• СИГНАЛЫ. ПОМЕХИ. ОШИБКИ
Сигналы
Л.М.Финк
Сигналы Полгелиг Ошибки...
ЗАМЕТКИ О НЕКОТОРЫХ НЕОЖИДАННОСТЯХ, ПАРАДОКСАХ И ЗАБЛУЖДЕНИЯХ В ТЕОРИИ СВЯЗИ
Издание второе, дополненное и переработанное
Москва
• Радио и связь» 1984
Scan AAW
ББК 32.84 Ф59
УДК 621.396
Ф59 Финк Л. М. Сигналы, помехи, ошибки ... Заметки о некоторых не'ожиданно-стях, парадоксах и заблуждениях в теории связи. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Радио и связь, 1984. — 256 с., ил.
65 к.
Книга представляет собой заметки различного содержания, относящиеся к статистической теории связи. Наряду с воспоминаниями о задачах, которые приходилось решать автору на протяжении многих лет его научной работы, здесь разбираются некоторые парадоксы, а также часто встречающиеся ошибки. Основное внимание в книге уделяется не законченным решениям задач, а процессу поиска решения.
Для инженерно-технических работников, специализирующихся в теории связи и радиотехнике, аспирантов и студентрв старших курсов.
ББК 32.84
6Ф0.1
Рецензент докт. техн, наук проф. Н. Т. Петрович,
Редакция литературы по радиотехнике
© Издательство «Радио и связь», 1984
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая читателям книга названа «Сигналы, помехи, ошибки...». Но в ней речь идет не столько об ошибках, вызываемых помехами при передаче сигналов, сколько об ошибках, с которыми автору приходилось встречаться в различных статьях, учебниках, диссертациях, выступлениях и т. д. Рассматриваются также и некоторые малоизвестные и подчас парадоксальные факты теории связи, а также не вполне оформленные идеи, которые могут стимулировать самостоятельную работу читателей.
Книга адресована в основном молодым специалистам, особенно тем, кто собирается посвятить себя научной деятельности. Предполагается, что читатель — специалист в области связи или радиотехники — знаком со статистической теорией связи по крайней мере в объеме курса вуза. Тем не менее автор пытался написать эту книгу так, чтобы ее чтение было не только полезным, но и в какой-то мере приятным/Насколько ему это удалось, судить читателю.
Первое издание вышло в 1978 г. Во втором издании добавлено довольно много нового материала. За последние годы автору пришлось познакомиться со многими опубликованными и неопубликованными работами, содержащими те или иные ошибки, достойные упоминания в этой книге. Из-за ограниченности объема пришлось использовать только наиболее поучительные примеры, отбросив такие, в* которых всякий грамотный инженер легко разберется самостоятельно. При необходимости сохранить прежний объем книги потребовалось сокращение текста первого издания. При этом исключены
3
некоторые темы, однако это вовсе не означает, что автор изменил свою точку зрения. Просто ему приходилось выбирать между старыми и новыми примерами, и этот выбор естественно субъективен.
Даже у крупных ученых встречаются ошибки, о некоторых из них говорится в книге. Однако это не означает отсутствия уважения к этим выдающимся деятелям науки. Никогда не ошибается только тот, кто ничего не делает. Автору хорошо это известно по собственному опыту.
Автор, получил много писем читателей, их ценные замечания и советы в той или иной мере учтены при подготовке второго издания. Особенно полезными были советы академика Ю. Б. Кобзарева, чл.-кор. АН СССР С. М. Рытова, докт. техн, наук Л. Я. Кантора, д-ра Марковича (СФРЮ).
Многие темы были подсказаны автору его товарищами, за что он их горячо благодарит. Особенно большую помощь при обсуждении материалов книги оказали Е. С. Барбанель, Д. Е. Бакман, В. Г. Вишняков, В. В. Гинзбург, И. В. Гуревич, Б. Д. Каган, В. И. Коржик, М. Я. Лесман, Б. М. Машковцев, М. Л. Миневич, Ю. Б. Окунев, К- Н. Щелкунов и многие другие, перечислить которых нет возможности.
Отзывы и замечания следует направлять в издательство «Радио и связь»: 101000, Москва, Почтамт, а/я 693.
1. ОБ ОШИБКАХ, ПАРАДОКСАХ И ЗАДАЧАХ ЭТОЙ КНИГИ (ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ)
Еггаге humanum est (Ошибаться свойственно человеку)
1 1. ОБ ЭТОЙ КНИГЕ
Книга эта посвящена различным вопросам теории связи. За последние 20—30 лет в нашей стране и за рубежом появилось множество монографий и тысячи статей, посвященных этой сравнительно молодой области науки. Зачем же писать еще одну книгу?Не будут ли в ней еще раз пережевываться давно известные истины, слегка уточняться оценки вероятностей ошибок и пропускной способности, оттачиваться доказательства старых теорем и т. д.? Автор надеется, что это не так.
Предлагаемая читателю книга как по своему содержанию, так и по форме отличается от большей части изданного по теории связи.
Во-первых, эта книга не систематическое изложение теории связи или какого-нибудь ее раздела, а сборник отдельных заметок, связь между которыми скорее ассоциативная, чем логическая. Каждую из них можно читать независимо от остальных.
Во-вторых, в монографиях и статьях обычно излагаются результаты исследований, а поиски, догадки, раздумья, ошибки и их преодоление остаются, как правило, за рамками публикаций. О них знают только сами авторы, да и то с течением времени
5
забывают. В этой же книге, напротив, самое пристальное внимание уделяется не описанию результатов, а процессу их поиска. Именно с этой позиции и проводился отбор материала. Конечно, для систематического курса или для монографии такой подход был бы крайне неэкономичным. Но эта книга и не претендует на то, чтобы заменить систематическое руководство по теории связи, которых написано достаточно много и на любых уровнях сложности и строгости. Она призвана дополнить их, показать «кухню» научных исследований. Думается, что она должна принести пользу молодым специалистам, особенно тем, которые собираются посвятить себя самостоятельному научному творчеству.
Третья особенность книги предопределена предыдущими и отражена в названии. Наибольшее внимание уделяется «подводным камням», встречающимся на пути исследователя. Это различного рода ошибки ученых предыдущих поколений, от которых не гарантированы их последователи. Это и различного рода парадоксальные результаты, которые заставляют задуматься и более тщательно проанализировать изучаемую проблему, а иногда и пересмотреть общепринятую точку зрения.
Содержание предлагаемых заметок довольно разнообразно. Однако все они так или иначе затрагивают основные разделы теории связи — теорию сигналов (в том числе вопросы модуляции), теорию оптимальной обработки сигналов и помехоустойчивости, теорию информации. В частности, возникновение многих парадоксов и ошибок вызвано смешением мгновенной частоты сигнала и частоты его спектральных составляющих. Еще больше ошибок дали «изобретатели» всевозможных «вечных двигателей» — лжепроектов устройств
6
или способов модуляции и обработки сигналов, якобы позволяющих превысить пропускную способность канала или, еще чаще, снизить вероятность ошибки по сравнению с минимально возможной при оптимальном приеме.
Столь же многообразны эти заметки по своему жанру. Это и воспоминания о задачах, которые приходилось решать автору, это и короткие статьи, посвященные теории связи или какой-либо’!'малоис-следованной проблеме, это и соображения о методике преподавания, а также отдельные мысли, которые могут породить плодотворные идеи. Автор позволил себе в некоторых местах нарушить существующую традицию и вести изложение от первого лица.
Таким образом, эта книга не серьезная монография, но и не научно-популярная, рассчитанная на средне образованного человека, желающего получить общее представление о неизвестной ему области науки. Для ее чтения требуется определенный уровень знаний, в пределах вузовского курса.
1.2. ОШИБКИ
Прежде чем приступить к собственно содержанию книги, следует остановиться на том, что же представляют собой те ошибки и парадоксы, которым посвящена значительная часть заметок. Что такое ошибка — ясно каждому. Это результат, не соответствующий реальной действительности. Причины ошибок в научных исследованиях весьма многочисленны и разнообразны. Конечно, тривиальные ошибки, возникшие в результате недосмотра или описки при расчете, не представляют интереса и здесь не рассматриваются. Известным литературным примером такой ошибки, повлекшей крах за
7
думанного предприятия, является ошибка героев Жюля Верна, попытавшихся устранить наклон земной оси за счет отдачи при выстреле из гигантской пушки. При расчете была допущена описка, в результате ожидаемый эффект оказался в 106 раз больше действительного.
Значительно полезнее анализ ошибок, вызванных более скрытыми причинами. Такими часто являются не адекватная исследуемому явлению математическая модель, некорректная аппроксимация, смешение сходных, но не тождественных понятий, догматический перенос закономерностей, справедливых для ограниченного круга явлений, на другие и т. п. Говоря об источниках ошибок, нельзя не упомянуть о психологических факторах, способствующих появлению ошибок и мешающих «виновникам» осознать их и исправить. Здесь и изящество полученного результата, с которым трудно расстаться, и многообещающие практические применения, и убеждение автора, что он непризнанный гений. В некоторых случаях это следствие низкой общей и научной культуры и отсутствия привычки к самопроверке и самокритике. Вероятно, еще ни один исследователь (в том числе и автор этой книжки) не смог избежать ошибок. Важно, чтобы он не упорствовал в своих заблуждениях.
Ошибались даже очень крупные ученые. В истории математики известна ошибка, допущенная Ж. Л. Д’Аламбером (1717—1783). Он решал такую задачу. Монета подбрасывается два раза. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет «герб»? В наше время эту задачу легко решит любой студент, знакомый с теорией вероятностей. Обозначим выпадение герба цифрой 1, а противоположное событие— цифрой 0. Равновозможны четыре исхода рассматриваемого эксперимента (1, 1), (1, 0), (0,1) 8
и (0, 0)'. Из них первые три удовлетворяют условию— хотя бы один раз выпадет герб. Поэтому вероятность такого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов, т. е. 3/4, Д’Аламбер рассуждал иначе. Герб может выпасть при первом подбрасывании, и тогда второй рйз можно монету не подбрасывать: нужное событие уже произошло. Если при первом подбрасывании герб не выпал, подбрасываем монету вторично. При этом герб может выпасть, а может и не выпасть. Таким образом, имеется три исхода, из которых два благоприятных, поэтому, полагал Д’Аламбер, искомая вероятность равна 2/3. Ошибка возникла вследствие того, что Д’Аламбер недостаточно точно представлял понятие равновозможности, хотя за 100 лет до этого оно было установлено Паскалем. В действительности из трех событий, рассмотренных Д’Аламбером, вероятность первого 1/2, а остальных двух 1/4.
Другой пример — выдающийся физик О. Хевисайд, много сделавший для изучения распространения электромагнитных волн, в свое время категорически отрицал возможность создания волноводов. В своей классической работе по теории электромагнетизма он писал следующее (цитирую по книге [7]): «...Возникает вопрос, можем ли мы пропустить электромагнитную волну вдоль внутренней поверхности трубы наподобие светового луча? Мы, безусловно, можем сделать это при наличии внутри трубы второго провода, потому что это не отличается существенно от случая двух проводов, каждый вне другого. Но это не представляется возможным без внутреннего провода, ибо если мы его уберем, то внутри не останется ничего, на чем могли бы окончиться трубки смещения и вдоль чего они могли бы распространяться...». Такое высказывание
9
звучит особенно странно: Хевисайд в то время достаточно ясно представлял, что электромагнитные волны могут распространяться в свободном пространстве, причем силовые линии замыкаются сами на себя.
Примеры различных нетривиальных ошибок будут приведены ниже, при этом основное внимание уделяется анализу причин, которые привели к ложному результату.
1.3. ПАРАДОКСЫ
От ошибок следует отличать парадоксы. Термин «парадокс» имеет много значений. В логике парадоксом называют такое рассуждение, которое приводит к взаимно противоположным выводам. Парадоксами часто называют такие рассуждения, которые приводят к противоречивым результатам вследствие некоторых малозаметных погрешностей в постановке задачи и принятых определениях.
Приведем простой пример, в котором неточность формулировки легко бросается в глаза. Пусть некоторый сигнал передается одновременно по двум параллельным каналам. Каналы между собой статистически независимы, и вероятность ошибочного приема в каждом из них р1=р2=0,1. Известно, что в одном из этих каналов сигнал принят ошибочно. Какова при этом условии вероятность, что он принят ошибочно в обоих каналах?
Первое решение. В одном канале, по условию, сигнал принят ошибочно. Во втором канале он с вероятностью 0,1 принимается также ошибочно, а с вероятностью 0,9 — правильно. Таким образом, при указанном условии вероятность того, что ошибка произошла в обоих каналах, равна 0,1.
10
Второе решение. При передаче сигнала по двум каналам возможны четыре безусловных исхода:
1)	в обоих каналах сигнал принят верно—вероятность этого исхода р1=0,92=0,81;
2)	в первом канале сигнал принят верно, а во втором — ошибочно — вероятность этого исхода р2=0,9-0,1=0,09, поскольку ошибки в каждом канале возникают независимо;
3)	в первом канале сигнал принят ошибочно, а во втором — верно — вероятность этого исхода, как и предыдущего, р3=0,09;
4)	в обоих каналах сигнал принят ошибочно — вероятность этого р4=0,12=0,01.
В соответствии с условием задачи известно, что исход 1 не имел места. Вероятность того, что при этом условии будет исход 4,
р4/ (р2+рз+р4)=0,01 / (0,09+0,09+0,01) =1/19.
Этот результат почти вдвое меньше, чем полученный в первом решении. Какой же из них верен?
Причиной неоднозначности ответа является некоторая двусмысленность условия задачи. Условие «в одном из этих каналов сигнал принят ошибочно» можно понимать двояко. Если исходить из того, что «в одном определенном канале (например, в том, которому присвоен номер 1) сигнал принят ошибочно», то возможны только два исхода для второго канала и правильным является первое решение. Если же условие понимать, как «в каком-то одном из двух каналов сигнал принят ошибочно», то верно второе решение.
Различие между этими двумя пониманиями условия можно пояснить и с помощью формул. Пусть
11
A — событие, заключающееся в том, что ошибка возникла в первом канале, а В — независимое от А событие, заключающееся в возникновении ошибки во втором канале. В первом решении ищем условную вероятность Р(А и В|Л) или Р(А и В|В). Она, очевидно, равна Р(А и В)/Р(А) или, учитывая независимость Л и В, Р(Л)Р(В)/Р(Л)—Р(В). Во втором решении отыскивается другая условная ,ве-роятность Р(А и В]А или В). Она равна_Р(А й~ В)/[Р(А и В)+Р(А и В)-\-Р(А и В], где А означает событие, противоположное А. Если бы формулировка условия в задаче была более определен^ ной, то никакой двузначности решения не возникло бы.
Заметим, что аналогичные парадоксы, связанные с неточностью формулировки условия, давно известны и упоминаются во многих популярных книгах. Типичный пример такой задачи. У Иванова двое детей; известно, что один из них мальчик; какова вероятность того, что у него два мальчика? У Петрова также двое детей, причем известно, что старший — мальчик; какова вероятность того, что у Петрова два мальчика? Предполагается, конечно, что рождение мальчика или девочки — события независимые и равновероятные. После обсуждения предыдущего примера читатель легко сообразит, что вероятность иметь двух мальчиков равна для Иванова 1 /3, а для Петрова 1/2.
Иногда термин «парадокс» или «парадоксальное решение» применяют и к вполне однозначному и закономерно полученному выводу, если он противоречит тому, что ожидалось получить интуитивно, или, как иногда говорят, противоречит здравому смыслу. Приведем такой пример.
Три пеленгатора одновременно пеленгуют некоторый объект. Если бы пеленгование производилось 12
абсолютно точно, то три линии пеленга, проведенные от каждого пеленгатора, пересеклись бы в одной точке, в месте нахождения объекта (предполагается, что объект не находится на одной прямой
ни с одной из пар пеленгаторов). В действительности объект пеленгуется с некоторой ошибкой, и поэтому линии пеленга пересекаются не в одной точке, а образуют некоторый треугольник АВС (рис.
1.1)	. Очевидно, что если ошибки пеленгования малы, то объект находится где-то недалеко от точек А, В и С.
Лет тридцать тому назад среди специалистов, занимающихся пеленгованием, было очень распространено мнение, что в отсутствие систематических ошибок пе
ленгуемый объект обяза-
тельно или с очень большой вероятностью находится внутри треугольника АВС. Проверим это утвер-
ждение.
Допустим, что ошибка пеленгования является случайной величиной, принимающей с равной вероятностью положительные и отрицательные значения. Найдем вероятность того, что пеленгуемый объект находится внутри треугольника АВС. Решим эту задачу, предполагая, что пеленгуемый объект 0 находится вне треугольника abc, в вершинах которого расположены пеленгаторы. Для определенности обозначим пеленгаторы так, чтобы прямая ОЬ лежала внутри угла аОс. Существует восемь равновероятных сочетаний знаков угловых ошибок пеленгования (рис. 1.2). Легко видеть, что только при двух сочетаниях, когда ошибки пеленгаторов а и с имеют одинаковый знак, а ошибка Ь — проти-
13
воположный им знак, пеленгуемый объект оказывается внутри треугольника АВС. Этот результат зависит не от величины ошибок, а только от знаков. Поскольку все восемь сочетаний знаков ошибок равновероятны, искомая вероятность того, что объект пеленгования находится внутри треугольника АВС, равна 2/8=1/4.
Рис. 1.2
Аналогичный результат получим и для случая, когда объект пеленгования находится внутри треугольника abc. Различие лишь в том, что при таком расположении благоприятными являются два случая, когда знаки всех трех ошибок одинаковы.
Неожиданность полученного решения состоит не только в том, что найденная вероятность оказалась значительно меньше, чем ожидалось. Примечателен тот факт, что эта вероятность не зависит ни от дисперсий ошибок, ни от вида распределения их вероятностей (которые могут быть и неодинаковыми), ни от расположения пеленгаторов. Достаточно1 чтобы 14
знаки ошибок для каждого пеленгатора были равновероятны.
На первый взгляд, такой результат даже противоречит здравому смыслу. Как может быть, что для очень точных пеленгаторов, у которых дисперсия ошибки ничтожно мала, искомая вероятность такая же, как и для самых грубых? Однако, если подумать, то никакой нелепости в этом не обнаружится. При точных пеленгаторах треугольник АВС будет, как правило, очень малым, а при грубых — большим. Поэтому, несмотря на то, что вероятность нахождения объекта внутри этого треугольника в обоих случаях одинакова, точные пеленгаторы позволяют оценить его положение значительно лучше, чем грубые.
Приведенные здесь примеры имеют лишь весьма отдаленное отношение к теории связи. Ниже будут рассмотрены ошибки и парадоксы, характерные для проблем связи.
2.	СПЕКТР И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА
2.1	СПОР О СПЕКТРЕ
АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННОГО СИГНАЛА
Если на клетке слона прочтешь надпись «буйвол», не верь глазам своим.
Козьма Прутков
Частота и спектр — это, пожалуй, два понятия, которыми больше всего пользуются современные инженеры связи. Трудно поверить, что в течение десятка лет техника радиосвязи развивалась без использования каких-либо представлений о спектрах радиосигналов. Даже тогда, когда в технике
15
телефонной связи спектр сигнала стал одной из основных инженерных характеристик, в области радиосвязи (в те времена главным образом радиотелеграфной) о спектре сигнала почти не говорили. Причину этого понять нетрудно. Спектры применявшихся тогда радиосигналов (пачек затухающих синусоид, подвергнутых амплитудной манипуляции, а позднее — амплитудно-манипулированные незатухающие синусоиды при частоте манипуляции, не превышающей несколько десятков герц) были значительно уже, чем полосы пропускания передатчиков и приемников. Поэтому вопрос о спектре радиосигнала с точки зрения инженерной практики был неактуальным.
Положение изменилось с появлением радиотелефонии, которая осуществлялась вначале только с помощью амплитудной модуляции. Передаваемый сигнал s(t) при этом может быть представлен в виде
s(t)=A(t) cos (W+фо),	(2.1)
где Л (0—огибающая (или переменная амплитуда) сигнала; сдо=2л/о —его круговая частота; <р0— его начальная фаза.
Отличие этого сигнала от чисто гармонического A cos (|со(/+фо) с постоянной амплитудой Л, на первый взгляд, ничтожное. Все дело только в том, что в одном случае А — постоянная, а в другом — переменная величина. Однако, как хорошо известно, спектры этих сигналов качественно различны— если амплитуда А постоянная, весь спектр состоит из одной-единственной составляющей с частотой соо (монохроматический спектр); при переменной амплитуде спектр оказывается сложным и характер его определяется видом функции A(t). В частности, при модуляции одним тоном с частотой Q<(d0 сиг-16
нал разлагается на три гармонические составляющие с частотами <в0 (несущая.), <о0+£2 (верхняя боковая) и соо—Q (нижняя боковая):
А (1	тп cos Qz) cos (co0Z -|- <p0) = A cos (<oj %) +
--^-/Icos	+	4 cos [(<o0-fi)/+<p0].
(2.2)
Сейчас это известно любому студенту и трудно поверить, что в 20-е и даже 30-е годы некоторые крупные инженеры (в том числе изобретатель вакуумного диода английский ученый А. Флеминг [47]) возражали против концепции боковых частот. Конечно, это возражение не было направлено против формулы (2.2). Никто не собирался онровергать тригонометрическую формулу разложения произведения косинусов. Флеминг не отрицал, что при сложении сигналов от трех точно сфазированных генераторов гармонических колебаний A cos (W+фо), (m/2) A cos [.((Oo+'Q) ^+фо] и (m/2) A cos [ (шо— —Й)Н~фо] можно получить в точности такой же сигнал, как и при модуляции гармонического колебания гармоническим низкочастотным сигналом cos Qt с глубиной модуляции т. Спор шел о том, содержатся ли реально боковые частоты <dq+'Q и соо—Q в модулированном сигнале.
Флеминг и его единомышленники полагали, что преобразование (2.2) является одним из многих возможных математических представлений и ничего не говорит о реальном существовании боковых частот. Например,' даже простой гармонический сигнал можно всегда разложить различным образом на сумму нескольких других сигналов. Обозначим, например, через M(t) периодическую треуголь-2—3413	17
ную функцию с периодом Т=2я/а, определяемую на интервале —Tj2<t<T/2 выражением
М(1) |1+Ж. «О,
11 -4tjT. (>0,
и периодически продолженную вне этого интервала, а через \N (t)—функцию cos at—M(t) (рис. 2.1). Тогда, по определению,
cos at=М (t) +7V (/)i.
(2.4)
1
Рис. 2.1
Но можно ли на основании этого утверждать, что в косинусоиде реально содержится треугольная функция М (/) ?
Что же касается модулированного сигнала (2.1), то мы видим, говорил Флеминг, что его частота равна <о,о. Поэтому никаких других частот в нем на са-18
мом деле не содержится, какие бы математические преобразования с ним не производили. Как видите, доводы Флеминга были далеко не так наивны, как их иногда представляют. Не содержат ли они некоторое рациональное зерно?
К этому вопросу мы еще вернемся. Пока же отметим, что следующий шаг в рассуждениях Флеминга был, безусловно, ошибочным. Он утверждал, что поскольку в сигнале (2.1) существует только частота соо, то его может выделить контур, настроенный на эту частоту, и чем острее будет резонансная кривая этого контура, тем лучше он отделит этот сигнал от других сигналов с другими частотами col, о)2, ...» лишь бы эти частоты отличались от coo. Отсюда делается вывод, что в принципе в заданном диапазоне частот можно.разместить сколько угодно амплитудно-модулированных (AM) сигналов и они не будут мешать друг другу, если их выделять контурами с достаточно высокой добротностью. Поэтому нет никаких оснований к установлению частотных интервалов между полосами, отводимыми различным радиостанциям, и «плотность населения эфира» лимитируется только избирательностью приемника.
Ошибочность этого вывода была полностью доказана в ходе дискуссии в 1930 г. Основную роль в ней сыграл выдающийся советский ученый, создатель теории колебаний, академик Л. И. Мандельштам. В частности, он отмечал, что боковая частота (и вообще любая составляющая спектра) приобретает физическую реальность, как только используется избирательная система, способная ее выделить. Это относится не только к гармонической составляющей. Можно выделить, например, составляющую M(t) (2.3) из косинусоиды (2.4) с помощью параметрического фильтра, для которого тре-2*	19
угольная функция M(t) является собственной функцией (подробно см.1 [9]). Однако можно, и не пользуясь представлением о боковых частотах, показать, что повышение добротности контуров не позволит разместить без взаимных помех сколько угодно AM сигналов в заданной полосе частот. Чем выше добротность контура, тем больше и его инерционность, и поэтому приходится больше времени затрачивать на любое изменение амплитуды колебаний в контуре. При увеличении добротности возникают условия, при которых, например, AM сигнал (2.2) вызовет в контуре колебания, амплитуда которых за период частоты Q не будет успевать заметно измениться. Со спектральной точки зрения это значит, что контур практически пропускает только несущую частоту и сильно ослабляет боковые частоты.
К сожалению, изложить здесь хотя бы кратко все основные идеи Л. И. Мандельштама о боковых частотах и о спектральном представлении сигнала нет никакой возможности. Это увело бы нас далеко от той цели, ради которой написана эта книга. Проблема реальности боковых частот уже давно стала историей. О ней писали много раз в различных работах (например, [12]). Мы вспомнили здесь об этом не для того, чтобы еще раз доказывать существование боковых частот. Нас интересует первопричина ошибки А. Флеминга. Но прежде чем говорить о ней, вспомним еще об одной дискуссии, которая велась примерно в те же годы.
2.2.	СПОР ОБ УЗКОПОЛОСНОЙ ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИИ
В ходе полемики о боковых частотах AM сигнала практически всем специалистам стало ясно, что всякое изменение амплитуды сигнала приводит 20
к расширению его спектра. При амплитудной модуляции гармоническим сигналом с частотой Q спектр не может быть уже чем 2£}, поэтому в диапазоне частот шириной Д нельзя разместить больше чем Д/22‘АМ сигналов так, чтобы их можно было разделить линейными частотно-избирательными цепями. Здесь под iQ нужно’ понимать максимальную частоту спектра модулирующего сигнала; обычно в радиотелефонии (модуляции речью) «=3000 Гц.
Все же расставаться с идеей более эффективного использования диапазона частот не хотелось. И вот у некоторых инженеров появилась мысль— заменить амплитудную модуляцию частотной. Изложим эту мысль примерно так, как ее описывали в те далекие времена, когда теории частотной модуляции (ЧМ) еще не существовало.
Итак, пусть исходным модулируемым колебанием будет гармонический сигнал AcoscoZ. Но, в отличие от амплитудной модуляции, будем сохранять амплитуду А постоянной.. Вместо нее будем модулировать частоту о), положив со=®о+Д®х(0, где x(t)—первичный модулирующий сигнал; в простейшем случае x(/)=cosQl. Предполагается, что ,x(t) —безразмерная функция, принимающая значения от —1 до -ф-1; Да»— девиация частоты, выбираемая, вообще говоря, произвольно.
Поскольку амплитуда А остается постоянной, боковых частот здесь не возникает. Правда, частота такого сигнала изменяется, но только от <оо—Л® до ®о+Д®. Девиацию частоты Да» можно выбрать достаточно малой (например, 300 или 30 Гц). Таким образом, такой сигнал можно передавать в узкой полосе частот — 600 или 60 Гц вместо 6000 Гц при AM, т. е. в 10—100 раз увеличить число каналов в заданном диапазоне частот. Прием же таких
21
сигналов осуществляется в принципе очень просто. Сигнал подается на слегка расстроенный колебательный контур, так чтобы средняя частота cdq соответствовала середине того участка резонансной кривой, который с некоторым приближением можно считать линейным. На выходе такой цепи ЧМ сигнал оказывается дополнительно промодулирован-
ным по амплитуде (рис. 2.2), после чего обычный амплитудный детектор может восстановить первичный (модулирующий) сигнал. Из рис. 2.2 видно, что значение девиации никак не должно сказываться на рассматриваемых операциях, если только добротность контура выбрана так, чтобы его полоса пропускания, отсчитываемая на уровне 0,5, была немного больше удвоенной девиации. Поэтому, совершенствуя колебательный контур и добиваясь повышения его добротности, можно уменьшать девиацию и, следовательно, размещать все больше каналов в заданном диапазоне частот,
22
Ошибочность такой точки зрения еще задолго до выступления Флеминга отметил Дж. Р. Карсон [16]. ЧМ сигнал имеет спектр, в состав которого входят боковые частоты	(где k — любое на-
туральное число), и, таким образом, теоретически занимает бесконечно широкую полосу. Если даже ограничиться той полосой частот, в которой расположена только наиболее существенная часть спектра, то и тогда необходимо буде? учитывать хотя бы первую пару боковых частот <oo±IQ. Таким образом, спектр ЧМ сигнала определяется не только девиацией и не может быть более узким, чем спектр AM сигнала при одинаковых модулирующих сигналах. Несмотря на ясность этого вопроса, еще в 1929 г. некий Робинсон получил в США патент на применение узкополосной ЧМ для сужения спектра передаваемого сигнала.
Как известно, в дальнейшем применение ЧМ вело к расширению, а не сужению спектра, что увеличивало помехоустойчивость систем связи. Но сейчас нас интересует не это. Поставим следующий вопрос: нет ли какого-то общего источника погрешности в рассуждениях одних авторов, отрицавших реальность боковых частот при AM, и других, пытавшихся сузить используемую полосу частот применением узкополосной ЧМ?
2.3.	В ЧЕМ КОРЕНЬ ОШИБКИ?
Действительно, такой источник существует, и рассмотрение его может быть весьма полезным. К сожалению, в известной учебной и монографической литературе ему не уделено достаточного внимания. И в настоящее время некоторые специалисты совершают ошибки, в основе которых лежит неумение четко различать два похожих, но отнюдь 23
не совпадающих понятия — мгновенная частота сигнала и частота его спектральной составляющей.
При спектральном представлении сигнала в виде ряда Фурье он выражается суммой гармонических составляющих, каждая из них является функцией, заданной на всей бесконечной оси времени и характеризуемой амплитудой, частотой и начальной фазой. Строго говоря, понятия «амплитуда» и «частота» можно применять только к такой гармонической функции, как A cos (со/+ф), существующей при —оо</<оо. Процессов, описываемых такими функциями, в природе, по-видцмому, не существует. Однако представляя реальный процесс рядом Фурье (или с некоторыми несущественными оговорками интегралом Фурье), его разлагают именно по таким бесконечно -существующим функциям с неизменными амплитудой, частотой и начальной фазой. Но спектральное представление сигнала не является единственно возможным и далеко не всегда самым удобным. Часто реальный сигнал записывается в квазигармонической форме
s (/) = А (/) cos [W+ф (0 ] •	(2.5)
Такая запись очень похожа на выражение гармонического сигнала. Отличие лишь в том, что «амплитуда» А и «начальная фаза» ср зависят от времени. Частный случай такого выражения уже встречался в (2.1). Величина <оо в (2.5) не зависит от времени и, на первый взгляд, играет ту же роль, что и частота о) в представлении простого гармонического сигнала
A cos (соЛ-}-ф).	(2.6)
Однако удобнее определить «частоту» несколько иначе.
Рассматривая выражение (2.6) и обозначая в нем «полную фазу» (т. е. аргумент косинуса) че-24
рез Ф(0=о)^+ф, легко увидеть, что частота со равна производной фазы ®—d(bldt. Аналогично для сложного сигнала (2.5) определим «мгновенную частоту» со (>0 =^Ф/^^=(о<)+б/ф/йЛ Она является функцией времени и в общем случае не равна <о0.
Автор приносит извинения искушенному читателю за то, что он пересказывает широкоизвестные определения. Однако это оправдано необходимостью подчеркнуть некоторые факты, на которые иногда не обращают внимания.
Итак, сигнал (2.5) характеризуется мгновенной амплитудой (или огибающей) А (0, мгновенной частотой (о(/) и мгновенной начальной фазой ф(/). Но этот же сигнал можно представить в виде суммы
спектральных составляющих, каждая из которых характеризуется своей амплитудой, своей частотой и своей начальной фазой. И в том и в другом случае применяется термин «частота» по исторически сложившейся традиции. Однако свойства мгновенной частоты и частоты спектральной составляющей во многом различны. Одинаковой для них является только размерность (радиан в секунду или, после
деления на 2л, герц), свойств, то их различие Мгновенная частота
Является функцией времени Для данного сигнала в данный момент времени принимает одно-единственное значение
Что же касается других представлено ниже.
Частота гармонической составляющей спектра
Не зависит от времени
Для данного сигнала в любой момент времени существует конечное, счетное или несчетное, множество спектральных составляющих с различными частотами
При прохождении сигнала через линейную цепь с постоянными параметрами может изменяться
При прохождении сигнала через линейную цепь с постоянными параметрами не изменяется, могут измениться только амплитуды и начальные фазы
?5
Не может служить аргументом передаточной функции цепи
Измеряется (с той или иной погрешностью) с помощью различного рода частотных детекторов (дискриминато-ров)
Является аргументом передаточной функции линейной цепи
Измеряется с помощью анализаторов спектра, т. е. набора фильтров (резонаторов) или перестраиваемого резонатора
Обратим внимание на третье свойство спектральных составляющих. Именно оно является причиной столь широкого использования спектрального представления сигналов. Учитывая свойство суперпозиции, характеризующее линейные цепи, можно свести изучение прохождения сложного сигнала через линейную цепь к прохождению отдельных его составляющих. В качестве таких составляющих удобно принять гармонические сигналы, так как после прохождения через линейную цепь с постоянными параметрами они остаются гармоническими и сохраняют свою частоту. Если знать изменения, которым подвергаются амплитуда и фаза такого гармонического сигнала при прохождении через цепь (т. е. передаточную функцию цепи), то, пользуясь методом суперпозиции, можно сразу получить результат прохождения всего сложного сигнала. Другими словами, при исследовании прохождения сигнала через линейную цепь спектральное представление позволяет заменить операцию интегральной свертки более простой операцией — перемножением двух функций.
Представление (2.5), в свою очередь, очень удобно при изучении прохождения сигналов через безынерционные нелинейные цепи, например квадратор. При определенных условиях Л(/) и о(0 оказываются медленно изменяющимися функциями 26
времени, что позволяет получить ряд полезных точных или приближенных результатов. Но для изучения прохождения сигнала через линейную цепь представление (2.5) не всегда удобно.
Заметим также, что для идеального гармонического сигнала Л cos (со^+ф) (—оо</<оо) мгновенная частота со является постоянной и совпадает с частотой единственной спектральной составляющей.
После этого краткого отступления легко понять, что явилось первопричиной ошибок в спорах о существовании боковых частот при AM и о полосе частот, занимаемой узкополосным ЧМ сигналом. Только в результате смешения понятий мгновенной частоты и частоты спектральной составляющей могли возникнуть те недоразумения, о которых здесь идет речь.
Действительно, AM сигнал (2.1) А (/) cos (со0^+ +фо) имеет переменную огибающую A (Z) и постоянную мгновенную частоту со,0. По аналогии с простым гармоническим сигналом (2.6) Флеминг и его единомышленники отождествляли эту мгновенную частоту с частотой якобы единственной спектральной составляющей. Точно так же изобретатели «узкополосной» ЧМ не видели разницы между множе,-ством частот, входящих в спектр сигнала, и множеством значений, принимаемых мгновенной частотой. Поэтому они отождествляли ширину спектра с областью изменения мгновенной частоты сигнала.
Отметим одно интересное обстоятельство. В те времена, о которых идет речь, радиоинженеры, говоря о частоте негармонического сигнала, обычно имели в виду мгновенную частоту, хотя этот термин тогда еще широко не использовался. Такое пред? ставление о частоте для человека, привыкшего оперировать простыми гармоническими сигналами,
27
проще и естественнее спектральных представлении. Именно на этой почве возникали парадоксы и ошибочные заключения, подобные изложенным выше.
2.4.	ОБЖЕГШИСЬ НА МОЛОКЕ...
Время шло, различные виды модуляции внедрялись в технику связи, возникали многообразные задачи о прохождении сложных сигналов через линейные цепи, эти задачи решались чаще всего методом спектрального анализа с использованием передаточной функции цепи. Примитивный подход с подменой спектральной частоты мгновенной приводил к ошибкам, а спектральный анализ, применение амплитудно- и фазочастотных характеристик становились все более обычными и понятными инженерам. Не удивительно, что в результате у некоторых специалистов возникло предубеждение против самого понятия «мгновенная частота», которое к тому времени уже было явно сформулировано.
Пожалуй, в наиболее ярком виде это неприятие мгновенной частоты выразил Дж. Шекел, обратившийся в редакцию журнала Proceedings of the Institute of Radio Engeneers с таким письмом [52]: «В недавно напечатанной статье систематически применяется термин «мгновенная частота». Многие авторы уже отмечали, что этот термин является ошибочным и вводящим в заблуждение, особенно при рассмотрении частотной модуляции. Ниже мы предполагаем показать, почему этот термин не применим, и надеемся, что после этого он навсегда исчезнет из словаря инженеров связи». Далее в этом письме говорится, что мгновенную частоту можно определить, совмещая в данной точке заданную функцию и две ее производные с синусоидой, удовлетворяющей, как известно, дифференциальному 28
уравнению
s"+w2s=O.	(2.7)
Поэтому мгновенную частоту любого сигнала следует вычислять как
«) = ]/—sff/s.	(2.8)
Приведя такое произвольное определение мгновенной частоты, Шекел применяет его к сигналу s(t) = =sin g(t), причем мгновенная частота оказывается равной V^(g')2 — g" g вместо, как он говорит, ожидаемого «интуитивного» значения g'(t). Получив явно нелепый результат, Шекел, вместо того чтобы отвергнуть свое определение, ополчается в первую очередь на представление частоты как производной фазы и в итоге вообще отвергает понятие мгновенной частоты. Заканчивая свое письмо, Шекел пишет: «Поэтому легко понять кажущиеся парадоксы с такого рода утверждениях „максимальный отклик резонансного /?АС-контура на напряжение с переменной частотой имеет место не тогда, когда мгновенная частота совпадает с резонансной частотой контура” или ’’спектр ЧМ колебания значительно шире области изменения мгновенной частоты”. Эти утверждения ошибочны, поскольку они основаны на интуитивном,-но неверном понимании термина» (см. также [53]).
Обратим внимание на интересный факт. С 1929 г., когда Робинсон получил патент на узкополосную ЧМ, до 1953 г., когда Шекел опубликовал свое письмо, прошло 24 года. За это время отношение к спектру и мгновенной частоте в корне изменилось. Робинсон считал реальными только мгновенные частоты, Шекел — только спектр.
Не следует думать, что Шекел был одинок. Он, только в более категоричной форме, высказал мыс-
29
ли, которые в 50-х годах разделяли многие ученые. Приведем в качестве примера одно место из работы академика А. А. Харкевича [48], которая в то время была бесспорно лучшей книгой, трактующей вопросы спектрального анализа сигналов, во многом опережала аналогичные зарубежные работы и сыграла выдающуюся роль в воспитании не одного поколения инженеров связи. В одном из добавлений к этой книге автор ее рассматривает широко распространенную в те времена теорию радиолокационного частотно-модулированного альтиметра.
Напомним современному читателю сущность этой теории. Альтиметр предназначен для измерения высоты самолета над поверхностью Земли. Для этого с самолета посылается сигнал, модулированный по частоте по треугольному закону. Отраженный от Земли сигнал принимается бортовым приемником. Его частота изменяется по тому же закону, но с запаздыванием на x—2h[c, где h — высота; с — скорость электромагнитных волн (на рис. 2.3 изменение частоты излучаемого сигнала показано непрерывной линией, а принимаемого — штриховой). На протяжении большей части времени разность частот передаваемого и принимаемого сигналов остается постоянной и пропорциональной т, а следовательно, и h. Сложив излучаемый и отраженный сигналы, получим биения с разностной частотой, которую можно выделить и измерить частотомером, определив тем самым высоту полета.
По этому поводу А. А. Харкевич писал: «Странно, что это наивное и в корне неверное описание удерживается в течение долгих лет в технической литературе, тогда как общие ошибочные представления о частотной модуляции давно уже разоблачены и отброшены. Ошибка настолько очевидна, что прямо-таки бросается в глаза. Она основана на 30
смешении спектральной и временной точек зрения и вытекающем из этого смешения легкомысленном обращении с понятием частоты... Дело в том, что периодически модулированное по частоте колебание есть квазипериодический процесс. Следовательно, такой сигнал обладает дискретным спектром с интервалами между линиями, равными частоте моду-

Рис. 2.3
ляции. Но спектр отраженного сигнала имеет точно такой же вид, так как сдвиг по времени не влияет на спектр амплитуд. Следовательно, и спектр результирующего сигнала (т. е. суммы прямого и отраженного сигналов) будет обладать спектром из так же расположенных дискретных линий, и никаких плавно изменяющихся частот, пропорциональных запаздыванию, не возникает и не может возникнуть, какую бы нелинейную обработку этого спектра мы ни предприняли».
Итак, никаких биений в ЧМ альтиметре не может возникнуть. А тем не менее самолеты, оборудованные этим альтиметром, летали и высоту изме-
31
ряли. Чтобы это как-то объяснить, в упомянутой книге строится довольно сложная теория, поясняющая возникновение периодических изменений огибающей без использования понятия мгновенной частоты.
•Точку зрения А. А. Харкевича вполне можно понять. При подмене частот спектра сигнала его мгновенной частотой возникает много ошибок. Не удивительно, что у ряда исследователей появились предубеждения против использования мгновенной частоты и стремление описывать сигналы только с точки зрения их спектральных составляющих. К чему ведет такая боязнь нестрогости в использовании спектральных представлений?
2.5.	ПОПРОБУЕМ БЫТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ
Примем на время точку зрения, выраженную А. А. Харкевичем и, еще более определенно, Дж. Шекелом в приведенных цитатах. В соответствии с ней нельзя пользоваться представлениями об амплитуде или частоте, которые изменяются во времени. Каждая функция может быть либо строго гармонической, либо негармонической. В последнем случае ее можно описать некоторым аналитическим выражением, в частности рядом или интегралом Фурье. Под запрет должно попасть и понятие мгновенного спектра, так как все спектральные составляющие существуют вечно. Тогда мы должны объявить неграмотными* или не имеющими смысла следующие фразы:
«При частотной манипуляции частота излучаемого сигнала меняется скачком в моменты времени, кратные Т».
«В нашем передатчике используется высокостабильный генератор, частота которого в течение суток меняется не более чем на 3 Гц»,
32
«Спектр сигнала, модулирующего радиовещательный передатчик, изменяется при переходе от речевой передачи к музыкальной».
«Утром я включил генератор гармонического сигнала».
Вместо первой фразы нужно было бы говорить, что «при частотной манипуляции сигнал описывается формулой s(Vj=A [Xcoscoif+(l—X) cosco2/], где X—случайная величина, принимающая значение О или 1, которое определяется передаваемым сообщением и может изменяться в моменты времени, кратные Г».
Вместо второй фразы — «Наш передатчик излучает спектр, часть которого, лежащая вблизи несущей частоты со, сосредоточена4в очень узкой полосе» (для количественной оценки стабильности пришлось бы вводить много вспомогательных величин).
Что касается третьей фразы, то мысль о различии спектров речевой и музыкальной передач, кажется, вовсе невозможно выразить, отказавшись от понятия мгновенного спектра. Последняя фраза оказывается недопустимой потому, что сигнал, начавшийся в некоторый момент времени, не может быть гармоническим. 
Еще больше затруднений возникнет при попытке пояснить частотную модуляцию, не прибегая к понятию мгновенной частоты.
Таким образом, отказ от представления о переменных амплитуде и частоте, хотя и предостерегает от опасности впасть в некоторое заблуждение, приводит к огромным неудобствам при описании простых и привычных явлений. Представление сложных (негармонических) сигналов в виде (2.5) и введение огибающей, мгновенных фазы, и частоты чрезвычайно полезны. Необходимо только помнить, что с мгновенной частотой нельзя обращаться как
3—3413	83
с частотой составляющей спектра (в частности, при изучении прохождения сигнала через линейную цепь).
Примерно так же обстоит дело с понятием мгновенного спектра, точнее, спектра, изменяющегося во времени. Представление о таком переменном спектре очень наглядно и Широко используется инженерами, обычно не задумывающимися о его физическом смысле и математическом выражении. Об этом задумался С. М. Рытов [36], который показал, что сущность такого представления в недоведенном до конца преобразовании Фурье. Грубо говоря, вместо того чтобы рассматривать спектр всего сигнала, заданного на бесконечной оси времени, мы ограничиваемся его спектральным разложением на конечном интервале длительностью Т. Ясно, что на раз* личных таких интервалах и «спектры» будут в общем. случае различны. Такое представление весьма удобно и адекватно решаемым техническим задачам, если используемые приборы не могут разделять или различать частоты, отличающиеся на 1/7".
2.6.	К ТЕОРИИ ЧМ АЛЬТИМЕТРА
Теория ЧМ альтиметра, подвергнутая критике А. А. Харкевичем, является приближенной. Тем не менее она не только очень наглядна, но и вполне обоснованна. Дело в том, что явление биений, на котором построено объяснение действия альтиметра, принадлежит не спектральной теории, а относится к кругу вопросов, связанных с квазигармони-ческим представлением сигнала с огибающей и мгновенной частотой. В этом легко убедиться, если вспомнить, в чем заключается сущность биений. При сложении двух гармонических сигналов с близкими частотами coi и сог огибающая суммы содер-34
жит периодическую составляющую с основной частотой |сс>1—<<х>21. В этом определении без термина «огибающая» обойтись нельзя.
Явление биений наблюдается и при сложении квазигармонических сигналов, если их огибающие постоянны или меняются достаточно медленно, чтобы не замаскировать биений. Рассмотрим, например, сумму двух ЧМ сигналов с мгновенными частотами (01 = б/Ф1/Л И (О2==(/Ф2/Л:
Si (t) +s2(0 =Ai cos Ф1 (/) —Д2 cosФ2(0.	(2.9)
Пусть для определенности Л1>Л2. Обозначив Д(/)=ф2(/)—Ф1(0, можно записать:
Si (/) + s2 (f) = A, cos Ф, (/) + А2 cos [Ф2 (/) + Д (/Я =
—	Д1 cos ф2 (t) -J- ACQS Д (0cos ф1 (0 —
—	А2 sin Д (/) sin Фх (t) = [Л, А2 cos Д (Z)] cos Ф2 (/) —
—	А2 sin Д (/) sin Ф2 (t) =-
= KU, + cos Д (4Р4- А\ sin2 Д (t) cos [Ф,	(/)],
пт* /л\	а	sin Д (t)
где Т (t) — arctg --------J-—
ь Д + AcosA(/)*
Огибающая суммарного сигнала
V	[Д, -4 Д2 cos Д (О]2 + А\ sin2 Д (0 =
= VA\ + A\-^-2AiA2 созД(0~ АГ + -|-(Д2/Д1)СО5Д(0]
изменяется с мгновенной частотой dA/d/=co2(O — —(01 (Z). Так как эта разность частот значительно меньше мгновенной частоты сигнала, можно легко выделить огибающую с помощью детектора и измерить ее частоту. Таким образом, обычное описание ЧМ альтиметра вполне обоснованно.
3*	35
2.7.	СУЩЕСТВУЮТ ЛИ РЕАЛЬНО СПЕКТРАЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ?
Вернемся к 1930 г., когда Флеминг отрицал реальность существования боковых частот в AM сигнале. По этому поводу во многих книгах написано, что ошибочное мнение Флеминга было опровергнуто экспериментально — боковые частоты, были выделены из AM сигнала резонансными системами. Один из наиболее эффектных опытов был продемонстрирован Л. И. Мандельштамом и описан в книге [12]. На обычный язычковый частотомер, используемый для измерения частоты промышленного переменного тока, подадим напряжение от сети, включив последовательно с источником телеграфный ключ. Когда ключ замкнут, резонирует один из язычков, настроенный на частоту 50 Гц, если частота сети соответствует номиналу. Теперь будем периодически прерывать ток ключом, замыкая и размыкая его, например, 2 раза в секунду. Спустя некоторое время наступит установившийся режим, при котором частотомер отметит помимо несущей частоты 50 Гц наличие двух боковых частот—52 и 48 Гц.
Говорят, что этим опытом Флеминг был повержен — реальность существования боковых частот была доказана. Но позвольте, как следует понимать слова «реальность существования»? То, что было доказано описанным опытом и многими другими экспериментами, это возможность выделить из сложного модулированного сигнала простую гармоническую составляющую боковой частоты. Допустим, что это не удалось сделать. Тогда боковые частоты следовало бы объявить реально не существующими? Принять такую точку зрения довольно опасно. Покажем это на следующем примере.
36
Рассмотрим импульс любой формы длительностью t от 0 до Т. Известно, что его спектр представлен интегралом Фурье. На некоторой частоте о)1 он содержит гармоническую составляющую, определенную на всей оси времени —оо</<оо. Мы убеждены, что эта составляющая реально существует. Значит ли, что ее можно (хотя бы в принципе) выделить из импульса? Если бы это было так, то нарушился бы закон причинности .— гармоническая составляющая появилась бы до того, как возник сам импульс. Действительно, если подать этот импульс на любой сколь угодно узкополосный физически реализуемый фильтр, то он пропустит не одну гармоническую составляющую, а некоторую часть спектра импульса с определяемыми фильтром изменениями амплитуд и фазовыми сдвигами составляющих. Можно показать, что, просуммировав эти составляющие для любого момента времени t<0 (но не для t>T), получим нуль.
Таким образом, одиночную гармоническую составляющую импульса выделить принципиально нельзя. Как бы ни была узка полоса пропускания фильтра, при воздействии одиночного импульса, имеющего непрерывный спектр, через фильтр пройдет часть спектра импульса, содержащая континуум частот. Если бы вместо одиночного импульса мы подали периодическую последовательность одинаковых импульсов, спектр которой линейчатый, то достаточно узкополосный фильтр мог бы выделить гармоническую составляющую.
Можно ли на этом основании говорить, что данная гармоническая составляющая реально существует только в периодической последовательности импульсов, а в одиночном импульсе ее нет? Безусловно, нельзя. Всякое математическое представление сигнала в виде суммы каких-то составляю
37
Щих, если оно записано верно, определяет реально существующие слагаемые. Эта реальность (ее можно называть математической) выражается в возможности пользоваться данным представлением в любых расчетах. Иногда можно выделить какую-либо составляющую и тем самым придать ей физическую реальность. Но даже если этого сделать нельзя, соответствующее представление не следует считать фикцией: оно тоже реально.
Можно провести аналогию (правда, весьма отдаленную и, может быть, чересчур смелую) с некоторыми фактами из физики высоких энергий. По современным представлениям, адроны состоят из «проточастиц» — кварков. Эта гипотеза получила столько подтверждений и позволила предсказать столько новых явлений, что в настоящее время практически все физики убеждены в реальности существования кварков. Однако никто не наблюдал свободных кварков, и в последние годы многие полагают, что выделить кварки из адрона принципиально невозможно. Здесь невозможность выделить также не противоречит реальности существования.
Итак, нет никаких сомнений, что Флеминг и другие авторы, отрицавшие реальность боковых частот AM сигнала, заблуждались. Однако нельзя безоговорочно согласиться и с теми их оппонентами, которые считали, что, только выделив спектральную составляющую резонансной системой, можно доказать ее реальность. Быть может, в аргументациях Флеминга было больше здравого смысла, чем обычно считают.
38
3.	О КОМПЛЕКСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ СИГНАЛА
Эта глупышка очень любила притворяться двумя разными девочками сразу.
Льюис Кэролл. Алиса в стране чудес
3.1.	ОБОБЩЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА
Гармонический сигнал u(t)=A cos (ю/~Нр) можно записать в экспоненциальной форме
u(t) = (Д/2) (еНох+Ф)^^^^))	(3.1)
либо
u(/)=Re {Ле^+Ф)}.	(3.2)
При механической интерпретации выражение (3.1) означает замену колебательного движения вдоль прямой двумя вращательными движениями С ПОСТОЯННЫМИ угловыми скоростями (Оо И —(Оо (рис. 3.1,а), а выражение (3.2) —представление колебательного движения в виде проекции одного вращательного движения с положительной угловой скоростью coo (рис. 3.1,6). Выражение в фигурных скобках (3.2) является комплексной функцией действительной переменной
u(t)=Ae[^t+^=A [cos (о/+<р) sin (соЛ-Нр)], (3.3) действительная часть которой совпадает с исходным гармо'ническим сигналом а мнимая часть u(/)=4sin (со/Ц-ср) отличается от исходного сигнала поворотом фазы на —л/2 и может быть названа сопряженным гармоническим сигналом.
При решении многих задач теории цепей удобно вместо гармонического сигнала рассматривать комплексный сигнал й(Г) или его комплексную амплитуду А=ЛеЧ Как известно, метод решения за
39
дач путем замены действительной гармонической-функции комплексной амплитудой, называемый символическим методом, находит широкое применение.
Обобщением символического метода является представление сложного (т. е. не гармонического) сигнала u(t) в виде действительной части комплексного сигнала
u(t)=u{t)+'w(t),	(3.4)
где »(/) —пока не определенный сигнал, сопряженный с u(t). Переписав (3.4) в экспоненциальной форме
й (t) =А (0 е1ф(‘)=Л (0 [cos Ф (/) +i sin Ф (/) ],	(3.5)
где, очевидно,
Л(0 cos Ф (0 =«(/); Л (0 sin®(/)=o(0,	(3.6)
можно определить огибающую сигнала
A (t) = Vu2(t)±v2 (t)	(3.7)
его полную мгновенную фазу
Ф (О =arctg [и (/) /и (/) ]	(3.8)
40
й мгновенную частоту
v' и ~~ и' v	/QQ,
dt= п2(0 + <’2(9	(3,9j
(штрихи обозначают производные по t).
Наконец, задавшись некоторой средней частотой <о0 и определив мгновенную начальную фазу Ф(0=Ф(0—©о/,	(зло)
можно записать исходный сложный сигнал u(t) в квазигармонической форме, аналогичной (3.1): u(t)—A(t) cos [сооН-ф(ОЪ	(З.И)
или в форме
u(O=Re{A(Oeiwo^},	(3.12)
где А(0=Д (Ое1^ — комплексная огибающая сигнала.
Замена сигнала u(t) его комплексной огибающей представляет собой распространение символического метода на сложные сигналы и удобна при решении многих задач.
3.2.	ОДНОЗНАЧНО ЛИ ОПРЕДЕЛЕНЫ ОГИБАЮЩАЯ И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА?
Прежде всего заметим, что мгновенная начальная фаза <р(0 и комплексная огибающая A(t) зависят от выбора средней частоты а поскольку coo задается произвольно, то об однозначности определения <р(/) и A(t) говорить не приходится. Однако действительная-огибающая A(t), мгновенная полная фаза Ф(^) и мгновенная частота со(0 не зависят от coo и целиком определяются функциями u(t) и v(t) по формулам (3.7) — (3.9). В частности, &(t)=(ty)t-j-dq)/dt не зависит от too, так как при изменении ©о соответственно изменяется и dqldt. По
41
этому если установить некоторое правило, по которому из сигнала u(t) определяется сопряженный сигнал v (/), то тем самым будут однозначно определены A(t), Ф(/) и со (0- Заметим, что если из четырех функций u(t), v(t), A{t) и Ф(0 задать две любые, остальные определяются однозначно по уравнениям (3.6).
Таким образом, вопрос об однозначном определении огибающей, мгновенной полной фазы и мгновенной частоты сигнала сводится к определению сопряженного сигнала v(t) по сигналу u(t). Вероятно, читателю известно, что обычно сопряженный сигнал выбирают как преобразование Гильберта от и(/). Сущность преобразования Гильберта заключается в повороте фаз всех спектральных составляющих на —л/2 в области положительных частот и на л/2 в области отрицательных частот. В результате спектр комплексного сигнала и (t)-\-iu (t), где й(0 получен из u(t) путем преобразования Гильберта, сосредоточен целиком в области положительных частот. (Подробности о преобразовании Гильберта и все относящиеся к нему формулы можно найти, например, в [5, 6, И, 20, 24, 45].) В дальнейшем будем обозначать преобразование Гильберта от x(t) через x(t).
Почти во всех работах, где этот вопрос рассматривается, отмечено, что огибающая, мгновенные фаза и частота удовлетворяют некоторым естественным и удобным требованиям, только если функция v(t) сопряжена с u(t) по Гильберту. Это, вообще говоря, верно. Однако при перечислении указанных требований многие авторы совершают грубую ошибку. Сейчас уже трудно сказать, кто ошибся первым. Но более десяти лет в ряде учебников и монографий переписывается с небольшими вариациями следующее утверждение.
42
Для заданной функции u(Z) огибающую A(t) в (3.11) можно определить различными способами. Потребуем, чтобы функция Д(/) удовлетворяла следующим двум условиям, которые, собственно говоря, и оправдывают термин «огибающая»:
1.	A (t)| и(/) | при любом значении I.
2.	При тех значениях/, при которых предыдущее неравенство обращается в равенство, т. е. огибающая Д(/) и функция \u(t) | имеют общую точку, их производные также совпадают, т. е. их кривые имеют общую касательную.
Тогда огибающая, удовлетворяющая этим условиям, определяется однозначно — как модуль комплексного сигнала й(/) (3.4), где v(t) —преобразование Гильберта от и(/).
Приведенное утверждение ошибочно. Перечисленные два условия удовлетворяются не только при выборе в качестве мнимой части комплексного сигнала преобразования Гильберта от u(t), но и при совершенно произвольном выборе любой непрерывной функции в качестве v(t). В этом легко убедиться. По определению огибающей,
{A)t = |«(О I =	(0-Н2(0 -=
=\и (О I4-п2 (ОМ2 (О - М (О I 	(3.13)
Здесь везде радикалы обозначают арифметическое значение корня. Неравенство (3.13) обращается в равенство при -тех значениях t, для которых v (0=0. Производная огибающей
А' (0 =	Уи" (0~Н2 (0 = и(<)“'(<) +	(3.14)
dt	+ У2 (0
43
Положив в (3.14) и (/)=(), найдем, что в точках совпадения A (t) и |и(/)|
А' ® и' ® iwr = и' ® s§n «(0 = I« ® Г •	(3-15)
\и\ч I
Таким образом, для выполнения условий 1 и 2 вовсе не требуется, чтобы непрерывные функции u(t) и v(t) были связаны преобразованием Гильберта. Почему же в таком случае в качестве мнимой части комплексного сигнала zi(Z) почти все авторы используют преобразование Гильберта от
Короткий ответ на этот вопрос: использование преобразования Гильберта вместо произвольной функции v(t) позволяет помимо условий 1 и 2 выполнить и другие условия, при которых удобнее пользоваться огибающей и мгновенной частотой. Впрочем, далеко не все пожелания, касающиеся естественности и удобства использования огибающей и мгновенной частоты, удается выполнить с помощью преобразований Гильберта. Одно из естественных условий, которое при использовании преобразования Гильберта выполняется, заключается в следующем.
3.	Огибающая должна быть определена так, чтобы для гармонического сигнала она совпадала с его обычной амплитудой, а мгновенная частота— с обычной частотой.
Вот это условие, как легко проверить, выполняется не при любом выборе сопряженной функции v(t). Теперь уже видно явное преимущество'гиль-бертовского сигнала, у которого v(t)=d(t)1 перед другими комплексными представлениями с произвольным выбором сопряженного сигнала v(t). Однако является ли гильбертовское преобразование единственным, удовлетворяющим условию 3? 44
3.3.	ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРЯЖЕННОГО СИГНАЛА
На поставленный выше вопрос приходится ответить отрицательно. Можно различными способами определить сопряженный сигнал u(f), чтобы вытекающие из этого определения значения огибающей и мгновенной частоты удовлетворяли условию 3. Многие авторы прямо или косвенно предлагали для узкополосных сигналов u(t) следующее комплексное представление:
и (t) = и (О -I- i V (0, где V (0 = - и' (О К - м(0/«" (О-
(3.16)
При таком определении сопряженного сигнала огибающая
A (t) = КЙЧ7»1=Vи*-и (и')*/и"	(3.17)
(для упрощения записи аргумент t опущен). Лег-ко проверить, что для любого гармонического сигнала отсюда получаются в полном соответствии с условием 3 значения Л(/)=Л и со(/)=®.
Несмотря на это, преобразование (3.16) не удовлетворяет другим естественным требованиям. Дело в том, что при незначительных изменениях u(t) функция v(t) может изменяться в огромных пределах. Например, заменим в гармоническом сигнале u(t) на небольшой части периода синусоиду прямой линией (штриховая на рис. 3.2). Это может быть, например, вызвано добавлением очень слабой помехи и почти не отражается на ходе ц(/). В то же время на этом участке u"(t)=O, так что v(t), а с ней и «огибающая» принимают бесконечное значение.. Более того, при ничтожно малых приращениях п(0 вторая производная может изменить знак и тогда в (3*17) вообще нельзя извлечь корня.
45
В соответствии с этими соображениями в [5J
введены два условия, которым должны удовлетворять огибающая, мгновенная фаза и мгновенная ЧаСТОТа, ДЛЯ ТОГО ЧТОбы ЭТИМИ ПОНЯТИЯМИ МОЖНО) было пользоваться на практике.
4.	Малым (в смысле среднего квадратического отклонения) изменениям исходного сигнала u(t}
должны соответствовать также малые изменения A (t) и со(0-
5. Мгновенные фаза и частота не должны зависеть от мощности: сигнала.
в [5] показано, что> из условий 4 и 5 следует линейность оператора преобразования u(t) в v (t). Единственными же линейным оператором, при котором для: всех гармонических сигналов выполняется
условие 3, является преобразование Гильберта.
В. И. Тихонов [40] предложил определять сопряженный сигнал следующим образом:
V (t) =—г/(/)/(00,
(3.18)
где coo — средняя частота сигнала. Это преобразование также является линейным и удовлетворяет условиям 4 и 5. Что же касается условия 3, то Оно выполняется только для гармонического сигнала с заданной частотой (о0. При переходе к гармоническому сигналу с другой частотой нужно в (3.18) изменить коэффициент, а для этого нужно заранее знать частоту. Если распространять это
46
определение на негармонические сигналы, то возникают затруднения в выборе соо.
Определения (3.16) и (3.18) имеют одно очевидное преимущество — локальность. Сопряженный сигнал, а следовательно, и огибающая, и мгновенная частота в некоторой точке /, в которой функция u(t) непрерывна и дифференцируема, однозначно определяются значениями функции в сколь угодно малом интервале около этой точки. В частности, если на конечном интервале времени u(t) = =0, то, по определению В. И. Тихонова, и v(t)—O на том же интервале.
Что же касается гильбертовского определения сопряженного сигнала, то оно не является локальным. Если сопряженный сигнал v(t), по определению, положить равным й(/), то,, чтобы вычислить его значение в одной точке, необходимо знать всю функцию u(t) (—оо</<оо). Правда, можно показать, что при определении u(t) в данной точке существенную роль играет поведение функции u(t) только вблизи этой точки. Такая «относительная» локальность проявляется тем больше, чем уже полоса сигнала u(t). Однако строгой локальности здесь нет и, в частности, v(t) может принимать самые различные значения на интервале, где u(t)=O.
Почему же несмотря на это большинство исследователей пользуются более сложным и менее наглядным преобразованием Гильберта вместо простой формулы (3.18)? Может быть, это просто дань традиции? Нет. Определение сопряженного сигнала и огибающей на основании преобразования Гильберта имеет важные преимущества, ради которых стоит пожертвовать наглядностью представления широкополосных сигналов. Помимо отмеченных выше пяти свойств параметров комплекс
47
ного представления сигнала укажем еще два, которым удовлетворяют только гильбертовские сигналы.
6.	Для того чтобы комплексный сигнал был гильбертовским, необходимо и достаточно, чтобы его спектральная плотность тождественно равнялась нулю при й)<0.
7.	При умножении гильбертовского сигнала на е^ (где ф— произвольный угол) или на eiv* (v>0) результирующий сигнал остается гильбертовским.
Предоставим читателю самостоятельно убедиться, что свойство 7 вытекает из свойства 6. Несколько сложнее показать, что из свойства 7 следует 6. Это сделано по существу в [20], где поставлена задача отыскания общей огибающей семейства кривых, представляющих результат изменения начальных фаз всех спектральных составляющих сигнала на любой угол ф, и показано, что эта огибающая равна модулю гильбертовского сигнала. Таким образом, требование инвариантности огибающей (или мгновенной частоты) при любых изменениях начальной фазы сигнала оказывается достаточным для того, чтобы гильбертовский сигнал был единственно возможным комплексным представлением сигнала.
Из свойств 6 и 7 вытекает, что всякое измене* ние .начальных фаз сигнала можно выразить умножением гильбертовского сигнала на е^, а всякое преобразование частоты (транспонирование спектра) вверх (в частности, однополосную модуляцию) можно выразить умножением гильбертовского сигнала на elw.
Заметим, что для относительно узкополосных сигналов, т. е. таких, у которых ширина спектра значительно меньше средней частоты, все приведенные выше определения сопряженного сигнала поч-
48
ти совпадают. Кроме ’того, для узкопОлосдых сигналов любой инженер может графически построить огибающую на основе ее свойств 1 и 2 (рис. 3.3,а), тогда как для широкополосного сигнала (рис. 3.3, б) это сделать весьма затруднительно. Другими словами, понятия огибающая и мгновенная частота имеют наглядный смысл только для узкополосных сигналов.
Тем не менее отказываться от этих понятий для широкополосных сигналов не следует: они позволяют построить теорию модуляции, детектирования, преобразования частоты и т. Д. При этом большое значение имеют свойства 6 и 7. Ради этих возможностей можно примириться с некоторыми неудобствами гильбертовского определения — отсутствием локальности и несохранением финитно-сти при преобразовании Гильберта. Преимущества использования аналитического (гильбертовского) сигнала при решении различных задач теории колебаний и волн широко освещено в превосходной книге Л. А. Вайнштейна и Д. Е. Вакмана [6].
В предыдущей главе обращалось внимание на то, что не следует путать мгновенную частоту сигнала с частотами его спектральных составляющих. 4—3413	49
Из-За Такой путаницы легко возникают различного рода ошибки. Тем не менее между спектром сигнала и его мгновенной частотой существует определенная связь, и учет ее во многих случаях полезен, например позволяет оценить Ширину спектра сигнала, заданного в квазигармонической форме (3.11). К сожалению, подробное рассмотрение соотношений между мгновенными частотами и спектром сигнала находится вне рамок тех вопросов, которым посвящена эта книга, и поэтому ограничимся лишь ссылками на литературу [35, 45, 49]. Здесь хотелось лишь подчеркнуть, что указанные соотношения имеют место только в случае определения мгновенной частоты по преобразованию Гильберта, что является еще одним доводом в пользу его исключительного применения для квазигар-монического описания сигнала.
4.	КАК НЕ СЛЕДУЕТ ПОЯСНЯТЬ ТЕОРЕМУ КОТЕЛЬНИКОВА
.. . Тогда я нарисовал ужа изнутри, чтобы взрослым было понятнее. Им ведь всегда нужно все объяснять.
А. де Сент-Экзюпери. Маленький принц
4.1.	СУЩНОСТЬ ТЕОРЕМЫ
Как известно, основным содержанием теоремы Котельникова, или «теоремы отсчетов», является возможность точно восстановить (интерполировать) сигнал u(t) по его значениям (отсчетам), взятым в точках tk=k^.t (k=...—2, —1, 0, 1, 2, 3, ...), если спектральная плотность сигнала S (ico) финитна, т. е. существует такое значение £2, что S(i<o)=0 при | со | >й, а Д^л/Q.
50
Теорема дает также способ осуществления точной интерполяции с помощью ряда Котельникова
(4-1)
&=—00
Известно (см., например, [51]), что функция с финитным спектром является целой, а целая функция не может принимать нулевых значений ни на каком интервале. Следовательно, функция с финитным спектром сама финитной быть не может. Однако часто рассматривают функцию, выражаемую рядом (4.1) при ДЛ=л/£}, в которой только конечное число коэффициентов u(kAt) может быть отличным от нуля, например коэффициенты со значениями в пределах	такие
функции рассматриваются, например, в [55]. Точки отсчета с отличными от нуля значениями в этом случае занимают интервал времени Т, равный (й2—&1) А^= (62—61) /2Г, где F=Q/2n — ширина спектра сигнала в обычных (не круговых) частотах.
Такой сигнал можно точно восстановить, задав значения отсчетов и(16Д/) при k\^k^Jk2. Число таких отсчетов	—Л1 + 1. Выражая k2—k\ из ра-
венства Т= (&2—61)/2F, получаем известное соотношение
N=2FT-\-1^2FT.	(4.2)
К сожалению, иногда равенство (4.2) трактуется неточно. Еще и поныне приходится читать, что отрезок сигнала длительностью Т, спектр которого лежит ниже частоты F, можно однозначно определить, задав 2FT отсчетов через интервалы 4*	51
времени АЛ Это было бы верно лишь в том случае, если все остальные отсчеты в моменты, кратные А/, равны нулю, т. е. фактически тоже заданы. Заметим, что в промежутках между нулевыми отсчетами сигнал не равен нулю.
В общем же случае, как видно из (4.1), значение сигнала в любой момент /, не совпадающий с точкой отсчета, определяется всеми отсчетами и, значит, для точного восстановления сигнала необходимо знать бесконечное множество его отсчетных
Правда, поскольку с увеличением |х| максимумы абсолютных значений функции, sinx/x довольно быстро убывают, основную роль при вычислении значения функции u(t) в определенный момент времени t играют отсчеты, взятые в моменты &А/, не очень далекие от t. Поэтому при FT^>\ формула (4.2) приближенно выражает число отсчетов, существенно влияющих на значение функции u(t) со спектром ниже частоты F на интервале длительностью Т. Сейчас это приближенное соотношение нас интересовать не будет. Сосредоточим внимание на сущности теоремы, сформулированной в начале этой главы.
Заметим, что, хотя в этой формулировке для точного восстановления сигнала необходимо знать бесконечное число отсчетов, справедливость теоре-Б2
мы далеко не очевидна. В самом деле, речь в сущности идет о проведении кривой через измеренные в моменты k\t точки. Но каждому студенту хорошо известно, что эту кривую можно провести различными'способами. Два таких варианта показаны на рис. 4.1. Теорема же говорит о точной интерполяции, т. е. о единственности такой кривой. Очевидно, что эта единственность вызвана ограниченностью спектра сигнала.
4.2.	ПОПЫТКИ НАГЛЯДНОГО ПОЯСНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ
Вряд ли найдется лектор, который при изложении этого вопроса хотя бы раз в жизни не поддался искушению пояснить студентам теорему так. Поскольку спектр сигнала содержит частоты не выше F, то за время, равное половине периода самой высокой частоты спектра, \t=l/2F сигнал не может претерпеть значительных изменений. Поэтому кривая должна изменяться между точками отсчета плавно и, как следует из (4.1), определяться однозначно. Это весьма «правдоподобное» объяснение можно найти даже в некоторых книгах. Однако оно ошибочно. В действительности все не так просто, о чем свидетельствует теорема, доказанная в 1957 г. Д. В. Агеевым.
Пусть на интервале (/i, t2) заданы любая непрерывная функция u(t) и произвольная частота F. Тогда можно построить функцию, спектр которой не содержит частот выше F, сколь угодно близкую (в среднеквадратическом смысле) к u(t) на интервале (ti, f2).
Например, можно на интервале в 1 с задать функцию, меняющую свой знак миллион раз (скажем, отрезок синусоиды с частотой 1 МГц) и ухитриться продолжить ее вне этого отрезка так, что спектр продолженной функции будет охватывать
53
только область частот ниже 100, или 10, или 0,1 Гц, ...
Это утверждение на первый взгляд кажется совершенно неправдоподобным. Функция с финитным спектром на интервале, меньшем полупериода высшей частоты, может, оказывается, иметь сколько угодно осцилляций. Пишущий эти строки хорошо помнит, что, когда Д. В. Агеев доложил содержание и доказательство этой теоремы на Всесоюзной сессии Научно-технического общества им. А. С. Попова, большая часть слушателей не поверила в справедливость теоремы и стала искать ошибки в доказательстве.
Действительно, в это трудно было поверить людям, привыкшим связывать ширину спектра со скоростью передачи информации. Ведь можно взять отрезок широкополосного сигнала (например; длительностью 1 с и равномерной спектральной плотностью в полосе частот до 1 МГц), который содержит до 106 различных независимых отсчетов и, следовательно, может нести соответственно большое количество информации, а затем, согласно теореме Агеева, продолжить этот сигнал вне заданного отрезка так, чтобы он занимал полосу частот 1 Гц. Тогда в канале, пропускающем частоты не выше 1 Гц, можно будет передать этот сигнал без необратимых искажений и тем самым передать за 1 с очень большое количество информации в канале с полосой пропускания 1 Гц. Все это не вязалось с привычными представлениями. К тому же изложенное Д. В. Агеевым доказательство при всей его строгости было довольно сложным и запутанным. По этой же причине это доказательство здесь не приводится. Вместо этого дадим несколько более слабую, но столь же «парадоксальную» формулировку этой теоремы, которая зато имеет весьма 54
Прозрачное доказательство. Это доказательство позволяет уяснить причину того, что совершенно верное утверждение на первый взгляд противоречит здравому смыслу. Аналогичная теорема при равномерной аппроксимации доказана в [51].
4.3.	ОСЛАБЛЕННАЯ ТЕОРЕМА АГЕЕВА
Сформулируем следующую теорему.
Пусть на интервале tn) заданы п точек и значения величины u(t) в этих точках. Тогда, каково бы ни было конечное число п при сколь угодно малом значении F, можно построить сколько угодно различных функций u(t), принимающих заданные значения в указанных точках, спектры которых не содержат частот выше^ F.
Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что она не менее парадоксальна, чем сформулированная выше. Действительно, поскольку число п не ограничено, можно задать его так, что на интервал в 1 с будет приходиться, скажем, миллион точек. Если, например, знаки функции в этих точках чередуются, то на интервале 1 с возникает не менее миллиона осцилляций и тем не менее функция может иметь спектр ниже 1 Гц.
На первый взгляд предложенная формулировка в корне противоречит теореме Котельникова. Если п точек заданы через ДЛ=1 /2F, то, согласно вуль-гаризованной трактовке теоремы Котельникова, они должны однозначно определить функцию u(t) со спектром, ограниченным частотой F. Здесь же утверждается, что таких функций может быть сколько угодно. Это противоречие, конечно, кажущееся. Сформулированная выше теорема не только не противоречит теореме Котельникова, но и является ее прямым следствием.
55
4.4.	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ АГЁЁВА
Обозначим заданные значения функции u(t) в заданных точках ti через	2, ..п). Пред-
ставим искомый сигнал со спектром, занимающим полосу частот ниже заданной F, в виде ряда (4.1), где Q = 2aJ7; A/=1/2F, u(k&t)— пока неизвестные коэффициенты ряда Котельникова.
Для упрощения доказательства . предположим, что ни одна из точек ti: не совпадает с точками £Д/ (—оо<й<оо),. Читатель сможет без труда обобщить доказательство, отказавшись от этого допущения.
Выберем произвольно п целых чисел kj и обозначим неизвестные значения искомой функции в точках kj&t (/=1, 2, ..., п) через Будем строить функцию ц(0, которая удовлетворяет условиям:
1)	выражается рядом (4.1) и, следовательно, ее спектр не содержит частот выше F;
2)	принимает заданные значения ui в заданных точках ti\
3)	равна нулю-в точках k&t при всех ky отличных ОТ kj.
С учетом условия 3 ряд (4.1) вырождается в конечную сумму, содержащую п слагаемых вида UjSinQ(Z—kj&t)/£l(t—kjAt), в которых Uj= = u(kj&t) неизвестны. Чтобы найти их, подставим в правую часть (4.1) t=tiy а в левую и(/г)=^. Таким образом получим и линейных уравнений с п неизвестными щ.
Коэффициентами при неизвестных являются величины sinQ(^—kj&t) lQ(ti—Для того чтобы эта система имела решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица, составленная из этих коэффициентов, была невырожденной. Если это условие не выполняется, то можно, заменив хотя бы одно из произвольно выбранных значений &/, полу-56
чить невырожденную матрицу. Таким образом, построенная система определяет неизвестные uj, подставив которые в (4.1) получим функцию, удовлетворяющую условиям 1 и 2, а следовательно, и условию теоремы.
Изменив выбранные значения kj, можно построить сколько угодно функций, удовлетворяющих условию теоремы. Все они будут различны, поскольку их значения в точках отсчета не совпадают. Можно также построить различные функции, удовлетворяющие условию теоремы, отказавшись от условия 3 и задав вместо нулевых значений в точках отсчета k\t, отличных от любые произвольно выбранные значения. Таким образом, существует бесконечное число функций, принимаю-
57
щих заданные значения на конечном числе заданных точек, спектр которых не содержит частот выше F, что и требовалось доказать.
Пример функции с ограниченным спектром, проходящей через шесть заданных точек (светлые кружки) показан на рис. 4.2; вычисленные значения Uj в выбранных шести точках отсчета обозначены темными кружками.
Следствие. Существует бесконечное число функций и(/), спектр которых не содержит частот выше F, принимающих заданные значения щ (i= = 1, 2, ..., п) в заданных п точках отсчета /*= = ki М (Д/=1/2Г).
Это следствие является частным случаем доказанной теоремы при специальном выборе точек В то же время оно явно свидетельствует о несостоятельности широко распространенной вульгари-зованной трактовки теоремы Котельникова. Чтобы определить u(t) однозначно, нужно задать u(kAt) при всех k (—oo<ife<oo).
4.5.	МОЖНО ЛИ ПЕРЕДАТЬ МЕГАБИТ ЗА СЕКУНДУ В ПОЛОСЕ 1 Гц?
Из доказанной теоремы следует, что отрезок сигнала длительностью 1 с, содержащий, например, 10е независимых двоичных отсчетов (т. е. отсчетов, принимающих два значения, выбранных равновероятно и независимо друг от друга), можно продолжить так, что его спектр уложится в полосу частот 1 Гц. Отсюда как будто вытекает, что по каналу, пропускающему частоты не выше 1 Гц, можно в течение 1 с передать информацию в 106 бит.
Такой вывод верен лишь с существенными оговорками. Во-первых, следует с большой осторож-58
йОсТью обращаться с понятием количества информации, передаваемой в канале с ограниченной полосой пропускания (об этом подробнее будет сказано в гл. 5). Во-вторых, отрезок сигнала длительностью 1 с, о котором идет речь, будучи выделен из остальной части сигнала, имеет спектр весьма широкий и поэтому сам по себе не может быть передан в рассматриваемом канале. Для того чтобы передать такой отрезок, его нельзя выделять из всего «узкополосного» сигнала, продолжающегося теоретически от —оо до оо. Практически нужно передавать узкополосный сигнал достаточно долго, прежде чем в нем сформируется отрезок длительностью 1 с, значения которого в выбранных точках мало отличаются от заданных. Попробуем оценить необходимое время передачи.
Для этого вспомним ход доказательства теоремы, в котором продолженный сигнал определяется по найденным п отсчетам в моменты времени, кратные ДЛ Между первым и последним отсчетами проходит время, не меньшее яДЛ Очевидно, что все эти отсчеты должны быть по крайней мере последовательно поданы на вход канала, чтобы выходной сигнал содержал отрезок сигнала, несущий приблизительно 1 заданные значения в фиксированных точках. Следовательно, сигнал нужно передавать в течение времени не меньше иДЛ
В нашем примере п=106, Д/= 1/2Г=0,5 с (при F=\ Гц) и мД£=5-105 с (около 139 ч). Конечно, в канале с полосой пропускания 1 Гц за такое время можно в принципе передать 106 бит; средняя скорость передачи при этом будет равна 2 бит/с,
1 Приблизительно потому, что время воздействия сигнала на вход канала конечно.
59
что соответствует так называемому пределу Найквиста L
Интересно отметить еще одно обстоятельство. Если заданные значения сигнала на интервале (Л, tn) много раз .меняют свой знак на протяжении полупериода частоты F, то средний квадрат значений uj котельниковских отсчетов продолженного сигнала, не равных нулю, значительно больше среднего квадрата заданных значений щ сигнала. Это легко понять, если учесть, что при большом п в формировании сигнала на заданном отрезке участвует много членов суммы (4.1), в том числе такие, для которых знаменатель Q(Z—k\t) достигает или превышает 2лп. Очевидно, эти члены по порядку абсолютного значения должны быть близки к заданным отсчетам щ, а поэтому хотя бы некоторые коэффициенты u(k&t) должны быть, примерно в 2лп раз больше. Отсюда следует, что если узкополосный сигнал на протяжении одного периода высшей частоты спектра имеет много осцилляций, то средний уровень сигнала на этом отрезке существенно ниже,, чем вне его. Другими словами, мгновенная частота сигнала может в течение некоторого времени находиться далеко за пределами спектра сигнала,.но при этом огибающая должна быть относительно очень мала. Это следует также из результатов работы [45].
Таким образом, в данном случае передавать в узкой полосе частот большое количество информации можно, увеличив как время занятости канала, так и среднюю мощность сигнала. В этом уже ничего парадоксального нет.
1 Некоторые замечания по поводу этого предела читатель найдет в гл. 5.
60
5.	ПРЕДЕЛ ИЛЙ БАРЬЕР НАЙКВИСТА
Вопрос о передаче информации сигналами с финитным спектром был затронут в гл. 4. Об этом в учебной и журнальной литературе накопилось столько взаимопротиворечивых высказываний, что даже перечислить их трудно. Чтобы немного разобраться в сущности противоречий, воспользуемся очень старым литературным приемом — диалогом.
Итак, послушаем беседу профессора с тремя аспирантами.
Профессор. Слышали ли вы когда-нибудь о так называемом пределе Найквиста для скорости передачи информации?
1-й аспирант. Да, я читал, что, как установил в 1928 г. Найквист, в канале с полосой пропускания F за время Т не может быть передано больше чем 2FT бит информации. Другими словами, информацию можно передавать со скоростью не свыше 2 бит в секунду на 1 Гц.
2-й аспирант. Это не точно. За время Т в полосе F можно передать 2FT независимых величин. Это и утверждал Найквист [27], и это вполне согласуется с теоремой Котельникова. Различие между рассуждениями Найквиста и Котельникова, если память мне не изменяет, заключается в том, что Котельников разлагал сигнал в ряд (4.Д) и определял 2FT отсчетных значений сигнала, а Найквист разлагал сигнал на интервале пТ в ряд Фурье и определял необходимую для его восстановления полосу частот.. Но к в том, и в другом случае отсчеты сигнала могут принимать много значений.
61
Если, например, можно надежно различать т значений отсчета, то информация в каждом отсчете Составит log2 tn бит1. Поэтому правильнее будет сказать, что Найквист показал возможность передачи со скоростью 2 отсчета в секунду на 1 Гц, или 2 Бод на 1 Гц, если под бодом понимать единицу скорости передачи дискретных сигналов, равную одной «посылке» в секунду. Если же говорить о битах в секунду, понимая под битом двоичную единицу информации, то за время Т в полосе частот F можно передать 2FT\ogm бит. Величина т определяется, например, помехами, чувствительностью измерителя в приемном устройстве и т. д. Впрочем, об этом Найквист не говорил. Он ограничивался утверждением о возможности передачи 2FT посылок.
1-й аспирант. Я согласен с этой поправкой, но хочу внести еще одну. Все это справедливо лишь при больших значениях произведения 2FT. Поэтому лучше говорить не о количестве информации, переданном за время Г, а о средней скорости передачи информации, достижимой при длительном использовании канала. В этом случае скорость передачи информации в канале, пропускающем частоты до F, не может превысить 2FIogm бит/с.
3-й аспирант. Я решительно не согласен ни с вами, ни с Найквистом, если он утверждал то, что вы ему приписываете. Сигнал, прошедший через фильтр, не пропускающий частот выше F, является сигналом с финитным спектром. Такой сигнал вообще не может нести никакой информации, на что в свое время обратил внимание Железнов [14].
1 В дальнейшем вместо log2m будем писать log/n, считая, что основание логарифмов всюду, где не оговорено, равно 2.
62
1-й аспирант. Как же так? Чем такой сигнал хуже любого другого?
3-й аспирант. Тем, что он детерминирован. Известно ведь, что сигнал с финитным спектром является целой функцией, мы читали об этом в книге Хуртина и Яковлева [51]. А целая функция бесконечно дифференцируема. Поэтому по любому небольшому отрезку такой функции можно построить ряд Тейлора и экстраполировать ее, т. е. совершенно точно предсказать все ее будущие значения. Значит, никакой новой информации эти будущие значения уже нести не могут. Скорость передачи информации оказывается равной нулю. Для того чтобы сигнал содержал новую информацию, его спектр должен отличаться от нуля на всех частотах, кроме отдельных точек.
2-й аспирант. Тут что-то не так. Я согласен, что, после того как мы приняли отрезок сигнала, проанализировали его и экстраполировали, дальнейший прием сигнала ничего нового нам не даст. Но это происходит потому, что всю информацию мы уже извлекли из принятого отрезка сигнала. Значит, проанализировав конечный отрезок сигнала с финитным спектром, можно получить информацию обо всем бесконечном сигнале, характеризуемом бесконечным числом независимых отсчетов. Следовательно, скорость передачи информации окажется не нулевой, а бесконечной.
1-й аспирант. Час от часу не легче. То скорость была нулевой, то она вдруг стала бесконечной! Мне совершенно ясно, что бесконечной она быть не может: это, во-первых, противоречит пределу Найквиста, с которого мы начали...
2-й аспирант. Вовсе нет. Мы ведь установили, что по Найквисту скорость передачи информации ограничена значением 2F\ogni. Но поскольку
63
никаких помех мы не учитываем и полагаем, что принятый сигнал измеряется абсолютно точно, то т = оо и отсюда следует, что скорость передачи ничем не ограничена.
1-й аспирант. С этим, пожалуй, можно согласиться. Но бесконечная скорость противоречит и принципу относительности, согласно которому скорость передачи сигнала ни в каких условиях не может превзойти скорость света1.
Профессор. Тут уже я должен вмешаться. Не следует путать скорость передачи сигнала по каналу в смысле количества каких-то элементов (посылок, носителей информации), передаваемых в единицу времени, имеющую размерность 1/с, и скорость прохождения сигнала в канале в смысле длины пути, пройденного сигналом за единицу времени, имеющую размерность метр в секунду. Последняя, конечно, не может превысить скорость света. Мы же здесь говорим о скорости передачи в первом смысле, которая ничего общего со скоростью света иметь не может, хотя бы потому, что имеет совершенно другую размерность. Но я жалею, что перебил вас. Разгоревшаяся между вами-дискуссия очень интересна, и мне бы хотелось, чтобы вы сами довели ее до той истины, которая рождается в спорах.
1-й аспирант. Прошу прощения за то, что впутал сюда.не относящуюся к делу скорость света. Сейчас мне кажется, что вы оба правы. Когда начинается передача сигнала с финитным спектром, из самого начального отрезка можно выделить всю информацию, содержащуюся во всеуг будущем бес-
1 Этот «довод» был выдвинут одним из участников дискуссии на научной конференции в конце 50-х годов.
64
конечном сигнале. Скорость передачи информации -в этом отрезке времени бесконечна, во все же остальное время равна нулю, так как. сигнал ничего нового для получателя уже не содержит. Интересно'бы вычислить, исходя иэ этого, среднюю скорость передачи информации.
3-й аспирант. С таким компромиссным решением я согласиться не могу. Представьте, что для передачи информации о футбольном матче . в,ам предоставили канал со строго финитной полосой пропускания. Сформированный вами сигнал детерминирован. Как же вы сможете ввести в него информацию о неожиданно забитом голе? Может быть, она уже заложена в самом начальном отрезке сигнала? Значит, проанализировав его, можно заранее предсказать исход матча и его ход со всеми подробностями. Поскольку это невозможно,, скорость передачи информации по такому каналу все время равна нулю.
2-й аспирант. Вероятно, здесь нужно учесть групповое запаздывание сигнала в канале. В идеальном канале со строго финитной полосой пропускания это запаздывание бесконечно. Но не будем требовать идеальности канала. Если канал имеет амплитудно-частотную характеристику, очень близкую к П-образной и физически реализуемую, то время группового запаздывания в нем должно быть огромным, скажем, больше продолжительности матча. Значит, на выходе канала сигнал с почти финитным спектром сформируется в то время, когда матч уже закончился и репортаж о нем уже произнесен перед микрофоном. Помехи мы считаем отсутствующими. Тогда ничего странного не будет в том, что,, проанализировав самое начало сформированного сигнала, можно выявить из него всю переданную информацию. Это подобно тому, как 5—3<13	65
по небольшой части голограммы можно восстановить все заложенное в ней изображение.
1-й аспирант. Мне не. нравится, что мы все время пренебрегаем помехами. Что изменится, если мы их учтем?
3-й аспирант. Абсолютно ничего, если помехи тоже прошли через наш канал и имеют финитный спектр в той же полосе, что и сигнал. Значит, сумма сигнала и помехи является целой функцией, которую можно экстраполировать с любой точностью, и, следовательно, она не может быть носителем информации.
2-й аспирант. Почему же помехи обязательно должны пройти через тот же канал? Это могут быть тепловые шумы приемника или, если фильтр является частью приемника, тепловые шумы элементов аппаратуры, включенных после фильтра. Тогда спектр суммы сигнала и помехи не будет финитным. Точная экстраполяция окажется невозможной, и скорость передачи все время будет ненулевой.
1-й а с п и р а н т. До чего мы договорились! Если сигнал, прошедший через канал со строго финитной полосой пропускания, поступает на приемник без помех, то скорость передачи информации равна нулю. Если же «подмешать» к нему шум, то скорость передачи информации становится ненулевой! Согласитесь, что это нелепый результат: добавление шума не может увеличить скорость передачи информации.
2-й аспирант. Почему же? Я могу привести другой очень простой пример с таким же результатом. Предположим, что для передачи сообщений по некоторому дискретному каналу используется система, в которой каждый кодовый блок повторяется 15 раз подряд и решение принимается по 99
мажоритарному принципу, т. е. по большинству принятых за 15 раз значений каждого символа. Пусть вначале помех в канале нет. Тогда при первой же передаче кодовый блок принимается без ошибок. Следовательно, остальные 14 повторений того же блока не несут информации и скорость передачи, после того как первый блок принят, равна нулю.. Но если только в канале имеется шум, то при первой передаче блок может быть принят с ошибками и тогда все его повторения несут некоторую информацию, так как они подтверждают или опровергают то, что было принято ранее.
1-й аспирант. Пожалуй, что так. Добавление помехи может в некоторых случаях увеличить скорость передачи информации на некотором отрезке времени. Но оно, по-видимому, не может повысить среднюю скорость передачи информации за все время использования канала. Если повторять 15 раз кодовый блок в канале без помех, то средняя скорость передачи информации будет ЦХ, Х)/15То, где /(X, X) —количество информации, содержащейся в передаваемом блоке; TQ — длительность однократной передачи блока. Если же в канале имеются помехи, то средняя скорость передачи информации /(У, X)/ 15То, где / (У, X) —количество информации, содержащейся в принятых блоках У относительно переданного блока X. Собственно говоря, эта формула справедлива и в отсутствие помех, но в этом случае У=Х. Известно, что /(У, Х)^С ^/(Х, X). Поэтому добавление помехи не может увеличить среднюю скорость передачи информации. По-видимому, то же самое имеет место и в канале с финитной* полосой пропускания, где в первый же момент передается очень большое количество информации, вслед за этим скорость передачи информации снижается до нуля. Но средняя ско-
5*	67
рость за все время функционирования канала остается, вообще говоря, конечной. Я уже говорил, что предел Найквиста относится только к средней скорости — она не может превысить 2F log т.
2-й и 3-й аспиранты. Да, это похоже на истину. Но все же многое еще осталось неясным.
Профессор. Совершенно с вами согласен. В вашем споре возник пока что зародыш истины. Для полного его развития нужно еще много додумать. Я не стану этого делать за вас, но попытаюсь дать вам некоторые наводящие идеи.
Прежде всего сама постановка вопроса не вполне корректна. Цепь с финитной АЧХ физически не реализуема, такого канала быть не может. А потому незаконно ставить вопрос о его пропускной способности. Как показали Пэйли и Винер [8], амплитудно-частотная характеристика К((о) физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию
J |1;+“.)| «'“С”-	<5-1)
О
Это условие не выполняется, если АДсо) =0 хотя бы на конечном интервале, а также если при больших со величина К (со) уменьшается быстрее, чем некоторая степень со. Следовательно, таких, каналов быть не может и о скорости передачи информации в них говорить не следует.
Конечно, можно рассматривать последовательность каналов Кь К2, .АЧХ которых стремятся в некотором смысле (например, в смысле равномерной сходимости) к П-образной характеристике идеального фильтра, и отыскивать предел их пропускной способности. Однако этот предел ничему реальному не соответствует, так как время задерж-68
ки в канале Кп стремится вместе с п к бесконечности. Уже поэтому можно утверждать, что по такому «идеальному» каналу информацию передавать нельзя.
1-й аспирант. Хорошо, не будем говорить о канале с финитной полосой пропускания. Пусть канал пропускает без искажений и задержек все частоты. Но сигнал-то может иметь финитный спектр. Мы можем его сформировать, задавшись некоторым конечным чи£дом котельниковских отсчетов ин (Л=1, 2, ..., п), положив все остальные отсчеты равными нулю, подставив их в ряд
k=\
и подав на вход канала полученную функцию u(t), скажем, от 0 до nAt. Этот сигнал- имеет финитный спектр. Передать его отрезок можно без всякой задержки. При формировании мы можем вложить в него информацию,< выбирая значения Uh. Следовательно, отрезок сигнала с финитным спектром может передавать информацию со скоростью, определяемой пределом Найквиста.
3-й аспирант. Это неверно. Если вырезать отрезок функции с финитным спектром на интервале (Л, /2) и положить функцию вне этого интервала равной нулю, то спектр полученного отрезка уже не финитный. Поэтому-то и понадобился канал с неограниченной полосой пропускания. Следовательно, сформированный отрезок сигнала не является детерминированным (хотя бы потому, что он может закончиться в любой момент),. С другой стороны, пусть получателю сообщения заранее известно, что передаваемый сигнал выражается суммой (5.2), и неизвестны только значения коэффи
69
циентов Тогда, если помех в канале нет, вовсе не обязательно передавать отрезок этого сигнала от 0 до пАЛ Мож;но ограничиться передачей сколь угодно короткого отрезка сигнала, даже не обязательно лежащего внутри интервала (0, nAt). Достаточно даже передать ненулевые значения ui= =u(ti) в любых п заранее выбранных точках ti, так как по ним можно восстановить все иь.
2-й аспирант. Мне кажется, что мы пришли к тривиальному результату. Формируя сигнал u(t) (5.2), мы ставили перед собой цель передать информацию о последовательности п действительных чисел Uk. Далее оказалось, что вместо сигнала u(t) можно передать п других чисел — значений u(ti) в п точках, не обязательно совпадающих с точками £АЛ Это совершенно естественно, так как формула (5.2) определяет взаимно-однозначное соответствие между совокупностями п чисел и* и п других чисел щ. А отрезок сигнала с финитным спектром здесь вовсе не при чем.
Профессор. Подведем итог. Прежде всего я хочу вам посоветовать не терять чувства исторической перспективы. Работа Найквиста [27] появилась задолго до того, как возникло современное понятие пропускной способности канала. В этой работе даже термина «пропускная способность» нет, он появился впервые — да и то не в современном смысле — в статье Котельникова в 1933 г. Интересно все же отметить, что у Найквиста. уже применяются понятия информация и избыточность (redundance), причем в них вкладывается смысл, очень близкий к современному. Вот перевод основных тезисов статьи Найквиста:
«I. Требуемая полоса частот прямо пропорциональна скорости передачи (signalund speed).
2. Повторяемый телеграфный сигнал можно
70
рассматривать как состоящий из синусоидальных компонент!. Если амплитуду и фазу или действительную и мнимую части этих компонент отложить по оси ординат, а частоты — по оси абсцисс и ось частот разделить на части, каждая из которых представляет полосу частот, численно равную скорости передачи1 2, то оказывается, что информация, содержащаяся в этих полосах, идентична, и можно сказать, что эти полосы взаимно избыточны.
3. Минимальная полоса, требуемая для точной интерпретации сигнала, численно равна скорости передачи и не зависит от числа используемых значений тока».
Отсюда видно, что Найквист хорошо понимал возможность увеличения количества передаваемой информации путем перехода от двоичных посылок к m-ичным. Он устанавливал только предел для количества посылок, передаваемых в секунду.
Конечно, говорить о пропускной способности канала без учета помех, вообще говоря, бессмысленно. Однако иногда удобно вместо непосредственного учёта помех наложить ограничения на число значений, принимаемых сигналом в определенные моменты времени. Пусть, например, сигнал может принимать в моменты времени th—k&t (k= = 1, 2, ..., п) лишь одно из двух значений +1 или —1, а в моменты времени kAt при &<1 или
1 Речь идет о периодическом повторении отрезка сигнала, состоящего из п элементов, для пояснения разложения в ряд Фурье.
2 Далее Найквист уточняет, что он понимает под скоростью передачи: «Скорость передачи 5 обычно обозначается числом точек, переданных в секунду, и определяется как число элементов сигнала в секунду, разделенное на 2>. Таким образом, величина S вдвое меньше той величины, которую в настоящее время называют технической скоростью передачи,
71
k>n он равен нулю. Такой сигнал может иметь финитный спектр с верхней частотой Г=1/2Д? и в этом случае представляется суммой (5.2). Количество информации в этом отрезке сигнала на интервале T—nAt, очевидно, равно n—2FT бит. Это иногда и называют «пределом Найквиста». Однако слово «предел» здесь не очень уместно. Во-первых, как понимал уже сам Найквист, это количество информации можно увеличить в logm раз, если различать в моменты времени k&t не два, а т уровней сигнала. Во-вторых, как мы уже видели, 2FT бит информации можно передать отрезком сигнала (5.2) длительностью С Т. Правда, при этом нужно в каких-либо п точках различать не два уровня^ сигнала, а значительно больше (тем больше, чем меньше Ti/T). Практически это возможно лишь при ничтожном уровне аддитивных помех.
Как бы то ни было, отсюда следует, что термин «предел Найквиста» неудачен: он не устанавливает никаких строгих предельных соотношений, аналогичных, например, пропускной способности Шеннона или потенциальной помехоустойчивости Котельникова.
1-й аспирант. Так не лучше ли вообще отказаться от понятия «предел Найквиста»?
Профессор. Думаю, что от него отказываться не стоит, и вот по какой причине. В настоящее время разработано много различных систем передачи дискретных сообщений для разнообразных каналов, в том числе для таких, у которых АЧХ довольно быстро снижается за пределами полосы частот F. Ее условно можно назвать полосой пропускания канала. Скорость передачи 2F бит/с (также условно) можно назвать «скоростью Найквиста». Среди различных существующих си.’
72
стеМ связи имеются и работающие со скоростыд, большей найквистовской. Но вот что примечательно. Все более или менее простые системы в каналах с различными помехами обеспечивают скорость передачи не более 0,3—0,5 найквистовской. Для достижения скорости Найквиста систему приходится заметно усложнять, а превышение этой скорости требует еще большего усложнения.
Применяя грубую аналогию, можно сказать, что. скорость Найквиста в теории связи играет не такую роль, как скорость света в физике, а скорее такую, как скорость звука («звуковой барьер») в авиации. Достигнуть ее и превзойти можно, но это требует значительных усилий. О причинах трудной преодолимое™ «барьера Найквиста» можно было бы говорить много. Остановимся лишь на одном примере.
Рассмотрим канал с отношением мощности сигнала к мощности аддитивного гауссовского шума на выходе Рс/Рш при передаче сигналов, занимающих условную полосу частот F, Пропускная способность такого канала при равномерном спектре шума равна по Шеннону
C=Plog(l+Pc/Pm).	(5.3)
Известно, что при приближении скорости передачи к пропускной способности необходимо существенно усложнять кодирование. Для приближенной оценки положим, что граница между приемлемой и чрезмерной сложностью кодирования имеет место при скорости передачи R = C/2. Тогда для относительно простых систем
Р<0,5Р1 og (14-Рс/Рш) =0,25Рн log (14-Рс/Рш), где R&—2F— «скорость Найквиста». Отсюда легко получить
Рс/Рш>24Я/₽н -1.	(5.4)
73
Если необходимую моЩнбсть сигнала при скорости, равной 1 /4 найквистовской, принять за единицу, то для достижения 1/2 найквистовской скорости без чрезмерного усложнения кодирования потребуется сигнал мощностью 3. Для того же чтобы добиться найквистовской скорости, нужно увеличить мощность сигнала до 15. Дальнейшее повышение скорости за пределом, «барьера Найквиста» потребует еще более резкого увеличения мощности сигнала. Так, для превышения «барьера» в 2 раза мощность сигнала должна быть в 255 раз выше, чем при /?=/?н/4.
Этот вопрос становится актуальным, когда необходимо передавать большие потоки информации по каналу с ограниченной полосой пропускания при низком уровне аддитивных помех и малом затухании сигнала.
Если надлежащий запас мощности сигнала имеется, то «барьер» можно преодолеть различными способами. Так, можно передавать «посылки» с найквистовской скоростью — 2F отсчетов в секунду, но увеличить число уровней т. Можно, наоборот, сохранить небольшое число уровней посылок, но передавать их чаще чем 2F в секунду. При этом возникает межсимвольная интерференция, но она в принципе не препятствует извлечению информации и£ принятого сигнала, если уровень аддитивного шума мал. Возможны и другие способы передачи.
Конкретная система связи, работающая выше «барьера Найквиста», должна выбираться с учетом всех особенностей канала, таких, как мультипликативные помехи (замирания), многолучевое распространение и т. д.
74
6.	НА ОДНОЙ БОКОВОЙ
— Почему в приемнике AM сигналов полоса пропускания тракта промежуточной частоты вдвое шире, чем тракта низкой частоты?
— Очень просто. Детектор пропускает только верхнюю полуволну, и поэтому полоса сигнала после него сужается вдвое.
Из ответов на экзамене
6.1.	РЕКОРДЫ ОДНОПОЛОСНОЙ МОДУЛЯЦИИ
— Какой из известных видов модуляции можно считать самым простым? — спрашивает профессор на экзамене.
— Однополосную модуляцию, — отвечает, студент.—Она представляет собой просто перенос спектра первичного сигнала из области низких частот в область высоких частот. К этому еще иногда добавляется инверсия спектра, если передается нижняя боковая полоса. Модуляция и детектирование здесь сводятся по существу к преобразованию частоты. Однополосная модуляция линейна, т. е. к ней применим принцип суперпозиции. При однополосной модуляции сохраняется ширина спектра сигнала и -не изменяется отношение сигнал-помеха. Все это свидетельствует о простоте однополосной модуляции.
— Вы совершенно правы, — говорит профессор. — Могу поставить вам «отлично». Кто следующий?
—Я, — говорит подошедший студент.
— Вот вам вопрос: какой из известных вам видов модуляции можно считать самым сложным?
— Пожалуй, однополосную модуляцию. При однополосной модуляции изменяются и огибающая сигнала, и его мгновенная фаза, и его мгновенная частота, так что в ней объединяются и ам
75
плитудная и угловая модуляции. Но ни огибающая, ни мгновенная фаза, ни мгновенная частота, ни какой-либо другой параметр вторичного сигнала не повторяет первичный сигнал, как это имеет место почти во всех остальных видах модуляции. Сам процесс однополосной модуляции чрезвычайно сложен. Обычно сначала на низкой поднесущей частоте осуществляется балансная модуляция и фильтром выделяется нужная боковая полоса, затем этот процесс,повторяется на более высокой поднесущей и т. д., пока не будет достигнуто необходимое положение спектра на оси частот. Существуют и другие способы, но все они, кажется, еще более сложны. Для восстановления формы первичного сигнала приходится применять также сложную процедуру демодуляции — восстановить подавленную несущую частоту, к тому же в определенной фазе, и детектировать сигнал вместе с ней. При этом нелегко обеспечить неискаженное детектирование. Для восстановления несущей обычно приходится применять пилот-сигнал. Одним словом, трудно перечислить все сложности, связанные с однополосной модуляцией.
— Вы совершенно правы, — говорит профессор. — Вам также ставлю «отлично».
— Но позвольте, — вмешался слушавший все это третий студент, — два диаметрально противоположных ответа вы оценили одинаково высоко. Какой же из них верен на самом деле?
— Оба верны. Здесь явления многогранны, и к ним нельзя подходить с позиций формальной логики и «исключенного третьего». Такую же ситуацию еще в древности подметил Эзоп, когда ему поручили купить на рынке самое лучшее, а в другой раз самое худшее. Как известно, в обоих случаях он купил языки. Язык позволяет людям об
76
щаться, обмениваться информацией, без языка невозможны ни наука, ни искусство, ни даже развитое мышление. Но язык же породил ложь, клевету, брань, доносы...
Оставим, однако, нашего профессора и его студентов и поговорим серьезно об однополосной модуляции (ОМ). Если бы первым изобретенным видом модуляции была однополосная, то она, вероятно, всеми воспринималась бы как саман простая. Ее бы тогда и не называли однополосной: никому бы в голову не пришла мысль строить сигнал с двумя боковыми полосами. Модуляцию описывали бы просто как перенос спектра первичного сигнала вверх, а демодуляцию — как возвращение вниз.
Но в действительности первым видом модуляции была амплитудная (AM). Когда ее спектр был проанализирован и инженеры привыкли к тому, что AM сигнал содержит несущую частоту и две боковые полосы, некоторым из них пришла мысль, что без ущерба для передаваемой информации и с немалой выгодой можно избавиться от несущей частоты, а также от одной из боковых полос. Так и была изобретена модуляция, которую вначале на; звали просто «передача на одной боковой полосе» (ОБП), а позднее, когда появились новые виды модуляции — фазовая (ФМ) и частотная (ЧМ), некоторые стали называть «амплитудная модуляция с одной боковой полосой». Ей противопоставлялись обычная амплитудная модуляция, а также «амплитудная модуляция без несущей с двумя боковыми полосами» (ДБП). Разумеется, сразу появились «изобретатели», предложившие применять и фазовую и частотную однополосную модуляцию, например, путем выделения фильтром части спектра, расположенной выше (или ниже) несущей частоты в обычном ФМ или ЧМ сигнале. Неясным
77
оставался только вопрос: для чего это нужно? Спектр таких сигналов шире, а помехоустойчивость хуже, чем при обычной однополосной модуляции.
Хотя такой подход еще можно встретить в недавно изданных книгах, автор глубоко убежден, что он устарел. Для построения хорошей теории модуляции нельзя в основу классификации и определений ставить метод схемной реализации, как это делали до 60-х годов. Однополосную модуляцию не следует рассматривать как разновидность амплитудной. Как уже отмечалось, при ОМ изменяются и огибающая, и фаза, и мгновенная частота. Это особый вид модуляции, так же как и двухполосная балансная модуляция, имеющая свои особенности и довольно обширную область применения.
Мы видели, что однополосную модуляцию можно рассматривать и как самую простую, и как самую сложную. Ей принадлежат- и некоторые другие рекорды, но среди них один печальный —ни о каком другом виде модуляции не было опубликовано столько взаимно противоречивых и ошибочных мнений, как об однополосной. Некоторые из наиболее поучительных ошибок будут описаны далее. Но предварительно займемся определением ОМ.
6.2.	КАК ЗАПИСАТЬ ОДНОПОЛОСНЫЙ СИГНАЛ?
Пусть задан первичный сигнал x(t). Определить вид модуляции с современной точки зрения— это значит выразить через x(t) вторичный сигнал s(/). Для ОМ сигнала
s0M(f) =C[x(/)cos fcooZ-j-q?) (^)sin (W+ф)], (6.1) где С — произвольная постоянная; соо — несущая частота; x(t)—преобразование Гильберта от %(/); 78
<р — начальная фаза подавленной несущей частоты. В зависимости от выбранного знака («минуса» или «плюса») в (6.1) получают разновидности ОМ с верхней или нижней боковой полосой.
Если в (6.1) ограничиться первым членом, то получим выражение для сигнала с двухполосной модуляцией без несущей (балансной)
Кдбп(0==^х(/)сОЗ((Оо^+ф).	(6.1а)
Более наглядная запись ОМ сигнала получается из (6.1), если представить первичный сигнал x(t) в виде
x(t)=X(t) cos<D(0,	(6.2)
где X (t) — огибающая первичного сигнала, определяемая по формуле (3.7). Тогда
Ком (0 = СХ (t) cos [<оо£±Ф (0 +<р],	(6.3)
откуда сразу видно, что ОМ сводится к сдвигу первичного сигнала вверх по оси частот на <во. Действительно, мгновенная частота первичного сигнала (6.2) равна dtS/dt, а модулированного сигнала (6.3) шо-МФД#. Из свойств преобразования Гильберта (см. свойство 7 в гл. 3) следует, что и спектр при ОМ сдвигается вверх на соо. Если в (6.3) выбран знак «минус», то помимо сдвига происходит также инверсия (замена знака мгновенной фазы), в результате передается де верхняя, а нижняя боковая полоса.
6.3.	КАК ВЫГЛЯДИТ ОДНОПОЛОСНЫЙ СИГНАЛ?
Речь пойдет, конечно, о том, как выглядит ОМ сигнал на экране осциллографа. Ответить на этот вопрос очень просто. Если несущая частота соо лежит выше спектра первичного сигнала (что практически всегда выполняется), то в (6.3) CX(t)
79
является гильбертовской огибающей. Она и образует при определенной скорости развертки граничную линию светлого участка экрана осциллографа (рис. 6.1,6). Очевидно, что она совпадает с гильбертовской огибающей первичного сигнала, показанного на рис. 6.1,а, а не с самим первичным сигналом как это было бы при AM.
Рис. 6.1
Предположим теперь, что в качестве первичного сигнала на однополосный модулятор подано напряжение от звукового генератора. Полагая, что генерируемое напряжение гармоническое %(/) = =Х cos ((W+Ф), и замечая, что его огибающая A=const, мы. ожидаем получить на осциллографе изображение гармонического сигнала с частотой (Оо+ом, показанное на рис. 6.2.
Более 40 лет назад такой эксперимент был проделан в лаборатории, где работал автор этой книги. Это делалось не из любопытства —- необходимо было проверить, правильно ли работает макет однополосного модулятора. К нашему удивлению и огорчению, полученное изображение выглядело так, как показано на рис. 6.3, — огибающая полученного сигнала была заметно промодулирована 80
синусоидой. Модуляция имела глубину порядка нескольких процентов и. легко наблюдалась при надлежащей синхронизации развертки. Очень огорченные, мы решили, что модулятор работает плохо: либо недостаточно подавлена несущая частота, либо остается заметный остаток от второй боковой частоты. Измерив частоту огибающей и обнаружив,
Рис. 6.3
Рис. 6.2
что она совпадает с частотой сом первичного сигнала, мы отбросили предположение о плохом подавлении второй боковой частоты. Ведь в отсутствие несущей две боковые частоты дают биения с частотой 2(ом. Поэтому все внимание было уделено подавлению несущей.
Сняв модулирующее напряжение, мы убедились, что остаток несущей частоты, «пролезающий» через балансный модулятор, ниже пикового уровня по меньшей мере на 60 дБ, так что глубина паразитной модуляции огибающей не должна была бы превышать 0,1 %, в действительности же она была раз в 50 больше. Тогда возникло подозрение, что вследствие неодинаковых характеристик диодов, входящих в балансный модулятор, симметрия схе-6—3413	81
мь1, установленная в отсутствие модулирующего напряжения, нарушается при его подаче. Это предположение было проверено, "Но расчет, проведенный на основе измеренных реальных характеристик, показал, что возможная разбалансировка должна давать эффект раз в 15 меньше обнаруженного.
Лишь спустя несколько дней мы догадались о причине этого явления, она оказалась весьма простой. Все дело в том, что первичный сигнал, снимаемый с звукового генератора, только номинально является гармоническим. Фактически он содержит помимо основной гармонической составляющей с частотой (Ом высшие гармоники с частотами, кратными (Ом, причем их уровень даже в хороших современных генераторах часто достигает 1—2%, а в те времена 5—6%. Поэтому и сформированный однополосный сигнал даже при идеальном подавлении несущей оказывается не чисто гармоническим, в его спектре помимо частоты ®о+(0м присутствуют (оо+2(Ом, (0о+3(ом, . • • • Биения между ними происходят по закону, близкому к гармоническому, с частотой (Ом.
В этом легко убедиться, ограничившись для простоты только 2-й гармоникой и приняв амплитуду 1-й гармоники за единицу. Тогда
x(t) =cos(oM£+acos(2(oM/+4'), где a — величина порядка нескольких сотых; -ф — произвольный фазовый сдвиг. Сопряженный сигнал £(/) =sin(oM^+asin (2(ом/+ф),
и огибающая первичного сигнала
X (О =VX* (0	(О =	+a’+ 2a COS (u>Mf 4- ф)г=«
cos ф)-
82
Подставив это выражение в (6.3), видим, что огибающая однополосного сигнала промодулирована и глубина модуляции равна а.
Огибающую X(t) первичного сигнала непосредственно на осциллографе наблюдать нельзя, так как этот сигнал не является узкополосным, а в этом случае «наглядность» огибающей отсутствует. Но при однополосной модуляции формируется узкополосный сигнал с той же огибающей, и тут-то она и проявляется в явном виде и иногда (как в описанном случае) вносит смятение в умы малоопытных исследователей.
6.4.	«ФОРМУЛА КОСТАСА»
С появлением ОМ в учебниках, журнальных статьях и монографиях дебатировался вопрос о том, какой выигрыш дает переход от амплитудной модуляции к однополосной. Было высказано много разноречивых мнений. В начале 60-х годов американский ученый Дж. Костас писал, что, просмотрев обширную журнальную .литературу по ОМ, он обнаружил в каждой статье свою оценку энергети-. ческого выигрыша относительно AM — от двух до нескольких десятков. В результате он установил, что выигрыш, указываемый в каждой статье, составляет примерно (34-N!) дБ, где N — число соавторов данной статьи.
Если эта шутка и неточна, она все же правильно отражает тот разнобой, который существовал в те годы. Помимо того, что разные авторы производили сравнение в различных условиях и по-разному определяли энергетический выигрыш, они также допускали немало различных ошибок.
Вот примеры некоторых рассуждений.
1.	При обычной AM, полагая мощность несущей 6*	83
частоты равной 1, имеем мощность пары боковых частот, равную т2/2. При максимальном коэффициенте модуляции т=1 мощность боковых частот равна 1/2, т. е. составляет 1/3 полной мощности сигнала. Остальные 2/3 мощности тратятся на несущую частоту, которая не несет информации и в этом смысле бесполезна. При переходе от AM к ОМ вся мощность сигнала затрачивается на полезную боковую полосу. Следовательно, выигрыш равен 3.
2.	При обычной AM коэффициент модуляции т в среднем не превышает 0,45. Поэтому мощность боковых полос составляет 1/10 мощности несущей или 1/11 полной мощности сигнала. Следовательно, при переходе к ОМ.полезная мощность возрастает в среднем в 11 раз.
3.	В предыдущем рассуждении не учтено, что в передатчике ограничена пиковая мощность, которая в моменты, когда т=1, достигает 3/2 мощности несущей. Поэтому средняя мощность боковых частот при тСр=0,45 составляет 1/10 мощности несущей или 1/15 пиковой мощности передатчика. Перейдя к ОМ, можно использовать всю пиковую мощность передатчика, т. е. получить выигрыш в 15 раз.
4.	В предыдущем рассуждении не учитывалось, что однополосный сигнал имеет такой же пик-фактор, как и модулирующий первичный сигнал. Пусть пик-фактор П^З. Следовательно, средняя мощность ОМ сигнала в П2=9 раз меньше пиковой мощности передатчика, тогда как при AM средняя мощность полезных боковых полос в 15 раз меньше пиковой мощности (см. предыдущее рассуждение). Таким образом, энергетический выигрыш составляет всего 15/9^1,67 раза.
5.	При AM выигрыш в отношении сигнал-шум на выходе идеального приемника (по отношению 84
к входу) B=m2/(l+0,5m2) или 2/3 при т=1. Далее цитирую по монографии [37]: «При расчете выигрыша отношение полос частот1 было взято равным 2. Фактически это отношение несколько больше, вследствие чего значение В ближе к единице. В практике часто принимают значение В при AM равным единице (?!)... Анализ обычных методов приема при AM и линейном детектировании в случае малых шумов показывает, что по помехоустойчивости этот способ не отличается от идеального. Анализ обычных методов приема при синхронном детектировании, при квадратурной модуляции, при работе без несущей с двумя боковыми полосами и при одной боковой полосе также показывает, что и в этих случаях достигается потенциальная помехоустойчивость. Отсюда следует, что для этих систем коэффициент В—1».
Продолжая эту мысль, приходим к заключению, что никакого выигрыша однополосная модуляция относительно амплитудной не дает.
6.	Будем сравнивать AM и ОМ сигналы при одинаковой пиковой мощности. Это значит, что максимальные амплитуды в обоих случаях равны. Но максимум амплитуды AM сигнала равен £7И (1-|-т), где —амплитуда несущей. При /п=1 половина максимальной амплитуды приходится на долю несущей частоты, а половина — на долю боковых. При переходе к ОМ вся максимальная амплитуда Используется боковой частотой. Поэтому ее мощность оказывается в 4 раза больше, чем мощность боковых при AM. Таков выигрыш в передатчике. Но к этому нужно прибавить еще выигрыш в приемнике. Последний обусловлен тем, что ОМ сигнал занимает вдвое более узкую полосу частот, чем AM
1 Имеются в виду полосы на входе и выходе детектора.
85
сигнал, и, следовательно, мощность шума при переходе к ОМ уменьшается в 2 раза. Таким образом, общий выигрыш равен 8.
7.	К выигрышу, определенному предыдущим рассуждением, нужно добавить еще дополнительный выигрыш при коротковолновой радиосвязи. При связи отраженными волнами имеют место селективные замирания, которые в случае AM могут значительно исказить передачу, так как верхняя и нижняя боковые частоты могут быть сдвинуты по фазе относительно несущей различным образом. Это снижает средний уровень продетектированного сигнала и вносит дополнительные искажения, до некоторой степени эквивалентные увеличению шума. В то же время при ОМ селективные замирания могут только изменить соотношение амплитуд и фаз отдельных составляющих спектра восстановленного сигнала, что мало влияет на его разборчивость. Это преимущество ОМ можно оценить как дополнительный выигрыш в 2 раза, так что общий выигрыш оказывается равным 16.
Последняя цифра — выигрыш в 16 раз (или на 12 дБ), хотя и очень туманно обоснованная,—почему-то получила наибольшее распространение и изредка появляется в печати даже сейчас, чаще всего без всяких обоснований как якобы давно установленный факт.
Число примеров можно было бы еще умножить, но и этого достаточно. Все приведенные рассуждения страдают в основном одним недостатком—отсутствием четкой постановки задачи. Поскольку условия применения модуляции бывают разные, то и характеризовать выигрыш однополосной модуляции относительно амплитудной одним числом невозможно.
8G
Ё современной теорий связи под энергетическим выигрышем некоторой системы А относительно системы В понимают число, показывающее, во сколько раз нужно увеличить среднюю мощность сигнала в системе В, чтобы получить в обеих системах одинаковый результат на выходе. В идеальном случае, когда сигнал в канале не подвержен замираниям, несущая частота при приеме в точности известна, помехой является аддитивный белый гауссовский шум, а моделью сигнала служит стационарный случайный процесс, выигрыш однополосной модуляции относительно, амплитудной, вычисленный на основании теории потенциальной помехоустойчивости при оптимальной обработке сигналов, оказывается равным (т2-|-П2)/т2. Наименьший выигрыш имеет место при т=\ и равен
В=1+П2.	(6.4)
Если П«5гЗ, то В«=10. Такой же в точности выигрыш дает двухполосная модуляция без несущей относительно амплитудной (см., например, [15, 39]).
Заметим, что в этих условиях никакой разницы в помехоустойчивости между системами с одной и двумя боковыми полосами нет, хотя при ДБП спектр вдвое» шире и поэтому мощность шума, неизбежно попадающего в приемник, вдвое больше, чем при ОМ. Это легко объяснить тем, что в процессе детектирования ДБП составляющие сигнала, расположенные симметрично относительно несущей, складываются когерентно, а сопутствующие им составляющие помехи — некогерентно. Это дает увеличение отношения сигнал-помеха в 2 раза, что и компенсирует добавление второй полосы помех. Кстати, это обстоятельство совершенно не учитывалось в рассуждении 6, получившем широкое распространение, где сокращение полосы пропускания
87
приемника вдвое при Переходе к ОМ расценивалось как соответствующий выигрыш в помехоустойчивости.
Иначе обстоит дело, когда фаза сигнала в канале флуктуирует^ тем более, когда флуктуирует мгновенная частота (например, вследствие нестабильности частоты передатчика или эффекта Доплера). В этом случае для приема ОМ сигнала с восстановлением формы передаваемого сообщения необходимо использовать пилот-сигнал, содержащий информацию о частоте и фазе несущей. При обычной амплитудной модуляции несущая частота сама присутствует в принимаемом сигнале, а при двухполосной она легко восстанавливается по бо-ковым полосам [42]. Вследствие затраты лишней мощности на передачу пилот-сигнала и меньшей точности отслеживания несущей система с ОМ проигрывает системе с ДБП, а ее выигрыш относительно обычной AM уменьшается. Степень этого уменьшения различна в зависимости от свойств первичного сигнала и от закона флуктуации фазы. Для первичных сигналов, моделируемых марковским случайным процессом, а также при описании флуктуаций фазы марковским процессом результаты можно найти в [42], где дана также обширная библиография. Можно отметить, что по сравнению со случаем, когда фаза и частота не флуктуируют, выигрыш при однополосной модуляции относительно амплитудной изменяется незначительно.
В коротковолновой магистральной радиосвязи, когда вследствие перегруженности диапазона основной причиной нарушения связи являются взаимные помехи, а флуктуационный шум относительно мал, нужно совершенно иначе подходить к оценке преимуществ ОМ. В этом случае задачу можно сформулировать так: насколько изменится вероят-88
ность поражения сигнала мощной стационарной помехой при переходе от амплитудной к однополосной модуляции? Совершенно очевидно, что эта вероятность уменьшится, но степень уменьшения зависит от многих факторов — от плотности помех, распределения ширины спектра помехи и т. д.
При частотном уплотнении каналов с пренебрежимо малым уровнем помех ОМ позволяет увеличить кратность уплотнения вдвое по сравнению с AM. Говорить об энергетическом выигрыше в этом случае не имеет смысла.
Если считать заданной не среднюю, а пиковую мощность, то вычисленный выше выигрыш нужно умножить на отношение квадратов пик-факторов AM сигнала Пам и ОМ сигнала Пом, так что выигрыш по пиковой мощности ОМ относительно AM составляет Вцик= (14~П2) П2ам/П2Ом. Величину Пам легко выразить через пик-фактор первичного сигнала П. Из представления AM сигнала $ам(0=А [1+^(0] COS toot	(6.5)
легко найти пиковое значение
[•5ам (0 ] max=A (1 -p^-^max) ,
или, если первичный сигнал x(t) нормирован так, ЧТО Хшах=1, то
[^ам (0] max—А (1+т).	(6.6)
Средний квадрат AM сигнала
«2ам(^)=А2 [14-m2x2(/)+2mx(/)] cos2<b0/s»
s»A2 [l-]-m2x2(/)4-2mx(/)] cos2w0Z.
Здесь мы воспользовались тем, что огибающая А (1+/пх(/)] изменяется значительно медленнее высокочастотного заполнения cos ©о/, что позволяет
99
усреднять cos2W, полагая значение огибающей за период несущей частоты постоянным.
Далее, первичный сигнал обычно не содержит постоянной составляющей, т. е. х(/)=0. Поскольку Xmax=l, то Х2(0=1/П2. Поэтому, уЧИТЫВЭЯ, ЧТО cos2 ®о^=0,5, получаем:
52амЮ= 0,542 (1 +т2/П2);	(6.7)
ns (Рам (01max)!_ 2 (’+«)’ _2Ш(1 + т)« ,fi R ам~ ето 1+т2/П« -* П’ + т« •
В наиболее интересном случае, когда т=1,
П2ам=8П2/(1+П2).	(6.9)
Что же касается однополосного сигнала, выражаемого формулой (6.3), то аналогичное вычисление дает
n*OM=[X(/)max]70^j.	(6-Ю)
где X(t) —огибающая первичного сигнала.
Если первичный сигнал (6.9) достаточно узко-полосен, .так что при вычислении его среднего квадрата x2(t)=X2(t) соэ2Ф(0 можно раздельно усреднить X2(t) и соз2Ф(0, причем соз2Ф(/)=0,5, то легко видеть, что П=П0М. Это приблизительно верно при телефонной модуляции. В этом случае
Впик=8П2(1+П2)/(1+П2)П2=8,	(6.11)
что совпадает с цифрой, полученной при интуитивной оценке примерно в тех же условиях. Однако при модуляции более широкополосным первичным сигналом обычно П0М>П и выигрыш по пиковой мощности оказывается меньше 8,
90
6.5.	КАК ДЕТЕКТИРОВАТЬ ОДНОПОЛОСНЫЙ СИГНАЛ?
Рассмотрим сначала другой вопрос: как вскипятить чайник? Точнее сформулируем задачу так. Имеются пустой чайник, водопроводный кран, незажженная газовая плита и спички. Требуется получить чайник с кипящей водой. Решение этой задачи хорошо известно. Нужно, во-первых, наполнить чайник водой из крана, во-вторых, зажечь газ, в-третьих, поставить чайник на огонь и, наконец, подождать некоторое время, пока вода закипит.
Один математик, вполне усвоивший это решение, оказался в несколько иной ситуации — вода в чайнике уже была, а газ был зажжен. Как быть в таком случае? «Очень просто,— ответил он.— Я выливаю воду из чайника и гашу газ, после чего задача сводится к предыдущей, решение которой нам уже известно».
Этот анекдот невольно приходит в голову, когда читаешь в некоторых книгах, что для приема ОМ сигнала (а .также двухполосного сигнала без несущей) необходимо добавить к принятому сигналу несущую, превратить его тем самым в AM сигнал, а затем уж задача сводится к известной — к детектированию AM сигнала с помощью амплитудного детектора.
В случае добавления восстановленной несущей к двухполосному сигналу ее фаза должна точно совпадать с фазой «подавленной» несущей. Тогда верхние (в. б) и нижние (н. б) боковые частоты будут расположены симметрично относительно несущей, как показано на векторной диаграмме1
1 Для простоты показан случай модуляции одним тоном. Предполагается, что плоскость чертежа вращается с угловой скоростью <0о-
91
рис. 6.4,а. В противном случае, когда фаза несущей восстановлена неверно (рис. 6.4,6), сумма принятого сигнала и восстановленной несущей оказывается промодулированной как по амплитуде, так и по фазе. Это видно из рис. 6.4,6, где штриховой линией показано перемещение конца результирующего вектора, который изменяет не только длину, но и направление. При этом огибающая, выделяемая амплитудным детектором, искажается, т. е. не повторяет форму первичного сигнала, а ее значение уменьшается по сравнению со случаем, когда фаза несущей восстановлена точно.
На рис. 6.5 показана зависимость коэффициента гармоник kv от неточности Т восстановления фазы несущей при детектировании двухполосного сигнала амплитудным детектором. Там же показано отношение амплитуды полезного сигнала на выходе детектора к ее значению при Т=0. Кривые построены для двух значений отношения амплитуды восстановленной несущей к амплитуде одной боковой частоты Vh/Uq: 2 (штриховая линия, т—\) и 20 (непрерывная).
Увеличивая амплитуду восстановленной несущей, можно снизить нелинейные искажения до до-пустимых, если неточность фазы ф не очень близка к 90°. Однако, чтобы амплитуда продетектирован-ного сигнала не была существенно снижена, при любой амплитуде несущей ошибка Т не должна превышать 20—30°. Здесь следует обратить внимание на то, что шум на выходе детектора практически не зависит от отклонения фазы несущей, так что при больших Т ухудшается отношение сигнал-шум на выходе детектора.
Значительно проще и благополучнее детектирование двухполосного сигнала без несущей осуществляется синхронным детектором. Для этого сиг-92
нал (6.1,а) умножается на опорное напряжение гетеродина (восстановленную несущую) a cos (W+ -рф), где ф—ф=Т, погрешность при восстановлении фазы несущей:
s (0 a cos (W+i|))=Cax(0 cos (адг+ф) cos (соо/+
-рф) =0,5аСх (/) cos (2шд/Ц-ф4~^) Н“0,5#Сх (/) X
Xcos (ф—ф).	(6.12)
Рис. 6.5
Первый член (6.12) представляет высокочастотную составляющую произведения, которая отфильтровывается, второй является результатом детектирования и пропорционален первичному сигналу x(t). Таким образом, при синхронном де-
тектировании двухполос-никаких искажений не возника-
ного сигнала
ет, каковы бы ни были амплитуда а и начальная фаза ф восстановленной несущей. Неточность фазы вызывает только уменьшение уровня проде-
93
тестированного сигнала, пропорциональное cos (<р—ф). Если потребовать, чтобы уровень про-детектированного сигнала уменьшался не более чем на 10%, необходимо восстановить фазу несущей с точностью ±15°, если же допустимо снижение на 30%, то требуемая точность фазы zfc45°.
Преимущество синхронного детектирования перед детектированием огибающей суммы сигнала и восстановленной несущей очевидно. При обычной AM, когда в принимаемом сигнале уже содержится несущая, детектирование, огибающей наиболее просто, и поэтому практически только оно и используется. При передаче без несущей последнюю все равно приходится восстанавливать, т. е. синтезировать в приемнике. После этого синхронное детектирование выполняется столь же просто, как и детектирование огибающей.
Приблизительно так же решается задача детектирования ОМ сигнала. Сложение с восстановленной несущей и амплитудное детектирование полу-ченн'ой суммы «линейным» детектором, вообще говоря, приводят к нелинейным искажениям, для уменьшения которых приходится увеличивать амплитуду восстановленной несущей. Применение синхронного детектора избавляет от нелинейных искажений. Впрочем, сохраняются линейные искажения, заключающиеся в фазовом сдвиге всех составляющих продетектированного сигнала на величину, противоположную погрешности фазы восстановленной несущей. Действительно, используя ОМ сигнал (6.3), после синхронного детектирования получаем:
sOm(0°cos (<Оо^+ф)=СХ(О cos [®0/+Ф (0+ф] X
Ха cos (соо^+ф) =0,5aCX(i) cos [2шоН~Ф (0+ф+ +ф]+0,5аСХ(0 cos [Ф(0+ф—ф].	(6.13)
94
Полезным здесь является второй (низкочастотный) член, который с точностью до постоянного множителя представляет первичный сигнал x(t) с фазами, сдвинутыми на <р—ф.
.Как уже говорилось, ОМ представляет собой, в сущности, перенос спектра сигнала вверх, а синхронное детектирование—перенос вниз. Как при
всяком преобразовании частоты, здесь сохраняется огибающая сигнала, , мгновенная же частота сдвигается на частоту гетеродина ±<оо. Начальная фаза при этом также смещается на величину, равную начальной фазе гетеродина. Это хорошо видно из выражений (6.1), (6.3) и (6.13). Здесь полезно еще раз напомнить, что форма огибающей первичного сигнала отличается от формы сигнала. Последняя поэтому может существенно изменяться при изменении начальной фазы.
Для примера на рис. 6.6 показано изменение формы сравнительно простого периодического сиг-
95
нала при фазовом сдвиге его составляющих на 45 и 90°; Поэтому, если требуется передать точную форму первичного сигнала, то восстановленная несущая при ОМ должна точно совпадать по фазе с подавленной несущей. В этом случае принимать ДБП сигнал проще, так как допустимы отклонения фазы восстановленной несущей в пределах, по крайней мере, ±15°.
Однако дело коренным образом меняется, если первичный сигнал x(t) является звуковым. Слуховой анализатор человека (и, по-видимому, всех животных) устроен так, что он не воспринимает непосредственно фазовых соотношений составляющих звука. Поэтому какова бы ни была начальная фаза ф опорного сигнала, звук воспринимается одинаково, лишь бы сохранился его амплитудный спектр. В этих условиях ОМ сигнал принимается проще, чем сигнал ДБП, так как допустимым является любое значение начальной фазы восстановленной несущей.
В ряде книг указывается, что при детектировании ОМ сигнала фаза восстановленной несущей может быть любой, но не оговаривается, что это справедливо только для звуковых сигналов. В частности, если бы при телевизионном вещании сигнал изображения формировался с помощью однополосной модуляции, то необходимо было бы в приемнике предусмотреть синхронный гетеродин, фаза которого каким-то образом устанавливалась по крайней мере с точностью до 1—2°. Это было бы трудно осуществить, и поэтому ОМ в телевидении не применяется. Чтобы сократить спектр излучаемого сигнала, в стандартном телевизионном сигнале одна из боковых полос частично отфильтровывается, но составляющая на несущей частоте сохраняется. После детектирования огибающей такого сиг-96
нала с частично подавленной боковой полосой первичный сигнал восстанавливав!ся с существенными нелинейными искажениями, однако они практически незаметны. Такие искажения в основном вызывают изменения шкалы контрастности, но не отражаются на положении контуров изображения на экране и на общем характере переходов между частями изображения. Наоборот, линейные искажения в виде фазовых сдвигов всех составляющих сигнала изменяют характер переходов, вызывают дробление точек, сглаживание резких контуров, иногда возникают новые контуры, что существенно нарушает восприятие.
6.6.	О ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ
Известно, что при передаче речи с помощью ОМ не только фаза восстановленной несущей произвольна, но и сама несущая частота может быть восстановлена не абсолютно точно. Это легко понять. Поскольку звуковое восприятие практически не зависит от начальной фазы опорного сигнала в. синхронном детекторе, то и медленные изменения этой фазы не должны ощущаться на слух. К этому, в частности, сводится случай, когда значение восстановленной несущей частоты несколько отличается от истинного. Действительно; при однополосной передаче речи и даже музыки расстройка опорного сигнала относительно несущей частоты до 1—2 Гц совершенно не ощущается. При дальнейшем увеличении расстройки постепенно заметнее становятся искажения звука—появляется хрип и «металлический» призвук. При расхождении частот в 50— 100 Гц эти искажения становятся весьма неприятными, однако разборчивость речи сохраняется до-7-34! 3	97
вольно высокой вплоть до расстроек 200 Гц и' более. Для музыки уже при расстройках 3—10 Гц возникают недопустимые искажения..
Чем определяются приведенные цифры? При восстановлении несущей частоты с погрешностью Af все спектральные составляющие первичного сигнала оказываются сдвинутыми на А/. Если бы передавался один тон (гармонический сигнал), то его небольшое смещение по частоте оказалось бы незамеченным. Известно, что большинство людей очень плохо различает абсолютную высоту звука, т. е. его частоту. Лишь некоторым, чаще всего опытным музыкантам, это удается с точностью до 5—10% (это свойство называют абсолютным слухом). Однако практически все люди хорошо различает отношения частот двух одновременно или последовательно звучащих тонов. Так, если частота одного тона точно вдвое больше другого, то их совместное звучание воспринимается как «консонанс»—чистая октава. Если же отношение этих двух частот будет не 2, а, скажем, 15/8 или 17/8, то их совместное звучание воспринимается как диссонирующий интервало-большая септима или малая нона. Однако ощущение фальши при восприятии совместного звучания двух звуков наступает уже тогда, когда отношение их частот отклоняется от целочисленного (или выражаемого дробью с малым числителем и знаменателем, например 3/2, 5/4,ч6/5) на несколько процентов. На сколько именно? Попробуем оценить этот допуск, не прибегая к трудоемким экспериментам и обследованиям учащихся музыкальных школ.
Вероятно, читателям известно, что музыкальные инструменты с фиксированной настройкой (например, фортепиано, орган, флейта, баян) настраиваются так; что только для октавы соблюдается точное целочисленное отношение частот 2:1. Для ос-98
тальиых интервалов эти отношения отклоняются от рациональных, определяемых так называемым натуральным звукорядом. Делается это для того, чтобы получить одинаковые интервалы между соседними звуками звукоряда, который в этом случае называется темперированным. Темперация возможна потому, что человек даже с очень хорошим слухом не отличает темперированных интервалов от натуральных.
Интервал между двумя звуками с частотами и f2 измеряется величиной log (/г/Л)* Обычно используют основание логарифма 2, так как при этом важнейший интервал—октава—оказывается равным единице. В современном темперированном звукоряде октава разделена-на 12 равных (в логарифмическом смысле) частей (полутонов). Таким образом, полутон является интервалом между двумя соседними звуками темперированного (хроматического) звукоряда.
Заметим, что в натуральном звукоряде все интервалы соответствуют рациональным отношениям частот. Следовательно, натуральный интервал (т. е. двоичный логарифм этого отношения) не может быть рациональным числом, за исключением того случая, когда отношение частот равно целой степени основания логарифма 2. Но в этом случае интервал равен октаве или нескольким октавам.. Таким образом, все натуральные интервалы, отличающиеся от октавы или целого числа октав, измеряются иррациональными числами.
Наоборот, в темперированном звукоряде все интервалы измеряются _ рациональными числами, кратными 1/12 октавы. Следовательно, отношение частот, образующих темперированный интервал, за исключением октавы, не может быть рациональным. Так, например, квинте в натуральном звуко-
7*	99
ряде соответствует отношение частот 3/2. Двоичный логарифм этого отношения (т. е. интервал, если за единицу принята октава), является иррациональным числом 0,58496... В темперированном звукоряде квинта аппроксимируется рациональным числом 7/12=0,58333.... Различие между натуральной и темперированной квинтами составляет, таким образом, около 0,0016 октавы, или немного меньше 2 центов (цент—сотая часть полутона, или 1/1200 октавы). Такая разница не улавливается даже самым обостренным музыкальным слухом.
Наибольшее отличие между темперированным и натуральным интервалами дают увеличенная кварта и уменьшенная квинта, которые в темперированном звукоряде не различаются и составляют половину октавы. Неточность представления соответствующих натуральных интервалов около ±0,015 октавы (или 18 центов). Следовательно, существование темперированного строя доказывает, что отклонение интервала на 0,015 практически не влияет на восприятие звука.
Пусть теперь в спектре первичного сигнала содержатся частота fi и ее вторая гармоника 2fb При детектировании ОМ сигнала с погрешностью А/ они преобразуются соответственно в fi+А/ и 2/i+Af, так что вместо интервала 1 (октава) получится
/ —102- 2f- + Af l0g2h(1+Af/2f.) -
I-log fi + if -10g fi(1+Af/fi) -
1 +log (1	- log (1 4~).
Так как Afcfi, можно воспользоваться приближением log (l+Af/fi)«s(A//fi) loge, откуда
1-1,44^.
100
Такой сдвиг спектра будет малозаметен на слух, если l,44|Af|/2/1 <0,015 для всех частот fi в спектре первичного сигнала, в том числе и для fi=fmin— нижней частоты этого спектра. Тогда допустимая расстройка несущей оказывается равной | Д/| ДОп~
0,02/min. При передаче речи в стандартной полосе частот (300—3400 Гц) | Af | ДОп=0,02 - 300=6 Гц. Действительно, такая неточность оказывается практически незаметной. Она была бы столь .же незаметной и при передаче музыки, если бы воспроизводилась та же полоса частот. Но обычно при музыкальном вещании стараются передать частоты в более широкой полосе, по крайней мере от 100 Гц. Но в этом случае неточность восстановления несущей будет незаметной, только если она не превышает 0,02-100=2 Гц. Большая неточность при передаче речи приводит к тому, что вместо гармонических целочисленных первичных соотношений частот будут слышны негармонические. Например, вместо частоты 300 Гц и ее гармоник 600, 900, 1200, 1500 Гц при смещении спектра на 20 Гц получатся частоты 320, 620, 920, 1220, 1520 Гц, ни одна из которых не кратна нижней частоте 320 Гц.
Напомним, что при колебаниях тонкой натянутой струны ее спектр содержит частоты, с большой точностью кратные основной частоте. Если же вместо струны заставить колебаться толстый металлический стержень или рельс, то его спектр будет состоять из частот, существенно отличающихся от кратных. В несколько меньшей степени такая не-кратность частот обертонов наблюдается при колебании голосовых связок человека, воспалившихся при простуде. Поэтому, как только мы слышим речь со смещенным спектром, в котором слегка ощущается нарушение кратности частот обертонов, мы воспринимаем это как хрипоту, а при большем сме-
101
Щенип спектра возникают ассоциации со звуком, издаваемым металлическим стержнем, и мы говорим о «металлическом» тембре голоса. Даже при сдвигах спектра на 100—200 Гц разборчивость речи в значительной мере сохраняется, хотя тембр ее становится крайне неестественным и неприятным.
Для объяснения разборчивости следует исходить не из законов слухового восприятия гармонических звуков, а из принципов опознавания звуков речи. К сожалению, мы знаем о восприятии речи значительно меньше, чем о восприятии музыки. Однако в первом приближении можно воспользоваться формантной теорией, согласно которой звуки речи различаются .по размещению максимумов энергетического спектра в определенных полосах частот, называемых формантными областями. При ширине формантных областей 200—300 Гц сдвиги спектра речи на 100—200 Гц не должны уводить максимумы спектра за формантные области, и поэтому некоторая разборчивость речи должна сохраняться, что и наблюдается на практике. При сдвигах спектра на 300—400 Гц и более происходит «перепутывание» формант и речь становится неразборчивой.
7.	КРИТЕРИИ, ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ, АЛГОРИТМЫ
Крошка сын
к отцу пришел, и спросила кроха:
— Что такое хорошо и что такое
плохо?
В. В. Маяковский
7.1.	КРИТЕРИИ
В теории статистических решений под критерием обычно понимают точное определение того, „что в данной задаче означает «хорошо» и «плохо» или «лучше» и «хуже», иначе говоря, меру предпочтения одного объекта (решения, процесса и т. д.) другому. В других областях знаний термин «критерий» может иметь ряд значений, например способ проверки («практика — критерий истины» в философии), признак (критерии сходимости рядов в математическом анализе, критерии устойчивости в теории колебаний, критерии физической реализуемости в теории “цепей). Примером критерия в смысле меры предпочтения является критерий точности -аппроксимации (равномерный, среднеквадратический и др.). Критерий в этом смысле является также одним из основных понятий теории исследования операций и теории больших систем.. Такой критерий часто выражается в виде целевой функции., увеличение (или уменьшение) которой определяется как улучшение. Здесь речь будет идти только о критериях в смысле меры предпочтения.
Заметим, что установление критерия в большинстве случаев нелегкая задача. На наш взгляд, с ней не справился отец из известного стихотворения Маяковского, послужившего источником эпиграфа к главе. Вместо формулировки критерия он
10?
ограничился несколькими частными примерами. Хуже, когда разумный критерий не умеют сформулировать исследователи.
Очень важно отметить, что выбор критерия не является математической задачей. Критерий всегда привносится извне, и только после его установления может быть поставлена математическая задача. Чаще всего такая задача заключается в нахождении оптимального по данному критерию правила решения, т. е. правила поведения системы (или человека) при определенном внешнем воздействии. Здесь слово «оптимальный» означает попросту «наилучший». Чаще всего, хотя и не обязательно, такое оптимальное правило решения существует. Но не следует забывать, что оптимальность понимается всегда относительно установленного критерия. Поэтому нет ничего удивительного в том, что правило, оптимальное по одному критерию, может оказаться никуда не годным по другому, не менее разумному. История техники знает немало примеров, когда оптимизация по недостаточно продуманному критерию приводила к весьма неудачным решениям.
Довольно распространенной ошибкой является попытка оптимизировать разрабатываемое устройство сразу по двум критериям или по частям. Например, при разработке приемника дискретных сообщений оптимизируют входной фильтр, добиваясь максимума отношения сигнал-помеха, а затем приступают к оптимизации демодулятора, минимизируя вероятность ошибки, и не достигают при этом удовлетворительных результатов, поскольку фильтр создал такую межсимвольную интерференцию, с которой очень трудно бороться. В последнее время такие ошибки встречаются редко, поскольку разработчики усвоили, что система, составленная 104
йз Оптимальных частей, далеко не всёгДа оптимальна в целом.
Ни объем, ни основная направленность этой книги не позволяют рассмотреть или хотя бы перечислить различные критерии, применяемые в статистической теории связи, и связанные с ними правила решения. Вероятно, со многими из них читатель знаком. Мы ограничимся некоторыми примерами, чтобы показать сложность возникающих в этой области проблем и необоснованность некоторых бытующих предвзятых мнений.
7.2.	ПРАВИЛО РЕШЕНИЯ
В статистической теории связи понятия «критерий» и «правило решения» часто отождествляют. В этом ничего страшного нет, но все же хотелось бы под критерием понимать правило предпочтения, связанное с внешними параметрами устройства, т. е. такими, которые непосредственно интересуют потребителя. Так, например, вполне закономерно понятие критерия минимума вероятности ошибки (критерия идеального наблюдателя) при приеме дискретных сообщений или критерия частоты щелчков при цифровой передаче телефонных сообщений. Однако такое часто встречающееся выражение, как критерий максимума правдоподобия, с этой .точки зрения представляется не вполне корректным, ведь функция правдоподобия в конечном счете не интересует потребителя системы связи. Его интересует главным образом верность принятой информации, выражаемая при передаче дискретных сообщений через-вероятности тех или иных ошибок. Правильнее говорить не о критерии, а о правиле максимума правдоподобия (МП), реализующем в тех или иных условиях тот или иной критерий.
105
В частности, в системе передачи дискретных сообщений при точно известных и равновероятных сигналах правило МП вытекает из критерия идеального наблюдателя. Если же сигналы в такой системе не равновероятны, а их априорные вероятности известны, то критерий идеального наблюдателя приводит к другому, более сложному правилу решения — максимуму апостериорной вероятности (МАВ). (Напомним, что апостериорная вероятность гипотезы пропорциональна произведению ее функции правдоподобия на априорную вероятность.) Таким образом, принимая неравновероятные сигналы по правилу МАВ, мы получим в среднем меньше ошибок, чем при использовании правила МП. Значит, в общем случае правило МАВ лучше правила МП. Лучше ли?
Повременим с ответом на этот отнюдь не риторический вопрос и сделаем небольшое отступление.
7.3.	НЕОПУБЛИКОВАННЫЙ КОНАН ДОЙЛЕМ
ОТРЫВОК ИЗ ВОСПОМИНАНИЙ ДОКТОРА ВАТСОНА
— Вы правы, Ватсон,—сказал мне Шерлок Холмс.—Версия о том, что голубой карбункул украл лорд Хонест, в 60 раз правдоподобнее версии инспектора Лестрейда из Скотланд-Ярда, который подозревает в краже Джона Дипа. Ведь лорд Хонест пробыл в комнате, где был спрятан карбункул, целый час, а Джон Дип—всего лишь одну минуту. Тем не менее версия инспектора Лестрейда значительно более вероятна, чем ваша.
— Я вас не понимаю,. Холмс. Разве правдоподобие и вероятность—это не одно и то же?
— Да. В обыденной жизни мы считаем эти два слова синонимами. Я тоже так полагал, пока не познакомился с теорией статистических решений, в которой различаются функции правдоподобия гипоте-106
зы и ее апостериорная вероятность. Первая из них представляет собой вероятность того, что наблюдаемое событие произошло, если рассматриваемая гипотеза справедлива. В нашем случае это вероятность того, что карбункул был украден, если предположить, что вором является лорд Хонест (или Джон Дип). Если считать, что эта вероятность пропорциональна времени, которое было в распоряжении предполагаемого вора, то отношение наших функций правдоподобия 60:1. Что же касается апостериорной вероятности гипотезы, то это вероятность того, что гипотеза справедлива при условии, что произошло наблюдаемое событие. В нашем случае вероятность того, что карбункул украл лорд Хонест, при всех имеющихся уликах чрезвычайно мала. Ведь лорд Хонест известен в высших слоях лондонского общества как безукоризненно честный человек. Что же касается' Джона Дипа, то он известен как вор-рецидивист, к тому же давно охотившийся за голубым карбункулом. Поэтому априорная вероятность версии инспектора, скажем, в 1000 раз больше априорной вероятности вашей версии. Если подсчитать апостериорные вероятности, то получится соотношение 1,6: 1 в пользу версии инспектора Лестрейда, так что с точки зрения критерия идеального наблюдателя инспектор совершенно прав, арестовав Джона Дипа.
— Что же, Холмс, кажется впервые за время нашего знакомства вы соглашаетесь с версией Скотланд-Ярда и отказываетесь от дальнейшего расследования?
— С чего вы это взяли, Ватсон? Я только сказал, что решение инспектора Лестрейда оптимально с точки зрения критерия идеального наблюдателя. Но я вовсе не считаю, что этот критерий хорош во всех случаях жизни. Если бы я всегда его придер
107
живался, то мне не удалось бы раскрыть ни одного сложного преступления, виновником которого был внешне благопристойный человек. Правда, при этом я бы почти никогда не ошибался при расследовании рядовых, ничем не примечательных дел. Но те редкие преступления, которые требуют нетривиального подхода, оставались бы нераскрытыми. Итак, оставим пока в стороне предвзятые мнения (априорные вероятности) и начнем разрабатывать вашу версию о лорде Хонесте.
7.4.	ЛУЧШЕ ЛИ?
Вернемся к поставленному ранее вопросу. Всегда ли правило МАВ лучше правила МП или какого-нибудь другого правила решения?
Когда в 1946 г. в докторской диссертации В. А. Котельникова критерий идеального наблюдателя (идеального приемника) был использован для решения задач теории связи, практически все специалисты считали его единственно разумным, откуда, собственно говоря, и возникло его название. В самом деле, что требуется еще от дискретной системы связи, кроме того, чтобы ошибки встречались как можно реже? Так вот, если выбран критерий идеального наблюдателя, то оптимальным правилом решения является правило МАВ и на поставленный вопрос нужно безоговорочно ответить положительно.
Однако практика зачастую дает другой ответ. И математика здесь не при чем. Дело в том, что разумность критерия идеального наблюдателя в некоторых условиях оказывается сомнительной. Пример этого можно извлечь из беседы, приведенной в предыдущем параграфе. Рассмотрим еще один простой, хотя и искусственный, пример из области связи.
108
На спутнике установлена аппаратура для обнаружения некоторой чрезвычайно редкой элементарной частицы. В момент пролета этой частицы с точностью до 1 мс на Землю должен посылаться сигнал, запускающий регистрирующее устройство и звонок. Проектирование этой системы сигнализации поручено инженеру А., который получил задание минимизировать мощность сигнала, обеспечив при этом вероятность ошибки не свыше 1-10~6. Инженер А. выбрал удобную форму сигнала, изучив помехи в канале, разработал решающую схему и подсчитал необходимую мощность передатчика сигнала, при которой вероятность пропуска сигнала и вероятность ложной тревоги меньше МО-6.
Комиссия, принимающая проект, сочла эту мощность непомерно большой. Председатель комиссии инженер Б., считавший себя большим специалистом в статистической теории связи, заявил, что проект плох, так как он выполнен не на основе критерия идеального наблюдателя. На это А. возразил, что для применения критерия идеального наблюдателя нужно знать априорные вероятности передаваемых сообщений, в данном случае вероятность пролета частицы.
— Ну что ж,—ответил Б.,—эти данные я могу вам дать. Известно^ что в среднем за каждый час пролетает примерно одна частица.
— Хорошо, — сказал на это А. — Я берусь, не сходя с места, существенно снизить мощность передатчика и упростить приемник, если только вы подтвердите, что будете оценивать верность по критерию идеального наблюдателя.
— Конечно, я это подтверждаю,—ответил Б.— Ведь это самый разумный критерий для систем связи,
109
Тогда инженер А. взял карандаш и вычеркнул в схеме передатчика источник питания, снизив тем самым его мощность до нуля, а в схеме приемника оборвал провода, ведущие к регистрирующему устройству и звонку.
— Я перевыполнил задание. Теперь, мощность передатчика равна нулю, а вероятность ошибки приблизительно равна 2,8 • 10~7, т. е. в 3,5 раза меньше заданной. Действительно, час содержит 3,6-106 мс. В среднем один раз за час нужно передать сигнал, т. е. он передается с вероятностью 2,8-10-7. Я иду на то, что всякий раз; когда частица пролетает, в моей системе возникает ошибка и пролет не регистрируется. Зато всякий, раз, когда частицы нет, моя система точно и безошибочно регистрирует ее отсутствие. Полная вероятность ошибки поэтому равна 2,8-10-7, и, следовательно, по критерию идеального наблюдателя моя система лучше заданной.
Из этого примера видно, что критерий идеального наблюдателя перестает быть разумным, когда априорные вероятности сигналов резко различаются. В данном случае подошел бы критерий Неймана—Пирсона. Для этого нужно было бы задать допустимую вероятность пропуска частицы и минимизировать вероятность ложной тревоги, или наоборот. В аналогичных случаях, когда различного рода ошибки вызывают неодинаковые неприятности, обычно в книгах рекомендуют пользоваться критерием минимального среднего риска. Впрочем, автору не приходилось встречаться ни с одной системой связи, построенной по этому критерию.
Даже при не очень резком различии априорных вероятностей сигналов критерий идеального наблюдателя заставляет уменьшать вероятность ошибки при передаче часто встречающихся сигналов, уве-
по
ЛйЧиВая Случаи ошибочного приема более редких сигналов, даже если они представляют наибольший интерес.. Поэтому автор берет на себя смелость утверждать, что критерий идеального наблюдателя является действительно разумным для систем связи только в тех случаях, когда априорные вероятности передаваемых .сигналов практически одинаковы. Но при этом правило МАВ совпадает с-правилом МП, и вопрос, поставленный в заголовке параграфа,- снимается.
Более того, автор убежден, что при неодинаковых априорных вероятностях сигналов правило МП лучше отвечает потребностям потребителя системы связи, чем правило МАВ. Доказать это парадоксальное утверждение трудно, а может быть, и невозможно, ведь задача выбора критерия не математическая. Все же выскажем некоторые соображения в пользу этой точки зрения.
7.5.	КАКОМУ КРИТЕРИЮ СООТВЕТСТВУЕТ ПРАВИЛО МП?
Что возникло раньше: курица или яйцо? Этот классический вопрос напоминает другой: всегда ли правило решения вытекает из установленного критерия? Во многих случаях это действительно так. Правило МАВ, например, выведено йз критерия идеального наблюдателя. Приведем другой, менее известный пример.
Пусть используется множество из пг различных сигналов st, причем об их априорных вероятностях ничего не известно, а все ошибки одинаково нежелательны. Обозначим: pi (£=1, 2, ..., т)—вероятность ошибки при передаче сигнала Si. Тогда вполне разумным является минимаксный критерий, согласно которому из всех решающих схем лучшей
111
является дающая наименьшее значение шахрг-. Из этого критерия выводится следующее правило решения: переданным считается сигнал, для которого величина aiWi максимальна, где wi—функция правдоподобия f-й гипотезы при данном сигнале на входе приемника; at—коэффициенты, определяемые видом передаваемых сигналов и помехами в канале и обеспечивающие, помимо прочего, равенство всех pi. При выполнении некоторых условий симметрии коэффициенты оказываются одинаковыми, и тогда из минимаксного критерия следует правило МП.
Но иногда используются правила решения, которые не вытекают ни из какого четко сформулированного критерия предпочтения. Типичным здесь является правило МП, если упомянутые условия симметрии не выполнены и сигналы не равновероятны. Хотя безусловная вероятность ошибок при правиле МП больше, чем при правиле МАВ, тем не менее и в этих случаях используется правило МП, казалось бы, не вытекающее ни из одного известного критерия.
Хотя курица появляется из яйца, но и яйцо тоже происходит от курицы. Попробуем сформулировать критерий, чтобы из него в общем случае следовало правило МП. Это нетрудно. Оказывается, что это критерий минимума суммы условных веро-
т
ятностей ошибок, т. е. минимума величины pit i=i
Для многих систем связи такой критерий более разумен, чем критерий идеального наблюдателя: он не приводит к дискриминации редко используемых сигналов. Можно только удивляться, что об. этом не пишут в учебниках и монографиях.
112
7.6.	АЛГОРИТМЫ
Когда правило решения установлено, необходимо найти реализующий его алгоритм—последовательность операций, которые следует произвести над принятым сигналом, чтобы определить, согласно этому правилу, какое сообщение передавалось. Известно, что одно и то же правило решения можно реализовать с помощью различных алгоритмов обработки сигнала, т. е. с помощью различных схем. Так, например, для нахождения функции правдоподобия приходится обычно определять скалярные произведения принимаемого сигнала на опорные сигналы—эталоны передаваемых сигналов, а это можно выполнить с помощью перемножителёй, интеграторов (так называемых корреляторов) или согласованных фильтров. Об этом написано в десятках, если не сотнях, книг., К сожалению, значительно реже пишут о том, что одно и то же правило решения может приводить к совершенно различным алгоритмам в зависимости от того, какие используются сигналы и какие аддитивные или мультипликативные помехи действуют в канале.
Если о сигнале и помехах известно все (по крайней мере, в вероятностном смысле)—либо значения всех параметров, участвующих в описании сигналов и помех, либо их распределения вероятностей,— то алгоритм оптимальной (по данному критерию) обработки сигнала построить удается. Правда, иногда этот алгоритм оказывается столь сложным, что реализовать его на существующем технологическом уровне невозможно или экономически не оправданно. В этих случаях, во-первых, нужно утешать себя тем, что в области радиоэлектроники технология развивается так быстро, что сейчас легко реализуются алгоритмы, считавшиеся еще два-три года тому назад невыполнимыми. Во-вторых, 8-3413	ИЗ
Следует помнить, что решающая схема является лишь частью проектируемой системы, подлежащей оптимизации в соответствии с целевой функцией, в которую показатели верности приема входят наряду с другими, не менее важными технико-экономическими показателями. Поэтому оптимальная в целом система нередко использует неоптимальный по выбранному критерию алгоритм обработки сигналов.
Обычно применяют субоптимальные алгоритмы, т. е. достаточно близкие -к оптимальным в том смысле, что их различие. может быть скомпенсировано небольшим увеличением мощности сигнала.
Иногда оптимальный алгоритм обработки сигналов вообще невозможно построить. Это бывает в тех случаях, когда отсутствует необходимая априорная информация. Проблеме априорной недостаточности посвящена обширная литература (например, [24, 34]), и. пересказывать ее содержание здесь нет никакой необходимости. Назовем лишь .два пути преодоления априорной недостаточности, о которых мало говорится в серьезных книгах, вероятно, из-за их простоты,—адаптивность и инвариантность. Они нередко противопоставляются друг другу.
Адаптивные алгоритмы предусматривают наряду с операциями, реализующими правило решения, дополнительные операции,' предназначенные для оценки значения параметров, о которых отсутствует достаточная информация. Примером служат различные алгоритмы квазикогерентного приема сигналов с неизвестной начальной фазой, когда эта фаза оценивается по более или менее длительным наблюдениям сигналов и оценка используется вместо неизвестной начальной фазы. Сами оценки обычно получают по правилу МП. Предельным ча-
114
стным случаем адаптивных алгоритмов, когда на оценку неизвестного параметра не отводится дополнительное время, являются алгоритмы, построенные по обобщенному правилу максимума правдоподобия [39].
Инвариантные алгоритмы, широко используемые в системах связи, вопреки бытующему мнению во многих случаях лучше адаптивных. Простейший пример—системы передачи двоичных сигналов в канале с белым шумом, когда неизвестным параметром является отношение сигнал-шум на входе приемника. Вместо того чтобьь пытаться это отношение измерить, а затем полученный результат использовать в алгоритме, построенном, например, по правилу МП, разработчик системы может использовать пару сигналов с одинаковой энергией. В этом случае функции правдоподобия не зависят от неизвестного отношения сигнал-помеха и алгоритм получается инвариантным. Применение фазоразностной модуляции (ФРМ) позволяет построить алгоритм, инвариантный по отношению к медленным флуктуациям начальной фазы сигналов, а фазоразностной модуляции 2-го порядка (ФРМ-2) [28] — по отношению к медленным флуктуациям частоты.
7.7.	ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ
Понятие потенциальной помехоустойчивости, введенное В. А. Котельниковым [22], является одним из важнейших в статистической теории связи. Она характеризуется минимальной возможной вероятностью ошибок при заданном множестве сигналов, принимаемых при аддитивном белом шуме, в предположении, что сигналы полностью известны, и реализуется «идеальным» приемником. Обычно при вычислении потенциальной помехоустойчивости 8*	115
полагают сигналы равновероятными. При этом она реализуется правилом МП.
Первоначально это понятие использовалось главным образом для того, чтобы оценивать помехоустойчивость реальных приемников по степени ее близости к потенциальной. Впоследствии оно получило и другое применение—позволяет обнаруживать ошибку в проекте новой системы связи, если по расчетам ее автора она обеспечивает помехоустойчивость выше потенциальной. Несколько примеров таких «проектов» будут приведены в следующей главе.
Полезно рассмотреть и несколько обобщенное понятие потенциальной помехоустойчивости—наименьшую вероятность ошибок при определенных дополнительных условиях, например флуктуирующей начальной фазе, рэлеевских замираниях.
Иногда при неточном учете особенностей сигнала имеет место кажущееся превышение потенциальной помехоустойчивости. Так, например, для любых двоичных равномощных сигналов, принимаемых на фоне белого шума, вероятность ошибки подчиняется неравенству
^7=]е^-	<71)
h /2
(где й2—отношение энергии элемента сигнала к спектральной плотности шума), которое переходит в равенство при противоположных полностью известных сигналах [22]. Однако исследование системы связи с двоичной частотной модуляцией без разрыва фазы показало: если частоты двух сигналов fi и f2 таковы, что |f2—f11 Т< 1 (где Т — длительность сигнала), то в ряде случаев вероятность ошибки оказывается меньше, чем (7.1) [29].
116
Это становится понятным, если учесть, что рассматриваемые сигналы в сущности образуют не двоичную систему. Фаза каждого элемента сигнала определяется тем, какие элементы передавались до него. Поэтому можно извлекать информацию, содержащуюся в каждом элементе сигнала, о нескольких предыдущих, что и позволяет вести «прием в целом» и повысить верность по сравнению с поэлементным приемом [21].
7.8.	ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ФИЛЬТРЕ НИЖНИХ ЧАСТОТ
Приведем несколько примеров, когда, на первый взгляд, разумный критерий оказывается практически непригодным.
Известно, что для выделения низкочастотных сигналов на фоне широкополосных помех часто используют фильтр нижних частот (ФНЧ). Идеальный ФНЧ пропускает без искажений все частоты ниже граничной частоты F и не пропускает частоты выше F. Хотя такой фильтр физически не реализуем, однако, допустив большую задержку, можно приблизить характеристику ФНЧ к идеальной. При проектировании такого фильтра нужно прежде всего выбрать граничную частоту F. Как это лучше сделать?
Эта задача в книге [30] решается на основе критерия минимума средней квадратической ошибки (СКО). Другими словами, если на вход фильтра подана сумма случайных сигнала m(t) и помехи n(Z), а с выхода снимается сигнал то граничная частота определяется так, чтобы минимизировать среднее значение	(Z)]2. Такой крите-
рий известен давно. На его базе выполнены замечательные работы А. Н. Колмогорова и Н. Винера, заложившие основы теории линейной фильтрации
117
случайных процессов. Фильтр Калмана— Бьюси также реализует минимум СКО. Но в классических работах не накладывалось ограничений на форму амплитудно-частотной-характеристики (АЧХ) и оптимальный по критерию СКО фильтр, как правило, пропускал существенную часть спектра сигнала. В . [30] оптимум по тому же критерию ищется в классе физически не реализуемых прямоугольных ФНЧ.
Пусть Sm(t) и Sn(t)—односторонние спектральные плотности мощности сигнала m(t) и помехи n(t). На выходе прямоугольного ФНЧ с граничной частотой F сигнал u(t) отличается от m(t) тем, что, во-первых, на него наложена помеха п(1) в полосе от 0 до F и, во-вторых, фильтр не* пропустил часть сигнала т(/) в области частот выше F. Поэтому спектральная плотность ошибки равна Sn(f) при 0<f<F и Sm(f) при f>F. По критерию СКО, нужно минимизировать мощность ошибки
+	(7.2)
0	F
Легко видеть, что если существует единственная точка F, такая, что Sn(f) <Sm(f) при f<F, a Sn(f) >Sm(f) при f>F, то именно эта точка пересечения кривых спектральных плотностей является оптимальной граничной частотой прямоугольного ФНЧ. Пример графического определения граничной частоты при низкочастотном сигнале и сравнительно высокочастотной помехе приведен на рис. 7.1,а. Использование такого фильтра в соответствующих условиях не вызывает возражений. Заметим, что для этого случая фильтр Колмогорова—Винера также имеет АЧХ, близкую к АЧХ прямоугольного
118
Теперь рассмотрим Другой пример (рис. 7.1,6): помеха более широкополосная и более интенсивная, чем на рис. 7.1,а. Граничная частота F\ фильтра оказывается столь низкой, что больше половины мощности сигнала через фильтр не пройдет. Это кажется уже довольно странным. Еще более необычен результат, если немного увеличить интен-
сивность шума (как показано на рис. 7.1,6 штриховой линией), причем граничная частота снижается до Здесь уже почти полностью сигнал подавлен фильтром. Как-то трудно назвать такой фильтр оптимальным: на его выходе остается очень мало информации о входном сигнале. Расширив полосу пропускания фильтра, можно было -бы существенно увеличить количество информации о сигнале, хотя и пропустив большую мощность помехи. А между тем по критерию СКО на рис. 7.1,6 все показано правильно, выражение (7.2) минимизируется при граничной частоте Г2. Если бы интенсивность помехи еще увеличилась, так что на всей оси частот Sn(f)	то «оптимальным» был бы
фильтр с нулевой граничной частотой, т. е. не пропускающий ни помехи, ни сигнала. Действительно, в этом случае мощность ошибки РОш при F—0 равна полной мощности сигнала, а при Г>0 больше ее. В чем же здесь дело?
119
Ёсе приведенные в [30] рассуждения справедливы, если под СКО понимать сумму (7.2) и требовать ее минимизации. Но при таком критерии не учитывается, что слагаемые СКО не равноправны. Первый член в (7.2) не коррелирован с сигналом, а второй отрицательно коррелирован с ним. Не пропуская некоторую часть сигнала, мы вносим не случайную ошибку, а регулярную, уничтожающую всю информацию, которую эта часть сигнала содержит. Заметим, что для фильтра Калмана, основанного также на критерии СКО, ошибка воспроизведения всегда не,коррелирована с входным сигна-
лом.
Поэтому. нужно очень осторожно относиться к «оптимизации» граничной частоты ФНЧ по методу [30] и во всяком случае избегать его применения при малых отношениях сигнал-помеха. Более разумным было бы минимизировать не СКО, а отношение СКО к мощности пропущенной фильтром
части сигнала, равной

7.9.	КРИТЕРИЙ ВЕРНОСТИ ДЕКОДИРОВАНИЯ
Как оценить эффективность применения помехоустойчивого кодирования?
Математики, занимающиеся теорией кодирования, интересуются главным образом асимптотическим поведением системы, например, при увеличении длины кодового блока. Оценивая два метода кодирования, они сравнивают, насколько быстро уменьшается вероятность ошибочного декодирования род при увеличении длины блока п. Как известно, в первом приближении вероятность ошибочного декодирования уменьшается с ростом п экспоненциально:
120
род=Де~Е(л)п.	(7.3)
Коэффициент Е при п в показателе степени зависит от избыточности кода, измеряемой скоростью передачи R, которая в блочных кодах равна отношению k/n, где k—число информационных символов в блоке длиной п. Коэффициент А обычно также зависит и от Я и от п, впрочем, довольно слабо. Поэтому решающую роль при сравнении двух методов кодирования играет величина E(R). Чем она больше, тем лучше метод кодирования, по крайней мере для больших п.
Против такого метода сравнения нельзя ничего возразить, если рассматривать поведение кода при возрастании- п. Однако нередко две системы сравниваются по вероятности род при фиксированных значениях п, к тому же различных. Это иногда приводит к необоснованным суждениям.
Простейшим примером является рассуждение о целесообразности применения помехоустойчивого кода, с которым автору приходилось встречаться в некоторых статьях и авторефератах. Пусть в дискретном двоичном канале без памяти вероятность ошибки равна р. При кодировании блочным кодом длиной п вероятность ошибочного декодирования равна род- Тогда, рассуждают авторы этих статей, условием целесообразности кодирования является неравенство род<р и чем оно сильнее, тем лучше код. Если же род^р, то кодирование явно нецелесообразно Ч
Ошибочность такого вывода проще всего показать на численном примере. Предположим, что требуется передать некоторый объем информации в
1 В этом разделе сложность кодирования и декодирования не учитывается,
12|
1000 бит. Пусть ошибки в канале происходят независимо друг от друга с вероятностью р=10~3. Вероятность того, что, не прибегая к помехоустойчивому кодированию, мы сможем передать верно (т. е. без единой ошибки) весь объем информации, Q= (1 — р)	(1 —0,001) 1000^0,37.
Предложено использовать блочный код, в каждом блоке которого содержится 100 информационных двоичных символов, а вероятность ошибочного декодирования в данном канале род=10—2. 'Стоит ли принять это предложение?
Конечно, нет, скажет упомянутый выше «математик», ведь род>р, так что мы только проиграем при использовании этого кода. Но не будем торопиться с выводом. Подсчитаем, какова будет вероятность Q безошибочного приема объема информации в 1000 бит, который теперь состоит из 10 блоков по 100 бит в каждом. Так как вероятность правильного декодирования блока 1— род, а ошибки возникают независимо, то вероятность того, что все 10 блоков будут декодированы верно,
Q = (1—род)^°=0,9910^0,9.
т. е. значительно выше, чем в случае передачи без помехоустойчивого кодирования, так что применение предложенного кода в данном случае повышает верность приема.
7.10.	ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ
Инженеры давно убедились в недопустимости непосредственного сравнения величин р и род. Уже в первых работах по использованию помехоустойчивого кодирования многие авторы оценивали верность приема с помощью остаточной вероятности ошибки Рост—вероятности того, что двоичный сим-!??
вол после декодирования окажется принятым неверно. Попробуем применить этот подход к рассмотренному выше примеру.
При передаче кодового блока, содержащего 100 бит информации, вероятность правильно принять все символы в нашем примере равна 0,99. С вероятностью 0,01 декодированный блок содержит несколько ошибочных символов. Сколько именно?
На этот вопрос нельзя ответить, не зная точно структуры кода. Однако если код достаточно «мощный» (а в данном случае это, вероятно, имеет место, так как блок содержит 100 информационных символов), то он довольно близок к эквидистантному, т. е. ошибочно принятым блоком может оказаться любой. Поэтому в первом приближении можно считать, что в ошибочно декодированном блоке от четверти до половины всех информационных символов регистрируются ошибочно. При этом предположении рОш^(0,25—0,5) рОд или в нашем примере рост^(2,5—5) • 10”3>р.
Получилось не то, что мы ожидали. Остаточная вероятность рОст ошибки в двоичном символе при кодировании оказалась больше исходной вероятности ошибок в канале. Это значит, что в декодированной последовательности символов будет больше ошибочных, чем в случае передачи их без кодирования. Отсюда вытекает, что предложенный код в данном канале использовать не следует? А как же с предыдущим расчетом, показавшим, что вероятность правильно принять 1000 бит при кодировании выше, чем без кодирования? Неужели здесь кроется опять какой-то подвох?
Нет, здесь все верно. Несовпадение оценки объясняется различными критериями. В первом случае мы потребовали, чтобы массив информации длиной 1000 бит как можно чаще принимался без
123
ошибок, и при этом кодирование оказалось полезным. Во втором же случае мы хотели просто получить как можно меньше ошибочных символов, и при этом подходе кодирование оказалось вредным. Отметим также, что ошибочно принятые символы в отсутствие кодирования возникают по условию задачи независимо друг от друга, т. е. более или менее равномерно располагаются во всем массиве информации (поток Бернулли). Что же касается ошибочно декодированных символов, то они группируются в предедах отдельных ошибочно декодированных блоков. Именно поэтому, хотя при кодировании* число ошибок увеличилось, промежутки между ошибками (т. е. интервалы безошибочного приема) в среднем длиннее, чем без кодирования.
Так какой же критерий вернее? На этот вопрос однозначно ответить нельзя. Все зависит от назначения системы связи и от свойств источника сообщения. Если передаются сообщения с большой избыточностью, то обычно можно считать допустимым некоторое количество ошибочно принятых символов. В первом приближении верность приема можно оценить остаточной вероятностью ошибок— чем она меньше, тем точнее восстанавливается переданное сообщение. Примером может служить синтетическая вокодерная телефония, телефония при* импульсно-кодовой или дельта-модуляции. Здесь за счет большой избыточности речи сообщение остается разборчивым при некотором числе ошибочно принятых символов. В этом случае применять код, увеличивающий рост, конечно, не следует.
Иначе обстоит дело, когда передаваемые сообщения не имеют избыточности или когда эту избыточность не удается использовать для восстановления сообщения. Тогда всякая ошибка искажает 124
принятое сообщение и во многих случаях обесценивает его полностью. Ясно, что в этих условиях критерием верностй является вероятность безоши* бочного приема всего сообщения. При таком подходе для нас безразлично, будет ли в принятом сообщении одна ошибка или сотни. Все равно сообщение искажено и не может быть использовано. В нашем примере, если длина сообщения равна 1000 бит, то применение кодирования целесообразно.
Но здесь возникает вопрос: что считать длиной сообщения, если система связи работает непрерывно? Это опять-таки определяется свойствами сообщения. Обычно его можно разделить на некоторые отрезки, имеющие самостоятельное значение, так что ошибочный прием одного из них не влияет на использование остальных. Так, при телеграфной связи такими отрезками являются отдельные телеграммы. При передаче данных обычно также можно выделить отдельные массивы информации, независимые по своему целевому назначению.
Для того чтобы по возможности полнее характеризовать верность некоторой дискретной системы связи одним числом, необходимо исключить зависимость от длины сообщения. Таким числом, удобным для систем, в которых требуется безошибочный прием сообщений, является эквивалентная вероятность ошибки /?эк [46]. Напомним, что под этим понимается вероятность ошибки в двоичном симметричном канале (ДСК) с независимыми ошибками, обеспечивающем без применения избыточного кодирования ту же асимптотическую вероятность безошибочного приема сообщения. Другими словами, если в системе связи Q(k)—вероятность безошибочного приема сообщения, содержащего k бит информации, то рэк определяется из
125
выражения HmQ (*)/(!
(7.4)
Приведем несколько простых примеров. Для системы связи в двоичном, симметричном канале (ДСК) с вероятностью ошибки р, в которой используется блочный (п, £)-код, позволяющий исправлять t ошибок, эквивалентная вероятность ошибки вычисляется без предельного перехода. Как легко убедиться, опа равна-
РэК---J
£ С‘пр!(1-рУ
(7-5)
Для системы связи, не использующей помехоустойчивого кодирования, в симметричном m-ичном канале без памяти
p9K=p/logm,	(7.6)
где р — вероятность ошибки в m-ичном канале. Вообще для систем, работающих в канале без памяти, эквивалентную вероятность ошибки можно вычислить без предельного перехода.
Обычно утверждают, что эквивалентная вероятность ошибки характеризует только те дискретные системы связи, в которых требуется безошибочный прием длинных сообщений. Однако можно обобщить это понятие, введя эквивалентную вероятность ошибки при заданном критерии верности. Пусть, например, . принятое сообщение—последовательность двоичных символов—может считаться приемлемым, если доля ошибочно приятых символов не превышает е. Тогда эквивалентная вероятность ошибки рэк(е) при этом критерии верности определяется той же формулой (7.4) с заменой Q(k) на Qe(k) — вероятность того, что среди k принятых ин-126
формационных символов содержится не более &k ошибочных. Заметим, что в эквивалентном ДСК требуется безошибочный прием сообщений той же длины. При всяком другом определении не удается избежать противоречий. С увеличением допуска 8 эквивалентная вероятность ошибки при прочих равных условиях уменьшается, что вполне естественно.
Можно распространить это понятие даже на системы передачи непрерывных сообщений. Пусть Н8(7)—эпсилон-энтропия (в битах) сообщения длительностью 7, т. е. минимальное количество информации, которое необходимо передать по каналу связи для того, чтобы восстановить сообщение с данным критерием верности 8. Здесь 8 может определяться как угодно, например через среднюю квадратическую ошибку, через артикуляцию и т. д. Если —вероятность того, что в данной системе связи принятое сообщение удовлетворяет установленному критерию, то формула (7.4), естественно, преобразуется в следующую:
=	(7.7)
Т-юо *	'	'
Таким образом, эквивалентная вероятность ошибок является весьма универсальным параметром для сравнения и сопоставления систем связи по их помехоустойчивости. Странно, что очень долго это понятие не находило широкого применения, да и сейчас многие инженеры его не используют. Автору пришлось, например, в течение пяти лет безуспешно убеждать в разумности этого критерия одного очень талантливого исследователя, который предпочитал пользоваться остаточной вероятностью ошибки, гораздо хуже характеризующей верность приема,
127
7.11.	ГДЕ ПРИМЕНЯТЬ РАЗНЕСЕННЫЙ ПРИЕМ?
Однажды рецензенту одного журнала прислали статью о целесообразности применения т-ичных кодов в системах передачи дискретных сообщений. Тот факт, что переход от двоичного-кода к т-ично-му при т>2, вообще говоря, увеличивает верность, общеизвестен и был показан, в частности, в [22]. Но автор статьи ставил вопрос: в каких случаях этот переход дает больший эффект—в канале без замираний или в канале «с замираниями? Статья была написана грамотно. Сравнение систем с двоичным и m-ичным кодами производилось при одинаковой скорости передачи информации, одинаковых мощностях сигнала и одинаковой спектральной плотности белого шума по эквивалентной вероятности ошибок. Как показал расчет, в канале без замираний при некогерентном приеме ортогональных сигналов переход от т=2 к т=32 позволяет, например, снизить эквивалентную вероятность ошибки с 8-10~2 до 1,5-10-4, т. е. почти в 600 раз. В канале же с рэлеевскими замираниями такой переход снижает эквивалентную вероятность ошибки с 8-10”2 примерно до 1-10~2, т. е. всего лишь в 8 раз. На этом основании в статье рекомендовалось применять т>2 в первую очередь для каналов без замираний, где такой переход дает наибольший эффект.
Статья была забракована на том основании, что эта рекомендация неверна, по крайней мере для радиосвязи, о которой и шла речь. Прежде чем перейти к объяснению такого заключения, поставим другой вопрос: где лучше применять разнесенный прием—в канале без замираний или в канале с замираниями?
Именно этот вопрос рецензент задал автору статьи, когда тот приехал к нему объясняться по 128
поводу рецензии. Он ответил, не задумываясь, так же, как ответил бы любой опытный радиоинженер: «Конечно, разнесенный прием следует применять в каналах с замираниями. В каналах без замираний его никто никогда не применяет, да и вообще основная цель разнесенного приема—уменьшение вредного действия замираний». «Совершенно верно,—ответил рецензент.—Ну, а теперь сравним».
Сравним одиночный и сдвоенный прием на разнесенные антенны двоичных ортогональных сигналов. Будем для упрощения расчетов считать прием некогерентным и используем метод квадратичного сложения. Ветви разнесения будем считать статистически однородными и независимыми, а аддитивную помеху—белым гауссовским шумом. На рис. 7.2 представлена зависимость вероятности ошибки от среднего отношения h\ энергии сигнала к спек-9—3413	129
тральной плотности шума при одиночном и сдвоенном приеме в каналах без замираний (непрерывная) и с рэлеевскими замираниями (штриховая) [17]. Видно, что применение разнесенного сдвоенного приема в канале без замираний позволяет, например, снизить вероятность ошибки с 5-Ю”3 до 5Х Х10“\ т. е. в 100 раз, а в канале с рэлеевскими замираниями с 5-10~3 до 7,5-10“5, т. е. только в 67 раз.
Что же получилось? Разнесенный прием более эффективен в канале без замираний, чем в канале с рэлеевскими замираниями. Куда же смотрят инженеры? Почему они упорно применяют разнесенный прием только, в каналах с замираниями и. игнорируют возможность получить 100-кратный выигрыш, используя разнесенный прием в канале без замираний, например, для связи на метровых волнах в пределах прямой видимости? Успокойтесь, читатель, инженеры поступают правильно.
Рассмотрим этот вопрос с позиций разработчика дискретной системы радиосвязи. Пусть необходимо обеспечить вероятность ошибки не выше 10~4 в канале без замираний. Взглянув на те же кривые, легко усмотреть, что применение сдвоенного приема позволит сэкономить 3 дБ на величине й2о. Это значит, что можно будет, применить либо передатчик с вдвое меньшей мощностью, чем при одиночном приеме, либо более дешевый приемник с коэффициентом шума, увеличенным на 3 дБ, либо немного более простую передающую антенну с вдвое меньшим коэффициентом усиления. В большинстве - случаев ни одно из этих упрощений не окупит расходов по установке двух разнесенных приемных антенн, двух приемников и устройства сложения. Поэтому всякий разумный разработчик откажется от варианта с разнесенным приемом. 130
Пусть теперь ту же верность требуется обеспечить в канале с рэлеевскими замираниями. Теперь энергетический выигрыш сдвоенного приема (как видно из рис. 7.2) составляет 17 дБ. Это позволит, например, применить в 50 раз менее мощный передатчик (скажем, 200 Вт вместо 10 кВт). С такой экономией уже нельзя не считаться. Она, безусловно, окупит расходы по устройству сдвоенного приема. В некоторых ситуациях, когда аппаратура должна быть легкой и компактной, только разнесенный прием позволяет обеспечить требуемую верность. Вот почему он широко используется в диапазоне декаметровых волн, в котором обычно встречаются глубокие замирания.
Здесь полезно заметить, что. энергетический выигрыш разнесенного приема 17 дБ вовсе не означает, что после сложения принятых сигналов отношение сигнал-помеха действительно увеличится на 17 дБ. Согласно известной теореме Бреннана [2] сдвоенный прием при оптимальном сложении позволяет увеличить это отношение только на 3 дБ. Энергетический выигрыш при разнесенном приеме показывает, какому увеличению этого отношения соответствует уменьшение вероятности ошибок, которое при замираниях определяется в основном уменьшением дисперсии уровня сигнала. Поэтому энергетический выигрыш (хотя и несколько меньший) имеет место и при разнесенном приеме по схеме автовыбора, когда никакого реального увеличения отношения сигнал-помеха не происходит. Этот вопрос хорошо освещен в [38].
Вернемся теперь к вопросу о целесообразности применения m-ичных кодов. Расчет показывает, что при эквивалентной вероятности ошибок 10~4 переход от т = 2 к т = 32 в канале без замираний дает энергетический выигрыш примерно 5 дБ, тогда как 9*	131
в канале с рэлеевскими замираниями он достигает почти 10 дБ. Здесь разница, конечно, не столь велика, как при разнесенном приеме, но все же эффективность повышения основания кода в канале с замираниями выше, чем в канале без замираний, что диаметрально противоположно выводу, сделанному в статье.
8.	ЛУЧШЕ НАИЛУЧШЕГО
[Эдмунд] Ландау заготовил печатные формуляры для рассылки авторам доказательств последней теоремы Ферма: «На стр. . . . , строке. . . имеется ошибка» (находить ошибку поручалось доценту).
Дж. Литлвуд. Математическая смесь
8.1.	ИЗОБРЕТАТЕЛИ «ВЕЧНОГО ДВИГАТЕЛЯ»
За последние 25—30 лет автору приходится время от времени консультировать изобретателей различных систем связи. И примерно каждые два-три года среди них появляется очередной изобретатель «вечного двигателя» в связи. Под этим названием я подразумеваю различные способы передачи и приема сигналов с помехоустойчивостью, превышающей потенциальную, т. е. ту, которую можно теоретически получить при оптимальном приеме в данных условиях.
Среди этих изобретателей встречались разные люди. Они по-разному реагировали на критику. Некоторые (очень немногие) сразу понимали ошибку и отказывались от своих заблуждений. Другие, разобравшись в слабых местах своих рассуждений, все же не хотели отказаться от своей идеи и упор-132
но пытались «подправить» и «обосновать» её. Третьи просто не хотели ничего слушать и объясняли все возражения тем, что их оппоненты — рутинеры, отставшие от жизни, не понимающие новых идей и цепляющиеся за «устаревшие» представления о потенциальной помехоустойчивости. Нередко в подтверждение своих идей они приводят неизвестно как и где полученные «экспериментальные результаты». Впрочем, некоторые авторы «вечного двигателя» — очень приятные люди и весьма квалифицированные специалисты, отлично владеющие методами теории связи, но упорно допускающие ту или иную ошибку при анализе своей системы. В ряде случаев значительно легче разобраться в сущности сделанных ошибок, чем в психологии «изобретателей».
В качестве примера можно привести мою более чем двухлетнюю переписку с одним инженером, в которой речь шла о двоичной системе связи, якобы позволяющей при некогерентном приеме ортогональных сигналов получить такую вероятность ошибки, которая теоретически возможна лишь при когерентном приеме противоположных сигналов. Сущность этой системы и ее многочисленных вариантов (в каждом очередном письме вносились новые «усовершенствования») излагать не будем. В ней нет ничего поучительного, и ее опровержение сводилось к отысканию тривиальных ошибок в выкладках. Так, в третьем или четвертом письме предлагалась модификация решающей схемы, в которой отношение сигнал-помеха оказывалось пропорциональным 1/(7V\—TV2)2, где АТ и N2 — интенсивности шумов в двух ветвях решающей схемы. Повторив сделанные в письме выкладки, я сразу обнаружил, что в этой формуле ошибка (вместо Ni—N2 в знаменателе должно быть ЛС +
133
+ Af2) и никакой сверхъестественной помехоустойчивости не получается. Указав в своем ответе на эту и еще одну ошибку, я закончил его следующей фразой: «Я очень боюсь, что, прочтя это письмо и убедившись в его справедливости, Вы начнете «подправлять» и «совершенствовать» свой алгоритм, стараясь все-таки превзойти потенциальную помехоустойчивость. Не уподобляйтесь тем изобретателям вечного двигателя, которые считали, что у них недоработана только одна небольшая деталь, а когда она будет улучшена, вечный двигатель заработает». В ответ я получил письмо, автор которого категорически отрицал свою явную ошибку. Он писал: «Расхождения в знаках в формулах (8) и (9) объясняются тем, что при выкладках Вы не имели возможности учесть временную структуру процессов в ветвях графа: разъяснение деталей технологии не входило в задачи материала». Другими словами, главная «шестеренка» вечного двигателя оказалась засекреченной — тут уж ничего возразить нельзя.
. Справедливости ради нужно сказать, что примерно через три года мой корреспондент докладывал о своем алгоритме на одной научной конференции и указанные ошибки были им исправлены. Но, конечно, никакого превышения потенциальной помехоустойчивости уже не было. Дри обсуждении доклада выяснилось, что этот алгоритм ничем не лучше известных.
В чем же причина всех заранее обречённых на неуспех попыток преодолеть законы природы?
В первую очередь, в отсутствии самокритичного отношения к своим результатам. К сожалению, далеко не все преподаватели вузов воспитывают в своих учениках привычку быть всегда самым строгим критиком своей работы и соблюдать не-134
зыблемое правило — после получения какого-либо результата прежде всего постараться опровергнуть его и лишь после того, как он выдержал все испытания, выставлять его на всеобщее обозрение.
Другой причиной является весьма похвальное желание сделать великое открытие, принести пользу человечеству, ну и заодно прославиться. Если это желание не сдерживается самокритикой, то часто приводит к плачевным результатам. Хуже всего, когда автор уже свыкся с мыслью, что он изобрел нечто небывалое, и ему очень трудно с ней расстаться. Так рождаются «непризнанные гении», которые принимают всякую критику как проявление зависти.
И, наконец, в отдельных случаях немалую роль играют недостаточная техническая грамотность и непонимание основ статистической теории связи. Иногда «изобретатели» даже не догадываются о том, что их результаты противоречат теории. Чаще они пытаются - объяснить эти противоречия тем, что они глубже и правильнее понимают сущность помехоустойчивости, чем их оппоненты, и могут внести «поправки» в существующую теорию. Приходилось слышать следующие пояснения:
— Котельников в теории потенциальной помехоустойчивости рассматривал только линейные методы обработки сигнала, а у меня — нелинейная схема, и поэтому я могу обеспечить более высокую помехоустойчивость.
— Котельников исходил только из представления сигнала как функции времени или из разложения этой функции в ряд Фурье, если же учесть другие свойства сигналов, то можно найти резервы для повышения помехоустойчивости.
— Котельников рассматривал только белый шум, но в природе белого шума не бывает, и по
135
этому вероятность ошибки может быть сколь угод-но малой, если придумать хорошую систему.
— Теория потенциальной помехоустойчивости давно опровергнута Шенноном, который доказал, что информацию можно передавать со сколь угодно малой вероятностью ошибки, если скорость передачи меньше пропускной способности канала, и т. п.
Все эти доводы, конечно, несостоятельны. При построении теории потенциальной помехоустойчивости В. А. Котельников и его последователи не постулировали линейность методов обработки сигнала. Линейная система оказывается оптимальной только для гауссовской помехи при полностью известном сигнале. В других случаях оптимальная схема получается нелинейной.
Точно так же теория Котельникова не накладывает никаких ограничений на способ представления сигнала. Запись принимаемого сигнала в виде функции времени содержит всю доступную информацию о нем, и никакие преобразования этой записи не смогут выявить новой информации, а следовательно, и не позволят получить результаты, лучшие, чем в синтезированной по выбранному критерию оптимальной схеме1.
Тот факт, что в работе В. А. Котельникова [22] рассматривается в основном помеха в виде белого
1 Конечно, используя дополнительную информацию, можно снизить вероятности ошибки. Например, если вместо скалярной функции — напряжения на входе приемника — задать пространственную картину электромагнитного поля вблизи приемной антенны, возникают новые возможности — использование поляризации поля, осуществление пространственно-разнесенного приема и т. д. Ничего похожего не будет, если, например, помимо сигнала задать его производную, поскольку она новой информации не содержит.
130
Шума, вовсе не говорит о возможности получения сколь угодно малой вероятности ошибок при небелом шуме. Нижняя граница для вероятности ошибок при небелом гауссовском шуме определялась во многих работах других авторов (например, в [49]). Эта граница становится равной нулю в так называемых сингулярных случаях, например, когда в некоторой частотной области, занятой сигналом, помеха отсутствует. Однако в реальных ситуациях сингулярности возникнуть не могут, хотя бы вследствие всегда присутствующего теплового шума, а также квантовых закономерностей. Сингулярности возникают только «на бумаге», когда принятая математическая модель канала связи физически нереализуема и, следовательно, неправильно описывает реальный канал. К тому же изобретатели «сверхоптимального» приема, ссылающиеся на окрашенность шума, в своих работах рассматривают обычно несингулярную модель, но получают вероятность ошибки если не сколь угодно малую, то все же меньшую, чем это возможно в оптимальной решающей схеме.
Совершенно незаконным является противопоставление теорий Котельникова и Шеннона. В теории потенциальной помехоустойчивости Котельникова считается заданным конечный ансамбль сигналов и отыскивается вероятность ошибок при оптимальном приеме этих сигналов по правилу максимальной апостериорной вероятности, тогда как в' теории информации Шеннона задан только канал, а сигналы выбираются оптимальным образом в процессе кодирования. Уменьшение вероятности ошибок имеет место при увеличении длины кодируемого сообщения, когда увеличивается и число реализаций сигнала. Впрочем, и в [22] показано, что с увеличением основания кода вероят-
137
ность ошибки (пересчитанная на двоичный символ) уменьшается.
После этих общих соображений перейдем к знакомству с некоторыми конкретными способами ниспровержения теории связи.' Ограничимся только несколькими типичными примерами.
8 2. ШИРОКОПОЛОСНАЯ ЧАСТОТНАЯ МАНИПУЛЯЦИЯ
Эта «идея» в законченном виде была обнаружена в рукописи статьи, которая, к счастью, не была опубликована. Автором ее была аспирантка Пивоварова (все фамилии «изобретателей» в этой главе изменены), и, как потом выяснилось, в статье излагалось одно цз основных положений подготовленной ею диссертации.
Суть дела в следующем. Известно, что при некогерентном приеме двоичных сигналов с частотной манипуляцией (ЧМ) на фоне гауссовского шума с равномерным спектром обычно применяют два фильтра (Ф), разделяющих две реализации сигнала, и дифференциальный детектор (Д) (рис. 8.1). Решение принимают по знаку напряжения в моменты отсчета на выходе детектора. При достаточно большой разности частот сигналов и достаточно широких, но неперекрывающихся полосах пропускания фильтров вероятность ошибки
р=0,5ехр (—92/2),	(8.1)
где q2 — отношение мощности сигнала к мощности помехи на выходе фильтра.
Если фильтры согласованы с сигналами, а последние взаимно ортогональны, то в (8.1) величина q2 принимает максимально возможное значение, равное отношению энергии сигнала на входе приемника к спектральной плотности шума, которое 138
принято обозначать h2. В этом случае схема оказывается построенной по правилу максимума правдоподобия. Следовательно, 0,5 ехр (-—Л2/2) представляет собой наименьшую вероятность ошибки при некогерентном приеме двоичных равновероятных и равномощных ЧМ сигналов. К ней можно
Рис. 8.1
Рис. 8.2
приблизиться, используя и другие схемы, например прием по мгновенной частоте с последетектор-ной фильтрацией (рис. 8.2) (см., например, [46, с. 262—291]).
Тов. Пивоварова обнаружила, что в этих рассуждениях имеется неточность. В частотном детекторе (ЧД), как известно, отношение мощности сигнала к мощности помехи возрастает в Зт2/П2 раз, где т — индекс частотной модуляции; П — пик-фактор модулирующего сигнала (см., например, [15]). В случае частотной манипуляции гармонического сигнала пик,-фактор равен 1, а за индекс модуляции в первом приближении можно принять k = \f/F, где Д/ —девиация частоты, равная половине разности частот двух реализаций («нажатия» и «отжатия»); F — частота манипуляции, т. е. величина, обратная длительности двух элементов сигнала 2Т.
Правда, этот выигрыш имеет место только при условии, что отношение сигнал-помеха на входе приемника превышает некоторое пороговое значение. которое при ЧМ близко к 3. Но это на прак-139
тике всегда выполняется, если качество связи хотя бы приближается к удовлетворительному.
Исходя из этого, аспирантка Пивоварова предложила увеличивать помехоустойчивость, применяя ЧМ с большой девиацией. Пусть, например, передача идет со скоростью 100 Бод, т. е. Г= = 50 Гц, а отношение энергии элемента сигнала к спектральной плотности помехи на входе приемника й2=10. Допустим, что применена схема на рис. 8.1, а в качестве разделительных использованы согласованные с сигналом фильтры, у которых передаточная функция комплексно-сопряжена со спектром ^элементарного сигнала. Выбрав при этом kf = kf, где k — любое целое число (это обеспечивает ортогональность сигналов), получим по формуле (8.1), что вероятность ошибок р=0,5е~5« ^3,4-10~3 независимо от значения k.
Тов. Пивоварова предлагает использовать значение k>l (например, хЛя бы 2*) и вести прием по схеме на рис. 8.2. После частотного детектирования и фильтрации получим прямоугольные импульсы с отношением сигнал-помеха в Зт2/П2 = 3£2 = =12 раз больше, чем й2, т. е. ^2ВЬ1Х=120. Полагая в первом приближении помеху на выходе детектора также гауссовской (что не может существенно повлиять на результат), будем вычислять вероятность ошибки при приеме двуполярных импульсов на фоне гауссовской помехи при q2= 120. Она равна
/? = 0,5 [1 — Ф(<? J/3T)],	(8.2)
* Большее значение k в данном примере брать не следует, так как иначе отношение мощности сигнала к полной мощности помехи на входе приемника, которое, очевидно, равно q2 = h2/k, окажется ниже порогового.
140
где Ф(х) = |/ — j е v,2d^ — функция Крампа, о
Воспользовавшись известным , неравенством Ф(х)> 1 — е“%2/2, справедливым при Х>0, получим /7<0,5е“£/2 —О,5е“"12о<; 10“"52, т. е. практически прием будет безошибочным!
Из этого делался вывод, что для приема дискретных ЧМ сигналов нужно пользоваться только схемой приема по мгновенной частоте, так как при достаточно больших индексах модуляции можно получить практически безошибочный прием в условиях, когда более распространенная схема с разделительными фильтрами дает вероятность ошибок порядка 10-3, превышающую допустимое значение в системах передачи данных. В статье делался также вывод, что система с частотной манипуляцией при приеме по мгновенной частоте значительно более помехоустойчива, чем с фа« зовой (ФМ) или фазоразностной (ФРМ). Правда, в статье (насколько помнится) не подчеркивалось, что полученная помехоустойчивость выше потенциальной.
На этом месте рекомендуется читателю отложить книгу и попытаться сообразить, где кроется ошибка в рассуждениях аспирантки Пивоваровой. К этому вопросу мы еще вернемся, а пока займемся другим предложением, позволяющим, по словам его автора, существенно повысить помехоустойчивость радиотелеграфной связи.
8.3.	ИНТЕРВАЛЬНАЯ МАНИПУЛЯЦИЯ
Доцент одного вуза (назовем его Дьяковский), долгое время занимавшийся радиолокацией, обратил внимание на то, что достаточно надежное оп-
141
ределение дальности до цели по времени прихода отраженного импульса обеспечивается при столь, малых отношениях сигнал-помеха, при которых, радиотелеграфный прием практически невозможен.. Размышляя об этом, он пришел к выводу, что применяемые в настоящее время радиотелеграфные:
, в	Д , в л
АЛ АЖ
£
Рис. 8.3
сигналы выбраны неудачно. Основной их порок он: видел в использовании двоичного кода, придуманного,. как он говорил, «механиком Бодо, ничего не: понимавшим в вопросах передачи информации». Взамен двоичного кода Дьяковский предложил: неравномерный интервальный код, при котором: йнформация о передаваемой букве заложена в. длительности интервала между двумя соседними, импульсами, аналогично тому, как в радиолокации дальность до цели определяется длиной интервала между переданным и принятым отраженным импульсами. Каждая буква (кроме первой) передается одним импульсом; интервал отсчитывается от импульса предыдущей буквы (рис. 8.3, где для Примера показана последовательность импульсов при передаче слова «едва»).
С этим предложением тов. Дьяковский выступал в течение многих лет на различных научных конференциях и семинарах. Постепенно от сырой идеи он подошел к построению некоторой теории, 142
в которой сравнивались различные параметры существующих и предлагаемого способов радиотелеграфии. Эту теорию можно изложить следующим образом.
В существующих телеграфных системах каждая буква передается с помощью пяти (в стартстопном варианте семи) тактовых интервалов. Длительность тактового интервала обозначим Т. Ширину спектра
Рис. 8.4
сигнала F можно оценить в первом приближении величиной k/T, где k — коэффициент, зависящий от формы сигнала и чаще всего принимающий значение между 1,5 и 5.
Пусть-в системе, предложенной Дьяковским, используются импульсы сигнала такой же длительности и формы и, следовательно, с такой же шириной спектра. Интервалы между буквами кратны Т/2. Поскольку время, затрачиваемое на передачу различных букв, неодинаково, оценим среднюю длительность буквы. Если бы 32 буквы передавались с равной вероятностью, то средняя длительность равнялась бы
7’6ср=Т+Т(1+2+ ... +32)/(2-32)= 9,25т.	(8.3)
143
Однако если при построении кода учесть неравно-вероятность использования букв в осмысленном тексте и назначить самые короткие интервалы часто встречающимся буквам, а самые длинные — редким, то Тб ср уменьшится примерно до 6Т, т. е. будет даже меньше длительности буквы в современной стартстопной системе.
Будем считать, что в канале присутствует аддитивный белый гауссовский шум со спектральной плотностью No. Сигнал вместе с шумом проходит через согласованный с сигналом фильтр L Решение о переданной букве принимается по измеренному моменту пересечения огибающей сигнала некоторого порогового уровня. В отсутствие помех этот момент точно соответствовал бы моменту передачи импульсов, так что все интервалы между импульсами измерялись бы без искажений и решение о переданной букве принималось бы безошибочно. Помеха, однако, искажает ход огибающей (штриховая линия на рис. 8.4), и момент ее пересечения с пороговым уровнем может наступить раньше или позже, чем в отсутствие помех (непрерывная).
В работе Котельникова [22], где дан полный анализ этой задачи, показано, что отклонение А/ измеренного момента прихода импульса от истинного является с хорошим приближением гауссов-
1 В некоторых своих выступлениях тов. Дьяковский утверждал, что одним из преимуществ его системы является возможность осуществить оптимальную' согласованную фильтрацию, которая якобы невозможна в системах с двоичным кодом, поскольку длительность отклика фильтра на сигнал равна 2Т, а два импульса сигнала могут присутствовать рядом. Читателю, надеемся, ясно, что это утверждение не имеет под собой никакой почвы. Согласованный фильтр вовсе не противопоказан и при двоичном коде, поскольку к моменту отсчета отклика фильтра на второй импульс его реакция на предыдущий полностью*затухает.
144
ской случайной величиной с нулевым математическим ожиданием. Его дисперсия о1 2 для идеального приемника1 определяется формулой (7.13) упомянутой работы, которая в наших обозначениях имеет вид2: (у2=6М0/(2jrFiQ)2=6/(2jc/lF)2, где Q2 — энергия импульса; №=Q2INq.
Ошибочное решение о букве будет принято в том случае, если |Д/| превысит половину шага шкалы интервального кода, которую мы выбрали равной Т/4, т. е. вероятность ошибочного решения
РОШ=^| дм У +
—00
00	00
+ (ДО dM = -у== J &~x'l2°2dx = 1 - Ф (4^)=
77 4	Т/4
= 1 - Ф (^у=)	1 - Ф (0,6Ш), k = FT. (8.4)
Сравним эту вероятность ошибки с той, которая может быть получена при двоичном коде (например, при наиболее помехоустойчивой фазовой манипуляции с когерентным приемом). При той же
1 Идеальный приемник анализирует весь ход огибающей. Для реального приемника, отмечающего момент пересечения фронта огибающей с пороговым уровнем, дисперсия увеличивается примерно в 1,8 раза, если пороговый уровень выбран оптимальным. Однако, если в приемнике отмечаются пересечения фронта и спада с пороговым уровнем и берется их среднее * значение, то дисперсия оценки практически оказывается такой же, как и в идеальном приемнике.
2 В работе [22] фигурирует дисперсия 62 оценки безразмерного параметра X, в данном случае равного 4Д?/Т, а через о2 обозначена Nq.
10—3413	145
Пикоёой мощности сигнала вероятность ошибочного приема двоичного символа [21]
р = 0,5[1 -Ф (/г ]/%)]•	(8.5)
Легко видеть, что при достаточно большом k вероятность ошибки, определяемая по формуле (8.4), меньше, чем по формуле (8.5). Например, при Л=2 и k=4 «формула (8.4) дает РОш^Ю~7, тогда как по формуле (8.5) р^2,5-10~3.
Таким образом, уже на этом этапе рассуждений видим заметный выигрыш, даваемый предложением Дьяковского по сравнению с двоичной системой.
Однако сравнивать величины Рош из (8.4) и р из (8.5) не вполне корректно: первая-^-вероятность ошибочного приема буквы (из алфавита в 32 буквы), а вторая — двоичного символа. Буква при передаче двоичным безызбыточным кодом будет принята ошибочно, если хотя бы один из пяти входящих в ее кодовую комбинацию символов окажется неверным. Вероятность этого для рассматриваемой модели канала, в которой ошибки происходят независимо друг от друга,
ро^= 1 — (1 — р)в = 1 — [1 + Ф(ЛК2")]72\	(8.6)
что дает для двоичной системы с ФМ при й=2 Рош^0,0125.
Итак, при одинаковой пиковой мощности сигнала предложенная система позволяет уменьшить вероятность ошибок примерно в 104 раз по сравнению с двоичной системой с ФМ. Для того чтобы получить вероятность ошибочного приема буквы в двоичной системе с ФМ порядка 10-7, потребовалось бы h, равное не 2, а 4, т. е. увеличить пиковую мощность сигнала в 4 раза. Для иллюстрации на рис. 8.5 показаны зависимости РОш от h, вычисленные по формулам (8.6) и (8.4) при k=4.
146
Но и это еще не все. Довольно часто приходится сравнивать системы связи не по пиковой, а по средней мощности. При этом выигрыш системы Дьяковского возрастает еще примерно в 6 раз, так как в системе с ФМ пауз нет, а в предложенной системе в среднем один импульс длительностью Т приходится на ин-	^-7
тервал 6Т.	10-г
Наконец, из (8.4)	1Q~3
видно, что, увеличивая	_4
коэффициент k (т. е. расширяя спектр сиг-	'° 6
нала и приближая фор-	10 _7
му его огибающей к прямоугольной), можно	10 .
еще уменьшать вероят-	Рощ
ность ошибочного при-
ема, а следовательно,	Рис. 8.5
увеличивать энергетический выигрыш системы Дьяковского1.
После всего сказанного приходится удивляться, почему до сих пор система Дьяковского не реализована, автор ее не стал Нобелевским лауреатом, а все его выступления перед квалифицированной аудиторией встречались весьма иронически. Ответ на этот вопрос пока отложим и перейдем к рассмотрению другого предложения, позволяющего
1 В (8.5) коэффициент k не фигурирует. Известно, что вероятность ошибки в двоичной системе с противоположными сигналами при оптимальном приеме в канале с гауссовским аддитивным белым шумом не зависит от формы или спектра сигнала и определяется только отношением энергии сигнала к спектральной плотности шума.
10*
147
превысить потенциальную помехоустойчивость при передаче дискретных сообщений.
8.4.	КАК РАЦИОНАЛЬНО ВЗВЕШИВАТЬ СИГНАЛЫ?
Рассмотрим решающую схему для системы, в которой на фоне белого шума равновероятно передаются М равномощных ортогональных сигналов. Обычно пришедший сигнал подается на М каналов обработки, каждый из которых состоит из согласованного фильтра, или из коррелятора, или из каких-либо других устройств, определяющих функцию правдоподобия для каждой из М гипотез, после чего эти значения функций сравниваются и из них выбирается наибольшее. Фактически действительно переданный сигнал сравнивается с М—1 образцами шума и правильное решение принимается в том случае, когда функция правдоподобия для сигнала окажется наибольшей из М.
Эта операция очень напоминает известную задачу о выявлении фальшивой монеты среди М монет, ничем не отличающихся друг от друга, кроме массы, причем разрешается использовать только весы без разновесок. Как известно, при М>2 это удается выяснить, затратив меньше взвешиваний, чем М—1, а именно наименьшее целое число, превышающее log3Al.
Изменим несколько формулировку задачи о монетах, так чтобы она была более похожей на принятие решения в демодуляторе. Для этого предположим, что среди М монет имеется одна настоящая (сигнал), а остальные фальшивые (шумы) имеют различную, но в среднем значительно меньшую массу, чем настоящая. Для простоты будем считать М—2п, где /?=log2Af — целое число. В этих
148
условиях достаточно произвести п взвешиваний \ что при п>1 меньше, чем М—1.
Эти п взвешиваний можно организовать по-разному. Приведем один из способов. Пронумеруем монеты числами от 0 до М—1 и запишем эти номера в двоичной системе счисления; например, при М=8 это будут ООО, 001, 010, ОН, 100, 101, ПО и 111. Затем отберем монеты, номера которых содержат единицу в первом разряде, и положим на одну чашку весов, а остальные 2И/2 монет — на другую. Очевидно, что если перевесят монеты, содержащие единицу, то, скорее всего, единица содержится в первом разряде отыскиваемой наиболее тяжелой монеты. Проделаем то же самое с монетами, номера которых содержат единицу во втором разряде; по результату сравнения с массой остальных монет примем решение о цифре во втором разряде номера наиболее тяжелой монеты и т. д. После п взвешиваний n-значный номер этой монеты с вероятностью, близкой к единице, будет установлен, что и требовалось по условию задачи.
Нельзя ли использовать этот метод для упрощения демодулятора Л1-ичных сигналов? Такой вопрос поставил тов. Болотин (и в то время успешно занимавшийся разработкой модемов). Он предложил вместо М корреляторов или согласованных фильтров использовать всего лишь n=log2W, но рассчитанных не на каждый вариант сигнала $/(/) (f=0, 1, ..., М—1), а на суммы сигналов Sk(t) (&=1, 2, ..., /г), сформированных по тому же принципу, по которому отбирались монеты для упрощенного взвешивания.
1 В данном случае нельзя ограничиться log3Af взвешиваниями, как это имело место в классической задаче о монетах, когда все монеты, кроме одной, имеют в точности одинаковую массу [60].
149
Предложенная Болотиным схема позволила значительно упростить демодулятор, особенно при больших значениях М. Но не снизит ли она помехоустойчивость? «Нет,—отвечает тов. Болотин.—Наоборот, помехоустойчивость при этом должна существенно повыситься». Это утверждение он доказывает теоретически. Для упрощения приведем сущность этого доказательства в предположении, что отношение сигнал-помеха Л2^>1, т. е. вероятность ошибок невелика.
Пусть вероятность ошибок для двоичной системы с ортогональными сигналами равна р2. Другими словами, р2—это вероятность того, что измеренная коррелятором или согласованным фильтром функция правдоподобия для действительно переданного сигнала, скажем, s0 оказалась меньше, чем вызванная помехой функция правдоподобия для альтернативного сигнала $1. Перейдем теперь к приему ТИ-ичных ортогональных сигналов по обычному алгоритму, сравнивая попарно значения функций правдоподобия фг- для М гипотез. Для этого нужно проделать М—1 сравнение — сначала сравнить какую-либо пару значений функции правдоподобия, скажем ф0 и затем наибольшее из них сравнить с ф2, наибольшее из этой пары — с ф3 и т. д., после чего максимум окажется локализованным. Ошибочный результат возникнет в том случае, если при передаче сигнала sr какое-то значение (i¥r) окажется больше фг. При каждом из проделанных сравнений это может произойти с вероятностью р2. Поэтому, используя неравенство Буля или аддитивную границу (см., например, [21, приложение 1]), можно утверждать, что вероятность рм ошибки при приеме Af-ичного сигнала ограничена неравенством
Pm<(M-1W	(8.7)
150
Сделанное выше предположение о большом отношении сигнал-помеха позволяет заменить это неравенство приближенным равенством. Действительно, при этом вероятность того, что два или более значений (й^г) окажутся больше фг, настолько мала, что ею можно пренебречь, а в этом случае имеется М—1 несовместимых событий с вероятностью р2 каждое, а следовательно, вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, равна (Л1-1)р2.
Перейдем теперь к новой схеме Болотина. Здесь сравниваются п суммарных сигналов Sk- Нетрудно убедиться, что каждые два сравниваемых суммарных сигнала взаимно ортогональны. Энергия приходящего сигнала и спектральная плотность шума здесь такие же, как и в предыдущем случае. Поэтому вероятность того, что такое сравнение даст неправильный результат, как и в предыдущем случае, равна р2- Вероятность того, что хотя бы в одном из п сравнений результат будет ошибочным, т. е. вероятность общего ошибочного решения, ограничена неравенством
рм^пр2,	(8.8)
которое также при достаточно малом значении р2 переходит в приближенное равенство.
Сравнивая (8.8) с (8.7), видим, что вероятность ошибки в схеме Болотина приблизительно в (7И—1)/п раз меньше, чем в традиционной схеме. Выигрыш по вероятности ошибки составляет 7/3 при Л4=8, 15/4 при Л4=16, а при М=256 даже 255/8^31,8. Итак, более простая схема оказывается более помехоустойчивой.
Все было бы отлично, если бы не то, что этот выигрыш получен относительно оптимальной {в принятых условиях) схемы. Пока читатель заду
151
мался над этим вопросом, перейдем к рассмотрению четвертого предложения, которое его автор назвал сверхоптимальным приемом.
8.5.	«СВЕРХОПТИМАЛЬНЫЙ» ПРИЕМ
В отличие от многих других изобретателей «вечного двигателя» в связи, тов. Маляров весьма эрудирован, хорошо знает теорию потенциальной помехоустойчивости и владеет математическим аппаратом. К тому же он, безусловно, талантливый инженер и очень приятный собеседник. Его предложен ние состоит в использовании сигналов с линейной
Рис. 8.6
частотной модуляцией (ЛЧМ) при специальном «многоканальном» способе обработки принятого сигнала.
Сигнал ЛЧМ можно записать в следующем виде:
£(/)=(/() cos (сооН~лу/2+ф), 0<У<Т,	(8.9)
152
где y=\f/T;	— ширина полосы, в которой изме-
няется мгновенная частота
со (/) z=d (соо^+лу^+ср) !dt=(Оо+2лу/.	(8.10)
Из (8.10) видно, что мгновенная частота изменяется по линейному закону (рис. 8.6). Выберем значение у настолько большим, что Af=yT^>lJT.
Информационную модуляцию ЛЧМ сигнала можно осуществлять различными способами, например изменяя исходную частоту «оо, или направление изменения частоты (знак у), или начальную фазу. Для упрощения примем, что используется амплитудная манипуляция (AM), т. е. сигнал s(t) либо присутствует, либо отсутствует, так что задача сводится к обнаружению сигнала s(t) на фоне гауссовского шума.
Один из возможных методов приема — использование ЛЧМ гетеродина, генерирующего напряжение
ur(/)=(7rcos (сог^+лу/2-Н|)),	(8.11)
мгновенная частота которого изменяется по тому же закону, но со сдвигом на Д<о0=<оо—<Ог (см. рис. 8.6), причем частоты выбраны так, что Дсо0<^ <С(Ог<О)0.
Умножив принятый сигнал на напряжение гетеродина (рис. 8.7), получим в точке а:
s(t)ur(t)=0,5UQUT {cos [Дй>о?+ф—ф] +
-[“COS [ ('й>()-НОг) ^-|-2лу^2-|-ф-|-ф] }.
Спектр первого члена в фигурных скобках состоит из одной составляющей на частоте Дсою, а основная часть спектра второго члена распределена в полосе частот (соо+сог) ... (соо+сог+^лД/). Таким образом, в точке а сигнал представляет собой отрезок гармонического колебания на частоте До)о, другими
153
словами, обычный AM сигнал плюс далеко отстоящий по спектру второй член.
Фильтр согласован с полученным гармоническим сигналом на частоте Лмо, и его эквивалентная полоса пропускания равна 1/Т. Если на входе приемника присутствует аддитивный гауссовский белый шум со спектральной плотностью No, то и в точке
Рис. 8.7
Рис. 8.8
а шум будет гауссовским, так как операция умножения на напряжение гетеродина является линейной. Отношение мощности сигнала к мощности шума в момент отсчета в точке b равно отношению энергии сигнала Ео к спектральной плотности шума No на входе приемника, которое обозначим h2. Тц-154
кйм образом, по напряжению на выходе фильтра в момент отсчета можно судить о том, присутствует или отсутствует сигнал Ч Вероятность ошибки при этом определяется отношением сигнал-шум h1 2.
Рассмотрим теперь, что произойдет, если сигнал перед подачей на перемножитель задержать на время 2^1/А/ (откуда следует	как показано
штриховой линией на рис. 8.6. Тогда в схеме на рис. 8.8 (где ЛЗ—линия задержки) получим в точке а s(t—z)ur(t)=UQUr {cos [(D0(/—z)+ny(Z—z)2+ +ф] cos [(ог/+лу^24-'ф]}=0,5[7о^гсоз [ (coo—<or)/— —2nyzt—<оог+л;уг2+ф—фЦ-А’ (/),	(8.12)
где X(t)—составляющая «суммарной частоты» со спектром, расположенным вблизи частоты <оо+<ог, которая не пройдет через фильтр и поэтому не представляет интереса. Полезный член — это отрезок гармонического колебания на частоте Acoi = =A(Do—2л;уг. Длительность этого отрезка Т—z, так что отношение сигнал-шум на выходе фильтра будет Л21=£о(1—z/T)A/,0-1- При z«<T /ii почти не отличается от А, поэтому вероятность ошибки в схеме на рис. 8.8 практически такая же, как и в схеме на рис. 8.72.
1 В этом месте в рассуждениях Малярова имеется неточность: после перемножения в полосе пропускания фильтра будет присутствовать не только та часть шума, которая возникла от полосы входного шума, лежащей вокруг частоты соо, но и «зеркальная» полоса, лежащая вокруг частоты 2сог—соо, так что в действительности отношение сигнал-шум в точке b будет равно h2/2. Однако это обстоятельство не существенно для последующего, к тому же в принципе зеркальную помеху можно подавить фильтром на входе пере-множителя.
2 Очевидно, аналогичные соотношения будут иметь место, если задержать на z не сигнал, а напряжение ЛЧМ гетеродина.
155
Объединим теперь обе схемы (рис* 8.9). Здесь сигнал поступает на два перемножителя, причем на один из них через линию задержки. На выходах фильтров Фо и получим два сигнала, одинаковых, если не считать сдвига по частоте на уг^1/Т. Шумы на выходе этих фильтров лежат в непере-секающихся полосах частот, поэтому они некорре-
Рис. 8.10
Рис. 8.9
лированные. По существу, здесь получились две ветви разнесенного приема с коррелированными сигналами и некоррелированными шумами. Осуществив некогерентное сложение этих сигналов, получим на выходе сумматора отношение сигнал-шум, практически равное 2ЕоЖо=2/г2. Соответственно вероятность ошибки при обнаружении сигнала уменьшится.
Дальнейшее обобщение очевидно. Используем линию задержки с k отводами через интервалы времени г. Если при этом kz<^T, то можно получить k ветвей разнесенного приема с примерно одинаковым отношением сигнал-шум h2 и с некоррелированными шумами (рис. 8.10). После сложения ре-156
зультатов детектирования (Д) получим отношение сигнал-шум около М2. При достаточно большом значении y^Af/Г можно обеспечить сколь угодно большую помехоустойчивость приема по схеме на рис. 8.10, которую тов. Маляров назвал схемой сверхоптимального приема.
На различных обсуждениях предложения Малярова чаще всего можно было услышать, что шумы в сформированных ветвях разнесения не будут некоррелированными. На первых порах тов. Маляров просто ссылался на общеизвестный факт, что процессы, выделенные из белого шума фильтрами с непересекающимися полосами, не коррелированы. Когда же его внимание обратили на то, что в рассматриваемой схеме шум не просто разделяется фильтрами, а проходит сначала через перемножи-тели и при этом становится нестационарным, он представил расчет функции взаимной корреляции шумов. Приведем этот расчет, ограничившись для простоты случаем двух ветвей (см. рис. 8.9).
Пусть шум n(t) на входе является белым, его спектральная плотность No. После перемножителей получим напряжения n(t)ur(t) и n(t—z)ur(t). Обозначив импульсные характеристики фильтров Фо и Ф! соответственно go (О и получим напряжения шумов на выходах фильтров:
т
Ъ (?) = j	W n(t — x) иг (t — х) dx,
°т	(8.13)
41(?) = J gi (#)п (• — z — У) — у) dy-О
Взаимная корреляционная функция этих процессов в совпадающие моменты времени равна, по определению,
157
f т
#.i(Oj)

(0 Ъ (0 J J go И gi (y) x о 0
\n(t —x) n(t -- z --y) lir(t — x) ur (t — y) dxdy (8.14)
(здесь черта означает математическое ожидание). Эта функция зависит не только от сдвига 2, но и от /, так как процесс после перемножения нестационарный. Найдем среднее значение по времени
О 0 0
(t — х) п (t — z — у)dxdy.
(8.15)
Так как шум на входе белый и стационарный, то
n(t—x)n(t—z—у) =О,5Л^об(х—у—z).	(8.16)
Подставляя (8.16) и (8.11) в (8.15) и интегрируя по t, получаем
т т т
#.! (°) = J J J go W gt (y)^(X-Z-y)X 0 0 0
X COS [<»r (t — x) + Tty (t — X)1 2 cos [a>r (/ — £/)-{-
+ ч (/ — уУ + ф] dx dy dt =
T T
А^2г С C sin icy (x — у) T , .	/ \ S /	x \ z
J J .^(x-y)r So (x) g. (y)b{x-z-y)X о 0
x COS [<ПГ (x —Jj) — Tty (Л2 — t/2) -j- 2тгу (Л — у) T] dxdy.
1 При этом учтено, что интеграл от быстро осциллирующей функции с множителем coscdr(2f—х—у) практиче-
ски равен нулю.
158
Далее, используя фильтрующее свойство 6-функции, произведем интегрирование по у.
(0)=£1 ~ z)cos Ьг -
— 2тсугх — цуг’ 4- ЯкугТ) dx.	(8-17)
Для согласованных фильтров (i=0, 1)
£.(/) = (cosAl01t 0<f<r’	(8.18)
| 0, f<0; t>T.	’
Подставляя эти значения в (8.17)’, получаем:
(0) = Sl™zrT $ со!5'д®оЛ cos д®г (х ~ z> X о
х cos (2тсуг.г + 'Pi) dx,	(8.19)
где через ф] обозначена не зависящая от х величина: ф1=®г2—луг2-[-2лугТ.
Произведя интегрирование и учитывая, что Д©о—A®i=2jry2, а (Д<оо+Д®1)7Э>2л, имеем:
7?о1 (0) =	cos (Д^г - <pt).	(8.20)
Пусть теперь отводы в линии задержки сделаны через интервалы времени 1/Д/. Тогда для любой пары отводов z=rfAf, где г — целое число (не равное нулю). Так как у=Д//Т, то yzT=r, откуда sin jiyzT=sin гл—0,
^'^^cos(A^ —гф,)=0.	(8.21)
Итак, помехи на выходе фильтров действительно некоррелированные. Что же касается огибающих помех, то, используя известное выражение для нормированной корреляционной функции р*(т) огиба-159
ющей через нормированную корреляционную функцию процесса р(т) [24]
р*(т)-0,92р2(т)+О[р4(т)]	(8.22)
и замечая, что р (0) =0, согласно (8.21) получим р*(0)=0.
Таким образом, огибающие помех в сформированных «ветвях разнесения» некоррелированные и, увеличивая число ветвей, можно сколь угодно повышать помехоустойчивость «сверхоптимального» приема.
8.6. ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЕМСЯ
Надеюсь, читатель понимает, что во всех описанных выше рассуждениях содержатся ошибки. Это не подлежит сомнению, поскольку строго установлено, что при аддитивном белом гауссовском шуме и других ограничениях существует предельная вероятность ошибки, которую при заданном множестве сигналов нельзя уменьшить никакими схемными ухищрениями, и она во всех приведенных примерах выше той, которую берутся обеспечить «изобретатели». Тем не менее было бы неправильным ограничить их критику классической формулой «Этого не может быть, потому что этого не может быть никогда», которой в сущности довольно часто пользуются многие выступающие при обсуждениях подобных предложений. Необходимо в каждом конкретном случае указать, в чем именно заключается ошибка.
Итак, начнем с идеи Пивоваровой. Ее ошибка в том, что она рассматривает среднюю мощность шума на выходе частотного детектора, не обращая внимания на ее распределение. Как известно, шум на выходе частотного детектора состоит из двух 160
составляющих—нормальной и аномальной. Именно нормальная составляющая, имеющая в первом приближении гауссовское распределение, «подавляется» сигналом, в результате при большом индексе модуляции происходит выигрыш в отношении сигнал-шум. Это подавление вызвано тем, что мгновенная частота суммы сигнала и помехи мало отличается от мгновенной частоты сигнала, если огибающая сигнала больше огибающей помехи. В этих условиях существует только нормальная составляющая шума на выходе детектора. Поэтому, увеличивая девиацию, можно уменьшить среднюю квадратическую ошибку воспроизведения аналогового (например, телефонного) сигнала, т. е. повысить помехоустойчивость.
Аномальная составляющая имеет импульсный характер, импульсы возникают в те моменты, когда огибающая помехи на входе превышает огибающую сигнала. В этом случае мгновенная частота суммы сигнала и помехи мало отличается от мгновенной частоты помехи. При приеме телефонного сигнала с ЧМ аномальные импульсы ощущаются как небольшие щелчки. Если отношение сигнал-помеха на входе детектора превышает некоторый пороговый уровень (зависящий от требуемого качества приема), то этими «щелчками» можно пренебречь, так как они возникают крайне редко. Ниже порогового уровня щелчки происходят часто и мощность аномальной составляющей помехи может значительно превысить мощность нормальной составляющей.
Рассмотрим теперь прием дискретных ЧМ сигналов. Предположим, что для сравнения один и тот же принятый сигнал подан на две решающие схемы — с разделительными фильтрами (см. рис. 8.1) ис частотным детектором (ЧД на рис. 8.2). Пусть в течение некоторого тактового интервала Т 11—3413	161
огибающая сигнала на входе решающих схем превышает огибающую помехи. В этом случае аномальные импульсы не возникают и на выходе ЧД будет только «нормальный» шум, причем отношение сигнал-шум может быть в десятки и даже сотни раз (при большой девиации) больше, чем на входе ЧД. Конечно, в этих условиях схема с ЧД обеспечивает безошибочный прием. Но при этом и в схеме с разделительными фильтрами (см. рис. 8.1) ошибка невозможна, так как даже если вся помеха попадет в фильтр, в котором нет сигнала, то все же напряжение, созданное на фильтре с сигналом, будет больше напряжения на фильтре с помехой.*
Ошибка в схеме на рис. 8.1 может произойти с некоторой вероятностью (меньшей 0,5) только в тех интервалах, когда вследствие выброса шума его огибающая превысит огибающую сигнала. Очевидно, что в этом интервале на выходе ЧД возникнет аномальная помеха, так как мгновенная частота будет определяться шумом. При этом знак напряжения на выходе ЧД с почти равной вероятностью может быть положительным или отрицательным, так что в половине таких случаев произойдет ошибка.
Таким образом, «выигрыш» в отношении сигнал-шум в схеме с ЧД имеет место только на тех интервалах, когда ошибка не может произойти и в схеме с разделительными фильтрами. В тех же случаях, когда ошибка может произойти, ЧД дает не «выигрыш», а «проигрыш» и вероятность ошибки в схеме на рис. 8.2 будет не меньше, а, вообще говоря, больше, чем в схеме на рис. 8.1 (или в лучшем случае такая же). Увеличение индекса модуляции k не* влияет на вероятность ошибок в схеме с разделительными фильтрами, а в схеме с ЧД не уменьшает, а увеличивает вероятность ошибок, так 162
как в более широкой полосе частот больше мощность шума и чаще возникают аномальные импульсы.
Итак, только при передаче аналогового сообщения можно повысить помехоустойчивость (точность воспроизведения сообщения)*, увеличивая девиацию. В дискретных же системах, когда помехоустойчивость характеризуется вероятностью ошибки, такого эффекта не возникает.
Рис. 8.11
Очень похожая ошибка вкралась и в рассуждения Дьяковского. Он учитывал только искажения, возникающие на выходе приемника сигналов с интервальной импульсной модуляцией и вызываемые сдвигом фронта и спада импульсов при сложении сигнала и шума. Но, помимо этого, ошибки могут возникать и в те моменты времени, когда импульс отсутствует, если выброс шума достигнет такого уровня, что его огибающая пересечет порог срабатывания, как показано на рис. 8.11. Кроме того, могут возникать еще дополнительные ошибки, когда шум оказывается в противофазе с сигналом и огибающая импульса уменьшается настолько, что не пересекает порога срабатывания. Однако вероятность пропуска импульса обычно значительно меньше вероятности ложного срабатывания, поэтому будем учитывать только последнюю. Заметим, что 11*	163
при ложном срабатывании в системе Дьяковского не просто искажается передаваемая буква—возникают две ложные буквы вместо одной переданной.
Оценим вероятность ложного срабатывания. Для гауссовского шума с дисперсией о2 одномерное распределение огибающей является рэлеевским: ш(Х) = (Х/о2) ехр (—Х2/2о2).
При амплитуде импульса сигнала Uc порог, срабатывания обычно устанавливается на уровне около UCJ2. Вероятность того, что огибающая шума в некоторый момент времени окажется выше этого порога, т. е. вероятность ложного срабатывания
00	00
Рлс= у w(X)dX= J 4ехр (_£Л(1Х =
UJ2	UJ2
/	^2с\	/	[^2 \	/О
= ехР [ ~ 8^) = ехР (--Г) •	(8-23)
При написании последнего равенства учитывалось, что мощность сигнала равна (72с/2, а отношение сигнал-помеха после согласованного фильтра h2=
Белый шум, прошедший через согласованный фильтр, имеет интервал корреляции, равный Т. Поэтому, учитывая, что для гауссовских процессов некоррелированность означает независимость, значения огибающей, взятые через интервалы, кратные Т, независимы. Следовательно, если интервал между двумя импульсами сигнала равен аТ, то вероятность появления хотя бы одного ложного срабатывания
Рлс(аТ)> 1 - [1 - exp(-/is/4)]H,	(8.24)
где [а]—целая часть а. Здесь знак неравенства определяется двумя соображениями. Во-первых, величина а может быть дробной, тогда [а]<а; во-164
вторых, если во всех выбранных точках отсчета огибающая шума не превышает порога срабатывания, то все же она может пересечь этот порог где-то между точками отсчета. Отсюда вероятность «аномальной» ошибки при некоторой средней длительности интервала
Ран>1 - [ 1 -exp (—/i2/4) ]»,	(8.25)
где а — среднее значение а, приблизительно равное в нашем примере 6. Для рассмотренного примера /г=2, следовательно, Ран>0,936. Из этой формулы даже при /i2=16 получим Ран>0,1, тогда-как для двоичной системы с ФМ при когерентном приеме из (8.6) имеем Рош^-Ю-7. Комментарии излишни.
Конечно, повышение основания кода при прочих равных условиях позволяет повысить верность приема. Это отмечалось уже в [22]. Но сигналы и метод приема в системе Дьяковского выбраны далеко не лучшим образом, поэтому по сравнению с двоичной системой она не уменьшает, а увеличивает вероятность ошибки. Такого рода сигналы с большой скважностью целесообразно использовать только в таких каналах, в которых в паузе отсутствует шум. Действительно, в квантовых каналах при отсутствии шумового фона и при очень низкой интенсивности сигнала их применение целесообразно.
В рассуждениях Болотина ошибку отыскать нетрудно. Хотя сравниваемые суммарные сигналы Sa действительно взаимно ортогональны и отношения энергии приходящего сигнала к спектральной плотности шума здесь такие же, как и в обычной схеме, но из этого не следует, что вероятность ошибки при одном сравнении рг в обоих случаях будет одинакова. Необходимо учесть, что корреляторы или согласованные фильтры в классической оптимальной решающей схеме согласованы с приходящими эле
165
Ментарными сигналами а в схеме Болотина — с суммарными сигналами Это, как легко убедиться, приводит к тому, что отношение сигнальной и шумовой составляющих на выходе решающей схемы будет в Л1/2 раз по мощности меньше, чем в классической схеме L Даже при не очень больших М (4 или 8) такой энергетический проигрыш никак не окупается уменьшением коэффициента в (Л1—1)//г раз, а при Л1>10 схема Болотина практически неработоспособна.
Следует заметить, что, в отличие от горе-изобретателей, тов. Болотин весьма одаренный и здравомыслящий человек, так что, услышав мои возражения, он сразу с ними согласился и отказался от данного предложения.
Переходя к «сверхоптимальному» приему Малярова, заметим прежде всего, что в его доказательстве некоррелированности шумов на выходах филь* тров различных отводов содержится «избыточность». Дело в том, что. если подставить сразу значение z=r/Af в (8.17), а не в (8.20), как было сделано в его выводе, и учесть, что интеграл в (8.17) для любых импульсных реакций g®(t) и gi(t) физически реализуемых фильтров конечен, то ока-
1 Проще всего это можно пояснить так. Разложим флуктуационную помеху по ортонормированному базису, образованному сигналами $<(/). На выходе фильтра (активного или пассивного), согласованного с элементарным сигналом [скажем, sn(0], шумовое напряжение в момент отсчета определяется только одной соответствующей составляющей шума, поскольку отклик от остальных составляющих, ортогональных sn(0, в момент отсчета равен нулю. Если же фильтр согласован с суммой М/2 элементарных сигналов то отклик создадут М/2 составляющих шума, согласованных с элементарными сигналами, входящими в SA(f). Поэтому дисперсия шума на выходе фильтра будет в М/2 раза больше, чем в предыдущем случае. Отклики же от сигналов в обоих случаях одинаковы.
166
жется, что /^(OJsssO1. Это значит, что шумы на выходах фильтров различных отводов в среднем не коррелированы, каковы бы ни были передаточные функции фильтров. Это уже наводит на размышления. Не зря еще в древности говорили: кто доказывает больше, чем нужно, тот ничего не доказывает.
Продолжая размышлять в этом направлении, рассмотрим два узкополосных стационарных гауссовских процесса с нулевым математическим ожиданием
(0 cos [сйо/-|-0 (0 ] > ^2=Д (0 cos [ (coq-|-v) t-\-+0(0].	(8.26)
где A(t) и 0(0—низкочастотные стационарные случайные процессы, так что & отличается от £i только сдвигом на частоту v.
Взаимная корреляционная функция в совпадающие моменты времени для gi и £2, по определению,
= 0,5 А2 (0 cos [(2% + v) t + 20 (/)] + 0,5 A2 (t) cos vt
(8.27)
зависит от времени t, хотя оба процесса стационарны. Дело р том, что они нестационарно связаны. Если теперь усреднить эту функцию по времени на бесконечном интервале, то, как легко убедиться, Ri,2 (0) =0- Тот же результат получится и при усреднении на конечном интервале T=2nn/v, если т0 кратна v (или приближенно, если <oo^>v).
Можно ли, однако, из этого сделать вывод, что и огибающие этих процессов хотя бы в среднем не
1 Это следует из конечности области интегрирования и конечности модуля подынтегральной функции.
167
коррелированы? Ни в коем случае. Функция корреляции для огибающих в совпадающие моменты времени равна Л2(0=2а2, где а2 — дисперсия процессов gi(Z), £г(0> так чт0 нормированная функция р*(0)=1. Что же касается формулы (8.22), то она верна только для стационарно связанных гауссовских процессов.
Легко понять, что такой же результат получится и в том случае, если процесс £2(0 сдвинуть по времени на величину z, т. е. положить
Ь (f) = A (t—z) cos [ (too+v) (t~z) +0 (t—z) ], (8.28) стой лишь разницей, что теперь не р* (0), a p*(z)=l. Заметим, что р*(0) очень мало отличается от p*(z), так как интервал корреляции огибающей порядка Т, а по условию z<cT.
Теперь все становится ясным. Огибающие шумов на выходах фильтров отводов в схеме на рис. 8.10 жестко коррелированы. В этом проще всего можно убедиться, заменив схему на рис. 8.9 совершенно эквивалентной по конечному результату схемой на рис. 8.12. Здесь напряжение гетеродина, так же как и сигнал, задерживается на интервал времени г, так что на выходах перемножителей присутствуют совершенно одинаковые сигналы и шумы, но только сдвинутые на время z. Затем с помощью дополнительного преобразователя частоты (ПрЧ) сигнал и шум на выходе второго перемножителя сдвигаются по частоте на v=2nyz. После прохождения через фильтры Фо и Ф1 получатся точно такие же напряжения, как и в точках на рис. 8.9.
Но, с другой стороны, если шумы на выходе фильтра Фо в схеме на рис. 8.12 обозначить как |i(0 в (8.26), то на выходе Ф1 они представятся формулой (8.28) и, как было показано, их огибающие жестко коррелированы. Поэтому, сколько от-168
водов линий задержки ни делать, все равно получится лишь много копий одного и того же сигнала с той же реализацией помехи, только сдвинутых по частоте и времени. При сложении огибающих как сигналы, так и помехи будут складываться когерентно и никакого улучшения отношения сигнал-помеха не получится. Не спасает -и то, что вследствие сдвига по времени нормированная корреляци-
Рис. 8.12
рнная функция огибающих в совпадающие моменты времени не точно равна единице и, следовательно, при сложении огибающих двух сигналов значение шума не в точности удваивается. Это с избытком компенсируется тем, что и значение сигнала не удваивается, поскольку используемая энергия сигнала, сдвинутого на время z, уменьшается на z/T.
Но, может быть, удастся воспользоваться тем, что жестко коррелированы только огибающие шума, а сами шумы в среднем не коррелированы? Что будет, если отказаться от некогерентного сложения 169
(т. е. от амплитудных детекторов) и каким-либо образом осуществить когерентное сложение? Но и здесь ничего не получится. Непосредственно складывать сигналы, отличающиеся сдвигом по частоте, бессмысленно, так как разность фаз будет непрерывно изменяться и когерентного сложения не получится. Если же осуществить дополнительное преобразование частоты и свести все сигналы к одинаковой частоте и фазе, то и помехи во всех отводах окажутся совершенно одинаковыми и когерентное сложение не даст выигрыша.
Итак, природу обмануть не удается. Минимальная достижимая вероятность ошибки при двоичной системе в канале с аддитивным белым гауссовским шумом однозначно определяется отношением энергии сигнала к спектральной плотности шума, и уменьшить ее нельзя.
Это же верно и для любой /n-ичной системы, если т—фиксированное число. Лишь в том случае, когда т ничем не ограничено, можно в соответствии с теорией Шеннона обеспечить сколь угодно малую вероятность ошибочного приема сообщения, если, конечно, скорость передачи меньше пропускной способности канала.
9.	ПАРАДОКС ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИИ
— Ах, если б знать! — заплакал Морж. — Проблема так сложна!
Льюис Кэролл. Алиса в Зазеркалье
9.1.	ПОРОГ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ
Начнем с хорошо известных фактов. При передаче непрерывных сообщений нелинейные методы модуляции позволяют получить выигрыш в отноше-170
нии сигнал-шум. Это значит, что отношение мощности полезного сообщения на выходе демодулятора к спектральной плотности выходного шума (которым является погрешность оценки переданного сообщения) может быть больше отношения мощности сигнала к спектральной плотности помехи на входе приемника (т. е. на выходе канала). Для простоты будем говорить только о канале с аддитивным гауссовским белым шумом [15]. Так, при частотной модуляции (ЧМ) этот выигрыш равен g'4M=3m2/H2 (где т — индекс ЧМ; П—пик-фактор передаваемого сообщения) или, учитывая, что при больших индексах модуляции ширина спектра сигнала в канале FK приблизительно равна 2mFc (где Fc—-ширина спектра сообщения), gZ4M^(0,75/n2)(FK/F^2.	(9.1)
При время-импульсной модуляции (ВИМ) и оптимальном выборе формы импульса
^^(ОД/П2)^^)2.	(9.2)
В любом учебнике (например, в [39]) можно найти и другие примеры. Из них видно, что для увеличения выигрыша нужно расширять спектр сигнала.
Хорошо известно также, что обязательным условием получения этого выигрыша является достаточно высокая мощность сигнала Рс на входе приемника. Существует пороговое значение мощности Рпор, такое, что при Рс>РПор можно пользоваться формулами (9.1), (9.2) и аналогичными им. При мощности Рс ниже пороговой выигрыш уменьшается и может даже стать меньше единицы. Так, при ЧМ получение выигрыша (9.1) определяется условием, что огибающая шума на входе частотного детектора (ЧД) не должна превышать огибающую 171
сигнала. Конечно, если шум гауссовский, то его огибающая может достигать в принципе любых значений. Однако, если вероятность того, что огибающая шума превысит амплитуду ЧМ сигнала А, меньше, скажем, 0,001, то с достаточным приближением можно пользоваться формулой (9.1).
Плотность распределения вероятностей огибающей В гауссовского шума с дисперсией Рш, как известно,
(В) = (В/Рш) ехр (—В2/2РШ),	(9.3)
и, следовательно, вероятность того, что В>Л,
00
р (В > Л) = J W (В) dB = ехр	=ехр
А
где Рс=Л2/2—мощность сигнала. Положив эту вероятность равной 0,001, получим пороговую мощность сигнала из уравнения ехр (—РПор/Рш)=0,001: РпоР^6,9 Рш.	(9.4)
Если линейную часть приемника до входа ЧД можно считать полосовым фильтром с полосой пропускания, равной ширине спектра модулированного сигнала1 Рк, то РШ=МОРК (М>— спектральная плотность шума) и
Рпор^б.9 NqFk.	(9.5)
Таким образом, пороговая мощность ЧМ сигнала пропорциональна ширине его спектра. Если для увеличения выигрыша повышать индекс модуляции, что ведет к расширению спектра сигнала, то рано
1 Здесь рассматривается классическая схема приема ЧМ сигналов. В современных помехоустойчивых системах используются следящие фильтры или следящие гетеродины, позволяющие сократить полосу пропускания и тем самым СНИЗИТЬ Рпор.
172
или поздно мощность сигнала окажется ниже пороговой и для дальнейшего улучшения верности приема придется ее увеличивать.
Иначе обстоит дело при некоторых импульсных методах модуляции, в частности при ВИМ. Момент прихода импульса регистрируется, когда его огибающая пересекает уровень срабатывания, который обычно устанавливается примерно на половине пика импульса. Выигрыш (9.2) имеет место в том случае, когда в паузах между импульсами шум не достигает уровня срабатывания. При этом условии шум на выходе демодулятора возникает только в результате того, что аддитивная помеха перемещает положение фронта импульса («нормальный» шум). В противном случае возникает дополнительный «аномальный» шум, имеющий импульсный характер и возникающий в результате того, что демодулятор воспринимает выброс помехи как импульс сигнала.
Пусть при некоторой ширине спектра сигнала и некотором уровне срабатывания помеха, прошедшая через входной фильтр приемника, имеет такую мощность Рш=^.к, что аномальный шум практически отсутствует. Предположим, что для увеличения выигрыша ширина спектра сигнала FK увеличена в п раз. Как видно из (9.2), выигрыш при этом должен возрасти в п2 раз. Мощность помехи на входе демодулятора в результате расширения полосы пропускания возрастет в п раз, а ее выбросы— в .п1/2 раз. Может показаться, что теперь возникнет аномальный шум, так как выбросы помехи окажутся выше уровня срабатывания. Однако необходимо учесть, что при расширении спектра сигнала длительность т импульса становится короче также в п раз, возрастает скважность и при сохранении средней мощности сигнала можно увеличить
173
его пиковые значения в п1/2 раз. Вследствие этого оптимальный уровень срабатывания повысится также в п1/2 раз, т. е. пропорционально выбросам помехи. Следовательно, вероятность того, что шум превысит этот уровень, будет прежней. Другими словами, если при ширине спектра FK аномальный шум практически отсутствовал, то он не возникнет и при ширине спектра nF^.
Вот что написано об этом, например, в [18]: «Независимость РПОр от полосы частот—существенное преимущество импульсной модуляции по сравнению с ЧМ или ФМ. Выбирая, например, достаточно малое значение т (т. е. достаточно широкополосный сигнал), можно увеличить выигрыш системы без повышения пороговой мощности сигнала» (курсив мой — Л. Ф.). Такой же вывод можно найти в любом учебнике, где этот вопрос рассматривается. То же самое многократно говорил и автор в своих лекциях.
9.2.	ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ
Посмотрим теперь, какие из этого можно сделать выводы. Предположим, что ВИМ используется для передачи непрерывных сообщений в канале с аддитивным белым гауссовским шумом, причем на ширину спектра сигнала не наложено никаких ограничений, а мощность сигнала Рс на выходе канала превышает пороговую Рпор, которая, как мы видели, не зависит от ширины спектра сигнала.
Зададимся сколь угодно малой величиной 8>0 и потребуем, чтобы средний квадрат ошибки оценки сигнала (мощность «шума на выходе приемника») не превышал в2. При этом, как обычно, пиковое (или квазипиковое) значение сообщения принято за единицу. Легко видеть, что это требование будет 174
ВЫПОЛНСНО, если ^вим^Л^с/Рсв1 2. Для этого выберем столь малую длительность импульса (или столь широкий спектр сигнала), чтобы в соответствии с (9.2) выполнялось неравенство
(0,6/П2)(Гк/Гс)2>ад/Рс62	(9.6)
или
рк/рс>1,з(п/8)Гад7^
что в принципе всегда можно сделать.
При этом количество информации, передаваемой по каналу в единицу времени, равно 8-энтропии сообщения Не при среднем квадрате ошибки 82, которая с уменьшением 8 становится сколь угодно большой Ч Отсюда следует, что канал с аддитивным гауссовским шумом в отсутствие ограничений на используемую полосу частот, если мощность сигнала выше некоторой постоянной, имеет бесконечную пропускную способность!
Но ведь это противоречит известной формуле для пропускной способности такого канала
lira С = lira FK log (1 4- PJ= (Л/М>) log е,	(9 ~
Гк->оо	v 'Ч
к	к
из которой видно, что при конечной мощности сигнала пропускная способность при любой ширине спектра остается конечной. Следовательно, в наших рассуждениях есть ошибка.
1 Если, например, сообщение является гауссовским процессом с единичной мощностью и равномерным в полосе
спектром, то Я8 =Fclog(l/e) =—Fcloge.
175
9.3.	НЕБОЛЬШИЕ УТОЧНЕНИЯ
Действительно, при более тщательном рассмотрении удается обнаружить не одну, а даже две небольшие ошибки. Собственно говоря, единственный непреложный вывод из рассуждений о пороге помехоустойчивости состоит в том, что вероятность возникновения аномального импульса (т. е. пересечения огибающей помехи с уровнем срабатывания) не зависит от ширины спектра сигнала. Оценим эту вероятность. Пусть А—максимальное значение огибающей импульса. Тогда А/2—уровень срабатывания и согласно (9.3)
°®
р(в>^— ^w(B)dB = tt$ (-57г).	(9-8)
Д/2
Мощность сигнала
Pc = kxAhJ2T,	(9.9)
где k\ — коэффициент, близкий к 1, определяемый формой импульса и не зависящий от ширины его спектра; т — длительность импульса, отсчитываемая, например, на уровне Д/2; Т—средний период следования импульсов сигнала (интервал Котельникова 1/2FC). Из (9.8) и (9.9) имеем р(В>Д/2)=ехр (—РсДО1тРш).
Заменив Рш его значением NqFk и учитывая, что Fk=£2/t (где k2— также коэффициент, близкий к 1), получим окончательно:
р(В>Д/2)=ехр (—PcT/4kvk2NQ).	(9.10)
Итак, вероятность появления аномального импульса определяется отношением энергии сигнала за интервал Котельникова T=\)2FC к спектральной плотности шума и не изменяется при сокращении длительности импульса и соответствующем расширении его спектра.
176
Далее, оДнако, было сделано Два молчалийыХ допущения, которые при ближайшем рассмотрении оказываются неверными:
мощность аномального шума в системе с ВИМ, которой можно практически пренебречь, не зависит от отношения Fk/Fc‘,
мощность аномального шума зависит только от вероятности появления аномального импульса.
Ошибочность первого допущения сразу становится очевидной, если сравнить мощности аномального и нормального шумов. Мощность нормального шума Рн=е и согласно (9.6) может быть сколь угодно уменьшена при увеличении отношения FK/FC. Если бы при этом мощность аномального шума Ран оставалась постоянной, то с расширением спектра сигнала мы рано или поздно пришли бы к положению, когда Рн<сРан и дальнейшее расширение спектра уже не могло бы улучшить верность приема сообщения. Поэтому пороговую мощность аномального шума нельзя устанавливать одинаковой для всех значений Рн. Если, например, при Рн=10-4 и Ран=10-6 можно аномальным шумом полностью пренебречь, то при Рн=10~7 и том же значении Ран именно аномальный шум является определяющим.
Разумно принять условно за порог помехоустойчивости такое отношение сигнал-шум, когда Ран= = РН, т. е. выигрыш оказывается вдвое меньше расчетного.
Второе допущение также ошибочно. Для определения мощности аномального шума недостаточно знать вероятность аномального импульса (9.10). Для того чтобы получить об этом хотя бы общее представление, рассмотрим случай, когда модуляции нет, т. е. сигнал представляет собой равномерную последовательность импульсов, возникающих в моменты времени пТ (n=0, 1, 2, ...) длительно-12—3413	177
стью т<с7\ Широко применяемый метод приема сигналов ВИМ заключается в том, что выборочное значение оценки х*(пТ) принятого сообщения полагается равным tn—пТ, vjifi. tn — момент первого пересечения импульсом уровня срабатывания на интервале (п—0,5)7’</< (п+0,5)Т. Именно для этого метода приема вычислен выигрыш (9.2). Легко видеть, что в отсутствие помех такой метод позволяет точно восстановить переданное выборочное значение сообщения х(пТ). Аномальный шум возникает, если до прихода импульса сигнала, т. е. на интервале (п—0,5)7’</<пТ, огибающая помехи пересечет уровень срабатывания.
Если помеха имеет равномерный спектр в полосе FK, то каждую секунду существует 2FK независимых мгновенных значений помехи. В интервале времени от (п—0,5) Т до пТ существует FKT независимых мгновенных значений помехи. В первом приближении можно считать, что аномальный импульс возникает в том случае, если хотя бы одно из мгновенных значений превысит уровень срабатывания А/2. Вероятность этого равна. 1—(1—р)рктя&рРкТ, где р определяется формулой (9.10), а приближенное равенство написано в предположении pFKT^\, что всегда выполняется при допустимом качестве приема. Заметим, что при этом предположении можно не считаться с возможностью появления более одного аномального импульса на одном ин-тервалеГ
Очевидно, что аномальный импульс может появиться с равной вероятностью в любой момент времени t на интервале от (п—0,5) Т до пТ, При этом возникнет ошибка оценки сообщения Дх= =х*—x—(t—пТ)!Т. Таким образом, условная плотность вероятности момента прихода аномального импульса w(t)=2[Ti (п—0,5)7'<^<пТ.
178
Средний квадрат этой ошибки (при условии, что она произошла)
_____ пТ
(Дх2)= J	w(t)dt =
(п—0,5) Г
пТ
_ С 2 (t-пТГ 1
— J	Гз	12 ’
(п-0,5) Т
С учетом вероятности появления аномального импульса, вычисленной выше, средняя мощность аномального шума на выходе
Р..ет^кТ(М' = Щ'ехр(-я^).	(9.11)
Таким образом, мощность аномального шума определяется не одной вероятностью р, а еще и множителем, пропорциональным FK.
Чтобы довести исследование до конца, оценим пороговую мощность сигнала. Согласно условию, порог помехоустойчивости имеет место при Ран=е2 или, как следует из (9.6) и (9.11), при . nwof»c FKT ( PJ 1’67~Р>Г='ТГехР ’----------
(9.12)

Полагая fe1=^2=l и обозначая, как обычно, РпорТ/^о=/г2пор, Рк/Ро=а, а также учитывая, что T=1/2FC, сведем это уравнение к виду
/г2поР/4—In /г2поР=1п (а3/20П2).	(9.13)
При больших значениях а (например, более 1000) /г2порЗ>1 и в левой части можно пренебречь 1пЛ2пор по сравнению с Л2ПОр/4. Тогда, возвращаясь к пороговой мощности сигнала РПор=/г2порМ)/Л получим асимптотическое равенство
Рпор^8ВД)1п (а3/20П2).	(9.14)
12*	179
Итак, пороговая мощность сигнала ВИМ с увеличением а не остается постоянной, а возрастает. Для получения сколь угодно большой верности передачи непрерывного сообщения недостаточно увеличивать а, как следовало из (9.6), в пренебрежении аномальным шумом, а необходимо увеличивать также Рс в соответствии со смыслом формулы (9.7), и «парадокс» полностью снимается.
Можно ли на основании этого утверждать, что системы с импульсной модуляцией не имеют преимуществ перед системами с ФМ или ЧМ? Конечно, нельзя. Сравнивая (9.14) с (9.15), замечаем, что в системе с ЧМ пороговая мощность сигнала растет пропорционально Рш—JVqFk, т. е. пропорционально а, тогда как при ВИМ зависимость пороговой мощности от а при а^> 1 логарифмическая1. На рис. 9.1 показана зависимость Л2ПОр и g' от а (П2=10) при ЧМ и ВИМ. Пороговая мощность при ВИМ, вычисленная путем решения уравнения (9.13), возрастает по сравнению с ЧМ настолько медленно, что ее можно действительно считать постоянной. Именно это позволяет использовать при ВИМ очень широкий спектр сигнала и получить выигрыш g' порядка нескольких тысяч. При ЧМ это практически бессмысленно, так как пороговая мощность оказывается столь большой, что выгоднее применять узкополосные методы модуляции, например однополосную.
Таким образом, фраза, набранная курсивом на стр. 174, неверна. Мощность сигнала, при которой аномальный шум «практически отсутствует», не-
1 Рекомендуем читателю доказать (пользуясь понятием в-энтропии), что из формулы (9.7) также следует логарифмическая зависимость необходимой мощности сигнала от средней квадратической ошибки е, которая при ВИМ пропорциональна 1/а.
180
сколько возрастает с расширением спектра. Тем не менее цитата из учебника, приведенная там же, в первом приближении справедлива. Можно было бы уточнить ее, заменив набранные курсивом слова: вместо «независимость» написать «очень слабая зависимость», а перед «без повышения» добавить слово «по
чти».
Практически при расчете системы связи с ВИМ это незначительное повышение порога помехоустойчивости можно не учитывать. Но для теории оно очень важно, так как только его учет согласует верность приема с пределом пропускной способности канала.
10.	БЕРЕГИСЬ НЕТОЧНЫХ ФОРМУЛИРОВОК!
Бди!
Козьма Прутков
10.1. ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ПАРАДОКСЫ
Все мы еще в школе удивлялись различного рода «доказательствам» того, что 2X2=5 или все числа равны друг другу и т. п. Конечно, никто эти утверждения всерьез не принимает, и цель таких доказательств—научить юных математиков отыскивать логические или аналитические ошибки и подчеркнуть необходимость тщательных и точных формулировок. Чаще всего такие арифметические миниатюры основаны на неявном делении на нуль, на 181
неучете двузначности операции извлечения квадратного корня, на умножении неравенства на отрицательное число без изменения знака неравенства, на некорректном применении полной математической индукции и т. п.
Здесь будут изложены несколько такого рода «доказательств» нелепых результатов, относящихся к теории связи. В отличие от ошибок, описанных в других главах, никто никогда эти результаты не считал верными, за исключением, может быть, последнего примера. Однако ошибки в рассуждениях здесь не сразу бросаются в глаза, и отыскание их может быть полезным для более глубокого понимания вероятностных соотношений, в частности некоторых свойств гауссовских случайных величин и процессов.
10.2.	ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ПРИ ПРИЕМЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ
Вернемся к формуле (8.7), дающей верхнюю границу вероятности ошибок рм при приеме ЛГичных равномощных и равновероятных ортогональных сигналов. Как уже отмечалось, неравенство в этой формуле нельзя заменить равенством, так как элементарные события <р<>1фг (t=l, 2, ..., М; i^r) не являются несовместимыми. Здесь <pt- — функция правдоподобия f-й гипотезы Нс г — индекс верной гипотезы.
Нельзя ли, однако, получить достаточно простую, но точную формулу для рм? Попытаемся такую формулу вывести. Последующие рассуждения, так же, как и формула (8.7), одинаково применимы как при когерентном, так и при некогерентном приеме.
182
Демодулятор, построенный по правилу максимума правдоподобия, содержит М трактов, в каждом из которых вырабатывается величина а,, монотонно связанная с функцией правдоподобия i-й гипотезы (чаще всего пропорциональная логарифму функции правдоподобия), и решение принимается по индексу той из величин аг, которая больше всех остальных. Если в действительности передавался r-й сигнал, то решение будет верным при аг>аг (i=l, 2, ..., М).
Все величины аг являются случайными, и если помехой является белый шум и сигналы попарно ортогональны, то легко показать, что все aL взаимно независимы. Мы не будем тратить время и место для этого доказательства, но читатель может это легко проверить или в крайнем случае поверить на слово, что в этом утверждении никакого подвоха нет.
Итак, для того чтобы принять верное решение о передаче r-го сигнала, необходимо, чтобы для всех значений i=/=r выполнялось неравенство
at<ar.	(Ю-1)
Вероятность выполнения одного такого неравенства есть не что иное, как вероятность 1—pz правильного приема в двоичной системе равномощных ортогональных сигналов при той же энергии сигнала и спектральной плотности помехи. Вследствие независимости величин аг вероятность выполнения всех М—1 неравенств (10.1), т. е. вероятность правильного приема М-ичного сигнала, определяется по теореме умножения вероятностей как
1-рм=(1-р2)м-1,	(10.2)
откуда вероятность ошибки
рм=1-(1-р2)м-1.	(Ю.З)
183
В случае оптимального некогёренТного Приема р2— =0,5 ехр (—й2/2), где й2 — отношение энергии сигнала к спектральной плотности белого шума, т. е. рм=1—[1— 0,5 ехр (—й2/2)]м->.	(10.4)
Итак, получилась действительно очень простая точная формула. Легко убедиться, что она верна при М=2. Далее, если (М—1)р2С 1, то Из (10.3) получается рм^(М—1)р2, как и следовало ожидать, поскольку при малых р2 неравенство (8.7) переходит в приближенное равенство.
Но почему же простой формулы (10.3) нет ни в одном учебнике и ни в одной монографии по теории связи? Неужели, кроме нас, никто до нее не додумался?
Чтобы развеять сомнения, испытаем полученную формулу в предельных случаях. Когда й2—>500, то р2—нО и рм—>0, как и должно быть. Когда й2=0, р2=0,5, откуда рм=1—0,5м-1. Кажется, тоже верно. Впрочем, так ли?
Пусть, например, й2=0, М=3. Тогда наша формула дает рм=3/4. А что должно быть на самом деле? Существует'три равновероятные гипотезы, из которых одна верна. Так как й2=0, то мы никакой информации не получаем и должны выбрать решение наугад. Ясно, что в этих условиях вероятность ошибиться равна 2/3, а не 3/4, как дала формула (10.3).
Для того чтобы убедиться в ошибочности утверждения, достаточно одного опровергающего примера, тогда как и тысячи подтверждающих примеров недостаточно, чтобы считать его доказанным. Итак, формула (10.3) неверна. Где же ошибка в ее выводе?
В данном случае ошибку найти нетрудно. Мы ее допустили, молчаливо предположив, что события, 184
заключающиеся в выполнении неравенств (10.1) при различных I, независимы. Это предположение неверно, несмотря на то, что все а, взаимно независимы, поскольку величина аг в правой части неравенств также является случайной величиной. Если бы величина аг была детер-минирована, то наши рассуждения были бы верны и применение теоремы умножения было бы законным. Фактически ат—случайная величина, так как она является результатом обработки суммы сигнала и помехи. Ее значения мы не знаем, а знаем лишь априорное распределение вероятностей, которое, в частности, позволило вычислить значение р2.
Рассмотрим принятие решения по неравенствам (10.1). Первое проверяемое неравенство выполняется с вероятностью 1—р2, как мы и считали. Однако о втором неравенстве этого уже сказать нельзя. Действительно, положительный исход первого испытания должен учитываться при вычислении вероятности исхода второго. Точно так же, если один боксер победил на ринге другого, то при встрече победителя с третьим боксером шансы его оцениваются более высоко, чем до первой победы.
Другими словами, при вычислении совместной вероятности выполнения неравенств (10.1) нужно перемножить их условные вероятности, т. е. для k-ro неравенства вероятность его выполнения при условии, что все предыдущие неравенства выполнены. В этих условиях вероятность совместного выполнения всех неравенств (10.1) окажется несколько-больше, чем правая часть (10.3), следовательно,
Рм^1-(1-р2)м-‘.	(10.5)
Итак, вместо точной формулы мы получили еще одну верхнюю границу для рм, правда, несколько более точную, чем (8.7).
185
10.3.	КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ, ПЕРЕДАВАЕМОЙ В ГАУССОВСКОМ КАНАЛЕ С НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ФАЗОЙ
Рассмотрим непрерывный канал связи с неопределенной фазой, пропускающий сигналы в некоторой полосе частот F со средней круговой частотой соо. При прохождении сигнала через канал фаза всех его составляющих поворачивается независимо от передаваемого сигнала на одинаковый случайный угол А, равномерно распределенный на интервале (—л, л). Аддитивной помехи нет (или ею можно пренебречь).
Будем подавать на вход канала узкополосный гауссовский сигнал
х (t) = A (f) COS [а\/ 4- 6 (/)] = а (0 COS <°о (0 —
- р (0 sin	= Re {[а (t) + i p (01 e'ш<,/}
= Re{U0e!<M}.	(10.6)
где aft)=A(t) cos0(Z), p(Z) =Д (/) sin0(Z)—независимые гауссовские процессы с нулевым математическим ожиданием и одинаковой дисперсией, которую обозначим о2; g (Z) =aft) -HP (i)—комплексный гауссовский процесс (комплексная огибающая процесса х(0).
Сигнал на выходе канала
у (t) = А (Z) cos [<o,Z -|- 6 ft) -|- Д] = [a ft) cos Д —
— р ft) sin Д] cos w„t —- [р (/) cos Д -f- aft) sin Д] sin = = Re{T1(0ei<M},	(10.7)
где
i]ft)=aft) cos Д—p(<) sinA-j-i [p(Z) cosA-|-
4-a(/) sinA]=g(/) e1A	(10.8)
— также комплексный гауссовский процесс [комплексная огибающая у ft) J.
186
Очевидно, что количество информации, содержащейся в некотором отсчете у относительно отсчета х, Цх, у) совпадает с количеством информации /(ц, |), содержащейся в отсчете ц относительно g, поскольку комплексные огибающие (при фиксированной частоте ®0) полностью определяют соответствующие сигналы.
Найдем корреляционный момент
где черта означает усреднение по ансамблю. Так как по условию | и Д — независимые случайные величины, то
| 5 | 2е’д =	ё11 = ТТЛ(cosA4-isin4) =
(те	те	\
2^- Jcos Дб/Д-|--^- Jsin Д</Д j =0.	(10.9)
—те	—тс	'
Таким образом, g и ц некоррелированные, а поскольку они гауссовские, то и независимые случайные величины1. Так, в книге [24, с. 64] сказано: «...для двух нормальных случайных величин некоррелированность означает также независимость'» (курсив мой — Л. Ф).
С другой стороны, хорошо известно (см., например, теорему 2.3.2 в [10]), что для статистически независимых g и т] /(ц, |)=0, а отсюда следует, что Цу, х)=0. Итак, мы показали, что в канале с неопределенной фазой при подаче на его вход гауссовского сигнала информация не передается даже в отсутствие аддитивного шума. Не правда ли, странный результат?
1 Легко убедиться, что и отсчеты 5(6) и г](6), взятые
в различные моменты времени, также некоррелированные, так как £*(6)ц(6) -£*(6)№) е«Д = 0.
187
fi саМом Деле, бели проДетектйройать сигнал y{t), то можно точно восстановить огибающую Л (0 переданного сигнала x(t) и, следовательно, получить сколь угодно большую информацию. Рассуждая более формально, можно исходить из известного и очевидного неравенства
Цу, x)>7(h|, Ш)=7(Д,Л)=Я(Л) = оо, (10.10) так как А принимает значения на континууме, а помехи отсутствуют. В реальных условиях вследствие неизбежного аддитивного шума эта информация конечна, но может быть сколь угодно велика при достаточно слабом шуме и уж во всяком случае не равна нулю при конечном отношении мощностей сигнал-шум.
Таким образом, мы получили два противоположных результата: взаимная информация Цх, у) согласно первому выводу равна нулю, а согласно второму — сколь угодно велика. Всякому, кто передавал. информацию по радио или другим высокочастотным каналам и использовал некогерентный прием, ясно, что ошибочен первый вывод. Но в чем же ошибка?
Многие из тех, кому автор задавал этот вопрос, начинали сомневаться в том, что отсчет г] является гауссовской случайной величиной. Однако эти сомнения легко рассеять. Обозначим X=acosA— —PsinA, p=ip cos A-[~a sin А, где a, p и A—совместно независимы. Тогда плотность вероятностей %
тс	тс
w (Я.) = J w (X [ Д) w (Д) <7Д — 2^- j w (X | Д) ЙД,
но о>(Х|Д)—плотность вероятностей разности acosA—0sinA при некотором фиксированном А; каждый из членов является гауссовской случайной величиной с дисперсиями соответственно о2 cos2 Д и
188
<j2sin2A и, следовательно, X—также гауссовская Величина с дисперсией а2. Аналогично то же самое можно показать и относительно ц. Кроме того, легко убедиться, что % и р статистически независимы. Таким образом, т]=Х-[-ip является комплексной гауссовской величиной, так что это возражение отпадает.
Суть дела проясняется, если рассмотреть четыре действительные гауссовские величины: а, р, X и р. Нетрудно видеть, что они попарно некоррелированные и независимые. Более того, любые три из этих величин имеют совместное нормальное распределение вероятностей, например
ш (а, р, Л) = w (а) w (р) w (Л) =
"“(2ла2)3/2 Р(	2а*	Ц '
Но как только мы попробуем учесть еще и четвертую величину, то сразу наталкиваемся на зависимость
а2+р2=Х2+р2=А2.	(10.12)
Таким образом, значение |р| полностью определяется значениями а, р, X. Поэтому совместную четырехмерную плотность вероятностей для них следует записать так:
W Н) = 2{2^~ ехР { -а8+2^+Х2} X
х [8 (^ - /а’ + р’-Г) + 8	+	.
(10.13) «Лишняя» двойка в знаменателе учитывает равную вероятность значений	и —Н-
Вспомним теперь, как доказывается эквивалентность понятий «некоррелированность» и «независимость» для гауссовских случайных величин.
189
Для этого записывается совместное нормальное распределение п величин, корреляционная матрица полагается диагональной (что означает попарную некоррелированность), и тогда оказывается, что n-мерная плотность распадается на произведение п одномерных плотностей (что означает независимость). Поэтому правильная формулировка этого свойства: «для совместно нормальных случайных величин некоррелированность означает также независимость». Слово «совместно» часто опускают, и в результате возникает неточность.
В нашем случае £ и ц, будучи каждая в отдельности гауссовской, совместно гауссовскими не являются, так как четырехмерное распределение для их составляющих (10.13) негауссовское. Поэтому, хотя g и т) некоррелированные, они не являются независимыми и взаимная информация между ними не равна нулю.
10.4.	О РЭЛЕЕВСКИХ ЗАМИРАНИЯХ
Линейный канал с рэлеевскими замираниями можно определить следующим образом. Если на вход канала подан сигнал coscoi/, то на выходе наблюдается сигнал
Zi(/)=|xciCOS<Bii+nsisin a>it,	(10.14)
где Цс1(0 и psi(0 —стационарные и стационарно связанные гауссовские процессы с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми корреляционными функциями, вообще говоря, зависящие от о)ь Кроме того, для них, по определению, имеет место соотношение Цс1 (01М (Л =—Ця (0 Ня (Л, откуда следует также, что ,uci (0 ря (0 =0, т. е. в одинаковые моменты времени цС1 и ця взаимно не коррелированы. Будем полагать цС1 и ця «медленно
ними» процессами. Это значит, что их нормированные корреляционные функции pci (0 М-ci (Н--|~т) /ц2с1 практически не отличаются от 1 для значений т, меньших периода частоты входного сигнала 7’1=2л/®1.
Очевидно, что Zi(t) представляет также гауссовский процесс (узкополосный). Менее очевидно, что процесс zi(f) стационарен в широком смысле. Однако в этом можно убедиться, вычислив корреляционную функцию z\(t) для двух моментов времени t и t':
Bz (t> t')=z1(.t)zi(t')=: Ki (!) cos	P-si (0 sifl «’/] X
X ki (!’) cos co/' 4-1151 (^) sin »/'] =
= Pci (0 P’ci (O cos <0, t cos 4-	/) >S1 (f) COS mJ X
X sin mJ' 4- p.si (0 P-ci (t') sin co/ COS co/' 4*
+ M^i(^') sin co/ since/'.	(10.15)
Учитывая, что
(0 P’ci (O= Psi (0 (O =	— 0»
-	OO) = {V - 0,
это выражение можно упростить:-
Bz(t, У)=Ву\?—Z)cos coi (t'—/) +
Z)sin (Oi (f—t).	(10.16)
Таким образом, корреляционная функция B2(t, t') зависит только от разности /, а так как математическое ожидание гауссовского процесса z(t) равно нулю, то он является стационарным в широком смысле.
Подадим теперь на вход канала сигнал, состоящий из двух гармонических составляющих,
191
cos coi/-]-cos co2^ coi#=W2’ На выходе сигнал представляет сумму двух стационарных гауссовских процессов:
Z(0=Zi(0+Z2(0=Hcl(0COS ®1Н-
4-psi(/)sin ci>i^+pc2cos ®2<+Ps2 sin Ct>2(0,	(10.17)
которая также является гауссовским процессом.
Включим теперь на выходе канала два фильтра с амплитудно-частотными -характеристиками (АЧХ), близкими к прямоугольным, и неперекры-вающимися полосами пропускания так, чтобы один из них пропустил сигнал Zi(£), а другой — сигнал z2(0- Это всегда можно сделать со сколь угодно большой точностью, даже при очень близких частотах сен и <02, если все ц(/) изменяются очень медленно. Так, если спектр p(t) занимает частоты ниже 1 Гц (как это часто бывает в декаметровых радиоканалах), то частоты coi и <о2 могут различаться, скажем, на 10 Гц.
Для стационарных случайных процессов доказано (см., например, [41]), что сигналы, выделенные такими фильтрами с неперекрывающимися полосами пропускания, взаимно не коррелированы при любых сдвигах времени. Следовательно, можно утверждать, что Z\(t) и 22(0 взаимно не коррелированы (по крайней мере с той точностью, с какой их можно разделить фильтрами). Но если не коррелированы совместно гауссовские процессы Zi и 2г, то они и независимы, а следовательно, независимы и их огибающие 14 = ТЛЛпН-Л1 и 14 =	представляющие коэффициенты
передачи канала для двух близких частот сох и ®2-Следовательно, даже при очень малых сдвигах по частоте рэлеевские замирания должны быть практически полностью селективными!
192
Здесь тоже явно что-то не так. Инженеры, занимающиеся декаметровой радиосвязью, знают, для того чтобы замирания на двух частотах были слабо коррелированными, разность частот должна достигать по крайней мере 200—300 Гц, а иногда и более. Почему же мы получили неверный результат?
Не будем интриговать читателя и раскроем секрет. Дело в том, что, хотя гД/) и z2(0—стационарные гауссовские процессы, их сумма не является стационарным процессом. В этом легко убедиться, вычислив корреляционную функцию для zi(/)+z2(/) аналогично тому, как это сделано в (10.15). При этом возникнут «перекрестные» произведения, т. е. члены вида pci(/)pC2(/,)cos(0ifcos(02^/ и аналогичные,’которые никак нельзя представить функциями только разности tf—t. Теорема о некоррелированности сигналов на выходах непере-крывающихся фильтров к нестационарному процессу z(t) неприменима.
К сожалению, ошибочное мнение о стационарности суммы двух стационарных процессов довольно распространено среди инженеров, и на этой почве нередко возникают недоразумения.
Поучительным примером является поведение суммы центрированного стационарного процесса х(/) с процессом Xq(/), полученным путем сдвига спектра исходного процесса на некоторую частоту Q:
xQ(t) = x(t) costit -|-x(£) sinQf,	(10.18)
где x(t) —1 (как и ранее) преобразование Гильберта от x(t), которое, конечно, также является стационарным процессом.
13-3413	юз
Суммарный процесс z(t)=x(t)-\-x(t)cos Ш+ +•#(/) sin Q/ нестационарен. Чтобы убедиться в этом, достаточно вычислить его дисперсию zHt) =2£>(l+cosQ/),	(10.19)
где D—x2(t) —x2(t)—дисперсия исходного процесса. Из (10.19) видно, что процес z(t) нестационарен, так как его дисперсия зависит от времени, изменяясь от нуля до 4D, Это можно очень эффектно продемонстрировать на осциллографе. Сумма х(0+*q(0 имеет вид шума, модулированного по^амплитуде по закону 1 Ц-cosQ/ ~ = |K2-cos(£#/2)](phc. 10.1).
Рис. 10.1
10 5. ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБОК ПРИ ФАЗОРАЗНОСТНОИ МОДУЛЯЦИИ
Рассмотрим прием двоичных сигналов с фазоразностной (или относительной фазовой) модуляцией (ФРМ) в канале с аддитивным белым шумом. Сигнал, поступающий на вход приемника на 194
интервале (п—1)Т=^7<пТ, можно представить в следующем виде:
un(t)—AcQS (шоМ'Т]пл4“ф) +&(0>	(Ю-20)
где А—'амплитуда сигнала; соо — его круговая частота; г]п — случайная величина, принимающая значения 0 или 1 и определяемая передаваемым на данном интервале двоичным символом уп:
(mod 2)i;	(10.21)
Ф— случайная начальная фаза, которую можно считать практически постоянной на протяжении нескольких тактовых интервалов; £(/)—белый шум.
Если начальная фаза ф при приеме известна, то можно применить когерентный прием (рис. 10.2). Напомним его сущность. Приходящий сигнал перемножается с опорным сигналом (ОС) A cos (<о0/+ф), и произведение интегрируется на интервале от (п—1)Т до пТ. Результат интегрирования пТ
И cos (<о0/ 4- v 4- ?) 4Х (01Х (п-1) Т
х A cos («V 4- ?) dt = 0,5Д2Т cos v 4-J.	(10.22)
Здесь cosr]nn; принимает значение 1 при т|п = 0 пТ
ИЛИ —1 при Т)/г=1, а 0=	g(/)X С03((0о^+ф)^>
(n-l)T
по определению белого шума (см., например, [21]), является гауссовской случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,25Л2М), где Nq — односторонняя спектральная плотность белого шума.
По знаку 1п принимается' решение о значении т]п (0, если /„>0, и 1, если /п<0). Если бы речь шла об обычной ФМ, то это было бы окончательным решением о переданном символе. Но при 13<	195
ФРМ необходимо принять решение о символе уп, который согласно (10.21) равен rjn+'Hn-i (mod 2).
Сложение по модулю 2 можно заменить перемножением 1п и 1п-{ («сравнение полярностей» по старой терминологии). Легко видеть, что при InIn-}>Q должно быть принято решение у/г=0, а при ЛЛ~1<0 —решение уп=1.
Рис 10.2
Решение
Вероятность ошибочного решения для этого случая хорошо известна. Ошибка при определении знака т)п (т. е. ошибка при приеме сигналов ФМ) возникает, если в (10.22) 101 >0,5Й27\ а знак 6 противоположен знаку cos Учитывая нормальное распределение величины 6 и ее дисперсию, определим вероятность такой ошибки
P^\-F(hV2),	(10.23)
—ОО
Зависимость рфМ от h (10.23) представлена кривой 1 на рис. 10.3.
Ошибка в определении знака уп (т. е. ошибка при приеме сигналов ФРМ) произойдет тогда, 196
когда знак одной из величин г]п или ^«-1 будет определен ошибочно, а другой — верно, откуда
РФрм = 2рфм (1 - рфм) = 2 [ 1 - F (h V 2 )] F (й /2 )
(кривая 2 на рис. 10.3).
После этих предварительных напоминаний пе
рейдем к сути вопроса, которому посвящен данный
параграф. Предположим, что начальная фаза <р в (10.20) неизвестна и мы не пытаемся ее оценить. Тогда необходимо применить какую-либо из схем некогерентного приема. Предположим, что из соображений простоты реализации выбрана автокорреляцио иная схема демодулятора (рис. 10.4), вообще говоря, не оптимальная по помехоустойчивости. В этой схеме пришедший сигнал un(t) перемножается с тем же си
гналом, задержанным
на время Т, полученное произведение ип (Z) и ип-{ (/) интегрируется на интервале от (п—1)7 до пТ и по знаку этого интеграла Гп принимается решение о переданном символе уп (0, если /'„>0, и 1, если /'«<0).
Заметим, что входной фильтр является неотъемлемой частью схемы на рис. 10.4. Обычно реальные схемы; других демодуляторов — например когерентного (см. рис. 10.2), квадратурного — так
197
же содержат полосовой фильтр на входе, который предназначен главным образом для защиты от сосредоточенных помех и вызываемых ими перегрузок. Однако теоретически, если аддитивной помехой является только белый шум, входные фильтры не нужны, и в лучшем одучае при достаточно широкой полосе пропускания они не создают значи-
Рис. 10.4
тельных межсимвольных помех, нарушающих работу демодулятора. Схема же автокорреляционного приема без входного фильтра оказывается неработоспособной. Если на вход перемножителя поступает белый шум, то, перемножаясь с задержанным образцом того же шума, он должен теоретически создать случайный процесс с бесконечной дисперсией даже в ограниченной полосе частот, который полностью подавит сигнал. В реальных условиях шум, конечно, не является белым и бесконечная дисперсия не возникает, но помехоустойчивость схемы на рис. 10.4, если из нее удалить входной фильтр, была бы крайне низкой. В дальнейшем, для того чтобы можно было в первом приближении не учитывать межсимвольных помех, вызываемых переходными процессами в. фильтре, будем считать, что его полоса пропускания F достаточно широка по сравнению с \/Т. Как справедливо отмечено в [28], для практических расчетов межсимвольные помехи можно не учитывать, если ЕТ>2.
198
Итак, пренебрегая искажениями сигнала в фильтре, с точностью до постоянного коэффициента можно записать для напряжения на выходе интегратора пТ
!'п = J [A cos Ы 4- v 4- ?) 4- Е (01Иcos Ы 4-(«-1) Т
4- -111 ~г ?) 4- £ — 74] =
= О,5АгТ cos (7),, -	к + 0.4- 02 4- 03,	(10.24)
где —гауссовский ' шум на выходе входного фильтра;
пТ
61= у 5(0 A cos(<»4 4-T);i_iz4-cp)iZ/1
(«-D т
02= у 5(/ — Т) A cos (to,/-]- цпъ-\-<?)(И,
(/г-1) Т
пТ
03= J	(10.25)
(/г-1) Т
Учитывая, что т]п и трг-1 принимают значения 0 и 1 и связаны соотношением (10.21), легко сообразить, ЧТО COS (т|/г—Т]п-1)л равен 1, если 7/г = 0, или —1, если ?п=1. Таким образом, если составляющие помехи 01, 02 и 0з не вносят ошибок, то по знаку Гп можно сразу восстановить значение уп. Как и при когерентном приеме, ошибка возникнет тогда, когда абсолютное значение суммы 01+02+вз превысит 0,5А2Т, и будет иметь знак, противоположный cos (Т]п—1]лг-1)п.
Таким образом, автокорреляционный прием с ФРМ отличается от когерентного только тем, что вместо «шумовой компоненты» 0 здесь присутству-
199
ет 0/==О1 Ч-О2+Оз- Посмотрим, что из этого следует.
Случайная величина 01, так же, как и 0 в (10.22), является гауссовской с нулевым математическим ожиданием и дисперсией O,25+l27Vo- То же самое относится и к 02, причем, если пренебречь переходными процессами во входном фильтре, то 01 и 02 взаимно независимы, поскольку независимы отрезки §(/) шума на непересекающихся временных интервалах. Что же касается величины 03, то она не является гауссовской и имеет распределение вероятностей, выражаемое довольно неприятной формулой, в которую входит модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка (/(-распределение). Для вычисления распределения вероятности 9' нужно произвести свертку гауссовского и /(-распределения, что представ, ляет собой весьма трудоемкую работу. Правда, некоторые исследователи такую работу проделали [28]. Но предположим, что мы их результатов не знаем, а нас интересует только один вопрос: можно ли рекомендовать в наших условиях использовать схему автокорреляционного приема или следует применить более сложную схему оптимального некогерентного приема?
Оказывается, этот вопрос можно решить с помощью следующих «рассуждений». Шумовой член в (10.24) состоит из трех составляющих 01, 02 и 03. Отбросим последнюю. От этого вероятность ошибки может только уменьшиться. Так можно найти нижнюю границу вероятности ошибки при автокорреляционном приеме. Дальше все очень просто. Дисперсия суммы независимых и одинаково распределенных величин 01 + 02 вдвое больше дисперсии каждой из них, т. е. вдвое больше, чем дисперсия 0 в (10.22). Поэтому граница вероятности ошибки здесь будет выражаться такой же форму-?00
лой, как и (10.23), но отношение сигнал-помеха уменьшится вдвое, т. е.
Рфрмакп^!-^/7^).	(10.26)
Выражение в правой части этого неравенства представляет собой вероятность ошибок при когерентном приеме двоичных ортогональных сигналов (например, ЧМ). Эта зависимость показана на рис. 10.3 (кривая 3). Как мы «доказали», кривые для автокорреляционного приема должны проходить выше кривой 3. Для сравнения на этом же рисунке представлена кривая 4 вероятности ошибок при оптимальном некогерентном приеме сигналов с двоичной ФРМ.
Сравнивая кривые 3 и 4, можно сделать весьма неутешительные выводы относительно автокорреляционного приема. Действительно, оптимальный некогерентный прием с ФРМ очень мало отличается по помехоустойчивости от когерентного (кривая 2). При вероятностях ошибки примерно 10-3 и ниже оптимальный некогерентный прием проигрывает когерентному всего лишь около 0,5 дБ. Что же касается автокорреляционного приема, то уже по оценке, изображаемой кривой 3, он проигрывает 3 дБ когерентному приему с ФМ, или (при <10-3) 2,5 дБ когерентному приему с ФРМ, или около 2 дБ и более оптимальному некогерентному приему с ФРМ. Теперь можно ответить на поставленный выше вопрос.
Если проектируемая система передачи информации нуждается в экономии энергии, то, конечно, лучше пойти на некоторое усложнение схемы, чтобы сократить требуемую мощность на 2 дБ, т. е. примерно на 40%*. Заметим, что, по оценке американского ученого Е. Р. Берлекемпа, в системах космической связи 1 дБ стоит примерно 1 млн. дол.
201
Если же система не потребляет большой энергии (например, в проводной связи), то на первый план выступают соображения простоты и дешевизны аппаратуры и здесь схема автокорреляционного приема предпочтительнее.
Все это так. Но уместно вспомнить, что существует точное решение задачи о вероятности ошибок при автокорреляционном приеме для целочисленных значений FT. Соответствующая формула, полученная Р. Э. Гутом и М. Я. Лесманом, приведена в книге [28]/По этой формуле на рис. 10.3 построены кривые 5, 6 и 7 для значений FT соответственно 2, 3. и 5. Мы, конечно, ожидали, что они пройдут выше кривой 3, как это следует из неравенства (10.26). Но, к сожалению (или, скорее, к счастью), это не так. При тех вероятностях ошибок, которые соответствуют удовлетворительному или хорошему качеству приема, эти три кривые проходят ниже кривой 3. В действительности проигрыш при переходе от оптимального некогерентного приема ФРМ к автокорреляционному, составляет не 2 дБ, а значительно Меньше, особенно при малых р. Так, при р<10~3 и FT=2 проигрыш не превышает 0,6 дБ, а при р<10~4 и FT=3 0,8 дБ. При FT=5 проигрыш довольно велик, но все же для р<5-10~5 он меньше 2 дБ.
Итак, эти кривые полностью опровергают, неравенство (10.26), полученное с помощью таких простых и красивых рассуждений. Где же в них ошибка?
Найти ошибку нетрудно. Очевидно, отбрасывание 0з ведет, по крайней мере при малых FT, нс к уменьшению, а к увеличению вероятности ошибок. Удивительного в этом ничего нет, так как случайная величина 03 коррелирована с 01 и 02, что 202
при выводе (10.26) не учитывалось1. Попытаемся наглядно пояснить, почему учет 03 может не увеличивать, а уменьшать вероятность ошибки.
'Будем полагать, что величина FT невелика (скажем, 2 или 3). В этих условиях шум, прошедший через фильтр, можно рассматривать как ква-зигармонический случайный процесс со средней частотой соо’
£(/) =a(0cos [со0^+Ф(0],	(10.27)
где а(0^0 и ф(0 —относительно медленно меняющиеся случайные процессы.
Рассмотрим вначале случай, когда передается символ у«=0. В этом случае т]п=т]п-1 и первый член в (10.24) положителен. Ошибка произойдет, если 01+02+0з<—0,5Л2Г. Не будем пока учитывать 0з. Очевидно, что условие будет скорее всего выполняться, если и 01 и 02ч отрицательны и достаточно велики по абсолютной величине. Из (10.25) и (10.27) видно, что это может иметь место, когда на интервале от (л—2)Т до пТ помеха противоположна по фазе сигналам, т. е. значения ф(^) остаются близкими к —‘(ц^л+ф). Но при этом из (10.25) следует, что 63>0. Таким образом, в условиях, когда имеется опасность возникновения ошибки, 0з имеет знак, противоположный знаку 01 и 02, так что 161+62+6-31 < 161+021. Следовательно, пренебрегая величиной 63, мы не занизили, а завысили вероятность ошибки.
1 Такую ошибку чуть не сделал автор, когда писал свою диссертацию, но вовремя одумался и, убедившись в нестрогости рассуждений, выбросил этот раздел. Затем эта же ошибка была обнаружена им и исправлена в одной руа копией. Не так давно такой же «вывод» излагал один преподаватель студентам на лекции.
203
Аналогичный результат получается при передаче символа	В этом случае Y]n¥=Y]n-i и пер-
вый член в (10.24) отрицателен. Ошибка произойдет, если 61+02+0з>О,5А2Т, очевидно, что чаще всего при 01 >0 и 02>О.
Пусть для определенности Цп=0, щ_1 = 1. Тогда из (10.25) и (10.27) видно, что 01>О, если на интервале от (п—2)Т до (/г—1)Т близко к л+ф, а 02>О, если ф(^) на интервале от (п—1)Т до пТ близко к ф. Отсюда следует, что 0з<+, т. е. и в этом случае знак 0з противоположен знаку 01 и 02_.
Таким образом, шумовая составляющая 0з, как правило, не увеличивает, а уменьшает вероятность ошибок, как бы компенсируя действие 01+02- Конечно, при более широкой полосе пропускания входного фильтра, когда ф(/) довольно быстро изменяется на тактовом интервале, такая компенсация не столь выражена. Поэтому при FT>10 неравенство (10.26) действительно имеет место [28].
В научных исследованиях интуитивные соображения обычно полезны. Они помогают нащупать путь к решению задачи, а иногда и предугадать его. Но иногда они уводят в сторону от истины. Поэтому нужно «сохранять бдительность» и на завершающем этапе исследования подкрепить все рассуждения и выводы строгими доказательствами.
11.	СВЯЗЬ С СОБРАТЬЯМИ ПО РАЗУМУ
... И звезда с звездою говорит.
11.1. ГОТОВЬТЕСЬ К МЕЖПЛАНЕТНОЙ СВЯЗИ
Внеземные цивилизации... Что может быть увлекательнее задачи их поиска? И, конечно, этот поиск, а затем и установление связи с ними мыс-204
лится сейчас только с помощью электромагнитных волн. В настоящее время в ряде стран, в том числе и в Советском Союзе, проводятся систематические работы по поиску радиосигналов, которые, может быть, посылаются с неведомых планет далеких галактик. Но обнаружить сигналы — это еще только начало. Нужно научиться их понимать и отвечать на них. О трудностях на этом пути хорошо и образно рассказано в [32], и мы не будем на них останавливаться. Предположим, что они уже позади — мы научились хорошо понимать друг друга, договорились о коде (на что уйдет не одна сотня лет) —и теперь задача состоит в том, чтобы сообщить разумным существам планеты X как можно более подробные сведения о человечестве, его истории, современном состоянии и чаяниях. Сколько на это потребуется времени?
Такой вопрос затрагивается в книге И. С. Шкловского [55, с. 266], где приводятся следующие рассуждения: «Известно, что за всю историю человеческой культуры было написано около 100 млн. книг и рукописей. Будем считать (условно), что средний объем одной книги — десять авторских листов. Так как в одном авторском листе содержится по существующим стандартам 40 тыс. печатных знаков, то полное количество таких знаков в 100 млн. книг будет 4-Ю13. Если каждый знак кодировать в двоичной системе ..., полное число знаков двоичного кода, которое должно быть передано, будет порядка (1— 2)-1014. Если теперь полоса частот передающегося сигнала будет 1000 МГц,..., то потребуется 105 с, или всего лишь немногим более суток, чтобы передать содержание всего, что когда-либо было написано людьми!»
Такой результат, конечно, поражает читателя.
205
Подумать только: все то, что человечество накопило за тысячи лет существования цивилизации, можно передать за какие-то сутки. Хочется преклониться перед достижениями техники связи.
Однако не будем преждевременно радоваться. В приведенной цитате вопрос рассмотрен только с одной стороны — необходимой полосы частот в соответствии с пределом Найквиста (см. гл. 5). Но есть и много других проблем, в частности проблема энергетических ресурсов. Попробуем оценить энергию, необходимую для передачи информации-примерно 1014 бит.
11.2.	ПЕРЕДАЧА В ДИАПАЗОНЕ САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛН
Предположим, что единственной помехой при приеме сигналов является тепловой шум. Пусть приемник находится при температуре жидкого гелия (около-4 К) и коэффициент шума его равен единице. Средняя частота сигнала f около 1010 Гц, что соответствует длине волны Х=3 см. При этом спектральная плотность теплового шума (Вт/Гц) Л'. = е-ВДГГ!'=“Й^~5’2'10-’'.	(И|)
Здесь /г=6,5-10“34 Дж-о — постоянная Планка; &^1,38-10~23 Дж/К—<постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура.
Поскольку в этих условиях hf^ikT, то Nv^kT, квантовыми эффектами можно полностью пренебречь; а шум считать белым гауссовским. В этих условиях пропускная способность канала связи на единицу времени (бит/с) выражается известной формулой Шеннона
C=F log(l+PnpM/M)F) < (РпРм/М>)1о&е, (11.2)’ 206
Где Р — ширина спектра сигнала; РПрм — мощность сигнала на входе приемника. Неравенство в (11.2) следует из оценки Inx^x—1, в которой равенство имеет место только при х=1.
Пусть на передачу М. бит затрачено секунд. Тогда
МCtM < (РпРмtM/NQ) log е= (Ем/No) log е, где Ем — энергия сигнала на входе приемника, необходимая для передачи М бит информации, которая в соответствии с полученным неравенством ограничена снизу величиной
EM>MNQ/\oge.	(11.3)
Подставляя сюда 7И=1014 бит и 7VO=5,2X Х10-23 Вт/Гц, получим, что к приемнику на планете X -необходимо подвести энергию сигнала, не меньшую 5-10~9 Дж. 1 Если ‘при этом /м=105 с (около 28 ч), то мощность сигнала, подводимая к приемнику, Рпрм>5-10~14 Вт.
Перейдем теперь к передатчику. Мощность сигнала на входе приемника при распространении в свободном пространстве
Рпрм=РизлХ2О1О2/ (4лг)2,	(11.4)
где Ризл — излучаемая мощность; г — расстояние между передатчиком и приемником; Gi, G2— Коэффициенты усиления передающей и приемной антенн соответственно.
К тому времени, когда удастся установить контакт с внеземными цивилизациями, радиотехника уйдет далеко вперед. Поэтому примем, что на волне Х=3 см коэффициенты усиления антенн Gi= = G2=106, что превышает сегодняшние возможности. Угол раствора диаграммы направленности такой антенны около 2(У.
207
Для того чтобы вычислить излучаемую мощность, недостает еще одного параметра — расстояния от Земли до планеты. Здесь можно только гадать, опираясь на высказывания специалистов. В [32] приводится сводка мнений различных ученых, занимавшихся этой проблемой. Среднее расстояние между двумя планетами, на которых существует разумная и достаточно технически развитая жизнь, по их оценкам колеблется от 10 (по Билсу) до 1000 (по Хорнеру) световых лет. По оценкам других ученых (Саган, Камерон, Опарин, Фесенков, Шкловский) это расстояние ближе к 100 световым годам. Таким образом, разброс оценок на два порядка. К тому же существует и разброс истинных расстояний относительно среднего Г
Предположим, что нам «повезло» и планета X находится всего лишь на расстоянии около 35 световых лет, т. е. 3-1019 см. Оценим необходимую мощность излучения, подставив это значение в уравнение (11.4):
D _ Лхрм WV1 2 * * *	5 -10 -14 -158 -1039
^изл	~	9-106.106	~
= 109МВт.
Такую мощность могли бы дать 100 тысяч Красноярских ГЭС. Конечно, рассчитывать на получение такой мощности радиоизлучения даже через несколько столетий совершенно не реально2. Да-
1 Это писалось в 1977 г. В настоящее время оценки стали еще более пессимистичными. В частности, коренным образом изменил свою точку зрения чл.-кор. АН СССР И. С. Шкловский.
2 Следует заметить, что здесь речь идет о средней, а не
пиковой мощности, подводимой к антенне передатчика. Пи-
ковая мощность в импульсном режиме может на много
порядков превышать среднюю.
208
вайте, однако, помечтаем. Проявим максимум оптимизма и будем полагать, что мощности радиопередатчиков для космической связи к моменту установления контакта с планетой X достигнут 100 МВт. Тогда мощность принимаемого сигнала согласно формуле (11.4) будет около 5-10“21 Вт. Так как для передачи информации в 1014 бит нужно довести до приемника 5-10“9 Дж, то на это уйдет Ю“9/5-10-21 = 1012 с «30 000 лет, т. е. в 3 раза больше тех ста веков, в течение которых человечество добывало и создавало эту информацию!
11.3.	СВЯЗЬ В ОПТИЧЕСКОМ ДИАПАЗОНЕ
Нельзя ли, однако, получить более обнадеживающие результаты, выбирая другие параметры системы связи?
Конечно, можно уменьшить требуемую мощность (или требуемое время при данной мощности), снижая температуру приемника. Если снизить ее от 4 К, скажем, до 0,4 К, то все полученные цифры уменьшатся в 10 раз. Но это уменьшение вряд ли можно считать существенным. Надеяться на еще большее снижение температуры не реально.
Глядя на формулу (11.4), можно подумать, что к желаемым результатам приведет увеличение длины волны, но это только кажется. При увеличении длины волны уменьшатся коэффициенты усиления антенн (при тех же размерах и сложности) и в результате уменьшится числитель. Но может быть лучше не удлинять,, а укорачивать волну? Действительно, этот путь кажется перспективным. Дело в том, что при этом не только можно увеличить направленность излучения, но, как следует 14—3413	209
из формулы (11.1), и уменьшить интенсивность теплового шума.
Уменьшим, скажем, длину волны в 50 000 раз, взяв Х=6-10~5 см, что соответствует видимому свету *, и применим в качестве передатчика сверхмощный лазер, который сейчас еще не существует, но, несомненно, будет построен к моменту организации связи с планетой X. Тогда /=5-1014 Гц, и даже при комнатной температуре (Г ^300 К) hf/kT ж и из формулы (11.1) получим ^5-10~103 Вт/Гц, т. е. примерно в 1080 раз меньше, чем в предыдущем примере. Это значит, что во столько же раз уменьшится требуемая мощность сигнала? Тогда для передачи «всей» информации за сутки вместо 1015 Вт потребуется всего лишь Ю-65 Вт? Зачем же тогда говорить о сверхмощном лазере? Ведь самый маломощный из су-* ществующих лазеров обеспечивает несравненно большую мощность.
К сожалению, это не так. Действительно, при Т=300 К тепловой шум на частоте 5-1014 Гц практически полностью отсутствует. Но зато необходимо учитывать ошибки, возникающие из-за квантовой структуры излучения. Дело в том, что для передачи определенного объема информации необходимо, грубо говоря, послать достаточное количество фотонов.
Разберемся в этом примере подробнее. Для идеального квантового канала, в котором не существует тепловых шумов и поглощения фотонов,
1 Применять еще более короткие волны удастся только в том случае, если передатчик будет вынесен за пределы земной атмосферы, сильно поглощающей ультрафиолетовое излучение.
210
в [25] получено приближенное выражение пропускной способности (бит на степень свободы)
С ж п [ 1+1п (1 /п) ] log е п log (1 In),	(11.5)
где n—ч среднее число (по ансамблю сигналов) регистрируемых фотонов L
Для того чтобы найти максимальное количество информации, которое может быть передано в полосе частот F за время tM, поскольку число степеней свободы с учетом двух квадратурных составляющих и двух составляющих поляризации равно 4F/m, нужно умножить С на эту величину. Пусть полоса F составляет 20% от несущей f, т. е. р=Ю14 Гц. Для того чтобы передать 1014 бит информации, необходимо затратить время tM и число фотонов 4FtMh, удовлетворяющие уравнению
4FtMn log (1 /п) =М = 1014.	(11.6)
Задаваясь различными значениями решаем это уравнение (что легко сделать методом итераций с помощью микрокалькулятора) и находим соответствующее значение п. Мощность принимаемого сигнала равна энергии фотонов, приходящих в 1 с:
PnW=4Fnhf.	(11.7)
1 Выражение (11.5) имеет максимум при п=е“1, но оно выведено в предположении п<1. В той области значений п, для которой оно справедливо, пропускная способность монотонно возрастает при увеличении п. Заметим во избежание недоразумений, что, хотя общее число фотонов всегда целое, среднее число фотонов на степень свободы (например, при одной моде за 1 с в полосе 1 Гц) может быть дробным и, в частности, много меньше единицы. Это просто означает, что, например, в полосе 1 ГГц фотоны регистрируются значительно реже чем 109 раз в секунду.
14*	211
Излучаемая мощность связана с принимаемой мощностью формулой (Н.4), которую удобнее для оптического диапазона представить в следующем виде:
PnpM=(SiS2/r2K2)x]P^^	(11.8)
где Si, S2— площади передающей и приемной «антенн» соответственно (в данном случае, это, по-видимому, площади зеркал телескопов); т]— коэффициент, учитывающий поглощение света в оптической системе, атмосфере, приемном устройстве.
Оставаясь на почве, близкой к реальности, будем считать, что площадь зеркала телескопа Si = =S2=106 см2 (т. е. диаметр зеркала немного больше 11 м)'. Коэффициент ц обычно не превышает 0,01.
Объединяя формулы (11.7) и (11.8) и учитывая, что f=c/k (где с=3-1010 см/с — скорость света) и Л=6,5-10~34 Вт-с2, получаем: ризл=4/тМг2/ (S iS2t]) ,	(11.9)
или при г=3-1019 см, Х=6-10~5 см и 5iS2t]= = 1010 см4, Ризл=4,2-1016й.
Таблица 11.1
*М		п	Ризл- Вт	Е , Вт-с М
1 ч	3600 ,	3,86-10-»	1,626-1011	5,85-1014
1 сут	86 400	1,26-Ю-7	5,ЗЬ109	4,59-1014
1 мес	2,6-Ю6	3,43-10-»	1,44-108	3,74-1014
1 год	3,1Ы07	2,52-10-10	1,06-Ю7	3,30-1014
10 лет	3,1Ы08	2,27-10-11	9,56-105	2,97-1014
100 лет	3,11-109	2,07-10-12	8,72-104	2,71.1014
1000 лет	3,11-Ю10	1,90-10-13	8,00-103	2,49-1014
212
Полученные результаты сведем в табл. 11.1. В последнем столбце указана полная энергия, необходимая для передачи всей информации, которая в квантовом канале, в отличие от идеального «классического», не остается постоянной, а возрастает с увеличением скорости передачи.
Таким образом, чтобы передать всю накопленную человечеством информацию даже не за сутки, а за месяц, потребовалась бы немыслимая средняя мощность излучения лазера 144 МВт. При средней мощности излучения 8 кВт передача займет 1000 лет.
Эти результаты лучше, чем для волны 3 см, однако и они свидетельствуют о невозможности передать 1014 бит за время, меньшее жизни нескольких поколений людей на Земле.
11.4.	ГДЕ, ВЫХОД?
Нельзя ли, однако, выбрать такие параметры системы связи, чтобы передать 1014 бит информации если не за сутки, то все же за приемлемый отрезок времени, используя более или менее реальную мощность излучения? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим произведение Ем=Риз^м, равное общей излученной энергии. Из (11.5) и (11.9) можно получить
EM=Mhr2ck/(SiS2n log/г-1).	(11.10)
Эту энергию можно снизить, увеличив Si, S2 и т] и уменьшив X. Что касается площадей антенн S, то трудно, надеяться на возможность их существенного увеличения. Коэффициент т| по своему смыслу меньше единицы. Так что остается единственный реальный путь — уменьшение К.
213
Если задаться целью передать 1014 бит хотя бы за 10 лет (т. е. /м=3-108 с), излучая при этом среднюю мощность, не превышающую 105 Вт, то Ризл^м=3-1013 Дж. В рассмотренном выше примере при Х=6-10_5 см это произведение было порядка 3-1014 Дж. Следовательно, можно добиться цели, укоротив длину волны в 10 раз (до 6-10_6 см), т. е. перейдя в область очень коротких ультрафиолетовых волн.
Итак,, если мы ухитримся сделать ультрафиолетовый лазер со средней мощностью излучения 100 кВт да установим его вместе с ультрафиолетовым телескопом с S=106 см2 на Луне (чтобы избежать поглощения в атмосфере), то за 10 лет мы сможем передать на планету X всю накопленную человечеством информацию.
Впрочем, есть более простой и разумный выход. Прежде всего не будем пытаться передать все, что было когда-либо написано. Ведь немало писалось и явных глупостей. Ограничимся, скажем, для первого раза передачей Большой советской энциклопедии, содержащей «всего лишь» около 109 бит. Затем вспомним, что если планета X находится на расстоянии 35 световых лет, то ответ на любое наше послание мы сможем получить только через 70 лет. Поэтому нет никакого смысла стараться уложиться в сутки и даже в 10 лет. А за 70 лет мы сможем передать нашу «сокращенную» до 109 бит информацию даже на волне-3 см передатчиком мощностью около 50 кВт или на волне 6-10“5 см с помощью лазера, излучающего несколько ватт. К такой передаче мы можем приступить в самое ближайшее время ..., если, конечно, найдем планету X с разумными обитателями и научимся понимать друг друга.
214
12.	НЕМНОГО ИНФОРМАЦИИ
С начала 1950-х гг. предпринимаются попытки использовать понятие информации (не имеющее пока единого определения) для объяснения и описания самых разнообразных явлений и процессов.
Б С Э
12.1.	ЧТО ТАКОЕ ИНФОРМАЦИЯ?
В некоторых учебниках дается следующее определение информации: информация — совокупность сведений, подлежащих хранению, передаче, обработке и использованию в человеческой деятельности. Такое определение не является полностью бесполезным, так как оно помогает студенту хотя бы смутно представить, о чем пойдет речь. Но с точки зрения логики оно бессмысленно. Определяемое понятие (информация) здесь подменяется другим понятием (совокупностью сведений), которое само нуждается в определении.
Автор долго думал о том, как лучше определить информацию, и, не придумав ничего хорошего, решил заглянуть в Большую советскую энциклопедию. Там он обнаружил фразу, приведенную в эпиграфе.
Что же, не будем пока пытаться дать исчерпывающее определение понятию информации. Будем полагать, что читатель достаточно -хорошо представляет себе общий смысл этого слова в том виде, как оно понимается в современной науке. Заметим, что 40—50 лет тому назад термина «информация» в современном значении вовсе не было, а под этим словом понимались в основном газетные сообщения и справки.
Сейчас кажется странным и непонятным, как можно было в прошлом обходиться без современ
215
ного понятия информации. Ни П. Л. Шиллинг (построивший 150 лет тому назад первый электрический телеграфный аппарат), ни С. Морзе, ни А. С. Попов не думали о том, что они занимаются передачей информации. В наши дни понятие» информации все больше проникает в различные области науки и техники. Мы знаем теперь, что функция нервной системы человека и животных заключается в хранении, передаче и обработке информации, мы говорим о генетической информации, об эстетической и т. д.
Уже отмечалось [56], что два основных постулата современной физики имеют информационную природу — постулат специальной теории относительности по существу заключается в том, что информация не может передаваться в пространстве со скоростью, большей скорости света, а соотношение неопределенности, лежащее в основе квантовой физики, определяет предел возможности получения совместной информации о координате частицы и ее импульсе. К этому же можно добавить, что и второй принцип термодинамики можно трактовать как информационный, если последовательно руководствоваться идеей Л. Бриллюэна [3] об информации как отрицательной энтропии (негэнтропии). С этих позиций смысл второго принципа термодинамики можно свести к тому, что информация о замкнутой изолированной системе не возрастает — она остается постоянной при обратимых процессах и убывает при необратимых.
Итак, важность понятия информации не вызывает сомнений. Обращаться с ней мы научились, в частности умеем вычислять количество информации. Что же касается ее определения, то «пока» не будем пытаться его сформулировать. Тем не
216
менее о сущности информации кое-что можно сказать.
На наш взгляд, правильно считать информацию атрибутом материи [43]. Она отражает взаимосвязь и взаимозависимость явлений и существующее во Вселенной разнообразие. Исходя из этого представления, можно обсудить некоторые свойства информации, по поводу которых еще не существует единой установившейся точки зрения.
12.2.	ОБЪЕКТИВНОСТЬ ИНФОРМАЦИИ
Не так давно мне пришлось выдержать большой спор со своим коллегой и другом С. Ю. Воз-бннасом. Он определяет информацию как реализованную субъектом возможность отображать, реагировать на раздражения, воспринимать, познавать объект. Под субъектом здесь понимается обязательно живое существо. Вне жизни, полагает Возбинас, информации не существует. Для обоснования своей точки зрения он приводит много доводов и цитат из классиков. Тем не менее мне кажется, что такой подход обедняет понятие информации и лишает его объективности.
Я полагаю, что информация существует и там, где жизнь отсутствует. Излучение звезды, на которой жизни нет, содержит информацию о ее химическом составе, температуре, характере движения и т. д. Если даже это излучение не достигнет ни одной планеты, на которой существуют разумные существа, интересующиеся астрономией, эта информация, хотя никем не используемая, объективно существует. Структура молекулы содержит информацию о кристаллической решетке, реализуемую тогда, когда данное вещество кри
?17
сталлизуется, независимо от того, наблюдает ли это явление живое существо или нет.
Сказанное здесь не противоречит тому общеизвестному факту, что с появлением жизни роль информационных процессов неизмеримо возросла. Они определяют поведение и эволюцию живых организмов.
Появление разумных существ определило новый этап развития процессов передачи, хранения и использования информации. В частности, появилась возможность кодирования информации. Под кодированием обычно понимают преобразование сообщения в сигнал (или одного сигнала в другой), правила которого определяются не каким-либо сходством, а условным соглашением (явным или неявным) между передающим и принимающим информацию. Так, например, преобразование текста в последовательность импульсов в телеграфном аппарате является кодированием, а амплитудная модуляция кодированием не является. С этой точки зрения речь представляет собой код, с помощью которого обмениваются информацией люди, говорящие на одном языке, тогда как соответствие между химическим составом вещества и его спектром излучения или поглощения не следует называть кодом, поскольку оно определено физическими законами, а не условным соглашением. Впрочем, в общепринятой терминологии это различие не всегда соблюдается. Например, мы говорим о генетическом коде, хотя соответствие между тетрадами оснований в ДНК и аминокислотами обусловлено не условным соглашением, а естественными законами природы, может быть, не полностью выявленными современной наукой.
218
12 3. О «ЗАКОНЕ СОХРАНЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ»
Вещество, энергия и информация нередко рассматриваются как «три кита», на которых построена Вселенная. Во всяком случае отрасли 'современной техники легко могут быть подразделены на три направления, связанные с переработкой и транспортированием вещества, энергии и информации.
Относительно вещества и энергии давно известны законы сохранения, которые, впрочем, на основе общей теории относительности объединяются в единый закон. Относительно информации такого общепризнанного закона нет. Не удивительно, что многие авторы пробуют сконструировать закон сохранения информации по аналогии с другими законами сохранения.
Здесь необходимо упомянуть замечательную книгу А. Реньи [33], третья часть которой написана в форме записок студента по теории информации. Это позволило автору высказать идею закона сохранения информации от имени начинающего студента, не • заботясь о подыскании убедительных доводов и доказательств, и предоставить читателю догадываться, совпадают ли точки зрения автора книги и его персонажа — студента.
Мне тоже не хотелось бы категорически высказывать свое мнение по этому вопросу, хотя я очень сомневаюсь в возможности и целесообразности формулировки закона сохранения информации. Во всяком случае, если такой закон и существует, то его формулировка должна быть не очень простой. В частности, потребуется уточнить, что понимается под количеством информации.
Не так давно мне довелось прочесть афоризм (автора его, к сожалению, не помню) «Если у
219
меня есть яблоко, а у вас — другое яблоко и мы обменяемся ими, то у каждого из нас по-прежнему будет по одному яблоку. Если у меня есть новость, а у вас — другая новость и мы обменяемся ими, то у каждого из нас будет по две новости». Отсюда видно, что с сохранением информации дело обстоит не так просто, как с сохранением вещества или энергии.
По-видимому, для того чтобы подогнать факты под какую-то форму закона сохранения информации, необходимо положить,  что распространение информации (например, при издании книги большим тиражом) не изменяет ее количества. Для преодоления возникающих трудностей Л. Бриллюэн [3] вынужден был ввести понятия «живой» и «мертвой» информации.
Если говорить о конкретном содержании информации, выражаемой в виде взаимной информации /(X, У) (информация, содержащаяся в X относительно У), то можно привести много примеров, противоречащих идее сохранения и показывающих, что информация может исчезать и зарождаться.
Древнегреческий математик Аполлоний Пергский (около 260—170 до н. э.) написал свой знаменитый трактат о конических сечениях в восьми книгах. Из них сохранилось семь, причем три — только в арабском переводе. Одна книга, по-видимому, безвозвратно утеряна. Следовательно, информация о тексте этой книги утрачена.
С другой стороны, взаимная информация рождается всегда, когда имеет место какое-то взаимодействие. Поток рентгеновских лучей, пройдя через легкие больного, приобретает информацию об их состоянии, которая затем частично выявляется на флюоресцирующем экране. Согласно теории, точ-220
ио такое же количество информации об этом потоке содержится в легких. Таким образом, факты исчезновения и зарождения информации очевидны. Впрочем, не все очевидное верно. Ведь «очевидно», что количество воды в открытом стакане постепенно убывает, а летящая стрела в конце концов падает, однако законы сохранения вещества и энергии неоспоримы.
Значительные трудности возникают и при попытке сформулировать закон сохранения не для взаимной информации, а для «собственной» информации, или энтропии. В сущности энтропия (в теории информации) представляет собой потенциальную возможность данного случайного объекта (события, величины, процесса) содержать информацию. Большой интерес до сих пор сохраняет подход, предложенный еще в 1956 г. Л. Бриллюэном, основанный на взаимосвязи информационной и термодинамической энтропий. Этот подход не привел к формулировке нового закона сохранения, однако позволил высказать соображения об обобщении принципа Карно (второго закона термодинамики) с учетом вносимой в систему информации. К сожалению, эти идеи, кажется, не получили дальнейшего достойного развития.
12.4.	О ПОСТУЛАТАХ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
Теория информации зародилась как математическая теория связи. Именно так называлась статья Шеннона [54, с. 243—332], в которой впервые сформулированы основные понятия и теоремы. Конечно, понятие «связь» можно трактовать в очень широком смысле, что и было сделано многими исследователями в различных областях науки, например лингвистике, теоретической физике, экономике. В ряде случаев дело сводится к меха-
221
Нйческому переносу терминов теории информаций, иногда без ясного понимания их смысла. Возникла опасность дискредитации основных идей теории информации.
Первым, забившим тревогу по этому поводу, был сам Шеннон [54, с. 667]. После его выступления поток публикаций, в которых понятия теории информации трактуются весьма расширительно, несколько поредел. Однако до сих пор время от времени появляются работы, в которых идеи теории информации применяются к самым различным проблемам точных, естественных и гуманитарных наук. Следует признать, что многие содержат весьма полезные и достаточно обоснованные результаты. Наряду с этим появилось немало работ, в которых подвергаются критике некоторые уже. ставшие классическими приложения теории информации, в том числе и теории связи.
Оставим в стороне содержание этих работ, попытаемся четко сформулировать условия (постулаты), при которых в теории информации исследуются системы связи. Некоторые из этих условий обычно подразумеваются, но далеко не всегда указываются в явном виде.
1.	Источник сообщения осуществляет выбор сообщения из некоторого множества с определенными вероятностями.
2.	Сообщения могут передаваться по каналу связи в закодированном виде. Кодированные сообщения образуют множество, являющееся взаимно однозначным отображением множества сообщений L Правило декодирования известно декодеру (записано в его программе).
1 Вообще говоря, кодирование может производиться и неоднозначно. Важно, чтобы однозначно происходило декодирование (в отсутствие шума).
222
3.	Сообщения следуют друг за другом, причем число сообщений, от которых зависит кодовый символ (длина кодовых ограничений), может быть сколь угодно большим.
4.	Сообщение считается принятым верно, если в результате декодирования оно может быть в точности восстановлено. При этом не учитывается, сколько времени прошло с момента передачи сообщения до момента окончания декодирования и какова сложность операций кодирования и декодирования.
5.	Количество информации не зависит от смыслового содержания сообщения, от его эмоционального воздействия, полезности и даже от его отношения к реальной действительности.
Из этих условий только первое сформулировано четко в работе 'Шеннона, а также в большинстве монографий по теории информации. Однако легко убедиться, что нарушение любого из них либо не позволяет определить количество информации, либо существенно влияет на смысл теорем кодирования Шеннона. Рассмотрим их по порядку.
12.5.	ПЕРВЫЕ ТРИ УСЛОВИЯ
На возможность нарушения первого условия и на затруднения в определении при этом количества информации, по-видимому, впервые указал академик А. Н. Колмогоров [19]. В частности, он писал: «...Практически можно считать, например, вопрос об «энтропии» потока поздравительных телеграмм... корректно поставленным в его вероятностной трактовке и при обычной .замене вероятностей эмпирическими частотами... Но какой реальный смысл имеет, например, говорить о «ко-
личестве информации», содержащейся в тексте «Войны и мира»? Можно ли включить разумным образом этот роман в совокупность «возможных романов», да еще постулировать существование в этой совокупности некоторого распределения вероятностей?...»
Существуют и другие ситуации, в которых трудно говорить о каких-либо вероятностях. В работе [56], содержащей немало глубоких мыслей, отмечается, что нельзя задать вероятность появления самолета над данным районом. Поэтому нельзя определить и энтропию сообщения, выдаваемого радиолокационной станцией обнаружения. Вряд ли с этим утверждением можно безоговорочно согласиться (см. ниже).
В упомянутой работе А. Н. Колмогорова намечаются некоторые пути определения количества информации без использования понятия вероятности. К сожалению, эти идеи не получили дальнейшего развития.
Второе условие обычно выполняется в системах связи. Однако существуют ситуации, когда правило декодирования получателю неизвестно. Одна из них возникает при приеме шифрованного сообщения, если принцип, шифрования или хотя бы использованный ключ неизвестны (этому вопросу, между прочим, посвящена работа Шенно-* на [54, с. 333—402])'. Другой пример относится к связи с инопланетными цивилизациями. Сможем ли мы обмениваться с ними информацией, не договорившись заранее о коде?
В 1967 г. в обсерватории Кембриджского университета при изучении космических радиоизлучений на частотах порядка 100 МГц обнаружили периодическую последовательность коротких радиоимпульсов, приходящих из одной точки Галак-224
тики. Эти импульсы имели чрезвычайно стабильный период следования — немного больше 1 с. Они настолько отличались от обычных излучений космических объектов, имеющих характер гауссовского шума с неравномерным спектром, и так походили на сигналы земных радиомаяков, что в первый момент обнаруживший их проф. Хьюиш не сомневался в том, что принял сигналы, посылаемые разумными существами. Именно поэтому он не торопился с публикацией и продолжал изучать эти импульсы. Оказалось, что таких источников радиоимпульсов (пульсаров) существует довольно много, и вскоре появилось несколько гипотез об их природе, объясняющих периодичность и другие особенности импульсов без предположения об участии в этом инопланетных цивилизаций. В настоящее время считается, что пульсары — это быстро вращающиеся нейтронные звезды.
Но давайте пофантазируем. Предположим, что обнаружено космическое излучение, представляющее последовательность импульсов (единиц) и пауз (нулей), например, такого характера: 000100100011010001010110011110001001 ит. д.
На первый взгляд это довольно хаотическая последовательность. Однако, разбив эти символы на группы по четыре, легко обнаружить, что они представляют двоичную четырехразрядную запись последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
Можно ли утверждать, что это излучение посылается разумными существами?
Оценить вероятность такой гипотезы невозможно хотя бы потому, что об априорных вероятностях существования цивилизации в некотором участке Галактики нам, в сущности, ничего неизвестно. Можно, однако, говорить о правдоподобии этой 15-3413	225
гипотезы, которое довольно велико,, так как если предположить существование инопланетных разумных существ, которые хотят установить контакт с «собратьями по разуму», то с большой вероятностью они пошлют именно такого рода сигналы.
Вполне возможно, что будет высказана и противоположная гипотеза о «неразумном» происхождении этого излучения, но если не будет найдено никакого правдоподобного объяснения возникновения такой последовательности импульсов в результате физических процессов, то можно будет утверждать, что мы извлекли из кодированного сигнала информацию о существовании внеземной цивилизации, не договорившись заранее о коде.
В [32 и 55] рассказывается об эксперименте, проведенном на радиоастрономической конференции в Грин Бэнк (США), где участникам раздали ленты с последовательностью нулей и единиц и предложили расшифровать эту «запись сигнала из космоса». Большинство участников успешно справилось с этой задачей, догадавшись, что они имеют дело с разверткой изображения на плоскости. Восстановив это изображение и проявив еще много догадливости, они могли судить об облике существ, пославших сигнал, об их планетной системе и о многом другом. Это тоже подтверждает, что, не договариваясь о коде, можно извлекать информацию из сигнала.
Еще пример. Исследуя спектр излучения звезды, мы извлекаем информацию о ее химическом составе, температуре, скорости движения относительно Солнечной системы, магнитном поле и т. д. И все это тоже без договоренности о коде.
Можно привести еще ряд примеров «раскрытия кода», начиная от известного рассказа Эдрага По
226
«Золотой жук» и кончая раскрытием генетического кода, которое считается одним из крупнейших достижений современной науки. Все они, однако, не позволяют утверждать, что кодированное сообщение всегда может быть декодировано без предварительного знания кода. Во всяком случае в теоремах кодирования теории информации предполагается, что при декодировании код известен, и без этого предположения они теряют смысл.
Третье условие также совершенно необходимо для применения теорем кодирования, поскольку они имеют асимптотический смысл. К автору неоднократно обращались за советами такого характера: как закодировать сообщение, содержащее всего лишь 10 бит, чтобы оно было принято верно с вероятностью 1—1*10-6, если вероятность ошибки в канале без памяти р равна 10-2, а передать можно не более 20 двоичных символов. В ответ автор только разводил руками и признавался в своем бессилии.
— Как же так? — возмущался спрашивающий.—Ведь пропускная “способность двоичного симметричного канала равна 1 +plogp+ (1— —p)log(l—Р), что составляет при /?=10~2 более 0,9 бит на символ. Следовательно, по теореме кодирования достаточно иметь хоть немного более 10% избыточных символов, чтобы декодировать со сколь угодно малой вероятностью ошибки. А я допускаю даже 50% — 10 избыточных символов из 20. Вероятно, вы просто не знаете хороших кодов.
Что можно на это возразить? Конечно, если бы длина кодового блока была 200 при 100 информационных сигналах, то задача решалась бы легко. Можно было бы, например, применить линейный код (200, 100), полученный укорочением БЧХ (255, 15*	227
loo) и позволяющий исправить до 13 ошибок в блоке. Тогда при />=1(Н вероятность ошибочного декодирования была бы около 1,52-10 7. В данном же случае, если даже выторговать у заказчика еще один проверочный символ, лучшее, что можно применить,— это укороченный код Голея (21, 10), который в заданных условиях позволяет получить вероятность ошибочного декодирования около 6,32-10-5, т. е. в 63 раза больше допустимой. Еще хуже будет в канале с памятью, хотя его пропускная способность и выше; асимптотика проявляется лишь при длине кода, превышающей интервал сильной корреляции между ошибками.
12.6.	ИНФОРМАЦИЯ и ВРЕМЯ
В четвертом условии самым важным является возможность задерживать сообщения на сколь угодно большое время. Строго говоря, это условие на практике никогда не выполняется. Даже поздравительная телеграмма, пришедшая через неделю после дня рождения,,не доставит радости получателю (правда, такие задержки вызываются обычно не процессами кодирования и декодирования, а другими причинами). Однако нередки случаи, когда и малые задержки недопустимы, что накладывает ограничения на длину кода и не позволяет в полной мере применить теоремы кодирования. Это имеет место, например, при передаче информации в автоматизированных системах управления различными технологическими процессами. В этих случаях обычно говорят о передаче в реальном масштабе времени. Но в понятия теории информации этот термин никак не вписывается.
Следует особо отметить один вид сообщений, к которому теория информации, по-видимому, не 228
применима из-за нарушения четвертого условия. Это — сообщения, относящиеся к самому времени. Представьте, что с сигналами точного времени, передаваемыми сетью радиовещания, поступили так же, как обычно поступают с различного рода радиорепортажами, музыкальными передачами и т. п.— сначала записали на пленку, а потом в произвольный момент времени воспроизвели. Конечно, такие сигналы никакой информации о времени уже не содержат. Поэтому кодирование сигналов времени имеет свою специфику и не может решаться теми же методами, что и кодирование обычной информации.
То же самое (хотя и с некоторыми оговорками, относящимися к периодичности) можно сказать о передаче информации, необходимой для синхронизации каких-либо процессов, в частности самого процесса обработки и декодирования сигналов. И хотя нетрудно вычислить количество информации, необходимое для синхронизма с заданной точностью, передавать ее необходимо с учетом ее специфики. Это, конечно, не относится к «цикловой синхронизации», задачей которой является не привязка к определенному моменту времени, а указание на первый символ в блоке.
Интересно с этой точки зрения рассмотреть условия кодирования информации об обнаружении самолета радиолокационной станцией. Автор работы [56] полагает, что невозможность задать вероятность появления самолета над данным районом в данный отрезок времени препятствует применению теории информации. Однако всегда можно приблизительно оценить эту вероятность снизу. Пусть, например, самолет появляется в среднем один раз в 3 часа, а фиксировать момент появления нужно с точностью до 1 с. Тогда вероятность
229
появления самолета в данном секундном интервале р,<10_4 и энтропия источника не превышает Н= =—plogp—(1—p)log(l—р)^1,5-10~3 бит. Таково минимальное количество информации, которую требуется в среднем передать за каждую секунду.
В сутках содержится 86 400 с. Пронумеруем их и будем в конце каждых суток передавать номера секунд, в которые отмечалось появление самолета. Для передачи каждого номера потребуется log 86 400<17 бит. В среднем за сутки самолеты появляются 8 раз. Будем полагать, что число появлений самолета распределено по Пуассону. Тогда с вероятностью 0,999 оно не превысит 18. Следовательно, можно передать информацию обо всех появлениях самолета за истекшие сутки кодовой последовательностью, содержащей 306 двоичных символов. В пересчете на секунду это около 0,0035 бит, что всего лишь в 2,3 раза превышает энтропию.
Можно еще лучше сжать информацию и приблизиться к предельному значению скорости передачи, если посылать сообщения сразу за 10 сут. Беда лишь в том, что эта задержанная информация никакой ценности не представляет: о появлении самолета необходимо сообщить немедленно. Итак, невозможность сжать информацию, передаваемую от радиолокационной станции, обусловливается нарушением не первого, а четвертого условия.
Интересно было бы решить такую задачу. По каналу с шумом передаются измеренные значения некоторой функции времени. Получатель должен знать, какие значения принимает функция в каждый момент без задержки. Если передавать сигналы без помехоустойчивого кодирования, то за-230
держка будет очень мала, и, экстраполируя принятый сигнал, получатель смог бы хорошо оценивать нужные ему значения функции, если бы не помехи, вносящие заметные ошибки. Для защиты от этих ошибок можно ввести помехоустойчивое кодирование. Но тогда задержка сигнала значительно увеличится, экстраполировать придется на больший интервал времени и появятся ошибки экстраполяции. Требуется найти оптимальный метод кодирования, Минимизирующий суммарную ошибку от помех и экстраполяции. Решение, конечно, должно зависеть от характеристик канала и корреляционной функции передаваемого сообщения. Оно представило бы серьезный вклад в построение раздела теории связи, посвященного передаче стареющей информации.
12.7.	СЕМАНТИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Пятое условие относится не к применимости теорем кодирования, а к самому определению количества информации. Оно является совершенно естественным для систем связи. В самом деле, инженеру, проектирующему, строящему или эксплуатирующему, например, телеграфную систему, необходимо обеспечить передачу всех возможных телеграмм независимо от того, радостные они или печальные, относятся ли к важнейшим политическим событиям, крупным научным открытиям или сообщают о приезде тети Маши. В задачу инженера-связиста вовсе не входит проверять, соответствует ли действительности телеграмма о том, что тов. Иванов заболел и не может вернуться в срок из отпуска. Его интересует чисто количественный аспект информации, определяющий в конечном счете минимальные энергетические затраты, время ?31
и полосу частот, необходимые для ее передачи.
Когда же понятие «информация» пытаются применить к области гуманитарных наук, в частности к языкознанию, то неизбежно всплывают вопросы о семантическом (смысловом) содержании. К счастью, в классической теории информации имеются понятия, хорошо приспособленные для установления количественных соотношений с учетом смыслового содержания сообщений. К таким понятиям в первую очередь относятся взаимная информация 7(х, у) и условная взаимная информация Цх, y\zj.
Пусть Y — множество событий у, связанных между собой некоторым смысловым содержанием, а х — сообщение. Тогда 1(х, у) представляет собой количество информации, содержащейся в х относительно события у. Если известны вероятности р(х),	р(р),	р.(х, у), то 7(х, у) =
= log{p(x, У)/[р(х)р(у)]}- Математическое ожидание этой величины по совместному ансамблю XY называется средней взаимной информацией и обозначается 7(Х, У). В отличие от энтропии /7(Х), которую -можно рассматривать как среднюю информацию 7(Х, X), содержащуюся в сообщении »относительно самого себя, и которая никак не связана со смысловым содержанием х, а только с распределениями вероятностей на множестве сообщений, величина 7(х, у) зависит от смысла у. Так, одно и то же газетное сообщение может содержать очень много информации о ходе чемпионата по футболу, очень мало информации о погоде и никакой информации о политических событиях в мире.
Величина 7(х, y\z) =log {р(х, y|z)/[p(x|z) X Хр(у|г)]} может иметь различную интерпретацию; в частности, ее можно трактовать как информа-232
цию, содержащуюся в сообщении х относительно событий у, при условии, что получателю доступна информация, содержащаяся в z. Математическое ожидание этой величины по совместному ансамблю XYZ называется средней взаимной условной информацией 1(Х, Y]Z). Важно отметить, что значение /(X, T|Z) может быть как больше, так и меньше ЦХ, У). Это легко показать на простых примерах.
Пусть, например, x=y=z. Тогда, очевидно, I(X, Y)=I(X, Х)=Н(Х), тогда как I(X, Y[Z) = = 0</(Х, У). Другой пример — пусть Х= — {О, 1}, У = {0, 1}, Z={0, 1}, причем -j-z(mod2). Если X и Z принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями и Z не зависит от X, то легко убедиться, что и У не зависит от ,Х и с равными вероятностями принимает значения 0, 1. Тогда, если Z неизвестно, X и У независимы. Поэтому ЦХ, У) =0. Если же значение Z задано, то У определяется по X однозначно и ЦХ, YlZ) = =Я(Х) = 1, т. е. 7(Х, T|Z)>7(X, У).
Таким образом, некоторые предварительные знания могут в одних случаях увеличивать, а в других — уменьшать получаемую информацию. В этом отношении условная взаимная информация отличается от условной энтропии Н (X\Z), которая никогда не может быть больше безусловной: Н (X|Z)^H(X), причем равенство имеет место только при независимых X и Z.
К сожалению, понятия энтропии и взаимной информации иногда путают. На этой почве возникают досадные недоразумения. Так, например, в [56] доказывается, что понятия «классической» теории информации не применимы к «семантической» теории информации, изучающей вопросы извлечения смысла из сообщения. Автор исходит из оче
233
Видных положений: «...Человек, изучавший некоторую отрасль науки, извлечет из специального текста по этой отрасли, вообще говоря, больше, чем до обучения... Возьмем в качестве примера сообщения текст учебника по теории вероятности и дадим двум лицам — приемникам информации: школьнику третьего класса ... и, скажем, студенту-математику, который знает анализ, основы математики, но не изучал теории вероятностей. Кто из них извлечет из этого учебника больше информации? Ответ ясен — получит больше информации студент ... Конечно, встречается и обратная картина, когда количество принимаемой информации уменьшается с увеличением априорного знания».
Все это совершенно верно и может быть легко описано в терминах теории информации. Пусть х— текст учебника, у — сумма всех современных знаний человечества о- теории вероятностей, Z\— все сведения, хранящиеся в памяти школьника, z2— студента и 23 — ученого, специалиста по теории вероятностей. Тогда, очевидно, /(х, r/|zi) </(х, r/|z2')>/(x, r/|z3), т. е. с увеличением объема знаний количество получаемой информации сначала возрастает, а затем убывает. И ничего противоречащего классической теории информации здесь нет. Однако в [56] говорится следующее: «Заметим, что эта особенность модели семантической информации существенно отличает ее от классической теории информации ... В последней увеличение априорной информации всегда уменьшает количество информации, извлекаемой из данного сообщения». Последнее утверждение, как мы видели, явно неверно. Объяснить его можно только тем, что автор [56] спутал взаимную информацию (информацию, извлекаемую из данного сообщения) с энтропией (мерой неопределенности, или макси
234
мальной информацией, которую можно извлечь из сообщения).
Следует отметить, что в работе [56] содержатся и другие доводы об ограниченности классической теории информации. Некоторые из них справедливы и заслуживают внимания. Однако один довод (так же, кат^ и рассмотренный выше) основан на недоразумении. Приведем еще одну цитату из той же работы: «Существует целый ряд ситуаций, когда ясно, что для описания информации нужны характеристики ее содержания, а не статистические свойства, связанные с частотой передачи тех или иных сигналов. Это можно видеть уже из следующего факта. В статистической теории информации чем реже источник передает данный символ, тем большее количество информации связано с этим символом (курсив мой — Л. Ф). Однако хорошо известно, что в процессе понимания смысла текста на естественном языке редко встречающиеся элементы несут сравнительно малую долю информации. Так, хорошо известно, что содержание текста вполне’понятно человеку, владеющему лишь частью словаря данного языка, состоящей из самых частых слов, которые составляют меньшую часть языка».
Ошибочность утверждения, отмеченного курсивом, ясна всякому, знакомому с теорией информации. Действительно, пусть вероятность ьго слова в словаре равна pi. Средняя собственная информация, или энтропия, на одно слово (если не учитывать связей между словами)' равна —Sptlogp{, где суммирование производится по всем словам языка. Вклад f-ro слова в эту сумму определяется величиной —PflogPi, которая имеет максимум при рг= =е-1, а с уменьшением значения pi монотонно убывает. Так как в любом естественном языке
235
все рг<Се-1, то отсюда следует, что наибольшая часть информации связана с наиболее частыми словами, в полном соответствии с практикой.
Мы далеки от мысли, что теория информации Шеннона может без всякого переосмысливания и дальнейшего развития применяться ко всем вопросам языкознания. Однакб критика ее, содержащаяся в [56], в большей своей части необоснованна и может только ввести в заблуждение читателей.
13.	РАЗНОЕ
Нельзя объять необъятное.
Козьма Прутков
13.1.	ПРИМЕНЯЕТСЯ ЛИ НА ПРАКТИКЕ ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ?
Прежде всего, что такое частотная модуляция? Просматривая разные старые работы, с удивлением замечаешь, что подход к рассмотрению любой модуляции претерпел за последние 20—30 лет глубокие изменения. В настоящее время, говоря о том или ином виде модуляции, мы прежде всего рассматриваем требуемый конечный результат. Так, например, при фазовой модуляции (ФМ) несущего колебания Лсозюо# первичным сигналом х(?) требуется синтезировать сигнал
s(f)=A cos[a>o^+px(0]-	(13.1)
При частотной модуляции (ЧМ) синтезируется сигнал
s(t) —A cos[g»o^+|M)(OL	(13.2)
где	и т. п.
236
После того как сформулирована цель, можно ставить вопрос о схеме, позволяющей реализовать такой синтез на практике.
Не так давно подход был другим. Все начиналось со схемы. В частности, ЧМ определялась как операция воздействия сигнала rff) на конденсатор или катушку контура автогенератора, в результате емкость или индуктивность изменялась по закону C(f) =Со4-АСх(Л, а затем доказывалось, что получаемое колебание при определенных условиях принимает в первом приближении форму (13.2). При таком подходе модуляция путем изменения резонансной частоты контура автогенератора всегда остается частотной независимо от закона изменения резонансной частоты’.
Будем придерживаться современного определения ЧМ и других видов угловой модуляции, в соответствии с которым сигнал A cos Ф (f) считается модулированным по частоте сигналом х(?) только в том случае, если </Ф/^/=мо-4-рх(П, и несколько уточним поставленный в заголовке вопрос: находит ли в настоящее время широкое применение частотная модуляция для передачи речи и музыки?
Правильный ответ звучит неожиданно: в настоящее время частотная модуляция для передачи звуковых сообщений, в частности для радиовещания, почти никогда не применяется.
Как же так?! — воскликнет читатель. — У меня есть приемник 1-го класса с УКВ диапазоном, специально предназначенным для приема высококачественных ЧМ радиовещательных программ. В моем телевизоре прием звукового сопровождения ведется с помощью частотного детектора, значит,
' Этот принцип классификации рекомендован например, в [35).
237
передается оно путем частотной модуляции. Да и в описании телевизора об этом говорится.
Все это верно, если частотной модуляцией называть всякий вид модуляции, в котором мгновенная; частота изменяется и несет информацию о передаваемом сообщении. Но сейчас для этого применяется термин «угловая модуляция», частотной же называется только та ее разновидность, при которой отклонения мгновенной частоты пропорциональны первичному (низкочастотному) сигналу x(t). Этому соответствует уравнение (13.2), тогда как (13.1) определяет фазовую модуляцию.
В современных передатчиках с угловой модуляцией первичный сигнал воздействует на контур задающего генератора, изменяя генерируемую частоту. Однако первичный модулирующий сигнал подается на управляющий элемент не непосредственно, а через корректирующую цепь, выполняющую так называемую операцию предыскажения. Сущность ее, как обычно пишут, заключается в повышении усиления на верхних частотах спектра первичного сигнала. Принятый сигнал подвергается частотному детектированию, после чего поступает на восстанавливающую цепь, которая снижает усиление на верхних частотах, компенсируя тем самым предыскажения в передатчике. При пояснении этой последовательности обработки сигнала обычно говорят следующее.
На выходе частотного детектора (ЧД) шум, как известно, имеет параболическую спектральную плотность мощности, так что верхние частоты спектра модулирующего сигнала сильнее поражены шумом, чем нижние. С другой стороны, верхние частоты речевого спектра менее мощны, но более информативны, чем нижние. Поэтому их важно передать как можно верйее. Длй этого осуществляют
238
Предыскажения, поднимая мощность верхних частот и повышая тем самым отношение спектральных плотностей сигнал-шум на верхних частотах, конечно, за счет соответствующего снижения отношения на низких частотах. В восстанавливающей цепи полученное отношение сохраняется, а исходная форма спектра восстанавливается.
Все как будто бы ясно. Впрочем, интересно, сохраняется ли при этих операциях общее отношение мощностей сигнала и помехи на выходе приемника. Ведь на верхних частотах в результате предыскажения оно повысилось, а на нижних — понизилось. Сохраняется ли общий баланс? И тут-то оказывается, что в системе с предыскажением и и выравниванием суммарное отношение мощностей сигнал-помеха втрое хуже (!), чем при отсутствии предыскажений Ч Почему же' это выгодно?
Все становится значительно проще и яснее, если подойти к этому вопросу с другой стороны. Ведь обычное предыскажение (с повышением уровня на 6 дБ на октаву) есть не что иное, как дифференцирование сигнала. Оказывается, что на частотный модулятор (ЧМ) подается не сигнал х(0, а напряжение, пропориональное его производной dxjdt. Поэтому мгновенная частота модулированного вторичного сигнала пропорциональна dx/dt, а значит, мгновенная начальная фаза пропорциональна x(t). Следовательно, это модуляция фазовая, соответствующая (13.1). И детектируется принятый сигнал в конечном счете по фазе — сначала ЧД выделяет напряжение, пропорциональное мгновенной частоте, т. е. dxjdt, а затем оно интегрируется в восста-
1 См. сравнение выигрышей систем ЧМ и ФМ, например, в [15, 18].
239
навливающей цепи и в результате получается на-пряжение, пропорциональное мгновенной фазе.
В более общем случае первичный сигнал х(/) поступает на предыскажающий фильтр, имеющий некоторую заданную передаточную функцию /((ico), не обязательно равную или близкую к передаточной функции идеального дифференциатора iaojsgnco. Видоизмененный этим фильтром первичный сигнал y(t) модулирует вторичный сигнал по частоте. При этом ни мгновенная фаза, ни мгновенная частота не пропорциональны x(Z), следовательно, получившаяся угловая модуляция не является ни фазовой, ни частотной.
В большинстве случаев в радиовещании и многоканальной радиорелейной и спутниковой связи с «частотной» модуляцией1 используют предыскажение, близкое к дифференцированию, так что получаемая угловая модуляция близка к фазовой. Причина этого в многоканальных системах ясна — только при фазовой модуляции спектр гауссовского шума на выходе детектора равномерен в полосе частот модулирующего группового сигнала, и поэтому во всех ТЧ каналах обеспечивается одинаковая помехоустойчивость. В случае радиовещательного сигнала важно то обстоятельство, что для обеспечения высокого качества верхние частоты речевого или музыкального сигнала должны превышать уровень шума не в меньшей степени, чем нижние.
Итак, на вопрос, поставленный в заголовке раздела, можно ответить отрицательно — в чистом виде частотная модуляция практически не применя-
1 Имеется в виду частотная модуляция несущей групповым сигналом, который может быть получен сложением любым способом промодулированных поднесущих (каналов ТЧ).
240
ется, а применяемая угловая модуляция в большинстве случаев значительно ближе к фазовой, чем к частотной.
13.2.	НЕМНОГО О БЕЛОМ ШУМЕ
Понятие «белый шум» математическое, а не физическое, так же как и дельта-функция Дирака. Белый шум, по определению, имеет бесконечную дисперсию или, другими словами, мощность. Существование источника белого шума даже со сколь угодно малой, но конечной спектральной плотностью противоречит закону сохранения энергии. К сожалению, об этом часто забывают. Таким процессом с бесконечной дисперсией должно быть с точки зрения классической (доквантовой) физики излучение’абсолютно черного тела. Именно это обстоятельство побудило Макса Планка пересмотреть представления классической электродинамики и выдвинуть квантовую теорию, постулирующую дискретность излучаемой энергии. С учетом квантовых явлений спектральная плотность мощности теплового шума зависит от частоты и на высоких частотах убывает.
Стационарный белый шум обычно определяют как стационарной процесс с корреляционной функцией В(т) = (#о/2)б(т), где No — односторонняя спектральная плотность мощности, не зависящая от частоты.
Каковы распределения вероятностей белого шума? Этот вопрос, строго говоря, не имеет смысла. Как отмечено в [24], «распределение вероятностей белого шума в обычном смысле не существует». Почему же тогда часто говорят о гауссовском белом шуме?
Этот вопрос хорошо пояснен в [10]. Белый шум £(/) является обобщенным процессом, кото-16—3413	241
рый, как и обобщенная функция, получает рёаЛь-ный смысл только в подынтегральных выражениях функционалов, причем для всякой функции g(t) 00
из L2 интеграл j g(t)^(t)dt является, по опреде-—00
лению, гауссовской величиной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 00
O,57Vo g2(t)dt. Отсюда следует, что
—00 оо
Т) j Цх) — г) d г	(13.3)
— 00
является обычным стационарным гауссовским шумом с конечной дисперсией и корреляционной функцией
г_= 0,5N„ ^g(t)'g(t-\-i)dt.	(13.4)
—00
Таким образом, стационарный белый шум, пройдя через любую линейную цепь с постоянными параметрами, превращается в стационарный гауссовский процесс.
Обобщенный процесс «нестационарный белый шум» проще всего определяется как произведение стационарного белого шума на детерминированную функцию.
Можно определить и другие обобщенные процессы, имеющие бесконечную дисперсию и дельтообразную корреляционную функцию и отличающиеся от белого шума своим поведением в подынтегральных выражениях. Но в современной теории связи успешно используется только определенный выше белый шум.
В математических моделях с белым шумом нужно обращаться осторожно. Его нельзя возводить 242
в квадрат, нельзя перемножать два белых шума от одного аргумента и т. д. Такие операции лишены смысла так же, как возведение в квадрат дельтафункции.
13.3.	СООБЩЕНИЯ И СИГНАЛЫ
Системы связи предназначены для передачи сообщений, а фактически передаются сигналы, содержащие информацию о сообщениях. Нередко возникают споры о том, что считать сигналом, а что — сообщением. Так. например, при радиотелефонной связи все согласны в том, что модулированные электромагнитные колебания являются сигналом, но о сообщении высказываются самые разные мнения. Одни считают сообщением низкочастотный ток в цепи микрофона, другие — звуковые колебания, воздействующие на микрофон, третьи — текст речи, четвертые— мысли, преобразуемые вначале в речь, котопая рассматривается как первичный сигнал, преобразуемый затем во вторичный сигнал— микрофонный ток, затем в модулированное напряжение, затем в электромагнитное поле, с тем чтобы в дальнейшем пройти всю эту цепь преобразований в обратном порядке.
Для теории эти споры не существенны, так как процессы передачи и обработки информации можно изучать, не заботясь о том, что является сообщением, а что сигналом. Однако для техники связи полезно уметь точно определить, что является сообщением, так как это помогает установить правильные критерии для оценки качества и его улучшения.
В этом отношении полезен следующий подход. В любой системе связи существуют источник и получатель сообщения, которые нетрудно определить. 16*	243
Тогда сообщением следует назвать то, что должно быть с максимальной, возможной точностью передано получателю. Сигналы же получателя совершенно не интаресуют, лишь бы они хорошо выполняли свою функцию — переносили информацию о сообщении.
В зависимости от назначения системы связи сообщения могут иметь различный характер. При телеграфной связи в большинстве случаев сообщением, несомненно, является текст, т. е. последовательность букв алфавита, нанесенных на бланк, но отнюдь не сам бланк и не форма букв (почерк, шрифт) и даже не размещение слов по строчкам (если текст не стихотворный). При факсимильной связи (даже если передаются не рисунки, а письменные сообщения) получатель окажется неудовлетворенным, если ему сообщат только текст фототелеграммы. Он имеет право на большее — видеть достаточно точную копию оригинала с сохранением Формы букв и всех индивидуальных особенностей почерка отправителя. Поэтому сообщением здесь является расположение белых и черных элементов на бланке. При почтовой связи получателю должен быть вручен именно тот листок бумаги, на котором написано письмо, и его следует считать сообщением. В системе телефонной связи, используемой для передачи телефонограммы, сообщением является текст. При* обычном телефонном разговоре сообщением следует считать звучание речи со всеми теми деталями, которые позволяют распознать голос говорящего, эмоциональную окраску речи и т. д.
При таком подходе почти всегда удается однозначно определить, что следует считать сообщением в данной системе связи.
244
13.4.	ПОЧЕМУ СИГНАЛЫ СЛУЧАЙНЫ?
Сигналы, передаваемые по каналам связи, представляют собой множество функций времени (непрерывного или дискретного) с вероятностной мерой, заданной на этом множестве. Это совпадает с определением случайного процесса. В вырожденном случае, когда множество состоит из одной функции и ее вероятность поэтому равна единице, энтропия процесса равна нулю и он не может быть переносчиком информации.
Автор просит прощения у читателя за пересказ давно известной истины. Он не стал бы этого делать, если бы в отдельных книгах, в том числе учебниках, не встречались бы высказывания вроде такого: «Сущность связи состоит в том, чтобы передать получателю неизвестные ему сведения. Сигналы, несущие такие сведения, на приемном конце заранее также будут неизвестными. Сигналы и тем более помехи для получателя являются случайными (недетерминированными). Необходимо подчеркнуть относительность понятия недетерминированности. Сигнал для отправителя на передающем конце детерминирован, так как при заданном способе-передачи он определяется известным сообщением. Для получателя тот же сигнал- недетерми-нирован, так как передаваемое сообщение на приемном конце неизвестно».
Здесь случайность трактуется субъективно. По существу, в приведенном отрывке математическое понятие «случайность» подменяется бытовым, по мнению авторов более доходчивым, смыслом этого слова: для меня случайно то, чего я сейчас не знаю. Если стать на эту точку зрения, то можно объявить любую физическую константу (например, заряд электрона) случайной величиной, поскольку я ее значения не помню. Когда же я загляну в
245
справочник, она перестанет быть для меня случайной.
Вряд ли такое субъективное толкование случайности полезно даже для пояснения студентам. Вероятность, как и информацию, следует рассматривать объективно. Сигнал случаен не потому, что кто-то его заранее не знает, а только потому, что он выбирается с определенной вероятностной мерой из некоторого множества. Всякая же реализация сигнала является детерминированной функцией.
13.5.	ОЦЕНКА ЭНТРОПИИ ТЕКСТА МЕТОДОМ ОТГАДЫВАНЦЯ
Работа Шеннона [54, с. 669—686] посвящена вычислению энтропии английского текста. По определению, энтропия в расчете на одну букву равна
Н=— logp,	(13.5J
где р — вероятность буквы в данном контексте, а черта означает усреднение по всем буквам текста. Эта вероятность является случайной величиной, зависящей как от самого значения буквы, так и от всего предыдущего/текста.
Если бы мы располагали таблицами вероятностей длинных последовательностей букв в множестве текстов для данного языка, то можно было бы вычислить энтропию по формуле, вытекающей из (13.5):
Н==— n-’logpn,	(13.6)
где рп — вероятность последовательности из п букв, ап-— столь большое число, что вероятностные связи между буквами дальше п не распространяются.
246
К сожалению, такие таблицы для различных языков существуют только при п^З—4, тогда как вероятностные связи простираются значительно дальше. И вот идея Шеннона заключалась в том, что эти таблицы может заменить человек, хорошо владеющий данным языком, который в ряде случаев может безошибочно определить букву, следующую за данным отрывком текста. Конечно, это не значит, что он мог бы составить таблицу вероятностей различных последовательностей букв или тем более указать алгоритм, с помощью которого он угадывает следующую букву. Многое из того, что происходит в нашем сознании, трудно или даже невозможно описать алгоритмом. Например, мы все еще не знаем, как опознаются различные слуховые или зрительные образы. Тем не менее такие алгоритмы, нам неизвестные, существуют, и мы ими повседневно пользуемся.
Рабочая гипотеза, выдвинутая Шенноном, заключается в том, что свободно владеющий языком человек может быть «идеальным предсказателем». Это значит, что, отгадывая следующую букву, он всегда называет ту, которая является наиболее вероятной в данном контексте. Если он ее не отгадал и ему сообщили об этом, то в следующей попытке он назовет вторую по вероятности букву и т. д. Если теперь записать последовательность чисел, определяющих число попыток при отгадывании каждой буквы, то эта последовательность будет содержать полную информацию о тексте. Действительно, другой «идеальный предсказатель» при аналогичном испытании должен называть буквы в том же порядке, а так как полученная числовая последовательность указывает, на какой букве следует каждый раз остановиться, то весь текст будет восстановлен полностью.
247
Таким образом, энтропия текста равна Энтропии полученной последовательности чисел, а последнюю оценить значительно проще хотя бы потому, что в ней значительно меньше проявляются вероятностные связи между символами (числами). Интересующихся подробностями этой оценки отсылаем к упомянутой статье [54, с. 669—686].
Не следует думать, что использование человека в этом эксперименте означает подмену объективного понятия вероятности субъективным, аналогичным тому пониманию случайности, которое критиковалось в предыдущем параграфе. Нет, здесь имеется в виду вероятность в строго научном, объективном смысле. Но в соответствии с гипотезой Шеннона человек, владеющий языком, умеет если не определить точно вероятности различных букв, следующих за данным отрывком, то хотя бы разместить их в порядке убывающих вероятностей. Никто никогда не утверждал, что эта гипотеза абсолютно верна, но она, по-видимому, не далека от истины, и поэтому предложенная процедура годится для приближенного экспериментального измерения энтропии текста.
Многие лингвисты использовали предложенный метод для определения энтропии текстов на различных языках. К сожалению, процедура отгадывания, описанная Шенноном, в применении к достаточно длинному тексту (а это необходимо для того, чтобы учесть все дальние вероятностные связи) довольно длительна и утомительна. И вот некоторые экспериментаторы решили ее улучшить. Вместо одного отгадывающего они использовали бригаду, например 50 человек. Каждый из участников называет предполагаемую следующую букву. Относительное число голосов, поданных за данную букву, принимается за ее вероятность р. Это
248
позволяет сразу определить значение log /г4 и, усреднив его по всем буквам в тексте, найти статистическое значение энтропии по формуле (13.5), заменив математическое ожидание статистическим средним. Не правда ли, прекрасная рационализация?
Так может показаться только с первого взгляда. В действительности «рационализированная» процедура ничем не обоснована. Если предположить, что все участники бригады являются идеальными пред-* сказателями, т. е. удовлетворяют гипотезе Шеннона, то все они всегда должны называть одну и ту же букву, наиболее вероятную, даже если ее вероятность значительно меньше половины. А. в соответствии с выбранной процедурой ее вероятность будет принята за единицу. Если же в бригаде имеются разногласия, то это свидетельствует лишь о том, что участники бригады не идеальные предсказатели. Но можно ли по числу их голосов судить о вероятности названных ими букв? Это было бы так, если бы можно было утверждать, что такой «не идеальный» предсказатель называет ожидаемую букву случайно, причем вероятности рв выбираемых им букв совпадают с вероятностями р появления букв в тексте. Эта гипотеза представляется малоправдоподобной. Ведь каждый из участников бригады будет называть ту букву, которая представляется ему наиболее вероятной, и в тех случаях, когда вероятность какой-то буквы заметно превышает вероятности каждой из остальных, скорее всего назовет именно ее.
Конечно, использование бригады в принципе может улучшить процедуру Шеннона, однако не при такой трактовке результатов. Правильнее было бы рассматривать решение большинства как близкое к решению «идеального предсказателя».
249
Поэтому нужно не подсчитывать голоса, поданные за другие буквы, а отбрасывать их. Если же названная большинством буква угадана неверно, то нужно сообщить об этом и предложить всей бригаде назвать другую букву, так же как это делал Шеннон с одним предсказателем. Это не облегчит и не ускорит процедуру, но сделает результат более надежным, если бригада в целом ближе к «идеальному» предсказателю, чем любой из ее членов.
13.6.	ПОТЕРИ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
Пусть X — текст, a Y — перевод этого текста на другой язык, Н(Х)—энтропия исходного текста (в расчете на букву), Н(Х| У) — условная энтропия исходного текста, когда известен перевод. Очевидно, что H(X\Y) представляет потерю информации при переводе. Действительно, информация, содержащаяся в переводе относительно оригинала, I (X, У) =Н (X) — Н (X | У),	(13.7)
и если Я(Х|У)=0, то 7(Х, У)=/7(Х), т. е. перевод содержит всю возможную информацию относительно оригинала. Такой перевод можно назвать идеальным. По нему можно однозначно восстановить исходный текст.
Оговоримся, что все, о чем идет речь в этом параграфе, не относится к художественному переводу, а тем более к стихотворному, поскольку идеальный перевод в смысле нашего определения может быть никуда не годным с точки зрения эстетической ценности. Однако для научно-технического перевода, перевода деловых документов и т. п. потеря информации (или, еще лучше, величина 1—Н(Х|У)/Н(X)) является хорошей мерой качества перевода.
25Q
Разумеется, идеальный перевод без потери ин* формации возможен только в исключительных случаях, в частности для строго формализованных языков (например, при переводе программы с Алгола на Фортран) или для очень близких по грамматическому строю языков (например, при переводе с русского языка на украинский).
Возникает вопрос: как измерить или, по крайней мере, приблизительно оценить потерю информации H(X\Y) в конкретном переводе? Мы хотим предложить здесь сравнительно простой метод, являющийся развитием метода Шеннона определения энтропии текста, о котором говорилось .в предыдущем параграфе. При этом также производится угадывание текста X и подсчет числа попыток при отгадывании. Различие заключается в следующем. Человек, рассматриваемый как «идеальный» предсказатель, располагает переводом У, т: е. может извлечь всю информацию об X, имеющуюся в нем. Разумеется, отгадчик должен хорошо владеть обоими языками—оригинала и перевода. Желательно, чтобы язык оригинала (на котором производится отгадывание) был его родным языком. В проводимых нами экспериментах исследовались переводы с русского языка на английский, отгадчиком был квалифицированный преподаватель английского языка, для которого русский язык был родным. Как показал опыт, в этом случае удобнее вести предсказание не побуквенно, а словами. Определяемую таким образом условную энтропию на слово можно затем легко пересчитать на букву, зная среднее число букв в слове.
Предложенный здесь способ не настолько прост. Однако надеемся, что он сможет принести пользу, например, для научных исследований в области лингвистики.
251
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Агеев Д. В. Активная полоса частотного спектра функции времени. — Труды ГПИ, 1955, т. И, № 1, с. 5—10.
2.	Brennan D. G. On the maximum signal-to-noise ratio realizable Horn several noisy signals. — Proc. IRE, 1955, v. 43, № 10, p. 1530.
3.	Бриллюен Л. Наука и теория информации: Пер. с англ. А. А. Харкевича. — М.: Физматгиз, 1960.
4.	Бунимович В. И. Флуктуационные процессы в радиоприемных устройствах. — М.: Сов. радио, 1951.
5.	Вакман Д. Е. Об определении понятий амплитуды, фазы и мгновенной частоты сигнала. — Радиотехника и электроника, 1972, т. 17, № 5, с. 972—978.
6.	Вайнштейн Л. А., Вакман Д. Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. — М.: Наука, 1983.
7.	Введенский Б. А., Аренберг А. Г. Радиоволноводы. — М.: Гостехиздат, 1946.
8.	Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области: Пер. с англ.—М.: Наука, 1964.
9.	Виницкий А. С. Модулированные фильтры и следящий прием ЧМ сигналов. — М.: Сов. радио, 1969.
10.	Галлагер Р. Теория информации и надежная связь: Пер. с англ. — М.: Сов. радио, 1974.
11.	Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. Ч. 1. —М.: Сов. радио, 1966.
12.	Горелик Г. С. Колебания и волны. — М., Л.: Гостехиздат, 1950.
13.	Гуревич В. Э., Лопушнян Ю. Г., Рабинович Г. В. Импульсно-кодовая модуляция в многоканальной телефонной связи. — М.: Связь, 1973.
14.	Железнов Н. А. О принципиальных вопросах теории сигналов и задачах ее дальнейшего развития на основе стохастической модели. — Радиотехника, 1957, т. 12, № И, с. 3—12.
15.	Зюко А. Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи. — М.: Связь, 1972.
16.	Carson J. R. Frequency modulation. — Proc. IRE, 1922, v. 10, № 57, p. 243.
17.	Кловский Д. Д. Потенциальная помехоустойчивость при разнесенном приеме дискретной информации. — Радиотехника, 1961, т. 16, № 3, с. 22—30.
18.	Кловский Д. Д. Теория передачи сигналов. — М.: Связь, 1973.
252
19.	Колмогоров А. И. Три подхода к определению понятия «количество информации». — Проблемы передачи информации, 1965, т. 1, вып, 1, с. 3—11.
20.	Коржик В. И. Огибающая сигнала и некоторые ее свой-' ства. — Радиотехника, 1968, т. 23, № 4, с. 1—6.
21.	Коржик В. И., Финк Л. М., Щелкунов К. Н. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений; Справочник, — М.: Радио и связь, 1981.
22.	Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости.— М., Л.; Госэнергоиздат, 1956.
23,	Кушнир В. Ф., Ферсман Б. А. Теория нелинейных электрических цепей. — М.: Связь, 1974.
24.	Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 3-х кн. — М.: Сов. радио, 1974— 1976.
25.	Левитин Л. Б. Перенос информации в идеальном фотонном канале. — Проблемы передачи информации, 1965, т. 1, вып. 3, с. 71—80.
26.	Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи: Пер с англ. Ч. 1. — М.: Сов. радио, 1961.
27.	Nyquist Н. Certain topics in telegraph transmission theory.— Trans. Am. 1EE, 1928, v. 47, № 2, p. 617—644.
28.	Окунев Ю. Б. Теория фазоразностной модуляции. — М.: Связь, 1979.
29.	Osborn W. Р., Luntz А. В. Coherent and noncoherent detection of CPFSK. — IEEE Trans., 1977, v. COM-22, № 8.
30,	Петров В. В., Усков А. С. Информационная теория синтеза оптимальных систем контроля и управления. — М.: Энергия, 1975.
31.	Петрович Н. Т. Передача дискретной информации в каналах с фазовой манипуляцией. — М.: Сов. радио, 1965.
32.	Петрович Н. Т. Кто Вы?—М.: Молодая гвардия, 1970,
33.	Реньи А. Трилогия о математике: Пер. с венг./ Под ред. Б. В. Гнеденко. — М.: Мир, 1980.
34.	Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. — М.: Сов. радио, 1977.
35.	Рытов С. М. Модулированные колебания и волны.— Труды ФИАН, 1940, т., 11, вып. 1, с. 41—133.
36.	Рытов С. М. О некоторых «парадоксах», связанных со спектральным разложением. — УФН, 1946, т. 29, вып. 1/2.
37.	Смирнов В. А. Основы радиосвязи на ультракоротких волнах. — М.: Связьиздат, 1957.
38.	Стейн С., Джонс Дж. Принципы современной теории связи и их применение к передаче дискретных сообщений: Пер. с англ./ Под ред. Л. М. Финка. — М.: Связь, 1971.
253
39.	Теорйя передали сигналов/ А. Г. Зюко и др. — М.: Связь, 1980.
40.	Ihxohob В. И. Один способ определения огибающей ква-зигармонических функций. — Радиотехника и электроника, 1957, т. 2, № 4, с. 562—568.
41.	Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь, 1982.
42.	Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация И квазикогерентный прием сигналов. — М.: Сов. радио, 1975.
43.	Урсул А. Д. Проблемы информации в современной науке: Философские очерки. — М.: Наука, 1975.
44.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с англ. — Т. 1. — М.: Мир, 1967.
45.	Финк Л. М. Соотношения между спектром и мгновенной частотой сигнала. — Проблемы передачи информации, 1966, т. 2, вып. 4, с. 26—38.
46.	Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. — М.: Сов. радио, 1970.
47.	Fleming A., Fortescue С. L. and oth. Notes on modulation.— Nature, 1930, v. 125, p. 92, 198, 271, 306.
48.	Харкевич А. А. Спектры и анализ. — M., Л.: Гостехиздат, 1952.
49.	Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов: Пер. с англ./ Под ред. Ю. Б. Кобзарева. — М.: ИЛ, 1963.
50.	Хворостенко Н. П. Статистическая теория демодуляции дискретных сигналов. — М.: Связь, 1968.
51.	Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике. — М.: Наука, 1971.
52.	Shekel G. Instantaneous frequency.—Proc. IRE, 1953, v. 41, № 4, p. 548,
53.	Shekel G. On the term Instantaneous frequency. — Proc. IRE, 1964, v. 42, X2 6, p. 1024.
54.	Работы по теории информации и кибернетике: Пер. с англ./ Под ред. Р. Л. Добрушина и О. Б. Лупанова. — М.: ИЛ, 1963.
55.	Шкловский И. С. Вселенная, жизнь, разум. — М.: Наука, 1976.
56.	Шрейдер Ю. А. О семантических аспектах теории информации. — В кн.: Информация и кибернетика/ Под ред. А. И. Берга. — М.: Сов. радио, 1967, с. 15—47.
57.	Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация.— М.: Наука, 1973.
254
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .	   д
1.	ОБ ОШИБКАХ, ПАРАДОКСАХ И ЗАДАЧАХ ЭТОЙ КНИ-ГИ (ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ)........................................ 5
1.1.	Об этой книге..................................... 5
1.2.	Ошибки................................•	.	•	'
1.3.	Парадоксы...................................
2.	СПЕКТР И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА............................ 15
2.1.	Спор о спектре амплитудно-модулированного сигнала	15
2.2.	Спор об узкополосной частотной модуляции ...	20
2.3.	В чем корень ошибки?............................. 23
2.4.	Обжегшись на молоке...............................2о
2.5.	Попробуем быть последовательными ....	Ы,
2.6.	К теории ЧМ альтиметра........................... 34
2.7.	Существуют ли реально спектральные составляющие?	36
3.	О КОМПЛЕКСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ СИГНАЛА .	.	39
3.1.	Обобщение символического метода.................. 39
3.2.	Однозначно ли определены огибающая и мгновенная частота? .	................................ 41
3.3.	Другие определения сопряженного сигнала ...	45
4.	КАК НЕ СЛЕДУЕТ ПОЯСНЯТЬ ТЕОРЕМУ КОТЕЛЬНИКОВА .....................................................50
4.1.	Сущность теоремы ................................ 50
4.2.	Попытки наглядного пояснения теоремы	...	53
4.3.	Ослабленная теорема Агеева ......	55
4.4.	Доказательство теоремы Агеева......... 56
4.5.	Можно ли передать мегабит за секунду в полосе 1 Гц? 58
5.	ПРЕДЕЛ ИЛИ БАРЬЕР НАЙКВИСТА..................61
6.	НА ОДНОЙ БОКОВОЙ.............................75
6.1.	Рекорды однополосной модуляции...................... 75
6.2.	Как	записать однополосный сигнал? ....	78
6.3.	Как	выглядит однополосный сигнал? ....	79
6.4.	«Формула Костаса» .	........................ 83
6.5.	Как	детектировать однополосный сигнал? ...	91
6.6.	О требуемой точности восстановления несущей частоты	97
7.	КРИТЕРИИ, ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ, АЛГОРИТМЫ	.	.	103
7.1.	Критерии.....................................103
7.2.	Правило решения..............................105
7.3.	Неопубликованный Конан Дойлем отрывок из воспоминаний доктора Ватсона .............................106
7.4.	Лучше ли?....................................108
7.5.	Какому критерию соответствует правило МП?	.	.	111
7.6.	Алгоритмы....................................113
7.7.	Потенциальная помехоустойчивость .	.	.	.	' .	115
7.8.	Об оптимальном	фильтре нижних чартот	.	.	.	117
7.9.	Критерий верности декодирования..............120
7.10.	Эквивалентная	вероятность ошибки .	.	.	.	122
7.11.	Где применять разнесенный прием? ....	128
8.	ЛУЧШЕ НАИЛУЧШЕГО...................................132
8.1.	Изобретатели «вечного двигателя» ................. 132
8.2.	Широкополосная	частотная манипуляция	.	.	.	138
8	3. Интервальная манипуляция .	.	....	141
8.4.	Как рационально взвешивать сигналы?................148
255
8.5.	«Сверхоптимальный» прием ...........................152
8.6.	Давайте разберемся .	..........................160
9.	ПАРАДОКС ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИИ .	...	170
9.1.	Порог помехоустойчивости..........................170
9.2.	Пропускная способность............................174
9.3.	Небольшие уточнения...............................176
10.	БЕРЕГИСЬ НЕТОЧНЫХ ФОРМУЛИРОВОК! .	.	.	181
10.1.	Занимательные парадоксы..........................181
10.2.	Вероятность ошибки при приеме ортогональных сигналов ..............................................182
10.3.	Количество информации, передаваемой в гауссовском канале с неопределенной фазой.....................186
10.4.	О рэлеевских замираниях............................190
10.5.	Вероятности ошибок при фазоразностной	модуляции 194
И. СВЯЗЬ С СОБРАТЬЯМИ ПО РАЗУМУ..............................204
11.1	. Готовьтесь к межпланетной связи...................204
11.2	. Передача в диапазоне сантиметровых	волн	206
11.3	. Связь в оптическом диапазоне......................209
11.4	. Где выход?.......................................213
12.	НЕМНОГО ИНФОРМАЦИИ.......................................215
12.1.	Что такое информация?.............................215
12.2.	Объективность информации..........................217
12.3.	О «законе сохранения информации»	.	.	.	.	219
12.4.	О постулатах теории информации....................221
12	5. Первые три условия...............................223
12.6.	Информация и время................................228
12.7.	Семантическая информация .........................231
13.	РАЗНОЕ...................................................236
13.1.	Применяется ли на практике частотная модуляция? 236
13.2.	Немного о белом шуме..............................241
13.3.	Сообщения и сигналы...............................243
13.4.	Почему сигналы случайны?..........................245
13.5.	Оценка энтропии текста методом отгадывания .	.	246
13.6.	Потери информации при переводе....................250
Список литературы  ..........................................252
ЛЕВ МАТВЕЕВИЧ ФИНК
СИГНАЛЫ, ПОМЕХИ, ОШИБКИ...
Редактор Т. М. Толмачева. Переплет художника Н. И. Миляевой. Художественный редактор Л. Н. Сильянов. Технический редактор И. Л. Ткаченко. Корректор Т. Г. Захарова
ИБ № 629
Сдано в набор 23.02.84.	Подписано в печать 21.04.84.	Т-10207
Формат 70Х100/8а	Бумага тип. № 3	Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 10,4 Усл. кр.-отт. 10,644 ” Уч.-изд. л. 10,34 Тираж 15 000 экз.^^* Изд. № 20357	' Зак. № 3413 Цена 65 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А А Жданова Союзпо-лиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств. полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, М-54, Валовая, 28