/
Text
ББК 22.14я721
Б61
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
(лист № 1.4/18 679 від 27.032008 р.)
Видано за рахунок державних коштів.
Продаж заборонено
Відповідальні за підготовку до видання:
Прокопенко Н.С. - головний спеціаліст МОН України;
Потапова Ж.В. - методист вищої категорії Інституту інноваційних
технологій і змісту освіти
Біляніна, О.Я.
Б61 Алгебра : 8 : підруч. для загальноосвіт. навч. закл. /
О.Я. Біляніна, Н.Л. Кінащук, І.М. Черевко. - К. : Генеза,
2008. - 304 с. : іл.
І8ВИ 978-966-504-797-1.
ББК 22.14я721
I8ВN 978-966-504-797-1
© Біляніна О.Я. Кінащук Н.Л.,
Черевко І.М., 2008
© Видавництво «Генеза»,
оригінал-макет. 2008
Математика - барометр цивілізації.
М.П. Єругін
Дорогий друже!
З особливостями навчання алгебри ти вже ознайомився в 7-му
класі. Вивчаючи два предмети: алгебру і геометрію, ти відчув між
ними тісний взаємозв’язок і деяку різницю.
Даний підручник є продовженням підручника «Алгебра-7», у якому
формуються основні аспекти побудови предмета як науки та важ-
ливість і потрійність його на сьогодні. У ньому вміщено навчальний та
практичний комплекс, в якому особливе місце відводиться розв’язу-
ванню прикладних завдань, які потрібні для повсякденного життя.
Підручник містить три навчальних розділи, які поділено на пара-
графи, і додатковий матеріал для повторення та підсилення вивченого.
Параграфи структуруються за такою схемою: перелік основних запи-
тань, які несуть основний зміст теми; виклад теоретичного матеріалу;
приклади його застосування (у формі «Як записати» і «Як поясни-
ти»); різнорівневі вправи для закріплення та самооцінювання (тести);
вправи для повторення; рубрика «Перерва». Вивчаючи теоретичний
матеріал, звертай увагу на текст, який виділено жирним та курсивним
шрифтами та позначено піктограмами. Це ті математичні твердження
і терміни, які треба запам’ятати. Дослідження окремих фактів
спробуй виконати самостійно.
Різнорівневі («°, *, **, *») розвивальні вправи для закріплення та
самооцінювання - тести - допоможуть тобі у засвоєнні конкретної
теми, розширять знання, вироблять уміння і закріплять навички в
реальних ситуаціях під час розв’язування практичних задач. Для
більшого запам’ятовування та відновлення раніше вивченого вміще-
но рубрику «Вправи для повторення», яка відтворює основні важливі
завдання, що складають курс алгебри.
Якщо під час розв’язування задач у тебе виникли труднощі, то до
таких вправ ми розставили підказки - «Рятівні круги» Сподіває-
мося, вони тобі допоможуть бути сміливішим та впевненішим у по-
доланні непростого шляху. Оскільки «якщо ти хочеш навчитися
плавати, то заходь у воду і пливи, а якщо хочеш навчитися розв’язу-
вати задачі, то розв’язуй їх» (Дьєрдь Пойа).
Завдання рубрики «Готуймося до тематичного оцінювання» допо-
можуть тобі підготуватися на належному рівні до контролю з теми та
перевірити свій рівень навченості. При їх розв’язуванні слід пам’ята-
ти, що випадкові (вгадані) відповіді, як правило, не підтвердять твої
знання. Вправи до розділу збагачують, узагальнюють та систематизу-
ють матеріал, а рубрика «Джерело» нагадує про історію алгебраїч-
них понять, з яких зароджувалася велика сучасна наука алгебра.
Якщо ж у тебе з’явиться вільна хвилинка і велике бажання «бути
на ти» з цікавою математикою, то для цього підручник має завдання
рубрики «Перерва» і «Задачі підвищеної складності». Розв'язуючи
ці задачі, ти зможеш отримати насолоду від власної перемоги. Адже
«велику радість можна отримати лише у великій праці» (Йоганн
Вольфганг фон Гете).
Бажаємо успіху!
Шановні колеги!
Дуже сподіваємося, що підручник, який зараз знаходиться у
ваших руках, вам сподобається. Цей математичний твір виплека-
ний педагогічним досвідом і практикою. Ми намагалися зробити
його цікавим навчаючим засобом, який був би зручним як при
викладанні теоретичного матеріалу, так і при практичному його
застосуванні. Тренувальні вправи для закріплення носять розви-
вальний характер, тому сподіваємося, що вони допоможуть крок
за кроком, з наростаючим підсиленням знань, виводити учня на
вершини відповідних рівнів компетентності, посильні для кожної
особистості. З огляду на такі педагогічні цілі, добірку завдань ми
будували дещо нетрадиційно: завдання вимагають від учня систе-
матичної зосередженості. Цим ми намагаємося викоріняти шаб-
лонність у навчальній діяльності та приділити більше уваги роз-
витку мислення, що вимагає сьогодення. Через увесь підручник
однією лінією іде доведення того факту, що математика виникла
не випадково і є необхідністю для життя. Ми також старалися
створювати можливості для використання сучасних технологій,
форм та методів навчання (робота в групах, у парах, індивідуально
тощо). Вправи для домашнього завдання, які ми рекомендуємо,
виділено благородним кольором - кольором життя. Відразу зазна-
чаємо, що ми лише рекомендуємо, а ви приймаєте рішення.
«Вправи для повторення» складаються з п’яти номерів. Перші
три з них підтримують систему концентрованого навчання,
закріплюючи основний зміст курсу алгебри, а останні два - допо-
магають учителю провести актуалізацію опорних знань, умінь,
навичок учнів, створити проблемну ситуацію та здійснити моти-
вацію навчання.
Завдання в тестовій формі - нової структури, для якої викорис-
тано основи педагогічного тестування та основні принципи й пра-
вила побудови тесту за навчанням міжнародного проекту ТКА8Т
згідно з програмою ТЕМР178/ТАСІ8 «Справедливе оцінювання»
під керівництвом І.Є. Булах, М.Р. Мруги, Л.І. Даниленко та
Т.В. Пустової. їх можна використовувати як навчальні, навчально-
діагностичні, проміжні контрольні та підсумкові. Сучасні формати
тестових завдань дозволяють вибирати: одну найбільш правильну
відповідь; визначену та невизначену кількість відповідей, меншу
за загально задану; правильну комбінацію варіантів відповідей;
логічну пару між завданнями та правильними відповідями. Таким
чином, практично вгадування правильної відповіді мало ймовірне,
а діагностування - пронизливе.
Цілі підручника - через формування в учнів математичних
знань сприяти: розвитку уваги, пам’яті, інтуїції; навчанню
розмірковувати над умовами завдань, будувати шляхи їх розв’я-
зання, аналізувати, класифікувати та вибирати серед них найопти-
мальніші.
Бажаємо творчого натхнення та успіхів!
З повагою, автори
Історія розвитку
математики в Україні
Український народ завжди ці-
нував освіту, стежив за розвитком
освіти в інших країнах та створю-
вав свої осередки освіти й науки,
які сприяли поширенню знань і
загальному духовному прогресу
нації. Ще за тисячі років до нової
ери в Китаї, Єгипті, Вавилоні,
Ассирії та інших країнах світу ство-
рювалися школи різного рівня. Як
відомо, першими були школи Платона (427-347 рр. до н. е.) й
Арістотеля (384-322 рр. до н. е.). А в V—III ст. до н. е. з’явилися
вже вищі, як на той час, школи у Римі й Афінах. Першою вищою
школою була філософська школа в Константинополі (425 р.).
В Україні почали з’являтися перші школи лише в ХІ-ХШ ст.
Вони були при княжих дворах, церквах, монастирях. Починаючи
з 988 р. київський князь Володимир Святославович почав відкри-
вати у великих містах школи «книжного вчення *. Ці школи навча-
ли «семи вільним мистецтвам» (наукам) - граматики, риторики,
діалектики, арифметики, геометрії, астрономії і музики. Слід
зазначити, що школа при дворі князя Володимира була на рівні
Рафае.іь Сан ті. Афінська школа
Троїцька церква
закладів Європи. Далі син князя, Ярослав Мудрий, перетворив
батькову школу на вищий заклад, а при Софійському соборі ство-
рив бібліотеку, де переписували книги. У 1086 р. п Києві було
відкрито першу школу для дівчат. Святослав, син Ярослава Муд-
рого, продовжив добрий почни батька. З тих часів до нас дійшли
дуже гарні слова Володимира Мономаха: >Що знаєте - не забу
вайте, чого не вмієте - навчайтесь». Деякі школи разом з
бібліотеками Ярослава Мудрого можна віднести до навчальних
закладів, які склали основу вищих шкіл України.
Майже 200 років, через війни, школа пригальмовує в розвитку.
Тільки в 1439 р. з’явилося перше братство у Львові, у 1589 р. -
у Рогатині, у 1589 р. - у Кам’янці-Подільському, у 1606 р. -
у Замості, у 1615 р. - у Києві та інших містах України. Вони
відігравали велику роль у розширенні мережі шкіл та друкарень.
Вищих навчальних закладів на батьківщині не було. Українці
їхали навчатися за кордон (у Краківський, Болонський, Празький
університети). Більшість із них поверталися в Україну і ставали
вчителями, керівниками братських шкіл, священиками. Матема-
тичні підручники видавалися переважно латинською мовою.
У братських школах Європи були дуже поширені математичні
книги, які підштовхнули розвиток математичних ідей щодо ви-
кладання математики. У 1615 р. засновано Київське Богоявлен-
ське братство зі своєю школою, які підтримувались запорізьким
козацтвом, зокрема і самим Петром Конашевичем-Сагайдачним.
Удосконалюючи та розширюючи освіту, архімандрит Києво-
Печерської лаври Петро Могила заснував у 1632 р. в приміщенні
Троїцької церкви «гімназіон», або Лаврську школу, на 100 чоловік
для засвоєння «вільних наук» грецькою, церковно-слов’янською
та латинською мовами. У цьому ж році шляхом об’єднання братсь-
кої та Лаврської шкіл засновано Києво-Могилянський колегіум,
який сильний викладацький склад зумів піднести до рівня най-
кращих європейських університетів того часу. А 26 вересня 1701 р.
Петро І офіційно надав єдиному на той час вищому навчальному
КиєвоМогилянська академія
закладу Східної Європи статус академії. У 1764 р. Катериною II
було скасовано в Україні гетьманство і відновлено на Лівобережжі
України другу Малоросійську колегію, а в 1786 р. царським урядом
було проведено загальноросійську шкільну реформу, наслідком
якої стало утворення мережі головних і малих «народних учи-
лищ». У цей час у багатьох містах виникають гімназії з різними
мовами навчання - польською, німецькою тощо. Україномовними
були лише братські школи у Львові та Дрогобичі. У ХУІП ст. по-
ширюється освіта на Лівобережній та Слобідській Україні,
відкриваються три колегіуми - у Чернігові, Переяславі, Харкові.
З другої половини цього ж століття Києво-Могил янська академія
поступово підпорядковується програмам російських духовних
училищ та Московського і Петербурзького університетів, а в 1817 р.
її закривають. Україна втратила центр наукової та навчальної
роботи. На математичну освіту на той час мали вже деякий вплив
Чернігівський, Переяславський, Харківський колегіуми, а пізні-
ше Львівський, Харківський, Київський, Одеський університети.
Страдницьким був шлях української освіти в умовах царату, проте
видатних науковців вона не втратила - Михайла Остроградського,
Тимофія Осиповського, Віктора Буняковського, Софію Ковалевську,
Михайла Ваіценка-Захарченка. Великий внесок у методику ви-
кладання математики зробив Феофан Прокопович - викладач
Киево-Могилянської академії (1677-1736). Сучасні відомі матема-
тики: Михайло Кравчук, Микола Чеботарьов, Отто Шмідт, Марк
Крейн, Стефан Банах, Борис Гнєденко, Віктор Глушков, Юрій
Митропольський, Микола Боголюбов, Олексій Погорєлов, Анатолій
Самойленко та інші продовжують розвивати математичну освіту.
На сьогодні в Україні проводяться дослідження майже з усіх
напрямів математичної науки, встановлені зв’язки з усіма про-
відними математичними центрами світу. Вітчизняні вчені беруть
активну участь у міжнародних конференціях, симпозіумах та
конгресах, вкладають свій вагомий внесок у скарбницю світової
математичної науки.
ПОВТОРЕННЯ КУРСУ АЛГЕБРИ
ЗА 7-й КЛАС
• Завдання в тестовій формі о
в
1®. Виберіть лінійне рівняння, коренем якого є число 3.
А) 2х 4-7 = 64; В)33-10х = 13; Д) 7x4-13 = 8.
В) 14 - Зх = 12; Г)|х+1=2;
2®. Виберіть математичну модель, яка відповідає умові задачі.
Одне число у 3 рази більше за друге. Якщо від першого чис-
ла відняти 4, а до другого додати 4, то ці числа стануть
рівними.
А)Зх-44-4=х; В)Зх-4=х-4; Д)Зх-4 = х4-4.
В)3х-х = 4; Г)Зх-8 = х4-4;
З®. Визначте пару рівносильних рівнянь:
1) х(х - 3) - х2 = 9; 4) х2 - х(х - 4) 4-12 =0;
2) х(х4-7)-х2 = 21; 5) х2 - х(х 4-2) - 7 = 0.
3) х(х - 2,5) - х2 = 1,5;
А)1іЗ; Б) 1 і 4; В)2і4; Г)2і5; Д) 3 і 5.
4®. Знайдіть показник степеня, спростивши вираз
А) 22; Б) 20; В) 11; Г) 7; Д) 3.
5®. Виберіть значення виразу (5х - 3) - (7 - Зх), якщо х = 0,25.
А)-3,5; Б)-9,5; В)-8; Г)-6; Д)-4.
6®. Виберіть алгебраїчний вираз, що відповідає змісту тексту:
сума квадратів двох чисел більша за їх подвійний добуток
на 55.
А) (а 4- Ь)2 - 2аЬ = 55; Г) 2аЬ - (а 4- Ь)2 = 55;
Б) а2 + Ь2 - 2аЬ = 55; Д) а2 - Ь2 4 2аЬ = 55.
В) 2аЬ-(аа4 Ь2) =55;
Повторення курсу алгебри за 7-й клас
7е. Утворіть правильні тотожності.
А) 25х* 4- 20х 4- 4; 1)(Зх4-5)2;
Б) х2 4-18x4-81; 2) (5х + 2)2;
В) х4 4- 6х2 4- 9; ( 1? 3) 2х + - ;
1 4)
Г) 4Х2 4- X 4- —; 16 4) (х2 + З}2;
Д) 9х2 4- ЗОх + 25. 5) (х + 9)2.
Б
В
Г
Д
8е. Визначте два правильні розклади на множники.
А) а(3х - у) + Ь(у - Зх) = (Зх - у)(а 4- 5);
Б) 2(3х - 4 у) - а(4у - Зх) = (Зх - 4у)(а + 2);
В) х3 - 9х = х(х - 3)(3 - х);
Г) 25х - х3 = х(5 - хХх 4- 5);
Д) х® 4-Xа =х3(х 4-ІХх - 1).
9°. Виберіть лінійну функцію, графік якої проходить через по-
чаток координат.
А) у = 5х 4- 0,5;
Б)у = 5х-0,5;
В)у= -х + 1
™ 2 1
Г)і/=х2--;
о
Д)У= -х.
□
10°. Знайдіть два числа, якщо їх сума дорівнює 37, а одне з них
на 5 більше за інше.
А) 32 і 37; Б) 37 і 42; В) 11 і 26; Г) 16 і 21; Д) 21 і 26.
11*. Знайдіть добуток коренів рівнянь
3(2х - 5) - 2(х 4- 7) = 15 і
А)-231; Б)-143; В)-84;
2х>6 х+57
З 4
Г) 273; Д) 115,5.
12*. Ідентифікуйте кожному рівнянню його розв’язок.
А) 3(х 4- 4) 4-6(11 - х) = 18;
Б) 8(1 -х) 4-4(х-2) = 24;
В) 14(х - 5) - 7(х 4- 2) = -14;
г) ^х+”(х“7) = х;
1 х+2 _ З^-бх
Д 7‘ 4 28
1)х= -6;
2)х= -13;
3) х = 20;
4)х=10;
5)х = -7.
А
Б
В
Г
д
ІЗ*. Знайдіть два числа, коли відомо, що одне з них на 20 %
більше за друге, а якщо від більшого числа відняти 45, а до
меншого додати 16, то ці числа стануть рівними.
А) 366 і 305; В) 244 і 183; Д) 305 і 183.
Б) 305 і 244; Г) 366 і 244;
... 2 З22-5 З21
14 . Обчисліть значення виразу-----.
9і°
А) 2; Б)3; В) З2; Г) З9; Д) З”.
15*. Знайдіть значення виразу 27а2^, якщо ЗаЬ = -6.
А)-216; Б)-108; В)108; Г)54; Д)-54.
16е, Знайдіть значення виразу (За2 - аЬ + 462) - (ЗЬ2 - аЬ + 2а2),
х 3.4
попередньо спростивши його, якщо а = —, Ь= .
5 і)
А) 0,28; Б) 0,04; В)-0,48; Г) 1; Д) 1,96.
17*. Знайдіть суму квадратів коренів рівнянь
(2х - 7Мх + 4) - (2х 4- 5Хх - 3) = -3 і
7х(х + 2) - х(7х + 12) = 24.
А) 289; Б) 49; В) 144; Г) 324; Д) 169.
18*. Укажіть трійку правильних рівностей:
1) а‘‘ - а2Ь 4- аЬ2 -Ь3 = (а2 - Ь2Ха 4- 6);
2) а3 - а2Ь - аЬ2 + Ь8 = (а - Ь)2(а 4- Ь);
3) а3 - аЬ2 4- а2Ь ~ Ь3 = (а - Ь)(а 4- Ь)2;
4) аЬ2 - а8 4- а2Ь - Ь3 = (а 4- Ь\а - Ь)2;
5) а2Ь - а8 4- аЬ2 -Ь* = -(а 4- Ь)(а - Ь)2.
А) 1,2 і 4; Б) 2, 3 і 5; В) 1,3 і 5; Г) 2, 4 і 5; Д) 1,2 і 5.
19*. Визначте дві функції, графіками яких є паралельні прямі.
..2 4 3 5 „.2 5
А)у= х + -; 8)// = '-^-> Д)у = --х + -.
ом л 4 о 4
„.2 4 „35
Б)у—Г)и = -х- л
о О £. 4
20*. Знайдіть, скільки коштує 1 футбольний м’яч і 1 волейболь-
ний, коли відомо, що за 3 футбольних і 2 волейбольних
м’ячі заплатили 230 грн., а за 7 футбольних і 4 волейболь-
них - 510 грн.
А) 50 грн. і 40 грн.; В) 60 грн. і 25 грн.; Д) 70 грн. і 20 грн.
Б) 48 грн. і 43 грн.; Г) 40 грн. і 45 грн.;
Повторення курсу алгебри за 7-й клас
21**- Визначте три рівняння, які при а - 2 не мають розв’язків:
1)2х + 17,5- 1,6х = 14,3 +ах; 5) (2 - 4а) х = 2,428;
2х-1 а а-2 а+1 , _
2)----+ -=16; 6)----+----= 15х;
а-2 2 17 34
3)2а-х=4; 7)ах-2х=18;
4) (а - 2) х = 15; 8) 2а - х = 4(5 - х).
А) 1,3 і 5; Б) 2, 4 і 7; В) 2, 3 і 8; Г) 4, 5 і 7; Д) 2, 5 і 8.
22**. Спростіть вираз а* +3 • Ьп 2 • а" 4 - Ь4 \
А)ап В)а62 *•; Д) а2пЬ2.
Ь}а2л'Ь2\ Г)ая ‘б-*3;
23**. Визначте, на скільки відсотків зміниться площа поверхні
куба, якщо спочатку його ребро зменшили на 10 %, а
потім збільшили на 10 %.
А) Не зміниться; Г) зменшиться на 1,99 %;
Б) зменшиться на 11,94 %; Д) збільшиться на 11,94 %.
В) збільшиться на 1,99 %;
24**. Знайдіть значення виразу (х2 - Зху + 4у2Х2х - Зу) -
- (6^2(3х - 2у) - ху2), якщо х = -0,5, у = -і
А)’; Б)0; В)-1( Г)-+; Д)-1.
с, 2 1О/і
25**. Виберіть систему рівнянь, за якою можна знайти двоциф-
рове число, сума цифр якого дорівнює 7, а при читанні
числа у зворотному порядку воно збільшується на 45.
Б) «
а +6 = 7,
96-9а = 45;
В)
а +6 = 7,
а-6 = 45;
Д)
а+ 6 = 7,
11а+116-45.
а+6 = 7,
2а-26 = 45;
Г)
а+6 = 7,
10а-6 = 45;
26“*. Знайдіть початкові ціни стола і стільця, коли відомо, що
2 столи і 4 стільці коштували разом 840 грн., а після
підвищення ціни стола на 20 %, а стільця - на 10 % за 1 стіл
і 3 стілйїц заплатили 585 грн.
А) 220 грн. і 100 грн.; Г) 288 грн. і 88 грн.;
Б) 236 грн. і 96 грн.; Д) 264 грн. і 99 грн.
В) 240 грн. і 90 грн.;
Опрацювавши цей розділ
ви будете знати:
>' які раціональні вирази називаються дробовими;
у як визначати значення змінних, при яких раціональний
вираз втрачає зміст;
4 коли раціональний дріб дорівнює нулю;
7 як використовувати основну властивість раціонального
дробу та правило скорочення раціонального дробу
7 як виконувати арифметичні дії з раціональними дро-
бами;
4 як зводити громіздкі раціональні вирази до більш про-
стих, тотожно рівних їм;
V як вибирати раціональний спосіб доведення тотожно-
стей;
V як розв'язувати дробово-раціональні рівняння;
V що таке степінь з цілим показником та як перетворю-
вати вирази, що містять степінь з цілим показником;
7 як записувати числа у стандартному вигляді та вико-
нувати дії над ними;
7 що таке значуща частина, порядок числа:
7 як називається функція у , її графік та властивості.
1
§1.
РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ.
ДОПУСТИМІ ЗНАЧЕННЯ ЗМІННИХ
Опрацювавши цей параграф, ви будете .знати:
які вирази називають раціональними;
які вирази називають дробовими;
що таке дріб і який дріб називається раціональним;
як визначати значення змінних, при яких дробо-
вий вираз втрачає зміст;
що називають областю допустимих значень змін-
них раціонального виразу;
коли дріб дорівнює нулю.
Основу курсу алгебри становлять алгебраїчні вирази, які скла-
даються із чисел, букв та знаків алгебраїчних дій і дужок. Серед
алгебраїчних виразів є вирази, які називають раціональними.
Раціональний вираз — це вираз, який складається зі
скінченної кількості чисел і букв, що з’єднуються
знаками дій додавання, віднімання, множення, ді-
лення та дужками.
Раціональні вирази бувають цілі та дробові. В курсі алгебри
7-го класу ми працювали з цілими раціональними виразами:
8ху2, 4а, ~-ат3х, х4-у2, 5т :4, (9+а)2, ———.
З 13
Отже, у цілих виразах над змінними виконуються тільки дії
додавання, віднімання і множення. Якщо у виразі над змінними
виконати дію ділення на вираз зі змінними, то отримують вираз,
який називають дробово раціональним (дробовим) виразом.
Раціональний вираз, який утворений з чисел, змінних
за допомогою дій додавання, віднімання, множення
та ділення на вираз, який містить змінні, називають
дробово-раціональним.
§ 1. Раціональні вирази. Допустимі значення змінних
„ . . „ а 4 15х-4
Наприклад, раціональні вирази: 3 + —, --------, ------,
х х-у х+5
_ 3 — С _ 2 1 -» ж і л
8х+-^----, 7х +----- є дробово-раціональними, а дроби, що
а -4 6 + х2
а 4 15х-4 3-а 1
містяться в них: , ----, —---, -----, називають
х х-у х + 5 а -4 6 + х2
раціональними дробами.
1/7 Дроби, які містять змінні у знаменнику, називають
раціональними дробами.
Будь-який дробово-раціональний вираз допустимими пере-
твореннями зводиться до дробу —, де А і В - многочлени стандарт-
В
ного вигляду. Нагадуємо, що числа та одночлени є окремими
видами многочлена. /12
Таким чином, ми ознайомилися зі звичайними дробами , ,
13 27 ) __ (За 25-Зх а + Ь
—. —’ ••• та раціональними дробами І-, -----, —----
у 10 ) |17х х + 7 х -2х
Зауваження. Піднесення до степеня є окремим випадком
_ 2 з 3-а
множення, тому вирази 7х‘, а3, ---є також рацюнальни-
а* -4
ми. Вираз, записаний за допомогою дії ділення, наприклад,
2а-З
(2а-3): Ь можна легко подати у вигляді дробу-----, який
. Ь
містить змінні у знаменнику.
Для цілих виразів значення змінних можуть набувати
довільних числових значень, оскільки будь-який цілий вираз
можна подати у вигляді многочлена. Проте дробові вирази при
деяких значеннях змінних втрачають зміст.
Наприклад, вираз:
., а
1) не має змісту при х = 0;
х
15х-4 _
2) має зміст при всіх значеннях х, крім х = -5;
х+5
ох 4
3) мас зміст лише при тих значеннях х та у, коли х х у.
х-у
Для кожного з вищерозглянутих виразів ми виключали ті
значення змінних, при яких знаменник дробу перетворюється
на нуль, оскільки ділити на нуль не можна!
Значеная змінних, при яких можливі всі математичні
дії, що містить раціональний вираз, називають
допустимими значеннями змінних.
Такі значення змінних утворюють область визначення, або
область допустимих значень виразу (скорочено ОДЗ).
Приклад 1. Знайдіть область допустимих значень змінної х
4 + х
в раціональному дробі .
х(х-2)
Розв’язання
Я*. «амокмлііа.
ОДЗ: х(х-2)* 0,
х * 0, х * 2.
Відповідь, х * 0,
х * 2.
Оскільки дріб існує, коли знаменник
відмінний від нуля, то знаходимо ті зна-
чення змінних, що перетворюють зна-
менник на нуль. Маємо: х(х - 2) = 0, якщо
х = 0 або х = 2. Отже, областю допустимих
4 + х
значень раціонального дробу---є всі
х(х-2)
значення х, крім х = 0 та х = 2, що корот-
ко записують ОДЗ: х * 0, х * 2.
' ’ < А <
Приклад 2. Знайдіть допустимі значення змінної а для ви-
5 а
разу
а а +4 г» »
Розв язання
Як.
5 а
—;-----•’ 2
а а +4 а +4*0.
Оскільки а2 4- 4 > 0
при будь-яких
значеннях а, то
вираз а2 + 4 не
впливає на ОДЗ,
тому ОДЗ: а * 0.
Відповідь, а * 0.
Як.
Даний раціональний вираз склада-
ється із суми двох дробових, тому
знаходимо ОДЗ для кожного з них:
5
1) дріб - не має змісту при а = 0;
а
а
2) дріб —-— має зміст при будь-яких
а2 +4
значеннях змінної а, оскільки а2 >0,
а2 + 4 > 4 > 0. Таким чином, для
заданого раціонального виразу ОДЗ:
а * 0.
Багато років арифметика нагромаджувала практичні
правила для розв’язування повсякденних життєвих за- X *
дач. Ці правила приводили до використання дій додаван-
ня, віднімання, множення і ділення спочатку тільки з цілими
числами, а потім і з дробовими. Алгебра виникла в результаті
пошуку загальних способів для розв’язування однотипних ариф-
метичних задач. Цими способами в більшості випадків є скла-
дання рівнянь. Характерною відмінністю алгебри від арифметики
є введення буквених позначень. За допомогою букв можна було
узагальнити властивості арифметичних дій та записати їх у
більш стислій формі. Можливість перетворювати за певними
правилами буквеїгі записи зробила їх зручнішими для обчис-
лень. Буквені обчислення тотожних перетворень складають
апарат класичної алгебри. Практично алгебра вивчає, викорис-
товуючи буквені позначення, загальні властивості числових
систем і загальні методи розв'язування задач за допомогою
рівнянь. Увівши невідому величину та виконуючи відповідні дії,
приходять до рівняння, з якого вже знаходять невідому. Папірус
Рінда (2000 р. до н. е.) свідчить про натяк на таке трактування
задач, проте минули тисячоліття, поки вчені-математики
прийшли до таких висновків.
Вправи для закріплення
1°. Визначте, які раціональні вирази є цілими, а які - дробовими:
1)-^х/; 5)--;
19 4
9)-^- + х;
а-6
1О.9 1 4 2
7 О □
2) (а-Ь)г
6)9,3;
10)—?—;
тпк
_3.
п ;
З)?-2;
7) 15а;
4)
8)0;
16)
2°. Заповніть таблицю, викорисі овуючилОДр&ш:
------4»
УКГ\'
•х
1)5-х+у-з;
3)
і-2 1+2
ДЛ л:. ОС'.. ГИ
а
а
12»^^
4
4
15) ^±±4.®
14 '
2) 7х-у2-8 + -х;
З
. 49008.
іццк ЬуП. Кедрмл * з
•’’9 4Ь
кн.*
г-л^вьлі
6
а
5
9
9 2
____-4- V* •
»)
а2 -5
9/
5
З
10)- + -;
х У
12,4
4°. Обчисліть значення раціонального дробу:
,ха-х _ _ О.3и + 2х п _
1)---- при а = 5, х = -7; 3) - --при х = -2, у - 2;
2)———при т =0; т = -5; 4) — —-при а =0,5.
—* . к п .«.А
5°. Відомо, що площа прямокутника зі сторонами х см та у см
дорівнює 28 см4. Складіть вираз для знаходження площі прямо-
кутника. Виразіть:
1) змінну х через у; 2) змінну у через х.
Чому дорівнює х, якщо у= 14 см?
6°. У залі кінотеатру 400 місць, причому кількість рядів дорівнює
к, а кількість місць у ряду т. Складіть вираз для знаходження
кількості місць у ряду. Обчисліть значення т, якщо к = 16.
7°. Знайдіть область допустимих значень змінної х для виразу:
2)—і 6*Т,/тА>\: 8,“2— •
х+4 х(4 + х) Зх(4х+8) 2х2+5
8*. Знайдіть значення виразу:
. 4а-а2 о
1) А =-----при а = -2;
а +3
2) В- приЬ = 3;
Ь2-2
3) С = 4с2-16с + 3 при
Обчисліть значення виразу 2А + ЗВ - -С.
Складіть математичні моделі до задач (9-10).
9*. Із двох пунктів АіВ, відстань між якими дорівнює 70 км,
одночасно назустріч один одному зі швидкостями 35 км/год і
а км/год вирушили два мотоциклісти, які зустрілися через І ГО-
ДИН. Запишіть вираз, за допомогою якого можна визначити
час і. Знайдіть 1, якщо а = 21 км/год.
10*. Човен проплив ЗО км за течією річки і 26 км проти течії.
Складіть вираз для знаходження загального часу руху човна,
якщо його власна швидкість становить V км/год, а швидкість
течії - 3 км/год.
11*. Знайдіть допустимі значення змінної а для виразу:
3)
2)<1’Л
а
4)
7-а
а(3а+3)’
7-а2
5)
а а +6
2а(4а 4-2)
6)
3-а
а2 -9
8)-^9-
а2 -25
4
12*. Визначте знак дробу —, якщо:
п
1) т > 0, п < 0; 3) т < 0, п < 0;
2) т < 0, п > 0; 4) т > 0, п > 0.
13*. Знайдіть, при яких значеннях змінної дріб дорівнює нулю:
П7 *-^; 2)?-^; 3>—
5 16 а-2 у+1 1+4 х-7
14**. Визначте значення змінної а, при якому значення дробу
а-7
—— дорівнює:
О
1; 2)0; 3)3; 4)-2.
Раціональний дріб дорівнює нулю, якщо його чисельник
дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.
15**. Знайдіть значення змінної /, при яких не має змісту вираз:
і
2 с
Іг -100
С16 2/
5)- + —
2) _»♦£*_
»’ +10Г + 25
4)
Г3 -16ґ
6)_«
0-6)‘°
їв**. При яких значеннях змінної дріб перетворюється на нуль:
1)^1Д 2)8ЬхІ
1+2 2х+6
з/-^9; 4)^
7
17**. Визначте знак дробу:
,.х-2 о _./п-4 ,х т-8 о
1)---прих>8; 3) ------при т < 0; о) —------при т <• 8;
х-5 т-5 т +2
Л1.а-3 ..у+11 -.є сч а+2 о
2) — приа>3; 4)— — при у < -15; 6) -------при а > -2.
а+8 р-ІО а2+3
18**. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної значення
дробу:
-.5 ОЇГ*+5 -Д/-2)2
і)— додатне; 3)—- від ємне; 5)невід ємне;
Г*+2 -ґ2-1 Г2+5
4 . , . -а2-4 _ (у+4)2
2) —---від ємне; 4)---- — додатне; 6) — недодатне.
і2+8 а2 +2 -у2 -9
19*. Визначте значення змінної, при яких дріб перетворюється
на нуль:
4)''-^*'.
і+3 х-4 т у+6
Вправи для самооцінювання
1°. Виберіть серед раціональних виразів дробовий.
хо 2 1 о. кх7 . іа -2Г+3 . ?-2
а)8х—х+2; б)—х; в)------------; г)-------.
З 3 4 і
8 — х2
2°. Знайдіть значення раціонального дробу-при х = -2.
2х
а)1; б)-1; в)-3; г)3.
3°. Знайдіть значення змінної і, при якому вираз-не має
змісту.
а)«=6; б)ґ=25; в)1=-6; г)Г=±5.
4*. Укажіть дріб, який дорівнює нулю при х = -5.
Л2х-10 хчх2-5
а)---—; б)----—
4х + 20
х-5
2
5*. Визначте, яким буде значення раціонального дробу
при будь-якому значенні змінної і.
а) Додатним; б) від’ємним; в) недодатним; г) невід’ємним.
6*. Знайдіть значення змінної х, при якому дріб дорів-
нює -3. $
а) 6; б)-5; в) 1,5; г)-1,5.
л , 8-І
7 . Визначте, яким буде дробовий вираз - при і > 8.
1 + 6
а) Додатним; б) не до дат ним; в) від’ємним; г) невід’ємним.
8**. Визначте вираз, який є математичною моделлю до задачі.
Катер, швидкість якого у стоячій воді дорівнює х км/год,
пройшов 32 км проти течії річки та 24 км за течією. Складіть
вираз для знаходження часу, який катер затратив на весь
шлях, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год.
. 32 24 „ 32 24 .32 24 . 32 24
а)----+ -—; б) ----+----; в)----+-----; г)--+-----.
2 + х 2-х 2-х 2 + х х+2 х-2 х-2 х + 2
64х — Xі
9 . Знайдіть значення змінної, при яких дріб — пере-
творюється на нуль. х + $
а) 0,8 і-8; 6)0 і 8; в)0і-8; г)8і-8.
Вправи для повторення
20. Знайдіть добуток розв’язків двох лінійних рівнянь:
1)| -х + 0,5 І 2=О,2х+3,4 і 30+31 = 3,5+0,50;
V 5 )
12 Я
2)(Зх-5) —= 2х-15- і 20+0,21=0,50+-;
3 3 8
2 = 2,7-0,2х і 40-13 = 1,50+14,5;
4)(5х-4) - = 2х-5,6 і 7|/-1Д = 4,50+1,25.
5
21. Визначте кількість коренів рівняння:
1) 2х(х - 3) = х(2х - 5) - 17;
2) (2х - 1Х2х + 1) = х(4х + 7) - 7(х + 2);
3) (Зх - 2)2 - 19х = (9х + 5Хх - 4) + 24;
4) 5х(х - 3) + 7 = 5(х + 1)2 + 2.
22. У першому резервуарі 1900 м3 води, а в другому - 7500 м3.
У перший резервуар щохвилини надходить 400 м3 води, а з дру-
гого щохвилини забирають 300 м3 води. Через скільки хвилин
у резервуарах води стане порівну?
23. Подайте відсотки у вигляді звичайних дробів:
1)10 %, 20 %, 30 %, 40 %, 80 %;
2)3 %, 27 %, 41 %, 69 %, 99 %;
3)15%, 35%, 50%. 75%, 85%;
4)1,25 %, 12,5 %, 37,5 %, 125 %, 625 %.
24. Обчисліть значення виразу:
3)0,3 :(1Л2+1,98);
4)?:(1,02-0,22).
О
§2
• РАЦІОНАЛЬНИЙ ДРІБ.
ОСНОВНА ВЛАСТИВІСТЬ ДРОБУ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
яку рівність називають тотожністю;
яка тотожність виражає основну властивість ра-
ціонального дробу;
які раціональні вирази називають тотожно рів-
ними;
правило скорочення раціональних дробів;
який раціональний дріб є нескоротним.
Виконуючи дії зі звичайними дробами, часто доводилося
використовувати основну властивість дробу: якщо чисельник і
знаменник дробу помножити на одне й те саме натуральне
число, то значення дробу не зміниться. Наприклад:
2 4 50 п.2 6 12 200
1) — = — = -=... =-=...; 2)— = — = — = ... =-=...
2 4 8 100 3 9 18 300
Оскільки в раціональному дробі чисельником і знаменни-
ком є многочлени, то для нього також буде доцільною основна
властивість дробу: для будь-яких натуральних чисел а. Ь, к ви-
конується тотожність:
а _ак
Ь~ Ьк
- н ж.
<? 2. Раціональний дріб. Основна властивість дробу
Доведемо справедливість цієї самої рівності для будь-яких
значень а, Ь, к, при яких знаменник відмінний від нуля, тобто
при Ь * 0 і к -є 0.
а
Нехай дріб — = т (і). Звідси за означенням частки а - Ьт. Помно-
Ь
жимо обидві частини цієї рівності на к. Оскільки к * 0, то виконується
рівність ак - Ьтк. Використовуючи сполучну властивість множення,
отримуємо: ак = (Ьк)т, або (Ьк)т = ак.
Оскільки Ь * 0 і к * 0, то Ьк # 0. Тому за означенням частки отри-
ак ак а
муємо: — - т (2). З рівностей (1 )і(2) маємо: — = —. що й вимагалося
Ьк Ьк Ь
довести.
Доведена рівність є тотожністю.
Тотожністю називають рівність, яка правильна при
*** всіх допустимих значеннях змінних, що входять до
неї.
Для будь-яких значень а, Ь, к, де Ь * 0 і к * О, справед-
лива тотожність
а _ ак
Ь Ьк
(3)
Властивість, виражену тотожністю (3), називають основною
властивістю дробу.
Два раціональні вирази, які набувають рівних значень при
всіх допустимих значеннях змінних, називають тотожно
рівними, а заміну одного виразу тотожно рівним йому - то-
тожним перетворенням виразу. Наприклад, раціональні ви-
рази і Х—? тотожно рівні при х * 0.
Зх З
Якщо ж у тотожності (3) поміняти ліву і праву частини
. ак а „
місцями, то отримаємо: — = —. Це означає, що чисельник і зна-
Ьк Ь
менник дробу поділили на їхній спільний множник к (к *0).
У* _ ак
цьому випадку кажуть, що дріб скоротили на к. Дріб — на-
Ьк
а
зивають скоротним, а дріб — нескоротним.
Ь
Для спрощення раціональних виразів під час виконан-
ня тотожних перетворень доводиться часто скорочувати
раціональні дроби. При цьому користуються таким алго-
ритмом:
1) записують многочлени чисельника і знаменника дробу
у вигляді добутку (іншими словами - розкладають чисель-
ник і знаменник дробу на множники);
2) визначають спільний множник для чисельника і зна-
менника дробу;
3) ділять чисельник і знаменник дробу на їхній спільний
множник, отримуючи нескоротний дріб;
4) записують тотожну рівність з урахуванням ОДЗ почат-
кового дробу.
Зауваження. Область допустимих значень раціонального
дробу здебільшого зручно шукати, коли його знаменник розкла-
дено на множники.
^2 _
Приклад 1. Скоротіть раціональний дріб---.
тх + 4х
Розв’язання
т2 -16 (т-4Мт + 4)
тх+4х х(/п + 4)
т 4 _ .
=----при х * 0 і
X
т х -4.
Відповідь. —— при
х
х х 0 і т х -4.
Як. кйіьлЛимЧ
Скорочення дробу передбачає
ділення його чисельника і знамен-
ника на їхній спільний множник,
тому розкладаємо їх на множники,
використовуючи відомі нам спо-
- 1Х^п + 4)
соби. Отримуємо дріб ----—-----,
х(пі + 4)
який скорочуємо на (т + 4) за
умови, що т + 4 * 0, тобто т х -4.
Таким чином, виконується тотож-
лі’-16 т-4 Л
ність: ------=----- при х х 0 1
/пх + 4х х
т х -4.
Приклад 2. Зведіть дріб
до знаменника 8а5.
Розв'язання
Знаменник шуканого дробу 8а5
розкладаємо на множники так, щоб
один з них дорівнював знаменнику
даного дробу 2а2. Таким чином, 8а5 =
= 2а2 • 4а3, тому чисельник і зна-
М
менник дробу множимо на 4а3
(основна властивість дробу). Отри-
_ 20а\/
муємо дріб--—.
Вираз 4а3, на який домножили чисельник і знаменник зада-
ного дробу, називають доповняльним множником до чисельни-
ка і знаменника дробу .
2а2
Запам'ятаймо!
а-Ь Ь-а а-Ь -а а а а-Ь а-Ь ,
------ж----ж-----; — ж — ж----; --- ж - = —1.
т-п т-п п-т Ь -Ь Ь Ь-а -(а-о\
Вправи для закріплення
25°. Серед виразів: 6е; 7тапс; 13; а; 10а2х; 7 т2; $а*Ь3сь; 12х2уі3
виберіть спільний множник чисельника і знаменника дробу:
5>28Т^ТІ 7) ;
8а 24хс 7т* пс2 З6х3уі3
14т2 28т2 пс _ 13а а 18а4Ь4с5
---Г; 4>—ї—; 8>--ГТ іл •
21т3 7т5 пс2 39ху 27а5Ь*с10
26°. Запишіть дріб — у вигляді дробу де к - спільний множ-
п Ьк
ник чисельника т і знаменника п дробу:
Розділ І. Раціональні вирази
>г 3) 8х ; 12ух 5)®^; 9У 21т2л е 42т2 п3’
2)г 4)^; 24а 6)і^; 15аЬ2 100а2х/ 200а2х2у2
27® Скоротіть дріб:
1х63т2х3 42т5 х З)15^; 40ґх2 5)^£; 18ах 7)_72т2'!. 4т2л2
2)100^; 25рх3 6т2 п3 4) 9 я 18т2л3 х й. 396т2 о » 6) , х2 -26ст2 И1 -0»т2Ь 9 • О^ат2
28°. Подайте частку у вигляді дробу та скоротіть його:
1)15т2х :ЗОтх3; 3)7с2ху :14сяху2; 5)-6тл: (-18та);
2)24а26:3а64; 4)-1 Бату-,(-5а2ту); 6)24а3х:0,Зах2.
29°. Використовуючи властивості степенів і правило скорочення
дробу, обчисліть значення дробу:
(2 4)2 к. 252 1016
О—Г-; Ь) . 7) ,
45 27* 125 100"
ах З5 -х 8” О.274 о. 16Т
2)~; 4) —=-» 6)—; 8) -—.
92 16е 9Т 64
ЗО®. Скоротіть дріб, враховуючи ОДЗ:
т(х-3). 7(0 4-4). та(у^3)^ 2ґх2(у-1)
5(х-3) х(а+4)’ ла(у+8)’ 4*х2(у-1)
Скоротіть дроби, розклавши їх
на множники (31—36).
чисельники та знаменники
31*.
ІОаЬ
32®.
Юхі/
„(т-З)2.
Дт-З)’
зи+7)
3)^;
х + у
4)-^-;
36+За
3)-^Ц-;
(2т-І)2
4)
6-8х
(3-4х)2’
зз**. 1)
/2-4.
2/+4’
3)
вхт *18лі
9-х2 :
а3 -16а
а2 +4а
2)^——
2х+10
(т+п)2
Зх2 -15х«/
х2 -25/ ’
7х+14 .
«М 5"*
(-х-2)2
6)
І2 -9/
81/-/3
Є-3-т)20^.
( 3 т)2008 ’
-т-п
2) ’ „ ;
с/ + 2
1) 9т2 -п2
9т2+ 6л +1
(-4-Зт)2.
4)“б^8-’
3)-£±®±;
і2 +6/4-9
4с2+20с+25
4) 4е+10 5
_ 36л2 -т2
3) ; т»
т2 +12ліл+36л2
(-З-т)3008
(3 + /п)2009 ’
-і2 +100
5) ~~2 •
І2 + 20/ +100
_ п2 -18п+81
Ь) ------т- —.
81-л2
5) -бг>—р
16Ь2-86х + х2
пх 4а2-25Ь2 , 49а2-42а+9
2) „ —♦ 4) — ;
4а2 -20аЬ + 2»2 49а2 -9
/-18Ьу + 81Ь2
8152-/
37е*. Подайте частку у вигляді дробу та скоротіть його:
1)(4т2-л2):(л + 2лі);
4)(1+а):(1+а’);
2) (а-ЗЬ) :(®2 -а2);
3)(8+<’):(«+2);
5)(т-5):(т2 -125);
6) (64 + /): (4 +у).
38е*. Скоротіть дріб:
2)
са +тс + га
_ т + п+тп+пг
о)----------
6т+6л
ах + х + 2 + 2а
Зх+6
а2 -аЬ-4а +4Ь
-------,----;
16-а2
Зт-Ьх + тх-ЗЬ
2
39е*. Знайдіть значення виразу:
,.х +х
1)—т----- при х =-0,5;
х +х
1
9>°в+а“ 1
прио=-з
а >а о
при / = -
5
40ее. Зведіть дріб:
- до знаменника1065;
2) - . до знаменника 12тях;
4т2
3) $— до знаменника 8у2; 5) — до знаменника 130Г у3;
4у ІЗй/
5 тп2
4) до знаменника би*; 6) —- до знаменника 12х3у10.
ба х3/
41е*. Зведіть до знаменника 48а:*62х дріб:
2)4^7 4,^=
5)24иаЬ2
6) —
42е*. Серед виразів: (4 - а); 4х; (у + 2т); (3 - а); 2у2; За2 виберіть
доповняльний множник до дробу при зведенні його до знамен*
ника М;
1)Ам=9а‘; 4)2?.,м=(4-а)1;
За 4 а
2) М « 4х7; 5) —9, М « (з -а)(3+а);
х6 3+а
3)—М = 8х9у2; 6)— у2- 4т2.
4х У-2т
43**. Зведіть дріб до знаменника М:
т —З
2)-^- , М= 36-а2;
6-а
3) ——------М « 5х(6 4-е)2;
Ь2+2Ьс+с2 к
4)—— , М =у-х;
х~У
5)-^-,М=9-х2;
х-3
6) 1^-,Л/=т3+1;
т+1
7)^-,М=27-е’;
3-с
8)—,Л/=д’-е’
к2 а к- . -2
44**. Скоротіть дріб:
4ХГ2 + 8М16
4)
5) ;
а + 6а +9
(Зх+9т)2.
6) Га^7у ’
(6х+4у)г
9х2-4у2
4х2-у2
8)/-------Чї’
(5у+10х)2
З^бх-ІОт)2
(2/п-х)2
Франсуа Віст
Великий внесок у розвиток
алгебри зробили науковці
Стародавньої Індії, Вавилону,
Стародавньої Греції. Проте у
працях стародавніх математиків не
використовувалися символи і знаки,
тому громіздкі записи гальмували
розвиток науки. У 1202 р. італій-
ський математик Леонардо Пізан-
ський (Фібоначчі) (1180-1240) увів
запис дробу через риску в творі « Кни-
га абака», однак дроби ще не вважа-
ли числами. Наприкінці XVI ст.
французький математик Франсуа
Вієт (1540-1603) став позначати невідомі величини голосними
буквами А, Е, І, О,.... а відомі - приголосними В, С, М, К.Ці
букви він з’єднав знаками дій, утворюючи перші буквеяі форму-
ли, які характерні й для сучасної алгебри. З виходом у 1707 р.
книжки англійського математика і фізика Ісаака Ньютона
(1643-1727) «Загальна арифметика» дроби визнано рівноправ-
ними числами та сформульовано поняття дробу як частки від
ділення одного виразу на інший: «Запис однієї з двох величин
над другою, між якими проведено риску, означає частки або ж
величину, яка виникла при діленні верхньої величини на ниж-
ню... Величини такого роду називаються дробами». Таким чином
з’явилася можливість працювати із сучасними алгебраїчними
дробами.
Вправи для самооцінювання
1°. Виберіть спільні множники чисельника і знаменника дробу
16а26с?
24а3Ь2с
а) 4аяЬс; б) &а2Ьс; в) 4а2Ь; г) 8а3Ь2с3.
2°. Виберіть два дроби, які тотожно рівні дробу
12т2 12х
“ ’ ~ 9* 2*
14х 14т 7т2
г)
120т&л7х2
140т7п' х
6пГ
7х '
3°. Укажіть доповняльний множник до чисельника і знаменни-
7х
ка дробу —— при зведенні його до знаменника 36а4Ьс3.
За2Ь
а) ЗЗа*Ьс3; б) ЗЗа2с3; в) 12а26с3; г) 12а2с3.
.. п 64-т2
4 . Скоротіть дріб „--------.
т* + 16т+ 64
. 8-т т-8 . 1 . 1
а) --; 6)----в) ——; г)-——•
8+т т+8 16т ІЬт
5*. Визначте дріб, у якому правильно виконано розкладання на
, 18а2 -60аЬ + 5062
множники чисельника і знаменника дробу----т----«---.
2562-9а2
2(За-5Ь)2 (6а-106)2
(За-56ХЗа+5&)’ В) (5д-3а)2 ?
б) 30)2 • Г)2(30 ~56)2
(Ю-ЗаХ»+За)’ (5д-3а)2 *
6е. Укажіть чотири рівності, які е тотожностями.
.100-Г2 10 + Г
а)-----=- = ——;
(Г-10)2 10-1
б)^-=у-2;
24-у
1-у2 1-І/
4д2-9 2а+3.
9-12а+4а2 2а-3*
р3-16р
е) —- ---— = -р.
(РЧ-4Х4-Р)
7**. Скоротіть дріб
(-х-аҐ1
(а + х)49
а)-х-а; б)х + а; в)х-а; г)а-х.
8**. Зведіть дріб - — до знаменника -ти3 - 10т3 - 25т
т + 5
т(2-хХт4-5) г
-тл -10т2 -25т
т(х-2Хт-5)
б) - Л >
-т3 -10т -25т
. т(х-2Хт + 5)
в)—ї-----V —’*
-т3 -10т2 -25т
. т(х-2Хт + 5)
Г)-------2 -— ’
-т -10т -25т
(-Зх-6/Г
9е*. Знайдіть значення раціонального дробу , якщо
-5х-10ґ
5
12
.1 кк 1 ч З
а)-; б)-; в)-;
4 4 4
З
Вправи для повторення
45. Подайте многочлен у вигляді добутку:
1)0,25а2-6а+36; 3)тх~ + 4/пх+4т;
-9а;
5)&а+5/-10е/;
6)-- + -т3 -тв.
9 З
46. Розкладіть многочлен на множники:
1)аб+Ьс+са +с2; 3)(а-Ь)2 -са +сЬ,
47. Доведіть, що значення виразу:
1) 8Я + 87 - 8е ділиться на 71;
2) 97 - 9е + 9й ділиться на 73;
4) ІЗ10 + ІЗ9 - 13й ділиться на 181.
48. Знайдіть допустимі значення виразу:
7а
т+5
т* -4
2т(т-5)
2) -5_-»
6)___8*у .
у(у-і\у+2)
49. Знайдіть суму і різницю двох виразів А і В, якщо:
Л 2х*-3х+1 „ 2х2 +3х-1
8
5х2 -2х + 3
8
_ 9х2 -4у2 4у* -9х2 .
24 ’ 24
49х2 16</2 _ 16у2 49х2
-О — •
10 10
З 50. Знайдіть закономірність між виразами, записаними в
першому рядку. Застосовуючи цю закономірність до дру-
гого рядка, запишіть замість «...» пропущені числа, а
замість знака <?» - раціональний вираз.
ал+а6 а3 а х 0 а2+ 1
3 ІЗ < । 3 3 м| * т х... ?
§3.
ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДРОБІВ
З ОДНАКОВИМИ ЗНАМЕННИКАМИ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
як знайти суму (різницю) двох раціональних
дробів з однаковими знаменниками;
• як спростити чисельник, утворений при додаванні
(відніманні) раціональних дробів з однаковими
знаменниками;
• який вираз вважають остаточним результатом
додавання (віднімання) раціональних дробів;
як поширюється правило виконання дій додаван-
ня (віднімання) для більшої кількості раціональ-
них дробів.
Як відомо, при додаванні (відніманні) цілих виразів з одна-
ковими знаменниками додають (віднімають) їх чисельники, а
знаменник залишають без змін. Наприклад:
2а 5а 2а+5а 7а 17х-2 12х+6 17х-2-12х-6 5х-8
+--=------ ж------------------Ж-------------=------.
13 13 13 13 5 5 5 5
Аналогічно виконують додавання (віднімання) будь-яких
раціональних дробів з однаковими знаменниками:
а Ь а±Ь , . ,
— ±- =----, де а, о, с - деякі многочлени і с * 0.
с с с
Доведемо, що ця рівність справедлива при будь-яких допустимих
значеннях змінних, тобто для с х 0.
Позначимо - = т. — = к. тоді — + - = т+к. З іншого боку, за озна-
ст с с с
ченням частки а - тс, Ь - кс. Звідси а + Ь = тс + кс = с(т + к), тобто
а + Ь - с(т + к). При с» 0
, а +Ь
щік=---
_ « . а Ь
Отже, з одного боку, т+к = — + —
с
. а + Ь
а з другого т + к=------, тому
с
с
. *___ а Ь а +
слранедлива рівність: — + — —
с с с
Така рівність є тотожністю, оскільки виконуються для довіль-
них значень змінних а, Ь, с, причому с * 0, де а, Ь, с - многочлени.
19 Щоб додати раціональні дроби з однаковими знамен*
ннками, потрібно додати їх чисельники, а знаменник
залишити без змін.
Оскільки віднімання завжди можна замінити додаванням
(додати протилежний вираз), то віднімання раціональних
дробів виконується за правилом, аналогічним додаванню:
а Ь а Ь'\ а+( ^) а-Ь
с с с V с) с с
І'/ ІЦоб відняти раціональні дроби з однаковими зна-
менниками, потрібно від чисельника зменшуваного
відняти чисельник від’ємника, а знаменник залишити
без змін.
За правилом додавання (віднімання) можна знайти суму
(різницю) і більшої кількості дробів з однаковими знаменниками.
Зауваження. Після виконання дій додавання (віднімання)
необхідно перевірити, чи можна отриманий дріб скоротити.
Виконання дій додавання (віднімання) раціональних
дробів з однаковими знаменниками здійснюють за таким
алгоритмом:
1) за правилом додавання (віднімання) раціональних
дробів отримують дріб із тим самим знаменником і чисельни-
ком, що дорівнює сумі (різниці) чисельників заданих дробів;
2) спрощують утворений чисельник-многочлен, викори-
стовуючи правила розкриття дужок, зведення подібпих
доданків;
3) отриманий дріб скорочують, якщо це можливо.
Л 8-а2 Запі+6 14-4а2
Приклад. Виконайте дії —----+—--------
а +ат а +ат а +ат
Розв’язання
8 а2 Запи-6 14-4а2
2 2 2 .
а +ат а +ат а+ат
(8-а2) + (3ат+б)-(14-4а2)
а2 +ат
3а2+3ат За(а+т) з
а2 +ат а(а + т)
при а * 0 і а * -т.
Відповідь. З при а # 0 і а * -т.
Як.
Застосовуючи правила
додавання та віднімання
раціональних дробів, спро-
щуємо чисельник утворе-
ного дробу. Отриманий дріб
За2 + 3ат
_ ---- - скоротний,
а +ат
тому розкладаємо його чи-
сельник і знаменник на
За(а+т)
множники: —-г----— =3
а(а +т)
при а # 0 і а # -т.
Рене Декорт
Стародавні математики у своїх
працях не використовували /
символи і знаки, тому громізд-
кі записи утруднювали здій-
снення записів алгебраїчних перетво-
рень, гальмували розвиток науки.
Необхідність і можливість введення
буквеної символіки і лаконічпіших за-
писів прийшли з винайденням книго-
друкування в XV ст. Зокрема, англій-
ський математик Т. Гарріот (1560-
1621) увів знаки дій та нерівностей.
Французький математик 1 філософ
Р. Декарт (1596 1650) удосконалив
використання символіки. У своїх записах для невідомих величин
він використовує останні букви латинського алфавіту х, у, і.а
для відомих - перші букви латинської^) алфавіту а, Ь, с і т. д. У ма-
тематиці відбувся великий прорив: буквами замінюють які завгод-
но числа, а символічними позначеннями - дії. Це значно спрощує
записи, тому такий успіх мав виключно важливе значення. Проте
пройшли ще десятиліття, а може, й століття, поки виробилися
зручні знаки й стали такими, як ми їх бачимо сьогодні.
Але без такого знаряддя, як мова формул, був би неможливий
подальший розвиток математики: створення нових її напрямів
математичного аналізу, математичного трактування законів ме-
ханіки та фізики тощо.
Вправи для закріплення
51е. Виконайте додавання або віднімання дробів та вкажіть об-
ласть допустимих значень отриманого дробу:
Зх Зх
о.4тл Зтл
3)
2)—
19 19
4)
лі4І6л 16л
9у 9у
52°. Подайте суму або різницю у вигляді дробу:
2)
а+8 а-8
____и___•
25-Зх 25-9х
_______ •
12х 12х
3)
4)
14^-12 7у49.
Зу-9 Зу-9’
8/413 11-5/
2/+16 2/4І6
Спростіть вирази (53—56).
ь
ь
3)
25т-1 12-Зт т-1
----4----------;
Зт Зт Зт
2)
о
54*. 1) —
4) 6У~* 2у+13 + 9 + 2у
6у 6у 6р 6|/
2
. .16Г + 1 4-15/
4)~ї----4 2
і2-25 /2-25
2)-“
5)
Зх-11 17-5х
-----Г4
(З-»)’
,2
3)“ї---ї* * * 4—і-ї
т -а т -а
13а 4 66
6)--------і
2*
55*. 1)^-4—
3-а а-3
3)
5х + у Зх+2у
2х-у у-2х
„ 16 <»2
5)---+—
2)-5ї_--®£
^6х + 22а 4х+30а /2 81
4) +----------; 6)----+--
х 4а 4а-х /-9 9-/
56*. 1)
Зх-2 2-Зх
2х-3 3-2х
12а-11т 9а -10т
І ~—•
О,1+49х2 14х
3)------+ —
7х-1 1-7х
..9 30а 25а2
—— — 9
5а 3 3-5а
„ 9т2 12ат4а
5) -+-----------;
2а Зт Зт-2а
81/ 25х2 -90ху
5х-9|/ 9у-5х
Знайдіть значення виразів (57—58).
с_. .. т2 -12 4 п
57. 1)-при т = -2;
гп4 т-4
оч5*+11 4Л + 14 . __
2) —-5-при к = -2Д
к2 -9 к2 -9
..3/-15 34 + 2у2
о)-+-
7-У у-7
4) 5т2 4-41 40-9т2
9- 2т 2т-9
при т - 2.
ко.е 1Ч/-8Л 16 . о
58 . 1) — -+ — - при к = -8;
Л2-16 *2-16
І2 - 4аі 4а2
І2-4а2 4а2-і2
при і = -2, а -
2
8х2+9/ 24хр-8х2
9/ - 16х2 9у2 -16х2
1 1
приу=_»х = -;
О &
25т2 20тл-4л2
4)---5--Г*—--------
25т2 -4п2 4п2-25т2
при т = -0,4, п = -ОД
59**. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної а
значення виразу не залежить від а:
1ч8а-3 2а+5 _Л4+13а 5а+23
1)----+-----; 3)------4-------;
За-4 4-За 9 8а 8а-9
2) _ 2а^.- 4) —301
5а+12 12 + 5а’ * За+19 19+За
60**. Виконайте віднімання:
1)-%— 3)—2?т— а-Ц-;
(І-З)2 (3-0 (5+а)2 (а + 5)2
2)_1в 4, 1
И-У)2 (У-4)2 (2т-1)2 (1-2т)2
Подайте дроби у вигляді суми або різниці двох нескоротних
дробів (61—62).
т+п
____•
2
^2-П1
2тп
з .
а
_2 _п2
3) 2*_;
тп
5)
а
„10
6)—
-п* 7
п5
г1в
62е*. 1)
їв
3)
х* — х*
2)
4)
2.2
а б
аа -7аЬ
'
Ж Я Скористайтесь
а іЬ а Ь
тотожністю---= — ± .
с се
5)
За2 + 2т2
91 -ті
б) ---ї-
-?4
2
2 2
Вправи для самооцінювання
1°. Виконайте віднімання
36 + т т
.Зк+2т Зк
а)—— -ї б)—;
2Ь 2Ь
. Зк-2т
в) ~---»
Зкт
Л 5а ІЬ 21а-106
2°. Подайте суму ----+-------у вигляді дробу.
.13-146 Л 26а-76
а)—-—; б)—-— ;
2 2а
Л3а-7Ь
в>- ---ї
13-76
2
3е. Спростіть вираз
Ю о
--, якщо х #3.
а)х + 3; б)х-3;
4*. Виконайте віднімання
а-3 2
а) -1;
б)
а -5
____ •
о - . ха+9у
о . «знайдіть значення виразу-
х-Зу
бху
Зу-х
при х = -4, у -
ьо' (О
а) -6; б) 36; в) 4;
„ 4т2 * 25
6 . Спростіть вираз- - -г--------
(5-2т)2 (2т-5)2
. 4т2 +25 _ч 2т
а)------7; б) —-
(5-2т)2 2т + 5
7**. Подайте дріб-------у вигляді суми двох нескоротних
6а4
дробів.
а)
а2 1
—+——.
З 4а2
о.. „ н 64-2аЛ 2аЬ-а‘
8 . Подайте вираз ---- +---------- у вигляді нескоротного
(а-8)2 (8-а)2
дробу.
64-а2 8 + а . а2-64 . а + 8
«); 777» б)« і в) 77 77 г>----7-
9е*. Виберіть два правильно виконані тотожні перетворення.
5т 2т-4 5т + 2т+4
___ _ ——— — •
т-3 3 т т-3
9т2 16 9т2 -16
б) , „ . »
(4-Зт)2 (Зт-4)2 (Зт-4)2
а4*4___ 1 = а4Ь4 +1
В (а2б2-1)2 (1-а2*2)2 (а2б2 -І)2’
2 +9у2 бхі/ (х + 30
х-Зу Зу-х х-Зу
Вправи для повторення
63. Спростіть вираз:
1) 9ха - (Зх - 2)(3х + 2); 3) (2х 4- Зу)г - (2х - З//)2;
2) 25у2 - (5у + 7М5р - 7); 4) (5х - 4у? - (5х + 4уУ.
64. У першому мішку міститься 90 кг борошна, а в другому - на
15 кг менше. Після того як з першого мішка взяли в 3 рази
більше борошна, ніж з другого, у ньому залишилось у 2 рази
менше борошна, ніж у другому. Скільки кілограмів борошна
взяли з першого мішка?
65. Розв’яжіть рівняння:
1) (х 4 4)(х 4-1) = х - (х - 2X2 - х);
2) (х - 9Хх - 1) = х - (х - 3X3 - х);
3) (х + 2Хх 4- 8) = Зх - (4 - хХх - 4);
4) (х - 4Хх - 9) = 7х - (6 - хХх - 6).
66. Знайдіть значення виразу:
З 9 27 81 2 4 8 16 32 64
2) 3і -Г11 -! 2і - 3^-^^ 4)2--ґз1- ! 4і -(б 1 -6—Ш
2 2 V 3 < 2 ЗЩ 2 ч 4 8 ( 16 32 ДГ
Використайте переставний і сполучний закони додавання.
67. Подайте вираз у вигляді дробу:
Ь , о. а а-1 _ С^'п+с
1)-- -1; 3)- + -—»2; 5) -т-с;
8 4 9 3 З
2)-+--2; 4)------+ пц 6)^—-4-у 4-А.
7 3 10 15 5
,/ 68. Знайдіть закономірність між виразами, записаними в
першому рядку, застосуйте її до виразів в другому рядку і
запишіть вираз, який має бути замість знака <?».
§4. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДРОБІВ
З РІЗНИМИ ЗНАМЕННИКАМИ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
. як зводити дроби до нового знаменника;
• як знайти найменший спільний знаменник кіль-
кох дробів;
• як знайти доповняльний множник до чисельника
та знаменника дробу;
• як додавати (віднімати) раціональні дроби з різни-
ми знаменниками.
З 8
На прикладі знаходження суми дробів — і — відтворимо
10 15
алгоритм виконання додавання (віднімання) звичайних дробів
з різними знаменниками:
1) визначають найменший спільний знаменнцк дробів, тобто
найменше спільне кратне чисел 10 і 15. Число ЗО с найменшим
спільним знаменником (НСК (10, 15) = ЗО);
2) знаходять доповняльні множники до чисельника та зна-
менника кожного з дробів (це 3 і 2 відповідно);
3) множать відповідні доповняльні множники на чисельни-
ки і додають (віднімають) отримані добутки, записуючи їх у
чисельнику нового дробу, та записують отриманий найменший
спільний знаменник - число ЗО;
4) виконують скорочення отриманого дробу, якщо це можливо.
Таким чином
3^ 8^ 3 3 + 8 2 9 + 16 25 5
10+15 ЗО “ ЗО ЗО б’
Користуючись цим же алгоритмом, виконуємо додавання та
віднімання раціональних дробів. Запишемо правило додавання ра-
ціональних дробів з різними знаменниками у загальному вигляді:
а с ад+Ьс . . . .
- + — =— ---, де а, о, с і а - довільні многочлени, причому
Ь а Ь д
Ь* 0 і </*0.
Проте слід зауважити, що при додаванні (відніманні) раціо-
нальних дробів найскладнішим є перший крок: знаходженим
найменшого спільного знаменника дробів.
х2 5х
Наприклад,*для дробів —1- і —? спільним знаменником с
4а ба
одночлен 12а3. Число 12 - найменше спільне кратне чисел 4 і 6,
а вираз а8 - степінь з найбільшим показником, який ділиться
як на а2, так і па а3.
Наведемо кілька прикладів дробів та їх найменших спільних
знаменників. Проаналізуйте самостійно, чому саме вказа-
ний вираз є найменшим спільним знаменником двох дробів.
№ І дріб II дріб Найменший спільний знаменник
1) 8 13 л / 3 26х2у 26х2р
2) 5 а*Ь2 _7 а'Ь' а364
3) 10а Зх3у ь 2хуг 6х2у2
4) а х-У Ь х+у (х-уХх+у)
5) 13 а-Ь 5 (а-Ь)1
6) а Ь (х-у)2(х+у)
(х-уЦх + у) (х-У)2
7) 5 7 8(х-3)
2(х-3) 8(х-3)
8) 19 17 12(а + 4)(Ь-1)
3(а + 4) 4(6-1)
9) 1 1 5<х-3)(х-2)
5(х-3) 5(х-2)
Ю) 24 15 (х-1)*(х-2)2(х-3)
(х-1)4(х-2)2 (х-1Хх-2Хх-3)
Отже, для знаходження найменшого спільного знаменника
дробів треба: 1) всі знаменники розкласти на множники (знамен-
ники всіх дробів таблиці вже розкладені на множники!); 2) знайти
найменше спільне кратне для числових коефіцієнтів; 3) визначи-
ти для кожного буквеного множника, який трапляється кілька
разів, найбільший показник степеня; 4) усі існуючі у знаменни-
ках множники «зібрати» в добуток, причому буквені множники,
які повторюються кілька разів, беруться з найбільшим показни-
ком степеня.
Таким чином, можна сформулювати алгоритм, який допо-
може додавати та віднімати раціональні дроби:
1) розкладаємо знаменник кожного дробу на множники;
2) знаходимо найменше спільне кратне числових коефі-
цієнтів, які містяться в розкладах на множники, отриманих
на першому кроці;
3) складаємо добуток, який міститиме числовий коефіцієнт,
отриманий на другому кроці, та всі існуючі у знаменниках
бук вені множники, причому множники, які повторюються
кілька разів, слід брати з найбільшим показником степеня.
Отриманий добуток - найменший спільний знаменник дробів;
4) знаходимо доповняльні множники для кожного з дро-
бів (це ті множники, які містяться в новому знаменнику,
але яких немає в заданому знаменнику);
5) множимо доповняльні множники на відповідні чи-
сельники, записуємо відповідну суму (різницю) отриманих
добутків у чисельнику нового дробу та спрощуємо вираз у
чисельнику;
6) перевіряємо, чи скорочуватиметься отриманий дріб.
Зауваження. Область допустимих значень отриманого ви-
разу - це допустимі значення раціональних дробів, над якими
виконуються дії. Її знаходять після того, як знаменник розкла-
дено на множники (крок 1). 12 $
Приклад 1. Виконайте дії --— +-----=-.
6у-3б Ьу-у2
Розв’язання
Як.'Уіи.ислАи.
12-у 6
6у-36 6у-у2
12-у < 6
6(у-б) у(б-у)
= 12~у______=
6(у-6) у(у-6)
= (12-у) у-6 6
6у(у —6)
12у-уа-36 = -(у2-12у+36)
6у(у-6) 6у(у-6)
я (у-6)2 = (6-у)2 = 6-у
бу(б-у) 6у(6-у) 6у
причому у#0 і ух 6.
Відповідь. , причому
бу
у *0 і у хб.
Як
1) Розкладаємо кожний
знаменник на множники;
2) змінюємо знак перед
другим доданком так, щоб
отримані знаменники мали
однаковий множник: (у-6);
3) знаходимо найменший
спільний знаменник дробів:
6у(у-6) та визначаємо до-
повняльні множники для
кожного з дробів: до першо-
го - у, до другого - 6;
4) спрощуємо новий чи-
сельник, звівши його до ви-
гляду многочлена;
5) розкладаємо чисельник
на множники;
6) скорочуємо отриманий
Дріб;
7) записуємо відповідь,
враховуючи ОДЗ: ухО і
ух 6 (див. крок 1).
Г V ЕІ Вправи для закріплення
69°. Подайте у вигляді дробу вираз:
„а/л _.45 1 1
1 т + а’ * 5а 7а’ 3)24^ ЗбГ
70°. Виконайте дії:
т-2 т-3 4+5т2 15т2.
) 4 т + 6т ’ ~16т " 48т ’
12а 16а
2)
Юх 15х
4) 2/?2~7 ^~2
24/г 48*
71*. Подайте у вигляді дробу вираз:
а
3) —-—п
п
Цілий вираз А завжди
можна записати у вигляді
2
У
4)
У
72*. Виконайте дії:
1)^1--
т т
п9 п
з
2)
6а + 2 6
<)~у—"ї
а а
дробу —.
73*. Виконайте додавання або віднімання дробів:
2х-3$/ Зх + 2;/
М 8 2
х у ху
т + н т-п
3) ~г- + —Г
ти тп
2) аЬг + а2Ь
4)—і-----ї
та та
74*. Подайте вираз у вигляді дробу:
1)—+— + —
тп тх пх
3) —
а
а-Ь Ь1-аг
Ь
2) 4-Г - __•
ху хг уг
2т + 3л Зт -п 3п2-3т*
4)-----------------------
т
п
тп
Розділ І. Раціональні вирази
75е. Виконайте віднімання дробів:
па-6 т-Ь Ь-а а + Ь
а-46 _ 6-4а 36 + 2а 2а-56
4а 46 * 4) 962а 6а26
Спростіть вирази (76—79).
76м. 1)
3)7-
2)
9 6
?+Ь
4)5-
14а
2а+ 6
ІОх
77м. 1)
а Ь
а-Ь Ь+а
3)-А+т^
2
2) —
4)
78
5а
2а
2)
2(а-6) 3(а-6)
Зх 2х-у
4(х + 0 3(х + у)
_ т 1
3)----+------
2-а 7а-14
4)
2к
5Г-35 28-4Ґ
79
Зх-12 2х-8
6-2 6-1
3)
26 - 6 36 -9
4)
4а За
За — 6 8 - 4а
Зу ( 2у
4у-4 5-5у
2)
Вправи для самооцінювання
к
Iе. Укажіть правильні тотожності.
„а 6 а<2 + 6с
а) - + - =-----------
с сі ссі
„Ь с аЬ-ссі
б) =-------------
а (і асі
. с сі Ьс-асі
в) —т=—
а 6 аб
ч сі Ь Ь+сі
а с ас
2°. Виберіть дві правильні тотожності.
% 2 5 23
а) —+—»---;
За 4а 12а
« 13 3 11
б) ®-----------
5а 2а 10а
_4_ 2 18
В)7а 5а ~ 35аа ’
.34 7
г) —+ —=--у.
4а 9а 36а2
3°. Доберіть до кожного раціонального виразу його найменший
спільний знаменник.
а’-1 З
+а2Ь3
. а+7 а-3
В + л1/»8 *
а о а о
1) а*Ь<;
2) а2д2;
3) аїЬ*’,
2а +1 а -6
аЬ2 а2Ь
4) а3Ь\
4*. Серед виразів (а~в) визначте такий, який е найменшим
спільним знаменником для трьох із чотирьох заданих виразів
(1-4), і такий, який не може бути спільним знаменником
для жодного з них.
а) 24а’Ь3;
б) 24а*Ьа;
в) 24а6б3.
а+б а-Ь
ЗЛк + 8Лї:
2а— Ь а-2Ь
2 12а'Ь2 ~ &аЬ3 ?
а2-Ь2 Ь2-а2
)24аг0’+ 6? 5
а3 -Ь а-Ь2
} Зад' ~ 24а3 ’
5*. Подайте раціональний вираз
Дробу.
6е. Визначте дві тотожності:
а + 2Ь За + Ь Ь2 -За2
а Ь аЬ
у вигляді
їх х2 ~У2 2х2 - у2
1)---—+х =------— при х*0;
X X
2) х^ + у Х = 2х2+У
X X
при х#0;
3) —
У
при і/#0;
4) -—у = — при у*0.
У У
а) 1 і 3; б) 2 і 4; в) 1 і
г) 2 і 3.
Ідентифікуйте парами раціональний вираз і його запис у
вигляді раціонального дробу.
а)
б)
а Ь
а-Ь а+Ь'
Ь а
•
а-Ь а+Ь
а Ь
Ь1 2 - 2аЬ - а
а2-2аЬ-Ь2
2>
а — о
Ь2 + 2аЬ - а2
3> а’-Ь*
а Ь
а + Ь а-Ь
4)
б
в
г
Визначте вирази, які при перетворенні їх до вигляду дробу
містять у чисельнику квадрат суми чи різниці двох виразів:
1)о
5а-16
а-3 ’
12а + 4
2) а------
а+8
а)1 і 3; б
' а-3
4(10а-1)
4) 4а—і----—-
9**. Знайдіть суму многочленів М і Р, якщо
16
М =
36
-4х-48
20х
20х-»-48 -20х
6)
Вправи для повторення
80. Запишіть замість зірочок такі одночлени, щоб утворилася
тотожність:
1) (7а-б)(* + * + *) = 343а’-Ьа;
2) (*-*)(25а4 +* + 4Ь*) = 125ав -8Ь’;
4) (* + ЗЬ)(*-* + *) = 8п’ + 2753.
81. Обчисліть, не використовуючи калькулятор:
П132і-6£ + 132
64
3) 5:^3^3171+^783 4317;
1,466
89е+ 64’
153
-89 64;
8,333’+ 1,333;
4)----
9,666
з
—8,333 1,333.
82. Периметр прямокутника дорівнює 70 см. Коли довжину
прямокутника зменшили на 5 см, а ширину збільшили на 5 см,
то його площа збільшилася на 50 см2. Знайдіть довжину і ширину
початкового прямокутника. На скільки відсотків збільшилася
площа нового прямокутника?
83. Спростіть вираз:
а а
а а
3)
8
(0,5)* Ь'°
2’ (0,5)* Ь- :
84. Виконайте дії:
1)3?.±-7І.И.
З 11 2 15
О4Л1 19 С1 21
2) 6 : — + 5-:—;
З 21 4 28
3)6—:3 —+ 9— :3
11 11 13
100
4)
13 15* 15 17’ 17’
4
2
4ЧП1 ,1 Л 1 1 З
4) 2—:1 — + 4 —:--—
8 16 15 60 4
-2? .
з
«Раціональні вирази. Додавання та віднімання
раціональних виразів о
• Запитання для самоконтролю О
1. Які вирази називаються дробовими?
2. Які дроби називаються раціональними?
3. Які вирази називаються раціональними?
4. Які значення змінної називаються допустимими?
5. Яка рівність називається тотожністю?
6. Якою тотожністю виражається основна властивість дробу?
7. Який раціональний дріб називається скоротним (неско-
ротним)?
8. Який алгоритм скорочення раціональних дробів?
9. Як знайти суму (різницю) кількох раціональних дробів з
однаковими знаменниками?
10. Як знайти доповняльний множник до чисельника та зна-
менника дробу?
11. Як знайти найменший спільний знаменник для кількох
раціональних дробів з різними знаменниками?
12. Як знайти суму (різницю) кількох раціональних дробів з
різними знаменниками?
• Завдання в тестовій формі о
1°. Укажіть дробові вирази.
А)І+Ц^; В)М; Д)3^3
0 4 З с. &Х ~ 1
2х-3 8 17а Зд
Б)^“+х; П—
4 о 2а
2°. Доберіть до кожного значення х (А-Д) відповідне значення
(1-5) раціонального дробу-
(х-1)
А)х-0; 1)^:
1О
Б)х=3; 2)-1;
В)х=-1; 3)3;
Г)х=2; 4)-?;
4
Д)х=-3. 5)5
4
А
Б
В
Г
Д
3°. Виберіть формулу для знаходження часу (ї, год), якщо
відомі відстань (а, км) та середня швидкість мотоцикла, що
дорівнює 20 км/год.
8 20
ЛН = 20«; Б)ґ = в-20; В) І =—; Г)ґ = 20-я; Д)Є = —.
20 я
4е. Укажіть два раціональні дроби, областю визначення яких є
довільне число.
А)—®; в)
х + 3
Xа >16 .
х2 +16 ’
Д) 5
25+ х2
5°. Ідентифікуйте дробовий вираз (А-Д) та значення змінної
(1-5), при яких цей вираз не має змісту.
1) Таких не існує;
2)х=-1;
3)х = 1;
4)х = ±1;
5)х = 0.
А
Б
В
Г
д
6°. Визначте два дроби, до яких правильно застосовано правило
скорочення:
и 145 2Ь2
1 ) -- ---- ;
215* З
2)20а3 5а\
12а " 3 ’
А) 1 і 3; Б) 2
О1х*-1 х—1
3)“2ГЖ"2":
х(х-1) х
2(х-1) 2*
4; В) 3 і 5; Г)
і 4; Д) 2 і 5.
7°. Доберіть до кожних двох дробів (А-Д) їхню суму (1-5).
5) х-2.
А
Б
В
Г
Д
4-АЮ«Ь««
Перетворіть раціональний вираз —
аЬ
а+Ь-с. а-6 + с Ь+с-
А) — ; Б) -—; В) —
аЬс аЬс аЬс
-------У дріб.
ос ас
° Ь с; Д) — •
аЬс аЬс
9°. Подайте раціональний вираз
нескоротного дробу.
2х
,2
А>—±—; Б)-±-; В)±^; Г)
Зх-5
х -4 х’-
Д)
у вигляді
4
10°. Доберіть до кожного раціонального виразу рівносильний
йому раціональний дріб.
А)—±—;
Зх 6х
в)
2)
7а 56
В) —± —;
Зх 12х
_ 7а . 56
3)
4)
Д)
6х 12х
5)
28а±56
12х ’
14а±56
12х ’
14а±56
6х ’
21а±106
6х
21а ±206
12
Б
В
д
11*. Укажіть вираз, який не має змісту при х = ±1.
М-2—; в)
Ві^і
Д)
12*. Ідентифікуйте парами дробовий вираз і нескоротний дріб.
А)
В)
В)
ах-2ау
2Ьу-Ьх ’
За-366
126’-аЬ'
ау-ах
Ьу-Ьх ’
76-146*
426-21 ’
2)-ї!
3)-|;
Д) 36*-За
51-і-
О
а
Б
В
Д
Готуймося до тематичного оцінювання
ІЗ*. Укажіть пари рівних раціональних дробів:
п х'-4 і ч> 2г4*’ і 2> м 25'х* і 5"х
1) ' ' — » оі _ I • 01 <, *
2х + 4 2 (2«/-1) 2у-1 (х + 5) х + 5
о. Зх-9 . З . 9ґ2-6Є . Зі _
х*-9 ’ х+3’ (2-Зе/ 1 31-2’
А) 1,3 і 5; Б) 2, 4 і 5; В) 1,2 і 4; Г) 2, 3 і 5; Д) 1, 4 і 5.
14*. Виберіть два раціональні вирази, які тотожно дорівнюють 4.
15*. Визначте рівняння, яке має безліч розв'язків.
х2 _ 2х-1 ха-6х 9-6х
Б)(і-х),=(х-і)’: Д’^Г=ТТ-
16*. Утворіть парами з виразів (А-Д) і (1-5) правильні рівності.
А) тя~—;
т
Б) —-т;
т
2) —
т
4*
Г) — -ті
т
1-т
ПІ
5)
17*. Визначте раціональний дріб, значення якого є цілим числом
при натуральних значеннях змінної п: 1, 2, 3, 4.
. 2п + 4 2л-12 „ 2л + 24 Зл 24 Зл + 12
Б)^г:
18*. Запишіть додатним виразом різницю швидкостей, коли
відомо, що на деяку відстань я одному з мотоциклістів по-
трібно і год, а другому’ - на 1 год більше:
я
; 2)7--^-; 3)--~Ц; 4)-^---; 5)-^---
А) 1 і 3; В) 2 і 4; В) 3 і 5;
Д) 1 і 4.
19*. Знайдіть раціональні вирази, що перетворюються на раціо-
нальний дріб, чисельник якого є квадратом двочлена:
1)
а-Ь а-Ь
3)Т”^Г
лі + 2л п-4т
5) —+------ї-
т п 4т п
2)^-Л
4)
т т х ху
А) 1,2 і 4; Б) 2, 3 і 4; В) 1,3 і 4; Г) 1,4 і 5; Д) 2. З і 5.
20*. Визначте вирази, сума яких дорівнює раціональному дробу
аЬ
а
ь
2)1--;
ь
Ь а
3)—-
а Ь
4)1--;
а
а
А) 1 і 3; Б) 2 ІЗ; В) 2 і 4; П 1 і 5; Д) 2 і 5.
21**. Доберіть парами рівняння (А-Д) і їхні розв'язки (1-5).
А)
4ха-49х
(2x4-7)’
49ха-4х
2х*+7х
2)0ф
Б)
4)0і 7-;
5)±?.
22”. Знайдіть тотожно рівні раціональні вирази:
4ха + 12х + 9 5х2+18х + 16
1) 9 « ♦
(Зх-5) (5-Зх)
2) 40x^38 4х2 +62 .
(бх-10)1 (10-6х)2 ’
л (Зх-2)" 12х-29
З)5-----Т +------її»
(5-Зх) (Зх-5)
А) 1 і 2; Б) 2 і 3; В) 3 і 4;
.. 2х + 7 Зх-10
Зх-5 5-Зх
(х + 2)2 х2-х + 1
' 5-Зх Зх-5
Г) 4 і 5; Д) 1 і 5.
23”. Знайдіть значення виразу
т = -0,5.
і2-4ті 4т2
і2-4т2 4т3 -і2
при і - 6,
7 47 7 47 49
Л,5: Б>Г В)й: Г)25: Д,35-
24”. Викопайте скорочення дробу
а4 + а2 -4агЬ-4Ь
'а'+Зо’+гГ
А)
а2 +45
а’+2 ;
Б)
а2-4Ь
~аіТ2і
В)
а2 +4
77г’
Г)
а2-4
а2 +2
25**. Визначте всі цілі значення п, при яких буде цілим значення
п2 +Зп-2
виразу ------—-—•
А) -2; -1; 1; 2; В) -4; -2; 1; 2; Д) -5; -4; -3; -2.
Б) 3; -2; -1; 5; Г) -5; -4; -2; -1;
26”. Укажіть вираз, значення якого не залежить від значення
змінної.
аі а —6 в—3 а З 13
А)—----------+---; Г)----- +--------;
а’ + За а а + 3 25-е’ 5-е 5+с
2х-1 1 9х + 6
Б) -=-----+-----+ —=--;
х +2х + 4 х-2 Xа—8
_ Г+6 <+2 5
Д)-----------.
4В8 4ґ-8 і2-4
В)
5 + 1 5-1 45а-12
5-3 + 5 + З 5а-9
27”. Знайдіть різницю виразів Р і якщо Р - — — +
а-Ь
2аЬ
2Ь ЗаЬ-Ь2
Т---+ ~=-------;
5-а 5 -25а + а
а2 - 2аЬ + Ь
Ц =
А) —; В) —
а-о Ь—а
а1-Ь
В)----:
а’-58 5-а
Г)т—Т7; М—т-
а—5і а —О
28**. Визначте значення змінної (А-В), при яких чотири вира-
зи із п’яти заданих (1-5) не матимуть змісту, та такі, які не
впливають на їх зміст.
А) х = ±5;
Б) х=±3;
1)
2)
5-х х+5 х2-25
(х+3)*4(х-3)2 х2-9
10 + 2х 15 + Зх 100-4х2
2х+6 Зх-9 4х2-36
В) х = ±1.
3)
Xі-9 х + 3 2х-6
---г+----+-----;
1-х х-1 х + 1
2х-2 (х-5)(х + 1) (х-1)(х + 5)
(3 + х)(х + 1) 9-х2 (3-х)(х-1)’
5 (х+1)(х-5)(х-1)(х+5) + (х+1)(х+5)
2х’-18 9-х’ Зх’-27 ’
29е*. Визначте формулу знаходження середньої швидкості (і>0)
автомобіля, якщо деяку відстань (а, км) він їхав зі швидкі-
стю а км/год, а повертався - зі швидкістю Ь км/год.
.. а + Ь А) о0——; аЬ 2аЬ В,°" |а-Ь|’ Д)1°
Б)и»=Л: а+5 2аЬ г)ио = — а +5
ЗО**. Ідентифікуйте раціональний вираз і рівний йому раціональ
ний дріб.
^а2-2а + 1 а2+2а + 1 а2-1 ’
Б) 4 8 1
а2-2а + 1 а2+2а + 1 а2-1’
В) 8 8 1 .
а2-2а + 1 а2+2а + 1 а’-Г
п—•__________5_____1_.
а2-2а + 1 а’+2а + 1 а2-1
7_______б_____1
а2-2а + 1 а2 + 2а+1 а2-1
14а-ь2
§ 5 . МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ ДРОБІВ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
• як перемножити раціональні дроби;
. як піднести раціональний дріб до степеня;
як поділити один раціональний дріб на інший.
Множення та ділення раціональних дробів здійснюється
за відомими нам правилами множення та ділення звичайних
дробів.
Щоб перемножити два дроби, треба окремо перемно-
жити їх чисельники й окремо - знаменники, записуючи
перший добуток чисельником, а другий - знаменником
нового дробу:
а с ас
Зауваження 1. Після записів чисельника і знаменника
дробу у вигляді добутку слід, якщо це можливо, виконати ско-
рочення дробу.
Зауваження 2. За наведеним правилом також можна пере-
множити кілька дробів:
ас т ас...т
Ь (і п Ь Л-... п
Якщо всі дроби в добутку однакові, то це відповідний степінь:
' а ] (а і ( а V (а V а а а
7 » 7 » •••»І Т • Таким чином маємо: І 7 І =
О І І 0 1 [о І І О І о о о
Далі, застосовуючи правило множення дробів та означення сте-
а а а а а ... а а" _ (а V а"
пеня, отримуємо-----...— =------- = —- .Отже, — = —.
Ь » рь...ь Ья б) Ья
Щоб піднести дріб до степеня, треба окремо піднести
до цього степеня чисельник і окремо - знаменник,
записуючи перший результат у чисельник, а другий —
у знаменник нового дробу.
О2 — Ь2 Зас'
Приклад 1. Виконайте множення -----=------
24ас* а + Ь
Розв’язання
Як. кЛХ*С^ОА«Сі'И.
а*-Ь2 8ас2 -ь') &ас2
24ас* а + Ь 24ас3 (а+Ь)
_(а-Ь)(а+Ь)-8 а с* а-Ь
24 ас* (а + Ь) Зс
причому а # 0, с * 0, а * -6.
Відповідь. —— при а # 0,
Зс
-Ь.
Застосовуємо правило мно-
ження дробів і розкладаємо
многочлен а2-Ь2 (чисельник
першого дробу) па множники.
Отримуємо скоротний дріб
(а-Ь)(а+6) 8ас2
' 1/ .4—• який Д°РІВ’
24ася(а + Ь)
а — Ь
нюе дробу--. Шукаємо ОДЗ
отриманого виразу як ОДЗ дро-
бів, які перемножили: а#0,
с*0, а*-Ь.
Приклад 2. Піднесіть до шостого степеня дріб
Розв’язання
Як.
г2е,т,|
' (3в.)‘ = 729а30
при а * 0.
64сит'я
Відповідь. ------тт— при а # 0.
729аао и
Використовуючи правила
піднесення дробу та добут-
ку до степеня, отримуємо:
(2е,т3)'_2о(с,)*(т*)‘_
~&Г= т,_=
64г13т10
-----—, якщо а *0.
729а
'4^ Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб
помножити на дріб, обернений до другого:
ас а д а д
Ь д Ь с Ь с
Зауваження 3. Виконуючи дію ділення дробів, слід врахо-
вувати, що, крім умов д *0, необхідним є виконання умо-
ви с^0.
Приклад 3. Виконайте ділення
5ху2 . 5ху*
а“-2аЬїЬг а2-Ь2
Розв’язання
Як, »ч>ОЯС-н-К*4.К
5ху2 5хуа
а?-2аЬ + Ь2 а*-Ь2
Ьху2 (а-Ь)(а+Ь) д + 6
(а-6)2-5ху2 а~Ь
причому а*Ь, а*-Ь,
х#0, у#0.
Відповідь. при а#±6,
а-Ь
х*0, у#0.
Застосовуємо правило ділення
та розкладання на множники
многочленів у чисельниках та
знаменниках. Отримуємо ско-
5хуа (а-Ь)(а + Ь)
ротний дріб л >
(а-Ь)2 Ьху2
. . а + 6 „
який дорівнює----. Знаходимо
а-Ь
ОДЗ, враховуючи, що знаменник
першого та чисельник і зна-
менник другого дробів мають
бути відмінними від нуля, тобто
а*Ь, а *-Ь, х#0 та у #0.
Вправи для закріплення
Виконайте множення (85-88).
85°. 3) — 4с
Ь ба 12с аб2^
2) 2х У 4> т‘П 15а
Зу 6х’ Ба 2тл3 ’
86°. 1) 3>^. 5_£,.
а 8х 15р ху*
36 с _35а4 9л
4) 7
2с 96 18л2 14а2
5)6х Зх*1
5)86
46а
бі3*2 б’
п 2х*у — — 16х^ .
ЗагЬ 4х*у2 ЗОаб2’
88°. 1)
49Ґа2 2х 8х3у*
16уьх4 іа 7 і2 а3 ’
2) 9т3п 5а2Ь3 Ібху
4ху 18т3 лх 15аа6а
ба’л’ 49л4 5а*<72
} З5д3 а‘д* 42лв ’
Розділ І. Раціональні вирази
89°. Піднесіть дріб до степеня:
7а
2тг І ’
3)
2х у
90° Подайте степінь у вигляді дробу:
1)
Зх
/’
3)
2л?
7л’
Виконайте ділення дробів (91-92).
91°. 1)
За2 Ь
Ь а3
3)
У У
4)
8 2 в \10
т п х
{‘у' ,
2)
9т 4т2
14л 21/
4)
7а
Ь1
14а4
Ь
4)
5)
92°. 1)
2х х
У У
3)
За 12а
2)"М:“М-:
О о
93*. Спростіть вираз:
Зх2 6/ 9ху
’ 2/Г2 7Ґ :14?:
4)
4а 2а8
55 1552
Зх 6х^
Т?'Ї47
2)
216а’
/Л2вЛ„1І V5
а о п
с т
• 6х
6) 12х’:—
с
5) 10а2: — ;
Ь
6) Ц^:14х2.
У
18а’ 7а’
7Ь* ’ 54 35
94° Подайте вираз у вигляді дробу:
1) 2д* 10д*. 4д*
1 255’ Зс4 ’155с
2)
115х* 23х8а а2ху
17 / 34у
» •
Виконайте множення дробів (95-96).
95е.
1)
У
2у + 6*
3)
За-х 145
215 х-За’
5)
/-9 9у
27/ у-3'
96*.
2)
8
1)
З
2)
ь
12а2 -4ах’
2х-4
6лі + 3 10а
5 2лі2 +
4)
3)
4)
8-Злі 25/
— • —— •
15/
а-25
12с
Злі-8
18с
10а
6)
5)
6)
Зх
х’-16
4х
8х х-і
5-і/ З/
2у у* -25’
§ 5. Множення та ділення дробів
Виконайте ділення дробів (97-98).
97* П Д'"50- 50 . ох х* + х\44-4х. бах . 8ах .
8т2 8т' На2 ’ а4 ’ т’-Зт’Зт-б’
2 7х2 ф 14х2 . Ґ-і’ . 1-І* 15т2Є 2Ьті2
5Ь* Ь*-Ь3 25а® 125а7’ 6а + а2 вті+ат
• п а* +3а2 . а* 4-За х4 -Xі х4 -Xі 7тк 14тк
4 8х ’ 22т* 44т ’ 25і-а5 105-5а
10с/2 15с/2 5а + 5а2 а7+а* 14х’/’ 21х8/’
т1 :т5-т<; Iі ’ Є ' ' 9х + х2'5х + 45*
99е. Виконайте дії:
» (За -66) 3) 16~2— :(4і5х);
2)ІГ4Ь,2' + ,ОХ);
Спростіть вирази (100-105).
100*. 1) (бх + Юу) ; 3) ЇО°У~д*:(а-1О<);
х~4у Зт
102*
с* + 4с + 4 с*-9
2с-6 5с + 10*
Xі -6х + 9 х* 4-27
2 х*-Зх + 9 Зх-9 ’
3) (27а’+5я)<
1
___ •
18а2-6аЬ + 252 *
4)
—= ---------г • (ая - 85’)
5а2+10а5 + 2052 ' '
1 а* <*Ь + Ьг
а^-ЗЬ 2а+ЬЬ'
т -4
т1 + 16-8т
тГ16 ’
103~. І) <"‘-вт4».811^4.
п -4 З/п-9
2) (2р+10х);
р -25х
сч-с/ с*+2сс/ + с/2
3-2с’ 2с*-Зс ;
4) 9+6у + 4у2 27-8у*
2у-1 ’ 4/-1 ’
з) ху+у2 .у2-х2.
а-ЗЬ 65-2а*
5’4-254-4 5’-8
35-4 952-16
/« 2 (З*-!/)3 9х2-бху + і/
10 4**. 1) (а’ + 2 7Ь ) — ------г; 3) ‘ 7;
1 За -9а6 + 27Ь (х-Зу) х -6ху-9у
/„• 2/+4ху2+8х2. х2-4ах + 4а2 ґх+2а ?
’Н Г з ’ } х2+4ах+4а2 І^х-га )
х2-ах-Ьх + аЬ х2 + 2ах + а2
105 . 1) —=----------=-------=•;
х+ах-Ьх-аЛ х -2Ьх + Ь
2) у2 — ау + су — ас у2-2су+с2
у2 -ау-су + ас у2-2ау + аг
106*. Доведіть тотожність:
Ц/-14у + 49) (у-7)
0,25а*-16 0,2а2 + а2+5 а-5
0,2а3-25 0,25а4 + а2 + 4 а3-4
2)
Вправи для самооцінювання
-л 48х‘ 7у’
І*. Укажіть дріб, що дорівнює добутку 3 •
336(ху)’ Зх\ . Зх^.
я) .» б) . , в) ,
784(ху) 7/ 7у
336хау2
Г) 784х3у3
2*. Виконайте ділення
2а2у
896/
а1
896у
б) —;
о у
3°. Виберіть дріб, що дорівнює виразу
ЗаЬ
с2
ч 9ад
а)^
9аЬ*
б)^т"
с*
9а2Ь
с*
9а2Ь
с*
4*. Знайдіть частку
б) х‘;
а
,12 '
хя ~ 9х Зх2—27 1 2
5*. Знайдіть значення виразу -;-------При х = -—, т =
т3-т 4т1-4 4 3
а) 4,5; б)-5; в)-0,5; г) 8.
6*. Визначте вираз, значення якого не залежить від значень
змінних, які входять до нього.
. 6х2 х 2х
а) —Г:~—
тп Зтп тп
в)
2т
З
:т3;
2аЬ 2ссі2
6 ЗЛ‘ 9аГ (аь)2’
а + Ь 4а + 4Ь
7**. Знайдіть вираз, який є тотожним виразу
а)~
в)
За + Зх (х-а/
х2-а2 Зх + За’
Л тх + та т2
б)~ї~ —
8**. Визначте три тотожності.
. .2 (Зл-2т)2 Л
а) (10т-15п) -------— = 50т при Зл-2т#О та т*0;
2т
б)
:(2х-2) =----при х#-3 та х*1;
в) (а*-6аЬ + 9Ь2):(а2-9Ь2) = 1 при а*ЗЬ та а*-ЗЬ;
. а’+4а + 4 4-а2 а + 2 .
г) ------—:----— (Ь —4) =--- при Ь*+2 та а*±2;
16-Ь4 4 + Ь2 ' ' а-2
д) (х + 3у):(х2-9у2) = х-3у при х#3у та х^-Зу.
9**. Спростіть вираз
х + 1
2х + 1’
2 *
Вправи для повторення
107. Знайдіть значення виразу:
5) 2- 1--1- -
2 5 2 3
2)
( 1 1 А
4) 3--2--1.5 ;
( 6 3 ) ’
6) 1?2І-2І’
5 2 3 7
2 3 4
[20 4 5 ] *
р 1
(2 з 6 р
108. Знайдіть добуток коренів рівняння:
1) (5х-4)(8х-5) = 0; 3) (16-25х)(8х-5) = 0;
2) (3.25-х)(13х-2) = 0; 4) (3-7х)(15х-14)-0.
109. З 8-А класу 16 учнів мають вдома підключення до Іпіегоеі.
Скільки учнів у 8-А класі, коли відомо, що 5 учнів узагалі не
мають комп'ютерів, а до мережі Іпіегпеі підключено 80 % усіх,
хто їх має?
110. Скоротіть дріб:
1)
2с*-4с
______ •
2а-ас ’
(гп-а)‘г
2) і----
а-т
т* -т
1-т* ’
4)
49с* - 14с+1
1-49с2
§6.
ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
РАЦІОНАЛЬНИХ ВИРАЗІВ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
як зводити громіздкі дробові вирази до простіших,
тотожно рівних їм;
• як використовувати різні способи перетворення
раціональних виразів;
• як вибрати раціональний спосіб доведення тотож-
ностей.
Будь-який числовий вираз після виконання арифметичних
дій, що входять до нього, набуває конкретного числового зна-
чення. Наприклад:
1) 50 (0,4-1,6)’=72; 2) (б-:—-2- —] =25.
' ( 7 21 9 26 )
Зауважимо, що при знаходженні числового значення виразу
найважливіше пам’ятати правила послідовності виконання дій.
Раціональний вираз, який складено з чисел та змінних за
допомогою арифметичних дій, можна завжди перетворити на
тотожно рівний йому. Оскільки будь-який раціональний вираз
можна подати у вигляді раціонального дробу, то здійснення
його перетворення можна звести до виконання додавання, від-
німання, множення або ділення раціональних дробів за відоми-
ми правилами виконання дій із раціональними дробами. Тому
які для числових виразів, так і для раціональних важливо па-
м’ятати про чіткий порядок послідовності виконання дій.
П 1 п (а + 1 а-іА(о-І)’
Приклад 1. Спростіть вираз----------------
^а-1 а+1} 4а
Розв’язання
Ям.
1 а + 1 _ Д~1 _ (а4~^)ІІ ~(а~1)> _
а-1 а + 1 (а- 1)(а+1)
(а2 +2а + 1)-(а2 -2а+ 1)
(а-1)(а + 1)
- д* ^За + І-а2 + 2а-1 4а
(а- 1)(а+1) а*-1*
2)1°-.. = 4д(а-Ч(а-1)
а2-1 4а (а-1)(а+1) 4а
а-1 Л
=---- приа*±1.а*0.
а + 1
Відповідь. -— приа#±1,а#0.
а + 1
Заданий раціональний
вираз є добутком різниці
двох раціональних дробів
і дробу
Отже, спочатку виконуємо
віднімання:
4а
. а далі - множення:
4а (а-1)2
—----і---Таким чи-
а2-1 4а
ном, враховуючи ОДЗ:
а * ± 1, а # 0, маємо спро-
а-1
щении вираз---.
а + 1
Розділ Т. Раціональні вирази
Приклад 2. Перетворіть на раціональний дріб вираз
Розв’язання
Відповідь.
при х*-1, х*0.
Я*.
Щоб перетворити да-
ний вираз на раціо-
нальний дріб, спочат-
ку знаходимо добуток
двох раціональних дро-
1 х2 -1
бів----- і-----, а по-
х + 1 х
тім від многочлена х 4-3
віднімаємо отриманий
результат, враховуючи,
х + 3
що —— = х + 3, причому
х*-1 і х#0.
Зауваження. Перетворення раціональних виразів можна
здійснювати за допомогою послідовного виконання арифме-
тичних дій, нумеруючи їх (приклад 1) і не нумеруючи їх (прик-
лад 2). Останній спосіб називають «ланцюжковим».
Перетворення раціональних виразів також використовують
при доведенні тотожностей. Нагадаємо, що довести тотож-
ність - означає встановити, що при всіх допустимих значеннях
змінних Гі ліва і права частини є тотожно рівними виразами.
В курсі алгебри тотожності доводять різними способами. На-
приклад:
1) виконують перетворення її лівої частини і в результаті
отримують праву частину;
2) виконують перетворення її правої частини і в результаті
отримують ліву частину;
3) окремо перетворюють її ліву і праву частини і в кожному
з випадків отримують один і той самий вираз;
4) утворюють різницю її лівої і правої частини і в результаті
перетворень отримують нуль.
Вибір способу залежить від конкретного вигляду тотож-
ності, яку треба довести.
х _У
и* х* х—и
Приклад 3. Доведіть тотожність -е---=---якщо ххО,
ХУ
у*0. У х
Розв’язання
х у х2 — у2
у2 х2 _
Г + х’ + ху + у’“
У X ху
(х-у)(х* +ху 4-у1) у2 4-Ху 4-у1
Х2у2 ху
(х-у^^ху^-у2) ху _х_у
X2у2 (х* 4- ху 4- у1) ху
у
_ и2 х2 х — и
Таким чином, ---------=----—,
-4-1 + ^ Ху
У X
що й треба було довести,
причому х#0, у*0.
Як мдесклмЗДі
Для доведення цієї то-
тожності зручно пере-
творити її ліву частину:
- або виконати окремо дії
в чисельнику, знамен-
нику, а потім поділити
результат чисельника на
результат знаменника;
- або звести дроби в чи-
сельнику і знаменнику до
спільного знаменника і
використати основну вла-
стивість дробу, домно-
жуючи на вираз х*у2,
х2 у*#О(х*О, у*0);
- або виконати «ланцюж-
ком» одночасно перетво-
рення і в чисельнику, і
в знаменнику, поки не
отримаємо такий вираз,
як у правій частині тотож
ності.
Вправи для закріплення
112°. Виконайте дії:
УЇ ху
(т п і тп
л т ) (т + п)2
113®. Спростіть вираз:
Да-3 а4-3 ) а^-9*
(а-2 а4-2\ 4а
а 4-2 а-2 ) а2 — 4’
^-АіВМм*
о. (4-х 4 + хАх1-16 .. (х+5 х-бА25-х‘
[4 + х 4-х) 16 |^х-5 х+5) 10
114°. Доведіть, що раціональний вираз є цілим:
( п2 1
3) т - п +--------
/п + л
\
(т-п)2
2)
.. т
4) т + л +—
п-т
115°. Спростіть вираз:
х-у х ) х2-ху
I а Я 2 ’
х х + у \ 2х -у
а а і а
а+ 2 а-2 1 4-а2 ’
/ 2а_____1_ \ 12а2 4-3
(2а-1 2а + 1 )* 4а2-1 ’
116®. Перетворіть раціональний вираз на дріб:
Зі ґ * 2 . 1 ) .
У х І У2-х2
4) (у 2 , 11 х'у .
і^х’ х у ) х'-у2 ’
117®. Доведіть тотожність:
4х!-1 ( х + 1А „ ,
1) ——: х-— =2х + 1;
<3 І О І
1 \ 4-а2 _ а-1
а-1 ) (а-1)2 а + 2
2)
4 4 )
1 х \ Ь1-4 6-1
1-&+ /(6-І)1 Ь + 2
Спростіть вирази (118-123).
118®. 1)11
а + Ь \ 1
а-Ь]6-а’
а2+Ь2 ) 6-а
------а------;
а-Ь а+Ь
3)2т2: т-п +-----
т + п
не*. 1)(х-2)’
/х-і-2 х-2^ 1 12-х‘.
| х-2 х + 2 ) х х1 -4
11-2Є
121е.
Г-5
2)
5р
р-з.
122е.
1)
2х
2)
у-3 (
У
У + 3
г з-у
За2 Ь
}~2Ь~ Ь2 Ьа'
4 6x4-у 5у2 х
Зх х1 15у
З х2—4 х —2 2
9-у2 3+у 3-у’
.. а2 — х2 6 + 4 х
4) -=--------+-----.
Ь2-16 а-х 4-Ь
123е.
а+ 6 1 а2-Ь
----+----------;
За —Ь а + Ь За-Ь
х-у 1 х2-у2
2х + у х-у 2х + у
124вв. Доведіть тотожність:
Г 7 Ь2+49 7 \&+1_ 2
[ь + 7 + дг-49 6-7} 2 ~ 6 + 1
при б#±7, 6#-1;
( а а 5а + 25А 5а-25 а+5
2) +--------------- ; — ------=---- при а # ±5.
(а-5 а + 5 25-а2 ) а2+10а + 25 а-5
Подайте вирази у вигляді раціональних дробів (125-126).
_ т
5+—
126е*. 1)-----3-;
с т
о----
п
т
2 і
т п т2+2тп+п\
1 1 ' т* п* ’
а + >_ т —п
т п
. ~ і ~ /н / . \
4)-----(т + <).
£ т ' 7
т і
127м*. Доведіть тотожність, указавши допустимі значення
змінних, що входять до неї:
128м*. Знайдіть значення виразу, попередньо спростивши його:
129**. Спростіть вираз і доведіть, що його значення не залежить
від усіх допустимих значень змінних, що входять до нього:
(2аЬ а-Ь \ 2а Ь
-=—Т +---------+---;
а-Ь 2а + 2Ь) а + Ь Ь-а
2) _У_х3-ху* Г__х_ у А
*-У *2+у2 Цх-у)1 х’-У2)
Вправи для самооцінювання
Iе. Укажіть правильний порядок дій при здійсненні тотожних
перетворень раціонального виразу
хг х (1 їх+2’х-2 Й*' уг -4 5
У У* [х-У х + у^‘ ху + у2
а) 1, 3, 2, 4, 5; б) 3, 2, 1, 4, 5; в) 3, 2, 4, 1, 5; г) 1, 3, 2. 5, 4.
2--
2°. Зведіть раціональний вираз -— до дробу.
2 + —
х
3°. Визначте для виразу —г——а —: *** його допустимі зна-
х -2ах+а2 а-2
чення змінних.
а) х#а та а#2;
б) х*а, х*-4 та а*2;
в) х # а, х # -а та а # 2;
г) х*±а, х*-4 та а #2.
о1 б2
49 2.1
4 . Знайдіть числове значення виразу —-при а =—, Ь =—.
а + о 3 2
12 18
а)3; 6)1; в) і; г)-1.
З 6
5*. Зведіть раціональний вираз ---до раціонального дробу.
0 .
а~Ь
якщо х =--
а)
а
б) —г
в)ь'
а-Ь
7е*. Визначте дві тотожності.
п а Ь*
= 2 + —+ —
Ь2 а1
Л.( 1 1 2 і
б) І-Л + — = п + —
І п ) п
1,2х2-ху 20х
В О.Збх2-0,250* ~6х + 5/
(т п ? (т п }2 іт2 п2 1 _
п т ) \ п т) уп т )
8**. Перетворіть раціональний вираз (у2 -4) І
на цілий. V
З____2_
0 + 2 у-2
а) 0-10 при 0*±2; в) 0-5 при 0*±2;
б) 0 + 3 при 0#±2; г) 50 + 3 при у *±2.
9е*. Перетворіть на раціональний дріб раціональний вираз
2а 4а1 Д 2а 1 і а6-4а2
2а+6 4а* + 4а6 + 62 Д 4а2 -Ь2 + 6-2а ] 6 + 2а
аЬ-4а2 . Л
а)-------при Ь * ±2а, 6*0;
6+2а
б)----- при 6*±2а, 6*0;
6 + 2а
. Заб ___ , Л . _
в)-----при 6*±2а, 6*0;
6 +2а
г) &* при 6 * ±2а, 6*0.
6 +2а
Вправи для повторення
130. Подайте дріб у вигляді суми або різниці двох дробів:
з
2)
т -тп
2т
16а-8т
_
8ат
5)
(тип)
а2-4а6
2а
4) ---
тп
лі ° ~а
6) -----тт---
131. Спростіть вираз:
х х’+1 х х + 2 х-2 16
х—1 1-х’ 1 + х’ х-2 х + 2 х’-4*
лч х х’ + (/ х 8а 2а 2а
2)-----+ , +-; 4) ----+-------+----.
х-у х-у х + у а-4 6-За а+2
132. Складіть математичну модель для розв'язування задачі.
З пункту А одночасно в одному напрямі виїхали мотоцикліст
і велосипедист. Яка відстань буде між ними через 3 год, якщо
швидкість мотоцикліста становить х км/год, а швидкість вело-
сипедиста - у км/год?
133. Знайдіть значення змінних, при яких не має змісту вираз:
.. 2х + 6 Зх + 1 Зх + 1 4х + 1 .. 16х + 1 Зх + 1
1) 2) ----; 3) ——+ ——; 4) ---------------
5-Зх їх 3 4-5х 5 + 4х 5х + 2 2х-5
З
134. Розв’яжіть рівняння:
І)
8 12 12
2)Ь8£^4=о. 4) 15^1+ +38^0
18 2 4
§ 7 . РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
. які рівняння називають раціональними;
яка відмінність між цілими раціональними та дро-
бово-раціональними рівняннями;
. які є способи розв’язування дробово-раціональ-
них рівнянь;
як вибрати раціональний спосіб розв’язування
заданого дробово-раціонального рівняння;
• як впливає ОДЗ рівняння на кількість його роз-
в’язків;
. які дробово-раціональні рівняння є рівносильними.
В алгебрі нам доводилось часто працювати з рівняннями, в
яких ліва і права частини є цілими раціональними виразами.
Від цього й пішла назва - цілі раціональні рівняння.
Рівняння називають цілим раціональним (цілим)»
якщо його ліва і права частини — цілі раціональні ви-
рази.
Таким чином, вивчені нами у 7-му класі рівняння є цілими:
0,2х-7=3,4;
-Зх + 17 = -19;
7х-2 = 3(2-х);
2х + 1 Зх-4,5
3 4*
Очевидно, що цілими будуть і ті рівняння, в яких ліва части-
на - многочлен, а права - 0. Наприклад: х* - 5х + 6 = 0; х*~ х2 +
+ х -1 = 0; х4 - 5ха + 4 = 0; хб - х4 + - х* + х - 1 = 0.
З такими рівняннями ми ознайомимося пізніше.
Рівняння називається дробово-раціональним (дро-
бовим)» якщо хоча б одна з його частин є дробовим
раціональним виразом.
Прикладами дробових рівнянь є рівняння: -= 2; 2х =
х*+1 х2-х х 9-х 2х-3
х 2-х 2-х х-4 х-4
= 0 і т. д. Розгляда-
ючи кожне з них, слід зазначити, що дробові вирази містяться
або в одній із частин рівняння, або в обох його частинах. Тому на
зміст рівняння впливатиме зміст дробового виразу, тобто ті зна-
чення змінних, які перетворюють знаменник дробу на нуль.
Отже, при розв'язуванні дробових рівнянь важливо викона-
ти перевірку коренів для початкового рівняння або узгодити
знайдені корені з областю допустимих значень рівняння.
Аналогічно до того, що цілі та дробові вирази є раціональни-
ми, кажуть і про рівняння: цілі та дробові рівняння називають
раціональними. Проте у практиці цілі раціональні рівняння
розрізняють на: лінійні» квадратні» кубічні тощо.
Рівняння називається раціональним» якщо його ліва
і права частини - раціональні вирази.
Розв’язуючи дробово-раціональні рівняння, використову-
ють відомі нам рівносильні перетворення:
1) перенесення доданків із однієї частини рівняння в іншу;
2) додавання (віднімання) до (від) обох частин рівняння од-
ного й того самого числа або виразу, визначеного на всій області
допустимих значень;
3) множення (ділення) обох частин рівняння на одне й те саме
число, відмінне від нуля, або вираз, визначений на всій ОДЗ.
Дробово-раціональні рівняння називаються рівно-
сильними, якщо всі розв’язки першого рівняння є
розв’язками другого, і навпаки, всі розв’язки другого
рівняння є розв’язками першого. До рівносильних
також відносяться рівняння, що не мають розв’язків.
Розглянемо деякі способи розв’язування дробово-раціональ-
них рівнянь, оскільки із способами розв’язування простіших
цілих рівнянь ви вже знайомі. Р(х)
1. Зведення рівняння до вигляду---= 0, де Р(х) І 0(х) -
0(х)
цілі раціональні вирази, причому (?(х)хО. Суть цього способу
полягає в тому, що всі члени рівняння переносять в одну части-
ну, зводять до спільного знаменника і використовують умову
рівності дробу нулю. Це традиційний найпоширеніший спосіб.
Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисель-
ник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння----_ =-----. (1)
х+2 х -4 х-2
Розв’язання
Як.
Переносимо всі дроби в
ліву частину рівняння і
зводимо їх до спільного
знаменника. Отримавши
________ Р(х)
рівняння ВИГЛЯДУ )=0
використовуємо умову рів-
ності дробу нулю:
Я*.
2х-х’ =0, (3)
(х-2)(х + 2)*0.
Звідси
х(2-х) = 0,
х*±2;
ь
хі=0,
1 або <
Отже, х = 0 - єдиний корінь да-
ного рівняння, оскільки х = 2 -
сторонній, бо перетворює зна-
менник на нуль.
Відповідь. 0.
Р(х) = 0,
0(х)#0.
Звідси отримуємо коре-
ні, які слід перевірити на
обмеження, адже 0(х)#0.
Після перевірки вибира-
ємо корені заданого рів-
няння і записуємо відпо-
відь.
Зауважимо, що рівняння (1) і (2) - рівносильні, а рівняння (1)
і (3), (2) і (3) - нерівносильні, оскільки рівняння (3) має два
розв’язки: х1 ~ 0 та х2 » 2, а рівняння (1) і (2) задовольняє лише
один корінь х = 0.
2. Домноження обох частин рівнянь на спільний знаменник
дробів, що входять до нього. Тоді дістають ціле рівняння,
розв’язують його і вибирають корені, які не перетворюють спіль-
ний знаменник дробів на нуль. (Використайте такий спосіб для
розв’язання прикладу 1 самостійно.)
3. Зведення рівняння до рівності двох дробів з однаковими
знаменниками, тобто до вигляду
Р(х) М(х)
де ф(х)*0. Тоді
у рівних дробах з однаковими знаменниками будуть рівними і
чисельники на всій області допустимих значень.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння
4 х + 4 20 ...
-----------=-------------. (4 )
х-4 х + 1 (х-4)(х + 1)
Розв’язання
ОДЗ: х-4#0 та х + 1*0;
х#4 та х*-1.
4___х+4 20
х-4 х+1 (х-4)(х + 1)’
Як. кЛЛьКкЛк
Знаходимо ОДЗ дробо-
вих виразів, що входять до
рівняння: х#4 та х#-1
(знаменники відмінні від
нуля). Зводимо рівняння до
Як квлспмли.
Як
4(х+1)-(х-4)(х + 4)
(х-4)(х + 1)
20
"(х-4)(х + 1);
4х +4-х2+16 = 20;
4х-ха + 20 = 20; 4х-х2=0;
х(4-х)=0; (5)
х, =0 або х, =4.
Оскільки х = 4 не задовольняє
ОДЗ рівняння, то розв’язком
рівняння (4) є х=0.
Р(х) М(х)
ВИГЛЯДУ ——7 = "7—Г
3(х) о(х)
іпри-
рівнюємо чисельники цих
дробів: Р(х) = М(х). Звідси
знаходимо корені утворе-
ного рівняння і па кінець -
узгоджуємо їх з ОДЗ. Таким
чином, отримуємо остаточ-
ний корінь рівняння: х = 0.
Зауважимо, що рівняння (4) і (5) - нерівносильні, оскільки
рівняння (5) має два розв’язки: х, = 0 і х2 = 4, а рівняння (4)
задовольняє лише один корінь х = 0.
4. Зведення рівняння до вигляду, коли дріб дорівнює деякому
Р(х)
числу, тобто до вигляду —7—7 = 0, де ф(х)#0, тоді Р(х) = а >Ф(х)
<?(*)
на всій області допустимих значень.
, 2(х + 2)(х-0,5)
Приклад 3. Розв яжіть рівняння —-—---------= 1. (6)
2х -4х + 5
Розв’язання
2(х + 2Хх-0,5)= 2х2-4х 1-5;
2(х2+ 2х-0,5х-1)= 2х2-4х+5;
2х2 + Зх-2 = 2х2-4х + 5. (7)
Віднімаючи від обох частин рів-
няння 2х2, отримуємо: Зх-2 =
= -4х+5; Зх + 4х = 5 + 2; 7х = 7;
х= 1.
Перевіркою переконуємося, що
х = 1 не перетворює знаменник
2х2-4х + 5 на нуль (2 12-4 1+ 5 = З,
3*0).
Відповідь. 1.
Як ьЛЯЬ+ЗлЛ.'*.
Очевидно, що рівняння
Р(х) „ п
вигляду —7—7 = 1» Ф(х)*0
0(х)
можна звести до рівняння
Р(х) = 0(х). Розв’язуючи
ціле рівняння, знаходимо
корені, які перевіряємо
на виконання умови, що
знаменник не може дорів-
нювати нулю.
Зауважимо, що рівняння (6) і (7) - рівносильні, оскільки
на всій області допустимих значень обидва рівняння мають
один і той самий корінь х = 1, який задовольняє і рівняння (6),
і рівняння (7).
Наведені способи розв’язування дробово-раціональних
рівнянь не вичерпують усіх можливостей знаходження їх роз-
в’язків. Зокрема, можна користуватися основною властивістю
пропорції чи довільними рівносильними перетвореннями, але
знову-таки наголошуємо: на всій області допустимих значень.
п Подумайте самостійно, як можна розв’язати рівняння
•• х2----— = 9----—, не використовуючи жодний із розгля-
х + 3 х+3
нутих нами способів.
Вправи для закріплення
Розв’яжіть рівняння (135-143).
135°. 1)
= 0;
3)
0;
2)
= 0;
0.5х+6
4) -0.
136е. 1)
= 0;
2)
(Зх49)(х-1)о
3)
Зх-6
(Зх + 27)(х-9)
= 0;
137°. 1)
= 0;
3)
2)
^2±=0;
0,5х + 1
4)
і -------- = 0;
Зх-21
(0,5х + 0,5)(0,4х-2)
138*. 1)
2 = 0;
3)
2)
8х+3 _ л
------5 = 0;
4)
6x4-2
Зх
3-9х
= 0
З
10 9 10
2)-7х-110 + ———117; 4) 7х +13 += 62
х-1 х-1 3-х х-3
142”. 1) 9х-24+ -- = 3х-—;
2-х х-2
3) _ + 4 +-=-----5;
10 х + 10 х + 10
4) 5х’-1-—=4х,+8+-4—
х-3 3-х
©Знайдіть ОДЗ та
використайте на
ній одне з відо-
мих рівносильних пе-
ретворень рівнянь: до
обох частин рівняння
можна додати (відня-
ти) один і той самий
вираз.
143”. 1)
2х + 1
х + 2
2 1 6___'
у2-Зу у З у3-9у’
5 _ 3 = 20
х-2 х+2 х’-4*
72 _ = 14
х2-8х + 16 х-4
144”. Чисельник дробу на 7 менший, ніж його знаменник. Якщо
чисельник збільшити на 5, а знаменник зменшити на 6, то зна-
чення дробу дорівнюватиме 2—. Знайдіть цей дріб.
З
145”. Знаменник дробу на 13 більший, ніж чисельник. Якщо
чисельник дробу подвоїти, а знаменник збільшити на 14, то
•г • 20 о - • - к
дріб дорівнюватиме —.Знайдіть цей дріб.
146”. Чисельник деякого дробу на 2 більший, ніж знаменник.
Якщо чисельник цього дробу збільшити на 1, не змінюючи зна-
менник, то дістанемо дріб, який дорівнюватиме дробу, отрима-
ному із заданого, якщо його чисельник і знаменник зменшити
на 1. Знайдіть цей дріб.
147**. Знаменник дробу на 2 менший, ніж чисельник. Якщо чи-
сельник збільшити на 7, а знаменник - на 5, то значення дробу не
зміниться. Знайдіть цей дріб.
148**. Відстань 20 км Михайлик проходить на 1 год швидше,
ніж Оленка. Знайдіть швидкість кожної дитини, якщо Михай-
лик проходить за 1 год відстань в 1,25 раза більшу, ніж Оленка.
149**. Відстань 240 км вантажна
машина проходить на 2 год довше,
ніж легковий автомобіль. Знайдіть
швидкості обох машин, якщо швид-
кість вантажної машини у 2 рази
менша, ніж швидкість легкового
автомобіля.
150**. Двоє робітників, працюючи
разом, виконують певну роботу за
4 год. За скільки годин, працюючи
окремо, може виконати цю роботу другий робітник, якщо пер-
ший її виконує самостійно за 6 год?
151**. Дві труби, відкриті одночасно, наповнюють басейн за
2 год. Причому перша труба наповнює цей басейн за 3 год. За
скільки годин можна наповнити басейн, якщо відкрити лише
другу трубу?
Вправи для самооцінювання
1°. Визначте трійку рівнянь, які є дробово-раціональними.
6 6 о 8 1 7-і/’
-----+ і/ =---2, —х+—х=——.
4-у 4-і/ 5 3 2
2°. Знайдіть корінь рівняння -—— + 5 = 0.
а) х = 2; б)х = -3; в) х = 3; г) х = —.
• >
_ л . х-24 (4-х)(Зх4-9)
3е. Знайдіть суму коренів рівнянь-----= 0 і ---—------ = 0.
6x4-12 х + 3
а)-19; б)-23; в) 25; г) 28.
4*. Виберіть пару рівносильних рівнянь.
б) 2х-4 = 0 та 2x4-
1 8 5 8
в) -X------= -4----
З 5-х 3 х-5
та
З
г) х -25 = 0 та 9x4-
З
— 4-45.
5*. Розв’яжіть рівняння----2----
х* -4
а) Рівняння розв’язків не має;
= 0.
б)-2; в) 2; г)±2.
6*. Визначте рівняння, яке є математичною моделлю задачі.
Чисельник звичайного дробу на 18 менший від знаменни-
ка. Якщо до чисельника додати 3, а від знаменника відня-
ти 5, то отримаємо —.
. х-15 5 „ х-21 5 .Х4-15 5 ч х-18 5
х-5 6 х-5 6 х-5 6 х-5 6'
7е. Знайдіть числове значення виразу т = 2хі -5x4-1, якщо х -
Х4-2 6 х34-8
корінь рівняння-------------- —, .
2х-4 2x4-4 х2-4
а) 1; 6)13; в) 19; г) 151.
8**. Відстань 160 км легковий автомобіль проходить на 2 год
швидше, ніж автобус. Знайдіть відстань, яку проїде легковий
автомобіль за 1,5 год, якщо його швидкість у 2 рази більша,
ніж швидкість автобуса.
а) 120 км; б) 40 км; в) 80 км; г)60км.
о»» ’ • __ 5х 4-3 7
У . Розв яжіть рівняння ---= - а, якщо а - корінь рівняння
х — 5 З
2______5 3
(1+о)* (а-і/’і-а1
а)-|; б)-2; в) 3; г)|-
• о
І ьі ) Вправи для повторення
152. Спростіть вираз:
п За-2Ь- Я1 (За 2 **)'. „ (За-ЗЬ)1.
26-За’ 26-За ' За + 2Ь ’
2) (За-26)' і) 3в~2> 6) (За^2і,)\
(26-За)’ ’ (26-За)’’ (-За-26)*'
153. Доведіть, що вираз:
1) (З0*2*)* (За-2Ь)*
аЬ аЬ
(За + 2Ь)г (За-2Ь)2
9а2+45* 9а2+45*
(За-25)1 (За + 2Ь)2
4аЬ 4аЬ
(За+ 25)’ (За+ 25)’
4) —-------=-4-----;---=- ТОТОЖНО РІВНИЙ ~1.
-13а2-ЗЬ2 -18а -ЗЬ2
тотожно рівний 24;
тотожно рівний 2;
тотожно рівний -в;
154. Складіть математичну модель до задачі.
Перші 20 тестових завдань вступного тесту до фізико-мате-
матичного ліцею Андрій розв’язував по х завдань за 1 год, на-
ступні 12 задач він за годину розв’язував на 4 задачі менше, а
решту 3 задачі - за 85 хв. Скільки часу затратив Андрій на
розв'язування тесту? Знайдіть час написання тесту, якщо:
1)х = 20; 2)х=16.
155. Знайдіть значення виразу, попередньо спростивши його:
1)2а1 — а’. якщо а = 2’;
8
2)4(За/, якщо
3)25 (25а)’, якщо а = | - І;
\ 5 /
4)27(а2)’ 81(а’)*, якщо а = -.
З
156. Використовуючи властивості степеня, обчисліть:
36а б4 * * * * * 100а 10е
г) 210 * * * З10 * 215 5” :
ІООО2 10а
4) •
(10’)'
Готуймося до тематичного оцінювання
«Раціональні вирази. Тотожні перетворення
раціональних виразів»
• Запитання для самоконтролю о
1. За яким правилом можна перемножити два раціональні
дроби?
2. Як піднести раціональний дріб до степеня?
3. Як поділити один раціональний дріб на інший?
4. Яка найважливіша умова для існування раціонального
дробу?
5. Як звести вираз до раціонального дробу?
в. Які способи перетворення раціональних виразів викорис-
товують для їх спрощення?
7. Які найвідоміші способи доведення тотожностей?
8. Що означає перетворити раціональний вираз «ланцюжко-
вим» способом?
9. Які рівняння називаються цілими; дробовими; раціо-
нальними?
10. Назвіть відомі способи розв’язування дробових рівнянь.
11. Як впливає ОДЗ рівняння на його розв’язок?
12. Які дробово-раціональні рівняння називаються рівно-
сильними?
• Завдання в тестовій формі о
1°. Виберіть дві правильні рівності.
2 56 14 о 4 56 206 _ 7а 2 14а
За 7 15о6 За 7 21а 11 36 336
Б) За- — = 6а_. Г) — - 20 •
1 2 56 356* ' 9 76 63а6*
2°. Виберіть дві рівності, в яких правильно застосовано правило
ділення двох дробів.
.. 2а 5с 2а 5с
А) —: - =-------;
36 і<і зб і&
17а 9с _ 17а А
’зГ’Т "І6 9с’
. &Х-1 . х 1 + 5х х
1 + 5х у 5х—1 у'
х-2 х + 2 х-2 х + 3
х+Зх-З х+2 х-3*
д)х+2 3-х 2+х 2-х
х+3 2-х 3+х 3-х
3°. Піднесіть до степеня
Зад’ V
ти4
/
4°. Подайте добуток (А-Д) у вигляді дробу (1-5).
В)
А)
Б)
аЬ а + Ь к 1
1 ’ ; 1) ТЇ
а + Ь 3 3
а—Ь 3 а-Ь
аЬ а-Ь* 2) 3
а-Ь а + Ь „х аЬ
1 • * 3)
а + Ь 3 3
3 а‘ +Ь 3
—; 4)
а2 + Ь а-Ь аЬ
а-Ь аЬ 5) 3
ЗаЬ а-Ь а-Ь
5°. Визначте рівносильні рівняння:
6
А
Б
В
Г
д
2х-1 3 2х
1) 2 * 3) -=
X х + 1
х + 3 2 .. 3-х
2) - = » - • 4) - —-
х-1 х-1 х -1
А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 3 і 5;
Г) І і 5;
5х-1 4х + 1
ха +1 Xа + 1 '
Д) 2 і 5.
6°. Утворіть з раціональних виразів (А-Д) та раціональних
дробів (1-5) правильні рівності на всій їх області визначення.
7°. Виконайте ділення
х-5 х-5
Xі + 4х 5х + 20
5х + 20
х2+4х’
Д)—:
А)
8°. Укажіть добуток, спрощений вигляд якого є цілим виразом.
Ь
а
9°. Спростіть вираз
а
Ь а
А) В) В) і; Г)
Ь Ь а аг +
Д)
10°. Доберіть раціональним виразам (А~Д) раціональні дроби
(1-5).
А)
2х
Зх-2*
1)
4х - З
4х+3
В)
Г)
Зх
4х-3
5х-4
+ 1 ——
І 4х + 3
х-2
Зх + 2
11е. Виконайте множення
А)
25л2 -Ютл+ т2
В)
3(т -5л)
т-5л
з ;
2)
3)
4)
5)
Зх + 2
Зх-2
Зх-2
Зх + 2
5х + 4
5x^4
4х + 3
4х-3
25п2 -10тп + т2 6т-п
В)
Г)
18т -Зл
5 л - т
6^
(т-5л)3
3(6т-
т - 5л
Д)
12т-2л
Б
В
д
12е. Виконайте ділення
« 2 _ 2
т - тп т - 2т п + п
_2И2
т п
А) х т Б)
т-п
В) -П-
т-п
тп2 п2
» Д) ---
т-п
т
т
13е. Виберіть вираз, спрощений вигляд якого дорівнює 1.
т2-3т т2+т т2
Б)
а-2
Ь-2 4952-25 2-Ь
75 + 5 52-45 + 4 5-75
т -т т-3 т -т
Зг^-г 9г2-6г-ь1 Зг-1
г + 3 г’+Зг г2
В)
с2
14е. Визначте два вирази, при спрощенні яких отримують одна-
ковий раціональний дріб:
а-1 а2 -2а + 1
“Т—
За
За2
а2-а а2 -2а + 1
2)
4)
а-3 а2+3а
а-3 *
А) 1 і 3;
В) 2 і 4; Г) 3 і 5; Д) 2 і 5.
15е. Визначте вирази, сума яких дорівнює 6:
2)
2х-14 Зх + З
Зх + 6
3)
бх2 —6х х + 4
? 5> —:—“ї—.;
.. 2ха + бх х-2
---------г~;
А) 1 і 3;
Б) 2 і 4;
В) 3 і 5;
16е. Ідентифікуйте значення
відповідних значеннях
т.
4т2-4т ( .
виразу-------:(2т-2) при
А) т = -1;
Б) т - -2;
В) т = -4;
Г) т = -5;
Д)т=-2,5.
Б
2) 5;
3)-1;
4)-10;
5)8.
В
Д
Готуймося до тематичного оцінювання
17а. Визначте вирази, які є між собою рівними при а хО:
і) —2) -—
а а
;4) 2-а2- —
а
ї-2-
А) 1,2 ІЗ; В) 2, 3 і 4; В) 3, 4 і 5; Г) 1, 3 і 5; Д)2, 3 і 5.
а Ь
18*. Подайте раціональний вираз
аЬ а+Ь І Ь
у вигляді
а
раціонального дробу.
Ь
А) і; Б) і; В)
Ь а Ь
д) 4-
аЬ
19а. Укажіть дріб, який дорівнює виразу
За
.. За5 9а” . Зат
А) “рї'1 в) ь‘ ’ в) ь*:
ь' : д) ь1
20а. Спростіть раціональний вираз
х-у х + у і х-у 2
х + у х-у І ху ’х + у’
А)-4; Б)-2; В) 2; Г) 4; Д)^Л
2
21аа. Доберіть до кожного раціонального виразу (А-Д) тотожно
рівний йому раціональний дріб (1-5).
.. За а+ 2 96
А) ;;
а-4 2а-8 а2+2а
а + 4 а2-16 2
а*-6а+9 2а-6 а-4
В) —а,~4 З
аа-2а + 1*3а-3~її^2;
Г) _7а д~8 84
а+ 2 За + 6 а*-8а’
Д) —°-2
а2 +2а + 1 5а+ 5 а+ 2
7а-14
9
а
За+ 12
Ь*
і-2
а
Ролділ І. Раціональні вирази
22**. Укажіть серед умов (А-В) таку, яка визначає область
допустимих значень чотирьох із п’яти заданих раціональ-
них виразів (1-5), і таку, яка не є ОДЗ для жодного з них.
А) Усі числа,
крім х-0 та х - ±3;
( х1+5 х2 + 4 У 4
[х2^ї х*--4 х2+9’
Б) усі числа,
крім х = ±1тах = ±2;
В) усі числа,
крім х = ±5тах = і4.
23**. Визначте раціональні вирази, значення яких є цілими
числами:
А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 3 і 5; Г) 1 і 4; Д) 2 і 5.
(1 х + 1 9
-------«----7 І-1 1 + ~ї—
х-1 х + х +1) х -1
1
при х = —, попередньо спростивши його.
2
4 4 4 4 4
А,’з: Б)3: В) 9* Г)-9І Д)й-
25>в. Визначте раціональний вираз, спрощений нигляд якого є
раціональним дробом.
.. а2-а а + 2 а*+2а 2Ьг-8 Ь-2 Ь*+Ь
а:-2а + 1 а+1 аг 1 Ь2-Ь Ь-1 Ь+2
Зе+6 с2 —1 е + 2 л2-1 п2~п п + 2
2с-2 с* + с’ 2с ’ л’+2л 2л2 ла + л
І /•!,«’ • г ' • ' кт*
4лі2-8т т’-лі 2/п3
і т 9 * ^,2 7~•
т — 1 т — с. т + тп
ху
У х
26е*. Подайте вираз ^~у— У вигляді раціонального дробу.
У + х 2
27**. Укажіть три рівняння, що мають спільним коренем одне
й те саме число:
х х + 2 2х’+10 .. 4х х Зх2 + 45
1) ----+----= —=----; 4)-------------- —;---;
х+2 х-2 ха-4 х + 3 х-3 ха-9
Зх2 +х-18 _ _
2)-----— =3х + 6;
5х2-4х + 4
3)---------= 5х;
х-1
А) 1,2 ІЗ; Б) 2, 4 і 5;
х-1 х 2х-Зх-4
5)---+----=--------
х + 2 х-2 х-4
В) 1,3 і 5; Г) 1,2 і 4; Д) 2, 3 і 5.
28**. Визначте рівняння, що не мають розв’язку:
х-1 х + 1 8х-14
2І+Ї 2х-1~ 4ха-Г
2)4^-Л=3;
х -2х х-2 х
х х + 4 20
о)----— — =—, .
х+4 х-4 х -16
А) 1 і 2; Б) 2 і 4; В) 3 і 4; Г) 3 і 5; Д) 1 і 5.
29**. Складіть математичну модель до текстової задачі.
Моторний човен рухається по річці між пристанями К і М.
Швидкість течії річки становить а км/год, а власна швидкість
човна х км/год. Відстань від К до М за течією річки човен до-
лає за і год. Знайдіть відстань, яку залишиться подолати чов-
ну проти течії річки через і год після відправлення з М до К.
А) (х+а)Г-хІ;
Б) (х-а)Є-хї;
В)хГ-(х-а)Г; Д) (х + а)ї-аГ.
Г)(х + а)Г-(х-а)Г;
Розділ І. Раціональні вирази
30е*. Знайдіть частку двох раціональних виразів Р : 9, якщо
р_ т* + т* т' + т'' . ^_9т2-9т (Зт-З)1
4(тп-1)2 4т2-4/п тв+лґ т3+т4
А) 1; Б)2; В)4; Г)(т-1)’; Д)-----------у
(т-1)
§8.
СТЕПІНЬ З ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ
І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
• означення степеня з цілим показником;
• властивості степеня з цілим показником;
як перетворювати вирази, що містять степінь з
цілим показником.
Степінь з цілим показником включає три види степеня:
1) степінь з цілим додатним показником;
2) степінь з нульовим показником;
3) степінь з цілим від’ємним показником.
Степінь з цілим додатним показником ототожнюється зі
степенем з натуральним показником, який ми вивчили в
7-му класі.
Поняття степеня з нульовим показником випливає з власти-
„ а" д_„ п
востей степеня з натуральним показником: - = а =аа.
ан
Отже, а0 = 1, де а - довільне число, а*0. Вираз 0° не визначений.
У науковій літературі можна знайти відомості про дуже
великі або дуже малі величини. Наприклад, відстань від Землі
до планети Нептун дорівнює 4 500 000 000 км, а діаметр моле-
кули води дорівнює 0,0000000003 м. Із цими числами легше
працювати тоді, коли вони записані у вигляді а 10", тобто
4,5 109 км і З 1010 м. Очевидним є те, що такі записи зручніші
та компактніші. Зміст числового виразу 4,5 -10е нам знайомий
(це число, яке в 10в більше за 4,5), а ось вираз 3-10_,° трап-
ляється вперше. З’ясуємо, який зміст вкладають математики в
запис 1О'10. Випишемо послідовно степені числа 10 з показни-
ками 0, 1, 2,... та продовжимо цей рядок вліво, враховуючи те,
що кожне наступне число в 10 разів більше, ніж попереднє.
- --,-----—, ——,------, —, 10°, 10’, 102, 10а, 10\ 105
100000 10 000 1000 100 10
$ 8. Ступінь з цілим показником І його властивості
або
і і і і
105’ 104’ 10а’ 102’ 10і’
10°, 10’, 10а, 103,
104, 10а,...
Скориставшись тим, що починаючи зі степеня 10° показник
кожного наступного степеня на 1 більший, тобто показник
кожного попереднього степеня на 1 менший, отримаємо:
..., 10 • 10 \ 10 3, 10 2, 10 ’, 10°, 10і, 102, 103, 104, 10\ ...
Повертаючись до виразу 3-Ю”10, можемо сказати, що це
таке число, яке в 1О10 разів менше за 3. Отже, 3 10 10 = 3:10’° =
°іоі“’аб°3 '10 О=Ї0“‘
Степенем з цілим від’ємним показником (-л) будь*
якого відмінного від нуля числа а називається дріб,
чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник —
степінь числа а з додатним показником н, тобто
- ।
а = —, де п - натуральне число.
а"
„ 1 1 о* 1 1
Наприклад, 4 =-г = —, 2 = тт = —•
4’ 16 2а 32
' Слід зауважити, що мають місце тотожності:
а (я А" (Ь Т Ґ1¥"
І — і = І — І, І - 1 = ап при а # 0, Ь / 0.
І Ь І І а 1 І а І
Спробуйте довести їх самостійно.
Пригадаємо властивість ділення степенів з натуральними
показниками та однаковою основою: а*: ат = ап м, де п > т, а * 0.
1) Нехай л = т, тоді ап : ап = ап‘п = аи. Оскільки ая: ап = 1 при
довільному натуральному п і а*0, тому а°=1 при а#0, причо-
му вираз 0° вважається невизначеним (не має змісту).
2)* Нехай п < т, тоді т = п + к, де к - деяке натуральне чис-
ло. Тому ап:ап- ап: ап*к = ап а-*. З іншого боку: ап:ат=
а" а" а" 1 _* 1 Л
= —— = ——г = ——г = —г. Таким чином, а =—г при а*0, де к -
а а а а а а
натуральне число. Вираз 0” не має змісту.
Для степеня з будь-яким цілим показником справедливі такі
самі властивості, як для степеня з натуральним показником.
Для будь-якого а #0 і довільних цілих чисел т та п:
а*а"=ат*% (1)
ат:ая=а"’", (2)
(а-)’=о-". (3)
Для будь-яких а #0, Ь #0 і довільного цілого числа п:
(аЬГ= апЬ\ (4)
Ці властивості можна довести, використовуючи означення
степеня з цілим показником та відомі нам властивості степеня
з натуральним показником.
Доведемо, наприклад, властивість (1). Нехай т та п - цілі
додатні числа, тоді (-/п) та (-л) - цілі від’ємні числа. Доведемо,
що а Л-а т- а я т при а *0, де т і п - натуральні числа.
Отже, ал'а”= ащо й вимагалося довести.
Ігмї' ,
Приклад 1. Обчисліть значення виразу 5 • — • — • 0,1 .
5 (3)
Розв'язання
5’.?Мо,1’ =
5 І3 )
1_ 2 3 ( 1Ґ
5’ 5 4 {10 ) ’
1 2 3 100 6 Г1
25 5 4 1 5 5
Відповідь. 1—.
Використовуємо означення степе-
ня з цілим від’ємним показником і
правила множення дробів та скоро-
к л (“У1 ь
чення дробів. Оскільки — = —,то
1^7 °
1 V
— =10’^100.
10)
Приклад 2. Спростіть вираз
(гд’ь*
з
а2Ь'
приа^О, Ь*0.
Розв’язання
Як. кЛЛС^СХХЛА.
9 а V
2а V З3
(2а^Ь4 ' ( З V
9 І а V І
з
9д-*Ь’ а~*Ь9 1 д-* Ь9
2а V 27 ~ ба 2Ь4 ~ 6 а * Ь4
1 а*л
= а о .
6
Відповідь.
6
Обидва дроби є степе-
нями з цілим від'ємним
показником, тому вико-
ристовуємо тотожність:
( а V (Ь ї . .
І — І = І — І і підносимо
Iа/
другий дріб до куба. За-
писуємо добуток отрима-
них раціональних дробів
і ділимо окремо степені з
основою а та основою Ь.
Ісаак Ньютон
Англійський математик Т. Гар-
ріот (1560-1621), увівши зма-
ки дій та знаки нерівностей, ^""43
не здогадався скоротити записи дії
множення однакових множників.
Він виписував усі множники, які
входили в одночлен, наприклад,
оаааЬЬЬЬ чи ЗааЬЬ. Слід зазначити, що
з квадратом і кубом числа працювали
ще вчені Вавилона, майже 4000 років
тому, отримуючи їх при обчислен-
нях площі квадрата та об’єму куба.
Замінити дію множення однакових
множників степенем зумів фран-
цузький математик і філософ Рене Декарт (1596-1650). Він увів
і показник степеня, і запис «ая». Проте це стосувалося лише сте-
пеня з натуральним показником. Степінь з нульовим показни-
ком одночасно ввели в XV ст. двоє вчених: самаркандець аль-
Каші і француз Нікола Шюке. Над теорією степеня з від’ємним
показником працювали Нікола Шюке і англійський математик
Джон Валіс (1616-1703). Удосконалив записи степенів з цілими
показниками в сучасному вигляді «а'”» і почав їх застосовувати
на практиці видатний англійський математик і фізик Ісаак Нью-
тон (1643-1727).
Вправи для закріплення
157°. Запишіть степінь з цілим від’ємним показником у вигляді
дробу:
1) 10-»; 4)в-““; 7)(7ж + 0‘;
2)7-»; 8) 5у’;
3) 6) (2а0~“; 9)і|-».
158°. Запишіть дріб у вигляді степеня з цілим від’ємним показ-
ником або у вигляді добутку:
«ІУ8 3)^: 5’1г 7)? =
2,^: 4)20^; 6,|; «У’
Обчисліть значення виразів (159—160).
159°. 1) 5 а; 3) (-2) 2; 5) (-1)2008;
2) 7 і; 4)(-3)а; 6) (-1)"®;
160°. 1) 0,01 3)-5а; 5) -0,2 а;
7) (-5)»;
2) 1,25 а; 4)-2 а;
6) (-0,2) а;
8)
161°. Подайте числа:
1) 16; 4; 2; 1; —; - у вигляді степеня з основою 2;
2» ±- ±- і
’ 81’ 27' З’
3; 81; 243 у вигляді степеня з основою 3;
3) —; —; —; -
625 125 25 5
1; 5; 25 у вигляді степеня з основою 5;
4) 1 000 000; 10 000; 10; 1; 0,1; 0,001; 0,000001 у вигляді сте-
пеня з основою 10.
§ 8. Степінь з цілим показником І його властивості
Обчисліть значення виразів (162—163).
162*. 1) 16 2 ’;
3) 2-3+3 *;
і *
. Я
2)-5 25 і;
4) ЮОЇ-
2
-2
( і V
6) -1— -5-
17 І
4
-1
163*. 1)
7
3) 27 (-9)1;
2
2) 2,4°-2,4‘*
4) 625 і 5’;
1
16 + 0,25“*.
164*. Порівняйте з нулем значення степеня:
3)(—2,4)°; 5) (-9,9)*;
2) (-3) 3;
З
-7
; 6) (-9,9)“®;
-жюі
8) -1 —
13
165*. Порівняйте з нулем значення виразу:
3) (-7)° 5-1;
166*. Подайте вираз у вигляді дробу,
від'ємним показником:
що
не містить степеня з
1)9а 8;
4)(2а2Ь3)’1;
7) х"^3;
10) 5а(х-П «;
5) а 2Ь;
8) а *Ь в;
З
3) (ху2) <;
6) 2ху"4;
9) 8(х-0 «;
7
167*. Запишіть у вигляді добутку дріб:
3)^;
г У
5)
-гт;
т гпа (а-5
а о
2> 4) 9Ь
6)
4х . (2x4-1)
»’«*’ З(а-т)
►, Використайте
І' тотожність
(ахО).
Розділ І. Раціональні вирази
168**. Обчисліть значення виразу:
169**. Спростіть вираз:
8. Степінь з цілим показником і його властивості
3°. Доберіть кожному* числу степінь з основою 10.
а) 10 000; 1) 10 а;
6)0,001; 2) 10’6;
в) 0,00001; 3) 104;
г) 0,000001. 4) МН.
4*. Знайдіть числове значення виразу 202~*
а) -10; б) 40;
в)-16; г)-25.
5*. Виберіть добуток степенів, що дорівнює т 10.
а) (лі-*-/ав) (т ’т*т ’)
б)((т’а)а| т ’; г) (ги1)’ (пГя) ’
6*. Утворіть парами числові рівності.
/і V*
а)7 8’*' у ; 1>2>ї
' 7
6)32(2^/; 2)2’;
в)2‘°16-2; 3)2-’;
/1 V
г) 4 ’• | . 4) 23.
7е*. Визначте вираз, спрощений вигляд якого дорівнює
аЬ
а
б
•в
г
а) 3(2~2а~2Ь4 23а3Ь ’);
б) 3 24а"*Ь~*
<
в)3(2~’аЬ ’-22а’д);
г) 3(2-’а’Ь-’ 24а в64).
8**. Знайдіть значення виразу 5"’х 2у4- Ьх3у~2, якщо х =0,125,
у = 24.
а) 8; 6)32; в) 128; г)64.
9е*. Обчисліть значення виразу
-324 (О,125)‘
а)-125 б)-129; в) 121; г)-5.
Вправи для повторення
170. Спростіть вираз:
ґ_3_______1 4 \х-2.
[х+2 х-2 4-х1 ) х + 2’
2)Г-1 _ 6
[ х + 3 х-3 9-х1 )' х + з’
ґ 4 1 8 ї,х-4
^х+4 х-4 16-х1 ] х+4*
(_4_____1 10 1 х-5
[х + 5 х-5 25-х1 ) х + 5
171. Запишіть у вигляді виразу розв’язок текстової задачі.
За перший день турист пройшов х км. А за кожний наступ-
ний день він проходив на 10 % менше, ніж за попередній. Яку
відстань пройшов турист:
1) за два дні; 2) за три дні; 3) за чотири дні?
172. Зведіть многочлен до стандартного вигляду:
1) а2-За + а3-4аа+ За - 2; 3) 7а2 2аЬ2- 4аЬ2(-аЬ)- За 5а V;
2) 4а3-2а-а3 + а-а2+2; 4) -5а9 (ЗЬ2)-Ьа2Ь 2а+3а2й2 6а.
173. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел х та у, якщо
х=2,7 10п,у = 4,5 1О10.
174. Обчисліть значення виразу:
1)
2)
0,0312
24 250
3)
4)
10
(2,4 1О*4)(О,О125 10’*)
3000
0,008 0,009
15
10
§ 9. Стандартний вигляд числа
§9. СТАНДАРТНИЙ ВИГЛЯД ЧИСЛА
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
• як записати число в стандартному вигляді;
• що таке значуща частина числа; порядок числа;
• на що вказує порядок числа;
• як виконувати дії над числами, записаними в
стандартному вигляді.
Часто доводиться працювати з дуже великими додатними
числами (астрономам, географам) і дуже малими числами (хімі-
кам, медикам, фізикам), які не зовсім зручно читати, писати та
виконувати дії над ними. У такому разі, як ми вже зазначали,
використовують степінь числа 10 з цілим показником. Наприк-
лад, масу одного атома водню записують 1,674 • 10 24 г, а середню
відстань від Землі до Місяця - 3,84-10* км. Великим числом
визначається об’єм Землі, який дорівнює 1 083 000 000 000 км3,
а малим - діаметр молекули води, який дорівнює 0,0000000003 м.
Із такими числами легше працювати, коли вони записані у виг-
ляді 10", де число а1 у своїй цілій частині містить тільки
цифру одиниць, відмінну від нуля. По-іншому кажуть, що це
число записано в стандартному вигляді. Тобто 1,083 1012 км3,
З 10“10 м - це записи відповідних величин об’єму Землі і діамет-
ра молекули води в стандартному вигляді.
Кожне додатне число можна подати у стандартному вигляді.
Стандартним виглядом числа а називають його запис
у вигляді 10", де 1 п — ціле число.
Наприклад, 6273 = 6,273 103. де а, = 6,273; 0,00256 = 2,56 10 я.
де «, = 2,56.
У записах великих і малих чисел у стандартному вигляді
число називають значущою частиною числа а, а показник
степеня п порядком числа а.
Приклад 1. Подайте число а = 6 230 000 000 у стандартному
вигляді.
Розв’язан ня
Я«с «ихя&ккАх.
« = 6,230000000 10®=
= 6,23 10е.
Відповідь. 6,23 •10е.
У числі а ставимо кому так, щоб от-
римане число а{ задовольняло умову:
1 <ах<10. Дістаємо а, = 6,23. Ми змен-
шили число а в 10® разів. ІЦоб перейти
від числа «х до числа а, збільшуємо а,
у 109 разів. Отже, а = 6,23-10®.
Як.
а = 0,00000543 =
= 0000005,43 10"®=
= 5,43 10 ®.
Відповідь. 5,43 10"®.
Приклад 2. Подайте число а = 0,00000543 у стандартному
вигляді.
Розв’язання
Яи,
У числі а ставимо кому так, щоб от-
римане число а, задовольняло умову:
КсцСІО, тобто <^=5,43. Задане
число збільшено в 10® разів. Тому,
щоб перейти від числа а, до числа а,
треба зменшити число а1 у 106 разів,
або збільшити в 10"® разів.
Зауваження. Порядок числа дає уяву про те, наскільки
число велике або мале. Якщо порядок додатний і великий, то
це означає, що число дуже велике. Якщо ж порядок по модулю
великий, але від’ємний, то число дуже мале.
Вправи для закріплення
175е. Запишіть у стандартному вигляді число:
1) 8,2 1000; 3) 52,3 10 000; 5) 263 1 000 000 000;
2) 3,7 100 000; 4) 16,24 10 000 000; 6) 7250 1 000000.
176°. Подайте в стандартному вигляді число:
1) 0,012 103;
2)0,0005 10е;
3) 201,4 -10"4;
4) 2008 10"8;
5)0,00549 10 18;
6)0,24003 Ю"7.
177°. Запишіть у стандартному вигляді число:
1)256 307; 4)7 256 211; 7) 12,635 10”;
2)0,00725; 5)0,000052 10 •; 8)25,78901 10 »°;
3) 0,0000018; 6) 0,0000008 10е; 9) 0,3724 10”.
178°. На скільки порядків:
1) число 342000 000 більше, ніж 4 000 000;
2) число 18 000 000 менше, ніж 216 000 000 000 000?
179*. Запишіть у стандартному вигляді:
1) масу Землі М (М- 6 000 000 000 000 000 000 000 м);
1
' 1000000000
$ 9. Стандартний вигляд числа
3) 1 мм = 0,001 м;
4) масу атома Гідрогену 0,0000000000000000000017 г;
5) масу Місяця 73 500 000 000 000 000 000 кг.
180*. Знайдіть значення виразу та запишіть отриманий результат
у стандартному вигляді:
1) (2,5 • 10 е) (4,4 109); 3) (0,36 10е): (2,4 102);
2) (0,3 106) (2,6 10 10); 4) (3,362 10 5); (4,1 10 3).
181*. Виконайте дії та запишіть отримане число в стандартно-
му вигляді:
1) (9,1 • 10 е) (2 10’°); 3) (0,06 10 ,2) (2,5 1040);
2) (1,23 • 10 *) (4,8 10 й); 4) (11,88 10"2) (13,2 10е).
182*. Густина заліза становить 7,8 103 Знайдіть масу заліз-
м
пої плити, довжина якої 1,5 м, ширина 4-Ю4 м, а висота
2,1 104 м.
183*. Визначте шлях, який пройде світло за 13,2 104 с, якщо
швидкість світла становить 300 000 км/с.
184**. Виразіть:
1) 5,2 • 10е кг у грамах; 3) 8,13 • 1015 кг у тоннах;
2) 1,7 10 6 кму дециметрах; 4) 6,21 10 10мм у метрах.
185**. Маса Юпітера становить 1,9 1027 кг, а маса Венери -
4,87 1024 кг. Визначте, у скільки разів одна з планет мас масу
більшу від іншої. (Відповідь округліть до цілих.)
186**. В 1 ккал міститься 4,2-103 Дж. Скільки кілокалорій в
1 Дж?
187**. Порядок числа а дорівнює -13. Яким буде порядок числа:
1) 1000а; 3) а 1О23; 5) а 10 ,е;
2) 0.01а; 4)^; 6) ^2
188е*. Порівняйте числа:
1) 1,23 107 і 2,1 107; 3)2,6 10Іе і 1,3 -10і7;
2)5,11 10” і 51,1-10 ”; 4) 3,7 10 е і 4,9 10’7.
Вправи для самооцінювання
1°. Виберіть стандартний вигляд числа 4 350 000.
а) 435 104; б) 4,35 Ю6; в) 43,5 10’; г) 0,435 Ю7.
2°. Укажіть порядок числа 9,28 • 10 4, поданого в стандартному
вигляді.
а)-4; 6)4; в) 9,28; г) 10 4.
3°. Визначте значущу частину числа 0,000508, попередньо за-
писавши його в стандартному вигляді.
а) 4; б)-4; в) 0,508; г) 5,08.
4*. Запишіть у стандартному вигляді число, яке дорівнює
(1,2 10 12) (20,5 1017).
я) 2,46 104; 6)2,46 105; в) 2,46 107; г) 2,46 10*.
5*. Виразіть 9,7 • 10 * м у міліметрах.
а)9,7-10”мм; в) 9,7-10 5мм;
б) 9,7 • 10і* мм; г)9,7 105мм.
6*. Визначте, який шлях пройде світло за 4,2 107с, якщо швид-
кість світла становить 300 000 км/с. Відповідь запишіть у
стандартному вигляді.
а) 1,26 10,2км; в) 1,26 10” км;
6)1,26 1013км; г) 1,26 10,0км.
7*. Визначте порядок числа
числа т дорівнює -15.
т
ПР8’
коли відомо, що порядок
а) 43; 6)-43; в) 13; г)-13.
Визначте, у скільки разів розмір вірусу грипу (0,0001 мм) біль-
ший за товщину плівки мильної бульбашки (0,00000006 см).
5
а) У - 10і раза;
З
5 а
-10 раза;
х 50
б) у — раза;
З
г) у - 102 раза.
З
9**. Знайдіть масу сталевої кульки, коли відомо, що її радіус
дорівнює 3-10 3 м, а об’єм обчислюється за формулою
V = — пН*, де Я - радіус кулі, я “ З (густина сталі 7,8 10я кг/м3).
а) 8,484 10 * кг; в) 8,484 10 6 кг;
б) 8,484 10 4 кг; г) 8,484 102 кг.
$ 9. Стандартний вигляд числа
- • л
Вправи для повторення
189. Знайдіть значення змінної, при якому дріб дорівнює нулю:
18х2-9х ** 4-8х ’ 19х-88х». 10х-5 ’ ,, *’-зв . ’ х’-12х+3б’ 4) 3А~12 -х +4х-4
190. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення
змінної при всіх допустимих її значеннях:
5х + 7 9х + 5 х + 17 , 5х+1
1)-----+-----; 3)------+-------;
2х-1 1-2х 5х 20 20-5х
7х + 3 х + 5 .. 4х-1 3-8х
2)-----+-----; 4) -----+-------.
Зх-1 1-Зх 15х-5 5-15х
191. Оператор мав виконати замовлення комп’ютерного набору
деякого рукопису за 13 днів. Однак, набираючи щодня на 2 сто-
рінки більше, він впорався із замовленням на 1 день швидше.
Скільки сторінок має рукопис?
192. Побудуйте графік функції:
1) = 2)і/ = -1х-4; 3) у = |х + 4; 4) у = -|х + 4.
Знайдіть за графіком значення:
а) х, при якому значення функції дорівнює нулю;
б) функції, при якому аргумент дорівнює нулю;
в) х, при яких значення функції додатні;
г) х, при яких значення функції від’ємні.
193. Задайте лінійну функцію за допомогою формули, якщо її
графік проходить через початок координат і точку:
Лч Лінійна функція має вид: у- Лх + Ь, де
Аг*0. Графік проходить через задану
точку, якщо її координати перетво-
1)М( 1; 2);
2) К(-3; 1);
3) Р(1; -3);
4) С?(2; -1).
рюють формулу на правильну рівність.
§10. ФУНКЦІЯ У = *. її ГРАФІК
ТА ВЛАСТИВОСТІ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
ж *
• як називається функція у = — ;
х к
• який вигляд має графік функції у = — та як його
побудувати; х
• як впливає знак числа к на розташування гра-
фіка на координатній площині;
к
• які властивості має функція у = — .
Досить часто трапляються ситуації, практичне розв’язання
А
яких зводиться до встановлення залежності виду у - -, де я*0
X
і х*0. Наприклад, групу восьмикласників — 120 школярів -
треба повезти па екскурсію. Для цього треба замовити т авто-
бусів по п місць у кожному.
Очевидно, що кількість автобусів т залежить від кількості
посадочних місць п. Цю залежність можна виразити аналітич-
120
но: т =--. Зрозуміло, що при збільшенні посадочних місць в
п
автобусі (п) кількість автобусів (т) буде зменшуватись, і навпа-
ки. Оскільки кожному допустимому значенню п відповідає єдине
значення т, то таку залежність можна вважати функцією (обо-
в’язкова умова, що в автобусі всі місця зайняті і стояти забо-
ронено). 120
Допустимими значеннями функції т =---с лише всі мож-
п
ливі (реальні) натуральні числа. Якщо ж розглядати функцію
120 „ ж
у =---, то її область визначення розширюється - це множина
X
всіх чисел, відмінних від нуля. Проте властивість, що при
збільшенні значень аргументу (х) значення функції (у)
зменшуються і, навпаки, при зменшенні значень аргументу (х)
значення функції (у) збільшуються, зберігається. Такі функції
називають оберненими пропорційностями.
Оберненою пропорційністю називається функція, яку
можна задати формулою виду у = —, де х — незалежна
змінна (х *0) і к - число, що не дорівнює нулю.
§10. Функція у = ~, її графік та властивості
х
ж ... к
Областю визначення функції у = — є множина всіх чисел, від-
Х к
мінних від нуля. Це випливає з того, що вираз — має зміст при
х
всіх значеннях х, крім х = 0 (на нуль ділити не можна). Таким
чином, область визначення функції Щу)’. х#0. Оскільки 6*0,
/,
то й значення дробу — не може дорівнювати нулю. Звідси область
х
значень функції Е(у): у *0.
4
Побудуємо графік функції у - —. Для цього складемо таблицю:
X -8 -в -4 -2 -1 -н 1 (М 1 1 2 1 2 4 6 8
У 1 2 2 3 -1 -2 -4 -8 8 4 2 1 2 3 1 2
Мал. 1
Якщо на координатній площині позначити більше точок, коор-
4
динати яких задовольняють рівність у = —, то вони розмістяться
X
Щільніше одна до одної, і при послідовному сполученні їх (окремо
в І та ПІ чвертях) утворяться дві криві лінії, які називаються
гіперболою (мал. 1, б). Гіпербола складається з двох гілок - це
графік оберненої пропорційності.
Криву, яка € графіком оберненої пропорційності,
називають гіперболою (дві гілки гіперболи).
Розділ І. Раціональні вирази
Проаналізуємо деякі особливості отриманого графіка функції
4
х
Факт Наслідок Висновок
1 х#0 На графіку немає жод- ної точки з абсцисою 0 Графік не перетипає вісь Оу
2 На графіку немає жод- ної точки з ординатою 0 Графік не перетинає вісь Ох
3 Розглянемо х > 0 у>0 Частина графіка роз- міщена в І координат- ній чверті
4 Розглянемо х<0 у <0 Частина графіка роз- міщена в ПІ коорди- натній чверті
5 Розглянемо додат- ні (від’ємні) зна- чення ху порядку їх зростання Відповідні їм значення у будуть розміщені у по- рядку спадання (обер- нено пропорційна за- лежність величин: чим більше додатне (від’- ємне) значення х, тим менше відповідне зна- чення у, і навпаки) Частина графіка, роз- міщена в І чверті (III чверті), постійно наближається до ко- ординатних осей, не перетинаючи їх - «і я
Слід зауважити, що вищенавсдені особливості характерні
для всіх і'рафіків функцій оберненої пропорційності при додат-
них значеннях к.
• Проаналізуйте аналогічні особливості для довільного
1 графіка оберненої пропорційності при к<0.
Зауваження. Кожна гілка гіперболи в одному напрямі
наближається все ближче і ближче до осі Ох, а в іншому напря-
мі - до осі Оу. У подібних випадках відповідні прямі називають
асимптотами. Таким чином, гіпербола мас дві асимптоти: Ох
іОу.
Обсрпена пропорційність у = —
Графік - дві гілки гіперболи
Р(у): хгО; Е(у): у«0
Микола Лобачевський
Поняття «функція» пройшло
довгий шлях свого розвитку. ;
В роботі французького вчено-
го П’єра Ферма «Введення у вивчення
плоских і тілесних місць» в 1679 р.
зазначається: «Всякий раз, коли в
підсумковому рівпянпі с дві невідомі
величини, то очевидним є місце».
Тобто мова йде про функціональну
залежність і її графічне зображення
(«місце» визначає лінію). Вивченню
ліній за їх рівняннями та взаємній
залежності між двома змінними ве-
личинами приділяється увага і фран-
цузьким вченим Рене Декартом у книзі «Геометрія». Поняття
«функція» вперше ввів у 1692 р. німецький учений Готфрід
Лейбніц. Функцією він називав різні відрізки, що зв’язані з дея-
кою кривою. Більш наближене до сучасного означення функції
трапляється в працях швейцарського вченого Йоганна Бернуллі
(1713 р.), російського вченого Леонарда Ейлсря (1748 р.). фран-
цузького вченого Жана Фур’є (1822 р.), російського вченого Ми-
коли Лобачевского (1834 р.), німецького вченого Петера Густава
Лежена (Діріхле) (1838 р.), де вже вводиться позначення функції
/їх) і визначається функція аналітичним способом. У принципі,
сучасне означення функції приписують німецькому вченому
Діріхле.
к V. *) Вправи для закріплення
195°. Сторони прямокутника дорівнюють т см та п см, а його
площа становить 18 см2. Виразіть формулою залежність п від т.
196°. З курсу фізики відомо формулу, якою пов’язані між со-
бою маса (т) та об’єм (V) деякого тіла з густиною (р) речовини,
з якої виготовлено це тіло. Використовуючи цю формулу, за-
пишіть залежність:
1) рвідУ; 2) V від р.
о 6
197 . Складіть таблицю значень функції у =— для всіх цілих
значень-12 ^х^ 12 з кроком 2. Х
&
198°. Запишіть функцію у вигляді у = —:
х
«х 6 ох З З
1) у=—; 3)у=-—; 5)у=—:
Юх 5х 4х
т 7 3 61
2) у=—; 4) </=-—; 6)
2х 2х ІООх
199е . Запишіть функцію у = — у вигляді у = — і складіть її таб-
4х х
лицю значень для - 3 х С З з кроком 0,5.
$
200”. Функцію задано формулою У = — • Яке значення функції
х
відповідає значенню х= -0,04? При якому значенні аргументу
значення функції дорівнює -5?
Мал. 2
201°. На малюнку 2 зображено гра-
3
фік функції у =—. Користуючись
графіком:
1) знайдіть значення функції,
якому відповідає значення аргу-
менту: -3; -1,5; -1; 1,5; 3;
2) знайдіть значення аргументу,
якому відповідає значення функ-
ції: 6; 2; 1,5; -1,5; -2; -6;
3) порівняйте: у(-6) та у(-2);
у(-3) та у|-- |; у(3) та р(6).
і І
к
§ 10. Функція у =—,и графік та властивості
х
15
202°. Заповніть таблицю значень для функції У =----
X -5 1 3 -2 0,25 3 4
У -15 ЗО 1і 2 60
9
203°. Функцію задано формулою у-—. Знайдіть:
1) у, якщо х = -ЗО; х = -0,3; х = 9; х- 18;
2) х, якщо у = -9; у = -90; у = 1; у = 4,5; у - 27.
о . 10
204 . Визначте, чи проходить графік функції У = — через точ-
ки: А(2; 5), К(-10; 1), В -; 20
Ґ 2 \ '2
Е -25 .
5 Г
205*. Графік функції у = — проходить через точку Р —; 18 І
х (9 [
Чи проходить цей графік через точки: А(-1; -2), В(-2; 1),
М --
4 2
АГ 6
З
2
Р(0,5; 4)?
Побудуйте графіки функцій (206-207).
206*. 1) .Л, -8<х<8;
-7^х^7;
х
1
3) 0»-$, в«х$6.
207*. 1) 0-1; 2) 0—3) у = -.
X XX
к
208е. Визначте, при якому значенні к графік функції у = — про-
ходить через точку: х
1)А(1;2); 2) К(-0,5;-6); 3) Г>Ґ1—; -121;
І 2 І
4) В(-4; 2);
6) М1-2; 21 .
5) Г 6 ;
З
-к
209*. Знайдіть к, коли відомо, що графіку функції У--нале-
жить точка:
1)А(-9; 9);
3) С -6
5) Е Ц; -15
З
2) В(3; -6);
4) ЛГ(5; -10);
6) К -1-; -21
7
210*. Об’єм прямокутного паралелепіпеда зі сторонами основи
а см і Ь см і висотою 40 см дорівнює 6400 см3. Виразіть форму-
лою залежність: а від д; Ь від а. Знайдіть:
1) а, якщо Ь = 20 см;
2) Ь, якщо а = 40 см.
211а*. Побудуйте графік функції у = , який проходить через
X
точку Л/(-6; 3). Чому дорівнює відстань від точки М до коорди-
натних осей?
212а*. На малюнку 3 побудовано графік залежності часу від
швидкості руху автомобіля но міжнародній автомагістралі між
двома пунктами А та В. За допомогою графіка знайдіть:
$10. Функція у*-—,Ті графік та властивості
х
1) скільки часу потрібно на шлях із пункту А до пункту В,
якщо рухатися зі швидкістю: 180 км/год; 120 км/год; 90 км/год;
60 км/год;
2) з якою швидкістю потрібно рухатися, щоб дістатися з
пункту А в пункт В: за 1 год; за 3 год; за 6 год; за 18 год;
3) якою є відстань між пунктами А та В.
213**. Побудуйте графік залежності часу (0. затраченого вело-
сипедистом на шлях від пункту А до пункту В, від швидкості
його руху (о), якщо відстань між пунктами становить 18 км.
Використовуючи графік, знайдіть:
1) скільки часу потрібно велосипедисту па шлях від пункту А
до пункту В. рухаючись зі швидкістю 12 км/год;
2) з якою швидкістю потрібно рухатися велосипедисту, щоб
дістатися з пункту А в пункт В: за 2 год; за 1,5 год.
214**. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій
6
у = - тау = -х 1. Визначте, користуючись графічним зобра-
X
женням, точки перетину графіків функцій.
215**. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій
$
у = 2х та у = .За допомогою отриманого графічного зображення
визначте абсциси точок перетину графіків функцій.
216**. Знайдіть х2 + х2. де х] та х2 - абсциси точок перетину
4
графіків функцій у = — та у = 3-х.
Вправи для самооцінюваппя
Iе. Сторони прямокутника дорівнюють х см та у см, а площа
прямокутника - 2,8 см2. Виразіть формулою у від х.
а)у=2,8х; б)х=2,8у; в) х=--; г) у = —.
У х
9° п » !’5 1
• Визначте значення функції у=----при х= -.
а)-0,5; б)-4,5; в) 0,5; г) 4,5.
3е. Укажіть, при якому значенні аргументу значення функції
12
у = — дорівнює -4.
а)-3; б)--ї в)-4,8; г) 8.
. 6 2
4 . Визначте кількість спільних точок графіків функцій у- —
та у = 1-х. х
а) Одна; б) дві; в) три; г) спільних точок немає.
5*. Виберіть функцію, яка є оберненою пропорційністю, коли
відомо, що при х = 3 значення функції дорівнює 12.
12
а)у = —
б) у =
36
в) У = ~
48
6*. Відомо, що графік функції у= - проходить через точку
Х(-7; 0,3). Укажіть точку, яка належить графіку цієї функції.
а)Л/(0,3;7); б) Р(-0,1; 21); в) N -6,3 к г) 8(0,5; 4,2).
І З Г
7е*. Обчисліть значення виразу
’г1, де А(Хр У'), В(х2; уг) -
2
точки перетину графіків функцій у = — і у-х-1.
х
4 4 4 4
а)-; б)—; в)-; г)-.
8 5 3 2
8**. Укажіть трійку точок, які належать графіку функції у =-.
а)А(-3;5); В(1;-15); С(1,5; 10);
б) Т(0,3; -50); О\ -2; — 1; Ь(-0,1; -150);
І 2 )
в) Р( 1; -15); О(-0,5; ЗО); Я(-0,12; 125);
г) Г(-10; 1,5); с( 12; -1 — ]; Н(-0,6; 2,5).
\ 4 у
9**. Визначте дві функції, графіки яких розташовані в І і ІП ко-
ординатних чвертях:
ЇХ _ 8 т 18-12Х 6
"(2-х)‘-(х+2)” 8-х’
$10. Функція у = —, 'и графік та властивості
16 = 36
(х+1)І-(х-1)1 У (3-х)*-(3 + х)2
4) </ =
а) 1 і 3; б) 3 і 5; в) 2 і 4; г) 3 і 4.
Вправи для повторення
217. Спростіть вираз, використовуючи властивості степеня:
\ “
2)(|х-2/] ;
І о І
25Х-5 у*
5х 7 ’
4х‘* у
2 2х 8
218. Розв’яжіть рівняння:
х’+х-б х + 3 х-4_2х + 8
11 _ —------» •!)-----—— •
х-3 х-3 х х+4
х2+х-7 х + 9 .. х + 3 2х-6
х») ------=-----; 4) -----=-----.
х-4 х-4 х х-3
219. Басейн можна наповнити водою за допомогою двох працю-
ючих труб за 3 год. Якщо б працювала кожна труба окремо,
то через другу трубу басейн можна наповнити за 8 год. За скільки
юдин зможе наповнити басейн перша труба, працюючи окремо?
220. Розв’яжіть рівняння:
1)(5-хМха-4Мх2+1) = 0; 3) (18-Зх)(81-х2Хх2+16) = 0;
2)(5-2хМха-25)(х2 + 4) = 0; 4)(18-4хХЮ0-х2Хх2+25) = 0.
221. Заповніть таблицю.
а -3,5 -2,5 -1,5 0 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5
а2
652 = (6 7) 100 + 25 = 4200 + 25 = 4225;
V 852 = (8 9) 100 + 25 = 7200 + 25 = 7225;
а52 = а(а + 1) 100 + 25.
Готуймося до тематичного оцінювання
«Стандартний вигляд числа.
, к
Функція У = ~, її графік та властивості»
• Запитання для самоконтролю о
1. Чому дорівнює степінь довільного числа, відмінного від
нуля, з нульовим показником?
2. Який дріб називається степенем з цілим від’ємним показ-
ником?
3. Які справедливі властивості для степеня (ая, а *0) з цілим
показником?
4. Який запис довільного додатного числа називається стан-
дартним виглядом цього числа?
5. Як знайти значущу частину числа?
6. Що називається порядком числа та на що він указує?
7. Як виконувати дії над числами, записаними в стандартно-
му вигляді?
8. Як називається функція у = — і яка крива е її графіком?
х к
9. Чим відрізняються функції у = кх і у - - ?
Готуймося до тематичного оцінювання
к
10. Як побудувати графік функції у - — ?
х
11. Як впливає знак числа к на розташування графіка на ко-
ординатній площині?
12. Які властивості має функція у = — ?
£ Завдання в тестовій формі о
1°. Укажіть малюнок, на якому зображено графік функції
З
Розділ І. Раціональні вирази
2е. Визначте три вирази, значення яких дорівнюють 1.
А)4а:26; Б)82:26; В)2«:83; Г) 4а :2а; Д)24:16.
3°. Запишіть число 0,0278 у стандартному вигляді.
А) 0,278 10 і; Г)2,78 10 а;
Б) 0,00278 10; Д) 278 Ю ч.
В) 0,000278 10а;
4е. Подайте вираз - а у вигляді степеня з основою а.
а а
А) а8; Б) а1; В) а 8; Г)а°; Д)а4.
5е. Обчисліть значення виразу 51в:(5*)*.
А) 5: В) 1; В) Г)±і Д)25.
а*ЬЇЛ
6°. Подайте вираз у вигляді добутку степенів з основами
а та Ь. а &
А) а,вЬ7; Б)Ь7а8; В)а'8д7; Г)а8Ь’7; ДУа^Ь'7,
о 8
7 . Виберіть точку, через яку проходить графік функції у =—.
* х
А)М(4;2); Б) К(-2; 4); В)^-1;-8); Г)2(-4;-2); Д)Р(2;4).
8°. Укажіть функцію, графіком якої є гіпербола.
А)»--; Б) У = -І В)!/ = 7х; Г)»=х-7; Д)у = 7-х.
7 х
9°. Ідентифікуйте вирази (А-Д) та (1 5) у вигляді рівності.
А
Б
В
Г
Д
Готуймося до тематичного оцінювання
10°. Доберіть до кожного числа (А-Д) його запис у стандартному
вигляді (1-5).
А) 6 250000; 1)6,25 10е;
Б) 6250; 2)6,25 10 і;
В) 62,5; 3)6,25 10 4;
Г) 0,625; 4)6,25 10;
Д) 0,000625. 5)6,25 10е.
11*. Обчисліть значення виразу 3® 3 а (3“* )*.
А) і; Б) 9; В) Г)3; Д) 1.
V о %
12*. Виберіть функцію, графік якої проходить через точку
м(1; -12|
А) ; В) Д) у = --.
X XX
0,25 4
Б)|/ =-; Г) у =—;
х х
ІЗ*. Виберіть дві точки, через які проходить графік функції
12
У*-----.
X
А) М(6; 2); В) Р(-4; -3); Д) £(-8; -1.5).
Б) К(-3; 4); ПО(-О,5;24);
14*. Подайте число 0,0361 101в у стандартному вигляді.
А) 0,361 1017; Г)3,61 1020;
Б) 0,361 1019; Д)361 1014.
В) 3,61 Ю1®;
15*. Утворіть між виразами (А-Д) та (1-5) правильні рівності.
А)25 5 ®; 1)125;
Б) 5‘2 54; 2)5;
В)(51)’ 5‘; 3)|;
5
г)(5*)’*.5; 4)±;
Д)(5*1)<5а. 5)25.
А
Б
В
Г
д
Розділ [. Раціональні вирази
16*. Знайдіть значення к, коли відомо, що графік функції у = —
проходить через точку
5
А)* = -7і Б)Л = -1О: В)*=~; Г)* = -1; Д)
5 2 0
17*. Ідентифікуйте вимірювання довжини в сантиметрах і кіло-
метрах.
А) 2,75 10*см; 1) 2,75 10 Зкм;
Б) 275 104см; 2) 2,75 10 2 км;
В) 0,275 103см; 3) 2,75 10 і км;
Г) 0,0275 105см; 4)2,75 10 км;
Д) 0.000275 10* см. 5) 2,75 103км.
А Б В Г і Д
18*. Ідентифікуйте вимірювання маси у кілограмах і грамах.
А) 4,75 10'5кг; 1)4,75 102г;
Б) 47,5 10 кг; 2)4,75 10 2г;
В) 0,475 • 10"3кг; 3)4,75 105г;
Г) 0,00475 102кг; 4)4,75-10 1 г;
Д) 0,0000475 10е кг. 5)4,75 107г.
19е. Виконайте множення (4,5 10 3)-(5,2 10 5), записуючи резуль-
тат у стандартному вигляді.
А) 23,4 1014; В) 2,34 10"7; Д) 2,34 10і®.
Б) 23,4 10 ®; Г) 2,34 10 е;
20е. Доберіть до кожної точки (А-Д) відповідну формулу
оберненої пропорційності (1-5), коли відомо, що її графік
проходить через цю точку.
А) Р 4; - ;
\ $ /
Б)Р 2-;П
І3 5 г
В) н(--3;
2 9
Г) Я(-25; -0,2);
д
Б
В
Г
Д
Д)т[і; 16
І 4
Готуймося до тематичного оцінювання
21е*. Подайте вираз 27-З'4 - (З 1 ) «812 у вигляді степеня з осно-
вою 3.
А) З-1; Б) З'2; В) З-3; Г) З8; Д) З8.
22**. Знайдіть значення виразу
162
А) О: Б) її5 В) г) 7і
8 1Ь 4
23**. Знайдіть значення виразу О,О4а"2Ьч •25а35"3, коли відомо,
що а = -0,125, Ь = 16.
А) -200; Б) -20; В) -2; Г) -
24**. Доберіть парами рівні вирази.
Ґ Д,2-
Б)|?а ‘Ьа
4
1)
7а*
2) —;
зь
В)[-а2Ь’
5
„-3
ґ 5
Г) -а'Ь
7
ІЬ1
3) £7’
□а
. 16а2Ьв
4)
5)
9
125а
8д”
25**. Знайдіть масу залізної плити (форми прямокутного парале-
лепіпеда), розміри якої 1,8 10’1 м, 5 10"2 м і 2,5 10ч м, якщо
густина заліза становить 7,8 • 10і1 кг/м3.
А) 1,755 •103г; В) 1,755 10* г; Д) 1,755 10 г.
В) 1,755 104г; Г) 1,755 КЯг;
26е*. Подайте вираз
Дробу.
( Ь* ї
—- у вигляді
В)6>’
М „в
Г)^: Д)т
**. Зведіть вираз (0,4а ЯЬ ') (0,5а *Ь л ) до вигляду к а"Ьт,
де а, т - цілі числа.
А)И5в-и6'.; В)^а;
Розділ Т. Раціональні вирази
Г) —а Vа
16
Д) ’бЛ
2
28 . Установіть відповідність між часом і та відповідною відстан-
ню в, коли відомо, що швидкість світла дорівнює 3 - 10б км/с.
А) ґ= 0,28 • 10®с;
Б) ґ = 0,028 10*с;
В)/= 2,8-107с;
Г)і = 28-10®с;
Д)Г = 280 10»с.
1) я = 8,4 1012 км;
2)я = 8,4 10й км;
3)« = 8,4 101вкм;
4) в = 8,4 1010км;
5)в = 8,4 10* км.
А Б В Г Д
29**. Обчисліть значення виразу А/ =/(-5) + /(-4) /(1) - /(3),
• <
х + 2, якщо -б^хсі.
якщо функція / має вигляд /(х) =
З
—, якщо 1 $х 3.
х
77 37
А)-—; Б)"^; В)"14; Г)“4ї Д)“10-
ЗО**. Знайдіть площу прямокутника, утвореного при послідов-
ному сполученні точок перетину прямих у = 5 та у = -5 та
20 20
графіків функцій у = -— тау= — • (Скористайтеся схема-
тичним малюнком побудови графіків функцій і прямих.)
А) 80; Б) 160; В) 32; Г) 90; Д)64.
Алгебраїчна скринька
7/ 7 — І
Розділ І. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ
Дії з раціональними дробами
а , с ад ±Ьс . л ,
- ± - =-----, Ь * 0, д * 0;
ь а м
(V п
а ) а . л
= —, Ь*0, де
Ь) Ьа
п - ціле число
а с ас
• —*•“ зз _
ь а ьа
Ь * 0, * 0;
£:£ = ^,Є>#0,с*0,</#0
ь а ьс
Дріб дорівнює нулю, якщо
чисельник дорівнює нулю,
а знаменник відмінний від нуля
Функція у = —, Л*0, х#0 (обернена пропорційність)
к <0
*>0 У
х#0,
х = 0 - вертикальна
асимптота (вісь Оу),
Е(у):у^О,
у = 0 - горизонтальна
асимптота (вісь Ох).
Графіком функції у = — (к * 0, х # 0) є гіпербола
Опрацювавши цей розділ,
ви будете знати:
який вигляд мас графік функції у- х2 та як його
побудувати;
як розв’язувати рівняння графічним способом;
які числа називаються квадратним коренем;
чим відрізняється квадратний корінь від
арифметичного квадратного кореня;
які числа називаються Ірраціональними;
які властивості має арифметичний квадратний
корінь;
як виносити множник з-під знака кореня;
як вносити множник під знак кореня;
як здійснювати перетворення виразів, що містять
квадратні корені;
як звільнитися від ірраціональності у знаменнику
або чисельнику дробу;
який вигляд має графік функції у = та як його
побудувати;
як порівнювати Ірраціональні числа.
Рое^Ол 00
*
Квадратні ||
Жкорені.^
Дійсні .числадії
§11.
ФУНКЦІЯ у = х2 ТА її ГРАФІК
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
який вигляд має графік функції у = х2-,
• як побудувати графік функції у = х2;
• які властивості має функція у-х2.
Розглянемо практичне завдання, в якому треба знайти пло-
щу квадрата (5), якщо відома довжина його сторони (а). Оче-
видно, що кожному значенню сторони квадрата а відповідати-
ме єдине значення його площі 3. Таку залежність площі
квадрата 5 від його сторони а можна виразити за допомогою
формули: 5 = а2 (а > 0). Це, фактично, функціональна залеж-
ність між змінними а і 5, де а - незалежна змінна, а 8 - залежна
змінна.
Якщо незалежну змінну позначити через х, а залежну -
через у, то отримаємо формулу: у = х2, яка є також функ-
ціональною залежністю, але не накладає обмежень на незалеж-
ну змінну х (х2 - одночлен, який має зміст при довільних зна-
ченнях х).
Для побудови графіка функції у = х2 складаємо таблицю зна-
чень х та у:
X -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
У 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
Позначаємо точки (х; у), координати яких подано в таблиці,
на координатній площині (мал. 4, а). Зауважимо, що, вибравши
менший «крок», таблиця міститиме більше значень, а точки
розмістяться густіше, як показано на малюнку 4, б.
Зменшуючи «крок» та позначаючи відповідні точки (х; у) на
координатній площині, дістаємо графік функції - неперервну
криву лінію (мал. 5). Цю криву називають параболою. Вона має
дві нескінченні гілки, які плавно сходяться в одній точці з ко-
ординатами (0; 0) - вершині параболи.
Мал. 4
Мал. 5
За побудованим графіком
(мал. 5) легко визначити власти-
вості функції у = х2:
1) якщо х = 0, то у = 0 (графік
проходить через початок коорди-
нат);
2) при будь-яких значеннях х
значення у будуть невід’ємними,
тобто х2 > 0, звідси у > 0 (графік
функції у - х2 розміщений у І та
II координатних чвертях, тобто
нижче осі Ох графік точок не має);
3) протилежним значенням аргументу відповідають одна-
кові значення функції (див. таблицю), тому дві гілки параболи
відображаються, як у дзеркалі, відносно осі Ор;
4) якщо х < 0, то при збільшенні значення х зменшується
значення у (мал. 6, а), а якщо х > 0, то при збільшенні х збіль-
шується у (мал. 6, б).
Мал. 6
Вправи для закріплення
223°. Складіть таблицю значень функції у = х2:
1) для ОС х< 4 з кроком 1; 3) для -З < х < 0 з кроком 0,5;
2) для -2<х< 2 з кроком 0,5; 4) для 4 < х < 4 з кроком 1.
224°. Побудуйте графік функції у = х2для -2 < х < 3 з кроком
0,5. Користуючись цим графіком, знайдіть значення:
1) функції, якщо значення аргументу дорівнює: -2; -1; 1; 2;
2) аргументу, якщо значення функції дорівнює: 9; 4; 2; 1; 0.
225°. Визначте, чи проходить графік функції у - х2 через точку:
1)А(0; 1); 3)Я(2,5;5); 5)М(-1,4; 1,96).
2)В(-2;4); 4) С(-1,7;-2,89);
226°. Визначте, чи належить графіку функції у = х2 точка:
А(-1; 1); М ;
3 6
( 1.±ї п|'1.±ї. рС1._16ї
І 5’ 10)' (б* 25)’ ( 9’ 81/
227*. Використовуючи властивості функції у = х2, порівняйте
значення функції при вказаних значеннях аргументу:
1) і/(-1) та у(1); 3) у(0) та у(-5У, 5) у(-5) та у(-ЗУ,
2) у|-|)та у(0,5); 4) іД-9) та у(1); 6) у(2) та у(6,3).
228*. Знайдіть значення к, при яких графіку функції у = х2 буде
належати точка:
1)А(*;4); 3)С(2Л;4); 5) N(4; 2А); 7) Д(О,1Л; 0,25);
2)М(Л;1); 4)Р(ІЛ;9І 6) 1,(9; Зк); 8)И-;9Л
2 ) ^7
229*. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій
у = х2 та у = -х2. Зробіть висновок про взаємне розміщення
графіків цих функцій.
230**. Побудуйте різними кольорами графіки функцій у = Іх|2 та
у = —|х|2 в одній системі координат. Зробіть висновок про взаємне
розміщення цих графіків.
д
231**. Побудуйте графік функції у = х2 та прямі у = 1, у = —.
4
Знайдіть значення х, для яких точки параболи розміщені між
даними прямими.
232**. Побудуйте графік функції у = х2 та прямі у = -, у = 4.
Знайдіть значення х, для яких точки параболи розміщені між
даними прямими.
233**. Побудуйте графік функції у = х2 та прямі х - -3, х = - 0,5.
Знайдіть значення у, для яких точки параболи розміщені між
даними прямими.
Вправи для самооцінювання
1°. Виберіть назву кривої, яка е графіком функції у = х2.
а) Пряма; б) гіпербола; в) ламана; г) парабола.
2°. Ідентифікуйте до кожного значення аргументу відповідне
зпачепня функції, якщо функцію задано формулою у = х2.
а)х=-2; 1)0;
б)х = -1; 2)9;
в)х = 0; 3)1;
г) х = 3. 4) 4.
3е. Знайдіть значення аргументу для функції у = х2, якщо зна-
чення функції дорівнює 16.
а) ±16; б) ±8; в) ±4; г)±2.
4*. Укажіть точку, через яку проходить графік функції у = х2.
а)М(-4;8); б)л[-11;1^
Л У
ЮСИ-;
І
5; -25).
5*. Визначте область значень функції у - х2, якщо - х £
4 - ' 3 5
25
9’
в)
6 ' '10’
10 б’
14
— у < —.
9 У 25
6*. Визначте точку, яка належить графіку функції у = х2 при к = 3.
а) М(2*; -36); б)р(і*;2І|; в) 9(6; -12*); г) Ж-1; З*).
V2 4 )
7**. Визначте правильну нерівність, коли відомо, що функцію
задано формулою г/(х) = х2.
. ( П Г ч (1) Г2)
б) И-7,1) < «(-в); г) у(-4.5) < И4).
8е*. Визначте, користуючись графіком функції у- х2, пару пря-
мих, які відтинають на параболі точки, абсциси яких задо-
1
вольняють умову - < х < 3:
2)|/=і; 3)у=3; 4)!/=9.
а) 1 і 3; б) 2 і 3; в) 1 і 4; г) 2 і 4.
9**. Знайдіть значення х, для яких точки параболи у = х2 розмі-
1
щені між прямими у = — та у = 9.
а)-9<х<-- та |<х<9; в)—-<х<і та -9<х<9;
4 4 4 4
б)-3<х<-- та -<х<3; г)--<х<- та -3<х<3.
2 2 ’ 2 2
Вправи для повторення
234. Скоротіть дріб:
1)<-д-ь),; (а+5)’ 3) -т2 +8т-16 /п2-16 ’
(~Х~У) 4) 25-р2 -рг-10р-25
235. Функцію задано формулою у-—. Знайдіть число к, коли
відомо, що графік функції проходить через точку:
1) М(0,25; -64); 3) Р(-0,5; -16);
2) /С(-0,5; 32); 4) О(-0,4; -20).
236. Складіть математичну модель до розв’язку задачі.
Із міста А в місто В, відстань між якими дорівнює 600 км, ви-
йшов пасажирський поїзд зі швидкістю 60 км/год, а через 3 год
назустріч йому з міста В вирушив товарний поїзд зі швидкістю
V км/год. Поїзди зустрілися через і год після виходу пасажирсь-
кого поїзда з міста А. Знайдіть швидкість товарного поїзда.
237. Побудуйте графік функції:
1)У =
16
X
2)!/ =
16
9
X
20
3)У = —
20
4)!/ =----
1 лс
§11- Функція у-х2 та Ті графік
За побудованим графіком знайдіть:
а) значення функції, якщо зна-
чення аргументу дорівнює 4;
б) значення аргументу, при яко-
му значення функції дорівнює 1;
в) які з точок М, К, Р, Ф належать
графіку цієї функції, якщо
ЛЛ-15;--); ЯІ-12;-\
к 3) І 3 ]
ЖЛ При побудові си-
’ЖгУ стеми координат
інколи зручніше
вибирати одиничні від-
різки, пристосовуючись
до умови. Так, у завдан-
нях 1) та 2) зручно 2 клі-
тинками позначити 4
одиничні відрізки, а у
3) та 4) - 2 клітинками
5 одиничних відрізків.
238. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:
1) у = 2x4-1 та у = 2х-4; 2)у = Зх + 2 та у = -3x4- 2.
За побудованими графіками визначте кількість спільних то-
чок. Чи можуть графіки мати безліч спільних точок?
А 239. Установіть закономірність у першому випадку та
відобразіть її в другому.
Зх + у = -2,
Зу-2х = -16,
0,5х— у = 2
ІЗ З
2
З
• ГРАФІЧНИЙ СПОСІБ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
РІВНЯНЬ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
як розв’язувати рівняння графічним способом;
як застосовувати алгоритм розв’язування рів-
нянь графічним способом для нестандартних
випадків;
які переваги і недоліки у використанні графіч-
ного способу при розв’язуванні рівнянь.
У курсі алгебри ми користувалися графічним способом при
розв’язуванні систем лінійних рівнянь та визначенні спільної
точки для графіків двох функцій. Зручність цього способу поля-
гає в тому, що графічна інтерпретація надає можливість одразу
зробити висновок про кількість розв’язків системи рівнянь чи
кількість спільних точок графіків функцій.
При розв’язуванні раціональних рівнянь аналітичним спо-
собом, у більшості випадків, ми зводимо їх до простіших за
допомогою рівносильних перетворень. Проте окремі рівняння
х2 =-—, х1 =—, х2 = —зводяться до таких рівнянь х3 =-4.x3 =6,
х х Зх
. 2
х = - , які ми ще не вміємо розв’язувати аналітичним способом.
З
Тому в нагоді стає графічний спосіб розв’язування рівнянь. Та-
ким чином, рівняння ((х) = §(х) можна розв’язувати графічним
способом. Для цього:
1) вводять дві функції: у = ((х) - функція, що визначається
лівою частиною рівняння, і у = £(х) - функція, що визначаєть-
ся правою частиною рівняння;
2) будують графіки функцій у = ((х) і у = &(х) в одній системі
координат і встановлюють координати їхніх спільних точок
(практично шукають розв’язки системи
»=/(*)•
графічним
способом);
3) визначають абсциси точок перетину графіків, які є
розв’язками рівняння ((х) = #(х).
Приклад 1. Визначте кількість коренів рівняння:
1)х’=—; 2)х’=2х + 3; 3)- = -х+1.
§12. Графічний спосіб розв’язування рівнянь
Розв’язання
Зображуємо схематично в
одній системі координат ес-
кізи графіків відповідних
2) у = хг та у = 2х + 3.
Відповідь. Рівняння коренів
не має.
Як.
Використовуємо графічний
спосіб розв’язування рівнянь.
1) Для цього вводимо дві функ-
ції: у = х2 та у = —. Графіком
х
функції у = х2 є парабола, яка
розміщена у І та II координат-
них чвертях. Графіком функції
18 . -
у = — є гіпербола, яка розміще-
на у І та III координатних
чвертях.
Таким чином, парабола пе-
ретинається з гіперболою в
точці, що розміщена в І коор-
динатній чверті.
2) Уводимо дві функції у = х2
та у = 2х + 3. Графіком функції
у = х2 є парабола, яка розміщена
в І та II координатних чвертях.
Графіком функції у = 2х 4- 3 є
пряма, яка перетинає осі коор-
динат в точках (-1,5; 0) і (0; 3).
Таким чином, пряма перети-
нає параболу у двох точках, які
розміщені у І та II координатних
чвертях.
2
3) Уводимо дві функції У = —
X
та у = —х + 1. Графіком функції
2
у = — є гіпербола, яка розміщена
х
у І та III координатних чвертях.
Графіком функції у = -х + 1 є
пряма, яка перетинає осі коор-
динат у точках (1; 0) і (0; 1), але
не перетинає гіперболу в жод-
ній точці.
^АіОеіха
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння х* =
Розв’язання
Розв’яжемо систему рівнянь
|/=х%
’ 4 графічним способом.
Для побудови графіків у = х2
4
та у = — складаємо таблиці:
х
Графіком рівняння у=хгє
парабола, а графіком рівняння
у = — є гіпербола. Таким чином,
X
маємо графічну інтерпретацію
Як
Використовуємо графіч-
ний спосіб розв’язування
рівнянь. Уводимо дві функ-
, 4
ції: у»хг та у = —.
х
Далі завдання змінюється
на: знайдіть абсциси точок
перетину графіків обох функ-
цій. Це означає, що треба в
одній системі координат по-
будувати два графіки функ-
цій: у = х2 та х2 =—, а це
х
рівносильно завданню: роз-
в’яжіть систему рівнянь
У = х2,
< 4 графічним способом.
Будуючи графіки обох
функцій в одній системі ко-
ординат, отримуємо спільну
точку, абсциса якої є розв’яз-
ком заданого рівняння.
Отже, х0 «-1,6 - розв’язок
заданого рівняння.
звідки х0»-1,6.
Відповідь. х0 ««-1,6.
§ 12. Графічний спосіб розв'язування рівнянь
У прикладі 2 корінь рівняння знайдено наближено. Перевір-
4 4 40 5
ка показує,що х2 » (~1,6)2 = 2,56, а — = —ТТя7^в « =2,5-
X —1,0 1О б
Оскільки 2,56*2,50, але вони близькі між собою, то корінь
-1,6 вважають наближеним. Якщо ж при перевірці утворю-
ється правильна рівність, то такий корінь є точним. Наприк-
2 8 о
лад, для рівняння х =— точним коренем є х0 = -2.
2 8
І? Розв’яжіть рівняння х =— графічним способом і визнач*
• * те точність кореня.
Зауваження. 1) Перевага графічного способу над іншими
полягає в тому, що він є наочним, завдяки чому можна одразу
визначити кількість коренів рівняння (кількість точок перети-
ну) або показати, що їх немає.
2) Недоліком графічного способу є те, що визначення ко-
ренів рівняння у більшості випадків є неточним в силу прак-
тичної неможливості виконання абсолютно точних побудов.
Тому для підтвердження або перевірки точності знайденого
значення кореня необхідно виконувати аналітичну перевірку.
3) Якщо задане рівняння є незручним для введення двох
функцій, то, використовуючи рівносильні перетворення, його
зводять до вигляду ((х) = #(х).
Вправи для закріплення
240е. Визначте, користуючись малюнком, абсциси точок пере-
тину графіків:
242°. 1)х2=5; 2) х2 =9; 3)х2=-4; 4)х2 = 1.
243°. Визначте, не виконуючи побудови, кількість коренів рів-
няння:
1)х2 = 100; 2)х2 = 196; 8)х2=-49; 4)х2=-16.
244°. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:
1) у = ха та у - х; 3) у = х2 та у = Зх;
2) у = х2 та у = -2х; 4) у = х2 та у - -х.
245°. Знайдіть розв’язки рівняння графічним способом:
1)х2=4х; 2)х2=-5х; 3)х2=9х; 4)х2 = -3х.
Розв’яжіть рівняння графічним способом (246-247).
246*. 1)®»х2; 3)-|»3; 5)| = -х;
2)х2=4+х; 4)х2 = х + 6; 6)-х2 = 4-х.
247*. 1)х2= х + 1; 3)х2 + х + 3 = 0; 5)- + х = 0;
о
2)х2 = х-5; 4)-х2 4-9 - х = 0; 6)--2х = 0.
х
248*. Не виконуючи побудови (або виконуючи схематичну по-
будову графіків), визначте кількість коренів рівняння:
3)12-х = х2;
Під схематичною побу-
довою графіка функції
вважають графік, який
відображає загальний вигляд
та основні властивості функції.
§12. Графічний спосіб розв'язування рівнянь
249’". Визначте кількість коренів рівняння:
1) —+х + 1 = 0; 3)—-х1 =0;
х х
2)4 + х + х2 = 0; 4)-—-х+1=0.
250**. Розв’яжіть рівняння графічно:
1)х* + х-6=0; 3) — = х-5; 5) х2 = -;
х х
З 1
2) х2 - 4х + 3=0; 4)—х + 2 = 0; 6) х2 +- = 0.
х х
Вправи для самооцінювання
1®. Укажіть, на якому малюнку схематично зображено графічне
2°. Виберіть малюнок, на якому спільні точки графіків двох
функцій розміщені лише у II координатній чверті.
З®. Виберіть два малюнки, за якими зроблено висновок, що од-
ним із розв'язків деякого рівняння е х0 = -4.
15
4е. Визначте точку, яка є спільною для графіків функцій у = — и
4 ,
тау«-х+1.
<5
а)М(15;1); б)/С(3;5); в)О(-5;-3); г) Р
9
5*. Знайдіть кількість коренів рівняння — = -х + 1, виконавши
X
схематичну побудову відповідних графіків функцій.
а) Безліч; б) один; в) два; г) жодного.
6*. Ідентифікуйте до кожного з рівнянь його кількість коренів.
б) х2 = 2х-1;
1)0дин;
2) два;
3) жодного.
7**. Знайдіть значення виразу (х0 4-|/0)2, де (х0; у0) - спільна точ-
ка графіків функцій у = х2 та у = 2х - 1.
а)0; 6)1; в) 4; г) 9.
8е*. Знайдіть значення суми х0 + р0, де (х0; у0) — спільна точка
графіків функцій у = х2 та у = 3 - 2х, коли відомо, що коор-
динати цієї точки мають протилежні знаки.
а) 6; б)-12; в) 12; г)-6.
9**. Знайдіть значення виразу х’ -х2 + у2 -у2# де (хх; ух) та (х2; р2) -
точки перетину графіків функцій у = 12 - х та у - х2, причому
хі > х2'
а) 122; б)-122; в) 182; г)-182.
Вправи для повторення
251. Скоротіть дріб:
})2х-ух + 2у-у2,
2х2-2у2
+1 Оах-56х
-8а2^2р ;
Зха -6х3у+Зу* - бху3.
6х1 +6р2
6-12а + 2х-4аг
(4-8а)(3 + х) '
252. З формули — =-виразіть:
хуг
1)хчерезуіх; 2) у через х і х; 3)хчерезхіу.
РозділІІ. Квадратні корені. Дійсні числа
253. Чисельник звичайного дробу на 2 менший за знаменник.
Якщо чисельник збільшити па 1, а знаменник - на 3. то отри*
маємо дріб, що дорівнює даному. Знайдіть даний дріб.
254. Знайдіть суму коренів рівняння:
+ / 121+17^. ,.х’-41х 36-4ІХ.
5-і/ 5-у х-64 х-64
Ої/+53у 53у + 9 ..77х-х2 77х-81
27~і/ 27-і/ 2х-19 2х-19
255. Заповніть таблицю, якщо Я - плоіца квадрата, а - сторона
квадрата.
5, см2 25 64 100 144 196 225 256 400 625 900
а, см
§13. КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ.
АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ.
РІВНЯННЯ хг = а
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
які числа називають квадратним коренем з
невід’ємного числа;
• які числа називають арифметичним квадрат*
ним коренем з невід’ємного числа;
як користуватися знаком V і читати записи
вигляду х/т, >1т + п тощо;
• як розв’язувати довільне рівняння вигляду
х2 = а.
Розв’язуючи графічним способом рівняння вигляду х2 = а,
виділяють три випадки: 1)а > 0; 2) а = 0; 3) а < 0. Розглянемо
кожний із них:
1) при а > 0 рівняння має два розв’язки (пряма у = а перети-
нає параболу у = х2 у двох точках (мал. 7, а));
2) при а = 0 рівняння має єдиний розв’язок х = 0 (пряма
у = 0 перетинає параболу у = х2 в точці 0(0; 0) (мал. 7, б));
3) при а < 0 рівняння розв’язків не має (пряма у = а не пере-
тинає параболу у = х2 у жодній точці (мал. 7, в)).
б
Таким чином, розв’язуючи рів-
няння вигляду х2 = а (а > 0), отри-
мують два розв’язки, які є проти-
лежними числами. Наприклад,
розв’язками рівняння х2 = 9 є два
протилежні числа: 3 та -3. По-
іншому можна сказати, що числа
З та -3 е коренями рівняння х2= 9,
або квадратними коренями з чис-
ла 9.
Наприклад, квадратними коре-
нями з 16 є числа 4 і -4 (ці числа
є розв’язками рівняння х2 = 16),
а квадратними коренями зі 100 є
числа 10 і -10 (розв’язки рівняння
х2 = 100).
в
Мал. 7
Квадратним коренем з невід’ємного числа а нази-
вається таке число х, квадрат якого дорівнює а.
Чому розглядають квадратний корінь тільки з невід’єм-
ф ного числа?
Отже, завдання: знайдіть квадратний корінь з невід’ємного
числа а зводиться до пошуку розв’язків рівняння х2 = а.
Розв’язуючи рівняння х2=а (а > 0) графічним способом, ми
знаходили або точні значення коренів, або наближені, проте їх
завжди два: одне додатне число, а інше - протилежне йому,
тобто від’ємне. Так, для рівнянь: ха«0; х* = 25; ха=100;
х2 = 625 відповідними коренями будуть числа: 0; +5; ±10; ±25.
Невід’ємні числа: 0; 5; 10; 25;... виділяють окремо і називають
арифметичним квадратним коренем з числа 0; 25; 100; 625;...
Арифметичним квадратним коренем з невід’ємно*
го числа а називається таке невід’ємне число х, квад-
рат якого дорівнює а.
2 Ґ2Ї 4
$ - невід’ємне число та І ~ І = -
Арифметичний квадратний корінь має своє позначення: 4а.
Знак 7 називається знаком арифметичного квадратного коре-
ня, а вираз, який записано під знаком кореня, - підкореневим
виразом. Запис 4а читають так: «квадратний корінь за» (слово
«арифметичний» при читанні опускають). Знак V - це видо-
змінена перша буква латинського слова гадіх, що в перекладі
означає «корінь».
Наприклад:
1) 7121 =11 (11 - невід’ємне число та II2 = 121);
2) >/0,25 = 0,5 (0,5 - невід’ємне число та 0,52 = 0,25);
2
З
4) <0=0(0- невід’ємне число та О2 = 0).
Таким чином, рівність Та =х буде правильною, якщо будуть
виконуватися умови:
1) а — невід’ємне число; 2) х — невід’ємне число; 3) х2 — а.
Якщо х1 і х2 - деякі розв’язки рівняння х2 = а, то їх можна
записати так: х, = -<а,х2 = 4а для невід’ємних значень а (а > 0).
Наприклад:
1) х2 = 25 при х1 = -725, х2 = 725, або х1 = -5, х2 = 5;
2) х2 = 0,81 при х, = -70,81, ха = То,81, або х{ = -0,9, х2 = 0,9;
3) х2 = 2 при х, = -72, х2 = 42, або х1га -1,4, х2 »1,4.
Отже, якщо а є квадратом деякого числа, то рівняння х2 = а
(а > 0) матиме два точні корені, а якщо а не є квадратом числа,
то такі корені будуть наближені.
Зауваження 1. Для від'ємних значень а (а < 0) вираз Та
не має змісту, оскільки квадрат будь-якого числа є числом не-
від’ємним.
Зауваження 2. З означення арифметичного квадратного
кореня випливає:
і?
• •
Спробуйте самостійно виконати доведення тверджень за-
уваження 2.
Приклад 1. Обчисліть:
Розв’язання
5 /ЗЇ З |16 5 9^3 4
'З \25+2\ 9 3 5^2 3
= 3 + 2 = 5.
Відповідь. 5.
2) (ч/57-<47)(Л7 + <47)=
= (757)’-(747)’=57-47 = 10.
Відповідь. 10.
Як. *имс*ЛиСМ,
1) Перетворюємо кожний з
підкореневих виразів до вигля-
ду неправильного дробу (оскіль-
ки корінь із суми, наприклад
7 З + —, почленно не добуваєть-
ся!).
Обчисливши значення отри-
маних коренів та виконавши
вказані дії, отримуємо, що
значення виразу дорівнює 5.
2) Якщо позначити 757 =а,
<47 = Ь, то наш вираз набуде ви-
гляду (а - Ь)(п + 5). Отриманий
добуток дорівнює а* 2 - Ь2, звідси
(757 )2- (ТГ?)’ =57-47 = 10.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння: 1) х2 - 7 = 29; 2)81-7* = 91.
Розв’язання
1) І спосіб
х2-7 = 29,
х2 = 29 + 7, Xа = 36,
х = ± 736,
х = ±6.
II спосіб
Xа - 7 = 29, Xа = 36.
7х2 = <36,
|х| = 6,
х = ±6.
Відповідь, х = ±6.
Як. кАЖХкЛМ.
1) І спосіб
Зводимо рівняння до вигляду ха = а, де
а - число. Отримуємо х2 = 36, звідси оче-
видно, що коренями рівняння є квадратні
корені числа 36, тобто 6 і -6.
II спосіб
Як і в І способі, зводимо рівняння до
вигляду х2 = 36. Оскільки обидві частини
рівняння невід’ємні, то, добувши ариф-
метичний квадратний корінь з кожної з
них, отримуємо |х| = 6, X = ±6.
Нагадаємо, що 7х2 = |х| при будь-яких дійсних значеннях х.
Я»с
2)81-х/х=91,
/х =81-91,
Л = -ю.
Відповідь. Коренів
немає.
2) Знайдемо -Ух з рівняння як
невідомий від’ємник: 7х =81-91,
тобто \х = -10. Але згідно з означен-
ням арифметичного квадратного
кореня >/х > 0. Тому задане рівнян-
ня коренів немає.
Ще 4000 років тому вавилонські вчені вміли знаходити г~-Д
площу квадрата, якщо задано його сторону, і навпаки, сто-
рону квадрата, якщо відома його площа. Вони складали таб-
лиці квадратів чисел і квадратних коренів з чисел.
Цікавим є те, що вавилоняни використовували специфічний метод
наближеного добування квадратного кореня.
Нехай а - деяке натуральне число, з якого треба добути квад-
ратний корінь, тоді його записують у вигляді рівності:
а = Ь2 + с, де с - досить мале число у порівнянні з Ь.
Отже, \[а 4-С »Ь + —. Таким чином, використовуючи цю
формулу, можна знайти корінь квадратний з довільного додатного
числа. Наприклад. <118 = 710і 4-18 = 10 + — =10 + 0,9 = 10,9. Пере-
20
вірка: 10,92 = 118,81.
Цей метод добування кореня належить давньогрецькому вчено-
му Герону Александрійському (І ст. до н. е.). На процес уведення
самого знака кореня V пішли століття. Наприклад, європейські
математики в епоху Відродження позначали корінь латинським
словом Наді* (корінь), а потім скорочено буквою Н (звідси пішов
термін «радикал», яким прийнято називати знак кореня). Деякі
німецькі математики позначали корінь квадратний точкою, деякі -
ромбом, і значно пізніше з’явився значок V. до нього дописували
вираз, із якого знаходили квадратний корінь, а над виразом стави-
ли риску. Потім знак і риску поєднали, й утворився сучасний злак
радикала. Такий знак уперше використав у своїх працях Мішель
Ролль (1652-1719).
Вправи для закріплення
256°. Доведіть, що число:
1) 11 є арифметичним квадратним коренем з числа 121;
2) 0,2 є арифметичним квадратним коренем з числа 0,04;
3) -9 не є арифметичним квадратним коренем з числа 81;
4) 0,8 не є арифметичним квадратним коренем з числа 6,4.
257е. Доведіть, що:
1)То?25=О,5; 2)ЛОО = 2О; 3)7^96=1,4; 4Ц/90000 = 300.
258° Знайдіть значення:
1)725; 2)<36; 3)710 000; 4)714 400; 5)ТбД6; 6)Т0Л9.
259°. Обчисліть:
260°. Розв’яжіть рівняння:
1)х2=1; 3)х2=15; 5)ґ2=-4; 7)т2 = 19;
2) у2 = 144; 4)^=0; 6) у2 =-18; 8)х2 = 2.
261°. Обчисліть значення виразу:
1)725 +704; 3)70,64 +ТОЇ; 5) Т16 900-^19 600;
2)749 + 74900; 4)7900 - 7400 ; 6) <О,Ї6 - 7Ї6.
262°. Визначте, чи мас зміст вираз:
1)7П; 3)7^49; 5)7-16 4; 7)7-(-1);
2)750; 4)-Тб25; 6)Т~4 (-16); 8) 7^9.
263*. Обчисліть:
«1.^00-1.^900;
264". Знайдіть значення виразу:
1)Тх + 4/, якщо: а) х = 4, у = 32; б) х = 0,64, у = 0,36; в)х = -24,
У = 25;
2)Т9лі + 2л, якщо: а)лі = —, л = 40; б)т = 0, л = 18; в)т = —,
9 9
л = 0;
3) а + Та, якщо: а)а = 0; б) а = 16; в) а = 0,64; г) а = 3600;
4) \]а2 -Ь2, якщо: а) а = 13, Ь = 12; б) а = -5, Ь = 4; в) а = 10,
Ь=8.
265**. Визначте значення змінної, при якому буде правильною
рівність:
1)7а=10; 3)7x5 = 15; 5)Тх-7 = О; 7)ЗТх-5 = 0;
2)Тх=0,6; 4)І7х»2; 612^ = 0; 8)4Л-3 = 0.
З
266**. Знайдіть, якщо це можливо, значення змінної х, при
якому виконується рівність:
1)Тх=15; 3)7х=-19; 5)91-7х=О;
2)4-7х=0; 4)5 + 7х=0; 6)7x4-2008=0.
267е®. Розв’яжіть рівняння:
Лх2-0,01 =0,03; 4)5:/*= 20; 7)?х’4-2 = 0;
1 3
2)у2 4- 1 = 37; 5)-х’=—4; 8) 7у3 4- 175 = 0.
£
3)40-т* = -9; 6)1/’=3;
З
268**. Знайдіть корені рівняння:
1)2ТІ/-8 = 0; 3)1т’+1=6; 5)(7-х)*=0;
5
_ 9 24
2) 0,017х-1 = 0; 4)1 —х’-1 =—; 6) (2х 4-б)2 = 0.
16 25
269**. Обчисліть значення виразу:
Проаналізуйте результат і зробіть висновки.
Вправи для самооцінювання
1°. Визначте вираз, який не має змісту.
а) 7100; б) ^(-10)’; В)-7(-25) (-4); г)-7(-25) 4.
2®. Знайдіть значення змінної х, при якому 7х = 0,9.
а) 0,3; 6)0,81; в) 0,03; г)8,1.
О 1 «>• Л 1/1/1» ГГ» Л _ __
Рівняннях^ а
3°. Обчисліть значення виразу 0,1-<400 + 0,2-7Ї6ОО.
а) 80; 6)18; в) 10; г) 60.
4*. Знайдіть значення виразу \/4-2а при а = -22,5.
а) 7; 6)24,5; в) 14; г)ч28,5.
5*. Визначте, при якому значенні змінної х рівність 4ух-1 = 0
є правильною.
а)й; б)? в»ї: Г)г
6*. Обчисліть значення виразу -(\36 ) | ^(-3) І.
а)-54; 6)54; в)-324; г) 324.
7**. Виберіть правильну рівність або нерівність.
а)Т7 + >/2<3; б)77і-22 =3; в)л/7а+22 >3; г)Т7-Т2=3.
8**. Обчисліть значення виразу
а)-9; 6)11; в) 16; г)42.
Визначте, при яких значеннях змінної х має зміст вираз
а)Прих>0; 6)при0<х<1; в)прих>0; г)при0<х<1.
Вправи для повторення
270. Скоротіть дріб:
7)
с7-2с\
св-2с,;
-12 Л
2)—-,——
а* -а
-20 .
юа +30
0-1» 22
За +а
271. Знайдіть число, обернене до кореня рівняння:
5____£_в1. 3 7 10
^х-2 х-3 х’ 3^х-2 х + 2 х’
1 1 2 4 3 7
2)---+----=-----; 4)----+----= ~.
х + 1 х + 2 х + 3 х + 3 х-3 х
272. Розв’яжіть задачу за допомогою системи рівнянь.
Одна сторона прямокутника на 10 см більша за другу. Якщо
меншу сторону збільшити вдвічі, а більшу - втричі, то пери-
метр нового прямокутника дорівнюватиме 120 см. Знайдіть
сторони даного прямокутника.
273. Знайдіть значення виразу х* +Дг, коли відомо, що:
5
15
1 =10
х 3 :
24
274. Знайдіть за допомогою мікрокалькулятора наближені зна-
чення коренів рівняння (відповідь округліть до сотих):
2) (х - З)2 = 5;
3)(х+1)’ = 3;
4) (х + 2)’= 6.
Чи можливо знайти таке точне значення числа Є, щоб і2 = 2, і2 = З,
§ 14. РАЦІОНАЛЬНІ, ІРРАЦІОНАЛЬНІ,
ДІЙСНІ ЧИСЛА. ЧИСЛОВІ МНОЖИНИ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
• про етапи розвитку числа;
• як виникли числові множини;
* які числа називаються ірраціональними;
що називають множиною натуральних, цілих,
раціональних і дійсних чисел;
як визначити, до якої множини належить дане
число;
як перетворювати звичайний дріб у десятковий;
який дріб є скінченним (нескінченним) десят-
ковим періодичним (неперіодичним);
які дії визначені для кожної з множин;
як порівнювати дійсні числа.
Уявлення людини про число створювалося роками під впли-
вом потреб життя: під час лічби, вимірювапня величин, вико-
нання перших арифметичних операцій тощо. Поняття «число»
з’явилося тоді, коли люди відокремили його від реальних
об’єктів та їх властивостей.
Математика вивчає кількісні відношення і просторові форми
реального світу, для яких основним знаряддям є число.
Тому поняття «число» було й залишається одним з фундамен-
тальних понять математики.
Натуральні числа. У курсі математики ми працювали з
різними числами. Зокрема, з числами 1, 2, 3, 4,..., які викори-
стовують при лічбі, - натуральними числами. Натуральних
чисел безліч. Кожне натуральне число записують за допомогою
десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Отже, за допомогою деся-
ти цифр можна зібрати числа, які використовують при лічбі, у
деяку сукупність. Кажуть, що такі числа утворюють множину
натуральних чисел. А самі числа називають її елементами.
Поняття «множина» належить до одного з первісних попить
математики, яке не має означення. Множину можна собі уявити
як сукупність, зібрання деяких предметів, об’єднаних за певною
характеристичною властивістю, ознакою чи ознаками. Наприклад,
множина учнів окремого класу чи однієї паралелі навчального за-
кладу; множина букв алфавіту; множина точок на прямій тощо.
Предмети, з яких складається множина, називаються її елемен-
тами (наприклад, купюра номіналом 2 гри. - елемент множини
купюр грошової системи України).
10-Аідгіха
Елементи множини позначають малими буквами латинського
або грецького алфавіту, а саму множину - великими. Наприклад,
А, В, С - деякі множини, причому множина А складається з еле-
ментів а, р, у, тобто А = {а, р, у}. При цьому порядок запису еле-
ментів не мас значення. Множину, що немає жодного елемента,
називають порожньою і позначають 0.
Належність елемента даній множині позначають символом «є»,
якщо ж елемент не належить деякій множині, - символом «в».
Наприклад, запис а є А читається так: «елемент а належить мно-
жині А», або коротко: «а належить А». Запис А читається: «еле-
мент 5 (5 - дельта) не належить множині А».
Множини бувають скінченні і нескінченні. Множини учнів класу,
букв алфавіту, купюр грошових систем - скінченні, а множина точок
прямої - нескінченна.
Множину задають двома способами: 1) переліком усіх її еле-
ментів; 2) описанням характеристичної властивості її елементів.
Кажуть, що натуральні числа 1, 2, 3, ... з'явилися в зв’язку
з необхідністю підрахунку предметів, тобто з потребою
відповісти на запитання: «Скільки елементів містить дана мно-
жина?» Термін «натуральне число» походить від латинського
слова ^іига - природа. Множину натуральних чисел познача-
ють буквою N. N = {1, 2, 3, ...} - нескінченна множина. Те, що
число належить чи не належить множині натуральних чисел,
записують так: 15 є Л^, 27є.У, ОеЛГ.
Цілі числа. При додаванні і множенні натуральних чисел
завжди дістають натуральне число. Проте при їх відніманні
не завжди отримують натуральне число. Так, у результаті
віднімання (3 - 5) чи (5 - 5) отримують числа -2 і 0, які не є
натуральними.
Щоб завжди виконувалася дія віднімання, додатково ввели
від’ємні числа й число нуль. Таким чином множину натураль-
них чисел розширили до множини цілих чисел. Термін «ціле
число» походить від німецького слова 2аЛ/еп - лічити; множи-
на цілих чисел позначається буквою 2. 2 ~ {..., -5, -4, -3, -2,
-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} - нескінченна множина.
Наприклад, -834 еЛГ, однак -834 є 2; 565 є N і 565 € 2.
Таким чином, натуральні числа, протилежні їм числа і чис-
ло нуль складають множину цілих чисел 2.
Зауваження. Якщо до множини натуральних чисел
N = {1,2,3,...} приєднати число 0, то отримаємо нову множину,
яку називають множиною невід’ємних цілих чисел і записують
0 * = {0, 1, 2, 3, ...}.
Раціональні числа. При додаванні, множенні і відніманні
цілих чисел завжди отримують цілі числа. Однак під час
ділення двох цілих чисел не завжди матимемо ціле число.
Наприклад, 15:5=3, але 16 : 5 = 3 (остача 1), тобто ділення
чисел 16 і 5 неможливо виконати в множині цілих чисел. Якщо
розширити множину цілих чисел, доповнюючи її дробовими,
то в цій розширеній множині вже будуть виконуватися чотири
арифметичні дії.
Отже, унаслідок розширення поняття числа ми прийшли до
такої числової множини, в якій містяться всі цілі й дробові (до-
датні і від’ємні) числа. Її називають множиною раціональних
чисел. Термін «раціональне число» походить від латинського
слова Каііо - відношення (частка); множину раціональних чи-
сел позначають першою буквою ідентичного слова (}ооіі (ф).
Число, яке можна подати у вигляді дробу —, де т -
я
ціле число, а п - натуральне, називається раціональ-
ним числом.
Будь-яке раціональне число можна різними способами пода-
А т „ „ 1 2 10
ти у вигляді дробу —. Наприклад: 1) - = — =
п 5 10 50
2 4 20
З" 6 ЗО
.3)12 = 1?=^
12
Серед рівних дробів завжди можна вказати дріб, у якому
знаменник найменший. Такий дріб називають нескоротним.
Прикладом множини раціональних чисел є множина
А = {-25; -2; -1-; -1; 0; 4). Деякі елементи цієї множини нале-
5
жать лише множині раціональних чисел, однак є й такі, які на-
лежать також множинам цілих чи натуральних чисел. Тобто,
-1і є але -11 Є 2 і -1- Є АГ; -25 є ф, -25 є 2, але -25 й Я;
5 5 5
4еЗ, 4єИ і 4 є Я.
Перетворюючи звичайний дріб — у десятковий, використо-
л 3 7
вують дію ділення т : л. Таким чином, маємо: - = 0,6; — = -1,75;
19 5 4
- = 0,333...; -— = -0,8181....
З 11
При цьому бувають випадки, коли ділення: 1) завершується
через кілька кроків; 2) повторюється через кілька кроків; 3) пе-
ретворюється у нескінченне повторення однієї і тієї самої сукуп-
ності цифр. Те, що при діленні повторюються одні й ті самі
остачі та одні й ті самі числа в частці, називають періодичністю
дробу, а сукупність цифр, що повторюється, називають періодом
дробу. У запису періодичних десяткових дробів період пишуть
один раз, узявши його в круглі дужки:
1 9.7
;=Л(8); -£ = -0,(81); £=0,58(3).
Ці записи читають так: 0 цілих 3 у періоді; мінус 0 цілих 81
у періоді; 0 цілих 58 сотих і 3 у періоді.
Взагалі, кожний дріб — , де тє2, пможна подати
п
або у вигляді скінченного десяткового дробу, або у вигляді
нескінченного періодичного десяткового дробу.
Зауваження. Кожний скінченний десятковий дріб можна
записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового
дробу, приписуючи до нього справа нескінченну кількість
нулів (2,7 = 2,7000... = 2,7(0)).
Ірраціональні числа. Якщо за
сторону деякого квадрата АВБК
взяти діагональ квадрата зі сторо-
ною 1 см, то його площа буде вдвічі
більшою (2 см2). $АСІ1О = 1 см2, а
~ см2. Звідси довжина сторо-
ни квадрата АВйК дорівнює 42 см.
Доведемо, що число 42 не є ра-
ціональним, використовуючи спо-
сіб від супротивного.
Нехай 72 - раціональне число,
„ . т
тому його можна записати у вигляді —, де т - ціле, п - нату-
п
раль не число. Тобто 72 = —, звідси —т- = 2 і т2 = 2л2. Остання
л п2
рівність показує, що т2 ділиться без остачі на 2, тому й т
ділиться без остачі на 2 (квадрат непарного числа не може бути
числом парним). Отже, т = 2Л, тоді 4Л?2 = 2л2, звідси 2К2 - л2,
тобто л - парне. Наше припущення привело до того, що числа
т X
тіл- парні, а це суперечить припущенню, що-нескоротний
л
дріб.
Отже, не існує такого раціонального числа, квадрат якого до-
рівнює 2. Аналогічно можна довести, що не існує таких
раціональних чисел, квадрат яких би дорівнював 3; 5; 7;
8; 10; 11..
^2 = 1,4142135623..., л = 3,1415926535... Це нескінченні непе-
ріодичні десяткові дроби. їх називають ірраціональними
числами.
Нескінченні десяткові дроби можуть бути періодичними і
неперіодичними. Нескінченні періодичні десяткові дроби це
раціональні числа. Нескінченні неперіодичні десяткові дроби -
це ірраціональні числа.
Дійсні числа. Множину всіх раціональних та ірраціональних
чисел називають множиною дійсних чисел, а кожне її число -
дійсним числом. Множину дійсних чисел позначають буквою
Я, від англійського слова Яеаі, німецького Яееі - дійсний.
Прикладом множини дійсних чисел є множина В = -З, ->/3,
0, -, УЗ, 3,...}• Деякі елементи цієї множини належать лише
£ &
множині дійсних чисел, однак є й такі, які належать також мно-
жинам раціональних чисел, цілих чисел, натуральних чисел.
Г г- г г 1 1
Тобто -УЗ є Я, але -УЗ г д, -УЗ « 2, -УЗ < є Я, є (?, але
Сл £
- - і 2, -- £ АГ; 0 є Я, 0 є ф. 0 е 2, але 0 і N. Зазначимо, що число
&
З як елемент множини В належить усім відомим нам числовим
множинам: ЗєН, Зє<?, Зє2іЗєУ.
Отже, якщо розширення поняття числових множин зобра-
зити у вигляді перетину деяких кругів, то картина буде такою,
як показано на малюнку 8.
Множина дійсних чисел уміщає, в
себе множину раціональних чисел,
множина раціональних чисел - мно-
жину цілих чисел, а множина цілих
чисел - множину натуральних чисел.
Оскільки кожна точка числової
прямої визначає якесь дійсне число і,
навпаки, кожне дійсне число має
місце на числовій прямій, то кажуть,
що множина дійсних чисел Я утворює
числову пряму.
Мал. 8
Зауважимо, що числова пряма - єдина (множина всіх
Дійсних чисел), а координатних прямих існує безліч.
У практичних обчисленнях дійсні числа записують у вигляді
скінченних десяткових дробів, залишаючи після коми певну
кількість знаків (точність). Наприклад, з точністю до тисячних:
3„-3,167,
О
д-3,142.
З дійсними числами, як і з раціональними, виконують усі ариф-
метичні дії. Для цього їх записують у вигляді скінченних десят-
кових дробів з однаковою стабілізованою точністю (здійснюють
наближення з недостачею і з надлишком до тих пір, поки якомога
більше цифр будуть повторюватися (стабілізуватися), і вибирають
одне з них).
Порівнюють дійсні числа за тими самими правилами, що й
десяткові дроби.
Приклад 1. Підберіть два послідовних цілих числа, між якими
міститься ірраціональне число 755.
Розв’язання
Як, «имім\мх;м.
З означення арифметичного коре-
(755)’= 55.
ня маємо, що
55 - ціле число, яке міститься між
двома числами 49 і 64, які, у свою
чергу, є квадратами цілих чисел 7
і 8.
Приклад 2. Знайдіть довжину кола, радіус якого дорівнює 7 м.
Розв’язання
С = 2лЯ,
02- 3,14 • 7 = 43,96 (м),
С-43,96 м.
Відповідь. С " 43,96 м.
Як.
За формулою С - 2яН, де С -
довжина кола, Н - радіус кола,
виконуємо обчислення з точ-
ністю до 0,01. Тоді я =» 3,14, а
Н = 7м.
Приклад 3. Позначте на числовій прямій точки з координа-
тами: 72, -7з, 715, -у/з.
Розв’язання
д (-75). в(-7з). с(Л), о(ТЇ5).
Як. кЛЛСККЛХ
Використовуючи кальку-
лятор, знаходимо значення:
72-1,4; -Тз=-1,7; 715-
«•3,9; -78--2,8. Познача-
ємо наближено відповідні
точки на числовій прямій.
Зауваження. За допомогою числової прямої легко записати
дійсні числа у порядку зростання: -<8, —7з, >/2, <15 або в по-
рядку спадання: <Ї5, <2, <3, -<8, пам'ятаючи, що числа, які
лежать на числовій прямій правіше, більші за числа, які лежать
лівіше.
13 Доведіть самостійно, що:
1) сума двох додатних раціональних чисел є числом до-
датним;
2) коли добуток двох раціональних чисел дорівнює нулю,
то хоча б одне з них дорівнює нулю.
Ще в Стародавній Греції в гео-
метрії було зроблено відкрит-
тя значущої важливості. Суть
якого полягала в тому, що не завжди
існують відрізки, які точно можна
виміряти іншими. Наприклад, діаго-
наль квадрата і його сторона. Тобто
не завжди довжина відрізка може
бути виражена раціональним числом,
якщо за одиницю прийняти другий
відрізок. Такі відрізки назвали не
сумірними. Цей факт приписують
Піфагору (580-500 рр. до н. е.). Про-
Ріхард Дєдекінд те цЄ$ факт не гальмував розвиток
геометрії. Греками була розроблена теорія відношень, яка вра-
ховувала можливість несумірності відрізків. Вони вміли
порівнювати такі відношення за величинами, виконувати над
ними арифметичні дії - у геометричній формі. Одним словом,
греки працювали з такими відношеннями, як із числами. Проте
у них не виникало думки, що такі відношення відрізків можуть
утворювати числа. Це було пов'язано з відривом теоретичної ма-
тематики від прикладних питань. Пізніше, в працях Архімеда,
з'явилися ідеї обчислення відношень несумірних відрізків, але
не введено самої назви цих чисел. У ХУП ст. англійським уче-
ним Ісааком Ньютоном було визначено поняття «дійсного чис-
ла», а в 70-х роках XIX ст. поняття «дійсне число» було уточнено
німецькими вченими Ріхардом Дедекіндом, Георгом Кантором і
Карлом Вейєрштрассом.
ч Вправи для закріплення
276°. Заповніть таблицю, використовуючи числа: -80; -15,6;
-5; ->/47; -3,5; -21; -1; 0; 1; Л; >/7; 6,7; 7; 17 ?
7 З
Множина
натуральних чисел, N цілих чисел, 2 раціональних чисел. Ц дійсних чисел, Н
277е. Виберіть правильні твердження:
1) 12 є 5) 3,2 є (?; 9) <84 Є $; 13) 0 є В;
2)-27бИ; 6)-3е<?; 10)756 є В; 14)0еУ;
3)-109й2; 7)8,7?$; 11)-724 «2; 15)1,234єВ;
4)-96 є АГ; 8)5- є 2; 12)-7^5 є В; 16) -75 < N.
7
278°. Подайте числа у вигляді дробу з найменшим натуральним
знаменником:
19; -25; -0,7; 1,3; 2-; 5-; -З—; 5,4; -2,5.
6 3 2
279*. Подайте числа у вигляді дробу —, де т - ціле число, а п -
натуральне число: п
11; ЗІ; -2?; -5®; -0,2; -0.3; -0,4; 0.5; 0.7; 3; 5; 0.
5 7 3 6
280*. Подайте числа довільним способом у вигляді відношення
цілого числа до натурального:
І2; 2-; З—; 4 -2,3; -1,7; -15,4; -0,9; 0; 1; 64; 25-.
7 8 5 6 4
281°. Виберіть числа, які належать до множини раціональних
чисел:
-15; -ізі; -713; -7120,5; -13,5; 12,8; 0,0003; 0; 100; 725.
7
282°. Подайте число у вигляді скінченного десяткового дробу:
1)17І; 3)611; 5)5І; 7)б|;
2 5 4 8
2)-23—; 4)-2—; 6)-3—; 8)-14—.
4 8 5 25
283°. Подайте числа у вигляді нескінченного десяткового дробу,
скориставшись мікрокалькулятором:
..121914 оч 5 7 13 17 23 29
’ 3’ 3* б’ 6’ 7* 7* 33’ 33* 33’ 33’ 33* 33*
1 4 5 7 7 И 1 2 3 4 7 9
2 9’ 9’ 9’ 9’ 99’ 99’ 4 11’ 11* 11’ 11’ 11’ 11’
284°. Порівняйте числа:
3)4 і Л5;
4)3 і ЛО;
5)4 і 717;
6) 3 і>/8;
285® Розташуйте у порядку спадання числа:
1)724,726,5,717,4; 3) ^2’^15’^10’^8’^3 !
2)3.78.7б, 4.ТГЇ;
* Подайте число у вигляді нескінченного десяткового дробу:
м м 1 мі*. 1 -Ч V • * м І «а 1 м 00 і сл м • 5)1^; 7) -1-1; 125 40 6)-1^1 8)2-1. 25 16
287*. Обчисліть значення раціонального виразу:
10 5 19 7
5 4 17 8 1 29
2 3 2 3
16 3 22 7
21-3____2 3 2 а 15
} 3 4 +5’? 19’ 4) 5 1 ®’9 23*
2 3 2 3
288*. Знайдіть два послідовних цілих числа, між якими місти-
ться число:
1)723; 3)Т378; 5)-7264;
2) 7126; 4) -у 45; 6) -7932.
Порівняйте числа (289—291).
289*. 1)2,653... і 2,563...;
2)0,123... і 0,112...;
3)3,257... і 3,259...;
290*. 1) 13,56 і 13,(56);
2) -7.45 і -7,(45);
4)-15,045... і -15,145...
5)-2,411... і -2,423...;
6)-42,987... і -42,982...
3) 0,(75) і 0,2(75);
4)6,(754) і 6,5(754).
291*. 1)12,08(3) і 12,0(6); 3)47,2(6) і 47,4(6);
2)-14,7(3) і -14,8(6); 4)-36,(27) і -36,(45).
Розв’яжіть рівняння графічним способом (292-293). Відпо-
відь запишіть наближеними раціональними та точними ірраціо-
нальними числами.
292*. 1) Xа = 2,4;
293*. 1) Xа = 4,4;
2) Xа = 3,2; 3) ха = 5,6;
2)х2=7,6; 3) ха = 8,2;
4) х2 = 7,4.
4) х2 = 9,6.
Порівняйте числа (294-295).
294". 1)11 і 1,6668;
2) -0,228 і -0,2(27);
4)Тб24 і 25;
5)VIII <123 і
3) 3,(14) і я;
3) -4,8(6) і -724;
4) -6,(1) і-Т38.
295". 1) 3,(18) іТЇО;
2) 3,4(3) і 712 ;
296". Запишіть у порядку зростання числа:
297". Запишіть у порядку спадання числа:
1)Л0; зі; 31; 3,2(1); 3,(2); 3)б|; 6,2(6);6 І-; Л6; >/39;
2)4427); Лї; 4 І5; 4?І; 4) 728; 5І; ТзО; 5,3(6); 5-і.
ЗО 31 3 15
298". Запишіть у порядку зростання числа:
1) -1і; -1|; -1і; -ЛД; -ЛІЗ; -1.3(6); -1,(37);
о 7 У
2) -2І; -2,3(6); -2,(36); -у[М; -ЛЛ; -2-І; -2,36(1);
о 12
112 !-- і-----
3) -З—; -З—; -3-=-; -3,08(3); -3,0(82); -7^5; -7^6;
11 13 17
4) -7?; -7,2(6); -7,(216); -7,26(1); -7-і; -,/49Л; -Дв.
X їх
209**. Не використовуючи мікрокалькулятор, визначте, яке з
чисел більше:
2)<4+<*8 чи >/Ї2;
6) ТЇО+ТПчи ^21;
3)75 + <8 чи 713;
7) 712+ 715 чи 727;
4) + 7ГЇ чи <17;
8) 714+ <21 чи 735.
300**. Доведіть, що значення виразу € ірраціональним числом:
і)^(5-л/7)* -(Лб)': 3)^(7->/з)’ +(<з)*;
2)^(3-^)* +(Л)’; 4)^(2-^)’+(Ло)*.
ЗОЇ**. Доведіть, що значення виразу є цілим числом:
зауваженням 2 параграфа 13.
Вправи для самооцінювання
1°. Укажіть множину, усі елементи якої належать множині
раціональних чисел.
а)М = (-3,2; -2,1; -л/2;-ї; 0; 1};
б)Х = {-2,7;-1і;-1;0; 1; >/з};
в)АГ.(-3,3;-2І;-1і;0;3; я};
7 13
г)Р = {-2,3;-1і;-і; 0; 1; 2).
7 З
2 . Виберіть нескінченно періодичні дроби:
..З 7 8 7 24
П4’ 2 9’ 3)11: 4)16: $25
а) 1 і 3; б) 2 ІЗ; в) 2 і 4; г)3і5.
Розділ II. Квадратні корені. Дійсні числа
3°. Розмістіть у порядку зростання числа: 25, 3\/5, 372, 5\/2, 2ТЗ.
а) 2Тз, зТ2, 572, 2<5, зТб; в) 273. зТ2, 2<5, 5<2, ЗТІ;
б) зТ2, 2ТЗ, 275, 572, зТб; г) 2Тз, ЗТ2, 2<о, зТб, бТ2.
4". Подайте кожне раціональне число (а-г) у вигляді нескінчен-
ного десяткового періодичного дробу (1-4).
а)^; 1) 1.(45); а
9 б
б) ууі 2) 1,(48); _в_~
5 г __
в) 3) 1,(4);
о
49
г)^. 4) 1,(6).
5*. Виберіть правильну нерівність.
а) -22,41 < -22,(41); в) -14,92 < -14,(92);
б) -3,(47) < -3,47; г) -0,(17) > -0,17.
6*. Розмістіть у порядку спадання числа: 1,7; 1,(41); 72; 1і; 7з.
З
а) 1,7; 1,(41); 73; 4І-, 1|; в) 73; 1.7; 72; 1,(41); 1|;
З З
б) ТІ; 4І-, 1,7; 1,(41); 1|; г) 1.7; 73; 4І-, 1,(41); 1|.
З з
7**. Розташуйте на числовій прямій у порядку зростання чис-
лові значення виразів:
1)7(б-л/б)2 + 7(4-75)’;
2) 7(13->/5)2 + 7(12-75)’;
3)7(9-75)’+7(11-75)’;
4)7(8-75)’+7(7^75)’.
а) 1, 2,3,4; 6)2, 3, 1, 4; в)1, 4. 3. 2; г) 2, 4, 1, 3.
8**. Ідентифікуйте умову і правильну відповідь.
а) 7(3-77)’ - (Тїо)’; 1) -Л - 7;
б) ^(Ю-л/ї)’-(^3)*; 2)77+7;
в) 7(2-77)’ -(Тб)2; 3) -7- 77;
г) 7(1-7?)’+ (Л )’. 4) 7 - 7г.
ЧХ'
$ 14. Раціональні, ірраціональні, дійсні числа. Числові множини
9**. Визначте дві правильні нерівності.
( А ) Вправи для повторення
302. Спростіть вираз:
/ За + 26а \ За -1 9(9+а)
^а-9 81-18а + а2 * ) а*-81 9-а
/ За ( 10а А За-2 4(4 + д)
^а-4 16-8а+а2 ) а2-16 4-а
Г 5а 14а \ 5а4-1 З(а-З)
^а + 3 а2 4-6а 4-9] а2-9 а4-З
І 4а 17а А 4а + 3 5(а —5)
4)----------------:-------+ —------.
^а4-5 а2+10а4-25^ а2-25 а4-5
303. Доведіть, що значення виразу:
1) 8а - 47 кратне 6; 3) 27і - 9а кратне 39;
2) 2510 - 517 кратне 31; 4) 49* - 713 кратне 19.
304. Розв’яжіть задачу за допомогою системи рівнянь.
Рухаючись 7 год за течією річки і 5 год - проти течії, паро-
плав подолав 220 км. А рухаючись 5 год за течією річки і 7 год -
проти течії, він проплив 212 км. Знайдіть власну швидкість
пароплава та швидкість течії річки.
305. Порівняйте значення виразів, користуючись мікрокальку-
лятором (відповідь округліть до десятих):
306. Знайдіть значення змінної х, при яких правильна рівність:
1) 74х2-9=0; 3).|-х2-— =0;
2) >/25х2-4=0; 4). — х2 —=0.
>25 49
§15• АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ
КОРІНЬ З ДОБУТКУ І ДРОБУ.
ДОБУТОК І ЧАСТКА КВАДРАТНИХ
КОРЕНІВ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
* як знайти арифметичний квадратний корінь з
добутку;
як знайти арифметичний квадратний корінь з
Дробу;
• чому дорівнюють добуток і частка кількох
арифметичних коренів;
як знайти допустимі значення змінних, які
містяться під знаком кореня.
Користуючись означенням арифметичного квадратного коре-
ня, маємо: Уа - це таке число х[4а=х\, щох2 =а(х>0 і а>0),
тому (7а) = уа уа =хх = х -а. Отже, для будь-якого невід’єм-
ного числа а є справедливою тотожність (Уа)2 = а, якою ми вже
користувалися (див. зауваження 2 § 13). Наприклад: (\УЗ )2= 3;
(77)’= 7.
Отже, ('/а)1 = а при а > 0.
Для перетворення виразів, що містять квадратні корені,
існують ще кілька формул, які визначають або виражають
властивості арифметичних квадратних коренів (АКК).
Властивість 1. Корі ні. з добутку Для доведення досить довести Обґрунтування кроку доведення
4аЬ - 4а 4ь при а > 0, Ь > 0 Крок 1:Уа Уб^О; крок 2: (4а -4ь] = аЬ Крок 1: згідно з означенням АКК У^>о, Уоо, тому 4а ~4ь >0; крок 2: (4а 4ь)г = = (4аУ (4ьУ -аЬ
Арифметичний квадратний корінь з добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів із цих множників
Зауваження 1. Властивість 1 справедлива для довільної кількості невід'ємних множників: У^ о, о, _ а, = • У™• Уа.. пє N
Обернена властивість. •/а -у/Ь = у/аЬ, де а «* 0, Ь > 0 Щоб перемножити арифметичні квадратні корені, досить перемножити їх підкореневі ви- рази і з добутку добути квадратний корінь
Загальний випадок: хаЬ = -у'І >|, др аЬ > 0
Зауваження 2. Чи буде формула \'аЬ справедлива
при а < 0, Ь < 0? Якщо а < 0 і Ь < 0, то аЬ > 0. Тому вираз х'аЬ має
зміст, а вирази \!аі\Ь - змісту не мають. Однак ^а|, - існу-
ють і при а < 0, Ь < 0. Отже, формула
у/аЬ = справедлива, якщо а і Ь мають однаковий знак.
Наприклад: ^(-4)(-25) = ^4] *^-25| = 2 5 = 10.
Приклад 1. Обчисліть у 24 6.
Розв'язання
Відповідь. 12.
Як. «имімимбх
Розкладаємо підкореневий ви-
раз на множники так, щоб вони
були точними квадратами деяких
чисел, після чого використовуємо
властивість 1.
Зауважуємо, що \/а + Ь * Та + 7ь, -Ь # > а - хЬ.
Приклад 2. Обчисліть Тз7* -12і.
Розв’язання
Тз72 -122 = ^(37-12)(37 + 12) =
= 72549 = 725 >49 = 5 7 = 35.
Відповідь. 35.
Як.
Розкладаємо числовий ви-
раз 372- 122 на множники за
допомогою формули різниці
квадратів. Далі використо-
вуємо властивість 1.
Зауважуємо, що можна було б обчислювати значення виразу,
виконуючи спочатку піднесення до степеня, а після - знаходити
різницю, тобто 37* - 12і = 1369 - 144 = 1225. Але ці обчислення
вимагають більших зусиль через те, що спосіб розв’язування
«в лоб» не завжди є раціональним.
Властивість 2. Корінь з дробу [а _ при а > 0, Ь > 0 Для доведення досить довести Крок 1: \а 0, <Ь > 0; крок 2: — | = “ >!ь Ь / Обґрунтування кроку доведення Крок 1: згідно з означенням АКК Те > 0, 4ь >0, але д * 0; ЛЛЇ (Л)’ а (Л)’ 0
Арифметичний квадратний корінь з дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню з чисельника, поділеному на корінь із знаменника
Обернена властивість. \'а [а де а > 0, Ь > 0 Щоб знайти частку арифметичних значень квад- ратних коренів, досить знайти частку від ділення підкореневих виразів і добути з неї квадратний корінь
Загальний випадок: =Х й 1 ~Ь 1.аб>0, М0
Приклад 3. Обчисліть
Розв’язання
Як
Перетворюємо мішаний дріб
і 9 Л 25 п •
1 — у неправильний —. Далі ви-
користовуємо властивість 2.
Вправи для закріплення
Обчисліть числові значення виразів (307—312).
307°. 1) 7814; 3) 70,04 25; 5) ^0,09 1,44;
2) 725 36; 4) ^49 0,01; 6) >/1,69-2,25.
309°. 1)70,25-9’16; 3) 72500 0,16 1,96;
5) 10— —
\ 16 169
2) >/0,09 64 1600; 4)>/2,25 10000 0,01;
о 6 225
6к 3------
V 25 81
310е. 1)70,04-81-49;
2) >/36~400 0^64;
9 16
17 64
64 121
ЗИМ) 78-32; 3) 740 90; 5) >/90 6,4;
2) 798-50; 4) 720 80; 6) 72,5 14,4.
312*. 1) 775-12; 3) 74,9 360; 5) 745 80;
2) 745 125; 4) 7«,4 160; 6) 727 147.
Знайдіть значення виразів (313—314).
313*. 1) 7б’-4’; 3) 726’-24’; 5) 7з2 + 4’;
2) 713’-12’; 4) 710’-8’; 6) 7б’ + 8’.
314*. 1) 787’-12’; 3) 7з0,5*-5,5*; 5) 712’+ 5’;
2) 7101’-202; 4) >/74,5’-25,5’; 6) 7з0’+402.
Обчисліть (315-316).
зі5’л)Й й; з)ДР=
2)^2——; 4)^2- 9;
V 25 51 V 9
316*. 1)Д^; 2)ДЇ;
-і—
9 13
6) .3-1-.
\ 3 5
3) . 5- 3; 4) ./9—44.
\ З V 11
11-А^о
317*. Використовуючи властивості арифметичного квадратного
кореня і таблицю квадратів, знайдіть значення виразу:
1) 728900; 5) 7&Д6;
2) ^72 900; 6) 7^61;
3) 7260 100; 7) 711,56;
4) 71 690 000; 8) 722,09.
318*. Знайдіть значення добутку:
320*. Використовуючи калькулятор, обчисліть значення добут-
ку, округливши отриманий результат до десятих:
Х)Т7^; 3)ДТ5; «ДД?
321". Подайте вираз у вигляді добутку та вкажіть допустимі
значення змінних, що входять у вираз:
1) 75а; 3) 7100а; 5) ТаЬ; 7) 716тп;
2) 719х; 4) 7б1у; 6) у/хуі; 8) ^9ху.
322". Подайте вираз у вигляді частки та вкажіть допустимі зна-
чення змінних, що входять у вираз:
323**- Подайте вираз
1)а > 0, у > 0;
у вигляді частки коренів, якщо:
2) а < 0, у < 0.
324**. У скільки разів сторона квадрата з площею 36 дм2 біль-
ша за сторону квадрата з площею 4 см2?
325**. Відношення площ двох кругів дорівнює -, а радіус біль-
шого круга дорівнює 9 дм. Знайдіть радіус меншого круга.
Вправи для самооцінювання
Iе. Обчисліть значення виразу 7о»81 100.
а) 900; б) 0,9; в) 9; г) 90.
2е. Виберіть вираз, значення якого дорівнює 2—.
ч /б4 «Ч /Г4 Ч /<3,1 , /7 Ї2
аЧТ: б)Г9: ’Ч‘ї *3: Г,ЛЧ9-
3°. Укажіть два вирази, значення яких дорівнюють А, де 0 <А < 1.
а) 750-72; б) Тїг ТЗ; в) ^032 72; г) 7о,ОЗ«ТбГ27.
4*. Знайдіть вираз, тотожно рівний виразу 713’ + 122.
а) 13 + 12; б) 7169 + 144; в) 7(13-12)(13 + 12); г) ^(13+12)’.
5*. Визначте, у скільки разів сторона одного квадрата більша
за сторону другого, якщо їхні площі відповідно дорівнюють
0,25 см2 і 0,09 см2.
7 25 [ь 2
а) У 2-разе; б) у — раза; в) у /-раза; г)у1-раза.
9 90 V З З
6*. При яких значеннях змінних має зміст вираз ^5тгп?
а) При т > 0, п > 0; в) при п. > 0, т € Я;
б) при тп > 0; г) при п < 0, т € Я.
7**. Обчисліть значення виразу 745,8’ - 44,22.
а) 12; 6)1,2; в) 1,6; г) 16.
В**. Знайдіть радіус більшого круга, якщо радіус меншого 4 см,
а відношення їхніх площ дорівнює —.
16
а) 64 см; б) 16 см; в) 8 см; г)12см.
9**. Установіть відповідність між виразами та їхніми числовими
327. Розв’яжіть пару рівнянь:
1) ха = 3і>/х = 3;
2) ха=5і Тх=5;
3) Xа = 9іх/х=9;
4) Xа =10 і >/х =10.
328. Одна із сторін прямокутника на 4 см довша за другу.
Знайдіть довжини сторін прямокутника, якщо його периметр
дорівнює 22 см.
Обчисліть значення виразів (329-330).
329. 1) (Зї/7)’+(47з)’; 2) (5>/з)1 2 +(бТ2)2;
{16. Арифметичний квадратний корінь із степеня.
Тотожність 7оа =|а|
4) (12^)2-(8ч/з)2.
3) (юТб)2-(7>/7)’;
3) ^(10-ЛЇ)’ +^(3-ЛЇ)';
4)^11-Л7)’+^4-Л7)*.
Використайте зауваження 2 § 13.
лІЦ 331. Вставте число замість знака •?».
16. АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ
КОРІНЬ ІЗ СТЕПЕНЯ.
ТОТОЖН ЇСТЬ Та7 = |а|
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
• як добути арифметичний корінь із степеня;
як порівнювати числові значення виразів, що
містять радикали;
• як здійснювати тотожні перетворення, вико-
ристовуючи властивість кореня із степеня.
Обчислимо значення двох виразів: Тт*=>/49 = 7; ~
= >/49 = 7. У кожному з прикладів корінь із квадрата числа до-
рівнює модулю цього числа. Тобто 41і = |7| = 7 і ^(-7)2 =|-7| = 7.
7 Як довести, що ’У(-7)Ї #-7?
Таким чином, справедливою є ще одна властивість квадрат-
ного кореня.
Властивість 3. Корінь із степеня Доведення
Л*=|х| при будь-якому дійсному числі X (X € Я) І випадок: х > 0 II випадок: X < 0
За означенням квадратного кореня: V? = х, х > 0 За означенням квадратного кореня: л/х7 -х, -х > 0, або х < 0
Оскільки |х| - х при х > 0 і |х| = -х при х < 0, то формула -Ух7 = х| справедлива при будь-яких дійсних значеннях х
Приклад. Спростіть вираз: 1) <а’6; 2) ух*
Розв’язання
Як.
Оскільки а8 > 0 при будь-
якому а, то |а8| = а**. Тоді
Відповідь, а8.
2) V? =^(х8)2 = |ха|.
|х3| = х’ при х > 0;
|х*| = -ха при х < 0.
Відповідь. Xа при х > 0,
-х* при х < 0.
1) Щоб скористатися власти-
вістю 3, записуємо підкореневий
вираз у вигляді квадрата одно*
члена. Отримуємо вираз вигляду
^(а2‘) =|а2‘|,Лє2¥. Оскільки сте-
пінь з парним показником не-
від’ємний, то |а2*| = а2*, к є N.
2) Записуємо вираз ух“ у вигляді
Використовуючи власти
вість 3, маємо: х[х* =|х*|. Оскільки
вираз х3 може бути і невід’ємним,
і від’ємним, то розкриваємо мо-
дуль у кожному з цих випадків.
Вправи для закріплення
332°. Обчисліть:
1) Тб7;
2)7(-О,3)’;
3) 7(1.7)’;
4) 7(-і»)‘;
5)2 7гз7;
6) ->ІЇЄ.
5
333° Знайдіть значення виразу:
1) V? при а = 0; -22; 17; 1;
$ 16. Арифметичний квадратний корінь із степеня.
Тотожність \аг = |а|
2) з7? при х = -4; -1 0; 7;
з) -- 7/ при у=”2; 4* ®*
4
334°. Запишіть тотожність, лівою частиною якої е вираз:
1)27?; 2)725т’; 3) -7б?; - 4) -О,з7?.
Спростіть вирази (335-338).
335*. 1)7/?,т > 0; 3)б7?,с<0; 5)-7496’, і > 0;
2)7?. »<0; 4)-І7?,аСО; 6)<0.
о З V 16
336*. 1) ~$7к* при к < 0; 3) 10-^0,49р2 при р < 0;
2)7о,64х2 при х > 0; 4) -12^0,01па при п > 0.
337*. 1)7?; 3)2>/г10»Г > 0; 5)7?™;
2)77".Р<0; 4)-Тд*; 6) |7400ї18 , Г > 0.
£
338*. 1) уіт^; 3) б7—/м; 5) - 6а^;
\ 25 4
2)-Та*1; 4)-0,17900л17; 6)--Тоб200.
З
339**. Знайдіть значення кореня:
1) 710і; 3) ,/(-1)"; 5) ^(-0,2)‘ 5г;
2) \Л IЬ 4> )/НТ! 6) 7(-3)'10‘.
340**. Обчисліть:
1) ^3)*; 3) ТЇЇІ*; 5) І-ії.(-бО)*;
2> * І ] і 4) 710* 0,04’; 6) -7(-1)“ (-5)‘.
341е*. Порівняйте числа:
1) 7(-2)** і 0; 3) Л* і /(-4)';
2)-5/з*ІО: 4) -І? і
5) -V? і -^(-2)*;
342м. Розв’яжіть рівняння:
343*. Спростіть вираз:
1)при х > 3;
2)^(х + 10)’ прих<-10;
3)7х’-2х + 1 при х < 1;
4) >]а2 + 6а + 9 при а > -З;
при 6 > 5;
6)(а+ 6). —;-----тпри а + Ь < 0.
1 'Уа’ + гаЬ+Ь1
Вправи для самооцінювання
1°. Обчисліть
^0,8/.
а) 0,8; б)-0,8; в) 0,64; г)-0,64.
2°. Обчисліть значення виразу -0,1>/400у’ при у = 3.
а)-60; 6)60; в)-6; г) 6.
3°. Спростіть вираз -5х/? при с < 0.
а) -5с; б) 5с2; в) -5с2; г) 5с.
4е. Визначте вираз, значення якого дорівнює -5.
5*. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу 0,
8х/100</,в.
а)8у4; 6)8^; в) 80у®; г)80у4.
6*. Обчисліть значення кореня ^3* (-5)*.
а)-675; 6)675; в)-90; г) 90.
§ 16. Арифметичний квадратний корінь із степеня.
Тотожність у/а* =|а|
7е*. Спростіть вираз 15^0,16с12.
а) 6с®; б) 6|св|; в) 60с«; г) 60|св|.
8**. Замініть вираз -Зу^ Ь*° тотожно рівним йому при а < 0.
а)-6а,1Ь20; біба11^20; в)-9а11^°; г) Оа11^20.
9**. Виберіть два вирази, тотожно рівні виразу |аа| • Ь6 • є1004.
а) у^а6Ьігс2ООМ при с < 0; в) ^а*Ь12с2О(№ при Ь > 0;
б) 7алЬ12с200в при а > 0; г) 7а*Ь12с2ООв при а < 0.
Вправи для повторення
344. Порівняйте числа:
1) Тбб і зТГ; 3) 4>/з і 729;
2) 2713 і 748; 4) 572 і 747.
345. Доведіть тотожність:
1) [^-^1 80 -2;
І а + 4 а-4 ) 16--а2
ґа-5 а+5) 10а
І а + 5 а-5 25-а1
^а + 5 а-5 ) 4а*+100 1
а-5 а + 5 ) а2 -25 2’
(а + 4 а-4) 4а2+64 1
----+---- :------=-.
^а-4 а + 4 ) а2 -16 2
346. У першому бідоні міститься молоко, масова частка жиру
якого становить 3 %, а в другому - вершки, жирністю 18 %.
Скільки треба взяти молока і вершків, щоб отримати 15л моло-
ка з масовою часткою жиру 4 % ?
347. Спростіть вираз:
1)(7б+2)’-4>/5; 3) (>/7 + 1)г-277;
2)(^-1|’+2^; 4) (ЛЇ-1)2+2ЛЇ.
348. Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу:
§17• ВИНЕСЕННЯ МНОЖНИКА З-ПІД ЗНАКА
КОРЕНЯ. ВНЕСЕННЯ МНОЖНИКА
ПІД ЗНАК КОРЕНЯ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
* як винести множник з-під знака кореня;
• як внести множник під знак кореня;
. як порівнювати довільні ірраціональні числові
вирази.
Порівняємо значення виразів 7<2 і <97. Якщо обчислити
наближені значення цих виразів, то отримаємо:
7^2 «9,899 і <97 «9,849.
Виникає запитання: як порівняти значення цих виразів, не
виконуючи наближених обчислень?
Перетворимо вираз: 7<72 = >/7* <2 = <49 2 = <98.
Тоді залишається порівняти <98 і >/97. Очевидно, ^98 >>/97,
тому 142 >497. Указаний спосіб порівняння більш зручний та
і 17. рингсгппл МПУАПини 4-г*м/ ипилш лиулсгм. м
під знак кореня
раціональний, ніж використання наближених обчислень. Крім
того, шкільна математика намагається «обходитись» без каль-
кулятора. Використане перетворення називають внесенням
множника під знак кореня.
Для того щоб порівняти, наприклад, вирази 1275 і <288,
зручніше перетворити вираз 7288. Маємо: 7288 = 7144 2 = 1272.
Це перетворення називається винесенням множника з-під знака
кореня.
Тоді 1275 >1272, звідси 12</5 > 7288.
Отже, залежно від ситуації, виносять з-під знака кореня
множник або вносять його під знак кореня.
Приклад 1. Винесіть множник з-під знака кореня у виразі 7х^.
Розв’язання
Як.
Оскільки х9 > 0, тобто
х>0, то їх41• Тх = Х4 у/х.
Таким чином,
Відповідь, х4 *7х.
Заданий підкореневий вираз має
зміст при х* > 0 або х > 0. Подаємо
вираз х® у вигляді добутку Xе • х так,
щоб один із множників був одно-
членом парного степеня Xе = (х4).
Далі при спрощенні використову-
ємо властивості кореня квадратного
із добутку та степеня, отримуючи ви-
раз з модулем: 77= 7х”-х = 7хя- 7х =
= |х4|-7х. Розкриваючи модуль при
х > 0, маємо: 77 = х4 • 7х.
Приклад 2. Внесіть множник під знак кореня у виразі -
Розв’язання
= -1 725 7х3 =-725хя.
Відповідь. -725л1.
Як.
-5 - від’ємний множник, тому йо-
го неможливо внести під знак коре-
ня. Подаємо -5 у вигляді: -5 = -1 • 5.
Тоді маємо вираз, у якому множник
5 (5 >0) можна вносити під знак
кореня: -15- 77 = -725л’.
е) Вправи для закріплення
350°. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) <20; 3) <27; 5) <48; 7) <'363;
2) <50; 4) <300; 6) Лб2; 8) <450.
351®. Винесіть множник з-під знака кореня і спростіть отрима-
ний вираз:
1) |7б0; 3) 0,1 >/20000; 5) “7^|/
2)-і>/27; 4)-і —; 6) % <20 000.
З 2 У 9 20 х*
352° Винесіть множник з-під знака кореня:
1) >80; 3) - і <П2; 5) - — <16 900;
4 26
2) <147; 4) -0,3<Ї4 400; 6) -0,125<Ї96.
Внесіть множник під знак кореня (353-355). 353®. 1) 3>/б; 3)2>/7; 5) ІОЛ; 7) 2>/Зх; 2)7-72; 4) 5>/2; 6) бЛ; 8) 3<26.
354". 1) 5 А ®-1<Ї8; 5)2А О 1 Із 7)-0,2>/Ї0Ь;
N3 1 ооТоо] « • 4) -10>/0,05; 6) --у[Ї8у; 3 8) 0,7</200.
355®. 1) -9>/2; 3)-2>/б; 5)6 1%; 13 7)7#
2) зТЇЇ; 4) -10<5; 6) -0,2>/10х; • 8) - <27^. 3
Порівняйте значення виразів (356—357).
5) 3>/2 і 2>/3;
356®. 1) 3>/5 і <44;
3) 4<5 і >45;
2) і Т32 і 1;
4
4) -<480 і <270
6) 6<2 і 2>/б.
6)
І<98 і ->/450
7 5
§17. Винесення множника з-під знака кореня. Внесення множника
під знак кореня
358**. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) 713с2, де с<0; 3) де у >0; 5)
2) 716х5, де х>0; 4) \І28Ь20, де 6<0;
де у>0;
359**. Внесіть множник під знак кореня. Укажіть допустимі
значення змінних, які входять у вираз:
1) ту7, де т<0;
5) (т + л)7лі + п;
6) (Ь-а)\іа-Ь.
360**. Спростіть вираз:
1)
——— , де и>7;
л2-49
3)
9-м2
7 - - -, де т<-
т2 +6т + 9
_ >/25-10а + аг
2)----і-77----» де а < 5;
а2-25
4)
2,25-х2
>/х2-Зх + 2,25 ’
дех>1,5.
Вправи для самооцінювання
1*. Винесіть множник з-під знака кореня у виразі VI 12.
а)2\'28; б) 4х/7; в) -2>/28; г) -4уі7.
2е. Внесіть множник під знак кореня у виразі 0,2уЇ000.
а)>/400; б)<4; в)>/4000; г) <40.
3е. Виберіть правильну нерівність.
а)2>/5<572; б)7І5<273; в)і</20>272; г) -2^7 > -3>/3.
2 ______
4*. Винесіть множник з-під знака кореня у виразі ^128ти при
т < 0.
а)8ч/2т7; б)-872т7; в) 32&т1-, г) -3272т7.
5*. Укажіть вираз, що дорівнює -7а253.
а) 7140*5* , де Ь < 0; в) уІ49а*Ь9, де Ь < 0;
б) -714а45в . де 5 < 0; г) -уІ49а*ІЇ, де Ь< 0.
6*. Обчисліть значення виразу 72* -3а.
а)7Тб; 6)12^6; в)бх/б; г)5>/б.
Розділ II. Квадратні корені. Дійсні числа
7**. Укажіть множник, який винесли з-під знака кореня у виразі
^175х*у1*т2*, де х < 0, т >0.
а)-бх^Лп11; б)-5ху*тп; в)5ху*тп; г)5хі/чт11.
8е*. Визначте вираз, отриманий унаслідок внесення множника
під знак кореня у виразі -2ху]3ау2 при х < 0.
а) ^7ах2у2', б) -^7 ах2 у2; в) -^12ах2у2; г) у]12ах2уг.
г* у/т2-Зт + 16
9 . Спростіть вираз----------при т < 4.
а)£4 б)1. г)£і4
4-т 4-т
Вправи для повторення
361. Спростіть вираз:
4а
а + 3 а—З
а-2 а+2
а + 2 а-2
8а
12а
а2-9*
16а
а*-16
а
362. При яких значеннях змінної х не мас змісту вираз:
1)
2)
7х
х2-4х’
6х
х2 - 5х ’
3)-Д
5) .
х -2х
4) —
х + 9х
6)
?
363. Скільки грамів 3-відсоткового і скільки грамів 8-відсотко-
вого розчинів треба взяти, щоб отримати 520 г 5-відсоткового
розчину?
364. Знайдіть значення виразу:
1) Р?-4>/з+77 + 4^3 )2;
2) (79 + 4^-79-45/5)’;
365. Порівняйте значення виразів:
1) 2Тз і 712; 3) бТз і 775;
2) зТ2 і 718; 4) бТ2 і 772;
5) 1О73 і ТЗОО;
6) 4Тб і 796.
$ 18. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені
§18• ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ,
ЩО МІСТЯТЬ КВАДРАТНІ КОРЕНІ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
- як виконувати дії з виразами, що містять одна-
кові підкореневі вирази;
• як здійснювати перетворення виразів, що міс-
тять квадратні корені;
• як використовувати означення квадратного
кореня та означення степеня для виразів, що
містять радикали;
• як застосовувати формули скороченого мно-
ження до ірраціональних виразів;
• як звільнитися від ірраціональності у знамен-
нику чи чисельнику дробу.
Спрощуючи вирази, які містять квадратні корені, доводиться
часто використовувати низку тотожних перетворень, вивчених
у попередніх параграфах. Зокрема, винесення множника з-під
знака кореня, внесення множника під знак кореня, корінь із
добутку, частки, степеня, добуток і частку коренів тощо.
Виконуючи множення ірраціональних виразів, трапляються
випадки, коли треба помножити різницю двох ірраціональних
виразів на їх суму, тоді це відома нам формула - різниця
квадратів. Наприклад, [4а-4ь )(<а + >/ь) = (Та)’- (7ь)* = а-6 .
Так, вирази V а -4ь і 4а + 4І> називають спряже ними.
Спряженим відносно ірраціонального виразу М
називають такий вираз ЛГ, відмінний від 0, що добу-
ток М-ТУ не містить радикалів.
Таким чином, спряженим до виразу + 42 є вираз <3 - 42, а
спряженим до виразу 7з -х/2 е вираз 43 +>/2. Розглянемо кіль-
ка прикладів, при розв’язуванні яких застосовують тотожні
перетворення виразів, які містять квадратні корені.
Приклад 1. Спростіть вираз 445а - 4&0а +1245а.
Розв’язання
Як
4Ї5а - N' 800+12ч 5а =
= >ДГ5а - 716•5а +1245а =
Як
Розкладаємо кожний із підко-
реневих виразів на такі множ-
ники, щоб можна було винести
Розділ II. Квадратні корені. Дійсні числа
Продовження розв'язання прикладу 1
Я*.
= зУба-4\5а +12^5а = 1К5а.
Відповідь. ІіУба.
стільний множник з-під зна-
ка кореня. Далі отримуємо
вираз, у якому доданки ма-
ють спільний множник Уба.
Зводимо їх, як подібні додан-
ки.
Приклад 2. Виконайте множення (зУб-\/2)(зУ5+ <2
Розв’язання
= 9 5-2 = 45-2 = 43.
Відповідь. 43.
Як
Виконувати множення почленно (за
відомим правилом) нераціонально,
оскільки вирази - спряжені. Викорис-
товуючи формулу різниці квадратів,
маємо:(з75)*-(72)2 = 43.
Приклад 3. Зведіть дріб
радикала.
81
-т=г до знаменника, який не містить
Уз
Розв’язання
Як
81 81 УЗ
Уз УзУз'
.«1^=27Уз.
з
Відповідь. 27УЗ.
Використовуємо основну властивість
дробу: домножуємо чисельник і знаменник
даного дробу на УЗ. Таким чином, за озна-
ченням квадратного кореня у знаменнику
отримуємо таке число (УЗ-УЗ) = 3, що за-
довольняє умову.
Умову прикладу 3 можна сформулювати й іншим способом,
наприклад: Звільніться від ірраціональності у знаменнику
дробу.
Вправи для закріплення
366°. Спростіть вираз:
1) 7а -\!а + 5х/а;
2) -зУх + 2Ух-12Ух;
§ 18. Тотожні перетворення вирами, що містпЛІЇь квадратні корені
3) &/у-2\і'у + 7уУ, 5) 7100т -\4т -<64т;
4)79х+7їбх->/49х; 6) - ^25Ї - <8Й + 7100/.
367°. Виконайте дії:
1)750 -748+ <75; 3) 798+ <72-і <8;
2
2) 712 + <27 -7363; 4) <242 - <200 + <32.
368®. Спростіть вираз:
1) З7с + Ю7с -97с; 3) <4х + <64х -<8Їх;
2) <27а-<48о+Т75а; 4) <Ї2у-0,5<48у+ 2<108у.
роненого множення (372-373).
372е. 1) (<а-2)(<а+2);
2) (73-<5)(^ + <5);
3)(7ЇЇ-273)(273+11);
4)(277 +3<б)(з75-2<7);
373<.1)(1-Т5)(3<5 + 4);
2)(19-<з)(19+7з)-58;
3)(4<5-7Т2)(7<2 +4Тб) + 20;
Виконайте дії (369-370).
369°. 1) 75(75 - 720); 3) <24 -(<12 - <2) <3;
2) (2<24 - 5<б)-<6; 4)-<300-4<з(2<3 + <27).
370°.1) ТЗ(Т27-Т48); 3) 372(2-5<32)-2<Ї8;
2) (5<7 -<63 + 714) <7; 4) <12-(Тїб-ЗТб) -<5.
371*. Спростіть вираз:
1) (2 +ч/б)(72-5); 3}(>іЇ-Л)(Л+3>/2)-,
2) (7+2>/з)(>,'3-1); 4) (2-75+ТЇ2)(,/Ї2-ТІЇ)-7135.
Перетворіть добуток у суму, використовуючи формули СКО-
51 (9+Тг)2;
6) (1-4<3)Ж;
7)(2ТЇ0-3<2)2;
8) (47б-27з)’.
4)(3 + Т7)2-бТ7;
5)(4<6+2<Ї8)2-48<3;
6)(іТ2-І7з | + -7б.
(2 3 ) З
’ї-А^г»
374*. Залишіть вираз у вигляді добутку:
1)73 4.3:
2)77-7;
3)х + \/х;
4) а - 2 Та;
5) 712+75;
6)722-72;
дЯХ Використайте
тотожність:
а = (7а)х, д>0.
Розкладіть многочлени на множники, використовуючи фор-
мулу різниці квадратів (375-376).
375*. 1)х2-5;
2)Г2-3;
3)4т*-7;
4)10-9/;
5)т-4. де т ^0;
6) а - Ь, де а 0. Ь 0.
376*. 1)с’-2; 3)11-/;
2)5-х2; 4)7-4х2;
5) а - 9. де а 0;
6)9х2-.у, де у ^0.
377* Скоротіть дріб:
від ірраціональності у знаменниках дробів
2)^;
т + <5
Звільніться
(378-379).
380**. Виконайте дії:
1)78-(ЛО-75)75;
2)Л8-27з(2-5л/Ї2);
3)(ТЇ2 +2718) 72 - 7150;
18. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені
§
381 **• Спростіть вираз:
Скоротіть дроби (382-384).
4ліа -З
10-2Тх
х-25 *
Зх-ЗТ2
2)-?зг:
4д-9Ь
27а+3^’
775 - 2x75
4х’-15
4т + 47тл + л
4/п-л
Вправи для самооцінювання
1*. Обчисліть суму 0,27200 + 1о7&
а) 4272; 6)2272; 8)40^ г) 60Т2.
2е. Порівняйте ірраціональні вирази О,б73ОО і 5712.
а) О.бТзОО < 5712; в) О.бТзОО = 5712;
б)0,5^300 >5\Ї2; г) визначити неможливо.
\[аЬ ( Та + 7ь ).
З . Виконайте множення
а)а7ь+б7а; б) 72аЬ; в)а+Ь;
4 . Знайдіть значення виразу х2-6 при х = 1 + \5.
а)12; 6)12 + 275; в)27б; г)0.
5*. Укажіть правильну рівність.
б)2>/3-3 1 9-2>/з Л
5>/з 5’ Г 3>/б-2>/2~ 2 '
8е*. Знайдіть значення числового виразу
(42 + >/Ї8)’ -30 + (1-ч2 )* +(1 + >/2)*.
а)-в; б) -4; в) 8; г)-16.
9е*. Обчисліть 2,5 % від числа А = | л/Зл/ЗО-7 + 73\/30 +71 -3<120.
4221 4221 Л21 ч<221
а)-----; б)--------; в)--------; г)-------.
20 25 40 125
Вправи для повторення
385. Розв’яжіть рівняння:
1)(х* +3)’ -(ха +2)(ха -8) = 73;
2)(х* + 4)2 -(ха -5)(ха + 2)=70;
3) (ха + б)’ - (ха - 4) (ха + 3) = 81;
4)(ха +6)’ -(ха -7)(х’ + 1) = 115.
386. Доведіть, що:
2)<6-2 ^5 = \/5-1;
4)<12-2ЛЇ = <11-1.
387. У першому бідоні міститься молоко з масовою часткою жиру
4,8 %, а в другому - 3,3 %. Скільки треба взяти молока з кожного
бідона, щоб отримати ЗО л молока з масовою часткою жиру 4 % ?
§ і8. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені
ЗМ8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:
1)і/ = 2х+3, у = -х-1,5 та у = х;
2)у = 2х+5, у = |х-2,5 та у = х;
3)і/ = -2х + 4, у=-|х+2 та у = х;
4)// = Зх + 6, у«-х-2 та у-х.
л
389. Залежність між довжиною сторони квадрата а і його пло-
щею 5 задано формулою а = 4з. Заповніть таблицю.
5,см2 0,01 0,04 0,25 1,21 2,25 4 4,84 6,25 7,84 9 12,25
а, см
». Визначте, яке число треба записати замість знака «?».
§19.
ФУНКЦІЯ у = 4х, її ГРАФІК
ТА ВЛАСТИВОСТІ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
• як побудувати графік функції у = 4х;
які властивості має функція у = >/х; _
як використовувати властивості функції у = >[х
для порівняння ірраціональних чисел виду Та,
де а>0;
як знаходити наближені значення квадратних
коренів.
Для кожного значення площі 5 (см2) можна вказати відповід-
Не єдине значення сторони а (см) (див. № 389). Розглянувши
таблицю таких значень, приходимо до висновку, що коли пло-
ща квадрата дорівнює М см2, то його сторона дорівнюватиме
х’ТИсм, а якщо площа квадрата дорівнює 5 см2, то його сто-
рона - <5 см.
Таким чином, залежність сторони квадрата (а) від його
площі (5) можна записати у загальному вигляді: а = 48, Згідно
з означенням функції, така залежність є функціональною:
кожному допустимому значенню змінної 8 (площі квадрата)
відповідає єдине значення змінної а (довжини сторони
квадрата). Тобто незалежною змінною є 5 (площа), а залежною -
а (сторона).
Якщо ж традиційно позначити незалежну змінну через х, а
залежну - через у, то отримаємо нову формулу у~>/х, якою
задається функція. Для побудови графіка функції у = >/х та
встановлення її властивостей складемо таблицю невід'ємних
значень х та у з кроком 0,5.
х 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
У 0 0,7 1 1,2 1,4 1,6 1,7 1,9 2
Зауважимо, що не всі значення у (функції) є точними.
Позначимо точки таблиці (х; у) на координатній площині
(мал. 9, а). Якщо сполучити відкладені точки плавною лінією
Мал. 9
За формулою та побудованим графіком сформулюємо деякі
властивості функції у = 4х:
1)якщох= 0, то у = 0. Тобто точка 0(0; 0) належить графіку,
або графік функції проходить через початок координат;
§ 19. Функція у = чх. її графік та властивості
2) х>0 (оскільки для х<0 значення х/х не існує). Тобто об-
ластю визначення функції є множина невід’ємних чисел;
3) у > 0. Тобто областю значень функції є множина невід’єм-
них чисел;
4) збільшуючи значення х, збільшуються і значення у. Таким
чином, якщо х2 > хр то й х!х2 > 7^;
5) графіком функції у - 7х є ліва гілка параболи у = х2 з
початком у точці 0(0; 0), повернута на 90° вправо.
Приклад 1. Порівняйте числа: 1) 7з і 7в; 2)-72 і-1,5.
Розв’язання
Як кдесичмя&х
1)7з ? ч/8.
3>0,л/3 - існує;
8>0,75 - існує.
Оскільки 3 <8, то
З <78.
1) Користуючись графіком
функції у = 7х, знаходимо від-
повідні значення функції при
х=3 і х=8. Якщо х1=3, то
р1 = 7$» а якщо х2= 8, то у5 =
Тобто у} < уг, тому 75 < 75.
Відповідь. 73 < 78.
2)-72 ? -1,5.
2 > 0, 4І - існує.
1,5«72Л5. -1,5 = ->/2?25.
2,25>0, - існує.
|-Т2| = Т2, |-7^25| = 5/г25.
Звідси 72 < 72,25. а
значить -72 >-72,25 =-1,5.
2) Запишемо число -1,5 як
значення квадратного кореня:
-1,5 = ~72,25. Тепер порівнюємо
модулі: |-Т2|і |-72,2б|. За гра-
фіком функції у-4х маємо
72 <72,25, а за правилом по-
рівняння двох від’ємних чисел
визначаємо знак порівняння
між числами. Отже, -^2 >-1,5.
Відповідь. - 72 > -1,5.
Розділ II. Квндратні корені. Дійсні числа
Приклад 2. «Запишіть усі цілі числа, які розміщені між двома
заданими: 1) 75 і <32; 2)-<27 і -3<2.
Розв’язання
ЯьЛйьММИИь
1) <5 < <9 < Т32,
<9=3;
<5<ТЇ6<<32,
716=4;
75<725<<32,
<25=5.
Відповідь. 3;4;5.
Як. кдеслкМХМ.
1) Порівнюючи за допомогою
графіка функції у-4х, .маємо,
іцо у/5 < <32. Очевидно, що біль-
шими за <5 і меншими за 732 є
числа <6,77,..., <31. Серед них с
такі значення, для яких корінь
є точним. Це <9,716, <25.
(-<16 >
Відповідь. -5.
2) Аналогічно до завдання 1)
здійснюємо порівняння ірра-
ціональних чисел -727 і -718
(-3<2 =-718). Далі записуємо
числа, що містяться між ними:
-726, - 725,-724, ..., — 719 —і ви-
бираємо цілі значення, тобто
-<25=-5.
Вправи для закріплення
Задайте формулами залежності (391-393).
391°. 1) Площі квадрата (8) від його сторони (т);
2) довжини сторони квадрата (Л) від його площі (8).
392®. 1) Площі поверхні куба (8) від довжини його ребра (х);
2) довжини ребра куба (а) від площі його поверхні (8).
393®. 1) Радіуса круга (г) від його
площі (8);
2) діаметра круга (б/) від його
площі (8).
Формули площі
круга:
8 = кг’,8 = —.
§ 19. Функція у - <х, ії графік та алй^тиаасті
394°. Площа поверхні кулі обчислюєть-
ся за формулою 5 = 4хЯ’, де Н - радіус
кулі (мал. 10). Задайте формулою за-
лежність радіуса кулі (Я) від площі її
поверхні (5).
395е. Об’єм циліндра можна знайти за
ф< >рмулою V - кК2Н, де Я радіус основи
циліндра, Н - висота циліндра (мал. 11).
Виразіть змінну Я через V і Н.
396°. Використовуючи графік функції у = <х, знайдіть значення:
1) якщо х = 2,8; х = 5,6; х= 7,4;
2) х, якому відповідає 4х = 1,3; 4х = 2,1; 7х =2,5.
397°. Визначте, чи належить графіку функції у = 7х точка:
1)А(-3;9); 3)С(4;2); 5)Я(1;1);
2) В(9; -3); 4) М(25; -5); 6)Я(-1; -1).
398°. Виберіть серед точок С(1;-1), А'(5;25), Л/(16;4), 0(0; 0),
Ґ 9 З V .V г
РІ —; — І ті, які належать графіку функції у-\1х.
399*. За допомогою графіка функції у = 4х порівняйте числа:
ПТГіТЇЇ; 2)<6іТЗ; 3)<5іТО5; 4)70415/09.
400*. Визначте, що більше:
1)ТО5 чи 708; 3)7 чи <50; 5)1,4 чи 72;
2) Л ЧИ Д1 4Ь'1™ чи 13; 6)-Т7 чи -3.
401*. Порівняйте числа:
1)727 і ЗТЗ;
3)5 і <24;
5)0,
4)10 і ЗТЇО;
6)-8 і -ТбО.
402**. Розташуйте у порядку зростання числа:
1)6; 721; 5; 740; <35,8;
2)0,25; і;
З
Розділ II. Квадратні короні. Дійсні числа
403 •• Розташуйте у порядку спадання числа:
4
Визначте цілі числа, які розміщені на числовій прямій між
двома заданими (404-405).
404е*. 1) ч3,5 і 7б;
2)-5 і -7б;
405**. 1)7^5 і 6;
2)8 і 766;
3)7 і 770;
4)-Т&5 і 0;
3)720 і 7бО;
4)-4 і -272;
5)710 і 7110;
6)-726 і ТЇ9-
5)-717 і -712;
6)-710 і -75.
406**, Визначте, чи перетинає графік функції у = >/х пряма:
1)0=2; 3)г/ = —3; 5)у = -х-2; 7)х = -2;
2)у = 2х; 4)у = -х; 6)у = х + 5; 8)х = 4.
407**. Укажіть, які із заданих прямих перетинають графік
функції у = т/х:
1)1/=5; 8)р-і«; б)У-х-5; 7)х=2,в;
2)у = -2; 4)р = -О,8х; 6)р = -х + 1; 8)х = -2008.
Вправи для самооцінювания
1°. Задайте формулою залежність довжини ребра куба (/) від
площі його поверхні (5), якщо площа поверхні куба обчис-
люється за формулою 5=б/2.
2е. Виберіть трійку точок, що належать графіку функції у = 7х
а) 0(0; 0), М(1; 1),*(2;4); в) 0(0; 0),М(1; 1),О(9;-3);
б) 0(0; 0), М(1; 1), В(25; 5); г) 0(0; 0), М(1; 1), С(-4; 2).
3°. Виберіть правильні математичні твердження.
а)7о^>7^25: 8)709=7^3*:
6)70,04=76??; г)70?36>7О.
§19. Функція у - 7х, й графік та властивості
4* Виразіть змінну т через а і Ь, якщо а = 2ЬЬт2, де т >0, 6>0.
а)т = -^і б)т = —; в)т«--; г)т = 7а-256.
*' 5уіЬ 256 56
5*. Укажіть точку перетину графіків функцій у = уіх та у = х-2.
а)М(1; -1); б) К(2; 4); в) Р(-1; 1); г) 0(4; 2).
6а. Виберіть цілі числа, що розміщені на числовій прямій між
-710 і 78.
а) -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2; в) -2, -1, 0, 1, 2, 3;
6) -3, -2, -1, 0, 1, 2; г) -3, -2. -1, 0,1, 2, 3.
7е*. Визначте випадок, у якому розміщено числа у порядку
зростання.
а) - 718, бТз, 275, і 724; в) 275, ^724. бТз, - 718;
З 2 2 3
б)5Тз, 275, |ТЇ8, |Т24; г)|Т24, 1718, 275, бТз.
8аа. Визначте кількість розв’язків рівняння 7х = —х-1.
2
а) Два; б) один; в) жодного; г) неможливо визначити.
9аа. Знайдіть значення виразу 11-еЗТ^) ~(*о ~х«)» де х0 - роз-
в’язок рівняння 7х = — .(Розв’язок рівняння знайдіть графіч-
ним способом.)
а)17 + Т2; б)17 + зТ2; в) 37; г) 5.
Вправи для повторення
408. Спростіть вираз:
1) ^(3-2>/з)2 + ^(4-27з)’ ; 3) ^(>/Ї7-3)2 + ^(>/17-16)’;
2)^(Т-гТз)’ + ^(13-27з)!; 4)^(л/її-2)2 + ^'(ч/п-9)а.
409. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної зна-
чення виразу не залежить від ж:
Зх 2х 2х А 4х
^х2-4 6-Зх х + 2) Зх-6
9.Г 18х Зх Зх Зх
їх2-9 6-2х х + 3 І 2х-6
( X х Н3-*)’. 3
410. Вкладник поклав на два різні рахунки 10 200 грн. По од-
ному з рахунків банк виплачує 6 % річних, а по другому - 8 %
річних. Через рік вкладник отримав 716 грн. відсоткових гро-
шей. Скільки гривень він поклав на кожний рахунок?
411. Знайдіть коефіцієнт к (Л = 0) функції у- —, якщо її графік
проходить через точку: х
1)Л/(2Л2; 2Л); 2)Р|і*’;27*
і $
3)$(ІЛ; -к2ї 4)я[-Л; -Л2Ї.
Д2 8 І (4 9 )
412. Розв’яжіть рівняння:
5x4-х’ 5x4-9
10 + Х 104-х
Готуймося до тематичного оцінювання
«Квадратні корені. Дійсні числа»
• Запитання для самоконтролю о
1. Що є графіком функцій у = х2 та у = 7х і як їх будувати?
2. Які властивості мають функції у =х3 та у-\'х?
3. Який алгоритм розв’язування рівнянь графічним способом?
4. Які переваги і які недоліки графічного способу розв’язу-
вання рівнянь?
5. Чим відрізняється квадратний корінь від арифметичного
квадратного кореня з невід’ємного числа?
6. До якого рівняння зводиться знаходження квадратного
кореня з невід’ємного числа а?
7. Які числа називаються натуральними; цілими; раціональ-
ними; ірраціональними; дійсними?
8. Як порівнюють дійсні числа?
9. Які властивості має арифметичний квадратний корінь?
10. Чому під час перетворення ірраціональних виразів важ-
ливо володіти тотожністю у/а* «|а|?
11. Як порівняти числові значення виразів, що містять ра-
дикали?
12. За яким алгоритмом виносять множник з-під знака ко-
реня та вносять множник під знак кореня?
• Завдання в тестовій формі о
1°. Виберіть, користуючись графічним способом, рівняння, ко-
ренями якого є числа 2 і -2.
А)х’=2; Б)х’=—2; В)х2=4; Г)ха=-4; Д)ха=0.
2Р. Розмістіть у порядку зростання числа: 75, 2,75, 3, 75,5.
А) 75,75,75, 2, 3, 5; Г) 5, 3, 2,75, 75,75;
б) 75, 75,2,75, з, 5; д) 5, з. 75,2,75, 75.
в) 75,7з, 75,2,з,5;
3е. Виберіть вирази, значення яких рівні:
1)736 70,25; 3)7900 Тб^ї; 5)7ЇОО-7О,О4.
2) 7Ї6 72.25; 4)7100 70,64;
А) 1 і 2; Б) 1 і 3; В) 2 і 4; Г) 2 і 5; Д) 3 і 5.
Розділ 11. Квадратні корені. Дійсні числа
4°. Виберіть три вирази, що не мають змісту.
А)х/(-10)'; Б>7(-5)'; В)7С-8)(-2); Г)>/-9 16; Д)ч^64.
5°. Виберіть раціональне обчислення виразу <6 • 714 • 7ї5 • 735.
А)(Тв ТЇ4)(ТЇ5 75б) = 784 7655;
В)(76-755)(714-715) = 7510 7516;
В)(Л 715) (714• 755)« 790 7490;
Г) 7б 14 15 35 = 744 100;
Д)72 3 2 7 3 5 5 7 =72а З2 52 7*.
6°. Розмістіть у порядку спадання числа: 275, з75, 472, б75, 772.
А) 275, 475,з75,573,775; Г) 575, 772,475, 375, 275;
Б) 275, 375.475,б75.775; Д) з75, бТз, 2^3,775,475.
в) 775, бТз, зТб, 475,275;
7°. Виберіть два вирази, які спрощено правильно.
А) 75+ТЇ8 + 750 = 3875; г)ТЇ8 + 755 - 7566 = 975;
в) 775-7Ї5+75?=б7з; д) 7566-Тїов+<48=1275.
В) 7545 + 745 - 756 = 875;
8°. Визначте три правильні числові тотожності.
А)(>/5-2)(>/5 +2) = 1; Г)(>/7-<8)(Тв + >/7) = -1;
Б)(>/3-5/5)(75 + 7з) = 2; Д)(1 + >/з)(>/з-1) =-2.
В)(8->/2)(>/2+з) = 7;
9°. Визначте правильні переходи від виразу з ірраціональним
знаменником дробу до виразу, в якому звільнились від
ірраціональності в знаменнику:
гТз 2’ зТг в* 475 20’ 5 * 975 27
А) 1,3 і 5; Б) 2, 3 і 5; В) 1,3 і 4; Г) 1,4 і 5; Д) 2, 4 і 5.
10°. Виберіть таку функцію (А-В), графік якої проходив би че-
рез чотири задані точки (1~5), і таку, графік якої не прохо-
див би через жодну з них.
А)у=х’;
Б) 4/= 7*;
8
В)у=
х
1)М(-2; 4);
2)К(81; 9);
3)Р(100; 10);
4)0(1; і);
5)2(0,25; 0,5).
А
Б
В
11*. Знайдіть 3 функції, графіки яких мають одну спільну точку:
1)у = ха; 2)у = -; 3)у = 7х; 4)р = -5х; 5)у = --.
х х
А) 1,2 ІЗ; Б) 1,3 і 4; В) 2, 3 і 5; Г) 2, 4 і 5; Д) 1, 4 і 5.
12*. Укажіть вирази, значення яких е протилежними цілими
числами:
1) -л/ОЗбДТоЛЙ; 4) ІОНОЛИ-0.27100;
З 4
2) -7О25 + І70Л)4; 5) -7ОЇ6+0,1749.
5 2 4
3) 57009 -27081;
А) 1 і 3; Б) 2 ІЗ; В) 3 і 4; Г) 4 і 5; Д) 2 і 5.
ІЗ*. Визначте три правильні тотожності.
14*. Знайдіть рівносильні рівняння:
1)|х’=2,7; 3>(0,1х)’=9; 5)(0,Зх)’= 81.
О
2)5х’ =4,05; 4)(х-0,1)* = 1;
А) 1 і 3; Б)1і4; В) 2 і 4; П 2 і 5; Д) 3 і 5.
* >» •
15*. Розмістіть у порядку зростання числа: ті: >/9,2; 3,141; 3-.
А) 3 -; ^02; 3,141: я: Г)7О2; 3 тс: 3,141;
9 9
Б) зі;<'9,2; тс; 3,141; Д) >/572; 3.141; З—; тс.
9 9
В) 7^2; 3-; 3,141; п:
9
16е. Укажіть трійку правильно спрощених виразів.
1) (5>/3 -ЗТ5)(5ТЗ + з7б) = ЗО; 4) (б>/2 -4>/з)(5>/2 + 4^3) = -6;
2)(2>/3-3>/2)(з72 + 2>/з) = 2; 5) (2>/5-5>/2)(275+5>/2) = ЗО.
3) (3>/3-272)(272+з7з) = 19;
А) 1, 3 і 5; Б) 1, 2 і 4; В) 2, 3 і 5; Г) 2, 3 і 4; Д) 2, 4 і 5.
І 4 4~
17 . Знайдіть значення виразу і—=--------==—.
\3>/2-3 3-72+3
А)0; Б)^; В)^; Г)^; Д)^.
18*.Спростіть 716а96и +2аЬ\і9а Ь9 -а*Ь3ЛаЛЬь ,яюцоа > 0, 0.
А) 2а V хІаЬ (2Ь + За -аЬ); В) 12а V ТаЬ; Д) 8а‘Ь5 уад.
Б) 2а* Ь*^аЬ (2Ь + ЗаЬ - а); Г) а*Ь* у/56аЬ;
19*. Доберіть до кожного дробу рівний йому скорочений.
20*. Знайдіть рівносильні рівняння:
1)х1 = 7ЛЇ-4 • 7ЛЇ + 4; 4)х1 = >/>/бї+5;
2) Xі = уІУІЗІ-1 7737 + 1; 5) х1 = УЖ^З • V^73 + 3.
3)х’=7^53-2-7^53 + 2;
А) 1 і 3; Б) 1 і 4; В) 2 і 4; Г) 2 і 5; Д) 3 і 5.
21**. Ідентифікуйте до кожної умови (А-Д) відповідну точку
К(т; л), яка не збігається з початком координат і належить
графіку функції у = у/х.
А.)т = 7п;
Б) лі = 9л;
В) лі = —л;
Д) т = ^л.
З
1)К(81;9); 2)К(49-,7); 3)К
Г) ги = 1,5л;
22**. Розмістіть у порядку спадання числа: -я; -3-; -/9.9;
-/94; -/#4; -зі.
А)-зі; -зі; -/94; -/94: -/9,9; -я;
7 8
Б)-/94; -/94: -/94: -Ж -зі; -зі;
В)-3 і; -/94; -/9,7; -зі; -ж; -<94;
О і
Г)-/94; -З*;-я;-ЗІ;-/94;-/94;
Д)-/9Д; -/94; -З Ь -зі; -я; -/94.
23е*. Визначте вираз, значення якого е ірраціональним числом.
А) х/бі + 28-Тз + Тбї^28л/3; Г) 7?9 + 307б-779-ЗО7б;
Б)748+247з -718-24>/з; Д ) 756 + 2475 + 756-2475.
В)755+1476 + 7б5-147б;
24ф>. Утворіть із правих частин заданих функцій рівняння, роз-
в’язками якого є два числа різних знаків:
2)у = Тх; 3)у=-—; 4)у = 3х-6; 5)у = -8х-2.
А) 1 і 3; Б) 1 і 4; В) 2 і 4; Г) 3 і 5; Д) 2 і 5.
25е". Доберіть до умови залежності між змінними х та у відпо-
відну точку, яка належить графіку функції у = 7х, якщо к> 0.
А)х = Лу; Б)і/ = Лх; В)х«~; Г)і/ = ^; Д)х = Л3у.
/» г>
26м. Обчисліть ^(475 - 4)(4>/5+4) + 7б -2)(Л + 2).
А)3; Б) 272; В) 8; Г) 9; Д) <7б.
27м Спростіть вираз 1772 -7216 Д754--(7150 + 718-750).
2 2 2
А)4>/2-5>/б; В)2>/2+14ч/б; Д)ЗТ2 + 3^6.
Б)72-57б; Г) 472-776;
28е*. Укажіть вирази, значення яких є взаємно оберненими
раціональними числами:
•4^ «Шї
ЯИ <1 я
А) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 3 і 5; Г) 1 і 4; Д) 2 і 5.
30м. Визначте вираз, числове значення якого є найбільшим.
З* 0,0Ґ
0,0004
0,310 45
1,44"
|56 0,001а
Д \ 0,04
[0,2і 25і
N 0,5" ;
Алгебраїчна скринька
Розділ II. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА
Функція у = х
У
2
2-1 °
І\у): х- будь-яке число
Графік - парабола,
гілки якої симетричні
відносно осі Оу
Графічний спосіб
розв'язування рівнянь
4 і-4 - квадратні
корені з числа 16
Квадратні корені
Властивості АКК
Дійсні числа
4 - арифметичний квадратний
корінь із числа 16 (АКК).<16 = 4
, Ь * 0, аЬ 0
Множина:
“V - натуральних чисел;
цілих чисел;
® ~ раціональних чисел;
“ * дійсних чисел
6^0,
Ь2
- а , а - будь-яке число
Опрацювавши цей розділ,
ви будете знати:
які рівняння називаються квадратними;
як розрізняти види квадратних рівнянь;
яку формулу використовувати для розв'язування
квадратного рівняння;
як визначати кількість розв’язків квадратного рівняння;
/ як за коефіцієнтами квадратного рівняння знайти
добуток чи суму його коренів;
як можна підібрати корені квадратного рівняння;
як установити знаки коренів квадратного рівняння
без його розв’язування;
який вид многочлена є квадратним тричленом;
як розкладати квадратний тричлен на лінійні
множники;
V як знайти корені квадратного тричлена;
V які рівняння називаються дробово-раціональними;
Г як розв’язувати дробово-раціональні рівняння;
/ які текстові задачі можна розв’язувати за допомогою
квадратного рівняння або рівняння, що зводиться до
квадратного.
Розділ III
. Крадратні
Ий РІВНЯННЯ
§ ЗО. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ.
НЕПОВНІ КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ.
ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
Опрацювавши цей параі’раф, ви будете знати:
• як визначають назву рівнянь, ліва частина
яких многочлен, а права - нуль;
• які рівняння називаються квадратними;
• які рівняння називаються неповними квад-
ратними;
• як розв’язувати неповні квадратні рівняння.
Рівняння з однією змінною, ліва частина яких многочлен, а
права - нуль, поділяють на рівняння: першого степеня
(лінійні), другого степеня (квадратні), третього (кубічні), чет-
вертого, ...» л-го степеня. Назва такого рівняння походить від
відповідного степеня ненульового многочлена лівої частини
рівняння. Навчившись розв’язувати рівняння першого степе-
ня, безумовно, хочеться працювати з іншими, зокрема з рівнян-
нями другого степеня, які по-іншому називають квадратними.
Рівняння виду ах2 + Ьх 4- с = 0, де х — змінна, а, Ь, с —
числа, причому а*0, називається квадратним.
Число а називають першим (старшим) коефіцієнтом, Ь - дру-
гим коефіцієнтом, с - вільним членом.
Квадратне рівняння, в якому хоча б один із коефіцієн-
тів (Ь або с) дорівнює нулю, називають неповним
квадратним рівнянням.
Розглянемо кожний із випадків утворення неповних квадрат-
них рівнянь та способи їх розв’язування.
1)Якщос = 0, Ь *0, то ах2 4- Ьх 4-0 = 0, тобто квадратне рівнян-
ня ах2 4- Ьх 4- с = 0 зводиться до рівняння вигляду ах2 4- Ьх = 0,
яке має два корені: 0 і —. Розв’язують такі рівняння, як пра-
ві* д
вило* розкладанням їх лівої частини на множники.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння Зх2-12х = 0.
Розв’язання
Ям. «ихяс'пХм'и.
Зха-12х = 0,
Зх(х-4)=0, | :3
х(х-4) = 0,
х = 0 або х-4 = 0,
х,=0; х, = 4.
Відповідь. 0; 4.
Розкладаємо ліву частину рівняння
на множники та використовуємо відоме
правило: А • В = 0, коли А = 0 або В = 0.
2) Якщо Ь - 0, е*0, то ах2 + 0 + с = 0, тобто квадратне рівнян-
ня ах2 + Ьх + с = 0 зводиться до рівняння вигляду ах2 + с = 0,
абох’ = — .Очевидним є те, що якщо-—<0, то рівняння не ма-
а а
с
тиме розв’язку (х2^0). Якщо ж — >0, то рівняння матиме два
___________ __ а
І с І с
корені:-./— і ./—. Розв’язують такі рівняння двома способами:
V а N а
а) розкладаючи многочлен лівої частини рівняння на множ-
ники;
б) використовуючи властивості арифметичного квадратного
кореня.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 4х2-9 = 0.
Розв’язання
4Є-9 = 0, |:4, Є-- = 0.
х-1,5 = 0 або х + 1,5 = 0,
*і=1,5; х2=-1,5.
Ям.
Ділимо обидві частини рівнян-
ня на 4 і, використовуючи фор-
мулу різниці квадратів, розкла-
даємо ліву частину рівняння па
множники, після чого отриму-
ємо добуток, який дорівнює 0,
тому кожний із множників може
дорівнювати 0.
Відповідь. ±1,5.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння -ха - 8 = 0.
2
Розв’язання
Я*,
— х’-8 = 0, | -2
2 1
х*-16 = 0,
х’=16,
7х7=7їб,
М = 4,
х = ±4.
Відповідь. ± 4.
Як.
Використовуючи властивості рівнянь
(множення обох частин рівняння на чис-
ло, відмінне від нуля, та перенесення
членів рівняння з однієї частини в іншу),
отримуємо рівняння х2= 16. Оскільки
х2^0 і 16 >0 , причому V? = |х|, а л/Ї6 =4,
то отримуємо рівняння з модулем: |х|= 4,
звідси х=±4 .
3) Якщо Ь = 0 і с = 0, то ах2 +04-0 = 0, тобто квадратне рів-
няння ах2 4- Ьх + с = 0 зводиться до рівняння вигляду ах2 = 0,
коренем якого є число 0.
Узагальнимо розв’язування неповних квадратних рівнянь
за допомогою таблиці.
ах2 + Ьх + с = 0
1)Ь*0,с = 0
ах2 4 Ьх = 0,
х(ах + Ь) = 0,
х- 0 або ах 4-6 = 0,
ах = -б,
Ь
х-—.
а
Відповідь. хх= 0,
2)Ь = 0,с*0
3)Ь=с = 0
.2-
С
тох = ±
то
рівняння
розв’язків
не має.
ах2- 0, |: а. а # 0.
Звідси х*= 0,
х= 0.
Відповідь. х = 0.
Зауваження. Квадратне рівняння може мати не більше
двох коренів.
Вправи для закріплення
414°. Чи є квадратним рівняння:
5 1
1)9.2х2-1 = О; 3)7х2— + х = 0; 5)-ха=8х;
З 7
2)5х*-6x4-12 = 0; 4)8-- = 0; 6)7х-- = 0?
х х
415°. Укажіть квадратні рівняння та назвіть їх коефіцієнти:
1)5/-12і/-і = 0; 3)7х2 4-10x4-11 = 0; 5)10х2-50 = 0;
У
2)--ха=3; 4)-9х2 +10х = 0; 6)5^4- --4=0.
2 У
416°. Зведіть рівняння до виду ах2 4- Ьх 4- с = 0:
1)(Зх-1)(х + 2) = х(х + 5);
2)(8х-1)(8х + 1) = 3(15х2-1) + Зх;
3 ) (2x4-5)’= 3(х-1)(1 + х) + 25;
4)4^х+3 ) |х-3 ] 1 = (2х + 3)*-12х.
417°. Розв’яжіть рівняння:
1)9х2-10х = 0; 3)8х24-16 = 0; 5)11х2=0;
2)-д х1 4-6х = 0; 4)-х2-3 = 0; 6)--ха + — х=0.
2 3 5 10
Розв’яжіть рівняння (418-420).
418*. 1)2х2 4-6х = 0; 3)-?ха = 0; 5)15-5ха=0;
2)1,8ха-0,6х = 0; 4)0,6х2 + 24 = 0; 6)10х + 20х* =0.
<19* • 1) (4х + 7)’ - 40х +1 = Зх (5х + 9) + 50;
2)(Зх-5)(5 + Зх) = (х-5)(х + 5)-16х;
3)(3-2х)(34-х)=9-|ха;
4)(5х + 2)(х-2)-(х-1)(х + 1) = 4х-3.
420*. 1) (х + 1)(х - 2) = 0; 3) 9х2 -1 = 0; 5) х2 = Зх;
2)х(х+0,5) = 0; 4)Зх-2х2=0; 6)х2 + 2х-3 = 2х+6.
421*. Знайдіть довжини катетів прямо*
кутного рівнобедреного трикутника, пло- аЬ. 2 ’
ща якого дорівнює 18 см2. 1 & *
422*. Знайдіть радіус круга, площа якого дорівнює 6,28 м2
(я «3,14).
423**. Роз’яжіть рівняння:
1)3(х-0,2)[х + і 1=0; 3) = 0; 5)6г’- — г = 0;
' ( 7} 3 27 10
2) 0,2х’ -1,8х = 0; 4) 1,2у* -3,6 = 0; 6) 6т -0,3т’ = 0.
424**. Знайдіть, якщо це можливо, корені рівняння:
1)(т + 9)2 = 0; 3)(л-2)2=4; 5)(х-1О)2-1 =0;
2)(у+1)2+5 = 0; 4)(у + 5)2 = 9; 6)(х + 3)’-25 = 0.
425**. Розв’яжіть рівняння:
1)(п»-1)’ = 100; 3)(х+в)’ = 1; 5)(х-0,1)2 =0,09;
2>(у + 4)*-9 = 0; 4)(»-9)2-4 = 0; 6)(у+0,7)" =1,44.
426**. Радіус одного з концентричних кіл у 2 ра-
зи більший за радіус іншого (мал. 12). Знайдіть
радіус зовнішнього кола, якщо площа кільця
становить 27я см2.
Концентричні кола мають спільний
центр.
Мал. 12
427**. Якщо від квадрата «відрізати* прямо-
кутний рівнобедрений трикутник, катет якого у 3 рази менший
за сторону квадрата, то площа частини квадрата, що залишила-
ся, дорівнюватиме 17 см2. Знайдіть периметр квадрата.
428**. Знайдіть три послідовних цілих числа, якщо добуток
найменшого та найбільшого з них на 1 менший, ніж квадрат
середнього числа. Скільки розв’язків має задача?
Вправи для самооцінювання
1®. Укажіть рівняння, яке є квадратним.
а)9х2- —+ 3 = 0; б)5х2-х’+2 = 0;
ч Ч 8
в)1х3- 18х + - =0; <’)--? = 0.
7 4 х
2е. Використовуючи формулу загального вигляду* квадратного
рівняння, укажіть коефіцієнти рівняння 34х + 5х2-22 = 0.
а)а-5, 6 = 34, с = -22; в)а = 34, 6 = 5, с = -22;
б) а = -22, 6 = 34, с = 5; г)а = 34, Ь=-22, с = 5.
3°, Виберіть корені рівняння Xі - Юх = 0.
а) ±0,1; 6)0; 10; в) ±10; г)-10; 0.
(2 А
х+— Г0,
а) о,о; о) о; вц.о; гМ. 7
5*. Знайдіть корені рівняння 2х-(х + 1)2 =3х2 -6.
а)х|2=± —; б)хІ 2 = ±—; в) коренів немає; г)х14 = ±——
6*. Знайдіть корені рівняння -х2 - — =0.
а) Коренів немає;
б) х
/З
6 1
7**. Визначте рівняння, рівносильне рівнянню (х - 7>(х + 3) = 0.
а)(х-2)2 =-17; в) (х-2)2 = 25;
б) (х-2)2 =-25; г)(х-2)2 = 17.
8*е. Знайдіть розв’язки рівняння х2-6х + 5 =0, утворюючи
рівносильне йому рівняння вигляду (х - а)2 = т2.
а)Х)=7, х2 = -1; біх^б, х2=1; в)х12 = ±2; г)хі а = 3±7її.
9**. Знайдіть додатне значення ґ, коли відомо, що добуток двох
чисел, одне з яких на 2 менше, а інше на 2 більше, ніж ґ,
дорівнює 4.
а) Такого значення не існує; б) 8; в) 2; г) 2^2.
Вправи для повторення
429. Знайдіть значення змінної х, при якому не має змісту вираз:
- .-5х + 15
*/ ♦
х + 3
х + 1
49-х3’
х3 +1 їх
х3-11х’
..х’+1 кі 2х + 6 ха-27
1-х1 х’+6х + 9 9х-х
430. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
З 1 1
16-12с 4с-3са 20
ох 1 4 1
4а'-За 9-12а 15
ох 4 1 к 1
25-206 462-56 25
1 5 1
4)—;------+-------при т =----.
5т2 -2т 4-10т 10
431. В яку суму перетвориться банківський вклад у 1000 грн.
через 4 роки, якщо він збільшується щороку на 7 % ? Відповідь
округліть до цілих.
432. Розв’яжіть рівняння, використовуючи формулу різниці
квадратів:
1)(3х-1)’-4 = 0;
(і у
3) -х-3 -1 = 0;
2
2)(5х + 7)2-9 = 0;
4)| -х+5 1 -16 = 0.
І З 1
433. Розв’яжіть рівняння, звівши його до вигляду (х±Ь)*-с2 =0:
1)х2+8х + 15 = 0;
2)х2-12х + 32 = 0;
3)х2-4х-5 = 0;
4)х’-2х-15 = 0.
434. Визначте, яке неповне квадратне рівняння має бути
записане замість знака <?♦.
а’-16 = 0
§21• ФОРМУЛА КОРЕНІВ КВАДРАТНОГО
РІВНЯННЯ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
про новий термін «дискримінант» та його роль
при розв'язуванні квадратних рівнянь;
як розв’язувати повне квадратне рівняння за
допомогою загальної формули коренів;
як визначати за знаком дискримінанта, чи мас
рівняння розв’язки;
які квадратні рівняння називаються зведе-
ними і як спрощується їх розв’язання;
як спрощується розв’язання, коли другий кое-
фіцієнт є парним числом.
Розв’язуючи рівняння вигляду (х - 2Хх- 3) = 0, ми викорис-
товували правило про добуток, який дорівнює 0. Однак, пере-
множуючи многочлени (х-2) і (х-3), ми отримуємо рівносильне
рівняння, яке є квадратним: х2-5х + 6 = 0. Такі рівняння були
для нас складними, тому ми намагалися їх ліву частину пере-
творити на добуток, а після - розв’язувати за відомими прави-
лами (алгоритмами). Якщо ж розглядати рівняння вигляду
(х-5)2 = 9 (*), то його зводять до рівняння з модулем: |х-5| = З,
звідки отримують два рівняння: х - 5 = 3, х - 5 = -3 та їх відповід-
ні розв’язки: хх= 8, Х2 = 2. Однак, виконуючи рівносильні пере-
творення у рівнянні (*), ми отримуємо квадратне рівняння:
х’-Юх + Іб =0 (**), яке ми зможемо розв’язати, лише утво-
рюючи в його лівій частині квадрат двочлена. Тобто:
х2-2 • 5х 4- 52-52 + 16 =0, (х-5)2-9 = 0 і (х-5)2 = 9. Отже, при
розв’язуванні квадратного рівняння можна використовувати
спосіб виділення квадрата двочлена. Використаємо цей спосіб
при розв’язуванні квадратного рівняння у загальному вигляді:
ах2+Ьх + с = 0. (1)
Оскільки а х 0. то помножимо обидві частини рівняння на 4а
та виконаємо рівносильні перетворення, отримуючи при цьому
рівносильні йому рівняння:
4а2х* + 4аЬх + 4ас - 0,
(2ах)2 + 2 • (2ах) Ь + Ь2 - Ьг + 4ас = 0,
(2ах + Ь)2 ~Ь2 -4ас. де Ь2-4ас>0,
/ і---------------\2
(2ах+б)2 =( уЬ2-4ас І .
Розділ ПІ. Квадратні рівняння
Якщо позначити вираз Ь2 - 4ае через Р, то дане рівняння на-
буде вигляду: (2а х 4- Ь)2 = (<Р | , тобто|2ах + Ь\ - /Р, 2ах+Ь=±7р,
2а х = -Ь± <Р, звідси
х = ^, де И = Ьг -4ас. (2)
Формула (2) є загальною формулою обчислення коренів
квадратного рівняння ах2 4- Ьх 4- с = 0 за його коефіцієнтами.
Очевидно, що розв’язки рівняння залежать від знака виразу
Р = Ь2-4ас. Якщо Р > 0, то арифметичне значення кореня існує,
тому рівняння (1) матиме два корені. Якщо ж Р<0, то арифме-
тичне значення кореня не існує, тому рівняння (1) не матиме
коренів. Однак слід виділити випадок, коли Р = 0. Тоді корені
Ь
рівняння (1) будуть рівними, тобто х =---єдине число, що
2а
визначає два рівні корені рівняння. Або ще кажуть, що
рівняння має один розв’язок.
Узагальнимо встановлення коренів повного квадратного
рівняння таблицею.
ах2 4- Ьх 4- с = 0, а*0, Ь # 0, с * 0
При Р < 0 рівняння не має коренів При Р = 0 рівняння має два рівні корені Ь х = 2а При Р > 0 рівняння має два різні корені -Ь±/5
Отже, за виразом Р розрізняють три випадки встановлення
коренів квадратного рівняння. Позначення Р = Ь2-4ас є неви-
падковим, оскільки Р - перша буква слова сіізсгітіпапі, що в
перекладі означає той, що розрізняє, а сам вираз називають
дискримі нантом.
Значно спрощується розв’язання рівняння ах2 4- Ьх 4- с = 0,
коли старший коефіцієнт а = 1. Тоді повне квадратне рівняння
набуде вигляду х2+Ьх4-с = 0іх = а Р = Ь2 - 4с. Таким
2
чином, рівняння вигляду х2 4- Ьх 4- с = 0 (а = 1!) виділяють окре-
мою назвою: зведені квадратні рівняння.
Квадратне рівняння, старший коефіцієнт якого до-
рівнює 1, називають зведеним.
Зауваження. 1) Якщо коефіцієнти а іс - різних знаків,
то рівняння ах2 + Ьх 4- с = 0 завжди має корені;
2) якщо другий коефіцієнт парне число, тобто Ь - 2к, то
при розв’язуванні квадратного рівняння можна користуватись
формулою: х - , де к = £),=№- ас. (3)
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння -Зх24- 7х-4 = 0.
Розв’язання
-Зх2+7х-4 = О, | (-1)
Зх2-7х + 4 = 0,
а = 3, Ь=-7, с = 4,
Р = (-7)2-4 3 4 = 1,
Як,
Працювати з від’ємним коефіці-
єнтом а незручно, тому множимо
обидві частини рівняння на (-1) і
знаходимо його корені за відомими
формулами: спочатку дискримінант
£>= ь2-4ае, а потім корені рівняння
X =-------.
Відповідь. -; 1
О
Приклад 2. Знайдіть корені рівняння х2-8x4-10 = 0.
Розв’язання
Як.
х2-8х 4-10 = 0,
л=1, Л = -4, с = 10,
в, =16-10 = 6,
х = 4±<6,
х,=4-Тб, х, =44-76.
Відповідь. 4±>У6.
У заданому рівнянні коефіцієнт
Ь = -8, тобто парне число, тому раціо-
нальніше використати формулу (3)
х =---—-»де к = -Ь, й=к2-ас.
а 2 1
Враховуючи, щоа= 1, маємо:
х=-Л±7Д. Л, = Л’-е, к = -Ь.
VII 2
Розділ III. Квадратні рівняння
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 5х2 + Зх + 6,5 = 0.
Розв’язання
5х2 + 3х+ 6,5 = 0,
о = 5, 5 = 3, с = 6,5,
Д = 9-4 5 6,5 = -121,
Р<0, тому - не існує.
Отже, рівняння коренів не
має.
Як,
Підраховуючи дискримінант,
отримуємо від’ємне число, тобто
Ь2-4ас <0. Таке рівняння не має
розв’язків. Однак слід пам’ятати,
що розв’язати рівняння означає
знайти всі його корені або показа-
ти, що їх немає.
Відповідь. 0.
Ч Вира ви для закріплення
435°. Розв'яжіть рівняння, виділивши квадрат двочлена:
1)х2-4х + 3 = 0; 3)х2 + 4х-5 = 0; 5)2х2-6х-8=0;
2)у2 +Ьу-16 = 0; 4)/-2у-1 = 0; 6)2/+6у-8=0.
436°. Знайдіть корені рівняння, попередньо виділивши квадрат
двочлена в його лівій частині:
1)х’ + 12х + 20 = 0;
2)/-8у-9 = 0;
3)х*-6х+5 = 0; 5)х2-8х + 12=0;
4) /+ 10у + 24 = 0; 6)/ + 14ї/ +13 = 0.
437®. Знайдіть дискримінант квадратного рівняння та визначте
кількість коренів рівняння:
1)5х2-4х-1 = 0; 3)Зх-х2 + 10 = 0; 5)-0,5х2+х + 1 = 0;
2)х2-6х + 9 = 0; 4)2х + 3 + 2х2 =0; 6)5х2-Их + 1 = 0.
438®. Визначте кількість коренів квадратного рівняння:
1)6х2-8х + 13 = 0; 3)х*-4х + 5 = 0; 5)2х8-2х + 0,5 = 0;
2)х2 + 4-4х = 0; 4)х2-4х-5 = 0; 6)3 + 5х2-7х=0.
Розв’яжіть рівняння (439-440).
439®. 1)2х2-9х + 10=0; 3)/ + у-90=0; 5)18 + 3/-у = 0;
2)х2-Юх-24 = 0; 4)4х2 + х-33 = 0; 6)1-18у + 81/ =0.
440*. 1)5т2-8т+3 = 0; 3)9/-30у+25 = 0; 5)2х2+67 + х = 0;
2)35х* + 2х-1 = 0; 4)4/-у-5 = 0; 6)-2х2+Зх + 5 = 0
Розв’яжіть рівняння, попередньо звівши їх до виду ах2 + Ьх -*
¥С = 0(441-442).
. 1)7 = 0,4р + 0.2/;
2) х2-1.6г = 0,36;
3)0.5х2-7 = 2.5г;
..Iа * ч2
4) —4- —= 1—.
4 9 9
142*1)0,2та=10т-125;
З
2)?-1,2 = 2,6г;
4) —=“у-1.
49 7У
Розв’яжіть рівняння, враховуючи парність другого коефіці-
єнта (443-444).
443**. 1)3ха-14x4-16 = 0; 3)7у2-20^4-14 = 0; 5)/-10у-25 = 0;
2) та 4-2т-80 = 0; 4) 4ха-36x4-4,5 = 0; 6)х2+6х-19 = 0.
441**. 1) ха - 8х - 84 = 0; 3) 8ха - 14х 4- 5 = 0; 5) 361а -121 +1 = 0;
2)4ха +4х4-1 = 0; 4) Зх2 4-32х + 80 = 0; 6) 5х2+26х-24 = 0.
445**. При якому значенні т один із коренів квадратного рів-
няння Зх2 - тх -6=0 дорівнює -27
446е*. При якому значенні т один із коренів квадратного рів-
няння 2х2 - х- т = 0 дорівнює -З?
447**. Визначте, при яких значеннях а рівняння х24- 2х + 16а = 0:
1) має два рівні корені;
2) має два різні корені;
3) не має жодного кореня.
4 48**. Визначте значення р, при яких рівняння ха+Зх-4р = 0:
1) має два різні корені;
2) не має жодного кореня;
3) має два рівні корені.
449**. Визначте, при яких значеннях а квадратне рівняння
ах2 +5x42 = 0:
1) має два рівні корені; 2) не має жодного кореня.
450*. Знайдіть значення а, при яких рівняння 4х2-ах + 25 = 0:
1) має два рівні корені;
2) має два різні корені;
3) не має жодного кореня.
451*. Знайдіть, при яких значеннях т рівняння 9х2-2тх+ 16 = 0:
1) має два рівні корені;
2) має два різні корені;
3) не має жодного кореня.
( IX! ) Вправи для самооцінювання
Iе. Виберіть пару чисел, які є коренями рівняння 6х2-5х-1 = 0.
а) - і —; 6)1 і-1; в) 1 і і; г)1і-і.
2 3 6 2 3 6
2°. Укажіть рівняння, коренями якого є числа 2 та -4.
а)х2+6х + 8 = 0; в) ха4-2х-8 = 0;
б)2х2-3х = 44; г)х(х-2) = 8.
3°. Визначте коефіцієнти {а; Ь; с} у рівнянні х - 2х2 + 7 = 0.
а){1;-2;7); б) {-2; 1; 7}; в){0;-2;7}; г) <2; 1; 7).
7 1
4е. Зведіть рівняння 2,5ха -3 —х + 1 — = 0 до виду ах2 + Ьх + с = 0,
12 4
де а - натуральне число, Ь, с- раціональні числа.
а)5ха-7Іх + 2І = 0; в)5х2-6—х + 2- =0;
6 2 12 4
б)5х2-6 —х + 2—=0; г) 5ха-3—х + 1 —= 0.
12 4 12 4
5*. Виберіть рівняння, дискримінант якого дорівнює 81.
а) Зх2- 10х-1 = 0; в) 4х2- 7х + 2 = 0;
б) 2х2-7х+4 = 0; г) -4х2+7х + 2 = 0.
в*. Знайдіть суму коренів рівняння 2х2-5х + 2 = 0.
а) -2,5; б) 2,5; в) 5; г) -5.
7е*. Відомо, що коренем рівняння 4х2 +сх -16 = 0 є число -4.
Знайдіть значення с.
а) 12; б)-12; в)-8; г)8.
8е*. Знайдіть значення а, при яких двочлен 2а2-1,6а дорівнює
тричлену 1,8а2 + 0,4 а + 5.
а) 5; б) таких значень не існує; в)2±2>/2; г)5±5\/2.
9**. Знайдіть значення а, при яких рівняння ах2 + Зх + 6 = 0 мас
два рівні корені.
2 3 З
а)а = 2 -; б)а = -; в)а = 0,а = -; г)а = 0.
3 8 8
Вправи для повторення
452. Скоротіть дріб:
3)
п-5
2)
у/т + 4п
•
т-п
п-2>/Зп +3
п-3 ;
453. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
' ІаЬ 355 . і /ж і. 1
1)1 при а = <5, 5 = — ;
а-Ь а-Ь 7
/ Ьск 20с 4-1
2)1 + при Л = у15, с = —;
[л + 4 4 + Л 5
ґ ЗаЬ бо .-2 1 Пі
3) при а=-~, 5 = <2;
[д-2 5-2 3
ґ 45с 125 Vа 1
4) + при 5 = --, с = <3.
1 с + 3 с + 3 4
454. Упродовж року завод двічі збільшував випуск продукції
на одну й ту саму кількість відсотків. Знайдіть це число, коли
відомо, що на початку року завод щомісяця випускав 600 дета-
лей, а наприкінці року став випускати 726 деталей,
455. Порівняйте добуток коренів рівняння з вільним членом:
1)Г‘-3/+2=О;
2) 2*-72 + 10 = 0;
3) 2н’-3 = 0;
4)2и2 + 5и-3 = 0;
5)5і?-6г+ 1 = 0;
6)Зг2+8г-3 = 0.
456. Порівняйте модуль суми коренів рівняння (|х1+х2|) та мо-
дуль другого коефіцієнта (| 51):
Ш’-4/ + 3 = 0; 3)*с2+7ш + 12 = О; 5)Зі>2-10і? + 3 = 0;
2)г2-6г + 8 = 0; 4)2і?-9и + 4 = 0; 6)4г2-11г-3 = 0.
Спробуйте зробити висновок про добуток і суму коренів
• • для зведеного та повного квадратних рівнянь.
4 457. Визначте, які числа мають бути записані замість
знаків «?».
§22.
ТЕОРЕМА ВІЄТА
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
як формулюється теорема Вієта;
• як формулюється твердження, обернене до тео-
реми Вієта;
як знайти суму і добуток коренів за теоремою
Вієта;
як скласти квадратне рівняння, маючи його
корені;
як визначити знаки коренів квадратного
рівняння, не розв’язуючи його.
Розглянемо кілька зведених квадратних рівнянь і проаналі-
зуємо зв’язок між коренями рівнянь та коефіцієнтами відпо-
відних квадратних рівнянь.
м Рівняння Корені х,.ха Другий коефіцієнт (Ь) Вільний член (е) Сума коренів Добуток коренів
1 хг-2х 3 = 0 со *І II II * см н н -2 -3 2 -3
2 ха + 4х-5=0 ю 1 II II «4 М м м 4 -5 -4 -5
3 ха+10х+24=0 м н м ** II II і А 10 24 -10 24
4 х2 9х+20=0 м н м — II II сл • -9 20 9 20
Легко помітити, що в указаних рівняннях вільний член
дорівнює добутку коренів, а число, протилежне коефіцієнту Ь,
є сумою коренів квадратного рівняння. Насправді такою влас-
тивістю володіє будь-яке зведене квадратне рівняння, яке має
§ 22. Теорема Ви та
корені. Ця властивість має спеціальну назву - теорема Вієта,
нй3вана на честь французького математика Франсуа Вієта.
СГ Теорема 1 (теорема Вієта).
Сума коренів зведеного квадратного рівняння
дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилеж-
ним знаком, а їх добуток - вільному члену.
Доведення
Розглянемо рівняння х2 4 рх+д = 0, де 1, р, д - його коефіцієн-
ти. Нехай це рівняння має два різні корені, тобто Л = р2-4д>0,
—р + >/л -р-То
тому коренями є: х, = --» х2 =-----. Знайдемо їх суму
-р+\ГБ -р~у[г) -р+\ГБ-р-\П>
та добуток: х, + х2 =--— + --=-------—-----= -р.
Отже, Х1 + Х2=-р.
Тобто сума коренів - другий коефіцієнт рівняння, взятий з
протилежним знаком.
г + -р-уСл /Л-р <Л + р
1 2 2 2 2 2
\ /
Л-р2 р*-П Р*~(р*-4ч) _
«----— = —----=---------- = д. Отже, х, х, = д.
4 4 4 її*
Тобто добуток коренів - вільний член рівняння. ІЦо й вима-
галося довести.
• Перевірте виконання теореми Вієта для випадку, коли
• і Л = 0, тобто коли х^ х2.
Справедливим с твердження, що за допомогою теореми
Вієта можна виразити суму і добуток коренів довільного квад-
ратного рівняння ах2 + Ьх +с=0 (п*0). Оскільки а*0, то
поділимо обидві частини рівняння на а. Утворилося зведене
Ь с
квадратне рівняння х2+ — х + — = 0, у якому коефіцієнти відпо-
а а
_. , Ь . е
відно дорівнюють 1, — і —.
а а
Отже, для повного квадратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0 (а* 0)
також справедлива теорема Вієта:
Теорема 2 (теорема, обернена до теореми Вієта).
Якщо числа т і п такі, що їх сума дорівнює ~р, а до-
буток дорівнює д, то ці числа є коренями рівняння
х24-рх + д =0.
Доведення
За умовою т + л = -р і т п = д. Підставимо у рівняння
х24-рх4-д = 0 замість р і д ці вирази. Отримаємо:
хг + (~(лп 4- л))х + тп = 0,
х2 -(т 4- п)х 4- тп = 0.
т 4- п = -р,
звідси р - -(т+п).
Щоб довести, що т є коренем заданого рівняння, досить
підставити його у рівняння замість х і довести, що отримана
рівність буде правильною. Отже, при х = т матимемо:
т2 ~(т + л)/и+/пп = 0,
т‘ -т2 -тп + тп = 0,
0 = 0 (рівність правильна).
Тому х-т е коренем рівняння. Аналогічно доводять, що
число п є також коренем заданого рівняння. Отже, теорему
доведено.
Приклад 1. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння
2ха-Зх4-1 = 0.
Розв’язання
Яке кдличклн
2хг-3х 4-1 = 0,
Р = (-3)’-4 2 1 = 9-8 = 1>0.
Тоді за теоремою Вієта:
З’ясовуємо спочатку, чи має
рівняння 2ха-3х4-1 = 0 корені.
.О = 1 > 0. Тепер застосовуємо
теорему Вієта для повного
квадратного рівняння: маємо,
З
що сума коренів дорівнює —»
а їх добуток дорівнює -•
бі
Відповідь. —; —.
2 2
§ 22. Теорема Вієта
Приклад 2. Підберіть корені рівняння х2 — Юх -24 = 0.
Розв’язання
Xа -Юх-24 = 0.
□ = 1, с = -24, тому аг<0.
Отже, дане рівняння
має корені.
За теоремою Вієта:
ХІ + Х2=Ю,
Л х2=-24.
Таким чином, х, = 12, х2= -2.
Відповідь, х, = 12, х2 = - 2.
Я«с
Оскільки коефіцієнти а і с
різних знаків, то рівняння
обов’язково має корені різних
знаків. Позначимо їх х, та х2.
Тоді за теоремою Вієта:
[х1 4-х, =10,
І х, • х2 = -24.
Підберемо цілі числа, які
будуть розв’язками системи.
Корені рівняння є дільниками
числа -24. Можливі пари мо-
дулів коренів: 1 і 24, 2 і 12,
З і 8, 4 і б. Оскільки сума
коренів дорівнює 10, то підбо-
ром визначаємо, що коренями є
числа 12 і -2.
Вправи для закріплення
Знайдіть суму та добуток коренів рівняння (458-459).
458°. 1)х’-20x4-11 = 0; 3)т’-4т-2 = 0; 5)-7х’-2х 4-11 = 0;
2)х’4-5х 4-2 = 0; 4)1’4-214-3 = 0; 6)9у’-2у-1 = 0.
459°. 1)2х’-х-1 = 0; 4)І1’-171-100 = 0;
З
2)-Зт’4-2т 4-1 = 0; 5)-16т’ + т + 2008 = 0;
3)15х’ -12x4-1 = 0; 6)911’ + -14-112 = 0.
7 5
460°. Не розв’язуючи рівняння, вкажіть знаки його коренів:
1)1а4-1-1 = 0; 3)21’4-61-1 = 0; 5)х’-2х-1 = 0;
2) тг—4т 4-1 = 0; 4)3х’ + 9х + 2 = 0; 6)5х2-7х+2 = 0.
461®. Розв’яжіть рівняння та виконайте перевірку за теоремою
Вієта:
1)хг+9х-22 = 0; 3)5х2 + 9х + 4 = 0; 5)15/-22^-37 = 0;
2)/-12у-»-32 = 0; 4)х2+2х-80 = 0; 6)Зр2-10р + 3 = 0.
462®. Знайдіть «підбором» корені рівняння:
1)х2-6х + 8 = 0;
2) х2-2х-15 = 0;
3) ха “15x4-36 = 0;
4) 2г+ 52 + 6 = 0;
5)/ + 7у-8 = О;
6)/-10у-39 = 0;
7И2 + Г+1 = 0;
8)т2 +2т + 4 = 0;
9)Га -74+13=0.
463*. Підберіть корені рівняння:
1)х2-х-56 = 0; 4)Га + 10/ + 25 = 0;
2)та+12т-45 = 0; 5)х2-16х + 64 = 0;
3)4*+24-63 = 0; 6) ра + 20р + 100 = 0;
7) т2 -т + 5 = 0;
8)4а + 4/+6 = 0;
9) ха-2х +2008 = 0.
464а. Один із коренів квадратного рівняння дорівнює 3. Знайдіть
другий корінь рівняння:
1)ха-21х + 54 = 0; 2)9х’-20х-21 = 0.
465® . Один із коренів квадратного рівняння дорівнює -2. Знайдіть
другий корінь рівняння:
1)ха+17х + 30=0; 2)7х’+11х-6 = 0.
466аа. Один із коренів квадратного рівняння дорівнює -2. Знай-
діть другий корінь рівняння та коефіцієнт к:
1)ха+5х + Л = 0; 3)х2 + Лх-16 = 0;
2)5х2-7х + * = 0; 4)Зха + Лх + 10 = 0.
467а*. Один із коренів квадратного рівняння дорівнює -3. Знай-
діть коефіцієнт к та другий корінь рівняння:
1)х2-5х+* = 0; 3)ха+Лх + 18 = 0;
2)3х2 + 8х + * = 0; 4)5ха + Лх-12 = 0.
468а*. Запишіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють:
1)5І4; 4) 13 і 5 7) -Зі 0,5; Ю)-і-5; о
2) 12 і -8; 5) 10 і -20; 8) 0 і 6; 11)-2Іі2; £
3)-2і8; 6) 8 і -8; 9)1 і 1 р 12) -0,6 і 1-.
§ 22. Теорема Вієта
469**- Відомо, що х) та х2 корені рівняння:
а)/-9х-17 = О; в)Зх2 + х-1 = 0;
б)х2 +11x420 = 0; г)3х2-5х +1 =0;
Знайдіть, не розв’язуючи його:
д)5х2 + 10х + 4 = 0;
е)2х2- їх + 4 = 0.
5) х2+х2;
8)1^-х,|’.
(а + Ь)2= а2+Ь2+2аЬ, звідси
а2+Ь2 = (а + Ь)2- 2аЬ.
Кожний із виразів, зна-
чення яких є шуканими,
зведіть до таких виразів,
які містили б (х|+х|) та
(х,х2).
470**. Не розв’язуючи рівняння, визначте кількість його ко-
1)х2+>/17х + 2 = 0;
2)2/+719^ + 27 = 0;
3)л/2/ + у-1 = 0;
4) у* + /Ту + ІО = 0;
5)5х2-л/бх-бл/з =0;
6)Пх2-9х + 7-5>/2=0.
471*. Нехай х. та х - корені рівняння х2 + 7х -11 = 0. Запишіть
1 1
квадратне рівняння, коренями якого будуть числа — та —.
х, х,
Вправи для самооцінювання
1°. Укажіть суму коренів рівняння 2х2-5х + 3 = 0.
а) 5; б)-5; в) 2,5; г)-2,5.
2®. Визначте, яке з чисел дорівнює добутку коренів рівняння
Зх2 + х- 5 = 0.
х 5 5
а) 5; б)-5; в)-; г)--.
о а
3е. Підберіть корені рівняння х2+ 21х + 54 = 0.
а) 18 ІЗ; б)-18 і-3; в)-1 і-54; г) 1 і 54.
4*. Не розв’язуючи рівняння 7х2-11х-6 = 0, знайдіть другий
корінь, якщо перший дорівнює 2.
. З _ о 11
б)-3; в) 3; г)—.
< 14
5*. Визначте знаки коренів рівняння -Зх2 + 23х -21 = 0.
а) х, <0, х2 < 0; б) х, > 0, ха < 0; в) х, < 0. х2 > 0; г) х1 > 0. х2 > 0.
6*. Запишіть квадратне рівняння, коренями якого е - і - -.
а)х2-2,1х-1 = 0; в) х2 + 2,9х-1 = 0;
б) х*+2,1х-1 = 0; г) х2-2,9х-1 = 0.
7е*. Один із коренів квадратного рівняння 5х2+Лх-12 = 0
дорівнює -3. Знайдіть коефіцієнт к та другий корінь рівняння,
а) Л = 11, х, =0,8; в) к = 7, х, = -4;
б)Л = -1, х2=4; г) А = -11, х2 =5,2.
8**. Різниця коренів квадратного рівняння х2 - 12х + д = 0 дорів-
нює 2. Знайдіть
1 ’ 1
а)-—; б)-35; В) — ; г)35.
Зо Зо
9ее. Не розв’язуючи рівняння 4х2-9х -2 = 0, знайдіть значення
виразу х’х2 + Х)Х5.
1 17 1
а)-1—; б)-2 —; в)-2 —;
8 32 32
г)-3—.
32
Вправи для повторення
472. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
1)
з)-я=-
5)
2)-д4;
4)т-Д
6)
473. Побудуйте в одній системі координат різним кольором гра-
фіки двох функцій:
»/(*)* та
2)/(*)=-® Та
з)г(*)=® ™
4)/(х)«-- та /(х)^——.
X X
©Скористайтесь правилом
1 додавання (віднімання)
дробів:
474. У шкільному буфеті продається квас у маленьких пляшках
вартістю ЗО к. Порожню пляшку можна повернути, отримавши
за неї 20 к. Яку найбільшу кількість пляшок квасу можна ви-
пити, ЯКЩО при собі мати 1 грн.?
475. Знайдіть значення многочлена другого степеня:
1)х‘+8х-38 при х = -11; х = 3;
2)х2+Зх-28 при х=-7; х = 4;
3)7х*+6х-1 при х=-1;х®-;
2
4)5х2-8х-4 при х = 2; х=~~-
О
Перевірте за теоремою, оберненою до теореми Вієта, чи бу-
дуть числа у кожному з випадків коренями квадратного
рівняння, ліва частина якого - заданий многочлен.
476. Розв’яжіть рівняння:
1)х2 +2х-8 = 0 та (х-2Х* + 4) = О;
2) /-і/-12 = 0 та (у + ЗХу-4) = 0;
3)2х2-11x4-5 = 0 та 2^х-||х-5)=0;
4)Зх*-8х-3 = 0 та З^х-Д |х-3) = 0.
Чи можна сказати, що ліві частини рівнянь у кожному ви-
падку тотожно рівні?
І? Запишіть таку тотожність у загальному вигляді.
Готуймося до тематичного оцінювання
«Квадратні рівняння. Теорема Вієта»
• Запитання для самоконтролю о
1. Які рівняння називаються квадратними?
2. Які рівняння називаються неповними квадратними рів-
няннями?
3. Які способи використовують для розв’язування неповних
квадратних рівнянь?
4. Скільки розв’язків має рівняння вигляду (х-а)2=с2 і як
їх знайти?
5. Що впливає па кількість розв’язків повного квадратного
рівняння?
6. Як знайти дискримінант для повного квадратного рівняння?
7. Як знайти розв’язки повного квадратного рівняння?
8. Як спрощується пошук розв’язків рівняння ах2 і Ьх+с - 0
(а * 0), якщо Ь - парне число?
9. Які квадратні рівняння називаються зведеними?
10. Як перевірити за теоремою Вієта знайдені корені для
зведеного квадратного рівняння?
11. Як підібрати корені зведеного квадратного рівняння за
теоремою, оберненою до теореми Вієта?
12. Як використати теорему Вієта для обчислення раціо-
нальних виразів, у яких змінними є корені деякого квадратного
рівняння?
• Завдання в тестовій формі о
Iе. Укажіть серед нижченаведених квадратні рівняння.
А)х2 + —-2 = 0; Г) 15,Зх2=0;
х
Б) 2х2-Зх + 1 = 0; Д) х’ + 2х2+1 = 0.
В) 5х-7х2=О;
2°. Доберіть до кожного квадратного рівняння (А-Д) його чис-
лові коефіцієнти (1-5).
А)5х2-7х + 3 = О;
Б) 7ха-5х-3 = 0;
В)-Зх2+7х-5=О;
Г) -7х2-Зх + 5 = 0;
Д) Зх2+5х + 7 = 0.
1)а = 3. Ь = 5, с = 7;
2)а = -7, Ь = —З, с = 5;
3)а = 5. Ь = -7, с = 3;
4)а = -Я Ь = 7, с = -5;
5)а = 7, Ь = -5, с = -3.
А
Б
В
Г
д
3°. Виберіть два рівняння, коренями яких є два протилежні
числа.
А)5ха-25х = 0;
Б) 49-х2 =0;
В) І х2 = 5х;
5
Г) ха-4х + 4 = 0;
Д) Xа = 17.
Готуймося до тематичного оцінювання
®. Виберіть рівняння, одним із коренів яких є число 0:
1) х2-3х + 2 = 0; А) 1 і 3;
2) 0,25х2 + 0,5х = 0; Б) 2 і 5;
3) 0,25х2-1 = 5; В)4 і 5;
4) х2-0,0001 = 0; Г) 2 і 4;
5) 0,000їх2 4-х = х. Д) 3 і 5.
5е. Виберіть рівняння, які не мають розв’язку:
1) 12х2 4-5 = 0; А) 1, 2 і 5;
2)5х2—12=0; Б) 2, 3 і 4;
3) -12х2 -5 = 0: В) 1, 3 і 4;
4) 5х2 4-12 = 0; Г) 1, 3 і 5;
5) -12х‘4-5 = 0. Д) 2, 4 і 5.
6*. Ідентифікуйте парами рівняння і його дискримінант.
А)2х2 + х-6 = 0;
Б) 2у2-5у 4-2 = 0;
В) з2-924-14 = 0;
Г) 7і24-6ґ-1 = О;
Д)5и2-би 4-1 = 0.
1)£> = 64;
2) В = 25;
3)В = 9;
4)0 = 16;
5)0 = 49.
А
Б
В
Г
Д
7°. Виберіть зведене квадратне рівняння.
А)х-2х2 4-1 = 0; Г)х2-5+4х = 0;
Б) х4-5 + Зхг =0; Д)2х2-Зх-5 = 0.
В)-х1-2х + 3 = 0;
8°. Укажіть випадок, у якому для квадратного рівняння
х2-Зх-10 = 0 правильно застосовано теорему Вієта.
А)х, 4-х, =3, х, х2 =-10; Г)х, 4-х2 =10, х1 х2 =3;
Б)х1+х,=3, х1,х2=10; Д)х1+х2=-10, х, х2=-3.
В)х1 +х2 =-3, Х| х2 =-10;
9°. Визначте рівняння, корені яких мають різні знаки:
1)2х-’-х-3 = 0; А) 1, 2 і 4;
2) х2-9x4-14 = 0; Б) 2, 3 і 4;
3) 0,2х* 4-х-10 = 0; В) 1, 4 і 5;
4)2х2 -5х 4-2 = 0;
5) 6х2+х-7 = 0.
Г) 2, 4 і 5;
Д) 1. З і 5.
10°. Розв’яжіть рівняння.
А)х2 -4х 4-3 = 0;
Б) х’+16х = 0;
В) 2х2- х-6 = 0;
Г) 2х2-18 = 0;
Д)2х2 -5x4-7 = 0.
1){-1,5;2};
2) {1; 3};
3) {-1; 3,5};
4){0; -16};
5) {-3; 3}.
А
Б
В
Г
д
11*. Визначте два рівняння, в яких дискримінант від’ємний.
А) 2х2-11x4-5 = 0; Г)3х2+ 16х + 80 = 0;
Б) 2у2 ч- Пу ч- ЗО = 0; Д) 12х2 4-16х+3 = 0.
В) 9/2-30/4-25 = 0;
12*. Ідентифікуйте квадратне рівняння, в якому другий коефі-
цієнт парне число, і відповідний квадратний корінь із його
дискримінанта
А)х2-24х-81 = 0; 1)7а =20; А
Б) х2-12х—253 = 0; 2) ТА =22; Б
В)х2-26х-231 = 0; 3)ТД=17; В
Г) х2 4-30х-351 = 0; 4) ^ = 15; Г
Д)х2 +38х-123 = 0. 5) = 24. Д
ІЗ*. Доберіть до кожного квадратного рівняння з парним коефі-
цієнтом «вихідну» формулу знаходження коренів.
А) х2-8x4-15 = 0;
Б)ха+ 8х-20 = 0;
В) х2-14x4-40 = 0;
Г) х2 +16х-36 = 0;
Д) х’+26х-120 = 0.
А
Б
В
Г
Д
1)х = -8±л/Ї00;
2)х = 4±>/ї;
3)х = -13±<289;
4) х = 7±>/9;
5) х = -4 ± 736.
14*. Виберіть два рівняння, коренями яких с два рівні числа.
А)5/-11^4-2 = 0; В)36х2-12x4-1 = 0; Д)9/2-30/ + 25 = 0.
Б)4ра4-7р-15 = О; Г) 7м2 + 2и-5 = 0;
15*. Визначте рівносильні квадратні рівняння:
1)7.5ха+-3,5х-2 = 0; А) 1 і 4;
2)6/4-7у-10 = 0; Б)2 і 5;
3)6*а + 3,5Г-2,5 = О; В)1 і 3;
4) 2г2 + 1г -30 = 0; Г)2 і 4;
5)12і>2 + 7и-5 = 0. Д)3 і 5.
16*. Утворіть із многочленів (А-Д) та (1-5) правильні рівності.
А)х2-2х-8; 1)(х-3)’-4; А
Б)9ха-12х + 3; 2) (х-1)’-9; Б
В) х2-6x4-5; 3)(2х-1)’-16; В
Г) 4х2-4х-15; 4)(Зх + 2)*-7; Г
Д)9х2+12х-3. 5)(Зх-2)’-1. д
17е. Доберіть до кожного квадратного рівняння його розв’язок.
А)х’-6х + 1 = 0; 1)х = 3±>/5; А
Б) х2-6х-1 = 0; 2)х=3±Л5; Б
В) х2 -6х4-2 = 0; 8)х=3±2>/2; В
Г) ха-6х-2 = 0; 4)х = 3±>/7; Г
Д) Xі -6x4-4 = 0. 5)х = 3±ТЇЇ. Д
18*. Визначте рівняння, відношення коренів яких — дорівнює
40 %, де х} < х2. жі
А)х2-8х + 15 = 0;
Б) 2ха-9x4-10 = 0;
В)0.5х2-6х+ 10 = 0;
Г) х2-3,5х + 3 = 0;
Д) 2х2-7х + 5 = 0.
19*. Знайдіть вільний член зведеного квадратного рівняння
х2 - Зх + д = 0, коли відомо, що один із його коренів дорівнює 5.
А) 2; Б)-2; В) 10; Г)-10; Д)-15.
20*. Знайдіть значення виразу (хх-х2)2, якщо хр ха - корені
квадратного рівняння х2 - ІЗх 4-5 = 0.
А)164; Б)159; В)154; Г)149; Д)144.
21е*. Визначте рівняння, квадрат суми коренів якого дорівнює
16%.
А) 2х2 -5х = 0; Г) -х2 - 1 х = 0;
5 2
Б)4х*-5х = 0; Д)5х2-2х = 0.
В)5х2-4х = 0;
22**. Укажіть квадратне рівняння, коренями якого є спряжені
вирази.
А)х’-5х 4-4 = 0; Г) х*-4x4-1 «0;
Б)х2+5х-6 = 0; Д)х24-х-6 = 0.
В)х2-4х-5 = 0;
23**. Знайдіть значення другого коефіцієнта для кожного квад-
ратного рівняння, якщо один із коренів дорівнює 11.
А) х1 4- тх-165 = 0; 1)т=1; А
Б) ха 4-тх-132 = 0; 2) т = 2; Б
В)х2 4-тх-187 = 0; 3)т = 8; В
Г) х2 4-тх —143 = 0; 4)т = 6; Г
Д)х2 4-тх-209 = 0. 5)т = 4. Д
24**. Знайдіть розв’язок неповного квадратного рівняння
Зх2-7-4уЗ=0
/?±2>/з 2 + х/з „ 74-2-Тз
V 3 7з у/3
/3±у'3 „ 3 + 2>/3
Б) ± ; Г) ± —уХ-;
V 3 уЗ
25е*. Визначте рівняння, коренями яких є два раціональні
взаємно обернені числа:
1)5х2 4-11x4-5 = 0; А)1 і 3; л а,Ь-взаємнообер-
2) 6х2-13x4-6=0; Б)2 і 4; нені, якщо а-Ь = 1-
3)7х2-25x4-7 = 0; В)3 і 5;
4)20х’4-41x4-20 = 0; ПІ і 4;
5)15х2-34х4-15 = 0. Д)2 і 5.
26**- Установіть, не розв’язуючи квадратного рівняння, відпо-
відність між виразами(А-Д) та їх значеннями (1-5), якщо
х}, х2 - корені рівняння 4ха - 5х -13 = 0.
А)хг-х2 2х1-2х2; 1) ;
1 о
2 2 233
Б)ж,‘+*,; 2)—;
1о
Віх.'+хі; 3)^;
• з .23
Г) • х2 + х| хя; 4) - ,
4
Д)(х,-хя).
А
Б
В
Г
д
27**. Знайдіть значення Ь рівняння х^-бх + Ь = 0, коли хр х2 -
його корені, що задовольняють умову 2хх+ Зх2= 6.
А)-12; Б)-36; В)-84; Г)-120; Д)-180.
28**. Знайдіть усі значення параметра а, при яких сума коренів
рівняння х2-(а2 - 5а)х + ба -1 = 0 дорівнює (-6).
А)а = 2 і а = 3;
Б) а = 2;
В)а = 3;
Г)а = -2;
Д)а = -3.
Використайте теоре-
му Вієта і виконайте
перевірку.
29**. Знайдіть значення параметра а, при яких сума квадратів
коренів рівняння Xа- ах + 2а = 0 дорівнює 5.
А) а = -1 і а = 5; В) а = -1; Д) а = 1 і а = 5.
Б)а = -5 і а= 1; Г)а = -5;
30е*. Знайдіть значення параметра а, при яких рівняння
х2 + 2(а+1)х + 2а + 5 = 0 матиме два рівні корені.
А) ±2; Б)±1; В) ±4; Г)±3; Д)±5.
15-А»д«мв
§23.КВАДРАТНИЙ
ТРИЧЛЕН, ЙОГО КОРЕНІ.
РОЗКЛАДАННЯ КВАДРАТНОГО
ТРИЧЛЕНА НА МНОЖНИКИ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
• що називається квадратним тричленом;
• що називається коренем квадратного тричлена;
• як розкласти квадратний тричлен на лінійні
множники.
Розв’язуючи повне квадратне рівняння ах2* Ьх + с = 0, ми за-
значали, що лівою частиною рівняння є многочлен другого степе-
ня, однак він має ще й спеціальну назву - квадратний тричлен.
Квадратним тричленом називається многочлен виду
ах2 4 Ьх 4- с, де х — змінна, а, Ь, с - деякі числа, причому
а*0.
Очевидно, що числове значення квадратного тричлена зале-
жить від значення х. Наприклад, якщо х = -2, то значення
квадратного тричлена З.г’-бх 4 2 підраховують, підставляючи
замість х його числове значення 2:
3x2-5x4 2 = 3 -(—2)2—5 (-2)42 = 12410+2 = 24.Але,якщох= І,
то Зх2-5х + 2 = 3-5 + 2= 0 абох= - .тоЗх2 -5x4-2 = —- — + 2 = 0.
З 3 3
Отже, при певних значеннях змінної значення квадратного
тричлена може дорівнювати нулю. Такі значення змінної нази-
вають коренями квадратного тричлена.
ОС Коренем квадратного тричлена називається значення
змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює
нулю.
Таким чином, для того щоб знайти корені квадратного три-
члена ах2 + Ьх + с, треба розв’язати квадратне рівняння ах2 + Ьх +
+ с = 0. Залежно від знака дискримінанта рівняння може зовсім
не мати коренів, може мати два рівні або два різні корені.
Досить часто доводиться розкладати многочлен на множни-
ки. Крім відомих нам способів - винесення спільного множни-
ка за дужки, групування, формул скороченого множення, - с ще
один спосіб, який значно спрощує процес розкладання на множ-
ники квадратного тричлена.
Теорема. Якщо х1 та х2 — корені квадратного тричлена
ах^ + Ьх + с, то ах2+ Ьх 4 с «а(х-х1Хх-х2).
§ 23. Квадратний тричлен, його корені.
Розкладання квадратного тричлена на множники
Доведення
Оскільки корені квадратного тричлена х, та х2 є коренями від
повідного квадратного рівняння ах2 + Ьх 4- с = 0, то за теоремою
Таким чином,
(Ь с 1
х2+ — х+-- =а(хг-(х,+х2)х + х( х2) =
а а)
= а(хі-х •х1~х х24-х1 х2) = а(х(х-х,)-х2(х-х1)) =
= а(х-хї Хх-х2),
що й треба було довести.
Отже, ахг + Ьх + с«а(х-х1)(х-х2).
(1)
Тотожність (1) — формула розкладання квадратного три-
члена на лінійні множники.
Приклад. Розкладіть на множники квадратний тричлен
1 а 1 1
-х +-х+-.
2 3 Розв’язання
х* + Зх + 2 = 0,
0 = 9-4 2 = 1,
Тоді і = 1(х+2)(х + 1).
о £ О О
Відповідь. — х2 + — х + — =
6 2 3
= |(х+2)(х+1).
Як, ишскиЛЧ
Перетворюємо рівняння
до простішого: множимо
обидві його частини на 6.
Отримуємо рівносильне йо-
му рівняння х2 4- Зх 4- 2 = 0,
корені якого х{=-2 та х2 =
= -1.
Підставляємо у формулу (1)
знайдені корені й отриму-
ємо добуток —(х+2)(х + 1),
б
тотожно рівний тричлену
Зауваження. Якщо квадратний тричлен не має коренів, то
він завжди або додатний, або від’ємний (одного знаку). Слід па.
м’ятати, що в цьому разі знак квадратного тричлена збігається
зі знаком старшого коефіцієнта. Наприклад, ха + 2х + 11 >0
при будь-яких значеннях хе Я, оскільки коренів немає і стар.
ший коефіцієнт а = 1>0; -2Га+Г-8<0 при будь-яких значен-
нях х є Я (а =~2<0).
Вправи для закріплення
477°. Визначте, які з чисел: -2; 0; 1; 2; <3 є коренями
квадратного тричлена Зха - 7х + 2. 3 3
478°. Знайдіть корені квадратного тричлена:
1)х2-6х + 5; 3)-2х2+х-1; 5)4х2-4х + 1;
2)х2+х-6; 4)х2+5х+6; 6)-І-х2 + 0,4х + 1.
479°. Визначте, чи має квадратний тричлен корені. Якщо має,
то знайдіть їх:
1)х’+х + 10; 3)9х2-12х+4; 5)3х*+6х + 3;
2)Зх2-2х-1; 4) —х*—х-3; 6)х*+9х + 20.
4
480*. Визначте знак квадратного тричлена, використовуючи
зауваження § 23:
1)т*-/п + 1; 3)х2-4х + 5; 5)-2/2 + ґ-1;
2)Зх’-2х+5; 4)-3 + т-т2; 6) 100т2 + 20т+3.
481*. Порівняйте з нулем знак квадратного тричлена:
1)-х2 + 5х-13; 3)-Г2+і-5; 5)16а2+8а+5;
2)13х2+ х + 1000, 4)-7 + 2г-Г2; 6)?-і + -.
4
482*. Визначте, чи можна розкласти на лінійні множники квад-
ратний тричлен:
1)Г2+2/-3; 3)7х2+х + 1; 5)-Зх2-2х + 2О,
2)х2-х-5; 4)5х2+2х + 6; 6)-^х2+х-3.
§ 23. Квадратний тричлен, його корені.
Розкладання квадратного тричлена на множники
розкладіть квадратні тричлени на множники (483-484).
4ВЗ*. і)х2~2х-8; 3)-х2-8х + 9; 5)2х’-5х + 3;
2)ха+6х-7; 4)-/+16у-15; 6)-2х2+ 5х+7.
484*. 1)-9х2 + 12х-4;
2)16(2 +24Г + 9;
3)6х2-13х + 6;
4)10х2 + 19х-2;
5)2х’-7х+3;
6)Зх2-х-10.
485**. Скоротіть дріб:
х2+8х-9 2а2-5а+ 2
Ц-£ТЇГ: 4,~ГТ-;
Зх+6 т г -11т + 10
2\2 4-12x4-24’ 20 + 8/п-т2
х2-2х-8 _ ЗГ2 +16/-12
3)—х----; 6)--------
х2 —16 10 13/-ЗҐ
Перед скоро-
ченням дробу
його чисельник
і знаменник розклада-
ють на множники.
486в>. Скоротіть дріб:
. 2а-1 6а2-5а 4-1 2-х-х2 4чЗо24- 5а - 2
ЛОа’-а-г1 1-4а2 1 'з-бх + Зх2’ 1-6а + 9а2’
487**. Знайдіть значення дробу:
,.та+2т2-8т .
1)---$------ при т = -1; т = 2; т = 0,5; т = 0;
т +4т
#3 -27
2)—-— при і= 0; і = 1; ґ = -2; і =-1.
-Г2+9
488**. Виділіть квадрат двочлена у тричлені:
1)-х’+4х-3; 3)-х2-Юх-23;
2)-х2-2х-2; 4)-х2 + 8х-11;
5)-4х2-12х-4;
6)-9х2 + 6х-3.
489е*. Визначте, при якому значенні змінної тричлен набуває
найбільшого (найменшого) значення:
Ш2 -4Ї + 10;
2)х’-6х-2;
3)2х2-4x4-12;
4)Зґ2 -12Г4-48;
5)х2+Зх-1;
6)-х24-х-6.
2
1)(х-2)24-3 мас
найменше значен-
ня 3 при х= 2;
2)-(х + 6)2+1 має най-
більше значення 1 при
х -6.
Вправи для самооцінювання
Iе. Виберіть числа, які є коренями квадратного тричлена
4х2 - 4х - 3.
в)3і-1; г)-ЗІ1.
2°. Укажіть квадратний тричлен, який має корені -1,5 та 6.
а)2х*-9х-18; в)х*+7,5х + 9;
б)х* 4-4,5х-9; г)2х’-15x4-18.
3°. Знайдіть корені квадратного тричлена -4х2 -1 їх - 6.
З 3 3
а) -2 і —; б) коренів немає; в) - і 2; г) -4 і —.
4*. Укажіть, який із виразів е спільним множником чисельника
та знаменника дробу
16-Ь2
Ь2-12-Ь’
а)Ь+4; б)д-4; в)4-Ь; г)б+3.
20 4-х -х’
5 . Скоротіть дріб —- --.
Зх-15
«>|(»+4)і б)-і(х-4); в)-1(х + 4); г)1(х-5).
о о о о
14-х
6 . Укажіть дріб, при скороченні якого отримаємо дріб-.
х-3
. Ха4-Х4-2 Л х’-2-х . х’ 4- х-2 . х^-2-х
б) - ; в)—— г)——---------------.
Xі-5x4-6 X 4-64-бх Xі-5x4-6 6-5x4-X2
7е>. Визначте, при якому значенні х квадратний тричлен
2х2-4х4-7 набуває найменшого значення.
а)Прих = 0; 6) при х-1; в)прих = -1; г)прих=2.
о х. - 2та-5тп4-2 ,Л
8 . Знайдіть значення дробу---------------при т = -10,
тл-2н-3т4-6
п - -0,5.
а) 6; б)-6; в)-8,4; г)8,4.
9**. Визначте значення Ь, при яких можна скоротити дріб
4х2 -9x4-2
Х4-2Л
О О о о
§ 23. Квадратний тричлен, його корені,
розкладання квадратного тричлена на множники
Вправи для повторення
490. Знайдіть значення виразу:
1)—?^+—3)(Тт^4>/з+>/7 + 4>/зҐ;
1 5-Зх/б 5 + 375 ' '
2 ) 4—г= + —?=; 4)(79-4л/5 ->/9 + 45/5 І .
12-5>/б 12+576 \ '
491. Спростіть вираз:
2* 4Л2-Є
1>2к + 1 4Л2 + ?+4АҐ
Зт 9пі2-4л2
2)----------•--------г;
3/п + 2л 9пґ+12/ПЛ + 4гґ
Зд+2 20 2-Зд .
<72-2*7 + 1 (д2-1)2 д2 + 2^ + 1’
24 + 3 112 3-24
42-44 + 4 (42-4)2 ’ 42 + 44 + 4‘
492. Із двох земельних ділянок, виді-
лених агролабораторією для дослі-
дів, зібрали 14,7 ц зерна. Наступного
року, після використання нових ме-
тодів агротехніки, урожай на першій
ділянці підвищився на 80 %, а на
другій - на 24 %. У результаті з двох
ділянок було зібрано 21,42 ц зерна.
Скільки центнерів зерна зібрали з
кожної ділянки після використання
нових методів агротехніки?
493. Розв’яжіть рівняння:
У-2 у-2 Є + 2 ґ + 2
494. Розв’яжіть рівняння двома способами: а) розкриваючи
Дужки; б) вводячи заміну і = 2х-1. Установіть, який із способів
Ра ціональніпіий:
1)(2х-1)1+3(2х-1)+2=0;
2)(2х-1)‘ + 4(2х-1) + 3 = 0;
3)(2х-1)2-7(2х-1) + 10 = 0;
4)(2х-1)2-6(2х-1) + 8 = 0.
§24• РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ,
ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
• як звести рівняння до квадратного;
• які рівняння називаються цілими раціональ-
ними;
* які рівняння називаються дробово-раціональ-
ними.
У § 1 і § 7 ми ознайомилися з цілими та дробовими раціо-
нальними виразами. Серед рівнянь є також цілі раціональні та
дробові рацдональні. Якіцо обидві частини рівняння - цілі ви-
рази, то таке рівняння називається цілим раціональним, якщо
ж одна з частин рівняння - дробовий вираз, то рівняння нази-
вається дробово раціональним. Значна частина рівнянь, як
цілих, так і дробових, зводиться до квадратних. Будь-яке
раціональне рівняння можна замінити на його області
визначення рівносильним йому цілим рівнянням, ліва частина
якого - многочлен стандартного вигляду, а права - нуль.
Нагадаємо, що коли рівняння з однією змінною записано у
вигляді Р(х) = 0, де Р(х) - многочлен стандартного вигляду, то
степінь цього многочлена називають степенем рівняння. На-
приклад, - хж - 8х+5=0- рівняння третього степеня.
Степенем довільного цілого рівняння вважають степінь
рівносильного йому рівняння вигляду Р(х) - 0, де Р(х) - много-
член стандартного вигляду. Можна довести, що рівняння
третього степеня мають не більше як три корені, четвертого -
не більше як чотири корені і т. д. Взагалі, рівняння п-го степеня
має не більше як п коренів. Це доведення досить складне, з його
доведенням ви ознайомитеся пізніше.
Зауважимо, що рівняння третього й четвертого степенів ма-
ють свої формули коренів, але вони також складні. Для
рівнянь степенів, вищих за четвертий степінь, таких загальних
формул немає.
У практиці часто трапляються рівняння, які за допомогою
спеціальних прийомів зводяться до розв’язування квадратних
рівнянь.
Зупинимось на найпоширеніших:
1) рівняння, що зводяться до добутку, який дорівнює 0;
2) рівняння, що розв’язуються способом введення нової
змінної;
3) дробово-раціональні рівняння.
$ 24. Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння Зх’-х2 + 18г-6 = 0.
Розв’язання
Зх’-х2 + 18х-6 = 0.
Зх’-х’+(18х-6)=0,
х’(Зх-1)+6(Зх-1) = 0.
(Зх-1)(х’ + б) = 0,
Зх -1 = 0 або х~ + 6 = 0,
коренів немає.
Відповідь
Як. «издо+еКЛи.
Використовуємо рівносильні
перетворення: розкладаємо лі-
ву частину даного рівняння на
множники способом гру нукан-
ня. Отримуємо!. Зх-1)(х2 +б) = 0.
Відомо, що добуток дорівнює
нулю, якщо один з його множ-
ників дорівнює нулю. Звідси
лінійне рівняння Зх -1 = 0 має
1
єдинии коріньх = —, а квадрат -
8
не рівняння х2 + 6 = 0 не має ко-
ренів.
т 1
Таким чином, х = —.
З
Зауваження. Якщо ціле раціональне рівняння має вигляд
Р(х) = 0, де Р(х)- многочлен стандартного вигляду, то зручно
розкладати ліву частину рівняння на множники (якщо це мож-
ливо).
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння х4 - 8х2 -9 = 0.
Розв’язання
х4-8х2-9 = 0.
Нехай х2 = І (г>0).
Тоді Г*-8*-9 = 0.
^=(-4)*-4 (-9) = 25,
Є = 4±5. і, = -1,ґ2=9.
1)х2=-1 або 2) х1 =9.
коренів немає: х = ±3.
Відповідь. х=±3.
Як. кДЛонДмАи.
Дане рівняння четвертого сте-
пеня легко розв’язується за до-
помогою введення нової змінної.
Позначаємо х2=і, отримуємо
квадратне рівняння і2- 8ґ - 9 = 0,
корені якого -1 і 9. Враховуючи
заміну, маємо рівняння х2 = -1 та
х2 = 9. Перше з них не має роз-
в’язків, а коренями другого є
числа 3 і -3. Таким чином, х = ±3.
Рівняння, розв’язане у прикладі 2, можна записати в загаль-
ному вигляді: а х4+Ь х2+с = О, де а#0. При введенні нової
змінної х2 - і, де і > 0, його зводять до квадратного аі2 4- Ьі + с = 0.
Повертаючись до заміни, знову отримують неповне квадратне
рівняння, тому такі рівняння отримали назву біквадратні
рівняння (Ьі - двічі).
Традиційним способом розв’язування дробово-раціональних
рівнянь є зведення до спільного знаменника всіх доданків, які
в більшості випадків переносять у ліву частину рівняння, і ви-
Р(х)
користовують умову рівності дробу нулю, тобто дріб —Т"4 = 0
<?(х)
тоді і тільки тоді, коли Р(х) = 0, а (?(х) *0.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння
1 1 8
----+ я “5 •
х+2 х -2х х -4х
Розв’язання
Як. кДМІміМлО.
х + 2 ха-2х х’-4х’
11 8
х + 2 х(х-2) х(х-2)(х + 2)’
ОДЗ: х*0, х#-2, х*2.
1______« — О.
х + 2 х(х-2) х(х-2)(х + 2)
ха- 2х + х + 2-8
х(х-2)(х + 2)
х2-х-6 = 0.
х = 3 або х = -2
(х = -2 не задовольняє ОДЗ).
Відповідь, х-3.
Розкладаємо кожний із
знаменників на множники.
Знаходимо ОДЗ рівняння:
х*0 та х * ±2. Переносимо
всі доданки в ліву частину рів-
няння, зводимо їх до спіль-
ного знаменника. Виконавши
рівносильні перетворення,
отримуємо дробове рівняння:
х2-х-6 Л .
—----—----— = 0. Звідси ко-
х(х-2)(х + 2)
рені рівняння х2-х-6 = 0 є
можливими коренями зада-
ного рівняння. Враховуючи
ОДЗ, маємо, що х = 3 - єди-
ний корінь.
Вправи для закріплення
495°. Визначте степінь рівняння:
1)Зх2-х + 5 = 0;
2)Зх + 1 = 0;
3)7х’-2х-1 = 0;
ф 24. РОЗв язуваннм рюпмм», ЛЛІ .... ....__
4) 2х4 - 5х 4-х10 =0; 5)^х+?—®ха; б)х*-(ха-2), = 0.
З З
496’- Розв'яжіть рівняння:
1) 2х(х-3)4-4(х-3) = 0; 5) (х-3)(х + 3) = 5х-13;
2)(Зх-1)(х+5)-2(х + 5) = О; 6) (х + 4)(2х-1) = х(Зх4-11);
3)х’-16 = 0; 7)-х(4х4-1)=(х4-2)(х-2);
4)81-ха=0; 8) 7(1-х) = (2х + 3)(1-х).
497°. Розв’яжіть біквадратне рівняння:
1)х‘ +5ха-36 = 0; 3)х44-17ха-18 = 0; 5) х4-8ха 4-16 = 0;
2) х4 - 1 Зха 4- 36 = 0; 4) х4- 8ха- 9 = 0; 6) 25х4 - 40ха 4-16 = 0.
-198°. Знайдіть корені біквадратного рівняння, якщо це можливо:
1)х4-26ха + 25 = 0; 3)9х4-32х’-16 = 0; 5) х4+25-10ха=0;
2)х4+8ха-9 = 0; 4)100х4-41ха+4 = 0; 6) 16х4-72ха+81 = 0.
Розв’яжіть рівняння (499-501).
3)
2)=—-6ж=5; 4)
З
5
2 7
Зх2 4- х 2-7х Зха4-17
5
10
4)(8х-1)(2х-3)-(4х-1)> =38;
2) 5(х-2) = (Зх4-2)(х-2);
5)~з
о. (1 ч/< X 4ха4-х 5х-1 Xа 4-17
3)’Х1з’ХГ(1+Х)(1"Х)! в>~3---------6—9—
501’. 1)/ -ж».(іЛ2Х*Л2Х*2Ї) ; 2)0.5/ -0.5«(!/ + 1)(|,-3) = 7.
4
302*. Доведіть, що рівняння:
1) Зхв+2х<4-7х24-1 = 0 не має
коренів;
2) 2г"4-хв + 5х2 = 0 не має
ні додатних, ні від’ємних коренів;
3) 7х* + Зх3 4- х - 0,1 = 0 не має
від’ємних коренів.
Проаналізуйте
знак лівої части-
ни рівняння.
Розділ ПІ. Квадратні рівняння
503*. Розв’яжіть рівняння, використовуючи введення нової
змінної:
1)(2ха + 3)*-б(2ха+ 3) + 4 = 0; 3)(х*+х + 1)(х2+х + 2)-12 = 0;
2)(/-2у)’-7(у2-2і/)-8 = 0; 4)(2х2+х-1)(2х2+х-4) + 2 = 0.
Розв’яжіть рівняння (504-506).
504*. 1)(/ + 3)’ =28(/ + 3)-171;
2)(<2+ 4$)*-(<’+4/) = 20;
3)(т2 + т)(т2 + т-5) = 84;
4)2(х’-х+1)*-3(х* -х+1)-2 = 0.
х2 2х
505*. 1)т^- = А-
2)^-і= —;
х+5 х + 5
п,х +3х х -х
3) ~ = ~—;
х-4 4-х
х2 — 6х Зх-4
Зх-1 1-Зх
506*. 1)
2х + 3 Зх+2
_ — _____ •
х + 2 х
4/ + 1 Зґ-8
Г-3 " 1+1 ’
у + 3 2у + 3
У-З у
5а-2 _ За + 2
4 га + і' аТ?
507*. Знайдіть корені рівняння:
,.х’-2х х-2 5х-2 6х-21
1)-----=-----; 3)----»-------;
х+4 4+х х+2 х-3
х2 -2х _ 4х -3 2у-5 _ Зу + 21
“2ГТ"Ь2х: 4 у+ 5 ~ 2у-1 ’
Розв’яжіть рівняння (508-509).
508М)——=0; 3)— =2х+1;
3-х х-2
2)———
2х-1
4) 2/-ь5у + 2
2)(^ + 5Г-23)’-2(га + 5Г-23) = -1;
§ 24. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних
3)(х’-х-1б)(х*-х + 2)=88;
4) (2хг +7х - 8)(2х2 + їх - 3)-6 = 0.
Розв’яжіть рівняння (510-511), розклавши ліву частину на
хножвики.
510**. 1)/’ + 14-51’-512 + 41 + 4 = 0;
2) / ~ У* - б/ + 6у2 - 7у + 7 = 0.
511е*. 1)х’ -х2 -4(х-1)2 =0;
2) 2у3 + 2уг = (у + 1)2;
3)6х’-31х’-31х+6 = 0;
4) 5х3 -19х2- 38х + 40 = 0.
Розв’яжіть рівняння (512-515).
3)-^- = 2х-1;
х + 3
2)31/а±.^24 = _2;
513**. 1)—9 + ^1®
2)
3^-1 6у + 16
2у-3 2у + 3
Зу-3 + 6 + 2^
Зу-2 Зі/42
з)-?----
х + 2 2-х х’-4
4) 2У~8 + 10 = У + 4
у-5 у2-25 у + 5
3)_1_._2_ = _3_.
х + 5 х-5 25-х’’
2/-2 ( 18 1-6
1 + 3 9-1’ 1-3
515". 1)-*
14
І) — +
2)_-----—-----
Зх +1 9х + 6х +1
3)_Ц + _Ц-_«_=0;
(х-3) (х + 3)2 х -9
3_ + 4 =______3^
1-4«/2 2уг+у 4у2 +1 + 4у’
516*#. Знайдіть суму коренів рівняння:
5 < 8_ 2+у 2х-7 х + 2 х+6
у + 3 у у*+3у' х-4 х+1 (х-4)(х + 1)
Розв’яжіть рівняння (517-518).
517“ = —-------—;
а1+27 а’-За + 9 а+3
2)_£±3_+—3_____1_.
9/+3У + 1 27/-1 Зу-Ґ
- — - — •
х*-3х’-4х + 12 (х + 2)(х-3) х-2’
518*. 1)х*+3х = —т—--;
х’ + Зх-2
2,('-2^+7)=(Пї^:
3)(х*+2х)*-(х+1)’=55;
4)(х’-5х)(х + 3)(х-8)+108 = 0.
Можлива заміна:
х2 + Зх = у;
х2+ 5х = Г;
ха + 2х = т;
х2 - 5х = у.
Вправи для самооцінюваяяя
1°. Укажіть рівняння, степінь якого дорівнює 5.
а)2х5 -2(ха -1)+х‘-х = 3;
б) хв +8х“ — (ха-2)а = 0;
в)х5 -2(х* -1) = х“;
г)(х2-1)(х’ +2)-(х2 +4)(х’-1) = 3.
2°. Визначте натуральні корені рівняння О.бх3- 72х = 0.
а)0і12; б)-12 і 12; в)-12; г) 12.
3°. Розв’яжіть біквадратне рівняння 5х*-7х2+2= 0.
а)1і?; б)±1; в)±1і±4^; г)±Д
5 5 т 5
4*. Знайдіть суму коренів цілого рівняння (6-хМ6+х)-(х-11 )х = 18.
а) 5,5; 6)9; в)-5,5; г)-9.
§ 24. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних
Визнайте, яке з цілих рівнянь не має дійсних розв’язків.
а)х(х-2)(х-3)(х + 5)(6-2х) = О; в)2х(х1 + 5х-6) = 0;
б)(/п*+4)*+6т2 +11 = 0; г)ти + /и5 -2 = 0.
В*. Укажіть числа, які не можуть бути розв’язками рівняння
18 16
4х2+4х + 1 2х2-х 4х2-1
а)0і±|; б)0і-|; в)±|; г)0і|.
ля & &
7**. Знайдіть добуток коренів рівняння у завданні 6.
а)-1,4; 6)1,4; в) 0,05; г)-0,05.
, З 3 4-х
8 . Розв яжіть рівняння — + —;-=------.
X х -11х 11-х
а) 0 і 7; б) 2 і 5; в) коренів немає; г)10і-3.
(х+1ї ґх + 1 )
----- + 51--- 1+1 = 0.
X ) [ X )
а)-1,3; б)-0,7; в)-1,25; г)0,3.
Вправи для повторення
519. Розв’яжіть систему рівнянь двома способами: а) способом
підстановки; б) за допомогою теореми, оберненої до теореми
Вієта, якщо х^ х, х2= у, де хр х2 - корені деякого квадратного
рівняння.
1)
х + у = -1.
ху=-12;
х + ^ = -5,
<
ху = -14;
2)
х + у = -2,
*
ху = -15;
3)
520. Знайдіть, при якому значенні Ь рівняння:
1)х2-бх + 15 = 0
2) Є2-бГ + 12 = 0
3)у2-5у+ 30 = 0
4)х2-52 + 24 = 0
має корінь х0 = 3;
мас корінь ґд = 4;
має корінь у0 - 5;
має корінь г0 =6.
521. Визначте корені рівняння та зробіть перевірку:
и2-4и2-25
Зг’-4г2+1
л*-9
п’+2л2-45
4)—/— = 0.
2р3-Зр’-4
2)
якщо
А = 0.
В#0,
де А, В ~ многочлени.
522. Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
х2—ху = 6,
2х + у = 3;
х2 -ху = 12,
Зх + у = 8;
3)
х2 - ху = 20,
*
4х + у = 15;
Перевіркою переконайтеся, що
х=0 не є коренем першого
рівняння системи, а отже, не є
розв’язком і самої системи рівнянь.
Помноживши обидві частини другого
рівняння на х, отримаєте протилежні
вирази: -ху та ху. Тому в результаті
використання способу додавання
знайдете одразу квадратне рівняння.
4)
х2-ху = 30,
1
5х + у = 24.
Описаний спосіб поширюється і на складніші системи
’ £ рівнянь. Наприклад:
1)
х2 -4ху = 12,
2х + у = 3;
2)
х2-6ху = -32,
2х + 3у = 13.
523. Складіть математичну модель задачі, ввівши одну змінну:
1) сума двох чисел дорівнює 10, а добуток - 21;
2) одне з двох натуральних чисел на 13 більше за друге, а їх
добуток дорівнює 90;
3) півпериметр деякого прямокутника дорівнює 17 см, а
площа - 70 см2;
4) довжина ділянки прямокутної форми на 3 м більша за її
ширину, а площа дорівнює 54 м2.
Г Який вид рівнянь є математичними моделями заданих
’ І задач?
§25.
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ
КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ ТА РІВНЯНЬ,
ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ
Опрацювавши цей параграф, ви будете знати:
• як скласти математичну модель задачі;
• як розв’язати задачу за допомогою рівняння;
• як проаналізувати отриманий розв’язок рів-
няння.
Те, що рівняння можуть слугувати математичними моделями
реальних ситуацій, вам відомо. Цілий ряд відповідних прикла-
дів ми розглянули ще в 7-му класі. Розглянемо кілька прикладів
застосування розглянутих у попередніх параграфах раціональ-
них рівнянь до розв’язування задач.
Задача 1. Відстань між двома населеними пунктами стано-
вить 60 км. Перед відправкою поїзд затримали на 5 хв. Щоб
запобігти аварійності та прийти у призначений пункт за розкла-
дом, машиніст збільшив швидкість поїзда на 10 км/год. З якою
швидкістю їхав поїзд?
Розв’язання
у» км/год км 1, год
За розкладом X 60 60 X
Фактично х + 10 60 60 х + 10 на 5 хв менше
Позначимо швидкість, з якою
поїзд мав рухатися за розкла-
дом, через х км/год, тоді фак-
тична швидкість (х+10) км/год.
Поїзд мав проїхати відстань
ЛП 60
60 км за — год, але через за-
х 60
тримку затратив---— год, що
г 5 1
на 5 хв = — год = — год мен-
60 12
ше, ніж запланований час.
Як, ь-ОЯС-иЛАигІІА,
Складаючи математичну
модель задачі, приходимо до
дробово-раціонального рів-
60 60 1 о
няння ---------=—. Вико-
х х + 10 12
нуємо рівносильні перетво-
рення, після чого отримуємо
рівняння:
ха + 10Х-7200 о
12х(х + 10)
Використовуючи умову
рівності дробу нулю, масмо:
х^-90, х2=80, причому
х(х+-10)#0, тобто х#0,
х* -10.
Оскільки швидкість не мо-
же бути від’ємним числом,
то розв’язком може бути
16-Аідввгв
Продовження розв'язання задачі 1
Як.
лише х2 = 80. Перевіркою пе-
реконуємося, що х2 = 80 задо-
вольняє умову х(х + 10)#0.
Тому швидкість поїзда за роз-
кладом мала бути 80 км/год,
а рухався він зі швидкістю
на 10 км/год більше, тобто зі
швидкістю 90 км/год.
Зауважуємо, що розв’язува-
ти складене рівняння можна
будь-яким відомим вам спо-
собом, проте записи введен-
ня змінної, процесу створен-
ня математичної моделі
(рівняння), його розв’язання
та відповідь є обов’язковими.
Як.
Складаємо рівняння:
60 60 1
х х+1012*
60 60 1 0
х х+10 12
720(х + 10)-720х-х(х + 10) _о
”Ї2х(х+10)
720х+7200-720х-х3 -Юх
12х(х + 10)
х’+1Ох-72ОО = О.
х*0, х#-10.
Xі + 10х -7200 = 0, звідси
хх = -90 < 0 (не задовольняє
умову задачі),
х2=80. Отже, х + 10 = 90.
Відповідь. 90 км/год.
Зауваження. При розв’язува нні задач за допомогою рівняй ь
не обов’язково знаходити ОДЗ рівняння. Досить проаналізувати,
що згідно з умовою задачі х>0, тому х + 10>0. Таким чином,
жодний із знаменників не перетворюється на нуль, і отримані
додатні розв’язки рівняння задовольняють умову задачі.
Задача 2. Периметр прямокутного трикутника дорівнює ЗО см,
а один із катетів на 7 см менший, ніж другий. Знайдіть сторони
трикутника.
Розв’язання
Нехай менший катет три-
кутника дорівнює х см, тоді
більший катет - (х + 7)см.
а гіпотенуза дорівнює
р -(х + х +7) = (23-2х)см.
З теореми Піфагора маємо
рівняння:
х’+(х+7)’«(23-2х)а.
х2 +х* + 14х + 49 =
= 529-92х + 4х2.
2х2-Ю6х +480 = 0, | :2.
х’-53х + 240 = 0.
Звідси хх = 5, х2 = 48.
Однак х, = 48 > Рд (не
задовольняє умову задачі).
Отже, х = 5, х + 7 = 12,
23-2х = 13.
Відповідь. 5 см, 12 см, 13 см.
Як. кДЛииллїіУ.
Традиційно сторони прямо-
кутного трикутника позна-
чають: а і Ь - катети, с - гіпо-
тенуза. При а<Ь позначимо
а = х, Ь = х + 7 і с=Рд-(а+Ь) =
= Р- (х + х + 7) = ЗО - (2х+7) =
= 23-2х.
За теоремою Піфагора:
с2 = а2+Ь2 або
(23-2х)2 =х2 + (* + 7)2. (1)
Коренями квадратного рів-
няння, до якого зводиться рів-
няння (1), е х= 5 та х=48.
Однак х = 48 не задовольняє
умову задачі, бо довжина сто-
рони трикутника не може бути
більшою за його периметр.
Отже, х = 5. Тому катети три-
кутника дорівнюють 5 см і
12 см, а гіпотенуза - 13 см.
Вправи для закріплення
Розв’яжіть задачі за допомогою рівнянь (524-553).
524°. 1) Сума двох чисел дорівнює 80, а добуток 1200. Знайдіть
ці числа.
2) Різниця двох чисел дорівнює 15, а добуток 1000. Знайдіть
суму цих чисел.
525°. Чи вистачить 70 м сітки для огорожі парканом ділянки
прямокутної форми, ширина якої на 13 м менша, ніж довжина,
якщо площа ділянки дорівнює 300 м2?
528®. Знайдіть довжину і ширину прямокутника, якщо їх різ-
ниця становить 6 дм, а площа прямокутника дорівнює 280 дм2.
527е. Добуток двох послідовних натуральних чисел на 505 біль-
ший за їх суму. Знайдіть ці числа.
528®. Квадрат суми двох послідовних натуральних чисел на 13
більше потроєного квадрата більшого з них. Знайдіть ці числа.
529°. 1) Відстань між двома містами річкою дорівнює 80 км. На
подолання цієї відстані туди і назад катер затрачає 9 год. Знайдіть
власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки 2 км/год.
2) На здійснення рейсу між містами А і В та В і А теплохід
затрачає 20 год. Знайдіть власну швидкість теплохода, якщо
відстань між містами дорівнює 198 км, а швидкість течії річки
становить 2 км/год.
530°. 1) Відомо, що один із мулярів затрачає на виконання де-
якої кладки на 5 год більше, ніж другий. Знайдіть час, який
потрібний кожному муляру окремо для здійснення цієї клад-
ки, якщо обидва муляри, працюючи разом, можуть її зробити
за 6 год.
2) Майстер з учнем виконують деяку роботу за 12 год. Пра-
цюючи окремо, майстер виконує цю роботу на 10 год швидше, ніж
учень. Знайдіть час, який потрібний для виконання цієї роботи
майстру й учню.
531°. Знайдіть площу прямокутника, якщо його периметр до-
рівнює 14 см, а діагональ 5 см.
532°. 1) Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо один
із його катетів на 4 см, а другий на 2 см менші, ніж гіпотенуза.
2) Знайдіть медіану прямокутного трикутни-
ка, проведену до гіпотенузи, якщо периметр
трикутника дорівнює 60 см, а різниця катетів
становить 14 см.
533®. Знайдіть три послідовних цілих числа, сума квадратів
яких дорівнює 77.
534* Підберіть такі три числа, які мо-
жуть бути довжинами сторін деякого
трикутника, якщо одне з них на 4
менше, ніж друге, а третє - па 3 біль-
ше, ніж друге.
Нерівність
трикутника
а + Ь>с
а + с>Ь
Ь + с>а
535*. У залі кінотеатру кількість рядів на 16 менше, ніж кіль-
кість місць у ряду. Чи можна в цьому залі розмістити 6 класів
учнів для перегляду кінофільму, якщо в кожному з них 32 учні?
536*. 1) Дві друкарки, працюючи разом, можуть виконати деяку
роботу за 2 год 24 хв. Знайдіть час, який потрібний кожній
друкарці для виконання цієї самої роботи окремо, якщо полови-
ну роботи друга друкарка виконує на 1 год швидше, ніж перша.
2) Дві бригади, працюючи разом, виконують деяку роботу за
З год 36 хв, а працюючи окремо, половину цієї самої роботи
перша бригада виконує на 1,5 год швидше, ніж друга. За який
час може виконати цю роботу кожна бригада, працюючи окремо?
537* О Щ°б ліквідувати затримку в 1 год на відстані 720 км,
я0Томобіль збільшив заплановану швидкість на 10 км/год.
Зайдіть швидкість, з якою мав рухатись автомобіль.
2) Поїзд затримався в дорозі на 4 хв. Щоб ліквідувати
знПізпення на перегоні в 20 км, було збільшено швидкість поїзда
на Ю км/год. Знайдіть швидкість, з якою мав рухатись поїзд.
538*. Моторний човен пройшов 28 км проти течії річки і 16 км
за течією, затративши на весь шлях 3 год. Знайдіть швидкість
моторного човна в стоячій воді, якщо швидкість течії річки
становить 1 км/год.
539**. Із пункту А в пункт В велосипедист проїхав однією доро-
гою. довжина якої 24 км, а повертався іншою, яка коротша від
першої на 6 км. На зворотній дорозі велосипедист збільшив
швидкість на 2 км/год і затратив на 54 хв менше. Знайдіть
швидкість, з якою велосипедист повертався назад.
540**. Відстань 48 км між селищем і містом однією дорогою мо-
тоцикліст проїжджає за певний час. Назад, повертаючись
іншою дорогою в селище, яка коротша від першої на 8 км, він
збільшує швидкість на 4 км/год і затрачає на 1 год менше, ніж
на дорогу в місто. З якою швидкістю рухався мотоцикліст, по-
вертаючись назад?
541**. Катер проходить 12 км проти течії річки і 5 км за течією.
При цьому він на весь шлях затратив стільки само часу, скіль-
ки йому потрібно було б, якби він ішов 18 км озером. Яка влас-
на швидкість катера, коли відомо, що швидкість течії річки
становить 3 км/год?
542’*. Катер пройшов 15 км проти течії річки і 6 км за течією,
затративши на весь шлях стільки часу, скільки потрібно для
проходження 22 км озером. Знайдіть власну швидкість катера,
коли відомо, що швидкість течії річки становить 2 км/год.
543**. Теплохід пройшов униз річкою 144 км і повернувся на-
зад, затративши на весь шлях 8,5 год. Знайдіть швидкість
течії річки, якщо швидкість теплохода в стоячій воді становить
34 км/год.
544**. Два автомобілі вирушають одно-
часно з одного міста в інше. Швид-
кість першого на 20 км/год більша,
ніж швидкість другого, тому він при-
був на місце на 2 год 24 хв раніше, ніж
Другий. З якою швидкістю їхав перший
автомобіль, якщо відстань між містами
дорівнює 420 км?
545**. Знаменник звичайного нескоротного дробу на 3 більший,
ніж чисельник. Якщо до чисельника цього дробу додати 5, а д0
знаменника - 9, то додатний дріб збільшиться па 0,1. Знайдіть
цей дріб.
546е*. Знайдіть дріб, обернений до звичайного нескоротного
дробу, чисельник якого на 5 більший від знаменника, причому,
якщо від чисельника дробу нідняти 3, а до знаменника додати 9,
17
то отриманий дріб буде менший за початковий на —
18
547**. Різниця кубів двох натуральних чисел становить 1603.
Знайдіть ці числа, якщо їх різниц,я дорівнює 7.
548**. Сума кубів двох натуральних
чисел становить 1547. Знайдіть,
- 100% = т%.
Ь
скільки відсотків складає менше Цей запис означає, що о
число від більшого, якщо їх сума склада£ т % від ь_
дорівнює 17.
549**. Дві труби, відкриті одночасно, можуть наповнити басейн
водою за 3 год 45 хв. Якщо відкрити лише першу трубу, то во-
на наповнить весь басейн водою на 4 год швидше, ніж у разі на-
повнення басейну лише другою трубою. Скільки часу потрібно
кожній трубі для наповнення водою басейну?
550**. Один робітник може виконати певну роботу на 24 год
швидше, ніж другий. Працюючи разом, вони виконують її за
35 год. Скільки часу потрібно кожному з робітників, щоб вико-
нати певну роботу, працюючи самостійно?
551**. Висота Л (у м), на якій через і секунд опиниться тіло, яке
підкинули вертикально вгору, обчислюється за формулою
Л =ооґ - 5ї3, де ц0- початкова швидкість (у м/с). Чи буде тіло па
висоті:
1) 240 м, якщо за 2 с воно піднялося вгору на 120 м;
2) 250 м, якщо за 1 с воно піднялося вгору на 75 м?
552**. Знайдіть двоцифрове число, якщо цифра його десятків
на 2 більша, ніж цифра одиниць, а добуток числа і суми його
цифр дорівнює 900.
553**. Одна з цифр двоцифрового числа на 3 менша за іншу, а
сума квадратів цього числа і числа, записаного тими самими
цифрами, але у зворотному порядку, дорівнює 1877. Знайдіть
це число.
ВпРави для само°иіпювання
І» Виберіть рівняння, за допомогою якого можна знайти роз-
рядок задачі. Визначте два додатних числа, сума яких дорів-
нює 40. а добуток - 256.
а) х(20 - х) = 256; в) х(40 - х) = 256;
б) х(40-х) = 256-40; г) х(20-х) = 256- 40.
2°. Виберіть два оптимальні мотки сітки з нижчевказаною дов-
жиною для огорожі ділянки землі прямокутної форми, дов-
жина якої на 10 м більша, ніж ширина, а площа дорівнює
600 м2.
а) 110 м; б) 100 м; в) 90 м; г)80м.
3°. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо один з йо-
го катетів на 1 см, а другий на 8 см менші за гіпотенузу.
а) 65 см2; б) 60 см2; в) 32,5 см2; г) ЗО см2.
4*. Укажіть два рівняння, які є математичною моделлю задачі.
Мотоцикліст запланував відстань у 240 км подолати за деякий
час. Однак, збільшивши швидкість на 12 км/год, він її подо-
лав на 1 год швидше. Знайдіть швидкість, з якою мав їхати
мотоцикліст.
240 240 , % 240 240 ,
в)ТЙ2“"1і
6)?40^240=12; г)240_240 = ]2
X Х + 1 Х + 1 X
5*. У актовій залі школи кількість рядів на 4 більша, ніж кіль-
кість стільців у ряду. Знайдіть два числа, які можуть визна
чати кількість місць актової зали.
а) 160; 6)192; в) 221; г) 255.
6*. Знайдіть власну швидкість моторного човна, який курсував
по річці між двома пристанями, відстань між якими
дорівнює 60 км, затрачаючи на повний рейс 9 год, якщо
швидкість течії річки становить 1,5 км/год.
а) 12 км/год; б) 13,5 км/год; в) 15 км/год; г) 16,5 км/год.
7**. Два майстри, працюючи разом, можуть виконати деяку ро-
боту за 2 год 24 хв. Знайдіть час, який потрібно затратити
кожному майстру, працюючи окремо, коли відомо, що один
із них виконує цю роботу на 2 год швидше, ніж другий.
а) 3 год і 5 год; в) 4 год і 6 год;
б) 5 год і 7 год; г) 6 год і 8 год.
8**. Ідентифікуйте до кожної умови (а -г), де задано різницю і
суму квадратів деяких чисел а і Ь, відповідне зведене квадратне
рівняння (1-4), за допомогою якого знаходять числа а і Ь.
а)
а+Ь = 5,
а2 +6а=625;
а+ 5 = 4,
а2 + Ьг = 58;
а + Ь = 5,
в2+Ьа =
433;
а+5 = 4,
а’+М=346.
1)х‘- 5х-204 = 0;
2)х2-5х-300 = 0;
3)хж- 4х-165 = 0;
4)ха-4х-21 = 0.
а
б
в
г
9**, Катер пройшов 32 км проти течії річки і 10 км за течією,
затративши стільки само часу, якби він рухався по озеру
45 км. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість
течії річки становить 2 км/год.
а) 22 км/год; б) 20 км/год; в) 18 км/год; г) 16 км/год.
556. Турист спланував, що відстань, яка дорівнює 40 км, він по-
долає до сутінків. Однак, .збільшивши швидкість па 1 км/год,
він прибув у запланований пункт на 2 год раніше. З якою
швидкістю рухався турист?
557. Не розв’язуючи рівняння:
1)х2 + 10х + 6 = 0; 3)х2-8х+7 = 0;
2)х2+6х-13 = 0; 4)х2 +4х-9 = 0,
знайдіть значення виразу:
а)х/+х£; б) — +—; в) х, + х2, де хр х, - корені кожного
Х2
з рівнянь.
558. Знайдіть корені квадратного тричлена:
1)х2+5х-14; 3)х2+5х + 14;
2)-х2-5х + 14; 4)х2-5х-14.
Готуймося до тематичного оцінювання
«Задачі та рівняння, які зводяться до квадратних»
• Запитання для самоконтролю □
1. Що називається квадратним тричленом?
2. Що називається коренем квадратного тричлена?
3. Як розкласти квадратний тричлен па лінійні множники?
4. Які завдання вимагають використання розкладу квадрат-
ного тричлена на множники?
5. Які рівняння називаються цілими раціональними?
6. Які рівняння називаються дробово-раціональними?
7. Які рівняння називаються біквадратними і як їх розв’я-
зують?
8. Який алгоритм розв'язування рівнянь за допомогою
введення нової змінної?
9. Як розв’язують рівняння вигляду Р(х) = 0, де Р(х) - мно-
гочлен стандартного вигляду?
10. Які способи розв’язування дробово-раціональних рів-
нянь вам відомі?
11. Як скласти математичну модель задачі?
12. Чим відрізняється розв’язок задачі від розв’язків рів-
няння як математичної моделі задачі?
• Завдання в тестовій формі О
1®. Виберіть квадратний тричлен, коренями якого е числа -2 і 7.
А)х2+5х-14; В)-х’-5х + 14; Д)х*-14х-5.
Б)х2 +5х + 14; Г)ха-5х-14;
2®. Доберіть до кожного квадратного тричлена його корені.
А) х2 -6х + 5; 1){2; 3}; А
Б)х2 -4х + 3; 2){3; 4}: Б
В) х2 - 5х + б; 3){2; 4}; В
Г)х’-7х + 12; 4){1; 5}; Г
Д)х2-6х + 8. 5){1; 3}. Д
З®. Виберіть два квадратні тричлени, які правильно розкладено
на множники.
А)х2 + 5х-36 = (х-9)(х + 4); Г)х2 +5х-6 = (х + 6)(х + 1);
В)х2 + 5х-14 = (х-2)(х + 7); Д)х2 + 5х+6«(х + 2)(х+3).
В)х2 +5х-24 = (х-3)(х-8);
4®. Укажіть дві правильні рівності раціональних дробів.
ха-7х>10 (х-5)(х-2) г х*-9х + 10 (х-10)(х + 1)
х2+2х-8 (х-4)(х-2)’ х2-15х + 50 (х-10)(х-5)
х2-4х-21 _ (х-7)(х + 3) х2+10х-16 (х + 8)(х-2)
Б х2+9х + 18 (х + 3)(х+6)’ х2-10х + 16 (х-8)(х-2)
Вї **~7*~в_(х-6)(х+1)
х’+5х-6 (х + 6)(х-1)’
5е. Виберіть квадратне рівняння, яке рівносильне рівнянню
(Зх-1)(х+2)20 0
А) Зхг+5х-22 = 0; В)3х2+ 7х-22 = 0; Д )3х2 +бх-20 = 0.
Б)3х2-7х-18 = 0; Г) Зх2 + 5х-18 = 0;
6е. Укажіть біквадратне рівняння.
А)х4-х + 3 = 0; В)х4-х2-2 = 0; Д)х4 + х’-8 = 0.
Б)х4+х’-х = 0; Г)х4-16 = 0;
7°. Складіть математичну модель текстової задачі.
Відомо, що одна сторона прямокутника на 3 см менша за
другу, а його площа дорівнює 70 см2.
А)(х + 3) х =70; В)(х + 3х) 2 = 70; Д)х(х + 3) = 35.
Б)х Зх = 70; Г)х(х-3) = 70;
8°. Укажіть два правильні переходи до квадратного рівняння за
допомогою введення допоміжної змінної.
А)2х4-9х2+4=0. 2уг-9у2 +4 = 0, де у = хг;
Б)х4-Зх2-4 = 0, Г*-3*-4=0, де / = х2;
В)(х-1)4-2(х-1)-3 = 0, х4-2?-3 = 0, де г = (х-1)ї;
Г)(2ха-х)*+2х’-х+3 = 0, р2 -р+3 = 0, де р = 2х2-х;
Д)5х-11>/х+2 = 0, 5г2-11г + 2 = 0, де г = \[х.
9е. Визначте квадратне рівняння, до якого зводиться дробово-
раціональне рівняння
х-2 5
х + 4 х-4 х2 —16
А)х2-11х-30 = 0; В)хг-х-2=0; Д)х2-х-12 = 0.
В)х2 + х-2 = 0; Г)х2+х-12 = О;
10°. Виберіть рівняння, яке є математичною моделлю задачі.
Знайдіть катети прямокутного трикутника, коли відомо, що
один із катетів на 2 см менший від другого, а гіпотенуза до-
рівнює 10 см.
А)х’+(х-2)а=(10-2)а; Г)х2+(2-х)а =10’;
Б)х’+(10-х)а =(10+2)а; Д)х2+(2х)а = 102.
В)х2 +(х + 2)а =102;
Розділ 111. Квадратні рівняння
п - . .< - . Зх2-7х + 4
11. Виберіть дріб, яким отримали при скороченні —---
9х’-8х-1
..Зх + 4 „.Зх-4 _.Зх-4
А)----; Б)------; В)-----;
9х + 1 9х + 1 9х-1
Зх + 4 х+4
9х-і; Зт-1
12*. Ідентифікуйте парами рівносильні рівняння (А-Д) та (1-5).
А)(х + 3)’ =(2х-1)а;
1)3х2-16х + 5 = 0;
В)(Зх+1)'=(х-2)’;
В)(2х + 3)’=(х+1)’;
Г)(3х-2)’=(2х+1)‘;
Д)(2х-3)’-(х+2)'.
2)3ха+10х + 8 = 0;
3)3х2-10х-8 = 0;
4)8х2 + 10х-3 = 0;
5)5ха-16х + 3 = 0.
А
Б
В
Г
д
ІЗ*. Визначте серед умов (А-В) таку, яка задовольняє чотири із
п’яти заданих рівнянь (1-5), і таку, що не задовольняє жод-
ного з них.
А)х = ±4;
Б)х = ±1;
В)х = ±2.
1)х‘-х’-12 = 0;
2) х4 - 26х2 + 25 = 0;
3)х4 + Зх2-28 = 0;
4) х4-5х2+4 = 0;
5)х4-13х2+36 = 0.
Б
В
14*. Доберіть до кожної встановленої залежності (А-Д) між сто-
ронами (а і Ь) прямокутника його відповідний периметр (Р),
коли відомо, що площа цього прямокутника дорівнює 96 см2.
А)а:Ь = 1:24;
Б) а-Ь = 29;
В) а = 65;
Г) Ь — а +10;
Д)- = ?.
5 3
1)Р =44 см;
2) Р = 100 см;
3) Р = 40 см;
4)Р=70 см;
5) Р = 56 см.
А
Б
В
Г
д
15*. Утворіть квадратне рівняння, виконуючи рівносильні пере-
творення па всій області визначення дробово-раціонального
Зх + 11 2х-9 _
рівняння------+------= 7.
х+2 х-4
Готуймося до тематичного оцінювання
А)7х2-8х+6 = 0; В)х2+4х-15 = 0; Д)2х2-10х + 6 = 0.
Б)5х2+8х-6 = 0; Г)х2-4х + 3 = 0;
16*. Визначте рівняння, розв’язками яких є протилежні числа:
2хг-Зх-2
ха -4х + 4
2хг + Зх-2 , Е Зхг-2х-4 ,
—• — 1 • 5 ) :----— 1.
ха+4х + 4 2х -Зх-2
2хг-3х + 1
О
Зха-2х-1
41 Р-4x73 =
А) 1 і 3; Б) 3 і 5; В) 2 і 4; Г) 1 і 4; Д) 2 і 5.
17*. Знайдіть катети прямокутного трикутника, коли відомо,
що їх сума дорівнює 14 см, а гіпотенуза - 10 см.
А) 4 см і 10 см; В) 2 см і 12 см;
Б) 6 см і 8 см; Г) 4,5 см і 9,5 см;
Д) 5,5 см і 8,5 см.
18*. Знайдіть власну швидкість катера, якщо на рух від приста-
ні А до В та від В до А, відстань між якими 80 км, затрачено
9 год, а швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.
А) 16 км/год;
Б) 18 км/год;
В) 20 км/год;
Г) 22 км/год;
Д) 24 км/год.
19*. Виберіть два рівняння, що задовольняють умову задачі.
Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяку
роботу за 4 дні. Перший робітник може виконати цю роботу
на 6 днів швидше, ніж другий. Скільки днів затратить на цю
роботу перший робітник?
АЇ1 1 1 1 1 „Л 1 1
А)ГіГ’4: В)Гі=Гб: д,х+774ж5-
В)1 + -І- = 1; + =
х х + 6 4 х х-6 4
ол- о а Зх 2х 3(х-2)
20 . Знайдіть добуток коренів рівняння-ж—г----
х-1 х + 2 х2+х-2
А)-6; В)-3; В) 3; Г) 6; Д)-2.
21**. Виберіть заміну, яка зводить рівняння
1 15 115
—------+ —------=-- ДО ВИГЛЯДУ --+---=----.
х2+2х + 1 х +2х + 3 12 і-а Г+а 12
А)/ = ха + 2х + 1; В)ґ = х2+2х + 3; Д)Є = х2.
Б)Г = х2 +2х + 2; Г)ґ = х2+2х;
Розділ ПІ. Квадратні рівняння
22е*. Укажіть рівняння, яке є математичною моделлю єгипет-
ського трикутника.
А)(х-7)* +х2 = (х+1)2; Г)(х-8)2 +ха =(х + 2)а;
В)х’+(х+2)ї =(х+4)*; Д)ха +(х+1)’ =(х+2)2.
В)(х-8)2+(х-4)’=х2;
23**. Визначте рівняння, іцо підпорядковуються умові: корінь
одного рівняння є арифметичним значенням кореня другого:
1)5х + 2<х-7 = 0; 3) 2у - з/у - 2 = 0; 5)3г+ >/г-52 = 0.
2)Г-ЗЛ-10 = 0; 4)Зи-2<и-21=0;
Л) 1 і 3; Б) 2 і 4; В) 3 і 5; Г) 1 і 4; Д) 2 і 5.
24е*. Визначте квадратне рівняння, яке отримали, вводячи де-
яку підстановку, при розв’язуванні рівняння
(х2+Зх+ 5)2-х2-Зх-11 = 0:
1)Є2-Г-11 = 0; 3)(Г+5)’-Г-16 = 0; 5)Г*-Г + 6 = 0.
2)(г+5)*-Є-11=0; 4)Га-Г-6 = 0;
А) 1 і 2; Б) 1 і 3; В) 3 і 4; Г)2і4; Д) 4 і 5.
25**. Визначте рівняння, добуток коренів яких є протилежними
числами:
х±23 + 2х214 = 10. 4)2^+£±^=6;
х+3 х-4 «-1 »+5
Л. 2х-1 Зх +41
2)-----+------= 10;
х-2 х+3
х+3 х+2
----+----
Зх-9 х + 4
2х + 9 х-17
—---+ —• =
х+2 х + 4
А) 1 і 2; Б) 2 ІЗ; В) 2 і 5; Г) 1 і 4; Д) 2 і 4.
26е*. Укажіть рівняння, в яких раціонально виконано групу-
вання:
1)((х-4)(х-7))((х-5)(х-б)) = 360;
2)(х(х-1))((х-2)(х-1)) = 24;
3)((2х-3)(х + 1))((2х-1)(х + 2)) = 36;
4)((2х+1)(х-8))((2х-8)(х+1))=-15;
5)((х + 7)(х-3))((х + 5)(х-1)) = 192.
А) 1 і 3;
Б)1І4;
В) 2 і 4;
Г)2і5;
Д) 1 і 5.
27е*. Знайдіть периметр прямокутного трикутника, коли відо-
мо, що точка дотику, вписаного в нього кола, ділить гіпоте-
нузу на відрізки завдовжки 5 см і 12 см.
А) 38 см; Б) 39 см; В) 40 см; Г)41см; Д)42см.
Визначте рівняння, що відповідає умові задачі.
Два оператори, працюючи разом, можуть виконати набір ру-
копису за 24 год. Якщо половину рукопису набиратиме пер-
ший оператор, а решту - другий, то робота буде виконана за
50 год. За скільки годин може набрати цей рукопис кожний
оператор, працюючи окремо?
..1 1 т1 1 _1 т 1 . 1 - 1
А х 24-х 50’ В х + 50-х 24* Д х 25-х 12*
Б)—; г)і^—!—Ї-;
х 12-х 50 х 50-х 12
29е*. Теплохід пройшов 100 км за течією річки і 64 км проти
течії, затративши на весь шлях 9 год. Швидкість течії річки
дорівнює 2 км/год. Знайдіть відстань, яку зможе подолати
теплохід по озеру за 12 год.
А) 192 км; Б) 216 км; В) 240 км; Г) 264 км; Д) 168 км.
80**. Ідентифікуйте парами дробово-раціональне рівняння та
відповідне йому квадратне рівняння, яке отримали введен-
ням допоміжної змінної.
В)(х’ + х,]-(х + х)-8 = 0; В)(ЖІ + Р’]+7[Ж-хУ10=0; Г)2|хг+Д-|-7|х + -1+9 = 0; X ) х) 9 Д) 4|ха + -і-1+12| X + - |-47 = 0. х ) х) • • • 1)з2+7з + 12 = 0; а Б 2) 4/+123-55 = 0; в Г 3)/-|/-12 = 0; 4)Єа+Є-6 = 0; 5)2<?-7и + 5 = 0. 255
Алгебраїчна скринька
Розділ НІ. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
Неповні квадратні
рівняння
Повні квадратні
рівняння
ах2 +6х =0,
ах2 = 0,
х =0
ахг +Ьх+с ^0
універсальна
формула
якщо Ь~ 2к,
тобто Ь - парне
число, то
ах2 +с-0,
2 с
х = —
а ,
де й-Ь2 -4ас
при ас < 0 при ас > 0
коренів
немає
Теорема Вієта
ах2 +Ьх+с =0 (1)
Якщо хр х2 - корені
рівняння (1), то
= _Ь
а
с
Д=0
Я<0
а
де = к2 -ас,
кл
2
Дослідження кількості коренів
квадратного рівняння
В>0
2 різні корені: х
2 рівні корені: хг -х^ ~
коренів немає
Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники
де хр х2 ~ корені квадратного тричлена
Ь
а
а
ДОДАТКОВІ МАТЕРІАЛИ
ВПРАВИ ДЛЯ УЗАГАЛЬНЕННЯ ВИВЧЕНОГО
В КУРСІ АЛГЕБРИ 8-го КЛАСУ
Вправи до розділу І
9*. Знайдіть значення виразу:
Х + 1 X 1 х2-у* 2 1
х х-1 2 х*-2хі/ + у З У З
п х х-5 5 х2 +2ху + у2 4 З
х-2 х 2 х-у 7 7
560е*. Знайдіть значення змінної х, при яких не існує вираз:
Скоротіть дроби (561-562).
561*. 1)
а2 -5а - 7а + 35
2о-10
562**. 1)
а3 -За1 +2а - 6
а’-27
2) 2~2д2 . зх *>2-*а + *
4а2-8а + 4’ 16-4а2
3) .
а3 + 4а2 -3а-12’
а3-2а2 +а-2
4)
а*-5а2+ 3а-15
а*-125
563*. Запишіть вираз у вигляді нескоротного дробу:
2х + 17 х + 10 . 7-у у'-З + Ьу.
49-хг х‘-49’ 4-р* у‘-4 ’
21 3~2х 4- х . 4) 11-2У _ У2-*-8!/-2
х3-25 25-х1’ у2-9 9-у2
564**. Перетворіть раціональний вираз на раціональний дріб:
2х* + х(х+1) Зхг + 2х(х + 1)
2х(х2-1) 2х(1-хг)’ Зх(х2-4) Зх(4-х2)
1? АідаЬга
3> — Зх(х + 1) .
5х(х’-9) 5х(9-х’) ’
5х» ( 4х(х + 1)
бх(х’-іб) 6х(16-х’)'
565**. Подайте вираз у вигляді дробу:
1% 7аа Ь а2 1
7аЬ-Ь2 49а-7Ь а3-9а 6-2а
2 9а2______х2_________________________£_
' 9аЬ-Ь2 %\а-9Ь' х’-25х * 2(5-х)*
566**. Доведіть, що раціональний вираз дорівнює нулю при
будь-яких допустимих значеннях змінних:
а 1 . а+1
—---------*----4 —= ;
а“+2а + 4 2-а аа-8
а 1 1 + 2а
—і----+----+—і—;
а + а + 1 1-а а-1
3) (а-Ь)(а-1) (а-6)(Ь-1) + (а-1)(6-1)’
_____1____________1 , 1
(а-Ь)(а + 2) (а-б)(б + 2) (а + 2)(6+2)
567е*. Знайдіть натуральні значення л, при яких вираз набуває
цілих значень:
„ 2л-12 Зл + 18 4л-24 5л+30
1) — ; 2) ; 3) - ; 4) - .
2л Зл 4л 5л
568’*. Знайдіть значення виразу:
8д-а а 1
——, якщо —= —:
а 0 2
5а - 4д а 2
-----, якщо - =
а----о З
а + 4Ь а .
2) ——, якщо-= 4;
2а о
569*. Виконайте дії:
(2аЬ2 / Зс* ї З
Ц Зс* ) {2ад2 аЬ;
12а + 15б а 5
-------, якщо - = —
За Ь 11
570е*. Доведіть, що значення виразу не залежить від значень
змінних:
а’-121
а2+а«>-Па-11Ь
а2 + а5 + 11а + 11Ь
а2 +2аЬ + Ь2
аг-2аЬ+Ь2 а2-а5 + 5а-5Ь
2) а2-аЬ-5а + 5Ь' а2-25
х’+3х2+3х + 1 х2+2х + 1
3) 25 « ’ о- » ’
х3-Зх2 +3х-1 х + 1
3х2-3 х2-2х + 1
571*. Спростіть вираз:
2аЬ 1 а2— Ь2
а+Ь / а2 +6а ’
1) а + Ь
а2-Ь2
а2+Ь2'
572**. Виконайте дії:
Використайте
формули:
(а ± Ь)я = а3 ± За2Ь +
+ ЗаЬ2 ±Ь3.
а-4 4а2-9 2а-3
За-1 9а2-6а + 1 За-1
а + 3 9а2 - 4 За - 2
2а-14а2-4а + 1 2а-1
1) 9х*~У* . 9х У
х*у-2ху2 ^2у2-ху 2ху-х*
2) х*-25/ ;ґ 25У
2хгу~ху2 \ 2хг -ху
X
2ху-у2
3) х*~125.( х2-5х 25 \
х + 5 \х2-10х + 25 + х2-25)’
4) ха+64ї х* + 4х + 16 |
1 х-4 *[х2 + 8х + 1б"х2-16 ]'
573**. Доведіть похідні пропорції, коли відомо, що — = —
Ь сі
1)а±Ь = с±гі
а с
3)
ьт <і
а±Ь Ь
о) ----= —
с±сІ д,
2)
а±с а
Ь±<Г~Ь'
а + Ь с+сі
а-Ь с-Л
574*. Знайдіть значення х, при якому значення функції:
5х-1 . л 9-4х „
1) р =--— дорівнює 4; 3) У~~—дорівнює 7;
7 7 “* 3 .у
2) у=----дорівнює 3; 4) у =--дорівнює 5.
х-1 2х-9
575**. Розв’яжіть рівняння:
2х-3 1 2хг+7х-20
х х + 2 х + 2х
Зх + 1 5 Зхг+5х-12
2)----+-----=----=-----
х х-2 х -2х
х 2 2х + 24
МІ ' ___ —
х-4 х + 4 х2-16
.. х 4 9-7х
4)-----------= —= .
х + 3 х-3 х’-9
576*. Знайдіть значення виразу:
1)
577**. Спростіть вираз:
578*. Відомо, що густина повітря дорівнює 1,29 • 10 8 г/см3 при
температурі 0 °С. Знайдіть масу повітря при заданому об’ємі:
1) 1500 см8; 3)2500дм3;
2) 1500 дм8; 4) 2500 м3.
579**. Подайте число у стандартному вигляді:
1)208-10’® •152-10-*;
2) 5302 • 10 8 - 25 • 10'1;
3)0,00512- 10е 0,05- 104;
4) 0,0375 • 10& • 0,024 • 104.
580**. Спростіть вираз при натуральному значенні л:
3" 2 9"'3 1) 2Г • лл 1 ел+1 2) ——; 15" 21" 1 + 2” 3> 7..: 5) у-ут; О’І 1 “ £і 5" 3 25"'* 1-3" 4) < б) ——. 125’ 3 "-1
581*. Побудуйте графік функції:
18 і) у-—; X «V 18 ох ЗО ЗО 2) у-—; 3) у-—; 4) у~ . XX X
Знайдіть за побудованим графіком:
а) значення функції, якщо: х = 6; х = -6;
б) значення х, якщо значення функції дорівнює: 3; (-3);
в) серед точок: М 19; -—
З
9
2>
<?4;
і
такі,
які належать графіку цієї функції.
582**. Знайдіть значення к деякої функції у = — (к * 0, х * 0),
х
коли відомо, що графік цієї функції проходить через точку:
1)М(Л*;4); 2) ЛГ
І 9
3)Р(0,5; 2А3); 4)О(-0,125; -2к3).
Вправи до розділу 11
583*. Чи належить графіку функції у = х2 точка:
3) Р(-1,1;-2,2); 5) N(-2,5; 6,25);
4)0(1,5;3); 6)г(-1.2;-1,44)?
584*. Побудуйте графік функції у = х2, попередньо склавши
таблицю з кроком 0,5, і знайдіть значення:
1) у, якщо х = -1,5; 0,5; 1,5; 3) у, якщо 1 < х < 4;
2) х, якщо у = 6; 3; 2; 4) х, якщо 0 < у < 4.
585е*. Побудуйте графік функції у- -х2. За побудованим гра-
фіком знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює:
-2,5;-1,5; 1,5; 2,5;
2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює:
-4; -2,5; -1; -0,5;
3) значення функції, якщо -2 < х < -0,5;
4) значення аргументу» якщо -4 < у < 0.
586**. Побудуйте графік функції її/, = хг та знайдіть значення:
1) х, для яких -4 < у < 4; 3) х, для яких у > 1;
2) у, для яких 0 < х < 3; 4) у, якщо х= 1,3; 2,1; 3,5; 4,5.
587*. Установіть, без побудови графіків функцій, кількість
розв’язків рівнянь:
15 1
1) у~— та у- 2х + 5; 4)р = х2тау =— х-7;
х 2
27 32
2) у =---та у = -3х; 5)|/ = х2 та у =—;
х х
5 50
3)у = х2 та у-—; 6) у =--та у = 17х.
х х
588*. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій
у = х2 та р = х + 2. Знайдіть координати точок перетину графі-
ків. Складіть рівняння, розв’язками якого були б абсциси цих
точок.
к
589“*. Зобразіть графічно розв’язання рівнянь — = Ьх+с та
X
х2 = Ьх 4- с, де Ь і с - деякі числа, для випадків, коли вони мають:
1) два розв’язки; 2) один розв’язок; 3) не мають розв’язків.
Наведіть приклади до кожного з випадків.
Розв’яжіть графічно рівняння (590—591).
590е*. 1)х2+Зх-4 = 0; 3) х-5=--;
х
2) х2- Зх- 4 = 0; 4) х+5»-.
16 ч
591**. 1) х2 - 18 = 0; 3) — хг-45 = О, 5) -х2-2О = О;
5 5
4 25
2)х2-0,81 = 0; 4) -х2-12 = 0; 6) —ха-27 = 0.
З 12
592**. Обчисліть:
1)(ТЗ+Т27)*; 3)(>/оГ2 + >/0Л)а; 5) (^0,009+ >/0,025)’;
2)(>/27->/з)‘; 4)(>/О-ч/дл)а; 6) (>/о, 018-^0,008)’.
Вправи до розділу ГІ
593**. Доведіть, що значення виразу є цілим числом:
1<(7-4ї/з)’ + ^(3-473)!; 3) ^5-7^5)’-^(17-7л/5)';
2)^16-942)’ +^'(12-9>/2у ; 4) ^4-6>/з)І) 2 -^'(іі-вл/з)’.
594*. Знайдіть значення виразу:
І) <0,01 0,04 0,09 0,16 104 ;
2) <4?2 1,8 2,7 7 163;
3) ^0,2 0,3 0,4 0,5 1,2 10“;
4)7О.< 0’5 0,6 0,7 2,1 10е.
595*. Обчисліть значення виразу, використовуючи властивості
арифметичного кореня:
„ >/Ї4 V28 000 .. Лї <99 900.
1) І г—- » *}) /------- * ~ г=— >
>/56 <70 <4700 <111
<1300 <17 <85 <145
596**. Обчисліть:
1) <0,252 - 0,242;
2) <І,53а-0,72*;____________
3) ^3,132-3,12а)(8,2*-1,82);
4) /б,ІЗ2-6,12*)(5,8*-4,22);
4 | 3242 - 372 1 /246* -432
19 V 287 17 V 203
17 І5282-1482 13 І441*-1352
26 V 380 24 306
597*. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) >/200г5у2 , якщо х > 0, у < 0; 4) >^х2(х-8) , якщо х > 8;
2) <300хв|/3 , якщо х < 0, у > 0; 5) ^х1’ (5-х)*, якщо х > 5;
3) -^(15-х)2, якщо х > 15; 6) <х*(х-3)*, якщо0< х< 3.
Додаткові матеріали
598*. Внесіть множник під знак кореня:
1) Xе VIЗх, якщо х < 0;
4) (х-5)
3-х
якщо х < 2,5.
4х2-20x4-25
, якщо х> —;
2
якщо х > 3;
якщо 0 < х < 5;
599*. Запишіть цілі числа, які розміщені на числовій прямій
між числами:
1) 718 і 7ч/2;
3) 2,бТ32 і 4,5728;
2)0,27200 і 4^8; 4) ^772 і |Т52.
з з
600**. Спростіть вираз:
1) т[(2а-Ь)* , якщо а > — Ь;
2
2) ^(2а-ЗЬ) , якщо а < 1,55;
3)
2 4 і
”зХ + 9’ ЯКЩ° Х<1з;
4) \'16х1 2 * 4 -48x4-36, якщо х < 1,5.
601 **. Визначте значення змінних х та у, при яких має зміст
вираз:
1)аДр; 2)>/-Х4/; 3)у[хгу; 4) /х'у2 ; 5) у^Ху2 ; 6) ^-Х^у*.
602*. Доведіть, що:
1)711 + 6>/2 =34-72;
2)7б-4<2=2-</2;
3) 719 + 873 = 4 + 73;
4) \/28-107з =5-чЗ.
603*. Знайдіть значення виразу:
1) х2 - 4, якщо х = 1 + 73;
2) х2 +20уЗ, якщо х = 5-2>/3;
3) х2 - 4х, якщо х-2-72;
4) х2 - 1 Ох, якщо х = 5- 7б;
5) х2 - 6х - 1, якщо х=3+73;
6) Xа - Зх + 2,25, якщо х = 1,5+Т2.
604*. Скоротіть дріб:
Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу при
допустимих значеннях змінних (605-606).
607**. Спростіть вираз:
608**. Доведіть, що значення виразу є раціональним числом:
1)726-8710 +719-6710 ; 3) /12-бТз +7Ї^ЇЇ<3;
2) 732-1О77 +ТІ1-4Л ; 4) 728-іоТз+77-475.
609*. Чи належить графіку функції у »7х точка:
1) А(0,081; 0,9);
5) Л/(1,96; 1,4);
2) В(12,1; 1,1); 6) Р(-1,69;-1,3);
3) С(2,25; 1,5);
7) 9(2,56; 1,6);
4) Р(1,2; 1,44);
8)ЖЗ,61;-1,9)?
610*. Відомо, що графік функції у = 7х проходить через точки:
А(к; 3), В(к; 4), С(Л; 1,5), В(к-, 0,5), О(к‘, 0). Знайдіть значення к
та запишіть координати цих точок.
611*. Знайдіть значення функції |/ = 7х, користуючись її
графіком, якщо значення аргументу дорівнює:
1)2,6; 2)3.6; 3)4,8; 4)5,8; 5)6,3.
612м. Розв’яжіть графічним способом рівняння:
1)Тх=2х-3; 2) 7х=—; 3)Тх»х-4; 4) 7х= —.
Вправи до розділу III
613*. Розв’яжіть рівняння:
1) -х2-7х = 0; 4) —х1+5х = О,
7 5
2) 0,їх2 + 0,001х =0; 5) 5 - (4х + 1 )(5 -х) = х2;
3) 0,Зх2 - 0,027х = 0; 6) х2 - (2х - 7>( 1 - х) = 7.
014*. Знайдіть корені рівняння:
п 16
П х-3 = —
3) х-5»
х + 5’
л 64
2)х+6 = —;
4) х + 15 =
64
х-15*
615**. Розв’яжіть рівняння, розкладаючи його ліву частину на
множники:
1) (2х + З)2 - 5(2х + 3) = 0; 3) (2х - І)2 - 2 + 4х = 0;
2) (Зх + 10)а - 2(3х + 10) = 0; 4) (Зх + І)2 - 2 - 6х = 0.
616**. Знайдіть значення змінної х, при якому правильна рів-
ність:
8х2-3 5-9х2
5 4
5х*-2 6-х2
З 2
о 7х’+5 5х2-8
о) —— + —— - -
З 4
4)
Зх’-7 4-5х2
-----+-------=
2 5
Розв’яжіть рівняння (617-620).
617**. 1) іх2=4я2-4л + 1;
9
3) —х2 = 9д2-6л + 1;
4
2) 4х2 = 16л2-8я + 1;
4) 9х2 = 9я2-18л + 4.
618*. 1)(х - 2Хх + 8) = 6х;
2) (х - 9)(х + 1) = -8х;
3) (х + ЗХх - 1) = -4;
4) (х - 5Хх + 3) = -16;
5)(х+ 7Хх + 3)= 21;
6) (х - 4)(х - 3) = 12.
619*. 18 о ох 28 о «х х-5 ► 1) — = х-3; 3) — = х+3; 5) = х-5; х х х + 5 2)—«х-2; 4) — «х + 4; 6) ^^ = 2х-б. х х-4 2х+5
620* , (х-5)(х + 1) х2-і • *> 1 . / = Ь 3 1> . * / , - 0: х -4х-5 Зх2-4х + 1 2) х -х-6 2х -Зх + 1 } (х + 2)(х-3) ’ 1 х2-1
621*' *. Розв’яжіть пару рівнянь та визначте вид числових
значень їх коренів:
1) 12Х2 + 7х + 1 = 0 та х2 + 7х + 12 = 0;
2) 6у2 - 5р - 1 = 0 та у2 - 5у -6 = 0;
3) 5ґ2 - 6Г 4 1 = 0 та і2 - 6і 4 5 = 0;
4) 8п2 - 9и 4 1 = 0 та и2 - 9и 4 8 = 0.
622*. Знайдіть дискримінант для рівняння:
1) х2 - Юх 4 24 = 0; 5) 6х2 - Юх + 4 = 0;
2) 2х2 - Юх 4 12 = 0; 6) 12х2 - Юх + 2 = 0;
3) Зх2 - Юх 4 8 = 0; 7) 24х2 - Юх 4- 1 = 0;
4)4х2-10x4 6 = 0; 8) 48х2 - Юх 4 0,5 = 0.
Яку закономірність ви помітили у процесі розв’язування
цих рівнянь? Запам’ятайте 'її.
623**. Складіть квадратне рівняння, знаючи його корені:
1)-ЗІ?;
5)2-7з і —
2->/3
З
2)-2і-;
6)75-21-7=---.
х/5-2
624**. Знайдіть значення д, використовуючи додаткову умову:
1) х2 - 4х 4- д = 0, X! = -3; 3) х2 - 7х 4- д = 0, х2 - х1« 1;
2) х2 - Юх 4 д = 0, х1= 6; 4) х2 - 8х 4- д- 0, ха - X! = 2.
625*. Знайдіть значення р, використовуючи додаткову умову:
1) х2 - рх 4- 35 = 0, Хд = 5;
2) 5х2 - рх 4- 3 = 0, хг = 1;
З
3) 2Х2 -і рх - 9 = 0, х1 4хг = -;
4
7
4) 2х2 4- рх 4 6 = 0, х, 4- х2 = - .
4
626**. При якому значенні а рівняння:
1) х2 4 ах 4 12=0 має два різні корені, один з яких на 4
більший за другий;
2) х2 - 22х 4 а = 0 має два різні корені, один з яких у 10 разів
менший за другий?
627**. Не розв’язуючи рівняння х2 - 4ах 4 а - 0, складіть квад-
ратне рівняння, коренями якого є числа:
1) протилежні кореням даного рівняння;
2) обернені до коренів даного рівняння.
628*. Розкладіть квадратний тричлен на лінійні множники:
1)6(2-5/-6;
2) Ют2-17т 4 3;
3) бр2 4 23р-10;
4) 7г2-8г 4 1;
5)-х245х-4;
6) ~у2 - 6у - 5.
Виконайте скорочення раціональних дробів (629-630).
• . х а* - За + 2 699 » а’-о-2: 2)^^; Ь* + ЗЬ + 2 г+2с-15 3) г-7е+12’ 4) »г + 8»+7
2т2 4 5т-3 630 Л) Зт’+Ю/п+З’ з» з?1-?-2- 5<72-8ґ/ + 3’
4 4р*-9р-9
7ра-25р + 12
2>**:
2*3-5Л + 2
Розв’яжіть рівняння (631-636).
631” 1) (5х 4 З)2 = (Зх 4 5)2;
2)(6x4 І)2 =(Зх + 2)2;
З)(4х4 5)2 = 4(х4 5)2;
4) (5х 4 4)2 = 4(5х 4 І)2;
5) (Зх - 8)2 - Зх2 - 8х;
6) (4х 4 5)2 = 4х2 + 5х.
2)
2 х+3 1
3(3х + 1)+ 9х* -3x41 " 27х’ + 1 ’
10 3 1
х2 - 4 2х - 4 2
633*. 1) х4 - 5х2 4 4 = 0;
2)х4-Зха4 2«0;
3)х4-4ха-5»0;
4) х4 - 8х2 - 9 = 0;
5) хч 4 5х2 4 4 = 0;
6) х4 - 6х2 4 8 = 0;
7) х4 - 26Х2 4 25 =0;
8) х4 - 13х2 + 36 =0.
634*. 1)(х — І^-гвСх- 1)4 27 = 0;
2Хх + 2)2 - 82(х 4 2) 4 81 = 0;
3) (х2 4 2х)2 - 14(х2 4 2х) - 15 = 0;
4) (х2 - Зх)2 - 17(х2 - Зх) -18 = 0.
635”. 1) (2х2 - х - б)2 4 3(2х2 - х - 6) - 10 = 0;
2) (Зх2 - х - І)2 - 6(3х2 - х - 1) 4 5 =0;
3) (х2 - 5х 4 5)2 4 7(х2 - 5х 4 5) 4 6 = 0;
4)(х2- 7x4 14)2-6(х2- 7x4 14)4 8 = 0.
636*. 1) (х2 - 5х 4 7)2 - 5(х2 - 5х 4 7) 4 7 = х;
2) (х2 4 4х - б)2 + 4(х2 4 4х - 6) - 6 = х.
637*. Поїзд затримався на 15 хв. Щоб прибути на станцію за
розкладом, він пройшов решту шляху, що становила 120 км,
збільшивши швидкість в 1,2 раза. Знайдіть швидкість поїзда,
з якою він пройшов ці 120 км.
638*. Велосипедист з’їздив до райцентру і повернувся назад у
село. На зворотному шляху він збільшив швидкість на 1 км/год
і був у дорозі на 8 хв менше. З якою швидкістю їхав вело-
сипедист до райцентру, якщо відстань між селом і райцентром
дорівнює 32 км?
639*. Моторний човен пройшов 88 км за течією річки і 70 км
проти течії, затративши на весь шлях 8 год. Знайдіть власну
швидкість човна, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год.
640*. Човен пропливає 9 км за течією
річки та 1 км проти течії за такий самий
час, який потрібний плоту, щоб про-
плисти 4 км по цій річці. Знайдіть
швидкість течії, якщо власна швидкість
човна становить 8 км/год.
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ
641. Доведіть, що при х 4- у 4- г = 0
виконується рівність
(х2 + у2 + г2)2 = 2(х4 4- у4 4- г4).
। Використайте
। формулу:
(а 4- Ь 4- с)2 = а2 4- Ь2 4-
4- с2 4- 2(а5 4- Ьс 4- ас).
X и 2
642. Доведіть, що при — 4-—4--=1
а Ь с
а Ь с _ . .
і —+-=0 виконується рівність
хуг
Піднесіть ліву час-
тину рівності
х и г
— + - + - = 1 до квадрата та
а Ь с
проаналізуйте отриману
суму.
643. Доведіть, що при будь-якому
значенні т число т3 4- Зт2 4- 2т
ділиться на 6.
644. Доведіть, що при будь-якому
значенні п число п4 - 5п3 4- 4п
ділиться на 120.
©Утворіть добуток
трьох послідовних
чисел.
Утворіть добуток
п’яти послідовних
чисел.
645. Доведіть, що коли а, Ь, с - додатні числа, то хоча б одне з
чисел (а 4- 5 4- с)2 - 8ас, (а 4- Ь + с)2 - 8Ьс, (а + Ь + с)2 - 8аЬ -
додатне.
646. Побудуйте графік:
1)«/ = х |у|; 2) х2- 5ху = 0; 3) !/х-|р| = 0.
647. Відомо, що а, Ь, с - цілі числа, сума яких ділиться на 6.
Доведіть, що ав + Ь* + с також ділиться на 6.
648. Розв’яжіть у натуральних числах рівняння
х (х + у) + ^х2 + ху4- 8 = 64.
649. Подайте число 19 у вигляді різниці кубів двох нату-
ральних чисел. Доведіть, іцо це число єдине.
650. Знайдіть усі значення а, при яких числа х та у такі, що
задовольняють систему рівнянь
651. Доведіть нерівність:
х + у = а,
2х-у = 3.
1) а2 + Ь2 4- сг 4- 2 > 2(а 4- 5); 2) а2 + Ь2 4 с2 + 3 > 2(а + Ь 4- с).
652. Якщо двозначне число поділити на добуток його цифр, то
неповна частка дорівнюватиме 3, а остача - 9. Якщо ж від
квадрата суми цифр цього числа відняти добуток його цифр, то
отримаємо задане число. Знайдіть це число.
653. Периметр основи прямокутної будови дорівнює 70 м.
Навколо цієї будови на однаковій відстані від її сторін
поставлено огорожу прямокутної форми. Площа ділянки,
обмеженої огорожею, на 156 м2 більша від площі, яку займає
будова. Знайдіть відстань між огорожею та будовою.
654. Заготовлену в кар’єрі крейду перша машина може вивезти
на 3 год швидше, ніж друга. Якщо третину крейди вивезе перша
машина, а потім решту - друга, то буде затрачено на 7 год
З
більше, ніж при одночасній роботі обох машин. За який час
може вивезти крейду кожна машина?
655. Доведіть, що добуток чотирьох послідовних цілих чисел,
збільшений на одиницю, є повним квадратом.
656. Доведіть, що добуток суми трьох додатних чисел на суму
обернених до них чисел не менший за 9.
657. Батько в 5 разів старший за сина. Батько закінчив ін-
ститут у 22 роки. З тих пір пройшов час, що дорівнює половині
того, який потрібен синові, щоб йому стало 22 роки. Скільки
років зараз синові і скільки - батькові?
X м
658. При яких значеннях х дріб -------- матиме найменше
1 + х
значення? Відповідь поясніть.
659. Турнір з футболу, в якому беруть участь 16 команд, про-
ходить у 2 круги, тобто кожні дві команди зустрічаються між
собою двічі. За перемогу присуджують 2 очки, за перші 10 ні-
чиїх дають по 1 очку, за кожну наступну нічию і за поразку
команда не отримує очок. Яке найменше число очок може
отримати переможець?
660. Розв’яжіть систему рівнянь:
х + у + г = 7,
Х + у + 0=г11,
Х + 2 + 0 = 15,
у + г + V = 3;
Х + |/ + 2 = 6,
2х + і/-2 = 1,
Зх - у + 2 = 4,
4х-у-г = ~1.
661. Вершник і пішохід одночасно вирушили з пункту А в
пункт В. Вершник, прибувши у В на 50 хв раніше за пішохода,
повернувся назад. На зворотному шляху він зустрівся з
пішоходом за 2 км від пункту В. На весь шлях вершник
затратив 1 год 40 хв. Знайдіть відстань від А до В і швидкість
вершника та пішохода.
662. Від села до міста 24 км. Із села виїхала вантажна машина,
яка проходила 1 км за 2- хв. Через 15 хв після виїзду
2
машини з міста в село виїхав велосипедист зі швидкістю вдвічі
меншою, ніж швидкість вантажівки. Через який час після
свого виїзду велосипедист зустрінеться з вантажівкою?
663. Доведіть перівність (х + у + гЦ—+ - + -)> 9 для додатних
чисел х, у, 2. хуг
664*. Доведіть, що число
^7 + 5^2натуральне.
хе В; х'ал = а, а є В.
665. Обчисліть:
666. Чи правильна рівність
>/з^У5 (з + >/5)(7Ї6->/2) = 8?
2 3 — 75
667. Доведіть що числа . і ----= взаємно обернені.
714-6>/5 УЗ + 75
668. Спростіть вираз:
669. Доведіть, що число 73 + 75 ірраціональне.
670. Звільніть від ірраціо- Використайте формули
нальності знаменник дробу: а3 ± Ь3 = (а ± Ь)(а2 + аЬ + Ь2).
</2+</з* 2) 2</2 + 3$/з’
671. Доведіть, що при а = 0, Ь = 0 і а2= Ь справджується рівність:
673. Якщо 78-а + 5/6 + 0 =5, то чому дорівнює ^(в-аХ^ + а)?
(Саме число а знаходити не потрібно!)
674. Обчисліть:
1) - /2-5/3+2-----} ^5-^3^/29-125/5 .
Тг + у'З + <6 + 5/8 +4
675. Спростіть вираз:
1) Та2 + 8а + 16-|а-4|-8 при а < -4;
2)7* + 25/х-1 + >/*“27х-1 при 1 < х < 2.
676. Доведіть тотожність 7х2 + 2 + 2>/х’ + 1 -у]х2 +2-2УІХ2 +1 =2.
19-АІоаЬга
677. Не розв’язуючи рівняння \/3-х + 7х~5 =10, доведіть, іцо
воно не має коренів. _________
678. Доведіть, що вираз \ \/Ї9 - \З -87з5-8>/з5-8<19 є цілим
числом.
679. Знайдіть усі дійсні розв'язки рівняння
2х* + 2у2 + г2 - 8х - 4у - 4г + 14 = 0.
680. Господар має три бочки А, В і С. Бочка А наповнена квасом,
бочки В і С порожні. Якщо квасом з бочки А наповнити
2
бочку В, то в бочці А залишиться - її місткості. Якщо ж квасом
5 5
з бочки А наповнити бочку С, то в бочці А залишиться - її
місткості. Щоб наповнити обидві бочки В і С квасом з боч-
ки А, потрібно додати ще 4 відра квасу. Скільки відер квасу
вміщує кожна бочка?
681. Знайдіть найменше значення виразу
(2а - 1)(2а + 1) + ЗЬ(Ь - 4а).
682. Доведіть, що при будь-яких значеннях і вираз ґ4 - і + 2
додатний.
683. При яких значеннях а і Ь тричлен 16х2 +144х + (а + Ь) є
повним квадратом, якщо Ь - а = -7?
684. В якій точці функція р = 1 + ^(х-1)г набуває найменшого
значення?
685. Не розв’язуючи рівняння х2 + 9х + 5 = 0, знайдіть суму
кубів його коренів.
686. Знайдіть дискримінант зведеного квадратного рівняння,
корені якого дорівнюють кубам коренів рівняння х2 -5х + 6 = 0.
687. Чому дорівнює сума всіх коренів біквадратного рівняння?
688. Складіть біквадратне рівняння, якщо тільки числа \2 -1 і
>/2 + 1 є його коренями.
689. Який вигляд матиме рівняння ах2 + Ьх + с = 0, якщо його
розв’язками будуть числа (а - Ь) і (а + б)?
690. Знайдіть найменше значення р, при якому сума квадратів
коренів рівняння х2 + рх + 3 = 0 дорівнює 19.
691. При якому цілому значенні к один з коренів рівняння
4х2 - (ЗА + 2)х + (А2 - 1) = 0 втроє менший від другого?
692. При якому додатному значенні с один з коренів рівняння
%х2 - бх + 9с2 = 0 дорівнює квадрату другого?
693. Знайдіть таку залежність між коефіцієнтами рівняння
ах2 + Ьх + с = 0, при якій сума його коренів вдвічі більша за
їхню різницю.
694. Човен пропливає за течією річки 10 км, а потім - проти
течії 6 км. Швидкість течії річки дорівнює 1 км/год. В яких
межах має знаходитися власна швидкість човна, щоб на всю
дорогу затрачалося від 3 до 4 год?
695. У змаганнях з футболу зіграно 78 ігор. Скільки команд
брало участь у змаганнях, якщо кожна команда зіграла з усіма
іншими по одному разу?
696. Чи може дискримінант квадратного рівняння з цілими
коефіцієнтами дорівнювати 23?
697. Доведіть, що не існує цілих чисел х та у, які б задовольня-
ли рівняння 15ха - 7у2 = 9.
698. Спочатку катер ішов а км по озеру, а потім половину цього
шляху по річці, яка впадає в озеро. Весь рейс тривав
1 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії
річки дорівнює с км/год.
699. Змагаються три бригади лісорубів. Перша і третя бригади
разом заготовили деревини вдвічі більше, ніж друга, а друга і
третя - втричі більше, ніж перша. Яка бригада перемогла в
цьому змаганні?
700. Розв’яжіть у натуральних числах рівняння
х(х + у) + ^х* + ху + 4 - 52.
701. Знайдіть усі трицифрові числа, якщо при діленні кожного
з них на 11 отримуємо частку, що дорівнює сумі квадратів
значень окремих цифр даного числа.
702. Доведіть, що коли в квадратному рівнянні ах2 + Ьх + с = 0
сума коефіцієнтів дорівнює нулю, тобто а + б + с = 0, то число 1
є коренем цього рівняння.
Додаткові матеріали
Довідничок з алгебри за 7-й клас
Тема 1. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ
Рівняння — рівність, що містить змінну.
Приклади рівнянь: 1)6х-5 = Зх + 4;
прала
чистина частина
2)
3) (х — 5)(2х + 6) = 0;
4) х2 = 2х 4- 3.
Корінь (розв’язок) рівняння - число, що перетворює
рівняння в правильну рівність.
Властивості рівносильних рівнянь
1) ах 4- с = кх 4- Ь
2) кх 4- Ь (-е) = ах 4- с 4- (-с)
кх + б = ах4- 3)Лх-ах = с-Ь
\ 4) (к - а)х = с - Ь
\ кх + Ь ах+с
5) =-----------, п * О
п п.
+ Ь = 0 — лінійне рівняння, де к — коефіцієнт
(число), Ь — вільний член (число).
№ Рівняння вигляду Кількість розв’язків
1 кх 4- 6 = кх (6 *0) Жодного (рівняння не має розв’язків)
2 кх + Ь = Ь 4- кх Безліч
3 кх + Ь = О (Л # 0) Один
4 кх 4- Ь = 0 Один, безліч або жодного
Тема 2. ЦІЛІ ВИРАЗИ. СТЕПІНЬ З НАТУРАЛЬНИМ
ПОКАЗНИКОМ
Цілий вираз
додавання
віднімання
множення
ділення на число (крім 0)
Степінь
а" = а а ... а, п - натуральне число.
Л
ап - степінь;
а - основа степеня;
п - показник степеня;
Властивості:
_ ап . де п > т-
(аж)" = атп;
(аЬ)" = апЬп;
Тема 3. ОДНОЧЛЕНИ. МНОГОЧЛЕНИ
Одночлен - добуток чисел і змінних: 8аГ; х7хаі/; -5 1 1 • 1 коефіцієнт одночлена
-8а3х7у - стандартний вигляд одночлена; 34-74-1=11- степінь одно- члена ~2ах • бах3!/ - нестандартний вигляд одночлена
-7х*у і бух3 - подібні одно- члени 8ху і -2ху2 - одночлени не є подібними
Многочлен - сума одночленів:
бх2!/2 4- 5ху2 - вх3!/5
степінь степінь степінь
4 3 8
степінь многочлена 8
Стандартний вигляд многочлена: 9х* 4- 5х2 - 7х 4- 3 Нестандартний вигляд многочлена: 5х • х3 - Юха х® - 12х4 4- 6
Двоцифрове число: аб = 1Оа + б Трицифрове число: аЬс = 100а +1Об+с
А - многочлен -А - многочлен, протилежний до А
Множення одночлена на многочлен: а(Ь + с) = а - Ь а- с Множення многочленів: (а + б)(с 4- с/) = а- с + а' (і + Ьс + Ь(і
(8-л)(а-3) = (л-8ХЗ- а)=-(п- 8)(а - 3) = -(8 - л)(3 - а)
Тема 4. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ
НА МНОЖНИКИ
Розкласти многочлен на множники - записати його у вигляді добутку
Способи розкладання на множники
Винесення спільного множника за дужки: ах + ау + аг = а(х 4- у + г) Спосіб групування: ах 4- Ьу 4- Ьх + ау = = (ах 4- ау) 4- (Ьх 4- Ьу) = = а(х 4- у) 4- Ь(х 4- у) = = (х + У)(а 4- Ь) Використання формул скороченого множення: 1) а2-б2 = = (а - Ь)(а 4- 6); 2) а2±2аб4-б2 = = (а ± б)2; 3) а3 ± б3 = = (а ± бХа2 Т аЬ 4- б2)
а3 + За2Ь 4- ЗаЬ2 + б3 - (а 4- б)3 - куб суми; а3 - За2Ь + ЗаЬ2 - Ь3 = (а - б)3 - куб різниці
(а - Ь)2 = (б - а)2 (-а - б)2= (а + б)2
ема 5. ФУНКЦІЯ. ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ, ЇЇ ГРАФІК
ТА ВЛАСТИВОСТІ
у = Дх). у - функція, якщо кожному значенню х відповідає
єдине значення у.
х - незалежна змінна (аргумент),
у - залежна змінна (значення функції)
М(х0; у0) - точка графіка функ-
ції. Довільна пряма х - а пере-
тинає криву в одній точці
Довільна пряма х = а перетинає
криву в кількох точках, на-
приклад у трьох точках: А, 2, Л/
М(х0; Уо) ~ точка графіка функції у = Дх), якщо Дх0) = у0
(перетворює формулу в правильну числову рівність)
Функція у = /(X)
Область визначення функції £>(|/): усі можливі значення незалежної змінної (аргументу) Область значень функції Е(у): усі можливі значення функції (залежної змінної)
Нулі функції у = ї(х) - корені рівняння Дх) = 0, абсциси точок перетину графіка з віссю абсцис
Графік - пряма, що проходить через початок координат,
Аг - кутовий коефіцієнт прямої
Таблиця значень для побудови й(у): х - будь- Е(у): у - будь-
прямої: ________ яке число яке число
X У
0 0
хі кху
Нуль функції: у = 0 при х = 0
у = Агх
а - гострий кут.
Прих>0, у>0;
а - тупий кут.
При х > 0, у < 0;
при х < 0, у > 0
у-кх
ЯЩ Та»
Довідкичок з алгебри за 7 й клас
Відомості про функцію у = кх + Ь
Додаткові матеріали
Розміщення графіків двох лінійних функцій
Тема 6. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ
Іо,х+д1у = с1, < . - система лінійних рівнянь з двома змінними [а2х4-Ь2І/ = с2
(тп; п) - розв’язок СЛР, то рівності а1т + Ь1л = с1 і а2т 4- Ь2п = са - правильні
Аналітична умова Висновок Графічна інтерпретація
5..й.=£і “і ь2 сі Безліч розв’язків Прямі збігаються
°2 С2 Розв’язків немає Прямі паралельні
“> Ь, Один розв’язок Прямі перетинаються
Графічний спосіб розв’язування системи рівнянь
а2х + Ь2у=с2
І . Ж. <*і С1 у = Л1х + т1, *.=“• ті=Г’. "» "і а, с, у = к2х^т2, гп2=-^ Ь2 Ь2
Умова Взаємне розміщення графіків рівнянь Розв’язки системи лінійних рівнянь
*і - к2, Ь} * Ь2 Графіки - паралельні прямі Розв’язків немає
* *2»= Ь2 = ь Графіки - прямі, що пере- тинаються в точці (0; Ь) Єдиний розв’язок (0; Ь)
^1 * * Ь2 Графіки - прямі, що пере- тинаються в деякій точці (*о’ Уа) Єдиний розв’язок (^0’ Уо>
= кг = Ь2 Графіки - прямі, що збіга- ються Безліч розв’язків
Вправи для повторення курсу алгебри
за 7-й клас
Тема 1. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ
Розв’яжіть рівняння та виберіть серед них рівносильні
(703-707).
703°. 1) 0,ЗЗх + 1,75 =-2,67х+7,75; 3) і*- — = 3 *х-—;
' 7 49 7 49
2 4 7 19
2) 1,47х - 2,25 = ~2,53х + 5,75; 4) -х + — = -х + —.
9 27 9 27
704°. 1) 2(х - 3) + 2х = 3(х + 6); 3) 5(х - 2) - 2(х + 5) = 7(х - 4);
2) 3(х + 7) + 7х = 4(х - 6); 4)4(х +7)-3(х-4)= 5(х-16).
-пк. п3х + 5.х+13 16х-3 о 4х + 15 5х-8 х + 11
іЦО • 1.) — > «З| ————— —----— зх *
2 4 8 4 8 6
2х-75х + 120х + 59 х-3 7х-12 23-8х
3 4 12 1 7 14 21
706*. 1) 3(2х - 5) - 4(16х - 7) = 5(4х - 11) - 8(7х -3);
2) 6(10 - х) - 2(х + 13) = 7х - 4(1 - х);
3) 3(х - 4) - 4(5 - 2х) = 6(2 - х) - 5х;
4) 15х + 6х(2 - Зх) = 9х(5 - 2х) - 36.
5(2х-0,4) 4(Зх-2,5) 2(5х + 2) Зх + 17
Л) 3 9 " 6 + 18 ’
2(х + 0,8) 4(3х-1,2) 5(2х+1,7) 5х-1,4
4 6 3 2 ’
3(5х +3,6) 4(3х-3,4) 6(4x12,3) 2х-5,4
4 10 5 2
(Зх-2,8) 3(4х-1,6) 6(2х-4,2) х-17,2
14 4 7 2
708°. На кінець навчального року в 7-А класі дівчат було в 1,5
раза більше, ніж хлопців. Після того як за літо прибули 2
хлопці і вибули 3 дівчини, дівчат і хлопців у 8-А стало порівну.
Скільки було дівчат у 7-А класі?
709°. У першому букеті троянд у З
рази більше, ніж у другому. Якщо
перекласти 15 троянд із першого
букета в другий, то троянд у
букетах стане порівну. Скільки
троянд було в букетах?
710*. У двох тренувальних коман-
дах була однакова кількість гравців.
Після того як з другої команди в
першу перейшло 6 гравців, у ній
залишилось у 2 рази менше гравців, ніж у першій. Скільки
гравців було в кожній команді спочатку?
711*. В одному банку було 880 млн гривень, а в другому - 720 млн
гривень. Перший банк видавав щодня кредити по 16 млн
гривень, а другий банк щоденно приймав на зберігання 48 млн
гривень. Через скільки днів у другому банку стане грошей у
2 рази більше, ніж у першому?
712е*. У двох коробках було по 15 кг цукерок. Після того як
з першої коробки продали цукерок у 3 рази більше, ніж з
другої, у першій коробці залишилося в 2 рази менше
цукерок, ніж у другій. Скільки кілограмів цукерок продали
з кожної коробки?
Тема 2. ЦІЛІ ВИРАЗИ. СТЕПІНЬ З НАТУРАЛЬНИМ
ПОКАЗНИКОМ
Знайдіть значення виразів (713-714).
713е. 1) (3 ~ 5х) - (Зх - 7), якщо х = -;
4
2) (5 - Зх) - (5х - 11), якщо х = -;
2
3) (7 - 4х)- (2х - 5)» якщох = ~;
О
4) (9 - 2х) - (4х - 3), якщох = р
6
714е. 1) 2(а3 - д*) + 1, якщо а = З, Ь = 4;
2) 2(а4 - Ь3) - 1, якщо а = 4, Ь = 3;
3) 3(а* - Ь4) + 72, якщо а = 5, Ь = -3;
4) 3(а4 - Ь2) - 92, якщо а = З, Ь = -5.
Вправи для повторення курсу алгебри за 7-й клас
715*. Укажіть знак числа:
(-24)'° (-5)* (-19)’ (-4)’. (-16)* (-5)*.
(-27)* (-»)* ’ (-17)* (-2)* ’ (-19)* (-5)’ ’
(-21)* (-13)*, „ (-10)* (-6)* . (-7)* (-8)*
(-25)* (-8)* ’ (-11)’ (-15)” (-9)*.(-15)*'
716*. Знайдіть значення виразу:
ҐЗа + Зб?
1) _ » якщо а + Ь = 5, 2аЬ — -3;
25а-»-256?
з,з » якщо а + 6 = З, Заб = -5;
27а о і
21Ь-27а
5а4Ь*
486 - 48а
2а4Ь4
» якщо а - Ь = -7, аЬ = -3;
♦ якщо а - Ь = 8, аЬ = -4.
Доведіть тотожність:
1(3 ,2
- -х-1-
3 7 7
2
2) 1,75(4-бх + 10і/)-2,5(17х-Зу-12) + 1-(36х-15у-24) = 7х-3;
З
3) 1-(7,5х + 12«/ + 3)-3,5(х-Зу + 2)-3,25(2х + 6у-4) = 7у + 10;
«і
4) 2 1(4,5х-6// + 9)-1,25(5,6х-2,8у + 4)-3,5(х-у + 2) = 9-7і/.
З
Тема З, ОДНОЧЛЕНИ. МНОГОЧЛЕНИ
718°. Запишіть одночлен у стандартному вигляді:
1) 5а2Ь ая1г*; 3)17(а2)3(67)а; 5)-(1,4а65 *)2; 7) (0,2аЧг>У;
2)2а:»-762; 4)(-1,2а$6)*; бХ-ОДа^)3; 8) 10а264 • 0,5а563.
719°. Знайдіть суму та різницю многочленів А і К, якщо
А = Зх - 4- 2г - 1, К = 2х -і- Зу - 2г + 4.
720*. Розв’яжіть рівняння:
1) 2х(х - 3) = 2х2 4- 12; 3) 5х(2 - х) = 20 - 5х2;
2) Зх(х - 4) = Зх2 + 12; 4) 7х(1 - х) = 14 - 7х2.
721*. Обчисліть значення виразу, попередньо спростивши його:
1) (За2 - аЬ 4- АЬ2) - (ЗЬ2 - аЬ + 2а2), якщо а=-—, 6 =—;
5 5
2) (5а2 + 2аЬ -Ь2)- (ЗЬ2 4- 2Ьа 4- а2), якщо а = 2,4, Ь = -2,6;
3) (2а2 - ЗаЬ 4- 7Ь*) - (26а - ЗаЬ - За2), якщо а = -1,2, Ь = -1.6;
5 4
4) (6а2 - аЬ - 5Ь2) - (За2 - аЬ - 2 б2), якщо а = —, Ь = —.
З З
722*’. Знайдіть площу квадрата, коли відомо, що:
1) при збільшенні однієї його сторони на 3 см і зменшенні
другої на 5 см площа утвореного прямокутника зменшилася на
45 см2;
2) при зменшенні однієї його сторони на 3 см і збільшенні
другої на 9 см площа утвореного прямокутника збільшилася на
93 см2;
3) при збільшенні однієї його сторони на 20 % і зменшенні
другої на 40 % площа утвореного прямокутника зменшилася
на 112 см2;
4) при зменшенні однієї Його сторони на 15 % і збільшенні
другої на 25 % площа утвореного прямокутника збільшилася
на 100 см2.
Тема 4. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ
НА МНОЖНИКИ
723°. Розкладіть многочлен на множники, використовуючи
формули скороченого множення:
1)4х2-4х+1; 3)х*+х + -; 5) 9х2 4-ЗОх + 25;
4
2) 9х2- 12x4-4; 4)25х24-20ху 4-4у2; 6) 8ІХ2-180x4/4-100і/2.
724е. Розкладіть многочлен на множники способом групування:
1) а2 4- 10а 4- аЬ 4- 105; 4) 4а2 - 20аЬ 4- 5аЬ - 2562;
2) а2 - 5а 4- а - 5; 5) 2а 4- 5а2 - 46 - Юаб;
3) 10а - 56 4- 2а2 - аб; 6) аб - 562 4- 5а2 - 25а6.
725*. Знайдіть корені рівняння, попередньо розклавши його
ліву частину на множники:
1)х(х-1)2-(г3-1)=0;
2) (х3 — 8) — х(х - 2)2 = 0;
Вправи для повторення курсу алгебри за 7и клас
3) 900х2 - (25х2 + 9)2 = 0; 5) (х2 - 5х) 4- х - 5 = 0;
4) Зх2 4- 6х - 2х - 4 = 0; 6) (х - 5)2 + 5 - х = 0.
726*. Розкладіть многочлен на множники:
ПЗх4- 12x^4- 12х2/;
16
49
З
7
2) 12а25-4Ь- 12а 4- 4аЬ2;
16
25
2
5
727**. Знайдіть сторону квадрата, коли відомо, що різниця
площ квадратів, зі стороною на 3 см більшою і на 2 см меншою,
ніж даний, дорівнює 55 см2.
Тема 5. ФУНКЦІЯ. ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ, її ГРАФІК
ТА ВЛАСТИВОСТІ
728°. Побудуйте н одній системі координат графіки функцій
у = 2х - 5 та у = 2х 4- 5. Як розміщені ці графіки?
729°. Визначте точки, через які проходить графік функції
У = Х 4- 3:
1)А(2; 5); 5) А7(-5; -2);
2) В(-3; 3); 6) 0(0; 3);
3) С(-1; 2); 7) ЛЦ-3; 0).
4) 7X2,5; -0,5);
730*. Знайдіть область значень функції у = 5х - 2, якщо:
1)2<х<5;
2)3<х<8;
3)-3<х<0;
4)-2<х<6;
5)-4<х<4;
6)0 <х< 7.
731*. Знайдіть точку перетину графіків функцій у = Зх - 4 та
у = -2х 4- 6.
732**. Знайдіть значення к функції у = кх - 7, графік якої про-
ходить через точку 0(3; 2).
733**. Побудуйте графік функції:
1) у=|х-3|-2;
2) |/ = |х + 4|-3.
19 АІдМха
Тема 6. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
З ДВОМА ЗМІННИМИ
734°. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:
1)
2)
735е.
х-у-3. х + у = 13, х-у = 57.
. . 3) < „ 5) 1
х + і/ = 11; х-у = 7; х + р»43;
х + у = 7, >-у = 17, х-у = 33,
. 4) __ 6)
х-у = 5; [х+у = 23; х + $/ = 65.
Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:
4х-3|/ = 0, Зх + 4у = 0, 4х + 5|/ = 25,
і 3) ' л 5) '
2х~у-2‘, х~2у = 11; 3х-2і/ = 13;
Зх+2у = 0, 2х + 5у = 0, 2х-5у = 14,
і 4) 6) «
2х + 3у = 5; х + 2у = -1; Зх + 4у = -25.
2)
736*. Розв’яжіть систему рівнянь: СО 1 МІ*- н м 1 + СЛ | ►-* СЛ І •— II II Н- І н- н- 1 00 сл | о сд |
!)• 2х + у = 7, Зх-у = -2; 3)- Зх = 4у, 6х + 5|/ = -39; 5)-
Зх+4у=-3, у-3х = 18; Зх-у = 27, х+10 у+9
2) 4) х + 3 д/ + 8 1 5 11 ’ 6) < б 13 ' Зу-7х = 28.
Розв’яжіть задачі (737—738).
737*. 1) Знайдіть ціну 1 пачки печива та 1 плитки шоколаду,
якщо 5 пачок печива дорожчі за 3 плитки шоколаду на
З грн., а 7 пачок такого самого печива і 6 плиток шоколаду
коштують 45 грн.
2) Знайдіть ціну 1 зошита та 1 олівця, якщо за 12 зошитів
і 8 олівців заплатили 52 грн., а 7 зошитів дорожчі за 4 олівці на
13 грн.
738**. 1) За роздрібними цінами 4 теніски та 3 шортів коштують
380 грн. Оптові ціни дають знижку на теніски 12 %, а па шорти
15 %, тому при закупці 50 тенісок і ЗО шортів заплатили 3730 грн.
Скільки коштує 1 теніска і 1 шорти за роздрібними цінами?
2) При покупці за роздрібними цінами за 8 ручок і 3 олівці
треба заплатити 15 грн., а за оптовими цінами, зі знижками на
ручки 16 % і на олівці 10 %, за 200 ручок і 150 олівців - 387 грн.
Скільки коштує 1 ручка та 1 олівець за роздрібними цінами?
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Арифметичний квадратний
корінь 138
Асимптота В 104
Вершина параболи Винесення множника з-під 122
знака кореня 171
Вираз дробовий 14
- раціональний 14
Віднімання дробів 33, 40 Властивості арифметичного
квадратного кореня 158,
160,166 - степеня 3 цілим
показником к 90
— функції у = — X 104
“ - У = Xі 123
- - у = 4х Внесення множника під 182
знак кореня Г 171
Гілки гіперболи 103
- параболи 122
Гіпербола д * Дискримінант квадратного 103
рівняння 206
Ділення дробів 56
Додавання дробів 33, 40
Допустимі значення змінних Доповняльний множник чисельника і знаменника 16
Дробу 25
Дріб раціональний 15
- нескінченний неперіо-
дичний десятковий - нескінченний періо- 149
дичний десятковий 148
- нескоротний 23
- періодичний 147
- скінченний десятковий 148
- скоротний 3 23
Звільнення від ірраціональ-
ності в знаменнику дробу 176
Знак квадратного кореня 138
Значуща частина числа 97
К
Корінь квадратний Корені квадратного 137
тричлена 226
М
Множення дробів 55
Множина 145
- дійсних чисел 149
- натуральних чисел 145
- раціональних чисел 147
- цілих чисел н 146
Найменший спільний
знаменник дробів 42
О
Основна властивість дробу 23
П
Парабола 122
Період дробу 148
Підкореневий вираз 138
Порядок числа 97
Р
Рівняння біквадратне 234
- дробово-раціональне 72
- квадратне 198
- зведене 206
-- неповне 198
- раціональне 72
- ціле 72
Розв’язування рівнянь
графічним способом 128
Розкладання квадратного
тричлена 227
С
Скорочення дробу 2
Спряжені вирази 175
Стандартний вигляд числа 97
Степінь дробу 55
- з цілим показником 89
Т
Теорема Вієта 213
Теорема, обернена до
теореми Вієта 214
Тотожні перетворення
виразів, що містять
квадратні корені 175
Тотожність 23
Тричлен квадратний 226
Формула коренів
квадратного рівняння
Функція обернена
пропорційність у = —
“ У = х2
- у = 4х
206
102
122
181
ч
Числа
— дійсні 149
- Ірраціональні 149
- натуральні 145
- раціональні 147
- цілі 146
Числова пряма 149
ВІДПОВІДІ
8. -19. 10. + 13. 1) 7; 2) 2; 3) -5; 4) 1; 5) 0 і 1; 6) 0 і -2.
і>+3 и-3
14. 1)10; 2) -7; 3) 116; 4)1 і +4. 19. 1) 3; 2)-4; 3) 4; 4) 0. 20. 1) 26.4;
25 10 11
2) 15,4. 21. 2) Жодного; 3)безліч; 4) один. 24. 1) —; 2) —; 3) —; 4) -.
І І IV &
28. 1) ті; 2) 3) 1 ; 4) 5) 6) §2^-. ЗО. 1) ^,т#3;
2х* Ь* 2су а а х 5
2) 7,а#-4. 32. 1) 2) Х*7; 3) ; 4) -2 ; 5)
X л о £ГП 1 о — 4Х /
6> 2т-ь-35” “ -1: 2> * * *« 773і 4) ?т5; 5) 7577і в> 577?
39.1) 2) -3; 3) 4) 44. 1) 4; 2) і; 3) ** *У; 5) 9; 6) 9; 9) 25.
4 49 125 9 2х + у
49.3)А+В = 0; А4В = ^-^,52.1)-; 2) 1; 3)-; 4) 2. 54. 1) х 4 3;
12 3 2 3 2
1 1 2 4 л 6х - 4 л За - т
2) —х - 5; 3)--; 4) —; 5) 6) —. 56. 1) 2) —;
т-а 1-5 х-3 а + 25 2х-3 4а-2т
3) їх - 1; 4) 5а - 3; 5) 2а - Зт; 6) 5х - 9у. 62. 1) 2) ~Х*;
Ґ Xі
о. а’ Ь2 , 7Ь 1 1 _. _ т а2 4тг.
3) ; 4) 1—г; 5) —г + —т; 6) 9-. 65. 1) 0. 69. 1) -;
Ь2 а2 а2 2т За2 І ат
п. 65 , « З , .. 1 5т —12, _ 4х —23, 1 . ..
2) * 3) 9 4) 1 • <М» 1) ..... 9 2) 9 3) 9 4)
6х 35а 72х 12т ЗОх 4т
73. 1) Зх"/ Зу>; 2)
5а -55і. тЧл!. а -т
---ЇЗ—’ 3) —ГЛ-’ 4) » ї ‘ 76‘ и
а2Ь2 п2т а3пг
2)<^;3)-^;4)
Ь2 2а + Ь
^;2)
з V '
а —о
а2-16 4у2-х
5д-4
165
« \3
7а 9и
79. 3) -; 4)----------—. 81. 1) 40 000; 2) 625. 82. 25 см; 10 см;
12а -24’ 20(|/-4)
на 20 %. 83. 1) ая; 2) 0.2553; 3) (х + у)3; 4) (х - у)2. 84. 1) -6,5; 2) 14;
3) 11; 4) 244. 85. 1) 3) 5) —. 86. 2) 4) 6) Заа5.
2 Зо х 6 4л
87. 1) 4ауя; 2) 88. 1) 2) 89. 2) 4)
5 Зах аг д* 4т* І У
90. 1) 91. !)?£• 2)|^; 3)£; 4)--ї-. 92. 1) 2ху,
а у £>2 от ах Лап
2)--\ 93. І)2*; 2)—. 94. 1)-; 2)2ах. 95.1)^-; 2)-£-; 8)-26;
4а і* Ь с 8 32а
44 К\У*^ Л4 Х + 7 ОП 14а-5 О4&-1 О4а2х2 44 К з К4 9
4)- 5)^- ; 6) -.97.1)-— ;2)—— ;3)—— ; 4)-5аГ;5) —
З Зу Зх2 5т 10 44 4т
лч3т2 о.2-2т о. 2х ..5* 5 й. 10/ „„,.3(а+2)
6)—-.98.1)2ах; 2)——; 3)—-;4)- ; 5)—;6)—-.99.1)- —
5аГ 3 т3 а5 26 Зх2 а + 26
2) V3> 4^; 4)-Зх(а + 7т). 100.
1-5х 2х
5(х + 2) а(а-4) а + 10/
1 / - • 9 о)------,
х - 2у а + Зт Зт
4)-2х(41 + 3х). 101.1)2)^-3) 3Ц£;
10 3 а+ 26
4)*^.
5
2а-2Ь с
> » &) — "" 1 -
6 е + (ї
1±2г. 103. 1)*^; 2)«£2Ї>;
3-2у 3(п + 2) р-Ьх
102. 1)
4у^-* 104. 1)?(а + 36);2)|(/-2х);3)?^; 4)
Ь-2 3 2 х-Зу х-2а
іґ$—40 Н
105.1) -—^-; 2)^—^. 106.1)1; 2)1. 107.1)^; 2)
(х-Ьу (у-аг 144 27
16 1122
3) 4> 57:5>128; 6>243 108 1>І!2» Т = 4> 7-109 25 гпгі».
1СІО() о і 2 2 5 5
110.1)- — ; 2)а-т; 3)-т; 4)—-. Ш. 1)4^Мх+1;2)9хг-12ху+4/;
а 1 + 7е
3) х’-^; 4) 4х*-у2. 112. 1) ^^;2) —-;3) ^;4) 113. 1) 4;
х-у т + п ху п
2) -2; 3) -х; 4) -2х. 115.1) —2) —;3) 4; 4) -. 116.1) 3) .
х + у х-у 3 Ь + а х + у
118.1)26; 2)-26; 3)2(т + л); 4) -1—. 119. 1) х; 2) —; 3) 1; 4)0.
3+х 2+т
120. 1) 2) 3) —т ;4) -. 121. 1) Г; 2)р; 3) 4; 4) 2. 122. 1) -х;
у т 4 а
2)—^-; 3)-^-; 4)—^—. 123. 1)-^-; 2)-2—. 125. 1)^|; 2)1;
у + 3 3-у 6-4 За-6 2х + у т + 1
ч\т~п. л\ аі) «оа л.Ьп + т _.х + і-т , .. л , 5
3)----; 4)----.126. 1)----; 2)-------; 3)-1; 4)ті. 128. 1)-;2)7.
тп а+Ь 5п-т х-і + т в
6)а--.131.1)^|; 2)0; 3)-^-; 4) —4^—. 132. Зх - 3|/. 133.1) Усі х,
а х-1 х + 2 3(а>2)
2 4 1
крім 1 ; 2) усі х, крім 9; 3) усі х, крім -5; 4) усі х, крім -» —1—; 5) усі х,
З 5 4
крім 134.1) 20; 2) ЗО; 3) -0,2; 4) 5. 135.1) 8; 2) -6; 3)-2; 4) -12.
24 11
136. 1) -1; 2) 1; 3) -7; 4) 9. 137. 1) -11; 2) 2; 3) ; 4) -1.
З .
2 12
138. 1) 8; 2) -1; 3) =-; 4) -3. 140. 1) 2) -; 3) 0; 4; 4) 0; 12,5; 5) 2; 2;
9 5 9
6) коренів немає. 141. 1) Коренів немає; 2) коренів немає; 3) коренів не-
має; 4) 7. 142. 1) 4; 2) 0; 3) -90; 4) -3. 143. 1) 0 і 4; 2) коренів немає;
2 10 5 7
3) коренів немає; 4)0122.144.1) -. 145. —. 146.-. 147.1. 148.4 км/год;
9 23 3 5
5 км/год. 149. 60 км/год; 120 км/год. 150. 12 год. 151. 6 год.
152. 1)-1; 2)1; 3)25-За; 4)—— ;5) За + 25;6) 1. 155. 1) 64; 2)
За - 2Ь 36
3)25:4)^. 156. 1)1$ 2)1; 3>±; 4) * 157. 1)£; 2)±; 3)£;
4)а”“! 5)(4р),,: 6) (2а0*>: П (7х + у)*:
8) 9» А-15Я- » 10 5>
.«/ 2/
2) 2 зь; 3) а1’; 4) 2008 ’°; 5) 2 6) а1; 7) 9ау~\ 8) 12ху а. 159. 1)
2)1; 3)1; 4)-і; 5)1; 6)-1: 7)-27; 8) 1?. 160.1) 1 000000; 2) 1®;
7 4 27 о 20 2о
3)- 1-; 4)-1; 5)-125; 6)-125; 7)2-; 8)-|7; 9)--1; 10)162.1)2;
4-0 О 0'1 1о
2) 3)?; 4)Ц; 5)16; 6)8; 7)11; 8)-11. 163. 1) 1; 2) 3)-3;
5 5 72 144
1 1 2187 /"іп
4)125; 5)0: 6)10. 164. 1) —; 2)3) 1; 4) — ; 5)- — ;
64 27 16 384 і 99 )
6)
. 165.1) Більше 0; 2) менше 0; 3)більше 0;
1 Ь 2х 1 лч 1 8 5а
4) ~ , яї о) г ♦ ®) ґ» ЇТ’ ®) вк» * ®)7 йГ * 19) ~7л 7Ї •
2а Ь аг у х у а Ь (х-і) (2-і)
167. 1) 5х8; 2) 3 хаЬ 2; 3) 7ху 3 4; 4) 9 ’а^Ь2; 5) т1п а; 6) 4ху Ч\
7) Зх(а-5) *; 8) 3(2х 4- 1)2(а-т)"т. 168. 1) 13; 2) 50; 3) 3; 4) 1.
169.1) Ь—; 2)1; 3)а‘; 4)Дг. 170.1)-^-;3) - —. 172. 2)-а2 + 3а2-а+ 2;
а а‘ х-2 х-4
4) За’М-16ая6. 173. 1)31,5 - Ю10; 2)22,5- 10'°; 3) 121,5- 1020; 4)6.
174. 1) 2,5 • 1О10; 2) 1026; 3) 6 • 10’1; 4) 7.2 • 10‘°. 175. 1) 8,2 • 10е;
2) 3,7 • 10й; 3) 5,23 • 10й; 4) 1,624 • 10е; 5) 2,63 10й; 6) 7,25 ♦ 10«.
179. 1) 0,6 1022; 2) 0,1 • 10 »; 3) 0,1 • 10а; 4) 1.7 • 10 "; 5) 7,35 • 10і».
180. 1)1,1-102; 2) 7,8 10»; 3) 1,5 • 10а; 4) 8,2 • 10 а. 181.1) 1,82 • 10»;
3) 1,5 1О27; 4) 9 • 10 е. 183. 3,96 • 10’° км. 185. * 2,4 • 10Л 186. 1) -10;
2) -15; 3) 10*°; 4) -45; 5) -29; 6) 2. 188. 1) 5,2 • 10е; 2) 1,7 • 10 2;
3) 8,13 10і2; 4) 6,21 • КГ1*. 189. 1) 0; 2) 0; 3) -6; 4) -2. 193.1)у «-2х;
2)у = ~-х; 3)(/ = -Зх; 4)у = --х. 194. —-—. 198.1)р = -’—; 2)у = -’—;
З 2 л+т х х
3)^ = "^; 4)у = —. 200. у = -200: х =-1,6.209.1) -81; 2) 18; 3)20;
х х
4)-24. 210.1)8 см; 2) 4 см. 217.1)^-; 2) — 3) бх8/; 4)2х*і/;
X у
х1 27
5) —; в) —. 218. 1) 3; 2) -4; 3) коренів немає; 4) коренів немає.
220. 1)±2;5; 2) 2,5; ±5; 3) 6; ±9; 4)4,5; ±10. 222. Шестикутник.
228.1)12; 2)±1; 3)±1; 4) ±6; 5)8; 6)27; 7) ±5; 8) —. 229. Симетрич-
49
З 3 1
ні відносно осі Ох. 231. --<х<—1, 1<х< -. 234. 1)-;2)-(хту)8;
2 2 а+Ь
3) і—4) Р^., 235.1)-16; 2)-16; 3) 8: 4)8. 236. км/год.
т + 4 р + 5 і
243. 1) Один: 2) один; 3) жодного; 4) жодного. 248. 1) Один; 2) один;
3) два; 4) жодного. 251. 1) —-—2) -*^л^ У
2х-2у 4а + 2Ь
252. 1)х = — ; 2) у» Х—; 3) г = -^-. 253. . . 254. 1) 0; 2) 0; 3) 0;
2-у 2 + х х-у З
4) 0. 258. 1) 5; 2) 6; 3) 100; 4) 120; 5) 0,4; 6) 0,7. 259. 1) -;
2);: 3)1 з
8 7
6) 4—. 260. 1) ±1; 2) ♦ 12; 3) ±715; 4) 0;
5) коренів немає; 6) коренів немає; 7) ±ч;19; 8) ±72. 261. 1) 5,2; 2) 77;
3) 1,7; 4) 10; 5) -10; 6) -3,6. 262. 1) 0; 2) 4- ; 3) 2,5; 4) ЗО. 264.1) а) 6;
б) 1; в) 1; 2) а) Тії; б) 6; в) 2; 3) а) 0; б) 20; в) 1,44; г) 3660; 4) а) 5; б) 3;
в) 6. 266. 1) Існує; 2) існує; 3) не існує; 4) не існує; 5) існує; 6) не існує.
267. 1) ±0,2; 2) ±6; 3) ±7; 4) ±-т=; 5) коренів немає; 6) ±3; 7) коренів
72
7 9
немає; 8) коренів немає. 268. 4) ±—. 269.1) 25; 2) 4; 3) 49; 4) 9; 5) 1
4 16
6) ?£. 270.1)1; 2)-д*; 8)-/: 4)-Xа;б)-—-;6)
49 Г с +1
7) є’; 8)4.
а*
271.1) -1; 2)-|; 3)Ь 4)/ . 272. 6; 16. 273.1) Д; 2) «і; 3) 16-^;
З о 5 21 я У 1о
4)25—. 274. 1) *5±1,41; 2) «312,24; 3) «-111,73; 4) «-212,45.
25
278. 11Г 7 27 5
1 1 10 10 6 3 2 5 2
3) 0,(142757); 4) 0,(1); 5) 0,(6); 6) 0,8(3); 7) 0,(571427); 8) 0,(7).
286. 1) 1,(3); 2) -0,(7); 3) 3,(142857); 4) -0,625(0); 5) 1,456(0);
46
6)-123,(0); 7)-1,075(0);8)2,1875(0).287.1)^-; 2)23,9; 3)0,4; 4)0,5.
35
288.2) 11 і 12; 3) 18і 19; 5) -17і-16. 296. 1)72 + 75; 7І + 7б; Т2 + ТЇ;
Т2+ТГЇ; 72 + 73Ї;3)724-747; 724-ТИ; 724-Л; 724-Тб; <24 -72.
297. 1)3^ ЗІ Л0,3^(1),3.(2).300.2) 10-75; 4)8 + 711.301. 1)1; 2) 1;
У •
3) 1; 4) 1.304. 20 км/год; 16 км/год. 307.1) 18; 2) ЗО; 4)48; 5) 1; 6)0,7;
7)0,36; 8) 1,95.308. 1) 6;2)—; 3) — ;4) —; 5) —; 6) -. 309.1)6; 2)96;
3) 26; 4) 15; 5) І; 6) 3. 310. 1) 12,6; 2) 96; 3) 1 -; 4) - ; 5) 2-; 6) —.
2 8 15 3 11
311. 1) 16; 2) 70; 3) 60; 4) 40; 5) 240; 6) 6. 312.1) ЗО; 2) 75; 3) 42; 4) 32;
5) 60; 6) 63. 313.1)3; 2) 5; 3) 10; 4) 6; 5) 5; 6) 10. 314.1) 35; 2) 99; 3) ЗО;
4) 70; 5) ТзГЗ; 6) 50. 315. 1) 1; 2) 1; 3) 7; 4) 5; 5) 1—; 6) 2. 316. 1) 2;
2) 4; 3) 4; 4) 40. 317. 1) 170; 2) 270; 3) 510; 4) 1300; 5) 2,4; 6) 3,1; 7) 3,4;
8) 4,7. 318. 1) 8; 2) 9; 3) 10; 4) 26; 5) 15; 6) 12Тб; 7)15; 8)2. 319. 1) 2;
8
12 г~ г- г- г
2) 1-; 4) -. 321.1) 75-у!а, а>0-, 5) <а -уІЬ. а>0, Ь>0. 322.1) ->»
9 5 <3
2)-?_.а>0; 6)5,гп>0, кХ), л>0. 324. У ЗО разів. 325. З дм.
у/а 2>/п
326. 1) а5Ь5; 2)1; 3)-^; 4) Ь*°. 328. 3,5 см; 7,5 см. 330. 1) 7; 2) 7;
3) 7; 4) 7. 332. 1) 5; 2) 0,3; 3) 1.7; 4) 19; 5) 6; 6) 3. 334. 1) |т|;
2) 2|аІ; 3) ->/5|^|; 4)-0,3|х|; 5) 5|т|; 6) 6\у ; 7)£^; 8)Д. 335. 1) т;
3|п| |а|
3) -5с. 336. 1) 5*; 4) -1,2л. 337. 1) а4; 3) 21»; 4) -а10; 5) а1004.
338. 1) |т’|; 2) -а*; 3) |17|; 4) -3|*“|; 5) а”;6) -2Ь,0°. 339. 1) 36; 2) 32;
3) 10 000; 4) ; 5) 1; 6) 49; 7) 0.2; 8) 2700.340.1) 81; 2) 64; 3) - —; 4) -49;
125 16
5) 56; 6) 40; 7) 12^; 8) -25. 342. 1) ±4; 2) ±5; 3) коренів немає; 4) ±3;
5)-7; 11; 6)-8; 6. 343.1)х - 3; 2)-х-10; 5)ТЗ; 6)1. 346.1л(18 %).
14 л (3 %). 347.1) 9; 2) 4; 3) 8; 4) 12. 350.1) 2<5; 2) 572; 3) зТЗ; 4) 10>/3;
5) 473; 6)972. 351. 1)272; 2)-ТІ; 3) 10Т20; 4)- — ; 5)-—;
З 2
6)6072. 352. 1) 475; 2)7^3; 3) - 77; 4)-36; 5)-15; 6)-1,12572.
353. 1) 745; 2) <343; 3) 728; 4) <50; 5) 7100а; 6) 725х. 354.1) 7б;
3)-72;5)<2а;7)-То?46. 355. 1) 798; 2) 799; 3) -<24; 4) -7500;
5) 712а; 6)-<0,4х; 7) Ттй; 8) 73а. 358. 1) с<ЇЗ; 2) 4х’<х; 3) |/|7Ту;
4) 251077; 6) -х’Т2. 359.1) - Ттт7; 2) -Тзх*; 3) 7-а1, а<0; 4) <55,Ь>0;
5)7(« + 3)’, т + п>0; б)^(а-Ь)’, а-5>0. 361. 1) 1; 2) -1; 3) 1; 4) -1.
362. 1) 0; 4; 2) О; 5; 3) -7; 0; 4) -7; 0. 363. 208 г (8 %), 312 г (3 %).
364. 1) 16; 2) 16; 3) 8; 4) 8. 369. 1) -5; 2) -ЗО; 3) 7б-6; 4) 12-іо7з.
370.1)-3; 2)14-772; 3) -120; 4) 15-373.371.2) 5Тз-1;5) Ю + 5Тб;6)-17.
372. 1)а - 4; 2) -2; 3)-1; 4) 17; 5)83+1872; 6) 49-вТЗ; 7) 58-2475;
8) 32-1бТЇ5. 373. 1)12 + б7І-з7б; 2)-75-11; 3)314; 4)2; 5)16;
6) 168 + 4873; 7) 5 ~ 2— ; 8)бТЇ0. 374. І) 73(1 + 73); 2)77(1-7?);
6
3) Л(1 + 7х); 4)7а(7а-2). 375.1) (х-ТвХх+Тб); 2) (Г-ТЗХГ + ТЗ);
4) (7Ї0 -ЗуХТІО + 3у) 380. 1) 5-372; 2) 60; 3) 12-зТб ; 4) 2; 5) 2; 6) 4.
384. 2) 4)^ЦЕ + ^Е. 385. 1) ±2. 404. 1) 2; 3)8. 406. 1) Так;
у+75 27т-7л
2) так; 3) ні. 407. 1)Так; 2) ні; 3) так. 408. 1) 1; 2) 6; 3) 13; 4) 7.
410. 5000 грн. (6 %), 5200 грн. (8 %). 412. 1) 0; 2) -4; 0; 3) ±3; 4) ±9.
418.1)0і 11; 2)0 і-2; 4)0ІЗ. 423.1)0,2 і 4)0 і ±73. 425. 3)-1 і
7
-7; 4) 11 і 7. 427.12^2 см. 431.* 1311 грн. 435. 1)1 і 3; 2) -8 і 2; 3)-5 і 1;
4)1 ±72.439.5) Коренів немає. 441.4)-у 12.445. т =3. 450.1)а = ±20;
3) -20< а <20. 453. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 1. 454.10 %. 464. 1)3 і 18; 2) 3 і
466. 1) * = 6; 2) Л = -34; 3) к = -6; 4) к = 11. 470. 1) Два; 2) жодного.
х — 1 3 х + 2 1 — 2а
483. 3)(х + 9Х 1-х). 485.1)——; 2)--; 3)--; 4)--.488.1)6при
2 х + 6 х + 4 2 + а
і = 2; 2) -11 при х = 3; 3) 10 при х = 1; 4) 36 при і - 2. 492. 10,26 ц і
11,16 ц. 500. 1) -2 і0, 4; 2) 1 і 2. 506. 2) 3±372; 4) 2 і 4. 510. 1)±1;±2.
513.1) -3 і 4; 4) 2. 515.3) 6. 516.1) 0,4; 2) 4. 517.1) 1; 2) 0,5; 3) -1 ± 2 <2;
4) 1 і 525. Ні. 528. 5 і 6. 532. 24 см2. 535. Так. 536. 4 год і 6 год.
4
5
542. 22 км/год. 547.12 і 5. 548. бТТ%- 553. 14 і 41. 559. 1) 2; 2) 6; 3) 3;
4) 7. 560. 1) х * 0, х * ±1, х * +2; 2) х * 0, х * ±2, х * ±3; 3) х * 0,
2)
б. 561. 1) —2
2
а’-4а + 16
3) V я : 4)
а -з
3) — - . 562. 1) -^1—
2-2а 2а + 4 а* +За + 9
а1 +3
, . 564. 1)
а*+5а + 25
——; 2) ——
2х+2 Зх + 6
3) 4>
5х + 15
------. 567.1) ±1, ±2, ±3, ±6.
6х + 24
568. 1) 15; 2) 1; 3) -1; 4) 15. 570. 1) 1; 3) 3. 571. 1) а - 5; 2) а + Ь\ 3) 1;
4) -1. 572.1) -1; 2) -1; 3)(х - 5)*; 4) (х + 4)2. 575.1) 2; 2) коренів немає;
3) коренів немає; 4) коренів немає. 576. 1) 2) 3) 5; 4) - 1.
577. і)*!*20’.*!; 3)^-—. 578. 1) 1,935 г; 2) 1,935 • 10а г. 580. 1)81;
а *-2а +1 а -1
2) |; 3) 4) 5. 582. 1) ±|; 2) ±3; 3) ±1; 4) г2. 584. 3) 1<у<1в;
З о £
4) 2< х< 2. 592.1)48; 2) 12; 3) 1,8; 4) 0,1; 5)0,064; 6) 0.002. 595.1)0,5;
2) 0,1; 3) 20; 4) 0,01. 596.1) 0,07; 2) 13,5; 3) 2; 4) 1,4. 597.1)- 10х2у^2х;
2)10х4уТЗ!Л 598.1) -\13х7; 3)-V*. 600. 1) 2а-5; 2) ЗЬ-2а. 603. 6) 2.
604. 1) >/2; 3) 2; 4) 3. 607. 613. 1) -1,5 і 1; 2)
а — Ь 3 3
3)±|; 4)-|і1. 616. 1)11; 2) 12; 3) ±2; 4) ±3. 617. 1) ±3(2я - 1);
2 З
2) ±-(4л-1). 618.1)1 4; 2) 13:3) 1;4) 1; 5)0; 10; 6) 0; 7. 620.1)Будь
2
З _ 7
яке число, крім -1 і 5; 3) -1; 4) 0.5. 625. 1) -21; 2) 8; 3) 4)-~.
« &
628. 1Ц2Г-ЗМЗГ + 2); 3) (р 15Х5р-2). 631.1)±1; 2) ±1; 3) ±-; 4) ±-.
3 2 5
632. 1)2; 2)і-1; 4) 6І5.635. 1) 1,-*. 2)3,-2. —
7 2 4 6
639. 20 км/год. 640. 3,2 км/год. 648. (1; 57), (2; 27). 649. З* 23. 650. З і
1,5. 653. 2 м. 654. 12 год, 15 год. 657.6 років, 30 років. 658.0. 659. 12.
660. 1)(9; -3; 1; 5); 2)(1; 2; 3). 661.10 км, 6 км/год, 4 км/год. 662. ЗО хв.
673. 6. 675. 1) -16; 2) 2. 679. х = 2, р = 1, г = 2. 680. 90 відер, 54 відра,
40 відер. 691. 2. 692. |. 694. Від 4 км/год до ——— км/год. 699. Третя.
З З
700. (І; 44), (5; 4). 701. 550. 707. 1) 3,8; 3) -1,012. 708. 15 дівчат і
10 хлопців. 712. 9 кг і 3 кг. 722. 1) 225 см*; 2) 400 см*; 3) 400 см2;
4) 1600 см2. 727. 5 см. 732. Л = 3. 736. 1)(1; 5); 3) (-4; 3); 5) (5; 3).
738. 1) 50 грн. і 60 грн.; 1) 1,5 грн. і 1 грн.
ЗМІСТ
Дорогий друже!................ ............................ З
Шановні колеги!..........................................4
Історія розвитку математики в Україні ...................5
Повторення курсу алгебри за 7-й клас.....................8
Розділ І. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ
§ 1. Раціональні вирази. Допустимі значення змінних ....14
§ 2. Раціональний дріб. Основна властивість дробу.......22
§ 3. Додавання і віднімання дробів
з однаковими знаменниками...........................32
§ 4. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками .... 40
Готуймося до тематичного оцінювання
«Раціональні вирази. Додавання та віднімання
раціональних виразів»...............................47
§ 5. Множення та ділення дробів.........................55
§ 6. Тотожні перетворення раціональних виразів..........62
§ 7. Раціональні рівняння...............................71
Готуймося до тематичного оцінювання
«Раціональні вирази. Тотожні перетворення
раціональних виразів»...............................81
§ 8. Степінь з цілим показником і його властивості......88
§ 9. Стандартний вигляд числа...........................97
к
§ 10. Функція у =— , її графік та властивості..........102
х
Готуймося до тематичного оцінювання
«Стандартний вигляд числа.
£
Функція у = —, її графік та властивості»............112
х
Алгебраїчна скринька...............................119
Розділ II. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА
§11. Функція у = х2 та її графік......................122
§ 12. Графічний спосіб розв’язування рівнянь...........128
§ 13. Квадратний корінь. Арифметичний квадратний корінь.
Рівняння х2 = а.........................................136
§ 14. Раціональні, ірраціональні, дійсні числа.
Числові множини.........................................145
§ 15. Арифметичний квадратний корінь з добутку і дробу.
Добуток і частка квадратних коренів.................158
§ 16. Арифметичний квадратний корінь із степеня.
Тотожність Та* = |а|....................................165
§17. Винесення множника з-під знака кореня.
Внесення множника під знак кореня.......................170
§18. Тотожні перетворення виразів, що містять
квадратні корені........................................175
§ 19. Функція у = у[х, її графік та властивості .........181
Готуймося до тематичного оцінювання
«Квадратні корені. Дійсні числа».....................189
Алгебраїчна скринька.................................195
Розділ ПІ. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
§ 20. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння,
їх розв’язування........................................198
§ 21. Формула коренів квадратного рівняння...............205
§ 22. Теорема Вієта .....................................212
Готуймося до тематичного оцінювання
«Квадратні рівняння. Теорема Вієта»..................219
§ 23. Квадратний тричлен, його корені.
Розкладання квадратного тричлена на множники ...........226
§ 24. Розв'язування рівнянь, які зводяться до квадратних.232
§ 25. Розв'язування задач за допомогою квадратних рівнянь
та рівнянь, які зводяться до квадратних ................241
Готуймося до тематичного оцінювання
«Задачі та рівняння, які зводяться до квадратних» ...249
Алгебраїчна скринька.................................256
Додаткові матеріали
Вправи для узагальнення вивченого
в курсі алгебри 8-го класу
Вправи до розділу І ...............................257
Вправи до розділу II ..............................261
Вправи до розділу III..............................266
Задачі підвищеної складності.........................270
Довідничок з алгебри за 7-й клас ....................276
Вправи для повторення курсу алгебри за 7-й клас......285
Предметний покажчик......................................291
ВІДПОВІДІ ...............................................293
Навчальне видання
Б1ЛЯНІНА Ольга Ярославівна
К1НАЩУК Наталія Леонідівна
ЧЕРЕВКО Ігор Михайлович
АЛГЕБРА
Підручник для 8-го класу
загальноосвітніх навчальних закладів
Рекомендовано Міністерством
освіти і науки України
Видано за рахунок державних коштів.
Продаж заборонено
Редактор Н. Дашка
Макет В. Валкова
Художнє оформлення і обкладинка С. Желелняк
Технічні малюнки Ю. Лебедєва
Технічний редактор В. Олійник
Коректори І. Іванюсь, Л. Леуська
Комп’ютерна верстка К. ПТалиДної