743
744
7-45
746
747
748
749
7,5°
7-51
7>52
7,53
7,54
7,55
7=56
7.57
7-58
7-59
7,60
In n
1,9473
1,9488
1,9502
i,95i6
i,953o
1,9544
i,9559
1-9573
1.9587
1.9601
1,9615
1,9629
1,9643
1.9657
1,9671
1.9685
1,9699
i,97i3
1.9727
1,9741
1,9755
1,9769
.1, 9782
1,9796
1,9810
1,9824
1,9838
1,9851
1,9865
1,9879
1,9892
1,9906
1,9920
J.9933
1,9947
1,9961
i,9974
1,9988
2,0001
2,0015
2,0028
2,0041
2,0055
2,0069
2,0082
2,0096
2,0109
2,0122
2,0136
2,0149
2,0l62
2,0176
2,0l89
2,O2O2
2,0215
2,0229
2,O242
2,0255
2,0268
2,O28l
n
.7,6l
7,62
7-63
7,64
7,65
7,66
7,67
768
7,69
7-7°
7.71
7,72
7,73
7,74
7,75
7-76
7,77
7,78
7,79
7,80
7,81
782
7.83
7.84
7,85
7,86
7.87
7,88
789
7.90
7,9i
7-92
7-93
7-94
7-95
7,96
7-97
7,98
7,99
8,00
8,oi
8,- 02
8/03
8,04
8,05
8,06
8,07
8,08
8,09
8,10
8,ii
8,12
8,13
8,14
8,15
8,16
8,17
8,18
8,19
8,20
In n
2,0295
2,0308
20321
2.0334
2,0347
2,0360
2,0373
2,0386
2,0399
20412
2,0425
2,0438
2,0451
2,0464
2,0477
2.0490
2,0503
2,0516
2,0528
2,0541
2.0554
2,0567
2,0580
2,0592
2,0605
20618
2,0631
2,0643
2,0656
2,0669
2,0681
2,0694
2,0707
2,0719
2,0732
2,0744
2,0757
2,0709
2,0782
2,0794
20807
2,0819
20832
2,0844
2,0857
2,0869
2,0882
2,0894
2,0906
2,0919
2,0931
2,0943
2,0956
20968
2,0980
2,0992
2,1005
2,1017
2,1029
2,1041


40
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. VI
п
8,21
8,22
8,23
8,24
8,25
8,26
8,27
8,28
8,29
8,30
8,31
8.32
8,33
8,34
8 35
8,36
8 37
8,38
8-39
8,4о
8,41
8,42
8.43
8,44
8,45
8,46
8,47
8,48
8,49
8;5о
8,5i
8,52
8,53
8,54
8,55
8,56
8,57
8.58
8,59
8,6о
8,6i
8,62
8,63
8,64
8,65
8,66
8,67
8,68
8,69
8,70
In п
2Д054
2,IO66
2,1078
2,1090
2. 1 102
2.III4
2,1126
2,1138
2,1150
2,1163
2,1175
2,1187
2,1199
2,1211
2,1223
2,1235
2,1247
2.1258
2,1270
2.1282
2,1294
2,1306
2Д318
2,1330
2,1342
2,1353
2ДЗб5
2,1377
2,1389
2,1401
2,1412
2,1424
2,1436
2,1448
2, 1459
2Д471
2Д483
2,1494
2,1506
2Д518
2,1529
2,154!
2Д552
2.1564
2Д576
2,1587
2Д599
2ДбЮ
2Д622
2Д633
Л
8,71
8,72
8,73
8,74
8,75
8,76
8,77
8,78
8,79
8,8о
8,8i
8,82
8.83
8,84
8,85
8,86
8,87
8,88
8,89
8,90
8,91
8,92
8,93
8,94
8,95
8,96
8,97
8,98
8,99
9,оо
9,01
9,02
9-°3
9.04
9°5
9>°6
9,07
9,°8
9-09
9,ю
9,11
9Д2
9ДЗ
9Д4
9Д5
9Дб
9Д7
9Д8
9Д9
9,2О
In п
2,1645
2,1656
2Д668
2,1679
2,1691
2Д702
2Д713
2,1725
2Д736
2Д748
2Д759
2, 1770
2,1782
2Д793
2,1804
2,1815
2,1827
2,1838
2,1849
2,1861
2,1872
2,1883
2,1894
2,1905
2,1917
2,1928
2,1939
2,1950
2,1961
2,1972
2,1983
2Д994
2,2006
2,2017
2,2028
2,2039
2,2050
2,2061
2,2072
2,2083
2 ,.2094
2,2Ю5
2,2Il6
2,2127
2,2138
2,2148
2,2159
2,2I7O
2,2l8l
2,2192
Л
9-21
9-22
9'23
9-24
925
926
9,27
9,28
9-29
9,3°
9-31
9-32
9,33
9-34
935
9-36
9.37
9.38
9-39
9-40
9,41
9-42
943
944
945
9,46
9-47
9-48
949
9-5°
9-51
9-52
9-53
9-54
9-55
9,56
9-57
9-58
9-59
9,6о
9,6i
9,62
9-63
9,б4
9.65
9,66
9-67
9,68
9,69
9-7°
In п
2,2203
2,2214
2,2225
2,2235
2,2246
2,2257
2, 2268
2,2279
2,2289
2,23ОО
2.23П
2,2322
2,2332
2,2343
2,2354
2,2364
2,2375
2,2386
2,2396
2,2407
2,2418
2,2428
2,2439
2,2450
2,2460
2,2471
2,2481
2,2492
2,2502
2,2513
2,2523
2,2534
2,2544
2,2555
2,2565
2,2576
2,2586
2,2597
2,2607
2,26l8
2,2628
2,2638
2,26^9
2,2659
2,2670
2,2680
2,2690
2^2701
2^2711
2 2721
п
9.71
9,72
9.73
9.74
9.75
9,76
9.77
9,78
9,79
9,8о
9.8i
982
9-83
9-84
9-85
9,86
9-87
9,88
9-89
9,9°
9-91
9,92
9,93
9-94
9,95
9-96
9-97
9-98
9-99
ю,оо
Ю.25
10,50
10>75
II, ОО
И-25
Ц-5°
11,75
12,ОО
12.25
12,50
12,75
13,00
13-25
13-5°
13,75
14,00
14-25
14-5°
14,75
15,00
In п
2,2732
2,2742
2,2752
2,2762
2,2773
2,2783
2,2793
2,2803
2,2814
2,2824
2,2834
2,2844
2,2854
2,2865
2,2875
2,2885
2,2895
2,2905
2,2915
2,2925
2,2935
2,2946
2,2956
2,2966
2,2976
2,2986
2 2996
2,300б
2,30l6
2,3026
2,3273
2.35*4
2,3749
2-3979
2,4204
2,4423
.2,4639
2,4849
2,5°55
. 2,5257
2,5455
2,5649
2.5&40
2,6027
2,б2Ю
2.6391
2,6568
2,6741
2,б9Т2
2,7081
п
15-5
i6,o
16,5
17,0
17-5
18,0
18,5
190
19,5
20,0
21
22
23
24
2?
2б
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
5°
51
52
53
54
5!
56
57
58
59
6о
In п
2,7408
2,7726
2,8034
28332
2, 8622
2,8904
29178
2,9444
2.9704
2,9957
3-0445
3,0910
ЗД355
ЗД781
3,2189
3,258i
3,2958
3-3322
з-зб/з
3,4012
3-4340
3-4б57
34965
3-5264
3-5553
3-5835
3-6109
3-637б
3,6636
3,6889
3-7*36
3,7377
3,7612
3,7842
38067
3,8286
38501
3-8? 12
38918
3-9120
3,93i8
3-9512
3-97°3
3,9890
4>°°73
4-0254
4°43*
4,0604
4.0775
4,°943
п
6i
62
63
64
65
66
б?
68
69
70
71
72
73
74
75
7б
77
78
79
8о
8i
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
IOO
200
300
400
500
600
700
800
900
IOOO
2ООО
In п
4Д109
4-I27I
4,1431
4|*589
4-1744
4Д897
4,2047
4,2195
4.2341
4,2485
4,2627
4,2767
4,2905
4-3041
4-3175
4-3307
4,3438
4,35б7
43694
4,3820
4,3944
4,4067
4,4188
44308
44427
44543
44659
44773
44886
44998
4,5109
4,5218
4-5326
4.5433
4,5539
4об43
4 5747
4-5850.
4-5951
4,6052
5-2983
5.7038
5,9915
6,2146
6,3969
6,55ii
6,6846
6,8024
6,9078
7,6009


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
П° Таблица VII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ЛОГАРИФМЫ
(градусы и минуты)
X
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
33
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
i
. \
\ р
о,ооооо
,00029
,00058
,00087
,оои6
0,00145
,00175
,00204
,00233
,00262
0,00291
,00320
,00349
,00378
,00407
0,00436
,00465
,00495
,00524
,00553
0,00582
,оо6ц
,00640
,00669
,00698
0,00727
,00756
,00785
,00814
,00844
0,60873
,00902
,09931
,00960
,00989
o,otoi8
,01047
,01076
,01105
,01134
0,01164
,oii93
,01222
,01251
,О128о
0,01309
,01338
,01367
0,1396
,01425
0,01454
,01484
,01513
,01542
,01571
O,Ol6oO
,01629
,01658
,01687
,OI7l6
Р |
sin*
0,00000
,00029
,00058
,00087
,00116
0,00145
,00175
,00204
,00233
,00262
0,00291
,00320
.00349
,00378
,00407
0,00436
,00465
,00495
,00524
,00553
0,00582
,00611
,00640
,00669
,00698
0,00727
,00756
,00785
,00814
,00844
0,00873
,00902
,00931
,00960
,00989
0,01018
,01047
,01076
,01105
,01134
0,01164
0,1193
,01222
,01251
,01280
0,01309
,01338
,01367
,01396
,01425
0,01454
,01484
0,1513
,01542
,01571
0,0 т 600
,01629
,01658
,01687
,01716
COS X
1 lg sin x
—— 00
6,46373
,76476
,94085
7,06579
7,16270
,24188
,30882
,36682
,41797
7,46373
,50512
,54291
,57767
,60985
7,63982
,66784
,69417
,71900
,74248
7,76475
,78594
,80615
,82545
,84393
7,86166
,87870
,89509
,91088
,92612
7,94084
,95508
,96887
,98223
,99520
8,00779
,02002
,03192
,04350
,05478
8,06578
,07650
,08696
,09718
,10717
8,11693
,12647
,13581
,14495
,15391
8,16268
,17128
,17971
,18798
,19610
8,20407
,21189
,21958
,22713
,23456
Igcos*
cos л:
I,OOOO
,0000
,0000
,0000
,0000
1,0000
,0000
,0000
,0000
,0000
1,0000
0,99999
,99999
,99999
,99999
0,99999
•99999
,99999
,99999
,99998
0,99998
,99998
,99998
,99998
,99998
o,99997
,99997
,99997
,99997
,99996
0,99996
,99996
,99996
,99995
,99995
0,99995
,99995
,99994
,99994
,99994
o,99993
,99993
,99993
,99992
,99992
0,99991
,99991
.99991
,99990
,99990
0,99989
,99989
,99989
,99988
,99988
0,99987
,99987
,99986
,99986
,99985
sin* |
lg COS X
0,00000
,00000
,00000
,00000
,00000
0,00000
,00000
,00000
,00000
,00000
0,00000
,00000
,00000
,00000
,00000
0,00000
,00000
9,99999
,99999
,99999
9>99999
,99999
,99999
,99999
,99999
9,99999
,99999
,99999
,99999
,99998
9,99998
,99998
,99998
,99998
,99998
9,99998
,99998
,99997
,99997
,99997
9,99997
,99997
,99997
,99997
,99996
9,99996
,99996
,99996
,99996
,99996
9,99995
,99995
,99995
,99995
,99995
9,99994
,99994
,99994
,99994
,99994
lg sin x |
tgx
0,00000
,00029
,00058
,00087
,00116
0,00145
,00175
,00204
,00233
,00262
0,00291
,00320
,00349
,00378
,00407
0,00436
,00465
,00495
,00524
,00553
0,00582
,00611
,00640
,00669
,00698
0,00727
,00756
,00785
,00815
,00844
0,00873
,00902
,00931
,00960
,00989
0,01018
,01047
,01076
,01105
,01135
0,01164
,01193
,01222
,01251
,01280
0,01309
,oi338
,01367
,01396
,01425
0,01455
,01484
,01513
,01542
,0*571
0,01600
,01629
,01658
,01687
,01716
ctgx
Igtg*
6,46373
,76476
,94085
7,06579
7,16270
,24188
,30882
,36682
,41797
7,46373
>5°5 12
,54291
,57767
,60986
7,63982
,66785
,69418
,71900
,74248
7,76476
,78595
,80615
,82546
,84394
7,86167
,87871
,89510
,91089
,92613
7,94086
>95510
,96889
,98225
,99522
8,00781
,02004
,03194
.04353
,05481
8,06581
,07653
,08700
,09722
,10720
8,11696
,12651
.13585
,14500
,!5395
8,16273
Д7133
,17976
,18804
,19616
8,20413
,21195
,21964
,22720
,23462
igctg*|
ctg x \ sec .V
. . . 1,00000
3437,7 ,00000
1718,9 ,00000
1145,9 ,00000
859,44 ,00000
687,55 1,00000
572,96 ,00000
491,11 ,00000
429,72 ,00000
381,97 ,00000
343,77 1,00000
312,52 ,00001
286,48 ,00001
264,44 ,00001
245,55 ,00001
229,18 1,00001
214,86 ,00001
202,22 ,00001
190,98 ,00001
180,93 ,00002
171,89 1,00002
163,70 ,00002
156,26 ,00002
149,47 ,00002
143,24 ,00002
137,5! 1,00003
132,22 ,00003
127,32 ,00003
122,77 ,oooo3
118,54 ,00004
114,59 1,00004
110,89 ,00004
107,43 ,00004
104,17 ,00005
101,11 ,00005
98,218 1,00005
95,489 ,00005
92,908 ,00006
90,463 ,00006
88,144 ,00006
85,940 1,00007
83,844 ,00007
81,847 ,00007
79,943 ,00008
78,126 ,00008
76,390 1,00009
74,729 ,00009
73,139 ,00009
71,615 ,00010
70,153 ,00010
68,750 1,0001 1
67,402 ,00011
66,105 ,00011
64,858 ,00012
63,657 ,00012
62,499 1,00013
61,383 ,00013
60,306 ,00014
59,266 ,00014
58,261 ,00015
tg x | cosec x \
cosec x
3437-7
1718,9
1145,9
859,44
687,55
572,96
491,11
429,72
381,97
343,77
312,52
286,48
264,44
245,56
229,18
214,86
202,22
190,99
180,93
171,89
163,70
156,26
149,47
143,24
137,51
132,22
127,33
122,78
118,54
114,59
110,90
107,43
104,18
101,11
98,223
95-495
92,914
90,469
88,149
85,946
83,849
81,853
79,950
78,133
76,397
74,736
73,146
71,622
70,160
68,757
67,409
66,113
64,866
63,665
62,507
61,391
60,314
59,274
58,270
sec* j
1 p
1,57080
,57051
,57021
,56992
,56963
1,56934
,56905
,56876
,56847
,56818
1,56789
,56760
,56731
,56701
,56672
1,56643
,56614
,56585
,56556
,56527
1,56498
,56469
,56440
,5641!
,56382
1,56352
,56323
,56294
,56265
,56236
1,56207
,56178
,56149
,56120
,56091
1,56062
,56032
,56003
,55974
.55945
i,559i6
.55887
,55858
,55829
,558oo
1,55771
,55742
,55712
,55683
.55654
1 >55б25
,55596
,55567
,55538
,555°9
1,55480
,55451
,55422
,55392
.55363
P 1
1
i
60
59
58
57
53
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
i
X
89*


42 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
1
х\ р sin*: Igsinxj cos x lgcosj;| tg* j IgtgAT ctgjc| sec x jcosccjcj p J
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,01745 0,01745 8,24186 0,99985 9,99993 0,01746 8,24192 57,290 1,00015 57,299 1,55334
,01774 ,01774 ,24903 ,99984 ,99993 ,01775 .249i0 56,351 >o°oi6 56-359 ,553°5
,01804 ,01803 ,25609 ,99984 99993 ,01804 .25616 55,442 ,00016 55,451 .SS2?^
,01833 ,01832 ,26304 ,99983 ,99993 ,01833 -26312 54.561 ,00017 54,57° -55247
,01862 01862 .26988 .99983 99992 ,01862 26996 53,709 ,00017 53>7i8 .55218
0,01891 0,01891 8,27661 0,99982 9,99992 0,01891 827669 52,882 1,00018 52,892 1,55189
,01920 ,01920 ,28324 ,99982 ,99992 ,01920 ,28332 52,081 ,00018 52,090 ,55160
,01949 ,01949 28977 .99981 ,99992 .01949 ,28986 51,303 ,00019 5*'313 ,55*31
,01978 ,01978 .29621 ,99980 ,99992 ,01978 ,29629 50,549 ,00020 50,558 ,55102
,02007 H2007 ,30255 ,99980 ,99991 ,02007 ,30263 49,8l6 ,00020 49,826 ,55073
0,02036 0,02036 8,30879 0,99979 9-99991 0,02036 8,30888 49,104 1 00021 49,114 1,55043
,02065 ,02065 >3*495 -99979 ,9999* ,02066 ,31505 48.412 ,00021 48,422 ,55014
,02094 ,02094 -32103 ,99978 ,9999° ,02095 .32112 47,740 ,00022 47,750 ,54985
,02123 ,02123 -32702 ,99977 .9999° 02124 .З2?11 47-°85 ,00023 47>°96 ,54956
,02153 ,02152 ,33292 ,99977 ,99990 ,02153 .33302 46,449 .00023 46,460 ,54927
0,02182 0,02181 833875 099976 9,99990 0,02182 8,33886 45,829 1,00024 45,840 1,54898
,02211 ,02211 ,3445° ,99976 ,99989 ,02211 .34461 45,226 ,OOO24 45,237 ,54869
,02240 ,02240 ,35018 ,99975 ,99989 ,02240 .35029 44,639 ,00025 44.65° ,5484°
,02269 02269 ,35578 ,99974 ,99989 ,02269 3559° 44-o66 ,00026 44,077 ,54811
.02298 ,02298 ,36131 -99974 99989 ,02298 ,36143 43,508 ,00026 43,520 ,54782
0,02327 0,02327 8,36678 099973 9,99988 0,02328 836689 42.964 1,00027 42,976 1,54753
,02356 ,02356 .37217 ,99972 .99988 ,02357 ,37229 42,433 ,00028 42,445 ,54723
,02385 ,02385 ,37750 ,99972 ,99988 ,02386 ,37762 41,916 ,00028 41,928 ,54694
,02414 ,02414 ,38276 ,99971 ,99987 ,02415 ,38289 41,411 ,00029 41-423 ,54665
,02443 ,02443 ,38796 ,99970 ,99987 ,02444 ,38809 40,917 ,00030 40,930 ,54636
0,02473 0,02472 8,39310 0,99969 9,99987 0,02473 8,39323 40,436 1,00031 40,448 1,54607
,02502 ,02501 ,39818 ,99969 99986 ,02502 39832 39,965 ,00031 39,978 ,54578
,02531 ,02530 ,40320 ,99968 ,99986 ,02531 ,40334 39,506 .00032 39,519 ,54549
,02560 ,02560 ,40816 ,99967 ,99986 ,02560 ,40830 39,057 ,00033 39>°7° ,54520
,02589 ,02589 ,41307 .99966 ,99985 ,02589 ,41321 38,618 ,00034 38,631 ,54491
0,02618 0,02618 8,41792 0,99966 9,99985 0,02619 8,41807 38,188 1,00034 38,202 1,54462
,02647 ,02647 ,42272 ,99965 ,99985 ,02648 ,42287 37,769 ,00035 37,782 .54433
,02676 ,02676 ,42746 ,99964 .99984 .02677 ,42762 37,358 ,00036 37,371 ,54403
,02705 ,02705 ,43216 ,99963 .99984 ,02706 ,43232 36,956 ,00037 36,970 ,54374
,02734 ,02734 -43680 ,99963 ,99984 ,02735 ,43696 36,563 ,00037 36,576 ,54345
0,02763 0,02763 8,44139 0,99962 9,99983 0,02764 8,44156 36,178 1,00038 36,191 1,54316
,02793 ,02792 ,44594 ,9996i ,99983 ,02793 ,44611 35,801 ,00039 35,815 ,54287
,02822 ,02821 ,45044 .99960 ,99983 ,02822 ,45061 35,431 ,00040 35,445 .54258
,02851 ,02850 ,45489 ,99959 ,99982 ,02851 ,45507 35,070 ,00041 35,084 ,54229
,02880 ,02879 .45930 ,99959 ..99982 ,02881 ,45948 34,715 ,°°°4i 34-73°
0,02909 0,02908 8,46366 0,99958 9,99982 0,02910 8/46385 34,368 1,00042 34,382 1,54171
,02938 ,02938 ,46799 ,99957 ,9998i ,02939 ,46817 34,027 ,00043 34.042 ,54142
,02967 ,02967 ,47226 ,99956 ,99981 ,02968 ,47245 33,694 ,00044 33,708 ,54113
,02996 ,02996 ,47650 ,99955 >9998i ,02997 ,47669 33,366 ,00045 33,381 ,54083
-03025 .03025 ,48069 .99954 ,9998o ,03026 ,48089 33,045 ,00046 33,060 ,54054
0,03054 0,03054 848485 0,99953 9,99980 0,03055 8,48505 32,730 1,00047 32,746 1,54025
,03083 ,03083 ,48896 ,99952 ,99979 ,03084 ,48917 32,421 00048 32,437 ,53996
,03113 ,03112 ,49304 ,99952 ,99979 ,03114 ,49325 32,118 ,00048 32,134 ,53967
,03142 ,03141 ,49708 .99951 ,99979 ,03143 ,49729 31,820 ,00049 31-836 ,53938
,03171 ,03170 ,50108 ,9995° ,99978 ,03172 ,50130 31,528 00050 31,544 ,53909
0,03200 0,03199 8,50504 0,99949 9.99978 0,03201 8,50527 31.242 1,00051 31,258 1,53880
,03229 ,03228 ,50897 ,9994s ,99977 ,03230 ,50920 30,960 ,00052 30,976 ,53851
,03258 ,03257 ,51287 ,99947 -99977 ,03259 ,51310 30,683 ,00053 30,700 ,53822
,03287 ,03286 ,51673 ,99946 ,99977 ,03288 ,51696 30,412 ,00054 30,428 ,53793
,03316 ,03316 ,52055 ,99945 .99976 .03317 ,52079 30,145 ,00055 30,161 ,53764
0,03345 0,03345 8,52434 0,99944 999976 0,03346 8,52459 29,882 1,00056 29,899 1,53734
,03374 ,03374 ,52810 ,99943 ,99975 ,03376 ,52835 29,624 ,00057 29,641 ,537°5
,03403 ,03403 ^53183 99942 ,99975 ,03405 .53208 29,371 ,00058 29,388 ,53676
,03432 ,03432 ,53552 ,99941 ,99974 ,03434 .53578 29,122 ,00059 29,139 ,53647
,03462 ,03461 ,53919 .99940 ,99974 ,03463 ,53945 28,877 ,°oo6o 28,894 ,53618
63
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
\ f
cos л1
Ig COS л:
sin x j Ig sin x
CtgAT
Ig ctg x
igx
cosec x \ sec x
P
x


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 43
х | pJ sin* [ lg sin * [ cos х | lg cos x tg x Ig tg x ctg л: | sec * [ cosec * [__p j
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,03491 0,03490 8,54282 0,99939 9,99974 0,03492 8,54308 28,636 i, 00061 28,654 1,53589
,03520 ,03519 ,54642 ,99938 ,99973 ,03521 ,54669 28,399 ,00062 28,417
,03549 .03548 -54999 ,99937 ,99973 ,03550 ,55027 28,166 ,00063 28,184 >5353*
,03578 ,03577 ,55354 .99936 ,99972 ,03579 .55382 27,937 .00064 27,955 -53502
,03607 ,03606 ,55705 -99935 ,99972 ,03609 ,55734 27,712 ,00065 27,730 ,53473
0,03636 0,03635 8,56054 0,99934 9,99971 0,03638 8,56083 27,490 1,00066 27,508 1,53444
,03665 ,03664 ,56400 ,99933 -99971 ,03667 ,56429 27,271 ,00067 27,290 ,534*4
,03693 ..56743 ,99932 ,9997° .03696 ,5б?73 27,057 ,ooo68 27,075 ,53385
,03723 ,03723 ,57084 ,99931 ,99970 ,03725 ,57114 26,845 ,00069 26,864 ,53356
.03752 ,03752 '57421 ,99930 .99969 ,03754 ,57452 26,637 ,00070 26,655 ,53327
0,03782 0,03781 8,57757 0,99929 9,99969 0,03783 8,57788 26,432 1,00072 26,451 1,53298
,03811 ,03810 .58089 ,99927 ,99968 ,03812 ,58121 26,230 ,00073 26,249 ,53269
,03840 03839 ,58419 ,99926 ,99968 ,03842 ,58451 26,031 ,00074 26,050 ,53240
,03869 ,03868 ,58747 ,99925 ,99967 ,03871 ,58779 25,835 ,00075 25,854 .53211
,03898 ,03897 .59072 ,99924 ,99967 ,03900 ,59Ю5 25,642 ,00076 25,661 ,53182
0,03927 0,03926 8.59395 0,99923 9,99967 0,03929 8,59428 25,452 1,00077 25,471 1 53153
,03956 ,03955 ,59715 ,99922 ,99966 ,03958 ,59749 25,264 ,00078 25,284 ,53124
,03985 ,03984 ,60033 ,99921 ,99966 ,03987 ,60068 25,080 ,00079 25,100 ,53094
,04014 ,04013 ,60349 ,99919 99965 ,04016 ,60384 24,898 ,00081 24,918 ,53065
,04043 ,04042 ,60662 99918 ,99964 ,04046 ,60698 24,719 ,00082 24,739 -53036
0,04072 0,04071 8,60973 0,99917 9,99964 0,04075 8,61009 24,542 1,00083 24,562 1,53007
,04102 ,04100 ,61282 ,99916 ,99963 ,04104 ,61319 24,368 ,00084 24,388 ,52978
,04131 ,04129 ,61589 ,999*5 ,999бз .°4I33 ,61626 24,196 ,00085 24,216 ,52949
,04160 ,04159 ,61894 ,99913 ,99962 ,04162 ,61931 24,026 ,00087 24,047 ,52920
,04189 ,04188 ,62196 ,99912 ,99962 ,04191 ,62234 23,859 ,00088 23,880 ,52891
0,04218 0,04217 8,62497 0,99911 9,99961 0,04220 8,62535 23,695 1,00089 23,716 1,52862
,04247 ,04246 ,62795 ,999io ,99961 ,04250 ,62834 23,532 ,00090 23,553 ,52833
,04276 ,04275 ,63091 ,99909 ,99960 ,04279 ,63131 23.372 .00091 23,393 ,52804
,04305 ,04304 ,63385 ,99907 ,9996o ,04308 ,63426 23,214 ,00093 23,235 ,52774
,04334 ,04333 ,63678 ,99906 .99959 .04337 ,63718 23,058 .00094 23,079 ,52745
0,04363 0,04362 8,63968 099905 9,99959 0,04366 8,64009 22,904 1,00095 22,926 1,52716
,04392 ,04391 ,64256 ,99904 ,9995s ,04395 ,64298 22,752 ,00097 22,774 ,52687
,04422 ,04420 ,64543 ,99902 ,99958 ,04424 ,64585 22,602 ,00098 22,624 ,52658
,04451 ,04449 ,64827 .99901 ,99957 ,04454 ,6487022454 ,00099 22,476 ,52629
,04480 ,04478 ,65110 ,99900 ,99956 ,04483 ,65154 22,308 ,00100 22,330 .52600
0,04509 0,04507 8,65391 0,99898 9.99956 0,04512 8,65435 22,164 1,00102 22,187 1*52571
04538 -,04536 ,65670 ,99897 ,99955 ,04541 ,65715 22,022 ,00103 22,044 .52542
,04567 ,04565 ,65947 ,99896 ,99955 ,04570 ,65993 21,881 ,00104 21,904 .52513
,04596 ,04594 ,66223 99894 ,99954 ,04599 ,66269 21,743 ,00106 21,766 ,52484
,04625 ,04623 ,66497 ,99893 ,99954 ,04628 ,6654321,606 ,00107 21,629 ,52455
0,04654 0,04653 8,66769 0,99892 9,99953 0,04658 8,66816 21,470 1,00108 21,494 1,52425
,04683 ,04682 ,67039 ,99890 ,99952 ,04687 ,67087 21,337 ,00110 21,360 ,52396
,04712 ,04711 ,67308 ,99889 ,99952 ,04716 ,67356 21,205 .ooiii 21,229 ,52367
,04741 ,04740 ,67575 ,99888 ,99951 ,04745 ,67624 21,075 ,00113 21,098 ,52338
,04771 ,04769 ,67841 ,99886 ,99951 ,04774 ,67890 20,946 ,00114 20,970 ,52309
0,04800-0,04798 8,68104 0,99885 9,99950 0,04803 8,6815420,8191,00115 20,843 1,52280
,04829 ,04827 ,68367 ,99883 ,99949 ,04833 ,68417 20,693 ,00117 20,717 ,52251
,04858 ,04856 ,68627 ,99882 ,99949 ,04862 ,68678 20,569 ,00118 20,593 ,52222
,04887 ,04885 ,68886 ,99881 ,99948 ,04891 ,68938 20,446 ,00120 20,471 ,52193
,04916 ,04914 ,69144 99879 ,99948 ,04920 ,69196 20,325 ,00121 20,350 ,52164
0,04945 0,04943 8,69400 0,99878 9-99947 0,04949 8,69453 20,206 1,00122 20,230 1,52135
,04974 ,04972 ,69654 ,99876 ,99946 ,04978 ,69708 20,087 ,00124 20,112 ,52105
,05003 ,05001 ,69907 ,99875 ,99946 ,05007 ,69962 19,970 ,00125 19,995 .52076
,05032 ,05030 ,70159 ,99873 ,99945 ,°5°37 ,70214 19,855 ,00127 19,880 ,52047
,05061 ,05059 ,70409 ,99872 .99944 ,05066 ,70465 19,740 ,00128 19.766 ,52018
0,05091 0,05088 8,70658 0,99870 9,99944 0,05095 8,70714 19,627 1,00130 19,653 1,51989
,05120 ,05117 .70905 ,99869 ,99943 ,05*24 ,70962 19,516 ,00131 19,541 ,51960
,05149 ,05146 ,71151 ,99867 ,99942 ,05153 ,71208 19,405 ,00133 19.431 <5!93i
,05178 ,05175 ,71395 ,99866 ,99942 ,05182 ,71453 19,296 ,00134 *9>322 ,51902
,05207 ,05205 .71638 ,99864 ,99941 ,05212 ,71697 19,188 ,00136 19,214 ,51873
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
p | cos* jig cos* sinjjt jig sin л: j ctg x Igctg* tgj* j cosec x sec* | p j*
W


44 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
х I р I sin л: lg sin x cos* Igcosjel tg x Igtgje ctgx | sec л1 [cosecjcj p j
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
80
31
32
83
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
К
59
005236 0,05234 8,71880 0,99863 9,99940 0,05241 8,71940 19,081 1,00137 19,107 1,51844
,05265 ,05263 ,72120 ,99861 ,99940 ,05270 ,72181 18,976 00139 19.002 ,51815
,05294 ,05292 ,72359 ,99860 ,99939 ,05299 ,72420 18,871 ,00140 18,898 ,51785
05323 ,05321 .72597 ,99858 ,99938 ,05328 ,72659 18,768 ,00142 18,794 .51756
05352 ,05350 ,72834 ,99857 ,99938 ,05357 ,7289618,666 ,00143 18,692 .51727
0,05381 0,05379 8,73069 0,99855 9.99937 0,05387 8,73132 18,564 1,00145 18,591 1,51698
05411 ,05408 ,73303 ,99854 ,99936 ,05416 ,73366 18,464 ,00147 18,492 ,51669
05440 05437 ,73535 ,99852 ,99936 ,05445 '736ooi8,366 ,00148 18,393 ,51640
•05469 ,05466 ,73767 ,99851 ,99935 ,<>5474 ,73832 18,268 ,00150 18,295
,05498 ,05495 ,73997 »99849 -99934 ,O55°3 >74о6з 18,171 ,00151 18,198 ,51582
005527 0,05524 8,74226 0,9984? 9-99934 0,05533 8,74292 18,075 1,00153 18,103 1,51553
,05556 ,05553 ,74454 ,99846 ,99933 ,05562 ,74521 17,980 ,00155 18,008 ,51524
05585 [05582 ,74686 ,9^844 ,99932 ,05591 ,74748 17,886 ,00156 17,914 ,51495
05614 ,05611 ,74906 ,99842 ,99932 ,05620 ,74974 17,793 -oo^ 17,822 ,51465
',05643 ,05640 ,75130 ,99841 ,99931 ,05649 ,75199 17,702 ,00159 17,730 ,51436
0,05672 0,05669 8,75353 0,99839 9,99930 0,05678 8,75423 I7,6n 1,00161 17,639 1.51407
,05701 ,05698 ,75575 ,99838 ,99929 ,05708 ,75645 17,521 ,00163 17,549 ,51378
05730 ,05727 ,75765 ,99836 ,99929 ,05737 '75867 i7,43i ,00164 17,460 ,51349
'05760 ,05756 ,76015 ,99834 ,99928 ,05766 ,76087 17,343 ,00166 17,372 ,51320
,05789 ,05785 ,76234 ,99833 ,99927 ,05795 '763°6 17,256 ,00168 17,285 ,51291
005818 005814 8,76451 0,99831 9,99926 0,05824 8,76525 17,169 1,00169 17,198 1,51262
05847 ,05844 ,76667 ,99829 ,99926 ,05854 ,76742 17,084 ,00171 17,113, ,51233
,05876 ,05873 ,76883 ,99827 ,99925 ,05883 ,76958 16,999 ,00173 17-028 ,51204
,05905 ,05902 ,77097 ,99826 ,99924 -05912 ,77173 16,915 -oo^S i6,945 -5H75
,05934 ,05931 ,77310 .99824 ,99923 ,05941 ,77387 16,832 ,00176 16,862 ,51146
0,05963 0,05960 8,77522 0,99822 9,99923 0,0597° 8,77600 16,750 1,00178 16,779
05989 77733 ,99821 ,99922 ,05999 ,778n i6,668 ,00180 16,698 ,51087
ioooiS ;77943 ,99819 ,99921 ,06029 ,78022 16,587 ,00182 16,618 ,51058
06050 ,06047 ,78152 ,99817 ,99920 ,06058 ,78232 16,507 ,00183 16,538 ,51029
,06080 ,06076 ,78360 ,99815 ,99920 ,06087 ,7844! 16,428 ,00185 !6-459 ;5IOO°
006109 0,06105 8,78568 0,99813 9,99919 0,06116 8,78649 16,350 1,00187 16,380 1,50971
'06138 ,06134 ,78774 ,99812 ,99918 ,06145 '78855 16,272 ,00189 16,303 ,50942
,06167 ,06163 ,78979 ,99810 ,99917 ,o6i75 '79o6i 16,195 ,00190 16,226 ,50913
,06196 ,06192 ,79183 ,99808 ,99917 ,°6204 ,79266 i6,ii9 ,00192 16,150 ,50884
06225 ,06221 ,79386 ,99806 ,99916 ,06233 ,79470 16,043 ,00194 16,075 ,50855
0,06254 0,06250 8,79588 0,99804 9,99915 0,06262 8,79673 15,969 1,00196 16,000 1,50826
,06283 ,06279 ,79789 ,99803 ,99914 ,06291 ,79875 15-895 -o010^ 15-926 ,50796
06312 ,06308 ,79990 ,99801 ,99913 ,06321 ,80076 15,821 ,00200 15,853 ,50767
,06341 ,06337 ,80189 ,99799 ,99913 -°635o -8o277 15-748 ,00201 15,780 ,50738
,06370 ,06366 ,80388 ,99797 ,99912 ,06379 ,8047615,676 ,00203 15,708 ,50709
0,06400 0,06395 8,80585 0,99795 9,999" 0,06408 8,80674 15,605 1,00205 15,637 1,50680
,06429 ,06424 ,80782 ,99793 ,9991° ,06438 ,80872 15,534 ,00207 15,566 ,50651
,06458 ,06453 ,80978 • ,99792 ,99909 ,06467 ,81068 15,464 ,00209 15,496 ,50622
,06487 ,06482 ,81173 ,99790 ,99909 ,06496 ,81264 15,394 ,00211 15,427 ,50593
,06=516 ,06511 ,81367 ,99788 ,99908 ,06525 ,81459 15,325 ,00213 15,358 ,50564
0,06545 0,06540 8,81560 0,99786 9,99907 0,06554 8,81653 15,257 1,00215 15,290 1,50535
,06574 ,06569 ,81752 ,99784 ,99906 ,06584 ,81846 15,189 ,00216 15,222 ,50506
,06603 ,06598 ,81944 ,99782 ,99905 -°66i3 -82038 15,122 ,00218 15,155 ,50476
,06632 ,06627 ,82134 ,99780 ,99904 ,06642 ,82230 15,056 ,00220 15,089 ,50447
,06661 ,06656 ,82324 ,99778 ,99904 ,06671 ,82420 14,990 ,00222 15,023 ,50418
0,06690 0,06685 8,82513 0,90776 9,99903 0,06700 8,826Ю 14,924 1,00224 14,958 1,50389
,06720 ,06714 ,82701 ,99774 ,99902 „06730 ,82799 14,860 ,00226 14,893 ,50360
,06749 ,06743 -82888 ,99772 ,99901 ,06759 ,82987 14,795 ,00228 14,829 ,50331
,06778 ,06773 -83075 ,99770 ,99900 ,06788 ,83175 14,732 ,00230 14,766 ,50302
,06807 ,06802 ,83261 ,99768 ,99899 ,06817 ,8336i 14,669 ,00232 14,703 ,50273
0,06836 0,06831 8,83446 0,99766 9,99898 0,06847 8,83547 14,606 1,00234 14,640 1,50244
,06865 ,06860 ,83630 ,99764 ,99898 ,06876 ,83732 14,544 ,00236 14,578 ,50215
,06894 ,06889 ,83813 ,99762 ,99897 ,06905 ,83916 14,482 ,00238 14,517 ,50186
06923 ,06918 ,83996 ,99760 ,99896 ,06934 ,84100 14,421 ,00240 14,456 ,50156
,06952 ,06947 ,84177 ,99758 ,99895 -06963 «84282 14,361 ,00242 14,395 ,50127
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
'20
19
18
17
16
15
14
13
12
И
10
| p | COS X
lg COS X
sin x
lg sin x
ctg x lg ctg x
tg x | cosec x j sec x
p 1-
86°


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 45
in x igsinx cos x [igcosjc tgx \\gtgx cigx sec x cosec x j p j
sin
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
0,06981 0,06976 8,84358 0,99756 9,99894 0,06993 8,84464 14,301 1,00244 14,336 1,50098
,07010 ,07005 ,84539 ,99754 ,99893 ,07022 ,84646 14,241 ,00246 14,276 ,50069
,07039 ,07034 ,84718 ,99752 ,99892 ,07051 ,84826 14,182 ,00248 14,217 ,50040
,07069 ,07063 ,84897 ,99750 ,99891 ,07080 ,85006 14,124 ,00250 14,159 ,50011
,07098 ,07092 ,85075 ,99748 ,99891 ,07110 ,85185 14,065 ,00252 14,101 ,4998:
0,07127 0,07121 8,85252 0,99746 9,99890 0,07139 8,85363 14,008 1,00254 i4,044 I>49953
,07156 ,07150 ,85429 ,99744 ,99889 ,07168 ,85540 13,951 ,00257 13,987 ,4992.
,07185 ,07179 ,85605 ,99742 ,99888 ,07197 ,85717 13,894 ,00259 13,930 ,49895
,07214 ,07208 ,85780 ,99740 ,99887 ,07227 ,85893 13,838 ,00261 13,874 ,49866
,07243 ,07237 ,85955 ,99738 ,99886 ,07256 ,86069 13,782 ,00263 13.818 ,49837
0,07272 0,07266 8,86128 0,99736 9,99885 0,07285 8,86243 13,727 1,00265 13,763 1,49807
,07301 ,07295 ,86301 ,99734 ,99884 ,07314 ,86417 13672 ,00267 13-708 ,49778
.07330 ,07324 ,86474 ,99731 ,99883 ,07344 ,86591 13,617 ,00269 13.654 ,49749
-07359 ,07353 ,86645 ,99729 ,99882 ,07373 ,86763 13,563 ,00271 13,600 ,49/20
,07389 ,07382 ,86816 ,99727 ,99881 ,07402 ,86935 13,510 ,00274 I3'547 .49691
0,07418 0,07411 8,86987 0,99725 9,99880 0,07431 8,87106 13,457 1,00276 13,494 1,49662
.07447 ,07440 ,87156 ,99723 ,99879 .0746i ,87277 13,404 ,00278 13,441 ,49633
,07476 ,07469 ,87325 ,99721 ,99879 .07490 ,87447 I3.352 ,00280 13,389 ,49604
.07505 .074*3 ,87494 ,99719 .99878 ,07519 ,87616 13,30° ,00282 13,337 ,49575
.07534 .07527 ,87661 ,99716 ,99877 ,07548 ,87785 13,248 ,00284 13,286 ,49546
0,07563 0,07556 8,87829 0,99714 9,99876 0,07578 8,87953 13Д97 1,00287 13,235 1,49517
,07592 ,07585 ,87995 ,99712 ,99875 ,07607 ,88120 13,146 ,00289 13.184 ,49487
,07621 ,07614 ,88161 ,99710 ,99874 ,07636 ,88287 13,096 ,00291 13,134 ,49458
,07650 ,07643 ,88326 ,99708 ,99873 -07665 ,88453 13.046 ,00293 13,084 ,49429
,07679 ,07672 ,88490 ,99705 ,99872 ,07695 ,88618 12,996 ,00296 13,035 ,49400
0,07709 0,07701 8,88654 0,99703 9,99871 0,07724 8,88783 12,947 1,00298 12985 1,49371
,07738 ,07730 ,88817 ,99701 ,9987° ,07753 ,88948 12,898 ,00300 12,937 ,49342
,07767 ,07759 ,88980 ,99699 ,99869 ,07782 ,89111 12,850 ,00302 12,888 ,49313
,07796 ,07788 ,89142 ,99696 ,99868 ,07812 ,89274 12,801 ,00305 12,840 ,49284
,07825 ,07817 ,89304 ,99694 ,99867 ,07841 ,89437 I2,754 ,00307 12,793 ,49255
0,07854 0,07846 8,89464 0,99692 9,99866 0,07870 8,89598 12,706 1,00309 12,745 1,49226
,07883 ,07875 ,89625 ,99689 ,99865 ,07899 ,89760 12,659 ,00312 12,699 ,49197
,07912 ,07904 ,89784 ,99687 ,99864 ,07929 ,89920 12,612 ,00314 12,652 ,49168
,07941 ,07933 ,89943 ,99685 ,99863 ,07958 ,00080 12,566 ,00316 12,606 ,49138
,07970 ,07962 ,90102 ,99683 ,99862 ,07987 ,90240 12,520 ,00318 12,560 ,49109
0,07999 0,07991 8,90260 0,99680 9,99861 0,08017 8,90399 12,474 1,00321 12,514 1.49080
,08029 ,08020 ,90417 ,99678 ,99860 ,08046 ,90557 12,429 ,00323 12,469 ,49051
,08058 ,08049 ,90574 ,99676 ,99859 ,08075 ,90715 12,384 ,00326 12,424 ,49022
,08087 ,08078 ,90730 ,99673 ,99858 ,08104 ,90872 12,339 ,00328 12,379 ,48993
,08116 ,08107 ,90885 ,99671 ,99857 ,08134 ,91029 12,295 ,0033° I2,335 ,48964
0,08145 0,08136 8,91040 0,99668 9,99856 0,08163 8,91185 12,251 1,00333 12,291 1,48935
,08174 ,08165 ,9I:I95 ,99666 ,99855 ,08192 ,91340 12,207 ,00335 12,248 ,48906
,08203 ,08194 ,91349 ,99664 ,99854 ,08221 ,91495 12,163 ,00337 12,204 ,48877
,08232 ,08223 ,91502 ,99661 ,99853 ,08251 ,91650 12,120 ,00340 12,161 ,48848
,08261 ,08252 ,91655 ,99659 ,99852 ,08280 ,91803 12,077 ,00342 12,112 ,48818
0,08290 0,08281 8,91807 0,99657 9,99851 0,08309 8,91957 12,035 1,00345 12,076 1,48789
,08319 ,08310 ,91959 ,99654 .99850 ,08339 ,92110 11,992 ,00347 12,034 ,48760
,08348 ,08339 ,92110 ,99652 ,99848 ,08368 ,92262 11,950 ,00350 11,992 ,48731
,08378 ,08368 ,92261 ,99649 ,99847 ,08397 ,92414 n,9°9 ,00352 И.951 ,48702
,08407 ,08397 .924" ,99647 ,99846 ,08427 ,92565 11,867 ,00354 11,909 ,48673
0,08436 0,08426 8,92561 0,99644 9,99845 0,08456 8,92716 11,826 1,00357 n,868 1,48644
,08465 ,08455 ,92710 ,99642 ,99844 ,08485 ,92866 11,785 ,00359 11,828 ,48615
,08494 ,08484 ,92859 ,99639 ,99843 .08514 .93016 11,745 ,00362 11,787 ,48586
,08523 ,08513 ,93007 ,99637 ,99842 ,08544 ,93165 11,705 ,00364 11,747 ,48557
,08552 ,08542 ,93154 ,99635 ,99841 ,08573 ,93313 11,664 ,00367 11,707 ,48528
0,08581 0,08571 8,93301 0,99632 9,99840 0,08602 8,93462 11,625 1,00369 11,668 1,48498
,08610 ,08600 ,93448 ,99630 ,99839 ,08632 ,93609 11,585 ,00372 11,628 ,48469
,08639 ,08629 ,93594 ,99627 ,99838 ,08661 ,93756 ii,546 ,00374 11,589 ,48440
,08668 ,08658 ,93740 ,99625 ,99837 ,08690 ,93903 11,507 ,00377 11,551 ,48411
,08698 ,08687 ,93885 ,99622 ,99836 ,08720 ,94049 11,468 ,00379 11,512 ,48382
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
1 f
COS X
Ig COS X
sin x
Igsinxj ctg.x:
Ig ctg x
igx
cosec x \ sec x
P 1»
85е


46 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
X
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
Б7
58
69
i
Р 1
0,08727
,08756
,08785
,08814
,08843
0,08872
,08901
,08930
,08959
,08988
0,09018
,09047
,09076
,09105
,09134
0,09163
,09192
,09221
,09250
,09279
0,09308
.09338
,09367
,09396
,09425
0.09454
,09483
,09512
,09541
,0957°
0,09599
,09628
,09657
,09687
,09716
0,09745
.09774
,09803
,09832
,09861
0,09890
,09919
,09948
,09977
,10007
од 0036
,10065
,10094
,10123
,10152
o,ioi8i
,10210
,10239
,10268
,10297
0,10327
,10356
.10385
,10414
,10443
р
sinx
о 08716
,08745
,08774
,08803
,08831
0,08860
,08889
,08918
,08947
,08976
0,09005
,09034
,09063
,09092
,09121
0,09150
,09179
,09208
,09237
,09266
0,09295
,09324
»°9353
,09382
,09411
0,09440
,09469
,09498
i09527
,09556
0,09585
,09614
,09642
,09671
,09700
0,09729
,09758
,09787
,09816
,09845
0,09874
,09903
,09932
,09961
,0999°
0,10019
,10048
,10077
,10106
,10135
0.10164
,10192
,10221
,10250
,10279
0,10308
,Ю337
,10366
,1°395
,10424
COS X
lg sin x
8,94030
,94174
,94317
,94461
,94603
8,94746
,94887
.95029
,95*7°
,953ю
8,9545°
,95589
,95728
,95867
,96005
8,96143
,96280
,96417
,96553
,96689
8,96825
,96960
,97°95
,97229
,97363
8,97496
,97629
,97762
,97894
,98026
8,98157
,98288
,98419
,98549
,98679
8,98808
,98937
,99066
,99194
,99322
8,9945°
,99577
,997°4
,99830
,99956
9.00082
,00207
,00332
,00456
,00581
9,00704
,00828
,00951
,01074
,01196
9,01318
,0144°
,01561
,01682
,01803
Jgcosjc
cos л:
0,99619
,99617
,99614
,99612
,99609
0,99607
,99604
,99602
,99599
,99596
0,99594
.99591
,99588
,99586
,99583
0,99580
.99578
•99575
,99572
,9957°
о,995°7
,99564
.99562
.99559
,99556
о,99553
.99551
,99548
,99545
.99542
0,9954°
.99537
.99534
,99531
,99528
0,99526
,99523
,99520
,99517
,995*4
0,995"
,995°8
,995°6
>995°3
,995°°
о,99497
,99494
,99491
,99488
,99485
0,99482
,99479
,99476
-99473
,9947°
0,99467
,99464
,99461
.99458
,99455
sin х
lg COS X
9,99834
,99833
,99832
,99831
,99830
9,99829
,99828
,99827
,99825
,99824
9,99823
,99822
,99821
,99820
,99819
9,99817
,99816
,99815
,99814
,99813
9,99812
,99310
,99809
,99808
,99807
9,99806
,99804
,99803
,99802
,99801
9,99800
,99798
,99797
,99796
,99795
9-99793
,99792
-99791
,9979°
,99788
9,99787
,99786
,99785
,99783
,99782
9,99781
,9978о
.99778
.99777
,99776
9-99775
,99773
,99772
•99771
,997б9
9,99768
,997б7
.99/65
.99764
,99763
lg sin x
tgx
0,08749
,08778
,08807
,08837
,08866
0,08895
,08925
,08954
,08983
,09013
0,09042
,09071
,09101
,09130
,09159
0,09189
,09218
,09247
,09277
,09306
0,09335
,09365
.09394
,09423
.09453
0,09482
,09511
,09541
,09570
,09600
0,09629
,09658
,09688
,09717
,09746
0,09776
,09805
,09834
,09864
,09893
0,09923
,09952
,09981
,10011
,10040
0,10069
,10099
,10128
,10158
,10187
о 10216
,10246
,10275
- 10305
,i°334
0,10363
,10393
.10422
,10452
,10481
CtgJf
Igtg x
8,94195
,94340
,94485
,94630
,94773
8,94917
,95060
,95202
•95344
,95486
8,95627
,95767
,95908
,96047
,96187
8,96325
,96464
.96602
,96739
,96877
897013
,97150
,97285
,97421
,97556
8,97691
,97825
,97959
,98092
,98225
8,98358
,98490
,98622
,98753
,98884
8,99015
,99145
,99275
.99405
,99534
8,99662
•99791
,99919
9,00046
,00174
9,00301
,00427
•00553
.00679
,00805
900930
,01055
,01179
,01303
,01427
9-0155°
,01673
,01796
,01918
.02040
lg ctg x
cigx
11,43°
n,392
11,354
11,316
11,279
11,242
11,205
11,168
11,132
",095
",059
11,024
10,988
i°,953
10.918
10,883
10,848
10,814
10,780
10,746
10,712
10,678
10,645
10,612
10,579
10546
10514
10,481
10,449
10,417
10.385
i°354
10,322
10,291
10,260
10,229
10,199
10.168
10,138
ro 108
10,078
10,048
10,019
9,9893
9/96oi
9.93Ю
9,9021
9,8734
98448
9,8164
9,7882
9,7601
9,7322
9,7044
9,6768
9,6493
9,6220
9,5949
9,5679
9,5411
tgjr
sec A:
1,00382
,00385
,00387
,00390
,00392
1.00395
,00397
,00400
,00403
,00405
1,00408
,00411
,00413
,00416
,00419
1,00421
,00424
,00427
,00429
,00432
1.00435
,00438
,00440
,00443
,00446
1,00449
,00451
.00454
•°°457
,00460
1,00463
,00465
,00468
,00471
,00474
1,00477
,00480
,00482
,00485
,00488
1,00491
,00494
,00497
,00500
,°°5°3
1,00506
,00509
,00512
,00515
,00518
1,00521
,00524
,00527
,00530
,10533
1.00536
,00539
,00542
,°0545
,00548
cosec x
cosec*
11 .474
ii,436
n,398
11,360
11,323
11,286
11,249
11,213
11,176
11,140
11,105
11,069
11-034
10,998
10,963
10,929
10,894
10,860
10,826
10,792
10,758
10,725
10,692
10,659
10,626
10,593
10,561
10,529
10,497
10,465
10,433
,402
,371
,34°
,309
10,278
,248
,217
,187
Д57
10,128
,098
,068
•°39
,010
9,9812
,9525
,9239
,8955
,8672
9,8391
,8112
.7834
,7558
,7283
9,7010
,6739
,6469
,6200
.5933
sec x
P
1,48353
,48324
,48295
,48266
.48237
1,48208
,48178
,48149
,48120
,48091
1,48062
,48033
,4800/1
.47975
,47946
1,47917
,47888
,47858
,47829
,47800
1,47771
.47742
.47713
,47684
.47655
1,47626
,47597
,47568
,47538
>47509
1,47480
.47451
,47422
,47393
.47364
L 47335
,47306
47277
,47248
,47219
1.47189
,47160
,47i3i
,47102
,47073
1,47044
,47OI5
46986
,46957
,46928
1,46899
,46869
,46840
,46811
,46782
г, 46753
,46724
,46695
,46666
46637
P
/
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
к
84е


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 47
л I р I sin* lg sin jcj cosjc I Ig cosx! tg x |lgtg.v| ctg x secx cosec л| p I
0,10472 0,10453 9,01923 0,99452 9,99761 0,10510 9,02162 9,5144 1,00551 9,5668 1,46608
,10501 10482 ,02043 ,99449 ,997бо ,10540 ,02283 ,4878 ,00554 ,5404 ,46579
,10530 ,10511 ,02163 ,99446 ,99759 ,10569 ,02404 ,4614 ,00557 ,5141 ,46550
,10559 ,10540 ,02283 ,99443 ,99757 ,10599 ,02525 ,4352 ,00560 ,4880 ,46520
,10588 ,10569 ,02402 ,99440 ,99756 ,10628 ,02645 >4°9° »°°5бз ,4620 ,46491
0,10617 0,10597 9,02520 0,99437 9,99755 0,10657 9-02766 9,3831 1,00566 9,4362 1,46462
,10647 ,10626 ,02639 ,99434 ,99753 ,10687 ,02885 ,3572 ,00569 ,4105 ,46433
,10676 ,10655 ,02757 ,99431 ,99752 ,10716 ,03005 ,3315 ,00573 ,3850 ,46404
,10705 ,10684 ,02874 ,99428 ,99751 ,10746 ,03124 ,3060 ,00576 ,3596 ,46375
,10734 ,10713 ,02992 ,99424 ,99749 ,10775 ,03242 ,2806 ,00579 ,3343 ,46346
0,10763 0,10742 9,03109 0,99421 9,99748 0,10805 9,03361 9,2553 1,00582 9,3092 1,46317
,10792 ,10771 ,03226 ,99418 ,99747 ,10834 ,03479 ,2302 ,00585 ,2842 ,46288
,10821 ,10800 ,03342 ,99415 ,99745 ,10863 ,03597 ,2052 ,00588 ,2593 ,46259
,10850 ,10829 ,03458 ,99412 ,99744 ,10893 ,03714 ,1803 ,00592 ,2346 ,46230
,10879 ,10858 ,03574 ,99409 ,99742 ,10922 ,03832 ,1555 ,00595 ,2100 ,46200
0,10908 0,10887 9,03690 0,99406 9,99741 0,10952 9,03948 9,1309 1,00598 9,1855 1,46171
,10937 ,10916 ,03805 ,99402 ,99740 ,10981 ,04065 ,1065 ,00601 ,1612 ,46142
,10966 ,10945 ,03920 ,99399 ,99738 ,11011 ,04181 ,0821 ,00604 ,1370 ,46113
,10996 ,10973 ,04034 ,99396 ,99737 ,11040 ,04297 ,0579 ,00608 ,1129 ,46084
,11025 ,11002 ,04149 ,99393 ,99736 ,11070 ,04413 ,0338 ,00611 ,0890 ,46055
20 0,11054 0,11031 9,04262 0,99390 9,99734 0,11099 9,04528 9,0098 1,00614 9,0652 1,46026
21 ,11083 ,11060 ,04376 ,99386 ,99733 ,11128 ,04643 8,9860 ,00617 ,0415 ,45997
22 ,11112 ,11089 ,04490 ,99383 ,99731 ,11158 ,04758 ,9623 ,00621 ,0179 ,45968
23 ,11141 ,11118 ,04603 ,99380 ,99730 ,11187 ,04873 ,9387 ,00624 8,9944 ,45939
24 ,11170 ,11147 ,04715 ,99377 ,99728 ,11217 ,04987 ,9152 ,00627 ,9711 ,45910
25 0,11199 0,11176 9,04828 0,99374 9,99727 0,11246 9,05101 8,8919 1,00630 8,9479 1,45880
26 ,11228 ,11205, ,04940 ,99370 ,99726 ,11276 ,05214 ,8686 ,00634 ,9248 ,45851
27 ,11257 ,11234 ,05052 ,99367 ,99724 ,11305 ,05328 ,8455 ,00637 ,9019 ,45822
28 ,11286 ,11263 ,05164 ,99364 ,99723 ,11335 ,05441 ,8225 ,00640 ,8790 ,45793
29 ,11316 ,11291 ,05275 ,99360 ,99721 ,11364 ,05553 ,7996 ,00644 ,8563 ,45764
30 0,11345 0,11320 9,05386 0,99357 9,99720 0,11394 9-°5666 8,7769 1,00647 8,8337 1,45735
31 ,11374 ,11349 .05497 ,99354 ,997i8 ,11423 ,05778 ,7542 ,00650 ,8112 ,45706
32 ,11403 ,11378 ,05607 ,99351 ,99717 ,11452 ,05890 ,7317 ,00654 ,7888 ,45677
33 ,11432 ,11407 ,05717 ,99347 ,997J6 ,11482 ,06002 ,7093 ,00657 ,7665 ,45648
34 ,11461 ,11436 ,05827 ,99344 ,99714 ,11511 ,06113 ,6870 ,00660 ,7444 ,45619
35 0,11490 0,11465 9,05937 0,99341 9,99713 0,11541 9,06224 8,6648 1,00664 8,7223 1,45590
36 ,11519 ,11494 ,06046 ,99337 ,99711 ,11570 to6335 ,6427 ,00667 ,7°°4 45560
37 ,11548 ,11523 ,06155 ,99334 ,99710 ,11600 ,06445 ,6208 ,00671 ,6786 ,45531
38 ,H577 Д1552 ,06264 ,99331 ,99708 ,11629 ,06556 ,5989 ,00674 ,6569 ,45502
39 ,11606 ,11580 ,06372 ,99327 ,99707 ,11659 ,06666 ,5772 ,00677 ,6353 ,45473
40 0,11636 0,11609 9,06481 0,99324 9,99705 0,11688 9,06775 8,5555 i ,00681 8,6138 1,45444
41 ,11665 ,11638 ,06589 ,99320 ,99704 ,11718 ,06885 ,534° ,00684 ,5924 ,45415
42 ,11694 ,11667 ,06696 ,99317 ,99702 ,11747 ,06994 ,5126 ,00688 ,5711 ,45386
43 ,11723 ,11696 .06804 ,99314 ,99701 ,11777 ,07юз ,4913 ,00691 ,5500 ,45357
44 ,11752 ,11725 ,06911 ,99310 ,99699 ,11806 ,07211 ,4701 ,00695 ,5289 ,45328
45 0,11781 0,11754 9,07018 0,99307 9,99698 0,11836 9,07320 8,4490 1,00698 8,5079 1,45299
46 ,11810 ,11783 ,07124 ,99303 ,99696 ,11865 ,07428 ,4280 ,00701 ,4871 ,45270
47 ,11839 ,11812 ,07231 ,99300 ,99695 ,11895 ,07536 ,4071 ,00705 ,4663 ,45240
48 ,11868 ,11840 ,07337 ,99297 ,99693 ,11924 ,07643 ,3863 ,00708 ,4457 ,45211
49 ,11897 .11869 ,07442 ,99293 ,99692 ,11954 -07751 ,3656 ,00712 ,4251 ,45182
50 0,11926 0.11898 9,07548 0,99290 9,99690 0,11983 9.07858 8,3450 1,00715 8,4047 1,45153
51 ,11956 ,11927 ,07653 ,99286 ,99689 ,12013 ,07964 ,3245 ,00719 ,3843 ,45124
52 ,11985 ,11956 ,07758 ,99283 ,99687 ,12042 ,08071 ,3041 ,00722 ,3641 ,45095
53 ,12014 ,11985 ,07863 ,99279 ,99686 ,12072 ,08177 ,2838 ,00726 ,3439 ,45066
54 ,12043 ,12014 ,07968 ,99276 ,99684 ,12101 ,08283 ,2636 ,00730 ,3238 ,45037
55 0,12072 0,12043 9,08072 0,99272 9,99683 0,12131 9,08389 8,2434 1,00733 8,3039 1,45008
56 ,12101 ,12071 ,08176 ,99269 ,99681 ,12160 ,08495 ,2234 ,00737 ,2840 ,44979
57 ,12130 ,12100 ,08280 ,99265 ,99680 ,12190 ,08600 ,2035 ,00740 ,2642 ,44950
58 ,12159 ,12129 ,08383 ,99262 ,99678 ,12219 ,08705 ,1837 ,00744 ,2446 ,44921
59 ,12188 , ,12158 ,08486 ,99258 ,99677 ,12249 ,08810 ,1640 ,00747 ,2250 ,44891
p cos л: Ig cos x sin л- lg sin x ctg.v I Ig ctg x \ tg x j cosec x I sec л: p \x


48 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
sin x Igsinx cosjf |lgcosAr| tg x flgtg.v ctg-xr| sec* cosec x p
0,12217 o,i2i87 9,о8589 о,99255 9,99б75 0,12278 9,08914 8,1443 1,00751 8,2055 144862
.12246 ,12216 ,08692 ,99251 ,99674 ,12308 ,09019 ,1248 ,00755 .iffa 44833
,12275 12245 >°8795 ,99248 ,99672 ,12338 ,09123 Д054 -00758 ,1668 44804
,12305 ,12274 >°8897 ,99244 -99670 ,12367 ,09227 ,0860 ,00762 Д476 44775
,12334 ,12402 ,08999 ,99240 ,99669 Д2397 509330 ,0667 ,00765 ,1285 44746
о 12363 о I244I 9.09Ю1 0,99237 9,99667 0,12426 9,09434 8,o4/6 1,00769 8,1095 1,44717
,12392 Д2460 ,09202 ,99233 ,99666 Д245б ,09537 ,0285 ,00773 ,0905 44688
12421 ,12489 ,09304 ,99230 ,99664 ,12485 ,09640 ,0095 ,00776 ,0717 44659
^2450 12418 ,09405 ,99226 ,99663 ,12515 ,09742 7,99o6 ,00780 ,0529 ,44630
Д2479 ,12447 ,09506 ,99222 ,99661 ,12544 ,09845 ,97i8 ,00784 ,0342 44601
о I2so8 о 12476 9,09606 0,99219 9,99659 0,12574 9,09947 7,953° 1,00787 8,0156 I44571
',I2S47 12^04 ,09707 ,99215 ,99658 ,12603 ,10049 ,9344 ,00791 7,9971 .44542
12566 i2|33 ,09*07 .992H ,99656 ,12633 ,10150 ,9158 ,00795 ,9787 44513
I2S94 мЗЙ ,09907 ,99208 ,99655 ,12662 ,10252 ,8973 ,00799 ,9604 44484
Д2625 'моя ,10006 ,99204 ,99653 ,12692 ,10353 -8789 ,00802 ,9422 44455
о 12654012бао 9Д0106 0,99200 9,99651 од2722 9Д0454 7>86о6 1,оо8о6 7,9240 I44426
Д2б83 Д2б49 ,10205 ,99197 ,99650 Д2751 ,Ю555 ,8424 ,оо8ю ,9059 44397
I27I2 12678 ,ю304 ,99193 ,99648 ,12781 ,10656 ,8243 ,00813 ,8879 ,443б8
I274I 12706 Д04°2 ,99189 ,99647 Д28ю ,10756 ,8062 ,00817 ,8700 44339
[12770 ',12735 -^S01 .99186 ,99645 ,12840 ,10856 ,7882 ,00821 ,8522 ,443Ю
20'
to
11
12
13
14
15
16
17
18
21
22
23
24
25
26
27
28
29
SO
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,12799 0,12764 9,10599 0,99182 9,99643 0,12869 9^0956 7,7704 LooS 7,8344 i.4428i
12828 12794 ,10697 ,99178 ,99642 ,12899 ,11050 ,7525 ,00828 ,8168 .44251
,12857 Д2822 Д0795 ,99175 ,99640 Д2929 ДИ55 ,7348 ,00832 ,7992 ,44222
,12886 12851 ,10893 ,99171 ,99638 ,12958 ,11254 ,7171 ,00836 ,7817 44193
,12915 ,12880 ,10990 ,99167 ,99637 ,12988 ,11353 ,6996 ,00840 ,7642 44164
о 12945 о 12908 0,11087 0,99163 9>99б35 0,13017 9Д1452 7>682i 1,00844 7,7469 1 44135
'12974 12937 ,11184 ,99i6o ,99633 ,13047 ,11551 ,6647 ,00848 ,7296 ,44106
14004 12066 ,11281 ,99156 ,99632 ,13076 ,иб49 ,6473 ,00851 ,7124 ,44077
14042 '12995 ,11377 ,99152 ,99630 ,13^06 ,11747 ,6301 ,00855 ,6953 ,44048
' ,тущ Д1474 ,9948 ,99629 ,13136 ,11845 ,6129 ,oo859 ,6783 .44°i9
о 13090 0,13053 9,1157° ОДО44 9,9962? 0,13165 9,11943 7-5958 1,00863 7,6613 I.4399°
13119 13081 11666 ,99141 ,99625 Д3195 ,12040 ,5787 ,00867 ,6444 ,4396i
'13148 ,IQIIO ,11761 ,99137 ,99624 ,13224 ,12138 ,5618 ,00871 ,6276 ,43931
Д3177 Д3139 >II857 -99I33 ,99622 ,13254 ,12235 ,5449 ,00875 ,6109 ,43902
13206 13168 ,11952 ,99129 ,99620 ,13284 ,12332 ,5281 ,00878 ,5942 ,43873
0,13235 0,13197 9Д2047 0,99125 9,996i8 0,13313 9,12428 7,5113 1,00882 7,5776 1,43844
14265 ,14226 ,12142 ,99122 ,99617 Д3343 Д2525 ,4947 ,00886 ,5611 ,43815
'14294 14254 ,12236 ,99118 ,99615 ,13372 ,12621 ,4781 ,00890 ,5446 ,43786
'13323 ,14283 ,12331 ,99114 ,996i3 ,i34°a Д2717 ,4615 ,00894 ,5282 ,43757
Д3352 ,13312 Д2425 ,99110 ,99612 ,13432 ,12813 ,4451 ,00898 ,5H9 ,43738
OI448I OI444I 9Д2519 0,99106 9,99бЮ 0,13461 9,129097,4287 1,00902 7,4957 1,43699
'14410 14470 ,12612 ,99102 ,99608 ,13491 Д3004 ,4124 ,00906 ,4795 ,43670
' Д2?об ,99098 ,99607 Д3521 Д3099 ,3962 ,00910 ,4635 43O4I
Д4427 ,12799 ,99094 ,99605 Д3550 Д3194 ,3800 ,00914 ,4474 ,436i2
1497 13456 ,12892 ,99091 ,99боз Д358о ,13289 ,3639 ,00918 ,4315 43582
o'i4S26 о 1448=; 9,12985 0,99087 9,99601 0,13609 9,13384 7-3479 1,00922 7,4156 1,43553
°'^ -34 5 У ^g •> 99боо дзбз9 Д347з 33IQ >0092б ,3998 >43524
',13584 '.13543 Д3171 .99079 ,99598 ,13669 Д3573 ,3i6o ,00930 ,3840 ,43495
13614 Д3572 ,13263 ,99075 ,99596 ,13698 ,13667 ,3002 ,00934 ,3684 ,43466
',13643 дзооо ,13355 ,99071 ,99595 Д3728 ,13761 ,2844 ,00938 ,3527 ,43437
о 14672 0,13629 9Д3447 0,99067 9,99593 0,13758 9ДЗ»54 7,2б87 1,00942 7-3372 1 43408
Д3701 13658 ,13539 .99063 ,99591 ,137»7 Д3948 ,2531 ,00946 ,3217 ,43379
14730 13687 ДЗбЗО ,99059 ,99589 Д3817 Д4041 ,2375 ,00950 ,3063 ,43350
'i3759 Д3716 Д3722 ,99055 ,99588 ,13846 Д4134 ,2220 ,00954 ,2909 43321
Д3788 Д3744 Д3813 .99051 ,99586 ,13876 ,14227 ,2066 ,00958 ,2757 43292
о 14817 о,14773 9Д39°4 0.99047 9,99584 0,13906 9Д4320 7Д9Г2 1,00962 7,2604 143262
Д4846 13802 ,13994 -99О43 ,99582 ,13935 «Ж^ Д759 ,оо966 ,2453 43233
I487S Д4841 ,14085 ,99039 .99581 Д3965 Д4504 Д°°7 .°°97о ,2302 ,43204
Л3904 Д386о ,i4i75 -99035 ,99579 ,13995 Д4597 Д455 ,оо975 ,2152 43т75
13934 Д3889 Д4266 ,99031 ,99577 Д4°24 Д4688 ,1304 ,оо979 ,2002 43I46
1
P
1 COS X
lg COS JC|
sin*
| Igsin*
ctg*
|lg Ctg X
tgx
\ cosec *
sec*
P \x
82е


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 49
8е
X
р | sin x
lg sinx\ cos x jig cosx
tgx
lg tgx
ctgx
sec*
cosec x
P
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,13963 0,13917 9Д4356 0,99027 9,99575 0,14054 9,14780 7,1154 1,00983 7,1853 1,43117
,13992 Д3946 Д4445 .99P23 ,99574 ,14084 .14872 ,1004 ,00987 ,1705 ,43088
,14021 Д3975 Д4535 .99019 ,99572 ,14113 Д4963 ,0855 ,00991 ,1557 ,43059
,14050 ,14004 .14624 ,99015 ,9957° Д4143 Д5°54 .0706 ,00995 .-I410 .43°3°
,14079 ,14033 ,14714 ,99011 ,99568 ,14173 ,15145 ,0558 ,00999 .1263 ,43001
0,14108 0,14061 9,14803 0,99006 9,99566 0,14202 9,15236 7^0410 1,01004 7,1117 1,42972
,14137 ,14090 ,14891 ,99002 ,99565 ,14232 ,15327 .0264 ,01008 ,0972 ,42942
Д4166 ,I4H9 ,14980 ,98998 »995бЗ Д4262 ,15417 ,0117 .01012 ,0827 .42913
,14195 Д4148 Д5069 >98994 ,995б1 Д4291 .ISS08 6,9972 .01016 ,0683 ,42884
,14224 ,14177 ДЗЧ? ,9899° ,99559 Д4321 Д5598 ,9827 ,01020 ,0539 ,42855
10 0,14253 0,14205 9,15245 0,98986 9,99557 0,14351 9,15688 6,9682 1,01024 7,0396 1,42826
11 ,14283 ,14234 ,15333 ,98982 ,99556 ,14381 ,15777 ,9538 ,01029 ,0254 ,42797
12 ,14312 ,14263 ,15421 ,98978 i99554 Д44Ю ,15867 ,9395 ,01033 .0112 ,42768
13 ,14341 ,14292 Д5508 ,98973 ,99552 Д4440 Д5956 ,9252 ,01037 6,9971 ,42739
14 ,14370 ,14320 ,15596 ,98969 ,99550 ,14470 ,16046 ,9110 ,01041 ,9830 ,42710
15 0,14399 0,14349 9^5683 0,98965 9,99548 0,14499 9,16135 6,8969 1,01046 6,9690 1,42681
16 ,14428 Д4378 ,1577° .98961 ,99546 ,I4529 ,16224 ,8828 ,01050 ,9550 ,42652
17 ,14457 ,14407 ,15857 ,98957 ,99545 .14559 ,16312 ,8687 ,01054 ,9411 ,42622
18 ,14486 Д4436 Д5944 ,98953 ,99543 Д4588 ,16401 ,8548 ,01059 ,9273 ,42593
19 ,14515 Д4464 ,16030 ,98948 ,99541 ,14618 ,16489 ,8408 ,01063 ,9135 .42564
20 ОД4544 0,14493 9,16116 0,98944 9,99539 0,14648 9,16577 6,8269 1,01067 6,8998 1,42535
21 Д4573 Д4522 ,16203 ,98940 ,99537 ,14678 ,16665 ,8131 ,01071 ,8861 ,42506
22 ,14603 ,14551 ,16289 ,98936 ,99535 Д4707 ,i6753 ,7994 ,01076 ,8725 ,42477
23 ,14632 ,14580 ,16374 ,98931 ,99533 Д4737 .16841 ,7856 ,01080 ,8589 ,42448
24 ,14661 ,14608 ,16460 ,98927 ,99532 ,14767 ,16928 ,7720 ,01084 ,8454 ,42419
25 0,14690 0,14637 9.16545 0,98923 9,99530 0,14796 9,17016 6,7584 1,01089 6,8320 1,42390
26 Д47*9 Д4666 ,16631 ,98919 ,99528 ,14826 ,17103 ,7448 ,01093 ,8186 ,42361
27 ,14748 ,14695 ,16716 ,98914 ,99526 ,14856 ,1719° ,7313 ,01097 ,8052 ,42332
28 ,14777 ,14723 ,16801 ,98910 ,99524 ,14886 ,17277 ,7179 ,01102 ,7919 ,42303
29 ,14806 ,14752 ,16886 ,98906 ,99522 ,14915 ,17363 ,7045 ,01106 ,7787 .42273
30 0,14835 0,14781 9,16970 0,98902 9,99520 0,14945 9»I745° 6,6912 i.oiin 6,7655 1,42244
31 ,14864 ,14810 ,17055 ,98897 ,99518 ,14975 ,17536 ,6779 ,01115 ,7523 142215
32 ,14893 ,14838 Д7139 ,98893 ,99517 ,15005 ,17622 ,6646 ,01119 ,7392 ,42186
33 ,14923 ,14867 ,17223 ,98889 ,99515 ,15034 Д77°8 ,6514 ,01124 ,7262 ,42157
34 ,14952 ,14896 ,17307 ,98884 ,99513 ,15064 Д7794 ,6383 ,01128 ,7132 ,42128
35 0,14981 0,14925 9,17391 0,98880 9,99511 0,15094 9,17880 6,6252 1,01133 6,7003 1,42099
36 ,15010 ,14954 Д7474 ,98876 ,99509 ,15124 ,17965 ,6122 ,01137 ,6874 ,42070
37 ,15039 ,14982 ,17558 ,98871 ,99507 ,15153 ,18051 ,5992 ,01142 ,6745 ,42041
38 ,15068 ,15011 ,17641 ,98867 ,99505 ,15183 ,18136 ,5863 ,01146 ,6618 ,42012
39 ,15097 .15040 '117724 ,98863 ,99503 ,15213 ,18221 ,5734 ,01151 ,6490 ,41983
40 0,15126 0,15069 9,17807 0,98858 9,99501 0,15243 9,18306 6,5606 1,01155 6,6363 1,41953
41 Д5!55 Д5097 Д7890 ,98854 ,99499 Д5272 ,18391 ,54?8 ,01160 ,6237 ,41924
42 ,15184 ,15126 ,17973 ,98849 ,99497 ,15302 ,18475 ,535° ,01164 ,6111 ,41895
43 ,15213 ,15155 ,18055 ,98845 ,99495 Д5332 ,18560 ,5223 ,01169 ,5986 ,41866
44 ,15243 ,15184 ,18137 ,98841 ,99494 ,15362 ,18644 ,5097 ,01173 ,5861 ,41837
45 0,15272 0,15212 9,18220 0,98836 9,99492 0,15391 9,187286,4971 1,01178 6,5736 1,41808
46 ,15301 ,15241 ,18302 ,98832 ,99490 ,15421 ,18812 ,4846 ,01182 ,5612 ,41779
47 ,15330 ,15270 ,18383 ,98827 ,99488 ,15451 ,18896 ,4721 ,01187 ,5489 ,41750
48 Д5359 Д5299 ,18465 ,98823 ,99486 ,15481 ,18979 ,4596 ,01191 ,5366 ,41721
49 ,15388 ,15327 ,18547 ,98818 ,99484 ,15511 ,19063 ,4472 ,01196 ,5243 ,41692
50
ОД5417 ОД5356 9Д8628 0;Q88l4 9,99482 ОД5540 9Д9146 6,4348 1,01200 6,5121 1,41663
,15446 ,15385 ,18709 ,98809 ,99480 ,15570 ,19229 ,4225 ,01205 ,4999 ,41634
Д5475 Д5414 ,18790 ,98805 ,99478 ,15600 ,19312 ,4103 ,01209 ,4878 ,41604
Д5504 Д5442 ,18871 ,98800 ,99476 ,15630 ,19395 ,3980 ,01214 ,4757 ,41575
Д5533 Д5471 ,18952 ,98796 ,99474 ,15660 ,19478 ,3859 ,01219 ,4637 ,41546
0,15563 0,15500 9,19033 0,98791 9,99472 0,15689 9Д9561 6,3737 1,01223 6,4517 1,41517
,15592 ,15529 ,19113 ,98787 ,99470 ,15719 .19643 ,3617 ,01228 4398 ,41488
,15621 ,15557 ,19193 ,98782 ,99468 ,15749 ,19725 ,3496 ,01233 ,4279 ,41459
,15650 ,15586 ,19273 ,98778 ,99466 ,15779 ,19807 ,3376 ,01237 ,4160 ,41430
,15679 ,15615 ,19353 ,98773 ,99464 ,15809 ,19889 ,3257 ,01242 ,4042 ,41401
cos л: Igcosjcj sin* | lg sin x ctgx Igctgjc tgx cosec A: sec л:
TOM 1 кн. I


50 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
9е
I__p. sin* jig sin л: | cos л Ig cosx| tg* Ig tg x\ ctg* sec л: cosec x p j
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,15708 0,15643 9,19433 0,98769 9,99462 0,15838 9,19971 6,3138 1,01247 6,3925 141372
.15737 .15672 Д9513 ,98764 ,9946o ,15868 ,20053 .3012 ,01251 ,3807 41343
,15766 ,15791 ,19592 ,98760 ,99458 ,15898 ,20134 12901 ,01256 ,3691 ,41313
Д5795 Д5730 Д9672 ,98755 .99456 ,15928 ,20216 ,2783 ,01261 ,3574 ,41284
,15824 ,15758 ,19751 ,98751 ,99454 ,15958 ,20297 ,2666 ,01265 ,3458 ,41255
0Д5853 0,15787 9,19830 0,98746 9i99452 0,15988 9,20378 6,2549 1,01270 6,3343 1,41226
,15882 ,15816 ,19909 ,98741 ,99450 ,16017 ,20459 ,2432 ,01275 ,3228 ,41197
,15912 ,15845 ,19988 ,98737 ,99448 ,16047 ,20540 ,2316 ,01279 ,3113 41168
,15941 ,15873 ,20067 ,98732 ,99446 ,16077 ,20621 ,2200 ,01284 ,2999 ,41139
,15970 ,15902 ,20145 ,98728 ,99444 ,16107 ,20701 ,2085 ,01289 ,2885
o,i5999 0,15931 9,20223 0,98723 9,99442 0,16137 9,20782 6,1970 1,01294 6,2772 1,41081
,16028 ,15959 ,20302 ,98718 ,99440 ,16167 ,20862 ,1856 ,01298 ,2659 ,41052
,16057 ,15988 ,20380 ,98714 ,9943s ,16196 ,20942 ,1742 ,01303 ,2546 ,41023
,16086 ,16017 ,20458 ,98709 ,99436 ,16226 ,21022 ,1628 ,01308 ,2434 40994
,16115 ,16046 ,20535 ,98704 ,99434 ,16256 ,21102 ,1515 ,01313 ,2323 ,40964
0,l6l44 0,16074 9,206l3 0,98700 9,99432 0,l6286 9,2Il82 6,1402 1,01318 6,2211 1,40935
,l6l73 ДбЮЗ ,20691 ,98695 ,99429 ,16316 ,2I26l ,1290 ,01322 ,2100 ,40906
,16202 ,16132 ,20768 ,98690 ,99427 ,16346 ,21341 ,1178 ,01327 ,1990 40877
,16232 ,16160 ,20845 ,98686 ,99425 ,16376 ,21420 ,1066 ,01332 ,1880 40848
,16261 ,16189 ,20922 ,98681 ,99423 ,16405 ,21499 ,0955 ,01337 д??0 40819
0,16290 0,16218 9,20999 0,98676 9,99421 0,16435 9.21578 6,0844 1,01342 6,1661 140790
,16319 ,16246 ,21076 ,98671 ,99419 ,16465 ,21657 ,0734 ,01346 ,1552 40761
,16348 ,16275 ,21153 ,98667 ,99417 ,16495 ,21736 ,0624 ,01351 ,1443 40732
,16377 .16304 ,21229 ,98662 ,99415 ,16525 ,21814 ,0514 ,01356 ,1335 40703
,16406 ,16333 ,21306 ,98657 ,99413 ,16555 ,21893 ,0405 ,01361 ,1227 40674
0,16435 0,l636l 9,21382 0,98652 9,99411 0,16585 9,21971 6,0296 1,01366 6,1120 1,40644
,16464 ,16390 ,21458 ,98648 ,99409 ,16615 ,22049 ,0188 ,01371 ,1013 ,40615
,16493 ,16419 ,21534 ,58643 ,994°7 ,16645 ,22127 ,0080 ,01376 ,0906 40586
,16522 ,16447 ,21610 ,98638 ,99404 ,16674 ,22205 5,9972 .01381 ,0800 40557
,16552 ,16476 ,21685 ,98633 ,99402 ,16704 ,22283 ,9865 ,01386 ,0694 40528
0,16581 0,16505 9,21761 0,98629 9,99400 0,16734 9,22361 5,9758 1,01391 6,0589 1,40499
,16610 ,16533 ,21836 ,98624 ,99398 .16764 ,22438 ,9651 ,01395 ,0483 4047°
,16639 ,16562 ,21912 ,98619 ,99396 ,16794 ,22516 ,9545 ,01400 ,0379 40441
,16668 ,16591 ,21987 ,98614 ,99394 ,16824 ,22593 ,9439 ,01405 ,0274 40412
,16697 ,16620 ,22062 ,98609 ,99392 ,16854 ,22670 ,9333 ,01410 ,0170 40383
0,16726 0,16648 9,22137 0,98604 9,99390 0,16884 9,22747 5,9228 1,01415 6,0067 140354
,16755 ,16677 ,22211 ,98600 ,99388 ,16914 ,22824 ,9124 -,01420 S9963 ,40324
,16784 ,16706 ,22286 ,98595 ,99385 ,16944 ,22901 ,9019 ,01425 ,9860 ,40295
,16813 ,16734 22361 ,98590 ,99383 ,16974 ,22977 ,8915 ,01430 ,9758 ,40266
,16842 ,16763 ,22435 ,98585 ,99381 ,17004 ,23054 ,8811 ,01435 -9656 ,40237
0,16872 0,16792 9,22509 0,98580 9,99379 0,17033 9,23130 5,8708 1,01440 5,9554 1,40208
,16901 ,16820 ,22583 ,98575 ,99377 ,17063 .23206 ,8605 ,01445 ,9452 ,40179
,16930 ,16849 ,22657 ,98570 .99375 ,17093 -23283 .8502 ,01450 ,9351 40150
,16959 ,16878 ,22731 ,98565 ,99372 ,17123 ,23359 ,8400 ,01455 -9250 ,40121
,16988 ,16906 ,22805 ,98561 ,99370 ,17153 ,23435 ,8298 ,01461 ,9150 ,40092
0,17017 0,16935 9,22878 0,98556 9,99368 0,17183 9,23510 5,8197 1,01466 5,9049 1,40063
,17046 ,16964 ,22952 ,98551 ,99366 ,17213 ,23586 ,8095 ,01471 .8950 40034
,*7°75 ,16992 ,23025 ,98546 ,99364 ,17243 ,23661 ,7994 ,01476 ,8850 40004
,17104 ,17021 ,23098 ,98541 ,99362 ,17273 ,23737 .7894 ,01481 ,8751 .39975
Д7133 . 17°5° ,23171 ,98536 ,99359 Д73°3 ,23812 ,7794 ,01486 ,8652 ,39946
0,17162 0,17078 9,23244 0,98531 9,99357 0,17333 9.23887 5,7694 1,01491 5,8554 1,3991?
,17191 ,17107 ,23317 ,98526 ,99355 ,17363 ,23962 ,7594 ,01496 ,8456 ,39888
,17221 ,17136 ,23390 ,98521 ,99353 Д7393 ,24037 ,7495 ,OI501 .8358 ,39859
,17250 ,17164 ,23462 ,98516 ,993s1 ,17423 ,24112 ,7396 ,01506 ,8261 ,39830
,17279 ,17193 ,23535 ,98511 ,99348 ,17453 ,24186 ,7297 ,01512 ,8164 ,39801
0,17308 0,17222 9,23607 0,98506 9,99346 0,17483 9,24261 5,7199 1,01517 5,8067 1,39772
.17337 Д7250 ,23679 -98501 ,99344 ,I75I3 ,24335 ,7*01 ,01522 ,7970 ,39743
,17366 ,17279 ,23752 ,98496 ,99342 ,17543 ,24410 ,7004 ,01527 ,7874 ,39714
Д7395 »I73°8 ,23823 ,98491 ,9934° Д7573 ,24484 ,6906 ,01532 ,7778 ,39685
,17424 ,17336 ,23895 ,98486 ,99337 ,17603 ,24558 ,6809 ,01537 ,7683 ,39655
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 p
COS X
Ig COS X
sin x
Ig sin*
Ctg*
lgctg*| tg*
cosec * i sec * j P I x
so


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 51
10е
*
'
sin x
igsin*
COSA'
Ig COS X
tg*
Igtgx
ctg* j sec* [cosecjc
f
ю
п
12
13
14
15
16
17
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
ОД7453 0,17365 9-23967 0,98481 9.99335 0,17633 9,24632 5'67*3 i.oi543 5,7588 1,39626
,17482 Д7393 ,24039 ,98476 ,99333 ,17663 ,24706 ,6617 ,01548 ,7493 ,39597
,17511 Д7422 ,24110 ,98471 ,99331 ,17693 ,24779 -6521 ,01553 ,7398 ,39568
,17541 Д7451 ,24181 ,98466 ,99328 ,17723 ,24853 ,6425 ,01558 ,7304 ,39539
Д757° Д7479 ,24253 ,98461 ,99326 Д7753 ,24926 ,6329 ,01564 ,7210 ,39510
ОД7599 0,17508 9,24324 0,98455 9-99324 0,17783 9,25000 5,6234 1,01569 5,71Г7 *,3948i
,17628 Д7537 ,24395 ,9845° ,99322 ,17813 ,25073 ,6140 ,01574 ,7023 «39452
,17657 Д7565 ,24466 ,98445 ,99319 Д7843 ,25146 ,6045 ,01579 ,6930 ,39423
,17686 ,17594 -24536 ,9844° ,99317 Д7873 ,25219 ,595! ,QI585 ,6838 ,39394
,17715 ДТбаз ,24607 ,98435 '99315 Д79°3 .25292 ,5857 ,0159° ,6745 ,39365
0,17744 0,17651 9-24677 0,98430 9'993i3 0,17933 9,25365 5.57б4 1,01595 5,6653 1,39335
.17773 ,17680 ,24748 ,98425 ,9931° Д79бз ,25437 .5671 ,01601 ,6562 ,39306
,17802 ,17708 ,24818 ,98420 ,993°8 ,17993 ,25510 ,5578 ,oi6o6 ,647° >39277
,17831 ,17737 ,24888 ,98414 ,993о6 ,18023 ,25582 ,5485 ,oi6n ,6379 ,39248
,17861 ,17766 ,24958 ,98409 ,99304 ,18053 ,25655 ,5393 ,01616 ,6288 ,39219
0,17890 0,17794 9-25028 0,98404 9'99301 0,18083 9>25727 5-5301 1,01622 5,6198 i»39I9°
,17919 ,17823 ,25098 ,98399 ,99299 ,18113 ,25799 ,5209 ,01627 ,6107 ,39I6i
,17948 ,17852 ,25168 ,98394 ,99297 ,18143 ,25871 ,5118 ,01633 ,6017 ,39132
•Д7937 9,25376 0,98378 9-99290 0,18233 9>2бо86 5,4845 1.01649 5-5749 J.39045
„~—f ,17966 ,25445 ,98373 ,99288 ,18263 ,26158 ,4755 ,01654 ,5660 ,39015
,18093 .17995 ,255!4 ,98368 ,99285 ,18293 ,26229 ,4665 ,01659 ,5572 ,38986
Д8122 ,18023 ,25583 ,98362 ,99283 ,18323 ,26301 ,4575 ,01665 .5484 .38957
о § ll8,°22 l25652 l98357 -99281 ,18353 .26372 ,4486 ,01670 ,5396 ,38928
о, 18181 o,i8o8i 9-25721 0,98352 9,99278 0,18384 9,26443 5,4397 1,01676 5,5308 1,38899
,18210 ,18109 ,25790 ,98347 ,99276 ,18414 ,26514 ,4308 ,01681 ,5^21 ,38870
Д?1? >l8,13:? '25в58 '98341 '99274 Д8444 -26585 ,4219 ,oi687 ,5134 .38841
,18268 ,18166 ,25927 ,98336 ,99271 ,18474 -26655 ,4i3i ,01692 ,5047 ,38812
,18297 ,18195 -25995 -98331 ,99269 ,18504 ,26726 ,4043 ,01698 ,4960 ,38783
0,18326 0,18224 9,26063 0,98325 9,99267 0,18534 9,26797 5-3955 1,01703 5,4874 1-38754
,18252 ,26131 ,98320 ,99264 ,18564 ,26867 ,3868 ,01709 ,4788 ,38725
,18384 ,18281 ,26199 ,98315 ,99262 ,18594 ,26937 ,3781 ,01714 -4702 ,38695
Д8413 ,18309 ,26267 ,98310 ,99260 ,18624 ,27008 ,3694 ,01720 ,4617 ,38666
,18442 ,18338 ,26335 ,98304 ,99257 ,18654 ,27078 ,3607 ,01725 ,4532 ,38637
0,18471 0,18367 9,26403 0,98299 9,99255 0,18684 9,27148 5,352i 1,01731 S.4447 1,48608
д85оо д8395 ,26470 ,98294 ,99252 ,18714 ,27218 ,3435 ,01736 ,4362 ,38579
,18530 д8424 ,26538 ,98288 ,99250 ,18745 .27288 !зз49 ^1742 дев ~
'18?! 'illS o±i '±83 '48 ДЙ75 '27357 '3263 '°1747 '4194
,18588 ,18481 ,26672 ,98277 ,99245 ,18805 ,27427 ,3178 ,01753 ,4110 ,38492
0,18617 0,18509 9,26739 0,98272 9,99243 0,18835 9,27496 5,3093 1,01758 5,4026 1,38463
,18646 ,18538 ,26806 ,98267 ,99241 ,18865 ,27566 ,3008 ,01764 ,3943 ,38434
,18675 ,18567 ,26873 ,98261 ,99238 ,18895 ,27635 ,2924 ,01769 ,з8бБ 138405
,18704 ,18595 ,26940 ,98256 ,99236 ,18925 ,27704 ,2839 ,01775 ,3777 ,38376
« « '27°°7 '9?50 '33 'I8955 '27773 ,2755 ,01781 ,3695 ,38346
0,18762 0,18652 9,27073 0,98245 9,99231 0,18986 9,278425,26721,01786 5,3612 1,38317
Д681 >27I4° >9824° '°9229 >T9oi6 ,27911 ,2588 ,01792 ,з«о ,38288
Д8820 Д87Ю ,27206 ,98234 ,99226 Д9046 ,27980 ,2505 ,01708 ,Я449 ,Ч82ТО
д885о д87з8 ,27273 ,98229 ,99224 ,19076 ,28049 ,2422 ,01803 ,3367 ,ч82?о
,18879 ,18767 ,27339 ,98223 ,99221 ,19106 ,28117 ,2339 ,01809 ,3286 ,38201
0,18908 0,18795 9.27405 0,98218 9-992I9 0,19136 9,28186 5,2257 1,01815 5,3205 1,38172
д8937 Д8824 ,27471 ,98212 ,99217 ,19166 ,28254 ,2174 ,01820 ,3124 ,38143
Д8>966 ,18852 ,27537 ,98207 ,99214 ,19197 ,28323 ,2092 ,01826 ,3044 ,38114
Д°995 Д8881 ,27602 ,98201 ,99212 ,19227 ,28391 ,2ои ,01832 ,2963 38085
доо24 ,18910 ,27668 ,98196 ,99209 ,19257 ,28459 Д929 ,01837 ,2883 ,38056
0,19053 0,18938 9-27734 0,98190 9.99207 0,19287 9.28527 5,1848 1.01843 =5,2804 1,48026
,19082 ,18967 ,27799 ,98185 ,99204 Д9317 -28595 Д76? ,01849 ,2724 ,37997
,19111 ,18995 -27864 ,98179 ,99202 ,19347 ,28662 ,1686 ,01854 ,264S ,Я79б8
,19140 ,19024 ,27930 ,98174 ,99200 ,19378 ,28730 дбоб ,oi86o ^ ,2566 ,379Я9
,19170,19052 ,27995 ,98168 ,9919? ,194о8 ,28798 ,1526 ,01866 v' ,2487 ,37910
\ ? | cos* lgcosjr| sinx Jig sin* | ctg* lgctg*[ tg;c j cosec *
__


,52 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
И
I р, j sin-г |lgsinofj cosjf IgcosArj igx | Igtgje ctgx I sec* cosecxj p
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,19199 0,19081 9,28060 0,98163 9,99195 0,19438 9,28865 5,1446 1,01872 5,2408 1,37881
,19228 ,19169 ,28125 ,98i57 ,99I92 Д9468 ,28933 ДЗбб ,01877 ,2330 ,37852
,19257 ,19138 ,28190 ,98152 ,99190 ,19498 ,29000 ,1286 ,01883 ,2252 ,3782,
,19286 ,19167 ,28254 ,98146 ,99187 ,19529 ,29067 ,1207 ,01889 ,2174 ,3779'
Д9315 Д9195 ,28319 ,98140 ,99185 ,19559 ,29134 ,1128 ,01895 ,2°97 '37765
0,19344 0,19224 9,28384 0,98135 9,99182 0,19589 9,29201 5,1049 1,01901 5,2019 1,37736
,19373 ,19252 ,28448 ,98129 ,99180 ,19619 ,29268 ,0970 ,01906 ,1942 ,37706
,19402 ,19281 ,28512 ,98124 ,99177 ,19649 ,29335 ,0892 ,01912 ,1865 ,37677
,19431 ,19309 ,28577 ,98118 ,99175 ,19680 ,29402 ,0814 ,01918 ,1789 ,37648
,19460 ,19338 ,28641 ,98112 ,99172 ,19710 ,29468 ,0736 ,01924 ,1712 ,37619
0,19490 0,19366 9,28705 0,98107 9,99170 0,19740 9,29535 5,0658 1,01930 5,1636 1,37590
,19519 ,19395 ,28769 ,98101 ,99167 ,19770 ,29601 ,0581 ,01936 ,1560. ,37561
,19548 ,19423 ,28833 ,98096 ,99165 ,19801 ,29668 ,0504 ,01941 ,1484 , ,37532
Д9577 Д9452 ,28896 ,98090 ,99162 ,19831 ,29734 ,0427 ,01947 Д409 >375°:
,19606 ,19481 ,38960 ,98084 ,99160 ,19861 ,29800 ,0350 ,01953 ,1333 ,37474
0,19635 0,19509 9,29024 0,98079 9,99157 0,19891 9,29866 5-0273 i,oi959 5'1258 J,37445
,19664 Д9538 ,29087 ,98073 ,99155 Д9921 ,29932 ,0197 ,01965 -1183 ,374i6
,19693 ,19566 ,29150 ,98067 ,99152 ,19952 ,29998 ,0121 ,01971 ,1109 ,37387
,19722 ,19595 ,29214 ,98061 ,99150 ,19982 ,30064 ,,0045 ,01977 ,J034 ,37357
,19751 ,19623 ,29277 ,98056 ,99147 ,20012 ,30130 4,9969 ,01983 ,0960 ,37328
0,19780 0,19652 9,29340 0,98050 9,99145 0,20042 9,30195 4,9894 1,01989 5,0886 1,37299
,19809 ,19680 ,29403 ,98044 199142 ,20073 ,30261 ,9819 ,01995 ,0813 ,37270
Д9839 Д97°9 ,29466 ,98039 ,99140 ,2оюз ,30326 ,9744 ,02001 ,0739 ,37241
,19868 ,19737 ,29529 ,98033 ,99137 ,20133 ,30391 ,9669 ,02007 '°666 ,37212
,19897 ,19766 ,29591 ,98027 ,99135 ,20164 ,30457 ,9594 ,02013 '°593 ,37183
0,19926 0,19794 9,29654 0,98021 9,99132 0,20194 9,30522 4,9520 1,02019 5'°52Q 1,37154
,19955 ,19823 ,29716 ,98016 ,99130 ,20224 ,30587 ,9446 ,02025 -°447 ,37I25
,19984 ,19851 ,29779 ,98010 ,99127 ,20254 ,30652 ,9372 ,02031 ,0375 ,37096
,20013 ,19880 ,29841 ,98004 ,99124 ,20285 ,30717 ,9298 ,02037 ,0302 ,37067
,20042 ,19908 ,29903 ,97998 ,99122 ,20315 ,30782 ,9225 ,02043 -023° ,37°37
0,20071 0,19937 9,29966 0,97992 9,99119 0,20345 9,30846 4,9152 1,02049 5,0159 1,37008
,20100 ,19965 ,30028 ,97987 ,99117 ,20376 ,30911 ,9078 ,02055 ,0087 ,36979
,20129 Д9994 ,3009° ,9798i ,99114 ,20406 ,30975 ,9006 ,02061 ,0016 ,36950
,20159 ,20022 ,30151 ,97975 ,99112 ,20436 ,31040 ,8933 ,02067 4-9944 ,36921
,20188 ,20051 ,30213 ,97969 ,99109 ,20466 ,31104 ,8860 ,02073 '9873 ,36892
0,20217 0,20079 9,30275 0,97963 9,99106 0,20497 9,31168 4,8788 1,02079 4,9803 1,36863
,20246 ,20108 ,30336 ,97958 ,99104 ,20527 ,31233 ,8716 ,02085 ,9732 ,36834
,20275 ,20136 ,30398 ,97952 ,99101 ,20557 ,31297 ,8644 ,02091 ,9662 ,36805
,20304 ,20165 ,30459 ,97946 ,99099 ,20588 ,31361 ,8573 ,02097 ,959i ,36776
,20333 ,20193 ,30521 ,9794° ,99096 ,20618 ,31425 ,8501 ,02104 ,9521 ,36747
0,20362 0,20222 9,30582 0,97934 9-99°93 0,20648 9,31489 4>843° 1,02110 4,9452 1,36717
,20391 ,20250 ,30643 ,97928 ,99091 ,20679 ,31552 ,8359 ,02116 ,9382 ,36688
,20420 ,29279 ,30704 ,97922 ,99088 ,20709 ,31616 ,8288 ,02122 ,9313 ,36659
,20449 ,20307 ,30765 ,97916 ,99086 ,20739 ,31679 ,8218 ,02128 ,9244 ,36630
,20479 ,20336 ,30826 ,97910 ,99083 ,20770 ,31743 ,8147 ,02134 ,9T75 ,36601
0,20508 0,20364 9,30887 0,97905 9,99080 0,20800 9,31806 4,8077 1,02140 4,9106 1,36572
,20537 ,20393 ,30947 ,97899 ,99078 ,20830 ,31870 ,8007 ,02146 ,9037 ,36543
,29566 ,29421 ,31008 ,97893 ,99075 ,20861 ,31933 ,7937 ,02153 -8969 ,36514
,20595 -20450 ,31068 ,97887 ,99072 ,20891 ,31996 ,7867 ,02159 ,8901 ,36485
,20624 ,20478 ,31129 ,97881 ,99070 ,20921 ,32059 ,7798 ,02165 '8833 -36456
0,20653 0,20507 9,31189 0,97875 9,99067 0,20952 9,32122 4,7729 1,02171 4,8765 1,36427
,20682 ,20535 ,31250 ,97869 ,99064 ,20982 ,32185 ,7659 ,02178 ,8697 ,36397
,20711 ,20563 ,31310 ,97863 ,99062 ,21013 ,32248 ,7591 ,02184 -8630 ,36368
,20740 ,20592 ,31370 ,97857 ,99059 ,21043 ,32311 ,7522 ,02190 ,8563 ,36339
,20769 ,20620 ,31430 ,97851 ,99056 ,21073 ,32373 ,7453 ,02196 ,8496 ,36310
0,20799 0,20649 9,3I49° 0,97845 9,99054 0,21104 9,32436 4,7385 1,02203 4,8429 1,36281
,20828 ,20677 ,31549 ,97839 ,99051 ,21134 ,32498 ,7317 ,02209 ,8362 ,36252
,20857 ,20706 ,31609 ,97833 ,99048 ,21164 ,32561 ,7249 ,02215 ,8296 | ,36223
,20886 ,20734 ,31:669 ,97827 ,99046 ,21195 ,32623 ,7181 ,02221 ,8229 ,36194
,20915 ,20763 ,31728 ,97821 ,99043 ,21225 '32б85 ,7114 ,02228 ,8163 ,36165
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
4b
39
38
37
36
35
34
аз
32
ii
зо
28
47
23
22
21
K>
1 p
COS*
llg
COS*
sin*
| Ig sin *
ctg *
(Igctg*
tg*
Icosec * |
sec x
P ] x
78°


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 53
12е
х\ р | sin*
lg sin x
cos x
lgcos*| tg* | Igtgj;
ctg*
sec x
cosec л; | p 1
0,20944 0,20791 9,31788 0,97815 9,99040 0,21256 9,32747 4»704б 1.02234 4,8097 1,36136
,20973 ,20820 ,31847 ,97809 ,99038 ,21286 ,32810 ,6979 ,02240 ,8032 ,36107
,21002 ,20848 ,31907 ,97803 ,99035 ,21316 ,32872 ,6912 ,02247 .7966 ,36078
,21031 ,20877 ,31966 ,97797 .99032 ,21347 .32933 .6845 .02253 ,7901
4 ,21060 ,20905 ,32025 ,97791 ,99030 ,21377 .32995 »6779 ,02259 ,7836 ,36019
5 0,21089 0,20933 9.32084 0,97784 9,99027 0,21408 9,33057 4,6712 1,02266 4,7771 1,35990
6 ,21118 ,20962 ,32143 ,97778 ,99024 ,21438 ,33119 ,6646 ,02272 ,7706 ,35961
7 ,21148 ,20990 ,32202 ,97772 ,99022 ,21469 ,33180 ,6580 ,02279 .7641 ,35932
8 ,21177 ,21019 ,32261 ,97766 ,99°I9 ,21499 '33242 ,6514 ,02285 ,7577 .359°3
9 ,21206 ,21047 ,323*9 ,97760 ,99016 ,21529 ,33303 ,6448 ,02291 ,7512 ,35874
10 0,21235 0,21076 9,32378 0,97754 9.99013 0,21560 9,33365 4,6382 1,02298 4,7448 1,35845
11 ,21264 ,21104 ,32437 ,97748 ,99°n ,21590 ,33426 ,6317 ,02304 ,7384 ,35816
12 ,21293 .21132 ,32495 ,97742 ,99008 ,21621 ,33487 ,6252 ,02311 ,7321 ,35787
13 ,21322 ,21161 ,32553 ,97735 ,99005 ,21651 ,33548 ,6187 ,02317 ,7257 ,35758
14 ,21351 ,21189 ,32612 ,97729 ,99002 ,21682 ,33609 ,6122 ,02323 ,7194 ,35728
15 0,21380 0,21218 9,32670 0,97723 9,99000 0,21712 9,33670 4,6057 1,02330 4,7130 1,35699
16 ,21409 ,21246 ,32728 ,97717 »98997 .21743 .33731 .5993 .02336 ,7067 ,35670
17 ,21438 ,21275 ,32786 ,977H ,98994 ,21773 ,33792 ,5928 ,02343 ,7°°4 ,35641
18 ,21468 ,21303 ,32844 ,97705 »9899i ,21804 ,33853 ,5864 ,02349 ,6942 ,35612
19 ,21497 ,21331 ,32902 ,97698 ,98989 ,21834 ,33913 ,5800 ,02356 ,6879 ,35583
20 0,21526 0,21360 9,32960 0,97692 9,98986 0,21864 9'33974 4,5736 1,02362 4,6817 1,35554
21 ,21555 -21388 ,33018 ,97686 ,98983 ,21895 ,34034 ,5673 ,02369 ,6755 ,35525
22 ,21584 ,21417 ,33075 ,97680 ,98980 ,21925 ,34095 ,5609 ,02375 ,6693 ,35496
23 ,21613 ,21445 ,33133 «97673 ,98978 ,21956 ,34155 ,5546 ,02382 ,6631 ,35467
24 ,21642 ,21474 ,33190 ,97667 ,98975 ,21986 ,34215 ,5483 ,02388 ,6569 ,35438
25 0,21671 0,21502 9,33248 0,97661 9,98972 0,22017 9.34276 4,5420 1,02395 4,6507 1,35408
26 ,21700 ,21530 ,33305 ,97655 ,98969 ,22047 ,34336 ,5357 ,02402 ,6446 ,35379
27 ,21729 ,21559 ,33362 ,97648 ,98967 ,22078 ,34396 ,5294 ,02408 ,6385 ,35350
28 ,21758 ,21587 ,33420 ,97642 ,98964 ,22108 ,34456 ,5232 ,02415 ,6324 ,35321
29 ,21788 ,21616 ,33477 ,97636 ,98961 ,22139 .345l6 ,5169 ,02421 ,6263 ,35292
30 0,21817 0,21644 9,33534 0,97630 9,98958 0,22169 9,34576 4>5I07 1,02428 4,6202 1,35263
31 ,21846 ,21672 ,33591 ,97623 ,98955 ,22200 ,34635 »5°45 ,02435 ,6142 ,35234
32 ,21875 ,21701 ,33647 »976i7 '98953 ,22231 ,34695 ,4983 ,02441 ,6081 ,35205
33 ,21904 ,21729 ,33704 ,97611 ,9895° ,22261 ,34755 .4922 ,02448 -,6021 ,35176
34 ,21933 ,21758 ,33761 ,97604 ,98947 ,22292 ,34814 ,4860 ,02454 ,5961 ,35147
35 0,21962 0,21786 9,33818 0,97598 9,98944 0,22322 9,34874 4>4799 1,02461 4,5901 1,35118
36 ,21991 ,21814 ,33874 ,97592 ,98941 ,22353 ,34933 ,4737 ,02468 ,5841 ,35°88
37 ,22020 ,21843 ,33931 ,97585 ,98938 ,22383 ,34992 ,4676 ,02474 ,5782 ,35°59
38 ,22049 ,21871 ,33987 ,97579 ,98936 ,22414 ,35051 ,4615 ,02481 ,5722 ,3503°
39 ,22078 ,21899 ,34043 ,97573 ,98933 ,22444 -35111 ,4555 ,02488 ,5663 35001
40 0,22108 0,21928 9,34100 0,97566 9,98930 0,22475 9-35I7° 4,4494 1,02494 4,5604 1,34972
41 ,22137 ,21956 ,34156 ,97560 ,98927 ,22505 ,35229 ,4434 ,02501 ,5545 ,34943
42 ,22166 ,21985 ,34212 ,97553 ,98924 ,22536 ,35288 ,4373 ,02508 ,5486 ,349*4
43 ,22195 ,22013 ,34268 ,97547 ,98921 ,22567 ,35347 ,4313 ,02515 ,5428 ,34885
44 ,22224 ,22041 ,34324 ,97541 ,98919 ,22597 ,35405 ,4253 ,02521 ,5369 ,34856
45 0,22253 0,22070 9,34380 0,97534 9,98916 0,22628 9-35464 4,4194 1,02528 4,5311 1,34827
46 ,22282 ,22098 ,34436 ,97528 ,98913 ,22658 ,35523 ,4134 ,02535 ,5253 ,34798
47 ,22311 ,22126 ,34491 '97521 ,98910 ,22689 ,35581 ,4075 ,02542 ,5195 ,34769
48 ,22340 ,22155 ,34547 ,97515 ,98907 ,22719 ,35640 ,4015 ,02548 ,5137 ,34739
49 ,22369 ,22183 ,34602 ,97508 ,98904 ,22750 ,35698 ,3956 ,02555 ,5079 ,34710
50 0,22398 0,22212 9,34658 0,97502 9,98901 0,2278l 9,35757 4,3897 1,02562 4,5022 1,34681
51 ,22427 ,22240 ,34713 ,97496 ,98898 ,22811 ,35815 ,3838 ,02569 ,4964 ,34652
52 ,22457 ,22268 ,34769 ,97489 ,98896 ,22842 ,35873 ,3779 ,02576 ,4907 ,34623
53 ,22486 ,22297 ,34824 ,97483 ,98893 ,22872 ,35931 ,3721 ,02582 ,4850 ,34594
54 ,22515 ,22325 ,34879 ,97476 ,98890 ,22903 ,35989 ,3662 ,02589 ,4793 ,34565
55 0,22544 0,22353 9,34934 0,97470 9,98887 0,22934 9,36047 4,3604 1,02596 4,4736 1,34536
56 ,22573 ,22382 ,34989 ,97463 ,98884 ,22964 ,36105 ,3546 ,02603 ,4679 ,34507
57 ,22602 ,22410 ,35044 ,97457 ,98881 ,22995 ,30163 ,3488 ,02610 ,4623 ,34478
58 ,22631 ,22438 ,35099 ,97450 ,98878 ,23026 ,36221 ,3430 ,02617 ,4566 ,34449
59 ,22660 ,22467 ,35154 ,97444 ,98875 ,23056 ,36279 ,3372 ,02624 ,4510 ,344*9
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
p | cos x I Jg cos x\ sin x | lg sin л: | ctg x I lg ctg ATJ tg x cosec x | sec x | p I x
77°


54 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
13°
*
'
sin x
Ig sin x 1 cos x
Igcos*
tgA- j.lgtgjf] ctgjc I sec*
cosec x\ p I
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
0,22689 0,22495 9,35209 0,97437 9,98872 0,23087 9,36336 4.3315 1,02630 4,4454 1,34390
,22718 ,22523 ,35263 ,9743° ,98869 ,23117 ,36394 .3257 ,02637 .4398 ,3436i
,22747 ,22552 ,35318 ,97424 ,98867 ,23148 ,36452 ,3200 ,02644 .4342 ,34332
,22777 ,22580 ,35373 ,974*7 ,98864 ,23179 ,36509 ,3143 ,02651 ,4287 ,34303
,22806 ,22608 ,35427 ,97411 ,98861 ,23209 ,36566 ,3086 ,02658 ,4231 ,34274
0,22835 0,22637 9,35481 0,97404 9,98858 0,23240 9,36624 4,3029 1,02665 44176 1,34245
,22864 ,22665 .35536 ,97398 ,98855 ,23271 ,36681 ,2972 ,02672 ,4121 ,34216
,22893 ,22693 ,35590 ,97391 ,98852 ,23301 ,36738 ,2916 ,02679 .4066 ,34187
,22922 ,22722 ,35644 ,97384 ,98849 ,23332 ,36795 .2859 ,02686 ,4011 ,34158
,22951 ,22750 ,35698 ,97378 ,98846 ,23363 ,36852 ,2803 ,02693 .3956 ,34129
0,22980 0,22778 9,35752 0,97371 9,98843 0,23393 9,36909 4,2747 1,02700 4,3901 1,34099
,23009 ,22807 ,35806 ,97365 ,98840 ,23424 ,36966 ,2691 ,02707 ,3847 ,34070
,23038 ,22835 >3586o ,97358 .98837 ,23455 .37023 ,2635 ,02714 ,3792 ,34041
,23067 ,22863 .35914 .97351 .98834 ,23485 ,37o8o ,2580 ,02721 ,3738 ,34012
,23097 ,22892 ,35968 ,97345 ,98831 ,23516 ,37137 ,2524 ,02728 ,3684 ,33983
0,23126 0,22920 9,36022 0,97338 9,98828 0,23547 9,37193 4,2468 1,02735 4,3630 1,33954
.23155 .22948 ,36075 ,97331 ,98825 ,23578 ,37250 ,2413 ,02742 ,3576 ,33925
,23184 ,22977 ,36129 ,97325 ,98822 ,23608 ,37306 ,2358 ,02749 ,3522 ,33896
,23213 ,23005 ,36182 ,973i8 ,98819 ,23639 ,37363 .2303 ,02756 ,3469 ,33867
,23242 ,23033 ,36236 ,973H ,98816 ,23670 ,37419 ,2248 ,02763 ,3415 ,33838
0,23271 0,23062 9,36289 0,97304 9,98813 0,23700 9,37476 4,2193 1,02770 4,3362 1,33809
,23300 ,23090 ,36342 ,97298 ,98810 ,23731 ,37532 ,2139 ,02777 ,3309 ,33779
,23329 ,23118 ,36395 ,97291 ,98807 ,23762 ,37588 ,2084 ,02784 ,3256 ,33750
,23358 ,23146 ,36449 ,97284 ,98804 ,23793 ,37644 ,2030 ,02791 ,3203 ,33721
,23387 ,23175 ,36502 ,97278 ,98801 ,23823 ,37700 ,1976 ,02799 -315° ,33692
0,23417 0,23203 9,36555 0,97271 9,98798 0,23854 9,37756 4Д922 1,02806 4,3098 1,33663
,23446 ,23231 ,36608 ,97264 ,98795 ,23885 ,37812 ,1868 ,02813 ,3045 ,33634
,23475 ,23260 ,36660 ,97257 ,98792 ,23916 ,37868 ,1814 ,02820 ,2993 ,33605
,23504 ,23288 ,36713 ,97251 ,98789 ,23946 ,37924 ,1760 ,02827 ,2941 ,33576
,23533 .23316 ,36766 ,97244 ,98786 ,23977 .3798o ,1706 ,02834 .2889 ,33547
0,23562 0,23345 9.36819 0,97237 9,98783 0,24008 9,38035 4,1653 1,02842 4,2837 1,33518
,23591 .23373 ,36871 ,9723° ,98780 ,24039 ,38091 ,1600 ,02849 -2785 ,33489
,23620 ,23401 ,36924 ,97223 ,98777 ,24069 ,38147 ,1547 ,02856 ,2733 ,33460
,23649 ,23429 ,36976 ,97217 ,98774 ,24100 ,38202 ,1493 ,02863 ,2681 ,33430
,23678 ,23458 ,37028 ,97210 ,98771 ,24131 ,38257 ,1441 ,02870 ,2630 ,33401
0,23707 0,23486 9,37081 0,97203 9,98768 0,24162 9,36313 4,1388 1,02878 4,2579 1,33372
,23736 ,235I4 .37133 ,97J96 ,98765 ,24193 ,38368 Д335 ,02885 .2527 ,33343
,23766 ,23542 ,37185 ,97189 ,98762 ,24223 ,38423 ,1282 ,02892 ,2476 ,33314
,23795 .23571 ,37237 ,97182 ,98759 ,24254 ,38479 ,1230 ,02899 .2425 ,33285
,23824 ,23599 .37289 ,97176 ,98756 ,24285 ,38534 ,1178 ,02907 ,2375 ,33256
0,23853 0,23627 9,37341 0,97169 9,98753 0,24316 9,38589 4,1126 1,02914 4,2324 1,33227
,23882 ,23656 ,37393 ,97i62 ,98750 ,24347 ,38644 .I074 ,02921 ,2273 ,33198
,23911 ,23684 ,37445 «97155 ,98746 ,24377 .38609 ,1022 ,02928 ,2223 ,33169
,23940 ,23712 ,37497 ,97148 ,98743 ,24408 ,38754 ,0970 ,02936 ,2173 ,33140
,23969 ,23740 ,37549 .97141 ,98740 ,24439 ,38808 ,0918 ,02943 ,2122 ,33110
0,23998 0,23769 9,37600 0,97134 9,98737 0,24470 9,38863 4,0867 1,02950 4,2072 1,33081
,24027 ,23797 ,37652 ,97127 ,98734 ,24501 ,389J8 ,0815 ,02958 ,2022 ,33052
,24056 ,23825 ,37703 ,97120 ,98731 ,24532 ,38972 ,0764 ,02965 ,1973 ,33023
,24086 ,23853 ,37755 ,97Ii3 ,98728 ,24562 ,39027 ,0713 ,02972 ,1923 ,32994
,24115 ,23882 ,37806 ,97106 ,98725 ,24593 ,39082 ,0662 ,02980 ,1873 ,32965
0,24144 0,23910 9,37858 0,97100 9,98722 0,24624 9,39136 4,0611 1,02987 4,1824 1,32936
.24173 ,23938 ,37909 ,97093 .98719 .24655 ,39190 .0560 ,02994 Д774 ,32907
,24202 ,23966 ,37960 ,97086 ,98715 ,24686 ,39245 ,0509 ,03002 ,1725 ,32878
,24231 ,23995 ,38011 ,97079 ,98712 ,24717 ,39299 ,0459 ,03009 ,1676 ,32849
,24260 ,24023 ,38062 ,97072 ,98709 ,24747 ,39353 .0408 ,03017 ,1627 ,32820
0,24289 0,24051 9,38113 0,97065 9,98706 0,24778 9,39407 4.0358 1,03024 4,1578 1,32790
,24318 ,24079 ,38164 ,97058 ,98703 ,24809 ,39461 ,0308 ,03032 ,1529 ,32761
,24347 ,24108 ,38215 ,97051 ,98700 ,24840 ,39515 »°257 ,03039 ,1481 ,32732
,24376 ,24136 <rt ,38266 ,97044 ,98697 ,24871 ,39569 ,0207 ,03046 ,1432 ,32703
,24406 ,24164 ,38317 ,97037 ,98694 ,24902 ,39623 ,0158 ,03054 ,1384 ,32674
1
H
cos* jig cos jc sin A- jlgsinjej ctgJC Igctgjf
tg*
cosec x
sec л:
> 1
X
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
76


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 55
14е
х | р sin х Ig sin х | cos x \ Ig cos x \gx I Ig tg x I ctg x \ sec * | cosec x p I
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0.24435 0,24192 9,38368 0,97030 9,98690 0,24933 9,39677 4.0108 1,03061 4,1336 1,32645
,24464 ,24220 ,38418 ,97023 ,98687 ,24964 ,39731 ,0058 ,03069 ,1287 ,32616
•24493 .24249 ,38469 ,97015 ,98684 ,24995 ,39785 ,°°°9 ,03076 ,1239 ,32587
,24522 ,24277 ,38519 ,97008 ,98681 ,25026 ,39838 3-9959 ,03084 ,1191 ,32558
.24551 ,24305 ,3857° -97°°i ,98678 ,25056 ,39892 ,9910 ,03091 ,1144 ,32529
0,24580 0,24333 9,38620 0,96994 9,98675 0,25087 9,39945 3,9861 1,03099 4,1096 1,32500
,24609 ,24362 ,38670 ,96987 ,98671 ,25118 ,39999 ,9812 ,03106 ,1048 ,32470
,24638 ,24390 ,38721 ,96980 ,98668 ,25149 ,40052 ,9763 ,03114 ,iooi ,32441
,24667 ,24418 ,38771 ,96973 ,98665 ,25180 ,40106 ,9714 ,03121 ,0954 ,32412
,24696 ,24446 ,38821 ,96966 ,98662 .25211 ,40159 ,9665 ,03129 ,0906 ,32383
0,24725 0,24474 9,38871 0,96959 9,98659 0,25242 9,40212 3,9617 1,03137 4,0859 1,32354
,24755 ,24503 ,38921 ,96952 ,98656 ,25273 ,40266 ,9568 ,03144 ,0812 ,32325
,24784 ,24531 ,38971 ,96945 .98652 ,25304 ,40319 ,9520 ,03152 ,0765 ,32296
,24813 ,24559 ,39021 ,96937 ,98649 ,25335 ,40372 ,9471 ,03159 ,0718 ,32267
,24842 ,24587 ,39071 ,96930 ,98646 ,25366 ,40425 ,9423 ,03167 ,0672 ,32238
0,24871 0,24615 9,39121 0,96923 9,98643 0,25397 9,40478 3,9375 1^03175 4,0625 1,32209
,24900 ,24644 ,39170 ,96916 ,98640 ,25428 ,40531 ,9327 ,03182 ,0579 ,32180
,24929 ,24672 ,39220 ,96909 ,98636 ,25459 ,40584 ,9279 ,03190 ,0532 .32151
,24958 ,24700 ,39270 ,96902 ,98633 ,25490 ,40636 ,9232 ,03198 ,0486 ,32121
,24987 .24728 ,39319 ,96894 ,98630 ,25521 ,40689 ,9184 ,03205 ,0440 ,32092
0,25016 0,24756 9,39369 0,96887 9,98627 0,25552 9,40742 3,9136 1,03213 4,0394 1,32063
,25045 ,24784 ,39418 ,96880 ,98623 ,25583 ,40795 ,9089 ,03220 ,0348 ,32034
,25075 ,24813 ,39467 ,96873 ,98620 ,25614 ,40847 ,9042 ,03228 ,0302 ,32005
,25104 ,24841 ,395!? ,96866 ,98617 ,25645 ,40900 ,8995 ,03236 ,0256 ,31976
,25133 ,24869 ,39566 ,96858 ,98614 ,25676 ,40952 ,8947 ,03244 ,0211 ,31947
0,25162 0,24897 9,39615 0,96851 9,98610 0,25707 9,41005 3,8900 1,03251 4,0165 1,31918
,25191 ,24925 ,39664 ,96844 ,98607 ,25738 ,41057 ,8854 ,03259 ,0120 ,31889
,25220 .24954 ,39713 ,96837 ,98604 ,25769 ,41109 ,8807 ,03267 ,0075 ,31860
,25249 ,24982 ,39762 ,96829 ,98601 ,25800 ,41161 ,8760 ,03275 ,0029 ,31831
,25278 ,25010 ,39811 ,96822 ,98597 ,25831 ,41214 ,8714 ,03282 3,9984 ,31801
0,25307 0,25038 9,39860 0,96815 9,98594 0,25862 9,41266 3,8667 1,03290 3,9939 1,31772
,25336 ,25066 ,39909 ,96807 ,98591 ,25893 ,41318 ,8621 ,03298 ,9894 ,31743
,25365 ,25094 ,39958 ,96800 ,98588 ,25924 ,41370 ,8575 ,03306 ,9850 ,31714
,25395 ,25122 ,40006 ,96793 ,98584 ,25955 ,41422 ,8528 ,03313 ,9805 .31685
,25424 ,25151 ,40055 ,96786 ,98581 ,25986 41474 ,8482 ,03321 ,9760 ,31656
0,25453 0,25179 9,40103 0,96778 9,98578 0,26017 9,41526 3-8436 1,03329 3,9716 1,31627
,25482 ,25207 ,40152 ,96771 ,98574 ,26048 ,41578 ,8391 ,03337 «9672 ,31598
,25511 ,25235 ,40200 ,96764 ,98571 ,26079 ,41629 ,8345 ,°3345 «9627 ,31569
,25540 ,25263 ,40249 ,96756 ,98568 ,26110 ,41681 ,8299 ,03353 ,9583 ,31540
,25569 ,25291 ,40297 ,96749 ,98565 ,26141 ,41733 ,8254 ,03360 ,9539 .31511
0,25598 0,25320 9,40346 0,96742 9,98561 0,26172 9,41784 3,8208 1,03368 3,9495 1531481
,25627 ,25348 ,40394 ,96734 ,98558 ,26203 ,41836 ,8163 ,03376 ,9451 ,31452
,25656 ,25376 ,40442 ,96727 ,98555 ,26235 ,41887 ,8n8 ,03384 ,9408 ,31423
,25685 ,25404 ,40490 ,96719 ,98551 ,26266 ,41939 ,8073 ,03392 ,9364 ,31394
,25715 ,25432 ,40538 ,96712 ,98548 ,26297 ,41990 ,8028 ,03400 ,9320 ,31365
0,25744 0,25460 9,40586 0,96705 9,98545 0,26328 9,42041 3,7983 1,03408 3,9277 1,31336
,25773 .25488 ,40634 ,96697 ,98541 ,26359 ,42093 ,7938 ,03416- ,9234 ,31307
,25802 ,25516 ,40682 ,96690 ,98538 ,26390 ,42144 ,7893 ,03424 ,9190 .31278
,25831 ,25545 ,40730 ,96682 ,98535 ,26421 ,42195 ,7848 ,03432 ,9147 ,31249
,25860 ,25573 ,40778 ,96675 ,98531 ,26452 ,42246 ,7804 ,03439 ,9Ю4 ,31220
0,25889 0,25601 9,40825 0,96667 9,98528 0,26483 9,42297 3,7760 1,03447 3,9061 1,31191
,25918 ,25629 ,40873 ,96660 ,98525 ,26515 ,42348 ,7715 ,03455 ,9018 ,31161
,25947 ,25657 ,40921 ,96652 ,98521 ,26546 ,42399 ,7671 ,03463 ,8976 ,31132
,25976 ,25685 ,40968 ,96645 ,98518 ,26577 ,42450 ,7627 ,03471 ,8933 ,31103
,26005 ,25713 ,41016 ,96638 ,98515 ,26608 ,42501 ,7583 ,03479 ,8890 ,31074
0,26034 0,25741 9,41063 0,96630 9,08511 0,26639 9,42552 3-7539 1,03487 3,8848 1,ЗЮ45
,26064 ,25769 ,41111 ,96623 ,98508 ,26670 ,42603 ,7495 ,03495 ,8806 ,31016
,26093 ,25798 ,41158 ,96615 ,98505 ,26701 ,42653 -7451 ,°35°4 ,8763 ,30987
,26122 ,25826 ,41205 ,96608 ,98501 ,26733 ,42704 .7408 ,03512 ,8721 ,30958
,26151 ,25854 ,41252 ,96600 ,98498 ,26764 ,42755 ,7364 ,03520 ,8679 ,30929
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
P cos x I lg cos x j sin x | Ig sin x\ ctg x J lg ctg x tg л: j cosec x | sec x j ;p J x
———————————————————————————


56 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
X
p | sin x
Ig sin x
cos*
IgCOSJC
tgx
lg.tg.xr | ctg* | secx
gosec*
p 1
15
0,26180 0,25882 941300 0,96593 ft98494 0,26795 942805 3-7321 1,03528 3.8637 *,3°9оо
,26209 ,25910 ,41347 >9б585 .98491 .26826 ,42856 ,7277 ,03536 ,8595 .З08?!
,26238 ,25938 ,41394 ,96578 ,98488 ,26857 ,42906 ,7234 ,03544 »8553 ,30842
,26267 ,25966 ,4*44* ,9657° ,98484 ,26888 ,42957 ,7*9* ,03552 ,8512 ,30812
,26296 ,25994 ,4*488 ,96562 ,98481 ,26920 ,43007 ,7*48 ,03560 .8470 ,3°783
0,26325 о,2бо22 9.41535 0.96555 9,98477 0,26951 9.43°57 3,7*°5 1,О3568 3.8428 1,30754
,26354 ,26050 41582 ,96547 98474 ,26982 ,43*08 ,7062 ,03576 ,8387 ,30725
,26384 ,26079 ,41628 ,9654° ,9847* ,27013 ,43*58 ,7019 ,03584 ,8346 ,30696
,26413 ,26107 ,4*675 ,96532 ,98467 ,27044 ,43208 ,6976 ,03592 ,8304 ,30667
1C
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
86
37
88
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
ГО
51
52
53
54
55
56
67
58
59
,26442 ,26135 .4*722 ,96524 ,98464 ,27076 ,43258 ,6933 ,03601 ,8263 ,30638
0,2647* 0,26163 9,4*768 0,96517 9.98460 0,27107 9>433°8 3.689* 1,03609 3.8222 1,30609
,26500 ,26191 ,4*8i5 ,96509 ,98457 ,27*38 ,43358 ,6848 ,03617 ,8181 ,30580
,26529 ,26219 ,4*861 ,96502 ,98453 ,27*69 ,434°8 ,6806 ,03625 ,8140 ,3055*
,26558 ,26247 ,4*908 ,96494 ,9845° ,27201 ,43458 .6764 ,03633 ,8*00 ,30522
,26587 ,26275 ,4*954 ,96486 ,98447 ,27232 ,435°8 ,6722 ,03642 ,8059 ,30492
026616 0,26303 942001 0,96479 9,98443 0,27263 9,43558 3.6680 1,03650 3,8018 1,30463
,26645 ,2633* ,42047 ,9647* ,98440 ,27294 ,43607 ,6638 ,03658 ,7978 ,30434
,26674 ,26359 ,42093 ,96463 ,98436 ,27326 ,43657 ,6596 ,03666 ,7937 ,30405
,26704 ,26387 ,42*4° ,96456 ,98433 ,27357 ,43707 ,6554 ,03674 ,7897 -30376
,26733 ,26415 ,42*86 ,96448 ,98429 ,27388 ,43756 ,65*2 ,03683 ,7857 .30347
0,26762 0,26443 9,42232 0,9644° 9.98426 0,274*9 9,43806 3.647° 1,0369* 3>78*7 i»3°3*8
,2679* ,2647* ,42278 ,96433 ,98422 ,2745* ,43855 ,6429 ,03699 ,7777 ,30289
,26820 ,26500 ,42324 ,96425 ,984*9 ,27482 ,439°5 ,6387 ,037°8 ,7737 ,3°2бо
,26849 ,26528 ,42370 ,964*7 ,984*5 ,275*3 ,43954 ,6346 ,037*6 ,7б97 .30231
,26878 ,26556 ,424*6 ,964*0 ,984*2 ,27545 ,44004 ,6305 ,03724 ,?б57 ,3°2О2
0,26907 0,26584 9,4246* 0,96402 9.98409 0.27576 9,44°53 3,6264 1,03732 3-76*7 ЪЗ0*?2
,26936 ,26612 ,42507 ,96394 ,98405 ,27607 ,44*02 ,6222 ,03741 ,7577 ,3°*43
,26965 ,26640 ,42553 ,96386 ,98402 ,27638 ,44*5* ,6*8i ,03749 ,7538 ,3°**4
,26994 ,26668 ,42599 ,96379 >98398 ,27670 ,44201 ,6140 ,03758 ,7498 ,30085
,27024 ,26696 ,42644 ,9637* ,98395 ,277°* i4425° ,6*оо ,03766 ,7459 »3°°5б
027053 0,26724 942690 0,96363 9.98391 0,27732 9,44299 3.6059 *,Q3774 3-742Q 1,30027
,27082 ,26752 ,42735 ,96355 ,98388 ,27764 ,44348 ,6oi8 ,03783 ,738* ,29998
,27111 ,26780 ,42781 ,96347 ,98384 ,27795 ,44397 ,5978 ,0379* ,734* .29969
,2714° ,26808 ,42826 ,9634° ,9838* ,27826 ,44446 ,5937 >О3799 >73°2 ,2994°
,27169 ,26836 ,42872 ,96332 ,98377 ,27858 ,44495 .5897 ,03808 ,7263 ,299**
0,27198 0,26864 9,429*7 0,96324 9.98373 0,27889 944544 3,5856 1,03816 3.7225 1,29882
,27227 ,26892 ,42962 ,963*6 ,9837° ,2792* ,44592 ,58*6 ,03825 ,7*86 ,29853
,27256 ,26920 ,43008 ,96308 ,98366 ,27952 ,4464* ,5776 ,03833 ,7*47 .29823
,27285 ,26948 ,43°53 ,9бЗ°* ,98363 ,27983 ,4469° ,5736 ,03842 ,7*о8 ,29794
,273*4 ,26976 ,43°98 ,96293 ,98359 ,28015 ,44738 ,5696 ,03850 ,7070 ,29765
о,27343 0,27004 943*43 0,96285 9.98356 0,28046 94478? з.565б 1,03858 з.7°32 1,29736
,27373 ,27032 ,43*88 ,96277 ,98352 ,28077 44836 ,56*6 ,03867 ,6993 ,297°7
,27402 ,27060 ,43233 ,96269 ,98349 ,28109 44884 ,55?6 ,03875 ,6955 ,29678
,2743* ,27088 ,43278 ,96261 ,98345 ,28140 44933 ,5536 ,03884 ,69*7 ,29649
,27460 ,27116 ,43323 ,9б253 ,98342 ,28172 ,4498* ,5497 ,03892 ,6879 ,29620
0,27489 0,27144 94336? 0,96246 9,98338 0,28203 945°29 3.5457 1,0390* 3,6840 1,2959*
,275*8 ,27172 ,434*2 ,96238 ,98334 ,28234 ,45°78 ,54*8 ,03909 ,6803 ,29562
,2?547 ,27200 ,43457 ,96230 ,9833* ,28266 ,45*26 ,5379 ,039*7 ,6765 ,29533
,27576 ,27228 ,43502 ,96222 ,98327 ,28297 45*74 ,5339 ,03926 ,6727 ,29503
,27605 ,27256 ,43546 ,96214 ,98324 ,28329 45222 ,53°° ,03935 ,6689 ,29474
0,27634 0,27284 94359* 0,96206 9,9832° 0,28360 94527* 3,526* 1,03944 3.6652 i,29445
,27663 ,273*2 43б35 ,96*98 ,983*7 ,2839* 453*9 ,5222 ,03952 ,6614 ,294*6
,27693 ,27340 ,43680 ,96190 ,983*3 ,28423 453б7 ,5*83 ,0396* ,6576 ,29387
,27722 ,27368 ,43724 ,96182 ,08309 ,28454 454*5 ,5*44 ,03969 ,6539 ,29358
,2775* ,27396 43769 ,96*74 ,98306 ,28486 45463 ,5*°5 ,03978 ,6502 ,29329
027780 0,27424 9438*3 0,96166 9,98302 0,285*7 9455** 3,5об7 1,03987 3.6465 1,29300
,27809 ,27452 43857 ,96*58 ,98299 ,28549 45559 ,5028 ,03995 ,6427 ,2927*
,27838 ,27480 ,439°* ,96*5° ,98295 ,28580 ,45606 ,4989 ,04004 ,639° ,29242
,27867 ,27508 ,43946 ,96*42 ,98291 ,28612 ,45654 495* ,04013 ,6353 ,292*3
,27896 ,27536 4399° ,96*34 ,98288 ,28643 45702 49*2 ,04121 ,63*6 ,29183
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
1 p
cosjc |lgcos;ej sin* jig sin x
Ctg*
Ig Ctg X
tg*
cosec x
sec лс | p \ x
74


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 57
X.
р | sin x
lg sin л1
cosx jig cos л-j \gx
Igtg*
CtgAT
sec л:
cosec x
P
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,27925 0,27564 9,44034 0,96126 9,98284 0,28675 94575° 34874 1,04030 3,6280 1,29154
,27954 ,27592 44078 ,96118 ,98281 ,28706 ,45797 ,4836 ,04039 ,6243 ,29125
,27983 ,27620 ,44122 ,96110 ,98277 ,28738 45845 ,4798 ,04047 '6206 ,29096
,28013 ,27648 ,44166 ,96102 ,98273 ,28769 45892 ,4760 ,04056 ,6169 ,29067
,28042 ,27676 ,44210 ,96094 ,98270 ,28801 ,45940 ,4722 ,04065 ,6133 ,29038
0,28071 0,27704 9,44253 0,96086 9,98266 0,28832 945987 3,4684 1,04073 3,6097 1,29009
,28100 ,27731 ,44297 ,96078 ,98262 ,28864 46035 ,4646 ,04082 ,6060 ,28980
,28129 ,27759 44341 ,96070 ,98259 ,28895 46082 ,4608 ,04091 ,6024 ,28951
,28158 ,27787 44385 ,96062 ,98255 ,28927 ,46130 ,4570 ,04100 ,5988 ,28922
,28187 ,27815 ,44428 ,96054 ,98251 ,28958 ,46177 ,4533 ,04108 ,595J ,28893
0,28216 0,27843 9,44472 0,96046 9,98248 0,28990 9,46224 3,4495 1,04117 3,5915 I,2i
,28245 ,27871 44516 ,96037 ,98244 ,29021 ,46271 ,4458 ,04126 ,5879 ,28834
,28274 ,27899 ,44559 ,96029 ,98240 ,29053 ,46319 ,4420 ,04135 ,5843 ,28805
,28303 ,27927 ,44602 ,96021 ,98237 ,29084 ,46366 ,4383 ,04144 ,5808 ,28776
,28333 ,27955 44646 ,96013 ,98233 ,29116 46413 4346 ,04152 ,5772 ,28747
0,28362 0,27983 9,44689 0,96005 9,98229 0,29147 9,46460 3,4308 1,04161 3,5736 1,28718
,2839! ,28011 ,44733 ,95997 ,98226 ,29179 ,46507 ,4271 ,04170 ,5700 ,28689
,28420 ,28039 ,44776 ,95989 ,98222 ,29210 ,46554 ,4234 ,04179 ,5665 ,28660
,28449 ,28067 ,44819 ,95981 ,98218 ,29242 ,46601 ,4197 ,04188 ,5629 ,28631
,28478 ,28095 ,44862 ,95972 ,98215 ,29274 ,46648 ,4160 ,04197 ,5594 ,28602
0,28507 0,28123 9,44905 0,95964 9,98211 0,29305 9,46694 3,4124 1,04206 3,5559 1,28573
,28536 ,28150 ,44948 ,95956 ,98207 ,29337 46741 4087 ,04214 ,5523 ,28543
,28565 ,28178 44992 ,95948 ,98204 ,29368 ,46788 ,4050 ,04223 ,5488 ,28514
,28594 ,28206 ,45035 ,95940 ,98200 ,29400 ,46835 ,4014 ,04232 ,5453 ,28485
,28623 ,28234 ,45077 ,9593* ,98196 ,29432 ,46881 ,3977 ,04241 ,5418 ,28456
0,28652 0,28262 9,45120 0,95923 9,98192 0,29463 946928 3,3941 1,04250 3,5383 1,28427
,28682 ,28290 ,45163 ,95915 .98189 ,29495 46975 ,3904 ,04259 ,5348 ,28398
,28711 ,28318 ,45206 ,95907 ,98185 ,29526 ,47021 ,3868 ,04268 ,5313 ,28369
,28740 ,28346 ,45249 ,95898 ,98181 ,29558 ,47068 ,3832 ,04277 ,5279 ,28340
,28769 ,28374 ,45292 ,95890 ,98177 ,29590 47114 ,3796 ,04286 ,5244 ,28311
0,28798 0,28402 9,45334 0,95882 9,98174 0,29621 9,47160 3,3759 1,04295 3,5209 1,28282
,28827 ,28429 45377 ,95874 ,98170 ,29653 ,47207 ,3723 ,04304 ,5175 ,28253
,28856 ,28457 45419 ,95865 ,98166 ,29685 ,47253 ,3687 ,04313 ,5140 ,28224
,28885 ,28485 45462 ,95857 ,98162 ,29716 47299 ,3652 ,04322 ,5106 ,28194
,28914 ,28513 455°4 ,95849 ,98i59 ,29748 47346 ,3616 ,04331 ,5072 ,28165
0,28943 0,28541 945547 0,95841 9,98155 0,29780 9,47392 3,3580 1,04340 3,5037 1,28136
,28972 ,28569 ,45589 ,95832 ,98151 ,29811 47438 ,3544 ,04349 ,5003 ,28107
,29002 ,28597 ,45632 ,95824 ,98147 ,29843 ,47484 ,3509 ,04358 ,4969 ,28078
,29031 ,28625 ,45674 ,95816 ,98144 ,29875 47530 ,3473 ,04367 ,4935 ,28049
,29060 ,28652 ,45716 ,95807 ,98140 ,29906 47576 ,3438 ,04376 ,4901 ,28020
0,29089 0,28680 9,45758 0,95799 9,98136 0,29938 9,47622 3,3402 1,04385 3,4867 1,27991
,29118 ,28708 ,45801 ,95791 ,98132 ,29970 ,47668 ,3367 ,04394 ,4833 ,27962
,29147 ,28736 ,45843 ,95782 ,98129 ,30001 ,47714 ,3332 ,04403 ,4799 ,27933
,29176 ,28764 ,45885 ,95774 ,98125 ,30033 ,47760 ,3297 ,04413 ,4766 ,27904
,29205 ,28792 ,45927 ,95766 ,98121 ,30065 ,47806 ,3261 ,04422 ,4732 ,27874
0,29234 0,28820 9,45969 0,95757 9,98117 0,30097 9,47852 3,3226 1,04431 3,4699 1,27845
,29263 ,28847 46011 ,95749 ,98113 ,30128 47897 ,3191 ,04440 ,4665 ,27816
,29292 ,28875 46053 ,95740 ,98110 ,30160 ,47943 ,3156 ,04449 ,4632 ,27787
,29322 ,28903 ,46095 ,95732 ,98106 ,30192 47989 ,3122 ,04458 ,4598 ,27758
,29351 ,28931 46136 ,95724 ,98102 ,30224 ,48035 ,3087 ,04468 ,4565 ,27729
0,29380 0,28959 9,46178 0,95715 9,98098 0,30255 9,48080 3,3052 1,04477 3,4532 1,27700
,29409 ,28987 ,46220 ,95707 ,98094 ,30287 ,48126 ,3017 ,04486 ,4499 ,27671
,29438 ,29015 ,46262 ,95698 ,98090 ,30319 ,48171 ,2983 ,04495 4465 ,27642
,29467 ,29042 46303 ,95690 ,98087 ,30351 ,48217 ,2948 ,04504 ,4432 ,27613
,29496 ,29070 ,46345 ,95681 ,98083 ,30382 ,48262 ,2914 ,04514 ,4399 ,27584
0,29525 0,29098 9,46386 0,95673 9,98079 q 30414 9,48307 3,2879 1,04523 3,4367 1,27554
,29554 ,29126 ,46428 ,95664 ,98075 ,30446 ,48353 „2845 ,04532 ,4334 ,27525
,29583 ,29154 46469 ,95656 ,98071 ,30478 48398 ,2811 ,04541 ,4301 ,27496
,29612 ,29182 ,46511 ,95647 ,98067 ,30509 ,48443 ,2777 ,04551 ,4268 ,27467
,29642 ,29209 46552 ,95639 ,98063 ,30541 ,48489 ,2743 ,04560 ,4236 ,27438
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
p [ cos л: ) lg cos x\ sin x | lg sin x cigx jlgctgx| tg x | cosec x j sec* p J x
— - ——


58 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
IT
л| р
sin x
lg sin x
cos x
Ig cos л: | \gx
Igtgjf
ctg*
sec x
cosec л:
P
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,29671 0,29237 946594 0,95630 9,98060 0,30573 9,48534 3,2709 1,04569 3,4203 1,27409
,29700 ,29265 ,46635 .95622 ,98056 ,30605 ,48579 ,2675 .04578 ,4171 .27380
,29729 ,29293 ,46676 ,95613 ,98052 ,30637 ,48624 ,2641 ,04588 ,4138 ,27351
,29758 ,29321 ,46717 ,95605 ,98048 ,30669 ,48669 ,2607 ,04597 ,4106 ,27322
,29787 ,29348 ,46758 .95596 ,98044 ,30700 ,48714 ,2573 ,04606 ,4073 ,27293
0,29816 0,29376 9,46800 0,95588 9,98040 0,30732 9,48759 3,2539 1,04616 3,4041 1,27264
,29845 ,29404 ,46841 ,95579 ,98036 ,30764 ,48804 ,2506 ,04625 ,4009 ,27235
,29874 ,29432 ,46882 ,95571 ,98032 ,30796 ,48849 ,2472 ,04635 ,3977 ,27205
,29903 ,29460 ,46923 ,95562 ,98029 ,30828 ,48894 ,2438 ,04644 ,3945 ,27176
,29932 ,29487 ,46964 ,95554 ,98025 ,30860 ,48939 ,2405 ,04653 ,3913 ,27147
0,29961 0,29515 9,47°°5 0,95545 9>98°2* 0,30891 9,48984 3,2371 1,04663 3,3881 1,27118
,29991 ,29543 ,47°45 ,95536 ,98017 ,30923 ,49029 ,2338 ,04672 ,3849 ,27089
,30020 ,29571 ,47086 ,95528 ,98013 ,3°955 ,49°73 ,2305 ,04682 ,3817 ,27060
,30049 ,29599 ,47127 ,955!9 ,98009 ,30987 ,49118 ,2272 ,04691 ,3785 ,27031
,30078 ,29626 ,47168 .95511 ,98005 ,31019 ,49163 ,2238 ,04700 ,3754 ,27002
0,30107 0,29654 9,47209 0,95502 9,98001 0,31051 9,49207 3,2205 1,04710 3,3722 1,26973
,30136 ,29682 ,47249 ,95493 ,97997 ,31083 ,49252 ,2172 ,04719 ,3691 ,26944
,30165 ,29710 ,47290 ,95485 ,97993 ,3"i5 ,49296 .2139 ,04729 ,3659 ,26915
,30194 ,29737 ,47330 ,95476 ,97989 ,31147 ,49341 ,2106 ,04738 ,3628 ,26885
,30223 ,29765 ,47371 ,95467 .97986 ,31178 ,49385 ,2073 ,04748 ,3596 ,26856
0,30252 0,29793 9,47411 0,95459 9,97982 0,31210 9,49430 3,2041 1,04757 3,3565 1,26827
,30281 ,29821 ,47452 ,9545° ,97978 ,31242 ,49474 ,2008 ,04767 ,3534 ,26798
,30311 ,29849 ,47492 ,95441 ,97974 ,31274 ,49519 ,1975 ,04776 ,35°2 ,26769
,30340 ,29876 ,47533 ,95433 ,9797° >3i3°6 ,49563 Д943 ,04786 ,3471 ,26740
,30369 ,29904 ,47573 0,95424 ,97966 ,31338 ,49607 ,1910 ,04795 ,344° ,267"
0,30398 0,29932 9,47613 ,954Х5 9-97962 0,31370 9,49652 3,1878 1,04805 3,3409 1,26682
,30427 ,29960 ,47654 ,95407 ,97958 ,31402 ,49696 ,1845 ,04815 .3378 ,26653
,30456 ,29987 ,47694 ,95398 ,97954 ,31434 ,49740 ,1813 ,04824 ,3347 ,26624
,30485 ,30015 ,47734 ,95389 ,97950 ,31466 ,49784 ,1780 ,04834 ,3s1? .26595
,30514 ,30043 ,47774 ,95380 ,97946 ,31498 ,49828 ,1748 ,04843 ,3286 ,26565
0,30543 0,30071 9,47814 0,95372 9-97942 0,31530 9,49872 3,1716 1,04853 3,3255 1,26536
,30572 ,30098 ,47854 ,95363 ,97938 ,31562 ,499i6 ,1684 ,04863 ,3224 ,26507
,30601 ,30126 ,47894 ,95354 ,97934 ,31594 ,49960 ,1652 ,04872 ,3194 ,26478
,30631 ,30154 ,47934 ,95345 -9793° ,31626 ,50004 ,1620 ,04882 ,3163 ,26449
,30660 ,30182 ,47974 ,95337 ,97926 ,31658 ,50048 ,1588 ,04891 ,3133 .26420
1,30689 0,30209 9,48014 0,95328 9,97922 0,31690 9,50092 3,1556 1,04901 3,3102 1,26391
,30718 ,30237 ,48054 ,95319 ,979i8 ,31722 ,50136 ,1524 ,04911 ,3072 ,26362
,30747 ,30265 ,48094 ,95310 ,97914 ,31754 ,50180 ,1492 ,04920 ,3042 ,26333
,30776 ,30292 ,48133 ,953°i ,979Ю ,31786 ,50223 ,1460 ,04930 ,3012 ,26304
,30805 ,30320 ,48173 ,95293 ,97906 ,31818 ,50267 ,1429 ,04940 ,2981 ,26275
0,30834 0,30348 9,48213 0,95284 9,97902 0,31850 9,50311 3,1397 1,04950 3,2951 1,26245
,30863 ,30376 ,48252 ,95275 ,97898 ,31882 ,50355 ,1366 ,04959 ,2921 ,26216
,30892 ,30403 ,48292 ,95266 ,97894 ,31914 ,50398 ,1334 ,04969 ,2891 ,26187
,30921 ,30431 ,48332 ,95257 ,97890 ,31946 ,50442 ,1303 ,04979 ,2861 ,26158
,30951 ,30459 48371 ,95248 ,97886 ,31978 ,50485 ,1271 ,04989 ,2831 ,26129
0,30980 0,30486 9,48411 0,95240 9,97882 q 32010 9,50529 3,1240 1,04998 3,2801 1,26100
,3IO°9 .3°5I4 ,4845° ,95231 ,97878 ,32042 ,50572 ,1209 ,05008 ,2772 ,26071
,31038 ,30542 ,4849° ,95222 ,97874 ,32074 ,50616 ,1178 ,05018 ,2742 ,26042
.31067 ,3057° ,48529 ,95213 ,9787° ,32106 ,50659 ,1146 ,05028 ,2712 ,26013
,31096 ,30597 ,48568 ,95204 ,97866 ,32139 ,50703 ,1115 ,05038 ,2683 ,25984
0,31125 0,30625 9,48607 0,95195 9,97861 0,32171 9,50746 3,1084 1,05047 3,2653 1,25955
,31154 ,30653 ,48647 ,95186 ,97857 ,32203 ,50789 ,1053 ,05057 ,2624 ,25926
,31183 ,30680 ,48686 ,95177 ,97853 ,32235 .50833 ,1023 ,05067 ,2594 ,25896
,31212 ,30708 ,48725 ,95168 ,97849 ,32267 ,50876 ,0991 ,05077 ,2565 ,25867
,31241 ,30736 ,48764 ,95159 ,97845 ,32299 ,50919 ,0961 ,05087 ,2535 ,25838
0,31270 0,30763 9,48803 0,95150 9,97841 0,32331 9,50962 3,0930 1,05097 3,2506 1,25809
,31300 ,30791 ,48842 ,95142 ,97837 ,32363 ,51005 ,0899 ,05107 ,2477 ,25780
,31329 ,30819 ,48881 ,95133 .97833 ,32396 ,51048 ,0868 ,05116 ,2448 ,25751
,3!358 ,30846 ,48920 ,95124 ,97829 ,32428 ,51092 ,0838 ,05126 ,2419 ,25722
,31387 ,3°874 ,48959 ,95 .97825 ,32460 ,51135 ,0807 ,05136 ,2390 ,25693
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
p I cos* I Igcos* sin* jlgsinA:| ctg\x) Jg ctg x\ tg* j cosec x secjcj p J x
72"


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 59
18°
sin л- (igsinjc cosx Igcos* tg x Ig tg r ctg л: sec .с (cosecj:
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,31416 0,30902 9,48998 0,95106 9,97821 0,32492 9,51178 3,0777 1,05146 3,2361 1,25664
,31445 ,30929 ,49037 ,95097 ,97817 .32524 ,5I22i ,0746 ,05156 ,2332 ,25635
.31474 .3°957 ,49076 ,95°88 ,97812 ,32556 ,51264 ,0716 ,05166 ,2303 ,25606
,31503 .30985 ,49H5 .95079 .97808 ,32588 ,51306 ,0686 ,05176 ,2274 ,25576
.31532 ,31012 ,49153 ,95070 ,97804 ,32621 ,51349 ,0655 ,05186 ,2245 ,25547
0,31561 0,31040 9,49192 0,95061 9>978oo 0,32653 9,51392 3,0625 1,05196 3,2217 1,25518
.31590 ,31068 ,49231 ,95052 ,97796 ,32685 ,51435 .0595 ,05206 ,2188 ,25489
,31620 ,31095 ,49269 ,95043 ,97792 ,32717 ,51478 ,0565 ,05216 ,2159 ,25460
.31649 ,31123 ,49308 ,95°33 ,97788 ,32749 ,51520 ,0535 ,05226 ,2131 ,25431
,31678 ,31151 49347 ,95024 ,97784 ,32782 ,5i563 ,0505 ,05236 ,2102 ,25402
0,31707 0,31178 9,49385 0,95015 9,97779 0,32814 9,51606 3,0475 1,05246 3,2074 1,25373
,31736 ,31206 ,49424 ,95°o6 ,97775 ,32846 ,51648 ,0445 ,05256 ,2045 ,25344
,31765 ,31233 ,49462 ,94997 ,97771 ,32878 ,51691 ,0415 ,05266 ,2017 ,25315
,31794 .31261 ,49500 ,94988 ,97767 ,32911 ,5*734 -0385 ,05276 ,1989 ,25286
,31823 ,31289 ,49539 ,94979 ,97763 ,32943 ,5*776 ,0356 ,05286 ,io6o ,25256
0,31852 0,31316 9,49577 0,94970 9,97759 0,32975 9,51819 3,0326 1,05297 3,1932 1,25227
,31881 ,31344 ,49615 ,9496i ,97754 ,33007 ,51861 ,0296 ,05307 ,1904 ,25198
,31910 ,31372 ,49654 ,94952 ,97750 ,33040 ,51903 ,0267 ,05317 «l876 ,25169
.31940 ,31399 ,49692 ,94943 .97746 ,33072 ,51946 ,0237 ,05327 ,1848 ,25140
,31969 ,31427 -4973° ,94933 ,97742 ,33104 ,51988 ,0208 ,05337 ,1820 ,25111
0,31998 0,31454 9,49768 0,94924 9,97738 0,33136 9,52031 3,0178 1,05347 3,1792 1,25082
,32027 ,31482 ,49806 ,94915 ,97734 ,33169 ,52073 ,0149 ,05357 ,1764 ,25053
,32056 ,31510 ,49844 ,949o6 ,97729 ,33201 ,52115 ,0120 ,05367 ,1736 ,25024
,32085 ,31537 ,49882 ,94897 ,97725 ,33233 ,52157 ,0090 ,05378 ,1708 ,24995
,32114 ,31565 ,49920 ,94888 ,97721 ,33266 ,52200 ,0061 ,05388 ,1681 ,24966
0,32143 0,31593 9,49958 0,94878 9,97717 0,33298 9,52242 3,0032 1,05398 3,1653 1,24936
,32172 ,31620 ,49996 ,94869 ,97713 ,33330 ,52284 ,0003 ,05408 ,1625 ,24907
,32201 ,31648 ,50034 ,94860 ,97708 ,33363 .52326 2,9974 ,05418 ,1598 ,24878
,32230 ,31675 ,50072 ,94851 ,97704 ,33395 ,52368 ,9945 ,05429 ,1570 ,24849
,32260 ,31703 ,50110 ,94842 ,97700 ,33427 ,52410 ,9916 ,05439 ,1543 ,24820
0,32289 0,31730 9,50148 0,94832 9,97696 0,33460 9,52452 2,9887 1,05449 ЗД515 1.2479*
,32318 ,31758 ,5OI85 .94823 ,97691 .33492 ,52494 ,9858 ,05460 ,1488 ,24762
,32347 .31786 ,50223 ,94814 ,97687 ,33524 ,52536 ,9829 ,05470 ,1461 ,24733
,32376 ,31813 ,50261 ,94805 ,97683 ,33557 ,52578 ,9800 ,05480 ,1433 ,24704
,32405 .31841 ,50298 ,94795 ,97679 .33589 ,52620 ,9772 ,05490 ,1406 ,24675
0,32434 0,31868 9,50336 0,94786 9,97674 0,33621 9,52661 2,9743 1,05501 3,1379 1,24646
,32463 .31896 ,50374 ,94777 ,97670 ,33654 ,52703 ,9714 ,05511 ,1352 ,24617
,32492 ,31923 ,50411 ,94768 ,97666 ,33686 ,52745 ,9686 ,05521 ,1325 ,24587
,32521 ,31951 ,50449 ,94758 ,97662 ,33718 ,52787 ,9657 ,05532 ,1298 ,24558
.32550 ,31979 .50486 ,94749 ,97657 ,33751 ,52829 ,9629 ,05542 ,1271 ,24529
0,32579 0,32006 9,50523 0,94740 9,97653 0,33783 9,52870 2,9600 1,05552 3,1244 1,24500
,32609 ,32034 ,50561 ,94730 ,97649 ,33816 ,52912 ,9572 ,05563 ,1217 ,24471
,32638 ,32061 ,50598 ,94721 ,97645 ,33848 ,52953 ,9544 ,05573 ,1190 ,24442
,32667 ,32089 ,50635 ,94712 ,97640 ,33881 ,52995 ,9515 ,05584 ,1163 ,24413
,32696 ,32116 ,50673 ,94702 ,97636 ,33913 ,53037 ,9487 ,05594 ,1137 ,24384
0,32725 0,32144 9,50710 0,94693 9,97632 0,33945 9,53078 2,9459 1,05604 3,1110 1,24355
,32754 .32171 .50747 .94684 ,97628 ,33978 ,53120 ,9431 ,05615 ,1083 ,24326
,32783 ,32199 ,50784 ,94674 ,97623 ,34ою ,53161 ,9403 ,05625 ,1057 ,24297
,32812 ,32227 ,50821 ,94665 ,97619 ,34043 ,53202 ,9375 . ,05636 ,1030 ,24267
,32841 ,32254 ,50858 ,94656 ,97615 ,34075 ,53244 ,9347 .05646 ,1004 ,24238
0,32870 0,32282 9,50896 0,94646 9,97610 0,34108 9,53285 2,9319 1,05657 3,0977 1,24209
,32899 ,32309 ,50933 ,94637 ,97606 ,34140 ,53327 ,9291 ,05667 ,0951 ,24180
,3292,9 ,32337 ,50970 ,94627 ,97602 ,34173 ,53368 ,9263 ,05678 ,0925 ,24151
,32958 ,32364 .Si00? ,946i8 ,97597 ,34205 ,53409 ,9235 ,05688 ,0898 ,24122
,32987 ,32392 ,51043 ,94609 ,97593 ,34238 ,53450 ,9208 ,05699 ,0872 ,24093
0,33016 0,32419 9,51080 0,94599 9,97589 0,34270 9,53492 2,9180 1,05709 3,0846 1,24064
,33045 ,32447 ,5i ,94590 ,97584 ,34303 ,53533 ,9152 ,05720 ,0820 ,24035
,33074 .32474 ,54 ,9458o ,97580 ,34335 ,53574 ,9125 ,05730 ,0794 ,24006
,ЗЗЮЗ ,32502 ,51191 ,94571 ,97576 ,34368 ,53615 ,9097 ,05741 ,0768 ,23977
,33132 ,32529 ,51227 ,94561 ,97571 ,34400 ,53656 ,9070 ,05751 ,0742 ,23947
SO
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
И
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 p I CQSJC |lgcos*| sin* lgsin*| ctg* jig ctg* tg* |cosec*| sec* j p 1*


60 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
19е
р | sin x IgsinAT cos л- Igcos* tgjt I Igtgjt ctg x I sec* [ cosecxj p |
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,33161 0,32557 9151264 0,94552 9,97567 Q.34433 9.53697 2,9042 1,05762 3,0716 1,23918
»33i9o ,32584 ,51301 ,94542 ,97563 .34465 ,53738 .9015 .05773 ,0690 ,23889
,33219 ,32612. ,51338 ,94533 ,97558 '34498 ,53779 .8987 ,05783 ,0664 ,23860
,33249 ,32639 ,51374 ,94523 .97554 ,3453° .53820 ,8960 ,05794 ,0638 ,23831
,33278 ,32667 ,51411 ,94514 .9755° ,34563 ,5386i ,8933 ,05805 ,0612 ,23802
0,33307 0,32694 9,51447 0,94504 9,97545 0,34596 9,53902 2,8905 1,05815 3,0586 1,23773
,33336 ,32722 ,51484 ,94495 ,97541 ,34628 ,53943 .8878 ,05826 ,0561 ,23744
.33365 ,32749 ,5*520 ,94485 ,97536 ,34661 ,53984 ,8851 ,05836 ,0535 ,23715
,33394 .32777 ,5!557 t94476 ,97532 ,34693 ,54025 ,8824 ,05847 ,0509 ,23686
,33423 ,32804 ,51593 ,94466 ,97528 ,34726 ,54065 ,8797 ,05858 ,0484 ,23657
o,33452 0,32832 9,51629 0,94457 9,97523 0,34758 9,54106 2,8770 1,05869 3.0458 1,23627
.33481 ,32859 ,51666 ,94447 ,97519 ,34791 ,5447 3743 ,05879 ,0433 ,23598
,335Ю ,32887 ,51702 ,94438 ,975J5 ,34824 ,54187 ,8716 ,05890 ,0407 ,23569
,33539 ,32914 .5*738 ,94428 ,97510 ,34856 ,54228 ,8689 ,05901 ,0382 ,23540
,33568 ,32942 ,51774 ,94418 ,97506 ,34889 ,54269 ,8662 ,05911 ,0357 ,23511
o,33598 0,32969 9,51811 0,94409 9,97501 0,34922 9,54309 2,8636 1,05922 3,0331 1,23482
,33627 ,32997 ,51847 ,94399 ,97497 ,34954 ,54350 ,8609 ,05933 ,0306 ,23453
-33656 ,33024 ,51883 ,94390 ,97492 ,34987 ,54390 ,8582 ,05944 ,0281 ,23424
.33685 ,33051 .5*919 ,9438o ,97488 ,35020 ,54431 ,8556 ,05955 ,0256 ,23395
,33714 .33079 ,51955 ,94370 ,97484 ,35052 ,54471 .8529 ,05965 .0231 .23366
0,33743 0,33106 9,51991 0,94361 9,97479 0^35085 9,54512, 2,8502 1,05976 3,0206 1,23337
«33772 ,33134 .S202? ,94351 ,97475 .35IlS ,54552 ,8476 ,05987 ,0181 ,23308
,338oi ,33161 ,52063 ,94342 ,97470 ,35150 ,54593 ,8449 ,05998 ,0156 ,23278
.33830 ,33189 ,52099 ,94332 ,97466 ,35183 ,54633 ,8423 ,06009 ,0131 ,23249
f33859 ,33216 ,52135 ,94322 ,97461 ,35216 ,54673 ,8397 ,06020 ,0106 ,23220
0,33888 0,33244 9,52171 0,94313 9,97457 0,35248 9,54714 2,8370 1,06030 3,0081 1,23191
,339i8 ,33271 ,52207 ,94303 ,97453 ,35281 ,54754 ,8344 ,06041 ,0056 ,23162
,33947 ,33298 ,52242 ,94293 ,97448 ,35314 ,54794 .8318 ,06052 ,0031 ,23133
,33976 ,33326 ,.52278 ,94284 ,97444 ,35346 ,54835 ,8291 ,06063 ^007 ,23104
.34005 ,33353 ,52314 ,94274 ,97439 ,35379 ,54875 ,8265 ,06074 2,9982 ,23075
o,34034 0,33381 9,52350 0,94264 9,97435 0,35412 9,54915 2,8239 1,06985 2,9957 1,23046
,34063 ,33408 ,52385 ,94254 ,97430 ,35445 ,54955 ,8213 ,06096 ,9933 ,23017
.34092 ,33436 ,52421 ,94245 ,97426 ,35477 .54995 .8187 ,06107 ,9908 ,22988
,34121 ,33463 ,52456 ,94235 ,97421 ,35510 .55035 .8I6i ,06118 ,9884 ,22958
,34i50 .3349° ,52492 ,94225 ,97417 ,35543 >55о?5 .8*35 ,06129 ,9859 ,22929
o,34i79 0,335i8 9,52527 0,94215 9,97412 0,35576 9,55115 2,8109 1,06140 2,9835 1,22900
,34208 ,33545 ,52563 ,94206 ,97408 ,35608 ,55155 «8083 ,06151 ,9811 ,22871
.34238 ,33573 ,52598 ,94196 ,97403 .35641 ,55195 .8057 ,06162 ,9786 ,22842
.34267 ,33600 ,52634 ,94186 ,97399 ,35674 ,55235 .8032 ,06173 .9762 ,22813
,34296 ,33627 ,52669 ,94176 ,97394 ,35707 .55275 .8006 ,06184 ,9738 ,22784
o,34325 0,33655 9,52705 0,94167 9,97300 0,35740 9,55315 2,7980 1,06195 2,9713 1,22755
,34354 ,33682 ,52740 ,94157 ,97385 ,35772 ,55355 ,7955 ,06206 ,9689 ,22726
.34383 ,337Ю ,52775 .94147 ,9738i ,35805 ,55395 ,7929 ,06217 ,9665 ,22697
,34412 ,33737 ,52811 ,94137 ,97376 ,35838 ,55434 ,7903 ,06228 ,9641 ,22668
,34441 ,33764 ,52846 ,94127 ,97372 ,35871 ,55474 ,7878 ,06239 ,9617 ,22639
0,34470 0,33792 9,52881 0,94118 9,97367 0,35904 9,55514 2,7852 1,06250 2,9593 1,22609
.34499 ,338i9 .52916 ,94108 ,97363 ,35937 ,55554 ,7827 ,06261 ,9569 ,22580
,34528 ,33846 ,52951 ,94098 ,97358 ,35969 ,55593 ,7801 ,06272 ,9545 ,22551
,34558 ..33874 ,52986 ,94088 ,97353 ,36002 ,55633 ,7776 ,06283 ,9521 ,22522
.34587 ,339°i .53021 ,94078 ,97349 ,36035 ,55673 ,7751 ,06295 ,9498 ,22493
0,34616 0,33929 9,53056 0,94068 9-97344 0,36068 9,55712 2,7725 1,06306 2,9474 1,22464
,34645 ,33956 ,53092 ,94058 ,9734° ,36101 ,55752 ,7700 ,06317 ,9450 ,22435
,34674 ,33983 ,53126 ,94049 ,97335 ,36i34 .55791 ,7675 ,06328 ,9426 ,22406
,34703 ,34°ii ,53i6i ,94039 ,97331 ,36167 ,55831 ,7650 ,06339 ,94°3 ,22377
.34732 ,34038 ,53196 ,94029 ,97326 ,36199 ,55870 ,7625 ,06350 ,9379 ,22348
0,34761 0,34065 9,53231 0,94019 9,97322 0,36232 9,55910 2,7600 1,06362 2,9355 1,22319
-3479° ,34093 ,53266 ,94009 ,97317 ,36265 ,55949 ,7575 .06373 .9332 ,22289
,34819 ,34120 ,53301 ,93999 ,97312 ,36298 ,55989 ,7550 ,06384 ,9308 ,22260
,34848 ,34^47 ,53336 ,93989 ,97308 ,36331 ,56028 ,7525 ,06395 .9285 ,22231
,34877 .34175 .5337° ,93979 ,97303 ,36364 ,56067 ,7500 ,06407 ,9261 ,22202
60
59
58
57
56
55
54
63
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
P
CQSJC jig cos л;
sin*
Ig sin x
ctg x
Igctgx
tg*
cosec x
sec A:
P
x
70°


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 61
20°
*
p
sin л: | Ig sin x
cos* jig cos x
tg* | Igtg*
ctg*
sec*
cosec *
p
ю
п
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,34007 0,34202 9-53405 0,93969 9.97299 0,36397 9.5бю7 2,7475 1,06418 2,9238 1,22173
,34936 ,34229 ,53440 ,93959 .97294 >3б43о ,56146 ,7450 ,06429 ,9215 ,22144
,44257 ,53475 ,93949 .97289 ,36463 ,56185 ,7425 ,06440 ,9191 ,22115
34994 34284 ,53509 ,97285 .36496 ,56224 ,74оо ,06452 ,9i68 ,22086
0,45024 343ii ,53544 ,93929 ,9728о ,36529 ,56264 ,7376 ,06463 ,9145 ,22057
,чад>52 0,44449 9,54578 0,93919 9-97276 0,36562 9,56303 2,7351 1,06474 2,9122 1,22028
,35081 ,34366 ,53613 ,93909 ,97271 ,36595 ,56342 ,7326 ,06486 ,9099 ,21999
.45110 ,34393 ,53647 ,93899 ,97266 ,36628 ,56381 ,7302 ,06497 »9075 ,21969
45149 34421 ,53682 ,93889 ,97262 ,36661 ,56420 ,7277 ,06508 ,9052 ,21940
,35168 ,34448 ,53716 ,93879 ,97257 .36694 ,56459 ,7253 ,06520 ,9029 ,21911
0,35197 0,34475 9,53751 0,93869 9,97252 0,36727 9,564982,72281,06531 2,9006 1,21882
,45227 ,34503 ,53785 ,93859 ,97248 ,36760 ,56537 ,7204 ,06542 ,8983 ,21853
.35256 ,34530 ,53819 ,93849 ,97243 ,36793 ,56576 ,7179 ,об554 -8960 ,21824.
385 34551 з85 -93839 .97238 ,36826 ,56615 ,7155 ,06565 ,8938 ,«795
,35314 ,34584 .53888 ,93829 ,97234 .36859 ,56654 ,7130 ,06577 .8915 ,21766
о 45343 0,34612 9,53922 0,93819 9.97229 0,36892 9,566932,71061,06588 2,8892 1,21737
44649 ,54957 ,94809 ,97224 ,36925 ,56732 ,7082 ,06600 ,8869 ,21708
,34666 ,53991 ,93799 -97220 ,36958 ,56771 ,7058 ,06611 ,8846 ,21679
,35430 ,34694 ,54025 ,93789 .97215 '36991 ,56810 ,7034 ,06622 ,8824 ,21649
,35459 ,34721 ,54059 ,93779 ,97210 ,37°24 ,56849 ,7009 ,06634 ,8801 ,21620,
0,35488 0,34748 9,54093 0,93769 9,97206 0,37057 9,56887 2,6985 1,06645 2,8779 1,21591
, , , , , , , ,
,45517 ,34775 ,54127 ,93759 >972oi ,37090 ,56926 ,6961 ,06657 ,8756 ,21562
!35547 Ж JJi6i 9314* ,97196 ,37i23 ,56965 ,6937 ,06668 ,8733 ,2i533
, , , ,
,35576 ,34830 ,54195 ,93738 ,97192 ,37157 ,57004 ,6913 ,°668o ,8711 ,21504
!з5бо5 134857 ,54229 ,93728 ,97187 ДО9О ,57042 ,6889 ,06691 ,8688 ,21475
0,45634 0,34884 9,54263 0,93718 9,97i82 0,37223 9,57081 2,6865 1,06703 2,8666 1,21446
,35663, ,34912 ,54297 ,93708 ,97178 .37256 ,57120 ,6841 ,06715 ,8644 ,21417
,35692 ,34939 ,54331 ,93699 ,97173 ,37289 ,57158 ,6818 ,06726 ,8621 ,21388
,35721 ,34966 ,54365 ,93688 ,97168 ,37322 ,57197 ,6794 ,06738 ,8599 ,21359
,35750 ,34993 ,54399 ,93677 ,97163 ,37355 -57235 ,6770 ,06749 ,8577 ,21329
0,35779 0,35021 9,54433 0,93667 9,97159 o,37388 9,572742,67461,06761 2,8555 1,21300
,35808 ,35048 ,54466 ,93657 ,97154 .37422 ,57312 ,6723 ,06773 ,8532 ,21271
,45847 ,35075 ,54500 ,93647 ,97149 ,37455 ,57351 ,6699 ,06784 ,8510 ,21242
,35867 1?о1 ^4534 193637 -97145 -37488 ,57389 ,6675 -06796 ,8488 ,21213
,35896 ,35130 ,54567 ,93626 ,97140 ,37521 ,57428 ,6652 ,06807 ,8466 ,21184
0,35925 0,35157 9,54601 0,93616 9,97135 0-37554 9,57466 2,6628 1,06819 2,8444 1,21155
.35954 .35184 ,54635 ,93606 ,97130 .37588 ,57504 ,6605 ,06831 ,8422 ,21126
.35983 ,35211 ,54668 ,93596 ,97126 ,37621 ,57543 ,6581 ,06843 ,8400 ,21097
,36012 ,35239 ,54702 ,93585 ,97121 ,37654 ,57§8i ,6558 ,06854 ,8378 ,21068
,36041 ,35266 ,54735 ,93575 -97 ,37687 ,57619 ,6534- ,°6866 ,8356 ,21039
0,36070 0,35293 9,54769 0,93565 9-97III 0,37720' 9,57658 2,6511 1,06878 2,8334 1,21009
,36099 ,35320 ,54802 ,93555 ,97107 ,37754 ,57696 ,6488 ,06889 ,8312 ,20980
,36128 ,35347 ,54836 ,93544 ,97"» -3778? ,57734 ,6464 ,06901 ,8291 ,20951 ,|
,36157 ,35375 ,54869 ,93534 ,97°97 -3782O ,57772 ,6441 ,06913 ,8269 ,20922
,36186 ,35402 ,54903 ,93524 ,97092 ,37853 .578ю ,6418 ,06925 ,8247 ,20893
0,36216 0,35429 9,54936 0,93514 9,97087 0,37887 9,57849 2,6395 1.06936 2,8225 1,20864
,36245 .35456 .54969 ,93503 ,97083 ,37920 ,57887 ,6371 ,06948 ,8204 ,20835
',36274 ,35484 ,55003 ,93493 -97078 ,37953 ,57925 .6348 .06960 ,8182 ,20806
,36303 ,355" .55036 ,93483 -97073 .37986 ,57963 ,6325 ,06972 ,8161 ,20777
,36332 ,35538 ,55069 ,93472 ,97068 ,38020 ,58001 ,6302 ,06984 ,8139 ,20748
•,36361 0,35565 9,55102 0,93462 9,97063 0,38053 9,58039 2,6279 1,06995 2,8117 1,20719
,36390 ,35592 ,55136 ,93452 ,97059 ,38086 ,58077 ,6256 ,07007 ,8096 .20690
.36419 ,35619 ,55169 ,93441 ,97054 ,38120 ,58115 ,6233 ,07019 ,8075 ,20660
,36448 ,35647 ,55202 ,93431 ,97049 ,38153 ,58153 ,6210 ,07031 ,8053 ,20631
,36477 ,35674 ,55235 ,93420 ,97044 ,38186 ,58191 ,6187 ,07043 ,8032 ,20602
1,36506 0,35701 9,55268 0,93410 9,97039 0,38220 9,58229 2,6165 1,07055 2,8010 1,20573
,36536 ,35728 ,55301 ,93400 ,97035 ,38253 -58267 ,6142 ,07067 ,7989 ,20544
,36565 .35755 -55334 ,93389 ,97030 ,38286 ,58304 ,6119 ,07079 ,7968 ,20515
.36594 ,35782 ,55367 ,93379 ,97025 ,38320 ,58342 ,6096 ,07091 ,7947 ,20486
,36623 ,35810 ,55400 ,93368 ,97020 ,38353 ,58380 ,6074 ,07103 ,7925 ,20457
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
p I cos x I Ig cos* sin* |lgsin*| ctg* |lgctg*| tgxjcosec* sec* \ p |*
_


62 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
2!
X
Р | 5!ПЛГ | IgSin X
COS X
lg COS X
tg*
lg tgx
ctgx
secx j cosecje
P
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,36652 0,35837 9,55433 0,93358 9,97015 0,38386 9,584182,60511,07115 2,7904 1,20428
,36681 ,35864 ,55466 ,93348 ,97010 ,38420 ,58455 ,6028 ,07126 ,7883 ,20399
.36710 ,35891 .55499 ,93337 ,97°°5 ,38453 -58493 ,6006 ,07138 ,7862 ,20370
>3б?39 ,35918 ,55532 ,93327 ,97001 ,38487 ,58531 ,5983 ,07150 ,7841 ,20340
,36768 ,35945 ,55564 ,933i6 ,96996 ,38520 ,58569 ,5961 ,07162 ,7820 ,20311
0,36797 0,35973 9,55597 0,93306 9,96991 0,38553 9,58606 2,5938 1,07174 2,7799 1,20282
,36826 ,36000 ,55630 ,93295 ,96986 ,38587 ,58644 ,5916 ,07186 ,7778 ,20253
.36856 ,36027 ,55663 ,93285 ,96981 ,38620 ,58681 ,5893 ,07199 ,7757 ,20224
,36885 ,36054 ,55695 ,93274 ,96976 ,38654 ,58719 ,5871 ,07211 ,7736 ,20195
,36914 ,36081 ,55728 ,93264 ,96971 ,38687 ,58757 ,5848 ,07223 ,7715 ,20166
°'3б943 0,36108 9,55761 0,93253 9,96966 0,38721 9,58794 2,5826 1,07235 2,7695 1,20137
,36972 .36135 ,55793 .93243 ,96962 ,38754 ,58832 ,5804 ,07247 ,7674 ,2oio8
#7001 ,36162 ,55826 ,93232 ,96957 ,38787 ,58869 ,5782 ,07259 ,7653 ,20079
,37030 ,36190 ,55858 ,93222 ,96952 ,38821 ,58907 ,5759 ,07271 ,7632 ,20050
,37059 ,36217 ,55891 ,93211 ,96947 ,38854 ,58944 ,5737 ,07283 ,7612 ,20020
0,37088 0,36244 9,55923 0,93201 9,96942 0,38888 9,58981 2,5715 1,07295 2,7591 1,19991
,37H7 ,36271 ,55956 ,9319° -96937 ,38921 ,59019 ,5693 ,07307 ,7570 ,19962
,37146 ,36298 ,55988 ,93180 ,96932 ,38955 ,59056 ,5671 ,07320 ,7550 ,19933
,37176 ,36325 ,56021 ,93169 ,96927 ,38988 - ,59094 ,5649 ,07332 ,7529 ,19904
,37205 ,36352 ,56053 ,93159 ,96922 ,39022 ,59131 ,5627 ,07344 ,7509 .19875
o,37234 0,36379 9,56085 0,93148 9,96917 0,39055 9,59168 2,5605 1,07356 2,7488 1,19846
,37263 ,36406 ,56118 ,93137 ,96912 ,39089 ,59205 ,5583 ,07368 ,7468 ,19817
,37292 ,36434 ,56150 ,93127 ,96907 ,39122 ,59243 ,5561 ,07380 ,7447 ,19788
,37321 ,36461 ,56182 ,93116 ,96903 ,39156 ,59280 ,5539 ,07393 »7427 Д9759
,3735° ,36488 ,56215 ,93106 ,96898 ,39190 ,59317 ,5517 ,07405 ,7407 ,19730
0,37379 0,36515 9,56247 0,93095 9,96893 0,39223 9,59354 2,5495 1,07417 2,7386 1,19700
,37408 ,36542 ,56279 ,93084 ,96888 ,39257 ,59391 ,5473 ,07429 ,7366 ,19671
,37437 ,36569 ,56311 ,93°74 ,96883 ,39290 ,59429 ,5452 ,07442 ,7346 ,19642
,37466 ,36596 ,56343 ,93063 ,96878 ,39324 ,59466 ,5430 ,07454 ,7325 ,19613
,37495 ,36623 ,56375 ,93052 ,96873 ,39357 ,595°3 >54°8 ,07466 ,7305 ,19584
o,3752S 0,36650 9,56408 0,93042 9,96868. 0,39391 9,59540 2,5386 1,07479 2,7285 1Д9555
•37554 ,36677 ,56440 ,93031 ,96863 ,39425 ,59577 ,5365 ,07491 ,7265 ,19526
,37583 ,36704 ,56472 ,93020 ,96858 ,39458 ,59614 ,5343 ,07503 ,7245 ,19497
,37612 ,36731 ,56504 ,93010 ,96853 ,39492 ,59651 ,5322 ,07516 ,7225 ,19468
,37641 ,36758 ,56536 ,92999 ,96848 ,39526 ,59688 ,5300 ,07528 ,7205 ,19439
0,37670 0,36785 9,56568 0,92988 9,96843 0,39559 9,59725 2,5279 1,07540 2,7185 1,19410
.37699 ,36812 ,56599 ,92978 ,96838 ,39593 ,59762 ,5257 ,07553 ,7165 ,19381
,37728 ,36839 ,56631 ,92967 ,96833 ,39626 ,59799 ,5236 ,07565 ,7145 ,19351
,37757 ,36867 ,56663 ,92956 ,96828 ,39660 ,59835 ,5214 ,07578 ,7125 ,19322
,37786 ,36894 ,56695 ,92945 ,96823 ,39694 ,59872 ,5193 ,07590 ,7105 ,19293
0,37815 0,36921 9,56727 0,92935 9,96818 0,39727 9,59909 2,5172 1,07602 2,7085 1,19264
,37845 -36948 ,56759 ,92924 ,96813 ,39761 ,59946 ,5150 ,07615 ,7065 ,19235
»37874 ,36975 ,5679° ,92913 ,96808 ,39795 ,59983 ,5I29 ,07627 ,7046 ,19206
,37903 ,37002 ,56822 ,92902 ,96803 ,39829 ,60019 ,5108 ,07640 ,7026 ,19177
,37932 ,37029 ,56854 ,92892 ,96798 ,39862 ,60056 ,5086 ,07652 .7006 ,19148
o,3796i 0,37056 9,56886 0,92881 9,96793 0,39896 9,60093 2,5065 1,07665 2,6986 1,19119
,37990 ,37083 ,56917 ,92870 ,96788 ,39930 ,60130 ,5044 ,07677 ,6967 ,19089
,38019 ,37110 ,56949 ,92859 ,96783 ,39963 ,60166 ,5023 ,07690 ,6947 ,19061
,38048 ,37137 ,56980 ,92849 ,96778 ,39997 ,60203 ,5002 ,07702 ,6927 ,19031
,38077 ,37164 ,57012 ,92838 ,96772 ,40031 ,60240 ,4981 ,07715 ,6908 ,19002
0,38106 0,37191 9,57044 0,92827 9,96767 0,40065 9,60276 2,4960 1,07727 2,6888 1,18973
,38135 ,37218 ,57075 ,92816 ,96762 .40098 ,60313 ,4939 ,07740 ,6869 ,18944
,38165 ,37245 ,57Ю7 .92805 ,96757 ,40132 ,60349 ,4918 ,07752 ,6849 ,18915
,38194 ,37272 ,57138 ,92794 ,96752 ,40166 ,60386 ,4897 ,07765 ,6830 ,18886
,38223 ,37299 ,57169 ,92784 ,96747 ,40200 .60422 ,4876 ,07778 ,6811 ,18857
0,38252 0,37326 9,57201 0,92773 9,96742 0,40234 9 60459 2,4855 107790 2,6791 1,18828
,38281 ,37353 ,57232 ,92762 ,96737 ,40267 ,60495 ,4834 ,07803 ,6772 ,18799
,3831° ,3738o ,57264 ,92751 ,96732 ,40301 ,60532 ,4813 ,07816 ,6752 ,18770
,38339 ,37407 ,57295 ,9274° ,96727 ,40335 ,60568 ,4792 ,07828 ,6733 ,18741
,38368 ,37434 ,57326 ,92729 ,96722 ,40369 ,60605 ^772 ,07841 ,6714 ,18711
60
59
58
57
56
55
54
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
1 о
COS X | \g COS X
sin x
Igsin x
ctg x
lg ctg x
tgx
cosec x\ sec x
P
x
68°


22
-1 p
sin x
Igsinjf 1
cos л:
|u
cos x \
tg*
1 Igtg*
C\Cf V" ЧРГ j?
^ I li Л 1 O^l> •*
cosec x
p 1
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
51
°.38397 0,37461 9,57358 0,92718 9-967i? 0,40403 9.60641 24751 i»°7853 2,6695 1.18682
,38426 ,37488 ,57389 ,92707 .96711 »4°43б ,60677 .473° ,07866 ,6675 ^8653
i38455 ,375!5 ,57420 ,92697 ,96706 ,4047° ,60714 ,47°9 ,о?879 -6656 ,18624
,38484 ,37542 '57451 ,92686 ,96701 ,40504 ,60750 ,4689 ,07892 ,6637 ,18595
-38514 ,37569 ,57482 ,92675 ,96696 ,4°538 ,60786 ,4668 ,07904 ,66i8 ,18566
0..38543 °i37595 9,575*4 0,92664 9,96691 0,40572 9-60823 2,4648 1,07917 2,6599 1,1853?
,38572 ,37622 ,57545 ,92653 ,96686 ,40606 ,60859 ,4627 ,0793° ,6s80 ,18508
,38601 ,37649 ,57576 ,92642 ,96681 ,40640 ,60895 ,4606 ,07943 ,6561 ,18479
,38630 ,37676 ,57607 ,92631 ,96676 ,40674 ,60931 ,4586 ,07955 ,6542 ,1845°
,38659 >377°3 ,57638 ,92620 ,96670 .4°7°7 ,60967 ,4566 ,07968 ,6523 ,18421
0,38688 0,3773° 9-57б6д 0,92609 9.96665 0,40741 9-61004 2,4545 1.07981 2,65°4 1,18392
,38717 -37757 »577°о -92598 ,96660 ,40775 ,61040 ,4525 ,о?994 ,6485 »183б2
,38746 ,37784 .57731 ,92587 ,96655 ,40809 ,61076 ,4504 ,о8оо6 ,6466 ,18333
,38775 >378и ,57762 ,92576 ,96650 ,40843 ,6и12 ,4484 ,08019 ,6447 .18304
,38804 ,37838 ,57793 ,92565 .96645 4°877 ,61148 ,4464 ,08032 ,6429 ,18275
0,38834 о,378б5 9.57824 0,92554 9.96640 0,40911 9,61184 2,4443 1,08045 2,6410 1,18246
,38863 ,37892 ,57855 ,92543 -9ббз4 ,4°945 ,61220 ,4423 ,08058 ,6391 ,18217
,38892 ,379*9 .57885 .92532 ,96629 ,40979 .61256 ,44°3 ,08071 ,6372 ,18188
,38921 ,37946 ,57916 ,92521 ,96624 ,41013 ,61292 ,4383 ,08084 ,6354 -I8l59
-38950 '37973 ,57947 -92510 ,96619 4*°47 ,61328 ,4362 ,08097 ,6335 ,18130
°,38979 0,37999 9,5797е 0,92499 9,96614 0,41081 9-61364 2,4342 1,08109 2,6316 1,18101
,39008 ,38026 ,58008 ,92488 ,95608 ,4I]CI5 ,61400 ,4322 ,08122 ,6298 ,18072
,39037 ,38053 ,58039 .92477 ,96603 ,4И49 ,61436 ,43°2 ,08135 ,6279 ,18042
,39066 .38080 ,58070 ,92466 ,96598 ,41183 ,61472 ,4282 ,08148 ,6260 ,18013
,39095 ,38107 ,58101 .92455 ,96593 ,4*217 ,61508 ,4262 ,08161 ,6242 ,17984
0,39124 0,38134 9,58131 0,92444 9,96588 0,41251 9,61544 2,4242 1,08174 2,6223 т, 17955
,39154 -38161 ,58162 ,92432 ,96582 ,41285 ,61579 ,4222 ,08187 ,6205 ,17926
,39183 ,38188 ,58192 ,92421 ,96577 ,41319 ,61615 ,4202 ,08200 ,6186 ,17897
,39212 ,38215 ,58223 ,92410 ,96572 ,41353 ,61651 ,4182 ,08213 ,6168 ,17868.
,39241 ,38241 ,58253 ,92399 ,96567 ,41387 ,61687 ,4162 ,08226 ,6150 ,17839
0,39270 0,38268 9,58284 0,92388 9,96562 0,41421 9,61722 2,4142 1,08239 2,6131 1,17810
,39299 ,38295 ,58314 ,92377 ,96556 ,41455 ,61758 ,4122 ,08252 ,6113 ,17781
,39328 ,38322 ,58345 ,92366 ,96551 ,4149° ,6i794 -4102 ,08265 ,6095 ,17752
,39357 ,38349 ,58375 ,92355 ,96546 ,41524 ,61830 ,4083 ,08278 ,6076 ,17722
,39386 ,38376 ,58406 ,92343 ,96541 ,41558 ,61865 .4063 ,08291 ,6058 ,17693
o,394i5 o-38403 9<5843б 0,92332 9,96535 0,41592 9,61901 2,4043 1,08305 2,6040 1,17664
',39444 ,38430 ,58467 ,92321 ,9653° ,41626 ,61936 4023 ,08318 ,6022 ,17635
,39474 ,38456 ,58497 ,9231° ,96525 ,41660 ,61972 ,4004 ,08331 ,6003 ,17606
.39503 ,38483 t58527 ,92299 -96520 ,41694 ,62008 ,3984 ,08344 ,5985 Д7577
,39532 ,38510 ,58557 ,92287 ,96514 ,41728 ,62043 ,3964 ,08357 ,5967 Д7548
o,3956i 0,38537 9,58588 0,92276 9,96509 0,41763 9,62079 2,3945 1,08370 2,5949 1,17519
,39590 ,38564 ,58618 ,92265 ,96504 ,41797 ,62114 ,3925 ,08383 ,5931 Д749°
,39619 ,38591 ,58648 ,92254 ,96498 ,41831 ,62150 ,3906 ,08397 ,5913 ,17461
,39648 ,38617 ,58678 ,92243 ,96493 ,41865 ,62185 ,3886 ,08410 ,5895 ,17432
»39б77 -38644 ,58709 ,92231 ,96488 ,41899 ,62221 ,3867 ,08423 ,5877 ,174015
0,39706 0,38671 9,58739 0,92220 9,96483 0,41933 9,62256 2,3847 1,08436 2,5859 1,17373
,39735 -38698 ,58769 ,92209 ,96477 ,41968 .62292 ,3828 ,08449 ,5841 ,17344
,39764 -38725 ,58799 -92198 ,96472 ,42002 .62327 ,3808 ,08463 ,5823 ,17315
,39794 ,38752 ,58829 ,92186 ,96467 ,42036 ,62362 ,3789 ,08476 ,5805 ,17286
,39823 ,38778 ,58859 ,92175 ,96461 ,42070 ,62398 ,3770 • ,08489 ,5788
50 0,39852 0,38805 9,58889 0,92164 9,96456 0,42105 9,62433 2,3750 1,08503 2,5770 1,17228
e' ,39881 ,38832 ,58919 ,92152 ,96451 42139 ,62468 ,3731 ,08516 ,5752 ,17199
7*J*S *\J \J Tv* -^ -^ T-^ *-* ».X T4J JT^— O-? j^—— -|-— — T^j У О '^"-'O^4' '*_! 1«J— »•*• / ^УУ
52 ,399*o .38859 ,58949 .92*4* .96445 ,42173 ,62504 ,3712 ,08529 ,5734 ,17170
53 ,39939 ,38886 ,58979 ,92130 ,96440 ,42207 ,62539 ,3693 ,08542 ,5716 ,17141
54 ,39968 ,38912 ,59009 ,92119 ,96435» 42242 ,62574 ,3673 ,08556 ,5699 ,17112
55 0,39997 0,38939 9,59039 0,92107 9,96429 042276 9,62609 2,3654 1,08569 2,5681 1,17083
56 40026 ,38966 ,59069 ,92096 ,96424 42310 ,62645 ,3635 ,08582 ,5663 ,17053
J? ,40055 ,38993 -59098 ,92085 ,96419 42345 ,62680 ,3616 ,08596 ,5646 ,17024
58 40034 ,39020 ,59128 ,92073 ,96413 42379 ,62715 ,3597 ,08609 ,5628 ,16995
59 4°**3 -39046 ,59*58 ,92062 ,96408 42413 ,62750 ,3578 ,08623. ,5611 ,16966
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
18
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
P
cos x
Ig COS X
sin x I Ig sin x I ctg x
IgCtgAT
tg *;
cosec x
., sec* |p | x
67°


64 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
23°
sin* Igsin.*:) cos x Igcosjc) tgx I lg tg x I ctg x I sec* jcosecxj p I
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
55
ДВ
57
58
59
0,40143; 0,39073 9,59188 0,92050 9,96403 0,42447 9,62785 2,3559 1,08636 2,5593 1,16937
,40172 ,39100 ,59218 ,92039 ,96397 ,42482 ,62820 ,3539 ,08649 .5570 ,16908
,40201 ,39127 ,59247 ,92028 ,96392 ,42516 «,62855 ,3520 ,08663 ,555s .16879
,40230 ,39153 ,59277 ,92016 ,96387 ,42551 ,62890 ,3501 ,08676 ,5541 ,16850
,40259 ,39180 ,59307 ,92005 ,96381 ,42585 ,62926 ,3483 ,08690 ,5523 ,16821
0,40288 0,39207 9,59336 0,91994 9,96376 0,42619 9,62961 2,3464 1,08703 2,5506 1,16792
40317 ,39234 ,59366 ,91982 ,96370 ,42654 ,62996 ,3445 ,08717 ,5488 ,16763
,40346 ,39260 ,59396 ,91971 ,96365 ,42688 ,63031 ,3426 ,08730 ,5471 ,16733
«4°375 .39287 ,59425 .91959 »9бз6о ,42722 ,63066 ,3407 ,08744 ,5454 ,16704
,40404 ,39314 ,59455 .91948 ,96354 ,42757 .631°! ,3388 ,08757 ,5436 .16675
0,40433 0,39341 9.59484 0,91936 9.96349 0,42791 9,63135 2,3369 1,08771 2,5419 1,16646
,40463 ,39367 ,59514 ,91925 '96343 ,42826 ,63170 ,3351 ,08784 ,5402 ,16617
,40492 ,39394 ,59543 ,9!9i4 «96338 ,42860 ,63205 ,3332 ,08798 ,5384 ,16588
,40521 ,39421 ,59573 ,9i9°2 ,96333 ,42894 ,63240 ДОЗ .°88ii ,5367 ,16559
,40550 ,39448 ,59602 ,91891 ,96327 ,42929 .63275 .3294 ,08825 ,5350 ,16530
0,40579 0,39474 9,59632 0,91879 9-96322 0,42963 9,63310 2,3276 1,08839 2,5333 1,16501
,40608 ,39501 ,59661 ,91868 ,96316 ,42998 ,63345 ,3257 ,08852 ,5316 ,16472
,40637 ,39528 ,59690 ,91856 ,963" ,43032 ,63379 ,3238 ,08866 ,5299 ,16443
,40666 ,39555 ,59720 ,91845 ,96305 ,43067 ,63414 ,3220 ,08880 ,5282 ^16413
40695 ,39581 ,59749 ,91833 -96300 ,43101 ,63449 ,3201 ,08893 ,5264 ,16384
0,40724 0,39608 9,59778 0,91822 9,96294 0,43136 9,63484 2,3183 1,08907 2,5247 1,16355
,40753 ,39635 .598o8 ,91810 ,96289 ,4317° ,635*9 ,3*64 ,08921 ,5230 ,16326
,40783 ,39661 ,59837 ,91799 ,96284 ,43205 ,63553 ,3146 ,08934 '52i§ ,16297
,40812 ,39688 ,59866 ,91787 ,96278 ,43239 ,63588 ,3127 ,08948 -5IQ6 ,16268
,40841 ,39715 ,59895 ,91775 ,96273 ,43274 -63623 ,3109 ,08962 ,5180 ,16239
0,40870 0,39741 9,59924 0,91764 9,96267 0,43308 9,63657 2,3090 1,08975 2,5163 1,16210
,40899 ,39768 ,59954 .91752 ,96262 ,43343 ,63692 ,3072 ,08989 ,5146 ,16181
,40928 ,39795 ,59983 ,9i74i ,96256 ,43378 ,63726 ,3053 ,09003 ,5129 ,1615?
,4°957 ,39822 ,60012 ,91729 ,96251 ,43412 ,63761 ,3035 ,09017 ,5112 ,16123
,40986 ,39848 ,60041 ,91718 ,96245 ,43447 ,6379б ,3017 ,09030 ,5°95 ,16093
0,41015 0,39875 9,60070 0,91706 9,96240 o,4348i 9,6383° 2,2998 1,09044 2,5078 1,16064
,41044 ,39902 ,60099 ,91694 ,96234 ,435J6 ,63865 ,2980 ,09058 ,5062 ,16035
,41073 ,39928 ,60128 ,91683 ,96229 ,4355° ,63899 ,2962 ,09072 ,5045 ,16006
,41103 ,39955 ,60157 ,91671 ,96223 ,43585 ,63934 ,2944 ,09086 ,5028 ,15977
,41132 ,39982 ,60186 ,91660 ,96218 ,43620 ,63968 ,2925 ,09099 ,5012 ,15948
0,41161 0,40008 9,60215 0,91648 9,96212 0,43654 9,64003 2,2907 1,09113 2,4995 1,15919
,41190 ,40035 ,60244 ,91636 ,96207 ,43689 ,64037 ,2889 ,09127 ,4978 ,15890
,41219 ,40062 ,60273 ,91625 ,96201 ,43724 ,64072 ,2871 ,0914; ,4962 ,15861
,41248 ,40088 ,60302 ,91613 ,96196 ,43758 ,64106 ,2853 ,09155 ,4945 ,15832
,41277 ,40115 ,60331 ,91601 ,96190 43793 ,6414° ,2835 ,09169 ,4928 ,15803
0.41306 0,40141 9,60359 0,91590 9,96185 0,43828 9,64175 2,2817 1,09183 2,4912 1,15774
,41335 ,40168 ,60388 ,91578 ,96179 ,43862 ,64209 ,2799 ,09197 ,4895 ,15744
,41364 ,40195 ,60417 ,91566 ,96174 ,43897 .64243 ,2781 ,09211 ,4879 ,15715
.41393 ,40221 ,60446 ,91555 ,96168 ,43932 ,64278 ,2763 ,09224 ,4862 ,15686
,41422 ,40248 ,60474 ,91543 ,96162 ,43966 ,64312 ,2745 ,09238 ,4846 ,15657
0,41452 0,40275 9,60503 0,91531 9,96157 0,44001 9,64346 2,2727 1,09252 2,483° i;i5628
,41481 ,40301 ,60532 ,91519 ,96151 ,44036 ,64381 ,2709 ,09266 ,4813 J5599
,41510 ,40328 ,60561 ,91508 ,96146 ,44°7i -64415 ,2691 ,09280 ,4797 Д5570
,41539 ,40355 ,60589 ,91496 ,96140 ,44Ю5 ,64449 ,2673 ,09294 ,4780 ,15541
,41568 ,40381 ,60618 ,91484 ,96135 ,4414° ,64483 ,2655 ,09308 ,4764 Д5512
0,41597 0,40408 9,60646 0,91472 9,96129 0,44175 9,64517 2,2637 1,09323 2,4748 1,15483
,41626 ,40434 ,60675 ,91461 ,96123 .44210 ,64552 ,2620 ,09337 ,4731 ,15454
,41655 ,40461 ,60704 ,91449 ,96118 ,44244 ,64586 ,2602 ,09350 ,4715 ,15424
,41684 ,40488 ,60732 ,91437 ,96112 ,44279 ,64620 ,2584 ,09365 ,4699 Д5395
,41713 ,40514 ,60761 ,91425 ,96107 ,44314 ,64654 ,2566 ,09379 ,4683 ,15366
0,41742 0,40541 9,60789 0,91414 9,96101 0,44349 9,64688 2,2549 1,09393 2,4667 i, 15337
,41772 ,40567 ,60818 ,91402 ,96095 ,44384 ,64722 ,2531 ,09407 ,4650 ,15308
,41801 ,40594 ,60846 ,91390 ,96090 ,44418 ,64756 ,2513 ,09421 ,4634 ,15279
,41830 ,40621 ,60875 ,91378 ,96084 ,44453 ,64790 ,2496 ,09435 ,4618 ,15250
,41859 ,40647 ,60903 ,91366 ,96079 ,44488 ,64824 ,2478 ,09449 ,4602 ,15221
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
p 1 cos x 1 ]g cos лг| sin x
Igsin л:
..ctg * |lgctgjc
tgx
cosec x
secx p I x
66°


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 65
24°
X
'
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
65
56
57
58
59
i
р [ sin x
0,41888 0,40674
,419*7 4°700
41946 4°727
4*975 4°753
,42004 4o78o
0,42033 0,40806
42062 ,40833
,42092 4°86o
421 21 4°886
42150 4°9*3
0,42179 0,40939
,42208 40966
42237 ,4°992
,42266 4*о*9
42295 .4*°45
0.42324 0,41072
42353 4*098
42382 4U25
,42412 4**5*
4244* 4**78
0,4247° 0,41204
42499 4*23*
42528 4*257
42557 4*284
,42586 413*о
0,42615 0,41337
,42644 4*3бз
42673 4*390
,42702 4*4*6
4273* 4*443
0,42761 041469
42790 4*496
.42819 4*522
42848 4*549
42877 4*575
042906 0,41602
42935 4*628
42964 ,4*655
42993 4*68i
43022 4*707
043°5! 0,41734
43°8i 4*760
43**° ,4*787
43*39 4*8*3
43*68 41840
о,43*97 041866
,43226 4*892
43255 4*9*9
,43284 4*945
433*3 4*972
0,43342 0,41998
4337* 42024
434°* 4205*
4343° ,42077
43459 42*04
043488 0,42130
435*7 42156
43546 42*83
43575 ,42209
,43604 42235
Igsin.* CQSJC
9,60931 0,91355
,60960 ,91343
,60988 ,9133*
,61016 ,9*3*9
,61045 ,9*307
9,61073 0,91295
,61101 ,91283
,6lI29 :9*272
,61158 ,9*260
,6и86 ,91248
9,61214 0,91236
,61242 ,91224
,61270 ,91212
,61298 ,91200
,61326 ,91188
9,61354 0,91176
,61382 ,91164
,61411 ,9**52
,61438 ,9**4°
,61466 ,91128
9,61494 0,91116
,61522 ,91104
,61550 ,91092
,61578 ,91080
,61606 .91068
9,61634 0,91056
,61662 ,91044
,61689 ,9*°32
,61717 ,9*020
•6*745 ,9*°°8
9,61773 0,90996
,6i8oo ,90984
,61828 ,90972
,61856 ,90960
,61883 ,90948
9,61911 0,90936
,61939 ,90924
.61966 ,909**
,61994 -9о899
,62021 ,90887
9,62049 0,90875
,62076 ,90863
,62104 ,9085*
,62131 ,90839
,62159 ,90826
9,62186 0,90814
,62214 ,90802
62241 ,9079°
,62268 ,90778
,62296 ,90766
9,62323 0,90753
,62350 ,9074*
,62377 .90729
,62405 .90717
,62432 .90704
9,62459 0,90692
.62486 ,90680
,62513 ,90668
,62541 ,90655
,62568 ,90643
lg COS*
9,96073
,96067
,96062
,96056
,96050
9,96045
,96039
,96034
,96028
,96022
9,96017
,96011
,96005
,96000
,95994
9.95988
,95982
,95977
,9597*
,95965
9,959бо
,95954
.95948
,95942
•95937
9.9593*
,95925
,95920
.959*4
,95908
9,95902
.95897
,95891
.95885
,95879
9-95873
,95868
,95862
•95856
.9585°
9.95844
-95839
.95833
.95827
,95821
9.958*5
,958*0
,95804
,95798
,95792
9,95786
,9578о
,95775
,95769
-95763
9,95757
,9575*
.95745
.95739
.95733
\gx
o,44523
44558
44593
44627
,44662
0,44697
44732
,44767
44802
44837
044872
44907
,44942
44977
.45012
0,45047
45082
45**7
45*52
45*87
0,45222
45257
45292
45327
45362
0,45397
45432
45467
455°2
45538
°, 45573
45608
45643
45678
457*3
o,45748
45784
458*9
45854
45889
Q45924
45960
•45995
46030
46065
0,46101
46136
46171
,46206
,46242
0,46277
463*2
,46348
46383
,46418
0,46454
,46489
46525
,46560
46595
Igtg x
9,64858
,64892
,64926
,64960
,64994
9,65028
,65062
,65096
,65*30
,65164
9,65*97
,6523*
,65265
65299
,65333
9,65366
,65400
,65434
,65467
,655°*
9.65535
,65568
,65602
,65636
,65669
9 65703
,65736
,65770
65803
,65837
9,65870
,65904
,65937
,65971
,66004
9,66038
,66071
,66104
,66138
,66171
9,66204
,66238
,66271
,66304
,66337
9,66371
,66404
,66437
,66470
,66503
9,66537
,66570
,66603
,66636
,66669
9,66702
66735
,66768
.66801
,66834
cigx
2,2460
,2443
,2425
,2408
,2390
2,2373
>2355
,2338
,2320
,2303
2,2286
,2268
.2251
,2234
,2216
2,2199
/2182
,2165
,2148
,2130
2,2113
.2096
,2079
,2062
,2045
2,2028
,2011
Д994
Д977
,1960
2, 1943
Д926
Д909
,1892
,I876
2,1859
,1842
Д825
,I808
Д792
2,1775
Д758
. Д742
,*725
,1708
2,1692
.1675
Д659
.1642
,1625
2,l6oQ
Д592
Д576
,*560
Д543
2,1527
Д5*°
Д494
Д478
,1461
sec x
1,09464
,09478
,09492
,09506
,09520
*,09535
,°9549
,09563
,09577
,09592
1,09606
,09620
.09635
,09649
,09663
1,09678
,09692
,09707
,09721
,09735
1,09750
,09764
,09779
,09793
,09808
1,09822
.09837
,0985*
,09866
,09880
1,09895
,09909
,09924
,09939
.09953
1,09968
09982
,09997
,10012
ДО026
1,10041
,10056
,10071
,I0085
ДО1ОО
1,10115
,10130
,10144
.10159
,10174
1,10189
,10204
,10218
,10233
,10248
1,10263
,10278
,10293
,10308
,10323
cosec x
2,4586
457°
4554
,4538
4522
2,4506
,4490
4474
445s
4442
2,4426
44**
4395
4379
,43бЗ
2,4348
-4332
43*6
.43°°
.4285
2,4269
4254
4238
,4222
,4207
2,4*9*
,4176
4160
4*45
,4*3°
24114
4°99
,4083
4068
4°53
2,4038
,4022
4007
,3992
,3977
2,3961
,3946
,393*
,39*6
,3901
2,3886
,3871
,3856
,384*
,3826
2,3811
,3796
.378*
.3766
,375*
2,3736
,372*
3706
,3692
,3677
P
1,15192
,*5*63
,*5*34
,*5*°4
Д5075
1,15046
.*5°*7
,14988
,*4959
,*4930
i, 14901
,14872
Д4843
,14814
Д4785
1Д4755
,14726
,14697
,14668
,*4б39
1,14610
Д4581
,*4552
Д4523
Д4494
1Д4465
Д4435
,14406
,*4377
Д4348
*Д43*9
,14290
,14261
Д4232
Д4203
*Д4*74
,*4*45
Д4**5
,14086
>*4°57
1,14028
Д3999
Д3970
Д394*
.13912
1,13883
Д3854
,13825
Д3795
,13766
*,*3737
,13708
,*3б79
,13650
,13621
*,i3592
Д3563
Д3534
,*35°5
, *3475
i
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
57
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
i
| р [ cos x [ lgcos.y| sin л- Igsinjtr ctg* |lgctg;»r tg x j cosec x\ sec x | p j x
__


66
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
25°
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
Р
°43бЗЗ
43662
43691
43720
4375°
0,43779
438о8
,43837
43866
43895
0,43924
43953
43982
,44011
,44040
0,44070
44099
,44128
44*57
,44186
044215
44244
44273
,443°2
44331
0,44360
4439°
44419
44448
44477
о,445сб
,44535
44564
44593
,44622
0,44651
,44680
447Ю
44739
44768
0,44797
,44826
44855
,44884
44913
0,44942
44971
,45000
45029
45°59
о45°88
,45* *7
45146
,45J75^
',45204
0,45233
45262
45291
45320
45349
Р
sin л:
0,42262
,42288
42315
42367
0,42394
,42420
42446
42473
42499
0.42525
42552
42578
,42604
42631
0,42657
,42683
42709
42736
,42762
0,42788
42815
,42841
,42867
,42894
0,42920
42946
42972
42999
43°25
0.43051
43077
,43104
4313°
43156
0,43182
43209
43235
43261
43287
0,43313
43340
43366
43392
43418
о,43445
43471
43497
43523
43549
о,43575
,43602
43628
' 43654
,43680
о,437°6
43733
43759
43785
43811
cos л
]g sin л:
9-62595
,62622
,62649
,62676
,62703
9,62730
,62757
,62784
,62811
,62838
9,62865
,62892
,62918
,62945
,62972
9,62999
,63026
,63052
,63079
,63106
9,63133
,63*59
,63186
,63213
,63239
9,63266
,63292
,63319
,63345
,63372
9,63398
,63425
,63451
.63478
,635°4
9,63531
,63557
,63583
,63610
,63636
9,63662
,63689
,63715
,63741
,63767
9,63794
,63820
,63846
,63872
,63898
9,63924
,6395°
,63976
,64002
,64028
9,б4°54
,64080
,64106
,64132
,64158
IgCOSJCJ
cos x
0,90631
,90618
,90606
,90594
,90582
0,90569
,90557
,90545
,90520
0,90507
,90495
,90483
,90470
,90458
0,90446
.90433
,90421
,90408
,90396
0,90383
,90371
,90358
,90346
,90334
0,90321
,90309
,90296
,90284
,90271
0,90259
,90246
,90233
,90221
,90208
0,90196
,90183
,90171
,90158
,90146
0,90133
,90120
,90108
,90095
,90082
0,90070
,90057
,90045
,90032
,90019
0,90007
,89994
,89981
,89968
,89956
0,89943
,89930
,89918
,89905
,89892
sin А"
lg COS X
995728
,95722
•95716
,95710
,95704
,95692
,95686
,95680
,95674
9,95668
,95663
,95657
i95645
9,95639
,95633
,95627
,95621
,956i5
9.95609
.95597
,95591
,95585
9,95579
,95573
,95567
,95561
,95555
9,95549
,95543
,95537
,95531
,95525
9,95519
,95513
,95507
,955oo
,95494
9,95488
,95482
,95476
,9547°
,95464
9,95458
,95452
,95446
,95440
,95434
9,95427
,95421
>954i5
,95409
,95403
9,95397
,95391
,95384
,95378
,95372
Igsin*
tgx
0,46631
,46666
,46702
46737
46773
0,46808
46843
,46875
,46914
,46950
0,46985
47021
47056
,47092
,47128
0,47163
47193
47234
,47270
47305
047341
47377
,47412
47448
47483
0,47519
47555
47590
,47626
,47662
0,47698
47733
47769
47805
,47840
0,47876
,47912
47948
,47984
,48019
0,48055
,48091
48127
,48163
,48198
0,48234
,48270
,48306
,48342
48378
0,48414
4845°
,48486
,48521
48557
0,48593
,48629
48665
,48701
48737
ctgx
| lg tg x
/ 9,66867
,66900
,66933
,66966
,66999
9,67032
,67065
,67098
,67131
,67163
9,67196
,67229
,67262
,67295
,67327
9,67360
,67393
,67426
,67458
,67491
9,67524
•67556
,67589
,67622
,67654
9,67687
,67719
,67752
,67785
,67817
9,67850
,67882
,67915
,67947
,67980
9,68012
,68044
,68077
,68109
,68142
9,68174
,68206
,68239
,68271
,68303
9,68336
,68368
,68400
,68432
,68465
9,68497
,68529
,68561
,68593
,68626
9,68658
,68690
,68722
,68754
,68786
lg ctg л
ctg.v
2Д445
,1429
Д413
Д396
,1380
2,1364
Д348
ДЭЗ2
Д315
,1299
2.1283
,1267
,1251
,1235
,1219
2,1203
,1187
,1171
Д155
,H39
2,1123
,1107
,1092
,1076
,1060
2,1044
,1028
,1013
,°997
,0981
2,0965
,095°
,0934
,0918
,0903
2,0887
,0872
,0856
,0840
,0825
2,0809
,0794
,0778
,0763
,0748
2,0732
,0717
,0701
,0686
,0671
2,0655
,0640
,0625
,0609
,°594
2,0579
,0564
.0549
,0533
,0518
tgx
I , sec x
1,10338
,i°353
,10368
,10383
,10398
1,10413
,10428
Д0443
,10458
,10473
1,10488
,10503
,10518
. ,10533
,i°549
1,10564
,10579
,10594
,10609
,10625
1,10640
,10655
,10670
,10686
,10701
1,10716
,10731
,10747
,10762
,10777
1,10793
,10808
,10824
,10839
,10854
1,10870
,10885
,10901
,10916
,10932
1,10947
,10963
,10978
,10994
,11009
1,11025
,11041
,11056
,11072
,11087
1,11103
,11119
ДИ34
,11150
,11166
1,11181
,11197
,11213
,11229
,11244
cosec x
| cosec x
2,3662
,3647
,3633
,3618
,3603
2,3588
,3574
,3559
,3545
,3530
2,3515
>3501
,3486
,3472
,3457
2,3443
,3428
,3414
,34°o
,3385
2,3371
,3356
,3342
,3328
,3314
2,3299
,3285
,3271
,3257
,3242
2,3228
,3214
,3200
,3186
,3172
2,3158
,3144
,313°
,3115
,3101
2,3088
,3074
,3060
,3046
,3032
2,3018
,3004
,2990
,2976
,2962
2,2949
,2935
,2921
,2907
,2894
2,2880
,2866
,2853
,2839
,2825
sec л:
P
1Д3446
Д3417
Д3388
Д3359
ДЗЗЗО
1,13301
,13272
Д3243
,13214
,13185
1,13156
,13126
Д3097
,13068
Д3039
1,13010
,12981
,12952
,12923
,12894
1,12865
,12836
,12806
,12777
,12748
1,12719
,12690
,12661
,12632
,12603
1,12574
,12545
,12516
,12486
Д2457
1,12428
Д2399
,12370
,12341
,12312
1,12283
,12254
,12225
,12196
,12166
1,12137
,12108
,12079
,12050
,12021
1,11992
,11963
,11934
Д1905
,11876
1,11847
,11817
,11788
,59
,1173°
P
r
60
59
58
57
56
55
'54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
64*


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Ь7
26
*
'
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
?9
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
1
р
045379
45408
45437
45466
45495
0,45524
,45553
45582
45би
,45640
0,45669
45699
45728
45757
45786
0,458*5
45844
45873
,459°2
4593*
0,45960
45989
,46019
,46048
,46077
0,46106
46*35
46164
,46*93
,46222
0,46251
,46280
,46309
46339
,46368
о,4б397
,46426
46455
46484
4б5*3
0,46542
4657*
,46600
,46629
46658
0,46688
,46717
,46746
46/75
,46804
046833
,46862
',4689*
,46920
,46949
046978
,47008
,-47037
,47066
•47095
Р
sin А:
043837
43863
43889
439*6
43942
0,43968
43994
,44020
,44046
,44072
0,44098
,44*24
44*5*
44*77
44203
0,44229
44255
,44281
,443°7
44333
0,44359
,44385
,444**
44437
,44464
0,4449°
445*6
,44542
44568
44594
0,44620
44б4б
44672
,44698
44724
0,4475°
44776
,44802
,44828
44854
0,44880
449°6
,44932
,44958
,44984
0,45010
,45036
,45062
45088
45**4
о,45*4о
45*66
,45*92
,452*8
,45243
0,45269
,45295
4532Т
-45347
•45373
cos лг
1 lg sin x
9,64*84
,64210
,64236
,64262
,64288
9.643*3
,64339
,64365
,6439*
,644*7
9,64442
,64468
,64494
,645*9
,64545
9,6457*
,64596
,64622
,64647
,64673
9,64698
,64724
,64749
,64775
,64800
9*64826
,6485*
,64877
,64902
,64927
9,64953
,64978
,65003
,65029
,65054
9.65079
,65*04
,65*30
.65*55
,65180
9,65205
,65230
,65255
,65281
,65306
9,6533*
,65356
,6538*
,65406
,6543*
9,65456
,6548*
,65506
,6553*
,65556
9,65580
,65605
,65630
,65655
,65680
lg COS X
COS X
0,89879
,89867
,89854
,8984*
,89828
0,89816
,89803
$9790
,89777
,89764
0,89752
,89739
,89726
,897*3
,89700
0,89687
,89674
,89662
,89649
,89636
0,89623
,89610
,89597
,89584
-8957*
0,89558
,89545
,89532
,895*9
,89506
0,89493
,89480
,89467
,89454
,89441
0,89428
,894*5
,89402
.89389
,89376
0,89363
,89350
,89337
,89324
,893**
0*89298
,89285
,89272
,89259
,89245
0,89232
,89219
,89206
,89*93
,89180
0,89167
,89*53
,89140
,89127
,89114
sin*
IgCOS-V
9,95366
,95360
-95354
,95348
,9534*
9-95335
,95329
,95323
,953*7
,953*o
9.95304
.95298
.95292
,95286
,95279
9,95273
,95267
,95261
•95254
,95248
9,95242
,95236
,95229
,95223
,952*7
9,9521*
,95204
,95*98
,95*92
•95*85
9,95*79
,95*73
,95*67
,95160
,95*54
9,95*48
,95*4*
,95*35
,95*29
,95*22
9,95* *6
,95**°
,95*03
,95°97
,95090
9,95084
,95078
,95°7*
,95065
,95°59
9.95052
,95046
,95°39
,95°33
,95027
9.95020
,950*4
,95007
,95001
,94995
lg sin x
igx
o,48773
,48809
48845
,48881
,489*7
048953
48989
,49026
,49062
,49098
049*34
49*7°
,49206
49242
49278
0,493*5
4935*
49387
49423
,49459
0,49495
,49532
49568
,49604
49640
0,49677
497*3
49749
49786
,49822
0,49858
,49894
4993*
49967
.50004
0,50040
,50076
,5°* *3
,50*49
,50*85
o, 50222
,50258
,50295
.5033*
,50368
0,50404
,5°44*
?0477
?05*4
,50550
0,50587
,50623
,50660
,50696
,5°733
0,50769
,50806
,50843
,50879
,50916
ctg.t jl
Jgtg*
9,68818
,68850
,68882
,68914
,68946
9,68978
,69010
,69042
.6,9074
,69106
9,69138
,69170
,69202
,69234
,69266
9,69298
,69329
,69361
,69393
,69425
9,69457
,69488
,69520
,69552
,69584
9,69615
,69647
,69675
,69710
,69742
9,69774
,69805
,6983-/
,69868
,69900
9,69932
,69963
,69993
,70026
,70058
9,70089
,70121
,70*52
,70184
• ,70215
9,70247
,70278
,70309
,7034*
,70372
9,70404
,70435
,70466
,70498
,70=529
,/ о У
9,70560
,70592
,70623
,70654
,70685
gctg*
[CtgJf
2,0503
,0488
.0473
,0458
,0443
2,0428
,0413
,0398
,0383
,0368
2.0353
,0338
,0323
,0308
-0293
2,0278
,0263
,0248
,0233
,0219
2,0204
,0189
,0*74
,0160
,o*45
2,0130
,0115
,0101
,0086
,0072
30057
,0042
,0028
,0013
> 1,9999
1.9984
,997°
,9955
,994*
,9926
1,99*2
,9897
,9883
,9868
,9854
1,9840
,9825
,9811
,9797
,9782
1,9768
,9754
,9740
.9725
-97**
1,9697
,9683
,9669
,9654
,9640
tg*
secx
1,11260
•,11276
,11292
,11308
,1*323
*,**339
,**355
.7i
,**387
,1*403
1,11419
,i*435
,**45*
.11467
,1*483
1,1-1499
,**5*5
,**53i
,**547
,**5бЗ
*,**579
,**595
,11611
,11627
,11643
i 11659
,**675
,1*691
,11708
,11724
1,11742
,**75б
,11772
,11789
,11805
1,11821
,11838
,1*854
,11870
,11886
1,11903
,H9I9
,**93б
,**952
,11968
1,11985
,12001
,12018
,12034
,12051
1,12067
,12084
,I2IOO
,12117
,12133
1,12150
,I2l66
,12183
,12199
,I22l6
cosec x
cosec x
2,2812
,2798
,2785
,2771
,2757
2,2744
,273°
,27*7
,2703
,2690
2,2677
,2663
,2650
,2636
,2623
2,2610
.2596
.2583
•257°
,2556
2.2543
,253°
-25*7
,2504
,2490
2,2477
,2464
,245*
,2438
,2425
2,2412
,2399
,2385
,2372
,2359
2,2346
,2333
,2320
.2308
,2295
2,2282
,2269
,2256
2243
,2230
2,2217
,2205
,2192
,2179
,2166
2,2153
,2141
,2128
,21*5
2103
2,2090
,2077
,2065
,2052
.2039
sec x
P
1,11701
,11672
,11643
,11614
,11585
*.**556
,**527
,11497
,11468
,1*439
1,11410
,1138*
,**352
,1*323
,11294
1,11265
,11236
,11207
,1*177
,11148
1,11119
,11090
,11061
,11032
,11003
1,10974
,10945
,10916
,10887
,10857
1,10828
,10799
,10770
,10741
,10712
1,10683
,10654
,10625
,10596
,10567
1,10538
,10508
,10479
,1045°
,10421
1,10392
,10363
,*°334
,10305
,10276
1,10247
,10218
,10188*
,*o*59
,10130
1,10101
,10072
,10043
,10014
,09985
я 1
1
1
69
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
• i
x
63°


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
2Г
*1
•>
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
3В
87
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
i
i-
0,47124
47153
47182
4721 1
47240
047269
47298
47328
47357
47386
047415
47444
47473
47502
47531
0,47560
•47589
47618
47647
,47б77
0477об
47735
47764
47793
,47822
0,47851
,47880
47909
47938
47967
0,47997
,48026
48055
,48084
48113
048142
48171
,48200
48229
,48258
0,48287
48317
48346
48375
,48404
0.48433
,48462
,48491
48520
48549
048578
48607
48637
,48666
48695
0,48724
48753
,48782
,48811
48840
sin*
0,45399
»45425
45451
45477
455°3
0,45529
45554
4558o
,45606
45632
045658
,45684
457Ю
45736
45762
045787
45813
45839
45865
45891
0459*7
45942
45968
45994
46020
0,46046
46072
46097
,46123
46149
046175
,46201
,46226
46252
46278
0,46304
46330
46355
46381
46407
046433
46458
46484
4651°
46536
046561
46587
46613
46639
46664
046690
,46716
46742
46767
46793
0,46819
46844
46870
,46896
46921
Igsin*
9,65705
,65729
>65754
,65779
,65804
9,65828
,65853
,65878
,65902
,65927
9,65952
,659/6
,66001
,66025
,66050
9,66075
,66099
,66124
,66148
,66173
9,66197
,66221
,66246
,66270
,66295
9.66319
,66343
,66368
,66392
,66416
9,66441
,66465
,66489
,66513
,66537
9,66562
,66586
,66610
,66634
,66658
9.66682
,66706
.66731
,66755
,66779
9,66803
,66827
,66851
,66875
,66899
9,66922
,66946
,66970
,66994
,67018
9,67042
,67066
,67090
,67113
,67137
cos *
0,89101
,89087
,89074
,89061
,89048
0,89035
,89021
,89008
,88995
,88981
0,88968
,88955
,88942
,88928
,88915
0,88902
,88888
,88875
,88862
,88848
0,88835
,88822
,88808
,88795
,88782
0,88768
,88755
,88741
,88728
,88715
0,88701
,88688
,88674
,88661
,88647
0,88634
,88620
,88607
,88593
,88580
0,88566
.88553
,88539
,88526
,88512
0,88499
,88485
,88472
,88458
,88445
0,88431
,88417
,88404
,88390
,88377
0,88363
,88349
,88336
,88322
,88308
Ig cos *
9,94988
,94982
,94975
,94969
,94962
9,94956
»94949
,94943
#4936
,9493°
9,94923
,94917
,94911
,94904
,94898
9,94891
,94885
,94878
,94871
,94865
9.94858
,94852
,94845
,94839
,94832
9,94826
,94819
,948i3
,94806
,94799
9*94793
,94786
,94780
,94773
.,94767
9,94760
,94753
,94747
,94740
,94734
9.94727
,94720
,9474
,94707
,94700
9,94694
,94687
,94680
,94674
,94667
9,94660
,94654
,94647
.94640
'94634
9,94627
,94620
,94614
,94607
,94600
tg*
o,50953
,50989
.51026
,5lo63
.51099
o,56
.5JI73
.51209
,51246
,5I283
0,51319
,5*356
»5*393
,543°
.5467
0,51503
,51540
,5*577
,5*6*4
,5*65*
0,51688
«51724
«51761
,5*798
6i835
0,51872
,5*9°9
,5*946
,5*983
,52020
0,52057
•52094
,52131
,52168
,52205
0,52242
,52279
,523i6
,52353
-5239°
0,52427
,52464
525°*
,52538
,52575
0,52613
,52650
,52687
,52724
,52761
0,52798
,52836
,52873
,52910
,52947
0,52985
»53°22
,53059
,53096
.53134
Igtg*
9,70717
,70748
,70779
,70810
,70841
9,70873
,70904
.70935
,70966
,70997
9,71028
,7Ю59
,71090
,71121
,7ii53
9,71184
,71215
,71246
,71277
,71308
9.71339
>7I370
,7401
.7431
,71462
97493
-71524
,71555
>7i586
,71617
9,71648
,71679
,71709
,71740
,7*77*
9,71802
,7*833
,71863
,71894
,7*925
9,71955
,71986
,72017
,72048
.72078
9.72109
,72140
,72170
,72201
,72231
9,72262
,72293
,72323
,72354
,72384
9.72415
>72445
,72476
,72506
,72537
ctg*
1,9626
,9612
,9598
,9584
,957°
i,9556
,9542
,9528
,954
,95oo
1,9486
,9472
,9458
,9444
,9430
1,9416
,9402
,9388
,9375
,936i
1,9347
,9333
,93*9
,93°6
,9292
i 9278
,9265
,9251
,9237
.9223
1,9210
,9196
.9183
,9169
-9155
1,9142
,9128
.9115
,9101
,9088
1,9074
.9061
,9°47
•9034
.9020
1.9007
,8993
.8980
:89б7
,8953
1,8940
-8927
,8913
,8900
.8887
i,8873
,8860
,8847
,8834
,8820
sec*
1,12233
,12249
,12266
,12283
,12299
1,12316
Д2333
,12349
,12366
,12383
i, 12400
,12416
Д2433
12450
,12467
1,12484
,12501
,12518
,12534
>*255*
1,12568
,12585
,12602
,12619
,12636
1,12653
,12670
,12687
.12704
,12721
1,12738
,12755
,12772
, 12789
,12807
1.12824
,12841
,12858
,12875
,12892
1,12910
,12927
,12944
,12961
,12979
1,12996
,13013
Д3031
,13048
,13065
1,13083
,13100
ДЗИ7
Д3135
Д3152
1,13170
,13187
,13205
,13222
,1324°
cosec *
2,2027
,2014
,2002
,1989
Д977
2,1964
Д952
Д939
,1927
Д94
2,1902
,1890
,1877
,1865
,1852
2,1840
,1828
,1815
,1803
Д791
2,1779
,1766
Д754
,1742
Д73°
2,1718
Д7°5
Дб93
,i68i
,1669
2.1657
Дб45
,1633
,1621
,1609
21596
Д584
Д572
,1560
Д549
2Д537
Д525
Д5*3
Д501
,489
2,477
Д4б5
,453
,1441
,43°
2,1418
,1406
Д394
Д382
Д371
2Д359
Д347
ДЗЗ6
Д324
Д312
Р
1,09956
,09927
,09898
,09869
.09839
1,09810
,09781
,09752
,097.23
,09694
1,09665
,09636
,09607
,09578
,09548
1,09519
,09490
,09461
,09432
,°94°3
1,09374
,09345
,09316
,09287
,09258
1,09229
,09199
,09170
,0941
,09112
1,09083
,°9°54
,09025
,08996
,08967
1,08938
,08909
.08879
,08850
,08821
1,08792
,08763
,08734
,08705
,08676
1,08647
,08618
,08589
,08559
,0853°
1.08501
,08472
,08443
,0844
,08385
1,08356
,08327
,08298
,08269
,08240
1
60
59
58
57
56
51
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
/
j р cos* Igccs* sin*
Igsin*
ctg*
Ig Ctg X
\gx
cosec*
sec* p 1 д:
62


28°______________________________________
л: I р sin x Igstnjc cos x Igcosjcj tg x lgtg*jctg.v sec* cosec* p I
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
3*
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
i
0,48869 0,46947 9,67161 0,88295 9,94593 0,53171 9,72567 1,8807 1,13257 2,1301 1,08210
,48898 -,46973 .67185 ,88281 ,94587 ,53208 ,72598 ,8794 ,13275 .1239 ,08181
,48927 ,46999 ,67208 ,88267 ,94580 ,53246 ,72628 ,8781 ,13292 ,1277 ,08152
,48956 ,47024 .67232 ,88254 ,94573 ,53283 ,72659 ,8768 ,13310 ,1266 ,08123
,48986 ,47°5° ,67256 ,88240 ,94567 ,53320 ,72689 ,8755 ,13327 ,1254« ,08094
0,49015 0,47076 9,67280 0,88226 9,94560 0,53358 9,72720 1,8741 1,13345 2,1242 1,0806.
,49044 ,47101 ,67303 ,88213 ,94553 .53395 ,72750 ,8728 .13362 ,1231 ,0803»
49°73 ,47127 ,67327 ,88199 ,94546 ,53432 ,72780 ,8715 ,13380 ,1219 ,08007
,49102 47153 16735° ,88185 ,94540 ,53470 ,72811 ,8702 ,13398 ,1208 ,07978
.49131 ,47178 ,67374 ,88172 ,94533 .53507 /72841 ,8689 ,13415 ,1196 ,07949
0,49160 0,47204 9,67398 0,88158 994526 0,53545 9,72872 1,8676 I..I3433 2,1185 1,07920
,49189 ,47229 ,67421 ,88144 »945J9 >53582 ,72902 ,8663 ,13451 ,1173 ,07890
,49218 ,47255 ,67445 ,88130 ,94513 ,53620 ,72932 ,8650 ,13468 ,1162 ,07861
,49247 ,47281 ,67468 ,88117 ,945°6 ,53657 >729бз ,8637 ,13486 ,1150 .07832
,49276 ,473o6 ,67492 ,88103 ,94499. ,53694 .72993 ,8624 ,13504 Д139 ,07803
0,49306 0,47332 9,67515 0,88089 9^94492 0,53732 9,73023 1,8611 1,13521 2,1127 1.07774
,49335 «47358 ,67539 ,88075 ,94485 ,53769 ,73054 ,8598 ,13539 ,1116 ,07745
,49364 ,47383 ,67562 ,88062 ,94479 ,53807 ,73084 ,8585 ,13557 ,"°5 ,07716
-49393 ,47409 ,6/586 ,88048 ,94472 ,53844 ,73114 ,8572 ,13575 ,i°93 ,07687
,49422 ,47434 ,67609 ,88034 .94465 ,53882 ,73144 ,8559 ,13593 ,1082 ,07658
0,49451 0,47460 9,67633 0,88020 9,94458 0,53920 9,73175 1,8546 1,13610 2,1070 1,07629
,49480 ,47486 ,67656 ,88006 .94451 ,53957 ,73205 ,8533 ,13628 ,1059 ,07600
,49509 ,47511 ,67680 ,87993 ,94445 ,53995 ,73235 ,8520 ,13646 ,1048 ,07570
,49538 ,47537 ,67703 ,87979 ,94438 ,54032 ,73265 ,8507 ,13664 ,1036 ,07541
,49567 47562 ,67726 ,87965 ,94431 ,54070 ,73295 ,8495 ,13682 ,1025 ,07512
0,49596 0,47588 9,67750 0,87951 9,94424 0,54107 9,73326 1,8482 1,13700 2,1014 1,07483
49626 ,47614 ,67773 ,87937 ,94417 ,54145 ,73356 ',8469 ,13718 ,1002 ,07454
49655 47639 ?7796 ,87923 ,94410 ,54183 ,73386 ,8456 ,13735 ,0991 ,07425
49684 47665 ,67820 ,87909 ,94404 ,54220 ,73416 ,8443 ,13753 ,0980 ,07396
49713 47690 ,67843 -87896 ,94397 ,54258 ,73446 ,8430 ,13771 ,0969 ,07367
0,49742 0,47716 9,67866 0,87882 9,94390 0,54296 9,73476 1,8418 1,13789 2,0957 1,07338
49771 ,47741 ,67890 ,87868 ,94383 ,54333 ,73507 ,8405 ,13807 ,0946 ,07309
,49800 ,47767 ,67913 ,87854 ,94376 ,54371 ,73537 ,8392 ,13825 ,0935 ,07280
49829 ,47793 ,67936 ?7840 ,94369 ,54409 ,73567 ,8379 Д3843 ,0924 ,07250
49858 47818 ,67959 ,,87826 ,94362 ,54446 ,73597 ,8367 ,13861 ,0913 ,07221
0,49887 0,47844 9,67982 0,87812 9,94355 0,54484 9,73627 1,8354 1,13879 2,0901 1,07192
49916 ,47869 ,68006 ,87798 ,94349 ,54522 ,73657 ,8341 ,13897 ,0890 ,07163
49946 ,47895 ,68029 ,87784 ,94342 ,54560 ,73687 ,8329 ,13916 ,0879 ,07134
49975 47920 ,68052 ,87770 ,94335 ,54597 ,73717 ,8316 ,13934 ,0868 ,07105
,50004 .47946 ,68075 ,87756 ,94328 ,54635 ,73747 ,8303 ,13952 ,0857 ,07076
0,50033 0,47971 9,68098 0,87743 9,94321 0,54673 9,73777 1,8291 1,13970 2,0846 1,07047
,50062 ,47997 ,68121 ,87729 ,94314 ,54711 ,73807 ,8278 ,13988 ,0835 ,07018
,50091 ,48022 ,68144 '87715 ,94307 ,54748 ,73837 ,8265 ,14006 ,0824 ,06989
,50120 48048 ,68167 ,87701 ,94300 ,54786 ,73867 ,8253 ,14024 ,0813 ,06960
,50149 48073 ,68193 ,87687 ,94293 ,54824 ,73897 .8240 ,14042 ,0802 ,06931
0,50178 0,48099 9,68213 087673 9,94286 0,54862 9,73927 1,8228 1,14061 2,0791 1,06901
,50207 ,48124 ,68237 ,87659 ,94279 ,54900 ,73957 ,8215 ,14079 ,0779 ,06872
,50236 48150 ,68260 ,87645 ,94273 ,54938 ,73987 ,8202 ,14097 ,0768 ,06843
,50265 ,48175 ,68283 ,87631 ,94266 ,54975 ,74017 ,8190 ,14115 ,0757 ,06814
,50295 48201 ,68305 ,87617 ,94259 ,55OI3 ,74047 ,8i77 Д4134 ,0747 ,06785
0,50334 0,48226 9,68328 0,87603 9,94252 0,55051 9,740771,81651,14152 2,0736 1,06756
,5°353 48252 ,68351 ,87589 ,94245 ,55089 ,74107 ,8152 ,14170 ,0725 ,06727
,50382 ,48277 ,68374 37575 ,94238 ,55127 ,74137 ,8140 ,14188 ,0714 ,06698
,50411 48303 ,68397 .87561 ,94231 ,55l65 ,74i66 ,8127 ,14207 ,0703 ,06669
,50440 ,48328 ,68420 ,87546 ,94224 ,55203 ,74196 ^115 ,14225 ,0692 ,06640
0,50469 0,48354 9,68443 0.87532 9,94217 0,55241 9,74226 1,8103 1,14243 2,0681 1,06611
,50498 ,48379 ,68466 ,87518 ,94210 ,55279 ,74256 ,8090 ,14262 ,0670 ,06581
,50527 48405 ?8489 ,87504 ,94203' ,55317 ,74386 ,8078 ,14280 ,0659 ,06552
,50556 ,48430 ,68512 ,87490 ,94196 ,55355 ,74316 ,8065 ,14299 ,0648 ,06523
,50585 ,48456 ,68534 ,87476 ,94189 ,55393 ,74345 ,8053 ,14317 ,0637 ,06494
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
3d
38
37
35
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
1.7
16
15
14
13
12
11
10
9
8
.7
8
5
4
3
2
1
| p | cosx jig cos* I sin* Igsinx ctgx !gctg*| tg.*: cosec x I sec x
P
61*


70 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
29
X
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
<
P
0,50615
,50644
?об73
,50702
,50731
0,50760
,50789
,50818
,50847
,50876
0,50905
,50935
,50964
,50993
,51022
0,5*051
,51080
,5II09
,58
.57
0,51196
,5*225
,5*255
,5*284
,5*3*3
o,5*342
,5*37*
,51400
,5*429
,5*458
0,51487
,5*5*6
,5*545
.5*574
,51604
0,5*633
,5*662
,5*69*
,5*720
,5*749
0,51778
,5*807
,5*836
,5*865
,5*894
о 5*924
,5*953
,5*982
,52011
,52040
0,52069
,52°98
,52*27
,52*5б
,52*85
0,52214
,52244
,52273
,,52302
,5233*
P ?
sin*
0,48481
,48506
,48532
t,48557
,48583
0,48608
,48634
,48659
,48684
,48710
o,48735
,48761
,48786
,48811
,48837
0,48862
,48888
,489*3
,48938
,48964
0,48989
,490*4
,4904°
.49065
,49090
0,49116
,49*4*
,49166
,49192
,492*7
049242
.49268
49293
,493*8
,49344
о,493б9
49394
494*9
49445
4947°
0,49495
4952*
49546
4957*
49596
0,49622
49647
,49672
49697
49723
0,49748
149773
49798
49824
,49849
0,49874
49899
,49924
4995°
49975
cosx
Ig sin к
9,68557
,68580
,68603
,68625
,68648
9,68671
,68694
,68716
,68739
,68762
9,68784
,68807
,68829
,68852
,68875
9,68897
,68920
,68942
.68965
,68987
9,69010
,6oi»32
,69655
,69077
,69100
9,69122
,69144
,69167
,69189
,69212
9-69234
,69256
,69279
,69301
,69323
9,69345
,69368
,69390
,69412
,69434
9,69456
,69479
,69501
,69523
,69545
9,69567
,69589
,69611
,69633
.69655
9,69677
,69699
,69721
,69743
,69765
9,69787
,69809
,6983*
,69853
,698/5
Igcos x
1 С >S*
0,87462
,87448
,87434
,87420
,87406
0,87391
,87377
,87363
,87349
,87335
0,87321
,87306
,87292
,87278
,87264
0,87250
,87235
,87221
,87207
.87*93
0,87178
,87164
,87150
,87136
,87121
0,87107
,87093
,87079
,87064
,87050
0,87036
,87021
,87007
,86993
,86978
0,86964
,86949
,86935
,86921
,86906
0,86892
,86878
,86863
,86849
,86834
0,86820
,86805
,8679T
,86777
,86762
0,86748
,86733
,86719
,86704
,86690
o,86675
,8666i
,86646
,86632
,866i7
sin x
j Ig COS X
9,94182
-94*75
,94168
,94161
,94*54
9,94*47
,94*40
,94*33
,94126
,94* *9
9,94112
,94*05
,94098
,94090
,94083
9,94076
.94069
,94062
,94055
,94048
9,9404*
,94034
,94027
,94020
,94012
9,94005
,93998
•9399*
,93984
,93977
9-9397°
,93963
,93955
,93948
.9394*
9/93934
,93927
,93920
?39*2
.93905
9-93898
,9389*
,93884
,93876
,93869
9.93862
,93855
,93847
,93840
,93833
9,93826
,93819
,938n
,93804
,93797
9*93789
,93782
,93775
,93768
,937бо
Ig sin A"
tg*
0-5543*
,55469
,55507
•55545
,55583
0,55621
,55659
.55697
,55736
,55774
0,558*2
,5585°
,55888
,55926
,55964
0,56003
,56041
,56079
^l
,56*56
0,56194
,56232
,56270
,56309
,56347
0,56385
,56424
,56462
,5650*
,56539
0,56577
,56616
,56654
.56693
,5673*
0,56769
,56808
,56846
,56885
,56923
0,56962
,570°°
,5/039
,57078
,57
o,57*55
,57*93
,57232
,5:271
,573°9
0,57348
-57386
,57425
,57464
,57503
0,5754*
»5758o
,576*9
,57657
.57696
ctg*
Igtgx
9.74375
,74405
,74435
,74465
,74494
9>74524
,74554
,74583
,746*3
,74643
9-74673
•74702
,74732
,74762
,7479*
9,74821
,7485*
,74880
,749*o
,74939
9,74969
,74998
,75028
,75058
,75087
9/75* *7
,75*46
,75*76
,75205
>75235
9,75264
,75294
,75323
-75353
,75382
9,754**
,7544*
•75470
,75500
,75529
9.75558
.75588
,756*7
,75647
,75676
9,75705
,75735
,75764
,75793
,75822
9,75852
,7588*
,759*0
,75939
,75969
9.75998
,76027
,76056
,76086
,76115
Ig ctg x\
ctg*
1,8040
,8028
.8016
,8003
,799*
*,7979
,7966
•7954
,7942
,793°
*,79*7
,7905
,7893
,7881
,7868
1,7856
,7844
,7832
,7820
,7808
1,7796
,7783
,777*
,7759
,7747
1,7735
,7723
.7711
,7699
,7687
1,7675
,7663
,765*
,7639
,7627
1,7615
,7603
,759*
-7579
,75б7
*,7556
,7544
,7532
,7520
,7508
1,7496
.7485
•7473
,746i
,7449
*,7437
,7426
,74*4
,7402
,739*
*,7379
,73б7
,7355
,7344
.7332
tgv
sec *
*,*4335
Д4354
,14372
Д439*
,14409
1,14428
,14446
Д4465
Д4483
,14502
1,14521
Д4539
Д4558
Д4576
Д4595
1,14614
,14632
Д465*
,14670
,14689
1,14707
.14726
Д4745
,14764
,14782
1,14801
,14820
-*4839
,14858
,14877
1,14896
Д49*4
Д4933
Д4952
Д497*
*Д499°
Д5°°9
,15028
Д5°47
,15066
*Д5°85
,*5*°5
,*5*24
•*5*43
15162
1, 15181
.15200
>*52*9
Д5239
,15258
*Д5277
Д5296
Д53*5
Д5335
Д5354
*,'*5373
Д5393
Д54*2
Д543*
Д545*
cosec x
cosec*
2,0627
,0616
,0605
>°594
,0583
2, °573
,0562
,°55*
,0540
,0530
2,05Г9
,0508
,0498
,0487
,0476
2,0466
.°455
.0445
,0434
,0423
2,0413
,0402
,0392
,0381
,037*
2.0360
,035°
,0339
,0329
,03*8
2,0308
,0297
,0287
,0276
,0266
2,0256
,0245
,0235
,0225
,O2I4
2,0204
,0194
,OI83
,0173
,0163
2,0152
,0142
,0132
,OI22
VOII2
2,0101
Soo9i
,0081
,0071
,0061
2,0051
,0040
,0030
,0020
.0010
sec *
P
106465
,06436
,06407
,06378
,06349
1,06320
,06291
,06261
,06232
,06203
1,06174
,06145
,06116
,06087
,06058
1,06029
,06000
,°597*
-0594*
.05912
1/05883
,05854
.05825
.05796
,05767
'°57°9
,05680
,0565*
,05622
*-05592
-05563
,05534
.05505
,05476
1-05447
,054*8
,05389
,05360
,0533*
1,05302
,05272
,05243
-052*4
05*85
*P5*56
,05127
,05098
,05069
,05040
1,05011
,04982
,04952
,04923
,04894
1,04865
,04836
,04807
,04778
,04749
p 1
1
/
6Э
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
38
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
И
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
;
X


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
71
30е
•-•
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
t
p
0,52360
,52389
,52418
,52447
,52476
0,52505
,52534
,52563
,52593
,52622
0,52651
,52680
,52709
,52738
,52767
0,52796
,52825
,52854
,52883
,52913
0,52942
,52971
,53000
,53029
,53058
0,53087
,53116
.53145
,53174
,53203
0,53233
,53262
,53291
,53320
,53349
0,53378
,53407
,53436
,53465
,53494
о,53523
,53553
,53582
,53би
,5364°
0,53669
,53698
,53727
,53756
,53785
0,53814
,53843
,538/2
,53902
.5393Т
о,539бо
,53989
,54018
,54047
>JT Т/
,54076
s\nx
0,50000
,50025
,50050
»O 0
,50076
,50101
0,50126
,5OI5i
,5OI76
,50201
,50227
0,50252
,50277
,50302
,50327
,50352
0,50377
,50403
,50428
,50453
,50478
0,50503
,50528
,50553
,50578
,50603
0,50628
,50654
,50679
,50704
,50729
0,50754
,50779
,50804
,50829
,50854
0,50879
,50904
•50929
,50954
,50979
0,51004
,51029
,5Ю54
,5Ю79
,5II04
0,51129
,54
,5^79
,51204
,51229
o,5*254
,5I279
,5T3°4
,5*329
,51354
o,5!379
,5404
,5429
,5*454
,51479
Ig sin x \ cos x jig cos x
9,69897 0,86603 9,93753
,69919 ,86588 ,93746
,69941 ,86573 ,93738
,69963 ,86559 ,93731
,69984 ,86544 ,93724
9,70006 0,86530 9,93717
,70028 ,86515 ,03709
,70050 ,86501 ,0.3702
,70072 ,86486 ,93695
,70093 ,86471 ,93687
9,70115 0,86457 9,9з68с
,70137 ,86442 ,9зб73
,70159 ,86427 ,93665
,70180 ,86413 ,93658
,70202 ,86398 ,9365°
9,70224 0,86384 9>93643
,70245 ,86369 ,93636
,70267 ,86354 ,93628
,70288 ,8634° ,93621
,70310 ,86325 ,93614
9,7озз2 0,86310 9'93боб
,7°353 ,86295 ,93599
,7°375 .86281 ,93591
,7оз96 ,86266 ,93584
,70418 ,86251 ,93577
0,70439 0,86237 9-93569
,70461 ,86222 ,93562
,70482 ,86207 ,93554
,70504 ,86192 ,93547
,70525 ,86178 ,93539
9,70547 0,86163 9-93532
,70568 ,86148 ,93525
,70590 ,86i33 ,935*7
,7о6и ,86и9 ,93510
,70633 ,86ю4 ,935°2
9,70654 0,86089 9-93495
,7о675 ,86074 ,93487
,70697 ,86059 ,9348о
,70718 ,86045 ,93472
,7о739 ,86030 ,93465
9,7o76i 0,86015 9-93457
,70782 ,86000 ,9345°
,70803 ,85985 ,93442
,70824 ,8597° ,93435
,70846 ,85956 ,93427
9,70867 0,8594! 9,93420
,7о888 ,85926 ,93412
,7о909 ,85911 -934°5
,70931 ,85896 ,93397
,70952 ,85881 ,9339°
9,70973 0,85866 9,93382
,70994 ,8585! .93375
,71015 ,85836 ,933б7
,71036 ,85821 -933бо
,71058 ,85806 ,93352
9,71079 0,85792 9,93344
,7иоо ,85777 .-93337
,7U2i ,85762 >93329
,71142 ,85747 >93229
,71163 ,85732 ,9334
tg* Igtg*
о,57735 9,7бЧ4
,57774 ,76173
,57813 ,76202
,57851 ,76231
,5789° ,76261
0,57929 9,76290
,57968 ,763^
,58007 ,76348
,58046 ,76377
,58085 ,76406
0,58124 9,7б435
,58162 ,76464
,58201 ,76493
,58240 ,76522
,58279 .76551
0,58318 9-76580
,58357 »7б6од
,58396 ,76639
,58435 ,76668
,58474 ,76697
0,58513 9-76725
,58552 ,7f754
,58591 .76783
,58631 ,76812
,58670 ,76841
0,58709 9,7687°
,58748 ,76899
,58787 ,76928
,58826 ,76957
.58865 ,76986
0,58905 9.77015
,58944 »77°44
,58983 »77°73
,59022 ,77iQI
,59061 ,7713°
0,59101 9,77159
,5914° »77l88
,59179 ,77217
,59218 ,77246
,59258 ,77274
0,59297 9,77303
,59336 ,77332
,59376 ,7736i
,59415 ,7739°
,59454 »774i8
о,59494 9*77447
,59533 .77476
,59573 »775°5
,59612 ,77533
,59651 ,77562
0,5969* 9,7759Т
,5973° ,77619
,5977° '77648
,59809 ,77677
,59849 ,77706
0,59888 977734
,59928 ,77763
,59967 ,7779 г
,6ооо7 ,77^20
,60046 ,77849
Ctg X
1,7321
,73°S
,7291
,728^
,7274
i, 726^
,7251
,7239
,722^
,721^
I» 720;
>7Г95
,7182
,7i7c
,7*5S
i,7i47
,7*3^
,7I24
,7
,7102
i,7°9c
,7°7S
,7067
,705^
-7°45
i,7033
,7022
,7011
,6999
,6988
1,6977
,6965
,6954
,6943
,6932
1,6920
,6909
.6898
,6887
,6875
1,6864
,6853
,6842
,6831
,682C
1,6808
56797
,6786
,6775
.6764
1,6753
,6742
,6731
,6720
,6709
1,669,8
,668;
,6676
,666s
,6654
sec x
i, 1547°
) Д5489
i Д5509
i Д5528
l -!5548
* i»i5567
,*5587
» ,15606
[ ,15626
> ,15645
, 1,15665
! ,15684
! Д5704
> ,15724
) Д5743
1Д5763
» ,15782
,15802
,15822
,15841
» 1,15861
,15881
,15901
' Д5920
Д5940
i, 15960
,15980
,16000
i ,16019
,16039
1,16059
,16079
,16009
,16119
,16139
1,16159
» ,16179
,16199
,16219
,16239
1,16259
,16279
,16299
,16319
,16339
1,16359
,16380
,16400
,16420
,16440
1,16460
,16481
,16501
» ,16521
i ,16541
1,16562
,16582
,16602
,16623
- ,16643
2,0000 1,04720
1,9990 ,04691
,9980 ,04662
,9970 ,04633
,9960 ,04603
1,995° 1.04574
,9940 ,0^545
,993° ,°45l6
,9920 ,04487
,9910 .04458
1,9900 1,04429
,9890 ,04400
,9880 ,04371
,9870 ,04342
,9860 ,04313
1,9850 1,04283
,9840 ,04254
,9830 ,04225
,9821 ,04196
9811 ,04167
1,9801 1,04138
,9791 ,04109
,9781 ,04080
,9771 ,040s1
,9762 ,04022
1,9752 1,03993
,9742 ,03963
,9732 ,03934
,9722 ,03905
.9713 ,03876
1,9703 1-03847
,9693 ,038i8
,9684 ,03789
,9674 ,03760
,9664 .0373i
1.9654 1,03702
,9645 ,03673
,9635 '03б43
,9625 ,03614
,9616 ,03585
1,9606 1,03556
,9597 ,03527
,9587 >034°8
•9577' ,03469
,9568 ,03440
1,9558 1Р34И
,9549 .03382
,9539 »°3353
,953° ,03324
,9520 ,03294
1,9511 1,03265
,9501 ,03236
,9492 ,03207
,9482 ,03178
,9473 -0349
1,9463 1,03120
,9454 ,03091
,9444 ,03062
,9435 ,03033
,9425 ,03004
.
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
г
I p I cos x lgcosAr| sin x jig sin. с ctg^r Igctgx tgx jcosec.v| sccx \ p
59е


72 , МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
31
х\ р I sin x j Igsin^r! cosx Igcosjf tg x j Igtgjc|ctg.x: sec x cosecxj p j
10
11
12
<3
14
15
16
17
18
19
25
26
27
28
29
30
31
32
33
84
35
36
37
38
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,54105 0,51504 ft 71184 0,85717 9,93307 0,60086 9.77877 16643 1,16663 1,9416 1,02974
.54134 »5J529 ,71205 ,85702 ,93299 ,60126 ,77906 ,6632 ,16684 ,9407 ,0294=;
,54163 61554 ,71226 ,85687 ,93291 ,60165 ,77935 ,6621 ,16704 ,9397 ,02916
'54192 ,51579 ,71247 ,85672 ,93284 ,60205 ,77963 ,6610 ,16725 ,0388 ,02887
,54222 ,51604 ,71268 ,85657 ,93276 .60245 ,77992 6599 ,16745 ,9379 ,02858
0,54251 0,51628 9,71289 0,85642 9,93269 0,60284 9/78020 1,6588 1,16766 1,9369 1,02829
,54280 ,51653 ,71310 ,85627 ,93261 ,60324 ,78049 ,6577 ,16786 ,9360 ,02800
>543°9 ,5l678 r7!33i ,85612 ,93253 ,60364 ,78077 6566 ,i68o6 ,9351 02771
'
.54338 ,5i7°3 71352 ,85597 ,93246 ,60403 ,78106 ,6555 ,16827 ,934i ,02142
,54367 ,51728 ,71373 ,85582 ,93238 ,60443 ,78135 ,6545 ,16848 ,9332 ,02713
o,54396 0,51753 9,71393 0,85567 9,93230 0,60483 9,78163 1,6534 1,16868 1,9323 1,02684
.54425 ,5*778 ,71414 ,85551 ,93223 ,60522 .78192 ,6523 ,16889 ,9313 ,02654
>54454 ,51803 >7435 ,85536 ,93215 ,60562 ,78220 ,6512 ,16909 ,9304 ,02625
>54483 ,5T828 ,71456 ,85521 ,93207 ,60602 ,78249 ,6501 ,16930 ,9295 ,02596
»54512 ,51852 .71477 ,85506 ,93200 60642 ,78277 ,6400 ,16950 ,9285 ,02567
0,54542 0,51877 9-71498 q8549i 9,93192 0,60681 9,78306 1.6479 1,16971 19276 1,02538
.54571 ,51902 ,7I5X9 ,85476 ,93184 ,60721 ,78334 6469 ,16992 ,9267 ,02509
,54000 ,51927 ,71539 ,85461 ,93177 ,60761 .78363 ,6458 ,17012 ,9258 ,02480
.54629 ,51952 ,71560 ,85446 ,93169 ,60801 ,78391 ,6447 .17033 ,9249 ,02451
,54658 ,51977 ,71581 ,85431 ,93i6i ,60841 ,78419 ,6436 ,17054 ,9239 ,02422
0,54687 0,52002 9,71602 0,85416 9,93154 0,60881 9,78448 1,6426 1,17075 1,9230 1,02393
.54716 ,52026 ,71622 ,85401 ,93146 ,60921 ,78476 ,6415 ,17095 ,9221 ,02364
,54745 .52051 ,71643 ,85385 ,93138 ,60960 ,78505 ,6404 ,I7IT6 .9212 ,02334
.54774 ,52076 ,71664 ,85370 ,93131 ,61000 ,78533 ,6393 ,17137 ,9203 ,02305
.54803 ,52101 ,71685 ,85355 ,93123 ,61040 ,78562 ,6383 ,17158 ,9194 ,02276
0,54832 0,52126 9,71705 0,85340 9,93115 0,61080 9,78590 1,6372 1,17178 1,9184 1 02247
.54862 ,52151 ,71726 ,85325 ,93108 ,61120 ,78618 .6361 ,17199 ,9175 ,02218
,5489! ,52175 ,7!747 ,85310 ,93100 ,61160 ,78647 .6351 ,17220 ,9166 ,02189
.54920 ,52200 ,71767 ,85294 ,93092 .61200 ,78675 ,6340 ,17241 ,9157 ,02160
»54949 ,52225 ,71788 ,85279 ,93084 ,61240 ,78704 ,6329 ,17262 ,9148 ,02131
0,54978 0,52250 9,71809 0,85264 9,93077 0,61280 9,78732 1,6319 1,17283 1,9139 I 02102
.55007 ,52275 ,71829 ,85249 ,93069 ,61320 ,78760 ,6308 ,17304 ,9130 02073
,55o§6 ,52299 ,71850 ,85234 ,93061 ,61360 ,78789 ,6297 ,17325 ,9121 io2044
?5065 ,52324 ,71870 ,85218 93053 ,61400 ,78817 ,6287 ,17346 ,9112 02oL.
.55094 ,52349 ,71891 ,85203 ,93046 ,61440 ,78845 ,бг>7б , 17367 ,9io3 01985
0,55123 0,52374 9,71911 0,85188 9,93038 0,61480 9,78874 1,6265 i,i7388 1,9094 101956
,52399 ,71932 ,85173 ,93030 ,61520 ,78902 .6255 ,17409 ,9084 ,01927
,52423 ,71952 ,85157 ,93022 ,61561 ,78930 6244 ,17430 ,9075 ,01
. , , ,
.552H ,52448 JI973 ,85142 ,93014 ,6i6oi ,78959 ,6234 ,I745i ,9066 ,01869
,55240 ,52473 ,71994 ,85127 ,93007 ,61641 ,78987 6223 )I7472 ,9057 ,01840
0,55269 0,52498 9,72014 0,85112 9,92999 0,61681 9,79015 16212 1,17493 1,9048 boiSii
.55298 ,52522 ,72034 ,85096 ,92991 ,61721 ,79043 ,6202 ,17514 ,9039 ,01782
,55327 ,52547 ,72055 ,85081 ,92983 ,61761 ,79072 .6191 ,17535 ,9031 ,01754
,55356 ,52572 ,72075 ,85066 ,92976 ,61801 ,79100 ,6181 ,i7556 ,9022 01724
,55385 ,52597 -72096 ,85051 ,92968 ,61842 ,79128 ,6170 ,17577 ,9013 01695
0,5544 0,52621 9,72116 0,85035 9,92960 0,61882 9,79156 1,6160 1,17598 1,9004 101665
.55443 ,52646 ,72137 ,85020 ,92952 ,61922 ,79185 .6149 ,17620 ,8995 ,01636
.55472 ,52671 ,72157 ,85005 ,92944 ,61962 ,79213 6139 ,17641 ,8986 ,01607
,555°i ,52696 ,72177 ,84989 ,92936 ,62003 ,79241 6128 ,17662 ,8977 ,01578
»5553i .52720 ,72198 ,84974 ,92929 ,62043 .79269 ,6118 ,17683 ,8968 ,01549
0.55560 0,52745 9,72218 0,84959 9.92921 0,62083 9,792971,6107 1,17704 1,8959 loi^o
,55§89 ,52770 ,72238 ,84943 ,92913 ,62124 ,79326 ,6097 ,17726 ,8950 01491
,55618 ,52794 ,72259 ,84928 ,92905 ,62164 ,79354 ,6087 ,17747 ,8941 ,01462
,55647 ,52819 ,72279 ,84913 ,92897 ,62204 ,79382 .6076 ,17768 ,8933 ,01444
,55676 ,52844 ,72299 ,84897 ,92889 ,62245 ,79410 ,6o66 ,17790 ,8924 01404
0,55705 0,52869 9,72320 0,84882 9,9288! 0,62285 9,79438 1,6055 1Д78И I 8915 I 01*7?
,55734 ,52893 ,72340 ,84866 ,92874 ,62325 ,79466 ,6045 ,17832 ,8906 ,0134?
.55763 ,52918 ,72360 ,84851 ,92866 ,62366 ,79495 ,6034 ,17854 ,8897 ,01416
,55792 ,52943 ,72381 ,84836 ,92858 ,62406 ,79523 ,6024 ,17875 .8888 ,01287
,55821 ,52967 ,72401 ,84820 ,92850 ,62446 ,79551 .6014 .17896 .8880 01258
60
59
58
57
58
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
p I cos jt | Ig cos лг sin x I Ig sin x | ctgx jlgctgjfj igx |cosecjc sec x


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 73
32°
sin x Ig sin x cos x | Ig cos x 1д .v Ig tg ж ctg x sec л: cosec x p I
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
63
54
55
56
57
58
59
9,55851 0,52992 9,72421 0,84805 9,92842 0,62487 9,79579 1,6003 1,17918 1,8871 101229
.55880 ,53017 ,72441 ,84789 ,92834 ,62527 ,79607 ,5993 ,17939 ,8862 ,01200
.55909 ,53041 ,72461 ,84774 ,92826 ,62568 ,79635 ,5983 ,17961 ,8853 ,01171
,55938 ,53066 ,72482 ,84759 ,92818 ,62608 ,79663 ,5972 ,17982 ,8844 ,01142
'55907 ,53091 -72502 ,84743 ,92810 ,62649 .79691 ,5962 ,18004 ,8836 огня
0.55996 0.53115 9,72522 0,84728 9,92803 0,62689 9.79719 i»5952 1,18025 1,8827 1,01084
,56025 ,53140 .72542 ,84712 ,92795 ,62730 ,79747 ,5941 ,18047 ,8818 ,01055
.56054 ,53164 ,72562 ,84697 ,92787 ,62770 ,79776 ,5931 ,18068 ,8810 ,01025
,56083 ,53189 ,72582 ,84681 ,92779 ,62811 ,79804 ,5921 ,18090 ,8801 ,00096
,56112 ,53214 ,72602 ,84666 ,92771 ,62852 ,79832 ,5911 .18111 ,8792 ,00967
0.56141 0,53238 9,72622 0,84650 9,92763 0,62892 9,79860 i>59oo 1,18133 1,8783 100938
,56171 ,53263 .72643 ,84635 ,92755 ,62933 ,79888 ,5890 .18155 ,8775 ,'00909
,56200 ,53288 ,72663 ,84619 ,92747 ,62973 ,79916 ,5880 ,18176 ,8766 ,00880
.56229 ,53312 ,72683 ,84604 ,92739 ,63014 ,79944 ,5869 ,18198 ,8757 ,00851
.56258 ,53337 ,72703 ,84588 ,92731 ,63055 ,79972 ,5859 ,18220 ,8749 00822
0.56287 0,53361 9-72723 0,84573 9,92723 0,63095 9,800001,58491,18241 1,8740 100794
,56316 ,53386 ,72743 ,84557 ,92715 ,63136 ,80028 ,5839 ,18263 ?731 ;оотб4
.56345 ,534ii ,72763 ,84542 ,92707 ,63177 ,8oo56 ,5829 ,18285 ,8723 ,00735
,56374 .53435 ,72783 ,84526 ,92699 ,63217 ,80084 ,5818 .18307 ,8714 ,00705
,56403 ,53460 ,72803 ,84511 ,92691 ,63258 ,80112 ,5808 ,18328 ,8706 ,00676
0,56432 0,53484 9,72823 0,84495 9,92683 0,63299 9,80140 1,5798 1,18350 18697 100647
.56461 ,53509 ,72843 ,84480 ,92675 ,63340 ,80168 ,5788 ,18372 ,8688 '00618
,56491 ,53534 ,72863 ,84464 ,92667 ,63380 ,80105 ,5778 ,18394 ,8680 00580
,56520 ,53558 ,72883 ,84448 ,92659 ,63421 ,80223 ,5768 ,18416 ,8671 00560
,56549 ,53583 ,72902 .84433 ,92651 ,63462 ,80251 ,5757 ,18437 -8663 00531
0,56578 053607 9,72922 0,84417 9,92643 063503 9,80279 1,5747 1-18459 1,8654 1,00502
'442 '92635 '63544 ,80307 ,5737 ,18481 ,8646 00473
oo
>729? 'о4386 l92627 »63584 '80335 ,5727 ,18503 ,8637 ,00444
,53681 ,72982 ,84370 ,92619 ,63625 ,80363 ,5717 ,18525 !бб29
-56694 ,53705 ,73002 ,84355 ,92611 ,63666 ,80391 ,5707 ,18547 8620 ,00386
0,56723 053730 9,73022 0,84339 9,92603 0,63707 9,8o4i9 1,5697 1,18569 18612 003=56
,56752 ,53754 ,73041 ,84324 ,92595 ,63748 ,80447 ,5687 ,18591 ,8603 100327
'4308 '92587 '63789 '804?4 .5677 ,i863 ,8595 ,0098
'92579 '6383° '8°5°2 .5667 ,18635 8586 00269
« о >9257Т '6з871 '8°53° ,5657 ,18657 .8578 00248
°'5353 9'73121 °'8426l 9,92563 0,63912 9x80558 1,5647 1,18679 1,8569 1002Ы
Q
t5317 >73If -о4245 *92555 >б3953 ?°5&6 -5637 ,18701 ,8561 ,00182
*539°2 '73I° '423° '92546 '6з '8o6l4 >5б27 .18723 ,8552
o o
t539 '73 'o42I4> >92538 '64°35 '8o642 ,5617 ,18745 ,8544
,53951 ,73200 ,84198 ,92530 ,64076 ,80669 ,5607 ,18767 ,8535
0,57014 0,53975 9,73219 0,84182 9,92522 0,64117 9,80697 1,5597 1,18790 1*8527 1,00066
.57043 ,54ooo ,73239 ,84167 ,92514 ,64158 ,80725 ,5587 ,i88b. ^519 00036
,57072 ,54024 ,73259 ,84151 ,92506 ,64199 ,80753 ,5577 ,I8834 ,8510 00067
,57101 ,54049 ,73278 ,84135 ,92498 ,64240 ,80781 ,5567 ,18856 8502 099^78
07130 ,54073 ,73298 ,84120 ,92490 ,64281 ,80808 ,5557 ,18878 ,8494 деде
o,57i6o 0,54097 9,73318 0,84104 9,92482 0,64322 9,80836 1.5547 1,18901 1,8485 oggo
,57189 ,54122 ,73337 ,84088 ,92473 ,64363 ,80864 ,5537 ,18923 '8477 9^891
,57218 ,54146 ,73357 ,84072 ,92465 ,64404 ,80892 ,5527 ,18945 .8468 xrffc
,57247 ,54i7i ,73377 ,84057 ,92457 ,64446 ,80919 ,5517 д89б7 ,8460 9^833
-57276 ,54195 ,73396 ,84o4i ,92449 ,64487 ,80947 ,5507 ,18990 ,8452 [99804
o,57305 0,54220 9,73416 0,84025 9,92441 q 64528 9.80975 1,5497 r.iooija 1,8443 0,99775
•57334 ,54244 ,73435 ,84009 ,92433 ,64569 ,81003 19034 8435 ,99746
'
,57363 ,54269 ,73455 .83994 ,92425 ,64610 ,8io3o ,5477 Ig\; 8
,57392 ,54293 ,73474 ,83978 ,92416 ,64652 ,81058 ,5468 .хдод ',8419
f
,57421 ,54317 ,73494 ,83962 ,92408 ,64693 ,81086 ,5458 .i9i 8410
o,5745o 0,54342 973513 0,83946 9,92400 0,64734 9.81113 i,5448 1,19124 1,8402 099629
,5748o ,54366 ,73533 ,83930 ,92392 ,64775 ,81141 ,5438 ,19146 ,8394 98608
,57509 ,54391 ,73552 ,83915 ,92384 ,64817 ,81169 ,5428 ,19169 ,8385 MSJI
,57538 ,54415 ,73572 ,83899 ,92376 ,64858 ,81196 ,5418 ,1919? 837? 88542
,57567 ,54440 ,73591 ,83883 ,92367 ,64899 ,81224 -5408 ,19214 8369 9^513
60
59
58
57
53
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 p
COS X
Ig COS X
sin л1
Ig sin x
CtgJf
lg Ctg X
tg x \ cosec x
secjf
'
*


74 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
33е
| р sin x (igsinjcj cos x Igcosxj tg x j Ig tg x ctg x sec x. jcosec x p
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
40
41
42
43
44
45
48
47
48
49
o,57596 0,54464 9,73611 0,83867 9,92359 0,64941 9,81252 1,5399 1Д92Зб т,8зб! 0,99484
»57б25 ,54488 ,73630 ,83851 ,92351 ,64982 ,81279 ,5389 ,19259 ,8353 ,99455
>5?б54 ,545Т3 .7365° .83835 .92343 .65024 ,81307 ,5379 Д9281 ,8344 ,99426
,57б8з ,54537 .73669 ,83819 ,92335 .65065 ,81335 >53б9 Д9304 ,8336 ,99397
,57712 ,54561 ,73689 ,83804 ,92326 ,65106 ,81362 ,5359 ,19327 -8328 ,99367
0,57741 0,54586 9,737о8 0,83788 9.92318 0,65148 9.8i39° 1-535° 1Д9349 1.8320 0,99338
,5777° >54бю ,73727 ,83772 .92310 ,65189 ,81418 ,534° Д9372 .8312 ,993°9
>57799 ,54635 ,73747 .83756 ,92302 ,65231 ,81445 ,533° Д9394 >8зоз ,9928о
»5?829 ,54659 ,73766 ,83740 ,92293 -65272 ,81473 ,5320 ,1941? 78295 ,99251
.57858 ,54683 ,73785 ,83724 ,92285 ,65314 .81500 ,5311 ,19440 ^8287 ,99222
0,57887 0,54708 9.73805 0,83708 9.92277 0,65355 9.81528 1,5301 1Д9463 1,8279 0,99193
.579*6 ,54732 ,73824 ,83692 ,92269 ,65397 -81556 .,5291 Д9485 ,8271 ,99164
»57945 .54756 ,73843 ,83676 ,92260 ,65438 ,81583 ,5282 ,19508 ,8263 ,99135
>57974 ,54781 ,73863 ,83660 ,92252 ,65480 ,8i6n ,5272 ,19531 ^8255 .99106
»58ооз ,54805 ,73882 ,83645 ,92244 ,65521 ,81638 ,5262 ,19554 .8247 ,99О77
0,58032 0,54829 9,73901 0,83629 9.92235 °,65563 9.8i666 1,5253 1Д9576 1,8238 0,9904?
58061 ,54854 ,73921 ,83613 ,92227 ,65604 ,81693 .5243 Д9599 ,8230 ,99018
.,58090 ,54878 ,7394° ,83597 ,92219 ,65646 ,81721 ,5233 ,19622 ,8222 ,98989
,58119 ,54902 ,73959 ,83581 ,92211 ,65688 ,81748 ,5224 Д9645 ,8214 ,98960
,58149 ,54927 ,73978 ,83565 ,92202 ,65729 ,81776 ,5214 ,19668 ,8206 ,98931
0,58178 0,54951 9,73997 0,83549 9.92194 0,65771 9*81803 1,5204 1,19691 1,8198 0,98902
,58207 ,54975 ,74°*7 ,83533 .92186 ,65813 ,81831 ,5195 1*9713 »8l9o ,98873
,58236 ,54999 ,74036 ,83517 .92177 ,65854 ,81858 ,5185 Д9736 ,8182 ,98844
,58265 ,55024 ,74055 ,83501 >92i69 ,65896 ,8i886 ,5175 Д9759 ,8174 ,98815
,58294 ,55048 ,74074 ,83485 ,92161 ,65938 ,81913 >5J66 ,19782 ,8166 ,98786
0,58323 0,55072 9,74093 0,83469 9.92152 0,65980 9,81941 1,5156 1,19805 1,8158 0,98757
.58352 ,55°97 ,74H3 ,83453 >92i44 ,66021 ,81968 ,5147 ,19828 ,8150 ,98727
,58381 ,55I2i ,74132 ,83437 ,92136 ,66663 ,81996 ,5137 ,19851 ,8142 ,98698
,58410 ,55145 «74I51 .83421 ,92127 ,66105 ,82023 ,5127 ,19874 ,8134 ,98669
»58439 »55l69 ,7417° ,83405 ,92119 ,66147 ,82051 .5118 ,19897 ,8126 ,98640
0,58469 0,55194 9,74189 0,83389 9,92111 0,66189 9,82078 I; 5108 1Д992О I.8ll8 0,986ll
,58498 ,55218 ,74208 ,83373 ,92102 ,66230 ,82106 ,5099 ,19944 ,8110 ,98582
»58527 ,55242 ,74227 ,83356 ,92094 ,66272 ,82133 ,5089 ,19967. .8102 ,98553
т5855б ,55266 ,74246 ,83340 ,92086 ,66314 ,82161 ,5080 ,19990 ,8094 ,98524
,55291 .74265 ,83324 .92077 ,66356 ,82188 ,5070 ,20013 ,8086 ,98495
0,58614 0,55315 9,74284 0,83308 9,92069 0,66398 9,82215 1,5061 1,20036 1,8078 0,98466
»58643 .55339 ,74303 ,83292 ,92060 ,66440 ,82243 ,5051 ,20059 ,8070 ,98437
,58672 ,55363 ,74322 ,83276 ,92052 ,66482 ,82270 ,5042 ,20083 ,8062 ,98407
«58701 ,55388 ,74341 ,83260 ,92044 ,66524 ,82298 ,5032 ,20106 ,8055 ,98378
.5873° ,55412 ,74360 ,83244 ,92035 ,66566 ,82325 ,5023 ,20129 ,8047 ,98349
0.58759 о,5543б 9.74379 0,83228 9,92027 0,66608 9,82352 1,5013 1,20152 1,8039 0,98320
,58789 ,55460 ,74398 ,83212 ,92018 ,66650 ,82380 ,5004 ,20176 ,8031 ,98291
,58818 ,55484 ,74417 ,83195 ,92010 ,66692 ,82407 ,4994 ,20199 ,8023 ,98262
58847 .SSS^ ,74436 ,83179 ,92002 ,66734 ,82435 ,4985 ,20222 ,8015 ,98233
,58876 ,55533 ,74455 ,83163 ,91993 ,66776 ,82462 ,4975 ,20246 ,8007 ,98204
0,58905 0,55557 9,74474 0,83147 9,91985 0,66818 9,82489 1,4966 1,20269 i, 8000 0,98175
,58934 .55581 ,74493 ,83131 ,91976 ,66860 ,82517 ,4957 ,20292 ,7992 ,98146
,589бз .55605 ,74512 ,83115 ,91968 ,66902 ,82544 ,4947 ,20316 ,7984 ,98117
,58992 ,5563° ,74531 ,83098 ,91959 .66944 ,82571 ,4938 ,20339 ,7976 ,98088
,59021 ,55654 ,74549 ,83082 ,91951 ,66986 ,82599 ,4928 ,20363 ,7968 98058
0,59050 0,55678 9,74568 0,83066 9,91942 0,67028 9,82626 1.4919 1,20386 1,7960 0,98029
.59079 .55702 ,74587 ,83050 ,91934 ,67071 ,82653 ,4910 ,20410 ,7953 ,98000
,59108 ,55726 ,74606 ,83034 ,91925 ,67113 ,82681 ,4900 ,20433 ,7945 .97971
.59138 ,5575° -74625 ,83017 ,91917 ,67155 ,82708 ,4891 ,20457 ,7937 .97942
,59167 ,55775 ,74644 ,83001 ,91908 ,67197 ,82735 ,4882 ,20480 .7929 ,97913
0,59196 0,55799 9,74662 0,82985 9,91900 0,67239 9,82762 1,4872 1,20504 1,7922 0.97884
.59225 ,55823 ,74681 ,82969 ,91891 ,67282 ,82790 ,4863 ,20527 ,7914 ,97855
»59254 i55847 .7470° ,82953 ,91883 ,67324 ,82817 ,4854 ,20551 ,7906 ,97826
,59283 ,55871 ,74719 ,82936 ,91874 ,67366 ,82844 ,4844 ,20575 ,7898 97797
,59312 ,55895 ,74737 ,82920 ,91866 ,67409 ,82871 ,4835 ,20598 ,7891 ,97768
60
59
53
57
5S
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
jp I cos л- lgcos;e| sin A* Igsinjcj ctg x i Igctgj; I tgx cosecx I sec* [ p \x
__


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 75
34е
*l p.
sin*
lg sin*
cos x
lg cos x
tg*
lg tg * j ctg x
sec t
cosec*
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
°.5934i o,559i9 9>7475б 0,82904 9,91857 0,67451 9,82899 1,4826 1,20622 1,7883 0,97738
,5937° ,55943 -74775 ,82887 ,91849 ,67493 ,82926 ,4816 ,20645 ,7875 ,977°?
,59399 »55968 ,74794 ,82871 ,91840 ,67536 ,82953 ,4807 ,20669 ,7868 ,97680
,59428 ,55992 ,748i2 ,82855 ,91832 ,67578 ,82980 ,4798 ,20693 ,7860 ,97651
-5945s ,56016 ,74831 ,82839 ,91823 ,67620 ,83008 ,4788 ,20717 ,7852 .97622
o,59487 0,56040 9,74850 0,82822 9,91815 0,67663 9,83035 1,4779 1,20740 1,7844 0,97593
,59516 ,56064 ,74868 ,82806 ,91806 ,67705 ,83062 ,4770 ,20764 ,7837 .97564
»59545 ,56088 ,74887 ,82790 ,91798 ,67748 ,83089 ,4761 ,20788 ,7829 ,97535
,59574 ,56112 ,74906 ,82773 ,91789 ,67790 ,83117 ,4751 ,20812 ,7821 ,97506
,59603 ,56136 ,74924 ,82757 ,91781 ,67832 ,83144 ,4742 ,20836 ,7814 ,97477
0,59632 0,56160 9,74943 0,82741 9,91772 0,67875 9,83171 i,4733 1,20859 1,7806 0,97448
,59661 ,56184 ,74961 ,82724 .91763 ,67917 ,83198 ,4724 .20883 ,7799 ,97418
,59690 ,56208 ,74980 ,82708 ,91755 ,67960 ,83225 ,4715 ,20907 ,7791 ,97389
»597!9 ,56232 ,74999 ,82692 ,91746 ,68002 ,83252 ,4705 ,20931 ,7783 ,97360
,59748, ,56256 ,75017 ,82675 .91738 ,68045 ,83280 ,4696 ,20955 ,7776 ,97331
o,59778 0,56280 9,75036 0,82659 9,91729 0,68088 9.83307 14687 1,20979 1,7768 0,97302
,59807 ,56305 ,75°54 -82643 ,91720 ,68130 ,83334 ,4678 ,21003 ,7761 ,97273
,59836 ,56329 ,75073 ,82626 ,91712 ,68173 ,83361 ,4669 ,21027 ,7753 ,97244
,59865 ,56353 ,75091 ,82610 ,91703 ,68215 '83388 ,4659 ,21051 ,7745 ,97215
,59894 ,56377 ,75"° ,82593 ,91695 ,68258 ,83415 ,4650 ,21075 ,7738 ,97186
0,59923 0,56401 9,75128 0,82577 9,91686 0,68301 9,83442 1,4641 1,21099 1,7730 0,97157
69952 ,56425 ,75147 182561 ,91677 ,68343 ,83470 ,4632 ,21123 ,7723 ,97128
,59981 ,56449 ,75165 ,82544 ,91669 ,68386 ,83497 ,4623 ,21147 ,77!5 ,97098
,60010 ,56473 ,75184 ,82528 ,91660 ,68429 ,83524 4614 ,21171 ,7708 ,97069
,60039 ,56497 ,75202 ,82511 #1651 ,68471 ,83551 ,4605 ,21195 ,7700 ,97046
0,60068 0.56521 9,75221 0,82495 9,91643 0,68514 9,83578 1,4596 1,21220 1,7693 0,97011
,60098 ,56545 .75239 ,82478 ,91634 ,68557 ,83605 ,4586 ,21244 «7685 ,96982
,60127 ,56569 ,75258 ,82462 ,91625 ,68600 ,83632 ,4577 ,21268 ,7678 ,96953
,60156 ,56593 ,75276 ,82446 ,91617 ,68642 ,83659 ,4568 ,21292 ,7670 ,96924
,60185 ,56617 ,75294 ,82429 ,91608 ,68685 -83686 ,4559 ,21316 ,7663 ,96895
0,60214 0,56641 9,75313 0,82413 9,91599 0,68728 9.83713 1455° 1,21341 1-7655 0,96866
,60243 .56665 ,75331 ,82396 ,91591 ,68771 ,83740 ,4541 ,21365 ,7648 ,96837
,60272 ,56689 ,75350 ,82380 ,91582 ,68814 ,83768 ,4532 ,21389 ,7640 ,96808
,60301 ,56713 ,75368 ,82363 ,91573 ,68857 ,83795 ,4523 ,21414 ,7633 ,96779
,60330 ,56736 ,75386 ,82347 ,91565 ,68900 .83822 ,4514 ,21438 ,7625 ,96749
0,60359 0,56760 9,75405 0,82330 9,91556 0,68942 9,83849 i,45°5 1,21462 1,7618 0,96720
,60388 ,56784 .75423 ,82314 ,91547 ,68985 ,83876 ,4496 ,21487 ,7610 ,96691
,60417 ,56808 ,75441 82297 91538 ,69028 ,83903 ,4487 ,21511 ,7603 ,96662
,60447 .56832 ,75459 ,82281 .91530 ,69071 ,83930 ,4478 21535 ,7596 ,96633
,60476 ,56856 .75478 ,82264 ,91521 ,69114 ,83957 ,4469 ,21560 ,7588 ,96604
0,60505 0,56880 9,75496 0,82248 991512 0,69157 9,83984 1,4460 1,21584 1,7581 0,96575
,60534 ,56904 ,75514 ,82231 ^1504 ,69200 ,84011 ,4451 ,21609 ,7573 ,96546
,60563 ,56928 ,75533 ,82214 ,91495 ,69243 ,84038 ,4442 ,21634 ,7566 ,96517
,60592 ,56952 ,75551 ,82198 ,91486 ,69286 ,84065 ,4433 ,21658 ,7559 ,96488
,60621 ,56976 ,75569 ,82181 ,91477 ,69329 ,84092 ,4424 ,21682 ,7551 ,96459
0,60650 0,57000 9,75587 0,82165 9.91469 0,69372 9,84119 1,4415 1,21707 1,7544 0.96429
,60679 ,57024 ,75605 ,82148 .91460 ,69416 ,84146 ,4406 ,21731 ,7537 ,96400
,60708 ,57047 ,75624 ,82132 ,91451 ,69459 ,84173 ,4397 ,21756 ,7529 ,96371
,60737 ,57071 ,75642 ,82115 ,91442 ,69502 ,84200 ,4388 ,21781 ,7522 ,96342
.60767 ,57095 ,75б6о ,82098 .9433 ,69545 ,84227 ,4379 ,21805 ,7515 ,96313
0,60796 0,57119 9,75678 0,82082 9,91425 0,69588 9,84254 1,4370 1,21830 1,7507 0,96284
,60825 ,57143 ,75696 ,82065 ,91416 ,69631 ,84280 ,4361 ,21855 .75°° .96255
,60854 ,57167 ,75714 ,82048 ,91407 ,69675 ,84307 ,4352 ,21879 ,7493 ,96226
,60883 ,57i9i -75733 ,82032 ,91398 ,69718 ,84334 .4344 ,21904 ,7485 ,96197
,60912 .57215 ,75751 ,82015 .91389 ,69761 ,84361 ,4335 ,21929 ,7478 ,96168
0,60941 0,57238 9,75769 0,81999 9,91381 0,69804 9,84388 14326 1,21953 1,7471 0,96139
,60970 ,57262 ,75787 ,81982 ,91372 ,69847 ,84415 ,4317 ,21978 ,7463 ,96109
,60999 ,57286 ,75805 ,81965 ,91363 ,69891 ,84442 ,4308 ,22003 ,7456 ,96080
,61028 ,57310 ,75823 ,81949 ,91354 ,69934 ,84469 ,4299 ,22028 ,7449 ,96051
,61057 .57334 ,75841 ,81932 ,91345 ,69977 ,84496 ,4290 ,22053 ,7442 ,96022
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 >•
| COS*
lg COS * j
sin* j
Igsin л
ctg *
i,g,ctg4.tg*_
cosec * j
sec
*J
, . г . J -*
55G


76 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
35е
| р I smx jlgsinjcj cos x j lg cos x | tg x i Ig tg x ! ctg x sec x cosec л: I p I
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,61087 0,57358 9,75859 0,81915 9,9T336 0,70021 9,84523 1,4281 1,22077 1,7434 0,95993
,6lll6 ,57381 ,75877 ,81899 ,91328 ,70064 ,84550 .4273 ,22102 ,7427 ,95964
,61145 ?7405 .75895 ,81882 ,91319 Я0*0? 34576 ,4264 ,22127 ,7420 ,95935
,61174 ,57429 ,75913 ,81865 ,91310 ,70151 ,84603 ,4255 ,22152 ,7413 ,95906
,61203 ,57453 ,75931 ,81848 ,91301 ,70194 ,84630 ,4246 ,22177 ,7406 ,95877
0,61232 0,57477 9,75949 0.81832 9,91292 0,70238 9^84657 i»4237 1,22202 1,7398 0,95848
,61261 ,57501 ,75967 ,81815 ,91283 ,70281 ,84684 ,4229 ,22227 ,7391 ,95819
,61290 ,57524 ,75985 ,81798 ,91274 ,70325 ,84711 ,4220 ,22252 ,7384 ,95789
,61319 »57548 ,76003 ,81782 ,91266 ,70368 ,84738 ,4211 ,22277 ,7377 ,957бо
,61348 ,57572 ,76021 ,81765 ,91257 ,70412 ,84764 ,4202 ,22302 -7370 ,95731
0,61377 0,57596 9,76039 0,81748 9,91248 0,70455 9,84791 1,4193 1,22327 1,7362 0,95702
,61407 ,57619 ,76057 ,81731 ,91239 ,70499 ,84818 ,4185 ,22352 ,7355 ,95673
,61436 ,57643 ,76075 ,81714 >9I23o ,70542 ?4845 ,4176 ,22377 ,7348 ,95644
,61465 ,57667 ,76093 ,81698 ,9I22i ,70586 ,84872 ,4167 ,22402 ,7341 ,95615
,61494 ,57691 ,76111 ,81681 ,91212 ,70629 ,84899 ,4158 ,22428 ,7334 ,95586
0,61523 0,57715 9,76129 0^81664 9.91203 0,70673 9,84925 1,4150 1,22453 1,7327 0,95557
,61552 ,57738 v?6i46 ,81647 -9«94 ,70717 ,84952 ,4141 ,22478 ,7320 ,95528
.61581 ,57762 ,76164 ,81631 ,91185 ,70760 ,84979 ,4132 ,22503 ,7312 ,95499
,61610 ,57786 ,76182 ,81614 ,91176 ,70804 ,85006 ,4124 ,22528 ,7305 ,9547°
,61639 ,57810 ,76200 ,81597 ,91167 ,70848 ,85033 ,4115 ,22554 ,7298 ,95440
0^61668 0,57833 9,76218 0,81580 9,98 0,70891 9,85059 1,4106 1,22579 1,7291 0,95411
?1697 ,57857 ,76236 ,81563 ,91149 ,70935 ,85086 ,4097 ,22604 ,7284 ,95382
,61726 ,57881 ,76253 ,81546 ,91141 ,70979 ,85113 ,4089 ,22629 ,7277 ,95353
,61756 ,57904 ,76271 ,81530 ,91132 ,71023 ,85140 ,4080 ,22655 ,7270 ,95324
,61785 ,57928 ,76289 3i5T3 ,91123 ,71066 ,85166 ,4071 ,22680 ,7263 ,95295
0,61814 0,57952 9,76307 0,81496 9.9IH4 0,71110 9,85193 1,4063 1,22706 1,7256 0,95266
,61843 ,57976 ,76324 31479 .95 .7H54 ,85220 ,4054 ,22731 ,7249 ,95237
^61872 ,57999 ,76342 ,81462 ,91096 ,71198 ,85247 ,4045 ,22756 ,7242 ,95208
,161901 ,58023 ,76360 ,81445 ,91087 ,71242 ?5273 ,4037 ,22782 ,7235 ,95179
,61930 ,58047 ,76378 ,81428 ,91078 ,71285 ,85300 ,4028 ,22807 ,7228 ,95150
0,61959 0,58070 9,76395 0,81412 9,91069 0,71329 9,85327 1,4019 1,22833 1,7221 0,95120
,61988 ,58094 ,76413 ,81395 '9i°6o ,71373 ,85354 ,4011 ,22858 ,7213 ,95091
,62017 ,58118 ,76431 ,81378 ,91051 ,71417 ,85380 ,4002 ,22884 ,7206 ,95°62
,62046 ,58141 ,76448 ,81361 ,91042 ,71461 ,85407 ,3994 ,22909 ,7199 ,95033
,62076 ,58165 ,76466 ,81344 ,91033 ,7i505 .85434 ,3985 ,22935 ,7192 ,95004
0,62105 0,58189 9,76484 0,81327 9-91023 0,71549 9,85460 1,3976 1,22960 1,7185 0,94975
,62134 ,58212 ,76501 ?1310 ,91014 ,71593 35487 ,3968 ,22986 ,7179 ,94946
,62163 .58236 ,76519 ?1293 >9юо5 ,71637 ,85514 ,3959 ,23012 ,7172 ,94917
,62192 ,58260 ,76537 ^1276 ,90996 ,71681 ,85540 ,3951 ,23037 ,7165 ,94888
,62221 ,58283 ,76554 31259 ,90987 ,71725 ,85567 ,3942 ,23063 ,7158 ,94859
0.62250 0,58307 9,76572 0,81242 9i90978 0,71769 9,85594 1,3934 1,23089 1,7151 0,94830
,62279 ,58330 ,76590 ,81225 ,90969 ,71813 ,85620 ,3925 ,23114 ,744 ,94800
,62308 ,58354 ,76607 ,81208 ,90960 ,71857 ,85647 ,3916 ,23140 ,7137 ,94771
,62337 ,58378 ,76625 ,81191 ,90951 »7190! ,85674 ,3908 ,23166 ,7130 ,94742
,62366 ,58401 ,76642 31174 ,90942 ,71946 35700 ,3899 ,23192 ,7123 ,94713
0,62396 0,58425 9,76660 0,81157 9*90933 0,71990 935727 1.3891 1,23217 1,7116 0,94684
,62425 ,58449 ,76677 ,81140 ,90924 ,72034 ,85754 ,3882 ^3243 >7I09 ^4655
,62454 ,58472 ,76695 ,81123 ,90915 ,72078 ,85780 ,3874 ,23269 ,7102 ,94626
,62483 ,58496 ,76712 ,81106 ,90906 ,72122 35807 ,3865 ,23295 ,7095 ,94597
,62512 ,58519 ,76730 ,81089 ,90896 ,72167 ,85834 ,3857 ,23321 ,7088 ,94568
0,62541 0,58543 9,76747 0,81072 9,90887 o,/722ii 985860 1,3848 1,23347 1,7081 0,94539
,62570 ,58567 ,76765 ,81055 ,90878 ,72255 ,85887 ,3840 ,23373 ,7075 ,9451°
,62599 ,58590 ,76782 31038 ,90869 ,72299 35913 ,3831 ,23399 ,7°68 ,9448o
,62628 ,58614 ,76800 ,81021 ,90860 ,72344 3594° ,3823 ^23424 ,7°6i -94451
,62657 ,58637 ,76817 31004 ,90851 ,72388 35967 ,3814 ,23450 ,7054 '94422
0,62686 0,58661 9,76835 0,80987 9,90842 0,72432 9,85993 1,3806 1,23476 1,7047 0,94393
,62715 ,58684 ,76852 ,80970 ,90832 ,72477 36020 ,3798 ,23502 ,7040 ,94364
,62745 ,58708 ,76870 ,80953 ,90823 ,72521 36046 ,3789 ,23529 ,7033 ,94335
,62774 ,58731 .76887 ,80936 ,90814 ,72565 ,86073 ,3781 ,23555 ,7027 ,94306
,62803 ,58755 ,76904 ,80919 ,90805 ,72610 ,86100 ,3772 ,23581 ,7020 ,94277
60
59
58
57
56
55
51
53
52
51
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
1%
17
16
15
14
13
12
11
10
1 p
COS*
,Ig COS X
sin*
Igsln x
ctgx
Igctgjf
tgjc jfcosecjc
secjc
p 1-
54°


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 77
36°
X
р
sin x
Igsinjf
COS X | Ig COS Jtj tg X
IgtgJf
cigx
secx
cosec x | p 1
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
0,62832 0,58779 9,76922 0,80902 9,90796 0,72654 9,86126 1,3764 1,23607 1,7013 0,94248
,62861 ,58802 ,76939 ,80885 ,90787 ,72699 ,86153 ,3755 ,23633 ,7006 ,94219
,62890 ,58826 ,76957 ,80867 ,90777 ,72743 .86179 -3747 .23659 .6999 ,94190
,62919 ,58849 ,76974 ,80850 ,90768 ,72788 ,86206 ,3739 ,23685 ,6993 ,94161
,62948 ,58873 ,76991 ,80833 ,90759 ,72832 ,86232 ,3730 ,23711 ,6986 ,94131
0,62977 о>5889б 9,77009 0,80816 9,90750 0,72877 9,86259 1,3722 1,23738 1,6979 0,94102
,63006 ,58920 ,77026 ,80799 ,90741 ,72921 ,86285 ^З ,23764 ,6972 ,94073
.63035 '5^943 ,77043 ,80782 ,90731 ,72966 ,86312 ,3705 .23790 ,6966 ,94044
,63065 ,58967 .77061 ,80765 ,90722 ,73010 ,86338 ,3697 ,23816 ,6959 ,94015
,63094 -58990 ,77078 ,80748 ,90713 ,73055 ,86365 ,3688 ,23843 ,6952 ,93986
0,63123 0,59014 9,77095 0,80730 9,90704 0,73100 9,86392 1,3680 1,23869 1,6945 0,93957
,63152 -59°37 -77И2 ,80713 ,90694 ,73144 ,86418 ,3672 ,23895 ,6939 ,93928
,63181 ,59061 ,7713° ,80696 ,90685 ,73189 ,86445 .3663 ,23922 ,6932 ,93899
,63210 ,59084 ,77147 ,80679 ,90676 ,73234 ,86471 ,3655 ,23948 ,6925 ,93870
,63239 i59io8 ,77164 ,80662 ,90667 ,73278 ,86498 ,3647 ,23975 ,6918 ,93841
0,63268 0,59131 9,77181 0,80644 9,90657 0,73323 9,86524 1,3638 1,24001 1,6912 0,93811
,63297 »59i54 »77i99 ,80627 ,90648 ,73368 ,86551 ,3630 ,24028 ,6905 ,93782
,63326 ,59178 ,77216 ,80610 ,90639 ,73413 ,86577 ,3622 ,24054 ,6898 ,93753
.63355 '59201 ,77233 ,80593 ,90630 ,73457 ,86603 ,3613 ,24081 ,6892 ,93724
,63385 -59225 ,7725° ,80576 ,90620 ,73502 ,86630 ,3605 ,24107 ,6885 ,93695
0.63414 0,59248 9,77268 0,80558 9,90611 0,73547 9.86656 1,3597 1,24134 1,6878 0,93666
,63443' -59272 ,77285 ,80541 ,90602 ,73592 ,86683 ,3588 ,24160 ,6871 ,93637
,63472 ,59295 ,77302 ,80524 ,90592 ,73637 ,86709 ,3580 ,24187 ,6865 ,93608
,63501 -593i8 ,77319 ,80507 ,00583 ,73681 ,86736 ,3572 ,24213 ,6858 ,93579
,63530 -59342 ,77336 ,80489 ,90574 ,73726 ,86762 .3564 ,24240 ,6852 ,93550
0^63559 0,59365 9,77353 0,80472 9,90565 0,73771 9,86789 1,3555 1,24267 1,6845 0,93521
,63588 ,59389 ,7737° ,80455 ,90555 ,73816 ,86815 ,3547 ,24293 ,6838 ,93491
,63617 ,59412 ,77387 ,80438 ,90546 ,73861 ,86842 ,3539 -,24320 ,6832 ,93462
,63646 ,59436 ,77405 ,80420 ,90537 ,73906 ,86868 ,3531 ,24347 56825 ,93433
,63675 »59459 ,77422 ,80403 ,90527 ,73951 ,86894 ,3522 ,24373 ,6818 ,93404
0,63705 0,59482 9,77439 0,80386 9,90518 0,73996 9,86921 1,3514 1,24400 1,6812 0,93375
,63734 -595°6 ,77456 ,80368 ,90509 ,74041 ,86947 ,3506 ,24427 ,6805 ,93346
,63763 '59529 ,77473 ,80351 ,90499 ,74086 .86974 ,3498 ,24454 ,6799 ,93317
,63792 -59552 ,7749° ,80334 ,90490 , 74131 ,87000 ,3490 ,24481 ,6792 ,93288
.63821 ,59576 ,77507 ,80316 ,90480 ,74176 ,87027 ,3481 ,24508 ,6785 ,93259
0,63850 0,59599 9,77524 0,80299 9,90471 0,74221 9,87053 1,3473 1,24534 1,6779 0,93230
,63879 .59622 ,77541 ,80282 ,90462 ,74267 ,87079 ,3465 ,24561 ,6772 ,93201
,63908 ,59646 ,77558 ,80264 ,90452 ,74312 ,87106 ,3457 ,24588 ,6766 ,93171
,63937 ?9669 ,77575 ,80247 ,90443 ,74357 ,87132 ,3449 ,24615 ,6759 ,93142
,63966 ,59693 .77592 ,80230 ,90434 ,74402 ,87158 ,3440 ,24642 ,6753 ,93113
0,63995 °-597I6 9,77609 0,80212 9,90424 0,74447 9,87185 1,3432 1,24669 1,6746 0,93084
,64024 ,59739 ,77626 ,80195 ,90415 ,74492 ,87211 ,3424 ,24696 ,6739 ,93055
,64054 ,59763 ,77643 ,80178 ,90405 ,74538 ,87238 ,3416 ,24723 ,6733 ,93026
,64083 ,59786 ,77660 ,80160 ,90396 ,74583 ,87264 ,3408 ,24750 ,6726 ,92997
,64112 ,59809 ,77677 ,80143 ,90386 ,74628 ,87290 ,3400 ,24777 ,6720 ,92968
0,64141 0,59832 977694 0,80125 9,90377 0,74674 9,87317 1,3392 124804 1,6713 0,92939
,64170 ,59856 ,77711 ,80108 ,90368 ,74719 ,87343 ,3384 ,24832 ,6707 ,92910
.64199 >59879 ,77728 ,80091 ,90358 ,74764 ,87369 ,3375 ,24859 ,6700 ,92881
,64228 ,59902 ,77744 ,80073 ,90349 ,74810 ,87396 ,3367 ,24886 ,6694 ,92852
,64257 -59926 .77761 ,80056 ,90339 ,74855 ,87422 ,3359 ,24913 ,6687 ,92822
0,64286 0,59949 9,77778 0,80038 9,90330 0,74900 9,87448 1,3351 1,24941 1,6681 0,92793
64315 -59972 ,77795 ,80021 ,90320 ,74946 ,87475 ,3343 ,24967 ,6674 ,92764
,64344 ,59995 ,77812 ,80003 ,90311 ,74991 ,87501 ,3335 ,24995 ,6668 .92735
,64374 ,60019 ,77829 ,79986 ,90301 ,75037 ,87527 ,3327 ,25022 ,6661 ,92706
,64403 ,60042 ,77846 ,79968 ,90292 ,75082 ,87554 ,3319 ,25049 ,6655 ,92677
0,64432 060065 9,77862 0,79951 9,90282 0,75128 9,87580 1,3311 1,25077 1,6649 0,92648
,64461 ,60089 ,77879 ,79934 .90273 ,75*73 ,87606 .3303 25104 ,6642 ,92619
,64490 ,6oii2 ,77896 ,79916 ,90263 ,75219 ,87633 ,3295 ,25131 ,6636 ,92590
,64519 ,60135 ,77913 .79899 ,90254 ,752б4 ,87659 ,3287 .25159 ,6629 ,92561
,64548 ,60158 ,77930 ,79881 ,90244 ,75310 .87685 ,3278 ,25186 ,6623 ,92532
60
59
53
57
56
55
54
53
52
51
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
.10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
p ,| cos д: |lgcosjf| sin л: Igstnjc ctgx lgctgx| tg jc cosec x\ sec x \ p I x
53е


78
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
37е
х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
/
я
о 64577
,64606
,64635
,64664
,64694
0,64723
,64752
,64781
,64810
,64839
0,64868
,64897
,64926
,64955
,64984
0,65014
,65043
,65072
,65101
,65130
°,б5159
,65188
,65217
,65246
.65275
0,65304
,65333
,65363
.65392
,65421
0,6545°
,65479
,.65508
^1
,65566
о,б5595
,65624
,65653
,65683
,65712
0,65741
,6577°
,65799
,65828
,65857
0,65886
>б5915
,65944
,65973
,66003
0,66032
/>6o6i
,66090
,66119
,66148
0,66177
,66206
,66235
,66264
,66293
Р
sin x
0,60182
,60205
,60228
,60251
,60274
0.60298
.60321
,60344
,60367
,60390
0,60414
,60437
,60460
,60483
,60506
0,60529
.60553
,60576
,60599
,60622
0,60645
,60668
,60691
,60714
,60738
0,60761
,60784
,60807
,60830
.60853
0,60876
,60899
,60922
,60945
,60968
0,60991
,61015
,61038
,61061
,61084
0,61107
,61130
,61153
,61176
,61199
0,61222
,61245
,61268
,61291
,61314
0,61337
,61360
,61383
,61406
,61429
0,61451
,61474
,61497
,61520
,61543
| cos x
lg sin x
9,77946
,77963
,77980
,77997
,78013
9,78030
,78047
,78063
,78080
,78097
9,78иЗ
,78130
,78147
,78163
,78180
9,78197
,78213
,78230
,78246
,78263
9,78280
,78296
,78313
,78329
,78346
9,78362
,78379
,78395
,78412
,78428
9,78445
,78461
,78478
,78494
,78510
9,78527
,78543
,78560
,78576
,78592
9,78609
,78625
,78642
,78658
,78674
9,78691
,78707
,78723
,78739
,78756
9.78772
,78788
,78805
,78821
,78837
9-78853
,78869
,78886
,78902
,78918
Igcosx
COS X
0,79864
,79846
,79829
,79811
,79793
0,79776
,79758
,79741
,79723
.79706
0,^79688
,79671
,79653
,79635
,79618
0,79600
,79583
,79565
,79547
,7953°
0,79512
,79494
,79477
,79459
.79441
0^9424
,79406
,79388
,79371
,79353
o,79335
,793i8
,79300
,79282
,79264
9,79247
,79229
,79211
,79193
,79176
0,79158
,79140
,79122
,79Ю5
,79087
0,79069
,79051
,79°33
,79016
,78998
0,78980
,78962
,78944
,78926
,78908
0.78891
,78873
,78855
,78837
,78819
sin*
]g CCS X
9,90235
,90225
,90216
,90206
,90197
9,90187
,90178
,90168
,90159
,90149
9,90139
,90130
,90120
,90111
,90101
9,90091
,90082
,90072
,90063
,90053
9,90043
,90034
,90024
,90014
,90005
9,89995
,89985
,89976
,89566
,89956
9,89947
,89937
,89927
,89918
,89908
9,89898
,89888
,89879
,89869
,89859
9,89849
,89840
,89830
,89820
,89810
9,89801
,89791
,89781
,89771
,89761
9189752
,89742
,89732
,89722
,89712
9,89702
,89693
,89683
.89673
,89663
lg sin л-
| tgj:
0-75355
,754oi
,75447
,75492
,75538
o,75584
,75629
,75675
,75721
,75767
0,75812
,75858
,75904
^ ,75950
,75996
0,76042
,76088
,76134
,76180
,76226
о 76272
,76318
,76364
,76410
,76456
0,76502
,76548
,76594
,76640
,76686
о,7б733
,76779
,76825
,76871
,76918
0,76964
,77010
,77057
,77ЮЗ
,77149
0,77196
,77242
,77289
,77335
,77382
0,77428
,77475
,77521
.77568
,77615
0,77661
,77708
,77754
,778oi
,77848
o,77895
,77941
,77988
,78035
,78082
CtgJf |
Ig.tg*
9,87711
,87738
,87764
,87790
,87817
9-87843
,87869
,87895
,87922
,87948
9,87974
,88000
,88027
,88053
,88079
9,88105
,88131
,88158
,88184
,88210
9,88236
,88262
,88289
,88315
,88341
9,88367
,88393
,88420
,88446
,88472
9,88498
,88524
,88550
,88577
,88603
9,88629
,88655
,88681
,88707
,88733
9,88759
,88786
,88812
,88838
,88864
9,88890
,88916
,88942
,88968
,88994
9,89020
,89046
,89073
,89099
,89125
9,89151
,89177
,89203
,89229
,89255
lg Ctg X \
cigx
1,3270
,3262
,3254
,3246
,3238
1.323°
,3222
,3214
,3206
,3198
1,3190
,3182
,3175
,3167
,3159
1,3151
,3143
,3135
,3127
,3"9
1,3111
>3I03
,3095
,3087
>3°79
1,3072
,3064
-3056
,3048
,3040
r»3°32
,3024
.3017
,3009
,3001
1,2993
,2985
,2977
,2970
,2962
i,2954
,2946
,2938
,2931
,2923
12915
,2907
,2900
,2892
,2884
1,2876
,2869
,2861
,2853
,2846
1,2838
,2830
,2822
,2815
,2807
tgx |
1 sec x
1,25214
,25241
,25269
,25296
,25324
i,2535i
,25379
,25406
,25434
,25462
1,25489
,25517
,25545
,25572
,25600
1,25628
,25656
,25683
,25711
,25739
1,25767
,25795
,25823
,25851
,25879
1,25907
,25935
,25963
,25991
,26019
1,26047
,26075
,26104
,26132
,26162
1,26188
,26216
,26245
,26273
,26301
1,26330
,26358
,26387
,26415
,26443
1,26472
,26500
,26529
,26557
,26586
1.26615
,26643
,26672
,26701
,26729
1,26758
,26787
,26815
,26844
,26873
cosec x
cosec л
i,66i6
,6610
,6604
,6597
,6591
1,6584
,6578
,6572
,6565
,6559
i,6553
-6546
,654°
,6534
,6527
1,6521
,6515
,6508
,6502
,6496
1,6489
,6483
,6477
,6471
,6464
1,6458
,6452
,6446
,6439
,6433
1,6427
,6421
,6414
,6408
,6402
1,6396
,6390
,6383
,6377
,6371
1,6365
,6359
,6353
,6346
,634°
т,6зз4
,6328
,6322
,6316
,6310
1,6303
,6297
,6291
,6285
,6279
1,6273
,6267
,6261
,6255
,6249
sec x
P
0,92502
,92473
,92444
,92415
,92386
o,92357
,92328
,92299
,92270
92241
0,92212
,92182
,92153
,92124
,92095
0,92066
,92037
,92008
,91979
,9195°
0,91921
,91892
,91863
,91833
,91804
o,9i775
,91746
.9I71?
,91688
,91659
0,91636
,91601
,91572
,91543
,91513
0,91484
,91455
,91426
,91397
,91368
o,9i339
,9131°
,91281
,91252
,91223
0,91193
,91164
,9H35
,91106
,91077
0,91048
,91019
,90990
,90961
,90932
0,90903
,90873
,90844
,90815
,90786
P
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
52е


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 79
38°
sin* (Igsin* cos л: jig cos л: tg x ]g tg* \ ctg x \ sec* Jcosec*
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,66323 0,61566 9,78934 0,78801 9,89653 0,78129 9,89281 1,2799 1,26902 1,6243 0,90757
,66352 ,61589 ,78950 ,78783 ,89643 ,78175 ,89307 ,2792 ,26931 ,6237 ,90728
,66381 ,61612 ,78967 ,78765 ,89633 ,78222 ,89333 ,2784 ,26960 ,6231 ,90699
1 ,66410 ,61635 ,78983 ,78747 ,89624 ,78269 ,89359 ,2776 ,26988 ,6225 ,90670
,66439" ,61658 ,78999 ,78729 ,89614 ,78316 ,89385 ,2769 ,27017 ,6219 ,90641
0,66468 0,61681 9,79015 0,78711 9,89604 0,78363 9,89411 1,2761 1,27046 1,6213 0,90612
,66497 ,61703 ,79031 ,78694 ,89594 ,78410 ,89437 ,2753 ,27075 .6207 ,90583
,66526 ,61726 ,79047 ,78676 ,89584 ,78457. ,89463 ,2746 ,27104 ,6201 ,90553
,66555 -6l749 -79э6з ,78658 ,89574 ,78504 ,89489 ,2738 ,27133 ,6195 ,90524
,66584 ,61772 ,79079 ,78640 ,89564 ,78551 ,89515 ,2731 ,27162 ,6189 ,90495
0,66613 0,61795 9,79095 0,78622 9,89554 0,78598 9,895411,27231,27191 1,6183 0,90466
, ,66642 ,61818 ,79111 ,78604 ,89544 ,78645 ,89567 ,2715 ,27221 ,6177 ,90437
,66672 ,61841 ,79128 ,78586 ,89534 ,78692 ,89593 ,2708 ,27250 ,6171 ,90408
,66701 ,61864 ,79144 ,78568 ,89524 ,78739 ,89619 ,2700 ,27279 ,6165 ,90379
,66730 ,61887 ,79160 ,78550 ,89514 ,78786 ,89645 ,2693 ,27308 ,6159 ,90350
0,66759 0,61909 9,79176 0,78532 9,89504 °>78834 9,89671 1,2685 1,27337 1,6153 0,90321
,66788 ,61932 ,79192 ,78514 ,89495 ,78881 ,89697 ,2677 .27366 ,6147 ,90292
,66817 ,61955 ,79208 ,78496 ,89485 ,78928 ,89723 ,2670 ,27396 ,6141 ,90263
,66846 ,61978 ,79224 ,78478 ,89475 -78975 ,89749 ,2662 ,27425 ,6135 ,90234
,66875 ,62001 ,79240 ,78460 ,89465 ,79022 ,89775 ,2655 ,27454 '6129 ,90204
0,66904 0,62024 9,79256 0,78442 9,89455 0,79070 9,89801 1,2647 1.27483 1,6123 0,90175
,66933 ,62046 ,79272 ,78424 ,89445 -7911? ,89827 ,2640 ,27513 ,6117 ,90146
,66962 ,62069 ,79288 ,78405 ,89435 ,79l64 ,89853 ,2632 ,27543 ,6m ,90117
,66992 ,62092 ,79304 ,78387 ,89425 ,79212 ,89879 ,2624 ,27572 ,6105 ,90088
,67021 ,62115 ,79319 ,78369 ,894*5 . -79259 ,89905 -2617 ,27601 ,6099 ,90059
0,67050 0,62138 9,79335 0,78351 9,89405 0,79306 9,89931 1,26091,27630 1,6093 0,90030
,67079 ,62160 ,79351 ,78333 ,89395 ,79354 ,89957 ,2602 ,27660 ,6087 ,90001
,67108 ,62183 ,79367 ,78315 ,89385 ,79401 ,89983 ,2594 ,27689 ,6082 ,89972
,67137 ,62206 ,79383 ,78297 ,89375 ,79449 ,90009 ,2587 ,27719 ,6076 ,89943
,67166 ,62229 ,79399 ,78279 ,89364 ,79496 ,90035 ,2579 ,27748 ,6070 ,89914
0,67195 0,62251 9,79415 0,78261 9,89354 0,79544 9,90061 1,2572 1,27778 1,6064 0,89884
,67224 ,62274 ,79431 ,78243 ,89344 -79591 ,90086 ,2564 ,27807 ,6058 ,89855
,672^3 ,62297 ,79447 ,78225 ,89334 ,79639 ,90112 ,2557 ,27837 ,6052 ,89826
,67282 ,62320 ,79463 ,78206 ,89324 ',79686 ,90138 ,2549 ,27867 ,6046 ,89797
,67312 ,62342 ,79478 ,78188 ,89314 ,79734 ,9°l64 ,2542 ,27896 ,6040 ,89768
0,67341 0,62365 9,79494 0,78170 9,89304 0,79781 9,90190 1,2534 1,27926 1,6035 0,89739
,67370 ,62388 ,79510 ,78152 ,89294 ,79829 ,90216 ,2527 ,27956 ,6029 ,89710
-67399 ,62411 ,79526 ,78134 ,89284 ,79877 ,90242 ,2519 ,27985 ,6023 ,89681
,67428 ,62433 ,79542 ,78116 ,89274 ,79924 ,90268 ,2512 ,28015 ,6017 ,89652
,67457 ,62456 ,79558 ,78098 ,89264 ,7997s ,90294 ,2504 ,28045 ,6011 ,89623
0,67486 0,62479 9,79573 0,78079 9,89254 0,80020 9,90320 1,2497 1,28075 1,6005 0,89594
,67515 ,62502 ,79589 ,78061 ,89244 ,80067 ,90346 ,2489 ,28105 ,6000 ,89564
,67544 ,62524 ,79605 ,78043 ,89233 ,80115 ,90371 ,2482 ,28134 .5994 .?9535
>67573 ,62547 ,79621 ,78025 ,89223 ,80163 ,90397 ,2475 ,28164 ,5988 ,89506
,67602 ,62570 ,79636 ,78007 ,89213 ,80211 ,90423 ,2467 ,28194 ,5982 ,89477
0,67632 0,62592 9,79652 0,77988 9,89203 0,80258 9,90449 1,2460 1,28224 1,5976 0,89448
,67661 ,62615 ,79668 ,77970 ,89193 ,80306 ,90475 ,2452 ,28254 ,5971 ,89419
,67690 ,62638 ,79684 ,77952 ,89183 ,80354 ,90501 ,2445 ,28284 ,5965 ,89390
,67719 ,62660 ,79699 ,77934 ,89173 ,80402 ,90527 ,2437 ,28314 ,5959 ,89361
,67748 ,62683 ,79715 ,77916 ,89162 ,80450 ,90553 ,2430 ,28344 .5953 .89332
0,67777 0,62706 9,79731 0,77897 9,89152 0,80498 9,90578 1,2423 1,28374 1,5948 0,89303
,67806 ,62728 ,79746 ,77879 ,89142 ,80546 ,90604 ,2415 ,28404 ,5942 ,89274
,67835 ,62751 ,79762 ,77861 ,89132 ,80594 ,90630 ,2408 ,28434 ,5936 ,89245
,67864 ,62774 ,79778 ,77843 ,89122 ,80642 ,90656 ,2401 ,28464 ,5930 ,89215
,67893 ,62796 ,79793 ,77824 ,89112 ,80690 ,90682 ,2393 ,28495 .5925 ,89186
0,67922 0,62819 9,79809 0,77806 9,89101 0,80738 9,90708 1,2386 1,28525 1,5919 0,89157
,67951 ,62842 ,79825 ,77788 ,89091 ,80786 ,90734 ,2378 ,28555 ,5913 ,89128
,67981 ,62864 ,79840 ,77769 ,89081 ,80834 ,90759 ,2371 ,28585 ,5907 ,89099
,68010 ,62887 ,79856 ,77751 ,89071 ,80882 ,90785 ,2364 ,28615 ,5902 ,89070
,68039 ,62909 ,79872 ,77733 ,89060 ,80930 ,90811 ,2356 ,28646 ,5896 ,89041
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
40
39
38
37
36
35
34
33
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
| p I cos* I IgcosA sin.v ]g sin x ctg* lgctg*| tg*|cosec*J sec* p \x


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
39°
sin A: I lg sin* | cos x |lgcosjc| tg x \ 1g tg x cigx \ sec x cosecx
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,68068 0,62932 9,79887 0,77715 9,89050 0,80978 9,90837 1,2349 1,28676 1,5890 0,89012
,68097 ,62955 ,79903 ,77696 ,89040 ,81027 ,90863 ,2342 ,28706 ,5884 ,80983
,68126 ,62977 ,79918 ,77678 ,89030 ,81075 ,90889 ,2334 ,28737 ,5879 ,88954
,68155 -OS000 '79934 .7766o ,89020 ,81123 ,90914 ,2327 ,28767 ,5873 ,88925
,68184 ,63022 ,79950 ,77641 ,89009 ,81171 ,90940 ,2320 ,28797 ,5867 '°°°95
0,68213 0,63045 9,79965 0,77623 9,88999 0,81220 9,90966 1,2312 1,28828 1,5862 0,88806
,68242 ,63068 ,79981 ,77605 ,88989 ,81268 ,90992 ,2305 ,28858 ,5856 ,88837
68271 ,63090 ,79996 ,77586 ,88978 ,81316 ,91018 ,2298 ,28889 .5850 '888оВ
,68301 ,63113 ,80012 ,77568 ,88968 ,81364 ,91043 ,2290 ,28919 ,5845 ,88779
,68330 ,63135 ,80027 ,77550 ,88958 ,81413 ,91069 ,2283 ,28950 ,5839 ,88750
0,68359 0,63158 9,80043 0,77531 9,88948 0,81461 9,91095 1,2276 1,28980 1,5833 0,88721
,68388 ,63180 ,80058 ,77513 ,88937 ,8151° ,9II2i '2268 .29on >58а8 o-.
,68417 ,63203 ,8oo74 ,77494 ,88927 ,81558 ,91147 ,2261 ,29042 ,5822 ,88663
,68446 ,63225 ,80089 ,77476 ,88917 ,8i6o6 ,91172 ,2254 ,29072 ,5816 ,88634
,68475 .63248 ,80105 ,77458 ,88906 ,81655 ,91198 ,2247 ,29103 ,5811 ,88605
0,68504 0,63271 9,80120 0,77439 9,88896 0,81703 9,91224 1,2239 1,29133 1,5805 0,88575
,68533 ,63293 ,80136 ,77421 ,88886 ,81752 ,91250 ,2232 ,29164 ,5800 ,88546
,68562 ,63316 ,80151 ,77402 ,88875 ,81800 ,91276 ,2225 ,29195 ,5794 ,88517
,68591 ,63338 ,80166 ,77384 ,88865 ,81849 ,91301 ,2218 ,29226 ,5788 ,88488
,68621 ,63361 ,80182 ,77366 ,88855 ,81898 ,91327 .2210 ,29256 ,5783 ,88459
0,68650 0,63383 9,80197 0,77347 9,88844 0,81946 9,91353 1,2203 1,29287 1,5777 °,8843O
,68679 ,63406 ,80213 ,77329 ,88834 ,81995 ,91379 ,2196 ,29318 ,5771 ,88401
,68708 ,63428 ,80228 ,77310 ,88824 ,82044 ,91404 ,2189 ,29349 ,5766 ,88372
,68737 .63451 ,80244 ,77292 ,88813 ,82092 ,91430 ,2181 ,29380 ,5760 ,88343
,68766 ,63473 ,80259 ,77273 ,88803 ,82141 ,91456 ,2174 ,29411 ,5755 ,88314
0,68795 0-63496 9,80274 0,77255 9,88793 0,82190 9,91482 1,2167 1,29442 1,5749 °,88285
,68824 ,63518 ,80290 ,77236 ,88782 ,82238 ,91507 ,2160 ,29473 ,5744 ,88255
,68853 ,63540 ,80305 ,77218 ,88772 ,82287 ,91533 ,2153 ,29504 ,5738 ,88226
,68882 ,63563 ,80320 ,77199 ,88761 ,82336 ,91559 ,2145 ,29535 ,5732 ,88197
,68911 ,63585 ,80336 ,77181 ,88751 ,82385 ,91585 ,2138 ,29566 ,5727 ,88168
0,68941 0,63608 9,80351 0,77162 9,88741 0,82434 9,91610 1,2131 1,29597 1,5721 0,88139
,68970 ,63630 ,80366 ,77144 ,88730 ,82483 ,91636 ,2124 ,29628 ,5716 ,88110
,68999 ,63653 ,80382 ,77125 ,88720 ,82531 ,91662 ,2117 ,29659 ,5710 ,88081
,69028 ,63675 ,80397 ,77107 ,88709 ,82580 ,91688 ,2109 ,29690 ,5705 ,88052
,69057 .63698 ,80412 ,77088 ,88699 ,82629 ,91713 ,2102 ,29721 ,5699 ,88023
0,69086 0,63720 9,80428 0,77070 9,88688 0,82678 9,91739 1,2095 1,29752 1,5694 0,87994
,69115 ,63742 ,80443 ,77051 ,88678 ,82727 ,91765 ,2088 ,29784 ,5688 ,87965
,69144 ,63765 ,80458 ,77033 ,88668 ,82776 ,91791 ,2081 ,29815 ,5683 ,87936
,69173 ,63787 ,80473 ,77014 ,88657 ,82825 ,91816 ,2074 ,29846 ,5677 ,87906
,69202 ,63810 ,80489 ,76996 ,88647 >82874 ,91842 ,2066 ,29877 ,5672 ,87877
0,69231 0,63832 9,80504 0,76977 9,88636 0,82923 9,91868 1,2059 1,29909 1,5666 0,87848
,69260 .63854 ,80519 ,76959 ,88626 ,82972 ,91893 ,2052 ,29940 ,5661 ,87819
,69290 -63877 ,80534 ,76940 ,88615 ,83022 ,91919 ,2045 ,29971 ,5655 ,87790
,69319 ,63899 ,80550 ,76921 ,88605 ,83071 ,91945 ,2038 ,30003 ,5650 ,87761
,69348 ,63922 . ,80565 ,76903 ,88594 ,83120 ,91971 ,2031 ,30034 ,5644 ,87732
0,69377 0,63944 9,80580 0,76884 9,88584 0,83169 9,91996 1,2024 1,30066 1,5639 0,87703
,69406 ,63966 ,80595 ,76866 ,88573 ,83218 ,92022 ,2017 ,30097 ,5633 ,87674
,69435 ,63989 ,80610 ,76847 ,88563 ,83268 ,92048 ,2009 ,30129 ,5628 ,87645
,69464 ,64011 ,80625 ,76828 ,88552 ,83317 ,92073 ,2002 ,30160 ,5622 ,87616
,69493 ,64033 ,80641 ,76810 ,88542 ,83366 ,92099 ,1995 ,30192 ,5617 ,87586
0,69522 0,64056 9,80656 0,76791 9,88531 0,83415 9,92125 1,1988 1,30223 1,5611 0,87557
,69551 ,64078 ,80671 ,76772 ,88521 ,83465 ,92150 ,1981 ,30255 ,5606 ,87528
,69580 ,64100 ,80686 ,76754 ,88510 ,83514 ,92176 ,1974 ,30287 ,5601 ,87499
,69610 ,64123 .80701 ,76735 ,88499 -835б4 ,92202 ,1967 ,30318 ,5595 ,87470
,69639 ,64145 ,80716 ,76717 ,88489 ,83613 ,92227 ,1960 ,30350 ,5590 ,87441
0,69668 0,64167 9,80731 0,76698 9,88478 0,83662 9,92253 1,1953 1,30382 1,5584 0,87412
,69697 ,64190 ,80746 ,76679 ,88468 ,83712 ,92279 ,1946 ,30413 -5579 ,87383
,69726 ,64212 ,80762 ,76661 ,88457 ,83761 ,92304 ,1939 ,30445 -5573 ,87354
,69755 ,64234 ,80777 ,76642 ,88447 ,83811 ,9233° Д932 ,30477 ,5568 ,87325
,69784 ,64256 ,80792 ,76623 ,88436 ,83860 ,92356 ,1925 ,30509 ,5563 ,87296
60
59
53
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
-10
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
| p | cos x lg cos x sin x lg sin x j ctg x I lg ctg x tg x cosec x sec x
50°


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
81
40°
X
\
!
i
t
\
1
'
<
j
10
«
!
<
г
И
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
i
Р
0,6981,
,6984
,6987
,699е*
,б993<
о.б995<
.6998J
,7001'
,7°°4<
>7°°7<
0,7010,-
,7013;
,7oi6i
,7019]
,7022С
0,7025С
,7027с
,70306
,7033:;
,7°3бб
°,7°395
,70424
-70453
,70482
.705И
0,70540
.70569
,7°599
,70628
.70657
0,70686
.70715
.70744
.70773
.70802
0,70831
,70860
,70889
,70919
.70948
0,70977
,7ioo6
.7Ю35
,71064
,71093
0,71122
,7i
,71180
,71209
.71239
0,71268
,71297
.71326
.71355
,71384
0.714ГЗ
,71442
.71471
,715°°
,71529
Р
3
2
[
3
э
?
3
7
^
}
i
с
>
>
>
i
г ,
<
<
<
sin x
0,64279
,64301
,64323
,64346
,64368
0,6439°
,64412
,64435
.64457
,64479
о 64501
,64524
,64546
,64568
,64590
0,64612
.64635
,64657
,64679
,64701
0,64723
,64746
,64768
,64790
,64812
0,64834
,64856
,64878
,64901
,64923
0,64945
,64967
,64989
,65011
.65033
0,65055
,65077
,65100
,65122
,65144
0,65166
,65188
,65210
,65232
165254
3,65276 <
,65298
.65320
,65342
.65364
3,65386 (
,65408
,65430
,65452
,65474
1,65496 с
,65518
,65540
.65562
,65584
COS X 1 1
IgSlHA
9,8080'
,8082:
,8о8з"
,8085:
,8о86>
9,8o88i
,8о89г
,80911
,8092^
,80945
9,80950
,80975
,8098;
,8lOO2
,81017
9,81032
,81047
,81061
,81076
,81091
9,81106
,81121
,81136
,81151
,81166
9 81180
,8И95
,81210
,81225
,81240
9,81254
,81269
,81284
,81299
,81314
981328
.81343
,81358
,81372
,81387
9,81402
,81417
,81431
,81446
,81461
3,81475
,81490
,81505
,81519
.81534
J.8I549
,81563
,81578
.81592
,81607
),8l622
,81636
,81651
.81665
,8l68o
I cos x
1
г
J
i
J
j
1
;
l
j
1
i
<
<
<
COS X
0,76604
,76586
,76567
-76548
,76530
0,76511
,76492
,76473
.76455
,76436
0,76417
,76398
,76380
,76361
.76342
0,76323
,76304
,76286
,76267
,76248
0,76229
,76210
,76192
,76173
.76154
0.76135
,76116
,76097
,76078
,76059
0,76041
,76022
,76003
.75984
,75965
0,75946
•75927
,75908
,75889
,75870
0,75851
'75832
,75813
,75794
,75775
э,7575б
.75738
,75719
»75?oo
,75680
3,75661
,75642
,75623
,75604
•75585
>,755бб
,75547
•75528
,755°9
,75490
sin x
IgCOSJC
9,88425
,88415
,88404
,88394
,88383
9,88372
,88362
,88351
,88340
,88330
9,88319
,88308
,88298
,88287
,88276
9,88266
,88255
,88244
,88234
,88223
9,88212 (
,88201
,88191
,88180
,88169
9.88158 <
,88148
,88137
,88126
,88115
9.88105 с
,88094
,88083
,88072
,88061
9,88051 с
,88040
,88029
,88oi8
,88007
9,87996 с
,87985
,87975
,87964
,87953
9,87942 с
,87931
,87920
,87909
,87898
9,87887 с
,87877
,87866
,87855
,87844
9,87833 c
,87822
,87811
,87800
,87789
Ig sin x |
igx
0,83910
,83960
,84009
,84059
,84108
0,84158
,84208
,84258
,84307
,84357
0,84407
,84457
,84507
,84556
,84606
0,84656
,84706
,84756
,84806
,84856
3,84906
•84956
,85006
,85057
,85107
5.85157
,85207
.85257
.85308
.85358
),854o8
,85458
,85509
35559
,85609
3,85660
.85710
,85761
,85811
,85862
3,85912
,85963
,86014
,86064
,86115
),86i66
,86216
,86267
,86318
,86368
>,864i9
36470
,86521
,86572
,86623
,86674
,86725
,86776
,86827
,86878
CtgAT
Igtg*
9,92381
,92407
,92433
,92458
,92484
9,92510
.92535
-92561
,92587
,92612
9,92638
,92663
,92689
,92715
,92740
9,92766
,92792
,92817
,92843
,92868
9,92894
,92920
,92945
,92971
,92996
9,93022
,93048
,93073
,93099
,93124
9,93150
•93175
,93201
,93227
-93252
9,93278
,933°3
,93329
,93354
93380
9,93406
•93431
,93457
,93482
.93508
9,93533
,93559
,93584
,93610
,93636
9,93661
,93687
,93712
,93738
,93763
9,93789
,93814
,93840
•93865
.93891
Ig ctg x
CtgJf
1,1918
,1910
,1903
,1896
,1889
1,1882
,1875
,1868
,1861
,1854
1,1847
,1840
Д833
,1826
,1819
1,1812
,1806
Д799
,1792
Д785
1,1778 ]
Д771
Д764
Д757
Д75°
1Д743
Д736
,1729
,1722
Д715
1,1708
,1702
,1695
,1688
,1681
1,1674 )
,1667
,1660
1653
,1647
1,1640 i
,1633
,1626
,1619
,1612
i, 1606 ]
,1599
,1592
,1585
,1578
1Д571 i
Д565
Д558
Д551
Д544
1Д538 i
Д531
.1524
JS1?
,I510
igx |c
secjc
1,30541
,30573
,30605
,30636
.30668
1,30700
.30732
-30764
,30796
,30829
1,30861
,30893
•30925
,30957
,30989
Г,ЗЮ22
.ЗЮ54
,31086
.31И9
,31151
С,ЗИ83
,31216
.31248
,31281
,31313
[31346
,31378
.31411
,31443
.31476
[,31509
,31541
,31574
,31607
,3l64°
[,31672
.31705
.31738
,31771
,31804
.-31837
,31870
,31903
,31936
,31969
,32002
,32035
32068
,32101
,32134
,32168
,32201
•32234
,32267
,32301
,32334
,32368
,32401
,32434
,32468
овеслг
cosec x
1.5557
,5552
'5546
•5541
,5536
1.5530
,5525
,5520
,55*4
.5509
I-5504
,5498
-5493
,5488
,5482
1.5477 <
«5472
.5466
,546i
,5456
1,545° <
,5445
,5440
,5435
.5429
i,5424 <
,5419
,5413
,5408
,5403
1,5398 с
,5392
,538?
,5382
,5377
i,5372 с
,5366
,536i
,5356
,5351
!'5345 с
,5340
,5335
.5330
,5325
1,5320 с
,5314
,5309
,5304
,5299
1,5294 с
,5289
,5283
,5278
,5273
1,5268 о
,52бЗ
,5258
,5253
,5248
sec* j
Р
0,87266
,87237
,87208
.87179
,87150
0,87121
,87092
,87063
,87034
,87005
0,86976
,86946
,86917
,86888
,86859
3,86830
,868oi
,86772
,86743
.86714
з,86685
,86656
,86627
,86597
,86568
э.86539
,86510
,86481
,86452
,86423
3,86394
,86365
.86336
,86307
,86277
3,86248
,86219
,86190
,86i6i
,86132
), 86103
,86074
,86045
,86016
,85987
',85957
,85928
,85899
,85870
,85841
,85812
.85783
.85754
,85725
,85696
,85667
,85637
,85608
,85579
,85550
Р
1
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
-18
47
43
45
44
43
42
41
40
39
33
37
36
35
34
33
32
31
30
29.
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
г
X
49е
6 Том 1, кн. 1


82 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
41
х I p I sin x I Ig sin x cos x Ig cos x tg x I Ig tg x ctg x sec x cosec x [ p
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
ЗЭ
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0.7i559 0,65606 9,81694 0,75471 9,87778 0,86929 9,93916 1,1504 1,32501 1,5243 0,85521
,71588 ,65628 ,8i7°9 ,75452 ,87767 ,86980 ,93942 ,1497 ,32535 ,5237 ,85492
,71617 ,65650 ,81723 ,75433 ,87756 ,87031 ,93967 ,1490 ,32568 ,5232 ,85463
,71646 ,65672 ,81738 ,75414 ,87745 -87082 ,93993 ,1483 ,32602 ,5227 ,85434
,71675 ,65694 ,81752 ,75395 ,87734 ,87133 ,94018 ,1477 ,32636 ,5222 ,85405
0,71704 0,65716 9,81767 0,75375 9,87723 0,87184 9,94044 1,1470 1,32669 1,5217 0,85376
,71733 ,65738 ,81781 ,75356 ,87712 ,87236 ,94069 ,1463 ,32703 ,5212 ,85347
,71762 ,65759 ,81796 ,75337 ,87701 ,87287 ,94095 ,1456 ,32737 ,5207 ,85318
,71791 ,65781 ,81810 ,75318 ,87690 ,87338 ,94120 ,1450 ,32770 ,5202 ,85288
,71820 ,65803 ,81825 ,75299 ,87679 ,87389 ,94146 ,1443 ,32804 ,5197 ,85259
0,71849 0,65825 9,81839 0,75280 9,87668 0,87441 9,94171 1,1436 1,32838 1,5192 0,85230
,71878 ,65847 ,81854 ,75261 ,87657 ,87492 ,94197 ,1430 ,32872 ,5187 ,85201
,71908 ,65869 ,81868 ,75241 ,87646 ,87543 ,94222 ,1423 ,32905 ,5182 ,85172
,71937 ,65891 ,81882 ,75222 ,87635 ,87595 ,94248 .1416 ,32939 .51?? »8543
,71966 ,65913 ,81897 ,75203 ,87624 ,87646 ,94273 ,1410 ,32973 ,5172 ,85114
o,7i995 0,65935 9.81911 0,75184 9,87613 0,87698 9,94299 1,1403 1,33007 1,5167 0,85085
.72024 ,65956 ,81926 ,75165 ,87601 ,87749 ,94324 Д396 ,3304! »5l62 ,85056
,72053 ,65978 ,81940 ,75146 ,87590 ,87801 ,94350 ,1389 ,33075 ,5156 ,85027
72082 ,66000 ,81955 ,75I26 ,87579 ,87852 ,94375 .1383 ,ЗЗЮ9 6I5I -84998
,72111 ,66022 ,81969 ,75107 ,87568 ,87904 ,94401 ,1376 ,33113 .5*46 ,84968
0,72140 0,66044 9,81983 o,75°88 9,87557 0,87955 9»9442б 1,1369 i,33i77 i»5I4I 0,84939
,72169 ,66066 ,81998 ,75069 ,87546 ,88007 ,94452 ,1363 .33211 ,5136 ,84910
,72198 ,66088 ,82012 ,75050 ,87535 ,88059 ,94477 ,1356 ,33245 ,5131 ,84881
,72228 ,66109 ,82026 ,75030 ,87524 ,88110 ,94503 ,1349 ,33279 ,5126 ,84852
,72257 ,66131 ,82041 ,75011 ,87513 ,88162 ,94528 ,1343 ,33314 ,5121 ,84823
0,72286 0,66153 9,82055 0,74992 9,87501 0,88214 9,94554 1Д336 i,33348 i,5116 0,84794
,72315 ,66175 .82069 ,74973 ,87490 ,88265 ,94579 ,1329 ,33382 ,5i" .84765
,72344 ,66197 ,82084 ,74953 ,87479 ,88317 ,94604 ,1323 ,33416 ,5107 ,84736
,72373 ,66218 ,82098 ,74934 .87468 ,88369 ,94630 ,1316 .33451 -5102 ,84707
,72402 ,66240 82112 ,74915 ,87457 ,88421 ,94655 ,1310 ,33485 ,5097 ,84678
072431 0.66262 9,82126 0,74896 9,87446 0,88473 9,94681 1,1303 1,33519 1.5092 0,84648
,72460 ,66284 ,82141 ,74876 ,87434 ,88524 ,94706 ,1296 ,30554 .5087 .84619
,72489 ,66306 ,82155 ,74857 ,87423 ,88576 ,94732 ,1290 ,33588 ,5082 ,84590
,72518 ,66327 ,82169 ,74838 ,87412 ,88628 ,94757 ,1283 ,33622 ,5077 ,84561
,72548 ,66349 .82184 ,74818 ,87401 ,88680 ,94783 ,1276 ,33657 -5°72 .84532
0,72577 0,66371 9,82198 0,74799 9,87390 0,88732 9,94808 1,1270 1,33691 1,5067 0,84503
,72606 ,66393 ,82212 ,74780 ,87378 ,88784 ,94834 ,1263 ,33726 ,5062 ,84474
,72635 ,66414 ,82226 ,74760 ,87367 ,88836 ,94859 ,1257 ,33760 ,5057 ,84445
,72664 ,66436 ,82240 ,74741 ,87356 ,88888 ,94884 ,1250 ,33795 ,5052 ,84416
,72693 ,66458 ,82255 ,74722 ,87345 ,88940 ,94910 ,1243 ,33830 ,5047 ,84387
0,72722 0,66480 9,82269 0,74703 9,87334 0,88992 9,94935 1Д237 1,33864 1,5042 0,84358
,72751 ,66501 ,82283 ,74683 ,87322 ,89045 ,94961 ,1230 ,33899 ,5037 ,84328
,72780 ,66523 ,82297 ,74664 ,87311 ,89097 ,94986 ,1224 ,33934 ,5032 ,84299
,72809 ,66545 ,82311 ,74644 ,87300 ,89149 ,95012 ,1217 ,33968 ,5027 ,84270
,72838 ,66566 ,82326 ,74625 ,87288 ,89201 ,95037 ,1211 ,34003 ,5023 ,84241
0,72867 0,66588 9,82340 0,74606 9,87277 0,89253 9,95062 1,1204 1,34038 1,5018 0,84212
,72897 ,66610 ,82354 ,74586 ,87266 ,89306 ,95088 ,1197 ,34073 ,5013 ,84183
,72926 ,66632 ,82368 ,74567 ,87255 ,89358 ,95113 ,1191 ,34108 ,5008 ,84154
,72955 ,66653 ,82382 ,74548 ,87243 ,89410 ,95139 ,1184 ,34142 ,5003 ,84125
,72984 ,66675 ,82396 ,74528 ,87232 ,89463 ,95164 ,1178 ,34177 ,4998 ,84096
0.73013 0,66697 9,82410 0,74509 9,87221 0,89515 9,95190 1,1171 1,34212 14993 0,84067
,73042 ,66718 ,82424 ,74489 ,87209 ,89567 ,95215 ,1165 ,34247 ,4988 ,84038
.730?1 .66740 ,82439 ,74470 ,87198 ,89620 ,95240 ,1158 .34282 ,4984 ,84009
,73ioo ,66762 ,82453 ,74451 ,87187 ,89672 ,95266 ,1152 ,34317 ,4979 ,83979
,73129 ,66783 ,82467 ,74431 ,87175 ,89725 ,95291 ,ii45 .34352 ,4974 ,8395°
°,13^ 0,66805 9,82481 0,74412 9,87164 0,89777 9,95317 1Д139 1 34387 Х.49б9 0,83921
,73187 ,66827 ,82495 ,74392 ,87153 ,89830 ,95342 ,1132 ,34423 ,4964 ,83892
,73217 ,66848 ,82509 ,74373 ,87141 ,89883 ,95368 ,1126 ,34458 ,4959 ,83863
,73246 ,66870 ,82523 ,74353 ,87130 ,89935 ,95393 ,ni9 .34493 ,4954 ,83834
,73275 ,66891 ,82537 ,74334 ,87119 ,89988 ,95418 ,1113 ,34528 ,4950 ,83805
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
p | cos* [lgcos.x| sin* | Ig sin л: I ctgjf
cosec x sec x
48°


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 83
42е
р | sinx |]gsin;t| cos л: |lgcosx| tgjc | Ig tg x ctgj: I secx | cosecx р j
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
°.733°4 0,66913 9,82551 0,74314 9,87107 0,90040 9,95444 1,1106 1,34563 1,4945 0,83776
.73333 .66935 .82565 ,74295 ,87096 ,90093 ,95469 ,1100 ,34599 ,4940 33747
,73362 ,66956 ,82579 ,74276 ,87085 ,90146 ,95495 ,1093 ,34634 ,4935 ,83718
.73391 ,66978 ,82593 ,74256 ,87073 ,90199 ,95520 ,1087 ,34669 ,4930 ,83689
,73420 ,66999 ,82607 ,74237 ,87062 ,90251 ,95545 ,1080 ,34704 ,4925 ,83659
0,73449 0,67021 9,82621 0,74217 9,87050 0,90304 9,95571 1,1074 1,34740 1,4921 0,83630
.73478 ,67043 ,82635 ,74198 ,87039 ,90357 ,95596 ,1067 ,34775 ,4916 ,83601
•735°7 ,67064 ,82649 ,74178 ,87028 ,90410 ,95622 ,1061 ,34811 ,4911 ,83572
.73537 ,67086 ,82663 ,74159 ,87016 ,90463 ,95647 ,1054 ,34846 ,49°6 ,83543
.73566 ,67107 ,82677 ,74139 ,87005 ,90516 ,95672 ,1048 ,34882 ,4901 ,83514
0.73595 0,67129 9,82691 0,74120 9,86993 0,90569 9,95698 1,1041 1,34917 1,4897 0,83485
,73624 ,67151 ,82705 ,74100 ,86982 ,90621 ,95723 ,1035 ,34953 ,4892 ,83456
.73653 ,67172 ,82719 ,74080 ,86970 ,90674 ,95748 ,1028 ,34988 ,4887 ,83427
,73682 ,67194 ,82733 ,74061 ,86959 ,90727 ,95774 .1022 ,35024 ,4882 ,83398
,73711 ,67215 ,82747 ,74041 ,86947 ,90781 ,95799 .1016 ,35060 ,4878 ,83369
0,73740 0,67237 9,82761 0,74022 9,86936 0,90834 9.95825 1,1009 i.35°95 1.4873 0,83339
,73769 ,67258 ,82775 ,74002 ,86924 ,90887 ,95850 ,1003 ,35131 ,4868 ,83310
.73798 ,67280 ,82788 ,73983 ,86913 ,90940 ,95875 ,0996 ,35167 ,4863 ,83281
,73827 ,67301 ,82802 ,73963 ,86902 ,90993 ,95901 ,0990 ,35203 ,4859 .83252
.73857 .67323 ,82816 ,73944 ,86890 ,91046 ,95926 ,0983 ,35238 ,4854 ,83223
0,73886 0,67344 9.82830 0,73924 9,86879 0,91099 9,95952 1,0977 I>35274 L4849 0,83194
,73915 .67366 ,82844 ,73904 ,86867 ,91153 ,95977 ,0971 ,35310 ,4844 ,83165
,73944 ,67387 ,82858 ,73885 ,86855 ,91206 ,96002 ,0964 ,35346 ,4840 ,83136
.73973 ,67409 ,82872 ,73865 ,86844 ,91259 ,96028 ,0958 ,35382 ,4835 ,83107
,74002 ,67430 ,82885 ,73846 ,86832 ,91313 ,96053 ,0951 ,35418 ,4830 ,83078
0,74031 0,67452 9,82899 0,73826 9,86821 0,91366 9,96078 1,0945 1.35454 14825 0,83049
,74060 ,67473 ,82913 ,73806 ,86809 ,91419 ,96104 ,0939 ,35490 ,4821 ,83019
,74089 ,67495 ,82927 ,73787 ,86798 ,91473 ,96129 ,0932 ,35526 ,4816 ,82990
,74118 ,67516 ,82941 ,73767 ,86786 ,91526 ,96155 ,0926 ,35562 ,4811 ,82961
,74147 ,67538 ,82955 ,73747 ,86775 .9i580 ,96180 ,0919 ,35598 ,4807 ,82932
0,74176 0,67559 9,82968 0,73728 9,86763 0,91633 9,96205 1,0913 1,35634 1,4802 0,82903
,74206 ,67580 ,82982 ,73708 ,86752 ,91687 ,96231 ,0907 ,35670 ,4797 ,82874
,74235 ,67602 ,82996 ,73688 ,86740 ,91740 ,96256 ,0900 ,35707 ,4792 ,82845
,74264 ,67623 ,83010 ,73669 ,86728 ,91794 ,96281 ,0894 ,35743 ,4788 ,82816
,74293 ,67645 ,83023 ,73649 ,86717 ,91847 ,96307 ,0888 ,35779 ,4783 ,82787
0,74322 0,67666 9,83037 0,73629 9,86705 0,91901 9,96332 1,0881 1,35815 1,4778 0,82758
,74351 ,67688 ,83051 ,73610 ,86694 ,91955 ,96357 ,0875 ,35852 ,4774 .82729
,74380 ,67709 ,83065 ,73590 ,86682 ,92008 ,96383 ,0869 .35888 ,4769 ,82700
,74409 ,67730 ,83078 ,73570 ,86670 ,92062 ,96408 ,0862 ,35924 ,4764 ,82670
,74438 ,67752 ,83092 ,73551 ,86659 ,92116 ,96433 ,0856 '35961 ,4760 ,82641
0,74467 0,67773 9,83106 0,73531 9,86647 0,92170 9,96459 1,0850 1,35997 1,4755 0,82612
.74496 ,67795 ,83120 ,73511 ,86635 ,92224 ,96484 ,0843 ,36034 ,4750 ,82583
,74526 ,67816 ,83133 .73491 ,86624 ,92277 ,96510 ,0837 ,36070 ,4746 ,82554
,74555 ,67837 ,83147 .73472 ,86612 ,92331 ,96535 ,0831 ,36107 ,4741 ,82525
,74584 ,67859 ,83161 ,73452 ,86600 ,92385 ,96560 ,0824 ,36143 ,4737 ,82496
0,74613 0,67880 9,83174 0,73432 9,86589 0,92439 9,96586 i,0818 1,36180 1,4732 0,82467
,74642 ,67901 ,83188 ,73413 ,86577 ,92493 ,96611 ,0812 ,36217 ,4727 ,82438
,74671 ,67923 ,83202 ,73393 ,86565 ,92547 ,96636 ,0805 ,36253 ,4723 ,82409
,74700 ,67944 ,83215 ,73373 ,86554 ,92601 ,96662 ,0799 ,36290 ,4718 ,82380
.74729 .67965 .83229 ,73353 ,86542 ,92655 ,96687 ,0793 ,36327 ,4713 ,82350
0.74758 0,67987 9,83242 0,73333 9,86530 0,92709 9,967121,0786 1,36363 1,4709 0,82321
.74787 ,68008 ,83256 ,73314 ,86518 ,92763 ,96738 ,0780 ,36400 ,4704 ,82292
,74816 ,68029 ,83270 ,73294 ,86507 ,92817 ,96763 ,0774 ,39437 ,4700 ,82263
,74846 ,68051 ,83283 ,73274 ,86495 .92872 ,96788 ,0768 ,36474 ,4695 ,82234
.74875 ,68072 ,83297 ,73254 ,86483 ,92926 ,96814 ,0761 ,36511 ,4690 ,82205
0,74904 0,68093 9,83310 0,73234 9,86472 0,92980 9,96839 1,0755 1.36548' 1,4686 0,82176
.74933 ,68115 ,83324 ,73215 ,86460 ,93034 ,96864 ,0749 ,36585 ,4681 ,82147
,74962 ,68136 ,83338 ,73195 ,86448 ,93088 ,96890 ,0742 ,36622 ,4677 ,82118
,74991 ,68157 ,83351 ,73175 ,86436 ,93143 ,96915 ,0736 ,36659 ,4672 ,82089
,75020 ,68179 ,83365 ,73155 ,86425 ,93197 ,96940 ,0730 ,36696 ,4667 ,82060
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
IS
17
1$
15-
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
p | cosx jlgcosjcj sinx Igsinjf ctg л: I Ig ctg х tg,*r cosecxl sec л"
47


84 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
43°
х \ p I sin л- |lgsin.*| cos л: |]gcosjy[ tgx \\gtgx\clgx sec* cosec x.) p j
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
,31
32
33
34
35
36
37
40
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
66
57
58
50
о;?5°49 0,68200 9,83378 0,73135 9,86413 0,93252 9,96966 1,0724 1,36733 1,4663 0,82030
,75078 ,68221 ,83392 ,73116 ,86401 ,93306 ,96991 ,0717 ,36770 ,4658 ,82001
,75107 ,68242 ,83405 ,73096 ,86389 ,93360 ,97016 ,0711 ,36807 ,4654 ,81972
,75136 ,68264 ,83419 ,73076 ,86377 ,93415 ,97042 ,0705 ,36844 ,4649 ,81943
,75166 ,68285 ,83432 ,73056 ,86366 ,93469 ,97067 ,0699 ,36881 ,4645 ,81914
°»75I95 0,68306 9,83446 0,73036 9,86354 0,93524 9,97092 1,0692 1,36919 1,4640 0,2.1885
,75224 ,68327 ,83459 .73016 ,86342 ,93578 ,97118 ,0686 ,36956 ,4635 ,81856
,75253 ,68349 ,83473 ,72996 ,86330 ,93633 ,97143 ,0680 ,36993 ,4631 ,81827
,75282 ,68370 ,83486 ,72976 ,86318 ,93688 ,97168 ,0674 ,37030 ,4626 ,81798
,75311 ,68391 ,83500 ,72957 ,86306 ,93742 ,97193 ,0668 ,37068 ,4622 ,81769
0,7534° 0,68412 9,83513 0,72937 9,86295 0,93797 9,972191,0661 i,37i°5 i,46l7 0,81740
,75369 ,68434 .83527 ,72917 ,86283 ,93852 ,97244 ,0655 ,37143 ,4613 ,81710
,75398 ,68455 ,83540 ,72897 ,86271 ,93906 ,97269 ,0649 ,37180 ,4608 ,81681
,75427 ,68476 ,83554 ,72877 ,86259 ,93961 ,97295 ,0643 ,37218 ,4604 ,81652
,75456 ,68497 33567 ,72857 ,86247 ,94016 ,97320 ,0637 ,37255 ,4599 ,81623
0,75485 0,68518 9,83581 0,72837 9,86235 0,94071 9,97345 1,0630 1,37293 1,4595 0,81594
,75515 .68539 .83594 ,72817 ,86223 ,94125 ,97371 ,0624 ,37330 ,4590 ,81565
,75544 ,68561 ,83608 ,72797 ,86211 ,94180 ,97396 ,0618 ,37368 ,4586 ,81536
,75573 ,68582 ,83621 ,72777 ,86200 ,94235 ,97421 ,0612 ,37406 ,4581 ,81507
,75602 ,68603 ,83634 ,72775 ,86188 ,94290 ,97447 ,0606 ,37443 ,4577 ,81478
0,75631 o,68624 9,83648 0,72737 9,86176 0,94345 9,97472 1,0599 i,3748i I.4572 0,81449
,75660 ,6864s ,83661 ,72717 ,86164 ,94400 ,97497 ,0593 ,37519 ,4568 ,81420
,75689 ,68666 ,83674 ,72697 ,86152 ,94455 ,97523 ,0587 ,37556 ,4563 ,81391
,75718 ,68688 ,83688 ,72677 ,86140 ,94510 ,97548 ,0581 ,37594 ,4559 ,81361
,75747 ,68709 ,83701 ,72657 ,86128 ,94565 ,97573 ,0575 ,37632 ,4554 ,81332
o,75776 0,68730 9.83715 0,72637 9,86116 0,94620 9,97598 1,0569 1,37670 1,4550 0,81303
,758°5 ,68751 -83728 ,72617 ,86104 ,94676 ,97624 ,0562 ,37708 ,4545 ,81274
,75835 ^68772 ,83741 ,72597 ,86092 ,94731 ,97649 ,0556 ,37746 ,4541 ,81245
,75864 ,68793 ,83755 ,72577 ,86080 ,94786 ,97674 ,0550 ,37784 ,4536 ,81216
,75893 ,688i4 ,83768 ,72557 ,86068 ,94841 ,97700 ,0544 ,37822 ,4532 ,81187
0,75922 0,68835 9,8378i 0,72537 9,86056 0,94896 9,97725 1,0538 1,37860 1,4527 0,81158
•7S9.51 ,68857 ,83795 ,72517 ,86044 ,94952 ,97750 ,0532 ,37898 ,4523 ,81129
,7598o ,68878 ,83808 ,72497 ,86032 ,95007 ,97776 ,0526 ,37936 ,45l8 ,81100
,76009 ,68899 ,83821 ,72477 ,86020 ,95062 ,97801 ,0519 ,37974 ,4514 ,81071
,76038 ,68920 ,83834 ,72457 ,86008 ,95118 ,97826 ,0512 ,38012 ,4510 ,81041
0,76067 0,68941 9,83848 0,72437 9,85996 0,95173 9,97851 1,0507 1,38051 1,4505 0,81012
,76096 ,68962 ,83861 ,72417 ,85984 ,95229 ,97877 ,0501 ,38089 ,4501 ,80983
,76125 ,68983 ,83874 ,72397 ,85972 ,95284 ,97902 ,0495 ,38127 ,4496 ,80954
,76155 ,69004 ,83887 ,72377 ,85960 ,95340 ,97927 ,0489 ,38165 ,4492 ,80925
,76i84 ,69025 ,83901 ,72357 ,85948 ,95395 ,97953 ,0483 ,38204 ,4487 ,80896
0,76213 0,69046 9,839i4 0,72337 9,85936 0,95451 9,97978 1,0477 1,38242 1,4483 0,80867
,76242 ,69067 '.83927 ,72317 ,85924 ,95506 ,98003 ,0470 ,38280 ,4479 ,80838
,76271 ,69088 ,83940 ,72297 ,85912 ,95562 ,98029 ,0464 ,38319 ,4474 ,80809
,76300 ,69109 ,83954 ,72277 ,85900 ,95618 ,98054 ,0458 ,38357 ,4470 ,80780
,76329 ,69130 ,83967 ,72257 ,85888 ,95673 ,98079 ,0452 ,38396 ,4465 ,80751
0,76358 0,69151 9,8398o 0,72236 9,85876 0,95729 9,98104 1,0446 1,38434 1,4461 0,80721
,76387 ,69172 ,83993 ,72216 ,85864 ,95785 ,98130 ,0440 ,38473 ,4457 ,80692
,76416 ,69193 ,84006 ,72196 ,85851 ,95841 ,98155 ,0434 ,38512 ,4452 ,80663
,76445 ,69214 ,84020 ,72176 ,85839 ,95897 ,98180 ,0428 ,38550 ,4448 ,80634
,76475 ,69235 '84033 ,72156 ,85827 ,95952 ,98206 ,0422 ,38589 ,4443 ,80605
0,76504 0,69256 9,84046 0,72136 9,85815 0,96008 9,98231 1,0416 1,38628 1,4439 0,80576
,76533 ,69277 ,84059 ,72116 ,85803 ,96064 ,98256 ,0410 ,38666 ,4435 ,80547
,76562^,69298 ,84072 ,72095 ,85791 ,96120 ,98281 ,0404 ,38705 ,4430 ,80518
,76591 ,69319 ,84085 ,72075 ,85779 ,96176 ,98307 ,0398 ,38744 ,4426 ,80489
,76620 ,69340 ,84098 ,72055 ,85766 ,96232 ,98332 ,0392 ,38783 ,4422 ,80460
0,76649 0,69361 9,84112 0,72035 9,85754 0,96288 9,98357 1,0385 1,38822 1,4417 0,80431
,76678 ,69382 ,84125 ,72015 ,85742 ,96344 ,98383 ,0379 ,38860 ,4413 ,80402
,76707 ,69403 ,84138 ,71995 ,85730 ,96400 ,98408 ,0373 ,38899 ,4409 ,80372
,76736 ,69424 ,84151 ,71974 ,85718 ,96457 ,98433 ,0367 ,38938 ,44°4 ,80343
,76765 ,69445 -84164 ,71954 ,85706 ,96513 ,98458 ,0361 ,38977 ,4400 ,80314
60
59
58
57
58
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
18
15
14
13
12
11
10
p j cos л: Igcosx sin* |lgsinjc{ ctg* [lgctgx| tg* cosec x sec к p \ x


44°
х\ p ' sinx Igsinx cos л: Igcosx tgx j Igtg x \ cigx \ sec x cosecx| p
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
82
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
5»
54
55
56
57
58
59
60
0,76794 0,69466 9,84177 0,71934 9,85693 0,96569 9,98484 1,0355 1,39016 1,4396 0,80285
,76824 ,69487 ,84190 ,71914 ,85681 ,96625 ,98509 ,0349 ,39055 ,4391 ,80256
,76853 ,69508 .84203 ,71894 ,85669 ,96681 ,98534 ,0343 ,39095 ,4387 ,80227
,76882 ,69529 ,84216 ,71873 ,85657 ,96738 ,98560 ,0337 ,39134 ,4383 ,80198
,76911 ,69549 ,,84229 ,71853 ,85645 ,96794 ,98585 ,033! ,39173 ,4378 ,80169
0,76940 0,69570 9,84242 0,71833 9,85632 0,96850 9,98610 1,0325 1,39212 1,4374 0,80140
,76969 ,69591 ,84255 ,71813 ,85620 ,96907 ,98635 ,0319 ,39251 ,4370 ,80111
,76998 ,69612 ,84269 ,71792 ,85608 ,96963 ,98661 ,0313 ,39291 ,4365 ,80082
,77027 ,69633 ,84282 ,71772 ,85596 ,97020 ,98686 ,0307 ,39330 ,4361 ,80052
,77056 ,69654 ,84295 ,71752 ,85583 ,97076 ,98711 ,0301 ,39369 ,4357 ,80023
0,77085 0,69675 9,84308 0,71732 9,85571 0,97133 9,98737 1,0295 1,39409 1,4352 0,79994
,77114 ,69696 ,84321 ,71711 ,85559 ,97189 ,98762 ,0289 ,39448 ,4348 ,79965
,77144 ,69717 ,84334 ,71691 ,85547 ,97246 ,98787 ,0283 ,39487 ,4344 ,79936
,77173 ,69737 ,84347 ,71671 ,85534 ,97302 ,98812 ,0277 ,39527 ,4340 ,79907
,77202 ,69758 ,84360 ,71650 ,85522 ,97359 ,98838 ,0271 ,39566 ,4335 ,79878
0,77231 0,69779 9,84373 0,71630 9,85510 0,97416 9,98863 1,0265 1,39606 1,4331 o,79849
,77260 ,69800 ,84385 ,71610 ,85497 ,97472 ,98888 ,0259 ,39646 ,4327 ,79820
,77289 ,69821 ,84398 ,71590 ,85485 ,97529 ,98913 ,0253 ,39685 ,4322 ,79791
,77318 ,69842 ,84411 ,71569 ,85473 ,97586 ,98939 ,0247 ,39725 ,4318 ,79762
,77347 ,69862 ,84424 ,71549 ,85460 ,97643 ,98964 ,0241 ,39764 ,4314 «79732
0,77376 0,69883 9,84437 0,71529 9,85448 0,97700 9,98989 1,0235 1,39804 1,4310 0,79703
,77405 ,69904 ,84450 ,71508 ,85436 ,97756 ,99015 ,0230 ,39844 ,4305 ,79674
,77434 ,69925 ,84463 ,71488 ,85423 ,97813 ,99040 ,0224 ,39884 ,4301 ,79645
,77464 ,69946 ,84476 ,71468 ,85411 ,97870 ,99065 ,0218 ,39924 ,4297 ,79616
,77493 ,69966 ,84489 ,71447 ,85399 ,97927 ,99090 ,0212 - ,39963 ,4293 ,79587
0,77522 0,69987 9,84502 0,71427 9,85386 0,97984 9,99116 1,0206 1,40003 1,4288 0,79558
•77551 ,7°oo8 ,84515 ,71407 ,85374 ,98041 ,99141 ,0200 ,40043 ,4284 ,79529
,7758o ,70029 ,84528 ,71386 ,85361 ,98098 ,99166 ,0194 ,40083 ,4280 ,79500
,77609 ,70049 ,84540 ,71366 ,85349 ,98155 ,99191 ,0188 ,40123 ,4276 ,79471
,77638 ,70070 ,84553 ,71345 ,85337 ,98213 ,99217 ,0182 ,40163 ,4271 ,79442
0,77667 0,70091 9,84566 0,71325 9,85324 0,98270 9,99242 1,0176 1,40203 1,4267 0,79412
,77696 ,70112 ,84579 ,71305 ,85312 ,98327 ,99267 ,0170 ,40243 ,4263 ,79383
,77725 ,70132 ,84592 ,71284 ,85299 ,98384 ,99293 ,0164 ,40283 ,4259 ,79354
,77754 ,70153 ,84605 ,71264 ,85287 ,98441 ,99318 ,0158 ,40324 ,4255 ,79325
,77784 ,70174 ,84618 ,71243 ,85274 ,98499 ,99343 ,0152 40364 ,4250 ,79296
0,77813 0,70195 9,84630 0,71223 9,85262 0,98556 9,99368 1,0147 1,40404 1,4246 0,79267
,77842 ,70215 ,84643 ,71203 ,85250 ,98613 ,99394 ,0141 ,40444 ,4242 ,79238
,77871 ,70236 ,84656 ,71182 ,85237 ,98671 ,99419 ,0135 ,40485 4238 ,79209
,77900 ,70257 ,84669 ,71162 ,85225 ,98728 ,99444 ,0129 ,40525 ,4234 ,79180
,77929 ,70277 ,84682 ,71141 ,85212 ,98786 ,99469 ,0123 ,40565 ,4229 ,79151
0,77958 0,70298 9,84694 0,71121 9,85200 0,98843 9,99495 1,0117 1,40606 1,4225 0,79122
,77987 ,70319 ,84707 ,71100 ,85187 ,98901 ,99520 ,0111 ,40646 ,4221 ,79093
,78016 ,70339 ,84720 ,71080 ,85175 ,98958 ,99545 ,0105 ,40687 ,4217 ,79063
,78045 ,70360 ,84733 ,71059 ,85162 ,99016 ,99570 ,0099 ,40727 ,4213 ,79034
,78074 ,70381 ,84745 ,7Ю39 ,85150 ,99073 ,99596 ,0094 ,40768 ,4208 ,79005
0,78103 0,70401 9,84758 0,71019 9,85137 0,99131 9,99621 1,0088 1,40808 1,4204 0,78976
,78133 ,70422 ,84771 ,70998 ,85125 ,99189 ,99646 ,0082 ,40849 ,4200 ,78947
,78162 ,70443 ,84784 ,70978 ,8511*2 ,99247 ,99672 ,0076 ,40890 ,4106 ,78918
,78191 ,70463 ,84796 ,70957 ,85100 ,99304 ,99697 ,0070 ,40930 ,4192 ,78889
,78220 ,70484 ,84809 ,70937 ,85087 ,99362 ,99722 ,0064 ,40971 ,4188 ,78860
0,78249 0,70505 9,84822 0,70916 9,85074 0,99420 9,99747 1,0058 1,41012 1,4183 0,78831
,78278 ,70525 ,84835 ,70896 ,85062 ,99478 ,99773 ,0052 ,41053 ,4179 ,78802
,78307 ,70546 ,84847 ,70875 ,85049 ,99536 ,99798 ,0047 ,41093 ,4175 ,78773
,78336 ,70567 ,84860 ,70855 ,85037 ,99594 ,99823 ,0041 ,41134 ,4171 ,78743
,78365 ,70587 ,84873 ,70834 ,85024 ,99652 ,99848 ,0035 ,45 «4167 ,78714
0,78394 0,70608 9,84885 0,70813 9,85012 0,99710 9,99874 1,0029 1,41216 1,4163 0,78685
,78423 ,70628 ,84898 ,70793 ,84999 ,99768 ,99899 ,0023 ,41257 ,4159 ,78656
,78453 ,70649 ,849" ,70772 ,84986 ,99826 ,99924 ,0017 ,41298 ,4154 ,78627
,78482 ,70670 ,84923 ,70752 ,84974 ,99884 ,99949 ,0012 ,41339 ,415° ,78598
,78511 ,70690 ,84936 ,70731 ,84961 ,99942 ,99975 ,0006 ,41380 ,4146 ,78569
,78540 0,70711 9,84949 0,70711 9,84949 1,00000 0,00000 1,0000 1,41421 1,4142 ,78540
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
3d
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9<
8
7
a
5
4
3
2
1
0


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица VIII. КРУГОВЫЕ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(Аргумент в дуговых единицах и градусах)
X
0,00
01
О2
03
04
05
об
о?
о8
09
0,10
II
12
13
14
15
i6
17
18
19
0,20
21
22
23
24
2Й
2,6
27
28
29
0,30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
0,50
51
52
53
54
5Й
56
57
58
59
sin x
0,00000
OIOOO
02000
03000
03999
04998
05996
06994
07991
08988
0,09983
10978
11971
12963
13954
14944
15932
16918
17903
18886
0,19867
20846
21823
22798
23770
24740
25708
26673
27636
28595
0,29552
30506
31457
32404
33349
34290
35227
36162
37092
38019
0,38942
39861
40776
41687
42594
43497
44395
45289
46178
47063
о,47943
48818
49688
50553
5I4I4
52269
53И9
53963
54802
55636
cos л:
I,OOOOO
99995
9998о
99955
99920
99875
99820
99755
99680
99595
0,995°°
99396
99281
99156
99022
98877
98723
98558
98384
98200
0,98007
97803
9759°
97367
97134
96891
96639
96377
96106
95824
0-95534
95233
94924
94604
94275
93937
93590
93233
92866
92491
0,92106
91712
91309
90897
90475
90045
89605
89157
88699
88233
0,87758
87274
86782
86281
85771
85252
84726
8419°
83646
83094
tgx
о
о.ооооо
OIOOO
О2ООО
03001
04002
05004
06007
07011
08017
09024
0,10033
11045
12058
13074
14092
15114
16138
17166
18197
19232
0,20271
21314
22362
23414
24472
25534
26602
27676
28755
29841
0,30934
32033
33139
34252
35374
36503
3764°
38786
39941
41105
°,42279
43463
44657
45862
47078
48306
49545
50797
52061
53339
о,54бз°
55936
57256
58592
59943
61311
62695
64097
65517
66956
ех
I.OOOOO
01005
02020
03045
04081
05127
06184
07251
08329
09417
1Д0517
Иб28
12750
13883
15027
I6l83
I735I
18530
19722
20925
I,22I4O
23368
24608
25860
27125
28403
20693
30996
32313
33643
1,34986
36343
37713
39097
40495
41907
43333
44773
46228
47698
i,49I82
50682
52196
53726
55271
56831
58407
59999
61607
63232
1,64872
66529
68203
69893
71601
73325
75067
76827
78604
80399
е~х
I,OOOOO
0.99005
98020
97045
96079
95*23
94176
93239
92312
9^393
0,90484
89583
88692
87810
86936
86071
85214
84366
83527
82696
0,81873
81058
80252
79453
78663
77880
77Ю5
76338
75578
74826
о,74°82
73345
72615
71892
7«77
70469
69768
69073
68386
67706
0,67032
66365
65705
65051
64404
63763
63128
62500
61878
61263
0,60653
60050
59452
58860
58275
57б95
57I2I
56553
5599°
55433
sh x
0,00000
OIOOO
02ООО
03000
04001
05002
06004
07006
08009
09012
0,10017
1 1022
I2O29
13037
14046
Т5056
16068
17082
18097
19И5
O,2OI34
2И55
22178
23203
24231
25261
26294
27329
28367
29408
0,30452
3499
32549
33602
34659
35719
36783
37850
38921
39996
0,41075
42158
43246
44337
45434
46534
47640
48750
49865
50984
0,52110
53240
54375
555i6
56663
578i5
58973
60137
61307
62483
ch x
1,00000
00005
OOO2O
00045
оооЗо
00125
ooiSo
00245
00320
00405
1,00500
00606
00721
00846
00982
01127
01283
01448
01624
01810
1,02007
02213
02430
02657
02894
03141
03399
03667
03946
04235
1.04534
04844
05164
05495
05836
06188
06550
06923
07307
07702
1,08107
08523
08950
09388
09837
10297
10768
11250
43
12247
1,12763
13289
13827
14377
14938
I5510
16094
16690
17297
17916
thx
0,00000
OIOOO
O2OOO
02999
03998
04996
05993
069^9
07983
08976
0,09967
10956
И943
12927
13909
14889
15865
16838
17808
18775
0,19738
20697
21652
22603
23550
24492
25430
26362
27291
28213
0,29131
30044
30951
31852
32748
33638
34521
35399
36271
37136
0,37995
38847
39693
40532
41364
42190
43008
43820
44624
45422
0,46212
46995
47770
48538
49299
SOOS2
50798
51536
52267
52990
x в гра-
дусах
о
o°34'23*
i°o8'45"
i°43'o8*
2°i7'3i"
2°5i'53"
3°26'l6"
4°oo'39»
4'35'oi*
5°09'24"
5в43'4б*
6°i8'o9"
6°52'32"
7С26'54"
8°о1'17»
8°35'40*
9eio'o2ir
9°44'25"
io°i8'48*
io°53'io"
I i 7 '33"
I2°OI 56"
I2'36'i8'1'
13*1041*'
13*45 04*
14* 19' 2.6"
I4e53'49*
I5028'I2*
16*02 '34"
i6e36'57"
ry'ii'ig*
i7°45'42"
i8e20o5*
I8'54'27"
I9e28'5o*
2овоз 13"
20°37'35"
21 1158"
2I°46'2I*
22°20'43"
22e55'o6"
23°29'29*
24°оз'51*
24*38' 14
25° 12' 37"
2504б'59*
2б°21'22"
2б°55'44''
27°30'07*
28°04'зо*
28°з8'52»
29' is' 15"
29°47'38"
30°22'00"
Зо°5б'23*
31°3о'4б"
32°о5'о8"
32'39'3i*
33° 13 '54*
3348'1б"


X
0,60
6i
62
63
64
65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
75
76
77
78
1/4^=0,7854
*79
0,80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0,90
9i
92
93
94
95
f
96
97
98
99
1,00
01
02
03
04
5
06
07
08
09
1,10
л
12
13
Ч
i<5
il
17
18
19
sinx
0,56464
5728-3
58104
58914
5972C
60515
61312
62095
62875
63654
0,64422
65183
65938
66687
67425
68164
68892
6961^
70326
0,70711
71035
0,71736
72425
73H5
73793
74464
75128
75784
76433
77074
77707
0,78333
7895C
795бс
8oi62
80756
81342
81915
82485
83050
83603
0,84147
84683
85211
85730
86240
86742
87236
87720
88196
88663
0,89121
8957C
90010
90441
90863
91276
91680
92075
92461
92837
cos*
1. 0,82534
81965
1. 81388
' 80803
) 80210
79608
78999
78382
77757
77125
0,76484
75836
75181
74517
73847
73169
72484
71791
71091
0,70711
70385
0,69671
68950
68222
67488
66746
65998
65244
64483
63715
62941
0,62161
> 61375
60582
59783
58979
58168.
57352
56530
55702
54869
0,54030
53186
52337
51482
50622
49757
48887
48012
47133
46249
0,45360
44466
43568
42666
41759
40849
39934
39015
38092
37i66
MAT!
tgx
о
0,68414
69892
7*391
72911
74454
76020
77610
79225
8o866
82534
0,84229
85953
87707
89492
91309
. 93i6o
95°45
96967
98926
I
1,00925
1,02964
05046
07171
09343
63
13833
16156
18532
20966
23460
1,26016
28637
31326
34087
36923
39838
42836
45920
49096
52368
I-5574I
59221
62813
66524
70361
74332
78442
82703
87122
91709
1,96476
2,01434
06596
H975
17588
23450
29580
35998
42727
49790
1МАТИЧЕС
ex
1,82212
84043
85893
87761
89648
91554
93479
95424
97388
99372
2,01375
°3399
05443
07508
09594
11700
13828
15977
18147
2,19328
20340
2,22554
24791
27050
29332
31637
33965
36316
38691
41090
435*3
2,459бо
48432
50929
53451
55998
58571
61170
63794
66446
69123
2,71828
745бо
77319
80107
82922
85765
88637
9*538
94468
97427
3.00417
03436
06485
09566
. 12677
15819
18993
22199
25437
28708
КИЕ ТАБЛР
e~*
0,54881
54335
53794
53259
52729
52205
51685
5«7i
50662
50158
о,49б59
49164
48675
48191
47711
47237
46767
46301
45841
o,45594
45384
0,44933
44486
44043
43605
43I7I
42741
42316
41895
41478
41066
0,40657
40252
39852
39455
39063
38674
38289
37908
37531
37158
0,36788
36422
36059
357°i
35345
34994
34646
343°i
339бо
33622
0.33287
32956
32628
32303
31982
3*664
31349
ЗЮ37
30728
30422
ты
sh д-
0,63665
64854
66049
67251
68459
69675
70897
72126
73363
74607
о,75858
77«7
78384
79б59
80941
82232
83530
84838
86153
0,86867
87478
0,88811
90152
91503
92863
94233
95612
97000
98398
99806
1,01224
1,02б52
04090
05539
06998
08468
09948
И44°
12943
4457
15983
1,17520
19069
20630
222ОЗ
23788
25386
26996
28619
3°254
31903
1.33565
35240
36929
38631
40347
42078
43822
45581
47355
49143
Про;
chx
1,18547
19189
19844
20510
21189
21879
22582
23297
24025
24765
1,25517
26282
27059
27849
28652
29468
30297
ЗИ39
3*994-
1,32461
32862
133743
34638
35547
36468
374°4
38353
393i6
40293
41284
42289
1,43309
44342
4539°
46453
47530
48623
49729
50851
51988
53I4I
i,543o8
55491
56689
57904
59134
60379
61641
62919
64214
65525
1,66852
68196
69557
70934
72329
73741
75I7I
76618
78083
79565
(олжение
thx
о,53705
544^3
55* *3
55805
56490
57167
57836
58498
59152
59798
0,60437
61068
61691
62307
62915
63515
64108
64693
65271
0-б5579
65841
0,66404
66959
67507
68048
68581
69107
69626
70137
70642
7И39
0,71630
72113
72590
73059
73522
73978
74428
74870
75307
75736
0,76159
76576
76987
77391
77789
78181
78566
78946'
79320
79688
0,80050
80406
80757
81102
81441
81775
82104
82427
82745
83058
87
табл. VIII
х в гра-
дусах
34*22'39"
34*5702»
35°3*'24*
36°05'47*
Збв4о'°9*
37°14'32*
37°48'55*
38°23'i7*
38'57'4о*
39°32'оз*
4о'об'25*
40в40'48"
4iei5'"*
4*949'33*
42°2з'5б*
43-58' ig"
43°32'4**
44°о7'о4'
44°4i'27*
45 ,' ,
45 1549
4[?<>5о'12"
1 П
46 24 34
4б°5857"
47°33'20//
48°07'42'/
48°42'о5/"
49°*6'28/'
4905о'5о"
5°'25'*3
5°°59'36"
5*в33'58*
528'21/!Г
52в42'44"
53;i7;°6;
53 51 29''
54°25'52'
55"°°' И*
55*34 '37"
5б"о9'оо*
5б°43'22"
57°17'45"
57°52 о?"
58'2б'зо"
59°оо'53"
595'i5"
6о°о9'з8"
бо'щ'0*"
6i°i8'23"
6i°52'46'/
62°27'09"
63eoi'3i"
635Г54'/
б4°ю'17//
б4'44'39"
65°19'02//
65'53>25"'
667'47"
67°02'10*
67'36'32"
68°io'55*


88
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
X
1,20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1,30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
1,40
4i
42
43
44
45
46
47
48
49
1,50
V8*=i.57°8
60
70
80
90
2,00
10
20
30
8/4*=2,3562
40
f
60
70
80
90
3,00
10
It =3,1416
20
3°
40
f
60
70
80
90
'/4* =3,9270
sin*
0,93204
93562
93910
94249
94578
94898
95209
955Ю
95802
96084
0,96356
96618
96872
97
97348
97572
97786
97991
98185
98370
0.98545
98710
98865
99010
99146
99271
99387
99492
99588
99674
0,99749
1,00000
o,99957 '
99166 -
97385 -
9463° -
0,90930 -
86321 -
80850 -
74571 -
0,70711
67546 -
59847 -
5*55° -
42738 -
33499 -
23925 -
0,14112 -
-f 04158 -
o.ooooo -
—0,05837 -
— 15775 -
— 25554 -
— 35078 -
— 44252 -
— 52984 -
— 61186 -
— 68777 -
—0,70711 -
COS X
0,36236
35302
34365
33424
32480
31532
30582
29628
28672
27712
0,26750
25785
24818
23848
22875
21901
20924
19945
18964
17981
0,16997
16010
15023
14033
13042
12050
11057
10063
09067
08071
007074
0,00000
—0,02920
— 12884
— 22720
— 32329
—0,41615
- 50485 -
- 58850 -
- 66628
0,70711 -
- 73739
— 80114
- 85689
— 90407 -
— 94222
— 97096 -
-098999
- 99914 -
—0,00000
—0,99829 -
- 98748
- 96680
- 93646
- 89676
- 84810
- 79097
- 72593
—0,70711
tgx
2,57215
65032
73275
81982
91193
3.00957
11327
22363
34135
46721
3,60210
74708
90335
4,07231
25562
45522
67344
91306
5 ,i 7744
5,47069
5,79788
6,16536
6,58112
7,о554б
7,60183
8,23809
8,98861
9,88737
10,98338
12,34986
14,10142
±00
—34,23253
— 7,69660
— 4,28626
— 2,92710
— 2,18504
— 1,70985
— 1,37382
— 1,11921
— i
— 0,91601
— 0,74702
— 0,60160
- 0,47273
- 0,35553
— 0,24641
- 0,14255
— 0,04162
о
f 05847
15975
26432
37459
49347
62473
77356
94742
i
e*
3,32012
35348
38718
42123
4556i
49°34
52542
56085
59664
63279
3,66930
70617
74342
78104
81904
85743
89619
93535
9749o
4,01485
4,05520
09596
13712
17870
22070
26311
30596
34924
39295
437Ю
4,48169
4,81048
4,95303
5,47395
6,04965
6,68589
7,38906
8,16617
9,02501
9,97418
I0>55072
11,02318
12,18249
1346374
14,87973
16,44465
18,17415
20,08554
22,19795
23,14069
24,53253
27,11264
29,96410
ЗЗД1545
36,59823
40,44730
44,70118
49,40245
50,75402
e~*
0,30119
29820
29523
29229
28938
28650
28365
28083
27804
27527
0,27253
26982
26714
26448
26185
25924
25666
25411
25158
24908
0,24660
24414
24171
23931
23693
23457
23224
22993
22764
22537
0,22313
0,20788
0,20190
18268
16530
4957
ОД3534
12246
11080
10026
0,09478
09072
08208
07427
06721
06081
05502
o,o4979
°45°5
0,04321
04076
03688
°3337
03020
02732
02472
02237
02024
0,01970
shx
1,50946
52764
54598
56447
583"
60192
62088
64001
65930
67876
1,69838
71818
73814
75828
77860
79909
81977
84062
86166
88289
190430
92591
94770
96970
99188
2,01427
03686
05965
08265
10586
2,12928
2,30130
2,37557
64563
94217
3,26816
3,62686
4,02186
4.457H
4,93696
5-22797
5.46623
6,05020
6,69473
7,40626
8,19192
9,05956
10,01787 i
11,07645 i
11,54874 i
12,24588 i
13,53788 i
14,96536 i
16,54263 i
18,28546 i
2O,2II29 2
22,33941 2
24,69110 2
25,367l6 2
Продо
chx
1,81066
82584
84121
85676
87250
88842
90454
92084
93734
95403
1,97091
98800
2,00528
02276
04044
05833
07643
09473
11324
13*96
2,15090
17005
18942
20900
22881
24884
26910
28958
31029
33123
2,35241
2,50918
2,57746
2,82832
3,10747
3,41773
3,76220
4,i443i
4,56791
5,03722
5.32275
5.55б95
6,13229
6,76901
7.47347
8,25273
9,58
0,06766
1,12150'
L59I95
2,28665
3,57476
4,99874
6,57282
8,31278
0,23601
2,36178
4,75
5,38686
лжение
thjc
0,83365
83668
83965
84258
84546
84828
85106
85380
85648
85913
0,86172
86428
86678
86925
87167
87405
87639
87869
88095
88317
0,88535
88749
88960
89167
89370
89569
89765
89958
90147
90332
0,90515
0,91715
0,92167
93541
94681
95624
0,96403 ]
97045 ]
97574 i
98010 ]
0,98219 ]
98367 i
98661 i
98903 i
99101 i
99263 i
99396 i
0-99505 i
99595 *
0,99627 i
99668 i
99728 i
99777 i
99818 2
99851 2
99878 2
99900 2
99918 2
0,99922 2
табл. VIII
x в гра-
дусах
6845' i8"
69°i9f4o"
69°54'°3"
70°28'2б"
71°02'48"
7i°37'n"
72°и'з4"
72*45' 56"
73°20'i9"
73°54'42"
74°29'°4"
75°°3'27"
75°37'5°"
7б'12'121'
7б°4б'35"
77°2о'57'/
77°55'29"
?8°29'43"
79°°4'о5"
79°38'28"
8o°i2'5i"
8o°47'i3"
8i°2i'36"
8i°55'59"
82*3021"
83*04 '44"
83*39'07"
84°i3'29"
84°47'52"
85022'i5"
85°5б'37"
9°
9i°4o'24"
97'24'ю"
юз°о7'57"
[o8'5i'43"
ti4°35'3o"
:2o°i9'i6"
;2бгоз'оз"
3i°46'49"
35
37°зо'з6"
43°i4 22"
48*58' 09"
54°4i,'55''
6o°25'4i
66°09'28"
7i°53'i4"
77°37'°i"
80
8з°2о'47"
89°04'34"
94°48'2o"
•OQ°32'07"
o6°i5'53"
ii°59'4°"
17°4з'2б"
23°27'l3"
25


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
89
Jf
4,00
ю
20
30
40
5°
60
70
80
9°
5,00
10
20
30
40
'/4* =54978
5°
60
70
80
90
6,00
10
20
271 «=6.2832
30
40
5°
60
70
80
00
7,00
10
20
30
40
5°
60
70
80
8/2ir-7»854o
90
8,00
ю
20
30
40
5°
60
7°
80
9°
9,00
20
40
3*^9,4248
60
80
10,00
sin x
—0,75680
— 81828
~ 87158
— 91617
— 95160
— 97753
— 99369
— 99992
— 1,00000
— 99616
— 98245
—0,95892
— 92581
- 88345
— 83227
— 77276
—0,70711
— 70554
— 63127
— 55069
— 46460
- 37388
— 0,27942
— 18216
— 08309
0,00000
-f 01681
55
21512
3H54
40485
49411
57844
0,65699
72897
79367
85044
89871
93800
96792
98817
99854
I
99894
0.98936
96989
94°73
90217
85460
79849
73440
66297
58492
50102
0,41212
22289
02478
о
- 17433
- 36648 -
—0,54402 -
cos л:
— 0,65364
— 57482
— 49026
— 40080
— 3°733
— 21080
— 15
— 01239
0,00000
+ o875°
18651
0,28366
37798
46852
55437
63469
0,70711
70867
77557
83471
88552
92748
0,96017
98327
99654
1,00000
99986
99318
97659
95°23
91438
86940
81573
o,7539o
68455
60835
52608
43855
34664
25126
15337
05396
о
— 04600
—о, 14550
- 24354
- 33915
- 43*38
- 51929
— 6O2OI
— 67872
- 74865
— 8II09
— 86544
—09III3
- 97484
— 99969
— I
— 98469
- 93°43
-0,83907
tg*
1Д5782
42352
777??
2,28585
3,09б32
4.63733
8,86017
-(-80,71276
4- oo
—11,38487
— 5,26749
— 3.38052
— 2,44939
— 1,88564
— 1,50127
— 1,21754
__ т
— о, 9955?
— °,8i394
— 0,65973
— 0,52467
— 0,40311
— 0,29101
— 18526
— 08338
о
+ 01682
11735
2202?
32786
44276
56834
709II
0,87145
1,06489
1,30462
1,61656
2,04928
2,70601
3.85227
6,44287
18,50682
+ 00
—21,71511
— 6,79971
— 3,98240
— 2,77375
— 2,09138
— i,6457i
— 1,32636
— 1,08203
— 0,88556
— 72115
- 57892
— 0,45232
— 22864
— 02478
0
-\- I77°4
39388
0,64836
ex
! 54.59815
1 60.34029
66,68633
73,69979
• 81,45087
90,01713
99,48432
109,9472
111,3178
121,5104
1342898
148,4132
164,0219
181,2722
200,3368
221,4064
244,1511
244,6919
270,4264
298,8674
330 2996
365,0375
403,4288
445,8578
492,7490
535.4917
544.5719
601,8450
665,1416
not ОО^З
812,4058
897.8473
992,2747
1096,633
1211,967
1339,431
1480,300
1635.984
1808,042
1998,196
2208,348
2440,602
2575,9705
2697,282
2980,958
3294,468
3640,95°
4023,872
4447,o67
4914,769
5431,660
6002,912
6634,244
7331,974
8103,084
9897,129
12088,38
12391,6478
14764,78
18033,74
22026,47
e~*
0,01832
01657
01500
oi357
01228
OIIII
01005
00910
0,00898
00823
00745
0,00674
00610
00552
00499
00452
0,00410
00409
00370
00335
00303
00274
0,00248
00224
00203
0,00187
00184
00166
00150
00136
00123
OOIII
OOIOI
0,000912
000825
000747
000676
000611
000553
000500
000453
000410
0,00039
000371
0,000335
000304
000275
000249
000225
000203
000184
000167
000151
000136
0000123
OOOIOI
000083
0,00008
000068
000055
0,000045
shx
27,28992
30,16186
33,33567
36,84311
40,71930
45,00301
49.73713
54,96904
55,65440
60,75109
67,14117
74,20321
82,00791
90^63336
100,1659
110,7009
122,0735
122.3439
135,2114
149,4320
165,1483
182,5174
201,7132
222,9278
246,3735
267,7449
272,2850
300,9217
332 5701
367,5469
406,2023
448,9231
496,1369
548,3161
605,9831
669,7150
740,1496
817,9919
904,0209
999,0977
1104,174
1220301
1287,9851
1348,641
1490,479
1647,234
1820475
2011,936
2223,533
2457,384
2715.83°
3001,456
3317,122
3665,987
4051,542
4948,564
6044,190
6195,8239
7382,391
9016,872
11013,233
Продо
ch x
27,30823
30,17843
33 35°66
36,85668
40.73157
45,01412
49,74718
54.97813
55,66338
60,75932
67,14861
74,20995
82101400
90,03888
100,1709
,7055
122,0776
122,3480
135-2151
149,4354
165,1513
182 5201
201,7156
222,9300
2463755
267,7468
272,2869
300,9233
332,5716
367,5483
406,2035
448,9242
496,1379
548,3170
605.9839
669,7158
740.1503
817,9925
904,0215
999,0982
1104,174
1220,301
1287,9804
1348,641
1490,479
1647,234
1820,475
2011,936
2223,533
2457,385
2715,83°
3001,456
3317,122
3665,987
4051,542 ]
4948,565
6044,190
6195,8239 ]
7382,391
9016,872
11013,233
лжение
tll'JC
o,99933
99945
99955
99963
99970
99975
9998o
99983
0,99984
99986
99989
0,99991
99993
99994
99995
99996
0,99997
99997
99997
99998
99998
99998
0,99999
99999
99999
0,99999
99999
99999
1,00000
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo [
1,00000 ,
ooooo. <
ooooo i
ooooo ,
OOOOO i
ooooo /
OOOOO i
ooooo /
OOOOO i
1,00000 /
OOOOO i
[,00000 i
ooooo *.
OOOOO i
OOOOO t
OOOOO i
OOOOO /|
OOOOO i
OOOOO i
OOOOO с
OOOOO ?
[,OOOOO ?
OOOOO ?
ooooo =
[,OOOOO с
OOOOO ?
OOOOO E
Г,ОЭООО ?
габл. VIII
.v в гра-
дусах
229'10'59"
234^54L6"
246*22 19"
252*06 '05"
257°49^
269° 17 '25"
270
275°oi'n"
28о°44'58"
286*28 '44"
292°J2'3l"
297*56 '17"
3034°'°3"
3°9°23Г5°"
315
315°°7'3б"
320*51' 23"
32б(?з5'°9'
332°i8'56"
338*О2'42"
343°4б'29*
349^3°; 15^
360
Збо7'48"
366'4i'35j
378°о9'о8"
38з°52'б-г^
389*3641"
395°2о'27"
Ioieo4'i4"
1об°48 оо"
(.I2°3i'47"'
|-i8 i5'33'
|.23°59'2О"
129°43'°6'л
Й5°2б'53'
-4i°io'39w
^6°54'25'
*5°
152из8'12"
t58'2i's8'
.б4°о5'45
.б9°49'31"
-75*33,' 18;
,87°оо'5т"
.92°44'37"
.98°28'24"
,04°12'ю"
)°9°55'57"
5i5°39'43"
;27°о7'1б"
538°34'49"
,50°О2'22"
;6i°29'55"
>72в57'28"


90
Таблица IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ*
\e
«р^х
0°
ю
20
30
4о
5°
6о
7°
8о
00
0°
ю
2О
Зо
4о
?
6о
70
8о
9о
в
0'
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
14
15
гб
i?
18
19
20
21
22
* F(?t*
0°
0,0000
ОД745
o,349i
0,5236
0,6981
0,8727
1,0472
1,2217
1,39бЗ
i,57o8
0,0000
ОД745
o,349i
0,5236
0,6981
0,8727
1,0472
1,2217
1,3963
i,57o8
К
i,57°8
1,5709
1,5713
1-57*9
1,5727
1,5738
1,5751
1,57б7
1,5785
1,5805
1,5828
1,5854
1,5882
1,5913
1,5946
i,598i
1,бО2О
I,6o6i
1,6Ю5
I,6l5I
1,6200
1,6252
1,6307
<Р
-Л
10*
Элл!
о,оооо
0,1746
0,3493
о,5243
0,6997
0,8756
1,0519
1,2286
1,4°56
1,5828
Элл!
о,оооо
ОД745
0,3489
0,5229
0,6966
0,8698
1,0426
1,2149
1,3870
1,5589
Е
i,57°8
i,57°7
i,57°3
i,5697
1,5689
1,5678
1,5665
1,5649
1,5630
1,5611
1,5589
1-55б4
1,5537
i.55°7
1,5476
1,5442
1,5405
1,53б7
1,5326
1,5283
1,5238
1,5*91
i,5*4t
dcp
1— ftssin
20° 30° 40° 50° 60° 70°
этические интегралы 1-го рода F (cp, k); k = sin
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,1746 0,1748 0,1749 0,1751 0,1752 0,1753
0,3499 0,3508 0.3520 0,3533 °,3545 о,3555
0,5263 0,5294 о,533Ф о,5379 °>5422 о,5459
0,7043 0,7116 0,7213 0,7323 0,7436 Q.7535
0,8842 0,8982 0,9173 о,9401 0,9647 0,9876
1,о66о 1,0896 1,1226 I,l643 1,2126 I,26l9
1,2495 1-2853 I-3372 1,4068 1,4944 *>5959
1,4344 1,4846 1,5597 1,6660 1,8125 2,0119
1,6200 1,6858 1,7868 1,9356 2,1565 2,5046
этические интегралы 2-го рода Е (?, ft); k = sin
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,1744 0-1743 0,1742 0,1740 0,1739 0.1738
o,3483 0,3473 0,3462 0,345° 0,3438 0,3429
0,5209 0,5179 0,5141 0,5100 0,5061 0,5029
0,6921 0,6851 0,6763 0,6667 06575 0,6497
0,8614 0,8483 0,8317 0,8134 0-7954 0,7801
1,0290 1,0076 0,9801 о,9493 0,9184 0,8914
1,1949 1,1632 1,1221 1,0750 1,0266 0,9830
1,3597 i,3I6i 1,2590 1,1926 1,1225 1,0565
1,5238 1,4675 1,3931 1,3055 I.2III 1,1184
в К Е в УС ? 1 в
23° 1,6365 1.509° 46° 1,8691 1,34*8 69°
24 1,6426 1.5037 47 1,8848 i,3329 70
25 1,6490 1,4981 48 1,9е11 1,3238 71
26 1,6557 1,4924 49 i,9*8o 1,314? 72
27 1,6627 1,4864 50 I.9356 i-3°55 73
28 1,6701 1,4803 51 1-9539 1,2963 74
29 1,6777 1,474° 52 1-9729 1,2870 75
30 1,6858 1,4675 53 i,9927 1,2776 76
31 1,6941 1,4бо8 54 2,0133 1,2681 77
32 1,7028 1,4539 55 2,0347 1,2587 ?8
33 1,7*19 1,44б9 56 2,0571 1,2492 79
34 1,7214 1,4397 57 2,0804 1,239? 80
35 L73I2 i,4323 58 2,1047 1,2301 8i
36 1,7415 1,4248 59 2,1300 1,2206 82
37 1,7522 14171 60 2,1565 I.2HI 83
38 1,7633 M0*?2 6i 2,1842 1,2015 84
39 i,7748 i,4OI3 62 2,2132 1,1920 85
40 1,7868 1,3931 63 2,2435 1,1826 86
41 1,7992 1,3849 64 2,2754 1,1732 87
42 1,8122 1,3765 65 2,3088 1,1638 88
43 1,8256 1,3680 66 2,3439 1Д545 89
44 1,8396 1,3594 67 2,3809 i,i453 90
45 1,8541 1,3506 68 2,4198 1,1362
тс/2 <p
, ;*- Г,. .* . Q •> ?(?•*)- / 1/1 #sin2(pdcp;?
2<p J у 1— A;2sm3» J T
0 0
80°
в
o.oooo
0,1754
0,3561
0,5484
0.7604
1,0044
*,3°*4
1,6918
2,2653
ЗД534
в
o.oooo
0,1737
0,3422
0,5007
0,6446
0,7697
0,8728
0,954
1,0054
1,0401
К
2,4610
2,5046
2,55°7
2,5998
2,6521
2,7081
2,7681
2,8327
2,9026
2,9786
3,0617
ЗД534
3,2553
3-3699
3,5004
3-6519
3-8317
4,0528
4,3387
- 4,7427
5,4349
oo
*/2
-yVi-
0
90°
0,0000
°>I754
0-3564
0,5493
0,7629
1,0107
1,3170
1,7354
2,4362
CO
0,0000
0,1736
0,3420
0,5000
06428
0,7660
0,8660
o,9397
0,9848
1,0000
E
1,1272
1,1184
1,1096
1,1011
1,0927
1,0844
1,0764
1,0686
1,0611
1,0538
1,0468
1,0401
1,0338
1,0278
1,0223
1,0172
1,0127
1, 0086
1,0053
1,0026
1,0008
I.OOOO
-^sin2(?<*?


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
у
р
и V
и У
для
X
0,0
од
0,2
о,3
о,5
0,6
0,7
о,8
о,9
1,0
1,1
1,2
1.3
т-4
1.5
1,6
1.7
1,8
!>9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
З.о
зд
3-2
з.з
3,4
3,5
зб
3-7
3,8
3,9
4,0
4.1
4,2
4-4
Функции
., . / X
\ 2
•* / у.\
1
р целогс
4М
1,0000
0,9975
0,9900
о,977б
0,9604
о,9385
0,9120
0,8812
0,8463
о,8о75
0,7652
0,7196
0,6711
О,б2О1
05669
о,5и8
0,4554
0,3980
0,3400
0,2818
0,2239
0,1666
0,1104
0.0555
0,0025
— 0,0484
—0,0968
— 0,1424
— 0,1850
—0,2243
—0,2601
— 0,2921
— 0,3202
—0,3443
—0,3643
—0,3801
—0,3918
—0,3992
— 0,4026
— 0,4018
—0-3971
—0,3887
— 0,3766
— 0,3610
—0-3423
Таблица X. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
являются линейно независимыми решениями
оо диференциального уравнения
\Р VI ( — I) 1 /х\ №у dy
) Zj m! Г(яг+/7 + 1) \2 ) dx% dx
ОТ=0 ФуНКЦИИ JQ(X) — JQ (lX), Ji(x) = — Ui(tx),
(x) соьрк-J (x) (—\)n\dJ_p(x) dJJx)-]
- ————— : —— —— ? ——— ДЛЯ р ДрОбн. Kn (X) = V - ' —— -- —— — — f ——
sm pn r f „ ч / 2 1 dp dp ]p _ „
Г dJ (x) dJ (x) 1 являются линейно независимыми решениями
Р^ ' i \\п а— /><• ' диференциального уравнения
1 ^„ \ 1 Л.. | _ „ ,
Значения бесселевых функций порядка 0,1, Va
1 , г г | . .
7 f Ъ*\ V ( У\ 1 V ( ?\ /1 / f VI гЛ 1 ( ? ' 1 0 !*.( Y\ О J ( ?\ &Х ff ( Y\ +% If f v\ лХ
v i i л f ' 0 \ / 1 / i ' л i »/i /_ i л у ^/Q\/ 0\ / l\y ^0\ / *^ II"**/ *"^
1 1
0,0000 — oo — oo 0,0000 — oo i,oooo 0,0000 oo <x> 1,0000
+ 0,0499—1,5342 —6,4590 +0,4118 —2,0683 0,9071 0,0453 2,6823 10,8902 1,1052
+0,0995—1,0811—3,3238+0,5159—1,5118 0,8269 0,0823 2,1408 5,8334 1,2214
+0,1483—0,8070 —2,2931 +0,5850 —1,2133 0,7576 0,1124 1,8526 4,1252 1,3499
+0,1960 — 0,6060 — 1,7809 +0,6354 — 1,0049 0,6974 0,1368 16627 3,2587 1,4918
+ 0,2423—0,4445 —1,4715 +0,6728 —0,8406 0,6450 0,1564 1,5241 2,7310 1,6487
--0,2867 — 0,3085 — 1,260440,7000 — 0,7023 0,5993 0,1722 1,4167 23739 1,8221
--0,3290—0,1907 —1,1032 --0,7186 —0,5809 0,5593 0,1847 I.3301 2,1150 2,0138
--0,3688—0,0868 — 0,9781 --0,7294 —04715 0,5241 0,1945 1,2582 1,9179 2,2255
--0,4059 + 0,0056 —0,8731 --0,7334 —0,3714 0,4932 0,2021 1,1972 1,7624 2,4596
--0,4401+0,0883 —0,7812 +0,7309 —0,2788 0,4658 0,2079 1,1445 1,6362 2,7183
--0,4709+0,1622 — 0,6981+0,7224 — 0,1927 0,4414 0,2122 1,0983 1,5314 3,0042
--0,498340,2281 — 0,6211+0,7085 — 0,1124 0,4198 0,2153 I,°575 1.4429 3,3201
--0,5220+0,2865—0,5485+0,6894 — 0,0376 0,4004 0,2173 1,0210 1,3670 3,6693
--0,5419+0,3379—0,4791+0,6654+0,0321 0,3831 0,2185 0,9881 1,3011 4,0552
- -0-5579 4 0,3824 —0,4123 + 0,6371 +0,0966 0,3674 0,2190 0,9582 1,2432 4.4817
--0,5699+0,4204 —0,3476 --0,6048 +0,1561 0,3533 0,2190 0,9309 1,1919 4,9530
-0,5778+0,4520 —0,2847 --0,5688 +0,2105 0-3405 0,2186 0,9059 1,1460 5,4739
-0,5815+0,4774 — 0,2237 --0,5296 +0,2599 0.3289 0,2177 0,8828 1,1048 6,0496
+0,5812+0,4968 — 0,1644 +0.4875 +0,3041 0,3182 02166 08615 1,0675 6,6859
+0,5767+0,5104 —0,1070 +0,4429 --0,3432 0,3085 0,2153 0.8416 1,0335 7,3891
+ 0,5683+0,5183 — 0,0517 +0,3964 --0,3771 0,2996 0,2137 0,8230 10024 8,1662
+0,5560+0,5208 +0,0015 +0,3482 --0,4059 0,2913 0,2121 0,8057 0,9738 9,0250
+0,5399 +0,5181 +0,0523 +0,2989 +0,4295 0,2837 0,2103 0,7894 0,9474 9,974»
+0,5202 +0,5104 +0,1005 +0,2488 +0,4480 0,2766 0,2085 0,7740 0,9229 11,023
+0,4971+0,4981 +0,1459 +0,1983 --0,4615 0,2700 0,2066 0,7595 0,9002 12,182
+0,4708+0,4813 +0,1884 +0,1479 --0,4699 0,2639 0,2047 0,7459 0,879013,464
+0,4416 --0,4605 +0,2276 +0,0980 --0,4736 0,2582 0,2027 0,7329 0,859114,880
+0,4097 --0,4359 +0,2635 +0,0490 --0,4725 0,2528 0,2007 0,7206 0,840516,445
+0,3754 --0,4079 +0,2959 +0,0012 --0,4668 0,2478 0,1988 0,7089 0,8230 18,174
+ 0.3391 +0.3769 --0,3247 — 0,0450+0,4569 0,2430 0,1968 0,6978 0,806620,086
+ 0,3009 +0,3431 --0,3496 — 0,089240,4428 0,2385 0,1949 0,6871 0,791022,198
+0,261340,3071 --0,3707 —0,1312 40,4249 0,2343 0,1930 0,6770 0,776324,533
40,220740,269140,3879—0,1705+0,4034 0,2302 0,1911 0,6673 0,762327,113
+0,17924-0,2296 4°,4OI° — 0,2071 4 0.3786 ,2264 0,1892 0,6580 0,7491 29,964
4 0,1374 --0,1890 +0,4102 — 0,2406+0,3508 0,2228 0,1874 0,6490 0,736533,115
--0.0955 --0,1477 4-0,4154 —0,2707 40,3204 0,2193 0,1856 0,6405 0,724536,598
- -0,0538 --0,1061 40,4167 —0,2975 +0,2877 0,2160 0,1838 0,6322 0,713040,447
--0,0128 --0,0645 +0,4141 — 0,3205 +0,2531 0,2129 0,1821 0,6243 0,7021 44,701
— 0,0272+0,0234+0,4078 — 0,3399+0,2168 0,2099 0,1804 0,6167 0,691649,402
— 0,0660 — 0,0169 +0-3979 — °>3554 +°Д794 0,2070 0,1788 0,6093 o,68i6 54,598
— 0,1033 — 0,0561 40,3846 — 0,3671 4 0,1412 0,2042 0,1771 0,6022 0,6720 60,340
—0,1386—0,0938 +0,3680 —0,3749 4 0,1024 0,2016 0,1755 0.5953 0,6627 66,686
— 0,1719 — 0,1296 40,3484 — 0,3788 +0,0636 0,1990 0,1740 0,5887 0,6539 73,700
— 0,2028 — 0,1633 4o.326o — 0,3789 40*0250 0,1966 0,1725 0,5823 0,6454 81,451


92
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. X
X
4,5
4.6
4,7
4,8
4,9
5,°
5Д
5-2
5-3
5,4
5,5
5,6
5.7
5.8
5-9
6,0
6д
6,2
6,3
6,4
6.5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,о
7Д
7,2
7,3
7-4
7,5
7,6
7,7
7,8
7-9
8,о
8д
8,2
8.3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,о
9,2
9.3
9-4
и*
-0,3205
— 0,2961
— 0,2693
—0,2404
-0.2097
—0,1776
-ОД443
— од юз
—0,0758
— 0,0412
— о,оо68
40,0270
4/ОуО599
40,0917
-4/ОД22О
40,1506
+ОД773
40,2017
40,2238
4 0,2433
4o,26oi
--0,2740
-0,2851
--0,2931
--0,2981
40,3001
4 0,2991
-0,2951
--0,2882
- • 0,2786
40,2663
4 0,2516
4 0,2346
4 0,2154
4-0,1044
--0,1717
-ОД475
--ОД222
--0,0960
40,0692
4 0,0419
4 0,10146
—0,0125
-0,0392
-о,.об53
— 0,0903
—0,1142
—0,1367
-од 577
— 0,1768
лм
— 0,2311
— 0,2566
— О.2791
—0,2985
—0,3147
—0,3276
—0,3371
—0.3432
— 0,3460
—0,3453
—0,3414
—0,3343
—0,3241
—о,зио
—0,2951
—0,2767
—0,2559
—0,2329
— C,208l
— 0,1816
—0,1538
—0,1250
— 0*0953
— 0,0652
—0,0349
— 0,0047
--0,0252
--0,0543
- 0,0826
--0,1096
4-ОД352
4 0,1592
40,1813
4-0,2014
-4/0,2192
- 0,2346
--0,2476
- - 0,2580
4 0,2657
4-0,2708
40,2731
4 0,2728
40,2697
4 0,2641
40,2559
- 0,2453
--0,2324
- -0,217;
--0,200/
--0,1816
W
—од 947
— 0,2235
— о,2494
—0,2723
— 0,2921
—0,3085
— O,32l6
—0,3313
—0,3374
—0,3402
— о<3395
—0-3354
— 0,3282
—0,3177
— о,3®44
—0,2882
— 0,2694
—0,2483
— 0,2251
—0,1999
—од 732
—0,1452
— ОД1б2
— 0,0864
—0,0563
-0,0259
-(-0,0042
40,0339
4 о,об28
40,0907
+ОД173
4 0,1424
+0,1658
40,1872
40,2065
4 0,2235
- - O,238l
- 0,2501
--0,2595
40,2662
--0,2702
—0,2715
--0,2700
4 0,2659
4-0,2592
4о,2499
40,2383
4 0,2245
-(-0,2086
> 4°Д9°7
гм
4, о,зою
4 0,2737
1 0,2445
4-0,2136
-(-0,1812
+0.1479
+0,1137
4 0,0792
40,0445
4 0,0101
— 0,023?
—0,0568
—0,0887
— 0,1192
—0,1481
— ОД75С
— од 99?
— 0,2223
— О,242?
—0,259^
— о,274]
— 0,285:
—о,294=
—0,3005
— 0.302С
—0,302';
—0,299=
—о,293^
— 0,284*
—0,273]
—0,2593
— 0,242?
— 0.224С
— О.2ОЗС
— o,i8ir
—0,158]
—0,133:
— 0,1071
— о,о8о<
—0,053,
—— O,026i
4-0,001
-[-0,028<
4 0,054
4 0,079
40.Ю4,
+ 0.127.
4 ОД49
4°дб9
4 0-187
л/,м
—0,3753
—0,3681
—о,3574
—о,3434
—0,3264
—0,3064
— 0,2839
—0,2589
— 0,2320
— 0,2032
—0,1729
—0,1415
—ОД093
— 0,0765
—о,о435
) — 0,010}
4-0,021';
540,0534
s +о,о84с
> 4 0,1132
4°Д41]
-} од6»7<:
>4од9ос
>4°»212^
Lo,23i';
1 4-0,248-;
J -4/0,2б2^
\. 4 о,273<
> 4 0,281?
[ 4 0,287:
с --о,289г
J— 0,289:
j --0,286с
?- о,279<
/--0,271]
[ +0,259*
[ 4°>24б<
2 4 О.220Ч
34 °,21 1!
5 4 ОД91!
2 4 0,170
1--од47<
Э --ОД22
4 --0,097
Э +о,071
3 +0,045
5 + o,oi8
i — 0,007
i —0,033
i —0,059
У11з (х)
— 0,0129
— 0,0499
— о,о855
— 0,1196
—0,1519
— 0,1819
— 0,2096
—0,2347
— 0,257с
— 0,2763
— 0,2926
—0,305^
—0.315=
— 0.322С
—0,3253
—0,3253
— 0.322С
1- — o.SiS'i
) —0^3063
— 0,294с
— 0,279]
) — 0,261^
) — 0,241";
) —0,219?
1 — 0,196*
[— ОД70-
j— од44<
> — o,n6i
1 —0,087'
2—0,058-
1 —0,029^
| — 0,ООО;
Э 4-0,028;
) 40,056;
с +о,о8з<
}--одо9<
э--одз4:
?--од57
i- 0,178:
3--ОД97,
Г 4 0,214
Э -j-0,228
7-4/0,241
440,250*
54о,257
I 4 О,2б2
5 -4 0,263
3 -fo,262
340,259
240,253
,-/„(,)
0,1942
ОД919
ОД897
0,1876
0-1855
ОД835
0,1816
0,1797
0,1779
0,1762
0-1745
0,1728
0,1712
> 0,1697
0,1681
t 0,1667
> 0,1652
0,1638
0,1624
) одби
0,1598
> 0,1585
1 0,1573
5 0,1561
J 0,1549
1 0,1537
) 0,1526
2 0,1515
1 0,1504
7 0,1494
> 0,1483
^ 0,1473
\ 0,1463
\ 0,1453
5 0,1444
5 0,1434
2 0,1425
i 0,1416
2 0,1407
3 0,1399
2 01390
3 0,1382
о 0,1373
6 0,1365
6 0,1357
э 0,1350
7 0,1342
3 0,1334
3 0,1327
3 0,1320
e xl\(x)
0,1710
0,1695
0,1681
0,1667
0,1653
0,1640
0,1627
0,1614
0,1601
0,1589
0,1577
0,1565
0,1554
0,1542
0,1531
0,1521
0,1510
0,1499
0,1489
ОД479
0,1469
0,1460
0,1450
0,1441
0,1432
0,1423
0,1414
0,1405
ОД397
0,1389
0,1380
0,1372
0,1364
ОД357
ОД349
ОД341
ОД334
0,1327
0,1320
0,1312
0,1305
0,1299
0,1292
0,1285
0,1279
0,1272
0,1266
0,1260
0,1253
0,1247
™
0,5761
0,5701
0,5643
0,5586
0,5531
o,5478
0,5426
o,5376
o,5327
0,5280
0,5233
0,5188
o,5i44
0,5101
0,5059
0,5019
0,4979
o,4940
0,4902
0,4865
0,4828
0,4793
o,4758
0,4724
0,4691
0,4658
0,4627
0,4595
0,4565
o,4535
o,4505
0,4476
0,4448
0,4420
o,4393
0,4366
0,4340
o,43i4
0,4289
0,4264
0,4239
04215
0,4192
0,4168
0,445
0,4123
0,4101
0,4079
0,4058
0,4036
e*Ki(x)
0,6371
0,6292
0,6216
0,6143
0,6071
0,6003
o,5936
0,5872
0,5810
0,5749
0,5690
0,5634
o,5578
o!s473
0,5422
o,5372
0,5324
0,5277
0,5232
0,5187
0,5144
0,5102
0,5060
0,5020
0,4981
0,4942
0,4905
0,4868
0,4832
0,4797
0,4762
0,4729
0,4696
0,4663
0,4631
0,4600
04570
04540
04511
04482
0,4454
о 4426
o,4399
0,4372
0,4346
0,4321
0,4295
0,4270
0,4246
t*-
90,017
99,484
109-95
121,51
134,29
148,41
164,02
181,27
200,34
221,41
244,69
270,43
298,87
330,30
365,04
403,43
445,86
492,75
544,57
601,85
665,14
735. 10
812,41
897,85
992,27
1096,6
1212,0
1339,4
1480,3
1636,0
1803,0
1998,2
2208,3
2440,6
2697,3
2981,0
3294,5
3641,0
4023,9
4447-1
4914,8
5431-7
6002,9
6634,2
7332,o
8103,1
8955.3
9897,1
10938
12088


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
93
X
9-5
9,6
9-7
9.8
9-9
IO,O
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
11,0
ii, i
11,2
11,3
11,4
".5
11,6
«.7
11,8
".9
I2,O
12,1
12,2
12,3
12,4
12,5
12,6
12,7
12,8
12,9
IS-0
13Д
13.2
13.3
13.4
13,5
13.6
13.7
13,8
13,9
14.0
14Д
14.2
14,3
4.4
MX)
-0,1939
—0,2090
— 0,2218
—0,2323
—0,2403
—0,2459
— 0,2490
— 0,2496
-0,2477
—0,2434
— 02366
— 0,2276
— 0,2164
— 0,2032
— 0,1881
— 0,1712
— 0,1528
—0,1330
— ОД121
— 0,0902
— 0,0677
—0,0446
— 0,0213
4 O.OO2C
+0,0250
+0,0477
+0,0697
+ 0,090?
+ o,iio?
+0,1296
+0,1460
+ОД766
+0,188'
+0,198*
+ 0,20бХ
+ 0,2I2(
+ 0,2l6'
+0,218;
+0.217'
+0,215»
+0,210
4 0,203:
40,194,
+од8з<
+0,171
+ОД57<
+од4ъ
+0,124,
+одоб.
MX)
-f 0,1613
+ОД395
4о,иб6
+0,0928
+0,0684
+0,0435
+0,0184
— 0,0066
—0,0313
—0,0555
— 0,0789
— ОДО12
— ОД224
— O,I422
— 0,1603
— 0,1768
—ОД913
— 0,2039
—0,2143
— O2225
— 0,2284
— O,232O
—0,2333
)— 0,2323
> — O,229O
—0,2234
1 —0,2157
— 0,2000
5—0, 1943
) — 0,1807
>— 0,1655
> — 0,1487
>— 0,1307
7—0,1114
J — 0,0912
)— 0,0703
? — 0,0489
7 — 0,0271
j — 0,0052
7 +0,0166
э +0,0380
14-0,0590
2+00791
3 -f 0,0984
5+0,1165
г +ОД334
Э+ОД488
\ +o 1626
5+ОД747
5 +0,1850
ад
+0,1712 -
+ 0,I502 -
+ 0,1279 -
+ 0,1045 -
+ 0,0804 -
4 0,0557 J
+0,0307 -
+0,0056 -
— 0,0193 ~
—0,0437 -
—0,0675 -
— 0,0904 -
— ОД122 -
— ОД326 -
— ОД516 -
—0,1688 -
—0,1843 -
— 0,1977 -
— 0,2091 -
-02183 -
— 0,2252 -
— 0,2299 •
— 0,2322 -
— 0,2322 -
— 0,2298 -
— 0,2252 -
— 02184 -
—0,2095 -
—0,1986 -
—0,1858 -
— 0,1712 -
—ОД551 -
—0.1375 '
— 0,1187
— 0,0989
— 0,0782
—0,0569
—0,0352
—0,0134
+0,0085
+0,0301
+0,0512
+ 0,0717
+0,0913
+0,1099
+0,1272
+ 0,1431
+ОД575
40,1703
+ 0,1812
YM J
' 0,2032 ——
-0,2171 ——
-0,2287 ——
- 0,2379 ——
- 0,2447 ——
-0,2400 ——
-O,25O8 ——
-O,25O2 ——
-0,2471 ——
-0,2416 ——
^ 0,2337 ——
[-О,223б ——
[ 0,2114 ——
|-0,I973 ——
h 0,l8l3 ~
f 0,l637 ~
-0,1446 —
-ОД243 —
-0,1029 —
-O,O8O7 —
+ 0,0579-
-1- O,0348 —
4 0,0114 —
— 0,0118 —
-0,0347 -
-0,0571 -
—0,0787 —
-0,0994 -
—0,1189 —
-0,1371 4
-0,1538 H
—0,1689-!
—0,1821 -i
-ОД9351
—0,2028 i
—0,2101 -
—0,2152 -
— O,2l82 -
— 0,2190 -
— 0,2176 -
— 0,2140 -
— 0,2084 -
— 0,2007-
— ОД912 -
—0,1798 n
—0,1666-
—0,1520-
— 0,1359-
—0,1 186 -
—0,1003 -
v,w
0,0838
0,1073
0,1294
0,1501
0,1691
0,1861
0,2012
0;2I4I
0,2248
0,2331
0,2391
0,2426
0,2437
0,2423
0,2385
0,2324
-0,2241
-0,2136
-0,2010
-0,1866
-ОД705
ОД528
-ОД337
-0,1135
-0,0923
-0,0703
-0,0479
-0,0251
-0,0023
0,0203
-0,0426
-0,0642
- 0,0851
-0,1049
-0,1236
-0,1409
^0.1566
-0,1706
-0,1829
-0,1932
-0,2016
-0,2075
-0.2I2C
-0.2I4J
-0.2I3C
-0,2117
-0,2072
-0.20IC
-ОД926
г 0,182=
Yi/3 (x)
+0,2448
+0,2340
+0,2210
+0,2059
+0,1889
+0,1702
+0,1500
+0,1285
+0,1060
+ 0,0826
4 0,0586
40^0343
+0,0098
—0,0145
—0,0385
— 0,0618
—0,0843
—0,1058
— 0,1261
— 0,1449
— 0,1621
—0.1775
— 0,1911
— 0,2026
— 0,2120
—0,2193
—0,2243
— 0,2270
—0,2274
— 0,2256
— 0,2216
—0,2154
— 0,2070
— 0,1967
—0,1845
— 0,1706
—0,1551
—0,1382
> — 0,1200
— 0,1007
» — O,o8o6
> —0,0595
) — 0,0387
— 0,0172
> 4 0,0042
r +0,0255
5 +0,0463
> +o,o66«
>+o,o86c
5 +0,1044
r*M
0,1313
0,1305
0,1299
0,1292
0,1285
0,1278
0,1272
0,1265
0,1259
0,1253
0,1247
0,1241
0,1235
0,1229
0,1223
0,1217
0,1212
O,I2O6
0,1201
ОД195
0,1190
0,1185
0,1179
0,1174
0,1169
0,1164
0,1159
0,1154
0,1150
0,1145
0,1140
0,1136
0,1131
0,1126
0,1122
0,1118
0,1113
ОД109
ОДЮ5
ОД100
0,1096
0,1092
0,1088
! 0,I084
i 0,1080
; 0,1076
0,1072
; 0,1068
> 0,1065
. 0,1061
e-*IAx)
0,1241
0,1235
0,1230
0,1224
0,1218
0,1213
0,1207
ОД202
ОД196
O.Iigi
од 186
0,1181
0,1175
0,1170
0,1165
0,1161
0,1156
0,1151
0,1146
0,1142
0,1137
0,1132
0,1128
0,1123
0,1119
0,1115
0,1110
0,1106
0,1102
0,1098
0,1094
0,1090
0,1086
0,1082
0,1078
0,1074
0,1070
0,1066
0,1062
0,1059
0,1055
0,1051
0,1048
0,1044
0,1040
0,1037
0,1034
0,1030
0,1027
0,1023
Продол
^o(,-
0,4016
0,3995
0,3975
0,3955
0,3936
0,3916
0,3897
0,3879
0,3860
0,3842
0,3824
0,3806
0,3789
0,3772
0.3755
o,3738
0,3721
o,3705
0,3689
0,3673
0,3657
0,3642
0,3627
0,3612
0.3597
0,3582
0,3567
0,3553
0,3539
0,3525
o,35"
0,3497
0,3484
0,3470
0,3457
0,3444
0,3431
0,3418
0,3406
o,3393
0,3381
0,3368
o,3356
o,3344
0,3333
0,3321
0,3309
0,3298
0,3286
0,3275
жение т
«,w
0,4222
0,4198
0,4175
0,4152
0,4130
0,4108
0,4086
0,4064
0,4043
0,4023
0,4002
0,3982
0,3962
0,3943
0,3923
0,3904
0,3886
0,3867
o,3849
0,383!
0,3813
0,3796
0,3779
0,3762
o,3745
0,3728
0,3712
0,3696
0,3680
0,3664
0,3649
0,3633
0,3618
0,3603
0,3589
0.3574
0,3560
0,3545
0.3531
0,3518
0,3504
о!з49°
o,3477
о,34б4
0,345°
0,3437
o.3425
о,3412
o,3399
о,3387
абл. X
'е*
10
13360
14765
16318
1803
1993
2203
2434
2690
2973
3286
3632
4013
4436
4902
54i8
5987
6617
7313
8082
8932
9872
10910
12057
13325
14727
16275
17987
19879
21970
24280
26834
29656
32775
36222
40031
44241
48894
54036
59720
66000
72942
80613
80091
98461
108816
120260
132908
146886
162335
179407


94
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
X
14.5
14,6
14.7
14.8
14,9
15.0
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16.0
./оСО
4°-о875
40,0679
40,0476
4-0,0271
40,0064
— 0,0142
—0,0346
—0,0544
— 0,0736
—0,0919
— 0,1092
—0,1253
— 0,1401
— ОД533
—0,1650
— ОД749
Ji(*)
40Д934
40,1999
40.2043
4-0,2066
40,2069
40,2051
40,2013
40Д955
40,1879
40,1784
40,1672
4°Д544
4 0,1402
4о,1247
4одо8о
40,0904
W
40Д903
40Д974
40,2025
40,2056
4-0,2065
40.2055
4 0,2023
4од972
4 од 902
40,1813
40,1706
40,1584
40,1446
40,1295
40,1132
40,0958
ад
— о,о8ю
— О,об12
— 0,0408
— 0,0202
40,0005
4°,O2II
40,0413
4О,0609
40,0799
40,0979
40,1148
40Д305
4 ОД447
4o,i575
4од686
40,1780
Л/, <*).
4 од 705
4 0,157°
40,1420
4 0,1256
4 0,1082
4 0,0897
4-0,0705
4 0,0508
4- 0,0306
4°.010з
— О,О1ОО
— 0,0301
—0,0497
— 0,0687
— 0,0869
— 0,1042
У1/8(л-)
4о,1217
40Д377
4оД521
4 °Д 650
40,1761
4од854
4-0,1928
40,1982
4 O,2Ol6
40,2030
4 0,2024
40,1997
4 0,1951
40,1886
40,1802
40,1701
*-%(*)
0,1057
0,1053
0,1050
0,1046
0,1043
0,1039
0,1035
0,1032
0,1029
0,1025
0,1022
0,1018
0,1015
ОДО12
ОДОО9
0,1005
Продси
е-*1,(х} W0(*)
0,Ю20 0,3264
o,ioi7 0,3253
О.Ю13 0,3242
одою 0,3231
0,1007 0,3221
o,ioo4 0,3210
o,iooi 0,3200
о,о997 0,3*89
0,0994 0,3179
0,0991 0,3169
0,0988 0,3159
0,0985 0,3149
0,0982 0,3139
о,0979 °,3129
0,0976 0,3119
о,0973 о,зио
шение
e*Ki(x)
о,3375
0,3363
o,335i
о,3339
0,3327
о,3315
О.ЗЗР4
0,3292
0,3281
0,3270
о,3259
0,3248
0,3237
0,3226
0,3216
0,3205
габл. X
е*
100
19828
219^3
24217
26764
29579
32690
36128
39928
44127
48768
53897
59565
65830
72753
80405
88861
Нули бесселевых функций
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*п
ДЛЯ JQ(X)
2,4048
5.5201
8,6537
"-7915
14.9309
l8,07II
21,211б
24.3525
274935
30,6346
хп
для Ji(x)
3,8317
7,0156
ЮД735
13.3237
16,4706
19.6159
22,7601
25.9037
29,0468
32,1897
хп
для К0
0,8936
3.9577
7,o86i
10,2223
13.3611
16,5009
19.6413
22,7820
25-923°
29,0640
*л
ДЛЯ Y\
2Д971
S4297
8,5960
11,7492
14,8974
18,0434
2i,i88i
24.3319
27,4753
30,6183
хп
для Ji/3(x)
2,9026
6,0327
9Д7°5
12,3102
I5.4506
18,5915
2i,7325
24-8737
28,0150
31Д564
хп
для Yi/3(x)
L3530
44658
7,6012
10,7402
13,8804
17,0210
20,1620
23.3031
2б,4444
29-5857


95
Таблица XI. ДЛИНА ДУГИ, СТРЕЛКА, ДЛИНА ХОРДЫ И ПЛОЩАДЬ СЕГМЕНТА
ДЛЯ РАДИУСА, РАВНОГО 1
с
*->
* е-
flj fc.
Я ю
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
4i
42
43
44
45
а —
Д ^
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
O.I222
0,1396
O.TS?!
0,1745
0,1920
0,2094
0,2269
0,2443
0,26l8
0,2793
0,2967
0,3142
0,3316
0,3491
0,3665
0,3840
0,4014
0,4189
0,43бЗ
о,4538
о,4712
0,4887
0,5061
0,5236
0.54И
о,5585
0,5760
о,5934
о,6 log
0,6283
0,6458
0,6632
0,6807
0,6981
0,7156
о,733°
о,75°5
0.7679
0,7854
^
ев
Ч
0,
н
О
о,оооо
О.ООО2
0,0003
о.оооб
о,оою
0,0014
o.ooig
0,0024
0,0031
0,0038
0,0046
0,0055
0,0064
0,0075
о,оо8б
0,0097
0,0110
0,0123
0,0137
0,0152
0,0167
0,0184
O.O2OI
0,0219
0,0237
0,0256
0,0276
0,0297
0,0319
0,0341
0,0364
0,0387
0,0412
о,0437
0,0463
0,0489
0,0517
о,°545
0-0574
0,0603
0,0633
0,0664
0,0696
0,0728
0,0761
h
458,37
229,19
152,80
114,60
91,69
76,41
65,50
57,32
5о.9б
45.87
41,70
38,23
35,30
32,78
30,60
28,69
27,01
25,52
24,18
22,98
21,89
20,90
20,00
19Д7
18,41
17,71
17,06
i6,45
15.89
15.37
14.88
14,42
13,99
13,58
13,20
12,84
12,50
12,17
11,87
11,58
11,30
11,04
10,79
10,55
10,32
Си
0
И
s *°
^ *п
fctet
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0872
ОДО47
O.I22I
ОД395
0,1569
ОД743
0,1917
0,2091
0,2264
0,2437
0,26ll
0,2783
0,2956
0,3129
0,3301
о,3473
0,3645
0,3816
0,3987
0,4158
о,4329
о,4499
0,4669
0,4838
0,5008
0,5176
0,5345
o,55i3
0,5680
0,5847
0,6014
0,6180
0,6346
0,6511
0,6676
0,6840
0,7004
0,7167
0,733°
о,7492
0,7654
Л я
11
е и<
2 <и
и- и
о,ооооо
о.ооооо
O.OOOOI
0,00003
о.ооооб
о.ооою
0,00015
0,00023
0,00032
0,00044
0,00059
0,00076
о,оос»97
О,ОО'21
o,ooi49
o,ooi8i
0,00217
0,00257
0,00302
0,00352
0,00408
0,00468
0,00535
0,00607
0,00686
0,00771
0,00862
0,00961
0,01067
0,01180
0,01301
0,01429
0,01566
0,01711
0,01864
0,02027
0,02198
0,02378
0,02568
0,02767
0,02976
0,03195
0,03425
0,03664
0,03915
и
^
?$
Я Си
<ц f-i
Я я
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
6i
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
8i
82
83
84
85
86
87
88
89
90
И м
с* ^"*
"=t к
0,8029
0,8203
0,8378
0,8552
0,8727
0,8901
0,9076
0,9250
0,9425
о,9599
0,9774
0,9948
1,0123
1,0297
1,0472
1,об47
1,0821
1,0996
.1,1170
1Д345
1Д519
1,1694
1,1868
1,2043
1,2217
1,2392
1,2566
1,2741
1,2915
1,3090
1,3265
1,3439
1,3б14
1,3788
1,39бЗ
L4I37
1,4312
1,4486
1,4661
М835
х^ою
1,5184
1,5359
1,5533
*
СО
Ч
О)
си
н
о
0.0795
0,0829
0,0865
0,0900
0,0937
0,0974
ОДО12
0,1051
ОДООХ)
0,1130
0,1171
0,1212
0,1254
0,1296
0,134°
0,1384
0,1428
ОД474
0,1520
0,1566
0,1613
0,1661
ОД7Ю
0.1759
од8о8
ОД859
0,1910
0,1961
0,2014
0,20б6
O.2I2O
0,2174
О,2229
0,2284
0,2340
0,2396
0,2453
0,2510
0,2569
0,2627
0,2686
0,2746
0,2807
0,2867
0,2929
h
10,10
9,89
9,69
9-5°
94
8,97
8,80
8,65
8,50
8-35
8,21
8,07
7-94
7,82
7.69
7.58
7,46
7,35
7-24
7Д4
7,°4
6.94
6,85
6,76
6,67
6,58
6,50
6,41
6,34
6,26
6,18
6,11
6,04
5-97
5,90
5,83
5,77
5-71
5,65
5-59
5,53
5>47
1зб
си
о
X
«ч
Я со
а
«=1Й
0,7815
о,7975
08135
0,8294
0,8452
о,86ю
0,8767
08924
0,9080
о,9235
0,9389
0,9543
0,9696
0,9848
I.OOOO
1,0151
1,0301
1,045°
1,0598
1,0746
1,0893
1Д039
X,lJ&r
1,1328
1Д472
I,i6i4
1Д756
1,1896
1,2036
1,2175
1,2313
1,2450
1,2586
1,2722
1,2856
1,2989
1,3121
i,3252
1,3383
1,3512
1,3640
1>37б7
1,3893
1,4018
1,4142
5g
s *
!»
ч ??
СЧ>
0
0,04176
0,04448
0,04731
0,05025
0,05331
0,05649
0,05978
0,06319
0,06673
0,07039
0,07417
0,07808
O,O82I2
0,08629
0,09059
0,09502
0,09958
0,10428
ОД0911
0,11408
0,11919
0,12443
0,12982
0- 13535
0,14102
0,14683
0,15279
0,15889
0,16514
0,17154
0,17808
0,18477
0,19160
0,19859
0,20573
0,21301
0,22045
0,22804
0,23578
0,24367
0,25171
0,25990
0,26825
0,27675
0,2854°
Примечание. Радиус г для данной дуги / и стрелки h определяется из отноше-
ния г = -т-, где /о — длина дуги, которая при радиусе 1 соответствует заданному -т-, по-
*о п.
мещенному в графе 1 таблицы. Если г — радиус круга, а у — центральный угол в градусах, то
Ф
1) длина хорды s = 2r sin -~ ;
2) стрелка h = г (\ — cos -|Л = у tg -J- = 2r siitf -|-;
3) длина дуги/=
-
18U
= 0,017453 г ср


96
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица XIL ДЛИНЫ СТОРОН ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ,
ВПИСАННЫХ В ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТРОМ D = 1
Число
сторон
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
14
15
16
17
18
*9
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
3°
31
За
33
34
35
Зб
37
38
39
j
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Длина
стороны
0,866025
0,707107
0587785
0,500000
0,433884
0,382683
О.342О2О
0,309017
0,281733
0,258819
0,239316
0,222521
0,207912
0,195090
о. 18375°
0.173648
о, 164595
0Д5б434
0,149042
°Д 42315
0,136167
0,130526
ОД25333
0,120536
о, 116093
0,111964
o,io8ii9
0,104528
0,101 168
0.098017
0.095056
0,092268
0,089639
0,087156
0,084806
0,082579
0,080467
0,078459
0,076549
0,074730
0.072995
0,071339
0,069756
0,068242 •
0,066793
0,065403
0,064070
0,062791
Число
сторон
51
52
53
54
55
56
57
58
8
6о
6i
62
63
64
65
66
6?
68
6о
°У
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
8о
Ят
OI
82
83
84
85
86
87
88
89
9°
91
92
93
94
п
97
98
Длина
стороны
0,061561
0,060378
0,059241
0,058145
0,057089
0,056070
0,055088
0,054139
0,053222
0.052336
0,051479
0,050649
0,049846
0,049068
0,048313
0.047582
0,046872
0,046183
O.O45SI5
/ »\_lvJ «J
0,044865
0,044233
0,043619
0,043022
0,042441
0,041876
0,041325
0,040789
0,040266
O.O4Q747
' \J^ 1 *J /
0,039260
0,038775
0.038303
о 037841
0,037391
0,0-36951
0,036522
0,036102
0,035692
0,035291
0,034899
0,034516
0,034141
0,033774
0,033415
0,033063
0,032719
о 032382
0,032052
Число
сторон
99
IOO
101
IO2
103
104
105
106
107
108
109
no
III
112
 .
114

116
117
118
119
120
121
122
123
124
I25
126
12?
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
Длина
стороны
0,031727
0,031411
0,031100
0,030795
0,030496
0,030203
0,029915
0,029633
0,029356
0,029085
0,028818
0,028556
0,028299
0,028046
0,027798
0.027554
0,027315
0,027079
0,026848
0,026625
0,026397
0,026177
0,025961
0,025748
0,025539
0,025333
0,025130
0,024931
0,024734
0,024541
0,024351
0,024164
0,023979
0,023798
0,023619
0,023443
0,023269
0,023098
0,022929
0,022763
0,022599
0,022438
0,022279
0,022122
0,021967
0,021815
0,021664
0,021516
Число
сторон
47
148
149
I5o .
J5i
152
J53
154
I5I
156
157
158
J59
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
Длина
стороны
0,021370
O,02I225
0,021083
0,020942
0,020804
0,020667
0,020532
r 0,020399
0,020267
0,020137
0,020009
0,019882
0,019757
0,019634
0,019512
0,019391
0,019272
0,019155
0,019039
0,018924
0,018811
0,018699
0,018588
0,018479
0,018371
0,018264
0,018158
0,018054
0,017951
0,017849
0,017748
0,017648
0,017550
0,017452
0,017356
0,017261
0,017166
0,017073
0,016981
0,016889
0,016799
0,016710
0,016621
0,016534
0,016447
0,016362
0,016277
0,016193


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
97
Таблица XIII. ЗНАЧЕНИЯ «|» = inv в = tg в — в
в°
Часть
числа, общая
для всей
строки
0'
5'
10'
15'
20'
25'
30'
35'
40'
45'
50'
55'
1
2
3
4
I
1
8
9
ю
11
12
13
14
S
i?
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
о,ооо
о.ооо
о,ооо
о,ооо
о.ооо
о,оо
о,оо
о,оо
о,оо
о,оо
о,оо
о,оо
0,00
0,00
0,00
о,о
0,0
о,о
0,0
о,о
о,о
0,0
о,о
0,0
о,о
о,о
о,о
о,о
о,о
о,о
о,о
0,0
0,0
0,0
0,0
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
OOI77
01418
04790
11364
2222О
03845
00281
01804
05634
12847
24522
06564
09732
13792
00346
0202О
06091
13634
25731
°4347
06797
10034
14174
00420
02253
14453
26978
04524
07035
Ю343
14563
00504
02503
07079
15305
28266
04706
07279
1°559
14960
00598
02771
07610
16189
29594
04897
07528
10980
15363
00704
03058
08167
17107
30963
05093
07783
11308
15774
ooSai
03364
08751
18059
32374
05280
08044
11643
16193
18397
24495
31832
40534
50729
62548
07613
09161
I09I5
12888
i886o
25057
32504
41325
51650
63611
07735
09299
11071
13063
19332
25628
33185
42126
52582
64686
07857
09439
11228
13240
19812
26208
33875
42938
53526
65773
07982
09580
11387
13418
20299
26797
34575
437бо
54482
66873
08107
09722
И547
13598
20795
27394
35285
44593
55448
67985
08234
09866
11709
13779
21299
28001
36005
45437
56427
69110
08362
IOOI2
11873
13963
21810
28616
36735
46291
57417
70248
08492
10158
12038
14148
01092
04035
IOOOO
20067
35324
05687
08582
12332
17051
22859
29875
38224
48033
59434
72561
08756
10456
12373
14523
01248
04402
10668
21125
36864
05898
08861
12687
17492
23396
30518
38984
48921
60460
73738
08889
10608
12543
I47I3
14904
17345
20054
23049
26350
29975
33947
38287
43017
48164
15098
17560
20292
23312
26639
30293
34294
38666
43430
48612
15293
17777
20533
23577
26931
30613
34644
39°47
43845
49064
15490
17996
20775
23845
27225
30935
34997
39432
44264
49518
15689
18217
21019
24114
27521
31260
35352
39819
44685
49976
15890
18440
21266
24386
27820
SIS8?
35709
40209
45110
50437
16092
18665
21514
24660
28121
3I9I7
36069
40602
45537
50901
16296
18891
21765
24936
28424
32249
36432
40997
45967
51368
16502
19120
22018
25214
28729
32583
36796
41395
46400
51838
16710
1935°
22272
25495
29037
32920
37168
41797
46837
52312
16920
19583
22529
25778
29348
33260
37537
422OI
47276
52788
I7I32
I98I7
22788
2боб2
29660
33002
379Ю
4260-7
47718
53268
5375 !
59809
66364
73449
81097
89342
09822
10778
п8об
12911
54238
60336
66934
74064
81760
90058
09899
io86i
11895
13006
54728
60866
67507
74684
82428
90777
09977
10944
11985
13102
55221
61400
68084
75307
83100
91502
io°55
11028
12075
I3I99
55717
61937
68665
75934
83777
92230
10133
11113
12165
13297
56217
62478
69250
76565
84457
92963
I02I2
III97
12257
13395
56720
63О22
69838
77200
85142
93701
10292
II283
12348
13493
58765
65236
72230
79781
87925
96698
10614
11630
12721
13893
14097
15370
16737
18202
19774
21460
23268
25206
27285
29516
14200
15480
16855
18329
I9910
21606
23424
25374
27465
29709
14303
I559I
16974
18457
20047
21753
23582
25543
27646
29903
14407
15703
17093
18585
20185
21900
2374°
25713
27828
30098
145И
15815
17214
18714
20323
22049
23899
25883
28012
30295
14616
15928
17336
18844
20463
22198
24059
26055
28196
30492
32116
34700
37476
40459
43667
47119
50838
54849
59178
63858
32745
35376
38202
41239
44506
48023
51813
55900
60314
65086
32957
35604
38446
41502
44789
48328
52141
56255
60697
65501
33171
35833
38693
41767
45074
48635
52472
56612
61083
65919
33385
36063
38941
42034
45361
48944
52805
56972
61472
66340
33601
36295
39190
42302
45650
49255
53141
57333
61863
66763
338i8
36529
39441
42571
45940
49568
53478
57698
62257
67189
59285
65799
72838
80437
88631
97459
10696
11718
12815
13995
14829
16156
17579
19106
20743
22499
24382
26401
28567
30891
14936
16270
17702
19238
20885
22651
24545
26576
28755
31092
!5°43
16386
17826
I937I
2IO28
228О4
24709
26752
28943
31295
I5I52
16502
I795I
*95°5
21171
22958
24874
26929
29133
31498
15261
16619
18076
19639
21315
23112
25040
27107
29324
3I703
34257
36999
39947
43116
46526
50199
54^59
58433
63052
68050
7 Том 1, кн. 1


98
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица XIV. ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА
г
о,оо
О,О1
О,О2
0,03
0,04
0,05
о,об
0,07
о,о8
0,09
о,ю
0,11
0, 12
0,13
о, 14
о,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
О.22
0,23
0,24
0,25
О,2б
О,27
0,28
0,29
0,30
Ф(г)
о.оооо
0,0040
о,оо8о
O.OI2O
0,0100
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0.0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0.0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,110;
0,1141
0,1179
z
0,31
0,32
0,33
°,Я4
T*J~
0,35
0,36
о,37
0,38
о,39
0,40
0,41
0,42
о,43
0,44
0,45
0,46
о,47
0,48
0,49
О|^°
*\J
0,51
0,52
o,53
o,54
o,55
0,56
0,57
0,58
o,59
о,бо
Ф(г)
0,1217
ОД255
0,1293
одзз1
0,1368
0,1406
ОД443
0,1480
0,1517
ОД554
ОД591
0,1628
одббц
0,1700
0,1736
о,17<72
o,i8o8
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,222-:
0,2257
г
o,6i
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
о.73
0,74
0.75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
Ф(г)
0,2291
0,2324
о,2357
0,2389
0,2422
о,2454
0,2486
0,2517
о,2549
0,2580
0,2бИ
0,2642
0,2б73
0,2704
0.2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
о,3133
о,3159
z
0,91
0,92
о,93
0,04
о,95
0,96
о,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
I, об
1,07
I,o8
1,09
1,10
i,il
1,12
I.I3
1,14
1Д5
I.I6
I.I7
1,18
1,19
I,2O
Ф(г)
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
о,3315
о,334о
о,33б5
o,3389
о,34!3
о,3438
0,3461
0,34^5
о,35о8
o,353i
о,3554
о,3577
о,3599
0,3621
о,зб43
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
о,3749
0,377°
0,379°
0,3810
0,3830
0,3849
z
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,2б
1,27
1,28
1,29
1,3°
1,31
1,32
1.33
1.34
1.35
I.36
1.37
1,38
1.39
т,4°
1,41
1,42
1,43
1.44
1,45
.i,46
1.47
1,48
1.49
1,5°
L51
1.52
1.53
1,54
1.55
Ф(г)
0,3869
0,3888
0,3907
о,3925
о,3944
0,3962
0,3980
о,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4*31
0,4147
0,4162
о,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
о,43°6
о,4319
0,4332
о,4345
о,4357
о,4370
0,4382
о,4394
г
1,56
1.57
1,58
1.59
1,6о
i,6i
1,62
1,6з
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,7°
I.7I
I.72
1.73
1.74
1.75
1,76
1.77
1,78
1.79
i,8o
i,8i
f Ол
1,02
1,83
1,84
1,85
1,86
_ Q_
1,о7
1,88
1,89
1,9°
Ф(г)
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
о,4452
0,4463
0,4474
0,4484
о,4495
о,4505
0,45*5
о,4525
о,4535
о,4545
о,4554
0,4564
о,4573
0,4582
0,459!
о,4599
0,4608
0,4616
0,4625
о,4бЗЗ
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
о,4б8б
0,4693
Р.4б99
0,4706
0,4713
3
i,9i
1,92
1-93
1.94
1.95
1,9б
1.97
1,98
1.99
2,ОО
2,О2
2,04
2,о5
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
фB)
0,4719
0,4726
о,4732|
0,4738
о,4744
0,4754
о,475б
0,4761
0,4767
о,4772.
о,4?8з
о,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
о,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
о,4913
о,49!8
0,4922
0,4927
0,4931
о,4934
о,4938
z
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,04
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,9°
2,92
2,94
2,96
2,98
3.0°
3.20
3,40
3-6о
3,8о
4,о°
4.5°
5-00
Ф(г)
0.4941
0,4945
о,4948
• 0,49s1
о,4953
о,495б
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
о,4973
о,4974
0,4976
о,4977
о,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,4999997
Таблица XV. ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ
=
У 2*
(все значения умножены на 10000)
0,0
0,1
0,2
о,3
0,4
о,5
0,6
о,7
о,8
°.9
1,О
0
3989
397°
39Ю
3814
Зб8з
3521
3332
3123
2f97
2661
2420
1
3989
305
39°2
3802
3668
35°3
3312
3101
2874
2637
2396
2
39%
3961
3894
379°
3653
3485
3292
3079
2850
2613
2371
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3°34
2803
2565
2323
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
6
3982
3939
3857
3739
3589
34Ю
3209
2989
2756
2516
2275
7
3980
3932
3847
3725
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
9
3973
39i8
3825
Зб97
3538
3352
3144
2920
2686
2444
2203


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
99
Продолжение табл. XV
1,1
1,2
1,3
1,4
гЪ
1,6
1.7
1,8
1.9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2'?
2,6
2,7
2,8
2,9
3
4
0
2179
1942
1714
1497
1295
П09
0940
0790
о656
0540
0440
0355
0283
О224
0175
0136
ОЮ4
0079
ообо
0044
OOOI
1
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
о?75
о644
°529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
OIOI
0077
оо58
°°33
OOOI
2
2131
1895
1669
1456
1257
Ю74
0909
0761
0632
°519
0422
0339
0270
0213
Ol67
0129
0099
0075
0056
0024
OOOI
3
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0017
оооо
4
2083
1849
1б2б
14*5
1219
1040
0878
0734
о6о8
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
°о53
0012
0000
5
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
O72I
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0009
ОООО
б
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0104
0151
0116
0088
0067
0050
оооб
оооо
7
2012
1781
15б!
1354
ибз
0989
°833
об94
0573
0468
0379
0303
0241
0189
oi47
ох 13
оо85
оо65
0048
ооо4
оооо
8
1989
1758
1539
1334
5
0973
o8i8
0681
0562
°459
0371
0297
0235
0184
oi43
оно
0084
ообз
0047
оооз
оооо
9
19б5
1736
I5i8
1315
1127
°957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0002
ОООО
Таблица XVL ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
Х=Р1 (X)
о,оо
0,05
0, 10
о,15
0, 20
0,25
о.зо
°.35
0,40
о,45
0,50
о.55
о,6о
о,б5
0,70
о,75
о,8о
0,85
0,90
о,95
1,ОО
Р*(х)
— 0,5000
— 0,4962
— 0,4850
— 0,4662
— 0,4400
— 0,4062
— 0,3650
— 0,3162
— О,2бЪо
— 0,1962
— 0,1250
— 0,0462
0,0400
0,1338
0,2350
о,3438
0,4600
0,5838
0,715°
0,8538
I.OOOO
РЪ(Х)
о.оооо
— о,0747
— ОД475
— O,2l66
— О,28ОО
— о,3359
— 0,3825
— 0,4178
— 0,440°
— 0,4472
— о,4375
— 0,4091
— 0,3600
— 0,2884
— 0,1925
— 0,0703
0,0800
0,2603
0,4725
0,7184
1,0000
PI(X)
0,375°
0,3657
о,3379
0,2928
0,2320
ОД577
0,0729
— 0,0187
— 0,1130
— 0,2050
— 0,2891
— 0,3590
— 0,4080
— 0,4284
— 0,4121
— о,3501
— 0,2330
— 0,0506
0,2079
0,5541
I.OOOO
РЬ(Х)
о.оооо
0,0927
0,1788
0,2523
0,3075
о,3397
о,3454
0,3225
0,2706
0,1917
0,0898
— 0,0282
— 0,1526
— 0,2705
— 0,3652
— 0,4164
— 0-3995
— 0,2857
-0,0411
-Н 0-3727
1,ОООО
Р<(*)
0,3125
— 0,2962
— 0,2488
— 0,1746
— о,о8о6
0,0243
0,1292
0,2225
0,292б
0,3290
0,3232
0,2708
0,1721
0,0347
о,1253
— 0,2808
— 0,3918
— 0,4030
— 0,2412
0,1875
I.OOOO
лм
— о,оооо
— о,ю59
— ОД995
— 0,2649
— 0,2935
— о,2799
— 0,2241
— 0,1318
— 0,0146
0,1 10б
0,2231
0,3007
0,3226
о,2737
од 502
— 0,0342
— 0,2397
~ о,3913
— 0,3678 '
-f- 0,0112
1,0000


100
Таблица XVII. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Г (;с)
X
1,00
I
2
3
4
5
о
7
8
9
1,Ю
I
2
3
4
5
6
7
8
9
1,20
I
2
3
4
5
6
7
8
9
1,3°
I
2
3
4
5
о
7
8
9
1,4°
i
2
3
4
5
6
7
8
9
0
I.OOOOO
0-99433
0,98884
о,98355
0,97844
0,9735°
0,96874
0,96415
0,95973
о,9554б
°.95I35
о,94740
0,94359
0,93993
0,93642
о,93304
0,92980
0,92670
0,92373
0,92089
0,91817
0,91558
0,91311
0,91075
0,90852
0^90640
0,9044°
0,90250
0,90072
о,899°4
о,89747
0,89600
0,89464
0,89338
0,89222
0,89115
0,89018
0,88931
0,88854
о 88785
0,88726
0,88676
0,88636
о,886о4
0,88581
0,88566
0,88560
о,88563
°,88575
0,88595
2
99885
99321
98777
98251
97744
97254
96781
96325
95886
95463
95°55
94662
94285
93922
93573
93238
92917
92609
92315
92033
91764
915°7
91263
91030
90809
90599
90401
90214
9°037
89872
89717
89572
89438
89314
89199
8оо95
89000
88915
88839
88773
88716
88668
88628
88598
88577
88564
88560
88565
88578
88599
4
99771
9921 1
98670
98148
97644
97158
96689
96236
95800
9538о
94975
94586
942 и
93851
935°5
93173
92855
9255°
92258
91978
9I?12
91457
91215
90985
90766
9°559
90363
90178
90003
89840
89687
89545
89412
89290
89178
89075
88982
88899
88825
88761
88705
88659
88622
88593
88574
88563
88561
88567
88582
88605
6
99657
99Ю1
98565
98046
97546
97063
9б597
96148
95715
95298
94896
945°9
94138
93781
93437
93io8
92793
92490
92201
91924
9l66o
91408
9иб8
90940
90724
90519
9°325
90142
8097°
89809
89658
8951?
89387
89267
89157
89056
88965
88884
88812
88749
88695
88651
88615
88589
88571
88562
88561
88569
88586
886ю
8
99545
98993
98459
97945
97448
96968
9б5°б
96060
95630
95216
94817
94434
94065
937"
93370
93044
92731
92431
92144
91870
91609
91359
91 122
90896
90682
90479
90287
90107
89937
89778
89629
89491
89362
89244
89136
89037
88948
88868
88798
88737
88686
88643
88609
88584
88568
88561
88562
88572
88590
886i6
X
i»5°
i
2
3
4
5
о
7
8
9
i,6o
i
2
3
4
5
6
7
8
9
1,70
i
2
3
4
5
6
7
8
9
i, 80
i
2
3
4
5
6
7
8
9
1,90
i
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0,88623
0,88659
0,88704
0,88757
0,88818
0,88887
0,88964
0,89049
0,89142
0,89243
°,89352
0,89468
0,89592
0,89724
0,89864
0,90012
0,90167
0,90330
0,90500
0,90678
0,90864
0,91057
0,91258
0,91467
0,91683
0,91906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0,93408
0,93685
0,93969
0,94261
0,94561
0,94869
0,95184
o,95507
0,95838
0,96177
0,96523
0,96877
0,97240
0,97610
0,97988
o,98374
0,98768
0,99171
0,99581
2
88629
88667
88714
88768
88831
88902
88981
89067
89161
89264
89374
89492
89618
89752
89893
90042
90199
90363
90535
90715
90902
91097
91299
91509
91727
91952
92185
92425
92673
92928
93192
93462
93741
94027
94321
94622
9493i
95248
95573
95905
96245
96593
96949
97313
97685
98065
98452
98848
99252
99664
4
88636 >
88676
88724
88780
88844
88917
88997
89085
89181
89285
89397
89517
89644
89779
89922
90073
90231
90397
90570
90752
90940
97
9I34I
91552
91771
91998
92232
92474
92723
92980
93245
93517
93797
94085
94380
94683
94994
95312
95638
95972
96314
96664
97021
97387
97760
98142
98531
98928
99334
99748
6
88644
88685
88735
88792
88858
88932
89014
89104
89202
89307
89421
89542
89671
89807
89952
90104
90264
90431
90606
90789
90979
91177
91382
91595
91816
92044
92280
92523
92774
93°33
93299
93573
93854
94143
94440
94745
95°57
95377
95705
96040
96384
96735
97094
97461
97836
98219
98610
99009
99416
99832
8
88651
88694
88746
88805
88872
88948
89031
89123
89222
89329
89444
89567
89697
89836
89982
90135
90296
90465
90642
90826
91018
91217
91424
91639
91861
92091
92328
92573
92825
93085
93353
93629
93912
94202
94501
948°7
95120
95442
95771
96108
96453
96806
97167
97535
97912
98296
98689
99090
99499
99916


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
101
Таблица XVIII. НЕКОТОРОЕ ЧИСЛОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЛОГАРИФМЫ
Величина
с
2»
Зтс
4"
1C
У
к
"з"
Т
я
~3
1C5
ут
V2i
V*
УТ
2
К!
3
VlC
. к?
е
Y7
1C
л
1C
tf
3*
*2
е
И,-,,.
УТ
Л/
3,14*59 26536
6>283i8 53072
9,42477 79608
12,56637 06144
1,57079 63268
1,04719 755*2
0,78539 81634
о,52359 87756
4,18879 02048
9,86960 44°rl
1 >77245 38509
2,50662 82746
3,5449° 77oi8
0,88622 69255
*.2533* 41373
1,46459 18876
1,61199 *9540
2,71828 18285
1,64872 12707
4,81047 738ю
23,14069 26328
***, 3*777 84899
535,49*65 55248
0,43429 448i9
1,41421 35624
\gN
о,497*4 98727
0,79817 98684
0,97427 «274
1,09920 98640
0,19611 9877°
0,02002 86180
1,89508 98814
1,71899 86223
0,62208 86003
0,99429 97454
0,24857 49363
0,39908 99342
0,54960 49320
1,94754 49407
0,09805 99385
0,1657* 66242
0,20736 28698
0,43429 44819
0,21714 724*°
0,68218 81769
*>3б437 63538
2,04656 453о8
2,72875 27077
1,63778 43* *3
о,*5о5* 49978
Величина
1
1C
1
5Г
1
1
4п
2
1t
3
1C
4
1C
6
•я
3
4it
1
1
1
1
2
i/т
\Г\,
V *
yi
1
е
УГт
.-f
е-*
Зл
е 2
— 2ic
е
л-='0
(Т
N
0,31830 98862
о,*59*5 4943*
o,io6io 32954
о,°7957 747*5
0,63661 97724
о, 95492 96586
*,37323 95447
1,90985 93*7*
0,23873 24146
0,10132 11836
0,56418 95835
0,39894 22804
0,28209 479*8
1,12837 9*67*
0,79788 45бо8
0,68278 40633
0,62035 04909
0,36787 944*з
о,6об53 °б597
0,20787 95764
0,04321 39*83
0,00898 329*0
o,ooi85 7443?
2,30258 5°930
1,25992 *0499
IgN
1,50285 01273
1,20182 01316
1,02572 88726
2,90079 01360
1.80388 01330
*, 97997 13820
0,1049* 01186
0,28100 13777
1>3779* 139°7
1,00570 02546
*. 75*43 50637
1,60091 00658
1»45°39 5о68о
0,05245 50593
1,90x94 oo6i5
1,83428 33758
1,79263 7*302
1.5б5?о 55*8i
7,78285 27590
I.3178* 18231
3,63562 36462
3,95343 54б99
3^7*24 72933
0,36221 56887
о,*о°34 333*9


102
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. XVIII
Величина
VT
VT
VT
VT
VT
ГТ
7*
1 радиан
.
.
g
f
' ^
it
N
1,73205 08076
2,23606 79775
2,44948 97428
2,64575 13111
2,82842 71247
3,16237 76602
0,57721 56649
57°,29577 95131
3437 '.746 77078
206264", 80625
9.8i
96,2361
0,050968
1,00303
IgA/
0,23856 06274
0,34948 50022
0,38907 56252
0,42254 90200
0,45154 49935
0,50000 'ooooo
1,76133 81088
1,75812 26324
3,53627 38828
5,31442 51332
0,99167
1,98334
2,70730
0,00132
Величина
IF
№
jXs~
V*
j/io
з / ——
у loo
Inn
Iе
1'
1"
VT
VTg
1
yf
*r
N
1,44224 95703
1,58740 10520
1,70997 59467
1,81712 05928
2,15443 46900
4,64158 88336
1,14472 93358
0,01745 32925
0,00029 08882
0,00000 48481
3,132092
4,429447
0,319275
9,83976
IgA/
0,15904 04182
0,20068 66638
0,23299 00014
0,25938 375°i
0,33333 33333
0,66666 66667
2,24187 73676
4,46372 61172
6,68557 48668
0,49583
0,64635
1.50417
0,99208
* Постоянная Эйлера.


МАТЕМАТИКА
СВЕДЕНИЯ О РАЗМЕРАХ ФИГУР И ТЕЛ
Периметры и площади плоских фигур
Bр — периметр, F— площадь).
Треугольник (фиг. 1)
?2. 2, 2
aasin 3 sin? _ , . . Q , abs
= —o—. ——- = 2r2 sin a sin P sin Y = -;— =
2 sin a ' 4r
= У Р (Р - а) (р - Ь) (р - с) =
4 __________________
=/>р = -д- У> (? -™a) (q—mti(я - щ)I
здесь а, Ь, с — стороны; се, р, у — противо-
лежащие им углы; ha, hb, hc и /иа, т\,, тс~со-
Фиг. I.
ответствующие высоты и медианы; г и р — ра-
диусы описанной и вписанной окружностей;
2р = а + Ь + г , 20 = яга + ^ + тс-
Если угол у прямой, то
=у а2 ctg а = -J- с2 sin 2*, с2 = а3 -f &з.
При обходе вершин против стрелки часов
хвуА) + (хвус - хсув) -f
+ (*СУА-
ХА У А
** ^?
*с Ус
где ХА, уА, XB, Ув,
координаты вершин
Многоугольник
Ус — прямоугольные
— ^з^'а) f . . .
Фиг. 2.
— *п Уп-i)
где дг1? j/j, jr2- Д'г. • • • . хп< Уп — координаты
вершин при последовательном обходе пери-
метра таким образом, чтобы площадь остава-
лась слева.
Четырёхугольник (фиг. 2)
F = Y(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-
— abcdcos^S =-rj-uv sin<p=-— (J+m) v,
^ ?*
где а, Ь, с и d — стороны; 8 -полусумма
противоположных углов; и и f — диагонали
и ср — угол между ни-
ми; 1кт — длины пер-
пендикуляров, опу-
щенных из противо-
положных вершин на
одну и ту же диаго-
наль V.
У трапеции f —
= у (я + с) Л, где а
не — параллельные стороны, Л — расстояние
между ними (высота).
У параллелограма F = ab sin a = ah, где
а — угол между двумя непараллельными сторо-
нами а и b\ h — расстояние между стороной а
и ей параллельной (высота).
Правильный многоугольник с п сторо-
нами длиной а (см. табл. XII, стр. 96)
2р — па = 2nr sin 9 = 2п р tg <p,
F — -j- na2 ctg ср = -к- лг2 sin 2? = п р* tg <p.
Здесь г — радиус описанной и р — радиус
„ о 180°
вписанной окружное геи; ^ = —— .
Круг (см. табл. II, стр.25).
2р = 2пг = Ы
irdj 1
F = -кг* = -|- = -i. 2pd = 0,785398d'.
где г — радиус и d — диаметр круга


104
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Для кругового кольца
F = «
— г8) = . •* D1- - та*2 =
где R, D и г, d — соответственно внешние
и внутренние радиусы и диаметры кольца;
р — средний радиус кольца; 8 — ширина кольца.
Для сектора круга (фиг. 3)
/=•= 1 sr = -I <ргз = |~ г2 = 0,0087266 /V,
где 5 - длина дуги
сектора.
Для кругового сег-
мента (фиг. 3)
г (s — b) + bh
F =-
1
тер"
Фиг. 3.
См., кроме того,
табл. XI, стр. 95.
Эллипс (фиг. 4). Длина дуги эллипса между
точками А и М определяется формулой
5 =
— е2 sin2 <p rfcp =
М
(эксцентриситет эл-
липса); а и в—большая
и малая полуоси эл-
липса; 9 находится из
соотношения хм =
= a cos ср; символ Е
означает эллиптиче-
ский интеграл вто-
рого рода (см. табл. IX стр. 90).
Полная длина эллипса
Фиг. 4.
ч-
64
где
-
а +
функция /(— J даётся таблицей:
а
/(-V)
_»_
а
/D)
0,1
4,0640
0,6
5.Ю54
О,2
4,2О2О
°,7
5,3824
о,3
4,3860
о,8
5,6723
о,4
4,6оаб
0,9
5,97=3
о,5
4,8442
1,0
6,^
Площадь эллипса
F = nab.
Площадь эллиптического сектора ОАМ
Р _ _?_ Fr
ь г'
где F'— площадь соответствующего кругового
сектора О AM' (ММ' \\ О А, см. фиг. 4j.
Параболический сегмент (фиг. 5). h—
стрелка, /—хорда.
Если h < I, то длина дуги
формула приближённо спра-
ведлива для любых выпук-
лых дуг вида фиг. 5.
Объёмы и поверхности
тел
(V — объём, Fn — полная
поверхность, Fg — боковая
поверхность). Фиг. 5.
Призма. Площадь основания F, высота Л,
Куб. Ребро а, диагональ d = aY^ •
Прямоугольный параллелепипед. Рёбра
a, b и с.
К= abc, Fn = 2 (ab + be + са).
Призма, усечённая плоскостями, не па-
раллельными основанию,
где Л — расстояние между центрами тяжести
косых торцов и F — площадь основания (т. е.
сечения, перпендикулярного к боковым граням
призмы).
В случае трёхгранной призмы (в частности
клин)
где hi, Л2 и Л3— длины
боковых (параллель-
ных) рёбер.
Обелиск, или
призматоид (фиг. 6)
K = -i-/z [ab +
п
фиг-


ГЛ. V]
СВЕДЕНИЯ О РАЗМЕРАХ ФИГУР И ТЕЛ
105
Цилиндр. Площадь основания F, высота ft.
V=Fh, F6 = 2ph,
где 2р — периметр основания.
Круговой цилиндр. Радиус и диаметр осно-
вания R и D, высота Л.
Fn = 2nR (R + h) = -1- тс D (D + 2ft).
Круговой цилиндр с косыми торцами.
Длины наибольшей и наименьшей образующей
А! и Л2, длина оси Л.
i 4- Л2).
Полый круглый цилиндр (трубаХ Внеш-
ний и внутренний радиусы R и г, внешний и
внутренний диаметры Dud, толщина стенки 8.
V = nh (R» — i*) = тсА8 (R + r) =
Цилиндрическая подкова (фиг. 7). Л—вы-
сота; 2а—длина хорды кругового сегмента, ле-
жащего в основании;
b—высота основания;
у—половина угла сег-
мента.
.Г.7.
-(«-»)»].
При /? = Ъ, т. е. основание подковы — по-
луокружность,
V = -- Я2Л F
Пирамида, конус. Площадь основания F,
высота h.
Усечённые пирамида и конус
где Т7] и F2 — площади верхнего и нижнего
оснований; Л — высота.
Круглый конус. Радиус основания /?, диа-
метр основания D, высота Л, длина образую-
щей /.
V=-i- */?2Л = 4г тс D2/z = °'2618 D3/z-
Усечённый конус. Радиусы и диаметры
нижнего и верхнего оснований R, D и г, d, вы-
сота Л, длина образующей I = V^/z 3 + (/? — О2-
Тетраэдр (четырёхгранник), одна из вер-
шин которого находится в начале координат,
а координаты остальных вершин соответ-
ственно равны Arlt ylt гц XK уъ z2; xs, уа, гг.
2 У?
3 Уз *з I
Шар. Радиус R, диаметр D.
V= 4- *Я3 = 4,1888 /?з = -L
о о
Я = 0,62035 yV, F:
Шаровой сегмент. Радиус шара R, высо-
та Л, радиус основания а = Vh~BR—fi).
V = IM(R—?Л = 4-^
Ч 3/6
Рб = 2тс/?Л = ти (а» 4- Л2),
Шаровой пояс (фиг. 8). Радиус шара /?,
радиусы оснований а и Ъ, высота Л.
' — b2 — №
2А
Фиг. 8.
Шаровой сектор (фиг. 9). Радиус шара /?,
высота соответствующего сегмента Л, радиус
кругового ребра о.
и = У"А B/? — Л).
К = -1-7^2/1 =
= 2,0944 /?ал,
Т7^ == и/? BА + а).
Фиг. 9.
Сферический клин. Радиус шара /?, угол
между ограничивающими клин плоскостями
больших кругов шара ср.
V = ~ F6R = ~ R3? = ^1=0.011636 «V.
•Jt/?2cp°
Ftf = 2y?3V = -^^ = 0,034907 W-
Эллипсоид. Полуоси я, b и с.
i/ 4
К = -=
о
Если 6 = с (эллипсоид вращения), то
F = -~ b 1/02 + j2.


106
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Параболоид вращения. Радиус основа-
ния /?, высота Л.
Усечённый параболоид вращения (фиг. 10).
Радиусы основания /? и г.
Фиг. 10.
Тор (фиг. И)
V =
Фиг. 11.
Правило Гульден а-П а п п у с а
а1 Поверхность, образованная вращением
линии длиной / вокруг оси, имеет площадь
F = 2iur</,
где лгп — расстояние центра тяжести линии до
оси вращения; при этом предполагается, что
линия (образующая) расположена с осью
в одной плоскости и ось не пересекает.
б) Объём тела, образованного вращением
плоской фигуры площадью F относительно
оси, лежащей в плоскости фигуры, равен
где х$ — расстояние между осью вращения и
центром тяжести фигуры; при этом ось не
должна пересекать фигуры.
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ *
О точности» с какой надлежит производить
вычисления
Исходные числовые данные технических
расчётов, являясь приближёнными, содержат
обычно не более трёх-четырёх значащих цифр,
последняя из которых бывает, как правило,
верна лишь ориентировочно (сомнительная
цифра). Так как получить более точный
результат, чем исходные данные, вообще го-
воря, невозможно, то в большинстве случаев
достаточно производить вычисления с числами,
содержащими не более четырёх значащих
цифр. Если в процессе вычислений появляются
числа с большим количеством значащих цифр,
то их следует округлять до нужного количе-
ства цифр.
Примеры.
273.54 = 273,5; 273 542 = 2735 • 100;
1,0003= 1,000, а не просто 1.
273.55 = 273,6; 0,27345 = 0,2734;
599,96 = 300,0. а не просто 300.
* Литературу см. на стр. 320.
Нули считаются значащими цифрами, если
они стоят в конце числа. Поэтому, например,
округление числа 273542 до четырёх знача-
щих цифр следует записать в виде 2735-102,
или 2,735-105, а не просто 273500. Числа 12,
12,0 и 12,00 с этой точки зрения представляют
технические величины с разной степенью точ-
ности.
Многие технические расчёты можно произ-
водить с помощью логарифмической линейки
длиной 25 см (точность около 0,3%). На ней
третья цифра или четвёртая, если число
начинается на единицу, читается на-глаз и
поэтому является сомнительной (см. стр. Ю8).
При сложении чисел с одинаковым коли-
чеством цифр, но разных порядков, предвари-
тельно следует произвести округление мень-
ших чисел до последнего значащего десятич-
ного знака самого большого числа или, если
желательно избежать накопления ошибок от
округлений, сохранить ещё один знак, округлив
его далее в сумме.
Пример. Сумму чисел 83,27, 0,4877, 273,1 и 1,102 сле-
дует искать так:
273,1
83,27
1,10
0,49
358,0
При умножении и делении чисел, имеющих
разное количество значащих цифр, т. е. прибли-
жённых чисел разной точности, следует пред-
варительно округлить все числа до количе-
ства цифр наименее точного числа или, если
желательно избежать накопления ошибок от
округлений, сохранить ещё одну цифру.
В произведении следует сохранить столько
цифр, сколько было в наименее точном числе.
Исключение (сохранить ещё одну цифру)
можно сделать в том случае, если произведе-
ние начинается с единицы, а наименее точное
число с какой-либо другой цифры.
Примеры.
1,2 - 37,82 • 27 380 = 1,2 . 37,8 • 27 400 = 1,2 • 10».
17,63 • 0,88 = 0,88 -17,6 = 15,5, а не 15.
43.2 : 0,63452 = 43,2 :0,635 = 68,0.
Для вычислений с приближёнными числами,
содержащими четыре значащих цифры, доста-
точны десятичные логарифмы с четырёхзнач-
ными мантиссами (см. табл. V на стр.34).
Вычисления на логарифмической линейке
длиной 25 см имеют примерно ту же точность,
что и при пользовании трёхзначными лога-
рифмами.
При вычислениях следует избегать вычи-
тания близких друг к другу чисел, так как
точность результата оказывается в этом случае
весьма малой по сравнению с точностью ис-
ходных данных. Соответствующие формулы
следует стремиться предварительно преобра-
зовать так, чтобы эти разности исчезли.
Пример. Площадь сечения тонкостенной трубки
с внутренним диаметром Z> = 127,4 мм и толщиной стенки
8 == 0,15 мм следует вычислять по приближённой фор-
муле:
,F=icD8 = ifl27,4-0,15,
а не как разность площадей кругов диаметра 127,4+
+2 • 0,15=127,7 мм и диаметра 127,4 мм.
О пользовании таблицами. Таблицы
элементарных алгебраических функций, при-
ведённые в начале тома, значительно облег-


ГЛ. I]
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
107
чают расчёты, давая готовые результаты воз-
ведения в степень (п2, л^л4, я5), извлечения
корня (Уп, У 10л". {//Г, f/ТТГ, J/100 л),
/ 1000 \
нахождения обратных величин —— и ло-
г \ п I
гарифмов для всех трёхзначных и части
четырёхзначных чисел. Этой же цели служат
и другие таблицы, содержащие числовые зна-
чения ряда трансцендентных функций, встре-
чающихся на практике.
Если а и Ъ два последовательных имею-
щихся в таблице значения аргумента,
a f (а) и f (b) — соответствующие им значения
табличной функции, то значение функции для
аргумента х, заключённого между а и Ь
и, следовательно, не имеющегося в таблице,
можно найти по формуле линейной интерполя-
ции:
f(x) =
Ь — а
х — а
и А/ (в) = /(&) — /(а).
b-d
Первая конечная разность Л/ (а) в ряде таблиц
указана непосредственно.
Эта формула в большинстве случаев поль-
зования таблицами вполне обеспечивает точ-
ность последнего десятичного знака. Исключе-
ние составляет случай слишком большой
(больше, чем 8 единиц последнего десятичного
знака значения функции) второй конечной
разности функции, т. е. выражения
(«) - [/ (с) -/(*)] - [/ (b) -f (а)] =
где а, Ь и с — три последовательных равноот-
стоящих значения табличного аргумента.
Интерполяционная формула, учитывающая
вторую разность, имеет вид
f(X) = /(«) + 8 Д/ (а) - 6A~6) ДУ (в).
[лг = а + 6(& — в)].
Пример. Найти 9,Ша. Согласно табл. I (см. стр. 19)
а=9,110; f (а) =82,99; ft = 9,120, f (Ь)
83,17;
А/ (в) =/(*)-/ (а) =0,18.
ft — а
Следовательно,
9,113а =» 82,9Э+0,3 . 0,18 = 83,04.
В этом случае Д2/ (я) =0.
Пример. Найти г5-85. Согласно табл. VI11 (см. стр. 89)
а = 5,80; Ь = 5,90; с = 6,00.
/(а) = 330,3; /F) =365,0; /(с) =403,4;
.6= f^lf——0,5;
ft — а
д/ (а) = / (ft) -/ (а) =34,7; Д/ (ft) =38,4;
ДУ (а)= Д/ (ft) - Д/ (а) = 3,7.
Следовательно,
,5,85 = 330,3 + 0,5 • 34,7 - °'5 A~°'5) 3,7=
= 330,3+17,35 — 0,46:
2
= 347,2.
Вычисления, производимые с помощью
логарифмов и логарифмической линейки.
При помощи^десятичных логарифмов (о ло-
гарифмах см. стр. 113) с четырёхзначными
мантиссами (см. табл. V на стр. 34) умно-
жение и деление ряда чисел с четырьмя зна-
чащими цифрами сводится к сложению и вы-
читанию десятичных дробей с четырьмя зна-
ками после запятой, при нескольких прииска-
ниях в таблице мантисс с простейшей интерпо-
ляцией. Тем самым на упомянутые вычисления
затрачивается значительно меньше труда, чем
при непосредственном их совершении. Ещё
легче производить их, разумеется, на арифмо-
метре.
Применение десятичных логарифмов почти
всегда необходимо при возведении чисел
в степень и извлечении корня из них при
больших или при дробных показателях сте-
пени и корня (см. стр. 108 и также стр. ИЗ).
Отыскание десятичных лога-
рифмов чисел. Десятичные логарифмы
представляются обычно в виде суммы целого
положительного или отрицательного числа —
характеристики — и положительной правиль-
ной десятичной дроби — мантиссы.
Пример.
lg 0,00873 = —3+0,9410 = 3,9410.
Числа, отличающиеся друг от друга лишь
положением запятой, или, что то же, в 10fe раз
(k — целое число) больше или меньше одно
другого, имеют одну и ту же положительную
мантиссу, но различные характеристики.
Если число больше единицы и имеет m цифр
до запятой, то его характеристика положи-
тельна и равна т—1. Характеристика пра-
вильной десятичной дроби отрицательна и
равна по абсолютной величине количеству
нулей, стоящих перед первой значащей циф-
рой, включая нуль перед запятой.
Пример.
lg 87,3 = 1,9410,
\g 8,73 = 0,9410, __
lg 0,873 = 0,9110 — 1 =J.,9410,
lg 0,0873 = 0,9410 — 2 =2~,9410.
Мантиссы логарифмов тех чисел, которые
имеют три значащих цифры или четыре, но
начинаются с единицы, отыскиваются в табл. V
(стр. 34) сразу, т. е. без интерполирования.
Пример. __
lg 0,417 = Г.6201, lg 173,2 = 2,2385.
Если число имеет четыре значащих цифры
и начинается не с единицы, то мантисса его
логарифма вычисляется посредством линейной
интерполяции. Первая разность последователь-
ных значений мантисс приводится в специаль-
ном столбце таблицы.
Пример,
lg 87,34 = \z 87,3 + 0,4 (lg 87,4 - lg 87,3)-
= 1.9410 + 0,4 • 0,0005 = 1,9412.
При отыскании логарифмов чисел с боль-
шим числом значащих цифр можно предва-
рительно округлять их до четырёх цифр (или до
пяти, если число начинается с единицы) и за-
тем уже искать логарифм. Ошибка в значении "
логарифма не превысит при этом единицы в
последнем (четвёртом) знаке мантиссы.
Пример.
lg 4,1724 да lg 4,172 = lg 4,17 + 0,2 Д =
= 0,6201 + 0,2 • 0,0011=0,6203.
Отыскание чисел по их деся-
тичным логарифмам. Для отыскания
числа по его логарифму может быть исполь-
зована та же таблица мантисс (табл. V, стр.
34). Если мантисса меньше 0,3030, то соответ-


108
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
ствующее число может быть указано с пятью
значащими цифрами с ошибкой не более двух-
трёх единиц в последней цифре. При мантиссе,
большей 0,3030, число следует искать с че-
тырьмя знаками, причём в последнем знаке
ошибки чаще всего не будет.
{/0,0827 • 565,1
2) Xsss 0,923* • 46,2
lg 565,1 — 41g 0,923 —
Пример. Найти х, если lg x = 1,1275.
Имеем согласно табл. V, стр. 34:
lg 13,41 = 1,1274, Д == 0,0004.
Следовательно,
„,,.„+ 0.0, J
По более точным таблицам х — 13,412.
Пример. Найти N, если \g N= 5,4832.
lg 304 000 = 5,4829; Д = 0,0014.
Следовательно»
5,4832 - 5,4829
0,0014
304 000 + 1000
304200=3,042- 105.
Примеры вычислений с четырёхзначными
логарифмами (соответствующие алгебраиче-
ские формулы см. стр. ИЗ):
_ 0,5361 • 217.3
' х~~ 0,0281
lg х = lg 0,5361 + lg 217,3 — lg 0,0281 =
= 1,7293 -f- 2,3371 — 2,4487 = 3,6177,
х = 4147.
— lg 46,2 = - B,9175L-2,7521 — 4 . • 1~9652 —
о
— 1,6646 = 0,8659,
x = 7,343.
3) дг = 2,781'41,
\gx = 1,41 Ig2,78 = 1,41-0,4440 = 0,6260,
x = 4,227.
4) x = 0,687 ~ 1>33 ,
]g x =1,8370 (—1,33) = —0,1630 (—1,33) =
= 0,2168,
x = 1,647.
Логарифмическая линейка. Общеупотре-
бительны логарифмические линейки длиной
25 см (основной шкалы). Более точны, но
менее удобны в обращении логарифмические
линейки длиной 50 см.
На основной нижней шкале D линейки и
нижней шкале С её движка (фиг. 12) нанесены
деления так, что расстояния их от крайней
левой черты пропорциональны мантиссам
чисел, соответствующих делениям на шкалах.
На фиг. 13 указано умножение числа 6,30 на
Фиг. 12.
5 6 78
Innliiiiliiii iniliiiili шипит
Фиг. 13.
67
9 1
ni|iiii ц 1|1Ш|!11|||111|шм I | 111|||
* I *
iilimliiiihiiilililililihlilililili 1iiii i 1.
!||||||||||Ш|||||||||||
1Н|1111|Ш1|Г И|П
пппгптгп
I i
lll I
i
Фиг. 14.


ГЛ. 1]
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
109
1,250. Результат, т. е. число 7,88, находится на
нижней шкале D, причём последняя цифра
результата читается на-глаз. На фиг. 14
показано умножение 2,23 X 7,30 = 16,24. Поря-
док результата действий на логарифмической
линейке лучше всего определять посредством
грубой оценки: 6X1=6 и 2X^=14.
На верхней шкале А линейки и верхней
шкале В движка отложены мантиссы логариф-
мов в вдвое меньшем масштабе, вследствие
этого деления верхних шкал определяют ква-
драты чисел, соответствующих тем делениям
нижних шкал, которые расположены на том
же расстоянии от левого края линейки. Так,
на фиг. 13 и 14 при помощи визирного штриха
бегунка можно прочесть: 7,882 — 62,1; 1,6242 =
= 2,65; 1,2502 = 1,560 (на движке) и т. д.
Почти на всех линейках имеются специаль-
ные штрихи для числовых величин, особенно
часто встречающихся в расчётах, например:
« = 3,1416; с =1/"= 1,128;
w 7Г
Cl = с /Тб = 3,568;
р' = 3438 (число минут в радиане);
р" — 206 300 (число секунд в радиане) и др.
Если установить деление 1,128 = 1/ —
шкалы С движка против начального левого
или конечного правого деления шкалы D, то
по диаметру круга, отложенного на шкале С,
можно сразу прочесть на шкале А (используя
штрих бегунка) соответствующую величину
площади_круга. Этой же цели служит деление
Ci = с/10 и дополнительные штрихи на стёк-
лышке бегунка некоторых линеек.
На многих линейках имеются специальная
шкала кубов, шкала обратных величин (на
движке) и шкала мантисс десятичных лога-
рифмов. Последняя имеет равномерно отстоя-
щие друг от друга деления.
Шкалы на обратной стороне движка дают
возможность находить натуральные значения
тригонометрических функций.
Помимо простейших действий над числами,
на линейке можно решать и более сложные
задачи, например квадратные уравнения (см.
стр. 120) и уравнения вида:
х* + рх + q = 0,
* + рх*
= О
(последнее сводится к квадратному).
Точность простейших действий на лога-
рифмической линейке длиной 25 см равна
0,2 — 0,5°/о (в зависимости от опытности счита-
ющего и качества линейки).
Оценка точности результата вычислений
Практические вычисления совершаются над
числами, большинство из которых лишь с той
или иной степенью точности представляет
соответствующие им математические и физиче-
ские величины. Формулы, по которым ведутся
вычисления, бывают нередко выведены на
основании ряда неизбежных упрощающих пред-
положений и сами могут быть приближёнными.
Поэтому даже в тех случаях, когда арифмети-
ческие действия можно произвести над чис-
лами абсолютно точно, результат всё равно
является приближённым и может во многих
случаях отклоняться далее от истинного зна-
чения, чем исходные данные.
Оценка точности чисел. Разность ла —
= а — а0 между приближённым числовым
значением а какой-либо величины и её истин-
ным (точным) значением я0 называется ошиб-
кой, или погрешностью, приближённого числа а.
Модуль (абсолютная величина) этой разно-
сти называется абсолютной погрешностью,
а отношение последней к модулю числа а —
относительной погрешностью приближённого
числа а.
Точное значение а0 какой-либо величины
чаще всего бывает неизвестным, а в некото-
рых случаях существующим лишь условно
(вал при измерении микрометром не всегда
оказывается точно цилиндрическим; под вели-
чиной его диаметра можно, например, условно
считать среднее значение нескольких измере-
ний). Поэтому в практике пользуются предель-
ными абсолютными погрешностями (обозначе-
ние — еа) и предельными относительными
погрешностями (обозначение—8а) соответству-
ющих (с округлением в сторону увеличения)
наибольшим возможным отклонениям а0 от
приближённого числа а. Таким образом
Выражение предельной относительной по-
грешности даётся в процентах и промилях
(последние употребляются редко):
5а% = 100 8в, ВдО/ад = 1000 8а.
Пример. Приближённое значение к есть 3,14; более
точно я = 3,1416 (с округлением в бблыпую сторону).
Следовательно,
«3,14 =°-g^~ 0,00051,
и можно принять
=0,06И.
Размер 22,37 мм, измеренный микрометром,
имеет предельную относительную погрешность:
или даже 0,025%, если измерение производи-
лось хорошим прибором с округлением до по-
лусоток миллиметра.
Приближённое число, которое имеет абсо-
лютную погрешность не больше половины
единицы в n-й цифре, называется числом с п
верными знаками. Предельная относительная
погрешность такого числа, если оно начи-
нается на цифру г, определяется формулой
8 =
1
2*10"
-1


по
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Соответствующая таблица 8% имеет вид где tx, ву, ег — предельные абсолютные по-
грешности заданных числовых значений пере-
менных х, у, г. В частном случае функции
одной переменной y=f(x):
dy
dx
О вероятной погрешности см. стр 309.
Примеры.
1) у — sin x; е = |cos.r| е. •
I
а
3
4
i
5о
5
°,5
о,о5
а
25
3
о,3
о,оз
3
1?
2
О,2
О,02
4
12
1,2
0,12
0,012
5
10
1,0
О,1
о,ою
6
9
0,9
°.°9
о,оо9
7
8
о,8
о,о8
о,оо8
8
7
о,7
°i°7
0,007
9
6
0,6
о,об
о,ооб
Оценка точности алгебраической суммы.
Если числа Я], я2, ..., ап имеют предельные
абсолютные погрешности e]f е2, . . . , ел и пре-
дельные относительные погрешности соответст-
венно 8j, 82, . . ., 8Л, то предельные погрешности
алгебраической суммы s = а\ + а9 +• . . . -f- а„
выражаются формулами:
«2
8,
+
°п
Предельная относительная погрешность 8^
может оказаться очень большой по сравнению
с погрешностями членов алгебраической
суммы, если | 5 | < | иг \ + | а21 + ... -f- \а„\.
Примером может служить погрешность
разности близких друг к другу чисел. О веро-
ятной погрешности суммы см. стр. 310.
Оценка точности произведения и част-
ного. Предельная относительная погрешность
произведения или частного двух чисел о и &
равна сумме их предельных относительных
погрешностей, т. е. 8а + 8Й.
Пример. Найти предельную абсолютную погреш-
ность значения площади круга диаметром 22 мм, если
погрешность диаметра не свыше 0,05 мм и принято
* = 3,14.
Из формулы /=•=—— следует
= 8 +28 0,0005 + 2
0,05
22
: 0,005
(о погрешности числа 3,14 см. стр. 109).
Согласно табл. II (стр. 25) имеем F= 380,1 мм2
для d = 22 мм и, следовательно,
«/? = 380,1- 0,005л; 2 мм*.
Отсюда можно заключить, что уже третья цифра
числа F является сомнительной, и результат следует
представить в виде
Р=380 мм*(± 1 мм').
Оценка точности числовых значений
функции. Для вычисления не предельных
(точных) погрешностей (см. стр. 109) функции
и = f (х, у, г) почти во всех случаях можно
пользоваться обычной формулой полного ди-
ференциала, заменив в ней диференциалы
переменных и, х, у, z их погрешностями аи,
ах* ау* ^z' T- е- формулой:
_ a/ , df df
Предельная абсолютная погрешность ец
функции u=/(v, у, z) определяется фярму-
лой, имеющей аналогическое строение:
df
дх
ду
_
дг
8 = I ctg x I i
У \ * \
ь =
У
sin 2*
2) у = х ;
3) У = tg x\
.ж ———— V-J
4) а = е
ae~'txcos $y
Общие замечания. При оценке точности
результата вычислений по предельным погреш-
ностям следует иметь в виду, что фактически
погрешность результата бывает обычно значи-
тельно меньше вычисленной предельной. Ве-
роятность стечения всех условий, благоприят-
ствующих образованию наибольшего откло-
нения вычисленного результата от истинного,
чаще всего незначительна. Ошибки отдельных
этапов вычисления, а также и погрешности ис-
ходных данных нередко оказываются разных
знаков и отчасти компенсируют друг друга.
Поэтому в практике при не слишком сложных
вычислениях результат берут с одним лишним
знаком по сравнению с тем, что даётся оцен-
кой предельных погрешностей. Разумеется,
нельзя в результате сохранять больше знаков,
чем в любом из исходных данных.
Некоторые приближённые формулы.
Нижеследующие формулы следует применять
при малых а и р по сравнению либо с числами
а и Ь, либо с единицей.
Предельная относительная погрешность 8
соответствующей формулы указана в процен-
тах.
Ь+
^ . .__
Ь \ ~Г а Ъ
(а±ЬГ = а»(\±п"-
A+ а)(Ц-р)=1 + а
A + о)а = 1+2а
A _аJ = 1_2а
(Ь < а);
(Ь < а);
(В. 100 |а
E т 100 а»);
= !1за} (^300а2);
A4-а)л- 1 + ла
A —а)" = 1 — ПУ.


ГЛ. 1]
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
111
(8 * 100 а2)
1-t-P
•fa —p (8 «100 |р —о|);
~ _ i _j- у (8 ~ 13 а*, 8 < 1 при a < 0,3)
-~i = 1 — 4 (8 * 13 а*; 8 < 1 при о<0,27).
— = 1— (8~38<х2, 8<1 приа<0,16).
I к 5° 2 \
IS» —— а2. I
\ п I
1/1 +
]g (l-fa)= 0,434 а — 0,217 а2 E «33 а«),.
lg J-t- = 0,869 a (8~33a2).
6 1 —о
In Л/ = 2,303 lg tf
IgA^ =0,4343 In Д/
аз
sin a = a— -д-
o
sin a =o=r^ = 0,01745.
180
COSa= 1 — •
cos a = 1
E < 0,02).
(o< 0,0015).
(8-aP).
приа°<14°).
(8 < 1 при a* < 8°).
tg a = a = 0,01745 a° (8 < 1 при a" < 10°).
ctga=l_^a
Ctg a = —
arcsin a = a -J- -Д- a8
arctga = a —-^p
. i a
Sn a = a -f- -w-
sh a = a
Cha=l
(8«.
(S<1 при a°<10°).
(8«
(8 < 1 при a < 40)
(S~4a4).
(8<1 при a < 0,14).
= 1
при a < 0,14).
^±« = ^A -(-«).
л* ± а = а* A ± a In a).
sin (jc ~t а) = sin л: ^ a cos x.
cos (jc i a) = cos л; ^f a sin *.
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ *
Основные определения и простейшие
формулы
Целые степени аР = а-а-а...а (а — осно-
вание степени, р— число сомножителей — по-
казатель степени); al = a, a2 — квадрат числа
а, ав — его куб.
Таблицы л2, л3, л4, л5, где /г — числа от
] ,00 до 12,00 см. стр. 3.
Если а — отрицательное число (а < 0), то
О.Р = | а \Р при чётном р, т. е. если р = 2п,
где п — целое число и а? = — \а\Р при нечёт-
ном р, т. е. если р = 1п-\- 1.
Здесь символ | а \ обозначает абсолютное
(арифметическое) значение количества а — так
называемый модуль числа а. Таким обра-
зом | а\ — существенно положительное число.
Если я>1, то а<д2<а3<я4<'-'</гл->- со
(устремляется в бесконечность) при п -»• со и
аРа.1 =
при
of : cfl = of -9; (aP)<*
(a : b}P =
Последние формулы справедливы для лю-
бых оснований и показателей, в том числе
дробных и комплексных.
Равенство а~р = — определяет символ
• ар
а~~р, т. е. отрицательную степень.
Равенство аР : а? = ар~д при р — д опре-
деляет символ а° = 1.
(а + *>J = & + 2ab + *2;
Пример
A0,1K = 100 + 2 • 10 • 0,1 + 0,01 » 102,0.
(a -\- 6K = eft •
(д — 6K = дЗ -
(д _|_ 6L = д4 + 4дЗб -{- 6a262 -f 4a63 -f 6<.
Бином Ньютона
Л -1
. . ^,„ _ „ i ___ Л — It I
. Я (Л— 1) п— 2
„(„_]) (я —2) „_3
1 . 2 . 3
+
б8 + . ..
* Литературу см. на стр. 320.


112
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Коэфициенты бинома Ньютона могут быть
найдены при помощи „треугольника" Паскаля
(фиг. 15). В этой фигуре каждое число равняется
сумме двух ближайших выше расположенных
Дробные степени и корни. Решение урав-
нения хп = а (п — целое число) относительно ж
называется корнем степени п из числа а (дей-
ствительного или комплексного). Обозначение
1
; i Ю W 5 »
; б » га в б
, 7 21 35 35 21 1
Фиг. 15.
других чисел. Например, биномиальные коэ-
фициенты для п = 7 суть 1, 7, 21, 35. 35, 21, 7, 1.
Другое представление бинома Ньютона
<•+»>• -20 ••-•»».
*=1
где (?) = С п — число сочетаний (стр. 33 и 1 13)
из п элементов по k элементов в каждом соче-
тании (без повторения элементов)
/я\ _ п (п — 1) (л — 2)...(л — А+1)
U/ ————— ГТТ^А — —— — --
_ п!
~~ k\ (n — k)\ '
где символ п\ — так называемый факториал
(стр. 33):
л!=1 -2-3. .... п.
п-1
где л — показатель корня; a — подкоренное
количество; Y — радикал; у а = У^а — ква-
дратный корень; у а — кубический корень из а.
Имеется п различных значений корня сте-
пени п из заданного числа (см. стр. 1 18). Если
a — действительное число и положительно,
то одно из этих значений также положительно.
Оно называется арифметическим значением
корня из а.
Таблицы арифметических значений ква-
дратных и кубических корней из числа п, Юл
и 100л от п = 1,00 до п = 12,00 (см. стр. 3).
Используя таблицы л4, л5 (см. там же) и
интерполируя (см. стр. 107), можно извлечь
корни четвёртой и пятой степеней. Для более
высоких, а также для дробных степеней сле-
дует употреблять десятичные логарифмы
(см. стр. 108).
Корень .чётной степени из положительного
числа имеет два действительных значения,
отличающихся только знаком, и л — 2 ком-
плексных значения.
Корень чётной степени из отрицательного
числа действительных значений не имеет.
Корень нечётной степени из действитель-
ного числа а имеет одно действительное зна-
чение, знак которого совпадает со знаком а.
Примеры.
~Ъ = + 3, - 3;
?/-4
/16 = ± 2, =t 2i; |Л^2Г= ± Ы ;
, ±A -0 ; j/8=2, -l±iV7;
Дальнейшие формулы верны без всяких
оговорок, если под корнем понимать его ариф-
метическое значение, числа а и Ь считать по-
ложительными, а числа т, л, р и q — целыми.
(а + Ь) (а2 — аЪ + &2) =
a>b.


ГЛ. I)
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
ИЗ
Логарифмы. Решение уравнения ах = Ъ
относительно х называется логарифмом числа Ь
при основании а, или х = \ogab. Имеется
бесконечное множество решений этого урав-
нения (см. стр. 188), но только одно из них
в некоторых случаях может оказаться дей-
ствительным числом. Если основание а и ло-
гарифмируемое число b оба положительные,
то действительное значение логарифма суще-
ствует всегда и называется арифметическим
значением логарифма числа b при основа-
нии а.
\Q<gab > 1, если b > a; logfl b < 1, если b < a;
\ogaa = 1 (ai - а); log а 1 - 0 (я<> .= 1);
logas — »• — оо , если s -> 0;
log N -> -f* °° ПРИ ^ — *> +• °°-
Нахождение логарифма данного числа на-
зывается логарифмированием. Нахождение
числа по его логарифму называется потенци-
рованием или антилогарифмированием.
В следующих формулах, являющихся основ-
ными, а, и и v — любые положительные числа,
п — действительное (т. е. положительное или
отрицательное) число.
loga (uv) = loga и -f loga v,
loga (u:v) = lOga U — lOga V,
loga u" =
~
Эти формулы позволяют, умножение и де-
ление чисел заменять сложением и вычита-
нием их логарифмов, с последующим потен-
цированием, а возведение числа в любую сте-
пень (целую и дробную) — соответственно
умножением его логарифма на показатель сте-
пени (примеры см. стр. 108).
Десятичные, или бригговы, логарифмы имеют
основанием число 10 и обозначаются симво-
лом lg. Правила вычислений с десятичными
логарифмами см. стр. 107. Таблица мантисс,
т. е. дробной части числа, представляющего
логарифм, приведена на стр. 34.
Натуральные (гиперболические), или непе-
ровы, логарифмы (символ In) имеют основанием
трансцендентное число Непера
е = 2,718182... = Hm
л->оо
Таблица натуральных логарифмов для не-
которых чисел между 1 и 100 приведена на
стр. 38. При помощи этой таблицы и правил
интерполяции (см. стр. 107) можно определить
логарифм любого четырёхзначного числа.
Пример.
In 1,73 = 0,5481; In 88 = 4,4773; In 8,654 = In 8,65 +
+0,4 (In 8,66 — In 8,65) = 2,1576 + 0,4 • 0,0011 = 2,1580;
In 0,8654 = In 8,654 — In 10 = 2,1580 — 2,3026 = — 0,1446.
Натуральный и десятичный логарифмы од-
ного и того же числа связаны соотношениями
In a = 2,302585 ]g a,
\ga = 0,434294 In a = М ]п a,
где М — lg е = 0,434294 — модуль десятичных
логарифмов.
Пример.
lg 0,01274 = 2,1052=- 1,8948.
In 0,01274 = - 1,8948 • 2,3026 = - 4,3615.
8 Том 1, кн. I
В общем случае, если
x=logaN и у=
х = у logak у = х logft а.
то
Соединения (комбинаторика). Помещая
в k различных местах по одному элементу из
данного их числа л, можно образовать Akn —
размещений, которые будут отличаться друг
от друга или составом или порядком элемен-
тов. Akn называется числом размещений п эле-
ментов по k без повторений (все элементы
разные).
Пример. Элементы а, Ь, с (п = 3); размещения по
два (&^=2) без повторений: ab, ас, Ьа, be, ca, cb (ЗХ2=6)-
Если имеется т серий одинаковых элемен-
тов (элементы разных серий различны), то
можно образовывать размещения с повторения-
ми. При наличии в каждой серии не менее k
элементов число всевозможных размещений (без
повторений элементов и с ними) равно т*.
Пример. Элементы а, а, . . . , Ь, Ь, .... с, с, ...
(/и=3); все возможные размещения по два (ft =2): аа, ab,
ас, ba, bb, be, ca, cb, ее (За=9).
В частном случае общее число п элемен-
тов может оказаться равным числу мест, в ко-
торых они могут всевозможным образом раз-
мещаться. Составление размещений сводится
к взаимной перестановке отличающихся друг
от друга элементов. Если среди k элементов
нет одинаковых, то следует совершить
Рп= Ь2-3.....л = я!
перестановок, чтобы составить последователь-
но все размещения по одному разу. Рп назы-
вается числом перестановок из п элементов
без повторений.
Пример. Элементы а, Ь, с (л=3) образуют пере-
становки abc, acb, bac, bca, cab, cba, всего числом
3!=6.
Если среди п элементов есть р одинаковых
элементов одной серии, q других одинаковых
элементов второй серии и т. д., то число
перестановок равно
<*+«+•••=•«>
(число перестановок при наличии повторяю-
щихся элементов).
Пример. Элементы a, a, b(p — 2,q=l, п=*р + д=3>)
образуют перестановки aab, aba, baa, всего числом
3!
ПТ ~3'
Соединения элементов называются сочета-
ниями, если порядок расположения их внутри
соединения безразличен. Сочетания разли-
чаются только составом элементов в них вхо-
дящих. Число сочетаний по k элементов из
общего числа п (различных) элементов равно
С * - л (я — 1) (д - 2) ... (я - * + 1) __
1.2-3...* —————— -
п\
Л! (л—ft)!'
k
—
л« =
Биномиальные коэфициенты
табл. III, сгр. 33)
= С* (см.


114
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Определители (детерминанты) и их при-
ложения. При составлении уравнений для ре-
шения многих технических задач (частоты и
формы колебаний, критические нагрузки и др.)
и при решении ряда теоретических вопросов
важную роль играют определители. Определи-
тель п-го порядка представляет собой функ-
цию п2 величин Яц, а]2, я1Я,..., aln, а2и
а22, • • •'» «лл) которые называются его элемен-
тами. Они располагаются в л строках и п
столбцах определителя, соответственно своим
индексам — первый индекс означает номер
строки сверху, второй— номер столбца слева.
Обозначение:
« «
21 22
« • • • «
2/1
а
Л1 «Л2 «03 • ' • «ЛЯ
(/,/=1,2,..., л)
Величина определителя D определяется
суммой п\ произведений элементов согласно
формуле
*j \ / 1 д 2р Зу
Здесь р означает число перестановок
(см. стр. ИЗ), которое надо совершить, переста-
вляя каждый раз одну пару элементов (транс-
позиция), чтобы от последовательности вто-
рых индексов 1, 2, 3,.., п перейти к после-
довательности а, 0 Y. • • • 1 °> для данного члена
суммы. Произведение элементов аи, а^, азя,...,
а„„, которые расположены на диагонали опре-
делителя, называется его главным членом.
Примеры. Определитель второго порядка
Определитель третьего порядка
03J «32
— a23asi)
I «aa
I «32
«21 «22
«31 °32
В сумме, представляющей определитель пя-
того порядка, произведение «i3«22«3i«44«55 долж-
но войти со знаком минус, а произведение
«14a22fl31«23«55 со ЗНЭКОМ ПЛЮС, ТЗК КЗК ПОСЛ6ДО-
вательность вторых индексов 3,2,1,4, 5 полу-
чается посредством одной, а последователь-
ность 4, 2, 1, 3, 5 двумя транспозициями
из основной последовательности 1, 2, 3, 4, 5.
Определитель не изменяет своей величины,
если его строки поставить на место соответ-
ствующих столбцов, т. е. элементы а ц поста-
вить вместо элементов а^ (а]2 на а?1, я21 на
д12 и т. д.).
«И «12 «13 '
«21 «22 «23 •
«Л1 «я2 «лЗ
• • «1Л
• • «2Л _
• «лл
«И «21 «31 • •
«12 «22 «33 • •
«1Л «2л «8л '
• «Л1
«Л2
«лл
Определитель меняет знак на обратный,
если переставить местами два каких-либо его
столбца (или две строки), например:
«И «12 «13 «34
«21 «22 «23 «24
«2Л
«11 «14 «13 «12
Л21 «24 «28 «22
«1Я
«2Л
«Л1«л4«л3«л2 • «лл
Определитель равен нулю, если соответ-
ственные элементы двух его столбцов (или
строк) равны друг другу.
Адъюнктом (минором), или алгебраическим
дополнением, Ау элемента ау называется опре-
делитель на единицу меньшего порядка, кото-
рый получается из данного удалением /-и
строки и у'-го столбца с последующим умно-
жением на (— 1/ J'.
Пример.
Имеют место следующие важные формулы
разложения определителя по /-и строке и по
/-му столбцу:
D = ЛЙЛЛ + л,г Лй -4-.. . + «/лЛ/„;
D = ayAjj + azj A2j + ... + onj AnJ.
В частности формула разложения по эле-
ментам первой строки имеет вид
«11 «12 «13
«21 «22 «-Й
«Л1 «Л2 «ЛЗ
«1Л
«2л
«22 «23 • • • «21
«32 «33 • • • «3«
«лэ «лЗ • • • «ял
-«12
«21 «23
«31 «33
«Л1 «ЛЗ
?1л
#21 «22
«31 «32
.. а%п - 1
• • апп— 1
При вычислении определителей полезны
следующие два свойства их.
Умножение (или деление) всех элементов
одного столбца (или строки) на одно и то же
число равносильно умножению (или делению)
на это число всего определителя.
Добавление к элементам одного столбца
(или строки) соответственных элементов дру-
гого столбца (или строки), умноженных на
любое общее для всех число, не изменяет
величины определителя.
Пример.
= 7
1
3
1 -
0
10 —
3
- 7 1
- 7 1
3 5
1 2
0 4
0 6
3 Е
Г 1 ''
' 0 i
10 (
1 — 3
2 5
0 0
2 -5
+ 3-2
0 - 1
_ _ 7
— /
1.7 7
^7 9
0 7
8 7
3 7
1 14
> 1
— 1
1—1
>-2
— 1
1
1
2
3
7
9
—
= 7
4
4
4
4
1
- 2
-2
1
0
0
1
0 =
350
1 2-8
043
10 6 1
0-1-3
8-1-3
3-1-3
1-2-3
7 (-1L+3
-Ы -2
+ 2 - 5-
- 3
— 1
- 10
= 7(-70 +
1
1
1
2
1
1
1
2
3
1
10
-3
5 -
-5
=3
9) =
=
1 -3
-2 5
-2 —5
-3-2 =
-427.


'ГЛ. 1]
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
115
Определитель м
сумму двух onpeflej
согласно формулам
«11 «12 • • • а!П
«21 «22 • • • «2Л
«Л1 «Л2 • • • «лл
«"и
_|_ « '2
а"п
где «п == а^ + а^,
Произведение д
порядка может бь
определителя того я
«11 «12 •• • «1я
«21 «22 • • • «2л
.....
«л! «л2 • • • «лл
С]]
_ C~i\
сп
при этом элементы
мулам
СЦ = пп \j + «
_ ^
А
k-.
Определитель Ва
формуле
1 1 ... 1
•^1 *^2 • • • -^/i
29 9
у V V
Л1 -*2 •" ' -*л- =
г" JT" г"
Д j Л2 ... Хп
(х
п 1
Определитель Як
Определитель В
стр. 229.
Применение onpej
Система линейнь
«11 Х1 + «12 *S
«21 х\ + «22 *2
«Л1 *1 -1- «Л2 *
имеет решения, о
*1 = *2 = • ' • = *я
Л —
~~
составленный из к
В этом случае, по к
нений является след
ожет быть
штелей того
вида
«'и «13-
«'21 «22-
«'л! «Л2
Я]2. .. Д1Я
«?2 • • • «2л
I «Л2 • • • «ЛЛ
«12 = «12 + Ь
вух определи-
ть представл
<е порядка:
*ii *12 • • •
^21 ^2 • • •
^Л1 ^Л2 • • •
^12 • • • С\П
.^'Г/2" '
Oz2 • • • Слп
Cfj ВЫЧИСЛЯЮ
'2 J ~Ь • • • "Г"
л
? «/* V
=1
ндермонда вы
= (^j — лга) (х
_ х л /у _ _,
л л
оби (якобиан)
ронского (вр
целителей к
ix однородны
"Т" • • • "Т" «1л л
•\- . . . +• «2я .д
2 + • • • + «лл
тличные от
= 0, если
«11 «12 • • • «1Л
«2i «22- • • «2Л
«Л1 «Я2 • • • «лл
оэфициентов,
райней мере, с
1ствием други
эазложен на Система (п + 1) линеш
же порядка неизвестными вида
«и х\ + «12 х% -f- . . . -
• • «in «21 X] -}- а22 х% + . . . -
• • «2« , '
а&п\Хл -т" Л»о*-о ~ • . • "
flft П1 1 I П&Х& 1 "
/1~Ь 1, 1 1 ^^ п-|- 1,2
an-i-l,n^«-
совместна при соблюдении
Hj"9 И Т. Д. «11 «12 • • • «1Л
ге'лей одного а<л а™ • • • а^
ено в виде * .........
«Л1 «Л2 • • • «ЛЛ
Пп -f 1,1 «я + 1,2 '•• ап 4
*1Л
^2/7 «
а
^лл
а
Если коэфициенты а/у и
циями других неизвестных,
можно рассматривать как у]
тся по фор- вдееся после исключения i
неизвестных хг, л:г, . . . , хп.
Решение системы лш
«/я bnj — может быть представлено в
1. «ц хг -\- п]%у ~ Ь\,
«21 х\ ~Ь «22^ == Ь&
1 *! «i2
числяется по & &з «22
О 1 1
11 12_Х
«21 X "Т" «22^ '
J — *в)--. «31*-Ь«32^ +
«11 «12
с ) D = «21 «22
«31 «3J
см. стр. 157. ,
онскиан) см. 1 ,1 а™
> X = jj ^ «22
#3 «32
уравнениям j an bt
У ==~ — ^21 2
х уравнений D flgi ^
'л = 0,
-л = 0, 1 «п «1
2 = 7) fl21 Й2
ЛГЛ = 0 «31 «3
тривиального
определитель 3 . «п л:, + «12 ^2 + «и ^
«21 -*•! ~Н «22-^2 ~Ь «23 л;
«31 х\ + «32 ^2 ~Ь «33 -лг:
> «41 Х^ -)~ «40 ЛГ2 -J- «4з -f
«П «12 «
равен нулю. ?> = «21 «22 «
щно из урав- «31 «32 «
X. «41 «42 0
шх уравнений с п
f «!Л •*« = *1.
k а?„ дгл = #2'
- «ля *л = Ьп,
Х2
- я f 1
двух условий
*1
~~\ _ n
А
lffl "ft -L. 1
11 «12. . . «1„
2| «22 • • • «2л ф Q
Л1 «л2 • • • «ял
Ь; являются функ-
то первое условие
эавнение, получаю-
13 данной системы
1ейных уравнений
виде формул типа
Г) — «11 «12
«21 «22
. J. «И Ь\
D «21 Ь2
а г-Ь
13
я23 z = Ь2,
«8в*=*8,
«13
«23 t
! «33
«13
«23 '
«33
«13
«23 •
«33
2 bj
2 *а
з -Ь a14.jf4 = blt
3 + «24 Х4 = ^2»
3 + «34 Х4 ^=. ^3'
3 — Р «44 Х4 == 4>
18 «14
23 «24
33 «34 '
w «44


116
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
1
*'- D
1
*2= ?)
1
*3== D
1
*4= D
bl «12 «13 «14
#2 «22 «23 «24
fto floo «go «91
3 Oe • ОЭ u*
*4 «42 «43 «44
«И &1 «13 «14
«21 *2 «23 «24
«31 ^3 «33 «34
«41 &4 «43 «44
«11 «12 *1 «14
«21 «22 ^2 «24
«31 «S2 ^3 «34
«41 «42 *4 «44
«11 «12 «13 b\
«21 «22 «23 ^2
«31 «32 «33 *3
«41 «42 «43 &4
строки, положительны. Если определитель ра-
вен нулю, то квадратичная форма не отрица-
тельна, но может обращаться в нуль при от-
личных от нуля значениях хг,х2, . . . , хп.
Две квадратичные формы
2А(хг х2,..., xn)^anx2l + 2a]2xix2 +
4-...4-«лл^,
2В (хг, д:2,..., xn) = bnx^ + 2bl2XiX2 +
+ --'+Ьппх2п>
первая из которых знакоопределённа, могут
быть одним и тем же линейным преобразова-
нием переменных
*i = Wi 4- с]2^2 4- ... 4- с,пу„,
Х2 = СулУ! 4- C22JV2 4- • • • 4- С2„УП,
«^ ™ «• 1 * *• Е 1
Алгебраические уравнения
«о.У3 + «1 У2 4- «2.У 4- «з = °.
*о.У2 4- &i у + Ь2 = О
имеют общий корень при условии равенства
нулю их результата:
О а0
&0 bi
О 60
О 0
= 0.
Если коэфициенты ас, а1( . . . , ?2 являются
функциями неизвестной л:, то это условие яв-
ляется результатом исключения у из системы
уравнений
+ «2 С*) .У 4- «з С*) = О,
«о (
Результат исключения неизвестного у из
двух уравнений
апх* + а1Ъху -г а22^2 + ь\х + &аУ + с = О,
^п^2 + ^12-^ + ^22^2 + ^i-v+^aV 4- / = О
может быть представлен в виде уравнения
4- *!•* 4~ с' «]8X 4~ *2. «22.
О , вц-v2 4~ ^ 4/ с> Л12^ 4- ^
О , dltjfl + e^x-\-ft d^x -f
Квадратичная форма п переменных
2A
& .... xn)'=
i==i
• • • 4- a
приведены к виду, содержащему только ква-
драты новых переменных:
2А = А1У\ + A^yl + • •. -
2В = р1А1у21 + 1ъА2у1 + ...+ _ ..
Для этой цели следует найти корни рг,
Р2« • • • •» Рл (характеристические числа) так
называемого векового уравнения
«IIP- — Ьп «12Р — *12 • • • «1лР—*Ш
• *21 «22Р — *22 • • • «2 лР — *2л
u.-b
и последовательно решить п систем однород-
ных линейных уравнений
(«21
= 0.
4- («22 PA - &2fe) C2* 4- • • • 4-
4-
О
«22,
О
«22
= 0.
4- (а„2 |ift — &Л2) c2ft 4- •• • 4-
4- (^лл РА — *лл) fnk = °-
Отсюда, в случае простых кор-
ней векового уравнения, коэфи-
циенты c]ft, с^..., cak(k=^\1
2,..., л) определяются с точно-
стью до общего множителя, кото-
рый может быть выбран произволь-
ным. Все корни ц? действительны.
Если одна из квадратичных форм предва-
рительным линейным преобразованием уже
приведена к сумме квадратов, например
-f
*?+
4- *2 = У? 4-.У2 .
(ay = a/,-)
положительная, знакоопределённая (т. е. поло-
жительна при любых значениях переменных,
если они не все равны нулю), если её опре-
делитель
'«11
a2l
где у1 = Xi + 2.r2, Уъ — xz, то характеристиче-
ское уравнение принимает вид
«11 — Р «12
«21 «22 —
«1л
«Л1
«П2
I— P
= 0.
anl «л2 • • • апп
и все определители, которые получаются из
него последовательным удалением столбца и
Раскрыть определитель характеристическо-
го уравнения в достаточной мере трудно. По


ГЛ. I]
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
117
способу А. Н. Крылова, можно заменить по- Над комплексными числами можно произ-
следнее уравнение следующим эквивалентным: водить те же действия, что и над числами
действительными, в частности
ап alz...aln \
СВ1 С32 • • • С3л
/Ш /Л2 • • • /ЛЛ
-" fn2->fn
1
а — Ы
= 0,
раскрыть которое значительно легче. Здесь
^21 = anan -f ai2fl2i -h • • • 4-
Остальные формулы получаются последо-
вательной заменой коэфициентов b и с на с и d,
затем на d и е и т. д. до исчерпания.
Действия с комплексными числами. Рас-
смотрение многих математических вопросов
приводит к выражениям вида а -{- b У — 1 =
= а 4- bi, которые называются комплексными
числами и оказываются полезными для реше-
ния прикладных задач. Здесь а и Ъ — произволь-
ные положительные или отрицательные числа,
называемые соответственно действительной
(вещественной) частью и коэфициентом мнимой
части комплексного числа с = а -+- Ы.
а = Re с, b = 1т с, I ~ V ^1 ,
= -1, /л+ = _ /,
(л — целое число, в частности нуль).
Сумма двух комплексных чисел ct =
н с2 — а2 + ^2' имеет вид
Произведение комплексных
вляется по правилу
чисел соста-
Примеры.
C - 2i) + (-2 +0,5i) = 1 - 1,5/;
(з'_ 20 (-2 + 0,5i) = (-6 +1)+ A,5+ 4)/ = -5 + 5,5/.
Комплексные числа с = д 4- */ и tT= a — А/
называются сопряжёнными. Их произведение
есть существенное положительное число-норма
ее = (а + bi) (а •— Ы) — а? -\- b2 = \ с \2,
являющееся квадратом модуля каждого из них:
С1С2 \ =
Пример.
1,5/1 =
а\
а + Ы ~~ а? +
4- ^^
«2
____ г Г i
^ТГ= ±| |/ -
если
a + bi = + [у J l ^2T^F + a )-
если Ь < 0.
Комплексное число с = <••+• Н р^лно нулю
(комплексный нуль), если одновременно а = 6
и b = 0.
Из flj -f b\i = а2-|-#2/ следует Л] = b^ я2 — fr2.
Геометрически комплексное число a -f- Ы
изображается точкой С с координатами х = а
и _у = 6 на так называе-
мой комплексной плоскости у г'л
(фиг. 16). При этом
'С
= rcos
= г sin
Фиг. 16.
Угол 9 называется аргументом комплекс-
ного числа 9=аг§ (а-\-Ы) и имеет для дан-
ного числа бесчисленное множество значений,
отличающихся друг от друга на числа, крат-
ные 2я. Именно:
где и — любое целое число, а угол ср0—глав-
ное значение аргумента комплексного числа,
определяемое числами а н b однозначно.
Чтобы найти срп, следует предварительно ре-
шить уравнение tg <Ь = —. Оно имеет в интер-
вале (—• тс, + тс) два корня fyi и ф2, отличаю-
щиеся на тс один от другого. Из них только
один удовлетворяет одновременно уравнениям
г cos ф = а, г sin 6 = b. Этот корень и яв-
ляется значением ср0.
Пример.
arg 2 = 0+ 2ftit, arg
= — +
2
arg (-1) = it + 2ftic,
arg (-l +
arg l + i
--f 2Aic.
1,5'=2,5.
Тригонометрическое представление (нор-
мальный вид) комплексного числа
а -р ft/ = r (cos <p -f / sin tf)
удобно для умножения и деления комплексных


118
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
чисел, возведения их в степень и извлечения
из них корня.
T! (cos <?! 4- / sin ?!> r2 (cos cp2 4- / sin 92) =
= Г]Г2 [cos (ср, 4- <f2) + * sin (?! 4- <p2)j,
[r (cos cp 4-1 sin <p)]w = rn (cos /19 4- / sin щ)
(формула Муавра)
г, (cos ?1 4- / sin у,) _ /i
r2(cos?2 + /sin(F7) - 7^ [COS <* ~ ^ ~
~i sin Op,— «pa)],
n ,———— n,——————————————
I/ a 4- &/=]//• (cos <p 4- * sin cp) =
В последней формуле
арифмети-
ческое (положительное) значение корня л-й
степени из поло-
жительного числа
г = \ а -+- Ы\ =
Фиг. 17.
«р0—главное значе-
ние аргумента ком-
плексного числа;
k — числа О, 1,
2,..., п— 1, каж-
дому из которых
соответств ует одно
из значений корня
w-й степени из ком-
плексного числа.
Все значения у а+Ы располагаются симме-
трично на окружности радиуса v/r (фиг. 17).
Примеры.
— .
'sin——,
3 значения: 1,
V~J
2 значения: +
2
1 + I
+ i sin
2 fere
D значения: 1 + /, — 1 + i, — 1 — i, 1 — »').-
е™°-1
Более краткая запись тригонометрической
формы комплексного числа
а + Ы = re ^ или с = \с\ el arg *
основывается на формуле Эйлера
el<? = cos <р + * sin 9.
Точка, изображающая комплексное число
? ?, лежит на круге с радиусом, равным еди-
нице (фиг. 18).
Пример.
ъ
~ 1 .
Теорию функций комплексного аргумента
см. стр. 185.
Общие свойства уравнений. Алгебраи-
ческое уравнение л-й степени
а^п 4- avxn ~ 1 + а^сп ~ 2 + . . . 4- а„ = О
имеет п корней, которые могут быть поло-
жительными, отрицательными и комплексными
числами. Некоторые из них могут оказаться
равными друг другу. Такие корни называются
кратными. Если коэфициенты уравнения дей-
ствительные (положительные или отрицатель-
ные) числа, то уравнение имеет или столько
положительных корней, сколько перемен зна-
ков в ряде коэфициентов дг, д,, а2, . • • i я„, или
на чётное число меньше. Число отрицатель-
ных корней равно или на чётное число меньше
числа перемен знаков в ряде а0, — alt а9,
-в». ..,(-1L,.
Пример. Уравнение х* + 1,73 д-а + 2,17 х + 9,73 = О
не имеет положительных корней, а число отрицатель-
ных может быть или два или нуль, так как в ряду
1,0, 1,73, — 2, 17, 9,73 имеются две перемены знаков.
Комплексные корни уравнения с действи-
тельными коэфициентами попарно сопряжены.
Корни уравнения
имеют отрицательные действительные части,
в частности являются отрицательными дей-
ствительными числами, если при я0>-0 все
определители
С1л
Qf"\ »П /~\
32 аь
aQ 0 0 ...0
а2 а\ аО • • • 0
-1*2/, -2 •••••««
л» 0
а2 а^
а4 «з
положительны (теорема Гурвица). В этих опре-
делителях коэфициенты с номером, большим п,
следует положить равными нулю.
Для уравнений от второго до пятого по-
рядка эти условия приводятся к виду
л=2
> 0,
и как следствие:
а2 > 0 ;
> 0;


ГЛ. I]
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
119
а2>0, я3>0.
з — а0а3
— a aj>0,
a5>0.
Трансцендентное уравнение / (х) = О мо-
жет иметь бесконечное множество корней.
В частности, все они или часть их могут быть
комплексными числами. Если трансцендентная
функция при действительных х может прини-
мать только действительные значения, то все
комплексные корни попарно сопряжены.
Пример, Уравнение sh х = 0 имеет один действитель-
ный корень х =0 и бесконечное множество чисто
комплексных вида х= kni, где k — любое целое число.
Уравнение sin х = а (а — действительное число) имеет
бесконечное множество действительных корней при \а\-^,\
(см. стр. 134) и бесконечное множество комплексных вида
j- + 2fcrc +i In (a г ]/ са — l) (ft — любое число) при
«> 1.
Многочлен л-й степени, стоящий в левой
части алгебраического уравнения, может быть
представлен в виде
O,Q(X —
—Ху)... (X — Х„),
где
Хъ... , х„ — корни уравнения
CIQX" + aixn -1 + a?xn- 2 + . . . + а„ = О,
которые называются также корнями многочлена.
Коэфициенты уравнения и его корни свя-
заны соотношениями Вьетта
•*•! ~г -*2 I • • • г %п == ~»
«о
"т хп~2хп— 1хп — —
ч
а0
х — ( 1)" " •
Левая часть уравнения делится без остатка
на двучлен х — Xj, гделу—какой-либо из кор-
ней уравнения. Следовательно, если один из
корней уравнения известен, то отыскание
остальных сводится после такого деления к
решению уравнения на единицу меньшего по-
рядка. -
Пример. Уравнение х3 + хл + х + 1=0 имеет корень
х=— 1. Остальные корни уравнения получаются в ре-
зультате решения квадратного уравнения х3 + 1 = 0, так
как Xя + х3 4- х + 1 = (х + 1) (х3 + 1).
Если х = а —корень кратности k уравнения
/ (х) — 0 (алгебраического или трансцендент-
ного), то имеют место равенства
Чтобы найти кратные корни алгебраиче-
ского уравнения t (х) = О, следует составить
общий наибольший делитель многочленов
= aQx
1 + . . . -f an
Корнями общего наибольшего делителя /(х)
и /Ч*) являются кратные корни исходного
уравнения / (х) = 0, причём кратность их на
единицу меньше.
Пример. Уравнение / (х) = Xs — Ьдг4 + Эх3 — 9дг8 +
-I-8.*1 — 4 — 0 имеет двойной корень х—2, так как
наибольший делитель многочленов / (х) и /' (х) = 5л;* —
— 20*» + 27 х3 — 18х + 8 есть двучлен х—2.
Алгебраические уравнения второй, третьей
и четвёртой степени решаются посредством
конечного ряда арифметических и алгебраи-
ческих действий (в некоторых случаях с при-
менением тригонометрии) над коэфициентами
уравнений по готовым формулам в определён-
ном порядке (см. ниже). Уравнения степени
выше четвёртой в общем случае так решить
нельзя. Их приходится решать либо графиче-
ски (см. стр. 121) с последующим уточнением
корней (см. стр. 122), либо посредством метода
итераций (см. стр. 125) и метода Лобачевско-
го — Греффе (см. стр. 123). В этих случаях число
действий существенно зависит от степени точ-
ности, с которой желательно найти значения
корней уравнения. При решении уравнений сле-
дует иметь в виду, что их коэфициенты
являются чаще всего числами приближёнными.
Поэтому не следует искать значения корней
с большей точностью, чем заданы коэфициенты
уравнения. Уравнения третьей и четвёртой сте-
пени решаются приближёнными методами не-
редко проще, чем приёмами общего решения
этих уравнений, причём значения корней полу-
чаются с достаточной степенью точности. Об<
щих приёмов решения трансцендентных урав-
нений нет. Чаще всего грубые значения кор-
ней определяются графически (см. стр. 121)
и затем уточняются аналитически (см. стр. 122).
Корни некоторых трансцендентных уравнений
см. на стр. 129.
Формулы для корней алгебраических
уравнений
О,
— Ь±
— Ь± V »2-+-
При а>0, с>0
2 /-—
где sin cp = — у ас..
При я>0, с<0
а — сJ — (а + с)8
2а
х« = —. 1/ —
2 '
ctg-*-,
= , но
где tg ? = -г- У— ас.


120
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Квадратное уравнение л:2 -+- рх 4- q = О,
•42— 2 —
b - c -
*i + *2 = ——j-=— P* xix*-~a~~
Квадратное уравнение ах2 + 2b
——ОС
Если fc2 < 4ас (или соответственно р2 < 4</,
и'2 < ас), то корни являются сопряжёнными
комплексными числами.
На фиг. 19 показано решение квадратного
уравнения л2 -|- рх + q — О, /; = — 11,2, q = 2,7
(jCj = 3,5, л;2 = 7,7) посредством логарифмиче-
ской линейки, на движке которой имеется шкала
обратных величин (при отсутствии этой шкалы
у линейки её заменяет основная шкала движка
при опрокинутом положении последнего). Край-
нее деление движка совмещается с числом q
>
Ю9
\S
i i i i
В 7 6 5
4 5 t
i x, j
? >7H/b
1
2
Фиг. 19.
на основной (нижней) шкале линейки. Штрих
бегунка устанавливается так, чтобы при #>0
сумма, а при я<0 разность соответствующих
показаний шкал линейки и движка составили
число р. Эти показания и дают корни урав-
нения xl и лг2. Знаки корней определяются
на основании теорем Вьетта xi + xz= —р,
Кубическое уравнение ялг3 4- Ьх* -\- сх +
-\- а = 0, приводится к виду
'2q = О,
\__b_
3 а '
_уЗ +
если положить х — у—
причём
1 с
^ ' "Т ) ~~ ~6" ~fl2- +
2а '
Если Д=/?8 + 92>0 (положительный дис-
криминант), то последнее уравнение имеет один
действительный и два комплексных корня.
(« + ir)+/V(u-^
-сг- = 0,8660
Здесь м и v — действительные значения
кубических корней:
и = f/— q -I- УД, t; =
— У"Д.
Если Д = /?з _(_ ^2 <^ о, то все три корня
действительны и определяются формулами
Vj = 2У\р\ cos 9,
J2=2yj7[cos (9 + 120°),
Уз = 2 KIT! cos (9 - 120°),
где
1
= -^- arccos
Возвратное уравнение третьей степени
яд:3 + Ьх% -(- Ъх + а — 0 имеет корень х = — 1.
Два других корня являются корнями квадрат-
ного уравнения ах2 -(- (Ъ — а) х -\- а = 0.
Уравнение ах* -f Ьх* — Ъх — а = О имеет
корень х = + 1 и два корня, совпадающие
с корнями уравнения ах2 -j- (b + а) х + о, — 0.
Уравнение четвёртой степени х* -+- яд:8 +
-{-bx2-\-cx-\-d = 0 подстановкой х=у— -г при-
водится к виду у* + ру2 -J- #у +• г = 0. Корни
последнего уравнения имеют вид
где 2j, г2 и г3 — корни
степени (резольвенты)
23 + 2/?г2 + (р2 —
уравнения третьей
Квадратные корни "|/, 1/^, | выбира-
ются с такими знаками, чтобы удовлетворя-
лось равенство j/X |/"^2 ~\/~z% = q.
Биквадратное уравнение (в узком смысле
слова) адг4 + Ъхг 4- с = 0 имеет корни
. -+1/JI7T
, ,.9 = -4- I/ о I— О -
i>2 _i_ \ 2a \
Если б2 — 4дс << 0, то все корни являются
комплексными числами с одним и тем же мо-
дулем.
Возвратное уравнение четвёртой степени
ах\ _j_ bx3 -\- ex* + Ъх -}- а = 0 подстановкой
х +—— =у приводится к квадратному урав-
нению
a (jv2 — 2) + by + с = 0.
Формула Уиттекера для наимень-
шего по абсолютному значению действитель-
ного корня уравнения 0 = a -j- Ъх + сх% -f-
+ t/л:3 + CAT* -f ... имеет вид
_
J00 Во


ГЛ. Ij
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
121
где
В.=
Ъ с
ab
Ь с d e
abed
О а Ь с
О 0 а Ь
= с, с%
cd
be
и т. д.
cde
bed
ab с
и т. д.
Пример. 20 — 321 х — 4 лг" + х3 =- 0; а = 20, Ь =—321,
• — 4, d = 1.
ft с
В, = - 321, В3
bed
a b с
Oaft
1,0312 • 10s,
3,313 • 107.
337,
20
321
202 -4
-f •
321 • 1,0312 - 10'
20' • 337
1,0312 • 105 • 3,313 • 107 ^
+ . . . = 0,06231 — 0,000048 + 0,00000079^0,06226.
Ряд в формуле Уиттекера сходится быстро,
если отношение наименьшего по модулю корня
к ближайшему другому достаточно мало. Этого
можно достичь, если предварительно подвер-
гнуть уравнение двум-трём операциям квадри-
рования (см. стр. 123).
Графическое решение уравнений. Аб-
сциссы точек пересечения графика у = f(x)
с осью х определяют значения действительных
корней уравнения/(А") = 0.
Пример. Уравнение Xя — 4х* — 2х + 12 = 0 имеет
корни xt «. — 1,7, jra = 2,0, x9 м 3,7 (фиг. 20).
Если уравнение ал-
гебраическое, то чи-
сленное значение мно-
гочлена
f(x) = aQxn +
стоящего в левой ча-
сти уравнения, удобно
подсчитывать по схе-
ме Горнера (особенно
при пользовании лога-
рифмической линей-
кой):
Фиг. 20.
flg
„ t
п — 1
п-1
„-!
Пример. Определить значение
/(*)-= 8,34 х6 +12,84 дг4 — 3,15 ха + 5,26 *2+9r'13 х— 9,46
при х = — 1,28.
8,34
х = - 1,28
+ 12,84
-10,68
2,16
— 3,15
-2,76
-5,91
+ 5,26
+ 7,56
12,82
+ 9,13
- 16,41
- 7,28
- 9,46
+ У.32
- 0,14 —
= /(-1,28)
В некоторых случаях удобнее разбить ле-
вую часть уравнения на два слагаемых / (х) ==
— fi(*) -\-fa(x) и строить графики функций
У! =fi (х) и у2 = —/2 (х). Абсциссы точек их
пересечения определяют значения действи-
тельных корней уравнения f(х) = 0.
В случае квадратного уравнения х2 + рх-\-
= 0 удобно положить yl — х2 и _у2 =
= —px — q. Тогда одна и та же парабола
может быть использована для всех квадрат-
ных уравнений.
Точно так же абсциссы точек пересечения
параболы л-го порядка у — хп и прямой у =
= — (рх -f q) дают решения уравнения хп 4-
4- рх •}-• q = О, а с параболой второго поряд-
ка у = — (ал:2 Н- bx -f- с) — уравнения хп -f-
+ ал? -f Ъх + с = 0.
Пример. Уравнение дг5 — дг — 0,2 ='0 имеет три ве-
щественных корня xl = — 0,94; х3 — —0,20; х, = 1,04
(фиг. 21).
Аналогично реша-
ются уравнения типа
ех -f-
Пример. Уравнение 2 - 4дг имеет корни х ~
- 0,31 х - 4,00 (фиг. 22).
Подобный же приём можно употребить
для решения системы двух уравнений /г (х,у) =
= 0 и /2 (х,у) = 0 с двумя неизвестными х и у.
Координаты х и у точек пересечения кривых
/j (ху) =. О и /2 (ху) — 0 определяют соответ-
ствующие решения системы.
Если уравнения системы имеют вид
то соответствующие кривые являются кони-
ческими сечениями. Расположение их на плос-
кости можно опре-
делить при помо-
щи инвариантов
(см. стр. 204).
Пример, Системе
уравнений
= 21,(лг+ 7,2)(у+1,3)=2
соответствуют окруж-
ность радиуса V2i с
центром (х = — 3,5,
у = 2,7) и гипербола
с асимптотамиx= — 7,i
и у = —1,3. Дейст-
вительные решения
(фиг. 23):
хг = — 6,9, У! — + 5,9 и
Фиг. 23.
— 0,7,
— \ ,0.
Для графического решения квадратных и
кубических уравнений могут быть использо-


122
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
ваны номограммы (фиг. 24, 25). Криволиней-
ные шкалы номограмм определяются параме-
трическими уравнениями
и = —
t— 1
v —
(уравнение х2 -\- ах
= _ .*'~
5-
4-
3
2-
1-
0
-1
-2*
-з-
-4
-5
-6
-7
-8
•9-
•W
-77
п
<
о
с-
I/
,
3,5-
4~
а
' шк<
пря
- 5 (фи
4
• 3
, х
2 Х[
1 (фИ1
0 л3
г
3 г
4
• 5 Q
• 6
• 7
- 8
9 Ч
-17
прям<
1ЛЫ
мы ми
г. 26)
Пример
-3,7
= + 1,
-. 24, П
+ 3,7 j
(фи
фямые
' VI
^^
~С^-
Фи
ЭЛИН61
явля
U =
эы.
л: + 3 =
2, Х3 =
5ямая
с - 7,5
г. 24,
2а и 2
i
1Ш'
\ 2»
1 \
— f—
г. 26.
1ные
ются
±*
= 0,
= 2,5
0,
= 0,
ft).
Т
Tt
Фиг. 25.
л:2-(-7,7 х+ 1,5 = 0,
A-J = — 0,2, **= — 7,5 (фиг. 24, прямая 3),
ла _j_j, + 4=0 — комплексные корни (фиг. 24, пря-
мые 4а и 4Ь),
Xl = 0,78, х3 = 2,17, л-3 = - 2,95 (фиг. 25).
Знаки корней проще всего определять, подставляя их
со знаком плюс или минус в исходное уравнение.
Аналогичные номограммы могут быть по-
строены для уравнений вида хп -j- ахм + 6 = 0.
Построение номограмм более сложных урав-
нений см. стр. 271.
Решения, найденные графическим путём,
могут быть уточнены при помощи методов
Ньютона и ложного положения (см. ниже).
Отделение и уточнение корней уравне-
ний. Вычисляя значение левой части уравне-
ния / (х) = 0 для ряда последовательных зна-
чений х [полезно при этом строить график
функции y = f(x)], обычно не трудно бывает
найти два достаточно близких числа а и Ъ
такие, что f(a) и f (Ь) имеют разные знаки
(если только функция у = f(x) не окажется по-
ложительной или отрицательной для всех зна-
чений л:). Тогда между а п Ь лежит корень
уравнения/(л:). Если /(*) —трансцендентная
функция или отношение двух полиномов, то
между а и bt может вместо корня оказаться
точка разрыва непрерывности функции.
Вычисляя f(x) для значений л:, заключённых
между а и Ь, можно эти числа заменять ещё
более близкими, пока разность между ними
не станет меньше минимальной абсолютной
погрешности, с которой желательно опреде-
лить корень уравнения. Если f(x) — много-
член, то его значение удобно определять по
методу Горнера (см. стр. 121).
Вычисления приближённого значения корня
во многих случаях можно значительно сокра-
тить, если числа а1 и #', более близкие
к корню, чем а п Ь, определять, используя
формулу ложного положения (regula falsi —
замена кривой y=f(x) её хордой):
с — а —
(b-a)f(a)
= Ь~
(b-a)f(b)
/(*)-/(*)
и формулы Ньютона (замена кривой у — f (х)
её касательной)
A a
= 6 —
Яд)
/'(«)'
(а) и /"(а) имеют одинаковые знаки
(фиг. 27), то, вообще говоря, следует положить
IV
Фиг. 27.
А
Фиг. 28.
a'—di и Ь' = с, а в противном случае а'=с
и b' = rf2 (фиг. 28).
Часто оказывается полезным приме-
нять, не обращая внимания на знак f"(x),
ту из формул Ньютона, которая исходит из
наиболее близкого к корню числа а или Ь.


ГЛ. 1]
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
123
По числам а1 и Ъ' аналогично можно вычи-
слить числа а", Ь", затем ат, Ь"' и т. д., пока
желаемая близость таких чисел не будет до-
стигнута. Знаменатель в формулах Ньютона при
этих вычислениях можно оставлять неизменным,
т. е. f' (а) или f (ft) не менять соответственно
на f'(a'), /'(О,.-- или /'(*> /'(&"),-••
Указанный порядок вычислений всегда при-
водит к цели, если f'(x) не меняет знака на
интервале (ab), т. е. при я<;лг^&.
Пример. Дано уравнение / (х) = лг'-f 1,731 х3 + 5,62* +
+ ?,11=0. Найти корень, который заключён в интервале
- 1< .г < 0 [/(- 1)< 0 и / (О) > о].
Более тесные пределы, между которыми заключён
корень:
а = — 0,5, / (а) = - 0,39 и Ь = -0,4, /(&)= + 0,07.
Так как /"(лг) = бдг-t 3,462 > 0 при - 0,5 < х <— 0,4,
то следует принять
(b~a) /(a)
/(ft)
/'(ft)'
или соответственно в числах
0,1
а' = - 0,5 +
Ь' = — 0,4 —
0,48
0,07
Т7Т
0,39 = — 0,419 ,
= - 0,415.
Здесь 4,72 =/'(—0,4). т. е. значение f'(x) = Зл:2+
+ 3,462 х + 5,62 при л- = ft .
Последующие вычисления дают
e,ee/_.?lzi?!/J^e
/(*')•-/(«')
= - 0,419 + „ „,Q>00! ^ 0,02 = - 0,416,
Ь" = ft
Очевидно, что дальнейшие вычисления производить
не имеет смысла, так как значение корня нельзя опре-
делить с большей точностью, чем заданы коэфициенты
уравнения. Следует принять х = — 0,416.
Формулы Ньютона можно применять также
для уточнения комплексных корней уравнения,
однако соответствующие вычисления с ком-
плексными числами довольно громоздки.
Если х = XQ, у = Уо— приближённое реше-
ние системы уравнений/! (х,у) = 0, /2 (х,у) = О,
то во многих случаях более точным решением
является
хо
= Не-
-f vl j __ JT "' 4.
12 ду Jl ду
dfi У/2 4/1 C7/2
d.v ду ду дх
дх
дх ду ду дх
возможно обобщение формулы Ньютона и
на случай систем с большим числом неизвест-
ных.
Приближённое решение алгебраических
уравнений по методу Лобачевского—Греф-
фе. Идея метода Лобачевского заключается в
составлении уравнения, корни которого равны
достаточно высоким степеням корней данного
уравнения
Если умножить многочлен f (х) на много-
член^— !)"/(—х), т. е. на
ахп — вхп~1-\-ахп~2— 4- Г—1)па
и произведение приравнять нулю, заменив
в нём л2 на у, то получается уравнение вида
коэфициенты которого удобно вычислять по
схеме
аа а, аа а3 а4 а-л ...
23 2223
—а —а 4а —а +а —а
+2а0а4 -20
+2а0св —2в1«7 +
+2в0а8 -
ft,
Корни этого уравнения равны квадратам
корней исходного уравнения; повторение такой
же операции с новым уравнением приводит к
уравнению
c0*»+ ъг"-1 + с^п ~2 + . . . + сп = О,
корни которого равны уже четвёртым степе-
ням корней первоначального уравнения и т. д.
После нескольких подобных операций, назы-
ваемых квадрированием корней, некоторые
коэфициенты каждого последующего уравне-
ния оказываются (с принятой при вычислениях
точностью) равными квадратам соответству-
ющих коэфициентов каждого предшествую-
щего уравнения. При вычислениях с помощью
логарифмов логарифмы этих коэфициентов
оказываются в два раза большими логарифмов
соответствующих коэфициентов предыдущего
уравнения.
Если некоторые другие коэфициенты не
обнаруживают этого свойства при последова-
тельных квадрированиях, то исходное урав-
нение имеет либо кратные, либо комплексные
корни, либо и те и другие. Если уравнение не
имеет кратных корней, что можно обнаружить,
не решая уравнения, по наибольшему делите-
лю /(х) и t'(x) (см. стр. НУ), то коэфициенты,
изменяющиеся при квадрированиях беспорядоч-
ным образом, всегда оказываются расположен-
ными между коэфициентами, которые имеют
тенденцию возводиться в квадрат. Исключение
составляет случай квадрирования уравнения,
имеющего несколько пар комплексных корней
с равными модулями.
Обратное отношение модулей (абсолютных
значений) двух последовательных коэфициен-
тов уравнения
полученного после т квадрирований, при-
ближённо равно действительному корню ис-


124
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
ходного уравнения в степени 2'", если только
эти коэфициенты обнаружили указанное выше
свойство возводиться в квадрат. В частности,
если коэфициент Лд обнаружил это свойство,
то уравнение имеет действительный корень х
с модулем
Xi =
Знак корня Xi нетрудно определить, под-
ставляя его со знаками плюс или минус в ис-
ходное уравнение.
Если же какой-либо из коэфициентов ука-
занного свойства не обнаружил, то отношение
коэфициента, стоящего справа от него, к
коэфициенту, стоящему слева, приближённо
равно модулю комплексного корня (если только
уравнение не имеет равных или весьма близ-
ких действительных корней) в степени 2ОТ+1
(см. ниже). В частности, если таким коэфи-
циентом оказался Л.,, то уравнение имеет два
сопряжённых комплексных корня с квадратом
модуля.
2я*
При наличии у уравнения только одной пары
комплексных корней и + iv (только один из
коэфициентов изменяется при квадрированиях
беспорядочным образом) действительная часть
корней определяется из соотношения
— 1 = 2 и + хг + х2 4-
! —2
где xi, лг2,. . . , хп-2 — действительные корни
уравнения %*" + а\*^ ~ * -b ' ' ' + ап = 0.
находится по
Мнимая часть этих корней
очевидной формуле
При двух парах комплексных корней щ + iv^,
иа ± ^2 их действительные части находятся из
соотношений
«
„_i_2tti 2uz ,J_ , J_
——— —— 9 > 9 ' v ' v
an r* rl xi xi
Наконец, если имеется несколько (больше
двух) пар комплексных корней, то для того,
чтобы узнать действительную часть и какой-
либо пары с модулем г, следует сперва раз-
делить левую часть уравнения на трёхчлен
Х2 — 2 их + г2. Остаток от деления будет иметь
вид Р(и) x+Q(и), где Р(и) и Q(и) — много-
члены относительно переменной и. Затем нужно
найти общий делитель этих многочленов и
приравнять его нулю. Полученное в результате
уравнение и определит величину действитель-
ной части и корня с модулем г.
В случае наличия сопряжённых корней с
равными модулями следует произвести в урав-
нении замену неизвестной х на х' = х + а,
где а — соответственно подобранное положи-
тельное число. После этого модули корней
становятся различными, и квадрирование при-
водит к цели.
Изложенный метод квадрирования позволяет
находить и кратные корни уравнения, а также
близкие друг к другу действительные корни.
При наличии у уравнения пары таких корней
при последовательных квадрированиях один
из коэфициентов Л' последующего уравнения
оказывается приближённо равным половине
квадрата соответствующего коэфициента пре-
дыдущего уравнения, т. е.
Ig2.
Приближённое значение модулей этих кор-
ней равно корню степени 2т + 1 из отношения
коэфициентов, стоящих справа и слева от коэ-
фициента, обнаружившего только что указан-
ное свойство.
Дальнейшее уточнение значений корней
можно осуществить, например, методом Нью-
тона. Можно также в исходном уравнении
сделать замену переменного х на лг^2 -t ?, где
•*ij2 ~"~ общее приближённое значение близких
Друг к другу корней, полученное по методу
Лобачевского, а е — поправка, два значения
которой и отделяют корни один от другого.
При вычислениях можно пренебречь степе-
нями е выше второй и, следовательно, вычи-
слить е, решая соответствующее квадратное
уравнение.
Пример. Решить методом квадрирования уравнение
х* + 17 JT* + 270 дг3 + 1518 -Г3 4- 5489 х + 4225 = 0.
Пользуясь схемой на стр. 123, следует произвести вы-
числения, результаты которых сведены ниже в табл. 1.
Дальнейшие квадрирования, сверх приведённых в та-
блице, производить уже не имеет смысла. Так как при
квадрированиях имеют тенденцию возводить в квадрат
1-й, 3-й, 5-й, 6-й коэфициенты, то уравнение имеет две
пары комплексных корней с модулями
r\ = 169,0.
, rj = 24,76
Г32 _
1,008
2 0,4426
и один действительный с модулем
1,030
1,008'
Проверка—- = 4225;
= - 1,001.
г\ г\ *ъ = 169-0 • 24,76 • 1,001= 4247.
Должно быть г* г* I .г5 ! = —.
1 J i I On
Действительный корень отрицателен, так как все
коэфициенты исходного уравнения положительны. Веще-
ственные части комплексных корней определяются (см.
выше) из уравнений
2и,
+
2м, [ 2иа
— 17 + 1.001
_ 5489
4225*
= —8,000
и 1Д84н, + 8,010и5 - — 30,00,


ГЛ. I]
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
125
Таблица 1
Данное уравнение
2 я степень
4-я степень
8-я степень
16-я степень
х5
i
х
i
i
i
X4
I?
-з8з
251
- 6,зоо X ю«
6,454 X ю*
г,54° X ю3
- 2,37° X 1ов
1бЗЗ,2 X юв
i,63i X ю9
- 2,660 X Ю18
1,33° X ю18
1,331 X ю18
Xя
270
7,290 X ю4
- 5,i6i X ю*
1,098 X ю4
3,227 X ю4
1,041 X ю9
— о,259 X ю9
о,оз5 X ю»
o,8i66 X ю9
0,6668 X ю18
— 0,0026 X 10'8
о.оооб X Jo18
0,6648 X ю18
0,4420 X ю36
о.оооб X 1о3*
о.оооо X 1о3в
0,4426 X ю88
Xя
1518
- 2,304 X io«
3,964 X ю'
— о,144 X 10е
0,516 X 10"
— о,2ббз X 10"
1,иб X ю1»
— 0,009 X 1О"
0,8407 X ю1*
— о,7об8 X ю"
0,5189 X ю34
о.оооо X Ю84
— 0,1879 X ю'4
- 3,531 X и"
13,35 X ю"
- 0,000 X 10«
9,820 X »*•
X1
5489
3,013 X ю7
— 1,2830 X ю7
1,730 X го7
2,993 X ю14
0,184. X ю14
3,177 X ю14
1,009 X ю*
- 0,005 X ю39
1,004 X ю»
1,оо8 X ю58
— о,ооо X ю58
i.ooB X 10*
х°
4225
- i,785 X ю7
- i,785 X ю7
- 3,i86 X ю14
- 3,i86 X ю'4
— 1,015 X ю29
- 1,015 X 10»
— 1,030 X ю58
— 1,030 Xio58
откуда а! = — 5,032 и «2—— 2,963; мнимые части ком-
плексных корней определяются по формулам
K г
,=- г - и2= V
Напротив, для сравнительно больших (по
модулю) корней следует представить уравне-
ние в виде
- «=Т/Г24'76~2'963!1 " 4'024-
Окончательно
'И,99, >3D= — 2'963 ± '4,024.
л:5 = - 1,001.
Точные значения корней
jr1>2=-5± 12i, *3,4 = -3±4/, -г5=-1-
Вычисление корней уравнений посред-
ством итераций. Представляя алгебраическое
или трансцендентное уравнение в виде х = <р (•*)
и отправляясь от грубого приближённого значе-
ния корня х = х0 (полученного, например, гра-
фически), можно вычислить посредством так
называемых итераций числа
х' = у(х°), х" = ^(х>), х"' = ср (х"), . . .
Во многих случаях эти числа последова-
тельно приближаются друг к другу и тем самым
к точному значению корня и, следовательно,
могут быть приняты за его приближённое зна-
чение.
Для небольших по сравнению с другими
(по модулю) корней алгебраического уравне-
ния а0хп + а^х" ~ 1+- • •+ ап _ ^х + ап = 0 ите-
рации нередко приводят к цели, если уравне-
ние представить в виде
'л-1
и за исходное приближение взять XQ =
и пытаться исходить из соответствующего
другого грубого приближения.
Пример. Приближённое значение действительных
корней уравнения х*—х — 0,2=0 суть: jrt = — 1, ;г,= — 0,2,
хл = +1 (см. пример стр. 121, фиг. 21). Полагая <р (х) =
= — 0,2 + х6 и отправляясь от х* — — 0,2, нетрудно
получить
— 0,2 — 0,25 = — 0,20032,
= <р х 2 = — 0,2 — 0,20032е =—0,20032 и, следовательно,
ха = — 0,30032 - значение корня уравнения с точностью
до пятого знака. Если за исходное приближение взять в
этом случае х=+1, то итерации приводят к тому же
корню, а если исходить из значения х = — 1, то итерации
приводят к расходящейся последовательности чисел —1,
— 1,2, —2,68832, . . . Поэтому для этих приближённых зна-
чений следует пытаться получить сходящуюся последо-
вательность, вычисляя итерации по формуле <[> (л-) —
= /дг+0,2.
Для корня х1 •zn —1 получается
ri==* ( * l) =|/-
=-0,956,
*!=*
и тем же путём
= -0,956+0,2 = — 0,9456
—0,9438,
— 0,9425,
или какое-либо другое грубое приближение.
х* =—0,9422, х*1 = —0,94210.
Аналогично для корня хаяз +1
' f °\ 5/————
лг3=ф I JCgl —у +1+0,2 =1.037,
*3 = |/То37+0,2 = 1,0434
и тем же путём
дтГ=1,0445, х iv =1,04472.


126
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Таким образом действительные корни, точные до
пятого знака после запятой, суть
*!==— 0,94210, лга=—0,20032, дг3=+1,04472.
Оставшиеся два корня могут быть найдены решением
уравнения
лг5 — лг — 0,2 _
(х — xj (х — х.±) (х - х3) ~
х6 — х — 0,2
откуда
(х + 0,Ь4210) (х + 0,20032) (х — 1,04472)
= лта- 0,09770 х +1,01427 = О,
*45 = 0,04885 ±1,00592 I.
Метод итерации применим и для систем
уравнений, в частности для уравнений типа
х = <р C*jO, y =
Решение характеристического (веко-
вого) уравнения посредством матриц. Мно
гие задачи теории колебаний и теории устой-
чивости приводят к системе уравнений вида
(«П —
«12*2 Т" • ' • 4 «1„ Хп = О,
Х) Х2 + ' • '• + «2л *я = О
(«
где искомыми являются X (характеристическое
число) и отношения .*, : л:2 : . .. : .*„ (амплитуды).
Уравнение, определяющее X (характеристиче-
ское уравнение), имеет вид
?t\\—' л H|2 v* " *
&21 ^22 — " " *
«Я2 • • • «ЛЛ ~ Л
При условии я,у = л# это уравнение имеет л
действительных корней X], Х2, . . ., Х„.
Вычисление коэфициентов уравнения и
затем его корней уже при п = 5 требует очень
большой работы (см. стр. 116). То же отно-
сится к системам линейных уравнений для xt.
Л2, . . . , хп, которые получаются при последо-
вательной подстановке в исходные уравнения
значений Хь А2,...,?„. Поэтому во многих
случаях для той же цели имеет смысл восполь-
зоваться методом последовательных прибли-
жений (итераций), отправляясь от произволь-
ного, чаще всего подсказываемого обстоятель-
ствами самой задачи, отношения дГ] : лг2 : . . '. хп.
Для этого, представив уравнение в виде
«22*2
следует подставить в их правые части значе-
ния х-[, х2,... ,хп соответствующие этому
отношения, положив ,для определённости, на-
пример, хп = 1. При хл = 1 последнее уравне-
ние определяет первое приближение для А,
а частные от деления правых частей осталь-
ных уравнений на это значение X определяют
соответственно новые приближённые значения
для х^ лг2, • • • , хп. Подставляя их вновь
в правые части (опять считая хп — \), можно
вычислить следующее приближение и т. д.,
пока разница между двумя последовательными
приближениями не окажется в пределах точ-
ности вычислений. Предельное значение, най-
денное таким способом, соответствует наиболь-
шему корню характеристического уравнения.
В матричных обозначениях система рас-
смотренных уравнений имеет вид
где в правой части стоит произведение матриц
[«] =
«21 «22 • • • «2Л
«П2
причём матрица [л:] состоит из одного столбца.
Произведение этих матриц представляет собой
также матрицу с одним столбцом следующего
вида:
«11*1 -Ь «12*2 -Ь ..- 4- «1«*я
«21*1 + «22*2 + • • • + «2/Г*п
ах
Чтобы разделить матрицу на X, следует раз-
делить на это число все её элементы. Последо-
вательные приближения отношений л^ : х% :. . . :хп
при х„ = 1 представляются в форме матриц
Х2
причём
[X"] =
[«] [*']
где Х°, X', ... —значение последнего элемента
соответствующей матрицы [а] [дс], [а] [х1],...
Пример.
ВЗЯВ JTj = + 1, Хг.— —
довательно вычислить
[а]
I *— -^з ' **3 — — -^2 "• Х&-
о
Го = + 1, можно после-
[а]
[a] [x"\-
Г 2-1 01
» -1 2-1
L o-i ij
Г 1>Б 1
=2[-?J
Г 2-1 0-1
-h-'-:J
Г 1,667 -
= 3 —2,167
L 1 .
Г 2-1 ОТ |
- -1 2-1
L о -1 ij I
Г 1,737
= 3,167 -2,211
L i
Г IT Г 31
-1 = -4
L и L 2]
-хм,,.
Г 1,5 "I Г5-1
[-?J-[-rj
\=\'{x»},
' 1,657 И Г 5,500
-2,167 = —7
. 1 J L 3,167
1-х»,,'"]
J ' '
1


ГЛ. I]
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
и т. д. Дальнейшие вычисления дают для X значения
X'" = 3,211, X1V = 3,230, Xv =3,233, а для л", : лг2 : х3 - от-
ношения 1,770 : — 2,230 : 1, 1,787 : -2,238 : 1,
1,795 : — 2,24? • 1.
Таким образом Х = 3,24 и хг : хл : лг,^;1,80 : — 2,24 : 1.
Отыскание следующего корня характери-
стического уравнения и ему соответствующих
отношений Xi :х^:...:хп производится анало-
гичным образом после исключения какого-либо
неизвестного из исходных уравнений. Исклю-
чение совершается посредством соотношения
ортогональности:
За вторые — соответственно выражения
* I
1 ~Г
I * П
"Г хп *я = U'
где xi х2 , . . . , хп — значения неизвестных для
уже найденного корня X. Уравнение, содержа-
щее в левой части исключаемое неизвестное
(например, Х.^, при исключении х{), при этом
отбрасывается. После определения нового
корня и соответственно новых отношений
** ** ** ,
jfj : х2 : . . . : хп (исключенное неизвестное
определяется из условия ортогональности)
следует исключить ещё одно неизвестное.
Для этой цели используется совместно с пер-
вым второе условие ортогональности
X
1 •*!
l/n f\,cy
+
ХП Хп =
и отбрасываются уже два уравнения и т. д.,
пока не будут найдены все корни X.
Решение системы линейных уравнений
по способу итераций. Система линейных
уравнений
«1л*п =
+ «22*2 + «23*3 +
Ящ*1 + «„2*2
представляется в виде
4- ПППХП —
*1 —
JCo •— "•
*я-
*°2
«И «И
*2 «'Л
———— • —— ' ———— ^Л ~~
«22 «22
«лл «лл
«13 „
*3
«11
«23
— ———— иГо —— • • •
«22
«Л2 ' v
*2 ' ' ' '
«Ля
«in „
Ад,
«11
«"л
———————— Д^ ^
«22
За первоначальные приближённые значения
принимаются
X, = -
Хг, = ——
За первые поправки к ним — выражения
'12 "
11
ля-1 ,
а
и
л-1
и т. д., пока поправки не окажутся в пределах
погрешности вычислений или исходных дан-
ных. Искомые неизвестные находятся по фор-
мулам
хч = x + Ъ + o-f •••,
Пример. Система
3,00 х, + 0,15 х3 - 0,09 х3 — 6,00,
0,08 х, + 4,00 ха — 0,16 х, = 12,00,
0,05 хг — 0,30 х3 + 5,00 х3 = 20,00,
приводится к виду
лг, = 2 — 0,05 ха + 0.03 xs,
х2 = 3 — 0,02 л-, + 0,04 xs,
Х3 = 4 — 0,01 Xi + О.С6 xa.
За первоначальные приближения принимаем .^=2,
х 2 = 3, .rg = 4.
Первые поправки
й|= —0,05 • 3 + 0,03 • 4 = — 0,03,
82 = — 0,02 • 2 + 0,04 • 4 = + 0,12,
b'3 = — 0,01 • 2 + 0,06 -3 = 4- 0,16;
вторые и третьи поправки
5j'= — 0,05 - (+0,12)+ 0,03 • (+0,16) = — 0,0012,
т
6, = — 0,0001,
82= —0,02 • (—0,03)+ 0,04 - (+0,16) = + 0,0070,
82'= + 0,0003,
6д = - 0,01 • (- 0,03) + 0,06 • (+ 0,12) =+0,0075,
8^= + 0,0004.
Таким образом,
Xl = 2 — 0,03 — 0,0012 — 0,ООЭ1 = 1,9687, '
х2=3 + 0,12 + 0,0070 + 0,0003 = 3,1273,
Х3 = 4 + 0,16 + 0,0075 + 0,0004 = 4,1679.
Описанный процесс сходится, если коэфи-
циенты с одинаковыми индексами, т. е. аи»
а22, • •, апп, достаточно велики по сравнению
с другими коэфициентами (достаточно, чтобы
каждый в своём ряду по модулю был бы больше
суммы модулей остальных коэфициентрв). В не-
которых случаях этого можно достичь измене-
нием порядка расположения уравнений и не-
известных.
Пример. Перед итерированием систему
0,017 х + 8,64 у — 1,073 z + 0,432 а = 53,4,
0,792 х + 1,351 у + 0,421 г + 5,732 и = — 14,4,
— 0,223 х — 0.018.У + 6,75 z + 0,992 и = 67,7,
15,63 х + 0,301 у - 0,73! z + 1,250 и =110,3
следует расположить в виде:
8,64 Xi + 0,017 xt - 1,073 Х3 + 0,432 xt = 53,4, -
0,301 xl + 15,63 Хх — 0,731 х3 + 1,250 xt = 110,3,
— 0,018 ^j - 0,223 xt + 6,75 х3 + 0;992 х4 = 67,7,
1,351 xl + 0,792 д:2 + 0,421 ха + 5,732 xt = - 14Л
где Xi =*у, х3 — х, ха — г, х4 = и.


128
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Если в системе среди коэфициентов при
неизвестных встречаются и положительные и
отрицательные числа, то можно улучшить
сходимость процесса итерации (а в некоторых
случаях просто сделать его возможным), за-
меняя отдельные уравнения алгебраической
суммой нескольких других. Алгебраическая
сумма составляется с таким расчётом, чтобы
коэфициенты у неизвестного того же номера,
что и заменяемое уравнение, были одного
знака (приём А. Н. Крылова).
Пример. Второе уравнение в системе
6* +у + z = l,
— 5х ~5у + 4z = 2,
следует заменить суммой всех трёх уравнений, взяв
последнее уравнение с обратными знаками.
Точно так же иногда удаётся подходящей
заменой неизвестных значительно улучшить
сходимость процесса итерации.
Обобщением изложенного способа является
приём приближённого решения системы линей-
ных алгебраических уравнений, предложенный
А. И. Некрасовым. Коэфициенты системы пред-
ставляются в виде fljj + <xn, я12 + а12, • • -, где
ап» Я12»' ' ' являются округлениями исходных
коэфициентов дп, а12 • • • Вследствие этого ре-
шение вспомогательной системы
где cn, Cjo- • • — числа, определяемые коэфи-
циентами а°и, oJ2,--- (см. стр. 115). Числа х\,
х2,- • • принимаются за начальное приближе-
ние к точному решению системы. Первые по-
правки к ним определяются по формулам
51 =— *11 (all *l + 012*2+ •••) —
+ «22*2 ~Ь •••)—•••
nxl + «12*2 + •") ~
Далее — по формулам
0.1 = —СЦ («ц & 1 + «1
— С11 (а21 ^1 "t~ а22 ^2
— С21(а21
«22 ^2 + •••)—
определяются вторые поправки и т. д., пока
в случае сходимости процесса поправки не
окажутся в пределах точности вычислений.
Решение системы линейных уравнений
последовательными исключениями (упро-
щённый алгоритм Гаусса}. Способ Гаусса
заключается в последовательном исключении
из уравнения одного неизвестного за другим
в строго определённом порядке. В отличие от
способа итерации этот способ всегда приводит
к цели. Однако случайная ошибка, сделанная
в начале вычислений, делает все вычисления
ошибочными. Поэтому контроль вычислений
играет в способе Гаусса особенно большую
роль. Перед началом вычислений лучше всего
расположить уравнения и неизвестные так,
чтобы коэфициент при первом неизвестном
в первом уравнении имел наибольшую вели-
чину по сравнению с другими коэфициентами
(если некоторые коэфициенты в каком-либо
из уравнений равны нулю, то следует поме-
стить такие уравнения на первое место). Далее
первое уравнение делится на коэфициент при
первом неизвестном, умножается поочерёдно
на коэфициенты при том же неизвестном в
других уравнениях и соответственно вычи-
тается из них. В результате первое неизве-
стное оказывается исключённым. Для контроля
те же операции производятся над суммами
коэфициентов соответствующих уравнений и
результаты сравниваются с суммами коэфи-
циентов вновь образованных уравнений. В эти
суммы можно включить свободные члены урав-
нений, если они имеют тот же порядок.
Пример. Порядок замен исключения неизвестного xl
при решении системы
(I) 0ц .*, + а|2лг2 + «13 ^з + *i =0,
(II) a<2i *\ + «22 х* + «23 х» + Ь* = °.
(III) о31 •*! + °32 хз + «33 *з + Ьа = О,
(IV) а41 •*» + Я42 х* + «43 •*» + 6« — °
приведён в табл. 2 (см. стр. 129).
Если требуемая точность допускает поль-
зование логарифмической линейкой, то опре-
деление коэфициентов уравнений (I"), (Г"), (Ilv)
особенно просто. Если, например, установить
деление движка, соответствующее коэфициенту
а-и, против деления a2i на идентичной шкале
о „ . " " "
самой линейки, то коэфициенты а,2, «13. о-ц ,
&" читаются на шкале линейки против деле-
ний, соответствующих числам а15, а^, #14. *i
на шкале движка. В случае необходимости
движок перебрасывается вправо или влево на
длину его шкалы, как это делается при умно-
жении чисел.
Уравнения B), C) и D) неизвестного хг не
содержат и имеют вид
= О,
Перед исключением подобным же образом
следующего неизвестного иногда полезно бы-
вает изменить порядок неизвестных вновь
полученных уравнений так, чтобы на первом
месте стоял наибольший из их коэфициентов.
После исключения предпоследнего неизвест-
ного получается одно уравнение с одним не-
известным, откуда это последнее неизвестное
и определяется. Остальные поочерёдно исклю-
чавшиеся неизвестные определяются в обрат-
ном порядке из уравнений с первым коэфи-
циентом, равным единице.
Пример. Неизвестное jr, определяется в предыду-
щем примере (см. табл. 2, стр. 129) из уравнения (Г)
•*1+а1!/-*г2 + «1з'*з+«и'*4+ V =0 (вц' = 1).
Вычисления, связанные с решением линей-
ных уравнений, следует производить с повы-
шенной точностью по сравнению с точностью
задания коэфициентов, чтобы избежать нако-


ГЛ. I]
АЛГЕБРА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
129
Таблица 2
ш v
«I
>J X
I
г
II
I"
B)
III
I'"
C)
IV
,,v
D)
Операция
(I) : а =Г
(I') a. —(I)"
(II) - (I") = B)
(I')c31=(Iw)
(III) — (I'") = C)
(.-K,=U<v)
(IV)-d")=D)
ДГ, .
«11
a' -1
и
a — 1 -a
11 ^i
с
«SI
Iff
a — l-ati
а
0
«41
»:r =">•.
0
-Га
«12
a' = ——
is an
«22
a = a o.
12 12 ai
ff =o — a
2.! 23 13
a3,
a =a aSi
12 12
12
«43
IV '
П =flS fl!41
13 12
. IV
C42= «42 — «
12
•*3
«13
a' - a'3
13 au
«23
// '
a =a a
13 13 21
II
Суз = ая — а
•a
«33
т '
a =a a31
13 13
III
«4»
alv =a a4,
13 13
с4,=аа-а^
13
l
ДГ4
«14
a' - a'4
14 «и
«24
a =a a».
U 14
C24 = a34 — a"
«3!
a —a a3l
14 14
in
с 3i= <x,4 —a
«44
Л ^: Й! fl[41
U 14
<44-fll4-«1V
14
ft
*1
ь' - bl
i an
b,
и
d$=b3 — b
ba
т i
b —b a31
i i
от
d3 = b3 - b
1
bt
1 1 41
dt = b<-biv
1
KJ
г
г
и
•У!
'
i
S*
rr
S
i
',
'*
^4
1
Ч'
Примечание
s' -——
i an
*> a t*^
/, = A — *"
от '
s =s a31
i i
т
ta=s3 - s
1
IV '
/4=*-*Л
пления ошибок от самих вычислений. Так как
вычисленные значения неизвестных имеют
погрешность, большую, чем исходные данные,
то их надлежит соответствующим образом
округлить.
Пример. Решение системы
354,7 х, + 58 х3 + 144 х3 + 42 х4 - 261 =0
58 XL + 17 х3 + 18 лг3 + 6 дг4- 67,5=0
144 х, + 18 дг2 ч- 72 х3 + 18 xt — 81 =0
г4 - 27=0
Таблица 3
приведено в табл. 3.
Из уравнений, отмеченных звёздочками, следует
(****) х4 = — 0,340.
(***) ха = — 0,0326 *4 - 0,7029 = - 0,692,
(**) х3 = + 0,7380 х3 + 0,1155лг4 - 3,3026 = 2,753,
(*) jtj = — 0,16352 х, — 0,40598 xa - 0,11841 xt +
+ 0,73583 =+ 0,607.
Существуют более краткие схемы вычисле-
ний, использующие, в частности, симметрию
коэфициентов а у = а^ многих систем, встре-
чающихся в практике. Однако контроль вы-
числений по этим схемам производится с мень-
шей чёткостью, чем в описанной выше.
Действительные корни некоторых транс-
цендентных уравнений
1. tg х = х,
XQ = 0, х1 = 4,4934, хг = 7,7253,
д:3 = 10,9041, ^4 = 14,0662, лг5 = 17,2208;
при л>5
Xi
3.54,7
i
58
58
0
144
144
о
42
42
о
ха
58
0,16353
i?
9,484
7.516
i8
23,547
— 5,547
6
6,868
— 0,868
7,5i6
1 I
- 5,547
- 5,547
о
-о,868
— о,868
0
*;;-.*
*3
144
0,40598
i8
23,547
— 5,547
72
58,460
i3,54o
18
17,051
о,949
— 5,547
— 0,7380
13,540
4,094
9,446
о,949
0,641
0,308
9>44б
i
0,308
0,308
0
***#
XL
42
0,11841
6
6,868
— 0,868
18
17,051
0,949
7,5
4,973
2,527
—0,868
— 0,1155
о,949
0,641
0,308
2,527
0,100
2,427
0,308
0,0326
2,427
0,010
2,417
I
Свобод-
ные
члены
—— 26l
о,7358з
— 67,5
— 42,678
— 24,822
— 8i
— 105,960
24,960
- 27
— 30,905
3,905
— 24,822
3,3026
24,960
18,320
6,640
3,905
2,^07
1,038
6,640
0,7029
1,038
0,2l6
0,822
0,340
Суммы
337,7
0,95208
31,5
55,221
- 23,721
171
137,098
33,902
46,5
39,987
6,5^7
- 23,721
3,i56i
33,9°2
17,508
i6,394
6,513
2,740
3,773
i6,394
i,7355
3,773
о,534
3,239
1,340
Про-
верка
i
0,95207
55,221
- 23,721
137,1оо
33,902
-39,98?
6,517
3,1561
17,507
16,394
2,739
3,773
1,7355
0,535
3,239
1,34°


МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
2. х tg x = а.
Зна1
Наи
1,00
о,86
16НИ
мен[
L50
0,99
епар
>ший
2,00
1,о8
аметр
коре
3,°°
1,19
а а
нь .
4,«
1,2(
о
о
э
,01
,10
5,«
1,3
о
о
3
[
,ю
,31
ю,<
1,4.
о
о
э
J
,3о
,52
30,
1,5
0
о
0
г
,50
,65
IOC
i,5«
о
о
>8
,70 0,90
75 |*,8=
а •» оо
1C
Х~*~2~
3. ел: Ctg ах — ot ctg а.
Значение
параметра
а
Наимень-
ший корень
уравнения
1C
~6~
8,<
30°
32
Я
4,
6о°
38
1C
a
3,
*
оо
21С
2
130°
36
5*
6
2
150°
07
«
а
-
,оо
4. igx= Ihx.
XQ = 0, JCj = 3,927, х2 = 7,069,
= 10,210, х4 = 13,352, дгб = 16,493;
5
при л>5
х„ я^ 16,493 + -к (п — 5).
5. tg л; = — th л;
л:0 = 0,
при и>2
;
= 2,365, х2 = 5,498;
хп « 5,498 + * (я — 2).
6. cos л: ch л: = 1
= 0, *! = 4,7300, х2 = 7,8532, л:3 = 10,9956;
при п>3
при п
7. cos .* ch л: = — 1
Xl = 1,8751, л:2 = 4,6941,
jc8 = 7,8548, д-4 = 10,9955;
8. У(
k
1,2
3,0
9. У
k
1,3
1.5
2,0
)(x)YQ(kx
*i
I5,701
6,270
3,123
i(*)Yi(k*
x,
15-728
6,322
3,197
) — J0(to]
X,
31,413
12,560
6,273
0-4(**,
x,
31-426
12,586
6,312
YQ(X) =
X3
47,123
18,846
9,418
) П (x) =
X,
Ж»?
9,444
Э
xt
62,830
25,129
12,561
0"
xt
62,837
25,143
12,581
10. /J0 (х) Л Aх) — JQ Aх) У! (х) = О,
jc0 — о, jcj = 3,1961, х2 = 6,3064,
хз = 9,4395, х4 = 12,577, д:5 = 15,716.
11. /У! (л:) У2 (/,v) — J^ (ix) У2 (л:) = О,
Jf0 = 0, Jf! = 0, jca = 4,6110,
д. __ 7 7963 jc = 10 958 лг __ 14 1
9,1967, л:5= 12,402, хв = 15,579.
13. U
*0 = 0, X! = Q, лг2 = 0, xs = 0,
х4 = 7,1433, хъ = 10,537, лгб = 13,795.
л-0 = 0, ATj = 2,0694, *2 = 5,3958.
Нули функций Бесселя см. на стр. 94.
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ *
Тригонометрические функции
Тригонометрические, или круговые, функ-
ции sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x
являются простейшими периодическими транс-
цендентными функциями.
Для действительных значений аргумента х
они могут быть определены геометрически,
при помощи круга
и соответствую- к
щим образом по-
строенных отрез-
ков (фиг. 29). При
радиусе круга.рав-
ном единице, аргу-
мент х предста-
вляет собой длину
дуги AM, а упомя-
нутые функции —
соответственно дли-
ны отрезков РМ, фиг 29
OP, AN, BK, ON
и О/С, взятые со
знаками + или — в зависимости от располо-
жения отрезков в круге.
Другое представление аргумента х—уд-
военная площадь сектора АОМ (ср. геометри-
ческое определение гиперболических функций,
стр. 135).
Длина дуги AM является (при О А = 1)
мерой в радианах центрального угла АОМ,
который может быть выражен и в градусах.
Поэтому при решении геометрических задач
за аргумент тригонометрических функций
чаще всего принимается величина централь-
ного угла АОМ, выраженная в градусах
(Г = 60', 1' = 60").
Один градус (Г) соответствует 0,1745 ра-
диана, 180" — тс радиан, 1 радиан — 57°17'45",
одна минута соответствует 0,000291 радиана,
0,001 радиана—3,44'. См. также табл. VII я VIII
стр. 41 и 86. , •
а°
х
0°
0
90°
it
2
I8o°
К
270'
3*
•л
Збо°
2гс
* Литературу см. на стр. 320


гл. ц
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Таблица 4
а°
х
sin а
cos а
tg а
Ctg а
0°
о
о
I
о
оо
15°
12
ГГ(>Т i)
4
!?ОТ+0
.-УГ
.+vr
о, 26180
0,25882
о,9б593
0,26795
3.73205
30
те
Т"
I
I
I _
VgT
0,52360
0,5000
0,86603
0,57735
1,73205
4J
п
4
I _
2
Т"Г
I
I
)
0,78540
0,70711
0,70711
1,00000
1,ООООО
6с
1C
3
-vr
I
a
•т
т т
1,04720
о,8ббо3
О.5ОООО
1,73205
0,57735
75°
5"
12
— (/-+«)
4
f<T->
2 ~т~ гЧ
2 — г^Ч
1,30900
0,96593
0,25883
3,73305
0,36795
90°
я
3
I
0"
00
о
В табл. VIII (стр. 86) даны значения функ-
ций sin x, cos x, tg x для х <; 10,00.
6 табл. VII (стр. 41) даны значения функций
sin a, COS о, tga, ctg a, lg sin a, lg COS о и Ig tg о
для а<90°00',
sin a = cos (90е —a), sin D5°+а) = cos D5°—a),
tg а = ctg (90° — a), tg D5° -f «) = Ctg D5° — а).
При a>90° f a]>-К-7С J следует пользо-
ваться формулами приведения:
sin a = cos (a — 90°) = sin A80° — a) =
= — cos B70° — a) = — sin C60° — a),
cos a = — sin (a — 90°) = — cos A80° — «) =
= — sin B70° — a) = cos C60° — a),
tg a = — Ctg (a — 90°) = — tg A80* — a) =
= ctg B70° — a) = — tg C60° — a),
Ctg a = — tg (a — 90°) = — Ctg A80° — a) =
= tg B70° — o) = — Ctg C60° — a).
Прамер.
sin 255" = - cos B70* - 255°):
cos 15° = - 0,96593.
Для о > 360° (x > 2 те) следует использовать
свойство периодичности тригонометрических
функций (k — любое целое число):
Sin a = Sin (a — k 360°), COS a = COS (a — k 360°),
tga=tg(a-*180c).
Пример.
cos 825° = cos (825° - 2 • 360") =
= cos 105» == - cos A80° — 105°) = - cos 75° = — 0,2588.
Функция cos x — чётная, функции sin x,
tg x, ctg x— нечётные, т. е.
cos (— x) = cos x, sin (—x ) = — sin x,
tg (—.*) = — tg x. clg(—*)= —ctgx
При всех действительных значениях аргу-
мента функции sin л: и cos л: непрерывны, их
значения заключены в промежутке (—1, + 1).
Функция sin x принимает попеременно зна-
чения -f-1 и—1, а функции cos л: и ctg x обра-
щаются в нуль при х = -у, 3 -у, 5 -х-. • • • (т. е.
при a = 90°, 270Э, 450°, 630°,...).
Функции sin л: и tgA: обращаются в нуль,
а функция cos x принимает попеременно зна-
У
Фиг. 30.
чения -Ь1 и —1 при х = 0, те, 2те, Зте,...
(т. е. при а = 0°, 180°, 360е,...).
Функции tg x и ctg x имеют разрывы непре-
рывности второго рода (см. стр. 148), причём:
•гс Зте 5 те
если ЛГ = у-2'. "• • • • то
tg (х - 0) = + оо, tg (x + 0) = — оо.
При х = 0, те, 2те,... имеет место
ctg (х — 0) = — оо, ctg (x + 0) = + оо. .
У,
Фи . 31.
Графики тригонометрических функций даны
на фиг. 30, 31 и 32.
Кривые графиков функций sin x и cos x от-
личаются друг от друга лишь расположением
относительно оси ординат, так как
cos х = sin (-х- -+- х \.


132
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
*)==
::::::::::$?::
----- ----- -«»•-
ЕЁЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ
:::Ж;::^г:
j U ?
. ' «^
-- ЗГ - ;/--__ *Ч-
--т7/---г~ — 2
---^-----fj----
~2 - ----- -----
::::::::•: ?:^3
;— ---;2гИ-Л
:::::^$:::
:E::EEE=:;i*cE
Ь:!;1ш
:::^::В:::::Э
::::::^Й::::=:й
.__.? ..»о\.г-__. Д/<
___.?. __|_ -?____ Сас
ЕЕЕЕЕ1ЕЕЕ1Ш
::::::::::S;^2 +
^:Br:::-^?-^|
i *^ К
::::::::з^:::;Ц:
-_-^г-._г':.4
.__-. Ё,.,Д^.__.
.$u. 2. 1TI ^'\-- ——
—— 2?g-SH .^_;._.
 + --Ов——--D5**Я)-
'
^-----------н--~-
Фиг. 32
^...J
^Г"
-_,!__
Ч&--
Y9H
""• 2!
-2. -_
4*
• g-"l
^ *
*
Г/
--2-
?-
--^v*
г- О> ^
Е===;
»:|
--ft
_--Ш
f^
!~ ч
Ч
^|(-
^:
*f
. ^L _ . . . _
|n:"---
Йт'р'я *
^
s,
§
1
* А
"-:;!;
лаг::::
:#:::::
^ '
* ^
...5«...
?-_...__
^-------
=^-==
[ 1 1 1 1 i i ( удобны для приближённого
-.--__- представления функций sin x
-_.-т__ и cos л: при малых значе-
^; . 5 - - - ниях х.
-^.--Ъ, Для представления \gz и
_:i.:; ctg^ можно пользоваться
___ ._: рядами:
— — -\ 23 2 5JL
Г?И: 17 ' '5
-л 1 -г? 1
у 0 1 0
^
_ _.у _ / ТГ\
__-.л<» (сходится при \г\<^.-7г),
s,------ V ^ '
life:: i п
:::!?ц:: Ct22 г \зг
SSl 3 ! 2 s I
-:pfrr
__-_-_3 (сходится при г <7г).
_..__,. Для подсчёта значений
1 1 1 1 1 1 ' действительной и мнимой
частей функций sin z и cos z
следует пользоваться фор-
мулами:
Функции sin x и cos х связаны соотношением
sin2.* + cos3 л: = 1.
Остальные функции выражаются через sin x
HCOSJC рациональным образом:
cos x 1
cos ж
1
cos x''
cosec д: =
sin д:
1
sin x'
sin г = sin x ch у -j- / cos x sh y,
cos г = cos xchy — i sin л: sh _y
Значения гиперболических функций shy
и cby см. табл. VIII, стр. 83.
Функции sin x и cos л1 связаны с показа-
тельной функцией и с гиперболическими функ-
циями соотношениями:
Функции sec x и cosec x в настоящее время
почти не употребляются.
В формулах
sin х = У]. — cos2 * = -
cos x ==V\ — sin2 x =
1
ix _ j'
sin x = -.-. к" —
cos х = -^г
1
= ch ix,
знаки перед радикалами следует брать -j-
или — в соответствии со знаком тригономе-
трической функции при данном значении ар-
гумента (см. схему).
Промежуток
изменения ар-
гумента
Знак функции
sin x (и cosec дг)
Знак функции
cos л: (и sec x)
Знак функции
igx (и ctgA-) .
1L
0, — -
2
(о°, 90°)
+
+
+
тс
—— 1 те
2
(до0, i8oc)
+
—
—
«,^
2
(i8o°,270°)
—
—
+
311
2Л
2 '
B70°, збо'')
—
+
—
sin ix = / sh x, cos Ix = ch л,
tg ix — i th x, ctg /* = — i cth дг.
Нижеследующие формулы преобразований
тригонометрических функций справедливы как
для действительных, так и для комплексных
значений аргументов.
Функции суммы и разности
Sin (а + р) — Sill а COS p + COS а Sin .3,
sin (а — g) = sin а cos Э — cos а sin 3.
COS (а + g) = COS а COS P — Sin а Sin 8,
cos (а — P) = cos a cos 3 -}- sin a sin J3,
Функции sin z и cos 2-, где z — x + iy — ком-
плексный аргумент, определяются аналитически
посредством рядов:
Z3 .25 г7
г» z4 26
cos г — 1 — 2 j -t- ?-| — g-j -f- • • -,
сходящихся для любых значений аргумента
(в частности, и для действительных). Эти ряды
_
1-tgatgp-tgptgY
Пример.
(— + 8 J= sin -^- cos 5 -f- cos -^- sin 8
• - VT A + 8),
если 5 — малая величина.


ГЛ. I]
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
133
Функции кратного аргумента
Sin 2а = 2 Sin а COS а,
COS 2а = COS2 а — Sin2 а = 1— 2 Sin2 а =
Sin За = 3 Sin а — 4 Sin3а,
COS За = 4 COS3 a — 3 COS a,
COS Па. -\- i Sin Па. = (COS a + / Sin aO1.
Сравнивая в обеих частях равенства послед-
ней формулы члены с мнимой единицей и затем
без неё, получаем формулы для sin л а и cos n a.
Пример.
cos 4а + / sin 4а = (cos a + i sin о)* = cos* a +
+ 4J cos3 a sin a — 6cos2 a sin2 a —4/cos a sin3a -j- sin4 a.
Следовательно,
cos 4a = cos4 a — 6 cos2 a sin4 a -j- sin* e,
sin 4a = 4 cos3 о sin a — 4 cos « sin3 a.
Функции половины аргумента
2 JL _ 1— COS 2 a
sin y= 2 '
„a 1 -(- COS a
2
sin a
since
2 ~~ 1 — COS a
1 — cos a
Sin a '
1 + COS a
Sin a
Пример.
sin 15е =
^-.!. 0,2588.
Все тригонометрические функции данного
аргумента выражаются рационально через
единственную функцию — тангенс половины
аргумента:
sin x =
COS* =
CtgJf
sin
sin5 z = — sin г — ^ sin Зг -f- -
о ID
'• 5 ,5 011 ,
cos5 г = -— cos г + THCOS Зг -f- Tecos 5z»
о ID ID
sin6 г = — — -^ cos 2г + т^ cos 4z — -^ cos 6г,
fi 5 . 15 OI3 . . 1 A
cos6 г = Гх + „-я cos 2г -f- T^ cos 4г -f- ^ cos 6г
lo o^ lo o^
- cos г — -j- cos Зг,
sin8 z cos s = -j-
cos3z sin г = -r- sin г + -т- sin Зг.
4 ' 4
Пример.
cos2 г sin2 г = cos' z A — cos1 г)
1 1
Преобразование сумм в произведения и
произведений в суммы.
sin a sin p = -^- cos (a — 3) — COS (a -j- 3) L
• = y?cos(a-p) + cos(a + p)l.
3 = у Г sin (a - 3) -f Sin (a + p) 1 ;
sin a 4- sin 3 = 2 81ц —^— cos —„—,
j n __ p
sin a — sin 3 = 2 cos -"Г sin °
cos a cos
sin a cos
• ,
a_i- В a —
cos a -|- cos 3 = 2 cos — ~ cos
2 '
cos a — cos 3 = 2 sin —n— sln - n— t
COS a COS
Степени sin « и cos г
sin3 г = -у — у cos 2z,
cos2 г = -\- - cos 2z,
3 1
sin3 z = — sin z — -.- siH 3z,
4 4
cos3 2 = — cos г -j- -r cos Зг,
4 ' 4
sin4 г = -- — -K-
cos4 г; = -Q- -+ -TT- cos 2z -f- -^-cos 4г,
о ? о
tg.-tg».
6 S
COS a COS 3
sin2 a — sin2 p = cos2 3 — cos2 a =
= sin (a 4- p) sin (a — P),
COS2 a — Sin2 3 = COS2 3 — Sin2 a =
= COS (a + p) COS (a — 0).
Пример.
sin о + cos p = sin a + sin (90е - C) =
- 2 sin
45° -
если a = p, то
sin a + cos a = 2 sin 45° cos D5° — a)= KiFcos D5° - a).


134
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
В нижеследующих формулах а-\- p -j- v = тс.
а 3 Т
sin а -f- sin {* + sin 7 = 4 cos -=- cos -=- cos -±,
cos a-)- cos $ + cos 7 = 4sin-^-sin .-=- sin 'I"H"^
a 3 Т
sin a + sin P — sin 7 =4 sin -^ sin — cos •— ,
cos a -f- cos P — cos 7 = 4 cos-y cos -ysin-—— 1,
sin3 a -j- sin8 p + sin2 7 = 2 cos a cos P cos 7 -f- 2,
sin3 a -f stn2 P — sin2 7 = 2 sin a sin p cos 7,
tga-htg P + tg7 = tgatgptg7,
ctg у + ctg|- + ctg -1 = ctg у ctg у ctg -Ь,
Ctg P Ctg 7 + Ctg 7 Ctg a -f- Ctg a Ctg p = 1,
sin 2a + sin 2p -f sin 27 = 4 sin a sin p sin 7,
sin 2a + sin 2p — sin 27 = 4 cos a cos p sin 7.
Обратные тригонометрические функции
Обратная тригонометрическая функция
у = Arcsin х (иное обозначение — sin" л)
определяется решением трансцендентного урав-
нения sin у ~ х относительно неизвестной у.
Аналогично определяются другие обратные
тригонометрические функции, например у =
=Arccos х—решением уравнения cos у = х, у =
= Arctg х — решением уравнения tg3> = х.
Трансцендентное уравнение sin v = х имеет
при любом значении х бесчисленное множество
корней, и, следовательно, функция у =
= Arcs»in x — многозначная функция. Если
—l^-V^-f- 1, то все корни уравнения имеют
действительные значения.
Главным значением функции
Arcsin x называется корень yQ = arcsin x, ле-
жащий в промежутке ( — -~-, -^ \. В проме-
/7 ic Зтс\
жутке (-н-, тг ) лежит корень у1 — -к—yQ
(фиг. 33). Все остальные значения функции
Функция Arccos х ( — 1 •< х <: + 1) имеет
главное значение arccos х в промежутке @, -и)
(фиг. 34), остальные значения выражаются
формулой
Arccos х = 2nk ^ arccos x,
(ft =.... — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3, .. .).
Функции Arctg х и Arcctg х имеют дей-
ствительные значения при любых действитель-
ных значениях х, причём
Arctg х = arctg x + АТС _-^
Arcctg x — arcctg л: -h ft it ( 0 < arcctg x < тс).
Для вычисления главных значений обратных
тригонометрических функций полезны фор-
мулы:
arcsin ( — х) = — arcsin x,
arccos ( — х) = it — arccos x,
arctg (— х) = — arctg x,
arcctg (— л:) = тс — arcctg x,
-к
arcsin x -j- arccos x =
2 '
arctg x -(- arcctg x — -
Пример.
arcsin (— 0,5) — — arcsin 0,5 — — ---,
b
arccos ( — 0,5) — -^- — arcsin (— 0,5) — -^- .
2 о
При выкладках с обратными тригонометри-
ческими функциями можно легко впасть в
ошибку, если невнимательно учитывать обстоя-
тельства их многозначности. Так, например,
формулы ____
arcsin х = arccos Y\ — х'*,
arccos x = arcsin j/Ч — х-,
arcctg x •-= arctg —
X
справедливы только для лг>0.
Точно так же формулы
arcsin и -f arcsin v =
Фиг. 34.
= arcsin (и y^l — t>2 + v / 1
arccos и -\- arccos v =
= arccos (uv — "|/"l — ц2 у \ — &),
arctg и + arctg v = arctg " ' _ V
всегда справедливы, если и н v положитель-
ны, а сумма членов, стоящих слева, не боль-
тс
ше -^-; в других случаях они верны не всегда.
Arcsin x = ft тс + (— l)e arcsin x,
(ft = ... — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3,...)..
Гиперболические функции
Гиперболические функции sbx, chx,
cth x (последняя функция употребляется редко)
относятся к простейшим трансцендентным
функциям. Для действительных значений аргу-


ГЛ. I]
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
135
мента они могут быть определены аналогично
круговым (тригонометрическим) функциям гео-
метрически, как длины некоторых отрезков
(фиг. 35), связанных с равнобокой гиперболой
jf'a — у'2 — 1, причём аргументом функции
, является уд-
У ^ военная пло-
щадь гипербо-
лического сек-
тора ОАМ.
Гиперболи-
ческие функ-
ции связаны
друг с другом
соотношениями
sh*
Фиг. 35.
cth x
Для любых значений (т. е. действительных
и комплексных) гиперболические функции
определяются посредством формул:
*» X \ ,* —" X
sh x =
е* — е
ch х = ——
th x =
через единственную показательную функцию
е* и притом рациональным образом:
ch x -f- sh x — е х, ch х — sh x — е ~ * .
Значения гиперболических функций для
действительных значений аргумента см. в
табл. VIII на стр. 86.
Графики гиперболических функций даны
на фиг. 36 и 37.
cthx
Фиг. 36.
Фиг. 37.
Для всех действительных значений х имеет
место
ch.v>l, — l<th*<+l.
При комплексном аргументе г = х + (у
действительная и мнимая части функций sh z
и ch z находятся при помощи формул:
sh z = sh x cos_y + * cn x sin_y, sh iz — Isinz,
ch г = ch x cos у 4- i sh x sin y, ch iz = cos z.
Значения функций cos у и sin^ см. в
табл. VIII на стр. 86.
Функции sh z и ch г имеют мнимый период
2я/, функция th г — мнимый период ти-
Аналитические функции sh-г и спг опреде-
ляются посредством рядов:
которые сходятся при любых значениях z. Ряд
для функции Шг:
сходится для любых действительных и ком-
плексных значений г по абсолютной величине
меньших-^. Эти ряды удобны для вычисления
приближённых значений гиперболических
функций при малых (по модулю) значениях
аргумента.
Формулы преобразования тригонометриче-
ских функций (см. стр. 132) переходят в фор-
мулы преобразования гиперболических функ-
ций, если в них всюду действительный аргу-
мент заменить чисто мнимым и учесть, что
sin ix — i sh x, cos ix — ch x,
tg ix = i th x, ctg ix = — i cth x.
Например, формула
sin (a + 3) = sin a cos P -f- cos a sin 0
приводит к формуле
sh (a -f C) = sh a ch P -f ch a sh p.
Другие соотношения между тригонометри-
ческими функциями приводят, в частности,
к следующим формулам:
sh (a — C) = sh a cos 3 — sh 3 cos a,
ch (a ± P) = ch a ch p + sh a sh 3,
sh 2x = 2 sh x ch л:,
ch 2* = ch2 jc -f sh2 л: = 2 sh* л: -f 1 = 2 ch* jc—1,
tha+thp
Cha-f Ch{J = 2ch
ch a — ch 3 =
(a
sh - (a — 3V
Обратные гиперболические функции Arsh и,
Arch и, Arth и многозначны (аналогично об-
ратным тригонометрическим функциям) и опре-
деляются соответственно решениями уравне-
ний а = sh х, и = ch х, и = th x. В области
действительных значений функция Arsh a.


136
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
однозначна и может быть выражена через
логарифмическую функцию посредством фор-
мулы
Arsh и = In (и + Y
Под главным значением логарифма принято
считать то, для которого 0=^<? <2л:.
Функция Arch а имеет в той же области
два значения:
Arch и — ±1п(«-4- У и2 — 1 ) =
= ±1п(а— У и?— 1).
Функция Arth и имеет действительные зна-
чения только при ! и \ < 1,- она может быть
представлена в виде
Arth и = рг ]п . ' .
2 1 — и
Показательная и логарифмическая
функции
Простейшая трансцендентная функция ег
или ехрг определяется бесконечным рядом
е* = expz = lim
( 1 -f -") =
V Я/
-1 | , | ,
^ 1 ^ 1-2^1.2. 3^~ ••"
который сходится для любых действительных
и комплексных, значений аргумента z.
Значения функции кх для -действительного
аргумента приведены в табл. VIII на стр. 86.
В области комплексных значений аргумен-
та функция е? имеет мнимый период 2л/, т. е.
ег + k 2™ _ ^ Л = . . . — 2, — 1, О, 1, 2, 3 . . . ,
что следует, в частности, из формулы
е2 = ех (cos у + / sin у) (z = x -f- ly),
при помощи которой можно вычислять дей-
ствительную и мнимую части показательной
функции.
Всякое комплексное число z = х -f- iy мо-
жет быть представлено в форме
где | z \ = |/х2 -f- у2 — модуль числа; <р — его
аргумент (см. стр. 117 и фиг. 16).
Логарифмическая функция, или натураль-
ный логарифм, и — In z, определяется решением
трансцендентного уравнения z == eu относи-
тельно ы. В области действительных значений
х и у при условии .v>>0 это уравнение до-
пускает единственное решение. Значения
натуральных логарифмов действительных чи-
сел см. в табл. VI на стр. 38.
В комплексной области для любого г, не
равного нулю, уравнение имеет бесчисленное
множество решений, отличающихся друг от
друга на числа, кратные 2л/.
Таким образом In z представляет собой
многозначную функцию.
Используя представление комплексного
числа в форме z = | z ei<f, можно предста-
вить логарифмическую функцию в виде
In z = In | z | + if.
Первое слагаемое является действительной,
а второе мнимой частями логарифма.
Пример. Главное значение In (— 2) = In 2 -f- it/, так
каке1п2 + Л* = 2 (cos я-f/sin ic) -—2..,
Функции Бесселя
Решения диференциального уравнения
Бес селя
называются бесселевыми функциями (уравне-
ние имеет особую точку д: = 0).
Решением уравнения, принимающим при
х = 0 конечное значение, является функция
Бесселя первого рода, порядка v (v>-0):
( __ \\
( }
2T(v+l)
2Bv
Здесь Г (v) — так называемая гамма-функ-
ция (см. стр. 139).
В частности, при v = 0 и v=l соответ-
ствующим уравнениям удовлетворяют функции
Бесселя нулевого и первого порядка, предста-
вимые рядами
, , \ _ i _ х^_ i х4 хв
JG (,-*/ * ^ сто" "т" /о /i \о
B-4-бJ
_ х 1 X2 i
- 1 — -г-
2D- бJ -8
Эти ряды сходятся для любого действи-
тельного или комплексного значения х, при-
том равномерно в произвольной ограниченной
области.
В случае, когда v = n-|--~- и п — целое
число, функция Бесселя соответствующего по-
рядка может быть выражена чергз элементар-
ные функции:
т.х
причём Ап (—] и Вп( — ) — полиномы от
\ X / \ X ' X
COSJC.


ГЛ. I]
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
137
Другое решение уравнения Бесселя, линей-
но не зависимое с функцией Бесселя 1-го рода,
принимает в окрестности точки х = О сколь
угодно большие значения.
Если параметр v в уравнении Бесселя не
является целым числом, второе решение урав-
нения, линейно не зависимое с функцией 7V (x),
представляется функцией Бесселя отрицатель-
ного порядка:
^(— +И-Л'
Общее решение уравнения Бесселя, если
v не равно целому числу, имеет вид
где С], С^ — произвольные постоянные.
Если v = п и п — целое число, то между
функциями Jn и J-n существует линейная за-
висимость:
В этом случае вторым решением уравнения
Бесселя, линейно не зависимым с функцией Ja,
служит так называемая функция Бесселя
2-го рода порядка п, или функция Вебера,
7=0
(л—/—I)! (х_\-п + У
2]
n+j
я^у1Г(я+у + 1)
у-о _
m=l
Постоянная Эйлера С =0,57722... (см.
стр. 139).
Для функции Y0(x) соответствующее раз-
ложение имеет вид
(З!J
Функция Вебера Kv в случае нецелого v
определяется формулой
/v (x) COS N71 —— J_ v (^)
4 sin VTC
из которой её выражение для v = л, где л —
целое число, получается с помощью предель-
ного перехода при v -»• л.
Таким образом в случае, когда ч = лил —
целое число, общее решение уравнения Бес-
селя записывается в виде
где С], С2 — произвольные постоянные.
При малых значениях х функция Бесселя
7V (х) имеет тот же порядок, что и JKV, а функ-
ция Вебера Kv (л) — тот же порядок, что и
— , если N ^-0, и порядок In х, если v = 0.
;cv
Между функциями Бесселя существуют
следующие зависимости:
-- Jn (x) = Jn_l(x) + Jn+ , (х).
Те же зависимости справедливы и для
функций Yn (x).
Бесселевы функции 1-го и 2-го рода свя-
заны соотношением
Jn (x) Yn(x)-Yn(x)j'n(x)=~,
левой частью которого является вронскиан
(см. стр. 229) функций Jn (x) и Yn (x).
Функция JQ(X) может быть представлена
с помощью определённых интегралов:
fife,
us — 1
У0 (Jf) = — cos (x cos 6) d6.
Tt i/
0
Функция Бесселя Jn (x) (n = 0, 1,2,...) до-
пускает следующее представление:
1C
Jn (x) = — f cos (x sin 0 — лб) d8
7C t/
о
или также
Л (*) = —-( cos лб cos (x sin 8) rf8, л = 0,2,4,..
it j
и
it
Jn (x) = — j sin лб sin (x sin 8) d6, л = 1,3, 5,..
При л> — -s-:
тгх
n
X j sin2« 8 cos (x cos 8) d8.


138
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Асимптотические приближения для функций Некоторые несобственные интегралы, со-
Бесселя: держащие под своим знаком функцию J0 (х),
имеют следующие значения:
[Функция <р (х) называется асимптотическим
приближением функции у (х), если
в этом случае пишут
У (*) ~ ? (*)]•
При достаточно больших значениях аргу-
мента х более точные асимптотические при-
ближения имеют вид
sin
где 5д, SB обозначают суммы нескольких пер-
вых членов так называемых полусходящихся
рядов (А) и (В) Пуанкаре:
(A)
(B)
1 32
2
1
(8*J
1
8*
C-5-7J
4!
C-5Р
3! (J
1
(а*L
1
*лг)з 1
\ J0 (x) cos ax dx:
О
\ /о (дг) sin ax dx —
С/
Г sin а*/„ (лг)
i x
|о| > 1
arcsina \а\ < 1
-~ «<-1
При действительном значении v функция
7V (x) имеет бесконечное множество веществен-
ных нулей и только конечное число чисто
мнимых нулей. Каждому положительному кор-
ню уравнения J^ (х) = 0 соответствует равный
по абсолютной величине отрицательный ко-
рень. Если v>—1, то все нули функции J^ (x)
вещественны. Функции J^(x) и 7yJhl (x) не
имеют общих нулей, за возможным исключе-
нием х = 0. Все нули J^ (x), отличные от
х = О, — простые. Между двумя последова-
тельными нулями функции Jv (x) лежит один
и только один нуль как функции Уч _ 1, так
и функции Jv+1 (см. стр. 94).
Если п = О, 1, 2 ..., то функции Бесселя
Jn (x) и их производные любого порядка удо-
влетворяют неравенствам:
dkJn(x)
Jn(x)
dx*
\
1ш
Относительно свойств ортогональности
функций Бесселя, см. стр. 242 и 267.
Другие виды функции Бесселя
Функции Бесселя 3-го рода v-ro порядка,
или функции Ганкеля, определяются соотно-
шениями:
Асимптотические приближения для
Уч(х):
ТС V1T \
-T —— --
T
У т
-кх
Ti fR \
——— J
(*)• tf!2) (x) = Л (х) — / К, (л).
Асимптотические приближения (см. выше)
этих функций:
i(x-*"-- 1\
A) . е \ 24;
1/"
К
2


•гл. i\
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
139
Бесселевы функции мнимого аргумента,
или модифицированные бесселевы функции,
удовлетворяют диференциальному уравнению
которое получается из уравнения Бесселя при
замене х на ix. Поэтому решением модифи-
цированного уравнения является функция
Л (ix), а также функция Л, (*) = /~~ V» (ix).
Имеет место следующее разложение:
/v (X) =
~Г ~~(
1-f
2Bv
2-4-Bv+-
Другим решением модифицированного урав-
нения, линейно не зависимым с функцией
/v (х), является так называемая функция
Макдональда /См (л:), которая в случае неце-
лого v определяется формулой
К, х} =
sin
Выражение функции Макдональда в том
случае, когда v = п и п — целое число, полу-
чается из этой формулы путём предельного'
перехода при v -* п:
У (л-у-1I
) ———уГ——
/=0
n+2>
J
n+j
уг_ >" __
^ *' т
функция Макдональда /См (-г) связана с функ-
цией Ганкеля Н-, (х) зависимостью:
Асимптотическое приближение для функций
Макдональда:
DП2—1) D*2 — 32)
• + ...
С помощью функций Бесселя могут быть
представлены решения многих диференциаль-
ных уравнений, которые путём замены пере-
менных приводятся к уравнению Бесселя.
Например, уравнение
л:т ); Zv = С,
имеет решение у = х
Уравнение
jt2/' + A— 2их)ху' +
+ [0*2 — и' + 1) xz - ид: — v2] з/ = О
имеет решение
(д:), причём функция и (дг) — про-
_у = ^
извольна.
Решением уравнения
dx
является функция
п — m-f-2'
1—т
п — т-\-2
Гамма-функция
По определению
Интеграл, стоящий в правой части равен-
ства, называется эйлеровым интегралом
второго рода (см. стр. 172).
Если х = п — целое положительное число,
то
Г(я) = (я — 1)!= t -2. . . (п — 2) (п — 1),
ГA)=1, ГB) = 1, ГC. = Ь2, Г D) = 1-2.3
В точках х = 0, — 1, — 2, — 3, ... функция
Г (лс) имеет простые полюсы соответственно
11 1
,,
с вычетами 1, — ^-, + -gp ~"
Кроме того,
Г (*)• Г A+*) =
зТ'"'
sin nx
x k '
= 0,57722 ... — постоянная Эйлера.
Если х значительно больше единицы, то
In Г х
К, где GI, С2— произвольные постоянные. Таблицу значений Г (х) см. на стр. 100.


МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Гипергеометрические ряды
Ряд
i.2T(T4-l)
*
называется гипергеометрическим. Функция
у = Г(а, р, -у, л:) удовлетворяет диференциаль-
ному уравнению Гаусса (гипергеометрическое
уравнение) ,
—— 7р_У = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Решения
Лежандра
называются функциями Лежандра.
В случае, когда п — целое положительное
число или нуль, решениями являются полиномы
Лежандра л-й степени:
р (г, Bл-1)Bл-
^п \х) — ——
п!
я(я— 1) л-
f-g)-1 [,»-
- п(я-1)(д-2)(я-3) « -4
"^ 2.4.Bя— 1)Bл — 3)
В частности,
oW=l.
I (Jf ) = х,
С2 л
1 ~
F(a + 1 _ 7> р + 1 _ Т) 2-т,
Гипергеометрические полиномы, или поли-
номы Якоби,
(А ?, х) =
X
.р+п-д-
удовлетворяют диференциальному уравнению
-I-
которое представляет собой частный случай
гипергеометрического уравнения Гаусса (см.
выше гипергеометрические ряды).
Вследствие этого полиномы Якоби являются
обрывающимися гипергеометрическими ряда-
ми.
Все нули полиномов Якоби положительны
и меньше единицы.
Условия ортогональности
9 '
~ч Gn(x)Gm(x)dx = 0,
(Л ^ /Я).
Полиномы Лежандра и Чебышева (см. да-
лее) являются частными видами полиномов
Gn (Р> Ч>—о~ 1;в случае/; = q = 1 получаются
полиномы Лежандра; при р =Q,q = -<y — по-
линомы Чебышева.
231
16
429
315
16"
693
105
16"
315
^.
' 16'
35
Р0 (cos 6) = 1, Р! (cos 6) = cos 6,
Р2 (cos 6) = ~ C cos 20 + 1),
Р8 (cos 0) = -g- E cos 39 -)- 3 cos 0),
P4 (cos в) = щ C5 cos 40 + 20 cos 20 -(- 9).
Во всем интервале — 1 <; x -^ 1 — величина
1
функций
не пре-
восходит единицы; Р„ имеет л простых
корней, все они расположены в интервале
(-1. + 1);/>„(!) = !.
—i
Условия ортогональности
+ 1
(пфт).
Полиномы Лежандра могут быть предста-
влены с помощью формулы:


ГЛ. I]
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
141
а также в форме определённого интеграла:
п
Рп (Х) = -L f (x + Vjfl—l cos t)n dt.
it J
U
Существует рекуррентная формула
•f яР„_1(х) = 0 («=1,2,...)-
Общее решение уравнения Лежандра
где А, В — произвольные постоянные; Qn (х) —
лежандровы функции 2-го рода. Если |jc|<l, то
(я - 1) (п - 3) (п + 2) (п + 4)
" 5!
при л — четном и
я (я +
21
4 _
^
при п — нечётном.
Если | х \ > 1, то
-я-З
-в-5
При д:-> + 1,
со.
Функции РЛ (л:), Qn (v) являются част-
ными видами гипергеометрических функций
(см. стр. 140).
Так называемые присоединённые функции
Лежандра Р\ (х) удовлетворяют соотношению
(v= 1,2,...,я; я= 1, 2, 3,...).
Эти функции выражаются с помощью
определённого интеграла
1C
= — f
71 J
cos
и удовлетворяют диференциальному уравнению
Ряды по полиномам Лежандра см. на стр. 267.
Полиномы Чебышева
Полиномы Чебышева
?п (х) - ———г cos (n arccos х)
2п —
удовлетворяют уравнению
A — ж2) у" — дг/ 4- л'З' = 0.
Условие ортогональности
+ 1
о
dx =
-.2/1-1
Полиномы Чебышева удовлетворяют рекур-
рентным соотношениям.
Тп-\ =0
- Т0= — -- ,
7, —
Эти полиномы наименее уклоняются от ну-
ля на интервале ( — 1, 4- 1), в том смысле,
что максимум абсолютного значения каждого
из полиномов Тп на этом интервале имеет наи-
меньшее значение по сравнению с любыми по-
линомами соответствующей степени с вещест-
венными коэфициентами и коэфициентом при
высшем члене, равном единице. Все корни по-
линома Тп (х) простые, они действительны и
располагаются внутри интервала ( — 1, -р- !)•
Ряды по полиномам Чебышева см. на
стр. 267.
Полиномы Лагерра
Полиномы Лагерра
-я = **
2!
^~2-...)
удовлетворяют диференциальному уравнению
•*/' 4A— х) у' + пу = 0.
Все нули полиномов Лагерра положительны.
Условия ортогональности
0 (т ф п)
(Л!)з (т = л)
Рекуррентная формула
Обобщённые полиномы Лагерра
tin
/ (m) _ y-mex- —— ( уЛ+m „-х\
п ~ dxn ( е }
удовлетворяют уравнению
xyf + (m 4- 1 — х) у' 4- пу — 0.


142
МАТЕМАТИКА
I РАЗ Д. 1
Условия ортогональности
= 0 , (k ф /).
Если от — целое число, то
(-\)
Полиномы Эрмита
я(я-1)(я-2)(я-3) 4
~г 2! * ' —
удовлетворяют диференциальному уравнению
У — 2лгу + 2пу = 0.
J л (•*) m
-оо I.
Рекуррентное соотношение
Полиномы Эрмита имеют простые нули,
причём все нули действительны.
Производящие функции
Функции Бесселя, полиномы Лежандра, Че-
бышева, Якоби, Эрмита, Лагерра представляют
коэфициенты разложений по степеням г (или
тригонометрических разложений) некоторых
функций Р(х,г), называемых производящими
функциями.
1.
-и*)*"
для всех значений х, г, за исключением г = 0.
Как следствие
+00
cos (х sin z) = У, Уя (*) cos nz,
.
—оо
+00
sin (ж sin z) = 7j Л (•*) sin rtaf-
—oo
2.
ra=0
3.
= 2, Та (х) Bz)«,
п-О
4.
л!
( — оо О <+ 0°, |г|<со).
5.
1—2
1— г
л!
ТРИГОНОМЕТРИЯ*
Решение плоских треугольников
Треугольник определяется заданием каких-
либо трёх независимых связанных с ним ве-
личин (длин и углов), например: трёх сторон;
двух высот и угла между ними; периметра,
одного угла и радиуса описанного круга и т. д.
В некоторых случаях треугольник опреде-
ляется при этом неоднозначно (см, стр. 143), а
в иных случаях не существует вовсе. Нет, на-
пример, треугольника, у которого периметр
был бы в шесть раз больше радиуса описан-
ного круга.
Под решением треугольников понимается
нахождение значений всех основных связанных
с ним величин, т. е.
длт-га сторон а, Ь, с
и размеров углов
а, р, у (фиг. 38).
Определение дру-
гих связанных с
треугольником ве-
личин (например,
р, rt я„, 1а и т. д.)
(фиг. 38 и 42) после
этого уже не со-
ставляет большого
труда.
Величины углов
треугольника свя-
заны соотноше-
нием о -(- C -f Т = я. поэтому достаточно
знать ещё два соотношения, например, соот-
а Ъ с
ношения теоремы синусов — — = — — - = — —
r sin a sin р sin?'
чтобы по трём известным основным величи-
нам, связанным с треугольником, найти осталь-
ные три.
Фиг. 38.
Литературу см. на стр. 320.


ГЛ. I]
ТРИГОНОМЕТРИЯ
143
Все иные соотношения между основными
величинами, в частности, следующие:
а2 = ft2 + с2 — 2bc cos о (теорема косинусов);
cos -75- (а — 0)
а — i
sin
1
;1п_(а_р}
Т
cos-^-1
2 '"" 2 2
а = Ъ cos Y + с cos P I
можно получить либо аналитически, как след-
ствия теоремы синусов и равенства суммы
углов треугольника двум прямым, либо непо-
средственно из геометрических соображений.
Решение треугольника по трём данным
сторонам д, Ь, с сводится к отысканию углов
посредством формул
cosa =
*,т.
COS — =
2Ьс
(s-&)(s-r)
ftc
be
ta — - т/ fo — ^fo —с>
* 2 ~~ V s(s — a)
где
-|c
ft + с). Последние три фор-
мулы удобны при пользовании логарифмами.
Другие формулы, относящиеся к этому случаю,
получаются соответственной заменой букв а,
Ь, с, о, р, у буквами ft, с, a, g, Y. о и с, a, ft, Y,
а, р (циклические подстановки). То же и во
всех остальных формулах решения треуголь-
ников.
Решение треугольника по двум сторонам
a, ft и углу между ними т может быть про-
изведено посредством формул
c = У a? -f ft3—2aft cos y,
д sin Y 0
tg«=&. „J,... P = «—a—T.
При пользовании логарифмами удобнее фор-
мулы
Если даны две стороны «, Ъ и угол а
против данной стороны л, то треугольник
решается при помощи формул
. _
sin 8=
sin a
Решейие в этом
при условии, что а
решение единственно.
,
sin а
случае возможно лишь
Ъ sin а. Если а > ft, то
При ft>a, а > 6 sin а
с
Фиг. 39.
С
Фиг. 40.
имеется два решения (фиг. 39, 40) соответ-
ственно двум значениям угла ? (см. стр. 134).
ft sin a
— (острый угол),
= arcsin
i = те — arcsin
ft sin д
а
(тупой угол).
При известных стороне а и двух углах
т решение особенно просто, именно:
a sin В
= — - — -
Sin а
С=
в sia т
— : —— L
Sin а
Решение прямоугольного треугольника
по известным двум сторонам или по стороне
и острому углу производится использованием
формул
„Ъ __ „2 I »,9! I&
б[».
а =
= ptga
ft
tgP'
Фиг. 41.
где с — гипотенуза (фиг. 41).
Для определения некоторых других величин
(фиг. 38 и 42), связанных с косоугольным
треугольником, полезны формулы:
Pa
sin a '
s (s — b)(s — с)


144
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
_1 _ _ 1 1 1
Pa ha hb HC
рической тригонометрии, которые в некоторых
случаях оказываются более удобными для ре-
шения конкретных задач, например:
ha = b sin Y = с sin p =
= -l/S(s-e)(A--A)(s-C),
/„ =
ft-fc
1 ,
(s — a) —
ft 4- a w
Малые изменения сторон и углов тре-
угольника связаны с точностью до малых
второго порядка соотношениями:
с cos р Да 4- а ДТ = — sin Y Aft 4- sin p Ac,
Да _ _Да_ _ ^ft__ Др_ _ Ac __ AY
V~tg~a~"ft"~"tgl~"c~ tgY*
а Да = (ft — с cos а) Дй 4- (с — ft cos а) Дс -f-
4- eft sin а Д'а.
В частности, если треугольник прямоуголь-
ный, то
а Да + Ь Д& = с Дс,
Да Дс Да . Л, 0 Др
—— = — 4- —— , Да = tg a Aft — 2а —^— .
а с tg а ь sm 2а
В этих формулах Да, Др и Ду выражены
в радианном измерении.
Решение сферических треугольников
Сферический треугольник образуется на
сфере дугами трёх больших кругов. Длины
его сторон при радиусе сферы, равном едини-
це, обозначаются в дальнейшем буквами a, ft, с.
Они являются мерами углов между радиу-
сами сферы, проведёнными к соответствующим
вершинам сферического треугольника. Углы
при вершинах сферического треугольника,
обозначаемые в дальнейшем через a, p и Y.
являются мерами двухгранных углов между
плоскостями больших кругов, дуги которых
образуют треугольник. В отличие от плоских
треугольников сферический треугольник может
быть определён любыми тремя из шести основ-
ных элементов о, ft, r, a, p, YI так как углы
при вершинах уже не связаны друг с другом
каким-либо соотношением. Остальные три эле-
мента могут быть определены посредством
следующих трёх основных соотношений между
сторонами и углами сферического треугольни-
ка (углы а, Р и Y противолежат сторонам a, ft
и с и не превосходят ^):
sin b
sin г.
sin у
(теорема синусов),
cos a — cos b cos с -f- sin b sin с cos а (теорема
косинусов).
Как следствие этих трёх соотношений могут
быть получены многие другие формулы сфе-
cos a = — cos р cos у + sin p sin Y cos a,
cos a sin b — sin a cos b cos f + sin ccos a,
ctg a sin b = sin у ctg a 4- cos у cos ft,
cos a sin p = sin Y cos я — sin a cos fi cos c,
ctg a sin C = sin с ctg a — cos с cos (i,
sin
— = т Г_cos g cos (°—а)
2 ~~ V sitTpslnT
COS ^r-
a^ _ 1/"cos (a — P) cos (g.— т)
2 ~~ r sin p sin т
a /" sin E — ft) sin (s — c)
sinT=V ~
sin ft sin с
s = - (a + b -f c),
COS-K- =
^sinssin (s—a)
sin b sin с
Все формулы допускают циклическую за-
мену букв a, b, c, a, p, Y соответственно на буквы
ft, с, a, p, Y, « и на с, а, #, у, а, р.
Площадь сферы, ограниченной сфериче-
ским треугольником, пропорциональна превы-
шению суммы его углов a, p и Y над двумя
прямыми, т. е.
F = e#2,
где R — радиус сферы; е = а + Р + Т — к ~~
сферический избыток, величину которого
можно определить по формулам:
ctg 4
ct§ ~~ ~ C°S T
sin
- .= |/tg 1. tg -i (* - a) tg A
tg - I* -
Если один из углов сферического треуголь-
ника, например Y. прямой, то основные фор-
мулы принимают вид
sin a = sin с sin a, sin ft = sin с sin p,
cos с — cos я cos ft.
Из них можно вывести ряд новых формул,
например:
л cos a ,
cos с = ctg a ctg p, cos a = -—-= ,
cos ft =
sin a
,
tgc
Определение основных элементов пря-
моугольного (Y = 90J) сферического тре-
угольника, т. е. кате-
тов a, ft, гипотенузы с
и углов a, p (фиг. 43), по
данным двум элементам
производится согласно
Фиг. 43. формулам табл. 5.


ГЛ. I)
ТРИГОНОМЕТРИЯ
145
Таблица 5
0
Ч
a, b
а, с
Ь, с
а, а
»,р
а, Р
ft, о
с, «
*. Р
«, Р
а
а
а
cos с
cos а = —— г
cos ft
а
sin о= — -тг-
tg Р
а
****
tg a — sin ft tg а
*
sin а = sin с sin a
tg а = tg с cos p
cos p
COS 6 = — : ——
sin а
,
ft
. COS С
cos ft= ———
cos a
ft
***
sin b= — —
tg a
ft
tg ft = sin a tg p
*
tg ft = tg С COS a
**
sin ft = sin с sin P
cos а
cos a= —. — и
sin p
с
cos c = cos a cosft
с
f
***
. sin a
sin с — ,
sin а
sin ft
sin с = —. — -
sm p
cos p
****
tgft
tg с — — - ——
ь COS а
С
с
cos <: — ctg « ctg p
а
tga
tg 0 = -4——
sm ft
*
, sin a
sin а = — : —
sin с
tgft
cos a= -~ —
tgc
а
COS p
sm а = —— ~
cosft
cos 9 = cos о sin p
*
a
ctg а = cos с tg p
а
P
tgft
tg P = -т - ——
s ^ sm а
tgc
**
I0 sin ft
sin p = — -. —
sm с
, „ cos а
Sin P TT ———— -
cos a
3
P
cos p = cos ft sin a
ctg p = cos с tg a
?
*
Примечание
Два катета
Катет и гипо-
тенуза
Катет и про-
тиволежащий
угол
Катет и при-
лежащий угол
Гипотенуза и
один из углов
Два угла
* Если а > 90", то а > 90° и обратно, если а < 90', го « < 90°.
** Если Ъ > 90°, то Р > 90° и обратно, если Ь < 90°, то Р < 90е.
»** Возможны два треугольника: либо Ь > 90% с > 90°, либо b < 90°, с < 90".
•*** Возможны два треугольника: либо а > 90°, с > 90°, либо а < 90е, ? < 90°.
Определение основных элементов косо-
угольного сферического треугольника. Если
известны стороны а, & и с, то по формуле
T-/-
sin (g — b) sin (s — с)
sin 5 sin (s — a)
и аналогичным ей (получаются циклической
заменой букв) находятся углы треугольника
а, Р и -у. противолежащие соответственно сто-
ронам а, Ь и с.
Если известны три угла а, $ и f, то сто-
роны а, Ь и с определяются посредством фор-
мул вида
— COS 0 COS (g — a)
COS (s — P) COS (a — f) '
sin
a — b
•+
tg
. a+
sm —
2s*T.
cos
cos
sin
« +
sin
g
Случай известных с, *, у (две стороны
и угол между ними) и случай известных а, 3 и т
(сторона и прилежащие углы) сводятся к двум
предыдущим, если предварительно соответ-
ственно использовать формулы
CCS
COS
a — b
a-\-b
T
g*
a-\-b a — Ь
—j- + —2~
q-f ft g — ft
Если известны два угла а, Р и сторона а,
противолежащая первому из них, то следует
определить сторону Ь из соотношения
sin b =
sin a sin Р
sin a
10 Тем 1, кн. I


146
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
при этом возможны два значения Ь. Далее
последовательно определяется угол у и сто-
рона с из формул
cos
a + b
cos —2~-
— cos о cos (a — у)
COS (a—a) COS (a—J3)
Случай известных двух сторон a, b
и угла а против первой из них может иметь
два, одно или ни одного решения, в зависи-
мости от соотношения величин a, b и a
(аналогично соответствующему случаю пло-
ского треугольника, см. стр. 143). Элементы
3, с и у определяются последовательным ис-
пользованием формул
sin В =
sin b sin а
sin a
cos
to ——!——
1S 9 »
cos
COS
При этом, если а^> b, то должно быть
о>р и если а + &>180°, то а+р> 180°.
Аналогично, если а < Ь, то а<^ и если
а + b < 180°, то и а -f P < 180°.
Малые изменения сторон и углов сфери-
ческого треугольника связаны соотношениями:
Да = cos Р Дс -f- cos -у Д& + sin & sin Т ^а>
Да = — cos b Ду — cos с Др — sin P sin с Да,
ctg fe Д& — ctg с Дс = ctg р ДЗ — ctg 7 Ду.'
sin у Д? — sin а Д g = sin р cos а Дс -j-
+ sin b cos 7 Да,
которые справедливы с точностью до малых
второго порядка.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ*
Предел переменной величины. Постоян-
ная величина а называется пределом перемен-
ной величины у (lim у = а), если в процессе
изменения последней абсолютная величина
разности у — а становится и при последующем
изменении продолжает оставаться меньше лю-
бого наперёд заданного положительного чи-
сла е, сколь бы мало оно ни было. Тот же факт
выражают иначе, говоря, что у стремится
к а (у-* а).
Бесконечно-малая величина. В том слу-
чае, когда пределом переменной у является
нуль, переменная у называется бесконечно-
малой (lim у = О или у -> 0).
Бесконечно-большая величина. Если пе-
ременная у в процессе своего изменения ста-
новится и продолжает оставаться больше лю-
бого наперёд заданного числа, сколь бы велико
оно ни было, то говорят, что у стремится
(устремляется) к бесконечности (положитель-
ной) и называют переменную величину у бес-
конечно-большой (lim у = оо , или у -> оо).
Если, начиная с некоторого значения, пере-
менная у становится меньше любого наперёд
заданного отрицательного числа, то говорят,
что у стремится к отрицательнэй бесконеч-
ности.
Порядки бесконечно-малых и бесконеч-
но-больших величин. Порядки бесконечно-
малых и бесконечно-больших величин разли-
чают в том случае, когда эти переменные из-
меняются не независимым образом. Если
принять, что переменная а является беско-
нечно-малой первого порядка, то переменная
Р называется 'бесконечно-малой порядка k при
?
условии, что отношение-^- не стремится к
а*
бесконечности и предел этого отношения ра-
вен некоторому числу А, отличному от нуля,
т. е.
lim А = А.
Переменная р, по сравнению с перемен-
ной а, является бесконечно-малой более высо-
кого порядка, если
lim -i = 0.
о-)-0 «
Порядок бесконечно-большой величины a
больше порядка бесконечно-большой вели-
чины р, если
lim JL = 0.
о -> оо а
Если порядок а принят за единицу и
lim 4 = Л^О,
а -> оо <*й ^
то порядок бесконечно-большой величины р
равен Л.
Примеры.
1.
lim
а ->0
a sin а k
ak,
поэтому бесконечно-малые а и {3 «- a sin а k имеют один
и тог же порядок (а и k — заданные постоянные).
-» 0
и следовательно 3 = 1 — CMS а является бесконечно-малой
второго порядка по сравнению с а.
3. Величина р = tg a — sin а имеет третий порядок
малости по сравнению с «, так как
* Литературу см. на стр. 320.


ГЛ. 1]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
147
Основные формулы теории пределов
lim(y + z -f ... -f 0 = Нт-У +
+ \\rnz + ... + Нт?
lim (у -г ... ?) = lim^'lim z ... lim *,
lim 1- =
limj
lim г
если lim z ф 0.
Некоторые предельные значения
lim ax = 1,
lim — т = О,
lim _^_ = 1, lim —s— = l-
Д-->0 Х *_»0 X
lim
г, -Э-оо
lim [1+— I =e*, lim
= е ='2.71828...
П -> со
ах —
Jim ^——*~ = In a; lim —-^ = 0 (и > 0),
lnfex
lim
дг -> оо х'
lim f.
lim e
X-+Q X
, Hm in~=l,
lim
п\
п-*°оппе-п у п
(формула Стирлинга);
2-4-6... 2л
]/ 2л
1-3-5. .. Bл
(формула Валлиса).
1)
2 1
2л
Функция. Переменная _у называется функ-
цией переменной х, определённой на отрезке
а^х^Ь или в промежутке а<^х<^Ь, если
каждому значению х из указанного отрезка или
промежутка поставлено в соответствие одно
(однозначная функция) или несколько значений
(многозначная функция) переменной у.
Отрезок а^х^.Ь, или промежуток а<^х<^Ь,
называется областью существования функции.
Для обозначения отрезка или замкнутого про-
межутка а^д-;^& существует символ [а, Ь\;
промежуток или открытый отрезок а<^х<^Ь
обозначается символом (а, Ь).
Для обозначения функциональной зависи-
мости в охарактеризованном выше смысле
служит символ у = f(x) [вместо буквы / мо-
жет быть поставлена и любая другая, например
у(х)]. Значение функции, соответствующее
определённому значению аргумента х— а, обо-
значается посредством ](а).
Аналитический способ задания функций
Указывается некоторая формула, т. е. опреде-
лённая совокупность знаков уже известных
(определённых каким-либо образом ранее)
функций и знаков алгебраических и иных опе-
раций, которые нужно произвести, чтобы по
значениям переменной х в определённом, ука-
занном заранге, промежутке её изменения по-
лучить значения функции у = f(x).
Элементарные функции Степенная функ-
ция и полином. Если одна и та же формула
служит для определения функции во всей об-
ласти её существования и эта формула объ-
единяет конечное число знаков алгебраических
операций и знаков так называемых элемен-
тарных трансцендентных функций: тригономе-
трических (прямых и обратных), показательных
и логарифмических, то определённая таким
образом функция называется элементарной.
Функция, определённая формулой у = Аха
(а и А — любые вещественные числа), носит
название степенной.
Полиномом называется линейная комбина-
ция степеней переменной х с целыми поло-
жительными показателями степеней, т.е. алге-
браическая сумма соответствующих степенных
функций.
Рациональная функция. Частное двух
полиномов называется рациональной функцией.
Степенные функции с целыми положительными
показателями степеней можно считать част-
ными видами полиномов, а полиномы—частны-
ми видами рациональных функций.
Алгебраическая функция. Функция у(х)
называется алгебраической, если её значения
получаются путём решения некоторого алге-
браического уравнения относительному с коэ-
фициентами, являющимися полиномами от пе-
ременной х. Все функции, формулы которых
содержат только символы алгебраических опе-
раций над независимой переменной х (вклю-
чая и извлечение корней с целым показателем
корня), являются алгебраическими. Все не ал-
гебраические функции называются трансцен-
дентными.
Периодическая функция. Функция y—f(x)
называется периодической, если при любых
значениях аргумента х имеет место равенство
j(x + /) — ](х). Наименьшее из чисел /, обла-
дающее указанным свойством, называется пе-
риодом функции.
Пример. г/=зш ш ж—периодическая функция с пе-
2тс
риодом — .
ш
Монотонные функции. Функция у = 1(х)
называется монотонно-возрастающей, если её
значения связаны неравенством f(x^)^>f(Xj)
при любых двух значениях аргумента xt и ху
из области существования функции, причём
Х2>ДГ]. Если при тех же условиях f (x2) <C/(ri)»
то функция называется монотонно - убы-
вающей.
Непрерывность. Точки разрыва первога
и второго родов. Функция у =f(x) называется;
непрерывной при значении х — дг0, если при
стремлении к нулю разности л:—XQ одновре-
менно стремится к нулю и разностьf(x)—f(x0).
Функция может быть непрерывной при вся-
ком значении х на отрезке [а, Ь\, определяю-
щем область её существования, и тогда она
называется непрерывной на отрезке.
Значение д; = дг0, при котором у = f(x) не
является непрерывной, называется точкой раз-
рыва.


148
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Предельным значением функции, при зна-
чении х—а аргумента, называется число L, к
которому стремятся значения функции, когда
значения аргумента стремятся к пределу я, не
принимая этого значения. Это обстоятельство
отмечается символической записью
Нт
*-> а
= L.
Подобным же образом определяется пре-
дельное значение функции, когда аргумент
стремится к бесконечности.
Если функция f(x) непрерывна при х = а,
то при этом значении аргумента существует
определённое предельное значение /_ этой функ-
ции, совпадающее со значением /(«):
В точке разрыва функции предельное зна-
чение либо вовсе не существует, либо не со-
впадает со значением функции в этой точке.
Если в точке разрыва х = а не существует
предельного значения функции /(х), то могут
существовать так называемые предельные
значения функции справа и слева, обозначае-
мые посредством f(a + 0) и f(a — 0), т. е.
пределы, к которым стремятся значения функ-
ции } (a -f Л) и / (а — h), если величина Л
стремится к нулю, оставаясь положительной
и отличной от нуля:
Да + 0) = Нт Да -f- Л),
Если при х = а оба предела существуют и
по крайней мере один из них не совпадает
со значением функции /(а), то говорят, что
при х — а функция имеет точку разрыва пер-
вого рода.
Функция имеет при х = а точку разрыва
второго рода, если не существует по крайней
мере одного из предельных значений функции—
предельного значения справа или предельного
значения слева [в частности это имеет место,
если функция стремится к бесконечности в
окрестности точки а, т. е. если по крайней
мере одно из значений функции f(a + Л) или
/(а — Л) стремится к бесконечности, при без-
граничном уменьшении положительной вели-
чины Л].
Примеры. 1. Функция, определённая при] х |>0 фор-
мулой у = -—' , имеет при дг«=0точку разрыва первого
рода, какое бы значение эта функция ни принимала в са-
мой точке X; при этом y(+Q)—+l, .у (-0)-= —1
2. Функция _у=———- имеет точки разрыва второго
рода лг=±1.
3. Функция, определённая при | х \ > 0 формулой
у — sin — , имеет при х**0 точку разрыва второго
рода, какое бы значение функция ни принимала в са-
мой точке лг •» 0.
Функции многих переменных. Перемен-
ная z называется функцией независимых пе-
ременных х и у, определённой в некоторой
области изменения этих переменных, если ка-
ждой совокупности значений х, у из этой об-
ласти поставлено в соответствие одно или
несколько значений переменной г.
Функция z — f(x, у) называется непрерыв-
ной при системе значений х = *0, у=у& если
при одновременном и независимом стремлении
к нулю разностей х — х$ и у — у0 стремится
также к нулю и разность f(x,y) — f(x0, УО).
Диференцируемость. Производная. Функ-
ция у = /(х) называется дкференцируемой при
значении х$ аргумента, если существует пре-
/(*)— /С*о)
дел отношения -^—^ —— ^—^- при стремлении
х — XQ
разности х — х0 к нулю.
Производной от функции у = j(x) назы-
вается функция, значения которой равны выше-
указанному пределу отношения для всех зна-
чений лго» при которых этот предел суще-
ствует. Производная от функции y = f(x)
обозначается посредством
dx dx
- lim =
Л*
Операция отыскания производной для за-
данной функции называется диференцирова-
нием. Всякая функция, имеющая производную,
непрерывна, но обратное не всегда имеет место.
Значение величины производной у' при
значении х аргумента функции равно тангенсу
Фиг. 44.
угла наклона касательной к графику у =f(x)
в точке с данной абсциссой х (фиг. 44).
Производные от некоторых функций
1
21/
(In*)' = —,
-, (sin х)' = cosjc,
xln я'
(cos*)' = — sin*,
COS*
sin х
\cos х
sin x_
COS2*


ГЛ. 1]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
149
(In sin л)' = ctg x, (In cos x)' = — tg x,
___!_
~ sin x '
(arcsin x)' =•
(агссозл')' = -
1
1
Vl-A-2'
1
'
A' -j- л л2
(sh x)' = ch л:, (ch*)' = sh.*,
(cth A:)' =
v '
(th x)' =
v '
Правая и левая производные. Непрерыв-
ная функция /(дг), при определённом значе-
нии аргумента х = х0, может не быть ди-
ференцируемой в указанном выше смысле.
Однако при том же значении аргумента могут
существовать так называемые правая и ле-
вая производные, обозначаемые посредством
/'(л-0-{-0)И f(x0 — 0) и определяемые как
пределы, к которым стремятся отношения
Л
— Л
если величина h стремится к нулю, оставаясь
при этом положительной. В этом случае график
непрерывной функции имеет так называемую
угловую точку, абсцисса которой равна х0.
Кусочногладкая кривая. Кривая назы-
вается кусочногладкой, если она имеет конеч-
ное число угловых точек; при этом угол накло-
на касательной к кривой является непрерывной
функцией абсциссы точек кривой во всех про-
межутках изменения абсциссы, соответствую-
щих участкам кривой между угловыми точ-
ками.
Производные высших порядков. Второй
производной функции называется производная
от производной и обозначается посредством
= /
), третьей производной — производная
от второй производной; вообще п-н произ-
водной называется производная от (п — 1) - и
производной и обозначается посредством
dnv
_^_ — yin) (jr). Производные четвёртого и более
высокого порядков часто обозначаются рим-
IV
ской цифрой без скобок, например / (лг).
Теорема Ролля. Если функция y—f(x)
равна нулю при х = а и x = b, непрерывна
при всех значениях х на отрезке [а, Ь] и во
всех внутренних точках этого отрезка имеет
производную, то последняя по крайней мере
при одном значении х из промежутка (а, в)
будет равна нулю.
Формулы конечных приращений. Если
функция у = f (х) при всех значениях х на
отрезке а^.х^.Ь непрерывна и имеет в про-
межутке а <^х < b производную, то можно все-
гда найти такое значение х = с из указанного
промежутка, чтобы имело место равенство
(формула Лагранжа)
f(b)-f(a) = (b-a)r (с).
С геометрической точки зрения это озна-
чает, что на графике функции у =f(x) суще-
ствует точка с абсциссой с, в которой каса-
тельная к графику параллельна хорде, соеди-
няющей точки с абсциссами х = а и х = Ь.
Формула Лагранжа является частным слу-
чаем следующего более общего равенства
(формула Коши):
f(b)-f(a) _f(c)
?(*)—? (*) <Р'(<0'
где а < с < b и функции / (х) и ? (х) при
а^х^Ь непрерывны и имеют производную
в промежутке а <^
Правило Лопиталя [раскрытие неопреде-
лённостей -= и — J. Если f(a) = (р (а) = 0 или
если f(x) и tp (x) одновременно стремятся к
бесконечности при стремлении х к а, то
11т/(-*)-Пт /'(•*)
при условии существования предела правой
части равенства.
В случае, когда /' (а) = у' (а) = 0 или когда
/' (х) и <р' (х) стремятся при х— *а к бесконечно-
сти, предел указанного отношения равен пределу
f"(x)
отношения н , если он существует, и т. д.
Правило Лопиталя действительно также в
том случае, когда ищется предел отношения
-,-L при стремлении аргумента х к беско-
нечности, если функции / (х), у (х) либо одно-
временно стремятся к бесконечности, либо
имеют одновременно предельные значения, рав-
ные нулю, когда х стремится к бесконечности.
Путём предварительных преобразований и
применения затем правила Лопиталя могут
быть раскрыты неопределённости (т. е. най-
дены соответствующие пределы) следующего
вида:
Неопределённость вида оо — оо, путём пред-
варительного преобразования:
Неопределённость вида 0 • оо с помощью
преобразования


150
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Неопределённости вида 0°, 1°° , оо" приво-
дятся к предыдущему виду с помощью лога-
рифмирования: если
то
Таким образом, если будет найден предел
логарифма рассматриваемой величины, после-
дующее потенцирование приведёт к раскры-
тию и этого рода неопределённостей.
Примеры.
,. llm iz±ZEZ _
х -> О Ь —
lim
tg.v — x
n ,• л ,• Л
3. hm —— = Hm ——————
x ->oo ex x -»oo ex
m(m - 1) дгт — 2
.= hm —-—————————— = hm
X ->oo e-*7
= 0.
4. lim
In jr
J.
lim — ——т = lim
L _L
lim Xх = 1, так как lim \nxx
дг-юо дг-^-схз
1
\a x = Q.
Формула Тейлора. Если функция^ = /(.v)
и её первые п производных непрерывны на
отрезке а ^ х ^ b и, кроме того, в промежутке
а < х < ft существует (л -f- 1) ~я производная
этой функции, то
где Р„ — остаточный член, выражающийся
в различных формах, из которых наиболее
употребительной является форма Лагранжа:
/?n = V + 1)(c) (а<с<Ь).
Здесь значение /" + J) (с) неизвестно и по-
этому точное определение / (Ь) по значениям
функции и её первых производных при х = а
невозможно. Можно, однако, вычислять / (Ь)
приближённо, суммируя первые п -f- 1 слагае-
мых правой части формулы Тейлора и оцени-
вая величину отбрасываемого остатка Rn путём
замены неизвестного значения производной
(п f 1)-го порядка /" + ^ (с) максимальным по
модулю значением этой производной, которое
она принимает на отрезке [а, Ь].
Интегральная форма остаточного члена.
Формула Маклорена
где остаточный член в форме Лагранжа
.я+1
0<8<1.
Числовые ряды. Если бесконечная число-
вая последовательность аг, о2,..„ аП1... обладает
тем свойством, что существует предел суммы
п
2> cik ПРИ безграничном увеличении числа п
её членов, то выражение а^ +• йг + а3 4- ••• +
-f- ап + ... называется сходящимся числовым
я оо
рядом, a lim V а^= ^,afe = А — суммой
ряда.
Необходимый и достаточный признак
сходимости Копти. Ряд сходится в том и толь-
ко в том случае, если при любом наперёд задан-
ном е, сколь бы мало оно ни было, можно
найти такое число п, что при произвольном т
будет иметь место неравенство
'•••>an + m\<^s"
Признак сходимости и расходимости Да-
ламбера. Ряд сходится, если
ряд расходится, если lim
л -* о
а
п + 1
1;
1; в слу-
чае, когда lim
а,
ношение
п,
аг
= 1 и при любом п от-
а
1, ряд расходится; в осталь-
ных случаях, когда
• ••••
= 1, требуется
дополнительное исследование для того, чтобы
судить о сходимости ряда.
Признак сходимости и расходимости
п
Коши. Если lim T/"on<Cb TO ряд сходится,
п->со
п _
если lim ]/"«„>!, то ряд расходится; если
п>оо
п _ п _
lim 1/tf/, =- 1 и |/"ол > 1 при любом /?, то ряд
п-^оо
расходится. Во всех прочих случаях, когда
п _
lim ~У~ап — 1, для суждения о сходимости
Я->(Х>
ряда требуется дополнительное исследование.


ГЛ. I]
ДИФЕРВНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
151
Признак сходимости рядов, члены кото-
рых имеют чередующиеся знаки. Ряд
 + Й2 + ••• + #л -f- ••• с знакочередующимися
членами сходится, если 1) i — ^—. < 1 при лю-
бом п и 2) Нт | )п] = 0.
то
Абсолютно-сходящимся рядом называется
сходящийся ряд GI -f- а2 + • • • + ап 4 . . ., если
одновременно имеет место сходимость ряда
\а\\ + N + • •• + \ап\ + •••
Функциональные ряды. Если задана беско-
нечная последовательность функций ф_ t (х),
ф2 (х),. . ., фя (х),. . ., обладающая тем свойством,
что при любом фиксированном значении аргу-
мента х = жг, на некотором отрезке [а, Ь],
числовой ряд ф, (х}) 4- ф? (х:) 4- ... 4- Фл С*]) + -
сходится, то выражение ф/j (х) + ф3 (•*) + — 4-
4- Фп (*) + • • • называется сходящимся на от-
резке [а, &] функциональным рядом, а
Ига
/7->00
V b
Л"
называется его суммой.
Сходящийся функциональный ряд назы-
вается равномерно сходящимся на [а, Ь], если
при любом заданном числе е, сколь бы мало
оно ни было, можно определить тахое число л,
что при произвольном целом положитель-
ном т неравенство |Фл(л') -f <\>п +1 (х) -f . . . -f-
+ 'т*л + т (х>\ ^ ? будет иметь место для любого
значения х на отрезке [а, Ь].
Сумма равномерно сходящегося на [а, Ь]
функционального ряда, члены которого ф\ (х),
Ф2 (х),... являются непрерывными функциями
на отрезке [а, Ь], представляет непрерывную
функцию / (х) =
резке.
на том же от-
Если ряд ф/! (ж) -f Ф2 (лг) -Ь ... сходится рав-
оо
номерно на отрезке [а, Ь] и \ Фл (^) = / (je),
я =1
Если, кроме того, ряд Ф^ (.г) -f
сходится равномерно на [а, Ь], то
+
л=1
Степенные ряды. Частный вид функцио-
нальных рядов представляют так называемые
степенные ряды, т. е. ряды вида д0 +-
^ а,(х — «) + а2(дг-аJ 4- . .. + ^(*-«)я 4-
4- ... (а& «i>.., пп> • • а — постоянные), все чле-
ны которых являются степенными функциями
от разности к — а (в частности может быть а = 0).
Если при безграничном увеличении числа
членов формулы Тейлора или формулы Мак-
лорена остаточный член Rn стремится к нулю
и получающийся при этом степенной ряд
2!
fc^tf /<"> (.) +
сходится в некотором промежутке (У, fi) изме-
нения аргумента л% то сумма этого ряда пред-
ставляет функцию f (х) в этом промежутке:
/М-
Разложения некоторых функций в степенные ряды
--4-... (_со<лг<-
-1 + JL, *2
— 1 -г -т— 4-
1
1-2
.У2
1-2
1-2-3
_j*l_
~blF
( — оо < JT <-f oo)
shx =
1 +
In a
_(ln_aJ
~T2~
1-2-3-4 5
(In aK
1-2-3
( —oo<je <4~ oo)
••• ( — оо<лг<4-ос)
.V34--


152 МАТЕМАТИКА [РАЗД. I.
"vM=21"
In
1-2-3..: т ""/п'
m m + l „_m_i
- + - + -+... (*>1 илилг<-1)
1
1 _ 1 _ 1 1-3 1-3-5 , ЬЗ-5-7 4
F "" 1* + ~етд:2~ 2-4-бЛ + 2.4-6-8 ^
-1— ' + **— ^+ -^
^
23.4-5
у Ь23.4 ~ 1-2.34. 5-6
+
1 jc3 , 1-3 л* . 1-3-5 xi . ,, , .-,4
arcsinx = ж-f к--^Г + o-r-?~ + Q-TTA ~T~ ~r *** tl^l^v


ГЛ. 1]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
153
Частные производные. Функция от многих
переменных, при фиксированных значениях
всех независимых переменных, кроме одной,
может рассматриваться как функция от этой
одной переменной. Её производная по этой
переменной называется частной производной
исходной функции от многих переменных. Если,
например, z ~ f (x,y) представляет функцию
от двух переменных х и у, то при фиксиро-
ванном значении переменной у можно опреде-
лить частную производную от z по ж. Эта част-
ная производная в свою очередь может рассма-
триваться как функция от двух переменных х,
у и диференцироваться частным образом по
этим переменным.
Первые частные производные обозначаются
посредством символов
дг df(x,y) д
дх
дх
ду
ду
ду
При диференцировании первых частных про-
изводных получаются четыре частные произ-
водные второго порядка, обозначаемые посред-
ством
—— Т = / у-Г»
i J V V * •*^*
_ f' _ f
—Jvx — JV
дхду
— Jxv — /.
XУ^
-/ =/
~ J J
yv
УУ
xy и fyjf
не-
дудх
Если смешанные производные fx
прерывны, то f"Xy=fyjc при всех значениях
независимых переменных из области, где эти
производные непрерывны.
При непрерывности частных производных
порядка п значение смешанных производных
того же порядка зависит только от числа
диференцировании по каждой из независимых
переменных, но не зав иол от того, в каком
порядке производится диференцирование.
Пример. Пусть и = — —— ; если перемен-
Vx* + у3 + г*
иые х, у, z не равны одновременно нулю (в этой точке
функция терпит разрыв), то
ди_ = _ _____*
дх~
д*и _ д*и_
дхду ~~ дудх
Зху
(х> 4- >• + 2»)
'/•*
Диференциал. В выражении полного при-
ращения диференцируемой функции у = / (х)
= /'(л-)Дл- + е
(при изменении
аргумента на ДАТ)
часть приращения
/"(лг)Дл- = dy
является главной и
называется пер-
вым диференциа-
лом функции. При
стремлении Д* к
нулю величина е
фиг- 45> будет бесконечно-
малой более высокого порядка по сравне-
нию с dy.
Ау = Д^-г
У
yf/XJ
-. ——— x — »
ДА:)
A
dx
— f(x
Ц
*-
В частном случае для у = х имеем dx =
= ДА:, поэтому
dy=J'(x)dx.
Производная функции равна отношению ди-
ференциалов dy и dx.
Геометрический смысл диференциала пояс-
няется фиг. 45.
Диференциалы высших порядков. Ди-
ференциал л-го порядка определяется как ди-
ференциал от диференциала порядка п — 1.
Диференциал аргумента считается при этом
постоянным. Таким образом
сР-у = f (Х) ^л-э,..., dny = /я> (х) dxn.
Диференциал л-го порядка dny является бес-
конечно-малой л-го порядка по сравнению
с диференциалом dx, если последний стремится
к нулю.
Производная сложной функции. Пусть
y=f(u) и « = ср (А:). Функция у =/[? (х)] =
= у(х) называется в этом случае сложной
функцией переменной л:;
= Нт
dyda
= =
+ 3/' (и) f (х) f' (х) + /' (и)-f (х).
Диференциалы сложной функции. Если
у = / (и) и и = и (х), то
dy = /' (и) da, &у = /' (и) d*u+fr (и) du\
d*y =// (и) сРи + 3f (a) d*udu +/" (и) du*.
Цепное правило диференцирования
сложных функций. Если y=f(u), u = g(v),
v = <р (w), w — | (x), то
dy_
Пример.
~ In sin
+x* =
sin V
|/ 1 -f
jrctgl
Диференцирование функций, заданныл
параметрически. Если y=f(t), x = <f (t), то
dx
Пример.
cos3 1, у —а sin11/ * + у
ф; — За sin" t cos t
<l«t "" За cos3 /sin/
s|njf_
cost


154
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Диференцирование обратных функций.
Если у = / (х) и х = у (у) являются взаимно
обратными функциями, то
СУ) = 77
1
/00 = -
Г (*)
[Г (-O
,т t.,\ _ _ __>_'_ I "
^у' ~ \fi (rW~ Г fi
Диференцирование неявных функций.
Если функция задана уравнением
dy_
dx
dF
_
dy
dx2\dy j dxdy dx dy
\дх
2~ /д/7\з
Vc
Случай /(.v) = <p (y):
dy _ /"' (x)
dx
V'OO
Производная от сложной функции двух
и более чем двух промежуточных пере-
менных. Если_у = f(u, v, w), причём и = и(х),
V = V (х) W — W (А"), ТО
dv
dx
df du
dudx
dj dv df dw
dv dx cto dx '
Если переменные и, v, w,... являются функ-
циями одной независимой переменной, то
1. (аи)' = аи1 (а— постоянная).
2. (и -\- v -f- w + ...)' —и' -f- v1 -f w'-f-...(чи-
сло слагаемых конечно).
3. (avI = uv1 -f va!.
л , \, /"' I V . W' , \
4. (uvw ...)'=— -j- — -f — -f • • • uvw...
4 \u ' v w J
(число сомножителей конечно).
u'v — uv'
Линейная часть приращения функции,
являющаяся главной его Частью, обозначается
посредством du и называется полным дифе-
ренциалом функции и (х, у, z). Таким образом
Ди — du -f ?P-
Если функция диференцируема в точке
(•*о» >'0' го)« то постоянные А, В, С всегда
оказываются равными частным производным
du du du
3— , -3—1 з~ в этой точке и, следовательно,
dx dy dz '
du . , du . du
du = -^— Д v + rr— Ду + -s— Д,г.
ox dy as
В соответствии с определением диферен-
циала
dx — Дл1, dy = Д^, dz — Дг.
6. (uv)' = nv ~ (ги1 + v'u In и).
Полный диференциал. Функция и(л-,^, г)
называется диференцируемой в точке {^о,^, г0),
если её полное приращение Ди =- и (х -f- ДА,
у -+ Ду, г -f- Д г) — и (х, у, г) может быть пред-
ставлено в форме Дц = А ДА + ^'Д_у -f С Дг -i-
+ sp, причём А, В и С—постоянные, ДА, Ду,
Дг — произвольные приращения независимых
переменных, р = "[/"(Д^J + (Ау)М- (Дг)^и ? -^ О
при р -^ 0.
Поэтому
^ ди ^
rfU = -^— rfA1
du
5;
+ ^.
Пример. Если «= \nVrxa
~
С геометрической точки зрения, если функ-
ция z — f(x, у) диференцируема в точке (А-О,'УО),
то существует касательная плоскость в точке
(А-О, ^0' 2о) к поверхности z — f (х, у), причём
Достаточное условие диференцируемо-
сти. Если функция и = F(x, у, г) имеет част-
du du du
ные производные -^ — , -^— , -^~ в некоторой
окрестности точки (А"О, у& г0) и производные
непрерывны в этой точке, то функция дифе-
ренцируема в точке (А-О, у0, г0).
Формулы, аналогичные вышеприведённым,
имеют место для функций многих перемен-
ных, с любым числом независимых переменных.
Производная по направлению. Производ-
ной функции и = / ( с, у, z) в точке М (х, у, г)
по направлению /, которое имеет отрезок ММ',
называется предел
lim
ЖЖ'
/(дг+pcosa.j
f(M')-f(M)_
О ММ'
/,z)
: lim
p-0
ди
Здесь а, р, у — фиксированные углы, обра-
зуемые отрезком ММ' длиной р с осями ко-
ординат.
Если функция /(г, у, г) диференцируема
в точке М (х, у, г), то она имеет в этой точке
производную по любому направлению /, причём
df^df_
dl dx
, df
COS a f ^— COS
df
л- cosf.
Полные диференциалы высших поряд-
ков. Полным диференциалом второго порядка
функции и (х, у) называется полный диферен-
циал or её полного диференциала. Так
d*u (х, y) = d (du) = rax* + 2 sdxdy + idy"*,
где г — -=.-
S =
dxdy


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
155
Полным диференциалом п-го порядка назы-
вается полный диференциал от полного дифе-
ренциала порядка л — 1.
При последовательном составлении дифе-
ренциалов более высокого порядка.прираще-
ния dx, dy, dz независимых переменных х, у, г
считаются постоянными и одними и теми же.
Выражение диференциала п-ro порядка для
функции и = f(x, у, г) может быть предста-
влено символическим равенством вида
dnu
д ^ , д
•з- dx + т-
дх т ду
, , s
dy + -$- dz
* ^ dz
означающего, что после формального возведе-
ния в п-ю степень трёхчлена, стоящего в скоб-
ках (рассматривая при этом символы д, дх, ду,
дг как некоторые количества), следует затем
полученную таким способом диференциальную
операцию применить к функции /.
Частные производные сложной функции
Если w = f (и, v, О, где и = и (х,у, z],
v — v (х, у, z), t = I (x, у, г),
dw . w(x + &x) — w(x)
T°aI=A1lI"o——^—— при фиксир°-
ванных значениях остальных независимых пе-
ременных у, z.
dw __ df да . df dv df dt
дх ~~ ди дх* dv дх * д? дх '
д^_д/_ди^ df_dv_ df dt
ду ~~ ди ду dv~dy *"дТду '
djw_df_ да . df dv df д^
dz ~ да dz* dv dz ~*~ dt dz '
Пример.
w=f(u, v, t, у) =у In H-
cos v,
где и= — , v = х*+у*, t-sinx, x и у — независимые пе-
ременные. В этом случае по указанным формулам
-3-
дх
1 , t .
= — 4-е (cos v cos .v — 2 x sin v),
'
dw /
•3- = In a — 1 — 2v<? sin v
dy
Полный диференциал сложной функции.
Формула Лейбница. Если функции w — / (a. v),
и — у(х, у, z), v — ф (х, у, г) днференцируемы,
то
dw , , dw . , dw
= д— dx -f 5- dy + 3-
dx dy J дг
df . , df .
= jf- du -f ~- dv,
ди dv
где полные диференциалы функций и и v
. da . , da . du .
du = -5— dx + 5- dy -\-^- dz,
дх dy -^ dz
, dv . , dv , , dv .
dv = -=- dx + 5- dy + v- dz.
dx } dy ^ dz
Полные диференциалы второго и более вы-
сокого порядков сложной функции w = J (a, v),
где и — ср (х, у, z), v = ф (^^t 2), определяются
последовательно как диференциалы от дифе-
ренциалов более низкого порядка; при этом
полные диференциалы любого порядка функций
и и v рассматриваются как переменные, завися-
щие от х, у, г.
Примеры.
1. d* (uv) = d (iidv f vdu) = ucPv -f- Idudv + vd*u
2. dn (uv) = vdnu -f Y vdn — l и +
~
причём числовые коэфициенты многочлена правой части
совпадают с коэфициентами разложения бинома (a-J-fr)" .
Формула конечных приращений для
функции нескольких переменных. Если функ-
ция F (r, у, г) диференцируема в некоторой
области D изменения независимых перемен-
ных х, у, z, то
F (х + /7, у + k, z + /) — F (x, у, z) =
= hf'x (x + 0 h, у + 0 k, z + 8 /) +
6/)
Число 6 зависит от значений переменных
х, у, г и их приращений Л, k, I.
Разность значений функции F (х, у, г) в
двух произвольных точках М и М области D
равна полному диференциалу функции, вычи-
сленному при тех же приращениях независи-
мых переменных в некоторой промежуточной
точке отрезка, соединяющего точки М и М'.
Формула Тейлора для функции несколь"
ких переменных
у,
ду'
д
В правой своей части формула содержит
те же линейные диференциальные операторы,
через которые выражаются последовательные
полные диференциалы функции (см. выше),
Rn — остаточный член.
1
_
ду
х
Другая форма
bF(x,y, z)=dF(x, у, г) +-2J
_1
1
Х3',«) +
Неявные функции. Пусть в некоторой
области изменения переменных х, у, z опре-


156
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
делена функция р (х, у, z), непрерывная и
имеющая непрерывную частную производную
Гг, причём в некоторой точке (лг0, у0, ZQ), при-
надлежащей указанной области, ^(*оО'о»го) — О»
FZ (Х0' .УО' zo) •? О- В этом случае в окрестности
точки (TO, Уо) существует единственный корень
z = f(x, у) уравнения F (v, у, г) — 0, а функ-
ция z = f(x,y) непрерывна и однозначна в
окрестности точки (д:0, у0); когда значения
переменных х, у стремятся к дг0» Уъ значение
корня г стремится к г0.
Так как явное аналитическое выражение
функции z = f (х, у) при этом не устанавли-
вается и оно не всегда может быть получено,
то функция z = f(x,y) называется заданной
в неявном виде или неявной функцией.
Частные производные неявных функций.
Если функция z(х, у) задана уравнением
то
дг_
дх
dF
дх
д_Р
дг
у, г) =
d_z_
ду
дг
определяет z
х* у1 z1
Пример, Уравнение — -f- -^j- + ~j =
как неявную функцию х я у. Имеем
дг _ _ /2л
Л* ~ \а>
Аналогичные свойства имеют неявные функ-
ции У}, . . . , Ур одной или нескольких пере-
менных х,, . . . , хп, определяемые как реше-
ния системы уравнений:
Fj (дг„ ..., х„; л,..., Ур) = О,
F2(дг„..., хп; ylt...t ур) = О,
Fp(хь..., хп; У),..., ур) = 0.
Пусть функции Flt F2,..., F0 задаются при
этом в некоторой области D изменения пере-
менных jfj,.... х„, з>],...о> Вместе со свои-
ми частными производными по переменным
y\t • • • *Ур эти функции являются в области D
непрерывными. В точке (Xj,..., х"п, у\,... у°0),
принадлежащей указанной области, все р функ-
ций равны нулю, в то время как определитель
d/y
дур
_
t dya'" дур
который называется функциональным опреде-
лителем, или якобианом, и обозначается симво-
лом
/>)
р., не равен нулю в этой точке.
•-> UM» • • •. Sp) ф с
В этом случае в окрестности точки (х,,..,хп)
существует единственная система решений
у, = ?1 (х_. .... хп),.... ^ = <рр (дг,, .... дг„),
удовлетворяющая данной системе уравнений.
Функции <f>j,..., <fp непрерывны и однозначны
в окрестности точки (л-°,.... х*п). Когда зна-
чения независимых переменных х^..., х„
стремятся к дг j,..., х^ значения функций «ft,
..., ур стремятся к у\,..., ур.
Если функции /=•, (^,..., дгя: У! , ... ,ур),...
Fp (хь • • • • хп; у-[...., ур), удовлетворяющие
указанным выше условиям, имеют сверх того
в окрестности точки (x°v..., хп°; у[,..., у°)
непрерывные частные производные по пере-
менным xlt..., хп, то и система неявных функ-
ций будет иметь в окрестности точки (x\t . ..
хп) непрерывные частные производные - ,
с;ти производные определяются путем ре-
шения системы линейных алгебраических урав-
нений
^l^i
dy2 ^Jfi
ду
ri =n
1 з— == "»
d*j
^VP , ^P
5лГ1 <bd
относительно неизвестных •
-ч^^: анало-
дх
гичные системы уравнений служат для опре-
деления прочих производных.
Примеры.
1. Уравнениями хи— yv-'O1, uv=b* определяются не-
явные функции и, v независимых переменных х, у,
Частные производные этих функций могут быть найдены
путём решения систем уравнений
ди
^—
дх
да.
dv
-^-
дх
= —и х -^- — у—=
дг>
-З~
ду
d'v .
v ^r- + и ^—=
ду ду
ду
да
которые могут быть получены из исходных если рас-
сматривать последние как тождества относительно не-
зависимых переменных х, у и приравнивать полные
производные по х или у обеих частей этих тождеств.
ди —и"
д<о
дх ~ xu+yv ' дх ~ xu+yv '
ди b* dv — v3
ду ~xu+yv ' ду ~ xu+yv '
2. Уравнениями х+у-^ег>х-\-г=-еУ определяются не-
явные функции у, z переменной х. Диференцируя эти
уравнения, получим
dx
dx
dx
Отсюда
dx
dz_
dx
1 + -r + г
1 + еУ __________^
еу+г_ 1 " ij(+y)(x+z)_i'
Условия взаимной зависимости функ-
ций. 1. Для того чтобы между функциями «j,
...,и„ от переменных JTI,... , хп существо-


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
157
вало соотношение Р(иь н2>.... и„) = 0, то-
ждественно выполняющееся относительно пере-
менных хг,..., х„ в области О и не содержа-
щее явно этих переменных (функции uj,.., «„
называются в этом случае зависимыми), необ-
ходимым и достаточным условием является
тождественное обращение в нуль якобиана:
D (*,, х2,..., хп)
ди2 ди2 ди2
дх^ dx2 ''' dxa
dxl dx2 ''' dxn
= 0.
Соотношение F (i/lt и2,..., ип) = О может
быть представлено в виде un—f (иг, uz,...,
и п_\), если минор этого якобиана
D (ttlt ^.....и,,,!)
О (jf,, ха,...,*,,.!)
не равен тождественно нулю.
Пример. Две функции и = 1п л + 1п.у, w — лгу независи-
мых переменных х,у зависимы, так как якобиан
ди дм
дл д.у
дг> dv_
дх ду
= 0.
Чтобы определить вид функции a = (p(f), достаточно
положить у = 1 и исключить х из соотношений и, = In*,
t»=jr. Имеем и=1п ».
2. Для того чтобы между функциями и\,...,
иот от переменных jfj,..., xn (en < п) существо-
вало соотношение F (HI, и2,.,., um) = 0, вы-
полняющееся тождественно относительно пере-
менных Xi,.... хп и не содержащее явно этих
переменных, необходимым и достаточным
условием является тождественное обращение
в нуль всех якобианов порядка т, составленных
для этих функций по любым m переменным
из независимых переменных дг1э..., х„.
Экстремумы функций одного перемен-
ного. Необходимое условие существования
экстремума диференцируемой функции / (х)
при х = с есть /' (с) — 0. Достаточные условия
суть /'(с)=/"(с) = ...=/('|~1)(<?) = 0, но
f(") (с) ф О, причём п — четно.
Если /(л)(е)<0, то функция f(x) имеет при
х = с максимум. Если /(л) (с) > 0, то функция
f(x) имеет при х = с минимум.
Если же п — нечётно, то при х — с нет экс-
тремума (точка перегиба).
Прпмер. Если у = 6лг5+ 15^-80^-100, то_y'=30(jr>+
+ -2х — 8) ла. Первая производная обращается в нуль
при х = 0, х = 2 и х=— 4; далее у" = 60Bл1 f Зх — 8)х.
Так как у" > 0 при х = 2 и у" < 0 при х = — 4, то функ-
ция имеет минимум в точке дг = 2 и максимум в точке
лг = -4.
Наконец, при х = 0, у" =0,а уда =120C**+а*-4) Ф О,
т. е. при л = 0 —точка перегиба.
Если функция у = f (лг), определённая на
некотором интервале (а, Ь), имеет первую про-
изводную всюду на этом интервале, за возмож-
ным исключением точки х = с (а < с < Ь), в
которой производная может не существовать»
притом знак этой производной меняется при
переходе через точку х = с, то функция у =
= / (х) имеет при х = с экстремум: максимум,
когда знак меняется (при возрастании значе-
ний х) с плюса на минус; минимум, когда знак
меняется с минуса на* плюс.
Пример. Функция у =
имеет производ-
ную у' = —
При всех значениях х за исключе-
нием точек лг= ± 1; при л = 0 производная обращается
в нуль. Так как при переходе через точки х= ± 1 знак
производной меняется (при возрастании значений х) с
минуса на плюс, а при переходе через точку л- = 0 — с
плюса на минус, то в точках х— ± 1 функция имеет два
минимума, а при x=Q имеет максимум.
Экстремумы функций многих перемен-
ных. Совокупность значений х = х\, .г3 = х'2,
. . . , хп = хп, при которых диференцируемая
функция f(xi, xz, . . , хп) может иметь экстре-
мум (однако не обязательно его имеет), должна
быть решением системы уравнений
~5 ——
oxl
df
^=> ——
дх
-о
= U,
а/г-п
v —— = U.
Достаточные условия в случае диференци-
руемой функции двух переменных г = f(x, у):
dt -о df=o
-г- — —— и» "^ — ==* U»
дх ду
Если в этом случае -^— j<CO при ^ = .%
= )'с» то функция имеет в точке (*0, з'о) макси-
d*f ^
мум, а при -э—о- Г> О — минимум.
-э—о-
В том случае, когда -j— ~ — - = о при х =
функция г = f(x,y) не имеет экстремума в точ-
ке (•^О'З'о) (точка минимакса).
~ „
Случаи
специального исследования.
= ° требует
Пример. Точки возможных экстремумов функции
г=2Х3 -f ху3+5х* +у*
находятся путём решения системы уравнений:
'• g-
Система имеет четыре решения:
5
f=0, y=0; 2) х=~~-, _у=0; 3)л =
о
Так как
дх1
то величина
= 12 J- + 10,
ПСРВЫХ гочк"
отрицательна (экстремум), а в третьей и четвёртой
положительна (мкнимакс).


158
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
д'гг
В первой точке . - > 0 имеет место минимум,
д"г
я во второй точке а < 0 — максимум функции.
Условный экстремум функции многих
переменных. Об условном экстремуме функ-
ции f — / (х, у, z, и) в некоторой точке
(XQ, уй. ZQ, ий) говорят в том случае, если
функция в этой точке принимает экстремаль-
ное значение по сравнению с её значениями
во всех точках (х, у, г. и), достаточно близ-
ких к точке (XQ, УО, ZQ, и0) и расположенных
в некоторой области с числом измерений,
меньшим числа переменных, от которых
зависит функция v.
Таким образом значение f0 = / (лг0, >'0, ZQ, щ)
сравнивается с теми значениями функции v,
которые соответствуют зна ениям переменных
(х, у, z, и), удовлетворяющим условиям
\y —
|и-иь!<Л,
где Л — достаточно малая положительная по-
стоянная, и дополнительным соотношениям
вида
<р (дг, у, г, и) = О, ф (х, у, г, и) = 0.
Переменные х, у, г, и не являются, следо-
вательно, независимыми.
Значения (.% Jo> *o» мо)' ПРИ которых функ-
ция v •= f (х, у, z, и) может иметь условный
экстремум, должны удовлетворять следующей
системе уравнений относительно неизвестных
х, у, z, и, A, (j.:
имеет решения:
1) х = а,
дх
ду
-
дг
dF
ди
= 0, 9 = 0, ф = О
(необходимые условия экстремума). Здесь
F — f (х, у, z, и) + Х<р (х, у, z, и) +
+ М> (х, у, zt и);
величины X и (л называются множителями
Лагранжа.
Если при любых возможных (т. е. удовле-
творяющих равенствам dy = О, dty = 0) прира-
щениях dx, dy, dz, du знак полного диферен-
циала второго порядка функции F = f f- Xcp -f-
-f- (J.-1/ (при совокупности значений х0, у0, ZQ,
ио 'А0' !J-0' удовлетворяющих необходимым
условиям существования условного экстре-
мума) сохраняется положительным, то в точке
(JTO, j0, 20, «0) будет иметь место минимум
функции; если знак диференциала сохра-
няется отрицательным, то функция в этой
точке достигает максимума.
Пример. Найти условный экстремум функции
г = ху на окружности <р (х,у) = х* + у3— 2а2 = 0. В этом
случае F—лу + X (*S4J'2— 2a2) и система уравнений
dF
дх
dF
ду
2) лг = а, j/ = - а, X = —— ;
2
3) х = — a, j/
4)лг = — а, ^ = — а, X =— -.
В первой и четвёртой точке функция достигает
условного максимума, так как
* -f 2
'
T
дх ду
= 2 X
dy + 2
(из соотношения t/ф — Чх dx + lydy = 0 получим
в этом случае dx •=— dy).
Во второй и третьей точке при X = -|- -г-
(соотношение d f = 0 даёт d^r = dy) и, следовательно,
функция достигает условного минимума.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ*
Определённый интеграл. Пусть отрезок
[а, Ь], на котором определена некоторая функ-
ция у = f (х} переменной х, разбит на частич-
ные промежутки таким образом, что длина
любого частичного промежутка, т. е. абсолют-
ная величина разностей хг + 1 — xi двух значе-
ний переменной х, соответствующих грани-
цам частичных промежутков, меньше опре-
делённого положительного числа 5. Обозначая
посредством ?z- некоторое произвольное значе-
ние переменной х на частичном промежутке
(•*; _ ii ^i), можно образовать сумму
= a, xn = b,
которая называется дельта-суммой. С умень-
шением 8 число частичных промежутков п
увеличивается. Если существует такое число А,
что разность между этим числом А и любой
дельта-суммой стремится к нулю, при стремле-
нии о к нулю, то функция / (х) называется
интегрируемой; предел А называется опреде-
лённым интегралом от этой функции на от-
резке \а, Ь] и обозначается символом
Ь
f (x) dx. Значения а и & называются ниж-
ним и верхним пределами интегрирования.
Основные свойства определённого ин-
теграла
b a
f / (jc) dx = - f / (х) dx;
a b
b с с
f / (jc) dx + f / (x) dx = f / (x) dx\
2os - 0
* Литературу см. на стр. 821.


ГЛ. I]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
159
\Af (х~\ 4- Bf (х)] dv —
I /1 I ; 1" ./г \ л -
Ъ Ъ
s „ Г , < •. ,
(x) dx + В /2 (х) dx;
Примитивная функция. Если F'(x) = f (лг),
то ФУНКЦИЯ f (x) называется примитивной или
первообразной от функции / (х). Всякая не-
прерывная функция / U) имеет примитивную.
X
р
Определённый интеграл \ fit) dt с переменным
^
здесь А, В — постоянные.
Определённый интеграл от заданной функ-
ции зависит только от нижнего и верхнего
пределов интегрирования; обозначение пере-
менной интегрирования несущественно:
/» л
\ / (х) dx =z \ f (t) dt.
J J
п .
Первая формула среднего значения.
Если / (дг) и «р (х) непрерывны и Ф (х) сохра-
няет постоянный знак, то
ъ ъ
{ / (х) т (л) dx=f(b Г Ф (х) dx,
J 'TV/ у w j у v / f
а < ; < b.
В частном случае, если Ф (х) = 1,
ь
f (x) dx = (b - a) / («).
Вторая формула среднего значения.
Если / (х) -непрерывна; а у (х) - монотон-
на, ТО
Г
J
5
_ ф fa^ Г
_? W j
f
/
+ ? (Ь) f / W Лс, a < 5 < 6.
Формула Бонне
Г
= <p (в)
J
если 9 (х) — положительна и монотонна.
Производная определённого интеграла
с переменный верхним пределом. Если
/ (х) непрерывна
~dx '
X
I
/ @ dt
верхним пределом интегрирования является
примитивной функцией для функции / (х).
Если функция f (х) имеет примитивную, то
она имеет и бесконечное множество других
примитивных. Всякая примитивная отличается
от любой другой примитивной постоянным
слагаемым.
Неопределённый интеграл. Выражение
F (х) + С, где F (л) — некоторая примитив-
ная °т функции /(лг), а С — произвольная по-
стоянная, называется неопределённым инте-
гралом от f (х) и обозначается символом
Г / (л:) dx. т. е.
J
Г , , , . _ р . . г
J ^ ' ~ \ ' """"
Основные свойства неопределённого
интеграла
Г Af (x) dx = А Г / (х) dx (А — постоян-
J J
ная);
f (и + tr) dx= f i/dc+ f vdx.
Формула Ньютона — Лейбница. Если
F'(x)=f(x), то
f
\
, ., Jt _ /л
/ (^ Л = ^ @
п,.. к(я^
= ^ (*) - ^ W-
Таким образом вычисление определённого
интеграла может быть сведено к отысканию
примитивной от интегрируемой функции.
Основная таблица неопределённых ин-
теграл о в
3. \ sin x dx = — cos x -\- С.
*s
4. \ cos x dx = sin x + С.


160
МАТЕМАТИКА
{РАЗД. I
dx
Далее
р rfjt ____
. \ — ^г=г=- = Inljt -I- 1/"л2 -f fll + С,
1 1/ jc2 +- а
in *,/ JC , x.
10. t 6- xdx = e + C.
Г
11 \ a
* J
(подстановка sin* - и, cos/ Л = rfw).
4. *,= *L - 2/F+ с -
[подстановка -*•'+ sin x =°u, Bлг+ cosjr)djr=dH].
2
10
12-
dx= л
In a
dx 1
i г
— a
-f C.
p
13. \ sh x dx = ch x + C.
t)
ch x dx = sh x 4- C.
.5.J-
РУл-2-
5. Определённый интеграл \ ———
с помощью подстановки дг — ——-., dx — —"-~dt. При
изменении переменной дг в промежутке A, 2), новая
переменная t изменяется в промежутке (О, — I . По-
*• 3 '
этому
Уд:»"—Г'
Формула замены переменной. В случае
определённого интеграла подстановка х = <? (t),
а = ср (ta\ Ъ = «р (/г,), при
даёт
Формула интегрирования по частям.
В случае определённого интеграла
о
С da
— u(a)v(a)—\ v~dx.
v CtJC
J / (A:) dx =
I / [<f
@1 ?
В случае неопределённого интеграла
= uv — ( vdu.
В случае неопределённого интеграла под-
становка х = <р @ даёт
„
римеры.
п
J
1. f
1. arcsin^rfj:— дгагсвшдг
-/•
xdx
Примеры.
. Г x*dx I C(z-l) dz 1 Г / 1 1
1 Г
»~j
дг+ I dz — jtarcsin x + V 1
При интегрировании по частям и — агсьтдг, dv^dx,
г — х; подстановка 1 - лг2=г', jcd.r— —zdz^ z —У!—д^ .
1
1
1
2z 4z» ' 4 A + л2)»
(подстановка 1 + дг* — z, 2л-^дг = dz).
2. \ У! — дг* йдг = \ coss?d<p--^- \ A+cos 2 9)
= icoss9d?-Y\
При интегрировании по частям
. dx
ы — ln.r, d»^
+C
(подстановка х — sin<p, dAr —cos <p d <p, <p — arcsin дг).
d/ Г cos (dt
f* djr |*
J Д-КГГ? "J
cos» Mg*/ sec/
3. \ A-arctgA-dA-— —arctgjr—т-»'*—-j —
-y-rrteJr-.-^l-fkJAf-
sin»/
подстановка лг - tg t, dx -
3леСЬ
+
o-arctgjc,
arctgA:_.


ГЛ. I]'
ИНТЕГР? IbHOE ИСЧИСЛЕНИЕ
161
к г.
Т 7Г
'л dx \ С пУ3 л
. „ - = — v ctg .v ' + \ ctg.r А\- — — ——- + т-+
I smv-?. i 1 94
Jl 1C It
т т т
-flnsinjr
(l-HUli —
Л4" » /+2 П2
Здесь
dx
Интегрирование рациональных функций.
Примитивная любой рациональной функции
является элементарной функцией. Чтобы найти
примитивную рациональной функции, следует:
1. Разделить числитель на знаменатель по
правилу деления многочленов и представить
рациональную функцию как сумму некоторого
полинома и правильной алгебраической дроби,
т. е. такой, у которой степень полинома, стоя-
щего в числителе, меньше степени полинома,
стоящего в знаменателе.
2. Найти корни знаменателя правильной
алгебраической дроби и представить послед-
нюю в виде суммы так называемых элемен-
, „ „А
тарных дробей, т е. выражении типа --———-,
Вх + С
~j—^——7—г~\я~ (см- "иже примеры таких раз-
ложений). Знаменатели элементарных дробей
представляют группы множителей, на которые
разлагается знаменатель преобразуемой ра-
циональной функции. Дроби первого типа
появляются при наличии вещественных корней
этого знаменателя, дроби второго типа — при
наличии сопряжённых комплексных корней. По-
стоянные А В, С отыскиваются методом срав-
нения коЭфициентов.
3. Интегрирование полиномов и дробей
первого типа с помощью простейших подста-
новок приводится к непосредственному отыска-
нию примитивных.
4. Дроби второго типа
следующим образом:
.В
Вх+С 2 BХ
преобразуются
(л2 -Ь Ьх + с)"
+ Ьх + с)п
въ
водится к первому, после чего удаётся уста-
новить рекуррентное соотношение
+ __^L___?_ Г ^и __
2р3(я-1) Л^-т-р3)"-1
позволяющее последовательно уменьшать по-
казатель степени пив конечном итоге свести
задачу к отысканию интеграла
С du 1 , и , ~
Примеры.
Xй—I
А В
—4-—-•-
.Г ЛГ-1
Е
х + 2 '
21
причём коэфициенты А= ——, В--=С=0, ?) = ?'=—- явля-
ются корнями системы уравнений
A+B+C+D+E*=b, — 5Л — 4В-4С — D — ?=—4,
В — C4-2D — 2?'=0, — 4B-f 4С— 2D +2?=0,
которая получается в результате сравнения коэфициен-
тов при одинаковых степенях х в тождестве:
+ Вх(х+ 1) (х-2) (х + 2) +
+ Слг (*-!)
Можно также последовательно подставлять в это
тождество вместо х значения корней знаменателя дроби.
т. е. числа О, 1, — 1, , —2, и из получаемых равенств
определять коэфициенты А, В, С, D, Е, к случае крат-
ных корней последний метод следует сочетать с дифе-
ренцированием тождества по переменной х. Таким
образом
j 2.г _ 1 1 1
(мнимые корни знаменателя); следовательно,
1 , 2-r-l
—— arcfg — ^r—
Va /3
' (д;2 _i_ Ьх •+- с)п
При интегрировании первой из дробей,
стоящей в правой части тождества, подста-
новка х'2 -}- Ьх -\- с — и приводит к отысканию
, Bfctu „
табличного интеграла -^-1—^-. Неопределенным
2J"
интеграл от второй дроби при помощи под-
становки и = 2х + Ъ приводится к интегралу
du
r__^iL_ —Г- -—- — — — Г_"'dn
С помощью интегрирования по частям
второй интеграл правой части равенства при-
Ц Том 1, кн. I
При отыскании последнего интеграла используется
1.3
подстановка и=х— -— , _v2 — х— 1=и2 — — р .
2
г —л:3
(х — IJ (л- + 1)а х — 1 ' (х — IK
CX+D EX+F
1 v-a i. i г / v
t2 + 1 Ч-*21 IK '
причём Д= —-у , В=— , С=— , 1)=
i c-_JL
4"' Т
и, следовательно,
__ . . n_
2 ^ ' 4
.4 In (*> + 1) + ~ arctg л: + -L:*.^


162
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Далее
/Г dx - l
' J (-*3 + IK *a + 1
1 (_va + 1)" ' - ] (лг" + IJ '
При отыскании последнего инте-
грала следует положить а = х, dv =
xdx 1
ровать по частям. Предпоследний
интеграл равен arctg х.
Интегралы
if-**
> + Л
о С dx
" J а + Ьл
(• ^
3- \ д ___ ?;
^
от некоторых рациональных функций
— = — j- arctg — х +'С.
к-2 а& & .я
1 /т
•2 /в* arCtg> V+C
(а*>0).
1_L1/*
i , 1 + У;г* ^
t2 2 1/^~^ /~F ~^~
1 ~~1/ — х
\ а
Метод Эрмита—Остроград-
ского. Неопределённый инте-
грал от рациональной функции
F(x)
-.: .—, где степень полинома
Q(x)
Г(х) ниже степени Q(x), удо-
влетворяет следующему ра-
венству:
U(x)
+
где i/(jc)—общий наибольший
делитель полинома Q (х) и его
производной Q'(x), полином
О М
V(x) = j.( ' . Коэфициенты
и (х)
полиномов Н(х)иО (х), являю-
щихся числителями правиль-
ных алгебраических дробей
Н(х) G(x)
..; . и -——., отыскиваются
U (х) V (х)
путём диференцирования напи-
санного выше тождества с по-
следующим применением мето-
да сравнения коэфициентов.
Полином V(x) имеет всегда
простые корни. • Поэтому
f G(x) .
\ dx выражается с по-
мощью логарифмических и
обратных круговых функций,
в то время как дробь - / \
представляет алгебраическую
часть интеграла, полностью вы-
деленную.
Пример.
X2 + 1
Ах*
х(х*+ 1)
так как общий наибольший дели-
тель знаменателя подинтегральной
функции и его производной, т. е. по-
линомов Q (х)=х(х3 + 1)" и Q'(x) =
= (х3 + 1) GХ3 + I), имеет вид
U (х) = лг3+1. Применяя (после дифе-
ренцировгния равенства) метод срав-
нения коэфициентов, получим А —
-A.B-O.C-.l-.D-O^-J..
О - О, F - 1.
4- a2 In (a 4- **)! + С.
dx
1 in a + bx a г
— in ——— 4 с.
а х
Ч In
ax ' a2
Г ЙЛГ !
J л: (a + &xJ a (a + bx) a3
In
Г
14 J a
агс 8
Ibx -f CX2 yac—?a
4-С (ас — йЗ>0).
f-
J e
dx
C (ac — &2<0).
&4-СЛ:
n— +
, ___B^-3) Г
"*" 2 (ас — 6^) (p — 1) J
dx
(а + 26* +


ГЛ. I]
163
16.
17.
dx
1
2 (Л— 1)«2
(x-af(x-b)" (a-b)'
Интегрирование иррациональных функ-
ций. В общем случае примитивные от функ-
ций, формула которых содержит знак ради-
кала, не являются элементарными функциями.
Ниже приведены некоторые иррациональные
функции, неопределённые интегралы от кото-
рых выражаются через элементарные функции.
1. Рациональные функции независимой пе-
ременнЬй и степеней дробно-линейной функ-
ции
, т. е. функции вида
/ах + 3
+
tx + 8
где показатели Х, (л,... — рациональные числа
и /? — символ рациональной функции от мно-
гих переменных, т. е. дроби, числители и зна-
менатели которой — полиномы от этих пере-
менных. Каждое слагаемое такого полинома
представляет произведение целых положитель-
ных степеней переменных с некоторым число-
вым коэфициентом.
Неопределённый интеграл от любой ирра-
циональной функции указанного типа подста-
новкой
ТДГ4-6
приводится к интегралу от рациональной функ-
ции; здесь т — общий знаменатель дробей
В частности, та же подстановка действи-
тельна при интегрировании функций вида
/?U(ou-+p)\
и R ( х, л:\ х^, . . .) с
смысла обозначений.
Примеры.
сохранением прежнего
ffr+.^-.jr-f^
__3_ I dy_.
~~2~J У3
Подстановка
8
V =
+ J
= б
~^аУ-
Подстановка дг = у, й(л- =
2. Интегралы от функций вида xm (a 4- й^")р,
причём т, п, р — рациональные числа, приво-
j_
дятся подстановкой x = tn к интегралам вида
т + 1
J
-—1
(а — bt)Pdt.
-z)ffi+"-2 dz
т, т 4- 1
Если одно из чисел р, — — —
т 4> 1 ,
или —— • — 4- р
п п
является целым, то функция, стоящая под
знаком интеграла, относится к предыдущему
виду иррациональных функций.
Если ни одно из указанных чисел не является
целым, то, как доказал Чебышев, интеграл от
функции вида хт (а 4- Ьхп)Р не может быть
выражен через элементарные функции.
л 1 • Я1+1 „\
.«-4.p—— J-. —— —— =2).
Подстановка х = у . Далее следует положить
dx
I Xs V\ +JC5
ОТ+ 1
+ /> =
Подстановка JT = у
_Jl_ = zS _„._!!_.
i + у г'У 1 _ ^
Далее следует положить
3. Интегралы от рациональных функций
независимой переменной и квадратного корня
из многочлена второй степени, т. е. от функций
вида
R (х, i/ их2 -\-bx-\-c ),
с помощью одной из подстановок Эйлера
У ах*
(с > 0);
ах*
где a — один из корней многочлена ах2 4-
4- bx 4- с, приводятся к интегралам от рацио-
нальных функций.
При интегрировании иррациональной функ-
ции рассматриваемого типа часто является
практически удобным представить её в виде
4-
Q-2 (
bx 4- с
где Plt Qj, P2, Qz — полиномы от х, и затем
рациональную дробь —f?( r- представить в
виде суммы полинома Ра(х) и элементарных
дробей (см. стр. 161).


164
МАТЕМАТИКА
1РАЗД. I
Выражение — ~—— -® — ——
У ИХ2 -\-Ьх-\-С
может быть проинтегрировано
путем использования тождества
Г Я3 (х) dx __
J У ох2 4- Ьх 4- с
= Р(х)У ах* 4- Ьх 4- с 4-
1 "\ \
Коэфициенты полинома Я(А'),
степень которого по крайней
мере на единицу ниже степени
полинома РЗ С*)» и постоянная X
отыскиваются методом сравне-
ния коэфициентов после пред-
варительного диференцирова-
ния тождества.
Если в разложение рацио-
нальной дроби —frt\~ войдут
элементарные дроби вида
-.- чот , то соответствующие
интегралы
Г dx
J(x— а)тУ axi + &A- + C
с помощью подстановки х —
1
— о- ~— — приводятся к инте-
гралам от полинома, разделён-
ного на радикал.
Интегралы типа
]/?(* V а.х2 4- ?х 4- с ' ) dx
могут быть следующим обра-
зом приведены к виду
J/?i (cos Л sin t) dt, где R: —
рациональная функция от cos t
и sin t. Если а > 0, то
У ЯД.2 4- &Х -г С =
= У*У (х + рJ4-<7 — р*
B, = -*-,, = JLy
V а а /
Далее используется подста-
х + р = 1/9 — P2tgf
при <7__>.Р2
или
Ур2 — 9
* ' ^ sin»;
при 9 <С Р2<
Если же и <, 0, то
Уол2ч-'*л-4-с =
1 /" ———— 1/~ ———— 2 ——— 7 —————— ^9
/ о * С \
2р = — —— . q — — —— ,
V a v a 1
Интегралы от некоторых иррациональных функций
_
] \У а + bx dx — ^ ( У" а + Ьх")9 4- С
J ЗЬ *"
Г rfjc о
- J у а 4- Ьх ЬЛ а \ Ьх \ С.
„ Л а t SY 9
Л \ , — dx = --0.0 C aft — 2ag 4- р&.\)Уд 4- Ьх + С.
Jl/e + 6jf 3*2
.. Г Л* • * i /-
4. \ — - ——— = arcsin —— + С.
1 1/ л2 _ г2 С
Г * а«
'J 2" 2
4- С
1 ЛГ /7^ v
Sa. \ У о2 — ^-2 dx = -тг~У я2 — -* + — т»— arcsm -1 — 4- С.
J ^ 2 а ^
3
Г Т ЛГ
6 1 (дг2 + о2) dx = — B.V2 4- 5д2) уЛ2 + д2 4-
4- 8 in U4- Ух= + л2) + С.
Г -1-
'• 1 Л2(Л2 + 02)' rfjc = Л. Bд:2 4- 0S)V AT2 4- О* —
J 8 ^ ^
4
- -8- In (х 4- у jca 4- fl2 ) 4- С.
Г dx — - - -х 4- г
I "о~
J (А'24-Й2J
С* /tx I v
1 ал — 1п 4 С
9. \ 1 а в 4- y.v2 4- a2 '
10. I i ^лг +С-
1 о
Jx2(x24-fl2J
f dx уА2 7~а2~ (
11. 1 1 2а"х2 1
»]%3(л-24-й>J
4- ! In а Ц" ^ л" + а:! t С
Г i
J *2 'V Л '
4- In (лг 4- Уа2 -f- x2) 4- С.
С* dx 1 х , -
i ——————— ~ — arcsec — 4- С.
13. 1 « в
J х (х2 — a2) 2
. ————
. . 1 ———————— — — •_—_.- 4- —— аггкес — 4- П.
и затем следует положить
X — /> = У<? 4 р2 sin Л
14.


ГЛ. !] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 165
= Ух2 —a2 —a arccos — + С.
х
17.
(а= - л2) rf.tr = - (баз - 2x2) /а2-л;2 + _ fl4 arcsin — + С'.
V О о в
[ _
j JfL^^/S^-.taJLtJ/^L + c
18.
- arcsln- + С.
19. __.=_ =_
J х'Ъах — л2 я*
Bах — л:2J
22.
23.
—— + С'
__ ___х — а г
3 «- /-к—————— "г «-••
J
24.
I ]/ а -(- Ьх + ex* dx = —^т——l/"a; + bx -\- cxz — — In Bcx 4- ft
i/ "«• 3
4- 2]/с" ya + bx + ex*) 4- С
«^ Г с?лг 1 2сх — Ь
•«>• \ ~7 - ———— = —т-- — arcsin _: 4- С (с > 0).
Jlfa + bx — cx* УС V Ь2+ 4ас ^ \ ^ >
27.
1 ^с ^
8с2
xdx ~\ а + Ьх
__
a -f. Ьх + сл^ с
^— /- — — - — • — -\
In Bс* +b + 2VcVa+ Ьх+сх*) + С (с>0
' ^
29' J ^ ^ = а ЛГ* л: +(а - ь) 1п " + Ь~+^ + С.
30' dx =
Г ^ в - /(а + л)(*-л) - (а + Ь) arcsin
32. f , ^^ ———— _ 9 arcsin лГХ~~а А- С
i _ /• / . ,f — 4> aiv/oiiA •/ , ^^ v>*
jy (jf— a) .(*—*) Г b — a


166
[РАЗД. I
Интегрирование элементарных трансцен-
дентных функций. Некоторые разновидности
элементарных функций, в формулу которых
входят знаки элементарных трансцендентных
функций, имеют примитивные, также выра-
жающиеся через элементарные функции* Не-
определённый интеграл •
1 R (sin x, cos х) dx,
то быстрее к цели приводит подстановка
sin;c = t.
Если
R (— sin х, cos х) = — R (sin x, cos x),
то пригодна подстановка cos x = t.
Если
R (— sin x, — cos x) = R (sin x, cos AT),
то следует пользоваться подстановкой tg x = и-
где R — любая рациональная функция от sin х-
и cos х, подстановкой и = tg -^ приводится
к интегралу от рациональной функции пере-
менной и.
Если функция R такова, что при изменении
в её формуле знака у членов, содержащих не-
чётные степени косинуса, полученная новая
функция отличается от первоначальной только
знаком, т. е. если
Примеры
cos x dx
-\- COS X
f '
JT
I подстановка tg -~-=и, dx --
-f-и"
Ida
da
; COS* =
Г-и3
1 + и»
зг- J
R (sin x, — cos x) =
• R (Sin X, COS ЛГ), \подстановка tsx - a, Av.
Формулы приведения
du
cosm~ xsmnxdx =
cos
/re — 1,
1 I cos
Я1-2
x dx
Интеграл
I cos (a* 4- b) cos
(/и—ri) sin" !x
• cos
я — n \ sin"x
W
кратных дуг (см. стр. 133), после чего задача
сводится к вычислению интегралов
г, I
J
eaxs\nnxdx,
cos ц cos v = -п- [cos (a -j- ») -f cos (« — »)]
приводится к интегралу вида
Г 2COS
J z
x.
формулы для которых приведены на стр. 168.
Выражения для интегралов
(xmea*cos bxdx, f^^sin bx dx (*)
можно получить, диференцируя по параметру а
левую и правую части равенства, определя-
ющего интеграл предшествующего типа (ди-
ференцирование в левой части производится
под знаком интеграла),
Интегралы более общего вида от полиномов
Р (xt eax, sin bxt sin ex, . . . , cos gx, cos hx, . . .) (**)
могут быть также выражены через элементар-
где Р (sin x, cos x) — полином от sin x, cos л, ные функции, так как с помощью тригоно-
выражается при помощи элементарных функ- метрических формул (стр. 133) интеграл приво-
ций. Произведения sinmx cos"x следует пред- дится к сумме интегралов вида (*), умножен-
ставить в виде суммы синусов и косинусов ных на некоторые постоянные коэфициенты.
Неопределённый интеграл вида
iCtxP(sinx,cosx)dx,


ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Интегралы от полиномов Р (х, arcsin x) и
Р (х, In x) при- помощи подстановок arcsin x — t
и In x — t приводятся к интегралам от поли-
номов (**) частного вида.
Если R (хУ ах* -\- Ьх + ~с) — рациональная
функция от х \\У ах" -}- Ьх-\- с, а <р (х) — эле-
ментарная трансцендентная функция, и, кроме
того, функции R и ср такого рода, что прими-
тивная функции /? и производная функции ср (х)
также являются рациональными функциями
от х и Уах2 4- Ьх-\- с, то задачу об интегриро-
вании функций вида
R .v,
+
) <р (л:)
можно, пользуясь формулой интегрирования
по частям, свести к задаче об интегрировании
некоторой рациональной функции от х и
У ах* + Ьх-\-~с.
Трансцендентными функциями подобного
рода являются, например,
К (х, У\ — х?) arcsin x,
(х, У ах* -\-.bx-\-c) arctg x,
К (х,
In x,
В частности, функция R может быть просто
полиномом от х.
Неопределённый интеграл от функции вида
R (*) sin .t, R (x) cos x, R (х) е0*, где # (дг) —
рациональная функция, уже не всегда выра-
жается через элементарные функции. Возмож-
ность выразить интегралы через элементарные
функции представляется только в том случае,
если R (x) — полином; при этом она реали-
зуется путём многократнрго применения фор-
мулы интегрирования по 'частям. .
В частности, если Р (х) — полином, то
\ Р (х) cos ax dx =
/»(*) P1V (х)
sin ax
COS OX
а3
Pv (дс)
I P (.v) sin ax dx =
Г \:\ P"' (r\ Pv (x\ 1
1Л; _ ?__ \-x-j i i__v^v _ I _
г a3 o5 • J
Если рациональная функция представляется
суммой полинома и элементарных дробей
Л Вх + С , .
типа -т——г^ , —. . —-—rjf, то, вообще го-
(х—а)т ' (х^-\-Ьх-\-с)п
воря, рассматриваемый интеграл не является
элементарной функцией. В том случае, когда
в выражение рациональной функции входят
только дроби первого типа, можно, применяя
нужное число раз формулу интегрирования по
частям и простейшую замену переменной,
представить рассматриваемый интеграл через
элементарные функции и следующие инте-
гралы, не представимые в элементарных функ-
циях:
Г
\
J
sin x
dx,
f
\
J
cos x
,
dx,
f?!rf, = f* (* = ,„().
J x J\n t
Каждый из этих интегралов определяет но-
вую трансцендентную функцию, именно:
интегральный синус
slnt
dt
(— оо < х < 00);
0
интегральный косинус
Л
QW"f
00);
интегральный логарифм
ln/
(О <*<!).
Существуют таблицы значений этих функ-
ций, в зависимости от значений аргумента,
аналогичные таблицам значений тригонометри-
ческих функций, хотя и не столь подробные [9].
К интегралам предыдущего абзаца приво-
дятся также интегралы вида:
(R (In x) xm dx, Г# (arcsin x) xm dx,
причём попрежнсму буква R служит для обо-
значения рациональной функции от \пх или
arcsin x', первый из интегралов приводится под-
становкой In х — t, второй — подстановкой
arcsin х =• t и последующим применением три-
гонометрической формулы
2 sin и cos v — sin (u -f v) 4- sin (u — v)
или других аналогичных формул (см. стр. 133).
Интегралы от некоторых трансцендент-
ных функций
Г. хпех dx = ех [хп - пхп ~ 1 +
2. \lnxdx = х \пх — х -{• С.
5.
sin2 л: dx*= — -
•JC.-j-C.


168 МАТЕМАТИКА (РАЗД. I
7.
. J tg * dc « _
9. ctg^^Insin. + C. 10.
T^x = Ш tg x + C. 16. J tg" x rf* = ^~-~ J tg« -Wv + C.
. Jctg» * dc - - ?«S!±?. _ Jctg« -*x dx + C. 18. Jsin mx sin nx dx = - ^ g-±f
. sin (т — п)х С ь1и(гп + п)х , sin (m — л) л: . ...
f- ~^7 ———— ~- -\-C. 19 \ cos mx cos nx dx = -- ~ -1 — , — + —7— ——— ' + C.
2(m n) ' J;?- 2(ш-(-л) ' 2(m — n) '
( , cos(m-}-n)x cos (/«--л).
20. \ sin mx cos nx dx = — —^-.—-—' • ——-;———'-
I • 2(m •+- n) 2(in — n)
l/ \ I / V /
22. \ ——?*—— = ——±= In ——————-t———__ + С (а
23
Г
J
b tg ж
a
26. e«*siri nx dx
от Г ax . , .,,
27. \ eax cos лд- оГл- = —— - —— 9 , 9 ————— - + C.
J иЪ + «2
oo
9X
*U.
Г ar я ^ еаДГС08Я ~1 X (a COS X + «Sin X) , n(tl — l)f ax „_o
l ^ rn«" *• //f — __________ v _ —_ - ____ 7 I v ____ y I uu* лпс™ — *
I C L-Wo Л 14Л —— _ - . . ^*— _ ~ . fx OUo
J a2 + n2 o2 -f- n2 J
Г jc т Г
29. Lvm cos ax </лг = — sinajr — — I xm s\naxdx4-C.
J a a J '
30. \xms'maxdx = — — cos ax -f — J ;c cosaA'dx + C.
31 i arcsin л: d* = x arcsin Jf + |/1 — j;2 _(_ c. 32. arccos л rfx = x arccos л- — У I — x* + C.
33. Jarctg xdx - jc arctg x — -1 !n A -f л*) + С.
34.


ГЛ. 1]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
169
Несобственный интеграл с бесконечным
пределом интегрирования. Если существует
предел определённого интеграла
Ь со
lira {j(x)dx = \f(x)dx,
6->ooJ J
где / (л-) — интегрируемая функция, которая
определена для всех значений л:, больших а,
то интеграл называется сходящимся. Предель-
ное значение этого интеграла называется не-
собственным интегралом функции f(x) на
полубесконечном промежутке (я, оо). Если при
Ъ-+ оо указанный предел не существует, то
определённый интеграл называется расходя-
щимся. Интеграл от функции f(x) называется
абсолютно сходящимся, если существуют оба
предела:
ь ь
lim \f(x)dxw. lim \\f(x)\dx.
Ь-^-ooJ b-> оо J
а
Если первый предел существует, а второй
нет, то интеграл называется сходящимся не
абсолютно.
Интеграл сходится абсолютно, если инте-
грируемая функция f (х) может быть предста-
влена в виде л~в<р (х), где «>1 и у(х)—огра-
ниченная функция на полубесконечном про-
межутке (а, оо). Если функция <р (х) сохра-
няет на всём промежутке (а, оо) постоянный
знак, причём нижняя граница её модуля от-
лична от нуля и а <^ 1, то интеграл расходится.
Интеграл может в некоторых случаях сходиться,
однако не абсолютно и при а<[1, если только
<р (А') меняет знак в промежутке (а, оо) бес-
конечное число раз.
В частности, интеграл сходится абсолютно,
если при рЛ>1 и x->oo существует предел
произведения х^ f(x). Если же этот предел
существует и отличен от нуля при ц<;1, то
интеграл расходится.
Пример. Интеграл
cos a x dx
(' cos ax
J -TT1
сходится, так как
интегрируемая функция может быть представлена
в виде — (-——- cos а х\ , причём функция о (х) =
х3
= -——- cos а х ограничена на всём полубесконечном
промежутке @, оо).
Пример. Интеграл
lim
Х-+00
arctg x
arctg?
~
dx расходится, так как
Признак сравнения: если при х^а спра-
ведливо неравенство 0 <[ / (х) ^ «р (х), то из
сходимости второго из интегралов
следует сходимость первого; из расходимости
первого вытекает расходимость второго инте-
грала.
Пример. Интеграл
Антея интеграл \ —
Г_Ё?.
J ln.v
расходится, так как расхо-
Г dx 1,1
\ — и - — > —
J л \пх" х
„ la х
lim ——
оо х
Л
=01
}
Признак сходимости неабсолютно сходя»
оо
щихся интегралов: интеграл I / (х) <р (х) dx
а
сходится, если у (х) — положительная убываю-
щая функция, стремящаяся к нулю при не-
ограниченном возрастании х [например <р (х) —
х
— х~*, а>0], а интеграл I f(x) dx остаётся
а
ограниченным при всех значениях х ^> а, сколь
бы велики они ни были (существование предела
последнего интеграла при л —>оо не требуется).
оо
sin x*dx (см. стр. 173)
х =V~t сводится к интегралу
заменой переменной
Р sin tdt
который сходится, так как I I ~ sin tdt
О
1 —cos t
< 1 и lim -—; =0.
Несобственный интеграл от неограничен
ной функции. Пусть функция / (л-), заданная
для a <L х <^ Ь, принимает неограниченно боль-
шие значения вблизи точки х = Ь. Если при
этом существует предел интеграла
6-s Ь
г*
lim
то интеграл называется сходящимся. Предель-
ное значение этого интеграла называется не-
собственным интегралом от неограниченной
функции t (х) на промежутке (а, Ь). Если ука-
занного предела не существует, то интеграл на-
зывается расходящимся. Аналогично опреде-
ляется несобственный интеграл в случае, когда
точка разрыва х = с функции / (х) лежит внутри
промежутка (а, Ь):
b f— s, Ь
(f(x)dx^\im Г /(х) dx + 1га f / (v) dx,
a l a a с+«2
при этом положительные величины ej и ^
стремятся к нулю независимо друг от друга.
Сходимость интеграла от неограниченной
функции зависит от характера стремления к
бесконечности функции /(д) в окрестности
точки разрывах —с. Если функция f(x) может
быть представлена в виде /(х) = (х — с)-* ^ (х),
причём ср (д:) — ограниченная функция в окре-
стности точки х = с, то при з <^\ интеграл
сходится; если а ^ 1 и, кроме того, функция
'•if (х) вблизи х = t;, хотя бы с одной стороны
от точки разрыва (например при х> с) сохра-
няет знак, имея отличную от нуля нижнюю
границу модуля, то интеграл расходится; на-
конец, если при а^>\ нельзя указать такого
числа S, чтобы при \х — с\<^о функция <?(х)
сохраняла знак, то возможны оба случая и тре-
буется дополнительное исследование.
В частности, если при |л <^ 1 произведение
(х—c)^f(x) стремится к некоторому пределу
при х, стремящемся к с, то несобственный
ь
dx сходится. Если же при
интеграл
J/W


170
[РАЗД. I
стремлении х к с существует отличный от и интеграл
нуля предел произведения (х — сI* f(x) и
Н->-1, то интеграл расходится.
со
Примеры. 1, Интеграл Г(д)= f t e~*dt (гам- сходится.
W
J *1+
dx
ма-функция, см. cxji. 139) можно рассматривать как
(a> 0).
2. Если в < х ^ N (е > 0), то t* ~ 1 e~
а оо
. J t*~l е~( at и J
О а
Второй интеграл сходится при любом значении х,
так как
lim f (tx — ' е~ f) = 0 (см. стр. 149).
*->• 00
Первый интеграл сходится при х > 0, так как при
этом 1 — х < 1 и
lim f1— •**•*— 1 <?-*) = !.
при 0<f <1, а при
•как интегралы
1
О
сходятся, то интеграл
Г-1 *-'. Та*
tN-l e-t м
\
dx
2. Интеграл | —— расходится, так как
О
lim *~ * =1.
сходится равномерно на отрезке Е <: х •< Л7 и является
на этом отрезке непрерывной функцией параметра х.
Число е может быть сколь угодно малым, а число N —
сколь угодно большим.
l _ Главное значение интеграла. Если функ-
з. Интеграл \yin~xdx сходится, так как для ция /(х) принимает неограниченные зна-
0 ------ - ------
э < у- < 1
_
lim х'^ тЛп *=0.
. . . *-»о г
Равномерно сходящиеся интегралы. Не-
чения в окрестности точки х = с и пределы
с — t, ' Ь
lim f }(x)dx и lim f f(x)dx
-
собственный интеграл J / (x,a) dx называется не существуют [т. е. интеграл J / (x) dx в
а -а
равномерно сходящимся на отрезке [а0, aj, обычном смысле (см. стр. 169) расходится],
если при любом заданном числе ?>0, сколь то предел суммы
бы мало оно ни было» существует такое число л,
что при всяких значениях N и а, изменяющихся
в области N^n, a0^a^alt имеет место оценка
ЬЛ.
1
t (*,«) dx
Существенно подчеркнуть в этом определе-
нии, что число п не должно зависеть от а,
а зависит только от е.
Равномерно сходящийся интеграл является
.непрерывной функцией параметра а на отрез-
ке [с<о, aj, если / (х,а) непрерывна в области
. Если равномерная сходи-
мость не имеет места, то интеграл j f (x, a) dx
если он существует, называется главным зна-
чением интеграла (valeur principale).
Пример.
Ь /c — s Ь ,
П I П П \
v. р.1 _^5___нт —^-г+ —7Г-Т -
а Е"*" \я с+е /
1_+^_ 1,1} ._
2е3 2(а —сK 1(Ь — с)* 2ea J
может и не быть непрерывной функцией пара-
метра а.
Признак Вейерштрасса. Интеграл
Аналогично определяется главное значение
интеграла с бесконечными пределами интегри-
j j (x,a) dx сходится равномерно на отрезке рования
+./V
lac, aj], если можно указать такое число N и
такую функцию ср (х) (так называемую мажо-
рирующую функцию), что при x>/V и
бупет иметь МРГТО НРПЯНРНГТВП п иски1иуыл елучаил, ири независимом сгрс-
оудет иметь место неравенство млении к бесконечности нижнего и верхнего
пределов интегрирования, несобственный инте-
грал может расходиться, в то время как глав-
v. p. f f(x)dx= lim f f(x)dx.
J 7/->ooJ,T
— оо —ЛГ
R некоторых случаях, при независимом стре-
|/ (х)\ ^ )<р (х)\, причём интеграл l«p (x)\
сходится. о
Примеры. 1. Если п > 0, то интеграл
Г
ное его значение может существовать.
Пример.
dx
сходится равномерно для всех значений у, так как
cos(ху) | . 1
И+я i^ ,1 + я
.,
—— •"*
Диференцирование определённого инте-
грала no параметру. Если функции f(x,a)


If Л.. 1}.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
171
и /л(х,<*) непрерывны, то непрерывна и дифе-
ренцируема функция
причём
4
/"(«) = J4 (*,«)**•
а
В более общем случае, когда
Л-,(а)
/=(«)= j f(x,a)dx,
•*о(«)
производная имеет вид
Пример.
•я У
_d_fsinj^L Г
ЧУ J х J
2у
sin —
2
3sin.y»
Вычисление некоторых определённых инте-
гралов может быть произведено с помощью
диференцирования определённого интеграла
по параметру.
Пример.
д
~~fa \ ln(a*cos'x + b'sln'x)dx-
0
Г 2асо&х4х к
~ J a3cos*j:-fft8sinjjr = а + Ь
О
(подстановка igx-=u).
Следовательно, интеграл
У (а, &}= | In (a3 cos» х + fr" sina дг) Лс=я 1п (Л + ftL ? (ft).
О
Здесь <р (Ь) — неизвестная функция параметра Ь,
которая должна сводиться к постоянной, так как ана-
логично можно получить Да, й)=к la (a-\- Ь) + ф (а). По-
лагая а=6=1, получаем УA,1)=0 и, таким образом,
вследствие непрерывности J (а, Ь) как функции пара-
метров, <Кя)=9 F)=— * in 2, т. е.
Itf (ej cos5 jr+ftasina x) dx =7t In
Диференцирование по параметру не-
собственных интегралов
если соблюдены следующие. условия: 1) функ-
ция f(x,a) непрерывна и имеет непрерывную
частную производную по а в области измене-
ния переменных х !> a, OQ ^ а <; ах; 2) несоб-
ственные интегралы
сходятся на отрезке оо^а-^^, причём по-
следний интеграл сходится равномерно. ,
оо
Пример. Если J(a)=\ е ~ л3со$ 1лх dx, то
(.v, а)й?лг, J /^ (х,
с
*L~JL Г в-
do tfa J
__ f е~х* 2 л-sin 2 и.г
a
-2<х j e~x~ с
6
Диференцированне под знаком' интеграла возможно,
так как интеграл
со
I хе—х sin 2ол dx
сходится равномерно (мажорирующая функция xe~JC').
Из диференциального уравнения . — — 2аУ следует,
UQL-
что / =- Се~а* (см. стр. 222), причем С = —^-, так как
F)-
JtLr
2
Таким образом
: СО
I е— ** cos lax
Интегрирование определённого инте-
грала по параметру
а, Ь . Ь ч,
JJ ^
а «о
если f(x,a) ограничена во всей области
а<1 х <I b, OQ^, a^aj и, за исключением, может
быть, конечного числа прямых х = const
и a = const, непрерывна в этой области.
Интегрирование по параметру несоб-
ственных интегралов
а, оо со Oj
1. Г/ (j(x,a)dx\da=[{\f(xta)<b\dx,
а0 а .а а0
если /(л:,а) ограничена и непрерывна в обла-
оо
сти л- > a, ao < a -< сц и интеграл J / (JT, a) dx
a
сходится равномерно на отрезке [a0, aj.


172
МАТЕМАТИКА
(РАЗД. I
Пример.
b
I *-'*<*'
a
поэтому
oo
\~(e~ax_e-b
(i
6/00
1
ooj b j
*)^-Ш«--««*'}*г-
0 \a 1
ч b
Если функция f(x) чётная, то
oo oo
2 Г Г
f(x) = — \ cos их du \f(t) cos ut dt,
^ 0 0
(/W =/(-*))-
Если функция f(x) нечётная, то
OO 00
0/00
Г i Г — V a
я { 5
dx
Изменение порядка интегрирования возможно, так
к<-к интеграл
сходится равномерно на [а, Ь] (мажорирующая функ-
ция e~~a*},
со| oo I ooi оо \
2. П J f(x,a)dx\ da = J I J7(*,a) rfal Лс,
a,, Ifl J «''o J
если: 1) функция /(*, a) определена и непре-
рывна в области изменения переменных х^а,
со
a ;> 00; 2) интеграл Г '/ (ж, а)| t/л: сходится и
а
является непрерывной функцией от а при всех
00
значениях a^ao; 3) интеграл f \f (x,a)\ da
«о
сходится и является непрерывной функцией
от х при всех значениях х ;> а и 4) сходится
один из повторных несобственных интегралов
/(*)=— Г sin uxdu Г/ (/) sin utdt,
о о
(f(*) = -/(-*)).
Интегралы Эйлера. Определение.
Интеграл Эйлера 1-го рода
1
Ъ(Р>Я)= j xp -l(\ —x)«-1 dx.
и
Интеграл Эйлера 2-го рода (гамма-функция,
см. стр. 139)
e~xdx.
Основные свойства:
1.2-3...(<7-
' (Р + Я-]
если ^ — целое и больше 1.
или
со/ со .
J j|/(Jf,a)j^
<х„ la J
<*х
Значения некоторых определённых ин-
тегралов
Пример.
\ О
о i о
(подстановка .г = в/).
В последнем выражении порядок интеграции может
быть изменён и таким образом:
l2 ОО/ОО
' J a + **« 2 l^a*'
о n r
л тс
2. I In cos x dx = I In sin x dx = — re In 2.
о о
3.
-T>- при f> > 0
О при 0= 0
1 +1a
tgx _ jr
jc "" 2 '
Интеграл Фурье
00 +OO
1C С
f(x) = — \du \J (i) cos и
re J J
0 -co
+ 00 +00
— jc) Л =
Здесь / (x) — функция, удовлетворяющая на
любом конечном интервале условиям Дирихле
(см. стр. 264) и такая, что интеграл
+ 00
сюдится.
5.
-J1
0 0
= 2-4-6...2л
~~ 3-5-7... Bл-г 1)
n t
Т Т
/> Л
3. j sin «*<**= J
о
1-3-5. ..B/t— 1) _«_
2-4-6.772/1 2 *


ГЛ. 1]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
173
ОС
7. f e~ax dx- l .
J a
0
00 _____
b
oo
0 \xn c~axdx n[ (a>0)
о a"+l
oo
Л v-« — 1 /VY r
1 0 \ @ <?" П ^ I)
" J x 4- 1 sin п т.
0
It
11. I ln(l — 2acosA- -}- a2) rf;c =
0
j 0 ( _ i <^ a <^ 1)
-j 2iclna («»>!)
2
12. j sin2'+1Jfcos2« + 1jfrfv =
2 (p -{•- q -\- 1) I '
00
л _ _ Д
0
oo
14. 1 e~ax sinftr flf* = — - —— -.
J a* -j- 0J
0
00 —a* .
л * sin л- 1
15. \ —————— dx = arctg — .
0
CO
16 \ c~°*'x2k + l dx - l kl
0
00 __
p aot. У "К 1-3 Bk — 1 )
17. \ e x dx = — ^ — ——————— r — .
0 9 a 2
? 1 /~~ в
oo oo
л Г1 т/-
22. cos(x2)rf^— \ sin(jc2)rf^ — — —— .
J ^ 21/2
0 0 F
Г 2 @<«<!)
23. j . suljcdx _J 2 l
0 V — a COS ЛГ + a | a
+ 1
'»/) \ ^ ^ ^
_,(« x)V ~x V о-—
, 0. "r1 A-2rtrf.v 1-3-5... B/1-1)
^O. 1 —————— -— —— - — ^== ————- ~ —— - —— ————— - —————— ТЕ
J yi л-з 2-4-6... 2/z
— i
00 i
26. f — ,— — — = ——— - ——— @ < т < н).
J 1 + Л"" от TT: v ^ ^ 7
о л sin ———
n
i
27. (A -x)PXl ~pdx = p l~~f> K
J 2 sm^n
и
1
p 1
28. 1A — л:^6" дга-1 rfjf = — .
0
i
29- Г— xP ^ - -R2- (pi < i).
J A — X)p 8Ш/7ТС
1
30- J TT2^c^SX + ^ = 4" X CSC X
и
1
f л-77 4-A-~p nsin^X ^, .
0
1 xp -\- x~p dx
32. \ — ——— - ————— — =
! v^ Я i О /»QC V l у — т А'
0 ~
sin -=-— •
7C Cj
a . -, . рте
4 sin X sin J—
1
oo Г/1 -I/1—) ^ — J rfr 2
18.
34.f(l ,/-' ? - rWV-.
J<
oc
35
L
•1
V(l+fflx)(l-x) P
= — arctg p.
2ic 1
21.f eeee8Jrcos(esinx-/uc)d^ =2тс-^-. 36. f =^= = — In !-^.
I } n\ J l/(i_^)(i_x) p 1-?


174
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
от
42.
1
43. Jln (q + px) dx = ^y^ In (q + p) —
(' In x dx __ 1 _,
J A + IDA)""" 2 '
45. \ arcsin /?х rfx = arcsin p J
о
+ --y —p2 —•
1
46. arctg/?лг rfx = arctg p —
i
47. j arcsin(\fx)dx =-т~.
о
oo
48. f (arctg px)* dx = — In 2.
J JP
F/g--'^ _ i ,a
J ^—i ~ б "'
«.j
0
*"*
= жл
52.
=1 Щ 2.
Ч
—со
со
'•1
= -p- — - Щ -2_ .
tyq p
— со
1
ее
55.
хех dx _ JL_
ер ~" Т
dx
15
59.
dx 1
62. \sin*^—j- =
о . Х
4
rfx
_ С dx
63. \ sin qx sin /;x —— =
_.
64
•К-
о
оо
65. J(.
sinA: \asinaAT
cjn r
тс
— -.
2
= 0 (ft>a).
OO
с
Г
. \
J
sinx
p ± q cos 2jf л:
fi_
СО
I
p2 sin2 х + Я2 cos2 х х


ГЛ. I]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
175
_0 р cos mx dx
68. v.p. I ———————
r J cos*—cos a
sin ma
Разность Rn между точным значением
определённого интеграла и приближённым его
значением: •
_ (Ь — оK ~ .„ (для формулы трапе-
~ ~ ~~
69. v.p.
dx
= 0 (HO).
Вычисление интеграла с помощью ря-
дов. Если
я=1
и ряд равномерно сходится на отрезке [а,Ь],
то
lf(x)dx= 2 J "я (*)**•
а п=\ а
примеры.
sin x
1 Xs , I X5
1 ' 2 2! ^33! ' '"
@ < x < 1).
Здесь С = 0,577215665 ... — постоянная Эйлера.
х
? _ _]_?•> _1_?5 _
1 ~ И ~3~ "*" 2!" Т ~ • • • A
Приближённое вычисление определённых
интегралов
Формула трапеций. Промежуток интегри-
рования (а, Ь) делится на п равных частей
точками деления XQ = а, хг, х.2,..., х = Ь.
dx x
b — a
+ Уп-
Здесь у0 = f (d),yl = /(jfj),... ,yn =f (b).
Формула Симпсона. Промежуток интегри-
рования делится на 2п равных частей точками
х = a, X-L, х2,..., х.2п = &.
[Уо + У2п +2
Ь — а
' Qn
Здесь у0 =f(a),yl=f (xj,yz=
о _ _ (b — flMyiv/-g\ (Для формулы Симп-
" ~~ 2880/F и'сона).
Здесь $ — некоторое значение переменной
интегрирования из промежутка (а, Ь).
Формулы Чебышева
/
(f(x)dx ^ |[/@,2113/) +/@,7887/)] ;
ж ^[/@,1464 i) +/@,5 /) +/@,8536/)];
я: ^[/@,1027 /) +/@,4062 /) +
+ /@,5938/) +/@,8973/)];
»-g-[/@,0838/) +/{0,3127/) +
+ ^@,5/) +/@,6873/) +/@,9162/)].
Формулы Гаусса
z
|/(дг) d^r =r / [0,5/ @,21 13/) + 0,5/ @,7887/)];
ss. /[0,0278/ @, 1127/) +
+ 0,4444/ @,5/) + 0,0278/ @,8873/) ] ;
х / [0, 1793/ @,0694 /) + 0,3261 / @,3300 /) +
+ 0,3261 /@,6700 /) + 0,1793/@,9306/)];
х I [0, 1185/ @,0469 /) + 0,2393/@,2308 /) +
+ 0,2844 / @,5 0 + 0,2393 / @,7692 /) +
+ 0,1885 /@,9531/)].
Графическое интегрирование. Для по-
строения функции
dt
в интервале a^.t^.b строится график функ-
ции (фиг. 46) в координатах х, у, так чтс
- где а. и 0 — произвольные
Фиг. 46.
числа, определяющие масштаб построения. Про-
водятся несколько горизонтальных прямых /,


176'
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
2, 3,..., пересекающих ось у в точках, поме-
ченных этими номерами; проводятся верти-
кальные прямые 1, 2, 3,..., так, чтобы пло-
.щади, ограниченные кривой и соседними гори-
зонтальными прямыми справа и слева от вер-
тикальной прямой, были равны (на чертеже
эти площади заштрихованы); в точках пересе-
чения горизонтальных прямых с кривой
у — p/i — I проводятся пунктирные вертикаль-
ные прямые.
На оси х влево от начала откладывается
произвольный отрезок ОР = Л; точка Р со-
единяется с точками 1, 2, 3, ... на оси у.
Через произвольную точку At проводится пря-
мая, параллельная лучу рг, до пересечения с вер-
тикалью / в точке fl]. Через точку а\ проводится
прямая, параллельная лучу р2, до пересечения
с вертикалью 2 в точке д2 и т. д. Многоуголь-
ник с вершинами <?j, я2, °з» • • • образован каса-
тельными к интегральной кривой, точки пере-
сечения его сторон с пунктирными прямыми
А}, А2, As,... являются точками касания, сле-
довательно, принадлежат интегральной кри-
вой, которую легко вычертить по лекалу.
Ордината уг построенной кривой даёт значение
интеграла, именно:
= 7f J/СОЛ-
Площадь плоской области. Определе-
ние. Плоская область называется многоуголь-
ной, если граница её состоит из прямолиней-
ных отрезков. Квадрируемой плоской обла-
стью называется такая область, граница кото-
рой может быть заключена внутри много-
угольной области со сколь угодно малой
площадью. Площадью квадрируемой области
называется число, большее площади любой
многоугольной области, вписанной в данную
область, и меньшее площади любой много-
угольной области, в которую данная область
может быть вписана.
Пример. Пусть требуется найти площадь области,
ограниченной локоном Аньези у = —-—— и параболой,
У = "jr-*2- Обе кривые пересекаются в точках с абсцис-
сами лг=±1. Величина искомой площади плоской области,
указанной на чертеже (фиг. 47), представится
в виде разности двух интегралов:
+ 1 +1 -f-1 +1
dx
= С d* ——If^dr-
J i~+^ 2j
-i -i
arctg-г
K
Если уравнение кривой задано в параме-
трической форме х — ср (/), у = fy (t), так что
9 Ci) = в, <р (А>) = &,
то площадь, ограни-
ченная этой кривой и
прямыми х—а, х = Ъ
и у = О,
-/
*/
Фиг. 47.
Пример- Площадь 5 эллипса, заданного параметри-
ческими уравнениями х = a cos t, у = b sin t, равна
учетверённой площади заштрихованной (фиг. 48) чет-
верти ОАВ эллипса. Так как t - —
/ = 0 для точки А, то
О
для точки В и
Л b sin
r(—a sin t}dt =
Фиг. 48.
Если область ограничена кривой p =
(в полярных координатах р и 6/ и прямыми
6 = а, 6 = ?, то её площадь
с -
область ограничена кривой y=f(x) и пря-
мыми х — а, х = Ь, у — 0; функция / (х)
непрерывна, положительна и однозначна на от-
резке [а, Ь].
Если график функции у= J (х), заданной
на отрезке [а, Ь], пересекает ось Ох, то опре-
ь
делённый интеграл ] /' (х) dx будет предста-
а
влять алгебраическую сумму площадей, заклю-
чённых между графиком, -крайними ордина-
тами х — а, х = b и осью л:. Величины пло-
щадей, расположенных, выше оси х, войдут
в эту сумму со знаком плюс, а величины пло-
щадей, расположенных ниже оси х, войдут
со знаком минус.
В связи с геометрической интерпретацией
определённого интеграла операция его вычи-
сления называется квадратурой.
Пример. Вычислить площадь 5 кардиоиды (фиг. 49),
заданной уравнением р = а A —cosO). Так как при дви-
жении вдоль кривой поляр-
ный угол изменяется в интер-
вале @, 2л), то
2 тс •> -
sin
Фиг. 49. 4 Ь
Длина дуги. Определение. Если дли-
на вписанной в кривую ломаной линии стре-
мится к некоторому пределу, при безгранич-
ном увеличении числа звеньев ломаной и одно-
временном стремлении к нулю максимальной
длины звеньев, то кривая называется спрям-
ляемой, а указанный предел—длиной дуги
кривой. Если кривая задана при помощи урав-
нений X = /i (t), У = /a (t), Z = ta (t), TO, ДЛЯ


ГЛ. I]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
того чтобы она была спрямляемой, необходимо
и достаточно, чтобы функции /j (t), /2 (/)• /з (О
имели ограниченную вариацию (см. также
стр. 211). Достаточным условием спрямляемо-
сти кривой является диференцируемость функ-
ций /, (t), /2 (О, Л (О-
Вычисление длины дуги. Если кри-
вая задана уравнениями х — fi {t}, .У = /2@'
г =/» (Л, то
5 =
dy* + dz\
где 5 — длина дуги, a,b — значения параметра
t в концевых точках кривой.
Пример. Длина дуги арки циклоиды х = а (<р—sin у),
у = аA—cos <р) равна (фиг. 50)
Фиг. 50.
Если плоская кривая задана уравнением
^f(x), функция f(x) однозначна, то
и
-IV
1+ [/'(ЛГ)]2 rf,,
где a, & — абсциссы концов кривой.
Пример. Длина параболы
?-+ t* dt:
Если р==/@) есть уравнение гкривой
в полярных координатах [/F) —однозначная
функция], то ,
где 61( 02 — полярные углы для концов кривой.
Пример. Вычислить длину дуги логарифмической
спирали р==в~ , заключённой внутри круга, радиус
12 Том 1, кн. 1
которого равен единице {фиг. 51). Так как спираль
пересекает окружность р = 1 при значении <р = О и с
возрастанием угла <р делает внутри круга бесконечное
число . витков вокруг точки р =• 0, приближаясь асим-
птотически к началу координат, искомая длина дуги s
представится в виде сходящегося несобственного инте-
грала (стр. 169) с беско-
нечным верхним пределом
интегрирования.
Фиг. 51.
и
Площадь поверхности тела вращения
ь
Здесь ^==/(дг)—уравнение меридиональ-
ной кривой, a, b — абсциссы её' концов, х—ось
вращения.
Пример. Задача Гюйгенса. Боковая поверх-
ность 5 параболоида вращения, образованного вра>це-
3
нием вокруг оси х меридиональной кривой у3 -
н
где /? — радиус основания параболоида, Я—высота его
Я
V'H.
•г + -47Г*гв
_з н
2
.
6Я»
Объём тела вращения
ь ь
Здесь F (х) — площадь поперечного с&че-
ния тела, перпендикулярного к оси вращения
Ох; х — абсцисса сечения; о, & — абсциссы
концевых сечений; y=f(x —уравнение мери-
диональной кривой.
Пример. Объём эллипсоида вращения, образуемого
вращением вокруг^оси х кривой х = а со,? <р, у = f> sin <f,
= гс I у3 dx = — я ^ftM sin3
2 i (sin «P.— cos3 <p sin
6


178
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Криволинейный интеграл. Определе-
ние. Пусть на кусочно-гладкой кривой зафи-
ксированы точки А и В с абсциссами х = а
и х.= Ь и образована сумма
= a,xn = Ь),
i = I
где ti, r,ti, С,- — координаты произвольной вну-
тренней точки частичной дуги, ограниченной
точками деления кривой с абсциссами ^_i>
xf, функция Р(х,у, z) — непрерывна в некото-
рой области пространства, целиком содержа-
щей данную кривую. Если неограниченно
увеличивать число частичных дуг и одновре-
менно устремлять к нулю их максимальную
длину, то существует предел этой суммы,
называемый криволинейным интегралом функ-
ции Р(х,у, г) по переменной х, взятым вдоль
дуги АВ кривой; этот интеграл обозначается
символом
p(x,y,z)dx.
АВ
Наиболее общий вид криволинейного инте-
грала
(Pdx+Qdy+Rdz) =
АВ АВ
АВ
АВ
представляет сумму криволинейных интегра-
лов от функций A Q, R соответственно по
переменным х, у, z.
При интегрировании вдоль замкнутой кри-
вой начальная и конечная точки А л В сли-
ваются и криволинейный интеграл не зависит
от выбора этой точки, но зависит от напра-
вления обхода кривой при движении от
начальной точки к конечной; при изменении
направления обхода знак интеграла меняется,
абсолютная же величина интеграла остаётся
неизменной.
Вычисление криволинейного интеграла.
Вычисление криволинейного интеграла сво-
дится к вычислению определённого интеграла
Р(х, y,z) dx =
АВ
причём х = Л @, y=h (')• z = h (О — уравне-
ния кривой АВ, a =fi(a),b =/1(p), а, Ъ —
абсциссы точек А, В.
Выражение площади плоской области
с помощью криволинейного интеграла
*)
Здесь S — площадь области, ограниченной
плоской замкнутой кусочно-гладкой кривой С,
не имеющей двойных точек. Криволинейные
интегралы берутся в положительном напра-
влении, т. е. так. чтобы при обходе контура
С рассматриваемая область располагалась
слева. Предполагается, что система коорди-
нат—правая (фиг. 52) (взаимное расположе-
ние касательной s к контуру С, проведён-
ной в направлении интегри-
рования и внутренней нор-
мали п, совпадает с взаим-
ным расположением осей Ох
и Оу).
Пример. Площадь S, ограни-
ченная одной аркой циклоиды
х = a (t — sin t), у = а A — cos./) и
осью абсцисс (фиг. 50), может
быть выражена с помощью криво-
линейного интеграла (*), распро-
странённого по всей дуге арки и отрезку оси абсцисс,
замыкающему концы этой дуги.
Интеграл по прямолинейному отрезку равен нулю.
так как на этом отрезке у = 0 и dy = 0. При интегри-
ровании по дуге АВО циклоиды значение параметра /
изменяется в промежутке Bл, 0).
Таким образом
Фиг. 52.
S==-
1 — sin f) sin /- A-cos fI dt.
= )L (_ t cos / + 3 sin t - 4t)
Неопределённый интеграл от функции
многих переменных, например, от функции
/ (х, у, г) трёх переменных х, у, г, взятый по
переменной х, представляет выражение:
, z) dx = F(x,y,z) + W(y, z),
причём/7^, у, Zj — функция, частная произ-
водная которой по переменной х равна
f(x, у, г), функция же 47 (у, г) — произвольная
функция переменных у и г. Функция F(x, у, z)
существует в некоторой области измене-
ния независимых переменных, если функция
fix, у, z), рассматриваемая при фиксированных
значениях переменных у, г, является непре-
рывной функцией переменной х в этой
области.
Двойные интегралы. Определение.
Пусть независимые переменные х,у изменяют-
ся в некоторой замкнутой области О, и в
этой области задана функция j(x,y). С геоме-
трической точки зрения, области G соответ-
ствует на координатной плоскости ху некото-
рая плоская область, ограниченная замкнутой
кривой. Если эта область квадрируема, то её
можно разбить на частичные квадрируемые
области g.,, ?2,- • • Пусть о/ обозначает площадь
частичной области g^ af(x^y^ — значение
функции j (x,y), которое она принимает в не-
которой точке PI частичной области с но-
мером / . Выражение
называется интегральной дельта-суммой, если
наибольшая хорда любой из частичных обла-


ГЛ. I]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
179
стей меньше некоторого числа В. В зависимости
от способа разбиения основной области G и
от выбора точек Р. внутри частичных обла-
стей g дельта-сумма может принимать бес-
численное множество значений. Если суще-
ствует такое число А, что разность между этим
числом А и любой дельта-суммой стремится
к нулю при стремлении В к нулю, то функция
}(х,у) называется интегрируемой в области G,
а предел А, обозначаемый символом
называется двойным интегралом от функции
](х, у), распространённым на область G.
Одним из возможных разбиений области G
является разбиение этой области (или, по
крайней мере, некоторой внутренней её части)
прямыми, параллельными координатным осям,
на частичные прямоугольники со сторонами Дл:,-,
AV,-. В соответствии с этим для обозначения
двойного интеграла служит символ
если область G разбита на конечное число
квадрируемых областей G!, Ga,..., G/t .
Теорема о среднем для двойных инте-
гралов. Если функции / (х, у) и <р (х, у) не-
прерывны в области G и функция <р (х, -у)
сохраняет постоянный знак, то всегда можно
найти внутри области G точку с такими коор-
динатами ?, tj, что будет иметь место равен-
ство
G
Вычисление двойного 'интеграла. Двой-
ной интеграл, распространённый на область
G, ограниченную прямыми х = а, х = Ь, у — а,
у = р, вычисляется с помощью двукратного
интегрирования
*
dxdy=*
= f(*,y)dy dx
Всякая функция, непрерывная в области G,
является интегрируемой в этой области. Ин-
тегрируемой функцией является также огра-
ниченная в области G функция, которая имеет
внутри этой области бесконечное множество
точек разрыва, причём все точки разрыва
могут быть заключены внутри замкнутой об-
ласти со сколь угодно малой площадью (в
частности, если точки разрыва располагаются
на некоторой линии, проведённой внутри об-
ласти G).
Геометрический смысл лвойного ин-
теграла. С геометрической точки зрения,
величина двойного интеграла может быть
отождествлена с величиной объёма некото-
рого цилиндрического тела, ограниченного
частью координатной плоскости Оху, цилин-
дрической поверхностью, с образующими, па-
раллельными оси Oz, построенной на контуре
области G, и поверхностью, заданной уравнением
z = J(x, у). Объём тела понимается при этом
в смысле предела, к которому стремится сумма
объёмов, вписанных внутрь этого тела паралле-
лепипедов, если площадь оснований паралле-
лепипедов стремится к нулю, а число их
неограниченно возрастает.
Основные свойства двойных интегралов
I \af(x,y)da = a \ \f(x,y) Aз(а — постоянная);
V GJ
,y)ds = f f/(roO<fo-|-
G,
+ f \f(x,y) Л + . • . + f \f(x,y) da.
viJ ь/ t/
В случае произвольной выпуклой области
f(x,y)dydx.
причём у = ^(х), у = ч%(х} — уравнения для
нижней и верхней частей контура области G,
«, b — абсциссы концов отрезка, являющегося
проекцией области G на ось абсцисс. При
выполнении интегрирования по переменной у
(вычисление внутреннего интеграла) вели-
чина х считается постоянной.
Пример. Интеграл J от функции f(x, y)=x* v, рас-
пространённый по области, ограниченной биссектрисой
координатного угла хОу и дугой окружности радиуса
г с центром (фиг. 53), лежа-
щим на оси Ох, и касающей-
ся в начале координат оси Оу,
может быть вычислен следую-
щим образом:
г Ylrx —
y-j( I ""]'" -о
У 2гх—
Г / хаBгх — х") _?«\
Ах*
.
20'
Значительно более сложным является вычисление
этого двойного интеграла, если произвести сначала ин-
тегрирование по переменной х
?(
Ч
-и \
и U-
»_y.


180
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
Формула Дирихле. Если интегрирова-
ние распространяется на треугольную область,
ограниченную биссектри-
сой координатного угла
хОу, осью абсцисс и орди-
натой х — а (фиг. 54), то,
обращая порядок инте-
грирования по перемен-
ным х и у, при вычисле-
нии двойного интеграла
получим формулу Ди-
рихле
а
Фиг. 54.
f(*,y}dy
то
f(x,y)dx\dy.
Аналогии с простыми интегралами. Если
U(*,y) =
Если
то
<КУ),
где <р (лг), ^ (>') — произвольные функции.
Аналогия с формулой Ньютона — Лейб-
ница. Если
дхду
„ ,
=/(•*, .У),
то
+ F (a, b).
Формула Грина
где L — контур области G, интегрирование
вдоль которого ведётся в положительном на-
правлении, т. е. так, чтобы область интегриро-
вания располагалась при.обходе контура слева,
если система координат правая
(фиг. 52); Р, О, ^, Днепре-
рывпы в области G и на её
границе.
Контур, ограничивающий
область, может состоять из не-
скольких замкнутых контуров,
ограничивающих область не только извне, но
и изнутри (фиг. 55). В этом случае криволи-
нейный интеграл по контуру L представляет
сумму криволинейных интегралов по отдель-
Фиг. 55.
ным контурам L,, Z.J,-
Интегрирование
по внешнему4 контуру LI ведётся в направле-
нии, обратном Движению стрелки часов, а ин-
тегрирование по внутренним контурам--Ly,- •-,
Ln —в направлении, совпадающем с движе-
нием стрелки часов.
Формула замены переменных в двойном
интеграле
\du dv,
= \\F[f(u,v)#(utv)]
где
D(utv)
да. dv
д_? fy
ди dv
если производится замена x=f(u,v},
y = <f(u,v), причём область G является взаимно
однозначным образом области G, •
В случае перехода от декартовых коорди-
нат к полярным
х = pcos б, у = psin 6;
поэтому
р (х, у)
D (р, 6)
= Г Г/ (р cos 6, р sin 6) р dp rf6.
G,
Отображение областей. Вычисление пло-
щади. Геометрический смысл функциональ-
ного определителя. Равенства /(«, ») = л,
ср (и, v) = у устанавливают соответствие между
координатами х,у точек некоторой области G
плоскости ху и координатами ы, v точек дру-
гой области GJ, расположенной на координат-
ной плоскости uv. Точки области G называ-
ются образами соответствующих точек области
GI- Область G называется образом области Gj.
Функции/(м, v) иср(м, о) в дальнейшем пред-
полагаются непрерывными вместе с первыми
частными производными внутри области GJ.
Предполагается также, что соответствие, уста-
навливаемое рассматриваемым преобразова-
нием между точками обеих областей, взаимно
однозначно, и детерминант
О (/.?)=•
D (и, v)
ди dv
ди dv
который называется функциональным опреде-
лителем, или якобианом, сохраняет знак в обла-
сти G,.
При движении точки вдоль контура L1
области GJ её образ перемещается вдоль кон-
тура L области G. Преобразование называется
прямым или обратным в зависимости от того,
будет ли при этом движении точек направле-
ние обхода контуров L и L^ одинаковым или
взаимно противоположным. Если определитель
сохраняет положительный знак внутри
D(u,


ГЛ. I]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
181
области GJ, то преобразование является пря-
мым.
Площадь а области б, ограниченной кон-
туром L, представляется интегралом
D (к,
По теореме о среднем, площади и и
областей G и GJ связаны зависимостью
где
.
— значение якобиана в некоторой
D (а, р)
точке, и = а, »=Э области G!..
Таким образом абсолютная величина функ-
ционального определителя в некоторой точке
М] области GJ (плоскость ии), образом кото-
рой является точка М области G (плоскость
ху), равна пределу отношения площади некото-
рой малой области g, заключающей внутри себя
точку М, к площади соответствующей области
&, заключающей внутри себя точку /И], при
безграничном уменьшении площади области gj
и одновременном стремлении к нулю наиболь-
шего расстояния точки Мг от контура
области gi-
Площадь поверхности. Определение.
Пусть поверхность S задаётся параметрически
уравнениями х = f (и, v), у = у (a, v), z ~ <Ь (и, о) .
Функции /, <у, ф предполагаются однозначными,
непрерывными и имеющими непрерывные ча-
стные производные в некоторой области R
плоскости uv, ограниченной контуром /., причём
л о л
ни в одной точке области /? якобианы
D(y,z)
———
не обращаются одновременно
D (и, v) D (u,v)
в нуль. Поверхность S называется в этом
случае правильной.
Всякому разбиению области /? на частич-
ные области г; соответствует разбиение пра-
вильной поверхности S на частичные поверх-
ности Sf. При этом некоторой произволь-
ной точке n\i частичной области г{ соответ-
ствует точка MI частичной поверхности s,.
Пусть разбиение области R таково, что
линии, параллельные нормали к поверх-
ности, проведённой в точке Af/, пересекают
частичную поверхность sz- лишь в одной точке.
Этим свойством будут обладать все частич-
ные поверхности 5/ разбиения, если частичные
области Г{ достаточно малы.
Если провести касательные плоскости
в точках MI правильной поверхности и спро-
ектировать частичные поверхности s/ на соот-
ветствующие касательные плоскости, то ка-
ждой Sj будет соответствовать площадь а/ пло-
ской области, полученной при таком проекти-
ровании области 5/.
Площадью з поверхности называется пре-
дел, к которрму стремятся суммы всех площа-
дей <?/, если все частичные области г,- стремятся
к нулю, .притом так, что максимальные хорды,
стягивающие точки контуров YJ, ограничива-
ющих эти области, стремятся к нулю.
Вычисление площади поверхности. Если
правильная поверхность задана уравнением
х = х (и, v), у — у (и, v ), z = г (и, v), то площадь
поверхности
а = Г f }/"EG - F* du dv.
Здесь область /? является образом поверх-
ности 5 на плоскости uv: ;
...
Е==
Ти
с _дх дх ,_ду ду . дг dz t
~~ ди dv ' Wi dv'du dv'
Если поверхность задана уравнением z =
f(x,y), то .
Здесь область D — проекция поверхности
на плоскость .v, у.
Пример. При пересечении сферы дг'-f У*-\-г*=а* и
д3 уг
эллиптического цилиндра — Ц- TJ =1 (*<") вырезаются
два куска сферической поверхности. Определение пло-
щади о одного из этих кусков сводится к вычислению
двойного интеграла:
дг х дг у - _
причем в этом случае-^- ==—— -—= — i-,a область О
v J дх г ду z
х* уа
ограничена эллипсом - -f ~ =1. Поэтому будем иметь
л б
а
Г
~"J
t/
— а
а
•fi
г/'-»
1
v~.
J / , Л-*
-* у '-*
. +
arcsin —— ^ —— 1
4У
C- Х>-у>
Г 1 ~а*
= 2а arcsin — I dx = 4а5 arcsin —
.а '


182
МАТЕМАТИКА
(РАЗД. !
. Если поверхность состоит из конечного
числа кусков правильных поверхностей, то
площадь такой поверхности может быть пред-
ставлена суммой двойных интегралов, каждый
из которых равен величине площади соответ-
ствующего куска правильной поверхности.
Объём тела. Определение. Объёмом
тела называется верхняя граница объёмов все-
возможных многогранников, которые могут
быть вписаны в тело, если эта верхняя гра
ница совпадает с нижней границей объёмов
многогранников, в которые может быть вписа-
но это тело.
Объём тела существует, если поверхность,
ограничивающая тело, может быть заключена
внутри многогранника сколь угодно малого
объёма.
Выражение объёма с помощью двойных
интегралов. Если тело ограничено поверх-
ностью, которая пересекается линиями, парал-
лельными оси Ог, в двух точках, то объём V
этого тела может быть представлен в виде
разности
V--= f f/i (x,y)dxdy-\( h(
V D
причём область интегрирования D является
проекцией тела на координатную плоскость
ху, а поверхности, ограничивающие тело сверху
и снизу, представляются уравнениями
В частности, может быть /2 = 0 ^поверхность,
ограничивающая тело снизу, — плоскость г = 0).
Пример. Найти объём V тела, ограниченного цилин-
дром л* -f- Т == ох, гиперболическим параболоидом сг~ху
и плоскостью г — 0, причём
для точек тела координата
у > 0. Интегрирование в
этом случае производится
по области D, предста-
вляющей полукруг, ограни-
ченный полуокружностью
х*+уа = ах, у>0 и осью
Ох, которая является ли-
нией пересечения плоскости
Z.
Фиг. 56.
г = 0 и гиперболического
параболоида (фиг. 56).
а (Уах. ~ Xs
^-dy idx
Ox
Ix (ax —Xs)
2с
dx=
U
л*_?|\ I
6i &с) | "
24?
Поверхностные интегралы. Опреде-
ление. Пусть правильная поверхность S
разбита на п частичных поверхностей з\, s2,
...,*„ и olf о2, ..., а„ — площади частичных
поверхностей; F (M) — непрерывная функция
точек поверхности (каждой точке поверхности
соответствует определённое значение функции),
F (Mj) — значение функции в произвольной
точке MI частичной поверхности $,-. Предел
суммы %F(Mi)ai при безграничном умень-
шении каждой из частичных поверхностей
(подробности предельного перехода аналогич-
ны приведённым на стр. 178, 179, при определе-
нии двойного интеграла) называется поверх-
ностным интегралом и обозначается символом
F (M) di.
Вычисление поверхностного интеграла.
Если поверхность S задана параметрическими
уравнениями х = х (u,v)t у = у(и, v), z =
-- -2(u,v)tToF( И) = Ф [х(и, v), у (at v), г(и, v)] =
= f (w, v) и поверхностный интеграл сводится
к двойному:
= Г f Ф (х, у, 2) di =
'
— f f
R
f(u, v)
dv.
Значения величин ?, G, F приведены
на стр. 181, а область R есть образ поверх-
ности S на плоскости uv.
Если поверхность задана уравнением г —
— г{х, у), то F (M) = Ф [ х, у, г (х, у)] и
11
Область D есть проекция поверхности 5 на
плоскость ху.
Пример. Координаты центра тяжести восьмой части
сферы .V + у1 + г3 = Я3, вырезанной координатными
плоскостями .v = 0, у = 0, г = 0 и расположенной в
первом октанте, вычисляются следующим образом:
{{xdi
^з j I V
R sin 8 cos ф /?asin в <Й \
0 0
так как х — R sin в cos <V, de— R* sin 9 d8 d<V-
В случае двухсторонней поверхности
I (P dydz + Qdzdx + R dx dy) =
11<
= \ \(РCOS a
О
Q cos ;* -f R cos Y)
где a, p. 7 — углы нормали к поверхности,
проведённой в выбранную сторону, с осями O.v,
Оу, Oz; P(rt у, z), Q(x, у, z), R(x, у, г)~
непрерывные функции, определённые на по-
верхности.
Интеграл I I R dxdy представляет собой
V
предел интегральной римановой суммы
которая может быть образована, если раз-
бить, как указано выше, поверхность 6' на
частичные поверхности sf, R (х& У{, г?) —
значение функции в произвольной точке ча-
стичной поверхности Sj, g; — проекция на


ГЛ. 1)
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
183
плоскость ху площади <st поверхности s/ (со
знаком плюс, если угол между осью иг и
нормалью к поверхности, проведённой в вы-
бранную сторону, острый и со знаком минус —
в противном случае). Аналогичное значение
имеют выражения \ I Р dy dz \\ II Q az dx.
5 5
Существенно указать сторону поверхности, на
которую интеграл распространяется, т. е.
выбранное направление нормали к поверхности.
Если выбрана такая сторона незамкнутой
поверхности г = z (x, у), что нормаль, прове-
дённая в эту сторону, образует во всех точках
поверхности острые углы с осью Oz, то поверх-
ностный интеграл сводится к двойному:
У
и
R (х, у, z) dx dy —
= \\R(vty, z(x, v)]dxdy.
D
распространённому на плоскую область D
плоскости ху, являющуюся проекцией поверх-
ности на эту плоскость. Если поверхностный
интеграл распространён на противоположную
сторону поверхности, то
J j R (v, у, z) dx dy = - J J R [xt y, z (x, y)] dx dy.
Объём тела, выраженный с помощью
поверхностного интеграла
x dy dz •== Г Г у dx dz -— f f z dx dy =
„sJ ,U
— _ I \ (x dv dz + у dx d: + z dx dy),
3J
причём интеграл распространён на внешнюю
сторону поверхности 5, ограничивающей тело.
Формула Стонса
?. -**}**,} =
dz dx ) J
Здесь P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) не-
прерывны вместе с первыми частными
производными в некоторой трёхмерной обла-
сти, содержащей внутри себя правильную двух-
стороннюю поверхность S; С — замкнутый кон-
тур поверхности S, интегрирование вдоль ко-
торого ведётся в положительном направлении,
т. е. так, чтобы обход контура представлялся на-
блюдателю, расположенному на выбранной
стороне поверхности 5, совершающимся про-
тив стрелки часов, если система координат х,
у, г — правая (см. также стр. 193).
Тройной интеграл. Область трёх измерений
G, в которой задаётся интегрируемая функция
F(x,y, z), разбивается на частичные области
#,-с объёмами и-,; предел суммы 2^F/, т),-, C/)f,-
(смысл предельного перехода и использу-
емые обозначения аналогичны приведённым
на стр. 178, 179, при определении двойного
интеграла) называется тройным интегралом и
обозначается посредством символа
ш
F (х, у, z) dx dydz.
Вычисление тройного интеграла. Вычис-
ление тройного интеграла может быть сведено
к трёхкратному вычислению обыкновенных
определённых интегралов.
и
а
F (х, у, z) dx dy dz —
F (x,y, г) dz \ dx dy
<F3
а V <р, (х) Ц., (х,у)
,у, z) dz
н
dx.
Область О ограничена поверхностями
г — «ij (х,у), z = <|/2 (х,у> и цилиндрической по-
верхностью Ф(х,у)— 0, проходящей через
контур плоской области D плоскости ху, на
которую проектируется область G. При выпол-
нении интегрирования по переменной г осталь-
ные переменные х,у считаются фиксирован-
ными параметрами. Определение пределов
интегрирования cpj (л:), <рз (x)t a, b соответствует
приведённому при вычислении двойного инте-
грала по области (см. стр. 179).
Пример. Определение момента инерции относительно
оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностью
параболического цилиндра г3 = Чах, поверхностью круг-
лого цилиндра х3 + у3 = ах и плоскостью 2 = 0, сво-
дится к вычислению тройного интеграла J, распростра-
нённого на область G, занятую телом:
.\\\ (
а+ у*) dx dy dz ••
dxtty.
Здесь D—плоская область, ограниченная окружно-
стью ,va + у3 = ах. Далее имеем
Vax~=.
ПК ах — *Y I
I I
t/ _____ I tJ
— Vay - »-з L 0
У.
I
у*) Oz \dy\dx
Vax — .г2
^x + ax* VT^x) dx
~ У2
При вычислении последнего интеграла следует вос-
пользоваться подстановкой а — х = .у2.
Диалогично вычисляется объём V рассматриваемого
тела:
-Ш
15
Искомый момент инерции тела J = -^ Ма", где М —
масса тела.


МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Выражение объёма с помощью трой-
ного интеграла
где G — область, занятая телом.
Формула Острогрздского
\ \
J
(Р COS X -f ф COS (A -f R COS v) flfa.
Здесь 5 — поверхность, ограничивающая
область G, а )., ;л, ч — углы, составляемые внеш-
ней нормалью к поверхности с осями Ох,
Оу, О?. Функции Р (х, у, г), Q (х, у, ?),
R(x,y, г) непрерывны в области G вместе со
своими первыми производными (см. также
стр. 193).
Замена переменных в тройных интегра-
лах. При замене переменных х — f (и, v, w),
у = у (н, v, w), г =. ф (и, v, w)
III T(x,y,z)dxdy.:dz = IJ JV [f(u, v,w),
<p, (u,v, w), ф (», v, w)]
D (u,
причём область G — взаимно однозначный об-
раз области GI и якобиан
df_ df_ -6]_
да tiv dw
D (/, ср, ф)
D (a, v, w}
du ~dv ~dw
dw
Замена декартовых координат полярными
х = р sin 0 cos ?, з' = р sin 6 sin <р г = р cos 0;
О(х,у,г)
= \ И F(p sin б cos ср, р sin 6 sin <р» р cos fl)
Область G — образ области Oj.
Пример. Интеграл
dy\ dx
представляет тройной интеграл от функции Vx1 +y' -j- z1,
распространённый на восьмую часть сферы -x*^yt+z'l=I?,
вырезанную координатными плоскостями х=0, v=6, г==о'
причём ту, внутри которой дг>0, у >0, z> 0.
Если ввести вместо декартовых координат полярные
(см. выше), то в пространстве новых переменных область
интегрирования будет ограничена плоскостями г = 0.
r=R, 8
следовательно,
Условия независимости криволинейного
интеграла от пути интегрирования. Инте-
грал U = \ (Р dx + Q dy) не зависит от вида
АВ
» л г, дР dQ
кривой АВ, если -^- = — во всей односвяз-
ной области D, содержащей различные кривые,
соединяющие точки А и В. В этом случае, если
точка А (ХО,УО) фиксирована, интеграл является
функцией только координат х, у точки В, т. е.
?/ = Ф(.х,_у), причём эта функция удовлетво-
ряет уравнению в полных диференциалах
.
Обратно, если Р dx + Q dy = 4Ф, то
f (Р dx + Q dy) = Ф (jc,jO - Ф (х0(Л),
AJB
причём криволинейный интеграл берётся по
кривой, соединяющей точки А (х0, у0) и В (х, у).
Интеграл V = f (Р dx + Q dy + R dz), взя-
лл
тый вдоль пространственной кривой АВ, не
дР дО
зависит от вида этой кривой, если -т— = — — .
ду дх
dQ dR dR дР „
~fa=='fr7> -^ — ~fa в пространственной од-
носвязной области G, содержащей различные
кривые, соединяющие точки А нВ. Если в этом
случае точка А фиксирована, то интеграл V
является функцией только координат х, у, г
точки В, т. е. V = W (х, у, г), причём
dV = Р dx + Q dy -f R dz.
Я
не зависит от выбора поверхности S, огра-
ниченной контуром С, и зависит только от кон-
тура С, если -^ + ^! + ^ = 0. Это равен-
ство должно иметь место во всей области G,
содержащей различные поверхности, ограни-
ченные контуром С. Функции L(x, у, z),
М(х, у, z), N (х, у, г) непрерывны вместе
с частными производными первого порядка
в области G.


ГЛ. I]
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
185
Диференцирование тройного интеграла
по параметру. Если
/(о)=
причём область G ограничена замкнутой по-
верхностью S, изменяющейся при изменении
параметра а, то
J I
(Х
Дп
от-
где Vn(xrv, z, а) = llm —т-, а Дл — длина
Да-*0 Дх
резка нормали к поверхности 5(а), заключён
ного между поверхностями S (а) и S (х 4- Да)
которой приписывается положительный знак
когда нормаль направлена во внешнюю сто
рону поверхности S (а), и знак минус - в про
тивном случае.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО *
Функция комплексного переменного да =/(г)
определяется двумя функциями действитель-
ных переменных *,у(г = х •+- /у), составляющих
её действительную и мнимую части:
w = и -j- iv,
и ='-f(x, у), v-^-. <\>(xt у).
Для того, чтобы однозначная и непрерыв-
ная в окрестности точки г функция имела
производную
f(z) = lira
Дг)-/(г)
Дг
необходимо и достаточно, чтобы её действи-
тельная и мнимая части удовлетворяли усло-
виям Коши—Римана
ди_
дх
__
~ду' ду
ди
"дхт
Функция f(z) называется аналитической,
или голоморфной, в точке г, если всюду в ок-
рестности этой точки она имеет производную.
Функция f(z) зналитична в некоторой области
плоскости комплексного переменного г, если
в каждой точке этой области она имеет про-
изводную.
Если в области D функция /(г) аналитична,
то во всей этой области удовлетворяются
условия Коши — Римана.
Действительная и мнимая части f(z) удот
влетворяют уравнению Лапласа (см. стр. 250)
Д« = 0, До = О
и являются сопряжёнными гармоническими
функциями. Если задана одна из них, то вто-
рая определяется криволинейным интегралом
(х,у)
0*0, Уо)
д_и
ду
, ,
dx --
ди
-3-
дх
Линии и = const и' v ~ const на плоскости
х,уобразуют изометрическую сетку, т.е. бес-
конечно малые элементы, ограниченные кри-
выми
v — с'.
и = с -{-de,
v = с' -\- dc1,
(dc' =
являются квадратами.
Функция w=f(Z) даёт точечное преобра-
зование плоскости г = х -\- iy на плоскость
w =? и -\- iv.
Если /'B)^0, то в окрестности точки z
преобразование взаимно однозначно и кон-
формно, т. е. сохраняются углы между кри-
выми и элементы дуг всех кривых, выходящих
из одной точки, увеличиваются в одном и том
же отношении, равном \f (г)\ . Величина arg /'(•?)
равна углу между касательной к кривой в
точке z и касательной к соответствующей
кривой в точке w=f(z).
Интеграл от функции комплексного пере-
менного /(г) по кривой С определяется как
предел суммы:
(
J
/(*) dz = Ига
-г ),
v==1
где точки ZQ, 2j,. .., гп разбивают кривую С
на п частей, причём при переходе к пределу
наибольшее расстояние между двумя соседними
точками должно стремиться к нулю.
Если на линии С максимум |/(г)| равен М, то
f(z)dz
<ML,
где L — длина кривой С.
Для аналитической функции имеет место
теорема Коши: если внутри замкнутого кон-
тура С функция аналитична, то
Таким образом, для аналитической функции
интеграл не зависит от линии интегрирования,
а зависит только от начальной и конечной
точек. Функция
= \lt(z)dz
является первообразной от/(г), т.е: F'(z) =/(г).
Аналитическая внутри контура С функция
определяется по её значениям на контуре
формулой Коши
* Литературу см. на стр. 321.


186
[РАЗД. 1
Её щшизводные даются интегралами
/"Vzi-J^- Г •/
7 { ' ~~2к/ J (С
Если функция / (г) аналитична в точке а,
то в этой точке она имеет производные всех
порядков и в окрестности точки а разлагается
в ряд
который носит название ряда Тейлора. Область
сходимости ряда Тейлора есть максимальный
круг с центром в точке а, внутри которого
функция остаётся аналитической.
Всякий сходящийся степенной ряд
f(z) =
(z — a)
есть ряд Тейлора от своей суммы.
Радиус круга сходимости степенного ряда
определяется по его коэфициентам формулой
Коши — Адамара
_ 1
R= lim
Если аналитическая в точке гп функция
обращается в нуль в бесконечной последова-
тельности точек Zj, г2, ...,?„,... сходящихся
к го..то она есть тождественный нуль. В част-
ности, аналитические функции, совпадающие
в некоторой области или на кривой, тождест-
венны. На этом основано аналитическое про-
должение аналитических функций.
Если функцияДг) аналитична внутри кольце-
вой области, ограниченной двумя концентри-
ческими окружностями с центрами в точке а,
то она разлагается в этом кольце в ряд Лорана
-f-oo
причём коэфициенты определяются формулами
<-»- 2ic/ .)^_
гд$ Г — кривая, окружающая внутреннюю
окружность и расположенная внутри кольца.
Если однозначная функция/(г) аналитична
в окрестности точки я, за исключением самой
этой точки, точка а называется изолированной
особой тачкой. В окрестности такой точки f (z)
разлагается в ряд Лорана, сходящийся в не-
котором, круге с центром а, исключая самую
точку а. Совокупность отрицательных степе-
ней этого ряда называется его главной частью.
Изолированные особые точки однозначной
функции делятся на полюсы и существенно
особые точки. Точка а называется полюсом,
если ряд Лорана имеет конечное число членов,
отличных от нуля, с отрицательными показа-
телями. Наибольший отрицательный показа-
тель называется порядком полюса. Полюс пер-
вого порядка называется простым.
Вблизи полюса аналитическая функция стре-
мится к бесконечности. Если п — порядок
полюса, то в окрестности его
ft*\ ?(z)
/Ч*) = -/-———ТпГ.
где ср (z) — аналитическая функция, не равная
нулю в точке а.
Точка а называется существенно особой,
если разложение Лорана содержит бесконеч-
ное множество членов с отрицательными по-
казателями. В окрестности существенно особой
точки можно указать последовательность то-
чек zn, стремящихся к о, в которых значения
функции / (?„) стремятся к любому наперёд
заданному комплексному числу (теорема Вейер-
штрасса) Имеет место более точная теорема
Пикара: в любой окрестности существенно
особой точки функция / (z) принимает все зна-
чения, за исключением, быть может, двух (при-
чём оо считается также значением функции).
Коэфициент C_j называется вычетом функ-
ции / (z) относительно особой точки
С_} = res,, f(z).
Если а есть полюс л-го порядка /(г), то
1
Если а — полюс первого порядка и Дг)
представлена в виде
причём <р (а) ф 0, то
Интеграл аналитической функции по зам-
кнутому контуру, содержащему конечное число
изолированных особых точек, равен сумме
вычетов относительно этих точек, умноженной
на 2тц (теорема о вычетах).
Эта теорема имеет в частности приложение
к вычислению интегралов функций действи-
тельного переменного.
gizm
Например, полагая f(z) — z2 , д3 и беря
контур С, изображённый на .фиг. 57. имеем
,У
f/ (г) dz= 2л/ rese, / (г) = /^ ^\С
С '
— _ 0 - та
Фиг. 57.
Учитывая, что при R -+ оо интеграл по по-
лукругу стремится к нулю, получим
-foo
cos,™
О
Функция /(г) называется целой, если она
аналитична во всей плоскости комплексного


ГЛ-. I]
187
переменного. Целая функция имеет в беско-
нечности существенно особую точку. В случае
полюса на бесконечности целая функция обра-
щается в многочлен.
/(г) =
ГМ
П
Если ui, я2> • • • • ап — точки, в которых f(z)
обращается в нуль (нули целой функции), то
f(z) можно представить бесконечным произ-
ведением (произведение Вейерштрасса) вида
-1Ш2+ i 1 ( ГУ1
2К) + >" + —4-.J '
Если нули таковы, что ряд
у L_
*4 \а.,Р^
сходится, то произведение Вейерштрасса мо-
жет быть записано в виде
"(А П 1 - —
В частности имеет место формула
+.00 z
ГГ Л z \ ~п
sin -кг = кг II II — ——- ] е
** \ п /
/г = —оо
Из неё вытекает разложение по полюсам
функции
+00
где Н(г}—также целая функция.
Если однозначная функции z = F(w) имеет
нуль л-го порядка, то для обратной ей функ-
ции w=f(z) точка z ~ 0 является точкой
ветвления n-го порядка.
В окрестности алгебраической точки вет-
вления /<-го порядка г •= а аналитическая функ-
1 , vv / 1 , 1 \
— -(- 2± \——-(-—к
X ляш \ % '— Л /I J
Произведение синуса и сумма котангенса
берутся по всем п, кроме п = 0.
Функция/(г) называется мероморфной, если
все её^особые точки являются полюсами. Вся-
кая мероморфная функция может быть пред-
ставлена как отношение двух целых функций.
Если известны главные части 0„(———)
n\z — а„)
мероморфной функции относительно её полю-
сов, то имеет место разложение вида
= я (г) + 2
~ pn «
}•
где /У (г) — целая функция, а Я/, (г) — полиномы.
Для частных классов мероморфных функций
существует способ Коши для определения Н (г)
и многочленов Рп(г).
Изолированными особыми точками много-
значной функции могут быть также точки
ветвления. Точка а называется точкой вет-
вления функции / (г), если при обходе аргу-
мента z по замкнутому контуру вокруг точки
а функция меняет своё значение. Ьсли в ре-
зультате конечного числа таких последова-
тельных обходов функция f(z) возвращается
к своему исходному, точка называется алге-
браической точкой ветвления. Наименьшее
число обходов, которое необходимо для воз-
вращения функции к исходному значению,
называется порядком алгебраической точки
п. — ——
ветвления. Точка а функции у г— а является
алгебраической точкой ветвления л-го по-
рядка.
ция разлагается по степеням (z — a)«.
Неалгебраические точки ветвления носят
название трансцендентных, или логарифмиче-
ских. Точка z =. О функции log z или функции
za (а отлично от действительного рациональ-
ного числа) является трансцендентной точкой
ветвления.
Говорят, что область D конформно ото-
бражена на область Д, если между точками
этих областей установлено взаимно однознач-
ное соответствие посредством аналитической
функции.
Чтобы определить конформное соответ-
ствие, надо задать пару соответствующих друг
другу точек внутри областей и два соответ-
ствующих друг другу направления в этих точ-
ках или три пары соответствующих точек на
границах областей.
При конформных отображениях важную
роль играет принцип соответствия границ и
принцип симметрии Римана — Шварца.
Если аналитическая функция устанавливает
взаимно однозначное соответствие на границах
областей, то соответствие взаимно однозначно
и внутри области.
Если границы областей D и Д содержат
дуги круга с и ц, которые соответствуют друг
другу при конформном отображении, то ото-
бражение продолжается в областях D + D1 и
Д •+ Д', где ?>', Д' — инверсии D, Д относи-
тельно дуг г, -у. причём симметричные точки
относительно с области D + D' переходят
в симметричные относительно ^ точки Д Ч- Д'.
Основной элементарной функцией является
показательная
ег = е* (cos_y -f i sin .у);
она удовлетворяет соотношению e*i + *a —
= е г> ег* и имеет период 2тг/.
Фиг. 58.
Эта функция даёт отображение полосы
а^З'^^, причём |Р — а|<2п, на >гол
а <; <р <! р с вершиной в начале. Полуполоса
<^a переходит в сектор а
(фиг. 58).


МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Обратная функция для степенной есть лога-
рифм: при г = re"?
w — log z -- In r + /'f.
Эта функция многозначна, так как <р опре-
делён с точностью до кратного 2 it.
Степенная функция определяется формулой
w = га = еа l°s *•
она многозначна, если а не является действи-
тельным целым числом. Если а действительно,
Фиг. 9.
то w = га переводит угол с вершиной в начале
величиной а в угол величиной ал. В част-
те
ности угол 0<ср<Са преобразованием w — г*
переводится в полуплоскость (фиг. 59).
Тригонометрические функции определяются
формулами
,-te
sin г =
2/
cos г
sinz
cos г
ь cos г' а sinz
Для них имеют место все обычные тригоно-
метрические соотношения, в частности пер-
вые две имеют период 2« и две вторые — пе-
риод я (см. стр. 131).
Функция да = sin г даёт отображение полу-
полосы .у > О, — -у < * < -о- на верхнюю
полуплоскость ю>0 (фиг. 60).
У
Фиг. 60.
Функция w = tg г даёт отображение полосы
—-j-<jf ^-j--r на КРУГ 1^1*0 (фиг. 61).
Обратные тригонометрические функции
выражаются формулами ( | г |< 1):
г , 1 *з 1«з г5
«d«...-|+f-^+...
Важную роль играет дробно-линейное пре-
образование
аг+ Ъ
тп —— ____'
cz-\-d'
Это преобразование является единственным
преобразованием, дающим взаимно однознач-
ное отображение всей плоскости на самоё
себя. При этом прямые и окружности снова
переходят в прямые и окружности. Отобра-
жение определяется тремя парами соответ-
Фиг. 61.
ствующих точек zt, z2, zs и да,, w2, w-A и может
быть записано в виде
Преобразование, переводящее единичный
круг в себя, может быть записано в виде
где а — точка, соответствующая w = 0, a t —
угол с осью х направления в точке а, пере-
ходящего в направление действительной оси.
Отображение верхней полуплоскости у = О
на единичный круг может быть записано
в виде
где а — точка, переходящая в w = 0, a t — на-
правление в этой точке, переходящее в на-
правление действительной оси.
В ряде вопросов играет важную роль ото-
бражение
a 1 \
Оно переводит внешность круга \z\^>r и
одновременно внутренность круга \2\<^— (r^l)
а ( \\
во внешность эллипса с полуосями -^( г + — }
а ( \ \ _
и -п\г— — J. В частности внешность и вну-
тренность единичного круга переходят на
плоскость с разрезом .у = 0, — а^х^+ а.
Отображение полуплоскости на многоуголь-
ники реализуется функцией Кристоффеля-т
Шварца. Если оцтг, о^тг,..., а„тс — углы много-
угольника, а я„ о2« • • •» °л — точки действи-
тельной оси, соответствующие вершинам много-
угольника, то отображение даётся формулой
где С и С' — константы. Эта же формула мо
жет быть применена к отображению круга на
многоугольник, при этом ak будут точки ок-
ружности, соответствующие вершинам много-
угольника.


ГЛ. I]
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
189
Мероморфная функция, имеющая два пе-
риода со,, ш2' направления которых не совпа-
дают, называется эллиптической функ-
цией. Параллелограм,
'*ц/!1 построенный на векторах
Wj, co2, носит название па-
раллелограма периодов
(фиг. 62).
В теории эллиптиче-
ских функций основную
роль играют функции
Фиг. 62. Вейерштрасса:
ц/г
2л ((« — »)« ~~ wV '
где w — п «>! 4- m ш2, а суммирование и произ-
ведение берутся по всем целым числам, за
исключением ('м = 0, п — 0). Первая из этих
функций эллиптическая, а две другие удо-
влетворяют соотношениям:
С (и + да) = С (в) -И,
/ w\
o(tt-fw) = eeMe*j a (u),
где ?) = п -гц -{- т т],, е = 4-1, а числа т^ и •»&
удовлетворяют соотношению Лежандра
и диференциальное уравнение
или
Р'»(и) = 4 (р (и.) — *,) f р (и) -
где gz —
а
(») -
Всякая эллиптическая функция может быть
представлена в виде
/ (-и)
- a) -v4j p (« -,
k — 1
где суммирование распространяется по всем
полюсам параллелограма периодов, а
А<> А1 2! АО
\ 7~.———T^i "Г
—д (ц — «J (а - я,
-!-••• -t\~4 (и-а)Ь
есть главная часть /(г) в пол юсе а.
ции
Другоепредставление элядаинческой функ-
/(и) =
. а (и — GJ) ... <t (и — я„)
а (и —
— полюсы
где О],..., оп — нули, AJ, *2, ...
эллиптической функции.
Функция р (ь) является обращением эллип-
тического интеграла
а
Обращения интегралов
г
dt
J
= г
J
_
— P) (ft*
Г ^
J "KU-fK^-A'51) '
даются эллиптическими функциями Якобн
г = sn и,.2г = en ы и г = tin и (К2- -t- /г'2 = 1). Для
этих функций имеют место соотношения:
sn3 и + спа и = 1, rf/»3 и - 1 — ft2 sn2 и.
(snu)'= сп и dim,
(en ы)' = — sn и dn и,
(dn и) ' = — A2 sii а сп н
и теоремы сложения:
sn Ujcn^dn fj-^sn i» en udna
1 — Л3 sn3« sna t/ '
sn (u -f v) =
en (a-\- v) =
dn (u -f-1>) =
en и en v — sn it dn 7 sn v dn t>
i — t>- sn'J u sn-1»
dn ц dn о - A3 sn и сп и sn t> en t>
l — ft2 snj a sn-11»
Функция sn и даёт конформное отображе-
ние прямоугольника
— — <Гтн<~,
— l<Reu<l
на полуплоскость. " ,
Функции sn а, спи и dn » имеют следующие
пары периодов:
2л)|, «>j,
2со,, to, -f- «>2,
Здесь <*), = 2/<:, ш3 = 11 К', где tf и К' — пол-
ные эллиптические интегралы" ^(,*."у ) и
. стр. 90.


190
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Формулы, связывающие функции Якоби
с другими эллиптическими функциями:
sn а = sin am w, сп и - cos am и,
где am и (амплитуда ч) — обращение эллипти-
ческого интеграла первого рода
F (k, cp) =
= = м, 9 = am u,
snu = — -^г
сп и =
СП2И
М»)
"
_
4~ 4~ Т
2@ sin -KV - q slnSw -j- Я sinSnt; ...),
= l-r-2gcos2n:t'-f-2<?4cos 4^t/
и = те [62@)]2 v , q = e
AR.
ea(oj '
- -—— ,
AR
e2@) •
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Скаляром называется физическая величина,
характеризующаяся при выбранной единице
одним числом: например, работа, объём, тем-
пература.
Вектором (а, V, г) называется физическая
величина, определяема* не только измеряю-
щим её в определённых единицах меры числом,
но и направлением в пространстве; например,
скорость, ускорение, сила.
На чертеже «фиг. 63^ вектор изображают
направленным отрезком ~АВ = а.
Прямая, по которой на-
правлен вектор, называется
линией действия вектора.
Различают векторы:
1) свободные, т. е. не
связанные с линией дей-
ствия; например, скорость
поступательного движения твёрдого тела;
2) скользящие, т. е. такие векторы, которые
могут быть перенесены вдоль линии своего
действия; например, сила в абсолютно твёрдом
теле;
3) неподвижные, связанные с точкой своего
приложения.
Численное значение вектора называется
его модулем или длиной вектора.
Вектор b = — а есть вектор той же длины,
что и а = АВ, но противоположно направлен-
ный (фиг. 64) __
Фиг. 63.
Произведение вектора а на скаляр т есть
вектор Ь, модуль которого в т раз больше
модуля а.
\Ъ\ = И а|.
При т>0 векторы одинаково направлены
и параллельны, при т<0 они параллельны,
но противоположно направлены.
Единичный вектор а1 (орт вектора а) оди-
наково направлен с вектором а и имеет модуль,
равный единице.
а = аа°.
Проекции вектора а на оси системы коор-
динат хуг определяются формулами
ах = a cos (а, х),
ау — a cos (а, у),
а, = a cos (а, г).
Фиг. 64.
Вектор а может быть представлен в виде
а = ах\ -\- ау] + azk,
где 1, j, k — единичные векторы (орты), напра-
вленные по осям координат. Проекции ах. ау, аг
называются иногда координатами вектора в
системе хуг.
Модуль вектора
Направление вектора определяется напра-
вляющими косинусами:
cos (а, х) = ——г=^====. -
cos(a,_y =
cos (а, г) ==
Uy
1/2 2
У ах -t- а у
аг
+«J
есть век-
Вектор г называется радиусом-вектором,
если его начало совпадает с началом системы
координат. Для радиуса-вектора г
г = х1 + J7 + *'.
где дг,_у, г —координаты конечной его точки.
Векторная алгебра
Сложении векторных величин (фиг. 65)
производится по правилу папаллелограма:
сумма двух векторов
тор с, представлен-
ный диагонал ъ ю ОС
пара ллелог рама,
построенного на
векторах а и Ь.
с = a -f b, 'О.
& — a3 -f &2 •*- фиг- 65-
-f- 2ab cos (a, b).
Под разностью векторов а и Ь (фиг. 66)
понимают вектор d, равный сумме векторов
а и - Ь,
d = a — b = a + (— b)== OD.


ГЛ. I]
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
191
Справедливы следующие равенства:
Фиг. 66.
1)a-fb = b-fa
(закон коммута-
тивности);
2)a + rb'+c) =
= (а + Ь) + с
(закон ассоциатив-
ности);
3) т(а + Ь) =
= та 4- тЪ (закон
дистрибутивности).
Скалярным (внутренним) произведением
двух векторов а и b называется скалярная
величина, равная произведению их модулей
на косинус угла (а, Ь) между ними (т. е. про-
изведение модуля одного из них на проекцию
другого вектора на направление первого),
ab — (ab) — ab cos (a, b);
ab = Ьа = ахЪх + ayby -f azbz.
Частные случаи:
1) два вектора параллельны ab = ab\
2) два вектора антипараллельны ab =
= — ab;
3) векторы взаимно перпендикулярны
ab = 0;
4) а .= Ь, тогда аа = а2, т. е. скалярный
квадрат вектора равен квадрату его модуля.
Векторным (внешним) произведением
двух векторов а и Ь. называется вектор с, мо-
дуль которого
с = ab sin (a. b)
равен площади параллелограма (фиг. 67), по-
строенного на векторах а и b и который ни-
правлен по нормали
к плоскости, прохо-
дящей через а и b
таким образом, что
a, b и с образуют
правый трёхгранник
Пример. Момент силы F относительно центра О ра-
вен векторному произведению радиуса-вектора г на F
(фиг. 68)
(фиг. 67), т. е., если
смотреть с конца век- фиг 67.
тора с на плоскость
векторов а и b то переход от вектора а к
вектору b совершается вращением против
стрелки часов.
с = а X b = [ab],
с = ab sin (a, b),
Векторное произведение а X b равно нулю,
если векторы а и b коллинеарны, т. е. линии
их действия параллельны.
Если а_[_Ь, то (а X b) = ab.
Проекции векторного произведения на оои
координат имеют вид
сг = (а X bjz = ах by — ау Ьх.
Отсюда
а X Ь = (ауЪг - агЪу) i
(агЪх — ахЬе}\
J
ах
br
Фиг. 68.
M = rxF, отсюда в частности Мх = уРг — гГу,
Сложные произведения векторов
1) Смешанное произведение
а (Ь X с) = flbc =
by I'z
by Ьг
С.» Cy_
Фиг. 69.
равно объёму параллелепипеда, построенного
на а, Ь, с, как на рёб-
рах (фиг. 69) abc =
= bca = cab =
— — cba = — bac =
= — acb.
Если abc = 0 то
три вектора a, b и с
компланарны, т. е. па-
раллельны одной и
той же плоскости.
2) аХ'ЬХс)=--Ь(ас)-с(аЬ);
3) (а X Ь) X (с X d) =
= b {a(cXd;} - ajb(cXd)}.
Диференцирование вектора по скалярному
аргументу
Если вектор а изменяется, по величине
и направлению, являясь функцией скалярной
величины /, то
'•2Г = »га
at &t-*o
называется производной векторной функции
а = а(/) и представляет собой вектор, напра-
вленный по касательной
к годографу вектора a(f);
годографом вектора а =
=a(/i называется кривая,
которую опишет конец
вектора а, если за начало
вектора а -взять некото-
рую произвольную не-
подвижную точку О
(фиг. 70).
3yj -f azk, то
Фиг. 70.
Так как а (/) = ал-!
da daXl
~dt==~dT "*"
dt
k.
dr
Пример. Скорость точки М есть v (t) = — , где г =
= т(() - i*(t) + lv (t) + Кг (t) есть радиус-вектор точки М.
Производная единичного вектора а° есть
вектор, перпендикулярный к диференцируе-
мому вектору: —г- J_ a°.
Правила диференцирования векторов:
d ,_ , ._. da db d da . db
"dt+di' Trab = rfFb+arfT*


192
[РАЗД. I
Векторное поле является потенциальным,
если существует такая функция координат
(потенциал поля) ср (х,у, г), что а — grad ср или
dt
а* —
а -
п -
-
дг '
В последних двух формулах / и а~ скаляр-
вые функции аргумента t.
Скалярное поле
Скалярное поле есть часть пространства,
в каждой точке которого определена функция
«р, зависящая только от координат этой точки
(например, поле электрического потенциала),
Поверхность, определяемая уравнением
у (дг, у, г) = const, называется эквипотенциаль-
ной поверхностью, или поверхностью уровня.
Градиентом tp (grad 9.V у) называется век-
тор, направленный по нормали к поверхности
уровня (по направлению наибольшего измене-
ния функции у); при этом модуль градиента
равен производной функции ср по этому на-
Для этого необходимо и достаточно, чтобы
даг _ day дпх _ duz day _ дах
dy ~~ dz дг ~ дх дх ~ ду
Если поле потенциально, то интеграл
М М
\ ads = \ grad yds = <р (М} •— ср (М0)
М, м,
зависит только от положения начальной и
конечной точек кривой интеграции, но не
зависит от вида кривой.
Пример. Работа силы тяжести зависит только от раз-
ности высот.
Циркуляция Г вектора а есть линейный
интеграл по замкнутому контуру при задан-
ном направлении обхода , ч
r = (T)acfs,
правлению (•^-
grad<p
В потенциальном поле циркуляция равна
нулю i .
ду ду dy Г = ф grad yds = 0.
dx dy dz Потоком вектора а через заданную по-
~5—у—;—з—%——J"- верхность 5 называется скаляр:
~дх)[ ^ \ду) ^\dz) Г Carfa = С С anrfa = Г (axdy dz + ау dz dx -f
Векторное поле
Векторное поле есть часть пространства,
в каждой точке которого определён некоторый
вектор а = &(х,у,г); например, поле скоро-
стей, поле силы тяжести. Модуль" | а ] .опре-
деляет интенсивность поля.
Силовыми линиями (или линиями тока)
векторного поля называются кривые, каса-
тельные к которым в каждой точке совпадают
с направлением вектора а = а (х,у, г) в той же
точке.
,;•• Диференциальное уравнение, их опреде-
ляющее, имеет вид
а X dr = О
или
dx _dy _ dz
Например, линии тока жидкости определя-
ются из уравнений
dx _ dy _ dz
~'~
Линейным интегралом вектора а вдоль
кривой 5 называется скаляр
-f- 0г dx dy.
Дивергенцией (расхождением) вектора а
в данной точке называется скалярная вели-
чина div а, равная отнесённому к единице
объёма потоку вектора а через поверхность
бесконечно малого объёма, окружающего
рассматриваемую точку:
1 Г Г
diva — va = Iim — I \anda=
г»-+0 t?.' J
3
_ дах do'у даг
~~ дх ~* dy'' dz '
Для потенциального поля (а = grad у)
Пример. Если и есть вектор смещения точки тела,
то div u характеризует изменение объёма тела при де-
формации. Объём тела не изменяется, если divu = 0.
Векторное поле, для которого div a = О,
называется соленоидальным (сьободнкм от
источников). В этом случае существует такой
вектор F (векторный потенциал), что а = rot F.
Вектором-вихрем или ротором вектора
а называется вектор
компонентами:
rot a — curl a
С С
I a ds = \ а
S
••
с у dy -\- azidz
даг
Jy
rot,a=-5:.---d;-
даг
'дх
д^_
Ту
я —— •* __ __, "_
dz
__ dav ,


ГЛ. I]
АНАЛИТИЧКСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
193
Прамер. Если v есть скорость, то rot v даёт удвоен-
ную угловую скорость—вихрь вращения частиц жидкого
тела.
Если жидкое тело свободно от вихрей, т. е. rot v =
= 0, то v=grad <p-
div rot a = О,
rot grad cp = О,
rot rot a = grad div a
V2a.
Поток вектора а через замкнутую поверх-
ность равен интегралу от дивергенции век-
тора по объёму, заключённому внутри поверх-
ности.
an-d<s = III div adv
J V
(см. также формулу Остроградского на
стр. 184).
Теорема Стокса. Циркуляция вектора а
по замкнутому контуру равна потоку вихря
через любую поверхность, ограниченную дан-
ным контуром:
фа rfs= И
ду
da,
где п— орт внешней нормали (см. также фор-
мулу Сп кса на стр. 183).
Для плоского поля эта формула известна
как формула Грина (см. стр. 180).
Аналитическая геометрия изучает свойства
различных геометрических образов (линий,
поверхностей и др.). При помощи способа, на-
зываемого методом координат, аналитическая
геометрия приводит решение геометрических
задач к исследованию и решению уравнений.
Под методом координат понимается способ
определения положения одного геометриче-
ского образа относительно другого при помощи
чисел.
Аналитическая геометрия на плоскости
Прямоугольные, или декартовы, коорди-
наты. Две взаимно перпендикулярные прямые
Ох и Оу на плоскости, на каждой из которых
* Литературу см. на стр. 321.
13 Том 1. кн. 1
отмечено положительное направление, назы-
ваются осями прямоугольной системы коор-
динат (фиг. 71). Точка О их пересечения
называется началом ко-
ординат. Если N— основание у
перпендикуляра, опущен-
ного из точки М на ось Ох,
то числа х и у, измеряю-
щие отрезки ON и NM при
помощи некоторой единицы
масштаба т, называют ко-
ординатами точки М.
N
Фиг. 71.
т .
Принимается запись М (х, у), где число х
называется абсциссой точки М и берётся со
знаком -(- , если направление отрезка ON со-
впадает с положительным направлением оси
Ох, в противном случае со знаком ~.
Число у называется ординатой точки М и
берётся со знаком -J-, если направление NM
имеет направление оси Оу.
Расстояние между точками А (хь у^ и
В (х2, у%) определяется по формуле
Деление отрезка в данном отношении.
Если А (хг, у^) — начальная точка некоторого
отрезка и В(х%, _у2) — конечная точка того же
отрезка, то координаты точки С, делящей от-
АС
резок АВ в данном отношении X = -^ , опре-
С>-О
деляются по формулам
Л =______, J,__i__.^_.
Если С является серединой отрезка, то
.= 1 и
Отрицательным значениям X соответствует
деление отрезка внешним образом.
Аффинные координаты точки. Рассмо-
трим две прямые Ох, Оу с общей точкой О
и две точки EI и Е2, принадлежащие этим пря-
мым (фиг. 72). Если М — произвольная точка
плоскости, N — точка пе-
ресечения с осью Ох
прямой, проходящей че-
рез М параллельно Оу,
а Я— точка пересечения
с осью Оу прямой, про-
ходящей через М парал-
лельно Ох, то числа х =
ON О^
"-"• Фиг. 72.
Ф
N
вают аффинными коор-
динатами точки М, причём OEi и ОЕ% явля-
ются единицами масштаба.
Аффинные координаты представляют обоб-
щение прямоугольных координат; для послед-
них длины отрезков ОЕг и ОЕ% совпадают и
угол между ними прямой.


194
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Аффинные координаты вектора. Прове-
дём через начальную и конечные точки век-
тора АВ прямые, параллельные осям Ох, Оу;
в пересечении с осями получим точки А\, Вг
на оси Ох и А2, В2 на
оси Оу (фиг. 73). Числа
Фиг. 73.
"' - ОЕ, " a~0f2 '
измеряющие отрезки
А-^ВЪ А2В2 при помощи
различных единиц мас-
штаба (OEj, ОЯ2), назы-
вают аффинными коор-
динатами вектора, причём
где *j и У} — аффинные координаты точки
А, а х2 и у2 — точки В.
В случае прямоугольной системы координат
°1 = *2 — •*! = а COS б, 02=3/2— j/j = a Sin 6,
где а — длина вектора АВ и 6 — угол от по-
ложительного направления оси Ох до напра-
вления вектора АВ.
Если вектор а умножается на число т, то и
координаты вектора умножаются на то же число.
Преобразование аффинной системы
координат в аффинную. Если х, >— -коор-
динаты точки т относительно аффинной си-
стемы координат и х', У — координаты той
же точки относительно новой аффинной си-
стемы, то
В этих уравнениях аг,
из — координаты единич-
ного вектора (единицы
масштаба) новой оси
О'х', a bj, ^ — коорди-
наты единичного вектора
новой оси О1 у' и C-L, с2 —
координаты нового на-
чала относительно ста-
рой системы координат
(фиг. 74).
Фиг. 74.
Поворот прямоугольной системы коор-
динат (фиг. 75). В этом случае с\ = 0, с2 — 0.
Координаты ве-
ктора 0'Et'
а\ = I -cos а,
ау = 1 -sin а.
Координаты ве-
ктора 0'Е2
О F, N
Фиг. 75.
1= Ь cos Г а
--1 • sin
= — sin а,
-гг = COS a.
Формулы преобразования координат имеют
вид
X = X1 COS a—у' Sin a, у = X1 Sin a -f y' COS a.
Если начало новой системы О' не совпа-
дает с точкой О и имеет координаты clt c2, то
формулы преобразования прямоугольной си-
стемы в прямоугольную имеют вид
х = х' cos a — у' sin a -+- сг>
у = х' sin a + у' cos a -j- C2.
Полярные координаты. Если х — некото-
рый луч с начальной точкой О и М — произ-
вольная точка плоскости (фиг. 76), то два числа:
1) 6 — угол от направления луча до напра-
вления вектора ОМ, __
2) р — длина вектора ОМ;р = - ——— , где т—
единица масштаба, называются полярными
координатами точки М; 9 — полярным углом,
р — радиусом - вектором. Луч х называется
полярной осью, точка
О — полюсом.
Между полярными ко-
ординатами р, 0 и прямо-
угольными координатами
х, у одной и той же
точки М имеют место
зависимости (фиг. 76)
Фиг. 76.
х = р cos в, у = р sin 6; р =
-H.V2.
г.
cos 9 = — = — • .. .-
Р у л? + у*
Геометрическое значение уравнения.
Если в уравнении F (х, у) = 0 или y=f(x)
величины хну рассматривать как коорди-
наты (прямоугольные или общие аффинные),
то совокупность всех точек М, координаты
которых х, у удовлетворяют данному уравне-
нию, называют графиком данной функции.
Пример. Совокупность точек, координаты которыж
удовлетворяют уравнению х*-\-у*=г*, представляет окруж-
ность с центром в начале координат, так как левая
часть уравнения представляет квадрат расстояния точки
М (х, у) от начала координат, правая же часть — вели-
чина постоянная.
Уравнения геометрических мест. Если
для некоторой линии дан геометрический за-
кон её образования, то, выбрав систему коор-
динат, можно этот закон записать в аналитиче-
ской форме; таким образом получается зависи-
мость между координатами произвольной
точки линии.
Примеры. 1. Прямая, делящая пополам
прямой угол (фиг. 77). Принимаем стороны' угла
0 V *
Фиг. 77.
за оси прямоугольной системы координат, тогда для
произвольной точки М (х, у)
у=х.
2. Окружность радиуса г. Принимаем за
оси прямоугольной системы координат две взаимно пер-
пендикулярные прямые (фиг. 78). Пусть а, Ь—коорди-
наты центра этой окружности и х, у — координаты про-
извольной точки окружности; тогда


ГЛ. I]
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
195
Уравнения некоторых плоских кривых
Кубическая парабола (фиг. 79) — уравне-
ние у = ел3.
Начало координат является точкой пере-
гиба; ось Ох касается кривой в этой точке.
Для построения кубической параболы у —
= ,~лг8, проходящей через точку Р0 на отрезке
4
АР0, описывается как на диаметре окружность
(фиг. 80) и в некоторой точке /V оси Ох
Фиг. 79.
строится перпендикуляр NT до пересечения
с прямой ОРо в точке Т, через точку Т про-
водится прямая, параллельная оси Ох, до
пересечения с ЛР0 в точке 5; далее радиусом AS
описывается из точки А окружность до пере-
сечения с первой окружностью в точке /?; из
последней опускается перпендикуляр RQ на
прямую ЛР0; соединяя точку Q с точкой О,
в пересечении с прямой
у NT получаем точку М,
принадлежащую кубиче-
ской параболе.
Полукубическая па-
__ рабола (фиг. 81) — урав-
нение у = сх 2 . Точка
О является точкой воз-
врата первого рода; ка-
сательная в этой точке
совпадает с осью Ох.
Показательная кривая — уравнение у =
= а*. При а > 1 кривая имеет вид, предста-
ир' '
0
Фиг. 82.
Фиг. 83.
вленный на фиг. 82. Если х ->• — ос, то у -> О,
т. е. ось Ох является асимптотой.
Логарифмическая
У . кривая (фиг. 83) —
уравнение
Цепная линия
(фиг. 84; — уравнение
у — ach — (см.
211).
стр.
Синусоидальные кривые
а) у = A sin х (фиг. 85).
б) у = A sin (ax + р) (фиг. 86, стр. 196).
При Р = у
у — A cos ax.
У.
Фиг. 85.
в) у = М sin ax -f N cos ax. Это уравнение
приводится к предшествующему следующим
образом:
,_____ / м
у = ум* + Л/2 ( ——===== sin ax +
N
cos ax .
-f Л/2 /
Полагая
= А, -
N
М
= cos р,
= sin р,
получим
_у = Л (cos 3 sin я* -f sin C cos олг) =
= A sin (ox + P).
r)y = Ai sin (ал -f p,) + At sin (a* -f 02) +
-(-•• •-)- Л л sin (ax-\-$n) (сложение гармониче-
ских функций одного периода). В этом слу-
чае, полагая
М = Аг cos ^ -f
N = Аг sin р! -f
"cos
sin C2 + • • •+ An
можно привести уравнение к виду, рассмо-
тренному выше,
у == М sin ax -|- ^V cos OJT = A sin (адг -}- 0).
д) 3/ = Р sin («jx -I- Pi) sin f д2* -Ь ?2) (произ-
ведение гармонических функций). График
функции получается в результате сложения
ординат графиков функций у^ и yz, где
= —- cos
Pi -f- Ра],
- fl л-
В частности при а\ = аа = -^, т. е. в случае
функций одного периода (фиг. 86, пунктир)
у = В -f- A sin (яд: -J- ft),
В = •? cos (P, -ft,), Л = --?-, p = p1+p2-f-|-.
е) у — Ае~~х sin (ал -J- ft) (график затуха-
ющих колебаний). Кривая пересекает ось х
в точках, которые принадлежат линии
yi = sin (ax -f- ft).


МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
По мере увеличения х амплитуда колеба-
ний функции неограниченно убывает.
Фиг. 86.
Циклоидальные кривые, а) Циклоида
(фиг. Ь7). Циклоиду описывает точка М, кото-
рая неразрывно связана с окружностью,
У
О N
Фиг. 87.
катящейся без скольжения по прямой. Пара-
метрические уравнения циклоиды имеют вид
jf = fl(cp—sincp), у = а A — cos cp).
В этих уравнениях а — радиус окружности
** ? — Угол NSM.
б) Эпициклоида (фиг. 88). Эпицикло-
иду описывает точка М окружности (радиу-
са а>, которая ка-
тится без сколь-
жения по другой
Фиг. 88.
Фиг.
окружности (радиуса &), соприкасающейся с
первой внешним образом.
Уравнения эпициклоиды (в параметриче-
ском виде)
, , , ч а + b
х = (а + b) cos ср — a cos —— ср,
а
1 1
у = (а + b) sin ср — a sin ———— ср,
где tp— угол поворота подвижной окружности
относительно прямой, соединяющей её центр
с центром неподвижной окружности.
Если b — а, то
х = 2b cos ср — b cos 2ср,
у = 1b sin f — b sin 2cp.
Эпициклоида называется в этом случае
кардиоидой {фиг. 89).
в) Гипоциклоида (фиъ 90). Гипоци-
клоиду описывает точка М. окружности
(радиуса а), которая катится без скольжения
по другой окружности (радиуса Ь), соприка-
сающейся с последней внутренним образом.
Уравнения гипоциклоиды
...
х я» @ — a) cos <p -f- a cos
У = (b — а) «Цп <р — а sin
b — а
Фиг. 90.
Фиг. 93.
где ср — угол поворота подвижной окружности
относительно прямой, соединяющей её центр
с центром неподвижной окружности.
Если b = 4я, то уравнения принимают вид
л = b cos3 ср, у — b sins ср.
Координаты х, у удовлетворяют в этом
случае уравнению астроиды (фиг. 91)
Эвольвента, или развёртка, круга (фиг. 92).
На каждой касательной откладывается отрезок
NM = AN. Уравнения
имеют вид
х = a cos rf -f- а у sin cp,
у = a sin ср — а ср cos ср.
Трактрисса (фиг.
93) (антифрикционная
кривая) есть эволь-
вента цепной линии.
Уравнение в параме-
трической форме
х = а (ср — th cp),
_ а
У ~~~ ch cp
Фиг.-92.
Фиг. 93.
Длина касательной к трактриссе от кривой
до оси х постоянна и равна а. Ось х является


ГЛ. 1J
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
197
асимптотой двух ветвей кривой. Точка
х = 0, у — а является точкой возврата кривой.
Спираль Архимеда
(фиг. 94) — уравнение
р = ав, где р — радиус-
вектор и в — полярный
угол.
На фиг. 98 представлены три случая:
и Ь — 2а.
Фиг. 94.
Фиг. 95.
Гиперболическая спираль (фиг. 95) —
уравнение р = —. Прямая, параллельная
полярной оси Охи отстоящая от неё на рас-
стоянии d = а, является асимптотой спирали.
Точка О (полюс) — асимптотическая точка,
спираль делает около этой точки бесконечно
большое число оборотов,
но р ф 0 ни при каком
значении 6.
Логарифмическая
спираль (фиг. 96)—урав-
нение р = Се°Ь. Полюс
является асимптотиче-
ской точкой (р ->• 0 при
6 н» — оо).
Фиг. 96.
Лемниската
уравнение
Вернул л и (фиг. 97) —
г2 = 2а» cos 26
или в декартовых координатах
(х? + у*)* = 2а2 (л* —у!
Если М — точка кривой, то M
причём FI ( — а, 0) и Fz ( + а, 0) — две точки
У
Фиг. 97.
оси х. Начало координат —узловая точка
кривой.
Лемниската Бернулли является частным
случаем овала Кассини, для которого
FiM • Г2М_= а2, но FI РЪ вообще говоря,
не равно 2а.
Улитка Паскаля (фиг. 98) — уравнение
р = 2а cos в '
или в декартовых координатах
в)
Фиг. 98.
Фиг 99.
Для построения улитки Паскаля из произ-
вольной точки окружности (фиг. 99)
радиуса а проводятся лучи и от точки
пересечения W с окружностью откладываются
в направлении луча отрезки NM, равные Ь.
Геометрическое место точек М — улитка
Паскаля.
Циссоида (фиг. 100) — уравнение в поляр-
ных координатах
0 sin2 в
р = 2а ——— . ,
r cos 6 '
а в декартовых координатах
Начало координат — точка возврата первого
рода, касательная в которой совпадает
с осью Ох. Прямая, параллельная оси Оу на
расстоянии, равном 2а, — асимптота.
Для построения циссоиды из точки окруж-
ности О проводятся лучи до пересечения с
У
В
N
Фиг. 100.
Фиг. 10J.
окружностью (точка А) и с касательной (точка В).
Геометрическое место точек М, для которых
ОМ — АВ, есть циссоида (фиг. 101).


198
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
В построении фиг. 100 точки N к О — диа-
метрально противоположные.
Конхоида Никомеда (фиг. 102) — уравнение
COS в
или в декартовых
координатах
Для построения
из точки О про-
водится произволь-
ная прямая т, пе-
ресекающая в точ-
ке N прямую /, па-
раллельную оси у
и отстоящую от
неё на расстоя-
нии а. Точки М
и М', расположен-
ные на прямой т
на расстоянии Ъ
от точки А/ пересечения прямых т и /, при-
надлежат конхоиде Никомеда.
Прямая линия
Нормальное уравнение прямой. Общее
уравнение. Приведение общего уравнения
к нормальному виду. Уравнение
— A: cos 6— .у sin6 + р =0 (р>0)
Фиг 102.
называется нормальным уравнением прямой.
В этом уравнении б — угол от положитель-
Фиг. 103.
иого направления оси .* до направления пер-
пендикуляра, опущенного из начала координат
на прямую, р — длина этого перпендикуляра
и х,у — текущие координаты, т. е. координаты
любой точки М прямой (фиг. 103).
Общее уравнение первой степени
Ах + By + С = О
приводится к нормальному виду умножением
на нормирующий множитель
нении свободный член р имеет положитель-
ный знак.
Расстояние от точки до прямой. Рас-
стояние 8 ОТ ТОЧКИ MO (XQ, _Уо) РЗВНО ЛСВОЙ
части нормального уравнения этой прямой
— л: cos 6—у sin 0 -)-/? = О, в которую вместо
текущих координат подставлены координаты
данной точки, т. е.
В = — хо cos 0 — у0 sin 8 + Р-
Если 8, вычисленное по этой формуле,
имеет положительный знак, то точка М0
и начало координат лежат по одну сторону
от данной прямой (фиг. 103); если 8 имеет
отрицательный знак, то точки М0 и О лежат
по разные стороны от прямой.
Пример. Для расстояния точки М (— 3; 6) от прямой
&х — 15у —7=0, после приведения уравнения к нормаль-
ному виду, имеем
-17
121
17
Уравнение прямой с угловым коэфи-
циентом. Если прямая не параллельна оси у,
то её уравнение можно представить в виде
у = kx -f Ь.
В этом уравнении Ъ — отрезок, отсекаемый
прямой на оси у, k = tg a — угловой коэфи-
циент, где а — угол от положительного напра-
вления оси х до любого из двух направлений
прямой; х,у — текущие координаты (фиг. 103).
Уравнение прямой в отрезках. Если
прямая не проходит через начало системы
координат, то её уравнение можно предста-
вить в виде
_?_ + JL = i,
где а и Ъ — отрезки (фиг. 103), отсекаемые
прямой соответственно на осях х и у.
Угол между двумя прямыми (фиг. 104)
определяется как положительный угол,
меньший 180е, и может
быть отсчитан от первой
до второй прямой <р]2 или
от второй прямой до пер-
вой 921 соответственно
tg<Pia
I+AI
A?, — k
Если прямые заданы
уравнениями Агх +
= 0 и А
1 «.
то Л, = — -— и й2 = —
о\
формула принимает вид
Фиг. км.
+ В2у -f Са = 0,
2
— и предыдущая
Знак нормирующего множителя N совпа-
дает со знаком С, так как в нормальном урав-
Если прямые параллельны, то tg if21 = 0 и
AI В2 — АЧ BI — 0 или ^i = kz.
Если прямые перпендикулярны, то
А А + B B — 0 или 1 + * k = 0.


ГЛ. 1]
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
199
Уравнение прямой, проходящей через
данную точку (х^, у^),
У—У\ = k(x—x{).
Уравнение прямой, проходящей через
две данные точки (xv уг,) и (х^ _у2).
x — xl у—у\
е = — называют эксцентри-
Условие принадлежности трёх точек
одной прямой. Если в предшествующем урав-
нении х, у заменить через х3, уА, то получим
условие принадлежности трёх точек одной
прямой
Это условие можно представить также
в виде
*i Vi
xz У%
х* Уз
1
= 0.
Кривые второго порядка
Эллипс. Эллипсом (фиг. 105) называют
геометрическое место точек М, сумма расстоя-
ний /••[ и г2 которых
от двух данных то-
чек FI, Fz, назы-
ваемых фокусами,
есть величина по-
стоянная, т. е.
2а = г3 + г2.
Канониче-
ское уравне-
ние эллипса.
Если за ось Ох прямоугольной системы
координат принять (фиг. 106) прямую, содер-
жащую F\F& за начало системы координат О —
Ю5.
Фиг. 106.
середину отрезка F^F2 и за ось у — прямую,
проходящую через О и перпендикулярную к х,
то
л:2 V3
— -I- <— — 1
~
В этом уравнении а = — (rj + r2), fc =
— с2, причём c=-H-/r1Fa.
Эллипс отсекает на осях Ох, Оу отрезки,
соответственно равные Л1Л2 = 2а, BiBz=^b
(большая и малая оси эллипса).
Отношение
ситетом эллипса
Прямые /J и /2. параллельные малой оси
эллипса (Оу) и находящиеся от последней на
расстояниях
называют директрисами эллипса; они обладают
следующим свойством:
где dlt rf2 — расстояния точки эллипса до
директрис.
Радиусы-векторы rlt r2 точки М (х, у\
эллипса соответственно равны
' гг = а -\- ех, га = а — ex.
Диаметром эллипса называют гео-
метрическое место середин параллельных хорд.
Если k — угловой коэфициент хорд, то уравне-
ние диаметра
Касательная кэллипсу
MQ(XQ, VQ) ИМССТ уравнение
в точке
Касательная к эллипсу (фиг. 107)
образует равные углы с радиусами-вектора-
ми rlt /о (фиг. 107 ^ = <f2)> откуда следует её
Фиг. 107.
Фиг. 108.
построение как биссектрисы угла между одним
радиусом-вектором MF% и продолжением MN
другого.
Построение точек эллипса. 1. Про-
водим через общий центр О двух окружностей
(фиг. 108) радиусов b и а прямую, пересекаю-
щую первую окружность в точке В и вторую
в точке Л. Строим перпендикуляры из точки В
к оси Оу и из точки Л к оси Ох, Пусть
М — точка пересечения этих перпендикуля-
ров. Геометрическое место точек М есть
*а i У2 1
эллипс с уравнением — -т ^ = !•
2. Строится прямоугольник (фиг. 109) с
вершинами Л (— а, Ь), В (а, &), С (а, — Ь),
D(—a,— b) и отмечаются середины его сто-
рон ?)Л, АВ и ВС соответственно точками G,
Е, F. Отрезки АЕ и ЕО делятся на одинако-
вое число равных частей, причём точки деле-
ния нумеруются, начиная от точки Е соответ-
ственно к точкам Л и О. Точки пересечения
лучей, исходящих из точек G и F и проходящих


200
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
через точки деления отрезков АЕ и ЕО с
одинаковыми номерами, принадлежат эллипсу
с полуосями а и Ъ с центром в начале коор-
динат, вписанному в прямоугольник ABCD.
Фиг. 109.
Гипербола. Гиперболой называется гео-
метрическое место точек, разность расстояний
которых от двух данных точек, называемых
фокусами, есть величина постоянная, т. е. 2а.
Если через гь г3 обозначим расстояния от
точек М гиперболы до фокусов Р^, F2, то
/*! — г2 = 2а или г2 — г\ = 2а.
Каноническое уравнение гипер-
болы. Если принять (фиг. 110) за ось Ох
прямоугольной системы координат прямую,
Л
Фиг. 110.
содержащую фокусы Fb F?, за начало системы
координат — середину О отрезка Гг F2 и за
ось Ov — прямую, проходящую через О и пер-
пендикулярную к Ох, то
В этом уравнении а = — | г2 — rt\, b =
= УС* — а*, где с = -^ FiF2.
Ось Ох пересекает гиперболу в двух дей-
ствительных точках (вершинах) и называется
действительной осью гиперболы. Ось Оу не
пересекает гиперболы и называется её мнимой
осью.
Асимптотами гиперболы назы-
ваются прямые, определяемые уравнениями
у = +— л:. Расстояние от точки гиперболы до
асимптоты неограниченно убывает, если точка
неограниченно удаляется от начала координат.
?
Отношение — =-е называют эксцентриси-
тетом гиперболы
Прямые, параллельные мнимой оси гипер-
болы Оу и находящиеся от последней на рас-,
стояниях
.-» л _ . а
называют директрисами гиперболы (фиг. 111);
они обладают следующим свойством:
для любой точки гиперболы. В этих уравне-
ниях eli, d^ — расстояния or точки гиперболы
до директрис.
Фиг. 111.
Для радиусов-векторов г\, г-> точки М(х,у)
гиперболы справедливы соотношения:
г =
а
ех,
1
/ = -f a—ех.
г = а + ех,
г = —a -f ex.
Левые формулы относятся к точкам левой
ветви, правые — к точкам правой ветви.
Диаметром гиперболы называется
геометрическое место середин параллельных
хорд. Если k — угловой коэфициент хорд, то
уравнение диаметра
-^ - k & = °'
Касательная к гиперболе в её
точке MQ (XQ, _у0) имеет уравнение
Касательная делит пополам угол между
фокальными радиусами-векторами. Отсюда сле-
дует способ построения ка- ^
сательной к гиперболе в 1 '
данной точке.
Если за оси координат
принять асимптоты гипер-
болы, то уравнение гипер-
болы (в аффинных коорди-
натах) имеет вид
ху = С.
Построение гипер-
болы, имеющей данные
асимптоты и проходящей че-
рез данную точку М.
Проводим через точку М всевозможные
прямые (фиг. 112), на которых от точек пере-
сечения с асимптотой (любой) откладываем от-
резки N\N, равные ММ^ Геометрическое место
точек N есть гипербола.
Фиг. 112.


ГЛ. I]
201
Парабола. Параболой называется геоме-
трическое место точек (фиг. 113), для каждой
из которых рас-
стояние г от дан-
ной точки F (фо-
куса) равно рас-
стоянию d от дан-
ной прямой D (ди-
ректрисы).
Простейшее
уравнение (кано-
ническое) парабо-
лы имеет вид
У = 2рх.
В этом уравне-
нии р — расстоя-
ние от фокуса до
директрисы, за ось
Ох принята пря-
мая, проходящая
через фокус и пер-
пендикулярная к
директрисе (фиг. 113). За ось Оу — прямая,
перпендикулярная к оси Ох и находящаяся на
равных расстояниях от фокуса и директрисы.
Расстояние от любой точки параболы
М (x, у) до фокуса
Эксцентриситет параболы
Фиг. 113.
Диаметром параболы называется
прямая, которая делит пополам хорды напра-
вления k. Уравнение диаметра имеет вид
V —г — - ^
У k
Отсюда следует, что все диаметры пара-
болы параллельны оси х.
Касательная к параболе в точке
о) определяется уравнением
УУО = Р(* + Х0).
Касательная к параболе в точке MQ пере-
секает ось Ох в точке -/V, абсцисса которой
Фиг. 114.
отличается лишь знаком от абсциссы точки MQ
(фиг. 114).
Касательная к параболе образует равные
углы «pi = <ра с фокальным радиусом-вектором
точки MQ прикосновения и диаметром, прохо-
дящим через точку прикосновения.
Построение параболы, прохо-
дящей через данную точку.
1. Пусть N, Q — основания перпендикуляров
(фиг. 115), опущенных из точки /М0 на оси Оу,
Ох. Разделив отрезки
ON, NMQ на равное
число частей п, точки
деления прямой МИо
соединяют с точкой О
и через точки деле-
ния отрезка ON про-
водят прямые, парал-
лельные оси Ot.
Если занумеровать
точки деления прямой
NMo, начиная от точ-
ки N, и точки отрезка
фиг- 115-
ON, начиная от точ-
ки О, то точки пересечения любой прямой пуч-
ка О с соответствующей прямой пучка парал-
лельных прямых принадлежат параболе, про-
ходящей через точку И0 с вершиной в точке О.
2. В отрицательном направлении оси х
откладывается отрезок ON' 'фиг. 116) дли-
ной 2/7 и строится окружность с центром на
оси х, проходящая че-
рез точку N. Через ,v
точки пересечения
окружности с поло-
жительными полуося-
ми х и у проводятся
прямые, параллель-
ные этим осям. Точка
их пересечения при-
надлежит параболе
у2 — 1рх.
Уравнение линии 2-го порядка в поляр-
ных координатах имеет вид
Р
Фиг. 116.
1 — е cos О
Для эллипса е
р = — и полюс со-
впадает с левым фокусом эллипса.
Ь2
Для гиперболы е^> 1, р = — и полюс со-
впадает с правым фокусом гиперболы.
Для параболы е = 1, р есть расстояние
от фокуса до директрисы и полюс совпадает
с фокусом.
Общая теория кривых 2-го порядка
Общее уравнение второй степени имеет
вид
4-
= 0.
Линию, определяемую таким уравнением, на-
зывают линией 2-го порядка.
Распадение линии 2-го порядка на две
прямые. Если линия 2-го порядка состоит из
двух прямых (пересекающихся, параллельных,
действительных или мнимых), то
Л =
а\\
Й22 Я23 =
Обратно, если А = 0, то линия состоит из
двух прямых.


202
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Дополнительно следует рассмотреть
«21 «22
1. При Л3з]>0 прямые мнимые, т. е. левая
часть уравнения линии 2-го порядка предста-
вляет произведение двух линейных относитель-
но х, у множителей с мнимыми коэфициентами.
2. При Дяз<0 — прямые действительные
с общей точкой.
3. При Л33 = О — прямые параллельные
(различные действительные, различные мнимые
или совпадающие).
Асимптотические направления. Напра-
вления прямых, встречающих линию 2-го по-
рядка в бесконечно удалённой точке, назы-
ваются асимптотическими; их направления
определяются из уравнения
или
ancos2 <р
12 cos у sin 9 + «22 sin2 ? = 0.
где k — угловой коэфициент асимптотического
направления, а <р — угол прямой асимптоти-
ческого направления с осью Ох.
Если Л83<0, то существуют два действи-
тельных асимптотических направления (гипер-
болический случай).
Если Л83 = 0, то существует одно асимпто-
тическое направление (параболический случай).
Если Л33 > 0, то нет действительных асим-
птотических .направлений (эллиптический слу-
чай).
Таблица 6
А,
Ф о
* о
= 0
= 0
Азз
>о
= о
<о
>о
= 0
<°
Вид линии
Эллипс
Парабола
Гипербола
Две мнимые прямые с общей
ствительной точкой
Две параллельные прямые
Две действительные пересе
дей-
каю-
Примеры. 1. Для уравнения jp+4xy-{4y*-\-1ix
== - 36, А
1 2 3
240
300
1 2
2 4
0.
Следовательно, линия 2-го порядка — парабола.
2. Для уравнения х* -J- ху + у* — 1 = О
L А
Следовательно, линия — эллипс,
Диаметром линии 2-го порядка
называется геометрическое место середин па-
раллельных хорд. Если k = tg <p — угловой коэ-
фициент хорд, то уравнение диаметра имеет
вид
(апх + апу + а13) + fc(a21x + a^y + a23) = 0
Ki* -т- «12У + «is) cos <р +
+ («21* -Н «2?.У + «2а) sin 9 = 0.
Угловой коэфициент k1 диаметра опреде-
ляется выражением
или
-f
k') a12
' = 0.
Направления, определяемые коэфициентами
k и k', называются сопряжёнными.
Центр линии 2-го порядка. Центр — такая
точка, относительно которой для каждой
точки линии 2-го порядка существует точка
симметричная, принадлежащая той же линии
2-го порядка.
Центр определяется уравнениями
апх + а12у + я18 = О,
где х, у — координаты центра.
Если
33
«21 «22
то у линии 2-го порядка существует един-
ственный центр и она представляет собой или
эллипс, или гиперболу, или пару пересекаю-
щихся прямых (действительных или мнимых).
Если
Л =
= О
«21 «22
и по крайней мере один из определителей
«11 Й13
«21 «23
«12 «13
«22 «23
отличен от нуля, то центра не существует
(он удалён в бесконечность). Линия 2-го по-
рядка представляет собой параболу.
Если все определители 2-го порядка, со-
ставленные из матрицы
нули, т. е.
«11 «12 «13
а21 «23 «23
«11
«21
«12
«22
«23
и уравнения, определяющие координаты центра,
являются следствием одно другого. В этом
случае имеется бесконечное множество цен-
тров, принадлежащих прямой (линия центров).
Линия 2-го порядка состоит из двух параллель-
ных прямых.
Примеры.
1) х* — Ьху + 4у* — 6* + 12у —1 = 0.
Уравнения, определяющие центр:
х — 2у — 3 = 0, — 1х + ty + 6 = 0.
Второе уравнение равносильно первому; следова-
тельно, имеем прямую центров.
2) 4лгу — 6л: + Чу — 1 = 0. Уравнения, определяющие
центр,
2у — 3 = 0, Чх + 1 = О
3 1
дают у= — , х = — — , те. кривая имеет един-
Главные направления. Прямые, сопряжён-
ные относительно линии 2-го порядка и пер-


ГЛ. I]
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
203
пендикулярные друг к другу, называются пря-
мыми главных направлений.
Угловые коэфициенты главных направле-
ний определяются уравнением
'11 —«22) & — «12= О-
Отсюда
й = —
— а^ ±
«22) ^
2а12
причём подкоренное выражение всегда не-
отрицательно. Оно равно нулю только при
«11 = «22. «12 = °-
В этом случае уравнение линии приводится
к виду
х* -Ь У2 + ЪА^х + 2АжУ + Л33 = О
или
и линия имеет бесконечное множество глав-
ных направлений.
При условии Hj| + Л2| — Л3з >• 0 линия
представляет собой окружность с центром
( — Л18, — Л23). Если А?3 + Л2| — AM = 0, то
линия имеет только одну действительную
точку (— Л]3, — Л23). Наконец, при
А || + А^— A^-^Q линия не имеет действи-
тельных точек (мнимая окружность).
В общем случае имеются два главных
взаимно перпендикулярных направления, так
, , _ <?12 _ 1
как /vi Кп — — •—— —• 1.
«12
Диаметр главного направления называется
осью, кривая относительно него симметрична.
Гипербола и эллипс имеют две оси; пара-
бола— одну ось с угловым коэфициентом
:12 «22
Касательная к линии 2-го поряд-
к а в точке М0 (*0, у0) имеет уравнение
«22^0 + «23> У +
Инварианты. Функции коэфициентов урав-
нения, не меняющие своих значений при пе-
реходе от одной системы координат к другой,
называются инвариантами.
1. Инварианты переноса начала системы
координат.
Если апл:2 + la^xy + а^у* +
= О
уравнение линии 2-го порядка относительно
некоторой прямоугольной системы координат и
'п х'* + 2а'12 х'у'
2а'13х'
есть уравнение той же самой линии 2-го по-
рядка относительно другой прямоугольной си-
стемы координат (фиг. 117), оси которой па-
раллельны осям первоначальной системы и
имеют те же самые положительные направле-
ния, то
«12 = «1
«П «12 «18
«21 «22 °23
Л31 в32 «33
«22 =
711 «12
721 «22
г31 ^32 3
2. Инварианты общего преобразования
прямоугольной системы координат в прямо-
угольную.
Если апх* + 2я12ху + а-^Л 2я13х+2о23_у+
-|-а33 = 0 — уравнение линии 2-го порядка
относительно некоторой прямоугольной систе-
Фиг. 117. Фиг. 118.
мы координат хоу и а'цх'3 •
Г f t f
' «22-У'2 + 2а 13*' + 2«23^' "^~ °зз = 0 — уравне-
ние той же самой линии относительно другой
прямоугольной системы координат (фиг. 118).
произвольно расположенной относительно
первоначальной, то
/I = йп + а22 = ап + «22
«21 «22
«11 «12 «18
«21 «22 «23
«31 «32 «33
22
«22 «23
J32 «33
являются инвариантами общего преобразова-
ния.
Преобразование уравнения линии 2-го
порядка к каноническому виду
при помощи инвариантов
1. Преобразование уравнения централь-
ной линии. Если линия 2-го порядка задана
общим уравнением, то каноническое уравне-
ние этой линии имеет вид
'з 7з _
где Xj и Х2 — корни так называемого характе-
ристического уравнения
причём Д, /а и /3 вычисляются при помощи
коэфициентов данного уравнения (см. выше).
Пример.
2ху — \х + 6у — 1 = О,
О 1
/,
1 О
I О 1 -2
| 103
j -2 3-1
= -КО,
—11.


204
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Линия есть гипербола. Характеристическое уравне-
ние X2 — 1 =0 имеет корни ),, = 1, Х2= —1, поэтому ка-
ноническое уравнение гиперболы
х'3 -- у'* + 11 = О
Пример.
—р
2. Преобразование уравнения параболы.
Для параболы /2 = О, /3 ± О (Л33 = О, Л-^ 0);
каноническое уравнение имеет вид
Пример
' — 2
х1 — 4ху + 4у2 — Gx = О,
/, = 5, /а = 0, /3=-36.
Следовательно, линия — парабола; её каноническое
уравнение
'*--^— х' =0.
Определение расположения линии 2-го
порядка относительно прямоугольной системы
координат,
1. Центральная линия. Из уравне-
ний
а\чУ + °13 = О,
определяется центр линии, а из уравнения
0
или из уравнения
Й12 +
определяется угловой коэфициент новой
оси OV.
Пример. Для линии
5л-2 + 8ху + 5у* —
- lay -t- 9 = О
инварианты /t = 10,
9, /3 = —81, характеристическое
уравнение X3 — 10 X + 9=0
даёт Х. = 1, Х2 = 9.
Каноническое уравне-
ние кривой
х' — 4ху
Каноническое уравнение
1'
1 - -р= х' = О,
•/125
угловой коэфициент хорд
-2.
Следовательно, ось имеет уравнение
(х - 2у - 3) - 2 ( - 1х + 4у) = О
5.г— 10j> —3 = 0.
Решая это уравнение со-
вместно с уравнением парабо-
лы, получаем (фиг. 120) коор-
динаты вершины х — 0,06, у =
= - 0,27.
Чтобы определить распо-
ложение параболы относитель-
но касательной в вершине,
нужно решить совместно урав-
нение параболы и какой-либо
оси (например, оси Ох)
у = о, х" — 6л- = 0;
i - 0, л-3 = 6.
Фиг. НО.
Аналитическая геометрия в пространстве
Метод координат в пространстве. Пря-
моугольные координаты. Три прямые Ох,
Оу, Ог, пересекающиеся в одной точке О и
попарно перпендикулярные с единичными
отрезками, образуют координатный триэдр
(фиг. 121). Каждые две прямые определяют
координатную плоскость;
точка О называется нача-
лом системы координат.
На каждой из прямых Ох,
Оу, Ог определено поло-
жительное направление.
Если через произволь-
ную точку М простран-
ства провести плоскости,
перпендикулярные осям
Ох, Оу, Oz, и обозна-
чить через AI, A$, As
точки пересечения этих
Фиг. 121.
х'3 +9у" - 9 = 0 или плоскостей с осями, то три числа х -=
У =
*
ОА*
OAj
т
, измеряющие отрезки ОА\,
Фиг. 119.
Координаты центра
(ха< yu) определяются урав-
нениями
Ьха + 4у0 — 9 = О,
Следовательно,
Из уравнения E—1) + 4ft =0 следует k = — 1.
Расположение эллипса приведено на фиг. 119.
2. Парабола. Уравнение оси параболы
имеет вид
«22V
= 0.
Решая это уравнение совместно с уравне-
нием параболы, можно определить координаты
вершины параболы. Касательная к параболе
в вершине перпендикулярна к оси.
т т
ОАЪ О/43, при помощи некоторой единицы
масштаба /и, называются координатами
точки М.
Направляющие косинусы луча. Угловые
коэфициенты луча или прямой. Косинусы
углов направления луча / с положительными
направлениями осей координат cos (/, х),
cos (l,'y), cos (/, z) называются направляющими
косинусами луча. Направляющие касинусы
удовлетворяют условию
COS2 (/, X) + COS2 (/, у) -1- COS2 (/, «) = 1.
Угловыми коэфициентами луча или прямой
называют числа /1э /2, /3, удовлетворяющие усло-
виям
__/1 __ = /2 = /з
cos (/, х) cos (/, v) cos (/, z)
Если прямая проходит через начала систе-
мы координат, то за /lt /2, /а можно принять


ГЛ. I]
205
координаты любой точки прямой; в общем слу-
чае за /|, /2, /з можно принять разности коор-
динат двух произвольных точек прямой.
Полярная система координат. Пусть М —
произвольная точка пространства (фиг. 122) и
Р — её ортогональ-
ная проекция на пло-
скость хО\>, Полярны-
ми координатами этой
точки называются три
числа:
ср — угол от поло-
жительного направле-
ния оси Ох до напра-
вления луча UP,
О — угол от поло-
жительного направле-
Фиг. 122.
ния оси Oz до напра-
вления луча ОМ и р>0 — длина отрезка ОМ.
Если х, у, г — прямоугольные координаты
точки М, то
х = р sin 9 cos ср, у = р sin -8- sin <р,
г = р cos 0.
Цилиндрическая система координат.
Если М — произвольная точка пространства
(фиг. 123) № Р — её проекция на плоскость хОу,
то цилиндрическими ко-
ординатами точки М на-
зывают три числа:
ср — угол от положи-
тельного направления
оси Ох до направления
луча ОР,
г — длину отрезка ОР и
г — третью прямо-
угольную координату
точки М.
Если х,у, г — прямо-
угольные координаты
точки М, то
фиг 123.
х = г cos <р,
у = г sin <р, г = г.
Координаты вектора. Если провести через
начальную и конечную точки вектора АЬ пло-
скости, перпендикулярные оси их, то отрезок
A^BI оси х между этими плоскостями назы-
вается проекцией вектора АВ на ось Ох.
Число «i = -
измеряющее отрезок
при помощи некоторой единицы масштаба, на-
зывают координатой вектора.
Аналогично определяются две другие коор-
динаты аг, о3 вектора А В.
Если точка А имеет прямоугольные коорди-
наты jfi, з7!» Zj и точка # — координаты л2, .Уа.
*з. то
ai — Х2 — •*! = |а| cos (a, i),
а-г —Уч.— У! = la! cos (a> j)»
а3 = 22 — Si = |a| cos (a, k),
где !a| — длина вектора АВ = а и i, j, k — еди-
ничные векторы по осям прямоугольной си-
стемы координат; направления этих единичных
векторов совпадают с соответствующими по-
ложительными направлениями координатных
осей.
Вектор АВ можно представить в виде
АВ = (хъ — Xl) I + СУа — Л) J + (га — ^) k.
Длина вектора |а| определяется по формуле
а\ =
Если е — единичный вектор, то его коор-
динаты
*! = cos (e, i), e% = cos (e, j), e3 = cos (e, k).
Действия над векторами см. на стр. 190.
Плоскость
Общее уравнение плоскости
Ах + By 4- Сг + D = 0.
В этом уравнении х, у, г — текущие коор-
динаты и А, В, С — координаты некоторого
вектора N, перпендикулярного к плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
— X COS а — у COS Р — Z COS 7 + Р = 0.
В этом уравнении cos *, cos 8, cos f — на-
правляющие косинусы перпендикуляра, опу-
щенного из начала координат на плоскость, и
р — длина этого перпендикуляра.
В векторной форме нормальное уравнение
плоскости имеет вид
• — re + Р — О,
где г — радиус-вектор любой точки плоскости;
е — единичный вектор, перпендикулярный пло-
скости и имеющий направление от начала коор-
динат к плоскости; р — длина перпендикуляра
от начала до плоскости.
Расстояние 5 от точки MI (л^, у^ г$
до плоскости
— х cos а — у cos 3 — z cos i -\- р = О
определяется по формуле
S = — Л"! COS а — yi COS ^ — 2Tj COS f + />•
Если 5^>0, то точка М^ и начало координат
находятся по одну сторону от данной плоскости.
Если 5<^0, то точка MI и начало координат
находятся по разные стороны от плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках
где а, Ь, с — числа, измеряющие отрезки, от-
секаемые плоскостью на осях координат.
Уравнение плоскости, проходящей через
данную точку,
где х, у, z — текущие координаты; хй, у0, г0 —
координаты заданной точки; А, Ь, С —
угловые коэфициенты перпендикуляра к плос-
кости или координаты некоторого вектора,
перпендикулярного к плоскости.
В векторной форме это уравнение имеет
вид
(г — r0)-N = 0,
где г — текущий радиус-вектор; TQ — радиус-
вектор определённой точки плоскости; N —
вектор, перпендикулярный к плоскости.


206
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Условие принадлежности четырёх точек
одной плоскости
Четыре точки Аг (x^y^Zj), A2(xz,y2, z2},
Аэ (Х3,у3, *3) и А$ (xity4,z^ принадлежат од-
ной плоскости, если векторы А4А}, А$А2, A±AS—
компланарны. В этом случае координаты то-
чек удовлетворяют условию
определяется по формуле
Уг—У* У2~У* Уя—
= 0,
или
X, у1
х2 у2
*з Уз
= 0.
X =
где х, у, z — текущие координаты точки пря-
мой; XD, уо, 20 — координаты определённой точки
прямой; /j, /2' ^з — угловые коэфициенты пря-
мой; t — переменная величина (параметр).
В векторной форме параметрическое урав-
нение имеет вид
Г = Г0 + 1/,
где г — текущий радиус-вектор; г0 — радиус-ве-
ктор определённой точки прямой; 1 — вектор,
параллельный прямой; t — параметр.
Канонические уравнения прямой
X — XQ _ У—Уо _ Z — ZQ
Прямая как линия пересечения двух
плоскостей. Прямую можно определить как
линию пересечения двух плоскостей, в таком
случае координаты любой точки прямой удо-
влетворяют двум уравнениям
А^х + В%у + ?зг + DZ ~ О-
Пусть л-0, Уо, г0 — три числа, удовлетво-
ряющие этим двум уравнениям (координаты
какой-либо точки прямой), тогда канонические
уравнения имеют вид:
х — хп у — Уо г — ZQ
С1А1
А1В1
А2В2
Угол между прямыми, заданными урав-
нениями
X — Xfi
у—Уо
Г
cos<p =
У >?
Если coscp<^0, то направления прямых
образуют между собой тупой угол.
В векторной форме
COS ср
где V—вектор, принадлежащий первой пря-
мой, и 1" — вектор, принадлежащий второй
прямой.
Условие перпендикулярности двух пря-
мых
Условие параллельности двух прямых
_! _ А — _jL
l"i~7i~ ll'
Угол между прямой и плоскостью
/ Л \ 7 D I 7 /"*
1\/\ ~\- 1%& -\- /gC>
Условие перпендикулярности прямой и
плоскости
с '
Условие параллельности прямой и пло-
скости
Кратчайшее расстояние между двумя
прямыми
У0' го —
V
^2 ^3
12 13
2
4 4
2
4 4
4' 4
(г0-г0).(ГХ1")
Расстояние от точки Mt (xi, y\, z\) до прямой
d=
(] 2*1 -^0 *^1
*o-^i Л .
&! /J
У
Здесь М0(хй,у0,г0) — какая-либо точка на
прямой и /j, /2, /з — направляющие косинусы
или угловые коэфициенты прямой.


ГЛ. 1J
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
207
Поверхности 2-го порядка
Общее уравнение второй степени с тремя
координатами имеет вид
ап х* 4 «22 V3 + «зз г2 + 2я12 ху 4-
+ 2а23уг + 2a3ls.v 4-
4- 2«i4 л: 4 2а24.у 4 2а34 г 4 «44 = °-
Поверхность, определяемая таким уравне-
нием, называется поверхностью 2-го порядка.
Так, уравнение г2—4 = 0 определяет по-
верхность 2-го порядка, состоящую из двух
параллельных плоскостей
г — 2 = 0, г42 = 0.
Уравнение х2 4- у'2 4- г2 — 25 = 0 опреде-
ляет сферу с центром в начале координат
и радиусом, равным 5.
Преобразование координат. Если х,у, г —
координаты какой-либо точки пространства
относительно прямоугольной системы коорди-
нат и дг', у', г' — координаты той же самой
точки относительно другой системы коорди-
нат, то между ними имеют место зависимости
х — х' cos (х, х') 4- у' cos (х,у') 4-
4- z> cos (х, г') 4 «>
у =.л:'со8 (у, х') -{-у' cos (у, у') -\~
4-г' cos (у, г') 4- Ь,
z — х' cos (z, x') 4 У cos (г, _у') -(-
4-г' cos (z,z'J 4 с,
где cos (x,x'), cos (*,_у'), . . . —косинусы углов
старой оси Ох с новой осью Ох', Оу', . . .
и т. д. и а, Ь, с — координаты нового начала
относительно старой системы координат.
Центром поверхности 2-г о по-
рядка называют такую точку, относительно
которой для каждой точки поверхности су-
ществует симметричная точка, принадлежа-
щая поверхности.
Координаты центра определяются уравне-
ниями
апх + а^у 4- я13г + д14 = О,
azlx 4- «22J> 4- «2зг + «24 = 0.
а^Х 4- «82.У 4 «33* + «34 = °-
Если
«И «]2 «13
Л44 = а21 я2> а23
«31 «32 «33
то существует единственная точка — центр
поверхности. Если при этом
«11 «12 «13 «14
«21 «22 «23 «24
«31 «32 «33 а34
«41 «42 «43 «44
-О,
то центр принадлежит поверхности; поверх
ность является конической.
При А ф 0 центр не принадлежит поверх-
ности; поверхность называется центральной.
Если А ф О, Л44=0, то центр не суще-
ствует (бесконечно удалённый центр). По-
верхности такого типа называются пара-
болоидами.
Если система, определяющая центр, имеет
только два независимых уравнения, то суще-
ствует линия центров. Эти уравнения могут
быть совместными, тогда имеется линия цен-
тров. Она может не принадлежать поверхно-
сти, в этом случае поверхность является ци-
линдром эллиптическим или гиперболическим.
В противном случае поверхность состоит из
двух плоскостей, пересекающихся по этой пря-
мой центров.
Если прямая бесконечно удалённая (урав-
нения не совместны), то поверхность — парабо-
лический цилиндр.
Если система содержит одно независимое
уравнение, то место центров — плоскость, и
сама поверхность состоит из двух параллель-
ных плоскостей.
Диаметральная плоскость. Геометриче-
ское место середин параллельных хорд есть
плоскость, называемая диаметральной пло-
скостью. Её уравнение
/1 (апх 4 «заУ + «13*4 а ц) 4 /2 («2** +-«22/4-
4- «23<г + «24) + k (#31* 4 «32V 4 Яззг 4 «34) =" °.
направляющего
где /1, /2, /3 — координаты
вектора параллельных хорд.
Главная плоскость. Диаметральная плос-
кость называется главной, если она перпен-
дикулярна сопряжённым хордам. Направление
сопряжённых хорд в этом случае называется
главным. Главные направления /lt /2, 1-6 опре-
деляются уравнениями
(ап — X) /1 + al2Z2 4 «1з'з = О,
«21 'l 4- («22 — - >0 /2 + Дг3/3 = °- (s)
«31 h + «32^2 + («33 — >0'з = 0.
причём X удовлетворяет уравнению
«и —
«21
«31
«12
«22 —
«32
«13
«23
«33 ——
= 0.
Это уравнение называется характеристи-
ческим. Его корни всегда действительны.
При X, = Х2 система (s) имеет только одно
независимое уравнение. В этом случае имеется
плоскость главных направлений, и поверх-.
ность является поверхностью вращения.
Если за оси прямоугольной системы коор-
динат принять прямые главных направлений,
то уравнение поверхности принимает вид
4 *2/а + V2 4 2«
4- 2дз4г' + «44
2а'24у' 4
где А], Х2, Аа — корни характеристического
уравнения.
Если AJ ф О, Х2 ^-0, А3 Ф 0, то перенос на-
чала координат приводит уравнение к виду
^ + Ха/я 4 V2 4- «44 = 0.
Сюда относятся центральные поверхности
и конус.
Если Л3 = О, А! ф О, Х2 ф 0, а'^ ф 0, то урав-
нение приводится к виду
М + *2/'2 4 2а'34г'/ = О
(уравнение параболоидов).


208
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Если Х8 = 0, Xj ф О, Х2 ф О, я34 = 0, то урав-
нение приводится к виду
V'2 4- Ч/" + «44 = °
и представляет собой уравнение цилиндра
(эллиптического или гиперболического) или
пары пересекающихся плоскостей.
Если Х2 = Х3 = 0, Xj ф О и «
уравнение приводится к виду
24
то
(уравнение параболического цилиндра).
Если Х2 = Х3 = 0, Xj -^- 0, «2 = а =
уравнение приводится к виду
34
т. е. к уравнению пары параллельных плос-
костей.
Канонические уравнения поверхностей
2-го порядка
1) —g 4- ^ + —^ = 1 - - эллипсоид (фиг. 124).
2)— 4-тгг.-j- -^- =— 1- мнимый эллипсоид.
1 sj2 h2 г&
Фиг. 124.
Фиг. 126.
Фиг. 125.
Фиг. 127. Фпг. 128.
-однополостныи ги-
перболоид (фиг. 125).
4) — + TO — -и = —1 — двухполостный ги-
d" О С
нерболоид (фиг. 126).
ХЧ у2 г2
5) — + то 4- То = 0 —мнимый конус.
i—--f-77r—-f, = 0 — действительный ко-
цус (фиг. 127).
v2 V2
-
эллиптический парабо-
лоид (фиг. 128).
8)
- = 2/7г — гиперболический пара-
болоид (фиг. 129).
х* у-
9) -г + ^ = — 1 —-мнимый цилиндр.
Q.A Сй
X2
10) -у
V2
—
— 1 — эллиптический цилиндр
(фиг. 130).
AT2 JV2
11)— — ту—
гиперболический цилиндр
(фиг. 131).
л2 у3
12) —4-=;-= 0 — две мнимые плоскости.
а2 о*
л2 Vs
13) —г — у- = 0 — две действительные пере-
а& о2
секающиеся плоскости (фиг. 132).
14) л2 — 1ру — параболический цилиндр
(фиг. 133).
15) лг'2 + а2 = 0 — две мнимые параллельные
плоскости.
16) .v2 — а2 = 0 — две действительные па-
раллельные плоскости (фиг. 134).
17) jt2 — 0 — две совпавшие плоскости уг.
Фиг. 129.
J}
/То
'X
к
Фиг. 131.
Фиг. 133.
Фиг. 130.
Фвг. Ю2.
-'С
2
2.
,:'*_
, У
Фиг. 134.


ГЛ. I)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
209
Инварианты, т. е. функции коэфициентов
уравнения поверхности 2-го порядка, не меняю-
щие своих значений при переходе от одной
прямоугольной системы к любой другой (также
прямоугольной):
'33
/2 =
«И
«21
ап
а'п
'в-
«и
«21
«31
1
«12
«22
а!2
ап
«11
«21
«31
«12
«22
«32
^42
4-
«12
«22
«32
«13 '
«23 <
«33 '
«43 <
С2
«3
«2
«3
«13
«23
«33
214
'24
734
744
2 «5
2 «:
2 Й2
2 Й3
=
3
3
3
3
а
а
а
а\
а>.
«3
а'4
«и а
«31 «
+ fliifl
«31 а
11 Й12 а!3
21 Й22 а23
/7 /7
1 «12 а!3 a
1 «22 Й23 а
1 «32 a33 a
1 а42 Й43 а
13
33
13
J3
*
14
24
34
44
Преобразование уравнения централь-
ной поверхности к каноническому виду
при помощи инвариантов. Каноническое
уравнение центральной поверхности имеет
вид
М'а + ЧУ'2 + *в*1з + т- = <>.
J3
где Xj, Х2, Х3 — корни характеристического
уравнения '
Пример. Инварианты поверхности, заданной уравне-
нием
Sjr'+.y'+zH 1ху — 6yz —
соответственно равны
12.*: -
5 1| 1-3 5-1
1 1 | + — 3 1 + -1 1
=0,
5 1-1
1 1-3
1—3 1
5 1 — 1 _ 6 !
1 1—3—2
•1 — 3 1 4
6 — 2 4 14
• 36,
= — 216.
Характеристическое уравнение X3—7X3-t-36 = 0 имеет
корни Х, = 6, >а=3. Х,= — 2. Таким образом каноническое
уравнение поверхности имеет вид (двуполостный гипер-
болоид)
где Xj, Xj, Х3 = 0 — корни характеристического
уравнения (знак выбирается произвольно),
/2Х = О
= 0).
ости
д
Пример. Характеристическое уравнение повеохност
Зуа — Зга — 12л-_у -t- 12;fz— бдг —\1у— 122=0 имеет ви
X— 81 Х=0, так как/!=0, /2=— 81, /3=0, /4=6С61. Корни
характеристического уравнения суть Х,=9, Х2 = — 9,
Х3=0. Следовательно, каноническое уравнение поверх-
ности приводится к виду (гиперболический параболоид)
.*'з_у'з _ 2г' =0.
Прямолинейные образующие поверх-
ности 2-го порядка. Прямолинейной образую-
щей поверхностью 2-го порядка называется
прямая, принадлежащая поверхности всеми
своими точками.
Однополостный гиперболоид, гиперболиче-
ский параболоид, конические и цилиндрические
поверхности имеют действительные прямоли-
нейные образующие.
Прямолинейные образующие однополост-
ного гиперболоида
-= -f- ~- — -г = 1 определяются уравнениями:
Qu foi ?.J
первая серия
Iх
и -
\«
- —- 1 = V —-
X Z
V I — + —
\а ' с ,
вторая серия
Р (г —т
В этих уравнениях и, v, p,q — постоянные
величины; подставляя в уравнения координаты
какой-либо точки поверхности, получаем от-
ношения u:v,p:q и, следовательно, уравнения
прямолинейных образующих, проходящих
через эту точку.
Прямолинейные образующие гиперболиче-
ского параболоида
^-F = 2"
первая серия
определяются уравнениями:
Преобразование к каноническому виду
уравнения параболоида при помощи инва-
риантов. Каноническое уравнение параболо-
ида имеет вид
= 0),
Том 1, кн. I
вторая серия
i =Х
/ х
Р- (-^
Пример. Прямолинейные образующие поверхности
х*-{у3 — z- = \, проходящие через точку М A; — 1; 1),
имеют уравнения: х—г — ^, 1ту = ч — первая серия
и x~z=\-^y,x^z—\—y— вторая серия.


210
МАТЕМАТИКА
(РАЗД. 1
Плоские кривые
Линия на плоскости определяется одним
уравнением Ffx, у) = 0 или у = f(x), которое
связывает текущие координаты её точек.
Линия может быть задана также параме-
трическими уравнениями х — <р it), у —^ (t), в
которых величина / — вспомогательный пара-
метр. Каждому значению параметра t соответ-
ствует при однозначных функциях <р (t) и ф (t)
одна точка кривой.
Касательная и нормаль. Касательная к
линии в точке М определяется как предельное
положение секущей ММ',
когда точка М' неограни-
ченно приближается к
точке М (фиг. 135). Если
а — угол касательной с
осью х, то
dx
cos a = -7—,
ds
dv
sin
Фиг. 135.
(ds
ds
элемент дуги).
Уравнение касательной к кри-
вой, заданной параметрическими уравнениями,
имеет вид
х — хп
*' Со)
У— Уъ
Ф'Со) '
где t — значение параметра, определяющего
точку М.
Если кривая задана уравнением y—f(x)
или уравнением F(x, у) = 0, то уравнение
касательной имеет соответственно вид
У —УО =
или
дх
где х0 и УО— координаты точки касания.
Нормалью к кривой в точке М называется
прямая, проходящая через точку М и перпен-
дикулярная к касательной в этой точке.
Уравнение нормали имеет вид
(X - *о) ?' ft) + 0/ - >'0) У (tQ) = О
для кривой,
уравнениями;
заданной параметрическими
(х — *о)
Q, у0)
дх
ду
для кривых, заданных уравнением у = f(x)
или F (х, y)=Q.
* Литературу ем. на стр. 321
Особые точки. Особой точкой линии, за-
данной уравнением F(x,y) = Q, называется
такая точка, координаты которой удовлетво-
ряют одновременно трём уравнениям
F(x,y)=--Q,
dF(x,v)
д*
= 0,
_._
- ду -
Особая точка называется двойной, если
по крайней мере одна из частных производ-
ных 2-го порядка
дх ду
отлична от НУЛЯ.
Если при этом Д = Fn P>s> — F\^ > 0, точка
называется изолированной; вблизи этой точки
нет других точек линии.
Фиг. 136.
Фиг. 137.
При Д = 0, особая точка является точкой
возврата или точкой самоприкосновения (фиг.
136, 137 и 138, 139).
Если Д<0, то точка узловая (фиг. 140).
Фиг. 148.
Фиг. 139.
Угловые коэфициенты касательной к линии
в её особой точке определяются уравнением
k*F --= О
k =
Таким образом в узловой
точке имеются две действи-
тельные касательные; в точках
возврата и самоприкосновения
две касательные совпадают; в
изолированной точке нет дей-
ствительных касательных.
Пример 1. Для уравнения у3 — ,v3
екая парабола)
/=\ = — Злг2, F, = Чу, FU = — 6г, /V
В особой точле х=у=0 производные
Фиг 140.
О ^юлукубиче-
= 0,
Так как Д—0, то начало координат является точкой
возврата, и линия имеет вид, представленный на фиг.141.
Ч. Для линии д3+у* — Зл:_у = 0 (декартов лист)


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
211
Особая точка имеет координаты @,0); так как при ЭТОМ
Д = — 9 < 0. то точка узловая (фиг. 142).
3. Для линии у"-~х-(х — 1)
f? — *3 » 2 *?v Р* — __ 01/
f i — бл — ix, /а — — zy,
___, w
Фиг. 141.
Фиг. 142.
Особая точка имеет координаты л — 0, у=0. При
этом Д=4 > 0, и, следовательно, точка изолированная.
Если уравнение алгебраической кривой
не содержит свободного члена и членов
с первыми степенями координат, т. е. имеет вид
+ *ш*8 Ч- . . . = О,
ап
12 ху -г
то начало координат является двойной точкой
В этом случае, чтобы получить уравнения
касательных в двойной точке, нужно прирав-
нять нулю группу членов второй степени.
Если уравнение не содержит свободного
члена и членов с первыми и вторыми
степенями координат, то начало координат —-
тройная точка; уравнения касательной полу-
чаются, если приравнять нулю группу членов
с третьими степенями.
Пример. Линия (x's + у-)-— ах (Xs—у") = 0 имеет
тройную точку х = 0, у = 0, касательные в которых
(фиг. 14з) определяются уравнениями
ах (.v2 — _у2) = 0.
Асимптота. Асимптотой кривой в смысле
Аполлония называется такая прямая, рас-
стояние до которой от точки кривой стре-
мится к нулю, когда точка по кривой уда-
ляется в бесконечность.
"Ч Если уравнение кривой
\г\ />"——*->v У — f (х)> а У; авнение
\^/ \ асимптоты у = kx + Ь,то
г————————-—— _L-*
f(x~\
Х-+00 X
b -lim [f(X)—kx].
л:-+00
Фиг. 143.
Пример. Уравнение асимптоты к гиперболической
спирали, заданной параметрическими уравнениями,
cos 6
у = а
sin 9
Гиперболическая спираль имеет бесконечно удалён-
ную точку, соответствующую значению параметра
9 = 0. Так как
m -<~ = lim
-0 x 9-*0 cos
=0,
b = lim (y - 0) - I 'm a —-— = a,
9-0 9
то уравнение асимптоты у = a.
Кривая имеет асимптоту х = а, параллель-
ную оси О , если
•т — lim — = 0.
J/-00 У '
а = lim (х — ту).
_у-*оо
Длина дуги плоской кривой; диферен-
ииал дуги (см. также стр. 176). Если кривая
задана уравнениями
* = ? (О, У = Ф (О,
то длина дуги от точки A (t=t-fi до точки
# (t — t2) равна
= dx*
В частности для уравнения кривой в виде
y—f(x) следует предварительно положить
Если линия задана уравнением в полярных
координатах, то
в.,
= rfp2 + р2
Пример. Определить длину
дуги цепной линии
.
+е
между двумя ее точками, соот-
ветствующими абсциссам О и
х (фиг. 144).
Полагав х — t, находим
м
х ______ .г
3 = ll/ l + sh* — df= \cb — d( = asb —
J V a J a a
0 0
Обозначая NQ через ft, получим из чертежа
y=h + a = acb~,
Таким образом,
———-'--} — ( —I =1 или Ла + 2Ла -52 = 0.
\ а } \ а )
Углы нормали с осями координат. По-
ложительным направлением нормали назы-
вается такое, которое получается из положи-
тельного направления касательной поворотом
на угол -~ в положительном направлении
(против движения стрелки часов).
Если а] и а — углы положительного напра-
вления нормали и касательной с положитель-
ным направлением оси Ох, то ах = a -f -?-,
таким образом
dy
COS <* — — ——
dx
sin «ч = —
ds
Точки перегиба. Если кривая расположе-
на по разные стороны касательной (фиг. 145)


212
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
"В некоторой её точке, то последняя называется
точкой перегиба.
Для точки перегиба производные
// = 0,
М
Фиг. 145.
Фиг. 146.
причём первая — не обращающаяся в нуль
производная нечётного порядка.
Пример. Для уравнения у=х + х3
У=1+Зх2, у"= Gx, у'" =6.
Так как у" = 6х=0, у'"+0 при x=.Q, то начало
координат есть точка перегиба (фиг. 146).
Соприкосновение плоских кривых. Две
кривые у—1(х) и у—<?(х) имеют в точке
М (х0, _у0) соприкосновение «-го порядка, если
Пример. Определить порядок соприкосновения окруж-
ности х3 + у3 — у = о и параболы x-t, y=f в начале
координат (Г - 0).
Подставляя левую часть уравнения окружности вме-
сто х и у соответственно t и /*, получаем
Так как производные Ф' (f)=4fl, Ф" (() = 12Р, Фт (() =
lv
=24/ равны нулю при /=0, а <!• (t) — 24 не равна нулю,
то соприкосновение 3-го порядка.
Соприкасающаяся окружность. Кривиз-
на линии. Радиус кривизны, центр кри-
визны. Окружность, имеющая с кривой со-
прикосновения не ниже 2-го порядка, назы-
вается соприкасающейся окружностью.
Если х = ср (О, У — 41 @ — уравнения кривой,
то координаты центра (а, Ь) и радиус /-сопри-
касающейся окружности определяются по фор-
мулам
л
Пример. Две линии у^х — -^-(- и j>a=sinjr имеют
в точке @,0) соприкосновение 4-го порядка, так как
' Г II If Iff Iff |V |v V V
У --_У » _У —У » -У —_У * У ^У t У ~~ У > У ^У
Если две линии находятся в соприкоснове-
нии нечётного порядка, то кривые располо-
S 1
и называются соответственно координатами
центра кривизны кривой и её радиусом кри-
визны; здесь XQ и _у0 — координаты данной точ-
ки кривой.
Если уравнение кривой v = f(x), то
В случае уравнения кривой в полярных
координатах р — р F)
91—1 —
2 Ue/
Величина /С = -называется кривизной кри-
вой.
Фиг. 147.
Фиг. 148.
жены по одну сторону одна от дпугой (фиг. 147),
если в соприкосновении чёшого порядка, то
переходят одна через другую (фиг. 148).
Если одна линия задана уравнениями пара-
метрическими л; = ср (t), у = <i (О. а другая
уравнением F (Xjy) — 0, то условия соприкос-
новения n-го порядка в точке, для которой
t =. t0, имеют вид
Ф * = 0, Ф'* = 0...,
= О,
где
Ф @ =
где a — угол касательной с осью Ох, а Да —
угол между двумя касательными в близких
точках кривой и Д$—длина кривой между этими
точками.
Семейство плоских кривых. Дискрими-
нантная кривая. Огибающая. Уравнение
F (х, у, с) — 0 определяет на плоскости се-
мейство линий, зависящее от одного параме-
тра с. Если исключить параметр с из уравнений
Г (х, у, с) = О
dF (х, у, с)
дс
= 0,
то получается уравнение
дискриминантной.
линии, называемой


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
213
Из этих уравнений можно также найти
Каждому значению с соответствует опре-
делённая кривая семейства, и точка х (с), у (с)
принадлежит как дискриминантной линии, так
и линии семейства.
Если эта точка не является особой точкой
кривой семейства, то дискриминантная линия
касается кривой семейства
в этой точке (фиг. 149).
Если точка х (с), у (с)
является особой точкой, то
не всегда линия семейства
имеет общую касательную с
дискриминантной линией.
Дискриминантная линия
или её часть, касающаяся
каждой кривой семейства,
называется огибающей се-
мейства.
Примеры. 1. Уравнение ,v2 — (х 4- сK =» 0 предста-
вляет собой линии семейства полукуби"еских пара-
бол, расположенных симметрично относительно оси Ох.
Исключая с из уравнения семейства и уравнения
— - ~ — 3 (х -\- сJ -= 0, получим у1 = 0. Таким образом,
ос
дискриминантная линия совпадает с осью Ох и касается
каждой кривой семейства (дискриминангная линия
является огибающей).
2. Семейство полукубических парабол даётся уравне-
нием (у + сJ — х3 = 0.
Исключая с из уравнения семейства и уравнения
2(у + с) = О, получаем х3 «= 0. Таким образом дискрими-
нантная линия совпадает с осью Оу и не является в
данном случае огибающей.
Эволюта. Эволютой кривой называется
геометрическое место центров её кривизны.
Если линия задана уравнениями х = у (t) и
у = ф (t), то координаты (а, Ь) точки эволюты
определяются уравнениями:
х'2-\- у'2
'Г ———— V ' -L. ______ ..I
,' г" У '
ь= у 4- -
х'у" —у' х" •
+ У'
х'у'' — х"у'
X'.
Эволюта кривой является огибающей нор-
малей.
Диференциал дуги эволюты равен диферен-
циалу радиуса кривизны кривой.
Эвольвента. Линия, для которой данная
линия является эволютой, называется эволь-
вентой данной линии.
Эвольвенту данной линии / можно получить
следующим построением
(фиг. 150): на каждой ка-
сательной к данной линии
откладывается в отрица-
тельном направлении отре-
зок, равный длине дуги кри-
вой, отсчитанной от произ-
вольно выбранной её точ-
ки MQ.
Так как точку MQ можно
выбрать произвольно, для
данной кривой определяет-
ся бесчисленное множество
эвольвент.
Если х = х (s), у = у (s) — уравнения дан-
ной линии и s — длина дуги, отсчитываемая
Фиг. 150.
от произвольной её точки, то уравнения эволь-
венты следующие:
*! = X (S) — (S + С) X' (S),
У i = y(s)~(s + c) y'(s)t
где с — произвольная постоянная величина.
Пример. Для цепной линчи (фиг. 151) имеем (стр. 211)
х = t, s = a sh — ,
ch -dt,
dx_
ds
' t' ds
ch --
а
Фиг 151.
и, следовательно, уравнение эвольвенты цепной линии
имеет вид:
*, = / — (a sh - 4- с) --,
уi =• a ch - — (a sh - -4- с} th — •
' а \ а / а
При с = 0 эта кривая называется трактрисой (см.
стр. 196. фиг. 93).
Вершины кривой. Точка кривой, для кото-
рой —- = 0» где К — кривизна, называется
• ds
вершиной кривой.
Пример Для эллипса х => a cos t, у — b sin t
JL (Д2 s'"a t 4- Ьг cos3 t) ^
~K "" ab——————•
lL(—\—- («2 sin- t + b- cos- t) '
dt\K '
ab
- Л/&~
dt = r
и вершины определя-
ются уравнениями:
sin t cos t = 0,
откуда
(ua — b1) 2 sin t cos t,
eta*"/ + ba "cos» t ф 0.
2 " ' Фиг. 152.
Таким образом, эллипс имеет четыре вершины
(фиг. 152). Наименьшее число вершин замкнутой кривой
без особых точек равно 4.
Диференциальная геометрия
пространственных кривых
Уравнение кривой. Если начало вектора
г (О (о векторах см. стр. 202) при изменении t
сохраняет своё положение (начало координат),
то конец вектора описывает некоторую про-
странственную или плоскую линию.
Уравнение г — г (t) есть векторное урав-
нение линии; в координатной форме уравне-
ния линии имеют вид:
х = X(t), у - у@, г = z(t).
Пространственную линию можно задать
уравнениями:
F! (х, у, z) - 0, рг (х, у, z) = 0.
Чтобы получить параметрические уравне-
ния, следует задать одну из координат как про-


214
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
извольную функцию параметра t и определить
из этих уравнений у и z как функции того же
параметра t.
Пример. Если линия задана уравнениями
х*+у3 — а2 = 0, x\g-~ — у = О,
г
то, приняв -^ = t, получаем
х'1- + у = а2, у = х igt.
Отсюда получаем параметрические уравнения винто-
вой линии (фиг. 153):
х=а cos t, у—a sin /, z—bt
или векторное уравнение
г (t) = a cos 11 + a sin t j + **k«
Здесь 1, j, k — единичные векторы, имеющие напра-
вление осей х, у, г.
Касательная к кривой. Производная век-
тора г (О
г'@ =
Фиг. 153.
г (t 4- AQ - Г (t)
есть вектор касатель-
ной к линии. Вели-
чины х' (t), у' (/), z'(t)
являются координата-
ми вектора г' (t).
^ектор Fwi =
= т имеет модуль,
равный 1; его назы-
вают единичным ка-
сательным вектором.
Пример. Вектор г' (t) винтовой линии х — а cos t, у —
a sin t, z - bt имеет производную г' (t) с координатами
х' (t) - — a sin t, y'(t) = a cost, z'(t) = b.
Отсюда
Таким образом вектор т имеет координаты
V а2
. sin ^, — __ cos t,
Уравнение касательной прямой к кривой
г = г (t) в точке М (t = ?0| имеет вид
R = г (*„) + н г'(<„Ь
где R = R «)— радиус-вектор точки касатель-
ной прямой. Каждому значению параметра и
соответствует определённое значение R, а, сле-
довательно, определённая точка на прямой.
В координатной форме уравнения касатель-
ной для кривой, заданной параметрическими
уравнениями, имеют вид
X — XQ У — _Уо % — ^0
х' Со) ~ У' Со) ~~ г< Со) '
Уравнения касательной для кривой, задан-
ной уравнениями /^ (л, у, г) = 0, F%(x, у, г) =
Длина дуги пространственной кривой.
Диференциал дуги. Если линия задана урав-
нениями
или в векторной форме уравнением г = г (t),
то длина дуги между двумя её точками,
соответствующими параметрам ^ и tz, опреде-
ляется по формуле
= J
при этом
dx2 + rfy2 + dz* —
'* (t) + ** (t)] d? = [dr
Вектор — = т, так как \dr\~\ds\.
За параметр, определяющий пространствен-
ную линию, можно принять длину дуги s; для
этого из уравнения
5 =
следует определить t как функцию s и под-
ставить его выражение в параметрические
уравнения кривой; в результате получится
x = x(s), y=y(s), z — z(s).
Пример. Для винтовой линии х = a cos t, у = a sin t,
2= bt
V'3+ z3 dt =
Отсюда
— и, име
dFi dFt
ду дг
ЛР дс-
W -д/
ют вид
Х = Х0
У=Уо
y-vu
дл ^1
дг дх
~дг ~дх
х-хй
«-2
z_
dFj дЛ
дл: С>у
- с
дх ду
Х-Х0
У=Уо Прям
z~ г° ющейся
Подставляя значение / в уравнения винтовой линии,
получаем
s s bs
х—а cos —==== , у—a sin ———— , г = —. — .
v а'^-^Ь3 VcP-b-b Vа-+ №
Соприкасающаяся плоскость. Соприка-
сающейся плоскостью в точке Af0 простран-
ственной линии называется такая плоскость,
которая является предельной для плоскости,
проходящей через касательную к линии в точ-
ке М0 и близкую точку Mj , когда последняя
стремится к Afc.
Уравнение соприкасающейся плоскости
где R — переменный радиус-вектор.
В координатной форме уравнение соприка-
сающейся плоскости имеет вид
X
ямую, перпендикулярную к соприкаса-
ющейся плоскости, называют бинормалью.


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
215
Единичный вектор бинормали обозначается
через р7
Единичный вектор бинормали имеет коор-
динаты
Уо
'о ~о
П II
го хо
Пример. Определить кривизну кривой
в точке М A, 1, — 1).
Из уравнений кривой следует, что
хх ' + Чу у ' - - zz • = 0, 6Лг ' +у ' - г ' - 0;
где
А =
Подвижной триэдр. В каждой точке про-
странственной линии можно определить каса-
тельный вектор -г, соприкасающуюся плоскость,
вектор р бинормали и единичный вектор v,
принадлежащий соприкасающейся плоскости
и перпендикулярный вектору т.
Этот вектор называют единичным вектором
главной нормали пространственной кривой,
при этом
"""~
Плоскости, перпендикулярные к касатель-
ной и главной нормали, называются соответ-
ственно нормальной и спрямляющей плоско-
стями.
Три плоскости - соприкасающаяся, нормаль-
ная и спрямляющая — образуют в каждой точке
пространственной кривой трёхгранник. Этот
трёхгранник называется подвижным трёхгран-
ником, или подвижным триэдром.
Кривизна пространственной кривой. Век-
rfT
тор К — —г- называется вектором кривизны
пространственной кривой; он имеет направле-
ние вектора главной нормали, так как он равен
— и перпендикулярен к вектору i. Таким
образом _
К =?-*-*
Скалярный множитель /С^> 0 называется
кривизной пространственной кривой.
ds
\ds-
ИЛИ
IS __
A =
, /
1/
! а у dz
\d*y d?z
К =
2
+
= lim
Д5-
dz
&z
</53
Да
о As
rf v
d^
2
+
dx dy
d*x d2y
где Да—угол между двумя касательными в
двух точках кривой и Д5 — длина дуги кривой,
заключённой между теми же точками.
Величину р = -77, обратную кривизне, назы-
К
вают радиусом кривизны.
1 . -1
—1, 6л:2
х, '2у
6л5, 1
и, следовательно,
d.v = (г - 2у) т, dy- (x—6x*z) m,
dz - (х—\2х"у) т,
где т— неизвестная функция. Определяем вторые дифе-
ренциалы:
J dz) m.
Таким образом, в данной точке М A, 1, — 1) имеем
rf.v=-3-w, dy=7m, dz——Mm.
Tw^m3
—2dy) m,
"y = (x— 6.v22) dm+(dx -12xz
-z=(x— 12.r2v)
ds* = тя
dT-x^-Zdm -25m2,
^y-ldm^nm^,
d^z-— lldwi-15/л2.
Подставляя это в формулу для К, получаем.
У
7m,
27m2
—llm
— 15ma
'+
— llm,
—Зт
, -25m3
3
—3m,
—25m2,
7m
27/Ti2
Кручение пространственной кривой. Век-
тор Т = -^-= TV имеет направление бинормали.
Скалярный множитель 7' называется круче-
нием пространственной кривой и определяется
по формуле
; х1 у' z'
I х'7 ^" г"
j хт у, г,„
-г ,. ДсР
f = hm -гг,
где A'f — угол между бинормалями (или сопри-
касающимися плоскостями) в двух точках кри-
вой и Д5 — длина дуги кривой, заключённой
между ними.
Если кручение 7" = 0, то кривая — плоская.
ФормулыФрене
d-. „- db
-r = Av. т- =
rf5 ds
- -
ч, —-— - К'- - 1 и.
ds
Последняя формула получается из первых
двух и уравнения v = РХТ-


216
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Вектор Дарбу. Формулы Френе можно
представить в следующем виде:
где ш = — 74 + Kt- Вектор ш называется век-
тором Дарбу.
Вектор Дарбу представляет собой вектор
угловой скорости вращения подвижного триэдра,
движущегося по кривой со скоростью, равной
единице.
Проекции пространственной кривой на
плоскости подвижного триэдра. Координаты
х. у, г, точки /И', близкой к точке М, отно-
сительно триэдра в точке М имеют значения
Здесь оси х, у, г имеют соответственно на-
правления г, v и р, а Дя - длина дуги ММ1.
v Г>0
т* а
Фиг. 160.
Фит. 154.
Фиг. 157.
Т<0
\
Фиг. 156.
Фиг. 159.
Проекции пространственной кривой с поло-
жительным кручением (Г>0) на плоскости
подвижного триэдра вблизи точки М имеют
вид, изображённый на фиг. 154, 155, 156; соот-
ветствующие проекции пространственной кри-
вой с отрицательным кручением - на фиг. 157,
158,159.
Теория поверхностей
Уравнение поверхности. Поверхность
можно определить уравнением
F(x, у, 2) = О,
а также z = f(x, у),
где х, у, z - прямоугольные координаты точки.
Параметрические уравнения поверхности,
х — х (и, v)t у — у (и, v), г — г (и, v)
или в векторной форме
г = г (и, v) = х (и, v) i -(- у (и, v) j -+- 2 (и, v) k,
где г (и, v) -— радиус-вектор точки поверхности,
a i, j, k — единичные векторы по осям прямо-
угольной системы координат.
Если в уравнении г — г(и, v) параметру и
дать какое-либо определённое значение и = CQ,
то вектор г (CQ, v), как радиус-вектор, опреде-
ляет некоторую линию на поверхности. При
другом значении и — с\ получаем другую ли-
нию. Таким образом на поверхности опреде-
ляется семейство линий, зависящее от пара-
метра «; вдоль каждой из этих линий меняется v.
Если в уравнении г — г(«, v) давать пара-
метру v определённые значения, то получаем
на поверхности второе семейство линий, зави-
сящее от пара-
метра v; вдоль
каждой линии это-
го семейства ме-
няется и.
Если заданы
значения параме-
тров и, v, то тем
самым задана на
поверхности точка
как пересечение
линии семейства v = const с линией семейства
и = const.
Параметры и, v называют криволинейными
координатами точки на поверхности; линии же
семейства и = const, v-= const - координатными
линиями на поверхности (фиг. 161).
Пример. Уравнения
х — cos и cos v, v = cos и sin v, z = sin и
определяют шаровую поверхность (сфера) с центром в
начале координат и радиусом, равным единице, так как
х* + у* + 22 = 1.
Параметры и, v имеют в этом случае простое геоме-
трическое истолкование (фиг. 161): ц —угол радиуса-век-
тора точки М с плоскостью
лОу и v — угол проекции
(от) радиуса-вектора на
плоскость хОу с поло-
жительным направлением
оси Ое.
При v — const точка
поверхности описывает
окружность, плоскость
которой проходит через
ось Ог (меридиан); при
и = const точка поверх-
ности описывает окруж-
ность, плоскость которой
перпендикулярна оси Oz
(параллель). фиг> 161
Уравнение линии, принадлежащей по-
верхности. Если к уравнению г = г (и, v) при-
соединить уравнения и — и (t), v = v (t), то
уравнение г = r [u(f), v(t}], определяет неко-
торую линию на поверхности.
Можно линию определить одним уравне-
нием v — <р («); в таком случае г = г («, ^ (Ш).
Касательная плоскость. Нормаль к по-
верхности. Если на поверхности F(x,y,z) — О
задана линия уравнениями х = х (t), у = у (I),
z — z (t), то
дР , , дГ
з-Jf 4- -гг
дх ду
dF
О,


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
217
dF
и, следовательно, вектор с координатами ^,
дР dF „ . „
jr, -5- перпендикулярен к касательной любой
линии, проходящей через данную точку по-
верхности (см. стр. 172, градиент).
Прямая, определяемая таким вектором, на-
зывается нормалью к поверхности; плоскость
перпендикулярная к нормали и проходящая
через точку поверхности, называется касатель-
ной плоскостью; она содержит касательные
прямые ко всем линиям, принадлежащим по-
верхности и проходящим через данную точку,
если только точка поверхности не особая (т. е.
dF dp дР
^—, -г--, -д— не равны одновременно нулю).
Уравнение касательной плоскости имеет вид
дх ду { dz
где X, Y, Z — текущие коораинаты и х, у, z —
координаты точки поверхности.
Если линия на поверхности г = г (к, v) за-
дана уравнениями и = и (t), v = v(t), то вектор
касательной к линии определяется уравнением
dr _ dr du_ . dr dv^
= дг. -^т + fo 57" •
dr
векторы, касательные к
Так как -=r— , ^
ди dv
линиям f — const и // = const, проходящим че-
dr
рез данную точку поверхности, то вектор -—
dr dr
принадлежит плоскости векторов у- , ^- •
Уравнение касательной плоскости в точке
М(и, v) к поверхности г = г («, fj имеет
следующий вид:
(R - г) (ги X Ь) - О,
где R — текущий радиус-вектор.
Единичный вектор нормали N определяется
по формуле
EG —
где
d.x
г — — i
a~ du ~ du
dr
dx
r — ——- = i • 4- i
v~ dv dv ^J
ay
dt»
-f k
_dz_
dt> '
(Значения ?, F, G см. ниже.)
Первая квадратичная форма поверх-
ности. Если на поверхности г — г (У, о) задана
линия уравнениями и = и (t), v=v(t), то
г = г (и (.). v (t)) и
da
-
df
-f-
-f
4-
где
= Edu* + 2|/"?1 C/ cos w rfu dt/ 4,-
cfu = ц' (/) d/, dv = v'
dx
dr dr
/
дх дх
ди dv
дг у /
ди dv
ду ду dz
' ди dv du
дх \2 , / ду \2
4- 1—^—\
dz
л-l dz
ди
dv
Отсюда
p —
дг
ди
dr
du
=r
dr
dv
V~E>
1 dr
1 du
дг
dv
дг
dv
COS a) —
= У EG cos w,
причём со есть угол между координатными
линиями.
Выражение rfs2 называется первой квадра-
тичной формой. В технической литературе
часто пользуются другими обозначениями:
rfs2 = A* da? + 2АВ cos f da d$ + В2 </p*.
Для линии и = const:
Для линии v = const:
dv — О, dsv =
дг dr
Если F = 0, то
г , dr
= О и вектор
в этом случае каждая линия
и и uv
и = const пересекает каждую линию v = const
под прямым углом.
Примеры. 1. Для поверхности х = и ros v, у — и sin v
z= v (геликоид, или винтовая поверхность), имеем:
дх
ди
- sin v.
dz
ди
dz
да
дх . д\>
—— = — и sm v, -^— = и cos v,
dv dv
Таким образом
ds- = da2 + (иа + 1) dv-
2. Для поверхности х — V и3 + 1 cos v, у = VaM-1 sin v,
г = In (и + V и2 + 1 * (катеноид, или поверхность враще-
ния цепной линии вокруг основания), имеем:
дх и cos v дх •,/•*.* .
_
ди
ду
ди
dv
и sin f dv ,-__—
,— —-• ' -^г- =У и2 + 1 cos
1^,," i 1 C'Z'
I м- + i
<?и
d.L
~dv'
= 0.
Отсюда следует, что
ds1 = du? + (иа + 1) dv*.
Сравнение этой квадратичной формы с ква-
дратичной формой предшествующего примера


218
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
показывает, что если две линии этих поверх-
ностей заданы одним и тем же уравнением
v = ср (и), то они имеют равные длины дуги.
Такие поверхности являются наложимыми
одна на другую (без складок ^разрывов).
Единичные векторы т, и т, касательных
соответственно к линиям v — const и и — const
определяются формулами
VG
Угол между двумя линиями на поверх-
ности. Если две линии на поверхности заданы
уравнениями
и = щ @, v =
и — г/2 (/). » = f3 (О,
то угол
муле
между ними определяется по фор-
cos ? = —^ = |--^ + г^ы|
Ediiw -\- F (du Ъу -f So
rfa Iv
= щ' (t) dt, dv = vi' (t) dt,
вдоль
где
or, оц — и
суть диференциалы соответственно
первой и второй линий.
Если угол двух линий прямой, то
Е du Ъи -\- F (du §v + Su dv) + G dv bv = 0.
Вторая квадратичная форма. Главная
часть расстояния от точки М' (близкой
к точке М) до касательной плоскости в точ-
ке М, равна половине квадратичной формы
D du2- + 2D! du dv + D" dv*.
Эта форма называется второй квадратичной
формой поверхности; её коэфициенты суть:
п =
~~
*v' п> = *uv \УИ
' ~ ~
(г„ X
УЕСТ
Вторая квадратичная форма характеризует
расположение поверхности относительно
касательной плоскости, если она не меняет
dv
знака при изменении отношения
du
то все
точки, достаточно близкие к М, расположены
по одну сторону от касательной плоскости.
В этом случае
?>?)"_ ?)<2>0.
Кривизна кривой на поверхности.
Теорема Менье. Пусть / — некоторая линия
на поверхности г = г (и, v), определяемая
уравнениями и = и (s) и v = v (s), тогда
- _ дг du дт dv^
~~ ди ds dv ds '
ds
du
du . dv \ du
~ds"^ TUV ~dTJ~d7
dv \ dv .
где т; — единичный касательный вектор; v—еди-
ничный вектор главной нормали, К— кривизна
кривой.
Если рассмотреть сечение поверхности
плоскостью, которая проходит через касатель-
ную некоторого нормального сечения и обра-
зует с последней угол а (угол между главной
нормалью кривой и нормалью к поверхности),
то кривизна нормального сечения поверхности
выражается формулой
2D' du du + D"
где
1
I
X — -f^r- , R = -rr — соответствующие ра-
диусы кривизны. Отсюда следует теорема
Менье: радиус кривизны наклонного сечения
поверхности равен проекции на его плоскость
радиуса кривизны нормального сечения, про-
ведённого через касательную к наклонному
сечению в рассматриваемой точке поверх-
ности.
Индикатриса Дюпена. Формула Эйлера.
Если рассмотреть на поверхности плоские её
сечения, проходящие через одну и ту же нор-
маль, и отложить на каждой касательной от-
резок, равный У\К\, где R — радиус кри-
визны соответствующего нормального сечения,
то геометрическое место концов этих отрез-
ков есть линия, определяемая уравнением
?>'
относительно системы координат (вообще го-
воря косоугольной), оси которой касаются ко-
ординатных линий и — const, v = const.
Эта линия называется индикатрисой Дю-
пена.
Главные направления индикатрисы назы-
ваются главными направлениями поверхности
в точке М.
Если DD" — D'2^>0, то линия есть эллипс;
все R имеют один и тот же знак, и все точки
поверхности, достаточно близкие к М, распо-
лагаются по одну сторону касательной пло-
скости; в этом случае М называется эллипти-
ческой точкой поверхности.
Если DD" — D/2<0, то правая часть мо-
жет иметь разные знаки. Таким образом ин-
дикатриса состоит из двух гипербол с общими
асимптотами; М—гиперболическая точка по-
верхности. Направления асимптот гиперболы
называются асимптотическими направлениями
поверхности.
Поверхность располагается по обе стороны
касательной плоскости и имеет вблизи точки М
вид гиперболического параболоида.


ГЛ. 1]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
219
Если DD" — D'2 = 0, то индикатриса со-
стоит из двух параллельных прямых; М — па-
раболическая точка поверхности.
Сечение поверхности плоскостью, парал-
лельной касательной плоскости и близкой к
ней в точке М, имеет вид кривой, с точ-
ностью до малых 2-го порядка, подобной ин-
дикатрисе Дюпена для точки М.
Если /(j, KZ — кривизны главных нормаль-
ных сечений и К — кривизна какого-либо нор-
мального сечения, образующего с первым
угол 6, то
Эта формула носит название формулы
Эйлера.
Средняя и гауссова кривизны поверх-
ности. Средняя кривизна
1 „ , „. DG — 2D'F+D"E
гауссова кривизна
2 (EG —
' — D'2
где К\ и К% — главные кривизны нормальных
сечений.
Если KN и K.N — кривизны двух нормаль-
ных сечений, перпендикулярных друг к другу,
то
Уравнения Кодацци и Гаусса
dN dN
Разложения векторов ruu, ruv, rvv, -т— , — j-
ло трём направлениям ru, rv, N (деривацион-
ные формулы Вейнгартена) имеют вид:
du
(D
FD' — GD
dN _ FD" — GD1
dv " EG — F*
Здесь
FD — ED'
EG — F2
FD' — ED"
EG — F*
rv,
r?..
f -2ff-
dt/ do
B 2\ =
\ 2 f
_2
2 (?G —
fl 2\ _
12/"
"
{V}-
-
du
-
du
-
dv
/
суть символы Кристоффеля II рода.
Условия совместности систем (I), (II)
имеют вид:
ар до1
dv du
они суть уравнения Кодацци и
_ PPli^J^L. = __L [ d2/7 _
К~~ EG—F* ~ EG—F* \_dudv
_ JL ^ _ _L d2G _ _1_ d? /2 21 _
~~ 2 dv* ~2 du2" ~2" dTl ! /
2 dv
2 dv'\
i ac /i 21 I
TaiT i 2 } J
есть уравнение Гаусса.
Если коэфициенты D, D1, D", E, F, G, за-
данные как функции и, v, удовлетворяют
условиям Гаусса и Кодацци, то поверхность
определяется с точностью до положения
в пространстве.
Геодезическая кривизна и нормальная
кривизна. Геодезические линии. Диферен-
циальные уравнения геодезических линий.
В выражении вектора кривизны кривой и —
— и (s), v = v (s)
ds
du
du
ds \.Ги Js
dv
TV ds
dv \ du /
~fo) ~ds ^ \
du
dv_ \ dv
~ds) ds
d2v
dv
. |2 2\ / dv
-Hi !
du dv /2 2


220
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Вектор
принадлежащий касательной плоскости поверх-
ности, называется вектором геодезической
кривизны.
Если вдоль некоторой линии этот вектор
равен нулю, то линия называется геодези-
ческой.
Для геодезической линии
(I)
2 , 2 A 21 du dv_
{212)(гУ=°'
V) (?)'=*
При этом функции ы (s), t/ E) удовлетворяют
условию
F
ds ds
ds !
Исключение из уравнений A) ds приводит
к диференциальному уравнению геодезиче-
ской линии
где v—v(u).
Общий интеграл v = v (и, Cj, С2) этого ди-
ференциального уравнения содержит две про-
извольные постоянные С] и С2.
Чтобы определить геодезическую линию,
проходящую через данную точку и имеющую
данное направление, следует удовлетворить
условиям: v = •% v ' — ?V при и = и0.
Свойства геодезических линий, каждое из
которых можно принять за определение гео-
дезической:
1| вдоль геодезической линии её главная
нормаль совпадает с нормалью к поверхно-
сти, так как
dx"
__
ds
2D'da dv + D"dv?
_.
N;
2) расстояние между двумя достаточно
близкими точками по геодезической линии
меньше расстояния между теми же точками
по любой другой линии, проходящей через
эти точки.
Если координатные линии v = const являются
геодезическими, то, как это следует из ди-
ференциалыюго уравнения, I n 1 = 0.
Обратно, если | * } = 0, TOt>=const— гео-
дезические линии.
Если линия и = const — геодезическая, то
Если одно семейство координатных линий
(v — const) состоит из геодезических, а другое
из ортогональных к ним траекторий, то
ofs2 = й?«2 _|_ G (ц, v} dv*.
Асимптотическими линиями на
поверхности называются такие, вдоль ко-
торых касательные к ним совпадают с асимпто-
тами к индикатрисе Дюпена.
Диференциальное уравнение асимптотиче-
ских линий имеет вид
D du? + 2D1 du dv -f D"
0.
Линии кривизны. Линия на поверхности
называется линией кривизны, если вдоль этой
линии нормали поверхности касаются некото-
рой пространственной или плоской кривой
(иначе: нормали образуют развёртывающуюся
'поверхность).
Диференциальное уравнение линий кри-
визны
Е du
D du
F dv ,
D' dv ,
F du + G dv
D1 du + D" dv
= 0.
Отсюда следует, что через каждую точку
поверхности проходят две линии кривизны.
Касательные к линиям кривизны имеют
главные направления индикатрисы Дюпена.
Следовательно, линии кривизны одного се-
мейства ортогональны к линиям кривизны дру-
гого семейства.
Сопряжённые направления. Две касатель-
ные прямые к поверхности в точке М называ-
ются сопряжёнными, если они сопряжены отно-
сительно индикатрисы Дюпена в этой точке.
Если du : dv определяет направление одной
касательной и 8u :S& —направление другой ка-
сательной, то
D du 5ц 4- D' (du Sz/ 4- dv ou) 4- D" dv Bt> = 0 —
условие сопряжённости.
Если координатные линии сопряжены в каж-
дой точке поверхности, то О' = О (для линий
одного семейства du = 0, для линий другого
семейства 8v — 0).
Если координатные линии — линии кри-
визны, то
F = 0, D'=0
(так как они ортогональны и сопряжены в
каждой точке поверхности).
Подвижной трёхгранник Дарбу. К каждой
точке поверхности, заданной уравнением г =
= r(u,v), относится трёхгранник с тремя единич-
ными попарно перпендикулярными векторам»
li(u,v), \2(u,v), l$(u,v) так, чтобы вершина
М трёхгранника являлась точкой поверхности,
векторы \i, 12 принадлежат касательной пло-
скости и вектор 13 перпендикулярен касатель-
ной плоскости (трёхгранник Дарбу).
dr =
, I2 + С I3,


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
221
где
5= irrfr=
суть проекции вектора dr на оси трёхгранника
Дарбу, отнесённой к рассматриваемой точке
поверхности, т. е. к началу вектора dr.
Величины
дг дг
являются функциями и и v.
При перемещении по поверхности из одной
точки в бесконечно близкую
dI2 = ,р13 —
d\ = \—
(Ill)
где
f гт^
q =
I3.a"I2 = V
<31,
аь
(IV)
Если ввести вектор со = /?I3 -f- q\2 + г!3, то
уравнения (III) принимают вид:
Отсюда следует, что (ю| — элементарный
поворот трёхгранника вокруг оси, определяе-
мой вектором to.
Из уравнений A1) и (III) находим:
дг дг
ди dv ~
aj2 _ • аь> _
dll all jjy
ajs _ ajg _ _
ди dv 2>
Условия интегрируемости этой системы
имеют вид:
— 62?! + /^2 - Р&Л =
dq2 dq1
~~~
(V)
"'а | "'1
аа ' ди
Можно доказать, что если формы р, q, r,
?> "Ч удовлетворяют условиям интегрируемости
(V), то уравнения (II) и (III) определяют един-
ственную поверхность, если дано начальное
положение какого-либо трёхгранника.
Из уравнений (II), (III) и (IV) следует, что
п>
и
где Е, F, G, D, D', ГУ' — коэфициенты первой и
второй квадратичных форм (см. стр.217 и 218).
Дополнительную литературу см. на стр.321.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ *
В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Диференциальными уравнениями назы-
ваются равенства, устанавливающие связь
между независимыми переменными, функция-
ми независимых переменных и производными
этих функций. Обыкновенное диференциаль-
ное уравнение содержит только одну незави-
симую переменную, функцию этой переменной
и её производные (или несколько функций и
их производные — в случае систем диферен-
циальных уравнений). Уравнение в частных
производных (см. стр. 242) содержит несколько
независимых переменных, функцию этих пере-
менных и частные производные функции. В этом
разделе рассматриваются обыкновенные дифе-
ренциальные уравнения.
Порядок диференциального уравнения есть
число, равное порядку наивысшей производ-
ной функции, входящей в уравнение. Если
в уравнение входит только первая из произ-
водных неизвестной функции, оно называется
уравнением 1-го порядка.
Функции, удовлетворяющие тождественно,
т. е. при всех значениях аргумента, данному
диференциальному уравнению, называются его
решениями. Задача теории диференциальных
уравнений состоит в определении этих функ-
ций (отыскании решений) и в изучении их
свойств.
Проинтегрировать диференциальное урав-
нение значит найти все его решения.
Уравнения 1-го порядка
Функция у (х, С), удовлетворяющая дифе-
ренциальному уравнению 1-го порядка
F (х, у, у') = 0 и зависящая от произвольной
постоянной С, называется общим решением
уравнения. Соотношение, связывающее иско-
мое решение, независимую переменную и
произвольную постоянную, называется общим
интегралом. Всякий интеграл, получающийся
при частном значении постоянной С, назы-
вается частным интегралом.
Общий интеграл даёт полное решение за-
дачи во всякой области, в которой выполнены
условия теоремы о существовании и един-
ственности решения (см. стр. 226), в частности,
* Литературу см. на стр. 321.


222
.МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
например, в той области, где/^лг, у) и fv'(x, у)
непрерывны, причём / (х, у) представляет
правую часть уравнения, разрешённого отно-
сительно производной (уравнения в нормаль-
ной форме):
В областях изменения переменных х, у,
где условия теоремы существования не вы-
полнены, могут существовать интегралы, кото-
рые не получаются 'из общего интеграла при
частном значении произвольной постоянной, и
которые, следовательно, не содержатся в об-
щем интеграле. Эти интегралы называются осо-
быми.
С1 геометрической точки зрения диферен-
циальное уравнение 1-го порядка представляет
соотношение, связывающее координаты х, у
точек некоторой кривой (так называемой ин-
тегральной кривой) и тангенс у' угла, обра-
зуемого касательной к кривой с осью Or. Та-
ким образом диференциальное уравнение опре-
деляет поле касательных, т. е. ставит в соот-
ветствие каждой точке некоторой области
плоскости xv направление касательной к иско-
мой интегральной кривой, проходящей через
эту точку. Уравнение у' = / (г, у) имеет бес-
численное множество решений, зависящих от
начального условия, которым определяется
значение функции у при некотором частном
значении аргумента х, т. е. задаются коорди-
наты XQ, УО точки, через которую проходит
интегральная кривая.
Если диференциальное уравнение имеет
dy
вид — = /(х), то направления касательной
одинаковы на любой прямой х = const. По-
этому решения такого уравнения отличаются
одно от другого на произвольную постоянную
и имеют вид у — I / (х) dx -f С.
Интегральные кривые в этом случае могут
быть получены как последовательные положе-
ния некоторой кривой, которая сдвигается
поступательно в направлении оси Оу.
В общем случае для уравнения 1-го по-
рядка (в нормальной форме) — ^- =f(x,y) мож-
но нанести на плоскости ху изоклины
/ (х, у) — С, т. е. кривые, в точках которых
направление касательной к интегральным кри-
вым сохраняет постоянное значение [функцию
f (х, у) предполагаем непрерывной]. Инте-
гральная кривая может быть графически при-
ближённо представлена в виде ломаной, соеди-
няющей точки соседних изоклин, причём на-
правления звеньев ломаной совпадают с на-
правлениями поля, которые соответствуют по-
следовательным изоклинам.
Интегрируемые случаи. Интегрируемыми
случаями называются такие, когда интеграл
уравнения может быть выражен с помощью
элементарных функций и их неопределённых
интегралов (интегрирование уравнения сведено
к квадратурам).
Разделение переменных. Уравнение вида
называется уравнением с разделяющимися
переменными и имеет общий интеграл
g(y)
^ j/ (v) dx =C.
Произвольная постоянная С может быть
выражена через параметр _ус> представляющий
значение функции у при определённом значе-
нии х — х0 независимой переменной.
Уравнение, в котором переменные не раз-
деляются, можно иногда заменой переменных
привести к форме уравнения с разделяющи-
мися переменными К таким уравнениям отно-
сятся, например, уравнения вида dy/dx =
— f (ак т by), где «, Ь — постоянные. Перемен-
ные разделяются после введения новой неиз-
вестной функции v = ах + by.
Однородные уравнения
dx
_ , (v\
~ f(xl
приводятся к уравнениям с разделяющимися
У
переменными заменой v = — .
Уравнение вида
.
dx
= f I - . -
~ * iX г Ь\ V +
приводится к однородному подстановкой
х = Xi + a, v =» y<i + р, если выбрать постоян-
ные а, 0 таким образом, 4Tj6bi они удовле-
творяли линейной системе са + Ь$ + с = О,
ага. 4- bv r? + GI — U. Система разрешима при
. Если же
= 0, то исходное
уравнение имеет вид dyjdx = 1 (ах 4- by) и
интегрируется указанным выше способом.
Линейное уравнение 1-го порядка
Сначала интегрируется соответствующее
однородное уравнение
в котором переменные разделяются. Если
9 (х) — решение однородного уравнения, то
общее его решение имеет вид Су(х), где
С — произвольная постоянная. Затем для ис-
ходного неоднородного уравнения решение
ищется в виде у = и <р (х> (метод вариации
произвольной постоянной); тогда для функции
и (х) получается в свою очередь уравнение
с разделяющимися переменными. Общее ре-
шение получается в виде
у = Се~1 pdx + е-1р dx f q (х) е * Р dx dx.
В некоторых случаях, например, при/? = const
для частных видов функции q (х) (например,
показательная или тригонометрическая функ-
ция) не трудно отыскать методом подбора ка-
кое-либо частное решение исходного неодно-
родного уравнения. Чтобы получшь общее ре-
шение, следует сложить это частное решение
с общим решением соответствующего однород-
ного ур внения (см также стр 231).
Уравнение Бернулли
у' + а (х) у+ Ъ (л)>л = 0
сводится к линейному уравнению при помощи
подстановки z = у1—".


ГЛ. 1]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
223
Если известно какое-нибудь частное реше-
ние yi (х) обобщённого уравнения Риккати
У = OQ (х)-\-а1 (А-)_у4-02(дг)у2, то подста-
новка у =_У] 4- z приводит к уравнению Бер-
нулли относительно функции z. Последова-
v и'
тельными заменами у = — — , v — -— урав-
«2 "
нение Рикнати приводится к линейному урав-
нению 2-го порядка относительно функции и.
Уравнение в полных диференциалах.
Интегрирующий множитель. Диференциаль-
ное уравнение 1-го порядка может быть за-
дано в форме равенства
Р (х, у) dx -f Q (х, у) dy = О,
устанавливающего связь между переменными
и их диференциалами. Если выражение Pdv +
+ Q dy есть полный диференциал некоторой
функции F (х, v), для чего необходимым и
достаточным условием является тождествен-
dQ дР,
ное выполнение равенства -^- = -~— (так на-
к дх ду ^
зываемого условия интегрируемости), то об-
щий интеграл уравнения представляется в виде
.г
Г (х, у) = \ Р (х, у) dx + \Q (а, у) dy = С.
J J
Уравнение этого рода называется уравне-
нием в полных диференциалах.
Если левая часть уравнения Pdx -\-Qdy-0
не является полным диференциалом некоторой
функции, то существует бесчисленное множе-
ство так называемых интегрирующих множи-
телей, т. е. функций (о. (дс, у), обладающих
тем свойством, что левая часть уравнения,
умноженная на р, т. е. выражение \t-Pdx-\-
~-\- \),Q dy, становится полным диференциалом.
Условие интегрируемости —^— = —~—
представляет уравнение в частных производ-
ных, служащее для определения множите-
лей [JL. Достаточно найти частное решение
(т. е. один из множителей) этого уравнения,
чтобы привести вопрос о разыскании общего
интеграла исходного диференциального урав-
нения, как указывалось выше, к квадратурам.
Если известен общий интеграл F (х, у) = С'
рассматриваемого уравнения, то интегрирую-
F F
щий множитель а = —х- ~—2-. Так как
Р Q
общим интегралом является также /^ =
= Ф (F) = С, причём Ф (F) — произвольная
функция, то два интегрирующих множителя
IJL и [А! связаны зависимостью P.J — [лф (/•), где
ф — произвольная функция. Таким образом,
если известны два интегрирующих множителя,
отношение которых не равно тождественно
постоянной, то общий интеграл уравнения
получается путём приравнивания произволь-
ной постоянной отношения этих множителей:
Из рассмотренных выше уравнений, одно-
dy i v \
родное вида -—- = /1 — ), записанное в форме
Pdx + Qdy = О, имеет интегрирующим множи-
телем ьыражение ——^—. Интегрирующим
ИХ -f- (jy
множителем линейного уравнения у' -\-
-\- р (х)у = q (х) является e^pdx.
Уравнения 1-го порядка, не решённые
относительно производной. В том случае,
когда уравнения 1-го порядка, заданные
в форме F (.v, у, у') = 0, могут быть разре-
шены относительно производной у', получен-
ное решение будет, вообще говоря, неодно-
знач-ной функцией переменных х, у. Обычно
в этом случае последовательно рассматри-
ваются все однозначные непрерывные ветви
/] (х, у), /2 (х, _у). . . . , /„ (х, у) этой много-
значной функции и интегрируются уравнения
нормальной формы
у' = /j (х, у), у' ==/2 (х, у},..., у' =fn -x; у).
Общие интегралы этих уравнений
Рг (х, у, С) = О, F2 (х, у, С) =
=-- 0, . . . , Г„ (х, у,С) = 0
при их перемножении дают общий интеграл
исходного уравнения
FI (х, У,
(x, v, Q... Fn (х, у, С)'= 0.
В том случае, когда решение уравнения
F(x, у, у') = 0 относительно производной у'
затруднительно или вовсе не удаётся, могут
быть применены методы, позволяющие иногда
находить интегралы уравнений без предвари-
тельного решения уравнения относительно у'
1. Если уравнение имеет форму F (х, /?)—<>
(буквой р обозначается здесь и в дальнейшем
производная р -— ---) и может быть решено
относительно переменной х, то, диференцируя
соотношение х —f(p)no у, получим диферен-
циальное уравнение, связывающее переменные
р, у, интеграл которого записывается в виде
Совместно с равенством х — / (р) это со-
отношение даёт параметрическое представле-
ние общего интеграла. Исключая параметр р,
получаем выражение для общего интеграла
в обычной форме.
2. Если диференциальное уравнение имеет
вид F (у, р) = 0 и м.ожет быть решено относи-
тельно у, то, диференцируя соотношение
у =f(p) no .v, получим дифгренциальное урав-
нение, связывающее переменные р, х, инте-
грал которого записывается в виде
Совместно с равенством у ~ f(p) это соотно-
шение даёт параметрическое представление
общего интеграла. Исключая параметр о, полу-
чим выражение общего интеграла в обычной
форме.
3. Если переменные х, р, которые входят
в диференциальное уравнение F(x, p) = 0,
могут быть выражены с помощью параметра t,
так, что при х = и (t), р — v (t) имеет место
тождество F [и (t), v(t)]=O, то, диференцируя
соотношение х = и (I) по переменной у, полу-
чим диференциальное уравнение, связываю-


224
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
щее переменные yt t, которое имеет общий
интеграл
у = С + j v (t) и' (О Л.
Последнее соотношение совместно с х = и (t)
даёт параметрическое представление общего
интеграла уравнения F(x, у') — 0.
4. Аналогично получается общий интеграл
уравнения Г (у, р) = 0, если переменные у, р
допускают параметрическое представление
y~u{t), p = v(f), причём F[u(t), v(t)]=Q.
Диференцируя по х соотношение у — и (t),
получим диференциальное уравнение, связы-
вающее переменные х, t, которое имеет общий
интеграл
взять за независимую переменную р, а за
искомую функцию х
X =
«по
v(t)
dt.
Последнее соотношение совместно с ис-
ходным у = и (t) представляет параметриче-
ское выражение общего интеграла уравнения
5. Если уравнение F( — ,p\ = О такого
свойства, что для комбинации — и перемен-
х
ной р может быть найдено параметрическое
у
представление -- — и (t), р — v (t), причём
F[u-(t), v (t)]=0, то, диференцируя по х со-
отношение у = хи @, получим диференциаль-
ное уравнение с разделяющимися перемен-
ными, имеющее общий интеграл
Ги' dt
х = Се
Последнее соотношение совместно с пред-
шествующим представляют параметрические
уравнения интегральных кривых исходного
/у \
уравнения F I — , у' \ = О .
6. Уравнение y = f(x, р) можно также
пытаться решить методом диференцирования.
После диференцирования этого уравнения по
х, получим уравнение 1-го порядка, связываю-
df , df dp
щее переменные р, х, именно р = -^- -4- -=r- -f- •
^ r ox dp dx
Если может быть найден общий интеграл
р = ср (х, С) последнего уравнения, то полу-
ченное соотношение совместно с исходным
У =-f (х, р) будет являться параметрическим
выражением общего интеграла уравнения
Таким способом может быть, например,
проинтегрировано уравнение Лагранжа
если ср (р) ф
и уравнение Клеро
y = px + fy (р).
Диференцирование по х уравнения Лаг-
ранжа приводит к диференциальному уравне-
нию, связывающему переменные х и р, прячем
уравнение оказывается линейным относительно
неизвестной функции и её производной, если
Общий интеграл этого линейного уравне-
ния совместно с исходным диференциальным
уравнением даст параметрическое выраже-
ние общего интеграла уравнения Лагранжа.
Кроме общего интеграла уравнение Лаг-
ранжа может иметь также особые интегралы
вида у = ху (А,-) + <J>(X,-), представляющие, сле-
довательно, некоторые прямые в качестве
интегральных кривых, причём X]f l^,..., Хг..,—
корни уравнения р —ср (р) = 0.
В случае уравнения Клеро тот же метод
диференцирования приводит к уравнению
^ W (Р) + х] = 0.
Приравнивая нулю первый множитель
dp/dx — О, получим интеграл р — С и, исклю-
чая параметр р из этого соотношения и исход-
ного диференциального уравнения, найдём
общий интеграл уравнения Клеро у = Сх -f-
-}-ф (С), который представляет семейство пря-
мых. Приравнивая нулю второй множитель
ф'(/?) -+- х — 0 и исключая параметр р из этого
соотношения и исходного диференциального
уравнения, получим особый интеграл уравне-
ния Клеро, представляющий с геометрической
точки зрения огибающую семейства прямых
представленного общим интегралом.
Диференциальные уравнения порядка
выше первого
Функция у (х, С],..., Сп), тождественно
удовлетворяющая диференциальному уравне-
нию п-го порядка /• (х, у, у',. ,,у(«)}=0
и зависящая от п произвольных постоянных
С\,..., С„, называется общим решением урав-
нения. Соотношение Ф (х, у, d,..., С„) = О,
определяющее общее решение уравнения как
неявную функцию независимой переменной,
называется общим интегралом уравнения.
Произвольные постоянные могут быть опреде-
лены, если заданы начальные условия, т. е.
при некотором значении ;с0 независимой пере-
менной х заданы значения функции VQ и ее
производныху ,..., у0(л~!). Если соблюдаются
условия теоремы о существовании и единст-
венности решения (см. стр. 2k!6), то общий
интеграл уравнения даёт полное решение
задачи об интегрировании диференциального
уравнения п-го порядка. В противном случае
могут существовать так называемые особые
интегралы, которые нельзя получить из общего
интеграла при частных значениях произволь-
ных постоянных.
Интегрировать диференциальное уравнение
п-го порядка можно последовательно, пу-
тём составления так называемых промежуточ-
ных интегралов, т. е. соотношений, вытека-
ющих из данного диференциального уравне-
ния и содержащих производные, наивысший
порядок которых ниже порядка данного урав-
нения. Если составляется общий интеграл, то
при каждом последовательном понижении


ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЬ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
225
порядка промежуточных интегралов, достигае-
мого в результате применения операции ин-
тегрирования, в получающиеся при этом новые
соотношения вводится новая произвольная по-
стоянная. Первый из промежуточных интегра-
лов, т. е. соотношение, содержащее одну про-
извольную постоянную, производные искомой
функции до (п — 1)-го порядка включительно и
независимую переменную, называется первым
интегралом данного диференциального уравне-
ния n-го порядка. Если известны п различных,
т.е. независимых, первых интегралов диферен-
циального уравнения, то известен и общий ин-
теграл уравнения, так как эти п первых инте-
гралов можно рассматривать как параметриче-
ское представление с помощью параметров v'.
у, . . , у(п •- !). общего интеграла исходного урав-
нения. Исключение производных у ' ... у(п—\) из
найденных п первых интегралов приводит к вы-
ражению общего интеграла в обычной форме.
Методы понижения порядка. Ниже рас-
сматриваются различные виды уравнений по-
рядка выше первого, для которых могут быть
указаны способы их интегрирования или хотя
бы способы понижения порядка, т. е. сведения
задачи об интегрировании исходного уравнения
к интегрированию уравнения более низкого по-
рядка.
1. Уравнения вида
-/«•
Общее решение
у .= f . . . f / (Х) dxn + Ct Xя-1 + С, хп- 2 +
получается п-кратным интегрированием правой
части уравнения. Оно может быть также пред-
ставлено с помощью однократного интеграла
+ d л" - 1 + ... + СЛ ._ , х + С„,
причём С],..., С„--произвольные постоян-
ные.
2. Уравнение
d*y
'dxk
dky
заменой v =
dx'k
"" dxn.
приводится к уравнению
л— -А-го порядка относительно функции v. Если
общее решение этого уравнения v — v. (х)
найдено, то, интегрируя по вышеизложенному
способу уравнение — т — ^
dx*
получим общее
решение исходного диференциального урав-
нения.
Если же функция v представляется неявно
общим интегралом ср (г, v) — О, то можно вос-
пользоваться параметрическим методом, по-
лагая x~x(t), y^ — v(t), с соблюдением
-тождества -f [х ((), v (/)] ~ 0. В результате по-
15 Том 1, кн. 1
лучаегся промежуточный интеграл у( 1\ =
= f v (t) x' (/) dt, после чего можно повторить
процесс интегрирования.
3. Уравнение вида
с помощью введения новой функции р =
dy
и новой независимой переменной у, подстанов-
ками
d2y _ dp d3y _ d I dp\
~dx?^p~dy'~dx^p dy\p~dy) '""
приводится к уравнению
Ф
на единицу более низкого порядка по срав-
нению с исходным. Если его общий интеграл
выражается параметрически соотношениями
у = g (t), p = li (t), то первое из них совместно
с соотношением, полученным квадратурой
Г R' (t)
х — \ ^гутт dt, дадут параметрическое пред-
ставление общего интеграла исходного дифе-
ренциального уравнения.
4. У равнение f(ylt yz, ... , у„, *lt *„, . . . ,гт) = 0
называется однородным относительно перемен-
ных _У] , . . . ,_у,,, если имеет место тождество
где k — показатель однородности.
Если диференциальное уравнение однородно
относительно неизвестной функции у и её
производных у' ,... o^'i то оно может быть
представлено в виде
У
где т — показатель однородности.
у = е*аах это уравнение
Заменой
приводится к урав-
нению (п — ))-го порядка относительно новой
неизвестной функции и (л:).
5. Уравнение, однородное относительно х
и dx, подстановкой х — е* приводится к урав-
нению, связывающему функцию у и новую
независимую переменную t, причём явным
образом эта переменная в уравнение не входит.
Таким образом порядок этого уравнения из-
ложенным выше методом может быть понижен
на единицу.
Пример, Уравнение
. =
dx3 dx \dx)
преобразуется подстановкой х = е* к ветлу
~у = {— \3
dfl ~ (dtj '
Полагая далее
dy_ _ d*y _ da
dt ~ ' di* ~ dy '
приходим к уравнению
dv


226
МАТЕМАТИКА
6. Если уравнение однородно относительно
у, dx,y, dy, а%\',..., то замены х = е(, у — efu
приводят к уравнению, связывающему перемен-
ные «, /, в котором отсутствует независимая
переменная t и, следовательно, порядок урав-
нения может быть понижен на единицу.
Пример. Уравнение
, d?y I dy
л4-^- - у — д- -^
d.v2 V dx
приводится указанной подстановкой к уравнению
Ьернуллп (см. стр.222) относительно переменной г = — :
d(
dz ,
~ +г - -г3.
clt
7. Уравнение, однородное относительно х,
т __ т __ т
dx, ~\/~V, ]/'dy, }/~d2y,..., с помощью подста-
новки л' = е1, у — Vcmt приводится к уравне-
нию относительно переменных v, t, не содер-
жащему независимой переменной. Порядок
уравнения может быть, таким образом, пони-
жен на единицу.
Пример. Уравнение
' ^'У л ^У _j_ к а
dx"- dx
f'^V -
U)
\xy d-y + 4V1 = 0
dx
однородно в указаино-.i смысле, если принять т- 2
Подстановка^ —e^fv, х — е^ приводит к уравнению
d'2v dv (duy
—— — — + I — I = 0,
Л2 dt \dt)
а последующая замена
dv d*v du
— =u, — = и —
dt df* dv
к линейному уравнению 1-го порядка (см. стр. 222)
da. .
— + и = 1.
dv
Если известен первый интеграл уравнения
Якоби
в виде соотношения
то интегрирование уравнения приводится к
квадратурам, так как в этом случае частная
производная ду/дС является интегрирующим
множителем уравнения dy/dx — ср (х, у, С).
Уравнения вида
J,V. о
приводятся подстановкой
-1 f /(jr)dr
у = ze 2 ^
к уравнению Якоби и поэтому, если известен
первый интеграл исходного уравнения, то
общий его интеграл может быть получен
путём квадратур.
Существование и единственность реше-
ний диференциальных уравнений 1-го по-
рядка. Пусть уравнение 1-го порядка задано
в нормальной форме dy/dx — f (x,y) и функция
f (х.у) однозначна и непрерывна в некото-
рой области D изменения переменных х, у.
Кроме того, в этой области D функция удо-
влетворяет условию Липшица |/ (х, Y) —
— f(x> У)\<^К\ Y — У 1 . которое выполняется
при надлежащем выборе постоянной К, для
любых пар точек области D с одинаковыми
абсциссами и различными ординатами. В этом
случае существует единственная и непрерыв-
ная функция у = (f (дг), являющаяся решением
уравнения и удовлетворяющая начальному
условию Уо = у(х0), причём точка (х0, _у0)
принадлежит области D.
Эту функцию можно построить внутри не-
которого промежутка \х — x0\<^h. причём при
изменениях переменной х в этом промежутке
значения функции у меняются таким образом,
что точки интегральной кривой, проходящей
через точку (.г0,_у0), остаются внутри области D.
При фиксированном значении х$и меняющихся
начальных значениях у(} решение уравнения
<Р (х, >'0) является непрерывной функцией па-
раметра _у0. Если существует непрерывная
производная dfldy, то существует ду/ду?,.
Если правая часть уравнения dyjdx =
= t (х, у, (л.) непрерывна относительно пара-
метра [л на некотором отрезке ^ ^ fi <; р2
и одновременно выполняются прочие, сформу-
лированные ранее условия, касающиеся функ-
ции / (х, у, JJL), причём условие Липшица вы-
полняется равномерно внутри области D при
изменениях ц на отрезке ^,^[л^Си2, то ре-
шение у — у (х, ;j.) будет непрерывной функ-
цией параметра {А на том же отрезке. Если,
сверх того, функция f(x, у, [д) имеет непре-
рывные частные производные по переменным
у и fi, то решение <р (.v, [j.) будет иметь непре-
рывную ПрОИЗВОДНуЮ ПО (Л.
Условие Липшица удовлетворяется, если
функция f(x, у), стоящая в правой части
уравнения dyjdx = f(x, у), имеет в области D
ограниченную частную производную df/dy.
При этом область D характеризуется тем
свойством, что любой прямолинейный отрезок
х — х*, У]_^У<^У? принадлежит целиком об-
ласти D, если граничные точки отрезка
Сл*. _У]) (А'*> _Уа) принадлежат этой области.
В большинстве случаев постоянная К, фигу-
рирующая в условии Липшица, может быть
взята равной верхней границе производной
в области D.
оу
Особые точки. Особой точкой называется
такая совокупность значений переменных х,у,
при которой нарушаются условия теоремы
о существовании и единственности решения.
Особая точка называется изолированной, если
за исключением самой особой точки условия
теоремы выполняются везде в достаточно
малой окрестности этой точки. Если в изоли-
рованной особой точке непрерывность правой
части уравнения dv/Ux = f(x, у) имеет место,
а условие Липшица не удовлетворено, то,
вообще говоря, через особую точку проходит
множество интегральных кривых, которые за-
полняют некоторую плоскую область.


ГЛ. II
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
22Г
Различные возможности, в смысле харак-
тера поведения интегральных кривых в окре-
стности изолированной особой точки, могут
представиться, если особая точка является
точкой разрыва функции f(x, у) и одновре-
менно точкой разрыва функции -^——, стоя-
f(x,y)
щей в правой части обращённого уравнения
dx _1_
~dy ~ JW.y) '
Такой случай имеет место, например, когда
правая часть уравнения есть дробно-линейная
функция
dy
dx
ах -f by
ex -}- dy
a b
с d
причём a, b, с, (/постоянные и " ", ф 0.
Это уравнение имеет изолированную особую
точку указанного выше типа х = у = 0. По-
ведение интегральных кривых в её окрестности
зависит от того, какие корни имеет квадратное
уравнение
/2 — (b -f с) X + be — ad = 0.
1. Если корни А-! и Ц различны, действи-
тельны и одного знака, то все интегральные
кривые проходят через начало координат и
имеют в этой точке, за исключением единст-
венной кривой, общую касательную. Особая
точка этого рода называется узлом.
2. Корни различны, действительны и раз-
ного знака. Через особую точку проходят две
интегральные кривые (прямые). Особая точка
называется седлом.
3. Корни комплексные (сопряжённые). Ин-
тегральные кривые спиралевидны и прибли-
жаются асимптотически к особой точке, делая
вокруг этой точки бесконечное число завитков.
Точка называется фокусом.
4. Корни чисто мнимые ("сопряжённые).
Особую точку окружает семейство замкнутых
кривых. Точка называется центром.
5. Корни равные (действительные). Если
при этом имеем тот случай, когда a — d = О,
b = с, то все кривые проходят'через особую
точку (семейство прямых), причём имеют в
этой точке всевозможные направления каса-
тельных. Особая точка в этом случае назы-
вается дикритическим узлом. В остальных
случаях при равных корнях имеем снова узел —
все интегральные кривые проходят через
особую точку, причём все кривые имеют в этой
точке одну и ту же касательную.
Случай дробно-линейной функции пред-
ставляет особый интерес, так как аналогичные
результаты получаются при исследовании более
общего класса уравнений
dy_
dx
Р(х,у)
когда функции Р (х, у) и Q(x, у) разлагаются
в степенные ряды вида
Q—cx
или, при ещё более широких предположениях,
когда Р @,0) = Q @,0) = 0, и могут быть выде-
лены линейные члены непрерывных функций
Р(*.У). Q(x.y):
Р (х, у) =
Q (x, y)=
<? (х, у),
х, у),
,
lim
Р(х. у)
—— i-f
, V)
L
причём
у-*0 У-+0
В этих случаях поведение интегральных
кривых в окрестности особой точки х —у = О
определяется в основном линейными членами
функций Р и Q и не отличается качественно
от того поведения кривых, которое имело бы
место при существовании одних линейных
членов. Только в случае чисто мнимых кор-
ней AJ, А2 того же уравнения X2 — (Ь -f- с) \ 4-
-\- be — - ad = 0 линейные члены не определяют
полностью характера интегральных кривых
вблизи особой точки, которая может быть
при этом центром или фокусом в зависимо-
сти от вида функций ср (х, у} и ф (х, у).
Особые решения. Линейным элементом на-
зывается совокупность значений переменных
х, у, у', причём с геометрической точки зре-
ния переменные х, у представляют коорди-
наты, а у' — тангенс угла наклона линейного
элемента к оси Ох. Особыми линейными эле-
ментами уравнения /(л% у, у') = 0 называются
такие, которые одновременно удовлетворяют
условиям
/ (х, у, У') = О
--
ду'
Исключение переменной у' из этих соот-
ношений приводит к уравнению так называе-
мой дискриминантной кривой (само уравнение
называется /7-дискриминантом в связи с часто
употребляемым обозначением у' — р). В окрест-
ности любой точки этой кривой поле каса-
тельных, определяемое диференциальным урав-
нением fix, у,—— )=0, неоднозначно. Реше-
V dx J
ние диференциального уравнения, построенное
из непрерывной последовательности особых
элементов, называется особым решением. Со-
ответствующая интегральная кривая совпа-
дает, таким образом, с дискриминантной кри-
вой или является одной из её ветвей. Усло-
вие Липшица не выполняется, вообще говоря,,
в точках этой кривой, и в окрестности лю-
бой её точки существуют, в общем случае, по
крайней мере две интегральные кривее, про-
ходящие через эту Точку. Необходимым усло-
вием для того, чтобы дискримцнантная кри-
вая представляла особое решение, является
совпадение направления касательной к кривой
в каждой её точке, с направлением особого
линейного элемента, соответствующего этой
точке и определяемого значением перемен-


228
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
ной у'. В этом случае должно быть удовле-
творено дополнительное соотношение
df , df ., ft.
при этом одно из уравнений
f
ду -
будет следствием двух других. Соотношение
д//дх 4- (dj/dy) у' = 0 при осуществлении не-
равенства df/dy ф О оказывается также и до-
статочным для того, чтобы дискриминантная
кривая представляла особое решение дифе-
ренциального уравнения.
Подобного рода особые решения могут,
например, существовать в случае уравнения
f(x, у, у) — О, если функция f(x, у, у') пред-
ставляет полином от у', коэфициенты кото-
рого являются однозначными, непрерывными
и диференцируемыми функциями перемен-
ных х, у.
'Если дискриминантная кривая представляет
особое решение, то она является, вообще го-
воря, огибающей однопараметрического се-
мейства обыкновенных интегральных кривых,
определяемого общим интегралом. В част-
ных случаях эта кривая может и не быть
огибающей и представлять, например, гео-
метрическое место точек перегиба обыкно-
венных интегральных кривых или даже вовсе
не иметь общих точек с этими интеграль-
ными кривыми.
В том случае, когда дискриминантная кри-
вая не представляет особого решения дифе-
ренциального уравнения, она совпадает с гео-
метрическим местом точек возврата или точек
прикосновения обыкновенных интегральных
кривых.
Особое решение диференциального урав-
нения может быть также получено путём
диференцирования его общего интеграла
<!> (х, у, С) — О по произвольному параметру С,
с последующим исключением этого параметра
из соотношений
Ф (х, у, С) = 0, ^=г = 0.
Если уравнение (так называемый С-дискри-
минант), полученное в результате указанной
операции, является уравнением огибающей
семейства интегральных кривых, то она пред-
ставляет особый интеграл дифереициального
уравнения. В общем случае С-дискриминант
определяет не только огибающую, но и гео-
метрическое место кратных точек семейства
интегральных кривых (например, узловых или
точек возврата), когда вдоль кривой, изо-
бражающей С-дискриминант, одновременно
соблюдаются условия дФ:дх = 0, дФ/ду = О
(см. стр. 212)..
О существовании и единственности ре-
шений системы диференциальных уравне-
ний. Диференциальное уравнение и-ro поряд-
ка вида
приводится к системе п уравнений
рядка
1-го по-
dx
dx
с искомыми функциями у, у',..., у(п ~1) и не-
зависимой переменной х. Таким образом во-
прос о существовании и единственности ре-
шения уравнения л-го порядка может быть
сведён к аналогичному вопросу, относящемуся
к решениям системы уравнений 1-го порядка.
Нормальная форма системы п диферен-
циальных уравнений 1-го порядка с неиз-
вестными функциями у\,..-,уп имеет вид
Пусть функции /},...,./„ однозначны и не-
прерывны в некоторой области изменения D
переменных х,у^...,уп и каждая функция
удовлетворяет условию Липшица
при надлежащем подборе постоянной К.
Условия Липшица будут выполнены, если
функции/j, ...,/„, имеют ограниченные част-
ные производные по переменным у\,--.,уп
в области D, причём эта область конвексна,
г. е. имеет следующее свойство: когда неко-
торая пара точек содержится в этой области,
то и весь отрезок прямой п -)- 1-мерного про-
странства, соединяющий эти точки, принадле-
жит области.
В этом случае существует только одна
совокупность непрерывных функций _у} =
= fjijc),...,уп — срл (х), определённых в неко-
тором промежутке ] х — XQ I -\ Л, удовлетво-
ряющая тождественно системе уравнений и
одновременно начальным условиям у® —
^= <Pi (*о). • • •..Уп = '-fn^o) точка (х^у®, • • •, yQn]
принадлежит области D
. При этом решение
у, = ср, (х),... ,у„ — ср„ (х) зависит также, при
фиксированном начальном значении лп неза-
висимой переменной, от значений параметров
У^т-чУп» Функции ^fi(r), .., <?„(х) являются
непрерывными функциями этих параметров.
При изменении независимой переменной
в промежутке \х — х$ \ <^ h значения функ-
ций _yd,... ,уп меняются таким образом, что
интегральная кривая у^ = ^(-v),..., уп —
— ср„ (х), проведённая в пространстве п + 1-го
измерения через точку (л:0, у^,... ,у^\, не вы-
ходит из области D.
Указанными свойствами обладает, в частно-
сти, система линейных уравнений
dx
Р1пУа


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
229
если коэфициенты рп, р12,..., рпп и члены
гл , . . . , гп являются непрерывными функция-
ми независимой переменной х на некото-
ром отрезке а^х^Ь; система уравнений
имеет таким образом на отрезке [а, Ь] систе-
му непрерывных решений уг (х), . . . , _УЯ(Л"),
принимающих при некотором значении хй из
того же отрезка заданные начальные значе-
ния.
Если коэфициенты рц, р\^---^Рпп и члены
/!,...,/•„ являются аналитическими функциями
комплексного параметра X в некоторой обла-
сти изменения С? этого параметра, то и реше-
ния^,..., уп будут аналитическими функ-
циями X в той же области. Если, например,
рц, Г] — целые функции параметра X, то и ре-
шения уравнений будут также целыми функ-
циями X и могут разыскиваться при помощи
метода неопределённых коэфициентов в форме
РЯДОВ yi — UIQ + «^Х -t- Ui >>2 -\- . . . , КОТОрЫб
будут равномерно сходиться для всех значе-
ний X при изменении переменной х на отрезке
(а, Ь].
В силу эквивалентности уравнения л-го по-
рядка
dxn
1 dx
некоторой, специального вида, системе п урав-
нений 1-го порядка нормальной формы (см.
стр. 228), уравнение п-го порядка допускает
единственное решение у ~ ? (х), непрерывное
вместе с производными до порядка п — 1 и
принимающее при х = А'0 вместе с этими про-
изводными произвольную систему значений
УО"- • >W~ l*- При этом точка Сг0, >>„,..., Vf/""^)
должна быть расположена внутри некоторой
области Д в которой определена непрерывная
и удовлетворяющая условию Липшица относи-
тельно переменных у, , , . , у^п ~~ ^ функция
f(x, у, у' ,...,У" ~~ Г|), стоящая в правой части
уравнения.
Например, линейное уравнение
имеет единственное решение у (х), удовлет-
воряющее начальным условиям у (.\п) —
= У» У0%> =Уо', . . . , /я - 1} (xj = у
непрерывное на некотором отрезке а
вместе со всеми производными до л-го по-
рядка, если функции />0 (х) , . . . , р„ (х), г (х)
непрерывны на отрезке [а, Ь] и коэфициент
Ро(х) не обращается в нуль на этом отрезке.
При этом XQ — некоторое значение независимой
неременной на отрезке [a, b],a _у0, . .. ,у^п ~ ^ —
произвольная система начальных значений
функции у (х) и её производных.
Если коэфициенты р\, • • • , Гп и правая
часть уравнения г (х) являются непрерывными
функциями параметра X на отрезке Хх <] X ^ Х2
при всех значениях независимой перемен-
ной х на отрезке [а, Ь], то и решение у (х)
будет непрерывной функцией X на отрезке
Линейные диференциальные уравнения
Линейное (относительно неизвестной функ-
ции и её производных) диференциальное ураз-
нение л-го порядка имеет вид
(П)
(Х)У
УП + Pi
Если q (х) — 0, то уравнение называется
однородным, в ином случае — неоднородным,
Однородное уравнение называется соответ-
ствующим данному неоднородному, если оно
получается путём замены нулём свободного
члена q(x] в неоднородном уравнении. Относи-
тельно существования и единственности реше-
ния линейного уравнения см. выше.
Если yi, у2, . . . ,уп суть частные решения
однородного уравнения, то и функция у ~
— С)У\ + • • • + ^пУп будет его решением, при-
чём С], . . . , Сп — произвольные постоянные.
При У},. . • ,у„ — линейно независимых функ-
ция у = CjV] + . . . + С„уп представляет общее
решение уравнения. Система решенпй_у,, . . . , у„
называется в этом случае фундаментальной.
Зная общее решение, всегда можно опреде-
лить постоянные С\, . . . , Сп так, чтобы полу-
ченное частное решение удовлетворяло началь-
ным УСЛОВИЯМ
= .УО' У = Уо
у—"=*
-- J'0V" *' ПРИ X = XQ.
Общее решение неоднородного уравнения
является суммой общего решения однородного
уравнения, соответствующего данному неодно-
родному, и произвольного частного решения
неоднородного уравнения.
Если система функций ult.... ц„ линейно
зависима, то определитель
. •. и
(„_!) (л-1)
который называется детерминантом Вронского,
или вронскианом этой системы функций, то-
ждественно равен нулю.
Если система частных решений j/,,... ,уп
однородного линейного уравнения л-го по-
рядка линейно независима в некотором интер-
вале (а, Ь), то вронскиан системы функций
У1,...,_уя нигде в интервале (а, Ь) не обра-
щается в нуль.
Таким образом необходимым и достаточ-
ным условием для линейной независимости
системы частных решений _у1(..., у„ является
неравенство
W (У1,у2,...,уп} =
Детерминант Вронского выражается через
коэфициент PI(X) при помощи формулы Лиу-
в ил л я
W (х) =
У\
У1
У2
У2'
•'•Уп
•"Уп


230
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Если известно какое-нибудь частное реше-
ние линейного уравнения 2-го порядка
/2 (*).У =
то формула Лиувилля даёт возможность опре-
делить с помощью квадратур второе частное
решение, образующее с первым фундаменталь-
ную систему решений, и, следовательно, найти
общее решение уравнения 2-го порядка. В этом
случае формула Лиувилля
У\ Уч
представляет линейное уравнение 1-го порядка
относительно функции J^OO, если известна
функция yi (х).
Если известен частный интеграл и (;с) одно-
родного уравнения
ющего данному неоднородному, т. е. уравнения
" "
У") -f PI (х) у (п
• + рп (х)у = о,
у
то последовательными подстановками z = — и
г1 = v порядок уравнения может быть пони-
жен на единицу.
Если известно общее решение однородного
уравнения, соответствующего данному неодно-
родному, то решение неоднородного уравнения
может быть получено методом вариации про-
извольных постоянных. Решение имеет ту же
форму, но множители С\, . . . , Сп являются
при этом не постоянными, а функциями неза-
висимой переменной х и определяются из си-
стемы линейных уравнений:
dx
(я -2) «Cl . . и<„_2) ЯЬя = Q
I rf v ' I Я /У v" '
dx
"'
причём q (x) — правая часть неоднородного
уравнения.
Эта система может быть решена относи-
dCi dCn
тельно производных -,-*-,...,---?• , после чего
функции Cj (х) получаются квадратурами.
В случае неоднородного уравнения
У-ih
-rdx—
— Уч
Л/з
— dx
Л2Уа.
здесь .У!, .УЗ — фундаментальная система ре-
шений однородного уравнения, соответству-
У" + Л (*) .У t-"/2 (•* ) J' = 0, а " Лг, Л2 — произ-
вольные постоянные.
Линейное уравнение 2-го порядка с по-
стоянными коэфициентами
У" + а\У' +
kx
имеет решение вида у = e, причём постоян-
ная k (вещественная или комплексная) должна
удовлетворять так называемому характеристи-
ческому уравнению Л2 + a-Jt + а^ = 0. Если
корни этого уравнения k± и /га различны, то
функции у\ = ?*'Л", _у2 —
образуют фунда-
ментальную систему решений диференциаль-
ного уравнения, и, таким образом, общее его
решение записывается в виде
у = С,**'* + С2АГ,
причём С\, С2 — произвольные постоянные.
В случае, когда корни уравнения комплекс-
ные сопряжённые, т. е. ^ = а -}- р/, А2 = з — (з/
(если постоянные ol5 д2 вещественны, то
комплексные корни всегда сопряжённые),
фундаментальную систему решений образуют
вещественные функции y1 = eajc cos $х, уа =
~-еах sin $x. В частности, если корни чисто
мнимые k^ = р/, А2 — — Зг'> общее решение
имеет вид
у — Q cos РДГ 4 С2 sin pjc.
Если характеристическое уравнение имеет
двукратный корень kt — k2 — /г, то диферен-
циальное уравнение имеет общее решение вида
Произвольные постоянные Сг, С% во всех
случаях могут быть определены, если заданы
начальные условия у = у& у' = у0 при х = дг0.
Линейное уравнение л-го порядка с по-
стоянными коэфициентами
имеет решение вида у = e*~l, причём постоян-
ная k должна удовлетворять алгебраическому
уравнению n-й степени, так называемому
характеристическому уравнению
Если характеристическое уравнение имеет п
различных корней ?t, /г2, . . . , ?„, то фундамен-
тальную систему решений образуют функции
е klX, е^х 1..., ekn*> и общее решение уравне-
ния имеет вид
где С,,..., Сп — произвольные постоянные.
Если коэфициенты alt..., ап вещественны,
то комплексные корни характеристического
уравнения будут попарно сопряжёнными, на-
пример ki — % + Pi / и kl + j = «1 — $!/. В этом
случае, заменяя в записанной выше фундамен-
тальной системе функции ekix , ekl+l* веще-
ственными функциями t*1* cos 3i.v и е* sinftiX,
получим новую фундаментальную систему.


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
231
Таким образом общее решение уравнения
можно представить в форме
нения может быть применён метод неопре-
делённых коэфициентов. Решение у^ (х) сле-
дует искать в виде
4- *«'•* (Ci cos ?, х -f Cl+ ! sin 3, -v) + . . . +
-f e e«-v (Ся _ ! cos 3M x i- ?„ sin em t),
причём ftj, ft,, . . . , k( _ t -— вещественные корни,
'n 3i, ..., ffffj' ?«z ~ действительные и мнимые
части комплексно-сопряжённых корней харак-
теристического уравнения. Если какой-нибудь
из корней k — ks имеет кратность г, то кроме
функции е ks'v в фундаментальную систему ре-
шений нужно также включить функции хе ^ г,
х-е *** ,'.., л' е ksx .
В случае кратного комплексного корня
# = 7-v + /3vi которому будет соответствовать
кратный комплексно-сопряжённый корень,
в фундаментальную систему решений входят
функции
е"'>х cos р^ .v, ?*'' v sin Рч х, хе1
cos ? r,
sin 3.
причём (А — кратность корня.
Линейные уравнения типа
(ах И- ?}7г у(п) -|- (а* Ч- Ъ" ~г
Ч- (ах + ft) <7;J _ j V4
= О,
так называемые уравнения Эйлера, при помощи
подстановки ах f b — е^ приводятся к уравне-
ниям с постоянными коэфициснтамн.
Частное решение неоднородного уравнения
(«) J_ п. и("—]) л..
У
я„ _, у + ."л v = г(х),
обращающееся в нуль со всеми производными
до (п — 1)-го порядка, имеет вид
х
О
где К (х) — решение соответствующего одно-
родного уравнения, удовлетворяющее усло-
виям
К @) - 0, /(' @) = 0, . . .
Для уравнения второго порядка
упомянутое частное решение имеет вид
З'ОО-
sin n(x - 5)/ F) d 6,
(Л2 _ ?2 _ ^2) .
В случае, когда правая часть уравнения
имеет вид
/
k = \
причём Pk (х) — полиномы, для отыскания
частного решения \\ (х) неоднородного урав-
k = i
причём, если коэфициент а^ не является
корнем характеристического уравнения для
соответствующего однородного уравнения
у(") + яу(''-1)+...-|-я^ = 0, то Qb(x)
той же степени, что и
какой-нибудь коэфи-
характеристи-
(x) имеет вид
представляет полином
полином Pfi(x).
В случае, когда
циент ад, совпадает с корнем
чсского уравнения, полином
Qk (*) — Л|А ~' 4k C-v). причём (А — кратность
корня yk, a qk (x) — полином той же степени,
что и полином РЬ(*)-
Указанный выше способ отыскания частного
решения _>'i (*) применим в случае правых
частей вида г(<.) = Р\х)ё>х sin ах или г(х) =
= Р х]е^* cos У.Х где Р(х] — полином.
Системы линейных диференциальных
уравнений. Решением линейной однородной
системы
V2 +
rfv, .
;., -f/^21 v
2 4- • • • + Р
ft*
как и любой системы обыкновенных диферен-
циальных уравнений, называется совокупность
функций yi (х), у% (х), . . . , vn (,v), удовлетворя-
ющих тождественно, т. е. при любых значе-
ниях независимой переменной х, совокупно-
сти диференциальных уравнений.
Всегда можно определить п частных реше-
шн у(\\уУ,...,у^уМу*\...,у<Ъ.,...-,уМ
(п\ (п\ „
У 2 ••••'• У п линеинои однородной системы.
Если рассматривать совокупность значе-
ний у^\ у^\ . . . ,у^ как составляющие неко-
торого вектора rfl^ в пространстве п измере-
ний, то в случае линейной независимости
A ^ (л-
совокуп-
у(\\...-,у{^', У("\---,
системы векторов г
ность решений _у^Ч
у^ называется фундаментальной системой
решений.
Если фундаментальная система решений
найдена, то общее решение системы уравне-
ний может быть записано следующим образом:
У1 =
У* =
+
причём Clf C2,..., Сп — произвольные постоян-
ные.


232
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Зная общее решение, всегда можно опре-
делить постоянные С^,..., Сп таким образом,
чтобы полученное частное решение удовле-
творяло начальным условиям у{ = у®,.,. , ул —
— у°п при х = х[} (а <; х0 ^ Ь).
Система решений является фундаменталь-
ной в том и только в том случае, когда опре-
делитель
У!>
У?
у»
У?
Л
не равен нулю в интервале (а, Ь).
Существует зависимость, аналогичная фор-
муле Лиувилля (см. стр. 229),
Общее решение неоднородной системы
dy,
1ь+Р»У1+-
dx
= Ч\ х
4- • • • + РчпУп = «2 (х
-jf + Рт Уi + • - • + РппУп^ Яп (х)
может быть представлено в виде
y1=Yl+ zv y2=Y2 + z2,..., yn - Yn -f- г„.
причём Y-[, У2,..., Уп — любое частное реше-
ние неоднородной системы, г]( z%,..., гп — об-
щее решение соответствующей однородной
системы, т. е. системы, полученной из данной
неоднородной, заменой правых частей уравне-
ний неоднородной системы нулями.
Если известна фундаментальная система
решений однородной системы уравнений, со-
ответствующей данной неоднородной системе,
то общее решение последней может быть по-
лучено методом вариации произвольных посто-
янных в виде:
... +ся2л.
л>
причём С-\, С2,..., Сп —функции независимой
переменной х, удовлетворяющие уравнениям
dx
dC2
dx
B)
dC
Эта система может быть разрешена отно-
rfCi dCn
сительно производных —~ ,..., -—*, после
1 dx dx
чего функции С,- (х) получаются квадратурами.
Линейная однородная система с постоян-
ными коэфициентами
dyl
-f апуг + . . .
= О,
л = О,
*]!•
dx
а г.
г + атУ\ + • • • 4-
постоянные) имеет частное ре-
шение вида
причём постоянная k удовлетворяет так назы-
ваемому характеристическому уравнению
А -'~
= 0.
а постоянные Alt А->, . . . , Ап — линейной системе
алгебраических уравнений
(«п + k) AI + «12 ^2 4- • - - -т- «in ^w = О,
«21 ^1 + («22 + *) ^2 + • • • + U4n A't = О,
Если все корни характеристического урав-
нения различны, то ранг матрицы
М =
«и
при любом значении корня равен п — 1 (т. е.
существует, по крайней мере, один, отличный
от нуля детерминант (п — 1)-го порядка, обра-
зованный из матрицы вычёркиванием одной
какой-либо строки и одного какого-либо
столбца). Постоянные Аь ..., Ап, соответству-
ющие каждому значению корня, определяются
при этом с точностью до произвольного мно-
жителя С, т. е.
А, =
А =
где 6lt 62, . . ., Оп— миноры какой-либо строки
детерминанта Д.
Таким образом в этом случае существует
п различных частных решений вида
Эти решения образуют фундаментальную
систему.
Все прочие решения представляют линей-
ные комбинации решений фундаментальной
системы, определяемые начальными значениями
,.о
У1'
В случае, когда корни характеристического
уравнения klt k%,
чём PJ, \i<i,..., !
у°п при х = XQ (см. стр. 231).
km (т <^ п) кратные, при-
кратности корней (р, -f-


ГЛ. I)
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
233
-|~ (л2 -(--... + ,um = n)' общее решение системы
диференциальных уравнений имеет вид
.. f A2m(x)e m*>
причём Л,-л (JT) (/ = 1, 2, .... п) - полиномы
степени не выше \>.г — 1, если \j.r — кратность
корня kr. Степени этих полиномов зависят от
ранга матрицы М при значениях k = /?г.
Если при k == ?г ранг матрицы равен и — ;лг,
то все полиномы Л,-г (г = 1, 2, . . . , /г; г — фикси-
ровано) обращаются в постоянные.
Если же ранг матрицы равен п — v, (vr<u,.),
то полиномы Air(i — 1, 2,..., л) будут иметь
степени не выше \±г — чг. Коэфициенты поли-
номов могут быть найдены в виде линейных
комбинаций от [АЛ произвольных постоянных
(число этих постоянных в общем решении
равно п) при помощи метода неопределённых
коэфициентов.
Преобразование Лапласа и его примене-
ния (операционное исчисление). Преобразо-
ванием Лапласа над функцией f(t) называется
операция
f(t)dt=F(p),
устанавливающая соответствие между функ-
цией /(/) действительного переменного t и
функцией F(р) параметра /?, который может
принимать комплексные значения; при этом
Rep>a0, где действительное число <J0 удовле-
творяет тому условию, что интеграл
C*J
J-"
СХОДИТСЯ.
Обратное преобразование (формула Рима-
на— Мелина)
a -t-ioo
определяет функцию f(t) по её лапласову
преобразованию F(p). Интеграл берётся по
любой прямой, параллельной мнимой оси в
плоскости комплексной переменной р и рас-
положенной справа от всех особых точек функ-
ции F(p).
Преобразование Лапласа оказывается по-
лезным при решении линейных диференци-
альных уравнений в обыкновенных и в част-
ных производных, при решении интегральных
уравнений Вольтерра с ядром специального
вида и в других случаях.
Так как
dt= - [pn-lf @) -bPn
то лапласово преобразование над линейным
диференциальным уравнением с постоянными
коэфициентами
d"
dx
... + ^-1- +*•.*-/ (О
(*)
приводит к линейному алгебраическому урав-
нению
= F (p) +
-f
определяющему функцию ,Y (/?). Обратное пре-
образование даёт решение х (t) диференциаль-
ного уравнения (*), удовлетворяющее началь-
ным условиям
х @) = х* х' @) = х'0, . . . , .
Пример. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
-*•„=!, х = 0, х =0.
Так как f e~pf sin tat dt = —j——г 'см- »иже та-
0
блицу лапласовых преобразований), то после лапласова
преобразования уравнения получим
Х(р)
P2+1
Характеристическое уравнение р3+2р2+р+2=0 имеет
корни
поэтому
Здесь А -
*t* ~~.«гт—*— "i~
Е =
+ IK
—
5 '


234
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
причём для определения эти?
правила разложения алгеб
стейшие (см. стр. 161).
Пользуясь таблицей ла
получим для искомого решен
6 -It 19
25 + 25
4- — • — (sin t — t cos Л -
5 2
17 1
+ -gs- em / - -jjj-
Таблица лапласовь
со
f}
/=• (P) = j e
0
/Ч/О
1. Fjfa)-»- Fz(p)
2.pF(p)-}@)
3. p"F(p)-[p'1 V@) h )
о ,
//Z — l/nM I
i
4. ^ F(p)
5 /г/» 4- o)
6. e-°P F(p)
7.F,(p)F*(p)
8. —
P
g e Gp
p
1
10--^T
yf/
"• p«.
'3. ' „+1
1 I a
15 ^
с коэфициентов применень
эаической дроби на про
пласовых преобразований
ия х (t) выражение
12 . 11
+ "и" 8Ш ' ~ ~ ' Т / Sm M
6 "—2/ 1 Q
25 25 ^
^ (sin ^ + 2 cos /).
х преобразований
~ptj(t)dt
/@
/l@+ /2@
^
" .'
^//г
t
г»
\ /(t) rf-c
и
e~at f (t)
|0 0<-f<>
|/1(г)/г(/-с)Л
0
1
@ 0<^<a
| 1 ^>-(/
л
- (« — целое число,
притом п^>— 1)
( Т-? Р ;; ^^. 1 \
у л , ———— jslJ.V.'*' ft ^> ———— 1 (
^
Г"(я + 1)/Пв а
(Re/i> — 1)
sin a/
cos a/
i
^(Р)
—— ————————————
16. "
/' rt
17' -8" ,
L ' (Р3 + ^J
п
1 О /^
1 (/?2-f rt-)/J + J
10 й
(Р2 + «'J
и
(/» + fl)a + ^
р + а
" ' (P + «J t 62
22 1
p -f~ о**
23. 9 Р
/-3 -f а3
24. ;/'2
°5
yf? j " ' i a
26. р -
p4 -j- 4а4
27' /2/4
/?* -)- 4а4
00 А"
°9
Продолжение
/@
sh af
cha<
t
-у- s:n f/!
1
/1 ' t
1nn\>i l smat
(n — целое число)
1 .
^- (sin fit — at cos at
e at sin ^^
e^at cos 6/
1 |e-«' +
o(l \
, -1 ш/ УЗ
f^J I cos — s— at —
\ 2
/ — v 3 \ 1
— 1/3 sin — — _ a/ 1>
'J
1 [
Зсг •"
j _
- Л \.
-p r 3 SiO-i —— u/ I,
1 /
1 ^*
3 I
i __
e cos — — f. |
1 / - , , t
-j— - (Sin Я/ СП flf —
- cos at sh a/)
~~2 sin at sh и/
„- (sin at ch a/ {-
-)- cos at shot)
cos a/ ch nt
=— g- (sh я/ — sin a/)


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
235
ADO
30 р
' р4 — а4
si. / ,
/4 — О4
г 3
' р4 — а4
1
33. —— ггт
V р
т> 1
U1' РЯ+Т
,
34.
1/1 +/>2
JYl^-P\n
\ х ;
36
, ,. я
37' j^i/^V?"
1/ Р
'38. (yV-fXS-p)"
Л к
/ 1\
Bл)яГ i л Ь п )
ОА V ^ /
/- , ~2« + -1
V тс(р2-НО 2
40. -(^~)
,
40. . я! [ — 1 ———
\Р / Р
ГГ 4- 4-П
41. (а ; "^ -1 х
Р
vx /Р ^ \
V /'
Л О _. Г~~ ^ /" v
т^. Т/ ТС 1
A - Р)п
5 л+—
^ _2B«J-l)l
у A-р)а
3
^Л 2
44. In (l+l)
Продолжение
ДО
н-^ (ch а/ — cos а/)
1
^- (sho/ -}- sin «/)
1
Tj- (СПИ/ — COSfl/)
1
— . —
v«<
B/)/l
ЬЗ-5. ..B/i-l)V^7
Уп(/)
У (XO (Re«> 1)
/o@
/« (XO
" t (Re «>0)
*
/ 1 \
tnj (Xi) ( Re л^> I
71 ^ ' \ 2 /
t»@
».W
taL^(t)
H2n(YT)
V't
«,.+i(VD
i_^
-
/™
44,.ln(l-J>)
jy p
OO
46. 2tpl { -a* d
t>
X*
~^P
47. |Л—
X*
48 * с ~" 4^
9 лГ —
49 e
ЛГ"
50. —— - — j-e^P
21^^T
rj ^ * P
/p
52. ^-^^
д-/^"
53. - ———
P
a.3
54. I* 4^
P
a" — —
^' on.-/t + i e 4p
56. ne~ap k(ap)
57 /<" (и Л/ р \
58. /Co (ap)
59. — arctgp
60. ! In 1
Продолжение
/С)
,-,'
In/
t'
e 4
cos (* Yt )
•vYt деи
ствительное число)
sin (дг1/ 7),
" 7(x— деи-
т:
ствительное число)
ch (xYl)
к уТ
sh (л:У)
.V2
е 4f / ^ л\
JCS
^ ?~*^-v,o)
Q \Г~^ 4~~Ч
ОО
21 _ U2 j
i ^ (in —
/ — 1
У ^ J
X
, X \
~( ~611 2УТ/
(х^>0)
У0(а J7" / ) (а -дей-
ствительное число)
;«
^ 2 •''л (я V '
(Re я> — 1)
Г 0 />2а
J 1
1|// Bа — 9 " "
1 ^"
ГО 0</<Гд
1
/
я р sin т
2 J г rft
0
J т
ОО


236
МАТЕМАТИКА
(РАЗД.
Продолжение
F(P)
sin
62
1 „-^
cos
66. —= е~ р
V р
67. --
Р
—— Sin TV
Методы численного решения диферен-
циальных уравнений. Метод Адаме а.
Для того, чтобы найти численным путём ре-
шение диференциального уравнения dyjdx =
= f(x, у), принимающее при х = х0 значение
у =j/n, отыскивают прежде всего с требуемой
степенью точности первые четыре значения
искомой функции у, при Xi = Х0 -f h, х2 =
= Х() _j_ 2Л, л-3 = лг0 + 3 Л, *4 = -*0+4Л- Ддя этой
цели можно воспользоваться разложением в ряд
Тэйлора функции у (х) при х — х0, так как
значения её производных в этой точке могут
быть вычислены, если / (х, у) имеет частные
производные требуемого порядка. Можно также
использовать для построения начала таблицы
методы Рунге— Кутта (см. ниже) или Муль-
тона (стр. 237).
Далее составляются последовательные раз-
ности функции / (х, у), и начало таблицы
имеет вид
X у f W
*о -Уо /о
*i У! ti Ai/i
Д4/
*8 Л /3 41/3 Д2/3 Д3/3
>-Ч ^4 /4 Д1/4 ^a/4 Д3/4
причём A! fi=fi—ft-lt Д2/,- = А!/,- — Д^. _ j
и т, д. Продолжение таблицы получается путём
применения формулы
'«-И
251
'720
].
которая при п — 4 определяет величину _у5; за-
тем вычисляется значение f$, составляются
разности Д] /5, Д3 /5,... и может быть найдена
величина у«, и т. д.
Обычно при интегрировании уравнений по
методу Адамса при вычислении уп+\ — уп
пользуются формулой, укороченной до первых
четырёх или даже трёх членов правой части,
выбирая промежуток /г таким образом, чтобы
отбрасываемые члены с четвёртыми или
третьими разностями не влияли на результат
при требуемой точности вычислений.
Метод Р у н г е — Кутта. Уравнение
dy/d с — / (х, у), при начальных условиях
х = дг0, у — у0, интегрируется с помощью это-
го метода следующим образом.
Пусть h — Д.с — приращение независимого
переменного, и требуется найти соответствую-
щее Д_у.
Составляются последовательно величины klt
kfr ftg' &4 по формулам:
Величина Д^у определяется формулой
Далее полагают лг, = л:0 -j- Л, ^ = _у0 + Д.У-
Таким же образом, зная величины хп,уп, мож-
но определить xn+l, yn,i, пользуясь со-
отношениями:
h , *->\ ,
2", >'я -г- 2 J Л-
Если правая часть диференциального ура-
внения не зависит от_у, то метод Рунге— Кутта
приводится к правилу Симпсона для вычисле-
ния определённых интегралов (см. стр. 175).
Аналогичным образом интегрируются си-
стемы диференциальных уравнений. Например,
в случае системы двух уравнений
dt
приращения Дл:, Д^, соответствующие прира-
щению Д? независимой переменной, отыскива-
ются при известных значениях хп, уп путём
вычисления следующих выражений:


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
237
*9=/l('fl+^-.
Метод М у л ь т о н а. Пусть требуется
проинтегрировать систему уравнений
dx .. ,.
 '
2 '•
/3=/2
' л'я
2 '
.Уя
/4 = /2 Си + Д', Хп + k5,yn + /3)Д*.
Далее принимается
Метод Мильна- При интегрировании
уравнения dy/dx=f(x,y) первые четыре зна-
чения для у и у' отыскиваются с помощью
ряда Тэйлора или методами Рунге—Кутта или
Мультона (см. стр. 236 и 237).
Если требуется по известным уп _\,уп _2,..
У'п-l' У'п-у'" определить Сл. Л,
сляется величина
то вычи-
=
2>'« -з) ,
vu; _ v i -- Bv у
-^л ^л — 4 ' з ^ -*« - 1 -Уя—2
после чего определяется у'п =/ (л^.У^).
Затем вычисляется величина
Уя2) = л- 2 + 3- (УП + 4л -1 + л - 2)-
Если у№> и УР совпадают с требуемой
точностью, то принимают уп=у№', при рас-
хождении этих величин вычисляется „ошибка"
Е —
29
и если значение Е настолько велико, что ве-
личина у^ при суммировании её с величи-
ной Е изменяется хотя бы в последней сохра-
няемой значащей цифре, то необходимо умень-
шить величину Л. В противном случае можно
считать величину yff правильной и принять
/л_3 Д1/я-3 Д2/я-3 Д3/я-3
/л_2 Д1/л-2 Д2/я-2 Д3/я-2
/я_1 Д1/Л-1 Д2/Л_1 Д8/л-1
fn bJn
если известны значения х и у при /„, tn _j,
tn __2> •••< причём h = tn — tn_ j — tn_ j—
_ f =.
Пользуясь таблицами разностей (см. ниже),
производим следующие операции.
1. Экстраполируем значения fn, j, gn, ,,
вписывая „наугад" в таблицы разностей вели-
чины Дз/л+ i' ^Sn+ i' выбранные на основа-
нии обзора изменения третьих разностей, и
вычисляя затем ^2,fn-\-\ ~ Д2-^л ~Ь дз/л+ i •
и аналогичным образом величины Д2?л+ь
Д^п +Р ^яц- г
2. Вычисляем приближённые значения
хп+ i' -v« 4- 1 по ФоРмУлам
п+
_ Г — i Д —
L 2
-112А«/«+1-ЙА'/-^1
{*)
gn-+
« f
~~ 24А»^я+ ' J
3. Вычисляем /п_|_ц 5rt+i' вписываем эти
значения /^.j, gn, j вместо приближённых,
полученных экстраполяцией, и перевычисляем
разности Ai/n+i. д2/я+1'-"
4. Вычисляем xn±v Л+i «о формулам (*).
5. Перевычисляем fn^.\i Sn^-\'
6. Перевычисляем -^„_(.i' Л+ Г
Практически интервал Л следует выбирать
таким образом, чтобы с требуемой точностью
значения величин хп+-\< Л+i1 полученных в
результате четвёртого и шестого шага, совпа-
дали.
Д2/л дз/л
(Д1 // = // —/| _ !• Д2 // — Д1Л'~


238
МАТЕМАТИКА
(РАЗД. 5
Мультоном предложен также следующий
способ определения исходных значений иско-
мых функций x(l),y(t), которые требуются для
построения начала таблицы.
1. По начальным данным х0 = а, у0 = b
при t = to вычисляются приближённые зна-
чения jq, у.,
лф = а 4- hf (a, b, t0) = XQ 4 А/О.
У}) = b 4- hg (a, b, t0) -- уь 4- Ago.
2. Вычисляются приближённые значения /,
9. Вычисляются приближённые значения
з;з п° формулам
10. Исправляются значения /3 и ^а:
и составляются первые разности Д^/i. А^
3. Вычисляются более точные значения
jyj( по формулам
4. Находятся исправленные значения ?,, gy.
, У?,
6. Вычисляются приближённые значения
^2 по формулам
7. Исправляются значения /2, g2:
и составляются вторые разности
Аф/2
8. Экстраполируются значения / и g^
по задаваемым наперёд вторым разностям
исправляются первые и вторые разности Aj/g»
A2/s,"- и составляются третьи разности А3/3,
АЗ Ss-
ll. Вычисляются заново значения х±, yt, х->.
_у2, л:3, _уз по формулам
л-, = х , 4- Л /, — -
Г 5
)'i = J'o 4- Л I из — 2Г
4-
23
'1.
Л I /з —
h\ gs~
Bft I ^
ЛГ3 = Х%
I Л — 2~ AI/З — 12А2/з— 24Лз/з]
о. Экстраполируются значения /^ и g^ по
задаваемым наперёд первым разностям Уз ~
h I
24
12. Вычисляются исправленные значения
Л. ft. /2. й- Л. й-
13. Исправляются разностные таблицы.
14. Перевычисляются х^, yv x?,, у2, х%, _у3 по
формулам (**).
15. Этот процесс продолжается до тех пор,
пока исправление значений /t, g^, /2, ^2> /з- ga
не будет оказывать заметного влияния на вели-
чину xlt ylt Jf2, у2, ха, у3.
Характеристика численных методов
интегрирования. Классический метод Адамса
весьма прост алгоритмически и особенно удо-
бен для применения, если правые части урав-
нения представляют монотонные функции неза-
висимой переменной (рассматриваемые как
сложные функции независимой переменной).
Менее удобен этот метод в том случае, когда
правые части представляют колеблющиеся
функции, особенно если „частота" колебаний
большая, так как правильный ход последних
разностей может быть в этом случае получен
только при весьма малых интервалах Л.
Метод Рунге—Кутта имеет существенное
преимущество в том отношении, что позво-
ляет без всяких предварительных пересчётов


ДКФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
239
изменять величину интервала Л. Недостатком
метода является сравнительно больший объём
вычислений (большее количество промежуточ-
ных вычислений).
Метод Мильна прост с вычислительной
стороны и даёт возможность скорейшего про-
ведения численного интегрирования, если пра-
вая часть уравнения такого рода, что интер-
вал h может быть выбран не слишком малым.
Метод Мультона представляет возможность
наиболее точных вычислений и позволяет
также с наибольшей точностью построить
исходную таблицу начальных значений иско-
мых функций.
Краевые задачи
Многие задачи математической физики сво-
дятся к решению ди [эеренциальных уравнений
при так называемых краевых, или граничных,
условиях.
В отличие от задач, связанных с удовле-
творением начальных условий (стр. ?22, 224),
решение которых, притом единственное при
достаточно широких предположениях (стр. 2^6,
228) всегда существует, решение краевых задач
не всегда возможно.
Пусть требуется найти решение линейного
диференциального уравнения второго порядка
У
(А)
которое удовлетворяло бы линейным гранич-
ным условиям
*1У (а) + «а У (
Pi У (а} + Р2У (а) +
аз У (ь) + ЧУ' (Ь) = Ti.
Р4У (&) = Т2,
(В)
частными случаями которых являются условия
так называемых 1-й, 2-й и 3-й краевых задач:
ствующей неоднородной задачи, вообще говоря,
невозможно; для того чтобы последнее суще-
ствовало, необходимо, чтобы правые части
неоднородных уравнений, т. е. функция g(n)
и постоянные ylt y2) удовлетворяли определён-
ным дополнительным условиям.
Нетривиальное решение однородной задачи
возможно лишь в исключительных случаях.
Если коэфициенты уравнений зависят от неко-
торого параметра X, то решение возможно
лишь при определённых значениях этого пара-
метра, удовлетворяющих некоторому уравне-
нию, которое обычно называют характеристи-
ческим.
Значения параметра, при которых суще-
ствует нетривиальное решение однородной
задачи, называются собственными значениями,
или характеристическими числами, а соответ-
ствующие решения — собственными, или фун-
даментальными, функциями.
Весьма часто при решении задач матема-
тической физики приходится определять соб-
ственные значения и функции для уравнения
У + Л (-ОУ + [Л (х) '+ Х/8 (х}] у = О,
которое после умножения нз функцию
}fi(t)dt
г (х} = еа может быть представлено
в самосопряжённой форме (уравнение Штур-
ма — Лиувилля):
•fcV ('v) У']
Если выполняется условие
«1 «2
о4
(D)
2) у (а] = 0,У(&) -
(в случаях 1-й, 2-й и 3-й краевых задач это
имеет место) и р (х) не меняет знака в интер-
вале (а, Ь), то все собственные значения этой
краевой задачи действительны,~аГ собственные
функции удовлетворяют условию ортогональ-
ности с весом р (х), т. е.
Граничные условия называются однородными,
если f, — т2 = 0. Краевая задача называется
однородной, если и диференциальное уравне-
ние и граничные условия однородны. Одно-
родная и неоднородная краевые задачи назы-
ваются соответствующими, если коэфициенты,
входящие в левые части диференциального
уравнения и граничных условий, одинаковы
для обеих краевых задач.
В зависимости от значений этих коэфи-
циентов могут представиться две различные
возможности:
I. Однородная задача не имеет нетриви-
ального (т. е. не равного тождественно нулю)
решения; в этом случае всегда существует
единственное решение соответствующей неод-
ьородной задачи.
2. Нетривиальное решение однородной задачи
существует. В этом случае решение соответ-
причём Vi(x), УЬ(Х)—собственные функции,
соответствующие различным собственным зна-
чениям A,-, Xft.
Собственные функции можно нормировать,
потребовав выполнения равенств:
Собственное значение называется простым,
если не существует двух линейно-независи-
мых функций, ему соответствующих.


240
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Однородная граничная задача, сформули-
рованная для конечного интервала (а, Ь),
в случае регулярных в этом интервале коэ-
фициентов уравнения Штурма — Лиувилля.
при р(х)^>0, г(х)^>0, имеет бесконечную
последовательность дискретных собственных
значений (точечный спектр), а принадлежа-
щая им система собственных функций пред-
ставляет замкнутую полную ортогональную
систему с весом р (х) (см. стр. 263). В случае
1-й, 2-й и 3-й краевых задач собственные зна-
чения — простые.
Если коэфициенты диференциального урав-
нения имеют особую точку на границе интер-
вала (а, Ь) или в случае, когда краевая задача
формулируется для бесконечного интервала,
может существовать непрерывное распределе-
ние собственных значений (линейный спектр),
когда любое значение параметра X, в некото-
ром непрерывном интервале его изменения,
является собственным значением рассматри-
ваемой краевой задачи.
При заданных однородных граничных усло-
виях, коэфициенты в которых удовлетворяют
равенству (D), имеет место альтернатива: либо
неоднородное уравнение Штурма — Лиувилля
(Е)
, /(«) + Ра У
с коэфицигнтами а,,..., р4> связанными равен-
ством (D), и имеющая кусочно-непрерывные
первую и вторую производные в интервале
(а, Ь), может быть разложена в абсолютно
и равномерно сходящийся в (а, Ь) ряд:
уравне-
(г(х), г' (х), д(х), р(х) — непрерывные функ-
ции; г(х)^>0, р(х)^>0), удовлетворяющим
тем же граничным условиям и соответствую-
щим собственным значениям Xlt Х?, . . . , пара-
метра X.
Коэфициенты с\ выражаются следующим
образом:
по собственным функциям
ния Штурма — Лиувилля
при фиксированном значении X имеет един-
ственное решение для всякой заданной правой
части, а соответствующее однородное уравне-
ние не имеет нетривиального решения, либо
значение X = X* является собственным значе-
нием, т. е. при X = X* существуют нетриви-
альные решения однородного уравнения; пусть
число их равно /. В последнем случае соответ-
ствующая тому же значению X* неоднородная
краевая задача может быть разрешена, если
правая часть уравнения ф (х) удовлетворяет
условиям ортогональности:
(/=1,2,...,/)
по отношению ко всем / собственным функ-
циям <fi(-*), принадлежащим собственному
значению X*.
Решение неоднородного уравнения, удо-
влетво^яющее при фиксированном значенииX
заданным однородным граничным условиям,
может быть представлено в форме ряда
dx.
по собственным функциям <р/, соответствующей
однородной краевой задачи, принадлежащим
собственным значениям Хл.
Всякая непрерывная функция f(x), удо-
влетворяющая однородным граничным усло-
виям
Функцией Грина, соответствующей
диференциальному оператору Штурма — Лиу-
вилля
с однородными граничными условиями (F),
называется функция G(x, s) обладающая сле-
дующими свойствами:
1) О (х, s) как функция переменной х не-
прерывна в интервале (а, Ь) и удовлетво-
ряет уравнению
L (G) = О
на полуоткрытых интервалах a^x<^s и
5<л-<6;
2) граничные значения G (a, s), G (b, s),
Gx(*, s), Gx(b, s) удовлетворяют граничным
условиям;
3) производная
=р —— имеет при х = s
точку разрыва, причём
/ dG(x, s)
\ дх
} _fA^(?i
Jjc = s - о V дх


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБЫКНОВЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
241
В случаях 1-й, 2-й и 3-й краевых задач
(стр. 239) функция Грина симметрична, т. е.
G (х, s) — G (s, л), и имеет вид
G (x, s) =
где У! (x), у2 (х) — два линейно-независимых
частных решения уравнения L (у) — 0, каждое
из которых удовлетворяет одному из гранич-
ных условий, причём вронскиан
У1 У2
____
Т(х)
Решением диференциального уравнения
удовлетворяющим однородным граничным усло-
виям, служит функция
причём G (x, s) — функция Грина, отвечающая
оператору L (YJ) с теми же граничными усло-
виями.
Диференциальное уравнение
^[г<*>|?] + [*<*.
(г(л)>0,
совместно с граничными условиями 1-й, 2-й
или 3-й краевых задач, эквивалентно неодно-
родному интегральному уравнению:
ъ
f(x) — 1 С*) — ^1К (х< s) ri (s) ds;
здесь
X, S) -i (S) ds.
G (x, s) — функция Грина, соответствующая
оператору /. (у) и удовлетворяющая гранич-
ным условиям поставленной задачи; ядро
/С (x, s) симметрично и имеет вид
К (x, s) = \/J(xyp(s) G (*• *)•
Функция у (х), удовлетворяющая диферен-
циальному уравнению и граничным условиям,
связана с решением т; (х) интегрального урав-
нения равенством
(см. также стр. 260).
В случае однородных граничных условий
более общего вида (стр. 240), интегральное
уравнение, эквивалентное краевой задаче для
диференциального уравнения Штурма — Лиу-
16 Том 1. кн. I.
вилля, имеет ядро несимметричное и записы-
вается в виде
ъ
F(x)=y(x)-\$G(x,s)p(s)y(s)ds,
причём G(x, s) — соответствующая функция
Грина и
ь
F(x) = — $G(x,s)ty(s)ds.
Метод Галёркина. Пусть ср, (t), ^(х),...
иФ, (л-), ф2(х),... — две полные,вообще говоря,
различные системы функций на интервале
О <! х^.1, причём первая из них удовлетво-
ряет при л" = 0 и л- = / граничным условиям
некоторой краевой задачи.
Если в левую часть диференциального
уравнения
> У' У"> ...Уи) = 0
этой краевой задачи подставить выражение
Уп - aiTi (х) + яа?2 (•*) + ••« + an(fn(x)
и постоянные alt a2,...,an определить из
системы уравнений
(Л-1,2...я),
то уп будет представлять приближённое ре-
шение задачи.
При предположениях довольно общего ха-
рактера уп стремится к точному решению
диференциального уравнения при возраста-
нии п.
Краевые задачи с особыми краевыми
условиями. Функции Бесселя и Лежандра, спе-
циальные полиномы Чебышева, Якоби, Эрмита,
Лагерра (см. стр. 136 — 142) могут служить для
построения замкнутых ортогональных систем
функций, которые удовлетворяют краевым за-
дачам диференциальных уравнений штурм-
лиувиллевского типа. Коэфициенты этих урав-
нений, вообще говоря, таковы, что уравнения
имеют на конечном интервале особые точки.
Если особые точки являются концами интер-
вала, для которого формулируется краевая за-
дача, то обычное краевое условие (стр. 239) за-
мещается требованием, чтобы при приближе-
нии к этим точкам собственные функции оста-
вались конечными или становились бесконечно
большими величинами не выше заданного по-
рядка.
Подобного же рода краевые условия мо-
гут быть поставлены в случае неограничен-
ного интервала (на бесконечности), если беско-
нечно-удалённая точка является для диферен-
циального уравнения особой.
Примеры. I. Функция Бесселя Jn (\x) удовлетворяет
уравнению
d
dx
Пусть особая точка уравнения х = 0 и некоторая точ-
ка г — с ограничивают интервал <)•<.*•<?, для которого


242
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
ачи).
Собственные функции этой задачи образуют на интер-
але @. с) замкнутую ортогональную с весом р (х)-х си-
тему Jn (X, х), Jn (\х). . . . , Jn (А. тх) , ..., (я>0), при-
чём >.,, )
(см. стр. 94); следовательно,
корни уравнения Jn
J
x J
Аналогичную систему ортогональных функций можно
построить, если в точке х — с поставлено граничное усло-
вие 2-й или 3-й краевой задачи: при х- с
~
(Л»0, п>0)
ЕГЛИ функция / (х) определена в интервале @, с)
с
и \V*x f (x) dx сходится абсолютно, то в каждой точке
б
х @<jr<c), находящейся внутри интервала, в котором
функция / (х) имеет ограниченную вариацию, функцио-
нальный ряд
Aj Jn (Ху JT)
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ *
Диференциальное уравнение в частных про-
изводных для функции z от п независимых пе-
ременных х},х2, . . . ,хп кроме искомой функ-
ции z и независимых переменных содержит ещё
частные производные функции z по этим пере-
менным. Порядок уравнения есть порядок вхо-
дящей в него старшей производной.
Если имеется несколько неизвестных функ-
ций г,, г„, . - . , zm, они могут быть опреде-
лены системой уравнений в частных производ-
ных. Эта система должна быть непротиворе-
чивой.
Может случиться, что число уравнений боль-
ше числа неизвестных, например, одна функ-
ция z определяется двумя уравнениями. Тогда
уравнения должны удовлетворять условию ин-
тегрируемости.
Пример. Если
дх
= А (х, у], — = В (х, у).
то условие интегрируемости
дА _ дВ
ду ~ дх
сходится к величине — [/ (->г40L-/ (л-—0)]; здесь
А, = •
—— \xJn(\fx)f(x)dxt
tC>] К.
причём Jn (Хуг) = 0 и X. > 0 (разложение Фурье—Бесселя).
Сходимость обеспечивается, если / (х) и/' (х) кусочно-не-
прерывны в интервале @, с). Аналогичное разложение
(Дини) имеет место, если величины А,- , X.- определяются
следующим образом:
,x)f(x) dx
и Ху — один из положительных корней уравнения
\cJ
hJ
Если интервал (а, Ь), для которого формулируется
краевая задача, не включает точку х — 0, то, удовлетворяя
обычным краевым условиям, можно построить замкнутую
ортогональную систему собственных функций, представля-
кших линейные комбинации бесселевых функций 1-го
и 2-го рода.
2. Функции Лежандра удовлетворяют уравнению
1A—х11) а']' +Хы=0,
которое имеет особые точки х= ± 1. Условиями краевой
задачи, сформулированной для интервала (—1, +1), яв-
ляется ограниченность собственных функций при х~ ±1.
Характеристические числа задачи: \ = п (п + \), где « — це-
лое положительное число или нуль. Собственные функции,
образующие замкнутую ортогональную систему по отно-
шению к функциям кусочно-непрерывным вместе с пер-
выми производными на интервале (—1, +1) —полиномы
Лежандра (см. стр. 140).
Если / (х) ограничена и интегрируема в интервале
(—1, +1), то в каждой точке х (— 1<х<1), внутренней
по отношению к интервалу, в котором f (х) имеет ограни-
ченную вариацию, ряд Лежандра
со оо +1
У <яЛ,М=У,-~- f f(x')Pn(x')dx'.Pn(x)
О 0 2 -1
Уравнения в частных производных
первого порядка
Линейные уравнения. Полагаем -^—
Дано уравнение
здесь Xv Х2, - . . , Хп — известные функции
Составляем систему обыкновенных диферен-
циальных уравнений, называемых уравнениями
характеристик:
их* dx2 uXff
Xj_ Х2 Хп
В результате интегрирования этой системы
получим п— 1 интегралов:
тЧ (•*!' -^2' • • ' > ^-П! == ^1»
Произвольная функция п — 1 аргументов
z = Ф
i)
является общим интегралом уравнения в част-
ных производных.
Если уравнение неоднородно, то
причём Хг, Х2, . . . , Хп, Z - известные функ
ции A'j, Xs, . . • , Хп, Z.
Составляем уравнения характеристик:
сходится к значению -— [/ (x + Q)+f (х — 0)}. Сходи-
мость имеет место, если / (х) кусочно-непрерывна в ин-
тервале (—1, + 1) "и /' (,v) кусочно-непрерывна в каждом
интервале, внутреннем по отношению к (—1, +1).
Xn
* Литературу см. на стр. 321.


ГЛ. I)
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
243
Эта система имеет п интегралов вида
9/(*"и *2' • • • . х„, z) = с{. Произвольная функ-
ция п аргументов определяет общий интеграл
в неявном виде.
ф (?i. <Р2- • • • <Ря) = °-
Уравнение в i олных диференциалах.
Уравнение
di=Adx-}-B dy,
где А и В суть функции г, у, г, эквивалентно
системе двух уравнений в частных производных
дг
дх
= А (х, у, z),
dz
= В (х, у, г).
Уравнение в полных диференциалах назы-
вается вполне интегрируемым, если существует
решение z (х,у, с), зависящее от произвольной
постоянной с. Для этого необходимо и достаточ-
но тождественное выполнение условия
дА
dy
дВ
дх
дВ
~дг~
А.
Отыскание функции z производится сле-
дующим образом. Сначала интегрируют урав-
нение —— = А (х, у, z) как обыкновенное урав-
нение, т. е. считая у за постоянную величину.
При этом вместо постоянной интегрирования
следует взять произвольную функцию у (у)
от >'. Подставляя найденное для г выражение
dz
в уравнение —— =. В (х,у, г), получают обык-
ду
новенное уравнение для функции ср (у).
Пример. Дано уравнение
dz — у d.vi-—— dy.
Условие интегрируемости выполняется, следовательно,
dz _ ()z_ _ z_
дх ' ду ~ у
Интегрируя первое уравнение, получим
z=yx+<s~ (у).
Подставляем во второе уравнение
,
х -f
или -- =
ч? —су, z=(x+c) у.
Нелинейные уравнения. Ограничиваясь
случаем двух независимых переменных, поло-
dz dz
ЖИМ -=;—— = О, ————
дх оу
= д. Дано уравнение
F (х, у, г, р, д) = 0.
Всякое решение его определяет в про-
странстве поверхность z (x,y). Угловые коэфи-
циенты касательной плоскости в точке (х,y.z)
суть р п ч', так как они связаны одним
соотношением, через каждую точку простран-
ства проходит бесконечное множество инте-
гральных поверхностей уравнения F = 0. Ка-
сательные плоскости к ним образуют семей-
ство плоскостей, зависящее от одного пара-
метра и, следовательно, огибающих некоторый
конус.
Можно определить интегральную поверх-
ность S уравнения F= 0, потребовав, чтобы
она проходила через произвольную простран-
ственную кривую. Задача определения такой
поверхности называется задачей Коши. Задача
Коши может быть решена, если известен об-
щий интеграл уравнения.
Интеграл уравнения F = 0, зависящий от
произвольной функции, называется общим
интегралом.
Интеграл, зависящий от двух произвольных
постоянных, называется полным интегралом.
Зная полный интеграл V (г, х, у, а, Ь), по-
лагаем b = <р (а), где 9 (а) — произвольная
функция. После этого исключаем а из двух
уравнений:
V(z, х, у, а, Ь) = 0
и
dV . dV ,, . .
__ + _?'(e) = 0.
Получившееся соотношение z=f(x, у)
зависит от произвольной функции ср (а) и
является общим интегралом. Для действитель-
ного вычисления z нужно задаваться видом
функции ср до исключения.
Если три уравнения
v-o.
= 0
совместимы, исключая из них а и Ь, получим
соотношение между z, х, у, не содержащее
ни произвольных постоянных, ни произволь-
ных фун.сций. Это соотношение является о с о-
б ы м интегралам.
Для нахождения полного интеграла по ме-
тоду Лагранжа и Шарпи ищут сначала какой-
нибудь интеграл уравнения с пятью независи-
мыми переменными:
„ дФ , _ дФ , „ , л дФ
Р -у— -{- Q -.г— -f- (Рр -)- Qg) —— —
дФ
здесь
v __
dF
дх'
dF
~ dp' ~
Уравнения характеристик
dx _ dy dz
dF dF
1 = -~- . Z = -v:—— .
dy dz
Pp + Qq
__ dp __ dq
Y+qZ '
Выбрав какую-нибудь интегрируемую ком-
бинацию, находим интеграл
Ф (z, х, у, р, д) — а,
затем решаем совместно уравнение Ф — а и
р = 0 относительно р ч д.
Уравнение в полных диференциалах
d? = р dx -f- g dy,
где вместо ряд подставлены их найденные
значения, будет вполне интегрируемым. При


244
МАТЕМАТИКА
(РАЗД. I
интегрировании появляется новая постоянная Ь,
и мы получаем полный интеграл
V(z, x, у, а, Ь) = 0.
Пример. Дано уравнение pq —г — О,
Х=К=0, Z=—I, P=q, Q=p,
dx _ dy _ _dz _ dp __ dq
~q~~ p ~ 1pq~ ~~p ~ ~~q~'
Один из интегралов p — y-\-a. Подставляя его в ИСХОД-
jr
нее уравнение, получим q —
У+а
= (y + a) dx +
, следовательно,
z dy
У + а
Полный интеграл
Линейные уравнения второго порядка
от двух независимых переменных
Дано уравнение
д'*7 №z
Лг *~Ч " <6 I
дхду
здесь А, В, С, D, Е, F суть функции х и у.
Интегральные кривые уравнения
A dy* + 2В dx
= 0
называются характеристиками уравне-
ния второго порядка. В зависимости от знака
дискриминанта АС — В2 характеристики могут
быть действительными различными, действи-
тельными совпадающими и мнимыми. В соот-
ветствии с этим различаются типы уравнений
второго порядка:
Гиперболический тип: АС — Bz < 0, харак-
теристики действительны и различны.
Параболический тип: АС — В% ~ 0, оба
семейства характеристик совпадают.
Эллиптический тип: АС — ?2>0, харак-
теристики мнимы.
При действительных преобразованиях не-
зависимых переменных тип уравнения не ме-
няется. Надлежащим выбором независимых
переменных уравнение может быть приведено
к одной из канонических форм.
Гиперболический тип. Если уравнения
характеристик ? = const и т\ — const, то, при-
нимая за независимые переменные функции
Ь (х> У) и ^ ( ^> У)' получим
д*г . дг . . дг .
•^-з- + а ~^- + b -JT- + cz = 0.
ds df\ дч df\ '
Параболический тип. Оба семейства ха-
рактеристик сливаются в одно Y) = const. Вы-
бирая произвольным образом ?, лишь бы оно
не удовлетворяло уравнению характеристик,
преобразуем уравнение к виду
&г . дг . . дг . п
-^-я- + а - - -f b -3— ~\-cz = Q.
d?2 ' d? ' dt\
Эллиптический тип. Уравнение мнимых
характеристик имеет вид
5 + i т) = const.
Принимая действительную и мнимую части
интеграла уравнения характеристик за новые
переменные, получим каноническую форму
уравнения
дг
dz
cz = 0.
Примеры. 1. Волновое уравнение
Уравнение характеристик
dx* — a'df = 0,
т. е. b = x + at, щ — x — at.
Волновое уравнение в канонической форме
1L-0
2. Уравнение
= 0.
Разлагая левую часть уравнения характеристик
+ x*dx3 - О
на комплексные множители, получим
(у dy + lx dx) (у dy — ix dx) - 0,
у' ± ix3 = const.
Полагая ? = у, т) = х', получим
отсюда
_^!f _L J (JL J*1L _l_ J_ _dA\ - и
^v i Т ^ ? a$ "*" t) дт) j ~
Интегрирование в квадратурах. Уравне-
ние второго порядка иногда удаётся проинте-
грировать квадратурами.
Пример. 1. Волновое уравнение
где <р' E) — произвольная функция. Интегрируя ещё раз,
получим
г = ср (?) + ф (т)),
где <V (f]) — новая произвольная функция. Возвращаясь
к старым переменным х и /, получаем решение Даламбера
2. Уравнение Лапласа
??_4- — -о
~
Заменой переменных {, = х + iy, <", = х -— iy это урав-
нение приводится к виду волнового уравнения от ком-
д^г
плексных аргументов —— - = 0. Решение его по преды-
д', 6С
дущему г = <р (t) + ф (^). Так как г должно быть дейст-
вительным,- |^(С) представляет собой функцию, комплекс-
но сопряжённую с функцией 7 (С), «V И = <Р ГО- Окон-
чательно
Краевые задачи для уравнений гипербо-
лического типа. Задача Кош и. В пло-
скости ?Оч дана
кривая АВ, не яв-
ляющаяся характе-
ристикой (фиг. 162).
На отрезке АВ за-
даны значения ча-
стных производных
дг дг
—ь- и -ч—, кроме
*»?
Фиг. 162.
того известно зна-
чение z в одной из
точек кривой АВ, например, в точке А. Эти
условия эквивалентны следующим: на отрезке
АВ задана функция г и одна из её про-


ГЛ. 1]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
245
изводных
или
dz
Действительно, зная г
как функцию дуги, можно вычислить —-—
дг
_, _
ds дч\
следовательно, имея
значение одной из производных, найти другую.
По данным Коши можно вычислить значения
2 для точек, находящихся внутри четырёх-
угольника ABCD, ограниченного характери-
стиками, проходящими через точки А и В,
Задача Гурса. На двух характеристи-
ках АВ и АС различных семейств (фиг. 163),
проходящих через
точку А (?0, Yj0),
заданы значения
z = ср |?) на отрезке
АВ и г = ф (Y|) на
отрезке АС. Если
ц, (?0) = ф(г;0), фунК-
ЦИЯ г определяется
в прямоугольнике
? АВСО. ограничен-
ном характеристи-
ками, проходящи-
ми через точки
С и В.
Метод Римана для решения за-
дачи Коши. Дано общее уравнение гипер-
болического типа '
Фиг. 163.
дх ду
Уравнение
ду
сг = 0.
дх ду
да
а~*—
дх
да
——
ду
называется сопряжённым данному.
Заменим в сопряжённом уравнении х и у
через с и Y] соответственно и рассмотрим так
называемую функцию Римана от четырёх пе-
ременных и (х, у, ?, Y]), определяемую следую-
щими условиями:
1) и (х, у, g, YJ), будучи рассматриваема
как функция бит), удовлетворяет сопряжён-
ному уравнению;
2) при $ = х выполняется соотношение
ди
-т- = а (х, rj и, а при т) = у — соотношение
от,
ди . ,. .
w = b(i,y)u;
3) при 8 = дг, у] =у функция Римана и = 1.
На дуге Л б, координаты точек которой
суть 6, т; (фиг. 162), заданы данные Коши:
2 (?• т)) и зг- Значение г в точке /И (х, у),
Оъ
определяемой пересечением характеристик,
проходящих через точки Р и Q дуги АВ, даётся
формулой
Ч-
QP
dz
ди
или в более симметричной форме
dz
du
PQ
PQ
du
Пример. Телеграфное уравнение
dt*
-2™ =0.
Характеристики его будут j ± t= const; полагая
x=s — t, y=s -f /, V-ze ~ *,
приведём его к каноническому виду:
,
+ -т г=0.
dz
di
в момент
дх ду
Пусть заданы значения z=f (s) и "^r=l
времени /=0 и на отрезке 0 < 5 < а. Прямая /=0 в пло-
скости характеристик (фиг. 164)
является биссектрисой коорди- у. /J
натного угла ? = i).
Сопряжённое уравнение со-
впадает с данным; ищем реше-
ние его в виде и=и (у), где
v=V(x—\Y f (у— г,K. По-
лучим уравнение Бесселя нуле-
вого порядка
d^ J_rfH_
dv~* v dv ~ '
Интеграл его, обращаю-
щийся в единицу при v—0, есть
. , , да ,. , . х — Ь
Фиг 164.
у —
при х = Ь и y=f) соответствующие производные равны
нулю, следовательно функция и (v) удовлетворяет всем
требованиям и является функцией Ри.мана. Выполняя все
вычисления, получим
s+t
t J'n
_ _L \ /(X) -sJ
s — t
s+t
Численное интегрирование уравнений
гиперболического типа. Дана система двух
уравнений
ди , dv . , .
—- = Ф (и, v, х, v), v = т ("- v> х< У)-
дх г ду т '
Исключая одну из неизвестных, например
v, придём к уравнению гипер-
болического типа, отнесённому /?i
к характеристикам
„ / ди ди \
= (J { -д— , ^— , U, X, у \
Фиг. J65.
QP
Правая часть этого уравне-
ния может быть и нелинейна.
Если в двух близких точках А
и Ь некоторой кривой в плоскости характе-
ристик (фиг. 165) заданы значения ид, v^,


246
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. ]
и в* ?'/?. функций и и v, то можно вычислить
для этих точек значения функций ? и ф. Зна-
чения и и v в точке С пересечения характе-
ристик, проходящих через точки А и В, дают-
ся приближёнными формулами:
ив
ГС;
У J? 12 13 К 1Ъ Q
Для решения задачи Коши разбиваем дугу
на отрезки (фиг. 166), через точки деления про-
водим характеристики двух семейств. Зная u, v,
Ф, ф в точках Л, 22,
33, .. ., по вышепри-
ведённым формулам
находим и и v в точ-
ках 12, 23, 34,
вычисляем для этих
точек «риф, далее та-
ким же порядком на-
23
24
34
35
45
V
Фиг. 166.
W
20
Ю
а
91
21
1)
32
гг
12
гз
13
к
15
03 04 05
фиг' ] •
ходим и и v в точках
13, 24, . . . , и так да-
лее до тех пор, пока
не дойдём до точки С.
Если на характеристике АВ одного семей-
ства (фиг. 1ь7) известно и, на характеристике
А С другого семей- fi
ства известно v &.... 41 42
(задача Гурса), в
точке 00 известны
<р и ф, следователь-
но можно найти и
в точке 01 и v в
точке 10, вычис-
лить ф, ф ДЛЯ ТОЧКИ
// и, поступая та-
ким же образом да-
лее, найти и и v в
любой точке вну-
тренности прямоугольника ABDC.
Диференциальные уравнения колебаний
Интегрирование волнового уравнения по
методу Фурье. Волновое уравнение
описывает колебания струны малой амплитуды,
продольные и крутильные колебания стержня,
а также ряд других колебательных процессов.
Для струны г представляет собой смещение
точки струны, перпендикулярное её оси, при-
нимаемой за ось х, для стержня — продольное
перемещение сечения или угол закручивания.
Если колеблющееся тело имеет конечные раз-
меры, на его концах задаются граничные усло-
вия. Так, на конце струны г = 0 для продоль-
ных колебаний стержня граничные условия
будут:
на свободном конце -=,— = 0;
на заделанном конце z = 0;
dz , d*z A
на- конце укреплен груз -г~ -4- а -^ •= 0.
^J дх dfi
Ищем решение волнового уравнения в виде
г = Х'Г,
где X = X (х) — функция одного х, Т — Т (() —
функция одного t.
Подставляя z в уравнение, получим
Х'т — cfl Л"'7 = О
(штрихи обозначают диференцирование по х,
точки — диференцирование по t). Отсюда
где <о2 — произвольная постоянная величина.
Получаем два обыкновенных диференциальных
уравнения
Г +ш2Г = 0, Л' + ^* = 0.
Их общие интегралы
Т — С sin ш1 -f D cos (at,
Х = А пп
. „
+ В cos —.
a a
Рассматривая, например, продольные коле-
бания струны длиной /, имеем, что
X @) = X (/) = О,
поэтому
В = О, A sin — = 0.
а
Если А = 0, то z — 0 и колебания отсут-
ствуют. Следовательно, колебания возможны
ш/ nka ,
только, если sin — - = 0, или шь = — — , где k —
а к I
любое целое число. Величина <ok представляет
собой одну из собственных частот колебаний
струны; форма её при колебаниях, происходя-
щих с данной частотой, определяется уравне-
нием
v л ,
X — A sin — — .
Общее решение волнового уравнения при
данных граничных условиях даётся бесконеч-
ным рядом
s'm mtt t + Dk cos u>? /) sin
При других граничных условиях ход вычи-
слений совершенно аналогичен. Если в момент
времени ? = 0 известна форма струны и рас-
пределение её скоростей, можно вычислить
постоянные Съ и Dh
Пг /?
Поперечные колебания стержня. Дифе-
ренциальное уравнение поперечных колебаний
стержня:
Если / (х, t) = 0, то, представляя решение
в виде
z = X(x)T(t),
получаем два обыкновенных диференциальных
уравнения


гл.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
247
Интегралы их
X = A ch fx + В sh Здг f С cos fx -f D sin px
Граничные условия:
свободный конец X" — X'" = 0;
заделанный конец ^f = X' = 0;
опёртый конец А' = X" = 0.
На двух концах стержня получается четыре
условия; подставляя в эти условия выражение
функции X, получаем четыре однородных
уравнения для коэфициентоз А, В, С, D. Эти
уравнения имеют отличные от нуля решения
только тогда, когда определитель равен нулю.
Это даёт трансцендентное уравнение для р,
корни которого определяют собственные часто-
ты колебаний стержня wfe = pft b , а также глав-
ные формы колебаний, даваемые фундамен-
тальными функциями краевой задачи
х< (•*)•
Пример. Балка длиной I лежит на двух опорах,
X(Q) = X" (Q)=X(l)=X" @=0.
Подчиняя выражение функции X этим условиям.
н дходим
А + С=0, р (А - С)=0,
A ch -I + В sh р/ + С cos ?l + D sin p/ = 0,
^ (A ch$l + В sh Э/ — С cos ?f - D sin ?0 = 0,
т. е. при Э т*= О
Л = С=0, Bsh fi/ + Dsm ?f=0,
В sh 3/ — ?> sin ?/ =0.
Последние два уравнения совместны только, если В— О,
sin ^=0, откуда
3,-
Л*—
Собственные частоты
фундаментальные функции
Фундаментальные функции Х^ обладают
свойством ортогональности, заключающемся
в том, что
каковы бы ни были граничные условия задачи.
Если (вынужденные колебания) -
/(.v, t) —Fix) sin pt,
то, полагая
z~ Xsinpt,
получаем уравнение
IV
2
Доказывается, что ^(л:) может быть раз-
ложена в ряд по фундаментальным функциям;
Коэфициенты последнего ряда определяются
формулами
1
Xldx
Колебания мембраны. Уравнение сво-
бодных колебаний
причём на закрепленном контуре z = 0.
Прямоугольная мембрана. Ищем
решение в виде
z — sin to/ U(x,y).
Для функции U получаем следующее урав-
нение:
Частное решение этого уравнения есть
U = sin \x sin \i.y (X2 4~ ц2 = &2)-
Если стороны прямоугольника / и ft, то для
удовлетворения граничным условиям необхо-
димо принять
_ пк __ ште
отсюда
fn* m2>
L /2 /j2
Круглая мембрана. Уравнение
преобразуется к полярным координатам. По-
лучим
&U 1 dU I &U , п
- —— + - — 4- - — - 4- k4J = 0.
дг* ^ г дг ^ г* аоз ^
Положим U ~ R (f) cos /»С, где п = О, I, 2...
Функция R удовлетворяет уравнению
Это — уравнение Бесселя; его общий инте-
грал (см. стр. 136)
= а\ A'I -f
-f • • • -f an Xn
Второй член отбрасываем, так как он
обращается в бесконечность при г — 0.
Условие, что прогиб на окружности равен
нулю, приводит к трансцендентным уравнениям
(см. стр. 94):
In (ka) =0 (п = О, 1, 2...)
Здесь а - радиус мембраны. Найдя корни
этих уравнений, сможем определить частоты
свободных колебаний мембраны.


248
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Метод Ритца. Краевая задача для урав-
нения
Уравнение Лапласа и теория потенци-
ала. Уравнение Лапласа в пространстве
d4J
эквивалентна задаче вариационного исчисле-
ния об определении минимума интеграла
Полагая и = Ц?/<р/ (х,у), где <?/(.*, _у) —
последовательность функций, удовлетворяю-
щих граничным условиям задачи, вычисляем /
как квадратичную функцию п неопределён-
ных коэфициентов с/.
Составляя п частных производных от / по
коэфициентам с/ и приравнивая их нулю, полу-
чим систему линейных однородных уравнений
дс
дсп
Приравнивая нулю определитель, получаем
уравнение для постоянной ft2, приближённо
определяющей собственные частоты.
Этот же метод применим к задаче о коле-
бании стержня переменного сечения. Соответ-
ствующее диференциальное уравнение
где В (х) и (А (х) - заданные функции, инте-
грируется лишь в немногих случаях. Это урав-
нение эквивалентно вариационной задаче для
интеграла
/ =
Полагая
где ср,- (x) - функции, удовлетворяющие гра-
ничным условиям, поступаем, как и в преды-
дущем случае.
Пример. Колебание клинообразной консоли (по
Тимошенко). Длина консоли /, ширина постоянна, вы-
сота у основания 2Ь. Граничные условия
Вг" @) - 0, Вг'" @) = О,
z@ = 0, *'(/) = О,
B = =k
Ib'ix
Примем
^(тГ(-т)'
Ограничиваясь двумя членами, получим
ш=5,319 ± l/Il .
Л К 3Т
Точное решение при помощи функций Бесселм даёт
аначение коэфициента 5,315-
Функция, удовлетворяющая уравнению
Лапласа, называется гармонической и обла-
дает следующими свойствами;
1. Внутри конечного объёма гармоническая
функция не может иметь максимума или ми-
нимума.
2. Две гармонические функции, совпадаю-
щие в некотором объёме, как бы мал он ни
был, совпадают во всём пространстве.
3. Гармоническая функция, ограниченная
по абсолютной величине, есть постоянная.
4. Производная от гармонической функции
есть также гармоническая функция.
Выражение оператора Лапласа в кри-
волинейных ортогональных координатах.
Если квадрат линейного элемента в криволи-
нейных координатах есть
Н
i ~i~ ^з ^яз«
*US=-HHH {gJKar-^r-)
+ jL^J^L) + ^.(^^
Пример. В цилиндрических координатах di* = dr' -f-
•2 d93 -(- cf^2
Д U -= —— /—— /г ——\ 4- — —— + r —— 1
~ ~r I 5r ^ C/- J r 692 5га J '
В сферических координатах ds* = dr- -f- r2 sin* 9 dy* -(-
dU
Краевые задачи для уравнения Лапласа.
Задача Дирихле. Определить гармониче-
скую функцию и в объёме, ограниченном по-
верхностью S, если известны значения, кото-
рые сна должна принимать на поверхности
i внутренняя задача). Аналогичным образом
можно определить функцию и для про-
странства вне объёма, ограниченного поверх-
ностью 5 (внешняя задача). При этом ста-
вится дополнительное требование: при удале-
нии точки М в бесконечность и (М) стремится
к нулю быстрее, чем -^ , где А — постоянная,
Н
R — расстояние точки М от фиксированной
точки пространства.
Задача Неймана. На поверхности 5
заданы значения нормальной производной
ди ди
= з~~ cos
дх
<?« - , du
-5- COS VV 4- -^- COS V2
oly -^ ' аг
(ч — единичный вектор внутренней нормали
к S).


ГЛ. I]
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
249
Задача Неймана допускает решение, если
выполнено условие
Яда
-т- d? = 0;
dv , '
rfa — элемент поверхности .S.
Формула Грина. Для двух произвольных
непрерывных в объёме V, ограниченном по-
верхностью S, функций имеет место формула
I (« Д v — v Ды) dx dy dz
tdu
'dv
Функция Грина. Построим функцию G (х,
у, z, ?, YJ, С), равную нулю, если точка М (х,
у, г) находится на поверхности, и гармони-
ческую в объёме v, за исключением точки
Р (?, Y], С), причём в окрестности этой точки
Здесы- V ~(х - бJ + (у
(г — СJ,
a g — гармоническая функция. Тогда реше-
ние внутренней задачи Дирихле даётся фор-
мулой
Задача Дирихле для сферы. Внутренняя
задача Дирихле для сферы решается форму-
лой Пуассона
и(Р) =
(фиг. 168).
Для вычислений удобнее представить это
решение в форме ряда. Приняв радиус сферы
равным единице (фиг.
1Р8) и отнеся простран-
ство к сферическим коор-
динатам с началом в цен-
тре, будем иметь для
точки Р координаты (р.
f, б), а для точки М
координаты A, 6', <р'). На
поверхности и (М) =
Фиг. 168. =/(° ''f ) и
cos у = cos 6 cos 6' -f
-f- sin 6 sin 6' cos (cp' — 9).
Тогда имеет место разложение
Здесь
- 4к Г м1 f Р
~ 2/J-4-1 J J "
Функции Yn F, (f) суть сферические функции
Лапласа, Рп (cos Y ) — полином Лежандра.
Ньютонов потенциал. Потенциал
объёма. Так называется функция U (x,y, г),
определяемая тройным интегралом, распро-
странённым на объём V, ограниченный одной
или несколькими поверхностями 5:
U (х, у, z) =
tx (?. т], C)
здесь (л. (S, YJ, С) — заданная непрерывная и ди-
ференцируемая функция,
г= V "О*- е) 2+^-14J + (г -СJ-
Потенциал удовлетворяет уравнению Лап-
ласа Д U =• 0, если точка (х, у, г) вне области
V, и уравнению Пуассона Д?/ = — 4 т: р. внутри
области.
При переходе через граничную поверхность
5 функция U и её первые производные не-
прерывны.
Потенциал простого слоя. Если на
поверхности S определена функция (л — по-
верхностная плотность, то потенциал просто-
го слоя
удовлетворяет уравнению Лапласа во всём
пространстве. При переходе через поверхность
5 функция U непрерывна, но её нормальная
производная претерпевает разрыв.
Потенциал двойного слоя. Пусть
Р — произвольная точка пространства, М —
точка поверхности S. Если <р — угол между
МР и нормалью v в точке М, то потенциал
двойного слоя
При переходе через поверхность 5 функ-
ция U претерпевает разрыв. Если Q0 — точка
на поверхности, Qe — бесконечно близкая
точка вне поверхности, Q,- — бесконечно близ-
кая внутренняя точка, то
Потенциал однородной сферы радиуса R:
для внутренней точки
для внешней точки
U(P) =
4ъ
Потенциал однородного сферического
слоя:
для внутренней точки
т
п о


250
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
для внешней точки
т
г
(т = 4п
Потенциал однородного эллипсоида
du
ы)
и)
Здесь X = 0 для внутренней точки; для
внешней точки \ есть наибольший из корней
уравнения
Уравнение Лапласа на плоскости. Все
свойства гармонических функций трёх пере-
менных сохраняются для функций двух пере-
менных, удовлетворяющих уравнению Лапласа
д*а . д*и .
\и == —— _1_ —— — П
Для этого уравнения также ставятся задачи
Дирихле и Неймана.
Связь с теорией функций комплексной
переменной. Решение краевых задач для
уравнения Лапласа от двух переменных суще-
ственно упрощается применением методов тео-
рии аналитических функций комплексной пере-
менной z = х + /у. Если / (г) = п -\- iv есть
аналитическая функция, то функции и (х, у)
и f (x, у) удовлетворяют уравнению Лапласа
и связаны соотношениями Коши — Римана
ди
дх
dv
ди
ду
dv
дх'
Такие две функции называются сопряжён-
ными.
Задача Неймана для функции и эквива-
лентна задаче Дирихле для функции v. Дей-
(fu dv _
стиительно, так как -у- = —г—,то на контуре С
dn ds ' JF
Необходимое условие разрешимости за-
дачи Неймана
Задача Дирихле для круга и полу-
плоскости. Функция, голоморфная в круге
единичного радиуса, разлагается в ряд
Полагая z — ре — р (cos б ^-/sinfi) и от-
деляя действительную и мнимые части, имеем
со
и = ^ Рп (ап cos n^ -\- bn sin nb),
о
оо
v = \] рп (—Ьп cos /16 -(-- оп sin пб).
о
Если на окружности задано и—/@), то
ап и /?„ суть коэфициенты Фурье функции /'(б).
В замкнутой форме решение задачи Ди-
рихле даётся формулой Пуассона
.—2pcosF —cf)-hp2'
— тс
Для полуплоскости решение имеет вид
Функция Грина. Решение задачи Дирихле
для произвольной плоской области, ограни-
ченной контуром С, даётся формулой
Функция Грина G (jf, у, 6, -i) удовлетво-
ряет условиям:
1) если точка М (г, _)) принадлежит кон-
туру С, то G = 0;
2) в окрестности точки Р(:, г)
п
Здесь g(x, у, ?, YJ) —гармоническая функ-
ция.
Если ш(х 4>п') есть функция, конформно
отображающая область, ограниченную конту-
ром С в плоскости х, у на единичный круг
в плоскости со так, что точке ? -\- it\ соответ-
ствует центр круга, то
G = - lg со].
Численное решение задачи Дирихле.
Значения гармонической функции внутри об-
ласти по заданным её значениям на контура
могут быть найдены
приближённо числен-
ным методом. -Пусть
заданы значения
функции и на конту- д
ре ABCDEF (фиг. \
169). Разобьём об-
ласть на квадраты '
(углы отмечены свет-
лыми кружками вну- '
три области, чёрны-
ми—на контуре). По- ft'
строим вторую сет- Фиг. 169.
ку квадратов, углы
которых, отмеченные крестиками, находятся
в центрах квадратов первой сетки. Задаёмся
произвольными значениями функции и в узлах
первой сетки, после чего вычисляем значения
и в узлах второй сетки по формуле:
1 ,


ГЛ. I]
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
251
Найдя значение и во всех точках, отме-
ченных крестиками, снова находим по той же
формуле значения функции в точках, отмечен-
ных кружками, и продолжаем этот процесс
до тех пор, пока результаты двух последо-
вательных расчётов совпадут.
Уравнение теплопроводности
Распространение тепла в однородном
стержне. Уравнение теплопроводности:
ди
~дТ
_ о
~а '
где «(/, л) — температура стержня. Для этого
уравнения ставится задача нахождения и (/, х)
по начальным условиям и @, д) = /(лг) и гра-
ничным условиям, если стержень имеет конеч-
ные размеры.
Начальное условие означает, что известно
распределение температуры в начальный мо-
мент; граничные условия при х = О или х=1
и при любом t могут быть следующими:
1) и = const (на конце температура посто-
янна);
2) -з — — 0 (отсутствует поток тепла);
ДЛЯ
левого
конца,
ди
4 ku — Q для правого (теплоотдача по
ил
закону Ньютона).
Стержень, ограниченный с двух кон-
цов. Граничные условия: и = О при х — 0 и
-S— — — kn при х = /. Применяя метод Фурье,
получим
Г
= О, X"
= О,
откуда соответственно
7 = e-Va'', X=Acoslx + B sin be.
Из граничных условий
А — О, X cos X/ = — k sin X/,
откуда
Бесконечно длинный стержень. Если
f(x) — начальное распределение температуры,
то
/ ,ч Jf^
и(х, 0= /(€)-— =
4~a3t
Распространение тепла в трёхмерном
теле. Уравнение теплопроводности в про-
странстве
dt \djc2 ду2 cz-J'
Если -vj = 0, температурное поле стацио-
нарно и удовлетворяет уравнению Лапласа.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ *
Простейшая задача вариационного исчи-
сления состоит в определении функции
у = f (х) такой, чтобы заданный интеграл
ь
I = \ F (х, у, у') dx
принял экстремальное значение по сравнению
с его величиной при всякой другой функции
У! = f-i (x)- принимающей те же заданные зна-
чения на концах интервала [а, Ь].
Пример. Наименьшую поверхность тела вращения во-
круг оси Ох дают кривые y—f (х), обращающие инте-
грал
в минимум.
Необходимые условия экстремума
1. Уравнение Эйлера —Лагранжа
Искомая функция y=f(x) должна удо-
влетворять уравнению
ду dxdy'
Обозначая через Хд, корень этого уравне-
ния номера k, а также полагая
= sin Хйх,
получим
V
и = 2л
Функция и = ? Bk%k ПРИ ^ = 0; функции
Х% образуют ортогональную систему, следо-
вательно,
$f(x)Xkdx
о
.. _
ду'з дуду' дхду' ду
Кривая y=f (х), удовлетворяющая этому
уравнению, называется экстремалью.
Пример. Для сформулированной выше задачи о наи-
меньшей поверхности тела вращения уравнение Эйлера -
Лагранжа имеет вид
Общий интеграл этого уравнения
JC — Са
(цепная линия).
* Литературу см. на стр. 321,


252
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
2. Условие Лежандра
во всей области интегрирования
а < А-
3. Условие Якоби
Обозначаем
или
откуда
EIrt" + Prt = О ,
;, = А sin уГ~ х.
Таким образом т, (х) = О при
Для существования минимума необходимо
Кривая т, = т, (л-), удовлетворяющая урав-
нению
не должна пересекать оси л: в точках интер-
сала а<^х<^Ь, т. е. решение этого уравне-
ния YJ (x) HI интервале а<^х<^Ь должно быть
знакоопределённым (либо vj (.v) > 0, либо
Следующие три условия доста-
точны для слабого экстремума
[кривая >'=./(*) сравнивается с кривыми
Vj = fj (v) такими, что разности |/ (дг) — /j (A')|
и |/' (лг)— .// (х) \ малы]:
1) кривая у = f (х) является экстремалью,
т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера -Лаг-
ранжа;
3)
для а <; л'
ДЛЯ
Наименьшее значение критической силы Эйлера
_ я'
Случай нескольких неизвестных функций
Функции «1 (л"), п2(х), . . ., ип(х), да.о-
щие экстремум интегралу
г>
/= J /Ч*. «1 (-г)< ца(*). • • • «„(*)-
а
И1',(х), . . .,un'(x)]dv
и принимающие на концах интервала [а, Ь\
заданные значения, определяются решением
системы уравнений:
Пример. Эйлерова критическая нагрузка. Стержень
длиной / опёрт своими концами и сжимается силой Р.
Определить наименьшую величину силы Р, вызывающей
потерю устойчивости.
Потенциальная энергия изогнутого стержня
I
_
dx \duz'
__
dx \du'
=0
где <р —угол касательной к упругой оси с вертикалью; у-—
расстояние верхнего конца балки до горизонтальной
плоскости
Случай производных высших порядкок
Функция у = f (х), дающая экстремальное
значение интегралу
ь
г _
dx + PI.
Отыскание минимума U приводит к уравнению
Эйлера.-
откуда
и принимающая вместе со своими производными
до порядка п — 1 включительно заданные зна-
чения на концах интервала, определяется iu
диференциального уравнения порядка 2п.
ду dx \d<f'J
Г~Р
=At sin Т/ -gj л- + А.2 cosy j
ду
-
dx \ду'
dx"
Условие Лежандра
выполнено.
Условие Якоби, в котором
Экстремум двойного интеграла
Функция z=f(x, у), дающая экстремум
интегралу
=0-
приводит к уравнению
= И
г г ,
где р = -з — , q = -3—, определяется из дифе-


ГЛ. I]
РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
253
ренциального уравнения в частных произ-
водных:
J*T- __ д ( dF\ _ д ( dF \ —
dz дх \ др ) ду \ dq )
Пример. При малых свободных поперечных колебаниях
стержня потенциальная энергия
Ь
где -v —ось стержня, и —смещение, перпендикулярное оси,
ц. — жёсткость при изгибе; кинетическая энергия
да \2
dt-
По принципу Гамильтона интеграл
!&
• dt
должен принимать минимальное значение.
Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид
JL ( _д"} i da ( д*и\
т. е. получаем уравнение поперечных колебаний стержня.
РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ *
Конечные разности. Дана функция / (л:)
и некоторое фиксированное число h. Выражение
называется разностью первого порядка от функ-
ции f(x). Разность первого порядка в свою
очередь является функцией от х; по тому же
правилу от неё можно образовать разность,
являющуюся разностью второго порядка от
функции /(А):
л) -/(*)]
Л) +/(•*)-
2/0 -
Продолжая этот процесс, придём к опреде-
лению разности порядка п:
nh)— (-у-) Л* + (л-
Если функция f(x) задана таблицей для
значений х, отличающихся на постоянную ве-
личину Л, вычисления разностей удобно рас-
положить в таблицу (табл. 7).
Таблица 7
ж
*о
*i
Х3
х»
•*4
*5
/(*)
|
Г
/5
ДДлг)
А/о
д/,
АЛ
Д/.
Д/<
ДУ(*)
ДУо
ду,
у,
Дц/з
ДУ(*)
ДУо
ду.
д%
ДУ(лг)
ДУо
ду,
ДУ (JT)
ДУо
Пример. Вычисление Д* sin 0.20, если Л = 0,05, при-
водит к таблице (табл. 8).
Таблица 8
X
О.2О
0,25
о,3°
0,35
°,4°
/
0,19867
0,24740
о,29552
0,34290
0,38942
д/
0,04873
0,04812
0,04738
0,04052
Д'/
— o,ooo6i
— 0,00074
—0,00086
ду
o,oooi3
— 0,О0012
ду
О,ОООО1
Значение функции для приращённого зна-
чения аргумента выражается через разности
по формуле:
Конечные разности простейших функ-
ций. Для некоторых простейших функций, за-
данных аналитически, можно написать анали-
тическое выражение разности.
Степенная функция хп и поли-
ном
Ьхп = (х + ЛO1— хп.
Не выполняя вычисления, заметим, что ДАТ"
будет полиномом степени (п — 1), так как
член хп сократится. Таким образом конечная
разность от полинома есть полином степени
на единицу меньшей; разность степени п от
полинома есть постоянная; разность степени
п Ч- 1 равна нулю.
Показательная функцияя*:
Да-* = ax+h — ax= ax (ан — 1).
Тригонометрические функции
. 0 . Л / . Л • . те \
Д sin х = 2 sin -у- sm ^ х + -g- -f -g- J.
Д cos х = 2 sin
cos
Факториальная функция. Факто-
риальной функцией порядка п называется вы-
ражение
— п — 1 /г),
= nhx (x—fi) . . . (x—n^
Таким образом факториальная функция
в исчислении конечных разностей играет ту
же роль, что степенная в диференциальном
исчислении.
Разложение по факториальным
функциям. Всякая функция, имеющая произ-
водные до порядка п -}- 1, может быть пред-
ставлена рядом факториальных функций с оста-
точным членом
* Литературу см. на стр. 321.


254
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
—— X-j). . .(X —— Xn) / _|_ |\| >
Здесь
?/!=(*-
Если/ (л:) — полином степени п, то Д/|"^1/о"-0,
и ряд состоит из конечного числа членов. Для
функции хп при h — 1 имеет место разложение
п_ ,
Г — — "* '
3!
1
i
-!)(* -2L--..+
х(х
Величины Д^О" называются числами Мор-
гана и даются таблицей (табл. 9).
Таблица 9
п
I
2
3
4
5
ДО*
ДЮ"
2
6
14
3°
дю"
6
Зб
15°
ДЧ)"
24
240
ДЮ"
120
Интегрирование по конечным разностям.
Ограничимся тем случаем, когда h = 1, а ж при-
нимает целые значения. Общий случай приво-
дится к этому соответствующей заменой аргу-
мента. Неопределённым интегралом
по конечным разностям функции f(x) назы-
вается функция
обладающая тем свойством, что
Определённым интегралом по конечным раз-
ностям называется выражение:
но
f (m
F(m
2) =
1L
F (/2 4- !) = /=• (
Складывая эти равенства, найдём:
Интегралы по конечным разностям от
элементарных функций.
Факториальная функция
V х (х — 1) (л: - 2)... (х — п - I) =
_ х (х — 1)... (х п I
=, jfqn+С"
COS (X — TV
2-in
sin х—-г
Показательная функция
Здесь С может быть произзольной периоди-
ческой функцией дг с периодом 1.
Тригонометрические функции
sin x =
COS JC =
Степенная функция и полином.
Интеграл по конечным разностям от полинома
степени п есть полином степени п 4- 1, для вы-
числения которого следует разложить исход-
ную функцию по факториальным.
Приложения к суммированию рядов. Если
общий член ряпа, рассматриваемый как функ-
ция номера, может быть проинтегрирован по
конечным разностям, формула определённого
интеграла даёт сумму ряда.
Пример. Вычислить сумму квадратов натуральных
чисел.
Для вычисления Т7 (д") положим
Д202
.Vs = ДО2.*- + —— дг (л--1) =
JT(JT-1)-
^._i\ «л-_]
получим
V
^
О
Таким же способом можно вычислить сум-
му любых степеней натуральных чисел.
Приближённое суммирование рядов. Если
общий член ряда есть f\k) и найти интеграл
по конечным разностям затруднительно, можно
воспользоваться формулой Эйлера — Макло-
рена, дающей зависимость между интегралом
по конечным разностям и обыкновенным инте-
гралом:
я-И
1
OT-l
= j f(x)dx—j [f(m f 1)-ДО)] f
о
[/ <2* -«(«+!)-/ t2*-1) @)]


ГЛ. 1]
РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
255
о fBb~ 1)/»и _i i \ -я Пример. Уравнение трёх моментов для балки с рак-
ОДССЬ / (т -+• 1) — производная ПОрЯДка НЫми пролётами, одинаково загруженными, имеет следую-
2А—1 от функции /(*), вычисленная при щий вид:
х — т -\- 1, а Л5^—постоянные числа _ 6 Г яя *" + i]_
1 1 4[Л/ ^J
72
1
1
Частное решение неоднородного уравнения есть по-
стоянная М:, следовательно,
6 ~ 30240'
= (т + 1) Лг„
12096ЭО ^i«=^«-i=wi« + .^i=F-
,^. ^ ^ , .ч Принимая Л4Л за неизвестную, получим
Этот ряд может и расходиться, но при ма-
лом числе членов остаток обычно оказывается
чрезвычайно малым, поэтому формула даёт
весьма высокую точность.
Разностные уравнения. Будем обозначать
аргумент функции индексом внизу, так что
Соотношение вида
где я,, а2, . . . , ял — постоянные числа, a fx —
заданная функция, называется линейным раз-
ностным уравнением порядка п с постоянными
коэфициентами.
Общее решение его состоит из двух ча-
стей: общего решения однородного уравнения,
получающегося, если положить fx — 0, и лю-
бого частного решения неоднородного уравне-
ния.
Решение неоднородного уравнения нахо-
дится путём подбора, пусть это будет ни. Ре-
шение однородного уравнения и0л. ищем в ви-
де щ.х = С$л '. Подставляя в уравнение и заме-
чая, что 1/о.г + й = C^k ?"*> получим уравнение
для нахождения ?:
Если все корни различны, общее решение
имеет вид:
Если существует корень ?,-, кратности д,
ему соответствует в решении группа членов
При подборе части лго решения простейшие
случаи следующие:
1) fx = А = const,
А
и\х — i— ; ——— ; ——— i ——— ; — = const;
lx l+«i + «a + •••+««
2) fr — полином степени n; разлагая его по
факториальным функциям, получим:
Ищем решение в виде полинома той же
степени
подставляем в левую часть и сравниваем коз-
фициенты при факториальных функциях одной
Если балка имеет два пролёта, М0=М3=0, получаем
два уравнения для нахождения постоянных
С,+ С2+ g -О,
С, B+ КГJ + С" B- /ГJ + Л =0.
Найдя постоянные, можно получить выражение для
Экстраполяция и интерполяция
Разностное исчисление позволяет решать
ряд задач, относящихся к функциям, заданным
таблицей. Если функция задана для ряда равно-
отстоящих значений аргумента с разностью /?,
продолжение таблицы для следующих значе-
ний аргумента называется экстраполяцией. Если
функция задана для нескольких произвольных
значений аргумента, нахождение её для неко-
торого промежуточного значения аргумента
называется интерполяцией.
Экстраполяция. Свойство полинома, заклю-
чающееся в том, что разность его порядка
п -\- 1 есть постоянная величина, может быть
использовано для составления таблицы значе-
ний полинома для равноотстоящих значений
аргумента. Для вычисления разности порядка п
достаточно найти п -\- 1 значение функции;
после того как д*/ известна, последовательно
вычисляются Д*-1/, _*-2/и т. д. Вычисления
удобно располагать в таблице, как показано
в нижеследующем примере.
Пример. Составить таблицу функции х3— 2х2 +10 х
для целых значений х от 0 до 10. Вычисляем непосред-
/@)=0,
/-C)=19
Таблица 10
X
о
i
2
3
4
5
6
f
0
9
20
39
72

А/
9
и
19
33
53
ду
2
8
Н
20
ду
6
6
6
6
После того, как найдено Д'/ = 6 = const, вычисляем
последовательно:
Д2/B) = Д"/A) + Д3/ = 8+6 = 14,
Д/ C) = Д/ B) + Д2/ B) = 19+14= 33,
/ D) = / C) + Д C) = 39 +33 = 72.
Таким образом можно составить всю таблицу
(табл. 10), выполняя только сложение.


256
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Если функция не является полиномом, она
может быть представлена приближённо в виде
полинома, если её разности, начиная с неко-
торого номера, практически становятся
постоянными.
Пользуясь зтим, можно применить тот же
приём для экстраполяции любой функции
с тем большей точностью, чем выше порядок
разности, принимаемый за постоянную.
Интерполяция. Первая формула
Ньютона. Формула разложения по факто-
риал ьным функциям
оборванная на члене номера п, заменяет
данную функцию / (х) полиномом степени п,
принимающим в точках х0, л\,... ,хп-\ те же
значения, что и функция /(*); для промежу-
точных значений х и для достаточно „гладкой"
функции 'этот полином принимает значения,
близкие к f(x).
Используемые в этой формуле разности
лежат на одной горизонтали, как показано
в схеме:
/0 Д/о Д2/0 Дз/0
/1 Д/i
/3
Вторая формула Ньютона полу-
чается, если занумеруем значения аргумента
в порядке убывания
г , \ - ? I J —"
При этом используются разности, лежащие
на диагонали, как это показано в схеме:
Аз Д/-з
Д2/-
/О
Интерполяционные формулы Гаусса.
Если нумеровать значения аргумента от XQ
в ту и другую стороны, то получаются:
1-я формула Гаусса
r
~ °
г
J
1 3! А«
причём разности берутся по схеме:
X-z /-3
|Д2/0
h
/8
Д/2
2-я формула Гаусса
/(*) =/о +-TTi
х
причём разности берутся по схеме:
, — О J — "
Д/-1
/о Д/о
/1 Д/i
/2
Интерполяционная формула Бесселя
Д2/0
/ (х) = /о + -j-j-^
3!ЛЗ
4! А4
дг0 д: —
— -?_i I (Jf — х2)


ГЛ. I]
РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
257
Формула Бесселя особенно удобна
для интерполяции „на середину" при л: —
•——Ц,——, тогда обращаются в нуль члены
с разностями нечётного порядка. Вообще она
применяется, если х находится в середине
интервала (v0, л^). Разности удобно брать по
схеме:
x-s
х-ъ
X-1
XQ
/-3
/-2
/-1
/0
-
A/-
A/-
A/o
2
•
Д2/_2 ДЗ/^2
Aa/-t!-|A3/-i-
~A2/o" - АЗ/О
A4f-3
|^=2
-A4/-1
A4/0
Д2/1
/2
Интерполяционная формула Стирлинга,
удобная при значениях х, близких к х0:
= /0 +
. 1
,
X
^__ V- И v-__
>—ли I л—
Разности удобно брать по схеме:
ДГ_4 /-4 А/_4
дг_3 Аз Д/_з
Х-2 f~2 A/_2
-V-i /-i
Л
/2
Интерполяция при неравноотстоящих
значениях аргумента. При неравных разно-
стях аргумента пользуются приведёнными раз-
ностями, определяемыми следующим образом:
разность первого порядка
_ , „
= / I XQ,
X] — XQ
разность второго порядка
/ Хг, X2)—f(XQ, Xj) _ ,
——— - —— - —————— — 7
*2 ~ -^0
разность третьего порядка
= /i -^0»
И Т. Д.
17 Том 1, кн. I
Имея приведённые разности, можно вос-
пользоваться любой интерполяционной форму-
лой, заменив в ней обыкновенные разности
приведёнными, положив h = 1 и отбросив
факториалы. Так например, первая формула
Ньютона даёт
Табличное диференцирование. Для вы-
числения производной от функции, задан-
ной таблицей, следует заменить её полино-
мом по любой интерполяционной формуле
и продиференцировать этот полином.
По формуле Стирлинга
JL\ _ 1 /
Лх)х,. - h \
6
30
В начале таблицы, когда разность с отри-
цательными индексами вычислить нельзя, сле-
дует пользоваться формулой, получающейся
из третьей формулы Ньютона:
- д4/о
Субтабулирование. Если дана таблица
функции / (х) для равноотстоящих значений
аргумента при шаге Дл: = h и требуется
построить таблицу для промежуточных равно-
отстоящих значений аргумента при шаге
Д* — — = h', то функцию заменяют в интер-
вале XQ < X < Xt + Н ПОЛИНОМОМ, Т. 6. ПрСД-
полагают разности определённого порядка по-
стоянными. Найдя разности при hx — h, вычи-
сляют разности при Д* = Л' способом, кото-
рый разъясняется далее на примере.
Пример. Имеется таблица функции ех для значений
х при шаге h — 0,1. Нужно построить таблицу той же
функции в интервале от 3,80 до 3,90 через каждые
0,02 = h'.
Определяем конечные разности функции для Л =- 0,1.
3,8о
3-90
4,оо
4,ю
44,7°
49,4°
6о,34
4.7° °.5°
5.2° °.54
5-74
Вторую разность для Л'
о
янной. Если
0,02 можно принять посто-
А',
и Д — конечные разности при Ддг =
то по интерполяционной формуле Ньютона получим:
f(xa
0,10) = f0+5 4,/0 +
0,20) =/0+ЮД/0
10 Д
/о.
3,80 и / (х) = ех'


258
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Отсюда
АЛ
o + 35
5,20,
Да/()
и, следовательно,
25 Д /о = 0,50
~
Вычисление значений функции ех имеет следующий
вид:
3,8о 44,7° °>9° °>°2
3,82 45>°0 0,92 0,02
3,84 46>52 0,94 о,оз
3,86 47-46 0,96 0,02
3,88 48,42 0,98
3,90 49-4°
Если вторая табличная разность при Д.г = h соста-
вляет менее 8 единиц последнего десятичного знака
таблицы, то для вычисления промежуточных значений
надлежит пользоваться линейной интерполяцией.
При уменьшении табличной разности аргумента Л
/ Л \
в 10 раз I*1 — "То" ) новые конечные разности вычи-
сляются по формулам:
Д^/о = 0,031 Д3/0,
Д2/0 = 0,01 Д2/0 - 0,009 Ду0,
Vo г= ОД д/о - 0,045 ДУ0 4- 0,0285 Д3/0.
Здесь третьи разности приняты постоянными.
Аналогично следует поступать при построении табли-
цы функции, значения которой известны для неравно
отстоя щих значений аргумента.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ *
Определения
Ура внение Фредгольма 2-го рода
Здесь 9 (л:) — искомая функция; К, (х, s) —
ограниченная в прямоугольнике а < х < Ь,
а < s < b — функция, называемая ядром уравне-
ния;/^) — заданная функция; а и b — постоян-
ные пределы интегрирования; X — постоянный
параметр. Предполагается, что ядро может
иметь конечное число линий разрыва; эти
линии могут пересекаться с прямыми х = const,
s = const только в конечном числе точек.
Уравнение Вольтерра 2-го рода
получается из предыдущего, если верхний пре-
дел положить переменным:
Уравнение Вольтерра может рассматри-
ваться как частный случай уравнения Фред-
гольма, ядро которого равно нулю при s^>x.
Если f(x) = 0, уравнение называется одно-
родным.
Уравнение Фредгольма 1-го
рода
ь
f(x) =
где f(x)uK(x, s)—заданные функции;
искомая функция.
Интегральные уравнения 2-го рода
Резольвента уравнения Фредгольма. Ре-
шение уравнения Фредгольма второго рода
даётся формулой
ь
<р (х) =
(x, s, X) / (s) ds .
Функция R (x, s, X) называется резольвентой
интегрального уравнения. Она в свою очередь
удовлетворяет интегральным уравнениям
ь
R (х, s, X)— X (V (х, О R (t, s, K)dt=K (x, s\
R (x, s, X) — X (t, s)R(*, t, \)dt = K (x, s).
a
Резольвента уравнения Фредгольма пред-
ставляет собой частное двух целых функций
параметра X:
Ф у н д а ментальны ми числами
AJ, Х2, . . . называются корни знаменателя, ре-
зольвенты, т. е. корни уравнения D (л) = 0.
Фундаментальных чисел может быть конеч-
ное число или бесконечная последователь-
ность. Уравнение Вольтерра фундаментальных
чисел не имеет.
Теоремы Фредгольма. 1-я теорема.
Если X не есть фундаментальное число, не-
однородное уравнение 2-го рода имеет одно
единственное решение
ь
у (х) = / (х) + X J A? (x, s, \)f(s) ds.
а
2-я теорема. Если X совпадает с фун-
даментальным числом \j, причём это фунда-
ментальное число есть корень уравнения
D (X) = 0 кратности т, однородное уравнение
ь
Литературу см. на стр. 321.
имеет т линейно независимых решений ?j (x),
?а (*). • • • > ?« (х).
Эга решения называются фундаменталь-
ными функциями, принадлежащими фундамен-
тальному числу Х,-.
3-я теорема. Если X = X/ есть фундамен-
тальное число, неоднородное уравнение имеет
решение только в том случае, когда f(x)
ортогонально всем фундаментальным функ-
циям присоединённого уравнения, принадлежа
щим данному фундаментальному числу.


ГЛ. I]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
259
Присоединённым уравнением
называется уравнение
ь
оно имеет те же фундаментальные числа, что
и данное.
Ряды Фредгольма. Функции D(x,s,ty и
?>(Х) разлагаются в ряды по степеням пара-
метра X:
D (jf,*,X) = К (х, s) + Xdj (x,s) + Vd2(x,s) + • • •
D (X) = 1 + Xd, + X«da -г
Эти ряды сходятся при всех значениях X.
Коэфициенты их определяются рекуррентными
формулами
dm (х, s) = K (х, s) dm + K (х, t}dm_l (t, s) dt,
=- ^+TJ d
OQ(X. S) = K(X, S), </0 = 1.
Итерированные ядра. Итерированными яд-
рами называются функции, определяемые по-
следовательными соотношениями
n_1 (t,s)dt.
Данное интегральное уравнение
может быть
ным:
заменено следующим эквивалент-
ср (Х) = Xя К„ (х, s) ? (s) ds +/„ (х).
+
Здесь
fn (х) = f(x) -г
Для
ний X
достаточно малых но модулю значе-
резольвента уравнения Фредгольма
определяется рядом Неймана
R (х, s,\) = f< (х, s) + ХКа (х, s) +
Для уравнения Вольтерра ряд Неймана схо-
дится при любых значениях X и, следовательно,
всегда даёт решение интегрального уравнения.
При помощи итерированных ядер теорию
Фредгольма можно распространить на квази-
регулярные уравнения, ядра которых не огра-
ничены, но итерированные ядра становятся
ограниченными, начиная с некоторого п.
Ядра вида
К (*,*)=
Ищем решение однородного уравнения
в виде
Т = сЛ (х) +
Обозначая
ь
+ Cnfn
получим
отсюда следуют п линейных однородных урав-
нений
Приравнивая нулю определитель, получим
уравнение степени п, определяющее фунда-
ментальные числа.
Численное решение интегральных урав-
нений. Разобьём область интегрирования
на п частей и введём обозначения
= Д, Х} = а -{- /Л, Sj — а
Вычисляем величины K,-j — К (х;, Sj),f{ =
— f(xj). Интегральное уравнение может быть
приближённо заменено системой линейных
уравнений
(/=1,2,..., л).
Разрешая их, получим п значений искомой
функции ср (х) в точках х{. Значения «р (х) в про-
межуточных точках могут быть найдены интер-
поляцией. Если уравнение однородно, поступая
таким же образом и приравнивая нулю опре-
делитель, найдём приближённые значения
фундаментальных чисел.
Для большей точности при замене инте-
грала суммой можно пользоваться формулой.
Симпсона.
Уравнения Фредгольма с симметричным
ядром. Если ядро симметрично, т. е. К (х, s) =
— К (s, х), интегральное уравнение обладает
следующими свойствами:
1) существует, по крайней мере, одно фун-
даментальное число;
2) фундаментальные числа действительны;
3) фундаментальные функции образуют
ортогональную систему в интервале [а, Ь], т. е.
ь
) dx = 0 (/ ф j).


260
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
В дальнейшем будем считать фундамен-
тальные функции нормированными, т. е. таки-
ми, что
ъ
Разложение ядра по фундаментальным
функциям. Симметричное ядро может быть
представлено формально в виде ряда
К (х, s) =
ft (х) У/ (
где <р/(х) — фундаментальные функции; X,- —
фундаментальные числа, однако этот ряд схо-
дится не всегда. Сходимость имеет место
в том случае, если все фундаментальные числа
положительны (теорема Мерсера). Итериро-
ванное ядро Кр (х, s) разлагается в ряд
Kp(x,s) =
который сходится всегда при /?!>2.
Теорема Гильберта — Шмидта. Всякая
функция /(лг), представимая посредством ядра,
т. е. являющаяся выражением
где h (s) — произвольная функция с интегри-
руемым квадратом, разлагается в абсолютно
и равномерно сходящийся ряд по фундамен-
тальным функциям этого ядра
_ V*
-hi.
и
Здесь Л,- = I h (s) <p,- (s) ds — коэфициенты
a
Фурье функции h (s) относительно ортогональ-
ной системы функций <pj (s). Возможность раз-
ложения функции Л (*) по фундаментальным
функциям при этом не предполагается.
Разложение решения по фундаменталь-
ным функциям. Решение уравнения Фредголь-
ма с симметричным ядром даётся формулой
Э. Шмидта
Здесь
и
//=]/ (*) «?/(*) л.
Введём обозначения
ъ
Ар = \КР (х, х) dx,
J
тогда
Таким образом, для AJ получаются верхняя
и нижняя оценки, сходящиеся к Х3 при увели-
чении т.
Приложения к диференциальным
уравнениям
Уравнение Штурма—Лиувилля. Диферен-
циальное уравнение
L(u) =
Их
Р ~'
с однородными граничными условиями
а и (а) + Э "' (а) = О,
8«'(й) = О,
где р, д, г — функции от л:, а величины а, р,
у, 8 — постоянные, эквивалентно интегральному
уравнению
= X j К (х, s) у (s) ds.
Здесь
К (х, s) = G (х, s) Y^(x}7(s),
причём через G{х, $) обозначена функция
Грина (см. стр. 240).
= 0 и и @) = и (/) = 0.
2
Функция Грина
G (х, s) =-j-(t— x) (s
При х = О и х — /,
G (х, s) = 0.
dG (/-5) ^ dG
-—- = i—-r^- При Х << 5 И -=.— =
дх I F ^ dx
.
— у- При Л > 5.
Скачок производной при л1 = s равен единице.
Так как г=1, то G (х, 5) = К (х, s) (см.
выше). Фундаментальные числа X,- и фунда-
ментальные функции <р/ соответственно будут
Ряд сходится равномерно, если X не равно
одному из фундаментальных чисел X,-.
Вычисление первого фундаментального
числа. Наименьшее по абсолютной величине
фундаментальное число \г обычно представляет
особый интерес для приложений.
Множитель
ния.
= 1/ -г- Sin
/i
служит для нор миров а-


ГЛ. 1]
261
Задачи колебаний. Балка. Приложим в се-
чении с координатой s балки единичную силу
(фиг. 170) и определим прогиб от этой силы
в сечении с координатой х. Этот прогиб у =
= G (x, s). Как известно из теории упругости,
G (х, s) — G (s, х). Если балка колеблется по
закону у = и (х) sin <ot, ускорение каждого
Фиг. 170.
сечения у = — и (х) w2 sin <ot, на бесконечно-
малый элемент длины балки ds действует сила
dP = — (J. (s) yds = p. (s) и (s) <i>2 sin u>t ds;
здесь p. (s) — масса единицы длины. Прогиб
в сечении х от этой силы есть G(x-,s)dP,
полный прогиб найдётся как сумма прогибов
от всех сил инерции, действующих на балку, т. е.
у=
— I G (х, 5) u- (s) и (s) <о2 sin wt ds.
о
Внося сюда значение у и сокращая на
sin ш', получим интегральное уравнение
/
U (X) = со» f G (JC, 5) (Л E) U (S) ds.
Умножая обе части на \ р (х) и вводя обо-
значения
? (х) = и (х) V'р.(я),
получим уравнение Фредгольма с симметрич-
ным ядром. Его фундаментальные числа суть
квадраты собственных частот.
Приложения к задаче Дирихле. Функция,
гармоническая в любой точке области, огра-
ниченной поверхностью 5, и принимающая
в каждой точке М этой поверхности заданные
значения / (М), может быть представлена как
потенциал двойного слоя, плотность которого
\>.(М) удовлетворяет следующему интеграль-
ному уравнению (см. стр. 248):
= X J j К (М,
f (М);
COS у
грирование распространено на все элементы
поверхности 5.
Интегральные уравнения 1-го рода
могут быть разрешены не всегда. Важнейшие
примеры суть:
1. У р а в н е н и е А б е л я
2. Уравнение Фурье
оо
f(x) = Л/^-Л f (s) cos xs ds,
Г Л Q
f(s) cos xs ds
для чётных функций и
/ (Х) = Т/ - ? (s) sin xs ds,
оо
= Т/ — J
г тс u
= Т/ -2 J
f тс 0
= "I/ — \f (s) sin X5
V TC
для нечётных функций.
3. Уравнение Меллина
0
где а — постоянное число.
4. Уравнение
+1
<f (s) ds
С <f(s)
= )jr=
(x) =
—л:
причём г — расстояние между точками М и Р
поверхности; ср — угол между направлением где с - постоянная, а интегралы понимаются в
МР и внутренней нормалью в точке Р, инте- смысле главного значения (см. стр. 170).


262
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
РЯДЫ ФУНКЦИИ *
Для решения многих теоретических и прак-
тических задач оказывается полезным пред-
ставление данных и искомых функций сумма-
ми вида:
где Cj, Со, св, . . . - постоянные коэфициенты, а
Ti (•*)' Та С*)' ?з С*) • • ' — некоторые функции
специального класса, которые выбираются со-
ответственно с особенностями задачи.
Точное представление произвольной функ-
ции f(x) на интервале а<х^Ь посредством
таких сумм далеко не всегда возможно и за-
висит от свойств этой функции и от наличия
так называемой (см. стр. 263) полноты беско-
нечного множества или системы функций cpj (х)
(/=1,-2, 3,...) на данном интервале измене-
ния аргумента.
Например, если функция / (х) на данном
интервале а^х^Ь непрерывна, то её можно
равномерно апроксимировать при помощи по-
линомов (теорема Вейерштрасса). Это озна-
чает, что абсолютную величину разности ме-
жду f(x) и суммой
«О + С ! X + С2 X2 -]- . . . -f- СПХП
при соответствующем выборе числа п и коэ-
фициентов Со, с\, с2, . . . , сп можно сделать мень-
ше произвольно заданного числа е, каково бы
ни было значение аргумента л- в интервале
Аналогично можно равномерно апроксими-
ровать непрерывную функцию f(x) на интер-
вале 0 ^ х < 2тс при помощи тригонометри-
ческих полиномов вида:
я0' + fli' cos х + яа' cos 2x 4- • • • + в-п cos пх.-\-
-\- V sin х -f- Ь2' sin 2х -\- . . . -f- bn sin пх*
если только /@) =/ Bя). Коэфициенты я0', о/,
б/i #2', ?2', яз'» *з'> ... в общем случае не со-
впадают с коэфициентами ряда Фурье, который
осуществляет апроксимацию функций в „сред-
нем" (см. стр. 263).
В приложениях функцию f(x) представляют
приближённо посредством суммы конечного
числа членов ряда, т. е. в виде:
Величина коэфициентов clt с2, . . . . , сп, при
которых достигается наилучшее приближение
Sn (х) к f (х), зависит для одной и той же функ-
ции f(x) от способа оценки приближения и,
кроме того, в общем случае от числа п функ-
ций cpifjc), ?2(Л")' '-РзС-*)*- • • • взятых для построе-
ния приближения. Оценка степени приближе-
ния Sn(x) к f(x) может, в частности, произ-
водиться:
а) по наибольшему абсолютному отклоне-
нию S (х) от / (х) на заданном интервале
(оценка Чебышева)
(а
б) по среднему квадратическому отклоне-
нию (оценка Гаусса)
ь
f(x) -Sn(x)\>dx;
в) по обобщённому среднему квадратиче-
скому отклонению
где р (х) — положительная на интервале
а ^С. х ^ Ь функция, которая называется нагруз-
кой или весом.
При оценке по среднему квадратическому
отклонению коэфициенты наилучшего прибли-
жения определяются из системы линейных
уравнений:
("Pi. ?i) ci + ("Pi. Та) С2 -f- • • • + (<Pi- ?л) сп = (?!• /).
(?2. <Pi) Ci + (Та- 'fa) « + • • • + (?2. Т«)сл = (Т2.У);
В этих уравнениях введены обозначения:
ь
(Ti. Ту) = Т/ (х) Ту(*) rf-v-
которые называются скалярными произведе-
ниями соответствующих функций.
В случае ортогональной системы функций
<Pi (х\ <р2 С*)', Тз (•*)• • • • имеет место f ??• Ту) = °-
где i ф j\ коэфициенты ct, с2,. •. определяются
независимо друг от друга и от числа п по
формулам:
= (У!' /). , с _ (?а< Д ^
Cl "~ (Ti» Ti)' 3 (Та. Та)'
и называются коэфициентами ряда Фурье функ-
ции f(x).
В большинстве практических случаев, в
частности, если функция/(х) задана графиком
или таблицей, интегралы ('{/,/) вычисляются
при помощи приёмов численного интегриро-
вания (см. стр. 175), например по формуле тра-
пеций:
ь
(т/,Л= f т/С*)/(*)** =
/га
где
* Литературу см. на стр. 321.
Ь~а
———
-m


ГЛ. I]
263
Полнота системы функций. Система функ-
ций <?i(x), <f'2(x),,.. называется на данном ин-
тервале а^лг^А полной, если при помощи
сумм вида
5„ (X) = ClTl (Jf) + С8?2 (*)+... + Ctfn (X)
можно с любой степенью точности апроксими-
ровать „в среднем" любую кусочногладкую
функцию f(x), заданную на том же интервале.
Это означает, что всегда можно подобрать та-
кое число п и такие коэфициенты С], с2,... сп,
чтобы среднее квадратическое отклонение Sn
от / (х) было бы меньше любого сколь угодно
малого положительного числа. Условие пол-
ноты системы ортогональных функций <?i(x),
92 (х),... имеет вид:
определяются по формулам:
где /(л) — любая кусочногладкая функция;
Nf называется нормой функции. Среднее
квадратическое отклонение Sn (х) от / (х) вы-
ражается в этом случае формулой:
tfx,
/
«А = у )/(•*) cos k -у- dx,
о
2 Г 2т1лг
bk = — I/ (jf) sin и -у- о'л:
= 1, 2, 3...).
Для практических целей обычно бывает до-
статочно определить не более десяти гармоник
периодической функции f(x), т. е. тригоно-
метрических двучленов
, . . , .
Ok COS К —у— + Ok Sin k —j- —
= Сь sin
Примеры. 1. Система функций I, л;, лг2, jr3, . ; . пол-
на на любом интервале а -< х •< ft. Эта система не орто-
гональна, но из неё можно образовать полную систему
полиномов, ортогональную на заданном интервале
а < х < Ь.
При а = — 1, Ъ~ +1 получаются при этом полиномы
Лежандра (с точностью до постоянных множителей)
(см. стр. 140 и 267).
2. Система функций (см. ниже основной ряд Фурье)
1. cos
0
cos2
cos3 —j- ,
. 0 .
81П2— =--, 81П d
полна и ортогональна на интервале 0 •< .v <; /, а также
на любом интервале а •<.*<:/+ а, где а— любое поло-
жительное или отрицательное число.
3. Система функций (см. стр. 266) 1, cos — —— ,
2л х
cos 2 — — , . . , полна на вдвое меньшем интервале
/ 9т* *"
0<л:<:— . То же относится к системе функций sin — ~ ,
sin 2
, . . . Обе системы на &том интервале ортого
нальны.
2ft.v 2^д*
4. Система функций (см. стр. 266) sin — - ,8103——,
* /
9тг V
sin 5 — j- , . . . полна и ортогональна на интервале 0<!л:<
Основней ряд Фурье. Коэфициенты раз-
ложения функции f(x) на интервале 0<д-</
в основной тригонометрический ряд Фурье,
т. е. в ряд
2-кх . п 2тгх .
а0 + fli cos — + az cos 2 —г- -[-...+
-f
sin
, п
sin 2
I
-f- . .
входящих в состав основного ряда Фурье. Здесь
с^ — амплитуда k-vi гармоники и tk — сдвиг
её фазы определяются из уравнений:
Последнему уравнению удовлетворяют в
ТС - ^г. П
пределах —^ <. г^^^-о два значения ek, от-
личающиеся друг от друга на и. Из них сле-
дует выбрать то, при котором знак sin e./, со-
впадает со знаком коэфициента а^ или знак
cos е^ — со знаком Ь& так как
ak = ck sin eft, bk = ck cos eft.
Последовательность амплитуд c0, clt c2,...
образует спектр периодической функции
(фиг. 171).
С
0,4-
/??-
*w
02-
0,1-
п
V
-
'
1 1 ,,,...
/ 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю 11
Фиг. 171.
Помимо численных методов определения
коэфициентов ряда Фурье (см. стр. 268)
существуют приборы для механического их
определения — гармонические анализаторы [3].


264
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
В некоторых случаях удобно представлять
основной тригонометрический ряд Фурье (с пе-
риодом /) в комплексной форме:
от функции f(x) не стремится к нулю по мере
увеличения числа входящих в неё членов ряда.
Точка наибольшего отклонения Sn (х) от/(х)
при увеличении л неограниченно приближается
к точке разрыва функции f(x).
Пример. Тригонометрическая сумма
= -т\ t(x)e
(k = 0,±\,±2,.,.).
Если функция f(x) принимает на интервале
О <!.*•<;;/ только действительные значения, то
«о =
= ~ (ak —
где а/о, cifo bfr — коэфициенты основного триго-
нометрического ряда.
Ряд Фурье равномерно сходится, и сумма
его представляет функцию / (х), заданную на
интервале 0 <;.*•<;/, если последняя непре-
рывна, имеет конечное число максимумов и
минимумов (условие Дирихле) и, кроме того,
/@) =/(/). Вне указанного интервала сум-
ма ряда Фурье является периодической функ-
цией с периодом /.
Если функция f(x) имеет точки разрыва
1-го рода (см. стр. 147), то сходимость её
ряда Фурье не будет равномерной. В точках
разрыва ряд Фурье сходится к полусумме пре-
дельных значений функции справа и слева от
точки разрыва х — а, т. е. к величине:
В точках х = 0 и х = I ряд сходится к зна-
чению:
Если / (х) — периодическая функция с пе-
риодом /, то, разумеется, /@) =/(/).
Явление Гиббса. В окрестности точки раз-
рыва 1-го рода имеет место явление Гибб-
са, заключающееся в том, что наибольшее
отклонение конечной суммы Фурье
. 0
f G2COS2
о / \
Sn(x) =
. . . .
-f ... + ап cos я -- + Ь1 sin —- 4-
t , 0 . 2т:jf
, sin2 —p -f-... -f &„ sin л ——-
л (дг) = зт х + — sin 3 х + sin
1
2/7+1
sin (In
содержит п первых членов ряда Фурье функции с пе-
риодом 1-2п, которая на интервале 0<х<2к равна
(фиг. 172)
7(-v)=
2г.
В точке х = ~
имеет место наибольшее отклонение
5„ (х) от / (х). При увеличении числа п эта точка при-
Фиг. 172.
ближается к точке разрыва *=0, а разность Sn (х) —
—f(x) стремится к значению 0,2811 . . ., которое соста-
вляет около 9°/0 высоты скачка функции.
Примеры рядов Фурье некоторых функ-
ций. Ряд Фурье функции / (х) состоит из од-
них синусов, если
/(*) = -/('-•*)
или если f(x) является периодической нечёт-
ной функцией, т. е.
Если сверх того
т. е. график функции f(x) симметричен отно-
сительно прямой х — — (см. фиг. 173, 175, 176),
то в ряде Фурье остаются только синусы
аргументов:
2пх „ 2-х '2-их ..
— — , 3 —j—, 5 — — , . . . (синусы нечетных дуг).
Ряд Фурье функции f (х) состоит из однях
косинусов, если / (л:) — чётная периодическая
функция или функция, заданная на интервале
0-<x< / с условием /(/ — х) —f(x). При до-
полнительном условии f(x) =/(/'j — х) в ря-
де остаются только косинусы чётных дуг
(см. фиг. 179).


ГЛ.
РЯДЫ ФУНКЦИЙ
265
Примеры;
1Ч 4А ( . 2пх , 1 . „2тг* . 1 . ,,2кх
(см. фиг. 173).
\-\-A при 0<^х<^ -~-
cjc . 1 „2ъх . 1 ,.2пх , \ . . / . Ъъх\ \ i
-- + -?-sin 3-у +-g-sin 5-у-+ ...) = A sign (sin——J=,j 0 при х = 0, - -, /
1-
X?
W/
у
^
/
—
1W
JU1
о /
Фиг. 173.
Фиг. 174.
_ _ о . J5 Г 2nd 2.ъх , 1 г> 2т1п „ 2тгх . .
2) fi--f - sin —:- cos —- -|- тг sin2 —r cos2 — r + . . . +
/Tilt I ? I I
-\-(l — cos -^J sin -^ -j--2 H — cos 2^^J sin2-^ + ... =
(см. фиг. 174)
fi при 0<Сл'<^Д
в А ,
-к- при x=0,atl
О при a<.v</
w
Фиг. 175.
Фиг. 176.
14С I ^ ^ I
, х при — — <л-< —
/ * 4 ^4
о. Л 2JCN /
2СA——T) ПРН4<Х
— л1 при —
a
В при a<!x<^ —a
^1_Л '
(см. фиг. 176).
— a < JT < -2
— S при > —
^ fe
ц
Фиг. 177.
r\ ^L/ / Л.71.Л
o) — f sin -y- —
(см фиг. 177).
Л — Л . (H — k)l
Фиг..178
при — ^
О при х =
6)
. (h-\- k)l f . ^.^ А . о ^(t
+ -Ч^гЧ5Ш-г-т8ш2-/
(см. фиг. 178).
Нх
/
при
при О
при х
4
<jc<0
их при О
}=•(*-*)/
i d
t/2


266
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
7 2Е 4Е Г ! 2
тс я L 3
f(x)-E\sin j x
f — ^ — . ^
\/^v
> 1
Фиг. 179
Складывая ряды друг
грируя их, можно получ!
многих других функций.
Специальные тригоно
Одну и ту же функции
интервале О^Слгг^/ м
представлять тригонометр
различного вида, в части
1) Разложение по КОСР
Sn (*) = «о + HI cos у
4- и3 cos 3 у 4- . • •
где
и - 1 Г
0 1 J "
0
/
2 Г
uk— — \ f(x) со
!L5_L * cos4 —— -f- J cos62K*4- 1
/ 3-5 / 5-7 / J
Сумма Sn (x) пре
ческую функцию с п
Х"~~Х 5*B/-*) = -
У И5Л(АГ-
/
' Пример (фиг. 181).
2/ / . та
JT = — - 1 sm —
с другом или инте- + * sin 37Ur
1ть ряды Фурье для 3 7
метрические ряды. /^^
э /(JT) на заданном / / — ~?
ожно приближённо /
нческими суммами Sn /
эсти: / / $ 1
шусам /
С . л TtJu
- + УЗ cos 2 -у -|- Ф
4- «„ cos л — , 3) Разложение п
1 п ' /
SB(x) = w1sln
' W rfx' 4- да3 sin 5-^- +••
где
/
sk -^ dx- »fc= 2 Г/ w
' sin ^ (см. фиг. 179).
1
дставляет собой периоди-
ериодом 21, причём
_ с t уЛ _ с / _ v-\
-2/) = 5я (х).
г 1 . 2м
2 °Ш / +
•)-...] @ < х < /).
У
/
/ ————— ^Jl
X /
кг. 181.
о синусам нечётных дуг
TUT . . о телг 1 '
7CJC
. + wnsin Bл 4- 1) ~2j- ,
sin - -- • rfjc.
t j i «-«— F ^ ч—/ -— 9/
0 I J 21
Сумма Sn (x) представляет собой периоди- В этом случае Sn (x) имеет период 4/,
ческую функцию с периодом 21, причём причём
, (x) = Sn (-x). sn Bl-x) = Sa (x) = -Sn B/4-ж);
- Sn D1 -x) = Sn (x) = -Sn (-x).
Яралер (фиг. 182).
( 4t / Ял . 1 „ тсЖ
~ cos 5 -Н- + . . .] (О < х < /) (фиг. 180).
где
\ * J
^|Ce'"/w~'
N/
-/ Ъ
2) Разложение г
S/i (Jf) — «i sm
itjc
4-f3sin3-y-
%
'J V ^ ' 2 J ?
Ч y^ - — I ————— 7
XX \ 4X
.V~ -. v x -У
f ?/ 31 41
Фиг. 180.
4M,, (x) =
10 синусам / « v /
—— 4- v2 sin 2 — j— 4- 4
/ <
ITJC где
+ ... + »„ Sin Л -у- ,
СУ ( n/*
ty
—74
>v У »
о i ?i\^ 11 AL
^/
Фиг. 182
, X X .
- п^ sin aj frr -f- A2 sin »2~7 +
. . x
/
_i_ \\ С
.* \ f W sln«ft4-^-
_ 2 Г
~TJ
Sin
</Jt.
причём a/i — корни трансцендентного уравне-
ния tg« = a (см. стр. 129).


ГЛ. 1]
РЯДЫ ФУНКЦИЙ
267
Разложение в ряды по бесселевым
функциям. Если коэфициенты cj, с& . . . , сп
определять из формул
-/2 J (akl) Ck= X
*•
О
где ад, — корни уравнения У0 (а^ /) — О (см. стр.
94), то сумма
Sn = qy0
(ап х]
оказывается наилучшим приближением к дан-
ной функции / (х), если оценку приближения
производить по обобщённому среднему откло-
нению с весом v (A-) = х (см. стр. 262).
Функции Бесселя (см. стр. 136) нуле-
вого порядка 1-го рода у = /0 (УХ) удовле-
творяют диференциальному уравнению
1
.V
и соотношению
р (Х)=Х
I
ортогональности с весом
1
х JQ (сс? х) /о («
где а/ и ал — различные корни уравнения
JQ (а /) = 0.
Для функции Бесселя у = У0 (а& ;с) справед-
лива формула
'J
0 = /2 Jt (а* /), Ц, (ал /) = 0].
Аналогичные соотношения имеют место
для функции Бесселя 1-го порядка у =
= Jl(ax), которая удовлетворяет диферен-
циальному уравнению:
Коэфициенты разложения функции / (х)
в ряд по функциям Ji (ЗА х), где а^ — корень
уравнения J1 (а^ /) = 0 (см. стр. 94), опре-
деляются из соотношений:
~ /2
f
= x f(x)
Некоторые другие виды разложений по
функциям Бесселя см. на стр. 241.
Разложения в ряды по полиномам Ле-
жандра. Полиномы Лежандра (см.
стр. 99, табл. XVI и стр. 140)
35 A 15 *
— Y-4. _ —— v-2
8X 4 x
Л+1
XP
•* * n —
* р
я-f 1 «-1
+1
и
_ t
ортогональны на интервале —
Коэфициенты наилучшего приближения
в интервале — 1 <^х < + 1 функции / (х) по-
линомами Лежандра (оценка по среднему
квадратическому отклонению) имеют вид:
+1
f(x) Pk(x)dx
(k = О, 1, 2,...).
О сходимости рядов по полиномам Ле-
жандра см. стр. 242.
Разложение в ряды по полиномам Чебы-
шева. Полиномы Чебышева (см. стр.
141)
/о = 1, 7\ — X, /2 = -К
2 '
1
обладают на интервале— 1 <;*<;; 1 свойством
обобщённой ортогональности с весом
+ 1
I
/1— ЛГ2
Если оценку приближения вести по об-
общённому среднему квадратическому откло-
нению с тем же весом р (х) = —— , то
У\-х-ь
коэфициенты наилучшего приближения функ-
ции / (х) полиномами Чебышева имеют вид:
*-
Ч-i
Tk (x) dx
Двойные ряды. Функцию двух пере-
менных / (х, у) можно приближённо предста-
вить в виде двойной суммы
т п
$«„(*.'•)= 2 2 «/* чу с*)** оо.
где <fy (х) и d^ СУ) — специальные функции,
определяемые характером решаемой задачи.
Коэфициенты Суд. отыскиваются обычно из
условия наименьшего обобщённого квадрати-
ческого отклонения (в весом р (х, у) ^> 0)
суммы Smn (х, у) от функции f (х, у) на дан-
ной области D изменения переменных х « у,
т. е. величины
Р (х, У) [Smn (x,y)-f (x, J)]'2 dxdy.


268
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Примеры. 1. Если область D — прямоугольник, обра-
зованный осями координат и прямыми х = а, у = Ь л
I к х , , . kny
ш (И = sin ——— , ф* (У) - sln —f.—
(/, А = 1, 2, . . .).
sin s9 r d r
О О
(/ - 1, 2, 3, . . .).
О
в частности, если / (х, у) — q — const, то сц^ —
= —~- , где / и А —нечётные числа.
Ряд сходится равномерно, если на сторонах прямо-
угольника / (х, у) - 0, а внутри его функция / (х, у)
имеет 1-ю и 2-ю производные.
2. Если область D — круг радиуса a, a r и G —
полярные координаты, то функцию /(/•, 8), обращаю-
щуюся в нуль на окружности, можно разложить в двой-
ной ряд:
г (°/А ') (.A]k cos № + Bjk sil1 /ч),
" A
J'k
r) r dr =
- I i / И) Jb («/A 0 cos/9 r d /•<
-J J
(J= 0, 1, 2,...),
Числа сгд определяются из уравнения J^ (t a) = 0
(см. стр. 94) по значениям нулей функции Бесселя по-
рядка k. Имеет место в этом случае
а
2 " J2k ("Jk r)rdr = a*j'*(?.jk a) - aV2_1 (a/ft a).
Численный гармонический анализ. Гар-
монический синтез. Схема Рунге. Для
большинства технических расчётов достаточно
знать около десяти первых гармоник периоди-
ческой функции / (х), Для приближённого
определения их амплитуд и начальных фаз
следует задать значения _у0, v\, Уъ • • . ^23
периодической функции для 24 равноотстоя-
щих значений аргумента 0, -щ , ^-~ёГл , . . .,
23 -yj (/ — период функции) и затем произво-
дить вычисления согласно приводимой ниже
схеме Рунге. Числовой пример соответствует
характерной диаграмме тангенциальных уси-
лий двухтактного дизеля.
1 __
Сумма
Разность
у0 = о.ооо
g0 = 0,000
у, = 0,980
У-а = - 0.495
#i = о,485
hi = !>475
_уа = 1,060
Уя= — °,43°
gt = 0,630
Л2 = i,49°
V3 = о,8то
У» = ~ о,2?0
?з = 0.54°
Л3 = i ,о8о
У* — °,575
Ум= — °,Г55
?4 = 0,420
h^ = о,73<>
У5 = 0.375
У ч = — °.°75
g- = 0,300
As = 0,450
у6 = 0,200
Jl8= —— О.020
gf, = 0,240
Ae = о,28о
-|-, —
Сумма
Разность
у7 = o,i6o
_У17= о,ооо
gi — 0,160
/г, = o,i6o
ys =0,080
_yie = 0,000
gs = о,080
Л8 = о,о8о
_У9 = О.020
У 15 = О.000
^,, = 0.02С
Л,, = 0,02О
У 10== 0,000
_У14 = о,оос
gio — 0,000
Л10 = 0,000
у и = о,ооо
J13 — 0,000
fu = 0,000
u = о,ооо
^/12 = о,ооо
Si-' ~ о,оос
+, —
Сумма
Разность
?0 = 0,000
g,3 = 0,000
/о= 0,000
т0 = о.ооо
gl =0,485
5п == о,000
Л =0,485
ml = 0,485
^2 =0,630
^10 = о.осо
/, = 0,630
Я12 = 0,630
g:, = 0,540
ga = 0,020
/з =0,560
т3 = о,52о
Й4 = 0,420
gs = 0,080
It =0,500
«4 = 0,340
g. = 0.300
?V = 0,l6o
/- = 0,460
т, = 0,140
?e = 0,240
/в = °,24Г
+, —
Сумма
Разность
Л, = 1,475
А,] = о,ооо
Pi = 1,475
9i = 1,475
hi — 1,49°
Лш= о.ооо
/7а= 1,490
9а = 1,490
Л3 = i,o8o
Л9 = о^оао
/73= 1,100
<7з = i ,ооо
Л4 = 0,730
Л8 = о,о8о
/>4 = о,8ю
У4 = 0,650
Л.-, = о,45о
Л7 = 0,100
р. = о,6ю
95 = °,™)°
Л6 = 0,280
/)8 = о,а8о
Сумма
Разность
/0 = 0,000
1К = 0,240
гA= 0,240
•*о= — 0,240
/! =0,485
/з =0,460
Л = 0,945
•У, = 0,025
/а = 0,630
/4 = о,5оо
Г3 = 1,130
5а= 0,130
/3=о,5бо
Г3= о,5бо
+! _
Сумма
Разность
9i = 1,475
9- = 0,290
Л = 1,765
ш = 1,185
92 = 1,490
qt = 0,650
/•a = 2,140
да = 0,840
q3 = i, обо
^= i, обо


ГЛ. 1]
РЯДЫ ФУНКЦИЙ
269
II II
oi"n
со о
II II
II "_,
ж •« л - ^
. S о g о. ,|
g\" :
о Н о
1 я s S
•Я Я о fe СО
5
о
н
II
S _н
0,
?
о"
11
t: -н
Б
§
«У
II
fc 10
a.
ON
0
II
fe LO
ё
1
•f
"R 2
•f ЧЭ
м О
II II
б" 8"
01 J
3- M
0 О
II II
tf в
i " л
3 ag
01
и
н
о"
1
I!
1
о
г-
о"
II
"ё*
S
о"
II
"~ С"
ю
чэ
о"
1
II
>. CN
IK.
1
i .0
о"
II
«о™
S
о"
II
0
о
н
о"
II
ё
8
о"
со
«.
со
о"
1
II .
ч-
о"
1
"s"
1
S
со
о"
II
t со
ё
о
о"
со
оо
со
о"
^ II
V
ЧЭ
о"
1
II
& см
ё
N
0
II
% •-<
^
S
0
II
51
—— \о ——
^.
'О
о"
II
^ (М
ё
о"
оГн
о" о"
1 1
II II
<? ?
1
§
о"
II
о
6
о"
1
II
^™
о"
II
2
01
о"
II
а"
я °
о" о"
1
II II
ё°ё
1
0
ot
0
II
?
—— Q —— '
X
о
о"
U
е°
о" о"
II II
с »г
3-со
Он
II II
"
р.
со
о"
1
II
s°
о
f
ох
И
о
i
'L
а1
f
о
II
етИ
ю
о"
'1
в*
2
о"
'L
о
со
о"
1
II
а1
01
S
о
II
л
со.
——— ЛГ) ———
о"
II
сГ
со
сс7
II
00.
1О
о"
II
«г
II
?>?
0
н2
II
3
S
о
р.
со
о"
1
II
п
"
о" о"
1 1
IMI
н м
& оа
S.W
•^г Я
о" о"
1 1
'1Л
01 01
*!«
о" о"
1 1
'L'L
М м
со г-
Ю О
м н
о о"
1 1
II II
-1 °
if
С$Г ^
'0 If?
и 0"
1
II II
— ^
« а
Я н
12 S
00 н_
оГ о"
II II
0^
ot оТ
СО.Ш.
а в
U
Q
о"
1
II
«F
м
о"
1
«г
со
1
о"
1
II
1
о"
II
«3°
со
со
о
т
II
о"
?
о
о"
II
а
IT-
00
о
о
II
еГ
jg"
о
о"
1
II
о
ё*
3
о
о"
1
«Г
со
о
о"
i
II
ё1
со
м
0
II
ё1
о"
1
я
ъ -
$
о"
II
Q


270
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Таблица 11
• '
•k
I
2
3
4
5
6
7
8
9
IO
ii
12
°k
о 1323
— О 0127
— 00300
— о 0343
— о 0403
— о 0308
— О 0224
— о 0198
— о oi8o
— о 0164
— 0,0131
— 0,0056
4
0>0 ,03
0,OOOl6l
0,001521
0,001176
0,001624
0,000949
0,000502
0,000392
0,000324
0,000269
0,000172
0,000031
ft*
0,2896
0,3164
0,2167
о, 1461
0,0942
0,0587
о, 0401
0,0250
0,0150
О, ОО2О
**
о,о8з868
o.iooiog
0,046959
0,021345
0,008874
0.003446
0,001608
0,000625
0,000225
0,000055
0,000004
222
0,101371
0,100270
0,048480
0,022521
0,010298
о,оо4395
0,002110
0,001017
0,000549
0,000324
0,00^176
Ч
0,3184
0,3166
0,2202
0,1501
0,1025
0,0663
0,0459
0,0319
0,0234
0,0180
0,0133
t*.ft-?
+ 0,4568
— 0,0401
— о, 1800
- 0,2445
— 0,4280
- 0,5250
— 0,559°
— 0,7820
— 1,2000
— 2,2l8o
— 6,5500
'ft*
+ 25с
— 2°
—— 10°
— 14°
— 23°
— 28°
-38°
— 66"
— 8ic
* Если tg в? и a,fc имеют разные знаки» то к е^ (— 90° > ЕД > 90°) прибавляется 180°.
Разложение имеет вид:
f(x) = о0 -j- <73 sin (? + ?1) + c2 sin B<p -f e2) т- • • • + en sin A1? -f en) =
= 0,1 198 -f 0,3184 sin (? + 25°) + 0,3166 sin B'f — 2°) -f- 0,2202 sin Cf — 10°) 4-
+ 0,1501 sin D? — 14°) + 0,1025 sin E? — 23°) + 0,0663 sin F? — 28°) 4-
-f- 0,0459 sin G<p — 29°) 4- 0,0319 sin (8-f —38°) 4- 0,0234 sin (9? — 50°) -f-
+ 0,0180 sin A0?— 66°) + 0,0133 sin A l<p
Формулы Томпсона. Если периоди-
ческая функция /(х) задана на интервале
О <! х •</(/ — период) графиком, то непосред-
ственным измерением можно узнать величину
функции для значений х, равных 0, —г A jr /
4/? тт/2
•81°), где <р =
4?—1
360°
. После этого коэфициенты
••.rv ~rrv
ak и #? разложения функции в основной ряд
Фурье могут быть найдены по приближённым
формулам:
= 4,5,...);
4ft— 1
4k
(ft = 4, 5, . . .);
[л») +/й/) + /й')-/- i
) -/(]§/)]-«
«2=4 [до) +/(|/) - /(I/) -/(!/)] -«6 -^
«1= 2" /@)~/^/)J — «з — я5 — % — «9;
«О =/(°) — («1 + «2 + «3 + • • • + *!(>)•
Пример. По данным предыдущего примера (в схеме Рунге) можно найти:
^ [о-о +Л +Уй + У 'а + У а + Ух>) - (Уз + Л + У ю + Ун + .У is + Ла) ] = - 0-031 ;
V *-
= -g- [(V, + у ю + J',9) - (у, + Ун + V
0,059;
Значения ав и &а также взяты из предыдущего при-
мера, но могли быть найдены и по формулам Томпсона,
если использовать ординаты кривой, построенной по дан-
ным примера.


ГЛ. I]
НОМОГРАФИЯ
271
Гармонический синтез. Построе-
ние периодической функции f(x) по её раз-
ложению в ряд Фурье можно производить,
используя ту же схему Рунге, что и для гар-
монического анализа. Полагая в ней
go = «о ?j = «!, ?2 = яа...., ?ц = ЙЦ, #12 = ап,
h} — blt h% = ft2, ..., hn = ftu,
следует вычислить величины, которые обозна-
чены в схеме через 12а0, 12^, 12я2,....
12а„, 24а]2, 12ftlf 12fta,... , 12ftn.
Величины
у0 = 24ао, у, = 12«j + 12ftlt у2=12а2 +
+ 12*2, .... >',i=12*n+12ftli;
3/23 = 12а, - 12ft,, Vaa = 12я2 - 12fta, ....
J'i3 = 12лп—12ftn, ylz = 24я,2
представляют собой значения искомой функ-
k
ции /(*) при л: = н-т /, где / — период функции.
Интеграл Фурье см. на стр. 172.
НОМОГРАФИЯ *
Основные понятия. Номограммой
называется графическое изображение функцио-
нальной зависимости между несколькими пе-
ременными, служащее для нахождения числен-
ной величины одной из них по заданным зна-
чениям других. Номографическое изображение
не преследует цели наглядности, а предназна-
чено исключительно для замены вычислитель-
ной работы.
Обозначения: г1( г2,..., гп — переменные,
между которыми существует функциональная
зависимость F(zlt z2,..., zn) — 0; через fj, gf,
«Pi, fyi,... обозначаются функции переменных zt.
Номограммы функций трёх переменных
Для изображения функциональной
зависимости между тремя пере-
менными применяются следующие типы но-
мограмм.
А. Сетчатые номограммы. Номо-
граммы этого типа могут быть построены для
любого уравнения F (гх, z%, z3) = 0, однако по-
строение их связано с большой затратой труда
и пользование ими неудобно.
В. Номограммы из выравненных
точек. Такие номограммы могут быть по-
строены не для любого уравнения, а только
для уравнений определённых типов. Если для
данного уравнения возможно построить номо-
грамму из выравненных точек, её всегда
следует предпочесть сетчатой.
С. Номограммы со специальными
индексами. Сюда относятся: циркульные
номограммы и номограммы с подвижными
транспарантами. Они применяются, главным
образом, когда число переменных больше трёх.
Для увеличения точности номограммы её
можно подвергать различным преобразова-
ниям, меняющим её форму и взаимное рас-
положение линий и точек. Сетчатые номо-
граммы допускают любые однозначные точеч-
ные преобразования, т. е. любую деформацию
сетки. Номограммы из выравненных точек
допускают проективное преобразование, соот-
ветствующее проектированию номограммы пуч-
ком лучей на произвольную плоскость.
Номограммы типа С допускают более
узкие классы преобразований, возможность их
приспособления ограничена.
Получение наивыгоднейшей номограммы
производится двояким способом: 1) при по-
строении номограммы путём введения про-
извольных параметров, подбираемых из усло-
вия наилучшего размещения и градуировки
шкал; 2) последующим преобразованием по-
строенной номограммы.
Сетчатые номограммы и номограммы из
выравненных точек можно фотографировать.
Получающиеся при этом искажения проектов-
ны и не нарушают номограммы.
Дано уравнение F(z1, z2, z3) = 0. Полагая
х = k^i, у — ?222, получим семейство кривых
F (-г-, -г-, zs } = О в плоскости х, у. Каждая
\«1 «2 '
кривая соответствует фиксированному значе-
нию г3. Помечая эти кривые значениями г3,
а прямые х ~ const и у = const соответствую-
щими значениями zt и z2, получим сетчатую
номограмму.
Необходимо, чтобы кривые семейства
23 = const не пересекались в области, опреде-
ляемой интересующими нас значениями пере-
менных. Этого можно добиться, если изменить
названия переменных г3 и z± или z2.
Функциональные сетки. Полагая х —
= /](гз)' У— /а (*:>)' получим неравномерную
сетку линий zt и г2. В этой сетке линии za
изменят свою форму. Соответствующим
выбором функций /i и /2 иногда можно до-
биться того, что линии г3 станут пря-
мыми.
Логарифмическая сетка. Дано уравнение
отсюда
lg *3 =
Положим
У =
Литературу см. на стр. 321.
В этой сетке линии z3 = const будут пря-
мыми
Постоянные kv k%, cls c2 можно выбирать
по произволу.


272
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Пример. Номограмма умножения Лаллана: z3 —
= z, Z2. В равномерной сетке линии zs — гиперболы,
в логарифмической — прямые (фиг. 183).
5 6 7 8 9 :0
В логарифмической сетке получим номограмму, изо-
бражённую на фиг. 184. Пользование ею очень неудобно.
Перестроим её в косоугольной сетке, потребовав, чтобы
точки А к В лежали на одной вертикали. Не будем ме-
нять масштаба переменной Н0 и сохраним горизонтальные
линии //0=const. Изменим масштао в направлении оси х
так, что х'— Хл: (фиг. 185). Проведём прямую B'D' и
параллельные ей. Это будут линии H=const. Проекция
отрезка А'С' на горизонтальное направление определяет
ширину номограммы. Она зависит от выбора масштаба.
/
+
50,
/
/
/
—к —
Ч 0,
4
T-
-+-
I-
1
? и
- л*
/
/
1 1.
из
/<
' 1,
н
/
У-
ч 1
У
0 &
я
'А
43,0
3?
3,1}
V
2,0
>,5
1,?
1,0
цо
0,5
D В
Фиг. 183.
Фиг. 184.
Фиг. 185.
Полулогарифмическая сетка. Дано урав-
нение
Положим
X = A^i, у = *а lg **
Линии г3 = const в этой сетке будут пря-
мыми
Произвольная функциональная сетка.
Если уравнение имеет вид
то следует принять
х = k,
у =
линии г3 = const, будут прямые
—
Если спрямление сетчатой номограммы не-
возможно, применение функциональных сеток
может быть всё же целесообразно для улуч-
шения формы и увеличения точности.
Логарифмическая сетка позволяет охватить
номограммой чрезвычайно большие пределы
изменения переменных и обеспечивает посто-
янство относительной погрешности при постро-
ении и при отсчёте. Поэтому её применение
особенно рекомендуется.
Номограммы в косоугольной сетке. Сет-
чатая номограмма не предполагает ортогональ-
ности координат х, у. Часто оказывается, что
кривые 23 занимают узкую, вытянутую об-
ласть. Строя номограмму в косоугольной
сетке, можно придать ей более удобный вид.
Пример. Уравнение для определения приведённого
напора воды
Пределы изменения переменных
0,5 >Я > 3 м, 0,5 > г > 2 м/сек, 0,5 > Н0 > 3,2 м.
Общая форма сетчатых номограмм.
Уравнение F (гг, z2, z3) = 0 эквивалентно системе
<Pi(*i х, у) = 0, ср2B2, х, у) = О, 93B-3. х, у) = 0.
Если х, у — координаты точек плоскости,
эти уравнения определяют три семейства кри-
вых, помеченных переменными zlt z%, г3. Со-
вокупность их даёт сетчатую номограмму са-
мого общего типа. Если заданы z^ и 22, соот-
ветствующее значение z3 будет пометкой той
кривой семейства zd — const, которая проходит
через точку пересечения кривых z1 и га.
Прямолинейные сетчатые номограммы.
Если линии zlt z2, z3 суть прямые:
fax + ёъУ + 1 = О,
Условие пересечения трёх прямых в одной
точке есть равенство нулю детерминанта си-
стемы; переменные же связаны уравнением
F (zit 22, 23) = 0, следовательно, уравнение
F= 0 эквивалентно следующему:
Л
/2
/8
1
=0.
Детерминант в левой части называется де-
терминантом Массо. Если подлежащее номо-
графированию уравнение приводится к этому
виду, его можно изобразить прямолинейной
сетчатой номограммой.
Прямолинейные номограммы остаются пря-
молинейными при проективном преобразова-
нии (см. ниже). Если уравнение допускает пря-
молинейную сетчатую номограмму, его можно
изобразить номограммой из выравненных то-
чек. Последний тип следует предпочесть.
Применение функциональных сеток для
обработки опытных данных. При графиче-
ском изображении эмпирических зависимостей
иногда пользуются функциональными сетками.
Этим' часто удаётся выявить характерные осо-
бенности графика, ускользающие от внимания
при обычном построении.


ГЛ. I]
НОМОГРАФИЯ
273
Примеп. Диаграмма Вёлера зависимости разруша-
ющего напряжения от числа циклов знакопеременной
нагрузки.
При возрастании N, ^ стремится к пределу усталости
«_!• Кривая, изображённая на фиг. 186, имеет асимпто-
тический характер. В функциональной сетке a, Ig N обна-
руживаются два различных участка кривой, на первом о
падает примерно пропорционально Ig N, на втором—
остаётся постоянным (фиг. 187).
Уравнение
й-го порядка.
Полагая
_г
"9
= f^z\ = ?!• -75- *i = «Pi. г2 = 2. гд =
см'
то
2300
уопп
иAA
1100
то
/ад
щ
kq
м
-^
•>
1ЯЛ
1 4
иол
Фи
V
Ы L
Ч t
iuk.
186
nob
1 I
i i
/ /
CM
240ff
2300
2100
2000
1900
$ woo
- — — -
Мш
<
7
WUOHb
>иг. 1
—— I
auks
37.
0$
У tf У
получим
Часто бывает заранее известен аналитиче-
ский характер зависимости, и из опыта остаёт^
ся только определить константы. Тогда следу-
ет выбрать функциональную сетку так, чтобы
ожидаемая функция изображалась в ней пря-
мой. Нанося опытные точки и проводя прямую
через них, можно найти постоянные аналити-
ческой зависимости; можно также непосред-
ственно пользоваться этой прямой для интер-
поляции. Вследствие неточности следования
заданному закону или ошибок измерения, во-
обще говоря, точки не расположатся на одной
прямой. Тогда полученную зависимость спрям-
ляют или на-глаз, или пользуясь методом наи-
меньших квадратов.
Номограммы из выравненных точек
Номограмма из выравненных точек пред-
ставляет собой три прямолинейные или криво-
линейные шкалы с делениями, соответствую-
щими переменным 23, 22, 23. Соединяя прямой
точки двух шкал, определяемые заданными
значениями двух переменных, читаем значе-
ние третьей переменной в пересечении этой
прямой с третьей шкалой.
Этот тип номограмм всего удобнее для по-
строения и пользования, но не всякие урав-
нения могут быть изображены номограммой
из выравненных точек.
Чтобы номографировать уравнение
>(*„ 22, 23) = 0,
необходимо установить его номографический
порядок и привести к одной из канонических
форм. Номографическим порядком называется
число различных функций, зависящих каждая
от одной переменной, входящих в уравнение
и соединяемых путём сложения и умножения.
Произведение двух функций одной перемен-
ной рассматривается как новая функция.
Например:
Z1Z2Z3 ~Ь ziz<% Ч~ гЗ ~ О
есть уравнение 3-го порядка; полагая
г! — /l> 22 = /2' 23 == /3»
запишем его:
/1/2/3 + /1/3 +/3 = 0.
Уравнение г3 —• sin (z1 4- z2) при-
водится к виду:
z = sin 2 cos 22 4- cos Z] sin z2.
Полагая sin 2j — /]? coszj^^,
sin z3 = /2. cos Zfi ~ ёъ zs — /а- наи'
дём, что это уравнение 5-го порядка.
Номограмма из выравненных точек
может быть построена для уравнения не
выше 6-го порядка.
Канонические формы уравнений. Урав-
нение 3-го порядка всегда может
быть приведено к одной из следующих кано-
нических форм:
1. /!/«=.&
3. jW3 = A+/2-T/S-
Первая форма приводится ко второй лога-
рифмированием.
Уравнение 4-го порядка всегда мо-
жет быть приведено к одной из двух канони-
ческих форм:
/зЛ + ?з^2 + 1=0 (форма Коши),
A/a/a + йзС/i -г/2) + 1 = 0 (форма Кларка).
Уравнения 3-го и 4-го порядков всегда но-
мографируются.
Уравнения 5-го и 6-го порядков номогра-
фируются, только если они приводятся к сле-
дующим формам:
~~^~И—^~=-/з» "
Наиболее общая форма номографируемого
уравнения есть форма Массо:
1
Z2,
Л.
/2.
- 0.
Все канонические формы суть частные слу-
чаи этого общего уравнения. Приведение урав-
нения к канонической форме производится
подбором. Из общих методов укажем следу-
ющий. Запишем уравнение в виде
А/в + *
Здесь А, В и С-
А В
ЖИМ —— = U, -jr =
(~* С*
них соотношений z-,.
- функции г±
V. Исключим
потом г2.
и z2. Поло-
из послед-
Если в результате исключения получатся
оба раза линейные относительно и и v соот-
ношения
U/j -)- Ugi -j- 'f i — О, Ы/2 ~Н Vgf> -\- Фо = О,
к ним присоединяется третье соотношение
«/з + "?з + % = 0.
18 Том 1, кн.


274
МАТЕМАТИКА
(РАЗД. I
Приравнивая нулю определитель, получим
искомое представление уравнения
Для приведения к форме Массо следует
поделить строки на элементы одного из
столбцов.
Пример.
Отсюда
z + z,z, + г =0,
1 3
1 za
ц=,——— , » - -- - ,
23 23
25н — 1 — 0, 2,и — v — О,
г и + ZiV + 1 — 0.
= 0.
Жанром номограммы называется число кри-
волинейных шкал. Номограммы нулевого
жанра — с тремя прямолинейными шкалами,
первого жанра — с одной криволинейной и
двумя прямолинейными и т. д.
В зависимости от номографического по-
рядка и формы уравнения устанавливается
жанр номограммы по следующей таблице:
Порядок и каноническая
форма уравнения
3-й порядок, 1-я форма . . .
3-й . 2-я . . .
3-й . 3-я
4-й . форма Коши . ,
4-й , „ Кларка . ,
5-й . .........
6-й . .........
Жанр
номограммы
. ... 0, 2, 3
. ... 0, 2, 3
. . . . 2. 3
. . . I
. . . . 3
... 2
... 3
Выбор типа номограммы и её построение.
Основным элементом номограммы является
шкала, т. е. линия, точки которой помечены
значениями переменной.
Уравнение прямолинейной шкалы y~f(z),
уравнение криволинейной шкалы х — f(z),
y — g(z). Кривая, на которой располагается
шкала, называется базисом.
Шкала, определяемая уравнением у ~ kz,
называется равномерной шкалой,урав-
1.5 2
4 5 6 7 8 9 W
Фаг. 183.
пением у — k lg z — логарифмической
(фиг. 188), у — - "-j—*- —проективной.
Выбор той или иной шкалы определяет
точность отсчёта и удобство номограммы.
Для одного и того же типа уравнения
часто можно бывает построить номограммы
различных видов с различными шкалами. В за-
висимости от характера функций, входящих
в уравнение, следует выбирать вид номо-
граммы, дающий наилучшее распределение
делений на шкалах. Наивыгоднейшей шкалой
является логарифмическая, дающая постоянную
относительную погрешность. Шкалы, на кото-
рых расстояние между соседними делениями
(при постоянном интервале г) уменьшается
с возрастанием z, называются сбегающи-
мися, на которых это расстояние увеличи-
вается — разбегающимися. Разбегаю-
щиеся шкалы применять не следует.
Номограммы нулевого жанра. 1. Номо-
грамма с тремя параллельными
ш к а л а м и д л я уравнения /3 = fl -f- /3-
Уравнение геометрической
связи, усматриваемое из
чертежа (фиг. 189)
.V2 — Уз _ з
Уз— У! «1
Уравнения шкал
Фиг. 189.
При этом начала отсчёта шкал распола-
гаются на одно прямой
и at : а2 =
Задавшись пределами изменения г., и г2, сле-
дует выбрать масштабы k^ и /?2 и наметить
точки О} и О2 с тем, чтобы рабочая часть
номограммы удобно расположилась на чертеже.
После этого находятся отрезки а± и а2 и
строится третья шкала. Эта номограмма осо-
бенно удобна для уравнений типа /t = /2 /»,
приводимого к предыдущему путём логариф-
мирования.
Если /! и /о—степенные функции, шкалы
получаются логарифмическими.
2. Радиант пая номограмма для
уравнения /3 — /, -f-/2. Шкалы располага-
ются на лучах, выходящих
из одной точки (фиг. 190).
Радиусы связаны соотноше-
ниями j^
sin яг sin 02
Sin
Уравнения шкал
d sin 03
_ k sin (at -j- aa)
Выбирая углы ctj и a%, k, Cj и с2, можно до-
биться наивыгоднейшего расположения шкал.
Такая номограмма особенно удобна для изобра-
. 1 1" . 1
жения формул Tfina — - = — -\- — .
При этом шкалы становятся равномерными,
если
Г2 = k Sin ajig,
{ = k Sin
3. Z~n омограммадля уравнения
вида /gsr/jfg. Две параллельмые, иротиво-


ГЛ. I]
НОМОГРАФИЯ
положно направленные шкалы пересекаются
третьей, проходящей через их начала (фиг. 191).
Уравнение геометрической связи
rs/
I /X-
* .//>
Уравнения шкал
Фиг. 191.
Здесь ^ =
_-
1 -t- «/з
При
построении задаются
а также расположением
масштабами k и
шкал.
4. Треугольная номограмма для
уравнения Д fa /s = 1- Шкалы имеют три
точки пересечения, образующие треугольник
(фиг. 192) со сторонами alt az, fl3- Уравнение
геометрической связи
Уравнения шкал
_ fli fei Л
«2^2/2
asfs
Фиг. 192.
•/3
Номограмма зависит от пяти произвольных
параметров.
Выбор того или иного типа номограммы за-
висит от характера функций. Наиболее просты
номограммы с параллельными шкалами, их
следует особенно рекомендовать.
Номограммы первого жанра. Номограмма
с одной криволинейной и двумя прямолиней-
ными шкалами изобра-
жает уравнение 4-го по-
рядка типа Кошн
4-1=0.
Фиг. 193.
1. Номограмма
первого жанра с
параллельными
шкалами. Уравнение
геометрической связи
(фиг. 193)
Уз — У\
Уравнение шкал
Vi =
Уч — Ьъ /2 4-
+ ^2/3*
Уз
*1?з +
Построение начинают с расположения пря-
молинейных шкал, после чего, задаваясь пре-
делами изменения Zj и z2, определяют постоян-
ные. Криволинейная шкала может оказаться и
между прямолинейными и вне этого промежутка;,
чтобы она находилась в середине, следует:
а) если /з и g% одного знака, &j и ?2 нужна
брать одного знака, направление отсчёта Д
и /2 одинаково;
б) если /о и gs разных знаков, k^ и ?2
нужно брать также разных знаков, направле-
ния отсчёта fi и /2 противоположны.
2. Номограмма с двумя пересе-
кающимися шкалами. Возьмём шкалы
пересекающимися под
прямым углом (фиг.
194). Уравнение гео-
метрической связи
J + ~- — 1 = 0.
Уравнения шкал
/1 + ^1 ' Фиг. 194.
/2 4- с2
ДЪ =
!— «1/3 —
Эту номограмму можно строить в косоуголь-
ной координатной сетке по тем же уравнениям.
Номограммы второго жанра. Наиболее
изящные номограммы второго жанра получа-
ются, если обе криволинейные шкалы распо-
лагаются на общем базисе. Такие номограммы
всегда можно построить для уравнения 3-го
порядка, приведённого к одной из канонических
форм.
1. Номограммы второго жанра
на окружности:
а) Уравнение вида /3 = /i/2- Расположим
шкалу г3 на гори-
зонтальном диаме-
тре, шкалу z^ — на
верхней полуок-
ружности, шкалу
z3 — на нижней
(фиг. 195). Диаметр
круга—D. Из подо-
бия треугольников
013 и О'23
(O3)yl =
(О'З) (—.уз)
- (О,^2 - Фиг. 195.
но ОЗ = *8, О'.3 = D — х3. (О /J = DA-J, (O'2;2=-
= D(D — х2). Отсюда уравнение геометриче-
ской связи
•*3 У\ ^2
D — XS
Уравнения шкал
ХЧ —
/3
+ /8


276
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Вместо вычисления координат точек шкал гг
"и г2 можно воспользоваться следующим графи-
ческим построе-
нием (фиг.196). На
оси у от точки О
вверх откла-
дывается отрезок
Dkifi, конец его
соединяется пря-
мой с точкой О'.
Пересечение пря-
мой с окружно-
стью определяет
точку с пометкой
Z). Для построения
фиг IQQ шкалы zz отрезок
D&2/2 отклады-
вается от точки О
вниз. На фиг. 197 приведена номограмма этого
типа для уравнения г>=0,12—-.
к VCP
Фиг. 197.
б) Уравнение вица /3=/j4-/2 Шкалу z3
располагаем на касательной, шкалы Z] и г2 — на
окружности (фиг. 198).
Из подобия треугольников О/С и О'2С
но
ОС =
Уравнение геометрической связи
^_^^2 , У±
Уа Х2 *Г
Уравнения шкал
D
Фиг. 199.
Если у\ и у2 имеют одинаковые знаки, шка-
лы г, и 22 расположатся на одной полуокруж-
ности, чего и еле- .
дует добиваться '
подходящим выбо-
ром констант.
Построение
шкал 21 и 22 произ-
водится следую-
щим образом (фиг.
1У9). В точке О'
проводится каса-
тельная, параллель-
ная шкале 23. На
ней откладывается
от точки О' отрезок D (kfi -f- c^). Конец от-
резка соединяется с точкой О прямой, пересе-
чение которой с окружностью определяет
точку с пометкой z\.
с) Уравнение вида /]Л/:! = Л-J-./2+/i бу-
дет рассмотрено в разделе номограмм третьего
жанра как пример применения общего метода.
2. Номограммы второго жанра
на эллипсе. Изменяя масштаб вдоль одной
из осей, можем превратить окружность в эл-
липс. Если х, у — координаты шкал круговой
номограммы, координаты шкал эллиптической
номограммы
х' = лг, у' — лу (л — отношение осей).
3. Номограммы второго жанра
для уравнения 5-го порядка
j i f
/з —
g\
Шкала z3 расположена на оси у, шка-
лы z1 и z2 — криволинейные. Уравнение геоме-
трической связи
y*-.yj
Х<) Х-\
>'з= -J-——j1-.
-V2~^
Уравнения шкал
1 1
Если уравнение симметрично относитель-
но гл и 22, т. е. если функции /1 и _/2, ^ и #2
одного вида, их шкалы располагаются на об-
щем базисе.
Номограммы третьего жанра. Номограм-
ма из трёх криволинейных шкал является
наиболее общим типом номограммы. Условие
того, что три точки лежат на одной прямой:
. 198.
У»
У»
= 0.


ГЛ. I]
НОМОГРАФИЯ
277
Если левая часть уравнения приведена к де-
терминанту Массо
/1.
=0,
то уравнения шкал получаются немедленно:
Х1 — Л' JVl — §1 ' -Г2 = /2.
Однако такая номограмма не всегда полу-
чается удобной. Для её приспособления нужно
ввести в уравнения шкал произвольные кон-
станты. Умножая детерминант Массо на про-
извольный постоянный детерминант и деля его
строки на элементы последнего столбца, полу-
чим эквивалентное уравнение того же типа.
Уравнения шкал
j 4- c2
X; =
Из девяти постоянных существенны восемь;
меняя их, можно менять расположение шкал
и их градуировку.
Обычно требуют, чтобы четыре точки
шкал с заданными отметками поместились
в четырёх точках чертежа.
Если уравнение приведено к канонической
форме, можно потребовать, чтобы две или три
шкалы расположились на общем базисе.
Уравнение 3-го номографического порядка
может быть изображено номограммой, у кото-
рой все три шкалы расположены на общем
базисе. Это построение практической ценно-
сти не имеет.
Номограмма уравнения 3-го
порядка ьида
Приводя уравнение к виду определителя,
получим
/3- /3, 1
Шкалы л, и г2 располагаются на общем
базисе; за базис можно принять любую кри-
вую 2-го порядка:
1. Базис — гипербола. Уравнения шкал
3. Базис—эллипс. Получается из предыду-
щей номограммы путём изменения масштаба
в направлении одной из осей.
Номограмма уравнения 4-го по-
рядка типа Кларка
Уравнение, записанное в виде определителя:
1, -Л- /?
1. -/2. /
/з. ?в» 1
= 0.
Шкалы 21! и z2 располагаются на общем
базисе. Принимая за базис окружность, полу-
чим
о
*1==~1+к"
Шкала г3 располагается на криволинейном
базисе, уравнение которого зависит от вида
функций /з и gs.
Номограмма уравнения 6-г о п о-
рядка
Л+ЛЛ+Л
Уравнения шкал
У2 =
Проективное преобразование номограмм.
Проективное преобразование плоскости д:, j>
на плоскость х', у' определяется формулами
.УЗ =
2. Базис — окружность. Уравнение шкал
D
При проективном преобразовании прямые
сохраняются, конические сечения переходят
в конические сечения. Применение его в но-
мографии может иметь двоякую цель:
1) улучшение качества шкалы. Проектив-
ным преобразованием можно достигнуть хоро-
шей сбегаемости шкалы в нужном интервале
изменения переменной;
2) наивыгоднейшее расположение шкал.
Коэфициенты преобразования подбирают
из условия, чтобы четыре точки, соответствую-
щие крайним значениям переменных, разме-
стились в вершинах прямоугольника.


278
«МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Проективное преобразование может быть
выполнено графическим построением.
Номограммы со специальными индек-
сами. Номограмма с криволинейным
индексом. Применяя в качестве индекса
кривую, вычерченную на листе прозрачной
бумаги, и оставляя транспаранту две степени
свободы, можно получить много новых типов
номограмм, которые редко бывают удобны в
пользовании, но могут быть положены в основу
устройства счётных приборов (кривая сложе-
ния Мемке, двухмерная счётная линейка Фи-
шера). Эти номограммы распространения не
получили.
Циркульные номограммы Н. М.
Герсеванова. Через точку гл (фиг. 200) про-
водится окружность с центром на шкале 23.
Пересечение окруж-
ности со шкалой z.2
даёт ответ. Сущест-
венно, чтобы 23, изо-
бражаемое на шкале
центров, было задано.
Уравнения шкал
Фиг. 200. Л'з = /3. Уз — S3-
Каноническая форма уравнения
Номограммы функций четырёх и более
переменных
Номограммы с немыми шкалами. Дано
уравнение, связывающее четыре переменные
Z2 *4
И
Иногда возможно разделить переменные
попарно, т. е. представить уравнение в виде
Если для двух уравнений F1 = а и F^^=a
можно построить номограммы так, что пере-
менная а в каждой из номограмм будет иметь
одинаковый базис и одинаковую градуировку
шкалы, эти номограммы можно совместить.
Пользование составной номограммой произ-
водится следующим образом (фиг. 201). Заданы
Zj, 2o, 23. Найти 24.
Соединяя точки z^ 22
первой номограммы,
находим точку на шка-
ле а. Соединяя точку
а с точкой % читаем
результат на шкале
z4. Шкала а не поме-
чается и называется
немой шкалой. Метод
допускает обобщение
на любое число пере-
менных. Особенно
номограммы такого типа
для уравнений вида Л 4- /2.-t- /з -г • • • -f fn = О
на параллельных шкалах или радиантные
(фиг. 190).
Номограммы с бинарными полями. Если
уравнение можно привести к одной из кано-
Фиг. 201.
распространены
*"•-. 202.
нических форм, причём /3, gs, . . . являются
функциями двух переменных za и z4, a /lt
ft» • • • /2- ?2* • • • попрежнему функциями гг
и z2, то расчёт номограммы может быть вы-
полнен обычным способом. Для Zj и 23 полу-
чаются две шкалы, координаты же л:3 и у3
оказываются зависящими от двух переменных.
Давая z3 и z4 по-
стоянные значе-
ния, получим два
семейства кривых,
определяющих би-
нарное поле пере-
менных Z3, 24. ЕСЛИ
задано, например,
73, 24 и 21? ищем
точку z3, г4 бинар-
ного поля, соеди-
няем его с точкой
шкалы Zj, читаем
ответ на шкале z2
(фиг. 202). Если/,
2%, . . .9 _/2« JT2» • * •
также суть функции двух переменных, полу-
чаем номограмму с тремя бинарными полями
для шести переменных.
Номограммы с бинарными шкалами. При
построении номограммы с бинарным полем
может оказаться, что координаты точек би-
нарного поля ;с3 и З'з связаны линейным соотно-
шением
ах3 -г Ьу3 + с ~ 0.
В частном случае л:3 или у3 постоянно.
Бинарное поле превращается в прямолинейную
шкалу а — у (z3, 24j. Пристраиваем к этой
шкале сетчатую
номограмму таким ?/____^__________
образом, что ли-
нии а пересекают
шкалу а. На фиг.
203 линии а = const
пе рпенди кул я р н ы
шкале, переменная
лг3 откладывается
на оси, перпенди-
кулярной к шкале,
линии z3 --- const
параллельны шка-
ле а, линии z4 —
= const -некото-
рые кривые. Номо-
грамма может со-
держать несколько
бинарных шкал. Если в результате разделения
переменных уравнение /•", (z1; z2)=a может быть
изображено номограммой из выравненных
точек, а уравнение F^(z,^ z4) —а не может, или
же шкала для а получается другой, всегда
можно изобразить второе уравнение сетчатой
номограммой и получить номограмму с бинар-
ной шкалой.
Номограмма с крестообразным транс-
парантом для уравнения типа
/2 ~ /1 _ g4 — JT3
й —ft /4 -h '
Уравнение геометрической связи (фиг. 204)
фнг 203


гл.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
279
Уравнения шкал
•*! — ^2^1 4- С2<
Фиг. 204.
Номограммы с параллельными индек-
сами. Соединяя прямой (фиг. 205) пометки,
соответствующие заданным Zj и г?, проводим
Фиг. 205.
параллельную через точку г3. Пересечение её
со шкалой 24 даёт ответ.
Уравнение геометрической связи
ХЧ — •*! А — -Г3
Этой номограммой изображается уравнение
того же типа, что и номограммой с кресто-
образным транспарантом. Уравнения шкал
k\ Si
Циркульные номограммы. Введением би-
нарных шкал, бинарных полей и немых шкал
циркульные номограммы обобщаются на лю-
бое число переменных. •
Номограммы Н. М. Герсеванова для
непрерывного суммирования. Для нахо-
ждения суммы
А=л
где одна и та же функция вычисляется при
разных значениях переменной, применяется
номограмма, изображённая на фиг. 206. Две па-
раллельные шкалы, находящиеся на произволь-
ном расстоянии, градуируются от общего пер-
пендикуляра симметрично влево и вправо. Ура-
внение верхней шкалы х = ^ -/(г), уравнение
Фиг. 206.
нижней шкалы у — ^fc 5. Ставим ножку циркуля
в точку Й1, соответствующую^, делая засечку
через точку О, получим точку иг, причём
\>i — 2*i — / (г,). Ставим ножку циркуля в точку
Ь2, соответствующую г2, делая засечку через
точку «i, получим отрезок yz — 2х2 -f- y\ ~
--~f(zi) -н/(г2) и т. д. Таким образом, беря
попеременные отсчёты на левой и правой
половинах симметричных шкал, можем про-
должать процесс суммирования непрерывно.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ*
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ
1. В технических расчётах необходимо поль-
зоваться правилами, установленными теорией
вероятностен, во всех тех случаях, когда дело
касается массовых явлений, относящихся к
случайным событиям или случайным вели-
чинам.
Примеры случайных событий: полу-
чение размера детали в пределах поля допуска
или вне его (т. е. годной или бракованной);
получение размеров детали в заданных гра-
ницах; получение вызова в данный отрезок
времени на коммутаторе телефонной станции
или на другом распределительном устройстве;
попадание или непопадание в цель при
стрельбе, бомбометании и т. п.
11римеры случайных величин: от-
клонение размера изготовленной детали от
номинала; число бракованных деталей в партии;
число вызовов в единицу времени на комму-
таторе; число попаданий в цель из серии
выстрелов; отклонение точки попадания от
центра цели; ошибки измерений.
Во многих случаях правила теории веро-
ятностей приводят к удовлетворительным
результатам и тогда, когда рассматриваемое
явление не является массовым, но относится
к категории случайных. Получаемые в этих
случаях результаты следует рассматривать
как приближённые, степень точности которых
увеличивается по мере увеличения числа на-
блюдений явления.
Случайные события
2. Основной числовой характеристикой
случайного события является вероятность
его появления.
Литературу см. на стр. 321»


280
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Если возможные результаты случайного яв-
ления можно разделить на конечное число п
равновозможных, единственновозможных и не-
совместных, т е. взаимно исключающих друг
друга, случаев, из которых т случаев благо-
приятствует рассматриваемому событию А, то
вероятность Р (А) появления последнего вы-
числяется, как отношение числа благоприятных
случаев к общему числу их:
Случаи называются также иногда шансами,
статочностями и т. п.
Пример 1. В партии в 50 деталей, поступивших на
сборку, имеется 10 деталей с отклонением 0,1 от номинала,
20 деталей с отклонением 0,15, 15 деталей с отклонением
0,2 и 5 деталей с отклонением 0,25. Необходимое качест-
во сочленения при сборке без пригонки получается, если
размер взятой детали не менее 0,15 и не более 0,2 отли-
чается от номинала. Найти вероятность события А, со-
стоящего в том, что при детали, взятой наудачу из пар-
тии, сборка будет произведена без пригонки. При взятии
детали наудачу равновозможным является взятие любой
из 50 деталей. Отсюда общее число случаев, удовлетво-
ряющих перечисленным выше условиям равновозможно-
сти, единственновозможности и несовместности, равно 50;
число случаев, благоприятствующих сборке без пригон-
ки, — 35 B0 деталей с отклонением 0,15 и 15 деталей с от-
ОР *7
клонением 0,2). Следовательно, Р (А) = .-™ = — .
оО 1U
Если имеется бесконечное множество воз-
можных случаев, но всей совокупности их (полю
событий) может быть дана количественная
характеристика (в некоторых определённых
мерах длины, площади и т. п.) в виде значе-
ния 6, а части этой совокупности, благоприят-
ствующей рассматриваемому событию А, может
быть дана аналогичная характеристика (в тех
же мерах) в виде значениям и, если, кроме то-
го, все элементы поля в вероятностном отно-
шении одинаковы, то вероятность появления
события А
Пример 2. Опытом установлено, что при производстве
некоторой разметочной операции разметчик наносит раз-
меточную точку в пределах круга диаметром 1 мм, при-
чём положение точки в любом месте круга оказывается
равновероятным. Найти вероятность события А — нахо-
ждения точьи в пределах операционного допуска ± 0,2 по
одной координатной оси и ± 0,4 по другой координатной
оси.
Количественной характеристикой всего поля событий
является площадь круга рассеяния разметочных точек,
равная 5
•
—— — 0,78 мм*. Количественной характеристи-
4
кой, благоприятствующей рассматриваемому событию,
является площадь прямоугольника л' = 0,4-0,8 — 0,32 мм".
Отсюда
= 0.41.
Событие, которому благоприятствуют все п
возможных случаев или которому благоприят-
ствует всё поле, имеющее меру S, называется
достоверным. Вероятность достоверного
события равна единице.
Событие, которому не благоприятствует ни
один из п возможных случаев (т = 0), или ко-
торому соответствует значение 5 = 0, назы-
вается" невозможным. Вероятность невоз-
можного события равна нулю.
Таким образом вероятность случайного со-
бытия измеряется отвлечённой правильной дро-
бью, могущей в общем случае принимать лю-
бое значение от нуля до единицы включительно.
3. Несовместные случайные события, сумма
вероятностей которых равна единице, соста-
вляют полную группу событий.
Если полная группа состоит из двух случай-
ных событий, то такие события называются
противопол о ж н ы м и .
Количественной характеристикой полной
группы случайных событий является распреде-
ление вероятностей событий, составляющих
группу (табл. 12).
Таблица 12
События
Вероят-
ности
л,
™
А,
Р(А3)
А,
,Л,
*.
«.,
п
Пример 3. П\сть при проведении некоторого испы-
тания возможно только одно из двух событий: появление
или непоявление события А. Вероятность появления со-
бытия А вычислена и оказалась равной Р (А) = —? .
Тогда при проведении испытания один раз полная груп-
па событий образуется из двух событий: появление со-
бытия А и противоположное ему событие (непоявление
А), которое обозначим через В. Здесь Р (А) + Р (В) =
= ~2 + -2=1-
Если теперь испытание повторяется несколько
раз, например 5, причём при каждом испытании Р (А)
и Р (В) остаются неизменными, то можно составить
другую полную группу событий, состоящую из следую-
щих шести событий: @) непоявление события А ни од-
ного раза, A) появление его один раз из пяти, B) два
раза из пяти, (Г<) три раза, D) четыре раза и, наконец, E)
появление его все пять раз из пяти.
Соответствующие вероятности обозначим Р (К), где
А'=0, 1, 2, 3, 4. 5.
Здесь должно быть: Р @) + Р A) -4- Р B) + Р C) +
+ Р D) + Р E)=Ь Значения вероятностей каждого из
указанных шести событий могут быть вычислены (см. ни-
же пример 11), и тогда распределение вероятностей со-
бытий К (появление К раз события А) может быть запи-
сано в следующем виде (табл. 13):
Таблица 13
А:
Р(А-)
0
'/и
1
5/м
2
/3J
3
10/
/32
4
5/зз
5
5
2Р^™32 = 1
А=0
Графическое изображение данного распределения
имеется на фиг. 215, я (см. ниже).
4. При наблюдении на практике за появле-
нием случайного события А вместо вероятно-
сти Р (А) определяется частость W (А)
его появления, равная отношению числа К по-
явлений события к числу N проведённых ис-
пытаний, при которых это событие могло по-
явиться, т. е.
Частость W (А) называют также эмпири-
ческой, или статистической, вероятностью, про-
тивопоставляя это название вероятности Р (А),
которую тогда называют теоретической, или
математической, вероятностью.
Частость W (А) является случайным про-
явлением основной, присущей данному явле-
нию закономерности, характеризуемой веро-
ятностью Р(А). По мере увеличения числа ис-
пытаний частость со всё большей точностью
выражает вероятность (см. закон больших чи-
сел, стр. 290).


ГЛ. 1]
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
281
Случайные величины
5. Случайные величины встречаются в ос-
новном двух типов: I) дискретные — мо-
гущие принимать отдельные изолированные
значения и не могущие принимать значений,
промежуточных между ними; 2) непрерыв-
ные — могущие принимать в установленном
интервале любое промежуточное значение;
этих возможных значений в пределах интер-
вала имеется бесконечное множество.
Дискретными случайными величинами из приме-
ров, приведённых выше, являются: число бракованных
деталей в партии @, 1,2,.. .); число вызовов в единицу
времени на коммутаторе телефонной станции @, 1,2,...);
число попаданий в цель при производстве серии из
N выстрелов (О, 1, 2, . . . , N).
Непрерывными случайными величинами из приме-
ров, приведённых выше, являются: отклонение размера
изготовленной детали от номинала; отклонение точки
попадания- от центра цели.
Основными количественными характери-
стиками дискретной случайной величины явля-
ются: область значений величины (от
A"min Д° *тах) и распределение веро-
ятностей всех возможных значений вели-
чины внутри этой области, задаваемое в виде
таблицы (см. табл. 14).
Таблица 14
*l
*"»
xl
«">
X,
M
xn-\
"*"-"
X,,
*..>
2*ч>-1
Функция р (Xj) называется законом
распределения дискретной случайной ве-
личины. Графические изображения некото-
рых таких законов распределения см. ниже
на фиг. 215 и 216.
Основными количественными характеристи-
ками непрерывной случайной величины X
является область значений величины (от
Xmin Д0 *тах^ и ПЛОТНОСТЬ ВСрОЯТ-
н о с т и 9 (х) внутри этой области. Плотность ве-
роятности ср (х) есть предел отношения вероят-
ности того, что величина X имеет значения
в интервале (х, х -f- &х) к длине &х интервала,
когда ДАТ стремится к нулю:
= lim
Плотность вероятности <р(лг) задаётся обычно
в виде аналитического выражения у(х), как
функции jc, или графически в виде кривой, на-
зываемой кривой распределения слу-
чайной величины (см. ниже фиг. 217—224 ти-
пичных кривых распределения).
Площадь, ограниченная кривой распределе-
ния и осью абсцисс, равна единице, т. е.
+ СО
В общем случае это достигается нормирова-
нием кривой распределения, заключающемся
в соответственном подборе коэфициента про-
порциональности в выражении для <р (х).
Единица измерения <р (х) является обратной
величиной единицы измерения величины х.
Плотность вероятности у (х) называется
также диференциальным законом
распределения (или просто законом рас-
пределения) непрерывной случайной величины
X, диференциальной функцией распределения
(или просто функцией распределения) вели-
чины X.
о'. Вместо законов распределения р (х{) или
-f (х), исчерпывающей количественной характе-
ристикой случайной величины может служить
также интегральная функция рас-
пределения F(x).
Интегральная функция распределения есть
вероятность того, что случайная величина X
имеет значения, меньшие заданного значения л":
Интегральная функция распределения F (х)
называется также интегральным законом рас-
пределения случайной величины. Графики
функций F (х) для некоторых законов распре-
деления даны ниже (фиг. 211 и 219, б).
Функция F (х) изменяется от нуля до еди-
ницы. Так, если имеем область значений вели-
чины X, при которых ср (х) не равно нулю, от
а до Ь, то
F(x) = 0 при л" ^ о,
F(x) = 1 при х ^ Ь.
Между функциями F(x),p(xi) и ср(д;) имеют
место соотношения:
а) для дискретных случайных величин
p(xt) = F(
при этом х1—1 <^х' ^
б) для непрерывных случайных величин
V(x)=F'(x) =
dF(x)
dx
7. При наблюдении или измерении на прак-
тике дискретной случайной величины для ха-
рактеристики её служит таблица распределе-
ния частостей W(.r,-), аналогичная приведённой
выше таблице распределения вероятностей.
Функция W(x{) называется практическим рас-
пределением дискретной случайной величины.
Каждое из значений W(Xg) вычисляется по
формуле
где NI — число наблюдённых значений х;;
N — число всех наблюдений.
При наблюдении или измерении на прак-
тике непрерывной случайной величины полу-
ченный статистический материал обрабаты-
вается путём группировки всех полученных
значений по нескольким интервалам, на кото-
рые разбивается вся область полученных зна-
чений. Числа значений величины, приходя-


282
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
щихся на каждый интервал, называются ч а-
стотами по интервалам.
Количество интервалов берётся обычно по-
рядка 10—15, а ширина всех интервалов—оди-
наковой. Составленная таким путём таблица
частот называется статистическим, или
эмпирическим, распределением.
Для графического изображения статисти-
ческого распределения применяется построе-
ние гистограмм и полигонов распределения,
а также ступенчатых интегральных кривых
и огив.
Первые два могут сопоставляться с теоре-
тической кривой распределения [с кривой ди-
ференциального закона распределения со (л-)],
последние два — с теоретической кривой ин-
тегральной функции распределения F(x).
Гистограмма распределения (фиг. 207)
составляется из прямоугольников, основания
0.2
800 в.О? &0е>
Фиг. 207.
которых суть отрезки, изображающие интер-
валы, а площади пропорциональны числам
значений случайной величины, приходящимся
на данный интервал. Если ширина всех интер-
валов одинакова, то высоты прямоугольников
будут пропорциональны числам значений в ка-
ждом интервале.
Полигон распределения (фиг. 208)
отличается от гистограммы тем, что в середине
каждого из интервалов, ширина которых
8,00 8.02 8.0ii 8.06 8.08 8.10
Фиг. 208.
должна быть здесь обязательно одинаковой,
строятся ординаты, пропорциональные числам
значений величины в каждом из интервалов.
Вершины последовательных ординат соединя-
ются отрезками прямых, образующих ломаную
линию. Последнюю называют также практи-
ческой кривой распределения. Полигон рас-
пределения является условным изображением,
так как наблюдённые значения, относящиеся
ко всему интервалу, отнесены в нём к сере-
дине интервала; соответственная ордината на-
зывается „нагруженной".
Ступенчатая интегральная кривая, а также
и огива представляют собой кривые накоплен-
ных частот.
Ступенчатая интегральная кри-
вая (фиг. 209; составляется из горизонталь-
8,0? $.06 8.06
Фиг. 209.
ных участков, ширина каждого из которых
равна ширине соответствующего интервала,
а высота (ордината) равна частоте данного
интервала, сложенной с частотами всех интер-
валов, расположенных слева от него.
Ступенчатая кривая может строиться и без
разбивки на интервалы, как график возраста-
ющей функции S(x), где х—значение случай-
ной величины, a S (х) — общая частота всех
значений величин, меньших чем х. Такая функ-
ция называется эмпирической функцией рас-
пределения по Мизесу.
Огива (фиг. 210) строится в виде лома-
ной линии, соединяющей точки, абсциссы ко-
ч.оо $07 am*
Фиг. 210.
торых соответствуют границам интервалов, а
ординаты равны сумме частот всех интерва-
лов, расположенных слева от каждой границы.
Разность между максимальным и минималь-
ным значениями случайной величины в прак-
тическом распределении (jrmax— xmin) назы-
вается размахом варьирования, или
широтой распределения.
8. При двухмерном рассеивании в техни-
ческих приложениях встречаются главным об-
разом непрерывные случайные величины.
Основными количественными характеристи-
ками двухмерного рассеивания являются
область значений системы двух случайных ве
личин (х, у в прямоугольной системе коорди-
нат; г, б в полярной системе координат) и
плотность вероятности <р (х, у) или -f (r, 6)
внутри данной области.
Функции ср(>г, у) и ср(г, В) определяют так
называемую поверхность распределения.


ГЛ. 1]
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
283
Объём, ограниченный поверхностью рас-
пределения и координатной плоскостью (х, у),
должен быть равен единице, т. е.
Таблица 15
-)-оо +00
! i
— CO —OO
, У)
что достигается нормированием поверхности
распределения. Единица измерения <р (х, у)
является величиной, обратной произведению
единиц измерения величин х и у.
При трёхмерном рассеивании в технических
приложениях встречаются только непрерывные
случайные величины.
Основными количественными характеристи-
ками трёхмерного рассеивания являются:
область значений системы трёх случайных
величин (х,yt z—при прямоугольной системе
координат, г, 0, if) — при полярной системе ко-
ординат) и плотность вероятности <р (х, у, z)
или Ф (г, 6, -У)) внутри данной области.
Если величины х и у при двухмерном
рассеивании и величины х, у, z при трёхмер-
ном рассеивании взаимно независимы, то всё
сказанное выше и дальше в отношении плот-
ности вероятности ср (х) при одномерном рас-
сеивании можно отнести и к плотностям веро-
ятности ?! (х), <?2 СУ). <Рз B). произведения кото-
рых дают -•? (х, у) или rf (х, у, г).
Вероятностные характеристики
9. При выполнении расчётов, связанных со
случайными величинами, большей частью про-
изводятся операции не с указанными выше
функциями F(x), р (х;), ф (х) и т. д., а с другими
вероятностными характеристиками. Последние
служат главным образом для характеристики:
а) центра группирования, около которого в
основном группируются значения случайной
величины; б) рассеяния значений относительно
центра группирования.
Центр группирования называют
также центром распределения и
центром рассеивания.
Числовой характеристикой центра группи-
рования является среднее значение/: (х)
случайной величины:
а) для дискретных случайных величин
ЕС*) =2 xip(xt);
б) для непрерывных случайных величин
+00
Е (х} = f х 9 (х) dx.
\)
Среднее значение Е (х) называют также
математическим ожиданием с л у -
ч а и н о и величин ы; вместо Е (х) для него
часто применяют обозначения: М(х), М. О., х, а.
Среднее значение постоянной (неслучайной)
величины С равно самой постоянной, т. е.
Е(С) = С.
Пример 4. В табл. 15 приводим вычисление среднего
значения Е(х) по данным примера 3.
0
i !
2;
3
ll
Основной числовой характеристикой рас-
сеяния является дисперсия D(x) случайной
величины:
а) для дискретных случайных величин
б) для непрерывных случайных величин
-(-со
D (х) = [х—Е(х)]* т (х) dx.
Вычисление дисперсии удобно производить
также по формулам
-f со
D(x)=
Дисперсия постоянной (неслучайной) вели-
чины С равна нулю, т. е. D(C) = 0.
Ещё большее значение имеет другая веро-
ятностная характеристика, непосредственно
связанная с дисперсией, а именно а — сред-
нее квадрат и ческое отклонение
от центра группирования:
а) для дискретных случайных величин
б) для непрерывных случайных величин
(х) =
lx-Е (х
Среднее квадратическое отклонение иногда
называют также стандартным отклонением,
стандартом, штандартом и т. д.; вместо а (х)
часто пользуются обозначением ах .
Отношение среднего квадратического от-
клонения а (л) к среднему значению Е (х) на-
зывается коэфициентом изменчи-
вости или коэфициентом вариа-
ции V.
В отношении величин Е (х) и D(x) можно
использовать следующую весьма наглядную
механическую аналогию. Если представить
себе, что значения х обозначают координаты
материальных точек, расположенных вдоль осп,
а значения р (х) [или q> (х)] обозначают массы
этих точек (или плотность материальной линии),
то Е(х) обозначает координату центра массы


284
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. !
системы точек (или материальной линии),
a D(x)— соответствующий момент инерции.
Пример 5. В табл. 16 приводим вычисление дисперсии
D (л) и среднего квадратического отклонения од. по
данным примера 3.
Таблица 16
*i
0
1
2
3
4
5
1
a
ХГ
0
1
4
9
16
25
P(*,)
V»
/32
l°/32
6/32
V»
/• =1
-i,- P(x{)
0
5/32
ао/за
30/за
6/за
/ = 2,5
^-Р(.гг.)
0
5/аа
40/
/зз
"/и
*/»
?'^-«
Л С*) = 2 *? ^V ~"
(Ж)]2 = 7>5 - 2
f2b як 1,12.
10. Среднее значение Ь(х) и дисперсия D(x)
представляют собой частные случаи более об-
щих характеристик vfe случайной величины, на-
зываемых моментами Л-го порядка:
а) для дискретных величин
V
= ~J
б) для непрерывных величин
-|-00
Моменты vft, вычисленные при произвольном
начале отсчёта величины х, называются н е-
центральными. Среднее значение Е(х)
есть нецентральный момент первого порядка
<*=!)•
Моменты fi^' вычисляемые при взятии за
начало отсчёта центра группирования Е(х),
называются центральными:
i
+00
= I [л
Дисперсия есть центральный момент второго
порядка (k — 2).
Центральные моменты связаны с нецен-
тральными соотношениями:
2
= V~ 3
~ 4
V2 ^ i
11. Вместо среднего значения ?(л) или
в дополнение к нему для характеристики
средней части области значений случайной
величины используются иногда мода и ме-
диана.
Модой называется значение случайной
величины, имеющее наибольшую вероятность
у дискретной величины или наибольшую плот-
ность вероятности у непрерывной величины.
Мода является также наивероятнейшим зна-
чением.
Если кривая распределения имеет один
максимум (фиг. 219, а. 220 и др.), то значение
величины, отвечающей этому максимуму, и
является модой. Такая кривая называется
одно модально и. Если кривая распреде-
ления имеет несколько максимумов, то модой
является значение, отвечающее наибольшемv
максимуму.
Если кривая распределения имеет два или
более одинаковых максимума (фиг. 214, а), то
такая кривая называется двухмодальной или
многомодальной. Если же максимумы резко
выражены, но различны по величине, то та-
кая кривая называется двухвершинной или
многовершинной. Если в центральной части
кривой распределения имеется минимум, по
обе стороны от которого происходит непрерь!в-
ное возрастание кривой до границ области зна-
чений случайной величины (фиг. 212), то такая
кривая называется антимодальной.
Если кривая распределения является моно-
тонно возрастающей или монотонно убыва-
ющей во всей области значений случайной
величины, то модой является одно из значе-
ний величины на краю области; в этом случае
пользоваться модой как характеристикой сред-
ней области значений случайной величины
нельзя.
Медианой непрерывной случайной ве-
личины (х =Ме) называется значение, удовле
творяющее условию: вероятность значений х,
меньших Me, равна вероятности значений х,
больших Me, т. е.
Ale -co
с (х) dx = <}• (х) dx =
Для дискретной случайной величины, могу-
щей принимать п возможных значений, в ка-
честве медианы Me может быть принято:
1) значение, промежуточное между х-п и
— в случае, когда имеет место условие
(а)
2) значение Лот — в случае, когда имеют
место условия
т—1 га
(b)
Медиана называется ещё иногда срединным
значением.
12. Вместо дисперсии D (х) и среднего
квадратического отклонения огл. или в дополне-
ние к ним для характеристики рассеяния слу-
чайной величины используются ещё среднее
арифметическое отклонение, вероятное откло-
нение, мера точности и практически-предель-
ное отклонение.


ГЛ. 1]
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
285
+СО
Среднее арифметическое от-
клонение d случайной величины
х — Е (х) у (х\ dx
Из формул видно, что среднее арифме-
тическое отклонение является абсолют-
н ы м центральным моментом первого поряд-
ка, так как в формуле берутся абсолютные
значения величин отклонений.
Более точным поэтому, хотя и менее рас-
пространённым, названием среднего арифме-
тического отклонения является среднее абсо-
лютное отклонение. Иногда его называют
также линейным отклонением.
Вероятным отклонением г непре-
рывной случайной величины х называется от-
клонение от медианы A/If, удовлетворяющее
условию: вероятность отклонений, меньших
его по абсолютной величине, равна вероятно
сти отклонений, больших его по абсолютной
величине, т. с.
Me-г
•+ (x) dx + \ <р (x) dx =
з Ме+г
Ме+г
= J ч(х)*х= 2 .
Me— r
При дискретной случайной величине усло-
вия, определяющие вероятное отклонение г,
могут быть даны в виде, аналогичном усло-
виям определения медианы дискретной слу-
чайной величины. Все значения этой величи-
ны следует занумеровать в порядке возра-
стания абсолютной величины отклонений их
от медианы \Х} — Ме\, после чего в качестве
вероятного отклонения г может быть принято:
1) значение, промежуточное между хт — Ме\
и |jr/n+i — Ме\ — в случае, когда имеет место
условие (а);
2) значение \хт — Ме\ — в случае, когда
имеют место условия (Ь).
Вероятное отклонение г называют также
срединным, или медианным, и обозначают через
Я, В. О., Вд, Вб.
Мерой точности Л называется приме-
няемая для закона Гаусса (см. ниже) характе-
ристика рассеяния, связанная определёнными
соотношениями с указанными выше отклоне-
ниями с, d и г.
Практически предельным от-
клонением g случайной величины х назы-
вается такое отклонение от центра группиро-
вания, за пределами которого по обе стороны
от центра находятся отклонения, вероятность
появления которых практически пренебрежимо
мала, т. е. имеет место условие
- Е (х)
О,
1 ? |
или условие
—, оо
\ ч (x Jx + f ?,(л-) dx ^ 0.
J ц)
Практически предельное отклонение обычно
выражают в долях среднего квадратического
отклонения а или в долях вероятного откло-
нения г и характеризуют вероятностью выхода
отклонения за принятые пределы.
При заданном законе распределения между
перечисленными выше отклонениями, т. е. сред-
ним квадратическим я, средним арифметиче-
ским d, вероятным г, мерой точности h и прак-
тически предельным ?, имеются вполне опре-
делённые соотношения. Так, при законе Гаусса
(см. ниже), весьма распространённом в техни-
ческих приложениях, соотношения между ука-
занными отклонениями, а также мерой точно-
сти следующие:
d v*
и =• —-_
; 0,798з, в =
= ——7=^Г
0,675а, а =
1,253d.
:0,8i5d,
l,482r,
Й =
1
0,707
0.564
0,477
Здесь р = 0,476936 . . .
Для практически предельного отклонения
при законе Гаусса обычно принимают значе-
ние с — За, соответствующее вероятности
Р(|л:| <|?|) = 0,9973, т. е. 0,27% выхода отклоне-
ний за пределы ± ? (если Е(х) — 0).
13. Для сопоставления кривой распределе-
ния случайной величины с кривой распределе-
ния по закону Гаусса (см. ниже) используются
центральные моменты. Они же используются
для определения параметров распределений,
отличающихся от нормального.
Симметричные кривые распределения име-
ют центральные моменты (см. стр. 281) нечёт-
ного порядка равными нулю.
Мерой асимметричности кривой распреде-
ления принимается величина S^, называемая
асимметрией (косостью, скошенностью"»
у
Асимметрия положительна, если мода одно-
вершинной кривой распределения, мало укло-
няющейся от кривой Гаусса, находится вле-
во от центра группирования, и отрицательна,
если мода находится вправо от него. Для сим-
метричных кривых распределения и, в частно-
сти, для кривой Гаусса асимметрия S^ = 0.
Для характеристики несимметричности рас-
пределения отклонений случайной величины
относительно заданного поля (например, отно-
сительно поля допуска размеров детали) при-
меняется коэфициент относитель-
ной асимметрии


286
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
здесь 6 — половина абсолютной величины
заданного поля; Д0 — координата середины
заданного поля; Е(х) — среднее значение (центр
группирования) случайной величины х.
Мерой крутости кривой распределения при-
нимается величина Е^, называемая эксцес-
сом:
Эксцесс ЕЬ равен нулю для кривой распре-
деления по закону Гаусса. Эксцесс Е^ положи-
телен, если одномодальная кривая распреде-
ления, мало уклоняющаяся от кривой Гаусса,
более островершинна,чем кривая закона Гаусса.
Эксцесс ЕЪ отрицателен, если такого же рода
кривая распределения более плосковершинна,
чем кривая закона Гаусса.
Эксцесс ЕЬ называют также куртозиу-
с о м, а кривые распределения при Е ^ = 0 —
мезокуртическими, при Е^>0 — лептокурти-
ческими, при ЕЬ<О — платикуртическими.
Для характеристики рассеяния отклонений
случайной величины в пределах заданного поля
(например, поля допуска размера детали) при-
меняются величина относительного среднего
квадратического отклонения X и коэфициент
относительного рассеяния k.
Относительное среднее квадра-
тическое о т к л он ени е X равно
14. Для характеристики степени зависимости
между случайными событиями и случайными
величинами служит к о э ф и ци е н т корреля-
ции/?.
Коэфициент корреляции между случайными
событиями А и В вычисляется по формуле
Р(АВ)-Р(А)Р(В)_
R
__
УР(А)[1-Р(А)\Р(В)[1 ~
здесь Р(АВ) — вероятность того, что события
А и В произойдут совместно.
Для независимых случайных событий
/?АВ ~ 0. Если появление события А влечёт за
собой появление события В и вероятности
появления их одинаковы, то RAB = 4-1. Если
же появление события А влечёт за собой не-
появление В и вероятность появления А равна
вероятности непоявления 8, то RAB — — I-
Область значений коэфициента корреляции
RAB для зависимых событий:
Коэфициент корреляции между случайными
величинами х и у:
" YD(x)D(y)
_ E(xy)-E(x)E(y)
где 8 — половина абсолютной величины задан-
ного поля.
Коэфициент относительногорас-
сеяния k служит для сопоставления харак-
тера рассеяния при рассматриваемом законе
распределения с характером рассеяния при
некотором другом законе. Он равен отноше-
нию величин AJ- —для рассматриваемого закона
распределения и лй — для закона распределе-
ния, относительно которого производится со-
поставление:
*-?•
Aft
Большею частью А? принимается равным l/s,
что соответствует закону распределения
Гаусса при практически предельном откло-
нении ? = За, т. е. при 0,27% вероятности вы-
хода за пределы поля. Тогда
k = ЗА, = 3 -J- •
Для распределения по закону Гаусса коэ-
фициент относительного рассеяния k равен
/ , 1 \
единице при Ад = -— ; для распределении,
\ <-> !
более островершинных, чем гауссово, значения
&<1; для распределений, более плосковершин-
ных, значения k>\ (при одномодальных кри-
вых); для распределений антимодальных значе-
ния k — около 2; в предельном случае дискрет-
ного распределения на краях заданного поля
/ 1 \* '
значение k равно 3 при Xft = -»- 1 .
\ й I
* Подробнее о коэфициентах относительной асимме-
трии « и относительного рассеяния k см. Н. А. Боро-
да ч е в, Обоснования методики расчёта допусков и
ошибок кинематических цепей, изд. Академии Наук СССР,
1943,
где соответственно для непрерывных и ди
скретных случайных величин
-j-oo-)-oo
Е (ху) = \ \ хуъ (х,у) dx dy,
Е(ху) -
Для независимых случайных величин Rx, у —
= 0. Обратного заключения о независимости
случайных величин, если Rx<y=.0, делать
нельзя.
Для величин, связанных линейной функцио-
нальной зависимостью^ — Ах -\- С, коэфициент
корреляции равен -f- 1, если А > 0, и — 1 при
А < 0.
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕРОЯТНОСТЯМИ
И ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
(ТЕОРЕМЫ И РАСЧЁТНЫЕ ФОРМУЛЫ)
Теоремы сложения и умножения
вероятностей
15. Теорема сложения. Вероятность
появления какого-либо одного (схема „или-
или") из нескольких несовместных случайных
событий, входящих в одну полную группу,
равна сумме вероятностей этих событий.
Пусть га несовместных событий А\, Л2. . . .,
Ап образуют полную группу, т. е. Р(А\)-\-
+ P(AZ) + . . . + Р(Ап) = 1- Тогда вероятность
того, что произойдёт или событие Аъ или
событие Л2. - .., или событие А^ (&<л). равна
Р (или Alt или А2, . . . , или Ak) = P(Ai).


ГЛ. 1]
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
287
Пример 6. Для условий примера 3 вероятность появ-
ления события не менее 3 раз
Р(А>3) = Р (К = 3) + Р (К = 4) +
16. Н е з а в и с и м ы м и случайными собы-
тиями называются такие события, вероятности
которых не зависят от появления или непо-
явления других событий.
Независимыми случайными величина-
ми называются такие величины, вероятности
(или плотности вероятности) значений кото-
рых не зависят от того, какие значения полу-
чили другие случайные величины.
Первая теорема умножения. Ве-
роятность совместного появления нескольких
независимых событий (схема „и-и") равна
произведению вероятностей этих событий:
Р (и Л„ и А». . ., и Лй) =
Пример 7. Вероятность получения брака при первой
операции обработки детали равна 1°/0; при второй равна
3% и при третьей равна 2°/0. Найти вероятность полу-
чения годной детали при производстве контроля сразу
после трёх операций и при независимости получения
брака на каждой операции. Вероятности получения год-
ной детали после соответственных операций здесь будут
равны P(A,)=0,99, Р (А,) = 0,97, Р (А,) =0,98.
Искомая вероятность получается по первой теореме
умножения:
Р (и А„ и А-,. и Л,) = 0,99 • 0,97 • 0,98 =
- 0,941094 ?^; 0,94.
Плотность вероятности <f (x, у) при двух-
мерном рассеивании независимых непрерыв-
ных случайных величин х и v равна произ-
ведению плотностей вероятности <fi(x) и ®z(y)'.
Аналогично для дискретных величин
17. Условной вероятностью события А на-
зывается вероятность его, вычисленная в пред-
положении, что произошло некоторое другое
событие В. Обозначается она Р(А \ В), а также
Р(А)В. Если события А и В независимы, то
Р(А\В) = Р(А). Условная вероятность вычи-
сляется по формуле
Пример 8. В механизм входят две детали по одному
чертежу. При изготовлении деталей часть их получается
с отклонениями от номинала в меньшую сторону, часть
с отклонениями в большую сторону. Правильное функци-
онирование механизма нарушается, если при сборке его
будут поставлены обе детали, большие номинала.
У сборщика остался запас в 10 деталей, из которых
7 меньше номинала и 3 больше номинала. Найти веро-
ятность неправильного функционирования данного экзем-
пляра механизма, если сборщик и первую и вторую
деталь берёт наудачу.
Вероятность того, что первая деталь будет больше
2
номинала, равна Р (А,) = —. Вероятность того, что вто-
рая деталь будет больше номинала при условии, что
первая деталь тоже оказалась больше номинала, рав-
2 _ I ^>
на Р(Л2|А,) = —-——---—. Искомая вероятность полу-
Ю — 1 У
чается по второй теореме умножения: Р(и А, и А3) =
-.?. JL - J.
~ 10 9 ~ 15'
Формулы условных вероятностей
18. Если событие А заключается в появле-
нии одного из п несовместных событий Л,-,
каждое из которых зависит от соответствую-
щего события Bf, входящего в полную группу
несовместных событий
i=l
— 1 , то ве-
роятность события Л вычисляется по
муле полной вероятности:
фор-
Формула полной вероятности объединяет
вторую теорему умножения с теоремой сло-
жения.
Пример Р. При условиях примера 8 определить ве-
роятность несоблюдения при сборке технических усло-
вии, если последние нарушаются и при постановке
обеих деталей, больших номинала (заедание), и при
постановке обеих деталей, меньших номинала (большой
люфт). Событиями В, и B.j здесь являются взятие пер-
вой детали большей или же меньшей номинала
3 7
Р {5,)=—-, Р(Я,)=^- . Вероятность полной группы
Р(В) = Р (В,) + Р(Я.) =1.
Событиями А, и А,, являются здесь нарушения техни-
ческих условий из-за "взятия второй детали с отклоне-
ниями того же знака, что и у первой; вероятность их
находится по второй теореме умножения
Отсюда но формуле полной вероятности
Р(А) = Р(В,)Р(А1\В1)+Р(В3)Р(А3\В3) = .
где Р(АВ) — Р(н А и В) есть вероятность
совместного появления событий А и В.
Эта формула есть следствие второй теоре-
мы умножения, формулировка которой даётся
в общем виде.
Вторая теорема умножения. Ве-
роятность совместного появления нескольких
зависимых событий равна произведению ве-
роятности одного из них на условные вероят-
ности всех остальных;
Р( и Л, и Л2---и Ak) =
= Я(Л1)Я(Л?|Л,)/>(Л8|Л1, Л2)..
19. Если событие А может произойти
в силу осуществления одного из условий Н„
вероятности которых P(Hi), а условные ве-
роятности события А при осуществлении
условия Hi равны Р (А)н. , то при появлении
события А можно определить вероятность
осуществления условия HI по формуле
Б е и е с а *:
* Здесь использовано второе обозначение усшвной
вероятности.


288
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
В частном случае, когда вероятности усло-
вий Р (//,-) одинаковы, формула Бейеса полу-
чает вид:
Формула Бейеса называется ещё теоремой
гипотез, а условия HI — гипотезами.
Пример 10. При изготовлении одинаковых деталей на
двух станках некоторые из деталей в партии получаются
конусными: на станке № 1— 30%; на станке №2— 5°/0. Де-
тали со станка №1 должны поступать яа сборку узла I,
где конусные детали не отражаются на качестве
изделии. Детали же со станка № 2 должны поступать на
сборку узла II, где конусные детали требуют дополни-
тельной пригонки при сборке. При транспортировке 7
партий с обоих станков были обезличены, но известно,
что 4 партии поступили на сборку со станка № 1, а 3
партии со станка № 2. При сборке первого экземпляра
узла 11 потребовалась дополнительная пригонка из-за
конусности поставленной детали. Каковы вероятности, что
на сборку узла 11 поступила партия со станка № 1 и со
станка № 2?
Имеем
,
Отсюда по формуле Бейеса
1 !
_ 7 ' 10
1 А 4
_ 1+з. L
7 10 7 20
1
20
4 —— 3_ 3 Г ~ 9
7 ' КГ 7 ' 20
Весьма вероятным является то, что на сборке узла 11
оказалась партия со станка № 1, т. е. не соответствую-
щая данному узлу.
Вероятность повторения события
20. Если вероятность случайного события
постоянна при всех проводимых независимых
испытаниях и равна р, то вероятность появле-
ния события k раз при производстве s та-
ких испытаний
Р (k из s) = Cks ph (l-p)s~k =
При тех же условиях, что выше, вероят-
ность появления события хотя бы один раз
(один и более):
Р(>1 из 5) = !-(!
хотя бы k раз (k и более):
Р (> k из *)=2Ф''A
рM
i=k
и s раз:
Р (s из s) — ps.
Рассматривая число k появлений события
как дискретную случайную величину с областью
значений от 0 до s, т. е. О, l,2,...,s, по пер-
вой приведённой в этом пункте формуле полу-
чаем распределение чисел k с вероятностями,
равными последовательным членам разложения
по биному Ньютона (q + ру, где q = 1 — р.
Распределение это (фиг.215) называется би н о-
м и а л ь н ы м.
Аналогично этому в случае, когда вероят-
ность случайного события при 5 независимых
испытаниях не постоянна, а равна соответ-
ственно PJ, р%,..., ps, — вероятность появления
события k раз (k = 0, 1,2,..., s) получается из
.9
разложения произведения биномов П (^ -f- pf),
/ = i
где q-t = 1 — pi. Вероятность появления собы-
тия k раз равна сумме членов разложения,
содержащих k сомножителей /?г-(в случае PI =
— const =p соответственный член разложения
имел pk}.
При больших значениях k и s, когда поль-
зование приведённой выше формулой бино-
миального распределения затруднительно, в ка-
честве приближённых формул используются
следующие интерполяционные формулы, соот-
ветствующие:
1) распределению по закону Гаусса
1
2=_1ф'(г),
~ЩГ^%)\Р V~P>
Значения биномиальных коэфициентов С*
см. табл. III на стр. 33.
Пример 11. Значения, вписанные в табличку при-
мера 3, вычислялись по предыдущей формуле, причём
из условий примера 3 очевидно, что р = —, 1 — р = -^
и 5 = 5; таким образом, например:
15
1
32-
Если р выразить через отношение числа
благоприятных случаев m к числу всех воз-
можных п, то предыдущая формула получает
вид
. Л и* (« -«Г"*
я (А.И35) = ____
(так называемая формула урновой задачи при
возвращаемых шарах).
2) распределению по закону Пуассона
а"е-а
j s) я- А—— ,
или
где а =
Р (s — k из s) ^
Ь"е
,—ъ
с = 21 PAt Vi = l ~ Pi' ф' (г) — по табл. XV
i=i
(стр. 98).
При р-; = const — p, a — sp; b = sq; c=spq.
* См. табл. 26 на стр. 318.


ГЛ. I]
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
289
Первая из приближённых формул даёт более
удовлетворительные результаты при средних
значениях р, т. е. не близких ни к нулю, ни к
единице; вторая — при малых значениях р;
третья при значениях р, близких к единице.
Дисперсия D (А) числа повторений равна
fk\
spq, дисперсия D I — I отношения числа по-
\« /
РЯ
вторении к числу испытании равна — •
S
Наивероятнейшее число km поя-
влений события при биномиальном распреде-
лении определяется:
а) в случае, когда sp — q и sp -f- p — дроб-
ные числа, — из неравенства
б) в случае, когда sp — q n sp-\-p — числа
целые, — из равенств
здесь fcm и km + j имеют равные вероятности.
Пример 12. Для условий р = -$ , q •= -=- , s = 5 при-
л L
мера 3 имеем
Sp-q-b- — — ~ =2; sp+p = 5- — + — = 3;
отсюда наивероятнейшие числа появлений события 2 и 3.
Если при повторных независимых испыта-
ниях возможно появление одного из несколь-
ких случайных событий Alt A2, ..., AI с по-
стоянными при всех испытаниях вероятностями
А* Ръ---, Рь причём р1 + р2 + .-.+р1=1,
то вероятность появления при s таких испы-
таниях первого события k± раз, второго собы-
тия /?2 раз,..., /-го события /г/ раз
Н- . . . + /г/ = s) вычисляется по формуле
Р —
s\
k,
Pi
21. Если вероятность случайного события
т
при первом испытании равна р = —• , а при
последующих испытаниях зависит от резуль-
тата предыдущих испытаний (для второго
т т — 1
"ТГТ или п — \ и т- д-)» то вероятность по-
явления события k раз при производстве s
испытаний
fk s^s — A
г> / ь ч 1П Г1 — ГП
P(kH3S) = ———————— =
ml (п — т) ! s I (п — s) I
~ nl k\ (m — k)! (s — k) \ (n -f- k - т — s) I
(так называемая формула урновой задачи при
невозвращаемых шарах).
Пример 13. С помощью последней формулы найти
вероятность для условий примера 8, т. е. при л = 10,
т=3, k = 2, s-2.
Получаем
РЮШ я - И7!?1?1- _ 3ii! - ^ - 1
1 ' ~ 10! 2! ПО! 7! ~ 10! ~ 10'9 15 '
19 Том 1, кн. I
Теоремы о средних значениях
и дисперсиях
22. Среднее значение суммы постоянной
величины С и случайной величины х равно
сумме значения постоянной величины и сред-
него значения случайной величины:
Среднее значение суммы нескольких слу-
чайных величин Xj равно сумме средних зна-
чений этих величин:
\ I
Среднее значение произведения постоян-
ной величины С на случайную величину х
равно произведению постоянной величины па
среднее значение случайной величины:
Среднее значение произведения несколь-
ких независимых случайных величин равно
произведению средних значений этих величин:
Среднее значение произведения двух слу-
чайных величин х к у, связанных коррелятив-
ной зависимостью, равно
Е(х.у) = Е(х) E(y) + RXy°(x)z(y),
где Rxy — коэфициент корреляции, о (х), а(у) —
средние квадратические отклонения.
Среднее значение произведения двух слу-
чайных величин х и у, связанных линейной
функциональной зависимостью у=^Ах-\-С,
где А и С — постоянные, равно
Е(х-у) = Е(х)Е(у)±а(х)ч (у) =
Знак -f при А > 0; знак — при А < 0.
Среднее значение синуса или косинуса
случайного аргумента х, подчинённого закону
равной вероятности в пределах полного круга
или в кратных 2л: пределах, при любом посто-
янном сдвиге фазы С равно нулю:
? [sin (л: + С)] - Е [cos (х + С)] = О,
Среднее значение случайной величины г,
являющейся линейной функцией г = Ах -+- С
случайной величины х, где А и С — постоян-
ные, равно
23. Дисперсия суммы постоянной вели-
чины С и случайной величины х равна дис-
персии величины х:


290
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
Дисперсия суммы нескольких независи-
мых случайных величин Xf равна сумме дис-
персий этих величин:
i
Из этой теоремы следует правило квадра-
тичного сложения средних квадратических
отклонений независимых случайных величин:
Здесь CTJ, — среднее квадратическое откло-
нение суммы независимых случайных величин;
о,- — то же складываемых величин.
Дисперсия суммы двух случайных величин,
связанных коррелятивной зависимостью, равна
Дисперсия суммы двух случайных величин,
связанных линейной функциональной зави-
симостью у = Ах -4- С, равна
Знак -j- при А > 0; знак — при А < 0.
Дисперсия произведения постоянной вели-
чины С и случайной величины х равна произ-
ведению квадрата постоянной величины на
дисперсию случайной величины:
D (Сх) - С2 D (х).
Дисперсия произведения двух независимых
случайных величин х и у равна: а) произве-
дению дисперсий этих величин плюс сумма
произведений дисперсии каждой случайной
величины на квадрат среднего значения другой:
D (ху) =
D (х) (Е (у)}* +
или б) произведению средних значений ква-
дратов этих величин минус произведение ква-
дратов средних значений тех же величин:
D (ху) = Е (Хъ) Е (У) - [Е (*)Р [Е ( v)]2-
Дисперсия синуса или косинуса случайного
аргумента подчинённого закону равной веро-
ятности в пределах полного круга или в крат-
ных 2тс пределах, при любом постоянном
сдвиге фазы С, равна половине:
D [sin (х + Q] = D [cos (х + Q] --= ~ ,
Дисперсия случайной величины г, являю-
щейся линейной функцией z — Ах + С слу-
чайной величины х, где А к С — постоянные,
равна
D (г) = АЮ (х).
Закон больших чисел и предельные
теоремы
24. Надёжность использования на практике
правил теории вероятностей основана на тео-
ремах закона больших чисел, устанавливаю-
щих близость между вероятностью случайного
события и частостью появления его при боль-
шом числе испытаний или же близость дру-
гих аналогичных теоретических и соответ-
ствующих им эмпирических величин. Полные
формулировки и доказательства теорем см. в
указываемых ниже источниках.
Теорема Якова Вернул л и и обрат-
ная ей относятся к частости появления события
при повторении испытаний и к соответствую-
щей ей вероятности, когда значение последней
остаётся одним и тем же при каждом испыта-
нии ([55], стр. 105; [56], стр. 64; [58], стр 72. 108).
Теорема Пуассона относится к ча-
стости появления события при повторении
испытаний и к соответствующему ей среднему
арифметическому значению вероятностей, ко-
гда значения последней в каждом испытании
различны ([54], стр, 147; [56], стр. 390; [58],
стр. 97, 108).
Количественные характеристики, связанные
с теоремами Бернулли и Пуассона (опираю-
щиеся на неравенства Чебышева, леммы Мар-
кова и др.), обычно не используются в прак-
тических расчётах, так как получаемые
посредством них значения вероятностей (не
меньше р) и количества испытаний (больше N)
имеют излишние для практических целей за
пасы неравенств.
Теоремы Чебышева и Маркова
относятся к среднему арифметическому значе-
нию суммы наблюдённых значений независимых
случайных величин и к среднему арифмети-
ческому значению суммы их средних значений
(математических ожиданий) ([54J, стр. 146; [56],
стр. 386; [58], стр. 100).
Простым следствием из теоремы Чебышева
является принятие среднего арифметического
значения из большого ряда наблюдений одной
случайной величины за среднее значение
(математическое ожидание) этой величины.
Если случайной величиной являются ошибки
измерений, наблюдений и т. д., то среднее
арифметическое значение многократно изме-
ренной величины принимается за её истинное
значение.
Предельная теоремаЛапласа от-
носится к распределению отклонений частости
появления событий от его вероятности, в пре-
деле совпадающему с распределением по за-
кону Гаусса ([.Г6], стр. 364).
На практике теоремой Лапласа пользу-
ются для определения вероятности полу-
чения отклонений частости от вероятности
в заданных границах. Вычисления делают
по следующей приближённой формуле, даю-
щей хорошие результаты, если число N
достаточно велико:
\
где Ф (г) — функция Лапласа, значения которой
приведены в табл. XIV (стр. 98); k — число
появлений события; А/ — число испытаний;
р — вероятность появления события при одном
испытании, одинаковая для всех испытаний


ГЛ. !]
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
291
(схема теоремы Бернулли или урновая схема
с возвращаемым шаром)
Значение величины а определяется по
формуле
-V-
р(\—р}
N
Если вероятность р неизвестна, то её за-
меняют частостью и значение а находится
по формуле
/V3 '
Если значение вероятности в каждом
испытании различно (схема теоремы Пуассона),
то теорема Лапласа и приближённая формула
относятся к средней вероятности - ^--.
Если значения вероятности в каждом испы-
тании изменяются по урновой схеме с невоз-
вращаемым шаром (бесповторная выборка),
то значения с вычисляются по формуле
N
1
N\
^*,Г^'( j
1L\
sj
здесь S — количество предметов во всей
партии, из которой производится выборка N
предметов; /?0 — вероятность при первом испы-
тании.
Предельная теорема Ляпунова
относится к распределению суммы независи-
мых случайных величин, в пределе совпадаю-
щему с распределением по закону Гаусса, если
при этом соблюдаются некоторые условия, на-
кладываемые на случайные величины ([54],
стр. 275; [55], стр. 162; [56], стр. 407). Практи-
чески эти условия ограничивают индивидуаль-
ную роль слагаемых в сумме, иными словами,
среди слагаемых не должно быть таких, кото-
рые были бы значительно больше большин-
ства остальных.
Пример 14. Из партии 1000 калибров была сделана
выборка в 100 шт., в которой оказалось 15 калибров
пониженного класса точности. Найти вероятность того,
что во всей партии количество калибров пониженного
класса точности будет не больше 20%.
По приближённой формуле, соответствующей теореме
Лапласа, условия задачи можно записать так:
-р
0,05\
гг
По формуле а для бесповторной выборки имеем
Ф / _ L_ _ \ — ф A 49^
[ 0,0334 J *^'ад>
п, пользуясь табл. XIV (стр. 98) получим окончательно
Р «^ 0,86.
Вывод формул законов распределения
25. В некоторых технических приложениях
требуется найти диференциальный закон рас-
пределения f(x), исходя из заданных условий
возникновения случайного распределения или
исходя из заданных законов распределения
других случайных величин, связанных опре-
делённым образом с величиной х.
В задачах первого рода обычно бывает
возможно, исходя из заданных условий, уста-
новить число элементов рассматриваемого рас-
пределения, имеющих значения случайной ве-
личины, меньше, чем х, и на основании этого
составить выражение для интегральной функ-
ции распределения F(x). После этого легко
находится диференциальный закон распреде-
ления ср (х), как производная Г (х) по х.
Пример 15. Вывести формулу закона распределения
отклонений х в диаметре обтачиваемого валика, вызван-
ных равномерным по времени износом резца. Примем,
что первая деталь партии изготовлена по наименьшему
размеру, входящему в поле допуска, последняя — по наи-
большему размеру, а величину поля допуска примем рав-
ной 2о. Начало отсчёта величины х примем в середине
поля допуска. Тогда получаем следующую область значе-
ний х, как рассматриваемой случайной величины откло-
нений диаметра,
-5<лг< 4- 8.
Число деталей, меньших чем дг, пропорционально
здесь износу резца и, следовательно, промежутку вре-
мени обработки всех предшествующих деталей.
Следовательно, интегральная функция распределения
F (х) представляет собой линейную функцию от х
(фиг. 211). Два значения из-
вестны, а именно: F (х) = О \Ffxj
при х = — би/г(дг) = 1 при
х = +8.
Поэтому
„, . 1 . х
( - 8 < х < + 8).
Для других значений (х) функция Р(х) равна или нулю
'.при х < — S) или единице (при х > + 8).
Диференциальный закон распределения tp (х) полу-
чается как производная F (х) по х:
<? (х) = F'(x) = ~ (- 8 < х < +8).
28
(х) = О
— оо< х
+ 8 <х <
Полученное распределение называется равномерным
или распределением по закону равной вероятности
(см. ниже фиг. 217).
26. Из задач второго рода типичной
является отыскание закона распределения
случайной величины у, являющейся функ-
цией другой случайной величины х, для ко-
торой задан закон распределения «PI (х).
Если функция у — f (х) непрерывная, имею-
щая непрерывную производную, и монотонная
функция х и х — ф (у) — обратная ей функция,
то закон распределения <р2 (у) определяется по
формуле
Если y = f(x) не монотонная функция, то
область заданных значений х разбивается на
участки монотонности; для каждого участка
берётся обратная функция х,* = <1> (у) и опре-
деляется *?2<1)(У)> окончательная функция <Р2(У)
определяется суммированием по участкам у
значений <р2^ (у) (см. [56], стр. 317— 322)
При линейной зависимости у = Ах -f- С за-
кон распределения &2 (У) остаётся того же
типа, что закон распределения ср} (х), и опре-
деляется формулой


292
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
Центр группирования, т. е. среднее значение
Е (у), дисперсия D(y) и среднее квадратическое
отклонение ау нового распределения опреде-
ляются в этом случае формулами
для второго участка
D (у) = АЮ (х), 0^ = 1^3,.
Пример 16. Задан закон распределения «PI (х) вели-
чины х. Найти закон распределения <ра(.у) величины у =
= \х\. Функция у немонотонная, но для участков от— °о до
О и от 0 до 4- ос линейная: уг-= — х и yt = -f- х; соответ-
ственные значения:
С,-С3=0, Д.--1, Л,-+1;
для первого участка
для второго участка
Поэтому
Если величина ,v подчинена закону равной вероятности,
т. е. <р, (JT) = -у. , то имеем
1
(О < у < «).
Если величина х подчинена закону Гаусса (см. ниже),
(х-а)'
то имеем
2s'
•/2*
аУ
(У - а)*
оо).
В частности, когда а = 0, что означает совпадение
центра группирования распределения по закону Гаусса
с началом отсчёта х, получим
2а»
/2л
т. е. распределение по нисходящей ветви кривой Гаусса
с удвоенными ординатами.
Пример 17. Задан закон распределения величины л
на участке от 0 до 2п в виде <р, (х) = —. Найти закон
распределения <Р3(.И величины у = cos х. Область значе-
ний у от — 1 до +1. Функция cos х немонотонная, а на
обоих участках монотонности (от 0 до я и от я до 2л) —
нелинейная.
Решение поэтому делаем с помощью обратной
функции:
дли первого участка
т
- arccosy,
*
(у) = 2ге — arccos у,
1 1
B)
00 =
Отсюда
Полученный закон рас-
пределения называется за-
коном арккосинуса. Кри-
вая распределения его
антимодальна ('фиг. 212^.
Если функция у =} (х) является нелиней-
ной, но величина х подчинена закону Гаусса
с весьма малым параметром рассеяния (малым
значением о или г), то вычисление ^СУ) ПР°~
изводится с помощью так называемой лине-
аризации функции f(x). Последняя за-
ключается в том, что на участке рассеяния
величины х (примерно ^ За) кривая^ =f(x)
заменяется касательной к ней в точке, отве-
чающей среднему значению Е (х); тогда закон
распределения ср200 может быть принят за
закон Гаусса с параметрами
E(y)=f[E(x)], ey=\f'[E(x)]\9x.
27. Часто встречается в технических при-
ложениях задача определения закона распре-
деления <р (А) для заданной части области
значений случайной величины х (например, от
а до Ь), исходя из закона распределения ср0 (д:),
соответствующего всей области значений х
(например, от — оо до -f-oo). Так например,
полной областью значений х, для которого
задаётся у$(х), может являться поле рас-
сеивания отклонений в размерах всех деталей,
изготовляемых на данном станке, а частью
области, для которой отыскивается 9 (х), мо-
жет быть заданное поле допуска на размеры
детали по чертежу. В рассматриваемой задаче
кривая распределения ср (х) в заданной части
области имеет тот же характер, что и соот-
ветственный участок кривой у$(х). Однако
если ординаты ср (х) взять равными ординатам
ср0(л), то будет нарушена нормированность
ь
кривой <р (х), так как интеграл I ср„ (х) dx
а
меньше единицы.
Для выполнения операции нормирования в
выражение для ср (л) вводится нормирующий
множитель
- 1
I * ,1
= | JTOW*
I a J
значения
мулам
определяются тогда по фор-
Пример 18. Найти нормирующий множитель для за-
кона распределения <р (х), образованного отрезком кривой


СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
293
Гаусса на участке от — 2з0 до + з0. Общее выражение
для у0(х) здесь
при z > о
(— оо < х + оо),
нормирующий множитель Л1 здесь равен
М =
U
1 -f
^J
dz
co
Значения интегралов, входящих в правую часть, берут-
ся из табл. XIV функций Ф (z) на стр. 98, откуда следует,
что
= 1,222.
— Ф (—2) + Ф A) 0,4772 + 0,3413
28. Вычисление закона распределения <р3 (г)
случайной величины г, являющейся суммой
двух независимых случайных величин х и г,
законы распределения которых <PI 00 и Та 00
заданы, производится по формуле
+СО
. Тз (z) = j Ti (•*) Та (г — •*) ^-
—со
Этой формулой пользуются, в частно-
сти, в тех случаях, когда определяется закон
распределения так называемой „композиции"
законов распределения. Последняя пред-
ставляет собой определение закона распреде-
ления случайной величины, являющейся сум-
мой случайных компонентов, например, закона
распределения размеров детали, вызванного
рядом однородных по своему влиянию факто-
ров, приводящих в своей совокупности к рас-
пределению по закону Гаусса, и, кроме того,
одним более существенным фактором (напри-
мер, износом резца), приводящим к негауссово-
му распределению для детали, взятой науда-
чу из партии.
Пример 19. Найти закон распределения величины
г = х-\-у по заданным законам распределения tpi (•*) =
= TJ- и Фз СУ) — т^~, т. е. законам равной вероятности в
ма 2ой
пределах от — 8„ до + 80. Вне этих пределов в, (х) и <р, (у)
равны нулю. Область значений величины г, при которых
<с (г) отлична от нуля, — от — 28„ до + 280. Из пределов
интегрирования по х в формуле для <ps (г) исключа-
ются области значений х, где ю, (х) = 0 или «рз (у) =
- fi(z — •*) = О, а именно следующие области:
1)— оо< х <— 80; + 60< ж <+оо; 2) — oo<jz — лг< —
- 80- т. е. г + 8„ < х < + оо; + 8„ < г — х < + со,
т. е. - оо < х < г — 8„.
При г < 0 имеем: 1) — 8„ > z — 8Сисключается таким
образом область значений х от —оо до — 8„; 2) г + 80< +
+ о„; исключается область от 8„ + г до + со. Получаем
пределы интегрирования по х от —80 до z + 8„.
При z > 0 имеем: 1) z — 60> —80; исключается область
от — оо до z — 80; 2) + 8а < г + 80; исключается область
от + 8„ до + со. Получаем пределы интегрирования по
х от z — 80 до + 80. Отсюда
при г < О
г+о0 г+8„
- Г _ - Г -1 d
I 3 I 48*
< ч. о
—со —°л
2S0 + г
0
= I
г— 80
(jc) <pj (z — л) ах - \ —^ dx -
= Г —
"J «:
@<z<+280).
Полученный закон распределения называется законом
Симпсона; кривая распределения его имеет вид равно-
бедренного треугольника (см. ниже фиг. 218). Если
исходные законы распределения имеют параметры 8, не
равные между собой, то кривая распределения <р> (г)
имеет вид равнобедренной трапеции.
Пример 20. Найти закон распределения в3 (z) компози-
ции двух законов: у, (х) по закону Гаусса и <?3(у) по за-
кону равной вероятности. Параметры указанных законов
даны: а, для закона Гаусса и в, для закона равной вероят-
ности ( — 8а < у < + оа).
Плотность вероятности величины х определяется фор-
мулой
2т5
(- 00 < X < + CO ).
Плотность вероятности величины у определяется фор-
мулами
<Ps (У) =
28,
<Р3 (У) = О
(М
Из пределов интегрирования по х в формуле для
f, (г) исключается только область значений ,v, где у3(У) =
= ?а (* — •*) = 0. так как «р (х) + 0 в пределах от — оо
до + со. Области эти следующие: — со < z — х <— 8,,
т. е. z + 83 < дт< -f оо и + 6а< г — лг < + оо, т. е.
— оо < ,v < z — 8а. Отсюда получаем пределы интегри-
рования по х от г — 8а до г -(- 8а:
2*:
25,
( —оо<г <-т-оо).
г-8,
Выражая г и 8, в долях з, и используя функцию Ф (z),
приведённую в табл. XIV на стр. 98, последнюю формулу
можем выразить ещё так:
На фиг. 213 показаны кривые распределения для по-
лученного закона при некоторых соотношениях — - . Все
CTI
кривые а>з (г) приведены к одному полю допуска 28*28,
из расчёта нахождения в пределах поля допуска 0,9973
площади, ограниченной кривой <р3 B).
Композицию законов распределения не сле-
дует смешивать со случаем механического
соединения нескольких распределений, напри-


294
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
мер, при смешении нескольких партий деталей.
В последнем случае закон распределения, по-
лучающийся в результате соединения двух
распределений случайных величин, объёмы
которых равны Л^, Д/2, вычисляется по фор-
муле
Фиг. 214.
На фиг. 214, а и б показаны кривые рас-
пределения при смешении двух партий с раз-
ными распределениями по закону Гаусса.
Формула для вычисления вероятности здесь
следующая:
Р (<*<*<&) =
-Ф
I
Для значений Ф (z) имеются таблицы (табл.
XIV, стр. 98), в которых даны значения для
г > 0. Функция Ф (г) — нечётная; поэтому
Ф(—г) =—Ф (г), что следует иметь в виду
при вычислениях.
В некоторых руководствах функции Ла-
пласа Ф (z) даются:
1) в виде удвоенного интеграла при
х
г = —, т. е.
+z
' Г.
/2* J
2 dz\
2) в виде удвоен но г о интеграла, приведён-
ного к вероятной ошибке г, т. е. при г = —
Ф (z) =
29. Если случайная величина является ди-
скретной и задана в виде таблицы значений
р (Xj), то вероятность нахождения её в задан-
ных пределах вычисляется на основании тео-
ремы сложения вероятностей путём суммиро-
вания значений р (х{), соответствующих зна-
чениям х„ находящимся внутри указанных
пределов:
Если случайная величина является непре-
рывной, то вероятность нахождения её в за-
данных пределах находится по формуле
Для закона распределения Гаусса соответ-
ственное выражение:
Ъ _ [x-E(x)f
а
Если х выразить в долях а, т. е. положить
в данном случае значения аргумента прибли-
зительно в 1,48 раза ( в —— раза ) боль-
\ РУ2 /
Л'
ше, чем при z = —; значение р дано на
стр. 285;
3) в виде удвоенного интеграла, при-
ведённого к мере точности Л, а именно при
z — fix
z
Ф(г)=—^=(V** dz,
Ул J
о
в данном случае значения^ аргумента прибли-
зительно в 1,41 раза (в VT раза) меньше, чем
х -. _, / 1
при г =—, и приблизительно в2,1 раза (в —ра-
Обозначение
за
меньше, чем при г= —
аргумента вместо г даётся часто t, a, p, v.
30. При решении задач, связанных с двух-
мерным и трёхмерным рассеиванием (рассеи-
ванием на плоскости и в пространстве), обычно
требуется вычисление вероятности нахождения
точки Л в заданной области /?.
Если область задана в прямоугольных коор-
динатах, то вычисления производят по фор-
мулам
Р (А с /?) = J J я» (х,у) dx dy,
R
г= —, а начало отсчёта перенести в центр '. „. ГГГ / ^ j • ^
с к Р (А а /?) = \\ \ 9 (х, у, z) dx ay dr,
ггигппиппвянмя F'(r\ тп nnpTTKiTivmaa AnnMV-ПЯ J ._ J
группирования Е (х), то предыдущая формула
приводит к приведённой функции Лапласа
ы
символ с: обозначает знак включения точки
в область R (на плоскости или в пространстве).
При часто встречающемся гауссовом рас-
пределении двух независимых случайных ве-
личин на плоскости, основными параметрами


СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
295
этого распределения могут быть взяты: коор-
динаты центра группирования (х0, у0) и сред-
ние квадратические отклонения <гх и ау по
главным осям эллипса рассеивания. Примем
начало координат совпадающим с центром
группирования (х0 = 0 и _у0 = 0)- Тогда веро-
ятность нахождения точки А в пределах области
R вычисляется по формуле:
Р (A d R) -
V '
2з'у ' dx dv.
Если область R является прямоуголь-
ником со сторонами, параллельными глав-
ным осям эллипса рассеивания и отстоящими от
центра группирования на ах, bx, cy, dy, пре-
дыдущая формула приводится к следующей:
p(a*
\Cy
IT
<У
. .
dx dy =
вычислить при гауссовом распределении по
отношению величины площади последней s%
к площади так называемого единичного
эллипса, построенного на вероятных откло-
нениях гх, гу, вероятность нахождения точки
в пределах которого равна 0,203:
P(AdR) ~ 0,203 •-??-.
•к гхгу
Если закон распределения двухмерного
рассеивания является не гауссовым, а законом
равной вероятности в пределах площади S,
то вероятность нахождения точки в пределах
области R с площадью *^(s^<[5) равняется
отношению S к S:
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ,
ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ТЕХНИЧЕСКИХ
ПРИЛОЖЕНИЯХ
В технических приложениях встречаются
как распределения, воспроизводящие теоре-
тическое распределение, схема возникновения
которого соответствует практическим усло-
виям, так и некоторые модификации теорети-
ческих кривых, вызванные определёнными рас-
хождениями между схемой и условиями прак-
В случае, если ax, bx, cy или dy меньше
нуля, то при вычислении квадратных скобок
учитывается, что Ф (— г) = — Ф (г).
Если область R является эллипсом, по-
добным эллипсу рассеивания (при коэфициенте
подобия X), построенному на средних квадра-
тических отклонениях (т. е. полуоси эллипса R^
равны Хад. и Хву), то вероятность нахождения
точки А в пределах эллипса R^ вычисляется
при гауссовом распределении по формуле
Xs
1 — 2,51 Ф'(Х),
где Ф' (X) находится из табл. XV на стр. 98.
Если коэфициент подобия X берётся отно-
сительно вероятных отклонений (т. е. полуоси
эллипса /?х равны X гх и X гу), то предыдущая
формула заменяется следующей:
При произвольной форме области R прак-
тическое вычисление вероятностей обычно
производится или путём разделения области
на мелкие прямоугольники с последующим
суммированием вероятностей по отдельным
прямоугольникам, или с помощью так назы-
ваемой сетки вероятностей, в которо'й
даются вероятности нахождения точки в ма-
лых квадратах, стороны которых по осям эллип-
са рассеивания выражены в долях вероятной
или средней квадратической ошибки.
Если область R является малой по срав-
нению с эллипсом рассеивания (Р<20%), то
приближённое значение вероятности нахо-
ждения точки А в пределах области R можно
Законы распределения дискретных
случайных величин
Из теоретических распределений дискрет-
ных случайных величин в технических прило-
жениях довольно часто встречаются распре-
деления по биномиальному закону и по за-
кону Пуассона.
31. Биномиальный закон рас-
пределения встречается в задачах о
повторении испытаний с неизменной вероят-
ностью р в каждом отдельном испытании (см.
выше стр. 288). Область значений: целые по-
ложительные числа от 0 до п, т. е. х± = 0,1,2,
..., а.
Формула закона распределения:
nl
xt\(n — xf)l1' ч "
Параметры закона: 1) р может иметь лю-
бое значение между 0 и-f-1; 2) п — целое по-
ложительное число. При р = -у закон распре-
деления симметричный (фиг. 215, а и б для
п = 5 и л = 20).
При р :? -~- закон распределения несим-
метричный, причём несимметричность стано-
вится менее резко выраженной при увеличе-
нии числа п (фиг. 215, виг для р = —г-', п =
= 5 и п — 20), а также при приближении зна-
1
чения р к-н-.


296
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Среднее значение Е (xi) = rtf.
Дисперсия О (х{) = пр(\ —р>.
Среднее квадратическое отклонение с =
- Упр(\-1>).
При вычислении значений р (х{) можно
пользоваться табл. 111 значений биномиаль-
0.20
•0.10
0
ОАО
0.20
О.Ю
0
_.
' J
•J
ffO
н
t
45 к,
В)
/7.5
*•*
..
Э /. f чл
0,13
10
0.05
0
P(*,J
Q.2Q
0.15
QJO
0.05
0
—г
0 /
1
ill
6 8
с о
1
П--20
P-j
!
||lj
Ю 12 M ШШ х,
?/
п*20
1П Г> *is
? 4 6 8 Ю'?
Фиг. ?15.
табл. IV
ных коэфициентов (стр. 33) или
значений факториалов (стр. 33).
32. Распределение по закону
Пуассона встречается в задачах о повто-
рении испытаний, в которых вероятность собы-
тия очень мала (редкие события). В частности,
распределения, близкие к нему, получаются
в задачах на скученность (число телефонных
и т. п. вызовов, число пассажиров, посети-
телей и т. д. в единицу времени), для чисел
атмосферных разрядов и помех при радио-
передачах, для чисел излучений атомных
частиц, для чисел редких элементов на еди-
ницу поля (например, в растворах, в оптике
и т. д.).
Область значений: целые положительные
числа от 0 до п, т. е. *,• = 0, 1, 2, . . . , п.
Формула закона распределения:
Р (xi) =
*1
Параметр закона — один, — число а.
Закон распределения — несимметричный,
причём несимметричность становится менее
0М//
GJ0I
о.; о\
0L._ _
а--2
С/5
aw
aoS
о
а = 10
/2365678 х, и 2 Ь 6 8 Ю121ЫЫ8 К*
Фиг. 216.
резко выраженной при увеличении числа а
(фиг. 216 при а = 2 и о = 10).
Среднее значение E(xj) = a.
Дисперсия D (Xj) = a.
Среднее квадратическое отклонение о =
Центральный момент третьего порядка
р.3 = д.
Равенство между собой Е(х,-), D(x/) и |д.3
является одним из характерных признаков
распределения по закону Пуассона.
При вычислении значений р (Х{) можно
пользоваться таблицей значений факториалов
(стр. 33, табл. IV) и таблицей значений е ~ *
(стр. 86, табл. VIII).
Из основных теоретических распределений
непрерывных случайных величин в технических
приложениях чаще других встречаются: рас-
пределения по закону равной вероятности, по
закону Симпсона, по закону Гаусса, по кри-
вой Максвелла; композиции этих законов
между собой и с некоторыми другими распре-
делениями; модификации законов распределе-
ния (в основном распределения по закону
Гаусса) в связи с ограничением поля распре-
деления границами поля допуска.
33. Распределение по закону
равной вероятности (равномерное рас-
пределение) встречается, в частности, в ошиб-
ках от округления отсчёта по шкале до бли-
жайшего целого деления; в ошибках отсчёта
времени при движении стрелки скачками;
в ошибках электрических синхронных передач
ступенчатого типа; в направлении векторных
ошибок, например, ошибок от эксцентрисите-
тов, от перекосов осей и т. п.
Область значений: от а до Ъ (фиг. 217).
Диференциальный закон распределения
„ с , . а 4- Ь
Среднее значение Е (х) = — 9 — .
Дисперсия D(x)=-±^^?-.
Среднее квадратическое отклонение
b — a
Закон распределения — симметричный.
Если за начало отсчёта О' величины х
взять среднее значение Е (х) = — ? — , а гра-
Jmt
ницы области значений х, где <р (х) ф 0 обо-
значить — о и + о, то предыдущие выражения
получают вид
?(ЛГ)=0


ГЛ. 1]
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
297
Среднее значение Ь (х) = 0.
Дисперсия D (х) = -»- 82.
о
Среднее квадратическое
Среднее квадратическое отклонение
отклонение
Параметров закона — два: Ь (х) = ——~—
и g __ __Г а- . Коэфициент относительной асим-
метрии а = 0; коэфициент относительного рас-
сеивания * k — 1,73.
Для угловых ошибок, имеющих круговую
область значений от 0 до 2тт, закон распреде-
ления определяется формулой
1
Ограничения пределов области значений х
в сущности можно не делать, за исключением
требования кратности их 2 тт.
Вычисление вероятности получения зна-
чения х между границами с и d, причём
производится по формуле
' Ъ-а'
34. Распределение по закону
Симпсона встречается, в частности, при
сложении двух случайных величин, подчинён-
ных закону равной вероятности с одинаковыми
Фиг. 218.
параметрами (например, в ошибках при от-
счёте длины, угла или промежутка времени
с округлениями до ближайшего целого деления
на обоих концах и т. п.).
Область значений от а — 8 до а + 5
(фиг. 218). Диференциальный закон распреде-
ления:
— а
62
5- х + а
(х) = О
5<л-< +
Среднее значение Е (х) — а.
Дисперсия D(x) = - - 52.
* Здесь и дальше значения коэфициента А даны
при Хй = — t
Если за начало отсчёта О' величины х
взять Е(х) = а, то границы области значе-
ний х, где ф (х) ф О, равны — 8 и + 6, а пре-
дыдущие выражения получают вид
8 _ I v \
11 " ;i4).
Среднее значение Е (х) = 0; D (х) и о —
без изменений.
Закон распределения — симметричный.
Параметров закона — два: Е (х) = а и 8.
Коэфициент относительной асимметрии а =
= 0; коэфициент относительного рассеивания
k = 1,22.
35. Распределение по закону
Гаусса, называемое также часто нормаль-
б)
ным распределением, встречается в тех
случаях, когда оно вызвано большим числом
однородных по своему влиянию случайных
факторов, влияние каждого из которых, по
сравнению с совокупностью всех остальных,
незначительно*. В частности, это имеет ме-
сто в размерах деталей при изготовлении их
по принципу автоматического получения раз-
меров, в ошибках измерения, в рассеивании
при стрельбе и т. д.
Область значений (теоретическая) от — оо
до -foe-
Диференциальный закон распределения
(фиг. 219):
_ (X — а)«
Ф(х) = _,__- е 2°а
Среднее значение Е(х) = а.
Дисперсия D (х) = с2.
Среднее квадратическое отклонение с.
Закон распределения — симметричный.
Параметров закона — два: Е(х)=а и о.
Коэфициент относительной асимметрии
* Обоснованием этого являются так называемые пре-
дельные теоремы Ляпунова, Линдеберга—Феллера • др.
(см. стр. 231J.


298
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Коэфициент относительного рассеивания
k = 1 (при В = 3 а).
На фиг. 219, б дан также график интеграль-
ной функции распределения F(x) для закона
Гаусса.
Часто встречаются выражения диферен-
циального закона распределения Гаусса через
другие параметры вместо а, а именно через
вероятное отклонение г и через меру точно-
сти /г:
р
-Л» (г- а)»
У те
(значение р дано на стр. 285).
Для вычисления значений <р (х} пользуются
приведённой на стр. 98 табл. XV:
1 —
. . , , 1 — о
у __ /7 \
где г = -———, a <p (z) выражено в ——. При г =
=0, <р (z) — 0,3989. Функция <р(г) = Ф'(г) является
производной функции Лапласа. Встречаются
также таблицы ? (г) — Ф' (г), где г выражено
не через среднее квадратическое отклонение а,
х— а
а через вероятное отклонение г, т. е. г = —-—
и
, = —!—-е
-p».z*
или через меру точности Л, т. е. г = h (х — а),
и
Соответственно в первом случае «р (г) вы-
ражено в —. Значение аргумента z при этом
приблизительно в 1,48 раза (в —-== pasaj
больше, значение функции во столько же раз
v- ___ /7
меньше, чем при z •=• ———. Так например,
а
при 2 = 0 значение <p(z) будет равно 0,2691.
Во втором случае <р (z) выражено в ft. При
этом значение аргумента приблизительно
в 1,41 раза f в ]/~ раза \ меньше, а значе-
ние функции во столько же раз больше, чем
у ___ /у
при z = ———. Так например, при z — О,
? (г) = 0,5642.
36. Распределение по кривой
Максвелла встречается главным образом
у существенно положительных величин; в
частности, когда случайная величина являет-
ся радиусом-вектором при двухмерном или
трёхмерном гауссовом рассеивании, т. е. она
является геометрической суммой двух или
трёх случайных величин, подчинённых закону
или х = У_у2 +
Гаусса (х — Yy2 + zz или х = _у2 + «2 + ).
Примеры: модуль эксцентриситета шкалы,
зубчатого колеса и т. п., вызванного двухмер-
ным гауссовым рассеиванием; радиальное от-
клонение при стрельбе, бомбометании и т. д.,
если рассеивание на плоскости является кру-
говым; радиальное отклонение при дистан-
Фиг. 220.
ционной стрельбе при сферическом рассеива-
нии; абсолютная величина скорости движения
молекул и других частиц и т. д.
Область значений (теоретическая): от О
ДО + СО.
Диференциальный закон распределения при
двухмерном исходном рассеивании (фиг. 220)
здесь а0 — среднее квадратическое отклоне-
ние кругового гауссова рассеивания (о0 =
= стг = J^)-
Среднее значение
Е(х) = ^Л/ -~ ^ 1,253 а0.
Дисперсия
?> (х) = (% — -?- ) а» = 0,429 *.
Среднее квадратическое отклонение
Закон распределения — несимметричный.
Параметр закона — один: и0.
Коэфициент относительной асимметрии а =
=-—0,28 [при 28 = 3,5 о0].
Коэфициент относительного рассеивания
k = 1,13.
Диференциальный закон распределения при
трёхмерном исходном рассеивании (фиг. 221):
Среднее значение
Е(х) = 2у ^0-
Дисперсия
D (х) = C — —} & ~ 0,454 е-
V г. J » •


гл. ц
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
299
Среднее квадратическое отклонение
"= 1/ 3 — -|-3о~ 0,674в0.
Закон распределения — несимметричный.
Параметр закона—один: %
Фиг. 221.
37. Распределения по отрезкам
кривой Гаусса являются простыми моди-
фикациями распределения по закону Гаусса,
вызываемыми, например, несоответствием ме-
жду полным полем рассеивания размеров полу-
ченных деталей и заданным по чертежу полем
допуска. В задачах подобного рода требуется
определить числовые характеристики распре-
деления только тех деталей, размеры которых
находятся в пределах поля допуска 2 8. Если
при этом центр группирования полного рас-
Фиг. 222.
сеивания (ось симметрии кривой Гаусса) сов-
падает с серединой поля допуска (являющейся
и началом отсчёта х), то получающееся рас-
пределение остаётся симметричным (фиг. 222).
Область значений: от — 5 до + 8.
Диференциальный закон распределения
здесь
«о
<р (лг) = О
Значения Ф (г) и Ф'(г) приведены соот-
ветственно в табл. XIV и XV (стр. 98).
Параметров распределения — три. Два ха-
рактеризуют полное рассеивание, т. е, исход-
ное гауссово распределение: а0 = 0 и а0.
Дополнительным параметром получающе-
гося распределения может быть взято отноше-
S
ние —, т. е. половины поля допуска к среднему
со
квадратическому отклонению полного рассеи-
вания (исходного распределения по закону
Гаусса), пли вероятность получения отклоне-
ний за пределами поля донуска (процент вы-
хода из допуска). По мере увеличения про-
цента выхода кривые распределения стано-
вятся более пологими, а значения коэфи-
циента k увеличиваются.
Коэфициент относительной асимметрии а
здесь равен нулю.
Если центр группирования полного рассеи-
вания не совпадает с серединой поля до-
пуска (я0 ф 0), то получающееся распределе-
ние является несимметричным (фиг. 223).
Область значений: от — 5 до-f-U.
S0 2<30 360
On- +<f
Фиг. 223.
Диференциальный закон распределения
в этом случае имеет вид
•* (х) = ——.-——-^——,———-Ф'/Л
Ф
<f(*) = 0 E<|х|О).
8
Параметров распределения—три: а<>, °о и ~ •
Вместо последнего дополнительным параме-
тром могут быть взяты проценты выхода за
поле допуска по каждую сторону от центра
группирования.
Часто встречается, например, при изгото-
влении деталей пробными проходами выход
за поле допуска практически только с одной
стороны (с другой стороны принимается про-
цент выхода 0,13, что отвечает отстоянию
центра группирования от границы поля
на 3 <?<))• Вид кривой распределения показан на
фиг. 224.
38. Большое распространение в техниче-
ских приложениях имеют также композиции
приведённых выше теоретических распреде-
лений между собой, а также с распределе-
ниями, получающимися в результате влия-
ния на рассматриваемую величину домини-
рующего фактора, неравномерно изменяюще-
гося во времени. В последнем случае в ком-
позиции входят распределения типа равно-
возрастающего, равноубывающего, сначала
убывающего, затем возрастающего и т. д.
Некоторые из получающихся в результате
композиций таких распределений с распреде-


300
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
лением по закону Гаусса приведены в главе I
тома 5. Там же даны некоторые примеры рас-
пределений, получающихся при механическом
смешении нескольких партий изделий, имею-
щих исходные распределения по закону Гаусса,
но с разными центрами группирования (а^ ф
фа2ф... фап) или с разными параметрами рас-
сеивания (ui ф ст2 Ф • • • Ф ап)- Более подробные
данные о кривых распределения, указанных
здесь, имеются в специальной литературе *.
39. Распределение Стюдента при-
меняется для оценки вероятности отклонения
выборочной средней х от генеральной сред-
ней XQ. Закон распределения имеет вид
здесь п — число экземпляров, вошедших в вы-
борку:
где .*,—- выборочные значения, наконец,
п
2
(о функции гамма Г (л-) см. стр. 139 и табл. XVII
на стр. 100).
Распределение Стюдента имеет значение
при оценке средних, полученных из малых
выборок, например, при оценке среднего от-
клонения от номинала в большой партии по
среднему отклонению, полученному из неболь-
шого числа экземпляров, выбранных случайно
из этой партии (статистические методы кон-
троля), и в других подобных задачах. Распре-
делением Стюдента пользуются, когда п < 20,
так как при п ^20 оно мало отличается от
нормального по закону Гаусса. (Подробнее
см. [66]).
В табл. 27 на стр. 319 приведены значения
S(z) интегральной функции распределения
для закона Стюдента:
л.
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
И СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Общие замечания
Порядок обработки опытных данных (ре-
зультатов измерений, наблюдений и т. п.)
зависит от характера исследуемого объекта,
от характера процесса измерения или наблю-
дения и от характера и значимости ошибок,
присущих -последним.
В отношении характера исследуемого
объекта существенным является природа ха-
рактеризующей его величины. В некоторых
задачах эта величина является постоянной,
не случайной: например, длина одного и того
же повторно измеряемого стержня, вес по-
вторно взвешиваемого предмета, расстояние
между заданными неподвижными точками и т. п.
Здесь в результате опыта требуется найти
одно значение определяемой величины. В дру-
гих задачах определяемая величина является
случайной. Например, размер детали в партии,
механические свойства, определяемые по груп-
пе образцов, и т. п. Здесь в результате опыта
требуется найти те или иные вероятностные
характеристики определяемой величины, чаще
всего её среднее значение и меру её рассеяния
относительно этого среднего значения (см.
.Сведения из теории вероятностей").
Если величин, характеризующих исследуе-
мый объект, несколько, то существенным
является то, независимы ли они между собой
или между ними имеется какая-либо связь.
В первом случае в результате опыта требуется
установление тех же характеристик для ка-
ждой из исследуемых величин, какие только
что указаны по отношению к одной величине.
Во втором случае требуется установить, какая
именно зависимость имеется между исследуе-
мыми величинами и каковы её числовые ха-
рактеристики. Если исследуемые величины
являются неслучайными, то это приводит к
отысканию функциональной зависимости между
величинами, выражаемой обычно в аналити-
ческом виде, в виде таблицы или графически.
Если же исследуемые величины являются
случайными, то результаты обработки будут
различными в зависимости от степени связан-
ности величин между собой (коррелятивная
или функциональная зависимость).
В отношении характера процесса измерения
существенным является то, определяются ли
исследуемые величины непосредственно или
же косвенным путём. В первом случае, если
имеются случайные ошибки или определяемые
величины являются случайными, обработка
полученных результатов ведётся обычными
статистическими приёмами. Во втором случае,
при отсутствии случайных ошибок и случай-
ных величин,— обычными алгебраическими
способами решения нескольких уравнений с
несколькими неизвестными, а при наличии
случайных ошибок или случайных величин —
по способу наименьших квадратов. Кроме
того, порядок обработки результатов зависит
ещё от того, являются ли произведённые из-
мерения или наблюдения равноточными (имеют
одинаковые веса) или неравноточными (имеют
различные веса).
В отношении характера ошибок измерения,
наблюдения и т. д., присущих проводимому
опыту, производится разделение их на систе-
матические, случайные и грубые (промахи4!.
Систематические ошибки имеют в про
водимом опыте или одно постоянное значение
или значения, изменяющиеся по определённому,
заранее известному закону *. Причинами си-
* См., например, Н. А. Б о р о д а ч е в, Анализ точ-
ности и качества производства, Машгиз, 1946.
* Ошибки, являющиеся систематическими в одной
задаче, могут оказаться случайными в другой. Например,
инструментальная погрешность конкретного экземпляра
измерительного прибора является систематической ошиб-
кой для всех выполняемых с ним измерений. При харак-
теристике же точности метода измерения или производ-
ственной точности изготовления партии таких приборов
эта же ошибка является случайной.


гл. ц
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
301
схематических ошибок могут быть: постоянная
погрешность инструмента, например, ошибки в
градуировке шкалы, эксцентриситет лимба
и т. п.; методическая погрешность формулы,
по которой ведётся расчёт или работает прибор;
постоянная личная ошибка наблюдателя
и т. д. Систематические ошибки инструментов,
используемых при проведении опыта, иссле-
дуются при их изучении (тарировке) и либо
устраняются (если это возможно) регулировкой,
либо исключаются при проведении расчётов
по обработке результатов. Последнее относится
и к другим систематическим ошибкам, напри-
мер, пличным ошибкам. В некоторых случаях
систематические ошибки, следующие извест-
ному закону, устраняются выбором метода
проведения измерения. Например, ошибка в
измерении угла, вызванная эксцентриситетом
лимба, исключается вторичным измерением
угла по лимбу, повёрнутому на 180°, и взятием
затем среднего арифметического из двух ре-
зультатов измерения.
Случайные ошибки измерений вызывают-
ся многочисленными факторами, малыми по
своему индивидуальному влиянию на результат
и не могущими быть учтёнными при проведении
опыта. Наличие случайных ошибок измерения
обнаруживается при многократных повторных
измерениях одной и той же неслучайной ве-
личины в том, что результаты измерения
оказываются различными. Рассеяние резуль-
татов измерения обычно подчиняется закону
Гаусса (см. „Сведения из теории веро-
ятностей" о теореме Ляпунова и об усло-
виях возникновения распределений по закону
Гаусса).
При просмотре результатов измерений
приходится учитывать возможность ошибок,
не относящихся к указанным двум категориям.
Если, например, измеряющий неверно прочи-
тал или записал отсчёт по измерительному
инструменту, то в этом результате измерения
содержится ошибка, которая не является,
конечно, систематической, но и не может быть
названа случайной, так как она не вызвана
влиянием разных многочисленных факторов.
Такого же рода ошибки могут войти в отдель-
ные измерения и вследствие посторонней
причины (резкий толчок во время измерений
и т. п.). Все подобного происхождения ошибки,
обычно крупные, входящие в немногие отдель-
ные измерения, называют грубыми. Обычно
они легко обнаруживаются тем, что полу-
чаются числа, отличающиеся от чисел сово-
купности измерений на величину, заметно
превышающую точность измерений.
Грубые ошибки по своей природе резко
отличаются от указанных выше основных
видов ошибок и исключают возможность
применения тех приёмов обработки опытных
данных, которые разработаны применительно
к систематическим и случайным ошибкам.
Потому измерения, содержащие грубые
ошибки, должны быть просто отброшены.
В случае сомнений пользуются двумя крите-
риями:
1) правило «трёх сигм": измерение
отбрасывается, если абсолютная величина раз-
ности между сомнительным значением передним
арифметическим из всех значений больше Зс
и безусловно отбрасывается, если она боль-
ше 4 <i (определение с см. стр. 283);
2) критерий Шовене: если .Л/ есть
число измерений, то по таблицам функции Ла-
пласа (стр. 98) вычисляется аргумент г0 из
равенства:
Отбрасываются те измерения, для которых
абсолютная величина разности между сомни-
тельным значением и средним арифметическим
из всех измерений превышает г0а.
При малом числе измерений критерий
Шовене приводит к отбрасыванию значения,
отклоняющегося на величину, значительно
меньшую, чем 3s (например, 1,96о, при /V= 10),
и поэтому пользование им в этих случаях не
всегда может быть рекомендовано.
Кроме того, следует иметь в виду, что
отбрасывание грубых ошибок можно делать
только при полной уверенности, что распре-
деление ошибок подчинено закону Гаусса, так
как иначе отбрасывание на основе приведённых
критериев может привести к вредным послед-
ствиям.
Указанные выше особенности задач по
обработке опытных данных приводят к много-
численным возможным комбинациям их; из
последних будут рассмотрены ниже только
некоторые, более часто встречающиеся на прак-
тике. В отношении остальных следует обра-
щаться к специальным работам (см. список
литературы на стр. 321).
Опытные данные, относящиеся к одной
непосредственно определяемой величине
Если исследуемый объект характеризуется
одной величиной, непосредственно определяе-
мой на опыте, то в зависимости от остальных
условий опыта, обработка результатов заклю-
чается обычно в решении одной из четырёх
рассматриваемых ниже задач.
В первых двух из них определяемая вели-
чина не случайная и поэтому задача заклю-
чается в установлении значения этой величи-
ны. Различие между первой и второй задачами
определяется значимостью ошибок измерения,
которые или могут быть просто не принимаемы
во внимание (первая задача), или же вносимые
ими существенные искажения в результаты
опыта должны быть выявлены и по возмож-
ности исключены при обработке результатов
(вторая задача).
В последующих двух задачах определяе-
мая величина случайная, и поэтому задачей
является установление, по меньшей мере,
двух вероятностных характеристик её (сред-
него значения и среднего квадратического
или вероятного отклонения). Различие между
третьей и четвёртой задачами аналогично та-
ковому между первыми двумя.
Первая задача. Определяемая величина X
постоянная, не случайная. Ошибки измерения
пренебрежимо малы по сравнению со значе-
нием определяемой величины.
В технических задачах критерием прене-
брежимой малости отбрасываемой величины
обычно считается значение последней, мень-
шее 1—2% от результата. В некоторых зада-
чах ошибками измерения пренебрегают, если


302
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
полное поле практического рассеяния резуль-
татов измерения, т. е. 6 а меньше, чем 5—10°/о
значения измеряемой величины (коэфициент
вариации -т=- порядка 1—2°/0).
X
Пренебрежимая малость ошибок измерения
должна быть гарантирована или надёжным
паспортом измерительного прибора или резуль-
татами предшествующих совершенно анало-
гичных опытов. Если такой гарантии не имеет-
ся, то предварительно следует провести не-
сколько (8—1и) повторных измерений посред-
ством применяемого прибора, чтобы убедиться
в пренебрежимой малости получающегося раз-
броса результатов.
При соблюдении указанных условий опреде-
ление искомого значения может производиться
по одному измерению, принимаемому за
искомое значение величины.
Вторая задача. Определяемая величина X
постоянная, не случайная. Ошибки измерений
имеют существенное значение и поэтому для
учёта их влияния производится многократное
измерение величины. Здесь могут встретиться
два случая: равноточные и неравноточные
измерения.
Равноточные измерения. Измерения
делаются с помощью одного и того же инстру-
мента, при одинаковых условиях, одним наблю-
дателем. Такого рода измерения называются
равноточными (имеющими один вес).
При указанных условиях за искомое значе-
ние величины X принимается среднее арифме-
тическое значение х из всех результатов п
измерений:
x-x^-L- */- 0)
Точность процесса измерения характери-
зуется рассеянием полученных значений лгг-.
Числовыми характеристиками рассеяния при-
нимаются или средняя квадратическая ошиб-
ка аа или вероятная ошибка ги одного измере-
ния. Ошибки ои и ги вычисляются по форму-
лам Бесселя или Петерса.
Формулы Бесселя:
ги = 0,6745
Формулы Петерса:
V i v-
—
v-
xi
ац = 1,253 -~
•х\
1.253 ——
V v..__
^^
х 0,8454
E)
п — 0,5
Здесь п есть число измерений; х опре-
деляется по формуле A).
Величины xi — л, входящие в формулы
Бесселя и Петерса, называются остаточными
погрешностями (или кажущимися ошибками).
Вычисление по формулам Петерса несколько
проще, но для достижения одинаковой точ-
ности результата число п при пользовании
ими должно быть в 1,14 раза больше, чем
при пользовании формулами Бесселя.
Точность соответствия принятого значения
X ^: х неизвестному истинному значению
величины тем больше, чем больше число
измерений п.
Числовыми характеристиками этой точно-
сти принимают среднюю квадратическую
ошибку о_ или вероятную ошибку г— сред-
него арифметического х. Значения назван-
ных ошибок вычисляются по формулам
_
п(п"-\)
г- = 0,6745
G)
Окончательный результат обработки мате-
риалов опыта при второй задаче записывается
так:
X — л*
ср. кв. ошибк
или
X =jtrtr r— (:? вер. ошибка).
(8)
(81)
/г—0,5
D)
Найденное значение X во всех случаях, когда
ошибки подчиняются закону Гаусса (нормаль-
ный случай для ошибок измерений), является
наиболее вероятным значением неизвестного
истинного значения, которое можно вывести
из совокупности сделанных измерений
Равенство (8) имеет следующий смысл при
условии, что распределение х подчиняется
закону Гаусса: с вероятностью 0,682 можно
ожидать, что значение X заключено между
числами х — а— и л: -f о—; число 0,682 называют
X X
в подобных задачах^коэфициентом доверия,
а границы х— <з- и х-+-а-— доверительными
границами при заданном коэфициенте доверия.
Для равенства (8') —аналогичная трактовка
с коэфициентом доверия 0,50. Эти заключения
приблизительно верны, если л>20.
При малом числе измерений следует
пользоваться для этой цели распределением


ГЛ. I]
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
303
Стюдента (стр. 300). В этом случае, при
одном коэфициенте доверия доверительные
границы зависят от числа измерений. Так,
равенство (8), на основании распределения
Стюдента, заменяется при коэфициенте
доверия 0,682 и различных п следующими
равенствами:
X = х ± 1,14а_ для п — 5,
X = х :± 1,06з1 для п = 10,
X = ~х ± 1,04а_ для п = 15 *.
Если число измерений относительно
велико (п > 20), то для ориентировочного
определения ги пользуются иногда следующим
приёмом: располагают в порядке возрастания
или убывания абсолютные значения всех
остаточных погрешностей \xi—x\, в том числе
и повторяющиеся, и находят из них то значе-
ние, которое расположено по середине полу-
ченного ряда чисел. Это значение и принимают
ориентировочно за ги**.
Если значения аи или ги вычисляются
различными приёмами, то получение близких
результатов (в пределах расхождения до 10%)
может служить косвенным подтверждением
правильности расчёта, а также следования
ошибок закону Гаусса. Если же получаются
значительные расхождения в результатах, то
следует как проверить самое вычисление, так
и увеличить число измерений для поверки
соответствия распределения ошибок закону
Гаусса (приёмами, указанными в третьей
задаче).
Если число измерений п берётся для
повышения точности определения ^большим,
то, хотя вычисления по формулам A) — G)
делаются тогда весьма громоздкими, произ-
водить вместо них вычисления по методу
моментов (см. ниже) не следует, так как этот
метод сам по себе является менее точным
и может свести на-нет повышение точности,
достигнутое увеличением числа измерений.
Пример 1. Обработка равноточных измерений. Вычи-
сления приведены в табл. 17.
Таблица 17
по формулам B) и C)
а 0,60
*Г
2О,2
19,6
19.9
20,6
2О,О
20,3
Сумма 120,6
xi — х
+ 01
-05
—— О 2
+ °5
— о т
+ 02
(о,оо)
(Xi - *Т-
0 01
025
о О4
025
0 01
о 04
о,6о
По формуле A)
* Подробнее см. у Романовского [66].
** При несимметричных негауссовых распределения>,
вместо \x-t —*| следует брать |JT,- —Же], где Же —медиа-
на, которая может быть определена как значение x-t
находящееся в середине расположенных в аналогичном
порядке результатов измерений (или в промежутке
между значениями x-t и •*".,,, находящимися в сере-
дине) "*"
яи = 0,346, та = 0,233;
по формулам F) и G)
°_ = 5—— =0,141,
_
х VG
окончательно
X = 20,1 ± 0,14 (± ср. юв. ошибка)
или
X = 20,1 ± 0,10 (± вер. ошибка).
Пояснения к табл. 17. В первом столбце записаны
числа, полученные в отдельных измерениях; во втором
столбце сумма вычисляется для контроля, она должна
точно равняться нулю, если среднее значение вычисле-
но по сумме^Ч Х( точно, а не приближённо; если же
Г
х вычислено приближённо, с точностью до какого-либо-
знака, то сумма чисел (xi — х) при вычислении с округ-
— п
лением последнего знака х не должна превышать —
единиц последнего знака; при вычислении без округ-
ления — п единиц. В нашем примере значение х вычи-
слено точно.
Если сделать расчёт значений иц и ги из этого же
примера по формуле Петерса, то получим
1,253
1,60
= 0.6745 • 0,366=0,246; г__
0.366
0,246
VT'
: 0,10.
Неравноточные измерения (с
разными весами). Если отдельные изме-
рения сделаны посредством инструментов,
имеющих различную точность, характеризуе-
мую различными параметрами рассеяния с^, то*
определяются веса измерений по формуле
Si ~
Здесь г0 — число, называемое средней ква-
дратической ошибкой на единицу веса, совпа-
дающее с одним из значений at или произволь-
но выбираемое так, чтобы веса g{ были для
облегчения вычислений по возможности про-
стыми числами.
Если сводятся вместе средние результаты
предшествующих серий измерений, равноточ-
ных, но с различными числами П{ измерений
в каждой серии, то за веса принимают числа
измерений каждой серии g; = nf.
В некоторых случаях веса назначают
приближённо, руководствуясь соображениями
о качестве измерительных инструментов, на-
дёжности работы измеряющих лиц и т. д.; бо-
лее точным измерениям приписывается боль-
ший вес.
При значительном числе неравноточных
измерений предшествующие формулы изме-
няются следующим образом:


304
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
1) среднее взвешенное
арифметического)
Х^х =
(вместо среднего
(9)
2) средняя квадратическая ошибка измере-
ния на единицу веса
о0 —
r/<X-
<Y
»=i
A0)
3) средняя квадратическая ошибка средне-
го взвешенного
-
(л-
(И)
ft
Аналогично изменяются и формулы вероят-
ных ошибок г0 и г- при малом числе изме-
рений (см. у В. И. Романовского [66]).
Окончательные результаты обработки за-
писываются, как и в предыдущей задаче:
Х = ~х-\~з- (i СР- кв- ошибка)
или
(+ вер. ошибка)
Пример 2. Обработка неравноточных измерений. Вы-
числения приведены в табл. 18.
Таблица 18
xi
23
28
27
31
Сум-
ма
Si
3
5
i
2
II
Xi gi
69
140
27
62
298
Xi-JC
— 4,1
+ 0,9
— 0,1
+ 3-9
-
(xi-x')
16,81
0,81
O,OI
i5,21
-
gi(xi- *Y
50,43
4,05
0,OI
30,42
84,91
Si (Xi -x)
— 12,3
+ 4,5
— 0,1
+ 7,8
(-0,1)
Пояснения к таблице. Последний столбец
служит только для контроля. Сумма должна равняться
нулю, если х вычислено без приближения; в нашем
случае ;Гполучено с точностью до 0,1 с округлением,
т. е. с точностью до 0,03, поэтому абсолютная величина
суммы по правилам приближённых вычислений не должна
превышать 0,05 X П = °,55-
По формуле (9)
по формуле A0)
по формуле A1)
„^=1,60,
•* Уп
окончательно
Х = 57,1 ±1.6
i
Л' = 27,1 ±1.1
io =5.32;
г-= 0,6745 • 1,60 = 1,08;
( ± ср. кв. ошибка)
( ± вер. ошибка)
Третья задача. Определяемая величина х
случайная. Ошибки измерения пренебрежимо
малы по сравнению со значением определяемой
величины и её рассеянием.
Если число наблюдений величины х неве-
лико (менее 50), то по опытным данным можно
вычислить только основные вероятностные ха-
рактеристики (х, а или /•) определяемой величи-
ны, построить же кривую распределения при
этом обычно не представляется возможным.
Если же число наблюдений величины х
значительно (желательно не менее 100), то
по опытным данным можно построить эмпи-
рическую кривую распределения, сопоставить
её с кривой теоретического закона распреде-
ления, должного иметь место в условиях опыта,
и определить числовые параметры распределе-
ния, соответствующие установленному теоре-
тическому закону. В обоих случаях следует
определить средние ошибки вычисленных па-
раметров.
А. Определение вероятностных
характеристик. При малом числе наблю-
дений п (обычно имеющих одинаковые веса)
вычисление среднего арифметического значе-
ния х, средней квадратической ошибки с- и
вероятной ошибки г производится теми же
приёмами, что указаны в отношении равноточ-
ных измерений (пример 1), или приёмами,
указанными в примерах 4 и 5 „Сведений из
теории вероятностей" (стр. 283, 284). В послед-
нем случае вероятности р (xi) заменяются ча-
стостями, полученными при проведении опыта,
результаты которого обрабатываются.
Если при малом или среднем числе наблю-
дений (п = 20 — 50) требуется определить
только медиану Me и вероятное отклонение г
эмпирического распределения, то можно поль-
зоваться упомянутым выше упрощенным при-
ёмом. Все наблюдённые значения случайной ве-
личины (в том числе и повторяющиеся) распо-
лагаются в возрастающем порядке. Если число
их нечётное, то в качестве медианы прини-
мается значение, расположенное по середине
ряда чисел. Если же число наблюдений чётное,
то в качестве медианы принимается промежу-
точное значение между двумя значениями,
расположенными в середине ряда. Совершенно
аналогичным приёмом находится и значение
вероятного отклонения г путём расположения
в порядке возрастания абсолютных величин
отклонений наблюдённых значений от медианы.
При большом числе наблюдений (п > 50),
обработка результатов опыта ведётся по ме-
тоду моментов.
Первым этапом такой обработки является
составление таблицы частот наблюдённых зна-
чений и построение по ней гистограммы или
полигона эмпирического распределения (см.
„Сведения из теории вероятностей", стр. 282).
Прежде всего непосредственно из наблю-
дений составляют список отдельных наблю-
давшихся значений. По нему определяется
область изменения величины х, для чего в спи-
ске нужно разыскать наименьшее значение х
и выбрать близкое к нему меньшее простое
число, разыскать наибольшее значение х и
выбрать близкое к нему большее простое
число. Выбранные числа принимаются за гра-
ницы области.
Простыми числами здесь считаются числа,
имеющие малое число значащих цифр (если.


ГЛ. I]
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
305
например, значения х даны с одним или двумя
знаками после запятой, то границы следует
взять целыми). Затем делят область на равные
интервалы таким образом, чтобы число s ин-
тервалов было порядка 10—20, а величина
интервала была простым числом в смысле,
указанном выше. Значение х, соответствующее
середине каждого интервала, также должно
быть простым числом.
Последние два требования имеют целью
облегчить дальнейшие вычисления. Для выпол-
нения требований иногда приходится изменять
первоначально намеченные границы области,
конечно, так, чтобы область не уменьшилась,
г. е. нижнюю границу несколько уменьшают,
верхнюю—увеличивают. После выбора интерва-
лов подсчитывают число /^ значений jc/, по-
падающих в каждый интервал. Если какое-
нибудь из наблюдавшихся значений точно
совпадает с границей двух интервалов, то его
либо присчитывают к правому (с большей
верхней границей), либо прибавляют по поло-
вине к каждому из интервалов. При втором
способе в некоторых интервалах окажутся
дробные числа значений л/ (целое с полови-
ной); в этом случае для упрощения вычисле-
ний все числа л/ умножают на два, чтобы иметь
целые числа. Так как общее число случаев
тоже удвоится, а в вычисления идут отноше-
ния (эмпирические вероятности), то в резуль-
татах ничего не изменится. Схема подсчёта
таблицы частот приведена в табл. 19.
Таблица 19
Границы ин-
тервалов
Середины ин-
тервалов ....
Число случаев .
v<°> ,
•*J
n,
rA> ,
л-3
яа
Я Л
-Гз
"з
.C)
. . .л
сE-^
*s
ns
(s)
(Сумма «j + п2 -j- "з 4" • • • 4~ ns = п ~ об-
щему числу наблюдений (или удвоенному).
Величина интервала дг/+1-— X; обозначается
через Л),
При дальнейших вычислениях эту таблицу
обрабатывают, как дискретное распределение,
относя число случаев в каждом интервале
к середице интервала (XL было п^ раз; лг2 было
я2 раз и т. д.).
Вычисления заметно упрощаются, если
ввести условные единицы и условный нуль для
измерения значений случайной величины. Ус-
ловный нуль берётся в середине того интер-
вала, в который может попасть среднее ариф-
метическое; при некотором навыке достаточно
посмотреть на ход чисел щ, чтобы с точностью
до одного интервала найти это место *. Далее
длину интервала принимают за единицу. Если
значения величины в условных единицах обо-
значить буквой 5 с индексами, причём нулевое
значение ^ = 0 окажется соответствующим
середине интервала номер k, т. е. числу Xk, то
соотношения между значениями х и ? напи-
шу тся так:
л-,- = xk -f hit', li = i — k.
* Неудачный выбор условного нуля только несколь-
ко усложнит вычисления, но не изменит результатов.
Смежные значения 5 отличаются на единицу.
Таблица частот примет вид, указанный в
числовом примере 3 (см. стр. 306).
Рассмотрение распределения, полученного
при первоначальном выборе величины интер-
вала Л, может дать некоторые указания на не-
удачный выбор интервала. Если числа л/ колеб-
лются от интервала к интервалу (то больше,
то меньше), то можно думать, что интервал
слишком мал. Если, как бывает в большинстве
случаев, числа л/ сначала растут, затем убы-
вают (или, ято бывает реже, меняются моно-
тонно), то можно думать, что интервал выбран
удачно, но приходится опасаться, не велик ли
он. Для контроля в этом случае можно сме-
стить границы интервалов на половину интер-
вала; если общий характер распределения не
изменяется, то выбор интервала считают удо-
влетворительным. Практически вы годно сначала
взять небольшой интервал и чётное число
интервалов и составить таблицу. Если окажется,
что интервалы малы, то их величину удваи-
вают. Новое распределение получают, склады-
вая попарно смежные числа л; начального
распределения. По окончательно составленной
таблице частот эмпирического распределения
обычно строится гистограмма или полигон
распределения.
Следующим этапом является вычисление
моментов эмпирического распределения. Не-
центральные моменты вычисляются в условных
' 1 v^ fk
единицах по формулам: ч.. =— Л, л,-СУ; цен-
* п *; ' 1
тральные, также в условных единицах, — по фор-
мулам, приведённым в .Сведениях из теории
вероятности" (стр. 284). Значения в условных
единицах обозначаются штрихом. Переход
к основным единицам производится по фор-
мулам:
а) для нецентрального момента первого
порядка, служащего для определения среднего
арифметического значения:
—— | , '. /19ч
М1 = х — Хь Ч- П1 I A^)
J « i :» v /
б) для центрального момента второго по-
рядка, служащего для определения среднего
квадратического отклонения:
;ju,=-^ ,= «>.'; A3)
Попутно вычисляются:
в) средняя квадратическая ошибка сред-
него арифметического:
г) средняя ква,,ратическая ошибка среднего
квадратического отклонения
 = \Г^Г ' A3/)
Моменты третьего и четвёртого порядка
служат для вычисления характеристик асим-
метричности (асимметрия S^) и крутости
(эксцесс ЕЬ)
20
Том 1, кн. I


306
МАТЕМАТИКА
(РАЗД. I
Их средние квадратические ошибки вычи-
сляются по формулам
2,45
/ 4" _4,9_
==У п ~ Y^
A4')
С помощью этих формул вычисляются и
константы Пирсона, используемые при сопо-
ставлениях с некоторыми теоретическими за-
конами распределения или с интерполяцион-
ными кривыми
h = _™ S2 b = J± = Ek + 3.
Pa ^2
Перевод в основные единицы для них не
требуется.
Моменты, вычисленные по указанным
выше формулам, называются грубыми (или
вычисленными по способу „нагруженных орди-
нат").
В некоторых задачах эти моменты испра-
вляют, вводя поправки.
Введение поправок имеет смысл только
при условии, что исходный материал очень
точен и известны те особенности функций,
которые определяют выбор тех или иных по-
правок.
В большинстве задач этого нет, поэтому
при вычислениях ограничиваются грубыми
моментами.
Пример 3. Дано распределение отклонений от номи
нала A2 мм) диаметра цилиндрической детали, подсчи'
тайное при интервале Л = 10 единиц; единицей измере-
ния служит 0,01 мм. Вычислить методом моментов зна.
чения х, a, S/i и Е^. Поправок при вычислении момен-
тов не вводить.
Результаты вычислений приведены в табл 20.
Таблица 20
I
са
.0
3 5
Я 03
S 0.
Я <U
и н
0.1
ue
— 12,5
— 2,5
+ 7,5
+ 17,5
+ 27,5
+ 37,5
+ 47,5
Сумма
i
11
=> ч
5™
? »
Is-
&>-
и я
-.,J
-7,5
+ 2,5
+ 12,5
————
+ 22,5
+ 32,5
+ 42,5
ш
i о»
s^zs
SeS
«Z*
с; cd л
аГО-И
uS§
— з
— 2
— I
о
+ I
+ 2
+ 3
IV
e*
з
—
17
39
47
——
39
16
——
4
——
165
V
*»4
С
—9
——
-34
—39
о
—
+39
+ 32
——
+ 12
———
+1
VI
•A/
JLf
г- 11
i
27
68
39
о
39
64
36
273
VII
JO/
ii V
« ••» c;
« 11
-8X
- 136
— 39
о
+ 39
+ 128
+ io8
+ 19
VIII
.«•*
11 "•?
•V *«4 t^
B* 11
243
272
39
о
39
256
324
3
Пояснения к табл. 20. Так как согласно столбцу IV
распределение приблизительно симметрично, то услов-
ный нуль в столбце III берём в середине интервала, где
n-t наибольшее. Числа столбца VI получаются умноже-
нием чисел столбца V на ?;, числа столбца VII — умно-
жением чисел столбца VI на ?,• и т. д. Суммы чисел
столбцов V—VIII нужны для вычисления нецентральных
моментов в условных единицах. В результате получим
1
1б5~
19
165
= 0,0061;
273
165
= 1,665;
- Ш3 - 7 155
~ ~ТГ ~ ' 5
По формулам, данным в „Сведениях из теории вероят-
ностей" (стр. 284), вычисляем центральные моменты:
ix3 =ч3 - Зч„ V! +2 (v,)" = 0,085;
«*«' = v,' - 4ч3' v,'+6v2' (v,'J - 3 Ы< = 7,152.
Среднее значение в основных единицах будет
.г = vj = xk + Нч[ =12,5+10 • 0,0061 = 12,561^0,13 мм.
Центральный момент 2-го порядка (дисперсия)
в основных единицах будет
[х, = ft"jjj - 100 • 1,665=166,5.
Среднее квадратическое отклонение 1' = |/(|,2' =*
= 1,290 (в условных единицах) и з = 12,90 (в основных
единицах) или 0,13мм.
Асимметрия
sk - ~
Эксцесс
Еъ =
0,085
У,6653
7,152
Р, = 0,002.
1,665
т, • — 3 - — 0,42; ^ = 2,58.
Средние квадратические ошибки полученных пара-
метров вычисляем по формулам A2'), (.13'), A4'):
12,90
"•* V 165
_ 2'45
"S " у 165:
Из величины
V 330
4,9
/165'
з видно, что следует считать
о
5^ ~0, так как ср. кв. ошибка заметно превышает
вычисленное S^ . Результаты можно записать так:
х- 12,6 ± 1,0; о= 12,9 ± 0,7;
Sk = 0,1 ± 0,2; Ek = - 0,4 ± 0,4.
Б. Сопоставление эмпирического
распределения с теоретическими
кривыми распределения. Сопоста-
вление полученного из наблюдений эмпириче-
ского распределения с теоретическими кривыми
распределения требуется для различных целей.
В частности, это может оказаться нужным для
установления расчётных коэфициентов, входя-
щих в формулы расчёта ошибок кинематиче-


ГЛ. 1]
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
307
ских и размерных цепей; для анализа техноло-
гического процесса, приведшего к получен-
ному эмпирическому распределению; для
расчёта вероятностей получения на опыте
отклонений в заданных границах; для выравни-
вания статистического материала интерполя-
ционными кривыми распределения и т. д.
Наиболее простым, ориентировочным приё-
мом сопоставления является общее сравнение
ло внешнему виду полученной из опыта гисто-
граммы или полигона распределения с соответ-
ствующим семейством теоретических кривых.
Результаты сравнения будут более надёжны-
ми, если эмпирические и теоретические рас-
пределения имеют одинаковые масштабы и
контроль соответствия может производиться
наложением их кривых друг на друга.
Если имеются заранее заготовленные гра-
фики теоретических кривых распределения,
построенные по оси абсцисс в масштабе
з = А мм, а по оси ординат в масштабе
- = В мм, то приведение эмпирического рас-
пределения к этим масштабам производится
следующим образом:
по OCJH абсцисс, при начале координат
в точке х
А,
по оси ординат
yBi = ~7Г 7Г
A5:
A5')
Здесь л и е — параметры эмпирического
распределения, полученные из результатов
обработки (в единицах измерения); х,- — сере-
дины интервалов по таблице эмпирического
распределения в тех же единицах; h — ширина
интервала в тех же единицах; л/ — частота
(число наблюдений в интервале номер /); п —
общее число наблюдений; А и В — масштабы
графика в мм; ХА{ и уВ1 — координаты точек
полигона распределения в масштабе графика
(точнее, yBi — высоты прямоугольников гисто-
граммы).
При подборе теоретического закона делают
также сравнение моментов третьего и четвёр-
того порядка при приравненных моментах пер-
вого и второго порядка.
О близости эмпирического распределения
к подобранному теоретическому можно судить
по величинам разностей их ординат на графике,
или, точнее, по величинам разностей эмпири-
о Пг
ческих частостеи — - и теоретических вероят-
ностей, соответствующих тем же интервалам
от х(°) до .*:('), от л(') до jf(a) и т. д., что и для
частостеи.
Теоретические вероятности вычисляются
по формулам
Вместо вероятностей п чаще пользуются
теоретическими численностями п{,с = ptn, кото-
рые сравнивают с эмпирическими частотами л,-.
Для суммарной оценки близости эмпириче-
ского распределения к подобранному теорети-
ческому используются следующие критерии
согласия:
а) Критерий Пирсона. Устанавливают
число / условий, которые были использованы
при вычислении теоретических численностей.
Первое из них, всегда имеющее место, есть
равенство суммы теоретической численности
2 nic и суммы частот ^ ni- Следующие ус-
I ' i
ловия заключаются в приравнивании моментов
эмпирических и теоретических распределений
и т. п. Таким образом при использовании
нескольких моментов число / больше на
единицу, чем порядок высшего использован-
ного момента.
Затем получают число k („степеней сво-
боды"; „независимых интервалов") путём
вычитания числа / из числа 5 интервалов:
k = s - /.
Крайние интервалы, имеющие малые теоре-
тические численности, при этом объединяются
обычно так, чтобы теоретические численности
ni c в крайних интервалах были не меньше
5 единиц. Затем вычисляют число У.*:
X« = y<«LZ^ П6)
о — j^,' - • (, i и)
«=1 z»c
По Хц и k в таблице вероятностей
(см. табл. 28 на стр. 320) находят Я — ве-
роятность того, что X2 может получить значе-
ние большее, чем в нашем материале, или рав-
ное ему.
Если P(X2_^X0) мала, то теоретическое рас-
пределение неудовлетворительно представляет
эмпирический материал.
Упрощениями критерия Пирсона, при кото-
рых не нужно пользоваться таблицами вероят-
ности Р, являются следующие способы:
3j) Коэфициент точности. Вычи-
сляется по формуле
Л= I ?(•*)•'•*,
4(x)dx и т. д.
Если Н имеет значение от 0 до 2, то соот-
ветствие считается удовлетворительным.
а2) Критерий В. И. Романовского
Если R ;> 3, то соответствие считается не-
удовлетворительным
б) Критерий А. Н. Колмогорова.
Составляется суммарное эмпирическое распре-
деление (накопленная частота), т. е. таблица:
A/I = л,, А/2 = //! + п2, N3 = N2 -f-Лд, ..., Ns n.
Рассчитывается теоретическая интеграль-
ная функция распределения
Здесь у(х) — плотность вероятности подо-
бранного теоретического закона.
и по ней — теоретическая накопленная чи-
сленность Ni,c s= F (x;)-n.


308
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Значения Л^,с можно также получить из
чисел щ,с последовательным их сложением. За-
тем определяется верхняя граница D модуля
разности между NJ и ,Л/,-,с и определяется число
_ D
Л. •—— ——~г^— •
Уп
В заключение находится значение PQ.) —
вероятности того, что модуль разности /V/—Л',-,с
может быть больше (или равен) полученного
из эмпирического материала. Значения Я(Х)
находятся из табл. 21.
Таблица 21
X
Р(Х)
).
р<>.)
0,0
i,oooo
1,4
о,о397
О,2
I.OOOO
1,6
o.oia
0
о
3,4
9972
т,
о. ос
0
0,8
3
31
6
643
о,
о,8
°,54
2,°
эоо7
42
с
1,0
О,2~ОС
2,2
,ООО1
1,2
0,1123
2,4
о,оооо
Если Р(Х) мало, то теоретическое распре-
деление неудовлетворительно представляет
эмпирический материал.
Если одно эмпирическое распределение
сравнивается с разными теоретическими, то
приведённые критерии (особенно Колмогорова
и Пирсона) позволят определить, какое теоре-
тическое распределение более соответствует
эмпирическому материалу.
Подробнее о критериях Пирсона и Колмо-
горова см. литературу: [60], стр. 75 и 226, и
[61], стр. 91.
Пример 4. Сравнить эмпирическое распределение
отклонений от номинала диаметров 12 мч, деталей по
примеру 3, с распределением по закону Гаусса (табл. 22).
Сравнение можно вести в условных единицах. Соглас-
но результатам примера 3 имеем для распределения по
закону Гаусса (в условных единицах):
Т= м \ =0,0061; з=1,290.
Вычисления приведены в табл. 22.
Просмотр графы XV табл. 22 показывает, что эм-
пирическое распределение мало отличается от распреде-
ления по закону Гаусса. Обращает внимание только
отклонение в интервале, где расположен максимум кри-
вой, т. е. эмпирическое распределение имеет вершину
ниже, чем теоретическое по закону Гаусса (фиг. 225).
Проверим удовлетворительность соответствия по пе-
речисленным выше критериям согласия.
Число условий 1 здесь равно 3, так как использованы
моменты до 2-го порядка включительно. Число интерва-
лов s = 7; отсюда число „степеней свободы" k = s — I =
-7—3=4.
а) Критерий Пирсона.
По табл. 28 на стр. 320: при k = 4 и X3=0,812 полу-
чаем Р>0,91.
Таблица 22
I
о.
<U
H
X
s
3
s ш
1 §
0.3
u pa
-42,5
-32,5
-22,5
—13,5
— 2,5
f 7,5
17-5
27,5
+37,5
. 47,5
57-5
| 67,5
Сум-
ма
II
о.
a
H
X
s
2
|g
<y ^
—37,5
-27,5
— i/,5
- 7,5
+ 2,5
+I2,5
Т 22,5
+3а.5
+42,5
+52,5
6a,5
III
O.3
« X
н и
я о
s ч •>•
3 ^>!«S
S м Я
0) 0 X
4> « §
О со к
— 5
— 4
—3
—2
— \
О
+1
+2
+3
+4
+5
IV
в"*
°1
03
з;
17
39
47
39
i6
1
I
165
V
•k.
CM
и*
0
о
— 9
-34
-39
0
+39
+32
+12
О
6
+ 1
VI
к"*
"*
о
о
27
68
39
о
39
64
36
о
о
273
IX
Н X
sou
3 >,«
к и з
Я я S
О. се и
[-, И <ц
-5,5
—4,5
-3,5
-2,5
— 1,5
-о,5
о,5
1,5
2,5
3,5
4,5
5-5
X
Т
"
--5,5°6
— 4,506
—3,500
-2,5°6
-1,506
— 0,506
о,494
1,494
2,494
3,494
4,494
5-494
XI
1
1
1 1 ь
а
-4,268
- 3,493
2,7*8
— г, 943
--1,167
—о,392
0,383
1,158
1-933
2,708
2,484
4.2J9
XII
*~~~*
Т ь
в
•9
— 0,5000
-0,4997
— 0,4966
-о,4739
—0.378 t
—0,1524
о, 149Г
0,3766
о,4734
0,4907
о,4997
0,5000
XIII
•ч
^
0,0003
0,0031
0,0227
о,о955
О,22ОО
°,3015
0,2275
0,0968
о.оазз
0,0030
о.оэоз
х
!
1
s
0,05
0,5 с
3,74
15
37
49
37
15
3-84^
о,!1
IV
аГ
^
^
4,3
76
29
73
54
97
4,39
65
XV
•ir
к
1
-.»
с
—•1,3
-Ь1,24
+I.71
—2,75
+1,46
-|-о,оз
—о,39
XVI
"* -^
_Ч
в*
1
с*
i,6o
1,54
2,92
7,56
2,13
о,оо
о, J5
XVII
2^
с; .»^
1 с
к~
•~^
0,393
0,098
0,078
0,152
0,057
о,ооо
0,034
0,812
XVIII
!>~
"^
о
о
3
20
59
юб
145
i6i
165
165
165
XIX
<о
•>""
<
0,05
°,э6
4,30
22,о6
57-35
Ю7, ю
144,64
t6o,6i
164, 45
i64,95
16,5,00
XX
Ч1_
1
•^
•^
— о,од
— 0,56
— 1,30
— о,о6
1,65
— I, 10
°,3б
о,39
°-55
о,о5
о
Пояснения к табл. 22. Графы I —VI те же, что и в табл. 20 примера 3 (вычисление моментов); графы VII
и VIII пропущены, так как при сравнении с распределением по закону Гаусса моменты 3-го и 4-го порядков не
нужны. Чтобы получить числа графы IX отнимаем от чисел графы III по'половине или прибавляем к ним по половине,
это будут границы интервалов в условных единицах.
Числа графы XII получаем по таблицам функции Лапласа (стр. 98).
Числа графы XIII получаются из чисел графы XII вычитанием предыдущих из последующих. Сумма чисел гра-
фы XVII даёт X*.
Графы XVIII—XX нужны, если пользоваться критерием Колмогорова; числа графы XVIII получаются из
чисел графы IV сложением; числа графы XIX получаются из чисел графы XIV таким же способом.


ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
309
а:) Коэфициент точности
_ У.2 0,812
J^T ~ 6~~
гак как Н невелико, то согласие можно считать удовле-
творительным.
у
t
•'
/
/
./"•>
\
\
\
1ч.
-223-115 -2.5 +7.5 +I7.S +27.5 +325*0.5 comtie
мм
«far. 225.
а2) Критерий В. И. Романовского
так как /?<3, то результаты сравнения удовлетвори-
тельны.
б) К р и т е р и и А. Н. К о л м о г о р о в а. По графе
XX наибольшая разность D = l,65.
/165
Р (X) = 1,0.
Критерии Колмогорова и Пирсона подтверждают, что
эмпирическое распределение удовлетворительно совпа-
дает с распределением по закону Гаусса.
Четвёртая задача. Определяемая ве-
личина х случайная. Ошибки измерения име-
ют существенное значение, т. е. не пренебре-
жимо малы сравнительно с рассеянием самой
величины х.
Непосредственно получаемые из опыта ре-
зультаты измерений содержат здесь двойное
рассеивание: самой величины Л' и ошибок из-
мерения. В части определения среднего значе^-
ния (центра группирования отклонений)самой
величины х это не вносит добавочных затруд-
нений, так как ошибки измерений обычно под-
чиняются закону Гаусса. Поэтому среднее зна-
чение их равно нулю и получаемое в резуль-
тате обработки опытных данных среднее ариф-
метическое значение л* может быть, как и в
условиях третьей задачи, принято за истинное
значение центра группирования величины х.
Что же касается получаемого из опыта рас-
сеяния, характеризуемого обычно значением
суммарного среднего квадрагического откло-
нения от среднего (as), то простое выделение
из него параметра з рассеяния самой величи-
ны х, т. е. отделение от него параметра аи —
ошибок измерения, возможно лишь при усло-
вии знания значения <гц помимо проводимого
отыта и отсутствия отбраковки объектов по
результатам измерения. С этой целью может
оказаться необходимым производство специ-
ального предварительного эксперимента с тож-
дественными условиями измерения, но при по-
стоянстве измеряемой величины. Тогда^стц на-
ходится порядком, указанным во второй зада-
че, и затем исключается из az по формуле
а несколькими независимыми непосредствен-
но определяемыми величинами, то обработка
опытных данных в отношении каждой из этих
величин производится отдельно приёмами, рас-
смотренными выше.
Две или три независимые величины, соот-
ветствующие условиям первой и второй зада-
чи, могут фиксировать, в частности, положе-
ние точки на плоскости или в пространстве
(после исключения ошибок измерения).
Опытные данные, относящиеся
к величинам, определяемым косвенным
путём
Если определяемая величина х является из-
вестной функцией одной непосредственно изме-
ряемой величины у или функцией нескольких
непосредственно измеряемых независимых ме-
жду собой величин (у, z. ..., t), то решениезадач,
аналогичных задачам 1 — 4, производится путём
применения тех же, что там, приёмов по от-
ношению к непосредственно измеряемым ве-
личинам и дальнейшего перехода к исследуе-
мой величине по обычным правилам вычисле-
ния значений функций неслучайных и случай-
ных величин.
При условиях, аналогичных первой задаче,
получаются обычные аналитические выраже-
ния функциональных зависимостей
х — f(y) или х =/(у, г, . . ., t).
При условиях, аналогичных второй зада-
че, т. е. при неслучайных величинах, и если
функция линейнзя или мало отличается от
линейной и о- , а- , . . ., о- малы, получаются
у z t
следующие выражения для значения исследу-
емой постоянной (неслучайной) величины, при-
нимаемого за истинное *:
v
X
+"l/"(--)V
— г \ оу/о J7
- v VrfvA=.v
"=/(у, г,..., 7)±
' дх
Здесь индекс 0 обозначает, что нужно под-
ставить у — у, z = 0, . . .. t — t.
Аналогичные выражения (если ошибки из-
мерений, как обычно, подчинены закону Гаусса)
могут быть даны и при оценке точности опре-
деления л через значения вероятных ошибок
/•_, г—, ...,/•_
У ~z '
При условиях, аналогичных третьей зада-
че, т. е. при случайных величинах, и если
функция мало отличается от линейной и су
зг, . . ., а/ малы, получаются следующие выра-
В заключение следует отметить, что если
исследуемый объект характеризуется не одной,
* Здесь и дальше предполагается, что ошибки п из-
мерении величин у, г, . . , t или рассеяния этих величин
достаточно малы, вследствие чего можно пользоваться
только членами нулевого и первого порядка ряда Тейлора,
пренебрегая остальными.


310
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
жения вероятностных характеристик исследу-
емой случайной величины:
Условия задачи могут быть представлены
в виде системы п уравнений вида
дх у .
зДв
дх \2
Если величина х является суммой величин
у, г,. . ., Л то
+ • • - -h о? •
A8')
Формула A8') применяется, например, при
определении суммарной погрешности метода
измерения, если известны составляющие по-
грешности этого метода.
Приведённые зависимости сохраняют свою
силу и в случаях, когда исследуемый объект
характеризуется несколькими косвенно опре-
деляемыми величинами, но каждая из них
является явной функцией различных незави-
симых величин, измеряемых непосредственно.
Иное положение имеет место, если несколько
исследуемых величин являются неявными
функциями непосредственно измеряемых вели-
чин. Здесь имеют место две типичные задачи.
Пятая задача. Исследуемый объект
характеризуется несколькими постоянными, не-
случайными величинами, являющимися неяв-
ными функциями непосредственно измеряемых
постоянных же величин. Ошибки измерения
пренебрежимо малы по сравнению со значе-
ниями измеряемых величин.
Для определения исследуемых величин дол-
жна быть составлена система уравнений с чи-
слом последних, равным числу неизвестных.
После этого задача решается обычными алге-
браическими приёмами.
Пример 5. В собранном экземпляре синусного меха-
низма (фиг. 226), решающего зависимость х — I cos а, имеют-
ся три ошибки: Д/ — ошибка в длине кривошипа, Др —
ошибка в угле прорези кулисы, Др — ошибка от зазора
между прорезью кулисы и пальцем кривошипа, выбираю-
щегося всегда пружиной вправо. Требуется, не разбирая
механизма, определить значения всех трёх ошибок. Изме-
рения производятся по отсчётному индексу кулисы с ошиб-
кой, пренебрежимо малой по сравнению с названными
ошибками механизма.
Составляются три уравнения ошибок, например, для
углов «=0°, 45° и 90°, отвечающие общему уравнению оши-
бок, cos a A/- I sin ч Др + Др = А, а именно Д* + Др = Л,;
0,707 (Д/ - / ДР) + Др = Л2; - / Д? + Др = А3.
Решением этой системы трёх уравнений с тремя не-
известными находятся неизвестные ошибки Д/, ДC и Др.
Шестая задача. Исследуемый объект
характеризуется несколькими постоянными
неслучайными величинами, связанными функ-
циональной зависимостью с непосредственно
измеряемыми величинами. Ошибки измерения
имеют существенное значение, т. е. непрене-
брежимо малы сравнительно со значениями
определяемых величин.
f(x,y, .
(/= 1,2,3, . . . ,«).
A9)
Здесь 1{ — величины, получаемые измере-
ниями и содержащие погрешности, делающие
записанные уравнения несовместными. Уравне-
ния A9) называются условными. Если в услов-
ные уравнения подставить какие-либо значения
неизвестных х, у, . . . , то вследствие несо-
вместности левые части уравнений будут отли-
чаться от правых на величины г,- ^ 0, называе-
мые невязками (или остатками).
Условные уравнения могут быть нелиней-
ными, но посредством разложения в ряд
и ограничиваясь только членами 1-го порядка
они могут быть приведены к линейным ([58], стр.
165; [59], стр. 203; [65], [68]).
Условные уравнения могут быть неравно-
точными, т. е. ошибки в величинах /,• могут
иметь разные веса g{. Умножением каждого
из уравнений на корень квадратный из соот-
ветственного веса уравнения приводятся к оди-
наковым весам.
Решение линейных равноточных условных
уравнений производится по способу наимень-
ших квадратов.
Способ наименьших квадратов.
Способ наименьших квадратов опирается на
принцип Лежандра: определяются такие значе-
ния неизвестных, при которых сумма квадратов
невязок в,- наименьшая.
Если невязки (ошибки в //) подчиняются
нормальному закону распределения, то прин-
цип Лежандра даёт наиболее вероятные зна-
чения неизвестных.
Если линейные условные уравнения одного
веса имеют следующий вид (три неизвестных):
a ix -f bty 4- с^ - /,-,
то для определения неизвестных по принципу
Лежандра составляются нормальные
уравнения следующего вида:
2 ai
.B0)
Чтобы получить первое нормальное урав-
нение, можно умножить каждое условное урав-
нение на коэфициент первого неизвестного
в этом уравнении и полученные уравнения
сложить. Аналогично (умножением на коэфи-
циент второго неизвестного) можно получить
второе нормальное уравнение и т. д.
Если число условных уравнений не очень
мало, то вычисление несколько утомительно
и возможны ошибки. Поэтому необходимо про-
верять вычисление коэфициентов нормальных


гл.
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
311
уравнений. Обычно употребляется следующий
способ:
1) вычисляют сумму Si коэфициентов и сво-
бодного члена каждого условного уравнения:
si = «/ -Ь bi + сг + /,
(если уравнения с тремя неизвестными);
2) вычисляют суммы произведений 5,- на
коэфициенты при неизвестных, т. е.
3) должны иметь место очевидные равен-
ства:
2 а1 + 2 ai bi + 2Ь ci + 2е* '/• = 2я« 5<-;
/ t i i i
2 c\ + 2 */ '* = 2c/
Левые части этих равенств суть суммы
коэфициентов при неизвестных и свободных
членов нормальных уравнений.
Решение нормальных уравнений при малом
числе неизвестных B или 3) удобно проводить
с помощью определителей. Если число неиз-
вестных больше трёх, то способ определителей
является громоздким и удобнее решать нор-
мальные уравнения по способу Гаусса (стр.
НО). Если нормальные уравнения решаются
с помощью определителей (см. стр. 127), то
веса неизвестных определяются по формулам
D
А-„,
_D
Лз
где D — главный определитель системы нор-
мальных уравнений B0), Ап, /422> ^зз—алге-
браические дополнения элементов главной
диагонали определителя D.
Определение весов неизвестных при реше-
нии нормальных уравнений по способу Гаусса
приведено ниже в примере 6.
Средние квадратические ошибки опреде-
ляемых величин при решении шестой задачи по
способу наименьших квадратов вычисляются
следующим образом.
Подставив значения неизвестных в каждое
условное уравнение, получим остаточные по-
грешности ег-. Затем вычисляется средняя
квадратическая ошибка на единицу веса а0 по
формуле:
B1)
где s — число неизвестных.
Если распределение ошибок можно считать
нормальным, то это значение а0 есть наиболее
вероятное при данной совокупности условных
уравнений.
Средние квадратические ошибки опреде-
ляемых величин вычисляются по формулам
«,= -^=- B2)
Окончательный результат записывается так:
X = х + <зх; Y — у ± <зу] Z = г ± с*
где х, у и z получены решением нормальных
уравнений.
Пример 6. Решение условных уравнений по способу
наименьших квадратов
1. Условные уравнения:
ai bl Ч 1Г
1,78 л- + 1,48 у — 2,37 г = — 17,8
— 2,50 .г + 2,22 у — 1,78 z - 18,2
— 3,36 х + 3,21 у ~ 0,21 z - 16,4
1,81 х + 1,51 у + 0,20 г = — 20,3
— 1,70 х + 1,37 у + 1,78 г = 9,0
х + 0,13 у — 0,05 z = — 8,2
Л- + 0,09 у + 0,02 0 = — 7,6
Последний столбец (е;) заполняется после определе-
ния неизвестных.
2. Нормальные уравнения. Вычисляем на
арифмометре коэфициенты нормальных уравнений и кон-
трольные числа, сохраняя пока все знаки, какие получа-
ются, чтобы иметь точный контроль.
28.8741.vr - 13,0771.x - 1.7570г=-200,131
- 13,0771л- + 21.6049.У - 5,39740= 46,631
— 1,7570л-— 5,3974_у + 12,04070= 18,564
sl
— 16,91
16,14
16,04
— 16,78
10,45
- 7,12
— 6,49
si
+ 0,64
— 2,18
+ 1,84
— 0,22
-1,15
-0,65
- 1,20
Контроль
2 в,*/= 186,0910
^ */5,- = 49,7614
Сумма коэфиц.]
- 186,0910
49,7614
23,4503
Так как обычно коэфициенты уравнений суть прибли-
жённые числа, то и коэфициенты нормальных уравнений
тоже приближённые числа, в которых могут быть верными
не все написанные после запятой знаки (см. стр. 118).
Мы сохраним только два знака после запятой и будем
решать уравнения:
28,87л- — 13,08.)/ — 1,760 = — 200,13; (а)
— 13,08л-+ 21 .бОу— 5,40г = 46,63; (Ь)
— 1,76л-— 5,40^ -+ 12,040 = 18,56. (с)
3. Решение нормальных уравнений
по способу Гаусса.
Из первого нормального уравнения (а) получаем
х - — 6,93 + 0,453 у + 0,061г. (d)
Подставляем л- в нормальные уравнения (Ь) и (с), по-
сле умножения и приведения подобных членов получим*:
!5,67.у — 6,200 =- 44,01; (е)
— 6,20^ + 11,930 =6,36. (f)
Из уравнения (е) получим
у = — 2,81 + 0,3960.
Подставляем у в уравнение (f)
9,470=— 11,06.
(g)
(h)
Теперь последовательно из уравнений (h), (g) и (d)
определяются соответственно
(а')
(Ь')
(с')
(d )
0=— 1,17; .у = -3,27;
4. Чтобы иметь возможность определить веса и сред-
ние ошибки неизвестных, решим систему второй раз,
поставив х на последнем месте, у — на первом месте и
г— на втором, соответственно переставляем и уравнения:
21,60у— 5,400 — 13,08л- = 46,63;
-5,40>< + 12,040 — 1,76*= 18,56;
— 13,08^ — 1,760 + 28,87л- =-200,13.
Из уравнения (а') определяем у:
у = 2,16 + 0.2Е00 + 0,606л-.
Подставляем у в уравнения (Ь') и (с'), получим
10,690— 5,ОЗл-^= 30,22;
— 5,03г + 20,94л- = — 171,88.
(е')
(f)
V
* В получаемых уравнениях при решении по спо-
собу Гаусса нельзя делить или умножать обе части.


312
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. I
Определяем z из уравнения (е'):
г = 2,83 + 0,471л:.
Подставляем z в уравнение (f):
18,57лг = — 157,65.
<*')
Теперь последовательно из уравнений (h'), (g') и (d')
определяем соответственно
.v = — 8,49, z = - 1,17, у = -3,27.
Разница на единицу последнего знака в величине л-
объясняется тем, что вычисления были приближённые, и
при изменении порядка вычислений вследствие округле-
ний результаты могут слегка отличаться.
5. Определение весов неизвестных.
Заметим, что веса z и х равняются коэфициентам при
этих неизвестных в уравнениях (h) и (Ь'), так как при
решении по способу Гаусса вес последнего неизвестного
равен коэфициенту при этом неизвестном в последнем
уравнении. Поэтому
gz = 9,47, gx -= 18,57.
Вес gy неизвестного у можно определить из уравне-
нии (е) и @ с помощью пропорции gy :g^ = 15,67 : 11,93,
имеющей место при решении по способу Гаусса для
веса предпоследнего неизвестного, отсюда
'
Для контроля вычислений можно, пользуясь той же
пропорцией, вторично определить вес z, как вес предпо-
следнего неизвестного в преобразованной срстеме Се') и
(Г), в которой роль последнего неизвестного играет х\
имеем
Sz __ 10,69
~g^ " 20,94
Получаем удовлетворительное согласие.
6. Определение остаточных погреш-
ностей. Значения х, у, z, полученные из первоначаль-
ной системы нормальных уравнений, подставим в каж-
дое условное уравнение, тогда получим остаточные
погрешности ej , показанные в последнем столбце рядом
с условными уравнениями.
После этого вычисляем сумму квадратов остатков,
что можно сделать на арифмометре, не записывая отдель-
ных значений.
В нашем i римере *. = 11,78.
7. Вычисление средних квадратиче-
ских ошибок. Средняя квадратическая ошибка а0 на
единицу веса вычисляется по формуле B1):
': = i,72.
Средние квадратические ошибки неизвестных получим
по формулам B2):
- 0,40, av =
Y~*y
= 0,56.
чайные или случайные) и значимостью оши-
бок измерения сравнительно со значениями
исследуемых величин. Здесь имеют место три
типичные задачи.
Седьмая задача. Из опыта получен ряд
значений двух неслучайных величин, связан-
ных функциональной зависимостью. Ошибки
измерений пренебрежимо малы по сравнению
со значениями величин.
Здесь обработка опытных данных зачастую
ограничивается только графическим предста-
влением полученной зависимости. Если же
полученные из опыта значения можно считать
достаточно точными, то иногда подбирается
аппроксимирующая функция, позволяющая
производить интерполяцию, т. е. определение
промежуточных значений функции между по-
лученными из опыта значениями (узлами).
В последнем случае задача полностью совпа-
дает с обычной задачей интерполирования таб-
личных значений функций (см стр. 253).
Восьмая задача. Из опыта получен ряд
значений двух неслучайных величин, связан-
ных функциональной зависимостью (неизвест-
ной или с неизвестными параметрами).
Ошибки измерений оказывают существен-
ное влияние; по условиям опыта, каждое зна-
чение функции получается в результате одно-
го измерения*. Требуется подобрать формулу,
которую можно принять за наиболее вероят-
ное представление искомой функциональной
зависимости. Такие формулы обычно называ
ются эмпирическими.
Решение задачи о разыскании эмпириче-
ской формулы состоит из трёх частей: А) вы-
бор типа формулы, т. е. вида аналитической
зависимости между х и у; выбранный вид
должен содержать несколько буквенных пара-
метров; Б) определение значений параметров;
В) проверка удовлетворительности полученной
формулы.
А. Выбор типа формулы. Табличные
значения х и у наносят на график.
Если об ана штическом виде формулы
ничего неизвестно, то вид формулы подбирают
по общему виду графика. Уравнение извест-
ной кривой, похожей на график, написанное
в явном виде у ~ f (х), даст тип функции.
Если из каких-нибудь соображений физи-
ческого характера можно установить тип
функции, связывающей х и у, то выбирается
этот тип. Так например, в явлениях непре-
рывного роста или убывания естественно
выбрать формулу вида
у = аеЬх или у — аеЬх*
и т. п.;
8. Результат решения записываем
X »• '— 8,48 ± 0,40; У <* - 3,27 ± 0,49; Z ~ - 1,17 ± 0,56
(ошибки средн. квадрат.).
Опытные данные, относящиеся
к зависимым величинам
(функциональные и коррелятивные
зависимости)
Если опытные данные относятся к вели-
чинам, связанным между собой какой-либо
зависимостью, то порядок обработки их
определяется характером этих величин (неслу-
здесь а и Ъ — параметры.
Если есть основания считать, что у есть
периодическая функция х с периодом Р, то
можно пробовать подбирать формулу вида
л • ,
у = A sin I a -f- -р- ) или тригонометрический
полином (см. стр. 262).
* Если каждое значение функции определяется по
нескольким измерениям, то в дальнейшее решение вво-
дится среднее арифметическое из результатов измере-
ний; при этом в части Б решения (см. ниже) условным
уравнениям нужно приписать веса—числа значений, из
которых получена каждая точка.


ГЛ. 1]
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
313
Когда связь подобна обратно пропорцио-
нальной зависимости, то выбирают дробно-ли-
нейную функцию
Во всех подобных случаях желательно (это
не всегда возможно) выбирать вид функции
так, чтобы она либо была линейна относи-
тельно параметров, либо простыми преобразо-
ваниями приводилась к линейной. Например:
1) полином
у = а + Ьх -Ь сх2 -] г/х3
удобен тем, что он линеен относительно па-
раметров,
2) функция
у = aebx
нелинейна, но можно сделать преобразование
\пу = In я + Ьх,
и получим линейную функцию относительно
параметров t = In а и Ь; заметим, что при вы-
числениях натуральные логарифмы заменяются
десятичными (см. стр. 11 Я);
3) дробно-линейная функция приводится
к линейному относительно параметров виду
простым преобразованием
ах — су + Ъ — ху\
4) тригонометрическая функция приводится
к линейному виду относительно новых пара-
метров, если Р известно, заменой синуса
суммы по формуле
у = a COS~TJ— -t-
где а = A sin а, b = A cos ->; если определены а
и ft, то А и а легко получить (см. стр. 263).
Если Р неизвестно, то точное приведение
к линейному виду невозможно.
Если о виде функции ничего заранее неиз-
вестно и график функции не даёт определён-
ных указаний, то обычно выбирают полином
х = а + Ьх + с х* + • • • + 1хт
того или иного порядка. Обычно начинают
с полинома 1-го или 2-го порядка, проверяют
удовлетворительность формулы (см. ниже п. В
этого раздела), если она плохо представляет
материал, то повышают порядок подбираемого
полинома.
Б. Определение значений пара-
метров эмпирической формулы (по
способу наименьших квадратов \.
Если выбрана формула видад* = / (х, а, Ь, с...),
в которой а, Ь, с,... — параметры, то, подставляя
в неё все табличные значения х^у-г (/= 1,2,..., и),
получим для определения а, Ь, с,... условные
уравнения (см. задачу 6) вида
f(xita,b,c,...) - у/.
Эти уравнения приводят к линейному виду
либо преобразованиями, либо разложением
в ряд (см. [58] стр. 165 и [2] стр. 203).
Полученные линейные уравнения обычно
решают по способу наименьших квадратов.
Способ наименьших квадратов, автомати-
чески дающий определённые значения пара-
метров по заданной таблице, не всегда даёт
здесь вполне удовлетворительные результаты.
При проверке удовлетворительности эмпири-
ческой формулы иногда оказывается, напри-
мер, что она недостаточно хорошо предста-
вляет наблюдения в области значений х, в ко-
торой преимущественно придётся пользовать-
ся формулой для интерполяции. В подобных
случаях можно использовать один из следую-
щих способов:
1) изменение типа функции, если ранее
избранный тип не обязателен по теоретиче-
ским соображениям;
2) введение больших весов для условных
уравнений (см. стр. 310 и 304), соответ-
ствующих более важным значениям х, и мень-
ших весов других условных уравнений;
3) замена способа наименьших квадратов
другими способами, в которых принцип Ле-
жандра заменяется другими условиями (сумма
абсолютных величин невязок должна иметь
наименьшее значение, сумма четвёртых степе-
ней невязок имеет минимум и т. п.) [63];
4) в наиболее затруднительных случаях
пользуются более или менее произвольными
способами, вроде деления системы условных
уравнений на группы, содержащие столько
уравнений, сколько неизвестных; каждую груп-
пу решают отдельно и затем вычисляют сред-
ние арифметические параметров, полученных
в группах.
В. Проверка эмпирической фор-
мул ы. Необходимо проверить, насколько удо-
влетворительно эмпирическая формула пред-
ставляет таблицу. Для этого все табличные зна-
чения Xi подставляют поочереди в полученную
эмпирическую формулу и вычисляют по формуле
значения у, которые мы обозначим у;,с. Найдя
разности Vi—Угс (отклонения), можно решить
вопрос о пригодности формулы. Если абсолют-
ные величины разностей не превышают воз-
можных ошибок измерений _у/, то формулу
можно считать вполне удовлетворительной.
Если формулой придётся пользоваться в огра-
ниченной области значений х, то достаточно,
чтобы такое условие выполнялось в этой об-
ласти. Если, как обычно бывает, среди разно-
стей есть и превышающие по абсолютной
величине возможные ошибки, то вычисляют
среднее абсолютное отклонение 8 по формуле
У:
или (что правильнее) среднюю квадратиче-
скую ошибку а0 .на единицу веса:
-
где 5 — число параметров.
Если а0 и 5 не очень превышают абсолютные
величины возможных ошибок yf, то формулу
можно считать удовлетворительной. В против-
ном случае следует пробовать подбирать дру-
гую формулу.


314
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
Пример 7. Дана таблица значений величин х и у:
-1,1 -0,6
6,4 4,2
0,0
1,9
0,4 1,0
1,0-0,9.
Требуется построить эмпирическую формулу, аппрок-
симирующую таблицу, по способу наименьших квадратов.
Предположим, что можно взять полином. Сначала
пробуем полином первой степени. Если полином напишем
в виде у — а + Ьх, то, подставив в него табличные зна-
чения х и у, получим условные уравнения для а и Ь:
а - 1,1 Ь = 6,4,
а — 0,6 Ь = 4,2,
а - 1,9,
о + 0,4 Ъ ~ 1,0,
а + 1,0 Ь - -0,9.
Решение этих уравнений по способу наименьших квад-
ратов, т. е. решение нормальных уравнений, даёт а = 2,31,
Ь =— 3,43 с весами
ga^,Q7,gb =2,71.
Полученная формула имеет вид
у = 2,31 — 3,43 х.
Для проверки выбранной формулы подставим в по-
следнюю полученную формулу табличные значения х
и вычислим у; получим:
0,0 0,4 1,0 |
1,9 1,0 -0,9
2,31 0,94 —1,12
-0,41 40,06 40,22 Сумма
0,1681 0,0036 0,0484 0,3451
По сумме квадратов отклонений найдём а0 — среднюю
квадратическую ошибку на единицу веса:
X
V
Ус
У -У с
(У -Ус)*
-1,1
6,4
6,09
40,31
0,0961
-0,6
4,2
4,37
-0,17
0,0289
а затем средние квадратические ошибки найденных коэ-
фициентов аа — 0,15, з^ — 0,21.
Последние показывают, что в значениях а и и нет
смысла брать больше двух знаков после запятой.
Уже одно рассмотрение разностей у. — у.,с показы-
вает, что построенная формула неудовлетворительна,
так как по таблице можно полагать, что значенля у даны
с точностью до 0,1, а почти все разности заметно пре-
Фиг. 227.
вышают 0,1, и средняя ошибка на единицу веса тоже
значительно больше, чем 0,1. Поэтому необходимо попы-
таться применить полином 2-го порядка вида
у ==- a i bx 4- сх*.
Составляем снова условные, а затем нормальные урав-
нения. Решение нормальных уравнений даёт значения
неизвестных коэфициентов и их веса:
а =2,05; Ь =—3,37; с =0,50;
Эмпирическая формула имеет вид
у = 2,05 — 3,37* + 0,50.*».
Подстановка в неё значений х даёт таблицу
,r
У
УС
У -Ус
v - ycY
-1,1
6,4
6,36
+ 0,04
0,0016
— 0,6
4,2
4,25
— 0,05
0,0025
0,0
1,9
2,05
-0,15
0,0225
0,4
1,0
0,78
40,22
0,0484
1,0
-0,9
— 0,82
40,08
0,0064
Сумма
0,0814
По сумме квадратов разностей находим
ао=0,20, а =0,14,
Разности у — у и фиг. 227 показывают, что вторую
формулу можно считать значительно более удовлетво-
рительной, чем первую, так как три разности меньше
0,1 (точности у), одна @,15) превышает не очень сильно,
и только одна @,22) более заметно отличается от 0,1.
Сравнение средних квадратических ошибок на единицу
веса @,2 вместо 0,34) также показывает, что вторая фор-
мула заметно лучше первой.
В некоторых экспериментальных исследо-
ваниях требуется установить, изменяется ли
какое-либо свойство исследуемого объекта
при изменении некоторого другого фактора,
например, остаются ли постоянными, возра-
стают или убывают значения величины, харак-
теризующей это свойство.
В условиях восьмой задачи ошибки измере-
ний могут привести к случайным сочетаниям
значений определяемой величины, могущим
дать ошибочный или ненадёжный ответ на
поставленный выше вопрос.
Простейшим, но не всегда осуществимым,
приёмом обеспечения надёжности делаемого
заключения являются многократно повторён-
ные (порядка 20 и более) измерения каждого
значения. Для установления искомой зависи-
мости здесь следует пользоваться средними
арифметическими значениями ,t(z-) каждой из
групп измерений и, кроме того, сопоставить
возможные отклонения среднего арифметиче-
ского (За-) со ступенью их изменения
(jc(.+1 — Xj). Если последняя значительно прево-
сходит первую, то вывод о наличии изменения
исследуемого свойства надёжен, в противном
случае от такого вывода следует воздержаться.
Если имеют место только одиночные изме-
рения каждого из значений, то подобное же
сопоставление можно сделать, пользуясь
вместо ошибки среднего арифметического
значения о- ошибкой измерения аи.
Другим приёмом, использующим в обоих
рассматриваемых случаях способ наименьших
квадратов, является установление параметров
линейных зависимостей не только для того
сочетания значений величины, которое полу-
чено из опыта, но и для нескольких других
разнообразных сочетаний, отличающихся от
первых на±с- , ;±2а- или соответственно на
•± аи, ± 2аи. Если для всех таких сочетаний
будут получаться линейные зависимости одно-
го типа (например, все возрастающие или все
убывающие), то вывод об истинности соответ-
ственного изменения исследуемого свойства
можно считать надёжным. В противном слу-
чае следует увеличить число наблюдений до
получения устойчивых в указанном выше
смысле результатов.


ГЛ. I]
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
315
Девятая задача. Из опыта получен ряд
значений двух случайных величин л: и у.
Ошибки измерений этих значений пренебре-
жимо малы по сравнению с рассеиванием
определяемых величин. Совокупность получен-
ных из опыта значений называется эмпири-
ческим распределением.
Обычно в задачах такого рода зависимость
между х и у является не функциональной,
а коррелятивной, т. е. вероятность каждого
значения одной величины зависит от значения
другой.
Решение задачи разделяется на следующие
части:
а) Вывод уравнений регрессии, определяю-
щих средние значения одной величины по зна-
чениям другой; таких уравнений два (в случае
двух величин), так как можно искать регрес-
сию у по д: и х по у. Обычно ищут линей-
ные уравнения регрессии вида.
Ух = «1 + М- ,v
B3)
где ух — среднее арифметическое значений у,
соответствующих данному х, и ху — среднее
арифметическое значений х, соответствующих
данному у.
Это оправдывается тем, что в случае нор-
мального распределения двух случайных вели-
чин среднее значение (математическое ожи-
дание) каждой из случайных величин есть
линейная функция другой.
б) Вычисление коэфициента корреляции,
который является мерой уклонения корреля-
ционной связи от функциональной линейной.
Формулы для вычислений п р и
малом числе наблюдений. Вычисле-
ния ведутся непосредственно по табличным
значениям ^rz-, у;, полученным из наблюдений
(/=1,2,..., п). Порядок вычислений следую-
щий:
1. Вычисляются средние значения:
42-
2. Вычисляются средние квадратичные от-
клонения <зх и Оу каждой из величин:
-
ИЛИ
2
По вторым формулам удобно вычислять
голько тогда, когда x-t и y-t — простые числа
(мало знаков).
3. Вычисляется число ;л.п по формуле
B4)
B4')
4. Вычисляется коэфициент корреляции:
г =
B5)
5. Составляются уравнения регрессии:
°
(х- -х),
B6)
Часто вместо ху и ух пишут просто у и х,
но нужно помнить, что уравнения дают сред-
ние значения величин.
6. Обычно ещё вычисляют среднее ква-
дратические ошибки коэфициента корреляция
и уравнений регрессии по формулам
V~n
B7)
. B8)
Первое из этих чисел оценивает обычным
образом надёжность числа г;средние квадратич-
ные ошибки уравнений регрессии дают пред-
ставление о точности определения значения
каждой величины по уравнениям регрессии.
Схема вычисления представлена в табл. 23.
Таблица 23
X I \Х—.
III
(х-х) (у-~
У -У
У-У
VI
(у.-уK
Графы I и II заполняются по результатам
наблюдений; суммы чисел в этих столбцах, де-
лённые на «, дадут х и у. Заполняются графы
HI и IV; суммы вычисляются для контроля (они
должны быть малы, см. задачу 2). Затем вычи-
сляются суммы чисел в графах Уи V>; после
деления их на п получим ^ и з*.
Графу VII удобнее заполнять последней;
частное от деления полученной в ней суммы
на п даст njj.
Корреляционная таблица (при
большом числе наблюдений). Если
наблюдений много, то обработка, указанная
в предыдущем разделе, неудобна; в "этом слу-
чае результаты наблюдений представляют в
таблице, которую называют корреляционной.
Аналогично тому, что делается при изучении
распределения одной величины (задача 3),
области изменения х и у делятся на интер-


316
МАТЕМАТИКА
[РАЗД.
валы, выбираемые для каждой величины в
отдельности. Затем для каждой пары интер-
валов по х и по у подсчитывают число слу-
чаев, когда наблюдавшиеся соответственные
значения х и у попадают в эти интервалы;
результаты вносятся в табл. 24.
>\
Сумма
*(
1
!
0) д-
„„
...
3
«И
«10
1)
«„
«23
«54
»,
B) л
«3!
«з;
«3.
«34
«»,
C) Л
«41
»«
«13
«14
D) л
«„
пл
Я.-д
«,4
«50
E)
1
!
Сумма
«,„
«i 2
я*
«04
II
В первой графе у концов разграничи-
тельных линий между строками ставятся зна-
чения границ интервалов по у; в первой строке
у границ разграничительных линий между
графами ставятся границы интервалов х;
внутри клеток 1-й графы и 1-й строки пи-
шут значения у и х, соответствующие се-
рединам интервалов. Здесь также рекомен-
дуется вводить условный нуль и условные еди-
ницы для х и для у таким же способом, как
и для одной величины (стр. 305).
Каждая клетка таблицы соответствует опре-
делённым интервалам х и у, ив неё вписы-
вается соответствующее число случаев. Числа,
вписываемые в таблицу, будем обозначать
п-ф где i— номер интервала х, а/ — номер
интервала у. В нижней строке вписываются
суммы чисел л/у по графам; эта строка даёт
распределение величины х, рассматриваемой
отдельно (при любых у); эти числа будем
обозначать л/0. Числа крайней правой графы
получаются сложением чисел л/у по стро-
кам; эта графа даёт распределение вели-
чины у, взятой отдельно (при любых л); эти
члсла обозначим Лпу. Сумма чисел п/0 в по-
следней строке равна общему числу наблю-
дений; сумма чисел я0у в последней графе
тоже равна л, что даёт контроль составления
таблицы.
Таким образом имеем
"/о — 2^ nij< • noj ~ 2 n'J'
Как и при обработке распределения одной
случайной величины, принимают, что л/у есть
число случаев, когда величина х имеет зна-
чение, соответствующее середине /-го интер-
вала х, а величина у имеет значение середи-
ны у'-го интервала у. Следовательно, обраба-
тывают распределение, как дискретное.
Если построить точки с координатами, рав-
ными наблюдавшимся значениям х и у, то
получится график, называемый полем кор-
реляции. Обычно он имеет такой вид: точки
в общем разбросаны без особого порядка, но
можно заметить при наличии корреляционной
связи, что есть направления, около которых
точки всего гуще.
Если построено поле корреляции, то доста-
точно нанести на нём координатную сетку со-
ответственно границам интервалов, и подсчёт
точек в образовавшихся при этом клетках
даст корреляционную таблицу.
Пример 8. Вычисления по корреляционной таблице.
Данные, полученные из опыта, вносятся в корреляционную
таблицу в левом верхнем углу табл. 25.
Вычисления:
200
= -0,425;
20Э
л- = '10 + 10х(— 0,425)= 35,75; 7'= 35+10 X 0,09 = 35,9;
200
214
=-——О.ОЭ'2 =1,062:
200
з - 10а, =11,06;
= Юз = 10,30;
3)
= - — — (— 0,425) X 0,09=0,883,
2оО
0,883
- = 0,775;
1,106 X 1,0*0
5) р- = р = г -У- = 0,82;
• С Г v п
— 35,9 = 0,82(к- 35,8); х — 35,8 = 0,95 (у-35,9);
7,, - 0,09= 0,82(? + 0,42);
+ 0,42 = 0,95 (т)—0,09);
I-r2 = 6,5; з -з тЛ -г2 = 7,0;
ТГ х '
"Оу =
з.


ГЛ. IJ
ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
317
Таблица 25
1
х
у
ю -
2О
Ч" -
40 -
00 -
I
11
III
IV
V
VI
VII
л
\, $1
- 2
— I
_ — - ——————
О
I
2
ЛЯ>
ч- П
$1 "/О
?TI/ nij
? Ут га
7 '' v
i.L^L
"Ю
\
5 1
-3
5
——— ._. —————
——————————
5
-IS
45
- 10
3°
— 2,00
— 2,03
5 It
-2
1
20
27
-54
108
—34
68
-1,26
— 1,21
3
— 1
23
3°
__-— __
10
63
- °3
63
-13
13
— 0,21
-o,39
5 4
0
47
_____
a
о
67
0
о
29
0
+ 0,43
o,43
5 5J
1
2
———— _..._
20
7
29
29
29
3t
34
1,17
1,25
6
2
—— —
b
3
9
18
36
12
24
I-3.
2,O"
5
}
7
I
"q/
12
4Я
79
47
'9
200
-85
281
—
169
~
—
1 »
w
24
-43
0
47
38
...
Ill
2
48
43
0
47
76
214
IV
.-,
-29
-63
-28
+ 22
13
-
V
V
V,v
58
63
0
22
26
169
VI
S?n
/ ' V
"o/
— 2,42
-1,47
-0,35
-i 0,47
4 0,68
-
VII

— 2,41
-1,46
-0,51
o,44
i,39
-
Пояснения к табл. 25 и к вычислениям на стр. 316.
Графа I даёт распределение у, строка I—распределение х. По ним выбираются условные нули для х и у
•л вводятся условные единицы; они обозначены на схеме буквами ? и т,. В строке х и графе у нанесены границы
интервалов; значения середин интервалов в единицах х и у не нанесены; даны значения ? и т), соответствующие
серединам интервалов. _
Графы II и III служат для вычисления т\ и j , строки II и III—для ?~ и о- • вычисления ведутся т .к же, как для
одной величины (см. стр. 318). Величина [*„, необходимая для определения г, вычисляется здесь по формуле
B3)
где ?-,TJ . —значения в условных единицах для середин интервалов.
Двойную сумму можно вычислить, составив аналог корреляционной таблицы, в которой пишется в каждой
клетке произведение п на $.TJ.-. Суммирование всех чисел таблицы и даст двойную сумму. В нашей схеме
вместо этого введены графы и строки IV и V. Способ вычисления чисел в этих графах и строках указан написан-
ными в схеме формулами. Суммирование чисел графы V и строки V дают независимо значение двойной суммы, что
обеспечивает контроль.
Графа VI содержит эмпирические средние значения Е, соответствующие всем т]. . Эти средние получаются деле-
нием чисел графы IV на числа графы I. Сказанное относится и к строкам с той разницей, что в строке VI полу-
чаются эмпирические средние значения т) для всех ?,•_
Вычисления вне схемы под номерами 1), 2) не требуют пояснений, так как они ведутся для каждой величины
отдельно; 3) вычисление величины [*.,, проводится по формуле B9), 4) коэфициент корреляции и его средняя ошибка
вычисляются по формулам B5) и B7); он не зависит от выбора единиц. Под номером 5) дано вычисление коэфициента
регрессии т/ по ? (у по х), обозначенного р» (р ) и коэфициента регрессии ? по т, (v по у), обозначенного р (р ),
вычисляемых по формулам B6). Здесь р. и р , а также р и о соответственно равны, так как интервалы по х и по
ч х '<\ у
v равны.
Далее написаны уравнения регрессии в действительных и в условных единицах.
Последние нужны для сравнения эмпирической регрессии с теоретической.
По уравнениям регрессии в условных единицах вычислены средние значения ? для всех тк и средние значе-
ния т) для всех ?, ; резуль»аты помещены в схеме в графе VII и строке VII. Сравнение чисел граф VI и VII
и таких же строк показывает в общем удовлетворительное согласие во всех точках, кроме последних.
Величина о показывает, что в коэфлциенте корреляции нет смысла писать больше двух знаков. Ь'еличина
коэфициента корреляции 0,78±0,03 показывает, что связь между хну можно считать не очень уклоняющейся от
линейной зависимости. Средние квадратические ошибки уравнений регрессии, вычисленные под номером 6), показы-
вают, однако, что значения у по х и х по у вычисляются по уравнениям регрессии довольно грубо, что, впрочем, вы-
зывается главным образом нижним правым краем поля корреляции.


Таблица значений вероятности появления события хотя бы один раз [Р ( > 1 из s) = 1 — A — p)s ]*
Таблица 26
Р ^\^
О,О1
О.О2
о,оз
о,о4
о,о5
о, об
0,07
о,о8
о,о9
О,1О
0,12
о,14
одб
o,i8
0,2О
О,22
0, 24
0, 2E
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
о, 42
0,44
0,46
о,48
о,5°
0,52
о,54
о,5б
о,58
о,6о
0,62
о,б4 ,,
! о.бб *
о,68
0,70
0.72
о,74
0,76
0,78
о,8о
о,85
0,90
°95
1
j 0,01000
озооо
03000
04000
05000
о.обооо
07000
оЗооо
оолоо
1ОООО
ОД2ООО
14000
1бооо
iSooo
20ООО
0,22000
24000
26000
28000
30000
0,32000
34000
36000
38000
40000
0,42000
44000
46000
48000
50000
0,52000
54000
56000
58000
боооо
о.баооо
б4ооо 1
ббооо
68ооо
7000О
0,72000
74ооо
76000
78000
8оооо
o,8jooo
QOOOO
05000 j
2
0,0190°
03960
0591°
07840
0975°
0,11640
1351°
153бо
17190
19000
0,22560
26040
2944°
32760
36000
0,39160
42240
45240
48160
51000
о,537бо
56440
59040
61560
64000
0,66360
68640
70840
72960
75000
0,76960
78840
80640
82360
84000
0,85560
87040
88440
89760
91000
0,92160
93240
94240
95160
96000
о,9775о
99000
9975°
3
0,02970
05881
08733
11526
14263
0,16942
195б4
22131
24643
27100
0,31854
36394
40730
44863
48800
о,52545
56102
59478
62675
65700
0,68557
71250
73786
76167
78400
0,80489
82438
84254
85930
87500
0,88941
90266
91482
92591
93600
о,945*3
95334
96070
96723
973оо
0,97805 I
98242
98618
98935
99200
0,99662
99900
9993?
4
0,03940
07763
11471
15065
18549
0,21925
25*95
2836!
3*425
3439°
0,40030
45299
502*3
54788
59040
0,62985
66638
70013
73*2б
75990
0,78619
8Ю25
83223
85224
87040
0,88684
90166
9*497
92688
93750
0,94692
95523
96252
96838
97440
о,979*5
98320
98664
9895*
99*90
о,99385
99543
99668
99766
99840
о,99949
9999°
99999
5
0,04901
09608
14127
18463
22622
О,2ббЮ
3043*
34092
37597
4°95*
0,47227
52957
fl?i
62926
67232
0,71128
74б45
77810
8065*
83*93
0,85461
87477
89263
90839
92224
о,9343б
94493
95403
96198
96875
о,9745а
9794°
9335*
98699
93976
0,99208
99395
99546
99664
99757
0,99828
99881
99920
99948
99968
0,99992
99999
1
6
0,05852
11416
16703
21724
26491
0,31013
3530*
393б5
432*3
46856
о,535бо
59543
64870
69599
73786
о,7748о
80730
83579
86069
88235
0,901*3
9*735
93*28
94320
95334
о,9б*93
969*6
97521
98023
98437
0,98777
99053
99274
9945*
99590
о,99б99
99782
99846
99893
99927
0,90952
99969
99981
99989
99994
0,99999
7
0,06793
13187
19202
24856
30166
0.35*52
3983°
44215
48324
52170
0,59*3°
65207
70491
75°7i
79028
0,82434
85355
87849
89969
9*7б5
0,93277
94545
95602
06478
97200
0,97792
98273
98661
98972
99219
0,994i3
995б4
99681
9977°
99836
0,99886
99922
99947
99966
99978
о,99987
99992
99995
99997
99999
8
0,07726
14924
21626
27861
33658
о,39043
44042
48678
52975
56953
0,64037
70078
752*2
79559
83223
0,86299
88870
91008
92778
94235
0,95428
96400
97*85
97817
98320
0,98719
99033
99277
99465
99618
0,997*8
90800
99800
99903
99934
о,99957
90972
99982
99989
99993
0,99996
09998
99999
99999
9
0,08648
16625
23977
30747
Зб975
0,42700
47959
52784
57207
61258
0,68352
74267
79*78
83238
86578
0,89313
9*541
93346
948оо
95965
0,96891
97624
98199
93646
93992
0,99257
99453
99610
99722
99805
0,99365
99908
9993s
09959
99974
о,9993з
99990
99994
09993
99993
0,99999
99999
10
0,09562
18293
26258
335*7
40126
0,46138
5*602
5656*
61058
65*32
0,7215°
77870
82510
86255
89263
0,91664
9357*
95076
96256
97*75
0,97886
98432
98847
99*61
99395
о,995б9
99697
99739
99355
99902
о,99935
9995s i
99973
99933
99939
0.99994
99996
99993 ;
ОО.ХЮ
:?:7?vv !
99999
i
I
i и
0,11361
21528
30616
38729
45964
0,52408
58140
63233
67752
7*757
0,78433
83633
87659
90753
93128
0,94929
96287
973°4
9^059
98616
0,99023
993*7
99528
99677
99782
o,99355
09905
99939
99961
99976
0,99985
99991
99995
99997
99998
0.99999
99999
14
0,13*25
24636
347*6
43533
5*233
0,57948
63796
6883i
73296
77*23
0,83298
87895
91292
93786
95602
0.96915
97855
98524
93994
99322
099548
997°2
99807
99876
99922
0,99951
99970
99932
99939
99994
0,99997
90998
99999
99999
.
16
0,14854
27620
38575
47960
55987
0,62843
68687
73661
77886
81470
0.87066
91047
93856
95821
97*85
0,98123
98761
99191
99478
99668
0,99791
99870
99921
99952
99972
0,99984
99991
99995
99997
99998
0,99999
18
0,16549
30486
42205
52040
60279
0,67168
729*7
77706
81687
84991
0,89984
93378
95665
97190
98i99
0,98858
99284
99557
99730
99837
0,99903
99944
99968
99982
9999°
0,99994
99997
99998
99999
20
0,18209
33239
45621
558оо
641.51
0,70989
7б57б
81131
84835
87842
0,93244
95ЮЗ
96941
98111
98847
о,993°5
99587
99758
99860
99920
0.99955
99975
99987
99993
99996
о,09993
99999
30
1 0,26030
1 45451
59399
70614
78536
0,84374
88663
91803
94°95
9576i
0,97840
98916
99465
99740
99876
o,99942
99973
99988
99995
99998
0,99999
40
0,33103
55430
70429
80418
87149
0,91584
945*3
96440
97700
98522
0,99398
997бо
99900
99964
99987
o,99995
99998
99999
i
60
0,45284
70245
83919
91365
95393
0,97553
93715
99328
99651
99820
0.99953
99988
99997
99999
80
0,55248
8oi35
9*255
96183
98348
0,99292
99699
99873
99947
99978
о,9999б
99999
100
0,63397
86738
95245
98313
994о8
о,99794
99929
99976
99992
99997
ОО
По В. А. Алексееву. См. „Сборник таблиц для расчёта вероятностей", Изд. Арт. акад. КА, 1944 г,


Таблица функции S (г) для распределения Стюдента * Таблица 27
0,0
О,1
0,2
о,3
0,4
°,5
0,6
°>7
о,8
°,9
1,0
i,i
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
i,8
*,9
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
З.о
3,2
3,4
3,6
3,8
4,о
4,2
4,4
4,6
4,8
5,о
5,2
5,4
5.6
5,8
6,0
2
о,5°°
532
563
593
621
648
672
694
7*5
733
о,75°
765
779
791
8оз
8i3
822
831
839
846
0,852
864
874
883
891
898
904
род
914
gi8
922
926
929
932
935
937
940
942
944
946
947
3
0,500
535
570
604
636
667
695
722
746
768
789
807
824
838
852
864
875
884
893
901
908
921
931
938
946
952
^7
962
9б5
9&э
971
974
976
978
9&>
98i
982
984
985
986
987
4
о,5оо
537
573
6о8
642
674
7°5
733
759
783
804
824
842
858
872
885
896
906
915
923
930
942
952
9бо
966
971
975
979
082
984
986
988
989
990
991
992
993
994
994
995
995
5
о,5оо
537
574
бдо
645
678
7Ю
739
766
790
8i3
834
852
868
88з
896
9о8
918
927
935
942
954
963
970
976
980
984
986
989
990
992
993
994
995
996
996
997
997
998
998
998
6
0,500
538
575
612
647
681
7J3
742
770
795
818
839
858
875
890
903
915
925
934
942
949
960
969
976
981
985
988
990
992
994
995
996
996
997
998
998
998
998
999
999
999
7
0,500
538
576
613
648
683
715
745
773
799
822
843
862
879
894
908
920
930
939
947
954
9б5
973
980
984
988
991
993
994
996
996
997
998
998
998
999
999
999
999
999
1,000
8
0,500
538
до
576
6i4
650
684
716
747
775
801
825
846
865
883
898
911
923
934
943
95°
957
968
976
982
987
990
992
994
90
997
997
998
998
999
999
999
999
1,000
9
0,500
539
577
614
650
685
717
748
777
803
827
848
868
835
900
914
926
936
945
953
960
970
978
984
988
992
994
"J.
996
997
998
998
999
999
999
1,000
10
0,500
539
577
614
651
686
718
749
778
804
828
850
870
887
902
916
928
938
947
955
962
972
080
986
990
992
995
,996
997
998
998
999
999
999
1,000
11
0,500
539
577
615
65i
686
719
75°
779
805
830
851
871
889
904
918
930
940
949
957
963
974
981
987
991
993
995
997
998
998
999
999
999
1,000
12
o,5°o
539
577
615
652
686
720
75i
780
806
831
853
872
890
906
919
93i
941
95°
958
965
975
082
988
991
994
996
997
998
998
999
999
1,000
13
0,500
539
578
615
652
687
720
75i
780
807
832
854
873
891
907
920
932
943
952
959
967
076
983
988
992
994
996
997
998
999
999
999
1,000
14
0,500
539
578
616
652
687
721
752
781
808
832
854
874
892
908
921
933
944
952
960
967
977
984
989
992
995
996
998
998
999
999
1,000
15
0,500
539
578
6i6
652
688
721
752
782
808
833
855
875
893
908
922
934
944
953
961
967
977
985
990
993
995
997
99°
999
999
999
1,000
16
0,500
539
578
616
653
688
721
753
782
809
833
856
876
893
909
923
935
945
954
962
968
978
985
990
993
996
997
998
999
999
999
1,000
17
0,500
539
578
616
653
688
722
753
782
809
834
856
876
894
910
924
935
946
955
962
969
979
986
99°
994
996
997
998
999
999
1,000
18
0,500
539
578
616
653
688
722
753
783
810
834
857
877
894
9ю
924
936
94°
955
9бЗ
об9
979
986
9QI
994
996
997
998
999
999
1,ООО
19
о,5оо
539
578
6i6
653
68»
722
754
783
810
835
857
8?7
895
9и
924
936
947
95°
9бЗ
97°
979
986
991
994
90
998
998
Q99
999
I.OOO
20
о,5оо
539
578
6i6
653
689
722
754
783
810
835
858
878
895
911
925
937
947
95°
964
97°
980
987
991
994
996
998
998
999
999
1,000
оо
0,50000
539^3
57926
61791
65542
69146
72575
75804
788i4
81594
84134
86433
88493
90320
91924
93319
94520
95543
96407
97128
97725
98610
99180
99534
99744
99865
?
99966
99984
99993
99997
99999
99999


320
МАТЕМАТИКА
[РАЗД. 1
Таблица вероятностей Р для критерия 7.а К. Пирсона *
Таблица 28,
"Ч ft
I
2
3
4
5
6
7
8
о
ю
н
12
13
14
15
l6
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
3°
2
0,6065
3679
2231
1353
0821
0498
0302
0183
от
0067
0041
0025
0015
0006
0003
O002
OOOI
OOOI
0000
oooo
oooo
0000
oooo
oooo
oooo
oooo
oooo
oooo
oooo
3
0,8013
5724
2615
1718
1116
0719
0460
0293
0186
0117
0074
0046
0029
0018
ООН
0007
OO04
оооз
0002
OOOI
OOOI
oooo
oooo
oooo
oooo
oooo
oooo
oooo
oooo
4
0,9098
7358
5578
4060
2873
1994
1359
0916
0611
0404
0266
0174
0113
0073
0030
0019
OOI2
0008
0005
0003
OO02
OOOI
OOOI
OOOI
oooo
oooo
oooo
oooo
oooo
5
0,9626
8491
7000
5494
4159
3062
2206
1562
1091
0752
0514
0348
0234
0156
0104
0068
0045
0029
0019
0013
0008
0005
0003
OO02
OOOI
OOOI
OOOI
oooo
oooo
oooo
6
0,9856
9197
8088
6767
5438
4232
3208
2381
1736
1247
0884
0620
0430
0296
0203
0138
0093
0062
0042
0028
0018
0012
0008
0005
0003
OOO2
OOOI
OOOI
OOOI
oooo
7
0.9948
9598
8850
7798
6600
5398
4289
3326
2527
1886
1386
1006
0721
0512
0360
0251
0174
0 120
0082
0056
0038
0025
0017
ООН
ooo8
0005
0003
0002
OOOI
OOOI
8
0,9982
9810
9344
8571
7576
6472
5366
4335
3423
2650
2017
1512
1119
0818
0591
0424
0301
O2I2
0149
0103
0071
0049
0034
0023
0016
0010
0007
0005
0003
0002
9
0,9994
9915
9114
8343
7399
6371
5341
4373
3505
2757
2133
1626
1223
0909
0669
0487
0352
0252
0179
0126
0089
0062
0043
0030
O02O
0014
0010
0006
0004
to
0,9998
9963
9814
9473
8912
8153
7254
6288
5321
4405
3575
2851
2237
1730
1321
0996
0744
055°
0403
0293
021 1
0151
0107
0076
0053
0037
OO26
00l8
0012
0009
11
0,9999
9985
9907
9699
9312
8734
7991
7133
6219
5304
4433
3626
2933
2330
1825
1411
1079
0816
0611
0453
0334
0244
0177
0127
0091
0065
0046
0032
0023
0016
12
o,9994
9955
9834
9580
9161
8576
7851
7029
6160
5289
4457
3690
3007
2414
1912
1496
7
0885
0671
0504
°375
0277
0203
0148
0107
0077
0055
0039
0028
13
i
0,9998
9979
9912
9752
9462
9022
8436
7729
6939
6108
5276
4478
3738
3074
2491
1993
1575
1231
0952
0729
°554
0417
0311
0231
0170
0124
0090
0065
0047
It
i
0,9999
9991
9955
9858
9665
9347
8893
8311
7622
6860
6063
5265
4497
3782
3134
2562
2068
1649
1301
1016
0786
0603
0458
0346
0259
0193
0142
0104
0076
15
i
i
0,9996
9977
9921
9797
9576
9238
8775
8i97
7526
6790
6023
5255
45i4
3821
3189
2627
2137
1719
1368
1078
0841
0651
0499
0380
0287
0216
0161
0119
16
i -
I
0,9998
9989
9958
9881
9733
9489
9*34
8666
8095
7440
6728
5987
5246
4530
3856
3239
2687
22O2
1785
1432
1137
0895
0698
05*0
0415
0316
0239
0180
17
i
i
o,9999
9995
9978
9932
9835
9665
9403
9036
8566
8001
7362
6671
5955
5238
4544
3888
3285
2742
2263
1847
1493
1194
0947
0745
0581
0449
0345
0263
IS
i
I
i
09998
9989
0962
9901
9786
9597
8944
8472
7916
6620
5925
5231
455/
3328
2794
2320
1906
155°
1249
0998
0790
0621
0484
°374
* Взято из книги В. И. Романовского [61].
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
Приближённые вычисления
1. В ы г о д с к и и М. Я-> Справочник по элементарной
математике, Гостехиздат, М. — Л. 1941.
2. 3 а н д е н Г., Элементы прикладного анализа, ГТТИ,
М. — Л. 1932.
3. К р ы л о в А. Н., Лекции о приближённых вычисле-
ниях, изд. А.Н СССР, М. — Л. 1933.
4. П а н о в Д. Ю., Счётная логарифмическая линейка,
изд. 4-е, ОНТИ, М. — Л. 1938.
Алгебра и решение уравнений
5. Карман Т. и Био М., Математические методы
в инженерном деле, Гостехиздат, М. — Л. 1946.
6. К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, Гостехиздат,
М. - Л. 1945.
7. Скарборо, Численные методы математического
анализа, ГТТИ, М. - Л. 1934.
8. Уйттекер Э. и Робинсон, Математическая
обработка результатов наблюдений, ГТТИ, М.—Л. 1933.
9. Я н к е Е. и Эмде Ф., Таблицы специальных
функций, Гостехиздат, М. 1947.
(См. также [2], [3], [69]).
Трансцендентные функции и специальные полиномы
10. К у р а н т Р., Г и л ь б е р т Д., Методы математиче-
ской физики, т. I. ГТТИ, М. — Л. 1933, т. П, Гостех-
чздат, М. — Л. 1945.
11. С т р е т т, Функции Матье, Ляме и родственные им,
ОНТИ. М. — Л. 1938.
12. У и т т е к е р Э., Курс современного анализа, т. II
ГТТИ, М. — Л. 1934.
(См. также [1], [5]).
Тригонометрия
13. С т е п а н о в Н. Н., Сферическая тригонометрия,
ОНТИ, М. — Л. 1936.
14. Ш м у л е ви ч П. К., Прямолинейная тригонометрия,
изд. 7-е, ОНТИ, М. - Л. 1938.
(См. также [I])
Диференциальное и интегральное исчисление
15. Балле Пуссен, Курс анализа бесконечно малых
т. I и т. II, ГТТИ, М. — Л. 1933.
16. Г у р с а Э., Курс математического анализа, т. I,
ГТТИ, М. — Л. 1933.
17. К а н т о р о в и ч Л. В., Определённые интегралы
и ряды Фурье, изд. Ленинградск. университета, 1940.
18. Н е м ы ц к и и В. В., С л у д с к а я М. И., Чер-
касов А. Н., Курс математического анализа, Гостех-
издат, М. — Л. 1944.
19. Р ы ж и к И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений, Гостехиздат, М. — Л. 1943.
20. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. \
и Н. ОНТИ, М. — Л. 1937-193S.


ЛИТЕРАТУРА
321
21. Фихтенгольц и Натансон, Криволинейные
и кратные интегралы, изд. Ленинградск. университета,
1940.
(См. также 171].)
Функции комплексного переменного
'J2. Гу р вит ц А., Аналитические функции, ГТТИ,
М. — Л. 1933.
23. Гуоса Э., Курс математического анализа, т. И,
ГТТИ, М. - Л. 1933.
24. П р и в а л о в И. И., Введение в теорию функций
комплексного переменного, Гостехиздат, М. — Л. 1945.
Векторный анализ
25, К очи н Н. Я-. Векторное исчисление и начало тен-
зорного исчисления, ОНТИ, М. — Л. 1937.
(См. также [69].)
Аналитическая геометрия
J6. S ю шге н с С. С., Аналитическая геометрия, ч. 1 и II,
ОНТИ, М. — Л. 1939.
27. М у с х е л и ш вили Н. И., Курс аналитической
геометрии, ОНТИ, М. — Л. 1940.
28. Ф и х т е н г ол ь ц Г. М., Математика для инженеров,
ГТТИ, М. - Л. 1934.
(См. также [20].)
Диференциальная геометрия
29. Б ю ш г е н с С. С., Диференциальная геометрия.
ОНТИ, М. - Л. 1937.
30. Р аш е в с к и и П. К., Диференциальная геометрия,
ОНТИ, М. - Л. 1938.
31. Фиников С. П., Диференциальная геометрия,
Учпедгиз, Москва 1939.
(См. также [20], [16].)
Диференциальные уравнения в обыкновенных
производных
32. А и н с Э. Л., Обыкновенные Диференциальные урав-
нения, ОНТИ Украины, Харьков 1939.
33. Лурье А. И., Операционное исчисление, ОНТИ,
М. — Л. 1939.
34. Ниаджио Г., Интегрирование диференциальных
уравнений, ГТТИ, М. —.Л. 1933.
35. С т е п а н о в В. В., Курс диференцпальных урав-
нений, изд. 4-е, Гостехиздат, 1945.
(См. также [2], [3], [5], [7], [10], [15], [20], [23].)
Диференциальные уравнения в частных производных
36. Вебетер и Сеге. Диференциальные уравнения
в частных производных, ГТТИ, М. — Л. 1933.
37. Гурса Э., Курс математического анализа, т. III,
ГТТИ, М. - Л. ЬЗЗ.
38. Канторович Л. и Крылов В., Методы при-
ближённого решения уравнений в частных производ-
ных. ОНТИ, М. - Л. 1936.
39. К р ы л о в А. Н., О некоторых диференциальных
уравнениях математической физики, имеющих приме-
нение в технических вопросах, изд. АН СССР, Ленин-
град 1933.
40. Панов Д. Ю., Справочник по численному решению
диференциальных уравнений в частных производных,
изд. АН СССР, Москва 1937.
41. Франк и Мизес, Диференциальные и интеграль-
ные уравнения математической физики, ОНТИ М. — Л.
1937.
(См. также [10] ч. II.)
Вариационное исчисление
42. Лаврентьев М. А. и Люстерник Л. А.,
Раригционное исчисление, ОНТИ, М. — Л. 1938.
(См, также [37], ч. 2.)
Разностное исчисление
43. М а р к о в А. А., Исчисление конечных разностей.
Москва 1889.
(См. также [2], [3], [5], [7], [8].)
Интегральные уравнения
44. В и а р д а Г., Интегральные уравнения, ГТТИ, 1933.
45. Мусхелишиили Н. И., Сингулярные интеграль-
ные уравнения, Гостехяздат, 1946.
46. П р и в а л о в И. П.. Интегральные уравнения, ОНТИ,
М. -Л. 1935. (См. также [10]. т. 1. [37], [41], ч. 2,
[41].)
Ряды функций
47. Привалов И. И., Ряды Фурье, ОНТИ, М. — Л.
1934. (См. также [2], [3], [5], [10], [20], т. II.)
Номография
48. Герсеванов И. М., Основы номографии
ГНТИ, 1932.
49. Глаголев Н. А., Теоретические основы номо-
графии, Москва, 1936.
50. Л1, е л е н т ь е в П. В., Номография, ГНТИ, 1933.
51. Невский Б. А., Методика построения номограмм,
ОНТИ, 1937.
62. Ш в е р д т Г., Номография на основе геометрии
отображения, Харьков 1935.
•г>3. Справочник по номографии под ред. Н. А. Глаголева,
ОНТИ, М. - Л. 1937.
54. Б е р н ш т е йн С. Н., Теория вероятностей, Гостех-
издат, М. — Л. 1946.
55. Г л и в е н к о В. И., Курс теории вероятностей,
ОНТИ, М. - Л. 1939.
56. Гончаров В. Л., Теория вероятностей, Оборонгиз,
Москва 1939.
57. К о л м о г о р о в А. Н., Основные понятия теории
вероятностей, ОНТИ, 1936.
58. Л а х т и н Л. К., Курс теории вероятностей, Гос-
издат, 1924.
59. М а р к о в А. А., Исчисление вероятностей, Гос-
издат, Москва 1924.
60. Р о м а н о в с к и и В. И., Математическая стати-
стика, ОНТИ, М. — Л. 1938.
61. Р о м а н о в с к и и В. И., Элементарный курс мате-
матической статистики, Госпланиздат, 1939.
62. С л у ц к и и Е. Б., Теория корреляции и элементы
учения о кривых распределения, Киев 1912.
Обработка опытных данных
63. Гончаров В. Л., Теория интерполирования и при-
ближения функций, ГТТИ М.—Л., 1934.
64. И д е л ь с о н Н. И., Способ наименьших квадратов,
ГТТИ, М. — Л. 1932.
65. Митропольский А. К., Техника статистиче-
ского исчисления, Ленинград 1931.
66. Р о м а н о в с к и и В. И., Об основных задачах тео-
рии ошибок, изд. Уз. ФАН., Ташкент 1943.
67. С е м е н д я е в К. А., Эмпирические формулы, ГТТИ,
М. - Л. 1933.
68. Шилов П. И., Способ наименьших квадратов, Гео-
дезиздат, 1941.
(См. также: [2], [3], [7], [8], [58], [61] и [62].)
Общая литература
69. Б р о н ш т е и н И. Н. и С е м е нд я е в К. А.,
Справочник по математике, Гостехиздат, М. — Л. 1945.
70. Д у б б е л ь Г"., Справочник по машиностроению,
ГТИ, М. — Л. 1928.
71. М а и з е л ь В. М., Справочное руководство по маши-
ностроению, ГНТИ Украины, Харьков 1937.
72. П о з д ю н и н В. Л., Справочник по судостроению,
ОНТИ, М. - Л. 1938.
73. X ю т т е, Справочник по машиностроению. Госмаш-
метиздат, М. — Л. 1933.
21 Том 1, кн. 1


Глава II
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ
Понятие об единицах измерений
Требования, предъявляемые к единицам.
Познавательный процесс, в результате ко-
торого устанавливается численное соотношение
между исследуемой величиной и некоторой
другой однородной величиной, выбранной за
единицу, или масштабом, носит название и з-
мерительного. Этот процесс является од-
ним из самых древних и распространённых.
С технической точки зрения процесс изме-
рения заключается в сравнении путём спе-
циального физического эксперимента данной
величины, подлежащей измерению, с некото-
рым определённым её значением, принятым за
единицу. Если обозначить измеряемую вели-
чину Q, единицу измерения А и числовой ре-
зультат измерения в принятых единицах п, то
тогда: Q = пА.
Если мы примем за единицу вместо А дру-
гую величину — А', то это выражение примет
вид: Q = п' А'.
Следовательно, числовой результат измере-
ния целиком зависит от выбора основного опре-
деляющего множителя—единицы измере-
ния Л. Числовое значение измеряемой вели-
чины обратно пропорционально размеру едини-
цы. Выбранное значение единицы принципиаль-
но может быть совершенно произвольным; для
каждой измеряемой величины можно было бы
выбирать свою самостоятельную единицу. Од-
нако это было бы возможно только в случае
отдельного, изолированного измерения,не свя-
занного с другими измерительными процесса-
ми. Практически такая постановка вопроса не
реальна: так как результат должен быть сопо-
ставим с измерениями других величин, то,
следовательно, при выборе единиц нужно учи-
тывать это обстоятельство и подчинять этот
выбор некоторым определённым условиям, вы-
текающим из физических соотношений между
измеряемыми величинами (например, выбор
единиц длины и времени уже предопределяет
выбор единицы скорости).
Помимо требования физического согласова-
ния отдельных единиц между собой, при вы-
боре последних к ним предъявляются требо-
вания удобства, т. е. чтобы результат измере-
ний по возможности выражался „удобным"
числом — не слишком большим или малым.
Необходимо, чтобы единица могла быть реаль-
но воспроизведена с максимальной степенью
точности и совершенства в виде так называе-
мого эталона.
В результате этих ограничений, несмотря на
кажущуюся свободу выбора единиц, техниче-
ское значение будут иметь только те измере-
ния, которые произведены в рациональных еди-
ницах, принятых по общему (международ-
ному) соглашению. Такие единицы устанавли-
ваются в каждом государстве особым законо-
дательством о мерах и весах. Применение этих
единиц является обязательным и подлежит го-
сударственному контролю.
Выбор единиц. Единицы независимые
и производные. Связь между единицами.
Разномерности. Единицы главные, крат-
ные и дольные. Системы единиц
При практическом выборе единиц измере-
ний некоторые из них по необходимости вы-
бираются произвольно. Они должны соот-
ветствовать указанным выше требованиям; чис-
ло их по возможности должно быть минималь-
но. Остальные необходимые единицы являются
производными, и выбор их обусловливается
выбором этих произвольно принятых единиц.
В практике применяются как целые единицы,
так и их кратные и дольные подразделения.
а) Независимые (произвольно устанс
вленные) единицы служат для измерения неко-
торых величин.
б) Производные единицы применяют-
ся для измерения всех остальных величин.
в) Кратные и дольные единицы
служат для измерений всех величин в
тех случаях, когда основная единила по своей
величине не удобна для применения.
Независимые единицы физически воплоща-
ются в виде эталонов или при помощи эталон-
ных методов; в определение их входит свой-
ства некоторого вещества, а также какие-либо
ограничивающие условия. К числу независи-
мых единиц относятся, например, единица
длины — метр, единица массы — килограмм
и т. д., определённые через свои веществен-
ные эталоны.
Производными единицами называются еди-
ницы, закономерно определяемые на основании
физических связей и соотношений между ве-
личиной, для которой единица устанавливается,
и величинами, для которых единицы установ-
лены независимо. Таким образом в определе-
ние производных единиц входят только неза-
висимо определённые единицы (непосредствен-


ГЛ. HJ
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ
323
но или посредством ранее определённых про-
изводных единиц). Реальное воплощение про-
изводных единиц в виде эталонов необязатель-
но, и, следовательно, их определения не свя-
заны с какими-лмбо свойствами физических
веществ или тел.
Формула связи между величиной Q, для ко-
торой устанавливается производная единица,
и величинами А, В, С, .... единицы которых уста-
новлены независимо, в общем случае имеет вид:
Q= kAaB^Cf...,
где k — числовой коэфициент (в частном слу-
чае k ~ 1).
Обозначая строчными буквами д, а, Ь, с, . . .
числовой результат измерений, а буквами
в квадратных скобках [Q], [А], \В\, [С]. . . — еди-
ницы измерений, получим, что Q — q [Q]',
А — а [А] и т. д. и
Выбирая единицу измерения [Q] так, чтобы
числовые значения измерений были одинако-
вы, т. е.
q = 0*$^
необходимо положить
Q = [АГ[В]*[С}\ . .
Единица, определённая согласно этому ра-
венству, будет производной по отношению к
единицам [А], [В], [С], . . . Эти последние еди-
ницы, по отношению к которым определяется
производная единица, носят название основ-
ных единиц. Формула связи производной еди-
ницы с основными называется формулой
размерности, а показатели степени а, {3,
Y. . . — размерностями.
Формулы размерности вполне определяют
характер единицы. Это обстоятельство прак-
тически существенно, потому что производные
единицы сравнительно редко имеют собствен-
ные наименования (как, например, дина или эрг),
в большинстве же случаев носят наименова-
ния, вытекающие из формул размерности (на-
пример единица скорости „метр в секунду").
Помимо своего физического значения фор-
мулы размерности дают возможность техни-
чески удобно проверить правильность формул
путём сравнения размерностей её правой и
левой частей; размерности эти должны быть
одинаковы.
Так как основные и производные единицы
в ряде практически встречающихся случаев
могут оказаться неудобными по своей величи-
не, в технике измерений часто применяются
единицы, представляющие собой определённое
кратное или определённую долю основных или
производных единиц. Последние в этом слу-
чае носят название главных единиц по от-
ношению к кратным и дольным едини-
цам. Как общее правило, кратные и дольные еди-
ницы выбираются в 10" раз меньше или больше
главной единицы. Специальные названия крат-
ных и дольных единиц (например тонна) встре-
чаются сравнительно редко; чаще же всего,
в случае десятичного деления, пользуются спе-
циальными приставками к названию главной
единицы (латинскими и греческими), которые
характеризуют соподчинение единиц. Основные
из этих приставок, получившие между народное
признание, указаны в табл. 1.
Таблица 1
Приставки, служащие для образования
наименований кратных и дольных единиц
Наименование
приставки
Микро
Милли
Санти
Деци
Дека
Гекто
Кило
Мега
Отношение
к главной
единице
°~"э
о
; о
; О
о
СГ
10»
10е
Сокра
обозн
иностран-
ным
шрифтом
!>•
m
с
d
dk
h
k
M
щённое
ачение
русским
шрифтом
.„
м
с
д
дк
г
к
мг
Единицы измерений, относящиеся к какой-
либо определённой отрасли физики и объ-
единённые в одно целое, образуют систему
единиц. В качестве основных единиц, число
которых (обычно три или четыре) опреде-
ляется необходимостью и достаточностью для
образования всех производных единиц, служат
независимые единицы. На основании физиче-
ских закономерностей, существующих между
величинами, для измерения которых устанав-
ливается система единиц, устанавливаются про-
изводные, а затем кратные и дольные едини-
цы, которые также входят в систему*-
Очевидно, что принципиально возможно
построение ряда систем единиц, предназначен-
ных для одинаковых практических целей.
Поэтому не исключено параллельное суще-
ствование и применение нескольких систем
единиц; однако в этом случае весьма ве-
роятны и почти неизбежны недоразумения
из-за ошибок в определении соподчинённости
единиц и систем. В качестве примера парал-
лельного существования нескольких подобных
систем можно указать системы механических
единиц CGS (сантиметр, грамм, секунда), MTS
(метр, тонна, секунда), MKS (метр, килограмм-
сила, секунда) и т. д. Из этого же примера
видно, что название систем единиц легко и есте-
ственно может быть получено сочетанием обо-:
значений основных единиц. Однако это не обя-
зательно (например „абсолютная система еди-
ниц").
Основные единицы измерений, принятые Б
СССР, приведены в табл. 2 на стр. 324 и 325.
Система единиц метрическая и английская
и их взаимная связь
Величины, на которых обычно базируются
механические измерения, — длина, масса и вре-
мя. Из систем единиц, построенных на этих
величинах как основных, в первую очередь
необходимо назвать метрическую, поль-
* П качестве главной единицы иногда выбирается еди-
ница, по существу кратная или дольная, например кило-
грамм (а не грамм) в метрической системе.


324
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
[РАЗД. I
Таблица 2
Основные единицы измерений, принятые в СССР
Величина
Масса
Длина
Площадь (по-
верхность)
Объём
Ёмкость (вме-
стимость)
|
Сила
Работа и
энергия
Давление
Сила
Работа и
энергия
Мощность
Механическое
напряжение
(давление)
Единица
Килограмм
Тонна
Центнер
Грамм
Дециграмм
Миллиграмм
Метр
Километр
Дециметр
Сантиметр
Миллиметр
Микрон
Миллимикрон
Ангстрем
Квадратный метр
Гектар
АО
лр
Квадратный деци-
метр
Квадратный санти-
метр
Квадратный милли-
метр
Кубический метр
Кубический деци-
метр
Кубический санти-
метр
Кубический милли-
метр
Литр
Килолитр
Гектолитр
Декалитр
Децилитр
Сантилитр
Миллилитр
II. М<
А. Един
Дина
Эрг
Бар
В, Единиц
Килограмм (сила)**
Грамм (сила)
Килограмм-метр
Килограмм-метр
в секунду
Килограмм на ква-
дратный метр
Килограмм на ква-
дратный санти-
метр (техниче-
ская атмосфера)
со
«
'•
* а
о SS
S §
э 2
§*
Н О
0§
I. Mexpi
i
I03
ю2
_ 3
го
10
_ в
I
10-"'
10
_2
10
я
хо
_в
ю
в
ю
_ 10
то
?0«
ГО3
Ю
t
ю~
k
IO
I
ш-3
_8
Ю
_в
Ю
I
ю1»
10»
ю
_ 1
3
10
ю-"
'ханичес
щы сисп
I
1
I
ы систе
i
ю"
i
i
i
IO*
Сокр<
— ——— - ————
1!
ess
я з о
1ческие
kg
t
q
.?
mg
in
km
dm
cm
mm
V-
m[A
A
m2
ha
a
dm2
cm5
mm2
m3
dm3
с т-1
mm3
1
kl
hi
dkl
dt
cl
m!
кие еди
пемы СС
dn
e
b
мы MK&
kG
Q
kgm
kgm
sec
kg
m'
kg
cm*
«ценное обо-
шачение
русским
шрифтом
меры (по ОСТ
кг
т
И
г
дг
мг
м
км
дм
см
мм
мк
»мк
А
-и2 (кв. м)
га
а
дм"* (кв. дм)
см? (кв. см)
мм"- (кв. мм)
мл (куб. м)
дм* (куб. дм)
см3 (куб. см)
мм3 (куб. мм)
л
кл
гл
дкл
дл
ел
мл
кицы (по ОСТ
IS (сантиметр,
дн
эрг
б
* (метр, килогр
кГ
Г
кгм
кгм
сек
кг
л?
7м*
- - - ••- -
Определение главных единиц
ВКС 5859)
Килограмм есть единица массы, определяе-
мая прототипом *. Международным прототи-
пом килограмма Первой генеральной конфе-
ренцией по мерам и весам в 1889 т. признана
платино-иридиевая гиря, имеющая обозначе-
ние „к", которая хранится в Международном
бюро мер и весов в Севре (Франция)
Для СССР за основной эталон килограмма
принята платино-иридиевая копия междуна-
родного прототипа килограмма, имеющая обо-
значение „12" и хранящаяся во Всесоюзном
институте метрологии в Ленинграде
Метр есть единица длины, определяемая про-
тотипом. Международным прототипом метра
Первой генеральной конференцией по мерам
и весам в 1889 г. признана нарезная платино-
иридиевая мера, имеющая обозначение „м",
которая хранится в Международном бюро
мер и весов
Для СССР за основной эталон метра при-
нята платино-иридиевая копия международ-
ного прототипа метра, имеющая обозначение
„28" и хранящаяся во Всесоюзном институте
метрологии в Ленинграде
Квадратный метр есть площадь квадрата,
сторона которого имеет длину, равную одному
метру
Кубический метр есть объём куба, ребро
которого имеет длину, равную одному метру
Литр есть объём одного килограмма воды при
наибольшей её плотности и при нормальном
атмосферном давлении
1 л = 1 ,00.1028 дм3
ЗКС 6052 и 6053)
грамм, секунда)
Сила, сообщающая массе в один грамм уско-
рение в один сантиметр в секунду на секунду
Работа, производимая силой в одну дину
при перемещении точки её приложения на
один сантиметр по направлению этой силы
Давление, которое испытывает плоская по-
верхность в один квадратный сантиметр под
действием силы в одну дину
амм-сила, секунда)
Килограмм (сила) есть сила, сообщающая
массе в один килограмм ускорение 9,80665
метра в секунду на секунду
Работа, производимая силой в один кило-
грамм при перемещении точки её приложения
на один метр по направлению этой силы
Мощность, при которой в течение одной
секунды равномерно производится работа, рав-
ная одному килограмм-метру
Килограмм на квадратный метр если давле-
ние, которое испытывает плоская поверх-
ность в один квадратный метр под действием
равномерно распределённой нагрузки в один
килограмм


ГЛ. 11]
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ
325
Продолжение табл. 2
Величина
Электрическое
сопротивление
Сила тока
Электрическое
напряжение
(электродви-
Электрическая
мощность
Работа элек-
трического
тока
Единица
III. Меж;
Международный
ом
Мегом
Микроом
Международный
ампер
Миллиампер
Микроампер
Международны]']
вольт
Киловольт
Милливольт
Микровольт
Международный
ватт
Киловатт
Гектоватт
Международная
ватт-секунда
Ватт-час
т
2
u
<и а
<и Я
аз
о
XsS
О =
хународ
i
10
Т
3
ю
ю
I
ю3
ю
ю — J
I
ю2
ю2
I
Збло2
Сокра
-. — — —
«И
ь'Э
0 S «:
В X н
ные эле
2
М2
jj.fi
А
тА
JJ.A
V
kV
mV
v-v
W
VW
hW
Ws
\\'h
шейное обо-
значение
——— ... —— .._.__
русским
шрифтом
ктрические ед
ом
мгом
мком
а
ма
мка
а
кв
MB
мне
вт
кет
гвт
вт-с
кт ч
'~ '
Определение главных единиц
мницы (по ОСТ 515)
Международный ом есть сопротивление
ртутного столба длиной в 106,300 сантиметра,
имеющего сечение, одинаковое по всей длине,
и массу в 144,521 грамма при температуре
тающего льда
Международный ампер есть сила неизме-
няющегося электрического тока, который от-
лагает 0,00111800 грамма серебра в секунду,
проходя через водный раствор азотнокислого
серебра
Международный вольт есть электрическое
напряжение или электродвижущая сила, ко-
торые в проводнике, имеющем сопротивление
в один ом, производят ток силой в один
Международный ватт есть мощность не-
изменяющегося электрического тока силой
в один ампер при напряжении в один вольт
Международная ватт-секунда есть работа,
совершаемая электрическим током в течение
1 сек. при мощности тока в один ватт
* Прототипами называются международные и национальные эталоны метра и килограмма, изготовленные
в Международном бюро мер и весов.
** В тех расчётах, где одновременно с силами, выраженными в килограммах (силах), входят массы, за единицу
массы следует принимать массу тела, которому сила в 1 кг сообщает ускорение, равное 1 м\сек*, т. е. массу, рав-
ную 9,80665 кг.
зующуюся в настоящее время исключительно
широким распространением. В настоящее вре-
мя метрическая система распространена более
чем в пятидесяти странах и примерно в де-
сяти допущена законом и имеет частичное
распространение. Неоспоримые преимуще-
ства метрической системы, проистекающие
из её десятичного построения и удобной,вполне
логичной взаимосвязи отдельных единиц, обу-
словили столь широкое её распространение.
Основные единицы метрической системы метр,
килограмм, литр; при выборе единиц пресле-
довалась идея создания „естественной" системы
единиц, заимствованной из самой природы,
с таким расчётом, чтобы всегда можно было
вновь воспроизвести эти единицы, если в слу-
чае какой-либо катастрофы существующие
эталоны погибнут. В силу этих соображений,
например, за единицу длины была выбрана одна
сорокамиллионная часть длины Парижского
меридиана, считая, что эта величина может быть
в любой момент воспроизведена одинаково
точно. Однако эти соображения не учитывали
неизбежной погрешности измерений, в силу
чего повторные определения метра не дали
совпадающих результатов. Поэтому практи-
чески единицей длины метрической системы
служит всё же не некоторая доля длины ме-
ридиана, а среднее значение международной
группы платино-иридиевых эталонов. Однако,
хотя метрическая система и не является
в- строгом смысле „естественной" и в этом
отношении не оправдала возлагаемых на неё
надежд, всё же можно признать, что в настоя-
щее время из всех существующих систем мер
метрическая является технически наиболее
совершенной.
Помимо метрической системы применяется
ещё одна, значительно более старая система
мер, известная под названием Имперской
или английской. Эта система пользуется
широким распространением в странах англий-
ского языка — Англии, её доминионах и Соеди-
нённых Штатах Северной Америки. Следует
заметить, что в этих странах метрическая
система допущена к обращению в законода-
тельном порядке, при этом весьма давно—
в 1864 г. в Англии и в 1866 г. в США. Од-
нако обе эти страны до настоящего времени
придерживаются английской системы мер,
несмотря на её меньшую, по сравнению с ме-
трической системой, практичность и удобство.
Английская система расходится с метри-
ческой уже в единицах длины и массы. В ка-
честве единицы длины принимается ярд, а
в качестве единицы массы — фунт. Точные
значения этих величин и их соотношение
с метрическими мерами были установлены
работами Международного бюро мер и весов
в 1883 и 1895 гг. и приняты английским зако-
ном 15 мая 1898 г. По этому закону 1 метр —
= 39,370113 дюйма, 1 килограмм == 2,2046223
фунта.
Построение английской системы свое-
образно: кратные и дольные единицы в отличие
от метрической системы образуются не по


326
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
[РАЗД. I
десятичному принципу. Основные единицы
английской системы и их наименования при-
ведены в табл. 3.
Из особенностей английской системы сле-
дует отметить наличие трёх параллельных
систем единиц мер массы: фунт торговый
(Avoirdupois), „тройский" фунт (troy pound),
применяющийся при взвешивании драгоценных
металлов, и аптекарский фунт. Две по-
следние системы практически совпадают *.
Системы мер в Англии и США по своему
построению подобны. Однако в определениях
соотношений английских мер с метрическими
эти страны несколько расходятся. Существен-
ное значение это имеет в случаях перевода
дюймов в миллиметры и обратно.
В СССР установлено (ОСТ ВКС 6921) на
основании исследований Всесоюзного института
* Фунт торговый =
кйрский = 373,242 г.
метрологии соотношение:! дюйм—25,4^/^.Мак-
симальная погрешность при этом определяется
в 0,05 микрона на 1 дюйм. Что касается анг-
лийского и американского определений, то
они расходятся между собой примерно на
0,1 микрона. Также нужно заметить, что
в самой Англии существует одновременно два
соотношения между дюймом и миллиметром:
одно на основании работ 1895 г. (так называе-
мый промышленный дюйм) и другое — на ос-
новании работ 1922—1924 гг. (научный дюйм).
Таким образом при переводах размеров с осо-
бенно высокой степенью точности следует
иметь в виду приведённую в ОСТ ВКС 6921
справку о точных соотношениях:
1 дюйм = 25,399978 мм — английский про-
мышленный дюйм,
1 дюйм = 25,399956 мм—английский науч-
ный дюйм,
1 дюйм = 25,400051 мм — американский
дюйм.
Таблица 3
Английская (Имперская) система мер
= 453,592 г, фунт тройский и апте
Меры длины
Иногда применяются:
1 миля (mile) = 1760 ярдам = 5280 футам. 1 цепь (chain) = 22 ярдам.
1 ярд (jard) = 3 футам = 36 дюймам =
= 360 линиям.
1 фут (foot) = 12 дюймам (inch).
1 фэсом (fathom) = 2 ярдам = 3 пядям (span).
1 ладонь (hand) = 4 дюймам = 288 пунктам.
1 мил (mil) = 0,001 дюйма.
Меры объёма
1 кубический ярд = 27 куб. футам.
1 кубический фут = 1728 куб дюймам.
Меры поверхности
1 квадратная миля F40 акров) (acre).
1 акр = 10 кв. цепям = 4840 кв. ярдам :
— 43 560 кв. футам.
Меры сыпучих тел
1 америк. бушель (U. S. bushel) = 1,2445 куб. фута = 2150,42 куб. дюйма.
1 бушель = 4 пекам (peck) — 32 квартам (quart) = 64 пинтам (pint).
1 англ, бушель (British Imperial bushel) = 1,2837 куб. фута = 2218,19 куб. дюйма.
Меры жидкостей
1 бочка (tun) = 2 пайпам (pipe) или буттам (butt) = 4 баррелям (barrel) = 126 галлонам
(gallon;.
1 галлон = 4 квартам = 8 пинтам = 32 джиллам (gill).
Меры веса (торговые)
1 большая или длинная тонна (gross or long ton; = 2240 фунтам.
1 малая или короткая тонна (net or short ton) = 2000 фунтам.
1 центнер (hundred — weight) = -^- большой тонны — 4 квартерам (quarter) = 8 стонам
(stone) = 112 фунтам.
1 фунт (pound) = 16 унциям (ounce) = 7000 гранам (grain).
1 унция = 16 драхмам (drachm) = 437,5 грана.
Меры веса („тройские" и аптекарские)
1 тройский фунт (troy pound) — 12 тройским унциям = 240 весовым пенни (penny-
weight) = 5760 гранам.
1 аптекарский фунт = 12 унциям = 96 драхмам = 288 скрупулам (scrupl) = 5760 гранам.
Вес грана торгового, тройского и аптекарского одинаков.
Вес фунта и унции тройских и аптекарских также одинаков.
Единицы давления
1 фунт на кв. дюйм — 144 фунтам на кв. фут = 0,068 атмосферы = 2,042 дюйма ртутного
столба F2° F*) = 27,7 дюйма водяного столба F2° F).
1 атмосфера = 30 дюймам ртутного столба F2° F) = 14,7 фунта на кв. дюйм.
1 дюйм ртутного столба F2° F) = 13,58 дюйма водяного столба = 0,491 фунта на кв.
дюйм.
*~62°Т = 162/30 с.


ГЛ. И]
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ
327
Воспроизведение единиц; понятие об эта-
лонах, образцовых и рабочих мерах и при-
борах. Их соподчинённость, проверочная
схема
Вне зависимости от того, какая именно
система единиц выбрана и принята к приме-
нению, очевидно, что сама по себе подобная
система не является самоцелью. Установление
в законодательном или каком-либо другом
порядке общепризнанной системы мер служит
средством для решения практической задачи
огромной технической важности — обеспе-
чения единства мер. Формально единство
мер обеспечивается установленными законом
единицами и их определениями. Но формаль-
ное единство не означает ещё единства дей-
ствительного. Последнее обеспечивается лишь
перенесением формальных определений еди-
ниц на практическую почву путём конкрет-
ного воспроизведения их в виде соответствую-
щих эталонов и образцовых мер. Равно необ-
ходима организация определённой системы
передачи правильного размера меры и контроль
её во всех звеньях технического процесса.
Только таким образом можно получить гаран-
тию в действительной правильности этого пе-
реноса, осуществляемого при помощи разно-
образных измерительных методов и приборов.
Согласно принятой метрологической термино-
логии понятие „мера" есть не только обозна-
чение единицы (например „метрическая система
мер"), но и конкретное (вещественное) воспроиз-
ведение единицы (например „образцовая метро-
вая мера"). Меры могут быть с постоянным
значением (например концевые меры длины,
гири и т. д.) или с переменным значением
(например линейка, разделённая на миллиме-
тры,—так называемая „штриховая мера длины").
Под термином „измерительный прибор"
следует понимать техническое приспособление,
служащее для прямого или косвенного срав-
нения измеряемой величины с мерой. Процесс
сравнения может быть или непосредственным и
одновременным (так называемые „компарирую-
щие приборы", например равноплечие весы,
линейный компаратор и т. д.), или происходит
на основании результатов предварительной
градуировки, которая фиксируется на шкале
или других отсчётных приспособлениях при-
бора („приборы с непосредственным отсчётом",
например циферблатные весы, индикаторы,
микрометры и пр.). Очевидно, что с точки
зрения технического удобства и простоты в
работе приборы с непосредственным отсчётом
следует предпочесть компарирующим; однако
точность их ограничена и, как правило, по-
грешность выше, чем у соответствующих
компарирующих приборов. Это следует иметь
в виду при выборе средств измерения.
Процесс передачи размера единицы носит
явно выраженный цепной характер—от эта-
лона до изделия (или производственного про-
цесса) через целый ряд промежуточных звеньев.
Первым и основным звеном в цепи пере-
дачи значения единицы является эталон.
Под эталоном следует подразумевать образ-
цовую меру, установленную или изготовленную
с наивысшей, достижимой при данном состоя-
нии измерительной техники точностью. Таким
образом эталон есть конкретное воспроизве-
дение единицы с наивысшей достижимой точ-
ностью, называемой „метрологической точ-
ностью". Установление, хранение и поддержа-
ние эталонов является задачей центрального
метрологического учреждения страны, каковым
для СССР является Всесоюзный научно-иссле-
довательский институт метрологии (ВНИИМ)
в Ленинграде. Все основные эталоны хранятся
там и служат лишь для сравнения с ними
(относительно весьма редко)рабочих эталонов*,
с которыми сравниваются образцовые меры и
приборы высших разрядов точности. Рабочие
эталоны в отдельных случаях бывают в рас-
поряжении крупных официальных проверочных
органов; промышленность же располагает обыч-
но только образцовыми мерами и приборами
высоких разрядов точности, проверяемых по
рабочим эталонам. Образцовыми мерами и
образцовыми измерительными приборами на-
зываются меры и приборы, предназначенные
для проверки и градуировки рабочих мер и
приборов. В свою очередь, под рабочими ме-
рами и приборами подразумеваются все, кроме
образцовых, меры и приборы, предназначен-
ные для практических целей измерения; они
могут быть разделены грубо на лабораторные
(применяемые с учётом погрешности измере-
ния) и технические (с определённым заданным
допуском). Кроме того, измерительные устрой-
ства (образцовые и рабочие) в зависимости от
погрешности измерения, от области применения
и т. д. делятся на классы или разряды.
Чем точнее измерение, тем больше оно
требует труда и времени и тем сложнее и
дороже соответствующая измерительная аппа-
ратура. Осложнение процесса идёт значи-
тельно быстрее, чем уменьшение погрешности.
Разумная экономия требует полного соответ-
ствия методики измерений с допустимой по-
грешностью. Поэтому проверка рабочих мер и
измерительных приборов непосредственно по
эталонам совершенно нецелесообразна. Отсюда
появляется необходимость в делении образцо-
вых и рабочих мер на разряды в зависимости
от их точности: 1-й разряд — с точностью
меньшей, чем точность эталонов; 2-й разряд— с
точностью меньшей, чем у 1-го разряда, и т. д.
Исходя из закона накопления средних по-
грешностей, можно установить, что средняя
погрешность образцового прибора будет ни-
чтожно влиять на результаты проверки, если
она примерно в 3 раза меньше, чем погреш-
ность проверяемого прибора **. Это обстоятель-
ство даёт возможность разумно построить схе-
му передачи значения единицы от прибора
высшего разряда на приборы низших разря-
дов — вплоть до самого последнего звена —
изделия или производственного процесса.
Подобная схема передачи размера должна
быть тщательно продумана по каждому виду
измерений, встречающихся в практике конкрет-
ного предприятия, и зафиксирована (чаще
всего графически) в виде так называемой
„проверочной схемы", которая является
основным техническим документом, опреде-
ляющим организацию контрольно-измеритель-
* Эталоны, так же как и образцовые меры, в за-
висимости от степени точности воспроизведения и слу-
жебного назначения, делятся на различные категории-
разряды и виды. Классификация эта определена
ГОСТ 1453-42.
** При проверке образцовых приборов интервал
между погрешностями следует повышать до десяти.


328
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
[РАЗД.1
ного хозяйства и работу ОТК завода. В прове-
рочной схеме (или отдельном графике прове-
рок) необходимо также указать сроки прове-
рок (государственной и периодической) изме-
рительных приборов. Государственная
проверка производится монопольно офи-
циальными проверочными органами. В проме-
жуточные сроки силами самих предприятий
(их лабораторий) дополнительно производится
периодическая проверка. Срок госу-
дарственной проверки определяется соответст-
вующими положениями. Сроки периодической
проверки определяются как характером при-
боров, так и характером (степенью интенсив-
ности) эксплоатации их и устанавливаются
самим предприятием. Следует заметить, что
принципиально любая проверочная схема долж-
на восходить непосредственно к соответствую-
щему государственному эталону. Однако обыч-
но её составляют, начиная только с тех при-
боров, которые проверяются в официальных
проверочных органах (например с основного
набора концевых мер — по мерам длины и т. д.),
делая ссылку на этот орган взамен под-
робного указания пути получения истинного
значения единицы.
Хранение и поддержание единства мер
в стране; основы законодательства
о мерах и весах
Система единиц, официально принятая, мо-
жет обеспечить единство мер в стране только
в случае выполнения ряда технических и кон-
трольно-организационных мероприятий. Ре-
зультат будет проще всего достигнут в слу-
чае концентрации всех подобных вопросов
в ведении единого государственного органа
междуведомственного характера. Таким ор-
ганом в Советском Союзе является Комитет
по делам мер и измерительных приборов при
Совете Министров СССР. Своей основной зада-
чей Комитет имеет обеспечение единообразия,
верности и правильности применения мер и из-
мерительных приборов во всех отраслях народ-
ного хозяйства. Для этой цели Комитету пору-
чено воспроизведение, хранение и поддержание
государственных эталонов, производство обяза-
тельной государственной проверки и устано-
вление методики проверок, ревизии и обследо-
вания состояния измерительного хозяйства,
испытание типов и утверждение к производ-
ству новых образцов измерительных приборов
и пр. Правила и инструкции Комитета обяза-
тельны для всех отраслей народного хозяйства.
За неисполнение их виновные подлежат штрафу
или привлечению к судебной ответственности.
Оперативную деятельность Комитет проводит
через своих уполномоченных при Совете
Министров союзных и автономных республик,
краевых и областных исполнительных комите-
тах. Управления уполномоченных (и их район-
ные отделения) силами своих лабораторий ведут
наблюдение за состоянием контрольно-измери-
тельных приборов на подведомственной им
территории, следят за соблюдением всех зако-
нов и обязательных положений, касающихся мер
и приборов, проводят обязательную проверку,
обследуют лаборатории предприятий,регистри-
руют их и дают право на производство пери-
одической проверки, если заводские лаборато-
рии достаточно для этого подготовлены, и пр.
Проверочные схемы предприятий в обязатель-
ном порядке должны утверждаться уполномо-
ченным Комитета. Перечень приборов, подле-
жащих государственной проверке, и периодич-
ность проверок установлены „Правилами об
организации и проведении проверки мер и кон-
трольно измерительных приборов № 12— 42",
изданными Комитетом на основании постано
вления Совета Министров СССР № 1833 от
16 ноября 1942 г. Организация контрольно-изме-
рительного хозяйства в металлообрабатываю-
щей промышленности регламентируется ,Пра-
вилами об организации контроля измеритель-
ных средств, применяемых для измерения раз-
меров на машиностроительных заводах, № 10—
40". Подобные же сведения, касающиеся энер-
гетики, изложены в „Правилах об организации
надзора за приборами электрических и тепло-
технических измерений на промышленных пред-
приятиях № 11 — 41".
ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 1. Дробные доли дюйма в десятичные доли дюйма
v«
Vea-
3/64
Vie-
Б/64
3/32-
7/64
J'8 •
9/64
5/32-
1У64
8Аб •
13/64
7/32-
16/64
V4 •
0,015625
. . 0,03125
0,046875
0,0625
0,078125
• 0,09375
О.Ю9375
• • о,125
0,140625
• 0,15625
0,171875
• -0,1875
0,203125
. . 0,21875
о,234375
. 0,250
17/64
9/82-
19/64
б/16-
21/64
"/82 •
ад/64
3/8 •
25/64
13/32
ЭТ/64
7/]6-
29/64
%2 •
8!/64
>/2 •
0,265625
. 0,28125
0,296875
• 0.3125
0,328125
• 0.34375
о,359375
• о,375
0,390625
. 0,40625
0,421875
• о,4375
0,453125
. 0,46875
0,484375
. 0,500
33/64
17/32 •
35/64
9/1б-
37/64
19/32 •
39/64
б/8 •
41/64
21/32 •
43/64
"/16 •
45/64
23/32 •
47/64
8/4 •
°,5*5б25
0,53125
о,54б875
°.5б25
0,578125
• 0,59375
0,609375
. 0,625
0,640625
• 0,65625
0,671875
0,6875
0,703125
• 0,71875
о,734375
• о,75°
49/64
25/32 • •
51/64
13/1б- •
53/64
27/32- •
>
7/8 - •
67/в4
"/м- •
»/М
1б/16- -
6/64
31/32. -
«Ли
0,765625
. 0,78125
0,796875
0,8125
0,828125
• 0,84375
о,859375
о,875
0,890625
. 0,90625
0,921875
0.9375
0,953125
. 0,96875
0,984375


Г Л II]
ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
329
Таблица 2. Дробные доли дюйма и дюймы в миллиметры
1" = 25,400 мм
0 i 1 ! 2 j 3 | 4 | 5
Дюймы
М II Л Л
0 ——— — ... 25,-|оо 5°>8°о 76,200 ioi,6oo 127,000
'/.ч— - 0,397 25,797 5LI97 76,597 Ю1.997 127,39?
l/s, — о,794 26,194 5*.594 76,994 Ю2,394 127,794
•"Л,!.— _ . 1,191 26,591 5I-99I 77,39* 102,791 128,191
Vit —— ....- 1,588 26,988 52,388 77,788 103,188 128,558
6Лм- - 1,984 27,384 52,784 78,184 103,584 128,984
3/S2 ——— 2,38l 27,781 53,l8l 78,581 I03,OB1 I29,38t
'/fi< —— - 2,778 28,178 53,578 78,978 104,378 129,778
Vr —— — 3,175 28,575 53,975 79-375 104,775 130,175
%4_ - 3-572 28,972 54,372 70,772 105Д72 130,572
7м —— - 3,969 29,369 54,769 80,169 105,569 130,969
"Itt 4,366 29,766 55,166 80,566 105,966 131,366
3/ic ———— — 4.763 30,163 55,563 80,963 106,363 131,763
13/ч —— 5,159 30,559 55,959 81,359 106,759 132,159
7/a2 —— 5,556 3°,956 56,356 81,756 107,156 132,556
1ВЛз«— — 5,953 31,353 56,753 82,153 107,553 132,953
 —— — 6,350 31-75° 57-I5c> 82,550 107,950 132,350
17/«4 —— 6,747 32,147 57,547 82,947 108,347 133,747
/32-— — 7,144 32,544 57,944 83.344 108,744 134,144
19/M. — 7,541 32,941 58,341 83,741 109,141 134,541
5/i6 —— _...._ 7,938 33,338 58,738 84,138 109,538 134,938
12/ei— - - 8,334 33,734 59,134 84,534 109,934 135-334
n/32_— - 8,731 34,i3i 59-531 84'93i 110,331 I35.73I
2Э/м_.-_ 9.128 34,928 59,228 85,328 110,728 136,128
e/8 ————— 9,525 34.925 60,325 85,725 111,125 136,525
S2/« ___ 9,922 35,322 60,722 86,122 111,522 136,922
13/32 —— - 10,319 35-7*9 61,119 86,519 111,919 137,319
"Ди— .... 0,716 36,116 61,516 86,916 112,316 137,716
Vie ——— .--- 1,113 Зб^З 61,913 87,313 112,713 138,113
29/в4 - 1,509 Зб,9°9 62,309 87,709 I13.I09 138,509
15/зз ___ _ I,9o6 37,306 62,706 88,106 113,506 338,906
а'АL- Я зоз 37-7°3 63,103 88,503 113.903 139-3O3
/2 - - 2,700 38,100 ?з>5°° 88,900 114,3°° 139. 7°°
ю/« —— 13-097 38,497 63,897 89,207 114,69? 40,097
1'/з2_ ——— 13494 38,894 64,294 89,694 115,094 I40.494
3'/е* —— - 13,891 39-291 64,691 9°>oor ,49* 140,891
в/,в ————— 14,288 39-688 65,088 90,488 115,888 141,288
37/в4 —— 14,684 4°,°84 65,484 90,884 116,284 141,684
/зг ——— -- I5,c8i 4°,48i 65,881 91,281 116,681 142,081
39/(я_ - 15,478 40,878 66,278 91>б78 117,078 142,478
'Vs ————— 15,875 41,275 66,675 92,075 117.475 142,875
41/w —— 16,272 4I>672 67,072 92-472 117,872 143.272
"Ч за —— — 16,669 42,°69 67,469 92,869 1 18,269 143,669
"/in _ — 17,066 42,466 67,866 93,266 и8,666 144,066
n/i&—— - 17.463 42,863 68,263 93,66з И9.с6з 144,463
/5/е4 —— 17,859 43,259 68659 94,°59 И9-459 144.859
•3/32_ ——— 18,256 43,656 69,056 94.4S6 119856 145.256
ы —— 18,653 44-053 69453 94,853 120,253 I45-653
/4 ————— 19.°5° 44,45° 69,850 95,25° 120,650 146,050
49/м —— 19-447 44-847 7°,247 95,647 121,047 46,447
/32 Ю.844 45-244 7°-б44 9б.°44 121,444 146,844
Ь1/б4 __ 20,241 45,641 7I-°4I 96.44I 121,841 I47-241
1Я/4б ___ _ 20,638 46.038 71,438 96,838 122,238 147,638
ет/о4 __ 21,034 46,434 7Ti834 97-234 122,634 148,034
27/32 __ ._- 21,431 46,831 72.231 97.631 123.031 148,431
**/,.., __ 21,828 47,228 72-б28 98.028 123,428 148,828
7/? _____ 22,225 47,б25 73^025 98,425 123,825 149,225
57 let ___ 22,622 48,022 73-422 98 822 124,222 149,022
ай/з2 ____ 23,019 48,419 73,819 ОД-219 124,619 150,019
tu/,4 __ 23,416 48,816 74-216 999*6 125.016 150,416
15/ю 23,813 49-213 74,6i3 100,013 125,413 150.813
ei/e4 __ 24,209 49,609 75-ос9 100,409 125,809 151,209
81/к ___ - 24,606 5о-о°6 75-4°6 ioo,8o6 126,206 151,606
w/64 __ 25,003 5°>4°3 75-8оз 101,203 126,603 152,003
6 | 7
и м е т
152,400 177,800
Т52,797 178,197
153,194 178,594
та.бэ1 178,991
153.988 179-388
!54,384 179-784
154.781 180,181
155,178 180,578
!55,575 180,975
155-972 181,372
156,369 181,769
156,766 182,166
157. l63 182,563
!57,559 182,959
157.956 183,356
158,353 183,753
158,750 184,150
159-147 184.547
159,544 184.944
159,941 185,341
160,338 185,738
i6o,734 186,134
161,136 186,531
161,528 186,928
161,925 187,325
162,322 187,722
162,719 188,119
163,116 188,516
l63,5T3 188,913
163,909 189.309
164 3°6 189,706
164,703 190,103
165,100 190,500
165,497 190,897
165,894 i9I,294
166,291 191,691
166,688 192,088
167,084 192,484
167,481 192,881
167,878 193,278
168,275 193,675
168,672 194,072
169,069 194,469
169,466 194,866
169,863 195,263
170,259 195,659
170,656 196,056
i7I.°53 196,453
171,450 196,850
171,847 197,247
172,244 197,644
172,641 198,041
173,038 198,438
173.434 198,834
173.831 199,231
174,228 199,628
174,625 200,025
175,022 200,422
175,419 200,819
175,816 201,216
176,213 201,613
176,609 202,009
177,006 202,406
T77.4°3 202,803
8 | 9
p ы
203,200 2a8.6oo
203.597 228.997
203,994 229,394
204,391 229,791
204,788 230,188
205,184 230,584
205.581 230,981
205,978 231,378
206,375 231,775
206,772 232,172
207,169 232,569
207,566 232,066
207,963 233,363
208,359 233,759
2o8,756 234,156
209,153 234,553
209,550 234,950
209,947 235,347
210,344 235,744
210,741 236,141
211,138 236,538
211,534 236,934
211,931 237,331
212,328 237,728
212,725 238,125
213,122 238,522
213,519 238,919
213,916 239,316
214,313 239,713
214,709 240,109
215 106 240,506
215 503 240,903
215,900 241,300
216,297 241,697
216,694 242,004
217,091 242,491
217,488 242,888
217,884 343,284
218,281 243,681
218,678 244,078
219,075 244,475
219,472 244,872
219,869 245,269
220,266 245,666
220,663 246,063
221,059 246,459
221,456 246,856
221,853 247,253
222,250 247,650
222,647 248,047
223,044 248,444
223,441 248,841
223,838 249,238
224,234 249,634
224,631 250,031
225.028 250,428
225,425 251,825
225,822 251,222
226,219 251,619
226,616 252,016
227,013 252,413
227,409 252.809
227,806 253,206
228,203 253,603
10
254,400
254-397
254,794
255,191
255.588
255,984
256,381
256,778
257^75
257,573
257,'9б9
258,366
258,763
259,159
259,556
259-953
260.350
2бо,747
261,144
261,541
261,938
262,334
262.731
263,128
263,525
263,922
264,319
264,716
265,113
265,509
265,906
266,303
266,700
267,097
267,494
267,891
268,288
268,684
269,081
269,478
269,875
270,272
270,669
271,066
271,463
271,859
272,256
272,653
273,050
273447
273,844
274,241
274,638
275.034
275,431
275,828
276,225
276,622
277,019
377,416
377,813
278,209
278,606
279,003
11
279,400
279-797
280,194
280,591
280,988
281,384
281,781
282,178
282,575
282,972
283.369
283,766
284,163
284,559
284,956
285,353
285,750
286,147
286,544
286,941
287,338
287,734
288,131
288.528
288,925
289,322
289.719
290, 1 16
290,513
290,900.
291,306
291,703
292,100
292.497
292,894
293.291
293,688
294.084
294,481
294,878
295.275
295,672
296,069
296,466
296,863
297.259
297,656
298,053
298,45°
298,847
299,244
299,641
300,038
300,434
300,831
301,228
301,625
302,022
302,419
302,816
303,213
303.609
304,006
304,403
12"=-1 футу = 304,800л.»


330
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
[РАЗД. I
Таблица 3. Десятичные доли дюйма и дюймы в миллиметры
Дюймы
0,00"
0,01"
0,02"
0,03"
0,04"
0,05"
0,06"
0,07"
0,08"
0,09"
Дюймы
о"
г"
2."
3"
4"
5"
6"
1"
8"
9"
0 | 0,001" | 0,002//
— 0,0254 0,058
0,254° 0,2794 0,3048
0,5080 о,5334 о,5588
0,7620 0,7874 0,8128
1,0160 1,0414 1,0668
1,2700 1,2954 1,3208
1,5240 1,5494 i,5748
1,7780 1,8034 1,8288
2,0320 2,0574 2,0828
2,2860 2,3114 2,3368
0" | 0,1" | 0.2"
— 2,54 5,08
25-4 27.94 30.48
50,8 53,34 55,88
76,2 78,74 81,28
101,6 104,14 106,68
127,0 129,54 132,08
152,4 154.94 15748
177,8 180,34 182,88
203,2 205,74 208,28
228,6 231,14 233,68
0,003*
мил
0,0762
0,3362
0,5842
0,8382
1,0922
1,3462
I,6OO2
1,8542
2,IO82
2,3622
0,3"
мил
7,62
З3.°2
58.42
83,82
109,22
134,62
1бо,О2
185,42
2Ю,82
236,22
0,004" | 0,005"
г л и м е т
o,ioi6 0,1270
0-3555 0,3810
0,6096 0,635°
0,8636 0,8890
1,1176 1,143°
1,3716 1,397°
1,6256 1,6510
1,8796 i,9°5°
2,1336 2,159°
2,3876 2,413°
0,4" | 0,5"
i л и м е т
юдб 12,70
35.56 38,10
60,96 63,5°
86,36 88,9°
117,76 114.3°
137,16 139,7°
162,56 165,10
187,96 190.5°
213,36 215,90
238,76 241,30
0,006"
р ы
0.1524
0,4064
о,б6о4
0,9144
1,1684
1,4224
1,6764
L9304
2,1844
2,4384
0,6" !
р ы
15-24
40,64
66,04
9L44
116,84
142,24
167,64
193.°4
21 8,44
243,84
0,007"
0,1778
0,4318
0,6858
о,9398
1Д938
1,4478
1,7018
L9558
2,2098
2,4638
0,7"
17,78
43.18
68,58
93-98
II9.38
144,78
170,18
195.58
220,98
246,38
0,008" ! 0,009"
0,2032 O.2286
о,4572 0.4826
0,7112 0,7366
0,9652 о,99°6
1,2192 1,2446
I.4732 1,4986
1,7272 1,7526
1,9812 2,оо66
2,2352 2,абоб
2,4852 2,5146
0,8" | 0,9"
20,32 22,86
45,72 48,26
71,12 73-66
96,52 99.°6
121,92 124,46
147,32 H9.86
172,72 175.26
198,12 2ОО,66
223,52 22б,о6
248,92 251,46.
Таблица 4. Сотые доли миллиметра в дюймы
1 мм = 0,0394"
Милли-
метры
0,0
0,1
0,2
°.3
0,4
о.5
0,6
0.7
о,8
о,9
0,00
о,оооо
0,0039
0,0079
о,оп8
0,0157
o,oi97
0,0236
0,0276
о,°315
0,0354
0,01
0,004
о,оо43
0,0083
0,0122
0,Ol6l
0,0201
0,0240
0,0280
0,0319
0,0358
0,02
0,0008
0,0047
0,0087
0,0126
0.0165
0,0205
0,0244
0,0283
0,0323
0,0362
0,03
0,0012
0,0051
0,0091
0,0130
0,0169
0,0209
0,0248
0,0287
0,0327
0,0366
'0,04 | 0,05 | О.С6
Дюймы
o,ooi6 0,0020 0,0024
0,0055 0,0059 0,0063
0,0094 0,0098 0,0102
0,0134 0,0138 0,0142
0,0173 0,0177 0,0181
0,0213 0,0217 0,0220
0,0252 0,0256 0,0260
0,0291 0,0295 0,0299
0,0331 0,0335 °,0339
0,0370 0,0374 0,0378
0,07
0,0028
0,0067
0,0106
0,0146
0,0185
0,0224
0,0264
0,0303
o.°343
00382
0,08
0^0031
0,0071
O,OIIO
0,0150
0,0189
0,0228
0,0268
0,0307
0,0346
0,0386
0,09
3,0035
3,0075
3,0114
3,0154
3,0193
3,0232
3,0272
3,0311
3,0350
0,0390
Таблица 5. Тысячные доли метра и метры в дюймы
Метры
о
О,О1
О,02
о-оз
0,04
°,05
о.об
О,0",
о,о8
°-°9
0
0,3937°
0,78740
i,i8no
1,57480
1,96851
2,36221
2,75591
3,Н9б1
3,54331
0,001
0,03937
0.43307
0,82677
1,22047
1,61417
2,00788
2,40158
2,79528
3,18898
3,58268
0,002 | 0,003
0,07874 о, 11811
0,47244 0,51181
0,86614 0,90551
1,25984 1,29921
!, 65354 1,69291
2,О4725 2,08662
2,44095 2,48032
2,83465 2,87402
3,22835 3,26772
3,б22О5 3,66142
0,004 | 0,005 | 0,006 | 0,007
Дюймы
0,15748 0,19685 0,23622 о,27559
0,55118 0,59055 0,62992 0,66929
0,94488 0,98425 1,02362 1,06299
1,33858 i,377Q5 i,4i/32 1,45669
1,73228 1,77165 1,81102 1,85039
2,I259Q -,16536 2,20473 2,244*0
2,51969 2.55906 2,50843 2,63780
2,9га39 2,95276 2,99213 3,0315°
3,30709 3-34б4б 3,38583 3.42520
3,7<»79 3,74oi6 3-77953 3,81890
0,008
0,31496
0,70866
1,10236
1, 49606
1,88976
2,28347
2,67717
3,07087
3,46457
3,85827
0,009
0,35433
0,74803
M4I73
1,53543
1,92913
2,32284
2,71°54
3,1Ю24
3.50394
3,89/64
0,1 ж=3,93731'


ГЛ. И]
ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
331
Таблаца 5 (окончание)
! о
Метры ————
0 —
i 39>37o°?
2 78,74016
3 118,1102
4 157,4803
5 196,8504
6 236,2205
7 275,5906
9 354,3307
I 0,1
3,93701
43,30709
82,67717
122,0472
161,4173
200,7874
240,1575
279,5276
318,8976
358,2677
! 0,2
7,87402
47,24409
86,61417
125,9843
165,3543
204,7244
244,0945
283,4646
322,8346
362,2047
1 0,3
11,81102
51,18110
90,55118
129,9213
169,2913
208,6614
248.0315
287,4016
326,7717
366,1417
1 0,4
Д ю
15,74803
55,"8и
94,48819
133,8583
173,2283
212.5984
251,9685
291,3386
330,7087
370,0787
0,5
и м
19,68504
59,05512
98,42520
137,7953
177,1654
216,5354
255.9055
295,2756
334.6457
374,0158
1 0,6
ы
23,62205
62,99213
102,3622
141.7323
i8i,io24
220,4724
259,8425
299,2126
338,5827
377,9528
0,7
27-55906
66,92913
106,2992
145,6693
185,0394
224,4095
263,7795
303,1496
342,5107
381,8898
0,8
31,49606
70,86614
110,2362
149,6063
188,9764
228,3465
267,7165
307,0866
346,4567
385,8268
0,9
35,43307
74,80315
114,1732
153,5433
192,9134
232,2835
271,6535
311,0236
350,3937
389-7638
10 м = 393,7008"
Таблица 6. Футы в метры
,
Футы
0
ю
20
3°
40
5°
60
70
8о
до
IOO
0
3,048
6,096
9Д44
12,192
15.239
18,287
21,335
24.383
27431
30,479
1 ! 2
0,305 о,6ю
3-353 3.658
6,401 6,7°6
9-449 9-753
12,496 T2,8oi
15-544 ^5-849
18,592 г8,897
21,640 21,945
24,688 24,993
27,736 28,041
30,784 3i,o89
3 | 4
м е 1
0,914 1,219
3,962 4-267
7,010 7-3I5
10,058 10,363
13,ю6 13,411
i6,T54 i6,459
19,202 19-5°7
22,250 22,555
25.298 25,602
28,346 28,651
31-394 3i.6g8
5
г р ы
1-524
4-572
7,620
10,668
13-716
16,763
19-8и
22,859
25<9°7
28,955
32,003
6 | 7 | 8 | 9
1,829 2-I34 2,438 2,743
4,877 5-I82 5-486 5-79*
7,925 8,229 8,534 8,839
10,972 и,277 11,582 11,887
14,020 14,325 14-630 I4-935
17,068 17,373 17-678 17-983
20.IT6 20,421 20,726 21,031
23,164 23,469 23,774 24,079
26,212 26,517 26,822 27,126
29,260 29,565 29,870 ЗОД74
32,308 32,613 32,9*8 33-222
Таблица 7. Метры в футы
Метры
о
10
2О
3°
4о
5°
6о
7°
Зо
00
100
0 1 1 ! 2 | 3 | 4
Ф У
— 3-28i 6,562 9-842 13-123
32,808 36,089 39.37° 42,651 45-932
65,617 68,897 72,178 75.459 78,74°
98,425 101,71 Ю4-99 108,27 ш,55
131.23 J34-51 J37-79 Ч1.о8 144,36
164,04 167,32 170,60 173-88 177Д6
196,85 200,13 203,41 206,69 209,97
229,66 232,94 236,22 239,5° 242,78
262,47 265,75 2°9-°3 272,31 275,59
295>2б 298,56 3OI-84 305-12 308-40
328,08 331-36 334,64 337-93 341,21
5
т ы
16,404
49-212
82,021
114-83
147,64
180,45
213-25
246,06
278,87
311,68
34449
6 ! 7
19,685 22,966
52-493 55-774
85-302 88,582
118,11 121,39
150,92 154.20
183.73 187,01
216,53 219.82
249,34 252,62
282,15 285,43
314,96 3*8,24
347-77 351.05
о
26,247
59-°55
91.863
124,67
157-48
190,29
223- Ю
255-90
288,71
321, 52
354<33
9
29-527
62,336
95-44
127-95
160,76
193-57
226,38
259.19
29 г, 99
324-80
357.61


332
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
[РАЗД. I
Таблица 8. Кв. дюймы в кв. сантиметры
Кв.
дюймы
—— _ —
о
10
20
3°
40
5°
6о
7°
8о
00
IOO
0
64,52
12903
19355
258,07
322,58
387.10
45i,6i
516.13
580,65
645^7
1
645
70.97
13548
200,00
264,52
329,03
393.55
458.07
522,58
587.1°
651,62
2
12,90
7742
I4L94
206,45
270,97
33548
400,00
464,52
529>03
593,55
658 07
3
к в.
19,36
83,87
148,39
212,90
27742
341,93
406,45
470,97
53548
6оо,оо
664,52
4
с а н т
25,81
9°,32
154,84
219,36
283,87
348,39
412,90
47742
54L94
6о6,45
670,97
5
и м е т
32,26
96,77
161,29
225,81
290,32
354.84
419.36
483.87
548,39
612,90
67742
6
р ы
38,71
ЮЗ-23
167,74
232,26
296,77
361,29
425-81
490 32
554-84
619,36
683.88
7
.. .
45i6
109,68
174-19
238,71
3°3>23
367.74
432,26
496,78
561,29
625,81
690.33
8
5!>6i
116,13
180,65
245,16
309,68
374.19
438,71
503.23
5б7>74
632,26
696.78
9
-----
58,07
122,58
187,10
251,61
31бДЗ
38о,65
445» 1б
509,68
574-19
638,71
7°3.23
Таблица 9. Кв. сантиметры в кв. дюймы
Кв.
санти-
метры
.._..__........._
о
10
20
30
40
5°
6о
7о
8о
00
ТОО
0
J.550
3,юо
4,650
6,20О
775°
9.3°°
10,850
12,400
13.95°
15-5°о
1
Of1 55
i.7°5
3-255
4.805
6,355
7.905
9.455
11,005
12,555
14,105
15.655
2
0,310
1,860
3.410
4,960
6,510
8,060
9,6ю
идбо
12,710
14,260
15,810
3
0465
2,015
3.565
5.И5
6,665
8,215
9.765
и,315
12,865
M.4I5
15.965
4
к в. д к
О,б2О
2,170
3.720
5-27°
6,820
8,370
9,920
11,47°
13020
14,570
I6.T20
•5 ! 6 | 7
1 !
) Й М Ы
°.775 °.93° 1-085
2,325 2,480 2.635
3875 4.°3° 4.285
5425 5.58о 5,735
6,975 7ДЗ° 7,285
8,525 8,68о 8.835
ю,о75 10,230 10,385
11,625 11,780 и,935
13Д75 13.33° 13485
14,725 14.88о 15,035
16,275 16430 16,585
1
8 1 9
———— ----- — — —
_.__._._.... .....__.-
1,240 1,395
2,79° 2,945
4,34° 4495
5,890 6,045
744° 7»595
8,990 9I45
10,540 10,695
12,00X3 12,245
13640 I3.795
15-19° 15>345
i6,74° 1б,895
Таблица 10. Кв. футы в кв. метры
Кв.
футы
о
10
20
30
4°
5°
00
7°
8о
90
IOO
0
0,9290
1,8581
2,7871
3-71бт
4,6452
5,5742
6,5°32
74323
8,3613
9.2903
1
0,0929
1,О219
1,951°
2,88оо
3,8090
4-7381
5,6671
6,596i
7,5252
84542
9,3832
о
0,1858
1,1148
2,0439
2,9729
3,9019
4,8310
5,7боо
6,6890
7,6i8i
8.5471
94761
3
0,2787
1,2077
2,1368
3,об58
3,9948
4.9239
5,8529
6,7819
7,7110
8,6400
9-5690
4
______
к в. м е
o,37i6
1,3006
2,2297
3-1587
4,0878
5.0168
5,9458
6,8749
7,8039
8,7329
9,6619
5
т р ы
04645
1,3936
2,3226
3,25i6
4,1807
5,Ю97
6,0387
6,9678
7,8968
8,8258
8,7548
6
о,5574
14865
2,4155
3,3445
4.2736
5.2О26
6,I3l6
7,0607
7,9897
8,9187
9,8477
7
_______
0,6503
L5794
2,5084
34374
43665
5,2955
6,2245
7.1536
8,0826
9,ои6
994°6
8
0,7432
1,6723
2,6013
3,53°3
44594
5.3884
6,3174
7,24б5
8,1755
9>1°45
10,0335
9
0,8361
1,7652
2,6942
3,6232
4,5523
54813
6,4i°3
7.3394
8,2684
9.1974
10,1264


ГЛ. II]
ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
333
i Кв.
метры
i
i 0
то
20
30
4o
5°
6o
70
! 80
90
100
Куб.
футы
; о
ю
20
3°
40
5°
6о
7°
8о
9°
IOO
1 Куб.
метры
о
ю
20
3°
4о
5°
6о
7°
8о
9о
IOO
0
.
- —— ——
107,64
215,28
322,92
430,55
538,19
645-83
753,47
86i,n
968,75
1076,39
0
0,2832
0,5663
0,8495
1.1327
1-4*59
1,699°
1,9822
2,2654
2,5485
2,8317
0
353-1
1059.4
1412,6
1765,7
2118.9
2472,0
2825,2
3i78»3
3531,4
1
10,76
118,40
226,04
333,68
441,32
548,96
656,60
764,23
871,87
979,51
«-7.Ч
1
——————— •__
0,0283
031*5
0-5947
0.8778
1,1610
1,4442
1,7273
2,0105
2,2937
2,5768
2,8600
1
35-3
388,5
741,6
Ю94-7
1447-9
i8oi.o
2154-2
25°73
2860,5
32*3,6
3566,7
Таблг
2
—
21,53
129,17
236,81
344,44
452,08
559,72
667,36
775,0°
882,64
99°,28
1097,92
Таблице
2
...
0,0566
0,3398
0,6230
0,906 т
.1,1893
1,4725
1-7557
2,0388
2,322О
2,6052
2,8884
Таблш
2
70,6
4238
776,9
14832
*8з6,4
2189,5
2542,6
28958
3248,9
3002,0
ща 11. \
3
. _
———— —
32,29
139-93
247,57
355-21
462,85
57°,48
678,12
785,76
893-40
1001,04
1то8,68
г 12. Ку
3
к У
0,0850
0,3681
0,6513
о,9345
1,2176
1,5008
1,7840
2,0671
2,35°3
2,6335
2,9167
{Д 13. К]
3
к
Ю5,9
459- *
8 12,2
**б5.4
1518,5
1871,7
2224,8
2578,0
2931Д
3284,2
3637-3
(в. метр
4
к в ф
43,о6
258,33
365,97
473-61
581,25
688,89
796,53
904,16
юи,8о
1119,44
5. футы
4
б. м
0,1133
0,3964
0,6796
0,9628
*2459
* 529*
1,8123
2-0955
2.3786
2,6618
2,945°
^б. метр
4
У б.
I4L3
494,4
847-5
1200,7
1553-8
1907,0
22бо,1
2613,3
29664
33*9,6
3672,7
ы в кв.
5
у т ы
53,82
161,46
269,10
376,74
484,37
592,01
699,65
807,29
9*4,93
1022,57
1 130,21
в куб. г
5
е т i
0,1416
о 4248
0.7079
о 99**
*,2743
1-5574
1,8406
2,1238
2,4069
2,6901
2,9733
ы в куб
5
фут
176,6
529,7
882,9
1236,0
1589,2
1942,3
2295,4
2648,6
3001,7
3354,9
37°8,о
футы
6
64,58
172,22
279,86
387,5°
495-5°
602,78
710,42
818,05
925.69
*°33>33
1140,97
нетры
6
э ы
0,1699
0,453*
0,7362
1,0194
1,3026
1.5858
1,8689
2Д521
2,4353
2,7*84
З.оотб
. футы
6
ы
211,9
565,0
9*8,2
1271,3
1624,5
1977-6
2330,8
26839
3037,0
3390,2
3743,3
7
75-35
182.99
290,62
398,26
5°5>9°
6*3,54
721,18
828,82
936,46
Ю44 ДО
«51,74
7
0,1982
04814
0,7646
1,0477
*.33°9
1,6141
1,8972
2,1804
2,4636
2,7468
3,0300
7
. _...„. ..
247,2
600,3
953-5
1306,6
1659,8
2012.9
2366,1
2719,2
3072.4
3425.5
3778,6
8
86,11
193-75
3°*39
409,03
5*6,67
624,30
73* ,94
839,58
947-22
1054,86
1162,50
о
0,2265
о,5°97
0,7929
i 0760
1,3592
1,6424
1,9256
2,2087
2,49*9
2,775*
3°583
8
— _._.. ——
282,5
635-7
9888
134* -9
1695.1
2048,2
2401,4
2754,5
3107>7
34бо,8
38139
9
9б;83
204,51
3*2Д5
4*9,79
527,43
735-°7
642,71
850-35
957-98
1065,62
117326
9
02549
°-538о
О,8212
1.Ю44
1-3875
1,6707
*>9539
2,237°
25202
2,8034
3,0866
9
3*7-8
671,0
1024 I
*3774
* 730,4
2083,6
2436,7
27898
3*43,о
3496 Д
3849/2


334
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
[РАЗД. I
Гал-
лоны
о
IO
20
3°
4°
5°
6о
70
8о
00
IOO
0
37854
75-709
,56
189,27
227,13
264,98
30283
340,69
378,54
Та(
1
3,785
41,640
79,494
155-2°
193^о6
230,91
268,77
306,62
344-47
382,33
5 лица 14
2
7,571
45-425
8з,28с
121, 13
158.99
196,84
234,7°
272,55
310,41
348,26
386.li
. Галлоны (амер
3 1 4
I
л и 1
Ц.356 15,142
49,211 52,996
87,065 90.850
124.92 128,70
162,77 166,56
2ОО,63 204,41
238,48 242,27
276,34 280,12
314,19 3I7.98
352,05 355-83
389,90 393-69
иканскш
г р ы
18,927
56,781
94,636
13249
17°,34
208,20
246,05
283,91
321,76
359.62
397.47
;) в лит]
6
22,713
60,567
98421
136,28
174 ДЗ
211,98
249.84
287,69
325,55
Зб34°
401, 26
)Ы
7
26498
64,352
102,21
14О,об
I77.92
215-77
253,62
29148
329-33
367Д9
405,04
8 9
. ._ <
30,283 З4.°б9
68,138 71>923
105,99 109,78
143-85 147,63
181,70 18549
219,56 223,34
25741 261,19
295,26 299,05
333,12 336,9°
370,97 374,76
408,83 412>6i
Таблица 15. Литры в галлоны (американские)
Литры
о
ю
2О
30
40
5°
6о
7о
8о
90
100
0
2,642
5-283
7,925
10,567
13,209
15,850
I8.492
21,134
23-775
26417
1
0,264
2,906
5-548
8,189
10,831
J3.473
i6,ii4
18,756
21,398
24,040
26,681
2
0,528
3.170
5.812
8,453
11.095
13.737
16,379
19,020
21,662
24,304
26.945
3
г
о,793
3,434
6,076
8,718
и-359
I4,ooj
16,643
19,284
21,926
24,568
27,210
4
а л
i.°57
3-698
6,340
8,982
11,623
14,265
16,907
19,549
22 190
24,832
27,474
5
Л 0 Н
1,321
3,9бз
6,604
9,246
и,888
14,529
17-171
19,813
22,454
25,096
27,738
Q
ы
1-585
4,227
6,868
9-51°
12, 152
14,794
17-435
20,077
22,719
25,3бо
28,002
7
т,849
4,491
7ДЗЗ
9,774
12,416
15.058
17,699
20.341
22,983
25,625
28,266
8 1 Q
0 | У
2,113 2,378
4,755 5,0*9
7-397 7,661
10,038 10,303
12,68о 12,944
15,322 15,586
17,964 18,228
20,605 20,869
23,247 23,511
25,889 26,153
28,530 28,795
Таблица 16. Фунты („Ibs") в килограммы
Фунты
! °
10
20
3°
4°
5°
6о
7°
8о
90
100
0
4,536
9072
13,6о8
18,144
22,680
27,216
З1^1
36,287
40,823
45-359
1
°454
4,99°
9525
14061
18597
23J33
27,669
32205
Зб,741
41,277
45,813
0
0,007
5-443
9-979
14,515
i9,°5i
23.587
28,123
32,659
37.195
41-73°
46,266
3
к и
i,S6i
5»897
ю,433
14,969
19,5°4
24,040
28,576
ЗЗ-112
37,648
42,184
46,720
4
лог
i,8i4
6,35°
ю,886
Г5'422
J9.958
24494
29,030
33,566
38,Ю2
42.638
47,174
5
р а р
2,268
6,8о4
Ц.340
15,876
20,412
24,948
29,484
34,oi9
38,555
43-°9*
47>б27
6
л м ы
2,722
7-257
IJ.793
16,329
20,865
25,4°1
29,937
34473
39,009
43,545
48,081
?
ЗД75
7,711
12,247
16,783
21,319
25-855
3°-391
34,927
394бз
43,998
48,534
8
3,629
8,1б5
12,701
17,237
21,77s
26,308
30,844
35,38°
39-916
44,453
48,988
9
4,082
8,6т8
13Д54
17,690
22,226
26,762
31,298
35,834
4°,37°
44,9°6
49442


ГЛ. И]
ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
335
Кило-
о
10
20
3°
4°
5°
6о
7°
8о
90
IOO
7
Фунты
на кв.
ДсиНМ
о
10
2О
30
' 4°
5°
6о
7°
8о
9°
; loo
Техни-
ческие
атмо-
сферы
о
10
2О
3°
4о
5°
6о
7°
8о
9°
IOO
0
22,046
44-092
66,139
88,185
1.10,23
132,28
154-32
176,37
198,42
220,46
аблица
0
0,7031
1,4062
2,1092
2,8 123
3-5Т54
4,2185
4,9216
5,6246
6,3277
7,0308
Таблиц
0
142,23
284,46
426,70
568,93
711, i6
853.39
995.62
II37-8
1280,1
1422,3
1
2,205
24,251
46,297
68,343
90,389
112,44
134.48
155,53
178,57
200,62
222,67
18. Фун
1
0,0703
о,7734
1.47б5
2,1795
2,8826
3-5857
4,2888
4,9919
5.6949
6,3980
7,тотт
1 19. Те
1
14,22
155,4=
298,65
440,9-
583.1;
725-3t
867,61
1009,8
1152,1
1294-3
1436,5
Табли
2
4,409
26,455
48,502
70-548
92.594
114,64
136,69
158-73
180,78
2О2,83
224,87
ты на HI
2
кил
0,1406
о,8437
1,5468
2,2498
2,9529
3.6560
4.3591
5,об22
5.7б52
6,4683
7-I7I4
хническ!
2
г 28,45
; 170,68
> 312,91
* 455. Ч
5 597.37
5 739-61
881,84
1024,1
и65,з
1308,5
1450,8
ца 17. К
3
Ф
6,614
28,660
50,706
72,752
94-799
116,84
138,89
160,94
182,98
205,03
227,08
3. ДЮЙМ
3
о гр ам
0,2109
0,9140
1,6171
2,3202
3,0232
3.7263
4-4294
5-1325
5.835б
6,5386
7-2417
ie атмо<
в фунт
3
фунт
42,67
184,9°
327.13
469,35
6и,6о
753.83
890,03
1038,3
и8о,5
1322,7
1465,0
илограм
4
У н
8,8i8
30,865
52,911
74.957
97.003
119-05
141,10
163,14-
185,19
207,23
229,28
(.pel') i
4
мы на
0,28l2
0,9843
1,6874
2,3905
3.0935
3.7966
4.4997
5,2028
5.9059
6,6089
7,3120
:феры {«
ы на кв
4
ы на
5б,89
199. 12
341-35
483.59
625,82
768,05
910,28
1052,5
1 194.7
1337-0
1479.2
мы в ф;
5
т ы
11,023
З3.об9
55.И6
77,162
99.208
121,25
143.3°
165-35
187.39
209,44
23L49
$ килогр
5
кв. с
0,3515
1,0546
L7577
2,4608
3.1639
3,8669
4.5700
5-2731
5«97ба
6,6793
7.3823
илограм
. дюйм
5
к в. д
71,12
213-35
355-58
497-81
640,04
782,28
924,51
ю55,7
1209,0
135^,2
1493-4
fHTbl
6
13.228
35.274
57.320
79.366
101,41
123,46
145.5!
167.55
189,60
211,64
233.69
аммы н
6
а н ти м
0,4218
1,1249
1,8280
2,53И
3.2342
3.9372
4-6403
5.3434
6,0465
6,7496
7-4526
мы на н
6
ю и м
85-34
227-57
369,80
512,03
654.27
795-5°
938,73
io8i,o
1223,2
13^5-4
I5°7.7
7
15.432
37.479
59.525
81.571
103,62
125,66
147.71
169,76
191,80
213.85
235.89
а кв. са
7
е т р
0,4921
I.I952
1,8983
2,0014
3.3°45
4.0075
4,7106
5-4137
6,ii68
6,8199
7.5229
в. санти
7
99-56
24Г-79
384,03
523,25
658,49
810,72
952,95
Ю95.2
1237,4
1379.6
1521,9
8
17.637
39-683
61,729
83.776
105,82
127,87
149,91
I7L95
194>01
216,05
238,10 .
нтиметр
8
0,5625
1.2655
1,9586
2,6717
3-3748
4-0779
4,7809
5,484°
6,1871
6,8902
7.5933
метр)
о
8
——— .__
113-78
256,02
398-25
540,48
682,71
824,94
967.18
1109,4
1251,6
13Э3.9
1535,1
9
19,842
41,888
63.934
85,980
гс8,оз
130,07
152,12
174-17
Г96.21
218,26
240,30
9
0,6328
L3358
2,0389
2,7420
3>445Т
4,1482
4,8512
5.5543
6,2574
6,9205
7,6636
~"Т
9
128,01
270,24
412,47
554-70
696,94
839. Г7
981,40
1123,6
1265,9
1408.1
155°, 3


336
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ПЕРЕВОДНЫЕ ТАБЛИЦЫ
[РАЗД. I
Футы
о
IOO
2ОО
Зоо
400
5оо
боо
700
8оо
ох»
IOOO
Лоша-
диные
силы
(PS)
о
до
2О
30
40
5°
6о
7°
8о
9°
1ОО
0
о.5о8
1,016
1.524
2,032
2,54°
3,048
3,556
4,064
4,572
5,080
0
_
7.35
22,06
29,42
Зб,77
44ДЗ
51.48
58,84
66,19
73-55
Таб
10
0.051
0-559
1,067
1,575
2,083
2.591
3,099
3,607
4,И5
4, 623
5Д31
Г а б.'
1
о,74
8,09
15,45
22,80
3°,i6
37,5!
44,87
52,22
59-58
66,93
74,29
/ища 20.
20
0,102
о,6ю
i,i 18
1,626
2, 134
2,642
3-150
3,658
4Д66
4,674
5Д82
шца 21.
2
1,47
8,8з
i6,i8
23,54
30,89
38,25
45,6о
52,96
60,31
67,67
75,02
Футы в
30
метр
ОД52
о,66о
i.i 68
1,676
2184
2,692
3,200
3,708
4,2l6
4,724
5-232
Лошади?
3
к и
2,21
9-56
16,92
24,27
31,63
38,98
4б,34
53,69
61,05
68,40
75-7б
минуту в метры
40 ! 50
ы в с е к у н
0,203 0,254
о,7И 0,762
1,219 J,2?0
1,727 J,778
2,235 2,286
2,743 2,794
3-251 3,302
3,759 3-8ю
4,267 4,318
4,775 4,826
5283 5-334
1ые силы (PS) в
!
4 | 5
л о в а т 1
2,94 3,68
10,30 и,оз
17,65 i8,39
25,01 25,74
32,36 33,ю
39,72 40,45
47,07 47,8i
54-43 55> 1б
61,78 62,52
69,14 69,87
7б,49 77,23
в секу!
60
Д У
0-305
0.813
1,321
1,829
2,237
2,^45
3,353
3,86i
4,369
4,877
5,385
килова!
г ы
4,41
и,77
19,12
26,48
33,83
41>19
48,54
55-9°
63-25
70,61
77,96
wy
70
о,35б
0,864
1,372
т, 880
2,388
2,896
3-404
3,912
4,420
4,928
'5.436
ты
7
5-15
12,50
19,86
27,21
34,57
41,92
49,28
56,63
63-99
71»34
78,80
80
0,406
о,914
1,422
1,93°
2,438
2,946
3-454
3>9б2
4-47°
4,978
5-486
8
..
5-88
13,24
20,59
27-95
35,3°
42,66
50,от
57,37
64,72
72,08
79-43
90
о,457
0.965
1-473
1,981
2,489
2,997
3.5°5
4.521
5,029
5-537
6,62
13-97
21-33
28,68
36,04
43-39
5°-75
65-46
72,81
80,17
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Комитет по делам мер и измерительных приборов
при Совете Министров СССР (издания официальные).
Правила 10—40, 11—41 и 12—42, Стандартгиз, 1940—1942.
2. Лесохин А. Ф., Единицы измерений, Сборник
ОСТ. Стандартгиз, 1933.
3. М а л и к о в М. Ф., Точные измерения, Стандартгиз,
1935.
4. М а л и к о в М. Ф., Образцовые меры и приборы,
Ст.:ндчртгиз, 1936.
5. A. Dictionary of Applied Physical, by R. Giasebrook,
Machi lan, 192}. v. I. Measurements, v III. Metroogy.
6. International Critical tables, v. 1, Me Graw, Hill, 1926.


Глава III
ХИМИЯ
Химия — наука о природе, изучающая со-
став, строение и свойства молекул природных
и искусственных веществ; закономерности со-
единения атомов в молекулы, разложения и пре-
вращения молекул; определяет число и каче-
ство химических элементов, из сочетания ко-
торых образуется всё многообразие веществ
неорганического и органического мира; разра-
батывает научные и технические методы ана-
лиза и синтеза естественных и искусственных
веществ.
Химия подразделяется на общую химию,
рассматривающую основные химические поня-
тия и главнейшие химические законы; неорга-
ническую химию, изучающую все элементы,
кроме углерода, и их химические соединения;
органическую химию, изучающую химические
соединения, в которые входит углерод; анали-
тическую химию, разрабатывающую теорию и
практику качественного и количественного ана-
лиза; физическую (теоретическую) химию, рас-
сматривающую химические явления с точки
зрения законов термодинамики, молекулярно-
кинетической теории и в свете современных
достижений в вопросе строения атомов и мо-
лекул; коллоидную химию, изучающую колло-
идные системы и поверхностные явления на
границе раздела фаз, и т. д.
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ЗАКОН И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ
СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА
Порядковый номер элемента — номер хи-
мического элемента в ряду всех элементов,
расположенных в порядке возрастания атом-
ного веса (при условии обмена местами Со и
Ni, J и Те, Аг и К). Установлено, что поряд-
ковый номер элемента равен числу электро-
нов в его свободном атоме или величине по-
ложительного заряда ядра его атома при усло-
вии измерения заряда в единицах заряда элек-
трона.
Пример. Число электронов в атоме гелия равно
двум, следовательно, порядковый номер гелия 2.
Периодический закон. Свойства элемен-
тов периодически изменяются с возрастанием
порядкового номера. В соответствии с этим
законом в ряду элементов, расположенных по
возрастанию порядкового номера, сходные по
свойствам элементы повторяются, и весь ряд
разбивается на периоды из 2, 8, 8, 18, 18, 32 и
б (незаконченный) элементов. (В последние
годы искусственно приготовлены еще 2 эле-
мента— нептуний и плутоний—и поэтому
незаконченный период состоит из 8 элементов.)
Современная теория атома установила, что чис-
ло элементов в периоде должно удовлетворять
формуле 2я2, где п — целое число: 1, 2, 3,...
Периодическая система элементов —
классификационная таблица химических эле-
ментов, основанная на периодическом законе,
в её первоначальном виде была предложена
Менделеевым в 1869 г.
Располагая периоды один над другим так,
чтобы левые их концы лежали на одной вер-
тикальной прямой линии, получают „длинную"
таблицу. Если же расположить длинные перио-
ды в два ряда, один из которых состоит из 10,
а другой из 8 элементов, и поместить все эле-
менты редких земель, начиная с лантана (№ 57)
до лутеция (№ 71), в одном месте, то полу-
чится обычная „укороченная" периодическая
таблица элементов.
В этой таблице элементы, расположенные
один над другим, образуют группу сходных
по свойствам элементов (валентность по во-
дороду, кислороду и т. д.). К первой группе
относятся левые концы всех периодов — ще-
лочные металлы и водород (однако есть осно-
вания для помещения водорода в седьмую груп-
пу выше фтора) и элементы Си, Ag, Au, при-
надлежащие серединам больших периодов; во
второй группе располагаются щёлочно-земель-
ные металлы и т. д.
Особо следует отметить элементы нулевой
группы: гелий, неон, аргон, криптон, ксенон,
нитон (эманация), как не дающие химических
соединений (т. е. соединений, обусловленных
наличием в них химической связи) ни с одним
из элементов.
Номер группы равен высшей валентности
элемента данной группы по кислороду и опре-
деляет валентность по водороду, т. е. сумма
номера группы и валентности по водороду
равна восьми (правило Абегга). Металлоидные
свойства элементов при переходе по таблице
справа налево и сверху вниз становятся ме-
нее ярко выраженными, и, напротив, усилива-
ются металлические свойства. Периодическая
система не только классифицирует элементы,
но и даёт возможность делать предсказания
о свойствах пока не открытых элементов (ма-
зурий № 43, иллиний (Флоренции) № 61,
алабамий АЬ № 85 и Виргинии Vi № 87),
ибо место в таблице характеризует свойства
элемента, занимающего это место. Возмож-
ность предсказания была использована твор-
цом периодической системы Д. И. Мендслсе-


ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА
Пе-
риоды
I
II
III
IV
V
VI
VII
Высши*
леобраэ
шие ок
Газообр
водород
соедине
La
138,9
Ланта
3
Ст.
О,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
; со-
ую-
лслы
азн.
ные
ння
57
2
и
I
М 1,0080
Еодород
U3
6,940
Литий
Na 22,997
Натрий
К 19
39,096
Калий
63,57 Cll
Медь
Rb 85,48
Рубидий
1 07,88 Ag
Серебро
р_ 55
LS 132,91
Цезий
71997,2AU
Золото
(Vi)?87
Виргинии
R,O
Се58 Р
140,13 14
Церий Праз
II
Be 9,02
Бериллий
Mg 24,32
Магний
/~»л 20
L. а 40,08
Кальций
30 *7*.
65,38 ?П
Цинк
0„ 38
ОГ 87,63
Стронций
4п2,41 Cd
Кадмий
В а 137,36
Барий
80 ?|~
200,61 П§
Ртуть
Ол 88
К а 226.05
Радий
RO
г59 Nd61
3,92 144,57
еодим Неодим
III
В 10,82
Еор
АЬб.э?3
Алюминий
SC 45,ю
Скандий
369,« Оа
Галлий
YS9
88,92
Иттрий
49 |-_
114,76 1П
Индий
57—71
Р-3 Э
81 ПГ|
204,39 1 I
Таллий
Иг» 8Э
АС B27)
Актиний
R203
Р Е
1 (И)?
A46,0)
Иллиний
Г Р У
IV |
С 6
12,010
Углерод
с; 14
01 28,06
Кремний
Т1 22
1 1 47,90
Титан
72,60 Об
Германий
rj 40
L Г 91,22
Цирконий
50 О»-»
1 18,70 ОЙ
Олово
Hf 178.62
Гафний
82 Г\1_
207,21 FD
Свинец
ТЬ 232,i^
Торий
RO2
RH4
Д К О 3 Е
Sm62 E
150,43
Самарий Е
п п ы
V .
1 4,008 N
Азот
?0,98 Г
Фосфор
V23
50,95
Ванадий
Ю74,91А8
Мышьяк
NbW
Ниобий
5121,7б8Ь
Сурьма
Та 180,88
Тантал
S3 г> \
209,00 D1
Висмут
PaB3i9)
Протактиний
R205
RH3
М Е Л Ь Н
:ию 0(
152,о 156
вропий Гадол
Э Л Е 1
VI
16,000 V/
Кислород
16 О
32,С6 5
Сера
СГ52,012
Хром
78,96 5в
Селен
М095.952
Молибден
52 ПГЛ
127,61 1 С
Теллур
W.83,^
Вольфрам
210,о РО
Полоний
U 92
238,07
Уран
R03
RH2
Ы Е Э J
Г ТЬ65
.9 159,2
иний Тербий
VI Е Н Т
VII
9 17
19,ооо Г
Фтор
35,457 СЛ
Хлор
МП 54.935
Марганец
35 р*.
79,916 DF
Бром
Ма? й
Мазурий
53 |
126,92 J
Иод
Re 186,31
Рений
85?(АЬ)
Алабамий
R2O7
RH
1 Е М Е Н Л
Dy66
162,46
Диспрозий
О В
VIII
Сл 26 Г^л 27 ХТ5 28
Г С 55,85 L. О 58,94 1\ 1 58,69
Железо Кобальт Никель
RUioi,?4 Rh 102,91 Pdioei6
Рутений Родий Палладий
OS 190,2 lFl93.i Ptl95,23
Осмий Иридий Платина
RO4
Г Ы
Но67 Еги Tu69 Yb5
164,94 167,2 169,4 173,0
Гольмий Эрбий Тулий Иттерб!
О
2 HP
4,003 ***•'
Гелий
20о,18з Ne
Неон
18 А *•
39,944 АГ
Аргон
36 I/*.
83,7 КГ
Криптон
54 V«.
131,3 ле
Ксенон
?22.oNt
Нитон
0 Lu7'
1 174,99
ift Лютеций


ГЛ. III)
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
339
вым, когда он с поразительной точностью пред-
сказал свойства элементов галлия Ga (экаалю-
миний), скандия Sc (экабор) и германия Ge
(экасилиций), открытых позднее сделанного
предсказания. Периодическая система принад-
лежит к величайшим достижениям науки и
является основой современной химии.
Примечание к таблице „периодическая си-
стема элементов". В последнее время Сиборгом (США}
высказана гипотеза, что элементы с порядковыми номе-
рами, большими 89, являются „актинидями", подобно
элементам с номерами 58—71, являющимися „лантанидами"
(„^сп. физ. наук", т. XXVIII, стр. 145, 1946 г.). В число
этих элементов следует внести трансураны—нептуний (93),
плутоний (94), америций (95), кюрий (96).
РАДИОАКТИВНОСТЬ. ИЗОТОПЫ
Естественная радиоактивность — самопроизволь-
ное разложение атомных ядер некоторых элементов, на-
зываемых радиоактивными. Это разложение сопрово-
ждается выбросом из атомного ядра а-частицы (ядро ато-
ма гелия) и образованием ядра атома нового элемента
с порядковым номером, на две единицы меньшим, или
выбросом р-частицы (электрон) с образованием ядра
атома нового элемента с порядковым номером, на еди-
ницу большим. Почти во всех случаях каждый радио-
активный тип атомных ядер выбрасывает только один
вид частиц:или только а-частицы или только р-частицы*.
Недавно открыт третий вид радиоактивного превра-
щения: К -захват, состоящий в захвате ядром атома
электрона из собственной электронной оболочки.
Искусственная радиоактивность — самопроизволь-
ное разложение по закону естественной радиоактивности
искусственно полученных атомных ядер, сопровождаю-
щееся выбросом позитронов или электронов.
Закон радиоактивного распада. За один и тот же
промежуток времени из наличного числа радиоактивных
ядер разлагается всегда одна и та же часть. Если N —
число радиоактивных ядер в момент t, то за время dt
разложится dN атомных ядер, следовательно, по закону
радиоактивного распада
Радиоактивные элементы — химические элементы,
проявляющие радиоактивность. Следует различать есте-
ственные радиоактивные элементы, встречающиеся в
природе хотя бы в ничтожно мялых количествах и с ни-
чтожно малой средней продолжительностью жизни, и
искусственные радиоактивные элементы, получаемые в
результате облучения различных элементов теми или
иными частицами (протонами, дейтеронами, нейтронами).
Известен 41 тип атомных ядер естественных радиоактив-
ных элементов; 38 из них по признаку генетической связи
можно разбить на три радиоактивных ряда: 1) ряд урана,
2) ряд тория, 3) ряд актиния. Остальные три типа радио-
активных атомных ядер дают ядра атомов калия, рубидия,
самария. Есть основания считать неодим, празеодим, га-
долиний, бериллий, цинк также радиоактивными. К на-
стоящему моменту известно множество искусственных
радиоактивных элементов. Всякий радиоактивный эле-
мент, наряду с общими характеристиками (порядковый
номер, атомный вес и т. д.), характеризуется ещё типом
радиоактивного излучения и периодом полураспада(или
средней продолжительностью жизни, равной обратной
величине константы распада).
Изотопы — атомные ядра с одним и тем же поряд-
ковым номером, но с разными атомными весами. В на-
стоящее время установлено, что, за исключением фтора,
натрия, алюминия, фосфора, скандия, ванадия, мар-
ганца, мышьяка, иттрия, ниобия, иода, цезия, лантана,
празеодима, гольмия, тулия, тантала, золота, у всех
остальных элементов наблюдается изотопия, т.е. каждый
из элементов, за исключением указанных выше, состоит
из атомов, имеющих ядра, различающиеся атомными ве-
сами. Например, водород состоит из протия (атомный
вес 1,0081), дейтерия (атомный вес 2,01417), хром состоит
из атомов с атомными весами 50 D,49'/,), 52 (83,77%),
53 (9,43'/„), 54 B,30%). К настоящему моменту установлено
около 280 различных типов атомов, встречающихся
в природе (при наличии 88 элементов * и около 400 ис-
кусственно полученных типов атомных ядер) **.
Нулевая группа элементов
Инертные газы
Гелий Не (Helium), неон Ne (Neonum),
аргон Ar (Argonum), криптон Кг (Kryptonum),
ксенон Хе (Xenonum), нитон Nt (Nltonum), или
эманация Em. Все эти газы химически инертны
одноатомны, бесцветны (табл. 1).
Таблица 1
Порядковый номер . .
Температура кипения .
Температура плавле-
ния ...........
Процентное (объёмное)
содержание в сухом воз-
духе (без СОа) . .
Процентное содержа-
ние в земной коре . . .
На
Я
4,ооз
— 268,9°
— 272,2°
0,0005
I • ю — •
Ne
IO
20,183
-245,9е
—248,67"
o,ooi5
5 • ю—»
Аг
i8
39-944
-185,85°
-189,3°
0.933
4 • ю—
Кг
3°
83-7
-15^-9°
-ч*0
о,ооооо5
2 • IO — 8
Хе
54
13^3
-ю?0
—112°
о.ооооооб
3- ю—»
Nt
86
222,0
-6l,8°
— 70,8°
—
—
где К — константа, называемая константой распада; та-
ким образом ./V = N0e ~~ ^, где 7V0 — число радиоактив-
ных ядер в момент < = 0. Число разложившихся атомных
ядер /V= N0- N = No | 1 — e~Kt\. Средняя продолжи-
тельность жизни данного типа атомных ядер т опреде-
ляется равенством
1
О
Для каждого типа радиоактивных атомных ядер ве-
личина -с, а следовательно, и К является характерной.
Например, для радия (Ra) т= 2284 года. Период полу-
распада радиоактивного типа «дер X есть промежуток
времени, в течение которого из наличного числа атом-
ных ядер разложится половина.
Оказывается
- JL - - Х
Т ~ 1гГ2 ~ 0,693'
Пример. Для радия X = 1580 лет.
Первая группа элементов
Водород и щелочные металлы
Водород Н (Hydrogenium). Порядковый
номер 1, атомный вес 1,0080. Самый лёгкий
элемент. Обычный водород есть смесь двух
изотопов: протий Н, дейтерий D, массы
атомов которых относятся друг к другу,
как 1: 2. Дейтерий часто называют тяжёлым
водородом. В обычном водороде протия
99,98%, дейтерия 0,02J/o- Распространённость
в земной коре 1%. Встречается . в природе
главным образом в соединениях, например:
с кислородом в воде (Н.2О), которой в земной
коре 2о/0, в минералах (глина и т. д.) и орга-
* Для урана установлено самопроизвольное деление
его атомных ядер на крупные осколки, например,
образуются ядра бария и других элементов.
* Открытие элементов: мазурий (№ 43), иллиний
(№ 61). алабамий (№ 85), Виргинии (№ 87) в настоящее
время ставится под сомнение.
** В последнее время искусственно приготовлены
элементы-трансураны: № 93 (нептуний) и М 94 (плутоний).


340
химия
(РАЗД. I
нических веществах (углеводороды, нефть,
и т. д.). 1кап =-253', 1пл =-257°. При обыч-
ной температуре — двухатомный газ, диссо-
циирующий на атомы Н2^±2Н при очень вы-
соких температурах и в электрическом раз-
ряде. Водород в силу малой величины своих
молекул обладает большой способностью к
диффузии. Многие металлы — платина Pt, ири-
дий Ir, палладий Pd, никель Ni и т. д. — абсор-
бируют (поглощают) водород в значительных
количествах. По химическим свойствам водо-
род одновалентный металлоид.
В виде сжатого газа водород находит при-
менение для получения горячего пламени (во-
дородное пламя) и для процессов гидрогени-
зации. В большом количестве потребляется при
синтезе аммиака (NH3).
Лабораторный способ получения водорода
основан на реакции: H2SO4 + Zn = Н2 -\- ZnSO4.
Технические способы получения водорода:
а) взаимодействие железных стружек
и водяного пара при высокой температуре
2Fe 4- ЗН2О = Fe2O3 -t- ЗН2;
б) взаимодействие водяного пара с накалён-
ным коксом и удаление образовавшейся при
Литий Li (Lithium). Порядковый номер 3,
атомный вес 6,940. Серебристо-белый металл;
tnjl — 186°, ^.ая = 1372°; плотность 0,53; имеет
наименьший удельный вес среди всех извест-
ных твёрдых веществ. Химически активный
элемент. С водородом непосредственно соеди-
няется с образованием гидрида лития LiH; хи-
мически взаимодействует с водой 2Li -f- 2H2O —
=2LiOH 4 Н2; с кислородом даёт основной оки-
сел Li2O, которому соответствует сильная щё-
лочь (LiOH); непосредственно соединяется с
азотом 6Li 4- N2 = 2Li3N. Литий — одновалент-
ный металл, дающий много солей типа LiCl,
LiyCOg, LiNO3 и т. д. В природе встречается
только в виде соединений, например: петалит
LiAlSi4O](), лепидолит и др. Распространённость
в земной коре 0,0050/0.
Металлический литий получается электро-
лизом расплавленных литиевых солей (LiCl).
Свойства соединений лития см. в табл. 3.
Натрий Na (Natrium). Порядковый номер 11,
атомный вес 22,997. Серебристо-белый металл;
# = 97,7°, /,,„„ = 892°; плотность 0,97. Хими-
ПЛ ifillil '
чески весьма активный элемент. С водородом не-
посредственно соединяется с образованием гид-
Свойства некоторых соединений водорода
Таблица 2
Название
Вода ..........
Вода тяжёлая .....
Перекись водорода
Формула
нао
D2O
Н2О3
Молекуляр-
ный вес
i8,oi6
20,017
34,oi6
Цвет; кри-
сталлическая
система
Бесцв.
я
*
Плотность
Тв. (о°) o,9i68
4°, 1,106
Ж. (о°) 1,465
Темпе-
ратура
плавления
о
+ 3,8
— о,8д
Темпе-
ратура
кипения
IOO
101,42
D7 MM) 8o, a
Свойства некоторых соединений лития
Таблица 3
Название
Литий азотнокислый
„ гидрат окиси
„ окись .....
„ сернокислый
гидрат .....
„ углекислый .
„ . хлористый . .
Формула
LiNO3
LiOH
Li3O
LijSO^H.O
LiaCO3
LiCl
Молекуляр-
ный вес
68,95
23,94
29,88
127-97
73,88
42,40
Цвет; кри-
сталличе-
ская система
Бесцв. Ilia, IV
„ i
„
V
я
Плотность
2,366
1,4
i,8o
2,О2
2,111
2,068
Температура
плавления
249
445
> 1700
Без в. 843
732
боб
Темпе-
ратура
кипения
—
—
—
—
1382
* В этой и аналогичных других таблицах римскими цифрами обозначены кристаллические системы:
I — правильная (кубическая), II — квадратная (тетрагональна»), III — гексагональная, Ша — ромбоэдрическая,
IV — ромбическая, V — моноклиническая, VI — триклиническая.
этом окиси углерода путём её конверсии
с водяными парами в углекислый газ (СО2)
с последующим поглощением углекислого
газа раствором углекислого натрия
Н2О + С = СО + На,
Н2О + СО = СО2 4- Н2;
СО2 + Na2CO3 4- Н20 = 2NaHCO8;
в) растворение алюминия или богатых им
сплавов в едкой щёлочи
2А1 + 2NaOH + 2Н2О - 2NaAlO2 4- ЗН2.
Свойства соединений водорода см. в табл. 2.
рида натрия NaH; бурно реагирует с водой:
2Na 4- 2Н2О = 2NaOH -f- H2; с кислородом
непосредственно соединяется с образованием
перекиси натрия Na2O2 и окиси натрия Na2O;
последний окисел является основным окислом,
и ему соответствует сильная щёлочь NaOH.
Металлический натрий обычно хранится под
слоем керосина; натрий — одновалентный ме-
талл, дающий много солей типа NaCl, NaN03,
Na2CO3 и т. д. В природе встречается исклю-
чительно в виде соединений, главным образом
в виде солей галоидоводородных (чаще всего
NaCl) кислот, серной кислоты, угольной кис-
лоты; алюмосиликатов, например полевого
шпата (альбит) NaAlSi3O8, нефелина NaAlSiO4,


ГЛ. Ill)
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
341
криолита NagAlF6 и т. д. Распространённость
в земной коре 2,4%. Получение натрия осу-
ществляется электролизом расплавленных на-
триевых солей или гидроокиси натрия NaOH.
Металлический натрий применяется для при-
готовления фотоэлементов, перекиси натрия,
в лабораторной практике и в химической про-
мышленности (катализатор при полимеризации
некоторых углеводородов).
В табл. 4 приведены свойства некоторых
соединений натрия.
хранится под слоем керосина. Калий — одно-
валентный металл, дающий много солей типа
КС1, K2SO4, KNO3 и т. д. В природе встре-
чается исключительно в виде соединений,
главным образом в виде кремнекислых солей,
например алюмотрисиликата KAlSi3O8—орто-
клаз, KAlSi2O6— лейцит, KFeSi2O6— главконит,
KH2Al3Si3Oj2— мусковит (одна из форм слю-
ды), солей хлористоводородной кислоты, на-
пример сильвина КС1, карналлитаKMgCl3-6H2O
и др. Зола растений обычно содержит угле-
Таблица 4
Название
Натрий азотистокис-
лый ... ...
„ азотнокислый
„ тетраборно-
кислый гид-
рат (бура) .
, бромистый .
Едкий натр . .....
Натрий йодистый . .
„ йодновато-
кислый . . .
„ кремнекис-
лый .....
„ кремнефто-
ристый . . .
„ окись ....
„ перекись . .
„ сернистый .
„ сернистокис-
лый .....
« серновати-
стокислый .
» сернокислый
„ сернокислый
гидрат . . .
„ кислый угле-
кислый (пи-
тьевая сода)
„ углекислый
(кальциниро-
ванная сода)
„ углекислый
гидрат (сода)
» фосфорно-
кислый втор.
» фтористый
хлористый .
, двухромово-
кислый . . .
„ цианистый .
Формула
NaNOa
NaNOa
NaaB4O7 •
• 10Н2О
NaBr • 2Н2О
NaOH
NaJ • 2H2O
NaJO3 • 5H2O
Na3SiO3
NaaSiFe
Na,O
Na2O2
Na2S • 9H2O
NaaSO3 • 7HaO
Na2SaO3 • 5HaO
Na2SO4
Ka2SO4 • 10H2O
NaHC03
Na2C03
Na,C03 • ЮН, О
NaaHPO4 •
• 1VH2O
NaF
NaCl
NaaCr2O7 . 2H2O
NaCN
Молекуляр-
ный вес
69,01
85,oi
38i,43
138,95
40,01
i85,95
288,00
122,06
188,06
62,00
78,00
240,21
252,18
248,22
142,07
322,23
84,01
106,00
286,16
358,24
42,00
58,46
298,05
49>oi
Цвет; кри-
сталлическая
система
Бесцв. IV
Бесцв. Ilia
V
я V
Бел.
Бесцв. V
V
Бесцв.
III
Бел.
Желтое.
Бесцв. II
» V
V
„ IV, V, III
V
V
Бесцв.
Бесцв. V
V
1
1
Кр.-жёлт. V
Бесцв. I
Плотность
2,17
2,25
1,72; безв. 2,37
a,i8; безв. з>2
2,02
2,45; безв. з>7
Безв. 4,28
2,4
2,68
2,27
—
Безв. 1,85
1,56
i,73
2,67
1,46
2,21
2,5
1,5
1,53
2,73
2,17
2,5
Температура
плавления
276,9
3°8
Безв. 711
Безв. 74°
322
Безв. 66г,4
—
io88
—
Тёмнокр. кал.
—
—
—
—
884
—
—
852
—
—
992
8оо
Безв. 32о
5б2,3
Темпе-
ратура
кипения
—
—
—
1395
1388
1300
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
I&95
144°
—
Калий К (Kalium). Порядковый номер 19,
атомный вес 39,096. Серебристо-белый металл;
t^=62,T, tKUn = 774°; плотность 0,86. Хими-
чески весьма активный элемент. С водородом
непосредственно соединяется с образованием
гидрида калия КН; Сурно реагирует с водой,
весьма часто со взрывом: 2К, + 2Н2О —
— 2КОН -+- Н2. С кислородом соединяется не-
посредственно с образованием перекисей калия
KsO2, К-?О4 и окиси калия К^О. Последили
окисел является по химической природе основ-
ным окислом, и ему соответствует сильная
щёлочь КОН. Металлический калий обычно
кислый калий К2СО8 — поташ. Распространён-
ность в земной коре 2,35%. Получение калия
осуществляется электролизом расплавленных
калиевых солей или гидроокиси калия КОН.
Металлический калий применяется для при-
готовления фотоэлементов и в лабораторной
практике.
Соединения калия (KNO3, KC1O3 и др.)
находят широкое применение; соединения ка-
лия KNO3, KC1 применяются в сельском
хозяйстве как одно из важнейших видов
удобрения. Свойства соединений калия см.
в табл. 5.


342
химия
[РАЗД. I
Таблица 5
Свойства некоторых соединений калия
Название
Калий азотистокис-
лый ......
. азотнокислый
. бромистый . .
бромновато-
кислый ....
Кали едкое .....
Калий йодистый . .
иодноватокис-
лый ......
„ кремнефтори-
стый .....
„ маргавцево-
кислый ....
„ перекись . . .
. роданистый . .
. сернистый . .
сернокислый .
. кислый серно-
кислый ....
. надсернокис-
лый ......
углекислый
гидрат ....
углекислый . .
, кислый угле-
кислый ....
. фтористый . .
хлористый . .
хлорновато-
кислый ....
„ хромовокис-
лый ......
двухромово-
кпслый ....
„ цианистый . .
Формула
KNO,
KNT03
КВг
КВгО3
КОН
KJ
KJO,
K2StF,
КМпО.
К3О
К2Оа
KCNS
K2S
K^SO,
КНЗО,
K^S^jOg
КаС03. 1,5Н,0
К2СО3
кнсо,
KF
KG1
ксю,
К2СгО,
К2Сг2О7
KCN
Молеку-
лярный
вес
0-
101,11
119,02
167,02
166,03
214,02
22О,2б
158,03
94,2
142,2
97-iS
110,27
174.2?
136,18
27°-34
165,22
138,20
100,11
5в!ю
74. 5б
122.56
194,21
294,23
65,11
Цвет; кристалличе-
ская система
Бесцв.
Бесцв. Ilia, IV
I
Ша
Бел.
Бесцв. I
1
I, III
Черно-краен. IV
Светложёлт. крист.
Жёлт, крист.
Бесцв. крист.
Бесцв.
Бесцв. III, IV
я IV
VI
о v
— .
Бесцв. V
1
„ I
V
Жёлт. IV
Кр.-жёлт. V, VI
Бесцв. I
Плотность
1,92
2,Ю
2,756
3,24
2,12
3-И5
3,89
2,75 и з,о8
2.703
2,32
—
1,89
i,8o
2,67
2,3в
—
2,043
2,29
2,17
1.989
2,344
2,74
2,70
1,56
Температу-
ра плавле-
ния
297-5
ззб
728
434
~ 68о
5бо
_
Разл. > 2оо
—
400
173,8—179
—
Ю07
2IO
—
Безв. 891
891
—
846
768
370
975
395
623,5
Темпе-
ратура
кипения
_
_
1380
—
*324
I3I9—I330
—
_
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
_
1505
1415
—
—
—
—
Рубидий Rb (Rubidium). Порядковый но-
мер 37, атомный вес 85,4М. Серебристо-белый
металл; 1Пл = 38,3°, Скип — 656°; плотность 1,53.
По химическим свойствам очень похож
на калий. Распространённость в земной коре
0,0080/Q.
Цезий Cs (Caesium). Порядковый номер 55,
атомный вес 132,91. Серебристо-белый металл;
1пл = 26°, ?/«« = 670°; плотность 1,9. По хи-
мическим свойствам похож на рублдий и ка-
лий. Распространённость в земной коре
5.10-4«/о-
Металлический цезий применяется в произ-
водстве весьма чувствительных фотоэлементов.
! Первая группа элементов
Подгруппа меди
Медь Си (Cuprum). Порядковый номер 29,
атомный вес 63,57. Чистая металлическая медь
обладает характерным красным цветом и яр-
ким металлическим блеском. Плотность её
равна 8,945; гпл = 1033°, гкип = 2360°. Чистая
медь обладает очень большой электропровод-
ностью. В химическом отношении медь мало
активна, однако при нагревании соединяется
с кислородом до окиси меди СиО; при более
высоких температурах образует закись Си2О.
С водородом непосредственно не соединяется,
но даёт соединения Си2Н2 и СиН2. Медь не-
посредственно соединяется с серой, галоида-
ми (С12, Вг2, J2, F2). Ь отсутствии кислорода
соляная кислота и разбавленная серная не дей-
ствуют на медь, однако последняя растворяется
в азотной кислоте и концентрированной горя-
чей серной кислоте. Как Си3О, так и СиО
являются слабо основными окислами, им соот-
ветствуют соли типа CuC!2 a'CugClj и гидраты:
гидрат закиси меди СиОН и гидрат окяси ме-
ди Си (ОНJ, последний при небольшом нагре-
вании разлагается на воду Н2О и окись меди
СиО чёрного цвета. В природе медь встре-
чается как з самородном виде, так и в виде
соединений, главным образом сернисты*, как
Cu2S, CuS, CuFeS2. Главнейшие медные место-
рождения в СССР находятся на Урале, в За-
кавказье, Казахстане и на Дальнем Востоке.
Распространённость меди в земной коре 0,01%.
Чистая медь получается электролизом водных
растворов CuSO4. Метод выплавки меди обу-
словлен качествами руды. При большом содер-
жании в руде Fe$2 выплавка производится
пиритной плавкой (или полупнритной с добав-
кой кокса) на штейн (содержание меди до20'/о)
с последующем его окислением воздухом в
специальном конвертере до образования чер-
новой меди (~80у0 меди). Другой метод вы-
плавки состоит в обжиге руды с последую-
щей плавкой в отражательной печи. Соли
меди находят широкое применение (например,
CuSO4 • 5li2O — медный купорос). Главным же
образом используется чистая медь: 1) в элек-
тротехнике— провода, кабели, шины; 2) в ко-
раблестроении, теплотехнике и аппаратострое-
нии—трубопроводы, радиаторы, холодильники,
гибкие рукава, гальванические покрытия;
3) пояски, аноды; 4) как основа важнейших


ГЛ. III]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
343
Свойства некоторых соединений меди
Таблица 6
Название
Медь азотнокислая ........
„ гидрат закиси .......
„ „ окиси .......
„ закись ......... . .
„ сернистая (соль закиси) .
„ сернистая (соль окиси) .
„ сернокислая гидрат. . . .
„ углекислая основ, (ма-
лахит) ........ ....
„ хлористая .........
хлорная ..........
Формула
Си (NO3J 3H2O
СиОН
Си (ОН),
СиаО
СиО
CuaS
CuS
CuSO4
CuSO4 • 5H,O
СиСОз • Си (OHJ
CuCl
СиС1а
Молеку-
лярный
вес
241.63
8о,58
97.59
143Д4
79.57
159.21
95.64
159,64
249.73
221, l6
99-03
134,49
Цвет; кристалли-
ческая система
Голуб.
Жёлт.
Голуб, ам.
Краен. I
Чёрн. VI
Голуб. 1, IV
Чёрн. ам. или V
Бел. IV
Голуб. VI
Зел. V или ам.
Бел. I
Жёлт, крист.
Плот-
ность
2,°5
3.37
—
5,88
6,40
5.78
4.65
3,58
2,29
3,85
4,14
3.39
Темпера-
тура
плавления
-
—
> 123°
1148
> изо
—
—
-
—
425
630
Темпе-
ратура
ни я
_
-
-
-
-
-
-
-'
-
—
~1ООО
—
технических сплавов (латуни, бронзы и спла-
вы специального назначения). Свойства не-
которых соединений меди приведены в
табл. 6.
Серебро Ag (Argentum). Порядковый но-
мер 47, атомный вес 107,88. Серебристо-белый
металл; 1пл = 96Г, гкип = 2000°; плотность 10,5;
отличается большой ковкостью, гибкостью и
тягучестью A г серебра может быть вытянут
в проволоку длиной 1800 м). Серебро — благо-
родный металл, не окисляющийся на воздухе
даже при нагревании. Разбавленные соляная
и серные кислоты на серебро не действуют,
но металл легко растворяется в горячей кон-
чувствительны и применяются в светочувстви-
тельных слоях фотоплёнок, фотопластинок и
фотобумаги. В природе серебро встречается
в самородном виде и в виде соединений: AgCl,
Ag2S и др. В качестве пр:шеси серебро встре-
чается в медных, цинковых и свинцовых ру-
дах. Чистое серебро получается электролизом
его солей в водных растворах. Распространён-
ность серебра в земной коре 1 • 10~5j/0. Соль се-
ребра AgNO3 носит название „ляпис" и находит
широкое применение в медицине; металличе-
ское серебро и его сплавы применяются для вы-
делки украшений, монет и др. В табл. 7 приве-
дены свойства некоторых соединений серебра.
Свойства некоторых соединений серебра
Таблица 7
Название
Серебро азотнокислое . . -.
, сернисто^ (сереб-
ряный блеск) . . .
„ сернокислое ....
„ хлористое .....
Формула
AgNO3
AgBr
Ag3S
Ag2S04
AgCl
Молеку-
лярный
вес
169,89
187,80
247-83
ЗИ.83
143-34
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцв. IV, Ilia
Светложёлг. I
Чёрн. ам. или I
Бел. IV, I
Бел. ам. или I
Плот-
ность
4.35
6,47
6,85
крист.
5,40
5,5б
Темпера-
тура
плавления
208,5
422
840
66о
455
Темпе-
ратура
кипе
ния
_
-
—
—
центрированной серной кислоте 2Ag | 2Н25О4=
—. Ag2SO4 + SO2 + 2Н2О и даже в разбавлен-
ной азотной кислоте. Серебро непосредствен-
но соединяется с серой, гало!енами; раство-
римо в ртути. Соединение серебра с кислоро-
дом — окись серебра Ag2O — основной окисел,
ему отвечает гидрат окиси AgOH и многие
соли, как AgNO3, Ag2SO4 и др. Соединения
серебра с галогенами: AgCl, AgBr, AgJ - свето-
Золото Au (Aurum). Порядковый номер 79,
атомный вес 197,2. Яркожёлтый металл; 1пл —
— 1063°, гкип — 2966°; плотность 19,3. Золото
очень ковко и пластично; 1 г золота можно вы-
тянуть в проволоку длиной 3240 м. Золото—
благородный металл, не окисляется на возду-
хе даже при нагревании; не поддаётся дей-
ствию кислот и растворяется лишь в царской
водке B части соляной кислоты и 1 часть азот-


344
ХИМИЯ
[РАЗД.
Таблица 8
Свойства некоторых соединений золота
Название
Золото гидрат закиси ....
„ гидроокись (мета-
золотая кислота) . .
окись .........
хлористоводородная
кислота ...... .
хлористое ......
хлорное ........
Формула
АиОН
АиО(ОН)
Au.jO
Аи2О3
НАиС14 • 4НаО
AuCl
АиС13
Молекуляр-
ный вес
214,21
230,21
4Ю.4
424,4
412,11
232,66
3°3,53
Цвет; кристалли-
ческая система
Светлосер. -фиол.
Жёлт.
Серов.-фиол.
Тёмнокоричн.
Светложёлт. иглы
Светложёлт.крист.
Красно-бур, крист.
Плот-
ность
—
—
—
_
7-8
4,07
Темпера-
тура
плавления
Разл. >2оо°
Разл. 140°
„ >200°
„ >100°
• _
Разл.
288
Темпе-
ратура
кипе-
ния
—
—
—
_
—
Летуч.
ной кислоты). Галогены соединяются непосред-
ственно с золотом при обыкновенной темпе-
ратуре; золото растворяется в ртути. С кисло-
родом золого даёт основной окисел — закись
золота Аи2О и амфотерный окисел — окись
золота Аи2О3. Этим окислам отвечают гидра-
ты Аи ОН и Аи (ОН)8; последний гидрат на-
зывают часто золотой кислотой. Соответствен-
но этому золото даёт два типа солей: соли од-
новалентного золота AuCl и т. д. и соли трёх-
валентного АиС13 и т. д. В природе золото
встречается главным образом в самородном
виде; однако известны и природные соедине-
ния золота с теллуром АиТе2. Распространён-
ность золота в земной коре 5-10~6°/о Золото
находит применение в виде сплавов для вы-
делки украшений и монет. Некоторые соли
золота (АиС13 и др.) находят применение для зо-
лочения, в фотографии и т. д. Свойства некото-
рых соединений золота приведены в табл. 8.
Вторая группа элементов
Щёлочноземельные металлы
Бериллий Be (Beryllium). Порядковый но-
мер 4, атомный вес 9,02.
Бериллий — белый твёрдый металл; гпл =
=• 1285°, /^„ = 1500°; плотность 1,85. На воздухе
он не изменяется и не разлагает воду даже
при 1000°. В щелочах и разбавленных кисло-
тах растворим; в азотной кислоте не раство-
ряется. С кислородом даёт амфотерный оки-
сел ВеО, которому соответствует амфотерный
гидрат Ве(ОНJ и соли типа ВеС12, BeSO4 и др.
В природе Be встречается только в виде со-
единений, например: Ве3А12EЮ3)б минерал
берилл (зелёная разновидность берилла назы-
вается изумрудом, а синевато-зелёная — аква-
марином). Распространённость в земной коре
0,003о/о.
В настоящее время бериллий вводится как
добавка в некоторые сорта сталей и другие
сплавы. В табл. 9 приведены некоторые свой-
ства соединений бериллия.
Магний Mg (Magnesium). Порядковый но-
мер 12, атомный вес 24,32. Блестящий белый ме-
талл, который можно протягивать в проволо-
ку и прокатывать в ленты; tnjl—65l°, tKUn=
= 1107°; плотность 1,74. При обыкновенной тем-
пературе магний не реагирует с сухим возду-
хом и водой, из которой удалена полностью
двуокись углерода; в присутствии последней
металл разъедается при действии влажного
воздуха и легко реагирует с водой. При этой
реакции выделяется водород, и магний пере-
ходит в раствор в виде основной углекислой
соли магния. При кипячении магния с водой
происходит медленное выделение водорода
Mg -f 2H2O = Mg(OHJ-(-H2; такая же, но зна-
чительно более быстрая реакция происходит,
если над горячим металлом пропускать струю
перегретого пара; в этих условиях магний
воспламеняется. На воздухе и в кислороде
магний горит: 2Mg -\- O2 — 2MgO, при этом
магний излучает ослепительно яркий свет,
причём интенсивность излучения больше, чем
это соответствует температуре горения. За-
жжённый на воздухе магний продолжает гореть
в атмосфере углекислоты: 2Mg -f CO3 =
= 2MgO 4- С. При высоких температурах ма-
гний является сильным восстановителем и при-
меняется для получения таких элементов, как
бор и кремний. Магний непосредственно со-
единяется с галоидами, при высокой темпера-
туре — с азотом, серой и т. д.; растворяется
Свойства некоторых соединений бериллия
Таблица 9
Название
Бериллий азотнокислый . . .
„ окись ........
„ сернокислый ....
„ хлористый .....
Формула
Be (КО,), • 4Н..О
ВеО
BeSO, • 4Н..О
Bed., • 4Н30
Молеку-
лярный
вес
205,12
2т, О2
176,16
152,0
Цвет; кристалли-
ческая система
Бел. крист.
III
И
V
Плот-
ность
_..
З,06
I.71
Безв.
i,9°
Температу-
ра плавле-
ния
6i
Безв. 404
Темпе-
ратура
кипения
_
_
Возгон.


ГЛ. Ill]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
345
Таблица 10
Свойства некоторых соединений магния
Название
„ гидрат окиси ....
„ мета кремнекислый
„ окись .........
„ сернокислый .....
„ сернокислый семи-
водныи .......
„ углекислый ....
„ хлористый .....
Формула
Mg3N2
Mg (ОНJ
MgSiOj
MgO
MgS04
MgSO4 • 7H3O
MgC03
MgCla
Молеку-
лярный
100,98
58,34
1оо,з8
4°-32
120,39
246.50
84,32
95,24
Цвет; кристалли-
ческая система
Жёлт.-зел.
Бесцв. Ilia
IV, V
Бел. I
Бел.
Бесцв. IV, V
Бел. Ilia, IV
Бесцв. III
Плот-
ность
2,36
3,i6; 2,85
3.2—3,7
2,66
1,68
(IV)
3,04
1.32
Температу-
ра плавле-
ния
1560 (для V)
<2500
II2O
—
—
718
Темпе-
ратура
кипения
_
2800
—
—
—
—
в растворах кислот и нерастворим в рас-
творах щелочей. С кислородом магний даёт
окись MgO и перекись MgO2. Первая
является основным окислом, которому соответ-
ствует основание Mg(OHJ и соли типа: MgCl2,
MgSO4 и т. д. Окись магния чрезвычайно
тугоплавка (tnjl ^. 2500°), поэтому используется
для футеровки металлургических печей.
Помимо этого, окись магния при высоких
температурах обладает значительной электро-
проводностью, что также используется при
постройке электропечей.
В природе магний встречается исключи-
тельно в виде соединений: солей кремнёвой
кислоты — оливин Mg2SiO4, роговая обманка
MgSiO3 и др.; солей угольной кислоты — ма-
гнезит MgCO3, доломит MgCO3-CaCO3; солей
серной и соляной кислот — кизерит MgSO^ H2O,
карналлит MgCl2-KCl -6H2O и др. Распростра-
нённость магния в земной коре 2,35%. Полу-
чают магний электролизом расплавленного кар-
наллита (при температуре выше 700°) и дру-
гих галоидных его соединений. Магний приме-
няется для изготовления лёгких сплавов, напри-
мер электрона (сплав алюминия и магния) и т. д.
Свойства соединений магния см. в табл. 10.
Кальций Са (Calcium). Порядковый номер 20,
атомный вес 40,08. Беловато-серый ковкий
металл; tnjl = 851°, tKUn = 1487°; плотность 1,55.
Металлический кальций легко соединяется
с кислородом: 2Са -(- О2 ~ 2СаО, образуя
основной окисел СаО; непосредственно соеди-
няется с галоидами: Са -f- С12 = СаС12; с водо-
родом: Са 4- Н2 = СаН2 (гидрид кальция);
с азотом: ЗСа -f- N2 = Ca3N2; с углеродом:
Са -f 2C = СаСо (карбид кальция). Кальций
реагирует с водой: Са -f- 2Н2О = Са(ОНJ -4- Н2,
растворяется в кислотах. Кальций — типичный
металл. Помимо окиси кальция СаО, с кисло-
родом кальций даёт соединение СаО2 (перекись
кальция). Во всех соединениях кальций —
двухвалентный металл. Он даёт многочислен-
ные соли: СаС12, CaSO4, Са(НСО-,J и т. д.
В природе встречается только в соединениях:
кремнекислые соли — анортит Са (А15Ю4J, гра-
нат Са3А12 (SiO4K; соли угольной кислоты —
мел, мрамор, известняк (СаСО3); соли серной
кислоты — гипс (CaSO4-2H2O); соли фтористо-
водородной кислоты — плавиковый шпат CaF2;
соли фосфорной кислоты — апатит Са5 (PO4KF
и др. Распространённость в природе 3,25%.
Получается металлический кальций электро-
лизом расплавленной смеси хлористого и фто-
ристого кальция при температуре 700°. Ме-
таллический кальций применяется сравнитель-
но редко; соединения же кальция находят
Свойства некоторых соединений кальция
Таблица И
Название
Кальций водородистый .
„ гидрат окиси .
„ кремнекислый
„ окись .....
„ сернистый . . .
„ сернокислый
(ангидрит) . .
,, сернокислый
гидрат (гипс) .
углекислый . .
, углеродистый
(карбид) . . .
фосфористый .
фосфорнокис-
фтористый . .
„ хлористый . .
хлористый
гидрат ....
-
Формула
СаН2
Са (ОН)а
CaSiO3
СаО
CaS
CaSO,
CaSO4 • 2Н2О
С?.СО3
СаС3
Са3Р2
Са,(Р04),
CaF2
СаС13
СаС12 • 6Н2О
Молекуляр-
ный вес
42,09
74,09
116,13
56,07
72.Н
136,14
172,16
100,07
64,07
182,29
310,29
78,07
110.99
219,05
Цвет;
кристаллическая
система
Бел. крист.
Бел. Ill
Бел. V
Бесцв. I
Бел. I
Бесцв. IV, V
V
Бел. Ilia, IV
Бесцв. крист.
Красно-бур. крист.
Бел.
Бесцв. I
Бел. крист.
Бесцв. III
Плотность
1.7
2,24
2,92
3-2 - 3,4
2,8
2-97
2.32
2,/i (Ilia)
2,22
2,51
_
3,i6
2,15
i,65
Темпера-
тура пла-
вления
8i6 (870 мм)
1510
2572
_
_
1 339 A]>25 •'"")
2300
—
1550
1378
774
29-5
Темпе-
ратура
кипения
_
_
_
_
_
—
_
_
_
_
"—
—


346
ХИМИЯ
[РАЗД. I
широкое применение: в металлургии — СаСО3,
CaF2; при получении фосфорных удобрений —
Ca5(PO4)aF или Са5(РО4);С1; в строительном
деле — Са(ОНJ, CaO, CaSO4— при производ-
стве цементов. Кальций входит в железно-
дорожные баббиты. В табл. 11 приведены
свойства некоторых соединений кальция.
Стронций Sr (Strontium). Порядковый но-
мер 38, атомный вес 87,63. Белый-металл; гпл —
= 771°, tKan=l4\7°; плотность 2,60. Непосред-
ственно соединяется с кислородом, галоидами,
серой, азотом, взаимодействует с водой: Sr -f-
4- 2Н2О = Sr(OHJ + H2; бурно растворяется
в кислотах. С кислородом даёт окись строн-
ция SrO и перекись стронция SrO2; первая
является основным, окислом, которому отвечает
сильное основание Sr(OHJ и соли типа SrC!2,
Sr(NO3J и т. д. Стронций во всех соединениях —
двухвалентный металл. Летучие соли стронция
окрашивают пламя в красный цвет. В природе
стронций встречается только в виде соеди-
нений: целестин SrSO4, стронцианит SrCO3.
Распространённость в природе 0,035%. Метал-
лический стронций получают электролизом
средственно соединяется с кислородом, водоро-
дом, серой, азотом, взаимодействует бурно с
водой: Ва -(- 2Н2О = Ва(ОНJ 4- Н2; бурно рас-
творяется в кислотах. С кислородом барий
даёт окись бария ВаО и перекись бария ВаО2;
первая является основным окислом, ему со-
ответствует сильное основание Ва(ОНJ и соли
типа ВаС!2, Ba(NO3J и т. д. Во всех соедине-
ниях барий — двухвалентный элемент. Летучие
соли бария окрашивают, бесцветное пламя в
светлозелёный цвет, почему они применяются
в пиротехнике. В природе барий встречается
только в виде соединений: барит BaSO4, ви-
терит ВаСО3. Распространённость бария в
земной коре 0,05%. Соли бария, кроме BaSO4,
весьма ядовиты. Металлический барий полу-
чается электролизом расплавленных галоидных
солей. Металлический барий практическогопри-
менения не имеет: сернокислый барий BaSO4
употребляется для изготовления белых кра-
сок и в медицине — при рентгеновском про-
свечивании. Барий входит в состав сплавов,
обладающих большой эмиссионной способ-
ностью. Свойства соединений бария см. табл. 13.
Свойства некоторых соединений стронция
Таблица J2
Название
Стронций азотнокис-
лый- . . .
. сернокис-
лый (целе-
стин) . . .
. углекис-
лый . . .
. хлористый
гидрат . .
Формула
Sr(NOs),
SrSO4
SrC03
SrCls • 6H,O
Молекуляр-
ный вес
211,62
183,6?
Н7.6
2б6,6а
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцв. I
IV, V
IV, III
Ilia
Плотность
2-93
37 - 3-9
З-бэ
1.96
Температу-
ра плавле-
ния
645
~ i6oo
497
Безв. 870
Температу-
ра кипения
—
—
—
расплавленного хлористого стронция. Метал-
лический стронций применения в технике не
имеет. Соли стронция применяются в пиро-
технике. Свойства некоторых соединений
стронция приведены в табл. 32.
Барий Ва (Barium). Порядковый номер ?6,
атомный вес 137,36. Серебристо-белый металл;
tnA~ 650°, tKUn = 1640°; плотность 3,5. Непо-
Радий Ra (Radium). Порядковый номер 88,
атомный вес 226,05. Серебристо-белый металл;
tnt = 960°, tmn — 1140°, плотность 5. По хи-
мическим свойствам очень похож на барий;
радиоактивный элемент с периодом полурас-
пада 1580 лет. К настоящему моменту в мире
накоплено радия немного больше 1 кг.
Свойства некоторых соединений бария
Таблица 13
Название
Барий азотнокислый
. гидрат окиси .
„ перекись ....
„ сернокислый . .
углекислый . .
„ хлористый
Формула
Ba(N03).,
Ва(ОН), • 8НаО
ВаО
ВаО3
BaSO4
ВаС03
Bad, • 2НаО
Молекуляр-
ный вес
a6i,4
3i5.5
153-4
169.4
=33-5
1974
244.4
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцв. 1
Бел. II
. I, III
Бел.
Бел. IV, V
, IV, III, I
Бесцв. IV
Плотность
3.24
1,66
5,72A), 5,32(П1)
4.9°
4,5
4-3
З.ю
Темпера-
тура пла-
593
-
-
-
1580
~ 1740
960 (безв.)
Темпе-
ратура
кипения
__
-
-
-
-
-


ГЛ. III]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
347
Вторая группа элементов
Подгруппа цинка
Цинк Zn (Zincum). Порядковый номер 30,
атомный вес 65,38. Белый металл; гпл =
— 419,4°, Гкип — 907е; плотность 7,14. Металл
триморфен; при 170е и 340° происходят изме-
нения кристаллической формы. Цинк, не под-
вергнутый особо тщательной очистке, раство-
рим в кислотах: Zn -f- H2SC>4 = ZnSO4 + Н2.
Влажный воздух, содержащий углекислый газ,
медленно разрушает металл, и последний по-
крывается плёнкой углекислой соли цинка
или окиси цинка; эта плёнка защищает ме-
талл от дальнейшей коррозии. Цинк—амфотер-
ный элемент и, кроме кислот, растворим в рас-
няется для оцинкования жести и изготовле-
ния сплавов, важных и распространённых
в промышленности (латуни, бронзы). В послед-
нее время особое значение получили анти-
фрикционные сплавы на цинковой основе.
Окись цинка применяется для приготовления
.цинковых белил, хлористый цинк — для про-
питки деревянных изделий с целью предохра-
нения от порчи. Свойства некоторых соедине-
ний цинка приведены в табл. 14.
Кадмий Cd (Cadmium). Порядковый но-
мер 43, атомный вес 112,41. Белый металл; гпл =
—320,8°, tKUn—7$7 ;плотность 8,65.При обычной
температуре на воздухе не окисляется. Раство-
рим в кислотах: Cd -f- H2SO4 = CdSO4 + H2,
и нерастворим в щелочах. Непосредст-
венно соединяется с галоидами и при повы-
Свойства некоторых соединений цинка
Таблица 14
Название
Цинк гидрат окиси . .
. сернистый . . .
. сернокислый
гидрат .....
„ углекислый . .
. хлористый . . .
Формула
Zn (ОН),
ZnO
ZnS
ZnS04 • 7Н2О
ZnCO3
ZnCl,
Молеку-
лярный
вес
99.39
8i,38
97-44
287.54
125.37
136,29
Цвет; кристалли-
ческая система
Бел. ам. или IV
Бел. III
. I. III
Бесцв. IV
Бел. Ilia
„ I
Плотность
Крист. з-°8
5,78
4,о6
1,96
4.44
2,92
Темпера-
тура пла-
_
~ i8oo (под
давлением)
—
—
Зб5
Темпера-
тура кипе-
t = 1800°
возг
t -1182°
возг
—
—
73о
творах щелочей: Zn -f- 2NaOH =Zn (ONaJ -f- H2
с образованием цинкатов и водорода. При
сильном нагревании цинка в присутствии воз-
духа он воспламеняется и сгорает зеленовато-
белым пламенем до окиси цинка ZnO, т. е.
2Zn -+- O2 — 2ZnO. Цинк непосредственно со-
единяется с галоидами, например хлором: Zn -)-
-f C12 — ZnCl2, а также с серой: Zn + S =
— ZnS. Окись цинка ZnO и соответствующий
гидрат Zn(OHJ — амфотерные соединения и,
помимо кислот, растворимы в щелочах:
Zn (ОНJ-г-2йаОН = Zn (ONaJ + 2H2O. В при-
роде цинк встречается только в виде соеди-
нений, например: цинковая обманка ZnS, смит-
сонит ZnCO3, цинкит ZnO, ганит ZnAl2O4 и др.
Распространённость в земной коре 0,02%.
Цинк получают обжигом руды: 2ZnS -f- 3O2 =
= 2ZnO -f- 2SO3 и последующим восстановле-
нием окиси цинка коксом ZnO -j- C=Zn -j- GO.
Для очистки цинка его перегоняют. Цинк
особой чистоты получается электролизом.
В чистом виде цинк широко применяется
в полиграфической промышленности для из-
готовления клише. Из цинка готовятся галь-
ванические элементы, аноды. Цинк приме-
шенной температуре — с серой. С кислородом
даёт основной окисел CdO, которому отве-
чает основание — гидрат окиси Cd (ОНJ и
соли типа CdCl2 и др. В природе встречается
в связанном виде, например греенокит CdS.
Распространённость в земной коре 5-10~4о/д.
Получают кадмий электролизом его серно-
кислой соли. Кадмий находит применение при
изготовлении специальных приборов (элементы
Вестона, Кларка и т. д.) и для приготовления
легкоплавких сплавов (припои, телефонная
бронза и др.); в виде анодов используется при
электролитическом кадмировании. В табл. 15
приведены свойства некоторых соединений
кадмия.
Ртуть Hg (Hydrargium). Порядковый
номер 80, атомный вес 200,61. При обыч-
ной температуре — серебристая жидкость;
*затв = - 38'85°' *,шп = 357'25°; плотность при
0° 13,595. Чистая ргуть не изменяется при
действии воздуха и кислорода; непосредствен-
но соединяется с галоидами и при нагревании
соединяется с серой, образуя HgS, и с кисло-
родом, образуя окись ртути HgO. В соляной
Свойства некоторых соединений кадмия
Таблица 15
Название
Кадмий азотнокислый.
гидрат . . .
гидроокись .
окись ....
сеонксгый . .
сернокислый
углекислый .
хлористый . .
Формула
Cd(NO3), • 4Н2О
CJ (ОН)а
CdO
CdS
CdSO4
caco3
CdCla
Молеку-
лярный
вес
3°8-5
i4<M
1284
144,5
2о8,5
172,4
183-3
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцв.
Бел. ам. или III
Бур. I
Жёлт. III
Бесцв. IV
Бел. Ша
Бесцв.
Плотность
2,46
4,79
8,т5
4.8
4,<=9
4,зб
4,°5
Температу-
ра плавле-
—
—
Дисс. ~ роо
Давл. 175°
IOOO
568
Температу-
ра кипения
—
—
~ 1390
—
—
~ QOO


348
химия
[РАЗД. 1
Свойства некоторых соединений ртути
Таблица 16
Название
Ртуть азотнокислая за-
кись .......
„ азотнокислая
окись ......
гремучая ....
закись .....
йодная .....
окись ......
сернистая ....
сернокислая окись
хлористая (кало-
мель) ......
„ хлорная (сулема)
Формула
HgNO3 • НаО
H<?(N03J. ИН20
Hg(CNO),- ЙН20
Hg20
HgJa
HgO
HgS
HgSO4
Hg2Cl3
HgCl2
Молекуляр-
ный вес
280,62
ЗЗЗ.ба
284,6
417,2
454-44
2l6,6
232,67
B.O/Q ,67
472,12
271,52
Цвет; кристал-
лическая
система
Бесцв. V
„ крист.
Бел.
Чёрно-бур.
Краен. II; жёлт. IV
Красно-жёлт. V
Краен. Ша, чёрн.
ам. или I
Бесцв. IV
Бел. II
Бесцв. IV
Плотность
4,79
,
4,3 (безв.)
4,42
9,8
Кр. 6,28, жёлт.
6,27
11,2
Кр. 8, -од, чёрн.
7,67
6,47
7-15
5,42
Темпера-
тура пла-
вления
—
79 (безв.)
Взрыв.
—
253
145о
(давл.)
—
543
275
Темпера-
тура кипе-
ния
—
_
—
—
349
58°
(возг.)
—
3^3,2
301
и разбавленной серной кислотах в отсутствии
кислорода ртуть не растворяется, в азотной же
легко растворяется с выделением окислов
азота: Hg 4- 4HNO3 = Н? (NO3J + 2NO2 -f
-f- 2H2O. С кислородом даёт два основных
окисла: Hg2O и HgO, которым отвечают соли
типа: Hg2Cl2, Hg3 (NO3J и HgCl2, Hg(NO3K
и др. В природе ртуть встречается как в са-
мородном виде, так и в форме соединения;
киноварь HgS. Распространённость в земной
коре Ы0~4%. Получают ртуть из киновари
путём нагревания её на воздухе HgS -f- O2 =
= Hg + SO2 с последующей перегонкой сы-
рой ртути. Ртуть широко применяется для
приготовления различных физических прибо-
ров (термометры, барометры, вакуумные на-
сосы и т. д.), для извлечения золота и серебра
из руд. Соединения ртути применяются при
изготовлении красок —HgS, в качестве сильного
антисептического средства — HgCl2 — сулема,
в качестве детонатора — Hg (CNO^-Va^O—
гремучая ртуть и т. д. Свойства некоторых
соединений ртути приведены в табл. 16.
Третья группа элементов
Подгруппы бора и галлия
Бор В (Borum). Порядковый номер 5, атом-
ный вес 10,82. Элементарный бор получен
в виде бурого порошка с плотностью 2^3;
tKUn = 2550°, t-njl «ь 2300°. По химическим
свойствам бор металлоид; при нагревании
на воздухе образует окись бора В2О3
с выделением водорода и образованием со-
лей метаборной кислоты: 2B-t-2KOH-j-2H2O —
=2КВО2 + ЗН2. Окись бора В2О3—кислотный
окисел, и ему соответствует борная кислота
Н3ВО3, являющаяся очень слабой кислотой.
С водородом бор даёт несколько соединений:
В2Не, В4Н]0 и другие нестойкие вещества, са-
мовоспламеняющиеся на воздухе при обычной
температуре (кроме бороэтана В2Н6). С галои-
дами бор даёт соединения: ВС13, BBr3, BF3.
В природе бор встречается только в виде со-
единений: турмалин 3Mg (AlSiO^BjOs, борная
кислота Н3ВО3, бура Na2B4Or 10H2O и др.
Распространённость бора в земной коре 0,01%.
Элементарный бор получается нагреванием
смеси борного ангидрида В2О3 с порошкооб-
разным алюминием, с последующей обработ-
кой соляной кислотой и прокаливанием до 1200".
Практического применения элементарный бор
не имеет, но его соединения широко исполь-
зуются: бура — NaaB4O7• 10Н2О — в паяльном
деле, Н3ВО3— в качестве антисептического
вещества и др. В табл. 17 приведены свойства
некоторых соединений бора.
Алюминий Al (Aluminium). Порядковый
номер 13, атомный вес 26,97. Алюминий — се-
ребристо-белый металл; tnjl = 658°, ^„=1800";
плотность 2,7; ковкий металл, легко прокаты-
вается в листы, протягивается в тончайшие
проволоки; электропроводность куска алюми-
ния составляет 0,6 электропроводности рав-
ного по форме и объёму куска меди. Алю-
миний — амфотерный элемент, растворяющийся
Таблица 17
Свойства некоторых соединений бора
| Название
Бор азотистый ...........
, окись .............
„ борная кислота ........
„ углеродистый .........
Формула
BN
В203
Н3В03
В„С
Молеку-
лярный
вес
24,82
69,64
61,84
76,92
Цвет; кристал-
лическая
система
Бел. ам.
Бесцв. ам.
Бесцв. VI
Чёрн. крист.
Плотность
2,25
1,84
1,46
2,51
Темпера-
тура пла-
вления
~ 2730
577
-
— •
Темпера-
тура ки-
пения
-
—
-
—
(борный ангидрид) и азотистый бор BN. Бор
нерастворим в соляной и серной кислотах.
С металлами бор при повышенной темпера-
туре соединяется; в щелочах бор растворяется
в соляной и серной кислотах и щелочах; он
выделяется среди других элементов большим
химическим сродством к кислороду и вместе
с тем он не изменяется на воздухе. Этот факт


ГЛ. Ill]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
349
Свойства некоторых соединений алюминия
Таблица 18
\
Название
Алюминий азотнокислый,
гидрат. ..............
Алюминий гидроокись . . .
карбид ......
„ нитрид ......
„ окись .......
„ сернокислый . . .
„ квасцы ......
„ „ ......
фтористый ....
дв. соль (криолит)
хлористый ....
Формула
А1(М03),.9НаО
А1 (ОН),
А14С3
A1N
А1203
А1„ (S04K
A1K(SO4J-12HaO
AbNa (SO4K-12Havj
A1F3
Na,AlFa
A1C13
Моле-
куляр-
ный
вес
375.18
77^99
143,87
40,98
ioi,94
342,15
474,45
458,35
83,97
209,97
133,35
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцв. IV, V
Бел. ам. V
Светложёлт.
Светлозел.
Бел. III
Бел.
Бесцв. I
I
„ Н1а
Бел. V
Бесцв. III
Плот-
ность
2,423
2,36
3.96
2,71
1.75*
1.675
2,88
2,95
2,41
Темпе-
ратура
плавле-
ния
—
—
—
2050
—
—
—
1291
/-^/ 1000
- 190 (з,5 am)
Темпе-
ратура
кипе-
ния
—
—
22ОО
2980
—
——
—
——
—
18з
обусловлен образованием прочной плёнки
окиси алюминия на поверхности металличе-
ского алюминия, предохраняющей алюминий
от коррозии и растворения в азотной кислоте.
Алюминий непосредственно соединяется с га-
лоидами: 2А1 -}- ЗС12 = 2А1С13. С кислородом
алюминий даёт один окисел А12О3, которому
отвечает гидрат А1 (ОНK. Оба эти соедине-
ния амфотерны, и им отвечают соли А1С13,
A12(SO4K, Al (NO3K и т. д. и алюминаты
NaAlO2, Na3AlO3 и т. д. В природе алюминий
встречается в виде алюмосиликатов — поле-
вые шпаты KAlSi3O8, NaAlSi3O8, каолин
H4Al2Si2O9 и др.; окиси алюминия — А12О3 —
корунд (наждак), рубин, сапфир, боксит (гид-
ратированная гидроокись алюминия), криолит
Na3AlF6 и пр. Распространённость в земной
коре 7,45%. .
Промышленный способ получения метал-
лического алюминия состоит в электролизе
А12О3 в расплавленном криолите Na3AlFe. Чи-
стый алюминий широко применяется в элек-
тротехнике— для проводов, кабелей и шин;
для изготовления посуды и прочих изделий
ширпотреба; в приборе-и аппаратостроении для
химической промышленности — трубы, листы,
прутки, заклёпки; в металлургической и сва-
рочной промышленности для алюминиотермии.
Сплавы на алюминиевой основе широко
применяются в авиационной промышленности
ч других областях машиностроения. В виде
сплавов с другими металлами алюминии ши-
роко применяется для изготовления алюми-
ниевых бронз (содержание 4—12% А1), лату-
ней и других специальных сплавов. Многие
природные соединения алюминия — глина —
широко используются в технике; многие искус-
ственно полученные соединения, как А1С13,
A12(SO4K и др., используются в химической
промышленности. Свойства некоторых соеди-
нений алюминия приведены в табл. 18.
К третьей группе относятся элементы:
скандий Sc (Scandium); иттрий Y (Yttrium);
лантан La (Lanthanum); церий Се (Cerium);
празеодим Рг (Praseodymium); неодим Nd
(Neodymium); иллиний II (Illinium), он же
Флоренции (в настоящее время его открытие
многими исследователями не признаётся); са-
марий Sm (Samarium ); европий Eu (Europium);
гадолиний Gd (Gadolinium); тербий Tb (Ter-
bium); диспрозий Dy (Dysprosium); гольмий
Ho (Holmium); эрбий Er (Erbium); тулий Tu
(Thulium); иттербий Yb (Ytterbium); лутеций
Lu (Luthecium), он же кассиопий Ср; актиний
Ac (Actinium); галлий Ga (Gallium); индий
In (Indium); таллий Т1 (Thallium). Церий исполь-
зуется для приготовления пиротехнических,
индий — антифрикционных, подшипниковых и
таллий — специальных электротехнических
сплавов. Свойства редкоземельных элементов
приведены в табл. 19.
Таблица 19
Свойства редкоземельных элементов
Элемент
Скандий Sc .....
Иттрий Y . . . .
Лантан La .....
Церий Се. ...
Празеодим Рг . .
Неодим Nd
Иллиний II
Поряд-
ковый
номер
21
39
57
58
59
6о
6i
Атом-
ный
вес
45,1°
88,92
138,92
140.13
140,92
144,27
A46,0)
Плот-
ность
при
0°С
2,5
5,51
бдб
6,9
6,63
7-°5
Темпера-
тура пла-
вления
1204
1482
8зб
775
834
840
Темпе-
ратура
кипе-
ния
2417
2460
i8oo
1400
Распро-
странён-
ность в
земной ко-
ре * в %
б- о-4
5 • о~3
6,5 • Q—4
2,9 • о — 3
4.5 • о" 4
г,75' о-З
Окислы, их хим.
характеристика
Sc2O3 осн.
У2О3 осн.
La2O3 осн.
СеО3 осн., Се3О3 осн.
РгО, осн. Рг.2О3 осн.
Nd3O3 осн.
Примеча-
ние
Открытие
11 ставится
в наст, вре-
мя под
сомнение
* Распространённость элементов в земной коре здесь, как и в тексте, приводится по данным акад. Ферсмана,
„Геохимия", т. I, Госхимиздат, 1933, стр. 142—144.


350
химия
[РАЗД. 1
Продолжение табл. 19
f
Элемент
Самарий Sm ......
Европий Eu ......
Гадолиний Gd .....
Тербий Tb .......
Диспрозий Dy ....
Гольмий Но ......
Эрбий Ег ........
Тулий Ти .......
Иттербий Yb ......
Лутеций Lu ......
Актиний Ас ......
Галлий Оа .......
Индий In ........
Поряд-
ковый
номер
6а
°3
64
65
66
67
68
69
70
71
89
31
49
8i
Атом-
ный
вес
150,43
152,0
156,9
159,2
162,46
164,94
167,2
I&9.4
173.04
174,99
69,72
114,76
204,39
Плот-
ность
при
0°С
7-7
5.24
7-95
8,33
8,56
9,i6
9.34
7.01
9.74
5-91
7.31
11,85
Темпера-
тура пла-
вления
1300 - 1400
Зю
29.75
i6i
303,5
Темпе-
ратура
кипе-
ния
2070
>i45o
1457
Распро-
странён-
ность в
земной ко-
ре * в %
7 • ю 4
а • IQ— 5
7,5 • ю-4
I • ю — 4
7-5 • ю-4
I - ю—4
6,5 • ю—4
I • ю 4
8 • ю— 4
1,75 ' ю-4
I • ТО" 3
i • то" 5
i - ю-5
Окислы, их хим.
характеристика
Sm2Oa осн.
ЕиаО3 осн.
GdaO3 осн.
ТЬ3О3 осн.
Dy5O3 осн.
Но3О3 осн.
ЕгаОз осн.
Ти,О3 осн.
YbaO3 осн.
LuaOj осн.
GaO осн., GaaO3 ам.
1паО осн., InO осн.,
1паО3 ам.
Т1аО осн., Т1аО3 ам.
Примеча-
ние
Радиоак-
тивный
элемент
* Распространённость элементов в земной коре здесь, как и в тексте, приводится по данным акад. Ферсмана
.Геохимия", т. I, Госхимиздат, 1933, стр. 142—144.
Четвёртая группа элементов
Подгруппа углерода
Углерод С (Carboneum). Порядковый но-
мер 6, атомный вес 12,010. Углерод существует
в трёх аллотропических формах; две кристал-
лические— графит и алмаз, третья аморф-
ная — уголь. Рассмотрение угля как аллотро-
пической формы углерода в настоящее время
подвергается сомнению. Графит образует хо-
рошо выраженные гексагональные кристаллы,
плотность которых 2,5; графит в отличие от
алмаза очень мягок и обладает заметной ве-
личиной электропроводности. Температура
плавления графита выше 3500°. Графит хими-
чески инертен и вступает в химические реак-
ции с кислородом, галогенами и т. д. лишь
при повышенной температуре. Алмаз образует
кристаллы кубической системы, наиболее твёр-
дые среди всех кристаллов. Плотность алмаза 3,5;
температуры плавления и кипения предпола-
гаются равными соответственно 3500° и 4830°.
В химическом отношении алмаз весьма инер-
тен и вступает в реакции с кислородом, га-
лоидами лишь при очень высокой темпера-
туре.
По химической природе углерод является
металлоидом. Углерод с кислородом даёт
окислы: недоокись С3О2, окись СО и двуокись
СО2. Окись углерода — нейтральный окисел,
а двуокись углерода — кислотный окисел —
ангидрид угольной кислоты: CO2-t-H2O —
= H.;COS. Последняя известна лишь в разба-
вленных водных растворах. Это — слабая кис-
лота, её соли подвергаются гидролизу.
Углерод даёт множество соединений с водо-
родом, что обусловлено способностью атомов
углерода образовывать между собой химиче-
скую связь, приводящую часто к химическим
соединениям с очень длинной цепью углерод-
ных атомов. В настоящее время насчитывается
свыше 1 000 000 химических соединений угле-
рода.
Соединения углерода с водородом назы-
ваются углеводородами.
Все углеводороды подразделяются на два
класса:
I. Класс ациклических соединений, иначе
называемый жирным рядом, или рядом алифа-
тических соединений. Углеводороды этого
класса не содержат в своих молекулах колец
или циклов, а только открытые цепи угле-
родных атомов. В свою очередь этот класс
делится на:
а) соединения предельного ряда, или насы-
щенные жирные соединения, в молекулах ко-
торых углеродные атомы связаны простой
связью; состав молекул углеводородов жирного
ряда подчиняется общей формуле СпН2л+2;
простейшими представителями являются ме-
тан СН4, этан С2Н6, пропан СаН8 и т. д.;
б) соединения, содержащие в своих моле-
кулах двойные или тройные химические связи
между атомами углерода; эти соединения на-
зываются непредельными, или ненасыщен-
ными жирными соединениями; углеводороды
этиленового ряда, или олефины, С„Н2л; про-
стейшим представителем является этилен
СНа = СН2; углеводороды ряда ацети-
лена — СЛН2„_2 ; простейшим представителем
является ацетилен СН = СН; углеводороды
с двумя этиленовыми связями и т. д.
li. Класс изоциклических соединений или
карбоциклических соединений, т. е. таких,
в молекулах которых имеются кольца или
циклы из углеродных атомов, различают:
а) ряд алициклических соединений, куда
относят все циклические соединения, за исклю-
чением бензола и его производных; в свою
очередь этот ряд подразделяют на ненасы-
щенные алициклические соединения, в моле-
кулах которых имеются двойные или тройные


ГЛ. Ill]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
351
связи, и насыщенные алициклические соеди-
нения, или циклопарафины;
б) ряд ароматических соединений, в моле-
кулах которых имеется особая циклическая
группировка из шести атомов углерода с по-
следовательным чередованием простых и двой-
ных связей. Простейшим представителем
СН
является бензол С3НЙ-
СН
СН
Помимо углеводородов, огромное число со-
единений углерода образовано классом гете-
роциклических соединений; в молекулах этих
соединений имеются кольца атомов, в которые
входят, помимо атомов углерода, ещё атомы
других элементов, как атомы азота, серы, кис-
лорода.
От углеводородов и гетероциклических
соединений производятся различные классы
веществ, характеризующихся теми атомами
или радикалами, которые замещают в углево-
дородах или гетероциклических соединениях
атомы водорода; так, замена атомов водорода
группой атомов (радикалом) ОН приводит
к спиртам, замена на карбоксильную группу
СООН — к кислотам и т. д.
Таким образом множество органических
соединений является производными углеводо-
родов и гетероциклических соединений.
При повышенной температуре углерод
соединяется с галоидами, образуя, например,
СС14; с серой, образуя сероуглерод CS2;
с металлами, образуя карбиды СаС2, Fe3C;
с азотом углерод даёт соединения: циан
G2N2, синильную кислоту HCN, слабую кислоту»
являющуюся сильным ядом.
В природе углерод встречается в самород-
ном виде — алмаз, графит; в виде соединений
угольной кислоты — мел, известняк, мрамор
СаСО3, сидерит FeCO3, доломит CaMg(CO3J
и т. д.; в виде смесей углеводородов — нефти;
в виде пластов каменного угля, торфа, в виде
сложных соединений, из которых построены
растительные и животные организмы (белки,
углеводы и т. д.). Распространённость в зем-
ной коре углерода равна 0,35%. Значение гра-
фита, алмаза, каменных углей, нефтей и т. д.
общеизвестно. В табл. 20 приведены свойства
некоторых соединений углерода.
Таблица 20
Свойства некоторых соединений углерода
Название
Углерод окись ......
. двуокись ....
„ сернистый . . .
Углерод четырёххло-
ристый ............
Углерод хлорокись (фос-
ген) .............
Цианистый водород (си-
Ацетон ..........
Ацетилен .........
Винная кислота (рацем).
Гидрохинон ........
Бензол ...........
Глицерин .........
Ксилол 0 .........
Метан ......... . .
Метиловый спирт ....
Муравьиная кислота . .
Нафталин .........
Нитробензол .......
Нитроглицерин-три . .
Олеиновая кислота . . .
Пиридин .......
Пирогаллол .......
Свинецтетраэтил ....
Стеариновая кислота . .
Скипидар (пинен) ....
Тетрахлорэтан ......
Толуол ..........
Тринитрофенол (пикри-
новая кислота) ......
Уксусная кислота (ледя-
ная) .............
Фенол (карболовая кис-
лота) .............
Формальдегид ......
Щавелевая кислота . .
Этан ............
Этилен. ..........
Этиловый спирт .....
Этиловый эфир .....
Хлороформ ........
Формула
со
СО2
CS3
СС14
СОС13
HCN
СН3СОСН„
сн^сн
(СНОг1СООНJ-Н3О
свн4(онK
свн„
С3Н,,(ОНK
(СНз)аС6Н4
СН4
СНзОН
нсоон
С6Н>03
C3H,(ON03K
С17НззСООН
C5H5N
СвН3(ОНK
С17Н3-,СОбн
СШН1В
CHCVCHO,
С„Н5СН3
(N03)aOeH2OH
СН3СООН
С6Н-ОН
НС НО
C.jri.,O4 • 2Н3О
"санб
СН2 = СН3
С2Н=ОН
С2Н ОС2Н-
СНС13
Молеку-
лярный
вес
28
44
76,14
153,84
98,92
27,01
58,05
2б,02
1б8.об
"sios
92,06
106,08
1б,оз
32,03
46,02
128,06
123,05
227,06
282,27
79>°5
126,05
323,4
284,29
136,13
167,86
92,06
229,05
6о,оз
94-05
30,02
126,05
30.05
28,03
46,05
74,о8
"9,39
Цвет; кристал-
лическая
система
Бесцв. газ
То же
Бесцв. жидк.
То же
Бесцв. газ
Бесцв. жидк.
То же
Бесцв. газ
Крист.
То же
Бесцв. жидк.
То же
я я
Бесцв. газ
Бесцв. жидк.
То же
Крист.
Бесцв. жидк.
То же
я я
Крист.
Бесцв. жидк.
—
Бесцв. жидк.
То же
я »
Жёлт, крист.
Бесцв. жидк.
Бесцв. крист.
—
Бесцв. крист.
Бесцв. газ
То же
Бесцв. жидк.
То же
" "
Плотность
0,967
1,524
твёрд.
l',27
1,632
1,436
жидк.
0,691
0,792
1,687
1,36
0,879
1,26
о,86з
0,415
1,069
1,22
1,145
1,203
1,50
о,8о8
0,981
1,453
1,62
0,941
0,858
1,592
0,867
—
1,049
1,060
—
1,653
—
—
0,789
0,714
1,483
Темпера-
тура пла-
вления
—207
-57
E,i am)
—112
-23,77
-126
— 13
—94
—81
204
172
6
19
-27
—184
-98
8
80
9
13
14
-42
132
—
69
—
—44
-95
0
17
4i
—92
189
— 172
-169
—114
— 117
-63
Темпера-
тура
кипения
-190
-78,5
(возг.)
+46,25
+76,6
+8,2
+ 26,5
56
—84
—
я8=;
8о
290
141
— 161,4
65
101
218
211
257
233
116
293
232
146
in
—
118
181
— 21
—
-93
—102
78
35
61


352
ХИМИЯ
[РАЗЛ.Т
Кремний Si (Silicium). Порядковый номер 14,
атомный вес 28,06. Элементарный кремний
может быть аморфным в виде коричневого
порошка с плотностью 2,35; эта форма крем-
ния получается в результате восстановления
кремния из его соединений: 4К. -+- KaSiFe •=
= Si + 6KF; 4Na -f SiCl4 = 4NaCl + Si или
2Mg -i- SiO2 = Si + 2MgO.
Кристаллический кремний получается пу-
тём его кристаллизации из расплава в металле
(алюминий). Кристаллический кремний имеет
tnA — 1427°, tKun = 2287°; плотность 2,4. По
химической природе кремний является метал-
лоидом; он горит в кислороде, образуя дву-
Свойства некоторых соединений кремния
поликремневых кислот. Помимо этого, в при-
роде встречаются весьма часто минералы,
являющиеся солями алюмокремневых кислот
(полевой шпат, нефелин, лейцит и т. д.). По-
давляющее большинство горных пород является
или силикатами или алюмосиликатами. Распро-
странённость кремния в земной коре 26,00%.
В чистом виде кремний не находит в тех-
нике применения, однако широко используются
его сплавы с металлами, например ферроси-
лиций и др.; карбид кремния SiC (карборунд)
вследствие очень большой твёрдости исполь-
зуется в качестве шлифовального материала.
Сплавы силикатов сложного и различного
Таблица 21
Название
Кремний водородистый (мо-
носилан) ......
» карбид (карборунд)
„ окись (ангидрид . .
кремневой кислоты)
„ окись, кварц ....
„ кристобалит ....
„ тридимит ......
„ фтористый .....
„ хлористый .....
Формула
SiH4
SiC
Si02
SiO2
Si02
SiO2
SiF4
SiCl4
Молекуляр-
ный вес
32.09
4<э,о6
60,06
60,06
60,06
60,06
104,06
16990
Цвет; кри-
сталлическая
система
Бесцв. газ
Бесив. Ilia, III
Бесцв. амор.
Бесцв. Ill
Н, I
IV, III
„ газ
Бесцв. жидк.
Плотность
Жидк.
о,68
ЗД2
2,2О
2,65
2,32
2,31
1,48
Темпера-
тура
плавления
_i85
—
—
1710
1670
— 77
B am)
— 68,7
Темпера-
тура
кипения
— 112
—
—
2950
—
—
+ 57
окись кремния SiO2; при обычной температуре
горит во фторе: Si + 2F2 = SiF4; при 300—350°
загорается в хлоре: Si + 2C12= SiCI4; при 500° —
в броме; в кислотах нерастворим, растворяется
в щелочах с выделением водорода и обра-
зованием силикатов, например: Si + 2NaOH -f-
-f- H2O = Na2SiO3 -t- 2H2; взаимодействует с
азотной и фтористоводородной кислотами.
Элементарный кремний при повышенной
температуре соединяется с азотом: 3Si -j- 2N2=
= Si3N4, c серой: Si -{- 2S = SiS2, с металлами,
образуя силициды: Si + 2Mg = SiMg?, и т. д.
С водородом кремний даёт соединения
5]ЛН2„ + 2 (SiH4 — кремнеметан, Si3H6 — крем-
неэтан и т. п.), легко загорающиеся на воз-
духе, в хлоре и т. д. С кислородом кремний
даёт твёрдую моноокись SiO и твёрдую дву-
окись SiO2, являющуюся ангидридом слабой
кремневой кислоты. Двуокись кремния может
быть аморфной, например кварцевое стекло;
это последнее размягчается лишь при t^z 1500°,
имеет плотность 2,2 и обладает ничтожно ма-
лым коэфициентом термического расширения,
являющимся ААПАПП на 1°, химически очень
1 UUU UUU
стойко и не разрушается- кислотами, про-
зрачно для видимой части спектра и ближней
ультрафиолетовой и инфракрасной частей.
Кристаллическая двуокись существует
в трёх формах: кварц (устойчив до 870°),
тридимит (устойчив от 870° до 1470°), кристо-
балит (устойчив от 1470° до 1710°). Двуокиси
кремния отвечают кислоты состава SiO2-/zH2O;
соли кислоты SiO2-2H2O— называются орто-
силикатами, а кислоты SiO2-H2O— метасили-
катами. Кремневые кислоты не выделены
в чистом виде, а известны в виде студнеоб-
разной массы, содержащей неопределённое
количество воды. В природе известно мно-
жество минералов, являющихся солями мета-
кремневой H2SiO3 и ортокремневой H4SiO4 и
состава, иногда с солями борной кислоты и др.,
применяются в виде стёкол; цементы, фар-
форы являются сложными смесями силикатов,
алюминатов и др. Значение силикатов в тех-
нике исключительно велико. Свойства некото-
рых соединении кремния приведены в табл. 21.
Германий Се (Germanium). Порядковый
номер 32, атомный вес 72,60. Германий очень
хрупкий серовато-белый металл; гпл = 960°,
tKun — 2760°; плотность 5,36. Распространён-
ность в земной коре 1 • 10~4%.
Олово Sn (Stannum). Порядковый номер 50,
атомный вес 118,7. Олово—металл, обладающий
несколькими аллотропическими модификация-
ми. Наиболее важны две из них: белое и серое
олово. Первая форма — белое олово — бле-
стящий белый металл, ковкий, который можно
прокатывать в тонкие листы; lnA = '232°,tKun =
= 2270°; плотность 7,28. Другая форма — се-
рое олово— устойчивая ниже 18°, представляет
собой хрупкий, серого цвета металл. Переход
белого олова в серое (ниже 18°)_ ускоряется
наличием зародышей серого олова; процесс
может быть вызван этими зародышами по-
добно инфекционным заболеваниям; такое за-
ражение получило название „оловянной чумы".
Олово — амфотерный металл; оно растворимо
с выделением водорода в соляной, серной
кислотах и растворах щелочей. Концентриро-
ванной азотной кислотой окисляется до дву-
окиси олова SnO2. Олово непосредственно
соединяется с галогенами, образуя, например,
SnCl4, с серой SnS2 и т. д.; с водородом олово
даёт соединение SnH4; с кислородом олово
непосредственно соединяется лишь при высо-
кой температуре, образуя амфотерные окислы:
SnO и SnO2, которым отвечают соли типа
SnCl2, SnCl4, станниты, например Na2SnO2, и
станнаты Na2SnO3. Для олова характерно обра-
зование сульфосолей, соответственно станни-
там— тиостанниты, например Na2SnS2, и стан-


ГЛ.III]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
353
Свойства некоторых соединений олова
Таблица 22
Название
Олово гидрат закиси . .
. гидрат окиси. . .
закись ......
„ окись ...
сернистое .....
двусернистое (су-
сальное золото) .
„ хлорное ......
Формула
Sn(OH),
Sn(OH),
SnO
SnO,
SnS
SnS2
SnCla • 2H3O
SnCl,
Молекуляр-
152,72
186,73
134,7
i5°-7
150,77
i82,8
225,64
260,54
Цвет; кри-
сталлическая
система
Бел, ам.
» »
Син.-чёон. I
Бел. 11, ИГ, IV
Бур. ам., сер. IV
Золот.-жёлт. III
Бесцв. V
Бесцв. жидк.
Плотность
—
—
6,3
6.75
5.27
4-51
2,70
2,28
Темпера-
тура
плавления
-
-
-
1127
88о
—
Безв. 241
-33
Темпе-
ратура
кипения
-
-
1230
—
Безв. 603
.9
натам — тиостаннаты Na2SnS3. Гидрат закиси
олова Sn (ОНK'и гидрат окиси олова Sn (OHL
или H2SnO3— амфотерные гидраты. Соедине-
ния закиси олова, например SnCl2, — сильные
восстановители. В природе олово встречается
в самородном виде, но главным образом в ви-
де касситерита SnO2 (оловянный камень) и др.
Распространённость в земной коре 6-10~~4%.
В технике олово применяется для лужения
пищевой и технической посуды, для изготовле-
ния фольги, а также в огромном количестве
вдет для изготовления бронз, баббитов, при-
поев и других сплавов специального назначе-
ния.
Свойства соединений олова см. в табл. 22.
Свинец Pb (Plumbum). Порядковый номер 82,
атомный вес 207,21. Свинец — тяжёлый сереб-
ристо-белый металл, очень мягкий и пластич-
ный; tnA = 327°, tKun = 1743,85°; плотность 11,34.
Свинец растворяется в азотной кислоте и при
нагревании в присутствии воздуха — в соляной
кислоте; растворение свинца в серной кислоте
затруднено образованием на его поверхности
нерастворимого сернокислого свинца PbSO4, что
По своим химическим свойствам свинец от-
носится к числу неблагородных металлов.
С водородом свинец даёт газообразное соеди-
нение РЬН4; с кислородом свинец даёт амфо-
терные окислы РЬО и РЬО2; окислы же РЬ._»О3
и РЬ3О4 должны рассматриваться как солеоб-
разные соединения РЬРЬО3 и РЬ2РЬО4. Во всех
соединениях свинец проявляет валентность 2
и 4. В амфотерном окисле РЬО преобладают ос-
новные свойства, а в окисле РЬО2 — кислотные
свойства.
В природе свинец встречается только в виде
соединений: PbS — галенит, свинцовый блеск,
РЬСО3 — церуссит, PbSO4—англезит и др.
Весьма часто встречается совместно с ZnS
в полиметаллических рудах. Распространён-
ность в земной коре 1,6-10~?%. Свинец яв-
ляется конечным (вероятно) продуктом радио-
активного распада элементов всех трёх радио-
активных рядов; соответственно этому разли-
чают урановый свинец, актиниевый свинец
и ториевый свинец. Соединения свинца,
как РЬО (глет), уксуснокислый свинец
РЬ (СН3СООJ — свинцовый сахар и др., находят
Свойства лекоторых соединений свинца
Таблица 23
\
1 Название
Свинец азид ..........
„ азотнокислый ....
1 » окись (глет) .....
окись -двуокись
(сурик) ......
двуокись .......
сернистый ......
„ сернокислый .....
» углекислый .....
» хлористый ......
, хромовокислый . . .
» углекислый осн.
(свинцовые белила)
Формула
Pb(N3)a
Pb(N03)a
РЬО
РЬ304
РЬО,
PbS
PbS04
PbCO,
PhCla
PbCrO,
PbCO:!-Pb(OHJ
Молекуляр-
ный вес
291,2
331,2
223,2
685,6
239,2
239-3
303-3
267,3
278,1
323,3
775,6
Цвет; кри-
сталлическая
система
Бесив, призм.
Бесцв. 1, V
Жёлт. IV,
краен. III
Кр. призм.
Бур. крист.
Чёрн. 1
Бел. IV. V
Бесцв. IV
„ IV
Жёлт. V
Бел. ам.
Плотность
„
4,5
Жёлт. 9-5,
краен, р 3
9,°7
9.5
7-1 - 7-5
6,о6
—
8.24
6,12
—
Темпера-
тура
плавления
Разлагается
То же
88о
—
—
то
~иоо
—
~ 840
844
—
Темпе-
ратура
кипения
147°
—
—
—
—
—
1285
—
—
позволяет использовать свинец в качестве
кислотоупорного материала в производстве
серной кислоты. На воздухе свинец окисляется
и покрывается слоем окисла, поэтому свежий
срез свинца быстро тускнеет на воздухе и
перестаёт иметь металлический блеск. При
нагревании в токе воздуха свинец окисляется
в глет РЬО, который при дальнейшем про-
каливании переходит в РЬ3О4 (сурик). С
серой свинец непосредственно соединяется
при нагревании; галоиды также соединяются
со свинцом.
широкое применение. Свинец широко исполь-
зуется в качестве кислотоупорного металла,
для изготовления травильных ванн, сернокис-
лотных камер, кабельных оболочек и для при-
готовления важных сплавов (бабблты, гарты,
припои, свинцовлстые антифрикционные и
литейные бронзы, латуни и др.). Соединения
свинца весьма ядовиты.
Металлический свинец и двуокись свинца
РЬО2 используются при изготовлении аккуиу-
ляторов. Свойства соединений свинца см.
в табл. 23.
23. Том I кн. 1


354
ХИМИЯ
[РАЗД. I
Четвёртая группа элементов
Подгруппа титана
Титан Ti (Titanium). Порядковый номер 22,
атомный вес 47,90. Аморфный титан является
серым порошком; в чистом виде кристал-
лический титан ещё не получен. Темпера-
тура плавления титана очень высока: *ПЛ= 1813°,
tKUn = 5lQO°; плотность 4,5. Титан на воздухе
при низкой температуре довольно устой-
чив. При повышенной температуре F00°) со-
единяется с кислородом с образованием дву-
окиси ТЮ2, являющейся амфотерным, но с пре-
обладанием кислотных свойств окислом. Титан
Свойства некоторых соединений титана
чёрный порошок. Кристаллический цирконий—
серебристо-белый; /ял=1700°, #„.„„=5050°; плот-
ность 6,4. В кислотах, кроме фтористоводород-
ной, не растворяется, энергично взаимодействует
с царской водкой. С кислородом аморфный цир-
коний начинает взаимодействовать с образова-
нием двуокиси ZrO2 лишь при красном калении,
в то время как для кристаллического циркония
эта реакция начинается при температуре белого
каления. Хлор, хлористый водород химически
реагирует с цирконием при температуре крас-
ного каления с образованием ZrCl^ Распла-
вленная щёлочь (КОН) взаимодействует с цир-
конием, выделяя водород.
Таблица 24
Название
Титан азотистый. ....
гидроокись ....
„ двуокись .....
„ четыреххлори-
стый ........
Формула
TiN
Н2ТЮ3
ТЮ,
TiCl4
Молеку-
лярный вес
6a,ii
98,12
79,9
189,94
Цвет; кристаллическая
система
Бронз, крист.
Бел. ам. или кр.
Бел. II, .111, IV
Бесцв. жидк.
Плотность
5,29
—
Рутил 4,s6,
анатаз з>84
1,76
1
Темпера-
тура пла-
вления
2930
—
1560
——23
Темпера-
тура кипе-
ния
_
—
—
13б,5
непосредственно соединяется с фтором, хло-
ром (t = 325°), бромом (t = 360°), образуя со-
единения типа Т1С14. При высокой температуре
(800°) титан особенно легко соединяется с азо-
том и углеродом, причём возникают прочные
соединения. Доказано, что продукт, получаю-
щийся в доменной печи при обработке тита-
новых руд, кристаллизующийся в виде очень
твёрдых кубов, считавшийся раньше металли-
ческим титаном, содержит углерод и азот.
В своих соединениях титан чаще всего бывает
четырёхвалентным; однако известны соеди-
нения: ТЮ, TiS, TiCl2,—в которых титан двух-
валентен, и Т12О3, Ti2S3, TiCl3, TiN, где он
трёхвалентен. В природе титан встречается
в соединениях того же типа, как и соответ-
ствующие кремневые соединения, особенно
часто в виде двуокиси титана ТЮ2 — рутил,
анатаз, брукит. Распространённость титана в
земной коре 0,61%. В настоящее время
в электрических печах производится выплавка
сплава железо-титан (ферротитан), применяе-
мого в качестве присадки при выплавке спе-
циальных сортов сталей. В табл. 24 приведены
свойства некоторых соединений титана.
Цирконий Zr (Zirconium). Порядковый но-
мер 40, атомный вес 91,22. Аморфный цирконий—
ZrO2 — амфотерный окисел, трудно раствори-
мый в кислотах за исключением фтористово-
дородной. Расплавленные щёлочи взаимодей-
ствуют с двуокисью циркония, образуя, на-
пример, K2ZrO3. В своих соединениях цирконий
четырёхвалентен, кроме того, он даёт соеди-
нения, в которых проявляет валентность, рав-
ную трём, — Zr2O3. В природе цирконий встре-
чается в минерале цирконе ZrSiO4 и др. Рас-
пространённость в земной коре 0,025%. Чистый
цирконий не находит в практике применения
в настоящее время; его сплав с железом (ферро-
циркон) используется в качестве присадки при
выплавке специальных сортов сталей. Двуокись
циркония ZrO2 используется для приготовления
тугоплавких тиглей. Свойства некоторых со-
единений циркония приведены в табл. 25.
Гафний Ш (Hafnium). Порядковый номер 72,
атомный вес 178,6. По своим химическим и
физическим свойствам весьма напоминает цир-
коний; (пл = 1700°; tKun = 5400°, плотность 11,4.
Распространённость в земной коре 0,0004о/0,
Торий Th (Thorium). Порядковый номер 90,
атомный вес 232,12. Торий является металлом;
tnjl — 1845°, tKUn > 5200°; плотность 11,5. Торий
является радиоактивным элементом с периодом
полураспада 1,6-1010 лет. В своих соединениях,
Свойства некоторых соединений циркония
Таблица 25
Название
Цирконий гидроокись .
. двуокись . .
кремнекис-
лый (циркон) .
„ хлористый . .
Формула
Zr (OHL
ZrOa
ZrS;O4
ZrQ4
Молеку-
лярный вес
159,23
123B
183,26
233,04
Цвет; кристаллическая
система
Бел. ам.
» V
Бесцв. II
Бел. крист.
Плотность
_
5,75
4,56
2,80
Темпера-
тура пла-
_
1709 (i860)
—
—
Темпера-
тура кипе-
_
—
_
—
Свойства некоторых соединений тория
Таблица 2Ь
Название
Торий азотнокислый ....
„ гидроокись ......
„ окись .........
Формула
Th (K03L • 4НаО
Th (ОНL
ThOa
Молеку-
лярный вес
552,2
300,13
264,1
Цвет; кристалличе-
ская система
Бесцв.
Бел. ам.
Бел. ам. или II
Плот-
ность
—
9,87
Темпера-
тура пла-
вления
Разл.
—
3°5о
Темпера-
тура кипе-
ния
_
—
"


ГЛ. III]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
355
ThO2,торий является металлическим элементом,
проявляя валентность, равную четырём. Распро-
странённость тория в земной коре равна 0,001°/о.
Практическое значение имеет азотнокислый то-
рий Th (NOs)j, который вместе с азотнокислым
церием идёт на изготовление газокалильных
сеток, состоящих из ThO2 и СеО?. В табл. 26
приведены свойства соединений топия.
Пятая группа элементов
Подгруппа азота
Азот N (Nitrogenium). Порядковый номер 7,
атомный вес 14.GC8. При обычной темпера-
туре азот бесцветный и без запаха двухатом-
ный газ N2, сгущающийся в жидкость с гкип =
= — 1?б° и t3ame — — 210°. В химическом отно-
шении азот является типичным металлоидом и
притом при обычной температуре весьма
мало химически активным. При повышенной
температуре азот соединяется с металлами,
например магнием Mg, кальцием Са, литием
Li и др., с образованием нитридов: Mg3N2,
Ca3N2, Li3N и т. д. При повышенной темпера-
туре и повышенном давлении в присутствии
катализаторов азот соединяется с водородом,
образуя аммиак N2 -f 3H2 5=± 2NH3. При очень
высокой температуре (^2000°) или в элек-
трическом разряде азот соединяется с кислоро-
дом N2+ O2^±2NO. В природе азот встре-
чается в связанном виде, например NaNO3— чи-
лийская селитра, или в сочетании с углеро-
дом, водородом, фосфором, серой входит в
состав сложных органических соединений —
белков. Главным же образом азот в природе
находится в свободном виде в воздухе.
Состав сухого воздуха (без углекислоты)
n rtfii-c»iuui.lv О/
в объёмных
N2 — 78,111
02 - 20,955
Аг — о.рзз
Ne — 0,0015
Не — 0,0005
На — o,oooi
Кг — 0,000005
Хе — о,ооооооб
Распространённость азота в земной коре
0,04 °/0. С водородом азот даёт следующие
соединения: N3H — азотистоводородная кисло-
та,—кислота средней силы, очень нестойкая,
она сама и её соли весьма взрывчаты; NH3 —
аммиак; NoH4— гидразин; NH2OH— гидро-
ксиламин. Все эти три водородистых соеди-
нения содержат трёхвалентный атом азота,
способный проявлять добавочную валентность,
обусловливая образование множества ком-
плексных соединений, например, с водой: NH3-|-
-\- HLO т""*" МН4ПН—гидрат окиси аммония,
слабое основание: N2H4 -(- Н2О = N2H5OH —ги-
драт гидразина: NH2OH+ Н2О = МН3ОНОН —
гидрат гидроксиламина; с галоидоводородными
кислотами: NH3 + HC1 = NH4C1 — хлористый
аммоний; N2H4 -+- НС1 = N2H5C1 — хлористый
гидразин. Группа атомов NH4 в соединениях
типа NH4C1 (нашатырь) играет роль однова-
лентного атома металла и носит название
аммоний. С кислородом азот образует сле-
дующие соединения: N2O — закись азота
(„веселящий газ"); NO — окись азота — без-
различный окисел, бесцветный газ, облада-
ющий способностью присоединять к себе ато-
мы кислорода 2NO + О2 = 2NO2, галоидов
2NO + С12 = 2NOC1 (хлористый нитрозил);
N2O3 — азотистый ангидрид, синяя жидкость,
кислотный окисел, ангидрид азотистой кисло-
ты N2O3-f- H2O = 2HNO2—слабой кислоты, из-
вестной лишь в виде разбавленных водных
растворов, обладающей восстановительными
(например, по отношению к КМпО4) и окисли-
тельными (например, по отношению к HJ) свой-
ствами; соли азотистой кислоты называются нит-
ритами: N2O5 — азотный ангидрид — твёрдое
кристаллическое вещество, кислотный окисел,
ангидрид азотной кислоты N2O5 + Н2О —
= 2HNO3 — сильной кислоты, известной в чи-
стом виде, являющейся сильным окислителем;;
соли азотной кислоты называются нитра-
Свойства некоторых соединений азота
Таблица 27
Название
Азотистоводородная
кислота ...........
Азота закись ......
окись .......
двуокись .....
четырёхокись . .
„ трёхокись ....
„ пятиокись ....
Азотная кислота. ....
Гидразин .........
Гидроксиламин соляно-
Аммоний азотнокислый.
, молибденово-
кислый .....
„ роданистый . . .
„ сернокислый . .
„ надсернокислый
, углекисло-
„ фосфорно-
кислый (перв.) .
фосфорно-
кислый (втор.).
хлористый
(нашатырь) . . .
„ хромовокислый
„ двухромово-
Формула
N3H
N,0
NO
NO,
N804
N203
N2O5
HN03
N2H4
NHaOH
NH3OHCI
NH4N03
3(NH4)aMoO4 • 4H2MoO4
NH4CNS
(NH4K SO,
(NH4)a S.03
NH4HCO3
NH4H2PO4
(NH4K HPO4
NH4C1
(NH4JCrO4
(NH4K Cr2O7 ,
Моле-
куляр-
ный вес
43,03
44,02
3o,oi
46,01
92,02
76,02
I08,02
63,02
32,05
33,03
69,50
80,05
1236
76,12
132,15
228,23
79,06
115,10
132,13
53,50
152,1
252,1
Цвет; кристалличе-
ская система
Бесцв. жидк.
Бесцв. газ
» ч
Бур. газ
Бесцв. жидк.
Син. жидк.
Бесцв. IV
Бесцв. жидк.
и и
Бесцв. крист
Бесцв. V
Бесцв. IV, Ша, I
V
V
IV
V
•„ iv, v
п
V
1
Жёлт. V
Жёлт.-кр. V
Плотность
—
ЖИДК. 1,22б
1.2?
—
(о°) 1,48
1,45
1,63
1,53
1,011
1,204
1,6?
1.73
_
1,31
1,77
1,59
1,79
1,62
1,53
1.9
2,15
Темпе-
ратура
плавле-
ния
—40
—9о,7
— 1бз,7
— ю
— IO2
Зо
—41,3
+ 1,4
33,05
151
165
—
149
513
—
—
—
—
Темпера-
тура кипе-
ния
+37
-88,7
—151,8
—
21,2
—
45-50
86
,5
Fо мм то0 )
—
—
_
—
_
—
—
Возг. 335
—
~


356
химия
[РАЗД.
тами; NO2 — двуокись азота, бурый газ, поли-
меризующийся при понижении температу-
ры, 2NO25^N2O4, в бесцветную жидкость
состава N2O4, являющуюся смешанным анги-
дридом азотистой и азотной кислот N2O4 +
_f_ Н2О = HNO2 -f HNOo. С галоидами азот
образует взрывчатые соединения: NC13, NBr3,
NJ3. Азотная кислота и её соли имеют огром-
ное значение в химической промышленности,
при изготовлении взрывчатых веществ, кра-
сителей; в сельском хозяйстве соли азотной
кислоты NaNO3, NH4NO3, KNO3 используются
в качестве азотистых удобрений. Аммиак
(NH3), азотная кислота (НМО3) и её соли
являются важнейшими продуктами тяжёлой
химической промышленности. Свойства неко-
торых соединений азота приведены в табл. 2/.
Фосфор Р (Phosphorus). Порядковый но-
мер 15, атомный вес 30,98. Фосфор при обычной
температуре — твёрдое вещество, обладающее
несколькими аллотропическими формами. Жёл-
тый фосфор — хрупкое полупрозрачное веще-
ство;^—44°, *кнл=2800, плотность 1,82. При
нагревании (под действием света, электриче-
ского разряда, в присутствии иода) жёлтый фос-
фор превращается в красный фосфор, отличаю-
щийся от жёлтого большей плотностью и нера-
створимостью в сероуглероде, значительно мень-
шей химической активностью и не такой силь-
ной токсичностью @,1 г жёлтого фосфора вызы-
вает у человека смертельное отравление).
При нагревании жёлтого фосфора под давле-
нием в атмосфере азота образуется „металли-
ческий фосфор". В газообразном состоянии
Свойства некоторых соединений фосфора
фосфор образует окислы: Р2О3 (Р4О6), анги-
дрид фосфористой кислоты Н3РО3 — слабой
кислоты; двуокись фосфора РО2 (Р2О4); фос-
форный ангидрид Р2О5 (Р4О10)— необычайно
гигроскопичное вещество, поглощающее вла-
гу с образованием фосфорных кислот: НРО3 —
метафосфорная, НаРО4 — ортофосфорная и
Н4Р2О7 — пирофосфорная кислоты. С галоида-
ми фосфор образует соединения типа РС13,
РС!5 и РОС13, являющиеся галоидангидридами
фосфористой (Н;!РО3) и фосфорной (Н3РО4)
кислот. Фосфор непосредственно соединяется
с серой, образуя жидкие соединения, самовоз-
горающиеся на воздухе. С металлами фосфор
образует соединения, называющиеся фосфида-
ми, например Mg3P2. В природе фосфор встре-
чается в виде солей фосфорной кислоты:
апатит ЗСа3 (PO4JCaF2, фосфорит Са3 (РО4J
и др. Фосфор как элемент входит в состав бел-
ков. Распространённость фосфора в земной
коре 0,12%. Фосфор часто имеется в железных
рудах, благодаря чему попадает в чугун,
обусловливая его хладноломкость. Значи-
тельное количество фосфора в чугуне позво-
ляет вести томасовский способ получения
стали. Фосфор иногда вводится в специаль-
ные сплавы (фосфористые бронзы). Кислые
соли фосфорной кислоты широко приме-
няются в качестве удобрений: суперфосфат
ЗСа(Н2РО4J • 7CaSO4.
Средние соли в виде фосфоритной муки
Са3(РО4J являются удобрениями для кислых
почв. В табл. 28 приведены свойства неко-
торых соединений фосфора.
Таблица 28
- '
Название
Кислота фосфористая ....
" метафосфорная . .
пирофосфорная . .
„ ортофосфорная . .
Фосфор трёххлористый . .
пятихлористый . .
„ водородистый (фос-
фин) .........
Формула
НЗРО,
НР03
Н,Ра07
Н3Р04
РС1,
РС15
РН3
Моле-
кулярный
вес
8s,o6
8о,о5
178,11
98,об
137,42
2о8,34
34,об
Цвет; кристалличе-
ская система
Бесцв. крист.
" аморф.
Бесцв. стеклооб-
разная или крист.
Бел.илибесцв. IV
Бесцв. жидк.
Желтое. II
Бесцв. газ
Плот-
мость
1,65
—
1,88
i,57
Жид-
кость
о,74
Темпера-
тура пла-
вления
73,6
—
6i (крист.)
Бел. 41,75°,
бесцв. ~37
— 92
хбз (давл.)
— 133
Темпера-
тура кипе-
ния
_
—
—
—
+ 76,6
140 (возг.)
-87,4
ниже 1000° молекулы фосфора четырёхатомны,
г, е. отвечают формуле Р4. Выше 1500° зна-
чительная часть молекул Р4 диссоциирует с
образованием Р2.
В химическом отношении фосфор является
металлоидом. Жёлтый фосфор необычайно
химически активен, самовозгорается на воз-
духе (жёлтый фосфор хранят обычно под во-
дой) 4Р ч- 5О2 = 2Р„О5, непосредственно со-
единяется с галоидами (даже при низкой тем-
пературе) 2Р-f ЗС12 = 2РС13, с металлами
и т. д.С водородом фосфор образует несколько
соединений: газообразный фосфористый водо-
род PHS, жидкий фосфористый водород Р2Н4
и твёрдый фосфористый водород Р4Н2. По-
следние два соединения самовозгораются на
воздухе. РН3, называющийся также фосфлном,
является весьма ядовитым. Фосфин образует
соединения типа РН4С1 (хлористый фосфоний),
не являющиеся электролитами; с кислородом
Мышьяк As (Arsenicum). Порядковый но-
мер 33, атомный вес 74,91. Мышьяк предста-
вляет собой кристаллическое вещество, обла-
дающее тусклым металлическим блеском и
значительной электропроводностью. При на-
гревании возгоняется, образуя пары с четырёх-
атомными молекулами As4. Под давлением 36 am
он плавится при * = 814°, ^eov = 614°. Плотность
мышьяка 5,73. При быстрой конденсации паров
мышьяка образуется неметаллическая форма
жёлтого цвета. Известны и другие аллотропиче-
ские формы мышьяка — бурый и серый мышьяк.
По химическим свойствам мышьяк является
металлоидом; при обыкновенной температуре
не изменяется на воздухе, но при нагревании
окисляется в трёхокись А?2О3. Мышьяк не-
посредственно соединяется с галоидами, обра-
зуя, например, AsCl3. При действии на мышьяк
или его соединения водородом в момент вы-
деления получается арсин — мышьяковистый


ГЛ. III]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
357
Свойства некоторых соединений мышьяка
Таблица 29
Название
Мышьяк двусернистый (ре-
альгар). . ..........
Мышьяк трёхсернистый
(аурипигмент). .......
Мышьяк пятисернистый . ,
Ортомышьяковая кислота .
Мегамышьяковая кислота .
Мышьяковистый водород
(арсин) ............
Мышьяковистый ангидрид .
Мышьяковый ангидрид . . .
Формула
As2S.,
As2S3
As2S,
HjAsO, • '/aHjO
HAsO3
AsH,
AsaO3
As2O5
Моле-
куляр-
ный вес
214,06
246,13
310,27
I51,0
123,97
77,98
197,92
229,92
Цчет; кристалли-
ческая система
Кр. V
Жёлт. V
Жёлт.
Бесцв. крист.
Бел. крист.
Бесцв. газ
Бел. I, IV
Бел. ам.
Плот-
ность
3,51
34б
—
—
—
—
1-3.86;
IV— 4.0
4,09
Темпера-
тура пла-
вления
320
ЗЮ
—
—
—
— 114
—
Темпера-
тура кипе-
ния
5бз
7°7
—
—
-55
водород AsH3. При сплавлении с металлами
мышьяк образует арсениды, например MggAso.
С кислородом мышьяк даёт кислотные окислы:
As2O3 и AsyOg, которым соответствуют слабые
кислоты H3AsO3—мышьяковистая и H3AsO4—
мышьяковая кислота. Первая из них является
сильным восстановителем и как таковая исполь-
зуется в химическом анализе. Соединения
мышьяка весьма ядовиты. В природе мышьяк
встречается в минералах: реальгар As2S2 и
аурипигмент As2S3; в соединениях с металлами;
FeAs2, Fe2As3, Ni2As2, CoAs2, FeSAs, CoSAs,
Ag2AsS3 и др. Распространённость мышьяка в
земной коре 5-10—4%. Поскольку мышьяк
встречается почти во всех металлических ру-
дах, он всегда, хотя бы и в очень малых коли-
чествах, присутствует в металлах, часто резко
влияя на физические свойства последнего, на-
пример 0,001% As в меди заметно снижает
её электропроводность. Мышьяк применяется
для изготовления баббитов, топочной меди,
мышьяковистых бронз и в дробелитейном про-
изводстве. Свойства некоторых соединений
мышьяка приведены в табл. 29.
Сурьма Sb (Stibium). Порядковый номер 51,
атомный вес 121,76. Грубокристаллический
хрупкий металл с сильным блеском; 1пл = 630°,
гкич = 1440°; плотность 6,62. Известны аллотро-
пические формы: жёлтая неметаллическая сурь-
ма и взрывчатая сурьма (получается при элек-
тролитическом осаждении сурьмы из растворов
галоидных солей, например SbCl3) в виде се-
рого металлического порошка, взрывающаяся
с огромной силой при небольшом нагревании.
Металлическая сурьма не изменяется на воз-
духе, но при нагревании окисляется в четырёх-
окись Sb2O4; непосредственно взаимодействует
с галоидами, например с хлором, образуя
SbCl3; при нагревании соединяется с фосфором
и серой. С водородом сурьма образует соеди-
нение стибин SbH3 — сурьмянистый водород,
являющийся весьма ядовитым; с кислородом
сурьма соединяется, давая амфотерные окислы
Sb2O3, Sb2C>4 и кислотный окисел Sb2O5,
которым соответствуют амфотерные гидраты
H3SbO3, H4Sb2O5 и кислоты: метасурьмяная
HSbO3, пиросурьмяная H4Sb3O7-2H2O и орто-
сурьмяная H3SbO4, и соответствующие соли.
В природе сурьма встречается в самородном
виде, но главным образом в виде соединений
с серой: стибнит — сурьмяный блеск Sb2S3 и
ряд других соединений. Распространённость в
земной коре 5-10—5о/0. Сурьма применяется
главным образом для приготовления сплавов:
типографский сплав (содержит 13 — 30% Sb),
британский металл E—10% Sb); баббиты (со-
держат около Юо/о Sb) и ряд других. В табл. 30
приведены свойства соединений сурьмы.
Висмут Bi (Bismutum). Порядковый но-
мер 83, атомный вес 209,00. Висмут — тяжёлый
хрупкий металл; /Лл = 27Г, tKun — 1450°; плот-
ность 9,8.
По химическим свойствам висмут является
металлом. При нагревании на воздухе окис-
ляется до окиси Bi2O3; соляная кислота почти
не действует на металл, но он легко раство-
ряется в азотной кислоте. Висмут непосред-
ственно соединяется с галоидами, например
Свойства некоторых соединений сурьмы
Таблица 30
——————————————————————————
Название
Сурьма виниокаменная (рвот-
ный камень) .........
Сурьмянистый ангидрид . .
Сурьма окись .......
пятиокись .....
трёхсернистая . . .
пятисернистая . . .
трёххлористая . . .
пятихлористая . . .
хлорокись .....
Сурьмянистый водород, стн-
бин ........ ....
Формула
8ЬО(С4Н,ОД) • VjHjO
Sb,,O3
SbaO,
Sb.,O-
Sb^Sj
Sb2S5
SbCl,
SbCl5
SbOC!
SbHs
Моле-
куляр-
ный вес
333-8
291,6
307,6
323>6
339-8
404,0
228,2
299,1
J73.3
124,8
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцв. IV
Бел. I и IV
Бел.
Бел. -жёлт.
Ор. или кр. ам.,
чёрн. IV
Орапж. ам.
Бесцв. IV
Бесцв. жндк.
Бел. Ilia или V
Бесцв. газооб.
Плот-
ность
2,6о
5,зо;
5.6?
7.5
5-2
4,65
З.об
2-33
(жидк.)
2,26
Темпера-
тура плав-
ления
—
656
—
—
548
—
73-2
4.о
—
—
Темпера-
тура кипе-
ния
—
—
—
—
—
—
2IQ
IO2
_
~ J7


358
химия
[РАЗД. I
Свойства некоторых соединений висмута
Таблица 3J
Название
Висмут основной азотно-
кислый ....
Висмут гидроокись .....
,, окись ........
„ сернистый .....
хлорокись .....
Формула
BiO(NO.) H.O
Bi(OHK "
Bi2O3
Bi S?
BiOCI
Моле-
куляр-
ный вес
305,02
2OO,O2
466,0
514,31
260,46
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцв. крист.
Бел. ам.,
желт, или
бур. I, IV
Чёрн. ам. IV
Бесцв. II
Плот-
ность
—
9
7.390V)
7-72
Темпера-
тура пла-
вления
• —
86о
—
~
Темпера-
тура кипе-
ния
—
—
—
""
хлором. Водород в момент выделения, воз-
действуя на висмут, вызывает образование
незначительных количеств водородистого вис-
мута BiH3. С серой висмут соединяется не-
посредственно, образуя Bi2S3. Известны сле-
дующие окислы основного характера BiO,
Bi2O3, которым соответствуют соли типа BiCl2,
В1С13и гидраты—основания Bi(OHJ и Bi(OHK,
и окислы BiO2, BiO3, Bi3Oi5; последний окисел
обладает кислотными свойствами. В природе
висмут встречается самородным и в виде
соединений, например, с серой Bi2 S3— висму-
товый блеск. Распространённость в земной ко-
ре 1 • 10—5 од,. Металлический висмут применяет-
ся для изготовления легкоплавких сплавов
Розе, Вуда и др. В табл. 31 приведены свой-
ства некоторых соединений висмута.
Пятая группа элементов
Подгруппа ванадия
Ванадий V (Vanadium). Порядковый но»
мер 23, атомный вес 50,95. Ванадий — серебри-
сто-белый металл, более твёрдый, чем кварц;
tnA = 1710", tKun = ~ 3000°; плотность 5,63.
На воздухе при обычной температуре не изме-
Свойства некоторых соединений ванадия
Первые два являются основными окис-
лами: VO2— амфотерным и V2O5—кислотным.
Последнему соответствуют гидраты — вана-
диевые кислоты: метаванадиевая HVO3, орто-
ванадиевая H3VO4 и др., не выделенные
в чистом виде; известны, однако, их соли,
например NaVO3 и Na3VO4.
В природе ванадий встречается только
в виде соединений. Распространённость в зем-
ной коре 0,02%. В чистом виде ванадий по-
лучается восстановлением двуххлористого
ванадия чистым сухим водородом: VC12 -f
-{-Н2 = V-f-2HC1, или восстановлением окиси
ванадия алюминием: V2O3 + 2А1 = 2V -+- А12О3.
В промышленном масштабе получается обычно
сплав ванадия с железом под названием фер-
рованадия. Последний используется при полу-
чении специальных сортов сталей. Свойства
соединений ванадия см. в табл. 32.
Ниобий Nb (Niobium); Колумбии Cb (Colum-
bium). Порядковый номер 41, атомный вес 92,91.
Нлобий — металл средней твёрдости, се-
рого цвета, на полированных поверхностях
белый и блестящий; tnjl = 1950°, tKUn ~ 3700°;
плотность 8,57. Ниобий устойчив на воздухе;
даже в виде опилок при накаливании не вполне
окисляется. В струе хлора энергично сгорает.
Таблица 32
Название
Ванадий трёхокигь ......
„ пятиокись .....
„ трё'ххлористып . . .
Формула
V,03
V2CK
VClj
Молеку-
лярный
вес
150,0
i8a,o
157,38
Цвет; кристалли-
ческая система
Чёрн. крист.
Жёлт. IV
Светлокр. ьрист.
Плотность
4,8?
3.32
3,оо
Темпера-
тура пла-
вления
19?о
658
Темпера-
тура
кипения
—
няется; в виде порошка сгорает в кислороде
ярким пламенем. В соляной и серной кисло-
тах не растворяется, растворим во фтористо-
водородной и азотной кислотах и вообще
в кислотах в присутствии сильных окислите-
Свойства некоторых соединений ниобия
С серой ниобий при нагревании соединяется
непосредственно. С железом ниобий даёт
твёрдые растворы. В кислотах и растворах
щелочей ниобий нерастворим, но растворяется
в плавиковой клслоте и расплавленных щелочах
Таблица 33
Название
„ окись ........
Формула
Nb(OHK
Nb2O5
Молеку-
лярный
вес
178,5
2б7
Цвет; кристалли-
ческая система
Бел. ам.
IV
Плотность
_
4,47
Темпера-
тура пла-
вления
-
—
Темпера-
тура
кипения
—
—
лей; растворим в расплавленных едких ще-
лочах. С галоидами ванадий непосредственно
соединяется, образуя, например с хлором,
соединения: VC12, VC!3, VC14. С кислородом
ванадий даёт окислы: VO, V2O3, VO2, V2Ou.
при красном калении с образованием NbCl5.
В соединениях ниобий чаще всего пятивален-
тен, и его окись Nb2O5 является кислотным
окислом. Известны соединения четырёхвалент-
ного ниобия (NbO2) и трёхвалентного ниобия


ГЛ. III]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
359
(NbCl3). В природе ниобий встречается только
в виде соединений, например в минерале колум-
бите Fe(NbO3J. Распространённость в земной
_ с
коре 3,2 • 10 о/0. Получается ниобий восста-
новлением металлическим натрием фторонио-
батов натрия (калия). Сплав ниобия с желе-
зом — феррониобий — используется в произ-
водстве качественных сталей. Свойства неко-
торых соединений ниобия см. в табл. 33.
Тантал Та (Tantalum). Порядковый но-
мер 73, атомный вес 180,83. Тантал—тяжёлый,
серого цвета, блестящий, твёрдый, но ковкий
металл; г„„ — 2850°, tvnn = 6033°; плотность 16,6.
' ИЛ rilift '
Кроме плавиковой кислоты, на металлический
тантал не действуют ни кислоты, ни растворы
пературе кипения). Известна аллотропическая
форма газообразного кислорода — озон О3 —
бесцветный газ со своеобразным запахом.
По химическим свойствам кислород отно-
сится к металлоидам, он непосредственно со-
единяется со всеми элементами, кроме гало-
идов и инертных газов. Химическая активность
кислорода сильно повышается с увеличением
температуры. В природе кислород встречается
в свободном виде — в воздухе, где его содер-
жится 20,955 объёмных процента (воздух су-
хой и без углекислоты), и в связанном виде,
т. е. в виде многочисленных соединений с раз-
личными элементами. Распространённость
кислорода в земной коре (включая воздух)
49,13%. В промышленном масштабе добывание
Свойства некоторых соединений тантала
1 — ' ' ————————————————
Название
Тантал гидроокись .......
, окись ........
„ фтористый дв. соль .
,
Формула
Та(ОНK
Та3О,
KaTaF7
Молеку-
лярный
вес
266,54
392,7
Цвет; кристалли-
ческая система
Бел, ам.
„ IV
Бесцв. IV
Плотность
_
8,70
—
Темпера-
тура пла-
вления
_
—
—
Темпера-
тура
кипения
_
—
—
щелочей. При обыкновенной температуре
и слабом накаливании на воздухе тантал не
изменяется (покрывается лишь черно-синей
побежалостью); накалённый в мелкораздро-
бленном виде сгорает с ярким светом. Хлор
соединяется с танталом при нагревании,
а фтор — при обыкновенной температуре. При
нагревании тантал соединяется с серой. Тан-
тал поглощает водород, а при высокой тем-
пературе азот и делается очень хрупким.
Превосходные механические свойства тан-
тала, наряду с его химической стойкостью,
обусловили применение тантала для пригото-
вления хирургических и зубоврачебных инстру-
ментов. В большинстве своих соединений
тантал пятивалентен: его окисел Та2О5 — ки-
слотный окисел, ему соответствует танталовая
кислота Н3ТаО4 с неопределённым количеством
воды. Известны соли — танталаты типа Na3TaC>4
и др. Тантал даёт соединения, в которых он
четырёх-, трёх- и двухвалентен (ТаС^, ТаС13,
ТаС12). В природе тантал встречается толь-
ко в виде соединений, например танталит
Fe(TaO3J. Распространённость в земной коре
2,4 • 10 %. Тантал широко применяется
в различных электрических вакуумных при-
борах. Получается тантал восстановлением
металлическим натрием фторотанталатов калия.
Свойства соединений тантала см. в табл. 34.
Протактиний Pa (Protactinium). Порядковый
номер 91, атомный вес B31). Радиоактивный
элемент с периодом полураспада 20000 лет.
По химическим свойствам очень близок к тан-
талу, его следы выделены вместе с танталом
из смоляной обманки.
Шестая группа элементов
Подгруппа серы
Кислород О (Oxygenium). Порядковый
номер 8, атомный вес 16,030. Кислород — бес-
цветный двухатомный газ без запаха и вкуса;
tnA =—219°, гкип — —183°. Жидкий кислород
светлосинего цвета; плотность 1,13 (при тем-
кислорода осуществляется фракционированной
перегонкой жидкого воздуха. Как жидкий,
так и сжатый до высоких давлений газообраз-
ный кислород в соприкосновении с органиче-
скими веществами (например смазочными
маслами) вызывает сильный взрыв. Жидкий
и сжатый до высокого давления B00 am)
кислород находит широкое применение в тех-
нике.
Сера S (Sulfur). Порядковый номер 16.
атомный вес 32,06. Сера была известна ещё
в древности. Сера существует в нескольких
аллотропических формах. При обыкновенной
температуре устойчивой является ромбическая
сера жёлтого цвета, с плотностью 2,07. Быстро
нагретая ромбическая сера плавится при 112,8°,
образуя жёлтую легкоподвижную жидкость.
При медленном нагревании ромбическая сера
выше 96,5° переходит в другую аллотропиче-
скую модификацию — моноклинную серу с
плотностью 1,96 и tnjl=H9°. Расплавленная
сера выше 160° становится коричневой и при
дальнейшем повышении температуры гу-
стеет; при 200° она имеет тёмнокоричневый
цвет и вязка, как смола; выше 250° вязкость
начинает убывать и при 400° сера становится
легкоподвижной жидкостью, а при 444,5° кипит.
При выливании сильно нагретой серы тонкой
струёй в холодную воду образуется пластиче-
ская аморфная сера. Своеобразные изменения
в жидкой сере обязаны превращению восьми-
атомной серы S8 (молекулы в виде восьмичлен-
ных колец) в шестиатомную S6 (молекулы
в виде неправильных цепочек). Кроме указан-
ных двух аллотропических форм, известны
также ещё две — перламутровая и пластинчатая.
В газообразном состоянии при температуре
кипения сера восьмиатомна S8, и при повыше-
нии температуры происходит превращение в S6.
При 1000° пары серы двухатомны S2, а при
2000° половина всего числа молекул серы
диссоциирована на атомы.
Сера по химическим свойствам является
типичным металлоидом. При обыкновенной
температуре сера химически мало активна;


360
химия
(РАЗД. I
Свойства некоторых соединений серы
Таблица 35
Название
Сера двуокись .........
. трёхокись .........
„ хлористая .........
Кислота серная .........
надсерная . . ....
„ Каро . ........
Хлористый сульфурил ....
Хлорсульфоновая кислота . .
Сернистый водород .......
Формула
SOa
S03
S2C13
H2SO4
H2S207
H2S2O8
H2S05
SO2C1,
S02C1OH
H2S
Молеку-
лярный
вес
64,07
8o,o7
I35,o6
98.09
178,16
194Д2
114,09
134.99
116,54
34.09
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцв. газ
Бесцв. триморф.
Тёмножёлт. жидк.
Бесцв. III
» крист.
—
—
Бесцв. жидк.
„
Бесцв. газ
Плотность
Жидк. 1,46
1,92
1,68
Жидк. i,8s
—
—
—
1.67
!>79
Жидк. 0,96
Темпера-
тура пла-
вления
-72,7
(а) + 16,8
-8о
ю,49
35
—
45
—54.1
—
-83
Темпера-
тура
кипения
— 10 О
44,6
138
333
—
—
—
69,i
—156
— 6о,а
наоборот, при повышенной температуре её
активность велика, и сера непосредственно со-
единяется с большинством металлов, например:
Fe -4- S = FeS; часто эта реакция сопрово-
ждается пламенем. Сера непосредственно со-
единяется с фтором, образуя SF6, с хлором,
образуя S2C12, SC12; при обыкновенной темпе-
ратуре соединяется с фосфором, образуя ряд
соединений, самовозгорающихся на воздухе.
Жидкая сера соединяется с водородом, образуя
сероводород H2S; в водном растворе послед-
ний является слабой кислотой. На воздухе
сера горит, образуя сернистый газ SO2, являю-
щийся ангидридом сернистой кислоты H2SO3 —
слабой кислоты, известной только в водном
растворе. Соли этой кислоты — сульфиты —
широко используются в технике. С кислородом
сера, кроме того, образует окислы SO, S2O3,
SO3, S2O7.
Трёхокись серы — серный ангидрид SO3 —
является ангидридом серной кислоты H2SO4,
сильной кислоты, известной в чистом виде
и являющейся тяжёлой маслянистой жид-
костью, обладающей сильно выраженной
гигроскопичностью, почему она и используется
часто как водоотнимающее средство; серная
кислота вызывает сильные ожоги на коже че-
ловека. Серная кислота — важнейший продукт
тяжёлой химической промышленности. Её
соли — сульфаты — широко распространены
в природе (например гипс CaSO4-2H2O) и на-
ходят широкое применение в технике. Семи-
окись серы S2O7 — перекисное соединение,
является ангидридом динадсерной кислоты
H2S2O8, соли которой — персульфаты — нахо-
дят широкое применение. В технике исполь-
зуются соли не существующих в свободном
виде кислот: серноватистой H2S2O3 — гипо-
сульфит Na2S2O3-5H2O (в фотографии и т. д.),
гидросернистой кислоты H2S2O4 — гидросуль-
фит натрия Na2S2O4. Пиросерная кислота
H2S2O7. Её раствор в серной кислоте назы-
вается олеумом, если содержание свободного
SO3 больше 200/0, ибо H2S2O7 = Н2ЬО4 +
-f- SO3. Известны соли тиосерных кислот типа
Ка25„О6, где п = 2, 3, 4, 5, 6.
Сера широко распространена в природе
как в самородном виде, так и в виде солей
сероводорода — сульфидов, например, PbS —
свинцовый блеск, ZnS—цинковый блеск и т. д.;
солей серной кислоты CaSCv2H2O — гипс
и др. Сера входит в состав молекул белков.
Распространённость серы в земной коре 0.1<У0.
В табл. 35 приведены свойства некоторых
соединений серы.
Селен Se (Selenium). Порядковый номер 34,
атомный вес 78,96. Для селена известно не-
сколько аллотропических форм. Стекловидный
селен получается при отвердевании жидкого
селена и представляет чёрную массу со сте-
кловидным изломом. При нагревании выше
100° стекловидный селен быстро превращает-
ся в серый кристаллический селен. Последний
обладает заметной фотопроводимостью и легко
проявляет фотоэффект. Оба эти свойства
обусловливают его применение в электрических
приборах. Кристаллический селен, являясь
полупроводником, проявляет униполярность,
будучи помещён между двумя дисками, сделан-
ными из разных металлов, что используется
для изготовления сухих выпрямителей. Кри-
сталлический селен весьма хрупок; гпл = 220°,
tKan = 688°; плотность 4,8. Жидкий селен пред-
ставляет собой чёрную, непрозрачную, очень
вязкую жидкость. Помимо указанных форм,
селен обнаруживает способность давать и
другие аллотропические видоизменения.
В химическом отношении селен является
металлоидом; при обычной температуре хими-
чески мало активен. Селен соединяется с га-
лоидами, а при нагревании — с металлами,
например с цинком, железом и др.; сгорает
в кислороде, образуя селенистый ангидрид
SeO2; последний с озоном даёт селеновый
ангидрид SeO3. Оба окисла кислотны, им со-
ответствуют селенистая H2SeO3 и селеновая
H2SeO4 кислоты; с водородом селен даёт
соединение — селенистый водород H2Se —
весьма дурно пахнущее газообразное соедине-
ние, в водном растворе обнаруживающее свой-
ство слабой кислоты. В природе селен рас-
сеян и встречается в небольших количествах
в виде селенидов железа, меди и т. п. в со-
ответствующих сульфидных рудах.
Распространённость в земной коре8-10~5 /0'
В последнее время чистый селен применяется
для приготовления фотоэлементов и сухих вы-
прямителей. Добывается селен из шлама
свинцовых камер сернокислотного произ-
водства или из шлама медных электролити-
ческих ванн. Свойства некоторых соединений
селена приведены в табл. 36.


ГЛ. Ill]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
361
Свойства некоторых соединений селена
Таблица 36
Название
Селен хлористый ........
„ четырё'ххлористш! . . .
Селенистый ангидрид .....
водород .....
Селенистая кислота ......
Селеновая „ ......
Формула
Se2Cl3
SeCl4
SeOa
H2Se
HaSeO3
HaSeO4
Молеку-
лярный
вес
229,32
221,04
111,2
8l,22
129,22
145,22
Цвет; кристалли-
ческая система
Коричн.-жёлт.
жидк.
Бел. крист.
Бел. V
Бесцв. газ
HI
Бесцв.
Плотность
2.QI
3.95
Жидк.
2,12
3,со
2.95
Темпера-
тура пла-
вления
_
/34° N
(давл.)
-64
_
58
Темпера-
тура
кипения
_
—
- 4^
_
—
Теллур Te(Tellurium). Порядковый номер52,
атомный вес 127,61. Кристаллизуется в виде
хрупких гексагонально-ромбоэдрических кри-
сталлов серебряно-белого цвета с металличе-
ским блеском; 1пл — 452°, tKun = 1087°; плотность
6,24 В химическом отношении теллур являет-
ся металлоидом; химическая активность его
незначительна; по типу химических соединений
аналогичен селену. В природе теллур встре-
чается в свободном виде, но чаще всего в со-
единениях с металлами, например: Bi2Te3, AuTe2
и т. д. Распространённость в земной коре
ЫО—6 °/0. Теллур и его соединения большого
практического значения не имеют.
Полоний Ро (Polonium). Порядковый но-
мер 84, атомный вес 210, радиоактивный элемент
с периодом полураспада 136 дней. В чистом
виде не выделен.
Шестая группа элементов
Подгруппа хрома
Хром Сг (Chromium). Порядковый номер 24,
атомный вес 52,01. Хром представляет собой
белый, блестящий, твёрдый, хрупкий металл;
гпл= 1550°, tKUn =2480°; плотность 7,14. При
обыкновенной температуре хром в химическом
отношении весьма стоек; он не окисляется на
хромовая кислота Н2СгО4. Гидрат окиси хрома
Сг(ОНK легко растворяется в кислотах с
образованием солей типа СгС13 и в растворах
щелочей с образованием солей — хромитов
типа Сг(ОК)з- Соли хромовой кислоты широко
известны, например: Na2CrO4, PbCrO4 и др.;
они переходят в кислой среде в соли двухро-
мовой кислоты типа Na2Cr2O7 — двухромово-
кислый натрий. Соли трёхвалентного хрома
образуют многочисленные комплексные
соединения типа [Cr(NH8N] C13 — гекса-
аммиакат хлорного хрома. В природе хром
встречается только в виде соединений, напри-
мер: хромистый железняк (хромит железа)
Fe(CrO2J, крокоит РЬСгО4 и др. Распростра-
нённость хрома в земной коре 0,03%. Металли-
ческий хром получается алюминкотермически,
т. е. восстановлением окиси хрома металличе-
ским алюминием: Сг2О3 + 2А1 = 2Сг + А12О3.
В технике обычно готовят в электропечах
сплав железа и хрома—феррохром, который
и применяется для изготовления специальных
сортов стали. Хром входит в состав многих
специальных сплавов—нихром и др. Соли трёх-
валентного хрома, например хромовые квасцы,
широко используются для дубления кожи,
желатины и т. д. Соли хромовой и двухромовой
кислот также широко применяются в технике.
Свойства соединений хрома см. в табл. 37.
Свойства некоторых соединений хрома
Таблица 37
Название
Хром азотнокислый ......
гидрат окиси ......
квасцы (К) .......
. (NHJ ......
окись ...........
трёхокись (хромовый
ангидрид) . . ......
Хлористый хромил ......
Формула
Cr (NO,)* • 9НаО
Сг (ОНK
CrK (SO,K • 12Н2О
CrNH4(SO4yi2HaO
Сга03
Сг03
Cra (SOJ, • 18Н3О
CrCI,
СгО2С12
Молеку-
лярный
вес
4ООД2
103,04
499,4
478.3
152>°
IOO.OI
716,4
158,4
154.93
Цвет; кристалли-
ческая система
Фиол. V
* ам.
I
Фиол.
Зел. Ill
Кр. IV
Фиол. I
Фиол. крист.
Чёрн.-кр. жидк.
Плот-
ность
_
—
1,84
1,?2
5.21
2,70
г,86
2,92
1,92
Темпера-
тура пла-
вления
Зб,5
—
89
94
2140
196
—
—
-96,5
Темпера-
тура
кипения
_
—
—
—
—
—
—
—
и6,7
воздухе; при нагревании лишь тускнеет на по-
верхности; однако сгорает в кислороде и не-
посредственно соединяется с галоидами, серой,
азотом, углеродом, кремнием, бором. В соляной
и серной кислотах растворим, но нерастворим
в азотной кислоте. Обработка хрома азотной
кислотой делает его пассивным, т. е. он пе-
рестает растворяться в разбавленной соляной
кислоте. С кислородом хром образует основной
окисел СгО, которому соответствует основание
Сг(ОНJ, амфотерный окисел Сг2О3, которому
соответствует амфотерный гидрат Сг(ОНK, и
.кислотный окисел СгО3, которому соответствует
Молибден Mo (Molybdaenum). Порядковый
номер 42, атомный вес 95,95. В виде порошка
молибден имеет тёмную матово-серую окраску;
компактный же металл—серебристо-белый и
блестящий. При высокой температуре куётся
и сваривается; 1пл— 2620°, ^цл=4800°; плот-
ность 10,2. При обыкновенной температуре
молибден устойчив по отношению к воздуху;
однако при накаливании даже компактный
металл довольно быстро окисляется до трёх-
окиси МоО3. При повышенной температуре
реагирует с хлором (образуя МоС15), бромом,
углеродом (образуя карбид), окисью угле-


362
химия
[РАЗД. I
Свойства некоторых соединений молибдена
Таблица 38
Название
Молибден гидроокись ....
Молибденовая кислота ....
Молибден окись .......
„ сернистый (молиб-
деновый блеск). . . ......
Фосфорномолибденово-
кислый аммоний .........
Формула
МоО(ОН),
МоО2
НаМоО4 • Н,О
МоО3
MoS»
(NH4)PO,X
X 12МоО3 • 6Н,О
Молеку-
лярный
вес
163,02
128,ОО
183,03
144.0Э
i6o,i4
1985,26
Цвет; кристалли-
ческая система
Светлобур. ам.
Коричн. V
Жёлт. V
Бел. IV
Чёрн. III
Жёлт.
Плот-
ность
4 -52
3<12
4,6
4.7
—
Темпера-
тура
плавления
_
—
_
795
и85
—
Темпера-
тура
кипения
__
—
—
—
—
—
рода (образуя гексакарбонил Мо(СОH). Раз-
бавленные кислоты слабо действуют на молиб-
ден, так же как и концентрированная соля-
ная кислота; азотная же кислота действует на
него сильнее. Окислители вызывают у молиб-
дена явление пассивности. С кислородом молиб-
ден даёт следующие окислы: МоО3, Мо2О5,
МоО2, Мо2О3. Трёхокись молибдена МоО3
является кислотным окислом; ему соответ-
ствует молибденовая кислота Н2МоО4, соли
которой, молибдаты, широко известны. В при-
роде молибден встречается в виде соединений;
MoS2 — молибденовый блеск, РЬМоО4, СаМоО4,
СоМоО4 и др. Распространённость в земной
коре 1 • 10~3%. Чистый молибден получается
в виде порошка восстановлением трёхокиси
водородом: MoO3-f 3H2=Mo-f ЗН2О. Спрессо-
выванием порошка получают пластинки, ко-
торые подвергаются нагреванию током до
спекания, и таким образом образуются пла-
стинки компактного металла. Молибден при-
меняется для изготовления специальных сталей,
для чего используется сплав молибдена с же-
лезом—ферромолибден, получаемый в электро-
печах, минуя операцию выделения чистого
молибдена. Сзойства соединений молибдена
см. в табл. 38.
Вольфрам W (Wolfmmium). Порядковый
номер 74, атомный вес 183,92. Порошок воль-
фрама — светлосерый; компактный металл —
белый и блестящий; tnjl — 3370°, tKttn ^ri 5920°;
плотность 19,3. Вольфрам очень устойчив по
отношению к кислотам: на компактный металл
концентрированная азотная кислота действует
вгстны. Двуокись вольфрама — безразличный
окисел. С углеродом вольфрам образует кар-
биды WC и W2C, не уступающие алмазу по
твёрдости. В природе вольфрам встречается
только в виде соединений: FeWO4 — вольфра-
мит; CaWO4 — шеелит и др. Распространён-
ность в земной коре 9-10"~4%. Порошок воль-
фрама получают восстановлением трёхокиси
WO3 водородом: WO3 + ЗН2 = W -4- ЗН2О.
Компактный металл получают прессованием
порошка в палочки и последующим спеканием
их электрическим током в атмосфере водо-
рода. Вольфрам используется для электри-
ческих вакуумных приборов и входит в состав
ценных по свойствам специальных сталей.
При производстве последних используется
сплав с железом — ферровольфрам,—содержа-
щий до 80% вольфрама, получаемый в элек-
тропечах, минуя операцию выделения чистого
вольфрама. Свойства соединений вольфрама
см. в табл. 39.
Уран U (Uranium). Порядковый номер 92,
атомный вес 238,07. Уран —серебристо-белый,
не очень твёрдый металл; 1пл = 1150° *; плот-
ность 18,7. Уран даже при умеренном нагре-
вании на воздухе сгорает с разбрызгиванием
искр в закись-окись урана и3Оз. Легко со-
единяется с галоидами, при 5ЭО° соединяется
с серой и при 1000' с азотом. В разбавленных
кислотах уран легко растворим с выделением
водорода. С кислородом уран образует основ-
ной окисел UO2 и амфотерный окисел UO3.
В природе уран встречается только в виде
соединений, например и3О3, носящим назва-
Свойства некоторых соединений вольфрама
Таблица 39
Название
Вольфрам двуокись .....
„ трехокись ....
„ сернистый ....
„ карбид ....
. .
"
Формула
WO,
WO.
W2C
we
Молеку-
лярный
вес
2l6,0
232,0
248,14
379.85
195.93
Цвет; кристалли-
ческая система
Буо. I
Жёлт. ам. или IV
Сер. чёрн. крлст.
Зел. порошок
Сэр.
Плотность
12, Т Т
7-5
i6,o5
15-7
Темпера-
тура
плавления
_
1473
—
23 77
-111
Темпера-
тура
кипения
_
—
—
~6эоо
~5оээ
только на поверхность. При обыкновенной
температуре устойчив по отношению к воз-
духу; при нагревании окисляется в трехокись
WO3. Фтор реагирует с вольфрамом при
обыкновенной температуре, а хлор — лишь
при температуре красного каления. С кисло-
родом вольфрам даёт окислы WO3 и WO2.
Первый из них, трехокись WO3, является
кислотным окислом; ему соответствует воль-
фрамовая кислота H2WO4, не существующая
в чистом виде, но соли которой широко из-
ние урановой смолкя. Распространённость
урана в земной коре 4-10~4%. Уран радио-
активный элемент с периодом полураспада
4,5-109 лет. Металлический уран в настоящее
время имеет большое практическое значение
как источник для получения изотопа с атомным
* tnjt — 1150" приведена Смитом в книге „ Атомная
энергия для военных целей". Однако все справочные ру-
ководства указывают на (ПА > 1850° (D^ Merit. J. anj
Dane H. Uranium and Atomic power A945), стр. 117).


ГЛ. HI]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
363
Свойства некоторых соединений урана
Таблица 40
Название
Уран двуокись . . .
„ трёхокись . . .
„ закись-окись .
Уранил азотнокис-
лый. ...........
Формула
UOo
UO,
и3оя
UO, (NO3J • 6Н„0
Молеку-
лярный вес
270,2
286,2
842.6
5°2-3i
Цвет; кристалли-
ческая система
Кор.-чё'рн. или
краен. I
Жёлт. -краен.
Серо-зел. (до
чёрн.)
Жёлт, крист.
Плотность
Ю.75
6,0
8,2
2,8l
Темпера-
тура
плавления
21 76
-
—
59. 5
Темпера-
тура
кипения
_
—
—
весом 235 U235 и нового элемента плутония
Ри, из которых сделаны атомные бомбы,
сброшенные на гг. Хиросима и Нагасаки.
Чистый уран получается электролизом его
расплавленных солей. Некоторые соединения
урана используются в фотографии. В послед-
нее время, в связи с установлением деления
атомных ядер урана на крупные осколки
при бомбардировке урана нейтронами, откры-
ваются перспективы практического использо-
вания внутриядерной энергии атомов урана.
В табл. 40 приведены свойства некоторых
соединений урана.
Нептуний Np. Радиоактивный элемент с
порядковым номером 93 и с атомным весом
— 239, образующийся при бомбардировке ура-
на-238 медленными нейтронами. Нептуний —
промежуточный элемент при получении плу-
тония. Период полураспада 2,3 дня C-распад).
В природе не встречается и является искус-
ственно радиоактивным элементом. По хими-
ческим свойствам напоминает уран почему его.
вероятно, следует поместить в клетку перио-
дической системы вместе с ураном. Непту-
ний— первый из трансуранов и его можно
назвать уранидом *.
Плутоний Ри. Химический элемент с поряд-
ковым номером 94; известны изотопы с атом-
ными весами 238 [радиоактивный изотоп с
периодом полураспада 50 лет (а-распад)]
и 233; последний получается при радиоактивном
распаде нептуния и является конечным продук-
том при бомбардировке обычного урана мед-
ленными нейтронами. В природе не встречается
и является искусственно приготовленным
трансураном. Плутоний обнаруживает в своих
соединениях валентности 3, 4, 5 и 6 и по
свойствам напоминает уран, почему его следует
поместить в клетку периодической системы
вместе с ураном. Плутоний второй из транс-
уранов и его можно назвать уранидом. Из
плутония была сделана атомная бомба, сбро-
шенная на Нагасаки. Плутоний, как и уран-235,
обладает способностью к делению своих ядер
под действием нейтронов *.
* В связи с гипотезой Сиборга уран, нептуний и
плутоний возможно следует считать „акгинидами".
Седьмая группа элементов
Подгруппа хлора
Фтор F (Fluorum). Порядковый номер 9,
атомный вес 19,000. При обычной температуре
фтор — светложёлтый двухатомный (F2) газ
с весьма резким раздражающим запахом;
tnjl = —223", tKun ——187,0°. Фтор является
наиболее ярко выраженным металлоидом.
В свободном виде фтор необычайно химически
активен. Он соединяется непосредственно с~
всеми металлами и металлоидами, за исклю-
чением кислорода и азота; сера и органиче-
ские вещества, как спирт, бензол, эфир и др.,
загораются в атмосфере фтора. С водородом
и водой фтор реагирует со взрывом: Н>> -\- F, =
= 2HF, 2F2 + Н2О = 2HF + F2O или 3F2+
4- ЗН2О = 6HF + О3. Фтор разрушает стекло,
глину, керамиковые изделия. Получают фтор
электролизом расплавленного бяфторида калия
KHF2 в медном U-образном сосуде. С водо-
родом фтор даёт одно соединение — HF —
фтористый водород, который в газообразном
состоянии частично состоит из молекул H2F2.
Фтористый водород хорошо растворим в воде
с образованием плавиковой кислоты; в водном
растворе присутствуют главным образом мо-
лекулы H2F2. Плавиковая кислота относится
к несильным кислотам, и её диссоциация идёт
по схеме H2F21^H' + HF2'. Плавиковая кис-
лота хранится в парафиновых или резиновых
сосудах, так как она разрушает стекло и кварц,
SiO2 -f 3H2F2 = H2SiF6 + 2Н3О. Это обусло-
вливает применение плавиковой кислоты дл i
травления стекла. Получается плавиковая
кислота растворением в воде фтористого во-
дорода, выделяемого действием серной кис-
лоты H2SC>4 на фтористый кальций CaF9:
H2SO4 -f CaF2 = CaSO4 -f- 2HF. С кислородом
фтор даёт соединения F2O, F2O2. В при-
роде фтор встречается только в виде соеди-
нений; главнейшее из них — плавиковый шпаг
CaF2. Распространённость фтора в земной
коре 0,080/0.
Из-за своей исключительной активности
фтор находит ограниченное применение и
используется лишь для производства неко-
торых веществ специального назначения.
Свойства некоторых соединений фтора
Название
Фтористый водород
Формула
HF
Молеку-
лярный вес
2O.OI
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцв. жидк.
Плотность
0,987
Темпера-
тура
плавления
—92,3
Темпера-
тура
кипения
19.5


364
химия
[РАЗД.
Из соединений фтора широко используются
в технике плавиковая кислота и фтористый
кальций, применяемый в металлургии в каче-
стве флюса. В табл. 4] приведены свойства
соединения фтора — фтористого водорода.
Хлор Cl (Chlorum). Порядковый номер 17,
атомный вес 35,457. При обыкновенной темпе-
ратуре хлор жёлто-зелёный, удушающий двух-
атомный газ, сравнительно легко сжижающийся;
tпл = —101,1°, tKUn— — 34,7°. Хлор значительно
растворим в воде, причём химически с ней
взаимодействует: С12 + Н2О 5=± НС1 4- НСЮ;
хлорноватистая кислота НСЮ — нестойкое на
свету соединение и разлагается с выделением
кислорода: 2НС1О = 2НС1 -j- O2, поэтому хлор-
стая кислота НС1О2 — слабая кислота, суще-
ствует лишь в водных растворах, сильный
окислитель. Практического значения не имеет.
Хлорноватая кислота НСЮ3 — средней силы
кислота, известна в водных растворах (не
выше 30%); сильный окислитель. Соль её
КС1О3, называемая бертолетовой солью, нахо-
дит применение в пиротехнике. Хлорная
кислота НС1О4 — сильная кислота; существует
в чистом виде, при нагревании взрывает;
сильный окислитель. Применяется при элек-
трохимической полировке металлов. Из-за
большой химической активности хлор в при-
роде встречается только в виде соединений,
например: каменная соль NaCl, карналлит
Свойства некоторых соединений хлора
Таблица 42
"
Название
Хлор закись .........
Л двуокись .... . . .
Хлорная кислота ......
Хлористый водород ....
Формула
С!.,О
его 2
НСЮ,
НС1
Молеку-
лярный
вес
86, Q2
67,46
ioo,47
36.46
Цвет; кристалличе-
ская система
Жёлт.-коричн. газ
Жёлт, газ
Бесцв. жидк.
Бесцв. газ
Плотность
_
—
1.77
Жидк.
Темпера-
тура
плавления
— иб
— 79
— 112
—114
Темпера-
тура
кипения
4- 3.8
-1-ю
+ 39
-85
ная вода (водный раствор хлора) выделяет
кислород.
Хлор химически весьма активный метал-
лоид; металлы Fe, Al, Sn и др. горят в атмо-
сфере хлора, например: 2Fe + ЗС12 = 2РеС13,
и т. п. С водородом хлор взаимодействует со
взрывом: Н2 4 С12 = 2НС1. Сера, фосфор и при
повышенной температуре углерод и другие
металлоиды соединяются с хлором, например,
2S -(- С12 = S2C12, и т. п.; за исключением
кислорода, азота и благородных газов, все
элементы непосредственно соединяются с хло-
ром. В лабораторных условиях хлор полу-
чается окислением соляной кислоты (водный
раствор хлористого водорода) двуокисью
марганца MnO2 : MnO8 + 4HC1 = С12+МпС12 +
4- 2Н2О. В промышленности используется
хлор, выделяющийся при электролизе хлори-
стого натрия для получения едкого натра.
С водородом хлор даёт только одно соеди-
нение — хлористый водород НС1, водный рас-
твор которого (растворимость 42 г в 100 г
раствора при давлении 1 am и 20°) называется
соляной кислотой, являющейся сильной кисло-
той, находящей широкое применение в тех-
нике. Соляная кислота — один из важнейших
продуктов тяжёлой химической промышлен-
ности. Получение соляной кислоты основано
на растворении в воде газообразного хлори-
стого водорода, получаемого действием серной
кислоты на хлористый натрий H2SO4 + 2NaCl =
—Na.^SCvf 2HC1. Соли соляной кислоты — хло-
риды — находят широкое применение в технике
(NaCl — поваренная соль и др.). С кислородом
хлор даёт соединения: закись хлора С12О,
двуокись хлора С1О2, хлорный ангидрид С12О7,
трёхокись С1О8, получаемые косвенным путём.
Все эти окислы взрывчаты. Известны кисло-
родные кислоты хлора. Хлорноватистая ки-
слота НСЮ — слабая кислота, существует
лишь в разбавленных водных растворах, силь-
нейший окислитель; соли её называются гипо-
хлоритами. В технике и военном деле при-
меняется гипохлорит кальция Ca(OClJ и бе-
лильная (хлорная; известь CaClOCl. Хлори-
KMgCl3-6HvO, сильвин КС1 и др. Распростра-
нённость хлора в земной коре 0,20/0. Свобод-
ный хлор находит широкое применение в про-
изводстве белильной извести, бертолетовой
соли, в военнохимической промышленности,
для отбеливания ткани в текстильной про-
мышленности, для дезинфекции воды и т. д.
Соляная кислота и её соли широко исполь-
зуются в технике. Свойства некоторых соеди-
нений хлора см. в табл. 42.
Бром Вг (Bromum). Порядковый номер 35,
атомный вес 79,916. При обыкновенной тем-
пературе тяжёлая тёмнокрасная жидкость;
tnjt==— 7,2°, 1кип =58,8°; плотность 3,12.
В газообразном состоянии бром двухатомен.
В воде несколько растворим; при 20° в литре
насыщенного раствора содержится 0,21 моля Вг2;
в водном растворе следует ожидать химиче-
ского равновесия: Вг2 4- Н2О = НВг 4- ИВгО.
В химическом отношении бром активный
металлоид, непосредственно соединяется с
металлами, например Al, Fe, Sn, Sb и др.,
образуя бромиды: 2А1 4 ЗВг2 = 2А1Вг3 и т. п.,
с водородом: Вг2 4- Н2 = 2НВг, образуя
бромистый водород; водный раствор послед-
него называется бромистоводородной кис-
лотой, являющейся сильной кислотой. С кисло-
родом бром образует окисел Вг2О — ангидрид
бромноватистой кислоты НВгО, известной лишь
в виде разбавленных водных растворов. Кроме
бромноватистой кислоты, для брома установлено
существование бромновагой кислоты НВг03
в виде концентрированных водных растворов.
В природе бром встречается только в виде
соединений с металлами, чаще всего с магнием,
из которых обычно получается вытеснением
хлором: MgBr2 4- C12 — MgC!2 + Br2. Распро-
странённость в земной коре 0,001°/,,.
Иод J (Jodum). Порядковый номер 53, атом-
ный вес 126,92. При обыкновенной температуре
иод образует блестящие черные кристаллы;
^ = 113°, Гкип =184°; плотность 4,94. При
температуре ниже точки плавления давление
паров иода сравнительно велико, и иод легко
возгоняется. Иод очень мало растворим в воде


ГЛ. 111}
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
365
но хорошо растворяется в спирте, хлороформе,
сероуглероде, бензине. В химическом отноше-
нии иод довольно активный металлоид. Непо-
средственно соединяется с металлами и с не-
которыми металлоидами, например фосфором:
2P-f3J2='2PJ3;c водородом иод образует един-
ственное соединение—йодистый водород HJ, при
обычной температуре являющийся газообраз-
ным веществом, растворяющимся в воде; этот
раствор носит название иодистоводородной
кислоты; она является сильной кислотой и
обладает сильными восстановительными свой-
ствами. С кислородом иод образует двуокись
JO2 и пятиокись J2O5. Этот последний окисел
широко используется при анализе газов: J2O5 -+-
+ SCO = J2 + 5СО2. Пятиокись иода является
ангидридом йодноватой кислоты ШО3 — силь-
ной кислоты, обладающей свойством сильного
окислителя. В природе иод встречается в виде
соли йодноватой кислоты NaJOj и в соедине-
ниях с металлами; из последних соединений
он получается вытеснением хлором. Распро-
странённость иода в земной коре 1-10 —4 %.
Иод широко применяется в медицине, в хи-
мической промышленности используется для
синтеза ряда органических веществ. Свойства
некоторых соединений иода см. в табл. 43.
Таблица 43
Свойства некоторых соединений иода
Название
Йодистый
водород
Йоднова-
тая кислота
Пятиокись
иода
^
а
ч
d
о
е-
HJ
Ш03
J2Oii
«ь.
к
5 u
^ 3-4
^ "S
S в
127-93
175,93
333,84
s
«Es
<Li ~ 05
ш к со
Д 0 U
Бесцв.
газ
Бесцв.
Бел.
крист.
л
о
я
н
о
PJ
С
Жидк.
2,799
4,629
4,799
и
о.
о.*
с и
UJ ч
Н С
— 5°,8
—
Разл.
о.
О. s
S с
н 2
35>7
—
—
Седьмая группа элементов
Подгруппа марганца
Марганец Мп (Manganium). Порядковый
номер 25, атомный вес 54,93. Марганец по
внешнему виду похож на железо, но он более
твёрд. Чистый марганец — серебристо-белый
металл; t пл = 1242°, t кип =2151°; плотность 7,44.
Марганец легко окисляется, в особенности
в том случае, если в нём содержится углерод,
Свойства некоторых
так как углеродистое соединение Мп3С легко
вступает в реакцию с влагой воздуха: Mn.,C -f
+ 6Н2О = 3 Mn(OHJ2 + CH4 -t- H2; совершенно
чистый марганец весьма стоек по отношению
к воздуху даже при нагревании. В мелко
раздробленном состоянии марганец легко оки-
сляется и обнаруживает пирофорические свой-
ства (самовозгорание на воздухе). В разба-
вленных кислотах марганец растворяется с вы-
делением водорода: Мп + 2НС1 = МпС12 + Н2.
В струе хлора марганец сгорает в хлорид
МпС12. При температуре выше 1200° воспла-
меняется в азоте и образует нитрид Mn3Na.
Непосредственно при нагревании марганец
соединяется с серой (MnS), фосфором (Мп5Р2,
МпР), углеродом (Мз3С), кремнием (Mn2Si,
MnSi). С водородом марганец не соединяется.
Чистый марганец получается алюминотермией.
В технике обычно изготовляется богатый мар-
ганцем сплав с железом — ферроманган G0 —
80% Мп). С кислородом марганец образует
несколько окислов: закись марганца МпО —
основной окисел, которому соответствует силь-
ное основание Мп(ОНJ и соли типа МпС12;
окись марганца Мп2О3 — основной окисел,
которому соответствует слабое основание
Мп(ОНK и соли главным образом в виде ком-
плексных соединений; двуокись марганца МпО2,
являющаяся амфотерньш окислом; соответ-
ствующий гидрат неустойчив так же, как и соли
типаМпС14;трёхокись марганца МпО3, являю-
щаяся кислотным окислом, которому соответ-
ствует марганцовистая кислота Н2МпО4, соли ко-
торой известны; марганцовый ангидрид Мп2О7,
которому соответствует марганцовая кислота
НМпО4, известная лишь в водных растворах.
Соли этой кислоты, в частности КМпО4, хорошо
известны и находят широкое применение.
Мп2О7 — сильный окислитель и очень непроч-
ное соединение, разлагающееся при 60° со
взрывом. В природе марганец встречается
только в виде соединений, чаще всего с кис-
лородом: пиролюзит МнО2 (чёрный порошок),
гаусманит Мп3О4 и др. В СССР богатые мар-
ганцевые руды имеются в Грузии и на Украине.
Распространённость марганца в земной коре
0,1%. Металлический марганец не находит
себе применения, сплавы же марганца очень
широко используются в технике. Свойства
некоторых соединений марганца приведены
в табл. 44.
Рений Re (Rhenium). Порядковый номер 75,
атомный вес 186,31. Рений — мягкий и ковкий
металл; tnjl = 3000°, t kun — 5860°; плотность 21,4
Таблица 44
соединений марганца
Название
Марганец гидрат
закиси ..... ....
Марганец гидрат
двуокиси ........
Марганец двуокись .
закись. . .
окись . . .
закись-
окись (гаусманнт) . . .
Ма ганец сернистый
сернокислый
хлористый. .
семиокись. .
Формула
Мп (ОН)а
МпО (ОН),
МпО.,
МпО
MiisOs
Мп3О4
Мп 3
Мп?О4 • 7НаО
MnCl,
МпаО,
Молеку-
лярный
вес
88,95
i°4.95
8о,93
7^.93
157-86
228,79
87, сю
277Л1
I97-91
221,86
Цвет; кристалли-
ческая система
Бел. Ilia
Чёрн.-бур. ам.
Сер.-чёрн. IV, II
Сер. ам. или I
Чёрн. II
Кр.-коричн. или
чёрн. 11
Жёлт. -краен. I
Роз. V, IV
, V
Кр.-коричн. жидк.
Плотность
3-26
2,58
5-°3
5,4
4-3-4-3
4-3—4,9
4,о
2,0
—
Темпера-
тура
плавления
—
_
Разл.
—
—
I/Q5
Безв. 7°°
650
—30
Темпера-
тура
кипения
_
_
_
_.
_
__
_
_
_
Взрыв, при
60Э


366
химия
[РАЗД. 1
Восьмая группа элементов
Триада железа
Железо Fe (Ferrum). Порядковый номер 26,
атомный вес 55,85. Железо известно с глу-
бокой древности. Чистое железо представляет
собой серый, имеющий кристаллическое строе-
ние металл; injl = 1530", tKUn = 3000°; плот-
ность 7,86. Известны четыре аллотропические
формы: а, 0, -у и 5.
а-железо (феррит) — мягкий, тягучий па-
рамагнитный металл, устойчивый ниже 766°.
Выше этой температуры а-железо переходит
в ^-железо, что сопровождается поглощением
теплоты и уменьшением объёма. Кристалличе-
ская элементарная ячейка этих форм железа —
центрированный куб. 3-железо устойчиво в пре-
делах температуры 766° — 896°; выше по-
следней температуры из g-железа образуется
7-железо, не обладающее, как и р-железо,
магнитными свойствами, присущими а-железу.
-/-железо обладает способностью образовывать
твёрдые растворы с углеродом, не превышаю-
щие 1,9% содержания последнего. -ужелез°
имеет кристаллическую решётку с элементар-
ной ячейкой в виде куба с центрированными
гранями. Выше 1400° т-железо переходит
в 5-железо, пространственная решётка которого
аналогична таковой же для а- и 3-железа. При
повышенной температуре железо непосред-
ственно соединяется с углеродом, образуя кар-
бид железа FebC, с кремнием — FeSi и Fe2Si;
с фосфором—фосфид железа Fe3P. С водородом
и азотом железо непосредственно не соеди-
няется, хотя растворяет в себе значительное
количество первого и может образовывать
нитрид Fe2N. С галоидами железо соединяется,
например: 2 Fe-T-3Cl2=^2FeCl3. Порошкообразное
железо соединяется с окисью углерода и даёт
пентакарбонил железа Fe(COM — жёлтую
жидкость, разлагающуюся на свету. Железо го-
рит в атмосфере кислорода: 3Fe + 2О2 = Ре3О4,
растворяется в разбавленных серной, соляной
Свойства некоторых соединений железа
и азотной кислотах. Концентрированная азот-
ная кислота пассивирует железо, т. е. сообщает
ему способность не растворяться в разбавлен-
ных кислотах. Железо образует окислы: за-
кись FeO, окись Fe2O3, закись-окись Fe3O4
(FeO-Fe2O3). Обоим первым окислам отвечают
основания Fe(OHJ и Fe(OHK; эти основания
являются не сильными и соответствующие им
соли, например FeSO4, Fe2 (SO4K, подвергаются
в водном растворе гидролизу. Трёхвалентное
и двухвалентное железо легко образует ком-
плексные соединения, в которых оно проявляет
координационное число 6, например: в красной
кровяной соли K3Fe (CNN и в жёлтой кровяной
соли K4Fe(CNN. В природе железо широко
распространено и главным образом встречается
в виде кислородных соединений: магнетит
(магнитный железняк) Fe3O4, гематит (красный
железняк) Fe^O3, лимонит (бурый железняк)
Fe2O3aq; встречаются также соединения с се-
рой: шфит FeS2 и др., образующие часто мощ-
ные залежи. Свойства некоторых соединений
железа приведены в табл. 45.
Распространённость железа в земной коре
4,2%. Чистое железо получают обычно путём
восстановления окиси Fe2O3 водородом. Полу-
ченный таким образом порошок железа обла-
дает пирофорностью, т. е. самовозгорается на
воздухе. Промышленный способ получения
железа основан на промежуточном получении
чугуна доменным процессом с последую-
щей плавкой в мартеновских печах, кон-
вертере или электрических печах. Со мно-
гими элементами (Cr, Ni, Co, W, Мп, V и т. п.)
железо образует сплавы, имеющие огромное
значение в технике. Роль железа и его спла-
вов для человека неизмеримо велика.
Кобальт Со (Cobaltum). Порядковый но-
мер 27, атомный вес 58,94. Кобальт представляет
собой блестящий металл, ковкий и очень твёр-
дый; ГПЛ — 1490°, (каа = 2900°; плотность 8,9.
Полученный из окиси восстановлением во-
дородом кобальт обладает пирофорными
Таблица 45
Название
Железо азотнокис-
лое ............
Железо гидрат за-
киси ..........
Железо гидрат окиси
„ закись ....
Железо закись-
окись (магнетит) . . .
Железо карбонил .
квасцы . .
„ окись. . . .
„ роданистое
„ сернистое.
Железо сернистое
(пирит) ..........
Железо сернокислое
(соль закиси) ......
Железо сернокислое
(соль окиси). ......
Железо соль Мора
„ углекислое
„ углеродистое
„ хлорное . . .
Железосинеродисто-
кислый калий .....
Железистосинероди-
стокислый калий . . .
Формула
Fe(N03K • 9rlO
Fe(OH)a
Fe(OHK
FeO
Fe304
Fe(CO),
Fe(NH4)(SO4K • 12H О
Fe203
Fe(CNSK • 3H.O
FeS
FeS,
FeSO4 • 7H2O
Fe»(S04K
Fe(NH4).,(?O,).2 • 6H,O
FeCOa
Fe,C
FeCI3
K,Fe(CN).
К,Ре(СК)„
Молеку-
лярный
нес
404,01
89,68
106,86
71,84
231.52
195.84
482,21
159-68
284,12
87,91
119.98
278,02
399.89
392, 1 6
115.84
!79.52
162,22
329.19
422,34
Цвет; кристалли-
ческая система
Бесцветн. V
Бел. ам. или III
Кр.-бур. ам.
Чёрн.
Чёрн. I
Жёлт. жидк.
Светлофиол. I
Кр. ам. или Ша
Чёрн.-кр.
Чёрн. 111
Жёлт. I
Светлозел. V, III
Жёлт. IV
Светлозел. V
Бел. Ilia
Сер. IV
Сер.-чёрн. III
Кр. V
Жёлт. V
Плотность
i,68
3.4
5.7
5Дб
1,46
1,71
5-1
4-84
5.03
1,89
Зло
1.87
3.8о
7,66
2,80
1.83
J-93
Темпера-
тура
плавления
—
—
—
1377
1527
— 21
—
'5°5
1170—1197
—
—
—
—
—
—
302
—
Темпера-
тура
кипения
—
—
—
—
102,9
—
—
—
—
—
—
—
—
—
. —
—
—
~~


ГЛ. Ill]
НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ
367
свойствами — самовозгорается на воздухе.
В виде массивного куска металл окисляется
очень медленно, но при высокой температуре
сгорает "до закись-окиси Со3О4. Металл мед-
ленно растворяется в разбавленных серной и
соляной кислотах и значительно быстрее в
азотной кислоте. Концентрированная азотная
кислота пассивирует кобальт. Металлический
кобальт непосредственно соединяется при на-
гревании с галоидами, серой, мышьяком, крем-
нием и т. д. С кислородом кобальт образует
основные окислы СоО и Со2О3, а также окислы
Со3О4 и СоО2. Первым двум соответствуют
основания Со(ОНJ и Со(ОНK и соли типа
Co(NOaJ; соли же трёхвалентного кобальта
неустойчивы. СоО3 является кислотным окис-
лом, ибо ему отвечают соединения типа MgCoO3
(кобальтовокислый магний).Двух- итрёхвалент-
ный кобальт образует множество комплекс-
ных соединений с координационным числом 6.
В природе кобальт встречается в виде со-
единений: кобальтин CoSAs, шмальтин CoAs2.
Распространённость в земной коре 0,0020/0.
Кобальт входит в состав многих специальных
сплавов и сталей. Чистый кобальт получают
электролитическим путем. В табл. 46 приве-
дены свойства некоторых соединений кобальта.
ряться. Благодаря малой химической актив-
ности никеля по отношению к воздуху, по-
верхности меди и железа часто никелируют,
т. е. покрывают тонким слоем никеля для пре-
дупреждения коррозии. Нагретый тонкоизмель-
чённый никель соединяется с хлором (NiCIo),
бромом, серой (NiS), мышьяком (NiAs, NiAs,,,
Ni6As2), сурьмой (NiSb, Ni6Sb2) и фосфором;
с последним образуются соединения: Ni2P,
Ni5P2, Ni8P. При нагревании с алюминием
до 1300° никель образует интерметаллические
соединения NiAl2, NiAl3. Порошкообразный
никель соединяется с окисью углерода и даёт
тетракарбонил никеля Ni(COL. С кислородом
никель образует основные окислы: закись
никеля NiO и окись никеля Ni2O3. Этим
окислам соответствуют основания Ni(OHJ
и Ni(OHK. Однако известны соли лишь двух-
валентного никеля типа NiCl2; соли трёхва-
лентного никеля совершенно неустойчивы.
Кроме указанных, никель образует окисел
NiO2) который является весьма неустойчивых!
и слабо кислотным окислом. Никель образует
много комплексных соединений, в которых
проявляет координационное число 6. В при-
роде никель встречается главным образом в
виде соединений: миллерит NiS, купферникель
Свойства некоторых соединений кобальта
Таблица 46
Название
Кобальт азотнокислый . . .
гидрат закиси . . .
„ окиси . . .
„ закись-окиси
закись .......
закись-окись ....
окись .......
сернистый .....
сернокислый ....
хлористый .....
Формула
Со(КО3% • 6Н2О
Со(ОШ2
Со(ОНK
Со3О4 • 3HSO
СоО
Со304
Со.,О3
CoS
CoSO4 • 7Н2О
СоС12 • 6Н2О
Молеку-
лярный
вес
291,08
92,99
109,99
294,96
74,97
240,91
i65,94
91,04
281,15
237-99
Цвет; кристалли-
ческая система
Кр. V
Кр. или фиол. IV
Кор.
„
Сер.-зел. или кор. I
Чёрн. ам. или сер. I
Кор.
Чёрн. ам. или Ilia
Кр. IV, V
Плот-
ность
1,87
3,6о
—
—
6,3
6,073
5,i8
5-45
1-930
1,84
Температу-
ра плавле-
ния
—
—
—
!Р35
—
>1100
—
—
Темпе-
ратура
кипения
_
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Никель Ni (Niccolum). Порядковый номер 28,
атомный вес 58,69. Никель — металл сталь-
ного серого цвета, легко поддающийся поли-
ровке; ГПЛ = 1452', tKun = 2900°; плотность 8,9.
Никель очень устойчив на воздухе, однако
порошкообразный никель, полученный восста-
новлением окиси водородом, пирофорен, т. е.
самовозгорается на воздухе; при нагревании в
кислороде никелевая проволока сгорает.
В разбавленных кислотах металл растворяется
медленно; концентрированная азотная кислота
пассивирует поверхность металла, т. е. в раз-
бавленных кислотах он перестает раство-
Свойства некоторых соединений никеля
NiAs и др. Распространённость в земной коре
0,02%. При получении никеля из руды при-
ходится предварительно отделять его от же-
леза, потом от меди и лишь затем выделять
металл путём восстановления. Чистый никель
получается электролитическим путём. Способ
Монда получения никеля основан на образо-
вании тетракарбонила Ni(COL и его разложе-
нии. Никель используется для гальванического
покрытия им металлических изделий, пригото-
вления сплавов (нейзильбер, константан и дру-
гие специальные стали) и т. д. В табл. 47 приве-
дены свойства некоторых соединений кобальта.
Таблица 47
Название
Никель азотнокислый . . .
гидрат закиси . . .
гидрат окиси . . .
диметилглиоксим .
закись .......
карбонил .....
окись .......
сернистый .....
сернокислый ....
хлористый .....
Формула
Ni(NO3J-6H2O
Ni(OH)a
Ni(OHK
Ni[(CH3J (CNO), H],
NiO
Ni(COL
NiaO3
NiS
NiSO4 • 7H..O
NiCla
Молеку-
лярный
вес
290,79
92,7
109,70
288,8
74,68
170,68
165,36
9°,75
280,86
129,60
Цвет; кристалли-
ческая система
Зел. V
Зел. ам.
Чёрн. ам.
Кр. иглы
Сер. I
Бесцв. жидк.
Чёрн. ам.
Чёрн. ам. или Ilia
Зел. IV, V
Жёлт, крист.
Плот-
ность
2,05
4,i
—
7.45
i,32
4,83
5.2
1,98
2,56
Температу-
ра плавле-
ния
_
—
—
—
—
—25
797
—
Темпе-
ратура
кипения
—
—
—
—
43
—
—
—


368
химия
[РАЗД.!
Восьмая группа элементов
Платиновые металлы
К платиновым металлам относятся элементы:
рутений Ru (Ruthenium); родий Rh (Rhodium);
палладий Pd (Palladium); осмий Os (Osmium);
иридий Ir (Iridium); платина Pt (Platinum).
Платиновые металлы очень устойчивы в от-
ношении воздействия на них химических ре-
[
Порядковый номер . . .
Атомный вес ......
Плотность .......
Температура плавления
Температура кипения .
Распространённость в
земной коре в % ....
Ru
44
101,7
12,2
2-150°
2733°
- 6
5-ю
Rh
45
102,91
Т2,44
1966°
4500°
—6
1-10
Pd
46
106,7
12,0
1555°
3980°
— 6
5-ю
Os
76
190,2
22,48
2700°
5493°
5 • ю
Ir
77
I93,i
22,4
24ОО0
4900°
—— 6
I • 10
Pt
78
195-23
21.45
1773°
43390
—6
5.10
данных исходных веществ получаются продукты реакции;
2) учение о катализе, т. е. явлении изменения скорости
реакции благодаря присутствию в реакционной смеси
веществ, количество которых не изменяется при
протекании реакции; 3) учение о скорости и порядке
реакции.
Растворы. Этот отдел посвящён изучению систем,
состоящих, по крайней мере, из двух веществ, причём
одно из них может рассматриваться распределённым
в другом веществе в виде частиц, линейный размер ко-
торых не превышает 1 тмк — 10~7 см. Существенными
частями этого отдела являются: 1) теория растворов
неэлектролитов; 2) теория растворов
электролитов.
Электрохимия. Этот отдел "освя-
щён изучению явлений, возникающих
в растворах электролитов при сведе-
нии внутрь их электрического по-
ля, явлений электролиза и возник-
новения электродвижущей силы за
счёт протекания химической реакции.
Существенными частями этого отдела
являются: 1) учение об электропро-
водности растворов; 2) учение о' галь-
ванических цепях.
Фотохимия. Этот отдел посвящён
изучению химических реакций, проте-
кание которых обусловлено воздей-
ствием света.
Химические свойства платиновых элементов
Губчатый металл
нагрев, в кислороде
Губчатый металл
нагрев, в хлоре . .
Горячая HNOj .
Царская водка
(НС1 +HNO,) . . .
Сплавление с
КОН и KNO3 . . .
Сплавление с
KHSCX ......
Ru
RuO3 при 700—
1200"
KjRuCl, в при-
сутствии КС1
Нераствор.
H,RuCl5
KaRuO4
Нераствор.
Rh
Rh2O3 медлен-
но ниже 1150°
RhCl3
Нераствор.
Медленно
H3RtiCle
RnO3
KRli(SO4)a
Pd
PdO медленно
при 700°
PdCL,
Медленно
Pd (N03)a
H3PdCl,
PdO
PdSO,
Os
Os04
при 200°
OsCl4 при 700°
Нераствор.
OsO,
K,,OsO4
Нераствор.
Ir
1гО2 медленно
при 1050°
K2IrCl.5 в при-
сутствии KC1
Нераствор.
Очень медлен-
но На1гС1„
Ir303 '
Ira(S04)s
Pi
PtO медленно
при 450°
PtCI, при 360°
Нераствор.
H2PtCl9
K2PtO,
Основной
сульфат
активов, в том числе и кислот (табл. 48 и
табл. 49).
Практическое применение имеет платина
для выделки химической аппаратуры (тигли,
перегоночные кубы и т. д.), в качестве ката-
лизатора, при изготовлении электроизмери-
тельных и электронагревательных приборов;
родий и иридий — для изготовления термопар;
последний, в силу его твердости и большого
сопротивления износу, — для наконечников
вечных перьев; палладий применяется в юве-
лирном деле и в качестве катализатора.
Числовые значения термодинамических
функций
Числовые значения энтальпии
г
I JT КПЛ
/—- \ CndT ъ
г-ат
изобарного потенциала Ф—Ф0 =
г-ат
ФИЗИЧЕСКАЯ (ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ) ХИМИЯ и энтропии 5—S0= f -?- df в -
<J I Z'
кал
ОТДЕЛЫ ФИЗИЧЕСКОЙ ХИМИИ
Агрегатное состояние вещества. Этот отдел посвя-
щён изучению газообразного, жидкого и твёрдого состоя-
ний как с точки зрения феноменологических законов,
управляющих особенностями, свойственными каждому
состоянию, так и с точки зрения молекулярно-атомисти-
ческого строения вещества. Здесь в первую очередь
используются методы статистической физики.
Химическая термодинамика. Этот отдел посвящён
изучению химических явлений (реакций, равновесий)
при помощи основных законов термодинамики.
Строение вещества. Этот отдел посвящён изучению
атомов и молекул как сложных систем, построенных из
атомных ядер и электронов, при помощи методов кван-
товой механики. Существенными частями подобного изу-
чения являются: 1) учение о химической валентности
я природ^ тех сил, коими обусловливается образование
молекул из атомов или других молекул; 2) учение о
строении молекул и о свойствах веществ, обусловленных
той или иной структурой (таутомерия, полярность, ди-
электрические свойства и т. п.) молекул.
Химическая кинетика. Этот отдел посвящён изуче-
нию протекания химических процессов во времени. Су-
щественными частями этого отдела являются: 1) учение
о .механизме" реакция, т. е. выявление тех элементар-
ных молекулярных процессов, в результате которых из
а также значения с0 и
атом-град '
Ф—Ф0
в —
кал
р " Г " г-атом-град
для некоторых элементов в конденсированном
состоянии приведены в табл. 50.
Таблица 50
Т
ю
5°
100
Г5°
2ОО
250
Зоо
400
5«э
боо
ср
0,01
о, or
З.оо
4.20
4.90
5.40
5.70
6,01
6,31
6,60
/-/о
Ал
0,02
12,2
117
301
5^9
789
io68
1054
2271
2916
Ф — Ф0
Т
ИЭ5ШНИЙ
о,ооо
о.оЗо
0,523
1,10
1,83
2-47
3,°9
4,2О
5-17
6,оз
Ф-Фо
о.ооо
3.99
5=3
174
366
619
927
1680
2584
3616
S-S0
0,002
0,023
1,69
3,i7
4-48
5.63
6,65
8,34
9-71
10,89


ГЛ. Ill)
ФИЗИЧЕСКАЯ (ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ) ХИМИЯ
369
Продолжение табл. 50
Продолжение табл. 50
г
ю
5°
zoo
ISO
200
250
300
400
500
боо
10
So
IOO
1 *5°
2ОО
250
Зоо
4оо
5оо
боо
10
50
100
150
20О
250
Зоо
400
5оо
594
(ТВ.)
594
(ж.)
ю
50
IOO
15°
200
250
Зоо
336,6
336,6
(ж.)
10
50
IOO
150
20О
250
Зоо
4ОО
боо"
ю
5°
100
Г5°
200
250
goo
4оо
5оо
боо
IOOO
СР
о, но
3,45
5-09
5.6?
5.94
6,об
6,12
6,23
6,34
6,46
0,00
0,65
2,6l
4,4
б,"
5.76
6,19
6,60
6,80
7,00
0,215
3,90
5.32
5,73
5,93
6,08
6,20
6,43
6,67
6,94
7.50
0,46
5.01
5,89
6,22
6,48
6,75
7,02
7-23
7.50
0,044
2,54
4.65
5,49
5,91
6.15
6,31
6,62
6,94
7,21
0,00
1,41
3.8о
4,75
5.30
5,67
5,84
6,09
6,31
6,44
6,98
/- 'о
3
о, 27
69,9
292
5б4
855
1156
1460
2078
2707
3347
Ж
О,О1
8,04
I7'7
26l
496
7°9
1069
1716
2386
3077
К
о,53
87.6
326
бо3
895
ноб
!5°3
2Т35
2789
3424
49°8
Ь
1,2
132
4ю
714
103°
1357
1706
1967
2542
Ка
O.IIO
44.2?
233,8
490,4
776,3
1078
1390
2036
2714
3423
Л
1
0,039
2О,2
*58
3?6
628
9°3
i787
2408
3045
5729
Ф-Фо
f
олото
0,009
0,697
2,19
3,55
4.71
5,7°
6,57
8,02
9<2О
10,20
елезо
о.ооо
0,053
о.збо
0,878
1,48
2,Ю
2,71
3,84
4,85
5,75
1ДМИЙ
o,oi8
0,985
2,73
4,21
5,44
6,47
7,37
8,85
10,06
11,04
11,04
Салий
0,039
1,75
4.12
5,95
7-35
8,52
9-55
10,22
10,22
льций
о,оо4
0,369
1,46
2,6о
з.бз
4,54
5>3б
6.76
7.93
8,95
1едь
o,ooi
0,147
0,789
1,62
2,43
3,i8
3,87
5-09
6,13
7-°3
9,79
Ф-Фо
о.од
34,9
219
533
942
Н25
197 1
3208
4&оо
6l2O
0,003
2,64
36,0
132
297
526
812
1535
2426
3452
0,176
49,2
273
631
1087
1618
2210
3541
5031
6558
6558
о,39
87,5
412
893
1470
2132
2865
3440
3440
0,037
18,45
>-ю
146,1
389,7
725,6
1136
1бо8
2703
3966
5368
0,013
7.3б
78,9
242
486
796
1161
2035
3063
4217
9792
5-50
0,036
2,1О
5,12
7-31
8,99
ю,33
п,44
13,22
14, 6i
15,78
0,07
2,74
5,99
8,24
9-91
11,25
12,38
14,18
15,63
16,80
19,3
0,159
4,39
8,22
10,71
12,50
13,95
15,24
16,06
17,77
0,015
1,25
3,80
5.87
7.51
8,85
9-99
11.85
13.36
14,66
0,005
0,551
2,37
4-13
5,57
Z '
6,79
7-84
9,5б
10,94
12,10
15.52
Г
ю
50
IOO
150
2ОО
250
Зоо
10
5°
IOO
150
200
250
Зоо
4оо
боо
ю
5°
100
15°
200
250
Зоо
371
ю
5°
100
J5°
200
250
300
400
боо
1000
10
50
IOO
150
2ОО
234-3
(ТВ.)
234,3
(ж.)
250
СОО
ю
5°
100
15°
2ОО
250
Зоо
4оо
5оо
боо
ю
5о
100
150
2ОО
250
Зоо
4оо
5оо
с
р
О,О1
0,94
ЗД9
4,47
5,09
5,45
5,65
о,оа
1,48
4,2
5, °6
5,52
5-7б
5,88
6,40
7-93
о,иб
3,82
5-42
5,93
6,24
6,53
6,8з
7-55
0,048
2,56
4>б9
5,5б
5,95
6,и
6,2О
6,30
6,53
6,98
i,ii
4,94
5,86
6,2О
6.47
6,65
7,°°
6,00
6,65
°,65
5-20
5,84
5,98
6,i6
6,29
6,41
6.73
7.09
7-5о
0,054
2,54
4.52
5-37
5,66
5,88
6,07
6,25
6,5б
j j
Мс
О,02
12,9
ид
315
555
820
юоБ
М
0,042
21,8
176
676
959
1251
г8б4
3293
Нг
о, 29
7,9
3i8
603
908
1227
1560
2065
П:
_
44,1
234
492
781
1083
1391
2016
3298
6002
3,8о
142
417
719
1036
1261
1816
1920
2254
С
i,74
147
429
725
1028
1339
i656
2311
3002
3731
I
_
49,0
239
491
768
1058
1358
1975
2617
Ф - Ф„
Т
>либден
_
0,089
о,535
1,19
1,90
2,57
3,20
агний
0,001
0,163
0,866
1,78
2,66
3.47
4.20
5>4б
7,51
1трий
_
0,778
2,43
3>9°
5,13
6,20
7,ю
8,26
патина
_
о,з8о
1,46
2,6о
3,64
4.56
5,38
6,78
8,96
11,92
>туть
0,146
2,39
4.83
6,66
8,07
8,92
—
9-42
io,8i
винец
0,059
2,11
4,65
7^94
9,"
ю,ю
",73
13,05
14,17
[инк
_
о,43о
1,58
2,72
3,75
4,65
5-45
6,8i
7.95
Ф -Ф0
_.
4.45
53-5
179
38о
643
962
0,014
8,14
86,6
227
532
866
1259
45°3
_
38,9
243
585
Ю2б
155»
2130
3065
—
19,о
146
39о
728
1140
1614
2712
5376
11920
1,46
"9-3
483
995
1615
2090
—
2355
3242
0,500
гоб' '
465
975
1588
2377
4692
6525
8502
_
21,5
158
408
75о
пбз
1631
2724
3975
S - Sn
_
о,35
1,72
3,29
4,68
5.85
6,87
_
2,34
5,6i
7,92
9,67
11,11
12,30
13-83
_
1,26
3-8о
5,88
7,55
8,89
10,02
11,8.2
14,46
0,532
5-22
9,00
",43
13,25
14.30
16,67
17,10
18,32
0,233
5.05
8,94
11,33
13-08
14,47
15,62
17.50
19-05
20.39
_
1,41
3.97
5-99
7,59
8,88
9,98
«.75
13,18
24 Том 1, кн. I


370
химия
[РАЗД. 1
Продолжение табл. 50
Продолжение табл. 50
г
г
10
5°
100
jgo
200
250
300
400
500
боо
IO
50
ТОО
15°
200
250
Зоо
4оо
5оо
боо
90
100
150
200
250
Зоо
10
50
100
Т5°
200
250
Зоо
4оо
500
5°
100
150
2ОО
250
Зоо
4оо
5оо
боо
1000
125°
10
50
100
150
200
250
Зоо
385,9
10
5°
100
15°
2ОО
250
Зоо
4оо
5оо
бэо
1000
1250
ср
0,04
2,75
4,75
5,49
5,77
5,94
6,оо
6,16
6,40
6,67
Кр
о,оо
о,4б
1,74
2,70
3,6о
4,31
4,86
5,55
5,8о
5,91
1.54
1-77
2,85
3,75
4,5°
5-07
о,45
4,85
5-7°
5,94
6,и
6,24
6,35
6,6о
6,83
о,оо
0,°5
о, 24
0,58
1,02
1,52
2,54
3,35
3,92
5-15
5,6о
O.II
1,86
3,02
3,90
4,63
5,Н
5-49
6,13
о,оо
о,13
0,40
0,78
1,2О
1,65
2,09
2,95
3,49
3.91
5,14
5-68
/-/о
С(
0,15
47 !°
243
502
785
Ю77
1376
1985
2би
32бЗ
емний (к
0,0097
6,1О
60,9
172
330
528
759
I28l
1852
2438
Кремний
44,7
6l,2
177
343
550
790
Т
1,15
136
409
701
1002
131 1
1б2б
2275
294 э
Углер
о,из
i!?9
9,15
29,7
69,3
133
336
634
IOOI
2849
4195
0,32
44,5
168
342
556
801
1067
1565
Углеро
0,ОО2
1,85
14,5
44,2
93,8о
165
258
5ю
835
1206
3037
4390
ф _ ф0
Т
гребро
0,004
о,391
1,54
2,71
3-76
4,68
5-49
6,85
7,9о
8,87
ристалли
О.ООО
0,041
O,26l
0,610
1,01
1,43
1,85
2,7°
3-47
4,18
(аморфн
0,2ОЗ
O,26l
o,6i8
1,03
1,47
1,91
аллий
о.озд
1,82
4,20
5,98
7-37
8,52
9,49
ii,ii
12,36
од (алка
о,ооо8 '
о.ооб
О,О2О
0,050
0,096
0,l6l
0,341
0,574
0,842
1,99
2,68
Сера
0,0098
0,5^3
1,44
2,24
2,97
3,63
4-25
5-21
д (графш
о,ооо
О,О12
о.обд
о,155
0,263
0,388
0,52б
о,8зо
i,i6
i,49
2,78
3-51
Ф-Фо
0,038
19,6
154
4°7
752
1164
1646
2644
3948
5320
ческий)
о.ооз
2, об
26,1
91,6
202
357
555
Ю79
1735
2508
ый)
18,2
26,1
92,7
206
367
572
0,386
90,9
420
898
1474
2129
2846
4444
6179
*)
0,038
0,59s
3,5°
10,0
23,99
48,17
136
287
505
3359
0,098
28,2
144
336
593
908
1274
2009
г)
0,001
о,6ю
6,94
23,3
52,6
97
158
332
579
897
2780
4386
SC
— OQ
0,0l6
1,33
3,97
6,оё
7,6д
8,99
ю,о8
11,82
13,12
14,31
O.OOI
O,l6
0,87
1,78
2,66
3,54
4,38
5,90
7,17
8,24
0,70
0,87
1,80
2,75
3,67
4,54
0,0031
0,024
0,081
0,20
о,37
0,60
1,18
1,84
2,51
4,84
6,04
0,0418
i,45
ЗД2
4-52
5-75
6,83
7,8!
9,27
0,0002
0,049
0,2!
о,45
0,73
1,05
i,39
2,11
2,83
3,50
5,82
7,02
1 ~— —
т
50
9o,i
2OO
298,1
4oo
боо
8oo
IOOO
1500
2500
250
298,1
400
600
800
IOOO
J5°°.
2500
5°
100
200
300
400
600
800
IOOO
1500
2500
СР
6,962
6,962
6,961
7,oi8
7-197
7.6?5
8,об9
8,339
8,702
9,001
б,772
6,892
6,974
7,оо8
7>°79
7,220
7,718
8,531
6,955
6,955
6,956
6,96
6,991
7,2оо
7-516
7,821
8,334
8,761
1-1»
Кисл
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Вод
452,3
—
744,о
1148
15бЗ
1999
3246
6440
А
_
io6,8
395,7
.594,6
795,1
1218
1695
2237
3806
7427
Ф-Ф0
Г
ород *
_
33,8i2
39,3i5
42,081
44,127
46,984
49,062
5o,7i5
53,82б
57-939
ород*
_
24,436
26,438
29,769
31,204
32,752
35.6о5
39,345
зот *
_
—
—
38,876
40,877
43,7°5
45,729
47,322
50,301
54,246
Ф-Фо
5 S0
36.587
40,686
46,236
49,oi8
51,121
54,
56,38J
58,214
б1,б74
66,198
30,124
31,230
32,267
Збдох
38,П5
39,721
42,739
46,89 [
ач-збб
38,i86
43,00?
45-828
47,833
50,701
52,815
54-527
57,8о7
62,184
* Все величины отнесены к 1 г • молю.
ТЕРМОХИМИЯ
Экзотермическая реакция. Химическая
реакция, сопровождающаяся выделением те-
плоты, т. е. химический процесс, при котором
необходимо отводить теплоту, чтобы конеч-
ные продукты реакции имели ту же темпера-
туру, как и исходные вещества.
Эндотермическая реакция. Химическая
реакция, сопровождающаяся поглощением те-
плоты, т. е. химический процесс, при котором
необходимо подводить теплоту, чтобы про-
дукты реакции имели ту же температуру, как
и исходные вещества.
Пример. Химическая реакция образования водяного
газа (смесь СО и Н2) в результате воздействия водяных
паров на накалённый уголь
С + НаО = СО + На.
Термическая диссоциация. Обратимая
реакция химического разложения вещества,
обусловленная изменением его температуры
или давления.
Пример.
СаСО3 = СаО + СОа: 2Н2О = 2На + Оа.
Теплота реакции Q. Количество теплоты,
выделяющееся в результате протекания хими-
ческой реакции и определяемое как то коли-
чество теплоты, которое нужно отнять от
системы, чтобы система в конечном состоянии
была приведена к первоначальной температуре.
Теплота реакции считается положительной,
если она выделяется при протекании реакции.
Эта величина рассчитывается на опреде-
лённое количество (моль, грамм, килограмм)
какого-либо исходного или получающегося
вещества; она зависит от условий протекания


ГЛ. Ill]
ФИЗИЧЕСКАЯ (ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ) ХИМИЯ
371
реакции. В современной литературе иногда
не разграничивают понятий «теплота реакции"
и «тепловой эффект реакции", и рассматри-
вают их как тождественные, что является не-
допустимым. Термином „теплота реакции"
следует выражать то количество теплоты, ко-
торое выделится в результате протекания
химической реакции, в частности, при горении
(в этом случае следует применить термин „те-
плота горения"). Термином же „тепловой эф-
фект реакции" следует обозначать величину,
учитывающую и теплоту реакции и всю произ-
ведённую механическую и немеханическую ра-
боту. Теплота реакции может быть больше, рав-
на или меньше теплового эффекта реакции в
зависимости от того, совершена ли работа внеш-
ней средой или произведена самой системой.
Теплота реакции при постоянном
объёме Qv — теплота реакции, протекающей
при условии неизменности объёма всей си-
стемы. Если реакция протекает при неизменном
объёме и при этом не выполняется какая-либо
работа (электрическая работа и т. д.), то те-
плота реакции при постоянном объёме равна
убыли внутренней энергии системы
Теплота реакции при постоянном да-
влении Qp — теплота реакции, протекающей
при условии неизменности давления в системе.
Если реакция протекает при неизменном
давлении и при этом не выполняется какая-ли-
бо работа, отличная от работы против внеш-
него давления, то теплота реакции при постоян-
ном давлении равна убыли энтальпии системы
Связь между теплотой реакции при
постоянном объёме Qv и теплотой реакции
при постоянном давлении Qp Если хими-
ческая реакция протекает в системе без вы-
полнения работы, отличной от работы про-
тив внешнего давления, то величины Qv и Qp су-
щественно отличаются лишь для газовых реак-
ций, протекающих с изменением числа молей:
Qv = Qp +RT(ns-,:)
где ла — сумма числовых коэфнциентов в хи-
мическом уравнении, стоящих перед символами
газообразных веществ для продуктов реакции;
и «! — соответствующая сумма, составленная
для исходных веществ; например, для реакции
2СО + 02 = 2СО2, n<i — 2, л, = 3; для реакции
СаСО3 = СаО + СО2 ла=1,' щ = 0. Что ка-
сается конденсированных систем (т. е. состоя-
щих из твёрдых и жидких тел), то на практике
обычно не делают различия между теплотами
реакций при постоянном объёме и при постоян-
ном давлении. Однако это оказывается не
всегда допустимым.
Теплотворная способность, калориме-
трическая теплотворность — количество те-
плоты, которое выделяется при сгорании в
кчлориметре единицы массы топлива, причём
начальная и конечная температуры имеют одно
и то же стандартное значение (обычно 15° С).
Теплотворная способность, высшая
теплотворность — теплотворность топлива при
условии сгорания водорода (как составной
части топлива) с образованием жидкой воды.
Эта величина характеризует максимальное
количество теплоты, которое можно получить
при сгорании топлива.
Низшая теплотворная способность —
теплотворность топлива при условии сгорания
водорода (как составной части топлива) в
перегретый водяной пар.
Максимальная работа — работа термодинамической
системы, выполняющей равновесный изотермический про-
цесс. Это понятие особенно часто применяется при иссле-
довании равновесий физико-химических систем. Макси-
мальная работа равна убыли свободной энергии термо-
динамической системы при переходе последней из началь-
ного состояния в конечное. Работа считается положитель-
ной, если система выполняет её против внешних сил.
Полезная максимальная работа. Максимальная ра-
бота термодинамической системы, уменьшенная на вели-
чину работы против внешнего давления.
Понятие „полезная максимальная работа" особенно
часто применяется при исследовании физико-химических
равновесий; она показывает ту часть максимальной работы
E.4 — pdv, где ЬА — максимальная работа), которая, на-
пример, для химической реакции может быть использована
для получения полезной работы, тогда как работа, обу-
словленная изменением объёма, в этом случае не является
полезной.
На основании уравнения Гиббса-Гельмгольца можно
вывести диференциальное уравнение для установления за-
висимости полезной максимальной работы от температуры.
дА,
Av - (Ut - U,) = Т —
дТ
АР - (A -U =
ибо полезная максимальная работа для процессов, проте-
кающих при постоянном объёме, равна убыли свободной
энергии, а для процессов, протекающих при постоянном
давлении,— убыли изобарного потенциала.
Мера химического сродства — полезная максималь-
ная работа химической реакции.
Данное определение указывает на то, что мерой хими-
ческого сродства является разность значений свободной
энергии для исходных и конечных веществ, взятых при
одном и том же объёме и при одной и той же темпера-
туре, или разность значений изобарного потенциала для
исходных и для конечных веществ, взятых при одном и,
том же давлении и при одной и той же температуре.
Термин „химическое сродство" возник очень давно для'
обозначения способности веществ в химической реакции
соединяться друг с другом, образуя новые химические
соединения. Термодинамическое определение сродства хи-
мической реакции впервые было дано Вант-Гоффом.
Мера нормального химического сродства — мера
химического сродства, определённая при условии, что все
исходные и конечные вещества имеют концентрации (или
парциальные давления), равные каждая в отдельности
единице.
Математически мера нормальногохимического сродства
Ап определяется уравнением
Лл —- R Tin К,
где R — универсальная газовая постоянная и Л' —константа
равновесия.
Это понятие введено для возможности сравнения хими-
ческого сродства различных химических реакций.
Тепловой эффект реакции —убыль внутренней энер-
гии в результате химической реакции, причём предпо-
лагается, что конечная температура равна начальной.
Согласно первому началу термодинамики
-(?/,-?/,)-Л.
Таблица 51
Тепловые эффекты образования молекулярных
' газов из атомов
те
>>"
S о>
О.Я
|3
н.
Cl,
02
ьа
Схема
реакции
H + H = H2
С1 + С1 = С12
О + О - Оа
S+b = S3
д
а
а
103,7
56,9
-3
112
со sa
о ^
•& и
Se,
N,
СО
Схема
реакции
fe + Se — Sea
N + N = Nj
с+о = со
1
у
84
230,0


372
химия
[РАЗД. 1
Таблица 62
Тепловые эффекты образования неметаллических
соединений в ккал/моль
Формула
НС1
н,о
HSO
H2S
H,N
! HSN
H,C
H.C,
HA
so.
so.
S03
S03
HaSO,
HaSO4
HaSO4
NO
NOa
NjO,
NaO4
HNO3
Pa0s
H3P03
H3PO.
As2O3
! Sb2O3
SbaO4
SbjOi
B203
CO
CO
CO,
CO,
CO,
; CO2
CO3
SiOa
TiO2
i Sb2S3
; (кр.)
Sb,S,
(чёрн.)
SiC
| C3N,
Схема реакции
образования
V.H.+V.CI,
Ha + VaOa
(при 0°)
Ha+V30,
(при 18°)
3 me. ромб + ^2
(при 25°)
i/jN +s/aHa
(при 0°)
V.N+V.H,
(при 659")
ств. В-граф +
' + 2Н2
2Сотв. $-граф +
2Cme. р|Х Ь
Spo«tf +• °*
VaSa ?аз + °*
S/?0 «5+3/2°а
?Oa + VsOa
Spo.«6"+
+2О2+Н,
SO3,nfl- +
+ Н20
80*ряста. +
+ '/аОз+На'о
VA+'AA
'/2S2+Oa
NO2+NOa
Na+2O3
'/»^+'/Л +
2Ртв.'лл +
+ 5/a'Oa
P/nS. <?<?./? +
+ 3/203+3/aH2
P,ng 6>Л +
+20a+3/aHa
2As^m+
2Sb+3/2O,
2Sb+2O2
2Sb+5/,Oa
2Важ+3/2Оа
Ср. градв +
СЙЛ+1/аО2
сЗ-гра5Й+°2
са-гро^+°2
СаЛ_иаз + Оа
Саи+О2
CO + '/sOj
SJ«-pefm + °«
Ti + 0,
28Ь+35рОЖE
28Ь+35^ОЖ(д
Si/cc-wrm +^ял
2Ср.грЯ95 + ^
Газооб-
разное
+ 22,О
57,8
57-85
45
+ 19,6
+ 11,0
+ I3.I
+ i8,6
— 20,9
-54.8
4 69,0
Ч 8з,8
+ 9т-9
4 22,9
—
—
_
— 21,6
—8,1
+ 13,6
-2,6
+ 34,4
_
—
_
-
_
—
—
_
+ 26,2
+29,7
+ 94,27
+ 93,98
+ 94,48
+ о7,8о
+68,о
-
_
_
_
—
-74
Жидкое
+68,5
+ 68.38
_
+ i6,7
—
-
—
-
+ 75
—
+ 102
+ 33
+ 192,9
+ 21,3
—
—
—
—
+ 5,2
+41.5
_
+ 224,6
+300,1
—
_
—
—
—
—
_
—
—
—
—
—
_ •
—
—
—
-68,5
Твёрдое
4 69.95
—
_
—
—
._
—
-
—
—
+ Ю3,8
+ 34,8
г 195,2
—
—
—
—
—
—
+ 42,2
369,9
+ 227,7
+ 302,6
154.7
163,0
209,9
229,6
282,1
-
—
—
._
—
+ 191,0
ai84
+ 32,6
+ 38,2
+ 2,О
—
Раствор
+39,3
—
—
+9,6
19-35
—
—
—
_
+ 78
—
+ 141, 5
+72-5
+ 210,8
—
+ 63,8
—
—
—
—
+ 49,1
+405,5
+227,6
+305,3
+ 147,!
—
—
—
289,4
—
-
+ 100,15
+ 99-86
loo, зб
юз,68
—
—
-
_.
—
-67
где Q—теплота реакции; (i/i — С/а) — убыль внутрен-
ней энергии, или в данном случае тепловой эффект
реакции; Л — общая работа, включающая в себя ме-
ханическую и немеханическую работу. Отсюда видно,
что
U, - U, = Q + A
т. е. тепловой эффект реакции есть сумма теплоты
реакции и произведённой работы. Поэтому нельзя
рассматривать термины „теплота реакции" и „тепло-
вой эффект реакции" как синонимы.
Тепловой эффект образования — тепловой
эффект реакции образования данного соединения из
элементов (простых веществ).
Тепловой эффект образования данного химиче-
ского соединения зависит от состояний исходных
веществ и данного химического соединения (табл.
51, 52, 53 и 54).
Таблица 53
Тепловые эффекты образования соединений
металлических элементов в ккал\моль
Формула
ПС1
Li2O
LiaS
Li3N
LiaCOa
NaCl
NaBr
Na2O
Na2Oa
NaOH
NaSa
Na3SO4
NaaS2O3
NaNO,
Na2CO,
NaHCO3
Na2FiO3
Na2B,O7
KC1
KCN
KaO
KOH
KC1O,
K.NO,
K3C03
Rb2O
CsCl
CsaO
NH4C1
NH4C1
NH4OH
(NH4JN04
NH4NO3
(NH4)aC03
CuCl5
Cu,,O
CuO
Cu2S
С\15Краст
Cu(OH)a
CaSO4
CuCO3
Cu(.N03)a
Схема реакции
образования
Литий
Li + VaCs
2Li+'/2O3
2Ы + 5„ОЛ^
3L1+V2N2
Li20 + C02
Натрий
Na+VaCl,
Na+Br (жидк.)
2Na+'/2Oa
2Na + Oa
Na + '/2O3+'/243
2Na+Sp0yM/5
2Na+SpOJM5+2O2
2Ка+28рОЛ5+3/2Оа
N a + '/aNa + 3/o Oa
2Na + C+3/aO2
Na + C + 'AHa+3/2Oa
Na2O+Si6a
2Na + 4Bajw+V2Oa
Калий
K+!/3Cla
2K+'/2Oa
K+1/ cf +3/2 o*
K + '/sNa + a/oO,
2K+C+3/aO3
Рубидий
2Rb+V202
Цезий
Cs + VaC1,
2Cs+'/2Oa
Аммоний
КНзгдз+НС1га,
5/ N +2Ha+V2ci.
i/ \ . s/ н +aa '
j(;3 +34Ha+ SDoHg + 2Oj
N +2H +3/-.Oa
Na+4Ha+C+3/2O,
Медь
Cu + CU
2Си + 1/3О3
Cu + V O-
2Си+й„ол5
Cu + S00,,E
CuO+H2O
Cu+C+3/,Oa
Cu+Ka+3Oa
Твёрд.
+98,7
+ 142,8
—
+47,0
+54-2
+97-7
+85,8
+ ioo,7
+ i 19-8
+ 102,7
+88,7
+327,9
+ 256,3
+ 111,2
+ 272,6
+229,3
+97-8
+ 748,1
+ 105,6
+27,8
+86,8
+ 102,7
+95.9
+ 119,5
+281,1
+83-5
+ 106,4
+82,7
+41-9
+ 75-8
+281,9
+88,1
—
+ 5i,6
+40,8
+ 37,8
+ 19,0
+ 11,6
+ 1,66
+ 111,5
+ 142,8
+ 71-5
Рас-
твор
+ io6,j
+ 173.6
123,1
—
—
+96,4
+85,6
+157,2
+ 112,7
+104,4
+328,1
+258,0
+ I06,2
+ 278,2
+ 225,0
—
+ 758.3
+ 101,2
+24,8
+ 161,8
+ 116,0
+ 85,9
+ 111,0
+287,6
+163,5
+ 101,7
+ 165,9
+38,o
+71,9
?O,3
+ 279,5
+ 81,8
221,6
+ 62,7
::
—
__
+126,3
+82,0


ГЛ. Ill]
ФИЗИЧЕСКАЯ (ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ) ХИМИЯ
373
Продолжение табл. 53
Продолжение табл. 53
Формула
AgCl
AgaO
AuCl
AuCl,
1 AU..OJ
BeO
М-С1а
MgO
MKOH),
Mg.,N2
MgSO4
МёС°зосажд
CaFa
CaC1s
CaO
CaS
Ca,Ns
CaCa
CaSO4
Ca3fP04),
CaSiOs
CaCO3
SrO
SrSO4
SrCOs
Bad,
BaO
BaOa
Ba.,N,
BaSO4
BaCO3
ZnCI.
ZnO
Zn(OH)a
ZnSO4
2пС0зосажд
CdO
CdS
CdSO4
HgCl,
HgaO
HgO
HgS
A1F3
A1C13
Ala03
A1(OHK
A1N
A14C3
Схема реакции
образования
Серебро
Ag + '/aCI,
2Ag + V2Oa
Золото
Au + '/jClj
Au+3/2Cl4
2Au+3/2O2
Бериллий
Be + VgOj
Магний
Mp+CU
Mg+VsOz
Mg + Oa+Ma
3Mg+Nj
Мё+Ьромб+Ю
Mg+C+3/aOa
Кальций
Ca + Fa
Ca+Cl2
Ca+VaOa
Са+Ь^;ол?
3Ca+Na
Ся+Жфаф
Ca+Spo^+20,
SCa+2P + 4O.,
CaO + SiO2 (кварц)
Ca + C+3/aOa
Стронций
Sr + Va03
Sr + SpOM6 +20a
Sr+ C+3/aOa
Барий
Ba+C!2
Ba + '/2Oa
Ba+O,
3Ba + Na
Ba + $ромб+20*
Ba + C+3/2Oa
Цинк
Zn + Cta
Zn + '/jO,
ZnO + H2O
Zn + SpoMfi
2п + 5рол5+20а
Zn + C+3/aOa
Кадмий
Cd+VaOa
cd + spOMS
Cd+SpOM6+20,
Ртуть
Hg+Cla
2Hg+'/2Oa
Hg+V30a
^S+^ромб
Алюминий
Al+3/aF2
Al+3/2Cl2
2Al+3/2Oa
Al+3/2Oa+3/aHa
Al + V3Na
4A1+3C
Твёрд.
i
+ 3°,6
+6,5
48,4
+ 28,3
- 12,3
+ 135.°
+ I51,0
+ 145,8
+ 217,3
+ 119.7
+302,3
+266,6
+289,4
+191,0
+ 152,1
+ 111,2
+ 112,2
+ I4.I
+ 332,5
+ 975
+ 33.J
4 284,5
+ 142,2
+341.8
+292,1
+205,0
+ 133,4
+ 144,2
+89,9
+340,2
+285,6
+98,7
+83,0
+2,4
+41,3
+230,1
+ 194.2
+65,2
+34.o
+ 221,6
1
+53,2
+22,2
421,5
+ 10,9
1
i
i
+331,5
+ 161,0
+378,o
+297,0
+60,0
+ 245-1
Рас-
твор
!
+ J4,9
—
__
+ 32,8
-
+ 186,9
—
"
+322,8
—
_.
+ 208,4
+ 170,1
+ ,3
—
—
—
_.
—
—
+ 172,0
—
~
+ 207,1
+ I°7,9
—
—
—
—
+ «4,3
—
_
+248,5
—
._
+232,3
+ 49,9
—
—
+362,5
+237,8
—
—
Формула
LaaO3
СеОа
Pr203
Nda03
T12O
Т*?*крпст
ZrO2
ThOa
SiiCla
SnCl,
SnO
SnO2
Sn(OH).,
PbClj
PbO
PbOa
Р^-э осажд
PbSO4
PbC03
V203
V204
V20,
Ta2Ou
Cr203
CrO,
KoCrO,
K^Cr2O,
MoOa
MoO3
woa
WO,
uoa
U03
U30S
MnCla
MnO
MnO3
Mn,O4
Mn(OH)a
KMnO,
MnS
Mn3C
MnSO4
MnCO,
MnSiO,
i
j
Fed,
Fed,
FeO
FeaOs
Fe30,
Fe(OH)a
2Fe(OHK
FeS
FeSa
Fe3C
FeSO<
Схема реакции
образования
Элементы
редких земель
2La+:V2Oa
Се + 0,
VPr+3/a03
2Nd+3/2O3
Таллий
2T1 + V.O,
Титан, цирконий,
торий
Ti + 0,
Zr + 0,
Th + Oa
Олово
Sn + Cl,
Sn + 2Cls
Sll + VaOj
Sll + O2
Sn+vao2+H2o
Свинец
РЬ + С12
Pb + '/aO,
Pb+O,
рь+5ромб
Pb +8^^+20,
Pb+ca^+m
Ванадий, тантал
2V+3A,Oa
V203+'/2Oa
2V + s/aO,
2Та+5/2О^
Хром, молибден,
вольфрам
2Сг+3/„Оа
Сг+3/2О3
CrO3aq+2KOHaq
Сг2О3+Ж + :Ю2
Мо + Оа
Мо+3/20а
W + Oa
w+a/soa
Уран
U + O2
и+з/;,оа
3U + 4O,
Марганец
Mn + Clj
Mn + '/sOa
Mn + O2
ЗМп + 2О2
Мп+'/аО2 + Н2О
Мп + К + 2Оа
Мп + 5ромб
ЗМп + С
Мп + 8р0мб+Юл
Мп + С+3/,О2
MnO + SiUa
Железо
Fe + C!2
Fe+a/aCla
Fe + VaO,
2Fe+3/aOa
ЗРеч-2О2
Fe + '/2O.,+ H.,O
2Fe + 3/26,+3H20
Г* + 5ромб
Ре + Ыромб
?Ре + Сз.грйо9
Fe+SOs+VaOa + aq
Твёрд.
+ 457,°
+ 232,0
+ 412,4
+ 435-1
+ 42,3
+ ai8,4
+ I77-4
+328,0
480,8'
+ 127,3
466,8
4-138,0
+ 68,r
+ 85,7
~f~52'7
+65,3
+ 20,9
+216,8
+169,5
+ 302 ± 10
+ 59.6
4 437, 7 ± 7
+498.4
+267,0
+ 140,0
+ 30,4
+ 220,4
+ 142,8
+ 175.6
+ 131,4
+ 194.9
+ 269.7
+ 294,Q j
+ 845,2 1
+ 112,0 ,
+ 9Л5 i
+ 123 |
+ 345 i
+ 94,8
+ 194-8
+ 08,9
+ 23,0 |
+ 249-4
+ 219,1 j
+ 7-7 ;
+82.1
+96,0
+64,3
+198,5
+2ob,q
+68,3
2XI91-2
+23,1
+35.5
—5,4
—
Pac-
1 твор
!
|
._
:: !
|
+39.!
:
~
+81,2
+157.3
.._
+78,9
„
-
_
~
-
—
+142,5
+25.4
+200,4
__
_
-
_
_
-
4128,0
_
_
_,
—
+184,4
—
_
+263,2
—
-
4 100,0
+ 128,7
_
_
__
—
.._
—
-
+93-2


374
химия
[РАЗД. I
Продолжение табл. 53
Формула
Fe,(S04K
FeC03
РемО3
Fe(GO),
СоС1а
СОкрист
Co3O4
NiCla
NiO
NiSO4.7HOa
PdCl2
Pd(OH).j
Pd(OH),
PtCl4
KoPtCl.
K2PtCl(l
Pt(OH),
OsO4
RuClj
RuO,
Схема реакции
образования
Железо
2Fe+3SO.,aq+3/2O.i
Fe + C+3/2O.2
Fe+Si+3/20,
Fe + 5CO
Кобальт
Co + Cla
Co + V О
ЗСо+2О8
Никель
Ni + Clj
Ni+V20,
Ni+S02-t-O3+7H,0
Палладий, платина,
осмий, рутений
Pd + C!3
Pd + '/зОз+НчО
Pd + O2+2H36
Pt+2CI,
Pt + Cl2+2KCl
Pt+2Cla+2KCI
Р1+'/„Оа+НаО
Os+2O»
Ru+3/aCla
Ku + 03
Твёрд.
-t 172,6
+254-6
+54.4
+ 7°-5
+ 57,5
+ 193,4
+ 74,5
+ 58,9
+ 162,5
+ 4°-5
-4-23,7
+ 30,4
+60,4
+ 45,2
+90,6
+ -'9,2
+ 934
+63,0
+52o
Рас-
твор
+224,9
—
—
-
—
-
+ 93,7
+ 158,3
_
4 8o.o
+ 33,°
-1 76,9
—
-—
_.
Таблица 54
Тепловые эффекты образования интермгталлических
соединений в ккал/моль
Фор-
мула
AlCu
Al.Cu
СаА13
CaCd3
Ca3Mg
Ca4Zn
Са„гп3
CaZn4
ККПЛ
моль
+ 32,4
+ 23,3
+5i
+3°
+ 43
+ 32
+ 40
+ 29,5
Фор-
мула
CaZn,0
CdaCua
CdSb
Cd,Sba
CoAl
CoaAI5
Cu3Sb
CUgSn
ккал
моль
+ 48
+3
+ 3
+ 4
+ 33
+ 86
+ 2,5
+3
Фор-
мула
FeAl3
KHga
KHg9
KNa3
(TB.j
MftAl4
MgCd
MgZu
ккал
моль
+ 2S
+ 2O
+33
—3,93
+ 49
+ 9-2
+ r.a,6
Фор-
мула
NaCd2
NaCd
NaHga
NaHg
NaHg
Na3Hg
Zn2Cu
Zn3Cu
I
ккал
моль
+8,s
+ 12,4
+ 10,3
+ 17,8
+ 20
+ 12,9
+ ю,4
+ 16
Основной закон термохимии. Закон Гесса
Утверждение, высказанное в 1840 г. русским академи-
ком Гессом (до того как было сформулировано первое
начало термодинамики), являющееся частной формой
первого начала термодинамики в его применении к хи-
мическим реакциям и называющееся законом постоянства
сумм тепловых эффектов: „Если из данных исходных
веществ могут получаться данные конечные продукты
различными химическими путями, т. е. различными после-
довательными реакциями, то суммы тепловых эффектов
всех отдельных реакций вдоль каждого пути одинаковы".
Пример. Исходные вещества: кислород Оа, углеродС;
получение углекислого газа может быть осуществлено
путями:
I. С + '/»Оа=СО,
п. с + о~2 = со,.
СО +
Обозначгя тепловые эффекты: 1) реакции образова! ит
окиси углерода (СО) через q,, 2) реакции сгорания окиси
углерода до днуокиси углерода через q3 и 3) реакции
образования углекислого газа через q3, получаем на
основании закона Гесса
Если под химическим символом вещества условиться
понимать внутреннюю энергию одного его моля (или грамм-
атома) в соответствующем состоянии, то обычное уравне-
ние химической реакции будет выражать собой закон
сохранения энергии, если только в правую часть хими-
ческого равенства вписать тепловой эффект. Например,
уравнение С + О2 = СОа + 94 480 кал имеет уже энерге-
тическое содержание; с отдельными символами при таком
их понимании можно производить алгебраические опера-
ции. На основании закона Гесса или общих соображений
о сохранении энергии можно установить следующее пра-
вило: для определения теплового эффекта реакции нужно
вместо химических символов веществ в химическом
уравнении реакции подставить тепловые эффекты обра-
зования с обратным знаком.
Пример. Определение теплового эффекта Q реакции
Fe3O4 + СО = СО, + ЗРеО + Q.
Тепловые эффекты образования в кал:
?PU г, = 266 90°; Чгъ = 26 200-- Ч п„^ = 64 300;
На основании вышесказанного правила:
— ?66 900 — 26 200 = — 94 270 — 3 • 64 300 + Q";
Q = 3 • 64 300 + 94 270 — 266 900 — 26 200.
Этому правилу можно дать следующую форму: те-
пловой эффект реакции равен сумме тепловых эффектов
образования всех конечных веществ за вычетом тепловых
эффектов образования всех исходных веществ.
Если химическая реакция протекает без выполнения
работы, отличной от работы против внешнего давления,
то высказанные правила справедливы и для теплоты
реакции при постоянном давлении и теплоты реакции при
постоянном объёме.
Закон Гесса позволяет решать следующие задачи:
1. Определение теплового эффекта реакции по тепло-
вым эффектам образования всех участвующих в реакции
веществ (например, теплот сгорания).
2. Вычисление теплового эффекта образования того
или иного вещества по тепловому эффекту какой-либо
реакции, в которой данное вещество участвует.
3. Вычисление теплового эффекта какой-либо про-
межуточной реакции, трудноосу ществимой в отдельности
(табл. 55).
Таблица 55
Тепловые эффекты аллотропических превращений
в ккал на грамм-атом
Эле-
мент
As
С
С
С
Fe
Fe
Fe
S
S
P
P
P
Sb
Se
Se
Si
Sn
Sn
Те
Исходная форма
Аморфм. коричн.
Алмаз
То же
я
Э-Ре
y-Fe
6-Fe
Аморфная
Монокл.
То же
Белый
„Красный"
Взрывчат.
Стеклообразная
Краен, крист.
Аморфн.
Серая
Бел. тетрагон.
Аморфн.
Конечная
форма
Крист. серый
Аморфный
а-графит
р-графит
а-Ре
р-Ре
Y-Fe
Ромбическая
То же
„
„Красный"
Фиолетовый
Обычная
Металлич.
То же
Кристаллич.
Бел. тетрагон.
Ромбич.
Кристаллич.
ккал
г • атом
3,3
-3,3
0,49
о, 19
о,37
о,37
О, II
о,8
0,077@°)
0,086(96°)
3,7—4,2
0,23—0,7
2,34
1,08A25°)
0,18A50'}
< 2
0,0024(l6l0)
2,63
Зависимость теплоты реакции
от температуры. Закон Кирхгофа
Для реакций, протекающих без выполнения работ,
отличных от работы против внешнего давления, при
условии неизменности объёма или при условии неизмен-
ности давления, производная от теплоты реакции по
температуре равна убыли теплоёмкости системы при
реакции:
(<>QV ,
\-дГ v'
С7, — С 7
дТ }р
= с„ - с,


ГЛ. Ill]
ФИЗИЧЕСКАЯ (ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ) ХИМИЯ
375
где С' — теплоёмкость исходных веществ, а С" — тепло-
ёмкость продуктов реакции.
Для вычисления убыли теплоёмкости необходимо
знать уравнение химической реакции. Например, для
реакции аА + ЬВ — mM + nN убыль теплоёмкости рав-
на: аСд+ bCg— гпСм — пСдг, где под Сд, CQ, Cj^,
Сдг следует понимать теплоёмкости (Cv или Ср ) для ве-
ществ А, В, М, N. Весьма часто закону Кирхгофа
(н диференциальной форме) придают следующий вид:
= У. с' - У с"
^4 V /е*Ь V
дТ
dQp
дТ
где 2 С и 2С — суммы теплоёмкостей исходных
веществ, т. е. суммы произведений теплоёмкостей исход-
ных веществ на соответствующие коэфициенты хими
ческого уравнения. Аналогично строятся SC^ и ^С
для продуктов реакции. В интегральной форме закон
Кирхгофа можно записать так:
Т
диссоциации есть функция температуры и давления
(концентрации). Например, для реакции термической
диссоциации 2СОа = 2СО + О2 константа равновесия Кр
и степень диссоциации а связаны соотношением
Ра?
если а очень мала, т. е. а < 1, то
Кр — —— (Р — общее давление).
Комбинация нескольких равновесий. Если к дис-
социированному водяному пару 2Н2О ^2± 2Н2 -Ь О2 при-
бавить при высоких температурах углекислый газ, ко-
торый также находится в равновесии с продуктами своей
диссоциации 2СОа ^Z± 2CO + О2, то оба газа будут осу-
ществлять общее равновесие, в котором концентрация
кислорода О2 должна быть одной и той же для обоих
состояний равновесия. Таким образом
(НаО)
(С
С"
С0а
2
СО
СН3О_ССО
ссо, сн..
где уже Кс — константа равновесия реакции
НаО + CJ5=±COa + На.
где Q УО
— теплоты реакции для температуры Т0,
в частности, Т0 может быть равной 0° абс.
Таким образом, если известна зависимость от темпе-
ратуры теплоёмкости веществ, участвующих в реакции,
то можно найти зависимость теплоты этой реакции от
температуры.
Из закона Кирхгофа вытекает, как следствие, что
теплота реакции может не зависеть от температуры,
когда теплоёмкость всех исходных веществ в точности
равна теплоёмкости продуктов реакции.
Зависимость констант равновесия
от температуры; изохора и изобара
Вант-Гоффа
Для обратимых химических реакций их константы
равновесия подчиняются уравнениям:
'n Кс
dT~
ЯР
Qp
~ '
ХИМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ В ГОМОГЕННЫХ
СИСТЕМАХ (В ГАЗОВЫХ И ИСТИННЫХ
РАСТВОРАХ)
Константы равновесия — функции температуры (Кс
и Кр^ и функция температуры и давления (Кх), характе-
ризующие стабильные равновесия в идеальной газовой
смеси (или в истинном растворе), возникающие в ре-
зультате данной обратимой химической реакции:
аА + ЬВ ^± mM + nN
и выражающиеся гак:
Са СЬ
f тп ^> п
с М ^ N
Г**СА'СВ'СЛГС
Р,, — парциальные
мольные доли всех участвующих в реакции веществ.
Если вещества, участвующие в реакции, не подчиня-
ются уравнению Клапейрона, то вместо концентраций
следует подставить активности, а вместо парциальных
давлений — фугетивности соответствующих веществ.
Связь между Кс и Кр . Обе константы равновесия
К с и Кр отличаются друг от друга множителем, зави-
сящим только от температуры и алгебраической суммы
коэфициентов химического уравнения. Для реакции
а А + ЬВ :—*" mM + nN
ра рь
к = и
Р п п ' X "
Р MPN
.. — концентрации; р
давления и х . , х ,
ха xb
- Л В ,
х'мхм
» Р Г}' Р
ХМ' XN~~
К
(RT)
т + п — а — Ь.
В том случае, когда сумма коэфициентов левой
части уравнения газовой реакции равна сумме коэфи-
циентов правой части, т. е. когда а + Ь = т + п, то
К с = К р.
Степень диссоциации — отношение числа распав-
шихся молекул к числу бывших до распада. Степень
носящим название соответственно изохоры и изобары
Вант-Гоффа, где Qv и Vp — теплоты реакций при по-
стоянном объёме и постоянном давлении, равные соот-
ветственно убыли внутренней энергии при постоянном
объёме и убыли энтальпии при постоянном давлении.
Из уравнений следует, что при Qv и Qp положи-
тельных, т. е. для экзотермических реакций, с увеличе-
нием температуры увеличиваются и константы равнове-
сия, т. е. равновесие смещается с увеличением темпе-
ратуры в сторону образования исходных веществ. В про-
тивном случае, т. е. когда Qv или Q „ отрицательны (ре-
акция эндотермическая), смещение происходит при уве-
личении температуры в сторону образования продуктов
реакции. В том случае, когда Qv или Qp постоянны, т. е.
не зависят от температуры или их зависимостью от тем-
пературы можно* пренебречь (например, в малом интер-
вале температуры):
In Кс = — -„т- + const и In
— — -р— • + со st;
эти последние уравнения позволяют производить при-
ближённые вычисления констант равновесия.
Интегрирование изохоры и изобары
Вант-Гоффа
Если известны теплоёмкости для всех веществ, уча-
ствующих в обратимой реакции, те изохора и изобара
Вант-Гоффа могут быть проинтегрированы. Например,
ишегрирование изобары приводит к выражению
Т ,г Т
Qp ' Р
IП /V /•) — — "~7ЧТГ ~г ~
U
U
где 1К (константа интегрирования) имеет для каждой ре-
акции определенное числовое значение. Эта константа
интегрирования может быть вычислена из так называе-
мых химических постоянных на основании теоремы
Ыернста (табл. 56 и 57).


376
химия
[РАЗД. 1
Таблица 56
Примеры химических равновесий в гомогенных газовых системах
Константы равновесия важнейших реакций
Реакция
2Н jr± На
2СОч О2 ^—*• СО2
СН(
Выражение для
константы равно-
весия
Константа равновесия как функция температуры
А'„ =
/с =
'НаО
.С,
AV =
"-co,
:co со.
'SO.
к„ -
958(
1,37-10' 7'а-6.65-10 7'а 4 1,907-10 Г5 - 1.08
Приближенная формул;! Ig А'„ — -• -* ^- Ч- 6.015
2Э5СО
Приближённая формула Ig Кс — — ~- -— + И,32
Ig Kp = -- 2203- - 5,15-K)-5 7- 2,54- 10-T ГЧ
Г
Кр • 10* = 0,89 (С = 750°С), 3,8 (С = 830 С), 24,5 (/ - 945°С).
П8(/ = 1065 С), 260 ('/ = 11329С)
Таблица 57
Термическая диссоциация в газовом состоянии
!
Веще-
н,
HC1
H20
H20
Н2О
СО2
соа
С0а
Давле-
ние
в и т
1
10
1
0,1
10
1
0,1
1000° (абс.)
3,9 • 10 ~8
1,34 • Ю-5
1,39 • 10— 7
е.о • ю— 7
6,5 • 10— 7
7,3 • Ю-8
1,6 • 10
3,4 • Ю
Степень
1500° (абс.)
7,5 • Ю~5
6,1 • 10— 4
1,03 • 10~~4
2,2 • Ю
4,8 • 10" 4
1 9 • Ю-4
4,1 • Ю-4
8,7 • 10" 4
диссоциации
2000° (абс,)
3,3 • 10^3
4,1 • 10 
2,7 • 10" 3
5,9 • Ю-3
1,26 • Ю-2
0.82 • 10~ 2
1 8 • 10-2
3,7 • О
2500° (абс.)
3,2 • Ю"
1,3 -Ю-2
1,98 • 10~2
3,98 • 10— 2
8,2 10—2
7,1 • Ю—2
0,158
3,1 • 10— ]
ХИМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ В ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМАХ
Химическое равновесие в гетерогенной системе есть хими-
ческое равновесие для случая, когда участвующие в обрати-
мой реакции вещества находят-
ся в различных агрегатных со-
стояниях, например: равновесие
в системе Fe3O4-f-CO^3l'eO-f-
+ СО2. Здесь Fe3O4 и FeO—
твёрдые вещества, в то время
как СО и СО2 — газообразны.
Основные понятия химического
равновесия в гомогенных систе-
мах, как константа равновесия
и её зависимость от температу-
ры, применимы и для химиче-
ского равновесия в гетероген-
ных системах с тем ограниче-
нием, что в выражения констант
равновесия Кс и Кр должны
входить лишь концентрации
или парциальные давления ве-
ществ, находящихся в газовом
состоянии или в состоянии
истинного растворения.
Так, для приведённой выше
гетерогенной химической реак-
ции Fe8O4 + CO = 3FeO + CO2
константы равновесия имеют


ГЛ. Ill]
ФИЗИЧЕСКАЯ (ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ) ХИМИЯ
377
'СО^
'CO.,
Р_со_
Рсо,
. (Соответствующие f СзО4 + СО 5=± 3FeO -f СО2; Кр =
со,
поправки должны быть внесены и в уравнения
для общей зависимости lg Kp = f(T) при
вычислении постоянной интегрирования на ос-
нове теоремы Нернста).
Примеры химических равновесий
в гетерогенных системах
Давление кислорода
над окислами в мм рт. ст.
4CuO 5=± 2Cu2O -f- O2
ГС = 900 950 1000 1050
р = 12,6 37,5 97,2 239
РЬ804^±ЗРЬО + 1,202
'С = 450 475 500 525 550
/7 = 10,5 24 52 111 223
3Fe203 ^± 2Fe304 +1/2 O2
1100
557
575
422
600
850
При диссоциации Fe2O3 образующийся Fe3O4
может рассматриваться как FeO -+- Fe2O3; по-
этому в таблице приводится процентное содер-
жание FeO.
о/о FeO = 0,90 2,71 9,1 18,4 23,1 31,0
при 1100°= 0,37 0,17 0,10 0,085 0,069 < 0,005
при 1200°= 5,0 3,0 2,151,55 1,27 <0,04
Давление углекислого газа
над карбонатами в мм рт. ст.
/ °С = 400 500 600 700 800 900 1000
/0 = 0,01 0,11 2,35 25,3 168 773 2710
ВаСО3 5=± BaO -f CO2
f°C = 915 1000 1100 1200 1300
/7= 0,4 2,7 17,7 92 382
Давление пара серы
над сульфидами в мм рт. ст.
2CuS 5=± Cu2S + S
t °C = 400 450 475 4SO
р = 1,5 31 170 510
FeS2 = FeS + S
ГС = 575 595 625 645 665 680
р = 0,75 3,5 36,3 106,3 251 518
Примеры равновесий окислов
железа со смесями Н2 4~ Н2О и СО -f-
-f- СО2 при 1 am
Fe3O4 + CO 5=± 3FeO + H2O, Kp~
t °C = 700
o/0Ha - 40,8
Kp = 1,45
feC = 700
/0H2 = 62,0
К = 0,586
800
25,1
2,98
:Fe + H2O;
800
57,4
0,706
900
15,4
5,50
900
53,5
0,822
1000
9,85
9,12
1000
50,3
0,937
p
/°C = 600 700 800 900 1000 1100 1200
%CO = 43,7 35,3 28,2 22,4 18,1 14,8 12,5
Kp = 1,288 1,832 2,546 3,465 4,525 5,755 6,700
P,
FeO -f CO z=t Fe -f- CO2; Kp —
CO,
/°C= 700 800 900 10001100 12001300
°;0CO= 59,5 65,0 69,3 72,7 75,0 76,5 77,1
Kp — 0,681 0,542 0,443 0,376 0,333 0,307 0,297
Стандартные значения максимальной
полезной работы (убыли свободной энергии
при v= const или убыли изобарного потен-
циала при р = const) образования
химических соединений
Изотерма реакции — математическая связь между
полезной максимальной работой (А^ при v — consl, или
Ар при р=const) и константой равновесия (Кс или Кр\
обратимой химической реакции аА + ЬВ+ . . . =mM + nN+
+ . . . (где а, Ь, т, /г, ... — целочисловые коэфициенты
химического уравнения; А, В,. . . обозначают исходные
вещества, а М, N, . . . — продукты реакции), выражаю-
щаяся в виде
,-> а '„ Ъ
AV=RT
In
In
если независимыми переменными являются концентрации
С, и
In
N-
если независимыми переменными являются парциальные
давления.
Для частного случая, когда все концентрации или
парциальные давления в отдельности равны единице,
Av=—RT\nKc uAp=-RT\nKp
Величины Av и Ар определяют собой меру химиче-
ского сродства реакции.
Стандартные значения максимальной полезной
работы реакций образования химических соединений
из элементов. Из свойств максимальной полезной рабо-
ты Ат следует, что она для изотермических реакций,
протекающих при неизменности объёма, равна убыли
свободной энергии (F—U—TS), а для изотермических
реакций, протекающих при неизменном давлении, равна
убыли изобарного потенциала (Ф=Ц— TS + pv):
Ат= -Wv = const = -(дф)р = const.
Поэтому величины Ат могут быть не только опре-
делены экспериментально, например путём измерения
электродвижущих сил соответствующих гальванических
цепей, но и найдены вычислением убыли изобарного по-
тенциала или убыли свободной энергии. Условно принято
в качестве нулевых состояний простых веществ (т. е.
элементов в свободном виде) наиболее устойчивое кон-
денсированное состояние (т. е. твёрдое или жидкое) или
газообразное состояние при давлении в 1 am. При этом
условии максимальная полезная работа Ат образования
химического соединения при 25° (т. е. убыль величины
Ф при р — const или величины F при v = const) может рас-
сматриваться как мера прочности соединения (при / = 25С),
т. е. положительный знак максимальной полезной работы
образования вещества указывает на то, что вещество
самопроизвольно не будет разлагаться на простые веще-
ства; в противном случае такое разложение вполне воз-
можно (конечно, при /=25°). С другой стороны, величины
максимальных полезных работ образования веществ могут
быть использованы для вычисления (путём составления
алгебраической их суммы) максимальной полезной работы
той или иной реакции, в которой участвуют те или иные
вещества.
Дла такого расчёта составляется сумма полезных
максимальных работ продуктов реакции, из которой вы-
читаются полезные максимальные работы исходных ве-
ществ, причём, естественно, что полезные работы обра-
зования простых веществ (т. е. элементов в свободном
виде) принимаются равными нулю. Вычисленная таким
путём максимальная полезная работа химической реакции


378
химия
[РАЗД. I
позволяет: 1) сделать заключение о возможности проте-
кания этой реакции (если Ат > 0); 2) вычислить кон-
станту равновесия согласно равенству Ат = Ар —
= —ЯТ\п.КрилиАт=Аъ=—КТ \пКс. Например, для
реакции Н2О+С^1-±СО + Н2 максимально полезная работа
равна Am=A~A = 32 300-56 640=-24 340 кал.
Продолжение табл. 58
Следовательно, эта реакция протекать при ^=25° не
будет, если Pft Q=P^Q=\ am. Это обстоятельство под-
тверждается вычислением константы равновесия К„ —
Рн
2
'СО
при помощи равенства
- 24 340=- 1,985 • 298 • 2,303 log Kp.
Отсюда следует, что величина Кр —10^''°^. Это значе-
ние указывает на то, что при условии равновесия парци-
альное давление водяных паров во много раз больше
давления окиси углерода.
Таблица 58
Стандартные значения максимальной полезной
работы образования химических соединений *
Формула
вещества
|
Соедин
LiCl
NaOH
NaBr
NaCl
NaNOs
Na2SO4
KOH
KC1
Ag2O
Au2O3
MgO
MgCla
CaS
CaO
CaSO4
Zn (жидк.)
Zn (газ.)
ZnO
ZnCla
ZnS
ZnSO4
ZnCO3
Cd(OH)a
CdO
CdSO4
Hg (газ.)
HgO
HgCla
A1203
A1N
A14C3
Т1„О
SnCI,
EnO
SnOj
j PbO (краен.)
I Соедине
MCI
O3
H2O (жидк.)
H,O (газ.)
HaO (TB.)
H-rOa (ЖИДК.)
Макси-
мальная
полезная
работа Ат
в к к ал /моль
ения метал
+9i,6i
+90,76
+83,10
+91,791
+ 88,3
+ 301,67
+ 92.95
+ 97-7
+2,395
— 18,81
+ 138,69
+ 140,89
+ 109,8
+ 145,3°
+ 3",47
-0,755
-22,97
+ 75-93
+87,80
+41,6
+204,35
+ 175,5
+ 112,47
+ 54,200
+ 194,71
—7-63
+ 13,85
+43,55
+371-1
+53,240
+32,410
+ 113,210
+61,332
+ 123,200
+49.91
чия немета.
+ 22,74
-38.85
4- 5<! ,64
+ 56,418
+28,230
Формула
вещества
гическик эле Met
KN03
KHg,2
CuaO
CuO
Cu2S
CuS
CuSO4
AgoS
AgCl
PbO (жёлт.)
Pb203
PbO3
PbS
PbCL,
PbSO4
PbC03
AsaO3
As2O5
Sba63 (куб.)
Sb2O3 (ромб )
V203
V204
TeO2
MnO
Mn304
MnO3
MnS
Fe,
FeO
Fe304
Fe(OHK
Fea03
FeS
Fe3C
CoO
Co3O4
MO
глических элеме
NO
NO,
N„04
NH3
P,
Макси-
мальная
полезная
работа Ат
в к кал 1 моль
tmoe
+95,о
+23,43
+34,99
+30,30
+20,64
+ 11,72
+ 156,90
+ 9,77
+ 26,211
+ 44, 93
+ 142,21
+5°,6о
+ 22,22
+ 75,056
+ 176,50
+ I49,OO
+ 137,3°
+ 185,400
+ 149,69°
+ 147,89°
+ 299,28
+345,85
+64,32°
+ 90,24
+320,00
+ 112,60
+64,00
— 0,64
(изРеа)
+58,72^
+ 176, Jo
+ H5,4o
+ 176,10
+23.60
—9,3о
+ 50,63
+ i8i,355
+ 50,33
нтов
— 20,85
— 11,920
— 22,640
+ 3,910
— 16,075
Формула
вещества
Соединен
S,
SQ
H,S
so
S02
SO3
CH4
csa
COS
C2H2
C2H4
C2He
C2N2
С7Н3(толуол)
Металлург
Н„О
CO
CO2
FeO (жидк.)
Mn О (жидк.)
христобалит
A1203
. Cr2O3
V203
ZnS
MnS
CoS
CdS
SnS
Ag2S (жидк.)
Макси-
мальная
полезная
работа Ат
в ккал/моль
кя neMemaj
-18,28
-11,9
— ю,о
+ 17,55
+ 7,07
+ 81,21
Ч 87,02
Органически
+ 12,49
— i7,6o
+39,8о
-50,84
- 12,30
+ 10,70
-62,77
-26,50
гчески важ!
+ 34,26
+65,87
+ 94,95
+54,20
+ 126,56
+237,50
+ 147,79
+ 213,02
Для
+40,94
+38,44
+ 28,22
+27,66
+16,76
+ 15,00
Формула
вещества
глических влене
г Р«
^граф.
и алмаз
СО
СО,
СС1,
SiCl4
е соединения
C|,H(,O (фенол)
СвНв (бензол)
НС1
СОС1а
ше соединения
MgO
СаО
FeO
С A % раств.
в жидк. Fe)
Mn „
Ni
Si
Al
Cr
V
1000°
CuiS
NiS
FeS
PbS
Sb3S3 (жидк.)
BiaS3
Макси-
мальная
полезная
работа Ат
в к кал /моль
нтов
-5,85
О
— 0,390
+ 32,74
+ 94,ю
+6о,55
+ 135,6
+ и, оо
—28,850
— 27,6
+48,96
для i6oo°
-4 87,53
+ 100,04
+33,95
+ 12,34
+ 17,06
+ 17,25
+ 21,57
+ 15,85
+ 16,46
+ 16,53
+ 23,05
+ 22,90
+ 19,50
+ 17,55
+25,44
+ 14,60
* В американской литературе в таблицах вместо ве-
личин Ат приводятся равные им по абсолютной вели-
чине приросты свободных энергий образования при по-
стоянном давлении (т. е. изобарного потенциала).
Равновесие в гетерогенных системах
Закон Генри-Дальтона. При отсутствии
химического взаимодействия между газом и
каким-либо жидким растворителем, кон-
центрация С растворённого в этом раство-
рителе газа пропорцио:пльна давлению газа
С = k газ,
где k — коэфициент пропорциональности, за-
висящий от рода газа и температуры.
Закон распределения Нернста. Если жид-
кие фазы находятся в равновесии друг с дру-
гом, то отношение концентраций вещества,
истинно растворённого в них, является величи-
ной, не зависящей от общего количества ве-
r
щества. Это отношение —1= L носит назва-
(-2
ние коэфициента распределения.
В такой форме закон находит ограниченное
применение, и то в тех случаях, когда моле-
кулы растворённого вещества ассоциированы
или диссоциированы в одной из жидких фаз
не в большей степени, чем в другой. В про-
тивном случае закон распределения имеет иной
вид:


ГЛ. Ill]
ФИЗИЧЕСКАЯ (ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ) ХИМИЯ
379
где п — показатель степени — есть величина,
постоянная для данных жидкостей и данного
растворённого вещества.
Гомогенная система — термодинамическая
система, внутри которой нет поверхностей
раздела, отделяющих друг от друга части
системы, различающиеся либо по физическому
строению, либо по химическим свойствам.
Пример: лёд, снег, жидкая вода, водяной пар,
воздух и т. п.
Гетерогенная система — термодинамиче-
ская система, состоящая из частей, имеющих
различные физические или химические свойства
и отделённых друг от друга поверхностями
раздела. Пример: лёд и жидкая вода, раствор
и пар над ним и т. п.
Химически однородная система— тер-
модинамическая система, состоящая из одного
химически индивидуального вещества. Пример:
жидкая вода и пар над ней и т. п.
Химически неоднородная система — тер-
модинамическая система, состоящая из двух
или нескольких химически различных веществ.
Пример: воздух, раствор и т. п.
Фаза — гомогенная система, находящаяся в
термодинамическом равновесии.
Отдельные тела, являющиеся частями гомо-
генной системы, при наличии термодинамиче-
ского равнове'сия образуют одну фазу. Необхо-
димым требованием является то, чтобы ка-
ждая фаза имела не слишком малую массу;
в противном случае нельзя использовать име-
ющие статистическую основу понятия, как
температура, давление и т. д.
Следует отметить, что нередко под фазой
понимается часть гетерогенной системы, не
находящейся в равновесии; такое понимание
может привести к недоразумениям.
Таким образом, гетерогенная система, нахо-
дящаяся в равновесии, является системой не-
скольких фаз.
Компоненты — вещества, которые, будучи
взяты в наименьшем числе, достаточны для
построения всей термодинамической системы
(предполагается, что система находится в
состоянии равновесия).
Отличительным признаком компонентов яв-
ляется то, что каждый компонент может быть
введён в систему в произвольном количестве.
Число веществ в системе может быть равно
или больше числа компонентов.
Термин „компонент" играет большую роль
в приложении правила фаз, где важно не ука-
зание, какие именно вещества рассматриваются
как компоненты, а общее число компонентов
как наименьшее число веществ, которыми
состав каждой фазы может быть выражен с
помощью химического уравнения.
Согласно правилу Планка, для подсчёта
числа компонентов в системе необходимо сосчи-
тать число веществ в системе и вычесть число
независимых химических уравнений реакций,
возможных между веществами.
Пример подсчёта числа компонентов в си-
стеме, состоящей из веществ: СаСО3, СаО, СО2,
число веществ равно трём, число уравнений —
единице:
равновесия, которые могут претерпевать про-
извольные изменения, не вызывающие при
этом изменения числа фаз в системе.
Термин „степень свободы" заимствован
Гиббсом из механики для обозначения условий,
необходимых для определения термодинамиче-
ского равновесия системы. Указание природы
степеней свободы не имеет особого значения.
Зато чрезвычайно важным является число этих
условий (степень свободы), т. е. число данных,
необходимых для однозначного определения
равновесного состояния.
Термодинамическую систему называют:
нонвариантной (инвариантной), если у
неё число термодинамических степеней свободы
равно нулю;
унивариантной (моноварйантной), если
число термодинамических степеней свободы
равно единице;
бивариантной (дивариантной), если
число термодинамических степеней свободы
равно двум;
три вариант но и, если число термоди-
намических степеней свободы равно трём;
мультивариантной (поливариантной),
если число термодинамических степеней сво-
боды больше трёх.
Правило фаз Гиббса — связь между чи-
слом фаз (/), числом термодинамических сте-
пеней свободы (С) и числом компонент (к),
имеющая место для всякой системы, находя-
щейся в термодинамическом равновесии:
а потому число компонентов 3 — 1=2.
Термодинамическая степень свободы —
число тех параметров, определяющих состояние
Если можно не учитывать газовую фазу,
т. е. считать постоянным давление в системе,
то правило фаз принимает вид
f-i-C--- к+1.
Эта последняя форма правила фаз имеет
особенно широкое применение при исследова-
нии сплавов.
Термодинамическая теория истинных
растворов
Осмотическое давление — давление растворённого
вещества в растворе, обнаруживаемое как давление, оказы-
ваемое растворённым веществом на полупроницаемую пере-
городку, отделяющую растворитель от раствора. Полу-
проницаемая перегородка должна быть совершенно
непроницаема для растворённого вещества и совершенно
проницаема для растворителя.
Для разбавленных растворов, или идеальных раство-
ров, осмотическое давление подчиняется формуле Вант-
Гоффа
тс - CRT,
где л — осмотическое давление; С — концентрация рас-
творённого вещества, выраженная в мол/л', Ч — абсо-
лютная температура раствора; R — универсальная га-
зовая постоянная.
Уравнению Вант-Гоффа можно придать вид
иК= nRT,
где V — объём раствора и п — число молей растворён-
ного вещества.
Эта последняя формула по внешнему виду анало-
гична уравнению состояния идеального газа.
Первый закон Рауля. Если над жидким раствором
пар состоит только из молекул растворителя, то отно-
сительное понижение давления пара над раствором рав-
но мольной доле растворённого вещества в жидком рас-
творе;
Ра -Р.. "
Ро N + п '
где ра — давление пара над чистым растворителем, р —
давление пара над раствором, п — число мо.лей раство-
рённого вещества и N — - число молей растворителя в
жидком растворе.


380
химия
[РАЗД. !
Закон Бабо. Отношение давления пара над раствором
(если пар состоит только из молекул растворителя) к
давлению пара над чистым растворителем есть величина,
не зависящая от температуры и для данного раствора
постоянная. Из первого закона Рауля следует:
р_ _ N _
ра ~ N + п '
Л'
где -^ —— — мольнаядолярастворителявжидкомрастворе
Второй закон Рауля. Криоскопический закон
Рауля. Если при понижении температуры из раствора вы-
кристаллизовывается чистый растворитель, то понижение
температуры затвердевания растворителя из раствора
по сравнению с чистым растворителем пропорционально
концентрации растворённого вещества в жидком растворе-
ЬТ3*=Е3С',
здесь С —концентрация растворённого вещества в жид-
ком растворе, выраженная в числе молей растворённого
вещества, приходящихся на 1000 г растворителя; ?3— ко-
эфициент пропорциональности, носящий название крио-
скопической постоянной: эта последняя величина опреде-
ляется лишь свойствами растворителя. Физический смысл
величины Е3 может быть выражен как понижение темпе-
ратуры замерзания растворителя из такого раствора, в ко-
тором концентрация растворённого вещества равна еди-
нице, т, е. одному молю растворённого вещества на 1000 г
растворителя. Это обстоятельство объясняет, почему крио-
скопическую постоянную часто называют „молекулярным
понижением точки замерзания растворителя".
Второй закон Рауля может быть выведен при помощи
основных законов термодинамики и тем самым вскрыт
гмысл крноскопической постоянной:
метод определения молекулярного веса носит название
„криоскопия".
Третий закон Рауля. Эбулиоскопический закон Ра-
уля. Если над жидким раствором пар состоит только
из молекул растворителя, то повышение точки кипения
раствора по сравнению с чистым растворителем пропор-
ционально концентрации растворённого вещества в жид
ком растворе:
'
где С'— концентрация растворённого вещества в жид-
ком растворе, выраженная s числе молей растворён-
ного вещества, приходящихся на 1000 г растворителя;
Е. — эбулиоскопическая постоянная — величина, опре-
деляющаяся только свойствами растворителя. Физиче-
ский смысл величины Е^ может быть выражен как
повышение температуры кипения такого раствора,
у которого концентрация растворённого вещества равна
единице, т. е. одному молю растворённого вещества
на 1000 г растворителя. Это обстоятельство объясняет,
почему эбулиоскопическую постоянную часто называют
„молекулярным повышением точки кипения раствори
теля".
Третий закон Рауля может быть выведен при помощи
основных законов термодинамики и тем самым вскрыт
смысл эбулиоскопической постоянной
474, =
1000
где ./?— универсальная газовая постоянная;
ная температура кипения растворителя;
скрытая теплота испарения растворителя.
Очевидно, что (табл. 60)
— абсолют
^— удельнзв
где Я— универсальная газовая постоянная; Т3— абсолют-
ная температура замерзания чистого растворителя; q3 -
удельная скрытая теплота плавления чистого растворите-
ля. Очевидно, что (табл. 59)
1000 я.
Таблица 59
Криоскопические постоянные некоторых
растворителей
Растворитель
Вода .....
Бензол . . .
Нафталин . .
Иод .....
Камфора . .
Хлористый .
калий . . .
тз
273Д5
278,7
353.3
388
451
Ю45
в кал/ г
79-°7
3°,39
35,7
14,87
8,45
86,о
Е3
1,859
5,07
6,94
2О.ОО
47-2
25,2
Ь3
d экспер
i,86
5,12
6,932
2О,4
48,5
25
Второй закон Рауля широко используется для опреде-
ления молекулярного веса растворённого вещества. Этот
Еъ =
1000
Таблица 60
Эбулиоскопические постоянные некоторых
растворителей
Растворитель
Вода ..........
Эфир .........
Этиловый спирт . .
Серная кислота . . .
Четырёххлористый
углерод . . . ......
Хлороформ .....
Ацетон . .......
Уксусная кислота . .
Бензол ........
Tk
373
308
35i,2
3*9,2
351
334,2
329.3
391
353-3
<?? в кал/г
539
84.7
2l6
85
46,8
6l
125
97
95
Ek
0,516
2,14
1,19
2,3
4,9
3,8
1,72
3,i
2,6l
Третий закон Рауля широко используется для определе-
ния молекулярного веса растворённого вещества. Этот
метод определения молекулярного веса носит название
„эбулиоскопия".
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Бродский А. И., Физическая химия, ОНТИ.
Гл. ред. хим. литературы, 1935.
Ч. Глесстон С., Электрохимия растворов, ОНТИ,
Химтеорет, 1936.
3. Д у м а н с к и и А. И., Учение о коллоидах, ОНТИ,
Гл. ред. хим. литературы, 1935.
4. К а с с е л ь Л. С., Кинетика гомогенных газовых ре-
акций, ОНТИ, Химтеорет, 1936.
5. Л а у р и Т. М., Неорганическая химия, ОНТИ, Гл.
ред. хим. литературы, 1935.
6. Л ь ю и с и Р е н д а л л, Химическая термодинамика,
ОНТИ, Химтеорет, 1936.
7. Менделеев Д. И., Основы химии.
8. Н е к р а с о в Б. В., Курс общей химии, ОНТИ, Гос.
научно-техн. изд. хим. лит., 1945.
9. Оствальд-Лютер-Друкер, Физико-хими-
ческие измерения, ОНТИ, Химтеорет, 1935.
10. Р а к о в с к и и А. В., Введение в физическую хи-
мию, ОНТИ, Гл. ред. хим. литературы, 1938.
11. Рем и Г., Учебник неорганической химии, ОНТИ,
Госхимтехиздат, 1934.
12. Справочник физических, химических и технологиче-
ских величин, Изд. Советская энциклопедия.
13. Спутник химика, ОНТИ, Госхимтехиздат, 1934.
14. Т а м м а н Г., Руководство по гетерогенным равно-
весиям, ОНТИ, Химтеорет, 1935.
15. Тэйлор X. С., Физическая химия, ОНТИ, Хим-
теорет, 1935.
16. У л их Г., Химическая термодинамика, ОНТИ, Гос-
химтехиздат, 1933.
17. Ф и н д л е и А., Правило фаз и его применение,
Гос. научно-технич. издательство, 1932.
18. Чичибабин А. Е., Основные начала органиче-
ской химии.
19. Э и к е н А., Курс химической физики, ОНТИ, Гог-
химтехиздат, 1934—1935.
20. Э и к е н А., Физико-химический анализ в произвол
стве, ОНТИ, Химтеорет, 1936.
21. А Ь е g g, Handbuch der anorganischen Chemie, 2 Auf-
lage, Berlin.
22. Chetniker Kalender, Berlin, J. Springer.
23. Grnelins Handbuch der anorganischen Chemie, 8. Aull.
Verlag Chemie, Berlin.
24. L a n d о 1 t -В б r n s t e i n, Physikalisch-Chemische
Tabellen, Berlin, J. Springer.
25. Latimer and Hildebrand, Reference Book
of Inorganic Chemistry, New York the Macmillan Com-
pany, 1941.
?6. М е П о r J. XV., Comprehensive Treatise of Inorganic
and Theoretical Chemistry, Longmans and Co
N. Y. — London.
27. Pascal, P., Traite" de chemie mineralle, Masson et Cie,
Paris.


Глава IV
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Весовая плотность* (кг!м5) у •-
= -7г>,тде G —вес, V — объём. При равно-
dv Q
мерном распределении массы f—т/- При не-
равномерном распределении массы пользуются
тем же уравнением, но берут достаточно боль-
шие значения G и V. Массовой плотностью р
называют величину —у.
Величину -у жидкостей замеряют с помощью
ареометров, соответственно градуированных,
глубина погружения которых даёт весовую
плотность, выраженную в градусах (Боме,
Брикса или Бека в зависимости от системы
прибора). Градусы переводят в у с помощью
соотношений, приведённых в табл. 1.
Таблица 1
Система
ареометра
|
|
Боме старая
Боме, вторая
старая
Голландская
1
Рациональная
Американская
Брикса
Бека
Зависимой
от показа}
ме
для лёгких
жидкостей
146 780
146,78 + п
146 ооо
136 + 1
144 ооо
144 + П
144 ЗОР
144-3 + л
140 ооо
130 + П
141 5оо
400 ооо
4оо 4- п
170000
170 + П
гь Y в кг/.и3
ия п арео-
тра
для тяжё-
лых жидко-
стей
146 780
146,78— п
144 00°
144 — «
144 Зоо
144,3— п
145 оэо
~i45 — п~
400 ооо
4оо — п
170 ооо
170 — П
Темпера-
либровки
17,5=С
i2,5°C
i5°C
6о°Р =
= i5V»°C
6o^F =
= i5%°C
-
Ареометры тарируются при определённых
температурах, и точные замеры нуждаются
в поправках, указываемых в паспорте прибора.
Если при смешении жидкости не меняют
своего суммарного объёма (например, нефте-
продукты), то весовая плотность смеси опре-
деляется из уравнения:
__ l ^
Чсл{ — ,/
где Усм — объём смеси и У{ —объём компо-
нента.
Весовая плотность воды и ртути дана в
табл. 2
Таблица 2
"
/сс
0
5
10
15
2О
25
3°
35
4о
45
5°
6о
70
8о
90
100
15°
20О
250
Зоо
Весовая п
в к
ртути
13595
13 583
13 571
13558
1354°
13534
13522
13509
13497
13 485
13473
—
—
—
—
—
—
—
четность Y
'/Л*3
воды
999.9
1000,0
999.7
099,1
998,2
997- г
995,7
994,1
992,2
99о,о
088,1
9832
977-8
971,8
9б5,3
958,4
917,2
862,8
794
700
Вязкост
,., кг -сек
Юв И- ——г-
м
182,27
15443
133-09
116,23
Ю2.37
gi,ii
81,71
7342
«,57
60,71
5б,о1
47,90
41,30
36,24
32,06
28,75
i8,7
14-3
—
ь воды
10S м*1сек
1,789
i,5i5
i,3o6
I.I42
1,оо6
0,8965
0,8048
0.7246
0,6583
o,6oi5
o,556i
0-4779
о,4154
0,3658
0,3258
0,2942
О.2ОО
o,i6a
—
Весовая плотность различных сортов керо-
сина (в том числе и импортных) колеблется
в пределах 790—826 кг\л$ при 15,6° С. Газо-
лины меняют весовую плотность при той же
температуре от 680 до 748. Влияние темпера-
туры на весовую плотность масел учитывается
формулой Менделеева:
* Принятая система размерности—
килограмм, метр и секунда. Во всех случаях отклонения
от принятой системы размерность величин будет огова-
риваться.
ГД? Tie — весовая плотность при 15° С и [3 —
коэфициент, зависящий от YIS- В СССР


382
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
в качестве руководящих материалов принято
значение 3, полученное Казанкиным для ба-
кинских нефтепродуктов (табл. 3). В США
принято 3 = 0,0007. *
Весовая плотность ряда газов дана в табл. 4
и массовая плотность воздуха на фиг. 1.
Поверхностное натяжение. На
границах жидких объёмов действуют молеку-
лярные силы, стремящиеся уменьшить внешнюю
поверхность и подвергающие объём воздей-
ствию значительных сил. Величина силы Т по-
верхностного натяжения (в кг\м\\
воды при 18° Г =-7,54X10;
этилового спирта при 203 Т — 2,28ХЮ~3;
эфира при 20° Т= 1,673ХЮ~3;
ртути при 15° Г = 44,5Х10~3. v
На границах между газообразными и жидки-
ми телами свободная поверхность в зависи-
мости от соотношения сил молекулярного
притяжения создаёт выпуклый или вогнутый
мениск. Так, в стеклянных трубках диаметра d
поверхность поднимается на высоту
20 ?5
Фиг. 1. Массовая плотность р воздуха для различных
давлений как функция температуры.
Сжим а е м о с т ь. Собственно жидкости
в расчётах принимаются несжимаемыми в силу
малого влияния давления на весовую плотность f.
Для газов, находящихся под воздействием
изменяющихся давлений и температур, вели-
h —
где для воды k = 0,03; алкоголя k = 0,01; то-
луола k — 0,013; ртути k = — 0,01. При замене
трубки двумя параллельными пластинами с рас-
стоянием между ними d величина k умень-
шается вдвое.
Таблица 3
у 1, (в кг/м3) — весовая плотность
при 15° С .................
10* fi по Казанкнну .............
10' 3 по Менделееву ............
у,, (в кг/м3) — весовая плотность
при 15° С .................
10* J3 по Казанкину .............
101 р по Менделееву ............
7оо
-
,2
84о
7Л2
-
7ю
8,97
—
850
7-°5
7,2
720
8,8з
—
8 зо
6,94
-
74-о
8,51
-
870
6. 78
-
76о
8,20
—
88о
6,62
-
780
7,00
—
89о
6,51
- !
8оо
7-59
7.7
ооо
6,32
6,4
820
7-39
~
920
-
6,0
83о
7,27
—
—
-
-
Таблица 4
Газ
Воздух . ..............
Кислород ..............
Азот .................
Водород ..............
Хлор ................
Окись углерода .........
Углекислый газ .........
Сернистый газ ...........
Сероводород ............
Аммиак ..............
Метан . . .............
Ацетилен ..............
Этилен ..............
Этан .................
Формула
О,
N,
С1а
СО
со.
SO2
H2S
NH3
СН4
CjHg
CjH,
C,H3
Весова
ность 1
"он
С Ю CJ
Ос-
Лив,
Я Q_ s
1,293
1429
1,250
0,0899
0,322
1,250
1,977
2,927
1.539
0,771
0,717
1,17*
1,з5о
т-356
я плот-
В KZJM*
fl "Д
•ЧО^*
S. -ч*»
с 11 а,
1,165
1,288
1,125
0,0809
2.9ЭО
1,120
1,783
2,639
1,387
0,695
0,646
i,o55
1,137
1,223
Д
!*•
-30'
.59
.77
,55
0,82
,тб
-58
,30
,04
,07
0,85
°,95
—
0,85
0,79
инамиче
W в --
л
0°
1,77
1,94
1,70
0,89
1,28
1,75
1,44
1,20
о,94
1,о5
о,дз
о,97
0,83
ский ко
р - при
+ 50°
2,04
2,22
1,94
о,99
1,50
2,0 (.
1,65
1.43
1,42
I-I5
1,22
—
1,т5
1,02
эфициет
темпера
+ 1003
2,27
2,51
2,17
,09
,72
,89
,65
,64
,34
,40
I-3I
~
вязкост
туре в °
+ 200°
2,65
3>°5
2-57
1,2Э
—
—
2,32
2,11
—
—
—
I,6l
И
С:
+ 300°
З-оз
—
—
1,42
—
—
—
_
—
—
_
1,85
~
чина -( определяется из уравнения — = /? Г,
где R — газовал постоянная, меняющаяся,
однако, для реальных газов (см. главу „Тепло-
та"). При движении газа со скоростями, далё-
кими от звуковых, следует расчёт вести так
же, как и для несжимаемой жидкости.
вязкость
Вязкость —: стремление жидкостей и га-
зов препятствовать изменению формы, проис-
ходящей путём сдвига жидких слоев. Так, при
ламинарном (слоистом) потоке (фиг. 2) с про-
фллем скоростей ОН жидкий объём ABCD


ГЛ. IV]
вязкость
383
будет деформироваться в объём AEKD, при-
чём сила, потребная для этой деформации,
определяется по закону Ньютона:
р =
--- ,
d
dv
где •— — градиент скорости по нормали к тру-
щимся поверхностям, F— площадь, по которой
У I/ *.
Фиг. 2.
происходит трение, и (л. - динамический коэфи-
циент вязкости (кг-сек/м2), зависящий от
свойств вещества. Отношение — называют
р
кинематическим коэфициентом вязкости v
(м'11сек). Величина — = <р называется теку-
честью. ^
Технические единицы вязкости.
В машиностроении вязкость определяют с по-
делённого объёма называется вязкостью в се-
кундах (Энглера, Редвуда, Сейболта и т. д.
в зависимости от типа прибора), а отношение
этого времени ко времени истечения воды
при нормальных условиях называется вяз-
костью в градусах (Энглера и т. дЛ
На фиг. 3 приведена номограмма для пере-
вода технических единиц в ч.
При переводе градусов Энглера (°Е) в N
в случае маловязких жидкостей (°Е ^ 2) сле-
дует, по Афанасьеву*, величину В — 0,0631
в уравнении Уббелоде
V = 10
,-4
0,0731-
уменьшить до 0,050 при 2° Е, до 0,0540 при
1,8° Е, до 0,0570 при 1,6° Е, до 0,0595 при 1,4° Е
и до 0,0620 при 1,15° Е. Для величин вязкости,
выходящих за пределы номограммы (фиг. 3),
следует обращаться к переводным уравнениям,
сведённым в табл. 5.
В иностранной литературе и реже в отече-
ственной применяются единицы вязкости — пу-
азы A кг • сек!м'г —- 98,1 пуаза; 1 сантипуаз =
= 1,0197ХЮ~4 кг-сек'м^.
Вязкость нефтепродуктов [18].
По стандарту даётся вязкость при 50° С, и,
если она не превышает 16° Е, то в темпера-
турном интервале от 30 до 150° С можно учесть
влияние температуры на вязкость с помощью
соотношения
^tt'1 ^ v5050" = const,
где п берётся из табл. 6. Для более вязких
масел температурный интервал сужается
/,/ 1,2 1,3 1,41,5
сы Энглера
'456 78QW
тттт
И 1,1 Л i.l
30 40
..,...- . _ _ _ . Униберсаль
34 363840 50, 60,70 ДО,ЩОО /50 200 ,300 ,5G0, , ,1,000 20РО 3000
30
Щ^Ле^а^о^ ПИП!!! I Ml
32 3436 40 50 60 80 Ю0~ ~~ 200 .300 400500 ?00/000 20002Щ
ТТ iTll'lllI'llnTtrtl!1!!' ГГГГ!t'l I'l'flWl'lllflllf Tl'.l'l'f I'lTlT
' СеЬцнды Редбуда - Ддмиралти
с *- о п т 20 30 40 50 80,100
200 300
Градусы Барбье
1000 500 300 200 tQ° 5P 4°
10 8
CekuHdbi Сепбопт-
12 13 ^^[|[[|мУ
30 40 50 60 80 100
200 300
•*г--1|-
0,01 0,02 0,03 0,040,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Кинематический Коэфициент дяз/focmu V J
cek
Фиг. 3.
5678
мощью вискозиметров - сосудов с калибро- (от 40 до 110°). Это соотношение остаётся
ванными насадками, в которых замеряют справедливым для большинства растительных
время истечения испытуемой жидкости в опре- ——————--
делённых объёмах. Время истечения опре- * .Нефтяное хозяйство" № 8, 1929.


384
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
1
Наимено-
вание
единиц
Градусы
Энглера
Секунды
Энглера
Секунды
Сейболта
Универсаль
Секунды
Сейболта
Фурол
Секунды
Редвуда
Торгового
Секунды
Редвуда
Адмиралти
Градусы
Барбье
11
У
Обозна
ние
"Е
"Г
"S
"SF
"R
"RA
°В
Страна
СССР,
Скан-
динав-
страны,
Герма-
ния
То же
США
То же
Англия
США
Фран-
ция
Константа
прибора
50—53 сек.
5°— 53 сек.
—
„
555 сек.
_
—
Зависимость
Ю4 ч в яСЧсек
от показания
вискозиметра
„_ 0,0631
0,0731 Е - — „-Б—
LJ
4,22
o,oi435" Е — — ^g-
i.8°
0,0220 ' S — —— -
0,0220"SF— '
1,72
о, 00260" R — —ff-fi —
o,o239"RA-°'|°3
48 =i
60
Таблица 5 где v30 — вязкость при
из табл. 7.
30° С; т берётся
Таблица 7
\ Наименование
!
j масла
1
! Д-17 .......
Д-17с ......
! СС .......
мдс ......
со .......
: мд .......
1 Касторовое . . .
Показатель
степени
5."
5-32
7.94
5-43
6,13
6,15
4-93
Темпер
интерв
от
+ 35
+ 35
+35
+35
+35
+35
+3°
атурный
ал в t° С
ДО
—15
— то
—5
о
о
+5
-5
Таблица 6
°E при 50°
n
.'Е при ?0°
n
°Е при ?0°
п
г,?
1,39
6,0
2,32
25,0
2,9°
1,5
1,59
7,о
2,42
3°,°
3,°6
1,8
1.72
8,о
2,49
35,°
З,10
2, 0
1,79
9,°
2,52
5°,°
3.1?
З.о
1,99
ю,о
2.56
65,0
332
4,о
2,13
15,о
2,75
—
—
5,о
2,24
2О,О
2,86
—
—
Вязкость смеси нефтепродуктов точнее
всего можно определить способом Молина и
Гурвича [23], применение которого рассмотрим
на примере. Дано 30Уп масла с вязкостью 2,5 °Е
и 70% с вязкостью 20° Е. В табл. 8 даны ре-
зультаты смешения двух компонентов Л A,5 °Е)
и В F0° Е). Заданные компоненты также могут
рассматриваться в виде смеси А и В, причём
в первом будет 39,40/0 В и во втором 85,0% В
(подчёркнуто в табл. 8). Поэтому в искомой
смеси процент содержания В будет 0,3x39,4 +
+ 0,7X85 = 71.7 и её вязкость будет 9° Е.
Кинематический коэфициент вязкости раз-
личных сортов керосина (в том числе и им-
портных) колеблется в пределах от 1,305ХЮ~6
до 2,858 X Ю~6 м-/сек при 20°С. Газолины меняют
коэфициент кинематической вязкости (v) при
температуре 35° С в пределах от 35,6 X Ю~6
до 6Э,ОХЮ~6 м^/сек.
Влияние температуры на вязкость показано
на фиг. 4.
Иязкость иных веществ. Динами-
ческий коэфициент вязкости (J. воды и ряда
газов в зависимости от температуры при-
ведён в табл. 2 и 4. Кинематический ко
масел и даже для
смеси глицерина
с водой. Темпера-
турный интервал
для авиамасел мо-
жет быть расши-
рен применением
соотношения
Градусы Цельсия
•Ю О Ю 20 30 40 50 60 70 80 90 ЮО ПО f20 130140
kn
const,
где
f — 20 25 5°
' * «-0,787 0,892 I,coo
/°— lob 150 sco
?•=1,000 0,938 0,877
При более низ-
ких температурах
для вязкости авиа-
масла можно поль-
зоваться соотно-
шением:
юооо
6000
4000-
3000
?000
1000
600-
400-
300-
200-
100
70-
g\n
.. so-
-' 4fi
44-
42-
40-
__
—
г* ——
s
ч
,
Ч
?=
kr~
1ч*
X
s^-
l
\
TEh
1
r^H
ч
•s
ч
s
s
ч
Ч
г-
м«Г!
ч
ч
N
ч
ч
w
ч
ч
и
-%
ч
ч
ч
ч,
>
.4
s ••
"~Х
р=п.
V
Ч
*
ч
4s
^•^
Ч
|-*-|
v^
S
^
^
Ч
— X
ч
prf
ч
ч
N
ч
ч
л
FS
ч
^
|^>
s
ч
—
X
ч
k;
~s
Ч
F=>
ч
•^
N
^
s
ч
S D-
ч
Ч
\^
Ч
tq
^л
ч
,
*^i
Ч
N
г\ц
1^
1 — ^
Ч
"V
^
>•
\
ч
ч
\
N
ч
Ч
^
s
s
cr?
S
ч
Ч
чЧ
1
Ч
*ц
Ч
ч
ч,
S
*^
ч
ч
"-S
>
k:N
\
—
"*%
k
н
ч
-
ч^
S4
'
ч
Ч
Н
ч
N
Ч
Ч
Ч4!
^
- \
Ч
Ч
S
ч
Ч
*^
Ч^
чЗ
У
Ч
4i
X
_Ч
^~
•iv
Ч
ч
ч
ч
ч.
ч
-ч
kj
ч
N
—
Ч
с-
*у1
—*
N
ч
1
ч
ч
Ч
-
ts
ч.
Ч
S
ч
3
^
ч
ч
S
ч
h
ч
-
ч
*
N
ч
ч.
Ч
^
1*4
^^
"N
.
V
,_.
•т сод
•6000
-3.000
•2.000
-1000
-6QO
-400
-200
inn
HJv
кп
г 40 §
Ci
в
|
SJ
CS»
0
,й
%
75
'Vf+40
О Ю 20 30 40 50 ВО 70 80 90100 120 140 160- ISO 200 220 24О 260 280 300
Градусы Фаренгейта
Фиг. 4.


ГЛ. IV]
ГИДРОСТАТИКА НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ
383
Таблица в
•/.в
о
12,0
l6,0
19,2
21,8
24,0
2б,О
27,9
29,6
30,9
32,8
34,6
36,3
37.9
39.4
40,8
42,1
43,3
44,4
45,5
°Е
i!es
1,70
1,75
i, 80
1,85
1,90
i,95
2,00
2,IO
2,20
2,30
2,40
2,50
2,6o
2,70
2,80
2,90
З.оо
,,в
46,6
47.6
48,6
49-5
5о,4
51,2
5i,9
52,6
53,3
54.о
54,7
55.4
56,i
56,8
57-4
57.9
58,4
58,9
59,4
59-8
6i,8
СЕ
3^20
3,30
3,40
3-6о
3-7°
3-8о
3,90
4,°°
4,ю
4,20
4-30
4,40
4,5°
4,6о
4.7°
4,8о
4,9°
5,оо
5.50
Ъ.
63,7
65,3
66,7
68,8
69,3
7°.5
71,7
72,7
73,6
75,2
78.1
79,3
8о,4
8i,5
82,5
83,4
84,2
85,о
86,6
87,8
°Е
6,оо
6,50
7,оо
7,50
8,оо
8,5о
9,°°
9,5=>
ю,о
и,о
12,0
тб!с
17,0
i8,o
19,0
20,0
22,0
24,0
0/ g
90^1
92,1
93-0
93,8
94,6
95,3
95,9
96,5
97-0
97-5
98,0
98,4
98,8
99-2
99-6
roo
—
—
-
26,0
28,0
30,0
32,0
34,0
Зб
38
42
44
46
48
52
54
56
58
00
-
__
эфициент вязкости v для воздуха даётся на
фиг. 5. Влияние температуры на вязкость
газов может быть определено по уравнению
Сутерленда
кг
причём величины Б и С, а также область при-
менимости этого уравнения даны в табл. 9.
Габлица 9
Вещество
' Этиловый эфир . . .
Этилен ........
То же .........
Аммиак ........
Бензол ........
То же ........
Гелий .........
Окись углерода . .
То же .........
Углекислота .....
Воздух ........
То же ........
Кислород .......
Азот .........
Метан . .......
Двуокись серы . . .
Водяной пар ....
Водород .......
С
325
'-^25,9
238,9
626
700
38о
78,2
100
101
а/4
172,6
123,6
138
юз
198
4i6
961
83
В- 10е
о, 91
1,052
1,074
i,8oi
1,384
о,994
1,459
1-396
1,377
1,655
1,698
1-503
1.747
1,378
1,082
1,784
2,53
0,6/1
Облает
меню
от
0°
-75°
-4о°
+ 20°
+ 100°
+ 15°
-7о°
-130°
~78°
О
+250°
о°
-79°
-78°
о°
0°
+ 20°
—4о°
ь при-
лости
до
+ 20О°
+3оол
+ 252°
+450°
+ 213°
+250°
+ 100^
+ 2ОС
+ 2^0°
4-100°
+ 1000'
+4оо°
+ 200С
+250°
+ 100°
+ 120°
+ 4оо°
+ 250°
При смешении га:юв вязкость смеси опре-
деляется из уравнения:
_1_ = V 1L
где vt — объёмные доли содержания каждого
компонента. Вязкость пара сообщается в главе
.Теплота".
20 25 30 ГС
Фиг. 5. Кинематический коэфициент вязкости воздуха
различных давлений как функция температуры.
ГИДРОСТАТИКА НЕСЖИМАЕМЫХ
ЖИДКОСТЕЙ
Уравнение равновесия покоя-
щейся жидкости
dp = Р (qxdx + qydy -f- gzdz),
где х, у, z — координаты, qx, qy, <7г — компо-
ненты массовой силы, действующей в данной
точке, имеющие размерность ускорения. Для
жидкости, находящейся под воздействием
только сил тяжести
qx = qy = О и qz = — g.
Для жидкости, находящейся под воздей-
ствием дополнительного ускорения /,
Фиг. 6.
Если j = 0, то уравнение состояния жидко-
сти будет
i = —— -f Z2 =
СОП81.
Давление — величина скалярная. Как след-
ствие, внешнее давление на жидкость пере-
даётся всем частицам без изменения.
Сила давления жидкости
на плоскую стенку равна весу
столба жидкости с поперечным сечением, рав-
ным площади стенки, и высотой, равной глу-
бине погружения центра тяжести стенки:
Р — 4-F-hlk.m. ('ила нормальна к стенке. Центр
25
Том 1, кн. 1


386
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД
давления расположен ниже центра тяжести
на величину, равную отношению момента
инерции стенки к статическому моменту, счи-
о \ лл^,„Л„,. инерции
тая по стенке
F-X
Момент
ц-т
берётся около оси, параллельной свободной
поверхности уровня и проходящей через центр
тяжести. Статический момент берётся относи-
тельно свободной поверхности уровня, считая
по стенке (фиг. 6).
Сила давления жидкости на
кривую стенку определяется по гори-
зонтальной и вертикальной составляющим. Го-
ризонтальная составляющая равна силе да-
вления на вертикальную проекцию заданной
стенки. Центр давления находится по прави-
лам плоской стенки. Вертикальная составляю-
щая равна весу столба жидкости, лежащей над
этой стенкой, считая до свободной поверхно-
сти уровня; направление действия — со стороны
смоченной поверхности при свободной поверх-
ности уровня, лежащей выше стенки. Верти-
кальная составляющая называется архимедо-
вой сплои. Линия её действия проходит через
центр тяжести столба жидкости, лежащего
над этой стенкой (считая до свободной по-
верхности уровня). Полная сила определяется
геометрической суммой.
Составляющая силы давле-
ния жидкости в произвольном
направлении (например, под углом
|) к вертикали) равна проекции на
, заданное напра-
вление веса столба
жидкости, ограни-
ченного стенкой,
свободной поверх-
ностью уровня и
проектирующей
поверхностью (это
наименование при-
своено цилиндри-
ческой поверхно-
сти, образующие
которой парал-
лельны заданному направлению g). Таким
образом, Р = f V-cos ? (фиг. 7).
Поверхность уровня жидкости
в движущемся сосуде с ускорением у
будет перпендику-
лярна к геометриче-
ской_разности векто-
ров g—j. Давление
на глубине Л опреде-
ляется из уравнения:
\
Фиг. 7.
Сосуды, вра-
щающиеся окол о
вертикальной
оси, имеют поверх-
ности уровня в виде
параболоидов враще-
ния, ось которых со-
впадает с осью вра-
щения. Ординаты па-
раболоида, считая от
Фиг
плоскости, касательной
и~
к его вершине, равны — , где и — окружная
скорость (фиг. 8) на радг.усе ординаты. Урав-
. г
нение состояния жидкости -•- 4- z —-~- = С,
Т ' 2g
где С— постоянная интегрирования, которая на-
ходится по известному давлению в какой-либо
точке.
Сосуды, вращающиеся около го-
ризонтальной оси, могут обеспечивать
относительное равновесие жидкости при усло-
вии их полного заполнения. Однако величина
давления во всех точках, кроме оси враще-
ния, будет периодически меняться с периодом,
равным —. Амплитуда колебания давления
&
будет тем меньше, чем меньше величина ~
to-
Колебанием давления можно пренебречь тогда,
когда можно пренебречь силами тяжести по
сравнению с центробежными силами. Величина
амплитуды равна 2г-(кг/м'^. При неполностью
заполненном сосуде жидкость находиться в от-
носительном равновесии не может из-за того,
что те же колебания давления могут дать пе-
редвижение жидкости из-за наличия свободной
поверхности уровня.
АЭРОСТАТИКА
Из-за сжимаемости воздуха давление с
высотой падает по сложному закону, ибо
уравнение равновесия (см. стр. 385) интегри-
р
руется в этом случае в предположении -?— =
= RT, где /?—газовая постоянная, также меня-
ющаяся по высоте главным образом из-за из-
менения содержания паров в воздухе:
г км о 5 10 15 2о
°/0Н,О 1,2 0,l8 O.OI 0,ОГ 0,02
Учёт влажности обычно столь труден, что
её в расчёт не принимают. Для средних гео-
графических широт связь между высотами и
давлением выражается уравнением:
Дг = *2 — г, = A8,4 + 0,057 1ср) Ig ^ -
где tcp — средняя температура столба воздуха.
Для точных определений показания барометра
следует приводить его к нормальным условиям
по уравнению:
Вн = В A—0,000168 С) A-0,0026 cos 2<р) X
X A-0.000000314 г),
где Р — температура ртути, ^ — широта места
замера. Нагревание воздуха на Г увеличивает
Дг на 4%. При адиабатическом расширении
воздуха подъёму на 100 м соответствует па-
дение температуры на 1°. Меньшее падение
температуры означает устойчивое, а боль-
шее — неустойчивое состояние атмосферы.
В нижнем слое атмосферы — в тропосфере —
температура с увеличением высоты падает. Та
часть атмосферы, в которой температура не
зависит от высоты, называется стратосферой.
Положение границы тропосферы зависит от
широты и времени года, но в среднем можно
считать её лежащей на высоте 11 км. Ввиду
ограниченных размеров машин и сооружений
(кроме воздухоплавательных) и незначитель-
ности для них влияния изменения давления
с высотой (в пределах габаритов) по сравне-


ГЛ. IV]
ПЛАВАНИЕ В ЖИДКОСТИ
387
нию с расчётными усилиями следует считать
давление не зависящим от высоты.
Международная стандарт-
ная атмосфера — принятый закон из-
менения физических свойств воздуха с высо-
той, который близок к средним действитель-
ным закономерностям. Таким образом по-
является возможность сравнения испытаний,
проведённых в различных условиях.
За нуль принята поверхность уровня моря,
для которой считают: t$ = 15°, р0 = 10332,276
= 760 мм рт. ст., у0 = 1,2255, р0 =
ЁК^
.— и газовая постоянная R —
м<
= 29,2708.
Принятое изменение свойств воздуха с вы-
сотой дано в табл 10.
Таблица 10
г в м
— I 000
0
I ООО
2 000
3 ооо
4 ооо
5ооо
6 ооо
7 ооо
8ооо
дооо
о ооо
I ООО
2 ООО
3 ооо
4 ооо
5 ооо
20 000
t в О
z
21,5
'^S
2,0
— 4.5
— 11,5
— 17,5
— 24,0
—30,5
—37-0
-43-5
-50,0
-56,5
-56,5
-56,5
-56,5
-56,5
-56,5
т2
~j'~
1,023
I, ООО
0,978
0,955
о, 932
0,910
0,887
о,865
0,842
0,820
0,797
0,774
о,752
о, 752
о, 75а
о,752
0-752
Р2
—— "- —
Ра
1,1244
1,ОООО
0,8870
0,7840
0,6916
o,6o8i
0,5320
0,4654
0,4072
о,35"
0,3031
0,2606
0,2231
0,1906
0,1628
0,1390
0,1187
0,0540
?z
————— ,
Ро
1,0996
1,0000
0,9073
0,8215
0,7420
0,6685
0,6007
0,5383
0,4810
0,4234
0,3804
0,3366
0,2968
0,2535
0,1849
o,i579
0,0718
р в мм
Hg
854,6
760,0
674,1
596,1
525,7
462,2
4°5,°
353,7
307-7
266,8
230,4
ioB,i
169,6
144,8
123,7
90,25
4i,o
Y
г, 3476
1,2250
1,1110
1,оо6о
0,9089
0,8189
о,7359
0,6595
0,5889
0,5249
0,4660
0,4124
0,3636
0,3106
0,2652
0,2265
0,1935
0,0880
По Бьеркнесу, рг = Ро l -
5,256
где Вz—барометрическое давление в мм рт. ст.
Зная рг и Тг, находим z = 44300—42230 -у*0'235-
Высота подъёма может определяться из урав-
нения;
ПЛАВАНИЕ В ЖИДКОСТИ
Плавание в жидкости возможно,
если Чж^Чт (индекс ж относится к жиц-
кости и m — к телу). Тело тонет, если Тж<Лт>
и плавает на поверхности, если 7ж>гот (в этом
случае тело обладает шювучестью, т. е.
способно иметь ватерлинию). На плавающее
тело действуют две силы: сила веса G, прило-
женная в центре тяжести тела Sg, и архимедова
сила А, равная весу объёма вытесненной жид-
кости, вертикальная линия действия которого
проходит через центр тяжести вытесненного
объёма Зд, и направление действия — снизу
вверх, А = Учж, где V—объём вытесненной
жидкости.
Остойчивость — способность плаваю-
щих тел возвращаться в первоначальное рав-
новесное положение при получении крена.
Равновесное положение возможно при на-
хождении 5д и Sg на одной вертикали. При
подводном плавании тела будут обладать
остойчивостью при 5д, расположенном вы-
ше Sg.
Метацентр — точка встречи линии дей-
ствия архимедовой силы с осью плавания тела.
Плавающие тела обладают остойчивостью
тогда, когда метацентр М расположен выше
Sg. Метацентрическая высота h (расстояние
между М и Sg) определяет величину остой-
чивости тела, ибо момент, выправляющий крен,
равен НА sin 9, где ср — угол крена. Величина
метацентрической высоты определяется из
уравнения:
где /—момент инерции площади плавания
(площадь, ограниченная ватерлинией) около
оси мгновенного вращения плавающего тела
(около диаметральной плоскости), V — водоиз-
мещение, а — расстояние между $д и Sg по
оси плавания. При отсутствии чертежа пла-
вающего тела метацентрическая высота опре-
деляется экспериментально. На палубе уста-
навливаются симметрично оси плавания два
груза весом ДО. Затем они сдвигаются в одну
и ту же сторону на Д_у, замеряется вызванный
этим сдвигом угол крена Дф (с помощью от-
веса) и определяется h из уравнения:
13.59 Д/?
Тер
2-13,59-
где -\ср — средняя весовая плотность; tz ~
= 15 — 6,5 /г, где h = liiOO • z — высота в км.
Для математического анализа удобны прибли-
жённые уравнения Ветчинкина:
J* = Pz_ = Л _ _А_у
То Ро Ч 42 У
20 —/г
: 20 -f Л '
Всё это справедливо в тропосфере, в стра-
тосфере же
Рг
г-11000
6350
г=11 000
(урав-
нение Галлея).
где G — вес тела.
Определение остойчивости осу-
ществляется с помощью диаграммы Рида,
представляющей собою зависимость восста-
навливающего момента от угла крена. Про-
дольная остойчивость играет большую роль
для танков-амфибий, ибо наличие большого
диферента на нос препятствует выходу из воды
(„зарывание машины").
Непотопляемость — способность
иметь ватерлинию при пробоинах. Расчёт не-
потопляемости при заполнении отсека водой,
которая не переливается и не сообщается,
с забортной водой, аналогичен расчёту приёме
твёрдого груза.


388
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
(РАЗД.
Новая метацентрическая
ляется уравнением:
высота опреде-
где Ло — прежняя метацентрическая высота,
G — вес тела, q — вес воды в отсеке. Угол
да
крена ср = fr •? — — , где а — расстояние
центра тяжести затопленного отсека от
диаметральной плоскости. Угол диферента
а(Ь—х) „
Т = Д , — г-гт- . ГД? "\ — метацентрическая
1
высота продольной остойчивости, Ъ — расстоя-
ние центра тяжести затопленного отсека от Sg
по диаметральной плоскости и х — расстояние
центра тяжести площади ватерлинии от Sg.
При заполнении отсека водой, которая пере-
ливается, но не сообщается с забортной водой.
расчёт ведётся приближённо по уравнению:
где V — водоизмещение тела, l/j — объём за-
топленного отсека, J — момент инерции зер-
кала поверхности отсека относительно продоль-
ной оси, проходящей через центр тяжести по-
верхности. Для расчёта диферента употреб-
ляют ту же формулу, но берут момент около
продольной оси. Крен рассчитывается по пре-
дыдущему уравнению. При затоплении отсека
водой, сообщающейся с забортной водой, сле-
дует проводить расчёт плавания тела без учёта
затопленных отсеков.
Плавание в сжимаемой среде обусловли-
вается подъёмной силой А = feV — угУ, где
V — объём судна, fe и Тг — весовые плотности
воздуха и газа. Удельной подъёмной силой
называется подъёмная сила, отнесённая к объ-
А _
ему судна: а = уг. Если температуры воз-
духа и газа различны, то а = -*д ( 1 — з —J—
Тв \
-"—
' г /
где Тд и Гг — температуры воздуха и газа,
о — относительный вес газа (отношение весов
при одинаковой температуре). А меняется
с давлением и температурой. А при t = 0 на
высоте аэронавтической атмосферы (высота,
при которой р — 10000 кг/л12, примерно 262 м)
называется нормальной подъёмной силой.
Влияние влажности в о з д у х а за-
ключается в уменьшении удельной подъёмной
. ' '273 т A—8)
силы на Да = — —•——у——- у0в, где -f —да-
вление водяных паров, Ь — отношение весовых
плотностей пара и воздуха, индекс 0 отно-
сится к аэронавтической атмосфере и индекс
1 — к условиям полёта. Влажность газа также
уменьшает удельную подъёмнуюсилу на вели-
чину
Тпг, где ин-
чение составляет плавание на нагретом воз-
духе, для которого Да' > 0.
Выполнение аэростата. При изме-
нении условий полёта газ изменяет свой объём
Ун. Высота, на которой VH — Vmax, называет-
у
ся зоной выполнения;Нз.в — Н0-\а _Н1?1. Вли-
яние высоты на объём газа выражается
уравнением:
н„
Влияние вы соты на подъёмную
силу имеет место при выполненном аэро-
стате из-за потери газа при его расширении
_н
Л« = Л0? ^/0» ПРИ V0 — Ктах. Для невыпол-
ненного аэростата Ан = А0. После достижения
зоны выполнения при дальнейшем подъёме
Н—Н„ я
Ан — Айе н° . При спуске подъёмная
сила постоянна (аэростат перестаёт быть вы-
полненным), поэтому преодоление потолка за
счёт инерции автоматически приводит к спуску
до земли. В силу этого для установления
равновесия системы при достижении потолка
необходимо сбросить баласт, компенсирую-
щий различие между статическим и динами-
ческим потолком. При расчёте движущегося
аэростата следует увеличивать его массу на
150/о за счёт присоединённой массы воздуха.
Равновесие имеет место при А — G.
Зона равновесия — статический потолок. Со-
стояние судна в этой зоне взвешенное. Сброс
баласта весом q даёт сплавную силу q —
-A — Q.
Адиабатическое изменение со-
стояния даёт связь между изменением q и Н
для выполненного состояния в виде:
_
dH
1*
"*,"
где ke и kf — показатели адиабатического
процесса для воздуха и газа. Для светильного
газа Лг=1,35, для водорода k2 = 1,4. Для
приближённых подсчётов считают ?г = k, — k,
и уравнение принимает вид:
Ji/У — -рг- Д<2 (уравнение баласта),
где Л0 — -*-— — высота однородной атмосферы.
Для невыполненного состояния
G
1
деке (') относится к условиям газа. Исклю-
Устойчивое равновесие при ka < Аг, безраз-
личное при ke = kz и при ke >• kz (наполнение
светильным газом) неустойчивое равновесие,
т. е. с увеличением высоты сплавная сила
возрастает.


гл. ivi
ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ
389
Влияние температуры для выпол-
ненного состояния (при постоянном давлении)
характеризуется уравнением:
G \ Тг т, Тв
При Тв = Г, = Г
Д# а • Д Тг — Д Тв
G ~ Т A — а)
или в соединении с уравнением баласта
Величина
1 — з Т '
для светильного газа 0,73
и для водорода 0,075; в связи с этим изме-
нение температуры газа на 1° даёт изменение
высоты &.Н в первом случае почти в 10 раз
более второго. Повышение температуры воз-
духа на 1° уменьшает Н примерно на 30 м.
Повышение температуры газа на 1° повышает
Н на 20 м для светильного газа, на 2 м для
чистого и на 3,3 м для неочищенного водо-
рода. При невыполненном состоянии уравне-
ние принимает вид:
~Q~==(~J7
Та
т. е. Д/г оказывает своё влияние лишь через
изменение V. Изменение высоты определяется
уравнением:
ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ
Линия, в каждой точке которой вектор
скорости к ней касателен, называется линией
тока. Её уравнение:
dx dv dz
Для установившегося движения линии тока
совпадают с траекториями жидких частиц.
Вихрь — совокупность жидких частиц, сов-
местно вращающихся около общей оси. Со-
ставляющие угловых скоростей вращения
определяются из уравнений:
I fdvz dvy\ i tdvx dvz\
ш* -^2\ду~~~
I idv.
у
дх
ду
Линия, в каждой точке которой вектор угло-
вой скорости к ней касателен, называется
вихревой линией, уравнение которой:
dx dy dz
Потенциал скорост и—функция, про-
изводная которой по любому направлению
даёт проекцию вектора скорости на это на-
правление:
__ d'f t _ d'-f _ ду
"г ~~~ —-\—— t f \t ^~~ ~~"~\— > **7 ~~~ —^—— •
•* *
<р существует тогда, когда движение потен-
циальное (безвихревое), т. е. шж = шу = шг == 0.
Вообще
= vdx
v2dz.
Уравнение неразрывности осно-
вывается на постулате постоянства масс.
В общем виде это уравнение имеет вид:
-vi
dt
,
+ -з—
дх
, /
4- -5-1
* ду \
д
-^—
dz
j = 0.
Для несжимаемой жидкости:
дх
дг
или div v — 0.
Для потенциального потока
В полярных координатах:
1 д ( dtf
SU
г
о
= 0,
где г — линейная координата, а
Для плоского потока:
и ш — углы.
---
df* г дг ~~ г2 д№
В цилиндрических координатах уравнение
имеет вид:
Точки, в которых уравнение неразрывности
не имеет места, называются источниками или
стоками.
Функция тока (для плоского потока
или пространственного, приводимого к пло-
скому)—количест-
во жидкости, кото-
рое протекает ме-
жду заданной ли-
нией тока и линиек
тока, принятой за
нулевую:
Линии з = const и
ф = const дают два
семейства взаимно
ортогональных ли-
ний, изображённых
на фиг. 9. Причём
rfc = v rfs = vAB
Фиг. 9.
называется циркуляцией и расходом
=(fQ.


390
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. I
Составляющие скоростей равны:
х ~~ дх ~~ ду у ~~ ду ~ дх
Ортогональные сетки наглядно
изображают плоские потенциальные потоки,
которые по некоторым своим свойствам могут
Фиг. 10.
быть использованы в ряде практических при-
ложений. В лопаточных машинах для выясне-
ния меридионального потока, ограниченного
поверхностями вращения, строят ортогональ-
Дх
ные сетки, в которых —— = г const (фиг. 10),
а значит и расходы между соседними поверх-
ностями тока постоянны. Построение произ-
водят методом последовательных приближе-
ний — вначале на-глаз, а затем уточняют, до-
ДА- 1
биваясь постоянства —- • ——.
Ду г
Циркуляцией по замкнутому контуру
называется
Г '= ф v • ds • cos (vds) = 2 f <odF,
где <adF — интенсивность вихря, <о — угловая
скорость, dF—площадь вихревой трубки.
Фиг. И.
Вихревая пелена — поверхность раз-
рыва скоростей. Величина циркуляции опреде-
ляется из уравнения:
dr = ov-ds (фиг. 11).
Свойства вихря. Вихрь при всех
своих деформациях состоит из одних и тех
же частиц жидкости. Наружная поверхность
вихря является поверхностью раздела между
потенциальной частью потока и вихревой —
ядром вихря, в котором скорости следуют
закономерностям недеформируемого тела. По-
верхность раздела является поверхностью раз-
рыва закономерностей скоростей и давлений,
хотя как скорости, так и давления разрыва
не претерпевают. Величина Г в идеальной
жидкости по контуру, проходящему через
одни и те же частицы, не меняется с тече-
нием времени, если движение происходит под
воздействием сил, обладающих потенциалом.
Следовательно, движение потенциальное (без-
вихревое) всегда остаётся потенциальным и
вихревое — вихревым.
Циркуляция вокруг вихревой трубки посто-
янна по величине вдоль всей длины трубки,
т. е. dF ш = const (аналогично уравнению расхо-
да). Поэтому вихревая трубка не может закан-
чиваться в потоке, а должна либо замыкаться
сама на себя, либо опираться на границы по-
тока.
Циркуляция по любому замкнутому контуру
равна сумме циркуляции вихрей, охватываемых
данным контуром.
Скорость, индуцированная вих-
рем произвольной формы на точку окружа-
ющего потока, определяется интегрированием
уравнения:
Г ds sin ' Г ds sin3 <f
dv =
(закон Био-Савара), где Г — циркуляция, 5 —
длина вихря, а — расстояние от точки до
касательной к элементу вихря (фиг. 12). Век-
Фиг. 12.
тор элемента скорости влияния перпендику-
лярен плоскости, проходящей через точки
Л и ds, и его направление обусловливается
направлением циркуляции вихря. Если вихре-
вая трубка прямолинейна и определению под-
лежат скорости влияния отрезка этой трубки,
КОНЦЫ КОТОРОГО КООРДИНИРУЮТСЯ углами '.fj И cps.
Г
ТО V •=• -т—— (COS 'f2—COScf]).
Скорость влияния бесконечно длинной
прямолинейной вихревой трубки
Г Г
v — -Q— или va — 7)— —const.
ZTCU ^71
Вихревые кольца. Импульс силы.
необходимый для образования вихревого
кольца, равен РД? = р.РГ и направлен по
нормали к плоскости вихревого кольца (Р —
сила, F—площадь вихревого кольца, Г — цпр-


IV]
ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ
391
куляция). Два вихревых кольца с циркуляцией
одного знака совершают неустановившееся
движение (попеременно одно из колец проска-
кивает сквозь другое). Вихревой соленоид,
состоящий из бесконечно большого числа
одинаковых колец, равноудалённых друг от
друга, является системой, могущей переме-
щаться без изменения взаимного расположе-
ния. Влияние вихревого кольца А на В всегда
уравновешивается влиянием С на В (фиг. 13).
Фиг. 13.
Подобный соленоид положен в основу теории
идеального ветряка Сабинина.
Уравнение Навье-Стокса даёт
связь между градиентом давления, скоростью,
массовыми силами и вязкостью для движу-
щейся жидкости
tiv v dv,f dv г
dv,, _ ^ dp
• v*1? ~ Чх — у Jx t- Г* v *1».,
dvv dvv ?Vy
--.-
ду
dv
dvz dvg dvz
dvz 1 dp
Первый член левой части равенства предста-
вляет секундное приращение компонента ско-
рости в заданной точке, левая часть равенства
даёт секундное приращение компонента ско-
рости заданной частицы с учётом её переме-
щения, q — массовая сила (см. стр. 385),
dx^ dy2 ' dz*
оператор Лапласа второго рода и pv2!^—
проекция силы вязкости на ось х. Обра-
щаются в 0 первый член левой части равен-
ства для установившегося потока, последний
член правой части равенства для идеальной
(не вязкой) жидкости, все члены, содержащие
компоненты скорости для покоящейся жидкости.
Интеграл Бернулли представляет
собой интеграл предыдущих уравнений при
м = 0 для установившегося движения вдоль
заданной траектории частицы:
z 4~ ~ -f o~ — const = H (напор).
Интеграл Лагранжа — Кош и пред-
ставляет интеграл предыдущих уравнений
движения во
при v = 0 для потенциального
всём жидком объёме:
_. _
7 2g gdt
Интеграл Бернулли и Эйлера
есть интеграл Лаграижа — Коши в случае
установившегося движения:
г-\- ^- + =- = const,
который справедлив во всём жидком объёме.
Обобщённый на вязкую жид-
кость интеграл Б е р ну л л и имеет вид:
где R — функция рассеивания, характеризу-
ющая механическую энергию, обращающуюся
в тепло, причём
dR — — (v2 vxdx-\- v2 vydy-\- va vzdz),
о
(}2
где v2 — -д—_v, \- -s-jj + ^-j — оператор Лапласа
второго рода.
Источник — точка, в которой несправед-
ливо уравнение неразрывности из-за возникно-
вения потока. Скорости влияния источника
Q Q
в пространстве v = -.—7г или <р = ——?-—,
4тгл 4-тт/*
где Q — расход источника, г—расстояние
рассматриваемой точки от источника, ср — по-
тенциал потока. Для плоского потока v — 0—
О 2"кг
п ъ = -~-]пг. Для стока меняют знак при Q.
Плоский циркуляционный по-
ток имеет место в плоском потенциальном
потоке, в котором имеется одна особая точка,
обладающая вихрем с циркуляцией Г. Скорость
Г Г
влияния v = -f.— и ср = -^— (9-1-2 kn), где
6 — угол, отсчитываемый от начального ради-
уса, k — любое целое число.
Плоско-параллельный поток имеет
постоянную, одинаково направленную скорость
v и ср = vn, где п — направление скорости.
Построение удобообтекаемых
г е л осуществляется сложением в различных
Фиг. 14.
комбинациях элементарных потоков. Так, очер-
тания носиков трубок Пито — Прандтля осу-
ществляются по форме полутела, представля-
ющего результат сложения двух потоков—пло-
ско-параллельного и источника (фиг. 14). Для


392
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. I
1 /"О 1 Обтекание круга с циркуля-
пространственного потока а — т,-1/ — = д В ц и е и даёт совмещение трёх потоков: плоско-
г параллельного, дуплета и циркуляционного.
Скорость в В этом случае может быть найдена величина
подъёмной силы (см. „Гидравлические ма-
и для плоского а =
Q
лк>бой точке этого потока определяется в виде
геометрической суммы соответственных ско-
ростей влияния.
Наивыгоднейшие очертания дирижаблей,
привязанных аэростатов, фюзеляжей самолётов,
кабин головок мощных ветряков и т. п. удаёт-
Фиг. 15.
ся получать распределением источников и
стоков вдоль оси тела (фиг. 15). Для получе-
ния тупого носа нужно начинать с источника
с конечным расходом и для острого конца
следует кончать нулевым стоком. На фиг. 15
заштрихованная эпюра изображает распределе-
ние источников (выше оси) и стоков.
Обследование овальных тел производится
помещением на одной оси плоско-параллель-
ного потока источника и стока с одинаковыми
расходами (фиг. 16, а), и этот овал обращается
Фиг. 16.
в круг при сближении источника и стока в
одну точку с постоянством момента дуплета:
aQ = М — const (фиг. 16, б). Для дуплета ско-
рости влияния в пространстве будут
М
М.
и для плоского потока:
М .
vy = — -~ — - 1 sin 9 cos 9
/И
COS
Учёт влияния стенок заключается
в установке зеркально отображённого потока
(или потоков), который даст линию тока, со-
впадающую со стенкой. Тогда влияние стенки
будет аналогично влиянию отображённых по-
токов (фиг. 17).
Фиг. 17.
шины", .Справочник" т. 12). Применение кон-
формных отображений позволяет по законам
обтекания круга находить законы обтекания
крыльев.
Обтекание круга может быть полу-
чено при расположении источников и сто
ков одинаковой
мощности взаимно
симметрично около
окружности, т. е.
так, чтобы произве-
дение их расстоя-
ний от центра
окружности было
равно квадрату ра-
диуса а^з = Ь-^Ъъ—
=г2 (фиг. 18). При
этом .необходимо,
чтобы сумма рас- Фиг. 18.
ходов внутри кру-
га была равна нулю.
Разрывные течения могут быть об-
следованы методом годографа скоростей [3,21].
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
И ПРИНЦИПЫ МОДЕЛЬНЫХ
ИСПЫТАНИЙ
Две системы, геометрически подобные в
любой момент времени (кинематическое по-
добие), называются динамически подобными
тогда, когда все действующие в них силы со-
ответственно пропорциональны. В механике
сплошных сред кинематическое подобие воз-
можно лишь при соблюдении подобия дина-
мического.
Модель и натура должны быть прежде все-
го геометрически подобны, т. е. все их лиьей-
ные размеры пропорциональны, а соответ-
ствующие углы равны. Основным вопросом при
проведении модельных испытаний является
соблюдение динамического подобия.
Частичное динамическое подо
б ие. Число сил различного характера, обу-
словливающих движение системы, может быть
велико, например, силы инерции, тяжести, вяз
кости, упругости на сжатие, упругости на
сдвиг, поверхностного натяжения и т. п. Однако
в каждом явлении всегда можно выделить
главные силы, т. е. силы, изменение которых


ГЛ. IV)
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И ПРИНЦИПЫ МОДЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
393
даст заметное изменение законов движения
системы, и силы, изменение которых не ока-
зывает существенного влияния. Модельные
испытания возможны тогда, когда число глав-
ных сил не более трёх. Если четыре разнород-
ные силы обусловливают движение системы,
то главные масштабы модели (длины, силы и
времени) обращаются в единицы и модель обра-
щается в натуру. Если в двух геометрически
подобных системах главные силы соответствен-
но пропорциональны, то такие системы назы-
ваются частично динамически подобными.
Именно этот случай имеет место в практически
встречающихся системах.
Главные с и л ы. Во всех явлениях меха-
ники сплошных сред обязательной главной
силой является сила инерции. Силы тяжести
являются главными силами всегда, когда дви-
жение происходит под их воздействием (исте-
чение через водосливы и отверстия, волны,
колебания столба жидкости и т. п.). Силы
вязкости существенно важны тогда, когда
имеет место градиент скорости. Однако при
достижении больших чисел Рейнольдса даль-
нейшее изменение силы вязкости перестаёт
оказывать существенное влияние на характер
явления (режим автомодельное™). При ско-
ростях, приближающихся к скоростям распро-
странения упругих колебаний, силы упругости
становятся главными.
Критерием динамического по-
добия называется величина, пропорциональ-
ная отношению главных сил. В принятых кри-
териях одной из главных сил является сила
инерции. Если для двух геометрически подоб-
ных систем критерии динамического подобия
окажутся одинаковыми, то следует считать со-
блюдённым частичное динамическое подобие по
соответственным главным действующим силам.
Числом Рейнольдса называют вели-
чину, пропорциональную отношению сил инер-
ции к силам вязкости: Re — — - , где v —
характерная скорость (для трубопроводов —
средняя скорость), d — характерный размер
(для трубопроводов — диаметр) и v — кинема-
тический коэфициент вязкости. Для потоков
некруглого сечения диаметр заменяется учет-
верённым гидравлическим радиусом. Гидравли-
ческим радиусом называется отношение пло-
щади сечения потока к смоченному периметру.
В США при расчёте нефтепроводов вместо
Re употребляют американский вихревой фак-
г, ллоicon Г галлоны в минуту 1
тор /? = 0,03162 Re -=,———————-.——J—±—— \.
r |_0. кинем, коэф. вязкости J
В авиационной технике вместо Re употребляют
характеристику опыта Е — vd, где d — харак-
терный размер в мм. Величина Е ^-=^-Ке.
Безразлично, какие величины считать харак-
терными, важно лишь, чтобы при вычислении
критерия динамического подобия для модели и
натуры были взяты соответственные величины.
Числом Фруда называют величину, про-
порциональную отношению сил инерции к си-
лам тяжести: Фг = —-г, где v — характерная
скорость, / — характерный размер, g—ускоре-
ние свободного падения. В обычных условиях
g = const, поэтому при практических расчётах
величину Фг часто заменяют размерной вели-
чиной Ф — —.
Числом Кош и первого рода назы -
вают величину, пропорциональную отношению
сил инерции к силам упругости первого рода:
1/2 р
Cal = —=—, где р—массовая плотность и ? —
С
модуль упругости первого рода. Так как
— = о2 — скорость распространения упругих
колебаний, то в аэродинамике часто пользуют-
ся величиной УСп! = - - = Be (или Ва), кото-
рую называют числом Берстоу. Физическое
значение этого числа то же.
Числом Кош и второго рода
- О2 р
называют Са^~—~-, где G — модуль сдвига.
Если главными силами являются силы упру-
гости на сжатие и скалывание (обычные проч-
ностные исследования), то модельные испы-
тания могут проводиться лишь при изго-
товлении модели и натуры с одинаковыми
коэфициентами Пуассона. Если коэфициенты
Пуассона будут одинаковыми, то соблюдение
равенства Са^ автоматически даёт равенство
Са%, поэтому при проведении модельных испы-
таний необходимо соблюсти лишь равенство
Си] и коэфициентов Пуассона.
Числом Вебера называют величину,
пропорциональную отношению сил инерции
к силам поверхностного натяжения: We —
/
где Т—коэфициент капиллярности в кг\м.
Определение параметров мо-
дели. Параметры модели определяются тремя
основными масштабами: сил k#, времени я/ и
длины я/.
Масштабы любых величин повторяют их
размерности, так, например, масштаб скорости
k.v = я/. я/~ , ускорений kj = ki k(~2, вязкости
йц. = Яд. kt Я/ И Т. Д.
Пример определения масшта-
бов модели. Подлежит обследованию мо-
дель водослива. Главными силами явля-
ются силы инерции, вязкости и тяжести.
Необходимо соблюдение Re и Фг. Равенство
у модели и натуры этих величин означает
существование равенств kvktk~l = 1 и
kvz ki~lkg~l— 1. Нахождению подлежат я/, я/^
и я/. Исключая kv, считая ks=\ (g—ускорение
свободного падения—для натуры и модели бу-
дет заведомо одинаково), получаем: яг — |/яу3 •
Находя kv и имея в виду, что kv — я;я/—1, по-
лучим: я/ = I/ я, = kv . По уравнению раз-
мерности силы получим: я л = яр я/2 яюа, от-
куда kR = Яр я-А Выводы: подобные модельные
испытания возможны только при применении
жидкости иной вязкости; для уменьшения раз-
меров модели следует применять менее вязкую
жидкость.
Результаты модельных испыта-
ний должны обрабатываться в виде безраз-
мерных коэфициентов, получаемых в качестве
функций критериев динамического подобия.


394
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
(РАЗД.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Уравнение Берну л л и — уравнение
энергии движущейся жидкости. При рассмотре-
нии энергии потока конечных (больших) раз-
меров следует иметь в виду, что кинетическая
энергия потока, вычисленная по средней ско-
рости, всегда меньше действительной кине-
тической энергии. При рассмотрении трубки
тока можно считать скорости распределёнными
равномерно по живому сечению (сечение
потока, в каждой точке которого вектор ско-
рости к нему перпендикулярен).
Коэфициент Кориолиса — отноше-
ние истинной живой силы потока к живой
силе, вычисленной по средней скорости. Сред-
ней скоростью называют -~- — vcp. Истинная
ная высота (энергия положения), — — пьезо-
метрическая высота (энергия давления),
vi
а -п— — скоростная высота (кинетическая
энергия),
Л
тепловая высота (внутрен-
няя энергия сжимаемой среды), причём U —
энергия в ккал/кг и А — механический экви-
валент тепла, равный ккпл\кгм. Ка-
ждый из членов даёт соответственную энергию
1 кг и имеет размерность в м. График, изобра-
жающий изменение величины каждого члена,
именуется зпюрой высот (см. фиг. 60). Для
сжимаемых жидкостей чаще относят энергию
к 1 .и?, тогда размерность каждого члена
20 304050 70 100
«
P~2
1 1 1 1 1
1
/
, , ,,| , 1
1 1 1 1
2
1 1 1
1 i
3
ММ,
1 1
4
, ,
1
5
,1, , it.
i I
6 7 8 S
,1 1 1 1 1 ,
1 '
НО
, i l , I
' ' 1
20
. 1 ! 1 ,1 1
1 1
30
i U . . ,
1 ' '
40 50
, i
i
60 7
j 1 1 1 , i , i
! ! i
08090100
0,001
0,01
0,1
\'г
-
, I , i III
| :
0,1
| , 1 , ,1 ,
' ' ' 1
0,2
,1,1,
> i
0,3
,1 1 I
' 1
0.4
, ,
1 i
0,5
,,1 , 1 , J . i I .1 ! 1
! ' 1 ' 1 Г 1 ' '
0,6 0,7 0,8.0,9 f
1 , . f
•UM — ^ —
2
: 1 ,
[
9
lit
' l i
4 5
6
tg
\ \
7 8
\
Q 10
скорость v — vcp 4- До в разных точках сече-
ния потока различна. Величина коэфициента
Кориолиса вычисляется из равенства a— 1-f-
.
, где b =
Для ламинарного потока
= тт и А3 — О- Для
турбулентного потока при гидравлически глад-
ких стенках a =f(Re) (по Некрасову) [8]
lg Re = 3,5 4 5 6 7
а =1,12 1,о8 1,04 J.02 J'02
В расчётах для каналов и труб большого
диаметра принимают А2 = 0,035 и k3 = Q, хотя
это и не всегда точно. Для потоков
с заведомо большой неравномерностью рас-
пределения скоростей по сечению потока (на-
пример, выход из всасывающей трубы гидро-
турбины) величина а может достигать значе-
ния нескольких единиц [13]. При а<2 можно
считать /г3 — 0, однако, если а > 2, ks увели-
чивается и даже может составлять основную
часть а при достаточно больших значениях
коэфициента Кориолиса.
Коэфициент Бусинеска — отноше-
ние истинного количества движения потока
к количеству движения, вычисленному по сред-
ней скорости:
Общая форма уравнения Бер-
нулли, написанного для двух сечений потока,
имеет вид:
Pi fi2 U,
-, i * i i i i _
Фиг. 19.
будет в кг/м%, а само уравнение Бернулли на-
зывается уравнением напоров:
+ Pi + «iPi
Pi + °2Р2 ——ъ
U
4- Ti -— =
T2—i—
Члены уравнения именуются напорами (ско-
ростной напор и т. п.).
Несжимаемые жидкости обладают
свойством неизменности внутренней энергии
при переходе от одного сечения к другому,
поэтому уравнение принимает вид:
4-«i oV-^-b-T-H-^T-
Для потоков в трубах или установившихся
равномерных потоков в открытых руслах при-
нимают oi = a2 — 1 и исправляют вводимые
этим допущением неточности членом X hr.
Номограммы для подсчёта скоростных высот,
а также для напоров воздуха даны на фиг. 19.
п V- / ч °2
Для получения р -^— (для воды) нужно — = —
z /^
умножить на 1000.
При движении жидкости не под воздействием
сил тяжести и при отсутствии свободной
поверхности уровня объединяют члены
z 4- — - = Л и уравнение Бернулли принимает
форму:
где E/IJ- — сумма потерь энергии между пер-
вым к вторым сечениями потока, г — нивелир-
Критические скорости. Левая часть
уравнения Бернулли даёт запас энергии в пер-


ГЛ. IV]
ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
395
вом сечении потока. Изменение членов в правой
части может происходить за счёт повышения
потерь, и увеличение любого члена может
происходить за счёт уменьшения какого-либо
другого. Геометрией потока можно создать
большую скорость, так как по уравнению рас-
хода v^F] — z/9/*2 — Q — const no всей длине
потока или по всей длине трубки тока. Ана-
логичное уравнение имеет место и для
ускорений: j\F^ =^j2F2. Критической скоростью
называют такую, при которой давление в по-
токе падает до давления паров жидкости или
до давления растворённого в жидкости газа-.
где
где /bjmin — минимально допустимое значение
давления.
Кавитация — понижение давления до
/?2 т;п из-за достижения критических скоро-
стей. Обычно сопровождается выделением
пузырьков пара и растворённого в жидкости
воздуха. Там, где за местом кавитации давле-
ние повышается, пузырьки пара конденсиру-
ются. Это явление сопровождается соударением
жидких частиц (аналогично гидравлическому
удару), результатом чего могут получиться
большие местные давления, разрушающие
стенки, ограничивающие поток. Последнее
явление называется эрозией (подробнее см.
„Гидравлические машины", „Справочник", г. 12).
Сжимаемые жидкости. Для сжи-
маемых жидкостей уравнение Бернулли при-
нимает вид:
4 ' Sa?+ '
4 ' ' 40
Ва^ = — — число Берстоу, а\ — скорость рас-
пространения упругих колебаний, равная
Фиг. 20.
I/ Л—- . Величина этой поправки в процентах
при различных Ва^ будет:
v м/сек . . 34 68 Ю2 ig6 170 203 238
Да, .... o,i о,з о.з 0,4 о,5 о,6 0,7
Д% . . . . о,25 i,oo 2,25 4.°° б*20 9'°° 12>8
А--1
/ 77 \ Л~
Кроме того, Г2 = Tj ( —) , *2— >Г2 — ^i=*
= 59,2 ВЙ1а
Pi
Уравнение Бернулли для отно-
сительного движения. При нахожде-
нии трубки тока несжимаемой жидкости на
вращающемся теле уравнение Бернулли при-
нимает вид:
где
25- ^ - 1 т,
Л — показатель
ft — 1
'-„,
степени
политропы
(уравнения —^- — —^] . При А— 1,41 уравне-
ние имеет форму:
IV
f22
2^Г
71
Pi
ЕА
Величина E/ZJ- учитывает в этом случае не
собственно механические потери, а утерянную
различными способами энергию, ибо механиче-
ские потери частично регенерируются, повышая
внутреннюю энергию газов. При осуществле-
нии надёжной тепловой изоляции потока
^fij — 0, и уравнение Бернулли принимает вид:
где / — теплосодержание газа. При расчёте
потока газа с большими скоростями (в маши-
нах) величиной z пренебрегают. При обследо-
вании обтекания тел потоком воздуха влияние
сжимаемости при замере давления в точке
разветвления струй р2 (фиг. 20) определяется
величиной Д из уравнения
где w — относительная скорость и» — пере-
носная (окружная скорость), или в виде урав-
нения Эйлера:
2ff'
2
Если левая часть уравнения окажется боль-
шей, нежели правая, то это значит, что вра-
щающееся тело отнимает от потока энергию и
является рабочим колесом турбины и, в об-
ратном случае, — рабочим колесом насоса (см.
„Гидравлические машины", „Справочник", т. 12).
ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Уравнение расхода для сжимаемых жидко-
стей имеет форму:
Y Fv = G = const.
Расчёты удобно вести, пользуясь выраже-
нием числа Берстоу: Ва = — . Величина а опре-
деляется из
где k — показатель адиабаты. Уравнения, в ко-
торые входит показатель адиабаты, могут быть


396
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД.
использованы всегда, когда процесс преобра-
зования давления в скорость происходит в ма-
лый промежуток времени (но не со скоростями
звука).
Сопло Лаваля. При истечении газа
через правильно очерченный насадок и при от-
сутствии потерь может быть достигнута ско-
рость
и весовой расход
/Г - fe+i i
k Dili 0o\ ^ / Do\ ^ I
^gk^\ К ) \ )
Форма насадка может быть получена, если
задаваться законом изменения давления по его
длине (фиг. 21), тогда
где индекс х относится к некоторому проме-
жуточному сечению. Это отношение имеет mln.
поэтому непрерывно-
му уменьшению да-
вления соответствует
форма сопла, изобра-
жённая на фиг. 21.
Каждому закону изме-
нения Fx по длине
сопла соответствует
свой закон изменения
давлений, и если да-
вление на выходе ока-
жется равным давле-
нию окружающей сре-
ды, то сопло может
считаться спроекти-
ф"г- 21- рованным правильно.
В самом узком сече-
нии скорость будет равна звуковой при
соответственной температуре:
'кр
A- ?l
•H TI
кр
V
йяг/?г* •
При * = 1,41 ркр =0,528 jt»j, ук/7 =0,636/^
и Г = 0,831 Т\. Максимально возможная ско-
кр 1
рость (при истечении в пустоту) равна
.
При истечении воздуха из области атмо-
сферы в пустоту i>max = 754 м/сек.
Прямой скачок давлений имеет
место при истечении газа через диффузор с
излишним расширением, в котором давление
перед выходом делается меньше противода-
вления, а затем скачком повышается. В любом
сечении потока, за исключением наименьшего,
возможен прямой скачок давлений, дающий
переход потока из зазвуковой скорости в до-
звуковую без нарушения уравнения неразрыв-
ности. Этот процесс связан с потерей энергии.
Тело, движущееся со скоростью более зву-
ковой, излучает волны Маха (фиг. 22), пред-
ставляющие собой скачок давлений. Угол на-
Фиг. 22.
клона волн Маха определяется уравнением
а г, ,
sin а — — — Ва-~1, где а — скорость распро-
странения упругих колебаний, Ва — число Бер-
стоу (см. стр. 393). Поток перед волной Маха
находится в покое. Вообще всякое возмуще-
ние при движении с зазвуковыми скоростями
передаётся скачком давлений, который требует
дополнительной затраты энергии. Эта за-
трата энергии бу-
дет меньше, если *
передняя часть те- 7,2
ла имеет острую JQ
форму. При острой '
форме максималь- 0,8
ная величина ко- QQ
эфициента сопро-
тивления имеет •
место вблизи зву- 0,2
ковых скоростей.
Затем козфициент
сопротивления па-
дает (фиг. 23).
Если передняя
часть тела не имеет острой формы, то коэфи-
циент сопротивления будет продолжать расти
[29, 30].
Плоский скачок давлений. В пло-
ском потоке величина скачка скорости равна:
где i>! — скорость перемещения скачка давле-
D Vl
нии, Bal—- —- и Д] — скорость звука, соот-
«]
ветствующая параметрам неподвижного потока
(индекс 2 относится к параметрам потока, ле-
жащего по другую сторону скачка). Скачок
массовой плотности
О 0,5 1,0 1.5 2,0 2.5 В0
Фиг. 23.
скачок давлений


ГЛ. IV)
ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
397
скачок температур
Параметры потока за скачком по параме-
трам до скачка подсчитываются из уравнений:
\k + \
т2
Hi1
2
k — \
ВаГ']-'
В табл. 11 даны, по Рюденбергу, числовые
значения скачков параметров. Следует иметь
в виду, что при повышении температуры
изменяется ср из-за диссоциации молекул газа,
и в этом случае приведённые зависимости мо-
гут рассматриваться лишь как приближённые.
Таблица Л
Скорость
перемещения
скачка давле-
ний в м\сек
34°
4<х>
5оо
IOOO
1500
2000
2500
Зооо
4ООО
Ско-
рость
за скач-
ком да-
влений
в м сек
о
93.о
224
734
1187
i6n
2035
2460
330°
Скачок
давле-
ний в
Др
о
о.47
1.39
9-2
22,2
4°.3
6з,6
92,3
i65
Скачок
темпе-
ратур
ДГ = ДГ
о
ЗЗ.о
36,8
4б5
i°75
1925
3020
435°
7750
Относи-
тельный
скачок
плотности
До
Pi
о
о,ЧО
o,8i
2,74
3,74
4,20
4,44
4,58
4.72
Ударная адиабата — процесс изме-
нения состояния газа без подвода или отвода
тепла, происходящий с зазвуковыми скоро-
стями. Скачок давлений один из случаев удар-
ной адиабаты, при которой имеет место ска-
чок энтропии газа. Уравнение ударной адиа-
баты (закон Гюгонио):
Т
Следовательно, адиабатическим сжатием
можно повышать весовую плотность до любых
пределов, ударная же адиабата при k = 1,41
имеет предел повышения плотности 6.
Замер дозвуковых скоростей
может производиться трубкой Пито-Прандтля,
причём давление в критической точке (в точ-
ке разветвления струй) определяется из урав-
нения:
ч
При k= 1,41
Замер зазвуковых скоростей.
Давление в точке разветвления струй при за
звуковых скоростях определяется из уравне-
ния:
ft+l 1
X
2k
где * — показатель адиабаты. При k = 1,41
Ва 75_1-2-5.
Трубка Пито будет замерять величину ра. Зная
Pi, можно найти Ва^, а значит и V-^.
Обтекание угла 8 с зазвуковыми
скоростями сопровождается скачком давлений
Фиг. 24.
в виде прямой А В на фиг. 24. Скорости до и
после скачка подчиняются уравнению Бер
нулли, поэтому
+ 1) +/>2
1)
УП,
Зная vi и vjh , можно найти проекцию ско-
рости на линию скачка давлений V(, а значит
и г/2. По величине 1>л2 находят р2:
Pi
Используя подобный метод, можно решать
задачи об обтекании кривых поверхностей [1].
Правило Прандтля. Для плоских по-
токов сжимаемой жидкости, обтекающих тела
с плавными контурами при Ва < 0,8, давление
по контуру будет то же, что и у эквивалент-
ного тела. Тела будут эквивалентны тогда
когда их ординаты, перпендикулярные скоро
сти обтекания, будут удовлетворять уравнению
где у — ордината тела, обтекаемого потоком
сжимаемой жидкости, и у1 — ордината ему
эквивалентного тела. Характеристики крыла
при скоростях, близких к звуковым, см
стр. 429.


398
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
.[РАЗД. .!
ИСТЕЧЕНИЕ
При истечении жидкости через отверстия
и насадки скорость равна
v = 9 У 2gH = r
может уменьшить р. не более чем на 1,40/о..Для
отверстия в тонкой стенке cpsO,97. При не-
совершенном сжатии (фиг. 26), по Вейсбаху,
величина у. исправляется поправочным мно-
где Н — напор, отнесённый к центру тяжести
отверстия, у — коэфициент скорости. Расход
Q = jj. F yugH, где р. — коэфициент расхода,
р—площадь отверстия. Струя может претер-
к1
С7Л/7
певать сжатие, тогда е =
ЮООО
— коэфициент
жителем 1 -f a \ b 1 — 1 у, где для круглых
отверстий а =0,04564 и Ь— 14,821 и для пря-
моугольных отверстий а = 0,076 и b = 9,0.
При неполном сжатии, по опытам Бидона и
Вейсбаха [9], поправочный множитель равен
1 -f k -— , где IT — часть периметра, снабжён-
-/Обработка опытов Гамильтона Смита ^
/ I /I
Рейнольдса (-^г).
Фкг, 25 Влияние соотношения сил инерции, вязкости и тяжести (числа Рейнольдса и числа Фруда)
на коэфициент расхода для отверстия в тонкой стенке.
сжатия и {А = tfe- Коэфициент потерь С =
_ —-—1. Если поток подходит к отверстию
сра _____
со скоростью % то выражение ylgH заме
г___ ^з
няется через \/ 2gh'u, где //0 = Н + ~ •
2g
При истечении из отверстия величина
f* = f(Re, Фг) (см. стр. 393).Для малого круглого
отверстия в тонкой
стенке величина р. да-
на на фиг. 25 [16].
Квадратное отверстие
обладает тем же fA,
что и круглое с диа-
метром, равным сто-
роне квадрата. От-
клонения в сторону
увеличения возможны
при больших отвер-
фиг G стиях, т. е. малых чи-
слах Фруда. Увеличе-
ние вязкости жидкости даёт некоторое уве-
личение fx. Большие отверстия обследованы
мало. Истечение под затопленный уровень
ная направляющей стенкой, II — полный пе-
риметр отверстия, k = 0,128 для круглых от-
верстий, 0,152 для малых отверстий, 0,134 для
малых прямоуголь-
ников, 0,157 ДЛЯ 1,0;
больших
угольников.
Характер кром- э1
ки отверстия мо- g
жет существенно с ,_
изменить и. Если ? "' '
размер кромок, |05!.
перпендикулярный |-J' i_a-
стенке, не более ё
диаметра отвер-
стия, то величина
\i. может быть взя-
та по фиг. 27. Исте- Фиг. 27.
чение вязких жид-
костей обследо-
вано мало. Некоторые возможности опре-
деления для вязких жидкостей даёт график
фиг. 25 (при определении Re и Фг скорость
бралась как частное от деления Q на пло-
щадь отверстия). Для оценки качественного


ГЛ. IV)
ИСТЕЧЕНИЕ
399
влияния вязкости следует исходить из того,
что вязкость уменьшает <р, но увеличивает е,
поэтому для острой кромки при увеличении
вязкости увеличивается JA. Так, при пере-
ходе от воды к маслу E — 8° Е) fx увеличи-
вается на 8%- Однако, если имеют место
скруглённые кромки (в = 1), то при увели-
чении вязкости fx падает. Для щели, образо-
ванной ПЛОСКОСТЬЮ И ЦИЛИНДРОМ, |Х =/(/??)
Сдана на фиг. 28) [20].
ный напоры, F — площадь поперечного сече-
ния сосуда. При F — const
А ___
i*= (УЪ - V"HJ*
2FH
-- -— . Если /^фconst,
при
проводят числовое интегрирование. Если/г=/(г)
По протоколам
.J-зазор д=0.06 мм __
1-вязКость ti?1.6.10~* i*2lcek
2- вязкость ?=0.8.10"*
3-бязКостъ
Профиль Л— R=1,35мп
Профиль B — R=3,375riM
Профиль С—R=4,20-MM
500 7001000
Число Рейнольдса /?е =
Фиг. 28.
Истечение через насадки. Насад-
ки — фасонные трубки длиной от 2 до 4 диа-
метров, присоединённые к отверстию. Для схо-
дящихся насадков возможен один режим
истечения, для цилиндрических и расходя-
щихся—два: I) истечение через насадок, 2) при
может быть получена графически, как, напри-
мер, на фиг. 30 по топографической карте мест-
ности, то можно обратиться к графическому ме-
тоду определения t. Строится 1/ = /(г) и в боль-
шем масштабе Д* jx/V 2gz . где Д# — про-
межуток времени, в течение которого можно
считать истечение происходящим под постоян-
ным напором. Отрезок ab в соответствую-
Таблица 12
Фиг. 29.
достижении предельного напора, истечение
через отверстие из-за отрыва струи от стенок.
Коэфициент расхода, отнесённый. к отверстию,
к которому присоединён насадок, обозна-
чается через fxj и отнесённый к выходу на-
садка — [х, величины которых даны в табл. 12.
Опорожнение. Время опорожнения со-
суда произвольной формы определяется из
уравнения:
Я,
tss
где т — площадь
расхода, Я, и //2
отверстия, р. — коэфициент
первоначальный и конец-
Характер насадка
Насадок Вентури (фиг.
29, а) ...........
Цилиндрический наса-
док со скруглёнными
входными кромками . .
Насадок по форме ежа-
Конический сходящийся
насадок:
Г 5° ......
Р - 13° ......
\ 45* ......
Насадок Борда (фиг.
29, б) ..........
Брандспойт :
по Фриману .....
по Ясюковичу ....
Головка Спринклера . .
Насадок расходящийся:
по Максименко (8 =
- 8°7') ......
по Френсису (р «= 5°)
е
1.00
1,00
1,00
1,00
0,98
0,872
1,ОО
—
—
1,00
1.00
<р
0,82
о,97
о,97
О,92
о-97
о,983
0,71
—
—
0,244
ОЛ49
И-
0,82
о-97
°,97
0,92
о,95
0-857
o,7i
0,97—0,98
1,00
0,70—0,75
0,344
0,149
Р-!
0,82
0,97
°,97
O.Q2
°,°5
0.857
0,71
—
-
0,98
2.393


400
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. I
щем масштабе (в виде отрезка dc) отнимаем
от V и получаем новое z и V в виде точки е.
Повторяем построение, пока не опустимся
до нужной высоты /У2. Число вычитаний,
умноженное на М, даст время опорожнения.
^М!
Фиг. 30.
Если во время опо-
рожнения происходит од-
новременное наполнение
с расходом q = const,
то вычитаем величину
— д)ы, кото-
рая заштрихована на
фиг. 31. Время наполнения шлюзовых камер
с площадями поперечного сечения, не завися-
щими от z, опреде-
ляется из уравнения:
i =
фиг-3| где h — первоначаль-
ный перепад.
Свободные струи. По Вейсбаху,
наилучшим насадком является сходящийся с
углом в 0°. При отсутствии ветра высота
струи Z будет:
Напор Н •-
Диаметр ( = 10 мм Z-
струн \ =14 мм Z
2,85 4,68 8,8i 12,06 14,32 м
2,91 4.8о gi2^ 13.26 16,67 M
По Фримену, для брандспойтов, наклонён-
ных под углом 32*, величины дальности струи
и отрывающихся капель L и высоты Z даны
в табл. 13.
водосливы
Водосливы (фиг. 32) применяются при
определении значительных расходов жидкости
в каналах, установках турбин, насосов и т. п.
Расход
где Ь — ширина порога водослива. Величина
зависит от формы по-
рога, устройства под-
водящего канала, а
также от надлежащей
вентиляции простран-
ства под водосливной
струёй. В прямоуголь-
ном водосливе с
острой кромкой без
бокового сжатия (во
всю ширину канала).
по формуле Швейцар-
ского союза инженеров:
Фиг. 32.
,*-o,6i5(i + 1щ/^)[1 + *Чж)']-
л
Формула годна для Н — Л > 0,3, -,,_ . ^ 1 и
0,025 < Л < 0,8.
В США расчёт ведут по уравнению Q —
По Базену, для прямоугольного водослива
в тонкой стенке со свободной струёй без
бокового сжатия С = A,794 -
0,55
//2
где Н—глубина перед порогом
водослива. При 0,1<Л<ДЗ с точностью от 2
до Зу0 уравнение может быть изменено: С =
= A,89 -f 0,94) • ( ~\ По Ребоку, С = 1,782 +
\ Н /
. пп. h 4-0,0011 ., TII „
-f- 0,24 ————-— . Уравнение Швейцарского
Н — Л
союза инженеров и архитекторов и амери-
канская формула Шодера и Тэрнера дают
такие же результаты; их точность — от 0,1 до
0,20/о при h < 1,25 м. По Френсису, боковое ежа
тие уменьшает Ь на 0,1-Л с каждой стороны
Важно, чтобы струя не прилипала к стенке.
Таблица 13
Характеристика или
элемент струи
Струя, ещё не разрывающаяся
при свежем ветре ........
Самые внешние капли при
безветрии ............
Струя, ещё не разрывающаяся
при свежем ветре ........
Самые внешние капли при
безветрии ............
5
3,7
4,о
4.3
4,6
4,3
5.5
7-8
8,8
10
7.3
7.9
8,8
9.5
7-0
9.5
15,5
17.4
15
11,0
и,6
13. i
14,о
9.5
!ЗД
23,2
26,6
На
20
J4,4
15,2
17-7
18,3
Да
н,о
15.8
28,6
34-2
юр в м
30
3 ы с о т
16,3
18,3
25,3
27,8
л ь н о с
14,о
20,4
35,8
47.°
40
я Z в
21,6
24,6
31,о
Зб.о
т ь L в
15-8
23,0
41,о
55.0
50
и
23,6
27,7
Зб,о
43.о
м
17-7
25.о
45.о
62,О
60
24,4
29.6
39-0
48,о
19.5
27,0
48,5
67,0
70
25,4
3LO
4i,o
5°.о
20,8
28,7
51,о
7а,о
d
в мм
19
35
'9
35
19
35
19
35


ГЛ. IV]
ТРУБОПРОВОДЫ
401
Для прямоугольного водослива с боковым
сжатием (фиг. 33) по формуле того же союза:
0,578 + 0,037
X
3,615 — 3-5-
+ -
1000 Л -f 1,6
X
b
В треугольном водосливе Томсона (фиг. 34)
~~
Q =
; ^ = 0,593.
Фиг. 33.
Обмер напора (h) производится на расстоя-
нии 0,8 — 1 м от порога.
По опытам Греве стойкой величиной коэ-
фициента обладает параболический водослив,
расход через который можно считать по урав-
нению Q — k-fi2.
Затопленный водослив с тонкой
стенкой обладает двумя режимами тече-
ния: отогнанный прыжок и вполне затоплен-
ный. Затопленные водосливы неудобны для
замеров расходов и их следует избегать.
По Базену, при ———-}>0,7 вводят поправоч-
Рз _ ____
/ /
ныи множитель 1,05 ] + 0,2-
в обычный метод расчёта.
ТРУБОПРОВОДЫ
Расчёт потерь в кг/м- производится по
формуле:
где / — длина, d — диаметр и А — коэфициент
потерь, зависящий от Re и шероховатости.
В США более распространено уравнение
/•'
где /? — -j;——гидравлический радиус, F—пло-
щадь потока, П — смоченный периметр и
hr &P ,
/=—/- = ~- — гидравлический уклон (поте-
рянный напор на 1 м длины трубопровода).
При движении газов по длинным трубопро-
водам потери сопровождаются значительным
снижением давления, что вызывает расши-
рение газа и увеличение скорости его тече-
ния. Вводя индексы 1 и 2 для начального и
конечного состояний и предполагая изотер-
мическое расширение, получим [20]:
ьр = Pl — p2 =
26. Том 1, кн. I
2ft
Pi + Ръ
Ламинарный поток (слоистый, без
перемешивания между слоями) имеет место
64
при Re<2320 [27]. В этом случае X = ~-^-~
(шероховатость стенок на потери не влияет).
Подставляя это значение в расчётное уравне-
ние, получим: Д/j = 32 {л v —jj-, т. е. потери про-
порциональны первой степени скорости. Этой
формой выражения потерь пользуются для
экспериментального определения величины ц
путём замера &р при протекании испытуе-
мой жидкости через капилляр. Для узких
щелей с высотой h и длиной / Д/7 = 12 р v j^-
На фиг. 35 дана номограмма (по Бетцу),
связывающая v (или Q) и d для пере-
пада в 1 кг/м2 на 1 м длины трубопровода
или щели. Для больших перепадов v (или Q)
увеличивается в соответственное число раз
в силу того, что связь между v и Д/; линей-
ная. Закон распределения скоростей пара-
болический с уравнением:
где VM — местная скорость, v— средняя ско-
рость, г —текущий радиус и R — радиус
трубопровода. При хорошем закруглении вход-
ных кромок длина начального участка, на
котором заканчивается формирование лами-
нарного потока, —г з^ 0,029 Re.
Некруглые сечения требуют введе-
ния в уравнение Стокса поправочного коэ-
64
фициента формы k^. Поэтому Х = А1тг, при-
чём для прямоугольного сечения с отноше-
b
нием сторон — величина AJ равна:
од 0,2 о,з о, 4 о, 5 0,7 i,o
*j = 1,5 1,32 i,95 М I.°3 °>97 °>9I o.9°
Вместо диаметра следует подставить учетве-
рённый гидравлический радиус. Номограмма
на фиг. 35 позволяет проводить подсчёт и
для потока в щелях. Овальные сечения с не-
большой овальностью могут рассчитываться
как круглые [7]. Для равностороннего тре-
угольника ki = 1, для равнобедренного тре-
угольника k] может увеличиться вдвое, для
неравнобедренного может уменьшить -я вдвое
и для трапеции мсжет уменьшиться вчетверо.
Кольцевые щели с отношением радиу-
сов ? = -^- имеют коэфициент формы
При малом зазоре (; -» 1) коэфициент формы
обращается в 1,5, что соответствует плоскому
/ b \
потоку I — = О ). В этом случае гн — гвн = Ь,
Г — пОЪ — площадь, П = 2тт:?) — смочен-
о 4vK 2vQ
ныи периметр, /? = -о-, Re = — — = — ^-,


402
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
(РАЗД. 1
. 96 48 . 12 v.lv ,_
7^ " 7л N или А/7 = ~52~~ • ПРИ наличии
эксцентриситета коэфициент формы должен
3
где
( 1 _i_ 3 е2
I 1 -г ~2~~р~
исправляться множителем
г — эксцентриситет. Наличие эксцентриситета
увеличивает расход через щель, причём воз-
дует вводить поправочный коэфициент ?2 —
= 1,1-4-1,4.
Турбулентный режим имеет место
при достижении верхнего критического значе-
ния Re, которое всегда больше 2320, и тем
меньше, чем больше причин к отдельным
местным возмущениям. Турбулентный режим
характеризуется наличием составляющих ско-
10
Фиг. аъ.
можно максимальное увеличение расхода (при
е = I) в 2,5 раза.
Весьма вязкие жидкости, как,
например, масла с вязкостью 30—40° Е, могут
дать отклонения от расчётного уравнения в
сторону увеличения. Эти отклонения объясня-
ются тем, что весьма большие потери напора,
неравномерно распределённые по слоям, при-
водят к различным вязкостям. Поэтому вяз-
кости, замеряемые по средним значениям тем-
пературы при входе и выходе, не соответ-
ствуют истинной картине явления. По мате-
риалам, полученным в гидравлической лабо-
ратории МВТУ [17], в этих случаях сле-
рости, перпендикулярных к оси движения и
переменных по времени. Эта скорость корре-
ляции уменьшается с приближением к
стенке потока. Местные скорости — перемен-
ные по времени, и расчёт ведётся по их
средним значениям. В трубопроводах, в кото-
рых расход зависит от потерянного напора,
интервала Re от 2320 до 2700 следует из-
бегать из-за возможности появления колеба-
тельных явлений. Характер стенок трубопро-
вода в турбулентных потоках может оказы-
вать влияние на X в случае, если ламинарная
пограничная плёнка, обволакивающая стенки
трубопровода, будет оголять выступы шеро-


ГЛ. IV]
ТРУБОПРОВОДЫ
403
ховатости. С увеличением Re толщина лами-
нарной пограничной плёнки уменьшается, и
поэтому характер влияния шероховатости
стенок будет зависеть от Re и относитель-
ной шероховатости е (отношение абсолютной
шероховатости к радиусу). Значение Re, при
котором трубы перестают быть гидравлически
гладкими, будет:
CJ O2O О, О Г
= 5.2 н,5
0,ОО4 О.СО2
32-75 72'3
O.OOI
i6o
Гладкие трубы из лёгких металлов,
а также из меди, латуни, свинца и стекла
при 2320 < Re < 100 000 рассчитываются по
уравнению Блязиуса: X = 0,3164/??~°'25 и при
100 000 < Яг < 324 000 (d= 10— 100 мм) по
уравнению Никурадзе [29]:
X = 0,0032 + 0,221 Re'0'237.
Можно также воспользоваться уравнением
7= - In (A Я,).
По Герману, можно пользоваться до
Re — 150000 уравнением \ = 0,0054 +
+ 0,396 Re ~°'3. Трудность расчётов заклю-
чается в том, что для определения X необхо-
димо знание t>, которое неизвестно, в связи
с чем прибегают к номограммам.
На фиг. 36 изображён график проф. Куко-
левского, на котором кривые \=f(Re) нане-
сены по Glenn Murphy (Mechanics of Fluids,
1943). Пунктирные прямые изображают
В
d 2gh
= т V ~~i
Пример. Гладкая труба диаметром 0,5 м, длиной 50 м
пропускает воду (v=10~e) под перепадом в 0,82 м; / =
0.82
= —— = 00164, ? = 200000; по номограмме (показано
ои
условным пунктиром) X = 0,11 и Re — \ 865000;
v— i>^ _ 3,73 м'сек.
а
Номограмма может быть применима для любых труб
и каналов.
Стальные трубы. По Биллю, прове-
рено Лебо (для стальных труб при Re^-
^ 150000d, для воды v^0,l85> м/сек при 12°),
расчёт может вестись по уравнению:
X-0,249v°'148Q,,-0'125
(где Q4 — часовой расход в л/3), или прибли-
жённо:
Х = 0,0716 (dRe) ~ °'125 .
Для воды при 12° уравнение принимает форму
X = 0,0350 Q4~ °'125 = 0,0210 QM ~ °'125 =
= 0,0125 (?„Ж-°Л2Б
(где QM —минутный расход в м'А). На фиг. 37
дана номограмма для подсчёта потерь напора
в мм водяного столба на метр длины трубо-
провода при протекании воды с *=12°.
Шкалы ^i и Q4 , а также d2 и Q4 соответ-
ствуют друг другу.


ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
;РАЗД.
Пример: d = 0,5 и Q4 = 20CO м3; при 12° для воды
потеря напора 11,5 мм водяного столба на 1 пог. м (по-
казано на фиг. 37),
Диаметр трубы
ЮООс/ юйОс/г
мм
h /SO
Фиг. 37.
При протекании воды с иной темпера-
турой результат умножается на коэфициент
ол48
, который равен:
/•
8 20
L 0,148
V V12°
\"'"u
] = 1,056 1,017 °,
97° °,939 0,889 0,
При протекании иной жидкости в числитель
подставляют соответственную величину v^ жид-
кости. Для области гидравлически гладких труб,
т. е. 2320</?е<150000 d, следует пользоваться
уравнением Блязиуса: X — 0,3164 Re~°!'-5.
При протекании сжимаемой жидкости
с большими потерями напора (по сравне-
нию с абсолютным давлением), а также для
паропроводов высокого давления формула
Билля перестаёт быть точной [22]. Однако паро-
проводы низкого давления (например, отопи-
тельные системы) могут рассчитываться так
же, как и трубопроводы для несжимаемых
жидкостей.
Чугунные трубы (новые) могут быть
рассчитаны по номограмме, дающей потери
напора в м на 100 м длины, изображённой
на фиг. 38.
Пример. й=0,5ми Q=2( 00 м?\час\ находим: v-2,8 м\сек
и hf-l,8 м водяного столба.
По материалам Хазена и Вильямса, при-
ведённым Кригером [5], чугунные трубы
после нескольких лет эксшюатации увеличи-
вают X. Поправочный множитель увеличения X
дан в табл. 14 и должен рассматриваться в
качестве первого приближения ввиду его за-
висимасти от состава воды и срока службы.
Диа-
метр
в м
0,1
0, 2
о-З
о,4
0,6
°,75
о, до
1,00
1,5°
5
21
19
J7
17
*7
*7
*7
17
*7
С
10
,48
.42
.37
.32
,32
1,32
1,32
1.32
]рок слу
20
2ДЗ
i,95
1,83
1,7б
i,6g
1,69
1,69
1,69
1,69
жбы, ле
30
3,01
2,45
2,29
2,23
2, 13
2,09
2,OQ
2,09
2,09
Г
40
4,13
3,17
2,85
2,64
2,53
2,45
з,45
2,45
2,45
50
5,59-
4,оо
3,45
3,26
3,09
2,93
2.93
2,85
а,85
При протекании нефильтрованной речной воды через
чугунные трубопроводы, по Hiitte, были обнаружены сле-
дующие отложения в процентах к первоначальному
диаметру трубы:
dCM = 7-6
Число лет
работы . . .
1Г, 2 15,2 15,2 20,}
Отложения
20 32
35 75
24
33
Однако известны многочисленные случаи хорошо оде-
тых чугунных труб, стоявших по 40—50 лет в эксплоата-
ции без заметных изменений.
Деревянные'трубы. По материалам
Скобея, Хопфа и Рихтера, для деревянных
трубопроводов можно пользоваться уравне-
нием:
Х-0,0174 ^-°'20<*-°'17^ 0,264 kRe-°'20.
Коэфициент k изменяется от 1,0 до 1,2 в зависи-
мости от шероховатости стенок; k = 1,2 соответ-
ствует резко выраженной шероховатости. При
k = 1,0 уравнение проверялось для труб с диа-
метрами от 32 до 4115 мм.
Бетонные трубы. По материалам
Скобея, для расчёта бетонных труб следует
пользоваться уравнением X = crf~°'2°, где с
равно 0,0156 — для монолитных отшлифован-
ных участков, 0,0180 — для монолитных участ-
ков, утрамбованных в смазанных железных
формах, 0,0218 — для участков, составленных
из отдельных труб и бывших несколько лет
в употреблении, и 0,0290 — для неаккуратно
уложенных участков.
Резиновые шланги. По материалам
Рихтера, для гладких напорных резиновых
шлангов при протекании воды справедливо
уравнение:
Х = 0,01113+ 0,9170 Re~OAl.
При протекании сжатого воздуха X изме-
няется в пределах от 0,05 до 0,15 в зависимости
от шероховатости, кривизны, качества соеди-
нений и их плотности.
Трубы некруглого сечения рас-
считываются по тем же уравнениям с заме-
ной d через 4/? и введением коэфициента
формы, аналогично ламинарному потоку
(стр. 401). Если коэфициент формы неизвестен,
его принимают равным 1.


ГЛ. IV]
ТРУБОПРОВОДЫ
405
Универсальные расчётные формулы
для тру б. Для обычного вида зубчатых шерохова-
тостей наиболее общим уравнением является уравнение
Никурадзе:
X - (А + В \g Re УТ+ С 1g s) ~2,
W
этого уравнения заключаются в его громоздкости и в от-
сутствии достоверных величин абсолютной шероховатости
е = е г для ряда труб. Среди целого ряда групп инжене-
ров, особенно теплотехников, имеется желание обратить
это уравнение в руководящее при расчётах. Идут даже
на нахождение г для труб через X, определяемое экспе-
риментально. Однако при этом уравне-
ние Никурадзе обращается просто в
расчётный приём. Несмотря на универ-
сальность этого уравнения, им не поль-
зуются для гидравлических гладких
труб не только из-за его громоздкости,
но также из-за противоречивых данных
об абсолютной шероховатости гладких
труб. Для цельнотянутых железных и
стальных труб, а также оцинкованных
труб величина абсолютной шерохова-
тости может быть принята равной
0,1 ММ, ДЛЯ НОВЫХ ЧугуННЫХ Тру б—О, ЗМЛ1
(величина нуждается в дальнейших об-
следованиях); для цельнотянутых сталь-
ных и железных труб после несколь-
ких лет эксплоатации и при отсут-
ствии особых источников загрязнения
и внутренней коррозии—0,2 мм (для па-
ропроводов и газопроводов, видимо, не-
сколько преувеличено,поэтому и здесь
необходимы дальнейшие обследова-
ния); для железных и стальных труб,
сильно загрязнённых и подвергшихся
значительной внутренней коррозии 0,5
(по Якимову, обрабатывавшему мате-
риалы Фрома я Хопфа, 0,57, а по его
собственным исследованиям 1 и даже
2 мм).
Более ранним и, пожалуй, более
распространённым является
сальное уравнение Билля:
универ-
Vd
Re
Значения коэфициентов и область
их справедливости даны в табл. 16.
Это уравнение действительно является
вполне универсальным, ибо может
быть применено не только для труб
любого типа, но даже и для рек и ка-
налов. Оно успешно может применять-
ся для любых жидкостей, но всё же
слишком громоздко. Следует упомя-
нуть универсальную формулу Мизеса
в виде:
Х= 0.0024 + ' '" °'3
/~9? 0,3
±? + -=-,
d VRe
где е - величина абсолютной шеро
хоиатости, которая берётся
табл. 17.
из
05 0.6 0.7 0.8 0,9 1.0
'.5 2.0
Ckopocmb
Фиг. 38.
ад
в котором А, В и С — коэфициенты! значения которых
даны в табл. 15, е — относительная шероховатость (отно-
шение абсолютной величины выступов шероховатости
к радиусу трубопровода). Трудности в использовании
Область применения
7,i < е Re У X < 2о,т
год <! е Re у X <! 4о.°
40,0 < Е Re У X < 79.9
79,9 < s Re V X < 382,4
382,4 < е Re У X
А
— о,8о
+ 0,33
+ 2,14
+ 3,25
+ 1,74
В
+ 2,00
+ 1,13
о,оо
—0,588
о,оо
с
о,оо
—0,87
— 2,ОО
-2,588
— 2,ОО
Расчёт нефтепрово-
дов диаметром до 10'' и Re <C
30 000, а также диаметром до
14" и #е-<50000 производится
по упомянутому выше уравне-
нию Блязиуса X = 0,3164Я<Г°>25.
Для диаметра 8 и 10" при Re от 30 X Ю8
до 70 ^ 103 и для диаметров 12 и 14" при
Re от 50 X Ю3 Д° 70 X 1СK по уравнению ГИНИ
1,7
Таблица 15 * = А -f -~= , где А = 0,0145 для диаметров
14 и 12", А = 0,0152 для диаметра 10" и X =
= 0,0155 для диаметра 8". По опытам ГИНИ
[6], добавка светлых нефтепродуктов даёт
увеличение А с 0,0111 до 0,0175, где 0,0111
было получено для чистой парафинистой нефти
при Re от 4000 до 100000. При расчёте неф-
тепроводов, в которых температура нефти
меняется, особенно нефтепроводов с подогре-
вом, учёт изменения температур производится
по уравнению [23]:


406
[РАЗД.
Таблица 16
Характер стенок
——————————————————————————————————— ——
Гладкие трубы. Из лёгких металлов, меди, ла-
туни, свинца и тщательно подобранные из стекла .
Гладкае стальные а железные трубы. Из ли-
стового железа, обычно подобранные из стекла.
Строганые доски. Цементные тщательного изгото-
вления. Чистые литые окрашенные чугунные трубы
Обыкновенные чугунные трубы. Деревянные из
клёпки. Рудничные вентиляционные после 50 лет
эксплоатации. Стенки из цемента с песком. Очень
равномерно и плотно утрамбованный бетон .....
Шероховатые доски. Тщательно заглаженная
кирпичная кладка. Обыкновенный бетон .....
Кирпичная кладка. Кладка из тёсаного камня . .
Бутовая кладка .....................
Грубая бутовая кладка ................
Реки чистые .......................
Реки с галькой ......................
Реки с большим количеством, гальки . ......
Реки с грубым наносом .......... ......
Абсолют-
ная шеро-
ховатость
в мм
О,О1
о,о8
°,3
°-7
г,3
8
20
00
140
20О
275
с'
0,00942
0,00942
0,00942
о,оо94
0,0094
о,оо9
о.ооо
о,оо9
о,оод
о,оо9
0,009
С3
о.оогоо
0,00283
0,00566
о 0085
оонз
о оа8
о 046
0079
о и8
о 14!
0 l66
С3
1,492
i,H5
722
424
о
о
о
о
о
о
0
Предел применения
—————————————— -
Re > 14,80 • io"rf
Re > з.Р5 • i°srf
Re^ 1.28 • io5rf
Re > 0,50 • io"d
Для турбулент-
ного потока не
ограничено
Таблица 17
Материал
Стекло ................
Тянутая латунь, медь, свинец ....
Цемент с затиркой ..........
Грубая цементная штукатурка ....
Новый чугун .............
Старый чугун .............
Клёпаное железо .......... .
Доски гладко обстроганные ......
Доски обыкновенные .........
Доски неостроганные .........
Кладка из тёсаного камня ......
Кладка кирпичная с разделкой швов .
Кладка кирпичная простая ......
Кладка бутовая грубая . . . • ...
Земляные и галечные стенки .....
We в м
0,1-0,4
o,i-o,5
3.75-7.5
Ю— 2О
50 — 100
125-250
100—250
12,5-25
25-5°
IOO — 20О
ТОО — 2ОО
IOO — 2OO
150-300
г 000— 2ООО
5000 — ю ооо
где х — длина участка нефтепровода, JQ и Гг —
температура в начале и конце участка, t0 —
температура окружающей среды, а
. кг • ккал
k — коэфициент теплоотдачи в — - ———— ,
G — весовой расход, с — коэфициент теплоём-
кости. По Манакову следует для определения с
пользоваться уравнением Fortsh - Whitman
а форме:
с, = @,345 + 0,000868 t) B,10 — 0,001 т).
Величина k зависит от Re и а [23], но сред-
ние значения k следующие: 1 — для сухого
песка; 1,25 — для сыроватой глины; 3 — для пе-
ска, пропитанного водой; 0,4 — для изолирован-
ных труб с толщиной изоляционного слоя 0,5 см.
Паропроводы, особенно короткие, мо-
гут рассчитываться по величине X = 0,0206
(Эберле), что должно соответствовать, по
уравнению Никурадзе, стальным трубам диа-
метром 0,16 м. Если расчётному уравнению
придать вид:
Для расчётов длинных паропроводов можно
пользоваться формулой Фрицше:
= 9,4-10 8G-f)
0,148 , -0,263
а
или же брать величину Э • 109 из табл. 18
в зависимости от диаметра паропровода и
расхода пара в кг/час [32].
Таблица 18
\, Диаметр
0 \в лш
П KZJ4UC ^чч
ю'
2Х 1°"
6ХЮ3
I03
SXio»
зХ 10*
ю'
2X10»
50
203
100
163
152
120
—
— .
80
211
190
164
154
X»
_
100
212
106
i65
155
123
———
150
—
тб7
156
123
93
79
71
200
—
168
158
124
94
80
72
250
—
169
159
125
95
80
72
300
—
—
—
126
95
81
73
Для упрощения расчётов паропроводов
можно пользоваться номограммой потерь в м
на 100 м, изображённой на фиг. 39.
Пример. <f=400 MM,
Находим:
=450° С, р=40 ата.
— = г/ -0,082 м3/кг и р, - р3 =0,288 ата.
Трубопроводы с транзитным
расходом Q2 и с равномерным забором из
трубопровода Qi рассчитываются по эквива-
лентному расходу
то
0,000000105.
Люпинги — дополнительно проложен-
ные параллельные участки трубопроводов для
увеличения пропускной способности. Обычно
применяются для нефтепроводов. При турбу-


гл. ivj
ТРУБОПРОВОДЫ
407
,0.0/Z
160 180,200
юо
ЮО 70 SO 40 25
80 3?
Фяг. 39.
лентном движении в нефтепроводе новый
расход (?з после установки люпинга будет
связан со старым расходом Qt уравнением:
=
2,714
2,714
-2,714
где AЛ — диаметр люпинга. Необходимая длина
люпинга п в процентах в зависимости от
требуемого увеличения пропускной способ-
ности (по Филонову) определяется из уравне-
ния:
1.7*__1)OT-U5X
^2,714 \1J5~ -1
VI —
X i — .<>.:
,2,714
2,714
где т—требуемое увеличение пропускной
способности.
Последовательное соединение
трубопроводов характеризуется уравнениями:
Q = QI и hj-= 2/177. В расчётах система часто
заменяется эквивалентным трубопроводом, дли-
ка которого равна:
Параллельное соединение трубо-
проводов, эквивалентная длина которого равна
— 2
характеризуется уравнениями: Q = ^Qinhj-~
= h-ft. Эквивалентным трубопроводом назы-
вается трубопровод, потери в котором равны
потерям в заданной системе.
Задача о трёх резервуарах проще
всего решается графически (фиг. 40). В коор-
динатах Q — hT строятся характеристики тру-
бопроводов, считая от тройника до соответ-
ствующего резервуара (характеристикой тру-
бопровода называется кривая потерянного
напора в виде функции расхода или скорости).
Для тех резервуаров, из которых жидкость
вытекает, характеристики строятся вниз, и
наоборот (см. Л и С на фиг. 40). Для сужде-
Фиг. 40.
ния о том, как будет течь жидкость для ре-
зервуара //, следует обратить внимание на
точку встречи кривых Л и С, которая будет
изображать своей ординатой давление в трой-
нике при отсутствии резервуара Я. На чер-
теже имеет место случай поступления жидко-
сти в резервуар Я, в связи с этим кривая В
откладывается вверх и расходы резервуаров //
и III складываются, результатом чего является
суммарная характеристика В''.Точка О даёт QI
и давление в тройнике, FE даст Qm и ED—Qu.
Сложные трубопроводы решаются
либо графически, причём способ выбора гра-


408
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
фического решения зачастую является искус-
ством, либо аналитически, что требует некото-
рой затраты времени, но не представляет ника-
ких принципиальных трудностей. На фиг. 41 изо-
бражён трубопровод, состоящий из пяти участ-
ков, длины и диаметры которых известны.
Давления на входе и выходе ра и рь заданы.
Требуется решить задачу, т. е. найти расходы
через каждый участок и давления в тройниках.
Всего семь неизвестных, поэтому будет семь
уравнений. Пять уравнений (по числу участ-
ков) будут являться уравнениями потерь
в каждом участке и два уравнения (по числу
узлов, давление в которых неизвестно) — рас-
хода. Зададимся направлением движения в
пятом участке, и тогда уравнения будут сле-
дующие:
Рх
Рх—Рь
Т
с-
Ра—Ру
__ f^ _
— С-
= с-
Y d\ '
Qi + Qo = Qs и Q2 = Qo 4- <?4-
Если при решении этой системы ответ ока-
жется мнимым, то это будет означать, что
направлением потока в пятом участке задались
неверно и его следует изменить.
ИЗМЕРЕНИЕ РАСХОДОВ В ТРУБАХ
Измерение расходов в трубах
производится дросселирующими приборами, а
также при помощи отводов, местных сопро-
тивлений, люпингов и водомеров.
Дроссельные расходомеры пред-
ставляют собой сужение трубопровода, со-
в°от/2вдо16а
Фиг. 42.
здающее разность давлении, которая зависит
от расхода. Простейшим сужением является
диафрагма (см. фиг. 43), более сложно в изго-
товлении сопло (см. фиг. 44), однако оно вносит
меньшие потери. Ещё меньшие потери даёт
расходомер Вентури (фиг. 42). Расходы опре-
деляются уравнением, отнесённым к площади
трубопровода, в виде:
где (А — коэфициент расхода, е' — коэфициент
сужения, равный Т/ ( ~\ —1> Р — площадь
трубопровода и Д/У — перепад. При тарировке
определяют произведение jxe' или даже
p.z'f-"\/r2g, сводя расчётное уравнение к
Q — КУ Д/У. При невозможности проведения
предварительной тарировки обращаются к нор-
мальным соплам и диафрагмам (см. стр.
409). Получение стабилизированного тече-
ния с достаточно равномерным полем
скоростей требует постановки дроссель-
ных измерительных приборов на пря-
мых участках труб длиной от 10 до 200.
В противном случае необходимое выравнива-
ние поля, обеспечивающее указанные точности
замеров, достигается постановкой особых
струевыпрямителей или местных поджатий
потока перед дроссельным прибором. В связи
с резким изменением проходных сечений за
прибором возникают потери, коэфициент ко-
торых ориентировочно можно оценивать как
С = —~)——9 . К. п. д. прибора поэтому равен
ь<2 - vi
_ , _ ., _ 2 _ni_
т 4- 1'
значений т от 0,2 до 0,5
от 70 до 300/Q.
Из-за понижения давлений в узкой части
прибор должен устанавливаться на напорных
участках или же проверяться на кавитацию.
Расходомер Вентури не нормализо-
ван, поэтому желательна тарировка каждого эк-
земпляра. При невозможности предварительной
тарировки следует делать входную часть в виде
нормального сопла, и тогда подсчёт расхода и
точность его определения будут те же, что и
нормального сопла (см. стр. 409). Отличие
в установке будет заключаться в том, что за
таким прибором должен выдерживаться прямой
участок длиной 2D. При трудности изгото-
вления входного участка в виде сопла его
нужно делать в виде конической входной части,
тогда может применяться та же формула расхо-
да. Значение (л. должно определяться в виде про
-,—г, где
т — — • В области
потери составляют
изведения ц =
где
коэфициент стеснения, а ,а' =f(Re)D*
= 4°°о босо 95°° Г5 7°° 42 °°°
= о,93 о.94 °.95 °,9б °>97
ооо 2 ооо оос
°-9^ °>99
Использование отвода в качестве
расходомера позволяет (при обязательной та-
рировке) точно определять расход замером
перепада на наружной и внутренней поверх-
ностях отвода. Для выяснения величины пере-
пада см. [14].
* Здесь и далее Re^ — число
ное к диаметру трубопровода.
Рейнольдса, отнесен-


ГЛ. IV)
НОРМАЛЬНЫЕ СОПЛА И ДИАФРАГМЫ
409
Люпинг (параллельный трубопровод)
может быть использован в качестве расходо-
мера на трубопроводах весьма больших раз-
меров, но при обязательной предварительной
тарировке. Если же она невозможна, то сле-
дует прибегать к химическому или электро-
солевому методу замера (см. стр. 421).
Рыночные водомеры скоростные
(с вертушками) строятся диаметром до 750 мм
и более точные объёмные (поршневые и ди-
сковые) строятся диаметром до 100 мм
(см. табл. 25, стр. 417).
На фиг. 44 показано сопло при -=• ^ 0,65,
в противном случае сопло изготовляется по
фиг. 45 с отделкой лишь до диаметра трубо-
провода.
Внутренняя поверхность должна быть строгой »
ручная подшлифовка не допускается. Проверяется по
шаблону. Радиусы закруглений должны выдерживаться
с точностью до 10% при — < 0,55 и до 3% при 0,55 <
< — < 0,80, величина d проверяется с точностью до 0,001.
Действительный диаметр — среднее арифметическое иа
двух взаимно перпендикулярных диаметров. Кольцевой
зазор достигает высшего предела @,02 D) при — < 0,06, а
d
для диафрагм при -^г < ^,75, однако величина его не
Если по каким-либо причинам предваритель-
ная тарировка дроссельных приборов или невоз-
можна, или нежелательна, то следует применять
нормальные сопла и диафрагмы, имеющие
определённые расчётные коэфициенты, спра-
- D ——
с; ц.——_j_ d _
Оснобная
погрешность ± 1 %
-•30'
Основная
погрешность
(см.фиг.56)
0,82
-~^-^Щ,зо
5-Ю5 Ю6Re$ 0,20
ведливые не только для жидкостей и газов,
находящихся в одной фазе, но и для коллоид-
ных растворов типа молока. На фиг. 43 даны
два типа нормальных диафрагм с замером
перепада либо сверлениями, либо кольцевыми
камерами. Область применения диафрагм:
D>50 мм и 0,2 <^-< 0,85 (для сопел
цифра 0,85 заменяется на 0,80).
При d < 150 мм входная кромка должна быть настоль-
ко острой, что не должна иметь раковин и заусениц,
видимых в универсальный микроскоп, а при d > 150 мм
допускается лёгкая шлифовка входной кромки наждачной
бумагой. Величина d проверяется с точностью до ± 0,00 .
Скос необходим при 0.10D > S > 0.02D. При меньших
величинах S скос не нужен.
Оснобная
„ Оснобная погрешность
; 4а погрешность*1,5% \ (см.сриг.56)
'> 'О ПТТП———I'll Mill—— [————————__
5-Ю4 Ю5
Фиг. 44.
должна быть меньше 1 мм. Диаметр оправы может быть
на 2'/о больше диаметра трубопровода, который дол-
жен отклоняться от среднего не
более чем на ± 0,00т D.
У с л о в и я уставов-
к и. Сопло или диафрагма
должны центрироваться.
Перед дроссельным прибо-
ром никаких выступов (гру-
бые сварные швы, тор-
чащие прокладки и т. п.)
быть не должно, и труба должна быть по воз-
можности гладкой. До и после дроссельного
прибора должны быть прямые участки трубо-
провода, наименьшие длины которых даны на
фиг. 46. Установка прибора непосредственно
после диффузоров или мест, в которых есть
потеря на удар, недопустима. То же относится
к конфузорам и внезапным сужениям. Перед
Фиг. 45.


410
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. I
I
i
ti/D
20
ff>
*r?
20 —— -
to
oEEl
gOr-r-r-
20 ———
7/7 -, ,-,,-—
20 —— -
Щ
<s
1,10
^rppf
l,/D <
go. i ,,
/0 ——— .
°^
?
l,/D
40. | i .
30 ———— •-
20----
w--^-
nt_.
лл? Ч2
30
20 ——— -
W ——— -
°02t-
r4
Ti
Норме
^
Oft Oi.
СПРОС
л
0,4, Q
С /tt
Hopr
4*
Off 0
en
^
Qfr 0
С НОЛ
&
fJ
Норма/
Oft 06
: прост
— — — *•
Oft 0,6
' Ьольщ
Норма
~~7<~
— ^ — —
0,4 0,6
____
_ — ^4L
Oft 06
ckonb
ч- -<2-
1льные duai}
X k/D
Wr-r
и oEE
5 0,80
тыми сверл
_^f IO/D
/0,-j.
3 0,8V
пьцедыми /Y
тпьные con
-i l, ЗОгт
x D20-
U 10
жтыми сдв?
x Wo
у /?
ьцевыми haM
ник-
l^=fe
76Яд/е (?Шф/
//to
- ., Юг-,.-
" oS
qso
ww сверлен
ъ У°
' юс=с
ft ol 1"
0,8~0
?выми haMBf.
пьные солль
'2/"
ЗОг-г-
20 ——
1 «^
с простым/.
1?/0
Юг-г-
i7 рг
^
левыми Каш
\
рагмы (,/D
30
20
1 1 1 Г Г'1 1 W
— н ——— 1 а а
0,2 0,4 0.6 Q8 D
ениями tf/o
20
п_, 10
————— d и о
02 Oft Об Q.80
^мерами
па №
3 20
^L ю
0,2 Oft QB 0" i,m
пениями эд
20
,....._, to
-4--4-Hrf^ 0
ерами
b
Mi — ?
^/»
so
70
60
заг^й/ 50
40
30
20
Ш
-j, f..t..., j "т-р^ ^ о
02 0.4 06 80 f'^
tf»w | о
/0
Ш0
c/
0,2 04 Of 0,80 tt/o
IdMU 70
60
r 50
40
30
Г • 20
7 W
-— — x1— — . 0
oo лл ли /T 4/^
J,<i t^I Ц1» f ^^J
/ сверлениями ^о
20
W
y-| ] i | I 0
22 0,4 Q6 ^
?рами
Фиг, 46.
<t
/У
) —
— »
0
0
op
0
0
-*
с
с
.>
0
с
=1
2
2
we
2
2
-f
4
2
2
xs:
2
V
?
P
W^
Oft
cr
04
С
7/7&«?
0.4
С
04
С
fk-uT
Hop*
^
Oft
s
Oft
\
\
\ *
-r
04
С
t
7,V
0
PL
0
Hi
ie
n,
с
ft
i
ia
/
L
11
X
?
С
t
L
:/
.<
/Y
•j
t
o/
/
5
1СГ
,x
S
?/7
CC
л
6
30(
л
6
3/7
1
W
/|
6
1ft
*
1
^
?fi
ip
*
3H
ОЛ
^
ibHbte диафра
-, /2/Д
^ 20Г-Г-П
- Ю ———
o.si^ ° 0,2
шми сВерлени>
Ю* ii —
jQt ot=
08/7 02
?цедыми have
nnn Ы°с
зо ---
20 —— -
/0--Ч
0 02-
:/77wwy сверлен
lyo
10. ..
d oE —
Z? 0,2
щевыми kaMei.
- ~'2-j I
we диафрагм
-pi
r~i
— i
F1
rf o(-H-
0.5U 02
мтыми сверле
10°
d о ^~ " 1
0577 0,2
мьцевыми ka/»
Нормальные,
12/D
d i0^^
0 U 0,2
зстыми сверл
LZ/D
?0, • r- ,
d pt: "
0 0,2
ьиедыми hoMt
1=7
гмы
i — i — \ — — г~з
1 — L^,uHp4
0,4 C5 0.S0
7W/7
i — i — i — i — i — i
— 1 — Hrf
'0.4 06 QSO
оами
— t
— — X— .
0,4 0.6 0
JfiMU
Oft QB 0
юми
•*r\
3t=5
6/
0,4 Q5 0,8 D
ниями •
IE За;
0,4 0.6 0,8 Ъ
мерами
сопла
-г— г— Г--Г-] -Ч
04 06 D
°ниями
I ' ' I' ! I
T "" — i"l?J
04 05 15


ГЛ. IV]
НОРМАЛЬНЫЕ СОПЛА И ДИАФРАГМЫ
411
прибором трубопровод должен быть вполне
цилиндрическим, и развальцовка фланцев на
расстоянии 2D перед прибором не должна
искажать D более чем на ± 5% при -= > 0,55 и
± 20/0 при ^. <0,55. Термометрическая гильза
должна устанавливаться от прибора на рас-
стоянии, большем 4D при её диаметре 0,02 D,
большем 10 D при диаметре 0,04 D и боль-
шем 30 D при диаметре 0,15 D. Приборы с коль-
цевыми камерами менее чувствительны к не-
точностям установки.
Определение расхода. Расход жид-
кости или газа определяется уравнением:
= 0,01252.106.;!
где Q — объёмный расход при параметрах по-
тока в рабочем состоянии (перед дросселем)
в м%/час, р. — коэфициент расхода, kl — коэ-
фициент, учитывающий сжимаемость потока,
АО — коэфициент, учитывающий температурную
деформацию прибора, Л/7 — перепад давления
в дросселе в кг/м2, d — диаметр отверстия
прибора, замеренный при 20°, YI — весовая
плотность перед дроссельным прибором. Это
уравнение для сухого газа даст часовой объём
при давлении, соответствующем давлению
перед дроссельным прибором. Для подсчёта
расхода газа в нормальном состоянии служит
уравнение:
Qn = 0,01252- 106.;,
где /?! — абсолютное давление перед дроссель-
ным прибором, рн — абсолютное давление газа
в нормальном состоянии, 7\ и Тн — соответ-
ственные абсолютные температуры, k — коэ-
фициент отклонения от законов идеальных
газов (см. главу „Теплота").
Коэфициент расхода (д., значение
которого дано на фиг. 43, справедлив для глад-
ких труб пои существовании острой кромки.
!,00
О OJ 0,2 0.3 0,4 0.5 0.6 0.7 08 0.9cf/D
Фиг. 47.
Если трубопровод шероховатый, то следует
исправить величину р. поправочным множите-
лем, взятым из фиг. 47. Если острота кромки
1 пп
'
_ -
0 0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 OJS
Фиг. 48.
диафрагм не соответствует поставленным выше
условиям, то вводится ещё один поправочный
множитель из фиг. 48. Для сопел с ^ ^ 0,55 ве-
личина шероховатости влияния на [д. не ока-
зывает. При ^г> 0,55 следует вводить попра-
вочный множитель из фиг. 49.
1.02
О 0,1 0? 0,3 0,4 '0,5 0,6 0,7 0#d/D
Фиг. 49
Влияние температурной дефор-
мации прибора (Л2). Величина ?2 (фиг. 50)
определяется из урав нения &2 = 1 4- 2 at (^ —
-20), где щ — коэфициент линейного расши-
рения материала
дроссельного при-
бора и ti — темпе-
ратура дроссель- {Qi5\
ного прибора.
Обычно считают,
что она равна
температуре по-
тока перед дрос-
сельным прибором.
„ d
Если — велико и
материалы различ- Фиг- 50-
ны, то следует учи- а
тывать влияние температуры на величину -=.
Влияние сжимаемости замеряе-
мой жидкости (/Zj). Для капельных жид-
костей величина fcj = 1. Для сжимаемых сред
0,70 0,80 0.90 k, WO
Фиг. 61. Поправочные множители А, на расширение для
Pi\
— I
(газов) величина k± определяется опытным
путём. На фиг. 51 даны величины ^ в виде


412
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
1
/ Я„\*"
функции I -*-=- 1 до критического давления,
V Р\ f
где ра — давление за прибором. На фиг. 52
дана величина k± для перегретого пара
Р,'Рг
Р,
002 .
OQ4 _|_ ^Перегретый пар
0.8
0.9
k, ">
ния. На фиг. 55 — то же для двухатомных
газов.
Вероятная погрешность изме-
рен и я. На фиг. 56, а дана в верхней части
основная вероятная погрешность для величи-
Фиг. 52. Поправочные множители fe, на расширение для Фиг. 53. Поправочные множители и, на расширение для
перегретого водяного пара при k =1,31 при больших воздуха и двухатомных газов при k = 1,40 при больших
перепадах давления. перепадах давления.
(k = 1,31) при больших перепадах давления. ны р. диафрагмы. Если вносились поправочные
На фиг. 53 — то же для двухатомных газов множители на шероховатость и несоответствие
(k — 1,40). На фиг. 54 дана величина k-i для остроты кромки, то также определяют соответ-
перегретого пара при малых перепадах давле- ственные величины вероятных погрешностей.
\1 i i 1 Г
Пример: Для 0,10мрт.ст
0.90 0.92 0.94 0.96 0.98
0.5 1.0 /.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Перепад давления м вод cm
О 0.040 0.080 QJ20 0,160 0.200 0.240 0.280 0.320
• Перепад давления мрт.ст.
Фиг. 54. Поправочный множитель Л, на расширение измеряемого вещества при малых перепадах давления
для водяного пара при k~ 1.31.


ГЛ. IV]
НОРМАЛЬНЫЕ СОПЛА И ДИАФРАГМЫ
413
0,15
0,90 0.92 0.94 0,96 0.98 0 0,5 W 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 40
ki Перепад дабления м бод. ст.
0.040 0.080 0,120 0,160 0,200 0.240 0,280
Перепад дабления м рт.ст
Фиг. 55. Поправочный множитель ft, на расширение измеряемого вещества при малых перепадах давления
для воздуха и двухатомных газов при Л — 1,40.
изображённых на фиг. 56, б и в. Общая ве-
роятная погрешность величины jj. определяется
в виде квадратного корня из суммы квадратов
вероятных погрешностей. На фиг. 56, г и д
Таблица 19
!
Ниже гр
Выше грс
|
аниц
WUU.L
ы Re
>/ Re
?пре
-^
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8, 0,9
~0,1 0,2 0,30,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 D
/ft/лиге границы ReD 'пред!__\
. 9 Выше границы Реппоед. _____, -
-? Г а/ бг~ яз 04 05 0,5 а? as as»
/О i 1 * I t .*A V .—._ t
0,1 0,2~~0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,8 0.9
Фиг. 56. а — основная вероятная погрешность; 6" — вероят-
ная погрешность от шероховатости трубопровода; в —
вероятная погрешность от неостроты входной кромки;
г — вероятная погрешность для коэфициента расхода
нормального сопла; д — вероятная погрешность от шеро-
ховатости трубопровода.
даны вероятные погрешности для сопел. Ве-
роятная погрешность для величины k^ берётся
из табл. 19. Вероятная погрешность измерения
перепада не менее ± 0,5% (зависит от прибо-
ра). Вероятные погрешности величин, входя-
щих^ в расчётное уравнение под радикалом
(Ут» W). должны браться в половинном
/>1
___________
0 ДО 0,01
O,OI „ О. O2
O,02 „ 0,IO
0, 10 „ 0,20
Выше о,2
Диафрагмы
для газов и па-
ров в %
0,0
+0,5
+ 1,5
4-1,5
+ 2,0
Со
перегреть
пар и
~< 0,63
в %
_
—
_._
—
± i
пла
!Й ВОДЯНОЙ
воздух
nfic/-_L /
0,65 < — <
<0,75 в %
_
—
—
j- 1
±2
размере по сравнению с множителями, входя-
щими в первой степени, и тогда общая вероят-
ная погрешность будет:
V
Сдвоенные диафрагмы. Если замеру
подлежат расходы столь вязких жидкостей,
что величина /??д часто опускается ниже
RtDnped • то установка двух диафрагм (вспо-
могательная впереди мерной на расстоянии
0,3 D) позволяет значительно снизить значение
а значит получить большую область
стойких значений f~. Соотношения между -^
мерной диафрагмы, — вспомогательной диа-
фрагмы, ReDnped и величины ц при /?^D >
> ReDr>ped Даны в табл. 20.
Материалы. Рекомендуются следующие
материалы: для пара, воды, влажного воздуха
и газов — нержавеющая сталь (например,
Эжб и Эж7); для сухого воздуха и газов
с основной реакцией — котельное железо и


414
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
Таблица 20
d
15
d1
Re n
unped
Ц-
0,20
-
-
0,692
0,25
-
._
0,693
0,30
0,50
1800
0,694
0.35
0,58
-
0,695
0,40
0,64
2950
0,697
o,45
0,71
-
о 699
0,50
o,77
4250
0.703
°.55
o,8a
-
0,710
0,60
0,86
6300
0,721
0,65
0,90
"
o,735
0,70
0,94
95»
0,754
o,75
0,96
..
0,780
0,80
375oo
-
листовая сталь с значительным содержанием
хрома и никеля; для воды — латунь и бронза;
для агрессивных газов (хлор, сероуглерод)—
свинец. Однако при применении свинца сле-
дует иметь в виду лёгкость изменения его
формы.
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
Гидравлический удар — изменение давления
в трубопроводе, вызванное изменением скоро-
сти. От места причины изменения скорости
(от задвижки) изменение давления (ударная
волна) со скоростью X распространяется по
трубопроводу и отражается обратно от концов
трубы (задвижки, магистрали, от начала исте-
кающей струи и т. п.). Величина изменения
давления обусловливается величиной потерян-
ной скорости и не зависит от транзитного
расхода. Таким образом, если время закрытия
задвижки будет меньше периода трубопровода
( -т- , где L — длина трубопровода J, то удар
будет полным, т. е. сила удара будет обусло-
вливаться потерей всей скорости, в противном
случае повышение давления будет меньше и
определится той частью скорости, которая
будет потеряна за время, равное периоду трубо-
провода. Уменьшение величины гидравличе-
ского удара может быть получено либо соот-
ветственным увеличением времени закрытия
т 2L *
задвижки Г8 > -Y-, либо уменьшением периода
л
трубопровода путём установки воздушных
колпаков надлежащих размеров, которые отра-
жают' и не пропускают мимо себя ударную
волну. Из-за того, что сохранение воздуха
в воздушных колпаках затруднительно, пред-
почитают первый способ. Весьма опасны при
явлении гидравлического удара тупики, в ко-
торых повышение давления удваивается. При
отражении ударной волны тупика обратно от
магистрали в неблагоприятных условиях давле-
ние может возрасти до больших размеров.
Опасен переход ударной волны с трубы боль-
шого диаметра на трубу малого диаметра.
Расчёт полн ого гидравлическо-
го у д а р а. Скорость распространения ударной
волны определяется из уравнения:
Т с
где р — массовая плотность = —, Е} — модуль
g
упругости жидкости, ?2 — модуль упругости
материала стенок трубы, D и S — диаметр и
толщина стенок трубопровода. Значения Ег и
Е2 в кг/м2: для воды 20,7-107, нефтепродуктов
13,5-107, чугуна 10-109, стали 2,0-Ю», бе-
тона 2-10», дерева 109. При протекании воды
по чугунным трубам А (в м/сек) берут равны-
ми 1348 при 0 2", 1289 при 0 4", 1255 при
0 6", 913 при 0 24". При приближённых
расчётах считают для стальных, бетонных и
железных труб А = 1000 м/сек. Величина по-
вышения давления, выраженная в м соответ-
ственного столба жидкости, определяется из
, р Хо
уравнения п — — = —, где v — скорость перед
закрытием задвижки. Для железных, стальных
и бетонных труб h ^ 102 v.
Расчёт неполного гидравличе-
ского удара. Из-за того, что транзитный
расход не влияет на изменение давления, ве-
личина повышения давления при неполном
гидравлическом ударе ( Ts > -у ! будет опре-
, * /
делиться из уравнения: « = —(VQ— v), где
г'о — первоначальная скорость и v — скорость
к моменту возвращения ударной волны к за-
движке. Если задано допустимое повышение
давления /?0, то необходимое время закрытия
задвижки, по Аллиеви, определяется из урав-
нения:
Т- --=•
-Ho)
/
где HO — первоначальный напор. Обычно
в гидротехнических сооружениях допускают
200/0-ное повышение напора. Для упрощения
расчёта повышения давления применяют номо-
грамму (фиг. 57), дающую связь между тремя
величинами: постоянной водовода I p= 0_,V ,где
H0 - напор, соответствующий начальной ско-
рости t>0), величиной
„
h
;—, где Тя - вре-
= ?—, где Л —
мя закрытия задвижки, и
max 0
повышение давления при заданном времени
закрытия и Лтях -— повышение давления при
мгновенном закрытии.
Примеры пользования, 1) Дано /. = 300 м, Х =
= 900 м/сек, Т, = 4 сек., v0 = 3 п/сек и //в = 90 ч; опре-
900-3 4 • 900
делить /г. р = -,-n g n— == 1,53; 8 = - —— ^= 6.
900
тах ~ ~9
и Л = 0,09 X 275 = 34,75 м.
19,6 • 90
= 275 м, по номограмме
2 • 300
h
= 0,09


ГЛ. IVi
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
415
max.давления позднеепероогоперисЗа1
Постоям, воаобода —
Фиг. 57. Номограмма повышения давления при гидравлическом ударе
2) Определить Т„ при h — h^ — '27,5, v—— =
"max
9 81 • У! 5
' -~— == 0,1, p = 1,53, no номограмме в = 5,6:
равный периоду трубопровода
11
Т,:
900- 3
е_2/
~l
5,6- Ч -300
900
Графический метод расчёта не-
полного гидравлического удара.
В координатах напора и скорости строится ха-
рактеристика трубопровода в начальный мо-
мент времени (кривая а на фиг. 58). Прямая
Фиг. 58.
задвижка
А
будет частично прикрыта, и характеристика
трубопровода пойдет круче (кривая Ъ на
фиг. 58), при последующем ещё круче и т. д.
Точка В даёт давление перед задвижкой при
возвращении к ней ударной волны. При её от-
ражении давление понизится и будет изобра-
жаться точкой В', зеркально отображённой по
отношению к В относительно прямой А'А.
Дальнейшее повышение давления пойдёт по
прямой В'С\\ ABF до встречи с характеристи-
кой с, соответствующей отрезку времени, рав-
4L „
ному -т-. Это построение продолжается вплоть
л
до полного закрытия задвижки.
Удар жидкой частицы о твёр-
дуюпреграду. При внезапной встрече струи
или жидкой частицы с твёрдой преградой на-
ступает явление повышения давления, анало-
гичное гидравлическому удару, величина ко-
торого будет определяться уравнением h -^
а}а^и
•^ — _А~* — Где пл и я е- соответственно ско-
g (иг + П2)
рости распространения упругих колебании в
жидкости и в материале твёрдого тела, v —
нормальная составляющая скорости жидкости.
При определении аг следует иметь BJJ иду из-
/
-) С ИЗ-
А 'А изображает начальное давление Л0, пря-
мая AF—закон изменения давления. Считаем
по Мишо, что закон изменения скорости вы-
ражается линейно. Через промежуток времени,
менение модуля упругости (а^
меиением давления. Непосредственной при-
чиной эррозии в гидравлических машинах
и является это повышение давления. От-
рыв жидкости от стенок может завершиться
подобным ударом.


416
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. I
МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Местные сопротивления рассчи-
тываются по формуле Вейсбаха h7-= — =
г *В
— ?_-, где v — скорость за местом потерь.
2?
Заменяя скорость через расход, можно полу-
чить расчётное уравнение в виде: hT= CQ2^1-
где ftj = 12,106 D4. Величина k} для метриче-
ских труб и газовых дана в табл. 21 и для
Таблица 21
= 2С, б — 1Пбщ =
—
о5щ
= 4:.
1
а.
О
я s
^ IB
40
50
75
IOO
125
'5°
200
250
300
\1етриче<
ft, • 10»
31,0
75,7
383
I 2IO
2 960
6 130
19 4OO
47 300
08 too
кие тру
0.
1s*
rt SE
s ^
=(и
350
4oo
450
5oo
6oo
—
—
—
бы
k -10s
182
310
496
757
157°
—
—
—
Га:
X
H"S
s ^
c(m
'/,
It
i
I'A
I1 'a
I3/.
2
2'/,
3
овые тр
•i
0 V S
H <-> -.1
№ « ^
Я О._
s _ «
d- 5
С <н
14
20
25
34
39
43
49
65
75
у бы
ft, • 10"
0,465
1-94
4,75
16,18
28,01
4i,4
69,8
216, i
47L5
пожарных рукавов в табл. 22. При подстановке
Q л/сек вместо Q мЩсек величину k] следует
умножать на 10б. При расчётах местное сопро-
Таблица 22
Диаметр в дюймах
г
i1/.
I3/.
2
2L/J
Ч
Диаметр в мм
25-4
38,1
44,4
50,8
63,5
76,2
ft, -10е
5.04
25,5
46,7
8о,6
198.6
io8,i
тивление иногда заменяется эквивалентным
трубопроводом, длина которого в калибрах
— = ^-, где ). — коэфициент потерь трубопро-
вода. Местные сопротивления, в которых ос-
новная доля потерь энергии происходит за счёт
перемешивания струек (например, отводы),
обычно в довольно больших интервалах имеют
постоянную эквивалентную длину. Если же ос-
новная доля потерь происходит за счёт потери
на удар (например, внезапное расширение), то
величина С меняется мало.
Закон сложения потерь считается
справедливым во всех случаях разделения от-
дельных местных сопротивлений прямолиней-
ными участками труб длиной по меньшей
мере более 5 0 и общая потеря напора равна
V ?о—• Непосредственное последовательное
соединение местных сопротивлений повышает
потерю напора из-за искажения профиля ско-
ростей. Влияние предыдущего местного сопро-
тивления на последующее называется индук-
цией.
Индукция отводов друг на друга при
их непосредственном соединении увеличи-
вает С. Так, на фиг. 59 даны три случая:
Однако при Re < ТОО и такие соединения
могут рассчитываться как прямые трубы.
т г t
а) 6)
Фиг. 39.
Эпюра высот (фиг. 6Э) даёт полное
представление об изменении всех четырёх чле-
Фиг. СО.
v '^ р
нов уравнения Бернулли (hj, -^-, — иг)иизо-
*•§ 1
бражает баланс энергии движущейся жидкости.
Потеря на удар определяется по тео-
реме Борда из уравнения:
Внезапное сужение имеет место при
изменении направления
течения на фиг. 61.
По Вейсбаху, коэфи-
циент потерь будет
определяться в зависи-
мости от отношения
площадей:
у,
Jf
61.
0,01 0,1 0.2 0,4 0,6
? = °,5 о,5 0,42 0,34 о.25 0,15 о,о
Диафрагмы имеют С (по скорости в
трубопроводе) также в виде функции отноше-
ния площадей:
о, 5 о,6 0,7 о ,8 • 0,9
3,75 1>8 о,8 0,29 о.об
участки сходящиеся
VT = О,1 0,2 0,3
* а
t; = 226 48 17,5
Кони ч ее ки е
вносят меньшие потери, нежели расходящиеся.
Наивыгоднейшие углы для диффузоров 8—12°.
Величина С, отнесённая к скорости в узком
участке, дана в табл. 23.
Отводы (плавно изогнутые трубы), по
Рихтеру, поворачивающие трубу на 90% имеют
^пов (т- е< дополнительная потеря по сравне-
нию с прямой трубой), в зависимости от сте-
пеш! кривизны-^, где р — радиус оси отвода
и d — диаметр трубопровода:
D -
6 15 20 3° 4° 5°
= 0,12 0,102 0,093 0,080 0,060 0,046 0,033


ГЛ. IV]
МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
417
Таблица 23
Угол
7°
то1
15°
20°
25°
30°
35°
4о°
45°
;
конфу-
зора
одб
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
диффу-
зора
0, 22
0,46
о,54
о,6о
0,67
о,73
о,79
0,84
о,88
Угол
5°°
55°
6о°
65°
7°°
75
8о°
85°
С
конфу-
зора
o,3i
о,3г
0,32
о,33
о,34
о,34
о,35
о,зб
диффу-
зора
о,9Г
о,9Г
0,91
0,91
0,91
0.91
0,91
о,91
Эти цифры справедливы при Re = 50 000 для
труб с небольшой шероховатостью. При уве-
личении поворота на 180° С увеличивается на
40%, до 135° — на 21,5%, при уменьшении до
45° С уменьшается на 37,7%. Для гладких ла-
тунных труб С уменьшается на 12%. Увели-
чение Re до 105 уменьшает С на 12,5° 0, при
Re = 2,5 • 105 С меньше на 24,3%, при Re=
= 5-105 С меньше на 30,6%. Уменьшение Re
до 104 увеличивает С на 46,7%, при Re = 3000
С увеличивается на 117,5%. Значение СЛ05 для
рыночных круглых отводов, поворачивающих
поток на 90°, дано в табл. 24. Для ламинарных
потоков при /?е<1000 потери на поворот столь
малы по сравнению с потерями в прямой тру-
бе, что кривые трубы можно считать по урав-
нениям прямых [17].
Колена, изображённые на фиг. 62, рас-
считываются по Вейсбаху:
= 0,946 sin* 4- 2,05 sin*
Фиг. 62.
8 — so° 4°° 6о° 9°° 120° 14°°
~* °'°46 °'139 °'364 °>984 I>86 S'43
Для вязких жидкостей (по опытам автора) при
Re, изменяющемся от 300 до 3000, {поа меняется:
Таблица 24
d в мм
1 00
30
40
50
6о
70
8о
90
IOO
125
150
175
2ОО
225
250
275
Зоо
350
400
450
5оо
Р
d
6,0
4,3
3,5
3,о
,7
Л
,2
,1
,О
,8
,67
.57
•5°
,44
,4°
,36
,33
,^8
,25
,22
,2О
О.
н
<а »
5 3
gjs
% 3
0,350
0,225
0,120
0,105
О, IOO
0,100
0,100
0,100
О. IOO
о, но
О,12О
0,125
0,130
о,135
о,13.8
0,140
0,145
0.150
о,155
о, i6o
0,160
«
3 R
к 3
?Ч н
050
о зо
0 100
OJ35
0138
0138
о 143
о 144
о 145
0 1^2
0158
о 165
о 170
о 177
0 182
о 188
о 191
о 199
О 206
0215
О 217
— г*
Е^
>>vo
з- н
°,75
о,45
о, 24
0,21
0,21
0,21
О,21
0,21
О,22
0,23
0,24
0,25
О,2б
0,27
0,28
0,28
0,29
о.зо
о, 31
0,32
0,33
з 1
Q
? *
о с
СС а
—
12,0
10,0
9,0
8,5
8,о
7.5
1'°
6,5
6,о
5,6
5.2
4.8
4.4
4,о
3.7
34
3,1
2,8
2,5
W
0
« с
3"
I X
5 Е
0§
—
22
18
15
12
IO
9
8
7-°
6,0
5-5
4-5
4,0
3-5
З-о
2-5
2,0
1,8
при 6 = 90°—от 4,1 до 1,5, при 0 = 135° — от 8
цо 3,7, при 6 = 60" эквивалентная длина, выра-
женная в калибрах, изменяется от 10 до 50.
При пересверловке отводящего канала (фиг.
63, а) потери уменьшаются на 10и/0 при
ламинарном потоке, а для турбулентного —
Фиг. 63.
практически не меняются. При пересверловке
подводящего канала (фиг. 63, б) изменений
потерь обнаружить не удалось.
Местные сопротивления на па-
ропроводах рассчитываются по номограм-
ме, изображённой на фиг. 64. По правому ниж-
нему графику находят С. По правому верхне-
му графику находят t° и идут по пунктирной
прямой, как это показано на номограмме,
до шкалы понижения давления в атмосфе-
рах.
Расчёт тройников [22]. При
прикидочных расчётах тройников, разделяю-
щих поток, следует считать Спрох. s 0 н- 0,4
и COOTs = 1 -*" 1Д Первые значения для малых
О
отв и вторые для
Для тройни-
ков, соединяющих поток, nvox от — 1,2 до 0,9
и ^отв от О Д° °«6. При Re < 1000 следует
брать DЛ =34ч-100 [17].
\ Я I в
Расчёт потерь напора в водом е-
р а х (по опытам инж. Коровай и Лобачёва)
можно вести по уравнению
ч^л .
=, где k
берётся из табл. 25. В той же таблице дан
расход Q в м31час, при котором в водомере
Таблица 25
•ъ
т
О.
й>
а
s
10—13
15
20
25
30
40
50
60
70
80
100
125
150
200
250
300
40О
5ОО
;эо
ско
си
Ci
Га
Qi
2
3
5
7
ю
2О
3°
40
—
5°
IOO
—
—
—
—
—
—
_
зостной
стемы
шенс-
льске
k
0,031
0,070
0,193
0.378
0,772
6,95
12,34
—
19,25
77,20
—
—
—
—
—
—
—
порт
типа <i
<3,
1-44
2,1О
2,65
—
6,35
ю,39
—
24 ,8 1
—
42,12
57,7
—
—
—
—
—
—
—
Воде
невой
Е>раже
ft
0,016
0,037
00545
—
0,311
0,833
—
4,75
—
13.46
25.7"
—
—
—
—
--
—
—
)мер
вол
0.01Q,
—
-
—
—
—
i
—
2
3
5
8
12
20
31
46
»5
125
аБо
ьтмана
0,01 k
—
-
—
—
—
0,7717
3,09
6-95
19.25
49.40
in
Зоо
7-»'
1500
557°
12 :о*
3
дне
Q.
2
3
5
7
10
20
—
—
—
—
—
—
—
; —
—
—
—
—
новый
k
о 031
0,07
0,193
0,378
0,772
3.°9
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—


418
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
каждый фитинг дол-
жен подвергаться от-
дельному эксперимен-
тальному обследова-
нию.
РАВНОМЕРНОЕ
ДВИЖЕНИЕ В ОТ-
КРЫТЫХ РУСЛАХ
Форма сечения за-
висит от материала
стенок. Так, если ма-
териалом стенки слу-
жит грунт, то следует
применять трапецеи-
дальный профиль с
углом а, меньшим
естественного угла
скоса (фиг. 66,а).
Естественный угол
скоса для песка 22—
26°, для глины 45е.
С
Коэфициент
сопротивления ?
Фиг. 64. Номограмма для расчёта местных сопротивлений
на паропроводах.
теряется напор в 1 am, так называемая пропуск-
ная способность водомера.
Поворотные угольники (фиг. 65),
широко применяющиеся в маслосистемах,
имеют величину -/- , изменяющуюся в прс-
иэ
делах от 12 до 104, при R<>, изменяющемся от
600 до 2 (весьма вязкие жидкости).
Золотники
м а с л о с и с т е м
(например, само-
лётных) имеют ве-
1в
личину — . изме-
йэ
няющуюся в пре-
делах от 58 до 32,
при Re, изменяю-
щемся от 500 до 2,5.
Фиг. 65. Следует отме-
тить, что в масло-
системах потери столь значительно меняются
при малейшем изменении конструкции, что
ЮО 200 300
йиаметр 6 свету
500
Дерево, бетон, железо и тому подобные
материалы стенок допускают иные формы
(фиг. 66,о — д) — прямоугольную, цилиндриче-
скую, овоидальную и т. п. Расчётной формулой
является уравнение Шези:
где
R = -уг-— гидравлический радиус,
/_
ни-
по-
гидравлический уклон (в данном случае
велирный), F—площадь живого сечения
тока, II—смоченный периметр, С—эксперимен-
тальный коэфициент (коэфициент Шези).


ГЛ. IV]
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ
419
Выбор соотношения размеров
сечения. Для того чтобы при заданном F и
форме сечения R имело максимальное значение,
следует соответственно подбирать величину
наполнения сечения h или соответственный
угол <р. Наивыгоднейшие соотношения для
Фиг. 66.
сечения h = 0,5ft, для трапе-
= 0,5b ctg-f-, Для
прямоугольного
цеидального профиля
круглого сечения h = 0,81 D(<p = 257°30'), для
овоидального профиля C:2) ср = 248°30'.
Однако получение Vma-x. не означает ещё по-
лучения Qmax (Q = CF V?7). Для круглого
сечения Qmax при h = 0,95 D (ср = 308°)," а для
овоидального профиля C : 2) Qmax при .ср =
= 297*30'. Для последнего профиля с горизон-
том ниже пятовой линии
р = г*( 3,023 — У a re sin -
\ о
П = г D,788 — б arc sin ~-
При горизонте выше пятовой линии сле-
дует в этих уравнениях принять х = 0 и при-
бавить величины F и П для живого сечения
выше пятовой линии. Основные геометриче-
ские соотношения овоидального профиля
C:2) даны в табл. 26.
Таблица 26
9
i8o°
248°зо'
297°3о'
Збо°
F
г"
З.оазз
3,о863
4.49^6
4,594
к
т
4,7883
5-9839
6,48052
7,9299
R
г
0,6314
0,6829
0,6568
о,5793
V
с/Г
о,795У7
о,82&У7
o,8ioy^T
0,761]/—
<?
СУТ
2,4ута
3,377^л5
ЗАцуТ"
3.49VP"
Примечание. Значение <р см. по фиг. 66,д.
Определение коэфициента Ше-
зи. При/? ^>3 следует при определении С
пользоваться уравнением Гангилье и Куттера:
00 , 1 , 0,00155
которое при / < 0,0005 может быть обра-
23 -f п-1
ЩсНО В О —• — ~—————"" f. ,
1 + 23 я "у 7F
При /?<3 это уравнение остаётся справед-
ливым, однако тогда можно пользоваться и
более простым уравнением Базена:
87
1 4- m~V/A>"
Величины коэфициентов п и т даны в табл. 27.
Таблица 27
23-f
0,00155"
Характер стенок
Железные стенки
Покрытые эмалью или гла-
зурью ...............
Окрашенные ..........
Клёпаные трубы ........
Деревянные стенки
Строганые доски (уложены
продольно) ............
Нестроганые доски ......
Клёпка, пропитанная креозо-
том .................
Клёпка непропитанная ....
Бетонная одежда
Штукатурка, заглаженная из
чистого цемента ..... ....
Хорошая облицовка, сгла-
женная и выровненная вручную
Бетон из-под хорошей опа-
лубки или грубо заглаженный
Бетон из-под обычной опа-
лубки или гравий и галька по
дну в предыдущих случаях
(при зарастании мхом п увели-
чивается на 0,002) ........
Каменная кладка
Бутовая на цементном рас-
творе ................
Бутовая сухая кладка ....
Клинкер .............
Кирпичная ...........
Тёсаный камень ........
Скалистые стенки
Выемка грунта насухо
Плотный ил и суглинистая
почва ................
Супесчаная почва ......
Плотный грунт или гррвели-
стая глина (средние и крупные)
То же, но в плохом состоя-
нии, или малые каналы (по
размеру) ..............
Дно, покрытое мелким кам-
нем .................
Выемка грунта землечер-
палкой
я от и до (в за-
висимости от
состояния)
o,ooq
о 0115—0,014
О,О12 —0,017
o,oi4
о, он — o,oi8
0,012—0,018
о.оп — 0,014
0,010 — 0,014
0,01
0,011—0,013
0,013—0,015
0,015 —0,018
0,017—0,030
0,025—0,035
0,011—0,015
O.OI2 — 0,017
0,013 — 0,017
0,020 — 0,045
0,016
0,020
0.0225
0,025
0,028
0,0225 — °|О4°
т
—
одб
—
—
о,о6
0,l6
—
0,06
0,06
—
0,16
—
0,46
0,85
—
0,16
0,85
—
_
0.85
—
—
1,0


420
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
Продолжение табл. 27
Характер стенок
Естественные русла
В хорошем состоянии ....
Местами с водорослями и бу-
лыжниками или заметно зарос-
шие травой ............
Неправильный профиль, за-
сорённый камнями и водорос-
лями ................
В очень плохом состоянии с
густыми корнями, с зарослями
камыша, крупными камнями,
Стенки, покрытые илом
Толстый слой без иных ше-
роховатостей ...........
Слой на плотном гравии в
Несплошной слой без иных
шероховатостей .........
Брезент на деревянных рей-
ках .................
и от и до (в за-
висимости от
состояния)
0,025
0,030
0,035
0,040
o.oiS
0,020
0,0225
0,015
т
1,3
1-75
—
—
—
—
—
Выбор скоростей. Скорость должна
быть больше скорости заиления. Скорость
заиления зависит от характера наносов, на-
ходящихся во взвешенном состоянии. Наи-
меньшая допускаемая скорость v3UUA = я/гО,б4
(уравнение Кенеди) [26], где Л — глубина
канала, а — коэфициент, зависящий от харак-
тера взвешенных частиц. Для лёгкого ила
(Л — 0,3 м) а~ 0,45, для очень мелкого
песка (Л = 0,67 — 2,13) я = 0,62, для крупного
песка (Л = 0,67 — 2,13) а = 0,73. При прибли-
жённых прикидках можно считать для воды,
несущей лёгкий ил, Узаил—0,25 и песок
1»заыл = 0,50. Таким образом, гидравлически
наивыгоднейшие размеры не всегда могут
быть осуществлены, и необходимость соблю-
дения неравенства v3aujl<^v может потребо-
вать уменьшения глубины Л. Кроме того, для
предупреждения размывания стенок должно
соблюдаться неравенство v < Vpa3- Величина
vpa3 (средней скорости потока, при которой
наступает размывание стенок) равна 0,12 для
стенок из илистой земли, 0,16 — для тонкого
песка, 0_,25— для железисто-известковой глины
и жирной глины, 0,50 — для речного песка,
1,00 — для гравия, 1,25 — для булыжника,
1,80 — для сплошного слоистого камня, 2,30 —
для отложения горных пород, 3,5 — для твёр-
дой скалы, 4—5 — для бетона, 7 — для дерева.
На Ниагарском водопаде в отводящих кана-
лах допущена скорость 8,25 м/сек. Стенки
выложены глазуревым кирпичом.
Употребительные уклоны. Для
заводских каналов v — 0,4—0,8 м /сек. Подво-
дящий канал / = 0,ОС04—0,0005; отводящий
канал / = 0,001—0,002. Судоходные каналы не
должны иметь уклон более 1:500. Уклонов
выше 0,0( 02 следует избегать.
В открытых каналах потери напора много
больше, нежели в напорных трубопроводах
с той же шероховатостью стенок.
НЕРАВНОМЕРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ
ДВИЖЕНИЕ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ
При подпоре потока (положительном или
отрицательном), а также при впуске потока
в канал со скоростями, большими, нежели
свойственные равномерному потоку при задан-
ном уклоне, наблюдается изменение высоты
поверхности уровня.
Изменение поверхности уровня подчи-
няется уравнению:
где Л — глубина, s — длина канала,/ — ниве-
лирный уклон, k — CF У /? — модуль расхода,
Q — расход, &0 — модуль расхода, соответствую-
щий равномерному потоку (соответствую-
« « ^ • «'-'*'
щая глубина обозначается через Н), /= — =- ,
где а — коэфициент Кориолиса (см. стр. 394), с —
коэфициент из формулы Шези (см. стр. 418),
Ь' — ширина потока поверху при глубине Л,
П — смоченный периметр и g — земное уско-
рение.
Критическая глубина — та глубина
HI, при которой энергия 1 кг жидкости имеет
?3
минимальное значение. При Л = Hlt j= -— .
^о
Уклон канала, при котором //-//], т. е. кри-
тическая глубина совпадает с глубиной равно-
мерного движения, называется критическим.
По Буеинеску, при i<^iKp каналы обладают
покойными потоками, а при i~^> 1кр— бур-
ными потоками.
Вид кривых подпора и впуска.
В зависимости от соотношений величин / и /,,..
h,p
будет иметь место разная форма кривых под-
пора и впуска. Для критических уклонов кри-
вые подпора и впуска близки к горизонталям
и переходят в них при бесконечно широких
каналах (плоских каналах). Вид этих кривых
дан на фиг. 67, а. При уклонах меньше крити-
ческих (Н^> Н^) кривая подпора (а на фиг. 67,6)
имеет ассимптоты — Л — Н и горизонталь.
Кривая отрицательного подпора обозначена
через ?, а впуска через f, причём расчётная
часть этих кривых, могущая быть получена
в результате интегрирования основного урав
нения, изображена толстой линией. Плоские
каналы допускают приближённое нахождение
кривой подпора а. Точка А определяется из
условий баланса расхода (например, канал пе-
рекрыт плотиной, в которой имеется спуск;
точка А будет расположена на такой высоте,
чтобы расход канала был равен расходу че-
рез спуск). Через А проводится горизон-
таль АВ. На прямой ft = Н откладывается,
точка С так, чтобы горизонтальные расстоя-
ния А В и ВС были равны. Через точки ABC
проводится парабола с вертикальной осью,
которая довольно точно даёт кривую под-
пора 3.
Бурные потоки A~>1кр и Н\^> Н) имеют
кривую подпора а, изображённую на фиг. 67, в,
и впусков 3 и у.
Т очны и расчёт кривых подпора
и впуска. Части кривых подпора и впуска


гл. i\n
ГИДРОМЕТРИЯ
421
очерченные толстыми линиями на фиг. 67,
определяются числовым интегрированием
основного уравнения, которому дают безраз-
мерный вид:
ids
—7-
Н
\ —j
- —— ---.
1 + V
где г) = — — — безразмерная глубина. Показа-
тель степени х находят из уравнения Бах-
Цривая впуска
Крибая подпора
в)
Фиг. 67.
метьева х2 = -rf, где х = — — безразмерный
модуль, равный отношению модулей расхода.
Величина х находится следующим образом:
задаются несколькими значениями h и находят
соответственные значения модуля расхода.
Откладывая в логарифмических координатах т)
и х, находят х.
Обычно каналы правильной формы имеют .v
в пределах между 3 и 4, хотя возможны
в редких случаях и иные значения. Интегри-
рование уравнения даёт:
где As— расстояние между сечениями 1 и 2,
гA и ^2— соответствующие значения безраз-
мерной глубины и fy (YJ) — функция Бах-
метьева [2].
Функция Бахметьева представляет собой
интеграл вида
/' df\
-,———-7 .
l——ff
Приближённый расчёт кривых
подпора и впуска для плоских ка-
налов. При / = 1кр кривые подпора и впуска
близки к горизонтальным прямым. При /,
много меньшем г' , может быть использо-
кр
вано решение Дюпюи в виде:
S — 50 _
Н ~
где у = h — Н.
Уо
У
Н
ГИДРОМЕТРИЯ
В качестве способов замера расходов, по-
мимо указанных на стр. 408 — 409, могут быть
использованы баки с отверстиями или насад-
ками (данаиды), водосливы любой формы,
трубопроводы, любые местные сопротивле-
ния при условии существования достаточ-
ных перепадов (см. стр. 416). Во всех этих
случаях необходима предварительная тари-
ровка.
Химический метод замера применим
для турбулентных потоков и обеспечивает
точность замера ± 5%. В трубопровод вво-
дят расход QJ химически нейтрального веще-
ства (соль, сульфат натрия, хлористая магне-
зия) с концентрацией k\ и в достаточном
для перемешивания удалении определяют кон-
центрацию &2. Тогда замеряемый расход
Электросолевой метод замера
обеспечивает точность до ± 2% и заключается
в введении в поток насыщенного солевого
раствора, прохождение которого около двух
установленных электродов изменит показание
амперметра (фиг. 68). Скорость потока опре-
Время
Фиг. 68. Схема устройства для измерения расхола
электросолевым методом.
деляется делением расстояния между электро-
дами на время между скачками в показаниях
амперметра.
Метод Гибсона основан на связи рас-
хода с повышением давления прл закрытии за-
движки (см. стр. 414). Точность до + 1%. Име-
ются специальные приборы (фотохроногра-
фы), замеряющие кривые изменения давле-
ния [4].
Гидрометрические вертушки
позволяют замерять среднюю скорость за дли-
тельные промежутки времени, но нуждаются
в предварительной тарировке. Уравнение та-
рировочной кривой весьма часто имеет вид
v — kn + b, где п — число оборотов вертушки,


422
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
a k и b — козфициенты, зависящие от геоме-
трии винта и момента трения.
Трубка Пито-Прандтля (фиг. 69),
установленная строго по направлению потока,
замеряет скорость, которая связана с перепа-
дом уравнением -~- = 5 El— Р*-, где ? — коэфи-
•*& т
циент насадка, определяемый из опыта, и
Р\ — Р^
Т
-^ = ДА— перепад, замеряемый мано-
метром. При отклонении оси трубки от напра-
вления потока &i вначале повышается, а за-
тем падает. Пользуясь этим свойством, можно
Фиг. 69.
с помощью трубки Пито — Прандтля замерять
направление потока. Этот тип трубки имеет
носовую часть в виде полутела (см. стр. 391).
Трубка Пито - ЦАГИ * имеет носовую
часть в виде конуса. При отклонении оси
этой трубки повышения перепада не наблю-
дается, что затрудняет её применение для
определения направления потока. При замере
скоростей воздуха следует применять спирто-
вок манометр, который, особенно при малых
перепадах, нуждается и в тарировке, и в по-
правках на температуру:
1+0,0011Д* 800 '
где /—высота столбика в манометре, у —
— icn sin а — коэфициент наклона шкалы, а —
угол наклона шкалы, y0c/J—весовая плот-
ность спирта при тарировке, Д? — разность
температур при замере и тарировке и k—
коэфициент манометра, учитывающий разли-
чие площадей сечений трубки и бачка мано-
метра (k = I ~\--~.—). При тарировке коэ-
\ /" sin a/
фициент насадка ? следует определять с по-
мощью эталонной трубки. Рыночные мано-
метры Фусса позволяют замерять скорости до
50 м\сек.
Термоанемометрия [12]. Нагре-
тая тонкая проволока меняет своё сопроти-
вление при охлаждении сё потоком воздуха.
Интенсивность охлаждения зависит от скоро-
сти омывающего воздуха. Материал замеряю-
щей проволоки — никель или платина. Послед-
няя предпочтительна из-за большой инертно-
сти при нагревании. Диаметр 0,1—0,01 мм,
длина 2 — 30 мм. Державки манганиновые
(практически температурный коэфяциент ра-
вен 0), укрепляются в эбонитовой подставке.
Тщательность контактов существенна, поэтому
сварка предпочтительнее пайки. Замеряющая
проволока может быть установлена как па-
раллельно, так и перпендикулярно потоку.
При замере малых скоростей (от несколь-
ких см/сек до 4—5 м/сек) применяют метод
постоянного напряжения (фнг. 70). Насадок
является плечом мостика. Реостат доводится
до показания гальванометра, разного 0. При
обтекании насадка потоком проволока охла-
ждается и равновесие нарушается. Каждой
скорости потока соответствует своё показа-
ние гальванометра. Тарнровочная кривая
обусловливает применение этой схемы для
малых скоростей. При замере скоростей от
0,5 до 12 м/сек применяют метод постоянной
температуры нити (фиг. 71). Гальванометр
всегда на нуле, для чего регулируют реостат
и посылают в насадок разный ток, напряже-
ние которого замеряется. Равновесие имеет
место при постоянной температуре. Каждому
положению реостата соответствует своя ско-
рость потока. Тарировочная кривая обусловли-
вает применение этой схемы на скорости до
12 м\сек. При больших скоростях точность
замера резко падает из-за того, что скорости
в 10—12 м/сек дают большое охлаждение.
Существует схема термоанемометра с прямо-
Фиг. 70. Термоэлектри-
ческий анемометр, в
котором напряжение
накала нагреваемой
проволоки поддержи-
вается постоянным.
Фиг. 71. Термоэлектриче-
ский анемометр, в котором
сопротивление, а вместе
с теми температура накали-
ваемой проволоки поддер-
живаются постоянными.
* Отличается от трубки Барбье только формой.
линейным тарировочным графиком. Изгото-
вляются термоанемометры не только показы-
-вающие, но и регистрирующие.
Замер расходов по скоростям
может производиться в достаточно длинных
прямолинейных участках с помощью замера
скорости либо в центре, имея в виду, что
v — @,79 -г- 0,81) Vmax, либо на радиусе, равном
0,74 радиуса трубопровода, где скорость должна
быть равна средней. В каналах средняя ско-
рость имеет место на высоте в 60— 61% от
полной глубины. Наконец, средняя скорость
в канале составляет долю от vwax: v = л-г/тах,
причём а имеет значение 0,4 — 0,52 •— для ка-
MCHHCioro берега, 0,58 — 0,70 — для песка
с галькой, 0,62-0,72 — для песка, 0,65—0,80—
для однородного мелкого песка, 0,70—0,90—
для бетона и дерева. Большие значения соот-
ветствуют большему гидравлическому радиусу
(/?> 1 м}.


ГЛ. IV)
ГИДРАВЛИКА ГРУНТОВЫХ ВОД
423
волны
Наиболее часто встречающимся в природе
периодическим (колебательным) движением
воды являются волны. Волны характеризуются
тремя величинами: А— длина волны (расстоя-
ние между двумя ближайшими точками, на-
ходящимися в одинаковых фазах), h — высота
волны (вертикальное расстояние между наи-
высшей и наинизшей точками поверхности
жидкости) и Н — глубина жидкого слоя. При
большой глубине Н по сравнению с А точки
жидкости совершают вращательное движение
(решение Герстнера, 1804 г.), и поверхность
волны очерчивает синусоиду. Практически
можно считать, что на глубинах больших,
нежели длина волны, волнение прекращается.
С увеличением глубины закон изменения ра-
2кг
диусов г=г0е х , где г0 — радиус на по-
верхности, z — глубина. При уменьшении глу-
бины траектория жидких частиц описывает
эллипсы. Вертикальная составляющая колеба-
ний уменьшается быстрее, нежели гори-
зонтальная, поэтому более глубоко располо-
женные эллипсы становятся более вытяну-
тыми.
Скорость распространения в о л-
н ы определяется уравнением:
/ 2дЯ 2тсЯ~
X
Т \ е —е
•X
где f — весовая плотность, Т — величина сил
поверхностного натяжения. Если глубина
весьма велика по сравнению с А, то волны
столь значительны, что силами поверхностного
натяжения можно пренебречь, и а = / ^- ,
что обычно имеет место для морских волн.
Если волны весьма короткие, то главную роль
играют силы поверхностного натяжения и
. При малых глубинах
а —
а — т/
__
= \/ gH. Если при движении волны Н умень-
шается, то изменяется скорость её движения.
Изменение скорости не может быстро пере-
даться всем частицам жидкости, и волна ме-
няет свою форму и разбивается, предвари-
тельно увеличив амплитуду.
Увеличение амплитуды происходит из-за
передачи энергии толстого слоя жидкости
тонкому.
Одиночная волн а. При разрушении
плотин или любых перегородок, поддержи-
вающих высокий уровень воды, появляется
одиночная волна (волна Скотт — Русселя), про-
филь которой целиком располагается над по-
верхностью. При достаточной глубине эта
волна перемещается, устойчиво сохраняя свою
форму и неся большой запас энергии. При
разрушении большой плотины одиночная вол-
на может принести много бедствий на боль-
ших расстояниях вниз по течению. По теории
3 /^
Бусинеска, высота волны //j — -^ •щ- , где
F — площадь поперечного сечения волны над
горизонтом, Н— глубина. Скорость перемеще-
ния этой волны а= Vg (//+/Z]). Полная энер-
гии волны в канале шириной, равной еди-
нице, у (-^— h-Ji \ *. Таким образом, одиноч-
ные волны в достаточно глубоких каналах
несут большой запас энергии и при встрече
с препятствием могут совершить мощный
удар. Одиночные волны способны отражаться
от препятствий. При уменьшении глубины
канала одиночная волна разбивается из-за
того, что разные точки волны обладают раз-
личными скоростями.
Ударное действие волны. По
Д'Ориа, наибольшее давление на единицу по-
верхности волнолома равно р и2, где р — мас-
совая плотность, и — скорость воды.
ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Волновое сопротивление является след-
ствием волнообразования, вызванного движе-
нием судна по воде. Сопротивление, вызван-
ное созданием поперечных волн, равно NV&,
и вызванное созданием расходящихся волн Aft/4.
Полное сопротивление Ww = Mv* -+- Л/г>6. При
малых скоростях считают WW^NV& и при
больших скоростях судна Ww^Mv*. В су-
достроении ведут расчёт по уравнению (Тей-
лор):
где с ~ 0,0036, D — водоизмещение в т,
L—длина судна, v — скорость в узлах. Однако
для судов, особенно предназначенных для пла-
вания по мелководью, предпочитают пользо-
ваться результатами протаски модели, соблю-
дая при проведении модельных испытаний ра-
венство чисел Фруда Фг — —=- (см. стр. 393).
Влияние глубины становится суще-
ственным при скоростях, близких к критиче-
ским (v — V^gH, где Я —глубина). При крити-
ческой скорости волновое сопротивление до-
стигает максимума. При v<0, 7}fgH влияние
глубины несущественно.
Модельные испытания должны
проводиться при одинаковых Фг и относи-
те Я
тельных глубинах —.
ГИДРАВЛИКА ГРУНТОВЫХ ВОД
По Дарси, расход через грунт (фильтра-
ционный расход) определяется из уравнения:
Q = kiF^- = kiFt,
где F—площадь живого сечения фильтра
ционного потока, Н — напор, / — путь филь-
траций, &-,— козфицнент, зависящий от ха-
рактера грунта, и Q — расход в л/час. По
исследованиям, произведённым комиссией по
изучению каналов в Мюнстере в 1892 г., для
непросеянного и непромытого речного песка
при /""=!, Н< 5, и / < 1 были получены
следующие ?зачения &г:32 — для песка


424
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
с. размером зёрен от 0,1 до 0,8 мм, 9—для
песка с размером зёрен от 0,1 до 0,3 мм,
3 — для песка со следами глины, 0,0035 — для
мергеля насыро утрамбованного, 0,0020 — для
глины насыро утрамбованной.
Уменьшение просачивасмости грунта до-
стигается устройством разбухающих слоев
(глина, перегной, корни растений, окись же-
леза). Следует иметь в виду, что большое раз-
бухание может нарушить целостность соору-
жений (высушенная глина увеличивает объём
в 2,5 раза при разбухании). Кроме того, для
предохранения от размывания уплотняющий
слой (разбухающий) должен покрываться слоем
песка.
Колодцы или водосборные гале-
реи. Для получения воды или для опускания
поверхности уровня грунтовых вод путём от-
бора воды применяются колодцы. Если коло-
дец достигает горизонтального подстилающего
(водопроницаемого) слоя, то уравнение по-
верхности уровня вблизи колодца будет:
го
0,73 Q , г
, v In—,
где г — текущее положение поверхности уро-
вня вблизи колодца (считая от горизонталь-
ного подстилающего слоя), г0 — поверхность
уровня в колодце, Q — расход в м^/сек, г —
текущий радиус, Л0 — радиус колодца и
&=10-3 kj — просачиваемость почвы. Из-за
большой зависимости k от характера грунта
желательно экспериментальное определение
этого коэфициента. Если колодец не дости-
гает подстилающего слоя, который располо-
жен очень глубоко по сравнению с вели-
чиной 2max — ZQ, справедливо уравнение
гтах — z = ft = - в . Если колодец имеет
О,^О Kt'f)
Р<СО (сток), то могут быть применены те же
уравнения с заменой знака при Q. Поверх-
ность уровня зеркально отобразится около
плоскости с г = гтах (первоначальная поверх-
ность уровня грунтовых вод). Однако эти
уравнения справедливы лишь вблизи ко-
лодца.
ВЕТЕР И ВЕТРОМЕТРИЯ
Ветер — следствие нарушения равновесия
атмосферы. Причина — неравномерность на-
гревания, форма Земли и её вращение, испа-
рение и конденсация паров воды.
Колебание ветра как по величине,
так и по направлению происходит почти
непрерывно. Чем больше промежуток време-
ни, тем меньше колебание средней величины.
Например, среднесуточный ветер может
колебаться от 1 до 12 — 15 м/сек, среднемесяч-
ный от 3,3 до 5,5, а среднегодовой колеблется
всего лишь на 7%. Частота колебаний до 40
в минуту. По направлению ветер отклоняется
на 15 — 20Э за это же время столь же часты-
ми порывами. С увеличением высоты число
колебаний резко падает.
Роза ветров — графический способ
изображения продолжительности и направления
ветра в виде векторов, исходящих из одной
точки, даётся в виде замкнутой ломаной, про-
ходящей через концы векторов.
Приземный слой атмосферы (до 500 —
1000 м) находится под воздействием микро-
рельефа местности. Здесь возможны мощные
местные ветры (горно-долинные, береговые
и др.). В приземном слое увеличение высоты
приводит к увеличению ветра:
Высота в м
Увеличение
скорости на 1м
подъёма в м!сек
9—тб 16—24
0,06
Влияние микрорельефа. В доли-
нах v уменьшается. На горных плато ветер
усиливается на возвышенностях с правильны-
ми обтекаемыми склонами. Возвышенности
с крутыми склонами обладают малыми v.
На равнинах большого протяжения с нерезко
выраженным рельефом наибольшую скорость
имеют возвышенные точки. Возвышенные точ-
ки теряют v при ветре со стороны испорчен-
ного рельефа склона. Различие в v на возвы-
шенных и низинных местах особенно резко
ночью. Для получения большого v следует не
столько подниматься, сколько удаляться от
препятствий. Удаление должно быть 15-крат-
ное вверх и 25 — 30-кратное высоте препят-
ствия по горизонтали.
Оценка ветра. В Европейской части
СССР максимальный ветер — зимой и мини-
мальный — летом. На Сев. Урале, в Сев. Сиби-
ри, на Дальнем Востоке, а также у берегов во-
доёмов и на равнинах максимальный ветер
летом. В нагорных местностях летом ветер
сильнее ночью, а зимой почти постоянен.
Скорость ветра. При использовании
силы ветра имеет значение скорость, изме-
ряемая в м/сек. Наблюдения за скоростями,
направлением и повторяемостью ветров ве-
дутся на метеорологических станциях. Замер
скорости ветра может производиться наблю-
дением за поворотом доски Вильда. В табл. 28
дана связь между v м/сек, поворотом доски
Вильда и шкалой Бофорта.
Недостаток доски Вильда —зависимость по-
казаний от р воздуха. Различие в показаниях
зимой и летом при одном и том же ветре мо-
жет достигать 109/0. В связи с этим зимой
энергия ветра окажется ниже ожидаемой, и
.летом наоборот.
Крыльчатка Робинзона (фиг. 72)
даёт показания, не зависящие от t° и В,
обладает нечувстви-
тельностью пуска (от
1 до 2 м/сек), нуж-
дается в тарировке.
Окружная скорость
около J/3 скорости
ветра. Быстрее раз-
гоняется, нежели тор-
мозится, поэтому при
колебании ветра по-
казания завышены.
Уравнение тарировки
v — а п + р. Может
проверяться по JB, так как а = const. Ручные
приборы нуждаются в частой тарировке.
Жизнь прибора — 50 часов.
Крутильные анемометры — крыль-
чатки, скручивающие пружину. Имеются
и анемографы (завод „Метприбор"). При
увеличении ветра чувствительность возра-
стает.
Фиг. 72.


ГЛ. IV]
РЕАКЦИЯ СТРУИ НА СТЕНКУ
425
Таблица 26
Штифты
по лёгкому
указателю
0
О — I
I И I — 2
2 И 2—3
3 и 3—4
4 и 4—5
5 и 5—6
6
б-.
7
_
—
—
флюгера
—————— ——
по тяжёлому
указателю
о
О — I
i
1—2
2
2—3
3
3—4
4 и 4-5
5
5-6
6
Более 6
Баллы
Бофорта
о
i
2
0
4
5
6
7
8
9
ю
и
13
г< в м/сек
по анемометру
0—0,5
о,6 — 1,7
1,8-3,3
3,4—5.2
5-3—7-4
7-5-9-8
9,7-12,4
12,5— 15^2
15,3— i8,a
18,3—21,5
21,6—25,1
25,2—29
Более 29
Наименование
Штиль
Тихий
Лёгкий
Слабый
Умеренный
Свежий
Сильный
Крепкий
Очень
крепкий
Шторм
Сильный
шторм
Жёсткий
шторм
Ураган
1
Внешние признаки
Дым поднимается почти отвесно,
листья неподпижны
Направление ветра определяется
по дыму; флюгер неподвижен
Листья шелестят, ветер ощу-
щается лицом
Листья и тонкие ветки непре-
рывно колышатся
Поднимаются пыль и лёгкие бу-
мажки, качаются тонкие ветки
Качаются тонкие стволы де-
ревьев
Толстые сучья качаются, гудят
телеграфные провода, трудно
пользоваться зонтом
Качаются концы деревьев, гнут-
ся большие ветви
Ломаются тонкие ветки и сухие
сучья, трудно итти против ветра
Срывает дымовые трубы и чере-
пицу
Деревья вырываются с корнем
Большие разрушения
Стихийное бедствие
РЕАКЦИЯ СТРУИ НА СТЕНКУ
Реакция струи на стенку в заданном
направлении измеряется проекцией на задан-
ное направление изменения количества
движения. Так, если стенка плоская и непо-
движная и её диаметр больше 6 диаметров
струи, то усилие на стенку будет Р = pQt>
(фиг. 73, а). Если стенка мала (фиг. 73, б), то
Фиг. 73.
P — pQv(]—cos g). Силу можно увеличить,
изменив направление отходящей струи (фиг.
73, е), тогда Р = р Qv (I + cos ^). Из-за трения
струи о стенку скорость может уменьшиться,
и тогда Я - р Q (i/! -t- г/2 cos bj. Общий приём
определения воздействия струи на стенку
заключается в нахождении геометрической
разности секундных количеств движения на
входе и выходе (фиг. 74). Если стенка
движется со скоростью и, то масса, встречаю-
v —и
щая стенку, уменьшится в отношении ——— ,
и скорость встречи струи со стенкой умень-
шается в том же отношении; поэтому для
первого случая (фиг. 73, а) Р = -
= p/(t/ — иJ. Энергия, снимаемая стенкой,,
будет А = Ри = р fu (v — иJ, которая получит
v
максимальное значение при и = -*-, и к. п. д.
о
о
такой системы будет г\ = —-. Величину силы,
снимаемой энергии и к. п. д. можно было бы
удвоить при применении лопатки, изображён-
ной на фиг. 73, в, если бы удалось сделать
Р!=О°. Величину к. п. д. можно было бы сделать
равной 1 (без учёта потери на трение) при
использовании всего расхода, что достигается
применением ряда следующих друг за другом
лопаток (например, колесо турбины Пельтона).
*и
В этом случае и = н-. Тем же способом
находят реакцию струи на сосуд (фиг. 75),
Если t>! мало, то им пренебрегают. В случае
движущегося сосуда (например, летящая раке-
та) сила воздействия (сила тяги) будет
Фиг. 74.
обусловливаться относительной скоростью
истечения v. Летящая горизонтально ее
скоростью с ракета может использовать всю
энергию продуктов сгорания при v = с„
Вообще динамический к. п. д. такой ракеты
,
будет Y) =
2 . 3
Л
поэтому не обязательно


426
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. I
следует добиваться больших величин v
(например, с помощью применения сопел
Лаваля) у ракет [18].
Наиболее общим реактивным движущимся
аппаратом является воздушно-реактивный дви-
гатель, схема которого изображена на фиг. 76.
Спереди засасывается масса тл со скоростью vlt
затем она подогревается сгоранием топлива и из-
вергается со скоро-
стью 'У2. Масса за
счёт топливаувели-
чивается до wzj -+-
4- т%. Если АЛ, =--0, то
система обращает-
ся в ракету, если
Фиг. 76.
О, то система
обращается в тон-
нельное воздушное
судно. Сила тяги будет равна [15]:
Ф =
- "М
где k — ——
Величина
равна:
динамического к. п. д. будет
где х = — — — относительная скорость полёта.
При ? = О система обращается в ракету, при
& = оо — в тоннельное воздушное судно.
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Часть потока, примыкающая к стенкам и
ими тормозящаяся, называется пограничным
слоем. Границами такого слоя считают поверх-
ности, на которых скорости потока на 1%
отличаются от скоростей потенциального по-
тока. Критические значения Re для пластины,
при которых пограничный слой из ламинарного
переходит в турбулентный,— 485000. Для нор-
мальных параметров воздуха длина ламинар-
ного пограничного слоя 7,05 v~ l. У удобооб-
текаемых тел эта величина увеличивается.
Однако эти длины столь малы, что чаще всего
приходится иметь дело со смешанным турбу-
лентным слоем (первая часть ламинарный и
вторая— турбулентный пограничный слой).
Интегральное соотношение Кар-
мана для пограничного слоя плоского по-
тока имеет вид:
., dp /dv\ _
где 5 — толщина пограничного слоя, г>0 — ско-
рость потенциального потока, v — текущая ско-
рость, у — координата, нормальная к обтекае-
мому телу, х — координата по длине обтекае-
мого тела. Зная законы v = / (х,у), можно
находить количественные закономерности,
присущие пограничному слою.
Обтекание пластины [28] при
ламинарном пограничном слое даёт его тол-
/vjc
— , а козфициент трения
Г VQ
Cf = —— ^ — 1.33/?* ~~ °'5. Турбулентный погра-
рл __
П 2
( - — ) '5
\ЩХ/
и коэфициент трения Cf = — - -0,072/?? ~~°'2 .
ничный слой имеет толщину 8 =0,370 - — ) дг
По Прандтлю, при Ю7 </?<?< Ю9 более точно
уравнение Cf — 0,455(lg Re) ~2'59. Для пластин
с длиной большей критической (при наличии
и ламинарного и турбулентного пограничных
слоев)
cf = 0,455 (lg Re) ~2-58—1700Re~ 1 .
Трение дисков, смоченных с обеих
сторон, по Карману, при/?г = — < 5-Ю5 даёт
ламинарный пограничный слой и момент
М =0,65rf3--^ и при/?е=
даёт турбулентный пограничный слой и момент
, где и — окружная ско-
М = 0,021 ^з ~- Re
рость и d — диаметр.
Естественная
определяется величиной
турбулентность
= 100—, где V —
средняя скорость и v —
dt
Т —
достаточно длительный промежуток времени,
fj — разность между мгновенной и средней
скоростями. В аэродинамических трубах s равен
от 0,4 до 1,75, в плохих доходит до 3. Для ат-
мосферного воздуха е = 0,2, а в турбулентном
пограничном слое может доходить до 20 и
даже до 80.
Замер естественной турбулент-
ности чаще всего осуществляется замером
коэфициента лобового сопротивления шара
р
@ 12—15 см) сх — —— ;р . Непосредствен-
ному замеру подлежит Revp, при котором
сх — ОД а связь между е и ]RcKp:
p = 27
«= о,5
23,2 • ю*
I,О
13,a • ю*
а.З
19,7 • ю1
1,2
При отсутствии аэродинамических весов
можно замерять козфициент перепада между
Др
двумя критическими точками шара cf = —^ — .
значение которого обычно равно 1,22 при
сх = 0,3-


ГЛ. IV]
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
427
Эквивалентное число Re9 = 38,5 X
Не
X Ю* D — . По Юрьеву, аэродинамические
*\екр
характеристики одного и того же тела, не
совпадающие при различных е, совпадают,
если их строить не в виде функции Re, а в
виде функции Rea .
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Аэродинамические характеристики — без-
размерные коэфициенты, чаще всего даваемые
в виде функции каких-либо параметров (на-
пример, критериев подобия).
1-я группа коэфициентов лобовых сопро-
„ / X \ .. ! Y \
тивлении ( - — „-=г и подъемных сил ( —— ^-тт
\ р г;2 F I \ р v? /• )
обозначается в СССР через Сх и Cv, в Англии
через /??> и kL и в США (инженерные коэ-
фициенты) через Кх и Ку-
2-я группа коэфициентов лобовых сопро-
/ '2Х \ .. / 2К
— —
-
тивлении
..
и подъемных сил
\pv*F/ "" """ """" """ Vp»2
обозначается в СССР и Польше через сх и су
во Франции, Японии и Бельгии через сх и сг
и в США (абсолютные коэфициенты) через
CD и С/,.
5-я группа коэфициентов лобовых сопро-
„/200*4 .. /200К\
тивлении - _ f? ) и подъемных сил (—=-=• I
V р V" г / \ р V" г /
обозначается в Польше через Сх и Су ив
Германии через Cw и Са.
Поточные оси характеризуют поток,
по отношению к которому определяют аэро-
динамическую характеристику. Система коор-
динат правая. Ось х совпадает с направлением
скорости, и у направлена вертикально вверх.
Связанные оси (система также правая)
жёстко связаны с обдуваемым телом. При
испытаниях поточные оси должны совпадать
с земными, относительно которых координи-
руют связанные оси. При несовпадении земных
и поточных осей, т. е. при существовании
вертикального угла скоса Д?г и горизонталь-
ного угла скоса Др, получаемые из экспери-
мента величины сх Су и CZQ должны исправ-
ляться для получения истинных значений сх,
Су и с2. Исправление ведётся по уравнениям:
сх = cr COS Да,cos Д,з — с., sin Да, -I-
• * х0 ' УО г '
Су = cx sin Даг cos ДЗ + суо cos Даг -\-
+ c, sin Да, sin Др,
0
cz = — cx sin ДР + сг cos ДЗ.
Если значения Даг и Д? столь малы, что
можно считать sin До^— Даг и зтДЗ^=Д^ (а сле-
довательно, cos Даг = cos Д3=1), то уравнения
принимают вид:
Исправлению также подлежат и углы уста-
новки обследуемого тела: az = az^ — Даг и
3 = ?0 — ДЗ. Для крыльев поправка может дать
большое отклонение сг от с„. Так, косизна
в 1° может дать ошибку в определении вели-
чины обратного качества до 35%.
Коэфициенты лобового сопро-
тивления некоторых тел, отнесённые к
миделеву сечению (наибольшее сечение тела,
перпендикулярное к потоку):
Шар при Re <^ 1 имеет
24
1 ~ Ж,
при 2-10*
<1, 5-Ю5 сх= 0,47, при
= 0,22. Вообще Сд. для
шара сильно меняется не только при
изменении Re, но и турбулентности по-
тока (см. стр. 426).
Удлинённый эллипсоид с отноше-
нием осей 5 : 9 (первое число соответст-
вует направлению скорости) при Re > 105
имеет сх от 0,05 до 0,1 (.Re вычисляется
по диаметру, перпендикулярному к ско-
рости). С отношением осей 3 : 4 при
Re > 5,5- 105 сх =. 0,2 и при Re < 4,5- 10*
сх = 0,6.
Круглая пластина, поставленная
перпендикулярно потоку, имеет сх = 1,11.
Круговой цилиндр с осью, парал-
лельной v, имеет:
сх —о,91 0,85 °$1 °'99
и с осью, перпендикулярной v, имеет:
-j- =. i a 5 ю 40 оо
а
Сх = 0,63 о,68 0,74 °.8з 0,98 i,ao
Прямоугольная пластина, поставлен-
ная перпендикулярно к потоку, имеет:
i8
1Д5
Полушар штампованный, поставлен-
ный выпуклой частью навстречу напра-
влению скорости, имеет cv = 0,34 и во-
гнутой частью имеет сх — 1,33.
Корпус автомобиля легкового
открытого имеет сх = 0,42 ч- 0,46; лиму-
зина сх — 0.32 -ь 0,33; автобуса сх =
= 0,48 ч- 0,80; грузового сх= 1,1 т- 1,36.
Конус полнотелый с
углом 60* в сечении имеет
сх — 0,51 и с углом в 30°
сх = 0.34.
Профилированная про-
волока (сечение в виде фи-
гуры, изображённой на
фиг. 16, а) при 3-103<
< Ре < Ю4 имеет сх от 0,3
до 0,4.
Фасонная труба капле-
образной формы при Re^>
>5-104 с отношением раз-
меров сечения 1 :3 имеет
сх = 0,1, и с отношением
размеров 1:2 сх = 0 2.
Для иллюстрации влияния формы на лобо-
вое сопротивление на фиг. 77 изображены два
тела, обладающие одинаковым лобовым сопро-


428
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
(РАЗД.
тивлением (круглая плоская пластинка, поста-
вленная перпендикулярно потоку, и тело .ди-
рижабельной" формы).
КРЫЛО
Крыло вполне определяется своими эле-
ментарными аэродинамическими свойствами,
если известны cx=f(a), cy — f(a)ncm = f (a.),
М ..
где ст = ——г—, М — момент, относительно
переднего конца геометрической хорды, b —
величина геометрической хорды.
Уравнение связи. Подъёмная сила
является
ляции вокруг
машины", «Справочник", т. 12). Связь между
коэфициентом подъёмной силы и циркуляцией
определяется уравнением связи:
Г = ~cv bv.
Центр давления определяется вели-
X
чинои сд = — , где х—расстояние центра
давления от переднего конца геометрической
?
хорды. Величина с& = — при углах атаки,
Су
меньших 20°.
Качество крыла — отношение cv к сг
результатом существования цирку- / k = <у_ \ и обратное качество |* = ^-. Ухо-
Фуг крыла (см. .Гидравлические \ сх } к
0,04 0.08 0,12 0,16с
0,1 0,2 0,3 1.4 с
Фиг, 78.
роших крыльев вели-
чина k достигает 20 и
даже 25 для винтовых
профилей (при стандарт-
ном размахе \ = — = 5).
Аэродинамиче-
ская характери-
стика крыла обычно
изображается в виде гра-
фика сх, Су и ст = f (a),
либо в виде поляры Ли-
лиенталя первого рода,
которая представляет
собой график су — / (сх)
и CM = / (сх). Величины а
на этой кривой надпи-
сываются в отдельных
точках (фиг. 78). В США
изображают характери-
стику в виде графика
fx = t (Су) И с'т = t (Су),
где ст — коэфициент мо-
мента относительно точ-
ки геометрической хор-
ды, удалённой от конца
(переднего) на J/4 b.
Обычно эта точка близка
к фокусу крыла и по-
этому обладает постоян-
ной величиной ст в до-
статочно широких преде-
лах. Достоинством таких
диаграмм NACA, приня-
тых в США, является
изображение характери-
стик при различных зна-
чениях Re.
Для определения си-
ловых воздействий на
крыло при расчёте на
прочность определяют
подъёмную силу и ло-
бовое сопротивление,
отнесённое к связанным
осям (см. стр. 427) и со-
ответственный график
сп — / (ct) называется по-
лярой Лилиенталя вто-
рого рода, которая даёт
образное представление
действия вектора силы.


ГЛ. IV)
КРЫЛО
429
Ввиду того что сх и С( много меньше су
и сп, первые две обычно наносятся в масштабе
впятеро большем, нежели вторые.
Влияние формы на аэродинамические
характеристики весьма многообразно. Увели-
чение изогнутости крыла увеличивает подъём-
RffF-6
Момент инерции fog=0,047? L.h3
Координата ц.т.уе=0,4//?
ную силу (фиг. 78), увеличивая при этом и
лобовое сопротивление. При одинаковой изо-
гнутости увеличение толщины повышает мак-
симальное значение су, но и увеличивает сх
(фиг. 79). Влияние толщины симметричного
профиля на его характеристику дано на фиг. 80.
Центр давления для симметричных профилей
мало зависит от угла атаки. Шероховатость
значительно увеличивает сх и уменьшает су.
Особенно чувствительна верхняя часть крыла,
а на ней передняя кромка и средняя часть.
В гидромашиностроении предпочитают поль-
зоваться характеристиками дужек, пересчи-
танными для бесконечного размаха. В этом
случае качество может возрасти до 40 и даже
45. На фиг. 81 изображены подобные характе-
ристики серии RAF-6, широко используемой
при проектировании пропеллерных насосов и
турбин.
Увеличение Ва несколько увеличивает сх
и значительно уменьшает су. Уменьшение тем
более заметно, чем толще профиль (фиг. 82)
(Htitte, 26-е изд.). Влияние кривизны и тол-
щины профиля явствует из фиг. 78 (характе-
ристики профилей, Гёттинген № 448, 447 и 446),
фиг. 79 (Гёттинген № 451, 450 и 449) и фиг. 80
(Гёттинген 445, 409 и 410).
Крыло конечного размаха. Раз-
махом крыла (или относительным размахом) на-
зывают Х = —, где /—ширина крыла и & —
геометрическая хорда. В СССР принят стан-
дартный размах крыла А = 5. Поэтому резуль-
таты эксперимента даются либо для этого раз-
маха, либо пересчитанными на бесконечный
размах.
П-образные вихри сходят с крыла
конечного размаха. Расстояние между сходящи-
ми вихрями /j =; 1,04/. Сходящие вихри оказы-
вают влияние на поле скоростей около крыла
вертикальную составляющую vya =
= —- ' е, где е — коэфициент самоиндукции,
дают
Г
0.2
О 0,08 0.16 0,24 С
OJ04 0.12 0.20 0,28
О 0.08 0.16 0,24 032С, 0 0.08 0.16 0,24 0.32
0,0* 0,12 п?П 0.28 0.04 Q.I2 0.20 028
Фиг. 82.
равный 4. Результатом является уменьшение
действительного угла атаки, причём истинный
угол атаки а,- = а - Да, где а—кажущийся угол, а
Да= —^- или Да0 = 18,23 •—. Из-за уменьше-
TtA. А.
ния действительного угла атаки уменьшается
подъёмная сила.
сх и с_у крыла конечного размаха
должны отличаться от тех же величин крыла ко-
нечного размаха, потому что
подлежат нахождению коэ-
фициенты сил, отнесённые к
поточным осям, а П-образ-
ные вихри дают скос потока
Дз. Пользуясь соотношения-
ми предыдущего параграфа,
получим для малых значений
Да су = с'у и сх = схр 4-
-\-су Да = схр 4- cxi, где Су
ис — коэфициенты, заме-
ренные для крыла бесконеч-
ного размаха. Формально
увеличение лобового сопро-
тивления происходит за счёт
того, что cv даёт составляю-


430
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[РАЗД. 1
щую на вектор кажущейся скорости. Лобовое
сопротивление состоит из двух членов: про-
фильного сопротивления и индуктивного, коэфи-
вихрем, влияние которого учитывается по тео-
реме Био-Савара (см. стр. 390). В каждой
точке крыла скорости индукции различны.
В расчёт вводят среднее значение, определяе-
циент которого сх, = -^- ' На фиг. 78 даны по- мое из уравнениЯ: (vy)ep = \\vy dz, где / •
ляры для крыльев со стандартным раз-
махом, около которых дана парабола
индуктивного сопротивления сх,• = —~ = /(а),
разбивающая лобовое сопротивление на две
части: индуктивное и профильное. При пере-
ходе на другой размах будет другое cxf, ко-
торое легко подсчитать, и то же слр.
Пересчёт на новое X осуще-
ствляется по уравнениям:
х\
где индексы 1 и 2 относятся к соответствен-
ным удлинениям 1 и 2, а г и 8 — поправоч-
ные коэфициенты, по Глауэрту, для прямоуголь-
ного крыла:
X = 5 6
т = 0,165 0,175
S = 0,045 о,о5°
8 9 ю
о»22 °>24 0,25
°i°75 о,о8о 0,085
По первому уравнению исправляют угол, а
по второму — величину сх. Поправочные коэфи-
циенты в пересчётных уравнениях Да = m -~
А
и с^/='я-у-зависят от формы крыла в плане.
Так, для эллиптических крыльев т = л = 0,318,
для трапециевидных те же значения. Для пря-
моугольных крыльев при А = 5-н8 т — 0,375
и п — 0,335. Для крыла со скруглёнными кон-
цами т = 0,368 и п — 0,318. Для крыла со
скошенными концами т = 0,338 и п = 0,318,
Для ромбовидного крыла m = п — 0,303.
Пересчёт (на диаграмму NACA) в США
производится с X = 6 (стандартный размах)
для прямоугольного крыла на X = со. Резуль-
тат пересчёта на X = со исправляется следую-
щими уравнениями: c_j,max = 1,03 c'max, а{ —
= 0,96 а.'., «0 = ад 4- 0.39 с'у и схр = с'хр 4-
4- 0,0016 с'* — 1/8(с — 6) -0,002, где индекс (') от-
носится к результатам пересчёта, а сутял,а{, а0
и схр — величины, считающиеся достовер-
ными (то, что наносится на результирующий
график), с — максимальная толщина профиля
в процентах от хорды, <*0 — угол нулевой
подъёмной силы в градусах.
ПОЛИПЛАНЫ (по Бетцу)
Крыло за счёт собственной циркуляции и
сходящих вихрей создаёт скорости индукции
(влияния) для каждого крыла, находящегося
в этом же потоке. Для учёта скоростей индук-
ции каждое крыло заменяется П-образным
размах крыла. По принципу независимости
действия вихрей у крыла п будет создана
скорость индукции
= v
yn\
4
Первый индекс указывает, у какого крыла
рассматривается влияние, и второй индекс —
от какого крыла. Скорость потока
и Да = —
Коэфициент индуктивного сопротивления от
самоиндукции будет:
== с
уп
и коэфициенты индуктивного сопротивления
будут:
схп\ — cvn &апЪ Схп2 — суп ^а«2 » • • • »
углы скоса:
горизонтальные составляющие скоростей
индукции:
Ch <?t
ут vm um
По этим уравнениям можно подсчитать влия-
ние всех крыльев на заданное и затем можно
заменить коробку крыльев эквивалентным
крылом.
Простейший биплан— два крыла
одинакового размаха / на расстоянии ft друг
от друга без выноса одного из крыльев. Ко-
эфициенты самоиндукции еи = е22 = 4 (это
равенство всегда справедливо вне зависимости
от индексов). Коэфлциент взаимоиндукции:
Коэфициент горизонтальной индукции:
ПОДВОДНОЕ КРЫЛО
Подводное крыло даёт большую подъёмную
силу по сравнению с глиссирующей пластиной
за счёт разрежения над крылом. По опытам


ГЛ. IV]
ПОДВОДНОЕ КРЫЛО
Владимирова в ЦАГИ, величина подъёмной силы существенно
зависит от глубины погружения профиля (фиг. 83, а и б).
С увеличением угла атаки оптимальная глубина увели-
50 100
Погружение h мм
6)
150
24 6 8 Ю 12 М 16
Чгоп о та Ни а°
О 50 ЮО
Погружение л
2.0
чивается. С увеличением погружения лобовое сопротивле-
ние растёт медленнее подъёмной силы, в связи с этим ка-
чество крыла мало меняется с глубиной (фиг. 83, в). Однако
опасность кавитации для таких
крыльев реальна.
Оценивают кавитационные
свойства крыла числом
где PQ — статическое давление.
Pd—давление водяных паров»
На фиг. 83, г дан результат
испытания подъёмной силы
крыла № 398 на кавитацию по
данным Мартирера.
Предельные значения А (по
данным Харьковского машино-
строительного института) для
тонких профилей сегментного
и авиационного типов, при ко-
тором можно ещё использовать
крыло, примерно 0,6, что
соответствует скорости v =
= 67 км!час. При *> = 85 — 90
км/час качество падает вдвое,
что и является пределом
использования подводных
крыльев.
Следует отметить, что
каждое подводное крыло перед
его применением нуждается в
предварительном испытании
как в опытовом бассейне,
так и на кавитацию из-за
отсутствия проверенных мате-
риалов.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. А л е к с а н д р о в В. Л., Техническая гидродинамика,
М. 1936. '
2. Б а х м е т ь е в Б. А., О неравномерном движении
жидкости в открытом русле. Изд. Кубуч, 1928.
3. Г о л у б е в В. В., Теория крыла аэроплана в плоско-
параллельном потоке, М. 1938.
4. И в а н о в Л. Е., „Труды ГЭИ" вып. I. 1923.
6. К р и г е р и Д ж е с т и н, Гидроэлектрический спра-
вочник, ОНТИ, 1934. F
6. /1 е и б е н з о н Л. С., Гидравлика, М. 1932.
7. Л е и б е н з о н Л. С., Руководство по нефтепромыс-
ловой механике, ч. 1, М. 1931.
8. Н е к р а с о в Б. Б., О соотношении скоростей и ко-
эфициенте Кориолиса при турбулентном течении в тру-
бах. «Труды Военно воздушной ордена Ленина акаде-
мии Красной Армии", № 104, 1944.
9. О т т А. А., Гидравлика, ОНТИ, 1937.
10. Павловский Н. Н., Гидравлический справочник,
11. Правила № 169, Главное управление мер и весов, М.
1938 и „Руководящие указания к правилам № 169".
12. Прандтль—Гитьенс, Гидро- и аэромеханика,
т. II, ОНТИ, 1935.
13. Прокофьев В. Н., Влияние коэфициента Корио-
лиса на к. п. д. и силу тяги ракеты, „Реактивное дви-
жение", 1936.
14. П р о к о ф ь е в В. Н., Возможность применения ко-
лен в качестве водомеров, „Точная индустрия" №11,
1940.
15. Прокофьев В. Н., Динамический к. п. д. реак-
тивных аппаратов, „Известия Артиллерийской академии
Красной Армии", т. 32, 1941.
16. П р о к о ф ь е в В. Н., Исследование рабочего про-
цесса насоса с наклонной шайбой, обладающего бес-
конечно длинными шатунами (диссертация, библиотека
МВТУ), 19Ю.
17. П р о к о ф ь е в В. Н., К расчёту маслопроьодов
машин, „Вестник машиностроения" № 6—7, 1945.
18. П р о к о ф ь е в В. Н., О вязкости смазочных масел
и жидкостей, применяемых в машинах и гидросистемах,
„Вестник машиностроения" № 3—4, 1944.
19. П р о к о ф ь е в В. Н., О коэфициентах полезного
действия воздушнореактивного двигателя и ракеты,
„Реактивное движение" № 2, 1936.
20. П р о к о ф ь е в В. Н., О равномерности возврат-
но-поступательного движения, осуществляемого с по-
мощью гидроцилиндров, МВТУ, 1945.
21. П р о с к у р а Г. Ф., Гидравлика турбомашин, М.
1934.
22. Р и х т е р Г., Гидродинамика трубопроводов, М. 1936.
23. Ф и л о н о в П. А., Движение нефти по трубам, М,
1932. J
24. Ф о р х г е и м е р Ф., Гидравлика, ОНТИ, 1945.
25. X ю г т е (Hiitte), Справочник, ОНТИ, 1935, т. I
(изд. 15).
26. Черкасов, Гидротехника, изд. .Новый агроном",
1929—1930.
27. Ш и л л е р Л.. Движение жидкости в трубах, М. 1936.
28. Юрьев Б. Н., Экспериментальная аэродинамика, ч 1
М. 1939.
29. В е с k е г U., Q r a n z, Artiller. Monatshefte, 1912
№ 69, 70.
30 Q г a a z, Lehrbuch der Ballistick, Bd. 1, Berlin
1915.
31. N i ku r a ds e, Gesetzmassigkeiten der turbulenten strd-
mung in glatten kohren, VDI-Forsch., Heft №356, 1942,
32. S t о d о 1 a A., Dampf- und Gasturbinen, Berlin 1904.


Глава V
ТЕПЛОТА
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
Кинетическая теория материи
Молекулярно-кинетические представления
встречаются уже в древности (Демокрит, Лев-
кипп — V в. до нашей эры). В XVIII в. Даниил
Бернулли и М. В. Ломоносов в своих высказы-
ваниях дают уже количественные оценки явле-
ниям. Основоположники современной кинети-
ческой теории материи — Р. Клаузиус A822 —
1888 гг.), Дж. К. Максвелл A831 — 1879 гг.),
Л. Больтцман A844— 1906 гг.).
Кинетическая теория материи исходит из
представлений о молекулярном строении мате-
рии, исследует их с точки зрения законов
механики, статистики, теории вероятности.
Наиболее разработанной является кинетиче-
ская теория газов; экспериментальные исследо-
вания последних лет позволили измерить раз-
меры атомов, изучить их траектории.
Основные положения кинетической тео-
рии газов. По отношению к идеальному газу
принимают следующие допущения:
1. Молекулы газа находятся друг от друга
на таких расстояниях, что сравнительно с ними
можно пренебречь собственным объёмом моле-
кул и считать их точками, обладающими опре-
делённой массой (материальные точки).
2. Между молекулами нет сил притяжения
и отталкивания, они ведут себя, как абсолют-
но упругие шары в пустоте.
3. Скорости молекул по абсолютной вели-
чине могут быть самыми разнообразными,
теоретически от 0 до оо; каждому состоянию
газа, отвечающему определённой температуре,
соответствует постоянная средняя скорость
молекул.
При скорости отдельных молекул сг, с2, . . .,
CN и числе их N средняя арифметическая ско-
рость
N
если скоростью с} обладают л, молекул, скоро-
стью Су — л2 молекул..., скоростью ск — пк
молекул, причём /zj -(г п2 + . . . + пл = N, то
N N
ибо а обычных условиях л,- можно считать
«бесконечно малым по отношению к N.
Средняя квадратичная скорость Q находит-
ся из выражения
оо
у $c'-dN
02 _ Lnici _ о___(см. табл. 1).
У — ~~N~— N
Таблица 1
Средние квадратичные скорости молекул газов
в м!сек при температурах Tagc
Газ
н,
N,
0,
100°
II 12
2q8
279
273,2°
1838
493
461
1273,2°
3968
1064
996-
Газ
СХ
соа
Н?
(пары)
100°
i87
—
273,2°
ЗЮ
39Э
180
1273,2°
669
Основное уравнение кинетической тео-
рии. Кинетическая теория отождествляет да- .
вление (упругость) газа р с действием на еди-
ницу площади силы, секундный импульс кото-
рой равен сумме импульсов, создаваемых за
тот же промежуток времени разрозненными
по времени ударами молекул:
где F — сила, действующая на площадь о; t = I;
т — продолжительность воздействия силы/ при
ударе молекулы о поверхность.
Основное уравнение кинетической теории
1
где v — объём газа; т—масса молекулы.
Следствия из основного уравнения кине-
тической теории.
1. На основании предпосылки о постоян-
стве средней скорости молекул при неизмен-
ной температуре из основного уравнения полу-
чаем:
pv =• const,
закон Бойля-Мариотта — связь между объёмом
и давлением газа в условиях неизменности
температуры.


ГЛ. V]
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
433
2. Сопоставление условий
pv — -г- Ntn ?2,
pv — const и уравнения Клапейрона pv---RT
(с отнесением этих уравнений к молю) даёт
Т — __-_
1 ~
3R
где 1 =
внутренняя кинетическая
энергия газа, определяющая Т.
3. Для идеального газа внутренняя энер-
гия не зависит от объёма — закон Джоуля.
4. При данной температуре для двух газов
будем иметь ]г — /2, откуда
тепловое ы механическое равновесие как след-
ствие отсутствия изменения средних кинети-
ческих энергий молекул
/1 -. 1
( -^- /njQ, = -^-
\ ^ *•
пг2 Щ
даёт, что при одинаковых температуре и да-
влении NI = /V2 — закон Авогадро, равенство
чисел молекул разных газов в равных объёмах
при одинаковых р и Т.
Число столкновений молекул и средний
свободный пробег. Столкновения молекул,
при которых они ведут себя, как упругие
шары, делают траекторию молекулы ломаной,
зигзагообразной линией. Прямолинейные от-
резки пути от столкновения до столкновения —
свободные пробеги; длина их весьма разно-
образна, но средняя величина их для некото-
рой температуры и давления, определяемая
по большому числу молекул, постоянна.
При движении молекул по всем направле-
ниям
_ СО _ 1 1 1т
= ~ = j7r
где /—средний свободный пробег; w— сред-
няя скорость молекул; v — число столкновений
в единицу времени; /Vj — число молекул в еди-
нице объёма; mud — масса и диаметр моле-
кул; р = N^-m — плотность газа.
Число столкновений в единицу времени
одной, молекулы
•-;-•"•
Таблица 2
Молекулярные данные для некоторых газов [6]
Газ
Н3
О2
N.J
со
NO
СОо
N26
SO3
Н2О
Диаметр
молекулы
в см
8
2,17 ' 10
2,71 • ю
2,95 • ю—
8
2,74 • ю
_ 8
8
2,90 • ю
_ 8
3,33 • Ю
—
2,27 ' 1О
Скорость
в см/сек
пр
183 8оо
46 IOO
49 3°°
49300
47 7°°
393°°
393°о
32 6оО
61 500
Средний
свободный
пробег в см
и 0° и 1 an
17,8 • о~ в
е
Ю,2 • О
__ 0
9'5 ' °
9,5 • °~в
о
9-4 • о
6,5- г.-"
8
6,5 • о
_ в
4,7-о
7,2 • О™
Число
столкнове-
ний в 1 сек.
в 1 см3
1
ю 33° • о"
4 520 • о°
5 193 • о6
5 19Э • о6
5 070 - о"
6 050 • о"
6 050 • о"
6 94° • 10°
8 54° • 1ов
Полное число столкновений всех молекул
г = j/T~.nd2u).A/i* (см. табл. 2).
Закон распределения скоростей Макс-
велла. По Максвеллу закон распределения
скоростей молекул может быть определён из
тех же предпосылок, какие применяются в ста-
тистике для подсчёта ошибки опыта.
По Гауссу функция вероятности ошибки
здесь у — число ошибок; х — величина оши-
бок; а и Л — постоянные величины.
Число молекул, обладающих скоростями
между с и c-{-dc, пропорционально числу
молекул N, объёму dv и функции вероятности
4
'•' "з1 '
(С
здесь — тг (с +-
о
-. -к с3 = 4 -л: • c-dc = du
объём, равный разности объёмов концентри-
ческих сфер, описанных радиусами с 4- Aс и с;
dN—число молекул со скоростями в пределах
с и c-\-dc, концы векторов которых попадают
в указанный объём.
Исследование уравнения даёт, что а — ——-
1 *
и Л5 = —, где а — скорость, которой обладает
в данных условиях наибольшее число молекул,
так называемая наиболее вероятная скорость
молекул; откуда
...
t/N =
• dc;
dN
——
Ndc
-,то^=™-
N
доля общего числа молекул, приходящаяся на
молекулы со ско-
ростями между с
ис-f dc (см. фиг. 1,
кривую распреде-
ления скоростей
по Максвеллу и о
табл. 3).
У
Фиг. 1.
Таблица 3
Распределение молекул по скорости [6]
а = 1, dc = 1,
с
0,1
0,2
о-5
о,9
1,0
1,1
i,5
2,0
3,°
1 dN
N ' dc
0,0223
0,0867
о,4394
0,8132
0,8302
0,8143
с.5359
9,1654
0,0025
dN
— .1000
2,2
8,7
43,9
81,3
83,0
81,4
53,6
16,5
о.З
Пределы
скоростей
О,1 — О,2
0,2—0,3
0,5—0,6
0,9—г.о
1,0—1,1
1,1 — 1,2
1,5—1.6
2,0 — 2,1
3,0-3-1
28 Том 3, кн. I


434
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
Соотношения между скоростями сред-
ней арифметической, средней квадратичной
и наиболее вероятной.
Средняя арифметическая скорость:
а ~ J
О
= ~ . о = 1,128о.
Средняя квадратичная скорость:
Q2 =
— 4 Г 4 ~^
a8 ^S" J
6
Q=l/"i.a= 1,2247 а.
Г 2
Таким образом а < ш <[ 2.
3 2
Из условия Q2 = й- а2 имеем а2 = g ^2; де-
лая подстановку б2 из уравнения pv —
1
srs-./Vj-m-B2, отнесённого к молю, получаем:
о
Т 2kT
где k = -rr- — константа Больцмана.
/Vi
Выражение для числа молекул, обладающих
скоростями между с и с -{- dc (закон распре-
деления), имеет вид:
dN=-
/ 2*Гу/1 л_
Ьг) "-
dc.
Число молекул N , скорости которых пре-
С0
вышают значение CQ, будет:
оо тс1
4N
N =
« rl^Tv-
т /
со
= J^f ха.в -*'.
4/лс2
</дг, где л:2— _ и
о~ ЛГ ft.Nrr RT*
г?ричём Е — кинетическая энергия моля, отве-
чающая скорости молекул с0.
Интегрирование по частям даёт:
для решения необходимы табличные значения
интеграла —^=
dx для различных д:0-
о
В физической химии при
-, пре-
вышающем 30, с достаточной степенью при-
ближения принимают:
2N
„
8х;
.5*"
О
Если рассматривать распределение ско-
ростей в двух измерениях вместо трёх, полу-
чается простое выражение. Получаемый так
закон распределения даёт численные резуль-
таты, не сильно отличные от результатов трёх-
мерного распределения, и его иногда исполь-
зуют для расчётных целей.
Если молекулы имеют компоненты скорости
между и и и -f- du и v и v -f- dv, u2 + f2 = c2,
то общее число молекул со скоростями между
с и с + dc будет:
2N --f
N --§т
где оB =
Or тр
Е-
NI
причём
Е—кинетическая энергия моля.
Число молекул, энергия моля которых пре-
вышает заданную величину ?,
_ Е_
\!_ __ А7. а RT
Единицы теплоты
По принципу эквивалентности различных
видов энергии теплота может измеряться еди-
ницами энергии и работы. Наряду с этим за
единицу количества теплоты принимают кало-
рию. Калория — количество теплоты, необхо-
димое для нагревания единицы массы воды при
определённых условиях на один градус сто-
градусной шкалы. Фригория — единица количе-
ства холода, равная калории, взятой со знаком
минус. Нагревание предполагается при нормаль-
ном давлении; в зависимости от интервала
температур различают нулевую калорию —
нагревание от 0 до 1° С; пятнадцатиградусную
калорию — нагревание от 14,5 до 15,5° С; сред-
няя калория определяется как сотая часть
количества теплоты, необходимой для нагре-
вания от 0 до 100° С.
Примерное соотношение между указанными
калориями 1 :0,995 :1.
По ОСТ 349 за нормальную температуру
должна приниматься температура-(-20° С. Два-
дцатиградусная калория отвечает нагреву от
19,5 до 20,5° С.
В зависимости от единицы массы A г или
1 кг воды) рассматривают граммкалорию (ма-
лую) или килограммкалорию (б'ольшуто).


ГЛ. V]
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
435
ост
Выписка из j 6259
ВКО
Наименования
Температура
Градус (ме-
ждународный)
Количество
теплоты
Килоджоуль
Джоуль
Мегаджоуль
Килокалория
(большая кало-
рия)
Калория (малая
калория)
Сокраи
обозна
латин-
скими
бук-
вами
°С
grad *
k J
J
MJ
kcal
cal
ённые
чения
рус-
скими
бук-
вами
°С
град.
кдж
дж
мгдж
ккал
кал
Определения
Одна сотая темпера-
турного промежутка
между точками 0° и
100° международной
температурной шкалы,
устанавливаемой со-
гласно положению о
ней, принятому VII
генеральной конфе-
ренцией по мерам и
весам в 1927 г.
Единица энергии в
абсолютной системе
единиц MTS (ОСТ
6053), равная 1010 эр-
гам.
Одна тысячная кило-
джоуля A07 эргов).
Одна тысяча кило-
джоулей A013 эргов).
4,182 килоджоуля.
Килокалория практи-
чески (с точностью до
0,02;1/„) равна количе-
ству теплоты, потреб-
ному для нагревания
массы воды в один
килограмм от 19,5° С
до 20,5° С при нор-
мальном атмосферном
давлении (приложе-
ние).
Одна тысячная кило-
калории D,1821).
* Обозначение „°С" ставится после числовых вели-
чин, в остальных случаях применяется обозначение „grad"
или „град".
Соотношения между килокалориями. Ки-
локалория, установленная международной кон-
ференцией по таблицам пара в Лондоне в 1929 г.,
подтверждённая международной энергетической
конференцией в Берлине в 1930 г. и условно
называемая электрической, определяется как
]/860 международного киловатт-часа. Она соста-
вляет 1,0013 килокалории, установленной на-
стоящим ОСТ.
Килокалория A9,5 — 20,5° С) = 4,182 kj =
= 426,4 kGm = -57Г,—г- kWh (международного).
ool,l
Килокалория электрическая — 4,1875 kJ =
= 427 kGm = 5^ kWh (международного),
out)
В английской системе мер за единицу те-
плоты принимается британская тепловая еди-
ница— количество, необходимое для нагрева-
ния 1 фунта (англ.) воды на 1° Фаренгейта
British Thermal Unit (BTU);
1 BTU = 0,252 ккал.
Температура
Однозначная функция состояния тела, тем-
пература, широко используется как параметр
этого состояния. Элементарное представление
о температуре базируется на повседневном
опыте и ощущениях различной нагретости тел;
под температурой понимают степень нагретости
тела; точное представление даётся термодина-
мической шкалой. По кинетической теории
газов температура определяется внутренней
кинетической энергией (J) газа Т= Q • J (см.
о/с
кинетическую теорию материи).
Для определения температуры используются
приборы, шкалы которых наносятся, исходя из
изменения под влиянием температуры некото-
рых физических величин и свойств тел. На
шкале вначале наносятся исходные определяю-
щие точки, реперы, отвечающие практически
достаточно воспроизводимым устойчивым тепло-
вым состояниям. Для нанесения репер могут
быть использованы происходящие под влиянием
перехода от одного теплового состояния к
другому изменения объёма, давления, поверх-
ности, плотности, электрического сопротивле-
ния, электродвижущей силы и т. д. Тепловые
состояния, определяющие реперы, обычно
таянье льда @° С) и кипение воды A00° С) при
внешнем давлении 760 мм рт. ст.; для других
репер достаточно стабильны и применимы
состояния, приведённые ниже (по водородной
шкале) [8]:
Плавление кадмия Cd ............. 3!х>>9° С
цинка Zn .............. 419>4° С
сурьмы Sb ............. 630° С
серебра Ag ............. 960,5° С
золота Аи ............. 1063° С
меди Си .............. 1о8з° С
палладия Pd ............ 1557° С
платины Pt ............. 1764° С
ртути Hg ............... 38,89° С
Кипение (сублимация) углекислоты СОа:
t = —78,52 4- 0,01595 (р — 760) —
— 0,000011 (/7 — 760J.
Кипение (сублимация) кисло- где р в мм
рода О2: - рт. ст.
t = — 183,0 + 0,01258 (р — 760) —
— 0,0000079 (р — 760J,
Назначив двум нанесённым на шкале репе-
рам температурные значения, получают воз-
можность интерполировать шкалу между репе-
рами, исходя из предположения, что изменения
свойства вещества, используемого в приборе,
пропорциональны изменениям температуры.
Прибор, использующий другие свойства веще-
ства или то же свойство, но при другом веще-
стве, будет давать совпадение только реперных
точек.
Шкала водородного термометра, построен-
ная по изменениям давления водорода при не-
изменном объёме, может с большим приближе-
нием приниматься тождественной с абсолютной
шкалой Кельвина A848 г.), не зависящей от при-
роды тела.
Международная температурная шкала —
ОСТ КПГЛ
CM.-=rf--^-oy54; ниже дается выписка из него.
r$KL
А. Определение
1. Международная температурная
шкала, принятая VIII генеральной кон-
ференцией по мерам и весам в 1933 г.,
является практическим осуществлением
термодинамической стоградусной темпе-
ратурной шкалы, у которой температура
плавления льда и температура кипения


ТЕПЛОТА
(РАЗД. 1
воды при нормальном атмосферном да-
влении обозначены соответственно через
0° и 100°.
Примечание. Нормальное давление рав-
но давлению ртутного столба в 760 мм высоты
на его горизонтальное основание при плотности
ртути 13,5951 g/cm3 и при нормальном ускорении
/ ОСТ \
свободного падения 980,665 cm/sec2 5859 .
^ БКС* '
2. Международная температурная
шкала основывается на системе посто-
янных точно воспроизводимых темпера-
тур равновесия (постоянных точек), ко-
торым присвоены числовые значения.
Для определения промежуточных темпе-
ратур служат интерполяционные прибо-
ры, градуированные по этим постоянным
точкам.
Б. Обозначение
3. Температуры, измеряемые по между-
народной шкале, обозначаются знаком
°С (например 960,5° С).
В. Основные постоянные
точки международной темпе-
ра турной шкалы
4. Основные постоянные точки и при-
своенные им числовые значения при нор-
мальном атмосферном давлении, равно
как и формулы, представляющие темпе-
ратуру tp как функцию давления пара р,
приведены в табл. 4.
Таблица 4
Основные постоянные точки международной
__ температурной шкалы______
а) Температура равновесия ме-
жду жидким и газообразным ки-
слородом при нормальном атмо-
сферном давлении (точка кипения
кислорода):
tp = t™ + 0-0126 (р - 760) -
— 0,0000065 (р — 760J.
б) Температура равновесия ме-
жду льдом и насыщенной возду-
хом водой при нормальном атмо-
сферном давлении (точка плавле-
ния льда).
. в) Температура равновесия ме-
жду жидкой водой и её паром
при нормальном атмосферном да-
влении (точка кипения воды)
/ = tlm + 0,0367 (р - 760) -
— 0,000023 (р — 760J.
г) Температура равновесия ме-
жду жидкой серой и её паром при
нормальном атмосферном давле-
нии (точка кипения серы)
tp = >7<ю + 0,С909 (р - 760) -
— 0,000048 (р — 760)"
д) Температура равновесия ме-
жду твёрдым и жидким серебром
при нормальном атмосферном да-
влении (точка затвердевания се-
ребра).
е) Температура равновесия ме-
жду твёрдым и жидким золотом
при нормальном атмосферном да-
влении (точка затвердевания зо-
лота)
— 182,97
100,000°
444 .бо°
1063,0°
Г. Области интерполяции
5. Для целей интерполяции темпера-
турная шкала подразделяется на четыре
области:
а) От точки плавления льда до 660° С
температура t выводится из сопротивле-
ния Rt эталонного платинового термо-
метра сопротивления при помощи фор-
мулы:
(О
Постоянные /?0, А и В определяются
путём наблюдений в точке плавления
льда и в точках кипения воды и серы.
б) От — 190° С до точки плавления
льда температура выводится из сопро-'
тивления Rf эталонного платинового тер-
мометра сопротивления при помощи фор-
мулы:
~ 100)
B)
Постоянные /?0, А и В определяются, .
как указано выше, по формуле A), а до-
полнительная постоянная С получается
по формуле B) из наблюдений в точке
кипения кислорода.
Чистота и физические свойства пла-
тины, из которой изготовляется термо-
метр, должны быть таковы, чтобы отно-
шение —р— не было меньше 1,390 для
t = 100° С° и 2,645 для t — 444,60° С.
У эталонного термометра при упо-
треблении его ниже 0° С, кроме того, от-
ношение -Q— должно быть меньше
0,250 для t = — 183° С.
в) От 660° С до точки затвердевания
золота температура ^ выводится из элек-
тродвижущей силы е эталонной платина-
платинородиевой термопары, один спай
которой удерживается при постоянной
температуре в 0° С, а другой подвер-
гается действию температуры t, опреде-
ляемой формулой:
е = a -f- Ы + сР.
C)
Постоянные a, b и с определяют, под-
вергая термопару действию температур
в точках затвердевания сурьмы, серебра
и золота.
По имечание. Температура затвердева-
ния образца сурьмы, применяемого для градуи-
ровки, устанавливается особо при помощи эта-
лонного платинового термометра сопротивления.
г) Выше точки затвердевания золота
температура t определяется отношением
силы света J2 видимых монохроматиче-
ских лучей длины волны А, испускаемых
чёрным телом при температуре t, к силе
света Jj лучей той же длины волны,
испускаемых чёрным телом при темпе-
ратуре плавления золота.
Формула
1
1
In Л ~ A" V1336 / +- 273 /
D)
в которой величина С2, равная 1,432
.см/град, служит для определения t,
когда (f-f-273) А меньше 0,3 см/град.


ГЛ. V]
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
437
Шкала Цельсия практически не отличается
от международной стоградусной шкалы. Граду-
сы Фаренгейта (F) и Реомюра (R) связаны с гра-
дусами стоградусной шкалы соотношениями:
°F; 1°F = -
9
Если t{° С, /?2° R, ts°F определяют одно и.то
же тепловое состояние, то
= 4^2°R + 32;
Нуль на шкале'Фаренгейта смещён в сто-
рону понижения температур на 32° F от состо-
яния таянья льда; шкала между состояниями
таянья льда C2°F) и кипения воды B12°F)
делится на 180 частей. У Реомюра таянье
льда 0° R, кипение воды 80° R.
32)
(см. табл. 5).
Абсолютная температура Т°абс, или °К
(Кельвин), отсчитывается от нуля, называемо-
Таблица 5
Сравнение градусов Цельсия и Фаренгейта
1 c i
ГТГ1
— о
— 8
— 7
— 6
-5
— 4
— з
— 2
— I
— IO
— P
— 8
32
— 5
— 4
— 3
— i
0
I
2
3
4
,
6
7
8
9
10
ii
1 12
13
Ч
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
'
-4,0
— 2,2
—0,4
+1,4
З,2
5,0
6,8
8,6
10,4
12,2
14,0
15,8
17,6
19,4
21,2
23,0
24,8
26,6
28,4
30,2
32,0
33,8
35,6
37,4
39,2
4i,o
42,8
44,6
46,4
48,2
50,0
Si,8
53,6
55,4
57,2
5°,°
60,8
62,6
64,4
66,2
68,0
69,8
71,0
73,4
75,2
77,0
78,8
80,6
82,4
84,2 ;
I
с
±3°
3i
32
33
34
52
36
37
38
39
4o
4i
42
43
44
45
46
47
48
49
5о
5i
52
53
54
ээ
56
57
58
59
6о
6i
02
63
64
65
66
6/
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
F
+86,0
87,8
89,6
91,4
93,2
95,о
. 06,8
98,6
100,4
102,2
IO4,O
105,8
107,6
109,4
111,2
,о
114,8
116,6
118,4
120,2
I22.O
123,8
125,6
127,4
129,2
131,0
132,8
134,6
136,4
138,2
140,0
141,8
143,6
45.4
147-2
149,0 !
150,8
152,6
154,4
Ч6»2
158,0
'59,8
161,6
163,4
165,2
167,0
168,8
170,6
172,4
174,2
С
+8o
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
9*
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
IO2
103
104
105
106
107
108
109
no
III
112
ИЗ
114
H5
116
117
118
119
I2O
121
122
123
124
125
126
I27
128
129
F
+ 176,0
177,8
i79,6
181,4
183,2
185,0
186,8
188,6
190,4
192,2
i94,o
195,8
197,6
199,4
201,2
203,0
204,8
206,6
208,4
2IO,2
212,2
213,8
215,6
217,4
219,2
221,0
222,8
224,6
226,4
228,2
230,0
231,8
233,6
235,4
237,2
239,0
240,8
242,6
244,4
246,2
248,0
249,8
251,6
253,4
255-2
257,0
258,8
260,6
262,4
264,2
С
: +130
i 131
| 132
133
134
I3J
136
137
138
139
!
j 140
| 141
| 142
i 143
i 144
1
! 145
i 146
i 147
148
149
150
151
152
'53
154
15Й
156
157
158
i59
i6o
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
I72
176
J77
178
*7S»
F
+266,0
±'2
269,6
271,4
273,2
275,o
276,8
278,6
280,4
282,2
284,0
285,8
287,6
289,4
291,2
293,o
294,8
296,6
298,4
300,2
302,0
303,8
305,6
307,4
309,2
31 1,°
312,8
314,6
316,4
318,2 (
320,0 I
321,8 :
323,6 i
325,4 1
327,2
329,0
330,8
332,6
334,4
336,2
338,o j
339,8 |
34i,6
343,4
345,2
347,0
348,8
350,6
352,4
354,2
С
+ i8o
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
210
220
, 230
240
250
200
270
280
200
300
310
320
330
34<?
32?
360
37°
38o
39°
400
410
420
430
440
45°
460
470
480
49°
F
+356,o
357,8
359,6
361,4
363,2
365,0
366,8
368,6
370,4
З?2-2
374,0
375,8
377,6
379,4
381,2
383,0
384,8
386,6
388,4
390,2
392
410
428
446
464
482
5oo
5i8
536
554
572
59°
608
626
644
662
680
698
716
734
752
770
788
806
824
842
860
878
896
914
С
+5°°
?5°
600
650
700
750
800
850
900
95o
IOOO
1050
1 100
1150
1200
1250
1300
135°
I40O
1450
1500
1550
1600
1650
1700
1750
1800
1850
1900
195°
2000
205O
2100
2150
2200
.2250
2300
2350
24OO
2450
2500
2550
26ОО
2650
2700
2750
2800
2850 i
2000 j
2950
i
i
F •
+932
1022
III2
1202
1292
1382
i H72
j 1562
1652
1742
1832
1922
2012
2103
2192
2282
2372
2462
2552
2642
2732
2822
2912
3002
3092
3182
3272
3362
3452
3542
3^32
3722
3812
3902
3992
4082
4172
4262
4352
4442
4532
4622
4712
4802
4892
4982
50/2
5162
5252
5342


438
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
го абсолютным, смещённого на 273,15" С в сто-
рону убывания температуры; в технических
расчётах обычно принимают Т — ^° C-j-273 или
5
Т~ -д- ^3° F + 255,2, абсолютная температура
д
в градусах Фаренгейта Гф =-F-Г = ?j ° F -(-
+ 459,4.
Теплоёмкость
Под теплоёмкостью понимают отношение
количества теплоты, поглощённого системой
в каком-либо процессе, к соответствующему
повышению температуры.
Истинная теплоёмкость — тепло-
ёмкость системы, определяемая при условии,
что изменение температуры исчезающе мало:
с —
dQ
dt
где dQ — сообщённая теплота; dt—исчезающе
малое повышение температуры (для установле-
ния требуется указание характера процесса,
температуры, давления, при которых опреде-
ляется истинная теплоёмкость).
Средняя теплоёмкость — теплоём-
кость системы, определяемая при условии по-
вышения температуры на конечную величину:
Q
1
"'-
началь-
где Q — сообщённая теплота; ^ и
ная и конечная температуры.
Для установления средней теплоёмкости не-
обходимо указание характера процесса, началь-
ной и. конечной температур, давления.
Удельная теплоёмкость ! истин-
ккал
ная с ————— или средняя с
ккал
-те-
-, AI.VJ.IJ, vsLjvr/j,!!'!'* ^т л I
кг-град ^ т кг-град )
плоёмкость единицы массы вещества.
Атомная теплоёмкость — теплоём-
кость грамматома химического элемента, рав-
ная удельной теплоёмкости, умноженной
на атомный вес.
Мольная теплоёмкость — теплоём-
кость моля вещества, равная удельной тепло-
ёмкости, умноженной на молекулярный вес
/ ккал \
{ истинная ис, средняя и.ст —————————^ *
\ Г ^ ^ т кг • моль • град,]
Объёмная теплоёмко?ть — тепло-
ёмкость единицы объёма газа с, равная с =
= c-f, где f — удельный вес газа при тех усло-
виях, для которых известно значение с и вы-
числяется с. Чаще в теплотехнических расчё-
тах находят с по выражению
ю — ' 1« — 22Д '
где с или ?л с берётся при тех условиях, для
и.
которых находится с; f0° с,7бо = 7н — "отТ УДель'
ный вес при нормальных @° С, 760 мм рт. ст.)
условиях. Разница представлений в следую-
щем: в первом случае объёмная теплоём-
кость определяется по отношению к массе
газа, заключающейся в единице объёма при
тех условиях, для которых нужно найти с
(масса переменна, зависит от р и t); во вто-
ром — объёмную теплоёмкость условно отно-
сят к заключающейся в единице объёма при
0° С и 760 мм рт. ст. постоянной массе газа.
г, - ккал
В первом случае размерность с— —g——^.
ккал
во втором — ——s———-,-
^ нмэ • град
Изохорная теплоёмкость — те-
плоёмкость системы, определённая при усло-
вии неизменности объёма; может быть истин-
ной или средней, притом удельной, мольной,
объёмной; обозначения: cv, pcv, cv, cVtm, \>-cv,m,
cv,m-
Изобарная теплоёмкость системы,
определённая при постоянном давлении, мо-
жет быть истинной или средней, притом удель-
ной, мольной, объёмной; обозначения: ср, \>.ср,
СР* ср,т* №р,т' ср,т-
Для идеального газа теплоёмкости зависят
только от температуры, реальные газы обнару-
живают зависимость от давления или объёма.
При атмосферном давлении в пределах от
О до 100° С расхождения эксперименталь-
ных данных порядка: воздух—1°/0, Н2 и N2—
1,50/о, 02-l,75'Vo, NH3-2,50/0, COa —4,lo/0,
N2O—8,0%, для более высоких температур рас-
хождения выше.
Теплоёмкости газов для состояний, не на-
ходящихся вблизи от условий конденсации, ра-
стут с повышением температуры, влияние да-
вления при более высоких температурах де-
лается меньше; изобарные теплоёмкости да-
ются функциями tup, изохорные — функциями
t и is (см. табл. 6).
В технических расчётах часто исходят из
предпосылки, что мольные теплоёмкости двух-
атомных газов одинаковы при равных темпе-
ратурах и давлениях; уже трёхатомные газы
не подчиняются этому правилу. По Лангену
и Шреберу, истинные мольные теплоёмкости
двухатомных газов:
\f.cv = 4,914 + 0,00106 t =
= 4,625 + 0,00106 /' —-——5 ,
1 моль-град
рср = 6,904 + 0,00106 t =
- 6,615 + 0,00106 Т —ККПЛ •,
моль-град
для СО2:
\>.cv = 7,805 + 0,00378 t =
«:л;ал
= 6,774 + 0,00378 Т
моль-град '
1>.ср = 9,795 -f- 0,00378 / =
ккал
= 8,764 + 0,00378 Т
моль-град'
для Н2О — при тех состояниях, в которых он
находится в дымовых газах и воздухе (сильно


ГЛ. V]'
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
439
Таблица 6
с„ ————^ для воздуха по Ребаку [151
Р кг'град
При р = \ am а различных температурах t° С
t
СР
р
<р
р
Ср
— ТОО
0,2385
I
O.2i
I
О,2^
-75
с'239<
°5
53
э
-5°
о,2394
20
о.249
2О
0,246
0.23
2
i
Ч
99
I
Ир
о
о,24°5
Три /-0°
6о
0,2б5б
и / = 250°
6о
0,2500
с
с
с
25
3,2410
а разл
о,
а, разл
о.
5°
0,2415
1чных да
100
2838
гчных да
00
2536
75
] 0,2419
влениях
140
0,298
влениях
140
0,25б<
ДОС
0,2:
>
24
J50
0.2434
i8o
о,3093
180
0,2596
200 250
0,2443 0.2453
22О
0,3183
22О
0,2622
перегрет, давления меньше атмосферного):
ILCV = 7,488 + 0,00232/ =
= 6.855 + 0,002321 ККПЛ . ;
моль-град
рСр = 9,478 -I- 0,00232/ =
= 8,845 + 0,002327
ккал
моль • град '
моль • град
ПоШюле [10] для Н2О истинные мольные
теплоёмкости в пределах 0— 1200е С:
p = 8,15 + 0,001668/ -
v = 6,16 + 0,001668/
ккал
.моль -град '
ккал
в пределах 1200—2500° С:
цср = 7,0 + 0,000713/
pev = 5,013 + 0,000713/ -
моль • град
(см. табл. 8 — Азот и двухатомные газы).
Для углекислоты в пределах 0 — 800° С
теплоёмкость выражается зависимостью третьей
степени от температуры; истинная удельная
изобарная теплоёмкость СО2:
ср = 0,1971 + 0,0002565/ —
— 0,002972 • 10""
-6
ккал
моль • град '
+ 0,0001254.10 •» нг.град ;
в пределах 800-3000° С:
в пределах 1200—3000° С:
„,= 10,27 + -'-'200
. .,
о,01 -——
ккал
= 12,525 + 2,75
Г
/--1200
==8,28 + -Ш)-.8,о1
моль • град '
ккал
,
1000 моль - град '
j. __ QQO
моль • град
[см. табл. 7 — Водяной пар (как газ)].
Для азота, воздуха, О2, СО и более при-
ближённо для Н2 в пределах 0—1300° С
истинные мольные теплоёмкости:
рС = 7,00 + 0,000534/
=Ю,54 +2,75
(см. табл. 9 для углекислоты).
При линейных зависимостях истинных те-
плоёмкостей от t° С пересчёт этих зависимо-
стей в функции Т° абс даёт:
ккал
моль • град '
ккал
= 5,013 + 0,000534/
моль • град '
где а' = а — 273&;


Таблица 7
Водяной пар (как газ) [10]
ГС
о
100
2ОО
Зоо
4оо
5оо
боо
7оо
8оо
qoo
юоо
IIOO
J200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2ООО
2IOO
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
И
внутренн
гия в
1 м*
шО°, 760
0
28,0
566
86,1
116
Н7
*79
211
244
277
312
348
385
452
461
504
55"
599
65о
7i°
760
818
879
943
1008
1027
1149
1222
1303
1381
14бЗ
и
яя энер-
кал
\ кг
о
34,8
70,4
io6
144
183
222
262
302
344
388
433
478
525
572
620
68з
744
8оо
88i
944
ioi8
1090
1170
1251
1339
1428
1520
1610
1703
1798
i
теплоход
в /
1 м3
0°, 760
о
36,9
74,4
ИЗ
152
191
232
273
315
357
4oi
•445
491
537
585
687
692
749
8ю
878
937
ioo4
Ю75
5
1299
*379
1461
1564
1бз8
*7*3
1
ержание
'ал
1 кг
о
45.9
92,6
140
i88
238
288
339
391
445
499
554
610
667
727
793
859
932
1007
1090
1165
1250
1337
1427
1519
1615
1715
1817
1920
2022
2132
Чя
среди
1 м3
0°, 760
0,276
0,280
0,283
0,287
0,290
0,294
0.298
о,301
о,3о5
о,3о8
0,312
0,3*6
0,321
о,324
032Q
о.ЗЗб
0-343
о,353
0,361
о,371
0,380
0,389
0,399
о,4и
0,420
о,43*
о,443
о,453
0,463
о,473
0,482
Ч,
яя теплое
в кал\грас
1 кг
о,342
о,348
°352
о,357
о.збо
о.збб
0,370
о,374
о,377
0,383
о,388
о,392
0,398
0,404
о,4*о
0,418
0,427
0,438
о,449
0,462
0,472
0,483
0,496
0,508
0,522
о,534
0,549
0,562
0,575
0,587
0,599
Wv
vm
икость
)
1 моль
6,i8
6,27
6,35
6,43
6,50
6,58
6,65
6,74
6,82
6,90
6,98
7,°9
1,*9
7,26
7-37
7,53
7,68
7>9°
8,09
8,33
8,52
8,72
8,95
9,20
9,41
9-65
9.9°
10,17
10,38
10,60
10,80
7v
ИСТИН!
1 м3
0°, 760
0,276
0,284
0,290
0,298
o,3o5
о,313
0,320
0,328
o,335
o,342
o,354
0,365
o,373
0,396
0,421
0,446
0,471
o,497
0,522
o,547
o,573
o,598
0,624
0,649
0,674
0,700
0,725
0,750
0-775
0,800
0,826
cv
мя тепло!
в кал/грае
1 кг
о,343
о,352
о,зб!
0.371
0,380
0,389
0.3Q8
0,407
0,417
о,427
о,44о
0,454
0.471
о,493
0,522
о,553.
о,585
o,6i8
0,648
0,681
°,7i3
о,743
0,776
0,808
0,838
0,870
0,902
о,933
0,963
o,Q94
1,025
«**
мкость
)
1 моль
6д8
6,34
6,50
6,67
6,84
7,00
7,17
7,34
7,5о
7.67
7.94
8,18
8,35
8,87
9-43
9,99
0,54
1,13
1,69
2,28
2,84
13,40
13,99
14,55
15 -10
15,69
16,24
16,80
17,36
17,91
18,50
7Л*
средня
в
1 м>
0°, 760
о,3б5
0,369
0,312
о,376
о,379
0,383
0,38?
о,39о
о,394
о,397
о, 401
0,405
0.409
0,4*3
0,418
0,425
0,432
0,441
0,450
0,461
0,469
0,478
0,488
0,500
0,509
0,520
o,53i
0,542
о,552
0,561
о,57 1
СРт
я теплеем
кал /град
1 кг
о,453
о,459
о,4бз
о,4б8
о,47*
0,476
0,480
о,485
0,489
о,493
о,499
0,503
о,5о8
о,5*3
0,520
0,528
о,538
0,548
0,559
0-572
0,583
о.593
0,606
0,618
0,632
0,644
0,659
0,672
0,685
0,698
0,710
V-C
"т
кость
1 моль
8,17
8,2б
8,34
8.42
8,49
8,57
8.65
8,73
8,8i
8,90
8,98
9-о8
9-17
9-25
9'3б
9,52
9,66
9,89
10,08
10,31
10,51
10,71
10,93
ii, 18
11,4°
11,64
1,89
2,16
2,38
2,58
2,80
V
истин
1 м*
0°, 760
о,зб5
о,37*
о,378
о,з36
о,394
o,4oi
0,409
0,416
0,423
о,43^
0.443
о,454
0,467
0,485
о,5ю
о,535
0,560
о,585
о,6и
0,636
О,6б2
0,687
0,7*3
о,738
0,763
0,789
0.8*4
0,839
0,863
0.888
0,914
ГР
1ая тепло!
в кал /град
1 кг
0,453
0,463
0,471
0,481
0,490
",499
0,508
0,5*7
о,527
0537
о-55°
о,5»4
0,581
о.боз
0,632
о,663
о,б95
0,728
о,758
0-79*
0,823
о,853
о,886
0,918
0,948
0,980
I.OI2
1,043
1,073
1,к>4
*,*35
^
мкость
1 МОЛЬ
8.17
8.за
8,49
8,6о
8,8^
8,99
9,i6
9,32
9,49
9,66
9-93
0,17
о,34
0,86
1,42
1,98
2,5-'
3-1*
3,68
4,27
4,83
*5,39
15,98
i6,53
17.09
*7,68
18,23
18,79
19-35
19,90
20,49
СР
cv
,322
,314
,306
,298
,290
,284
,277
,271
,264
,258
.351
,243
,234
,224
,2И
,2ОО
,189
,178
,17°
,i6i
-154
.147
,142
.136
ДЗ'
,126
,122
,и8
Д14
ди
До?


Таблица 8
Азот и двухатомные газы (О3, СО, воздух) [10J
ГС
о
IOO
200
Зоо
4оо
5оо
боо
70О
8оо
доо
юоо
1IOO
12ОО
1300
1400
1500
i6oo
1700
1800
1900
2ООО
21 ОО
220О
2300
2400
2500
2ООО
2700
?800
2900
Зооо
и
внутренн
гия в
1 м*
0°, 760
о
22,4
45.2
68,1
91,2

138
162
186
213
240
265
292
3i8
345
372
399
426
454
483
5«
540
5б«
| 599
1 029
1 65а
689
72О
751
783
8i5
и
яя энер-
кал
1 кг
0
17-3
34,8
52,5
70,4
88,5
юб
125
144
i65
i85
205
226
24б
266
288
3°8
329
351
374
395
417
439
4бз
486
509
532
556
58о
6о5
6sg
i
теплосод
R К
1 м5
0°, 760
о
31,3
6а,8
94,5
126
158
191
224
257
2оВ
329
368
398
433
469
5°5
541
5Т7
311
6i4
651
688
726
764
803
842
881
919
959
999
1040
1081
г
ержание
1Л
1 кг
о
24,1
48,4
72,9
97-6
122
148
173
199
227
255
281
Зо8
335
Зб2
З^о
4i8
446
474
503
532
56i
591
621
650
681
710
741
772
804
835
Ч»
средня
в
1 м3
0°, 760
0,223
0.224
О,22б
0,227
0,228
0.229
0,230
0,232
0,233
0,236
0,239
0,241
о,243
о,245
0,246
0,248
0,249
о 251
о.253
о,255
0,256
о,257
0,259
0,2бо
0,2б2
0,264
0,265
0,267
О.268
0,270
0,271
ч.
я теплеем
кал/град
1 кг
ОД72
од 73
о,174
од 75
од 76
ОД77
0,178
од 79
од8о
од8з
од85
o,i86
од88
0,189
0,191
°Д92
ОД93
ОД94
°Д95
0,196
0,197
ОД99
0,200
0,201
О,2О2
0, 204
0,205
О,2о6
0,207
0,209
0,210
*-cv
vm
<ость
1 моль
4,99
5.02
5,о5
5,07
5 До
5ДЗ
5,i6
5,20
5,23
5,28
5.36
5,40
5-45
5-49
5-52
5,56
5,58
5.62
5-65
5>7°
5,73
5,76
5,8о
5,83
5-87
5,9°
5,93
5,97
6,оо
6,04
6,07
cv
истинн
в
1 м3
0°, 760
0,223
0,226
0,228
0,230
0,233
0,235
0,237
0,240
0,244
0,248
0,252
0,256
О,2бо
0,264
0,268
0,272
0,276
0,278
0,281
0,284
0,287
0,291
0,294
о,29/
о.зоо
0,303
0,307
0,310
о,313
0,316
0,319
cv
ая теплое
кал/град
1 кг
од 72
• од74
0,176
0,178
од8а
ОД82
од84
од8б
од8д
0,192
•ОД95
0,198
0, 202
0,204
0,208
0,2Ю
0,212
0,215
0,217
0,219
0, 222
0,225
0,227
0,229
0,232
0,234
0,237
0,239
0,242
о,244
0,247
**v
«кость
1 моль
4,99
5,о5
5Д°
5Д5
5,21
5,26
5,31
5.37
5,47
5,55
5.64
5,73
5,83
5,92
6,оо
6,о8
*''5
6,22
6,зо
6,37
6,41
6,51
6,58
6,65
6,72
6,79
6,85
6,93
7,оо
7,0?
7. 14
СРт
среди
в
1 мя
0°, 760
0,312
о.ЗЧ
о,ЗЧ
0,3^5
0,316
0,317
0,319
0,321
0,322
0,325
0,328
о.ЗЗо
0,332
о,334
0,336
о,337
0,338
0,34°
о,342
о,344
о,345
0,346
0,348
о,349
o,35i
0,353
о,354
о,35»
о,357
о,359
0,360
СРт
)я теплоём
кал 1 град
1 кг
0,240
0,241
0,242
0,243
0,244
0,245
0,246
0,247
0,248
0,251
о,253
0,254
0,256
о,257
о,259
О,2ЭО
O,26l
О,2б2
0,263
0,264
0,265
0,267
0,268
0,269
0,270
0,271
0,272
0,274
о,275
0,277
0,278
"Ч»
кость
1 МОЛЬ
6,д8
7,oi
7,°3
7, об
7,°9
7Д1
7-14
7Д9
7,21
7,28
7-35
7-39
7,44
7,48
7,51
7,55
7,57
7>6i
7,64
7,69
7.72
7,75
7-79
7,82
7,86
7,88
7,92
7,96
7,99
8,03
8,06
J>__
истинн
в
I м*
0°, 760
0,312
о,ЗЧ
0,316
0,319
0,321
0,324
0326
0,329
о,333
о,337
o,34i
0,345
0,349
0,354
0-357
0,360
0,363
0,366
0,37°
0,373
0,376
о,379
0,382
0,386
0,389
0,392
о,395
о,398
0,401
0.405
0,408
СР
1Я теплоём
кал/град
1 кг
0,240
0,242
0,244
0,246
0,248
0,250
0,252
0,254
0,257
О,2бо
0,2&3
0,266
0,270
0,272
0,276
0,278
0,280
0,283
0,285
0,288
0,290
0,293
о,295
0,297
0,300
0,302
о,3°5
0,307
о,зю
0,312
0,315
.
Vp
кость
1 моль
6,98
7-°3
7,°9
7Д4
7Д9
7,25
7,3о
7-37
7,46
7,55
7-64
7.73
7,82
7,92
8,оо
8,о6
8д4
8,20
8,28
8,36
8,43
8,5о
8,57
8,64
8,71
8,78
8,85
8,92
8,99
9, об
9.J3
СР
с»
i,4°°
1,392
1.390
1.386
i,38o
1,378
!.374
1,37°
1,363
1,357
I.352
1,346
1,341
1.335
1,330
1,326
1,322
1,319
I.3I5
1,312
1,ЗЮ
i,3o6
1,302
1,299
1,296
1,293
1,289
1,286
1,283
1,280
1,277


Таблица 9
Углекислота [10]
о
100
200
300
4ОО
500
boo
700
800
900
1000
IIOO
I2OO
1300
1400
1500
1000
1700
1800
1900
2000
2IOO
22OO
2300
24OO
2500
2600
2700
28OO
20ХЮ
3000
и
внутренн
гия в
1 м3
0°, 760
о
32,2
68,4
107
149
192
236
281
325
373
422
472
523
575
629
684
740
798
856
916
977
1040
1103
1168
1234
1301
137°
1440
151°
1582
1656
и
яя энер-
кал
1 кг
0
i6,4
34,4
54.6
75.6
97.5
120
143
166
190
215
240
267
293
321
348
378
406
436
466
497
530
562
595
628
663
698
733
7ёо
8о6
843
i
теплосод
в к
1 м3
0°, 760
о
4i,o
86,о
134
185
236
289
342
396
453
5"
57°
630
69°
753
8i7
?82
949
I0l6
1085
4
1226
1298
1372
1447
1523
ifcoi
1679
1758
; 1839
1922
*
ержание
ал
1 кг
0
20,9
43,8
68,1
93-6
120
147
175
2О2
231
2бо
321
352
384
416
449
483
517
552
588
624
661
700
736
776
817
855
?95
936
980
Чи
средня
в
1 м3
0°, 760
0,298
0,322
о,342
о,357
о,372
0,384
o,S93
о,401
сдоб
о,414
0,422
0,428
о,43б
0,442
о,449
0,456
0,462
0,468
о,475
0,482
о,488
о,495
0,502
о,5о8
0,514
0,520
0,527
о,533
0539
о,54б
о,552
S»
я теплое*
кал\град
1 кг
ОД52
0,164
0,174
0,182
0,189
ОД95
0,200
0,204
0,207
0,211
0,215
O,2l8
0,222
0,225
0,229
0,232
0,235
0,239
0,242
0,245
0,248
i 0,252
0,255
0,259
0,2б2
0,265
0,269
0,272
0,275
; 0,278
0,281
vtn
кость
1 моль
6,68
7,21
7.65
8,02
833
8,59
8,8о
8,97
9,09
9.28
9,45
9>6о
9>7б
9-90
о,о8
0, 21
о,35
о,5о
0,65
о,8о
о,95
1,10
1,25
i,4o
1-52
1,65
i,8i
1,95
2,09
2,22
2,38
',
ИСТИН!
Е
1 М3
0°, 760
i
0,298
0,344
о,378
0,404
о,423
о,435
о,44б
0,458
0,470
0,482
о,495
0,507
0,519
o,53i
о,544
о,55б
0,568
0,580
о,593
о,6о5
o,6i8
0,630
0,642
0,б54
0,667
0,679
0,691
0,703
0.716
0,728
0,740
%
ия теплое
кал!град
1 кг
0,152
0,175
0,202
0,2о6
0,215
0,222
0,227
0,234
0,239
0,245
0,252
0,258
О,2б4
О,271
0,277
0,283
0,290
0,296
0,302
0,308
о,315
0,321
0,327
о.ЗЗЗ
. 0,340
0,346
о,з52
о,358
0,365
0,371
о,377
",
мкость
1 моль
6,68
7-69
8,46
9-04
9-46
9,70
9,99
10,28
10.52
ю, 8о
и,о8
1,37
1,62
i,9o
2,20
2,45
2,74
3,°о
3,30
3,56
13,86
14,12
14,38
14,66
14.93
1^,20
15-48
I5-76
16,04
16,32
16,60
~СРт
средня
i
1 м3
0°, 760
0,387
о,43о
о,447
0,462
0,472
0,482
0,489
о,495
0,503
0,525
0,531
о,538
о,545
о!557
0,564
0-571
о,577
0,584
0.591
0-597
0,603
0,600
0,616
0,622
0,628
0,635
0,641
Ч,
я теплеем
i кал/град
1 кг
о, 197
0,209
0,219
О,227
0,234
0,240
о,245
0,249
0,252
0,256
О,2бЪ
0,263
0,267
0,270
0,274
о,277
0,28о
0,284
0,287
0,290
0,293
0,297
о,зоо
0,304
0,307
о,зю
0,314
0,317
0,320
0,323
0,326
^Рт
кость
1 МОЛЬ
8,67
9,19
9,64
10,01
10,32
10,58
10,79
10,96
II, о8
11,27
11,44
11-59
«,75
11,89
12,07
12,20
12,34
12,49
12,64
12,79
12,94
13-24
13,39
13,51
13,64
13,8о
13,94
Т4,о8
14-21
14-37
°Р
ИСТИН!
I
1 М3
0°, 760
0,386
о,432
0,465
0,49х
0,509
0,523
о,535
о,547
о,559
0.571
0,584
о,59б
о,6о8
О,б2О
о,6зз
0,645
•0,657
0,669
0,682
0,694
0,707
0,719
°'73Г
о,743
о,75б
0,768
0,780
0,792
0,805
0,817
0,829
СР
гая теплое
i кал/град
1 кг
0,197
0.22О
0,237
0,251
О,2ОО
0,267
0,272
0,279
0,284
0,290
0,297
0,303
0,309
o,3i6
0,322
0,328
о,335
o,34i
0-347
0,353
0,360
0,366
0,372
0,378
0,385
0,391
о,397
0,403
0,410
0,416
0,422
*,
мкость
1 моль
8,67
9,68
0,40
1,00
i,4o
1,70
2, СЮ
2,20
2,51
2,79
13,о7
13,36
i3,6i
13,89
Hi Ч)
14,44
14,73
14,99
15-29
Т5,55
15,85
i6,ii
16,37
16,65
16,92
17-19
17.47
17,75
18,03
18,31
18,59
Ср
cv
I 297
258
235
219
210
203
198
193
188
184
179
175
170
165
163
160
155
152
150
145
143
,140
,137
,135
,132
,130
,127
.125
,123
,121
,118


ГЛ. V]
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
443
Таблица 10*
Истинная удельная теплоёмкость
кг -град
состоянии без учёта диссоциации
в идеальном
/
о
=5
100
200
Зоо
4оо
5°о
боо
700
8оо
9оо
IOOO
1250
1500
1750
20ОО
н,
3,4°
3,42
3,45
3,47
3,48
3.50
3,51
3-53
3,57
3,62
3,66
3-71
3.84
3,96
4,07
4,i6
N3
0,248
0,248
0,250
0,252
0,256
0,261
0,267
0,272
0,278
0,282
0,287
0,29°
0,298
0,303
0,307
0,310
Оа
0,219
0,219
0,223
0,230
0,238
0,245
0,251
о,257
0,2бо
0,2бЗ
0,2бб
0,268
0,274
0,278
0, 282
0,287
СО
0,248
0,249
0,250
0,253
0,258
0,264
0,270
о,277
0,282
0,287
0,291
0,294
0,302
о.зоб
о,зю
о,313
Н2О
0,443
0,444
о,45о
0,462
о,475
0,491
0,506
0,522
о,539
о,55б
о,572
о,587
0,021
0,650
0,673
0,691
соа
0,196
0,202
О.22О
0,238
0,255
0,208
0,278
0,287
0,294
0,300
0,305
0,309
0,3l6
0,322
0,325
0,328
S03
0,145
0,149
0,159
0,171
0,180
од 88
°,IQ3
0,198
0,201
0,203
0,205
О,2О7
0,2О9
0,212
0,213
O,2I4
МН3
0.491
0,500
0,527
о,57°
o,6i5
о.б54
0.700
0,740
o,77S
0,812
0,844
о,873
о,932
о.979
1,013
1,040
СН,
0,516
0,529
0.586
0,668
0,758
0,833
0,911
0,976
1,036
1,085
1,137
1,181
Воз-
дух
0,240
0,240
0,241
0.245
0,250
о,255
0,26l
0,2б6
0,271
0,276
о,28э
0,283
о 293
3.295
0,299
0,303
Таблица 11*
„ .. ккал
Истинная удельная теплоемкость u,cn в ——————;
Ро моль • град
в идеальном газовом состоянии без учёта диссоциации
t
о
25
loo
200
300
4ОО
500
боо
7оо
8оо
000
IOOO
1250
1500
1750
2ООО
2
о
d
?
6.86
6,90
6,96
6,99
7,01
7-03
7,06
7Да
7,20
7,28
7,38
7.49
7.74
7.98
8,20
8,38
«э
о
8
•?
6,96
6,д6
6,98
7.°5
7,i6
7,31
7,47
7,63
7,78
7,91
8,03
8,14
8,35
8,5о
8,6i
8,70
о
8
еч
то
О
6,99
7,02
7-13
7,37
7,6i
7.84
8,02
8,18
8,31
8,41
8,50
8,60
8,76
8,90
9,04
9Д9
g
о
§5
о
и
6,96
6,98
7>оо
7,09
7-23
7.40
7.57
7-75
7.9°
8,оз
8,14
8,24
8,44
8,57
8,68
8,75
СО
0
00
о
?
7-98
8,оо
8,ю
8,32
8,5б
8,84
9Д2
9-41
9,72
10,02
о,3°
о,58
1Д9
I.7I
2,12
2,45
8
•ч-
О
о
8,6i
8,оо
9.69
ю,47
11,23
",79
12,25
12,63
12,94
13,20
I3.42
13,бо
13,92
14Д5
14,31
14,42
_
•^
ю
О
со
Q-31
9,52
io,i7
ю.94
11,53
12,03
12.38
12,65
12,86
13,02
13,15
13,25
13,43
13.56
13,63
13.69
8
сС
?
z
8,ю
8,i8
8,41
8,78
9-18
9,60
0,01
0,41
0,77
1,10
1.39
1,65
2,16
2,54
2,80
З.оо
S
2
Е
и
8,28
8,48
9.4о
10,70
12,15
13,35
14, 6о
15.65
i6,6o
17,40
18,23
18,93
X
?оо
СП &>
О /-Х
§>%
6.94
6,95
'7,оо
7,о8
7.24
7>4о
7.5°
7.72
7,86
7,99
8,ю
8,20
8,40
8,54
8,66
8,76
Таблица 12 *
dt в ккал/кг в идеальном газовом
Энтальпия \= \
О
•состоянии без учёта диссоциации
/
о
25
IOO
200
Зоо
4оо
500
боо
700
8оо
goo
IOOO
1250
1500
1750
2ООО
н,
о
85
343
боя
Ю39
1385
1734
2087
2443
2801
37°3
3530
4475
Й4°Й
6446
7474
Н3
0,0
6,2
24.9
50,0
75-4
101,2
127,6
154.3
181,7
209,8
238,3
267,3
34*.о
416,0
492,3
509,4
оа
о, о
5-8
22,0
44,7
68,о
92,2
И7,1
142,3
i68,i
194-3
220,8
247.5
315.1
384.1
454,4
525.6
СО
о,о
5-2
24.9
5°>°
75.6
Ю1.7
128,4
155-8
i83,6
212,1
241,0
270,4
345,2
42о,7
497-6
575-4
Н3О
0,0
ii,i
44.57
90,14
136,9
185,2
235.1
286,4
339-6
394-8
451.6
509.5
660,5
819.3
985.6
5
СОа
о,о
4,4
•20,8
43,9
68,6
94.6
122,2
150,4
179-5
209,5
239-4
269,8
348,3
428,1
5о8,9
596,6
SO3
0,0
2,9
15,2
31-7
49-3
67,7
^'7
1о6,з
126,2
146,3
166,0
187,4
239.6
292,2
344,2
398.6
NH3
0,0
12,4
5о,9
105,6
167,2
230,8
298,6
370.4
446,3
525,7
608,5
697.2
929.5
1172
1272
1375
СН4
0,0
13,6
54,о
«7.3
189,0
268,7
355,9
45о,3
544,8
657.5
7б7,9
883,9
Воз-
дух
0,0
6,0
24,0
48,4
73.1
98,3
124,0
150,6
177,2
204,8
232,6
2бо,8
ЧЧ2.Ч
OO*vO
= а 4 bt =
ЬТ
ккал
град
где а =
—
b =
22T
_ _
а' = а ~ 273
При линейных зависимостях ;лс =
= \ia 4- V-bt, с = а + bt, с = b 4- bt вы-
ражения средних теплоёмкостей в интер-
вале от
будут:
( С до (С (fa6c до Т\пбе)
4- tv) =
-,
cm--
T,
где ua, а, а, pb, b, b — коэфициенты из
выражений истинных теплоёмкостей.
Для технических расчётов целесо-
образно представление о теплоёмкостях
газов в „идеальном состоянии", понимая
в этом случае под ср теплоёмкость газа
при р -» 0, ибо именно в таком состоя-
нии реальный газ наиболее прибли-
жается к идеальному и при давлении
даже порядка нескольких атмосфер, а
тем более при атмосферном ср, практи-
чески не отличается от ср ; аналогич-
ными условиями для cv принимают cvoe>j
т. е. при v -> оо.
Табл. 10, 11, 12, 13, 14 по Юсти
относятся к газам в идеальном состоянии
без учёта диссоциации; во всех слу-
чаях, подчиняющихся уравнению Кла-
пейрона, строго могут быть вводимы в
расчёты только ср(} и cvoo.
В табл. 15, 16, 17, 18, 19 даны теплоём-
кости жидких и твёрдых тел.
100
Средняя теплоёмкость воды ст в
интервале 0 — 100° С приблизительно
равна теплоёмкости при 15° С — с15.
Теплоёмкость ртути. По Pollitzer
при ?= — 35° С теплоёмкость ртути
с ~ 0,0350
как среднее из раз-
v v
«По Юсти [16].
———— =г
кг-град
ных наблюдений: при t = 0° С с = 0,03333,
при t = 100° С с =0,03262, при t = 200° С
с = 0,03189, т. е. теплоёмкость ртути
убывает с повышением температуры; по
Курбатову минимум с между 200 —
250° С, по Вагпез — между 100 — 150° С
с =0,03336 — 0,000006 t (в пределах от С
до 250° С).


444
ТЕПЛОТА
[РАЗД. Г
t Таблица 13
~ Г—
Энтальпия/ = \Cp-cft я ккал/нм3 в идеальном газовом
6
состоянии без учёта диссоциации
t
0
25
IOO
200
300
40O
5OO
000
700
800
000
IOOO
1250
1500
1750
2OOO
H
0,0
7-7
30,9
62,0
93,2
124,6
1=56,0
187,7
219,7
251,8
284,5
317,5
402,4
489.9
579,6
672,1
N,
o.o
7,8
3i,i
62,5
94-3
126,6
159,5
193.0
227,3
262,3
298,0
334,3
426,4
520,4
6i5,5
712,0
0,
0,0
7-8
3L4
бз,8
97-1
I3L7
167,1
203,2
240,0
277-4
315,2
353,3
449,9
548,4
648,7
75°,2
СО
0,0
8,2
30,8
6а,5
94-5
127,0
160,4
*94,7
229,4
265,0
3oi,i
337,7
43I,2
525,5
621,5
718.6
Н2О
0.0
8,9
35,8
72,46
ио,3
148,9
i88,9
230,2
273,0
317.3
363,0
409,6
53о,8
658,5
792,5
928,9
соа
0.0
8,6
40,9
86,i
134,6
185,6
239,8
295,3
352,3
4ю,з
47о,о
529,7
683,7
840,4
999Д
9
SO 2
о,о
8,2
43,4
90,6
140,8
193,5
247,8
303,8
Збо,7
4i8,3
476,9
535,8
685,0
835,2
983,8
9
NHa
0,0
9-4
38,7
80,2
127,1
175,3
226,9
281,5
339,1
399,4
462,4
529,7
706,1
89*,!
966,8
1045
СН4
о,о
9,7
38,6
83,9
135,2
192,2
254,5
322,0
389,7
47°,2
549>2
632,2
Воз-
дух
о,о
7,8
31,1
б2,5
94,4
127,1
1бо,з
194-0
229,6
264,7
Зоо,6
337-о
43°,о
Таблица 15
Теплоёмкость воды [8], [13]
По Regnault с = 1+0,00004 /+0,0000009 Я, однако
позднейшие исследования дают минимум с при
температурах от 20 до 40°С; так, значения с по
t
- Г с„
Энтропия s — j "о
О Т
Таблица 14 *
в идеальном газовом
IOCC
II
12
13
H
15
16
17
18
*9
20
21
22
23
24
25
Rowland
,0019
,0014
,0010
,0007
,0003
,0000
0,9906
0,9993
0,9990
0,9986
0,9983
0,0981
0,9979
0,9976
0,9974
0,9972
Griffiths
_
—
—
i, 0006
1,0003
I,OOOO
0,9997
o,9994
0,9991
0,9988
0,9985
0,9082
o,9979
0,0976
o,9973
0,9970
Callendar-
Barnes
т, 002 1
i, 0016
1,0011
1,0007
1,0003
I,OOOO
o,9997
o,999l
0,9990
0,9988
0,0985
0,9983
0,9980
0,9977
0.9975
0,9974
Jager-
stelnwehr
5°C— 1,0029
ro —1,0013
15 —1,0000
20 —1,9990
25 —0,9983
30 —0,9979
35 —0,9978
40 —0,9981
45 -o,9987
50 -0,9996
состоянии без учёта диссоциации
t
о
25
IOO
200
300
400
500
000
700
800
900
IOOO
1250
1500
1750
2OOO
и,
о,ооо
о,оо7
0,096
0,170
0,228
0,281
0,325
0,3б4
0,398
0,429
0,460
0,486
о,547
0,600
0,647
0,691
N,
0,000
0,026
0,097
0,170
0,231
0,282
0,328
0,366
0,402
о,437
0,469
0,500
°'?l
0,626
0,674
0,719
0,
0,000
0,025
0,098
0,174
0,237
0,292
0,346
0,39°
0,426
0,462
о,495
0,526
0,598
0,660
0,709
о,755
СО
0,000
0,027
0,096
o.i68
0,230
0,283
о,33°
о,372
0,409
о,444
о,476
0.506
о,573
О,6"!2
0,682
0,726
Н2О
о,ооо
0,034
о,из
О,2ОО
0,271
о,334
0,387
о,438
0,484
о,527
о,5б8
0,609
0,692
о, 77°
0,840
о,9°5
СО,
0,000
0,033
0,129
о,234
0,327
о,4ю
0,485
о,552
0,614
0,671
0,724
0,772
0,885
0,971
1,059
1,136
! so.
0,000
0,037
0,138
0,250
о,349
о,435
0,512
0,580
0,6425
0,6995
0,752
0,8005
0,907
1,000
1,079
1,15°
NH3
0,000
0,032
0,120
0,218
0,304
0,383
o,454
0,521
0,580
0,641
0,699
o,752
0,874
0,985
1,085
1,176
CH,
o,ooo
0,030
0,386
0,839
1,352
1,922
2,545
3,220
3,941
4,701
5,493
6,322
Воз-
дух
o,ooo
0,025
0,097
0,170
0,232
0,284
0,329
0,370
0,406
0,445
o,477
0,506
0.572
0,631
0,679
0,724
Callendar и Barnes для температур от 0 до 6(Г дают
с=0,9982+0,0000045 (t — 4Г>J (минимум около40с С).
Теплоёмкость воды при температурах ниже
нуля (по Tommasini-Cardani до—10° С, по Marti-
net! до 6Э С) увеличивается с понижением темпе-
ратуры на 1° С приблизительно на 0.0005.
Таблица 17
Средняя удельная теплоёмкость сжиженных
газов *
Жидкость
Углекислый газ (при.
63 am) .........
Окись углерода . . .
Хлор .........
Водород .......
Азот .........
Окись азота .....
Кислород ......
Сернистый ангидрид .
Пределы
в°К
20О— 220
223-263
07-83
68
15—21
64—76
И5— 
57—73
273
ккал
кг -град
i,o8
0,465—0,539
0.0615
о 229
1,75-2,33
о,475
о,58о
о,398
0.317
* По Юсти [16].
1936.
* Из Мак-Адаме, Теплопередача, Л.—М.
Средняя теплоёмкость ст воды между 0° и 1° С по Дитеричл
Таблица 16
t =
ст =
2О
I.OOIO
40
0,9973
6о
о,9976
8о
о,9985
100
1,0000
I2O 140
!
I.O020 j 1,О04б
ZOO
1,0077
18Э
I.OII3
2ОО
1,0155
220
1,ОЗЭЗ
24О
1,0256
260
1,0315
280
1,0380
300
1,0449
ст = 0,9983 - 0,005184 - + 0,006912
Истинная удельная теплоёмкость твёрдых тел выражена в
ккал
;г • град
Таблица IS*
°с
о
IOO
2ОО
Зоо
4оо
500
боо
700
8оо
900
юэо
1IOO
I2OO
1300
1400
1500
1боо
Pb
0,0359
0,0336
0,0313
0,0290
0,0266
0,0259
0,0252
0,0246
0.0239
0,0233
0,0226
2п
0,0878
0,0965
о, 052
о, *39
О, 226
о, 173
о, 141
о, log
о, 076
о, 044
O.IOI2
А1
0,2220
0,2297
0.2374
о,2451
0,2529
0,2бо6
о,а68з
0,2523
0,2571
0,2619
0,2667
Ag
0,0573
0,0583
0,0594
0,0605
0,0616
0,0627
0,0638
0,0649
0,0660
0,0671
0,0687
0,0694
0,0750
0,0807
Au
0,0317
0,0320
0,0322
0,0325
0,0328
0,0330
0,0333
0,0335
0,0338
0,0341
0,0343
0,0329
0,0346
0,0364
Си
о ioo8
о Ю14
0 I02O
О 1026
0 1032
о 1038
о Ю45
о 1051
о Ю57
охобз
о 1069
0 1128
он59
о 1291
Ni
0,1095
0,1200
0,1305
0,1400
0,1294
0,1294
0,1294
0,1295
0,1295
0,1295
0.1295
0,1296
0,1296
0,1296
0,1296
0,1338
Fe
0,1055
о 1168
о 1282
о 1396
о 1509
о 1623
01737
о 1850
о i592
о 1592
о 1448
о 1448
о i4-)8
о 1449
о 1449
0 2142
о 1501
Со
0,0912
0,0993
о,ю73
о,4
о,1235
0,1316
0,1396
о,1477
о,1558
0,1639
0,1424
o,i454
0,1483
0,1512
0.1472
0,1472
SiO,
0,2372
0,2416
0,2460
0,2504
0,2548
0,2592
0,2636
0,2680
0,2724
0,2768
0.2812
0,2856
0,2900
0,2944
0,2988
* По Smtthsonian Tables [42].


ГЛ. V
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
445
Таблица 19
Средняя удельная теплоёмкость в —————-г- твёрдых и капельножидких тел между 0 и 100° [9]
Азот (жидкий) . . о,43°
АЛЮМИНИЙ .... 0,22
Аммиак .... i,oo
Анилин ...... о,49
Базальт ...... 0,20
Бензол ...... 0,44
Бетон ...... о,21
Висмут ...... 0,030
Вольфрам ..... 0,034
ГИПС ....... 0,20
Глицерин .... 0,58
Гранит ...... о,2о
Графит ...... о,2о
Дерево (дуб) . . . 0,57
Дерево (сосна) . . 0,65
Древесный уголь . о,2о
Железо и сталь . 0,115
Зола ....... о,2о
Золото ...... 0,031
Каменный уголь . 0,31
Керосин ..... 0,50
Константен .... 0,098
К'фППЧ ...... 0,22
Кислород жидкий . о,347
КОКС ....... 0,20
Латунь ...... 0,092
Лёд ........ 0,50
Магний ...... 0,25
Марганец ..'..... 0,12
Медь ......... o,og4
Машинное масло . . . 0,40
Мраморный известняк o,2i
Никель ........ о,и
Нафталин ....... 0,31
Олово ......... 0,056
Оливковое масло . . . 0,40
Платина ....... 0,03°
Песчаник ...... о, 22
Первичная смола ... о,5
Ртуть ........ 0,035
Спирт ........ 0,58
Сурьма ........ 0,05
Свинец ...... 0,031
Стекло ...... о,2о
Серная кислота . . о,зз
Серебро ..... 0,056
Сера ....... o,i8
Серная кислота . . 0,32
Скипидар ..... 0,42
Тантал ...... 0,036
Уксусная кислота . 0,51
Хлороформ .... 0,23
Цинк ....... 0,094
Эфир ...... 0,54
Вязкость
Внутреннее трение в реальных жидкостях,
вязкость, является отличием реальной жидко-
сти от идеальной. Под влиянием вязкости про-
исходит видоизменение профиля скоростей по-
тока жидкости, набегающего на поверхность.
Сила трения, отнесённая к единице площа-
ди, — касательное напряжение (по Ньютону;:
dw
где
дп
, кг•сек .
коэфициент вязкости в —-9— (час-
то называемый коэфициентом динамической
вязкости);'в физике коэфициент вязкости дают
. , дн-сек n.n,frt кг-сек
в пуазах: 1 пуаз == 1 ———5— — 0,0102 ———— •
см- м'2 '
dw
-т— — градиент скорости в направлении нор-
мали к плоскости скольжения; и = —^—, т. е.
' dw
дп
коэфициент вязкости равен касательному на-
пряжению при градиенте скорости, равном 1;
И- <>> л.
— = v м^'сек — коэфициент кинематической
кг • сек'2
вязкости; р — плотность в
Л*4
У^-ЯРЧ
р-ЮОата
- 150
" 200
" 250
• 300
.. Кйивая
2.50
300 350 Ш Ь50
Фиг. 2.
w 1>да }0 "
^гоо______
500 $50 600°С
1
По кинетической теории газов р. = -»-р • со • /,
о
где о) — средняя скорость молекул; / — свобод-
ный пробег; так как /обратно пропорциональ-
но р, то по кинетической теории р. идеального
газа не зависит от плотности, а следовательно,
и давления, что частично — при средних давле-
ниях — подтверждается опытом.
Вязкость газов по Сутерлэнду (Sutherland):
с
273 /~Г+73~" кг-сек
-г-'
273
1 273 + t
где с и [л0 из табл. 20.
Коэфициент вязкости перегретого водяного
пара по данным Д. Тимрот приведён на фиг. 2.
Коэфициент кинематической вязкости v в
кг •сек?
м^/сек и плотность воздуха р в ——
при
О 20
60 80 100 120 НО Wt"C
Фиг. 3.
различном барометрическом давлении и темпе-
ратуре (Кирпиче в, Михеев, Эйгенсон,
Теплопередача, М. — Л. 1940) см. фиг. 3.
Таблица 20
Коэфициенты вязкости IAO и константа с
Наименование
газа
Азот ......
Кислород ....
Углекислый газ .
Окись углерода .
Водород .....
Метан ......
Водород .....
Ацетилен ....
Хлор ......
120
ю7
138
150
1О2
75
198
83
8о
626
igS
531
' кг • сек
" М»
1,755
t,7°3
1,2б2
1,402
1,687
0,866
i,°57
0,85
1,88
0,96
1,О2
1,29
Кирпичёв, Ми-
хеев, Эйгенсон
по данным ЦКТИ
По Тен-Бош


446
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
Таблица 21
Вязкость водяного пара [21
Темпе-
ратура
100
15о
2ОО
250
Зоэ
350
4оо
Давление
Для любого
давления
от i до д^ат
Коэфи-
циент
вязко-
сти
(х • 103 в
кг • сек
м*
127,9
147.3
166,7
186,2
206,3
226,1
245.9
Таблица 22
Удельный вес у, плотность р, вязкость ix и кинематическая вязкость ч
воздуха при давлении 760 мм рт. ст. [9]
Величина и размер-
ность
у в кг/м3
р в кг • сек*1м*
юв • ц. в кг сек1лР
ю" • v в м^/сек
10е •
;А не зависит от дав
пропорционально дав
— 20°
1,39
0,142
1,59
и,3
И- = i,
леиия, -
тению.
-10°
i,34
о,137
1.65
12,1
?12 Yl
• и о из
0°
1,29
0,132
1,71
13,о
+ о.ооз
«еняют
Тем
10°
1,24
0, 127
1,77
13,9
665
:я пряа
перату
20°
1,20
0,123
1,43
14,9
(I+O.C
ко проп
ра
40°
1,12
о,И4
1,95
17,0
оойо/)'
орцио
60"
i,o6
o,io8
2,0-
19,2
яально
80°
о,99
О,Ю1
2.IQ
21,7
a v об
100"
о,94
0,096
2,33
24.5
эатно
Таблица 23
Кинематическая вязкость v некоторых газов
при давлении 760 мм рт. ст. [9]
Наименование газа
Водород .......
Окись углерода ....
Кислород .......
Углекислота .....
Гелий .........
Температура
в °С
о
о
о
о
0
v . 10"' в Afjcex
.94,5
13,о
1,4
7,2
106
i
По правилам № 1G9 {Главное управление
мер и весов) по измерению расхода жидкостей
газов и пара при помощи сопел и диафрагм
вязкость смесей находят по формуле Манна
_!_ = Л i JT2 _, _
"
Р M-i t*2
где p., (j.j, p.2, ... — динамические вязкости
смеси и составляющих компонентов; ч, vj,
v2, . . . — кинематические вязкости их; gi, gz, . . .
и TJ, л2, . . . — доли компонентов смеси по ве-
Л1 I I I I I I I I I l~tl ' I l"l I I I I I 1
.-Л? 40 50 80 /00 120 140 160 180 ?00"С
Фиг. 4. Вязкость воды,
су и объёму. Вязкости воды, водяного пара,
газов по правилам берутся из фиг. 4, 5, 6
и табл. 25.
Вязкость жидкостей обычно определяется
циенты вязкости испытуемой жидкости и воды;
р и р' — плотности их; t и ? — время истечения
одинаковых объёмов жидкости и воды при
J.2
Фиг. 5.
одинаковых условиях через одну и ту же ис-
пытательную трубку (вискозиметр). Абсолютная
величина ;л находится
Таблица 24 пересчётом, так как
значения .«.' известны.
Вязкость [х некоторых га-
зов при давлении 760 мм
рт. ст. и 0° С [8]
Наимено-
вание газа
Углекис-
лый газ .
Кислород
Азот . .
Водород
Водяной
пар . . .
.п„кг- сен
а • 10" ———
м*
1.5
2, 0
1.7
0,88
о, 92
' -20 0 20 46 50 80ЪС
Фиг. 6.
По Ubbeiohde вязкость по шкале Энглера
(Е) связывается с кинематической вязкостью
(v) соотношением
по Vogel
отношением
- = -~-j , где
'
и ^' — коэфи-
104. v= E-0,076


ГЛ. V]
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
447
Таблица 25
Свойства газов [5]
Наименование газа
Воздух .......••••••
Кислород ............
Азот ..............
Водород ......'..-•••
Хлор .........••••
Окись углерода ..•••••••
Углекислый газ .......-•
Сернистыйгаз -.....-•••
Сероводород ..........
Аммиак ........-•••
Метан ........•••••
Ацетилен ....•••••••
Этилен ......-••••••
Этан ..............
Водяной пар ..........
Формула газа
Оа
Na
Н,
ci,
со
со,
SO2
H,S
NH3
СН4
сана
сан«
Н20
Вес ед
объём*
0° и
760 мм
.рт. ст.
1,293
1,429
1,250
0,0899
3,220
1,250
1,977
2,927
1,539
0,77*
0-7*7
1Д71
1,2бо
1.356
1,257*
нницы
1 Y ПРИ
1,288
1,126
0,0809
2,ОЛО
1,126
1,783
2,639
1,387
0,695
0,646
1,056
1,137
1,223
1,133
Динам
- 30
1-59
1,77
1,55
0,82
i,i6
1,58
1,30
1,04
1,07
0,85
о,95
0,85
°,79
ическая
0
,77
,94
,70
,89
,28
.76
,44
,19
,20
,94
,96
•97
,88
—
ВЯЗКОСТЬ
+ 50
2,22
1,94
о,99
1,5°
2,04
1,66
1,43
1,42
1,15
1,22
—
1,15
1,02
—
р.- 10е -
+ 100
2,27
2,51
2,17
Log
1,72
—
1,89
1,66
1,64
1,34
i,4o
—
1,31
—
~
г • сек
——3 — п]
+ 200
2,65
3,о6
2,57
1,26
—
—
2,32
2,11
—
—
—
—
I,6l
— .
—
эи fC
+ 300
3,03
—
—
1,42
—
—
—
—
—
—
—
—
1,86
—
—
* Только расчётная величина.
Таблица 26
Физические константы воды между 0 и 200° С при давлении насыщения
_ 2
(между 0 и 100° при давлении 1 кгсм ) [2]
Темпера-
тура
t
°С
О
10
20
Зо
40
5о
6о
7°
8о
90
IOO
120
140
i6o
180
200
L
Давление
1
Р
кг/см1
,оз
,02
3.68
6,3о
10,20
15,85
Удельный
вес
Т
кг/.и3
IOOO
JOOO
998
996
992
988
983
978
972
965
958
943
926
9о8
887
865
Удельная
теплоёмкость
с
Р
ккал
кг • {рад
1,009
1,ОО2
о,999
0,99s
0,998
0,999
о-999
1,001
1,002
1,005
1,О07
1,015
1,025
1,040
1,057
1,078
Теплопровод-
ность
X
ккал
м • час -град
0,480
о,494
0.5Ю
о,525
о,539
о,552
о,5б5
о,574
0,581
0,585
0,587
°,59°
0,588
0,585
0,579
0.572
Динамиче-
ская вяз-
кость
р.- 10й
кг • сек
м?
i82,5
133,0
Ю2,О
8i,7
66,6
5б,о
48,о
41,4
зб,з
32,1
28,8
23,5
2О,О
17-5
15,7
14,3
Кинемати-
ческая вяз-
кость
ч • 103
M'lceK
179
130
100
8о,5
65,9
55,6
47,9
4i,5
36,6
32,6
29,5
24,4
21,2
i8,9
17,4
16,2
Темпера-
туропро-
водность
а- 10*
м'/час
4,8
5,о
5,1
5.3
5,4
5.6
5,7
5,9
6,0
6,1
6,2
6,4
6,5
6,7
6,9
7,1
Критерий
Прандтля
Рг
13,3
9,49
7,об
5.51
4,37
3.59
З.°о
2,54
2,2О
1,93
1,72
1.37
LI?
1,О2
о,91
0,82
Прибор Энглера применим для -жидкостей-
с вязкостью не меньше 1,1° Е.
Физические константы воды между 0 и 200° С
при давлении насыщения (между 0 и 100° при
давлении 1 кг/см^) — см. табл. 26.
С повышением температуры вязкость
жидкостей падает, своеобразное измене-
ние коэфициента вязкости имеет сера
(табл. 29).
В пределах небольших давлений ц жидко-
стей меняется с давлением линейно. Влияние
высоких давлений см. [1].
Качественное поведение исследованных
жидкостей, исключая воду, под воздействием
высоких давлений одинаково, количественное
из%генение вязкости весьма различно.
Вязкость увеличивается с повышением да-
вления, темп нарастания вязкости растёт с по-
вышением давления: для первых двух-трёх
тысяч кг\см^ соотношение между давлением
и вязкостью почти линейное; выше 3000 Kz\cjfi
вязкость растёт, или в геометрической про-
грессии, или ещё быстрее, тогда как давление
растёт лишь в арифметической прогрессии. За
исключением воды и ртути наименьшее вли-
яние давления на вязкость у метилового спир-
та (при увеличении давления до 12000 кг/см2
вязкость увеличивается лишь в 10 раз), у эйге-
нола — наибольшее (при увеличении давления
до 12000 кг\смЪ вязкость растёт в 107 раз).
По Гайду смазочные масла при давлениях
до 1500 Kt]cjnz увеличивают вязкость более


448
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
Таблица 27
Коэфициент вязкости р. разных жидкостей в зависимости от температуры
Наименование жидкости
Вода .............
Ртуть ............
Сероуглерод .........
Глицерин ...........
Касторовое масло ......
Цилиндровое масло ......
0°
0,0179
0,0170
0,0044
46
—
—
20°
O.OIOI
0,0157
0,0038
8,7
7.24
9,47
40°
о.ообб
—
0,0032
—
2,23
i,3o
60°
0,0048
—
—
—
о,68
о,54
80е
0,0036
—
—
—
0,28
о,аб
100°
0,0028
0,0122
—
—
0,12
0,12
Удельный
вес
1,0
13,55
о,д6
1,26
0,969
0,91
Таблица 28
Кинематическая вязкость ч в м*1сек некоторых жидкостей [9J
Наименование
жидкости
Бензин .........
' Бензол .........
Толуол .........
Касторовое масло • • .
Смазочное масло • • • .
Температура
в °С
20
20
О
4о
40
в Л12/сек • 10
о,8з
о,73
0,87
230
6о
Наименование
жидкости
Алкоголь ........
Глицерин ........
Ртуть .......-•.
Керосин ....... . .
Воздух жидкий • • . • .
.
Температура
в °С
20
2О
20
2О
—
V
с
в м?1сек • 10
1-51
848
0,114
2,2
0,33
Таблица 29
Относительная вязкость z расплавленной серы; вязкость воды при 17°С принята за единицу [6]
FC
2
120
II
150
8
170
30 ооо
i87
52000
200
46 ооо
22О
24 ооо
240
13300
280
3700
320
1СЦ.О
36о
35°
42О
i°5
448
74
чем в 15 раз. Герш и Шор обнаруживают и давлении; вязкость исследуемой жидкости
увеличение вязкости смазочных масел в сот- при атмосферном давлении и 30° С принимает-
ни раз при повышении давления до 4000 кг\смг. ся за единицу (табл. 30).
Цифровые измерения вязкости Бриджмен даёт Изменения вязкости ртути относительно
в сводке, где приведены логарифмы относи- невелики.
тельной вязкости при различных температуре Вязкость ртути см. табл. 31.
Таблица 30
Вязкость жидкостей по Бриджмену [1]
Вещество
Метиловый |х J 30°
спирт * р,о •! 75°
J30
И-75
Этиловый jx ( 30°
спирт 12 -j^~ | 75°
Пропиловый [л Г зо°
спирт норм. }ё —— | 75о
Р-ЗО
1*75
1
о.ооо
9,769
1,702
о,ооо
9,657
2,203
о, ооо
9,598
2,523
Д
1000
0,167
9,933
1.74
О,2ОО
9.8?3
2,123
0,283
9,88о
2,529
авление в Кс
<000
0.471
О,2О8
1,832
0,617
0,289
2,128
о,836
2,938
/ел2
8000
о,75о
0,448
2,004
1,023
0,634
2,449
1,402
0,827
3,758
12000
0,098
0,655
2,203
1,39°
0,919
2,958
1,915
1,223
4,920
1*30
в пуазах
0,01003
0,01779


ГЛ. V]
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
449
Продолжение табл. 30
!
Вещество
и. 1 оп-
Пентан норм, lg — - — 1 •'"
±?L
His
Гексан норм. lg —— J 80
Vn [ '3
^зо
^75
ip. t* / 30°
Октан норм. и 1 75°
_1*39^
1*73
Глицерин '2 7Г { 75е
J^o.
1*75
Хлороформ 'В ~т~~ | 75°
±30.
1*75
[Л ( 30°
Сероуглерод 'В ~^~ j 75°
тг
1 ^** С зо°
Эфир « 77 | 75°
^30
^75
Толуол 'S ~Г^ j 75°
±30.
М-7Я
Эйгенол '8 7~ 1 75°
1*75
Петролейный ;х / 30°
эфир 'В —— | 75°
азо
1* [ 30"
Керосин '? -j7^- j 75°
1*75
1
о, ооо
9,8и
1,545
о, ооо
1.574
о, ооо
9 8ю
1,549
О.ООЭ
8,8ю
15-49
о. ооо
9.858
1-387
о. ооо
9,875
1,334
о, ооо
9.878
1.324
о,ооо
1,600
о, ооо
9-429
3-724
о,оо
о,оо
Да
1000
0,163
1,419
0,332
1,449
0,327
ОД53
1.493
О,2Ьо
9,023
17,26
O,2II
1.309
0,160
0,051
1,285
0324
0,149
1,496
0,274
0,065
1,618
0,541
9.810
5,383
0,30
0,46
i
вление в кг/
4000
0,676
1,48,3
0,701:
1,633
i.oSS
2Д13
°936
9,529
25,53
0,650
0,480
1,514
0,509
о,372
IJBI
0.792
O.OOI
1,552
0,897
о,597
1,995
2.273
(Зооо)
0,805
29,38
о.93
0,56
2,34
0,91
4.3
см-
8С(У)
1,360
1,119
1,742
1,198
2,О7О
1,ЗбЗ
0,094
44.36
0,914
0840
0,671
I-476
I.26l
0,986
1,884
1,699
1,186
3,258
2,343
i,59
I, Об
3-39
i,88
12000
1,846
1,493
2,254
1,646
о,6з8
1.189
0946
L750
1,670
I-3H
2,286
1,832
2,18
1,49
4.90
2,80
в пуазах
0,002,0
О,002ф
0,00483
3,8
0,00519
0,00352
O.OO2I2
0,00523
29 Том 1, кн. 1


450
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
Таблица 31
Вязкость ртути
под давлением [1]
Относительная вязкость воды [1;
Давление
в кг/еж'
i
2 000
4 ооо
6 ооо
8 ооо
10 ООО
12 000
Абсол
вязк
30°
0,01516
0,01585
0,01663
0,01742
O,Ol822
0,01912
0,02007
ютная
ость
1У
0,01340
0,01400
0,01463
0,01528
0,01598
о ,01674
0.01759
Давление в кг/ел?
i
5оо
I ООО
г 5оо
2 ООО
Зооо
4000
5 ооо
6 ооо
7 ооо
9000
IO ООО
II ООО
Отн
0"
1,000
о,938
0,921
о,932
°,957
1,024
l.iii
1,218
1.347
Затее
осителы
10.3-
0.779
0,775
о,743
0-745
0-754
0,791
0,842
о,оо8
0,981
1,064
1,152
эдела
<ая вязк
30°
0,488
0,500
0.5*4
о,53о
о,55о
о,599
0,658
0,740
0,786
о,854
0,923
0,986
1,058
1,126
ость
75°
0, 222
О.230
0,239
0,247
0,258
0,302
о.ЗЗЗ
о,3°7
о,404
о,445
о,494
Таблица 32 нулю. Поверхностное-
натяжение слоя ока-
зывает на жидкость
нормальное к её по-
верхности давление:
1 \
По Гаузеру вязкость воды при темпера-
туре ниже 30° с увеличением давления до
400 кг/см? понижается, выше 30° С увеличи-
вается.
Бриджмен при t = 0е С и давлении 1000
кг/см1* находит минимум; при 30 и 75° С уста-
новлено увеличение вязкости на всём интер-
вале увеличения давления.
Относительную вязкость воды см. в табл. 32.
Поверхностное натяжение
Молекулы жидкости на границе между
жидкостью и другой средой (воздухом, паром
этой жидкости, стенками сосуда) образуют по-
верхностный слой. Внутри жидкости молеку-
ла испытывает со стороны окружающих её
молекул воздействие, одинаковое во всех на-
правлениях; в поверхностном слое воздействия
на молекулы со стороны жидкости и другой
граничащей среды не одинаковы, равнодей-
ствующая всех сил направлена по нормали к
поверхности пограничного слоя и зависит от
свойств не только жидкости, но и другой сре-
ды. Молекулы слоя обладают большей по-
тенциальной и свободной энергией, нежели
молекулы внутри жидкости. Естественное
стремление системы перейти к состоянию, от-
вечающему минимуму свободной энергии (по
второму началу термодинамики), удовлетво-
ряется выходом молекул из поверхностного во
внутренние слои жидкости, что вызывает тен-
денцию сокращения слоя и создаёт в нём по-
верхностное натяжение.
Коэфициент поверхностного натяжения а
определяется либо как касательная к поверх-
ности сила, отнесённая к 1 см линии раздела
поверхности, либо как свободная энергия
квадратного сантиметра поверхностного слоя
(а эрг\см^ = дн • см/см* = дн/см).
Стандартная жидкость для определения по-
верхностного натяжения — вода (на границе с
воздухом), для неё при 18° С а — 72,5 — 74,0,
в среднем 73,1 дн/см.
Поверхностное натяжение воды является
наибольшим (табл. 33).
Повышение температуры снижает а; так,
ал я Н2О:
tC C=» О 15 20
а = 75.626 73.35° 72,583
2д 5° 10°
71>8ю 67,799 58.80 dHJCM
/1
I Г
— формула Лапласа
для произвольной фор-
мы поверхности жид-
кости; г\ и г2 (в см)—
главные радиусы кри-
визны, положитель-
ные, если центр кри-
визны внутри жид-
кости, т. е. для выпук-
лой сферической поверхности гх = г2 = ~Ь г>
для вогнутой сферической поверхности г± —
, 2*
= г% =—г и Д/з,' —+—; для цилиндрической
поверхности кривизна в направлении оси рав-
Таблица 33
Поверхностное натяжение « жидкостей [6]
Вещество
Вода-
Бензол •
Толуол .
С8Я , . .
СС1. . .
СНС13 .
СН3ОН '.
СаН5ОН .
(СаН,J О
СН3СОСН,
сн,соон
Не ....
и
S-
i8
20
20
20
20
20
О
20
20
ао
16,8
20
— 2~О,7
3
"'i"
«
73Л
28,8
28,2
33,5
яб
454
23,02
22,3
16,5
234
23.5
о,354
Вещество
Не . . ,
Н, . .
Н, .
N, .
0,
Аг
С1,
Вг,
СО
соа
NH3
so.
so.
CJ
-
—269,0
—258,5
-253
— 105,9
—182,7
— 186,1
— 72
+ 13
—190
+ 15,2
- 29
— 25
+ 20
a|
03 "?
a^
0.098
2,86
1,91
8,3
13
ii
33,6
44,1
ii
1,8
41,8
33,3
30
на нулю, Г]—со, поэтому для выпуклой и соот-
ветственно вогнутой цилиндрической поверх-
ности
к
г2=+ г и До,-—4- — .
Г
Термические коэфициенты
В случае однородного тела состояние его
определяется давлением (р), удельным объ-
ёмом (v) и температурой (t). При наличии
внутреннего равновесия эти параметры могут
быть связаны функциональной зависимостью
так называемым уравнением состояния
F(р, v, t) = 0; если F (p, v, t) известно, то каждый
из трёх параметров может рассматриваться
как функция двух других независимых, и для
определения состояния достаточно двух па-
раметров:
/ др \ ^ , / др
v=/1(t,p) и dv =
•' dv
\ф
При критической температуре а на грани-
це с насыщенным паром жидкости равно


ГЛ. V]
ОБЩИЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
45]
-
р dpt
Эти производные, давая изменение одного
из параметров в функции другого при неиз-
менности третьего, имеют значение для оцен-
ки физических свойств тела:
I f dv \
— — —I -r — ) — коэфициент сжатия;
i>0V dp /t
' I V-. —— t/2 „ ,
— — . -J —— — средний коэфициент сжа-
^о Рг—pi
тия;
dv
Ж
— расширяемость тела под влия-
нием изменения температуры при неизменном
давлении;
( —~} — сжимаемость тела под влиянием
V др Л
изменения давления при неизменности тем-
пературы;
-Р j — упругость тела под влиянием
Ot )v
температуры при неизменности объёма.
В термодинамике рассматриваются функ-
ции состояния:
1 / dv \ «л.
а = —[^г—1 —термодинамический коэфи-
v\dtjp
циент расширения;
1 / dv \
8 = — — —— — термодинамический коэ-
v \ др Л
фициент сжатия;
1 / dp \ -к
у=— -s - I —термодинамический коэфи-
р V dt Jv
циент давления.
В технических расчётах и эксперименталь-
ной физике часто пользуются величинами:
1 / dv \
а0=: —(-—-J —коэфициент расширения1,
a'=_.J*— 1—средний козфициент рас-
- коэфициент давления;
f = — -^~——р— средний коэфициент да-
вления;
коэфициенты а, C, -j—функции состояния и
отличны от величин а0, Р0, -уо> так' Для идеаль-
ного газа уравнение состояния
p.v— R-T
тогда i
1
ао — v \
i
v3K
( dv ^
{дТ ,
ЛдТ )р
\ l R
]п~ЩР~
V р
1 V
VQ Т
Т'
Т
тй
} 1
Г~273'
где v0 при TQ = 273 (табл. 34).
Таблица 34
Термические коэфициенты газов при 1 am [6]
Газ
Не
н,
N3
воздуха (при 1 м
Hg)
а'о
0,0036582
0,0036588
0,0036733
0,0036728
1'0
0,0036606
0,0036621
0,0036746
0,0036744
ширеыия;
Для идеального газа
«о = То =
273 '
Таблица 35
Линейное расширение твёрдых тел между 0° и t° в мм\ отнесено к 1 м длины при 0° [9]
Твёрдое тело
Алюминий ....................
Берлинский фарфор ...............
Бронза ......................
Золото ......................
Иенское стекло 16Ш ...............
То же 59Ш ..................
. 1565Ш .................
Константан ....................
Латунь ......................
Литое железо ..................
Литая сталь ...................
Магний ......................
Машинный чугун ................
Медь красная ..................
Никель ......................
Олово ......................
Палладий ....................
Платина .....................
Платина-иридий 80 : 20% .............
Сварочное железо ................
Свинец ......................
Стекло кварцевое ................
Серебро .....................
Цинк .......................
Чугун высокого качества ............
i
о
— 3>43
— 0,32
— 2,49
— I.I2
— 0,82
— 2,26
— 3-и
— 1,67
— 1,64
— 4,01
— i,6i
— 2,66
-1,89
— 4-24
— 1,93
— 1,51
— 1.68
— 5-12
0,0
— 3,21
-1.85
— 1-59
о
ч
0
2,38
0,30
i,75
1,42
o,8i
о-59
°-345
1,84
1,2О
1,17
2,59
1,04
2,67
1Д9
о,ох>
о,8з
1,22
2,92
0,05
1,97
1.65
1.04
!
ч
о
4>94
0,66
3,58
!,67
1,20
0,72
3-12
3-85
2-51
2,45
5-39
2,19
3^38
1
2,42
1,83
1,70
2,53
0,12
4,оо
1
2,21 |
О
^
О
7,68
1,03
5-50
2,00
i,83
1,12
4>8х
6,03
3-92
3,83
8,36
3,45
4-34
3-7°
2,78
2,59
3-93
0.19
6,08
3-49
о
ч
о
ю, 6о
i,4i
7-51
3,59
2,47
1.56
6,57
8,39
5-44
5-31
4,82
7,07
5-91
5-02
3-76
3-51
5-43
0,25
8,23
4.90
о
о
13,7°
1,82
9>6i
4,63
З-12
2,02
8,41
7. об
6,91
14,88
6,31
9>°4
7>5б
6,38
4,77
4-45
7,О2
0,31
ю,43
i
6,44
t
0
ч
о
16,67
2,24
8,79
8,6о
7-91
9>2?
7-79
5,8»
5-43
8,7i
t
о,зб |
12,69 j
8,09 |
1 0
ч
t о
!
2,63
10,63
10,40
",05
9,24
6,86
6,43
10,49
0,40
15,14
9,8?


452
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
Для твёрдых тел имеют значение коэфи-
циенты линейного (а0,/) и поверхностного
(«<>.$) расширения.
Для изотропных и квазиизотропных твёр-
дых тел приближённо а0 = Зт0,г, <*Q,S — 2*о./-
Средний коэфициент линейного расшире-
ния от 0 до 100° С имеет значения порядка
10~5 , например [6]:
Таблица 38
Относительный объём жидкостей по Бриджмену [1]
S0
А10
fec
"—20°
э— loo"
с — ioo°
7,07.10
2,38.10
1,1 .10
—5
-5
—5
"7° — тоо1' 2,93
А&о°-- 100° 1,98
W0°_ 100° Oi^g
Ptj6° — 2ЗД'' О.О2
1C
.1
I
.1
5
У анизотропных тел порядок величины тот
же, но зависит от направления главных осей,
так
2%)'C-L а/= 1,26-1 0
(табл. 35, 36, 37).
Таблица 36
Объёмное расширение 1000 а при комнатной темпе-
ратуре B0°) [9]
Алкоголь
Бензол .
Вода . .
Глицерин
Керосин
Оливковое
масло .....
1,10
1,25
o,i8
0,50
1,0 — 0,92
0,72
Репейное масло
Ртуть .....
Серная кислота
Скипидар . . .
Эфир .....
. о,9о
• о,55
. Т 00
. 1,6Ъ
Таблица 37
Линейная усадка некоторых металлов [9]
(уменьшение линейных размеров отлитого предмета
при его затвердевании и охлаждении)
Бронза ......
Висмут ......
Колокольный
металл .....
Латунь ......
Литая сталь . . .
Олово ......
Ковкий чугун . .
Пудлинговая сталь
:63
. 2С5
:°5
:64
'•72
Пушечный
металл ...... i
Полосовое же-
лезо прокатное . •
Свинец .....
Стальное литьё .
Цинк литой . .
Чугун .....
100 вес. ч. меди
12,5 » » олова . . i
55
92
5о
6з
Ф
• 134
В сталепрокатных мастерских принимают усадку рав-
ной в среднем 12 мм на 1 пог. м.
Всестороннее давление на твёрдое тело
уменьшает его линейные размеры и объём.
В случае аморфных и кристаллических тел
кубической системы р/ одинаковы во всех на-
правлениях Р = 3pf: у аморфных тел р поряд-
ка от 2 до 3-10~6, у кристаллических—от 0,5 до
3-Ю" (давление в кг/см?)', в случаях кри-
сталлов других систем линейное сжатие раз-
лично в различных направлениях, что даёт
различные соотношения между pj и р.
Сжимаемость жидкостей мала и близка к
сжимаемости твёрдых тел. По Бриджиену ис-
следованные им жидкости грубо распадаются
на три; класса: в первый входит глицерин, во
второй—вода, С6Н6С1 и С6Н5Вг, в третий—все
остальные. Под давлением 12000 кг/см? при
комнатной температуре глицерин теряет 13,4°/о
своего первоначального объёма, вещества вто-
рого класса —зколо 20°/0 третьего—около 30%
(табл. 38).
Давле-
ние в
кг!см3
о
I ООО
2 ООО
Зооо
4 ооо
5000
6 ооо
7 ооо
8 ооо
9 ооо
IO ООО
II ООО
12 ООО
0'
1,ОООО
0,9567
0,9248
0,8996
0,8795
0.8626
Вода
50°
1,0119
0-9741
09439
О.92О1
о,8997
0,8824
о,8668
0,8530
0,8407
0,8296
0,8192
95°
1,0395
0.9981
0,9661
0,9409
0,9194
0,9009
0,8849
0,8705
о,8577
0,8461
0,8352
0,8256
Рт
0°
1,ооооо
0.99626
0,90261
0,98905
0,98561
0,08231
o,979I4
0,97607
уть
20е
1,00362
о,99972
о,99593
0,99233
0,98877
0,98540
0,98216
0,97904
0,97608
0,97327
о,97059
0,96806
0,96567
Глице-
рин
30°
1,ооэ
0.95s
0,932
0,911
0,893
0,879
0,866
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Первое начало (закон) термоди-
намики является одним из двух основных
законов термодинамики как науки; констата-
ция первого начала явилась результатом
установления принципа эквивалентности те-
плоты и работы.
Невозможность перпетуум-мобиле (до-
словно «вечнодвижущееся») первого рода, как
формулировка закона, есть утверждение не-
возможности осуществления машины, увеличи-
вающей количество энергии в изолированной
системе; формулировка связана с попытками
создания вечного двигателя, т. е. двигателя,
который производил бы работу из ничего.
Закон устанавливает, что в любом про-
цессе сообщённая системе теплота (Q) равна
приращению внутренней энергии системы
(At/), сложенному с работой, которую произ-
вела система (W):
Q = Л ?74- U7,
где величины Q, MI, W выражены в одних и
тех же единицах.
В зависимости от существа процесса ра-
бота может иметь разнообразное значение.
Работу принимают положительной, если
она совершается системой, т. е. система от-
даёт работу; наоборот, если работа совер-
шается над системой, т. е. воспринимается
системой,- работа отрицательна.
Примеры: работа расширения системы с
увеличением её объёма на dV и преодоле-
нием внешнего давления /;
работа переноса электрического заряда de
между двумя точками с разностью потен-
циалов Е
dW=Ede;
работа сокращения поверхности жидкости
на величину dS при поверхностном натяже-
нии а
Работа W = { у dx, где у — F (х) зависит
от вида этой функции, т. е. при переходе
системы от состояния / к состоянию 2 работа


ГЛ. V]
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
453
определяется не только начальным и конеч-
ным состояниями, но и формой пути перехода
системы.
Работа процесса / — а — 2 (фиг. 7) есть
площадь rnla 2пт, работа процесса / — b — 2 —
площадь mlb 2пт;вто-
рая значительно мень-
ше, хотя у обоих про-
цессов исходное и ко-
нечное состояния оди-
наковы.
В технической тер-
модинамике уравне-
нию первого начала
где А =
Фиг. 7.
^
427
придают вид:
ккал Л
кгм \
1 + AdL,
термический эквива-
лент единицы работы; dQ [ккал] — внешняя
теплота процесса; dU [ккал]— изменение внут-
ренней энергии; G f d-~.-— -{- dh \ \кгм] — изме-
нение внешней кинетической и потенциальной
энергий; G [кг] — вес; L[KZM\—произведённая
работа.
Большое распространение имеют процессы,
в которых давление на поверхность тела имеет
всюду одинаковую величину. В- этом случае
(при равномерном поле давлений) работа
dl = pdV,
где dV — изменение объёма. Практически
этим охватываются процессы расширения и
сжатия, протекающие внутри замкнутой обо-
лочки, допускающей изменение объёма, рас-
пространяясь на газы и пары, в известных
пределах на капельные жидкости, а на твёр-
дые тела лишь при всестороннем равномер-
ном сжатии или растяжении их.
Случай неравномерного поля давлений прак-
тически охватывает течение газов и жидкостей
в закрытых неподвижных или подвижных ка-
налах (например турбины). Здесь работа
где LT — работа, совершаемая подвижными
стенками канала; LB — работа вытеснения жид-
кости, необходимая для создания течения её по
каналу. L т определяется условиями перемеще-
ния стенок подвижного канала;
где V — объёмный расход жидкости за едини-
цу времени.
Уравнения первого начала принимают вид:
а) Равномерное поле давлений:
V;
ккал
- + (*2~*l) ]
+ A f pdVi
V?
пренебрегая изменением внешних кинетиче-
ской и потенциальной энергий:
dQ = dU + ApdV;
У?
Q = (?/3 - ?/,)-Н Л \pdV.
ккал.
Относя уравнения к 1 кг { v =
О'
dq ^ du -t- A (d~ +
V ?g
Apdv;
ккал 1кг.
+ А f pdv;
Vl
dq — du -\- Apdv;
v*
q = («2 — HI) + A \ pdv.
б) Неравномерное поле давлений —течение
сплошной среды по каналу:
dQ = dU + Ad(pV) +
-f- A
ккал.
Уравнения отнесены к стационарному по-
току жидкостей, когда через любое сечение
канала в равные отрезки времени проходят
одинаковые массы; G и V— весовой и объёмный
расходы за единицу времени.
^ 1 / V МА
Относя уравнения к 1 кг \v = -^- — ,
Jt
-^-
G кг
кгм
dq — du -f Ad(pv) +
— P&) -f
-2~~~-± + (ь-иЛ\ + А1Г.
ккал/хг.
В уравнениях первого начала dU—полный
диференциал функции состояния U (внутрен-
няя энергия); dQ и dL — неполные длферен-
циалы; Q и L — функции процессов.
Через функцию состояния — энтальпию
(см. термодинамические функции) / = и -f-
4- Apv ккал/кг, уравнения первого начала вы-
ражаются:
а) Равномерное поле давлений:
/да2 \
dq =. di + A f d ^— + dh } —- Avdp;
q = (/2
f Л
[7
W2-
p»
vdp;
ккал! кг.


454
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
пренебрегая изменением внешних кинетиче-
ской и потенциальной энергий:
dq = di — Av dp;
РЗ
q = (/2 — ij) — A J v dp.
ккал/кг.
б) Неравномерное поле давлений — течение
сплошной среды по каналу:
dq = di + А
dh\ + Ad If,
ккал/кг.
Второе начало. Второе основное на-
чало термодинамики как науки установлено
С. Карно A824 г.) хронологически ранее перво-
го начала [30].
Карно создал представление об идеальной
машине, выполняющей некоторый круговой
процесс (см. ниже, стр.463, 481), который при-
нято называть циклом Карно. В отношении
идеальной машины доказывается, что: 1) коэ-
фициент полезного действия цикла Карно не за-
висит от природы рабочего тела; 2) при данных
температурах двух тепловых источников не
существует цикла тепловой машины более
выгодного, чем цикл Карно, с теми же темпе-
ратурами тешюотдатчика и теплоприёмника.
Помимо этого второе начало получило ряд
других формулировок: постулат Клаузиуса —
теплота не может переходить сама собою от
более холодного тела к более тёплому; прин-
цип Планка — невозможно построить периоди-
чески действующую машину, всё действие ко-
торой сводилось бы к поднятию некоторого
груза и соответствующему охлаждению тепло-
вого резервуара; принцип Каратеодори —
сколь угодно близко произвольно выбранному
данному состоянию системы имеются такие её
состояния, из которых система не может быть
переведена в данное состояние адиабатным
процессом; невозможность перпетуум-мобиле
второго рода, что понимается как невозмож-
ность машины, способной превращать в работу
всю теплоту, полученную ею от теплового
источника, и др.
Аналитически принцип Карно выражается
к. п. д. его цикла;
где 7\ — абсолютная температура теплоотдат-
чика (верхнего теплового источника); Г3 — аб-
солютная температура теплоприёмника (холо-
дильника).
В связи со вторым началом Р. Клаузиусом
A851 г.) введена функция состояния системы —
энтропия (S).
Диференциал энтропии связан с приведён-
ной теплотой, т. е. отношением исчезающе ма-
лого количества теплоты, сообщаемого в про-
цессе системе, к абсолютной температуре те-
плоисточника, соотношением:
~ ккал/град;
знак равенства отвечает обратимому процессу,
знак > — необратимому. Из выражения
dS = -^ . где dS — полный диференциал,
a dQ — неполный, следует, что -~ = ад (Т),
(функция Карно) является интегрирующим
множителем для dQ.
Для конечного процесса, соответствующего
переходу системы из состояния / в состоя-
ние 2, приращение энтропии Sa — St ^ \
Г
ккал/град, что указывает на меньшее значение
2
" dQ
( ~- в случае необратимого процесса срав-
1
нительно с обратимым, так как левая часть
выражения как функция состояния сохраняет
своё значение.
Для замкнутых круговых процессов (цик-
лов) интеграл Клаузиуса j '-—<!0, где знак ра-
венства— для обратимых циклов, знак < —
для необратимых.
Общие соотношения между параметрами
р, -о, 7, и, t, s и связь этих параметров
с ср и cv
1.Независимые перемени ыеГи v-
dq = cvdT+ AT ( ~p) </t/ ккал/кг;
\01 J-a
— ^Т . / др\ ккал
ds = cv— + Л ^j^rff -^pW '
dp\ .  ,
^\ —An\ dv
2. Независимые перемени ыеГир:
dq — с dr— AT I -—Л (/р кгкял «г;
С* V / n
ds
dT ./dv\ , к
= с „ -~ — A i -^- 1 dp —
ккал
кг-град '
di — Cp dT + \Av — AT ( — ; j 1 dp ккал/кг.
3. Независимые перемени ые р и v.
D
ds =
a
ккал
'ккал/кг.


ГЛ. V]
ГАЗЫ
455
4. Теплоёмкости;
с„ — с,, — А Т ( ~-} (-
к г.-г рад '
Характеристические функции, уравнения
Максвелла и Клаузиуса — Клапейрона
Функции состояния системы, позволяющие
при определённом выборе независимых пере-
менных через свои производные (разных по-
рядков) наиболее просто и в явном виде вы-
ражать термодинамические свойства системы,
называются характеристическими.
Уравнение первого начала dq = du 4- Apdv
и второго dq — Tds исключением dq дают за-
висимость Tds — du -f- Apdv, содержащую пять
переменных величин: р, v, Т, и, s. Принимая
две из них за независимые переменные, необ-
ходимо иметь для определения остальных трёх
величин три уравнения, тогда как в распоря-
жении имеются лишь два: уравнение Tds =
= du -Ь Apdv и уравнение состояния f(p, v, 7)—
= 0. Недостающее условие и даётся характе-
ристической функцией; если последняя известна,
то через её частные производные выражаются
термодинамические свойства системы.
Внутренняя энергия — функция со-
стояния системы, выражающая величину запа-
са энергии, который может быть выделен си-
стемой в виде теплоты и работы, производимой
системой, — является при независимых пере-
менных v и 5 характеристической:
du = Tds — Apdv, откуда вытекает, что:
д*и
т-№
ds
\!ди
— —
A\dv
dp=—-
dsdv
&u\
Энтальпия — функция состояния систе-
мы г = и -f- Apv — при независимых переменных
р и 5 является характеристической:
di = Tds + Avdp;
отсюда следует, что
\ дЧ ( дЧ
— \; dT=-—-dp + ( —
\ds]p dsdp \ds2
ds;
lfdi\ , , .
v ==• - I — I ; dv = — — \ dp 4- — — • ds ;
A\dp)f' P '
i=u+p
di
Свободная энергия — функция со-
стояния системы F = и — Ts— при независимых
переменных Т и v является характеристической:
dF •— — Apdv — sdT;
idF\ •
UrV
dF
ds = —
dT —
-dv;
\\/d'2F\
= — - ——
dTdv
dv4- —-dT\\
т dvdT
Термодинамический потенциал
при постоянном давлении (изобар-
ный потенциал) — Ф = и — Ts ~\- Apv = F +
4- Apv = i — Ts — при независимых перемен-
ных Т и р служит характеристической функ-
цией:
= Avdp — sdT,
откуда
дТдр
dp —
А\др)т
Уравнения Максвелла
(Oi\ (др\ ^7
\dv's~ \ ds)v '
\ds
Уравнение Клаузиуса—Клапейрона
др______Х__
д7~
где X — скрытая теплота перехода одной фазы
в другую (плавления, парообразования, субли-
мации); v' и v" — удельные объёмы фаз (см.
„Водяной пар", стр. 469).
ГАЗЫ
Идеальные газы
Основные законы. Закон Бойля-Мариотта,
установленный Бойлем в 1662 г. и независимо
от него Мариоттом в 1676 г. При переходе
данной массы газа из одного состояния в дру-
гое при постоянной температуре объём и да-


456
ТЕПЛОТА
(РАЗД. !
вление связаны соотношением —• = — или
Р\ уз
р1 V] = Рч V2-
Закон Гей-Люссака A802 г.) устанавливает
соотношение между объёмом и температурой
при переходе данной массы газа из одного
состояния в другое при постоянном давлении:
VI = VQ(\ +0,003661 ti);
v3 = щ A + 0,003661 /а);
1 моля газа
V = t'fj.
V^ = (ц/?) Г = 848 Г, где
— объём моля,
848- -J?*'
_-
273,15
моль • град
—газовая постоянная, отнесённая к молю газа,
так называемая универсальная газовая по-
стоянная, одинаковая для всех газов (след-
ствие закона Авогадро).
Следствием закона Авогадро, согласно ко-
торому одинаковые объёмы различных газов
содержат при одинаковых р и Т одинаковые
числа молекул, является:
Т,'
273,15
F-2
ко'зфициент расширения OQ — 0,003661 — т^тоТк
1&/0, 1о
одинаков для всех газов; vn, и,, т;2 — объёмы
при 0° С; ^i° С, ^2° С, 7'j и Г2 — абсолютные тем-
пературы.
Газы, абсолютно строго подчиняющиеся
законам Бойля-Мариотта и Гей-Пюссака, на-
зывают идеальными. Реальные газы уклоняются
от этих закономерностей; эти отклонения тем
меньше, чем меньше давление газа и чем вы-
ше его температура.
„ pv _
Уравнение Клапейрона: *-==/? или pv
кгм Л
—
т. е. что в равных условиях давлений и тем-
ператур объёмы молей различных газов оди-
наковы.
Число молекул в граммолекуле, число
Авогадро N = 6,064-1 028; объём моля идеаль-
ного газа при 0° С и 760 мм рт. ст. V,j.,0 = 22,416
^М^/МОАЬ; объём моля при 15° С и давлении
1 кг/см2 VV.is ~ 24,4 м*1моль.
Удельный вес газа в произвольном состоя-
= НИИ
= rtT, где JR
газовая постоянная,
кг -град J
служит уравнением состояния идеального газа.
Уравнение отнесено к 1 кг газа (и м^/кг —
удельный объём), умножением его на G кг
получают уравнение pV = GR Т, где V = vGMs.
Значения k см. в табл. 39.
Если [/. — молекулярный вес газа, то, приняв
G = fA, получают уравнение состояния для
-у — - — , где I/ — объём моля в тех усло
V
виях, для которых ищут у.
Удельный вес при 0° С и 760 мм рт. ст.:
'° 22,416 22,4
(в обычных расчётах принимают V(x>0 = 22,4;
в обоих случаях полагают, что газ подчиняет-
ся закону Авогадро; отклонения см. в табл.39).
Свойства гааов
Таблица 39
Газ
Азот ....
Аммиак . .
Аргон . . .
Ацетилен .
Водород . .
Воздух . .
Гелий . . .
Дифторди-
хлорметан . .
Кислород .
Метан . . .
Окись угле-
рода .....
Пропан . .
Пропилен .
Сернистый
ангидрид . . .
Углекислота
Фтор ....
Хлор ....
Этан ....
Этилен . . .
Форму-
ла
N,
NH3
Аг
С2На
н,
Не
CF,C12
О2
СН4
со
С3Н8
с,нв
so,
соа
FJ
С1а
сан„
С8Н4
, ^
СЧ 03
о> м
§*
28,016
17.031
39.944
26,04
2,0156
28,96
4.ОО2
120,93
32.ОООО
15,04
28,01
44,09
42, о8
64,06
44,01
38,000
70,914
3°,о7
28,05
, §_
С .
м ir "^
О к гч>
00 о -^
30,25
49.8
21,2
32,5
420,5
29,27
211,9
7,01
26,5
52,8
3°,25
1925
20,15
1323
19,25
22,3
и,95
28,2
30,23
Норма
удельн
То в
иычисл.
1,2498
о,7598
1,7819
1,1617
0,08992
1,2922
0,1786
5-394
1,4276
0,7152
1,2496
1,967
1,877
2,8581
1,9633
1,695
1,341
1,251
льный
ый вес
кг/л3
измер.
1,2505
0,77*4
1.7839
1,1709
0,08987
1.2928
0,1785
5,083
1,42895
0,7168
1,2500
2,019
1,915
2.9263
I.97C8
i,fc95
3,22
1,356
1,2605
Точка
кипения
R " С*
—195,81
— 33.4
-185,9
- 83,6
-252,78
— 194,0
— 268,9
— 30,0
-182,97
— i6x,7
— 191-5
— 42,6
— 47.°
— ю о
- 78.48
—188
— 35 о
— 886
— Ю3.5
Точка
плавле-
ния в °С
— 2IO.02
- 77-7
-189,3
—259,20
-155
—218,83
—1825
-205
— 189,0
— 1852
— 75.3
— 56
— 22О
— юз
-183,9
— 169.4
Кр
ш
-I47-I
—132,4
— 122,4
35-7
—239.9
— 140,7
-267,9
iii,5
— и8,8
- 82,5
— 140.2
9»,8
92,0
757-3
31,о
— 101
—144
as
9,5
итичесь
раметр
Рк Ат
33,5
111,5
48,о
6х,6
12,8
37,2
2,26
39» 6
49.7
45-7
34-5
42, 0
45-3
77-8
73
76
49
5о,7
ие
ы
Тк
в г\смъ
о,зи
о.235
0.231
0,0310
о,зх
0,069
о,555
о,43°
o,i6a
0,301
0,226
0,524
0,46
0-573
0,21
0,216
Теплоём-
кость Ср
при 0° С
ккал
кг. град
0,249
0,492
0,125
о,392
3,4°°
0,239
1,250
0,218
0,520
0,251
o,i5i
о,197
0, 120
о,398
о,35°
CV
при 0° С
1,4°'
1,32
1,67
Г, 23
1,41
х.4о
х,66
г, 14
х,4°
1,30
х,4о
1,14
х,4о
i,3i
1,34
1,22
Х,24
Примечание. Вычисленные значения у0 получены делением р. на 22,416; расхождения между вычисленны
измеренным значениями объясняются отклонениями от идеальных законов.
Таблица составлена по Otto [16].


ГЛ. V]
ГАЗЫ
457
Газовые смеси. Закон Дальтона: давление
смеси химически не действующих друг на
друга газов равно сумме парциальных давлений
Удельный вес смеси при произвольных
р и Т:
где pt — парциальное давление 1-го компо-
нента, т. е. то давление, которое оказывал бы
этот компонент, если бы остальные компо-
ненты были удалены из объёма, занимаемого
смесью, а его температура оставалась равной
температуре смеси.
Смеси химически не действующих друг на
друга газов подчиняются основным законам в
той же мере, как и их составляющие. Уравне-
ние состояния
здесь р, V, G, Рт, Т — параметры смеси; для
смеси из п составляющих:
Удельный вес смеси при 0° С и 760 мм рт. ст.
m, о 22 4 '
где цт — средний, кажущийся молекулярный
вес смеси (кажущийся потому, что это вели-
чина чисто расчётная, упрощающая подсчёты,
не связанная с химическим представлением о
молекулярном весе):
i i = п
V,
Газовая постоянная смеси
где V i — приведённый объём /-го компонента,
т. е. объём, который занимал бы /-и компо-
нент, если бы при температуре смеси он имел
давление смеси р, а не своё парциальное.
G
где G,- [кг] — вес *-го компонента;
г _
'' т —
Q
Р.
KI>
где RI — газовая постоянная /-го компонента
pjV = G;Ri Т — уравнение состояния /-го ком-
понента смеси;
pV{ = Gi RI Т — уравнение состояния /-го ком-
понента, соответствующее при-
ведённому состоянию его.
Весовой состав смеси определяется весо-
выми долями; весовая доля /-го компонента
G '
Объёмный состав смеси определяется
объёмными долями; объёмная доля /-го ком-
понента
у. 1 = п
i = i
Здесь V,- — приведённый объём /-го ком-
понента.
Формулы пересчёта из весового состава в
объёмный и обратно:
, -
i~~~V^i
i = 1
2
i - 1
Парциальные давления
Pi =
= r(.p.
Теплоёмкости смесей могут нахо-
диться по теплоёмкостям компонентов смеси
либо по весовому составу её, либо по объём-
ному.
При заданных весовых геплоёмкостях
кал
С], с2,..., С{,..., сп——_ .., и весовых долях
«,-. град
компонентов #„ g* .... gi
теплоёмкость смеси
gn весовая
ккал
кг. град
При заданных объёмных теплоёмкостях
ккал
Со,..., С;,..., сп — — - и объёмном состз-
нм^-град
ве смеси rlt г& ..., rif..., гп объёмная тепло-
ёмкость смеси
- ккал
•
J
При заданных мольных теплоёмкостях ^ с1?
р.,- с/,
ном составе rj, r2,
плоёмкость смеси
i = 1
-- иобъём-
моль-град
/",-'•••' гл мольная те-
ккал
моль-град J'
При переменных теплоёмкостях [с— f(t)]
расчёты получаются громоздкими, более про-
сто исходить из мольных теплоёмкостей и
объёмного состава с последующим в случае


458
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
необходимости пересчётом на весовые и объ-
ёмные теплоёмкости:
ккал
V-m [кг. град]
7 = ^тст) Г
п 22,4 I
Давление и температура газов после
смешения. Смешение при V= const.
Химически недействующие друг на друга газы
до смешения имеют объёмы Vlt К2, . . . , Vn,
веса G,, G?, . . ., Оп, при давлениях рь р%, . . .,
рп и температурах ^, t2, . . . , tn; объём смеси
ИЛИ
Л .__
/ = 1 ч
Объёмный расход смеси в единицу времени
при температуре Т и давлении р
v,
__ ' ^ Pivi
— ~~~ 7\ •!•
Р i = i ' i
Если мольные теплоёмкости и давление
газов во всех потоках одинаковы, то
Температура смеси
i—п
2_1
Т..
i=i
T
; —
или
* =
/i х" <"
/ = 1
Давление после смешения
/=л /
1/
V^ TI
Предпосылкой получения приведённых
уравнений служит равенство внутренней энер-
гии системы до и после смешения, вытека-
ющее по первому началу из условия отсутствия
теплообмена с окружающей средой и неиз-
менности объёма до и после смешения, т. е.
из условия отсутствия внешней работы.
Смешение потоков газов. Потоки
газов имеют расходы в единицу времени
по весу Glf G& . . . , Gn, по объёму V:,
УЗ, . • • • ^л» их давления и температуры plt
Рч, • . , Рп> tv *а> • • • > tnl давление р
после смешения не должно превышать да-
вления того потока, у которого оно было
наименьшим. Отсутствие при смешении тепло-
обмена с окружающей средой и отдачи внеш-
ней работы приводит поставленную задачу
к условию (по уравнению первого начала
для движущихся сред), что энтальпия системы
остаётся неизменной.
Температура после смешения
т=
I = п
2
i = 1
Соотношения между параметрами р, v, Т,
», /, s и связь этих параметров с ср и cv
для газов,, подчиняющихся уравнению
pv = RT. Вводя в уравнения, приведённые на
стр. 454, выражения соответственных частных
производных, полученные из уравнения Кла-
пейрона, связывающего р, v, Т, имеем:
1. Независимые переменные 7 и t/:
dq = cv dГ -f- Ар dv [ккал/кг];
dT , . _. dv f к i
ds = cv ~^4- AR — ——
/ v [кг-'-
du = cv dT [ккал/кг];
№. -Ат(д?\ -AD -0
\dv)T~AI\dT)v И/?~и'
что устанавливает независимость внутренней
энергии от объёма, т. е. u=f(T) для газа,
подчиняющегося уравнению pv = RT.
2. Независимые переменные Тир:
ккал/кг;
ккал
dq — cpdT— Avdp
Ct$ ^===- Cn~zr — -fii\—— ——————~~\— i
Р Т р кг-град
di=cpdT [ккал/кг];
di\ . . „
T-) = Av — AT
др/т
что устанавливает независимость энтальпии
газа от давления, т. е. i= fi(T).
3. Независимые перемени ыерии:
-}- j- vdp [ккал/кг] ;
t\
dv . dpf ккал 1
dq =
4. Теплоёмкости:
Из соотношения ср — cv = AR умножением
на (л получаем :
fl Ср —— (A Cv —


ГЛ. V)
ГАЗЫ
459
что устанавливает постоянство разности
мольных теплоёмкостей для различных газов
и равенство её универсальной газовой посто-
янной, выраженной в тепловых единицах.
дср\
—^ ) =0 — независимость сю от давления;
др]т р
(-—} = 0— независимость с,, от объёма.
dvjT v
Отношение Пуассона, показатель адиабаты
Ср AR
k — -~ — 1-j- —; k = f(t) при повышении тем-
пературы убывает как следствие увеличения
теплоёмкости cv. Для двухатомных газов при
температурах, близких к 0° С, принимают k —
— 1,4, для газов многоатомных k меньше.
Интегрирование приведённых уравнений
может вестись либо в предположении, что
c = f(t) (чаще всего эта функция принимает-
ся линейной), либо в предположении постоян-
ства теплоёмкости; последнее предположение
принимают, во-первых, при малых интервалах
температур, когда изменениями теплоёмкости
можно практически пренебречь, во-вторых,
в тех случаях, когда изменение теплоёмкости
учитывается тем, что в расчёт вводят значе-
ние средней теплоёмкости в рассматриваемом
интервале.
Интегрирование при постоянных теплоём-
костях:
pdv;
Т v
i = cv In -f- + AR In -~ I
2: ^ = ярG'8-Г1) +|-(^-7?) -Л t*vdp;
Pi
sz - s, -= ap In ~ + b (Г2 - 7\) - AR ln^- !
3. *2-*i = «pln^-
(Г2 —
+ ««1лтг
PJ
Приведённые уравнения отнесены к 1 кг
газа; умножение обеих частей уравнений на ц
относит их к 1 молю, умножение на G кг даёт
уравнения для произвольного количества газа.
„
частные виды процессов
Изохорный процесс (фиг. 8 и 9)
определяется условием v = const, dv = Q; соот-
Р Я
ношения параметров: у = — = const; для перс-
хода из состояния / в 2 B1):
2- =
vdp;
р\
P2~T2 • p^T2
где Г2> flt Г'3< 7j.
Уравнение первого начала принимает вид:
dqv = du = cvdt;
qv — И2 - «i = j cvdt =
i ^2 л п \ P% •
5o — S, = CD In -^- — AR In — »
y ' 1 Pi
b-i^CpWv-TJ.
_ ?г_ Г °у Г2
R J k J
fl />1
^2 — *i = Ср 1П -^-+ С„ 1П ^ •
При переменных теплоёмкостях результат ^ ^,
будет зависеть от вида функции c = f(t). При _Г 1 _ Г 1
линейных функциях cv = av-[-bTи ср — ар + ЬТ, — ct»>« 2 |сг"/п
где ар — av — AR, имеем: о о
}
Если Гр
дано, как
(линейная
функция!.
v'2
™
'a
, ~ «2 — «1 = \ ^ofif Т" =
гГ
Если cv
дано, как
«2 - "г = ар (Г3 - Т",) +


460
ТЕПЛОТА
(РАЗД.
Г
Работа процесса /— \ pdv равна нулю
»i
(dv — 0); теплота, сообщаемая газу, идёт на
увеличение его внутренней энергии, отвод
теплоты осуществим за счёт уменьшения вну-
тренней энергии тела.
В диаграмме р — v процесс протекает ао
прямой, параллельной оси ординат: / — 2 —
подвод теплоты (/?2>Рр Т^>Т^)\ 1 — 2' — отвод.
В диаграмме Т — s:
dT .
dsv — cv -: >
т
__ С - rfTT ]
-iJv — \ ?v ~ — ci>im
т\
T
изохоры — логарифмики; /—2—подвод теплоты
(tfsw>0); 1—2'—отвод теплоты от тела (dsv<^0).
Площадь под изохорой в диаграмме Т—s
выражает (с учётом масштабов) теплоту про-
цесса <7f> равно как изменение внутренней
энергии.
Изобарный процесс (фиг. 10, 11)
определяется условием р = const, dp - 0; соот-
v R
ношения параметров -j. = — = const, для пере-
хода из состояния / в 2B'} -*- = ^г ; 7 — 2 —
V2 li)
расширение; /—2'— сжатие; 7-2>Г1, 7'2 < Тг.
т t>= const.
•1 — I
i' <
_ ^ j
i
>
Фиг. 10.
Фиг. И.
Уравнение первого начала принимает вид:
<7Р = «з - Mt + //> (tf2 - vi) = /a—/! ='
под кривой процесса выражает работу; а —1—
2—b—а (с учётом масштабов)—работа процес
са расширения, положительна (du >0).
В диаграмме Г—s изобары—логарифмики
более пологие, нежели изохоры.
Площади под кривыми процессов /—2
и /—2' (т. е. площади m—I—2—n — m и /га —
/ — 2' — п' — т) выражают (с учётом масшта-
бов) количества теплоты qp,\—2, Qp, \— %' и
равные им изменения энтальпии Д/,— 2 и А/j—2- :
площади под изохорами, проведёнными в пре-
делах изменения температур в рассматриваемом
процессе, т. е. площади п—2—3—k — п и т —
1—3'—k' — т, дают изменения внутренней
энергии Д^— 2 и Д«,—2' ;работа процесса (в тепло-
вых единицах А1р) на диаграмме определяется
разностью площадей, выражающих теплоту
процесса qp и изменение внутренней энергии.
Знаки определяются так: теплота процесса
др >0 при увеличении энтропии в процессе
(s2 > S[), iiw и Д/ положительны при увеличе
нии температуры (/2>7\)' работа положитель-
на при ^2^> W|.
Изотермический процесс (фиг. 12,
13) определяется условием Г — const, dT = Q;
соотношения параметров р • v = const; при
переходе из состояния / в 2 B'):
Р\
Р2
/'1
Уравнение первого начала принимает вид
dq-p = Лс?//-
(для газа, подчиняющегося уравнению pv — RT
при dT =-0, du = cv. dT = 0 и d/ = Cp-dT= 0);
работа процесса
/7 = f pdv =2,303 /?,»! lg ?1 =
v V-i
= 2,303 p^i lg -^- [KZMJKZ\,
где /7^! = RT\
l т = 2,303/?! Ц lg r>? =2,303 PlVi lg %- [KZM] ,
T,
\t
'i
v/
E
• да
Если Гр где
дано, как
/@ В
(линейная
' функция). Р
1с л и fy
но, как
/i ( ^0-
/7 1 к i — (_//\ / •
Теплота процесса <7у
диаграмме /> — v изо:
* Т
\
|Ч^
—— i, —— i ——————— о '" 1/
^ (? i) *
Фиг. 12.
= AIT, QT=ALT.
-ермы — равнобокие
2> —— f —— ^
i ?
п' /т? л
Фиг. 13.
Работа процесса
1Р=Р(Щ-^) = К(Г2-
- T,) [KZM] .
В диаграмме р — v процесс протекает по
прямой, параллельной оси абсцисс, площадь
гиперболы G—2—расширение,^'' v\\ 1—•?' —
сжатие, v'2 < fj); площади а —1—2— b —а
и а—1—2'—Ъ' — а выражают /7,1—2(>0)
И 'Г.1-2'«0).
В диаграмме Т — s площади m—1—2—п—
mum —1—2' —п1 — m выражают теплоту


ГЛ. V]
ГАЗЫ
461
процесса: g/-, 1—2(>0, так как//,9>0) и q-гл—ъ
(<0, так как </s<0), и равные им работы,
выраженные в тепловых единицах.
Для построения изотермы в диаграмме
p — v (фиг. 14) из начального состояния 1 про-
водят параллельно
осям прямые 1—А
и /—Ь; их пересе-
кают лучами из
начала координат
(о — т, о—7И], о—
т%, . . . ) под про-
извольными угла-
__ ________ ми. Проводя через
~ v точки пересечения
Ф1:г. и. лучей с прямыми
1— А и ]— В ли-
нии, параллельные осям, получаем точки пе-
ресечения 2, 3, . . , , принадлежащие изо-
терме: p}vj — р%щ = . . . = const.
Адиабатный процесс (фиг. 15, 16)
определяется условием отсутствия теплооб-
Фиг. 16.
мена с окружающей средой как в элементар-
ном, так и в конечном процессах dqA-=-0 и дА=0.
Уравнение первого начала принимает вид:
du = — AdlA;
t*
I —— CTI, т * ( t9 —— M I == —— f\l A .
Приведённые соотношения параметров в
адиабатном процессе имеют место при усло-
вии, что теплоёмкости ср и cv не зависят от
температуры. У реальных газов они пере-
менны, переменно и k. Уравнение адиабаты
при переменных теплоёмкостях см. ниже,
стр. 462. Обычно расчёты ведут по приведён-
ным соотношениям, но показатель k прини-
мают равным среднему арифметическому зна-
чению его между значениями при предельных
температурах процесса. Для двухатомных га-
зов при температурах, близких к 0° С, прини-
мают k = 1,4, по Шюле в пределах 0—2000'' С
А= 1,40 — 0,5- 10~4 t.
В диаграмме р — v адиабата (pvk = const)
протекает круче изотермы (?>>1); 7 — 2 —
расширение; 1 — 2' — сжатие; а — 1 — 2 —
b — а выражает работу расширения 1д
так как
и — работу сжатия 1А «О, так как
do < 0).
В диаграмме У — 5 адиабата — прямая, па-
раллельная оси ординат, ds — 0 (так как
dqA= 0 и dqA=T-ds, где Т ^?0); 1 — 2 —
расширение (Г2< Т,); 1 — 2' — сжатие G2'>7"i).
Проведением изохор (/ — 3 и 1 — 3') в пре-
делах изменения температур в процессе полу-
чают площади т — J — 3 — п — т и т — /--
3' п! — т, выражающие изменение внутрен-
ней энергии (Awj_., и А«}_2>) и равные им, но
обратные по знаку работы в тепловых еди-
ницах (А/А и Ai'A).
При расширении
при сжатии
Сущность процесса заключается в получе-
нии работы за счёт уменьшения внутренней
энергии газа; наоборот, при сжатии затрачи-
ваемая работа идёт на повышение внутренней
энергии.
Соотношения параметров (гр и cv приняты
постоянными):
т -г
1 _ 2
= conat;
ft—1 '
Работа процесса:
1
,»а/
II
Т,
\ I
Построение адиабаты в координатах р — v
(метод Брауера, фиг. 17) по заданной точке
адиабаты (состоя-
ние 1). Под про-
извольным углом а 8
к оси абсцисс про-
водят из начала
координат луч СМ,
под углом 3 к оси
ординат луч ОВ;
угол 3 определяют
из уравнения:
Фиг. 17.
Проектируя точ-
ку 1 на ось ординат,
получают точку С;
опуская из точки 1 перпендикуляр на ось абс-
цисс и продолжая его до пересечения с лу-
чом ОА, находят точку D. Из точек С и D
проводят под углом 45° наклонные Сс и Dd
к ординате и абсциссе, из с проводят горизон-
таль, из d — вертикаль, пересечение которых
даёт точку 2 адиабаты; для получения
точки 3 аналогично используется точка 2
и т. д.
Построение требует весьма тщательного
выполнения, так как допущенная ошибка при
дальнейшем построении увеличивается.


462
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
При линейной зависимости теплоёмкостей
от температуры сг, — аг> -f- ЬТ, ср-=ар -\- ЬТ
уравнение адиабаты:
v
р. -и -е = const.
Если принять k — АО — «Г(поШюле), то урав-
нение адиабаты примет вид:
An—'1 — аТ
= const;
для двухатомных газов и их смесей в преде-
лах 500 —2000° С АО =1,41, а = 0,50-10-4;
для технических продуктов сгорания без из-
бытка воздуха АО =-1,36, а;^0,55-10~4 .
Политропный процесс — процесс,
удовлетворяющий уравнению pvn = const, где
под п подразумевают произвольное, но для дан-
ного процесса постоянное число. Для идеального
газа с постоянными теплоёмкостями ср и cv
политропный процесс характеризуется тем, что
распределение внешней теплоты между вну-
тренней энергией и работой постоянно на всём
протекании процесса; в этом случае, сохраняя
этот признак постоянства распределения тепло-
ты, уравнение pvn = const обобщает процессы
р = const (п = 0), Г = const (п = 1), dq = Q
и # = 0 (п — A), v = const (п = оо).
Если Ср и cv рассматриваются как функции
температуры, то определяющим признаком
является лишь вид уравнения.
Для подсчёта теплоты процесса помимо
уравнения первого начала dq = du 4- Adl, q —
— Uo — «i + At используется уравнение поли-
тропы dq = c-dT. Теплоёмкость политропного
, A.R n~k
процесса с = cv + -,—— = <"?, ——— может
Л-'l
принимать любые положительные и отрица-
тельные значения в зависимости от выбора п
при данном /е, чем определяется зависимость
теплоёмкости не только от природы тела, но
и от процесса, в котором подводится теплота;
теплота процесса
г, т,
q = cdT = cm -(Г2 — 7\).
7\
Т,
Соотношения параметров те же, что и для
адиабаты, но с заменой k на п\
p.vn — const;
T-vn~l = const;
т-р--
Работа процесса
я - 1
~n~ — const.
п — \
п — 1
Протекание определённой политропы опреде-
ляется её показателем п; характерные случаи
даны на фиг. 18.
flxtao
CsCy ^""/7>/Г;0<С<С„
————————————————V
Фиг. 18.
Методы определения показателя поли-
тропы по данной кривой процесса в коорди-
натах р — v.
Первый. Предполагая, что процесс 1—2
удовлетворяет уравнению ptv " — p2v% , имеем:
значения р и v можно брать прямо из диа-
граммы без учёта масштабов (фиг. 19).
Второй. Для политропы 1 — 2
vdp
с
J
площ. а' —7 — 2—Ь' — а'
площ. а4— 1 — 2 — b — а
т. е. определение требует планиметрирования
указанных площадей (фиг. 19).
Третий. Показатель п политропы для
точки У процесса равен частному от деления v
на а (см. фиг. 20), т. е. п — —, где а — под
касательная.
Четвёртый. Из уравнения pvn = const
следует, что Igp -f п lg v = const, т. е. в коор-
динатах lg/>, lg t> политропа прямая, а значе-
ние п равно тангенсу на-
клона прямой. Таким об- igp
разом для нахождения п
необходим перенос про-
цесса по точкам из p — v
координат в координаты
Igp — \gv и нахождение
tga (фиг. 21).
При расчётах важно
влияние погрешности в
определении показателя п [22]. При вычи-
слении давлений и температур через показа-
тель п относительная погрешность в опреде-
лении их будет превышать относительную по-
Фиг. 21.


ГЛ. V]
ГАЗЫ
463
грешность в определении п примерно в 2 —
3 раза.
При вычислении работы относительная по-
грешность того же порядка, что и относитель-
ная погрешность определения п.
Особенно велика может быть относитель-
ная погрешность при вычислении теплоты
процесса, когда показатель политропы близок
к показателю адиабаты; в этом случае она
может превышать погрешность п во много раз.
„ , dT ккал
Приращение энтропии ds — с -=- ————=г •
v • Т кг-град
-s2 — Si = cm In —-; характер протекания
процесса в диаграмме Т — s определяется зна-
чением п; протекание процессов при п = оо,
п — О, п = 1, п — k дано выше, при рассмо-
трении процессов v = const, p =• const, Г —
= const, dq = 0 и q = 0, которые могут рас-
сматриваться как частные случаи политропы.
Пример. На фиг. 22 /—2 — политропа при 1 < п < k,
процесс расширения. Площадь под кривой процесса т —
1 — 2 — п — т определяет теплоту его, q > 0 (так как
ds > 0); площадь т —
1—3—п' — т (пло-
щадь под изохорой 1 —
3)—изменение внутрен-
ней энергии Ди в про-
цессе 1 — 2, Здесь
Ди<0 (так как Г, < Т,).
На основании уравне-
ния q = (иа — iit) + Al,
учитывая знаки, имеем:
площадь п' — 3 — 7 —
2—Ti — n' выражает ра-
боту А1>0 (процесс
расширения).
По кривой процесса i — 2 показатель п определяется
как отношение приращений энтропии в изотермических
процессах между изобарами крайних точек -процесса и
изохорами тех же точек, т. е
Циклы. В термодинамике цикл — замкну-
тый круговой процесс, в результате которого
тело, выйдя из своего исходного состояния,
возвращается к нему. Процессы, представля-
ющие отдельные участки цикла, осуществля-
ются квазистатически, т. е. они могут быть
отождествлены с непрерывным рядом сле-
дующих друг за другом равновесных состоя-
ний тела, сколь угодно близких между собою.
При этих условиях как отдельные элементы
цикла, так и цикл в целом обратимы.
Последовательное повторение цикла про-
извольно большое число раз приводит к не-
прерывному действию машины, осуществля-
ющей цикл. Вследствие цикличности про-
цесса габариты машины определяются пре-
дельными изменениями объёма рабочего тела
при выполнении одного цикла. Осуществление
цикла требует наличия тепловых источников,
играющих роль теплоотдатчиков и теплопри-
ёмников; экономика цикла машины двигателя
определяется термодинамическим к. п. д.
o.
где Е QI — количества теплоты, получаемые
от теплоотдатчиков; ? Q2 — количества тепло-
ты, отдаваемые теплоприёмникам.
Работа цикла
Цикл Карно. Протекание цикла для газа,
подчиняющегося уравнению pv = RT, дано на
фиг. 23.
Цикл составляется двумя изотермами:
/—2— изотерма 'расширения, 3—4 — изотерма
сжатия, и двумя
адиабатами: 2—3— 0
адиабата расшире-
ния, 4 — 1— адиа-
бата сжатия. Осу-
ществление цикла
требует теплоот-
датчика при тем-
пературе Г], совпа-
дающей с темпера-
турой газа по изо- фиг 2з.
терме /—2, и те-
плоприёмника с
температурой Т2, совпадающей с температурой
изотермы 3—4.
Соотношения параметров на отдельны!
участках:
по изотерме 1—2:
по адиабате 2 — 3:
Pi
по изотерме 3—4:
по адиабате 4—1:
п
/'4
А—1
Термодинамический к. п. д. т^ = 1 — -^- =
Я\
Т*
= 1 — -=г- не зависит, как показывает это
м
выражение, от природы рабочего тела и опре-
Г2
деляется лишь отношением -~ — абсолют-
.. '1 _,
ных температур теплоприемника /2 и тепло-
отдатчика 1\.
Работа цикла:
—— -г )
М /
(\ ?2
V '/1
р — v
пло-
fTOTO
1—2—
х Т — s
пред-
1п *
**1
) 1п-
Т
''}
Т2
- [к к
V*(K
v\
f
4
ал/ к г];
гм]кг]
— -
у
3
3—4—1.
Вкоорди]
(фиг. 24) цикл пред
ставлен прямоуголь- ~
ником 1-2-3-4-1, Фиг-?4'
qi — площадью m —
/—2 — п — т, <72 —площадью т —4 —3— п—т.
А1—площадью 1—2—3—4—1;


464
ТЕПЛОТА
1РАЗД. 1
Цикл Отто (фиг. 25, 26) образуется
двумя изохорами: с — z — с подводом теплоты
<7i, b — а — с отнятием теплоты д%, и двумя
адиабатами: z — b — адиабатой расширения,
и — с — адиабатой сжатия.
Теоретическая машина, осуществляющая
этот цикл, принимается идеальной абстрак-
цией, к которой могут приближаться дейст-
Фиг. 25.
Фиг. 26.
вительные двигатели внутреннего сгорания
низкого сжатия. Соотношения параметров на
отдельных участках:
по адиабате сжатия а — с:
по изохоре с —z:
Lz- = p-L = -r
Тс Рс
по адиабате z — b:
по изохоре b — а:
'а ~Pa
где е = — — степень сжатия: X = Pz- — сте-
vc рс
пень повышения давления.
Термодинамический к. п. д. t\t = 1— -——
?
(при выводе теплоёмкость cv принята постоян-
ной для всего цикла), q1 = cv(Tz—Тс}\ д2 =
= с„(Ть-Та);А1 - cv(Tz~Tc-Tb + Та).
На диаграмме 7—s: 0, представлено пло-
щадью m — с — z — п — т, д2 — площадью
п—а—b—п—т, А1—площадью а—с—z—b—a.
Цикл Дизеля (фиг. 27, 28) образуется
изобарой с — z с подводом теплоты qlt двумя
Фиг. 27.
адиабатами: а — с — адиабатой сжатия, z—b—
адиабатой расширения, и изохорой b — ас
отводом теплоты <?2.
Теоретическая машина, осуществляющая
этот цикл, принимается идеальной абстрак-
цией, к которой могут приближаться действи-
тельные двигатели внутреннего сгорания вы-
сокого сжатия (компрессорные дизели). Соот-
ношения параметров:
по адиабате а — с:
Рс.
Ра
по изобаре с — z;
— Р. Pz — Рс'>
по адиабате z — b:
I*.- j
Гь t
по изохоре b — а:
k-\
ft—i
?*-
Pb
ГЪ_
Pa
k
P ,
где е — степень сжатия; р—степень предвари-
тельного расширения.
Термодинамический к. п. д.
1
= ! _ _. Р:
Л-е*~
Л I — /* / 7* __ Т* \ __р ( *7\ _ f* \
f\i — t р (-i z l el Lv I •• b — * a •
На диаграмме T — sq^ представлено пло-
щадью т — с — z —- п — т, д% — площадью
т—а—Ь—п—т, Al—площадью а—с—z—b—a.
Цикл Сабатэ (фиг. 29, 30) образуется
процессами: а — с — адиабата сжатия, с—z'—
Фиг. 29.
изохора с подводом теплоты д^ ккал/кг,
г'—z — изобара с подводом теплоты q'[
ккал/кг, z—b адиабата расширения, b — а —
изохора с отводом тепла д% ккал'к?.
Теоретическая машина, осуществляющая
этот цикл, принимается идеальной абстрак-
дией, к которой могут приближаться действи-
тельные двигатели внутреннего сгорания вы-
сокого сжатия с бескомпрессорной подачей
топлива (бескомпрессорные дизели). Соотно-
шения параметров:
по адиабате а — с:
k-\
Pc_
по изохоре с — г':
Рг_
Рс


ГЛ. V]
ГАЗЫ
465
по изобире z1 — z;
•/,-=р, pz = Pz'>
1 z
по адиабате z — b:
т ''-1
A _ e _?*__-!.
^ P*' fi P'
по изохоре b —• a:
<?2
/7* \
= Ср (Tf ~ Та) = ср • Та ( г/- — 1 ) •
\ ' а '
Термодинамический коэфициент полезного
действия
т I * J
u \' T~
j V 'Я
7"
термодинамический к. п. д.
f!
Х- р"——1
+ /?/, (р-1)]
to = cv(Tb- Га), Al = ^(ТУ - Ус- 7Й + 7-а) +
+ f о (Тг — 72')(при выводе теплоёмкости при-
нимаются постоянными); к. п. д. цикла Сабатэ
даёт к. п. д. цикла Отто при р — 1 и к. п. д.
цикла Дизеля при Х= 1.
На диаграмме T~s q± представлено
площадью m — с — z' — п.1 — т, дл" — пло-
щадью п' — г1 — z — n — л', <72 — площадью
т — a — b — п— т.
Циклы Гемфри (фиг. 31, 32) составляются
сжатием по адиа-
бате а — с, подво-
г дом теплоты по
изохоре с — z (фиг.
31) или по изобаре
с - z (фиг. 32),
расширением по
адиабате z — / и
отводом теплоты
по изобаре / — а
(фиг. 31 и 32).
Если в цикле с
ФИГ. 31.
по изохоре (фиг. 31)
— 5, то
k — \
__ V. —— ?
Т ~
подводом теплоты
Vf- -.-= -L =
CZ/ ( '2 '~ * C/i
"-P(Tf-Ta);
Если (фиг. 32) в р.
цикле с подводом j c \
теплоты по изобаре
vf
= Г„ ( Т
30 Том 1, кн. I
Фиг. 32.
так как из сравнения адиабат а — с и z — f
Tf Тг
вытекает, что -J = ~- .
'а 'с
Предложенные циклы принимаются иде-
альной абстракцией, к которой приближаются
двигатели внутреннего сгорания с продолжен-
ным процессом расширения, как-то: газовые
турбины, двигатели с непосредственным воз-
действием давления газов на столб воды (на-
пример насосы типа Гемфри).
Идеальный компрессор (фиг. 33) — ком-
прессор без вредного пространства; рассмо-
е ' е' е"
Фиг. 33.
трение потерь действительной машины (тре-
ние, гидродинамические и другие потери)
исключено: всасывание, наполнение рабочей
полости (я — Ь); сжатие по изотерме b — с
или по политропе b — с', или по адиабате
b — с"; выталкивание, удаление сжатого газа
с — d (или с' — «', или с" — d).
Площадь под кривой процесса сжатия
(т — b — с — е — т или т — b -с' — е' — т,
или т — b — с" — е" — т) выражает абсо-
лютную работу процесса сжатия за один цикл
(работа, затраченная в компрессоре только
на одно сжатие газа) 1С
-- pdv;
t7
площадь, огра-
ниченная контуром цикла (а — b — с — d — а
или а — b — с' — d—а, или а — b — с" — d—а),
выражает работу компрессора за один
цикл (т. е. сумму работ всасывания, сжатия
и выталкивания) — /; соотношение между
этими работами: 1 = п-1сж.
Из фиг. 33 следует, что работа цикла бу-
дет минимальной при изотермическом сжатии.
Значения показателя п:
а) по изотерме л= 1;
б) для двухатомных газов при небольших
пределах сжатия по адиабате п — k = 1,4;
в) по политропе 1<[/г<^/г, порядка 1,18 — 1,2.
Значение л лимитируется возможностью от-
вода теплоты к воде, охлаждающей стенки
цилиндра (условиями теплопередачи):


466
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
я = I- Um, = 2,303 pb-vb Ig ?*- = 2,303 Я Г» !g -f*
' <-. Л <T «. ^полump
р п _
П
IT-~\
n — l
__Tc-_
Tb
ft — i
n — l
РЪ
лм~
W
На диаграмме Г — 5 (фиг. 34) процессы
сжатия представлены изотермой Ь — с, поли-
тропой 'о — с', адиабатой Ь с".
Для анализа условий работы компрессора
по диаграмме Т — 5 используется уравнение
первого начала в форме rtq — di— Avdp или
•
q -. (/2 —. i) -\- A — w//7, удобной для опре-
\'
2
деления работы цикла Al-~ А \ —yrf/?, и урав-
1
нения dq = da 4- Apdv и # — (u2 —- MJ) 4-
4- Л \ prfw для нахождения работы процесса
сжатия А1СЖ— А
\ pdv. Применение их
приводит к заключениям: для изотерми-
ческого сжатия
(du = 0, di = 0) pa
бота процесса сжа-
тия в тепловых
единицах А1СЖ>
равная работе цик-
ла (л = 1) А1изотр,
представлена пло-
щадью т —Ь—с—
т" — т; для по-
литроп и ч е с к о го
сжатия работа процесса А1СЖ политр — пло-
щадью rn b — с' — Ь' —// — т; работа цикла
А1поАптр— площадью т — Ъ — с'—с — т"—т;
для адиабатического сжатия (dq — 0, д — 0)
работа процесса сжатия А1СЖ адиаб пРед"
ставлена площадью т — с" — Ь" — р" -- т;
работа цикла А1адиаб — площадью /и — с" —
с -- я<" — т.
Во всех случаях на диаграмме Т—5 теплота
(q), отводимая в воду, охлаждающую стенки
цилиндра компрессора, представлена площадью
иод кривой процесса сжатия (для изотермы -----
т — li _- с — т" - - т, для политропы — т —
Ь —с' — т' -— /я, для адиабаты q = 0);
для изотермы
А, 2'303 ""
л __ ^ / —-— А ' —— _______
Ч — - '*сж. изотр ' tisomp ~~" 427
2,303 О.г ,_Р4 .
для политропы
fl = с (Гс< - г») = cv П-=~ (Тс' - ТЬ).
п — i
Площадь под изобарой, проходящей в гра-
ницах изменения температур в процессе (для
политропы — под ее', для адиабаты—под ее"),
даёт приращение энтальпии газа при сжатии.
Площади под изохорами, ограниченными теми
же температурами (для политропы—под Ь'с',
для адиабаты — под Ь"с"), дают изменения
внутренней энергии.
Стремление сни-
зить работу цикла и
значительное повыше-
ние температуры при
политропном сжатии
(а изотермическое
практически не 'до-
стигается) вызывает
переход к многосту- ФИГ, 35.
пен ч атом у сжатию в
компрессоре с про-
межуточным охлаждением газа при переходе
из одной ступени в последующую. ^
Многоступенчатый идеальный компрес-
сор (фиг. 35' 36). На фиг. 35 работа первой
ступени /j ст представлена площадью а — Ь —
с — d—я, второй ступени 1ц<ст — площадью
и v = __
Рь " Рь
d—Ь'—с'—d'—d\ если у =
Рь"
= - , — .... где />,. -давление начала сжатия
Рь :)
1-й ступени, рь — давление конца сжатия г-й
ступени (z—число ступеней), т. е. во всех
tn' к' т -к
Фиг. 36.
ступенях отношение давления конца сжатия
к давлению начала его делается одинаковым.
У>Г
равным 1/ -----, и температуры начала сжатия
(т. е. в точках Ь, Ь\ Ь",,..) во всех ступенях
одинаковы (Ть), то при одинаковом п во всех
ступенях работа каждой ступени:


ГАЗЫ
467
cm ~ *H, cm. ~~ Mil, cm'
n — i
/?r.
(l-/-)
KZMJKZ.
~ n-l
После каждой ступени газ, нагревшийся
за счёт политропного сжатия с повышением
давления в у раз до температуры Тс =
и — 1
— Ть-у п , поступает в холодильник, где его
температура снижается до первоначальной Ть\
процесс охлаждения осуществляется при неиз-
менном давлении, что вызывает уменьшение
объёма, пропорциональное падению абсолютной
*ь' *>ь" Ть
температуры —
vr vc'
условиях работа компрессора
1'с
при этих
= ~''1, С/И
V
кгм/кг.
На диаграмме '/' — s площадью под кривой
b—с — b' представлена работа первой сту-
пени, под кривой Ь' — с' —Ь" — второй,...;
площадью под кривой b —с — теплота,
отдаваемая газом в охлаждающую воду первой
ступени, под кривой Ь' — с' — то же второй
ступени; Л — b — с — т — k = k' — b' — с' —
т' — /г' = ....
п -— ? . „ _.
-— /• ___ / / _ /.
— v п ..— \ ^ с *••
площадью под изобарой Ь'—с — теплота,
отдаваемая газом в охлаждающую воду пер-
вого промежуточного холодильника ср(Тс —
— Ть) к:хал/кг', под изобарой Ь"—с' —то же вто-
рого промежуточного холодильника; m — с —
Ь' — k' — m — m' — с' — b" — k" — m' — ...
Реальные газы
Закон Бойля-Мариотта. Для идеального
газа pv = const, т. е. в диаграмме pv -р это
будут прямые, параллельные оси р; каждая
прямая согласно уравнению Клапейрона pv =
= RT отвечает определённой температуре.
Табл. 40 даёт, по опытам Амага, значения pv
для О2, N2, CO2, Н2 при 0° С при изменении
давления от 1 до 2500 am.
Таблица 40
Значения pv для некоторых газов при 0° С
по опытам Амага [6]
!
Давление
! в am
\
х
1ОО
200
5оо
! , looo
I 25°°
pv
кислорода
J ОООО
0,9265
0,914°
1Д57°
1,7360
3,3238
pv
азота
I.OOOO
0,9910
i .0390
1,3900
2,0700
3,9200
pv угле-
кислоты
I.OOOO
О.2О2
0.385
O.Sgi
1.656
~
pv
водорода
-ООЭО
,о6оо
,138°
.3565
.7^5°
2,fc95o
Только поведение геляя при 0° С и изме-
нении р от 1 до 850 am близко к поведению
идеального газа, однако отклонения наблю-
даются и здесь. При 0°С только водород,
гелий, неон не обнаруживают минимума
произведения pv с изменением р; другие газы
при более низких давлениях сжимаются силь-
нее, а при более высоких давлениях слабее,
нежели идеальные газы.
Фиг. 37 даёт характер изменения произ-
ведений pv для воздуха. Пунктирная кривая
на диаграмме проведена через минимумы зна-
чений pv при разных температурах. Верхняя
ветвь этой кривой пе-
ресекает ось ординат
в точке а, определяю-
щей температуру'Бой-
ля для газа (для воз-
духа 54° С), при ко-
торой строго соблю-
дается закон pv —
= const, и изотерма,
начинающаяся в этой
точке, на некотором
протяжении будет пря-
мой, параллельной оси
абсцисс; изотермы, на-
чинающиеся выше
Ю 30 50 70 90 ПОР
Фиг. 37.
точки а, не проходят
через минимум.
Закон Гей-Люссака. Для идеального газа
в уравнениях v = t>0(l + аО и Р = />оО + аО
коэфициент теплового расширения и терми-
ческий коэфициент давления совпадают и не
зависят ни от t ни от р; у реальных газов
эти коэфпциенты близки, но не равны между
собою и зависят от р и t (см. „Общие те-
пловые свойства тел"}.
Уравнение состояния. Отклонения от
основных законов идеального газа и возмож-
ность сжижения реальных газов обнаружи-
вают чрезвычайно сложную природу реаль-
ного газа. Классической попыткой охватить
уравнением состояния свойства реального
газа является уравнение Ван-дер Ваальса
(отнесено к молю газа):
-b) = RT. A)
Здесь b называют кообъёмом; если эффек-
тивный радиус молекул г, N — число Аво-
4
гадро, то b = k_ • -g- пг3Л/, и по Ван-дер-
Ваальсу k = 4 при шарообразной форме мо-
лекулы; при отличной форме k примет дру-
гое значение.
Теоретически при любом давлении газ не
может занимать объёма, меньшего Ь, Таким
образом b служит поправкой к уравнению
Клапейрона, связанной с собственным объ-
ёмом молекул.
Вторая поправка —^ к уравнению Клапей-
рона учитывает внутреннее давление газа,
являющееся следствием взаимного притяже-
ния молекул. Уравнение Ван-дер-Ваальса
является уравнением кривой 4-го порядка; оно»
является кубическим уравнением относительное
и, как таковое, имеет для изотерм при данном
р или три действительных корня, или два
мнимых и один действительный.
Для изотерм выше критической изобара
пересекает изотерму только один раз (дейст-
вительный корень, два других мнимые); изо-
термы ниже критической должны пересе-
каться изобарами 3 раза (три вещественных
корня, см. фиг.38): наименьший объём (точка с)


468
ТЕПЛОТА
[РАЗД,!
отвечает жидкости, наибольший — объём су-
хого насыщенного пара (точка Ъ), средний (точ-
ка с) — нереализуемое, лабильное состояние.
Участки изотерм am и Ьп полуустойчи-
вые метастабильные состояния перегретой
воды и пере-
охлаждённого
пара, участок
тп — состояния
неустойчивые,
лабильные.
Прямая а—Ь,
отвечающая
устойчивому
равновесию
v
жидкости с ее
паром, по пра-
вилу Максвелла определяется равенством
площадей а — т — с и с — п — Ь, ибо работа
изотермического цикла а — т — с — п— Ь — а
должна быть равна нулю.
При v = Ь р — ос, т, е. асимптота кривой
Ван-дер-Ваальса параллельна оси р и отстоит
от неё на величину Ь; когда v = сю, то р = О,
т. е. вторая асимптота ось v; для опреде-
ления пересечения изотермами оси v следует
принять р = 0, что даёт
RT
а
^ = °.
откуда
Точка пересечения будет действительной,
если я2>4а?;/?Г, и при Т < -щ> изотермы
перейдут в область отрицательных давлений
(для этилового спирта осуществлены до—17 am,
для воды и этилового эфира до — 36 am). При
WR
кРнвая касается оси абсцисс. Ма-
ксимумы и минимумы на изотермах Ван дер-
dv \
-fc)t= 0, что
Ваальса находятся из условия
даёт
av~ lab
B)
этим уравнением определится кривая, про-
ходящая через максимумы . и минимумы, а
максимум её, т. е. критическая точка, опре-
деляется условием
Gab — lav
— ________ __ f\ /ОЧ
/, - о4———— -°- C)
Совместное решение уравнений A), B),
C) с отнесением их к критической точке
позволяет связать параметры критического
состояния с константами а, Ь, Л- и, обратно:
о
а =
Критические параметры и константы а и Ь,
вычисленные по ним, приведены в табл.
41 и 42.
Таблица 41
Термические свойства газов [6]
Газ
Не
Но
Ne
Na
СО
Аг
о,
NO
CH4
Кг
С2Н4
Хе
С0„
NaO
С2Н8
С2Н2
С3Н6
с3на
СГ2
NH3
N02
СН3ОН
свн„
С2Н,ОН
н;о
Воздух
*k в °с
— 267,8
—239,9
— 228,7
—147.1
—139
—122,4
— и8,8
-9б
- 82,9
— 6а,5
+ 9-5
+ i6,6
+ 3i>35
+ 36.5
+ 34,5
+ 35-9
+ 95,6
+ 102,0
+ 144
+ 132,4
+ 153,2
+ 240,0
+288,5 :
+ 243-3 !
+374
—140,7
1
Pk
в am
2,26
12,8
27,8
33-5
34,6
48,0
64'
45.6
54-3
52,4
58,2
71,2
5°>о
61,6
45
48,5
76,1
115,8
loo
78,50
47,89
62,96
217,5
38.4 |
_ 1
в г\с м"
0,о66
0,031
0,048
oj"
0,509
0,4299
0.162
—
0,22
1Д55
0,449
о,454
—
—
—
—
0-573
0,236
0,524
0,2722
0,3045
0.2755
—
0-35
k
PkVk
ЗД84
3,28
—
3,42
3,54
3,28
3,346
3,46
—
—
3,62
3-49
3-65
—
—
—
—
3-63
—
4,559!
3,755
4,115!
4,458;
||
ig?
•ь. С S,
-268,88
—252,74
-245,9
-195.8
-I9L47
-185,7
-182,95
—150,2
— 161.4
— 1s!1 7
— 103,9
— 109,1
- /8-5
- 89,2
- 83.0
— 44
—
— 33-4
+ 22,0
—
—
—
— j
K}2,0
- 194 4
i^
to'"
га к
c я
— 272,2
— 25Q. I
— 248,7
— aoq Q
— 204 09
—189,2
—218,4
—167
-183.0
—169
—169,4
— 140,0
— 56.4
— 1~2, 1
— 81,8
- 47,7
—
— 77-9
— 10
—
—
—
—
—
Таблица 42
Значения постоянных я и и в уравнении Ван-дер-
Ваальса, вычисленные из критических данных
г —
Вещества
НО
Cf)H5F
СН3СОСН3
С1,
со.
Аг
03
Н2
Не
Tk
647
559,6
505,8
304' i
155-6
154-2
126,0
33,i8
5,16
°k
в am
217,5
44,62
52,2
93,5
73,о
52,9
50,8
33,5
12,80
2.26
*
Зо,55
128,5
99-4
46,0
42,75
30,2
31.18
39,6
26,70
23,42
а
4-47 о'
19,98 о'1
13,92 ofi
5,34 о"
3,6og о1'
1,303 о"
1,332 о"
1,345 о"
0,244 °в
0.03253 о"
Приведённые параметры; соответствен-
ные состояния. Если за единицу объёма ве-
щества принять объём в критическом состо-
янии, за единицу давления — критическое
давление, за градус индивидуальной темпе-
ратурной шкалы — критическую температуру,
то V, р, Т некоторого состояния будут выра-
жены долями критических величин:
Р Т
Параметры ср, тт, % называют приведёнными
объёмом, давлением, температурой. Два ве-
щества, определяемые одинаковыми значени-
ями приведённых параметров, находятся
в соответственных состояниях, они одинаково
отклоняются от своих критических состояний.
Приведённое уравнение состояния Ваи-
дер-Ваальса, общее для всех веществ в газо-
образном, парообразном и жидком состояниях,
получается из обычного уравнения Ван-дер-


гл.
ВОДЯНОЙ ПАР
469
Ьаальса, если в нём обычные параметры и
ко.чстанты выразить через приведённые:
Считая для узких пределов температур г
не зависящей от температуры, имеем
Уравнении Ван-дер-Ваальса хорошо отра-
жают в ряде случаев качественную сторону
изменений состояний реального газа, но не
дают достаточно точной количественной
оценки их.
ВОДЯНОЙ ПАР
Уравнение состояния; параметры. В при-
водимых ниже обозначениях индекс (') отнесён
к состоянию жидкости при температуре кипе-
ния, отвечающей давлению р, а индекс (") —
к состоянию сухого насыщенного пара.
v', v" [м3/кг]— удельные объёмы жидкости
и С) хого насыщенного пара; х~ степень сухости
(паросодержание), количество сухого пара в
единице A кг) влажного пара; vx [м^^кг]— удель-
ный объём влажного пара; q [ккал/кг] —
теплота жидкости; г [ккал 1кг] — теплота паро-
образования (скрытая); и', V, s1 и и", Г, л" —
внутренняя энергия [ккал/кг], энтальпия
[ккал/кг], энтропия [ккал/'кг • град] жидкости
при температуре кипения, отвечающей дан-
ному давлению р и сухого насыщенного пара;
Р [ккал!кг\ — внутренняя теплота парообразо-
вания,
? — и" — и';
<1> [ккал/кг]
зования,
внешняя теплота парообра-
,
ф = Ар (v" — v');
1
In
Аналогичные допущения делаются по от-
ношению к уравнению Клазиуса-Клапейрона и
для процесса перехода из твёрдого состояния
в пар — сублимации.
Более правильное решение о зависимости
давления насыщенных паров жидкостей (твёр-
дых веществ) от температуры требует учёта
функциональной зависимости от температуры
для скрытой теплоты парообразования (субли-
мации).
Насыщенный пар, не содержащий капелек
жидкости во взвешенном состоянии, называют
сухим насыщенным; содержащий капельки жид-
кости — влажным. Влажность пара характери-
зуется степенью сухости (паросодержанием).
Для влажного пара:
объём влажного пара [м^/кг]:
v" -х,
полная теплота влажного пара
^х = Ч + гх;
энтальпия влажного пара
ix = V + гх;
внутренняя энергия влажного п-ара
X [ккал/кг\ — полная теплота пара, X = q + г.
Насыщенный пар находится в равновесии
с жидкой фазой. Давление его — функция
температуры и кривизны поверхности раздела
между паром и жидкой фазой, а для раство-
ров ещё и функция концентрации растворён-
ного вещества.
Уравнение Клаузиуса-Клапейрона (см.
стр, 455) для процесса парообразования при-
нимает вид
dp __ ___ г__ f
df '~~ лТ(г/7/~-^0 "'
при пользовании уравнением в узких пределах
dp
температур обычно производную -.,-;, прибли-
жённо заменяют отношением т f.
При достаточном удалении от критического
состояния возможно пренебречь объёмом
жидкости, что даёт
если при тех лее условиях допустить, что
пар подчиняется уравнению
p-v" =
то
AR Р
а т.
энтропия влажного пара
где Т — температура кипения (по абсолютной
шкале).
Пар, температура которого выше темпера-
туры насыщенного пара, обладающего тем же
давлением, называют перегретым (ненасыщен-
ным). Для перегретого пара предложено много
уравнений состояния.
Уравнение Тумлирца-Линде A899 — 1905гг.):
RT
0,016
часто приводится в литературе, но не может
использоваться как расчётное, так как по-
правка к объёму в сравнении с идеальным
газом принята постоянной, не зависящей ни
от давления, ни от температуры;
уравнение Каллендара-Молье A901—
1906 гг.):
РТ
i, = dl _|_ о,001 — 0,075
Р
уравнение Молье A925 г.):
RT 2
(_TLY°/«
\100
Т
,00


470
ТЕПЛОТА
(РАЗД.1
уравнент
RT
v — — —
P
s Молье (Н
1,45
/ _T_W
I 100/
Ш r.)
58
106/ т уз,5 P-
V 100 )
приращение энтропии в процессе перегрева
тя-
(sn- s)p J Ср т [А.2.г;;дд].
т
Уравнениями Молье пользовались раньше
для составления таблиц для пара, теперь они
уже устарели. Современные уравнения весьма
сложны. В таблице (см. ниже) перегретого
пара по Коху для вычисления объёма при-
менена формула:
где
R = 47,06 -
кг град '
А = 0,9172М'/сг; В = 1,3088- 10~*
с = 4,379.107
в приведённых
выражениях под-
строчны и ин-
декс п опреде-
ляет состояние
перегретого пара;
7° — абсолютная
температура насы-
щенного пара того
же давления.
Изменения вну-
тренней энергии в
процессеперегрева
if
v")
(itt-
200
По указаниям автора, значения, подсчитан-
ные из этого уравнения, лежат в пределах
допусков скелетных (см. ниже) таблиц.
Теплота перегрева
Фиг. 39
<7«
я — По =
Теплоёмкость
перегретого пара,
функция давления
и температуры,
аналитически выражается сложными зависи-
мостями и проще использование табличных
данных или графиков (см. табл. 43, 44,
Т фиг. 39)
Таблица 43
,, ., ' "икал
Удельная теплоемкость перегретого водяного пара в —————^
r r кг • град
(IT [ккал/кг];
Давление
?l _ 5
"
10
20
30
40
5°
60
70
80
90
too
no
I2O
180
0,606
"
200
о,5бз
220
о,54о
о,б99
240
о,528
о.бао
0,813
260
0,521
0,501
0,703
0,878
280
о,51б
о,57°
0,644
0,751
0,901
I.H5
300
о,514
о,55б
о,6ю
o,68i
0.774
0,897
1.060
1.294
1686
Темпе
320
0,512
0,548
0,589
0,640
0,703
0,781
0,878
1,ООО
1,161
1,396
1.791
ратур;
340
0,511
0,542
0,575
0,614
0,660
0,713
0-777
о,854
о,955
1.058
1,205
i,4i6
1 в СС
360
0,5"
о,538
о,5б6
о,597
0,632
0,672
0,717
0,769
0,829
o,8*j8
0,979
1,077
380
o!s35
о,559
0,586
0,614
0,645
0,679
0,717
0,759
0,806
0,859
1,919
400
0,513
0,533
о,555
о,577
0,601
0,626
0,653
0,683
0,714
о,749
0,787
0,828
420
0,513
0,532
0,571
o,59i
0,613
0,635
0^684
0,711
0,739
0,770
440
o,5i5
0,532
о,547
0,566
0,584
0,603
0,622
0,642
0,662
0,684
0,707
o,73i
460
0,516
0,531
0,547
0,563
0,579
о,595
0,611
0,629
0,646
0,664
0,683
0,703
480
0,518
0,532
0,546
0,560
0,574
0,589
0,604
0,619
0,634
0,650
0,666
o,68a
500
0,520
o,533
o,545
o,558
0,571
0,584
o,597
o,6n
0,624
0,638
0,652
0,667
Таблица 44
„ _ ккал
Средняя удельная теплоемкость перегретого водяного пара в —-—т^Гд" > вычисленная от температуры
насыщения
кг • грае
Давление
в кг/см?
1
10
2о
Зо
4о
5о
6о
70
8о
9о
100
но
130
180
0,617
200
0,583
220
0,567
0,722
240
0,556
0,676
0,833
260
о,548
0,650
о,774
0,918
280
0.542
0,629
о,733
0,856
о,977
i,i6i
300
0,538
0,614
0,700
0,796
о,9°5
1,031
1,173
1,377
Темп
320
о,534
о.боз
0,677
0-757
0,846
о,944
1,056
i,i88
1,349
1,568
i,9oi
ератур
340
0,531
о.594
о,66о
0,728
о,8оа
о,883
о,9?2
i.oog
1,187
1,317
i,510
1,754
а в °С
ЗЗД
oOiJ
0,529
0,586
0-645
0.706
0,771
0,839
0,912
0,904
1,082
1,190
i,3«
М65
380
0,52?
0,580
о,6з4
о,689
е- 745
о,8о5
0,867
о,935
1,оо8
1,092
1,186
1,302
400
0,526
о,575
0,625
0,674
о,725
о,777
0,833
о.вдо
о,952
1,О21
1,оо8
1,187
420
в-525
•-57I
o,6i7
0,663
0,709
о,75б
0,804
0,855
0,909
0,968
1,034
1,106
440
0,524
0,568
0,611
0,653
0,695
о,738
0,782
0,827
0,875
0,926
0,983
1-045
460
0,523
0,565
0,605
0.644
0,683
0,723
0,763
0,834
0,847
0,893
0,943
о,997
480
0523
0,562
0,600
0,637
0,674
0,710
0,747
0,785
0,824
0,865
0,910
0,958
500
0,523
0,560
0,596
0,631
0.665
0,699
о-733
0,768
0,804
0.842
0,883
0,926


ГЛ. V]
ВОДЯНОЙ ПАР
471
Работы конференций по паровым таблицам
(Лондон—1929 г., Берлин —1930г., Нью-Йорк —
1934 г.) дали скелетные таблицы для восьми
температур с интервалами в 50°; этим опреде-
лены наиболее вероятные значения основных
величин и возможные отклонения их. Приводи-
мые табл.45, 46, 47 даныопо Коху [31], согласо-
ваны с указаниями Нью-Йоркской конференции
(до этого были распространены таблицы Кно-
блауха, Райша, Хаузена и Коха—1932 г.).*
Насыщенный водяной пар
Таблица 45**
р
в кг/см3
0,ОЮ
0,015
О,020
О:О25
0,030
0,040
0,050
о.обо
о,о8о
0,10
0, 12
ОД5
О,2О
, °>25
о.зо
о,35***
0,40
°-45
°>5°
о,6о
0,70
о,8о
о,до
1,0
i,i
1,2
1,3
1,4
1.5
1,6
1.7
1,8
2,0
2,2
2,4
2.6
2,8
3,°
3-2
31
3.6
3.8
4,о
4-5
5,°
5,5****
6
7
8
9
ю
и
2
3
4
5
6
7
8.
9V
/
в СС
б.боЯ
12-737
17,204
20,776
23-77-
28,641
32-55
35,82
41, i6
45-45
40.06
53,6о
59,67
64,56
68.68
72,24
75-42
?8.27
8о.8б
85-45
89-45
02,90
Q6.T8
99-09
101,76
104,25
106,56
108.74
ио,79
Ц2,73
,57
иб.33
119,62
122,65
125,46
128,о8
130.55
132,88
135,о8
Г37-18
!39-18
141,09
142,93
147-20
i5i.li
154,71
158,08
164,17
169,61
174-53
179>°4
183,20
187,08
190,71
'94,13
197,36
200,43
203,35
206,14
2o8,8i
—————— _._
v'
в лР/'кг
o.ooioooi
0,0010007
0,0010013
0,ОО1ОО20
O.OOIOO2/
0,0010041
о,оо1оо53
0,0010064
0,0010084
О,ООТО1О1
о.ооюиб
о,оою137
0,0010170
0,0010196
O.OOIO22I
0,0010242
о.ооюабт
0,0010270
О,ОО1О20б
0,0010326
о,ооюз55
0,0010381
0,0010405
0,0010428
о,оою449
0,0010468
0,0010487
0,0010504
0.0010521
о,оою537
О.ООЮ553
0,0010569
0,0010509
0,0010628
О.ООТО&54
0,0010678
0,0010701
0,0010725
о,оою747
0,0010769
o,oojo790
0,0010809
0,0010828
0,0010875
0,0010918
o,ooiop6o
0,0010999
0,0011072
0,0011140
0,0011203
О,ООИ2б2
0,0011318
о,оои373
0,0011425
0,0011476
0,0011524
0,0011571
O,OOIl6lQ
0,0011663
0.0011707
~ ~— —
v"
в лг*1кг
I3L7
89,64
68,27
55-28
46,53
35-46
28,73
24.19
18.45
Ч. 95
12,6о
10,21
7-795
6,322
5-328
4.615
4,009
3-643
3-301
2,783
2,409
2,125
1,904
1-725
1-578
1-455
1-35°
'•259
i.iSo
1,111
1,050
0,9952
0.9016
0.8246
0,7601
0,7052
0,6578
0,6166
0,5804
о,548з
0,5196
0-4939
0,4706
0.4213
0,3816
0.3489
0,3213
0,2778
0.2448
0,2189
0,1981
о;18о8
0,1664
0,1541
о-Н35
ОД343
0,12б2
0,1190
0,1126
o,io68
•
т"
' в кг/.и3
о,оо7595
о.ошб
0.01465
0.01809
0,02149
0,02820
0,03481
0,04134
0,05421
о.оббШ
0,07938
о,о979т
0,1283
0,1582
0,1877
o,2i6o
0,2458
0,2745
0,3029
0-3594
0.4152
0.4705
0-5253
о.5797
0,6337
0,6875
0,741°
0.7942
0.8472
0,8099
о,9524
1,005
1,109
1,213
i-З
1,410
1.520
1,622
i -723
1,824
т>925
2.025
2,125
2,374
2,621
2.86,
3,113
З.боо
4,о85
4,568
5-049
5,53°
6,010
6.488
6.967
7-446
7-9^5
8,405
8,886
о.366
»'
в ккал\кг
6,73
12,78
17.24
зо,8о
23,79
28,6.5
32,55
35-8i
41-Н
45-41
49-01
53-54
59,6:
64,4-Р
68,61
72.18
75-36
78.22
8o,8i
85,41
89,43
92,99
96.19
99,12
101,81
104,32
106,66
108,85
IIO.Q2
II2,8g
114,7°
Il6,54
119,8/
I22.O
125,8
128,5
I31,0
133-4
135-6
137,8
139-8
141,8
143,6
148,0
I52.I
155.8
159,3
165,6
171,3
1/6.4
181,2
185,6
189,7
193,5
I97>1
200,6
203,9
207,1
2IO,I
213,0
i"
в ккпл'кг
6oo,i
602.8
604.8
606,4
607,7
600,8
6ii.5
612.9
615.2
617,0
618.5
620,5
623,1
625,1
626,8
628,2
629,5
630.6
631,6
633.4
634-9
636,2
637,4
638.5
639,4
640,3
641,2
642,0
642,8
043,5
644,1
644.7
645,8
646,8
647,8
648,7
649-5
650,3
650,9
651,6
652,2
652,8
653.4
°54 7
655,8
656,9
657-8
659-4
660,8
662,0
663,0
663,9
664,7
665,4
666,0
666,6
667,1
667,5
667,9
668,2
r
в ккал\кг
59S.4
59o,o
ч87,6
585-6
<*},9
S8i,i
578.9
577.1
574,1
5/1.6
569-5
567,0
563,5
560.6
558.2
55б,о
554-1
552,4
5?0,8
548,0
545,5
543-2
541,2
539-4
537-6
53б,о
534,5
533- 1
53 т- о
530,6
529-3
528,2
525.9
- 523-9
522,0
520,2
518,5
5i6,9
515,3
513-8
512-4
5ii,o
5°9-8
5°6,7
5°3-7
5°1,1
498.5
4Р3.8
489,5
485,6
481,8
478,3
475-°
471-9
468,9
466,0
463,2
460,4
457-8
455,2
s'
ккал
кг . град j
0,0243
0,0457
0,0612
0,0735
0,0836
0,0998
0,1126
0,1232
0,1402
0-1538
0,1650
0,1790
0,1974
0,2120
0,2241
0,2346
0,2437
0.2518
0.2592
0,2721
0,2832
0,293°
0,3018
0,3096
0,31^8
0,3235
0-3297
Q-3354
0,3408
0,3459
о,Э5°8
0-3554
0,3638
o,37i5
0,3786
0,3853
o,39T4
0-3973
0,4028
0,4081
0,413°
0,4176
0,4221
0,4326
0,4422
о,45ю
o,459i
0,4737
0,4865
0,4980
0,5085
0,5180
0,5269
о,5352
0-543°
о,55оЗ
о,5572
0,5638-
0,5701
0,5761
s"
ккал
в —— •
кг . град
2,1447
2,100б
2,0847
2-°б55
2,0499
2.0253
2,0064
i ,99о8
i .9064
i ,947s
1.9326
1,914°
1,8903
1,8718
1,8567
1,8444
1,8334
1,8237
1,8150
1,8001
1,7874
1,7767
1,7673
1,7587
1.75Ю
1,7440
!-7375
L73I5
1,7260
1,7209
1,7161
1-7115
1,7029
1,6052
1,6884
1,6819
' г-б759
16703
1,6650
i,66oi
i,6557
1,6514
1-6474
1,6380
1,6297
1,6220
1.6151
1,6029
1.5922
1-5827
1-5740
1,5661
1-5592
1.5526
1,54б4
1,5406
1.5351
i,53oo
1.5251
1,5205
* Таблицы Вукалович М. П., Термодинамические свойства воздушного пара, Госэнергоиздат, М.-Л. 1946, не могли
быть использованы, так как вышли в свет после сдачи данного тома в набор.
** По К о х у [31].
*** Эта строчка получена интерполяцией между 0,34 и 0,36 кг/см'.
•*** Эта строчка получена интерполяцией между 5,4 и 5,6 кг!см*.


472
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
Продолжение табл. 45
р
в кг/см*
——— ——
зо
21
22
2.3
24
25
?б
27
28
29
Зо
32
34
36
38
4о
42
44
46
48
5о
55
6о
65
70
75
8о
85
00
95
ТОО
но
120
130
140
150
тбо
170
18о
190
200
210
22О
В °С
2н,з8
213,85
2l6,23
218,53
220,75
222,90
224-99
227,01
228,98
230,89
232,76
236,35
239-77
243,04
246,17
249, '8
252,07
=54-87
257-56
200, 17
262,70
268,60
274,29
279-54
284,48
289,17
293-62
297,80
301,92
3°5-8о
3°9-53
3*6,58
323,15
329-30
335-09
340-5*
345,74
35°-6б
355-35
359-82
364,08
збвдб
372Д
V1
в ма/кг
O.OOII751
о,ооп794
о,оотт8з4
0,0011874
0,0011914
o.ooi 1952
0,0011991
0,0012029
О,0012о?8
0,0012106
0,0012142
0,0012214
0,0012285
0,0012355
0,0012424
0,0012493
0,0012561
0,0012627
0,0012695
0,0012762
0,0012828
0,0012989
0,0013150
0,0013307
0,0013467
0,0013625
0,0013786
0,0013951
0,001412
0,001428
0,001445
0,001480
0,001518
0,001558
0,001599
0,001646
0,001699
0,001756
0,001821
0,001902
0,00201
0,00214
0,00239
ъ"
в м31кг
——————— : ——————
О, IOl6
0,09682
0.09251
0,08856
0,08492
0,08157
0,07846
0,07557
0,07288
0,07037
0,06802
0,06375
0,05995
0,05658
0,05353
0,05078
0,04828
0,04601
0,04393
0,04201
0,04024
0,03636
0,03310
0,03033
0,02795
0,02587
0,02404
О.О224Т
0,02095
0,019^4
0,01845
0,01637
0,01462
0,01312
0,01181
0,01065
0,000616
0,008680
0,007809
0,006994
0,00620
0,00539
0,00449
в кг у ж
9,846
ю,зз
ю,8т
11,29
11,78
12, 26
Т2,75
13-23
IS,?2
14,70
15,69
16,68
17-68
i8,68
19-69
20,71
21,73
22, 76
23, 8о
24,85
27-50
30,21
32-97
35,78
38,66
41, 6о
44,62
47,71
50,91
54,21
6i,o8
68,43
76,23
84,68
93,9°
04,0 j
15,2
28,0
43,о
6Т, 2
85-7
Г
в к кал i кг
215,8
2i8 5
221,2
223,6
226,1
228,5
230,8
233,0
235,2
237-4
239,5
243,6
247,5
251,2
254-8
2.58,2
2бт,6
264,9
268,0
271,2
274-2
28i,4
288,4
294,8
300,9
307,0
312,6
3*8,2
323,6
328,8
334,0
344,о
353,9
363,0
372,4
381,7
39о!в
4оо,з
410,2
420,4
431-5
444,7
4бЗ,4
в ккал/кг
668,5
668,7
668,9
669,1
669-3
669,4
66д-5
669,6
669,6
6б9.7
6б9,7
669,7
669,6
669,5
669,3
669,0
668,8
668,4
668,о
667,7
667,3
666,2
665,о
66-5,6
6б2,Г
66о,5
658,9
657,о
655Д
653,2
651, г
646,7
641,9
636,6
631,0
624,9
6т8,з
610,8
602,5
593,2
582,3
5б8д
547
г
в ккал/кг
452,7
45°,2
447,7
445-5
443-2
440-9
438-7
436,6
434,4
432,3
430,2
426,1
422,1
418,3
44,5
410,8
407,2
403,5
400,0
396,5
393,1
384-8
376,6
368,8
353,5
346,3
338,8
331,5
324.4
'3I7-1
<5О2,
288,о
273,6
258,6
243,2
227,5
2Ю,5
192,3
172,8
150,8
123,4
84
S'
ккал
кг • град
0,5820
0,5875
0,5928
о,5978
О,6о2б
о,6о/4
O,6l2O
0,6164
О,б2о6
0,6248- -
0,6290
0,6368
0,6443
0,6515
0,6584
0,6649
0,6712
0,6773
0,6832
0,6889
о,б944
0,7075
0,7196
0,7420
о-7524
0,7623
0,7718
0,7810
о,78о8
о,798з
0,8147
0,8306
0,8458
0,8606
0,8749
0,8892
0,9035
0,9186
о,9347
0,95I4
0,974
1,002
s"
ккал
в ————— —
кг • град
i,5i6o
i 1,5118
1,5078
1-5038
1,5000
1,40.62
т,49"
1,4891
1,4857
1,4825
i,4793
i,4732
i,46;3
1,4617
i,45?3
1,4463
1,443:5
1,4324
1,4280
1,4176
i ,4078
1,3986
i,38i.3
1,3731
1,3б54-
1,3576
i, 35°°
1,3424
1,3138
1,2998
1,2858
1,2713
1,2564
1,2411
1,2251
i, 208 i
1,1883
1,1636
1,131
Таблица 46
Насыщенный водяной пар
t
в °С
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
5o
55
60
65
70
75
P
В KZJCM'
0,006228
0,008890
0,012513
0,017376
0,02383
0,03229
0,04325
0,05733
0.07520
0,09771
0,12578
0.16051
0,2031
0,2550
0,3177
0-3931
I1' -
В M3JKZ
0,0010002
0,0010000
0,0010004
0,0010010
0,0010018
0,0010030
0,0010044
0,0010061
0,0010079
o.ooroooxi
0,0010121
0,0010145
0,0010171
0,0010190
0,0010288
0,0010258
v"
в м? кг
206,3
147,2
106,4
77-99
57,84
43-41
32-93
25,25
19-55
15,28
12,05
9584
7,682
6,206
5-049
4Д36
T"
в кг! лг1
0,004846
0,006795
0,009396
0,01282
0,01729
0,02304
0,03036
0,03960
0,05114
0,06544
0,08298
0.1043
0,1302
0,1611
0,1081
0,2418
1
! '"
в ккал! кг
0
5-°3
ю,04
15,04
20,03
25,02
Зо.оо
34-99
39-98
44-9б
49-95
54-94
59-94
64,93
69-93
74,94
i"
в , ккал /кг
597.2
599,4
бот.Ь
603,8
6о6,о
6о8,2
610.4
619-5
614-7
6т6,8
6ig,o
62Т.О
623-2
625.2
627,3
629.3
г
в ккал'кг
597.2
594-4
591-6
588,8
585,0
583-2
580,4
577-5
574,7
571,8
5б9,о
566,1
5бЗ-3
557-4
554-4
s'
ккал
кг • град
о
0,0182
0.0361
0,0536
0,0708
0,0876
0,1042
0,1205
0,1366
0,1524
0,1679
0,1833
0,1984
0,2133
0,2280
0,2425
s"
ккал
кг • град
2,1863
2,1551
2Д253
2,0970
2,0697
2,0436
2,0187
1,9947
i,97l8
г,9498
19287
1,9085
1,8891
1.8702
1,8522
1,8349


ГЛ. V]
473
Продолжение табл. 46
t
в°С
80
85
go
95
100
*05
no'
**5l
120
*25
130
*35
140
*45
*5o
*55
160
*65
170
*75
180
*85
190
*95
200
205
2IO
2*5
22O
225
230
235
240
245
250
255
2fo
265
270
=75
280
285
290
295
300
305
3*°
3*5
320
325
330
335
34°
345
35°
355
360
365
37°
374
P
в кг/см?
0,4829
0,5894
o,7*49
o,86i9
1,0332
1,2318
1,4609
*,7239
2,0245
2,3666
2,7544
3,*92
3.685
4,237
4,854
5,540
6.302
7,146
8,076
9,*oi
10,225
II.456
12,800
14-265
*5-857
*7.585
*9,45б
2i,477
23-659
26,007
28,531
3*.239
34,140
37-244
40,56
44,10
47-87
51,88
5б,*4
60,66
65-0
7°-54
75,92
81,60
87,61
93,95
100,64
107,69
**5.*3
122,95
131,18
*39,85
148,96
*58,54
168,63
179-24
190,42
202,21
214,68
225,2
v'
в м3/кг
0,0010290
0,0010323
О.ООЮ359
0,0010396
о,оою435
о,оою474
0,0010515
0,0010558
о, со 10603
0,0010650
0,0010697
0,0010746
0,0010798
0,0010850
o,ooiooo6
0,0010963
0,0011021
0,0011082
0,0011144
O,OOII2JO
0,0011275
0,0011345
0,0011415
0,0011490
0,0011565
0,0011645
0,0011726
0,0011812
0,0011900
0,0011991
o,ooi2c88
0,0012186
0,0012291
0,0012400
0,0012512
0,0012629
0,0012755
0,0012888
0,0013023
0,0013169
0,0013321
0,0013484
0,0013655
0,0013837
0,0014036
0,001425
0,00141.8
0,001472
0,001409
0,001529
0,001562
0,001598
0,001641
0,001692
0,001747
0,001814
0,001907
0,00203
0,00223
0,00279
v"
в лР/кг
3,4*0
2,830
2,36l
1,981
1,673
*,4*9
1. 210
1,036
0,8914
0,7701
0,6680
0,5817
0,5084
0,4459
0,3924
0,3464
0,3068
0,2724
О 242О
0,2l66
ОД939
ОД739
0,1564
ОД410
0,1273
0,1151
0,1043
о ,09472
0,08614
0,07845
0,07153
0,06530
0,05970
0,05465
* 0,05006
0,04591
0,04213
0,03870
0,03557
0,03272
0,03010
0,02771
0,02552
0,02350
0,02163
0,01991
0,01830
0,01682
0,01544
0,01415
0,01295
0,01183
0,01076
0,009759
0,008803
0,007875
0,006963
0,00606
0,00500
0,00365
?" 3
в кг. м3
о.2933
0.3534
0.4235
0,5045
0,5977
о,7°45
0,8265
0,9650
1,122
г,299
1,495
1,719
1.9<57
2,243
2,548
2,887
З.збо
3,6?!
4,1^2
4,6i7
5, 157
5-749
6,392
7>°94
7-857
8,687
9.585
ю,5б
и, 6i
12,75
13,98
15,31
16-75
18,30
1998
21,78
23,74
25,84
28,11
Зо,57
33,22
36,09
39Д8
42,56
46,24
50,22
54,64
59-46
64,79
70,68
77-20
84,55
92,93
102,4
113,6
127,0
143,6
165,0
200
274
/'
в ккал/кг
79,95
84,96
89,98
95,oi
ioo,o4
105,08
110,12
115Д8
120,3
125.3
130,4
135-5
140.6
145-8
150,9
156,1
161,3
166,5
I7i>7
176,9
182,2
187,5
192,8
198,1
203,5
208,9
214-3
2198
225,3
230,8
236,4
242,1
247-7
253-5
259-2
265,0
271,0
277,0
283,0
289,2
295-3
301,6
308,0
3144
321,0
327-7
334,6
341,7
349-0
356,5
364,2
372,3
380,7
389-9
398,6
409,5
420,9
434,2
452,3
488
1"
в ккал\кг
63*,3
°33,2
635Д
637,0
6з8,9
640,7
642,5
644-3
646,0
647,7
049.3
650,8
652,5
б54,о
655.5
65б,9
658,3
659.6
66о,9
662,1
663,2
664,3
665-3
666,2
667,0
667,7
668,3
668,8
6'9.2
669.5
669,7
669,7
669,6
66д,4
' 66д,о
668,4
667>8
666,9
665,9
664,8
663,5
66i,9
660,2
658,3
656,1
653,6
650,8
647,8
644,2
640,4
636,0
631,1
625,6
6i9,3
611,9
603,2
592,8
579.6
559.3
523
Г
в ккал/кг
55J-3
548.2
545-1
542,о
538,9
535,6
532,4
529,1
525-7
523,4
5*8-9
515-3
5**9
5с8,2
504,6
,00,8
497-8
493,1
489,2
485-2
481,0
476,8
4735
468,1
463-5
458,8
454-0
449-0
443-9
438,7
433-3
427,6
421,9
415-9
409-8
403-4
396,8
389-9
382,9
375.6
368,2
Збо.З
352,2
343-9
335-1
325-9
3*6,2
3°6,i
295.2
2839
271,8
258-8
244,9
229,7
213,0
193,7
*7*'9
145-4
107,0
35
S1
ккал
кг -град
0,2567
0,2708
0,2848
0,2985
0,3121
о,3255
о,3387
0,35*9
о,зб47
0,3775
о,39°*
о ,4026
0,4*5°
0,4272
о,4395
0,45*6
о,4б37
о,4756
0,4874
о,499*
•>-5*о7
0, 5222
о,533б
0,5449
о,55б2
о.5б75
о,5788
0,5899
о,6ою
O.6I20
0.6229
0,6339
0,6448
0,6558
0,6667
0,6776
0,6385
0,6994
0,7103
0,7212
0,7321
0,743*
о,7542
о,7553
0,7767
0,7880
0,7994
0,81 и
0,8229
0,835*
0,8476
о,86о4
о,8734
0,8871
о,9о*5
о,9*73
о,9353
о,9553
0,9842
1,04
s"
ккал
кг-граО
1,8178
i,3ois
1,7858
i,77°8
i,756i
1,74*9
1,7382
i,7*5°
1,7018
r,6895
1,6772
1,6652
i,6539
1,6428
i ,6320
1.6214
I,6lI2
I,6oli!
i.59*l
1,58*8
t,5721
1,5629
1,5538
1,5448
г, 5358
f,527°
•-5*84
r,5099
1,5012
1,4926
1,4840
1,4755
1,4669
*,4584
1,4499
1,44*3
i,4327
1,4240
1,4*53
1,4066
1,3978
1,3888
1,3797
1,3706
г, 36*3
1,35'6
i,34i5
1,33*2
1,3206
1,3097
1,2982
1,2860
1,2728
1,2586
г, 2433
1,2203
1,3072
*,*833
с *5°6
[,09
Диаграмма Т — s (фиг. 40). В диаграмме
Т — s для пара наносятся нижняя пограничная
кривая а — b—k, определяющая состояния
жидкости при температурах кипения (состоя-
ния влажного пара при х = 0), и верхняя
пограничная кривая k — с, на которой распо-
лагаются точки, характеризующие состояния
сухого насыщенного пара (х = 1). Обе кри-
вые смыкаются в точке k, выражающей кри-
тическое состояние. Между пограничными
кривыми располагаются точки, определяющие
состояния влажного пара, правее верхней
пограничной кривой — состояния перегретого
пара, левее нижней пограничной кривой —
состояния жидкости.
Приращения энтропии для состояний жидко-
сти, находящейся в равновесии с насыщенным
паром, т. е. для точек на нижней пограничной
кривой, определяют по уравнению
, Г ,dT
—So — I С' "TT
l/ /
To


474
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
Вода и перегретый
Числа под ступенчатой линией относятся к воде.
\ '
р \
в кг!слР\
! г'
°.°5 | i
I s
i v
o,t.6 -| f
1 ^
1 v
0,08 • ;
' 5
f V
0,10 { i
1 s
f f
0.12 | г
i
1 F
0.16 •! i
.S
I I'
0,30 S i
1 s
( v
0,24 f
* *
f v
0,30 j f
*
/F
0,40 1 J
* s
/F
0,50 | i
f w
0,60 -i i
/ p
0,70 л f
I *
/г/
o,8o < ?
' J
! •'
0,QO { I
u-
1.0 {?
1 J
1 •'
1,2 j.
J 1)
* S
t V
1.6 1 i
( s
,,8 {?
* J
40°
29,44
614.8
2,0174
24,52
614,8
i,997i
1,0079
40,0
01365
1,0079
40,0
0,1365
1,0079
40,0
0,1365
1,0079
40,0
0,1365
1,0070
40,0
0,1365
1,0079
40,0
0,1365
1,0079
40,0
0,1365
1.0079
40,0
0,1365
1,0079
40,0
0.1365
1,0079
40,0
0,1365
1,0079
40,0
0,1365
1,0079
40,0
o,i365
1,0079
40,0
0,1365
1,0079
40,0
0,1365
1,0078
4°, о
0,1365
i 1,0078
40,0
0,1365
| i ,0076
4°,o
0,136=
1,007?
40,0
0,1365
60°
31,33
623.9
2,0452
26,10
62-3,8
2,0251
i9,57
623,8
i,9932
15,65
023.6
1,9682
13,03
623.6
i ,9482
9,765
023,4
1,9160
7,803
623,2
1,8908
1,0171
59,9
0,1984
1,0171
59,9
o, 1984
1,0171
59,9
0,1984
1,0171
59,9
0,1984
1,0171
59-9
0,1984
1,0171
60,0
o, 1984
1,0171
60,0
0,1984
1,0171
60,0
o, 1984
1,0170
60,0
0,1984
1,0170
60,0
0,1984
1,0170
60,0
0,1984
j 1,0170
60,0
' 0,1984
1,0170
60,0
0,1984
80°
33.21
632,9
2.0715
27,67
632,0
2.0513
20,75
632,9
2,0195
16,59
632,8
1.9948
13,82
632,8
1,9746
10,36
632,7
1,9427
8,283
632,5
1,9178
6,898
632,4
1.8975
5,512
632,2
1,8724
4.125
631,7
1,8396
1,0290
80,0
0,2567
1.0290
80,0
0,2567
1,0290
80,0
0,2567
1,0280
80,0
0,2567
1,0289
80,0
0,2567
1,0289
80,0
0,2567
1,0289
80,0
0,2567
1,0289
80,0
0,2567
1,0289
80,0
0,2567
1,0289
80,0
] 0,2567
100°
35ДО
641,9
2,0963
29,25
641,9
2,0762
21,93
641,9
2,0444
17,54
641,8
2,0198
14,61
641,8
1,9996
Ю.95
641,7
1,9678
8,758
641,6
1,9429
7-295
641 5
i ,9227
5,831
641,4
1,8978
4.367
641,2
1,8656
3,489
640,9
1,8405
2.903
640,6
1,8197
2,485
640,2
1,8020
2,170
639.9
1,7865
1,926
639,5
1,7726
1-730
639,*
1,7599
1,0435
100,0
0,3121
1,0435
100,0
0,3121
1,0435
100,0
0,3121
1,0435
100,1
0,3121
120"
36.98
650,9
2,I1CQ
30,82
650,9
2,0998
23,11
650,8
2,o6So
1848
650,8
2,0434
15.40
650,8
8,0232
11,55
650,7
1,99*4
9,232
650,7
1,9667
7,690
650,6
1,9464
6,148
650,5
1,9216
4,606
650,3
1,8896
3,68i
650,2
1,8646
3,064
650,0
1,8442
2,624
649,8
1,8268
2,293
649,6
1,8117
2,036
6<t9,3
1,7983
1,830
649,1
1,7862
1,521
648,6
1-7651
1.301
648,1
1,7470
1,135
647,5
i,73io
i, 006
646,8
1,7166
140°
38,87
[660,0
2,1424
3239
660,0
2.1223
24,29
660,0
2.0906
19-43
659.0
2,0659
16,19
6599
2,0458
12,14
659,8
2,0139
9.705
659,8
1,9892
8,085
659,7
1.9691
6,464
659,6
1,9443
4,844
659-5
1,9123
3,872
I&74
3,224
°59-2
1,8671
2,761
659,0
1,8498
2,414
658,9
1,8348
2,144
658,7
1,8215
1,927
658,5
1,8096
1,603
658,2
1,7890
1,37s
657,9
i,77*3
1,198
657,5
i,7559
1,063
657,1
1,7422
160°
40,75
669,2
2, 1640
33,96
669,1
2Л438
25-47
669,1
2,1121
20.37
669,0
2,0875
16,97
6fc9,o
2.0673
12,73
669,0
2,0355
10, 18
668,9
2,0108
8,479
668,9
1,9907
6,780
668,8
i-9659
5,081
668,7
1,934°
4,062
668.5
1.9092
3.383
668,4
1.8889
2,897
668,3
1,8716
2,533
668,1 -
1,8567
2,250
668,0
i,8435
2,024
667,9
1,8316
1,684
667,6
i 8m
i,44i
667,3
L7936
i,259
667,0
1,7784
1,118
666,7
1,7650
180°
42.64
678.3
2, 1846
35.53
678,3
2.1645
26.65
678,2
2,1327
21,31
678,2
2,1081
17,76
678,2
2,0880
13,32
678,1
2,0562
10,65
678,1
2,0315
8,873
678,0
2,0113
7,096
678,0
1,9866
5,319
677,9
1.9548
4,252
677.7.
1,9300
3.541
677,6
1,9097
3-034
677,5
1,8925
2,653
677,4
1,8776
2,357
677,3
1,8644
2,120
677,2
1,8526
1,764
676,9
1,8321
i,5io
676^7
1,8148
1,320
676,5
1,7996
1,172
676,2
1-7863
200°
44,52
687,5
2,2044
37. 10
687,4
2,1843
27,83
687,4
2.1525
22.25
687,4
2,1279
18,55
687,4
2,1078
I3,9i
2,0760
11,12
687,3
2,0513
9,266
687,2 y
2,0312
7,411
687,2
2,0065
5.555
687,1
1.9746
4442
687,0
i,9499
3,7°o
686.9
1.9296
3,170
686,8
i,9I25
2,772
686,7
1,8976
2,463
686,6
1,8845
2,215
686,5
1,8727
1,844
686,3
1,85=3
i,579
686,1
1,8350
1,380
685,0
1,8200
1,226
685,6
1,8067
220°
46,41
696,7
2,2233
38,67
696,7
2,2034
20.00
690,6
2,1717
23,20
696,6
2.1470
19-33
696,6
2,1209
14,50
696,6
2.0952
",59
696,5
2,0705
9,660
696,5
2,0504
7,726
696,4
2,0257
57Q2
б9б!з'
1.9938
4-631
696,2
1,9691
3,858
696,2
1,9489
3,305
696,1
i,93i7
2,891
696,0
i,9l69
2,569
695,9
1,9038
2,3"
695,8
1,8920
1,024
605,6
1,8/17
1,648
695,4
1,8544
1,440
695,3
1,8394
1,279
695,1
i,8a6i
240°
48,20
7059'
2,2419
40,24
7°5,9
2,2218
30,18
705.9
2,1901
24.14
705,9
2 1655
20,12
705.9
2,1454
15,08
2.II37
12,07
705,8
2,0890
10,05
705.8
2,o688
8,041
705,7
2,0442
6,028
705.6
2,0123
4,821
705.6
1,9876
4.OI6
705,5
1,9674
3,441
705,4
1,9503
3,010
705,3
1,9355
2,673
705-2
1,9224
2,406
7°5,2
1.9106
2,003
705,0
1,8903
1,716
704,8
1,8731
1,500
704,7
1,8581
1,333
704,5
1,8449
260°
50.17
7i5,3
2,2598
41,81
7*5,3
2,2396
3L36
7*5,3
2,2079
25,08
715,2
2,1833
20.90
715,2
2,1632
15,67
7*5,2
2,1314
12.54
2Л068
*°,45
7*5,*
2,0867
8.355
715,1
2,0620
6,264
7*5-0
2,0302
5,010
7*4,9
2,0055
4Д74
714.9
1,9853
3,576
714,8
1,9682
3.128
7*4,7
i,9534
2,780
7*4,7
1,9403
2,501
7*4,6
1,9286
2,083
74,4
1,9083
1,784
7*4,3
1,8911
1,560
1,8762
1,386
7*4,o
i ,8630
280°
52,06
724.7
2,2770
43.38
724.7
2,2569
32,53
724,7
2,2252
26,03
724.6
2,2006
21,69
724,6
2.1805
16,26
724,6
2.1487
*3-oi
7=4,5
2.1241
10,84
724.5
2.1040
8.670
724,4
2,0793
6.501
724.4
2,0475
5, '99
724-3
2,0228
4,33*
724.3
2,0026,
3-7**
724,2
1.9856
3-247
724,1
1,9708
2,885
724.*
'
2,596
724,0
1,9460
2,162
723-0
i, 9257
1,852
723,7
1,9086
1,620
723.6
i,8937
*,439
723,5
1,8805


ГЛ. V]
ВОДЯНОЙ ПАР
475
Таблица 47
водяной пар
Для последней v выражено в дм?;кг
300°
53,94
734-1
2,2938
44.95
734,i
2.2737
33.7*
734,1
! 2,2420
i 26,07
734,0
j 2,2173
: 22,47
734.0
2,1972
16,85
734-0
2,1655
13,48
734,o
2,1409
11.23
734,0
2,12О?
8.Q84
733-9
2.0961
6,737
733,9
2,об43
5,388
733,8
2,0397
j 4,489
i 733,8
2,0195
3,847
733,7
2,0024
3,365
733,6
1,9876
2,990
i 733,6
i,9746
2,691
733,5
1,9629
2,241
733,4
1-9426
1,920
733,3
i,9255
1,679
733,2
I,QIO6
1,492
733-o
1,8975
320=
55,82
743,6
2.3101
46,52
743.6
2,2900
34,89
743,5
2,2582
27,91
743,5
2.2336
23,26
743,5
2,2135
*7,44
743,5
2,1818
13.95
743,5
2,1572
11,62
743,5
2.I371
9,299
743,4
2,1124
6,972
743-4
2,0806
5,577
743.3
2,0560
4,646
743,3
2,0358
3,982
743,2
2,0188
3,483
743,2
2,0040
3,096
74Я.1
1,0909
2,785
743, i
1,9793
2,320
742,9
r,959i
1,088
742,8
i,94i9
*r739
742,7
1,9270
1,545
742,6
i,9i39
340°
57-71
753-1
2,3259
48,09
753-1
2.3058
36,06
753,1
2.2741
28,85
753-1
2,2495
24,04
753,i
2,2294
18,03
753Д
2,1976
14.42
753-1
2,1730
12,02
753.°
2,1529
9,6i3
75з!о
a, 1283
7,2o8
753,0
2,0965
5.766
752,9
2,0719
4,804
752,9
2,0517
4,
752,8
2,0347
3,601
752,8
2,0199
3,201
752,7
2,0069
2,880
752,7
1,9952
2,399
752,5
1,9750
2,056
752,4
i,9579
1,798
752,3
1,9431
1,598
752,2
1,9299
360°
59,59
762,8
2,3414
49,66
/62,8
2,3213
37,24
762,7
2,2896
29,79
762,7
2,2649
24,83
762,7
2.2448
18,62
762,7
2,2131
14,89
762,7
21885
12,41
762,7
2.1684
9,927
762,6
2,1438
7,444
762,6
3,II2O
5,954
762,6
2,0874
4,961
762,5
2.0672
4,252
762,5
2,0502
3,720
762,4
2,0354
3,306
762,4
2,0224
2,975
762,3
2,0107
2,478
762,2
*,99°5
2,123
762,2
1,9734
1.857
762,1
i,9586
1,650
762,0
1,9455
380°
61,48
772.5
2,3505
51,22
772,4
2,3364
38,42
772,4
2,3046
3o,73
7/2,4
2,2800
25,61
7/2-4
2,2599
19,21
772,4
2,2282
15,36
772,4
2,2036
12,80
772,4
2,1835
19,24
772.4
1,1589
7,680
772,3
2,1271
6,143
772,3
2,1025
5,n8
772,2
2,0823
4,387
772,2
2,0653
3,838
772,1
2,0505
3,4"
772,1
2,0375
3,069
772,1
2,0258
2,557
772,o
2,0056
2,191
771.9
1,9886
i,9i7
771,8
1,9737
1,703
771,7 '
1,9607
400°
63,36
782,2
2,3712
52,80
782,2
2,3511
39,6o
782,2
2,3*94
31,68
782,2
2,2948
26,40
782,2
2,2747
19,80
782,2
2,2430
15-84
782,2
2,2184
13,20
782,2
2,1983
10,56
782,1
2,1736
7,916
782,1
2,1419
6,332
782,1
2,1172
5.276
782,0
2,0971
4,521
782,0
2,0801
3,956
782,0
2,0653
35*6
781,9
2,0523
3,164
781,9
2,0407
2,636
781,8
2,0205
2,259
78i,7
2,0034
1,976
781,6
1,9886
1,756
781,6
1,9755
420°
65,24
792Д
2,3857
54,37
792,1
2,3650
40,77
792,1
2.3338
32,62
792,1
2,3092
=7,18
792.1
2,2891
20,38
792,1
2,2574
16,31
792,0
2,2328
13-59
7920
2,2127
10,87
792,0
2,1881
8.151
792,0
2,1563
6,520
791-9
2,13*7
5,433
791,9
2,IXl6
4,656
791,9
2,0945
4,074
791,8
2,0798
3,621
791,8
2,o668
3,258
791,8
2,0552
2,7*4
791,7
2,0350
2,326
791,6
2,0179
2,035
79*,5
2,0031
i, 808
791,5
1,9900
440°
67,12
802,1
2.3998
55.94
802,1
2,3798
4*. 95
802,0
2,3480
33.56
802,0
2,3234
27,96
802,0
2,3033
20,97
802,0
2,2715
16,78
802,0
2,2469
*3,&8
802,0
2,2269
ir, 18
802.0
2,2023
8,387
801,9
2,1705
6,709
801,9 -
2Д459
5.590
801,9
2,1258
4,791
801,8
2,1088
4,191
801,8
2,0940
3,725
801,8
2,0810
3,353
801,7
2,0693
2,793
801,7
2,0493
2,394
801,6
2,0321
2,094
801,5
2,0173
1,861
801,5
2,0043
460°
69,01
812,1
2,4*38
57,5°
812,1
2,3937
43- *3
8l2,I
2.3619
34,50
812,0
2,3374
28,75
Sl2,0
2,3*73
21,56
812,0
2,2855
17.25
812 о
2,2609
*4,37
812,0
2,2408
n,5o
812,0
2,2162
8,623
812,0
2,1845
6,897
811,9
2,1598
5,747
811,9
2,1398
4,926
8n,9
2,1227
4,309
811,8
2,1079
3,830
811,8
2,0949
3,447
811,8
2,0883
2,872
811,7
2,0631
2,461
811,7
2,0461
2,*53
811,6
2,0313
*,9i4
811^5
2,0183
480°
70,89
822,2
2,4274
59,07
822,2
2,4°73
44,3*
822,2
2,3756
35-44
822,2
2,35*0
29,53
822,2
2,3309
22,15
822,2
2,2992
17,72
822,1
2,2746
4,77
822,1
2,2545
11,81
822,1
2,2298
8,858
822,1
2,1981
7,o86
822,1
2Д735
5,904
822,0
2,1533
5,060
822,0
2,1364
4,427
822,0
2, 12l6
3,936
821,9
2,1086
3,54*
821,9
2,0970
2,95*
821,9
2,0768
2,529
821,8
2,0598
2,212
821,8
2,0450
1,966
821,7
2,0319
500°
72,77
832,4
2,4408
60,64
832,4
2,4207
45,48
832,4
2,3890
36.39
832,4
2,3644
30,32
832,4
2.3443
22,74
832,3
2,3*25
18,19
832,3
2,2879
15,16
832,3
2,2678
12,13
832,3
2,2432
9,093
832,3
2,2115
7,274
832,3
2,1869
6,061
832,2
2,1667
5Д95
832,2
2,1497
4,545
832,2
2,1350
4,04°
832,2
2,1220
3,636
832,1
2,1104
3,029
832,1
2,0902
2,596
832,0
2,0733
2,271
832,0
2,0584
2,019
83*.9
2,0454
520 J
74,65
842,7
2,4539
62,20
842,7
2,4338
46,66
842,7
2,4021
37-33
842,7
2,3775
3i,"
842,7
2,3574
23,33
842,7
2,3257
18,66
842,7
2,3011
*5,55
842,6
2,2810
12,44
842,6
2,2564
9,329
842,6
2,2247
7,463
842,6
2,2000
6,218
842,6
2,1799
5,330
842,5
2,1629
4,663
842,5
2,1482
4Д45
842,5
2,1352
3,730
842,5
2,1235
3,108
842,4
2,1034
2,663
842,4
2,0864
2,33°
842,3
2,0716
2,071
842,3
2,0586
550°
77,48
858,3
2,4733
64,56
858,3
2,4532
48,42
858,3
2,4215
38,74
858,3
2,3969
43,28
858,3
2,3768
24,22
858,3
2,345*
19-36
858,3
2,3205
16,14
858,3
2,3004
12,91
858,3
2,2758
9,682
858,3
2,2440
7-745
858,3
2,2194
6,452
858,2
2,*993
5,53*
858,1
2,1824
4,840
858,1
2,1667
4,302
858,1
2,*547
3,871
858,1
2,1429
3.225
858,0
2, 1228
2.765
858,0
2,1058
2,4l8
857-9
2,0910
2,49
857-9
2,0780
t
/
•' P
в кг/см-
v \
i i 0.05
j '
г:\ .
I f o,ob
S '
V \
j f 0.08
s >
" } o,.o
s >
V \
i t o,ia
s >
V-\
I > 0,10
s >
V I
I \ 0,20
S >
v\
i \ 0,24
s'
v.\
i \ 0,30
j '
v.\
I } 0,40
s >
V \
i \ 0,50
s '
v\
i i 0,60
s '
v-\
I t 0,70
s i
v\
i \ 0,80
s 1
V \
i \ 0,00
S>
V }
i } 1,0
л- '
v \
i \ i, a
s >
•о \
i } *,4
S >
V ]
i } 1,6
s >
v \
i \ 1,8
s >


476
ТЕПЛОТА
(РАЗД. I
\ ,
\
1 р ч
IB KtjrM1 '--
I
/?
2,0 •! i
( s
/?
2,5 1
* A
\ v
3,0 /
> 5
( V
4,0 i
' J
/?
5,o г
1 5
ft/
6,0 -\ i
u
/ г'
7,0 i
1 5
ft/
8,0 { i
{ 5
/?
9,o ^ t
^ 5
/?
10 1 »
I J
( V
12 | t
' S
tv
Ч i
I ^
f г/
i6 j /
* ^
ft/
18 { i
' ^
f ?
20 I
* J
f P!
25 <
^ i
( V
30 «
1 S
/?
35 1 «
1 J
f p
40 /
1 J
/?
45 ) '
1 s
/F
50 j »
'1
40°
1,0078
40,0
0,1365
1,0078
40,0
0.1365
1,0078
40,0
1 0,1365
1,0077
40.1
0,1365
1,0077
4°,i
0,1365
1,0077
40,1
0,1365
1,0076
40,1
0,1365
1,0076
4°,2
0,1365
I,o°75
40,2
0,1364
1,0075
40,2
0,1364
1,0074
40,2
0,1364
1,0073
4o,3
0,1364
1,0072
40,3
0,1364
1,0071
40,4
0,1364
1,0070
40,4
0,1364
i, 0068
40,5
0,1363
i, 0066
40,6
0.1362 j
1,0064
40,7
0,1362
1,0062
40,8
0,1362
i, 0060
40,9
0,1361
1,0057
4I'°^
0,1361
60'
1
1,0170
60,0
0,1984
i
1 1,0170
60,0
0,1984
1,0170
60,0
0,1983
1,0169
60,0
0,1983
1,0160
60,0
0,1983
1,0168
60, r
0,1983
i, 0168
60,1
0,1983
1,0167
60,1
0,1983
1,0167
00,1
0,1983
1, 0166
60, 1
0,1982
1,0165
60,2
0,1982
1,0164
60,2
0,1982
1,0163
60,2
0,1982
1,0162
60,3
0,1982
i,or6i
60,3
0,1981
1,0159
60,4
0,1980
1.0157
60,5
0,1980
^•°,155
60,6
0,1979
1,0152
60,7
0,1978
1,0150
60,8
0,1978
1,0148
60,9
0,1977
B0°
1,0289
80,0
0,2567
1,0289
8э,о
0,2567
1,0288
8o,o
0,2567
1,0288
80,0
0,2566
1,0287
80,0
0,2566
1,0287
80, i
0,2566
1,0286
80,1
0,2566
i,oc85
80,1
0,2566
1.0285
80,1
0,2565
1,0285
80, i
0,2565
1,0284
80,2
0,2565
1,0283
80,2
0,2564
1,0282
80,2
0,2564
1,0281
80,3
0,2564
1,0280
80,3
0,2563
1,0278
80,4
02562
1,0275
80,5
0,2561
1,0273!
80,6
0,2561
1,0271
80,7
0,2560
1,0269!
80,8 !
0,2559
1,0266
80,9
0,2558
100C
!
j
i
i i,o435
1 100,1
i 0,3121
1
i,o434
100,1
0,3121
j
i,o434
100,1
0,3121
] 1,0433
j 100,1
I 0,3120
1,0433
100,1
0,3120
1,0432
100,1
0,3120
1,0432
100,1
0,3120
1,0431
100,2
0,3119
1,0431
100,2
0,3119
1,043°
IOO,2
0,3H9
1,0429
10O,2
0,3H9
1,O428
100,3
0,3118
1,0427
100,3
0,3118
1,0425
100,3
0,3117
1.0425
100.4
o,3
1,0422
ioo,5
0,3116
1,0419
100,5
o,3U5
1,0417
100,6
0,3114
i
1,0414!
100,7
0,3113
1,0412
100,8
0.3112
1.0409!
100,9 !
0,3111
1203
i
0,9027
646,1
i,7033
1,0605
120,3
0,3647
i, 0602
120,3
0,3647
1,0602
120,3
0,3646
I,o6ol
120,3
0,364.6
1,0601
120,3
-0,3646
1,0600
120,3
0,3646
l,o6oO
120,3
0,3646
1-0599
120,3
0,3645
T.°559
120,4
0,3645
1,0598
120,4
0,3645
1,0596
120,4
0,3644
1,0595
120,5
0,3644
1,0594
120,5
0,3644
1.0593
120,5
0,3643
1,0591
120,6
0,3642
1,0588
120,7
03641
1.0585
120,8
0,3640
1,0582
120,9
0,3639
1,0580
121,0
0,3638
1.0577
121,1
0,3637
|
140°
1
. 0,9546
1 656,7
; I,729S
0,7596
655,7
r .703:
0,6297
654,4
1,6807
1 ,070'
140.7
0,4150
i 1,0797
! 140,7
0,4150
1,0707
140,7 '
0,4150
1,0796
140,7
0,415°
1,0795
140,7
0,4149
1,0795
140,7
0,4149
1,0794
140,7
0,4149
1,0793
140,8
0,4148
1,0792
140,8
0,4148
1,070,1
140,8
0,4147
1,0789
140,9
0,4147
1,0788
140.9
0,4146
1,0785
141,0
0,4145
1,0782
141,1 1
0,4144
i
1,0779
141,1
0,4143
1,0776!
141,2 !
0,4142;
I.07731
I4L3
0,4141
1,0770
141,4 1
0,4140
160°
1,004
666,5
i, 752Й
0,800,:
665,7
1,7270
i 0,6641-
1 665,0
1 т,7055
0,4941
йз,3
1,6707
0,3918
^i,3
1,6424
0,3233
659,1
i, 6180
1.1Г20
161,3
0,46.37
1,1020
161,3
0,4636
I.IOIQ
161,3
0,4636
1,1018
161,3
0,4635
1,1017
161,3
0,4635
1,1015
161,4
0,4634
1,1014
161,4
0,4633
1,1013
161,4
0,4633
1,1011
161,4
0,4632
i, 1008
161,5
0,4630
1,1004
161,6
0,4629
l.IOOI
161,6
0,4627
1,0997!
161,7
0,4625
1,0994
161,8
0,4624
1,0990
161,8
0,4622
180°
!
! r,°53
676,0
1,774:
o,84oc
675,4
1,748-
o,69-?
674,8
1,7276
o,5i99
1 673,5
1,6958
i
0,4132
672,2
1,6669
0,3418
670,7
1,6443
0,2909
669,2
1,6246
0,2526
667,5
1,6070
0,2227
665,8
i ",007
0,1087
663,6"
1,5755
1.1273
182,2
0,5109
1,1272
182,2
о,5Ю5
1,1270
182,3
0,5104
1,1268
182,3
0,5103
^
1,1267
182,3
0,5102
1,126'
182,3
0,5100
J.I259
182,4
0,5098
1.1255
182,5
0,5096
1,1251
182,5
0,5094
1,124^
1826
0,5092
1,1243
182,6
0,5090
200°
i
1,102
685,4
J i,794"
0,8792
684,9
1.709Э
i 0,7307
684,4
1,7483
Q.5451
j 683,3
j r,7i5o
o,4337
682,2
1,6886
o,3594
681,1
j 1,6668
0,3063
679,9
1,6479
0,2665
678,7
1,6312
0,2354
677,4
1^6162
0,2105
6?6'L,
1,6024
0,1731
673.3
i 5775
0,1463
670,2
1,5552
j^ses
303,5
0,5562
1-I563
203,5
0,5561
1,1561
203,5
0,5560
1Д556
203,6
o,5558 \
1,1552
203,6 !
0.5556!
1,1547!
203.7 !
o,5553
i
1Д542
203,7
o,555i
1,1537
203,8
0,5549
1,1532
203.8
0,5547
220°
1,150
694,9
1,8143
0,9181
694,4
1,7890
о,7б34
694,0
1,7681
0,57°°
693,o
1,7351
04539
692,1
1,7090
o,3765
6qi,i
'1,6875
0,3212
690,1
1,6691
0,2797
689,2
1,6529
0,2474
688,2
1,6383
0,2215
687,2
1,6251
0,1828
684,9
1,6017
0,1549
682,7
1,5811
одзд!
680,3
1,5625
0,1177
677,7
I.5453J
0,1046
674.9
1,5291
1,1899
225,3
0,6009
i . 1892
225,3
0.6006
i,i886!
225,4
0,6004
i, 1880
225,4
0,6001
1,1874!
225,4
o-5999|
i,i868J
225,5 '•
0.5996,
240°
i
1,198
7°4,:;
1,8331
0,9569
7°3,9
1,8075
o,7958
1 703.5
1,7872
o,5946
702,7
1,7543
0,4738
701,0
1,7285
o,3933
701,0
1,7072
03358
700,2
1,6890
0,2927
699,3
1,6731
0.2591
698,4
1,6588
0,2322
607,6
i,6459
0,1919
695,8
1,6232
0,1631
694,0
1,6035
0,1414
692,0
1,5859
0,1245
690,0
L5699
O,IIIO
688,0
i, 5551J
0.08646
6822
1,5216
0,06990
675.7
1,4912
1,2290
247,7
0,6448
1,2282
247,7
0,6445
1,2274
247,8
0,6442
1,2266
247,8
0,6439
260 •'
1.246
7*3-8
1,8515
o,0954
713,5
1,8261
' 0,8282
7i3,i
1.8055
0,6191
7I2,4
1,7728
0.4936
! 711,6
1.7472
0,4100
710,9
1.7260
0.3502
710,1
1,7080
0.3054
7°9,4
1,6922
0,3705
708,6
1,6782
0,2427
707,9
1,6655
0,2008
706,3
1,6433
0,1709
704,7
1,6240
0,1484
703,1
1,6070
0,1309
7OI,4
I.59I7
0,1169
699,8
I.5776
0,09161!
695,2
1.5464
0.0-7463
690,3
1,5190
0,06238
6848
1-4937
0,05308
378,7
1.4697
04572
671.8
1,4462
1,2751
271,0
0,6885
280°
1,294
723,3
i,858-
1,034
723,0
1,843-
о,85эц
722,7
1,8232
0,6434
722,0
i,79»
0,5132
72i,4
1,7651
0,4265
720,7
1,7441
o,3&45
720,0
1,7262
0,318;»
719,3
1,7106
0,2818
718,6
1,6967
0,25-29
717.9
1,6842
02095
716,6
i ,6623
0,1785
715,2
1,6434
0,1552
713,8
1,6268
0,1371
712,4 j
1,6119]
0,1226
710,9
i, SQ8^
0,09642
7o/,i
1,5684!
0,07892;
703,1 i
1,5427!
0,06645 i
698,8 i
i.5i95i
0,05685
694,2
i,498t:
0,040^01
689,1' ;
1,4778]
0,04335!
683.6 |
1,4580;


ГЛ. V]
ВОДЯНОЙ ПАР
477
i 300°
j
1
i 1,342
] 732,9
1 1,885-
1,072
j 732,6
1,8607
i 0,8924
] 732,3
1 1,8403
0,6677
731,7
1,8078
1 0,5328
731,1
1 1,7824
- 0,4429
730,5
1 1,7616
1 0,3786
1 729,9
I 1,7438
0,3305
729,3
1,7-83
0,2930
728,7
1,7145
0,2630
1 728,1
j 1,7021
0,2181
726,8
1,6805
0,1859
725,6 *
i, 6618
0,1618
724,4
i,6455
• 0.1431
723,2
| 1,6309
0,1281
721,9
1,6176
! O.IOIO
718,6
1-5887
о 08295
715.2
j 1.5640
о 07000
711,6
1,5422
0,06025
707,8
1.5224
0,05262
703,8
1,5038
0,04647
699,5
1,4863
320°
i,39°
742,5
1,0021
1,1 tl
742,2
1,8/72
0,O244
742,0
I,8568
0,6918
741,4
1 ,8244
0,55=2
740,9
I,79Q2
0,4592
740,3
1,7/84
0,3927
739-8
1,7607
0,3429
739,2
i,7453
0,3041
738,7
i,73i7
0,2731
738,2
1,7194
0,2265
737,o
1,6979
o,i933
735,9
i,6795
0,1684
734,8
i ,6634
0,1490
733-7
1,6490
ОД334
732,6
1,6360
0,1055
729,6
1,6077
0,08681
7268 1
1-5838
0,07346
723,6
1,5629
0,06341
720,5
i,554o
o,o5558
717>I^
1,5267
0,049281
713,6
i,5IC4
340°
1 M37
! 752,2
1 1,9:8
1 i,i49
j 751-9
1 ,893;
0,956;
751,7
l,872t
1
0,715?
751,2
1,8406
i 0,5716
750,7
I,8l5-
0,4754
1 750,2
1,7947
0,4067
749,6
..«,.
o,3552
749,2
1,7618
o,3i5T
7-!8,7
i,7483
0,2830
748,2
i.736i
0,2349
747,2
i,7i47
0.2006
746^
1,6965
0,1748
745,2
i, 6806
0,1548
744-2
1,6664
0,1387
743,2
1.5635
0,1098
74o,6
i ,6258
009056
728,o
1.6025
007678
735-3
1,5822
0,06643
732,5
1,5640
0,05836
729,6
1-5475
0,05189
726,6
1,5322
I 360°
I
i
! 1,485
! 761,9
<\ i,9338
1,187
| 761,6
j 1,9089
5 0,9882
761,4
)| 1,8886
» 0,7399
761,0
!,85бз
0,5909
76o,5'
| 1,8312
1
1 *°>49T3
76o,i
i.8ioS
1 0,4206
759,6
1,7031
! 0,3674
! 759,2
1 i,7778
• 0,3260
! 758,7
: 1,7643
0,2029
758,3'
1,7522
o,2433
757,4
1,73"
0,2078
756,4
1=7130
0,1812
755,5
1,6972
o, 1605
754,6
1,6831
0,1439
753-7
1-6705
0,1141
751-4
1,6431
0,09421
749-1
1,6202
0,08000]
746,6 1
1,6004
0,06933
744,i j
1,5828
0,06102
741,6
1,5668
!
0,05436
739-1
1,5521
380°
I
i,532
77i,7
i,949c
1,225
77i,5
1,9242
1,020
771.2
1-9038
] 0,7638
770,8
1,8717
O.O1OI
770,4
1,846-6
0,5077
770.0
т 8.260
0,4345
764,6
1,8086
o,379'5
769,2
i,7934
0,3369
768,8
I, /COO
. 0,3028
768,4
1,7679
0,2sTS
767.5" '
1,7468
0,2150
766;7
1,7289
0,1875
765,9
1,7133
0,1661
765,0
1,6993
o, 1491
764,2
1,6867
0,1183
762,1
1,6598
о 09780
760 o
1,6372
'
о 08315
757-8"
1,6178
0,07215
755-5 " i
1,6005!
0,06359]
753-3^ |
1,5850;
0,05673
75i-i |
1-5708
j
400°
i
1,580
781,5
1,9636
1,263
! 781,3
i i,939c
1,052
•781,1
i i,9l87
0,7877
780,7
1,8866
] 0,6293
1 780,4
i, 8616
• 0,5237
780,0
1,8411
0,4483
779,6
1,8237
0,3918
779,2
1,8086
o,3478
778,8
i,7952
0,3126
778,4
1.7831
0,2598
777,7
1,7622
0,2220
776,9
i,7444
o,J937
776,2
1,7288
'
0,1717
775-4
1.7150
0,1542
774-7
1,7025
0,1225
772-7
1,6758
0,1013
770,8
1,6536
0,08623
768,8
1-6344
0,07490
766,8
1,6175
0,06609
764,8
1,6023
0,05904
762,8
1,5884
1
420°
————
1,627
] 791,4
1,9784
1,301
1791,2
1,9536
1,083
791-1
i,9333
o,8n6
790,7
1,9012
0,6485
] 790,4
1,8763
0,5398
700,0
" i ,8558
0,4621
789,7
1,8384
0,4039
789,3
1,8233
o,3586
789,0
i, 8 100
0,3223
788,6
1,7980
0,2679
787,9
i,7772
0,2291
787,2
i,7594
0,2000
786,5
1,7440
ОД773
7858
1,7302
0,1592
785,1
1,7178
0,12O6
783-3 !
1,6914
0,1048-
781,6 |
1,6694
0,08927!
7798
1,6505
o, 07762 1
778,0 i
1,6338]
0,06854!
776,1 j
1,6189
1
0,06128!
774-3 j
1-6053
440°
-.
1,674
801,4
1,9926
i,339
801,3
1,9678
1,115
801,1
i,9476
o,8354
800,8
i,9i55
0,6676
800,5
1,8906
o,5558
800, i
j ,8701
o,4759
799 8
1,8529
0,41.59
799-5
i ,8378
0,3693
799-2
1,8245
0,3320
798,8
1,8125
0,2761
798,2
1,7918
0,2361
797,6
1-7741
0,2062
796,9
i,7587
0,1829
795.3
i,745i
0,1642
795-6
1,7328
0,1307
794-0
1.7075
0,1083,
792,4 !
1,6847
0.09227 !
790,7 •
1, 6660 j
0,08028 ;
789,1
1,6496]
0,07095
787-4
1,6349
0,06349
-85,7
1,6215
1
460°
1,722
8n,5
2,0o6t
i,377
|8n,3
1,9819
1,147
]8ll,2
! 1,9616
! о 8592
810,9
1,9296
0,686-7
810,6
1,9047
o,57T 7
810,3
1,8843
0,4896
810,0
i ,8670
0,4280
809,7
1,8520
0,3800
809,4
1,8387
o,34i7
809.1
1,8268
0,2842
808,5
i, 8061
0,2431
807,9
т "QQ -
I,708o
0,2123
807,3
1,7732
'0,1884
806,7
1,7596
0,1692
806, 1
1,7474
0.1347
804,6
1,7213
0,1117
803,1
1,6997
0,09524
801,6
i, 6812
0,08291
800, i
1,6649!
o, °7332 i
798,5 !
1,6504
0,06565
797,0 i
1,6372
i
480°
1,769
]82т,7
2,0203
i,4i5
821,5
1,9955
1Д79
821,4
1,9753
0,8830
821,1
1,9433
0,7058
i 820,8
1,9185
0.5876
820,6
1,8981
0,5033
820,3
1,8809
0,4400
820,0
1,8659
0,3907
8,9,7
1,8526
o,35i4
819,4
l ,8407
0,2923
818,9
1,8201
0,2501
818,3
1,8026
0,2184
817,8
r,7873
0,1938
817,2
1,7738
0,1741
816,7
1,7616
0,1387
8i5.3
1-7357
o,ii5i!
813.9 ;
1,71421
0,09817
812,5 |
1,6958
0,08551]
811,1 i
1,6798:
i
0,07566
809,7
1,6654
j
0,06778
808,3 !
1,6524!
500°
i
! 1,816
I 831, 9
] 2,0337
i,435
831,7
2,0090
1,210
831,6
1,9888
0,9068
83i,4
i,9568
0.7248
1831,1
i ,0320
0,6036
830,9 "
1,9116
0,5169
830,6
i,8944
0,4519
830,4
1,8795
0,4014
830,1
1,8662
0,3610
829,8
i,8544
0,3003
829,4
1,8338
0.2570
828,8
1,8163
0,2245
828,3
1,8011
0,1993
827,3 |
1,7876
о 1791
827,3 ]
1-7755]
0,1427!
826 о
1-7497
о 1184
824,7
1.7284
0 IOII
8234
1.7101
0,08809
822,1
1,6942!
0,07798!
820,8 i
1,6800!
]
0,06989]
819,5 !
1,66711
i
nr
; 520°
I
1,864
842,2
2,0469
1,490
843,1
i 2,0222
1,242
842,0
2,OO2O
°,93°5
841,7
i>97or
o,7439
841,6
i 9453
O,6lQ4
841,3 '
1,9249
0,5306
841,0
1,9077
0.4639
840,8
1,8928
0,4121
840,6
1,8796
0,3706
840.3
1,8678
0,3084
839-9
1,8472
0,2639
839,4
1,8298
0,2306
838,9
1,8146
о 2О47
838,4
I.8OI2
0.1840
837 9
1,7891
0,1466
8368
i-7°34
i
0,1218
835-5
1,7422
o, 1039
8 54 3
1.7241
0,09064
833,i
1,7083
0,08027
831,9 :
I,fc942
o,o7i98:
830,7 j
1,6814
юдолже
550°
1
i,935
857,9
2, OOb;;
1,547
857-7
2,0417
1,288
857,7
2,O214
0,9660
857.5
1,9895
0.7724
857,3
1,9648
0,6431
«57-0
19445
о, ^510
856,8
i,9273
0.4819
856,5
1,9124
о 4280
856,3
1,8992
о 3850
856,1
1,8873
03204
855,8
I 8670
0.2744
855,3
18495
0,2397
854,9
1,8345
0,2128
854,4
1,8211
0,1912
854.0
I 8091
о 1526
852,9
1-7835
0,1258,
851-9
1-7625'
i
о 1083!
850,8 j
i,7446
0,09444
849,7
1,7289
0,08368
848.6
1,7*50
0,07507;
847,6
1,7024
ние табл. 47
i
j t /
\ /
/ P
/ в кг/с-лг
i
v. \
i f a.o
s '
*>.\
'25
s !
\ v }
\ i 3-o
! s '
i
v.\
i ] 4,0
s >
v\
! f 5-0
5 '
•v \
i f 6,0
.9 1
v.\
t \ 7-0
S '
v\
i \ 8,0
S >
'Л
^ f 9-0
i- i
V-\
I f IO
s 1
M
S '
Ц ч
S >
V }
i \ 16
s >
V \
i \ 18
s >
?|
I t 20
S '
V]
i ( 25
s >
v-\
i\3*
s >
v\
t t 35
s >
V-\
i ( 40
5 '
v\
' I 45
у >
Z'\
t ( 5o
s>
]


478
ТЕПЛОТА
[РАЗД. .1
\ t
р \
в кг /с м* \
1
f »
60 i
I s
I ?
70 < t
1 s
1 v
80 \ i
' J
f г'
9o /
1 s
/ ?
100 S i
I 5
/?
no i l
I 5
1?
120 < I
\ S
(V
140 < г
i 5
(V
160 { /
I s
i v
180 { i
1 J
(г/
20O < t
<• Л
f Г
220 < /
<• *
/ ?
250 ^ t
1 J
40°
1,0053
41,2
0,1360
1,0049
4i,4
0-J359
1,0045
41,6
ОД359
1,0040
41,8
o,i357
1,0036
42,1
0,1356
1,0032
42,3
*,*355
1,0028
42,5
o,i3S5
1,0019
42,9
0,1353
I ООН
43,3
0.1351
1,0003
437
0,1350
09905
44 i
ОД347
0,9986
44,5
ОД345
0.9074
45Д
ОД343-
i
60°
. 1,0144
61,1
0,1976
1,0139
61,3
ОД974
i,oi35
61,5
0,1973
1,0130
61,7
0,1971
i ,0126
61,9
0,1970
i ,0122
62,1
0,1968
1,0117
62.3
0.1967
1,0109
627
0,1965
1 OIOO
63 I
О 1ОО2
1,0092'
63-5
0,1959
10083
638
0,1958
10075
64,2
ОД955
i 0063
64,8
0.1953
80е
I,02O2
8l,I
1,2556
1,0257
8l.2
02555
1,0252
8l,4
0,2553
1,0248
81,6
0,2551
1.0243
81,8
0.2550
1,0239
82,0
02548
1,0234
82,2
0,2547
1,0225
82,5
0,2544
i, 0216
82,9
0,2541
1,0207
833
02538
1,0198
83,7
0/2536
1,0190
84,0
0.2533
1,0176
846
0,2518
1
100°
I
1,0404
101,1
0,3109
1,0399
101,2
0,3107
1-0394
101,4
0,3105
1,0389
101,6
03103
1,0384
101,8
0,3101
1,0380
102,0
0,3099
1-0375
102,1
0,3097
1,0365
102,5
0,3094
1,0356
102,9
0.3090
1.0347
103,2
1,3087
10337
103,6
0,3084
1,0328
103,9
0,3081
1,0314
104,5
0,3075
120°
1,0572
121,2
0,3635
1,0566
121,4
0,3633
1,0564
121,6
0,3631
1,0556
121,7
0,3628
1,0550
121,9
0,3626
1,0545
1S2.I
0,3625
1,0540
122,2
0,3623
1,0529
122,6
0,3619
1,0519
122 q
0,3615
1.0508
1232
0,3611
1,0498
123,6
0,3607
1,0488
123,9
0,3603
•1,0473
124,4
03597
140"
1,0764
I4'i,5
o,4i37
1,0758
I4L7
o,4i35
1.0752
141,8
04133
1,0746
142,0
0,413°
i ,0740
142,1
1,4128
1.0735
1423
о 4126
1 0728
142,4
04124
I07I7
142,8
04119
1,0705
*43 *
0.4115
1.0694
143-3
0,4110
i 0682
H3,7
0,4106
1,0671
144,0
0,4101
1,0655
144,5
0.4095
160°
1,0984
162,0
0,4619
1-0977
162,1
0.4617
1,0970
162,2
0,4614
1,0963
162,4
0,4611
1-0957
162.5
0,4608
1,0950
162,7
о 4606
1,0943
1б2.8
0,4603
1,0930
163,1
0,4598
10917
163,4
0,4593
1,0005
1636
0,4588
1,0892
1639
o,4583
1,0879
164,2
o,4578
i, 0860
164,7
o,457 1
180°
1Д235
182,8
0,5086
1,1226
182,9
0,5082
1,1219
183,0
0,5079
1,1211
183,1
0,5075
1,1203
183.2
0,5072
I.I195
183,3
0,5069
1,1188
l83'5 ~
0,5066
1,1172
183,7
0,5060
i, 7
183,9
05054
i, 3
184,2
0,5048
1,1128
184,4
0,5042
1,1113
184,7
0,5037
1,1092
185,0
0,5028
200°
!
1,1522
203,9
0,5543
I,i5i3
204,0
o,5539
1,1504
204,1
0,5535
1Д494
204,2
0-5532
1,1485
204,3
0,5527
1,1476
204,4
o,5523
1,1466
204,5
0,5520
1,1448
204,7
о,55!3
i. ЧЗо
204,9
0,5506
1,1412
=05,1
o,5499
I.I395
205-3
o,5492
i, 1379
205,4
0,5485
1,1385
205,7
o,5475
220'
1.1857
225,5
",5991
1,1845
225,6
0,5986
1,1833
225.7
0,5983
1,1822
225,7
o,5977
1,1810
225,8
o,5973
1Д799
225,9 _,
0,5968
1,1788
225,9
0,5964
1,1766
226,1
o,5955
1Д744
226,2
0.5046
1,1722
226,3
o,5938
1,1701
226.5
0.5930
1,1680
226,6
0,5922
1,1650
226,8
о,59ю
•
240°
1.2251
247,8
0,6433
1,2236
247,8
0,6428
1,2221
247.8
0,6423
1. 2206
247,9
0,6412
1.2IO2
247.9
0,6412
1,2177
247-9
0,6407
1.2163
248,0
0,6402
1,2136
248,0
0,6393
1, 2108
248,1
0,6382
1 2082
248,2
0,6372
I,=»55
248,2
0,6363
1,2029
248,3
0,6353
1Д993
248,4
0,6338
j
260°
I.2J2Q
270,9
0,6878
1 .2709
270,9
0,6871
1,2689
270,9
0,6846
1,2669
270,9
0,6858
1,2650
2709
0,6852
1,2631
270.9
0,6845
I 2613
2708
0,6839
1,2576
270,8
0,6827
1.2541
270,7
0.6816
1.2506
270,7
0,6804
1,2472
270.7
0,6792
1,2439
270,7
0,6781
1,2392
270,7
0.6764
280°
.
0.03409
671,1
1,4192
13308
295,2
o,73i7
1-3279
295.1
0,7308
1,3-25°
295,о
0,7300
1,3222
294,9
0,7293
i,3i94
294,7
0,7285
1,3169
294,6
.0,7278
1,3118
294,5
0,7263
1,3070
294,4
0,7250
1,3023
294,2 j
0,7236!
1,2977!
2ОЛ..О '
-yq-iu ,
o, 7222
i,2933
293,9
0,7208
1,2870
293.7
0,7188
здесь с' — теплоёмкость процесса, идущего
по нижней пограничной кривой; Г0 -- 273'
абс.; Г — температура кипения (насыщенного
пара); энтропию начального состояния, отве-
чающего условию равновесия при 7 — 273°
абс., обычно прини-
мают равной нулю,
тогда
273
вдали от критиче-
ского состояния с'
не отличается ощу-
тимо от обычной
теплоёмкости жид-
кости, не сильно
зависящей от тем-
пературы; при при-
ближении к кри-
тическому состоя-
нию с' сильно растёт, обращаясь в этом
состоянии в бесконечность. Этим опреде-
ляется характер нижней пограничной кри-
вой. Изобарно-изотермическому превращению
1 кг. жидкости в сухой пар (процесс b — с)
соответствует приращение энтропии s"— s' =
г
= ~JT 1 что позволяет, имея нижнюю погра-
ничную кривую, построить верхнюю k — с
(состояние сухого пара А — 1).
Изобары в области перегрева (например,
с — d) определяются уравнением
(Sfi — S ')„ —
I '-р -Т
Т
где Т — температура насыщенного пара, Тп —
температура перегретого пара.
В области жидкости изобары почти совпа-
дают с нижней пограничной кривой, обнару-
живая слабую тенденцию к более пологому
протеканию; последнее объясняется малым
изменением теплоёмкости жидкости в зависи-
мости от условий подвода теплоты к ней и


ГЛ. V]
ВОДЯНОЙ ПАР
479
Продолжение табл. 47
300'
0,03713
690,0
1.4528
0,03209
670,2
1,4202
0,02502
666,8
1,3873
1,4024
320.9
о,??62
1,3979
320,7
о,7751
1.3937
320-4
Q.7739
1,3897
320,1
о,7729
1,3820
319-5 '
о-,77°9
1.3746
Sift i
0,7690
1.3678
318,7
0,7673
1,3б12
3*8,4
о.7б55
1,3549
318,0
0,7638
i,346i
317-° .
0,7614
320°
. ———
0,03976
706,0
1,4803
0,03285
697-7
i,45i9
о,о2755
688,3
1,424»
0,02334
677.7
i.3965
0,01085
666,0
I-368I
o,oi686
652,4
1.3376
1-495
348,6
0,8222
1,481
347-5
0,8189
1,468
346,4
0,8159
1-457
345-5
0,8133
1,446
344.7
0,8109
1,43б
344-2
0,8087
1.423
343-2
0,8054
340°
•
0,04213
720,4
i,504i
0,03510
713-6
1,4783
0,02974
706,2
1,4539
0,02550
698,1
1,4302
0,02209
689,2
1,4066
0,01920
679,6
1,3828
0,01673
668,9
1,3585
0,01252
642,6
1,3048
1,621
379-2
0,8705
1.596
376,9
0,8654
г-573
375.0
0,8611
1-554
373-5
0,8575
1-530
371,6
0,8528
360Э
————
0,04434
733,7
1,5255
0,03714
728,1
I.50I5
0,03170
722, 0
1,4792
0,02742
7J5,5
i,458o
0,02397
708,4
1-4375
O.O2IIO
700,9
1,4172
0,0l866
602,7
-3969
0,01469
674-3
1-3556
O,OII52
651,8
1,3102
0,0086I
62О,2
1.2532
1,841
4l6,6
О,928О
1,768
411,0
0,9179
1-703
405,8
О,ОО8О
380*
0,04643
746,4
1,5452
0,03905
74L5
1.5225
0,03348
736,4
1,5016
0,02913
73°-9
1,4822
0,02561
725,2
1,4636
0,02271
7J9-i
1,4456
0.02027
712,6
1,4279
0,01637
698,3
1.3929
0,01330
682,2
1-3577
0,01080
664,1
1-3215
0,00868
640,2
1-2775
0,00661
606,8
1,2215
0,00255
468,5
1,0049
400°
0^04844
758,7
1-5637
0,04086
754-4
I.54I9
0,03515
750,0
1,5221
0,03069
745-3
1.5037
0,02710
740-4
1-4865
0,02415
735-3
1,470°
0,02168
730.0
1,4542
0,01774
718,4
1-4233
0,01469
705.9
1,3935
0,01228
693,2
1,3639
0,01031
676,6
1-3327
0,00860
657-9
1,2981
0,00637
622,4
1,2378
420°
—————
0,05039
770,6
1.5811
0,04259
766,8
1.5600
0,03673
762,9
i,54io
0.03216
758,8
!,5235
0.02850
754-6
' 1.50/3
0,02548
75°-3
1,4919
0.02296
745-7
1,4772
0,01896
736,i
1,4492
0,01590
725,8
1,4226
0,01349
7*4,6
1,3967
0,01154
702.4
1-3705
0,00991
689,3
1,3447
0,00788
666,7
1,3029
440°
0,05228
782,4
1-5979
0,04427
778.9
1,5773
0,03826
775,4
1,5588
0,03357
771,8
1-5420
0,02981
768,1
1,5264
0,02674
7б4,3
Ъ5"9
0,02415
760,4
i,498o
О,О2ОО8
752,2
i,472i
0,01698
743-4
i,4477
o,oi453
734-1
I.4242
0,01258
724.0
i ,4012
0,01097
74,3
1,3785
0,00897
695-6
1-3435
460е
0,05414
793,9
1,6140
0.04591
790,8
1,5938
0,03973
787,6
1,5759
0,03492
784,4
i,5596
0,03107
781,1
1-5445
0.02791
777.7
1,5305
0,02528
774-3
1.5*73
O.O2I12
Тб?,!
1,4928
0,01798
759-5
1,4701
0,01550
751-6
1-4485
0,01352
743-0
1,4276
о,ои86
733,9
1,4071
0,00989
719-а
i-ЗТбб
480°
0,05596
8о5,5
1,0295
0,04751
802,6
1,6097
0,04117
799-7
1-592Г
0,03624
79Ь,8
1-57б2
0,03229
793'8, *
r,56i6
0,02905
79° 7
i,548o
0,02635
787,7
1.5354
0.02209
781-3
1-5119
о 01889
774-7
1,4904
0,01638
767,8
г-4703
0,01436
760,5
г.4511
0,01268
752.8
L4325
0.01067
740,5
1,4053
500°
о,о5776
8i6,9
1.6445
0,04909
8i4,3
г ,6250
0,04258
811,6
1,6077
0,03752
808,9
i,592i
0,03347
806,2
1,5779
0,03015
803,4
1.5647
0,02738
800,6
r-5524
0,02303
794,1
1,5298
0,01975
789,1
1-5003
0,01719
782.9
1,4902
0,01513
776,6
1,4722
0,01342
770,0
i,455o
о 01138
759-5
1,4302
520°
0,05953
828,3
i,659i
0,05604
825,9
1,6398
0,04397
823,4
1,6228
0,03878
820,9
1,6075
0,03462
818,5
1,5936
0,03122
8160
1,5806
0.02839
813-5^
1-5687
0,02392
808,2
1-5467
0,02057
802,8
1,5269
0,01796
797.4
1,5085
0,01586
791,6
i,49i3
0,01411
785-7
I.475I
0,01203
776,5
i,45i9
550°
0,06215
845,4
1,6803
0,05293
843,2
1,6613
0,04601
841,0
1,6446
0,04062
838,9
1,6298
0,03632
836,6
1,6164
0,03279
834,2
1,6035
0,02985
832,0'
1.5920
0,02523
827,4
1,5706
0,02176
822,7
I.55I5
0,01905
817,8
1-5340
0,01689
812,8
J.SiT6
0,01510
807,7
1,5023
0,01296
799-7
1,4809
f /
/ р
/ в кг/слг
V \
i \ 6о
s >
V \
i 7°
? >
V\
! \ 8о
s 1
V.\
t \ до
s >
V )
/ [ roo
5 '
v- i
I l НО
s >
V \
1 \ 120
S '
V \
1 } 140
s >
v \
i > 160
s >
v \
i \ 183
s i
v. }
I t 200
S '
V }
i \ 220
S '
v\
i \ 250
s >
возможностью с большей точностью прини-
мать Ср равным с'. Приращение энтропии
Г
определяет переход жидкости в изобарно-изо-
термическом процессе b — т в состояние влаж-
ного пара со степенью сухости х, что позволяет
находить по диаграмме значение х делением
отрезка Ъ — т на b — с:
Ът
отсюда для построения на диаграмме кривых
с постоянной степенью сухости (х — const)
отрезки изобарно-изотермических процессов
b — с должны быть поделены в одинаковом
отношении и через полученные точки пройдёт
кривая х — const.
На диаграмме с учётом масштабов пло-
щадь под кривой процесса а — b даёт
теплоту жидкости q', подводимую к
жидкости в условиях равновесия её с насы-
щенным паром для достижения жидкостью
температуры кипения Т1 (/'), отвечающей за-
данному давлению р; площадь под изобаро-
изотермой b — сдаёт теплоту парообразова
ния (скрытую) — г, площадь же под участком
изобаро-изотермы Ь — т — теплоту парообра-
зования влажного пара г • х. Площадь под
изобарой с — d даёт теплоту перегрева
?/,= \CndT.
На диаграмме Т—s могут быть нанесены
также процессы v — const. В. Шюле заменяет
нанесение изохор комбинированной диаграм-
мой Г— v — s, представляющей совмещение
диаграмм Т — s я Т — v [27].
Диаграмма / — 5 для водяного пара
(по Молье, 1904 г.) (фиг. 41).
На диаграмме нанесены нижняя а —b—k
и верхняя k — с — GI пограничные кривые.
Обычно принимают для начального состоя-
ния (t = ()° С) жидкости, находящейся в раз-


480
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
цовесии с насыщенным паром, энтальпию /0 = О
и энтропию SQ = 0. Построение кривых ведётся
по точкам; значения /', s', /", s" берутся из
таблиц для пара. Кривые а—b — k и ft—с—Ci
сходятся в критическом состоянии (точка k);
кривая а — b — k идёт из начала координат;
максимальная ордината правой пограничной
кривой отвечает максимуму значения энталь-
пии сухого насыщенного пара. В области на-
сыщения между пограничными кривыми изо-
бары и изотермы совпадают (процессы b — с),
здесь они представлены пучком расходящихся
прямых. В области перегрева изобары круто
КНЦ/Т
Фиг. 41.
поднимаются вверх, имея логарифмический
характер; изотермы круто меняют направле-
ния и представлены пологими кривыми,
идущими в сторону возрастания энтропии.
Степень сухости л определяется отношением
bin.
отрезков о — m и Ь—с, х — j— > кривые
х = const строятся так же, как и в диаграм-
ме Т — s.
Энтальпия заданного состояния прочиты-
вается по оси ординат; если Ь, с, d—состоя-
ния жидкости, сухого пара, перегретого пара
при заданном давлении р, то значения /', i",
in найдутся проектированием этих точек на
ось ординат, причём i"—i'= г, in—i" — qn.
Соотношение i = и -j- Apv позволяет для всех
случаев находить внутреннюю энергию как
и= i—Apv; так, например, и" = /" — Apv". На
диаграмме /—л- в области перегрева обычно
наносят семейство процессов v = const. Эти
кривые протекают круче изобар, сохраняя тот
же характер. Точка в области перегретого
пара определяет его удельный объём, оцени-
ваемый по значениям изохор, между которыми
находится рассматриваемая точка; для опре-
деления объёмов влажного пара используется
выражение vx ^ v" • х; для состояния влаж-
ного пара, заданного давлением р и сте-
пенью сухости д-, находят по точке на верх-
ней пограничной кривой для данного да-
вления -о"—объём сухого пара, а по нему
vx^v"-x.
Осг. озные процессы. Изобарный про-
цесс (р = const). В области насыщения про-
цесс при р = const является одновременно про-
цессом изотермическим (t = t' — температура
насыщенного пара данного давления). Если vv
Х[, fo, хг — удельные объёмы и степени сухо-
сти начального и конечного состояний, то
v% — v"-x2 -f A — .Го) v';
для случаев не очень большой влажности
Г', =Vff-Xj't
количество теплоты, подводимое в процессе,
qp — Х2 - \ — /2 — /i [ккал/кг];
работа процесса
1р = р (v2 — i>i) [кгм/кг].
Если в процессе сообщения теплоты конеч-
ное состояние является перегретым паром, то
для определения этого состояния необходимо
знать либо 1>2, либо tz; тогда уравнение состоя^
ния f(p, v, t) = О позволит найти третий недо-
стающий параметр или он может быть найден
по диаграммам /—s, Т— v- s, T — s; теплота
процесса и работа его находятся так же, как
А в области насыщения.
Изотермический процесс t = const
G = const). В области перегретого пара (в об-
ласти насыщенного см. процесс р~ const) для
нахождения параметров конечного состояния
может быть использовано уравнение состоя-
ния перегретого пара f(p, v, t) = Q или они
определяются по диаграммам. Теплота процес-
са дт— Т (s2—?]) [ккал/кг]; приращение энтро-
пии легче всего определяется из диаграмм /—s
или 7—5; изменение внутренней энергии
qT— Дн) [кгмIкг].
Г\
Изохорпый процесс (t> — const). В об-
ласти насыщения условие V2=v1 даёт
где удельные объёмы жидкости v' и сухого
napa'f" с подстрочным индексом 1 берутся по
давлению начальному (р^), а с индексом 2 —
по конечному (/?2); при не очень большой влаж-
ности, пренебрегая объёмом влаги, получаем
более простое соотношение:
Из приведённых выражений находится степень
сухости конечного состояния. В случае, когда
конечным состоянием является перегретый пар,
параметры его могут находиться по уравнению
состояния перегретого пара или из' диаграмм.
Работа процесса равна нулю (Vz — v^ — v). Те-
плота процесса находится по разности вну-
тренних энергий
= k ~
i — Pz) v


ГЛ. V]
ВОДЯНОЙ ПАР
481
Адиабатный процесс (dq~0, q—0).
Обратимый адиабатный процесс (так как dq—
~T-ds, Т^ЬО, ds—О) определяется условием
$2=$1, которое и может быть использовано для
определения параметров конечного состояния;
аналитическое решение задачи нахождения
конечных параметров сложно, наоборот, реше-
ние по энтропийным диаграммам (/ — s и Т — s),
где адиабаты изображаются прямыми, парал-
лельными оси ординат, весьма просто; адиа-
баты расширения изначального состояния идут
по вертикали вниз, адиабаты сжатия — вверх;
конечное состояние определяется пересече-
нием адиабаты с кривой, характеризующей за-
данный параметр конечного состояния (напри-
мер изобары конечного давления ^2). Работа
процесса находится по разности внутренних
энергий начального и конечного состояний:
=427 (/! — /2) —
— /?2t>2) [к? Ml кг].
Цейнером предложены приближённые уравне-
ния: при перегретом паре pt/1>3~const ; урав-
нение применимо для процесса, полностью иду-
щего в области перегрева; если расширение,
начавшееся в области перегрева, переходит в
область насыщения, то применимость уравне-
ния ;pi/1>3=const ограничивается моментом, ког-
да пар, расширясь, достигнет верхней погра-
ничной кривой, для которой можно принять
уравнение pv^2, где р [кг /см?], v [мЩкг]. Даль-
нейшее расширение, начинающееся от состоя-
ния сухого пара, по Цейнеру, подчиняется
уравнению до105 =const. Для влажного пара
с начальной степенью сухости х в пределах
от 1,0 до 0,7 адиабатное расширение идёт по
уравнению jpf''0354'1^ —const. По Каллендару
для перегретого пара действительно до кри-
Р
тического давления уравнение — ,^г— const; для
Т '3
малых и средних давлений используется так-
же формула ^=-=const. Решение вопросов, свя-
занных с адиабатными процессами, по приве-
дённым приближённым уравнениям не может
быть рекомендовано, лучше решать их по диа-
граммам; не следует приведённые показатели
степеней в уравнениях адиабаты понимать как
„ с п
отношение теплоемкостеи — — .
cv
Дросселирование пара. Дросселирование
пара происходит при прохождении потока че-
рез местное сопротивление (дроссель) в трубо-
проводе. При условии отсутствия потерь те-
плоты в окружающую среду и пренебрежении
разностью кинетических энергий перед и за
дросселем процесс удовлетворяет условию
/j = /2 (см. стр. 462, Первое начало), т. е. ра-
венству энтальпий начального и конечного
состояний. Задача определения параметров ко-
нечного состояния просто решается по диа-
грамме / — s проведением изоэнтальпы (/=const)
от начального состояния до пересечения её с
кривой, характеризующей на диаграмме изве-
стный параметр конечного состояния. Точка
пересечения даст состояние 2 и позволит про-
читать по диаграмме остальные параметры
этого состояния. Возрастание энтропии при
дросселировании — свидетельство необрати-
мости процесса, ибо он идёт только в сторо-
ну понижения давления (/-^O'l), протекая в
условиях отсутствия теплообмена с окружаю-
щей средой. Дросселирование пара приводит к
падению его давления и температуры (обычно)
и увеличению удельного объёма/В зависимо-
сти от начального состояния дросселирование
может давать и увеличение и уменьшение
степени сухости пара.
Круговые процессы (циклы). Цикл
Карно. Фиг. 42 и 43 дают характер протекания
цикла Карно для насыщенного пара. Подвод
qilKKaji/кг] теплоты по изотерме 7\ — (Ъ — 1)
для насыщенного пара является одновременно
Фиг. 43.
процессом парообразования, идущим по изо-
баре PI; отнятие теплоты q2 [ккал/кг] по изо-
терме 7 для насыщенного пара одновременно
является изобарным сжатием 2 — а при давле-
нии /?2' сопровождающимся значительным
увлажнением пара:
1—2 и а—b—адиабаты расширения и сжатия.
На диаграмме Т — s q{ представлено пло-
щадью с — Ь — 1 — d— с, q2 — площадью с —
а — 2—d — с\ работа 1 кг пара в тепло-
вых единицах Al — q\ — q2 представлена на
диаграмме Т — s площадью а — b — I — 2—а.
На диаграмме р — v площадь а — b — 1 —
2—а даёт работу I \кгм/кг]. Термический
#2 ^2
к. п. д. цикла t\t— 1 — "-=1 — -т"
41 1 1
Если предположить при протекании цикла
Карно переход его в область перегрева (точ-
ки / и 2 расположатся за верхней погранич-
ной кривой), то подвод теплоты по изотерме
за верхней пограничной кривой уже не будет
совпадать с изобарным процессом, а будет
сопровождаться падением давления; наоборот,
изотермическое отнятие теплоты (сжатие по
изотерме Г2), начавшееся за верхней погра-
ничной кривой, будет протекать с повышением
давления до прихода в состояние сухого на-
сыщенного пара. Таким образом переход ци-
кла Карно в область перегрева, не изменяя его
/ Т \
к. п. д. ( i\t=\ — -=-}, приводит к паропере-
гревателю и холодильнику, работающим не
при р = const, как в обычных установках, а при
t = const, что усложняет их конструкцию.
Цикл Рэнкина—Клаузиуса, На фиг. 44 и 45
дан круговой процесс Рэнкина—Клаузиуса, со-
стоящий из участка нижней пограничной кри-
вой а — Ь, изобары b — 1, адиабаты 1 — 2 и


А82
ТЕПЛОТА
[РАЗД.
изобары 2—а. Установка, реализующая
этот круговой процесс, должна бы включать
элементы: насос-подогреватель для повыше-
ния давления воды от pz до pl с одновремен-
ным увеличением объёма её от v2 до vl и по-
вышением температуры от t^ до t{ (для осуще-
ствления процесса а — Ь, идущего по нижней
пограничной кривой), котел-испаритель (про-
цесс b—т), перегреватель прл постоянном
давлении (процесс пг—1), расширительная ма-
шина, поршневая или турбина (процесс 1—2),
и конденсатор (процесс 2—а). В действитель-
ных установках питательный насос не выпол-
няет роли подогревателя воды по нижней
— /1—& ккал/кг (площадь а—b—т—1—2—а),
Термический к. п. д.
Фиг. 44.
Фиг. 45.
пограничной кривой, сжатие в нём может рас-
сматриваться адиабатным (а—щ). Однако для
жидкости адиабатное сжатие не даёт сколько-
нибудь ощутительного повышения температу-
ры. Таким образом по выходе из насоса на-
гнетаемая вода имеет температуру, практиче-
ски равную исходной (в точке at f~/2, причём
как результат адиабатного сжатия А /^гОД—
0,7° С); последующий, по выходе из насоса
подогрев воды до tl в точке b осущест-
вляется или в экономайзере или в котле (участок
изобары йг — Ь). Круговой процесс, отвечаю-
щий этим условиям, определяется контуром
а — а, — Ь — т — 1—2 — а. Разница в затрате
работы на насос-подогреватель и питательный
насос (в котором практически адиабатное сжа-
тие может расцениваться как изотермическое
без изменения объёма) весьма мала, ощутима
может быть только при высоких давлениях,
близких к критическому состоянию.
Исходя из этих соображений, циклом иде-
альной паровой установки принимают круго-
вой процесс Рэн-
кина — Клаузиуса.
В диаграмме / — 5
цикл Рэнкина —
Клаузиуса дан на
фиг. 46. По диа-
грамме Т—s загра-
S К Нал/k г град, чиваемое количе-
—————— ство теплоты ql ~
~ z'i — la выра-
жается площадью
с — а — b — т — 1 — е — с\ теплота, отдавае-
мая в конденсаторе, <?3 = i, — ia ~ /2 — t% (tz —
= /2 — температура насыщенного пара по да-
влению /;2), представлена площадью е —2—а —
с — е. Работа, совершаемая 1 кг пара, вы-
раженная в тепловых единицах, Al — q\—q% —
Al /,—/
i—h
Фиг. 46.
Диаграмма /—s позволяет проще всего найти
характеристики цикла.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Теплопередача — обусловленная разностью
температур передача теплоты от одного тела
к другому или от одних частей тела к дру-
гим частям того же тела. Рассматривают тепло-
передачи кондуктивную (кондукцию, теплопро-
водность), конвективную (конвекцию), радиа-
ционную (теплопередачу излучением, лучистую
теплопередачу). Действительные процессы
теплопередачи обычно сложны, в них все виды
теплопередачи сопутствуют друг другу; расчёт
таких сложных процессов упрощается путём
изучения отдельных видов теплопередачи,
абстрагируясь от других. Задачи теплопередачи
могут охватывать области, где каждая точка
характеризуется определённой температурой»
остающейся неизменной во времени (стацио-
нарное температурное поле), и области, где
каждая точка имеет температуру, меняющуюся
по времени (нестационарное температурное
поле?: в первом случае—установившаяся (ста-
ционарная) теплопередача, во втором—неуста-
новившаяся (нестационарная).
Кондуктивная теплопередача (кондук-
ция, теплопроводность). Теплопередача, осу-
ществляемая путём передачи энергии элемен-
тарными частицами вещества (электронами,,
атомами, молекулами), представляет собою ре-
зультат микропроцессов обмена энергии меж-
ду элементарными частицами, вступающими в
соприкосновение друг с другом. В наиболее
чистом виде кондуктивная теплопередача про-
исходит в твёрдых телах, в жидкостях и газах
реже и только в тонких слоях.
По гипотезе Фурье основное уравнение
теплопроводности
dt
здесь dQ — количество теплоты ккал}, пе-
редаваемое за элемент времени dx час] через
элемент изотермической поверхности dF [л*3] в
dt
направлении нормали к ней; — -^- [град/м] =
1 — температурный градиент, векторная
величина, равная производной от температуры
по нормали к изотермической поверхности в дан-
ной точке её и направленная в сторону возра-
\ ккал Л
стания температуры; X [-^^^а7\ ~~ коэфи~
циент теплопроводности, количественная ха-
рактеристика способности тел к осуществле-
нию кондуктивкой теплопередачи, численно
разная количеству теплоты, передаваемому
за час через 1 м'1 изотермической поверхности
(удельному тепловому потоку) при grad *=!..
Если элемент dft не совпадает с изотерми-
ческой поверхностью и нормаль s к dF\ обра-


ГЛ. V]
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
483
зует с нормалью п к изотермической поверх-
ности угол 9> т°
_ _i 2L . —
= -Х- § 4//V*:;
при постоянном А
Q = — A
о" (Л)
dt
при стационарном температурном поле ^ не
зависит от времени,
пропорционально абсолютной температуре (за-
кон Лоренца); присутствие посторонних при-
месей может сильно менять А.
У теплоизоляционных материалов с повы-
шением температуры А обычно растёт (роль
радиации поверхностей твёрдых составляющих
тешюизолятора через внутренние воздушные
прослойки).
У большинства жидкостей А при повыше-
нии температуры повышается. У воды до 180° С
А растет, при дальнейшем повышении — убы-
вает; между 0 и 80° С
А = 0,477 A +0,003 O-
Влияние температуры на А. С ростом тем-
пературы А чистых металлов обычно убывает
(исключение алюминий), для них отношение А
к коэфицменту электропроводности приблизи-
тельно постоянно (закон Видемана—Франца) и
У газов с повышением температуры А уве-
личивается.
Влияние давления на А. При увеличении
давления от 1 до 2000 am отмечено у многих
жидкостей повышение А на 11 — 15»>/0. По кине-
тической теории, пока длина свободного про-
бега молекул мала по сравнению с толщиной
газового слоя, А не зависит от давления. При
весьма малых давлениях (значительно увели-
чена длина свободного пробега i влияние да-
вления тем сильнее, чем меньше толщина слоя.
На пары влияние t и р велико.
Таблица 48
Влияние температуры на коэфиниент теплопроводности металлов и сплавов
ккал
Шо данным „Международных справочных таблиц") [42] X в
час . м . град
Алюминий . . .
Латунь (90—10)
G0-30) .
F7—33) .
F0—40) .
Медь (чистая) .
Никель .....
Свинец .....
Серебро .....
Сталь (мягкая) .
Тантал (при 18°) .
Цинк ......
Чугун ......
Чугун с высоким
содержанием
0
174
88
91
86
91
337
5о,6
54
29,8
Зб4
54
47
97
43
45
100
177
101
94
92
юз
331
5°-3
51
29.5
358
49
—
92
43
—
Тем
200
197
U5
95
97
и8
327
49.2
46
28,3
353
45
—
88
Зо
—
пература t t
300
234
128
98
104
131
322
48,9
—
27.4
348
40
—
84,5
34.
~
СС
400
274
НЗ
IOO
но
145
315
47.8
—
—
344
36
—
8о
48
—
500
319
155
юз
иб
100
3"
47-5
—
339
31
—
—
67
——
600
364
i68
Ю4
130
172
307
46,2
—
—
334
27
—
82
—
Точка
плавления
в °С
649
Ю5о
94о
940
8Q4
ю8э
1450
231
345
960
1530
2ООО
419
I2OO
12<5о
Таблица 49
Коэфициенты теплопроводности металлов [42] [бо] X в
час . м . град
Вещество
Чистые
металлы
Висмут ....
То же ....
Вольфрам . .
Железо чистое
То же ....
Железо кова-
То'же ....
Золото ....
о.
??
с.
QJ
Еи
<У °
Н я
18
100
20
18
100
18
100
18
X
5*8
138
58
54.5
52
51.6
252
Вещество
Золото . .
Кадмий . .
То же
Магний
! 1латина . .
То же
Ртуть . .
То же . .
Сталь (\% С)
Сталь A% С)
Сурьма . .
То же ...
о.
я
о.
о>
= 0
<и
н о
100
18
100
О — IOO
18
too
0
50
18
ТОО
о
100
X
253
8о
77,8
137
6о
62,4
5.4
6,9
39
38,6
158
14.5
Вещество
Чугун .....
То же ....
Сплавы
Константа н F0
Си, 40 Ni) . .
Константен F0
Си, 40 Ni) . .
Манганин (84
Си, 4 Ni, 12 Мп)
о.
н
м
а.
<и
Е=и
(П
е- ш
54
IO2
18
IOO
f 18
\IOO
X
41
40
19-5
23,1
22,6
Вещество
Сплавы киселя
70 Ni, 28 Си,
2 Fe. .....
62 NI, 12 Сг,
26 Fe .....
Никелевое
серебро ....
То же ...
Платиноид .
Подшипнико-
вый металл
(белый) ....
с.
ь
о,
и
оЗ
Н а
2О
2О
О
JOO
i8
20
X
30
п,6
25.Я
З2
21,6
Зо,4


484
ТЕПЛОТА
(РАЗД. I
Таблица 50
Коэфициенты теплопроводности некоторых
строительных и изоляционных материалов [42] [60]
ккал
X в •————————=г
час • м • град
Продолжение табл. 50
Асбестовый картон . .
Асбест листовой ....
Асбестовый шифер . .
Бетон (шлакобетон) . .
(бетонный камень) . .
A : 4 сухого) ......
Бумага .........
Вата хлопчатобумажная
Войлок волосяной (по-
То же шерстяной . . .
Гипс (формованный и
сухой) ..........
Графит искусственный
То же порошкообраз-
ный D0 отверстий на
линейный см) ......
Дерево (поперёк воло-
кон)
дуб ..........
тиковое .......
ель ..........
Дерево (вдоль волокон)
сосна ........
Древесные стружки
Доломит ........
Древесный уголь куско-
вой ............
Зола древесная .....
Известняк A5,3% Я3О
по объёму) ........
j Картон гофрированный
Картон для перегоро-
док, изоляционного типа
Картон для перегоро-
док, плотная папка ....
Кирпич
глинозёмный (92—99%
ALO;, по весу), пла-
вленый .........
глинозёмный (82'/0
А12О3 по весу) .....
глинозёмный F4—65%
А12О3 по весу) .....
глинозёмный D1%
А13О3 по весу) из огне-
упорной глины .....
Кладка строительного
кирпича ........
Хромовый кирпич
C2% Сг2О3 по весу) . .
Шамотовый кирпич
(обжиг 1330 ) ......
То же (обжиг 1410°) .
О QJ
» Я ft
"а ^ и"
5 U н О.
J& - * со uj
?!§!
О !-» Н
1920
890
i8oo
1800
470
470
700
700
580
580
580
580
580
580
58о
2 IOO
—
So ,
272
ЗЗо
1250
825
720
640
450
550
140
2680
fioo
B40
1650
237
690
2720
1840
3200
3200
3200
о.
cs
0,
t- С_3
s°
0)
f- и
со
51
о
бо
— 2ОО
О
—— 2ОО
О
О
5°
юо
150
2ОО
250
Зоо
400
56
—
30
30
30
0 — IOO
ао
о
40
50
15
6о
21
30
50
8о
8о
0 — ЮО
24
21
30
927
5°°
5оо
1400
5оо
2О
2ОО
550
000
5оо
8оо
IIOO
500
800
ноо
л
0,64
о,143
o,i3
0,17
0,72
о,134
ОД34
0, 2
о,13
0,146
o,i6s
о,174
о,179
0,182
o,i85
0,192
0,64
о,зо
о,8о
о,б5
0, 112
О.ОЗб
0,031
0.045
3
о,37
129
о,155
o,i8
0,16
0,15
0,093
0,30
0,05
1,5
0,064
0,076
0,061
0,8
0,055
0,042
0,06
З.о
1,92
1,26
1.25
0,90
0,6
2,0
2,13
1,72
О,ОО
0,92
0,94
о,95
1,03
1,06
Шамотопый кирпич (об-
жиг 1450* )........
Кожа подошвенная . . .
Кокс (пылевидный) . . .
Лава ..........
Лёд ..........
Магнезия (порошкооб-
разная) ..........
Мрамор ........
Окись магния (прессо-
ванная) ..........
Пемза .........
Песок сухой ......
Песчаник ........
Пробка вторично гра-
нулированная, тёртая . .
Резина твёрдая ....
Сажа ламповая ....
Сера моноклиническая
То же ромбическая . .
Штукатурка искусст-
венная ..........
То же строительная . .
Сланец ........
Слюда (поперёк слоев)
Снег ..........
Стекло ........
боро-силикатного типа
оконное ....*...
натрово-известковое
Мел ..........
Углекислый магний . .
Фарфор ........
Фибровый картон изо-
Фибра красная ....
Холст .........
Целлулоид .......
Шёлк ..........
Шерсть минеральная . .
То же животная ....
Шлак доменный ....
Шлаковая шерсть . . .
Эбонит .........
Эмаль силикатная . . .
0
в я «
Си О.
«я с* >>
3_g И
^" 'х Н CL,
wTj-S с
О !-° Н
IOOO
920
197
8оо
192
1520
2250
130
150
I2OO
1бо
2IIO
1241
555
2230
1520
3040
231
12до
1400
100
/15°
1315
но
192
6ю
03
о.
>•»
се
о.
О).
Н m
500
800
IIOO
0 — IOO
о
41
2Q
21
21—66
20
40
30
3°
о
21
4°
IOO
21
21
25
94
50
30—75
21
21
2О
30
30
30
30
30
24—127
30
X
I.I
1,18
1,31
0,137
0,16
o,73
1-95
0,52
1,8—2,5
0,48
0,045
0,22
0,21
0,28
1,58
0,039
0,037
0,137
0,112 — ОД37
0,057
0,134—0,145
0,24
0,64
o,37
1,28
0,50
0,40
0,3—1,1
o,95
0,45—0,91
0,45—0,65
0,6
0,06
°>9
0,042
0,4
0,075
0,18
0,039
0,0335
0,036
0,031
0,095
0,033
0,15
Таблица 51
Коэфициенты теплопроводности изоляционных
материалов при низких температурах
(по СгбЬег [60] и [42J)
X в
час • м • град
Материал
Асбест .
To же .
Хлопок.
Шёлк .
о
Oj
n
••s
3
1^
д'лГ
0 5й
О ш
7оо
4б5
Во
100
0
О,2О
одзз0
0,0484
0,0432
Темп
— 45,5
0,196
o,is8o
0,0450
0,0381
ература
-73,3
0.194
O.I22O
O.O4II
0,0350
в °С
- 129
o,i86
0,1072
0.0350
0,0292
-184
0,149
O,d8l2
0,0295
0,0231


ГЛ. VI
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
485
Таблица 52
Коэфициенты теплопроводности изоляционных материалов при средних температурах (по Nusselt [60] и [42]^
. ккал
X в ————————г
час . м . град
Материал
Асбест .......
Обожжённая инфу-
зорная земля для по-
крытия труоопроводов
Изоляционный состав
(рыхлый) .......
Шёлковая нить . . .
Шёлк ........
Шерсть .......
Пробковый порошок
Инфузорная земля
(рыхлая) ........
з
ж
S га
О ю а
577
20О
4оо
8о
146
IOO
136
100
350
0
0,130
0,064
о.обо
0,048
о,ой9
0,037
о,°33
0,031
0,052
38
о,145
о,об8
о,о68
0,052
о,о45
0,042
0,040
о,оз9
0,058
Тел
93
0,164
0,077
0,075
0,058
0,050
0,050
0,049
0,048
0,067
шература в
149
од/5
0,085
0,079
—
—
—
—
—
0,070
•с
204
o,i8o
0,092
0,082
—
—
—
—
—
0,075
316
0,186
0,109
—
—
—
—
—
—
0,079
\
427
0,194
0,127
—
_.
—
—
—
—
Таблица 53
Коэфициенты теплопроводности изоляционных материалов при высоких температурах [42] я [6Э]
X. в
час • м • град
Материалы
Слоеный асбесто-
вый войлок (около 40
слоев на 25 мм) . .
То же (около 2и слоев
на 25 мм) .......
Волнистый асбест
D складки на 25 мм)
85-процентная маг-
незия ........
Дштомит с асбестом
и связующим материа-
лом ..........
Диатомитовый кир-
пич ..........
Диатомит порошко-
образный (объёмный
вес 290 кг/л3) .....
Горный лён (rock
wool) .........
•я , Р
§ га
г\ •** ?Х
et??-
37°
260
150
315
870
870
1100
1370
38
0,040
0,067
0,075
0,058
0,067
0,080
0,189
0,191
0,058
0,045
93
0,055
0,075
0,086
0,061
0,070
0/083
0,104
ОД95
0,062
0,050
149
0,06
0,082
0,103
0,064
0,073
0,086
0,198
0,201
0,066
0,058
Среди
204
0,065
о.одо
о,об9
о,°75
о.одо
0,2О4
0,207
0,071
о.обб.
яя темг
263
0,071
0,097
0,079
0,094
0,2С>8
0,213
0,076
о,°75
1ература
316
о,о8з
0,097
0,213
0,221
о,о8о
0,085
в °С
371
о.одо
о,юз
0,223
0,231
0,091
427
0,097
о,109
0,235
0,243
0,101
482
0,263
О.273
538
0,303
Таблица 54
titiu-л
Коэфициенты теплопроводности жидкостей А. в ———————,
т час• м • грао
По „Международным справочным таблицам", Marks, Smith, Мак-Адаме *
Жидкость
Уксусная кислота 100%-ная ....
То же 50%-ная ...........
Ацетон • ..............
Аммиак 2б°/0-ный ..........
Амилацетат ............
Амиловый спирт ..........
Темпе-
ратура
в °С
о
50
о
8о
о
100
0
8о
о
50
о
IOO
о
100
Л
o,iS3
0,127
0,271
0,384
0,158
о,137
0,360
о,474
О.И9
0,075
0,128
0, 124
0,156
ОД58
Жидкость
Бензол ...............
Морская вода 0°/,, твёрдых веществ
То же 1% твёрдых веществ ....
То же 2% твёрдых веществ ....
То же 3% твёрдых веществ • . . .
То же 3,5% твёрдых веществ . . .
Рассол 25°/0-ный СаС13 .......
То же 25°/0-ный NaC! .......
Темпе-
радра
{ 5°
—— 20
8о
— 20
8о
— 30
8о
—— 2О
8о
—— 2О
8Q
— 20
8о
— 20
*
0,127
O.OQ5
0,447
о,59э
о,438
0,575
°i43a
0,566
0,4=7
0,564
0,562
0,405
0-544
о,334
о,«5
* Допускается линейная интерполяция величины по температуре. Оба приведённые в таблице значения тем-
пературы представляют вместе с тем для приводимых данных рекомендуемые пределы. Составы приведены в
процентах по весу.


486
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
Продолжение табл. 54
Жидкость
То же (iso) .............
Четырё'ххлористый углерод ....
Касторовое масло .........
Хлорбензол ............
Хлооистоводородная кислота
30"/',.-ная ..............
То же
Изопропиловый алкоголь .....
Этиловый спирт 100%-ный .....
То же 90%-ный ...........
» » 80%-ный .....
„ 70%-ный .....
, . Б0%-ный .....
40%-ный .....
Темпе-
ратура
в'С
о
IOO
о
8о
о
12
45
о
8о
ю
70
4
12
9-15
Зо
6о
о
8о
0
о
Ок. 4
Зо
6о
20
6о
30
6о
0
8о
о
8о
о
8о
о
8о
о
8о
о
8о
о
8о
X
о,145
о,138
ОД45
0,138
ОД255
од 45
о,86
ОД54
о,п85
0,104
о,и8
0,243
о,2~.а
о 335
0,405
0,1215
о,п9
одт8
0,363
0,420
ОД37
ОД35
o,i6o
од 37
о, 164
0,275
од 85
0,208
O,2l6
0,328
0,252
0,3б4
0,300
0,415 i
j
Жидкость
Этиловый спирт 30%-ный .....
20%-ный .....
10%-ный .....
Пентан (п) .............
То же
„ . 98%-ная ...........
. . 60%-ная. ..........
То же 40%-ный ...........
Нефтяное масло ..........
Пропиловый алкоголь (iso) ....
Октан ................
Толуол ..............
Вазелин ..............
Ксилол ...............
-
Темпе-
ратура
в °С
о
8о
о
8о
о
8о
о
о
8о
39
39
о
8о
о
8о
2О
8о
о
ТОО
2О
20
00
2О
00
О
8о
IO
OK.IS
о
8о
30
do
39
0
ТОО
20
С
100
О i
4- 1
X
0,345
0,385
0,498
о,434
о,547
0,106
0,1190
°Д!55
0,150
0,109
0,113
0,109
0,130
0,1185
7-2
7,2
0,147
0,274
0,231
0,243
0,140
o.Ibl
0.194
ОД75
0,28
0,31
ОД2
ОД325
0,130
одзо
0,127
ОД55
0,142
0,1215
одВЗ
0,48
о,6я
i,I24
0.143
Таблица 55
Физические константы воды между 0 и 200° С при давлении насыщения
(между 0 и 100° С при давлении 1 кг/см^ [1] [59|
Темпера-
тура
<
°С
о
10
so
3°
40
5°
ею
70
8о
до
IQO
120
140
IfeO
180
гоо
Давление
Р
кг1см*
-°3
,О2
3.68
6,30
10,20
15.85
Удельный
вес
7
кг/л*8
IOOO
IOOO
998
996
992
988
983
978
972
05
958
943
926
90S
887
865
Удельная
теплоёмкость
СР
ккал
кг • град
i.oog
1,002
0,999
0,998
о,998
о,999
о,999
I.OOI
1,002
1,005
1,007
1,015
1,025
1,040
1,057
1,078
Теплопровод-
ность
X
ккал
м • час • град
0,480
о,494
0,510
о,525
0|539
о,552
0,565
0,574
0,581
0,585
0,587
0,59°
o,s88
0,585
о,579
о,573
Динамиче-
ская
вязкость
lOo.jx
кг • сек
м?
182,5
133-0
IO2.O
8i,7
66,6
56,о
48,о
41,4
Зб,3
32,1
з8,8
23,5
23,0
17,5
15,7
14.3
Кинемати-
ческая
вязкость
Ю8 • N
м*1сек
179
130
100
8о,5
65,9
55,6
47-9
41,5
Зб,6
32,6
29,5
24-4
21,3
i8,9
17-4
10,2
Температу-
•оопровод-
иость
10* -а
м"Ччас
4,8
5,о
5,1
5.3
5,4
5,6
5-7
5,9
6.0
6д
6,2
6,4
6,5
6.7
6,9
7.1
Критерий
Прандтля
1 *'
13,3
9>49
7,об
5.51
4,37
3,59
3/°о
2,54
2,30
1,93
1,72
1,37
1Л7
1,02
о,9*
0,82


ГЛ. V]
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
487
Физические константы для воздуха при давлении 1 кг\см? [2]
Таблица 56
Темпе-
ратура
t
°С
— i8o
— 150
— IOO
- 50
о
50
IOO
150
2OO
250
ЗОО
400
500
60O
7OO
800
900
IOOO
Удельный
вес
Т
кг/ж3
3,72
i,98
i,53
1,25
1,06
0,02
0,81
0,72
0,65
0,60
0,51
0,44
о,39
о,35
0,32
0,29
0,27
Удельная те
при посто-
янном
давлении
СР
ккал
кг • град
о.25о
0,248
0,244
0,242
0,241
0,240
0,241
0,242
0,244
0,246
0,249
0,254
О,2бо
0,2б6
0,271
о.275
0,279
0, 282
плоёмкость
при посто-
янном
объёме
<,
ккал
кг • град
0,174
о,173
0,172
0,171
0,171
0,171
о,17а
о,174
0,1/6
0,178
o,i8i
0,186
0,193-
0,197
0,201
0,206
0,210
0,213
Отношение
удельных
теплоём-
костеи
^"гГ
1-44
1,43
1,42
1,42
1,41
1,40
1,4°
i>39
1,39
1,38
1,38
1,37
i,3<5
1,35
1,34
1-33
1,33
Коэфици-
ент тепло-
провод-
ности
Х- 10'
ккал
м-час-град
о,б5
1,00
1,39
1-75
2,35
2.63
2,89
3.12
3,37
3,6°
4.04
4,45
5.15
5,49
5,79
6,01
Динами-
ческая
вязкость
р.- 109
кг
сек • м*
0.66
0,89
1»2О
1.49
1.74
2,ОО
2,22
2,42
2,64
2,83
З,02
3-3°
3,6?
3-95
4,24
4.52
4-78
5.02
Кинемати-
ческая
вязкость
v • 10*
м^сек
00175
0,0314
0,0596
0,0955
o,T37
0,185
0,237
0,296
о.збо
0,427
о,497
0,658
o,8i5
O.QQO
I,l86
1,397
1,610
1,84
Темпе-
ратуро-
провод-
ность
а- Юэ
м*1час
0,70
<*>73
6,88
9,25
ii,9
14,8
i7,8
21, 0
24,2
31,4
38,7
46,3
54,2
62,8
71,4
79-°
Крите-
рий
П ранд-
тля
Рг
о,охга
0,780
о,744
0,727
0,719
0,7*7
0,718
0,720
о,725
0,731
0-737
о,75°
0,762
0,774
0,787
о,799
0,812
0,825
X
,бо
,85
,9°
,95
,9°
,95
,95
,94
,89
• 8?
-83
.79
,75
,71
Аз
,59
Таблица 57 *
Коэфициенты теплопроводности газов и паров [42] X в
ккал
час-м • °С
Ацетилен .....
Воздух (от — 191
до 212° С) ......
Аммиак (от —60 до
100° С) ........
Углекислый газ
(от — 78 до 500° С) .
Сероуглерод ....
Окись углерода
(от — 191 до 7,5° С) .
Четырёх хлористый
углерод .......
Хлор ........
Хлороформ ....
Циклогексан ....
Этан ........
... ..|..г- . .... -..-,.-_ тц„— -—._.. ________
/ °С
О
4б
IOO
184
-75
0
5°
юо
о
4°
IOO
184
212
0
8
46
100
184
0
4б
100
184
102
—70
-34
0
ТОО
1
0,00782**
О,ОЮ1
o,oi34
О.02ОО
о,оо94
о,о149
0,0193
0,0238
0,00709
O.OIOO
0.0140
0,0207
0,0240
0,0055°
<},оо575
0,00565
0,00695
0,0088
0,00325
0,00637
0,00800
0,0107
0,0141
0,00990
0,0125
0.0155
0,0275
\
0,0192
0,0173
о,ои8
0,0185
0.0063
10'. а
8,85
5,5
с
125
-15°;
Этилацетат ....
Этиловый спирт . .
Хлористый этил . .
i
Этиловый эфир . .
Гексан (п) . . . . .
Водород (от — 19!°
до 100° С) -.-...
Водород-углекислый
газ:
п.оЦ'н,
36,98"/г На
60,86"/0 На
83,45'Vo H,
100,0 :»/„ На
Водород-азот:
о% н.
, С Г\~1 ; т_1
1о,У /f, Пз
.с
46
100
184
8
20
IOO
О
100
i84
213
о
46
100
184
212
—71
о
100
о
20
О
100
X
о,оо97
0,0131
о,огд4
о ОЮ7
О,О12Т
o,oi68
0,0075
0,0130
0,0183
0,0207
0,0104
0,0177
0,0255
0,0283
0,0090°
0,0104
0,0141
0,0182
0,0226
0.0089
0,0008
0,0083
0,014-!
».
0,136
О.ОТ22
o,o2ig
0.0373
0,0622
0,101
0,150
0,0108
0,0289
10s. с
с
91
i
,.
* В таблице помещены значения X и Х0 при 0°, постоянная а в формуле Х=Ха +а( и константа с Sutherland в формуле
._
Т+с 273 '
где Г — в СК и / — в °С.
** Главным образом по „Международным справочным таблицам", по установившейся традиции значения коэфи-
циента теплопроводности газов и паров приведены с тремя значащими цифрами, но следует иметь в виду, что точность
табличных данных порядка 10°/0.


488
ТЕПЛОТА
[РАЗД. i
Продолжение табл. 57
39,0% Hj ......
57,4% Hs ......
65,2% Н„ ......
79,5% Н, .'....
80,3% На ......
100,0% На ......
Водород— закись
азота:
0'/0 Н3 ......
7,5% На. .....
20,9% Н, ......
38,6"/0 Н, ......
59,9% Н„ ......
81,2% Н2. .....
100,0% На ......
Ртуть .......
Метан (от — 188° до
10° С) ........
Метиловый спирт .
То же .......
Хлористый метилен
Метилацетат . . , .
1°С
2ОО
О
IOO
О
46
IOO
213
о
2О
X
о,о294
о,ои4
0,0176
0,00528
о,оо668
о,оо85
0,0129
o,oo8i
0,0092
хо
0,0457
0,0530
0,0700
o.oqio
0,0925
0,146
0,0137
0,0173
0,0250
0,0386
о 0013
0,0980
0,146
0,0253
10s- a
ю,7
с
Бромистый метил .
Хлористый метил .
Йодистый метил .
Азот (от — 192° до
100°С) ... .....
Закись азота
(от — 70° до 1иО° С) .
Окись азота
(от — 70° до 100° С) .
Двуокись азота
E5° С) .........
Кислород (от — 191°
ДО 11)ч° С) ......
Пентан (iso) ....
Сернистый ангидрид
Вода ........
Г°С
о
юо
0
4S
100
184
213
о
46
IOO
о
2О
О
46
46
IOO
А.
о,оо495
0,0084
0,00725
0,0099
0,0127
0,0178
О.О2ОЗ
0,00372
0,0047
о,оо6г
о,отоо
о, от
0,0099
0,0131
0,0155
o,oi88
Х0
0,0195
о,01 18
0,0179
0,0343
0,0067
SO5 .a
*,5i
с
*95
144
Диференциальное уравнение теплопро-
водности. Предполагая, что: 1) поле темпе-
ратур нестационарно и заполнено однородным
телом; 2) тело изотропно; 3) коэфициент
теплопроводности X, удельный вес f и удель-
ная теплоёмкость с не зависят от давления
и температуры; 4) в теле не происходит
изменений агрегатного состояния, получаем
уравнение теплопроводности в виде линейного
диференциального уравнения 2-го порядка
в частных производных (независимые пере-
менные— время т и три пространственные
координаты, зависимая переменная — темпе-
ратура t):
dt
а
3) в сферических координатах:
2_ df_ _1_
"+ > дг ^~ г*
Г . 1
%•}'
где cp — долгота, ф — полярное расстояние
(дополнительный угол к широте).
Кондукция (теплопроводность) в ста-
ционарном температурном поле. Температура
в любой точке не претерпевает изменений по
времени. Диференциальное уравнение тепло-
проводности:
—О так как
dt
- = 0 и а О
здесь а — — [м2/час] — коэфициент темпера-
у с
туропроводности, характеризующий быстроту
выравнивания температур различных точек
поля. Для значения а, принимая размер-
ность сл& сек вместо м-/ч ас, имеем
а [м^час] = а [смсек] • 2,778;
Vy t — оператор Лапласа или диференциальный
параметр 2-го порядка от t,
Уравнение в развёрнутом виде:
lj в декартовых координатах:
2) в
dt_
-. —— U
(Ь
цилиндр
dt
, ]
1 _ - -L
V дх%
1ИЧССКИХ
/ d4
а { -•-,—
\ or'2
1 дЧ
ду* ^
коорд
, 1
~г г
дЧ
' dz*)'
инатах:
dt
дг *~
Плоская стенка (одномерное стацио-
нарное температурное поле, t — fix),
изотермические поверхности поля — плоско-
сти, параллельные боковым поверхностям
стенки). Стенка ограничена двумя изо-
термическими плоскостями с температурами
tw,i и tw,2 (t^i > tw^Y, практически стенка
должна иметь ширину и высоту (направление
осей^' и г) достаточно большие по отношению
к её тол-щине S (направление оси х), чтобы
можно было считаться с изменением темпера-
туры в стенке лишь в направлении оси х.
Температура в стенке (фиг. 47) t — / (л-) —
прямая,
г-1
grad t == -
Количество теплоты, передаваемое через
стенку на участке поверхности F:
Q = lf _*™±1*. [ккал/чае],


ГЛ. V]
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
489
где коэфициент теплопроводности X
в ккал\м • град • час, F в м2, о в м.
Плоская многослойная стенка,
состоящая из п плотно прилегающих друг к
другу слоев, с коэфицяентами теплопроводно-
сти и толщинами Xj и QJ, Х2 и 22, • • •» '•я и ^п-
Наружные плоскости стенки имеют темпера-
/ п т
Фиг. 48.
туры /w>1 и tw, „+1, температуры в плоскостях
стыка смежных слоев tw^, tw,%, ,.., tw,n',
в /-м слое
(grad
— [ _ .V* и'~ <g"M =
— *,•
w,i w,i + 1
распределение температуры в i-м слое, —
— прямая;
xw.i
Распределение температур в стенке
t=f(x) — ломаная линия, проходящая через
температуры tw>l tw>Zf .... tw>n+ ь Количество
теплоты, передаваемое через стенку на
участке поверхности F [ж3] (фиг. 48):
v
гояд • f ас
-
, п
1
—
J
[ккал/час];
сопротивление
^
кондукции /-го слоя.
При стационарном температурном поле
количества теплоты, проходящее через каждый
слой Qi, равны между собою п равны коли-
честву теплоты, проходящему через всю
стенку Q:
•./СЯД/'ШС
0
и,л + 1' =а ~ъ7" ^'w»f Wti
Температуры на стыке / -го и (/ + 1) • го
слоев:
w,i + 1 == w,i '•
также
Круглая цилиндрическая стен-
ка (т р у б а). Стенка, стационарное температур-
ное поле которой
характеризуется
и зотер м и че ски ми
поверхностями кру-
говых цилиндров,
коаксиальных с
осью трубы, со-
стоит из п слоев;
внутренняя изотер-
мическая поверх-
ность (ri) имеет
температуру tw^,
внешняя (/• т) —
циенты теплопро-
водности слоев AJ,
.'..;,..., Хя; на уча-
стке длины L утеч-
ки теплоты в па- Фиг. 49.
правлении к тор-
цам трубы не учитываются, поле температур
одномерно,— i =/•(/•).
На участке длины L [м] (фиг. 49) трубы
количество теплоты, передаваемое в час,
1
I — П
У,
«?('..!-
In
In - ,—•
^iJ 9),.
1 = 1 ~ Ai
— ^Ю.Я + i) [ккал/чае],
где г — порядковый номер слоя (на фиг. 49).
Количества теплоты Q; на участке длины
/, (м) трубы, передаваемые отдельными
слоями, при стационарном температурном
поле равны между собою и равны Q:
1
w,t
i);
Количество теплоты, передаваемое 1 not. м
трубы:
Q О;
i
d,
L L V-lm-^?±l
di
1
2X,
^(tw, i~~fw,t+l) №'


490
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
Количество теплоты, передаваемое 1 м? по-
верхности трубы, считая по внутреннему диа-
* Q
метру, д*= — — — - ; то же, но по наружному
тг a^L
диаметру, а## = — . • ,т.е,а=д#п di =
Температура tw>i+l на стыке /-ron(/-f l)-ro
слоев:
^
4+1
а также
Температура внутри 1-го слоя
dt<d<dl+l:
= где
iw ,ln *,-- + fo.mln
' * Я
__- -
In —. —
Для однослойной трубы:
1
1
•n-L (/«,,! —
Температура стенки трубы:
, «
ln ~j~
. d
ln j~
~
где rfj < d < rf2.
Шаровая стенка (полый шар).
Стационарное, одномерное, t = f(r) темпера-
турное поле определяется изотермическими
поверхностями сфер, кон-
центричных между собою.
Стенка состоит из п кон-
центричных слоев, плотно при-
легающих друг к другу, ра-
диусы их /*i (внутренний),
г2,..., гп+\ (внешний); коэфи-
циенты теплопроводности AJ,
Х2,..., Ал; температуры поверх-
ности сфер tw, j, ^,2,..м
'w, n-\--it-
Количество теплоты, прохо-
дящее в час через шаровую
стенку (фиг. 50):
I—г
„ «,.
V — i = n
1/1
Фиг. 50.
.41
Количества теплоты, проходящие в час
через каждый слой Q/, равны между собою и
равны Q:
п 4*t-f
Температура на стыке /-го и (/ + 1)-го
слоев:
t
а также
/
w.t +1
Температура внутри 1-го слоя на поверх-
ности сферы радиуса г, (г,-< г < гг+1), f, =
= /(г)— гиперболы
'«,.,
•D--
Г- / ' 'Е'' / + 1 (г/
1 1
О ''»-!- 1
1 \
Конвективная теплопередача (конвекция)
Общие уравнения. Конвективная тепло-
передача осуществляется путём переноса энер-
гии перемещающимися в пространстве частями
жидкости (капельной или газа). Теплообмен,
достигаемый конвективной теплопередачей,
является следствием переноса энергии пере-
мещающимися конечными массами жидкости,
сопутствуемого обязательно кондукцией, т. е.
переносом энергии элементарными частицами
носителя при их соприкосновении (контакте);
здесь кондукция осуществляется в условиях
совершенно отличных, чем в твёрдых телах,
она зависит от перемещения конечных масс
носителя энергии. Различают конвекцию есте-
ственную (свободную) и вынужденную: в пер-
вой перемещение масс жидкости есть след-
ствие неравенства удельных весов жидкости
в различных точках её за счёт неравенства
в них температур; во второй — перемещение
масс жидкости определяется какими-нибудь
внешними побудителями, например, напором
вентилятора, циркуляционного насоса.
Особое значение имеет конвекция при омы-
вании жидкой средой поверхности твёрдого
тела — теплоотдача (теплопереход).
Теплоотдача (Т-> Ж) с элемента поверхности
dF \м"\ твёрдого тела (стенки) за элемент
времени rft [час], при разности температур
tw — tf(tw — температура поверхности элемен-
та стенки, tf— жидкости; предположено tw > tf,
если tf~^>tw, берут разность tf-~tw — тепло-
отдача Ж -*• Т):
dQ = a(tw-- tj) dp d i [ккал];
Г ккал ] ,
здесь а —— - ———— ._ коэфициент те-
[ л2- град -час J -
плоотдачи, численно равный количеству те-
плоты, отдаваемому (или воспринимаемому)
единицей поверхности стенки в единицу вре-
мени при разности температур поверхности
стенки и жидкости в Г.


ГЛ. V]
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
491
При стационарном температурном поле и
температуре tw на всей поверхности F стенки
- t F
ккал
Коэфициент теплоотдачи функция ряда пере-
менных:
u=f(W, tw, tf, X, {X, р, Ср, /J, /s,...).
где tf — температура жидкости, w - скорость,
Д. — коэфициент теплопроводности, [л — коэфи-
циент вязкости, р — плотность, ср — теплоём-
кость, — параметры, относящиеся к жидкости;
tw — температура стенки, /-,, /2, . . . — гео-
метрические размеры, определяющие условия
движения.
Явление теплоотдачи в общем виде описы-
вается системой диференциальных уравнений:
1) Уравнения движения вязкой жидкости:
до
/-
дх
dwt
-И" = — /- -г Р -S + .
v
1 д 6\
-f- ^ -,-- \ ;
3 dxj
а^
dw
v а», /о : 1 а 9 \
*-— — л + м v2o>y+_ -т-
ду г ч •* з ду/
где
dwx
дх
dwv
_ _?
a.y
dw,
~_ | _ -^ <
S ' Л~2 !
V2WV,
drv
•^ ал: У ду ""
rfliy,
—г^- составляются
дюя
анало-
гично.
2) Уравнение сплошности сжимаемой жид-
кости при неустановившемся режиме:
dz
а^
при установившемся движении —- = 0; для
движения несжимаемой жидкости
а т ~~ дх ~~ ду "~ ~дг ~
3) Уравнение конвективного переноса те-
плоты Фурье—Кирхгофа (уравнение теплопро-
водности в движущейся среде); стационарное
температурное поле
dt
а/
дх
Am ~Г AVJ
где а = — [ж2,</ас] — коэфициент темпера-
ЧСР
туропроводности жидкости.
4) Уравнение теплообмена при конвектив-
ном переносе теплоты на границе раздела по-
тока жидкости и твёрдого тела
дп
~ tw).
Аналитическое решение этих уравнений
с учётом всех условий однозначности (опре-
деляющих частные случаи) удаётся лишь но
отношению к некоторым задачам и достигается
на основе ряда упрощающих допущений, что
снижает возможность практического примене-
ния его.
Теория подобия позволяет, не интегрируя
этих диференцчальных уравнений, установить
некоторые характеристические, безразмерные
величины, критерии подобия, сохраняющие
своё значение для целого класса (группы)
подобных явлений; та же теория констатирует
для класса подобных явлений обязательность
функциональной зависимости между найден-
ными критериями, но установить вид её она
не в состоянии. Согласно этому для подобных
явлений, описываемых приведёнными уравне-
ниями, должны существовать зависимости
между критериями:
при учёте влияний как естественной, так и
вынужденной конвекции
, Or, Pr,
*о 'о
при вынужденной конвекции
а = j ^ e, r, -j-. , -
при естественной конвекции
Nu
=/a(Gr, Яг ' А.,...);
«о 'о /
для газов с вынужденной конвекцией
*0 '0
для газов с естественной конвекцией
,4 , 4—— )'
*о 'о /
где
критерий Рейнольдса Re = —;
критерий Пекле Ре — — ;
V
критерий Прандтля Рг = —;
критерий Грасгофа Gr= -——
9——
критерий Нуссельта ;Va = ——.
Здесь v [м'1сек] — коэфициент кинематической
вязкости; а = —*— [м'2/час]—коэфициент тем-


492
ТЕПЛОТА
[РАЗД.
пературопроводности; X [ккал1м-град-час] —
коэфициент теплопроводности; а. [ккал/м2-град
час] — коэфициент теплоотдачи; w [м/сек] —
скорость; g [м/сек2] — ускорение силы тяже-
сти; 3 [1/град] — коэфициент объёмного рас-
ширения; & [град] — избыточная температура;
/ [м\ — характерный линейный размер, для
труб обычно диаметр.
Критерии Re и Or выводятся из уравнений
движения, характеризуют подобие сил: пер-
вый — сил внутреннего трения (вязкости),
второй — земного тяготения (подъёмную силу).
Критерий 1'е находится из уравнения Фурье—
Кирхгофа, определяет подобие явлений в от-
ношении теплопроводности в движущихся
средах. Критерий Nu даёт условия подобия
в пограничном слое. Критерий Рг находится
Ре -v
как отношение -=- = —, ценен тем, что от-
Re a
ражает физические свойства, природу движу-
щейся среды
{А А \
> = -*— , а — —}.
Так как Л;« = --—, то а = -^- Nu, т. е. зна-
ние критерия Нуссельта даёт возможность
определить коэфициент теплоотдачи.
Вид этих функциональных зависимостей
для явлений, входящих в класс подобных, на-
ходится экспериментально.
При пользовании для нахождения а экспе-
риментальными формулами нужно обращать
внимание на пределы применимости формулы,
определяемые диапазоном изменения крите-
риев, охваченным при осуществлении опыта;
необоснованный выход за пределы может при-
вести к крупным ошибкам в расчётах. При
пользовании расчётными формулами, выра-
женными в критериях подобия, температуру,
по которой берутся вводимые в формулу фи-
зические параметры, так называемую опреде-
ляющую температуру, следует брать согласно
приводимым указаниям к формуле (при по-
мощи подстрочного индекса), ибо выбор этой
определяющей температуры у различных
экспериментаторов не согласован.
Теплоотдача в вынужденном потоке
жидкости (вынужденная конвекция). 1. Те-
плоотдача в прям ой трубе. Турбу-
лентное движение
Формула Нуссельта *
0,79 / / \-0.05
Num-= 0,0344 Рет . (-_>
\
строго применима для стабилизированного,
турбулентного потока газов и перегретых
паров, протекающих по прямой трубе и испы-
тывающих подогрев от стенки, при темпера-
туре газов не выше 600° С, при Рет = 1000—
7000; подстрочный индекс от — указание на
выбор определяющей температуры tm —
_-_«L.^l_L; tw и if — температуры стенки и
жидкости; 1[м]—длина трубы, d \м\—диа-
метр.
Возможно экстраполирование формулы на
большие значения Рет.
Формула Крауссольда [58]
Nuf = 0,032
1
-0,054
индекс f — указание на определяющую тем
пературу; tf—температура жидкости.
Формула применима как для капельных
жидкостей, так и для газов, для стабилизиро-
ванного, турбулентного потока, при Re<^> 10 000
и при 0,7 < Prf < 10 000.
По Крауссольду при нагревании жидкости
показатель у критерия Prf т — 0,37, при охла-
ждении от = 0,33; по М. В. Кирпичёву целе-
сообразно принять т = 0,35 в обоих случаях.
При —- = 100 -т- 400 приближённая формула
Крауссольда
Nuf = 0,024 Re°f'B • PrJ1.
Формулы Нуссельта и Крауссольда приме-
нимы не только для случая продольного про-
текания потока жидкости (капельной или
упругой) внутри круглой трубы, но и для пря-
мого канала произвольного постоянного сече-
ния F; при расчёте вместо d вводят эквива-
лентныи диаметр
— ,
р
где г — попе-
речное сечение канала; ?/—активный периметр
сечения, являющийся проекцией на плоскость,
нормальную к оси канала, поверхности его,
участвующей в теплоотдаче.
Значения эквивалентного диаметра
Эквива-
лентный
d диаметр
1. Круглая труба (^ • . .......«•
b
2. Прямоугольник |___J a:
а) теплообмен через все стороны . . .
б) теплообмен через две противолежа-
щие стороны (а) ...........
в) теплообмен через одну сторону (а) .
3. Квадрат |_\ а ............
4. Кольцевое сечение:
а) теплообмен через внутреннюю и
внешнюю поверхности .......
б) теплообмен только через внешнюю
поверхность ............
в) теплообмен только через внутрен-
нюю поверхность .........
Вынужденный поток при ламинарном
движении. Формула Крауссольда [58];
2 аЬ
а+Ь~
1Ъ
D —
при нагревании жидкости;
» N u s s e 11 W., Mitt Forschungsarbeit, 89, 1, 1910.
при охлаждении жидкости.
Обе формулы относятся к опытам с верти-
кально расположенной трубой и подводом
жидкости снизу. Для других условий располо-


ГЛ. .V]
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
493
жения трубы и подвода жидкости расчёт
следует вести по формуле, дающей среднее
значение коэфициента теплоотдачи:
'23
13,2-/ г
Формула Ватцингера—Джонсона [68] для
ламинарной и переходной области
4600):
Л/^ = 0,255 GrW.ReW-Pr
где определяющая температура
* = *— 0,54 (f— tw).
— 1350 —
2. Т еп л о о т д а ч а в изогнутых тру-
бах (колена, переходы, спирали). По опытам
Иешке [56] при турбулентном режиме движе-
ния с воздухом до Re = 15000U:
Num = ( 0,039 4-0,069 ~- Pe
0,76
где d—диаметр трубы; %—радиус-закругления.
Соотношение между теплоотдачей в изо-
гнутой трубе с теплоотдачей в прямой трубе
Иешке даёт формулой
4изогнут
' лпрям'
3. Теплоотдача одиночной тру-
бы, омываемой поперечным пото-
ком жидкости. По опытам Гильперта [55]
со свободным незавихренным потоком воздуха,
направленным нормально к" трубе и получаю-
щим подогрев от неё (скорость воздуха от 2
до 30 м]сек при диаметрах трубы или цилин-
дра от 0,099 до 155 мм), теплоотдача опреде-
ляется формулой:
Nuf = с • Re" .
где сип выбираются из таблицы:
I • ю- — 5 • ю3 о,59° °.47
5 • то3 — 5 ' 10* • 0'J97 °'6°
5 • ю4 и выше 0,023 о,8о
Данные Гильперта дают наинизшее значе-
ние коэфициента теплоотдачи, характеризуют
его значение в незавихренном потоке воздуха
(при нормальной турбулентности).
Влияние турбулентности учитывается ко-
эфициентом х:
Nuf = с Renf •*,
где -х. выражается из таблицы:
Автор эксперимента х
Гильперт i,o
Эйгенсон i,o
Кузнецов i,o
Михеев i,o8
Форнем и Рейер i,:8
Мак-Интайр 1,50
Условия эксперимента
Свободная струя по выхо-
де из сопла
Всасывающая труба с плав-
ным входом
Всасывающая труба с плав-
ным входом
Замкнутая труба с успо-
коительной решёткой
Замкнутей труба, после
вентилятора, с успокои-
тельной решёткой
Замкнутая труба, после
вентилятор;!, без успо-
коительной решётки
Приведённые соотношения даны для слу-
чая угла атаки (угол, составленный направле-
нием потока и осью трубы), равного 90Э; при
угле атаки «|, отличном от 90°:
а90 WWgo
где е по данным Синельникова и Чащихина
дан кривой 1, по
данным Форнема
[67]
<@\
0.8\
кривой 2
(фиг. 51).
По Ульзамеру
[66] обобщённая
зависимость для
капельных жидко-
стей и газов:
л;,,,— />. oJl. Di-0'3l
w
70 60 JO 40 30 20
Угол a/naku V
Фиг. 51.
Ю О
где сип берутся из таблицы (корректиро-
ванной по данным Гильперта и Эйгенсона)
Rfff с п
i • юа — 5 • ю3 0,652 о,47
5 • ю3 — 5 • Io* o,ai8 0,60
5 • ю* и выше 0,0254 о,8о
4. Теплоотдача пучков груб в
поперечном потоке воздуха. По
работам Н. В. Кузнецова во Всесоюзном тепло-
техническом институте, теплоотдача от пучка
труб к воздуху при поперечном обтекании
пучка при коридорном и шахматном располо-
жениях труб определяется соотношением:
При вычислении критериев коэфициент те-
плопроводности X и коэфициент вязкости jj,
отнесены к средней температуре tm погранич-
ного слоя, плотность р отнесена к той темпе-
ратуре, к которой относится скорость w, бе-
рущаяся по самому узкому сечению в пучке.
Константы сип берутся из табл. 58 и 59
по шагу $i между трубами вдоль ряда и ша-
гу 52 между рядами вдоль направления потока
воздуха и диаметру труб d.
Случай теплоотдачи [41], [45], когда поток
направлен к пучку не под углом атаки 90°, а
под некоторым острым углом t|», учитывается
соотношением:
где w берётся из таблицы:
•V -
со =
90
i
8о
i
7°
о|98
6о
о,94
5о
о,88
40
0,78
Зо
0,67
30
0,52
ю
0, 42
5. Теплоотдача плоских верти-
кальных п л и т в вынужденном потоке воз-
духа. Формула Н. А. Скнаря [37]:
Определяющим линейным размером приня-
та длина плиты /0; определяющей температ-у-


494
ТЕПЛОТА
[РАЗД. !
Значения сип для коридорных пучков [38]
Таблица 5S
Ряды в пучке
Для первого ряда .....
Для каждого из остальных
рядов .............
Для первого ряда .....
Для каждого из остальных
рядов .............
Для первого ряда .....
Для каждого из остальных
рядов ............
Для первого ряда .....
Для каждого из остальных
Для первого ряда .....
Для каждого из остальных
рядов ............
Si
<J -*•
d 4-
От 1,з
До i,5
От 1,5
ДО 2,0
ОТ 2,0
До 2,5
От 2,5
До з,о
От з.о
До 4.о
От 1,2
до 1,5
с
0,182
0,178
0,177
0,173
0,175
0,169
0,178
0,165
0,180
0,161
От 1,5
до 2,0
с
o,i88
0,172
0,182
0,170
0,176
0,168
0,183
0,167
0,192
0,165
От 2,0
ДО 2,5
с
0,195
о,1б9
o,i88
o,i68
0,179
0,167
0,187
0,170
0,207
0,171
От 2,5
до 3,0
с
О,2ОО
0,164
0,100
0,165
0,183
0,166
0,198
0,168
0,217
0,17°
От 3,0
до 4,0
с
0,205
O,l6l
0,192
0,162
0,190
0,164
0,200
0,164
0,225
0,169
п
о,6о
• о,65
о,6о
0,65
о,6о
о,05
о,6о
о,65
о,6о
0,65
Значения с и п для шахматных пучков [38]
Таблица 59
Ряды в пучке
-'а*
Среднее для первых че-
тырёх рядов .......
Среднее для каждого из
остальных рядов .....
Среднее для первых че-
тырёх рядов .......
Среднее для каждого из
Среднее для первых че-
тырёх рядов .......
Среднее для каждого из
остальных рядов .....
Среднее для первых че-
тырёх рядов .......
Среднее для каждого из
остальных рядов .....
Среднее для первых че-
тырёх рядов .......
Среднее для каждого из
остальных рядов .....
Среднее для первых че-
тырёх рядов .......
Среднее для каждого из
остальных рядов . ...
*,
d ->
d 4-
От i,i
До 1,з
От 1,з
До 1,6
От 1,6
ДО 2,О
ОТ 2,0
До з.о
От з.о
До 4.о
От 4,о
До 5.о
От 1,1
до 1,3
с
О,22О
0,3^5
О, 205
0,292
О,2О2
о,275
О.20О
О,2бо
О,2ОО
0,250
, —
—
От 1,3
до 1,6
с
0,205
0,300
0,207
0,295
О,2О6
0,285
0,205
0,270
0,204
0,265
—
—
От 1,6
до 1,9
С
0,218
0,220
0,215
0,300
O.2I2
0,295
0,208
0,280
О,2об
0,275
—
~
От 1,9
до 2,5
с
0,230
о,34о
0,225
0.315
0,218
0,305
0,213
0,290
0,208
0,285
—
—
От 2,5
до 3,0
с
0,240
о,35о
0,230
о,335
0,224
0,315
0,218
0,300
0,214
0,205
, —
—
От 3,0
до 5,0
с
— •
—
—
—
—
—
—
—
~
—
0,214
0,200
п
0,б2
о,бо
О,б2
о,6о
О,б2
о,6о
0,62
о,6о
0,62
о,6о
0,62
о,6о
рой—температура стенки tw. Формула даётся
для значений Rew от 5-104 до 1,7-106.
Теплоотдача в свободном потоке жидко-
сти (естественная конвекция). 1. Теплоот-
дача вертикальных труб [50]. Приво-
димые ниже формулы Эйгенсона дают возмож-
ность по критерию Нуссельта определить ло-
кальное значение коэфициента теплоотдачи ах
для любой высоты х и среднее значение его
а по высоте от х — 0 до х = Н. Формулы спра-
ведливы для двухатомных газов (Рг = 0,72) для
расчёта теплоотдачи вертикальных проволок,
труб и плит, имеющих по поверхности равно-
мерную температуру. Индекс х означает, что
при рассмотрении локального значения коэфи-
циента за определяющий размер при нахо-
ждении критериев принято расстояние х от низа
трубы или плиты.
Индекс Н указывает, что при рассмотре-
нии среднего значения коэфициента тепло-
отдачи на участке трубы или плиты вы-
сотою Н за определяющий размер принята
высота Н.
Индекс d указывает на определяющий раз-
мер, диаметр для выяснения пределов приме-
нимости формулы для труб и проволок.


ГЛ. V]
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
495
Индекс т указывает на определяющую Для наклонных труб применяется формула
температуру Коха:
+ tf - ,
Плиты и трубы при G/W>106 где D беРётся из табл- 60-
1) Для Grm>-<'\№—ламинарная область дви- _ ,. сп
женая: Таблица 60
'•г /' ; Значения постоянной D в формуле Коха
2) Для 109 < Qrmx < 1,7- 1010 — переходная
область:
М/и„ = 51,5 + 7,26- 10~5.
3) Для G/w>l,7.1010:
Трубы при Grm(i<^
Для GrWJt>l,7.10W:
Проволочки:
1) GrOTd<0,14 (при ламинарном течении^:
2)
Значения величины В берутся из таблицы:
Ormd =
D __
ю-1
1.93
10"'°
о,934
I01
о,545
юа
Q-349
I03
о,245
ю1
0,184
ю
0,156
G'md-
В -
10»
0.148
I07
0,148
I08
0,148
10»
0,148
ю'°
0,148
ю"
0,148
2. Теплоотдача горизонтальных
и наклонных труб [42J. Для приближён-
ных расчётов горизонтальных труб в воздухе
применима формула Гриффитса-Дэвиса; сред-
нее значение а :
где tw и tf — температуры поверхности трубы
и воздуха; формула применима для Дг>15°С
при я^5 мм; А берётся из таблицы:
d в мм —
А -
5
4,85
ю
3,53
50
1,94
100
i,8o
200
1,73
5оо
1,73
1000
1,73
0.
*Ъщ
С[ (- П
2О
40
6о
8о
100
120
0
2,7
2,3
2,1
1,98
1,90
1,88
Наклон
15
2,7
2,2
2,1
1,97
1,90
1,88
к горизо
30
2б
2 3
2 0
194
i 89
i88
нту в
45
=,5
2,1
1,94
1,89
i,87
1,8?
граду
60
_
1,92
i,8o
1,78
1,78
сах
75
_
—
i,6i
1,61
1,61
1,61
90
_
—
1,30
1,30
1,30
Теплоотдача плит
При вертикальном расположении плит усло-
вия теплоотдачи аналогичны условиям тепло-
отдачи вертикальных труб (см. выше). При-
ближённый расчёт плит при Н=\ м:
а =3,0 + 0,08 Д/ (формула Нуссельга, при
С);
^"=3,45- Д*°'13 (формула В. С. Жуковского,
85<Д/<150° С;;
H
760'
где Н [м] — высота плиты; b — барометриче-
ское давление в мм ртутного столба (форму-
ла Шмидта и Бекмана).
Для горизонтальной плиты, обращённой
теплоотдающей поверхностью вверх:
а=2,8^/Д* (формула Хеяки);
а=2,15[/Д? (формула Гриффитса-Дэвиса).
Формулы В. С. Жуковского:
7= 2,95
Для горизонтальной плиты, обращённой те-
плоотдающей поверхностью вниз:
о~= 1ДЗД/0'25 (формула Гриффитса-Дэвиса);
^= 120-/ч
30 \
7/1
где Хда — коэфициент теплопроводности воз-
духа (формула В. С. Жуковского).
Теплоотдача при конденсации. При оса-
ждении конденсата на холодной поверхности
в виде сплошной плёнки конденсацию называют
плёночной, при осаждении конденсата на по-
верхности в виде отдельных капель — капель-
ной.


496
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
По теории плёночной конденсации Нус-
сельта для плоской вертикальной стенки тол-
щина плёнки конденсата 8 на расстоянии х от
верхнего конца плиты:
у./"
* г 1 л Г ккал 1
где 8 Ш—толщина пленки; X ———^—— —
\ м* град-час \
коэфициент теплопроводности конденсата;
Г кг-евк 1 .
f* ——2— — коэфициент вязкости конден-
сата; ts — температура насыщенного пара;
tw — температура стенки; х [м] — расстояние
от верха плиты; у[кг/м'А]—удельный вес
конденсата; г [ккал/кг] — теплота парообразо-
вания.
Локальное значение коэфициента
[ккал ~\
—~——ч—— на расстоянии х:
м*-град-час\ Г
где
At = ts-tw,
ккал*
среднее значение
?ll!l^L Г ккал* ~\ .
р L л1Т-час*-°С* J '
, —Г ккал 
фициента теплоотдачи а ————=-—— для
^ IM°-град-час ]
коэ
всей стенки высотою Н:
о = 0,943
Параметр А выбирают по средней температуре
слоя плёнки:
*т == ~2 (^ ~Ь *w)~
Формула применима не только для верти-
кальной стенки, но и для вертикальных труб,
если, как это и бывает всегда на практике,
толщина плёнки невелика по сравнению с ра-
диусом кривизны трубы.
Если угол наклона стенки к горизонту 0,
то
ар = « 90 '
Для горизонтальной трубы:
= 0,766 T
По С. С. Кутателадзе, при конденсации
пара связь между критериями подобия уста-
навливается зависимостью ф=/F), в кото-
рой ф и 9 через критерии подобия
"Л/и = 7 . — , Рг=
Г аллилея), ? = —--.— - (критерий, введённый
с-Д t ч ^
Кутателадзе) выражаются так:
V,
V/e
>
где /о — характерный линейный размер, т. е.
для горизонтальной трубы диаметр d, а для
вертикальной трубы её высота Н.
Результаты обработки опытных данных
привели Кутателадзе и Шренцеля к следую-
щим зависимостям:
= 128-10
при
i/4 _.
ф= 1,13. В или М/и
при e<ew=123.10
= 0,16+ 41,96 в,
~ '
или
Теплоотдача при кипении жидкости. Опыт-
ные данные Якоба, Фритца и Л инке, относя-
щиеся к условиям парообразования, когда
вода полностью покрывает поверхность на-
грева и водяное пространство над поверх-
ностью нагрева достаточно велико для свобод-
ного подъёма образующихся пузырьков пара,
дают следующие зависимости для критериев:
для 103<"G/-m-PrOT<2.107;
^ 0,555
Ga = — -— (критерий
j
для
причём определяющей температурой прини-
мается средняя между температурой стенки и
температурой насыщенного пара, а физиче-
ские параметры, входящие в критерии, берутся
для воды.
Теплопередача кондукцией и конвекцией
Распространённой технической задачей
является теплопередача от одной жидкой
(газообразной) среды через твёрдую стенку
к другой жидкой (газообразной) среде, т. е.
механизм теплопередачи охватывает и конвек-
цию и кондукцию.
Плоская стенка (фиг. 52). Плоская
многослойная (п слоев) стенка, темпера-
турное поле в ней определяется теми же
условиями, что и в случае задачи о кондук-
ции теплоты. Поверхность А — В омывается
подвижной средой с температурой tt при • ко-
эфициенте теплоотдачи ajj поверхность
С — D — средою с температурой /2 ПРИ ко-
эфициенте теплоотдачи «2. Количество теплоты,
передаваемое через поверхность F м^\


ГЛ. V]
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
497
коэфициент теплопередачи
k _ _
1__ __ Г ккал "I .
5 1 [м*-град-час\'
«1 ^ "XT a2
»' = 1
термическое сопротивление теплопередаче
Фиг. 52.
составляется из следующих величин:
1
— — сопротивление теплоотдаче от ле-
ai
вой среды к стенке;
^_L— сумма сопротивлений кондукцйи
1
в отдельных слоях;
— — сопротивление теплоотдаче от
«2
стенки к правой подвижной среде.
О Г ккал "I
-? = а \ —- —— - —— —
F \_м* • град- час \
удельный те-
J
пловой поток.
Соотношения между температурами:
-;
Для однослойной стенки
Круглая цилиндрическая стенка (труба).
В круглой цилиндрической многослойной
стенке (трубе) поле температур определяется
условиями, совпадающими с таковыми в за-
даче о кондукцйи. Внутренняя поверхность
омывается подвижной средой с температурой ^
при коэфициенте теплоотдачи «_, внешняя —
с температурой ?2 при а2.
Количество теплоты, передаваемое через
участок трубы длиною L [м]:
Q = kmp-n-L fa — /2) [ккал/час];
коэфициент теплопередачи трубы:
1
1
« = п
У-
^j2Af
1
ln +1
1
— сопротивление теплопередаче в трубе.
Часовой тепловой поток, отнесённый к
1 пог. м трубы:
О ,. Г ккал
Температура на стыке /-го и (/ -f 1)-го
слоев:
я и„ й п + 1
Температуры внутренней и наружной по-
верхностей:
Труба однослойная (я>= 1):
1
lw,l
О/, 2 =ь
Распределение температур в слое см. выше
кондукцию.
Средний температурный напор. При
расчёте теплообменных устройств (теплопере-
дача Ж — Т — Ж) различают относительное
направление жидкостей-, омывающих поверх-
ности твёрдой стенки: прямоток ;—* — парал-
II
дельное движение жидкостей в одном направле-
нии; противоток ^z± — параллельное движе-
II
32 Том 1, кн. 1.


498
ТЕПЛОТА
[РАЗД.1
ние жидкостей в прямо противоположном на-
Таблица 61
правлении; перекрёстный ток I
— дви-
жение жидкостей в перекрёстном направле-
нии; возможны сложные комбинированные
схемы движения жидкостей.
При теплопередаче Ж — Т — Ж темпера-
туры жидкостей, участвующих в теплообмене,
остаются неизменными в случаях, когда осу-
ществляющийся теплообмен вызывает измене-
ние агрегатного состояния (парообразование,
конденсацию), в прочих случаях температура
горячей /j и температура холодной fz жидко-
стей меняются. Схемы характера изменения
температур при прямо- и противотоке пока-
заны на фиг. 53; на схемах индекс (') озна-
Фиг. 53.
чает вход, (") — выход жидкости; Oj — раз-
ность температур горячей и холодной жидко-
стей со стороны теплообменного устройства,
где разность имеет большее значение; Ф3 —
разность температур со стороны теплообмен-
ника, где она имеет меньшее значение.
Водяной эквивалент жидкости W =
"
_
= G-c
ккал

подсчитывается как про-
— — — - з
час- -град \
изведение часового количества жидкости, про-
текающей через теплообменник, на теплоём-
кость её.
При переменных температурах в расчёт
теплопередачи Ж — Т — Ж вводят средний
температурный напор:
о
^-- ) см. табл. 61.
Перекрёстный ток (приближённое реше-
ние):
j г _ f i
Q = -:———л—-—т- [ккал/час};
»,
»1
0,0025
о,оо5
О,О1
О,О2
о,оз
0,04
0,05
о.об
°.°7
о,о8
о.од
ът
»i
0,167
o,i88
0,215
0,251
0,276
0,298
0,317
0,336
0,364
0,378
»,
»i
0 IO
0 12
о 14
0 l6
о 18
О 2О
025
озо
035
0,40
о,45
»i "
ат
*i
0,391
о,415
о,438
0,458
о,4?8
о,497
о,542
0,581
0,620
0,655
0,690
»i
»,
»•
о,5о
о,55
о,6о
о,б5
0,70
о,75
о,8о
о,85
0,90
о,95
1,ОО
»«
»1
0,722
0,753
0,783
0,812
0,841
0,869
0,897
0,924 .
0,950
о,975
1,000
Точный расчёт см. [62], [63]; сложные схе-
мы см. [38].
Стержни и рёбра (фиг. 54). Стержни, ци-
линдрические тела с произвольным попереч-
ным сечением F [и2] и периметром сечения
U [м] имеют в одном (начальном) торце
избыточную температуру (разность тем-
пературы стержня .
и окружающей
среды), поддержи-
ваемую неизменной
тепловым потоком
Q [ккал/час], про-
ходящим через это
сечение; распро-
страняясь кондук-
цией по стержню,
поток расходуется
на теплоотдачу фиг 54
окружающей среде
боковой поверх-
ностью и вторым торцом его; $—переменная
по длине стержня избыточная температура.
Поде температур стационарное, за изотерми-
ческие поверхности в теле стержня прини-
маются плоскости, нормальные к оси стержня.
Стержень бесконечной длины
(L = ос). Температура стержня на расстоя-
нии х от торца с температурой fy:
'а__(J
xTF,
^х = L — 0 (температура стержня снизилась
до уровня температуры окружающей среды).
Тепловой поток, поступающий в стержень:
Q =
F [ккал/час]',
[ккал ] , *
~о ——— 5 —— — коэфициент теплоотдачи бо-
м.ъ-град-час\ т
;i[-
|Л-.
ккал
ковой поверхности стержня,... ,.
r r \M-град-час
коэфициент теплопроводности стержня.
Стержень конечной длины (L м).
Температура стержня в сечении, отстоящем
от торца с температурой &j на расстоянии х:
_.
W
2 (ch(mL) + Bs\\(mL)}


ГЛ. V]
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
499
Температура конца стержня:
X~°L ch (mL) 4- В sh (ml) '
Тепловой поток, поступающий в стержень
через торец с температурой S^:
В формулах: т = 1/ ~ ; В = =^- ? al —
r kr k-tn
коэфициент теплоотдачи торца в конце стержня;
„ml
,
— ml
гиперболические функции.
Стержень конечной длины!,, но
не учитывается теплоотдача конечного торца
его (aL — 0):
— т (L — х) I ,,-f m (L—x)
2eh (ml)
где th(mL) =
sh
ch (/«/,) '
током воздуха, параллельным плоскости рёбер,
выражается уравнением
о = 1,18 A + 0,0075 ГдаН/- VOT°,73;
здесь а, Тт, Vm — те же, что в формуле Стан-
тона; -г^—к. п. д. (эффективность) ребра, опре-
деляемый как отношение тепла, действитель-
но отдаваемого ребром (Q), к теплу, которое
ребро могло бы отдать (Qo), если бы разность
температур ребра и воздуха по всей высоте
ребра была постоянной (В0), равной разности
этих температур в корне ребра.
Для нахождения г^ Пай даёт:
Q th ah'
о/г'
здесь а = л/ —-
*•-*+
причём
о — толщина ребра; h — высота его; QQ — - те-
пло, которое могло быть отдано в единицу
времени с единицы длины ребра при постоян-
ной разности температур (В0) ребра и воздуха:
Значения а и ah' для двух типов рёбер
нормальной (встречающейся в практике) формы
и для специальных медных рёбер приведены
ниже, в таблице; величина а принята одинако-
IStSffJt
вой для всех рёбер, равной 108 — — — - ——— ,
м^-час-град
что соответствует скорости свободного потока,
обтекающего поверхность в 145 кл1/час.
г~ ————————————————
Материал ребра
Алюминий .........
Сталь ............
Медь ............
Высота
ребра h в м
0,025
0,0l6
0,0254
Толщина
ребра 3 в м
0,0023
о,ооо8
0,00051
Теплопро-
водность X
i8o
39>6
328
а=1/^-
V Х8
22,8
83
Зб,4
h' в м
О,02б1
0,0164
0,0256
ah'
о,595
i,3b
о,93
к. п. д.
V
о, до
°,°5
о,79
При весьма коротких стержнях,
малой длине L:
ch
. a- ?/..?;
приведённые формулы стержней применимы
для расчёта плоских рёбер, расположенных
на плоской плите (стенке).
Стантон [65] на основе опытов с медными,
расположенными вокруг деревянного цилиндра
диаметром 114 мм, рёбрами (расстояние между
рёбрами 8 мм, толщина их 0,55 мм, наруж-
ный диаметр 146 мм), при температуре рёбер
30 — 150° С и температуре охлаждающего воз-
духа 15 — 18* С даёт для коэфициента тепло-
отдачи:
a = 1,18A +0,0075 Тт)
ккал
• час-град \
где Тт — средняя арифметическая из абсолют-
ных температур ребра и воздуха; Vm — ско-
рость воздуха в км/час.
По Паю [46] в расчёте охлаждения возду-
хом цилиндров быстроходных двигателей вну-
треннего сгорания коэфициент теплоотдачи при
обдуве оре'брённого цилиндра свободным по-
Радиационная теплопередача
(теплопередача излучением)
Определение и основные соотношения.
Радиационная теплопередача осуществляется
путём переноса энергии, электромагнитными
волнами, имеющими квантовую природу и под-
чиняющимися законам термодинамики. Лучи,
испускаемые излучающим телом, отличаясь
длинами волн (k) и частотами (N), имеют об-
щую природу и представляют собой электро-
магнитныг волны. Деление их на световые лучи,
тепловые, химические и другие условна
(см. табл. 62).
В однородной и изотропной среде лучи
распространяются прямолинейно; достигая по-
верхности среды, они частично отражаются,
частично проникают во вторую среду, где ча-
стично поглощаются, частично же проходят
её насквозь.
Отражение (преломление) называют пра-
вильным, если падающий и отражённый (пре-
ломлённый) лучи лежат в одной плоскости
с нормалью к поверхности раздела двух сред,
а поверхности, дающие такое отражение (пре-
ломление), называют абсолютно ровными. Отра-
жение (преломление) называют диффузным,


500
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
Таблица 62
Классификация электромагнитных колебаний
Наименование волн
Космические и гамма-лучи .
Лучи Рентгена ......
Ультрафиолетовые лучи (хи-
мические лучи) ........
Видимые (световые) лучи . .
Инфракрасные (тепловые)
лучи .............
Электромагнитные волны .
Длина волн
,
*. = o,i до ю А
10 — 20О А
о
2ОО А — О,4 МК **
о,4 — 0,76 мк
0,76 — 4оо мк
0,4 мм — х км
* А — единица измерения длины волны, ангстрем,
рапная 10 ~~ ''мм.
** мк — микрон, равный 10 ~ ^ мм.
если падающие лучи, отражаясь (преломляясь),
расщепляются и идут во всевозможных напра-
влениях; такое отражение дают шероховатые
поверхности.
Гладкую поверхность, полностью отража-
ющую все падающие на неё лучи, называют
зеркальной; шероховатую поверхность, пол-
ностью и равномерно отражающую все падаю-
щие лучи, называют белой (абсолютно); шеро-
ховатую, полностью пропускающую все пада-
ющие на неё лучи, поверхность называют абсо-
лютно чёрной; тело, полностью поглощающее
все падающие на него лучи, называют абсо-
лютно чёрным.
где А — коэфициент поглощения, поглощатель-
ная способность тела, доля излучения, погло-
щаемая телом; R — коэфициент отражения,
отражательная способность тела, доля излуче-
ния, отражаемая телом; D — коэфициент про-
ницаемости, пропускная способность, доля из-
лучения, проникающая сквозь тело.
Для абсолютно чёрного тела А — 1, для
абсолютно белой поверхности R = 1.
Приведённые коэфициенты (способности)
зависят не только от природы тела, но и от
вида лучей (длины волны X), поэтому соотно-
шение Лх -f- /?x + D\ = 1 Дает указание на
свойства тела по отношению к монохромати-
ческому пучку (у которого длина волн в диа-
пазоне от X до X + ^Х); соотношение
А 4- R -{- D = 1 имеет смысл по отношению
к интегральному (полному) излучению, охва-
тывающему волны всех длин.
Если D = 0, тело непроницаемо для излу-
чения и А -}- R — 1; если D = 1, среда про-
пускает излучение полностью, она диатермична.
Лучеиспускательную способность тела для
интервала длин волн от X до X -+ rfX, т. е. ко-
личество энергии монохроматического излуче-
ния с единицы поверхности в единицу време-
Г ккал 
ни ^х u^.vnr определяют из выражения
=Л -А
ность излучения.
ккал
]
\ ~
интенсив-
Излучение абсолютно чёрного тела
Интенсивность излучения любого тела
J\ = f(T,h). Закон Планка A902 г.) устана-
вливает вид функции / для абсолютно чёрного
тела (индекс
ное тело).
указание на абсолютно чёр-
, -5
\Т
е —\
LKKCLA |
м^-час \ '
где Т — °абс; X — в м ;
(см. фиг. 55).
Абсолютно чёрное тело испускает лучи
всех длин волн от X = 0 до X = со при всех
1 2 3 4 5\ |б 7 8 9 т
^г*"
———8--л Длина 8олны\
Фиг. Б5.
температурах, отличных от абсолютного нуля:
при данной температуре интенсивность излуче-
ния его больше интенсивности излучения любо-
го другого реального тела в тех же условиях.
При малых значениях \-Т по закону излу-
чения Вина:
при е т :> 100 ошибка по формуле 3>'1%.
При больших Х- Т применим закон Рэлея
Джинса:
А,,
•Т.
Закон смещения Вина устанавливает связь
между длиной волны Хот, отвечающей макси-
мальному значению интенсивности излучения,
и температурой (при повышении температуры
в диаграмме y=^J^s, х — К максимумы изо-
терм функции Jl>s — / fX, Т) смещаются в сто-
рону уменьшения X (см. фиг. 55):
Xm-/*=2,9 мм °К.
Закон Стефана—Больтцмана, установленный
Стефаном A879 г.) экспериментально, Больтц-
маном A884 г.) теоретически, даёт интеграль-
ную, полную лучеиспускательную способность
абсолютно чёрного тела:
где Оу или cs — коэфициент излучения.
ккал


ГЛ. V]
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
501
Излучение серых тел. Излучение серого
тела характеризуется, как и излучение абсо-
лютно чёрного тела, волнами всех длин, от
А = 0 до \ — ос . Спектр излучения и здесь
непрерывен; однако в сравнении с чёрным те-
лом интенсивность излучения серого тела для
каждой длины волны понижена при всех тем-
пературах; если J^ — интенсивность излучения
X
серого тела, то —.— = е, где е < 1 степень
J\s
черноты серого тела, не зависящая ни от
длины волны, ни от температуры.
К серым телам применим закон Стефана —
Больтцмана:
р —
х= о
Продолжение табл. 63
где а и с — коэфициенты излучения с =
ккал . .. ~0.
г——т (см. табл. 63).
К v
м^-час
100
Таблица 63
Степень черноты полного нормального излучения
различных поверхностей
(по Hottel [42])
Поверхность
А. Металлы
Алюминий
Тщательно полированная
пластина, чистого металла
98,3»/0 ...........
Полированная пластина .
Шероховатая пластина .
Окисленный при 600° С .
Кровельный материал,
крытый алюминием . . .
Поверхности, обработан-
ные алюминием, при на-
греве до 600° С:
медь .........
сталь .........
Вольфрам
Нить, бывшая в употреб-
лении ...........
Нить ..........
Железо и сталь
Металлические поверх-
ности (или с очень тон-
ким слоем окисла)
Железо электролитное,
тщательно полированное .
Железо полированное .
То же свежеобработан-
ное наждаком ......
Чугун полированный . .
Железо сварочное, тща-
тельно полированное . .
Чугун свежеобточенный
Стальное литьё полиро-
ванное ..........
Сталь листовая шлифо-
ванная ..........
Железо листовое глад-
кое ............
Чугун обточенный . . .
Окисленные поверхности
Железная пластина, тра-
вленая и потом докрасна
заржавевшая ......,:
°С
и их окисл
225- 575
23
26
20О — боо
13
200 — боо
2ОО — 000
25—3300
33°о
!75— 225
425 — IO2O
2О
300
40— 250
22
77° — 1040
94<э — иоо
goo — 1040
8з°— 99°
20
ел
ы
°. 039—0.057
0,040
0,055
о, и— о, IQ
O,2l6
0,18 — 0,19
0.52—0,57
0,032—0,35
0,39
0,052 — 0,074
0,144—0,37?
0,242
0,21
0,28
0,435
0,52 — 0,56
0,52 — 0,61
0,55— о.6°
о,6о — 0,70
О,6[2
Поверхность
То же, но совершенно за
ржавевшая .......
Сталь листовая прока-
танная .........
Железо окисленное . .
Чугун, окисленный при
600° С .........
Сталь, окисленная при
600° С .........
Железо электролитное,
окисленное, гладкое . .
Окись железа .....
Железо литое необрабо
тайное .........
Сталь листовая с значи-
тельным шероховатым сло-
ем окиси ...... -
Сталь листовая с плот-
ным блестящим слоем оки-
си .............
Пластина литая гладкая
То же шероховатая . .
Чугун шероховатый,
сильно окисленный ....
Железо сварочное, окис-
ленное, тусклое ......
Пластина стальная ше-
роховатая ... ......
Сплавы стальные высо-
котемпературные (см,
Сплавы никеля)
Расплавленный металл
Чугун расплавленный .
Сталь мягкая распла-
вленная ..........
Золото
Чистое, тщательно поли-
Латунь
Тщательно полирован-
ная, состав по весу: 73,2%
Си; 26,7% Zn; ......
62,4% Си; 36,8 «Zn; 0,4% Pb;
0,3% Al; 82,9% Си; 17,0% Zn
Прокатанная в твёрдом
состоянии, полированная,
но притом:
а) направление поли-
оовки заметно ......
б) со слегка нарушен-
ной полировкой .....
в) со следами оставше-
гося от полировки стеа-
рина ...........
Полированная .....
Пластина прокатанная:
а) с естественной по-
верхностью .......
б) тёртая грубым на-
ждаком .........
Пластина тусклая ....
Окисленная при нагреве
до 600' С .........
Медь
Тщательно полированная,
электролитная ......
Торговая шлифованная,
полированная, но с остав-
Шабрёная до блеска, но
не зеркальная ......
Полированная ......
Пластина, предваритель-
но нагретая до 600° С ...
Окись меди .......
Пластина, продолжи-
тельно нагревавшаяся, по-
крытая толстым слоем окиси
Расплавленная .....
Молибденовая нить . . .
Никель
Нанесённый гальвано-
пластическим способом нл
полированное железо и за-
тем полированный . . .
°С
2О
20
100
2ОО — боо
абоо — боо
125— 5^5
50О — 1200
925—1115
=5
25
23
23
40— 250
2О — 3°°
40— 370
1300 — 1400
l6oo — 1800
225— 625
245— 355
255- 375
275
20
23
24
40— 315
22
22
5° — 35о
200 — боо
8о
20
22

2ОО — ООО
8оо — иоо
25
Ю75— 1275
725—2600
23
е«
о,685
0,057
о,73б
0,64—0,78
о,79
0,78—0,82
0,85—0,89
0,87—0,95
о,8о
о,8а
о,8о
0,82
о,95
о,94
0,94—0,97
°>29 — 0.29
0,28—0,28
o,oi8 — 0,035
0,028 — 0,031
0,0388—0,037
0,030
0,038
0,043
0,053
0,096
0,06
0,20
0,22
0,6l — О,59
O,Ol8
0,030
0,072
0,023
0.57—0,57
0,66 — 0,54
0,78
0,16 — 0,13
0,096 — 0,292
0,045


502
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
Продолжение табл. 63
Продолжение табл. 63
Поверхность
Технически чистый (98,9%
Ni по весу + Мп), полиро-
Никелированное травле-
ное железо, неполиро-
Проволока .......
Пластина, окисленная
при нагреве до 600° С ...
Окись никеля ......
Сплавы никеля
Ni — Си, окисленный
при 600° С ........
Cr-Ni (повесу 18-32%
Ni, 55—68% Си, 20% Zn),
окисленный, серый ....
Сплав со сталью (8Н Ni
18% Сг), слегка серебри-
стый, шероховатый, корич-
невый после нагревания .
То же после 24-часово-
го нагрева при 525° С . . .
Сплав B0% Ni, 25% Сг),
бурый, загрязнённый, окис-
ленный от времени ....
Сплав F0% Ni, 12% Сг),
гладкий, чёрный, с проч-
ной окисной оболочкой от
времени .........
Олово, блестящее лужё-
ное листовое железо . . .
Платина
Чистая полированная
пластина .........
Нить ..........
Проволока .......
Ртуть, очень чистая .
Свинец
Чистый (99,96%), не окис-
Серый, окисленный . . .
Окисленный при 200° С .
Серебро
Полированное, чистое .
Сталь, см. Железо
Танталовая нить .
Хром, см. в „Сплавах
: никеля" никельхромовую
сталь
Цинк
Продажный (99,1%), по-
Окислённый при нагре-
ве до 400е' С ........
Оцинкованное листовое
железо
а) очень блестящее . .
б) серое, окисленное .
Б. Огнеупорные, стро
и другие
Асбестовый крртон . . .
Асбестовая бумага . . .
Бумага тонкая
Наклеенная на лужёную
железную пластину . . .
Наклеенная на шерохо-
ватую железную пластину
Наклеенная на лакиро-
ванную чёрным пластину .
Вода ..........
Гипс, слой толщиной
0.5 мм на гладкой или за-
чернённой плгстрне . . .
Дуб строгяный ....
К в а р ц плавленый,
шероховатый .......
°С
225— 375
20
185 — looo
2ОО — 6оО
650—1255
20О — боО
SO
215— 490
215— 525
215— 525
270— 560
25
225— 625
925—1115
25 — 1230
225-1375
0— 100
125- 225
24
2ОО
225— 625
38— 37°
1325—2525
225- 325
4оо
28
24
ительные, к
материалы
24
АО— 37°
19
19
J9
О— 100
2О
2О
2О
Ел
0,07—0,087
О, II
0,096 — o,i86
0,37—0,48
0,59—0,86
0,41 — 0,46
0,262
0,44—0,36
0,62 — 0,73
0,90 — 0,97
0,89 — 0,82
0,043 — 0,064
0,054 — 0,104
0,12 — 0,17
0,036—0,192
0,073 — 0,182
0,09 — 0,12
°,°57— °.°75
o,i8i
0,63
0,0108 — 0,0324
0,0221 — 0,0312
ОДЭЗ— 0,3*
0,045—0,053
о,и
0,228
0,276
расильные
о,д6
о,93-о,945
°,924
0,929
0,944
0,95—0,963
0,403
0,895
0,932
Поверхность
Кирпич
Красный шероховатый,
но без больших неровно-
стей ...........
Динасовый глазурован-
ный, шероховатый ....
Динасовый неглазуро-
ванный, шероховатый . .
Шамотный глазурован-
Огнеупорный, см. ниже
Огнеупоры
Краски, лаки
Белоснежный эмалевый
лак на шероховатой же-
лезной пластине .....
Чёрный блестящий ля к,
распылённый по железу .
Чёрный блестящий шел-
лак на лужёном листовом
железе ..........
Черно-матовый шеллак .
Чёрный лак ......
Матовый чёрный лак . .
Белый лак .......
Масляные краски, 16
различных красок всех
цветов ..........
Алюминиевые
краски и лаки
10% А1, 22% лака по ше-
роховатой или гладкой по-
верхности .........
2П% А1, 27% лака по
гладкой или шероховатой
поверхности Г ......
Другие алюминиевые
краски разной давности и
с переменным содержани-
ем А1 ...........
Алюминиевый лак по
шероховатой пластине . .
Алюминиевая краска
после нагрева до 325° С .
Масло смазочное.
слоем, по полиро-
ванному никелю
Чистая полированная по-
верхность ........
Слой масла 0,025 мм . .
То же 0,05 мм ....
. „ 0,125 „ ....
Масло льняное на
алюминиевой
фольге
Алюминиевая фольга
(без масла) ........
То же с 1 слоем масла .
„ „ „ 2 слоями „
Мрамор сероватый,
Огнеупоры, 40 раз-
личных материалов:. .
слабые излучатели . .
хорошие излучатели .
Резина
Твёрдая, лощёная пла-
стина ...........
Мягкая, серая, шерохо-
ватая (рафинированная) . .
°С
2О
IIOO
IOOO
IIOO
23
25
21
75- 145
40— 95
4° — 95
40— 95
IOO
IOO
IOO
IOO
20
150- 315
20
20
20
20
20
IOO
IOO
IOO
22
600 — looo
-
-
23
24
•-
°,93
0,85
0,80
0,75
0,906
0,875
0,821
0,91
0,80 — 0,95
0,86—0,98
0,80-0,95
0,92—0,96
0,53
0,3
0,27—0,67
°,39
o,35
0,045
0,27
0,46
0,72
0,82
0,087 *
0,561
o,574
0,931
--
| 0,65—0,75
\ 0,75
f 0,80—0,85
\ 0,85—0,90
o,945
0,859
* Хотя это значение слишком велико, оно приводится
для сравнения с данным для слоев масла на алюминиевой
фольге. Для полированного алюминия рекомендуется при-
нимать 0,04.


гл. V)
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
503
Продолжение табл. 63
Поверхность
Серпентин (мине-
рал), полированный ....
Стекло гладкое . . .
Толь .........
Углерод
Очищенный уголь @,9%
золы) ...........
Угольная нить ....
Свечная копоть ....
Обмазка из жидко-о
стекла с ламповой сажей .
То же .........
То же тонкий слой на
железной пластине ....
То же толстая оболочка
Ламповая сажа 0,075 мм
и толще ..........
Фарфор глазурован-
ный ............
Штукатурка ше-
роховатая известковая . .
Эмаль белая, при-
плавленная к железу . . .
°С
23
22
21
125— б25
1040 — 1405
95— 27о
юо — 185
125- 225
20
2О
40— 370
22
ю— 83
»
еп
о,доо
о,937
o,gi
o,8i — 0,79
0,526
о,952
0,959—0.947
о.957—0.952
0,927
0,967
0,945
0,924
0,01
0,897
Полусферическое
в полупространство:
излучение, излучение
Большинство технических твёрдых тел до-
статочно близко подходит под понятие серого
те-jia; коэфициент излучения их зависит не
только от природы тела, но и от состояния
поверхности. Отклонение от закона (зависи-
мость с от температуры) учитывается обычно
ссылкой на интервал температур, для которого
найдено значение с.
Закон Кирхгофа устанавливает при оди-
наковой температуре соотношение между лу-
чеиспускательной Е и поглощательной А спо-
собностями данного и абсолютно чёрного тел:
loo
Этот закон утверждает независимость отно-
шения лучеиспускательной способности к по-
глощательной от природы тела.
Теплообмен излучением между твёр-
дыми телами. Энергия излучения dQ^ испу-
скаемого площадкой dF на площадку dF'>
внутри элементарного телесного угла d Q:
dQx =?x .dF-cosydQ =
=s Д .rfx -cos tf-dF-dQ — излучение диффуз-
ное.
Л зависит только от Т и A; rfQx счи-
тается пропорцио-
нальным лучеиспуска-
тельной способности
?х = JK-d А,простран-
ственному углу dQ и
видимой из точки В
величине излучающей
поверхности cos cp-dp
(см. фиг. 56).
Фиг. 56.
Пространственный угол
dF'
dQ, = —— — siny-dy-d'L,
где угол <р, полюсное расстояние, равен раз-
ности между 90° и географической широтой;
угол К. — географическая долгота.
Т 2к
Q\= АА dp fsln <p-cos <p.rf -f Г Л = и .?г dF
о о
Нормальное излучение, т. е. излучение
в направлении нормали к dF (ср — 0), отнесён
ное к единице пространственного угла:
Теплообмен излучением между поверх-
ностями твёрдых тел, разделённых непо-
глощающей средой. Расчётная формула:
Г/ Т, \4 / Т \4Т
л— 4Q.F (_1_Г— 1~^-Г1 A-Е'
у _ 4,у г |д шо j \ ню ; ] * ?'
где Q — результативный расход теплоты
в ккал/час', F — площадь одной из поверхно-
стей в л2 с соответственным частному случаю
подстрочным индексом 1 или 2; ф — угловой
коэфициент, учитывающий средний угол, под
которым одна поверхность видит другую;
е' — приведённая степень черноты, являющаяся
функцией от индивидуальных степеней черноты
поверхностей (см. табл. 64).
Защита от излучения экранами. Экран —
обычно металлический лист, установленный
между двумя стенками, участвующими в тепло-
обмене излучением, их температуры Т\ и 72;
Т\ > Т%; расстояние между стенками достаточно
мало по отношению к размерам стенок, чтобы
можно было пренебречь потерями от рассеи-
вания энергии в боковых направлениях. Тем-
пература на обеих поверхностях экрана Т9
При решении предполагается, что температура
экрана с момента установки его начинает расти
до некоторого значения Тд , далее она остаётся
неизменной, а следовательно, экран перестаёт
аккумулировать теплоту и должен далее всю
воспринятую от поверхности / теплоту пере-
дать поверхности //.
Первый случай. Коэфициенты излу-
чения стенки /, стенки 2 и экрана равны между
собою:
Приведённые коэфициенты излучения будут:
1
Количество теплоты, отдаваемое единицей по-
верхности в единицу времени при отсутствии
экрана:
1 I / ^О,4 (][z_\* } I ккал
Л 100
1
100
}
то же при наличии экрана и при установив-
шемся режиме температур:
с сх
= Л
<p-sin 'f
_----
\№ ~ 2 \\100/ UOO


504
ТЕПЛОТА
[РАЗД. 1
Таблица 64
Множители в формуле лучеиспускания между твёрдыми телами (по Hottel) [42]
Я
у
Ч
и
1
2
3
4
5
Конфигурация поверхностей,
между которыми происходит
теплообмен лучеиспусканием
Бесконечные параллельные
пластины
Малое тело, заключённое
внутри полностью охватыва-
ющего его большого тела (ин-
декс 1 относится к внутрен-
нему телу)
Тело, заключённое внутри
полностью охватывающего его
большого тела величины од-
ного с ним порядка (индекс 1
относится к внутреннему телу)
Промежуточный случай ме-
жду 2 и 3 (не поддаётся точ-
ному учёту за исключением
тел особой формы)
Концентрические шары или
бесконечные цилиндры, осо-
бый вид случая 4 (индексы 1
относятся к внутренним те-
лам, 2 — к объемлющим)
и*,
/ц И
Is
Любая
/=,
Р,
Л
Л
m
о
*-*•
Is
См _,
0 S
* я
u S
>>•&
1
1
1
1
1
Приведённая степень
черноты е'
1
-±4- ' 1
. т^ . 1
»1 =3
«1
1
с - .' > 1
1
*1 * 9 V еа /
1
ИЛИ •: ————— ; ——————
1 1 1 __ 1
«1 ~ «1
(см. примечание 2)
Примечания
1. Если в формуле употреб-
ляется площадь FI, то поверх-
ность внутреннего тела не должна
иметь отрицательной кривизны.
В случае же наличия таковой
надо, определяя ft, мысленно
перекрыть все углубления в по-,
верхности плоскостями, которым
присвоить степень черноты, по-
вышенную (более близкую к еди-
нице) сравнительно е, в прямой
зависимости от глубины вогнуто-
стей.
2. Первая форма получается,
если принимать отражение пол-
ностью рассеянным, вторая же
получается при идеально зер-
кальном отражении. Истинное
значение ближе к первой форме,
чем ко второй.
Более сложные случаи см. [42].
т. е. установка одного экрана снижает тепло-
передачу в 2 раза. Если qn — теплопередача
при п поставленных друг за другом экранах,
то
1
Второй случай, с^ = с2 = с; сэ ф с.
Приведённые коэфициенты излучения
1 1
! 1
IOD
TOO/ VIQO; [•
-(Щ
100
?0
1 //М4 fM4
2
с
= Чс
1
с*
>-2 =
A
1
2
llUO/ \10б/
2 1
Г Г
С и^у
1,1 1
г '
"?0-
Излучение газов. Газы обладают селек-
тивной поглощательной способностью, а сле-
довательно, и селективной испускательной
способностью; у твёрдых тел поглощение про-
исходит в тонком поверхностном слое, у газов
за счёт большей прозрачности для тепловых
лучей следует учитывать объёмное поглоще-
ние.
Поглощательная способность Лх по отноше-
нию к волнам длиною от X до X 4- d \ для газа
сложная функция от А.; она зависит не только
от свойств среды (газа), но и от формы и
размера газового тела.
В объёме газового тела в зависимости от
давления содержится различное число молекул,
поэтому поглощение газовым объёмом луча,
проникающего на глубину s (зависящую от
формы и размера), будет зависеть не только
от глубины проникновения, но и от давления
газа; так как обычно приходится иметь дело
с газовыми объёмами, заполненными смесями
газов, то, говоря о поглощении каким-либо
компонентом смеси, считают А^ зависящим от
р
произведения s • -—•, где р — парциальное
давление компонента; Р—давление смеси газов.
Энергия излучения, испускаемого газовым
телом:
х+дх х + дх
подсчёт по этой формуле должен быть произ-
ведён для каждой полосы поглощения; сумми-
рование всех этих величин даст полное излу-
чение газового тела.
Газы с симметричным строением молекул
(водород, кислород, азот и др.) не обнаружи-
вают полос поглощения, достаточных для учёта
их при встречающихся в технике температу-
рах; окись углерода, углеводороды, водяной
пар, углекислота, сернистый ангидрид, аммиак,
хлористый водород имеют полосы поглощения,
достаточно развитые.
По Шаку [49] лучеиспускание углекислоты
и водяного пара в топочных газах учиты-
вается формулами:


ГЛ. V]
ТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ И ПАРОВ
505
Для углекислоты:
Для водяного пара:
_ С? _ JL
q ~~ F ~ 4,95
/
.,J. 1-
-ЦI ——
16г х
1—g
80c
Т 80с
Здесь c — p-s (формула действительна при
с>0,01);/7—парциальное давление СО2 (в am);
s — толщина в м лучеиспускающего слоя то-
почных газов над лучевоспринимающей по-
верхностью F в л*2.
Величины k выражают лучеиспускание от-
дельных полос поглощения бесконечно тол-
стого слоя углекислоты (берутся из табл. 65).
Таблица 65
Уменьшенное лучеиспускание бесконечно
толстого слоя углекислоты [49]
«
0.
H
M
a
CJ
^ О
~ с
H со
200
300
400
500
600
700
800
000
IOOO
IIOO
1200
1300
I4CO
1500
l6oO
1700
I800
1900
2OOO
полоса /
клал
1 м* • час
o,~4.io»
0,05 io3
0,15 ю3
0,24 io3
0,96 io3
1,9 io3
3,2 1C3
4,8 io»
6,8 io3
9,3 io3
12,3 IO3
15,6 io»
19,2 io3
23 io3
28 10»
33 ю3
38 io'
44 io*
51 io3
Лучеиспускани
полоса 2
ккал
3 м* • час
0,07 • ю3
о, 24 • io»
0,52 • ю»
0,95 • ю3
1,6 • 10»
2,4 • Ю3
3-3 • 1°а
4,3 • ю3
5,5 • ю3
6,8 • ю»
8,2 • 10»
9,7 • ю3
11,2 • I03
12,9 • I0'
14,6 • io3
16,6 • ю»
18,7 • I о3
21, 0 • 10»
24 • io»
е
полоса 3
, ккал
ka В — ———
л' • час
0,23 Ю3
0,36 ю3
0,50 то3
0,65 io»
о, 79 1оЭ
о, до ю»
I , I Ю3
1,3 ю3
1,4 io3
М,6 10»
1,9 ю»
2,1 Ю3
2,4 Ю3
2,7 ю»
З.о ю3
3.4 ю3
3-8 ю3
4,2 ю»
4-5 ю»
k берётся по температуре газа; k' — по тем-
пе >атуре лучевоспринимающей поверхности;
*~ ккал ~\
2 / ^К V — коэфициент излучения лу-
V100/J
чевоспринимающей поверхности; коэфициенты
9 — поправочные, зависят от с и формы газо-
вого тела: для округлённых коротких форм
(куб, шар) 9 = 0,7 — 0,8, для плоских, вытяну-
тых форм 9 = 1,1—1,0; первые значения соот-
ветствуют малым с, вторые — большим; при
с > 0,5 все значения 9 равны 1; 93 должно быть
ближе к 1, чем 91; практически разница между
9i и 9з в большинстве случаев незначительна;
при с < 0,01 и при СО2 < 20/0 применяется фор-
мула:
q = Q-=.cj^b.-
4 F 4,95 L
16с
1__е-ШОс
1800с-
1-е'
!
0,34 / -
1—
—45с
45с
— значения 9 оцениваются так же, как и для
углекислоты; лучеиспускания отдельных полос
водяного пара W\, Wz, Ws берутся из та-
блицы по температуре газа; У^', W2', Wz'—то
же, но по температуре лучевоспринимающей
поверхности (см. табл. 66].
Таблица 66
Лучеиспускание бесконечно толстого слоя
водяного пара
0.
и
о,
<ы
|и
tL> °
Н и
200
Зоо
4оо
5°°
боо
700
8оо
900
IOOO
IIOO
1200
1300
I4OO
1500
IOOO
I7OO
1800
1900
2ООО
полоса /
2,24—3,27 ц.
ккал
м3 • час
О,О2 • Ю3
0,25 • ю3
0,85 • io3
3,5 • ю»
5,о • ю»
9,4 • ю»
15.3 • ю»
23,5 • ю3
33,8 • io3
46 • ю3
6l • Ю3
78 • ю3
97 • ю3
И7 • ю»
138 • io»
i6i • ю3
185 ' ю»
211 • IO»
239 • ю1
Лучеиспускани
полоса 2
4,8-8,5 ц
ккал
МЛ, В — : —————
л3 • час
о,д6 ю3
2,2 Ю3
3,9 ю3
6,1 I03
9,о ю»
12,2 10*
15,8 ю3
19,6 то3
23,3 Юа
27,2 I03
3L4 ю3
35-6 1о3
4o,i io»
44,6 ю3
49>4 ю»
51-4 ю3
59.5 ю"
64,9 ю»
71 io»
е
полоса 3
12-25 и-
ккал
3 м* • час
3
0,9 ю3
1,3 I03
1,4 ю3
i,7 io3
2,0 I03
2,35 ю»
2,7 ю3
З.о ю3
3,4 ю3
3-7 ю3
4,1 1о3
4.5 io3
4,9 1о3
5,3 ю3
5,8 io3
6,2 IO3
6,7 io3
7,1 io3
В работах Шака для пользования приве-
дёнными формулами даются графики, об-
легчающие расчёты. Другие методы расчёта
излучения несветящимися газами см. [38], [39],
[42J, [47].
Исходными уравнениями для анализа явле-
ний течения газов и паров служат:
Коэфитщент 92 принимают равным cpi-
— уравнение первого начала термодинамики
для течения сплошной среды по каналу <см.
первое начало термодинамики).
2. Для случая установившегося течения,
когда в единицу времени через любое сечение
трубы проходит неизменное по времени по-


506
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
стоянное весовое количество среды, уравнение
непрерывности:
/iWi fyWa fw . dv df , aw
——- = -^—=, — = const или — = —— -4- ——,
Vi V% V V f W
где /, /i, /2— сечения трубы в л/2; w, o»j, ш2 —
скорости в м/сек; v, Vj, щ — удельные объёмы
в м^кг.
3. Связь между объёмом, давлением и ско-
ростью:
При рассмотрении обычных случаев тече-
ния по трубам принимают его адиабатным
(dq = 0), пренебрегают изменением внешней
потенциальной энергии потока за счёт обыч-
но малых перемещений по высоте центра тя-
жести его (dh. — 0) и полагают работу dlT рав-
ной нулю, считая стенки канала неподвиж-
ными. В этих условиях уравнение первого на-
чала принимает вид:
Соотношения между параметрами
движущейся среды и сечением трубы
1. Капельные жидкости (v = — — const);
wl irj T
tlWl = /2ш2, -—- — —— *=v(Pl—pz\ т. е.
увеличение скорости
может иметь место
лишь при падении да-
вления и уменьшении
сечений трубы в на-
правлении движения
ЖИДКОСТИ.
2. Упругие жид-
кости (газы и пары).
Течение при ма-
лых изменениях
.
plf«=C008t
Фиг. 57.
давления. Пренебрегают изменением удель-
ного объёма (.веса), т. е. принимают v —
— — = const и соотношения для капельных
Т
жидкостей. 2 . 2
W
Приближённый подсчёт
заме-
(р-Др)
ной точного значения этой разности J — vdp
р
приближённым значением v-bp (фиг. 57) при-
водит в предположении адиабатности расши-
рения к относительной ошибке:
где к — показатель адиабаты.
Задаваясь значениями В, /г, /7, определяют
падение давления Д/?, в пределах которого
подсчёт по приближённой формуле допустим.
Течение при больших измене-
ниях давления. Из уравнения непрерыв-
Таким образом ввиду переменности удельного
объёма вопрос, будет ли сечение 2, взятое в
направлении движения потока, больше или
меньше исходного сечения /, решается в за-
висимости от того, будет ли отношение
больше или меньше единицы.
Дальнейшее исследование вопроса опи-
рается на анализ уравнения непрерывности
df dv dw
—- = — — — —, которое в сочетании с усло-
f v w' F J
вием адиабатности течения -~ = — k — и
dv v
уравнением -^— = — vdp приводится к виду:
df _ gkpv — W2 dp
f ~~ k-w'* p
(I)
Скорость звука ws в среде с давлением р
и удельным объёмом v подсчитывается по
выражению ws = Y gkpv ; поэтому в приве-
дённой выше формуле (I) gkpv равно квадрату
скорости звука, w"j = gkpv.
Течение с ускорением:
т. е.
dp < 0 и <0.
Из уравнения (I) в этих условиях следует,
df ,
что знак у —т- определится тем, будет ли
xkpv больше или меньше к;2; при gkpv^w3,
что равносильно условию ws > w, т. е. когда
течение по трубе осуществляется со скоро-
df .л
стью, меньшей скорости звука, — <. 0; таким
образом в этом случае ускорение потока до-
стигается за счёт уменьшения сечения трубы в
направлении движения потока. Скорости wt
меньшие скорости звука, называют подкрйти-
ческими. При g?pv<^w-, что равносильно ус-
ловию ws <^ w, т. е. когда течение по трубе
совершав гея со скоростью, большей скорости
звука, -^ > 0; таким образом,' при скоростях
течения, превышающих скорость звука, уско-
рение потока достижимо при .увеличении се-
чений трубы в направлении движения потока;
скорости потока, превышающие скорость зву-
ка, называют надкритическими. Движение по-
тока с ускорением, начавшееся с подкрити-
ческой скоростью, может перейти в некото-
рых условиях в движение со скоростями
надкритическими, пройдя через значение ско-
рости потока
, ,.
ности для упругой жидкости /а — Л
где Wk — критическая скорость;
при этом по уравнению (I) у: = 0 и сечение
трубы, в котором достигается критическая
скорость, будет минимальным. Изменения р,
f, w даются схемой (фиг. 58).


ГЛ. V]
ТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ И ПАРОВ
507
Течение с замедлением:
Критическая скорость в минимальном се-
чении:
, ^ ~ dp ^
т. е. мы должны иметь ар ;> 0 и —_
Уравнение (I) даёт: если да2 :> gkpv, т. е.
w ^> wk = ws (течение в надкритической об-
ласти), то -—- < 0, — замедление потока дости-
гается при уменьшении сечений трубы в на-
правлении движения потока; наоборот, при
w'*<^gkpv, т. е. w <^ Wfc =• ws (в подкрити-
ческой области), -j- >0 — замедление потока
Т/ h k—\
Степень сужения трубы при получении в
минимальном сечении fm,k критической ско-
рости:
/О
k— 1
2 2 (ft_i
,
'
Расход газа через сужающуюся трубу:
Pm
Po
вызывается увеличением сечений трубы. Пе-
реход из надкритической области в подкрити-
ЛодЬрити-
Hadhpuma- flodkpumu-
veckaa veckaa
область обпасто
направление ЗвиЖгния
потопа
Фиг. 58.
Направление дбаЖения
nomoka
Фиг. 59.
ческую может осуществиться в некоторых
условиях в наименьшем сечении fm, где по
уравнению (I) -^— = 0 при w = wk = ws
(фиг. 59).
Наиболее общей задачей, охватывающей
различные условия течения, является задача
о течении по трубе переменного сечения с
наличием в ней минимального сечения /от.
d™2
~ = — vdp в
предположении, что поток находится в адиа-
батных условиях (уравнение pvk = const), обо-
значая величины, относящиеся к начальному
сечению трубы, индексом 0, относящиеся к
минимальному сечению — индексом /я, полу-
чаем скорость потока в минимальном сечении:
ft—1
Условие для достижения скоростью крити-
ческого значения:
k
2 U-
*nl
\k+l
где WS,Q — скорость звука в среде с параме-
трами р^ и VQ в начальном сечении:
-*-
k—\
Яо \\Рт \к — \Рт
Расход газа через сужающуюся трубу при
достижении в сечении /т,л критической ско-
рости wm,k:
Истечение газов и паров из резервуаров
неограниченной и ограниченной ёмкостей
Истечение конечных количеств пара или
газа из резервуара неограниченной ёмкости
не может изменить в таком резервуаре на
конечную величину давление, температуру и
удельный объём; поэтому все случаи исте-
чения из ёмкостей, внутри которых, несмотря
на истечения из них, не меняются параметры
пара или газа, рассматриваются как случаи
истечения из резервуара неограниченной ём-
кости. Эти условия внутри резервуара могут
достигаться путём той или иной компенсации
расхода, например, непрерывным парообра-
зованием, идущим в котле.
Истечение, вызывающее изменение пара-
метров среды внутри резервуара, именуется
ниже истечением из резервуара ограниченной
ёмкости.
Истечение из резервуара еограничен-
ной ёмкости. Истечение происходит обычно
с такими скоростями, что возможно предпо-
ложить отсутствие теплообмена между исте-
кающей средой и стенками, образующими
короткий выходной канал, насадку, через ко-
торую осуществляется истечение.
Исходными уравнениями для определения
скорости служат (см. выше течение газов и
паров):
-vdp;
A)
B)
Уравнение A) в сочетании с условием адиа-
батности истечения pvk — const и принятием


ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
= 0 и выходной ско-
начальной скорости
рости wz — w даёт:
w —
где подстрочным индексом 1 отмечены состоя-
ния внутри резервуара, а индексом 2 — со-
стояния среды,в которую происходит истече-
ние.
Уравнение B) даёт:
D)
Секундный расход,' определяемый из усло-
„ fw
вия G — —— , находится по формуле:
* кг/сек, E)
где / [м?] — выходное сечение насадки.
Исследование приводит к двум случаям:
Истечение в подкритической области.
Определяется условием
где р2 ~ давление среды, в которую проис-
ходит истечение; /^ — давление среды, из ко-
торой происходит истечение; C — отношение
этих давлений; fa — критическое отношение
давлений.
k
2 I*7!
F)
Для двухатомных газов . . . i,4
„ перегретого пара ..... i,s
. сухого насыщенного пара . 1,135
. влажного насыщенного па-
ра со степенью сухости х
k = 1,035 + O.ljr
k + 1
0.528
0,546
°>577
k + 1
k -1
В рассматриваемом случае C^ <\ Р <С 1)
применимы для расчёта формул C) и E);
при одинаковых исходных условиях (pit V])
по мере уменьшения {3 и приближения его
значения к fa w и G растут;
fe
/ 2 \k-i
при Р — fa = ь -u 1
r \K-t-l
G)
В формулах G) и (8)
в зави-
симости от k принимает следующие значения:
k
,/ *
У*гТ+Т
Двухатомные газы ........... i,4 3,38
Перегретые пары ........... i,3 З'ЗЗ
Сухой насыщенный пар ....... 1,135 3,23
Значение fa может быть использовано
в двух направлениях:
во-первых, если задано давление внутри
резервуара pl и ставится вопрос, при каких
давлениях окружающей среды условия исте-
чения будут подкритическими, то из условия
р= fa имеем:
Р2 \ _ц _ о .
Pl jk k
это значение p-bk определит максимальное
значение давления окружающей среды, огра-
ничивающее подкритические условия, т. е. воз-
можные пределы р2:
во-вторых, если задано давление среды,
в которую происходит истечение р2, и ста-
вится вопрос о пределах р^ то из
имеем:
Рч .
= fa
это значение pi определит его верхний пре-
дел для подкритических условий истечения,
т. е. возможные пределы
В случае истечения при небольшой разности
Ръ
давлений, определяемой условием 0,9 <С! "J^C 1 •
можно пренебречь изменением удельного
объёма, что приводит к формулам:
w =
Р* \м!сек\;
= /
— />аУ [кг/сек].
— критическая скорость истечения;
Истечение в надкритической области.
Определяется условием
При истечении через цилиндрическую на-
садку в выходном сечении устанавливается
скорость
w --= wk = ]/ 2^ т-т
—~— \ ~ /О k Pi
k\\) 'У 2gk+-\i>-
— максимальный расход.
(8)
секундный расход


ГЛ. V]
ТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ И ПАРОВ
509
давление в выходном сечении превышает да-
вление окружающей среды и определяется из
условия
р\
P2k =
выходная скорость в этом случае находится
по уравнению:
При истечении в подкритической области,
(wi — 0, как начальная скорость, отвечающая
движению внутри резервуара), т. е. в насадке
совершается расширение лишь в пределах от
А Д° Ръ>ь дальнейшее падение давления в струе
(от /?2,ft до /»2) происходит уже по выходе из
насадки, не используется для превращения
потенциально
Ъ
§ г \
й энергии I — vdp в
j I
кине-
тическую энергию струи, а затрачивается на
потери при выходе. Использование всей по-
тенциальной энергии, отвечающей полному
расширению газа от pi до р.2, осуществляется
в насадке Лаваля, в которой за цилиндриче-
ской ч'асгью идёт расширяющаяся часть, со-
здающая условия для превращения потенциаль-
/?' \
ной энергии I j — vdp I в кинетическую.
VPs'fe /
Выходная скорость из насадки Лаваяя превы-
шает критическую и находится из уравнения C)
„ Ръ
по отношению давлении — для полного
Pi
перепада давлений (/?2 — давление окружающей
среды, pi — давление в резервуаре).
Секундный расход подсчитывается по урав-
нению (8), где, однако, / = /min — наименьшее
сечение насадки, а не выходное; по выходной
скорости (w^>Wk) на основании сплошности
потока расход может быть найден из выраже-
/2 ' w
ния Gmax = ~-^Г~ , гДе /2 M. w [м[ сек],
t'2 [л*3//сг] отнесены к выходному сечению.
Определение скорости истече-
ния по разности энтальпии ипо
диаграмме i — s. При пользовании форму-
лой D)
w =
~/2> = 91'531/1~/а
энтальпия /j берется по состоянию в резер-
вуаре; энтальпия /2 отвечает состоянию газа
или пара в сечении насадки, для которого
ищется скорость.
Если определяется скорость выхода из
насадки, то /2 отвечает состоянию в выходном
сечении (устье) насадки. Следовательно, в
предположении адиабатности процесса расши-
рения в насадке /2 берётся по состоянию, до-
стигаемому в результате адиабатного расши-
рения от начального состояния пара или газа,
определяемого параметрами в резервуаре, до
того давления, которое будет в выходном се-
чении (устье).
когда РА<~ <1,
при простой цилиндри-
ческой насадке в устье её устанавливается
давление окружающей среды р2- оно и опре-
деляет конец расширения и расчётное z'2 в
формуле D).
При истечении в надкритической области,
когда 0 <
при простой насадке
в устье её достигается лишь давление
= Pft-AJ P*k>P* и именно оно (р2,л) опре-
деляет конец расширения в насадке и расчёт-
ное /2' Для нахождения выходной скорости,
которая в этих условиях равна критической:
Фиг. 60.
w — Wk - 91,53 Yh — ''а-
При истечении
в надкритической
области через на-
садку Лаваля да-
вление Pbk~$k' Pi
создаётся в наи-
меньшем сечении
насадки; здесь ско-
рость достигнет
критического зна-
чения wk и опреде-
ляется по энталь-
пии г', отвечающей
2 _—-______
расширению до pa,k, W? = 91,53y/1 — i'2;
в выходном сечении, устье расширяющейся
части, давление будет равно р%, и оно опре-
делит конец расширения, расчётное значение
г'2 и выходную скорость w > w^ (w =
= 91,53"|A/j—г'2). Фиг. 60 даёт схему опреде-
ления расчётных /t и /2 по диаграмме i — s
для пара.
Истечение из резервуара ограниченной
ёмкости. В общем случае рассматривают за-
дачу об истечении из резервуара, в котором
за время истечения параметры начального со-
стояния р0, VQ, TQ меняются, приобретая теку-
щие значения />/, »/, 7$; предполагают, что
изменения состояния внутри резервуара под-
чинены условию р§Щт — piVim (щ, Vi — удель-
ные объёмы); при т = 1 — внутри резервуара
изотермическое расширение, интенсивный под-
вод теплоты к массе . газообразной среды
резервуара; при m — k—отсутствие тепло-
обмена.
Ёмкость самого резервуара и выходное се-
чение переменны по времени: У0 и V,- — началь-
ный объём резервуара и его текущее значение
в м%; /0 и fa — выходное сечение начальное и
его текущее значение в м\
Основное диференциальное уравнение, опи-
сывающее условия истечения из резервуара
ограниченной, переменной ёмкости через пе-
ременное выходное сечение:
т\Ро
—1
Ро
J_
2m


510
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
где:
/
-К
1
*+!
р2— давление среды, в которую происходит
истечение; t — время в сек.
Истечение из резервуара огра-
ниченной постоянной ёмкости 1/о
через постоянное сечение F. Исте-
чение в надкритической области. В этом
случае
Ро
_ f^T^i ^Ъ^-.
Уравнение (9) принимает вид:
l з
1 /рЛ 1т 2 /р^
(РО~) '( (РО
F
'•Vol'
Время, потребное для понижения давления
в резервуаре от начального /?0 до давления
Ра
от- 1
X
у>0*о L\PV
Р9
то же, но до давления р;,ь = -—=•:
ОТ — 1
X \(^
При изменении параметров внутри резерву-
ара по закону рр{ = рци0 (т = 1) время на
истечение для понижения давления до/>/
2,303
0
Истечение в подкрптической области.
В этом случае
Ро
Из уравнения (9) находим:
1 _ 3
1т ~'й
и время, необходимое для понижения давления
до Pi'.
.
Po
Здесь <Ь определяется уравнением A0).
В общем случае
Pi
I ——————;— • d(--\ находится графиче-
J m + l U''
ски, при некоторых частных значениях т —
аналитически [27], [71].
При 0,9 <— <1, т. е. при истечении под
влиянием малой разности давлений с некото-
рыми допущениями и в предположении, что
изменение параметров в резервуаре подчинено
условию p^Z'i == pQVo (т = 1), время для пони-
жения давления до />; (p2<C.Pi<^Po)
t =
2,303 У0
X
Vl/"l ^
-^ 1-
для полного выравнивания давления в резер-
вуаре с давлением окружающей среды, т. е.
При pi = /72'
2.303 Ур
fiF y^gj^v
18
А,
-,/ р2 '
г 1 Р»
Время на истечение, начавшееся в надкрити-
ческой области и заканчивающееся в подкри-
Рз
тической области @ <^ —-
понижается
On
или /»/ < •
зервуаре р0
& В*<^г<1
Р^, давление в ре-
до р^ причём
Ръ k
нахо-
дим путем суммирования времени на истече-
ние в надкритической области при понижении
Рч,
давления в резервуаре до p,-,k =
с време-
нем для понижения давления в подкритическои
области от р^ k до р^
Истечение из резервуара огра-
ниченной, переменной по времени
ёмкости через переменное по вре-
мени выходное сечение, а) При ис-
течении из резервуара постоянной ограничен-
ной ёмкости (V'a) через переменное по времени
сечение / фактором, определяющим падение
давления в резервуаре, служит произведение


ГЛ. V]
ТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ И ПАРОВ
511
f-dt — время — сечение [сек-м]', для опреде- ния сечения по времени, площадь под которой
до р^ должен даёт время — сечение.
Сочетание закона /=<р(') и формул для
U
\ f dt, вытекающих из уравнения (9), даёт ре-
i
ления понижения давления от
быть определён J fdt из уравнения (9):
fdt = —
тр.
fdt =
1 3
(Pl\2m ~ ~2
\PQ I
_L
ту. Т
) -
'
^ (PJ>\ s
PQ
m_-J P{
Чт
1
P2\
Pi'
m^+J.
2m
m— I
, 2m
m + 1
2m .
A2)
Правая часть последнего уравнения отличается
от таковой в уравнениях для нахождения вре-
мени, потребного на истечение, в изложенных
выше задачах при F — const лишь отсутствием
в ней постоянного множителя f. Исходя из
этого, следует, что все найденные выше вы-
ражения для определения времени истечения /
будут пригодны для нахождения времени
ря
сечения I f-dt, если в правую часть уравне-
ний не вводить множитель
при нахожде-
нии I* f-dt области истечения должны учи-ты-
*i
ваться согласно указаниям, данным выше.
Закон изменения сечения по времен4» /= ср A>
может быть задан или аналитически, или, как
это бывает чаще, графически — кривой измене-
шение вопроса о нахождении времени, необ-
ходимого для искомого понижения давления
в резервуаре, и обратно.
б) При истечении из резервуара ограничен-
ной переменной по времени ёмкости через пе-
ременное по времени сечение фактором, опре-
деляющим понижение давления в .резервуаре,
служит уже -у— • Решение диференциального
Ldt
V,
-г/- • нахождение
и истолкование этого параметра как
h '
расчётного обычно заменяют приближённым
решением, разбивая процесс на ряд элементов,
внутри которых ёмкость резервуара прини-
мают неизменной.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
Общие тепловые свойства
1. Бридж мен П. В., Физика высоких давлений,
М.-Л. 1935.
2. Г р е б е р Г. и Э р к С., Основы учения о тепло-
обмене, перев. с нем., М.—Л. 1936.
3. Клеменс-Шеффер, Теория теплоты, т. I
и II, М.-Л. 1933.
4. Основатели кинетической теории материи. Сбор-
ник статей под ред. А. К. Тимирязева, Л.—М. 1937.
5. Правила № 169 по измерению расхода жидкостей,
газов и пара, Главное управление мер и весов, Ката-
логиздат, М.—-Л. !938.
6. Р а к о в с к и И А. В., Введение в физическую
химию, ГОНТИ, М. 1938.
7. Тимирязев А. К., Кинетическая теория мате-
рии, Л.—М. 1933.
8. X в о л ь с о н О. Д., Курс физики, т. III, ГИЗ, 1923.
9. X ю т т е, Справочник, т. 1, М.—Л. 1936.
10. "Ш ю л е В., Новые таблицы и диаграммы для
технических топочных газов, перев. с нем., М. —Л. 1931.
11. В о 1 t z m а п п L., Vorlesungen iiber Oastheorie, 1, 11
Lpz. 1896.
12. С 1 a u s 1 u s R., AbhanJlungen uber die mechanische
Warmettieorie, 111, Die kinetische Theorie der Gase,
Braunschweig 1885—1891.
13. Handbuch der Experimentalphisik Bd. VHI, т. 1, Lpz.
1929.
14. J a g e r G., Die Fortschritte der kinetischen Gas-
theoris, 1906.
15. R о е b u с J. R., Proc. Amer. Acad., т. 60, 537,
1925; т. 64, 287, 1930.
16. Warmetechnische Richtwerte, herausgegeben von
F. Henning, VD1—Verlag. 1938.
17. Б р а н д т А. А., Основания термодинамики, М.—Л,
1923.
18. Быков Н. А., Термодинамика, М.—Л. 1928.
19. Второе начало термодинамики. Сборник работ
С. Карно, В. Томсона, Р. Клаузиуса, Л. Больтцмана.
М. Смолуховского, Л.~М. 1934.
20. Гиншельвуд Ч. Н., Термодинамика, перев.
М.—Л. 1933.
21. Г у г г е н г е и м Э. А., Современная термодина-
мика, изложенная по методу У. Гиббса, перев., М.—Л,
1941.
22. Жуковский, Техническая термодинамика,
М.—Л. 1940.
23. Л и т в и н А. М. и Тане р-Т аненбаум Ж. Л.,
Техническая термодинамика, М.—Л. 1'938.
24. М а и е р Р., Закон сохранения и превращения
энергии, ГТТИ, Л. - М. 1933.
25. М л о д з е е в с к и и А. Б., Термодинамика, М. 1939.
26. С у ш к о в В. В., Техническая термодинамика,
М.—Л. 1939.
27. Ш ю л е В., Техническая термодинамика, т. II,
перев. с нем. М.—Л. 1938.
28. Bosnjakovic Er., Technische Thermodinamlk,
Dresden—Leipzig, 1937.
29. Partingtou and Shilling, The Spesific Heats of Gases,
Lnd. 1924.
30. S a d i С а г п о t, Reflexions sur la puissance motrice
du feu. Paris. 1824.
31. Wasserdampftafeln, bearbeitet von Wl. Koch, VDI.
1937.
32. Z e u n е г О., Technische Thermodinamik, Leipzig
1905—1906.


512
ТЕПЛОТА
[РАЗД. I
Теплопередача
33. Антуфьев В. М., К а з а ч е н к о Л. С., Тепло-
отдача и сопротивление конвективных поверхностей
нагрева, М. — Л. 1938.
34. Гр.ебер Г., Введение в теорию теплопередачи,
перев. с нем., М. — Л. 1936.
35. Г у х м а н А. А., Физические основы теплопередачи,
М. — Л. 1934.
36. „Журнал технической физики", т. 11, вып. 9—JO, 1932.
37. „Журнал технической физики", т. V111, вып. 13-14,
1938.
38. К и р п и ч е в М. В., Михеев Н. А., Э и г е н-
с о н Л. С., Теплопередача, М. — Л. 1940.
39. Котельные установки, под ред. Кирпичева М. В.,
Ромма Э. И., Усенко Т. Т., т. 1, М. —Л. 1941.
40. К у з н е ц о в Н. В., Изв. Техн. отд. АН СССР, т. 1,
вып. 5, 1937, „Тепло и сила" 10, 1937.
40-а. Кутателадзе С. С., Теплопередача при изме-
нении агрегатного состояния, Машгиз, 1939.
40-6. Кутателадзе С. С-, «Советское котлотурбо-
строение" № 5, 1939.
41. Л о к ш и н В. А., Отчеты всесоюзного теплотехни-
ческого института за 1939 г.
42. М а к-А даме, Теплопередача, перев. с англ.,
М. - Л. 1936.
43. М а ч и н с к и и В. Д., Теплопередача в строитель-
стве, М. — Л. 1939.
44. М е р к е л ь В., Основы теплопередачи, перев.
с нем., ГИЗ, М. - Л. 1929.
45. О р н а т с к и и А. П., „Советское котлотурбострое-
ние" № 2, 1940.
46. Пай Д. Р., Двигатели внутреннего сгорания, т. II,
М. 1940.
47. П о л я к Т. Л., Теория лучистого теплообмена,
ЭНИН, АН СССР, 1938.
48. Т е н-Б о ш, Теплопередача, перев. с нем., М. — Л.
1930.
49. Ш а к А., Теплопередача в промышленных установ-
ках, перев. с нем., М. — Л. 1933.
50. Э и г е н с о н Л. С., Доклады АН СССР, т. XXVI,
№ 5, 1940.
51. Э и г е н с о н Л. С., Энергетическое обозрение,
Теплотехнический выпуск, № 1, 1938.
52. Яблонский В. С. и Шумилов П. П., Прак-
тический курс по теории теплопередачи, М. — Л. 1935.
53. F о и г 1 е г J. В. J., Theorie analitique de la chaleur,
Paris 1922.
64. О п a m, „Forschungsarbeiten" № 325.
55. H 11 р е г t R., „Forschung.," B. 4, № 5, S. 215, 1935.
?6. J es chk e H., Technische Mechanik ErgSnzungsheft
der VDI, B. 69, 1925.
?7. К r a us s о 1 d H., „Forschungsheft" № 351, B. 3, S. 21,
1932.
58. К r a u s s о 1 d H., „Forschungsheft,, № I, B. IV, S, 39,
1933.
59. Landolt-Bornstein, „Phjsikalisch - Chemische
Tabellen", B. V, Berlin 1923.
60. M a r k s L. S., Mechanical engineers handbook.
61. N u s s e It W., Die Oberflachenkond. des Wasser-
dampfes, VDI Ztscht. S. 541, 1916.
62. N u s s e 11 W., Forschung., B. 1, S. 417, 1930.
63. Nusselt W., VDI Ztschr., S. 2021, 1911.
64. S с h m 1 d t E., Sciieering u. Sellschopp, Forschung.,
1, 1930.
65. S t a n t о n, Friction, Longmans, 1923.
66. U 1 s a m e r J., „Forschung.", B. 3, № 2, 1932.
67. V о r n e h m, „Zs. VDI," B, 80, № 22, 1936.
68. W a t z i n g e г A. und Johnson D., „Forschung.",
B. 10, № 4, 1939.
Течение газов и паров по трубам,
истечение из резервуаров
69. Б а л т е р А. Е., Выхлоп в двигателях внутреннего
сгорания, Диссертация на соискание степени кандидата
технических наук, М. 1943.
70. И н о з е м ц е в Н. В., Течение и истечение газов
и паров, изд. МАИ, М. 1938.
71. К а л и ш Г. Г. и Алексеев С. И., Дополни-
тельные статьи к русскому изданию книги Гюльднер
„Двигатели внутреннего сгорания", МАКИЗ, 1928.
72. Креглевский А., Б а л о г А., Г у тм а н Э.,
Ф о п п л ь О., Статьи по продувке двухтактных дви-
гателей внутреннего сгорания, М. 1916.
73. М а з и н г Е. К., К а ли ш Г. Г, Алекс е е в Г. И.,
Дополнительные статьи к русскому изданию книги
Гюльднер Г., „Двигатели внутреннего сгорания",
МАКИЗ, 1928.
74. „Советское котлотурбостроение" № 4 и 5, 1937.
75. Stodola A., „Damp!.-u. Gasturbinen," 6 Aufl., B.
1924.
76. О р л и н А. С., К вопросу о выборе метода расчёта
выхлопа двухтактных двигателей, „Техника воздушного
флота" № 8—9, 1931.
77. О р л и н А. С., К расчёту органов распределения
двухтактных быстроходных двигателей, Сборник ЦИАМ
№ 1, OHTtt, 1936.
78. О р л и н А. С., Продувка двухтактных быстроход-
ных двигателей внутреннего сгорания, ОНТИ, 1935.
79. О р л и н А. С., Расчёт сечений органов распределе-
ния двухтактных быстроходных двигателей, Оборонгиз,
1939.
80. О р л и н А. С., Процессы выхлопа и продувки в
двухтактных быстроходных двигателях, Машгиз, 1940.
81. О р л и н А. С., Двухтактные быстроходные двига-
тели, Машгиз, 1947.


Глава VI
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЭЛЕКТРО-
ТЕХНИКИ
Электрические и магнитные единицы
Системы единиц. В международном мас-
штабе приняты следующие системы единиц: аб-
солютные системы CGS — электрическая, ма-
гнитная и системы практических единиц. В ос-
нову системы электрических единиц CGSE
положена сила взаимодействия двух равных
электрических зарядов, находящихся на рас-
стоянии 1 см в среде с диэлектрической по-
стоянной, равной единице.
В основу системы магнитных единиц CGSM
положена сила взаимодействия двух магнитных
масс, находящихся на расстоянии 1 см в среде
с магнитной проницаемостью, равной единице.
Неудобство применения многих единиц CGSE
и CGSM для электротехнических измерений
вызвало появление системы практических
единиц.
Система практических единиц основывается
на системе магнитных единиц.
Электрическое поле — пространство, в ко-
тором на заряжённое тело действуют электри-
ческие силы, пропорциональные величине за-
ряда и не зависящие от скорости движения
его.
Напряжённость электрического поля (Е)
есть отношение силы, с которой электриче-
ское поле действует на заряжённое тело, к за-
ряду тела. Единица напряжённости электриче-
ского поля в/см.
Потенциал (<р)> напряжение, электро-
движущая сила (и, Е, э. д. с.). Потенциал
(<р) некоторой точки представляет собой отно-
шение работы, совершаемой силами электри-
ческого поля при переносе заряда Q из дан-
ной точки в бесконечность, к величине заряда.
Разность потенциалов двух точек, или напря-
жение между ними, есть отношение энергии,
затрачиваемой зарядом Q при перемещении
между заданными точками, к величине заряда,
т. е. cpi — к3 = «12- Часто за точку нулевого
потенциала принимают потенциал земли и от-
носительно его определяют разность потен-
циалов.
Электродвижущая сила (э. д. с., Е) — отно-
шение энергии, получаемой заряжёнными ча-
стицами от источника тока (или генератора),
к величине их заряда. Электродвижущая
сила — причина, вызывающая движение элек-
тричества между двумя точками. Единица на-
33 Том 1, кн. I.
пряжения и электродвижущей силы —- вольт,
„ , джоуль 1 дж
равный 1——-— , или 1в — —:——•
кулон 1 к
Для измерения малых напряжений упо-
требляется милливольт, 1 мв — 1 • 10~3 в, а для
измерения больших напряжений — кило-
вольт, 1 /ев — 103 в, и мегавольт, 1 мгв = 1 • 106 в.
Электрический ток — направленное дви-
жение электронов под действием электрических
сил.
Сила тока (/, /) — количество электричества,
протекающего через поперечное сечение про-
водника в одну секунду. Практическая еди-
ница силы тока — ампер (а). Ампер есть сила
неизменяющегося электрического тока, ко-
торый отлагает 1,118 мг серебра в секунду,
проходя через водный раствор азотнокислого
серебра.
Плотность тока (/') — сила тока, протекаю-
щего через единицу поперечного сечения
проводника (отношение силы тока, протекаю-
щего по проводнику, к величине поперечного
сечения проводника). Единица плотности тока
а/мм2.
Количество электричества (Q). Единица
количества электричества кулон (/с), или ам-
персекунда, есть количество электричества,
протекающего в 1 сек. через поперечное се-
чение проводника при силе тока в 1 а.
Сопротивление (/?, г) — свойство тел пре-
пятствовать движению зарядов под действием
электрического поля. Практическая единица
сопротивления—ом—есть сопротивление про-
водника, по которому протекает ток в 1 а
при приложении к его концам напряжения
в 1 в. Сопротивлением в '1 ом обладает при
0° С столб ртути постоянного сечения длиной
106,3 см, имеющий массу 14,4521 г. Для изме-
рения больших сопротивлений употребляются
килоом, равный 1 ком — 103 ом, и мегом,
равный 1 мгом = 106 ом.
Температурный коэфициент сопротивле-
ния (а). Сопротивление металлов возрастает
с увеличением температуры. Сопротивление
проводника при данной температуре т2° С
равно
Г2 = г1[1 + в(т2-т1)], A)
где г\ — сопротивление, соответствующее тем-
пературе TI; a — температурный коэфициенг
сопротивления. Для меди в пределах от 0 до
100° С а = 0,00427 s 0,004.


514
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. 1
Удельное сопротивление (р) характери-
зует электрические свойства веществ, из ко-
торого состоит проводник, и численно равно
сопротивлению проводника длиной \ см н се-
чением 1 см2. Единица удельного сопротивления
(р) омсм. В технических расчётах за единицу
удельного сопротивления принимают величину
ом • мм2/м, т. е. считают численно равным
сопротивлению проводника длиной в 1 м
и с поперечным сечением в 1 мм2.
Сопротивление проводника постоянного се-
чения S мм2, длиной I м из материала, обла-
дающего удельным сопротивление р ом • мм2/м,
равно
Проводимость (g). Проводимость — вели-
чина, обратная сопротивлению. Единица — си-
менс (си). Проводимостью в 1 сименс обладает
проводник, имеющий сопротивление в 1 ом.
Удельная проводимость (f) — величина,
обратная удельному сопротивлению, которая
может быть выражена соответственно в си\см
или в м\ом • мм2.
Диэлектрическая проницаемость (а).
Диэлектрическая проницаемость (диэлектриче-
ская постоянная) — коэфициент, характеризую-
щий среду, в которой происходит электриче-
ское взаимодействие, и определяющий напря-
жённость поля, создаваемого зарядом Q в дан-
ной точке. Диэлектрическая проницаемость
вакуума ?0 = 8,86 • 10 к/в • см. Отношение
диэлектрической проницаемости е данного ве-
щества к диэлектрической проницаемости ва-
куума е0 называется относительной диэлектри-
ческой проницаемостью ег = — •
so
Емкость (С) — отношение величины заряда
конденсатора к величине напряжения между
его электродами. Единица электрической ём-
кости — фарада (ф) представляет собой такую
ёмкость, напряжение которой повышается на
1 в при сообщении ей заряда в 1 к. В прак-
тических расчётах пользуются меньшей еди-
ницей — микрофарадой, равной 1 мкф =
= Ы(Г6д&.
Мощность (Р). Единица мощности ватт.
Мощность в 1 em потребляет цепь, в которой
протекает ток в 1 а при напряжении на её
. ~ джоуль
зажимах, равном 1 в. Один ватт равен ——-—
сек
или 0,102 KZMJceK. В электротехнике пользуют-
ся следующими единицами: гектоватт—1 гвт=
= 102 вт — 10,2 кгм^ек, киловатт — 1 кет =
= 103 вт = 102 кгм/сек; мегаватт — 1 мгвт =
= 106 вт =- 103 кет; иногда мощность изме-
ряют в лошадиных силах: 1л. с.—75 кгм/сек —
= 736 вт. -Ч
Энергия (Л). Единица энергии, или работы,—
джоуль, или ваттсекунда; 1 дж=\ вт-с. Ра-
боту, равную одному джоулю, производит не-
изменный ток в 1 а при протекании в тече-
ние 1 сек. по проводнику сопротивлением
в 1 ом. Более крупными единицами электри-
ческой энергии являются: ватт-час 1 вт-ч =
=3,6-103 дж, гектоватт-час 1гвт-ч = 3,6- 105дж,
киловатт-час 1 кет-ч = 3,6-106 дж и мега-
ватт-час J мгкт-ч — 3,6-109 дж.
Магнитное поле — пространство, окру-
жающее проводник с током или с молекуляр-
ными токами, в котором среда находится
в особом состоянии. Это „особое состояние"
обнаруживается в появлении механических
сил, действующих на магнитную стрелку, на
проводник с током, или в создании электро-
движущей силы в проводнике, пересекающем
поле. За положительное направление магнит-
ного поля принимают направление, в котором
устанавливается северный полюс магнитной
стрелки. Для изображения магнитного поля
введено понятие о магнитных индукционных
линиях (или магнитных силовых линиях), за-
полняющих весь объём магнитного поля.
Магнитная индукция (В)—величина, харак-
теризующая интенсивность и направление ма-
гнитного поля. Она определяет силу, с которой
магнитное поле действует на единицу длины
проводника, по которому протекает ток, рав-
ный 1 а, при расположении проводника пер-
пендикулярно к направлению поля.
Единица магнитной индукции — вебер/сж2
(В/см2), равный 1 В/см2 = в^сек/см2. Более
мелкой единицей является микровебер на
квадратный сантиметр мкВ/см2 — 10~ В/см2-
Магнитную индукцию часто выражают в еди-
ницах CGSM системы, называемых гаусом.
1 гс = 10 - 8 В /см2 = 10 ~ 8 в • сек/см2. Магнит-
ную индукцию представляют в виде определён-
ного числа условных индукционных или ма-
гнитных силовых линий, совпадающих с напра-
влением поля, с такой плотностью, что на
каждый квадратный сантиметр поверхности,
перпендикулярной полю, приходится коли-
чество линий, равное числу единиц магнитной
индукции (гс, Ь/см2).
Магнитный поток (Ф) — произведение
площади, ограниченной контуром, и проекции
вектора магнитной индукции на направление
нормали к этой площади.
Магнитный поток может также рассматри-
ваться как число индукционных линий, про-
низывающих данный контур. Единица магнит-
ного потока вебер равен \В=1в-сек1см2-1см2=
= 1 в -сек. В системе CGSM единица ма-
гнитного потока Максвелл — 1 М----1 гс-\ см2=
= Ы0~8 в-сек= Ы0~8 В.
Магнитная проницаемость (ц) — величи-
на, определяющая магнитные свойства среды,
в которой ток создаёт магнитное поле. Ма-
гнитная проницаемость измеряется в ом -сек/см
или генри/см. Магнитная проницаемость ваку-
ума— величина постоянная и равная ji0 =
= 1,256-10 ~~8 ом -сек/см. Относительная маг-
нитная проницаемость—отношение магнитной
проницаемости какой-либо среды к магнитной
проницаемости вакуума ^г =
р. г — от-
влеченное число.
Напряжённость магнитного поля (//) —
отношение магнитной индукции к магнитной
проницаемости среды Н = ——. Единица на-
пряжённости магнитного поля — а/см. В си-
стеме единиц CGSM напряжённость магнитного
поля измеряется эрстедом: 1 э ~ 0,8 а/см.
Намагничивающая сила (F)—магнитодви-
жущая сила м. д. с. — расчётная величина,
определяющая алгебраическую сумму произ-


ГЛ. VI]
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
515
ведении элементов длины произвольного замк-
нутого контура на продольную составляющую
вектора напряжённости поля по всему кон-
туру
F =
= ФД
C)
или сумму падения магнитного потенциала
для всякой замкнутой индукционной линии.
Единица намагничивающей силы (м. д. с.)—
ампер.
Магнитное сопротивление (Rm) — величи-
на, равная отношению намагничивающей силы
к магнитному потоку. Магнитное сопроти-
вление Рт — —=- пропорционально длине
[л о
участка магнитной цепи и обратно пропор-
ционально магнитной проницаемости и сечению
магнитопровода. Единица магнитного сопро-
тивления равна
-, специального названия
генри
не имеет.
Индуктивность (L — коэфициент самоин-
дукции) — коэфициент пропорциональности
между э. д. с. самоиндукции и скоростью
изменения тока в проводнике. Единица индук-
тивности генри равна 1 гн=в-сек/а — ом-сек.
Индуктивностью в один генри обладает цепь,
Электрические величины и единицы
в которой при равномерном изменении тока
на один ампер в секунду индуктируется элек-
тродвижущая сила в один вольт. Часто при-
меняется меньшая единица индуктивности —
миллигенри: 1 мгн— ЫО ~3 гн.
Взаимная индуктивность (М — коэфи-
циент взаимоиндукции) двух магнитносвязан-
ных цепей есть коэфициент пропорциональ-
ности между э. д. с., индуктирующейся в одной
из цепей, и скоростью изменения тока в дру-
гой цепи. Единица взаимной индуктивности
генри равна ом-сек. Две электрические цепи
обладают взаимной индуктивностью, равной
1 гн, если изменение тока в одной из них со
скоростью I а в секунду индуктирует в другой
электрически несвязанной цепи э. д. с., рав-
ную 1 в. При отсутствии магнитного рассеяния
поток, созданный одним контуром, сцепляется
полностью с другим, и в этом случае М±\ =L^ L,,
где L\ и Z.2 — индуктивности соответствующих
контуров. При наличии рассеяния УИг|<]/.1 Со-
отношение ——г-?*— = k называется коэфи-
VL,L2
циентом связи и определяется опытным путём.
Электрические величины и единицы при-
ведены в табл. 1; магнитные величины и еди-
ницы — в табл. 2.
Таблица 1
.
г
S
0 <ц
О в
/, i
U', и
К,е
R,r
Ро. Р
Y
С
I
Г
V
tu
*1
*о
Х,х
Z,z
g
в
У, у
р
А
COS (р
Величина
Количество электричества ........
Напряжение .................
Электродвижущая сила ..........
Сопротивление ...............
Удельное сопротивление .........
Удельная проводимость ..........
Ёмкость ...................
Индуктивность ...............
Угловая частота ..............
Индуктивное сопротивление .......
Ёмкостное сопротивление ........
Активная проводимость ..........
Реактивная проводимость .........
Работа ....................
Формула
, U U Q
'- R ' z '' ~ ~7
Е = Q~
/?= А = -?
RS
a — -
C = ~E
L--J-
i
V
U) — 21tV
XL = *™L
i
x = XL — xc
z - YR? +x2)
R
? — Z*
X
, „ 3 I
P = UI = PR
P = UI cos cp ( ~ ток)
A = Pi
El cos 9 P
El ~ 5
Практические
единицы
Ампер
Кулон, ампер-час
Вольт
Ом
————— , ом • см
м
ЛШ3
Фарада
Генри
Секунда
Герц
сек.
Ом
Ом
Ом
Ом
Сименс
Сименс
Сименс
Ватт
Ватт
Джоуль ватт-часу |
киловатт-час |
Сокращены
значения
измере
иностран-
ные
А
С
V
Q
Qmrn1
т
S
mtna
F
H
sec
Нг
sec
Q
Q
Q
Q
S
S
S
w
w
J WhkWh
f
t
ые обо-
e линии
ния
русские
а
к
в
ом
ом • мм3
м
си
мм"*
ф
гн
сек.
ГЦ
i
ом
ом
ом
ом
си
си
си
вт
вт
дж
вт-ч
квт-ч


,516
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. 1
Магнитные величины и единицы
Таблица .2
га
о -*
О у
в
ф
"
V-
Rm
F
Величина
Магнитная индукция .......
Магнитный поток .........
Напряжённость магнитного поля .
Магнитная проницаемость ....
Магнитное сопротивление ....
Намагничивающая сила (м. д. с.) .
Формула
р
В- — —
Ф = В .S
Iw
1
В
*~ Н
1
р.о
ф/
Практические
единицы
Вебер или
вольт-секунда
ампер
см
см
генри
см
I
генри
Ампер
Значение
практиче-
ской едини-
цы в элек-
тромагнит-
ных едини-
цах
ю<Ю
io*M
i,*0.
е
4* . ю
— — -10'
4*
,25Gb
Буквенные
иностран-
ные
We
Ctrl'
We
А
cm
Н
сш
i
А
обозна-
русские
В
7м*
В
a
см
гн
см
\
гн
a
Магнитное поле
Направление тока и магнитного потока.
При протекании тока по проводнику вокруг
него образуется магнитное поле, силовые ли-
нии которого представляют собой концентри-
ческие окружности, расположенные в плос-
кости, перпендикулярной к проводнику. Взаим-
ное направление тока и созданного им магнит-
Фиг. 1.
ного потока определяется правилом буравчика:
при ввёртывании буравчика по направлению
тока движение рукоятки укажет направление
силовых линий (фиг. 1). При ввёртывании бу-
равчика по направлению силовых линий движе-
ние рукоятки укажет
направление тока, со-
здающего их (фиг. 2).
Закон полного
тока. Алгебраическая
сумма произведений
элементов длины dl
произвольного замк-
нутого контура на
продольную составля-
ющую вектора напря-
жённости поля по
всему контуру равна
алгебраической сумме токов, проходящих че-
рез поверхность, ограниченную этим контуром:
D)
Фиг. 2.
(J) Н dl cos (Н, dl) = S /,
поверхность; cos (H, dl) — косинус угла между
направлением перемещения и направлением
вектора напряжённости поля; Sf — величина
полного тока, сцепляющегося с контуром.
Интеграл^Н dlcos (H, dl) = Hi dl пазы-
\J
вается падением магнитного потенциала.
В электромагнитных механизмах магнитный
поток прЪходит главным образом по „магнито-
проводу", состоящему из отдельных участков,
на которых HI можно считать постоянной,
поэтому
Если ток, пронизывающий контур, про-
текает по w виткам, то намагничивающую
силу можно выразить в виде:
Намагничивающую силу иногда выражают
в ампервитках.
Закон магнитной цепи. Воспользовавшись
соотношением Ф = \ь HS, закону полного тока
можно придать вид:
л Г Ф
ф Н dl cos (H, dl) = ф—с" dl = Zl = lw. С')
j J рь
Выражение для магнитного потока может
быть представлено аналогично закону Ома
для электрической цени:
jw F
Ф =
(II
|А 6
(О
где л _ элементарное перемещение вдоль
контура, ограничивающего рассматриваемую
Здесь F — полное значение намагничивающей
силы, действующей по контуру, и Rm — магнит-
ное сопротивление. Эта формулировка была
введена в практику в 1886 г. братьями Гоп-
кинсон и имеет лишь формальную аналогию
с законом Ома.
Магнитное сопротивление участка длиной
/ см, постоянного сечения 6' см'1 и постоянной
магнитной проницаемостью JA равно


ГЛ. Vlj
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
517
Магнитное сопротивление цепи равно сумме
магнитных сопротивлений отдельных её участ-
ков. Закон магнитной цепи в этом случае
имеет вид:
(9)
Ф =
1г.
Фиг. 3.
Магнитная проницаемость электротехниче-
ской стали и других ферромагнитных материалов
непостоянна и зависит от напряжён-
ности поля. Зависимость p. =f(H)
математически не выражается и
обычно даётся графически. Вид
её приведён на фиг. 3.
Расчёт магнитной цепи может
потребовать решения следующих
задач: 1) нахожде-
ния полной нама-
гничивающей силы
обмотки (/•), не-
обходимой для со-
здания заданной
величины магнитного потока (Ф); 2) нахожде-
ния величины магнитного потока (Ф) по за-
данной величине намагничивающей силы (F).
1. Нахождение полной намагничивающей
силы (F), необходимой для создания заданного
потока (Ф) в магнитной цепи переменного
еечения E), и различной магнитной проница-
емости (р.) заключается в следующем: а) ма-
гнитная цепь разбивается на участки с посто-
янной площадью поперечного сечения E)
и постоянной магнитной проницаемостью ([л);
б) для каждого участка определяется индук-
Ф
ция В — -?; в) для найденных значений индук-
ции с помощью экспериментально полученных
кривых намагничива-
ния B--=f(H) (фиг. 4)
определяются соответ-
ствующие значения на•
пряжённости поля (Н);
г) по известной вели- E
чине Н и длине уча-
стка (/) подсчиты-
вается падение ма-
гнитного потенциала
(HI) на каждом уча-
стке; д) суммирова-
нием падения магнит-
ного потенциала вдоль
всего магнитопровода
находят значение на-
магничивающей силы:
HI /х + Л/2 /2 + • •
О
Н
юо ?оо
Фиг. 4.
q/cti
2. Определение величины магнитного потока
(Ф) по заданной величине намагничивающей
силы (F) затруднительно, так как магнитная
проницаемость железа (р.) неизвестна и
является функцией определяемой величины.
Вопрос решается методом предыдущей задачи,
а именно: задаваясь рядом значений потока,
находят соответствующие им значения намагни-
чивающей силы и, вычертив на основании
полученных результатов кривую зависимости
Ф = f(p), по ней находят величину магнит-
ного потока (Ф), соответствующего заданному
значению F.
Гистерезис. Значения индукции (Б) при
уменьшении напряжённости магнитного поля
(Н) будут больше соответствующих значений
индукции, имевших
место для тех же
значений напря-
жённости поля при
возрастании. Это
отставание значе-
ния индукции от
напряжённости по-
ля называется г и-
стерезисом.
Значение В при
Н=0 называется
остаточной индук-
цией; значение Нс
при В = 0 носит
название коэрци-
тивной силы. Пло-
щадь, описанная фиг- 5-
гистерезисной кри-
вой (фиг. 5), пропорциональна работе, затра-
чиваемой на один цикл перемагничивания
HdB дж/см'*,
где Н—в а/см, а В— в В/см^.
Мощность, затрачиваемая на перемагничи-
вание — потери на гистерезис, подсчитывается
по эмпирической формуле Штейнметца:
р. = В v B*V em/см9.
(Ю)
Здесь о и я—коэфициенты, зависящие от ма-
гнитных свойств материала и величины индук-
ции; v — частота перемагничиваний в сек.;
V—объём материала, подвергающегося пере-
магничиванию в см3, В— максимальная индук-
ция в 1СР8 B/CMZ [гаусах].
Вихревые токи или токи Фуко. Пере-
менное магнитное поле вследствие индукции
вызывает в сплошных магнитопроводах появле-
ние вихревых токов, которые нагревают ме-
талл. Для уменьшения потерь от вихревых токов
магнитопроводы изготовляются не сплошными,
а из изолированных друг от друга стальных
или железных листов толщиной 0,35 -4- 0,5 мм.
Мощность, затрачиваемая на вихревые токи,
равна:
в A^2 /
шооо д) "*'«*•
(И)
Здесь Д — толщина листов стали в мм;
о^-—коэфициент, зависящий от свойств мате-
риала; В—максимальная индукция в 10~~8 BJCMZ.
Электромагнит и его подъёмная сила.
Электромагнитом называется устройство, со-
стоящее из железного сердечника, обычно
П-образной формы, снабжённого обмоткой, пи-
таемой током, и железного якоря. Силу, с кото-
рой якорь притягивается к сердечнику, назы-
вают подъёмной силой электромагнита. Подъ-
ёмная сила равна
В2
F = -к— 5 дж/см.
A2)
где В — индукция в В/см2; S — площадь попе-
речного сечения сердечника в CMZ; f*o—ма-


518
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. 1
гнитная проницаемость вакуума, равная
Ро= 1,256 • 10~8 ом-сек\см.
Подъёмная сила в кг будет равна
108кг.
Основные законы постоянного тока
Закон Ома. Сила тока / в проводнике про-
порциональна напряжению U между его кон-
цами и обратно пропорциональна его сопро-
тивлению R. Закон может быть представлен
в виде:
1=Ъ' A4)
U
U
Г
A5)
A6)
Последовательные цепи. Общее сопро-
тивление последовательно включённых про-
водников равно сумме сопротивлений отдель-
ных проводников:
Я = Я1+Яа + Я8+ - • -Ч-Ля- О?)
Параллельные цепи. Проводимость группы
параллельно соединённых проводников равна
сумме проводимостей этих проводников
R
g =
7Г "Г ТГ i
Sz
+ gn-
A8)
A9)
Эквивалентное сопротивление R двух парал-
лельно соединённых проводников R-^ и /?2
равно:
R == "s
B0)
Эквивалентное сопротивление R трёх па-
раллельно соединённых проводников Rv /?2
и Rs равно:
п _
B1)
Общее сопротивление сложной цепи, пред-
ставляющей совокупность проводников, соеди-
нённых между собой параллельно и последо-
вательно, равно сумме сопротивлений провод-
ников, соединённых последовательно, и экви-
валентного сопротивления группы проводни-
ков, соединённых параллельно.
Законы Кирхгофа. Первый закон.
Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся
в одной точке, равна нулю:
2/к=0. B2)
Силы токов, направленных к общей точке,
считаются положительными, а силы токов,
направленных от узловой точки, отрицатель-
ными.
Второй закон. Во всяком замкнутом
контуре сумма действующих э.д.с. и падений
напряжений на всех участках этого контура
равна нулю:
При составлении уравнений необходимо
считать э. д. с. и силы токов, действуюш.ие
по направлению обхода, положительными; па-
дения напряжения, создаваемые этими токами,—
отрицательными. Э.д.с. и силы токов,направлен-
ные против обхода,— отрицательными, а паде-
ния напряжения, создаваемые этими токами, —
положительными.
Мощность. Мощность, потребляемая цепью
постоянного тока, равна произведению напря-
жения и силы тока:
Р= VI вт.
B4)
Подставляя значения U и / из уравнений
A5) и A4), получим формулу B4) в ином виде
вт. B5)
р = " вт. B6)
Закон Джоуля—Ленца. При прохождении
тока по однородному проводнику количество
теплоты, развиваемое током, пропорционально
квадрату силы тока, сопротивлению проводника
и времени, в течение которого ток протекает
по проводнику:
Q = 0,24 /2/?/ кал. B7)
Электромагнитная индукция
Закон Фарадея. При движении прямоли-
нейного проводника в равномерном магнитном
поле под углом а к направлению поля в про-
воднике индуктируется э. д. с,, равная
Е = Blv sin а в, B8)
где В — индукция в В/см2; v — скорость дви-
жения проводника в см\сек\ I — часть длины
проводника в см, находящаяся в магнитном
поле. Наибольшая э. д. с. будет при а = 90й.
Направление индуктированной э. д. с. опре-
деляется правилом правой руки: если располо-
жить правую руку так, чтобы силовые линии
магнитного поля входили в ладонь, а отста-
вленный большой палец совпадал с направле-
нием движения проводника, то вытянутые
четыре пальца укажут направление индукти-
рованной э.д.с.
Закон Максвелла. При всяком изменении
магнитного потока, сцепленного с w витками
контура, в последнем будет индуктироваться
э. д. с., равная
е = _ w d® в. B9)
Здесь магнитный поток выражен в В.
Правило Ленца. При всяком изменении
магнитного потока, сцепляющегося с контуром,
в последнем возникает э. д. с., создающая ток
и механические усилия, способствующие со-
хранению магнитного потока неизменным. Таким
образом при увеличении магнитного потока
индуктированный при этом ток будет стремить-
ся уменьшить возрастающий магнитный ноток
и наоборот.


ГЛ. VI]
ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
519
Э. д. с. самоиндукции. При всяком измене-
нии тока, протекающего по контуру, вслед-
ствие изменения связанного с ним потока, в
контуре появится э. д. с. самоиндукции:
di
~
C0)
Здесь L-
fii
\
Фиг. 6.
индуктивность в гн', ——скорость
изменения тока. О коэфициенте самоиндукции
см. „Магнитные и электрические единицы".
Закон Био-Савара-Лапласа. При протека-
нии тока по проводнику, находящемуся в ма-
гнитном поле, в ре-
зультате взаимо-
действия между
силовыми линиями
магнитного поля и
силовыми линиями,
возникшими во-
круг проводника с
током, образуется
результирующее
искажённое ма-
гнитное поле (фиг.
6), которое будет
действовать на проводник с силой, равной
Г — Bllsin а дж/см или F— 10,2 ВП sin а кг. C1)
Здесь В — индукция поля в В/смР; I— сила
тока в а; I — длина проводника в см, находя-
щаяся в магнитном поле; а— угол, образован-
ный, направлением тока в проводнике и напра-
влением поля.
Направление силы F определяется правилом
левой руки: если расположить левую руку так,
чтобы магнитные силовые линии входили
в ладонь, а вытянутые четыре пальца указывали
направление тока, то отставленный большой
палец укажет направление силы, действующей
на проводник.
Переменными токами (или э. д. с.) называются
токи (или э. д. с.), являющиеся периодическими
функциями времени. Практическое применение
находят синусоидальные функции времени:
е = Е
и / — I
± с). C2)
Ет и 1т — амплитуды или максимальные
значения э. д. с. или тока; и> — угловая частота
в радианах в секунду; <р — угол сдвига фазы.
Период — синусоидальной функции Т — про-
межуток времени, в течение которого ток
(э. д. с.) претерпевает полный цикл изменения.
Частота v переменного тока (э.д.с.)—число
периодов в секунду v = — . Угловая частота
равна ш— — или ш = 2 itv; угол сдвига фазы ср
положителен, когда функция равна нулю в мо-
мент, предшествовавший началу отсчёта вре-
мени; отрицателен, когда функция будет равна
нулю после начала отсчёта времени (фиг. 7).
Мгновенное значение периодиче-
ской функции есть значение, соответствующее
какому-либо моменту времени.
Действующее или эффективное
значение переменного тока равно такому
значению постоянного тока, который за тот же
отрезок времени, равный одному или целому
числу периодов переменного тока, выделит
в некотором сопротивлении такое же количе-
ство тепла, как и данный переменный ток:
Т
,=у И**
о
Эффективное значение э. д. с.
Эффективное значение для синусоидальной
величины равно
/ = -^Lr - 0,707 Im;
F —
с —
C3)
Среднее значение переменного тока
равно такой величине постоянного тока, при
котором за полпериода через сечение провод-
ника проходит одинаковое количество электри-
чества, как и при данном переменном токе
sin
/med
C4)
Коэфициент формы кривой есть
отношение действующего значения тока или
э. д. с. к его среднему значению. Для синусои-
дальных величин
— = 1,11.
k =_._Z_ = Jk, : А/ =_
' /med у к т 2 У~2
Изображение синусоидальных
величин. Синусоидальная величина может
Фиг. 7.
быть представлена графически: а)в прямоуголь-
ных осях координат, как функция времени
e — f(t) и i = f(t) (фиг. 7,о); б) вектором,
величина которого пропорциональна её амплн-


ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. I
туде. Проекция на вертикальную ось вектора,
равномерно вращающегося с угловой скоростью
«о = 2 Tiv, равна мгновенному значению этой
величины. Угол между двумя векторами пред-
ставляет угол сдвига фаз между синусоидаль-
ными величинами, представляемыми этими
векторами (фиг. 7, б). Сложение и вычитание
синусоидальных токов (э. д. с.) производят гео-
метрическим сложением или вычитанием
векторов, представляющих эти величины. При
этом проекция результирующего вектора на ось
ординат представляет мгновенное значение
искомой величины. При построении векторных
диаграмм можно пользоваться действующими
значениями вместо амплитуд.
Закон Ома для цепи переменного тока.
Сила тока / в цепи, содержащей последова-
тельно соединённые активное — г, индуктив-
, .. 1
ное — со/, и емкостное — —~ сопротивления,
cob
при приложении к ней переменного напряже-
ния U будет равна
U
V *+(•'• -i
Z '
Величина z
= Т/
г
г2-(-
( wi — _ — )
V <»С/
на-
зывается кажущимся или полным сопротивле-
нием цепи. Обозначив u>L = XL, —~-=xr, no-
о>С
лучим
г ~ Уr- -f (XL — л-сJ или z — >
где х—реактивное сопротивление
Угол сдвига фаз равен
1
X CDI
9 = arc tg— = arc tg——-—
Кроме того,
г г
cos 9 = ~ ;
r2 -\-
C6)
sln *=°=
Если цепь не обладает индуктивностью
(I = 0), гф§ и в ней нет конденсатора
(С = оо), то у -= 0, и ток совпадает по фазе
сэ. д. с. Если С-ос, но г ф 0 ц L ф 0, то 9 <0
и ток отстаёт по фазе от э. д. с. Если С имеет
конечное значение, a L = 0 и г ф 0, то 9 ^> О,
и ток упреждает по фазе э. д. с.
Если г = 0, но и>1 — —— ф 0, то ток сдви-
О)С
i гс
нут относительно э. д. с. на угол 9 — i ~о" '
Мощность в цепи переменного тока.
Мгновенная мощность в цепи при
и •= Um sin
будет
и / = fm sin (to/ + 9)
'.f ) =
р = ш — Umlm sin to/- sin (at
nJm [cos ? — cos B<Df =
C7)
Активной или средней мощно-
стью называется величина
р = UIcos <р = I2 r,
C8)
представляющая отношение энергии, израс-
ходованной в цепи за период или за целое
число периодов к времени, в течение которо-
го эта энергия израсходована. Активная мощ-
ность измеряется вгп и кет.
Реактивной мощностью называет-
ся величина
— El sin
C9)
представляющая мощность, идущую на под-
держание магнитных и электрических полей.
Кажущаяся мощность равна:
S^EI = У(Е1со5 срJ -|- (Я/ИшрУ ==
= yp-T+QZ D0)
и определяет собой размеры электромагнитных
устройств. Реактивная и кажущаяся мощности
измеряются ва и ква.
Активный ток или активная составляющая
тока есть проекция полного тока на вектор
э. д. с. или напряжения
/в =7 cos 9-
Реактивный ток Ir — I sin 9 — составляю-
щая тока, находящаяся в квадратуре с напря-
жением, не создающая полезной мощности,
но увеличивающая потери в системе /2г. По
этой причине желательно сделать её возмож-
но меньшей.
Проводимость. Полная проводи-
мость неразветвлённой цепи —• вели-
чина, обратная её полному сопротивлению:
|/
_1_\2
«С
D1)
Активная проводимость равна
D2)
Реактивная проводимость равна
,. D3)


ГЛ. VI]
ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
521
В зависимости от численных соотношений
1
и —-FT реактивная проводимость может
быть й>0 и &<0.
Полная проводимость цепи может быть
выражена как
D4)
С помощью проводимостей могут быть
определены соответствующие составляющие
тока. Сила тока / = Uy, активная составляю-
щая 1а =• I cos cp = Ug, реактивная составляю-
щая Ir = I sin у = Ub.
Параллельное соединение приёмников.
При параллельном соединении нескольких при-
ёмников общий ток, потребляемый этой груп-
пой, равен геометрической сумме токов от-
дельных приёмников. Вычисление общего
тока может быть произведено или с помощью
геометрического сложения векторов отдель-
ных слагаемых, или путём определения ак-
тивной и реактивной составляющих общего
тока.
Активная составляющая общего тока:
—
a
+'
Реактивная составляющая:
Общий ток:
Выражая токи через напряжение и прово-
димости, получим: ;
и Ub=U(bt +
Эквивалентная активная проводимость груп-
пы параллельно соединённых приёмников рав-
на сумме активных проводимостей, а эквива-
лентная реактивная проводимость — сумме
реактивных проводимостей с учётом знаков
последних:
и =
D5)
Резонанс. Явления резонанса возникают в
цепях переменного тока при равенстве индук-
тивного и ёмкостного сопротивлений или при
равенстве индуктивной и ёмкостной проводимо-
сти. В этих случаях контур по отношению внеш-
ней цепи является безиндуктивным, как бы
состоящим из одного активного сопротивле-
ния.
Резонанс напряжений имеет место в це-
пях с последовательным соединением индук-
тивности и ёмкости при XL = хс или ш/, =
= ——. При этом ток достигает наибольшего
значения, равного
= —, угол сдвига фаз
между током и напряжением <р = 0. Напряже-
ния на зажимах индуктивности и ёмкости при
резонансе равны по величине и противопо-
ложны по знаку. Каждое из них может во
много раз превосходить напряжение сети, если
индуктивное и равное ему ёмкостное сопро-
тивление больше её активного сопротивления.
Последнее может вызвать пробой изоляции.
Резонансная частота:
1
Од"
У LC
D6)
Резонанс токов имеет место в цепях
с параллельным соединением индуктивности и
ёмкости в случае равенства индуктивной и ём-
костной проводимостей, т. е. при
При этом в контуре из индуктивности и
ёмкости может циркулировать реактивный
ток, значительно превышающий ток, потре-
бляемый от источника энергии.
Явления резонанса напряжений и токов
широко используются в радиотехнике.
Трёхфазный ток. Многофазная и
трёхфазная системы. Многофазной си-
стемой называется цепь переменного тока, в
которой действуют несколько э. д. с. или токов
одинаковой частоты, но взаимно смещённые
а)
по фазе на определённые углы. Симметричная
система состоит из т э. д. с. (токов), равных пэ
величине и сдвинутых друг относительно дру-
га на угол — . Трёхфазная система получи-
ла наибольшее распространение. Она обра-
зуется тремя э. д. с., сдвинутыми друг относи-
тельно друга на угол -^- или 120°. Эти э. л. с.
будут еЛ=*Е sinu>t,
• j.
sin( <«^ —
sin «о/
Синусоидальное и векторное изображения
э. д. с. трёхфазной системы приведены на
фиг. 8, а и б.
Соединение звездой А осущест-
вляется соединением „одноимённых" концов
обмоток генератора или приёмника в одну
общую точку. Нулевая или нейтральная точ-
ка — место соединения одноимённых концов
фазных обмоток. Нулевой или нейтральный
провод — провод, отходящий от нулевой точки.
Фазным напряжением Up называется на-
пряжение между началом и концом каждой
фазной обмотки. Ток, протекающий по фазной


522
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. I
обмотке, называется фазным током 1р. Напря-
жения между проводами, идущими от питаю-
щего устройств а к приёмникам, равные разности
потенциалов между ними, называются линейны-
ми Ui= ?/лв= UBC = UCA> а токи в этих ПРОВ0'
дах — линейными токами //=/д=/д=/с (Фиг- 9)-
При соединении звездой
иг= УЗ Up и /,-/,. D7)
При симметричной нагрузке ток в нуле-
вом проводе равен нулю:
*о = '1-Н2-Мз = °-
При несимметричной нагрузке ток в нуле-
вом проводе равен геометрической сумме
фазных токов.
Соединение треугольником Д
осуществляется путём последовательного со-
единения обмоток, т. е. конца фазы А — с на-
чалом фазы В, конца фазы В — с началом
фазы С и конца фазы С — с началом фазы А,
и присоединения общих точек к линейным
проводам (фиг. 9, б).
В этом случае: а) линейные напряжения
равны фазным ?7/ = Up; б) линейные токи
„ К ,п
п
? '«
*J<3 ——————
\S***li*
?<$& ^Я. fa
f* а
\
) /с
а)
[ \ .о
"~га
Т. г
Фиг. 9.
равны геометрической разности соответству-
ющих фазных токов.
При равномерной нагрузке фаз
Во всякой трёхфазной системе без нулевого
провода сумма трёх линейных токов в любой
момент равна нулю.
Мощность трёхфазной системы
равна сумме мощностей отдельных фаз:
Р = РА + Рв + PC = UAIA cos ы +
+ UB!B cos <Рв + UCIC cos cpc . D9)
При симметричной нагрузке все фазные
величины соответственно равны. Полная мощ-
ность в этом случае будет:
Р =-. 3U
,cos
Учитывая соотношение фазных и линейных
величин,
р =
// cos <p.
E0)
Реактивная мощность трёхфаз-
ной системы равна алгебраической сумме
амплитуд реактивных мощностей отдельных
фаз:
Q = UAIAsin ?
+ UCIC sin <pc.E1)
При равномерной нагрузке фаз
Q = 3UpIp sin <р или Q = ySUJi sin <р. E2)
Кажущаяся мощность трёхфаз-
ной системы при равномерной нагрузке
фаз:
5 = уз Ufa E3)
Сдвиг фаз может быть найден из выраже-
ний:
Р Q Q ,zл^
cos <р = т ; sin <p = ^ и tg <р = -^ . E4)
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Общие сведения
Электроизмерительный прибор — механизм,
служащий для непосредственного измерения
какой-либо электрической величины, т. е. для
сравнения её с другой величиной того же рода,
принятой за единицу.
Измерительные приборы классифицируются
по следующим основным признакам: 1) по роду
измеряемой величины; 2) по роду тока; 3) по
степени точности; 4) по принципу действия.
1. Классификация приборов по роду из-
меряемой величины дана в табл. 3.
Таблица 3
Род измеряемой
прибором величины
Электрический ток
Напряжение
Электрическая мощ-
ность
Электрическая энер-
гия
Количество электри-
чества
Сдвиг фаз
Частота
Электрическое со-
противление
Название прибора
Амперметр
Миллиамперметр
Гальванометр
Вольтметр
Киловольгметр
Милливольтметр
Гальванометр
Ваттметр
Киловаттметр
Счётчик ватт-часов
„ гектоватт-
часов
„ киловатт-
часов
. ампер-часов
Фазометр
Частотомер
Омметр
Мегомметр
Услов-
ное
обозна-
чение
А
тА
О
V
ftV
mV
Q
W
w
Wh
hWh
kWh
Ah
»
/
Q
MQ
2. Классификация приборов по роду тока.
По роду тока приборы делятся на: 1) приборы
постоянного тока; 2) приборы переменного тока;
3) приборы постоянного и переменного тока.
3. Классификация приборов по степени
точности. По степени точности измерительные
приборы, согласно ГОСТ 1845-42, делятся на
пять классов согласно табл.4. Здесь же указа-
ны наибольшие допустимые погрешности при-
боров, исчисляемые в процентах от номи-
нальной величины прибора.
Таблица 4
Класс прибора
О,2
0,5
1,0
1.5
L 2'5
Погрешность в %
+ о,а
±о,5
+ 1,0
±1.5
±2,5


ГЛ. VI)
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
523
4 Классификация приборов по принципу
действия. Классификация приборов, устано-
вленная ОСТ 3504, и условные обозначения их,
а также условные обозначения для электро-
технических схем по ОСТ ВКС 7284, даются
в табл. 5.
Таблица 5
Знак
m
4J
уУ/J
' "~а~~
е^=?
^ -л- 1
' V ЧГ
©
^ —
Jf .^
/"_.\
\^)
—
/рГХ
(Гбёвн
Т^^УГ
х^х
(ГЕЙН)
\^5/
>^~^v
ШЕЙШ
^S?'
^Ъгя^
^ss^
/?—^&
|(еЭ)|
^SS'
. — .
^тгм
Ч^У
Y
1
©
0~~
i е=
и
^—^
Lt
т
* ;
а^
•?
Система
Магнитоэлектрическая с
противодействующей
силой
без противодействующей
силы
Электромагнитная
Электродинамическая
с противодей-
Без ствующей си-
( железа лой
1 без противо-
действующей
силы
Без с противодей-
железа ствуадщей си-
с ма~ лой
гнит- ,
ным без противо-
экра- действующей
ном силы
с противодей-
Ферро- ствующей си-
динами- лой
|Ческая
без оез противо-
экрана действующей
силы
с противодей-
Ферро- ствуюшей си-
динами- лой
ческая ,
с экра- "ез пР°тиво-
ном действующей
силы
Индукционная
Тепловая
Термоэлектрическая
Детекторная
Электронная
Э л е ктростатич ее к ая
Вибрационная
Знак
о7
0,5
. — .
1 б'
' i
—— '
- ——
^
~—~
-Л,
,«у
„ Vy
з *\,
*\ 56
^
•зг\ 50
\^ 1л/
?л
у <-k)r
I
^6^7°
Класс
прибора
Лабора-
торные
и
контроль-
ные
Щитовые
Постоян-
ный ток
Перемен-
ный ток
Постоян-
ный и пере-
менный ток
Трёхфаз-
ный ток
Частота
50 гц
Трёхфаз-
ный ток
частотой
50 гц
Изоляция
прибора
испытана
напряже-
нием
в 2000 в
——— _.. ——
Вертикаль-
ная уста-
новка при-
бора
Наклонная
установка
прибора
под
углом 60°
Горизон-
тальная
установка
прибора
Фиг. 10.
Системы измерительных приборов
Магнитоэлектрические приборы состоят из
постоянного магнита, создающего однородное
радиальное поле, и обмотки, помещённой на
подвижной рамке. Ток к рамке подводится с
помощью двух спиральных пружинок или по
проволочной подвеске рамки (фиг. 10).
Магнитоэлектрические приборы использу-
ются в качестве точных, щитовых, лаборатор-
ных, переносных, стре-
лочных или зеркальных
гальванометров. Приме-
нение магнитного шунта
позволяет в широких пре-
делах изменять чувстви-
тельность прибора. Успо-
коение — вихревыми то-
ками, индуктирующимися
в рамке, на которую по-
мещена обмотка.
Достоинства: высокая
чувствительность, равно-
мерная шкала, хорошее
демпфирование, возмож-
ность определения направления тока, портатив-
ность, лёгкая регулировка чувствительности
магнитным шунтом.Магнитоэлектрические при-
боры пригодны только для постоянного тока.
В случае объединения с купроксным или анало-
гичным выпрямителем могут применяться для
цепей переменного тока. Приборы с выпрямите-
лем имеют большое падение напряжения и боль-
шое собственное потребление энергии.
Электромагнитные приборы. Приборы
с м я г к и м железом. Магнитное поле не-
подвижной катушки, обтекаемой током, дей-
ствует на кусочек
мягкого железа
соответствующей
формы, закреплён-
; ный на оси стрелки.
Градуировка шка-
лы — на основа-
нии эксперимента.
Демпфирование —
обычно воздушное.
Показания прибора
несколько зависят
от частоты и фор-
мы кривой тока.
Наиболее дешёвые
приборы широко
применяются в ка-
честве щитовых.
В новых конструкциях разница показаний на
постоянном и переменном токе крайне незначи-
тельна. Шкала — неравномерная.
Конструкция изображена на фиг. 11: железный
сердечник В сердцеобразной формы втягивает-
ся катушкой А. Воздушный успокоитель со-
стоит из поршенька D, движущегося без вся-
кого трения внутри криволинейного цилиндра.
Электродинамические приборы (фиг. 12)
— не содержат железа. Неподвижная и по-
движная катушки обтекаются током. Отклоня-
ющая сила пропорциональна произведению
сил токов в катушках. Шкала прибора — ква-
дратичная. Показания прибора не зависят от
полярности, формы кривой тока и частоты
(до 100 гц). Одинаковая градуировка для по-
стоянного и переменного тока. Градуируются
Фиг. 11.


524
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД.
Фиг. 12.
на постоянном токе. Очень чувствительны к
внешним магнитным полям. Успокоение — воз-
душное или вихревыми токами.
Благодаря незначительности собственного
поля направляющая сила прибора без железа
мала. Обычно вы-
полняются на ток
5 а для использо-
вания с трансфор-
матором тока.
Ферродинами-
ческие приборы
(фиг. 13). Для уси-
ления поля с целью
увеличения вра-
щающего момента
подвижная катуш-
ка помещена в коль-
цевой зазор замк-
нутого железного
сердечника, ана-
логично приборам
магнитоэлектриче-
ским. Неподвижная катушка служит для со-
здания поля.
Применение железа обусловливает появле-
ние погрешности вследствие гистерезиса и
остаточного намагничивания. На постоянном
токе прибор даёт раз-
нящиеся показания
при возрастании и
убывании нагрузки.
В ваттметрах пере-
менного тока . имеет
место сдвиг фаз
между намагничиваю-
щим током и создавае-.
мым им потоком. При-
менение ненасыщен-
ной магнитной систе-
мы и высоколегиро-
ванного железа силь-
но снижает указанные
погрешности, не устра-
няя их совсем.
Ферродинамические
приборы не являются
прецизионными инструментами. Их преимуще-
ства— высокий вращающий момент и незави-
симость от внешних магнитных полей.
Индукционные приборы (с вращающимся
полем) (фиг, 14). С помощью обмоток, распо-
ложенных на проти-
волежащих полюсах
четырёхполюсной ма-
гнитной системы из
листового железа, со-
здаётся вращающееся
поле. Последнее до-
стигается сдвигом на
90° токов, обтекаю-
щих каждую из обмо-
ток. Это вращаю-
щееся поле индукти-
рует в расположен-
ном между полюсами
алюминиевом стакане
токи, стремящиеся вращать этот стакан в напра-
влении вращения поля. Направляющая пружин-
ка стремится вернуть стакан, а вместе с ними
стрелку в исходное положение. Прибор не
очень чувствителен, не реагирует на внешние
Фиг. 13.
Фиг. 14.
магнитные поля. Чувствителен к частоте, форме
кривой тока и температуре. Градуируется при
определённой частоте. Успокоение — с по-
мощью вихревых токов,
Тепловые приборы (фиг.. 15). Измеряемый
ток, или его часть, протекает по натянутой
тонкой нагревательной проволоке, и за счёт
тепла, выделяющегося в ней согласно закону
Джоуля—Ленца, вызывает её удлинение. Удли-
нение проволочки с помощью натяжного
устройства D и ролика / сообщает движение
стрелке. На постоянном и переменном токах
Фиг. 15.
даёт одинаковые показания. При изменениях
температуры необходимо стрелку устанавли-
вать на нуль. Большое собственное потребле-
ние энергии и невысокая чувствительность.
Хорошее успокоение вихревыми токами. При
больших силах токов нагревательная прово-
лока шунтируется.
Приборы со скрещивающимися катуш-
ками. Для измерения сопротивления, угла
сдвига фаз, температуры с помощью термо-
метров сопротивления применяются приборы,
в которых положение двух подвижных перпен-
дикулярных друг другу катушек, соединённых
со стрелкой, определяется полем постоянного
магнита (на постоянном токе) или полем ка-
тушки (на переменном токе). Вследствие от-
сутствия в подобных приборах направляющей
силы пружины в обесточенном состоянии
стрелка у них остаётся в любом положении.
Электростатические приборы. Предназна-
чены для измерения разности потенциалов
главным образом на высоком напряжении.
Состоят из системы неподвижных и подвижных
пластин, связанных со стрелкой. Основаны на
притяжении или отталкивании между заряжён-
ными подвижными и неподвижными пластина-
ми. Расширение пределов измерений дости-
гается последовательным включением конден-
сатора или ответвления с большим безиндукци-
онным сопротивлением. Собственное потребле-
ние равно нулю на постоянном токе и факти-
чески равно нулю на переменном токе
Методы измерения
Измерение сопротивлений. Метод ам
пер метра и вольтметра. Измеряемое,
сопротивление (фиг. 16) включается послсдо
вательно с подходящим источником энергии
(батарея, аккумулятор) и амперметром. С по-
мощью амперметра определяют силу тока / в
цепи, а вольтметром — напряжение U на зажи-


ГЛ. VI]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
525
мах измеряемого сопротивления. Если сила
тока в цепи сопротивления велика по сравне-
нию с силой тока в цепи вольтметра, величина
сопротивления будет равна
•ллппл-
Ял
Фиг. 16.
Rx = ом. A6)
В противном слу-
чае необходимо
введение поправ-
ки. Вольтметр с
сопротивлением г
даёт показание U' в.
В этом случае
ОМ. A6'}
Мост Уитстона (фиг. 17). Три извест-
ных сопротивления i\, r2, R и неизвестное —
измеряемое сопротивление Rx включаются
четырехугольником. Две противоположные
вершины присоединяются
к гальванометру, две дру-
гие — к источнику энер-
гии (аккумулятор, бата-
рея). При отсутствии то-
ка в цепи гальванометра
имеют место следующие
соотношения:
rj: /2 = R .v : К,
Для удобства обращения сопротивление R
обычно выполняется в виде реостата с плав-
ной регулировкой, сопротивления г\ и г2 —
каждое из групп 1, 10, 100, 1000 ом. Если
ri — Г2 (ПРИ J = °)> то Rx = R будет получено
прямо из измерения.
Так как для измерения сопротивления не-
обходимо знать не самые значения сопроти-
влений г\ и r2, a
- лишь их отноше-
ние, то можно вос-
пользоваться одно-
родной проволокой
с малым темпера-
турным коэфи-
циентом сопроти-
вления (фиг. 18).
Скользящий кон-
такт делит прово-
локу на две части
/] и /2. В этом слу-
чае Rx : /? = /] : /2.
под проволокой нанесена шкала, по
можно непосредственно определить
отношение 1\: /2, то при отсутствии тока в
цепи гальванометра и выборе сопротивления
R — 0,1, 1, 10 и т. д. сопротивление Rx будет
найдено или непосредственно по шкале или как
отсчёт по шкале, умноженный па соответ-
ствующее значение R. В середине шкалы —
точность наибольшая.
Сопротивление элементов и жидкостей
может быть измерено подобным же мостом.
В этом случае батарея должна быть заменена
небольшим индукционным аппаратом или
переменным током низкого напряжения для
уменьшения поляризации, а гальванометр —
телефоном (мост Кольрауша).
Фиг. 18.
Если
которой
Измерение сопротивления изоляции.
Определяется: сопротивление изоляции отно-
сительно земли, сопротивление изоляции про-
водников относительно друг друга. В цепях
низкого напряжения численное значение со-
противления изоляции, выраженное в омах,
должно быть не менее тысячекратного значе-
ния рабочего напряжения, выраженного в
вольтах, т. е. при напряжении 120 в
/?„> 120000 ом.
Измерение сопротивления изоляции уста-
новки, не находящейся под рабочим напря-
жением, производится индуктором. Индуктор,
или магнитоэлектриче-
ский испытатель изоля-
ции, представляет собой
переносную магнито-
электрическую машину,
снабжённую коллектором
для выпрямления э. д. с.
и вмонтированную с
вольтметром в одном
ящике. Схема индуктора
дана на фиг. 19.
Вольтметр имеет две
шкалы — одну градуиро-
ванную в вольтах, вто-
рую — в килоомах. За-
жим 3 (земля) соеди- Фиг. 19.
няется с землёй, другой
зажим Л' (кабель) соединяется с проводом,
сопротивление изоляции которого испыты-
вается. Нажав кнопку S, вращают ручку индук-
тора с такой скоростью, чтобы вольтметр
показал номинальное напряжение U. Затем,
отпустив кнопку, продолжают вращать руко-
ятку индуктора с прежней скоростью. При
этом отклонение стрелки прибора станет
меньше. По шкале, градуированной в кило-
омах, производят отсчёт, который даёт зна-
чение сопротивления изоляции.
Измерение сопротивления изоляции
провода. Испытуемый проводник отключается
от питающей сети и от всех приёмников
энергии. Индуктор
включается по
схеме фиг. 20 к
испытуемому про-
воду и к заземлён-
ному металличе-
скому предмету —
водопроводная ма-
гистраль, централь-
ное отопление,кор-
пус станка. Изме-
рение произво-
дится, как указано
выше.
Из м е р ен и е
с о п р о т и в л е-
н и я изоляции
двух прово-
дов друготно-
с и т е л ь н о дру-
га. Схема соеди-
нения индуктора
дана на фиг. 21.
Процесс измере-
ния такой же, как и при измерении изоляции
провода относительно земли.
Фиг. 20.
Фиг. 21.


526
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
(РАЗД. I
Измерение мощности. Измерение мощно-
сти в цепи постоянного тока производится
с помощью амперметра и вольтметра:
P=UIem, E6)
где U — напряжение на зажимах приёмника,
а /—сила тока, потребляемая им.
Измерение мощ-
ности в цепях пере-
менного тока про-
изводится с по-
мощью ваттметра.
Схема включения
ваттметра приве-
дена на фиг. 22.
Коэфициент мощ-
Фиг. 22.
активная мощность
COS <p = кажущаяся мощность
ности (cos 9) под-
считывается из вы-
ражения:
UI cos 9
UI
E7)
Измерение мощности трёхфаз-
ноготока. а) В цепях трёхфазного тока
с нулевым проводом при любом характере
нагрузки потребляемая мощность может быть
выражена как сумма мощностей отдельных
фаз, т. е.
-f- UQ /c cos
E8)
Для измерения потребляемой мощности
необходимо включить в цепь три ваттметра
(фиг. 23) таким образом, чтобы каждый из
Фиг. 23-
Со.
Фиг. 24.
них измерял мощность отдельной фазы, а
затем следует сложить их показания.
б) При равномерной нагрузке всех трёх
фаз и доступности нулевой точки мощность
может быть измерена одним ваттметром,
включённым по схеме фиг. 24. В этом случае
ваттметр будет измерять мощность, потребля-
емую одной фазой:
p-^pp^UpIp cos 9.
Мощность, потребляемая системой, будет
равна утроенной мощности одной фазы:
р = ЗР = Ю
cos
i I i cos v. E9)
в) При равномерной нагрузке и недоступ-
ности нулевой точки или при отсутствии её
в случае соединения приёмников энергии
в треугольник создаётся искусственная нуле-
вая точка, как это указано на фиг. 25.
Здесь нулевая точка образуется двумя
сопротивлениями г2 и г3, каждое из которых
Фиг. 25.
в отдельности равно сопротивлению парал-
лельной цепи ваттметра г , состоящему из
сопротивления параллельной обмотки прибора
гп и добавочного- сопротивления г\;
Мощность, потребляемая приёмником, будет
равна утроенной мощности, измеренной ватт-
метром.
г) Мощность трёхфазной цепи при любом
характере нагрузки, как равномерной, так
и неравномерной, и отсутствии нулевой точки
может быть измерена с помощью двух одно-
фазных ваттметров, включаемых по схеме
Фиг. 26.
Арона (фиг. 26) или с помощью одного двух-
элементного ваттметра. Мощность, измеряемая
одним ваттметром, будет равна
Р' = UAB IA cos <K-
Мощность, измеряемая вторым ваттметром:
где UAB< U вс ~~ линейные напряжения;
/д и /с — линейные токи; <|л — угол сдвига
между UAB и ^д» а т'а — между UBC и 1с-
Мощность, потребляемая системой, будет
равна сумме показаний обоих ваттметров с
учётом их знаков:
р = Р' + р".


ГЛ. VI]
МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
527
Фиг. 28.
COS <f
v
OS
fifi
up
ПА
0?
0
8
V
0
т
те
1
в
ре
i
f
f
Ml
7
7/C
*
Л
ш
Г
ф
и
41
f
с
2'
s
to!
т.
^
,7
СУ
s
GJ
7К
\
V.
\
в!
Ш
1
\
\-\
9G
При равномерной нагрузке
^ = 30 — 7 и ф2 = 30 +
Следовательно,
Р = UI cos C0 — ср) + Ul cos C0
= /~3~ G/ cos .
При угле сдвига фаз ср>60° мощность,
учитываемая вторым ваттметром, будет отри-
цательна, так как косинусы углов, больших 90°,
отрицательны. В этом случае отклонение
стрелки будет в обратную сторону; для про-
изводства отсчёта необходимо изменить на-
правление тока в одной из обмоток (последо-
вательной или параллельной) прибора. Для по-
лучения полной мощности нужно из показаний
первого ваттметра вычесть показания вто-
рого, т. е.
Р = Р' —I-".
Фиг. 27 даёт изменение показаний каждого
из ваттметров и общей мощности системы
при постоянном значении силы тока и напря-
жения и меняющемся угле сдвига фаз сети
от 0 до 90° как в сторону упреждения, так
и отставания.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
Общие определения ;
Генератор (источник энергии) — вращаю-
щаяся машина, преобразующая механическую
энергию в электрическую.
Электродвигатель — вращающаяся машина, преобразую-
щая электрическую энергию в механическую.
Паспорт машины. Каждая электрическая машина имеет пас-
порт в виде щитка с указанием основных сведений, необ-
ходимых для её эксплоатации (фиг. 28). Паспорт содержит
следующие сведения: а) завод,
изготовивший машину; б) на-
значение машины и род тока,
на котором она работает; в) за-
водский номер, дающий возмож-
ность отличить её среди одно-
типных; г) условное заводское
обозначение типа; д) способ
соединения обмоток; е) номи-
нальная полезная мощность, отдаваемая генератором, или по-
лезная мощность на валу для двигателя; ж) номинальное на-
пряжение; з) номинальная сила тока; и) номинальная скорость
вращения — число оборотов в минуту при номинальной на-
грузке; к) коэфициент мощности (для машин переменного
тока).
Щиток асинхронного двигателя приведён на фиг. 28. Ука-
занные на паспорте величины называются номинальными дан-
ными машины.
Номинальные величины определяются ГОСТ 183-41.
МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Конструкция машины постоянного тока
Основные элементы машины постоянного тока:
а) магнитная система состоит из ярма и полюсов с полюс-
ными наконечниками, служит для направления и распределения
магнитного потока, который создаётся обмоткой возбуждения,
помещённой на полюсах;
б) якорь—цилиндрическое тело, по наружной поверхности
которого в пазах уложены проводники, предназначенные для
индуктирования э. д. с. при вращении якоря;
в) коллектор — цилиндрическое тело, со-
бранное из клинообразных медных пла:тин,
гр. разделённых изолирующими прокладками из
миканита. К коллекторным пластинам присоеди-
няются концы секций обмотки якоря. Назначе-
ние коллектора — выпрямление э. д. с. и тока,
индуктируемых в машине;
г) щётки с щёткодержателями — служат
для съёма тока с вращающегося якоря.
Якорь собирается из стальных листов тол-
щиной от 0,3 до 0,5 мм, оклеенных с одной
стороны специальной бумагой или покрытых
лаком для уменьшения потерь на вихревые
токи. Для обеспечения хорошего охлаждения
тело якоря в осевом направлении разделяется
воздушными промежутками шириной 6—10 мм,
расположенными друг от друга на расстоянии
40 — 70 мм; кроме того, часто железо якоря,
снабжается для той же- цели осевыми воздуш-
ными каналами.
Обмотка якоря. Современные машины
имеют барабанный якорь. Обмотка из медной
проволоки, изолированной хлопчатобумажной
пряжей, или из медных изолированных стерж-
ней укладывается в открытые пазы, выштам-
пованные на окружности якоря. Для предохра-
нения изоляции провода от повреждения о
стенки паза укладываемая обмотка защи-
щается коробкой из прессшпана. Соединение
отдельных элементов обмотки между собой
выполнено так, чтобы э. д. с. стержней, располо-
женных под различными полюсами и образую-
щих одну обмотку, суммировались. Часть
обмотки, находящаяся между коллекторными
F0)


528
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. I
пластинами, при следовании по схеме называет-
ся секцией. Начало одной секции и конец
предыдущей присоединяются к одной коллек-
торной пластине.
Для получения замкнутой обмотки якоря,
включающей все её проводники и возвраща-
Фиг. 29.
ющейся в исходную точку, обмотка должна
соединяться определённым образом. Волновой
или последовательной называется обмотка,
получаемая последовательным соединением
сторон секций, расположенных под разноимён-
ными полюсами при движении в одном на-
правлении (фиг. 29).
При последовательном движении вперёд и
назад получают петлевую или параллельную
обмотку (фиг. 30). Результирующий шаг об-
мотки, или просто шаг обмотки у, есть число
активных сторон обмотки, пропускаемых при
перемещении по окружности якоря от начала
одной секции до начала следующей. Шаг об-
мотки у делится между частичными шагами
Уч и v2. Образование частичных шагов приве-
дено на фиг. 29 и 30.
Электродвижущая сила (э. д. с.), индуктиро-
ванная в якоре,
.
гт\
60 а
F1)
где р — число пар полюсов; а — число пар па-
раллельных ветвей обмотки якоря; п — число
оборотов якоря в минуту; Ф — магнитный по-
ток в В', N — число активных проводников
якоря. Объединяя постоянные величины ^ ,
O\J
а и /V, получим:
где Се •=
60
F2)
Общие свойства машины постоянного тока
Реакция якоря. При работе машины вхо-
лостую (внешняя цепь машины разомкнута)
поле полюсов симметрично относительно по-
люсов. В этом случае напряжение на щётках,
расположенных на геометрической нейтрали,
будет наибольшим. При протекании по обмот-
ке якоря невозбуждённой машины тока того
же направления, как и при работе машины,
образуется поле, ось которого будет перпен-
дикулярна оси полюсов, а направление опре-
делится правилом буравчика. Это поперечное
поле называется полем реакции якоря. При
нагрузке машины оба поля суммируются и бу-
дет иметь место одно результирующее ма-
гнитное поле, несимметричное относительно оси
полюсов. Следствием искажения магнитного
потока явится перемещение нейтральной линии
на некоторый угол $, зависящий от величины
нагрузки.
Для избежания суммирования электродви-
жущих сил противоположных знаков щётки
необходимо сместить на угол J3, поставив их
на физическую нейтраль. При этом ампервитки
обмотки якоря, лежащие внутри угла 2 р, на-
зываемые продольными ампервитками реакции
якоря, будут размагничивать поле полюсов.
Ампервитки, заключённые в пределах угла а,
создают магнитное поле, перпендикулярное к
силовым линиям поля полюсов и вызывают иска-
жение магнитного поля полюсов и переме-
щение физической нейтрали (фиг. 31). Эти ам-
первитки называются поперечными ампервит-
ками реакции якоря.
Вследствие размагничивающего действия
продольных ампервитков реакции якоря даже
при сдвиге щёток на физическую нейтраль
величина индуктируемой в машине э. д. с. бу-
дет меньше, чем при холостой работе.
Для предотвращения сдвига физической
нейтрали в машинах необходимо уничтожить
поле реакции якоря с помощью добавочных
Геме/при.
полюсов или компенсационной обмотки, укла-
дываемой в пазах полюсных башмаков глав-
ных полюсов.
Коммутация. При переходе проводника
обмотки якоря через нейтральную линию из
зоны одной полярности в другую направление
тока, протекающего по проводнику, меняется
на противоположное. Процесс изменения на-
правления тока в проводнике называется ком-
мутацией тока или просто коммутацией.
При отсутствии добавочной э. д. с. в комму-
тируемой секции сила тока в ней будет изме-
няться в прямолинейной зависимости от вре-
мени. Этот случай называется прямолинейной
коммутацией и является идеалом, к которому
стремятся приблизиться. В действительности
при изменении силы тока в короткозамкнутой
секции будет индуктироваться э. д. с. самоин-
дукции es, которая вызовет появление доба-
вочного тока ik. Добавочный ток увеличивает
плотность тока у одного края щётки, задер-
живает процесс коммутации, который теряет
прямолинейный характер и будет заканчивать-
ся после выхода из-под щётки соответствую-
щей коллекторной пластины. Коммутирование
будет сопровождаться сильным искрением.
Последовательные стадии процесса коммута-
ции изображены на фиг. 32, а, б, в.
Для достижения прямолинейной коммута-
ции в секции необходимо индуктировать э. д. с.,
равную по величине и направленную против


ГЛ. VI]
МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
529
э. д. с. самоиндукции. Это может быть достигну-
то сдвигом щёток с нейтрали по направлению
вращения в генераторе или против направле-
ния вращения в двигателе, или с помощью
В шунтовых машинах магнитный поток
создаётся небольшим током, ответвляемым от
якоря; в сериесных весь ток якоря участвует
в создании магнитного потока; машины со
смешанным возбуждением
или компаундные имеют
одновременно и параллель-
ную и последовательную
обмотки возбуждения.
установки на нейтрали добавочных полюсов,
поле которых индуктировало бы необходимую
э. д. с., оставляя при этом щётки на нейтрали.
Поле добавочных полюсов должно быть на-
правлено навстречу полю реакции якоря. Об-
мотка добавочных полюсов включается после-
довательно в цепь якоря (фиг. 33).
Способы возбуждения магнитного потока
а"! Машины с независимым возбуждением
имеют магнитный поток, созданный обмоткой
возбуждения, питаемой от независимого источ-
Характеристики генера-
торов постоянного тока
Свойства генераторов
обычно представляются кри-
выми, так называемыми
характеристиками генера-
тора.
Характеристика холостого хода (фиг. 35)
представляет зависимость э. д. с. генератора от
силы тока возбуждения
/?=/(/y)при постоянной ско-
рости вращения п = const и
силе тока якоря 1а — 0. Ха-
рактеристика холостого хо-
да характеризует машину с
точки зрения магнитных
свойств и степени магнит-
ного насыщения.
Нагрузочная характе-
ристика (фиг. 36) показы- Фиг. 35.
вает изменение напряжения
на зажимах генератора U в зависимости от
тока возбуждения if при п = const и некото-
ром токе якоря /а = const; ?/= f (if); n — const
и Ia — const.
Нагрузочные характеристики имеют вид,
аналогичный характеристике холостого хода,
•consi
Фиг. 33.
Фиг. 3E.
Фиг. 37.
ника энергии (специальная возбудительная ма-
шина или аккумулятор) (фиг. 34, а).
Фиг. 34.
б) Машины с самовозбуждением, в которых
ток возбуждения создаётся за счёт э. д. с., ин-
дуктированной в якоре. Различают машины
шунтовые или с параллельным (фиг. 34, б),
сериесные с последовательным (фиг. 34, в) и
компаундные со смешанным возбуждением
(фиг. 34, г).
но располагаются ниже её. Это происходит
вследствие: 1) падения напряжения в якоре и
в контакте щёток с коллектором;
2) воздействия реакции якоря на
главное поле.
Внешняя характеристика (фиг.
37) показывает зависимость напряже-
ния на зажимах генератора от тока
якоря при неизменной скорости вра-
щения и постоянном токе возбужде-
ния: U = f GЙ); п — const и if — const.
Внешняя характеристика позво-
ляет определить падение или повы-
шение напряжения генератора при изменении
нагрузки от холостого хода до номинальной
величины или наоборот,
падение напряжения;
34 Том 1, кн. I


530
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. 1
—-100%—повышение напряжения,
Фиг. 38.
где Un — номинальное напряжение генератора,
UQ — напряжение холостого хода.
Регулировочная характеристика показы-
вает зависимость тока возбуждения от тока
якоря при неизменном
напряжении на зажи-
мах генератора if =
^ = Д/0); п = const и
U — const.
Самовозбуждение
' генераторов посто-
>д янного тока возмож-
но при выполнении
следующих условий:
aj наличии остаточного магнитного потока
в магнитной цепи машины;
б) присоединении обмотки возбуждения та-
ким образом, чтобы ток возбуждения, протека-
ющий по ней, создавал бы поток одинакового
направления с остаточным магнитным потоком;
в) сопротивление цепи возбуждения меньше
некоторого определённого значения, называе-
мого критическим, при котором машина не
самовозбуждается;
г) цепь якоря у шунтовых и компаундных
генераторов разомкнута, у сериесных — обя-
зательно замкнута.
Параллельная работа генераторов по-
стоянного тока. Для параллельного включе-
ния генераторов постоянного тока необходимо,
чтобы: а) напряжение подключаемой машины
Фиг. 39.
равнялось напряжению сети или уже работаю-
щей машины, б) полярность соединяемых
зажимов была бы одинакова.
Подключённый таким образом генератор
не отдаёт тока. Для нагрузки вновь подключён-
ного генератора //
(фиг. 39) необхо-
димо увеличить его
э. д. с., увеличив
его ток возбужде-
ния. Чем больше
будет возбужде-
ние, тем больше
нагрузится генера-
тор. Во избежание
повышения напря-
жения на ши- Фиг. 40.
нах одновременно
с увеличением тока возбуждения подклю-
чаемого генератора необходимо несколько
уменьшить возбуждение работающего гене-
ратора. Схема включения приведена на фиг. 39.
Распределение нагрузки между параллельно
работающими генераторами производится про-
.порционально их мощностям. При отсутствии
регулирования автоматическое распределение
нагрузки между генераторами будет происхо-
дить в соответствии с их внешними характе-
ристиками (фиг. 40).
Электродвигатели постоянного тока
Электрические машины обладают свойством
обратимости. Если к якорю возбуждённой
машины постоянного тока подвести напряже-
ние, то вследствие взаимодействия между ма-
гнитным потоком Ф и током якоря /д возни-
кает вращающий момент, равный
или
Я N
М = 2*-9,8 Г ' а ' 7«Ф кгм'
М=Ст1аФ.
F3)
р N
Здесь Ст= 2т: .981 ' 7г'' ? ~ число паР по'
люсов машины, /V—число активных провод-
ников обмотки якоря; а — число пар парал-
лельных ветвей обмотки; 1а — ток якоря;
Ф —магнитный поток одного полюса в В,
* Если момент, развиваемый электродвигате-
лем, будет больше момента сопротивления,
то якорь придёт во вращение. При вращении
якоря его проводники будут пересекать сило-
вые линии магнитного потока и в них будет
индуктироваться так называемая противоэлек-
тродвижущая сила, направленная против при-
ложенного напряжения и равная
Е
-• Ф в или Е=С,Ъп.
рп_
60 а
Ток якоря, потребляемый при вращении,
будет равен
U—F
fa = —ц — * F4)
По мере ускорения якоря противоэлектро-
движущая сила будет увеличиваться, а сила
тока уменьшаться. Вследствие этого будет
уменьшаться и момент, развиваемый электро-
двигателем. Ускорение прекратится, как толь-
ко наступит равновесие моментов двигателя
и внешних сопротивлений.
Скорость, вращения якоря пропорциональ-
на величине противоэлектродвижущей силы
и обратно пропорциональна величине магнит-
ного потока
Так как E = U —
<, то
Мощность на валу двигателя равна
F5)
F6)
где т, — к. п. д. двигателя.
Мощность может быть выражена через
момент и скорость вращения
Мп
F7)


ГЛ
МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
531
где М — момент в кгм, ал — число оборотов
в минуту двигателя.
Реакция якоря. При протекании тока по
якорю, так же как и в генераторах постоянного
тока (см. стр. 16), возникает магнитный поток,
направленный по оси щёток. Поток реакции
якоря вызывает искажение потока полюсов и
одновременно некоторое уменьшение его. За
счёт размагничивающего действия поля реакции
падение скорости под нагрузкой будет меньше.
Типы электродвигателей. Электродвига-
тели постоянного тока, так же как и генера-
торы, различаются в зависимости от системы
возбуждения. Существуют: а) двигатели шун-
товые или с параллельным возбуждением,
б) сериесные или с последовательным возбу-
ждением и в) компаундные или со смешанным
возбуждением.
Механические характеристики электро-
двигателей. Для оценки свойств электродви-
гателей служат механические характеристи-
ки — зависимости скорости вращения от мо-
мента вращения, развиваемого двигателем.
Шунтовой электродвигатель. Обмотка
возбуждения шунтового двигателя приклю-
чается параллельно якорю (фиг. 41, а). При
постоянном напряжении на зажимах двигателя
его магнитный поток будет постоянен. При
холостом ходе двигатель потребляет из сети
небольшой ток, необходимый для покрытия
потерь холостого хода. Скорость вращения его
ограничена величиной неизменного магнитного
потока. При увеличении нагрузки на валу
нарушается равновесие моментов, развивае-
мых электродвигателем, и момента нагрузки.
Якорь начинает замедляться, это вызывает
уменьшение противоэлектродвижущей силы
якоря, последнее обусловливает увеличение
силы тока, потребляемой из сети, а следова-
тельно, и момента. Снижение скорости будет
происходить до установления равновесия новых
значений моментов. Изменение скорости будет
тем меньше, чем меньше сопротивление якоря.
Пуск двигателя в ход должен производить-
ся при полном значении магнитного потока.
Шунтовые двигатели применяются везде, где
при меняющейся нагрузке необходима почти
постоянная скорость (привод металлорежущих
станков, насосов и т. п.). Характеристики шун-
тового двигателя приведены на фиг. 41, б.
Сериесный электродвигатель. Обмотка
возбуждения сериесного двигателя включается
последовательно в цепь якоря. Магнитный по-
ток здесь является функцией тока якоря.
При увеличении нагрузки сериесный двигатель
резко снижает скорость вращения, при разгруз-
ке— повышает. При холостом ходе двигатель
идёт .в разнос". Применение сериесного дви-
гателя недопустимо, где возможен его холо-
стой ход. По этой причине недопустима работа
его с ремённой передачей. Так как магнитный
поток сериесного двигателя пропорционален
току якоря Ф~1а, а момент М — Ст1аФ.
следовательно, момент, развиваемый им, при-
мерно пропорционален /J.
Это свойство сериесных двигателей осо-
бенно ценно для целей тяги и внутризаводского
транспорта, где при больших значениях момен-
та необходимо иметь невысокие скорости.
В механизмах этого рода разнос двигателя
невозможен благодаря жёсткому соединению
с помощью зубчатой передачи. На фиг. 42,
а и б приведена схема включения и характе-
ристики сериесного двигателя.
Компаундный электродвигатель. Ком-
паундный электродвигатель имеет шунтовую
и последовательную обмотки возбуждения.
В зависимости от того, какая обмотка преобла-
дает, характеристики его могут приближаться
к характеристикам шунтового или сериесного
двигателя. Часто шунтовые двигатели снаб-
жаются последовательной обмоткой для
улучшения их пусковых свойств. Обычно не-
большой последовательной обмоткой снаб-
жаются шунтовые двигатели для получения
устойчивой работы при переменной нагрузке.
Это особенно необходимо при широкой регу-
Фиг. 43.
лировке скорости изменением тока возбужде-
ния. Схема включения и характеристики ком-
паундного электродвигателя приведены на
фиг. 43, а и б.
Пуск двигателя в ход. Для пуска двига-
теля в ход необходимо в цепь якоря включить
пусковой реостат R& так как в начале пуска
якорь неподвижен п = 0, противоэлектродвижу-
щая сила Е — 0 и ток при работе, равный
достиг бы очень большой величины
U
In =•
_
К
недопустимой для двигателя ни по соображе-
ниям механической прочности, ни по условиям


532
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. 1
коммутации. Для ограничения первого толчка
тока при пуске последовательно с якорем
включается пусковой реостат:
аП ~ Ra + Rd
По мере разгона двигателя начинает расти
противоэлектродвижущая сила Е и уменьшать-
Фиг. 44.
ся сила тока. Это вызывает уменьшение мо-
мента, развиваемого двигателем, и удлиняет
процесс пуска.
Для увеличения момента необходимо уве-
личить силу тока с помощью уменьшения
сопротивления пускового реостата. Сопроти-
вления отдельных секций пускового реостата
подбираются так, чтобы пиковое значение
тока не превосходило 200—250% номинального
значения тока якоря. От количества ступеней
пускового реостата зависит плавность пуска
двигателя; однако увеличение числа ступеней
вызывает удорожание пускового устройства.
Рекомендуемые количества ступеней пусково-
го сопротивления при ручном управлении для
двигателей различной мощности приведены
в табл. 6.
Таблица 6
!
Мощное
о.75
3.5
37
ТОО
ть в кет
— 2.5
— 33
-92
-37°
Количество
пускового
2
4
7
9
ступеней
реостата
Графики изменения силы тока при пуске
шунтового двигателя приведены на фиг. 44.
Метод расчёта пускового сопротивления
(см. т. VIII).
Реверсирование двигателя. Для измене-
ния направления вращения необходимо изме-
нить направление тока в цепи якоря или на-
правление магнитного потока. (Изменение по-
лярности зажимов машины — замена положи-
тельного зажима отрицательным изменения
направления вращения вызвать не может.)
Обычно при реверсидовании изменяется на-
правление тока в якоре. При этом необходимо,
•чтобы одновременно с якорем направление
тока изменялось в обмотках добавочных полю-
сов и компаундной.
Регулирование скорости
Изменение тока возбуждения. Регулиро-
вание осуществляется без потерь. Изменение
скорости шунтового двигателя достигается
изменением сопротивления, включаемого после-
довательно в цепь обмотки возбуждения.
Пределы регулирования скорости достигают
1:2 до 1:3. Регулируемые двигатели тяжелее
и дороже нерегулируемых. Регулирование
скорости сериесных двигателей может быть
осуществлено шунтированием обмотки возбу-
ждения или якоря с помощью небольшого
сопротивления. Для увеличения скорости
вращения ослабляется магнитный поток с по-
мощью шунтирования обмотки возбуждения,
шунтирование якоря увеличивает ток обмотки
возбуждения по сравнению с током якоря
и ведёт к снижению скорости. Этот способ
регулирования применяется в крановых
устройствах.
Включение сопротивления в цепь якоря.
Этот способ регулирования вызывает значи-
тельные потери энергии. Последовательно
включённое в цепь якоря сопротивление со-
здаёт добавочное падение напряжения и тем
понижает напряжение, приложенное к якорю.
Скорость вращения будет:
С'Ф
F8)
При малых нагрузках регулирование ста-
новится неэффективным, так как при этом
ток якоря 1а мал. С увеличением нагрузки
скорость начинает сильно падать, характери-
стика становится мягкой.
Изменение приложенного напряжения.
Этот способ применим при питании электро-
двигателя от своего генератора — система
Леонарда. В этом случае цепь якоря шунто-
вого двигателя питается от шунтового гене-
ратора, приводимого во вращение любым дви-
гателем. В современных условиях для этой
цели используются либо асинхронные, либо
синхронные двигатели. С помощью изменения
тока возбуждения генератора изменяется и на-
пряжение, приложенное к цепи якоря двига-
теля. Изменение тока возбуждения генератора
от максимального значения в одном направле-
нии до нуля и затем от нуля до максимального
значения обратного направления позволит сни-
зить скорость электродвигателя от максималь-
ной до нуля и затем получить вращение в обрат-
ном направлении.
Таким образом возможно регулирование
скорости в пределах до 1:8. Здесь якорь гене-
ратора непосредственно включается к якорю
двигателя. Двигатель питается напряжением
соответствующей величины и полярности. Ре-
гулирование очень плавное и без потерь. Так
как при этом двигатель работает с полным
магнитным потоком, а генератор выбирается
на номинальную силу тока двигателя, то он
может развить полный момент даже при ско-
рости, близкой к нулю. Система Леонарда
позволяет осуществить плавный пуск двигателя
без потерь за счёт постепенного повышения
напряжения. Пределы регулирования системы
Леонарда можно расширить воздействием на
ток возбуждения двигателя до 1:20. Применяя


ГЛ. VI]
МАШИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
533
специальную схему возбуждения генератора,
фирма Вестингауз получила в системе Леонар-
да пределы регулирования 1:120.
На фиг. 45 приведена схема соединений по
системе Леонарда. Здесь АД—асинхронный
двигатель, приводящий во вращение генератор
Фиг. <!5.
постоянного тока — ГПТ и возбудитель — В.
питающий обмотки возбуждения генератора
и регулируемого двигателя постоянного
гока— ДПТ.
Амплидин
Амплидин (amplifier dynamo) — электроме-
ханический усилитель, служащий для усиления
слабых токов или мощностей для целей упра-
вления и регулирования электродвигателей
и аппаратов.
Амплидин представляет собой генератор
постоянного тока, снабжённый обмоткой неза-
висимого воз-
буждения (об-
мотка управле-
j ^j-w ния), двумя ком-
/ /I ф\ плектами щёток
' ' /? ' э Х А — Б и В — Г
и ком пенс ацион
ной обмоткой
(фиг. 46).
Щётки А —
Б, расположен-
ные перпенди-
кулярно к оси
потока полю-
сов, замкнуты
накоротко.
Э. д, с.— Е2, ин-
дуктированная
потоком обмотки управления Ф^ создаёт в цепи
короткозамкнутых щёток А — Б ток /2. Ток /2
создаёт поток реакции якоря Ф2 вдоль оси
щёток. Поток Ф2 индуктирует в обмотке якоря
э.д. с. — ?3, которая с помощью щёток В — Г
подводится к нагрузке. Поток реакции якоря Ф3,
созданный током нагрузки /3, направлен
навстречу потоку обмотки управления Ф-[
и является вредным потоком. Поток Ф3 уни-
чтожается действием компенсационной обмот-
ки, расположенной в полюсных башмаках
полюсов управления.
Цепь короткозамкнутых щёток Л — Б обла-
дает малым омическим сопротивлением. Для
создания в ней тока /2, равного номинальному,
необходима очень небольшая э. д. с. — Е^. По-
ток Ф3 по оси щёток В — Г будет индукти-
*нг-
ровать э. д. с. —?а, равную номинальному зна-
чению. Таким образом, небольшой ток /.,, под-
ведённый к обмотке управления, вызовет по-
явление тока /3, во много раз превосходящего
значение 1\. Усиление, даваемое амплидином,
может достигать до 10000. Амплидин исполь-
зуется для: 1) плавного регулирования скоро-
сти в широких пределах; 2) ограничения на-
грузки с целью предохранения механического
и электрического оборудования; 3) регулиро-
вания момента или усилия при волочении, на-
мотке или прокатке; 4) увеличения ускорения
и замедления для повышения производитель-
ности машин, обладающих большими инер-
ционными массами; 5) точной остановки стан-
ков, электродоз электрических печей; 6) ре-
гулирования тока, напряжения и мощности.
МАШИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Общие сведения
Генерирование электрической энергии пере-
менного тока производится синхронными ге-
нераторами, как и в машинах постоянного
тока. В синхронном генераторе э. д. с. воз-
никает вследствие взаимного пересечения про-
водников и магнитных силовых линий (правило
правой руки).
Обмютка, в которой генерируется э. д. с.,
укладывается на неподвижной части генера-
тора — статоре. Магнитный поток генератора
создаётся обмоткой возбуждения, помещённой
на вращающейся части машины — роторе. Об-
мотка возбуждения питается постоянным током
от независимого источника или возбудителя -^
генератора постоянного тока.
Статор генератора — цилиндрическое по-
лое тело, собранное из листов дннамной стали,
по внутренней поверхности которого в пазах
уложена обмотка, .индуктирующая э. д. с.
Различают два типа роторов: а) неявнополюс-
ный в виде сплошного стального цилиндра
с выфрезерованными пазами для обмотки воз-
буждения; применяется для турбогенераторов;
Фиг. 47.
б) явнополюсный в виде колеса с полюсами
на ободе; применяется для скоростей от 50
до 750 об/мин.
Обмотки статоров выполняются однослой-
ными или ДВУХСЛОЙНЫМИ и состоят из секций,


534
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. I
образованных последовательно соединёнными
витками, уложенными в пазах.
Современные генераторы конструируются
главным образом трёхфазными. Обмотка ста-
тора трёхфазного генератора состоит из трёх
частей, имеющих сдвиг друг относительно друга
на 120 электрических градусов (число электри-
ческих градусов равно числу геометрических,
умноженному на число пар полюсов — р).
Соединение фазных обмоток может быть вы-
полнено звездой или треугольником. Схема
трёхфазной однослойной обмотки с т — 3,
р = 2, q — 2, соединение групп катушек после-
довательное, фаз — звездой приведена на фиг. 47,
где т — число фаз, р — число пар полюсов,
a q — число пазов на полюс и фазу.
Для получения строго синусоидальной
э. д. с. двухслойные обмотки часто выполняются
с дробным числом пазов на полюс и фазу
(д не равно целому числу).
Электродвижущая сила генератора. При
вращении ротора его магнитный поток индук-
тирует в обмотке статора переменную синусо-
идальную э. д. с. Частота индуктированной
э. д. с,
ч-РЛ
^~ 60
(р — число пар полюсов, п — число оборотов
ротора в минуту). Действующее значение
индуктированной э. д. с. фазы равно
= 4,44 k
F9)
где да— число витков одной фазы, v — частота,
Ф — поток одного полюса, kw — коэфициент
обмотки, учитывающий уменьшение э. д. с.
вследствие сдвига катушек одной фазы друг
относительно друга и сокращения шага об-
мотки.
Реакция якоря. При работе генератора
вхолостую в нём существует только поток по-
люсов. При протекании тока по обмотке ста-
тора вокруг проводников с током образуется
магнитный поток. Часть этого потока сцеплена
только с обмоткой якоря —поток рассеяния;
другая часть вступает в полюс и взаимодей-
ствует с пото-
ком полюсов—
поток реакции
якоря. Магнит-
ные потоки фаз-
ных обмоток
статора образу-
ют результиру-
ющий магнит-
ный поток, рав-
ный полуторно-
му значению
максимального
потока одной
фазы Ф —
= Т *max-Ре-
Фиг. 48. ^
зультирующий магнитный поток вращается в
пространстве с синхронной скоростью
60 v
п\ — —— •
р
Он неподвижен относительно потока полюсов
и. следовательно, будет с ним взаимодейство-
вать. При протекании по обмотке статора тока,
совпадающего по фазе с индуктированной
э. д. с., магнитный поток перпендикулярен
к оси потока полюсов и называется попереч-
ным полем. Ток статора, сдвинутый относи-
тельно э. д. с. на угол 4», создаёт магнитный
поток, образующий с осью потока полюсов
угол а = УО -^- 41 (фиг. 48). Поток реакции
якоря может быть разложен на составляющую,
перпендикулярную оси полюсов — поперечную
составляющую — и составляющую, совпадаю-
щую с осью полюсов — продольную. Продоль-
ная составляющая вызовет либо размагничи-
вание, либо намагничивание основных полю-
сов, поперечная — искажение основного ма-
гнитного потока.
Продольные ампервитки якоря
A Wad — AWa sin 4>. G0)
Поперечные
При отставании тока от э. д. с. ампервитки
размагничивают машину, при упрежде-
нии — намагничивают.
Диаграмма напряжений. При нагрузке ге-
нератора напряжение на его зажимах умень-
шается вследствие изменения полезного по-
тока под влиянием реакции якоря, индуктив-
ного и активного падения напряжения. Изме-
нение напряжения оценивается процентным
падением напряжения
Д?/=
1000/Q.
Процентное повышение напряжения при
разгрузке генератора
&V= E°~Un . 100"/0.
Изменения напряжения определяются экспе-
риментально или с помощью диаграммы напря-
жения. Построе-
ние её для индук-
тивной нагрузки
приведено на фиг.
49. Здесь A W0 —
ампервитки полю-
сов при холостом
ходе; AWa—ам-
первитки реакции
якоря: AW — ре-
зультирующие ам-
первитки генера-
тора при нагрузке;
ЕО — э. д. с. холо-
стого хода; Е— ^
Фиг 44
э. д. с., индуктируе- •
мая при нагрузке;
Ixs — индуктивное падение напряжения, вы-
званное потоком рассеяния; /г—активное
падение напряжения.
Характеристики синхронного
генератора
Характеристика холостого хода (фиг. 50)
даёт зависимость напряжения на зажимах ?0
от тока возбуждения или ампервитков AWq,
EQ = f(if) или EQ — f(AWo), при п = const
и 7 = 0.


ГЛ. VI]
МАШИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
535
Она характеризует степень насыщения
машины, а площадь, заключённая между её
восходящей и нисходящей ветвями, — потери
на гистерезис в полюсах машины.
Внешняя характеристика представляет
собой зависимость напряжения на зажимах ге-
нератора U от силы
тока в статоре /,
т. е. U — f (/) при
cos ср — const, if =
=const нп = const.
Внешняя харак-
теристика может
быть снята при
токе возбуждения,
который при холо-
стом ходе создаёт
Е0^и„ (фиг. 51),
или при токе воз-
буждения, который при номинальном токе /
и заданном cos <p = const создаёт Un (фиг. 52).
Фиг. 51.
Фиг. 52.
С помощью внешних характеристик мож-
но определить процентное изменение напря-
жения.
Регулировочная характеристика (фиг. 53)
— зависимость тока возбуждения if или ам-
первитков от тока
нагрузки /, т. е.
// = /(/) при t/ =
?/„= const, cos <p=z
const и п — const.
Параллельная
работа синхрон-
ных генераторов.
Включение на
параллельную
работу. Синхрон-
ные генераторы
обычно работают совместно на общие шины.
По условиям работы приходится отдельные
генераторы отключать или приключать
к шинам.
Включение на параллельную работу гене-
ратора возможно при выполнении следующих
условий: а) э. д. с. включаемого генератора
должна иметь одинаковое эффективное значе-
ние с напряжением сети, т. е. ? ц — Uc\
6) частота генератора должна быть равна
частоте сети vI( = чс; в) фаза э. д. с. гене-
ратора должна быть противоположна фазе
напряжения сети; г) чередование фаз гене-
ратора должно соответствовать чередованию
фаз сети.
Совокупность операций, необходимых для
выполнения указанных требований, называется
3 ———— г
8 ——
С
h
синхронизацией генератора. Для проверки вы-
полнения условий включения применяются
специальные синхронизирующие устройства.
Контроль равенства частот и фазы э. д. с.
производится с помощью синхроноскопа. Про-
стейшим синхроноскопом могут служить лампы
накаливания (синхронизационные лампы). Воз-
можны две схемы включения ламп: а) схема
на потухание (фиг. 54, а) и б) схема на вра-
щение огня (фиг. 54, б).
При правильном порядке следования фаз,
равенстве напряжений Е п = t/j и небольшом
неравенстве частот Vj ф -vjj лампы, включён-
ные по схеме фиг. 54, я, будут одновременно
загораться и потухать. Из
фиг. 54, б видно, что при не-
равенстве частот звезда век-
торов сети А — В — С бу-
дет вращаться со скоростью,
отличной от скорости вра-/
щения векторов звезды
А1 — В' — С', и напряжения
на фазных лампах будут
одновременно возрастать
или уменьшаться.
На фиг. 55 изображены
кривая напряжения сети Uc
и кривая э. д. с. приключае-
мого генератора Е и напря-
жение, приходящееся на ка-
ждую фазную лампу. Это на-
пряжение будет возрастать
от 0 до 2 U, и поэтому лам-
пы должны быть взяты на
двойное фазное напряжение.
Включение производится в
момент потухания ламп. По-
переменное потухание ламп
указывает на неправильное чередование фаз
генератора. Необходимо две любые из них
поменять местами. При включении фазных
ламп по схеме фиг. 56, а загорание и потуха-
ние ламп будут происходить не одновременно,
а поочерёдно. Изменение напряжения на лам-
пах видно из векторной диаграммы на фиг. 56, б.
Включение в этом случае производится в мо-
мент потухания одной лампы, приключённой
к шинам одноимённых фаз, и одинакового све-
чения двух других. При расхождении фаз или
при неравенстве частот лампы будут пооче-
рёдно загораться и потухать. Последователь-
ное загорание ламп, расположенных по кругу,
создаёт впечатление вращения огня. Напра-
вление вращения будет зависеть от того, больше
Фиг. f>4.
или меньше частота приключаемого генера-
тора, чем частота сети.
На фиг. 54 и 56 кружком с крестиком
обозначена горящая лампа, а кружком без
крестика — негорящая.


536
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. I
Фнг. 56.
Распределение реактивной и активной
мощности генераторов. Увеличение тока воз-
буждения генераторг,
приключённого к шинам,
вызовет появление в
цепи генератора тока,
опережающего напряже-
ние сети на 90° и являю-
щегося для сети чисто
ёмкостным током. При
недовозбуждении генера-
тора ток, потребляемый
им из сети, будет чисто
индуктивным. Таким об-
разом, изменение воз-
буждения генератора, ра-
ботающего в параллель
с другим, может вызвать
только перераспределе-
ние реактивной мощно-
сти между ними.
Изменение нагрузки
генератора может быть
получено только за счет
сообщения его ротору
ускорения путём увели-
чения момента, разви-
ваемого его первичным двигателем (дополни-
тельный впуск пара в турбину).
Синхронные двигатели
Обратимость синхронной машины. При
уменьшении момента, передаваемого первич-
ным двигателем валу синхронного генератор?,
будет уменьшаться полезная мощность, отда-
ваемая генератором в сеть до тех пор, пока
он не станет работать вхолостую.
Если к валу машины, работающей вхоло-
стую, приложить механическую нагрузку, то
ротор её несколько затормозится и вследствие
этого начнёт потреблять из сети ток, совпа-
дающий по фазе с напряжением сети. В этом
случае сеть будет источником энергии, а ма-
шина будет работать в качестве синхронного
двигателя.
Увеличение механической нагрузки на валу
будет вызывать увеличение мощности, разви-
ваемой двигателем до некоторого предела,
называемого пределом устойчивости, за кото-
рым работа синхронного двигателя становится
невозможной.
Пуск синхронного двигателя. Пуск син-
хронного двигателя может быть: а) асинхрон-
ным, б) от вспомогательного двигателя.
Для получения асинхронного пуска в полюс-
ных наконечниках укладывается пусковая ко-
роткозамкнутая обмотка в виде беличьего
колеса асинхронного двигателя (см. об асин-
хронном двигателе). Для уменьшения тока при
пуске пуск производится от пониженного
напряжения C0—50',о от номинального).
Понижение напряжения достигается:
а) включением через автотрансформатор,
б) включением в цепь статора реактивного
сопротивления.
При пуске обмотка возбуждения замы-
кается на сопротивление во избежание по-
явления в ней высокого напряжения. По дости-
жении двигателем 95°/о синхронной скорости
сопротивление выключается, и в обмотку воз-
буждения подаётся постоянный ток. Двигатель
Фиг. 57.
втягивается в синхронизм. После этого статор
его включается на полное напряжение. При
пуске с помощью вспомогательного двигателя
ротор синхронного двигателя приводится во
вращение асинхронным двигателем, имеющим
число пар полюсов на единицу меньше, чем
синхронный. По достижении полной скорости
синхронный двигатель возбуждается, синхро-
низируется и включается в сеть. После этого
вспомогательный двигатель отключается.
Синхронный двигатель как средство для
улучшения cos <f>. При изменении возбуждения
синхронного двигателя последний аналогично
синхронному генератору будет потреблять
из сети реактивный ток. Перевозбуждённый
двигатель будет потреблять из сети упреждаю-
щий ток, невозбуждённый — отстающий.
По своему влиянию на внешнюю сеть пере-
возбуждённый синхронный двигатель анало-
гичен конденсато-
ру и может ком-
пенсировать в сети
действие индуктив-
ности от трансфор-
маторов и асин-
хронных двигате-
лей и по этой прл-
чине называется
синхронным ком-
пенсатором. На
фиг. 57 изображе-
ны так называе-
мые U - образные
кривые синхронно-
го двигателя, представляющие зависимость тока
статора / и cos у от тока возбуждения при
постоянном вращающем моменте. Слева от
точки А ток и cos <f будут отстающими, справа—
упреждающими.
Асинхронные электродвигатели
Общие сведения. Трёхфазные асинхронные
двигатели являются наиболее распространён-
ным типом электродвигателей. Асинхронный
двигатель состоит из неподвижного статора
и вращающегося ротора. Статор асинхронного
двигателя конструктивно аналогичен статору
синхронной машины. Ротор — цилиндрическое
тело из листовой динамной стали с обмоткой,
уложенной в пазы, выштампованные на наруж-
ной поверхности. При питании обмотки ста-
тора трёхфазным током она создаёт в воз-
душном промежутке вращающееся магнитное
поле. Число полюсов этого поля опре-
деляется типом обмотки. Скорость вращения
поля или синхронная скорость
60 v л,
Пл — ——— Об/МИН,
р
где v — частота питающего тока, р — число
пар полюсов обмотки. В зависимости от типа
обмотки различают два типа роторов.
Фазный ротор имеет трёхфазную об-
мотку с числом полюсов, равным числу полю-
сов обмотки, статора. Концы обмотки ротора
присоединены к трём кольцам, изолированным
друг от друга и от вала. С помощью этих
колец и щёток в цепь ротора может вклю-
чаться добавочное сопротивление. Коротко-
замкнутый ротор имеет обмотку, состоя-


ГЛ. VI]
МАШИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
щую из массивных медных или алюминиевых
стержней, уложенных в пазах,' равномерно
распределённых по поверхности и замкнутых
накоротко по концам кольцами.
Вращающийся магнитный поток статора
асинхронного двигателя пересекает обмотку
ротора и индуктирует в ней э. д. с., которая
создаёт ток 1У Взаимодействие этого тока
с магнитным потоком статора создаёт момент,
действующий в направлении вращения поля.
Если вращающий момент будет достаточен
для преодоления тормозного момента на валу,
то ротор придёт во вращение. Скорость вра-
щения ротора п будет меньше скорости вра-
щения поля п^ При скорости вращения ро-
тора, равной скорости вращения поля (син-
хронной), в обмотке ротора не может индук-
тироваться э. д. с., ток ротора, а следова-
тельно, и вращающий момент будут равны
нулю. Отставание ротора от вращающегося
поля называется скольжением. Скольжение
п
G2)
где л — скорость вращения ротора в об/мин,
a nl — скорость вращения поля.
Частота тока и э. д. с. ротора
v2=svt. G3)
Вращающий момент асинхрон-
ного двигателя пропорционален вели-
чине магнитного потока воздушного зазора и
активной составляющей тока ротора
М —Ст /g Ф cos ф3 кгм,
G4)
где Ст — 0,072 • mz kw., pw.,, a m2 — число фаз
обмотки ротора; kWi) — обмоточный коэфици-
ент ротора; р — число пар полюсов; до2 — число
витков обмотки ротора.
Вследствие индуктивности ротора его ток /2
отстаёт от э. д. с. ротора ?2. При скорости
ротора, близкой к синхронной, частота ротора v2
мала и индуктивность ротора невелика.
С увеличением скольжения растёт частота
ротора, а вместе с нею и сдвиг фазы тока ро-
тора относительно его э. д. с. ?2, т- е- происхо-
дит уменьшение его активной составляющей.
Вследствие этого, даже при больших значениях
тока /2, момент может быть мал. Момент ин-
дукционного двигателя растёт с увеличением
скольжения до тех пор, пока не достигнет ма-
ксимального значения так называемого опро-
кидывающего момента, после чего
начинает убывать. Выражению момента может
быть придан другой вид:
М=С^?*—- G5)
Здесь
С. =
9,8 Ь 2 п
Максимальный момент двигателя пропор-
ционален квадрату приложенного напряжения,
обратно пропорционален вторичному индуктив-
ному сопротивлению и не зависит от величины
активного сопротивления ротора:
Д/f — /" ____
J vi 111 R Y '—— ^* с\ •
Короткозамкнутые двигатели обладают ма-
лым пусковым моментом E=1), несмотря
на большую силу пускового тока, достигающую
5 -г- 8-кратной номинальной величины. Малый
пусковой момент короткозамкнутых двигателей
у крупных двигателей снижается ещё из-за
необходимости пускать их от пониженного
напряжения.
Обыкновенные короткозамкнутые двига-
тели применяются для привода механизмов,
не требующих регулировки скорости. Благодаря
большой простоте, прочности конструкции,
отсутствию подвижных контактов, этот тип
двигателя получил исключительно широкое
распространение. Современные нормальные
короткозамкнутые двигатели имеют, в зависи-
мости от скорости, пусковой момент от 1,5 до
1,1-кратного значения номинального момента.
Быстроходные двигатели имеют больший пу-
сковой момент. Пусковой ток обычно достигает
5-ь 8-кратного нормального значения. В насто-
ящее время изготовляются двигатели до 50 кет
с повышенным сопротивлением ротора, пред-
назначенные для ударной работы на подъём-
никах, прессах, молотах и т. д. Эти двигатели,
как правило, имеют максимальный момент при
пуске в ход и номинальное скольжение порядка
15 — 20%. Они обеспечивают более быстрый
разгон при меньших пусковых токах.
Пуск короткозамкнутых двигателей
Прямое включение на сеть. Асин-
хронные короткозамкнутые двигатели в настоя-
щее время, как правило, пускаются непосред-
ственным включением на полное напряжение.
Максимальная мощность двигателя, пускаемого
таким образом, определяется мощностью пита-
ющего трансформатора и ограничивается допу-
стимым падением напряжения. При объединён-
ном питании осветительных и силовых приём-
ников падение напряжения от пускового тока
не должно превышать 5%, при раздельном
питании — 10%.
Пуск переключением со звезд и
на треугольник применим для двигате'-
лей, нормально работающих при соединении
обмоток статора в треугольник. Схема пуска
переключением обмоток со звезды на треуголь-
ник изображена на фиг. 58. При пуске пере-
ключатель /7 ставится в левое положение.
Обмотки двигателя будут соединены звездой.
После окончания разгона переключатель пере-
кидывается вправо. Пусковой ток при соедине-
нии звездой будет в 3 раза меньше, чем при со-
единении треугольником. В такой же мере будет
снижен и пусковой момент
Д
М
= 3 и
А
М
Л
Способ применим при пусковом моменте меха-
низма не более ЗФ/о номинального момента
двигателя.


538
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. I
Пуск посредством автотранс-
форматора применяется для пуска круп-
ных короткозамкнутых двигателей. При пуске
двигатель включается на пониженное напря-
жение C0—50°/0 t/д,), по окончании разгона
переключается на полное напряжение. Такое
включение ведёт к снижению пускового мо-
мента пропорционально квадрату приложенного
напряжения. Требует специального автотранс-
форматора, что удорожает установку и услож-
няет обслуживание. В настоящее время при-
меняется редко.
Пуск включением сопротивле-
ния в цепь статора. При пуске после-
довательно в каждую фазу статорной обмотки
включается активное или индуктивное сопро-
тивление, которое создаёт добавочное падение
напряжения и тем уменьшает величину пуско-
вого тока. По окончании пуска сопротивление
шунтируется. Недостаток — сильное уменьше-
ние пускового момента. Спссэб применим для
двигателей, пускаемых редко и под малой
нагрузкой.
11 ус к двигателей с фазным рот о-
ром. Включение при пуске активного сопро-
тивления в цепь ротора с помощью колец по-
зволяет умень-
шить сдвиг фаз
между током
ротора и его
э. д. с. и одно-
временно уве-
личить момент
вплоть до опро-
киды вающего
момента. По ме-
ре разгона дви-
гателя сопроти-
вление по ча-
стям выводится
из ротора так,
что момент, развиваемый двигателем, имеет
значение, близкое к максимальному. По окон-
чании пуска обмотка ротора замыкается нако-
ротко, а щётки поднимаются для уменьшения
потерь на трение и износа щёток. Влияние со-
противления в цепи ротора на вид кривой мо-
мента приведено на фиг. 59. Двигатели с фазным
ротором применлются везде, где необходим вы-
сокий пусковой момент, например в подъёмни-
ках, кранах и подобных случаях. Двигатели с
фазным ротором имеют лучшие пусковые ха-
Фиг. 59.
рактеристики, чем двигатели короткозамкнутые.
Размеры двигателя с фазным ротором больше,
коэфициент полезного действия меньше, коэфи-
циент мощности хуже, чем у короткозамкнутых.
Стоимость двигателя с фазным ротором из-за
пусковых переключателей и пускового сопро-
тивления больше, чем короткозамкнутого.
Существенным недостатком асинхронных
двигателей является очень низкий коэфициент
мощности при половинной и меньших нагрузках.
Механическая характеристика n=f (M)
асинхронного двигателя в устойчивой части
аналогична характеристике шунтового двига-
теля постоянного тока. Падение скорости при
нагрузке невелико, скольжение достигает 10%
у малых и 2% у больших двигателей. До опро-
кидывания момент двигателя изменяется
пропорционально д_______________^
скольжению. Коэ- я | ~ f
фициент мощности
при полной нагруз-
ке cos <p = 0,75-7-0,9.
Реверсиро-
вание двига-
теля. Для изме-
нения направления
вращения двигате-
ля необходимо из-
менить направле-
ние вращения ма-
гнитного поля ста-
тора. Это дости-
гается переменой
местами проводов, подводящих ток от сети
к двигателю (фиг. 60).
Асинхронные двигатели специального
исполнения
Предварительные замечания. Достоин-
ства короткозамкнутых двигателей сильно
уменьшаются сравнительно малым пусковым
моментом и большим пусковым током. Оба
эти недостатка в значительной мере устранены
в двигателях Бушеро и в двигателях с глубо-
ким пазом.
Двигатель Бушеро. Двигатель Бушеро
имеет на роторе две короткозамкнутые обмот-
ки: а) пусковую и б) рабочую. Пусковая об-
мотка выполняется из материалов, обладающих
Пусковая обиотна п
Фиг. 61.
высоким удельным сопротивлением (марганцо-
вистая латунь, бронза), и стержни её укла-
дываются у поверхности ротора. Благодаря
этому она обладает большим активным и срав-
нительно низким индуктивным сопротивлением.
Момент, развиваемый пусковой обмоткой, имеет
максимум при пуске в ход (при скольжении
s ~ 1). Рабочая обмотка делается обычно
из медных стержней большого сечения и рас-
полагается дальше от поверхности. Стержни её


ГЛ. VI]
МАШИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
539
сцеплены с большим числом силовых линий.
Этим достигается малое активное и высокое
индуктивное сопротивление её. По этой при-
чине момент, развиваемый рабочей обмоткой,
имеет максимум при малых скольжениях. Кар-
тина распределения магнитных силовых линий
вокруг стержней обмоток ротора изображена
на фиг. 61, а. Момент, развиваемый двигателем
Бушеро, равен сумме моментов пусковой и ра-
бочей обмоток. Механическая характеристика
п = f (M) приведена на фиг. 61, f>, где изобра-
жены и моменты, развиваемые каждой обмот-
кой. Благодаря большему значению полного
сопротивления ротора zz пусковой ток двига-
теля Бушеро меньше," чем у нормального.
Кратность пускового момента -rj— = 2 -ь2,2при
MN
кратности пускового тока -=— = 4,5 — 5. Двига-
*N
тели Бушеро строятся мощностью от 50 до
2000 кет. Стоимость их на 20—300/0 больше
стоимости обычных короткозамкнутых двига-
телей. Коэфициент мощности их несколько
ниже нормальных двигателей.
Двигатель с г л у б о к и м п аз ом. Для
улучшения пусковых характеристик в двигате-
лях с глубоким пазом используется явление
вытеснения тока. Оно основано на магнитной
неоднородности среды, окружающей стержень
ротора. Медные прямоугольные стержни ротора
имеют высоту, превышающую толщину
в 5—8 раз. Благодаря значительно меньшему
магнитному сопротивлению железа, чем воз-
духа, распределение потока рассеяния, замы-
кающегося поперёк паза, неравномерно по вы-
соте стержня и будет иметь вид, изображённый
на фиг. 62.
Часть стержня, лежащая в глубине паза,
сцепляется с большим потоком рассеяния, чем
верхняя. При пуске двигателя в ход
повышенное реактивное сопротивле-
ние нижней части стержня вызывает
вытеснение тока ротора в верхнюю
часть сечения стержня. Это экви-
валентно увеличению активного со-
противления обмотки ротора. Увели-
чение активного сопротивления по-
вышает начальный момент двигателя,
а увеличение реактивного сопроти-
вления уменьшает пусковой ток. При
нормальной скорости двигателя реак-
тивное сопротивление становится незначитель-
ным благодаря уменьшению частоты, ток рас-
пределяется по сечению стержня почти равно-
мерно и двигатель работает как обычный ко-
роткозамкнутый. Характеристики двигателя
приведены на фиг. 62, б. Двигатели с глубо-
ким пазом проще в производстве и дешевле
двигателей Бушеро.
Регулирование скорости асинхронных
двигателей
Асинхронный двигатель имеет жёсткую
механическую характеристику. Скорость враще-
60 / ,t .
ния ротора л2— —р-A—•?).
Регулирование скорости возможно посред-
ством: изменения сопротивления в роторе,
изменения частоты, изменения числа пар полю-
сов обмотки, каскадных соединений.
Регулирование реостатом в цепи
ротора применимо только к двигателям
с фазным ротором. Увеличение сопротивления
реостата уменьшает скорость вращения. Регу-
лирование скорости возможно только в сторону
снижения скорости, вызывает дополнительные
потери в реостате и уменьшает к. п. д. двигателя
пропорционально уменьшению скорости. Харак-
теристики двигателя становятся более мягки-
ми — скорость сильно изменяется с изменением
нагрузки. Невозможна регулировка при холо-
стом ходе (фиг. 59). Применяется главным
образом в крановых схемах, транспортных
механизмах.
Регулирование скорости изме-
нением частоты. Регулирование возможно
только при питании двигателя от собственного
генератора с регулируемой частотой. Регули-
рование плавное. При постоянстве момента
на валу напряжение, подводимое к двигателю,
должно изменяться пропорционально частоте.
Применяется при одновременном регулирова-
нии скорости группы двигателей (рогулечные
ватера с индивидуальным приводом, центро-
фуги вискозного производства). Благодаря
наличию отдельного генератора стоимость
подобных установок высока.
Регулирование скорости изме-
нением числа пар полюсов. Скорость
60/ „
вращения поля статора пг =•—--. При постоян-
ной частоте сети регулирование возможно
только ступенчатое. Изменение числа пар
полюсов обмотки может быть осуществлено:
1) укладкой в пазах статора двух отдельных
обмоток, имеющих необходимое число пар
полюсов; 2) укладкой одной обмотки, допуска-
ющей переключение на различное число пар по-
люсов. В последнем случае изменение скорости
обычно ограничивается отношением 2:1. Для по-
лучения четырёх ступеней скорости на статоре
Фиг. 63.
укладывают две независимые обмотки, каждую
с переключением полюсов. Спэсоб применим
главным образом для короткозамкнутых дви-
гателей. Применение его к двигателям с фазным
ротором требует одновременного переключения
обмоток статора и ротора. Производство пере-
ключений в роторе сильно усложняет его кон-
струкцию. Изменение числа пар полюсов может


5Ю
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. 1
быть получено: 1) путём изменения направле-
ния тока в отдельных ветвях одной и той же
обмотки; 2) с помощью пересоединения частей
обмотки с последовательного на параллельное
включение; 3) с помощью перестановки точек
Фиг. 6*.
питания. Представление о физической сущно-
сти процесса при переключении обмотки одной
фазы с последовательного соединения на па-
раллельное даёт фиг. 63, то же при перенесе-
нии точек питания — фиг. 64.
В практике станкостроения широко при-
меняется схема Даландера, объединяющая оба
Зависимость скорости от момента n=f(M)
носит гиперболический характер, так же как
у сериесных двигателей постоянного тока.
Реверсирование двигателя достигается из-
менением направления тока или в обмотке
якоря или в обмотке возбуждения.
Коэфициент мощности двигателя не-
велик, особенно низок при пуске. Для
увеличения cos 9 необходимо уменьшить
поперечный поток якоря с помощью
компенсационной обмотки.
Коммутация коллекторных двигате-
лей хуже таковой двигателей постоян-
ного тока. Пульсирующий поток возбу-
ждения индуктирует в короткозамкну-
тых секциях обмотки якоря трансфор-
маторную э. д. с., которая вместе с э. д. с.
самоиндукции короткозамкнутых секций-
создаёт большой ток и вызывает искре-
ние под щётками. Улучшение коммутации мо-
жет быть получено применением добавочных
полюсов, однако действие их эффективно
только при постоянной скорости враще-
ния.
В СССР однофазные коллекторные двига-
тели изготовляются небольшой мощности, в
виде универсальных, могущих работать как
на постоянном, так и на переменном токах.
Схема двигателя УМ приведена на фиг. 66.
Обмотка возбуждения его состоит из двух
•v
АЛ
Фиг. 65.
Фиг. 66.
эти способа и дающая регулировку 1:2
(фиг. 65). Способ экономичен и получил отно-
сительно широкое распространение.
Коллекторные двигатели переменного тока
Изготовляются однофазные и трёхфазные.
Допускают широкую регулировку скорости
без потерь. Вращающаяся часть (якорь) имеет
коллектор и выполняется аналогично якорям
машин постоянного тока. Конструкция ста-
тора такая же, как у синхронных или асин-
хронных машин. Коммутация хуже, чем
у машин постоянного тока. Для улучшения
её применяются компенсационные обмотки,
добавочные полюса. В зависимости от схемы
включения имеют шунтовые или сериесные
характеристики.
Сериесный электродвигатель. Обмотка
возбуждения и якоря включается последова-
тельно. При одновременном изменении тока
в них знак момента будет оставаться тем же.
Величина момента, создаваемого двигателем,
не будет оставаться постоянной, а будет
меняться во времени. Благодаря инерции
якоря, несмотря на пульсирующий характер
момента, двигатель вращается с равномерной
скоростью. Вращающий момент двигателя при-
мерно пропорционален квадрату силы тока.
частей: при питании двигателя от сети пере-
менного тока используются только катушки
Wfa, а при питании от сети постоянного тока
последовательно с ними включаются ещё
катушки wbz.
Применяются в телемеханике, для венти-
ляторов, швейных машин и т. д.
Трёхфазный шунтовой коллекторный
двигатель Шраге—Рихтера. В основу двига-
теля Шраге положен трёхфазный асинхрон-
ный двигатель, питаемый со стороны ротора.
Ротор его имеет две обмотки (фит. 67). Одна
из них Wt является обычной фазной обмот-
кой ротора, присоединённой к контактным
кольцам. Эта обмотка питается от сети
и может быть названа первичной обмоткой.
В те же пазы ротора уложена вторая обмот-
ка — WK, связанная с коллектором, называе-
мая регулирующей. Обмотка статора состоит
из трёх отдельных фазных обмоток. Оба
конца каждой фазной обмотки статора при-
соединены к подвижным щёткам, наложенным
на коллектор регулирующей обмотки. Одно-
имённые щетки 1-1-1 и 2-2-2 прикреплены
к двум подвижным траверсам, позволяющим
одновременно перемещать щётки относитель-
но оси АВ фазной обмотки. Первичная обмот-
ка ротора Wi питается от сети и создаёт
магнитное поле, вращающееся относительнс


ГЛ. VI)
ИОННО-ЭЛЕКТРОННАЯ АППАРАТУРА
541
ротора с синхронной скоростью п\. Это поле
индуктирует в обмотке статора э. д. с., отчего
в ней появится ток. Ротор придёт во враще-
ние в сторону, обратную вращения поля. Э. д. с.
и ток статора будут иметь частоту скольжения
v2— svj. Одновременно поле ротора индукти-
рует в регулирующей обмотке WK э. д. с.
частоты NI. С помощью коллектора и щёток
эта э. д. с. преобразуется в э. д. с. частоты
скольжения v2 и подводится к обмоткам ста-
тора. Таким образом, во вторичную обмотку
W2 вводится э. д. с. Ек, находящаяся в фазе
или противофазе со вторичной э. д. с. Е%
в зависимости от положения щёток фазных
обмоток относительно оси А В. При совпаде-
нии фаз ?2 и Е'к будет иметь место увели-
чение скорости выше синхронной, при встреч-
ном направлении — уменьшение скорости. При
помощи перемещения щёток осуществляется
плавное регулирование скорости в пределах
Кольца
Фиг. 67.
1:3 и выше. Двигатель Шраге имеет жёсткие
механические характеристики. Применяется
в текстильной, резиновой, полиграфической
и бумажной промышленности. Изготовляется
мощностью до 50 кет. Стоимость его высока,
требует квалифицированного обслуживания.
ИОННС-ЗЛЕКТРОННАЯ АППАРАТУРА
Общие сведения
Электроникой называется отрасль науки
и техники, основанная на явлении прохожде-
ния электричества через газы или вакуум.
Электровакуумными приборами называются
приборы, действие которых основано на про-
хождении через вакуум потока электронов.
Ионными приборами называются такие,
в которых используются явления, связанные
с движением свободных электронов через
разрежённый газ.
Термоэлектронный ток. Поток свободных
электронов, так называемая электронная эмис-
сия, возникает при нагревании электрода до
высокой температуры. При достаточно высо-
кой температуре кинетическая энергия части
электронов становится больше работы сил
электрического поля в поверхностном слое,
и такие электроны вылетают из металла. Чем
выше температура электрода, тем больше
электронов вылетал за его пределы. Зависи-
мость между плотностью тока термоэлектрон-
ной эмиссии 8 и абсолютной температурой Т
установлена Ричардсоном и Дешманом и вы-
ражается уравнением:
_ в
о- АТ*е 'т, G7)
где А и В — постоянные, зависящие от мате-
риала электрода (нити). Зависимость плотно-
Фиг. ?8.
Фиг. 69.
сти тока термоэлектронной эмиссии от абсо-
лютной температуры нити представлена на
фиг. 68.
Ток эмиссии между накалённым катодом
при постоянной температуре его и холодным
анодом зависит от напряжения между элек-
тродами, возрастая при его увеличении до тех
пор, пока весь поток электронов не будет
достигать анода. Это предельное значение
тока называется током насыщения и опреде-
ляется законом трёх вторых (Лангмюра),
а именно
I=kU'
3/2
G9)
где k — коэфициент, зависящий от формы и
размеров обоих электродов и их взаимного
расположения. Зависимость термоэлектронного
тока от анодного напряжения приведена на
фиг. 69.
Термоэлектронные вакуумные лампы
Классификация термоэлектронных ламп.
Общими элементами для всех термоэлектрон-
ных ламп являются: стеклянная или металли-
ческая колба, из которой тщательно удалён
воздух, элемент, испускающий электроны, или
катод, и элемент, собирающий электроны,
или анод. В зависимости от числа электродов
различают двухэлектродные лампы, или
диоды, трёхэлектродные, или триоды, четырёх-
электродные — тетроды, пятиэлектродные —
пентоды.
Конструкция и принцип дейст-
вия двухэлектродной лампы (ди-
ода или кенотрона). Схема двухэлек-
тродной лампы приведена на фиг. 70. Внутри
стеклянного баллона-колбы, из которого
тщательно удалён воздух, находятся два элек-
трода. Один из этих электродов (катод) вы-
полнен в виде проволочки, накаливаемой
током батареи накала (нить накала). Второй
электрод выполняется в виде пластинки или
чаще в виде цилиндра, окружающего нить
накала. Разогретый катод испускает элек-
троны, которые окружают нить накала. Это


542
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. 1
так называемое электронное облако создаёт во-
круг катода пространственный отрицательный
заряд, тормозя-
щий выход но-
вых электронов
из катода. Вклю-
чённая между
анодом и като-
дом анодная ба-
тарея создаёт
электрическое
поле, под дей-
ствием которо-
го электроны
будут двигать-
ся от катода к
аноду. Этот по-
ток электронов
от нити накала
к аноду обра-
и йодная батарея
Фиг. 70.
зует ток, проте-
кающий через
лампу и указы-
ваемый миллиамперметром. Обычно
принимаемое течение тока от плюса
к минусу, как известно, является про-
тивоположным действительному дви-
жению электронов.
Эмиссия катода зависит от мате-
риала нити. Катоды изготовляются из
материалов трёх типов: а) чистых ме-
таллов— вольфрама; б) смешанных
металлов — торированный вольфрам;
в) окислов металлов, из которых наи-
более широкое распространение по-
лучили окислы бария и стронция. На-
грев катода может производиться не
только постоянным, но и переменным
током.
Для получения большей равномерности из-
лучения электронов при питании катода пере-
менным током и при больших токах эмиссии
применяются катоды косвенного подогрева.
мителя для получения постоянного тока.
Схемы кенотронных выпрямителей:
A) схема для одно-полупериодного вы-
прямления однофазного тока (фиг. 71);
B) схема для двух-полупериодного выпря-
мления однофазного тока (фиг. 72).
Область применения кенотро-
нов. Питание радиоприёмных и передающих
установок постоянным током высокого напря-
жения, питание рентгеновских установок,
установок электростатической очистки газов,
питание установок для испытания электри-
ческой прочности.
Триод (трёхэлектродная лампа)
него характеристики. Трёхэлектрод-
ная лампа, или триод (фиг. 73), представляет
собой диод, между катодом и анодом которого
помещена сетка. Сетка служит для управле-
ния анодным током лампы. Она образует
в приборе помимо основного поля, создавае-
мого разностью потенциалов между главными
электродами, ещё дополнительное поле между
катодом и сеткой. Сетка, помещённая вблизи
катода и заряжённая поло-
жительно, нейтрализует от-
рицательный пространствен-
ный заряд и действует на
Hazpyakc
ПЛЛЛГи-
Фиг. П.
электроны, выбрасываемые катодом, как напра-
вляющая сила. Это резко увеличивает анодный
ток лампы. Часть электронов захватывается
самой положительно заряжённой сеткой и
Диодная батарея
Фиг. 71.
состоящие из фарфоровой трубочки, внутри
которой помещается вольфрамовая нить на-
кала; трубочка вставляется внутрь никелевого
цилиндра, на который нанесён слой оксида.
Вследствие того что двухьлектродная
лампа пропускает ток только при приложении
к аноду положительного напряжения, она
обладает односторонней проводимостью, по-
зволяющей использовать её в качестве выпрк-
Фиг. 73.
образует небольшой сеточный ток, но основ
ная масса пролетает сквозь отзгрстия сетки и
достигает анода.
При отрицательных потенциалах на сетке
её поле тормозит электроны, направляющиеся
к аноду, и поэтому часть этих электронов не
достигает анода, а возвращается обратно
к катоду. При этом ток через лампу умень-
шался. Достаточно большой отрицательный


ГЛ. VI]
ИОННО-ЭЛЕКТРОННАЯ АППАРАТУРА
543
потенциал сетки может не только значительно
ослабить поток электронов, но даже совсем
приостановить этот поток—„запереть лампу".
Изменения анодного напряжения сказываются
на величине анодного тока меньше, чем не-
значительные изменения напряжения сетки.
Свойства триода как усилителя опреде-
ляются зависимостью анодного тока 1а от
напряжения на сетке 1H при неизменном
О
Фиг. 74.
анодном напря-
жении, так на-
зываемой се-
точной харак-
теристикой, и
зависимостью
анодного тока
от анодного на-
пряжения при
заданном потен-
циале на сетке-
анодной харак-
теристикой.
Обычно эти
характеристики
снимаются опытным путём и изображаются в
виде графиков. На фиг. 74 приведено семейство
сеточных характеристик, а на фиг. 75 — анод-
ных.
Эти характеристики позволяют определить
основные параметры лампы, характеризующие
её рабочие свойства как усилителя. Статиче-
ский коэфициент усиления
Ша
* = ' G9)
Коэфициент усиления показывает, сколь-
ким вольтам анодного напряжения равно-
ценен по воздей-
ствию на анодный
ток один вольт на-
пряжения на сетке.
Часто вместо коэ-
фициента (д. поль-
зуются обратной
величиной:
F-
Фиг. 75.
которая носит на-
звание проницае-
мости.
Крутизна характеристики опре-
деляет относительное изменение анодного тока
по отношению к сеточному напряжению при
заданном анодном напряжении:
_____й- 1//7/Я (Я\\
— Л// ма/в. F1)
Внутреннее сопротивление лампы предста-
вляет отношение изменения анодного напряже-
ния к соответствующему изменению анодного
тока при постоянном напряжении на сетке
Ri = -——- ом при Ug = const. (82)
'а
Основные параметры трёхэлектродной
лампы связаны следующим соотношением:
Оно даёт возможность вычислить любой
из трёх параметров, входящих в нёс, если
известны два других. Коэфициент усиления
трёхэлектродных ламп лежит обычно в пре-
делах (л = 100 -*- 10. В тех случаях, когда не-
обходимо большее усиление, применяется по-
вторное усиление при помощи второй лампы.
Искажения, вносимые лампами, ставят предел
числу ламп усилителя. Схема двухкаскадного
Фиг. 76.
усилителя на сопротивлениях дана на фиг. 76.
Общий коэфициент усиления в многокаскад-
ных усилителях может достигать 1 • 10*.
Многоэлектродные лампы. Для повыше-
ния коэфициента усиления при сохранении
крутизны характеристики лампы S и ослабле-
ния влияния на работу схемы межэлектродных
ёмкостей применяются дополнительные элек-
троды.
Тетрод помимо анода и катода имеет две
сетки — управляющую g и экранирующую g-^.
Управляющая
cem/ta д
Вход
Фиг. 77.
Постоянный потенциал, подаваемый на
управляющую сетку, смещает сеточные харак-
теристики в отрицательную область при
меньших анодных напряжениях. Экранирую-
щая сетка уменьшает ёмкость в цепи анод —
сетка, что устраняет возможность возникнове-
ния незатухающих колебаний в усилителе.
Кроме того, экранирующая сетка уменьшает
силу притяжения электронов анодом, не влияя
на свойства управляющей сетки. Вследствие
этого сетка более эффективно влияет на
анодный ток, что позволяет в тетродах иметь
более высокий коэфициент усиления, нежели
у триодов. Схема включения четырёхэлектрод-
ной лампы дана на фиг. 77.
Пентод, или пятиэлектродная
лампа. Пентод имеет, кроме управляющей


544
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. 1
и экранирующей сеток, ещё третью сетку,
размещаемую между анодом и экранирующей
сеткой. Назначение третьей сетки — препят-
ствовать уходу с анода на экранирующую сетку
вторичных электронов, выбиваемых из по-
верхности анода приходящими к нему первич-
ными электронами.
Ионные приборы
Газотроны. Устройство и принцип
действия. Газотрон представляет собой
герметически закрытый стеклянный сосуд, в ко-
тором помещены два электрода: холодный
(металлический или угольный) анод и накали-
ваемый независимым источником тока — ка-
тод. Баллон прибора после откачки воздуха
из него заполняется парами ртути (ртутные
газотроны) или инертным газом: аргоном, нео-
ном, гелием (тунгары). Наличие газа в бал-
лоне коренным образом меняет рабочий про-
цесс газотрона по сравнению с вакуумным
выпрямителем — кенотроном. В газотроне часть
быстролетящих электронов, излучаемых като-
дом, на своём пути к аноду сталкивается
с молекулами газа или пара, ионизирует их,
создавая при этом положительные ионы и вто-
ричные электроны. Первичные электроны, вы-
шедшие из катода, и вторичные направляются
к аноду, а ионы — к катоду. Масса положи-
тельных ионов гораздо больше массы элек-
тронов, поэтому скорость их движения по на-
правлению катода невелика. Это вызывает
накопление их в междуэлектродном простран-
стве до тех пор, пока плотности элешронов
и ионов в любой части объёма не станут почти
равными друг другу. При этом происходит
полная компенсация ионами отрицательного
пространственного заряда электронов. Вслед-
ствие этого падение потенциала в дуге очень
мало. В ртутных лампах оно колеблется от
6 до 20 в в зависимости от температуры,
в неоновых и гелиевых оно порядка 20—25 в.
Работа газотрона при недостаточно прогретом
катоде или при токе накала, отличном от номи-
нального, ведёт к сокращению срока службы.
Конструкция и принцип действия тунгаров
аналогичны таковым ртутного газотрона. Тун-
гары, благодаря наличию в колбе инертного
газа, имеют гораздо меньшее напряжение об-
ратного зажигания, вследствие чего исполь-
зование их для выпрямления возможно только
в цепях с низким напряжением. С другой
стороны, отсутствие наполнителя в виде па-
ров позволяет использовать тунгары в поме-
щениях с температурой ниже 0° С и не выше
50° С. По этой же причине время разогрева
их сокращается до 30—60 сек.
Область применения газотро-
нов. Ртутные газотроны применяются в уста-
новках высокого напряжения: для питания
анодных цепей радиопередатчиков, в устрой-
ствах для высокочастотной закалки, для пита-
ния ламповых генераторов высокой частоты
в малых передатчиках, в устройствах звуко-
вого кино.
Область применения тунгаров — выпрями-
тели для зарядки аккумуляторов, питание из-
мерительной аппаратуры ЦЭС, питание дина-
мических громкоговорителей звукового кино
и т. д. Ток накала газотронов имеет значение
•от 5 до 50 а при напряжении накала от 2,5
до 5 в. Среднее значение выпрямленного тока
от 0,4 до 50 а при напряжении до 10 кв
у ртутных газотронов и до 300 в у тунгаров.
Схемы включения выпрямителей с газотро-
нами аналогичны таковым для кенотронов,
приведённым на фиг. 71 и 72.
Тиратрон. Тиратрон — газоразрядная лампа,
наполненная парами ртути или инертным га-
зом, с накалённым катодом,
в которой, кроме катода и
анода, имеется один или
несколько дополнительных
электродов-сеток (фиг. 78).
Физический процесс про-
хождения тока через тира-
трон тот же, что и в газо-
троне. Рабочие процессы
тиратрона и газотрона раз-
личаются тем, что зажига-
ние дуги в тиратроне проис-
ходит не тогда, когда анод
делается положительным по
отношению к катоду, а
в те моменты положитель-
ной полуволны анодного
напряжения, когда сетка
перестаёт запирать разряд.
Благодаря обволакиванию
отрицательно заряжённой сетки положительно
заряжёнными ионами, сетка уже не может пре-
кратить раз начавшийся процесс ионизации до
тех пор, пока потенциал анода не станет отрица-
тельным, и движение электронов прекратится.
Сеточная характеристика тиратрона при-
ведена на фиг. 79, там же для сравнения на-
Фиг. 78.
Toh б ион-
ном
приборе
A^ok вэлеЬтрон-
/ ном приборе
-Ua
О
Фиг. 79.
несена сеточная характеристика электронного
прибора.
Величина тока, протекающего через тира-
трон, определяется анодным напряжением
и сопротивлением анодной цепи. Падение на-
пряжения в зажжённом тиратроне не зависит
от величины тока и равно 20—25 в. Процесс
регулирования напряжения изменением мо-
мента подачи положительного потенциала на
сетку приведён на фиг. 80.
Аналогичное регулирование может быть
произведено подачей на сетку переменного
напряжения. Момент зажигания дуги в этом
случае будет регулироваться фазой сеточного
напряжения. Принцип регулирования напряже-
ния сдвигом фаз дан на фиг. 81. Завод „Свет-
лана" выпускает тиратроны на ток до 50 а при
напряжении до 10000 в. Срок службы тиратро-
нов около 1000 час.
Область применения тиратро-
нов. Тиратроны широко применяются в схе-


ГЛ. VI]
ИОННО-ЭЛЕКТРОННАЯ АППАРАТУРА
545
мах автоматического управления в качестве:
а) регулятора температуры; б) выключателя
электрической цепи; в) преобразователя пере-
менного тока в постоянный; г) преобразователя
постоянного тока в переменный, д) прерывателя
для электросварки; е) преобразовательного
агрегата для питания электроприводов и т. п.
Ртутный выпрямитель. Конструкция
и принцип действия. Ртутный выпрями-
тель состоит из сосуда, из которого откачан
воздух, после чего он заполнен парами ртути.
В верхней части сосуда помещены положитель-
ные электроды — аноды. Нижняя часть сосуда
заполнена ртутью, являющейся катодом
жительность их работы ограничивается не-
сколькими тысячами часов. Для поддержания
внутри сосуда необходимого разрежения метал-
лические ртутные выпрямители имеют специ-
альный вакуумный насос. Падение напряже-
ния в дуге ртутного выпрямителя, как и у дру-
гих ионных приборов, не зависит от величины
приложенного и выпрямленного напряжений и
почти не зависит от величины отдаваемого
тока. Коэфициент полезного действия ртутно-
го выпрямителя в широких пределах измене-
ния нагрузок остаётся почти постоянным.
К. п. д. выпрямителя будет тем выше, чем
выше его рабочее напряжение, так как паде-
Оа\
Фиг.
"а
——— Ъ °
\J *
^X^XL °
/""К ^7
/ l^i
— 1Ш\ —— ^ о
\ i
V7
^%
А
<-Л — ;
V/
^s'^f
>а=0 t
Фиг. 81.
(фиг.82). При длительном нагревании катода по-
следний начинает испускать электроны в про-
странство между катодом и анодами, что и де-
лает выпрямитель проводящим. Во время ра-
боты температура катода поддерживается за
счёт ионов, падающих на катод. Первоначаль-
ное зажигание выпрямителя производится на-
клонением его для образования дуги между
катодом и специальным электродом или, в боль-
ших выпрямителях, посредством образования
дуги между специальными зажигательными
электродами. С помощью вспомогательной
дуги катод в одном каком-нибудь месте разо-
гревается — образуется так называемое катод-
ное пятно. При этом аноды должны оставаться
холодными, чтобы в моменты времени, когда
к ним будет приложено напряжение отрица-
тельной полуволны, они не могли бы испускать
электроныу Выпрямитель таким образом дей-
ствует как вентиль, пропускающий ток лишь
в одном направлении. Величина ртутного вы-
прямителя определяется только отдаваемой им
силой тока, а не мощностью.
Выпрямители до 400 а обычно выполня-
ются со стеклянной колбой, свыше 400 а сосуд
делается железным. Стеклянные колбы выпря-
мителей со временем теряют вакуум, продол-
ние напряжения остаётся тем же независимо
от величины его рабочего напряжения.
Принципиальная схема включения трёхфаз-
ного стеклянного ртутного выпрямителя при-
ведена на фиг. 82, на которой А, В, С предста-
вляют аноды, Л—катод, Е — вспомогательный
зажигательный анод, присоединённый через
сопротивление к одной из фаз сети и служа-
щий для зажигания. Для выпрямленного на-
пряжения катод D является плюсом. Минусом
служит нулевая точка трансформатора, кото-
рый обычно необходим для получения соответ-
ствующего значения напряжения постоянного
тока. Среднее значение выпрямленного напря-
жения при холостом ходе равняется
/2~?2 sin ?
тс
m
где Е2 — эффективное значение фазного на-
пряжения во вторичной обмотке трансформа-
тора; m — число фаз выпрямителя. Падение
напряжения в дуге составляет 25 — 30 в.
Выпрямленный ток — пульсирующий. Величина
пульсаций может быть уменьшена увеличением


546
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
[РАЗД. I
числа фаз выпрямителя или применением спе-
циальных сглаживающих дроссельных катушек.
В мощных установках выпрямители выполня-
ются в виде шестифазных.
Достоинства ртутных выпрями-
телей: высокий к. п. д. (особенно при высо-
ком напряжении), простота обслуживания,
несложность операций включения, простота
включения для параллельной работы без вся-
кой синхронизации, малый износ, бесшумность
работы, незначительный вес и способность
к большим перегрузкам.
Область применения: зарядка небольших
аккумуляторных батарей; в этом случае вы-
прямитель часто берётся однофазным. Выпря-
мители средней и большой мощности исполь-
зуются для питания постоянным током отдель-
ных цехов промышленных предприятий, для
питания тяговых установок.
Ртутные выпрямители с регул и-
р у^е м ы м напряжением. Введение в ртут-
ный .выпрямитель сетки даёт возможность
регулировать начало разряда на анодах выпря-
мителя так же, как
и в тиратронах. С по-
мощью изменения мо-
мента подачи на сетку
положительного по-
тенциала или измене-
нием фазы перемен-
ного напряжения, по-
даваемого на сетку,
можно в широких
пределах регулиро-
вать напряжение вы-
прямленного тока. На-
личие сеток позволяет
осуществить электри-
ческое торможение
двигателя постоянного
тока, питаемого ртут-
ным выпрямителем, с
рекуперацией энергии
в сеть переменного тока. Для рекуперации
энергии схема должна иметь два ртутных
выпрямителя—один для двигательного, другой
для тормозного режимов.
Недостатками ртутных выпрямителей явля-
ются ухудшение его cos ср пропорционально
степени регулирования выпрямленного напря-
жения и возможность обратного зажигания.
Сущность обратного зажигания заключается
в том, что при отрицательном напряжении на
аноде ионы, находящиеся вблизи него, начинают
бомбардировать анод. По мере повышения
отрицательного потенциала анода энергия
ионов может оказаться настолько большой,
что под действием их ударов анод начнёт
испускать электроны. Поскольку в момент
возникновения эмиссии анодом последний
обладает более низким потенциалом, чем
катод, то дуга соседних анодов замкнётся на
данный. Это явление носит название обрат-
ного зажигания и приводит к разрушению
анодов и к короткому замыканию вторичной
обмотки трансформатора.
Игнитрон. Устройство и работа.
Игнитрон — новый тип ртутного выпрямителя.
В нём применён вспомогательный электрод
из карборунда с примесью металлического
кремния, служащий для зажигания выпрями-
теля с помощью электрического тока и регу-
Фиг. 82.
лирования напряжения, получаемого от выпря-
мителя. При пропускании электрического тока
через зажигатель — игнитор, погружённый в
ртуть на 3 — 5 мм, на границе соприкоснове-
Тиратрон
о-П_П_П_П—'
Hazpuska
Фиг. 83.
ния его со ртутью возникает электронная
эмиссия, которая при положительном потен-
циале на аноде вызывает зажигание дуги
между ртутью и анодом. Игнитроны выпол-
няются в виде одноанодных стеклянных или
металлических сосудов. Цепь зажигания пи-
тается от анодного напряжения.
Включение тока в цепи зажигателя с по-
мощью управляемого прибора с сеткой (тира-
трона) позволяет изменять момент зажигания
дуги, следовательно, даёт возможность регули-
ровать выпрямленное напряжение в пределах
от полной величины до нуля.
Схема выпрямления тока игнитроном с ре-
гулированием напряжения дана на фиг. 83.
Преимущества игнитрона перед ртутным
выпрямителем следующие: а) небольшие раз-
меры; б) меньшая опасность обратного зажи-
гания; в) меньшее падение напряжения в дуге
A2—15 в вместо 25 — 30 в— в ртутных вы-
прямителях); г) способность выдерживать
50 — 100-кратные кратковременные перегрузки.
Область применения. Игнитроны
находят широкое применение: 1) в электро-
сварке, где требуются периодические и значи-
тельные по величине импульсы тока; 2) в ка-
честве ионных выключателей, сочетающих
высокую перегрузочную способность с боль-
шой скоростью включения и выключения;
3) в качестве реле, обладающего чувствитель-
ным элементом и в то же время мощными
контактами для непосредственного включения
больших сил токов. Завод „Светлана" выпу-
скает игнитроны на токи до 100 а.
Фотоэлементы
Определение и классификация. Фотоэле-
менты— приборы, позволяющие превращать
лучистую энергию в электрическую. Фотоэле-
менты основаны на способности света пере-
давать свою энергию электронам. Различают
следующие виды фо-
тоэлементов: а) фото-
элемент с внешнимфо-
тоэффектом; б) фото-
элемент с внутренним
фотоэффектом; в) фо-
тоэлемент с запираю-
щим или вентильным
слоем.
Фотоэлементы
с внешним фото-
эффектом. Фото-
Фиг 84 элемент (фиг. 84) со-
стоит из стеклянного
баллона, из которого откачан до высокого ва-
патод
Днод


ГЛ. VI)
ИОННО-ЭЛЕКТРОННАЯ АППАРАТУРА
547
куума воздух, внутрь помещены кольцеобраз-
ный анод и катод в виде гонкого слоя цезия
или калия, нанесённого на слой серебра, ко-
торый покрывает внутреннюю поверхность
баллона. На стенке баллона оставляется без
серебрения небольшое окошко, через кото-
рое попадает луч света на катод. Поток лучи-
стой энергии, падающий на катод, вырывает из
него электроны. Под влиянием электрического
Свет
Фиг. 85.
поля, создаваемого батареей, в цепь которой
включён фотоэлемент, электроны начинают
двигаться к аноду, образуя в цепи слабый ток.
Возникший фототок пропорционален величине
светового потока; при отсутствии лучистой
энергии тока в фотоэлементе нет. Чувствитель-
ность вакуумных фотоэлементов весьма мала.
Средством повышения чувствительности фото-
элемента является наполнение его колбы инерт-
ным газом (гелий, аргон, ксенон) давлением в
0,001- 0,01 мм рт. ст. В газонаполненном фото-
элементе двигающиеся с большой скоростью
под действием электрического поля электро-
ны встречаются с молекулами газа, ионизи-
руют их своими ударами, выбивая из них элек-
троны. Эти вторичные электроны начинают под
действием поля двигаться к аноду и в свою
очередь производят ионизацию. Этот процесс
ионизации вызывает значительное увеличение
фототока. Фототок газонаполненного фотоэле-
мента растёт до известного предела с увеличе-
нием анодного напряжения, после чего насту-
пает газовый разряд. При напряжении, значи-
тельно меньшем потенциала газового разряда,
фототок практически пропорционален освещён-
ности. Газонаполненные фотоэлементы обла-
дают известной инерцией. Чувствительность
фотоэлемента к лучам различной длины волны,
или так называемая «спектральная характе-
ристика», катодов из различных щёлочнозе-
мельных металлов неодинакова. Она опреде-
ляет наивыгоднейшую для каждого из них об-
ласть применения.
Чувствительность газонаполненных фото-
элементов 75— 350 мка\лм. Нагрев фотоэле-
ментов свыше 50° С вызывает испарение ка-
тода и, следовательно, его порчу. Схема вклю-
чения фотоэлемента с усилительной лампой
дана на фиг. 85.
Фотоэлементы с внутренним фо-
тоэффектом. Работа фотоэлементов с вну-
тренним фотоэффектом основана на изменении
сопротивления полупроводников под действием
лучистой энергии. При освещении этих веществ
внутри них освобождаются электроны, кото-
рые, не выходя с поверхности, увеличивают
проводимость полупроводника. Если к концам
такого полупроводника приложить разность
потенциалов, то величина протекающего по
Фиг.
цепи тока будет зависеть от освещённости
полупроводника. Внутренним фотоэффектом
обладает ряд полупроводников: кристалличе-
ский селен, закись меди, сернистый таллий и др.
Особенностью этих фотоэлементов является
наличие тока при отсутствии освещения,
'так называемого „тёмнового тока". Чувстви-
тельность селеновых фотоэлементов при
малых освещённостях достигает значений
800—1000 мка\лм и уменьшается с увеличе-
нием светового потока до 150—200 мка\лм.
Недостатком фотоэлементов с внутрен-
ним фотоэффектом является их значитель-
ная инерция, кото-
рая не позволяет
применять их при
быстрых измене-
ниях светового по-
тока.
Фотоэле мен-
ты с запираю-
щим слоем —
вентильные.
Действие фотоэлементов этого типа основано
на выпрямительном действии в очень тонком
слое — запирающем слое на границе между
проводником и полупроводником, например
медью и закисью меди.
Схема купроксного фотоэлемента приве-
дена на фиг. 86, где А — проволочная спираль,
служащая контактом с закисью меди, С, В—
запирающий слой, D—медный диск, G—галь-
ванометр.
Свет, падающий на поверхность закиси ме-
ди, пройдя тонкий её слой, на границе запи-
рающего слоя вызывает движение электронов.
Электроны, пройдя запирающий слой, могут
вернуться в первоначальное положение только
через внешнюю цепь, поскольку сопротивле-
ние запирающего слоя в обратном направле-
нии весьма велико. При этом закись меди по-
лучает положительный потенциал, а медь —
отрицательный. Под действием возникшей
таким образом электродвижущей силы во внеш-
ней цепи появится ток, величина которого бу-
дет пропорциональна освещённости. Интеграль-
ная чувствительность фотоэлементов с запи-
рающим слоем — купроксных 100—200 и
400 — 500 лка/лм.
Спектральная характеристика этих фото-
элементов имеет максимум, совпадающий с ви-
димой частью спектра с некоторым сдвигом
в область инфракрасных лучей.
Достоинства вентильных фотоэлементов:
высокая чувствительность и наличие собствен-
ной электродвижущей силы, позволяющей
использовать их без постороннего источника
питания.
Недостатки: зависимость чувствительности
от частоты и зависимость электродвижущей
силы и тока от температуры.
Применение фотоэлементов. Основное при-
менение фотоэлементы находят в телевидении,
звуковом кино, фототелеграфии, кроме того,
широко используются для контроля и управле-
ния различными производственными про-
цессами: для различного рода сортировочных
устройств, для контроля цвета производствен-
ной массы, для регистрации изделий на кон-
вейере, для автоматической регулировки осве-
щения, контроля температуры и тому подоб-
ных целей.


[РАЗД. I
ЛИТЕРАТУРА И
1. Касаткин А. С. и Перекалин М. А.,
Общая электротехника, Энергоиздат, 1943.
2. К и т а е в Е. В. и Г р е в ц е в Н. Ф., Курс обшей
электротехники, Оборонгиз, 1942.
3. Калантаров П. Л., Теория переменных токов,
Энергоиздат, 1940.
4. К р у г К. А., Основы электротехники, ч. I, II,
Энергоиздат, 1946.
5. Миткевич В. Ф., Физические основы электро-
техники, ГОНТИ, 1937.
6. Попов В. С., Электрические измерения и при-
боры, ОНТИ, 1938.
7. Коллектив под ред. Шрамкова Е. Г., Электрические
; и магнитные измерения, 1937.
ИСТОЧНИКИ
8.t Бреиль И. И., Грузов Л. Н. и др. под
ред. Пиотровского Л. М., Электрические ма-
шины (учебник для энерготехникумов), Энергоиздат.
1939.
9. К о с т е н к о М. П., Электрические машины,
Энергоиздат, 1944.
Ю.Власов В. Ф., Электровакуумные приборы,
Связьиздат, 1943.
11. К а г а н о в М. Я-, Электронные и ионные пре-
образователи, Энергоиздат, 1940.
12. СЭТ, Справочная книга для электротехников,
КУБУ Ч, 1934.
13. Ф и н к Д. Г., Электроника, Энергоиздат, 1941.


Замеченные опечатки
Стр.
Ill
111
152
177
208
277
277
I 304
306
313
316
325
362
366
366
1 372
372
372
373
376
377
401
409
471
497
; 505
507
SOS ,
515
516
516
516
533
Строка
Левая колонка, 4-я и 15-я
снизу
Левая колонка, 3-я снизу
9-я сверху
Левая колонка, 8-я снизу
Левая колонка, 20-я сверху
Левая колонка, 2-я снизу
Левая колонка, 1-я снизу
Левая колонка, 11-я сверху
Правая колонка, 10-я снизу
Левая колонка, 3-я снизу
Правая колонка, 1-я снизу
Табл. 2, 3-я графа, 4-я снизу
Табл. 38, 2-я графа, 1— 2-я снизу
Табл. 45, 2-я графа, 13-я снизу
Табл. 45, 2-я графа, 5-я снизу
Табл. 52, 2-я графа,
32 .-33-я СНИЗУ
Табл. 53. 2-я графа, 15-я снизу
Табл. 53, 1-я графа, 12-я снизу
Табл. 53, 1-я графа, 6-я сверху
Табл. 56, 1-я графа, 5-я снизу
Левая колонка, 8-я снизу
Левая колонка, 23-я снизу
Левая колонка, 3-я снизу
Табл. 45, о-я снизу
Левая колонка, 9-я снизу
Левая колонка, 3-я сверху
Правая колонка, 34-я снизу
(под радикалом)
1равая колонка, 10— 11-я снизу
Табл. 1, 4— 6-я графы,
C-я сверху
Правая колонка, 5-я сверху
Правая колонка, 10-я сверху
Правая колонка, 12-я сверху
Левая колонка, 1-я снизу
Напечатано
(в-*)
при а < 40)
1 1 1
= 1+ — + — + -Г+- • • •
х х- л'3
(*•-/).
— т- = — 1 —
2
ya = D g •
ft 2
Уз Di _ р '
ошибок г и г— при малом
0 X
Sk = 0,1 ± 0,2 ;
и [2] стр. 203).
103
(NHJ РО4 • 12МоО, • 6Н..О
Fe (NH<) (S04K • 12Н2О
FeCOa
1:,,S., -j-
5/oN2 +
(NH4).,NO4
2CO + О ' СО
Fe3O4 + CO ^r± 3Fe~0 +2H3O ,
к P^°
p pco
при ——— - > 0,7
до + 0,00.
воздушного пара,
ккал \
м* • град • час]
f 1-е+ 80Л1
Ч 80с /J
gkp0v0 (
G = /]/\A^__
сименс 5 cu
мм'2 mm3 мм*
= Hldl
на которых HI
df) Hldl-
Ф3 по оси щёток В — Г
Должно быть
F « а4)
при а < 0,24)
1 1 1
(х = Р) .
_ ?l _ j _
*2/2
Уз D '
71 ^2
*3 1 — А3 '
ошибок г и /•- . При малом
о х
5^ = 0,0 ± 0,2 ;
и [59] стр. 203).
а— _
'*>
103
(NH4K Р04 • 12МоО3 • бН.,0
Fe(NH4)(SO4), • 12Н„О
FeCO3"
l/2N3 +
(NH4)oSO4
"ПОцкрист
2СО + 0„ iz± 2Cbj
Fe3O4 + H2 т— *• 3FeO + НаО ,
к - ^'^
р Р
при h ~~ hl- > 0,7
до + 0,001 .
водяного пара,
Г ккал
\ м- час\
V 80с )\
Ро (
?'о \
Q-tV^^T--
сименс • м S • т си • ж
мм* mm* мм?
= \Ht dl
на которых flf
§Htdl-
Ф2 по оси щёток А — - Б
Энциклопедический справочник „Машиностроение", т. 1, кн. 1. Зак. 1701.