В. В. БАТЫГИН, И. Н. ТОПТЫГИН
СБОРНИК ЗАДАЧ по ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ и ДОПОЛНЕННОЕ
Под редакцией М. М. БРЕДОВА
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших, учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИ ГЕРАТУРЫ МОСКВА 1970
530. 1
Ь 28
УДК 537.1
Сборник задач по электродинамике, Батыгин В. В., Топтыгин И. Н., изд. 2-е, перераб., учебное пособие. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1970.
В книге В В. Батыгина и И. Н. Топтыгина «Сборник задач по электродинамике» (под редакцией М. М. Бредова), 2-е издание, собрано около 900 задач, иллюстрирующих различные разделы классической электродинамики и специальной теории относительности. Задачи разнообразны как по содержанию, так и по нудности. Наряду с задачами, иллюстрирующими основные понятия и законы электродинамики и относящимися к основному обязательному курсу электродинамики, в сборник включено значительное количество более сложных задач, помогающих более фундаментальному изучению электродинамики. Второе издание существенно расширено и переработано по сравнению с первым изданием с учетом результатов, полученных в электродинамике в последние годы.
Сборник рассчитан в основном на студентов физиков, составлен с учетом существующих программ по электродинамике и может быть использован в качестве учебного пособия для любых высших учебных заведений, в учебных планах которых имеется достаточно основательный курс электродинамики или теории электромагнитного поля. Часть задач, включенных в сборник, может быть полезной и для лиц, занимающихся более углубленным изучением электродинамики.
Табл. 2. Рис. 135. Библ. 120,
2-3-2
54-70
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора................ ............................... 5
Предисловие ко второму изданию................... - -	7
Из предисловия к первому изданию............................
Задачи Ответы и решения
Глава I. Векторное н тензорное исчисление .	...........9	219
§ 1.	Векторная и тензорная алгебра. Преобразования векторов и тензоров		...	9	219
§ 2.	Векторный анализ..................................... 14	223
Глава 11. Постоянное электрическое поле в вакууме ............. 23	226
Глава 111. Электростатика проводников и диэлектриков	...	34	237
§ 1.	Основные понятия и методы электростатики............. 34	237
§ 2.	Потенциальные и емкостные коэффициенты ...	45	259
§ 3.	Специальные методы электростатики............ . . 48	251
Глава IV. Постоянный ток ....	  55	262
Глава V. Постоянное магнитное поле ...	62	267
Глава VI. Электрические и магнитные свойства вещества	.	. .	73	282
§ 1.	Поляризация вещества в постоянном поле ...	. 73	282
§ 2.	Поляризация вещества в переменном поле ...	77	287
§ 3.	Ферромагнитный резонанс...........................82	293
§ 4.	Сверхпроводимость................................. 86	298
Глава	VII. Квазистационарное электромагнитное поле ....	89	300
§ 1.	Квазистационариые явления в линейных проводниках	.	89	300
§ 2.	Вихревые токи и скин-эффект.........................  94	310
Глава	VIII. Распространение электромагнитных волн ....	99	320
§ 1.	Плоские волны в однородной изотропной среде. Отражение и преломление волн. Волновые пакеты................ 99	320
§ 2.	Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах	107	333
§ 3.	Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах. Дифракция......................................   112	341
§ 4.	Когерентность и интерференция ...	. . 118	354
§ 5.	Дифракция рентгеновых лучей . •	. . . 127	359
Глава IX. Электромагнитные колебания в ограниченных телах 131	363
1*	3
Задачи Ответы и решения
Глава X. Специальная теория относительности.....................141	382
§ 1.	Преобразования Лоренца ...	... 141	382
§ 2.	Четырехмерные векторы и тензоры	... 151	393
§ 3.	Релятивистская электродинамика .....	154	395
Глава XI. Релятивистская механика . .	...	159	400
§ 1.	Энергия и импульс................................ 159	400
§ 2.	Движение заряженных частиц в электромагнитном	поле	171	417
Глава	XII. Излучение электромагнитных волн.............. 180	432
§ 1.	Вектор Герца и разложение по мультиполям ....	180	432
§ 2.	Электромагнитное поле точечного заряда, движущегося произвольным образом.................................. 187	440
§ 3.	Взаимодействие заряженных частиц с излучением	.	.	.	194	451
§ 4.	Разложение электромагнитного поля на плоские	волны	198	458
Глава XIII. Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом ......	203	466
Глава XIV. Физика плазмы................................. .	. 208 479
§ 1.	Движение отдельных частиц в плазме............... 208	479
§ 2.	Коллективные движения в плазме .	  214	485
Приложения....................... ...	......	492
1.	б-функция............................................. 492
2.	Сферические функции Лежандра . .	....	494
3.	Цилиндрические	функции	  496
Литература ................................................... 500
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание настоящего задачника встретило положительный прием; думается, что это прежде всего свидетельствует о потребности в книге такого профиля не только как в собственно задачнике для учебных целей, но и как в пособии для лиц, которым по роду работы приходится сталкиваться с электродинамическими расчетами.
Второе издание книги пытается в какой-то мере отзываться TIа изменения, произошедшие за последнее время именно в об-.ласти приложений электродинамики к некоторым конкретным вопросам физики и техники сегодняшнего дня. К таким вопросам относятся, в частности, сверхпроводимость, голография, физика плазмы.
Конечно, заданный объем книги и необходимость достаточно полно охватить основные разделы учебных курсов электродинамики ограничивают возможность рассмотрения многих но-.вых задач и заставляют делать между ними выбор, который в значительной степени определяется вкусами и интересами авторов.
Тем не менее обновление материалов в этом смысле во втором издании (помимо очевидных редакционных правок ошибок первого издания) представляется нам целесообразным.
Было бы крайне Желательно узнать мнения читателей по этому поводу, и мы будем весьма благодарны за критические .замечания по этому изданию.
М. Бредов И969 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Интенсивное внедрение электротехники, радиотехники и электроники в самые различные отрасли народного хозяйства поставило перед широким кругом специалистов (радиоинженеры, инженеры по ускорительным установкам, по ядерной технике,
5
электронике, автоматике и т. д.) задачу активного освоения методов расчетов электродинамических задач. Поэтому в настоящее время курсы электродинамики читаются не только в университетах, но, в той или иной форме, и в ряде высших технических учебных заведений. Вместе с тем, к сожалению, как в отечественной, так и в иностранной литературе отсутствует соответствующий курс, написанный на современном уровне и с охватом достаточно большого круга вопросов, который мог бы не только помочь студентам освоить технику практических расчетов по электродинамике, но и послужить руководством для лиц уже работающих в промышленности и сталкивающихся по роду своей деятельности с этими расчетами. Написание такого курса «Практической электродинамики» является весьма важной и сложной задачей, которую следовало бы решить в самом и ед еком будущем.
Естественно, что предлагаемая книга никак не может претендовать на восполнение указанного пробела, однако представлялось крайне желательным осуществить шаг в данном направлении и создать сборник задач, который послужил бы не только чисто академическим пособием для студентов, но оказался бы полезным и для упомянутого широкого круга специалистов в плане демонстрации методов решений интересующих их задач.
В соответствии с поставленной целью мы стремились проводить хотя бы конспективные обсуждения методов решений задач и получаемых результатов с точки зрения возможных применений их к другим смежным проблемам. Кроме того, каждому параграфу предпосланы краткие теоретические введения, позволяющие вспомнить необходимый материал, не прибегая к литературе.
Для возможно более полного охвата всех разделов электродинамики в сборник включены хорошо известные «классические» задачи, разобранные и в других руководствах; вместе с тем, где это было возможно, максимально привлечен современный материал.
В пределах, допускаемых объемом книги, уделено внимание математическому вычислительному аппарату как непосредственно в задачах, так и в специальных приложениях (за исключением применений теории функций комплексного переменного, поскольку этот метод весьма хорошо освещен в литературе).
Учитывая, что предлагаемый сборник является первым опытом создания такого пособия, он, естественно, не свободен от недостатков. Ввиду этого мы будем особенно благодарны читателям за критические замечания.
1961 г.
М. Бредов
Памяти профессора Ильи Мироновича ШМУШКЕВИЧА посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Общий характер сборника остался таким же, как и при первом издании. Во втором издании мы исправили замеченные ошибки, опечатки и неточности, а также дополнили книгу новым материалом. Введены новые разделы: сверхпроводимость, когерентность и интерференция (включая вопросы голографии), дифракция рентгеновых лучей, элементы физики плазмы. Существенно дополнены гл. IX— новыми задачами о резонаторах, в том числе открытых, гл. X — новыми задачами на преобразования Лоренца, гл. XI — рассмотрением кинематики трехчастичных распадов и двухчастичных реакций. Кроме того, мы перешли в этом издании на неэвклидову четырехмерпую метрику, получающую все большее распространение в физической литературе.
Мы благодарны всем товарищам, чья помощь и поддержка способствовали выходу в свет второго издания книги, чьи замечания помогли улучшить ее содержание. Особенно мы признательны проф. И. М. Шмушкевичу за ценные советы, касающиеся содержания гл. X, XI, и просмотр рукописи этих глав, проф. Я. А. Смородинскому за поддержку и советы по содержанию книги в целом и проф. А. 3. Долгинову за просмотр материалов гл. XIV.
1969 г.
В. Батыгин, И. Топтыгин
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий сборник задач рассчитан в основном на студентов-физиков и составлен с учетом существующих программ по электродинамике. Он может быть использован в качестве учебного пособия на инженерно-физических факультетах втузов, на физических факультетах университетов и педвузов, и также на
7
радиотехнических и других факультетах, на которых изучается теория электромагнитного поля. Часть задач, включенных в сборник, может быть полезной и для лиц, занимающихся более углубленным изучением вопросов электродинамики.
Кроме задач, иллюстри-рующих основные понятия и законы электродинамики, которые решаются простыми математическими методами, в сборник включено значительное количество более сложных задач (эти задачи отмечены звездочкой). Некоторые из них требуют трудоемких вычислений, в других рассматриваются вопросы теоретического характера, обычно выпадающие из лекционного курса (распространение волн в анизотропных и гиротропных средах, движение заряженных частиц в электромагнитном поле, представление электромагнитного поля в виде набора осцилляторов и др.). Наконец, имеются задачи, в которых разбирается материал, мало отраженный в существующей учебной литературе: взаимодействие заряженных частиц с веществом (гл. XIII); применение законов сохранения к анализу процессов столкновений и распада частиц (§ 1 гл. XI), ферромагнитный резонанс (§ 3 гл. VI) и др. В разделе «Ответы и решения» приведены ответы на большинство задач; многие задачи' снабжены решениями.
В начале каждого параграфа дается краткое теоретическое введение и приводятся необходимые формулы. Излагаемые сведения не претендуют на полноту; более полное освещение соответствующих вопросов читатель найдет в литературе, указанной в конце каждой главы.
В книге всюду используется гауссова абсолютная система единиц, так как она наиболее часто употребляется в физической литературе. Обозначения применяются общепринятые. К сожалению, не всегда удавалось избежать применения для разных величин одинаковых символов, и наоборот. Однако это не может-привести к недоразумениям, так как в теоретических введениях указываются обозначения, используемые в соответствующих главах или параграфах.
В математических приложениях к сборнику приведены основные данные о дельта-функции, цилиндрических и сферических, функциях, необходимые для решения задач.
При составлении сборника были использованы курсы Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, И. Е. Тамма, Я. И. Френкеля,. Абрагама и Беккера, В. Смайта, Дж. А. Стрэттона и др., а также многие монографии, обзорные и оригинальные статьи. Ряд. полезных задач, содержащихся в этих руководствах, включен в сборник.
1961 г.	В. Батыгин, И. Топтыгин.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА I
ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Векторная и тензорная алгебра. Преобразования векторов и тензоров
Скаляром (инвариантом) в трехмерном пространстве называется величина, которая не изменяет своего значения при поворотах координатной системы.
Вектором в трехмерном пространстве называется совокупность трех величин, преобразующихся при поворотах системы координат по формулам
з
Ж = 2	(I. 1)
k=i
Здесь Ah— проекции вектора на оси исходной, а Ж —на оси повернутой системы координат; — коэффициенты преобразования, представляющие собою косинусы углов между k-й осью исходной и t-й осью повернутой системы координат.
В дальнейшем мы воспользуемся следующим правилом сум-•мирования, принятым в тензорном анализе: будем опускать знак суммы, подразумевая суммирование во всех тех случаях, когда в данном выражении встречаются два одинаковых индекса. В соответствии с этим правилом, равенства (1.1) запишутся так:
A't = aikAk.
Тензором II ранга в трехмерном пространстве называется девятикомпонентная величина Tik (i, k — 1, 2, 3), преобразующаяся при поворотах координатной системы следующим образом:
Tik~O.iiO.kmTltn	(I. 2)
(сумма по I, т). Аналогично тензор s-ro ранга в пространстве трех измерений определяется законом преобразования:
Tiki ... г = CCit'CCftft'	агг-Тi'k'l' ... г'.	(I. 3)
® этом равенстве величины Т имеют по s индексов.
9
Величины, преобразующиеся как вектор при поворотах координатной системы, могут двояко вести себя при инверсии системы координат (преобразование х' = —х, у'=—у, z' = —z). Те векторы, компоненты*) которых при инверсии координат меняют знак, называются полярными векторами, или просто векторами. Векторы, компоненты которых не меняют знака при инверсии системы координат, называются псевдовекторами, или аксиальными векторами. Примером аксиального вектора может служить векторное произведение двух полярных векторов. Аналогично тензор s-ro ранга называется просто тензором, если его компоненты преобразуются при инверсии как произведения s координат, т. е. умножаются на (—l)s, и псевдотензором, если его компоненты умножаются на (—l)s+1.
Таблица коэффициентов преобразования
«12	«13 \
«22 «23 I	О-4)
«32	«33'
/ «II
Ct ~ I CC.2I
«31
называется матрицей преобразования. Определитель, элементы которого совпадают с элементами некоторой матрицы, называется определителем этой матрицы:
«И	«12	«13
«22	«22	«23	•
«31	«32	«33
(1.5)
Суммой двух матриц а + р называется такая матрица у, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц— слагаемых:
Nik = aik + Pife	П-6)
Произведением двух матриц ар называется такая матрица у, элементы которой получаются из элементов перемножаемых матриц а,ь и ргл по правилу:
Nik = «пР/л
(1.7)
(суммирование по /). Матрица у описывает такое преобразование, которое получается при последовательном выполнении преобразования сначала с матрицей р, а затем с матрицей а.
Единичной матрицей называется матрица вида
/1	О	0\
1=10	1	О].	(1.8)
\0	0	1/
*) Мы не делаем различия между ковариантными и контравариантными компонентами векторов и тензоров (см., например, [107]), так как оно несущественно для вопросов, рассматриваемых в этой книге.
10
Она описывает тождественное преобразование (а' = А/). Элементы единичной матрицы обозначаются символом д»*:
Матрица вида
f 1 6ift==( 0	при при	i = k, i=/=k.
/«I	0	° \
а = I 0	02	° )
\0	0	а3/
называется диагональной матрицей.
Если элементы матрицы удовлетворяют условиям
~ ^kl>
то она называется ортогональной.
Матрица сН, удовлетворяющая условиям
aa_| = a-1a = 1,
(1-9)
(I- Ю)
(I. 11)
(I- 12)
называется обратной матрице а. Она описывает обратное преобразование, т. е. если = aikAk, то Ak = a^.’AC.
Матрица а, которая получается из а заменой строк на столбцы, называется транспонированной:
ан	°21	а31
О|2	«22	а32
а13	а23	азз
— ukl-
(1.13)
1.	Два направления пип' определяются в сферической системе координат углами &, а и ,&/, а'. Найти косинус угла 0 между ними .
2.	Доказать тождества:
а)	(А X В) • (С X D) = (А • С) (В • D) — (А • D) (В • С);
б)	(А X В) X (С X D) = [А • (В X D)] С - [А • (В X С)] D =
= [А • (С X D)] В - [В • (С X D)] А.
3.	Во всех декартовых системах координат задана совокупность трех величин аг (i = 1, 2, 3) и известно, что = inv относительно поворотов и отражений. Доказать, что если Ь,-— вектор (псевдовектор), то а, — также вектор (псевдовектор).
4.	Доказать, что если а{ — Tihbh в каждой системе координат и — тензор II ранга, а Ьк— вектор, то а,-— тоже вектор.
5.	Доказать, что-4^-есть тензор II ранга.
ОХ^
11
6.	Доказать, что если — тензор II ранга и Pih — псевдотензор II ранга, то TihPik— псевдоскаляр.
7.	Показать, что симметрия тензора есть свойство, инвариантное относительно вращений, т. е. тензор, симметричный (антисимметричный) в некоторой системе отсчета, остается симметричным (антисимметричным) и во всех системах, повернутых относительно исходной.
8.	Показать, что если тензор Sih — симметричный, а тензор А,/, — антисимметричный, то Ан&ь = 0.
9.	Доказать, что сумма диагональных компонент тензора II
ранга является инвариантом.
10*. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент вектора ах, ау, аг рассматривать его циклические компоненты, определяемые формуламиa+i =	± iay),a0 — az..
Выразить скалярное и векторное произведения двух векторов через их циклические компоненты. Выразить также циклические компоненты радиуса-вектора через шаровые функции *) Лежандра.
11*	. Найти компоненты тензора е"1, обратного тензору е,л. Рассмотреть, в частности, случай, когда егл является симметричным тензором, заданным в главных осях.
12.	Пусть во всех координатных системах компоненты вектора а линейно выражаются через компоненты вектора Ь: а,- = = Eikbk- Доказать, что совокупность величин Sik является тензором II ранга. (Точнее, е^ь является тензором, если а и b — оба полярные векторы или псевдовекторы, и псевдотензором, если один из векторов — полярный, а другой — аксиальный.)
13.	Показать, что совокупность величин AildBih, где — тензор III ранга, a Bih — тензор II ранга, является вектором.
14.	Найти закон преобразования совокупности объемных интегралов Tik = JXtXk dV при пространственных поворотах и отражениях (хг- и Xk — декартовы координаты).
15.	Составить матрицы преобразования базисных ортов: при' переходе от декартовых координат к сферическим и обратно; при переходе от декартовых координат к цилиндрическим и обратно.
16.	Записать матрицу преобразования компонент вектора: при отражении трех координатных осей; при повороте декарто-ьой системы координат вокруг оси z на угол а.
17.	Найти матрицу преобразования компонент вектора при> повороте координатных осей, определяемом углами Эйлера ai,-6. «2 (рис. 1), путем перемножения матриц, соответствующих.
♦) Определение шаровых функций приведено в приложении 2.
12
линии узлов u/v на
которой преоб-(см. задачу 10)
поворотам вокруг оси z на угол ai, угол 6 и вокруг оси г' на угол аг-
18.	Найти матрицу Д(а16аг), с разуются циклические компоненты при повороте координатной системы, определяемом углами Эйлера ai, 0, аг (рис. 1).
19*. Показать, что матрица бесконечно малого поворота системы координат а может быть записана в виде a = 1 + ё, где ё— антисимметричная матрица (егл = —ел,). Выяснить геометрический смысл е,/,.
20. Доказать, что если a — ортогональная матрица преобразования, то при ее транспонировании получается матрица обратного преобразования.
21. Показать, что матрица преобразования базиса координатной
системы при отражении или повороте и матрица преобразования компонент вектора совпадают.
22*. Доказать, что при поворотах или отражениях четного числа координатных осей определитель преобразования равен + 1, а при отражениях нечетного числа координатных осей этот определитель равен —1*).
23. Показать, что если в некоторой системе координат соответствующие компоненты двух векторов пропорциональны, то они пропорциональны в любой другой системе координат. (Такие векторы называются параллельными.)
24*. Во всех декартовых системах^ координат задана совокупность величин eiM, обладающих следующими свойствами: при перестановке любых двух индексов eihl меняет знак; е123 = 1.
Показать, что эта совокупность образует псевдотензор III ранга (совершенно антисимметричный единичный псевдотензор III ранга).
25.	Доказать, что компоненты антисимметричного тензора II ранга при вращениях преобразуются как компоненты вектора.
26.	Записать выражения для компонент векторного произведения двух векторов и вихря вектора с помощью единичного антисимметричного тензора Указать, как преобразуются эти величины при вращениях и отражениях.
*) Преобразования, определитель которых равен +1, называются собственными; преобразования с определителем —1—несобственными.
13
27.	Доказать равенства:
2)	= &гтп$к.п $in$kmi
б) ^ikl^klm —
28.	Записать в инвариантной векторной форме:
а) einieirSeimPeStParflrbmCt’
e,niekrseimPestParanbkb'iCtC'm-
29.	Показать, что Тла{Ьр — Tihahbt = 2<о • (а X Ь), где Tik — произвольный тензор II ранга, а и b — векторы, <о — вектор, эквивалентный антисимметричной части Tih.
30.	Представить произведение [a-(b X c)][a'*(b' X с')] в виде суммы членов, содержащих только скалярные произведения векторов.
Указание. Применить теорему об умножении определителей или воспользоваться псевдотензором III ранга eihi (см. задачу 24).
31*. Показать, что единственным вектором, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, является нулевой вектор; что всякий тензор II ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, пропорционален 6lh; тензор III ранга — ещ; тензор IV ранга—+ dim6hi + + 6j(6hm).
32*. Пусть n — единичный вектор, все направления которого в пространстве равновероятны. Найти средние значения его компонент и их произведений: nt, titfik,	пользуясь
трансформационным свойством искомых величин, а не прямым вычислением соответствующих интегралов.
33.	Найти усредненные по всем направлениям значения следующих выражений: (а • п)2, (а • п) (Ь • п), (а • n) n, (а X п)2, (а X п) • (b X п), (а • п)(Ь • n)(c-n)(d • п), если п — единичный вектор, все направления которого равновероятны, а, Ь, с и d — постоянные векторы.
Указание. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.
34.	Составить все возможные независимые инварианты из полярных векторов п, п' и псевдовектора 1.
35.	Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух полярных векторов п, п' и одного псевдовектора 1? Из трех полярных векторов т, п2, пз?
§ 2. Векторный анализ
В произвольной ортогональной системе координат qlt q2, q3 квадрат элемента длины выражается формулой
dl2 = h2 dq2 + h22dq2 + h2 dq2,	(1.14)
14
а элемент объема — формулой
где
dV = hih2h3 dqt dq2 dq3,

(1.15)
(1.15)
— функции координат (коэффициенты Ламэ). Различные дифференциальные операции записываются так:
terad(p)‘ hi al’ dlvA	[^, Wl) Cj	e2	e3 ^2^3	h\h2 rot A =	д	d	d dqt	dq2	dq3 h2A2 h3A3 Am- 1 Г 9 ( ,l2h3	+ X, IWH+ /„ w-mj]; (1.1?) 9 1	d lhjh3 d<p \ . d W2d<M1 dq2 \ hi dq2 ) dq3 ( h3 dq3) J ‘
л, dqj	
В формуле для rot А дифференциальные
операторы -ч—
дейст-
вуют на элементы нижней строки определителя. В сферической системе координат:
x = r sin ft cos a, у = rsin ft sin a, z = rcosf>;		
hr= 1, ht = r, ha =	rsin©';	
d<p efl dtp	,	en	dtp
	I" °	л
graaq) *r dr r diy	1 rsin a	da ’
f]jv д __ 1 д (Г2Д \ i	1 d	(A<) sin ft) -I	J-s ; 7 rsin fl da
Ш V	r2	V	।	rsinft df>	
(rotA)r=-4^[-^-(Ao r Sin V [ OU x °	sin ft) —	ЙЛ, 1. da J ’
(rot AL —	1 dAr 1	d (rAa) .	
™ r sin ft da r	dr ’	
(rot A) - 1	1	dAr .	
r &r r	d& ’	
(1.18)
।	1 д2ч>
"г г2 sin2 О да2 '
15
В цилиндрической системе координат:
x = rcosa, у = г sin a, z = z;
hr=\, ha = r, hz = V,
gradv = e*+^A+eii;
([19)
z .	1 дАг dA,, . , dAr dA,
(rot A)r =-------~;	(rot A)„ =	~;
' ,T	r da dz ’	' ,a	dz dr ’
(rotA). = lA(Ma)_l^;
.	1 d ( dtf \ .	1 d2tf . d2<p
Лф “ 7 c7 V ~d7/ + V ~drf + ~d~T •
При любых А и <p имеют место тождества:
rot grad <p=0, divrotA=0, div grad <p=A<p.	(1.20)
Следующие основные интегральные теоремы позволяют преобразовывать объемные, поверхностные и контурные интегралы друг в друга.
Теорема Остроградского — Гаусса:
J div А = (j) А • dS,	(1.21)
v	s
где V — некоторый объем, S — замкнутая поверхность, ограничивающая этот объем.
Теорема Стокса:
(j)A-dl= J rotA-dS,	(1.22)
i	s
где I — замкнутый контур, 5 — произвольная поверхность, опирающаяся на этот контур.
В формулах (1.21) и (1.22) вектор А должен быть дифференцируемой функцией координат.
36.	Записать циклические компоненты *) градиента в сферических координатах.
37.	Воспользовавшись декартовыми, сферическими и цилиндрическими координатами, вычислить div г, rot г, grad (1-г), (l-V)r, где г — радиус-вектор, 1 — постоянный вектор.
38.	Выполняя все вычисления в сферических (или цилиндрических) координатах, найти rot(w X г), где о — постоянный вектор, направленный по оси г.
) См. задачу 10.
16
39.	Доказать тождества:
a)	grad (фф) = ф grad4 + ф grad <p;
6)	div (<pA) = <p div A + A- gradtp;
в)	rot (<pA) = <p rot A — A X grad ф;
r) div (A X В) = В - rot A — A • rot B;
д)	rot(A X В) = A div В — В div A + (В • V) A — (A • V) В;
e)	grad (A • В) = A X rot В + В X rot A + (B • V) A + (A • V) B.
Указание. Доказательство этих тождеств следует производить с помощью оператора V, пользуясь правилами дифференцирования и перемножения векторов и не переходя к проекциям на оси координат.
40.	Доказать тождества:
а)	С • grad (А • В) = А • (С • V) В + В • (С • V) А;
б)	(С • V)(A X В) = А X (С  V) В — В X(C-V)A;
в)	(V • А) В = (А • V) В + В div А;
г)	(АХ В) • rotC = В • (А • V) С — А • (В • V) С;
д)	(А X V) X В = (А • V) В + А X rot В - A div В;
е)	(V X А) X В = A div В — (А • V) В — А X rot В — В X rot А.
41.	Вычислить gradqp(r); divqp(r)r; rot<p(r)r; (1-V)cp(r)r.
42.	Найти функцию ср (г), удовлетворяющую условию divф(г)г = 0.
43.	Найти дивергенции и вихри следующих векторов: (а • г)Ь, (а • г) г, (а X г), ф(г)(а X г), г X (а X г), где а и b — постоянные векторы.
44.	Вычислить gradA(r)>r, grad А (г) • В (г), div ф (г) А (г), пйф(г)А(г), (1 • ¥)ф(г)А(г).
45.	Вычислить grad-^з^- и rot р-^~- (р — постоянный вектор), воспользовавшись выражениями градиента и вихря в сферических координатах. Найти векторные линии для этих векторов (дать рисунок).
46.	Доказать, что
(A-V)A=—AxrotA при A2 = const.
47.	Записать проекции вектора ЛА на оси сферической системы координат.
Указание. Воспользоваться тождеством ДА=—rot rot А + -У grad div А.
48.	Записать проекции вектора ЛА на оси цилиндрической системы координат.
49.	Интеграл по объему [ ^гайф- rot A) dV преобразовать в интеграл по поверхности.
50.	Вычислить интегралы г(а • n) dS, (а • г) n dS, где а — постоянный вектор, п — орт нормали к поверхности.
2 В. В, Батыгин, И. Н. Топтыгин	J7
51.	Интегралы по замкнутой поверхности n<p dS, ^(nX a)dS, § (п • Ь) a dS (b — постоянный вектор, п — орт нормали) преобразовать в интегралы по объему, заключенному внутри поверхности.
Указание. Решение выполнить по образцу предыдущей задачи.
52.	Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в предыдущей задаче, вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления, приложенных к элементам поверхности погруженного в жидкость тела.
53*. Пусть /(а, г) удовлетворяет условию
f (с&г + с2а2, r) = cj(ai, г) + cj(а2, г),
где С] и Сг — произвольные постоянные, и является дифференцируемой функцией г. Доказать, что если V—произвольный объем, S—ограничивающая его поверхность и п — орт внешней нормали к этой поверхности, то имеет место обобщенная теорема Остроградского — Гаусса:
$f(n, r)dS= J f(V, r)dV.
Оператор V в подынтегральной функций f(V, г) действует на г и стоит левее всех переменных.
Указание. Разложить п по ортам декартовой системы координат и воспользоваться теоремой Остроградского — Гаусса:
/ 77 dV = ср/г* dS.
54.	Решить задачи 50 и 51 с помощью обобщенной теоремы Остроградского — Гаусса, доказанной в предыдущей задаче.
55.	Интеграл по замкнутому контуру Ф qp dl преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур.
56.	Интеграл §udf, взятый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся па этот контур (и, f — скалярные функции координат).
57.	Доказать тождество
| (А • rotrotB — В • rotrotA)c?V = ^[(ВХ rot А)—(А X rotB)] • dS.
58.	Внутри объема V вектор А удовлетворяет условию div А = 0, а на границе объема (поверхность S)—условию Ап = 0. Доказать, что [ АбД/ = 0.
v
18
59*. Доказать, что divR J = °’ где А- вектоР« определенный в предыдущей задаче.
60.	Для трехмерного тензора II ранга доказать теорему Остроградского — Гаусса:
Указание. Исходить из теоремы Остроградского — Гаус-са для вектора А, = Tihah, где а — произвольный постоянный вектор.
61.	Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только: а) от г; б) от О; в) от а ^сферические координаты).
62.	Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только: а) от г; б) от а; в) от z (цилиндрические координаты).
63.	Показать, что если скалярная функция ф является решением уравнения Дф + /г2ф = 0 и а —некоторый постоянный вектор, то векторные функции L = £гас1ф, М = го!(аф), N = rotM удовлетворяют уравнению ДА + /г2А = 0.
64*. Уравнение	+ 7Г = 1 (а>Ь>с) изображает эл-
липсоид с полуосями а, Ь, с.
Уравнения
X2	1 у2 1	Z2	= 1,	£> С2
а2 + £	1 Ь2 + 1 1	c2 + g		
X2	1 у2 1	Z2	= 1,	— С2 TJ — &2,
а2 + т]	1 Ь2 + т) 1	с2 + ц		
X2	1 у2 1	г2	= 1,	
а2 + ?	1 Ь2 + £ 1	с2 + £		
изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухполостной гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности, характеризуемой значениями т], £. Числа ц, £ называются эллипсоидальными координатами точки х, у, г. Найти формулы преобразования от g, т], £ к х, у, z. Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных координатах.
65*	. При а = Ь> с эллипсоидальная система координат (см. предыдущую задачу) вырождается в так называемую сплюснутую сфероидальную систему координат. Координата £ при этом переходит в постоянную, равную —а2 и должна быть заменена другой координатой. В качестве последней выбирают азимутальный угол а в плоскости ху. Координаты g, т] определяются из
2*	19
уравнений
гг	г2
—-____1_____-- I
a2 + g + c2 + g	*’
Г2	Z2
—  1—-— = 1 а2 + т] ‘ с2 + т] ’
Г2 = X2 + у2,
где £ > —с2, —с2 > т) > —а2.
Поверхности g = const представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения вокруг оси г, поверхности т) = const — софокусные с ними однополостные гиперболоиды вращения (рис. 2).
Найти выражения г, г в сплюснутых сфероидальных координатах, коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в этих координатах.
66*. Вытянутая сфероидальная система координат получается из эллипсоидальной (см. задачу 64) при а>Ь=с. Координата т) при этом вырождается в постоянную и должна быть заменена азимутальным углом а, отсчитываемым в плоскости уг от оси у.
Координаты g, g определяются из уравнений
X2	г2
— ----1__-— = 1
v2	г2
—-----Р—-— = I
c2+£-f-fc2+£
Г2 = у* + z2,
где g —Ь2, —b2 g —а2.
Поверхности постоянных g и g представляют собой вытянутые эллипсоиды и двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 3).
20
Выразить величины х, г через g, £; найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в переменных £, а.
67. Бисферические координаты £, т], а связаны с декартовыми координатами соотношениями:
a sin т) cos а х =----------
ch £ — cos т] ’
a sin n sin а у = —г-т—!, 3 ch g — cos т]
a sh Е Z =---------— .
ch — cos т]
где а — постоянный параметр, —oo<g<oo, 0 < т] < л,-О < а < 2л.
Показать, что координатные поверхности £ = const представляют собой сферы х2 + у2 + (z — a cth £)2 =	> поверхности
r)=const — веретенообразные поверхности вращения вокруг
оси z, уравнение которых
(У х2 + у2 - a ctg n)2 + z2 = (^4[)2,
поверхности а = const— полуплоскости, расходящиеся от оси z
Рис. 4.
(рис. 4). Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны между собой. Найти коэффициенты Ламэ и опеоатоо Лапласа.
2L
68. Тороидальные нальную систему и соотношениями:
координаты р, а обазуют ортого-связаны с декартовыми координатами
a sh рcos а х =------:-----«
ch р — cos g
а sh р sin а
ц — —с.--------г >
° ch р — cos g
z._ а sing
ch р — cos g ’
где a — постоянный параметр, —oo < p < oo, —л<|<Сл, a — азимутальный угол, изменяющийся в пределах от 0 до л.
Показать, что р = 1Пу- (см. рис. 5, на котором изображены плоскости а = const, а + л = const), а величины § представляют
собой угол между п и rz (g>0 при г>0 и £<0 при £<0). Какой вид имеют координатные поверхности р и £? Найти коэффициенты Ламэ.
ЛИТЕРАТУРА
Смирнов В. И. [94, 95], Кочин Н. Е. [62], Тамм И. Е. [101], Стрэттон Дж. А. [100], Гельфанд И. М. [30], Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я [31], Морс Ф. М., Фешбах Г. [81], Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уфляпд Я. С. [69].
ГЛАВА П
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
В этой главе содержатся задачи на определение потенциала <р(г) и напряженности поля Е(г) по заданному распределению зарядов, характеризуемому объемной р(г), поверхностной о (г) или линейной х(г) плотностью. Распределение точечных зарядов может быть описано объемной плотностью р (г) = S qfi (r — гг)> i
где qi — величина i-го заряда, г<— радиус-вектор /-го заряда, 6(г — Г{)—S-функция (см. приложение 1). Напряженность электрического поля удовлетворяет уравнениям Максвелла
divE=4np, rotE = 0.	(II. 1)
Бывает полезна интегральная форма первого из этих уравнений (электростатическая теорема Гаусса):
§EndS = 4nq,	(II. 2)
s
где S — некоторая замкнутая поверхность, q — полный заряд внутри этой поверхности. Напряженность и потенциал электрического поля связаны соотношениями:
г»
Е = — gradtp, <p(r) = | Е • dr, <р(го) = О. (II. 3) Г
Потенциал <р удовлетворяет уравнению Пуассона
А<р= —4лр.	(II. 4)
Потенциал непрерывен и конечен во всех точках пространства, где нет точечных зарядов, в частности, па заряженной поверхности, разделяющей области 1 и 2, <pj = <р2 (рис. 6). Нормальные производные <р терпят разрыв на заряженной поверхности:
- Е1п = 4ла или	= 4ла. (II. 5)
23
Нормаль п направлена из области I в область 2.
На поверхности двойного электрического слоя с мощностью т (см., например, [101])
=д<Р^	<р, = 4лт	(И. 6)
дп дп ’	'
(нормаль п имеет направление от отрицательной стороны слоя к положительной).
Если распределениям зарядов pi и рг соответствуют потенциалы ф1 и ф2> то потенциалом распределения заряда p=pi + p2 является <р = <pi 4- Ф>2 (принцип суперпозиции). То же справедливо для электрического поля Е. В частности, принцип суперпозиции позволяет из потенциалов элементар-2 с ных зарядов qjr получать путем суммиро-\	вания потенциалы сложных систем за-
Vx''	рядов
/	Ф(Г)= [ P|(r-rT -	(IL7)
S	f	V I 1	 I
Рис. 6.	В случае поверхностного или линейного рас-
пределения зарядов объемный интеграл в (II. 7) заменяется соответствующим поверхностным или линей-
ным интегралом, а в случае системы точечных зарядов — сум-
мой по зарядам. Это замечание относится также ко всем нижеследующим формулам, в которых содержатся объемные интегралы по распределению зарядов.
В большинстве случаев прямое вычисление интеграла (II. 7) затруднительно. В связи с этим часто применяется представление потенциала в виде ряда, который получается в результате разложения подынтегрального выражения по степеням х/г или х'/г и почленного интегрирования. Такое разложение можно получить как в декарто-
вых, так и в сферических координатах.
Декартовы координаты (рис. 7). При г > а (а — наибольшее расстояние зарядов системы от полюса О)
.	. Я д 1 Qap д2 1
чр(х, у, Z) - г ра дХа’ г+ 2! дхадх& ’ г
_ _Qapv_------------1... (II. 8)
3! дха дхр дху г
Мультипольные моменты <7, ра, Qap ... выражаются объемными
.24
интегралами:
q =	—полный заряд системы,
р0= J p(r')x^dV' —компоненты дипольного момента, Qap = J Р (Н хах'^ dV' — компоненты квадрупольного момента.
(П.8'>
Величины q, ра, Qap... при повороте системы координат преобразуются соответственно как скаляр, вектор, тензор II ранга и т. д. Второй и третий члены потенциала (II. 8) могут быть записаны в форме
Р Г
г3 ’
<р(₽) =
(II. 9}
где р = (рх, ру, pz)—вектор дипольного момента системы;
<P(Q) = 2^5 К3-^ - Г2) Qxx + (3f/2 - Г2) Qyy + (3z2 - Г2) Qzz +
+ §xyQxu + bxzQxz + SyzQyz],	(11.9')
Сферические координаты. Используем разложение |r — r|-1, приведенное в приложении 2 (П2.15). Подставляя это разложение в (II. 7), получим при г>г':
<р(и=£ i /vjFQ-r/Tq) (п.10) 1=0 m=-l	+	r
где Qim — мультипольный момент порядка I, tn-,
= 2/Tj-J p(r')r'lYun(b', a')dV'. (II. 11)
Если r' > г, то в (П 2.15) г и г' меняются местами и
CO t
Ф (r) ~	2/ | ] r QlmYtm a) (f Г7), (11.12)
1=0 m=—l
где	_____
ЙТТ/тет-	(II. 13)
Если точка наблюдения г находится внутри распределения зарядов (см. рис. 7), то нужно разбить область интегрирования в (II. 7) на две части сферой радиуса г с центром в полюсе О. При интегрировании по области внутри сферы нужно пользоваться разложением (П2.15), при интегрировании по внешней области — формулой  (П 2.15) с заменой г+^г'.
25
Реальные системы зарядов всегда ограничены, и их потенциал убывает на больших расстояниях не медленнее, чем 1/г. Но при рассмотрении поля вблизи средней части длинного цилиндра или ограниченного плоского тела целесообразно идеализировать задачу, считая тело бесконечным. При этом потенциал не убывает на бесконечности, но он правильно описывает поле на расстояниях, малых по сравнению с размером тела.
Наглядное представление о структуре поля дают силовые линии и эквипотенциальные поверхности. Силовые линии определяются из системы дифференциальных уравнений, которая в произвольных ортогональных координатах q{, q2, q$ имеет вид
hidqi __ h2dq2 _ h3dq3
Ei E2 E3 ’	\ • f
где hi — коэффициенты Ламэ; эквипотенциальные поверхности описываются уравнением <р(г) = const.
Точками равновесия поля называются точки, находящиеся на конечном расстоянии от системы зарядов, в которых Е = 0.
Энергия электростатического поля может быть вычислена по
одной из формул:
Г = 4/р<Р^	(П. 15)
(эти формулы эквивалентны, если заряды сосредоточены в конечной области пространства, а интегрирование распространяется на все пространство).
Энергия взаимодействия двух систем зарядов 1 и 2 определяется выражениями:
и = f Р1 (г) <р2 (г) dV = f	. (II. 16)
J	J	1*1*21
Обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены дифференцированием U или W по соответствующим обобщенным координатам а,:
Р dU	р dW
г/= —-ч— или г\ = л—.	(II-17)
‘	dat	‘ dai	'	'
Обобщенная сила положительна, если она стремится увеличить соответствующую координату.
69.	Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена по объему с плотностью р. Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля.
70.	Заряд распределен в пространстве по периодическому закону р = ро cos ax cos 0z/ cos yz, образуя бесконечную пространственную периодическую решетку. Найти потенциал <р электрического поля..
26
71.	Плоскость z = 0 заряжена с плотностью, меняющейся по периодическому закону о=Оо sin ах sin Ру, где о0, а, Р — постоянные. Найти потенциал <р этой системы зарядов.
72.	Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса 7? равномерно заряжен по объему или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд и. Найти потенциал <р и напряженность электрического поля Е.
73.	Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити.
74.	Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля равномерно заряженного прямолинейного отрезка длиной 2а, занимающего часть оси z от —а до +щ заряд отрезка q.
75.	Найти форму эквипотенциальных поверхностей равномерно заряженного отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче.
76.	Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля шара, равномерно заряженного по объему. Радиус шара R, заряд q.
77.	Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля сферы радиуса R, равномерно заряженной по поверхности. Заряд сферы q.
78.	Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по объему с плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой R\, а центр отстоит от центра шара на расстояние а (а + Ri < R). Найти электрическое поле Е в полости.
79.	Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы которых R} и R2 (R> < R2), заряжено с объемной плотностью р = а/r2. Найти полный заряд q, потенциал <р и напряженность Е электрического поля. Рассмотреть предельный случай R2-^Ri, считая при этом q = const.
80.	Найти энергию электростатического поля W для распределений зарядов, указанных в задачах 76, 77, 79. Провести вычисления двумя способами (см. (П. 15)).
81.	Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р(г). Разбив распределение заряда на сферические слои, выразить через р(г) потенциал <р и напряженность Е поля (записать <р и Е в виде однократного интеграла по г).
82.	Используя результаты задачи 81, решить задачи 76 и 79.
83.	Заряд электрона распределен в атоме водорода, находящемся в нормальном состоянии, с плотностью р(г)= — X
[2r 1
——J, а = 0,529- IO-» см — боровский радиус атома, ее = = 4,80- 10~10 CGSE — элементарный заряд. Найти потенциал <ре и напряженность Еег электрического поля электронного заряда, а также полные потенциал <р и напряженность поля Е в атоме,
27
считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат. Построить приблизительный ход величин ф и Е.
Указание. Полезно воспользоваться методом решения задачи 81.
84.	Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти максимальное значение напряженности его электрического поля Етах- Радиус ядра 7?= 1,5- 10-13Д,/’ см, заряд Ze0 (Д — атомный вес, Z — порядковый номер, е0 — элементарный заряд).
85.	Используя результат задачи 81, решить задачу 77.
86.	Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга. Работа, которую надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из бесконечности в центр каждого из колец, равна соответственно At и А2. Найти заряды на кольцах 91 и q2.
87.	Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля на оси равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд диска q. Убедиться в том, что на поверхности диска нормальная составляющая Е испытывает скачок 4ло. Рассмотреть поле на больших расстояниях от диска.
88.	Тонкое круглое кольцо радиуса R состоит из двух равномерно и противоположно заряженных полуколец с зарядами q и — q. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля на оси кольца и вблизи нее. Каков характер поля на больших расстояниях от кольца?
89.	Выразить потенциал ф равномерно заряженного круглого тонкого кольца с зарядом q и радиусом R через полный эллиптический интеграл первого рода
л/2 R(k)= [ -=g==.
•> У 1 — k2 sin2 р
Указание. При выполнении интегрирования по азимуту сделать замену а' = л — 2р.
90.	Получить из общей формулы, описывающей потенциал тонкого круглого кольца (см. задачу 89), потенциал ф электрического поля: а) на оси кольца; б) на больших расстояниях от кольца; в) вблизи нити кольца.
Указание. Для случая в) воспользоваться формулами (8.113) в справочнике [91].
91.	Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону <j = oo cos &. Найти потенциал ф электрического поля, используя разложение по мультиполям в сферических координатах.
92.	Источники электрического поля расположены аксиально симметричным образом. Вблизи оси симметрии системы источ
28
ники поля отсутствуют. Выразить потенциал <р и напряженность Е электрического поля вблизи оси симметрии через значения потенциала <р и его производных на этой оси.
93.	Найти потенциал <р электрического поля равномерно заряженного круглого тонкого кольца, используя разложение по мультиполям в сферических координатах. Заряд кольца q, радиус R.
94.	Найти потенциал <р электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды q, —2q, q расположены по оси z на расстоянии а друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды ±q расположены в вершинах квадрата со стороной а так, что соседние заряды имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд +q, а стороны квадрата параллельны осям х и у (плоский квадруполь).
95.	Найти потенциал <р электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) линейный октуполь (рис. 8, й), б) пространственный октуполь (рис. 8,6).
96.	Точечный заряд q находится в точке со сферическими координатами (/"о. й'о, «о). Разложить по мультиполям потенциал <р этого заряда.
97.	Эллипсоид с полуосями а, Ь, с равномерно заряжен по объему; полный заряд эллипсоида q. Найти потенциал <р на больших расстояниях от эллипсоида с точностью до квадруполь-ного члена. Рассмотреть частные случаи эллипсоида вращения с полуосями а = b и с *) и шара (а = b = с).
Указание. При интегрировании по объему эллипсоида воспользоваться обобщенными сферическими координатами х = ar sin ft cos а, у = br sin О sin a, z = cr cos &.
98.	Два коаксиальных равномерно заряженных тонких круглых кольца с радиусами а и Ь (а>Ь) и зарядами q и —q
*) Атомные ядра, обладающие квадрупольным моментом, можно в некотором приближении рассматривать как эллипсоиды вращения.
29
соответственно, расположены в одной плоскости. Найти потенциал на большом расстоянии от этой системы зарядов. Сравнить его с потенциалом линейного квадруполя (см. задачу 94).
99*. Показать, что распределение заряда р = —(p'-V)d(r) описывает элементарный диполь с моментом р', помещенный в начало координат. Пояснить результат, воспользовавшись наглядным представлением d-функции (приложение I).
Указание. Исходить из разложения по мультиполям в декартовых координатах.
100.	Доказать, что распределение зарядов
п
P = ?II (а( -V)d(r)
i = l
создает потенциал
п
<p(r) = ?IJ(a.,v)7-
«=1
101.	Используя результаты задачи 94 и учитывая, что квад-рупольный момент является тензором II ранга, найти потенциал <р электрического поля на большом расстоянии от линейного квадруполя, направление оси которого определяется полярными углами у, р. Каким еще способом можно решить задачу?
102.	Пространственный октуполь (рис. 8,6) повернут вокруг оси z на угол 0. Найти поле <р на больших от него расстояниях путем преобразования ком-,z	понент октупольного мо-
мента. Сравнить с другими
методами решения.
103.	Найти потенциал <р электрического поля на больших расстояниях от плоского квадруполя, расположенного в плоскости, проходящей через ось z (рис. 9). Компоненты ква-друпольного момента получить непосредственно, а
рис Q	также путем поворота пло-
* *!< ~	ского квадруполя, рассмо-
тренного в задаче 946).
104.	Шар радиуса Д равномерно поляризован, дипольный момент единицы объема Р. Найти потенциал <р электрического поля.
105.	Двумерное распределение заряда характеризуется плотностью р(г), не зависящей от координаты z. Если р(г)=#О в
30
ограниченной области S плоскости ху, то можно разложить потенциал ф вне распределения зарядов по мультиполям (двумерные мультиполи). Найти это разложение.
Указание. Использовать результат задачи 73 и принцип суперпозиции, а также разложение 1п(1 + и2 — 2цсозф) = оо
=	|И|<1 (см. [91], (1.514)).
Л=1
106.	Разложить по двумерным мультиполям потенциал ф электрического поля линейного заряда х. Заряженная линия параллельна оси z и проходит через точку (г0. ао) плоскости ху.
107.	Найти потенциал ф электрического поля на большом расстоянии от двух близких параллельных линейных зарядов х и —х, расположенных на расстоянии а друг от друга (двумерный диполь).
108.	На диске радиуса Д имеется двойной электрический слой мощностью т = const. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля на оси симметрии, перпендикулярной плоскости диска.
109.	Найти напряженность Е электрического поля двойного электрического слоя мощностью т = const, занимающего полуплоскость у = 0, х > 0. Сравнить с магнитным полем бесконечного прямолинейного тока, текущего вдоль оси г. Решить задачу двумя способами: а) прямым суммированием напряженностей, создаваемых малыми элементами двойного слоя; б) определив сначала электростатический потенциал ф.
НО. Найти уравнения силовых линий системы двух точечных зарядов: заряда + q, находящегося в точке z = а, и заряда ±q, находящегося в точке z = —а; начертить силовые линии. Имеются ли в поле точки равновесия?
Указание. Вследствие симметрии силовые линии располагаются в плоскостях а = const, a Ez и Ег не зависят от а (цилиндрические координаты). Переменные в дифференциальном уравнении силовых линий (II. 14) разделяются после замены:
г + a	z — a
и =-----, V =------.
г	г
111.	Используя результаты предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий точечного диполя в начале координат.
112.	Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя (см. задачу 94а) и нарисовать примерную картину силовых линий.
ИЗ. Доказать, что поток напряженности электрического поля точечного заряда q через поверхность S равен q&. Здесь Q — телесный угол, под которым виден контур поверхности S из точки, где находится заряд q (й > 0, если из этой точки видна отрицательная сторона поверхности).
31
114.	Заряд q\ находится на оси симметрии круглого диска радиуса а на расстоянии а от плоскости диска. Какой величины заряд нужно поместить в симметричную относительно диска точку, чтобы поток электрического поля через диск в сторону заряда 9i был равен Ф?
115*. Найти уравнение силовых линий системы п коллинеарных зарядов 91, 9.2, • • •, qn, расположенных в точках Zz,...,zn оси z, не интегрируя дифференциальных уравнений силовых линий. Применить теорему, доказанную в задаче 113 к силовой трубке, образованной вращением силовой линии вокруг оси симметрии.
116.	Используя результат предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий системы двух точечных зарядов (ср. с задачей ПО) и линейного квадруполя (ср. с задачей 112).
117.	Равномерно заряженные нити, несущие заряды zj и —Х2 на единицу длины, параллельны между собой и отстоят друг от друга на расстояйие h. Найти, при каком соотношении между Xi и кг в числе поверхностей равного потенциала этой системы будут круговые цилиндры конечного радиуса. Определить радиусы и положение осей цилиндров.
118.	Точечные заряды qx и —92 находятся на расстоянии h друг от друга. Показать, что в числе поверхностей равного потенциала этой системы имеется сфера конечного радиуса. Определить координаты ее центра и радиус. Найти значение потенциала ф на поверхности этой сферы, если ф(оо) = 0.
119.	Каким распределением зарядов создается потенциал, имеющий в сферических координатах вид: ф (г) = qe~arfr, где а, 9 — постоянные?
120.	Каким должно быть распределение зарядов, чтобы созданный им потенциал имел в сферических координатах вид Ф (г) = -у- ехр [ — ’Гт] ’ (7 + 1) ’ где е°’ а — постоянны6?
121.	Найти энергию взаимодействия U электронного облака с ядром в атоме водорода. Заряд электрона распределен в
„	, еа Г 2г 1
атоме с объемной плотностью р (г) = exp I----— , где е0 —
элементарный заряд (ср. с задачей 83), а — постоянная (боров-ский радиус атома).
122.	В некотором приближении можно считать, что электронные облака обоих электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и характеризуются объемной плотностью р = — X
[4г 1
---—I, где а — боровский радиус атома, е0 — элементар-
ный заряд. Найти энергию взаимодействия U электронов в атоме гелия в этом приближении (нулевое приближение теории возмущений).
32
123.	Центры двух шаров с зарядами qt и q2 находятся на расстоянии а друг от друга (а > Ri + R2, где Ri, R2 — радиусы шаров). Заряды распределены сферически симметричным обра-зом. Найти энергию взаимодействия U шаров и действующую между ними силу F.
124.	Мыльный пузырь, висящий на открытой трубке, стягивается под действием поверхностного натяжения (коэффициент поверхностного натяжения а). Считая, что диэлектрическая прочность воздуха (напряженность поля, при которой происходит пробой) равна Ео, выяснить, можно ли, сильно заряжая пузырь, предотвратить его сжатие. Каков минимальный равновесный радиус R пузыря?
125*. Два параллельных коаксиальных тонких кольца с радиусами а и b несут на себе равномерно распределенные заряды q\ и q2. Расстояние между плоскостями колец с. Найти энергию взаимодействия U колец и действующую между ними силу F.
126.	Найти силу F и вращательный момент N, приложенные к электрическому диполю с моментом р в поле точечного заряда q.
127.	Диполь с моментом pi находится в начале координат, а другой диполь с моментом р2 — в точке с радиусом-вектором г. Найти энергию взаимодействия U этих диполей и действующую между ними силу F. При какой ориентации диполей эта сила максимальна?
de. Система зарядов характеризуется объемной плотностью р(г) и занимает ограниченную область в окрестности некоторой точки О. Система помещена во внешнее электрическое поле, которое в окрестности этой точки может быть представлено в виде
Ф1 (О = 2ПТ ai«ir‘Yi^ (^> “)•
l, m
Найти энергию взаимодействия системы U с внешним полем фь выразив ее через atm и мультипольные моменты QZm системы (ср.с задачей 166).
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [101], Абрагам-Беккер [1], Джексон Дж. [5ЭД, Френкель Я. И. [111], Стрэттон Дж. А. [100], Смайт В. [93], Гуревич Л. Э. [49], Пановский В., Филипс М. [86].
ГЛАВА III
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
Электростатическое поле в диэлектрике характеризуется вектором напряженности электрического поля Е и вектором электрической индукции D, которые удовлетворяют уравнениям:
или
rot Е = О,
§ Etdl =0, i
(HI. 1)
div D = 4лр, у Dn dS = 4nq, s
где p — плотность свободных зарядов в диэлектрике, q — полный свободный заряд, заключенный внутри поверхности S. Плотность связанных зарядов в диэлектрике можно выразить через вектор поляризации Р (электрический дипольный момент единицы объема диэлектрика, создаваемый связанными зарядами):
рсв=- div Р.	(III. 2)
Вектор поляризации Р выражается через Е и D:
D = Е + 4лР.	(III. 3)
Для изотропных диэлектриков в достаточно слабых полях
D = eE,	(III. 4)
где е — диэлектрическая проницаемость среды. В анизотропных диэлектриках е-—тензор II ранга, т. е.
Di = elkEk	(III. 5)
(суммирование по k). Для описания поля удобно пользоваться скалярной величиной — потенциалом <р:
Го
Е= —gradtp, <p(r)=jE-dr,	(III. 6)
где* г — радиус-вектор точки наблюдения, <р(Го)=О.
34
Потенциал удовлетворяет уравнению
div (е grad ф) = —4лр,	(Ш-7)
которое в тех областях, где диэлектрик однороден, сводится к уравнению Пуассона
A,p=_±EL.	(III. 8)
На поверхностях раздела сред с разными диэлектрическими проницаемостями должны выполняться граничные условия
Е.т = Е2т, £>2п-£>1п = 4л<т*)	(III. 9)
или
<Р1 = Ф2. е1^--е2^- = 4ло.	(III. 10)
Орт нормали п проведен из первой среды во вторую; т — орт, касательный к поверхности, <т—поверхностная плотность свободных зарядов. Поверхностная плотность связанных зарядов осв на границах раздела определяется формулой
<Тсв = Р1„-Р2п.	(III. 11)
Основная задача электростатики — нахождение потенциала ср электрического поля. Она может быть решена разными методами. Основным методом является решение дифференциальных уравнений (III. 7) или (III. 8) страничными условиями (III. 9) или (III. 10). Иногда удается подобрать такую систему фиктивных точечных зарядов, поле которой в рассматриваемой области удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и граничным условиям (метод изображений). В ряде случаев удается найти систему изображений простым подбором (см., например, далее, задачи 142, 146, 153, 155).
Внутри проводников, находящихся в постоянном электрическом поле, Е — 0. Поэтому граничные условия на поверхности проводника имеют вид
Ет = 0, ф = const.	(III. 12)
Если некоторая область пространства занята диэлектриком с проницаемостью е, и известно электростатическое поле во всем пространстве, то при е —> оо это поле принимает такой же вид, какой оно имело бы, если бы данная область была занята проводником.
Задача об определении электрического поля, создаваемого заданной ограниченной системой заряженных проводников, находящихся в диэлектрике, имеет единственное решение, если известен либо полный заряд каждого проводника, либо его
*) Граничные условия в форме (III. 9) имеют место как в изотропных, так и в анизотропных средах.
3*	35
потенциал. В первом из этих случаев, наряду с условиями (III. 12) нужно использовать граничное условие
q = §adS=--^§^dS,	(III. 13)
s	s
где q — заряд проводника, а интеграл берется по поверхности проводника.
Емкостью С конденсатора называется отношение заряда на одной из его обкладок (первой) к разности потенциалов между обкладками
Емкостью уединенного проводника называется отношение заряда проводника к его потенциалу (при этом нужно считать, что потенциал <р = 0 на бесконечности).
Энергия электростатического поля, локализованная в объеме V, выражается интегралом по этому объему:
W=jwdV,	(III. 15)
где w = D • Е/8л — плотность энергии поля.
Если в изотропной диэлектрической среде с проницаемостью €i имелось сначала электрическое поле Е], в которое затем было внесено диэлектрическое тело (объем тела V, диэлектрическая проницаемость е2), то энергия электростатического поля меняется на величину
U = i J («I — ег) Е2 •	(III. 16)
v
где Е2 — электрическое поле после внесения диэлектрического тела (источники поля Е, при этом поддерживаются неизменными). Величину U можно рассматривать как энергию взаимодействия диэлектрического тела с внешним полем Ej (см. [100], стр. 108).
Если диэлектрик изотропен и его диэлектрическая проницаемость зависит только от плотности массы т, то электрическое поле действует на диэлектрик с силой, объемная плотность которой выражается формулой
»- -4гр 6'ad' + 4? srad (£!>’) • <ш-17>
Объемные силы, действующие на свободные и связанные заряды в некотором объеме V, могут быть заменены эквивалентной системой поверхностных натяжений, приложенных к
36
•поверхности S этого объема:
F = j fdy = ^T„dS,	(III. 18)
V	s
где T„—поверхностная сила, приложенная к единичной площадке с внешней нормалью п.
Поверхностные натяжения описываются тензором натяжений Tih. Величина Тп в (III. 18) представляет собой проекцию Тл на направление внешней нормали п к элементу dS:
(Tn)i =
(III. 19)
Член в (III. 17) и (III. 19), содержащийт (стрикционный член), вообще говоря не мал. Однако, при вычислении равнодействующей сил, приложенных к диэлектрическому телу, этот член не дает вклада и может быть отброшен (см., например, [101], § 34 и задачи 140, 141). В этом случае можно вместо тензора натяжений (III. 19) использовать более простой (максвелловский) тензор
Tn = ^(£„E-ynE2).	(III. 20)
К единице поверхности проводника в электростатическом поле приложена сила
1™=т;-п^=4.	ап. 2D
В диэлектрической жидкости, находящейся в равновесии в электрическом поле, электрические натяжения уравновешиваются гидростатическим давлением. Обозначив через р(т) давление в жидкости — оно определяется значением ее плотности т — получим условие равновесия
рп + Тп = const.	(III. 22)
В частности, вблизи границы жидкости с атмосферой (е = 1) давление в жидкости р(т) больше, чем атмосферное давление, на величину
p(T)-PaTM = -^-g---^-(e^ + £?)> (HI. 23)
где Е — напряженность электрического поля в жидкости (Еп — нормальная, Et— касательные составляющие Е). Уравнением (П1.23) определяется зависимость плотности жидкости вблизи ее поверхности от напряженности электрического поля.
37
Давление внутри жидкости (газа) выражается формулой
р
Ро
dp т(р)
Е2 де
8л дх
(111.24}
(Ро —давление в точке, где Е = 0).
Если жидкость несжимаема, то
хЕ2 де
Р 8л дх '
(III. 25)
129.	Точечный заряд q расположен на плоской границе раздела двух однородных бесконечных диэлектриков с проницае-мостями 61 и ег. Найти потенциал <р, напряженность Е и индукцию D электрического поля.
130.	От некоторой прямой, на которой находится точечный заряд q, расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла аь аг, а3 (а, + а2 + а3 = 2л). Пространство внутри каждого из углов заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью соответственно ei, е2, ез- Определить потенциал <р, напряженность Е и индукцию D электрического поля в трех областях.
131.	Центр проводящего шара, заряд которого q, находится на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с проницаемостями е, и ег- Найти потенциал <р электрического поля, а также распределение заряда о на шаре.
132.	Пространство между обкладками сферического конденсатора частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла Q с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок а и Ь, проницаемость диэлектрика е. Найти емкость С конденсатора.
133.	Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок а и b диэлектрическая проницаемость меняется по закону
{е, = const при а^г<с,
е2 = const при
где а < с < Ь.
Найти емкость С конденсатора, распределение связанных зарядов осв и полный связанный заряд в диэлектрике.
134.	Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и b заполнен диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния г до центра по закону е (г) = еед2/г2. Показать, что емкость такого конденсатора равна емкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком с проницаемостью ео, У которого площадь обкладки 4ла2, расстояние между обкладками b — а (краевым эффектом пренебречь).
135.	Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону е =* ео(х + a)fa, где 38
a — расстояние между обкладками, ось х направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых S. Пренебрегая краевым эффектом, найти емкость С такого конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов V.
136.	а) С какой силой /0 на единицу площади притягиваются друг к другу в вакууме обкладки плоского конденсатора, если расстояние между ними а, разность потенциалов V; б) какое новое значение f примет эта сила, если заряженный конденсатор отделить от батареи, а потом либо наполнить его жидким диэлектриком с проницаемостью е, либо вставить в него плитку из твердого диэлектрика с тем же е, толщина которой чуть-чуть меньше а, так что она не касается обкладок; в) какова будет сила f притяжения обкладок, если сначала залить конденсатор жидким диэлектриком, или вставить в него плитку из диэлектрика, а потом зарядить?
137.	Обкладки плоского конденсатора находятся на расстоянии Л] друг от друга и имеют форму прямоугольников со сторонами а и Ь. Между пластинами параллельно им помещена плитка из диэлектрика е, имеющая форму параллелепипеда с толщиной h2 и основанием а X Ь. Плитка не полностью вставлена в конденсатор — внутри него находится часть х стороны а. Найти силу F, с которой плитка втягивается в конденсатор, в двух случаях: а) на обкладках поддерживается постоянная разность потенциалов V; б) постоянен заряд q обкладок. Краевые эффекты не учитывать.
138*. Плоский конденсатор погружен в несжимаемую жидкость с диэлектрической проницаемостью е и плотностью т так, что его обкладки расположены вертикально. Расстояние между ними d, разность потенциалов V. Определить высоту h поднятия жидкости в конденсаторе.
Указание. Применить формулы (III. 23) и (III. 25).
139.	Как направлено максвеллево натяжение Тп, действующее на площадку dS, нормаль п к которой составляет угол & с направлением поля Е? Какова величина Тп? Как направлено стрикционное натяжение Тп?
140.	Два одинаковых точечных заряда q находятся в однородном жидком диэлектрике е на расстоянии а друг от друга. Вычислить с помощью максвеллова или полного тензора натяжений силу F, действующую на каждый из зарядов. Выяснить, из каких составляющих складывается сила электрического взаимодействия зарядов q2/a2E. Для сравнения вычислить силы, приложенные: а) к плоскости симметрии, перпендикулярной линии, соединяющей заряды; б) к поверхности малой сферы, в центре которой находится один из зарядов.
39
z
Рис. ю.
141.	Незаряженная проводящая сфера радиуса /? с массой т плавает в жидкости с диэлектрической проницаемостью е и плотностью т, погрузившись в нее на четверть своего объема. До какого потенциала <р0 нужно зарядить сферу, чтобы она погрузилась наполовину? Решить задачу: а) с использованием тензора натяжений Максвелла; б) с использованием полного тензора натяжений,- включающего стрикционный член.
142.	Точечный заряд q находится в точке А на расстоянии а от плоской границы раздела двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями ei и ег (рис. 10).
Найти потенциал <р электрического поля методом изображений.
Указание. Решение искать в виде
<Р1 = —----— при 2^0,
4’2 = -^- ПРН 2<°>
где — q' и q" — искомые эффективные заряды, расположенные соответственно в точках В и A, rt и Гг указаны на рисунке.
143.	Найти плотность осв связанных поверхностных зарядов, на-
веденных на плоской границе раздела двух однородных диэлектриков ei и ег точечным зарядом q (см. задачу 142). Какой результат получится при ег -> оо, каков его физический смысл?
144.	Найти силу F, приложенную к точечному заряду в задаче 142 (сила электрического изображения). Решить задачу несколькими способами, в частности с помощью тензора натяжений Максвелла. Если заряд способен двигаться через диэлектрики, описать качественно характер этого движения.
145*. Два однородных диэлектрика с проницаемостями ei и ег заполняют все пространство, соприкасаясь вдоль бесконечной плоскости. Два заряда qi и q-г находятся на прямой, перпендикулярной к этой плоскости, на равных расстояниях а по разные стороны от нее. Найти силы Fi и Е2, действующие на каждый из зарядов. Чем объясняется неравенство этих сил?
146.	Точечный заряд q находится в однородном диэлектрике на расстоянии а от плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти электрическое поле <р в диэлектрике, распределение о индуцированных зарядов на металле и силу F, действующую на заряд q.
147.	Двугранный угол между двумя заземленными проводящими плоскостями равен а0- Внутри угла находится точечный
40
заряд q. Найти методом электрических изображений электрическое поле. Рассмотреть случаи а0 = 90°, а0 = 60° и ао = 45°.
148.	Электрический диполь с моментом р находится в однородном диэлектрике вблизи плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потенциальную энергию взаимодействия U диполя с индуцированными зарядами, силу F и вращательный момент N, приложенные к диполю.
149*. Однородный шар радиуса а с диэлектрической проницаемостью ei погружен в однородный неограниченный диэлектрик ег. На большом расстоянии от шара в диэлектрике имеется однородное электрическое поле, напряженность которого Ео. Найти поле <р во всем пространстве. Построить картину •силовых линий для двух случаев: ei > ег и ei < ег; найти распределение связанных зарядов.
150. Неограниченный диэлектрик был сначала однороден и равномерно поляризован (вектор поляризации Р = const). Затем в нем вырезали сферическую полость. Определить изменение ДЕ электрического поля в полости в двух случаях: а) если при образовании полости поляризация в окружающем диэлектрике не изменилась*); б) если вследствие изменения поля поляризация изменяется (р =	е).
151. Незаряженный металлический шар радиуса 7? вносится в электрическое поле, которое в отсутствие шара было однородным и равным Ео. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды ео = const. Определить результирующее поле <р и плотность поверхностных зарядов а на шаре.
152*. Два одинаковых точечных заряда q\ = q2 = q находятся на расстоянии а друг от друга в твердом диэлектрике с проницаемостью еь Заряды расположены в центрах малых сферических полостей радиуса R. Найти силы, действующие на заряды. Сравнить с электрическими натяжениями, приложенными к плоскости симметрии, перпендикулярной линии, соединяющей заряды.
153*. Проводящий шар радиуса R находится в поле точечного заряда q, отстоящего от центра шара на расстояние а > R. Система погружена в однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал поля «р и распределение а индуцированных зарядов на шаре, если задан а) потенциал шара V (на бесконечности <р = 0); б) заряд шара Q. Представить потенциал в виде суммы потенциалов нескольких точечных зарядов — изображений.
Указание. Использовать решение уравнения Лапласа в виде ряда по шаровым гармоникам (приложение 2) и разложение поля точечного заряда, полученное в задаче 96.
*) Это имеет место, если диэлектрик («электрет») состоит из полярных молекул, ориентация которых фиксирована.
41
154.	В проводнике с потенциалом V имеется сферическая полость радиуса R, заполненная диэлектриком с проницаемостью е. На расстоянии а от центра полости (а < R) находится точечный заряд q. Определить поле в полости. Найти эквивалентную систему зарядов — изображений.
155.	Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме полусферы радиуса а. Центр сферы лежит на плоскости. На оси симметрии системы, на расстоянии b > а от плоскости находится точечный заряд q. Используя метод изображений, найти поле <р, а также заряд Q, индуцированный на выступе.
156.	Проводящий шар радиуса Ri находится в однородном диэлектрике с проницаемостью еь Внутри шара имеется сферическая полость радиуса /?2, заполненная однородным диэлектриком с проницаемостью е2. В полости на расстоянии а от ее центра (а < /?2) расположен точечный заряд q. Найти поле <р во всем пространстве.
157*. Диэлектрический шар радиуса R с проницаемостью ei находится в однородном диэлектрике с проницаемостью е2. На расстоянии а > R от центра шара расположен точечный заряд q. Найти поле ср во всем пространстве и получить соответствующим предельным переходом поле проводящего шара; найти также силу, действующую на заряд q вследствие созданной им поляризации шара. Как изменится эта сила, если поместить симметрично относительно центра диэлектрического шара другой такой же точечный заряд?
158. Точечный заряд q находится внутри диэлектрического шара радиуса R с проницаемостью е1 на расстоянии а от центра шара. Диэлектрическая проницаемость среды вне шара равна е2. Найти поле <р во всем пространстве. Рассмотреть, в частности, случай а = 0 (заряд в центре шара).
159*. Изолированная металлическая сфера радиуса а находится внутри полой металлической сферы радиуса Ь. Расстояние между центрами сфер равно с, причем с <g а, с Ь. Полный заряд внутренней сферы равен q. Определить распределение заряда о на внутренней сфере и действующую на нее силу F с точностью до членов, линейных по с.
160.	Сферический конденсатор образован двумя неконцентрическими сферами (см. предыдущую задачу). Вычислить поправку к емкости АС, вызванную отклонением от концентричности, в первом неисчезающем приближении.
161.	Найти энергию U и силу F взаимодействия точечного заряда q с заземленным проводящим шаром радиуса R. Заряд находится на расстоянии а от центра шара. Система помещена в однородной диэлектрической среде с проницаемостью е.
162.	Точечный заряд q находится в диэлектрике на расстоянии а от центра проводящей изолированной сферы радиуса R>
42
Заряд сферы Q. Найти энергию U и силу F взаимодействия заряда со сферой.
163.	Каким условиям должен удовлетворять пробный заряд (в смысле его величины и положения в пространстве), чтобы можно было с его помощью исследовать поле системы зарядов, находящихся на проводящих и диэлектрических телах, в частности, поле заряженного шара в однородном диэлектрике?
164*. Электрический диполь р находится в однородном диэлектрике на расстоянии г от центра заземленного проводящего шара радиуса R. Найти систему изображений, эквивалентную индуцированным зарядам, энергию взаимодействия U диполя с шаром, силу F и вращательный момент N, приложенные к диполю. Рассмотреть предельный случай г —» R (r>R).
165. В проводнике вырезана сферическая полость радиуса R. В центре полости находится электрический диполь с моментом р. Найти распределение о зарядов, индуцированных на поверхности полости. Какое поле Е' создается в полости этими зарядами?
166*. В однородном диэлектрике с проницаемостью е имеется электрическое поле, потенциал которого в окрестности некоторой точки О может быть представлен в виде
<pi = У} 2пт a^rlY^ “)•
I, т
Пусть затем в окрестности точки О нарушена однородность и нейтральность диэлектрика (например, туда помещен проводник, вообще говоря, заряженный, или диэлектрик с проницаемостью ei=#e). Вследствие этого, потенциал электрического поля вне области неоднородности примет теперь вид <р = <pi + Н- ф2, где	_____
<₽2 = У} 2ГГГ e-lr-(Z+I)(2n»Kto а) /, т
•— потенциал поля, вызванного свободными и связанными зарядами в области неоднородности (множитель е введен для удобства). Найти потенциальную энергию U взаимодействия области неоднородности с внешним полем <рь
Указание. Рассмотреть электрические натяжения, действующие на замкнутую поверхность, охватывающую область неоднородности. Использовать результат задачи 128.
167.	Найти энергию взаимодействия со слабо меняющимся внешним полем Uo малой области неоднородности в диэлектрике (см. предыдущую задачу). Вследствие быстрой сходимости достаточно ограничиться членами с I = 0 и 1. Результат представить в векторной форме. Найти в этом приближении
43
силу F и вращательный момент N, приложенные к области неоднородности.
168.	Показать, что незаряженное диэлектрическое тело с проницаемостью ео, находящееся в диэлектрике с проницаемостью е, втягивается в область с большей напряженностью электрического поля, если ео > в, и выталкивается из этой области, если ео < е.
Указание. Использовать формулу (III. 16).
169.	В общем случае компоненты дипольного момента р, приобретенного диэлектрическим телом во внешнем однородном поле Е, можно представить в виде Pi = где — симметричный тензор поляризуемости тела. Какую ориентацию стремится занять это тело во внешнем однородном поле? Тело незаряжено,	> О, х{ (t = 1, 2, 3) — произвольный
вектор.
170.	Стержень из диэлектрика с проницаемостью ei погружен в однородную жидкую диэлектрическую среду с проницаемостью Ег. Какую он займет ориентацию, если систему поместить в однородное внешнее поле? Какую ориентацию займет тонкий диск, находящийся в жидком диэлектрике?
171.	Найти силу F, действующую на диэлектрический шар со стороны точечного заряда q (см. условие задачи 157).
Рассмотреть предельный случай проводящего шара. Решить задачу двумя способами: методом задачи 166 и с помощью формулы (III. 16).
172.	Электростатическое поле образовано двумя проводящими цилиндрами с параллельными осями, радиусами Ri, R2 и зарядами на единицу длины ± х. Расстояние между осями цилиндров а > Ri + R2. Найти взаимную емкость Свз цилиндров на единицу длины. (Свз = х/(<pi — <р2) > где <pi и у2 — потенциалы цилиндров).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 117.
173.	Оси двух одинаковых проводящих цилиндров с радиусами R находятся на расстоянии а друг от друга. Цилиндры несут заряды ± х на единицу длины. Найти распределение зарядов о на поверхностях цилиндров.
174.	Конденсатор образован двумя цилиндрическими проводящими поверхностями с радиусам i Ri и R2 > Ri. Расстояние между осями цилиндров а < R2— AY Найти емкость С конденсатора.
175.	Определить поле <р точечного заряда в однородной анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости е,й.
176.	В пустоте находится плоскопараллельная пластинка из анизотропного однородного диэлектрика с тензором проницаемости Ел- Вне пластинки однородное электрическое поле Ео.
44
Используя граничные условия для вектора поля, определить поле Е внутри пластинки.
177.	Найти емкость С плоского конденсатора с площадью обкладок S и расстоянием между ними а, если пространство между обкладками заполнено анизотропным диэлектриком с проницаемостью е^. Краевым эффектом пренебречь.
178.	Найти изменение направления линий вектора Е при переходе из пустоты в анизотропный диэлектрик. Воспользоваться результатом задачи 176.
§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты
Потенциалы V,- системы п проводников являются линейными однородными функциями зарядов qh на проводниках
п
Vi=^sikqk (/=1,2,3...........п).	(III. 26)
Величины sih называются потенциальными коэффициентами. Они зависят от взаимного расположения, формы и геометрических размеров проводников, а также от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Матрица s симметрична:
sik = su.	(III. 27)
Величина sih представляет собой потенциал, приобретаемый i-м проводником, если сообщить fe-му проводнику заряд qh = 1, а остальные проводники оставить незаряженными. Все sih > 0.
Очевидно, что и заряды проводников являются линейными однородными функциями их потенциалов
qt = S cikVk (i = 1, 2, 3....п). (III. 28)
Величины Cih называются емкостными коэффициентами. При этом Сц > 0 (собственные емкости); cih = chi < 0 при i=f=k (коэффициенты взаимной емкости, или просто взаимные емкости) .
Величина представляет собой заряд, приобретаемый t-м проводником, когда все проводники кроме k-ro заземлены, а fe-й проводник имеет потенциал Vk = 1. Матрицы sih и cih являются взаимно обратными.
В случае одиночного проводника имеется единственный емкостный коэффициент Сц, называемый при этом просто емко* стью. Емкость конденсатора (III. 14) может быть выражена через емкостные коэффициенты его обкладок (см. задачу 180).
Энергия системы проводников имеет вид
W = у J cikVtVk = ± V s.kq.qk, (Ш. 29)
i, k	i, к
45
Обобщенная сила Fa, соответствующая обобщенной координате а, определяется формулами
_	1 vr ds..	1 vr дс..
F‘--T2j-gr4^ = + i24-grv'v‘- (ш.зо)
I, k	i, k
При решении электростатических задач бывает полезна теорема взаимности Грина: если потенциалы п проводников равны Vi, Г2, Гз, Vn, когда их заряды qlt q2, q3,	qn, и равны
Гр V'2, V'3, .... V', когда их заряды q', q', q'3, .... q'n, то имеет место соотношение п	п
^q^^^q'Vr	(П1.31)
1 = 1	1=1
179.	Доказать теорему взаимности Грина (III. 31). Доказать с помощью теоремы Грина, что sih = хьг.
180.	Система состоит из двух проводников, удаленных от всех других проводников. Проводник 1 заключен внутри полого проводника 2. Выразить емкости С и С' конденсатора и уединенного проводника, образующих эту систему, через ее емкостные коэффициенты. Доказать, что взаимные емкости проводника 1 и любого проводника, находящегося вне проводника 2, равны нулю.
181.	Выразить потенциальные коэффициенты sih через емкостные cih в случае системы двух проводников.
182.	Емкости двух уединенных проводников равны С{ и С2. Эти проводники находятся в вакууме на расстоянии г, большом по сравнению с их собственными размерами. Показать, что емкостные коэффициенты системы равны
Р (I । С,с2 \	с_с2	~ /. с_с2 \
С11 — Сц1 -I ^2~jr	с12~	~ >	с22 ~ Ь2^1 + f2 )•
Указание. Определить сначала потенциальные коэффициенты с точностью до величины 1/г.
183.	Емкостные коэффициенты системы двух проводников равны Гц, с22, 02 = с2ь Найти емкость С конденсатора, обкладками которого служат эти два проводника.
184.	Четыре одинаковые проводящие сферы расположены по углам квадрата. Сфера I несет заряд q, остальные незаряжены. Затем она соединяется тонкой проволочкой поочередно на время, достаточное для установления равновесия, со сферами 2, 3, 4 (нумерация проводников циклическая). Найти распределение заряда между проводниками по окончании всех операций. Потенциальные коэффициенты системы заданы.
185.	Три одинаковые проводящие сферы с радиусами а находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной
46
b^a. Вначале все сферы имели одинаковые заряды q. Затем они по очереди заземлялись на время, достаточное для установления равновесия. Какой заряд остается на каждой сфере по окончании всех операций?
186.	Собственные емкости двух проводников, находящихся в однородном диэлектрике с проницаемостью е, равны С! и С2, их потенциалы Vi и V2, расстояние между проводниками г много больше их размеров. Найти действующую между ними силу F.
187.	Замкнутая проводящая поверхность с потенциалом Vt содержит внутри себя проводник с потенциалом Vo. При этом потенциал в некоторой точке Р между проводящими поверхностями равен VP. Пусть теперь проводники заземлены, а в точку Р помещен заряд q. Какие заряды будут при этом индуцированы на проводниках?
188.	Показать, что в отсутствие точечного заряда геометрическое место точек, из которых единичный заряд индуцирует на некотором заземленном проводнике заряд одной и той же величины, совпадает с эквипотенциальной поверхностью поля этого проводника.
189.	Два проводника с собственными емкостями Гц и с22 и взаимной емкостью ci2, составляющие часть некоторой системы изолированных проводников, соединены тонкой проволокой. Какова собственная емкость объединенного проводника, коэффициенты взаимной емкости его и остальных проводников системы?
190.	Два одинаковых сферических конденсатора с радиусами внутренних и внешних обкладок, соответственно а и Ь, изолированы и находятся на большом расстоянии друг от друга. Внутренним сферам сообщены заряды q и qt, после чего внешние сферы соединяются проволокой. Найти (приближенно) изменение AIV электрической энергии системы.
191.	Заземленная внешняя обкладка сферического конденсатора имеет малую толщину. В ней проделано небольшое отверстие, через которое проходит изолированный провод, соединяющий внутреннюю обкладку конденсатора с третьим проводником, находящимся на большом расстоянии от конденсатора. Собственная емкость этого проводника С и вместе с внутренней обкладкой конденсатора он несет заряд q. Радиус внешней обкладки конденсатора Ъ, радиус внутренней обкладки а. Найти силу F, действующую на третий проводник.
192*. Проводник заряжается путем последовательных подсоединений к разрядному шарику электрофора. Шарик электрофора после каждого подсоединения вновь заряжается, приобретая при этом заряд Q. При первом подсоединении на проводник с шарика переходит заряд q. Какой заряд получит проводник после очень большого числа подсоединений?
47
§ 3.	Специальные методы электростатики
В этом параграфе содержатся задачи, относящиеся к различным разделам электростатики, более трудные в математическом отношении. Многочисленные методы решения задач электростатики изложены в ряде книг ([46, 66, 69, 93, 100]). В настоящем сборнике иллюстрируются лишь некоторые из этих методов: метод криволинейных координат (для случаев эллиптических поверхностей и поверхностей двух сфер), методы изображений, интегральных преобразований и инверсии. Схема их применения разъясняется непосредственно в решениях задач (более подробно, например, в задачах 193, 195, 205, 209, 211, 215). Изложим здесь кратко только метод инверсии.
Преобразованием инверсии называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка его переходит в точку, сопряженную относительно некоторой, надлежащим образом выбранной сферы инверсии радиуса А’. Если сферическими координатами (с началом в центре сферы инверсии) первоначальной точки являются г, О, а, то сферическими кородината-ми инвертированной точки будут г'=/?2/г, О, а. В векторной форме
г =---- или г = —(III. 32)
г2	г'
Преобразование инверсии обладает свойством конформности. При инверсии сфера преобразуется в сферу. Если, в частности, центр инверсии лежит на преобразуемой сфере, то последняя преобразуется в плоскость (и наоборот).
Уравнение Лапласа инвариантно относительно преобразования инверсии: если функция ср (г) является решением уравнения Лапласа в исходном пространстве, то
ф'(г/) = 7-ф(г) = 4<р(-^г0 (ПЕЗЗ) R	г \г /
представляет собой решение уравнения Лапласа в инвертированном пространстве.
Основная задача, решаемая методом инверсии, формулируется так. Нужно найти поле системы заземленных проводников и точечных зарядов qi, находящихся в точках г,. Потенциал на бесконечности V = const. Для решения задачи произведем инверсию с таким расчетом, чтобы поверхности проводников приобрели более простую форму.
При этом точечные заряды заменяются зарядами
9; = т-9(,	(HI. 34)
48
находящимися в точках
Кроме того, в точке г' = 0 появляется точечный заряд
(III. 35)
В инвертированной системе решаем электростатическую задачу— находим потенциал <р'(г'). Потенциал ф(г) можно затем получить с помощью обратного преобразования. Разумеется, можно и наоборот — по известному <р находить <р'.
193*. Проводящий эллипсоид с зарядом q и полуосями а, Ь, с помещен в однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал <р, а также емкость эллипсоида С и поверхностную плотность заряда о на его поверхности.
Указание. Воспользоваться эллипсоидальными координатами (см. задачу 64). Искать потенциал в виде <р(£).
194.	Исходя из результатов предыдущей задачи, найти потенциалы и емкости вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вращения. Рассмотреть частные случаи тонкого длинного стержня и тонкого диска. Емкость С и потенциал <р вытянутого эллипсоида вращения найти также, используя результат задачи 75.
195*. Проводящий эллипсоид с зарядом q находится в пустоте в однородном внешнем поле, напряженность Ео которого параллельна одной из осей эллипсоида. Найти потенциал полного электрического поля.
Указание. Воспользоваться эллипсоидальными координатами задачи 64. Граничные условия на поверхности эллипсоида (£ = 0) могут выполняться только, если зависимость вызванного наведенными зарядами потенциала q/ от тр убудет такая же, как у внешнего поля:
Ч>' = <Ро(Е, т), £) • F(l).
196.	Напряженность поля в плоском конденсаторе равна Ео. На заземленной обкладке имеется проводящий выступ в форме половины вытянутого эллипсоида вращения, ось симметрии которого перпендикулярна плоскостям обкладок. Расстояние между обкладками велико по сравнению с размерами выступа. Найти электрическое поле <р в конденсаторе. Определить, во сколько раз максимальное значение напряженности поля Етах превосходит Ео*).
197.	Проводящий незаряженный эллипсоид находится во внешнем однородном поле Ео, ориентированном произвольно по отношению к его осям. Найти полный потенциал электрического поля <р. Рассмотреть поле на больших расстояниях от
*) Результат задачи поясняет принцип работы громоотвода.
4 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
49
эллипсоида, выразив его через коэффициенты деполяризации:
ОО	ОО
„(*) ^abcf ds	(у) = afec f ds
2 J (s + a2)/?,’	2 J (s + b2)Rs’
о	0
oo
nW = 44 (s+tw = V(s + a2)(s + fe2)(s + c2)). о
198.	Найти выражения коэффициентов деполяризации, введенных в предыдущей задаче, в случае вытянутого эллипсоида вращения \а>Ь = с). Рассмотреть частные случаи очень вытянутого эллипсоида (стержня) и эллипсоида, близкого к шару.
199.	Найти коэффициенты деполяризации для сплюснутого проводящего эллипсоида (а = b > с). Рассмотреть, в частности, случай диска.
200*. Диэлектрический эллипсоид с полуосями а, Ъ, с находится в однородном внешнем поле с напряженностью Ео. Диэлектрическая проницаемость эллипсоида еь а окружающего его однородного диэлектрика ег- Найти потенциал <р результирующего электрического поля (воспользоваться указанием к задаче 195). Найти напряженность Е электрического поля внутри эллипсоида, а также потенциал <р2 вне эллипсоида на больших от него расстояниях, выразив его через составляющие поляризуемости эллипсоида по главным осям.
201. Эллипсоид вращения с диэлектрической проницаемостью Ei находится во внешнем однородном поле Ео в однородной диэлектрической среде е2. Найти энергию U эллипсоида в этом поле и приложенный к нему вращательный момент N. Рассмотреть также случай проводящего эллипсоида вращения<
202*. Показать, что при сообщении проводящей жидкой сферической капле достаточно большого заряда капля теряет устойчивость. Найти это критическое значение заряда д1:р. Радиус капли /?, коэффициент поверхностного натяжения а.
Указание. Сравнить энергию сферической капли с энергией деформированной капли, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения. Площадь поверхности такого эллипсоида
5 = 2nb2 + ^nba	arccos —	(а > b = с).
Ka2-fe2 а
203*. Однородное электрическое поле E0||z в полупространстве z<0 ограничено заземленной проводящей плоскостью z = 0 с круговым отверстием радиуса а. Найти поле <р во всем пространстве. Рассмотреть, в частности, поле на больших расстояниях за отверстием (в полупространстве z>0).
SO
Указание. Воспользоваться сплюснутыми сфероидальными координатами (см. задачу 65) с с = 0. Искать решение во всем пространстве в виде <р = — EozF(5,).
204. Найти распределение зарядов о на проводящей плоскости, рассмотренной в предыдущей задаче.
205*. Внутри клиновидной области пространства, ограниченной двумя пересекающимися под углом р заземленными проводящими полуплоскостями О А и ОБ, в точке Л/(г0) находится точечный заряд q (рис. II). Цилиндрические координаты заряда
(г0, у, 0); ось z направлена вдоль ребра клина, азимутальный угол а отсчитывается от грани ОА. Доказать, что потенциал <p(r, a, z) может быть записан в виде
оо
Ф (г, а, z) = J q)fe (г, а) cos kz dkt о
где
(г, а) = у
оо
(kr0)Inn_ (Zjr)sin-^^-sin-^— при r<r0, n=l ₽	₽	Р Р
оо
Inn (kr^) Kn^(kr)sm—^sm-g- при r>r0, n-i P P	p p
/пл и Кпп_ — цилиндрические функции.
в Р	т
Указание. Воспользоваться формулой (ГЦ. 11) и приложением 3.
260. Доказать, что потенциал поля точечного заряда в клиновидной области, найденный в предыдущей задаче,
4*
51
можно представить в виде
<p(r, a, z)= йТ-~- I ₽ Г 2rr0 J
11
где
 ng
______sh p______
ch^_cos ~
л, ________sh p_____
~ ch4_ccs мщ) p	p
К ch £ — ch д
r2 + r2 + z2 chT>==" 2г~'
я

Указание. Воспользоваться формулами:
со
J Kv (kr) Iv (krQ) cos kz dk
0
oo
1 f e~*v Jg
2 V 2rr0 J P^ch g — ch г]
и
V n	1 I 1-p2	, \
7, p cosnx = v -j—дr — 1 .
'	2 \ 1 — 2p cos x + p2 )
n=l
207. Найти поле <p заряда q, находящегося вблизи проводящей полуплоскости а = 0 в точке г0 с цилиндрическими координатами (ro,y,z = 0).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 206. Для вычисления интеграла сделать подстановку ch= ch-у ch и, где 0<w<oo.
208. Найти распределение о поверхностного заряда вблизи ребра клина с двугранным углом р (угол отсчитывается вне проводника). Клин находится в поле произвольным образом распределенного заряда.
Указание. Сначала рассмотреть случай, когда вблизи клина находится один точечный заряд, воспользовавшись результатом задачи 205, разложениями (П 3.6) и формулой
[ Kv(kf>)kvcoskzdk = 2v 1	+ Д 2 ,P2:v+v3
Л	\	* / \Р т Z )
209*. Точечный заряд q находится на расстоянии а от однородной плоскопараллельной диэлектрической пластинки толщиной с. Найти электрическое поле, воспользовавшись тем, что как произведение J0(kri)e±hz (гь z — цилиндрические координаты оо
точки, 70 —функция Бесселя), так nJ Л (/г) J0(krx) e±kz dk (A{k)~ о
52
произвольная функция от k) удовлетворяют уравнению Лапласа.
Указание. Применить приведенное в приложении 3 разложение сю
-7==-=
У г 1 + Z2 о*'
210. В плоский конденсатор с расстоянием а между обкладками вставлена плоскопараллельная плитка из диэлектрика, толщина которой а/2 и проницаемость е. Плитка касается одной из обкладок, обкладки заземлены. На поверхность диэлектрика нанесен заряд q, который можно рассматривать как точечный. Найти поле <р в конденсаторе. Выяснить, в частности, какой вид оно имеет вблизи заряда. Представить это поле в виде суперпозиции изображений.
211*. Радиусы обкладок неконцентрического сферического конденсатора равны ах и а2, расстояние между их центрами равно b (ai + fe<c2); внешняя обкладка заземлена, внутренняя поддерживается при потенциале V. Найти поле <р внутри такого конденсатора. Определить также его емкость С.
Указание. Решать задачу в бисферических координатах (см. задачу 67). Сделав подстановку <р= ]/2chg — 2 cos туф, произвести в уравнении для ф разделение переменных и воспользоваться приложением 2, в частности, формулой (П2.16).
212.	Найти емкость слабо неконцентрического сферического конденсатора (Ь щ, о2) с точностью до Ь2, исходя из результата предыдущей задачи (ср. с задачей 160).
213.	Расстояние между центрами двух проводящих сфер с радиусами ai и а2 равно b(b > а, + а2). Найти емкостные коэффициенты см системы, используя бисферические координаты.
214.	Две проводящие сферы, рассмотренные в предыдущей задаче, находятся на большом расстоянии друг от друга (b О], а2). Найти емкостные коэффициенты cih с точностью до 1/fe4.
215*. Две проводящие сферы с равными радиусами а касаются друг друга. Найти емкость С системы методом инверсии. Найти также электрическое поле <р системы, когда сферам сообщен заряд q.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 210.
216. Решить методом инверсии задачу о поле заземленной сферы радиуса R, вблизи которой на расстоянии а (с > 7?) от ее центра находится точечный заряд q (см. задачу 153).
Указание. Считать известным потенциал равномерно заряженной сферы при отсутствии точечного заряда.
217*. Поверхность проводника образована двумя сферами с радиусами Rt и й?2, пересекающимися по окружности
53
радиуса а. Н'айти емкость С этого проводника, исходя из результата решения задачи 206 о проводящем клине в поле точечного заряда и применяя метод инверсии.
Указание. Поверхность рассматриваемого проводника описывается в тороидальных координатах (см. задачу 68) уравнениями:
^ = g[ = const, g = g2== const (sin = ± a/Ri, sin = ± а/Т?2).
Достаточно рассмотреть преобразование координат в плоскости, перпендикулярной ребру клина и проходящей через центр инверсии, который должен быть взят на линии пересечения сфер. Для определения заряда q проводника при заданном его потенциале удобно воспользоваться тем, что поле на больших расстояниях от проводника имеет вид <р = у — V, где —V—потенциал на бесконечности.
218.	Найти емкости С следующих проводников:
а)	полого сферического сегмента с радиусом R и углом раствора 26;
б)	полушара радиуса R.
219.	Проводник образован двумя сферами с одинаковыми радиусами а, поверхности которых пересекаются под углом л/3 .друг к другу. Найти емкость С проводника.
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [101], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Стрэттон Дж. А. [100], Джексон Дж. [52], Смайт В. [93], Френкель Я. И. [111], Гринберг Г. А. [46], Лебедев Н. Н_, Скальская И. П., Уфлянд Я. С. [69], Зоммерфельд А. [54], Власов А. А. [25], Пановскцй В., Филипс М. [86].
ГЛАВА IV
ПОСТОЯННЫЙ ток
Распределение постоянных токов в проводящей среде с удельной проводимостью и (г) описывается объемной плотностью тока j (г), удовлетворяющей уравнению
divj = O.	(IV. 1)
Уравнение (IV.1) является следствием закона сохранения заряда. Плотность тока в среде пропорциональна сумме напряженности электрического поля Е и напряженности поля сторонних электродвижущих сил (э. д. с.) Ест (закон Ома):
j = x(E + ECT).	(IV. 2)
Поле сторонних электродвижущих сил Ест учитывает действие на заряды среды сил неэлектрического происхождения.
Для описания электрического поля Е и распределения токов j в проводнике удобно, как и в электростатике, ввести скалярный потенциал <р, связанный с напряженностью поля формулой Е = —grad<p. Из этого определения и из (IV. 1), (IV. 2) следует основное дифференциальное уравнение для ср:
div (х grad <р) = div хЕст.	(IV. 3)
На поверхностях разрыва х или jCT = хЕст уравнение (IV. 3) заменяется граничными условиями
^2^2п	^1Е1п= /ст In /ст2п>	(IV. 4)
Ф1 = ф2-	(IV. 5)
На поверхностях изоляторов (х = 0) условие (IV. 4) принимает вид
/п = 0 или хЕп 4- /ст п = 0.	(IV. 6)
Если среда состоит из ряда однородных областей и не содержит внутри себя сторонних э. д. с., то внутри каждой такой области
Д<рл = 0,	(IV. 7)
55.
а на границах i-й и k-н областей
(IV.8)
Из уравнений (IV. 3) — (IV. 8) видно, что существует тесное соответствие между основной токовой задачей, сводящейся к определению потенциала <р, и аналогичной задачей электростатики при наличии сред. Решение токовой задачи может быть получено из решения задачи электростатики (и наоборот), если заменить величины
электростатические на токовые
е	к,
D	—xgradtp,
л	л ,	(IV.9)
4лр	— divjCT,
4 ПО"	(/ст in	/ст 2n)* .
Методы электростатики (см. гл. III) могут быть, следовательно, применены и для решения основной токовой задачи.
Если в среду с конечной проводимостью х(г) помещены идеальные (х—*оо) проводники — электроды, то на них имеет место условие
фэл = const.	(IV. 10)
Токовая задача в этом случае аналогична электростатической задаче о поле системы проводников, помещенных в диэлектрическую среду. Как и в электростатическом случае, могут встретиться два основных варианта токовой задачи с идеальными проводниками: а) заданы потенциалы электродов <pft = Vh; б) заданы исходящие от электродов токи
ffk = f jndSk = -$n^-dSk.	(IV. 11)
sk
Из (IV. 11) видно, что аналогичными в смысле (IV. 9) величинами являются заряд k-ro проводника qit в электростатической задаче и ток Д7*/4л от k-ro электрода в токовой задаче.
Потенциалы Vh электродов являются линейными комбинациями токов ffh, стекающих с электродов:
V	i =	1 + Raff 2 +  • • + R\nff "•
V	2= Ri\ffi + Raff2 + ... + Rinff(1У |2)
V	n — Rnlff 1 + R-niff 2 + ••• + Rnnffn*
Коэффициенты пропорциональности Rn, называются коэффициентами сопротивления. Они не зависят от потенциалов Vh и токов ffk и определяются исключительно геометрией электродов и распределением проводимости х. Коэффициенты Rih анало-
ге
гичны потенциальным коэффициентам электростатической задачи (см. задачу 234).
Распределение токов в часто встречающихся на практике системах квазилинейных проводников определяется с помощью правил Кирхгофа (см., например, [101]). Удобным методом расчета сложных цепей квазилинейных проводников является метод контурных токов (см., например, [93], в гл. VI этой книги можно найти большое количество задач на распределение токов)
220.	Аккумуляторная батарея с малым внутренним сопротивлением и э. д с <S не может обеспечить питания током У некоторого прибора в течение длительного времени. Чтобы продлить срок службы батареи, включают прибор и батарею в сеть постоянного тока параллельно друг другу через сопротивление R. Напряжение К в сети меняется от 1Л до V'2 (1Л>1/2>#). Сопротивление R подбирают так, чтобы при V = I/] ток батареи 9\ — 0. Какой ток 9 ч будет давать батарея при V — К2?
221.	Каковы должны быть параметры обмотки гальванометра с вращающейся катушкой, чтобы при заданных э. д. с. цепи и внешнем сопротивлении R (соединение последовательное) отброс гальванометра был максимальным? Угол отброса стрелки гальванометра пропорционален числу витков п катушки и току 9 в цепи. Вследствие ограниченности объема, занимаемого катушкой в кожухе прибора, произведение nS, где S — сечение провода катушки, является приблизительно постоянным.
222.	Квадратная сетка из однородной проволоки состоит из п2 одинаковых квадратных ячеек. Сопротивление стороны ячейки равно г. Ток входит в один из углов сетки и выходит из противоположного угла. Найти сопротивление R всей сетки для случаев п = 2, 3, 4.
Указание. Для уменьшения числа контурных токов использовать симметрию цепи.
223*. Телеграфная линия (рис. 12) подвешена на п изоляторах в точках Ah А2, ..., Ап (роль второго провода играет земля). Отрезки линии AAlt А]А?, ..., A7lAn+l имеют одно и то же сопротивление /?. При сухой изоляции сопцотивление изоляторов
57
бесконечно. При сырой изоляции возникает утечка через изоляторы в землю; сопротивление каждого из изоляторов при этом становится равным г. Между концом А линии и землей включена батарея с э. д.с. и внутренним сопротивлением /?г. Конец Лп+1 через нагрузку с сопротивлением Ra также соединен с землей. Найти ток на каждом из участков линии, а также ток, протекающий через нагрузку. Во сколько раз э. д. с. батареи при сырой изоляции должна быть больше э. д. с. при сухой изоляции, чтобы ток через нагрузку был в обоих случаях один и тот же? Рассмотреть, в частности, случай Ra = 0.
Указание. Рассмотреть контурные токи в цепочке контуров, каждый из которых образован отрезком Ak-]Ak линии и утечками через изоляторы /4л—i и Аь- Решением получившегося разностного уравнения второго порядка является гиперболический косинус.
224*. Подземный кабель имеет постоянное сопротивление р на единицу длины. Изоляция кабеля несовершенна и через нее происходит утечка. Проводимость утечки на единицу длины кабеля постоянна и равна 1/р'. Роль обратного провода играет земля. Найти дифференциальное уравнение, которое описывает распределение постоянного тока в кабеле. Найти связь между током в кабеле 3 (х) и разностью потенциалов tp(x) между жилой кабеля и землей.
Указание. Исходить из уравнения (1) в решении задачи 223.
225*. К одному из концов подземного кабеля длиной а, с сопротивлением на единицу длины р и проводимостью утечки 1/р' (на единицу длины) подключена заземленная одним полюсом батарея с э. д. с. <% и внутренним сопротивлением R,. Второй конец кабеля подключен к заземленной нагрузке с сопротивлением Ra- Найти распределение тока 0 (х) по длине кабеля. Рассмотреть, в частности, случай Rt = Ra = 0. Выполнить для проверки результата предельный переход к случаю кабеля без утечки.
Указание. Исходить либо из дифференциального уравнения, полученного в задаче 224, либо из формулы (7) в решении задачи 223.
226.	В пространство между обкладками плоского конденсатора вставлены две плоскопараллельные проводящие пластинки, плотно прилегающие друг к другу и к обкладкам конденсатора. Пластинки имеют толщины hi, h2, проводимости Xi, хг и диэлектрические проницаемости ец ег. На обкладки конденсатора, изготовленные из материала с проводимостью, много большей чем xi и хг, подана разность потенциалов V. Определить напряженность Е электрического поля, электрическую индукцию D и плотность тока / в пластинках, а также плотности свободных о и связанных оСв зарядов на всех трех границах раздела.
58
227.	Найти закон преломления линий тока на гладкой поверхности раздела двух сред с проводимостями х, и хг-
228*. Постоянный ток 3 течет по бесконечно длинному прямому проводу радиуса а с проводимостью х. Провод окружен толстой коаксиальной с ним проводящей цилиндрической оболочкой, служащей обратным проводом. Внутренний радиус оболочки Ь, наружный радиус с—>оо. Найти электрическое <р и магнитное И поле во всем пространстве. Определить распределение о поверхностных зарядов. Диэлектрическая проницаемость среды между проводниками равна е.
229.	Три проводника с круглыми сечениями одного и того же радиуса г соединены последовательно, образуя замкнутое кольцо. Длины проводников /о, /1, li^r, проводимости хо, Х1, Х2. По объему проводника с проводимостью х0 равномерно распределена сторонняя э. д. с. <Г0, не зависящая от времени. Найти электрическое поле Е и распределение электрических зарядов внутри кольца.
230.	Найти потоки энергии у через поверхности трех проводников, рассмотренных в задаче 229. Получить таким способом закон Джоуля — Ленца.
231.	Распределение тока в трехмерном проводнике с проводимостью х обладает такой симметрией, что во всех точках каждой его эквипотенциальной поверхности напряженность электрического поля, а следовательно, и плотность тока имеют одно и то же значение. Доказать, что в этом случае сопротивление проводника выражается той же формулой, что и сопротивление квазилинейного проводника с переменным поперечным сечением *).
232.	Используя результат предыдущей задачи, найти сопротивления R:
а)	сферического конденсатора с радиусами обкладок а и Ь, а <Ь, заполненного однородной средой с проводимостью х;
б)	такого же конденсатора, заполненного двумя однородными слоями с проводимостями X] и Х2 (слой с X] прилегает к внутренней обкладке), границей раздела между которыми является сфера радиуса с;
в)	цилиндрического конденсатора с радиусом обкладок а и Ь, а < Ъ и длиной I, заполненного средой с проводимостью х (краевого эффекта не рассматривать).
233.	Заземление осуществляется с помощью идеально проводящего шара радиуса а, наполовину утопленного в землю (проводимость земли xi = const). Слой земли радиуса Ь, концентрический с шаром и прилегающий к нему, имеет искусственно
*) Сформулированные условия совпадают с условиями, при выполнении которых можно пользоваться электростатической теоремой Гаусса в соответствующей электростатической задаче.
59»
повышенную проводимость х2 Найти сопротивление R такого заземлителя.
234*. Система идеальных проводников (электродов) находится в среде с проводимостью и (г) и диэлектрической проницаемостью е(г), обладающей тем свойством, что х(г)/е(г) = = const во всех точках пространства*). Найти связь между потенциальными коэффициентами и коэффициентами сопротивления этой системы проводников. Как связаны между собой заряды qk электродов и исходящие от них токи 3
235.	Конденсатор произвольной формы заполнен однородным диэлектриком с проницаемостью е. Найти емкость С этого конденсатора, если известно, что при заполнении его однородным проводником с проводимостью и он оказывает постоянному току сопротивление R.
236.	Система электродов характеризуется коэффициентами сопротивления Rih. Найти количество тепла Q, выделяемое в единицу времени токами в пространстве между электродами, если известны токи Зк, исходящие от электродов.
237.	Две идеально проводящие сферы с радиусами а и b находятся в однородной среде с проводимостью и и диэлектрической проницаемостью е. Расстояние между центрами сфер равно I. Ток 3 подводится к одной из сфер и отводится от другой сферы. Найти сопротивление R = (Va — Vb)!3 среды между сферами, где Va, Уь — потенциалы сфер, 3 — ток, текущий от сферы с радиусом а.
Указание. Выразить Rih через емкостные коэффициенты Сц, системы двух сфер (см. задачу 213).
238.	Концы некоторой цепи заземлены с помощью двух идеально проводящих сфер (радиусы их а\ и а2), наполовину утопленных в землю, служащую вторым проводом. Расстояние между сферами / at, а2, проводимость земли х. Найти сопротивление R между заземлителями.
239.	Решить предыдущую задачу, если заземлители осуществляются в виде двух одинаковых эллипсоидов вращения, с объемом V и эксцентриситетом е0. Оси вращения эллипсоидов перпендикулярны к поверхности земли, а центры лежат на ней. Какая форма заземлителей выгоднее (обеспечивает меньшее сопротивление)?
240*. Частицы с зарядом е и массой т могут в неограниченном количестве испускаться плоским электродом х — 0. Испущенные с нулевой скоростью частицы ускоряются электрическим полем в направлении к другому плоскому электроду, па-
*) Иначе это условие можно сформулировать так: вместо среды с проводимостью х пространство между идеальными проводниками заполняют диэлектрической средой, проницаемость е которой пропорциональна х в каждой точке пространства, так что е/х = const.
€0
раллельному первому и отстоящему от него на расстояние а. Разность потенциалов между электродами <р0- Эмиссия из первого электрода продолжается до тех пор, пока поле образовавшегося между электродами объемного заряда с плотностью р не скомпенсирует внешнее поле у поверхности первого электрода, так что напряженность результирующего поля —4^-	=0.
ах Д=0
Найти зависимость плотности стационарного тока / между электродами от разности потенциалов фо.
Указание. Потенциал в пространстве между электродами определяется уравнением Пуассона Дер = —4лр, р = j/v, где и — скорость частиц в данной точке пространства.
ЛИТЕРАТУРА
Смайт В. [93], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Зоммерфельд А. [54], Френкель Я. И. [112], Гринберг Г. А. [46], Тамм И. Е. [101], Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уфлянд Я. С. [69].
ГЛАВА V
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Уравнения Максвелла в случае постоянного магнитного поля принимают вид
rotH=-y-j, div В = О,	(V 1)
где В — магнитная индукция, Н — напрягкенность магнитного поля, j — плотность объемного тока, с — электродинамическая постоянная (с = 3 • 10'° см!сек).
В изотропных диа- и парамагнетиках В и Н связаны соотношением
В=цН,	(V. 2)
где ц — магнитная проницаемость вещества (скаляр); в случае анизотропных веществ ц является тензором II ранга. Плотность молекулярных токов jMOn в веществе, находящемся в постоянном магнитном поле, выражается через вектор намагниченности М (магнитный момент единицы объема) по формуле
1мол = с rot М.	(V. 3)
Вектор М связан с В и Н соотношением
В = Н + 4лМ.	(V. 4)
Основные методы решения задачи об определении магнитного поля в неферромагнитной среде:
а)	Использование закона Био—Савара. Элемент тока ffdl создает в вакууме или в однородной среде магнитное поле
dH = -^(dlXr).	(V.5)
По принципу суперпозиции полное поле в данной точке можно получить интегрированием (V. 5) по всем элементам тока (по dl).
б)	Непосредственное интегрирование системы уравнений (V. 1), (V. 2) с граничными условиями
П.(В2-В,) = 0, nX(H2-Hi) = yi,	(V.6)
62
где i — плотность поверхностного тока и нормаль п направлена из первой области во вторую. Если распределение токов обладает аксиальной симметрией, бывает полезна интегральная форма первого из уравнений (V. 1):
§Htdl = ^Lff.	(V.7)
Здесь интеграл берется по произвольному замкнутому контуру; 3 — полный ток, протекающий через произвольную поверхность, опирающуюся на этот контур.
в)	Метод векторного потенциала. Векторный потенциал А определяется соотношением
В = rot А	(V. 8)
и дополнительным условием
divA = 0.	(V. 9)
В тех областях, где магнетик однороден, А удовлетворяет уравнению
ДА = —^-j.	(V. 10)
Граничные условия для векторного потенциала вытекают из граничных условий (V. 6) для В и Н^,
Векторный потенциал, создаваемый заданным распределением токов, может быть записан (в однородной среде с магнитной проницаемостью р) в виде интеграла по объему, занятому током:
А (г) = — f .	(V. П)
' ' с J | г — Г I	'	’
Соответствующее выражение для линейного тока получается заменой jdV'-^ffdV. На больших расстояниях от области, в которой текут токи, (V. 11) переходит в
А = -^,	(V. 12)
где
m = -^ J(r'Xj)dV'	(V. 13)
— магнитный дипольный момент (положено ц = 1).
г)	Метод скалярного потенциала. В тех областях пространства, где j = 0, имеем rot Н = 0, поэтому можно положить
Н= — gradip,	(V. 14)
где ф— скалярный потенциал, удовлетворяющий при p = const уравнению Лапласа. Однако введенный таким образом скалярный потенциал в общем случае не будет однозначной функцией
63
точки*). Скалярный потенциал используется в задачах 254, 255 и др.
Реальные системы токов ограничены в пространстве, плотности токов, потенциалы и напряженности поля таких систем становятся равными нулю на бесконечности. Однако в ряде случаев бывает удобно рассматривать бесконечные проводники с током, поле которых не исчезает на бесконечности. Получаемые при этом результаты правильно описывают поле в средней части конечного проводника, на расстояниях, малых по сравнению с его длиной.
Энергия магнитного поля, локализованная внутри некоторого объема V, выражается интегралом по этому объему:
r =	. V)dV.	(V. 15)
Если система токов имеет конечные размеры, ее полная энергия может быть вычислена также по формуле
r = ^-J(A-j)dV,	(V. 16)
в которой интегрирование производится по объему, занятому токами.
Магнитная энергия квазилинейного проводника с током 3 выражается через коэффициент самоиндукции L проводника:
№ = £#72с2.	(V. 17)
Индуктивность можно также выразить через двойной интеграл по объему проводника:
L = | J	dV dV'	18>
Энергия взаимодействия двух проводников с током дается выражениями
=	B2)^ = 7j(J1-A2)dV1 (IF12=r21). (V. 19)
Первый интеграл берется по всему пространству, второй — по объему одного из проводников. В случае квазилинейных токов энергия может быть выражена через коэффициент взаимной индукции Ll2:
Wl2 = Li20^с2.	(V. 20)
Формулу (V. 20) можно представить в виде
U712 = ^1Q12/c,	(V.21)
где Ф12 — поток магнитной индукции, создаваемый вторым
*) Более подробно см. [101].
64
током, через контур первого тока:
ф12 = J* В2 • dSi = (j) А2 • dli = — L\2^2f (V• 22)
Коэффициент взаимной индукции может быть получен из выражения энергии (V. 20), потока магнитной индукции (V. 22) или, в случае линейных токов, вычислен по формуле
Z.12 = fx^^k-.	(V. 23)
Обобщенные силы У7,-, действующие между двумя неподвижными токами, могут быть получены дифференцированием энергии взаимодействия W12 (или величины U\2 =—^12» которая называется потенциальной функцией) по соответствующим обобщенным координатам:
dWi2_ = _dUj2_^
1 дец	dqt
Для вычисления сил может быть использована также формула Ампера:
dF = ^-(dl X В),	(V.25)
где dl — элемент контура, обтекаемого током 9, dF — сила, действующая на этот элемент со стороны внешнего поля В.
Силы, действующие на токи и магнетики, можно вычислить с помощью максвеллова тензора натяжений магнитного поля
<v-26)
так же, как вычислялись силы с помощью тензора натяжений электрического поля в гл. III.
В тех областях пространства, которые заняты ферромагнетиками, В и Н связаны нелинейной и неоднозначной (гистерезис) зависимостью, и решение задач магнитостатики вследствие этого чрезвычайно усложняется. Однако при рассмотрении постоянных магнитов часто предполагают, что зависимость В от Н по-прежнему линейна:
В = р,Н + 4лМ0,	(V. 27)
где Мо—«постоянная» (т. е. не зависящая от Н) намагниченность, которая должна рассматриваться как известная функция координат. Ферромагнетики, для которых справедливо соотношение (V.27), называются идеализированными (см. (101], § 73).
241.	Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b находится коаксиальный с ней провод радиуса а. По этим проводникам текут постоянные токи одинаковой величины 9 в противоположных направлениях. Определить магнитное
5 В. В. Батыгин, И, Н. Топтыгин	65
поле Н, создаваемое такой системой во всех точках пространства. Решить задачу двумя способами: интегрированием дифференциальных уравнений Максвелла и с помощью уравнения Максвелла в интегральной форме (V. 7).
242.	Определить напряженность магнитного поля Н и магнитную индукцию В, создаваемые постоянным током 3, текущим по бесконечному цилиндрическому проводнику кругового сечения радиуса а. Магнитная проницаемость проводника равна цо, окружающего проводник вещества — ц. Решить задачу наиболее простым способом — с помощью уравнения Максвелла в интегральной форме (V. 7), а также путем введения векторного потенциала А.
£243/ Решить предыдущую задачу для полого цилиндрического проводника (внутренний радиус а, наружный Ь).
244.	Прямолинейная, бесконечно длинная полоса имеет ширину а. Вдоль полосы течет ток 3, равномерно распределенный по ее ширине. Найти магнитное поле Н. Проверить результат, рассмотрев предельный случай поля на больших расстояниях.
245.	Противоположно направленные токи равной величины 3 текут по двум тонким бесконечно длинным параллельным пластинам, совпадающим с двумя гранями бесконечной призмы прямоугольного сечения. Ширина пластин а, расстояние между ними Ь. Найти силу взаимодействия на единицу длины f.
246.	Найти векторный потенциал А и магнитное поле Н, создаваемые двумя прямолинейными параллельными токами 3, текущими в противоположных направлениях. Расстояние между токами 2а.
247.	Определить магнитное поле Н, создаваемое двумя параллельными плоскостями, по которым текут токи с одинаковыми поверхностными плотностями i = const. Рассмотреть два случая: а) токи текут в противоположных направлениях; б) токи направлены одинаково.
248.	Определить магнитное поле Н в цилиндрической полости, вырезанной в бесконечно длинном цилиндрическом проводнике. Радиусы полости и проводника соответственно а и Ь, расстояние между их параллельными осями d (b > а + d). Ток 3 распределен равномерно по сечению.
Указание. Использовать принцип суперпозиции полей.
249*. Найти векторный потенциал А и магнитное поле Н, создаваемые в произвольной точке тонким кольцом радиуса а с током 3. Окружающая среда однородна, магнитная проницаемость ц. Результаты выразить через эллиптические интегралы.
Указание. Использовать метод решения, примененный в задаче 89.
250*. Показать, что если магйитное поле обладает аксиальной симметрией и описывается в цилиндрических координатах векторным потенциалом с компонентами Aa(r, z), Ar = Az = 0, то
66
уравнение линий магнитной индукции имеет вид
Mf,(r, z) = const.
Указание.. Рассмотреть поток магнитной индукции внутри трубки, образованной вращением одной из линий индукции вокруг оси симметрии (ср. с решением задачи 115).
251. Выразить напряженность Н и векторный потенциал А аксиально симметричного магнитного поля вне его источников через напряженность магнитного поля H(z) на оси симметрии.
252. Определить магнитное поле Н на оси соленоида с густой намоткой, имеющего форму цилиндра. Высота цилиндра h, радиус а, число витков на единицу длины п, сила тока 9.
253*. Сфера радиуса а заряжена зарядом е равномерно по поверхности и вращается вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью со. Найти магнитное поле внутри и вне сферы. Выразить напряженность поля Н во внешней области через магнитный момент m сферы.
254. Найти скалярный потенциал ф магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводом с током 9. Вычислить компоненты магнитного поля.
255*. Найти скалярный потенциал ф магнитного поля замкнутого линейного контура с током. Решить задачу: а) путем интегрирования уравнения Лапласа для потенциала; б) используя известное выражение для магнитного векторного потенциала
Указание. При решении задачи первым способом воспользоваться представлением решения уравнения Лапласа в виде интеграла по замкнутой поверхности (см. [101], § 12).
256.	Найти силу F и вращательный момент N, действующие на замкнутый тонкий проводник с током в однородном магнитном поле Н. Форма контура, образованного проводником, произвольна. Решить задачу двумя способами: прямым суммированием сил и моментов сил, приложенных к элементам тока, и с помощью потенциальной функции. Результат выразить через магнитный момент ш.
257.	Найти потенциальную функцию U двух малых токов, магнитные моменты которых Ш] и ш2. Определить силу взаимодействия F этих токов и приложенные к ним вращательные моменты N. Рассмотреть частный случай mil|m2.
258.	Показать, что силы, действующие между малыми токами, стремятся установить магнитные моменты этих токов параллельно друг другу и линии, соединяющей центры.
259.	Найти потенциальную функцию u2j (на единицу длины) двух параллельных бесконечно длинных прямых токов 9\, 9^ и силу f их взаимодействия на единицу длины.
5*	67
260.	Квадратная рамка с током 9ч расположена так, что две ее стороны параллельны длинному прямому проводу с током 9\ (рис. 13). Сторона квадрата а. Определить действующую на рамку силу F и вращательный момент N относительно оси 00'.
261. Рамка с током 9ч 2(л — <р) и соединяющей
состоит из дуги окружности с углом ее концы хорды (рис. 14). Радиус дуги а. Нормально к плоскости рамки через центр окружности проходит длинный прямой провод с током 9\. Найти момент сил N, приложенный к рамке.
262. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b находится коаксиальный провод
радиуса а, магнитная проницаемость которого ро. Пространство между проводом и оболочкой заполнено веществом с магнитной проницаемостью р. Найти коэффициент самоиндукции 3? такой линии на единицу длины.
263. Линия,состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек с радиусами а и b (а < Ь), пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью р. Найти коэффициент самоиндукции на единицу длины.
V 264. Длинный прямой провод и кольцо радиуса а лежат в одной плоскости. Расстояние от центра кольца до провода Ь. Найти коэффициент взаимной индукции и силу взаимодействия F, если сила тока в проводе 9\, в кольце 9ч-
265*. Два тонких кольца с радиусами а и b расположены так, что их плоскости перпендикулярны отрезку прямой длиной I, соединяющему центры колец. Найти коэффициент взаимной индукции L12. Результат выразить через эллиптические интегралы. Рассмотреть, в частности, предельные случаи 1а, b и а~Ь»1.
266.	Найти силу взаимодействия F между двумя кольцевыми токами, рассмотренными в предыдущей задаче.
68
267.	Найти коэффициент самоиндукциина единицу длины бесконечного цилиндрического соленоида с густой намоткой и с произвольной (не обязательно круговой) формой сечения. Площадь сечения S, число витков на единицу длины п.
268.	Найти коэффициент самоиндукции L катушки из тонкого провода с числом витков на единицу длины п. Катушка имеет круглое сечение радиуса а и конечную длину h (h а). Вычисления произвести с точностью до членов порядка a/h.
269.	Найти коэффициент самоиндукции L тороидального соленоида. Радиус тора Ь, число витков N, сечение тора — круг радиуса а. Определить коэффициент самоиндукции на единицу длины соленоида в предельном случае b -> оо (7V/fc = const). Решить ту же задачу для тороидального соленоида, сечение которого — прямоугольник со сторонами а к h. Как изменится самоиндукция, если равномерно распределенный ток будет течь, сохраняя то же направление, не по проводу, намотанному на тор, а прямо по полой оболочке тора?
270.	Определить коэффициент самоиндукциина единицу длины двухпроводной линии. Линия состоит из двух параллельных прямых проводов, радиусы которых а и Ь, расстояние между осевыми линиями /г. По проводам текут равные по величине, но противоположно направленные токи
271*. Показать, что коэффициент самоиндукции тонкого замкнутого проводника с круговой формой сечения можно приближенно вычислить по	_______
формуле	'	~~
L =	+ L' *),
где ро — магнитная проницае- ( л z’\q ) мость проводника, I — его к 7х	ч. J
длина, L' — коэффициент вза-	х
имной индукции двух линей-	Рис. 15.
ных контуров. Один из конту-
ров совпадает с осевой линией рассматриваемого квазилинейного проводника, другой — с линией, по которой пересекается с поверхностью проводника произвольная незамкнутая поверхность S', опирающаяся на его осевую линию (рис. 15).
272.	Определить коэффициент самоиндукции L тонкого проволочного кольца радиуса Ъ. Радиус провода а Ь.
Указание. Использовать формулу, приведенную в условии предыдущей задачи, и результаты задачи 265.
273.	Определить коэффициент взаимной индукции Л12 двух параллельных отрезков длиной а, расположенных на расстоянии I
*) Первый и второй члены в выражении L могут быть названы соответственно внутренней и внешней самоиндукцией, так как они определяют магнитную энергию, запасенную внутри проводника и вне его.
69
друг от друга и совпадающих с двумя сторонами прямоугольника *).
274.	Определить коэффициент взаимной индукции Л]2 двух одинаковых квадратов со стороной а, находящихся на расстоянии I друг от друга и совпадающих с двумя противоположными гранями прямоугольного параллелепипеда. Найти силу взаимодействия F между ними, считая р = 1 во всем пространстве.
275.	Определить самоиндукцию L проволочного квадрата со стороной Ь. Радиус провода a <С b, магнитная проницаемость окружающего пространства ц, внутри провода ц0= 1-
Указание. Использовать формулы, полученные в задачах 271, 273.
276.	Определить магнитный момент m заряженного шара, вращающегося вокруг одного из своих диаметров. Рассмотреть случаи равномерного объемного и равномерного поверхностного распределений заряда.
277*. Плотность тока, создаваемого в атоме водорода спиновым магнитным моментом электрона, описывается функцией j = с rot[p (г) а], где а — постоянный вектор, с — электродинамическая постоянная, ар — объемная плотность распределения заряда в атоме; величина р зависит только от абсолютной величины радиуса-вектора г и обращается в нуль на бесконечности. Показать, что магнитное поле в начале координат равно —8/злр (0) а.
Указание. Воспользоваться результатами задачи 32.
278.	Свести задачу магнитостатики об определении поля, создаваемого заданными токами в неоднородной неферромагнитной среде, к задаче электростатики. Для этого представить магнитное поле в виде суммы двух полей: Н = Но + Н', где Но — «первичное» поле, которое создавалось бы тем же распределением токов в пустом пространстве, а Н' — поле, обусловленное наличием магнетиков. Ввести для Н' скалярный потенциал ф, получить для ф уравнение и граничные условия.
279.	Контур с током лежит в плоскости раздела двух сред с магнитными проницаемостями pi и ц2. Определить напряженность магнитного поля Н во всем пространстве, считая известным поле, создаваемое этим контуром в вакууме.
280.	Бесконечный прямой провод с током & расположен параллельно плоской границе двух сред с магнитными проницаемостями pi и ц2. Расстояние от провода до границы а. Определить магнитное поле.
*) Искомый коэффициент взаимной индукции здесь не имеет непосредственного физического смысла, так как токи в этих отрезках не могут быть замкнутыми. Однако с помощью этого коэффициента легко выразить индуктивность замкнутых контуров, имеющих параллельные прямолинейные участки (см. задачи 274, 275).
70
Указание. Применить метод изображений, подобно тому как это делалось в задачах электростатики (гл. III).
281.	В однородное магнитное поле Но вносится шар радиуса а с магнитной проницаемостью ц. Определить результирующее поле Н, индуцированный магнитный момент m и плотность токов 1мол, эквивалентных приобретаемой шаром намагниченности.
282*. Анизотропный неферромагнитный шар вносится в однородное магнитное поле. Найти результирующее поле Н и момент сил N, действующих на шар.
283.	Бесконечно длинная полая цилиндрическая оболочка с внутренним радиусом а и внешним радиусом b находится во внешнем однородном магнитном поле Но, перпендикулярном ее оси. Магнитная проницаемость цилиндра щ, окружающего пространства р,2- Найти напряженность поля Н в полости. Рассмотреть, в частности, случай щ 2> ц2-
284.	Полая сфера с внутренним радиусом а и наружным радиусом b помещена во внешнее однородное магнитное поле Но. Магнитная проницаемость сферы щ, окружающего пространства р,2- Найти поле Н в полости. Рассмотреть, в частности, случай JA1 S> Ц2-
285.	Бесконечный прямолинейный провод радиуса а с магнитной проницаемостью pi находится во внешнем однородном поперечном поле Но в среде с магнитной проницаемостью рг- По проводу течет постоянный ток 3. Найти результирующее магнитное поле внутри и вне провода.
286.	В некоторой ограниченной области задано распределение намагниченности М(г). Определить скалярный ф и векторный А потенциалы, создаваемые этим распределением намагниченности. Показать прямым вычислением, что векторы В = rot А и Н = —grad ф связаны соотношением В = Н + 4лМ.
287.	Тело произвольной формы намагничено однородно. Показать, что скалярный потенциал магнитного поля, создаваемого этим телом, можно записать в виде
ф = —М • grad <р,
где М — намагниченность, а <р — электростатический потенциал равномерно заряженного (с плотностью р = 1) тела такой же формы и размеров.
288.	Прямолинейный провод с током 3 расположен параллельно оси бесконечного кругового цилиндра на расстоянии йот нее. Радиус цилиндра а (а<Ь), магнитная проницаемость р. Найти силу взаимодействия f на единицу длины*).
Указание. Применить метод изображений.
*) Из результатов задач 280, 288 легко получить решение электростатических задач об определении поля, создаваемого заряженной нитью.
71
289.	Прямолинейный провод с током 9 расположен внутри бесконечной цилиндрической полости, вырезанной в однородной магнитной среде. Провод расположен параллельно оси цилиндра на расстоянии b от нее. Радиус цилиндра а, магнитная прони-цаемость магнетика р,. Найти силу взаимодействия f на единицу длины.
290.	Т ок 9 течет по прямолинейному проводу, совпадающему с осью z. От оси расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла: аь а2, аз (cti + а2 + + а3 = 2л). Пространство внутри каждого из углов заполнено однородным магнетиком с магнитными проницаемостями соответственно pi, ц2, |13. Определить магнитное поле Hi (i = 1,2,3) в каждом из двугранных углов.
291*. Найти поле равномерно намагниченного постоянного магнита сферической формы. Магнитная проницаемость сферы ць внешней среды ц2.
292*. Найти поле, создаваемое бесконечным цилиндром радиуса а, намагниченным однородно. Вектор намагниченности Мо перпендикулярен оси цилиндра. Магнитная проницаемость цилиндра ць окружающей среды р2.
293.	Равномерно намагниченная сфера (идеализированный ферромагнетик) вносится во внешнее однородное поле Но. Найти результирующее поле и момент сил N, действующих на сферу. Магнитная проницаемость сферы ц, во внешней области р, = Е
294.	Небольшой постоянный магнит, момент которого ш, находится в пустоте вблизи плоской границы вещества с магнитной проницаемостью ц. Определить силу F и вращающий момент N, действующие на постоянный магнит.
Указание. Применить метод изображений.
295.	Эллипсоид из магнитного материала с проницаемостью р. внесен в однородное магнитное поле Но. Определить внутреннее поле и магнитный момент эллипсоида.
296*. Эллипсоид из анизотропного материала с магнитной проницаемостью р.^ внесен во внешнее однородное магнитное поле Но. Определить внутреннее поле Н] в эллипсоиде.
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [101], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65, 66], Френкель Я. И. [111, 112], Абрагам-Беккер [1], Гринберг Г. А. [46], Смайт В. [93], Джексон Дж. [52], Гуревич Л. Э. [49], Стрэттон Дж. А. [100], Зоммерфельд А. [54], Власов А. А. [25], Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. [106] (вып. 5), Лебедев Н. H.t Скальская И. П., Уфлянд Я. С. [69], Пановский В., Филипс М. [86], Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. [42].
ГЛАВА VI
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 1. Поляризация вещества в постоянном поле
Вектор поляризации Р (электрический дипольный момент единицы объема) в общем случае является нелинейной функцией электрического поля Е. У большинства изотропных диэлектриков в достаточно слабом поле вектор Р пропорционален напряженности поля:
Р = аЕ.	(VI. 1)
Коэффициент поляризации или диэлектрическая восприимчивость а определяется свойствами диэлектрика и зависит в общем случае от температуры. Диэлектрическая проницаемость е выражается через восприимчивость
е=1 + 4ла.	(VI. 2)
Для всех веществ в постоянном электрическом поле а > О, е> 1. У анизотропных диэлектриков е и а являются тензорами II ранга.
В случае достаточно разреженного вещества (газ) поляризуемость диэлектрика а пропорциональна числу частиц в единице объема N:
а = Ар, е=1+4лА0,	(VI. 3)
где р — средняя поляризуемость одной молекулы. Этот результат получается, если считать, что действующее на молекулу поле 8 равно среднему полю Е. В случае плотного вещества нужно учитывать различие этих полей. Для диэлектриков, молекулы которых неполярны (т. е. не имеют постоянного дипольного момента в отсутствие внешнего поля) и либо расположены хаотически, либо образуют кристаллическую решетку с кубической симметрией, действующее поле выражается в виде
(VI. 4)
8 = Е + ^Р.
О
73
Это приводит к тому, что формулы (VI. 3) заменяются следующими:

а =
Дтг *
1— о
е — 1
е + 2
=^yvp.
(VI. 4')
Последнее соотношение, а также (VI. 4) называются формулами Лоренц — Лорентца.
Вектор намагниченности М (магнитный дипольный момент единицы объема) у многих веществ пропорционален напряженности магнитного поля:
М = 5СН = ТН-	(VI.5)
Магнитная проницаемость р и магнитная восприимчивость х определяются свойствами вещества и температурой. В отличие от диэлектрической восприимчивости, магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной. Вещества с / > 0 называются парамагнетиками, вещества с Х<0 — диамагнетиками. У ферромагнетиков связь между М и Н нелинейна и неоднозначна.
При решении некоторых задач этого параграфа, наряду с уравнениями механики и электродинамики, необходимо использовать формулу Больцмана, вывод которой можно найти в курсах статистической физики. Эта формула описывает распределение концентрации невзаимодействующих частиц, находящихся во внешнем потенциальном поле:
dN (ih) = С exp [—	dV.
(VI. 6)
Здесь U(qi) —потенциальная энергия одной частицы во внешнем поле, qi — обобщенные координаты, характеризующие положение и ориентацию частицы, dV — элемент объема в пространстве соответствующих обобщенных координат, dN(qi) — число частиц в элементе объема dV, k = 1,38 • 10-16 эрг • град-'— постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, С — нормировочная константа, определяемая из условия нормировки
j dN (qt) = N0:
(VI. 7)
где No — полное число частиц в системе и интегрирование ведется по объему, занимаемому системой.
В том случае, когда в качестве обобщенных координат выбраны полярные углы Ф, а, определяющие ориентацию оси молекулы, элемент объема запишется в виде
dV = sin Qdtida.
74
297. Плотность электронного облака в атоме водорода описывается функцией р (г) =----ехр
пао	- j
тарный заряд, а0 — постоянная. Вычислить поляризуемость Р атома в слабом внешнем поле, пренебрегая деформацией элек-
2r 1
та]
где eQ — элемен-
тронного облака. Как изменится поляризуемость, если считать, что электронное облако имеет постоянную плотность внутри сферы а0?
298. Атом со сферически симметричным распределением заряда помещен в однородное магнитное поле Н. Показать, что добавочное поле около ядра, обусловленное диамагнитным то
ком, равно
дн = -!₽<₽ (°)’
где <р(0)—электростатический потенциал, создаваемый около ядра атомными электронами, е и т — заряд и масса электрона.
299*. Молекула состоит из двух атомов, находящихся на расстоянии а. Атомы сферически симметричны, их поляризуемости равны р' и 0". Найти тензор поляризуемости молекулы, считая радиусы атомов малыми по сравнению с а. Рассмотреть, в частности, случай р' = 0".
300. Исходя из закона сохранения энергии, доказать, что тензор поляризуемости молекулы в постоянном поле является симметричным.
301. Диэлектрик состоит из одинаковых молекул, не имеющих дипольных моментов в отсутствие внешнего поля. Тензор поляризуемости отдельной молекулы ргй известен. Найти коэффициент поляризации диэлектрика а; рассмотреть два случая: а) все молекулы ориентированы одинаково; б) молекулы ориентированы беспорядочно*). Учитывать отличие действующего на молекулу поля от среднего с помощью формулы Лоренц — Ло-рентца.
302*. Если поляризуемости молекулы в разных направлениях различны, то энергия взаимодействия молекулы с внешним полем будет зависеть от ее ориентации. Поэтому наряду с деформационным механизмом поляризации будет действовать ориентационный механизм, хотя молекула и не имеет постоянного электрического момента. Это вызовет температурную зависимость диэлектрической постоянной вещества, состоящего из беспорядочно ориентированных неполярных молекул. Исследовать данный эффект на примере двухатомного газа, находящегося
*) Случай а) может иметь место в твердых телах, кристаллических и аморфных; случай б) — в газах, жидкостях и твердых телах. Но следует иметь в виду, что твердое тело в отличие от газа представляет собою единую систему сильно взаимодействующих частиц. Поэтому представление об отдельных молекулах в составе твердого тела может оказаться лишенным смысла.
75
в слабом постоянном электрическом поле. Вычислить коэффициент поляризации диэлектрика а. Продольная поляризуемость молекулы газа поперечная р2-
303. Две молекулы в газе имеют дипольные моменты pi и р2 и находятся на расстоянии R друг от друга. Вследствие столкновений с другими молекулами их ориентации будут меняться; вероятность данной взаимной ориентации определяется формулой Больцмана (VI. 6), в которой U следует считать энергией взаимодействия двух диполей. Предполагая выполненным условие U <£kT, показать, что величина U, усредненная по распределению Больцмана*), имеет вид
2р?р|
= — 3k.TR6 •
304. Молекула с электрическим дипольным моментом р взаимодействует с неполярной молекулой, поляризуемость которой р. Показать, что энергия взаимодействия, усредненная по возможным ориентациям дипольного момента *), имеет вид
U(R) = —
где R — расстояние между молекулами.
305*. В диэлектрике, находящемся в постоянном электрическом поле, наряду с дипольным моментом (вектором поляризации Р) существуют в общем случае также моменты высших порядков. Найти плотности объемных и поверхностных зарядов, эквивалентных квадрупольной поляризации Qih (Qik — составляющие квадрупольного момента единицы объема диэлектрика).
306. Вычисление диэлектрической проницаемости веществ, молекулы которых обладают дипольными моментами и для которых неприменима формула Лоренц — Лорентца, можно произвести следующим приближенным методом, принадлежащим Онзагеру.
Рассматривается малая сфера, внутри которой может поместиться только одна молекула. Принимается, что вне этой сферы находится однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е, внутри сферы вакуум, и что поле внутри сферы совпадает с эффективным полем, действующим на моле-. кулу. Это поле определяется путем решения макроскопических уравнений электростатики. Найти таким способом связь диэлектрической проницаемости вещества е с поляризуемостью его молекул р.
307*. Рассмотреть систему, состоящую из частиц с зарядом е и массой т, каждая из которых движется на фиксированном
*) В задачах 303 и 304 при усреднении по направлениям дипольных моментов удобно использовать формулы, полученные в задаче 32.
76
расстоянии а от некоторого (своего) центра. Эта система находится в магнитном поле в состоянии статистического равновесия. Показать, что полная магнитная восприимчивость такой системы равна нулю.
308*. Ионизированный газ состоит из ионов (заряд Ze, средняя концентрация A'o) и электронов (заряд — е, средняя концентрация «о)- Газ в целом электронейтрален, т. е. ZN0 = п0, и находится в состоянии статистического равновесия при температуре Т. Считая, что такой газ описывается классической статистикой и что энергия взаимодействия частиц друг с другом невелика по сравнению с тепловой энергией kT, найти распределение плотности заряда вблизи отдельного иона.
309.	Бесконечная проводящая пластинка, ограниченная плоскостями х = h и х = — h, находится в постоянном и однородном поперечном электрическом поле Ео. Пластинка в целом электронейтральна, средняя концентрация «свободных зарядов» No, диэлектрическая проницаемость е. Считая изменение концентрации под действием приложенного поля малой (|А— A'o|<iM)), найти распределение поля внутри пластинки и определить толщину слоя, в котором концентрируется «поверхностный» заряд.
310.	Слой электролита находится между двумя бесконечными плоскими электродами, х = h и х = —h, на которые поданы потенциалы +ф0 и —фо- Электролит состоит из ионов двух сортов, их заряды +е и —е, средняя концентрация при отсутствии внешнего поля No. Диэлектрическая проницаемость электролита е. Определить распределение потенциала между электродами.
Указание. Использовать метод решения, примененный в задаче 308.
§ 2. Поляризация вещества в переменном поле
В случае переменного электромагнитного поля электрическая индукция в момент времени t будет зависеть от значений поля во все предыдущие моменты времени:
t
D(/) = E(/) + j f(t-u)E(u)du,	(VI.8)
где f(t— u)—функция, определяемая свойствами среды. (Аналогичная формула справедлива для магнитных величин.) Прямая пропорциональность между индукциями и напряженностями полей сохраняется только для компонент Фурье этих векторов (т. е. для полей, гармонически зависящих от времени):
Do = e(o)Eo, Во = р(о)Но.	(VI. 9)
77
Проницаемости виц становятся функциями частоты поля. Для того, чтобы вычислить зависимость этих величин от частоты, необходимо использовать определенные представления об электронном строении вещества, прежде всего атомов и молекул. Строгая, последовательная теория поляризации вещества может быть развита только на основе квантовой механики, так как классическая механика и электродинамика не в состоянии объяснить строение вещества. Однако классическая теория с помощью осцилляторной модели атома позволяет получить ряд важных качественных выводов о поведении вещества в переменном поле. Согласно этой модели, электрон в атоме находится под действием упругой силы
F = — kr,	(VI. Ю)
где г — расстояние до притягивающего центра (ядра), k — по-
Рис. 16.
диссипацию электромагнитной энергии, нужно ввести также действующую на электрон «силу трения», пропорциональную его скорости:
Ftp = - nf. (VI. 11)
Диэлектрическая проницаемость вещества, состоящего из атомов, рассматриваемых как осцилляторы, имеет вид [12] “2₽
е(®)= I + -2----г—:—
со* - со — сусо
(VI. 12)
где ozp = 4ne2N/m, a0 — k/m, y = i}/m,N~ число атомов в единице объема, е и т — заряд и масса электрона.
Характер зависимости вещественной е' и мнимой е" частей е от со показан на рис. 16. Мнимая часть е", определяющая поглощение электромагнитной энергии, заметно отличается от нуля только вблизи собственной частоты соо колебаний осцилляторов среды. В области частот, лежащих вблизи со0, е' убывает с ростом со (аномальная дисперсия). В остальной области частот е' растет с ростом со (нормальная дисперсия).
78
Квантовомеханическое рассмотрение приводит к формуле аналогичного вида
в (со) = 1 + со2 У —-,	(VI. 13)
где <пр, fi, «j, уг — постоянные.
311.	Искусственный диэлектрик состоит из одинаковых идеально проводящих металлических сфер радиуса а, хаотически распределенных в вакууме. Среднее число сфер в единице объема N. В этой среде распространяется электромагнитная волна. Пренебрегая отличием поля, действующего на каждую сферу, от среднего поля, определить электрическую е и магнитную р проницаемости такого искусственного диэлектрика. При каких условиях его можно рассматривать как сплошную среду?
Указание. Электрическая и магнитная поляризуемости идеально проводящей сферы вычислены в задачах 151, 389.
312*. Определить диэлектрическую проницаемость проводящей среды в поле плоской монохроматической волны, считая ионы неподвижными и пренебрегая влиянием связанных электронов. Диссипацию энергии учесть введением «силы трения» — т]г, действующей на электроны, концентрация которых N. Связать коэффициент т] с удельной проводимостью.
313*. Газообразный диэлектрик, находящийся в состоянии статистического равновесия при температуре Т, состоит из молекул, концентрация которых N, главные значения тензора поляризуемости р<9 = р и р<2> = р(3) = р' (р и р' зависят от частоты <о). На него действует постоянное и однородное электрическое поле Ео. Найти тензор диэлектрической проницаемости диэлектрика для гармонически зависящего от времени электрического поля E(Z) = 6е~’“*, считая <S << До-
314. Газообразный диэлектрик состоит из полярных молекул, электрический дипольный момент которых при отсутствии внешнего поля равен /?о- Главные значения тензора поляризуемости молекулы в переменном поле равны р<’> = р и р(2) = р(3)=р', причем ось xt имеет направление ро- На диэлектрик действует постоянное электрическое поле Ео и переменное поле Е(/) = = Пренебрегая ориентирующим действием переменного поля и ориентационным эффектом, связанным с анизотропной поляризуемостью молекулы в постоянном поле, найти тензор диэлектрической проницаемости диэлектрика для переменного поля, если температура Т, концентрация частиц N.
315*. Некоторая система зарядов (молекула) находится в электромагнитном поле, меняющемся по гармоническому закону. Показать, что если в системе не происходит диссипации электромагнитной энергии, то тензор ее поляризуемости удовлетворяет условию эрмитовости piA = Рао
79
Указание. Для вычисления элементарной работы использовать формулу (VII. 7).
316.	Показать, что если тензор эрмитов, то при соответствующем выборе координатных осей он может быть записан в виде Pifc =	4-	где еш — единичный антисимме-
тричный тензор III ранга (его определение см. в задаче 24), g— некоторый вещественный вектор (вектор гирации) *).
317.	Найти поляризуемость атома 0,й в поле плоской монохроматической волны при наличии слабого внешнего постоянного магнитного поля Но. Исходить из модели упруго связанного электрона; применить метод последовательных приближений. Действием магнитного поля плоской волны и потерями электромагнитной энергии пренебречь. Определить также вектор гирации g.
318.	Используя осцилляторную модель атома, найти тензор диэлектрической проницаемости 8,-й(ш) диэлектрика, содержащего N атомов в единице объема и находящегося в постоянном магнитном поле Но произвольной величины. Диссипацией электромагнитной энергии и действием магнитного поля плоской волны пренебречь. При каком условии точное решение перейдет в приближенное решение предыдущей задачи?
Указание. При интегрировании уравнения движения электрона перейти к циклическим компонентам
Х±1 =(х±/у), x0 = z.
319*. Получить тензор диэлектрической плазмы, находящейся во внешнем постоянном Но. если средняя концентрация электронов N.
ионы считать неподвижными, потери энергии учесть введением «силы трения» — т]Г.
320. Пусть в плазме, описанной в предыдущей задаче, существует постоянное электрическое поле Е. Получить в линейном по Но приближении связь между плотностью тока j и электрическим полем Е. Найти тензор электропроводности.
4 Указание. Уравнение движения электрона решать методом последовательных приближений.
321*. Найти диэлектрическую проницаемость ионизованного газа, находящегося в постоянном магнитном поле, с учетом движения положительных ионов, считая массу иона значительно больше массы электрона. Рассмотреть зависимость диэлектрической проницаемости от и и сравнить ее со случаем, когда ионы считаются неподвижными. Концентрация ионов и электронов А7.
проницаемости магнитном поле Положительные
*) Среды, в которых вектор гирации отличен от нуля, называются гиро-тропными. Распространение электромагнитных волн в гиротропных средах рассматривается в § 2 гл. VIII.
80
Указание. Рассмотреть систему уравнений движения электрона и иона. Принять во внимание, что на электрон действует «сила трения» [—т)(г — R)], на ион — «сила трения» [—t)(R — г)], где г и R — радиусы-векторы электрона и иона.
322.	Пусть в безграничной однородной среде имеется только одно выделенное направление (например, направление внешнего поля). Пусть, далее, Tih—какой-нибудь тензорный параметр этой среды, например, электрическая или магнитная проницаемость. Очевидно, что компоненты тензора Tik должны быть инвариантны относительно любого поворота системы координат вокруг выделенного направления. Получить ограничения, которые налагаются этим требованием инвариантности на вид тензора Tik.
323.	В некоторых случаях функцию f(t), определяющую связь между D и Е (см. VI.8), можно представить в виде*) /(О = fo exp , где f0 и т — постоянные. Показать, что при этом
е (со) = 1 +-.-0 7—, ' ’	1 — нот ’
где ео — статическое значение диэлектрической проницаемости.
324*. Исходя из условия причинности, согласно которому поляризация в среде может возникнуть только после начала действия электрического поля, доказать, что вещественная и мнимая части диэлектрической проницаемости е(со) = е'(<о) + + 1е"(<в) связаны между собой формулами:
., ,	. , 1 F е" (со') , ,	„ . .	1 f е' (со') -1 , ,
е' (со) = 1 Ч— т —- da , е (со) = т —-т1 da
V '	Я J © - CO	V	’ Л J СО—(О
— оо	—оо
(дисперсионные соотношения Крамерса — Кронига)**). Символом j обозначено главное значение интеграла.
Указание. Рассмотреть поляризацию Р(0. возникающую в среде под действием поля Е(/)=Е06(/). Воспользоваться формулой (Ш. 17).
*) Такая формула соответствует, например, модели вещества, состоящего из твердых диполей. Она не учитывает поляризуемости электронных оболочек.
**) В случае металлов, у которых е(со) имеет полюс при со = 0, вторая формула принимает вид
ОО
' ’ Л J со — со 1 СО ’
— оо
где ст — статическая проводимость металла.
6 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
81
325.	С помощью дисперсионных соотношений Крамерса — Кронита (см. задачу 324) определить вещественную часть диэлектрической проницаемости е'(ю) по известной мнимой части
_ (Во-1) ИТ
Е	1+<о2т2 ’
где ео и т — постоянные.
326.	Доказать следующие правила сумм для мнимых частей диэлектрической проницаемости:
оо	оо
f [Im7(b']fi)rf® = “'Tfi)P’ J [Ime(co)]<od<o = yco2, о	о
( 4nNe2 \1/2 где <ор = I———I — плазменная частота.
Указание. Обратить внимание на то, что Re е(ю) является четной, a Ime(w)—нечетной функциями от со на вещественной оси, и воспользоваться асимптотическим выражением е(со) = = 1—сор/ю2, справедливым при |<о|->оо всюду в верхней полуплоскости и.
327.	Показать, что для описания электромагнитного поля в веществе достаточно ввести, кроме средних электрического и магнитного полей Е(г, /) и В (г, t), только один вектор индукции D'(r, t) (а не два, D и Н, как обычно):
t
D' (г, /) = Е (г, t) + 4л | У (г, t') dt',
где j'(r, t')—усредненная плотность тока, наведенного в веществе, удовлетворяющая уравнению непрерывности div j'+dp'/d/= = 0, р' — средняя плотность заряда вещества. Записать уравнения Максвелла в веществе (относительно Е, В, D'), усредняя вакуумные уравнения. Плотности сторонних зарядов р и токов j заданы.
§ 3. Ферромагнитный резонанс
Ферромагнетизм не может быть последовательно объяснен в рамках классических представлений. Главную роль в нем играют собственные (спиновые) магнитные моменты электронов и специфические силы взаимодействия между ними, имеющие квантовое происхождение. Однако некоторые явления, относящиеся к ферромагнетизму, можно достаточно точно рассмотреть на основе классической (вернее, квазиклассической) теории. К их числу относится и ферромагнитный резонанс, который состоит в следующем.
82
Постоянное магнитное поле, действующее на магнитный момент атома или отдельного электрона, вызывает ларморову прецессию этого момента вокруг направления поля (см. [101], § 68, 71). С течением времени это движение затухает из-за того, что энергия ларморовой прецессии переходит в тепловую энергию. Если внешнее поле достаточно велико, то все элементарные магнитные моменты ориентируются вдоль внешнего поля. Такой ферромагнетик называется насыщенным, а магнитный момент единицы объема — намагниченностью насыщения. В этом параграфе мы везде будем предполагать, что ферромагнетик намагничен до насыщения. Если кроме постоянного поля на ферромагнетик действует также переменное магнитное поле, направленное перпендикулярно постоянному, то оно будет играть роль вынуждающей силы и будет поддерживать прецессионное движение. При совпадении частоты внешнего поля с частотой прецессии наступает ферромагнитный резонанс.
Движение вектора намагниченности в ферромагнетике описывается уравнением Ландау — Лифшица [67], которое может быть получено из следующих соображений. На магнитный момент ш частицы (атома или отдельного электрона), находящейся в магнитном поле Нэфф, действует момент сил N = = Jit X НЭфф. В результате этого, механический момент частицы (момент количества движения) К будет изменяться по закону
-^=№=шХНэфф.	(VI. 14)
Магнитный и механический моменты электрона, как следует из квантовой механики, связаны соотношением
ш = —уК,	у = —,
	 тс ’
где е0 — элементарный заряд, т — масса электрона, с — скорость света в вакууме. Пользуясь этим соотношением и усреднив обе части равенства (VI.1) по физически бесконечно малому объему, получим уравнение Ландау — Лифшица
Т™ =-у(МХН9фф).	(VI. 15)
Здесь М — вектор намагниченности, Нэфф — среднее магнитное поле, действующее на отдельный элементарный магнитный момент. В неограниченной, намагниченной до насыщения изотропной среде [48],
Н9фф = Н-ЛМ + <??2М,	(VI. 16)
где Н — среднее магнитное поле в среде, A, q — постоянные. Второй член (молекулярное поле Вейсса) не дает вклада в уравнение (VI. 15), так как М X М = 0. Третий член существен при 6*	83
очень быстрых изменениях М в пространстве. Мы не будем рассматривать в этом параграфе такие изменения М и положим поэтому НЭфф = Н.
Для того чтобы уравнение (VI. 15) учитывало потери электромагнитной энергии в среде, его нужно дополнить диссипативным членом. Обычно предполагают, что в НЭфф входит некоторое поле «сил трения» — pdWdt, пропорциональное скорости изменения намагниченности. Тогда уравнение (VI. 15) примет вид
Т------Тмх(н-р^-),	(VI.17)
где р— некоторый параметр (параметр потерь). Если потери малы, а полное магнитное поле представляет собою сумму постоянного поля Но и переменного поля h(Z): Н = H0 + h(/), причем |h|<^//0, то уравнение (VI. 17) примет более простой вид [48]:
^ = _v(MxH) + fflf(ZcH-M). (VI. 18)
Здесь хо = Мо/Но, ыг = Ру2Мо/хо, Мо = |М |— намагниченность насыщения. Уравнение Ландау — Лифшица является исходным при решении задач о ферромагнитном резонансе.
В последнее время в радиотехнике сверхвысоких частот получили широкое распространение ферромагнетики с очень малой проводимостью (ферродиэлектрики, ферриты). Распространение электромагнитных волн в ферритах рассматривается в гл. VIII и IX.
328. Найти закон движения вектора намагниченности М при отсутствии потерь в безграничной ферритовой среде, намагниченной до насыщения. Магнитное поле Н в среде постоянно и однородно.
329. Решить предыдущую задачу с учетом потерь. Исходить из уравнения Ландау — Лифшица в форме (VI. 18). Считать, что отклонения М от направления Н малы и со,- С соо = у Но.
330*. Пусть в неограниченной ферромагнитной среде наряду с однородным постоянным полем Но действует высокочастотное поле (h = const). Считая h С Но и пренебрегая потерями, найти в линейном по h приближении вынужденные колебания вектора намагниченности М. (Собственные колебания, т. е. ларморова прецессия под действием постоянного поля Но, затухнут из-за потерь, существующих во всех реальных системах.)
331. Используя результат предыдущей задачи, найти тензоры магнитной восприимчивости х,ь и проницаемости для высокочастотного поля. Построить зависимость компонент тензора от постоянного магнитного поля Яо при Мо = 160 гс и v = = со/2л=9375 Мгц (Х = 3,2 см). Проследить резонансный характер изменения этих величин. Определить Н0рез. .
84
332*. В неограниченной намагниченной до насыщения ферритовой среде кроме постоянного магнитного поля Но = Hz действует переменное поле, поляризованное по кругу: Нх — h cos ©Z, Ну = h sin ©/, h = const. Найти точное решение уравнения Ландау — Лифшица, соответствующее вынужденной прецессии вектора М с частотой © внешнего поля. Диссипацию энергии не рассматривать.
333.	Получить решение задачи 330 о вынужденных колебаниях вектора намагниченности с учетом потерь. Использовать уравнение Ландау — Лифшица в форме (VI. 18).
334.	Используя результат предыдущей задачи, найти тензор магнитной проницаемости щь для высокочастотного поля. По-луч ить выражения вещественной и мнимой частей компонент этих тензоров. Построить зависимость обеих частей компонент тензора магнитной проницаемости от постоянного магнитного поля для Л40 =-160 гс, v = ©/2л = 9375 Мгц, ©г «= 3 • 109 сек-1. Определить резонансное поле Но рез (т. е. значение Но, при котором мнимые части компонент тензора ц имеют максимум).
335.	Определить полуширину А//о резонансной кривой мнимых частей компонент тензора магнитной проницаемости, считая ©г <С ©• Полушириной резонансной кривой называется расстояние между двумя ординатами ц" = црез и ц" = !/2
336*. Найти, без учета потерь, частоту ларморовой прецессии ©й в ограниченном ферромагнитном образце, имеющем форму эллипсоида. Образец находится во внешнем однородном поле Но, приложенном вдоль одной из осей эллипсоида. Считать отклонение вектора намагниченности М от равновесного положения малым.
Указание. В уравнение Лаидау — Лифшица войдет теперь внутреннее поле Нь которое будет отличаться от внешнего поля Но вследствие размагничивающего действия формы тела;
Н, = Hq Нразм, Н^разм = hiM I,
где Nm — тензор размагничивающего действия формы (см. задачу 295).
337. Решить предыдущую задачу с учетом потерь. (Учитывать только члены, линейные относительно ©г.)
338*. Рассмотреть вынужденные колебания при наличии потерь в малом образце эллипсоидальной формы. Определить компоненты тензора магнитной восприимчивости для высокочастотного поля, считая амплитуду его h малой по сравнению с постоянным полем Но.
339.	В некоторых ферромагнитных средах (антиферромагнетиках) результирующая намагниченность М складывается из двух частей: М = М] + М2, где Mj и М;2 создаются ионами, находящимися в разных узлах кристаллической решетки и образующими две магнитные подрешетки. В равновесном состоянии
85
векторы намагниченности М! и М2 ориентированы антипараллельно, так что М = | Л4! —/И2|. При прецессии во внешнем магнитном поле антипараллельность векторов М! и М2 нарушается. В результате этого на каждый из векторов начинает действовать молекулярное поле Вейсса (см. формулу (VI. 16)). Определить частоты собственной прецессии, предполагая, что Х|Л11—М2\'^Н0, где Но — внешнее поле, X — постоянная молекулярного поля Вейсса. Считать отклонения векторов М! и М2 от равновесного положения малыми.
§ 4. Сверхпроводимость
Последовательная теория явления сверхпроводимости должна быть квантовой. Однако феноменологическая электродинамика сверхпроводников может быть построена на базе классических представлений.
Уравнения Максвелла сохраняют свой вид и при наличии сверхпроводников. Отличия от нормальных проводников наблюдаются только в материальных уравнениях, связывающих поля с токами.
При температурах, более низких, чем температура перехода в сверхпроводящее состояние, но не слишком близких к абсолютному нулю, применима локальная теория, предложенная Ф. и Г. Лондонами [75]. Согласно этой теории полные плотности заряда и тока в сверхпроводнике состоят из нормальной (рн, jH) и сверхпроводящей (рс, jc) частей:
Р = Рс + Рн> j = jc + |н>
где jc = — encvc, пс — концентрация сверхпроводящих электронов, vc — их скорость, jH = сгЕ, а — электропроводность. Уравнения непрерывности выполняются для нормальной и сверхпроводящей компоненты по отдельности.
Основным свойством электронов, ответственных за сверхпроводимость, является то, что они движутся сквозь сверхпроводник, не испытывая (в отличие от нормальных электронов) рассеяния ни на тепловых колебаниях решетки, ни на примесях.: Движение сверхпроводящих электронов определяется поэтому только их взаимодействием с электромагнитным полем и описывается уравнением
+	----£(E+±v.XH).
Всякое изменение магнитного поля приводит из-за электромагнитной индукции к возникновению поверхностного тока, значение которого однозначно определяется полем. Этот ток компенсирует магнитное поле внутри сверхпроводника. Последний оказывается, таким образом, в магнитном отношении идеальным
-86
диамагнетиком. Из уравнения движения сверхпроводящих элек-
тронов и уравнений Максвелла выводится материальное урав
нение Лондонов
с rot (Ajc) + Н = О,
(VI. 19)
где А = т/псе2 — параметр Лондонов.
Это уравнение описывает диамагнетизм сверхпроводящих электронов. С учетом (VI. 19) уравнение движения сверхпроводящих электронов принимает вид
если отбросить малый член Vu?. Материальные уравнения (VI. 19) и (VI. 20), рассматриваемые вместе с уравнениями Максвелла, полностью определяют электродинамику сверхпроводников в области низких частот.
В этом параграфе всюду принимается, что е = р = 1. Кроме этого, часто не оговаривается в условиях задач, что сверхпроводник характеризуется параметром Лондонов А или заменяю щей его глубиной проникновения магнитного поля
(VI. 21)
в сверхпроводник (см. задачи 340—346). Для сверхпроводников 10~5 -т- 10~6 см.
большинства
340.	Записать уравнения Максвелла и материальные уравнения, описывающие статическое электромагнитное поле в сверхпроводнике. Вывести уравнения, описывающие в этом случае распределение тока и магнитного поля.
341.	Сверхпроводник заполняет полупространство
при х < 0— вакуум. В вакууме существует однородное магнитное поле Но || у. Найти распределение магнитного поля и токов в сверхпроводнике в статическом случае.
342.	Найти силу, действующую на единицу поверхности сверхпроводника, рассмотренного в предыдущей задаче. В ка кую сторону направлена эта сила?
343.	Сверхпроводящая пленка толщиной 2а, расположенная симметрично относительно плоскости х — 0, находится в однородном магнитном поле Но || у. Найти распределение магнитного поля по объему пленки, а также средний магнитный момент единицы объема.
344.	Бесконечно длинный круговой сверхпроводящий цилиндр находится во внешнем однородном магнитном поле Но || г. Ось цилиндра параллельна полю. Найти распределение магнитного поля по объему цилиндра и средний магнитный момент единицы объема.
87
345.	Сверхпроводящий шар радиуса а находится во внешнем однородном магнитном поле Но. Найти распределение токов в шаре и магнитное поле во всем пространстве. Рассмотреть предельные случаи а>> в и й « 6.
346.	По бесконечно длинному сверхпроводящему прямому проводу кругового сечения (радиус а) течет ток 9  Найти распределение плотности тока j по сечению провода и магнитное поле во всем пространстве.
347.	Сверхпроводник имеет форму кольца произвольного сечения. В нем течет ток, сосредоточенный в тонком поверхностном слое. Показать, что магнитный поток через поверхность, опирающуюся на контур, проведенный внутри проводника, равен нулю, если плотность тока на контуре равна нулю. Исходить из материального уравнения (VI. 20) и уравнений Максвелла.
348.	Сверхпроводящее плоское кольцо с самоиндукцией L, в котором течет ток 9, вдвигается полностью в однородное магнитное поле Но. Найти ток 9', который будет после этого протекать по кольцу. Площадь осевого сечения кольца S. Нормаль к плоскости кольца составляет с направлением Но угол О.
349.	Проводящее кольцо с самоиндукцией L находится в нормальном состоянии во внешнем магнитном поле (магнитный поток через контур кольца равен Фо). Затем температура понижается, и кольцо переводится в сверхпроводящее состояние. Какой ток будет течь по кольцу, если теперь выключить внешнее магнитное поле?
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [101], Френкель Я. И. [111], Беккер Р. [12], Фрелих Г. [ПО], Киттель Ч. [59], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66, 67], Волькенштейн М. В. [26], Зоммерфельд А. [54], Борн М. [16], Фейнман Р., Лейтон Р„ Сэндс М. [106] (вып. 5), Рухадзе А. А., Силин В. П. [90], Гуревич А. Г. [48], Смоленский Г. А., Гуреви1 А. Г. [96], Альперт Я. Л., Гинзбург В. Л., Фейнберг Е. Л. [3], Гинзбург В. Л., Мотулевич Г. П. [34], Лондон Ф. [75], Пайне Д. [85].
ГЛАВА VII
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках
Если период колебаний электромагнитного поля значительно превышает время распространения поля через систему:
где с — скорость света, I — линейный размер системы, то можно пренебречь конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений внутри системы. Такое приближение называется квазистационарным *).
Ток в замкнутой цепи с э. д. с. <§Г(?), емкостью С, индуктивностью L и сопротивлением /?, удовлетворяет в квазистационар-ном приближении дифференциальным уравнениям
где q — заряд на обкладке конденсатора.
При гармонической зависимости э. д. с. от времени (<F (/) —
=	и установившемся режиме ток пропорционален
э. д. с.:
В = Z-R + ll^-^y (VII.2)
Величина Z называется комплексным сопротивлением (импедансом) цепи.
Собственная частота ы0 колебаний в контуре, состоящем из емкости С и самоиндукции L, дается формулой Томсона
“"“HF'	№8)
*) Иногда квазистационарное приближение дает хорошие результаты и при нарушении условия (VII. 1), например, в теории длинных линии. Подробнее об этом см. [101], § 107.
80
Для разветвленной цепи дифференциальные уравнения, определяющие токи в отдельных участках, могут быть составлены на основе законов Кирхгофа.
Если э. д. с. в линейном контуре наводится в результате электромагнитной индукции, она может быть вычислена с помощью закона Фарадея:
е^нид—	•	(VII. 4)
где Ф — поток вектора магнитной индукции через контур. Величина Ф может изменяться как вследствие изменения магнитного поля, так и в результате движения или деформации контура. Если имеется несколько индуктивно связанных контуров, то полный поток магнитной индукции через i-й контур Ф, выражается формулой
<vn-5>
*
Здесь ffh — ток в k-м контуре, Lih — при I 4= k — коэффициент взаимной индукции между t-м и k-м контурами, Li{ =	— ко-
эффициент самоиндукции t-ro контура. (Определение коэффициентов индуктивности приведено в начале гл. V.)
Обобщенную силу, действующую на проводник с током в квазистационарном поле, можно вычислить по формуле
<VI,6)
в которой W обозначает магнитную энергию системы, </г — обобщенную координату, и производная берется при фиксированных значениях токов в проводниках. Магнитная энергия выражается через токи и коэффициенты индуктивности по тем же формулам, что и в статическом случае (см. формулы (V. 17), (V. 20)).
При усреднении по времени произведений величин, меняющихся по гармоническому закону
а(/) = aoe-iu>t,
можно пользоваться формулами:
с2 (/) = 721 a I2, a (/) b (t) = 7г Re (fib").
(VII. 7)
Например, среднее тепловыделение в контуре можно вычислить по формулам
Q = 72 Re (^) = 7219 I2 Re Z.	(VII. 8)
30
350. Круглая проволочная петля радиуса а, находящаяся в постоянном магнитном поле Но, вращается с угловой скоростью о вокруг своего диаметра, перпендикулярного Но. Найти силу тока в петле тормозящий момент N(t) и среднюю мощ-
ность Р, которая требуется для поддержания вращения.
351. Плоский контур с электрическими параметрами R, L, С и площадью S вращается с угловой скоростью со в постоянном магнитном поле Яо вокруг оси, лежащей в плоскости контура и перпендикулярной £/0. Определить средний тормозящий момент N, приложенный к контуру.
352. В одном из двух индуктивно связанных контуров течет ток Я (0 = с7ое~’“*- Индуктивности и сопротивления контуров заданы. Выразить среднюю обобщенную силу взаимодействия
контуров через производную от коэффициента взаимной индукции по обобщенной координате дг.
353.	В один из двух одинаковых контуров, имеющих сопро тивления R и индуктивности L, включена э. д. с. <9 (t) = &oe-iiat
Коэффициент взаимной индукции контуров £12. Определить среднюю силу F взаимодействия контуров. Результат выразить через производную от коэффициента взаимной индукции по соответствующей координате.
354.	Определить собственные
Рис. 17.
частоты со], сиг электрических
колебаний в двух контурах (рис. 17), связь между которыми осуществляется через емкость С (Z = i/ioC).
Указание. Составить систему уравнений для определения токов и приравнять нулю определитель системы.
355.	Решить предыдущую задачу для случая, когда связь между контурами осуществляется через индуктивность (см. рис. 17, Z = —ia>£/c2).
356.	Найти собственные частоты колебаний w1>2 в двух индуктивно связанных контурах с емкостями Сь С2, индуктивностями Lj, £2 и коэффициентом взаимной индукции Li3.
357.	Два контура связаны друг с другом через активное сопротивление (см. рис. 17, Z = R). Найти собственные частоты колебаний, считая связь слабой (R велико).
358.	В контур с индуктивностью £ь емкостью С] и сопротивлением включена сторонняя э. д. с. & (t) = &oe~'at. С этим контуром индуктивно связан второй контур, параметры которого £2, С2, R2, коэффициент взаимной индукции £]2. Определить токи и с/2 в обоих контурах. Рассмотреть, в частности, случай, когда второй контур содержит только индуктивность (/?2 = 0, С2 = оо); определить частоту ®, при которой ток максимален.
91
359.	Найти комплексное сопротивление Z участка цепи (двухполюсника), изображенного на рис. 18.
360.	Конденсатор заполнен веществом с диэлектрической проницаемостью в = 1 — а ( (ионизованный газ, см. задачу 312). Емкость незаполненного конденсатора Со. Доказать, что комплексное сопротивление участка цепи, содержащего такой конденсатор, равно сопротивлению двухполюсника, изображенного на рис. 18, если параметры его подобраны соответствующим образом. Определить R, L, С.
Рис. 19.
Рис. 18.
361.	Определить средний запас энергии W и тепловые потери Q за единицу времени в конденсаторе, описанном в предыдущей задаче. Выразить эти величины через напряжение на обкладках конденсатора U = Uoe~ib>t.
362.	Конденсатор заполнен веществом с диэлектрической
1	®п
проницаемостью е = 1 4—н----------5- (диэлектрик с потерями,
«о — iyw — аг
см. (VI. 12)). Емкость конденсатора при отсутствии диэлектрика Со. Какими параметрами С, Сь L, R должен обладать двухполюсник, изображенный на рис. 19, чтобы его сопротивление переменному току было таким же, как сопротивление конденсатора?
363.	Определить средний запас энергии W и средние тепловые потери Q за единицу времени в конденсаторе, рассмотренном в задаче 362. Напряжение на обкладках Uoe~iat.
364.	Колебательный контур состоит из емкости С и индуктивности L. В некоторый момент времени к обкладкам конденсатора присоединяется батарея с постоянной э. д.с. <S и внутренним сопротивлением R. Найти зависимость тока, текущего через индуктивность, от времени. Исследовать зависимость этого тока от величин R, L, С.
365.	К цепочке, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R и емкости С, прикладывается прямоугольный импульс напряжения: Ui(t) — Uo при 0-^-СТ и Ui(t) =0 при t<0, t>T. Найти напряжение 672(О на сопротивлении R.
366.	К цепочке, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R и индуктивности L, прикладывается прямоугольный импульс напряжения: Ul(t)=Uo при	и
92
Vi(t) = 0 при f<0, t>T. Найти напряжение U2(t) на индуктивности L.
367.	Цепь состоит из плоского конденсатора с емкостью С и сопротивления /? (рис. 20). Между пластинами конденсатора (расстояние Л) требуется создать поле, которое линейно возрастает от 0 до Ео за время Т, а затем за такое же время линейно уменьшается до нуля. Определить форму импульса, который нужно при этом подать на о----------1|---,
вход цепи.	I
368.	В цепь, состоящую из последовательно	r П
соединенных сопротивления R и индуктивности	U
L, включается в момент времени / = 0 э. д. с. _____________|
(/) =«§Г0 cos (оз/~Ьср0) - Определить силу тока
в цепи ff'(t). При каком значении фазы <р0 пере- Рис. 20. ходные явления в цепи не возникнут?
369*. Электрическая цепь (искусственная длинная линия) состоит из N одинаковых звеньев (N1) и разомкнута на концах (рис. 21). Найти частоты собственных колебаний этой системы.
Рис. 21.
370. Считая полное число собственных частот в искусственной длинной линии (см. задачу 369) большим, найти число Аг колебаний, приходящихся на интервал частот Да.
371*. Искусственная длинная линия, состоящая из 2N чередующихся звеньев с параметрами Lt, С и L2, С, разомкнута на
Рис. 22.
концах (рис. 22). Исследовать спектр собственных колебаний такой системы.
372*. Искусственная длинная линия (рис. 23) состоит из N одинаковых звеньев, содержащих импедансы
Zi = —zf-4Lj--4r-), Z2 = —--------------
1 Vc2	z \c2 * coC2)
93
К линии приложено напряжение U\, конец линии разомкнут Найти напряжение U2 между точками а, Ь.
Указание. Искать решение разностного уравнения для тока 3п в п-м звене цепи в форме дп = const-qn.
373.	Основываясь на результатах предыдущей задачи и считая N 1, исследовать зависимость коэффициента передачи X = U2IU\ от частоты. Найти интервал частот, для которых К заметно отличен от нуля
374.	Из рассмотрения искусственной длинной линии с сосредоточенными параметрами (задача 369) получить путем предельного перехода дифференциальное уравнение для тока в длинной линии с равномерно распределенными параметрами.
375.	Идеальная длинная линия с распределенными параметрами длиной I разомкнута на концах. Определить спектр собственных колебаний такой системы, сравнить его со спектром цепочки с сосредоточенными параметрами (см. задачу 369).
376*. Э. д. с., включенная в замкнутый контур, вызывает в нем ток <?(/) =	Найти общее выражение для комплекс-
ного сопротивления контура, не пренебрегая запаздыванием внутри системы.
377. Для контура, имеющего форму окружности радиуса а, найти поправку к индуктивности и сопротивление излучения /?,(со) в первом неисчезающем приближении (см. предыдущую задачу). Показать, что Rr(a) представляет собой коэффициент пропорциональности между средней величиной энергии, излучаемой в единицу времени, и среднеквадратичным значением силы тока в контуре.
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект
Если проводник находится во внешнем магнитном поле, удовлетворяющем условию квазистационарности (VII. 1), то вблизи проводника поле удовлетворяет в каждый момент времени уравнениям магнитостатики
div В = 0, rot Н = О	(VII. 9)
и уравнению
rotE = -l^-.	(VII. 10)
94
Внутри проводника при достаточно большой проводимости <т ,(о/а	е', где е'— вещественная часть диэлектрической прони-
цаемости) поле описывается уравнениями (VII. 10) и
div В = 0, rotH = -^oE.	(VII. 11)
Из (VII. 10) и (VII. 11) можно получить уравнения 2-го порядка для векторов Е и Н, имеющие в случае однородной среды вид ли 4лрст <?Н лс 4л|лп ЭЕ	zun io\
ДН = -^--^-, ДЕ = —-2------(VII. 12)
На границах раздела двух проводников или проводника и диэлектрика векторы поля должны удовлетворять условиям
-в1п = в2п, Я1т = Я2т, Blt = B2t. (VII. 13)
Величина 6 = с/У2лцстю (толщина скин-слоя) характеризует глубину проникновения поля в проводник (со — частота поля). При сильном скин-эффекте в некотором приближении можно считать, что поле проникает в проводник на нулевую глубину; тогда внутри проводника Н = 0, а вне проводника, у его поверхности, поле связано с плотностью поверхностного тока i соотношением
H=yiXn.	-(VII. 14)
Вследствие возникновения вихревых токов проводник, помещенный в магнитное поле, приобретает магнитный момент, даже если |х = 1. Для характеристики магнитного момента удобно ввести тензор магнитной поляризуемости тела по формуле т^Н^,	(VII. 15)
где m — магнитный момент тела, Но — периодическое внешнее магнитное поле. Тензор симметричен (₽,& = ₽л,), а его компоненты в общем случае комплексны и зависят от частоты. *
Среднее (по времени) тепловыделение внутри проводника может быть подсчитано по одной из следующих формул:
Q - J (РЁ) dV = J оЁ2dV	(VII. 16)
или
Q =	(EVH).d8.	(VII. 17)
В первой из этих формул интеграл берется по объему проводника, во второй — по его поверхности. Q выражается также через мнимую часть тензора магнитной поляризуемости тела (₽« = ₽« + »
Q = 72® Re (HolHok).	(VII. 18)
Последняя формула справедлива только при гармонической зависимости поля от времени.
95
378. Широкая плита с проводимостью о и магнитной проницаемостью р, ограниченная плоскостями х = ±h, обмотана проводом, по которому протекает ток	Провод тонкий, число
витков на единицу длины п, витки намотаны параллельно друг другу. Пренебрегая краевым эффектом, определить вещественную амплитуду .магнитного поля внутри плиты. Исследовать предельные случаи слабого (б >> h) и сильного (б <С й) скин-эффекта.
379*. Металлический цилиндр бесконечной длины с проводимостью о и магнитной проницаемостью р расположен так, что его ось совпадает с осью бесконечного соленоида кругового сечения, по которому течет переменный ток = c7oe~iwt. Найти напряженность магнитного и электрического поля во всем пространстве, а также распределение плотности тока j в цилиндре; радиус цилиндра а, радиус соленоида Ь, число витков на единицу длины п.
380.	Проводящий цилиндр находится в однородном переменном магнитном поле H=Hoe~iu>t, параллельном его оси. Используя результаты предыдущей задачи, исследовать распределение плотности тока / внутри цилиндра в предельных случаях малых и больших частот.
381.	Подсчитать количество тепла Q, выделяющегося за единицу времени на единице длины цилиндра, рассмотренного в задаче 379. Исследовать предельные случаи малых и больших частот.
382.	Найти магнитную поляризуемость 0 (на единицу длины) цилиндра, находящегося в переменном магнитном поле, параллельном его оси. Частота поля со, радиус цилиндра а, проводимость о, магнитная проницаемость р = 1. Рассмотреть предельные случаи больших и малых частот.
383.	Металлический цилиндр находится во внешнем однородном магнитном поле Н = Ное“1Ы(, перпендикулярном его оси. Радиус цилиндра а, проводимость о, магнитная проницаемость р=1. Найти результирующее поле и плотность тока j в цилиндре.
Указание. Выразить Е и Н через векторный потенциал А и проинтегрировать дифференциальное уравнение для А.
384.	Найти диссипацию энергии на единицу длины бесконечного проводящего кругового цилиндра, помещенного в поперечное относительно оси цилиндра магнитное поле, меняющееся с частотой со.
385*. Бесконечный круговой цилиндр радиуса а с проводимостью о находится в поперечном относительно его оси магнитном поле, поляризованном по кругу:
Но(/) = (Но1 + г'Н02)е-’“‘, где Hoi и Ног — взаимно перпендикулярные векторы с одинако-96
выми длинами: Нт = Но2 — Но. (Вектор Но(/) описывает окружность постоянного радиуса Но в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра.) Найти средний вращательный момент N, приложенный к единице длины цилиндра (у = 1).
386.	Бесконечный цилиндр, находящийся в постоянном и однородном поперечном магнитном поле Но, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью to. Найти тормозящий момент N, приложенный к единице длины цилиндра.
387*. Бесконечный металлический цилиндр радиуса а с проводимостью о и магнитной проницаемостью у. находится в постоянном и однородном, продольном относительно его оси. магнитном поле Но. В некоторый момент времени внешнее поле выключается и поддерживается затем равным нулю. Найти ход затухания со временем магнитного поля в цилиндре.
388. Металлический шар радиуса а с проводимостью о и магнитной проницаемостью у, помещен в однородное переменное магнитное поле H0(t) —Нсе~™>1. Считая частоту малой, найти в первом неисчезающем приближении распределение вихревых токов в шаре и среднюю поглощаемую им мощность Q.
389. Металлический шар помещен в однородное магнитное поле, меняющееся с частотой ы. Найти результирующее поле Н и среднюю поглощаемую шаром мощность Q при больших частотах. Радиус шара а, магнитная проницаемость у, проводимость о.
Указание. При определении поля вне шара считать, что внутри шара поле равно нулю (т. е. пренебречь глубиной проникновения б по сравнению с радиусом шара а). При определении поля внутри шара считать его поверхность плоской.
390*. Проводящий эллипсоид находится в однородном переменном магнитном поле. Определить магнитную поляризуемость эллипсоида при сильном скин-эффекте (т. е. считая, что глубина проникновения поля в проводник равна нулю). Рассмотреть предельные случаи тонкого круглого диска и длинного тонкого стержня.
391*. Шар радиуса а с проводимостью о находится в однородном магнитном поле Н(/) =	Найти результирующее
магнитное поле и распределение вихревых токов в шаре для общего случая произвольных частот. Убедиться, что в предельных случаях слабого и сильного скин-эффекта получаются результаты, найденные в задачах 388 и 389 (считать для простоты ц= 1).
392.	Найти среднюю мощность Q, поглощаемую проводящим шаром в однородном переменном магнитном поле при произвольных частотах.
393.	Найти активное сопротивление R тонкого цилиндрического проводника при скин-эффекте. Длина проводника /.
7 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин	97
радиус а, проводимость о, магнитная проницаемость р=1. Исследовать предельные случаи малых и больших частот.
394.	На поверхность цилиндрического проводника, у которого радиус а, удельная проводимость оь нанесен слой другого металла. Толщина слоя h, его проводимость о2, причем h а. Найти активное сопротивление R такого проводника переменному току, считая толщину скин-слоя малой по сравнению с а (р = 1).
395.	Бесконечный полый цилиндр, у которого внутренний радиус а, толщина стенки h (h <gc а), находится в однородном продольном магнитном поле H0(t) = Hoe~iat. Найти амплитуду Н' магнитного поля в полости. Исследовать ее зависимость от со.
Указание. В силу условия h а при определении поля в толще оболочки можно считать ее плоской.
396.	Переменный ток 3 (t) = 30e~i(iA течет по полому цилиндрическому проводнику, у которого средний радиус а, проводимость о, магнитная проницаемость р, толщина h а. Найти распределение плотности тока / по сечению и активное сопротивление R на единицу длины. Указать условие, при выполнении которого сопротивление полого проводника будет мало отличаться от сопротивления сплошного проводника такого же радиуса.
Указание. Пренебречь кривизной поверхности проводника.
397*. Внутри металлической трубы на расстоянии I от ее осевой линии течет прямолинейный ток 3. Радиус трубы а, толщина стенки h<^a, проводимость стенки о (ц=1). Как ток 3, так и расстояние I зависят от времени по произвольному закону, но так, что во все моменты времени / •< а. Считая выполненными условия квазистационарности, определить силу f на единицу длины, действующую на ток 3 со стороны вихревых токов, индуцируемых в цилиндрической оболочке, при слабом скин-эффекте (/i	6).
398*. Решить предыдущую задачу для случая сильного скин-эффекта (й^>6).
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшнц Е. М. [66], Тамм И. Е. [101], Френкель Я. И. [112], Власов А. А. [25], Смайт В. [93], Стрэттон Дж. А. [100], Вайнштейн Л. А. [23], Бриллюэн Л., Пароди М. [19], Конторовнч М. И. [61].
ГЛАВА VIII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 1. Плоские волны в однородной изотропной среде. Отражение и преломление волн. Волновые пакеты
В диэлектрической среде при отсутствии зарядов и токов векторы электромагнитного поля удовлетворяют уравнениям:
. с 1 йв rot Е =---------чт-
с dt
, ..	1 5D
rot Н =------47- ,
с dt ’
div D — О, div В == 0.
(VIII. 1)
(VIII. 2)
(VIII. 3)
(VIII. 4)
В недиспергирующей среде векторы поля связаны соотношениями:
D = eE, В = рН,	(VIII. 5)
где е и р — электрическая и магнитная проницаемости. Если потери электромагнитной энергии пренебрежимо малы, то е и ц — вещественные величины. В случае однородной среды из (VIII. 1) — (VIII. 5) можно получить уравнение второго порядка для Е и Н:
._	1 <Э2Е п	.„	1	<Э2н п	М711Т -
ДЕ----9---^- = 0,	АН---9—5~ = °>	(VIII. 6)
dt2	V2 dt2
где г>ф=с/]/ер.— фазовая скорость распространения электромагнитных волн.
В общем случае соотношения (VIII. 5) справедливы только для монохроматических компонент полей, причем проницаемости е и ц зависят от частоты (дисперсия) и являются комплексными величинами. Мнимые части е и ц определяют диссипацию электромагнитной энергии в среде.
В проводящей среде, при достаточно медленном изменении поля, когда между током и электрическим полем справедлива связь вида j = оЕ со статическим значением проводимости о,
7*
99
уравнение (VIII 2) заменяется следующим:
rotH= —оЕ + -~;	(VIII. 7)
с с dt	'	'
оно снова примет вид (VIII. 2), если ввести комплексную диэлектрическую проницаемость, имеющую при малых частотах вид
e(<o) = e' + i^-,	(VIII. 8)
где е' и о — статические значения диэлектрической проницаемости и проводимости. При высоких частотах диэлектрическая проницаемость проводящей среды — комплексная величина, зависящая от частоты
У хороших проводников (металлов) второй член в (VIII. 8) очень велик, поэтому при малых частотах
е(о) = 1~-.	(VIII. 9)
Если частота поля такова, что глубина проникновения поля в металл много меньше радиуса кривизны поверхности металла и длины волны в окружающем металл пространстве, то при любом характере поля вне проводника можно считать, что тангенциальные компоненты векторов Е и Н вблизи поверхности проводника связаны соотношением
Et = C(HtXn).	(VIII. 10)
Здесь и — орт нормали к поверхности, направленный в глубь проводника, £ — поверхностный импеданс металла — величина, зависящая от частоты поля и определяемая свойствами металла:
£=]/Ч-	(viii. п)
Равенство (VIII. 10) справедливо только при |£|	1; его
эйожно использовать в качестве граничного условия при определении поля вне проводника (приближенное граничное условие Леонтовича).
Если среда неоднородна, а ц = 1, то гармонически меняющееся во времени электрическое поле будет удовлетворять уравнению
AE + -^E-grad divE = 0;	(VIII. 12)
Н определяется через Е из уравнения Максвелла (VIII. 1).
Плоская монохроматическая волна, распространяющаяся
. /. 2л ,	.
в направлении волнового вектора к(« = -у, л — длина волны),
100
описывается функцией
Е = Ео exp [/(к • г — со/)].	(VIII. 13)
Амплитуда волны Ео = &' + i&" является в общем случае комплексным вектором, причем Е0±к (поперечность волны). В зависимости от величины и направления вещественных векторов 8' и 8" волна может иметь линейную, круговую или эллиптическую поляризацию.
Плоские монохроматические волны, обладающие определенной частотой и определенной поляризацией, представляют собой математическую идеализацию. Те волны, которые мы называем монохроматическими, в действительности всегда являются ква-зимонохроматическими. Их можно рассматривать как суперпозиции монохроматических волн с частотами в некотором промежутке Д го. В данной точке пространства такая волна описывается функцией Eo(/)e-im<, где го— некоторая средняя частота в промежутке Дю, а Ео(/)—функция, меняющаяся значительно медленнее, чем e-iat. Кроме этого, часто (а в оптическом диапазоне — как правило) приходится иметь дело с одновременным наблюдением излучения от многих независимых источников, разности фаз у которых меняются беспорядочным образом. Эти волны будут немонохроматическими и только частично поляризованными.
Можно единым образом рассматривать состояние поляризации как монохроматических (и полностью поляризованных), так и немонохроматических (частично поляризованных) волн. Поляризацию и интенсивность этих волн можно характеризовать тензором 
hk = EoiEok,	(VIII. 14)
где усреднение производится по времени наблюдения и по ансамблю независимых источников, a i, k = 1,2 характеризуют два основных направления в плоскости ху (здесь k || z). Тензор поляризации эрмитов: lik = Ikt- Он может быть представлен в виде
Iik =	+ 72е(2)еГ ’	(VI11. 15)
где 71, /2— положительные величины, е<’) и е(2>— взаимно ортогональные комплексные векторы, нормированные условием е(’>е<й)* = = бгй и характеризующие два основных состояния поляризации частично поляризованной волны. Из (VIII. 15) видно, что такую волну можно рассматривать как некогерентную*) суперпозицию двух основных эллиптически поляризованных волн. Форма и ориентация эллипсов поляризации этих волн описываются векторами е<’> и е<2>. Эллипсы поляризации подобны, а их соответ*
*) Некогерентными называются колебания, разность фаз которых меняется беспорядочным образом.
101
ствующие оси взаимно перпендикулярны. Величины Ц и /2 представляют собой интенсивности основных волн. Полная интенсивность волны / = Е0Е* = /t + /2 = Sp (Ль) • Величины /г и е<г> могут быть определены из системы уравнений
Л^ = /ег.	(VIII. 16)
Отношение
Р = 4£ТГ=1“Р	(VIII. 17)
П +12
п
%

Рис. 24.
3

(£г, Н2) ВОЛНЫ ПО.
называется степенью поляризации частично поляризованной волны, а р = I2/Ii — степенью ее деполяризации. Для полностью поляризованной волны Р = 1 (р = 0), для неполяризован-ной волны Р = 0 (р = 1), It = /2 = 7/2> и тензор поляризации принимает вид lik-Wik-
При падении плоской волны на пло-
_______ скую границу раздела двух сред углы 0О, 61, 62, указывающие направления распространения соответственно падающей,, отраженной и преломленной волн (рис. 24), связаны соотношениями:
е> = е°’ >ПГ=Т-’	= (VIII. 18)
Sin Uo
где щ,2 — показатели преломления первой и второй сред (полагаем Ц1 = |12 = 1).
Амплитуды отраженной (Е\, Hi) и преломленной волн выражаются через амплитуды Ео, Но падающей формулам Френеля:
а) если Ео нормальна к плоскости падения, то
„ sin (02 - 0О) р р _ 2 cos 0О sin 02 р . h * 1 ~ Sin (02 + ©о) °’	2 Sin (02 + 0О)	°’
б) если Но нормальна к плоскости падения, то тг ___ 1g (©О	©г) т_т рт _ _____sin 2©о____ тт
1 ~ tg (6р + 62) П°’	2 sin (0О + 02) COS (©о - 02)	°’
(VIII. 19)
(VIII. 20)
Угол 02 выражается через диэлектрические проницаемости сред по формулам (VIII. 18). Формулы (VIII. 18) — (VIII. 20) сохраняют свой вид и при комплексном е2, при этом угол 02 также станет комплексным и не будет иметь простого геометрического смысла. Случай комплексного угла 02 рассматривается в задаче 420.
Коэффициентом отражения R называется отношение среднего (по времени) потока энергии отраженной волны к среднему падающему на поверхность потоку энергии.
102
Суперпозиция плоских монохроматических волн с разными волновыми векторами и частотами носит название группы волн или волнового пакета:
Т(г, /)= J ф(к)ехр [i(k • г — mt)\dkxdkydkz, (VIII. 21)
где Т(г, t) — любая декартова компонента вектора Е или Н. Функцию -ф(к), характеризующую долю каждой отдельной плоской волны в общей суперпозиции, будем называть амплитудной функцией. Максимум амплитуды волнового пакета перемещается в пространстве с групповой скоростью v^du/dk.
399.	Две плоские монохроматические линейно поляризованные волны одной частоты распространяются вдоль оси z. Первая волна поляризована по х и имеет амплитуду а, вторая поляризована по у, имеет амплитуду Ъ и опережает первую по фазе на х-Найти поляризацию результирующей волны.
400.	Рассмотреть в предыдущей задаче зависимость поляризации от сдвига фаз х для случая а — Ь.
401.	Две монохроматические волны одной частоты поляризованы по кругу с противоположными направлениями вращения, имеют одинаковые фазы и распространяются в одном направлении. Амплитуды этих волн а (у правополяризованной волны) и b (у левополяризованной волны). Найти зависимость характера поляризации от а/b (а и b можно выбрать вещественными).
402.	Выразить степень поляризации Р плоской волны через составляющие /г£г тензора поляризации. Какому условию должны удовлетворять компоненты Iih, чтобы волна была полностью поляризованной?
Указание. Воспользоваться формулой (VIII. 15) и орто-нормированностью базисных векторов поляризации.'
403.	Убедиться в том, что частично поляризованная электромагнитная волна всегда может рассматриваться как совокупность неполяризованной и полностью поляризованной волны. Для этого доказать, что тензор поляризации (VIII. 15) может быть в общем случае записан в форме
Лй = 72/(1-Р)б£й + 72Р/Г,
где тензор /?*л имеет нулевой определитель, и, следовательно, описывает полностью поляризованную волну. Первый член в этом разложении описывает неполяризованную волну, причем J = Л + /2 — полная интенсивность, Р — степень поляризации.
404.	Плоская монохроматическая волна с интенсивностью / распространяется вдоль оси z и поляризована по эллипсу с полуосями а, Ь. Большая полуось а составляет угол О с осью х. Составить тензор поляризации и рассмотреть возможные частные случаи.
103
405.	Электромагнитная волна является суперпозицией двух некогерентных «почти монохроматических» волн равной интенсивности 1 с приблизительно одинаковыми частотами и волновыми векторами. Обе волны поляризованы линейно, направления поляризации задаются в плоскости, перпендикулярной их волновому вектору, ортами е<й(1,0) и e<2’(cosO, sin#). Построить тензор поляризации Iik результирующей частично поляризованной волны и определить степень ее поляризации. Выяснить характер поляризации этой волны (см. задачу 404).
406.	Решить предыдущую задачу для случая, когда интенсивности волн различны (Л Лг), а направления поляризаций составляют угол л/4.
407.	Тензор поляризации электромагнитной волны, который является эрмитовым, может быть представлен в виде
= J_ rl1 +£э
2 \St +

где / — полная интенсивность волны, Jji — вещественные параметры, удовлетворяющие условию g2 = gi +	1 (параметры
Стокса), — матрицы:
-U) _ ( 0 1	а(2) _ ( 0 — Q л(3) _ / 1	°
\ 1 0/’ U 0/’ \о -!/•
Выяснить физический смысл параметров Для этого выразить степень деполяризации р волны через и определить поляризации двух основных волн, на которые распадается частично поляризованная волна, в следующих трех случаях:
a) =# 0, h =	= 0; б) & =# 0, Ь = £з = 0; в) g3 ± 0,
si = Ь = 0.
408.	Пусть в плоской неоднородной *) волне вектор электрического поля Е поляризован линейно. Определить взаимное расположение векторов Ео, '№2, k', к" (3€i» ЗЕг—* вещественная и мнимая части комплексной амплитуды Но; kz и к" — вещественная и мнимая части волнового вектора к). Какую кривую описывает конец вектора Н в фиксированной точке пространства?
Решить ту же задачу для случая, когда вектор Н поляризован линейно.
409.	Поляризованная по кругу плоская монохроматическая волна падает наклонно на плоскую границу диэлектрика. Определить характер поляризации отраженной и преломленной волн.
*) Неоднородной называется волна, у которой вещественная к' и мнимая к" составляющие комплексного волнового вектора к имеют различные направления.
104
410*. Пучок почти монохроматического неполяризованного света падает на плоскую границу диэлектрика. Найти тензоры поляризации /Я’, и коэффициенты деполяризации рь р2 отраженного и преломленного света.
411.	Неполяризованный почти монохроматический пучок света падает на плоскую границу раздела диэлектриков. Определить коэффициент отражения R и коэффициенты деполяризации pi,2 отраженного и преломленного света, если угол падения равен углу Брюстера.
412.	Вывести формулы Френеля для случая, когда электромагнитная волна падает из вакуума на плоскую границу проводящей среды с малым поверхностным импедансом £.
413.	Найти коэффициент отражения R от металлической поверхности с малым поверхностным импедансом £ = £' + К,". При каких углах падения 0О коэффициент отражения минимален?
414.	Линейно поляризованная волна падает на плоскую границу проводящей среды с малым поверхностным импедансом £. Определить характер поляризации отраженной волны, если угол скольжения падающей волны равен углу Фо, определенному в предыдущей задаче.
415.	Линейно поляризованная плоская волна падает под углом 6о на поверхность металла. Направление ее поляризации составляет с плоскостью падения угол л/4. Экспериментально определены отношение поперечной и продольной (относительно плоскости падения) компонент отраженной волныЕщ/Ej_i = tgp и сдвиг фаз между ними 6:
= tg pe‘e.
Выразить через р, б и 0о вещественную часть показателя преломления п' и коэффициент поглощения п" (n'+in" = 1/£, £— поверхностный импеданс), считая |п'2— n"2| >> sin2 Во-
416.	Найти коэффициент отражения R от плоской границы проводника при нормальном падении в предельном случае малых значений проводимости (см. формулу (VIII. 8)).
417*. Показать, что после полного отражения от границы диэлектрика линейно поляризованная волна приобретает в общем случае эллиптическую поляризацию. При каких условиях поляризация будет круговой?
418. Исследовать движение энергии при полном внутреннем отражении. Найти поток энергии вдоль поверхности раздела и в перпендикулярном направлении в среде, от которой происходит отражение. Определить векторные линии вектора Пойнтинга у.
419. Плоская монохроматическая волна падает на плоскую границу раздела двух диэлектриков с проницаемостями ei и е2. Какой характер примет поле по обе стороны от границы в случае скользящего падения (угол падения 0О—»л/2)?
105
420*. Электромагнитная волна падает наклонно из диэлектрика на плоскую границу проводящей среды. Найти направления распространения, затухания и фазовую скорость волны в проводящей среде.
421*. Диэлектрический слой с проницаемостью ег, ограниченный плоскостями z = 0 и z = а, разделяет диэлектрические среды с проницаемостями et и ез (щ = |л2 = |лз = !)• На этот слой нормально к его поверхности падает из области z < 0 электромагнитная волна. При какой толщине слоя отражение будет минимальным? При каком соотношении между еь ег, ез отражения не будет?
422*. Плоская волна падает нормально из вакуума на границу диэлектрика. Исследовать влияние размытости границы на коэффициент отражения. Для этого аппроксимировать ход диэлектрической проницаемости функцией
е (z) = е---—-----, е = 1 + А е,
exp — + 1 г а
где е и А е — постоянные. Исследовать частные случаи больших и малых а.
Указание. В дифференциальном уравнении для £(z) (см. (VIII. 12)) сделать замену независимой переменной g = — exp f—-yj и подстановку £(g) =g_Yftaip(g), где ф(|) будет удовлетворять гипергеометрическому уравнению (см. справочник [91], формулу (9.151)).
423*. При отсутствии поглощения диэлектрическая проницаемость плазмы имеет вид (см. задачу 312)
Рассмотреть распространение электромагнитной волны в плазме, концентрация которой! меняется линейно: N(z) = Noz. Плоская монохроматическая волна падает на неоднородный слой плазмы нормально. (Такой случай может иметь место при распространении радиоволн в ионосфере).
Указание. Уравнение для £(z) решать путем разложения искомой функции в интеграл Фурье.
424.	Построить одномерный волновой пакет W для момента времени t = 0, взяв в качестве амплитудной функции кривую Г аусса a (k) = а0 ехр [— ( k	], где а0, k0, &k — постоянные.
Найти связь между шириной пакета Ахи интервалом волновых чисел А/г, вносящих основной вклад в суперпозицию.
425.	Волновой пакет W образован суперпозицией плоских волн с разными частотами. Амплитудная функция имеет вид кривой Гаусса о: (<о) = Со ехр [—( -° . “°) ], где а0, ш0, Дш — по
106
стоянные. Найти зависимость амплитуды пакета от времени в точке х = 0. Получить связь между длительностью волнового импульса Л t и интервалом частот Д ы.
426.	Некоторый объект, освещаемый светом с длиной волны Z, рассматривается в микроскоп. Найти минимальный возможный размер объекта ДХщш. допускаемый условием Д х • Д k 1.
427.	Положение некоторого объекта определяется с помощью радиолокации. С какой предельной точностью можно провести это измерение, если расстояние до объекта I, длина волны /.?
428.	Исследовать форму и движение волнового пакета, полученного наложением плоских волн с одинаковыми амплитудами Со и с волновыми векторами, лежащими в области |к0—к|<С<7 (к0, q — постоянные). Действительный закон дисперсии ы(к) заменить приближенным соотношением со (к) = ы (к0) +' +L • <к -
429*. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета в диспергирующей среде. Для этого выбрать амплитудную функцию в виде кривой Гаусса a(k) =соехр[—a(k— />0)2] и учесть квадратичный член в разложении частоты со по k.
430. Найти фазовую и групповую vg скорости распространения в среде, диэлектрическая проницаемость которой (ср. VI. 12)
О)2
в (со) = 1 +-v-^v
(Oq — со
Ограничиться рассмотрением только случаев больших и малых (по сравнению с о0) частот со(р = lj.
431. Определить скорость переноса энергии одномерным волновым пакетом, движущимся в диспергирующей среде. Показать, что эта скорость совпадает с групповой скоростью vg.
Указание. Скорость переноса энергии v определяется соотношением у= vw, где
ЕЕ' + н
16л L do	do J
— усредненная плотность энергии в диспергирующей среде (см. [66]), у—средняя плотность потока энергии.
§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах
Оптически анизотропными называются такие среды, у которых электрические и магнитные свойства различны по разным направлениям. Электрическая и магнитная проницаемости таких сред являются тензорами. Оптическая анизотропия может быть
107
следствием кристаллической структуры тела, а также вызываться внешним электрическим полем (см. задачи 313, 314) или внешними механическими воздействиями. При отсутствии внешнего магнитного поля тензоры ег-л(<о) и *) симметричны:
= Hife P'ki'	(VIII. 22)
В анизотропной среде в данном направлении могут распространяться с разными фазовыми скоростями две плоские монохроматические волны одной частоты, поляризованные линейно в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Направления, вдоль которых обе волны имеют одинаковые скорости распространения, называются оптическими осями. Направление распространения волны, которое определяется нормалью к волновой поверхности, в общем случае не совпадает с направлением луча (т. е. с направлением вектора Пойнтинга).
Кристаллы, у которых два главных значения тензора диэлектрической проницаемости совпадают (е(|) = е<2) = е±, е(3) = е«), являются одноосными. Их оптическая ось совпадает с осью л’з = z. Волновые векторы двух волн, распространяющихся под углом 6 к оптической оси, имеют в этом случае величины:
k*=^V г sin^+e cos^e • (VIIL23> С	V	t । bill v	U
Первая из этих волн называется обыкновенной, в ней векторы индукции D и напряженности электрического поля Е направлены одинаково и оба перпендикулярны волновому вектору к! и плоскости, проходящей через волновой вектор и оптическую ось (плоскость главного сечения). Вторая волна называется необыкновенной. Вектор D этой волны лежит в плоскости главного сечения и перпендикулярен ее волновому вектору к2. Вектор Е также лежит в плоскости главного сечения и не совпадает по направлению с D.
При наличии внешнего постоянного магнитного поля тензоры е,л и перестают быть симметричными; но в непоглощающих средах, которые только и будут рассматриваться в этом параграфе, они являются эрмитовыми:
(VIII. 24)
В этом случае связь между напряженностями полей и индукциями можно записать в виде (ср. с задачей 316)
D = e'E-H(EXgc), В = Д'Н-Н(Н XgJ, (VIII. 25)
*) Мы не рассматриваем эффектов, связанных с пространственной неоднородностью поля, которые приводят к зависимости ель и от волнового вектора к (см. [66], а также задачу 446).
108
где ge и gm — векторы гирации (электрический и магнитный), ё'Е — вектор с компонентами s'kiEk. Среды, в которых векторы поля связаны уравнениями (VIII.25), называются гиротропными.
В гиротропной среде в заданном направлении могут распространяться с разными фазовыми скоростями две плоские волны одной частоты. Эти волны поляризованы эллиптически с противоположными направлениями вращения, эллипсы поляризации имеют одинаковое отношение осей и повернуты друг относительно друга на л/2.
Граничные условия на поверхности анизотропного или гиро-тропного тела имеют такой же вид, как и на границе раздела изотропных сред (см. (III. 9) и (V. 6)).
432.	Необыкновенная волна распространяется в одноосном кристалле под углом 0 к оптической оси. Определить угол а между волновым вектором к и вектором Е, а также угол О между направлением луча (вектором Пойнтинга) и оптической осью кристалла.
433.	Плоская волна падает из вакуума на плоскую поверхность одноосного кристалла. Оптическая ось кристалла нормальна к его поверхности. Найти направления обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если угол падения 0О.
434.	Решить предыдущую задачу для случая, когда оптическая ось кристалла параллельна его поверхности и составляет угол а с плоскостью падения.
435.	Плоская монохроматическая волна распространяется в безграничной ферритовой намагниченной до насыщения среде под углом 0 к постоянному магнитному полю. Магнитная проницаемость феррита — тензор *)
(см. задачу 331; ось z направлена вдоль постоянного магнитного поля). Диэлектрическую проницаемость феррита е можно считать скаляром**). Найти фазовые скорости распространения щ12-
436.	Плоская монохроматическая волна распространяется в диэлектрике ср= 1, находящемся в постоянном и однородном
*) Такой же вид имеет тензор диэлектрической проницаемости газообразного диэлектрика, находящегося во внешнем однородном магнитном поле (см. задачу 318).
**) Это объясняется тем, что влияние постоянного магнитного поля на магнитные свойства феррита значительно сильнее, чем на электрические.
109
магнитном поле. Тензор диэлектрической проницаемости (см. задачу 318) имеет вид
Найти фазовые скорости распространения.
437.	Исследовать поляризации волн, которые могут распространяться в безграничной ферритовой намагниченной до насыщения среде. Рассмотреть два частных случая распространения:
а)	вдоль постоянного магнитного поля;
б)	перпендикулярно постоянному магнитному полю.
438.	Диэлектрик находится во внешнем магнитном поле. Плоская монохроматическая волна распространяется в направлении магнитного поля (ось г) и имеет в точке z = 0 линейную поляризацию. Определить поляризацию волны в точке z =£ 0.
Указание. Использовать тензор диэлектрической проницаемости, полученный в задаче 318.
439.	Плоская поляризованная по кругу волна падает из вакуума нормально на плоскую границу феррита. Феррит намагничен в направлении падения волны. Определить характер поляризации и амплитуды отраженной и прошедшей волн.
Указание. Использовать граничные условия для векторов Е и Н.
440.	Решить предыдущую задачу для случая, когда падающая волна поляризована линейно.
441*. Искусственный диэлектрик состоит из тонких идеально проводящих круглых дисков, ориентированных одинаковым образом и находящихся в вакууме. Перпендикулярно плоскостям дисков приложено постоянное магнитное поле Но и в том же направлении распространяется плоская электромагнитная волна. Определить фазовые скорости распространения, рассматривая диэлектрик как сплошную среду.
Указание. Учесть эффект Холла, который возникнет из-за наличия внешнего магнитного поля.
442.	Плоская волна падает нормально на плоскую решетку, образованную тонкими параллельными бесконечно длинными проводниками. Расстояния между проводниками и их толщина много меньше длины волны. Какое влияние окажет решетка на распространение волн с различными поляризациями?
443.	Рассмотреть возможность распространения продольных колебаний в среде с диэлектрической проницаемостью е(а). При таких колебаниях вектор электрического поля Е параллелен волновому вектору. Указать условие, при которых затухание этих колебаний является малым. На какой частоте возможны про
ПО
дольные колебания в плазме (ее диэлектрическая проницаемость вычислена в задаче 312)?
444.	Область х < 0 занята плазмой с диэлектрической проницаемостью е(®)= 1 — ®2/со2 (см. задачу 312), при х>0 — вакуум. Показать, что вдоль границы плазма — вакуум может распространяться поверхностная волна, напряженности поля в которой затухают экспоненциально при удалении от границы. Найти частоту, при которой возможна такая волна, и ее поляризацию. Ограничиться рассмотрением медленной волны — = <о//г < с).
445.	Ионизованный газ находится в постоянном магнитном поле. Вдоль направления поля распространяется поперечная плоская волна. Найти фазовые скорости распространения. Рассмотреть, в частности, случай малых частот (®—>0) и исследовать характер электромагнитных волн с учетом движения положительных ионов.
Указание. Использовать выражение для тензора диэлектрической проницаемости ионизованного газа в постоянном магнитном поле, полученное в задаче 321.
446.	Определить тензор магнитной проницаемости ца(о), к) ферродиэлектрика, не пренебрегая членом </V2M в выражении (VI. 16) эффективного магнитного поля. Для этого рассмотреть движение вектора намагниченности под действием плоской монохроматической волны. Ферродиэлектрик намагничен до насыщения постоянным магнитным полем Но.
Указание. Ограничиться случаем малых амплитуд, линеаризовать уравнение движения вектора намагниченности.
447.	Найти с учетом члена <?V2M в выражении (VI. 16) для НЭфф дисперсионное уравнение электромагнитных волн, распространяющихся в изотропной, намагниченной до насыщения фер-родиэлектрической среде. Показать, что в такой среде могут распространяться три типа волн с разными законами дисперсии о (к). Определить явный вид зависимости ®(к) для того типа волн, у которого может выполняться условие <о2е/(с#)2 <^. 1. Оценить относительную величину электрического и магнитного полей для этой ветви колебаний.
448.	Определить поверхностный импеданс £ ферромагнитного проводника, находящегося в постоянном магнитном поле, параллельном его поверхности. Тензор магнитной проницаемости приведен в условии задачи 435, а компоненты тензора электропроводности равны 011 = 022 = 01, Озз = Оз, 012 = —021=—*02, 013 = Оз1 = 023 = 032 = 0.
Указание. Поверхностный импеданс в данном случае — тензор II ранга и должен быть определен из условия (ср. (VIII. 10))
Sift (Нт X п)й»
111
где i, k = 1, 2, Ет и Нт —касательные составляющие векторов поля вблизи поверхности проводника, п — орт нормали к поверхности.
449.	Решить предыдущую задачу для случая, когда постоянное магнитное поле нормально к поверхности ферромагнитного проводника.
§ 3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах. Дифракция
Точное решение задачи о дифракции электромагнитной волны на проводящем или диэлектрическом теле сводится к интегрированию уравнений Максвелла при соответствующих граничных условиях. Оно возможно в немногих случаях (см., например, задачи 450, 457). В ряде случаев может быть найдено приближенное решение.
Если линейные размеры тела малы по сравнению с длиной волны, то электромагнитное поле вблизи тела можно считать однородным. Тело, находящееся в однородном периодическом поле, приобретет электрический и магнитный моменты, которые будут зависеть от времени по тому же закону, что и внешнее поле.
Рассеянная волна возникает в результате излучения этими переменными моментами. Задача о рассеянии электромагнитных волн на теле малых размеров сводится к определению дипольных моментов, которые приобретает тело. Поля излучения выражаются через дипольные моменты по формулам (XII. 17) и (XII. 20).
Эффективным дифференциальным сечением рассеяния в телесный угол dQ называется отношение
dvs =	(VIII. 26)
To
Здесь di = ydS = yr2d& — средняя (по времени) интенсивность излучения в телесный угол dQ; у и у0 — средние плотности потока энергии в рассеянной и падающей волнах. Плотность потока энергии описывается вектором Пойнтинга
V=~(EXH).	(VIII. 27)
Эффективным сечением поглощения называется отношение средней энергии, поглощаемой телом в единицу времени, к средней плотности потока энергии в падающей волне
ae = £.	(VIII. 28)
То
В противоположном предельном случае, когда длина волны много меньше размеров тела, применимы методы геометриче-112
ской оптики. При дифракции электромагнитной волны на отверстии в бесконечном непрозрачном экране амплитуда дифрагированного поля в приближении геометрической оптики описывается формулой
UP= -^T^eikRdSn>	(VIII. 29)
которая может быть выведена на основе принципа Гюйгенса. Здесь Up — поле в точке Р за экраном (рис. 25), и — поле на участке dS поверхности отверстия (это поле предполагается таким же, как при отсутствии экрана, т. е. неискаженным), dSn— проекция элемента dS поверхности отверстия на направление луча, при-	;	р
шедшего из источника света О в	—'—’
dS, Р — расстояние от dS до точки	I
Р, k — абсолютная величина волно-
вого вектора световой волны.
Источник света О и точка на-
блюдения Р могут находиться как	Рис. 25.
на конечных, так и на бесконечно
больших расстояниях от экрана. Случай, когда точки О и Р. или хотя бы одна из них, находятся на конечном расстоянии от экрана, носит название дифракции Френеля.
Если обе точки О и Р находятся на очень больших расстояниях от экрана, то лучи света, идущие от источника к отверстию и от отверстия в точку наблюдения, можно считать параллельными. В этом случае, который носит название дифракции Фраунгофера, формула (VIII. 29) может быть преобразована:
иР = ~РЛлУ '01~ 1 ехР (к - Ю • г] dSn.	(VI11. 30)
Здесь к и к' — волновые векторы падающего и дифрагированного света, Ро— расстояние от отверстия до точки наблюдения, ио — амплитуда поля на отверстии.
Интенсивность дифрагированного света пропорциональна квадрату модуля | иР |2.
В случае дополнительных*) экранов имеет место принцип Бабине [55]: пусть uY и н2 — волновые поля в некоторой точке, соответствующие двум дополнительным экранам, и — неискаженное волновое поле в той же точке при отсутствии экранов, тогда
Ц] + и2 = и.	(VIII. 31)
*) Дополнительным называется экран, имеющий отверстия там, где другой экран не прозрачен, и не прозрачный там, где другой экран имеет отверстия.
g В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
113
Формулы (VIII. 29) и ,(VIII.3O) не учитывают поляризации электромагнитах волн (амплитуда и предполагается скалярной, а не векторной величиной). Дифракционная формула, учитывающая векторный характер электромагнитного поля, может быть записана в виде
ЕР = - ~ J {n0 X Н - п [п • (n0 X Н)] + n X (no X Е)} elkr dS.
(VIII. 32)
В этой формуле Е и Н—значения полей на поверхности отверстия, ЕР — электрическое поле на большом расстоянии от экрана (в волновой зоне), п — единичный вектор в направлении распространения дифрагированной волны, п0 — орт нормали к поверхности отверстия, направленный в сторону точки наблюдения, г—расстояние от dS до точки наблюдения, R— расстояние от начала координат (выбранного на отверстии) до точки наблюдения.
Магнитное поле в волновой зоне выражается через электрическое по обычной формуле
Нр = п X Ер.
450*. На бесконечный круговой идеально проводящий цилиндр радиуса а, находящийся в вакууме, падает плоская монохроматическая волна в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. Вектор Ео падающей волны параллелен оси цилиндра. Определить результирующее поле, распределение тока по поверхности цилиндра и полный ток 3, текущий вдоль цилиндра.
451. Найти дифференциальное сечение рассеяния dus электромагнитной волны (диаграмму направленности вторичных волн) цилиндром, рассмотренным в задаче 450. Найти также полное сечение рассеяния os.
452*. Плоская монохроматическая волна падает на идеально проводящий круговой цилиндр так, что ее магнитный вектор Но = 3£о exp [г (к • г—<о/)] параллелен, а волновой вектор к перпендикулярен оси цилиндра. Цилиндр находится в вакууме. Найти результирующее электромагнитное поле. Рассмотреть, в частности, случай тонкого (ka <С 1) цилиндра, определить дифференциальное dus и полное os сечения рассеяния для этого случая.
453. Пусть бйТц и dox — дифференциальные сечения рассеяния на бесконечном цилиндре плоской волны с вектором Е, направленным соответственно параллельно и перпендикулярно оси цилиндра. Найти дифференциальное сечение do's рассеяния волны, у которой вектор Е составляет с осью цилиндра угол <р, а также дифференциальное сечение da" рассеяния неполяризованной волны.
Указание. Использовать принцип суперпозиции полей.
114
454. Неполяризованная плоская волна рассеивается на идеально проводящем тонком (ka 1) цилиндре. Определить степень деполяризации р рассеянных волн в зависимости от угла рассеяния.
455*. Решить задачу 452 о дифракции плоской волны на бесконечном цилиндре, не предполагая цилиндр идеально проводящим, но считая его поверхностный импеданс £ малым. Воспользоваться приближенным граничным условием Леонтовича (VIII. 10).
456. Определить среднюю потерю энергии Q и сечение поглощения оа на единицу длины цилиндра, рассмотренного в предыдущей задаче. Исследовать, в частности, случай ka <С 1 и объяснить получающийся результат.
457*. Рассмотреть дифракцию плоской монохроматической волны на диэлектрическом цилиндре Цилиндр радиуса а с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью р находится в вакууме. Волна падает нормально к образующей цилиндра, вектор Е параллелен его оси. Определить результирующее поле.
458*. Линейно поляризованная плоская монохроматическая волна рассеивается на шаре, радиус которого а много меньше длины волны Выразить составляющие электромагнитного поля рассеянного излучения в волновой зоне через электрическую и магнитную поляризуемости шара. Определить эффективное дифференциальное сечение рассеяния.
Указание В силу условия а < л считать внешнее поле вблизи шара однородным и рассмотреть излучение индуцированных электрического р и магнитного m дипольных моментов
459.	Вычислить дифференциальное dcs и полное os сечения рассеяния, а также степень деполяризации р вторичного излучения при рассеянии неполяризованной волны шаром, радиус а которого много меньше длины волны 1. Результат выразить через электрическую 0(. и магнитную рт поляризуемости шара.
460.	Используя результаты предыдущей задачи, определить дифференциальное dcs и полное os сечения рассеяния неполяри-зованного света малым диэлектрическим шаром с проницаемостью е (р. = 1), а также степень деполяризации р рассеянного света. Построить графики зависимости этих величин от угла рассеяния 0. Указать условие применимости полученных формул. Решить ту же задачу для идеально проводящего шара <у = 1.
461.	Плоская монохроматическая волна падает под углом л/2 — а на идеально проводящий тонкий диск, радиус которого а много меньше длины волны X. Определить дифференциальное dos и полное os сечения рассеяния при различных поляризациях падающей волны, а также сечение рассеяния неполявизованной волны.
8*	115
462.	В однородном диэлектрике с проницаемостью е (ц = 1) вырезана полость, имеющая форму тонкого диска радиуса а, толщиной 2h. Нормально к плоскости полости падает неполяри-зованный свет с длиной волны Z а. Найти дифференциальное dos и полное сц сечения рассеяния.
463*. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния плоской волны длиной Z на идеально проводящем цилиндре высотой 2h и радиуса а <С h, /г X. Исследовать различные случаи поляризации падающей волны. Цилиндр аппроксимировать вытянутым эллипсоидом вращения с полуосями а и h.
Указание. Использовать решения задач 197, 198, 390.
464.	Решить задачу 463 для диэлектрического цилиндра, высота которого 2h много меньше длины волны Z внутри цилиндра.
465.	Плоская монохроматическая волна 80ехр[t(kr——«/)] рассеивается на диэлектрическом шаре радиуса а, поляризуемость которого (е— 1)/4л	1 (ц = 1). Вследствие малой поля-
ризуемости поляризация шара в первом приближении пропорциональна полю падающей волны. Определить дифференциальное сечение рассеяния и степень деполяризации р рассеянного излучения. Какой характер приобретает рассеяние в случае очень большого шара (ka 1)?
466.	Определить полное сечение рассеяния сц диэлектрической сферой, рассмотренной в предыдущей задаче, в предельном случае ka 1. Сравнить со случаем ka 1.
467*. Плоская монохроматическая волна рассеивается системой зарядов (например, макроскопическим телом). Электрическое поле на больших расстояниях от рассеивателя имеет вид
Е = Ео [ee‘*z + F (п)
где п = г/r, е = Ео/Ео, k = ы/с, Ео — амплитуда падающей волны, F(n)—амплитуда рассеяния — функция, характеризующая свойства рассеивателя и зависящая от частоты. Доказать соотношение («оптическую теорему»)
о, = -у- Im[e • F (п0)].
Здесь at = as + оа — полное сечение взаимодействия волны с системой зарядов, равное сумме сечений рассеяния gs и поглощения <то, F(n0) — амплитуда рассеяния «вперед», т. е. в направлении распространения падающей волны.
468*. Плоская монохроматическая волна падает на макроскопическую частицу, размер которой много меньше длины волны Z. Электрическая и магнитная поляризуемости частицы: ₽f = = р' + Zp" и Pm = Р'„ + комплексны, поэтому наряду с рассеянием происходит поглощение электромагнитной энергии. Вычислить сечение поглощения аа.
116
Указание. Поглощаемая в единицу времени энергия равна потоку вектора Пойнтинга через поверхность сферы большого радиуса, окружающей частицу.
469.	Вычислить сечение оа поглощения электромагнитной волны проводящим шаром с малым поверхностным импедансом £ = = £' + it". Радиус шара b мал по сравнению с длиной волны Z.
470.	Плоская монохроматическая волна падает на макроскопическое тело. Сечение поглощения аа волны телом и дифференциальное сечение рассеяния dos/d£l— известны. Выразить через них среднюю по времени силу F, действующую на тело со стороны волны.
471*. Определить среднюю силу F, которая действует на малый шар радиуса а, находящийся в поле плоской монохроматической волны. Рассмотреть случаи идеально проводящего шара и диэлектрического шара с диэлектрической проницаемостью в (магнитая проницаемость ц=1). Амплитуда падающей волны Ев.
472.	Точечный источник света расположен на оси, проходящей через центр круглого непрозрачного экрана радиуса а перпендикулярно его плоскости. Считая выполненным условие применимости геометрической оптики (Z<gia), найти интенсивность света I в симметричной относительно экрана точке Р.
473.	В предыдущей задаче рассмотреть дифракцию на дополнительном экране (т. е. на круглом отверстии в бесконечном непрозрачном экране).
474.	Параллельный пучок света падает на круглое отверстие в непрозрачном экране перпендикулярно его плоскости. Найти распределение интенсивности / на средней линии за экраном.
475.	Найти угловое распределение интенсивности света di при дифракции Фраунгофера на кольцевом отверстии (радиусы а > Ь) в бесконечном непрон-ицаемом экране. Начальный пучок света падает нормально к плоскости отверстия. Рассмотреть частный случай дифракции на круглом отверстии.
476.	Найти угловое распределение интенсивности света di при наклонном падении параллельного пучка на круглое отверстие (дифракция Фраунгофера).
477.	Плоская линейно поляризованная волна падает на прямоугольное отверстие —в бесконечном тонком экране нормально к его плоскости. Амплитуды электрического и магнитного полей имеют составляющие Еу = Ев, Нх = — —Ео, НУ = ЕХ = 0. Определить поле излучения из отверстия, а также угловое распределение излучения di.
478.	Плоская линейно поляризованная волна Eocxp[z(k-r— — ю/)] падает на круглое отверстие радиуса а в бесконечном тонком экране нормально к его плоскости. Определить поле излучения из отверстия и угловое распределение интенсивности излучения di.
117
§ 4. Когерентность и интерференция
Детекторы электромагнитного излучения в оптическом диапазоне реагируют на интенсивность / излучения, которая является усредненной по времени квадратичной функцией компонент поля
7 / = | и |2 = у- J | и |2 dt.
о
Это усреднение выражает тот факт, что время Т срабатывания детекторов составляет не менее чем 10~10 сек (в исключительных случаях до 10-13 сек), а характерный период оптических колебаний 10-15-^-10~16 сек.
В связи с этим наблюдаться может только такая интерференционная картина, которая существует достаточно стабильно в течение промежутка времени, большего чем 7. Это усложняет наблюдение интерференции волн в оптическом диапазоне.
Тепловые, люминесцентные, тормозные источники света состоят, как правило, из большого количества независимых (некогерентных) излучателей, испускающих свет не согласованно по фазе и поляризации. Почти полное согласование достигается в квантовых оптических генераторах (лазерах), в которых главную роль играет вынужденное излучение света. Однако и в этом случае имеются флуктуации фазы и поляризации из-за спонтанного излучения и рассеяния на различных флуктуирующих неоднородностях.
Для наблюдения стабильной интерференционной картины обычно приходится прибегать к расщеплению волнового поля каждого из независимых излучателей (и источника в целом) на несколько пучков. Если образовавшиеся после расщепления волновые пакеты снова перекрываются, пройдя разные оптические пути, то в области их перекрытия может возникнуть интерференционная картина, если выполняются определенные условия когерентности.
Эти условия сводятся к требованию, чтобы интерференционные картины от различных независимых источников не замазывали друг друга.
Выделяют два простейших случая когерентности (подробнее см., например, [18], [84], [27], [120]).
1) Временная когерентность. Интерференция волновых пакетов может произойти, только если время т запаздывания одного из пакетов будет меньше, чем время At жизни отдельного излучателя. По порядку величины At ~ l/Av, где Av = = Дсо/2л — спектральный интервал излучаемых атомами частот (см. задачи 482—484). Вместо времени At когерентности можно 118
рассматривать продольный размер /ц области когерентности (длина когерентности):
(VIII. 33)
где X — длина излучаемой квазимонохроматической волны, ДХ — разброс длин волн, связанный со спектральной шириной соотношением ДХ = (Х2/с) Av.
2) Пространственная когерентность. Если источник является протяженным, то интерференционные картины от независимых излучателей, находящихся в разных достаточно удаленных друг от друга точках источника, могут взаимно смазываться, на-лагаясь друг на друга. Поле сохраняет когерентность в окрестностях точки наблюдения в области, поперечные размеры которой
где ДО— угловой размер источника, L — поперечный размер источника, R — расстояние от него до точки наблюдения. Продольный размер /ц области когерентности определяется формулой (VIII. 33).
Объемом когерентности называется величина
(Я &)•*’•
(VIII. 35)
Параметром б вырождения излучения называется среднее число фотонов (квантов света), пересекающих площадь когерентности l\ за время когерентности Д/ = 1 /Av:
б = /2 V д/ = Д1?
Йш сйсо ’
(VIII. 36)
где у — плотность потока энергии излучения, приходящаяся на интервал частот Av, fiw = 2лйт — энергия одного фотона, fi = = 1,05- 10-27 эрг-сек — постоянная Планка. Параметр вырождения характеризует важное свойство квантовых излучателей: способность к вынужденному или стимулированному излучению. Это свойство состоит в том, что интенсивность излучения от излучателей, находящихся в электромагнитном поле, пропорциональна 1 + б и увеличивается с ростом б.
Пусть поле и (г, t) в точке наблюдения г в момент t выражается, согласно принципу Гюйгенса, через поля в точках гь г2 в моменты времени t — tlt t —t2:
и (r, t) = Atu (rb t — / J + A2u (r2, t - /2). (VIII. 37)
Здесь /i = Si/c, t2 = s2lc, S]=|r —nl, s2=|r — r2|, Ль A2 — множители, зависящие от геометрии схемы и размеров
119
отверстий, расположенных вблизи точек, радиусы-векторы которых Г1 и г2.
Тогда наблюдаемую усредненную интенсивность в точке г в момент t при стационарном режиме можно записать в виде
I (г) = «’ (г, t) и (г, t) = Ii (г) + /2 (г) +
+ 2 //, (г)/2(г) Re у (г„ г2, т).	(VII1. 38)
В этой формуле х — (si — s2)lc, величины
Л (г) = | А I21«(П,	= | A, |21 (г,)
представляют собой интенсивности в точке г, если открыто только одно l-е отверстие. Функция у(п,г2,т) называется комплексной степенью когерентности (или коэффициентом частичной когерентности) и определяется следующим образом:
у(гьг2,т) = -^=^,	(VIII.39)
У Л (г) /2 (г) где	_________________
Г(гь г2, т) = и (гь /)н*(г2, / + т) (VIII. 40) — корреляционная функция полей в точках г, и г2 в моменты t и t + т. Случаю пространственной когерентности соответствует т = 0.
Понятие корреляционной функции и определения (VIII. 39), (VIII, 40) сохраняют свой смысл независимо от описанного здесь способа изучения когерентных свойств поля с помощью двух отверстий. Можно любым способом разделить световой пучок от точечного источника на два пучка с интенсивностями и /2 и осуществить задержку одного из них на время т относительно другого. Если затем соединить опять эти пучки и наблюдать в малой области около точки г усредненную по t интенсивность результирующего поля, то эта интенсивность будет описываться формулой вида (VIII. 38), корреляционная функция — формулой (VIII. 40), а коэффициент частичной когерентности — формулой (VI 11.39) с Г1 = г2 = г. Функция Г (г, г, т) называется автокорреляционной функцией поля в точке с радиусом-вектором г в моменты t и t + т.
Коэффициент частичной когерентности удовлетворяет неравенствам
0<Iу(Г1, г2, т)|< 1.
Нижняя граница этих неравенств отвечает полностью некогерентному свету, для которого /(г) =Л (г)+/2(г), верхняя же граница — полностью когерентному свету. За меру резкости интерференционных полос принимается видимость по Майкельсону:
В(г) = ;max;;niln =| Y(r„ Г2, т)|24^г-. (VIII. 41) 'max т <mln	11 ' 12
120
Положение максимумов усредненной интенсивности определяется условием
arg -у (ri> г2> г) = 2пл, п = 0, ±1, ±2, ...
Если в поле когерентной световой волны находится некоторый предмет, рассеивающий эту волну, то в области наложения рассеянного поля на поле основной («опорной») волны образуется интерференционная картина, интенсивность которой в каждой точке этой области зависит как от интенсивностей, так и от разности фаз рассеянной и опорной волн. Эту картину можно отобразить на фотопластинке, а затем использовать эту фотопластинку как дифракционную решетку, пропуская через нее когерентный свет. Интенсивность Г света, прошедшего через проявленную фотопластинку в данной ее точке (х, у) при освещении пластинки светом, распределенным с интенсивностью пропорциональна 1(х,у):
1'{х, у) = Т(х, у)Цх, у) и зависит от степени почернения фотопластинки, характеризуемой «пропусканием» Т(х, у). Пропускание зависит от интенсивности 10(х, у) первичного поля, вызвавшего почернение, и от контрастности фотоэмульсии, характеризуемой законом
Т (х, у) <х> [/0, (х, у)ГУ12,
где у — коэффициент контрастности фотоэмульсии.
Фотопластинка, на которой изображена картина интерференции опорной волны с волной, рассеянной от предмета, называется голограммой. Оказывается, что при пропускании через голограмму когерентного света за нею образуется объемное изображение первоначального предмета. Процесс такого восстановления первичного волнового поля называется голографией (см., например, [99], [84]) и иллюстрируется задачами 495—499.
Приведем некоторые астрономические постоянные, используемые в решениях задач:
Среднее расстояние от Земли до Солнца Диаметр Солнца Световой год Парсек	1,50- 108 км 1,39 • 106 км 9,46- 1012юи 30,8- 1012 клг
479.	Вывести оценочное выражение (VIII. 34) для поперечной длины /± когерентности. Исходить из того, что интерференционные картины, создаваемые излучателями, находящимися в разных
121
точках протяженного квазимонохроматического источника с поперечником L, не должны замазывать друг друга в пределах области когерентности. Расстояние до источника R, длина волны Z.
480.	Вывести оценочную формулу (VII 1.36) для параметра вырождения 6.
481.	Квазимонохроматический источник имеет поперечный размер L и испускает свет с длиной волны X. Оценить порядок величины того телесного угла ДП, в котором его излучение когерентно.
482.	Каковы поперечная и продольная длина, а также телесный угол и объем когерентности излучения, испускаемого атомами натрия, находящимися в атмосфере Солнца. Наблюдается (на Земле) спектральная линия с длиной волны Хо=5-1О~5 см, масса атома т = 3,7  10-23. Главный вклад в ширину спектральной линии дает тепловое движение атомов (температура Т » J 6000° К).
Указание. Доплеровская ширина спектральной линии

8л2А:Г тЛ2
где k — постоянная Больцмана (см. задачу 795).
483.	Как изменятся результаты предыдущей задачи, если с Земли наблюдается звезда типа Солнца, находящаяся на расстоянии 10 световых лет?
484.	Определить продольную и поперечную длины, а также объем когерентности в непосредственной близости от квантового оптического генератора, работающего на длине волны 7о = = 5-10-5 см с разбросом частот Av=102 гц. Диаметр зеркал D = 5 см.
485.	Найти параметр вырождения 6 излучения абсолютно черного тела, находящегося при температуре Т. Сделать численные оценки для Х=1 см и 7=5-10~5 см при 7’=273° и для Х=5-10-5 см при Т = 10 000°.
Указание. Спектральная плотность энергии излучения черного тела

1
2n/rv , ехр^т--1
где k = 1,38 • 10-16 эрг/град — постоянная Больцмана.
486.	Найти параметр вырождения для квантового оптического генератора, рассмотренного в задаче 484. Мощность излучения 200 вт. Какой эффективной температуре отвечает это значение 6?
122
487.	Связать автокорреляционную функцию Г(г, г, т) = = и(г, t)u*(г, t + т) со спектром мощности /(ы) излучения. Ин-
тенсивность излучения I = и' (t) и (/) = J I (со) da>. о
488.	Найти автокорреляционную функцию излучения, если линия испускания узкая и имеет прямоугольную форму в интервале шириной Асо около соо- Интенсивность излучения /.
489.	В интерференционном опыте Юнга наблюдается интерференционная картина в области перекрытия пучков, дифрагировавших на двух отверстиях (рис. 26). Отверстия расположены
на расстоянии D друг от друга в точках с координатами (0, 0) и (х,у). Источник света протяженный, его размер значительно превышает D и он находится на расстоянии R от отверстий (R^D). Свет достаточно монохроматичен, так что для каждого из независимых излучателей выполняется условие временной когерентности. Выразить коэффициент частичной когерентности через распределение интенсивности I(х, у) излучения по поперечнику источника света.
490.	Звездный интерферометр Майкельсона представляет собой вариант интерференционной схемы Юнга, в которой расстояние между отверстиями может изменяться. Найти зависимость видимости В интерференционных полос в интерферометре Майкельсона от расстояния D между отверстиями и от длины волны X для двух случаев.
а)	Наблюдается двойная звезда — система двух близких звезд, находящихся на угловом расстоянии а друг от друга. Каждую из звезд можно рассматривать как точечный источник света. Считать светимости обеих звезд одинаковыми.
123
б)	Наблюдается одиночная звезда больших размеров с угловым поперечником а (можно рассматривать эту звезду как равномерно излучающий диск).
491.	В звездный интерферометр Майкельсона, рассмотренный в предыдущей задаче, поступает свет от двойной звезды или от одиночной звезды больших размеров. При увеличении расстояния D между отверстиями видимость интерференционных полос ослабевает и при некотором значении D = Do обращается в нуль. Определить: а) расстояние р между компонентами двойной звезды Капелла, находящейся от нас на расстоянии R = 44,6 световых лет, если Do — 70,8 см, а наблюдение ведется на длине волны Z=5-10~E см\ б) диаметр d звезды Бетельгейзе, расстояние до которой составляет 652 световых года, если Do = 720 см, a Z=6-10-5 см.
Указание. Первый ненулевой корень функции Бесселя Л(х) равен %1 = 3,8317.
492.	В интерферометре Брауна и Твисса (рис. 27) независимо детектируются, а затем перемножаются и регистрируются интенсивности света, идущего от двух удаленных некогерентных
Рис. 27.
точечных источников или от различных точек одного протяженного источника. Волны, идущие от источников, можно считать плоскими (волновые векторы к| и к2), их амплитуды и фазы флуктуируют случайным образом. Показать, что с помощью интерферометра Брауна и Твисса можно путем наблюдения корреляции между интенсивностями измерять угловое расстояние между источниками.
493.	Плоская волна (длина волны X) падает почти нормально на боковую поверхность тонкой призмы с углом а <С 1 при вершине и показателем преломления п. Найти зависимость от к
124
Крис. 28, а) фазового сдвига, который приобретает волна в плоском слое ABCD, часть которого занята призмой.
494.	Плоская волна падает на тонкую собирающую или рассеивающую линзу с радиусами кривизны Rx, R2 и показателем
преломления п (рис. 28,6). Длина волны X, угол между волновым вектором и оптической осью линзы мал. Найти зависимость от х фазового сдвига, приобретаемого волной в плоском слое ABCD, часть которого занята линзой.
495.	Монохроматическая плоская волна (длина волны А) от квантового оптического генератора падает на бизеркало Френеля (рис. 29) с углом Ф'С! между плоскостями зеркал.
125
В области перекрытия двух плоских волн, идущих от бизеркала, образуется интерференционное волновое поле. На фотопластинке, помещенной в эту область и образующей угол Oi 1 с фронтом одной из волн, возникает система прозрачных и темных интерференционных полос. Какое волновое поле образуется за этой фотопластинкой, если после проявления пропустить сквозь нее нормально к поверхности плоскую волну от того же самого оптического генератора?
496.	Плоская монохроматическая волна проходит одновременно через призму и отверстие в непрозрачном экране, находящемся на расстоянии f (рис. 30). Призма тонкая, преломляющий угол а 1, а показатель преломления ее вещества п. На
фотопластинке возникает некоторое распределение интенсивности поля за счет интерференции между «опорной» плоской волной (часть волны, прошедшая через призму и отклоненная вниз) и волной, дифрагировавшей на отверстии (угол дифракции считать малым). Найти это распределение.
497.	Найти распределение пропускания Т(х) сквозь голограмму, полученную в условиях, описанных в предыдущей задаче. Считать при этом, что при создании голограммы интенсивность опорной волны была велика по сравнению с интенсивностью волны, прошедшей сквозь отверстие. Проследить за процессом восстановления первоначальных волновых фронтов при пропускании через эту голограмму нормально падающей плоской монохроматической волны ио = Лехр [i (kz — со/)] (дл ша
126
волны та же, что и у первичной волны). В частности, проследить за возникновением точечного изображения первоначального отверстия.
Указание. Волновое поле за голограммой можно получить простым умножением падающей на голограмму волны и0(х) на пропускание Т(х). Для интерпретации получившегося выражения следует обратиться к решениям задач 493, 494.
498.	На установке, рассмотренной в задачах 496, 497, получается голограмма двух отверстий, находящихся на расстоянии 2D друг от друга в плоскости призмы. По этой голограмме восстанавливается изображение двух отверстий. Найти это изображение и выяснить, в каком случае оно будет увеличенным.
Указание. Голограмму можно освещать при восстановлении изображения светом с длиной волны V, не совпадающей с той X, которая применялась при получении голограммы.
499.	Определить разрешающую способность голограммы, которая получена на установке типа, рассмотренного в задаче 496. Голограмма выполнена на фотопластинке с размером зерен эмульсии d.
§ 5.	Дифракция рентгеновых лучей
При рассмотрении рассеяния рентгеновых лучей на макроскопических телах существенным является то обстоятельство, что длина волны X сравнима с размерами а атомов. В конденсированных средах тот же порядок величины имеют межатомные расстояния, в газах эти расстояния много больше а. Вследствие этого становится невозможным усреднение по физически малым элементам объема, содержащим много атомов. Однако в том случае, когда частота рентгеновых лучей велика по сравнению с характерными атомными частотами (оат ~ Vatic, электроны среды можно рассматривать как свободные. Так как для свободных (к тому же нерелятивистских) электронов уравнения движения во внешнем электромагнитном поле легко интегрируются, то может быть вычислен наведенный полем ток и определена диэлектрическая проницаемость, зависящая от координат г:
е(г) = 1 — 4Л^"2(Г)--	(VIII. 42)
Здесь п(г) —концентрация электронов в теле, определяемая законами квантовой механики, усредненная по равновесному статистическому распределению состояний теплового движения атомов.
Уравнения Максвелла имеют свой обычный вид (VIII. 1) — (VIII. 4) с диэлектрической проницаемостью (VIII. 42) и магнитной проницаемостью р. = 1, если 4ле2п/ты2 -С 1.
127
Пусть на некоторое тело конечной протяженности падает плоская волна Eoexp[i(kor— со/)] рентгеновой частоты <о >> (оат-Для того чтобы падающее излучение можно было рассматривать как плоскую поляризованную волну, необходимо, чтобы размеры тела были малы по сравнению с длиной когерентности*). При этом дифференциальное сечение рассеяния линейно поляризованной волны (определение понятия сечения дано в § 3 этой главы) имеет вид
da = rgsin20 | J n(r) exp [iq • r] dV |2 dQ, (VIII. 4S)
где го = e2lmc2— классический радиус электрона, k — волновой вектор рассеянной волны, /г=/г0=ю/с, 0 — угол между Ео и к, dQ— элемент телесного угла направлений к, q = k0— к —переданный волновый вектор. Величина q связана с углом © рассеяния волны (угол между к0 и к) формулой
2(0 .	*0* 4Л .О	/чтчтт а а\
у sm-2- = -j[-sinT.	(VIII. 44)
Сечение рассеяния неполяризованной рентгеновой волны 1	If	I2
da =у r2(l + cos2'©) | J n (r) exp [tq  r] dV | dQ.. (VIII. 45)
Условием применимости формул (VIII. 43), (VIII. 45) является требование, чтобы полное сечение а = J da было мало по сравни)
нению с площадью поперечного сечения образца в целом.
В случае дифракции рентгеновых лучей на идеальном монокристалле сечения (VIII. 43) или (VIII. 45) обнаруживают ряд резких максимумов, положение которых определяется уравнением Лауэ
ко —k = 2ng,	(VIII. 46)
где g — векторы обратной решетки. Если элементарная кристаллическая ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами а\, а2, аз, то
/ »i Пг Пз 1
g \ а, ’ с2 ’ а3 ) ’
где «1, п2, пз — произвольные целые числа.
Если интеграл того вида, который входит в (VIII. 43) или (VIII. 45), берется по объему Va одного атома, то он называется атомным формфактором:
Ра (q) = J па (г) exp [tq • г] dV. (VIII. 47)
*] Определение длины когерентности см. в § 4 этой главы.
128
Атомный формфактор представляет собой просто компоненту Фурье от распределения па(г) электронов в атоме и через него можно с помощью обратного преобразования Фурье выразить «а (г).
Подробнее вопрос о дифракции рентгеновых луче?! рассмотрен, например, в [63], [66].
500.	Выяснить, при каких условиях сечение рассеяния рентгеновых лучей на телах конечно?! протяженности принимает вид сечения рассеяния на свободных зарядах (формула Томсона). Написать соответствующие выражения для сечений. Число атомов в теле N, число электронов в каждом атоме Z.
501.	Распределение электронной концентрации в Z-электронном атоме аппроксимируется выражением па (г) = пОа exp , где n0a = Z/na3, a = a0/Z\ ао=О,529-1С~8 см — боровский радиус. Найти дифференциальное сечение рассеяния волны рент-генового диапазона на одноатомном газе, содержащем N атомов, считая распределение атомов совершенно хаотическим.
502.	Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на объеме газа, содержащем N двухатомных молекул. Атомы в молекуле одинаковы и находятся на фиксированном расстоянии R друг от друга. Принять, что формфактор Fa(q) атома, входящего в состав молекулы, тот же, что и у изолированного атома.
503.	Как изменится сечение рассеяния рентгеновых лучей на объеме газа из двухатомных молекул, рассмотренном в предыдущей задаче, если учесть тепловые колебания атомов в молекуле.
Указание. Считать, что расстояния R между атомами распределены около среднего значения Ro^b по закону dWx =
1 Г *2Ъ	п г> г. /" 2kT „
= • -г- ехр —— ах, где х = R — Ro, Ь = 1/ -----, Т — темпе-
b V л L о2 J	' р,ш2
ратура, ц — приведенная масса, ю — частота собственных колебаний атомов в молекуле.
504.	Вывести уравнение Лауэ (VIII. 46) и условие Брэгга — Вульфа k sin(072) = n|g|, где |g| —длина вектора обратной решетки, рассматривая интерференцию волн, рассеянных на отдельных центрах идеальной кристаллическо?! решетки.
505.	Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на идеальном монокристалле, состоящем из N одинаковых атомов с формфакторами Fa(q) (считать, что эти формфакторы те же, что и в случае изолированных атомов). Элементарная ячейка имеет форму куба с ребром а, кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами Lit L2, L3, параллельными ребрам элементарной ячейки. Определить положение главных максимумов, убедиться в выполнении уравнения Лауэ (VIII. 46). Найти величину сечения в этих максимумах.
9 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин	129
506.	Кристалл состоит из кубических элементарных ячеек с ребром а и имеет форму прямой призмы с прямоугольным равнобедренным треугольником в основании (катеты основания Li = L2, боковое ребро £3). Определить положения главных максимумов, найти величину сечения в этих максимумах.
507.	Найти распределение интенсивности в дифракционном пятне вблизи одного из главных максимумов при рассеянии рентгеновых лучей на монокристалле, рассмотренном в задаче 505. Волновой вектор падающих рентгеновых лучей параллелен ребру £3, a k~^>l/a. Определить ширину дифракционного максимума и полное сечение, отвечающее рассеянию в пределах одного дифракционного пятна.
508.	Вычислить распределение интенсивности в дифракционном пятне вокруг главного максимума при произвольном направлении падения и произвольном соотношении между k и 1/а. Рентгеновы лучи рассеиваются на монокристалле, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами £ь £2, £3 (см. задачу 505).
509.	Решить предыдущую задачу для случая рассеяния на монокристаллическом образце шарообразной формы (радиус R).
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65, 66], Борн М. [16], Бейтмен Г. [10], Тамм И. Е. [101], Зоммерфельд А. [55], Френкель Я. И. [111], Стрэттон Дж. А. [100], Смайт В. [93], Джексон Дж. [52], Альперт Я. Л., Гинзбург В. Л., Фейнберг Е. Л. [3], Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Каганов М. И. [5], Власов А. А. [25], Пановский В., Филипс М. [86], Вайнштейн Л. А. [23], Гуревич А. Г. [48], Шифрин К. С. [116], Рухадзе А. А., Силин В. И. [90], Борн М, Вольф Э. [18], Микаэлян А. Л. [78], Горелик Г. С. [43], Эйхенвальд А А. [118], Альвен X., Фельтхаммар К. Г. [2], Компанеец А. С. [60], Гинзбург В. Л., Мотулевич Г. П. [34], Гольдштейн Л. Д., Зернов Н В. [42], Строук Дж. [99], О’Нейл Э. [84], Вольф Э., Мандель Л. [27], Кривоглаз М. А. [63], Франсон М, Слан-ский С. [120].
ГЛАВА IX
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ
Часть пространства, ограниченная со всех сторон металлическими стенками, называется полым резонатором. В резонаторе может существовать система стоячих волн с определенными частотами ш (собственными частотами резонатора). Эта система волн определяется (в случае не заполненного диэлектриком резонатора с идеально проводящими стенками) путем решения уравнений гл 2
ДЕ + -^-Е = 0, divE = 0	(IX. 1)
с граничным условием
Ет = 0.	(IX. 2)
Собственные функции резонатора Ev<*), отвечающие различным собственным частотам wv, взаимно ортогональны. Собственные функции, соответствующие одной и той же частоте (их может быть несколько — см. задачи 529, 531), также можно выбрать взаимно ортогональными. Условимся нормировать их на 4л:
j EV' • EvdV = 4n6vvs	(IX. 3)
где интеграл берется по объему резонатора. Этому же условию удовлетворяют собственные функции Hv, которые выражаются через Ev с помощью уравнений Максвелла.
Вследствие потерь энергии в стенках или в веществе, заполняющем резонатор, а также излучения энергии во внешнее пространство, свободные колебания реальных резонаторов являются затухающими. Потери энергии данного типа колебаний характеризуются добротностью Qv, которая определяется отношением
v	или Qv=2^-	(IX. 4)
*) Значком v обозначена совокупность четырех величин, однозначно определяющих собственный тип колебаний («моду») резонатора.
9*	131
Здесь Wv — энергия, запасенная в резонаторе; Pv — средняя (по времени) мощность потерь; 6V— резонансная частота, которая может отличаться от резонансной частоты идеального резонатора; yv— декремент затухания.
В отличие от резонатора, волновод представляет собою полость (трубу) неограниченной длины. Вдоль оси волновода (ось z) возможно распространение бегущих волн, в поперечном направлении волна является стоячей. В общем случае волны в волноводе не являются поперечными. Волны, у которых Ez=pO, Н2=0, называются волнами электрического типа, волны с 7/z=£0, Ez=0— волнами магнитного типа. Только в волноводах с неодносвязной формой поперечного сечения возможны чисто поперечные электромагнитные волны.
Типы волн, которые могут распространяться в данном волноводе, определяются путем решения уравнений Максвелла при соответствующих граничных условиях. Волна, бегущая вдоль оси волновода, описывается функциями:
Е (г, t) = 8 (х, у) ехр [г (kz — со/)], Н (г, t) = 3£ (х, у) ехр [г (kz — to/)].
Здесь со — частота волны, k — составляющая волнового вектора в направлении оси волновода. Величину k называют также постоянной распространения.
В случае волн электрического типа (Е-волн) <3^2=0, a &z удовлетворяет уравнению
Д#2 + хЖ2 = О,	(IX. 5)
где и2=(о2е|1/с2 — k2, х— поперечная составляющая волнового вектора, е и ц — проницаемости диэлектрика, заполняющего волновод, и граничному условию
#2 = 0	(IX.6)
на стенке волновода.
В случае волн магнитного типа (//-волн) <^2=0, a <%>z является решением уравнения
+ х2Д = О,	(IX. 7)
удовлетворяющим граничному условию
^ = 0 или ^ = 0	(IX. 8)
на стенке волновода.
В уравнениях (IX. 5) и (IX. 7) Д — двумерный оператор Лапласа. Граничные условия (IX. 6) и (IX. 8) строго справедливы только для волноводов с идеально проводящими стенками.
Поперечные составляющие векторов 8 и ЗС могут быть выражены с помощью уравнений Максвелла через продольные составляющие этих векторов.
132
Е- или /7-волна заданного типа (т. е. с определенным значением х) может распространяться в волноводе с односвязной формой сечения только в том случае, если ее частота больше некоторой граничной частоты too- Соответствующая «длина волны в вакууме» Хо=2лс/юо — порядка линейного размера сечения волновода. При (о<(оо постоянная распространения k становится чисто мнимой, поэтому распространение волны невозможно. Однако и при (о>(о k в общем случае комплексно.
Это связано с тем, что стенки волновода имеют конечную проводимость, поэтому в них происходит диссипация энергии и электромагнитная волна затухает по закону e~az. Коэффициент затухания а (мнимая часть k) равен отношению энергии, диссипируемой в единицу времени в стенках волновода на единице его длины, к удвоенному потоку энергии вдоль волновода. В случае, когда поверхностный импеданс ^=^/+iX// стенок мал, можно получить приближенные выражения коэффициента затухания для .Е-волн:
2KkC J | Р dS и для 77-волн:
[ | Р + (*2/х4) | WJ
j \&ffz\2dS
(IX. 9)
(IX. 10)
Здесь и 3%z— компоненты полей, вычисленные при £=0 (т. е. в предположении идеальной проводимости стенок волновода), dl— элемент контура поперечного сечения волновода, dS — элемент площади этого сечения.
510.	Определить типы волн, которые могут распространяться в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками (длины сторон а, Ь). Найти для них закон дисперсии и конфигурации полей (т. е. зависимость компонент поля от координат).
511.	Определить коэффициенты затухания а разных типов волн в прямоугольном волноводе. Поверхностный импеданс стенок волновода £ задан.
512.	Бесконечно протяженный диэлектрический слой заполняет в вакууме область —	и имеет проницаемости е и р.
Показать, что такой слой может действовать как волновод (для этого нужно, чтобы поле бегущей электромагнитной волны концентрировалось, в основном, внутри слоя). Определить типы волн, которые могут распространяться в таком волноводе. Ограничиться случаем, когда векторы поля не зависят от координаты у.
133
513.	Диэлектрический слой с проницаемостями е, ц, заполняющий область 0^.х^.а, нанесен на поверхность идеального проводника. В области х>а —вакуум. Какие типы электромагнитных волн с амплитудой, убывающей при удалении от слоя, могут распространяться вдоль слоя? Сравнить возможные типы волн с системой волн, полученной в предыдущей задаче.
514.	Найти возможные типы волн в круглом волноводе радиуса а, считая его стенки идеально проводящими. Определить граничную частоту ю0 для такого волновода.
515.	Используя результат предыдущей задачи, найти коэффициенты затухания а разных типов волн в круглом волноводе. Поверхностный импеданс стенок £ задан.
516.	Определить фазовую и групповую vg скорости волн в прямоугольном и круглом волноводах с идеально проводящими стенками. Построить их зависимость от Х=2лс/ш.
517.	Определить фазовую vv и групповую vg скорости волн в волноводе геометрическим методом. Для этого рассмотреть простейшую волну типа Hi0 в прямоугольном волноводе, разложить ее на плоские волны и исследовать отражение этих волн от стенок волновода.
518.	Исследовать структуру поперечной электромагнитной волны в идеально проводящей коаксиальной линии (большой и малый радиусы соответственно b и а). Подсчитать средний поток энергии у вдоль линии. Рассмотреть предельный случай одиночного идеально проводящего провода.
519.	Определить возможные типы непоперечных электромагнитных волн в коаксиальной линии с идеально проводящими стенками (радиусы а и Ь>а).
520.	Определить коэффициент затухания а поперечной электромагнитной волны в коаксиальной линии. Заданы радиусы а, Ь>а и поверхностный импеданс £=£,'+%".
Указание. Использовать приведенное в начале главы определение коэффициента затухания через потери энергии.
521*. Рассмотреть распространение аксиально симметричной волны электрического типа вдоль одиночного бесконечно длинного цилиндрического проводника с конечной проводимостью, находящегося в вакууме. Определить фазовую скорость волны. Показать, что в случае идеально проводящего провода волна перейдет в поперечную электромагнитную волну (см. задачу 518). Использовать приближенное граничное условие Леонтовича (см. VIII. 10).
522.	Аксиально симметричная f-волна распространяется в круглом волноводе радиуса Ь, частично заполненном диэлектриком. Диэлектрик имеет проницаемость е и занимает область Считая а<^Ь, определить зависимость фазовой скорости от частоты и граничную частоту. При каких условиях фазовая 134
скорость будет меньше с? Рассмотреть предельный случай волновода, полностью заполненного диэлектриком.
523.	Между двумя идеально проводящими плоскостями х—±а (рис. 31, а) помещена в плоскости у=0 лестничная перегородка (рис. 31, б), состоящая пз тонких металлических полосок, ориентированных вдоль оси х. Расстояния между полосками и их ширина малы по сравнению с длиной волны. Область г/>0 над лестничной перегородкой заполнена диэлектриком с проницаемостью е, в области у<0 — воздух. Найти возможные типы
Рис. 31.
бегущих волн, которые могут распространяться в такой системе вдоль оси z. Как связана постоянная распространения этих волн с частотой?
Указание. Лестничную перегородку для достаточно длинных волн можно рассматривать как анизотропно проводящую плоскость, проводимость которой в направлении оси х бесконечна, а в направлении z равна нулю.
524.	Прямоугольный волновод с поперечным сечением axb и идеально проводящими стенками заполнен ферродиэлектриком. Постоянное магнитное поле приложено перпендикулярно широкой стенке волновода (вдоль оси у). Тензоры электрической и магнитной проницаемостей ферродиэлектрика имеют вид
135
(ср. с результатом задачи 331). Определить составляющие электромагнитного поля, постоянную распространения и граничную частоту волновода для случая, когда поле не зависит от у.
525.	Электрическое и магнитное поля в волноводе с идеально проводящими стенками, не содержащем диэлектрика, описываются функциями
Ео = 80 (х, у) exp [f (koz - со/)], Но =	(х, у) exp [i (V - <о/)].
Если в волновод вставить диэлектрический сердечник, имеющий форму цилиндра произвольного сечения с осью, параллельной оси волновода, то поля в волноводе примут вид
Е = 8 (х, у) ехр [г(kz — со/)], Н = $£ (х, у) exp [z (kz — со/)].
Диэлектрик в общем случае может характеризоваться тензорными параметрами е^, p-rfe- Показать с помощью уравнений Максвелла, что постоянная распространения изменится на величину
® J (Лей •	ds
AZ> = k - k0 =	,
C J [(8jx9€) + (8 X ^)].ег</3 s
где Ав,л=6,^ —A|iih = |iife — Sift, интеграл в числителе берется по площади сечения диэлектрического стержня (AS), интеграл в знаменателе — по площади сечения волновода (S).
526.	В прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками вносится ферродиэлектрическая пластинка толщиной’ d«Со, намагниченная вдоль оси волновода (рис. 32). Пользуясь
формулой, полученной в предыдущей задаче, определить с точностью до членов порядка d изменение Aft постоянной распространения волны типа Ню. Диэлектрическая проницаемость пластинки — скалярная величина, тензор ее магнитной проницаемости приведен в условии задачи 435.
136
527.	В коаксиальный волновод (рис. 33) вставлена тонкая ферритовая пластина (d<^a, b), намагниченная вдоль оси волновода. Определить изменение ДА постоянной распространения поперечной электромагнитной волны.
Указание. Амплитуды возмущенных полей определить таким же методом, как и в предыдущей задаче.
528.	Решить предыдущую задачу для случая, когда постоянное подмагничивающее поле Но направлено перпендикулярно оси волновода. Рассмотреть два направления этого поля: а) Но перпендикулярно широкой грани пластинки; б) Но перпендикулярно узкой грани пластинки.
529.	Определить собственные частоты колебаний и нормированные собственные функции полого резонатора с идеально проводящими стенками. Резонатор имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его размеры aXbXh. Собственные функции выбрать таким образом, чтобы все они были взаимно ортогональны.
530.	Определить число собственных колебаний ДЛ^(со), приходящихся на интервал частот Дсо в полом резонаторе объема V, рассмотренном в предыдущей задаче. Считать, что выполняются неравенства Дй<^(ои ДЛ£§>1.
531.	Резонатор имеет форму прямого кругового цилиндра высотой h и радиуса а. Считая стенки резонатора идеально проводящими, найти частоты собственных колебаний и собственные функции. Рассмотреть колебания элек- ___________
трического и магнитного типов.
532.	Две круглые металлические ZZ	*~| ।
пластинки радиуса /? находятся на //	кА I
малом расстоянии d друг от друга,об- II Х.
разуя конденсатор. Обкладки конден- \\	,	Т
сатора замкнуты проводником толщи- хч/ ной 2а, имеющим форму кольца ра-
диуса b (рис. 34). Найти собственную 'га
частоту колебаний такого «открытого	Рис. 34.
резонатора», предполагая примени-
мым квазистационарное приближение. Все проводники считать идеально проводящими.
533.	Найти собственную частоту соо колебаний системы, изображенной на рис. 35, предполагая, что соответствующая ей длина волны Zo велика по сравнению с размерами системы. Потерями энергии и краевыми эффектами пренебречь.
534.	Для уменьшения потерь энергии на излучение вместо открытого колебательного контура (см. рис. 34) используют закрытый резонатор, состоящий из соединенных вместе тороидальной камеры и плоского конденсатора с круглыми пластинами (его разрез и размеры показаны на рис. 36). Найти собственную частоту coo основного типа колебаний такого резонатора в квази-стационарном приближении. При каких условиях применимо
137
такое приближение? Стенки резонатора считать идеально проводящими.
535.	Решить предыдущую задачу для тороидального резонатора с камерой прямоугольного сечения (рис. 37).
536.	Резонатор представляет собой цилиндр кругового сечения (внутренний радиус Ь, высота Л), вдоль оси которого вставлен идеально проводящий стержень радиуса а (рис. 38). Стенки цилиндра также обладают идеальной проводимостью. Между стержнем и одним из торцов цилиндра оставлен зазор d. Найти собственные частоты поперечных относительно оси системы электромагнитных колебаний, считая, что длина волны этих колебаний много больше зазора d (ио не высоты h цилиндра). Как изменится спектр колебаний при d—>-0?
537.	Известны собственные частоты колебаний cov и собственные функции Ev, Hv резонатора с идеально проводящими стенками. Вычислить изменение собственных частот, вызванное конечной проводимостью стенок резонатора. Поверхностный импеданс t, стенок мал.
Указание. Искать решение уравнений Максвелла в виде
E(r, H = 2?v(0Ev(r), Н (г, f) = 2pv(0Hv(r),
V	V
где qv и pv — неизвестные функции времени. Вывести уравнения для qv и pv с точностью до членов, линейных по g и исследовать
их решения.
538.	Полый резонатор имеет форму куба со стороной а. Проводимость стенок о, магнитная проницаемость ц = 1. Вычислить добротность резонатора для произвольного типа колебаний. Как она зависит от частоты? При каких частотах резонансные свой-
ства системы исчезнут?
539.	Полый резонатор, стенки которого имеют поверхностный импеданс £, возбуждается сторонним током j(r)e~iwt, текущим
внутри резонатора. Частота тока со близка к одной из собственных частот резонатора. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое в резонаторе, и его зависимость от частоты со вблизи резонанса.
Указание. Использовать метод решения, развитый в задаче 537.
540.	Открытый резонатор инфракрасного диапазона состоит из двух параллельных круглых зеркал диаметром D, находящихся на расстоянии L друг против друга (рис. 39). Пусть собственное колебание такой системы реализуется в виде двух волн
Рис. 39.
с ЛСЛ D, распро-
страняющихся перпендикулярно плоскостям зеркал навстречу друг друту и образующих стоячую электромагнитную волну.
139
Оценить по порядку величины доОротность такого резонатора в приближении геометрической оптики. Учесть потери энергии при отражениях от зеркал (коэффициент отражения /?) и излучение через боковую поверхность резонатора за счет дифракции. Параметры резонатора: £> = £ = 1 см; ft = 0,95; £ = 3 • 10Ул<.
541. Зеркала открытого резонатора, рассмотренного в предыдущей задаче, слегка непараллельны. Угол между их плоскостями р<С1. Оценить дополнительные потери на излучение и соответствующий вклад в добротность резонатора, обусловленный непараллельностыо зеркал. Какие значения угла р допустимы без существенного уменьшения полной добротности резонатора?
542. В резонаторе, образованном двумя параллельными зеркалами (см. рис. 39), собственные колебания с X<g£, £> осуществляются в виде стоячих волн в пространстве между зеркалами. Рассмотреть тот тип колебаний, в котором волновой вектор стоячей волны составляет малый угол О с нормалью к плоскостям зеркал.
а)	Найти условие, определяющее возможные значения & при заданной X.
б)	Оценить по порядку величины добротность резонатора как функцию угла &. Рассмотреть различные соотношения между потерями в зеркалах и потерями на излучение.
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Вайнштейн Л А. [23], Гуревич А Г. [47, 48], де-Бройль Л. [51], Джексон Дж. [52], Гольдштейн'Л. Д., Зернов Н. В. [42], Пановскин В., Филипс М. [86], Ахиезер А. И., Файнберг Я. Б. [7], Пе-трунькин В. Ю. [88], Басов М. Г., Крохин О. Н., Попов Ю. М. [9].
ГЛАВА X
СП СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Преобразования Лоренца
Коор;»ординаты и время в двух инерциальных системах отсчета S и S' eg' связаны между собой формулами преобразования Лоренца: । •
X X = y(x' + Vt'), У = У', 2 = 2', < = у(<'+^")	(Х- О
(соответ<ЕетстВуЮщие оси координат систем S и S' параллельны между с<у собой, относительная скорость направлена вдоль оси Ох и при /=| t=t'=O начала координат S и S' совпадают). Обратные преобраз разования Лоренца получаются как здесь, так и во всех других с,;х случаях (например, в формулах (X. 4), (X. 11)) изменением зна знака скорости V:
x' = y(x—Vt), у' = у, z' = z, f =	(Х.2)
Велич>;лнчины x0=ct, Xj=x, х2=У, x3=z являются координатами мировой вой точки
Xi=(ct, г).	(X. 3)
Всяки* якие четыре величины Ao, Alt А2, As, преобразующиеся при переходе юде от одной инерциальной системы отсчета к другой как координа^ инаты и время, т. е. по формулам
До = у = у (Ло + рДО. Л1 = у (Л1 + РДо), А2 = А2, Аз= Аз (Х.4) образуютуют четырехмерный вектор (4-вектор) А,, 1=0, 1,2,3. Трехмерный е„1й вектор А= (Ль Аг, Д3) называют пространственной, а величину /ду До — временной составляющими 4-вектора Д,.
*) В э в этой и следующих главах применяются обозначения:
где V— ск^_ скорость системы S' относительно системы S.
141
Скалярное произведение двух четырехмерных векторов определяется следующим образом:
А^В. = АоВд—AyBi— А2В2—А3В3	(X. 5)
Как и раньше (см. гл. I), будем подразумевать суммирование по дважды повторяющемуся индексу, который теперь принимает значения 0, 1, 2, 3. При этом слагаемое с индексом 0 берется со знаком плюс, а слагаемые с индексами 1, 2, 3 — со знаком минус. Этим правилом знаков при суммировании будем пользоваться и в дальнейшем.
Квадраты 4-векторов Д2, определенные в соответствии с (X. 5), и их скалярные произведения А,В{ имеют одинаковые значения во всех инерциальных системах отсчета (инвариантны относительно преобразований Лоренца). 4-вектор А{ называется пространственноподобным, если Д2<0, и времениподобным, если Д2>0.
Инвариантная величина
«12 = [с2 (tt - /2)2 - (Г1 - г2)2]'/2	(X. 6)
называется интервалом между двумя событиями с координатами (П, /1) и (г2, t2).
Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Если объект движется относительно системы S со скоростью V, то интервал собственного времени dx выражается через промежуток времени dt в системе S по формуле
dx = dt \/ 1 - Е2/с2.	(7.7)
Величина dt 1 — р2 является инвариантом преобразования Лоренца.
Если некоторый стержень имеет длину /0 в своей системе покоя, то при движении со скоростью v вдоль своей оси тот же стержень имеет в неподвижной системе длину
I = /о /1-п2/с2.	(X. 8)
Четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы называется 4-вектор, компоненты которого определяются формулой
dx. (с	v \
~й = 1 i/'i 2/ 2 * 1/1	г7~~2 ) ’	(К- 9)
dx \ V 1 — v2/c2 у 1 — v2tc2)
где v=dr/d/ — обычная скорость частицы. Из (X. 9) очевидно, что
и2 = с2.	(X. 10)
4-скорость, как и всякий 4-вектор, преобразуется по формулам (X. 4).
142
Компоненты обычной скорости не являются пространственными составляющими какого-либо 4-вектора и преобразуются по формулам (V||x):
гх
v'+ Г
l + ^V/c2 ’
vy
v'yVl-vV l+vxV/c2 ’
Vz
v'zV\-y*lc2
1 + t>'V/c2
(X. 11)
Если скорость частицы составляет с осью х углы О и О' в системах S и S' соответственно, то
t Л v’ К1 — V2'c2 sin О' tg ° “ V' cos &' + V
v' = ^v'x2 + v'y+v'22. (Х.12)
Четырехмерным с компонентами
ускорением частицы называется 4-вектор
du. d2x.
‘ dx dx2
(X. 13)
Волновой вектор к и частота со плоской электромагнитной волны являются компонентами волнового 4-вектора kf.

(X. 14)
Поэтому фаза плоской волны <р = —/г4х4 является инвариантом.
Из формул (X. 4) следуют формулы преобразования угла О, составляемого световым лучом с осью х:
. „ sin •&'	„ cos О' + р / v 1
tg О =	----73-sv- или cos О = . , д .	(X. 15)
6 у (cos у + Р)	1 + Р cos О '
Задачи на преобразование Лоренца для энергии, импульса и силы собраны в § 1 гл. XI.
543.	Пусть система S' движется относительно системы S со скоростью V вдоль оси х. Часы, покоящиеся в S' в точке (xq, у'о, Яд), в момент t'o проходят мимо точки (х0, у0, Zo) в системе S, где находятся часы, показывающие в этот момент время to. Написать формулы преобразования Лоренца для этого случая.
544.	Система S' движется относительно системы S со скоростью V. Доказать, что при сравнении хода часов в системах S и S' всегда будут отставать те часы в одной из этих систем отсчета, показания которых последовательно сравниваются с показаниями двух часов в другой системе отсчета. Выразить один промежуток времени через другой. (Показания движущихся часов сравниваются в момент, когда они проходят друг мимо друга.)
545.	Длину стержня, движущегося вдоль своей оси в некоторой системе отсчета, можно находить таким образом: измерять промежуток времени, в течение которого стержень проходит
143
мимо фиксированной точки этой системы, и умножать его на скорость стержня. Показать, что при таком методе измерения получается обычное лоренцево сокращение.
546.	Система S' движется относительно системы S со скоростью V. В момент, когда начала координат совпадали, находившиеся там часы обеих систем показывали одно и то же время /=/'=0. Какие координаты в каждой из этих систем в дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающая тем свойством, что находящиеся в ней часы систем S и S' показывают одно и то же время /=/'? Определить закон движения этой точки.
547.	Пусть для измерения времени используется периодический процесс отражения светового «зайчика» попеременно от двух зеркал, укрепленных на концах стержня длиной I. Один период — это время движения «зайчика» от одного зеркала до другого и обратно. Световые часы неподвижны в системе S' и ориентированы параллельно направлению движения. Пользуясь постулатом о постоянстве скорости света, показать, что интервал собственного времени dx выражается через промежуток времени dt в системе S формулой (X. 7).
548.	Решить предыдущую задачу для случая, когда световые часы ориентированы перпендикулярно направлению относительной скорости.
549.	«Поезд» А'В', длина которого Zo=8,64-1O8 км в системе, где он покоится, идет со скоростью V=240 000 км/сек мимо «платформы», имеющей такую же длину в своей системе покоя. В голове В' и хвосте А' «поезда» имеются одинаковые часы, синхронизованные между собой. Такие же часы установлены в начале Лив конце В «платформы». В тот момент, когда голова «поезда» поравнялась с началом «платформы», совпадающие часы показывали 12 час 00 мин. Ответить на следующие вопросы: а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо системе отсчета все часы также показывают 12 час 00 мин-, б) сколько показывают каждые из часов в момент, когда хвост «поезда» поравнялся с началом «платформы»; в) сколько показывают часы в момент, когда голова «поезда» поравнялась с концом «платформы»?
550.	Какой промежуток времени At занял бы по земным часам полет ракеты до звездной системы Проксима — Центавра и обратно (расстояние до нее 4 световых года *), если бы он осуществлялся с постоянной скоростью п = ]/0,9999 с? Из расчета какой длительности путешествия следовало бы запасаться продовольствием и другим снаряжением? Каков запас кинетической энергии в такой ракете, если ее масса 10 г?
*) Световым годом называется расстояние, проходимое светом в вакууме за год (см. введение к § 4 гл. VIII).
144
551.	Два масштаба, каждый из которых имеет длину покоя /0, равномерно движутся навстречу друг другу параллельно общей оси х. Наблюдатель, связанный с одним из них, заметил, что между совпадением левых и правых концов масштабов прошло время АЛ Какова относительная скорость v масштабов? В каком порядке совпадают их концы для наблюдателей, связанных с каждым из масштабов, а также для наблюдателя, относительно которого оба масштаба движутся с одинаковой скоростью в противоположные стороны?
552.	Вывести формулы лоренцева преобразования от системы S' к системе 5 для радиуса-вектора г и времени t, не предполагая, что скорость V системы S' относительно S параллельна оси х. Результат представить в векторной форме.
Указание. Разложить г на продольную и поперечную относительно V компоненты и воспользоваться преобразованиями Лоренца (X. I).
553.	Записать формулы преобразования Лоренца для произвольного 4-вектора Д,- = (До, А), не предполагая, что скорость V системы S' относительно S параллельна оси х.
554.	Вывести формулы сложения скоростей для случая, когда скорость V системы S' относительно S имеет произвольное направление. Формулы представить в векторном виде.
555.	Даны три системы отсчета: S, S', S". S" движется относительно S' со скоростью V, параллельной оси х', S' — относительно S со скоростью V, параллельной оси х. Соответствующие оси всех трех систем параллельны. Записать преобразования Лоренца от S" к А и получить из них формулу сложения параллельных скоростей.
556.	Доказать формулу
Г. v2 __ V1 - v'2lc2 • V1 - V2/c2
I 1 с2	1 + v'  V/c2 ’
где v и v' — скорости частицы в системах S и S', V — скорость S' относительно S.
557.	Доказать соотношение
_ 1a(v' + V)2-(v' х V)2/c2
v	1 + v' • V/c2
где v и v'— скорости частицы в системах S и S', V — скорость S' относительно S.
558.	Происходит три последовательных преобразования системы отсчета: 1) переход от системы S к системе S', двигающейся относительно S со скоростью V, параллельной оси х; 2) переход от системы S' к системе S", двигающейся относительно S' со скоростью v, параллельной оси у'; 3) переход от системы S" к системе S'", двигающейся относительно S" со
Ю В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин	145
скоростью, равной релятивистской сумме скоростей —v и —V *). Доказать, что система S'", как и следует ожидать, неподвижна относительно S и t'" = /, однако S'" повернута относительно S на некоторый угол в плоскости ху (томасовская прецессия). Вычислить угол <р томасовской прецессии.
Указание. Воспользоваться формулами общего вида для преобразования Лоренца (см. задачу 552) и сложения скоростей (см. задачу 554), записав эти формулы в проекциях на декартовы оси.
559.	Два масштаба, каждый из которых имеет в своей системе покоя длину /о, движутся навстречу друг другу с равными скоростями v относительно некоторой системы отсчета. Какова длина I каждого из масштабов, измеренная в системе отсчета, связанной с другим масштабом?
560.	Два пучка электронов летят навстречу друг другу со скоростями v — 0,9 с относительно лабораторной системы координат. Какова относительная скорость V электронов: а) с точки зрения наблюдателя в лаборатории; б) с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с одним из пучков электронов?
561.	Эффекты, возникающие при столкновении двух элементарных частиц, не зависят от равномерного движения этих частиц как целого; эти эффекты определяются лишь их относительной скоростью. Одну и ту же относительную скорость можно сообщить сталкивающимся частицам двумя способами (предполагается для простоты, что частицы обладают одинаковой массой т): а) один ускоритель разгоняет частицы до энергии <S, затем быстрые частицы ударяются о неподвижную мишень из тех же частиц; б) два одинаковых ускорителя расположены так, чтобы создаваемые ими пучки частиц были направлены навстречу друг другу; каждый из ускорителей при этом должен разгонять частицы до энергии <£§<(£.
Сравнить между собой значения ё и ё’о. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский случай.
562.	Найти формулы преобразования ускорения v для случая, когда система S' движется относительно системы S с произвольно направленной скоростью V. Представить эти формулы преобразования в векторном виде.
563.	Выразить компоненты четырехмерного ускорения wf через обычное ускорение v и скорость v частицы. Найти Про-» странственноподобно или времениподобно четырехмерное ускорение?
564.	Выразить ускорение v' частицы в мгновенно сопутствующей ей инерциальной системе через ее ускорение v в ла-
*) Обратим внимание на то, что результирующая скорость зависит от того порядка, в котором производится сложение скоростей.
146
бораторной системе. Рассмотреть случаи, когда скорость v частицы меняется только по величине или только по направлению.
565.	Релятивистская частица совершает «равноускоренное» одномерное движение (ускорение v = w постоянно в собственной системе отсчета). Найти зависимость скорости v(t) н координаты x(t) частицы от времени t в лабораторной системе отсчета, если начальная скорость Уо> а начальная координата х0. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрареляти-вистский пределы.
Указание. Использовать результат предыдущей задачи.
566.	Ракета, рассматривавшаяся в задаче 550, разгоняется от состояния покоя до скорости v = 1' 0,9999 с. Ускорение ракеты составляет | v | — 20 м)сек2 в системе, мгновенно сопутствующей ракете. Сколько времени продлится разгон ракеты по часам в неподвижной системе отсчета и по часам в ракете?
Указание. Влияние сил инерции на ход часов в ракете не учитывать*).
567.	Частица движется со скоростью v и ускорением v, так что за малый промежуток времени 6/ ее скорость в лабораторной системе S меняется на величину dv = vd/. Пусть S' — инерциальная система, мгновенно сопутствующая частице в момент /, a S" — такая же система для момента времени t + б/. Пользуясь преобразованиями Лоренца, показать с точностью до членов, линейных по dv, что координаты и время в этих системах связаны формулами:
г" — г' + Д<р X г' — /' Ду,
где
Av = у [dv + (у - 1) v],
dv X v	^)
Д<р = (у- 1)—.
Какой геометрический смысл имеют преобразования (1)? Какой вид приобретают формулы (2) при v с в первом неисчезающем приближении?
Указание. Удобно рассмотреть цепочку преобразований S" —>5' с помощью формул, приведенных в ответе к задаче 552.
*) Это означает, что предлагается вычислить сумму собственных времен dx = dt\ 1 — ц2/с2 в последовательности мгновенно сопутствующих ракете инерциальных систем отсчета, выражаемую интегралом J” dx. Подробнее по этому поводу см. [107], § 62, а также [17], [72].
10*	147
568.	Относительно системы S движутся система S' со скоростью V и два тела со скоростями v, и V2- Каков угол а между скоростями этих тел при наблюдении в системе S и в системе S'?
Указание. Воспользоваться результатами задач 554 и 556,
569.	Что происходит с углом между скоростями двух тел, рассмотренных в предыдущей задаче, когда скорость системы S' относительно S стремится к с?
570.	В некоторый момент времени направление луча света от звезды составляет угол -О с орбитальной скоростью v Земли (в системе, связанной с Солнцем). Найти изменение направления от Земли на звезду за полгода (аберрация света), не делая приближений, связанных с малостью v/c.
571.	Найти форму видимой кривой, описываемой звездой на небосводе вследствие годичной аберрации. Полярные координаты звезды в системе, связанной с Солнцем, ft, а (полярная ось проведена перпендикулярно плоскости земной орбиты). Орбитальная скорость Земли v «С с.
572.	Пучок света в некоторой системе отсчета образует телесный угол dQ. Как изменится этот угол при переходе к другой инерциальной системе отсчета?
573.	Если считать, что звезды в ближайшей к нам части Галактики распределены равномерно, то каково будет их распределение dN/dQ.' для наблюдателя в ракете, летящей со скоростью, близкой к скорости света?
574.	Найти формулы преобразования частоты © (эффект Доплера) и волнового вектора к плоской монохроматической световой волны при переходе от одной инерциальной системы к другой. Направление относительной скорости V произвольно.
575.	Найти частоту и световой волны, наблюдаемую при поперечном эффекте Доплера (направление распространения света перпендикулярно направлению движения источника в системе, связанной с приемником света). Каково направление распространения рассматриваемой волны в системе, связанной с источником?
576.	Длина волны света, излучаемого некоторым источником, в той системе, в которой источник покоится, равна Хо. Какую длину волны X зарегистрируют: а) наблюдатель, приближающийся со скоростью V к источнику, и б) наблюдатель, удаляющийся с такой же скоростью от источника?
577.	Источник, испускающий свет частоты <оо изотропно во все стороны в своей системе отсчета, движется равномерно и прямолинейно относительно наблюдателя со скоростью V, проходя от него в момент наибольшего сближения на прицельном расстоянии d. Число фотонов, излучаемых в единицу времени в единицу телесного угла (интенсивность потока фотонов), равно Jo в системе покоя источника. Найти зависимость ча
148
стоты со и интенсивности J потока фотонов, регистрируемого наблюдателем, от угла между направлением луча и скорости V. При каких углах 0=0о регистрируемые частота и интенсивность потока фотонов совпадут с соо и /о? Какая доля фотонов регистрируется наблюдателем в интервалах О-<0-<0о и 0о <10 ^ л? Начертить графики зависимостей <о(0) и J (0) для V/c = 1/3 и V/c = 4/5. Какой характер имеют эти зависимости при V/c-+1?
578.	Найти угловое распределение силы света I (световая энергия, излучаемая в единицу времени в единицу телесного угла), а также полный световой поток от источника света, рассмотренного в предыдущей задаче.
Указание. Каждый фотон обладает энергией йы, где й— постоянная Планка.
579.	Зеркало движется нормально к собственной плоскости со скоростью V. Найти закон отражения плоской монохроматической волны от такого зеркала (заменяющий закон равенства углов падения и отражения при I/ = 0), а также закон преобразования частоты при отражении. Рассмотреть, в частности, случай К->с.
580.	Решить предыдущую задачу для случая, когда зеркало перемещается поступательно вдоль собственной плоскости.
581.	Непрозрачный куб с ребром /0 в своей системе покоя движется относительно наблюдателя со скоростью V (рис. 40). Наблюдатель фотографирует его в момент, когда лучи света, испускаемые поверхностью куба, приходят в объектив фотоаппарата под прямым углом к направлению движения (в системе фотоаппарата). Куб виден под малым телесным углом, вследствие чего лучи, приходящие от разных точек куба, можно считать параллельными.
Какой вид будет иметь изображение на фотопластинке? Составить чертеж изображения, нанести на него те вершины и ребра
куба, которые будут сфотографированы. Вычислить их относительные длины. Изображению какого неподвижного предмета эквивалентна полученная фотография? Какой вид приняло бы изображение движущегося куба, если бы были справедливы преобразования Галилея?
149
582.	Тонкий стержень M'N' неподвижен в системе S', имеет в ней длину /о и ориентирован так, как показано на рис. 41. Система S' движется со скоростью V || Ох относительно фотопластинки АВ, покоящейся в системе S. В момент прохождения стержня мимо фотопластинки происходит короткая световая
вспышка, при которой лучи света падают нормально к плоскости xz фотопластинки.
а)	Какова длина I изображения на фотопластинке? Может ли она стать равной или превысить /0?
б)	При каком угле наклона а' сфотографируется только торец стержня?
в)	Каков угол наклона а стержня к оси Ох?
583. Шар, движущийся со скоростью V, фотографируется неподвижным наблюдателем под малым телесным углом. Лучи света от шара падают параллельным пучком на объектив фотоаппарата, составляя прямой угол с направлением скорости V. Какую форму будет иметь изображение на фотопластинке? Какая часть поверхности шара будет сфотографирована?
Указание. Представить шар в виде совокупности тонких дисков, движущихся параллельно своим плоскостям, и построить изображение каждого диска.
584. Пусть движущийся непрозрачный куб фотографируется неподвижным наблюдателем в момент, когда лучи, приходящие от куба, составляют произвольный угол а с направлением скорости V куба (в системе наблюдателя). Телесный угол, под которым виден куб, мал, вследствие чего лучи приходят параллельным пучком и падают на фотопластинку нормально к ее поверхности (рис. 42). Показать, что фотография должна совпа-
ло
дать с фотографией неподвижного, но повернутого на некото рый угол куба. Найти угол поворота изображения при разных значениях V и фиксированном а. При каком значении V будет сфотографирована одна грань А'В'? одна грань В'С?
585. Ввести волновой 4-вектор, описывающий распространение плоской монохроматической волны в движущейся со ско-
ростью V среде с показателем преломления п (фазовая скорость волны в неподвижной среде v'=c/n). Найти формулы преобразования частоты, угла между волновым вектором и направлением скорости движения среды и фазовой скорости.
586.	Плоская волна распространяется в движущейся со скоростью V среде в направлении перемещения среды. Длина волны в вакууме X. Найти скорость v волны относительно лабораторной системы (опыт Фи-зо). Показатель преломле
ния п определяется в систе-
ме S', связанной со средой, и зависит от длины волны Z' в этой
системе. Вычисления проводить с точностью до первого порядка по V/c.
§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры
При переходе от одной инерциальной системы (5х) к другой (S) компоненты 4-вектора преобразуются по формулам
Л = <Ма>	(X. 16)
где матрица преобразования а имеет вид *)
/ Y	-Ру	0	°\	
Л I Pv	- Y	0	0 1	
а-1 0	0	-1	0	(X. 17)
\ 0	0	0	-1 /	
*) Не забывать правило знаков при суммировании, сформулированное после формулы (X. 5): при суммировании по дважды повторяющимся индексам слагаемое с индексом 0 берется со знаком «+», а слагаемые с индексами 1, 2, 3 — со знаком «—»,
151.
Она соответствует преобразованию (X. 1), при котором одноименные координатные оси систем S и S' параллельны, относительная скорость направлена вдоль х и начала координат при t = t' — 0 совпадали.
Матрица преобразования удовлетворяет соотношениям
ацам — gik,	=	~ gihi	(X. 18)
где gik — метрический тензор, имеющий	вид	
/1	0	0	0\	
(0-1	0 = 1 0	0 -1	0 1 0 /	(X. 19)
\0	0	0	-1/	
Знаки на главной диагонали метрического тензора соответствуют знакам в формуле (X. 5), определяющей скалярное произведение двух 4-векторов.
Преобразование, обратное (X. 16), записывается так:
Л; = «„Л.	(Х.20)
Координаты мировой точки Хо = ct, xt ~ х, х2 = у, Хз = z образуют 4-вектор и преобразуются по формулам Г . 16), (Х.20).
При последовательном выполнении двух преобразований Лоренца соответствующие матрицы перемножаются по обычному правилу умножения матриц (см. гл. I, § 1).
Четырехмерным тензором (4-тензором) АДго ранга называется совокупность 4N величин Лт<...ь которые при переходе к другой инерциальной системе отсчета преобразуются как про-
изведения соответствующих компонент 4-вектора Ait Ak,...,Al:
Tlb I — а,паьг • • • а1*Т'пг «•	(X. 21)
1к I ip КГ	IS prt>>S	'	7
Определитель |	|, составленный из элементов матрицы а
преобразования Лоренца, может быть равен —1 (собственное преобразование Лоренца, например, (X. 1)) или +1 (несобственное преобразование). Любое собственное преобразование Лоренца сводится к преобразованию вида (X. 1) и пространственному повороту; такие преобразования могут рассматриваться как повороты в четырехмерном пространстве. Несобственные преобразования Лоренца включают в себя отражение одной или трех координат.
Псевдотензором N-ro ранга называется совокупность 4N величин Pik-.-i, которые при четырехмерных преобразованиях координат преобразуются по формулам
ЛгЛ ,, ,1 ~ — <Xip<Xhr • •  CX-ls | <%тп | Ррг >.. «•	(X. 22)
152
Примером псевдотензора является совершенно антисимметричный единичный псевдотензор 4-го ранга (см. ниже задачу 592). Его компоненты ещп определяются следующими условиями: a) eihim меняют знак при перестановке любой пары значков; б) ео12з = 1- Отсюда следует, что компоненты eiMm равны нулю, если среди значков есть совпадающие между собой, или равны ±1, если все значки различны.
587.	Доказать равенства.
Ai = gikAk, AiBi = AigikBh, gikgkl = gil, gii = 4,
где gib — метрический тензор (X. 19), Aj и В,— четырехмерные векторы. При суммировании по двум повторяющимся значкам используется правило знаков, приведенное после формулы (X.5).
588.	Показать, что тензор gih (X. 19) имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах координат.
589.	Показать, что компоненты А{, А2, А3 четырехмерного вектора Л, = (Ло, Ai, Л2, Л3) при пространственных поворотах преобразуются как компоненты трехмерного вектора А = = (Ль Л2, Л3), а компонента Ло является трехмерным скаляром.
590.	Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется 4-тензор II ранга при пространственных поворотах.
591.	Показать, что компоненты антисимметричного 4-тензора II ранга преобразуются при пространственных поворотах как компоненты двух независимых трехмерных векторов.
592.	Доказать, что величина определенная во введении к данному параграфу, действительно преобразуется как псевдо-тензор.
593.	Доказать равенства: a) eiMmeimrs = 2(gisghr — gtrghs), б) eiMmeUmn = 6gin, где величины eiklm и gik определены во введении к этому параграфу.
594.	Доказать равенство
^tkim^imrsAiBhCrDs = 2(Л,Дг) (BhCft)— 2(ЛгС^) (BhDh).
595.	Составить 4-вектор из частных производных dq/dxi (i = О, 1, 2, 3), где <р — скаляр. Найти выражение для компонент V» оператора четырехмерного градиента.
596.	Составить 4-тензор Tih из частных производных дА^дхь. (i, k = 0, 1, 2, 3), где At — 4-вектор. Показать, что 4-дивергенция dAildx-i является инвариантом.
597.	Найти закон преобразования величин:
а) Л?; б) TtkAk, если А{ — 4-вектор, T{k — 4-тензор.
598.	Два 4-вектора Л, и Вг- называются параллельными, если
Др   Д]   Дг   Аз
Bq	Bl	Bq	Bq
153
Доказать, что отношение одноименных компонент параллельных 4-векторов инвариантно относительно преобразования Лоренца.
599.	Сколько существенно различных компонент имеет 4-тензор III ранга, антисимметричный по отношению к перестановке любой пары значков? Показать, что они преобразуются при поворотах как компоненты четырехмерного псевдовектора.
600.	Даны три системы отсчета: S, S', S". S" движется относительно S' со скоростью V', параллельной оси х', S' — относительно S со скоростью V, параллельной оси х. Одноименные оси всех трех систем параллельны. Путем перемножения соответствующих матриц получить матрицу преобразования от S" к S. Получить отсюда формулу сложения (см. X. 11) одинаково направленных скоростей.
601.	Записать преобразование Лоренца (X. 1) в переменных А'1, х2, х3, х0 = ct, выразив величину относительной скорости V через угол а по формуле V/c = th а.
602.	Получить матрицу преобразования g от системы S' к системе S путем перемножения матриц простых преобразований. S' движется относительно S со скоростью V(V/c = tha) в направлении, характеризуемом сферическими углами О', <р. Соответствующие оси S и S' параллельны.
§ 3. Релятивистская электродинамика
Приведем основные формулы релятивистской электродинамики в вакууме. Плотность трехмерного тока j = pv и плотность заряда р образуют 4-вектор плотности тока
/г = (ср, j).	(Х.23)
Электрическое и магнитное поля являются компонентами антисимметричного 4-тензора электромагнитного поля Fih:
/ 0	— Ex	Ey	~EZ \	
1 Ех	0	-Hz	Hy 1	
Лй = F 1 by	Hz	0	-нх Г	(X.24)
\Ег	-Hy	Hx	0 /	
При переходе от системы S' к системе S компоненты поля преобразуются по формулам (оси х и х’ параллельны относительной скорости):
Ях = £х, Ну = у(н'у-^, Нг = у(н'г + $ЕУ).
Величины
H2-E2 = inv, E-H = inv	(Х.26)
154
являются инвариантами преобразований Лоренца. Векторный А и скалярный ф потенциалы образуют 4-вектор потенциала
А = (Ф, А).	(X. 27)
Компоненты тензора энергии — импульса в вакууме определяются формулой
+	(Х.28)
Девять пространственных компонент тензора Tih образуют трехмерный тензор натяжений Максвелла
Тм = (- EaER - HaHR) + (Е2 + Н2) бов.	(X. 29)
up 4л ' u р u р' 8л '	7 «р	х '
Пространственно-временные компоненты Tih пропорциональны составляющим плотности потока энергии S и плотности импульса поля g:
Т’оа = 7Та, S=^EXH,
!	,	(Х.ЗО)
T^cga, g = —EXH = ^S.
Временная компонента Tik связана с плотностью энергии поля w соотношением
7’00 = И) = -^(Е2+Н2).	(Х.31)
Дивергенция тензора Tift определяет объемную плотность сил = fj, приложенных к зарядам:
^- = ^ = 7^.	(Х.32)
Перейдем теперь к формулам электродинамики при наличии сред. В этом случае векторы поля Е, D, В, Н образуют два антисимметричных четырехмерных тензора II ранга: тензор поля
	/ 0	~ЕХ	— Ey	-Ez\	
Е* = \	Ч а>	0 вг	~BZ 0	31 — oq oq 1	(X. 33)
		-By	Bx	0/	
и тензор индукции	Г 0	-Dx	-Dy	~DZ >	
//« = (	Dx Dy	0 нг	~DZ 0	Dy ~DX ,	(X. 34)
	,DZ	-Dy	Hx	0 /	
155
Векторы поляризации и намагниченности Р и М также образуют 4-тензор
/ 0	рх	Ру	рг \	
-рх	0	-Mz	ми ’	
	Мг	0	У -Мх 1	(X. 35)
\ \-рг	-му	Мх	0 /	
Формулы D=E+4nP и В = Н+4лМ объединяются в одно соотношение
Hik = Fik-4nMik.	(Х.36)
Четырехмерная сила f{, приложенная к единице объема со стороны поля, определяется как
^ = (|[Q + f-v], f),	(Х.37)
где f — пондеромоторная сила, приложенная к единице объема, Q — джоулево тепло, выделяемое в единицу времени в единице объема.
603.	Записать формулы преобразования для векторов поля Е, В, D, Н и поляризаций Р, М при переходе к системе S', движущейся относительно системы S с произвольно направленной скоростью V. Представить формулы преобразования в векторном виде.
Указание. Воспользоваться выражением коэффициентов преобразования, приведенным в задаче 602, и антисимметрией тензоров Fih, Hjk, Mih.
604.	В системе отсчета S имеется однородное электромагнитное поле Е, Н. С какой скоростью относительно S должна двигаться S', в которой Е'ИН'? Всегда ли задача имеет решение и единственно ли оно? Чему равны абсолютные значения Е' и Н'?
605.	В системе отсчета S электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны: Е ± Н. С какой скоростью относительно S должна двигаться система S', в которой имеется только электрическое или только магнитное поле? Всегда ли существует решение и единственно ли оно?
606.	Бесконечно длинный круговой цилиндр равномерно заряжен с линейной плотностью х. Вдоль оси цилиндра течет равномерно распределенный ток 3. Во всем пространстве проницаемости е = р = 1. Найти такую систему отсчета, в которой существует только электрическое или только магнитное поле. Найти величину этих полей.
607.	Система дифференциальных уравнений для магнитных силовых линий вида
dr X Н = 0	(1)
не является релятивистски инвариантной и при переходе в другую инерциальную систему не сохраняет своего видак
156
а)	Показать, что для полей некоторого специального вида система уравнений
dr X Н + сЕ dt = О, Е • dr = 0	(2)
может рассматриваться как релятивистски инвариантное обобщение системы (1).
б)	Выяснить структуру полей, для которых такое обобщение возможно, путем рассмотрения условий совместности уравнений (2). Сколько независимых уравнений содержится в системе (2)?
в)	Какой вид имеет условие интегрируемости системы (2)?
г)	Убедиться в том, что силовые линии, определяемые системой (2), перемещаются в поперечном направлении со скоростью и = сЕХ-^-, т. е. являются движущимися даже в случае статических полей.
608.	Показать, что релятивистски инвариантная система уравнений для электрических силовых линий, аналогичная системе (2) предыдущей задачи, имеет вид eihimFimdxh = 0 (1). Какие требования налагаются на Е и Н, а также на распределение зарядов и токов условиями совместности и интегрируемости системы (1)? Как перемещаются силовые линии, определяемые системой (1)?
609.	Найти величину э. д. с. электромагнитной индукции, возникающей при движении проводника в магнитном поле В. Воспользоваться либо формулами преобразования напряженностей поля, либо формулами преобразования потенциалов.
610.	Найти поля <р, А, Е, Н точечного заряда е, движущегося равномерно со скоростью V, произведя преобразование Лоренца от системы отсчета, в которой заряд покоится.
611.	Показать, что электрическое поле равномерно движущегося точечного заряда «сплющивается» в направлении движения. При этом происходит ослабление поля Е на линии движения заряда по сравнению с кулоновым полем. Как согласуется это ослабление с формулой преобразования Е\\ = Е\\?
612.	Электрический диполь с моментом ро в системе покоя равномерно движется со скоростью V. Найти создаваемое им электромагнитное поле ф, А, Е, Н.
613.	Получить формулы преобразования электрического р и магнитного mдипольных моментов поляризованного и намагниченного тела при переходе от инерциальной системы отсчета, в которой тело покоится, к другой инерциальной системе.
Указание. Исходить из известных формул преобразования вектора поляризации Р и вектора намагничения М.
614.	Незаряженная проволочная петля с током <*/', имеющая форму прямоугольника axb, движется равномерно со
157
скоростью V параллельно своей стороне а. Провод имеет конечное сечение. Найти распределение электрических зарядов на петле, а также ее электрический и магнитный моменты, наблюдаемые в лабораторной системе отсчета.
615.	Найти закон релятивистского преобразования джоулева тепла Q, исходя из определения четырехмерной плотности силы.
616.	Найти формулы преобразования компонент тензора энергии — импульса Tih при преобразовании Лоренца.
617.	Найти шпур тензора энергии импульса (X. 28), т. е. результат свертывания его по двум значкам.
618.	Электромагнитное поле отлично от нуля лишь внутри некоторого конечного пространственного объема V, в котором отсутствуют заряды. Доказать, что полные энергия и импульс поля образуют 4-вектор.
619.	Полный момент импульса системы, состоящей из электромагнитного поля в вакууме и точечных зарядов, можно определить формулой *)
Ktk = “ у Г (xJki ~ xkTa) dSt + У] (XiPk - xkPi), t
в которой интеграл распространен на всю гиперповерхность х0 = с/ = const. Суммирование производится по всем частицам; при этом берутся значения х,, ph в точках пересечения мировых линий соответствующих зарядов с гиперповерхностью Хо = const. Доказать сохранение полного момента импульса системы,
дГ ik	1 г •
учитывая, что = - - Fik]k.
620.	Система состоит из частиц и электромагнитного поля в вакууме и занимает конечный объем. Из рассмотрения баланса полного момента импульса Дар этой системы найти выражение для плотности потока 9? момента импульса поля. Воспользоваться выражением для Д,*, приведенным в условии предыдущей задачи.
ЛИТЕРАТУРА
Фок В. А. [107], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65, 66], Бергман П Г. [13], Френкель Я. И. [111, 112], Эйнштейн А. [117], Мандельштам Л. И. [76j, Джексон Дж. [52], Беккер Р. [12], Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. [106], Гуревич Л. Э. [49], Паули В. [87], Гайтлер В. [29], Компанеец А. С. [60], Минковский Г. [79], Борн М. [17], Лефферт К-, Донайе Т. [72], Пановский В, Филипс М. [86], Вайскопф В. [24], Соколовский Ю. И. [97].
*)' Легко убедиться непосредственно, используя определение тензора Ttk, что пространственная часть Kaf, тензора представляет собой антисимметричный тензор, эквивалентный вектору К = I (г X g) dFE У г X р, где g =»
(Е X И) — плотность импульса поля.
ГЛАВА XI
релятивистская механика
§ 1. Энергия и импульс
Импульс р релятивистской частицы связан с ее скоростью v соотношением
p
mv
(XI. I)
V 1 - v2/c2 ’
где т — масса частицы. Полная энергия 8 свободно движущейся частицы может быть выражена через скорость: _____________________________________тс2 ~ V 1 - и2/с2
(XI. 2)
или импульс
S — с У р2 + т2с2.	(XI. 3)
Кинетическая энергия Т частицы отличается от полной энер-гии на величину энергии покоя $й = тс2:
Т = 8- тс2.
Энергия,
Энергия ственной пульса)
(XI. 4)
импульс и скорость частицы связаны формулой #v = c2p.	(XI. 5)
и импульс частицы являются временной и простран-составляющими 4-вектора энергии-импульса (4-им-
Pl = (8/c,p).	(XI. 6)
При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой энергия и импульс преобразуются по формулам (X. 4). Квадрат 4-импульса является релятивистским инвариантом
р2 = 82/с2 — р2 = т2с2.	(XI. 7)
Частица называется нерелятивистской, если ее кинетическая энергия мала, и ультрарелятивистской, если ее кинетическая энергия велика по сравнению с энергией покоя. Скорость
159
ультрарелятивистской частицы близка к скорости света, импульс связан с энергией соотношением
8 = ср.	(XI. 8)
Частицы с нулевой массой и энергией покоя (фотоны, нейтрино) всегда являются ультрарелятивистскими, их скорость точно равна с.
Энергия и импульс фотона в вакууме связаны с его частотой формулами:
# = й<о,	р = Пи>/с = tik,	(XI. 9)
где й = 1,05 • 10 27 эрг • сек — постоянная Планка.
Полные энергии и импульс замкнутой системы частиц сохраняются. Отсюда следует, что если до начала и после окончания некоторой реакции (распада или столкновения) частицы не взаимодействуют между собой, то полный 4-импульс в начальном и конечном состояниях одинаков:
=	(XI. 10)
а	b
где суммирование производится по всем частицам, имеющимся до и после реакции.
При рассмотрении столкновений удобно пользоваться одной из двух систем отсчета: лабораторной системой S или системой центра инерции S' (система ц. и.), в которой полный импульс р равен нулю. Следует обратить внимание на полезный прием, состоящий в использовании инвариантности квадратов 4-импуль-сов (см. решение задач 651, 657, 675).
Различаются два типа столкновений: упругие, при которых не меняются внутренние состояния и, следовательно, массы частиц, и неупругие, при которых меняются внутренние энергии (массы) сталкивающихся частиц, исчезают старые или рождаются новые частицы. При неупругом столкновении двух частиц сумма масс т\ + т2 сталкивающихся частиц отличается от суммы масс Mh образующихся частиц на величину
ЬМ = т.\ + т2 — Mk,	(XI. 11)
которая называется дефектом массы. Величина Q = с2ДУИ называется энергетическим выходом реакции.
Реакции, идущие по схеме
а + b —> с + d,	(XI. 12)
т. е. такие, при которых две частицы превращаются в две другие частицы, называются двухчастичными (частным случаем двухчастичной реакции является упругое рассеяние двух частиц). Кинематику двухчастичных реакций удобно описывать с помощью инвариантных переменных s, t, и:
S — {pal 4“ Pbl) > t (Pai Pci) > (Pal Pdi) » (XI. 13)
где pni л т. д. — 4-нмпульсы частиц, участвующих в реакции. Любую из величин s, t, и можно выразить через две другие с помощью соотношения
$ + / + н = (т* + m2b + m2 + ni2^c2ii). (XI. 14)
Наглядное представтеиие о кинематике двухчастичной реакции дает кинематическая плоскость, на которой откладываются значения переменных s и t (или s, t и и — см. зад-чу 673). Законы сохранения энергии и импульса ограничивают из кинематической плоскости область значений $, /, и, физическую для данной реакции.
Многие формулы релятивистской кинематики приобретают более простой вид, если пользоваться системой единиц, в которой скорость света с=1. При этом масса, энергия и импульс измеряются в одинаковых единицах, например в Мэв (1 Мэв = = 10е эв = 10-3 Гэв = 1,602- 10-6 эрг). В некоторых задачах этого параграфа используется такая система единиц (что всегда оговаривается). В ряде случаев массы элементарных частиц измеряют в единицах массы электрона те (т. е. используют систему единиц, в которой те — 1).
В таблице XI. 1 приведены для справок массы ряда элементарных частиц. В таблице XI. 2 приведены значения энергий
Таблица XI. 1
Частица	Масса		Частица	Масса	
	в единицах те	в Мэв		в единицах т£	в Мэв
Фотон у	0	0	Ка-мезоны К*	966	493,8
Нейтрино v	0	0	K°,R°	974	497,8
Электрон е~	1	0,511	Протон р	1836	933,2
Позитрон е+			Нейтрон п	1839	939,5
Мю-мезоны ц*	207	105,7	Лямбда-гипе-	2181	1115,4
Пи-мезоны	273	139,6	рон А		
л°	264	135,0				1
Таблица XI. 2
Изотопы	н?	Не*	
В, Мэв	2,23	28,11	38,96
*) В качестве двух независимых величин можно выбрать, например, s и t. Все другие величины (энергии и углы рассеяния частиц в лабораторной системе и системе ц. и.) выражаются через них — см. задачи 668—670.
11 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин	161
связи В некоторых ядер. Под энергией связи понимается величина
В = ДЛ4с2 = 2^он-^оя,	(XI. 15)
где #он — энергия покоя нуклона, <^оя— энергия покоя ядра.
621.	Выразить импульс р релятивистской частицы через ее кинетическую энергию Т.
622.	Выразить скорость v частицы через ее импульс р.
623.	Частица с массой m обладает энергией <£. Найти скорость v частицы. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.
624.	Найти приближенные выражения кинетической энергии Т частицы с массой т\ а) через ее скорость v и б) через ее импульс р с точностью до и4/с4 и pilmici соответственно, при v С с.
625.	Найти скорость v частицы с массой т и зарядом е, прошедшей разность потенциалов V (начальная скорость равна нулю). Упростить общую формулу для нерелятивистского и ультрарелятивистского случаев (учесть по два члена разложения).
626.	Найти скорость v частиц в следующих случаях: а) электроны в электронной лампе (с?=300 эв); б) электроны в синхротроне на 300 Мэв-, в) протоны в синхроциклотроне на 680 Мэв\ г) протоны в синхрофазотроне на 10 Гэв.
627.	Ускоритель дает па выходе пучок заряженных частиц с кинетической энергией Т\ сила тока в пучке равна 3. Найти силу F давления пучка на поглощающую его мишень и выделяемую в мишени мощность W. Масса частицы т, заряд е.
628.	Некоторое тело движется с релятивистской скоростью и через газ, в единице объема которого содержится N медленно движущихся частиц с массой т. Найти давление р, производимое газом на элемент поверхности тела, нормальный к его скорости, если частицы упруго отражаются от поверхности тела.
629.	В линейном ускорителе частица ускоряется в щели между полыми цилиндрическими электродами — «пролетными трубками», вдоль общей оси которых проходит траектория частицы. Ускорение происходит под действием высокочастотного электрического поля с частотой v = const. Разгоняются те частицы, которые проходят все промежутки между трубками при наличии там ускоряющего поля. Каковы должны быть длины пролетных трубок, чтобы частица с зарядом е и массой т пролетала через ускоряющие промежутки в те моменты времени, когда на них имеется максимальное напряжение Ve? Оценить также полную длину ускорителя с N пролетными трубками.
630.	Поток монохроматических pt-мезонов, родившихся в верхних слоях атмосферы*), падает вертикально вниз. Найти отно-
*) Задача формулируется в упрощенном виде.
162-
шение интенсивности потока р-мезонов на высоте h над уровнем моря (/л) и на уровне моря (/0), считая, что в рассматриваемом слое воздуха толщиной h происходит только ослабление потока за счет естественного распада р-мезонов. Энергия р-мезо-нов ^=4,2-108 эв, /i = 3 км, среднее время жизни покоящегося р-мезона т0=2,2-10~6 сек.
631.	Система отсчета S' движется со скоростью V относительно системы S. Частица с массой т, обладающая в S' энергией ё’ и скоростью v', движется под углом '6' к направлению V. Найти угол О между импульсом р частицы и направлением V в системе S. Выразить энергию и импульс частицы в S через &', ё’ или &', v'. Рассмотреть, в частности, ультрареляти-вистский случай ё'^гпс2, V»c. Показать, что в этом случае в некотором (каком?) интервале углов можно пользоваться при-
1 &
ближенной формулой О ~ — tg .
632.	Система S' движется относительно системы S со скоростью V. Угловое распределение частиц, имеющих в S' одинаковую энергию ё', описывается функцией dW/dQ'=F' (&', а'), где величина dW представляет собой долю частиц, движущихся в системе S' внутри телесного угла t/Q'. Ее обычно нормируют так, что
J dW = f F'(&, <x')d£2' = 1.
Угол &' отсчитывается от направления V. Найти угловое распределение таких частиц в системе S. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский случай.
633*. Число частиц dN, находящихся в элементе объема dV и имеющих составляющие импульсы, заключенные в пределах от Рх ДО px + dpx, от ру до Py+dpy, от р2 до pz + dpz, выражается в виде
dN—f(r, р, /)dV(dp),
где (dp) =dpxdpydpz— элемент объема в пространстве импульсов, f(r,p,t)—функция распределения (или плотность числа частиц в фазовом пространстве). Найти закон релятивистского преобразования функции распределения f(r,p,/).
634.	Частицы сорта 1, обладающие в системе S скоростью vb рассеиваются неподвижными частицами сорта 2. Как преобразуется сечение рассеяния da12 при переходе к системе отсчета S', в которой частицы сорта 2 обладают скоростью v', а частицы сорта 1 — скоростью v'? Рассмотреть, в частности, случай, когда скорости v' и v' параллельны.
Указание. Сечением рассеяния doi2 называется отношение числа частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол dQ одним рассеивающим центром, к плотности потока
И*	163
рассеиваемых частиц /i2=nIo0, где nt— число рассеиваемых частиц в единице объема, vo= |vi—vs| — относительная скорость частиц 1-го и 2-го сорта (ср. с задачей 560).
635.	л°-мезон движется со скоростью v и распадается на лету на два у-кванта. Найти угловое распределение у-квантов распада d\V/dQ в лабораторной системе отсчета, учитывая, что в системе покоя л°-мезона оно сферически симметрично.
636.	Выразить энергию л°-мезона, рассмотренною в предыдущей задаче, через отношение f числа у-квантов распада, испускаемых в переднюю полусферу, к числу у-квантов, испускаемых в заднюю полусферу.
637.	л°-мезон распадается на лету на два у-кванта. Показать, что минимальный угол Фппп разлета у-квантов определяется условием cos  ^™|п = в той системе отсчета, в которой скорость л°-мезона равна v.
638.	Найти зависимость энергии у-кванта, возникающего при распаде л°-мезона (ср. с задачей 635), от угла О между направлениями распространения кванта и движения л-мезона. Определить энергетический спектр у-квантов распада в лабораторной системе отсчета.
Указание. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что в системе покоя л°-мезона энергия у-кванта <о'=тс?12 (т — масса л°-мезона).
639.	Показать, что какова бы ни была форма энергетического спектра л°-мезонов, энергетический спектр у-квантов распада в лабораторной системе отсчета будет иметь максимум при <8’=<8’/, (о'=тс?12, где т—масса л° мезона. Пусть и «?2— произвольные значения энергии у-квантов распада, расположенные по разные стороны указанного максимума и отвечающие одинаковым значениям функции распределения. Выразить массу т л°-мезона через t и &2.
Указание. Воспользоваться энергетическим спектром у-квантов, найденным в задаче 638.
640.	Определить массу т некоторой частицы, зная, что она распадается на две частицы с массами т\, т2. Из опыта известны величины импульсов р2 частиц, образовавшихся при распаде, и угол б между их направлениями. Вычислить массу заряженного л-мезона, распадающегося по схеме л—*|i+v, если из опыта известно, что л-мезон до распада покоился, а р-мезон получил после распада импульс рц=29,8 Мэв/с. Масса р-мезона приведена в таблице XI. 1.
641.	Определить массу гщ некоторой частицы, зная, что она представляет собой одну из двух частиц, образовавшихся при распаде частицы с массой т и импульсом р. Импульс р2, масса т2 и угол Ф2 вылета второй частицы, образовавшейся при распаде, также известны.
164
642.	Частица с массой mi и скоростью v сталкивается с покоящейся частицей массы т2 и поглощается ею. Найти массу т и скорость V образовавшейся частицы.
643.	Покоящееся тело с массой т0 распадается на две части с массами гщ и т2. Вычислить кинетические энергии Т\ и Т2 продуктов распада. Найти распределение энергии распада в системе покоя распадающейся частицы между а) а-частицей и дочерним ядром при а-распаде И238; б) ц-мезоном и нейтрино (v) при распаде л-мезона (n-*|i+v); в) у-квантом и ядром отдачи при излучении у-кванта.
644.	Покоящаяся частица а распадается по схеме а—>Ь + а. Выразить энергию распада Qn = ma—mi> — md (с=1) через кинетическую энергию Ть одной из частиц распада и массы mb, md. Вычислить энергию распада и массу 2+-частицы, распадающейся по схеме 2+—>п+л+, пользуясь найденным из опыта значением 7я+=91,7 Мэв и массами нейтрона и л+-мезона, приведенными в табл. XI. 1. Сделать то же самое для распада Х+ по другой схеме 2+—*р+п°, если известна Тр—18,8 Мэв.
645.	Покоящееся свободное возбужденное ядро (энергия возбуждения А#) излучает у-квант. Найти его частоту со. Масса возбужденного ядра т. В чем причина того, что A<F/ti? Как изменится результат, если ядро жестко закреплено в кристаллической решетке (эффект Мёссбауэра)?
646*. Покоящаяся частица а с массой т распадается по схеме a—*at + a2+a3 на три частицы с массами т2, т3 и кинетическими энергиями 7Ь Т2, Т3. Исследовать кинематику такого распада с помощью диаграммы Далица. Для этого ввести переменные х=(Т2—у = Т\ и рассмотреть плоскость (х, у). Каждому конкретному распаду отвечает определенная точка на этой плоскости.
а)	Доказать, что закон сохранения энергии ограничивает на плоскости (х, у) область, имеющую форму равностороннего треугольника. Убедиться в том, что длины перпендикуляров, опущенных из точки, изображающей данный распад, на стороны треугольника, равны кинетическим энергиям образующихся частиц.
б)	Убедиться в том, что двух введенных величин х и у достаточно для определения величин импульсов образующихся частиц и углов между импульсами в системе покоя распадающейся частицы.
в)	Закон сохранения трехмерного импульса приводит к тому, что не все точки внутри треугольника отвечают истинным распадам. Найти на плоскости ху область, внутри которой распады кинематически возможны, для частного случая m2=m3 = 0, т,=Л0.
647.	Построить диаграмму Далица (см. условие предыдущей задачи) для распадов ц- и К-мезонов:
a) |i±—*e±+2v, б) К± -> n°+e±+v.
165
В последнем процессе электрон, как правило, рождается ультра-релятивистским, и его массой покоя можно пренебречь. Определить максимальные энергии частиц
648.	Построить диаграмму Далица (см. задачу 646) для распада покоящегося К+-мезона по схеме
К+—> л~4-л+-рл+.
Энергия распада Q = Зшя~75 Л1эв<шл (с=1), поэтому рождающиеся л-мезоны можно приближенно считать нерелятивистскими. Какова максимальная энергия каждой из частиц?
649.	Построить диаграмму Далица (см. условие задачи 646) для распада co-мезона по схеме
(О -> л++л_+л°.
Считать массы всех трех мезонов одинаковыми, энергия распада Q = mw—Зтя~360 Л4эв>шл, m(i)~780 Мэв (с=1). какова наибольшая энергия каждого из мезонов?
650*. В условии задачи 646 изложены правила построения диаграммы Далица для распада трех частиц. Вероятность dW распада имеет вид
d№=pdr.
Здесь р — величина, зависящая от сил взаимодействия, ответственных за распад, и от импульсов частиц, a dr — элемент фазового объема Г, определяемого интегралом
г_ f (dp.) (dp2) (dp3)A/ _ „
1 J 5fl ti	Р3"’
где Pi — 4-импульс распадающейся частицы (p, = (m, 0) при распаде из состояния покоя), ра1 = ($а, ра), а=1, 2, 3—4-импульсы образующихся частиц, (dpa) —элемент объема импульсного пространства а-й частицы. Четырехмерная 6-функция выражает собой закон сохранения 4-импульса при распаде и показывает, что интегрирование производится только по тем значениям импульсов рь рг, Рз, которые совместимы с законами сохранения энергии и импульса.
Выразить dr через dx, dy и показать, что фазовый объем Г выражается в соответствующем масштабе площадью разрешенной области на диаграмме Далица. Доказательство произвести для общего случая гп1Фт24=т3Ф0.
651.	Частица с массой т налетает на покоящуюся частицу с массой /пь Происходит реакция, в которой рождается ряд частиц с общей массой М. Если т + т^<М, то при малых кинетических энергиях налетающей частицы реакция не идет — она запрещена законом сохранения энергии. Найти минимальное значение кинетической энергии налетающей частицы (энергети-166
ческий порог То реакции), начиная с которого реакция становится энергетически возможной.
652.	Найти энергетические пороги То следующих реакций: а) рождение л-мезона при столкновении двух нуклонов (/V-p/V -> -> N+N+n); б) фоторождение л-мезона на нуклоне (N+y-> ->Л + л); в) рождение Л-мезона и Л-гиперона при столкновении л-мезона с нуклоном (л + Л-> Л-1-Л); г) рождение пары протон — антипротон при столкновении протона массы пгр с ядром массы tn. Рассмотреть, в частности, столкновение с протоном. Оценить порог для рождения антипротона на ядре с массовым числом А, считая
653.	Найти приближенное выражение энергетического порога То реакций, в которых изменение ДЛ1 массы сталкивающихся частиц составляет малую часть их общей массы М («реакция между нерелятивистскими частицами»). Применить полученную формулу к нахождению энергетического порога То реакций: а) фоторасщепление дейтерия (реакция у+Н? ->р+«); б) реакция Не2 + Не2 -> L13 +р. Сравнить полученные приближенные значения с точными (см. задачу 651).
654.	Доказать, что рождение пары электрон — позитрон одним у-квантом возможно только, если в реакции участвует частица с массой покоя /п1=#0 (внутреннее состояние этой частицы не меняется; ее роль состоит в том, что она принимает часть энергии и импульса, делая возможным выполнение закона сохранения). Найти порог То реакции рождения пары.
655.	Доказать, что законом сохранения энергии-импульса запрещена аннигиляция пары электрон — позитрон, сопровождаемая испусканием одного у-кванта, но нет запрета на реакцию аннигиляции пары с испусканием двух фотонов.
656.	Частица с энергией 8 и массой tnt налетает на покоящуюся частицу с массой т2. Найти скорость v центра инерции относительно лабораторной системы отсчета при таком столкновении.
657*. Частица с массой т{ и энергией 8о испытывает упругое соударение с неподвижной частицей, масса которой т2. Выразить углы рассеяния fy, 02 частиц в лабораторной системе отсчета через их энергии 82 после столкновения.
658.	Основываясь на решении предыдущей задачи, выразить энергию частиц, испытавших упругое рассеяние, через углы рассеяния в лабораторной системе отсчета.
659.	Ультрарелятивистская частица с массой т и энергией 8о упруго рассеивается на неподвижном ядре с массой Л1»/и. Определить зависимость конечной энергии 8 частицы от угла й ее рассеяния.
660.	Решить предыдущую задачу для случая неупругого рассеяния частицы на ядре. Энергия возбуждения ядра Л£ в системе его покоя удовлетворяет неравенству шс2<§;ЛЕ<;Л4с2.
167
661.	Частица с массой т испытывает упругое соударение с неподвижной частицей такой же массы. Выразить кинетическую энергию Т\ рассеянной частицы через кинетическую энергию То налетающей частицы и угол рассеяния йь
662.	Используя результаты задачи 658, найти в нерелятивистском случае зависимость кинетических энергий Т\ и Т2 частиц, испытавших упругое соударение, от начальной кинетической энергии Го первой частицы и углов рассеяния йт и й2 в лабораторной системе отсчета (вторая частица до столкновения покоилась).
663.	Частицы с массами т\ и т2 испытывают упругое столкновение. Их скорости в системе ц. и. v't и v', угол рассеяния й', скорость системы ц. и. относительно лабораторной системы V. Определить угол % разлета частиц в лабораторной системе. Рассмотреть, в частности, случай т1 = т2.
664.	Квант света с частотой <о0 рассеивается на движущемся свободном электроне. Начальный импульс р0 электрона составляет угол йо с направлением распространения кванта. Найти зависимость частоты <о рассеянного фотона от направления его движения (эффект Комптона). Рассмотреть, в частности, случай, когда электрон до столкновения покоился.
665.	Фотон с энергией /;<оо рассеивается на ультрареляти-вистском электроне с массой т и энергией ё0 Лй0. Найти максимальную энергию Йо рассеянного фотона.
666.	Найти изменение энергии электрона при столкновении его с фотоном. Начальная энергия электрона ё0, фотона йыо, угол между их импульсами й. Исследовать результат. При каких условиях электроны будут ускоряться под действием фотонных ударов?
667.	Выразить инвариантные переменные s, /, и (XI. 13) для случая упругого рассеяния одинаковых частиц через массу tn, абсолютную величину импульса q и угол рассеяния й в системе ц. и.
668.	Пусть в лабораторной системе частица b покоится. Выразить энергию ёа частицы а в лабораторной системе, а также энергии <8а, ёъ частиц в системе ц. и. через инвариантную переменную s (см. (XI. 13)). Сделать то же самое для абсолютных величин трехмерных импульсов ра, р'(р'а = р'ь = р'\ Использовать систему единиц, в которой скорость света с=1.
669.	Выразить энергии ёк, ёа частиц, возникающих в результате двухчастичной реакции, через инвариантные переменные (XI. 13). Энергии ёс, ёа относятся к лабораторной системе отсчета.
670.	Выразить угол 0 между трехмерными импульсами ра и рс в лабораторной системе при двухчастичной реакции через инвариантные переменные s, t, и (XI. 13). Выразить через эти же переменные угол 0' между импульсами р', р' в системе ц. и.
J68
671.	Построить область допустимых значений переменных х и t (см. (XI. 13)) для реакции у+р -> л°+р (фоторождение л°-мезона на протоне). Какая точка этой области соответствует порогу реакции? Каково пороговое значение То энергии у-кванта в лабораторной системе? Какую кинетическую энергию Тл имеет в лабораторной системе л°-мезон при пороговой энергии у-кванта?
672.	Два у-кванта превращаются в пару электрон—позитрон. Энергия одного из них задана и равна &0. При каких значениях <§Г2 энергии второго кванта и угла f> между их импульсами возможна эта реакция? Изобразить эти значения па плоскости переменных ^2, cos й. Найти также область допустимых значений переменных х, t (XI. 13). Энергию записывать в единицах тс2, где т — масса электрона.
673.	Построить на кинематической плоскости переменных х, t (XI. 13) физические области, соответствующие следующим трем процессам:
а)	л+ + р -> л+ + р — упругое рассеяние,
б)	л- + р-»л_ + р — упругое рассеяние античастиц,
в)	л+ + л” —► р + р — рождение пары протон — антипротон.
Массы всех мезонов и всех нуклонов одинаковы (т и М соответственно).
674.	Доказать, что излучение и поглощение света свободным электроном в вакууме невозможно. Исходить из закона сохранения энергии — импульса.
675.	Доказать, что при равномерном движении заряженной свободной частицы в среде с показателем преломления п(и) (масса частицы т, заряд е, скорость v) может происходить излучение электромагнитных волн (эффект Вавилова — Черенкова) *). Выразить угол О между направлением распространения волны и направлением скорости v частицы через v, со, п(со) (ср. с задачей 827).
Указание. В покоящейся среде с показателем преломления л (со) фотон обладает энергией ^=fico и импульсом
/ \ Л» р = л(со) —.
676.	Доказать, что свободный электрон, движущийся в среде со скоростью v, может поглощать электромагнитные волны, частоты со которых удовлетворяют неравенству ц>с/я(со), где п(ы) — показатель преломления среды.
677.	Частица, имеющая, вообще говоря, сложную структуру и содержащая внутри себя электрические заряды (например, атом), движется равномерно со скоростью v в среде с показателем
*) Аналогичный эффект может иметь место также при прохождении через вещество нейтральной частицы, обладающей электрическим или магнитным моментом.
169
преломления п(<о) и находится в возбужденном состоянии. При переходе в нормальное состояние частица излучает квант с частотой оо (в системе покоя). Этот квант наблюдается в лабораторной системе отсчета под углом & к направлению движения частицы. Какая частота о наблюдается в лабораторной системе (эффект Доплера в преломляющей среде)? Рассмотреть, в частности, случай соо -> 0.
Указание. Члены второго порядка по й не учитывать, считать, что	где т — масса частицы.
678.	Частица, рассмотренная в задаче 677, движется равномерно через среду, находясь в своем нормальном состоянии (остальные условия задачи 677 сохраняются). Доказать, что при этом может происходить излучение, сопровождаемое возбуждением частицы. Выяснить, какие условия необходимы для возникновения такого излучения. Найти частоту со этого излучения (сверхсветовой эффект Доплера).
679.	Из законов сохранения энергии и импульса следует, что черенковское излучение одного кванта частоты m невозможно, если показатель преломления среды п((о)^1 (см. задачу 676). В частности, невозможно одноквантовое черенковское излучение достаточно жестких фотонов, так как при больших частотах //(со)<1. Показать, что при равномерном движении быстрой заряженной частицы с энергией <S3 через среду может происходить излучение сразу двух фотонов, один из которых (с частотой <о2) может быть жестким, так что для него п(со2) -*• 1. Выяснить, каким условиям должны удовлетворять частота coi другого фотона и скорость частицы (йоц ср0), чтобы был возможен такой процесс (жесткое излучение Вавилова — Черенкова). Какова наибольшая энергия жесткого кванта?
680.	Рассмотреть кинематику жесткого излучения Вавилова— Черенкова (см. предыдущую задачу), считая электрон ультрарелятивистским, ё^тс1, а угол Ь2 вылета жесткого кванта малым. Определить максимальное значение энергии '(йсо2)тах жесткого кванта, которого можно достичь в этом случае; рассмотреть характерные частные случаи.
681.	Кристаллическая решетка способна принимать импульс только дискретными порциями q = 2n^g, где g — вектор обратной решетки. В случае кристаллической решетки, элементарная ячейка которой имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами а1г а2, а3, вектор £ = (—, —, —), где п1г п2, п3 — любые
\ fl] fl2 Аз /
целые числа. Считая, что кристалл, имеющий очень большую массу, не может принимать от частицы энергию, выяснить, какой характер будет иметь угловое распределение частиц, рассеиваемых на монокристалле.
682.	Учитывая связь /?о = 2лйДо между импульсом р0 частицы и соответствующей длиной волны Хо, вывести условие Брэгга —
170
Вульфа: 2а sin = nh0, где а — расстояние между кристаллическими плоскостями, & — угол рассеяния частицы.
683.	Выяснить, какой характер будет иметь энергетический спектр тормозных квантов, возникающих при рассеянии заряженных частиц на монокристалле (ср. с задачей 681). Угол между направлением распространения тормозного кванта и первоначальным импульсом частицы фиксирован и мал, -&<gl. Частица ультрарелятивистская, &0У->тс2.
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
В электромагнитном поле Е, Н на точечную частицу с зарядом е, движущуюся со скоростью v, действует сила Лоренца
F = eE + yVXH.	(XI. 16)
За единицу времени кинетическая энергия частицы меняется на величину
F-v = eE-v = ^ = -g-,	(Х1.17)
где <£ — энергия частицы (см. § 1).
Магнитное поле не совершает работы над частицей, так как г,	с d'i
магнитная сила перпендикулярна скорости. Из величин F и можно составить 4-вектор (вектор силы Минковского)
Ft = ( F.'v , - F ).	(XI. 18)
\ С у 1 — V2/c2	Fl — v2fc2 ]
4-сила выражается через тензор электромагнитного поля Fih-.
Ft = Fikuk, где Uh — 4-скорость частицы.
Дифференциальные уравнения движения частицы в четырех-мерной записи имеют вид:
dp,	du. е
или т-~-= —Fikuk. (XI. 19)
Проектируя эти уравнения на пространственные и временную оси, получим уравнения движения в трехмерной форме и закон сохранения энергии:
p = eE+yvXH, 7’ = ev-E.	(XI. 20)
Здесь Т=& — тс2 — кинетическая энергия частицы, р — ее импульс, точкой обозначено дифференцирование по времени t. Формулы (XI. 20) применимы при произвольной скорости частицы.
171
Функция Лагранжа заряженной частицы в электромагнитном поле с потенциалами <р, А имеет вид: в релятивистском случае
L = -	(XI.21)
в нерелятивистском случае
(XI. 22)
где
[/=-yA-v + e<p.	(XI. 23)
Величина U играет роль потенциальной энергии взаимодействия частицы с внешним полем. Уравнения движения частицы могут быть записаны в лагранжевой форме:
d О L	01-1 г.	/V Т	Су л\
-тт-г---л— = 0>	(XI. 24)
dt dqt	0qi	'	’
где qh Qi — обобщенные координаты и скорости.
Ток, возникающий при вращательном (орбитальном) движении точечной заряженной частицы вокруг некоторого центра, характеризуется магнитным моментом *)
ш=х1,	(XI. 25)
где v. = e[2mc — гиромагнитное отношение, т — масса частицы, l=rXmv — момент импульса. Во внешнем магнитном поле Н на частицу действует вращательный момент N = nixH, под действием которого момент импульса 1 изменяется со временем по закону ~ = N. Согласно (XI. 25) зависимость магнитного момента Mt от времени определяется уравнением
-J- = mXH.	(XI. 26)
Кроме механического и магнитного моментов, связанных с орбитальным движением, микрочастицы обладают также собственным (спиновым) механическим s и магнитным ш0 моментами, направленными параллельно или антипараллельно:
imo = XoS.	(XI. 27)
Для электрона хо=е/шс<О, где е — заряд электрона, т—его масса. Изменение со временем момента ш0 описывается уравнением (XI. 26), в котором х заменяется на х0 и m на ш0.
*) Классическая теория, излагаемая ниже, применима к микрочастицам лишь с оговорками. Последовательная теория движения элементарных магнитных моментов должна быть квантовой.
172
Нейтрон не имеет электрического заряда, но обладает, тем не менее, спиновым моментом ш0. Этот момент благодаря квантовым эффектам может ориентироваться во внешнем магнитном поле Н(г) двумя способами: по полю или против него, причем первоначальная ориентация сохраняется, если выполнено определенное условие*). В этом случае движение нейтронов с магнитным моментом, ориентированным по полю или против него), можно рассматривать как движение классических частиц в силовом поле с потенциальной энергией
(7= + m0/7,	(XI. 28)
Энергия U обычно очень мала, поэтому магнитное поле оказывает влияние практически лишь на движение очень медленных («холодных») нейтронов.
684.	Написать релятивистское уравнение движения частицы под действием силы F, выразив импульс явным образом через скорость v частицы. Рассмотреть, в частности, случаи, когда скорость а) меняется только по величине; б) меняется только по направлению; в) v<^c.
685.	Выразить друг через друга вектор силы, действующей на частицу в лабораторной системе (F) и в системе покоя (F'). Скорость частицы v.
686.	Какая сила F действует с точки зрения наблюдателя в мгновенно сопутствующей системе на тело массы т, находящееся в ракете и неподвижное относительно нее, если ракета движется с релятивистской скоростью v по круговой орбите радиуса R?
687.	Два заряда е и е' движутся параллельно оси х с равными постоянными скоростями v. Используя результаты задачи 610, показать, что электромагнитная сила, действующая между зарядами, может быть получена по формуле F=—e'gradi]) из так называемого конвекционного потенциала**) ф= (1 — Р2) 7^, где
R=V (-V1 - Х2)2 + (1 - Р2) [(А/1 - У2)2 + (Zi - Z2)2],
Л, г2 — радиусы-векторы зарядов. Что происходит с этой силон при и->с?
*) Условие адиабатичности, состоящее в том, что угол поворота поля за единицу времени в той системе, где нейтрон покоится, мал по сравнению с частотой прецессии	— магнитного момента ш0 в поле Н.
**) Конвекционным потенциалом движущейся как целое системы зарядов называется функция координат, дифференцирование которой дает компоненты лоренцовой силы, действующей в лабораторной системе на единичный пробный заряд, движущийся вместе с этой системой зарядоз.
173
688.	Найти конвекционный потенциал 4 бесконечно длинного прямого равномерно заряженного провода. Линейная плотность заряда равна х в той системе отсчета, где провод покоится. Провод перемещается поступательно со скоростью v под углом а к своей длине (в лабораторной системе отсчета). Рассмотреть, в частности, случаи а = 0, а=л/2.
689.	Бесконечно длинная равномерно заряженная прямая с линейной плотностью заряда х в системе, где прямая покоится, перемещается вдоль своей длины равномерно со скоростью V. На расстоянии г от нее находится точечный заряд, движущийся параллельно прямой с той же скоростью. Найти электромагнитную силу F, действующую на заряд; скорость v произвольна.
690.	Распределение электронов в параллельном пучке обладает аксиальной симметрией и характеризуется объемной плотностью заряда р в системе отсчета, связанной с электронами. Электроны ускорены разностью потенциалов V. Полный ток в пучке равен 3. Найти величину электромагнитной силы F, приложенной к одному из электронов пучка в лабораторной системе отсчета.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 689.
691.	Найти уширение Да пучка электронов, рассмотренного в предыдущей задаче, на пути L вследствие взаимного отталкивания электронов. Сечение пучка — круг радиуса а. Считать уширение малым (Да<сД).
692*. Частица с зарядом е и массой т движется с произвольной скоростью в однородном постоянном электрическом поле Е. В начальный момент времени / = 0 частица находилась в начале координат и имела импульс р0. Определить трехмерные координаты и время t частицы в лабораторной системе, в функции ее собственного времени т. Исключив т, представить трехмерные координаты частицы в зависимости от t *). Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.
693.	Найти траекторию заряженной частицы с зарядом е и массой т в однородном постоянном электрическом поле Е, используя результаты задачи 692. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский случай.
694.	Найти пробег I релятивистской заряженной частицы с зарядом е, массой т и начальной энергией <S в тормозящем однородном электрическом поле Е, параллельном начальной скорости частицы.
695*. Релятивистская частица с зарядом е и массой т движется в однородном постоянном магнитном поле Н. В начальный момент времени /=0 частица находилась в точке с радиусом-
*) Задача может быть решена также непосредственно путем интегрирования уравнений движения частицы в трехмерной форме.
174
вектором г0, обладая импульсом р0. Определить закон движения частицы.
696*. Нерелятивистская частица с зарядом е и массой т движется в скрещенных постоянных однородных электрическом Е = = (О, Ev, Ez) и магнитном Н=(0, О, И) полях. В начальный момент / = 0 частица находилась в Начале координат и имела скорость v=(oox, 0, Ooz). Определить зависимости x(t), y(t). z(t), начертить возможные траектории частицы.
Указание. Для упрощения интегрирования ввести и= =x+iy.
697.	Релятивистская частица движется в параллельных однородных постоянных электрическом Е и магнитном Н полях (E||H||z). При t = 0 частица находилась в начале координат, обладая импульсом Ро=(Ро.г, 0, poz)- Определить зависимость х, у, z, t от собственного времени частицы т.
698.	Определить закон движения частицы во взаимно перпендикулярных однородных постоянных электрическом Е и магнитном Н полях. Сделать это двумя способами- а) используя преобразование Лоренца и считая известным движение частицы в чисто электрическом или чисто магнитном поле (см. задачи 692 и 695) и б) интегрируя уравнения (XI.19).
699.	Найти кинетическую энергию Т частицы в функции собственного времени т для случаев движения, рассмотренных в задачах 692, 697, 698
700.	Частица, начальная скорость и0 которой мала (оп<сс), движется в скрещенных постоянных однородных электрическом и магнитном полях Е=(0, Еу, Ez), Н = (0, 0, Н), Е<^Н. Определить закон движения частицы, используя преобразования Лоренца и считая известным движение частицы в параллельных электрическом и магнитном полях (см. задачу 697). При решении использовать результаты задачи 603. Ответ сравнить с задачей 696.
701.	Определить закон движения частицы с зарядом е и массой т в поле плоской электромагнитной волны
Е(Г), Н(Г),
где t' = t—~~, п — орт распространения волны. В начальный момент частица покоилась в начале координат.
Указание. Обратить внимание на то, что собственное время т частицы совпадает с аргументом f плоской волны.
702.	Нерелятивистская заряженная частица с зарядом е и массой т проходит через двумерное электростатическое поле с потенциалом <р = /г(х2 — у2), где & = const>0 (линза с сильной фокусировкой). В момент времени t=0 частица находится в точке с координатами х0, у0, z0; начальная скорость параллельна оси z. Определить движение частицы.
175
703.	Найти дифференциальные уравнения движения релятивистской частицы в электромагнитном поле, пс’-одя из функции Лагранжа в цилиндрических координатах.
Указание. При вычислении производной по времени в уравнениях Лагранжа нужно учитывать, что эта производная берется вдоль траектории частиц, так что г, а, г должны рассматриваться как функции времени.
704*. Между обкладками цилиндрического конденсатора с радиусами а и b (а<Ь) поддерживается разность потенциалов V. В пространстве между обкладками имеется аксиально симметричное магнитное поле, напряженность которого параллельна осп конденсатора. Из внутренней обкладки, играющей роль катода, вылетают электроны с нулевой начальной скоростью. Найти критическое значение потока магнитного поля Фкр между обкладками, при котором электроны перестанут попадать на анод вследствие искривления их траекторий в магнитном поле.
705.	Длинный прямой цилиндрический катод радиуса а, по которому течет равномерно распределенный ток &, испускает электроны с нулевой начальной скоростью. Эти электроны движутся под действием ускоряющего потенциала V к длинному коаксиальному аноду радиуса Ь. Каково должно быть минимальное значение разности потенциалов Ц;р между катодом и анодом, чтобы электроны достигали анода, несмотря на заворачивающее действие магитного поля тока с7?
706.	По бесконечно длинному прямому цилиндрическому проводу радиуса а течет ток 9. С поверхности провода срывается электрон, начальная скорость Vo которого направлена вдоль провода. Найти наибольшее расстояние Ь, на которое электрон может удалиться от оси проводника.
707.	Решить задачу 705, используя преобразование Лоренца к системе отсчета, в которой имеется только одно поле (Е или Н).
Указание. Воспользоваться результатами задач 606 и 706.
708*. Релятивистская частица с зарядом — е и массой т движется в поле неподвижного точечного заряда Ze. Найти уравнение траектории частицы. Исследовать возможные траектории в случае, когда момент импульса K>Ze2)c.	f
Указание. Воспользоваться законом сохранения энергии и уравнениями, полученными в задаче 703.
709.	Исследовать возможные траектории частицы, рассмотренной в предыдущей задаче, в том случае, когда K^-Ze2lc.
710*. Релятивистская частица с зарядом е и массой т- движется в поле тяжелого одноименного точечного заряда Ze. Найти траекторию частицы и исследовать решение.
711.	Показать, что при движении частицы в кулоновом поле притяжения (см. задачу 708) скорость частицы стремится к с при г 0 (Ze2>Kc).
176
712.	Найти траекторию относительного движения нерелятивистских частиц с зарядами е, е', массами mb т2 и энергией S’. Исследовать решение.
713*. Найти дифференциальное сечение рассеяния о(0) нерелятивистских частиц с зарядом е в поле неподвижного точечного заряда е'. Скорость частиц вдали от рассеивающего центра равна v0.
714.	Определить угол 6 отклонения релятивистской заряженной частицы с зарядом е, энергией $>тсг и моментом импульса /<>|ее'|/с, пролетающей в кулоновом поле тяжелого неподвижного заряда е' (см. задачи 708 и 710).
715.	Релятивистская частица с зарядом е, массой tn и скоростью на бесконечности v0 рассеивается на малый угол куло-новым почем неподвижного заряда е'. Определить дифференциальное сечение рассеяния о(0)
716.	Электрон с зарядом е и массой т пролетает в вакууме над плоской незаряженной поверхностью диэлектрика с проницаемостью е. Вначале электрон двигался параллельно поверхности диэлектрика со скоростью и и находился от нее на расстоянии а. На каком расстоянии х от проекции начального положения электрона на поверхность диэлектрика электрон врежется в диэлектрик?
717*. В бетатроне во время ускорения электрона магнитное поле непрерывно нарастает, порождая разгоняющую электрон э. д. с. индукции, а орбита его остается неизменной. Доказать, что для ускорения электрона на орбите постоянного радиуса необходимо, чтобы полный магнитный поток Ф, пронизывающий орбиту, был вдвое больше потока Фо, который получился бы, если бы поле внутри орбиты было однородно и равно полю на орбите (бетатронное правило «2 : 1»).
718*. Показать, что с точностью до членов и2/с2 энергия запаздывающего взаимодействия двух заряженных частиц имеет вид
U (0 =	{ 1 - gjr [V, • v2 + (v, • n) (v2 • n)] p \
где R — радиус-вектор относительного положения частиц, n = = R//?, vb v2 — скорости частиц. Все величины в правой части равенства берутся в момент t.
Указание. Воспользоваться разложениями потенциалов Лиенара — Вихерта, найденными ниже в задаче 757, оставив в них только те члены, которые не зависят от ускорений и их производных. Произвести градиентное преобразование потенциалов
♦) Это выражение носит название формулы Брента. Аналогичное выражение используется при приближенном квантовом описании запаздывающего взаимодействия.
J2 В. В, Батыгин. И. Н. Топтыгин
177
таким образом, чтобы скалярный потенциал принял форму куло-нова потенциала.
719.	Найти приближенное выражение функции Лагранжа двух взаимодействующих частиц с зарядами ех, е2 и массами тХг т2, учитывая эффект запаздывания с точностью до поправочных членов порядка v2/c2.
720.	Частица с магнитным моментом ш и гиромагнитным отношением х находится во внешнем однородном магнитном поле Н. Определить характер движения магнитного момента частицы.
721.	Частица с зарядом е и массой т, имеющая внутренние (спиновые) механический s и магнитный
моменты, совершает нерелятивистское движение во внешнем электростатическом центрально-симметричном поле <р(г). Вычислить энергию взаимодействия V спина с внешним полем в первом неисчезающем приближении по о/с, приняв во внимание тома-совскую прецессию мгновенно сопутствующей системы с угловой скоростью
Происхождение прецессии Томаса поясняется в задаче 567.
Указание. Скорости изменения произвольного вектора А в неподвижной и вращающейся системах координат связаны соотношением
(4г) =(4г) +fiXA-\ /неподв \ а* /вращ
где О — угловая скорость вращения (см. [64]).
722.	Решить предыдущую задачу в предположении, что частица движется в потенциальном поле У(г), но поле не электрическое. В связи с этим в сопутствующей системе отсчета магнитное поле отсутствует.
723.	Нейтрон с магнитным моментом тои кинетической энергией Т влетает из пустоты в магнитное поле с напряженностью Н = const, имеющее плоскую границу. При каком условии нейтрон отражается от поля?
724.	Рассмотреть возможные траектории холодного нейтрона (масса т, магнитный момент т0) в поле бесконечного прямого провода с током 9.
725.	Поток холодных нейтронов (скорость и0. магнитный момент т0, масса ш) рассеивается на магнитном поле бесконечного прямого провода с током 9.
178
Определить дифференциальную поперечную длину рассеяния /(а) = |^-|, ' '	| da I
где s(a) — прицельное расстояние, при котором нейтрон рассеивается на угол а.
Указание. Использовать схему решения задачи 713.
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д.. Лифшиц Е. М. [64, 65], Фок В. А. [107], Френкель Я- И. 1111], Гуревич Л Э. [49], Бергман П Г. [13]. Паули В. [87], Беккер Р. [12], Спитцер Л [98], Джексон Дж. [52], Челлен Г. [114], Окунь Л Б [83], Балдин А. М., Гольданский В. И.. Розенталь И. Л. [8], Зоммерфельд А. [56], Ливингстон М. С. [73], Гринберг А. П. [45], Кельман В. М„ Явор С. Я. [58], Моррисон Ф. [80], Скачков С. В. и др. [92], Тамм И. Е. [102], Франк И. М. [108], Гинзбург В. Л., Франк И. М. [37], Компанеец А. С. [60], Ахиезер А. И., Еерестецкий В. Б. [6], Голдстейн Г. [41].
ГЛАВА XII
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям
Задача нахождения переменного электромагнитного поля в вакууме по заданному распределению зарядов p(r', t) и токов j (г', t) может быть решена путем вычисления запаздывающих потенциалов:
ф(г, /) = J	(XII. 1)
А (г, 0 = — Г - dV',	(XII. 2)
где /? = |г — г'|, г — радиус-вектор точки наблюдения поля, г' — радиус-вектор источника поля, dV' — элемент объема источника поля. Эти потенциалы удовлетворяют уравнениям Да-ламбера:
л	1 <Э2<Р	. Аф	С2 dt2 - 4лр,	(XII. 3)
. .	1 <32А	4л . с2 dt2	с J	(XII. 4)
и связаны между собой условием Лоренца	
div А + —= 0. с dt	(XII. 5)
Количество неизвестных функций может быть уменьшено, если вместо потенциалов А (г,/) и q> (г, t) связанных между собой уравнением (XII. 5), ввести одну векторную функцию Z(r, t) (вектор Герца или поляризационный потенциал), через которую ф и А выражаются формулами:
Ф=-(Ну2,	(XII. 6)
А = у^Г-	(XII.7)
Распределение зарядов и токов при этом целесообразно описывать с помощью одной векторной функции Р(г',/), 180
связанной с р и j соотношениями: р = — div Р,
(XII. 8)
(XII. 9)
• = —
J dt
Такое определение величины Р обеспечивает выполнение уравнения непрерывности divj + -^- = O. Величина Р называется поляризацией (не следует смешивать эту величину с поляризацией диэлектрика).
Вектор Герца Z удовлетворяет уравнению Даламбера
1 d2Z	Л D
AZ с2 dt2	4лР'
(XII. 10)
Векторы Е и Н выражаются через Z формулами:
Е = rot rot Z — 4лР, и 1 d rot z П =----л, •
c dt
(XII. 11),
Чтобы найти электромагнитное поле по заданным р и j, используя вектор Герца, нужно сначала определить с помощью (;,ормул (XII. 8) и (XII. 9) вектор поляризации Р. Вследствие аналогии между уравнениями (XII. 3) — (XII. 4) и (XII. 10) вектор Герца выражается затем через Р так же, как запаздывающие потенциалы ср и А через р и J:
Z(r, t)= [ -(г'’ * R,c)- dV'. J	A
(XII. 12)
Если система зарядов и токов заключена в ограниченной области, размеры которой имеют порядок а, а порядок величины длин волн, существенных в спектральных разложениях потенциалов, составляет Z, то при
|«1 и -^<1
(XII. 13)
можно произвести разложение подынтегральных функций по степеням tz/Z и а/г.
Если ограничиться первым членом такого разложения, то
Z(r, /) = -ЦР-,	(XII. 14)
где i' = t — г/с — время запаздывания (ретардированное) центра системы.
Величина
р(Г) = J г'р(г', t')dV'	(XII. 15)
181
представляет собой электрический дипольный момент распределения зарядов (ср. с задачами 741, 742). Соответствующие выражения для А и <р будут тогда следовать из (XII. 6) и (XII. 7).
Особый интерес представляет рассмотрение поля на таких больших расстояниях г от системы зарядов, что наряду с (XII. 13) выполняется неравенство
г'<Л<г	(XII. 16)
(волновая зона). В этом случае для нахождения поля можно воспользоваться разложением векторного потенциала по степеням а/Л, которое с точностью до (а/Х)2 имеет вид
А(г, 0 = —+4Ф-+ nt(f)Xn . (XII. 17) х f сг 2сгг	сг	'	'
Здесь п = г/г— орт в направлении распространения электромагнитных волн,
•tt = i f г' х j (г'. П dW	(XII. 18)
— магнитный дипольный момент,
=	QaP= f Р (?',/') x'ax'dV'	(XII. 19)
Р
— составляющие квадрупольного момента, точкой обозначается дифференцирование по t'.
Характерна зависимость векторного потенциала в волновой зоне от расстояния г до системы. Она обеспечивает (см. ниже) существование неисчезающего на бесконечности потока энергии в направлении от системы. Это значит, что таким векторным потенциалом описывается излучение электромагнитной энергии.
Второй (электрический квадрупольный) и третий (магнитный дипольный) члены в этом выражении по порядку величины меньше в о/Х раз *) первого (электрического дипольного) члена и могут быть отброшены, если только нет каких-либо особых причин, сильно уменьшающих первый член.
В волновой зоне поле в достаточно малых областях пространства имеет характер бегущей от источника плоской волны. Напряженности этого поля могут быть вычислены по формулам:
H = -J-AXn, E = HXn,	(XII. 20)
Угловое распределение излучения характеризуется количеством энергии, протекающей в единицу времени через единицу
*) Если излучающей системой является частица, движущаяся в ограниченной области со скоростью v, то a/X ~ v/c.
182
телесного угла:
J" ‘ //V2.
dQ 4л
(XII. 21}
Полная интенсивность / излучения получается интегрирова-нием (XII. 21) по всем направлениям.
При использовании разложения (XII. 17), получаем
2
Зс3
з^Л2-
(XII. 22)
В случае периодического движения зарядов обычно представляют основной интерес средние по времени за период ве-
v м
ЛИЧИНЫ / И .
726.	Непосредственной подстановкой убедиться в том, что запаздывающие потенциалы удовлетворяют уравнению Далам-бера и условию Лоренца.
727.	Используя результаты задачи 32, получить формулу (XII. 22).
728.	Записать уравнения, которым удовлетворяют электромагнитные потенциалы <р и А, если вместо условия Лоренца (XII. 5) наложить на них условие div А = 0 (так называемая кулонова калибровка).
729.	Показать, что в волновой зоне при выполнении условия Лоренца скалярный потенциал ограниченной излучающей системы может быть выражен через векторный потенциал формулой <р = п • А.
730.	Используя результаты задачи 620 (формулы (2) и (3)), найти выражение для потери момента импульса в единицу времени —системой, излучающей как электрический диполь.
731.	Найти уравнения силовых линий электрического и магнитного полей точечного электрического дипольного осциллятора с моментом р = pocosoj/. Проследить за качественным изменением картины поля в зоне, прилегающей к осциллятору, и в волновой зоне.
Указание. Если полярная ось направлена вдоль р0, то электромагнитное поле осциллятора имеет вид
cos & [у- cos (kr — а/) + k sin (kr — at
Ев = sin & [ y- — k2 j cos (kr — at) + ~ sin (kr — a/) J,
£a=/7r = /7o = O,
#a =
~~ sin & [cos (kr — a/)
1 .
-7—Sin kr
(kr — a/)J.
183
732.	Найти электромагнитное поле Н, Е заряда е, движущегося равномерно по окружности радиуса а. Движение нерелятивистское, угловая скорость со. Расстояние до точки наблюде-ния г а. Найти средние по времени угловое распределение ~dl	т
и полную интенсивность 7 излучения, а также исследовать его поляризацию.
733.	Исследовать влияние интерференции на излучение электромагнитных волн системой зарядов в следующем примере: два одинаковых электрических заряда е движутся равномерно с нерелятивистской скоростью и с частотой со по круговой орбите радиуса а, оставаясь при этом на противоположных концах диаметра. Найти поляризацию, угловое распределение и интенсивность I излучения. Как изменится интенсивность излучения, если убрать один из зарядов (ср. с результатом задачи 732).
734.	Насколько расположение зарядов в предыдущей задаче должно отличаться от диаметрального, чтобы интенсивности электрического дипольного и квадрупольного излучений были равны?
735.	Колебания двух электрических дипольных осцилляторов имеют одинаковую частоту со, но сдвинуты по фазе на л/2. Амплитуды дипольных моментов равны по величине ро и направлены под углом <р друг к другу. Расстояние между осцилляторами мало по сравнению с длиной волны. Найти поле Н в вол-
аТ
новой зоне, угловое распределение и полную интенсивность
I излучения
736.	Исследовать состояние поляризации поля излучения системы осцилляторов, рассмотренных в предыдущей задаче, используя методику, изложенную в решении задачи 399.
737*. Найти среднюю по времени плотность у потока энергии на больших расстояниях от заряда, рассмотренного в задаче 732, учитывая члены порядка 1/г3. Найти вращательный момент N, приложенный к полностью поглощающему сферическому экрану большого радиуса, около центра которого движется этот заряд.
738.	Равномерно намагниченный шар радиуса а с намагниченностью М вращается с постоянной частотой со вокруг оси, проходящей через центр шара и составляющей угол ф с направлением М. Найти электромагнитное поле Е, Н и исследовать
„	дГ
характер поляризации. Определить угловое распределение и полную интенсивность 7 излучения.
739.	Равномерно заряженная по объему капля пульсирует с неизменной плотностью. Поверхность капли при этом 184
описывается уравнением
/?(&) = /?0[1 + аР2 (cos ft) cos со/],	_
где a 1. Заряд капли q. Найти угловое распределение и полную интенсивность / излучения.
740.	Электрический заряд q распределен сферически симметричным образом в ограниченной области и совершает радиальные пульсации. Найти электромагнитное поле Е, Н вне распределения зарядов.
741.	Найти выражения электрических дипольного Zp и ква-друпольного Zo, а также магнитного дипольного Zni членов разложения вектора Герца, справедливые при произвольной зависимости токов-^и зарядов от времени, на расстояниях г^>аг Z»a (выполнение условия r'3>Z не обязательно).
742.	Найти в векторной форме выражения для напряженностей электромагнитных полей электрического р и магнитного шдипольных осцилляторов на расстояниях от них, больших по сравнению с их размерами.
Указание. При дифференцировании по г учитывать, что моменты р и ш должны быть взяты в ретардированный момент t' = t — r/с и, следовательно, зависят от г.
743.	Найти угловое распределение и полную интенсивность I излучения от открытого резонатора, рассмотренного: а) в задаче 532; б) в задаче 533.
Указание. Эти резонаторы можно рассматривать как совокупность электрического и магнитного диполей, колеблющихся с резонансной частотой <oq.
744.	Моменты двух одинаковых электрических диполей направлены по одной прямой и осциллируют в противофазе с частотой w (амплитуда р0). Расстояние между центрами a, а. Найти электромагнитное поле на расстояниях г^>а. Найти
йГ
угловое распределение излучения и его полную интенсивность I.
745*. В линейной антенне длиной I возбуждена стоячая волна тока 0 с амплитудой ff0, частотой w и узлами на концах антенны. Число полуволн тока, укладывающихся на длине антенны, равно т. Найти угловое распределение излучения .
746. Найти полное излучение I и сопротивление излучения R = ZllcJo антенны, рассмотренной в предыдущей задаче.
Указание. Результат выражается через интегральный косинус	х
Ci (х) = С + In х + J --os ~1 dt, о
185.
где С — 0,577 — постоянная Эйлера (см. справочник [91], (8.230)).
747. В линейной антенне длиной I распространяется бегущая волна*) тока 3 exp [z (/eg — <о/)], где k — ы/с, g— координата точки на антенне. Найти угловое распределение и полную интенсивность 7 излучения.
748*. В круглой проволочной петле радиуса а возбуждена стоячая волна тока вида с7 = /7о sin na'e iwt. Найти электромагнитное поле Н, Е в волновой зоне.
749*. Центры двух электрических Дипольных осцилляторов с частотой со и одинаковой амплитудой р0!|х находятся на оси г, на равных расстояниях от начала координат и на расстоянии л = Х/4 друг от друга. Колебания в осцилляторах сдвинуты по фазе на л/2. Найти угловое распределение излучения
750.	Отражение системы В зарядов р(г, /) и токов j(r, /) в плоскости z = 0 состоит в том, что а) каждая точка г(х, у, г) переходит в г'(х, у, —г); б) плотность заряда меняет знак: р(г, t) =—р'(г', /), где р' — плотность заряда в отраженной системе В'. Выяснить, как при отражении преобразуются плотность тока j(r, t), электрические р, Q и магнитный m моменты системы, а также электромагнитное поле Е, Н
751.	Доказать, что электромагнитное поле произвольной системы В зарядов вблизи идеально проводящей плоскости может быть получено как суперпозиция полей системы В и системы В', отраженной в этой плоскости (см. предыдущую задачу). Рассмотреть, в частности, излучение электрического дипольного осциллятора с моментом р(/)=Ро/(О (IРо| = 1, f(0—произвольная функция), находящегося на расстоянии от такой плоскости и образующего с ней угол <po = const (ограничиться электрическим дипольным приближением).
752.	Электрический диполь с амплитудой момента р0 и частотой со находится на расстоянии а/2 от идеально проводящей плоскости (а<^Л, вектор р0 параллелен плоскости). Найти электромагнитное поле Е, Н на расстояниях и угловое распре-dT деление излучения
753.	а) Показать, что если функция и (г, О, а) удовлетворяет уравнению Гельмгольца Д« + &2п = 0, то потенциал Герца для монохроматического поля электрического типа (7/г=0) с частотой <a = kc в свободном от источников поля пространстве может быть представлен в форме: Z = «r + grad х, % =	б) найти вы
*) Нагрузки на концах антенны должны быть подобраны таким образом, чтобы отраженной волны не возникало.
186
ражения составляющих напряженности электромагнитного поля Н, Е по осям сферической системы координат через и (г, •&, а) (функция и называется потенциалом Дебая).
Указание. Доказывая, что AZ+^2Z = 0, обратить внимание на то, что существует соотношение Д%+^2%+2и=0.
754.	Показать, что поле точечного электрического дипольного осциллятора с моментом poe-it0', находящегося в точке г0(г0||р0), может быть описано потенциалом Дебая (см. задачу 753) вида
n eikR
и = — —р—, где R = г — г0.
г0 К
Указание. Вектор Герца Z = w+gradx, соответствующий потенциалу и, отличается от выражения ~ eihR (см. XII. 14), но приводит к тем же выражениям Е и Н.
755.	Точечный электрический дипольный осциллятор с моментом находится на расстоянии b от центра идеально проводящего шара радиуса а. Момент направлен вдоль линии, соединяющей диполь с центром шара. Воспользовавшись потенциалом Дебая и (см. задачу 753), найти электромагнитное поле _ ,, ,, „	di
Е, Н. Наити угловое распределение излучения
§ 2. Электромагнитное поле точечного заряда, движущегося произвольным образом
Точечный заряд е, движущийся со скорстью v(/') и находящийся в момент времени Z' в точке г0(/'), возбуждает электромагнитное поле, потенциалы которого в точке г в момент времени t определяются формулами Лиенара — Вихерта:
ЬД.'	<хп-23>
где R=r — г0.
Ретардированное время t' определяется уравнением
c(t — r) = |R|.	(XII. 24)
Из потенциалов Лиенара — Вихерта можно получить напряженности поля:
F/_ А „ (1-р2) (n-v/c) , en X [(n-v/c) x*v] I /утт
Е <Г’ ^ = е (l-n.v/Tp^- + ^(1 -n-v/c)3/?	’ (Х 11 ’ 25>
Н = п |,, X Е, где n = R/7?, Р = v/c.
Первый член Е и соответствующий ему член Н описывают поле, убывающее с расстоянием по закону 1/Д2 (квазистационар-ное поле), которое движется вместе с зарядом, не отрываясь от
187
него. Второй член в Е и соответствующий ему член в Н описывают поле, убывающее с расстоянием по закону 1//? (поле излучения); поток энергии этого поля не зависит от /?. Это означает, что поле излучения отрывается от породившего его заряда. На большом расстоянии от заряда (в волновой зоне) квазистацио-нарное поле пренебрежимо мало по сравнению с полем излучения. Как видно из (XII. 25), условием возникновения поля излучения является наличие ускорения v=#0.
Интенсивность излучения в направлении n = R//? выражается через напряженность электрического поля Е в волновой зоне
dZ с
= е2 Г 2 (п-у) (у-у)	у2_______(i-v2/c2) (п • у)2 ~|
4лс3 Lc(l — п • v/c)5 "г (1 — п • v/c)4	(1-n-v/c)6 J" •	7
Если скорость v заряда мала по сравнению со скоростью света, то поле излучения может быть разложено по мультиполям, и для его вычисления можно воспользоваться формулами (XII. 17) —(XII. 22).
В результате излучения ускоренно движущаяся частица теряет свою энергию S и импульс р, передавая их электромагнитному полю. Потерю t-й составляющей 4-вектора энергии — импульса частицы р, = ^у, р) в единицу собственного временит можно выразить через 4-скорость ы,- и 4-ускорение частицы:
do. 2е2
<хп-27>
Потеря энергии частицей в единицу времени в лабораторной системе отсчета — d&fdt' (скорость потери энергии) отличается от временной составляющей (XII. 27) множителем Y = • г -	,
V I — V2/c2 так как dt'—ydx. Полная интенсивность излучения, получаемая интегрированием (XII. 26) по углам, не совпадает, в свою очередь, со скоростью потери энергии (см. задачи 762—768).
Поле A (Ro, /) заряда, совершающего периодическое движение по замкнутой орбите г=г0(/') с периодом 2л/й0, может быть
оо
разложено в ряд Фурье A (Ro, /)= X Агехр[—zW/]. Компо-/ = —оо
нента Фурье А, поля на больших расстояниях от орбиты выражается формулой
ikRc р
Az = e7^ У ехР lr' (W'- к  г° (И)]v (Е)	(XII. 28)
188
где
2л ,	/<£>о
С00 = -^-> К =-----------------------П.
и Т	с
Интеграл распространен по всей траектории заряда.
Заряженные частицы при столкновении движутся с ускорением и, вследствие этого, излучают электромагнитную энергию. Закон движения сталкивающихся частиц и, следовательно, излучаемая ими при столкновении энергия определяется видом взаимодействия и прицельным расстоянием s (если потенциальная энергия взаимодействия сталкивающихся частиц зависит только от расстояния между ними). Энергию, излучаемую во всех направлениях при рассеянии потока частиц, удобно характеризовать полным эффективным излучением
к = 2л J\W(s)sds,	(XII. 29)
о
где AU7(s)—энергия, излучаемая при одиночном столкновении двух частиц с прицельным расстоянием s.
Распределение излучения по направлениям характеризуется дифференциальным эффективным излучением dxn, которое определяется выражением
Г d[Airn(s)l
= 2л " 1 s ds.	XII. 30
аъ1 J аъ1	'
о
Здесь d	_ энергия, излучаемая в направлении п в еди-
ницу телесного угла при одиночном столкновении с прицельным расстоянием s, усредненная по азимуту в плоскости, перпендикулярной потоку частиц. Аналогичной формулой определяется дифференциальное эффективное излучение на единичный интервал частот Если главную роль при столкновении играет дипольное излучение, то (XII. 30) принимает вид
dx„ 1
-^=-^И + ВР2(соз-&)],	(XII. 31)
где P2(cos 0) =3/2cos2 0 — '/2 — полином Лежандра жение 2), •& —полярный угол между направлением и направлением z потока падающих частиц,
оо	-f-оо
Л =	Г	р2	dt,
О	J	J
О	—оо
ОО	4-00
B = yj2n:sds J (р2 —3p2)d/.
О	— оо	}
(см. прило-п излучения
(XII. 32
189
Спектральное разложение излучения при столкновении, продолжительность которого т, в области малых частот (от<С 1 может быть найдено по формуле
^ = -A-fXHv2-v.)l2,	(XII. 33)
d<o Зле3 L-J \ z i/j >	'
где сумма берется по всем сталкивающимся частицам, vb v2— скорости частиц до и после столкновения (пь v2<^c).
756*. Получить потенциалы Лиенара — Вихерта (см. (XII.23)) из общих формул для запаздывающих потенциалов.
Указание. Распределение точечного заряда характеризуется объемной плотностью р(г', /)=еб[г' — г0(/)], где г0(/) — радиус-вектор частицы в момент времени t, е — ее заряд. Прн вычислении обьемного интеграла по dV'=dx'dy'dz' нужно перейти к новой переменной Ri = r' — г0.
757*. Произведя разложение по степеням R/c в общих формулах запаздывающих потенциалов (XII. 1), (XII. 2), найти разложение потенциалов Лиенара — Вихерта по степеням 1/с.
758.	Получить потенциалы поля равномерно движущегося точечного заряда из потенциалов Лиенара — Вихерта, выразив в последних ретардированное время f через время t наблюдения поля (ср. с задачами 610 и 811).
759.	Найти напряженности поля равномерно движущегося точечного заряда, воспользовавшись для этого общими формулами (XII. 25). Выразить поле через время t его наблюдения, исключив ретардированное время f (см. ответ к задаче 610).
760.	Заряд е движется с малой скоростью v и ускорением v в ограниченной области. Найти приближенные выражения электромагнитного поля Е, Н частицы в точках, расстояние г до которых от частицы велико по сравнению с размерами области движения заряда. Определить положение границы квазистационар-ной и волновой зон.
761.	Определить угловое распределение ~ излучения заряда, рассмотренного в предыдущей задаче. Найти полное излучение I.
762*. Частица теряет в единицу времени за счет излучения I dt ) ,
в некотором направлении энергию I — df1 (скорость потерь энергии на единицу телесного угла в данном направлении). Вы-dl
разить эту величину через интенсивность излучения в дан-
ном направлении, определяемую вектором Пойнтинга. Решить задачу двумя способами: а) аналитическим — рассмотреть связь ретардированного времени t' с временем наблюдения /;,б) геометрическим — рассмотреть форму области пространства, в кото
190
рой локализована электромагнитная энергия, излученная частицей за время dt'.
763.	Доказать, что если частица совершает периодическое движение, то средняя за период скорость потерь энергии совпадает со средней интенсивностью излучения.
764.	Доказать формулу (XII. 26).
765.	Найти суммарную по всем направлениям скорость потерь энергии ( — -^-j излучающей заряженной частицей, выразив ее а) через скорость v(f) и ускорение v(/'), б) через скорость v(/') и напряженности Е, Н внешнего электромагнитного поля, вызывающего ускоренное движение частицы. Масса частицы т, заряд е.	/ d \
766.	Выразить скорость потери импульса I — излучающей заряженной частицей через суммарную по всем направлениям скорость потери энергии.
767.	Излучающую частицу наблюдают из двух систем отсчета, движущихся равномерно друг относительно друга. Сравнить суммарные по всем направлениям скорости потери энергии частицей в этих системах отсчета.
768.	Скорость v релятивистской частицы в некоторый момент ретардированного времени t' параллельна ее ускорению v. Найти мгновенное угловое распределение интенсивности излучения -^р-, полную мгновенную интенсивность излучения /, а также суммарную по всем направлениям скорость потери энергии I —	1. Какой характер имеет угловое распределение интен-
сивности излучения в ультрарелятивистском случае?
769.	Скорость частицы убывает от До 0 в течение промежутка времени т. Найти угловое распределение тормозного излучения, испущенного за все время движения частицы, считая ускорение постоянным. Какая длительность А/ импульса будет зарегистрирована покоящимся прибором?
770.	Релятивистская частица с зарядом е, массой т и импульсом р движется по круговой орбите в постоянном однородном магнитном поле Н. Радиус орбиты a = cpjeH. Найти суммарную по всем направлениям скорость потери энергии частицей (-#)•
771.	Ультрарелятивистскнй электрон движется в однородном магнитном поле с напряженностью Н по винтовой линии. Его скорость v составляет угол 0 с вектором Н. Найти энергию ~~аё’ теРяемУю электроном в единицу времени. Найти также поток энергии излучения / через неподвижную сферу большого радиуса, окружающую электрон.
191
772.	Найти мгновенное угловое распределение интенсивности dl
излучения релятивистской частицы, скорость которой в ре-тардированный момент времени перпендикулярна ее ускорению. Начертить полярную диаграмму для случаев v<^.c и v~c. Определить направления, в которые не происходит излучения.
773.	Частица с зарядом е и массой т движется со скоростью v по окружности в постоянном однородном магнитном поле Н.
Найти угловое распределение интенсивности излучения, усредненное по периоду обращения частицы в магнитном поле. Какой характер принимает это угловое распределение в ультра-релятивистском случае и~с?
Указание. Использовать результаты предыдущей задачи. Перейти к сферическим координатам с полюсом в центре круговой траектории и полярной осью вдоль Н. При вычислении интеграла по азимутальному углу воспользоваться формулами (3.428) из справочника [91].
774*. Найти компоненты Фурье поля излучения А,,, Нп заряда е, движущегося по круговой орбите радиуса а с релятивистской скоростью V. Исследовать характер поляризации компонент Фурье.
Указание. Использовать формулы (П3.11) и (П3.9).
775. Объяснить наличие высших гармоник в спектре поля заряда, движущегося с постоянной скоростью по круговой орбите (см. предыдущую задачу). Как будут меняться интенсивности этих гармоник, когда р = о/с->0? Какой вид будет иметь поче излучения в этом случае?
776*. Заряд е движется по окружности радиуса а со скоростью и=рс. Найти спектральное разложение интенсивности dln излучения в данном направлении.
ЧП*. На круговой орбите одновременно находится N электронов (см. задачу 774). Рассмотреть влияние интерференции полей, создаваемых этими электронами, на интенсивность излучения n-й гармоники Фурье. Рассмотреть частные случаи: а) совершенно беспорядочного расположения электронов; б) правильного расположения электронов на угловом расстоянии 2л/А друг от друга; в) расположения электронов в виде сгустка, размеры которого малы по сравнению с радиусом орбиты (результат в этом случае существенно зависит от отношения длины волны к размерам сгустка).
778*. Две частицы с зарядами eit е2 и массамитит2 фе21т2) совершают эллиптическое движение (см. задачу 712). Найти полную, усредненную по времени, интенсивность излучения I.
192
779. Найти среднюю за период потерю момента импульса спстемой двух частиц, совершающих эллиптическое движение (см. предыдущую задачу).
Указание. Общая формула для потери момента импульса была получена в задаче 730.
780*. Найти дифференциальное эффективное излучение при рассеянии потока частиц с зарядами массами гщ и скоростью Оо на одноименно заряженной частице с зарядом е2 и массой т2.
Указание. При вычислении интегралов Л и В, входящих в формулу (XII. 31), перейти от интегрирования по dt к иитегри-
,	dr	. Г, 2а	s2
рованию по dr, dt = — , где г = voy 1 —-—,s— прицельное расстояние, 2а— минимальное расстояние, на которое могут сближаться частицы (оно достигается при s=0). Интегрировать сначала по ds, затем по dr. При вычислении В необходимо использовать уравнение траектории относительного движения, которое можно найти в ответе к задаче 712.
781*. Частица с зарядом и массой т сталкивается с другой частицей, масса которой много больше т, а заряд е2, прицельное расстояние s. Кинетическая энергия налетающей частицы велика по сравнению с потенциальной энергией взаимодействия частиц е^г/г. Вследствие этого скорость v налетающей частицы может считаться постоянной в течение всего столкновения; она не обязательно мала по сравнению со скоростью света.
d!\W
Найти угловое распределение полного излучения — Qп . Рассмотреть, в частности, случай (3 = -у <с 1.
Указание. Воспользоваться общей формулой для углового распределения полного излучения (XII. 26). Ускорение частицы v выразить через действующую на нее кулонову силу и скорость v частицы с помощью формул v = c2p/^f и р=е1е2г/г3.
782. Определить полное излучение энергии ДЦ7 и импульса Др частицей, рассмотренной в предыдущей задаче, за все время ее движения. Сделать это как непосредственно — путем интегрирования углового распределения, найденного в предыдущей задаче, так и с помощью формул, полученных в задачах 765, 766.
783*. Частица с зарядом Pj и массой т сталкивается с тяжелой частицей, заряд которой е2. Прицельное расстояние s велико, так что кинетическая энергия частицы в течение всего времени движения велика по сравнению с ее потенциальной энергией. Скорость частицы Найти спектр тормозного излучения частицы ~W(i> da
13 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
193
Указание. Воспользоваться формулой (ПЗ. 15).
784. Поток частиц с зарядом е и скоростью рассеивается на абсолютно твердой сфере радиуса а. Найти эффективное излучение dxo в интервале частот rfo). Чему равно полное эффективное излучение х?
785*. Поток частиц с зарядами сд и массами тх рассеивается
па частице с зарядом е2 и массой т2	. Выразить диф-
dx
ференцпальное эффективное излучение через компоненты квадрупольного момента системы. Результат представить в форме, аналогичной (XII. 31, XII. 32).
786*. Найти полное эффективное излучение х при рассеянии потока заряженных частиц (заряд е, масса т, скорость о0) одинаковой с ними частицей.
§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
Излучающая система частиц, передавая энергию и импульс полю излучения, испытывает со стороны этого поля обратное воздействие (реакция излучения). Если излучение имеет электрический дипольный характер, то на каждую частицу с зарядом е действует сила лучистого торможения (лучистого трения) —
f~p,	(XII. 34)
где р — электрический дипольный момент всей системы.
В частном случае одного заряда, скорость которого v<^c,
f = >v.	(XII. 35)
В ультрарелятивистском случае и~с сила лучистого трения может быть представлена в виде
L = - 3^4 [(^ - Нг)2 + (Ег + НуУ] (XII. 36) ось х выбрана вдоль направления скорости частицы, Е, Н — компоненты внешнего поля, в котором движется излучающая частица, g5 = тс — энергия частицы.
Г 1 — v2/c2
Сила лучистого трения, определяемая формулами (XII. 34) — (XII. 36), не вполне корректным образом учитывает реакцию излучения. Понятием силы лучистого трения можно пользоваться только тогда, когда эта сила мала по сравнению с другими силами, действующими на частицу в ее системе покоя. Это условие выполняется при движении частицы с зарядом е и массой т 194
(XII. 37)
(XII. 38)
в заданном электромагнитном поле Е, Н, если А » г0, //<-^4=4, е г0
где А— длина волна, излучаемая частицей, г0 == 2,8 X Х10-'3 см — классический радиус электрона. Условия (XII. 37) и (XII. 38) означают, что классическая электродинамика становится внутренне противоречивой на очень малых расстояниях (больших частотах) и в слишком сильных полях *).
Электромагнитная волна, падающая на систему зарядов, вызывает ускоренное их движение. Вследствие этого, система становится источником вторичных волн — рассеивает падающую волну. Процесс рассеяния характеризуется дифференциальным и полным сечениями рассеяния, определение которых дано в § 2 гл. VIII.
Электромагнитное поле движущейся заряженной частицы обладает энергией, импульсом и, следовательно, массой (электромагнитная масса частицы). Вопрос об электромагнитной массе элементарных частиц не может быть решен на основе классической электродинамики. Однако классическая теория хорошо поясняет саму идею электромагнитной массы. Задачи 787—790 иллюстрируют основные положения этой теории, а также возникающие в ней трудности.
787*. Найти импульс электромагнитного поля частицы с зарядом е, движущейся равномерно со скоростью V. Частицу рассматривать в ее системе покоя S' как твердый шарик с радиусом г0 (в системе, где скорость частицы равна v, имеет место лорен-цово сокращение). Ввести электромагнитную массу т0 покоя частицы, связанную соотношением Эйнштейна с энергией ее поля в состоянии покоя. Какие при этом возникают трудности?
788. Найти энергию Wm магнитного поля, а также полную электромагнитную энергию W частицы, рассмотренной в предыдущей задаче.
789*. Найти силу F, с которой заряженная сферически симметричная частица действует сама на себя (сила самодействия) при ускоренном поступательном движении с малой скоростью Запаздывание и лоренцово сокращение не учитывать.
*) Следует отметить, что благодаря квантовым эффектам классическая электродинамика становится неприменимой раньше, чем обнаруживается ее внутренняя противоречивость. Это происходит на расстояниях порядка 1	< о-?	е т2с4
~ ld7f0 и В ПОЛЯХ	.
тс	ЛОГО 137е3
13;
195
Указание. Вычислить равнодействующую сил, приложенных к малым элементам de заряда частицы, воспользовавшись выражением для напряженности поля точечного заряда (XII.25).
790*. Найти уточненное выражение для силы F самодействня заряженной сферически симметричной частицы (см. предыдущую задачу). При решении учитывать эффект конечной скорости распространения взаимодействия с точностью до первого порядка по времени t' — t распространения взаимодействия между элементами частицы. Рассмотреть, в частности, предельный случай точечной частицы. Оценить вклад отбрасываемых членов более высокого порядка по t' — t в этом предельном случае.
791.	Какое время Т прожил бы резерфордовский атом водорода, если бы электрон в атоме двигался и излучал как классическая частица? Считать, что электрон, теряя энергию, движется к протону по пологой спирали, так что в каждый момент времени он излучает как заряд на круговой орбите (радиус орбиты медленно меняется со временем). При каком условии справедливо jrro предположение? Начальный радиус атома а = 0,5-10-8 см.
792.	Релятивистская частица с зарядом е и массой m движется по круговой орбите в постоянном однородном магнитном поле Н, теряя энергию на излучение. Найти закон изменения энергии и радиуса орбиты со временем ё"(t) и r(t). В начальный момент времени /=0 энергия частицы б?0 (ср. с задачей 791).
793.	Электрон в бетатроне разгоняется на орбите постоянного радиуса а вихревым электрическим полем. Последнее индуцируется переменным магнитным полем частоты о>. Найти критическое значение энергии электрона б?кр, при котором потери на излучение сравняются с энергией, приобретаемой электроном за счет работы вихревого электрического поля.
794*. Частица с зарядом е и массой m притягивается к некоторому центру квазиупругой силой — тшоГ. В некоторый момент времени / = 0 в этом гармоническом осцилляторе возникают свободные колебания. Учитывая реакцию излучения, но считая ее малой, найти закон затухания этих колебаний. Определить форму спектра такого осциллятора и ширину спектральной линии («естественная ширина»). Как связаны между собой неопределенность энергии излучаемых фотонов и время жизни осциллятора?
795.	Газ состоит из атомов с массой т. Неподвижный атом этого газа излучает свет с частотой <>)0 (естественной шириной линии испускания пренебрегаем). Из-за теплового движения атомов и эффекта Доплера наблюдатель, неподвижный относитель-йо сосуда с газом, зарегистрирует частоту, отличающуюся от о>о. Найти форму dl^/da спектра излучения газа, нагретого до тем-пературы Т.
196
Указание. Скорости атомов газа распределены по закону Максвелла
/ т \3/2 Г то21 ,	,	,
( 2nkT ) ехр L 2kT ] dVjc dvy dVz'
где dN/N — доля молекул, скорость v которых заключена в промежутке dvxdVydvz, k = 1,38• 10-16 эрг[град — постоянная Больцмана. Так как выполняется условие п<СС можно в формуле, выражающей доплеровское изменение частоты (см. задачу 574), отбросить все члены, порядок которых выше v/c.
796.	Излучающий атом, описываемый моделью гармонического осциллятора, движется в газе; при этом атом испытывает столкновения с другими атомами, скачком меняющие характер его колебаний. Вероятность того, что время свободного движения атома имеет продолжительность от т до t+dt, выражается
Г Г Гт 1
формулой dW (т) = у ехр —%- dr (среднее значение промежутка времени между столкновениями т=2/Г). Найти, пренебрегая естественной шириной линии, форму спектра излучения такого dl(i> осциллятора .
797*. На трехмерный изотропный осциллятор падает группа волн, характеризуемая спектральным распределением интенсив-оо
ности и полной интенсивностью S — J Sada (S — количество о
энергии, протекающее через 1 см2 за все время прохождения группы). Ширина спектрального распределения группы велика по сравнению с естественной шириной спектральной линии осциллятора у. Скорость электрона v<^c. Найти энергию, поглощенную осциллятором из световой волны, учитывая торможение излучением. Как сказывается на результате характер поляризации и направление распространения волн, входящих в группу?
798. Найти полное количество энергии Д1Г, поглощенной одномерным осциллятором с собственной частотой (»0 из группы волн со спектральным распределением Sa, в следующих трех случаях: а) линейно поляризованная плоская группа волн, у которой направление колебаний вектора Е составляет угол & с осью осциллятора; б) неполяризованная плоская группа волн, распространяющаяся под углом 0 к оси осциллятора; в) изотропное поле излучения (на осциллятор с равной вероятностью падают плоские волны с любым направлением поляризации и любым направлением распространения).
799*. Линейно поляризованная волна падает на изотропный гармонический осциллятор. Скорость электрона v<^c. Найти дифференциальное и полное а сечения рассеяния волны
197
с учетом силы лучистого трения. Рассмотреть, в частности, случаи сильно связанного и слабо связанного электрона.
800. Плоская электромагнитная волна, поляризованная по кругу, рассеивается свободным зарядом. Определить рассеянное поле Н, исследовать характер его поляризации. Найти дифференциальное и полное о сечения рассеяния.
801. Неполяризованная плоская волна рассеивается свободным зарядом Найти степень р деполяризации рассеянной волны в зависимости от угла О рассеяния.
802*. Линейно поляризованная волна рассеивается свободным зарядом. Заряд движется с релятивистской скоростью v в направлении распространения волны. Найти дифференциальное сечение рассеяния. Рассмотреть также случай рассеяния не-поляризованной волны.
Указание. Воспользоваться формулой (XII. 26) и выразить v через Е, Н.
803*. Изотропный гармонический осциллятор с частотой (о0, зарядом е и массой т помещен в слабое однородное постоянное магнитное поле Н. Определить движение осциллятора. Исследовать характер поляризации излучения осциллятора *).
§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны
Электромагнитное поле есть функция независимых переменных г, t. При рассмотрении многих вопросов удобно пользоваться разложениями Фурье для поля. Встречаются разложения еле-
дующих типов: 1. Разложение	на монохроматические волны:
f(r,	оо t)= fL(г)d<0,	(XII. 39) — со
(XII. 31')
оо
Мг) =	/ Пг. ^^dt.
2. Разложение на плоские волны:
f(r, /)=/fu(/)e‘kr(rfk),
f-Ai)= (2^р(г> 0*-fkr(dr).
(XII. 40)
(XII. 40')
*) Такой гармонический осциллятор представляет собой модеть атома во внешнем магнитном поле. В задаче, таким образом, предлагается развить классическую теорию эффекта Зеемана.
198
Здесь f — какая-либо из компонент поля, (cfk) =dkxdkydkz.
3. Разложение на плоские монохроматические ’волн ы:
f (г, /)= J fkoexp[i(k • r-co/)](dk)dco,	(XII. 41)
/ko = 72^F f Kr’ Oexp[-i(k-r-cof)](dr)dL (XII. 41')
Из уравнений Максвелла следует, что частота го является функцией волнового вектора к. Уравнение, выражающее зависимость го —го (к), называется дисперсионным уравнением. Вещественность компонент поля f(r, t) приводит к соотношениям:
= fk = P.k, fka = f-k.-a. (XII. 42)
Формулами (XII. 40), (XII. 41) описывается поле во всем бесконечном пространстве. Соответственно этому, интегралы в этих формулах распространяются на все пространство волновых векторов и на все координатное пространство. Другая употребительная форма разложения на плоские волны, при которой рассматривается поле в ограниченном объеме V, излагается во многих руководствах, например, в [65], стр. 167 или в [29], гл. 1.
При использовании разложений Фурье весьма полезны бывают соотношения (П1. 15) и (П1. 14) из теории 6-функции. В частности, с помощью соотношения (П1. 15) и формул (XII. 42) могут быть доказаны формулы:
со	со
/ р (/) dt = 4л / I fa I2 dro,
—СО	О
со
p2(r, /) (dr) = (2л)3 / J J |fk|2(dk).
(XII. 43)
Разложение на плоские монохроматические волны играет большую роль в квантовой электродинамике. Каждой такой волне в квантовой теории сопоставляются фотоны — частицы, движущиеся со скоростью света с. Энергия <5 и импульс р фотонов связаны с частотой го и волновым вектором к соотношениями:
= р = йк.	(XII. 44)
804.	Доказать формулы (XII. 43).
805.	Найти связь между компонентами Фурье полей Е, Н и потенциалов А, <р (рассмотреть все три варианта разложений Фурье).
806.	Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье для трех вариантов разложения Фурье. Пространство
199
заполнено однородной изотропной диспергирующей средой с параметрами е(ю), р(ю), вообще говоря, зависящими от частоты.
807.	Записать уравнения Даламбера и условие Лоренца относительно компонент Фурье для потенциалов А (г,/) и <р(г, /). Рассмотреть все три варианта разложений Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной средой с параметрами е(о>) и р(ю).
808*. Разложить по плоским волнам потенциал <р кулонова
поля неподвижного точечного заряда.
809.	Разложить по плоским волнам напряженность электрического поля Е неподвижного точечного заряда е.
810.	Точечный заряд движется в вакууме со скоростью v=const. Разложить поле <р, А, Е, Н заряда па плоские монохроматические волны.
811*. Найти потенциалы <р(г, /), А(г, /) поля равномерно движущегося точечного заряда е (см. ответ к задаче 610), исполь
зуя разложения этих потенциалов по плоским волнам, полученные в предыдущей задаче.
Указание. Для вычисления интеграла по (dk) сделать за-мену переменных kx —> г , ky —>ky, kz-+kz (ось x||v) и 1 1 v/c
воспользоваться разложением поля неподвижного точечного заряда на плоские волны (см. задачу 808).
812*. Нейтральная точечная система зарядов движется в вакууме равномерно со скоростью v. Найти электромагнитное поле <р(г,/), А (г, /), воспользовавшись разложением Фурье по плоским монохроматическим волнам, если электрический р и магнитный ш дипольные моменты в лабораторной системе отсчета
заданы.
Указание. Плотности электрического заряда и тока системы выражаются формулами.
j = с rot [пФ (г - v/)] +	[ рд (г - v/)],
р = — div [рб (г — v/)].
813.	Получить потенциалы поля равномерно движущегося магнитного диполя (момент ш0 в системе покоя диполя). Скорость диполя V. Ограничиться двумя частными случаями: а) когда Mtollv, б) когда iiio±v. Воспользоваться формулами преобразования моментов, полученными в задаче 613.
814.	Получить поле равномерно движущегося электрического диполя (момент р0 в системе покоя) с помощью результатов задачи 812 (см. ответ к задаче 612).
815.	Показать, что компоненты Фурье разложения безвихревого вектора на плоские волны параллельны к (продольны), а компоненты Фурье соленоидального вектора — перпендикулярны к (поперечны).
200
816*. Записать уравнения, которым удовлетворяют в вакууме безвихревая и соленоидальная части векторов электромагнитного поля Е и Н. Показать, что безвихревая часть электрического поля Ен (г, /) описывает мгновенное (незапаздывающее) куло-ново поле, определяемое распределением зарядов в тот же момент времени, для которого определяется Е(.
817*. Разложить свободное (р=0, j=0) электромагнитное поле А (г,/) в вакууме на плоские волны (в этом случае <р=0). Поле занимает неограниченное пространство. Представить амплитуды Фурье этих волн в виде Ак? (() = ^-р=- <?кЛ (/) екХ, где екХ -орт, характеризующий направление поляризации данной поперечной волны, так что k-ekX=0 (см. начало § 1 гл. VIII). При этом каждому к, очевидно, соответствуют два независимых орта поляризации (Х=1, 2). Орты ек| и ек2 взаимно ортогональны: e i ’ ек2 = ен ‘ ск2 = ®- Найти уравнения, которым в общем случае удовлетворяют комплексные «координаты» qkK(J)- Выразить напряженности Е, Н, энергию W и импульс G поля через q^K и
818*. Используя результаты предыдущей задачи, ввести вещественные осцитляторные координаты
и выразить векторы поля А, Е, Н через эти координаты Найти также энергию W и импульс G поля в координатах QkA-
819*. Электромагнитное поле излучения описывается осцил-ляторпымп координатами qk\ (см. задачу 817). Написать дифференциальные уравнения, которыми описывается взаимодействие поля излучения в переменных q^ с заряженной нерелятивистской частицей.
820. Найти изменение в единицу времени энергии поля излучения в результате взаимодействия частицы с полем. Выразить эту величину через осцилляторные координаты qk\ и силы Е!</(/) (см. решение предыдущей задачи).
821*. Частица с зарядом е совершает простое гармоническое колебание по заданному закону r = rosinwoE где r0=const. Используя метод осцилляторов поля (см. задачу 819), найти угловое распределение и полную интенсивность / излучения*).
822. Заряд е движется с постоянной j повой скоростью ©о по окружности радиуса а0. Используя метод осцилляторов поля, исследовать характер поляризации поля излучения заряда, найти
*) Задача, конечно, может быть решена значительно проще (см § 1 этой главы). Предлагаемый метод решения интересен своей тесной связью с методом решения аналогичной задачи в квантовой электродинамике.
201
угловое распределение и полную интенсивность излучения (ср. с задачей 732).
823*. Линейно поляризованная волна с частотой и падает на гармонический осциллятор, собственная частота которого <у>о-Используя метод осцилляторов поля, найти дифференциальное — и полное о сечения рассеяния (лучистое трение не учитывать). Исследовать поляризацию рассеянного излучения.
824. Найти дифференциальное и полное о сечения рассеяния линейно поляризованной, поляризованной по кругу и не-поляризованной монохроматических волн на свободном заряде, используя метод осцилляторов поля (ср. с задачами 799 и 800).
825. На свободном заряде рассеивается: а) деполяризованная волна с частотой со; б) волна, поляризованная по кругу. Исследовать характер поляризации поля излучения, используя метод осцилляторов поля (см. задачи 799 и 800).
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. [65], Стрэттон Дж. А. [100], Джексон Дж. [52], Гуревич Л. Э. [49], Френкель Я. И. [ill], Пановскпй В., Филипс М. [86], Смайт В. [93], Иваненко Д. Д., Соколов А. А. [57], Власов А. А. [25], Беккер Р. [12], Гринберг Г. А. [46], Вайнштейн Л А [23], Компанеец А. С [60], Зоммерфельд А. [54], Тихонов А. Н., Самарский А. А. [104], Будак Б М, Самарский А. А., Тихонов А. Н. [20], Горелик Г. С. [43], Ахиезер А. И., Бере-стецкий В. Б. [6], Гайтлер В. В. [29], Паули В. [87], Гинзбург В. Л., Сазонов В. Н., Сыроватский С. И. [35], Гинзбург В. Л., Сыроватский С. И. [36].
ГЛАВА XIII
ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ВЕЩЕСТВОМ
В этой главе методами классической макроскопической электродинамики рассматриваются различные процессы потерь энергии быстрых частиц в веществе.
Макроскопическая теория, не учитывающая пространственной дисперсии электрической и магнитной проницаемостей, применима, если вещество можно рассматривать как сплошную среду, т. е. если пролетающая частица взаимодействует одновременно со многими атомами. Это означает, что с помощью макроскопических уравнений можно правильно определить энергию, передаваемую частицей только тем электронам вещества, которые находятся на достаточно больших расстояниях г от ее траектории, г^а, где а — величина порядка межатомного расстояния; в конденсированных средах а совпадает с линейным размером атома (=а 10 8 см).
Скорость частицы v должна удовлетворять условию иЗ>цат, где цат-—средняя скорость атомных электронов. При меньших скоростях частица в основном передает энергию электронам, находящимся вблизи ее траектории, где макроскопическое рассмотрение неприменимо.
Потери энергии, вызванные ионизацией и возбуждением атомов среды, называются ионизационными потерями. Если частица движется через плазму, то значительная часть теряемой ею энергии идет на возбуждение колебаний электронного газа как целого (продольные плазменные волны, см. задачу 443).
Вещество существенно влияет и на излучение поперечных электромагнитных волн частицами. Если заряженная частица движется в непоглощающем диэлектрике с постоянной скоростью, превышающей фазовую скорость света, то она излучает поперечные электромагнитные волны (излучение Вавилова — Черенкова; теория этого явления была дана И. Е. Таммом и И. М. Франком [103]).
Электромагнитное поле, создаваемое в среде движущейся частицей, определяется из уравнений Максвелла: плотности
203
заряда и тока в этих уравнениях удобно записывать в виде р=<?6[г — г0 (/)], j = <?r06[r — r0(/)J, где е — заряд частицы, г0(/) — ее радиус-вектор. Интегрирование уравнений Максвелла в общем случае диспергирующей среды производится путем разложения искомых величин (векторов поля) в интеграл Фурье по координатам и времени. При этом для определения компонент Фурье получается система алгебраических уравнений (см., например, задачу 826).
Чтобы найти энергию излучения Вавилова — Черенкова на единице пути частицы, нужно определить электромагнитное поле, создаваемое частицей в среде, и подсчитать поток энергии через цилиндрическую поверхность единичной длины и бесконечного радиуса, окружающую траекторию частицы. Интеграл по времени от указанного потока энергии и даст полную энергию, излучаемую частицей на единице пути в виде электромагнитных волн.
Если радиус цилиндрической поверхности будет конечным (а), то интеграл по времени от потока энергии будет включать не только энергию излучения Вавилова—Черенкова, но и ту энергию, которая передается электронам среды, находящимся на расстояниях г>а от траектории частицы.
826*. Частица с зарядом е движется со скоростью v=const в однородной и изотропной среде. Диэлектрическая проницаемость среды е(со), магнитная проницаемость ц=1. Определить составляющие электромагнитного поля, создаваемого движущейся частицей.
827*. Частица движется в непоглощающем диэлектрике с постоянной скоростью и = рс. Используя результаты предыдущей задачи, исследовать создаваемое частицей поле на больших расстояниях от ее траектории. Показать, что достаточно быстрая частица будет излучать поперечные электромагнитные волны (эффект Вавилова — Черенкова). Найти условия возникновения этого излучения и полную величину черепковских потерь цщ. ч на единице пути.
828.	Частица с зарядом е движется с постоянной скоростью через вещество, диэлектрическую проницаемость которого можно приближенно описать формулой
со2
Е (со) =14-5---2" •
(Од — го
Определить энергию излучения Вавилова — Черенкова на единице пути ьув-ч, если скорость частицы удовлетворяет условию п2ео>с2, где е0 — статическое значение диэлектрической проницаемости. В каком интервале углов сконцентрировано излучение? Сделать численную оценку, положив
соо = 6-1015 сек-', е0 = 2, v = c.
204
829.	Получить условие cos 0= 1/р«, определяющее направление излучения Вавилова — Черенкова, из рассмотрения интерференции отдельных волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории.
830.	Черенковское излучение частицы можно рассматривать как следствие резонанса между собственными колебаниями среды и вынуждающей силой, связанной с движущейся частицей. Получить условие возникновения эффекта Вавилова — Черенкова из сравнения частот собственных колебаний среды и вынуждающей силы.
831.	Релятивистская частица, имеющая скорость v, проходит через диэлектрическую пластинку толщиной I перпендикулярно ее плоскости. Показатель преломления пластинки п, дисперсию не учитывать. Найти длительность т вспышки черенков-ского излучения, которую зарегистрирует неподвижный относительно пластинки наблюдатель. Определить поток энергии / черенковского излучения через поверхность пластинки во время вспышки. Краевым эффектом пренебречь.
832.	Показать, что минимальная скорость движения частицы Пнин, при которой возникает излучение Вавилова — Черенкова в данном направлении, удовлетворяет условию
C'lnin COS 6 = Vg (om) j
где vg — групповая скорость электромагнитных волн в диэлектрике, ojm — частота, при которой показатель преломления имеет-максимум, 6 — угол между направлениями излучения и скорости частицы. Диэлектрик считается непоглощающим.
833*. Частица движется с постоянной скоростью v = $c в пе-дпепергирующей среде с прони^рмостями е, ц. Определить электромагнитные потенциалы ср и А. Рассмотреть два случая, n<Uq) и у>п(р, где — фазовая скорость электромагнитных волн в рассматриваемой среде.
834.	Прямолинейный провод, параллельный оси х, перемещается вдоль оси у со скоростью v = const в непоглощающей среде с проницаемостями е(щ), pi(oj). В лабораторной системе отсчета провод электронейтрален, по нему течет ток 3 в направлении оси х*). Найти условие, при котором возникает излучение Вавилова — Черенкова. Определить полную энергию излучения wB-4 с единицы длины провода на единице пути. Подсчитать тормозящую силу f, действующую на единицу'длины провода со стороны созданного им поля.
У Казани е. Векторный потенциал имеет одну компоненту Ax(y,z,t). При выполнении обратного преобразования Фурье
*) Быстро перемещающиеся токонесущие пучки частиц могут существовать в ускорителе и при некоторых видах разряда.
205
использовать правило обхода полюсов, сформулированное в задаче 833.
835.	Два точечных заряда ei и е2 движутся с одинаковыми постоянными скоростями v вдоль одной прямой на расстоянии I друг от друга в среде с проницаемостями е(а>), ц = 1 (/ измерено в лабораторной системе отсчета). Найти энергию излучения Вавилова — Черенкова ы'в-ч на единице пути. Рассмотреть два случая: a) е1 = е2=₽; б) ₽i =—е2=е. Путем предельного перехода получить черепковские потери энергии точечного электрического диполя, ориентированного вдоль направления движения.
836*. Два точечных заряда + е и —е движутся с одинаковыми постоянными скоростями v на расстоянии I друг от друга в среде с проницаемостями е(ы), р.= 1. Линия, соединяющая заряды, составляет угол а с направлением скорости (/ и и измерены в лабораторнотГ системе). Методом, использованным в предыдущей задаче, найти энергию излучения Вавилова — Черенкова о>в-ч на единице пути, считая I малым.
837*. Магнитный диполь *) движется с постоянной скоростью п = Рс в непоглощающей среде, проницаемости которой е(от) и |i(w). Магнитный момент, измеренный в лабораторной системе, имеет величину ш и ориентирован вдоль скорости. Определить потерн энергии на излучение Вавилова — Черенкова о>в-ч на единице пути.
Указание. С помощью преобразования Фурье проинтегрировать уравнения для потенциалов. Движущийся магнитный момент создает ток j (г, /) rot m6(r — vt).
838*. Быстрая частица с зарядом е движется через непоглощающий диэлектрик с проницаемостью
где Op — ^ne^N/m. Определить потери энергии	в расчете
па единицу пути на расстояниях от траектории частицы, превышающих межатомные расстояния а (параметр а должен быть выбран так, чтобы в области г>а было справедливо макроскопическое рассмотрение). Выяснить физический смысл отдельных членов в выражении потерь энергии.
839*. Заряженная частица движется со скоростью п = рс через плазму, диэлектрическая проницаемость которой (см. задачу 312)
е(со)= 1 —
*) Нейтральная система (сгусток) частиц, имеющая магнитный момент, излучает как магнитный диполь, если длина волны в среде много больше размеров сгустка.
206
где а>2 — ~п~  Найти потери энергии	на единице пути
за счет «далеких» столкновений. Под далекими нужно понимать столкновения с параметром удара г>а, где а — расстояние, на котором становится справедливым макроскопическое рассмотрение.
840*. Точечный заряд е движется в вакууме нормально к границе идеального проводника. Определить спектральное и угловое распределение излучения, возникающего при переходе заряда из вакуума в проводник, пренебрегая ускорением заряда под действием силы электрического изображения. Скорость заряда ц = рс.
Указание. Поле в вакууме создается зарядом и его изображением, движущимися навстречу друг другу с равными постоянными скоростями. Когда частица пересекает границу проводника, ее заряд мгновенно экранируется свободными электронами проводника, что эквивалентно внезапной остановке заряда и его изображения в одной и той же точке на границе проводника.
841*. Точечный заряд е имеет скорость v = f$c и движется в вакууме нормально к границе непоглощающего диэлектрика с проницаемостью е(ю) (р = 1). При переходе заряда из вакуума в диэлектрик возникает излучение. Пренебрегая ускорением заряда под действием силы электрического изображения, определить спектральное и угловое распределение излучения в вакуум (т. е. в область 2>0, см. рис. 133).
Указание. Плотности заряда и тока, создаваемые движущейся частицей, заменить эквивалентным набором гармонических осцилляторов. Для определения поля в волновой зоне использовать теорему взаимности (см. [66], § 69): рв-Е4(В) = = рА-Ев(Д). Здесь ЕЯ(А) —поле, создаваемое в точке А дипольным гармоническим осциллятором рв, находящимся в точке В-, Еа(В) —поле, создаваемое в точке В осциллятором рА, находящимся в точке А. Так как точка наблюдения А находится на большом расстоянии от точки встречи заряда с диэлектриком (в волновой зоне), то при вычислении ЕЛ(В) можно воспользоваться формулами Френеля.
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е., Франк И. М. [103], Ферми Э. [105], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65], Болотовский Б. М. [1.4], Гинзбург В. Л. [32], Гинзбург В. Л., Франк И. М. [37], Рухадзе А А., Силин В. П. [90], Джелли Дж. [53], Маркс Г, Дьёрдьи Г. [77], Гинзбург В. Л., Сыроватский С. И. [36].
ГЛАВА XIV
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ
§ 1. Движение отдельных частиц в плазме
На движение заряженных частиц в плазме большое влияние оказывают элшцрические и магнитные поля. Они создаются .электронами и нонами плазмы, а также внешними источниками. Если столкновения частиц в плазме происходят редко, то в течение промежутков времени, много меньших времени между столкновениями, каждая отдельная частица движется под действием существующих в плазме макроскопических полей Е и Н, и ее движение описывается уравнениями механики (XI.20) и (XI. 1). В случае неоднородных и переменных полей интегрирование точных уравнений движения является, как правило, сложной математической задачей.
Картина движения частиц существенно упрощается^ если магнитное поле велико и медленно меняется в пространстве и во времени, а электрическое поле мало (см. неравенства (XIV. 6) — (XIV. 6"))- При этом действие электрического поля, а также пространственных и временных неоднородностей магнитного поля можно учесть по методу возмущений. Движение частицы происходит следующим образом: в каждый момент времени частица быстро вращается вокруг направления магнитных силовых линий с циклотронной частотой cell IS, где е — заряд частицы,^? — ее энергия. Центр, вокруг которого вращается частица (ведущий центр), движется вдоль магнитной силовой линии, а также медленно перемещается в поперечном направлении под действием электрического поля и неоднородностей магнитного поля. Наряду с этим происходит медленное изменение по абсолютной величине поперечного и продольного импульсов частицы.
Приближение, соответствующее такой картине движения частицы, называется приближением ведущего центра или дрейфовым приближением, а движение ведущего центра поперек магнитных силовых линий называется дрейфом. Уравнения движения в дрейфовом приближении выводятся путем усреднения точных уравнений движения по быстрому вращению частицы вокруг 208
магнитной силовой линии с учетом неравенств (XIV. 6) — (XIV. 6"). Система дрейфовых уравнений движения имеет вид
; = y|(h + -^[EX Н]+у^/?± [hX ^-] + v„/?„[hX(h.V)h],
(XIV. I)
р„ = + 4 P1v±divh + e(E-h),	(XIV. 2)
Ру. = - 4P|iv±dlvh-
(MV. 3)
Здесь Pw — проекция импульса частицы на направление магнитного поля Н, pi — абсолютная величина поперечной относительно Н составляющей импульса, h=H//7 — единичный вектор в направлении магнитного поля,
CPj.	_
ит т ’	^11 т
т = т0,
т0 и е — масса и заряд частицы. Все напряженности поля в правых частях уравнений (XIV. 1) —(XIV. 3) берутся в точке, в которой находится ведущий центр, г — скорость ведущего центра.
Первый член v#h в правой части уравнения (XIV. 1) описывает движение ведущего центра вдоль магнитной силовой линии, второй член — поперечное движение под действием электрического поля (электрический дрейф). Третье и четвертое слагаемые дают соответственно поперечные дрейфы за счет изменения магнитного поля по величине и по направлению. Если на частицу, кроме электрического и магнитного полей, действует неэлектромагнитная сила F, то в правую часть уравнения (XIV. 1) следует добавить слагаемое ^f[FX Н], а в правую часть (XIV. 2) — член (F-h).
Уравнения (XIV. 2) и (XIV. 3) позволяют найти изменение полной энергии частицы во времени:
^-(mc2) = e(E-h)cl|.	(XIV. 4)
Из них следует также, что
p-JH = const,	(XIV. 5)
т. е. величина I = р2±/Н является интегралом движения. Но это — не точный, а приближенный интеграл движения, обусловленный малостью электрического поля и медленностью изменения магнитного поля. Такие приближенные интегралы движения называются адиабатическими инвариантами.
14 В. В. Батыгин, II. Н. Топтыгин
209
Уравнения (XIV. 1) — (XIV. 3) являются приближенными уравнениями движения частицы, справедливыми при медленном изменении Е и Н в пространстве:
(XIV. 6) где координата х может отсчитываться вдоль любого направления. Кроме того, должно выполняться условие малости электрического поля
сЕ/Н С v	(XIV. 6')
и условие медленности изменения электрического и магнитного
полей во времени
со <С сеН1'ё“,
(XIV. 6")
где о) — характерная частота изменения поля.
842.	На нерелятивистскую частицу с зарядом е и массой т действуют однородное магнитное поле Н и постоянная сила F, ориентАованная произвольным образом. Показать, что составляющая силы F, перпендикулярная Н, вызывает равномерное движение (дрейф) частицы с постоянной скоростью
v„=^[FX Н]
поперек магнитных силовых линий.
Пояснить качественно происхождение дрейфа, рассмотрев траекторию движения частицы и силы, действующие на нее в разных точках траектории.
843.	Прямым расчетом доказать адиабатическую инвариантность величины р2±[Н Для случая однородного и постоянного по направлению, но медленно меняющегося по абсолютной величине магнитного поля //(/). Для этого вычислить электрическое поле и проинтегрировать уравнение, описывающее изменение поперечного импульса частицы р±во времени, считая, что в течение одного циклотронного периода траекторию частицы можно считать окружностью, совпадающей с силовой линией электрического поля.
844.	Система одинаковых невзаимодействующих частиц находится в однородном магнитном поле Н и имеет изотропное распределение по импульсам. Все частицы имеют одинаковую энергию си). Затем магнитное поле адиабатически возрастает до величины пН. Найти угловое распределение dw(ft) и среднее значение квадрата энергии частиц У2 в конечном состоянии.
845*. Пусть магнитное поле, оставаясь постоянным по направлению, слабо меняется в пространстве по абсолютной велп-
210
чине. Показать, что эта неоднородность поля в первом приближении приводит к дрейфу частицы поперек поля со скоростью
где v_l —составляющая скорости частицы, перпендикулярная на-СР±
правлению поля,7?± =	—ларморов радиус частицы (ср. с об-
щей формулой (XIV. 1)).
846.	Исходя из инвариантности величины I = /Л/Н, показать, что в дрейфовом приближении сохраняются магнитный поток через орбиту циклотронного вращения частицы и магнитный момент нерелятивистской частицы, создаваемый ее циклотронным вращением. При каких дополнительных условиях сохраняется магнитный момент релятивистской частицы?
847.	Частица движется в слабо неоднородном постоянном магнитном поле. Пользуясь инвариантностью величины/ = p2LlH и законом сохранения энергии, показать, что в дрейфовом приближении на частицу действует сила F, направленная вдоль магнитной силовой линии, и найти величину этой силы. Выразить ее через магнитный момент циклотронного вращения частицы.
848.	Между областями I и II, в которых статическое магнитное поле однородно и равно Н, находится область III, в которой поле усилено («магнитная пробка»). Максимальное значение поля равно /7т, схематический вид силовых линий показан на рис. 43. В области I движется частица, импульс р которой в некоторый момент времени составляет угол б с направлением
силовом линии. Считая изменение поля медленным, найти соотношение между б, Н и Нт, при котором частица отразится от области с сильным полем.
849.	Структура магнитного поля в адиабатической ловушке с аксиально-симметричным полем имеет вид, схематически
14*
211
изображенный на рис. 44. В среднюю часть ловушки, где напряженность поля равна Н, впрыснута порция частиц с изотропно распределенными скоростями. Какая доля частиц R удержится в ловушке в течение длительного времени?
850.	В ловушку с аксиально-симметричным полем, изображенную на рис. 44, захвачена порция частиц. Частицы проводят большую часть времени в средней части ловушки, где поле почти однородно. Пусть поле ловушки медленно нарастает во времени таким образом, что форма магнитных силовых линий не меняется. Найти, как изменяется расстояние ведущего центра каждой из частиц до оси ловушки.
851.	В однородном магнитном поле с напряженностью Н находится неподвижный точечный заряд q. Частица с зарядом е и массой т, имеющая на бесконечности продольную составляющую скорости vЦ, рассеивается на заряде q. Считая применимым дрейфовое приближение и пренебрегая изменением продольной скорости при рассеянии, найти, по какой силовой линии будет двигаться ведущий центр частицы после рассеяния. До рассеяния од двш алея по силовой линии, уравнение которой в цилиндрических координатах с осью г, проходящей через заряд q и ориентированной вдоль поля, имеет вид г=1, ф = 0.
852.	Магнитное поле Земли можно представить приближенно как поле точечного диполя с магнитным моментом р. = 8,1 • Ю25 гаусс-см3. Протон с энергией ef = 50 Мэв в некоторый момент времени находится в плоскости магнитного экватора на расстоянии двух земных радиусов от центра Земли и движется поперек магнитных силовых линий. Найти в дрейфовом приближении закон движения ведущего центра протона. За какое время Т он совершит полный оборот вокруг земного шара? Каков ларморов радиус R протона? Радикс земного шара г.х. = = 6380 км, его масса Л1 = 6-1027 г.
212
853*. Протон находится в плоскости геомагнитного экватора (см. условие предыдущей задачи) на расстоянии г от центра Земли, его импульс составляет угол а с направлением магнитной силовой линии, а) Пренебрегая гравитационным полем, показать, что ведущий центр протона, наряду с движением вдоль магнитных силовых линий, будет испытывать азимутальный дрейф, и найти угловую скорость дрейфа wj, выразив ее через г и геомагнитную широту Z. б) Указать значения Ут, соответствующие точкам отражения частиц в земном магнитном поле, в) Найти условия, при которых протон может достичь поверхности Земли.
854.	На неподвижную частицу с зарядом е' налетает ограниченный стационарный поток одинаковых нерелятивистских частиц с зарядами е, массами т и скоростями v (рис. 45). Концентрация частиц в потоке п. Вычислить силу, действующую на неподвижную частицу, пренебрегая взаимо-	~
действием налетающих частиц друг с другом. Объяснить причину того, что при радиусе пучка sm -> оо эта сила обращается в бесконечность. Сохраняется ли для силы бесконечное значение, если заряд е' является одним из зарядов нейтральной плазмы?
Указание. Воспользоваться результатом задачи 713.
855.	«Пробная» частица с зарядом е и массой т движется со скоростью v в газе, состоящем из одинаковых заряженных частиц. Пх массы т', заряды е', концентрация п', распределение по скоростям описывается функцией f(v) (Jf(v) (dv) = п'). Записать выражение для средней силы F(v), действующей на «пробную» частицу.
Указание. Использовать результат, полученный при решении предыдущей задачи. Зависимостью кулонова логарифма от скорости пренебречь.
856.	Пробная частица с зарядом е и массой т движется в среде, состоящей из беспорядочно распределенных неподвижных бесконечно тяжелых одинаковых частиц с зарядом е' и концентрацией п. Как меняется во времени энергия и импульс пробной частицы под действием средней силы со стороны среды?
857.	Частицы среды имеют одинаковые по абсолютной величине скорости и0, распределенные сферически симметрично, заряды е и массы т. Вычислить среднюю силу F, действующую на пробную частицу с зарядом е' и массой т'. которая движется со скоростью V.
858.	Решить предыдущую задачу для случая, когда частицы среды движутся с одинаковой по величине и направлению скоростью v0.
213
859*. Электроны в плазме совершают беспорядочное тепловое движение и, кроме того, имеют упорядоченную составляющую скорости, которая возникает под действием однородного электрического поля Е, созданного внешним источником. Произвести порядковую оценку зависимости средней силы трения F от упорядоченной скорости и, считая, что трение вызвано столкновениями с неподвижными ионами. Показать, что F как функция и имеет максимум, и оценить величину Ртах. Как будет вести себя электронный газ под действием электрического поля Е при Е<Ётях/е И £>Ртах/е?
§ 2. Коллективные движения в плазме
Плазма, т. е. ионизованный газ или проводящая жидкость, состоит из свободных зарядов. При наложении на такую систему электрического и магнитного полей могут возникать макроскопические движения вещества. В свою очередь макроскопические движения приводят к возникновению электромагнитного поля. Поэтому плазма, как правило, представляет собой систему сильно взаимодействующих между собой вещества и электромагнитного поля. Анализ поведения такой системы очень сложен, цельная и законченная теория поведения реальной плазмы в настоящее время отсутствует.
Если свободный пробег частиц плазмы много меньше характерных размеров области, в которой плазма движется, то ее движение можно описывать с помощью уравнений гидродинамики, в которых учтены электромагнитные силы. Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла в пренебрежении током смещения по сравнению с током проводимости, что справедливо при достаточно медленном изменении поля во времени. Такое приближение называется магнитогидродинамическим. Оно применимо для достаточно плотной среды, в которой малость свободного пробега обеспечивается частыми столкновениями частиц друг с другом. Но гидродинамическое приближение можно применять и для списания движения бесстолкновительной (разреженной) плазмы поперек сильного магнитного поля. Роль длины свободного пробега в этом случае играет радиус циклотронного вращения частиц вокруг магнитных силовых линий.
Уравнения магнитной гидродинамики для несжимаемой проводящей жидкости можно записать в следующем виде:
*+(¥.Т)»_-1т(р + ^.)+Щ-(Н.Т)Н+Лд», (XIV. 7) ^- = rot[vX Н] + ^АН,	(XIV. 8)
divv = 0,	(XIV. f)
divH = 0.	(XIV. 10)
214
Здесь v(r,Z)—гидродинамическая (усредненная) скорость движения вещества; p = const — его плотность; р — давление; о — проводимость; т] — коэффициент вязкости.
Плотность тока и электрическое поле в движущейся жидкости могут быть найдены из уравнения Максвелла rot Н= —j и закона Ома, который в движущейся среде принимает вид
j = о (Е + 1 v X Н).	(XIV. 11)
При очень высокой проводимости (о -> со) последний член в уравнении (XIV. 8) играет малую роль, и оно принимает вид
= rot [v X Н].	(XIV. 12)
Силовые линии магнитного поля в этом случае «вморожены» в вещество: при движении вещества они движутся вместе с находящимися на них частицами вещества. Поэтому магнитный поток через любой контур, перемещающийся вместе с жидкостью, остается постоянным.
Если проводимость низкая или скорость v мала, то в уравнении (XIV. 8) можно пренебречь членом rot[vXH], и оно примет вид (VII. 12).
При больших частотах изменения поля становятся существенными процессы разделения зарядов в плазме и токи смещения. Диэлектрическая проницаемость плазмы в пренебрежении потерями электромагнитной энергии имеет вид
е (о) = 1 — о2/©2,	(XIV. 13)
где величина
=	(XIV. 14)
(п — концентрация электронов, е и т — их заряд и масса) называется ленгмюровской частотой, или частотой плазменных колебаний. Она характеризует частоту колебаний электронов относительно ионов. Такие колебания возникают при любом разделении зарядов в плазме (см. задачу 871). Корректное описание плазмы в случае быстропеременных полей производится с помощью уравнений Максвелла и кинетического уравнения Больцмана, рассмотрение которого, однако, выходит за рамки этой книги.
860*. Вязкая несжимаемая проводящая жидкость движется между двумя неподвижными параллельными плоскостями в направлении оси z под действием постоянного градиента давления -3J- = COnst. ПрОВОДИМОСТЬ ЖИДКОСТИ О, Коэффициент ВЯЗКОСТИ Т],
215-
расстояние между плоскостями 2а. Перпендикулярно плоскостям в направлении оси к приложено постоянное и однородное внешнее магнитное поле Но. Вычислить зависимость скорости жидкости от х и добавочное магнитное поле, возникающее в движущейся жидкости. Проанализировать результат для больших и малых значений Нв.
86L Вязкая несжимаемая жидкость находится между параллельными плоскостями х=±а. Плоскость х=—а движется со скоростью — и0, а плоскость х=а — со скоростью с0 в направлении оси z. Градиент давления отсутствует, электропроводность жидкости о и коэффициент вязкости я заданы. Перпендикулярно плоскостям приложено однородное магнитное поле Но. Вычислить скорость жидкости и добавочное магнитное поле в ней.
862.	Вдоль цилиндрического столба горячей плазмы, радиус которого а, течет ток 3, распределенный по сечению с плотностью /(г). Как зависит от г давление птазмы, если оно уравновешивается магнитным давлением, создаваемым текущим вдоль столба током?
Пусть плазма является изотермической и удовлетворяет уравнению состояния идеального газа. Выразить силу тока 3 через температуру Т плазмы и полное число N частиц одного знака, приходящихся на единицу длины столба плазмы. Вязкостью пренебречь, рассмотреть стационарное состояние плазмы с v=0.
863.	Как должен быть распределен ток по сечению плазменного столба (см. условие предыдущей задачи), чтобы давление плазмы было постоянным по сечению?
864.	Плазма испускается изотропно во все стороны с поверхности шара радиуса а, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью Q. Скорость плазмы и постоянна по величине и направлена по радиусу. Вблизи поверхности шара существует магнитное поле, которое в системе, вращающейся вместе с шаром, имеет значение Н (а, &, «) = Н0(О, а), где а отсчитывается в плоскости, перпендикулярной оси вращения Плотность энергии плазмы велика по сравнению с плотностью энергии магнитного поля, так что влиянием поля на движение плазмы можно пренебречь. Предполагая магнитное поле вмороженным в плазму, найти его зависимость от координат и времени в области г>а в неподвижной системе отсчета *).
865.	Найти вид силовых линий межпланетного магнитного поля в модели Паркера, рассмотренной в предыдущей задаче. Определить величину магнитного поля и угол 0 между ситовой линией п радиальным направлением на орбите Земли, задавшись следующими значениями параметров: радиус Солнца а —
*) Модель, рассматриваемая в этой задаче, использовалась Паркером для описания межпланетного магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечным ветром).
216
= 0,7-106 км; среднее магнитное поле на поверхности Солнца /70~1 э; радиус орбиты Земли го~1,5-1О8 км; угловая скорость вращения Солнца й = 2,7-10~6 рад!сек; скорость солнечного ветра v=300 кмIсек.
866.	На плазменный цилиндр действует однородное магнитное поле Н, направленное вдоль оси цилиндра, и радиальное электрическое поле Е. Вычислить ту часть энергии системы, которая связана с электрическим полем, приняв во внимание электрический дрейф плазмы. С помощью полученного выражения для энергии определить поперечную диэлектрическую проницаемость ех плазмы, находящейся в магнитном поле.
867.	Квазинейтральная плазма находится между плоскостями x=±d. Пусть в некоторый момент времени произошло разделение зарядов, в результате которого все электроны оказа ь в плоскости x=d, а все ионы — в плоскости х=—d. Из-за электростатических сил заряды станут совершать колебания. Пренебрегая столкновениями частиц, найти частоту ы этих колебаний, если средняя концентрация частиц одного знака равна п.
868.	Найти глубину проникновения электромагнитного поля в плазму при разных частотах. Для этого рассмотреть нормальное падение электромагнитной волны на плоскую границу плазмы, вычислить коэффициент отражения R и поперечное электрическое поле в плазме Е(г, /).
Диэлектрическую проницаемость взять в виде (XIV. 13).
869*. Найти диэлектрическую проницаемость бесстолкнови-телыюй плазмы с учетом теплового движения электронов. Для этого проинтегрировать уравнение движения электрона во внешнем поле Е= Ео exp [t(k-r — и/)], вычислить плотность тока, создаваемого одной частицей, и произвести усреднение по начальному равновесному распределению координат и скоростей, считая его максвелловским. Ограничиться линейным приближением по напряженности электрического поля Е, движения ионов не учитывать. Заданы средняя концентрация электронов п и температура плазмы Т (температура измеряется в энергетических единицах).
870. Диэлектрическая проницаемость плазмы для продольного поля при учете теплового движения частиц имеет вид
где = T/m, второй член в скобках мал по сравнению с единицей. Вычислить фазовую и групповую скорости продольных плазменных волн.
871. В момент 1=0 в плазме нарушилась нейтральность заряда, в результате чего возник объемный! заряд с плотностью Р(г, 0).
217
а)	Вычислить плотность p(r, /) для t>0, использовав значение диэлектрической проницаемости плазмы (XIV. 13).
б)	Как изменится качественно результат, если учесть тепловое движение частиц плазмы? Проделать конкретный расчет для 8|i, приведенной в условии предыдущей задачи, выбрав
р(г, О) = ро^-ехр[—	где р0 = const, х0 = const.
ЛИТЕРАТУРА
Джексон Дж. [52], Лонгмайр К. [74], Франк-Каменецкий Д. А. [109], Нортроп Т. [82], Вопросы теории плазмы [28], Рухадзе. А. А., Силин В. П. [90], Альвен Г., Фельткаммар К. Г. [2].
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Векторная н тензорная алгебра. Преобразования векторов н тензоров
1. cos 0 = п • n' = cos О cos &' + sin О sin &' cos (а — а')-
3.	Так как bi (i— 1, 2, 3) — компоненты вектора, то при повороте системы координат = Подставив b[ в равенство —inv и сравнив с akbk = inv, получим ak = И/*0/. т. е. ak преобразуются при поворотах как компоненты вектора. Поскольку инвариант (скаляр) при отражениях не меняет знака, компоненты а. и Ь. либо одновременно должны менять знак (полярные векторы) либо не менять его (псевдовекторы).
10.	(a Xb)0 = z(a_1J>+1-а+1Ь_]), (а X Ь)±1 = ± 1(а0&±1 - а±1б0),
д—1	____
(а-Ь)=	(-1)%_Лв
н=1
11.	Тензор, обратный данному, удовлетворяет соотношениям
(’)
Это — алгебраические уравнения относительно компонент е^1 обратного тензора. Их решения имеют вид
еГй‘=-#г.	<2)
I е |
где Д*/ — алгебраическое дополнение элемента efc>. в определителе | е |. Из формулы (2) следует, что для существования обратного тензора необходимо, чтобы | е | =/= 0. Учитывая известное свойство определителя =	1 е |,
убеждаемся, что обратный тензор удовлетворяет, наряду с (1), также условиям
eikekl = (,il-	(3)
Если — симметричный тензор, заданный в главных осях eift = (здесь суммировать по z не нужно), то
= '(‘Т
21U
14. Tik образуют тензор II ранга.
I . При преобразовании ef -> е- по формулам е(- = affeefc, коэффициенты a(i = е(- • efc имеют смысл проекций новых ортов на старые. Выполняя проектирование (рис. 46, 47), получим следующие матрицы преобразования:
при переходе от декартовых координат к сферическим и обратно
(sin О cos a cos О cos a
— sin a
sin (I sin a cos О sin a cos a
cos &
— sin О 0
/ sin O' cos a a-1 =1 sin 0 sin a
\ cos &
cos 0 cos a cos & sin a
— sin О
— sin a
cos a 0
при переходе от декартовых координат к цилиндрическим и обратно
	/ cos a	sin a	0
a =	— sin a	cos a	0
	\	0	0	1
/ cos a — sin a О a-1 = I sin a	cos a 0
VO	0	1
115. Обозначив через £ матрицу, связывающую компоненты вектора в системах и S (а' — gikAf,), имеем: в случае отражения, /-1	0	0\
0 -1	0 ;
\ 0	0 -1 ’
в случае поворота, (cos a sin a О — sin a cos a 0 0	0	1
Направление отсчета угла a и направление оси z удовлетворяют правилу правого винта.
220
17. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, потупим
ё (ai6d2) = ё («г) ё (6) ё («О =
(cos d| cos a2—cos 6 sin a, sin a2; sin сц cos a2 + cos 0cos a, sin a2; sin0sin a2
—cos ai sin a2—cos 0sin ai cos a2; — sin си sin a2 + cos 0cos ai cos a2; sin0cosa2 sina(sin0	— sinOcosai	cos0
18.	1 + COS 6	(aj-f-ctj,). 2	‘ sin 0 eia,_ Г2	_ 1 - COS 0 t 2
			isin0 -ia,
Ь (ai0a2) =		г— e , 12	cos 0;	r- e Г2
	_ 1 — cos 0 t (a _a2).	_ i sin 0 _Za,	1 + cos 0	(a,+a2)
	2	1 2	2
19. Так как матрица поворота па нулевой угол (тождественное преобразование) равна Т, то при повороте на малый угол | Bik | С 1. Для доказательства соотношения eik = — eki воспользуемся инвариантностью r2 = 6; xxk относительно вращений. Поскольку х{ = alkxk = х(- + eikxk, то с точностью до малых величин первого порядка имеем г'2 = г2 + 2е.^х(х<,. Из инвариантности г2 следует, что Bikxixk =• 0 при произвольных х., а это возможно только при eik= — Bk. Введем вектор 6ф с компонентами 6qpr- = */2 eikle'kf Тогда г'=. г-р Лф у г, откуда видно, что 6ф представляет собой вектор малого угла поворота, направление которого указывает ось вращения, а величина — угол поворота
22.	Доказательство одинаково для любого числа измерений. Пусть матрица коэффициентов преобразования а, а ее определитель | а |. В силу ортогональности матрицы а имеют место п2 равенств a. а/:, = 6jt. Замечая, что в левых частях этих равенств стоят элементы определителя, равного произведению двух определителей | а |, получим |a|-|a| = |l| = 1 или | а |2 = 1. Отсюда следует, что | a | = ± 1.
Докажем, что при поворотах | а | — + 1. Если поворот производится на нулевой угол (тождественное преобразование), то | й | = 11 | = 1; поскольку эл менты матрицы а являются непрерывными функциями параметров, задающих поворот (например, углов Эйлера, см. ответ задачи 17), то и при повороте на конечный угол | a | = 1,
При отражениях определитель | а | имеет вид
Знак минус имеют те диагональные элементы определителя, которые соответствуют отраженным осям. Ясно, что | а | = + 1 при четном числе таких осей и —1 при нечетном их числе
24.	Из 27 величин e{kl отличны от нуля только шесть. Остальные имеют хотя бы два одинаковых индекса и в силу антисимметрии обращаются в нуль (eiik = — е..к = 0). Отличные от нуля компоненты равны
виз= ®з1г = «231 = — 6321 = — е2|з = — £132 = И
221
Составим выражение	Вспомнив определение детерминанта
третьего порядка и используя определение etkl, запишем это выражение в виде ctjiO2t,a3leikl= I «|= + 1 = е{,3. Переставив теперь слева два индекса, например, 1 и 2, получим
a2ialka3leikl = ~ alka2ia3lekil = ~ е123 = е213 • • •
Из этих равенств видно, что eikl преобразуются при поворотах как тензор III ранга. При отражениях величины eikl не меняются,-поэтому совокупность их образует аксиальный тензор III ранга. Он обладает любопытным свойством: его компоненты во всех координатных системах одинаковы.
25.	Запишем тензор Aik в виде таблицы:
/ О Л12 — Л31 \
Aik = I — Л21 О Л23 I.
\ Л3] — Л23 О
Обозначим Л23 = Л], А31 = Аг. Л12 = Л3. Эти три равенства можно записать как Л; = -% etki^kv где eikt~совершенно антисимметричный единичный тензор III ранга, введенный в предыдущей задаче. Но поскольку e.k[ является тензором III ранга, а Л^ —тензором II ранга, величины А> (г= 1,2,3) образуют вектор. Л, называется вектором, дуальным тензору Л;*..
dAi
26.	(АХ В). = eik,AkBp rot. А = e.fe, , ‘ . АХ В и rot А можно рассматри-1 °xk
вать как антисимметричные тензоры II ранга или как дуальные им векторы, компоненты которых не меняют знака при отражениях (псевдовекторы).
28.	а) а2 (Ь • с) + (а • Ь) (а • с); б) [(а X b] X с] • [(а' X b') X с'].
30.	(а • а') (Ь • Ь') (с • с') + (а • Ь') (Ь • с') (с • а') +
+ (b-а') (с-b') (а-с') — (а-с') (с-а') (Ь-Ь') — (а-b') (b-а') (с-с') —(Ь-с') (с-b') (а-а')
31.	Проведем доказательства для вектора и тензора II ранга.
а)	Так как компоненты вектора по условию должны быть одинаковы во всех системах отсчета, то при любом повороте Л(= Л£, т. е.
Л'=ЛЛ, Ау = Ау, Л' = Л_.	(1)
Повернем систему координат вокруг оси z на угол гт. Из формул преобразования компонент вектора при вращениях Л£ = а£йЛд, получим, что
А'х--Ах, Ау= — Ау, Л' = Л2.	(2)
Равенства (1) и (2) совместимы только в том случае, если Лг = Лг/ = 0. Произведя поворот вокруг оси х на угол л, точно так же докажем, что Л2 = 0, т. е. вектор А = 0, если его компоненты не зависят от выбора системы отсчета, что и требовалось доказать.
б)	Любой тензор II ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров: Г/б = S/fe + Л/ь. Антисимметричный тензор эквивалентен некоторому псевдовектору (см. задачу 25) и, в силу доказанного выше свойства вектора, его компоненты не зависят от системы отсчета только тогда, когда они равны нулю. Поэтому рассмотрим симметричный тензор Stk.
Выберем систему координат, в которой Sik имеет диагональный впдЛ^б/%. Если не равны друг другу, то компоненты тензора будут зависеть от выбора осей, т. е. от того, какой цифрой (1, 2 или 3) обозначена данная
222
ось. Только при Х(1) = Х(2> = Z(3> = Z компоненты тензора не будут зависеть от выбора осей. При этом тензор будет иметь вид Z6/%, что и требовалось доказать.
32.	Искомые средние значения равны соответствующим интегралам:
ft,- = -г- п, dQ, п.п, = -у- п.п. dQ ...	(])
1 4п J 1	1 * 4п J ‘	'
Однако вместо прямого вычисления интегралов в этой задаче удобнее применить другой метод, основанный на использовании трансформационных свойств рассматриваемых величин. Очевидно, что величины ntnk и т. д. являются тензорами соответственно I, II и т. д. рангов. С другой стороны, из их определения (1) следует, что эти величины должны быть одинаковыми в любой системе отсчета. Поэтому они будут выражаться через такие тензоры, компоненты которых не зависят от выбора системы отсчета.
Рассмотрим с этой точки зрения п~ Поскольку нет вектора, кроме нулевого, компоненты которого не зависели бы от системы отсчета (см. задачу 31), то п. = 0.
Тензор njnk должен выражаться через симметричный тензор II ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах отсчета. Таким тензором является только hjk- Поэтому можно написать
«Л = Uik-	(2)
Для определения Z свернем *) тензор по двум значкам: nini = п2 = 1 = ЗХ, 2. = [/з- Рассуждая аналогичным образом, найдем
ninknl = 0’
ninknlnm = ‘/is Мт +	+ 6im6kl)-	(3)
33.	»/з «2. 7за-Ь, ’/за, 2/3а2, 2/3 а • Ь;
716 [(а • Ь) (с • d) + (а • с) (Ь • d) + (а • d) (Ь • с)];
34.	п2, n'2, I2, п • n', (nXn')-l' (п-1)2, (п'-1)2, (п-1)(п'-1).
35.	п • 1, п' • 1, П[ • (п2 X п3).
§ 2. Векторный анализ
ос и —	• ±ial . г, О cos О д i д \
36.	v±I = и—— е	(sin &----1----------±----------—)
1'2	\ дг г дО г sin О да/
37.	div г = 3, rot г = 0, grad (1 • г) = 1, (1 • V) г = 1.
38.	rot (а X r) = 2w.
41. grad <р (г) = — <р' **); div <р (г) г = Зср + г<р';
rot <р (г) г = 0; (1 • V) <р (г) г = 1<р + —'Г) <р'_
*) Под операцией свертывания тензора понимается суммирование тензора по двум одинаковым значкам.
**) Здесь и далее в этом параграфе штрихом обозначено дифференцирование по г.
223
42. ф (г) =
const -73—
43.	div (а • г) b = а • b, rot (а • г) b = а X b, div (а  г) г 4 (а - г), rot (а  г) г= = а X г, div (а X г) = 0, rot (а X г) = 2а, div ф (г) (а X г) = 0, rot ф (г) (ах г) = = (2<р + гф') а — Г - ф', div г X (а X г) = —2 (а • г), rot г X (а X г) = 3 (гХа).
44.	grad А (г) г = А + у (г  A'), grad А (г)  В (г) =	(А' - В + А  В'),
div ф (г) А (г) = -у- (г • А) + -5- (г • A'), rot ф (г) А (г) =-^(r X A) + -^(r X А'),
(I • V) Ф (г) А (г) = (ф'А + фА').
, р - г . Р X г
45.	- grad = rot f3  ;
проекции этого вектора на базисные орты
ел, се, eQ равны соответственно
2р cos ft
Г2
р sin ft -
Гз > °-
Векторные лини  образуются пересечением двух семейств поверхностей: а = Сь г = С2 sin2 ft.
2	2 д	“> дА
47.	(ДА)Г = ДЛГ---г Аг------(sin ft d0)----------------.	—Л.
'	'	г2 г2 sin ft oft	г2 sin ft да
.... -лД	| 2 дАг	2 cos ft дАа
r2 sin2 ф + r2	r2 sin2 Q да .
.	,	2	дАг , 2 cos ft d.4p
а “г2 sin2 ft г2 sin ft да r2 sin2 ft да
48.	(ДА), = ДЛ, - А- “ 4 4^’ г2 г2 да
(ДА) — Ad	1
(ЛА)а-А/1а	+ г2 да ,
(ДА)2 = ДЛ2.
49.	J (grad Ф  rot A) dV = (р (А X grad ф) dS = J ф rot A dS.
50.	Здесь, как и в ряде других случаев, удобно рассмотреть скалярное произведение интеграла на произвольный постоянный вектор с:
с  (£ г (а • n) dS — ;£ (с • г) ап dS = f div [(с • г) а| dV = (а • с) I dV = (а  с) V.
Поскольку с — произвольный вектор, то отсюда следует, что j (a-n)rdS = = aV. Таким же способом получим ф (а • г) п dS — aV.
51.	(р пф d.S = j" gradфd^Л, (п X a) dS — J rot a dV. (п • b) a dS = J (b • V) a dV.
z24
55.	Используя метод задачи 50. получим п — орт нормали к поверхности.
56.	J (grad и X grad f) • n dS
61.	a) A + y-; б) A + В In tg в) A + Ba.
62.	a) A + В In r; 6) A + Ba; в) A + Bz.
. r(B + ^)(n + c°)(g + ag) ip
L (b2 — a2) (c2 —a2) J ’
_ Г (g + Ь2) (П + b2) (g + b2) fb
У “I.	(c2 - b2) (a2 - b2)	J ’
7 _ . Г (g + c2) (n + c2) (g + c2) 1'/».
“L	(a2 — c2) (ft2 — c2)	J ’J
<р dl = (n X grad <р) dS
(1)
. V(E-n) (E-g) h J (n-g)(n-g) ,, V(g-EXg-n) hl~ 2Rl ’ h2-----------------2R^-----' Лз------2^-------’
Л= (g-n)(E-C)(n-g)	dg'(/^'5g') +
+ « - e> », £(». £) + a - n> «t % £)].
где /?u = ) (u + a2} (u + b2) (и + с2). Из формул (I) видно, что каждой тройке значений g, т), g соответствуют восемь троек х, у, г.
Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат можно, найдя grad В, gradi], gradg и составив скалярные произведения grad g- grad Т) п т. д., которые оказываются равными нулю, grad g, grad т|, grad g можно найти непосредственно из уравнений, определяющих g, т), g, беря градиент от обеих частей каждого из этих уравнений и используя (1).
65. z - ± [ (S + 9 (\+с2) ]‘А, г = f (B + ^)(n + n2) J7’.
_ 1 /g-n	1 fg-n
h'-2~RT‘
h3 = r,
где /?E = /(g + c2) (g + c2),	+
66. x =
+ a2) (g+c2) -1% a2-b2 J
й IFg-g	1 /g-g
’	2 RZ ’ h2~r' h3~2-Rt
где BE = /(g + o2)(g + fc2), B£=)<(£ + a2)(-g-fc2);
д=+'O+
15 В, В. Батыгин, И. H. Топтыгин
225
67.	Й5 = Л	, h:,=	0111,1-;
ell § — COS Г]	ch g — COS t]
д _ (ch g — cos I])3 Г d /	1 d \
a2 L dg \ ch g — cos t) dg )
1	1 d / sin 7] d \	1	d2 "I
sin tj dr] \ ch g —cost] dr] ) sin2 t] (ch g — cos i]) da2 J'
68.	Поверхности p = const — тороиды:
(p^ x2 + y2 — a cth p)2 + z2 =
поверхности g = const — сферические сегменты:
(z - arctg g)2 + x2 + y2 =	J
,	,	a . a sh p
he = hi => —---------r-, ha = —------------.
r b ch p — cos g ch p — cos -
I shp /
ГЛАВА II
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
69.	<fi = — 2ярг!, Ei = 4лргег | г| < —j, 1	2
<р2 = — ~2 пРа (41 г I - о), С2 = 2лра -у-у ez

Ось z направлена по нормали к поверхности плиты.
70.	<р (х, у, г) = . ,	,г- cos ax cos Ру cos yz.
и т p ту
71.	При z > 0: <р =	- е-Лг sin ах sin Pg;
л
при г < 0: <р = —у7'- е?г sin ах sin Pg, Я = К a2 + Р2. л
Экспоненциальное убывание потенциала вдоль оси г объясняется тем, что плоскость содержит разноименно заряженные участки.
72.	Самый простой метод решения — с помощью электростатической теоремы Гаусса. При решении методом интегрирования уравнения Пуассона необходимо воспользоваться выражением оператора Лапласа в цилиндрической системе координат и использовать тот факт, что вследствие симметрии системы <р зависит только от г.
При объемном распределении заряда:
7?
С 2кг ,	(, г2 \ 2кг . ~
<Р1 — J рг dr — К	J, £l р2 \г^а),
г
R
(П2= fdr =-2к1п^-,	Е2-—
Jr	К	г
г
При поверхностном распределении заряда (£1 = 0, q>2 = — 2х In —.
226
2х
73.	<р = — 2х In г, Е = —
где к — заряд на единицу длины. Произвольная постоянная в потенциале выбрана так, что <р = 0 при г=1.
z — a + \r(z — а)2 + х2 + у2 z + a + V (z+ а)2 + х2 + у2
74. <р (х, у, z) = -^ In
75.	Введем обозначения
zt = z+a, z2 = z — a, rt, z = \^x2 + у* + z\ 2, C = ^‘
Из результата предыдущей задачи следует, что
С +1
/~1 + г2 = 2о = const	(1)
(нужно учесть, что zt — z2 = 2a).
Равенство (1) показывает, что эквипотенциальные поверхности представляют собой эллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с концами отрезка.
76.	«pi (г) =	( 2"_ 2Т?2 )’ Е| =
<p2(r) = f.	E2 = -J- (г>/?).
77.	q>1(r)=4> Е'=0 (r<Ry> r\
. . a _ qr .
<f>2(r) = y. E2 = (r > R).
78.	Электрическое поле в полости однородно:
4	4	4
Е = -g- лрг — -у пр (г — а) = -у яра.
79.	q = 4ла (R2 - Rt);
Et = 0, <pi =	-- - In £ при г < Rt;
Аг — A J А1 г _ g(f~^|) 2	(R2-R,)r2'
4l2=p2lRt (1 ~1п	при Rl r
Е3 = -^-; q>3 = y- ПРИ г>/?2.
При R2->Ri = R и фиксированном значении заряда q, получаем поле сферы, равномерно заряженной по поверхности.
80.	W = -g-, W = ^-, W =	2 In £ - соответ-
ственно для распределений зарядов, указанных в задачах 76, 77 и 79.
Р оо
Из сравнения вкладов в энергию W, выражаемых интегралами и
о k видно, что большая часть энергии поля локализована вне распределения заряда (83% в случае шара, заряженного по объему).
15*
227
оо
81.	<j) (г) = -у j Р (г’) г'2 dr' + 4л j р (г7) г' dr'; О	г
Г
Е(г) J р(г') г'2 dr', о
83.	Поле электронного облака в атоме:
Потенциал полного электрического поля в атоме
, \	, х . е0	- е0 (2г	, ,\	Г	2r 1	, 2е0	Г	2r 1
<Р0 = <ре(г) + —,	=	—+1)ехр	2-ехр - — .
«	«\м-	/	1.	м- j I*	I	И J
84.	Напряженность поля максимальна на поверхности ядра
£тах=^ = 6,4.10>»-^г
в!см.
85.	Воспользоваться тем, что плотность о поверхностно распределенного заряда может быть записана в виде
р (г, а) = о (fl, a) S (г — а).
86.	<?!, 2 = /?1<^г+а2 (/Я*+Т2Л, 2 - RA2,,).
87.	? =
ЕХ=Е^==О, у	R2 \ | z | VR2 + z2j
Трр z _ координата точки наблюдения, отсчитываемая от плоскости диска.
88.	Если положительно заряженное полукольцо занимает область х > О
R2 + z2	.
в плоскости ху, то при х, z/«----5—, разлагая подынтегральную функ-
А
Г X „
цию в интеграле I -----dl в ряд, получаем
J г12
_ 4qRx
л (R2 + z2)3/’ ’ откуда
F	F =0 Е - {2qRxZ
х n(R2 + z2)3/A 'У ’ Z n(R2 + z2)^’
При | z | >> R получается поле электрического диполя, момент которого направлен по оси х и равен 4qR!n.
89.	Вследствие симметрии системы потенциал <р не будет зависеть от азимутального угла а, поэтому можно без нарушения общности провести 228
•плоскость xz через точку наблюдения. Тогда (рис. 48) r\2 “	+ Я2 — 2rR sin О cos а'
*и л
Ф (г, 0) = 2хЯ I ~-г-—-----da'
J У г2 + R2 — 2rR sin © cos а'
чгде х = q/2nR.
Произведя подстановку а' = л — 2f и введя обозначение t2 4rR sin & k = r2 + /?2 + 2r/?sinfl ’
(Получим
( &) = 4kR f —	=	2k* к (k)
/r2 + /?2 + 2r/?sin© J 1^1 — k2 sin2 p JAr/? sin О
г	где г —расстояние от плоскости кольца до точки
/7?2 + z2
x=rsm ff
Рис. 48.
90.	a) <p = (наблюдения.
6)	<p = y.
в)	Обозначив через / расстояние от точки наблюдения до нити кольца, получим при / -С R:
г'2	ЯР
* (О = Ink-
'll	ф (г) — — 2х In / + const»
как и должно быть в случае лилейного заряда.
91.	ф] = ^~аог cos О (г С R),
4л aBR3	.
ф2 = -3----cos О (г > /?).
Внутри сферы — однородное электрическое поле с напряженностью Elz = — 4ло0/3. Вне сферы — поле диполя с моментом 4лц0/?3/3.
92.	Вследствие аксиальной симметрии поля уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах (полярная ось направлена вдоль оси симметрии системы), принимает вид
дг2 ‘ г дг дг2 и-	Ш
"Будем искать решение уравнения (1) в форме степенного ряда по г;
Ч> (г, г)= 2 ап (2) г" ао (2) = Ф (0, z) = Ф (z),	(2)
п—0
тде Ф (z) — потенциал на оси симметрии системы.

229
Подставив (2) в (1), перегруппировав члены и приравняв нулю коэффициенты получившегося ряда, найдем рекуррентные соотношения для определения коэффициентов ап (г), откуда
ОО
Ф(г> г) = У ’w'’ф(2"’(г) (тГ = Ф (г) - 4 ф" (*)+ • •  ’
п=0
= ....
Еа~0,	£г=-^- = -ф'(г)+ ...
93. Нужно вычислить мультипольпые моменты
Используя формулы (П2.1), (П2.5), найдем
ОО
ф (г, 0) = -2- V (- 1)”	J/*1 (~~)2n pzn (cos при Г > R,
Г	JI!	\ • /
п=0
оо
^=4-2при r<R-f\	\к /
л-0
Обе формулы справедливы также при г = /?(& =/= л/2).
.	Зг2 - г2 2 Р2 (cos 0)
94. а) <p« qa2------s--= 2qa2------;
3qa2 sin2 0 cos a sin a
6) q> «	--------p-----------.
. 6qa3Ps (cos 0)	, 15 cos3 0 — 9 cos 0
95. a) <p « —-------------- = qa3--------;
\3qabcxyz \3qabc sin2 ft cos 0 sin a cos a
б) Ф «= ----7------ =-----------------4-------------
96.
<p (r, 0, a) = У] 4л
2/ + 1
Z, m
Z, m
~Ьт yzm «о) Ylm (®- О) ПРИ r0
ro *
•prnbm^O’ «o)rZm(^ a) пРи
r<r0;
O'
~ q O2 (3x3 - r2) + b2 (3y2 - r2) + с2 (Зг2 - гг)
97.	<p (a-, yt z) 4- q	’ |Q^-5
В случае эллипсоида вращения (а = b)
<Р(г.О) = -?- + ?^Ц^
P2 (cos &)
г3
230
В случае шара (а = b = с)
Ч
Ф =
98.	В сферических координатах с полярной осью вдоль оси симметрии системы и полюсом в центре колец
Ф (г, О) =
q (а2 — b2) Р2 (cos &)
2	73	'
Это “ потенциал линейного квадруполя, у которого заряды — q находятся ла расстоянии Га2 —62/2 от центрального заряда 2q.
99.	Вычислим мультипольные моменты:
q=- Г (P'-V)6(r)d7=- (£ (p'-n)d(r) dS = 0,
так как 6 (г) = 0 всюду, кроме г = 0;
Ра=~ f ^a(p'^)Mr) dV= — J Xap'n^-dV= J p'n^f,(t)dV.
Последнее преобразование состояло в интегрировании по частям. По повторяющемуся индексу п подразумевается суммирование. Возникший при этом поверхностный интеграл обращается в нуль, так как 6 (г) = 0 при г=/=0. По определению 6-функции
, дха	г
Ра Рп дхп Рпап ~ Ра"
Все мультипольные моменты более высокого порядка пропорциональны компонентам г при г = 0 и поэтому обращаются в нуль. Рассмотрим, например, компоненты квадрупольного момента. Действительно,
Г , dt> (г) <2а3=- J	dV =
“J 6{r}pn~^rdV =
= Рахр + Ррха|г=0=°-
100.	После n-кратного интегрирования по частям, получим ф(г) =
= ?(-!)"
Рис. 49.
dV'^Ipa/.V) 1.
аа2 (3z'x — г2)
101.	Проще всего, воспользовавшись формулой ф = ——-—--------------- (см.
ответ к задаче 94), выразить в ней г' через х, у, г (рис. 49). Получим па?
Ф =	[3 (х sin у cos ₽ + у sin у sin f 4- z cos у)2 — r2J.
231
Тот же результат можно получить, воспользовавшись тем, что совокупность-компонент квадрупольного момента представляет собой тензор II ранга, В системе осей х', у', zf компоненты квадрупольного момента
Матрица коэффициентов преобразования имеет вид
cos у cos р cos у sin р — sin у
а =
— sin р sin у cos р cos р sin у sin р О cos у
С помощью этой матрицы вычисляем компоненты Qag в системе хуг по> формулам
0x0 = 2 а«уа₽б^уС>
V. 6
а затем используем формулу (II. 8).
102.	<р = ^qabcz [(^2 _ л-2) s;n 2р 4- 2ху cos 20].
103.	=	(3 sin2 О'sin 2а — 3 cos 201—1).
104.	По принципу суперпозиции можно написать
Г р . С г —	Г	1
<Р (г) = J |r _r,-[-r dV = J Р • grad' r—, dV'.
v
Преобразуя это выражение с помощью теоремы Остроградского — Гаусса,
Г р
получим, что <р (г) = J । f dS, где S — внутренняя поверхность иол яри-s’
зованного шара, а Рп = Р cos •О’. Используя результаты задачи 91, на идеи
4лРг	.	.
<И = —й— cos О	(г < R),
О
4лРР3 „	, .
<р2  ---—2— cos О’ (г > R).
, ,	„ ,	„ V cos па + Вп sin па
105.	<р (г) = - 2х In г + 2 2j —-------------->
и=1
где х= J р (г') dS' — полный заряд единицы длины распределения, Ап = = J р (г') r'n cos па' dS' и Вп = У р (Г) r,n sin па' dS' — двумерные мультн-польные моменты n-го порядка.
Из этих формул, в частности, следует, что потенциал диполя в двумерном случае имеет вид <р=	, где P=J Р (И d dS' — дипольный момент
распределения на единицу длины, г — радиус-вектор в плоскости ху.
232
оэ
106.	ф(г, а)=-2х!пг+cosn(a-ao) n=l
ОО
1 [ г \п
I — I cos к (a-a0)
n=l
при г > г0,
при г < г0.
, . 2ка	2р • г
107.	<р (г) ~----cosa = ——> где р —дипольный момент на единицу
длины, г — радиус-вектор в плоскости ху (г а), ось z направлена вдоль одного из линейных зарядов.
108.	На оси симметрии диска (ось z направлена от отрицательной сто-ропы диска к положительной)
<в (г) = тй = 2лт (1-। 2'	;
ф	\	1Я2 + г!/|г|
Ef=Ey = 0,
_ 2ла2тг
Z“ |z| (a2 + z2)3^
109.	а) В цилиндрических координатах
2 т
Еа = —, Er = Ez = 0;
б)	<р = 2т(л —а), Еа = - у =-у-5 Ег=Ег = 0.
ЗТоле Е совпадает с магнитным полем прямолинейного тока ff = тс.
110.	Уравнение силовых линий
(z + a) [(z + а)2 + г2]~'/з ±(z — a) [(г — а)2 + г2]~’12 = С, я-де С — постоянная. На рис. 50, а изображена картина силовых линий для
Рис. 50.
«лучая разноименных зарядов. В случае одноименных зарядов в поле имеется нейтральная точка г = 0, г = 0 (рис. 50, б).
233
111.	Целесообразно перейти к сферическим координатам. Устремляя а к нулю, разлагая в ряд и отбрасывая члены порядка а* 2 и выше, получим r = C sin2 Ф.
112.	г = Cl^sin2 О | cos О |, С = const.
Не следует забывать, что в случае квадруполя конечных размеров, полученная формула пригодна только для больших расстояний (рис. 61).
114.
Ф+К2 (1Л2 -1)л<7, У2 (V2 - 1)л
115. Рассмотрим силовую трубку, полученную вращением некоторой силовой линии вокруг оси z. Применив электростатическую теорему Гаусса к объему, ограниченному боковой поверхностью этой трубки и двумя ПЛОСКОСТЯМИ Z = = const, не содержащему внутри себя зарядов, найдем, что поток через любое нормальное к оси сечение трубки Ф (z) = qjQi
i
(см. задачу 113) не зависит от z (при изменении z между Zk и zk+i). Здесь й(- (z) = =2л (±1 —cos at) — тетесный угол, под кото-' рым видна отрицательная сторона такого сечения из точки zi, где находится заряд qf, щ — угол между направлением оси z и радиу-
сом-вектором точки контура нормального се-X чения с координатами (г, z). Знак «+» нужно-брать при z > г,, знак «-» при z < zt. Если при изменении z нормальное сечение трубки перейдет через заряд qk, то Ф (г) скачком изменятся на ± 4я<;/г, однако при этом не изменится qt cos а/. Выразив cos а; через г,

Zi и г, получим искомое уравнение семейства силовых линий
qi(z-zi) --------— С, С = const.
2 + (z - Zi)2
Иис‘ 01,	117. Выберем цилиндрическую систему ко-
ординат, ось z которой совпадает с осью цилиндра (рис. 52). Вместо условия <р = const на поверхности S цилиндра удобнее использовать вытекающее из него условие = 0. В результате дифференцирования получим
_________Х1%1______________________ХгХ2_________
R2 + х2 — 2/?Xj cos а /?2 + %2 - 2Rx2 cos а ’
Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с cos а и без него. В результате получим, что при xt = х2 эквипотенциальной поверхностью будет любая цилиндрическая поверхность, ось которой параллельна заряженным нитям и лежит с ними в одной плоскости, а радиус удовлетворяет условию R2 = xtx2. При X] = 0 существует решение х2 = 0. Этот случай соответствует цилиндрическим эквипотенциальным поверхностям в поле одной нити.
234
118.	Воспользуемся рис. 53. Радиус /? искомой сферы и положение ее центра определяются уравнениями
/?2 = г1г2,
22	<72
Потенциал иа поверхности этой сферы равен нулю.
e~ar 1 е~аг — 1
119.	Дф = <?Д-= </Д — + <?Д-----= —4л<7 б (г) +
q д2 I e~“r — 1 г дг2 \ г
г
Таким образом, имеется точечный заряд q в рически симметрично распределенный объем-q^~ar иыи заряд с плотностью р --------—
j pdV= — q.
120.	Точечный заряд е0 в начале координат, окруженный объемным зарядом с плотностью р (г) =
Рис. 53.
да^е аг
и сфе-
начале координат
Такой вид
Z7
Рис. 52.
имеет распределение заряда в атоме водорода (ср. с задачей 83).
121.	t/=J -^p(r)dp=_.^|rexp[--^].4ndr=-X о
122.	t/ = 5e2/4a.
123.	6/=’i^2-, р = а	а2
124.	Л = -^1.
Е2
£0
235
2л 2л
125	U (£ (£ Х,Хг dli dli - glg2 f f аЬ dlt dlt J J r12 4n2ab J J /с2 + a2 + b2 — 2ab cos (aj — a2) ” 11 h	0	0
где интегрирование выполняется по всем элементам обоих колец dli и dl2, ai и a2 — углы, указывающие расположение элементов. Интегрируя по da2. и делая замену <ц = л — 2a, получим
U= gl/A-K(fe), nVab
где
___	п/2
,	2]^ab	v f da
Пс2 + (a + b)2	J У 1 —k2 sin2 a
— полный	эллиптический интеграл первого рода.
„	г	dU	dU dk
При	вычислении силы F -----------— -----------— ——	нужно	воспользоваться
дс	dk дс	J
формулой
2 2 df( (k) Е (k)---- .
d (k2)	1-k2 Л '
n/2
(см. справочник [91], (8.112)), где E(k) = J — k2 sin2 a da —полный эл-o
липтнческий интеграл второго рода. Окончательно,
Р . flifocfe3 Е (k) 4л (at>)3/2 1 — k2
126.	F^--39r-(P-^- + -gg-, N=-^. Г5	rA	г3
гт sin *01 sin *02 cos ф — 2 cos *0] cos *02
127.	U = Plp2---!-----?----------------------!-2-,
где — угол между г н pb —угол между г и р2, <р —угол между плоскостями (г, Р)) и (г, р2),
„ sin sin Фг cos <р — 2 cos cos
n = 0P1P2-----------------4-----------------------.
Сила максимальна при <^ = <^ = <£ = 0, т. е. прн параллельных диполях.
128.	C/2i= р (r')<pi (t')dV' =
aim
J r'lYlm (&', a') dV = 2
l.m
236
ГЛАВА III
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
2 q
129.Ч>,=<Р2=7П^-7-.
г» 2е'	<7Г г» _ 2ег <7Г
61 + е2 г3	е( + е2 г3
2л q
130. <₽i — q>2 Фз gi£(i +	+ 6з£(з г >
D_____________2ле,_________ qr_
' eIaI + e2a2 + e3a3 г3 '
131. Граничным условиям (<р = const на поверхности проводника и <р = 0 при г->оо) можно удовлетворить потенциалом вида у-С/г, постоянная С определяется из условия (j) Dn dS = 4nq, С = 2q/(et + е2). Отсюда находим s
2g 1
потенциал <р =--------и распределение поверхностных зарядов:
Ci + Сг
<7^1
a‘ 2ла2 (е, + е2) ’ q (ei - 1) aiCB 2ла2 (е, + е2) ’
___________<?e2
2 2ла2 (б! + е2) ’
<Z (е2 — 1)
2СВ 2ла2 (е, + е2) ’
(е—1)8 4л
ab b — а
133. с
Ml-1 b)J 
Связанные заряды находятся в местах неоднородности диэлектрика, т. е. на сферах радиусов а, Ь, с:
q в] — 1	_ д е2 — 1	_ д / 1	1 \
ааСБ~~1^ е, ’ °Ьсв~ 4лЬ2 е2 ’ °ссв“ 4лс2 U2	е, }’
где q — заряд внутренней обкладки конденсатора.
Полный связанный заряд в конденсаторе равен нулю.
135.	Емкость конденсатора
С =	е°^
4па 1п 2
Поверхностная плотность связанных зарядов
Пев = —	—~~ j при х = О,
<Тсв=п _'2ег) п₽н х = а-
Объемная плотность _ аа Рсв~ е0 (х + а)2
(а — заряд обкладки при х = 0).
237
136.	a)
б)
в)
137.	а)
.	£о	у2 .
Го 8л	8nd2 ’
D2 1
/ =	= — ft, — жидкий диэлектрик,
D2
f — -j— = f0 — твердый диэлектрик;
ОЛ
е£2
f = —— = е/n — жидкий диэлектрик, оЛ
(е£)2
f — '	 = e2f0 — твердый диэлектрик,
ол
(e-l)bh2V2
8пе/ф _	’
. 2nM2 (е- 1) <?2 [/г,е-/г2 (е - 1)]
’	b{a[hle-h2(e-l)]+h2x(e.-l)}2'
138.	Сравним давление в точках А и В жидкости (рис. 54). В точке В давление равно атмосферному раТм- Давление в точке А можно найти двумя £2 т (Эе способами. С одной стороны, по формуле (III. 25), рл = ратм + —-ч—'
(здесь Ратм = Ро> E = -yj. ДРУГ0Й стороны, р
>л отличается от давления у поверхности жидкости в конденсаторе, определяемого формулой (III. 23),
на величину гидростатического давления
е — 1
8л
r8h, PA = rgh + r^
Е2 + Ратм- Сравнивая, получим
F =
h = е~ 1
8ngT
Е2.
139. Тензор максвеллова натяжения Тп направлен так, что электрическое поле Е делит пополам угол между п и Т„ (рис. 55). |тлп| = и> = ^^ при любой ориентации площадки. Стрикционное натяжение т" = —2тп. — п 8л дг имеет всегда характер «отрицательного давления» — оно направлено вдоль нормали п к площадке.
238
140. а) Введем цилиндрические координаты, как показано на рис. 56, а. На плоскости ху поле имеет радиальное направление, его величина Е —
____, Для вычисления силы F, действующей на один из зарядов, е (г2 + а2/4)/2
а)	6)
Рис. 56.
например, на левый, нужно просуммировать натнжения, приложенные к элементам rfS этой плоскости со стороны, обращенной к другому заряду:
р
TzdS = -~-Е2 dS = -
eq2
2л
.2
(г2 + а2/4)3 е2 dS’
если воспользоваться максвелловым тензором натяжений. Отсюда
TzdS=--±-eq2
/л j
о
г22лг dr__________
е2 (г2 + а2/4)3 еа2 '
Именно такое значение обычно принимаетси для силы, действующей между
зарядами в однородном диэлектрике. Однако, если провести то же самое вычисление с полным тензором натяжений, то сила будет равна FZ + EFZ, где
Ц I С7о	_ тт
г г получается за счет стрикцнонного члена. Но в теории, учи-

тывающей электрострикционные натяжения, нужно также учитывать явление втягивания жидкости в поле и связанное с этим повышение гидростатиче-Е2х ds
ского давления в жидкости на величину &р = —^-	, согласно (III. 25).
Результирующая гидростатическая сила &FZT =-----=— &FZ. Полная
е а о т
л2
сила взаимодействия зарядов Fz + EFZ + EFZT = —совпадает с той силой, которая получается без учета стрнкционных сил н представляет собой, таким образом, результирующую электрических и механических сил.
б) Те же результаты получаются, если рассматривать действие натяжений на поверхности малой сферы радиуса R с центром в той точке, где находится заряд q, испытывающий действие силы (рис. 56, б). Введем сферические
239
4£2сЛ
координаты н рассмотрим максвелловы натяжения Тп =
где Е = Е, + Е21 Е,=—^j-er —поле заряда, испытывающего действие силы, е/\
Е2 =	(е^ sin О — er cos fl1) — поле второго заряда, которое можно рассма-
тривать как однородное, так как расстояние между зарядами a~S> R. Просуммировав натяжения, приложенные к поверхности сферы, получим
F= T'dS = -^-ez.
J n ea2
Рассмотрение стрикционных натяжении опять не да"о бы ничего нового из-за гидростатической компенсации.
141. <р0
где g — ускорение силы тяжести.
<₽ = <₽, = -£- +
6]Г 1
2
142.
При
(б! -ег) д
Е1 (б] + е2) г2 ’
при
6] + е2
143.
Пев —

qa 6i — e2 '	----—г, где
2лг3 6i (б] + e2)
г = У х2 + у2 + а2 = Г, |г=0 = г2 |г=0.
е2->оо получаем случай точечного заряда находящегося в ди-qa
При
электрике 61 у граннгы с плоским проводником. При этом осв->— . Эта предельная плотность на самом деле представляет собой сумму плотностей связанного заряда на границе диэлектрика и свободного заряда на поверхности проводника.
144. Е =	-----
4а2 ejei + ej)
При ei > е2 заряд отталкивается от границы диэлектриков, при е, < е2— притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большим в, отталкиваясь от границы, стремится уйти на бесконечность. Заряд, находившийся сначала в среде с меньшим е, притягивается к границе, пересекает ее и затем, будучи уже в другой среде, отталкиваясь от границы удаляется на бесконечность. (Сказанное будет справедливо только в том случае, если пренебречь силой трення, действующей на заряд со стороны среды.)
Приведенное значение силы F можно получить разными способами: а) рассматривая взаимодействие двух точечных зарядов q' и q"; б) вычисляя силу, действующую на точечный заряд со стороны связанных зарядов, находящихся на границе раздела диэлектриков; в) с помощью тензора натяжений Максвелла. В последнем случае удобно рассмотреть натяжения, приложенные либо к плоскости раздела диэлектриков, либо к поверхности малой сферы, сгружающей заряд.
2
,4- F е1 ~ в2	91 ,	9192
1	е, (е, + е2) 4а2	2(б| + е2)а2’
е2— е1 9а 919г
е2 (е, + е2) 4а2 + 2 (е, + е2) а2 ‘
^2 =
240
Неравенство сил, действующих на заряды q} и q2 объясняется тем, что эти заряды сами по себе не образуют замкнутую механическую систему; имеются еще связанные заряды^на границе раздела диэлектриков Векторная сумма сил, приложенных к этой границе и к зарядам qi и q2, равна пулю, как и должно быть.
146.	Если положить в металле <р = 0, то в диэлектрике = q/e,r\ — q/er2 (см. рис. 10: заряд q в точке А, заряд — q в точке В; е,=е, е2 = °о). Член — q/er2, обусловленный наведенным зарядом проводника и связанными зарядами диэлектрика, имеет такой вид, как если бы он описывал поле точечного заряда— q/e, находящегося в точке с координатой z= — а. Заряд — q/e называется изображением заряда q/e относительно плоскости z — 0 (множитель 1/е учитывает влияние диэлектрика).
о =F=
2пг3	4а2е
где г —расстояние от заряда до точки на плоскости z = 0.
147.	Поле внутри двугранного угла создается системами зарядов, изображенными на рис. 57.
Рис. 57.
148.	Пусть диполь находится в точке (0, 0, z). Если проекции дипольного момента р на оси х, у, г равны psina, 0, pcosa, то проекции его изображения р' на те же оси будут —psina, 0, pcosa.
U = (Р-Р^-3(р.г)(р'-г)= _	cos2
2er°	16г3е
г Зр2	2 х жг Р2 sin 2a
ifcV(1+cos a)- ^ = --ЧбГ-
При любой ориентации р диполь притягивается к плоскости. Вращательный момент N стремится установить диполь вдоль положительного или отрицательного направления оси z (a = 0, л). Момент М = 0 также и при а = л/2, но это положение равновесия неустойчиво.
*) Множитель */2 в выражении U возникает благодаря тому, что поле Е' дипольного момента р' пропорционально р. При увеличении р па dp (и неизменной ориентации) энергия взаимодействия возрастает на dll — — Е dp, р
откуда U = J dU= — г/2 (Е' • р) (ср. с решением задачи 166). о
16 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
241
149.	Введем полярные координаты, выбрав полюс в центре шара и ось z (j Ео. Потенциал можно искать в виде ряда по полиномам Лежандра (ср. с решением задачи 153). Окончательный результат:
Зе
(fi =---------— Eor cos & при г < а,
6] + 2е2
„	« . е1 — е2 г- ч C0S О
<р2 = — Eor cos & Н--- Еса3----------j— при
61 Т ^62	Г
Внутри шара получается однородное электрическое поле, напряженность которого
Е = Зе» Е I > Б° ПРИ 82 > Е,‘
1 в] + 2е2 0 ( < Ео при е2 < еь
Вне шара на внешнее однородное поле £0 накладывается поле электрического диполя, момент которого
Это вторичное поле вызвано связанными зарядами на поверхности диэлектрического шара:
3 6i — 62	л	«
°св= to е, + 2е2 £° cos Рсв = 0‘
Легко понять причину такого распределения зарядов, представив себе каждый малый элемент поляризованного диэлектрика в виде элементарного диполя.
4лР
150.	Для диэлектрика с неизменной поляризацией ДЕ =-------— (см. за-
дачу 104).
Для обычного диэлектрика
ДЕ = —  -----12 ~-----Р
(2е+1)(е-1)
151.	— Ео • г + Р^3Г (г > Д),
где р = /?3Е0, R3 — поляризуемость шара:
а = Eq cos О.
/tv и
152.	Силу F, приложенную к заряду q, можно найти, помножив qx на напряженность поля, созданную вторым зарядом q2 в полости, где находится <7j. Так как полость мала поле в ней будет однородным с напряженностью, равной
Зе£0 _ Зе/
2е+1 “ (2е + 1)с2’
где Ео = -^2— однородное поле в окрестности полости.
Отсюда
(2е+1)а2‘
Эта сила отличается от той, которая действовала бы между такими же зарядами в однородном жидком диэлектрике с тем же значением е (см. задачу 140). Если бы мы аналогично задаче 140 попробовали найти силу, приложенную к плоскости симметрии, то получили бы при учете только макс-
242
г q	г-
•велловых натяжении значение силы г । =  2 , отличающееся как от силы F, приложенной к самому заряду, так и от полной электрической силы натяжений (не учтен стрпкционный член, имеющий сложный вид в случае тве • дого тела). Такая же сила будет действовать на любую область диэлектрика, охватывающую полость с заключенным в ней зарядом. Часть этой силы
За2	гл (2е — 1) <у2
___—------- приложена к точечному заряду q, другая часть F'= —	' (2е+1)п2 F	(2е+1)а2е
— к связанным зарядам, наведенным на поверхности полости.
153.	Выберем полюс сферической системы координат в центре шара (рис. 58), полярную ось проведем через точечный заряд. Будем искать потенциал в форме
<р (г, О, а) =
- i;+S М+ттг) р‘” ,с“ »>
/, т 4
(1)
тде Г] — расстояние от qi до точки наблюдения. Ряд, входящий в (1), очевидно, описывает поле зарядов, индуцированных на шаре. Это поле должно исчезать на бесконечности, поэтому а1т — 0. Вследствие симметрии потенциал не зависит от угла а, поэтому члены с и 0 также отсутствуют. Оставшиеся константы t>i = bl0 определим из граничных условий.
В случае а) потенциал шара <р (7?, О) = = V = const. Воспользуемся разложением для q/n из задачи 96:
<р (R, <0 =
оо
= X (~?+1 + "Бмт) р‘ (cos = и-
qR2l+l
Отсюда bi= — 4 ea‘+l
при / =/= О, Z>0 = V7?-—, Так что потенциал вне шара
еа
ОО
ert г еа^Уа} rl+i '	()
Теперь находим плотность зарядов, наведенных на поверхности шара:
ОО
4л dr L_n 4л/? 4л	а1+‘
т-к	1=о
В случае б) потенциал V неизвестен и должен быть выражен через заряд Q шара. Очевидно,
Q = 2n | a(R, fl)/?2sinflrfO = el//?--^-,
16*
243
откуда V =	Используя задачу 96, можно записать (2) в виде
(р = Л_ + ^±<_^,	(4)
ег] ег ег2
где
а' — а —. г= V г2 + а — 2а'г cos V, а = —. а	а
Таким образом, потенциал точечного заряда н заряженного шара в области г > а сводится к потенциалу четырех точечных зарядов, расположенных на осн симметрии: заряда q на расстоянии а от начала координат и трех его изображений—зарядов Q и q' = q — в начале координат и заряда — <f
, Я2 в гармонически сопряженной относительно поверхности шара точке а —
Заряд —q' описывает действие зарядов, индуцированных на ближайшей к q стороне поверхности шара. Знак этих зарядов, очевидно, противоположен знаку q. Заряд +q' описывает действие зарядов одного с q знака, индуцированных на удаленной от q части шара.
Если шар нейтрален, то член с Q отсутствует. Если шар заземлен (V = 0), то потенциал принимает вид
154.	<р (М) = —------— + V (рис. 59), где
155.	<р (М) = — - — + ------— (рис. 60), где
П Гг г3
,	<7°	Л °2
Заряд на выступе равен
Г.	Ь2 —а2 1
О = — о 1-------г.	—-г I,
L	b/a2 + b2J
244
в	д
156.	<р ~ <₽! =	- вне шара, q> q>3 = -^- - в
—5----i—j—у---------в полости (рис. 61), где
Cjf] ®2^3	®]А]
проводнике, <р = (ра ~
'1=—
,	*2
а =— а
©о
XI 2/ +1 г1
157.	а) д>] (г, «) = « У ---7,—77------i+Г Р' <cos ПРИ г
“ lei + (1 + 1) е2 а'+
©О
. АХ Я . „ «2 - ei V Ч>2 V • “ ------------* Ч---------- Zj
e2ri	е2 ^_0
* I /?2,+1
lei + (/+l)e2 az+1
Pl (cos О) rz+J
при г > Р,
где Г1 — расстояние от д до точки наблюдения. Здесь потенциал не может-быть представле'н простой системой изображений, в отличие от случая проводящего шара. При в] -> оо получим результат задачи 153.
б)
F— _ .-2 «1 - «2 У /«+1)	*И+‘ .
C2 iTo /е1 + (z + 1) е2 аЯ+3 ’
д2 _2 2 6]—е2 у 2п(2п+1) P4fi+1 е2 (2a)2	е2 2nei + (2n + 1) е2 а4п+3 ’
Сила отталкивания одноименных зарядов ослабляется поляризацией диэлект-
рика при в] > е2 и усиливается при Cj < е2.
158.	q>i =
= _^_ + 9Л1^У------------L+!---х
8|Г]	81	811+е2 (1+1)
а1г1
X 21+1 Pt (cos	п₽и
Р
у 21+1 а‘ .	..
при Г^Р, где rt — расстояние от точки наблюдения до заряда д.
При а = О
.Sir \	8] / Ё2р	e2r
Рис. 61.
159.	Обозначим поверхности внутренней и внешней сфер соответственно' через S] и S2 и положим потенциал внешней сферы равным нулю. Удобно решать задачу в сферической системе координат с полярной осью, направленной вдоль линии, соединяющей центры сфер, и с началом координат в центре внутренней сферы (рис. 62). В этих координатах уравнение поверхности Sj запишется в виде г = а. Чтобы получить уравнение поверхности S2, заметим,.
245.
•что из треугольника ОО'А следует
1 ; 1___________________
b V R2 +с2 — 2cR cos
(О
Из (1) с точностью до членов первого порядка по с находим уравнение поверхности S2:
R (О) = b + cPt (cos О),
где
(2)
Pt (cos &)i = cos 0.
Член cP\ (cos Ф) = c cos в (2) описывает отклонение от сферической симметрии, которое обращается в нуль при с->0. Естественно искать потенциал в виде разложения по сферическим гармоникам (см, приложение 2), ограничившись первыми двумя членами. При этом второй член, учитывающий отклонение от сферической симметрии, должен быть пропорционален с.
Итак, положим
cos fl1, (3)
где А{ и Bi определяются из граничных условий:
Ф Is, = const, ф|5а = 0,
dSt = — 4n<y.
S, Окончательно;
<р = <7
<?с
Ь3 — а3
cos О.
Отсюда плотность заряда на внутренней сфере
<7	3<?с Л
° =	---*—77ч----чГ cos v;
4ла2 4л (Ь3 — а3)
сила, действующая на внутреннюю сферу:
_____
b3 — a3’
,_	a2b2c2
160.	AC = 7----^775----37.
(b — a)2 (b3 — a3)
161.	При увеличении заряда q на dq энергия U его взаимодействия с шаром возрастет на dU = ф' dq, где <р' — потенциал индуцированных на шаре зарядов. Но этот потенциал сам пропорционален q : <р' = const • q. Поэтому
<7
о
const ,	1
—2—<72 = 2- <₽ <7-
(О
246
Если бы величина <₽' не зависела от q (потенциал внешнего поля), то энергия взаимодействия была бы вдвое больше (У7 = <р'р). Используя (1) и результаты задачи 153, получим
[/=_______------
2е(а2-/?2)’
откуда
F . . ? е (а2 - R2)2 •
и	°2R3	 F— Q(/	№&a2-R2)
ea 2a2e(a2-/?2) ’ ea2 ea2 (a2 - R2)2 '
В случае одноименных зарядов Qq > 0, и сила взаимодействия может обратиться в нуль, а при достаточно больших q или малых расстояниях а — даже стать отрицательной (притяжение).
163. Пробный заряд q должен быть мал по сравнению с зарядами, рас-
положенными на других проводниках и диэлектриках, и не должен находиться слишком близко к местам неоднородности среды, например, к границам проводников и диэлектриков, чтобы обратное влияние зарядов, наводимых пробным телом, было мало. Например, при измерении электрического поля заряженного проводящего шара нужно, чтобы сила электрического изображения была мала по сравнению с измеряемой силой qQ/a2 (Q — заряд шара, а — расстояние от пробного заряда до центра шара). Это приводит к условию (см. ответ предыдущей задачи)
|Q|	(2а//?-I)2
I q I	(а//?)(а//?-1)2’
которое выполняется только при не слишком малых a/R и не слишком больших q/Q.
164.	Изображением электрического диполя р = р (еЛ sin а + ег cos а) в заземленном шаре является система, состоящая из р/?
точечного заряда q — cos а и диполя
/ /? \з
р' = р I — 1 (— ех sin а + е2 cos а), находя-
щихся в точке А' (рис. 63) на расстоянии г' = R2[r от центра шара.
. j __	p2R (г2 cos2 а + У?2)
2е (г2 - У?2)3	’
F = ~ -е-(-Д^г)4 l(2'2 + R2) cos2 а + ЗУ?2],
Рис. 63.
д. _ p2Rr2 sin 2а 2е (г2 - У?2)3 '
В предельном случае r->R, получим, полагая r = R + z, R -> оо, z = const,, результаты задачи 148 (диполь у проводящей плоскости).
165.
Зр „ а = —т-^j- cos v, 4л/?3
где © — угол между р и направлением из центра в точку наблюдения. Индуцированные заряды создают в полости однородное поле E' = p!R'
247
166.	Силы, действующие на неоднородность, могут быть получены дифференцированием величины
U ~ i almQlm	(I)
I, m
при ПОСТОЯННЫХ Qlm.
Величина U' отличается от истинной энергии взаимодействия области неоднородности с внешним полем U, определяемой работой, которую надо совершить, чтобы при наличии неоднородности создать поле <р (ср. с (III. 16)). При нахождении такой энергии нужно учитывать, что моменты Q/m зависят от внешнего поля. В частности, если область неоднородности представляет •собой незаряженный проводник или диэлектрик, то истинная энергия взаимодействия неоднородности с внешним полем определяется формулой
U — ~2 almQlm-
I. tn
(2)
Коэффициент 1/2 можно получить так же, как это сделано в решении задачи 161, учитывая, что в этом случае Qim пропорциональны aim. При нахождении обобщенных сил с помощью выражения (2) путем дифференцирования по обобщенным координатам как Qim, так и aim следует считать переменными величинами.
167.	Uо = </фо — рЕ0,
при этом
Ф1 = Фо “ г • Ео, ф2 = — +	F = </Ео + (р • V) Ео, N = pXE0
(вращательный момент вычисляется относительно начала координат).
169. Тело стремится занять такое положение, при котором его потенциальная энергия U=—р • Е минимальна. Удобно направить координатные оси вдоль главных осей тензора 0ik, тогда U — — -% (р^'Е^. + Р^Еу + р^Е|).
Отсюда видно, что если 0^	0^	0^ > 0, то минимум U имеет место,
когда Е || х; если же 0 м С Р(!/) Р(г) < 0, то минимум получается при Е||г.
170. Ось стержня и плоскость диска стремятся установиться при ei>e2 параллельно направлению поля, а при ei < е2 — перпендикулярно.
ОО
'<'+4
е2 ;=э /б] + (/ + 1) е2
—-—. При е2 < ej происходит а2‘ + 3
притяжение, при е2 > ei — отталкивание. В случае проводящего шара ei -> <х>.
Суммируя геометрическую прогрессию, найдем энергию взаимодействия г?
2t,2(R2 — a2)’ ОТКУДЭ
F	ci2aR.
Ь ~	e2(a2-R2)2
(ср. с задачей 161).
Сделаем некоторые замечания к вычислению силы с помощью формулы
(III. 16). Рассмотрим величину =	(е2 — 8j) Е • Ei dV'. Объем V' огра-
V'
щичен сферой S, бесконечно близкой к поверхности диэлектрического шара и находящейся целиком внутри него. Интеграл, входящий в выражение U't
248
лишь на бесконечно малую величину отличается от потенциальной энергии If взаимодействия точечного заряда с шаром. Введем вместо напряженностей суммарного поля Е и поля точечного заряда Ej в однородном диэлектрике ег соответствующие потенциалы и вынесем постоянную величину (е2 — e2) за знак интеграла. Тогда U'= &2 J V<p • V<pj dV. Применив формулу Грина
V
J V<p • V<pj dV = (j) dS + J <p Дф] dV, и воспользовавшись тем, что вну-s
три шара Дф1 = 0, найдем для U следующее выражение:
,, е2-с, у /	Z?2f+1
е2	zei + (/+ 1) е2 а21+3
Оно совпадает с выражением, получающимся из формулы (2) задачи 166.. Отсюда для F получим приведенное выше значение.
х 1 (	a2-/?f-/?2\-1
172> Свз = <Р1 — Фа = 2" \arCch	‘
. | £ |	462х2
173> ° ~ 4л * л [(х2 - у2 - Ь2)2 + 4х2у2} ’ Где
2/?4 a2 Va2-4R2 '
Начало координат находится в центре отрезка, соединяющего оси цилиндров и выбранного за ось х.
rf + Rl-a2
..
П4. С = 1
175.	Если оси х, у, z параллельны главным осям тензора е^, то
, X е'	е Г 1(2 -1_ У2 -1_ 22 1 7	ИХ
<₽(%, У, *) г = уе(х)еЫе(г)- [ е(х) + е(у) + е(г) ]	•	(1)
При произвольной ориентации координатной системы формула (1) запишется в виде
VleiAleik‘xixA
где
| eik | — определитель тензора е^.
176.	Е = ЕС—	"i£oft .n.
177.	С = ^-,
где z — координата, нормальная к пластинам конденсатора.
178.	Если выбрать оси х, 2 в плоскости Ео> п» 2IIп, то
ё Ег l-ezx\g^0'
где tg ©о = EOX/EOZ. При этом силовая линия в диэлектрике остается в плоскости Ео, п.
24»
§ 2. Потенциальные н емкостные коэффициенты
180. Обозначим через заряд первого проводника и через q' заряд на внешней поверхности второго проводника (заряд на внутренней поверхности второго проводника равен — qu как это следует из электростатической теоремы Гаусса). Система (III. 28) принимает вид
gi = cn^i + ci2K2,
— <71 + Ч' — С12Г1 + c22V2.
(1)
Сложив эти уравнения, получим
?'= (сц +C|2) V) + (С|2 + с22) V2.
(2)
Заданием q' определяется поле во всем внешнем пространстве, в частности, потенциал Г2 второго проводника. Равенство (2) должно, таким образом, иметь место при любых значениях Vi и фиксированных q', V2, что может быть, только если
сп + С12==0.	(3)
При этом первое из уравнений (1) принимает вид
?i = Cn(Vi-Г2).	(4)
Из (2), (3) и (4) следует, что
С = сц= — С]2 — c2i, С' = с124-с22.
181. 183.	с22		- с“ ^22	2 ’	512 с11с22~ с 12	S2i —	С12
	S11 —	о >				2 ’ СПС22 — с12
	с =	СцС22 с12 2 СНС22 с12			
		Си + с22 + 2с12			
184.		S11 — 2si2 4- S13		8ц	-S13	<7
		“ 512	’ 8 ’ 92	2 ’ 9з 4 ’	94-s„	— 312	8
		2а	а	За2		
185.	<71 -	- Ь 9’ 92	-Т9’ 9з = -^-9-		
у _ V	V —
* О г Р	I Р
187.
189.	Собственная емкость объединенного проводника: Соо = Сц + С22 + 2С12.
Взаимная емкость объединенного проводника и Z-го проводника системы
cai = си + сц.
190.	Энергия уменьшается на величину
4 го
191,	С точностью до 1/г,
г	ЬС2д2
г3 [C + ab (5-а)-1]2’
250
192.	Шарик и проводник приобретают при соприкосновении один и тот же потенциал
V, = qsn + (Q - <?) «12 =	+ (Q - q) s2! = V2,
откуда
Sil — S12 _ Q [
«22“ «12 q
Tpp Slk _ потенциальные коэффициенты (индексы 1 и 2 относятся соответственно к шарику и к проводнику).
Обозначим через qk заряд проводника после fe-ro подсоединения. Из равенства потенциалов проводника и шарика при соприкосновении следует
+ (<? +	~ '4) «12 = ^S12 + (Q~4k + 4k^) «22-
Отсюда, используя (1), получим рекуррентное соотношение, связывающее <4-1 “
= +	(2)
Последовательное применение формулы (2) с переходом в дальнейшем к пределу k -> оо дает окончательно:
<7= Нт <76 = <?Г1 +	+	...1 = -^- .
й->оо L Q \ Q /	\ Q / J Q q
§ 3. Специальные методы электростатики
193. Уравнение Лапласа принимает вид
^=/a+«2)(s+m+c2).
Это уравнение должно быть проинтегрировано с граничными условиями <р = const при £ = 0 (на поверхности эллипсоида), <р —> 0 при £ -> оо. Выполняя интегрирование и воспользовавшись для определения постоянной интегрирования тем, что при г = Ух2 + у2 4- г2 -> оо, £->г2, получим
СО	ОС
Г J_=J_ f А ф'67 2е J Ry С 2е J /?5 ’
Отсюда
е дф I	е / 1	дф \	_ q / х2	у2	z2
4л дп ||=0	4л \ Л) /&=0	4n<ifcc \ а4	Ь4	с4	)
Плотности зарядов на концах полуосей прямо полуосей:	: at:	= а : ft : с.
194. При а = Ь> с (сплюснутый эллипсоид)
Я
пропорциональны длинам
а2 — с2
1 + с2 ’
В частности, при с = 0 (диск) С = 2а/л.
При а>Ъ = с (вытянутый эллипсоид)
q , ’/ § + а2 + У а2 - Ъ2
ф	Г------- "In f-	Г....	.
2е У а2 - Ь2 У + а2 - У а2 - Ь2
ф = ' 1/4—Т arctg'
__ еУа2 — с2
с» — —--------
с
arccos —
а
е.Уа2 — Ь2
. а + У а2 — Ь2
In
С =
ь
251
В частности, при Ь<£а (стержень)
еа
,ПТ
195.	Будем сначала считать эллипсоид незаряженным: q = 0. Если внеш-«ее однородное поле Ео параллельно оси Ох, то
фо----Еох —I" Ео
+ а2) (т) + о*) (£ + а2)
(Ь2 - а2) (с2 - а2)
Знак минус соответствует х>0, знак плюс х < 0. Как функция ф0, так и потенциал ф' поля наведенных на эллипсоиде зарядов удовлетворяют уравнению Лапласа. Подставляя ф' = q>0F (g) в уравнение Лапласа, получим уравнение для определения неизвестной функции F (g):
S+-^4,n[/^+a2)]=o-
Это уравнение легко интегрируется. Решение, удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид
Ф 19=о — Фо
>2)^ •
rfg / I . а+а2)^ /J 6	/о
Если эллипсоид имеет собственный заряд q, то решение, удовлетворяющее условиям ф |j=0 = const и — (j)-~-dS = 4n9 (S—замкнутая поверхность, 3 содержащая внутри себя эллипсоид), можно получить по принципу суперпозиции (см. задачу 193)
1 ф1? = Ф9=о + -2 Ф
196.	Потенциал имеет тот же вид, что и в предыдущей задаче. Входящие в выражение потенциала интегралы могут быть выражены через элементарные функции — это имеет место во всех случаях, когда эллипсоид обладает симметрией вращения. В итоге получим
Ф = — Еох
)Л1 + g/a2 + е 2е
. _	/l+g/a2-e	/l+g/а2
.	1+е о
In -7—— — 2е
1 — е
где а —большая и Ь~ малая полуось, е—у 1	—эксцентриситет эллип-
соида, ось х направлена перпендикулярно плоскости,
Хсм. задачу 66). Напряженность поля достигает максимального значения в вершине эллипсоида
Emax r. 1 дф	2е3(1—е2)-1	1
Ео Ео/% <3g о, £=-Ь2 In 6 — 2е
1 — е
252
где n,x) — коэффициент деполяризации (см. задачу 198). В случае сферы е = 0 и Етах/Е0 = 3. В случае очень вытянутого стержня (громоотвод)
поэтому искровой пробой воздуха значительно более вероятен у конца такого громоотвода, чем иа других его участках.
197.	Поле на произвольных расстояниях от эллипсоида получается как суперпозиция трех полей вида, установленного в задаче 195 (поле Ео разлагаем на составляющие, параллельные главным осям эллипсоида).
На больших расстояниях от эллипсоида
<Р = Фо+-^£, Рх = &МЕх, Ру = ^Еу, рг — ^Ег.
Главные значения тензора поляризуемости эллипсоида: о(х) _ °^с fl(ff) _ а^с o(z) _ а^с Р 3«м’ ₽ Зп™’ Р 3«<г>* 198.
= „(г) =
где е = 1^1 — Ь2/а2 — эксцентриситет эллипсоида.
В случае е-> 1 (стержень): n(x»=0,	=
В случае е <С 1 (форма, близкая к шару):
„(X) _ 1/з _ 2/15е2 п(у} = n(Z) = 1/з + ,/^2 199.
«fe) = ‘-У  (е ~ arctg Е>> > ‘/з>
„(х) = „(г/) = 1/г (, _„(г)) е= ]/(а/с)2-1.
В частном случае диска
/гы = 1,	„(х) = и(д)=0
200.	Ф = <Рл- + <рЛ1 + фг- Внутри эллипсоида
<Рх = <Ри =
Вне эллипсоида
- Еох 1+Л1Л£1„(х) ег
где
«Рх — <йх — ~ Еох
1 -
_______________I_______________1
2 [е2 + (ei - е2) д(х)]
п(х) = abc J о
а + а2)^ ’
253
<Ру и <pz определяются аналогичными выражениями, в которых х нужно заменить соответственно на у и г, а на b и с. Внутри эллипсоида однородное поле
Еоусу
Е1---------	-------1---------------1--------------.
1+£1^п(у)	1+^л£2.„(г)
62	62	^2
На больших расстояниях от эллипсоида
Фг=- Е0‘г + ~з~>
где px-=f>wEx, ₽<JC)=—-—-----------г- и т. д.
3| —+ и«) \е,-е2	}
201.	Воспользовавшись формулой (III. 16), получим
_ abc (в2 - е,) Е% {2 [е2 + (б] - е2) п] sin2 О + [е, + е2 + (е2 - п] cos2 6 [е2 + 6] + п (в2 — eJJ [е2 + (Bj — е2) п]
dU ofcc(e2 — е])2£2 (3« — 1) sin 2©
д& 6 [е2+ei + «(е2 — е,)] [е2 + (б] - е2) п] ’
где & — угол между осью симметрии н полем Ео, п — коэффициент деполяризации относительно оси симметрии эллипсоида (см., например, решение предыдущей задачи).
Из последней формулы видно, что внешнее поле стремится повернуть ось симметрии вытянутого (п < */3) и сплюснутого (п > */3) эллипсоида в положение, параллельное и перпендикулярное полю соответственно.
В случае проводящего эллипсоида, 6] -> оо и
abc (Зга — 1) £q sin 2<i 6п (1 — га)
202.	Потенциальную энергию жидкой заряженной капли, имеющей форму эллипсоида вращения с эксцентриситетом е = К1 — tt/a? и объемом, равным объему сферы с радиусом R (заряд q), можно выразить формулой
I/ (е) =	+ aS =	~62 1п + 2л/?2а	(])
\	е Kl — е2 /
(воспользоваться выражением для емкости С вытянутого эллипсоида вращения, приведенным в ответе к задаче 194).
Чтобы ответить на вопрос об устойчивости заряженной сферической капли, надо выяснить характер зависимости энергии (1) от е при малых е. Разложим U в ряд с точностью до е4:
Из последней формулы видно, что если заряд капли q < <7кр = 1'Л 16л£3а, то при малых деформациях капля стремится вернуться в сферическое состояние — капля устойчива. При q > qKp, поскольку возникшая деформация продолжает увеличиваться — капля неустойчива. Процесс кончается расшеп-
254
лением неустойчивой капли на две или большее количество *) более мелких 'тойчпвых капель. То, что в конце концов получаются устойчивые капли, видно из выражения ?ьр. С уменьшением размеров капли критический заряд q уменьшается пропорционально корню квадратному из ее объема, в то время как заряд капли q уменьшается в среднем пропорционально объему; поэтому при достаточно малых размерах капли условия устойчивости начинают выполняться.
203
EqZ
<р---------
п
Нтт’гг)'
_ у _ т] (LL arctg _а_ л \ а	У g
- 1
где Vg нужно брать со знаком плюс при z > 0, Z < о. На больших расстояниях за отверстием g « г2
Eoa?z	_
^-3^" при z>0-
и со знаком минус прн и поле приобретает вид
Такой характер имеет поле электрического диполя, ось которого совпадает с осью z, а момент р = £оа3/3л. Отсюда видно, что силовые линии, проходящие через отверстие, замыкаются на обратной стороне металлического экрана.
204.
Ег, !	. а , а \
о = —г-Л-1 л — arcsm---1----.	| при z = — 0,
4л*	г, Уг\-а^}
Ео / а	 а\	, _
о = —т-4-1 —r	— arcsin — I при z = + 0,
4^/r2_02	rj
где п = Kg + а2 — расстояние от центра отверстия до точки наблюдения на плоскости.
205. Нужно решить уравнение Д<р= — 4л<;д(г —г0); S-функция должна быть при этом записана в цилиндрических координатах
S (г - г0) = — S (г - г0) S (а — у) S (z).
го Компонента Фурье
4-оо
<pft(r, — J Ч> (г> a. z)coskzdz	(1)
— ОО
потенциала «р (г, a, z) удовлетворяет уравнению
1 д / dq. \	1 d2«p.	4q
—Iг “л-) + ~2 ~а~2— ^2(Pk ~---------Ъ(г — rA б (а — у) (2)
г dr \ dr I г2 да2 к г0 '	’
я граничным условиям (см. рис. 11)
<Pfe (г, 0) =	(г, Р) = 0,	(3)
(°°. а) = 0.	(4)
*) Легко непосредственно проверить, что, например, при расщеплении заряженной капли на две равные сферические капли энергия уменьшается в 2^3 раза.
255
Рассмотрим соответствующее (2) однородное уравнение. Частными его решениями, удовлетворяющими (3), являются произведения Rn (г) sin -п™ (п — 1, 2, 3, ...), где величина Rn (г) равна с точностью до постоянного мно кителя либо/пл (kr), либо КпЛ (kr). Будем искать решение неоднородного уравне-Т	"Г
ния (2) в виде суперпозиции таких частных решений:
Л I их- ПЛа
Ап1 пл (kr) sin —р-п= I ₽

V Впк пп (kr) sin -Т’а-~ ЧТ	Р
при г < а.
(5)
при г > а.
При написании (б) мы учли, что потенциал должен удовлетворять (4) и быть ограниченным прн г = 0 (см. приложение III).
Для определения постоянных Ап и Вп воспользуемся, во-первых, непрерывностью потенциала при г = г0. Это даст
!пп (*го)
_ б______
K^(kr0)’	W
p
Во-вторых, потребуем, чтобы потенциал (5) удовлетворял уравнению (2). Подставив (5) в (2), помножим обе части получившегося равенства на sin—=	2, ...) и проинтегрируем по а от 0 до 0. Учитывая ортого-
Р
.	. . пла
нальность функции sin —g— в указанном промежутке, получим Г
1 d ( dRm\ (L, , т2л2 \ n Sq л ч winy т*лг-игг\к+wr,"^K(o)'T'' (7) где
[ (kr) при г < а,
I ~|Г
| ВтКтп (kr) при г > а.
I Т
Функция Rm (г) непрерывна при г=г0, но ее первая произвчдная по г испытывает при этом скачок
(г0 + °) ~ Rm (го - 0) =	(kr0) - kAml'^ (kr0).
₽	Р
Поэтому вторая производная Rm (г) будет равна R" (г) = Ьд (г — г0).
Подставляя это выражение в (7) и отбрасывая члены ограниченные при г = г0. получим второе уравнение для определения Ап, Вп:
kBnKnn (kro) — kAnInn (kr^) = sln
При упрощении выражений для Ап и Вп полезно воспользоваться формулой Ky(x)l'y(x)-K'v (x)/v (x) = l/x.
256
207.
,	> 2<7
<p (r, a, z) = —
1
-----7 arctg
где
2?0 = V Го + r2 + z2 - 2rr0 cos (у — a) = К2rr(l [ch t) - cos (y - a)],
R'o = V+ г2 + z2 - 2rr0 cos (y + a) = V2rr0 [ch tj - cos (y + a)].
208.
G = Const • Г
где r — расстояние до ребра клина. В частном случае клина, находящегося в поле точечного заряда (см. задачу 205),
const =
дУпг^ sin-y-p2(r2+z2)f+T
Отсюда видно, что о -> 0 при г -> 0 и Р < л; о -» оо при г -> 0 и Р > л. В частном случае, когда заряд находится у края плоскости,
я со г.
209. Поместим заряд q в начале координат, а ось z направим перпендикулярно поверхности пластинки. Тогда уравнения передней и задней поверхностей ее примут вид z = а и z = a + с соответственно. Будем искать потенциал в виде
оо	оо
Pi = q j Л> (kn) e~k ,z| dk + ( Ai (k) /0 (^i) ekz dk (— оо < z < о), 0	о
©о	оо
Ч>2 = J Bl (k) Jo (kn) e~kz dk + j B2 (k) Jo (kn) ekz dk(a<z< fc), 0	0
oo
<Рз = J A2 (k) Jo (kri) e~kzdk (b < z < оо, где b = a + c). о
(1>
Граничные условия на поверхностях пластинки дадут систему четырех алгебраических уравнений для определения коэффициентов Лъ Л2, Вь В2.
17 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин	257
Решая эту систему, получим
о 6—1 t где р ---г- , Ь = а + с.
е+ 1
-2kb _ -2ka
w-, c2 i2fec
1 - Р е 2ВС
g(l-P)
1 l-p2e-2ftc’
.	1 -р2
2 q 1 - p2e~2fcc ’ gP(l -P) е~аб
2 l-p2e-9Ac
(2)
Формулы (2) совместно с (1) дают решение нашей задачи. На больших расстояниях за пластинкой (г > 0) поле принимает х	вид
Рис. 64.
2	(е-1)2
где rt = У х2 + у2, р = — 2е cq.
210.
ОО
2</ f sh6(a —Izl) , „ , , Ф W = т+Т J-------z°dk>
о
где ri=1rх2 + у2 (рис. 64).
При }Лг2 + г2 -> 0 (вблизи заряда)
(е+ 1) Уг^ + гР
(ср. с задачей 129).
Потенциал <р можно представить в виде
ОО
ф=_^_ у г_ (-1)"
е+	/г? + (г-2СЛ)2
Соответствующая система изображений приведена на рис. 66, б.
211.	Можно ввести бисферические координаты так, чтобы поверхности внутренней и внешней обкладок были координатными поверхностями £ = и В — &2 соответственно. Для этого нужно провести ось г через центры обкладок так, как это показано на рис. 65. Координаты центров обкладок будут при этом равны z^acthgi, z2 = acthg2 (а —параметр бисферических координат). Радиусы обкладок связаны с величинами а, £2 уравнениями а = ai sh gIt а = а2 sh £2, b = z2 — Zj = a (cth g2 — cth gi), откуда
Функция ф в пространстве между обкладками конденсатора удовлетворяет уравнению
<Э2ф ,	1	д I . <Эф \ , 1	<Э2ф	1
-чту +	---ч— Sin 7) ~~ + -ч-5--------------------ч-ч-Г ф =	0.	(2)
д^2	sin т]	<Эт] \ дг\ / sin2	т]	da2	4 v	'
Производя в уравнении	(2) разделение переменных и учитывая,	что в нашем
случае ф не зависит от азимутального угла а, найдем частные решения
258
этого уравнения, ограниченные при т] = 0, л:
ф/ (I. п) = (j4/ ch [l + у) | + Bt sh + у) gj Pt (cos 1]),	(3)
где 1 = 0, 1, 2, 3, ...
OO
Будем искать ф в виде ряда ф (g, i]) = 2 Фг (6 h)- Коэффициенты А/ 1=0
и Bi определяются из граничных условий ф (g2, т]) = О,
— 1 00
Ф (Ь П) = К (2 ch g, - 2 cos я) 2 =F^exp[—(z + 4) Ь ] Pl <cos ’>)•
l=o
Окончательно получим
<P (6 П) =
2exp|’-(z + l)g1lsh(z + l)(g-g2)
	------------------------Pl (cos 1]). (4) i=0--------------------------------sh Z + y (g,-g2)
нормали к внутренней обкладке координата g убывает. Подставляя сюда (4) и используя ортогональность полиномов Лежандра, получим
оо
c==-j- + ai shgi 2 ехР I—(2/+ 1) 611 cth (z + y) (61—62).
2 2 2
а,а9	а,а9Ь
212.	С = ———|-------1-г=-------,
«2-«1	(«2-ai)2(a2~«D'
17*
259
213.
ОО
H+l) g.]cth (/+1)а1+ы,
Си =	+ 01 sh £1 2^ ехр
z=o
С22 —+ «2 sh с2 ехр [— р + -g-j £2 j cth (/ +	+ g2),
z=o
b2 + а\ — а?	b2 — а? + а?
гдг ch gi =-------------, cl;	-------.
2оа]	2Ьа2
Поверхности первого и второго проводников описываются уравнениями 5 = —Bi и g = g2 соответственно, причем ai sh Ei = а2 sh Ё2.
214.
Ci i = zzi (1 + тп + тп3 + т2п2),
С12 = — «1« (1 + zn«),
С22 — «2 (1 + zn« + m3n + zn2/i2), где tn = ai!b, n = a2fb.
215.	Пусть потенциал сфер равен нулю, потенциал на бесконечности равен — V. Произведем инверсию системы в сфере радиуса R = 2а, центр
которой находится в точке касания проводящих сфер (рнс. 66, а, сфера инверсии изображена пунктиром). После инверсии система примет вид плоского конденсатора (рис. 66, б, сфера инверсии изображена пунктиром) с расстоянием 2R между заземленными обкладками. Внутренности сфер соответствует при этом внешняя область конденсатора. В центр инверсии в конденсаторе попадает бесконечно удаленная точка первоначальной системы с потенциалом V. Этому соответствует точечный заряд q0 = — RV в центре инверсии. Поле в инвертированной системе может быть, согласно задаче 210 <е = 1), получено как поле следующей бесконечной системы изображений; точечные заряды (—1)"^ находятся в точках zn — 2Rn оси г', проходящей через центр инверсии перпендикулярно обкладкам конденсатора. Поскольку мы интересуемся емкостью, нужно найти полный заряд первоначальной
260
системы:
= 2 V — . z,
In2=/?V In2.
n=l
При выполнении .суммирования мы воспользовались известным разложением в ряд In 2 (см. справочник [91], (0.232)). Отсюда емкость C^q/V= —2а In 2. Для определения потенциала с помощью формул (III. 32), (III. 33) запишем г и г' в цилиндрических координатах (ось z совпадает с осью симметрии системы, начало координат в точке касания сфер). Тогда . R2Z /	9	2	9
z — г. =	, г =fi + z и для потенциала получим
г2 1 г2
n2 “ sh k(R -
ch kR
dk.
Л>
Ф (r) =
о
Член q/C добавлен для того, чтобы <р (г) обращался в нуль при г -> со.
217.	Угол р, под которым пересекаются сферические поверхности (будем отсчитывать его вне проводника) выражается формулами:
_ ( 2л — | g2 — gi |, если	и £2 одного знака,
I 2л — | ^ + g2 |, если	и g2 разных знаков.
Выбрав центр инверсии О на линии пересечения сфер, положив радиус инверсии равным 2а и производя инверсию, получим клин с двугранным углом Р и ребром (ось z'), перпендикулярным плоскости симметрии (а = 0, л) рассматриваемого проводника. На рис. 67 изображен случай >0, |2 < 0.
261
При инверсии в точке О появится заряд q0 — — 2а V. Как легко может быть, показано, угол y = gi, если отсчитывать у от той грани клина, в которую переходит сферическая поверхность | = ||. При преобразовании инверсии поверхности g = const переходят в полуплоскости а' = const, причем
(у — а' при 0 < а' < л + у,
у — а' + 2л при л + у < а' < р (если р > л + у).
(1)
Расстояния г и г' могут быть выражены через координаты р, g точки наблюдения М (прн этом нужно использовать соотношения между декартовыми и тороидальными координатами из задачи 68, а также рассмотреть, подобные треугольники ОО'М' и ОО'М);
2а ехр^-
г =	....	=, г' = 2де-₽.	(2)
I 2 (ch р — cos g)
Используя выражение для потенциала клнна, полученное в задаче 206,. а также формулы (1) н (2), получим после некоторых преобразований следующее выражение для емкости:
(или р->0, £->0)
, ng	, лЕ
«	Р л Р . shg
Р ’ ch4_Cos^- Р ch4._! chg-1
Р Р	Р
218.
а)	С = —(sin 0 + 0);
зт
б)	с-2'г('~Й)“4'г:
интеграл из решения задачи 217 берется подстановкой ехр
219.
	ГЛАВА IV ПОСТОЯННЫЙ ТОК
220.	л к> 1 1 го
221. Сопротивление нему сопротивлению 7?.	катушки гальванометра должно быть равно внеш-
222.	з R=~^r при п — 2, „13 R = г при п — 3, о 47	. Я = 22 г п₽и п = 4>
262
Использование соображений симметрии позволяет, например, в случае п = 3 ограничиться всего тремя контурными токами.
223. Введем контурные токи, как показано на рис. 12. Уравнение Кирхгофа для ячейки BkAkAk+iBk+t имеет вид
ffk-i+&k+i = (2 + -^ffk.	(1)
Это линейное разностное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения: eka и e~ka, где
‘"W/t’1-	,2>
Общее решение (1) имеет вид ffk = A'eka + B'e~ka. В данном случае удобно, перегруппировав члены, записать (1) в форме
& k = A ch (Р — k) а,	(3)
где А и Р — произвольные постоянные. Определим их из граничных условий на концах линии. Рассмотрим последнюю ячейку. Уравнение Кирхгофа для этой ячейки принимает вид
& п (R + Ra + г) о7п—]Г = 0.	(4)
Подставив в (4) выражения токов Sn и 3 п-\ из (3), и используя (2), получим после сокращения на А уравнение для определения Р:
и. Д Ra ch na+lfRr sh (n + ’/2) а
th ра =------------р=------------.	(5)
Ва sh па + V Rr ch (« + */2) а
Значение постоянной А можно получить, составив уравнение Кирхгофа для начальной ячейки линии:
&0(R + Ri + r)-	=	(6)
Из (6) после некоторых преобразований находим, что
Я,сЬРа + Г>г sh (Р+ ’/2)а '
Окончательно получаем для тока на отрезке AkAk+\ линии следующее выражение:
=.	(7)
Ri ch Pa + V Rr sh (P + 1 /2) a
Входящие в (7) постоянные аир определяются уравнениями (2), (5).
При сухой изоляции г->оо, а->0 и (7), как н следует ожидать, принимает вид
= Ri + Ra+(n+\)R •	(8)
*) При выводе этого и нижеследующих выражений полезно помнить, что формулы гиперболической тригонометрии получаются из формул обычной тригонометрии заменами
cos a -> ch a, sin a -> i sh a.
263
Из (7) и (8) находим для отношения э. д. с. и if, обеспечивающих один и тот же ток через нагрузку при сухой и сырой изоляции, выражение
%	/?,- ch ра +У sh (р + */2) а	(9)
%о “ [Я< + Яа + (/г+ 1) ft] ch (р —/г + */г) я
Если сопротивление нагрузки Ra = 0, то уравнение (5) упрощается и из него в этом случае следует, что
Р = п + ‘/2.	(Ю)
224.	Если 9(х), <р(х) —ток и потенциал жилы кабеля (относительно земли) в сечении с координатой х, то
,	, 39	_	<3<р дг9 р
ф(х) = — р -ч—, 9 — — Р~,'~1	&•
4' ' г дх	дх дх2 р
225.
9(х)--------ifchs(x-x0)--------f	(1)
Ri ch sxB + У pp' sh sx0
где s*=prp/p', Постоянная x0 определяется из уравнения
th s (х0 — а) =
При Rt^Ra-О
/рр'
(2)
(3)
Если нет утечки, то Постоянное значение
У pp' sh sa р' -> оо, х0 -> a, s -» 0 и вдоль кабеля ток принимает
if
С7 —- ___________
° Ri + pa + Ra'
При использовании формулы (7) из решения задачи 223 нужно положить
„	. р' . X	а
R—pdx,r = -^—, k = -7~, п •=
r	dx dx dx
Тогда из уравнения (2) решения задачи 223 следует, что s dx. Величина р в этом решении связана с хв соотношением p = x0/dx, так что Ра = = xos. Подстановка этих выражений в уравнения (5) и (7) из решения задачи 223 приводит к написанным выше формулам (1) и (2).
226.
£ = игЕ _______	£) _ BiXgV
‘ = К|Л2 + к2/(1 ’	1	Х!Л24-К2/(1’
Е	D	BsK,V
2 Kih2 + K2hi’ 2 к^г + ИгЛ]’
 = •	Х|Х2У
Л /а Х1Л2 + к2Л1 '
На границе раздела между пластинками
_ Е2 — Ej х2 (sj — 1) — И| (е2 — 1) р.
с® 4л = 4л (К|/;2 + к2Л|)	’
D2-Di _ (e2Xi- е^;) V
° ~ 4л ~ 4л (х j/!2 + X2/Zj)‘
264
Величина V больше нуля, если первая пластинка прилегает к положительно заряженной обкладке. У границы обкладки и первой пластинки
Ei-D
°св“
Qi
4л ’
У границы обкладки и второй пластинки
	_ D2		 е2 — d2 4л ’ св	4л
227.	tg₽l _ X]
tg °" х2
где ₽>, fl2 —углы, образованные линией раздела в первой н второй среде.
228.
ffz
ла2и ’
тока с нормалью к поверхности
0<г<с,
<₽ =
&Z 1п 4* Ъ
9 I
ЛДГХ 1П -г ь
о,
а < г С 1>.
г > Ь.
о
Из этой формулы видно, что электрическое поле в пространстве между проводниками не направлено по оси z. Наличие отличной от нуля радиальной составляющей электрического поля Ег говорит о том, что на цилиндрических поверхностях проводников имеются поверхностные заряды с плотностями
п еЕ' I ' 4л I
!	eS^z
Л”а 4л2а3х1п-4-о
|
4л 1г-г>
02 =
e<“7z
4л2а2йи 1п b
При z=0 плотности О] и <т2 обращаются в нуль. Положение сечения, на котором at=o2 = 0, не является определенным. Это сечение может быть смещено, если на провод поместить добавочный постоянный заряд. Заряды qi = 2naci и ^2 = 2л6о2= — qit приходящиеся на единицу длины провода и оболочки (при одном z), связаны с разностью потенциалов между ними
соотношением
Erdr —
Sz
а2и
2IU а
£1 V
= const.
Отношение qJV совпадает в данном случае с емкостью па единицу длины цилиндрического конденсатора в электростатической задаче.
Магнитное поле имеет, очевидно, тот же вид, что и поле бесконечно длинного прямого провода с током Это объясняется тем, что плотность тока в бесконечно толстой оболочке равна нулю, вследствие чего обратный ток не создает магнитного поля.
265
229.
Ео — — k (х.2/1 + Х1/2) <fo, Е\ — йхг<?о> Е% — ^Х|?о,
to (XoXj/2 + Х0Х2/1 + X|X2/o) ’
£0 = E„lo —э- Д- с. источника. Внутри него электрическое поле направлено противоположно току (Ео < 0).
Заряды, создающие это электрическое поле, возникают на границах раздела проводников с разными проводимостями и могут быть определены с помощью граничных условий; например, заряд на границе 01 равен
-.2
<7oi = -4- (^1 - Ео).
230. Рассмотрим, например, поток энергии через поверхность 0-го проводника, в котором действует э. д. с. Магнитное поле вблизи поверхности 2^7 совпадает с полем бесконечно длинного прямого провода Н =----. Вектор
£
Пойнтинга у = — (Еп X Н) (Ео — напряженность электрического поля в 0-м
проводнике, направленная противоположно току, см. задачу 229), как легко убедиться, направлен из проводника по нормали к его поверхности. Величина потока энергии через поверхность этого проводника, следовательно, равна 2лт/0у = 9V, где V = Е010 — разность потенциалов на концах проводника. Величина 9V представляет собой разность между работой э. д. с. <f0^ (%0 = £ст/0) н джоулевыми потерями в единицу времени в самом источнике.
Энергия 9V вытекает ежесекундно через наружную поверхность источника, течет в окружающем проводники пространстве (в основном вне проводников) и втекает внутрь 1-го и 2 го проводников через их поверхности, превращаясь внутри этих проводников в джоулево тепло. В том, что общее количество энергии, втекающей в 1-й и 2-й проводники за единицу времени, равно &Vi, 9V2, легко убедиться, рассмотрев вектор Пойнтинга так же.
как выше.
2
231‘ * = [ el
1
где элемент dl направлен по нормали к эквипотенци-
альной поверхности с площадью 5; цифрами 1 и 2 обозначены граничные
поверхности проводника.
232.
4лх'(’п-т);
1 / 1____1_\ 1 / 1________1_
4лХ1 \ а	с / "*” 4лх2 \ С	Ь
В) ;?=2^,П|-
233.	*	> (1	!)+ ?	1.
2лхг \а	Ъ) 2ЛХ1	&
234. е	lk	4лх lk
235.
С- 6
4iwE
236.
i. k
266
237.
D 6 I	_L с 1	6	С11+2С12 + С22
R ------- vsn — 2s12 + s22) —---------------------
4ЛХ	4jIX <?i2 “ С] 1^22
238.
5	=	-----сопротивления уединенных заземлителей (см.
Z3TKfl2
где /?1=п------,
2nxai задачу 233).	_______
239. Обозначим через е0 — Vl — fe2/a2 эксцентриситет эллипсоидов вращения (b/а — отношение меньшей полуоси к большей). Тогда
arccos j/l—eQ
₽ =
е0
— в случае сплюснутого эллипсоида вращения
,2\,/з	]
In —
и
о
1 /? =------=------ -
к (6л2П)'3е0	1— е0
— в случае вытянутого эллипсоида вращения.
Более выгодной (при фиксированном объеме V) является сильно вытянутая или, наоборот, очень сплюснутая форма заземлителей. 240. Плотность тока в пространстве между электродами
/ = Р»	(1)
не зависит от х (v (х) — скорость частиц в данной точке х). Скорость связана с потенциалом <р (х) формулой
V
(2)
<Ф = О при х = 0).
Из (1) и (2) следует, что p — j принимает вид
— 2^-, так как уравнение Пуассона
</2Ф _ dx2
tn
2еф
Интегрируя (3) с граничными условиями
(3)
луч им
• = 0 и ф ]х=а = Фо, no-fl
(«закон трех вторых»).
1	-j
1 9ла2
2|е||т Г ~7Г-|фо1
ГЛАВА V
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ
ПОЛЕ
241.
Яг=я2=о, яа =
2£г
са2
2ff
сг
0
при
при
при
267
242. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала. Если направить ось z вдоль оси цилиндра, то прямоугольные компоненты А будут удовлетворять уравнениям:
ДАЛ- = 0, A^ = 0,	AAz=--^-/z,	(1)
причем jz = 0 при г > а, ]г = 3!па2 при г^д.
Поскольку в уравнения для А,- и Ау заданный ток 3 не входит, эти компоненты можно считать равными нулю; Az будет зависеть только от расстояния г до оси z. Интегрируя уравнение для Az и используя условия непрерывности Az и На на границе г = а и ограниченности Н при г = 0, получим: при г < а
. г lr\2 R _ 2|1с/7	_ 2£7
^=с—На=7^г-	(2>
при г > а
Az = С--^(р0 + 2р In А Во=^,	=
Константа С — произвольна.
243. При г < а
AZ = C,.
В = 0;
при а =С г Ь

Az =
2р.^*7 д2
с (Ь2 — а2)
, __ 2gog- (	д2\
° с (b2 — a2) V г Г
при г> b
Az = ^-ln| + C3, Ва = ^-.
Остальные компоненты А и В равны нулю. Две любые константы, входящие в Аг, можно выразить через третью, использовав условия непрерывности векторного потенциала иа границах.
244.
..	23 ( , а+2х	а — 2х
= 77 (arctg ~2Г + arctg “17"
Ну=—in	=°-
у са	(х + а/2)2 + у2
Ось у перпендикулярна полосе и проходит через ее середину. 245. Пластины отталкиваются с силой
246.
. 432 (	, д 1 ,. а2 + Ь2
. 23 , г2 3 . (д + х)2 + у2 z с Г] с (а — х)2 + у2
и —	_ аху
с rlf2 ’
23 ( а — х , а + х \
'VI г] rl /
ду
н дА*
дх
Координаты проводников с током в перпендикулярной к ним плоскости равны (д, 0) для тока + 3 и (- а, 0) для тока - 3\ гх и г2 - расстояния от точек (д, 0) и (— д, 0) до точки наблюдения.
268
гпе Z7 —
. оСоих
ж дллельно
4л
247. а) Между плоскостями H = — i, в остальном пространстве Н = 0;
б) между плоскостями Н = 0, в остальн >v случаях магнитное поле направлено г.ерпе токонесущим плоскостям.
248.	Ну= с __	» пх = лг = 0; ось у нормальна к плоскости, про-
веденной через оси цилиндров.
249.	В цилиндрической системе координат, ось z кс срой перпендикулярна плоскости кольца и проходит через его центр,

лг = лг = о,
где К (k) и Е (k) — полные эллиптические интегралы Лежандра, k2 = 4аг
(а + г)2 + г2 '
Компоненты магнитного поля:
и ____________z	Г	O2 + r2 + z2	1
г с rV(a + rY+z2 L + (a —r)2 + z2	* J’
т/, Л. г k(fe)+-/2~ С~ггг £(fe)], я«=°-с )z(a-i r)2 + z2 L	(n—r)2 + z2	J’
На оси витка (г = 0) эти выражения переходят в
яГ=о, hz=- .
с (а2 + z2)
250.	В любом сечении такой трубки поток пндукции будет одни и тот же. Поэтому уравнение поверхности трубки
N = J В  dS = f (г, z) = const, s
где поверхность интегрирования S представляет собою круг радиуса г в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (центр круга лежит на оси симметрии). Так как Аа не зависит от а, то с помощью теоремы Стокса получим
А  dl = 2лгАа (г, z) = const.
f в-да-
Линии пересечения этих поверхностей с плоскостями а = const и дают искомые линии магнитной индукции.
251.	Компоненты магнитного поля:
at _ у (- 1)”
dz (п\)2
п=0

=//(.)
оо
Н-1
Яо = 0.

269
Векторный потенциал выражается через напряженность магнитного поля с помощью теоремы Стокса и соотношения H = rotA:
л	00
л. (Г, А - -J- / и, dr - v	и (гр+'. X н W -...
О	п=0
252.
где (см. рис. 68):
cos 61 =
Нг = —-— (cos 6i + cos 62), h — z	„ z
, COS 6; = --- --
/a2 + (ft-z)2	/a2 + z2
253.	Решим задачу методом векторного потенциала. Плотность поверхностного тока, возникающего при вращении сферы,
ео .
1 = еа -;—sin О
4па
(полярная ось выбрана вдоль вектора о). Векторный потенциал во всех точках, не лежащих на поверхности сферы, удовлетворяет уравнению Лапласа. Как следует из симметрии системы, векторный потенциал можно выбрать так, чтобы была отлична от нуля только компонента Аа, которая не будет зависеть от угла а. Поэтому уравнение для векторного потенциала запишется:
ДЛ“ “ 72 sin2 & Ла==0
(см. ответ к задаче 47).
Поскольку плотность тока висит от угла б1 по закону sin б1,
тественно искать решение уравнения (1) в виде
Аа (г> 'б) = F (г) sin 61.	(2)
Как будет видно из дальнейшего F (г) можно выбрать так, чтобы удовлетворялись уравнение и граничные условия, и это оправдывает выбор
решения (2). Отметим, что векторный потенциал (2) удовлетворяет условию
div А = 6,
выполнение которого необходимо, чтобы имело место (1).
Определяя F (г) с помощью уравнения (1) н граничных условий, получим Аа и Н = rot А.
Напряженность магнитного поля внутри сферы (г < а)
Зса ’
(I)
за-ес-
Зг (ш • г) ш
Н - г5	,3 ’
где m — -it—to — магнитный момент системы. ос
276
254.	В точках, где /' = 0, можно положить Н = — grad ф. Тогда уравнение rot Н = 0 выполняется при всех ф, а уравнение div Н = 0 дает
Дф = 0.
Последнее уравнение должно быть решено при дополнительном условии j Н -dl = -^ 0, I
где / — любой контур, охватывающий ток 0. Вводим цилиндрические коор' динаты г, a, z и ищем решение в виде ф = ф (а).
Окончательно получим
20	20	.
ф= — а, На—Hr = Hz — 0,
255.	а) Чтобы скалярный потенциал ф магнитного поля был однознач-выберем некоторую поверхность S (рис. 69), опирающуюся
ной функцией, на контур с током, и будем считать, что при переходе через эту поверхность ф терпит разрыв:
ф(2)-ф(1) = — 0.	(1)
Точки 1 и 2 лежат бесконечно близко друг к другу по разные стороны поверхности, причем направление из 1 в 2 составляет с направлением тока правовинтовую систему.
Решение уравнения Лапласа можно записать в виде (см. [101]):
4л J L г дп дп \г )J (2)
В выражении (2) интегрирование нужно проводить по бесконечно удаленной замкнутой поверхности S', а также по всем замкнутым поверхностям 2/, лежащим на конеч-
Рнс. 69.
ном расстоянии от начала координат, внутри которых ф или <Эф/<Эи имеют разрывы. В рассматриваемом случае интеграл по бесконечно удаленной поверхности равен нулю, так как источник поля (контур с током) имеет ограниченные размеры. Поверхности, на которых нормальная производная dty/dn=—Hn имеет разрыв, отсутствуют, так как Нп — непрерывная величина. Поэтому в (2) интеграл должен быть взят по одной поверхности 2, окружающей S.
Будем стягивать 2 до совпадения с S. Вследствие непрерывности вели-ЧИИ	Н ~3п (~) На повеРхности & формула (2) примет вид

(3)
где интегрирование теперь ведется по незамкнутой поверхности S. Используя равенство (1), получим
dS=-
г-dS
Г3
(4)
271
Интеграл f представляет собою телесный угол £2, под которым виден контур с током из точки наблюдения, поэтому формулу (4) можно записать в виде
ill = — — £2.
с
Знак й положителен, если радиус-вектор г, проведенный из точки наблюдения в некоторую точку поверхности S, и направление тока в контуре составляют правовинтовую систему.
б) Преобразуем интеграл по контуру в интеграл по поверхности, опирающейся на контур; используя результат задачи 55, получим
A-£.pSXv(J-)-2f
где Vм означает дифференцирование по координатам точки наблюдения М. Вычисляя H = rotA, находим
н - 7 f («S • ’,»)'«(4) - 7 J rfs • '•< (4)-	151
^При преобразовании использовано равенство A^-j=O; предполагается, что точка г = 0 не лежит на поверхности интегрирования.j Сравнивая (5) с формулой Н =» — grad ф, получаем
д г
256 F = 0, N=m X Н, где m = ~ J п • dS — магнитный момент контура с током.
.. mi • m2 3(m,.r)(m2T) #
Zu/ • U — п	с	•
г3	г5
3	15
F2= - F, [(т, • г) т2 + (т2 • г) m1 + (mi • т2)г] - —(пц-г) (т2-г)г,
где г — радиус-вектор, проведенный от первого тока ко второму, Fh F2 — силы, действующие на первый и второй токи;
..	3 (т2 • г) (mi X г) т2Хпц ..	3 (пи  г) (т2 X г) пи X т2
N1 =-------~5-------+----~з-. N2 =---------5------+------3--,
где
где N], N2 — вращательные моменты, приложенные к первому и второму токам соответственно. Следует отметить, что N|=)t— N2, но
N । + N 2 + (г X F2) = 0.
Если магнитные моменты параллельны (пи = лип, m2 = m2n, г = гг0, п и г0— единичные векторы), то получим
_ Зиит2 [2n cos ft — г0 (5 cos2 О — I)]
=-------------------4	•
ft — угол между п и г0.
259.	Потенциальная функция тока 9 % в поле тока S ь
«21 = In а + const, с2
где а — расстояние между токами.
272
Сила, действующая на единицу длины второго тока: г_________________________ du2i ____	29 >92
' да	с2а
При параллельных токах (9 i и 92 одинакового знака) имеет место ПрИТЯ-
ЖеНИе.	-	к,	жж
260.	Сила F и вращательный момент N определяются дифференцированием потенциальной функции.
,,,	.	919 2а , 4г2 + а2 + 4ar cos а
И (г, а)  ------~—• In . , ,—5---т--------.
с2 4гг + а2 — 4ar cos а
4 9 9 сГ t .	*
261.	ZV =---------(sin Ф - Ф cos ф).
1 п , b
262.	-2’= уUo + 2g In—.
263.	.S’ = 2ц 1п у.
264.	LI2 = 4n(b — Уь2 — а2 );
Р 9 \92 дЕ2\ 4тс9j 2 /. b \ с2 дЬ с2 у ]/ь2 — а2 /'
265.	В этой задаче удобно использовать формулу (V.23). Вычисляя интеграл так же, как в задаче 89, получим
LI2 - 4п Ум [(I - Я (Л) - | Е (Л)], где
П/2	П/2
7С(Л) = f -=====, E(k) = f У1 - k2 sin2 Ф dip, k2= .	4°2  /2 •
J Kl-A2sin2ip	J	(a + b)2 + l2
о	о
При /3>а, b, параметр k мал:
поэтому можно использовать приближенные формулы для Е и К. (см. справочник [91], 8.113, 8.114):
Оставляя в выражении для LI2 только члены, пропорциональные k\ получим в первом неисчезающем приближении Z<i2 =---. Последний ре-
. сФ12
зультат легко получить и из равенства L]2=—рассматривая кольца
91
С током как магнитные диполи.
4
При a«Z>2>Z, k« 1,	/((fe) те in	E(k)^l,
] 1 — k2 8« In	----
у I2 + (a - b)2
266.	В обозначениях предыдущей задачи
Р _ 4л9 [ 9 г ____Z_______
с2	У (а + b)2 +12
18 В, В. Ваты!ИН| И. Н. Топтыгин
Z.J2
д2 + 62 + I2 (а + b)2 +12
273
267.	^ = 4nn2S. Для соленоида большой, но конечной длины h, пренебрегая краевым эффектом, получим коэффициент самоиндукции всего соленоида
L = 4nn2Sh.
268.	Вычисляем магнитную энергию по формуле
Й7 =
1
2с2
~- dSi dS2.
Здесь dSi и dS2 — элементы поверхности соленоида, /? — расстояние между ними, через i (zt = i2 — i = nff) обозначена плотность поверхностного тока, которым заменен ток, текущий в обмотке соленоида.
Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах:
h h
nn2a2ff2 f . Г , Г	cos a da
U7 =-----2-- dzi dz2 ф— —	 —	:
о о Т/ (zt — z2)2 + 4a2 sin2-^-
2n2a2n2ff2h (I — 8a/3nh) c2
{ a\2
где отброшены все члены порядка 1—1 и выше. Отсюда
L = 4л2а2п26 (1 — 8а/3л6).
Если пренебречь членом a//z по сравнению с единицей, то получится результат предыдущей задачи:
L = 4л2а2/г26 = 4n,n2Sh.
269.	Для кругового сечения
Д = 4л№ (b-^b2-a2).
Самоиндукция на единицу длины — ЦЪлЬ для бесконечного соленоида получится, если сделать предельный переход b -> оо при заданном числе витков на единицу длины п = N/ЯпЬ-.
= 4л2п2а2 — 4nn2S
(ср. с задачей 267).
Для прямоугольного сечения
г пкг21 ।	26 + а
L = 2№/г 1п -тгт-
26 —а
При 6»а опять имеем ^ = 4лп25.
Если ток течет непосредственно по оболочке тора, то самоиндукция уменьшается в № раз по сравнению с самоиндукцией тора, обмотанного проводом. В соответствии с этим будем иметь:
L = 4л (б — Уб2 — а2)
для тора круглого сечения и
L = 26 1п
26 + а
2Ь — а
для тора прямоугольного сечения.
270.	Вычислим магнитную энергию единицы длины линии по формуле (V. 16). Векторный потенциал прямого провода с током был получен
274
в задаче 242. Для провода 1 (рис. 70) запишем его в виде
^4	]
А^С-—^	при п<а,
} (1)
Л1г = С —-^-(1+2 1П^0 при и > а. |
Векторный потенциал, создаваемый проводом 2, получится при замене в (1) д на — д, а на Ь и и на г2.
Рис. 70.
Находим магнитную энергию:
W = ~2^ J (Л“ + Агг} dSt ~ 2^ J (Л,г + Лг) dS2' (2) 1	2
Интегралы, входящие в (2), можно вычислить, использовав формулу (3.765) из справочника [91]. Учитывая затем связь между коэффициентом самоиндукции и магнитной энергией системы, получим окончательно:
//2 ^=1+21п^-
271.	Полная магнитная энергия тока, протекающего по проводнику, складывается из двух частей:
Г=Г, + Г2,	(1)
где
f H2dV
1 8л J 1
— энергия, запасенная внутри проводника и интегрирование ведется по объему проводника,
= f fIldV z on J z
— энергия, запасенная в остальном пространстве.
Предположим, что можно ввести параметр г0, имеюший размерность длины и удовлетворяющий условию
а « г0 « /?,	(2)
где а — радиус проводника, 2? — радиус кривизны осевой линии проводника (который в общем случае меняется от точки к точке). Тогда на расстояниях, меньших г0, магнитное поле можно считать совпадающим с полем бесконечного прямого провода. В частности, внутри провода
18*
275
(см. задачу 242). Это позволяет найти «внутреннюю"» энергию Wt:
4с2
(3>
Для определения «внешней» энергии Wz построим вспомогательную поверхность S, опирающуюся на произвольный контур, лежащий на поверхности проводника, и введем скалярный потенциал гр. Скалярный потенциал будет испытывать на S скачок
'Ф+~'11’_==~ Я-	(4)
Интеграл, через который выражается 1Г2, можно преобразовать следующим образом:
(B-H)rfV=- В grad яр dV = - div (ярВ) dV = - ф -фВ„dS
(здесь опущен индекс 2 и использовано уравнение div В = 0). В последнем интеграле интегрирование должно проводиться по обеим сторонам вспомогательной поверхности S и по поверхности проводника S' (см. рис. 71, на котором изображено сечение проводника некоторой плоскостью). Интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль вследствие конечных размеров проводника с током. Таким образом,
|5>
S'	S	S
Первый из этих интегралов обращается в нуль, так как в силу условии (2) магнитное поле на поверхности S' совпадает с полем прямолиней-
Рис. 71.
ного провода и имеет, следовательно, только касательную составляющую. Для преобразования других двух интегралов нужно использовать равенство (4) и условие непрерывности компоненты Вп. Получим
№2 = -Ц- J BndS. s
(6)
На больших расстояниях от провода (г > г0) магнитное поле не зависит от распределения тока по сечению проводника, поэтому можно считать, что ток течет по оси. На малых расстояниях (а^г<г0) это поле совпадает с магнитным полем бесконечного круглого цилиндра, и тоже можно считать, что ток течет по оси. Таким образом, интеграл в формуле (6) представляет собою поток магнитной индукции, создаваемой током, текущим по оси проводника, через поверхность, которая опирается на замкнутый контур, лежащий на поверхности проводника. Используя выражение потока через коэффициент взаимной индукции (V. 22), получим
*72
(7)
С помощью формул (1), (3), (7), используя связь между коэффициентом самоиндукции и магнитной энергией системы, получим требуемую формулу
276
для коэффициента самоиндукции:
L = J^- + L'
272.	Используя результаты предыдущей задачи, получим
L' = 4лц6 (in — 2^,
где ц — магнитная проницаемость среды, в которой Полная самоиндукция
L = 4лЬ (р In - 2р +	р0)
или, если цо = М = 1»
L — 4пЬ
(8)
а также задачи 265
находится проводник-
273.	Ll2 = 21 - 2 Va2 + I2 + 2а In e+j-g.t'
274.	Используя результат задачи 273, получим
Г О Г, О!/ 2 	. 1/~о 2 	. a + Va2+l2 , а + У2а2 + 12
Z,|2 = 8 / — 2 у а2 + I2 + У 2а2 + I2 + a In-a In-7=-—  —
[	/	Va2 + l2 J
f 8^,^д Г а2 + 2/2	//2a2+Z2 Л
с2 [//^+72 а2 + /2 J
275.	L = 2p0Z> + 8pZ> f In	. 2*	. + /2 - 2].
L а(1 +Г2) J
276.	Используя при интегрировании по углам в формуле (V. 13) соотношение ntnk = */3 6£fe (см. задачу 32), получим:
в случае равномерного объемного распределения заряда,
в случае равномерного распределения заряда по поверхности,
еа2
т = -^—<о. Зс
Если применить этн формулы к шару, радиус которого равен классическому радиусу электрона (2,8 -IO-13 см), а магнитный момент равен известному из опыта магнитному моменту электрона (0,9 • 10~2° эрг/гс), ю окажется, что линейная скорость v = aa>~ 1013 см/сек на экваторе такого «электрона» превышает скорость света в вакууме. Это показывает непригодность классических представлений для описания спина электрона. Подробнее об этом см. [111,6].
278.	Вторичное поле Н' удовлетворяет уравнению rot Н' — 0, т. е. является потенциальным. Введя скалярный потенциал по формуле Н'= — grad ф,. получим для него уравнение, совпадающее с уравнением электростатики в неоднородной среде:
div (ц grad ф) = - 4лрт,
27Т
где величина
I ..
Pm = - Но • grad ц
играет роль плотности магнитных зарядов.
На границе раздела двух сред должны выполняться условия для касательных компонент поля:
..г и’	дф|	дфг
//т = /79_ или —— = -ч—
1Т 2Т	дт	дх
и для нормальных компонент поля:
Здесь величина
ат = (pi — Р2) /?оп
играет роль плотности поверхностного заряда. Заметим, что это выражение для ат может быть получено и из формулы для объемной плотности рт путем предельного перехода:
от = lim pmh.
Л->0
Заменим поверхность раздела тонким слоем толщиной й. Тогда grad р будет направлен по нормали к слою и будет равен (ц2 — щ)/й, откуда
Рт= ~ "Т— 2 ,	//on, От = lim pmh = -г— (Щ — Ц2) Поп-
4л h	h->0 4Л
279.	Н| = ——Но, Н2 =—пп—Но, где Но — поле, создаваемое кон-U] + р2	Ц1 + р2
туром с током в вакууме, Hi, Н2 —поля в средах с проницаемостями рь ц2.
280.	Магнитное поле в среде 1 совпадает с полем, создаваемым в вакууме двумя прямолинейными токами
Pi + р2
ток 3t течет по тому же проводу, что и заданный ток 3; ток 32 течет вдоль провода, который является зеркальным изображением первого провода относительно плоскости раздела сред.
Магнитное поле в среде 2 совпадает с полем, которое создается 2uiUo
в вакууме током 3 \ =—- 3, текущим по тому же проводу, что и за-Р1 + Цг
данный ток 3.
281.	Векторы поля удовлетворяют во всем пространстве однородным уравнениям rot Н = 0, div В = 0, поэтому можно ввести скалярный потенциал ф (Н = — grad ф), который будет удовлетворять уравнению Лапласа. В результате задача магнитостатики сведена к задаче электростатики. Решение имеет вид (см. задачу 149):
внутри шара
вне шара
Н2 = Но + Ндип, где Ндип-поле, создаваемое магнитным диполем с моментом ц — 1
т=ТТ2аН(”
278
которая получается граничного условия и М] = М, найдем
Поскольку поле внутри шара однородно, намагниченность постоянна: м - m - 3^~ н 4/3ла3 4л(ц + 2) °'
Плотность эквивалентного объемного тока будет поэтому равна нулю:
)мол = с rot М = 0.
Плотность поверхностного тока можно определить по формуле
<мол = с [n X (М2 Mi)],
из (V. 3) путем предельного перехода (ср. с выводом для Нх из уравнения Максвелла). Подставляя Мг = 0
. Зс(р —1)	. А
1мол-еа 4lt(g + 2) tf°sind-
что такой поверхностный ток можно получить, если вокруг одного из диаметров сферу, заряженную равно-
Интересно отметить, заставить вращаться мерно по поверхности (см. задачу 253).
282. Если направить оси координат вдоль главных осей тензора магнит-3
иой проницаемости, то внутри шара компоненты поля будут равны -.г?-Но/;,
+ 2
где Но — внешнее поле. Вне шара
На = Но + Ндип,
где Ндип—поле магнитного диполя с моментом ш, причем
„(*) - 1
mk = А,—- a?Hok-
p(ft) + 2
Момент сил, действующих на шар:
N = m X Но.
При р.1 р2 поле в полости сильно ослабляется — происходит магнитная
экранировка.
284. Н — 1-
(р.1 + 2ц2) (2Ц1 + р2) _ /_£\3 2(В1-Ц2)2	\Ь)
Нй.
При р.1 ц2 поле сильно ослабляется (Н Но).
285. Магнитное поле
Н = rot А, где
Аг = — -у‘С- г2 Ч--— вог sin а	при г < а,
4ла2 Pi + Рг
.	ц2.7 . а , I. , Ц] — р2 о2\	„
Аг = in — + 1 +	---— Basina при r>a.
2л г \ pi + ц2 г2 )
Ось z направлена вдоль оси цилиндра; остальные компоненты А равны нулю.
279
288.
289.
290.
2j72a2(n-l)
c2b (b2 — а2) (ц + 1) " 2&2Ь(ц-1) ’	c2(a2-b2) (ц+ 1) •
2лр1р2рз
HZ = ---------------------H
nt	+ ^3»! + W2
где Ho — поле, которое создается тем же током в вакууме.
291.	Во внешней области индукция В и магнитное поле Н связаны обычным соотношением В2 = ц2Н2. Внутри шара, согласно (V. 27), В] — = щН1+4лМ0, где Мо— постоянная намагниченность. Вводи скалярный потенциал, как в задаче 281, получим
.	 	и	т-Г
Ф:----Н|Т, ф2------
где
н _ 4лМ0 m _ 4лп3М0
1 =	2|12 + Щ ’	2ц2 + Ц! "
Таким образом, поле внутри шара однородно, а вне шара совпадает с полем магнитного диполя с моментом т.
292.	Поле внутри цилиндра:
Н = - 4лМ° 1 Вг + lli
Поле вне цилиндра:
2г (т • г) т
Н2------?
4ла2М0 где Мо — постоянная намагниченность, т =-----;--
Вг +
293.	Поле внутри шара;
где
Поле вне шара:
Н2 = Н„ +
4лМ ц + 2
Зг (т • г)	т
г5	,3 •
0)
4ла3М0 р + 2
В-1
[1 + 2
а3Н„.
3
ц + 2
т -
Так как внешнее поле однородно, то результирующая сила, действующая на шар, равна пулю. Но если направления Мо н Но различны, то на сферу будет действовать момент сил. Его можно рассчитать с помощью тензора натяжений магнитного поля. Момент сил, действующих на постоянный магнит, определяется формулой
8
где Тщ — тензор натяжений (V. 26),	— единичный антисимметричный
тензор, интегрирование ведется по внешней поверхности магнита. Подставляя (V. 26) в (2) и переходя к векторным обозначениям, получим
(rXH2)(H*,dS)~if ^(rxdS)- (3)
280
N = -ТТ2 М° Х Н°-р, “Г X
видно из этой формулы, индуцированная
-^-а3Н0) не дает вклада в результирующий
_	3 ц — 1 m2(l+cosz0) ,, u — I
Как
Так как начало отсчета выбрано в центре шара, то г и JS имеют одинаковые направления, и второй интеграл в (3) обратится в нуль. Для вычисления первого интеграла положим dS n dS ~ пп2 rffl, r = on и подставим Н2 из (1). Это даст
J [a3 (n X Но)+ m X п] (н0-n + -^-hi-njdQ. (4)
Переходя снова к проекциям, получим
____________________	___ ________________ 2	___
b'i^a3eiklff0lff0mnknm+2eiklff0lmsnknS+ eiklmkHt>rnnlnm + elklmkmsnlns <5>
С помощью соотношения nknm = l/3^km (см. задачу 32) найдем, что два из четырех членов в правой части равенства (5) обратятся в нуль, а остальные дадут
N - m X Но	(6)
или окончательно, если выразить m через постоянную намагниченность,
(7)
часть магнитного момента
момент сил.
тг sin 6 cos 0
г = Тб 7+2----------о*----- " = -7+2 ------8?-----’ где а - Рас-
стояние от магнита до плоскости, 0 —угол между m и нормалью к плоскости. При ц 1 (мягкое железо в слабом магнитном поле) получим такой же результат, как в случае электрического диполя, находящегося вблизи металлической плоскости (см. задачу 148).
295.	Искомые величины можно получить путем замены в ответе к задаче 201 электрических величин на соответствующие магнитные. В частности, при произвольном выборе координатных осей внутреннее поле Hi в эллипсоиде запишется в виде
4 = ДоА -
где М —вектор намагниченности, Nki~ коэффициенты размагничивания (компоненты тензора размагничивающего действия формы). Главные значения этого тензора обозначены в задаче 197 через п<‘\ называются они коэффициентами деполяризации.
296.	Формула, приведенная в ответе предыдущей задачи, остается справедливой и в случае анизотропного магнетика. Имеет место еще одно соотношение, связывающее М и Ht:
H\k +	=
Из этих двух формул получаем
Н ok — t>kmH i tn, где bkm = bkm	killin'
Отсюда
= bkmH<w
где — компоненты обратного тензора. Они могут оыть определены с помощью формул, полученных в задаче 11.
281,
Рассмотрим один частный случай. Выберем оси координат вдоль главных
-осей эллипсоида. Если тензор имеет в этих осях диагональный вид
/р(х)	0	0 \
= ( ° О I,
\ О	0	р(г) /
то тензор bik будет диагональным, поэтому и обратный тензор также будет диагональным:
	[1 +	(p(x) -1)]-1	0	0
	0	[1 + N™ - I)]-’	0 0	0	[1 +А(г)(ц(г) -1)]-1
.	ГЛАВА VI
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 1 Поляризация вещества в постоянном поле
297.	₽ = 3/4 а%.
Если заряд электрона распределен равномерно внутри сферы с радиусом а0, то р = Од *).
299.	Из симметрии молекулы очевидно, что одна из главных осей тензора поляризуемости будет совпадать с осью молекулы, а две другие оси могут быть выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной оси молекулы. Поэтому из трех главных значений тензора поляризуемости только два будут различны:	р(2> = р®- Для их определения нужно отдельно
рассмотреть следующие случаи:
а)	Внешнее поле направлено по осн молекулы. Очевидно, что индуцированный дипольный момент каждого из атомов будет направлен вдоль внешнего поля. Обозначив эти моменты соответственно через р' и р", получим для их определения два уравнения
р'=Р'(Е + Е'), р"=р"(Е + Е"),	(1)
где Е — внешнее поле, Е' и Е" — дополнительные поля, вызываемые в центре каждого из атомов присутствием другого атома. Поля Е' и Е" можно выразить через дипольные моменты соответствующих атомов, воспользовавшись формулой для напряженности поля, создаваемого диполем с моментом р и учитывая, что все векторы направлены вдоль оси молекулы. Определяя затем р' и р" из системы (1), с помощью формулы р = р'+ р" = р(1>Е найдем
в(1)________!_________+__________!________
р 1	2(а3 + 2₽') + 1 _ 2(а3 + 2₽") ’
₽'	а3(а3 + 2₽")	₽" а3 (а3 + 2₽')
*) Модель., рассмотренная в этой задаче, очень груба и позволяет получить лишь порядковую оценку. Точный квантовомеханический расчет дает для водорода р = s/2 Oq.
282
б)	Внешнее поле перпендикулярно оси молекулы. Аналогичным путем получаем
1 . а3 —Р"—’
а3 (а3 — Р')
fi(2) _ fiO) = ----------
Р -Р I а3 —Р'
₽' + а3 (а3 - Р")	₽" г
При р/ = ₽// выражения Р(1) и р(2) упрощаются:
fid) _	2Р'	д(2) _ 2Р'
“i-<’	“14-4'
аА	аА
Средняя поляризуемость
₽=4-(₽(1)+2р(2))=4 ₽' о	о
1
!_2₽1
a3
301. а) Диэлектрик в целом будет анизотропным. Главные значения тензора поляризуемости диэлектрика (ср. (VI. 4')):
К(О_ "Р(,)
1-</злЛГ₽(‘) ‘
б) В случае беспорядочной ориентации молекул в макроскопических объемах диэлектрика не будет никаких физически выделенных направлений, кроме направления внешнего поля. Поэтому средний дипольный момент молекулы р будет пропорционален действующему на молекулу полю g:
р = Р8-
С другой стороны, имеем, очевидно:
Pi = $il^k ~ Pik^k’
где усреднение производится по макроскопическому малому объему. Из сравнения двух последних формул следует, что
Р = Pi 1 = Р22 — Рзз, Ptfe = 0	(при i #= k).
Таким образом, 
Р = */з (Рп + Р22 + Рзз)*
Но сумма диагональных компонент тензора есть инвариант, равный сумме главных значений pd) + р(2) + р(3) (см
задачу 9). Поэтому
Р = */з (Р(1) + Р(2) + Р(3)).
Коэффициент поляризации диэлектрика а связан с Р обычной формулой (VI. 4').
302. Если ось молекулы ориентирована под углом 0 к направлению внешнего поля Ео, то энергия молекулы запишется в виде
Г = - 4 Р • Ео = - 4 (Pi c°s2 е + Р2 sin2 0) Eg.
Число частиц в единице объема, осн которых направлены под углом 0 относительно Ео, дается формулой Больцмана (VI. 6). В условии нормировки (VI.7) величина N должна иметь смысл числа частиц в единице объема. Вектор поляризации определяется формулой Р = Np, где р — усредненный по распределению Больцмана дипольный момент одной молекулы. Поскольку
283
в отсутствие поля молекулы ориентированы хаотически, р будет иметь направление внешнего поля.
В соответствии с этим вычисляем величину р по формуле
п
Ео J ехр ( - ^6) j (Pi cos2 0 + р2 sin2 0) sin 0 d0
Р =	Г Р||dN = я :	’
J	f (	W(Q)\ .
ехр I---kp) sin 0"e
о
где через рц обозначена компонента дипольного момента молекулы, параллельная полю. По условию задачи поле — слабое, поэтому достаточно учи-(₽,-₽2)^ п
тывать только члены, линейные по а =*• Использовав далее формулы P = Np — aE^ получим окончательно:
1	Г 2 (Р1- ₽2)£0
а = Ж + ^-^(Р.-р2)1+-пг—-J
о	L i ил
Как видно из этой формулы, зависимость между Р и Ео получается нелинейной, и а не является коэффициентом пропорциональности, не зависящим от Ео. Оценим величину поправочного члена при обычных температурах (Т = 300° К). Считая — р2 порядка 10-24 см3, получим feP/(Pi — р2) ~ 106* Таким образом, этот член мал, если Ев <S id3' вfсм. Пренебрегая поправочным членом, получим для а прежнее выражение:
<х = ‘/з^ (Pi +2р2) (см. задачу 301).
305.	Дополнительный потенциал, обусловленный квадрупольной поляризацией диэлектрика, запишется в виде
ф=1/4 ?^Qikdv’
тде R — расстояние от точки наблюдения до элемента объема dV, а интегрирование ведется по объему диэлектрика. С другой стороны, потенциал объемных и поверхностных зарядов в общем случае имеет вид
<p = J YdV + J !TdS + J T''v(^)dS>	(2)
где p' —плотность объемных зарядов, o' —плотность поверхностных зарядов, т'— мощность двойного слоя. Приведя (1) к виду (2), получим
,	1/	» if dQin г If м
р = ,г~дХ1д^'	(3)
Таким образом, квадрупольная поляризация эквивалентна объемным зарядам р' внутри диэлектрика, поверхностным зарядам о' и двойному электрическому слою с мощностью т' на поверхности диэлектрика. Поскольку плотности объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике связаны с вектором поляризации формулами р' = — div Р , о = Р'п, то из (3) следует, что квадрупольная поляризация эквивалентна дополнительной дипольной
J284
поляризации
»'__!/ dQik k~ '2 dXi
и двойному слою с мощностью xk.
Формулы (3) можно получить также из рассмотрения энергии диэлектрика, обусловленной квадрупольной поляризацией.
306.
Е = |/4 [1 + Зх + 3 (1 + 2/3х + х2) Ч
где х = 4лА'0. Поляризуемость 0 для полярных веществ в слабых полях дается формулой
р_. Р2
р 3kT ’
где р — дипольный момент молекулы, k — постоянная Больцмана, Т — температура.
При х<С I, когда отличие действующего на молекулу поля от среднего поля становится очень малым,
е = 1 + х = 1 + 4лА'0.
307.	Полная магнитная восприимчивость равна сумме парамагнитной и диамагнитной восприимчивостей (см. [101]):
Am2	Ne2 —2
Х ~ 3kT	6mc2 Г ‘
(1)
Входящий в эту формулу магнитный момент m одного ротатора может быть вычислен следующим образом. На основе известной теоремы имеем
nt = -75-^— К, zmc .
(2)
где К —момент количества движения частицы. В случае ротатора К связан с кинетической энергией формулой
Поэтому среднее статистическое значение К2 выражается через среднюю кинетическую энергию:	_
K2 = 2ma2lVK.
(4)
Но средняя кинетическая энергия tt7K может быть найдена по теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Поскольку ротатор имеет две степени свободы, 117к = /г7. Подставляя (4) и (2) в (1), находим % = 0. Этот результат находится в соответствии с общей теоремой, согласно которой полный магнитный момент тела, подчиняющегося классической статистике, равен нулю. Отличный от нуля магнитный момент получается только в том случае, когда делается предположение о существований дискретных электронных орбит в атомах. Но такое предположение означает выход за рамки классической теории *).
308.	Концентрации ионов (JV) и электронов (п) определяются по формуле Больцмана (VI. 6)
Af = Af0 exp Г —, п = поехр Г-|у-1,	(1)
L К* J	L J
!) Подробнее об этом см., например, [70].
285
где <р (х, у, z) — электростатический потенциал. Множители перед экспонентами выбраны так, чтобы при Т -> оо, когда взаимодействие частиц становится несущественным, N и п переходили бы в No и п0. На основе (1) плотность заряда запишется в виде
р = ZeN — еп = е {zNB exp
Г_ геФ1
L kr J
— п0 ехр
Г
L kT J/
(2)
Потенциал <р должен быть определен путем решения уравнения Пуассона
Д<р= — 4лр = — 4ле {zN0 exp —	- поехр	(3)
Чтобы решить это уравнение, используем условие малости энергии взаимодействия по сравнению с тепловой энергией:
I Zeq> I | kT I
« 1,
Разлагая экспоненты в ряд с точностью до членов, линейных по <р, и используя условие электронейтральности газа ZN0 = пв, получим
и2 , 4 ле2 (Z2/V0 + п0)
л ЧР» —	t'T
4л v	kT
(4)
Это позволяет записать уравнение (3) в виде
Д<р = х2<р.	(5)
Потенциал <р может зависеть только от расстояния г до рассматриваемого иона. Сферически симметричное решение (5) имеет вид
Потенциал не может возрастать на бесконечности, поэтому С2 = 0. Ct определяется из условия, что при г <С 1/х потенциал должен переходить в чисто кулоновский потенциал рассматриваемого иона:
।	Ze Cj
1/и = —= —> Ci-ze.
Таким образом, ион окружен «облаком» электронов и других ионов, плотность которого убывает по экспоненциальному закону, а средний радиус 1 /к тем меньше, чем ниже температура.
Рассмотренный в этой задаче метод вычисления потенциала принадлежит Дебаю и Хюккелю и применялся ими в теории сильных электролитов. Константа 1/х называется радиусом Дебая — Хюккеля.
309.	Электрическая индукция внутри пластинки описывается формулой
D (х) = До
ch хх
ch хй ’
где к =	. При хй » 1 имеем вблизи поверхностей х = ± h
D (х) = До ехр [- х (й - [ х |)];
отсюда следует, что Д(х) = 0 при |х — h \ » 1/х, т. е. поле проникает в проводник на глубину 1/х. В слое такой же толщины концентрируется заряд
1 dD хД0 г z, I , Vi
р=4^аГ = ±^Гехр1-х(Л-|х1)Ь
286
Плотность «поверхностного» заряда, которая рассматривается в макроскопической теории, получается интегрированием объемной плотности р. На границе x = h получим
ОО а=|рсД=--^-| exp[-xx']dx' = -^-, о
что совпадает с
310.
обычным граничным
условием на поверхности проводника.
sh их
8ле2п0 ekT
Значение х2 в данном случае получается вдвое большим, чем в предыдущей задаче, так как имеются два сорта подвижных ионов.
§ 2. Поляризация вещества в переменном поле
311. е= 1 -| 4лЛ'а3, р= 1 — 2nNas < 1.
Такой диэлектрик является диамагнитным. Проницаемости е и ц не зависят от частоты вследствие предположения об идеальной проводимости сфер.
Для того чтобы искусственный диэлектрик можно было рассматривать как сплошную среду, должны выполняться условия
Я » I, 7.^ а,
где I — среднее расстояние между сферами. Пренебрегать отличием действующего поля от среднего можно лишь при малой поляризуемости среды (т. е. при 4лЛ'<Д <С I).
312. Уравнение движения электрона запишется в виде
/пг + цг=еЕ0е~<<0/.	(1)
Его частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид
т (со2 + zyco) ’
где у = t]/m.
Дипольный момент единицы объема получим умножением г на заряд электрона е и на число частиц в единице объема N, после чего определяются поляризуемость среды а (со) и диэлектрическая проницаемость е (со):
„ 4ne2N
е (со) = 1 + 4ла (со) = 1-к——, а£ =----------.	(2)
со2 + zyco Р tn
С помощью уравнения (1) и закона Ома найдем связь между удельным сопротивлением р и коэффициентом тр
о Ne2
Этот же результат можно получить путем сравнения диэлектрической проницаемости (2) с комплексной диэлектрической проницаемостью (VIII. 8), выраженной через проводимость:
, .	, , . 4пс	...
е (со) = е + z —.	(4)
287
(5)
Отделяя в формуле (2) вещественную и мнимую части, находим о	2 »г
а‘	еЛу
7 1------Р	(Г - ----------,
со2 + у2 ’	т (а2 + у2)
Из формул (5) следует, что е' и а зависят ст частоты. При а С у оии принимают свои статические значения а* е' = 1--------------------------< 1,
V
е N а =---.
ту
Как следует из (4), (5), комплексная диэлектрическая проницаемость проводящей среды при малых частотах (а -> 0) обращается в бесконечность. При больших частотах она принимает вид -
е (со) = е' (со) = 1 -
Такая зависимость е (а) при больших частотах справедлива также и для диэлектриков.
Оценим порядок величины у = т}/т для меди (проводимость в статическом случае а = 5-1017 сек-1)- Из формулы (3) следует
Ne2 Noe2d
у - СЗ	—
1 ст ст А
где No ~ 6- 1023 лол*-1 — число Авогадро, А ~ 63,5 г/моль — атомный вес и d « 8,9 е/сл3 — плотность меди. Оценка дает у ~ 10+м сек-1; для сравнения укажем, что видимой части спектра соответствуют частоты ~ 1016 сек-1.
Таким образом, в этом случае можпо считать, что проводимость сохраняет значение, которое она имеет в стационарном случае, вплоть до частот, лежаших в инфракрасной области спектра. Однако нужно иметь в виду, что при высоких частотах, когда длина свободного пробега электрона становится сравнимой с глубиной проникновения поля в металл, начинают сказываться эффекты пространственной неоднородности поля и макроскопическая величина е (диэлектрическая проницаемость) теряет смысл. (Подробнее об этом см. [34, 66], § 67.)
Полученные в этой задаче результаты в ограниченной области частот применимы к металлу, а также к полупроводнику и к ионизованному газу (плазме), если движением положительных ионов можно пренебречь. Вычисление диэлектрической проницаемости плазмы с учетом движения положительных ионов см. ниже в задаче 321.
313.	Молекулы диэлектрика ие обладают сферической симметрией, поэтому внешнее поле Ео частично ориентирует их, и диэлектрик в целом становится анизотропным. При этом ориентирующим действием переменного поля, в силу условия g С Ео, можно пренебречь. Поскольку причиной анизотропии является внешнее электрическое поле Ео, одна из главных осей тензора диэлектрической проницаемости будет совпадать с его направлением, остальные две главные оси будут перпендикулярны Ео.
Обозначим компоненты поляризуемости молекулы в этих осях через pzfe (значения i, k — 1 соответствуют оси, параллельной Ео). р^ выразятся через Р^ по обычной формуле
= ailakm?lm = (₽ ~ ₽') ««l«fel +
где а., —косинусы углов между осями симметрии молекулы и главными осями тензора диэлектрической проницаемости (использовано соотношение
288
„ „ = б.., вытекающее из ортогональности матрицы а..). Чтобы подсчитать
uir*kl tit
тензор диэлектрической восприимчивости для единицы объема диэлектрика, нужно найти с помощью формулы Гольцмана статистические средние величин р',., т. е. усреднить произведение anaftl.
Если обозначить полярные углы оси симметрии молекулы в штрихованной системе через О, ф, то величины сц; запишутся так:
И1з — sin О sin ф.
оц = cos О, О]2 = sin О cos ф,
Проводя усреднение с помощью формулы получим с точностью до членов, линейных по
Больцмана (как в задаче 392), (Ро-Ро)£о.
a 2kT
a'l ~4(1+lKa)’ a'2“a'3-i(1“'4'a)’ «;i«fel=0 при i =/= k.
i0 и Pg — статические значения тензора поляризуемости молекулы). Отсюда
K? = 4(p-P')(l+4-a) + p;
p^=pir=|(p-p')('-4a)+₽/-
Пренебрегая отличием действующего на молекулу поля от среднего, получим главные значения тензора диэлектрической проницаемости:
е(|> = 1 + 4ллУРц, е(2) = е(3) = 1 + 4лЛГ0щ.
Этот результат показывает, что в сильном постоянном электрическом поле диэлектрик становится анизотропным по отношению к высокочастотным (например, световым) колебаниям. Возникновение анизотропии под действием постоянного электрического поля носит название эффекта Керра. Инерционность этого эффекта очень мала: время установления или исчезновения анизотропии — порядка 10 10 сек. (Оно определяется временем установления статистического равновесия в диэлектрике.) Явление Керра широко используется в технике для быстрой модуляции силы света.
рЕ
314,	Считая параметр — а малым, получим с точностью до членов порядка а2:
₽Г=4(₽-р')(1+4а2)+0'. о	\ Ю /
р£=рГ=4(р -р/) (1 - к °2)+₽'
е(1) = 1 + 4лЛ'Р',,	е(2) = е(3) = 1 + 4лМ0^.
Обозначения те же, что и в предыдущей задаче.
315.	Пусть амплитуда поля g увеличится на dg (dgx, d%y, d^). При этом над молекулой будет совершена работа
= —Re(p»dg ) = —(p-dg + р -dg),	(1)
19 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
289
где pt =	— компонента дипольного момента системы. Поскольку поглоще.
ние энергии отсутствует, эта работа целиком идет на увеличение средней потенциальной энергии молекулы во внешнем поле:
dA = dW.
Поэтому выражение dA должно быть полным дифференциалом некоторой функции амплитуды поля —энергии системы. Перепишем dW в виде
dW^^(^kd^ + ^{d4).	(2)
/, k
Видно, что эта величина будет представлять собою полный дифференциал только в том случае, если = Рн; тогда
= Z 2 ₽‘fc d^ + ^Si d%k) = fW №k) = d (4 P • 8 j, i, ft	I, ft
г=|р-8*.
Точно так же можно доказать эрмитовость тензора магнитной поляризуемости для системы, внутри которой не происходит диссипации энергии.
317. Уравнение движения атомного электрона, связанного с ядром упругой силой, запишется в виде
г + со2г = [E°e-to? + (у X Н°)]’
где соо — частота собственных колебаний. Решая его методом последовательных приближений, получим в линейном по Но приближении
__ еЕ .______________есо____.
Г ' 7 л КГ	I с. г л о\о (- X Пр/.
т (соц — <о) тс (<Oq — co‘Jz
Чтобы получить тензор поляризуемости атома, используем запись векторного произведения с помощью антисимметричного тензора eik[ (см. задачу 26). Это даст
о	е2 А e2a>H0i
** ~ т(4- со2) ik т*с(со2 - со2)2 Ш'
В соответствии с общим положением, доказанным в задаче 315, этот тензор является эрмитовым. Вектор гирации (см. условие задачи 316) в данном случае имеет вид
тс (соц - а ) еН0 где со£ =	— ларморова частота. 318. / Y(e+ + e ) 3 ®ifc = l -у(е+-е-) J X	0	Ш^СОд —(9 ) ^(е+-е~) L(e+ + e-) 0 0	е° /
290
где
±	,	ЮР	с0 ,	,,2
Г 1	-	.	2 ’	®	1	2	9 >	•
to (to ± 2toL) — too	to — tOg p tn
Вектор гирации равен по величине
g=72(e+ -е~) и направлен по оси г.
Результат предыдущей задачи получается из найденного точного решения при выполнении условия 2to^to	| to^ — to2|.
319.	Тензор efft имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче. Но его компоненты е* и е° определяются следующими выражениями:
to2 + to (гу ± 2ю^) ’
to2
ео = 1---------р----,
to2 + itoy
т)	е//0
у = —	,	to,	= —	-
т	L	2тс
°. =-----------------
Р т
Из-за наличия «трения» (т) #= 0) в электронном газе происходит диссипация энергии, и тензор e;ft неэрмитов.
320.
j = оЕ + (Е X а), где
_ е2М	esN	_ т]
° \ту ’ а т2у2с °’ т •
Магнитное поле приводит к возникновению тока, перпендикулярного электрическому полю (ток Холла).
Обратная зависимость в том же приближении имеет вид
E = yj+fl(j X Но),
где R = \fceN — постоянная Холла.
Тензор электропроводности
°ik = a6ife - eikiar
321.	Обозначим массу, скорость и заряд электрона через т, г, — е, а те же величины, относящиеся к иону, через М, R, + е. Тогда получим следующую систему уравнений движения:
mr= — eEoe~‘“Z — — (г X Но) — my (г — R), . f /.	. .	(0
MR= еЕое~‘“'+-^ (R X Нс)-ту (R-г).
Здесь Нс — постоянное и однородное магнитное поле, ту — коэффициент «трения»; сила трения пропорциональна относительной скорости электронов и ионов, т. е. разностям (г - R) и (R —г) для электронов и ионов соответственно. Электрическое поле Е = Есе-/Ш< зависит от времени по гармоническому закону.
19*
291
И г ем решение системы (1) в виде
r = roe-‘°',	R = Roe—|<в<.	(2)
Выберем направление Но за ось z и введем циклические компоненты векторов г0 и Ro по формулам:
г0 ± 1 = Т (г0х ~ ir0y)> ^0 ± 1 = +	(^0х ±
I 2	f 2
Подставим (2) в (1) и сложим получившиеся уравнения:
- /со (шг0 + AfRo) = — [(Ro - rc) X Но].
С
«Левую часть последнего равенства можно записать в виде
- /со [(Af + tn) Ro + т (г0 - Ro)]-
Пренебрегая т по сравнению с М, получим
со7?о± I = (±£2„ + ®-g-)s±i.	(3)
где
= И s=Ro-ro-
Затем поделим первое из уравнений (1) па т, второе иа М и вычтем их друг из друга. Пренебрегая членами еЕ/М по сравнению с eEfni, ~ ys по сравнению с ys, (R X Но) по сравнению с —— (г X Но), обозначив /VI с	trie
<й// — eHJmc и используя (2), получим
( - /со + у + /соя) s± , + /соя/?о ± 1 = Ео ± „
г	(4)
-co2sz = -^ + /coys>.
Из уравнений (3) и (4) находим s.
Вектор поляризации Р вычисляется по формуле Р = Wese iat, где У —число гонов (равное числу электронов) в единице объема.
Компоненты тензора диэлектрической проницаемости запишутся в виде
EU>=1_______
со (со + /у)
Компонента имеет такой .же вид, как скалярная диэлектрическая проницаемость в отсутствие магнитного поля, полученная в задаче 312; она неограниченно возрастает при со->О. Компоненты в~ при учете движения ионов содержат в знаменателе лишний член со^Й^; им можно пренебречь при й^/соС 1, т. е. при больших частотах со. Однако при малых частотах этот член становится существенным; при со->О ои приводит к тому, что ком-+	+ “р
поненты е~ остаются конечными: е =1-1--------5—. Благодаря этому в плазме
ын'-‘н/
могут существовать волны весьма малой частоты (магнитогидродииамические 292
/	сонй„'
®lco + /y±<o„----—
волны). Распространение электромагнитных воли в плазме с учетом колебаний положительных ионов рассматривается ниже в задаче 445.
322. В системе координат, ось х3 которой совпадает с выделенным направлением, тензор Тik должен иметь вид
/ Т Та Q \ Ttk= I -Та Т О I.
\ о о tJ
Это согласуется с результатами, полученными в задачах 318, 319 и др.
324. Поскольку включение поля происходит в момент t — О, то из принципа причинности следует, что Р (/) = О при t < 0. Обозначив диэлектрическую восприимчивость через а = а' + га", получим
ОО	оо
Р(0= J а (coz) Е (coz) е-“z dco/= -~ J а (со7) e~la> * du, (1) — оо	—оо
где Е (со') — компонента Фурье поля E(t) = E06(t). Умножим (1) на et,at и проинтегрируем по t от — оо до 0. В силу условия Р (0 = 0 при t < 0 будем иметь	ю	0
2^- J dco'a(co')	=	(2)
Используя (П1.17) и отделяя вещественную и мнимую части, получим
а' (со) =
г/со', а" (со) =
а' (со') г/со' со' — со
(3)
откуда следуют соотношения Крамерса — Кронига.
325.
. . ,	, Во — 1
е (со) = 1 + ——^-5-. 1-1- со2г2
327.
rot Е = —
1 дВ
с dt ’
rot В =
1 dD' 4л .
с dt + с ’
div D' = 4лр, div В = 0.
§ 3. Ферромагнитный резонанс 328.
Мх — A sin (co0t + a), Му — A cos (co0t + а), Мг — С,
где соо—-у/70, а —начальная фаза, А и С —константы, связанные условием Л1 = Л40, т. е. А + С2 = М& где MQ — намагниченность насыщения. Движение вектора намагниченности представляет собою обычную ларморову прецессию.
329. Ищем решение уравнения
^- = —уМ X Но+со, (%0Н0-М)
(1)
в виде Мх = mxe Ie>t, Му — туе iat, М2 =	+ mze iv>t, где со — неизвестная
частота; ось z направлена вдоль Не.
293
Проектируя (1) на оси координат и подставляя М, получим систему алгебраических уравнений, условие совместности которой имеет вид
со2 — (со + (сог)2 = 0.
Частота со оказывается комплексной: со = соо — icor; наличие потерь приводит,, как обычно, к затухающему движению. Компоненты mv и ту сдвинуты по фазе на л/2. Вектор М совершает затухающую прецессию вокруг Но.
330. Если выбрать ось г вдоль Н, то полное магнитное поле будет иметь, составляющие hxe~lb>t, hye~iat, Но + h2e~iat. Ишем решение уравнения Ландау — Лифшица (VI. 15) в виде
Mx = mxe~iat, My = mye~iat, Мг = Мо +тге~‘а‘,	(1).
где Мо — намагниченность насыщения. Эта форма решения соответствует предположению, что ларморова прецессия прекратилась вследствие затухания и колебания поддерживаются только высокочастотным (вынуждающим) полем. Поэтому нужно считать величины тх, ту, тг малыми, порядка не ниже h. Подставляя (1) в уравнение Ландау — Лифшица и отбрасывая квадратичные по h и т члены, определим компоненты т:
2
COq	zcocoo
= Хо —г—у hx ~ Zo “2-----2 hy
COq — СО	(Oq — со
zcocoo	со2
ту = Хо —------------2 hx + Ио ~2---------Г hy' mz = °’
COq — СО	COq — со
(2)
Как видно из этих формул, характер зависимости тх и ту от со при фиксированной со0 = уЯ0 или от Но при заданной со — резонансный: в точке-со = соо компоненты тх и ту неограниченно возрастают, наступает ферромагнитный резонанс.
Неограниченное возрастание амплитуды m связано с приближенным методом решения уравнения Ландау — Лифшица. Точное решение (см. задачу 332) должно обеспечивать постоянство длины |М|, так как из уравнения Ландау—Лифшица следует zM2 = const. При решении задачи методом последовательных приближений с учетом потерь, М также остается ограниченным.
331.
/Х± -«Хо 0\ = l	0 I,
\ О 0 0/ где
/ц± -1ца 0\
COq	COCOq	/	I
Х± = Яо~2 "V’ %а= ^0 2 _ 2 ’ ^ik= I ,|Ха	I’
°	0	\ 0	0 g||/
где
ц± = 1 + 4лх±, Ца = 4лха, Цц=1.
Как видно из приведенных формул, %ik и — эрмитовы тензоры = щ.£). Это означает, что среда является гиротропной, а потерн отсутствуют.
Графики зависимости компонент nik от постоянного поля Но приведены на рис. 72 *). Но рез ~ 3400 э.
*) Рис. 72 н 73 взяты из книги А. Г. Гуревича [48].
294
332.
M r —C cos at, Mv = С sin at, MZ = C, ’ Ла	у Aw
где Aw = w0 —w, ao = ytlo, at — yh. Постоянная С может быть определена
из условия М2 4- М2 + М2 = М~, которое следует из уравнения Ландау — Лифшица:
С- । At0 । М ь й м°’ где П = Д<о2 + а2.
В выражение С входит модуль | До |, так как Мг > 0. Компоненты М примут вид
Мх = ± Af0 cos at = хА v,
(О
Му = ± ^~М0 sin at = yhy, Mz = -	’ Af0.
Здесь знак ± соответствует знаку До. Как следует из этих равенств, связь между М и h нелинейна, коэффициент пропорциональности х зависит от h:
уМ0
V До2 + «2
Угол прецессии & (угол между М и Но) определяется равенством
М. со, sin & =	. = -рт->
Мо й
где М±=Ум2 + М2. При ферромагнитном резонансе До = 0, и из (1) получим
Мх = ± Мо cos о/, МЦ—±МО sin at, Мг = 0.
295
Вектор М в этом случае вращается с частотой <о в плоскости, перпендикулярной Но, его компоненты не обращаются в бесконечность.
333. М = М0 + те~“й/, где Мо имеет направление Но, а компоненты ш. определяются формулами:
—	~lt0t0r h 	_______totOp______.
тх Хо Q2 _ и2 _ 2iv)n>r х £22 — со — 2caar v'
ICuUJf .
my~ £22-a2-2caa, h* + Xo Й2 — a2 — 2caa, y'
тг = Xo
(Of
(Of — /co
z->
h
Q=Va2 + a2, O0-y//0.
Как видно из этих формул, наличие потерь (аг¥=0) приводит к тому, что при резонансе амплитуда m остается конечной.
334.
/НХ
H(ft =
\ О
- ‘К 0 \
0 ),
0 V-J
р = р2 + 'bL + щ"а.
,	Й2(й2-а2) + 2а2а2
И j. = I + 4лХо (й2_ю2)2 + 4(й2ш2 •
it . aar (Q2 + a2)
P_L 4лХо	o\9	.00»
-1-	(Q- - (02r + 4(o"(o;
,	aan (Й2 — a2)
Ид ~ 4-ПХ0 z„2	2\2	. о 2 *
(Q — or) + to o'
„	a2a0ar
,lfl (Q2-a2)2 + 4a2a2’
ГДС	_______
й= VM + a2, a0 = y//0.
Pa = 1 + 4.nZo	pe3 « 3400 э..
Графики зависимости и l^i от постоянного поля ff0 приведены на рис. 73. Зависимости ц'а и ц" от ff0 имеют аналогичный вид.
Мнимые части р„ и имеют максимумы при #о = /Л)рез ~ е°/Т, а вещественные части р2> Вд принимают экстремальные значения при Но ~ (а ± ш,)/у.
Кривые, изображенные на рис. 73, имеют такой же характер, как дисперсионные кривые для е (а) (см. рис. 16).
Мнимые части компонент тензора р±, рц определяют диссипацию электромагнитной энергии. Они обращаются в нуль при аЛ —0.
296
335. ЛЯо = сог/у.
336. Выберем оси координат вдоль главных осей эллипсоида, ось z направим вдоль поля Но. В этих осях тензор Nki имеет диагональный вид. Поэтому уравнение Ландау — Лифшица в проекциях на оси координат запишется так:
Мд = - Y + 4л (1№ - ДГ(2>) Мл] Му,
Му = у ко + 4л (Л',х> - Мг>) М J Мх,	(1)
Mz = - 4лу (дг« _ дМ) мхМу.
Таким образом, уравнения становятся нелинейными. Предполагая, что отклонения вектора М от равновесного положения (направление оси z) малы, ишем решение в виде
М = М„ + me~iat,	(2)
где вектор Мо направлен вдоль осп z. Если пренебречь членами с т\
которые войдут в систему (1) после подстановки (2), то система (1) линеаризуется. Приравнивая определитель системы нулю, находим
со2 = а2 = у2 [Яо + 4л (,Va> - Л’(с>) Мо] [Яо + 4л (л^ - Л'(г)) Л1о].
’ Х° H0-N^M0‘
337. <o=<ofc + for 1 + Х° +
2
Значение а/, приведено в ответе к предыдущей задаче.
/ Xi - 'Ха 0 \
338. Xik = 'Ха	Хг О
\ о	оо/
(ось z направлена вдоль Но),
Xi = 4 {у2Мо ко + ('V(y) - Л'(2>) Мо] - iXoGkoJ,
Хг = 4 ко + ('V(x) - М'-О ЛТо! - «’XootoJ,
297
где
Д = (<о| - со2) - zcocor [2 + Хо (Л'(х) + Му))],
Л40	1
Хо = ——Хй-----------------\®мв.
Но — №г,Мв	л
Поскольку в выражения компонент тензора входят кдэффициенты размагничивания, положение резонанса и ширина резонансной линии будут зависеть от формы тела.
339.	Система уравнений движения для векторов намагниченности М] и М2 имеет вид
-^-=-уМ, X (H„-ZM2), -^=-у>М2Х(Нв-МЛ,).	(1)
Ищем решение в виде Mi = M10 + mie_<b><, M2 = M20 + m2e_<brf(Mi0, М20 — равновесные значения Mi, М2).
При решении системы (1) удобно перейти к циклическим компонентам
ml± = mfx±imfy (/=I>2)-
Частоты собственной прецессии:
®о1=У^о, ®o2 = Y^|Afio-Af2o|.	(2)
Формулы (2) справедливы при условии Z | Af10 — М2В [ 3> Нв. Частота <ooi имеет такую же величину, как и в случае ферромагнетика без подрешеток. Частота <оО2 зависит от молекулярного поля и обычно сильно превышает <оО1*
§ 4.	Сверхпроводимость
340.	jH = 0, divjc = O,
( Е = 0,
rotAjc= - — Н,
tH rot Н =--jc,
с
divH=0.
Исключая из этих уравнений ]‘с или Н, получим
Д)с = 4г)с,
ДН = -^ Н,	(2)
/"Лс^"
Где 6 = 1/ характеризует глубину проникновения магнитного поля в сверхпроводник (или толщину слоя, в котором сосредоточен сверхпроводящий ток).
[х]	с дНу
- у|. ix = iy = o. iz= 4п дх- °
сНв	Г	х 1
= т~гехР - т •
4л6	L	б J
298
342.
1 f	но
/>=-- iziiy dx=-A
C fj	out
0
Сила F_r стремится вытолкнуть сверхпроводник из поля. В этом проявляется диамагнетизм сверхпроводника.
3®. н.-н.-о.
а	а
Ilf	If	дНу
Ми=-^--^- [г X jc]«d*+-g—	х—=—dx —
у 2а 2с J у 8па J дх
—а	—а
1
8ла
а
J”оу ~ ^о) ^х =
Му имеет знак, противоположный полю (диамагнетизм). При 6<д магнитный момент Му ~ Это отвечает средней магнитной восприимчивости у, = — '/4ti и проницаемости ц = 1 + 4л/ = 0.
-.. г/ - и /о
344.	Hz-H0 ,
а
л7 * Г /и и \ j Но Г1 п & Л (fl/6) 1
= (Hz-HQ)rdr= -	1 —2— ?;' ; ,
хла J	4л L а /0 (а/б) J
где /0, /]—модифицированные функции Бесселя.
345.	Вне шара
Нт = (#о + —p-j cos в,	/Za = ( — 7/0 +	) sin О,
тде т — постоянная, имеющая смысл магнитного момента.
Внутри шара
!а = f (г) sin ft,	/r = /e = 0.
Функция ja (г, ft) удовлетворяет уравнению
А/а “ sin2 ’ la = 0
^см. ответ задачи 47), откуда
/«(^) = ^(shy-TchT)-
Здесь А — постоянная интегрирования. Компоненты Нг и магнитного поля внутри шара выражаются через ja (г, ft):
2б2Л (, г г , г \ Л (sh6~6 chyjcos ft,
Н в Г( 1 + "Trlsh V ~ 4" ch -£-1 sin ft.
л© = г3 L\ б2) д б б J
299
Постоянные т и А определяются из условий непрерывности Нг и при г = а:
иоа3 (, о 6 tt, а д2 \	,	3 Н<а
т =-----=— 1 — 3 —cth-=- + 3-^ , Л= —-б-----------—.
2 \ а 6 а2 г	2 , а
sh-j-о
Н а3
При 6<Са получим т —-----— (ср. с ответом 281 при
а	яо°5
6»“ М =
ц — 0), А — 0. При

при г > а.
о... • _ . __ п . _	& R (г/6)	_	_
346. ]г -la -0, 1г- 2лаб у) (я/б) , Яг-Яг-0, 3 /1 (г/д)
Ъ-----,'-7-7тг при г <а,
2лса li (а/б)
3 2лсг
Ц — модифицированные функции Бесселя.
347. Проинтегрируем уравнение Максвелла rot Е = —
. 5i<-	,
Е = А по произвольному замкнутому контуру /, проходящему внутри сверхпроводника и охватывающему отверстие. Применив теорему Стокса, получим
1 <эн
—в котором
с!
dt
s
= 0,
где S — поверхность, опирающаяся па контур I. Если контур I целиком лежит за пределами слоя толщиной ~д, прилегающего к поверхности сверхпроводника, то иа нем jc = 0, и мы получим
HndS*=0.
348.
349.
, cH0S cos О
= “ L
сФ0
L •
+ 3.
ГЛАВА VII
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках
350.
д (/) =--------й>/л  Sin (ш? _ (р)1 где tg <р = (s>L]c2R,
/у (t) ------------и (яо ^ti)--------sin sjn _ (p),
p =
(02 (na2HBy R
2c2
=4^-
300
Здесь L — индуктивность кольца (см. задачу 272), R — его сопротивление, дй — амплитуда тока в кольце. Начало отсчета времени выбрано так, что при t = 0 плоскость петли перпендикулярна //с.
(SHBY R
7 а£____1_V •
( с2 аС )
<£>
2с2
/?2 +
351. 7V =
352. Средняя обобщенная сила, стремящаяся увеличить обобщенную координату qt, равна
д2 а2££12 dLi2
где L н R — индуктивность и сопротивление второго контура, £12 — коэффициент взаимной индукции контуров.
353. F = -
_______________G)2£L12 I #0 2_______________
/Г а2(£2-£2)]2	4u>2L2R2 I ’
2c6 /?2 + — l2-----------L +-------------
I L	C J C4 J
354.
2 c2 [(£,+ L2) C+L,C, +L2C2] ± c*{[L, (С +C,) - L2 (C + C2)]2+ 4LtL2C2№ ®1.2-	2£1£2(C1C2 + CC1 +CC2)
При отсутствии связи между контурами, т. е. при С = 0, а, н а2 становятся равными с]\ £|С] н с/рL2C2, что соответствует независимым колебаниям в каждом из одиночных контуров.
При очень сильной связи (С^>СЬ С2) остается одна частота а = d\'L'C'r где U = LtL2l(L] + £2), С =С1 + С2. Это соответствует колебаниям в одиночном контуре, в котором параллельно включены емкости С(, С2 и индуктивности £], £2.
„ „	2	с2 I 1	1	1	1 \
355 “1.2 -	2 ( £С,	+ £С2	+ £,С,	+ £2С2 J	±
с2 J Г 1 / 1	1 \	1 ( 1	1 П2 4	)'/«
- 2 ЦсД £ + £j С2 ) £ + £2 /J £2С,С2 ) ’
2	2 £]С] + £2С2 ± [(£]Ci — L2C2) + 4С]С2£^2]
356. со । 2 — с	-	.
357. Составляя систему уравнений относительно токов и приравнивая нулю определитель системы, получим после некоторых вычислений уравнение четвертого порядка:
/ 1	1 \	\
а4 + iw3 + —у — a2 (cof + а2) —	+	/ + <°*Ш^ = °*
где «>| = с/К£|С|, a2 = c/^L2C2, tt^RC,, t2 = RC2.
Коэффициенты этого уравнения комплексны, поэтому частота а будет также комплексной: a=a'-|-ia". В нулевом приближении в уравнении (1) можно отбросить члены с Т], т2. Тогда уравнение (1) примет вид
а>4 — а2 (а2 + а2) + ы2а>2 = 0.	(2>
301
Уравнение (2) имеет следующие решения: со^ = со( и со^О) = со2. Таким образом, в этом приближении со" = 0, и не происходит диссипации энергии (так как мы считали, что R бесконечно велико); колебания в каждом контуре происходят независимо. В следующем приближении ищем со в виде со = со<о> + Дсо7 + где со77, Дсо7 порядка 1/т или выше. В соответствии с этим, пренебрежем всеми членами более высоких порядков. Подставляя со в (1), учитывая (2) и приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую части, найдем
<3>
Поправка к со', содержащая R,
появится только в следующем приближении.
<?2 =
ia>Li2
ffi;
+	---Z2 = /?2 + cf-—5ф-);
\ (oCi c2 /	\ coC2 c2 )
C7	_	C
& 1 max-7Г При (0 — -- 	-'.
|Л.4-4)
359. Z =-------=----, где CO| = d\rLC —собственная частота коле-
(i)
1——-5- —icoRC
баний в контуре. При R = 0 и со = coi Z становится бесконечно большим. Это свойство рассмотренного двухполюсника используется в радиотехнике (запирающие фильтры).
360. С - - Со,	L = £Q, R =	, где £0 = с2/с0рС0.
361. Q = '/2 Re (t/£7*) = >/21 S |2 Re
Y®p ^rColt/ol2,
—	1 ( co2 \
Г = 4 1 +—-/ 2 Co
4 \ co2 + y2 /
L c2
®pC0 co2co2y ;co2-to2)2 + co2Y2
362. С = Co,
1
363. Q = -
Uo I2.
co2
C, = -f- C„, ®o
Vi Y
wpCo ‘
Co |t/012,
_ 1
Г---
4
®p(® + юо)
I2 - cOq)2 + co V .
Co I Uo I2.
364. Обозначим токи, текущие через индуктивность, i—
тарею, через SS2, &ъ- На основе законов Кирхгофа получим уравнение 5г1 + ^2+5гз = 0,	=-^9-= £(/)+ <7^
конденсатор и ба-
(1)
302
где q (/) — заряд на обкладке конденсатора, связанный с S'2 соотношением 9 г — q, а
х ( 0 при t < О,
t (t) = 1
I t при i > 0.
Из (1) получаем уравнение второго порядка для тока д Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни
1	, Л И2 2	2 С2
Х~ 2RC ( 2/?С ) “°’	“о_£С-
В зависимости от соотношения между /?, L, С возможны три случая:
а) ®о > 2RC ;
находя решение для gt методом вариации произвольных
постоянных Лагранжа (см. [94], § 25), получим
„	? I . Г t 1 (sin со/ ,	Л)
91 (/) = -R { ’ “ ехр L ~ ~2RC J (Ж + C0S f ’
где о = у
б) соо <	(0 = -^- { 1 -ехр[- 2^с] ( 2Ш?С + ch й/) }’
где й = 4R2ci ~ “о!
В) “0=2^С; 9' (0 = У { * “ (’ +Wc) ехр [“ 2^с] }' В Последиих двух случаях переходный процесс является полностью апериодическим, колебаний не возникает.
365. П2(/) =
366. П2(/) =
0 при	/ < о.
По ехр (	~-^с] при
	Г М Г t-т я\
По(ехр	1 RC j схр[ RC ]) при t>T-
0 при	t <0,
	
По ехр (		при 0 < t < Т,
	Г Rc2t 1	Г 7?с2(/-7)П
По(ехр	[ L J еХр[	L J) при t>T'
367.	На вход четырехполюсника нужно подать импульс
/7, (0 =
0 при t < — Т,
А£о(1+у+-^-) при -Г</<0,
А£0(1-у-) при 0<t<T,
0 при t > Т.
303
Начало отсчета времени выбрано так, что поле между пластинами конденсатора достигает максимума при / = 0.
368.	3 (0 =-] cos (<о/ + <Ро — ЧР) —
Г 1г J
-ехр-------— cos (<p0-q>) >,
где tg (р = aL/c^R. Переходный процесс отсутствует, если tg <р0 = — Rc2/<i>L. Это условие имеет простой смысл: в момент включения стационарное значение тока должно быть равно нулю
369.	При гармонической зависимости токов от времени уравнение Кирхгофа для n-го контура запишется так:
&п+ (2^п~ Sп-i — 3п+|) = 0.	(1)
Уравнение (1) представляет собою разностное линейное уравнение с целочисленной независимой переменной п. Оно имеет (ср. с задачей 223) два линейно независимых решения sinxn
и cos хи, причем частоты собственных колебаний выражаются через параметр х:
<o2 = 4<i>Qsin2—,	<йо=-^=-. (2)
°	2	V LC
Используя граничные условия 3 Q = = 3^=0, находим
3 п = -4 sin хп,	х = nr/N. (3)
Здесь г может принимать любые целочисленные значения (г=1, 2, ...). Значение г= 0 соответствует нулевому току в цепи. Однако вследствие
. х
периодичности sin—, входящего
в (2), число собственных частот системы будет конечно. Чтобы получить весь спектр частот, достаточно менять г в пределах 1 г N. При этом х будет меняться в пределах 0 < х "С п, каждому х будет соответствовать одна собственная частота, а всего частот будет N, как и должно быть в системе N связанных контуров. Они будут лежать в интервале О < <о 2о>о-
Для интерпретации величины х введем координату уп = ап п-й ячейки (а — «длина» одной ячейки цепи). Тогда (3) вместе с временным множителем
можно записать в виде
3 п (f) — 3 в sin kyne ie>kt,	(4)
где Л = х/а.
Выражение (4) представляет собою суперпозицию двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Величина k играет роль «волнового вектора» колебаний, распространяющихся по цепочке из отдельных дискретных звеньев. Фазовую и групповую скорости этих волн можно вычислить по обычным формулам;
°	/пх
= (5)
304
Поскольку зависимость со от k нелинейна, Оф и vg отличаются друг от друга — имеет место дисперсия. Из (2) находим
2о0 . ka	ka
vq, = —sin —.	vg = сооа cos — .	(6)
Величина 2л//г имеет смысл «длины волны» колебаний в дискретной цепочке; для длинных волн (Л а) имеем ka 1, откуда следует, что фазовая и групповая скорости Оф = Vg = a>oa и не зависят от k — дисперсия отсутствует. Графики зависимости а и vg от k приведены на рис. 74.
Электрические колебания рассмотренной цепочки аналогичны механическим колебаниям линейной одноатомной цепочки, которая может служить одномерной моделью кристалла. Индуктивность L аналогична массе атома, величина 1/С — коэффициенту жесткости*).
371. Обозначим токи в контурах с самоиндукцией через в контурах с самоиндукцией В2 — через
Уравнения Кирхгофа будут иметь вид
Введя частоты co^c/ZlqC, со2 — dV L2C, получим
(2Ю|-о2)77п = (а2(<7; + £7;1_1\ ।
(2ш2-“?)^>“2(^+ггч + 1)- J
Решение этой системы будем искать в виде
ffn = Aeiy<n, &'п = ВеЫп.
где А, В, к — постоянные. Подставив эти решения в (2), получим
A (2®f - со2) = Всо? (1 + е ~'*), В (2ы.| - со2) = А со; (1 + е,и).
Из равенства нулю определителя этой системы найдем связь между ТОЙ СО И Kt
(1>
(2)
(3)
(4)
часто-
(5)
со2 = со? + со? ± у (со? 4- со?)2 — 4со?со? sin2 — .
Чтобы получить весь спектр колебаний, нужно менять и в пределах от О до л. Значения к, как и в задаче 369, могут быть найдены из граничных условий.
*) Подробнее о колебаниях атомных цепочек см., например, М. А. Леон-тович, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944 г.; М. Борн и Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ, 1958 г. Аналогии между электрическими и механическими колебаниями рассматриваются в книге Л. Бриллюэна и М. Пароди [19], гл. 3 и 4.
20 в. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
305
Наиболее существенным отличием от случая цепочки с одинаковыми звеньями является то, что каждому значению х теперь соответствуют две частоты, как следует из формулы (5). Поэтому существуют две ветви колебаний. Обозначим частоты этих колебаний через <о+ и ы_, где индексы „ + “ и „ —“ соответствуют таким же знакам перед корнем в формуле (5).
Зависимость частот от х изображена графически на рис. 75. Колебания с частотой ю_ аналогичны колебаниям в цепочке с одинаковыми звеньими. В частности,, при малых х (длинные волны) имеем
(OjCOg
<о_ = —г	— х,
Уз (й] + co?;)
т. е. дисперсия отсутствует.
Для ветви <о+ при малых х получим выражение для закона дисперсии вида
и+ = а + Ьх.2.
При х —>0 фазовая рость обращается в
Для исследования характера колебаний в обеих ветвях найдем отношение амплитуд мых коротких
скорость стремится нуль.
к бесконечности, а групповая ско-
для ветви го-
токов в соседних контурах для очень длинных (х <С 1) и са-(х близко к л) волн. Из равенств (4) имеем при х<1.
дли ветви о>+
Для ветви со_ колебания токов в соседних контурах происходят с одинаковой амплитудой в одной фазе. Для ветви <о+ колебания в соседних кои-турах противофазны, а амплитуды колебаний обратно пропорциональны индуктивностям. При х = п
ы+ = И2 ®1, <о_ = Из <о2-
Переходя в формуле (4) к пределу х —> л, получим
_4\ В
->0.
Таким образом, в предельном случае х = л колебания с частотой ы+ — с V 2/LtC происходят только в контурах с индуктивностями Lb а колебания с частотой <о_ = сИз/£2С-в контурах с индуктивностями L2.
Рассмотренные в этой задаче колебания с частотами <о_ и <о+ являются аналогом акустических и оптических колебаний в линейной атомной цепочке, состоящей из атомов двух сортов с разными массами (см. литературу, указанную на стр. 305).
372.
0n = Afl + B<&
(О
306
где <7i и </2 — корни уравнения
<71 2 - (2 +-J1-) <7 4-1 = 0.
(2)
Постоянные Л, В определяются нз граничных условий 9 JV=0; (9 а—^i)Z2=^i* Второе условие означает, что между точками а'Ь' (см. рис. 23) приложено напряжение Ut. Используя равенство q\qz = 1, вытекающее из (2), получим окончательно:
г; _ <7	/—г/ __________У2 ~ _______
V2_ и N-l^2~ 1 /,	„ \„N_n	\„N‘
(1	?1)?2 V ^2/^1
373. Коэффициент задачи:
передачи К определяется из результатов предыдущей
Qi — ?2

В знаменателе этого выражения имеются множители q^ н q^. Так как Л1<72 = 1, то возможны два случая:
a) I ?i | = 1?2|= И б) | <71 | > 1, |<72|<1.
В первом случае qf и q? будут по модулю равны единице, К тоже будет порядка единицы. Во втором случае, при N » 1 |<7^|» 1, а |<7^|<С1, поэтому-
К= —gl~g2	<1.
Интервалы частот, для которых реализуются случаи а) и б), определяются из уравнения (2) задачи 372. Из него следует, что
<71.2=1 + -§-±1/
Если подкоренное выражение отрицательно, то <71 и <72 — два комплексно-сопряженных корня, по модулю равных единице, т. е. осуществляется случай а). При положительном подкоренном выражении, qx и q2 вещественны и различны, т. е. имеет место случай б). Приравнивая нулю подкоренное выражение, найдем область значений Zb Z2 для случая а):
-><<«=»
Это соответствует значениям о2, лежащим между с2 с2 (4Ct + С2) Z.1C]	С]Сг (4Z-2 + Е])
374.	Рассмотрим n-й замкнутый контур искусственной длинной линии (рис. 76). Этот кон-
тур можно рассматривать как эквивалентную схему для отрезка длиной а линии с распределенными параметрами, причем ДЕ будет индуктивностью, а ДС —емкостью данного отрезка. В случае произвольной зависимости тока в линии от времени уравнение Кирхгофа для этого контура примет вид
1 А г п , qn-1, п
с2 dt + ДС
qn+i, п КС
(1)
20*
307
где qn-i,n и <7n+i, п —заряды на верхних обкладках левого и правого конденсаторов. Дифференцируя (1) по времени и пользуясь соотношениями Qn — ь п ~ 9 п + 9 п— ь <7п, п+1 — 9 п — 9 п+1» получим
1	<Э2 <7	1
^2“ ЛЛ —^2^-+(2£7П — ^п-1 — ^п+1) = о.	(2)
Теперь нужно перейти от переменной п к переменной z — координате точки линии с распределенными параметрами. Для этого положим
9п (/) = 9 (г, /), £7„_! (/) = 9 (z - а, I),
9n+l (t) = 9(z + a, t)
и вычислим разности
9
д9 1 d29 , дг а 2 dz2 а’
д9	1 д29 ,
dz	2 dz2
Подставляя эти разности в (2) и замечая, что L = ЛЕ/а и С = ДС/с — индуктивность и емкость на единицу длины, получим уравнение
L d29	1 d29
с2 dt2 ~ С ~d^'
(3)
Это — уравнение длинной линии без потерь. В реальной длинной линии
всегда имеются потери как за счет сопротивления в проводах, так и за счет
неидеальнои изоляции между проводами.
Эквивалентная схема для случая, когда второй фактор не учитывается (т. е. изоляция проводоз считается идеальной), приведена на рис. 77. Урав-
некие длинной линии (телеграфное уравнение) в этом случае можно получить таким же способом, как было получено (3):
AR
Рис. 77.
L d29 d9	1 d29
с2 di2 +К dt	С dz2 ’	(4)
где R — активное сопротивление проводов на единицу длины.
375.	Решая уравнение (3), полученное в предыдущей задаче, найдем
со — vk.
где v = с/| LC — скорость распространения волн в длинной линии, k — nr/l, г = 1, 2, 3, ..., L и С — индуктивность и емкость на единицу длины. В полученном спектре длинной линии, в отличие от спектра цепочки с сосредоточенными параметрами, число собственных частот бесконечно. Это связано с тем, что длинная линия является континуумом с бесконечным числом степеней свободы, тогда как в цепочке число степеней свободы N — конечно. В случае идеальной длинной линии характерно также отсутствие дисперсии.
376.	Исходим из закона Ома в дифференциальной форме: j =cr (Е 4-Ест). где Ест — напряженность поля сторонних сил. Выразим Е через потенциалы;
с г 1 dA	j	1 <?А
Е= —V<p--------чт-, Ест=-----1-V<p4----
с dt	а с dt
Считая проводник тонким, проинтегрируем обе части последнего равенства по контуру, совпадающему с проводником:
Ест •<«=$	+ V<p-rfl + y £	(О
308
Интеграл, стоящий в левой части равенства (1), представляет собою стороннюю э. д. с. 2ст, включенную в цепь; интеграл i • dl = ffR определяет потери на джоулево тепло за единицу времени. Интеграл V<p • dl = (j) d<p=O.. Последний интеграл преобразуем следующим образом. С учетом запаздывания
Подставляя эти выражения в равенство (I) и отделяя вещественную и мни-мую части, получим
«ст (/) = ? (О
Выражение в квадратных скобках представляет комплексное сопротивление цепи. Активное сопротивление равно /? + Rr («), где
«г р р sin — *,(») = -£ $ J—-~dl-dl'.
Величина 7? связана с потерями на нагревание проводника; величина («) характеризует потерн энергии на излучение и называется сопротивлением излучения (см. следующую задачу).
itoL (<й) Реактивное сопротивление равно----, где
аг представляет собою индуктивность, зависящую от частоты.
Рассмотрим случай, когда можно считать с/ы = Х/2л /, где I — размер контура. В области интегрирования <ог/с<С1, и, с учетом квадратичного-члена в разложении косинуса, получим
Первый член в этом выражении не зависит от частоты и представляет собою обычную индуктивность *); второй член дает поправку, существенную при высоких частотах.
В разложении синуса нужно учесть кубический член, так как интеграл от первого (линейного) члена обращается в нуль. Сопротивление излучения =	f r2dl-dl'.
*) Практически для вычисления самоиндукции нужно использовать фор-мулу (V. 18), так как интеграл ф (Г -—- расходится. Эта расходимость вызвана тем, что проводник считается бесконечно тонким (линейным).
309-
2 л2 I 2ла \4 т.
-- —z— . Кольцо с током Зс \ Л /
„ _	, . .	, , 64л4 а4
377. L (со) = L Ч-j-
является магнитным диполем.
.	,2 m2
дается формулой	— —
Rr И =
Энергия, излучаемая в единицу времени,
т-—где ш —магнитный дипольный момент, о с
Значение коэффициента пропорциональности между излученной энергией л ff2 равно 2л2а2и4/3с5 и совпадает с /?г(ь>).
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект
, X 2Х \'!1 sh2 У	cos	У 1
-----h--------h~
sh2 4 + cos2 4 /
о	о /
г. 4л „
До---------ол;
с
Ъ=- С
V
При 6 Л, Н (х) = Но ехр [ ——] J ПРИ б 3> /г, Н (х) = Но (ср. с задачей 247).
379. Так как система симметрична относительно оси цилиндра, а первичное магнитное поле Но однородно, то ясно, что вихревые токи в цилиндре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных его оси. Эти токи создадут такое же магнитное поле, какое создавалось бы множеством отдельных коаксиальных соленоидов. Но поле соленоида во внешнем пространстве равно нулю, а внутри соленоида направлено вдоль его оси. Таким образом, полное магнитное поле вне цилиндра совпадает с полем Но, а внутри цилиндра определяется первым уравнением (VII. 12), которое ввиду осевой симметрии примет вид
d2H , 1 dH dr2  г dr
+ k2H = 0,
где
=	H = Hz{r),	Ha = Hr = 0,
и граничным условием И (а) = Н0.
Решение, конечное при г = 0 и удовлетворяющее этому граничному условию, выразится через функцию Бесселя нулевого порядка;
Вне цилиндра имеем
Н - Но при а г b, Н = 0 при г > Ь.
Плотность тока и электрическое поле внутри цилиндра вычисляются по формуле (VII. II)
Для определения электрического поля вне цилиндра воспользуемся уравнением Максвелла для rot Е, которое запишем в интегральной форме
Et dl^-^-f Вп dS.
Внутри цилиндра имеется только одна компонента электрического поля Еа; из граничного условия на поверхности стержня и из симметрии системы
-310
следует, что вне цилиндра поле Е также будет иметь лишь составляющую Еа, зависящую только от г. Если выбрать в качестве контура I окружность, то контурный интеграл дает 2лгЕа. При вычислении интеграла по площади используем формулу (П3.12). Окончательно получим
_ kcHB	Ji	(ka)	a	ia>H0
а — 4ла	Jo	(ka)	г	2сг
= kcH0	J,	(ka)	а	><оЯ0
а 4зхо	Jo	(ka)	г	2сг
если
если
а < г Ь, г > Ь.
При отсутствии цилиндра, т. е. если а = 0, поле будет равно
Таким образом, добавочное магнитное поле, связанное с наличием цилиндра, равно нулю при г > а, хотя добавочное электрическое поле отлично от нуля. Это связано с тем, что точное уравнение rot Н = — справедливое вне проводника, заменяется приближенным уравнением rotH=0 (в квазиста-ционарном приближении током смещения пренебрегаем). При точном решении задачи добавочное магнитное поле вне проводника также будет отлично от нуля (см. задачу 452, в которой рассматривается дифракция плоской волны на проводящем цилиндре).
380. При малых частотах (| /га| С 1 или 6 » а)
. сН0 г _ 1аыНг.
2с~Г'
следовательно, плотность тока линейно зависит от г и пропорциональна частоте.
При больших частотах (| ka \	1 или б а) нужно использовать асим-
птотическую формулу для функции Бесселя, с помощью которой получим
1 =	4^6
а
— ехр

При а — г 6 плотность тока становится исчезающе малой. Таким образом,, при больших частотах ток сконцентрирован в основном в тонком поверхностном слое.
381.
я.а2п2&1
Q —--------2- Re
kJt (ka) Jo (ka)
4лраа
k l c * c2
При | ka |	1 (малые частоты):
лп2&2 [ о У / а2цпа>£70 \2 Q = 16<т U /	я3° \	?	) •
При | Лп | > 1 (большие частоты):
( а\	ап2 £7%
а \ 6 / с
Диссипация энергии при малых частотах пропорциональна о)2, а при больших —
382. ₽ = ₽' + /₽"-- 4-[1 —Г-	=
4 L ka Jo (ka) J	c2
311
При |fej[ » 1 (большие частоты):
4 Y2лосо
следовательно, при больших частотах ввиду вытеснения поля из проводника. При | ka | «С 1 (малые частоты):
nW®8
Р" -> 0, т. е. потери уменьшаются.
о„ ла4о(о
Таким образом, р -> 0 при <о->О; это связано с тем, что g = 1, т. е. статическая магнитная поляризуемость равна нулю.
383. Магнитный момент, создаваемый вихревыми токами, вследствие симметрии системы будет направлен вдоль внешнего магнитного поли. Поэтому во внешней области полное магнитное поле Н2 можно записать в виде
н м 4г (т-г) 2т
Н2 (г) =--------------+ но-
(1)
Здесь т — неизвестный магнитный момент единицы длины цилиндра, совпадающий по направлению с Но; г — радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Полю Нг соответствует векторный потенциал А2 = 2 (m X г)	который в проекциях запишется так:
A2Z = А2 =*	~—Ь //(У*sin ct, Д2г —	~ О	(2)
(угол а отсчитывается от направления Но).
Таким образом, во внешней области векторный потенциал имеет только продольную (относительно осп цилиндра) составляющую, пропорциональную sin а. Условиям непрерывности составляющих поля па границе можно удовлетворить, если искать векторный потенциал во внутренней области в аналогичном виде:
= Л, =£(/-) sin «, Д1г^Л|а = 0.
(3)
Электрическое поле Е выражается в общем случае через оба потенциала: А и <р.
Наложим, как обычно, на потенциалы дополнительное условие
div А + — ДЯ- = О. с dt
Тогда, поскольку divA = 0, что следует нз формул (2) и (3), будем иметь dtp	л	с 1 0А ito гт	. к
= — zcotp = 0, так что Е = —— -= — А. Поэтому А будет удовлетворять такому же уравнению, как и электрическое поле (VII. 12). Решением этого уравнения, ограниченным при г = 0, является функция Бесселя:
F (г) = С/[ (kr), Ai — CJi (kr) sin a.	(4)
Постоянные С н tn в (4) н (2) определяются из условии равенств внутреннего (Hi) н внешнего (Н2) полей на границе цилиндра: Hj = H2 при г = а. Использовав (П3.9), получим
г 2Н0
kJ0 (ka) •
т=> —
агН(1
2
2 J. (М\
ka Jo (ka) )'
(5)
312
Из выражения цилиндра
для т следует, что поперечная магнитная поляризуемость-
а2 Г. _ 2 ?1 (ka) ~|
2 L ka 1о(ka) J
(6)
вдвое больше его продольной поляризуемости (см. задачу 382). Компоненты магнитного поля внутри цилиндра определяются из (4) и (5):
„	1 дА,	nLr Jt (kr)	,, n
Hir=-----д— = 2HB	—cos a, Hiz = G,
r r da krJB (ka)
(7>
дА.
-2НВ
J'l (kr)
,	, sin a.
Jo (ka)
Определим еще плотность тока
£
в цилиндре. По формуле j = -^- rot Н
получим
- =	cH° 7|
lz	2n (ka)
sin a, ja = jr = °-
(8)
Из формулы (8) видно, что в каждый момент времени в двух половинах цилиндра О^а^л и л^а<^2л токи текут в противоположных направлениях; полный ток через сечение цилиндра равен нулю. Радиальная зависимость плотности тока такая же, как в случае цилиндра, находящегося в продольном поле, н была исследована в задаче 380. (Однако нужно иметь в виду, что в случае продольного поля токи текут по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, тогда как в случае поперечного поля они текут вдоль оси цилиндра.)
384.	Среднее тепловыделение на единицу длины цилиндра проще всего вычислить по формуле (VII. 17), рассмотрев поток энергии, втекающий через боковую поверхность цилиндра. Используя результаты задачи 383„
получим
ас2Н%	fkJ}(ka)\
8ло	\ JB (ka) /
Тот же результат получится с помощью формулы (VII. 16), причем при интегрировании произведения функций Бесселя нужно использовать формулу (П3.13).
385.	Для определения вращательного момента нужно знать электрическое и магнитное поля внутри цилиндра. Их можно найти тем же способом, что и в задаче 383 для линейно поляризованного внешнего поля:
2//0J, (kr) м
г krJB(ka) .	ickHB Jt (kr) ia
lz 2л	JB(ka)
Ha= — 2iHB
j\ (kr)
!B (ka)
Сила, приложенная к единице объема цилиндра, вычисляется по формуле
f = l(jXH)	(2)
(считаем, что внутри цилиндра р=1). Радиальная компонента этой силы вызовет радиально направленное давление, азимутальная компонента со 'дает вращательный момент. Поскольку j и Н — комплексные величины, среднее
313
-значение азимутальной составляющей силы выразится так:
(3)
Вращательный момент, действующий на единицу длины цилиндра, получится путем умножения средней силы (3) на г и интегрирования по сечению цилиндра. Интеграл вычисляется с помощью формулы (П3.13). В результате получим
(4)
Л-7 UP Rer /о(М/'
Этот же результат получается другим путем. Момент сил можно выразить через магнитный момент системы по формуле
N (0 = ш (0 X Но (0.	(5)
Определяя NZ = N через комплексные амплитуды Но и ш, а ш — через поперечную магнитную поляризуемость цилиндра (см. задачу 383), приходим к формуле (4).
При малых частотах из (4) получим
_	1	лсгсо	„ .
N = Т —й-2- = ТГ 4 62	4с2	и
.а при больших частотах
N = - abffi =	rCa	Н*
2	0	V 8гат<о 0
(6)
(7)
Из этих формул видно, что вращательный момент исчезает в обоих пре* дельных случаях очень малых и очень больших частот.
Если поле поляризовано линейно, средний вращательный момент равен нулю (формально это следует из того, что интеграл по а обратится в нуль прн вычислении Л'; см. задачу 383, в которой найдены j и Н для этого случая). Таким образом, вращательный момент создается «вращающимся» полем.
Явление, рассмотренное в данной задаче, лежит в основе устройства асинхронного электромотора.
386.	Наряду с неподвижной системой отсчета, у которой ось z совпадает с осью цилиндра, а ось х — с направлением внешнего поля Но, рассмотрим систему координат £, i], z, вращающуюся вместе с цилиндром. В этой системе координат внешнее магнитное поле запишется в виде
Но (О = (Но1-»Но2)е-‘Ч
Здесь Н01 и Н02 — постоянные векторы одинаковой длины Но1 = Н02 = Но, имеющие направления координатных осей £, 1]. Поле такого вида было рассмотрено в задаче 385. Создаваемый им вращательный момент (который в данном случае будет тормозящим) равен
387.	В задаче 379 было показано, что вихревые токи, возникающие в цилиндре при изменении внешнего продольного поля, не создают добавочного магнитного поля вне цилиндра; во внутренней области создаваемое ими поле продольно и зависит только от г. Это поле будет удовлетворять урав-
нению
д2Н 1 дН 4лца дН 7й*"г~д7~ с2 dt =U'
(1)
314
Очевидно, что магнитное поле внутри цилиндра будет затухать со временем. Поэтому частные решении уравнения (1) будем искать в виде F (г) e-v\ где у > 0 —постоянная. Для F (г) получаем уравнение Бесселя
F"(r) + j-F'(r) + k2F(r) = O,	(2)
,, 4лрсгу где к -—^5—•
Ограниченное при г = 0 решение уравнения (2) имеет вид F (г} — CJ0 (kr). Поскольку внешнее поле Ff0 выключается, а добавочное поле, создаваемое вихревыми токами, вне цилиндра равно нулю, на границе должно выполняться условие Н |г=а = 0, т. е.
Д (ka) = 0.	(3)
Отсюда нахсдчм kma = pm, т= 1, 2, .... где р,и — нули функции Jo. Возможными значениями у будут
(А.
4лрая2 ’
Общее решение уравнения (I), соответствующее рассматриваемой краевой задаче, запишется в виде
Д (г, t) = У CmJ0 (km?) е т .	(5)
т
Коэффициенты Ст определятся из начального условия
Д (г, 0) = У (kmr).	(6)
т
Воспользовавшись свойством ортогональности функций Бесселя
1
J Х^0 (^тХ) А) (knX) dx = ~2 [^° ^тп’
0 получим
а
2 Г
Ст = 2 Г /-----712 Н °) r dr-	(8)
а L7o(*zn«)J oJ
(9)
В начальный момент времени поле И (г, 0) равно внешнему полю Но, так как постоянное магнитное поле не искажается, если в него поместить бесконечный цилиндр, ось которого параллельна полю. Использовав формулы (П3.12), (П3.9), найдем
С	2И°
kmaI 1 (kmG)
Скорость затухания поля будет определяться наименьшим из значений утг т е. у,. Ее можно получить, подставив в (4) значение наименьшего корня функции Бесселя р, — 2,4. Время затухания поля т=1/у|.
388.	Магнитное поле внутри шара в нулевом (по частоте) приближении было найдено в задаче 281:
"-зЛг"-
Электрическое поле внутри шара в этом же приближении, как следует из уравнения (VII. 11), оказывается равным нулю, так как постоянное магнитное
315
(1>
поле не создает электрического поля. Для определения электрического поля в следующем (линейном по со) приближении используем уравнение (VII. 10) в интегральной форме.
Из свойств симметрии системы ясно, что токи в шаре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных Но; так же будет направлено электрическое поле.
Выбрав сферическую систему координат с осью z вдоль Но, получим
£ = f<^- г sin <1, j = оЕ,	(2)
где Н определено равенством (1). Выделяющееся в шаре тепло Q найдем, интегрируя q — '1го\Е\2 по объему шара:
_ 3nnWW0
5с2(ц + 2)2 •	()
389.	Вне шара магнитное поле
, Зг(т-г) т н —н0+ г5 ~тг>
«де т = — (/2«3Н0; Р = — ЧгО1 — магнитная поляризуемость шара при сильном скин-эффекте.
Внутри шара
Н» = - 3/гЯо ехр [ — (1 — 0 -у] sin 6, Нг = На = 0.
тде z отсчитывается от поверхности по нормали в глубь проводника, полярная ось сферической системы координат направлена вдоль Но;
За2с Г цсо 2
Q = ~8~ V
390.	В случае сильного скии-эффекта поле внутри эллипсоида равно нулю, а во внешней области удовлетворяет уравнениям rotH=0, divH=0 и граничным условиям Hnls = 0, Н If.,.,*,-* Но> где Но —внешнее поле и через S обозначена поверхность эллипсоида
Сравним эту задачу с задачей о диэлектрическом эллипсоиде с е = 0, находящемся в однородном электрическом поле. Электрическое поле вне такого эллипсоида будет удовлетворять уравнениям:
rotE=0, divE = 0	(1)
и граничным условиям:
Еп 1^ = ъЕп внутр Is = 0, Е |г_^—> Ео.	(2)
Условия для касательных компонент Е можно не рассматривать, так как соотношения (1) и (2) однозначно определяют вектор Е во внешней области.
Мы видим, что рассматриваемая задача о проводящем эллипсоиде при сильном скии- эффекте формально совпадает с задачей о диэлектрическом эллипсоиде, у которого е = 0. Полагая в формулах, приведенных в ответе задачи 200, е1 = 0, получим магнитные поляризуемости в направлении главных осей эллипсоида:
"''’-мтЬт'	<”
где п(‘> — соответствующий коэффициент деполяризации, V — объем эллипсоида.
316
Для сильно вытянутого эллипсоида вращения с полуосями а, Ь а (стержень) имеем (см. задачу 198)
₽± = - 2ка2Ь, ₽„ = - */3а2£>.
Для сильно сплюснутого эллипсоида (6 С а, диск)
2а3	1
₽Х = - -з^-> ₽ц = - у а2Ь -> 0 при 6->0.
391.	Вследствие аксиальной симметрии системы, состоящей из шара и внешнего поля, распределение вихревых токов в шаре и электрическое поле также обладают аксиальной симметрией. На этом основании можно утверждать, что электрическое поле будет иметь только одну составляющую Еа, которая не может зависеть от а: Еа = f (г, О).
Ищем решение уравнения (VII. 12) для полного электрического поля Е в виде
Еа = F (г) sin О, Ег = Ео — 0.
Пользуясь выражением для лапласиана вектора в сферических координатах, полученным в задаче 47, найдем уравнение для F (г), которое подстановкой F(r)=x(r)/rr сводится к уравнению Бесселя. Его решением, ограниченным при г = 0, будет
X (г) = AJs/i (kr).
Магнитное поле внутри шара определится из уравнения (VII. 10). Магнитное поле во внешней области будет складываться из внешнего поля Но и поля магнитного диполя ш, направление которого совпадает с Но:
н - и , Зг (ш • г)
П2 — По i------J---
tn
73”’
Постоянные Ант определяются из граничных условий для Н на поверхности шара. Выражая функции Бесселя полуцелого порядка через тригонометрические функции, получим
а3 (.	3	3 , , \ „	.	3ia<£> Г п
т =—н~|1 ~'ь2 a —ctgfea л0, А = —:—-—1/ —- Но.
2 \	№а2 ka ь ) и' с sin ka у Sk
392.
(,2а	. 2а
sh-v- + Sin —т—
. а 6	6
Т~2а	2а
СП -j-COS -£-
о	о
393-7? = il^^FRe[(1+/)7HS’]’ гда * = а+0/2лаШ/С.
При | ka | <С 1 (малые частоты):
где /?0 = 1/па2а — сопротивление постоянному току. При | ka |	1 (большие частоты):
R___L 1	1 -if M
о 2ла6	са у 2ла
Как следует из последней формулы, эффективная площадь сечения проводника при сильном скин-эффекте равна 2лаб.
317
394.
оЛ2 (61 ~ б1)sin 1“ - (6? +	sh + 26А C0S I7
2ас (d sin-^-+d2cos-^-) + (d2 + 62) sh2 \ 1 o2 2	02 / v 7 o2
где 6i = c/KSnojQ, 62 = cl\'2jio2o.
395. H' = -—.	----rr • где k = (1 + Z)/d.
ka sin kh + 2 cos kh
П ри I kh I C 1 (малые частоты) H' = Ho, т. е. наличие цилиндрической оболочки не сказывается на величине поля. При | kh | » 1 (большие частоты), имеем
sin kh = — i cos kh exp ^(1 — i) j; так как a 3> 6, to
- (1+0-^-exp^-(1-Оу]н0(	Я0»|Я'|.
Сильное ослабление поля получается за счет того, что вихревые токи, воз-
Рис. 78.
пикающие в оболочке, создают в полости добавочное поле обратного направления.
□пс -	2/£Г0ро<о cosk(h — х)
396.	/ =------------—-—где х
c2ka sin kh
отсчитывается от поверхности по радиусу в
глубь проводника;
t 2h . 2h
i sh Т" + sin —r-n = _!__________*_________L
2лп6о n ( ,, h . , h 2 shz-r + sin2 -T-\o 0
компонента магнитного
трубы удовлетворять условию
Полый и сплошной проводники имеют одинаковое сопротивление при 6 С h.
397.	Выберем цилиндрическую систему координат, как показано на рис. 78. При слабом скии-эффекте касательная к стенке поля на поверхности S этой стенки должна
4л .
——I, с
(1)

где i = shE = t,E — плотность поверхностного тока, g — поверхностная проводимость.
Электрическое поле, которое будет иметь, очевидно, только z-компо-ненту, должно быть непрерывно на той же поверхности S:
Ei = Ег = Е.
(2)
Дальнейшее решение весьма сходно с решением задачи 159 (задача о слабо неконцентрических сферах). С точностью до членов (//а) уравнение границы запишется в виде
г = а 4- / cos а.	(З)
318
Векторный потенциал, направление которого совпадает с направлением тока, ищем в виде 25^ . г , „	, п
А, —-----1п —Ь С ir cos а + С,
С , а	(4)
А2 = — 1п — Ч-----— cos а,
1 саг
где С! и Bi — функции времени, имеющие первый порядок малости относительно (1/а), 9' имеет нулевой порядок относительно (1/а).
При слабом скин-эффекте (h С б) векторный потенциал удовлетворяет условию
Ai — A2 при г = a + l cos а.	(5)
Отсюда, отбрасывая члены порядка (l/а)2, находим
В,=д2С1 + -2(^'~-^-г , 0 = 0.	(6)
В граничном условии (1) можно заменить на На. Как легко проверить, это приведет к ошибке порядка (l/а)2. Поскольку
имеем на S:
и дА ; ГР £ дА
На=~-д7- 1-^Е^-Т~дГ
дА} дА2____4л£ <М|
дг дг	с2 dt
или, с точностью до (1/а),
2 (9'-9) , „„	4л£ Г 2 d(9l)
---------+ 20 j COS Ct 2 I-----тт—
са	с2 L са at
cos а.
Отсюда сразу следует 9 = 9'\ этот результат связан с тем, что скин-эффект считается слабым. Для получается дифференциальное уравнение
Т + "с'
2 d(9l)
а2с dt
(7)
Параметр р = с2/2ла£ совпадает со значением сопротивления единицы длины трубы, выраженным в электромагнитных единицах.
Решение уравнения (7) легко получить методом вариации произвольных постоянных. Оно имеет вид
t
— оо
(считаем, что при t -> — оо ток отсутствовал).
Сила f, приложенная к единице длины тока 9, может быть по формуле
вычислена

где Иу ~ магнитное поле на прямой, вдоль которой течет ток 9, создаваемое током, текущим в оболочке. Этому полю соответствует векторный потенциал
А' = Ctr cos а = Сху,
319
откуда
НУ
дА' _
~дГ=~с"
Окончательно:
fr =
2.7 (П
с2 а2
ехр
[р (т-01 ~ Iff (т)/(т)] dx.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Если ток постоянный (ff = = const), то
9 <7 2 Г
= J ехр [р(т-t)]/(T)dT.
— ОО
При отклонении тока от оси цилиндра (/ > 0) возникнет сила, препятствующая этому отклонению. При медленном движении (/ р /), интегрируя по частям, найдем
. 2ff2 ( I__L
х с2а2 \ р	р2
В частности, при равномерном перемещении I = vt тормозящая сила
2&2v с2а2р ‘
398.
2ff2(t)l(t) с2а2
ГЛАВА VIII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 1.	Плоские волны в однородной изотропной среде. Отражение н преломление волн. Волновые пакеты
399.	Амплитуда первой волны Ei = ae.v, амплитуда второй волны Ег = — Ьеп£у, а и b — вещественны; результирующая амплитуда
Ео = Ej + Е2 = аел + Ье‘*еу.
Для выяснения характера поляризации удобно так сдвинуть начало отсчета фазы, чтобы в двух взаимно перпендикулярных направлениях получились колебания, отличающиеся по фазе на л/2. Введем новую амплитуду Eg= Eoeia= g'— ig" и потребуем, чтобы векторы g' и g" были вещественными, причем g'-g" = 0 (рис. 79):
g' = a cos a  ех + b cos (a — х) 
g" = a sin a- ел + b sin (a — x)  ей.	(1)
Определим сдвиг фазы a из условия g'-g" = 0:
a2 cos a sin a + b2 sin (a — x) cos (a — x) = 0, откуда
tg2a — ?\S!n-2V-b a2 + b2 cos 2x
320
Определив из уравнения (2) угол а, подставим его значение в (1) и найдем 8'. 8" Введя в плоскости ху новые осн V|| 8' н у' || 8". получим
в этих осях:
2
Ех, = <?' cos (к • г — «/ + а), Ед, = Ч" sin (к  г — wf + а).
Е*,
Очевидно, что——т. е. конец вектора описывает эллипс, g
В общем случае g', g"=Z=O. Колебании по оси х’ опережают колебания по оси у' на л/2. Если ориентация осей х', tf такая же, как х, у, т. е. х', у', г образуют правую систему координат (этот случай изображен па
рис. 79), то для наблюдателя, к которому движется волна (движение вдоль оси г), вектор Е будет вращаться против часовой стрелки. Такая поляризация называется эллиптической с левым направлением вращения. Если оси х', у', г образуют левую систему, то направление вращения Е будет противоположным, по часовой стрелке, и волна будет назы-ватьси эллиптически поляризованной с правым направлеинем вращения.
При g'=g" поляризация круговая, при g'=0 или g" = 0 поляризация линейная.
400.	При Х = 0 поляризация ли-иейнаи, плоскость поляризации проходит через биссектрису угла между осями х, у. При х = л поляризация тоже линейная, плоскость поляризации проходит через биссектрису угла между осями (х, — у). При х = эт/2 поляризация круговая правая (рис. 80, а). При
Рис. 80.
~ л/2 поляризация круговая левая (рис. 80, б). В остальных случаях
поляризация эллиптическая, причем при 0 < х < л опа правая
cos-j-
0,
sin > 0 и ориентация осей как на рис. 80, а вая (рис. 80, б).
21 в. В. Батыгин, 11. Н. Топтыгин
а при - л < х < 0 - ле-
321
401.	При a~b поляризация линейная. При а> b поляризация эллиптическая правая. При а < b — эллиптическая левая. Круговая поляризация получается только при b = 0 (правая) или а = 0 (левая).
402.	Р = 1/ 1 ~4-jg- I .-г-, где | lik | -определитель тензора Iik. r	LSP (‘ikli
Степень поляризации P = 1 при | Iik | = 0.
404.	Введем прямоугольные оси х'\\а и у'\\Ь. В этих осях комплексная амплитуда поля будет иметь вид
Ео = aex,±ibey,,
где знак « + » отвечает правой эллиптической поляризации, а знак «—» — левой. Интенсивность I = а2 + Ь2. Фаза выбрана равной нулю для .«'-компоненты поля. Выражая теперь орты ех,, еу, через ех, еу, получим для компонент Iik:
/| । = a2 cos2 & + b2 sin2 О,
/22 = a2 sin2 & + b2 cos2 О,
/12 = (°2 — b2) sin cos т ~ /21-
Верхиий знак отвечает правой эллиптической поляризации, нижний—левой. При 5 = 0 поляризация линейна и тензор Iik имеет вид
(cos2 О sin О cos О \
sin О cos О sin2 О /
При a—b = Vl/2 поляризация круговая и
/ - 7 / 1
lik~2\±i 1 /•
405.	Амплитуда суммарной волны
Е = Е! + Е2 = Е (е(1) + e(2>eZa),
где а —сдвиг фаз, меняющийся беспорядочно, | Е|2 = А Компоненты тензора поляризации по определению (см. (VIII. 14)) равны
Ilk = Ё^= 7(e«) + e(2)e-).(e(0 + e(2)e--)ft.
При усреднении по времени получим е±<и = 0, поэтому тензор поляризации будет иметь вид
(1 + cos2 О sin О cos О
sin О cos О 1 — cos2 О
Отсюда, используя результат задачи 402, получим
Р — I COS О |.
Этот же результат можно получить, диагонализуя тензор 1ц. Приравнивая нулю определитель системы уравнений (VIII. 16), получим, что Ц = = 1 + | cos О |, /2 = 1 — | cos О |. Отсюда опять ^ = (1,—	+ /2) = | cos О |.
веще
/	©	. О
Базисные векторы ei = Icos—, sin —
sin cos-^-l. Онн
ственны в рассматриваемом случае.
Результирующая волна состоит из неполяризованной части с интенсивностью I (1 — [cos О |) и линейно поляризованной вдоль направления
322
ei
О .
COS y, sin
части с интенсивностью 11 cos О |:
/ 2 О /cos 2
(hk) = / (1 - I cos 0 |) (d/fc) + / | cos О |
. О •& sin у cos —
. О О sin у cos y
 2 О
sin2 2
Результирующая волна полностью поляризована (но ПрИ 4 = 0. При О = л/2 —полная деполяризация.
406.	Тензор поляризации
. _/ Ь + УгА */гЛг\
V/2^2	'/2^2 /
не монохроматична)
(ось Xi совпадает с направлением поляризации первой волны). Степень поляризации	______
Результирующая волна состоит из неполяризоваииой волны с интенсивностью (/1 + /г)(1 — Р)/2 и линейно поляризованной волны. Направление линейной поляризации составляет угол
•& = arctg
________24 V 7?+ 4_______ А (71 + /2) + (ЗЛ+2/2)]-//|+1
с направлением поляризации первой волны.
407.	Р — 111	> при £ = 0 волна не поляризована, при £ = 1 — полностью
поляризована.	’
Положим	где rjf +	= 1. Тогда
(з
1 +
Z = 1
Первый член в этом выражении соответствует полностью неполяризован-ному состоянию, а второй — полностью поляризованному. В случае а) т)3 = 1 тц = Пг = 0.
Сравнивая
с выражением Iik= In^n^, видим, что в данном случае «1 = 1, «2 = 0, т. е, тензор l"k описывает волну, линейно поляризованную в направлении оси х (волна распространяется в направлении г).
Аналогичным образом легко убедиться, что в случае б) тц = 1, т)2 = ,Пз = 0 и волна линейно поляризована в направлении, составляющем 45° с осью х, а в случае в) т)2= 1, т)1 = т)з = 0 и волна поляризована по кругу.
408.	Так как вектор Е поляризован линейно, амплитуду Ео можно выбрать вещественной. Из уравнения div Е = 0 имеем к' • Ео = 0, к" • Ео = 0, т. е. Ео перпендикулярна к плоскости (к', к"). Из уравнения rot Е = —— ~
21
323
следует
9f, = V X Ео, -^-5С2 = к" X Ег,
с	с
т. е. и Э?2 перпендикулярны Ео, 9^ ± к', Э?2 ± к".
Конец вектора Н отсыпает эллипс в плоскости (к', к") (рис. 81).
409.	Обе волны будут поляризованы эллиптически. Одна из главных осей эллипса поляризации лежит в плоскости падения, другая ей перпендикулярна. Полуоси имеют следующую величину.
В отраженной волне
р _ tg (6р — 62) „
« tg(e0 + e2) о’ sin (62 - 60)
± sin (б2 + е0) °’
В преломленной волне
„	2 cos 0„ sin 02 р
« sin (0„ + 62) cos (0О - 02) °’
_ 2 cos 0О sin 02
-L sin (0О + 02)	°’
где 0О — угол падения, 02 — угол преломления, Ев — абсолютная величина амплитуды падающей волны.
При 0о = л/2 —02 (угол Брюстера) отраженная волна поляризована линейно.
410.	Неполяризованный (естественный) свет можно рассматривать как пекогерентную суперпозицию двух «дополнительным образом» поляризованных волн с одинаковой интенсивностью. Воспользуемся этим и представим падающий пучок в виде суперпозиции двух некогерентных компонент, одна из которых, Е , поляризована в плоскости падения, а другая, Е — в перпендикулярной плоскости.’ Интенсивности этих волн одинаковы:
'l! =
После отражения обе компоненты по-прежнему будут некогерентными. С помощью формул Френеля найдем
(1) _ sin2 (0о -02) (	, cos2 (0„ + 02)	\	cos2 (0О + 02)	.
ik sin2(0o + 02)	cos2 (0„ - 02) «‘И*/’ Pl cos2(0o- 02)	’
е± и е| —единичные векторы, указывающие направления поляризации поперечной и продольной компонент; эти векторы лежат в плоскости, перпендикулярной направлению отраженного света. Степень деполяризации падающего света равна 1; при отражении свет поляризуется.
Аналогичный расчет дает для преломленного света:
41 cos20osin202 /	enie||fe
l<t sin2(0o + O2)	cos2 (0О — 02)
p2 = cos2(0o — 02) < 1.
_	(e. — e2)2	„	4e<e2
4,L R= 2(e, + e2) ’ pl==°’ p2= (e1 + e2)2’
где Bi и e2 — диэлектриче-
ские проницаемости первого и второго диэлектрика.
412.	£’±1=(—1 + 2g cos 0О) Е10, £|ц = ^1 — j = cos £ц2 = 2gE'|10.
324
Формулы для £|Ц и £ц2 применимы только в том случае, если угол скольжения фо = л/2 — Оо I £1-
При фо < 1 справедливы формулы
р — Е Г Р --	*4°» Р
£«1- ф +£ I'0,	112 Фо + £ "°-
Относительная величина | £ | и ф0 при этом произвольна.
413.	/?± = 1 — 4£'cos0o. При всех углах падения близок к 1, достигая минимума при 0о = О (нормальное падение);
= 1-----
« cos 00
„	(Фо-Б')2 + Г2
" (фо + £') + Г2
при
при
фо —2~	4£ ,
Фо < >•
Из условия <?/?ц/дф0 = 0 находим угол ф0, при котором /?ц минимален:
Фо = фо = I £ Яц = । g । +	•
Угщт Фо является аналогом угла Брюстера, так как значение /?ц при <р0 = ф0 минимально (при падении волны на границу диэлектрика под углом Брюстера коэффициент /?ц также минимален и равен нулю).
414.	Характер поляризации отраженной волны определяется разностью фаз между продольной и поперечной компонентами. Используя результаты двух предыдущих задач, получим
ехР [£®д_] £±о> бд=я;
£«*= [|Г|+г] ехр£|10’ tgб| og-iV°°’ т. е. бц = л/2.
Таким образом, разность фаз б = б± — бц = л/2; отраженная волна в общем случае окажется эллиптически поляризованной, причем одна из осей эллипса будет лежать в плоскости падения.
При | Е j | = | £±) | поляризация будет круговой. При £ц0 = 0 или £±о = О поляризация останется линейной.
415.	С помощью формул Френеля находим
, _ sin 0С tg 0О cos 2р „ _ sin Op tg 0О sin 2р sin б 1 + sin2 2р cos б ’	~	1 + sin 2р cos б
е - / е')2	4 тЛ®' (2па\2
’	(/ё+/7)2 + (/ё + К7)4 V в ( о ) ’
Здесь е — диэлектрическая проницаемость среды, из которой падает свет, е' —вещественная часть диэлектрической проницаемости проводящей среды.
417. Сдвиги фаз между £±1, £0 и Бщ, EQ можно определить с помощью формул Френеля
t £l_ = ysin20o-n2	= /sin20ft-n2
2	cos 0О * ® 2 п2 cos 0о
Поскольку бх =/= бц, волна поляризована по эллипсу.
325
Эллиптическая поляризация перейдет в круговую при выполнении условий:
а) б = бц — л/2; б) Ецр = Еj_q-
Условие б) означает, что падающая волна должна быть поляризована в плоскости, составляющей угол л/4 с плоскостью падения. Исследуем, может ли выполняться условие а).
Из формул (1) получим
б cos 0О Уsin2 0О - п2	.
В 2	sin2 0О •	( ’
Отсюда следует, что при 0o=arcsin п я 0о=л/2, б обращается в нуль, а между этими точками принимает максимальное значение. Обычным способом легко найти, что tg &™ах- =	• Чтобы был равен 1 (б = л/2), должны вы-
полняться неравенства 1 — п2^2п, «^0,414.
418.	Если вектор Ео нормален к плоскости падения, поперечная и продольная составляющие вектора Пойнтинга имеют вид
у± = 8^' Ед ехр [— 2k"z] sin 2 (k'x — col), ™	d)
у.. = -s-Eg exp [ — 2k" z] [ 1 — cos 2 (k'x — at)].
Здесь ось z нормальна к границе сред, ось х представляет собою линию пересечения плоскости падения и границы раздела,
k' = k2 sin 0О, k" = sin2 0О — ti2,
где k2 — — п2 — волновой вектор во второй среде, 0О — угол падения.
Из формул (1) видно, что в направлении нормали к границе энергия совершает колебания с частотой 2а. Средний (по времени) поток энергии во вторую среду равен нулю. Среднее значение уц не равно нулю: имеется поток энергии вдоль границы раздела.
Линии вектора Пойнтинга во второй среде определяются уравнением 1 , |sinA/x|
г = ~^ 1п--Q—(2)
где С — постоянная интегрирования.
Примерный ход этих линий изображен на рис. 82. В первой среде линии у имеют более сложный вид (см. (118]).
419.	Из формул Френеля (VIII. 19), (VIII.20) получим, что при 0о->зт/2 амплитуда прошедшей волны Е\ -> 0, а амплитуда отраженной волны £2-> — Ео. Это означает, что плоская монохроматическая волна не может распространяться вдоль границы раздела диэлектриков.
826
420.	Закон преломления принимает в этом случае комплексную форму: . „ ,	— . <о Г г . . 4ло2 ,г , ..И
ki sin 0О = k2 sin 02, ki — V Si, k2 — у e2 +1	— k2 + tk2 ;
sin 02 и cos 02 являются комплексными величинами.
Положим cos 02 = ре‘а, где р и а — вещественные величины, зависящие от 0О и электрических постоянных среды. Параметры р, а определяются из системы уравнений:
k2t 2k2,k2k2
р2 cos 2а = 1 — -.-г-12 • sin2 0О, р2 sin 2а = • . , |4— sin2 0О.
I «2 I	I «2 I
Волна, прошедшаи в проводящую среду 2, описывается функцией
Ег (г, t) = Е2 ехр [< (k2^2 • г — и/)].
Отделяя вещественную и мнимую части в произведении k2e2  г, получим
fc2e2 • г = (k'2 + ik"} (х sin 02 + z cos 02) = izp (0О) + xk{ sin 0O + zq (0O), где
p (0O) = p (fc2 s*n a + k2 cos a), q (0O) = p (k2 cos a — k" sin a).
Таким образом,
E2 (г, 0 = E2e“рг exp [i (xki sin 0O + zq — co/)].
Отсюда видно, что направления распространения и затухания волны не совпадают — волна неоднородна. Плоскости постоянной амплитуды
z = const параллельны поверхности проводника. Плоскости постоянной фазы определяются уравнением
xki sin 0О + zq (0О) — const,
нз которого следует, что вектор к2, указывающий направление распространения волны, составляет с осью z угол
,	. ki sin 0„	.	о„.	.
ip = arctg---(рис. 83). Фазовая
Ч Wo)
скорость в проводящей среде зависит от угла падения:
V (%) + *fsin20o
„ 421. Для определения коэффициента отражения от плоского слоя нужно иаити связь между амплитудами отраженной и падающей волн. Эту связь можно определить двумя способами.
По перво iy способу —с помощью граничных условий. Учитывая, что на границах z = 0 и z = a должны быть непрерывны касательные компоненты векторов Е и Н и что перед слоем со стороны падающей волны, имеютси волны, распространяющиеся в обе стороны, а за слоем —только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении оси z, получим из граничных условий
Е ai2 + a23exp[-2№2о]
1 1 4- аиоаз ехр [— 2ik2a] £°’	* '
327
где £, — амплитуда отраженной, а Ев — амплитуда падающей волны,
„ _ 1 ~ Пп	1 — п21	С*	. ю чГ—
ai2—ГТ-----’	а2з = ~Г“;-•	я»Л=|/ —.	Л2 =—г е2.
1+п,2	1+Плз	г Bi	С
Второй способ решения задачи—рассмотрение многократных отражений волны от границ раздела. Используя формулы Френеля для нормального падения, найдем, что амплитуда волны, однократно отраженной от границы 2 = 0, запишется в виде
?0 — ОцЕд.
Амплитуда волны, прошедшей внутри слоя:
= Р12^о, где о -	2
₽12-Г+^7-
Амплитуда волны, вышедшей из слоя в область z < 0 после однократного отражения от границы г = а
= ₽2ia23₽i2£o exp [ — 2ik2a].
Амплитуда волны, вернувшейся в область г < 0 после s-кратного отражения от границы z = а:
<?« = ₽21₽12о2з exp [—2ik2a] (a2ia23 exp [- 2ik3a] )’_|.
Полная амплитуда Et волны, отраженной от плоского слоя, равна сумме всех
Е> = У. <fj = ai2£0 + ₽2i₽i2a23exp [- 2iksa] У, (a2ia23 exp [- 2/Л2а])’“’. з=0	з=|
С помощью формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим снова соотношение (1).
Коэффициент отражения определяется как /? = |£! |2/| Ев I2. Находя минимум R обычным способом, получим, что отражение минимально, если толщина слоя удовлетворяет условию
а — ап — п—— ,	n= 1, 2, 3, ,	(2)
где Z2 — длина волны внутри слоя.
Рассмотрим наименьшую толщину слоя а = Х2/4, соответствующую минимуму R. Приравнивая R нулю, найдем условие отсутствия отражения
е2 = VbiB3.
422. Уравнение, которому удовлетворяет электрическое поле, запишется в виде (см. VIII. 12)
Мы должны найти решение этого уравнения, которое при всех z является ограниченным и при г->±оо удовлетворяет некоторым условиям, вытекающим из физического смысла задачи. При z->—оо решение должно-представлять суперпозицию двух волн, падающей и отраженной, т. е.
Е (г)	Аек°г + Ве~ ‘k°z,	(2>
где Ло = «/<?.
328
При z->°o должна оставаться только прошедшая волна:
Е (z) -> Ceikz,	(3)
где fe = — К е.
Произведем в уравнении (1) замену независимой переменной —ехр —— j = g. Новая переменная меняется в пределах —	при
изменении z от —оо до+оо, С помощью подстановки Е (g) =	(g), по-
лучим для новой неизвестной функции ф (g) уравнение
2	“2
гДе * =7Г
g (I -g) ф" + (1 — 2ika) (1 -g) ф'-х2а2ф = 0
(4)
Де. Это уравнение называется гипергеометрическим.
Как следует из условия (3), функция ф (g) должна стремиться к постоянному пределу при g->0. Решением уравнения (4), ведущим себя указанным образом, является гипергеометрическая функция (см. справочник [91], 7.200, 7.251)
а (а + 1) Р (Р + 1)  Y(y+O-2!
F(a. ₽, у, 2)=‘+^772 +
Поэтому решение уравнения (4) запишем в виде ф = CF Г — i (k 4- kB) a, —i(k — k0) a, 1 — 2ika,
— exp
(5)
Чтобы найти вид функции ф при g -> — оо, воспользуемся асимптотическим представлением гипергеометрической функции, которое легко получить из [91] (формула (7.232, 2):
r ,, Г(у)Г(Р-а) а Г(у)Г(а —Р) в f(a,₽, V, g) Г(Р)Г(у-а) (	+ Г(а)Г(у-р)(	'	(6)
<2 помощью этой формулы убеждаемся, что условие (2) выпотнеио.
Коэффициент отражения
„ = I В_ I2 = I Г (2ikoa) Г [ 1 - Z (fe + fe0) «] Г f -Z (fe + fe0) a] I2
K I Л| | Г (—2ikBa)V [1 — i(k — kB)a] V[—i(k — kB)a] Г
Для упрощения полученного выражения используем формуты
I _Г (2ikBa) _ I = I Г {2ikoa) I j г (z) Г (1 - z) = ——
I T(-2ZM) I I Г* (2ikBa) |	141	' sin nz
Окончательно получим
= sh2 ла (k - k0)
sh2 na (k + ku) ‘	'
При малых a (toC 1) R переходит в известное выражение, справедливое при скачкообразном изменении в:
П (k-kp)*
К (k + koy
R монотонно убывает с ростом а. При больших to убывание происходит по экспоненциальному закону:
R = ехр (— 4nto), to» 1.
329
423. При нормальном падении волны на неоднородный слой, электрическое поле зависит только от z и удовлетворяет уравнению
d2E <о2 ,	, „ „
е z)£ = 0.
(1>
z-ч-	mt°2	, z „
Ооозначим	1=2i. тогда е=1---------. Введением переменной g =
I <о2 V.»
— I ~2 I (Z] — z) уравнение (1) приводится к виду*)
d2E
-dF + ^=°-
(2)
Решение уравнения (2) проще всего получить с помощью преобразования Фурье. Разложим Е (£) в интеграл Фурье:
оо	оо
Ё а) = J % (и) е*и du, g (и) = J Е а) е~1*и d^.
— ОО	— оо
Подставляя разложение Е (£) в (2), получаем относительно амплитуды g (и) дифференциальное уравнение первого порядка:
+ ш2% (и) = 0. du
(3)
В результате преобразования Фурье мы получили вместо уравнения второго порядка более простое уравнение первого порядка. Уравнение (3) легко интегрируется, его решение
[1и^ "I ----3~J‘
Переходя к Е (£), имеем
ОО
f Г/н3
E(l) = A' J exp^-/(-g--g«Jjdu.
— оо
Представляя ехр — i ------£uJJb виДе суммы синуса и косинуса, и замечая,
„ .	. ( и2 . \
что в силу нечетности подынтегральной функции интеграл от sin I —gul равен нулю, получим
Функция
(4)
*) Таким же уравнением в квантовой механике описывается движение частицы в однородном силовом поле.
330
называется функцией Эйри *) (она может быть выражена через функции Бесселя с индексом "/з)- Таким образом, окончательно:
Е(&~АФ(-£).
Константа А должна определяться из граничного условия.
Исследуем поведение Е (£) при больших I § |. Пользуясь асимптотическими формулами для Ф (£) (см. [11]), получаем при больших положительных значениях
Здесь поле имеет осциллирующий характер.
При больших по абсолютной величине отрицательных значениях g:
Поле экспоненциально затухает. Причина этого состоит в том, что отрицательным £ соответствуют отрицательные значения диэлектрической постоянной е. Но при е < 0 волновой вектор k = — становится чисто мнимым, с
что и ведет к затуханию. Однако затухание в данном случае связано не с переходом электромагнитной энергии в тепло (так как диэлектрическая проницаемость вещественна — потери отсутствуют), а с отражением волны от слоя с отрицательным е.
424. Ч' (х, 0) = А (х, 0) ехр [гйох], где
. , m 1/— ль Г х2М2 А (х, 0) = а0 у л Ak ехр-----—
Амплитуда волнового пакета А (х, 0) имеет форму кривой Гаусса. Она становится исчезающе малой, если | х Ak | ^> 1. Отсюда следует, что ширина пакета в обычном пространстве связана с его «шириной» в пространстве k -соотношением Ах • Ak » 1. Это соотношение имеет универсальный характер и справедливо как для электромагнитных волн, так и для волн любой другой природы. Ойо играет особую роль для волн вероятности в квантовой механике, приводя к соотношению неопределенностей для координаты и импульса микрочастицы.
425. ’Г’ (0, О = А (0, f) ехр [— zcooZ], где
л/л	—л Г /2А<о21	.
А (0, t) = а0 ) л Дсо ехр — -—— , At • Дсо « 1.
426.
AXm,n= 2ЖГ’
где 6 —половина угла конуса раствора лучей, направленных из объектива микроскопа к рассматриваемому объекту.
427.	Волновой импульс, посылаемый радиолокатором, имеет ширину Ах связанную с поперечным разбросом волновых векторов k^ соотношением
1.	С другой стороны, очевидно, Ax/l k^Jk. Из этих двух соотношений находим неточность в определении положения объекта:
Ах > К/Т.
*) Эта функция подробно исследована В. А. Фоком (см. В. А. Фок, Таблицы функции Эйри, 1946).
331
428.	Волновой пакет описывается функцией
S' (г, /) = 4яа0 у Л/г (р?) ехр [г (kQ • г - <оо/)],
г / ч f 2 I sin х \ где /», (х) = 1/ — —---------------cos х
у J LA \ A	/
— функция Бесселя, р = | г — vgi |. Груп-да>	ды	да>	ды .
повая скорость у,?<=—---вектор с компонентами -57—,	—. Ампли-
1 в 5k	dkx dky dkz
туда волнового пакета заметно отлична от нуля только в пространственной (сферически симметричной) области р^^1. Пакет ограничен по всем трем измерениям.
Как видно из выражения для Ч7 (г, I), форма пакета со временем не меняется. Это обусловлено линейным законом дисперсии, который строгосправедлив для электромагнитных волн только в вакууме. При учете следующих членов разложения <о по k имеет место изменение («расплывание») формы пакета. Пакет движется как целое с групповой скоростью vg.
429.	Представив зависимость со (fe) в виде
co = <oo + vg (k — k0) + P (k — fe0)2. получим
/"л Г (x — vgt)2	1
T <*’ z) = a« ] ТГПрГ exp L " ’4(a + lpT)’+ 1 (koX ~ J •
Характер зависимости этой комплексной амплитуды от х и t проще исследовать, образовав квадрат модуля (именно он определяет интенсивность
волны):
|А(х, /)|2 =
Иа2 + (Р02
ехр
а(*-у)2 2(а2+р2/2)
Из этого выражения видно, что интенсивность волны как функция х при фиксированном t имеет вид кривой Гаусса, но ее ширина / растет со временем:
z /Тй^+р^У
V а '
а высота убывает за счет множителя (а2 + р2/2)-'^.
Волновой пакет расплывается. Расплывание происходит симметричным образом (в сторону t= + оо и в сторону t = — оо) и, разумеется, не связано поглощением энергии, так как k вещественно. Отсутствие диссипации видно
<50
и из того, что интеграл J | А (х, t) |2 dx = "j/	не зависит от вре-
— оо
мени, т. е. «полная интенсивность» сохраняется. Причиной расплывания является неодинаковость скоростей распространения (фазовых) Оф = <в/£ отдельных плоских волн, входящих в суперпозицию: вследствие дисперсии отношение a/k зависит от k.
430.	При <й<О0
«)2<02\
—Н<С’
“О^О '
с /	1
v ф =	1-----
|/ео V	2 е(1®/
с (	3 <о2<о2\
1--------
]А0 \	2 е0а4 }
где ео = е (0).
332
При СО » ti>0
Л	юр V
v4> - с I	2со2 / > с'
В последнем случае v^-vg ~ с2. Вблизи резонансной частоты (со = со0) понятие групповой скорости теряет смысл.
431.	Как следует из результатов, полученных в задачах 428, 429, функция, описывающая волновой пакет, имеет вид
Е (х, t) = E0(x, Z) ехр [/ (/еох — соо1)].
Здесь амплитуда Е0(х, t) меняется значительно медленнее, чем ехр [/(/гох—coo/)j (периоды изменения этих функций относятся как Д/г//г0). Пренебрегая изменением Ео по сравнению с ехр [/ (kox — cof/)], имеем из уравнения Максвелла
И (х, г) = Е (х, 0 = Ео (х, Z) ехр [/ (kox - соо1)]. соор,	г р.
Плотность потока энергии, усредненная по периоду 2л/соо изменения высокочастотной составляющей, равна
у(х, f) = -£- |Re(EX Н*)| = -^-1/^-Ев(х, /) Е* (х, t). оЗТ	оз! F p
Из соотношения y = vw находим скорость переноса энергии с	do
~~dk~Vr

§ 2.	Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах
(e.i —е ) sin 6 cos 6	е
432.	cos а =	----1,	tg О = —— tg 0.
cos2 0 + е2 sin 20	Е11
433.	Для того чтобы граничные условия для векторов поля выполнялись в любой точке поверхности раздела, необходимо равенство касательных к границе раздела компонент волнового вектора у падающей, отраженной и обеих преломленных волн. Для обыкновенной волны это дает
k0 sin 0О = fej sin 02,
Направление луча (вектора Пойнтинга) в обыкновенной волне совпадает с направлением волнового вектора и составляет, следовательно, угол 02 с нормалью к границе.
В случае необыкновенной волны имеем
sin02 _________
Sinx 02 + Ец COS 02
k0 sin 0О = k2 sin 02 = k0 sin 02
(см. (VIII. 23)). Отсюда находим
. 2 o/z	ell s'n2
sin" 02 =-------——------- .	.
2 e±e1|p + (Ei|-e1)sin20o
Угол ft” между лучом и оптической осью (совпадающей с нормалью к поверхности раздела), согласно результатам предыдущей задачи,
ЗЗЛ
определяется условием
te<r-2ktolg_ Уч»'"6» еИ	yejfegn-sin2^)
434.	Обыкновенный луч лежит в плоскости падения и составляет с нормалью к поверхности угол 02:
sin 02 = ]/"е±р, sin 0О.
Волновой вектор к2 необыкновенной волны лежит в плоскости падения и составляет с нормалью угол 0":
2 e±efjp+(е±—e||)sin20ocos2a‘
Направление луча в необыкновенной волне не лежит в плоскости падения. Луч расположен в одной плоскости с к2 и оптической осью и составляет с последней угол &, причем
/e2Le(|p + e±(e±-e||)sin20ocos2a
tg V --------И---------77--—------------- .
Е|| sin cos a
435.	Подставляя в уравнения Максвелла (VIII. 1) —(VIII. 4) выражения полей Е и Н в виде плоских волн, получим уравнение, определяющее амплитуды и волновые векторы волн, которые могут распространяться в данной среде:
к X (к X Но) = - ДНо.	(1)
Введем угол 0 между волновым вектором к и осью г и запишем (1) в проекциях на оси координат.
334
Приравнивая нулю определитель системы, получим биквадратное уравнение относительно k. Его решение дает
2	©2ем„ nsin2e + (2M±/M||) ± ]/p2sin<e + (2na/p8)2cos2 6
*1.2= 2с2 ’	(Mj/Вц — 1) s*n2 ® ’
где
М±~ Mg -
»*1
В каждом направлении могут распространяться две волны с разными фазовыми скоростями vt, 2 = a'kt, 2, зависящими от угла 6. Направлений, для которых эти фазовые скорости становились бы одинаковыми, не существует, так как радикал в (2) не принимает нулевых значении ни при каких 6.
Если в формуле (2) положить р„ = 0, то она будет определять фазовые скорости волн, которые могут распространяться в негиротропном, но анизотропном магнитном кристалле:
.2 _	. 2 _	. еН±еИ
1 с2 B_L> 2 с2 COS2 6 + р± sin26 '
Первая из этих волн (обыкновенная) имеет скорость Vi=c/lre[i^, не зависящую от направления распространения Скорость второй волны (необыкновенной) зависит от угла между осью симметрии кристалла и направлением распространения. При распространении волны вдоль оси симметрии (6 •= 0) обе скорости совпадают, две волны вырождаются в одну.
436.	В любом направлении могут распространяться две волны с фазовыми скоростями t>i, 2 = a>/ki, 2; k1t 2 определяется формулой (2) предыдущей задачи, в которой нужно заменить магнитные величины соответствующими электрическими.
437.	Плоская волна, распространяющаяся вдоль постоянного магнитного поля, распадается на две волны с правой и левой круговыми поляризациями .	с
и разными фазовыми скоростями v± =—	  -
Vг о*± ± м
При распространении перпендикулярно постоянному магнитному полю
(с \
со скоростью v = —- - . I будет чисто поперечной (Е Д_ к, V £М|| /
Н J. к). Она аналогична волнам, распространяющимся в изотропной среде со скалярными параметрами е, р = рц. Во второй волне I со скоростью
I/ -	-----— вектор Е будет направлен вдоль постоянного
» в (Ml - Цд) /
магнитного поля, а вектор Н будет иметь составляющую в направлении распространения. Таким образом, волна с произвольной поляризацией расщепится на две линейно поляризованные волны.
Все результаты, полученные в этой задаче, сохраняют силу^ и для случая, когда е является эрмитовым тензором, а р— скаляром. Нужно только заменить магнитные величины соответствующими электрическими и наоборот.
438.	Как было найдено в предыдущей задаче, в направления магнитного поля могут распространяться с разными фазовыми скоростями две волны, поляризованные по кругу в противоположных направлениях. Поэтому волна, поляризация которой отлична от круговой, расщепится на две волны,
335
поляризованные по кругу. Так как фазовые скорости этих двух волн различны, сдвиг фаз между ними будет меняться от точки к точке, вследствие чего поляризация суммарной волны будет различной в разных точках.
Проведя вычисления, получим, что поляризация результирующей волны остается линейной, но плоскость поляризации повернется на угол X = '/г (^+ ~ k_) г (эффект Фарадея). Величины k+ и k- представляют собой волнойые векторы двух воли с круговыми поляризациями и могут быть найдены из результатов задач 437 и 318. В случае слабого магнитного поля, получим
V//z,
где коэффициент пропорциональности V носит название постоянной Верде. Если атомы вещества рассматриваются как гармонические осцилляторы, постоянная V примет вид
2ne3N со2
V	5	/ 2	2X2 ’
пт с (со - Шд)
где п = Уг — показатель преломления в отсутствие магнитного поля.
439. Из соображений симметрии следует, что волновые векторы отраженной и прошедшей волн перпендикулярны к границе раздела. Обе эти волны будут поляризованы по кругу
щая волна. Амплитуда отраженной
в том же направлении, что и падаю-Ve- ±ца
волны 77|=——-----Но, где
1 е+ у р±±ра
________________ ,	е — диэлектрическая проницаемость, — компоненты тензора магнитной проницаемости феррита (см. за-
7/0 — амплитуда падающей волны, в±. ва-дачу 435).
Амплитуда прошедшей волны
Я2 =
ffo-
V е + У ц ± ца
Знаки „ + “ и „ —“ соответствуют волнам с правой и левой круговой поляризациями.
440. Волновые векторы отраженной и прошедших волн перпендикулярны к границе раздела. Отраженная волна поляризована эллиптически, полуоси эллипса	______
н' = н
1	° (F e + l^p + pa)^ е+/р-ра)
н" = н Vetp-pg)- Ге (р + ра)
1	° (Г е + Гр + ра) 0' с + J Р ~ На)
Направление Н\ совпадает с направлением поляризации вектора Н в падающей волне. Прошедшая волна расщепляется на две волны с амплитудами
е ,,п НВУ е
V е + Кр + Pa	1 е + ) р - Ра
поляризованные по кругу в противоположных направлениях. Скорости их распространения различны (см. ответ к задаче 437).
441.	Если длина волны много больше радиуса дисков и расстояний между соседними дисками, то искусственный диэлектрик можно рассматривать как сплошную среду. Электрическое поле падающей волны касательно к плоскостям дисков. Поэтому при отсутствии внешнего магнитного
336
поля Но поляризуемость диэлектрика будет иметь значение a = /VP«., где о 4д3/3л _ продольная (относительно плоскости диска) электрическая поляризуемость диска, А-число дисков в единице объема.
Продольная магнитная поляризуемость диска ря1 равна нулю (см. задачу 390), поэтому магнитная восприимчивость диэлектрика % при рассматриваемом направлении магнитного поля волны обращается в нуль.
Наличие внешнего магнитного поля Но приводит к эффекту Холла: электроны проводимости, создающие ток в каждом диске, будут отклоняться под действием поля Но и создавать добавочное электрическое поле Е^, которое должно уравновесить отклоняющее действие магнитного поля. Это приведет к появлению добавочного электрического момента каждого диска, вследствие чего изменяются вектор поляризации среды и электрическая индукция. Чтобы вычислить это изменение индукции, удобно рассмотреть полную плотность поляризационного тока дР,д1 в диэлектрике, а ие ток в отдельном диске.
В первом приближении по Но поле Е^, вызванное эффектом Холла, выразится в виде
е„ = /?(нох1) = /?(нох-^-),	О
где R — постоянная Холла, Р=аЕ — вектор поляризации в нулевом приближении. За счет поля Е t/ вектор поляризации получит приращение
ДР = аЕ„ = ^/?(н0Х^-),
благодаря чему индукция D выразится через Е и производную дЕ/д!:
О = Е + 4л(Р + АР) = еЕ + 4ла2/?(н0 X — j.	(2)
Здесь е= I+4лАр₽ —диэлектрическая проницаемость при отсутствии внешнего магнитного поля.
При гармонической зависимости Е от времени уравнение (2) даст связь между D и Е вида
D = еЕ + i (Е X g),
где g = 4na2w/?H0 — вектор гирацни (см. (VIII. 25)). Таким образом, среда будет гиротропной. Как следует из результатов задачи 437, в направлении вектора g возможно распространение двух волн, поляризованных по кругу в разных направлениях и имеющих разные фазовые скорости v± = a/k^.. Определяя k± обычным способом, получим
,2 со2 .	.
Я = 7Г (е ± «)•
442.	Волна, у которой электрический вектор параллелен проводникам, отразится от решетки, как от сплошной металлической плоскости. Волна, у которой электрический вектор перпендикулярен проводникам, будет распространяться как в свободном пространстве, потому что она ие возбудит токов в решетке.
443.	Будем искать решение уравнений Максвелла в виде плоских волн. Амплитуда Ео этих волн удовлетворяет системе уравнений
кХЕ0=-5-Н0, кХ Но= -у е(со)Ео.	(I)
В случае продольного электрического поля кХЕо = О, поэтому Но = О, е (ы) Ео = 0.
22 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
337
Из последнего равенства следует, что продольное электрическое поле может существовать, если
е (со) = 0.	(2)
Частоты продольных колебаний соа определяются этим уравнением и являются, как правило, комплексными, соа = &а — суа. Это означает, что колебания, возникнув, будут затухать. Если выполняется условие уа С &а, то затухание за период колебаний мало. Такие колебания будут долгоживущими.
Ид
В случае плазмы с диэлектрической проницаемостью в (со) = 1 — ~(~ + f j
Л
2 •
(см. задачу 312) частота продольных колебаний соо = При у->0 она совпадает с плазменной частотой:
и0
= ир =
4ne2N т
(3)
Согласно формуле (3), частота со не зависит от волнового вектора, поэтому групповая скорость продольных плазменных волн равна нулю. Однако этот результат имеет место только в первом приближении и связан с тем, что не учитывается пространственная неоднородность электрического поля. Продольные плазменные волны представляют собою колебания облака электронов относительно облака ионов (последние в рассматриваемом приближении считаются неподвижными).
444.	Е (х, z, 0 = Ео ехр [— а | xj_+ i (kz — и/)], где частота и определяется из условия в (и) = — 1: со = ир/рг2.
Постоянная затухания а выражается через волновый вектор k:
-.f	1 / сор V
a = ft V 1	;
в случае медленной волны а»k. Волновой вектор k может иметь произвольную ik
величину. Амплитуда Ео имеет компоненты £ад = 0, Ейх = ± — Eoz^±iEuz, где знак «+» соответствует х > 0, а знак «—» области х < 0. Таким образом, поляризация близка к круговой, причем вектор Е вращается в плоскости xz. Амплитуда магнитного поля Но (0, Ноу, 0) мала по сравнению с Ео: Нйу = Etizv>lkc С £oz, что характерно для плазменных колебаний. Рас" смотренная волна называется поверхностной плазменной волной.
445.	Как следует из задачи 437, вдоль направления постоянного магнитного поля возможно распространение двух волн с правой и левой круговыми поляризациями. Волновые векторы этих волн определяются равенством (см. задачу 321)
Л2	со2
---2~ = е+ = 1--------------
со со + iy + со,,--  - |
\	' Н со )
При С со влияние движения положительных ионов очень мало, их можно рассматривать как неподвижные. В обратном предельном случае &Н » со и усо -с со^й^ роль положительных ионов становится определяющей
/г2с2	со2	4nNMc2
—Г=1+-------^- = 1+-------(1)
со	сояйя	Щ
338
Обе волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью о<р, которая совпадает с их групповой скоростью vg:
с
4nNMc2
ИЛИ
(О
vg = v<r = ~k
(2)
V = 0 -
S 41	}л4лт ’
(3)
если можно пренебречь единицей по сравнению со вторым членом; здесь х = NM — плотность газа (очевидно, массой электронов можно пренебречь). Если бы движение положительных ионов не учитывалось, то вместо конечной постоянной скорости (3) при а->0 получилась бы нулевая скорость, и соответствующие волны не могли бы существовать. Таким образом, механические колебания газа и колебания электромагнитного поля оказываются в этом случае, тесно связанными. Волны, распространяющиеся со скоростью (3), называются магнитогидродинамическими. Они играют большую роль в астрофизических и других процессах.
446.	Линеаризованное уравнение, связывающее амплитуды высокочастотных составляющих намагниченности (т0) и магнитного поля (h0), вытекает из (VI. 15) и (VI. 16):
«ат0 = - у(М0 X М - у (т0 X Но) + yqk2 (Мо X т0).	(1)
Здесь Мо — намагниченность насыщения, совпадающая по направлению с магнитным полем Но. Выбрав ось г = х3 вдоль Но, определим с помощью (1) компоненты тензора
Рп — Р22 = 1 +
a/f(a0 + afe2) (а0 + a£2) — а2 ’
(2)
где
Р!2 = - В21 = - i ({Oo + afe2)2_{o2» Взз = 1,
w0 = Y^0, ал1 = 4луМ0, а = <7уЛ10.
Остальные компоненты равны нулю.
Как видно из (2), магнитная проницаемость зависит теперь не только от частоты, но и от волнового вектора. Это связано с тем, что намагниченность в каждой точке зависит от значения магнитного поля не только в этой, но и в соседних точках (член <yV2M в выражении для НЭфф). Эффект зависимости электрической или магнитной проницаемостей от волнового вектора называется пространственной дисперсией. Зависимость р от к играет существенную роль только в случае сильно неоднородных полей (малые длины волн).
447.	Ищем совместное решение уравнений Максвелла и уравнения движения вектора намагниченности (VI. 15), имеющее вид плоских монохроматических волн:
Е = Ео ехр [г (к • г — а/)], Н = Но + h0 ехр [i (к • г — а/)],
М = Мо + тоехр [г(к-г —а/)].	(1)
Амплитуды полей и намагниченности удовлетворяют системе уравнений
с (к X hc) = — аеЕо, с (к X Ео) = а (h0 + 4лт0), к • (h0 + 4лт0) = 0,	(2)
/ат0 = — у (Мо X М - у (т0 X Но) + yqk2 (Мо X т0).	(3)
22*	339
Исключая Ео и h0 из (2), (3), и вводя обозначения
ы=(оЛ1/£2, х = ы/й, l = ck/Q]fe, й = aQ + к, + ао = Т^(). (Dj = у?/г2Л/0, аЛ1 = 4лтМ0, получим
‘х'га° =	(*2 (ег X гао) + £2 (п• mJ (е2 X П)1 + (1 - ы) (ег X т0),	(4)
х ь
где n = k//e, е2 — единичный вектор в направлении Но (Мо параллелен Но).
Выберем ось х в плоскости (п, е2) и обозначим угол между ez и п через 0. Из (4) следует система линейных уравнений относительно компонент т0:
(1 + c°s2 0 тох - ixmoy = 0.
Условие разрешимости этой системы дает искомое дисперсионное уравнение (1 + ^zp-)(1+^rcos2e)-*2 = 0.	(5)
Это уравнение — третьей степени относительно а2 (а2 £22х2, й не зависит от а), поэтому в рассматриваемой среде могут распространяться волны трех разных типов, различающиеся законами дисперсии. Два из этих законов дисперсии были исследованы в задаче 435 (где мы полагали Wj —- 0). Им соответствуют обычные электромагнитные волны, распространяющиеся в гиро-тропной среде. Для исследования третьего типа волн используем условие а2е/с2й2 <С 1 (при этом х2 <С £2). Пренебрегая в знаменателях в уравнении (4) х2 по сравнению с £2, получим закон дисперсии для этих волн:
“2 = (“о + а1) (“о + “1 + ал1 sin2 0)	(6)
(здесь а] = 9у62ЛТ0 зависит от абсолютной величины волнового вектора). Из условия а2е < c2k2, считая aQ, at и аЛ[ сравнимыми по величине, находим, что закон дисперсии (6) справедлив только при выполнении условия g2 1.
Найдем относительную величину Ео и h0 для волн с законом дисперсии (6). Используя уравнения ЛАаксвелла (2) и условие a2e/c2fe2 1, получим
Ео ~ —tv (к X гл); h0 « 4лл (п • гл).
CR
Таким образом, £0<СЛ0. Рассматриваемые волны представляют собой чисто магнитные колебания вектора намагниченности, при которых электрического поля не возникает. Они называются спиновыми волнами и определяют многие магнитные, тепловые и электрические свойства ферромагнетиков.
448.	Направим ось у в глубь металла нормально к поверхности, ось z — вдоль постоянного магнитного поля. Поскольку импеданс £ не зависит от угла падения волны, рассмотрим случай нормального падения. Решая уравнения ЛАаксвелла и пользуясь определением поверхностного импеданса, получим
-1 /~а0||	-1 f а0
?хх = (1 - 0 У g^, Izz = (1 - 0 У 8^ . Zxz = Zzx = 0.
где
° = (°1 -	0 = (<4 - !‘а)/01-
340
Зависимость £zz от частоты носит резонансный характер (см. задачу 331, в которой вычисляются компоненты pife). Компонента t,xx не обладает резонансными свойствами, так как Рц= 1-
где ц± = р1±р0,
Е± ! и ! — циклические компоненты Е и h
§ 3. Рассеяние электромагнитных волн нз макроскопических телах. Дифракция
450. Удобно ввести цилиндрические координаты с осью z вдоль оси цилиндра и отсчитывать угол а от направления волнового вектора к падающей волны. Из соображений симметрии следует, что векторы поля не зависят от г и имеют только компоненты Ez, Нг и Ни. Опуская в дальнейшем везде временной множитель e~iat, воспользуемся для определения отличных от нуля компонент поля волновым уравнением (VIII. 6) для Е и уравнением Максвелла (VIII. 1). Первое из них позволяет определить Ez, а второе — выразить Нг и На через Ег:
1 dEz „	1 дЕг
--------  п., —	—. ikr да ’	ik дг
Вторичное поле Е' = Е — Ео, вызванное наличием цилиндра, удовлетворяет уравнению
(2)
г дг \ дг / г дог
Если положить Е' = /?(г)Ф(а) и разделить переменные в уравнении (2), то получим
^ + vC + (fe2-v-)^m = o.	(3)
С+«2Фт = 0-	(4)
Через т2 обозначен параметр разделения. Общее решение уравнения (2) запишется в виде суммы по всем допустимым значениям т:
Е' (г, а) = У, Ф,„ (a) R,n (г).	(5>
т
Чтобы записать решение уравнения Бесселя (3) сразу в удобной для нас форме, обратимся к граничному условию г -> оо. Поскольку Е' описывает вторичное поле, создаваемое наводимыми на цилиндре токами, то при г->оо оно будет иметь вид расходящихся цилиндрических воли. Это означает, что Е' должно быть в этой области функцией вида
E' = ‘/J(«)	(6)
V г
Условие (6) будет удовлетворено, если в качестве решения уравнения (3) выбрать функцию Ханкеля (kr) (см. приложение 3), которая при больших г имеет вид
341
Второе линейно независимое решение Судет содержать член вида const/)' г e<tr, описывающий сходящуюся цилиндрическую волну, которой в условиях нашей задачи быть не может. Поэтому решение уравнения (3) запишем в виде Rm (г) =	(kr). Уравнение (4) имеет решение
Фт(а) = Ате‘та + Вте~‘та.
Так как при изменении а на 2л поле не может измениться, число т должно быть целым. Если считать, что т принимает и отрицательные значения, то в выражении для Фт (а) достаточно оставить только один член, например, е‘та. Окончательно Е' (г, а) примет вид
ОО
£'(г. а) = 20 2 АтН™ (kr) е1та-	(7)
на больших расстояниях (7) переходит в (6), причем тп п та g-
На) = ]/ -^2jAmexp т
Коэффициенты Ат ряда (7) нужно определить из граничного условия на поверхности цилиндра. Так как ои считается идеально проводящим, то
Е' + Ео — 0 при	г — а
(8)
ИЛИ
ехр [Zfca cos а] + У АтНт (^а) ехР [(’та1 = 0-т= — оо
Пользуясь ортогональностью функций ехр [/та], получим 2л
J ехр [«(ka cos а — т'а)] da + 2пАт,Н^, (ka) = 0, о
•откуда с помощью (П3.11) находим
. imJm (ka) т H^(ka)-
Полное электрическое поле, таким образом, равно
Е (г, а) = Тоехр [ikr cos а] — <f0	[/та].
т Нт (^°)
Компоненты магнитного поля определяются по формулам (1):
V immJm(ka) (kr)
------------------—
m m ' '
V im-'lm(ka) dH^ (kr)
Вторичное электрическое поле поперечно во всем пространстве; вторичное магнитное поле становится поперечным на большом расстоянии от цилиндра, .342
Hr = — То sin а ехр [ikr cos
Иа — — tfo cos а ехр [ikr cos
(9)
(Ю)
(И)
(12)
(13)
при kr 1 (волновая зона), когда продольная составляющая Нт исчезает-вследствие наличия лишнего множителя kr в знаменателе.
Поверхностная плотность тока определяется из граничного условия для касательной составляющей Н:
Г
‘ (а) = iz (а) =	Иа (а, а).
Полный ток
i
— саЯв
2
Л (ka) -
J0(ka) H^(ka) ]
H^(ka) J
д =
451. В рассматриваемом случае поле двумерно. Поэтому в общей формуле dos — dlly0 (VIII. 26) под dl нужно понимать интенсивность вторичных волн внутри угла da, отнесенную к единице длины цилиндра: d/ = yrda.
Эффективное дифференциальное сечение рассеяния будет иметь размерность длины. Пользуясь результатами задачи 450, найдем
das = | f (а) |2 da, где
При произвольных ka формула (1) весьма сложна; она существенно упрощается, если ka 1. В этом случае в бесконечной сумме для f (а) ррслл-точно учесть один член с m = 0, что дает изотропное распределение вторичного излучения:
_ л da	К
s ~ 2k In2 (ka) ~ 4 In2 (ka) da'
(2)
Полное сечение получится интегрированием (1) по da. Воспользовавшись ортогональностью функций ехр [ima], получим
* у lm {ka} 2
При ka 1 (3) переходит в
(3).
°s~ 2 In2 (ka)  452.
[CO	f	7
exp [ikr cos a] — im —(kr) exp [ima] | m=-oo	Hm <*“)	J
Er ~ o'i’o	OO	,	-] sin a exp [ikr cos a] +-^	im	(kr) exp [ж] ж- ™	m	№a' ГП — — 00	»'*
E<x =	00 / cos a exp [ikr cos a] 4- V im+1 -4”/^	(kr) exp [ima] , **	(ka) m u	m=—oo	"i	J
где a отсчитывается от направления k, а ось цилиндрической системы координат совпадает с осью цилиндра
da's (a) = Я a (1 — 2 cos a)2 da, as = л2Аг3о4.
343-
453. da's = cos2 <p	+ sin2 <p rf<T±, da" = (da^ + Ar±).
454. Неполяризованную волну рассматриваем как совокупность двух пекогерентиых компонент одинаковой интенсивности, у одной из которых вектор Е направлен вдоль оси цилиндра, а у другой — перпендикулярно оси. Сечения рассеяния первой и второй компонент получены в задачах 451 и 452. Степень деполяризации р определяется отношением интенсивностей рассеянных волн (меньшей и большей):
da.	1
р = —-— = у (ka)4 In2 (ka) (1—2 cos a)2.
na,, 4
Так как (ka) < I, то p очень мало, т. e. рассеянные волны почти полностью голяризованы при любом угле рассеяния; при cosa=’/2> т. е. при a = 60°, р обращается в нуль.
455
Нг = <2Т0
ехр [ikr cos a] + У im-— -—777—(M exP h’",al »
„“oo ^(ka)-H^(ka)	JJ
где t, — поверхностный импеданс металла;
H,„ = НГ = 9, E = 4-rotH. k
acl, да0 xi 456. Q =---------- У
4	—*
m

где t,' — вещественная часть
поверхностного импеданса. Цилиндрические функции Jm, Nm и Н™ (см. при-
ложение III) и нх производные берутся в точке ka. Сечение поглощения:
оа =
Qo о V — = 2лн£ У
Vo “
2
ъ т т
При ka 1, т. е. при Л >• а, поле в окрестности цилиндра является квазистационарным (проводящий цилиндр в продольном квазистационарном магнитном поле, см. задачу 379). Поэтому, выразив t,' через проводимость а с помощью (VIII.9) и (VIII. II), получим для Q выражение
9 ac<ffff0
/ рю
2ла ’
которое совпадает с найденным в задаче 381 для случая сильного скин-эффекта, если в нем выразить Q через магнитное поле.
457. При г> а:
Е.
^exp [zfer cos а] +
4- У im	a)-J„(fea)/m(fe а)	схр rfma] .
^(ka)j'm(k'a)-^'(ka)Jm(k'a) т	’]
при г < а:
V .ml'n^a}H^(ka)-j'm{kra)H^(ka)
У I , , , \—77----------------------—77?-------------Jm (k г) ехр [она].
(k °) Нт № - Vm (k «) Ит (М
.344
Здесь %о — амплитуда падающей волны,	k = ulc, k' = oVen/c,
остальные компоненты Е равны нулю.
Поле Н вычисляется по формуле
Н = -4— rot Е.
458. Дипольные моменты шара запишутся в виде р = реЕ0 ехр [— /го/], ш = ртН0 ехр [— /со/],
где Ре и р/и — электрическая и магнитная поляризуемости шара, которые в общем случае являются комплексными величинами.
По формулам (XII. 17) и (XII. 20), приведенным в гл. XII, найдем компоненты векторов Е и Н рассеянной волны:
Hu = Eq = (Рё cos 0 + р,„) cos a, 77g = — Еа = Фе + ₽'») sin «•
Углы 0 и а, характеризующие направление рассеяния. Дифференциальное сечение рассеяния опре-
деляется по формуле (VIII. 26):
aasJo = “Г [ I Ре I2 (cos2 6 cos2 « + sin2 «) +
+ 1 P,n I2 (cos2 0 sin2 a +
+ cos2 a) + (PeP*„ + p’Pm) c os 0].
459.
das (6) = у (6. «) + das ^0, a + j j =
указаны на рис. 85.
=1И(|М2 + 1Ы2)0 + с-2е) +
+ 2(₽е₽^ + ₽Х)^е]^.
«T^-^-dPeP+IPm I2)-
Рис. 85.
Чтобы определить степень деполяризации рассеянного излучения, нужно найти главные направления тензора поляризации. В рассматриваемой задаче это легко сделать из соображений симметрии. При фиксированных кип (см. рис. 85) выделенными направлениями для Ео будут направление нормали к плоскости рассеяния и направление в плоскости рассеяния, перпендикулярное к.
Этим направлениям поляризации соответствуют дифференциальные сечения рассеяния das (0, л/2) и das (0, 0), полученные при решении предыдущей задачи. Степень деполяризации р определяется как отношение меньшей из этих величин к большей.
Если | р„, | < |	|, то
rfcr.t (0, 0) = I р„, + pg cos 0 I2
460. Для диэлектрического шара:
(Ы)2(1 +cos20)rf£2-
, го4а6
rfor^--2^~
_ 8лго4д6 / е — 1 \2 °s*~ Зс4 \T+2j ‘
рд = cos2 0.
345
Для идеально проводящего шара:
dcs Пр = “ аг [5 (1 + cos* 2 0) — 8 cos OJ </й, r be*
10лго4аб	/ 1 — 2 cos 6 \2
^"P------3^	. Pnp-^ 2-cosG ) ’
Рис. 86.
Из формулы для dos д видно, что сечение рассеяния диэлектрическим шаром симметрично относительно направлений вперед (0 = 0) и назад (0 = л). От-dos д (0)
ношение -3---т-г=*« Сечение рассеяния проводящим шаром значительно
d<js д (эт)
dos Пр (0)	1
Солее анизотропно и несимметрично: -z------7Т = 7Г- Свет, рассеянный ди-
пр	у
электрическим шаром под углом 0 = л/2, будет полностью поляризованным; при рассеянии идеально проводящим шаром полная поляризация достигается при cos 0 = Ч2, 0 — л/3 = 60°.
Применение полученных формул в случае диэлектрического шара законно, если можно пренебречь эффектами, связанными с конечной скоростью распространения электромагнитной волны внутри шара, т. е. если длина волны внутри шара велика по сравнению с его радиусом. В случае идеально проводящего шара, распространения волны внутри шара не происходит, и достаточно, чтобы выполнялось условие где Z—длина волны в веществе, окружающем шар.
461 Так же, как и в задаче 458, нужно рассмотреть излучение индуцированных электрического р и магнитного m моментов. Выберем систему координат, как показано на рис. 86. Вектор к первичной волны лежит в плоскости хг. Рассмотрим два случая поляризации падающей волны: а) вектор Ео лежит в плоскости падения хг; б) вектор Ео нормалей к плоскости падения.
В случае а) компонента внешнего электрического поля, продольная относительно
плоскости диска: £Оц = Ео sin а; поперечная компонента: E0± = E0cosa. Электрический момент р в рассматриваемом приближении (а<СЛ) можно вычислить как статический момент проводящего диска в однородном электрическом поле.
Согласно результатам задач 197, 199, продольная поляризуемость диска: = 4а3/3п, а поперечная поляризуемость: Ре^=0. Поэтому
Pll = Ре||£0|| = —£0 si” «• Pi = °-
Магнитное поле имеет только продольную составляющую. Но продольная магнитная поляризуемость диска равна нулю (см. задачу 390), поэтому ш = 0.
Дифференциальное сечение рассеяния
dos =	*7- sin2 a (1 — sin2 О cos2 q>) dQ.
4	9л2с4	т
(1)
Полное сечение рассеяния
128a°co
27лс4
sin2 a.
(2)
346
В случае б) имеем 4a3 „	_	_ n
Ру = -^ГЕв' Рх-Рг-0, 16п6со4 Г dGs= 9л2с4 L
128а6со4 /
Os~^27nc* V
2а3 „ тг — Eo cos a,
"‘у = 0;
1 + sin2
cos2 a — sin2 ф
cos a cos ф dll,
(3>
Ч- 4- cos2 a j.
4	)
Для неполяризованной волны, с помощью (1), (2) и (3), находим 8«6со4 dGs~Hn&
1 — -j- cos2 a — cos2 a cos2 ф
+ sin2 a + sin 0 cos a cos ф
(4>
128a6<o4 Gs = ' 27nc4
3 \
-g-cos a).
а4Л2<о4 (е — I)2	!Д, ,n	А
462. das = '-----|яг«е2-----(1 + cos2 v) dll, где и —угол рассеяния,
8ла4Л2и>4 (е — 1 )2
27c4e2
463. Выберем координатную систему, как показано на рис 87. Вектор к первичной волны лежит в плоскости хг. Цилиндр аппроксимируем вытянутым эллипсоидом вращения с полуосями а и h. Как следует из решений задач 197, 198, 390, продольная электрическая поляризуемость сильно вытянутого эллипсоида вращения по порядку величины в h/a раз больше его поперечных электрической и магнитной поляризуемостей. Поэтому сечение рассеяния существенно зависит от того, имеется ли продольная составляющая электрического поля в падающей волне.
Если эта составляющая имеет заметную величину, то вторичное излучение обусловлено z-компонентой электрического дипольного момента. Остальными компонентами электрического момента и магнитным моментом можно пренебречь. Выбирая Ео в плоскости хг, получим
daS = А 4 I 2//.I \ sin2 a Sin2 dQ
s 9c4 In2 (h/a)
8л(о4й6	. „
°5 ~ 27c4 In2 (h/a) S,n “•
Если продольная компонента Eo равна нулю, рассеяние обусловлено поперечной составляющей электрического момента и магнитным моментом, имеющими одинаковый порядок величины. В этом случае
= ~ а 41 + 2n sin a)2 + 3 cos2 а +	(4 — sin2 a) + 8n„ cos a +
+ 2пдгг sin 2a] dQ,
„	40ла4Л2ю4
s 27с4
cos2 a ,
где (i = x, у, z) — компоненты единичного вектора, указывающего направление рассеяния.
Сечения рассеяния неполяризованной волны:
со4й6 .	4гао4й6 . ,
" Тб 4 1 211.1 \ sin2 a sin2 &, as =	,... с sin2 a.
dli 18c4 in2 (ha)	27c4 In2 (ft/a)
347
464. Вектор Ео поляризован в плоскости xz (рис. 87):
,	4со4а4/г2 ( в—1 \2Г/.	2\	2	1	2\
<Ч|| = —9с4 (т + г) |0 - «х) cos « + -4 (8 + о (I - «г) х
X sin2 а — (е + 1) пхпг sin 2а j dQ.
поляризован нормально к плоскости хг:
Вектор Ео
4ш4а’/г2 ( е-1 \2	 гл • 2 ч
" (Т+Т/ ( ~sln ° sm2 <t)dQ.
465. Полную напряженность электрического поля в некоторой точке пространства можно представить в виде
Е (г, /) = Е0(г, /) + Е'(г, /).	(1)
Здесь
Ео (г, 0 = go ехр [j (kr - со/)]
— поле падающей волны, Е' (r,t) — поле рассеянного (вторичного) излучения.
В каждой точке внутри шара вектор поляризации Р (г, /) пропорционален Е. а приближенно— go, так как рассеянное поле много меньше падающего (f'^go) при (в— 1)/4л<С «!*)•
Рассеянное поле Е' может быть выражено через вектор Герца
Z (г, /) =	-Р(р’ ехр [» (kR - со/)] dV (2)
J А
(см. гл. XII, формула (XII. 13)) формулой
Е' = rot rot Z — 4лР = 6 . * rot rot g0 exp  Г exp [i(k — kn)  H dV. 4л	r J
(3)
Разность k — kn представляет собою изменение волнового вектора при рассеянии; обозначим ее через q ^<7 = 2k sin -g-, 6 —угол рассеяния j. При вычислении интеграла выберем полярную ось вдоль q, тогда
Г г/ «j.jn л sin qa — qa cos qa
J exp [i(q • r)] r2 dr dQ = 4л---.	(4)
При вычислении двойного вихря в (3) оставляем только члены, пропорциональные 1/г:
I ехр [»М	„	. ехр РМ
rot rot g0 ———- = k2 [n X (go X n)l —--.
Окончательно, для рассеянного поля Е' получим
Е,_ «V -e-L |nx (g< х о|| f (да) Со	г
(5)
*) Метод, применяемый при решении этой задачи, аналогичен методу Борна в квантовой механике. Последний широко применяется при решении задач о рассеянии частиц квантовомеханическими системами.
348
3 (sin qa - qa cos qa) Г л =3V
Сравним выражение (5) с тем, которое имеет место при малых а (см. задачу 460). Переходя в (5) к пределу qa < 1, получим
со2а3 е — 1 . „ . _	.. e‘kr
Е = —2---3— [n X (So X п)]	(6)
так как <р (qa) ~ I при г/а <g 1.
С другой стороны, вычислил Е' по формуле eikr	е - 1
Е' = пХ(рХл)-^-, где р = -^2-а3£о
— статический дипольный момент шара, найдем
<в2а3 е — 1	, _	, e‘kr
Е----^2 е + 2 П *	* и)-(6')
В (6') вместо множителя */з стоит 1/(е + 2). Однако противоречия между (6) и (6') нет, так как (6) справедливо с точностью до е —1.
Дифференциальное сечение рассеиния
= 'И а сТ*—~ Ф2	(sin2 а + cos2 а cos2 0)	(7)
Lt	*jU
(углы Она обозначены иа рис. 85).
Это сечение отличается от сечения рассеяния малой диэлектрической сферой (см. ответ к задаче 460) заменой в знаменателе (е + 2)2 на 9 и множителем <р2 (qa), учитывающим интерференцию вторичных волн от различных элементов сферы. Поэтому степень деполяризации рассеянного света будет такой же, как в случае малой диэлектрической сферы:
р = cos2 0.	(8)
Усреднение по поляризациям дает
das (6)	<в4а6 (е - I)2 2	2
Т =-----------18?-’ (<?а) ° + COS 0)-
Рассмотрим еще случай очень большой сферы, т. е. ka 3> 1. Если углы таковы, что и qa 3> 1, то <р (qa) ->0, и сечение в этой области углов очень мало. Из ивного вида q следует, что qa 3> 1 эквивалентно условию 0	\/ka',
таким образом, если шар велик, то рассеяние происходит вперед в интервал углов 0^ 1/ka.
466. При ka 3> 1 функция <р2 (qa), входящая в выражение дифференциального сечении (см. предыдущую задачу), заметно отлична от нуля только в узком интервале углов 0S^ \jka. В этом интервале множитель (1 + cos2 0) может считаться постоянным и равным 2. Поэтому имеем
2лсв4а3 (е — I)2 f 2. . . „
Os =--------9^----— J Ф2 (qa) sin 0 cffl.
о
Введем новую переменную у= qa = 2ka sin —. В предельном случае ka 1, получим окончательно:
_ л<в2а4 (е — I)2
349
Для малого шара (ka 1), заменяя (см. ответ к задаче 460) е + 2 на 3, имеем
8л<о4а6 (е — 1 )2 “	27с4	’
Как видно из этих результатов, сечения по-разному зависят от частоты (~<о4 и ~ <в2) и от размера шара (~ а6 и ~ а4).
467. Исходим из соотношения
oa=--4Re (Е X H’)-nr2<fQ,	(1)
Ео J
где п = г/г, аа ~ сечение поглощения и интегрирование ведется по поверхности сферы большого радиуса, окружающей рассеиватель. Формула (1) выражает тот факт, что сечение поглощения пропорционально потоку энергии через поверхность сферы, направленному к центру.
Подставляя в (1) выражение для Е из условия задачи и
(	<.	eikr 1
Н = Ео I (п0 X е) e‘k2+ [n X F (n)] j
и используя условие поперечности п • F (п) = 0, получим
1	I F I2
—^-Re(E X H*).n = (no-n)+-LLL +
£0	Г
+ -| Ке • F) + («о • п) (е • F) - (е • п) (п0 • F)] ехр ^~г)1 +
+ 4	• Н + ("о • ") (е* • F*) - (е*  п) (п0 • F*)] ехр [—^ (' ~ г)1 .	(2)
При интегрировании по углам первое слагаемое даст нуль, а второе — полное сечение рассеяния оЛ. Интегралы от остальных слагаемых могут быть преобразованы с помощью интегрирования по частям:
~ J* (п0 • и) (е • F) ехр [<7г (г — ?)] г2 dQ =
2п
= J | {(«о • п) (е • F) ехр [ikr (1 - cos fl)]}	-
о
л
- J ехр [/Ат (1 - cos fl)]	(«о • n) (e • F) J cos fl
о
Последний интеграл при повторном интегрировании по частям дает члены, пропорциональные 1/г, и поэтому может быть отброшен. Кроме того, нужно отбросить член с осциллирующим множителем ехр [2г7гг], так как он дает нулевой вклад в полный поток энергии. Чтобы убедиться в этом, учтем, что представление о строго монохроматической волне является идеализацией. В действительности всякая реальная «монохроматическая» волна является суперпозицией гармоник, частоты которых лежат в более или менее узком интервале Д<а. При усреднении множителя ехр [2ikr] по любому такому интервалу получим нуль, так как г очень велико. Поэтому
— f (п0 • н) (е - F) ехр [/А (г - z) ] г2 dQ. = [е • F (п0)].
Г V	«
350
Аналогично вычисляются интегралы от других слагаемых. Члены, содержащие множители (е • п) и (е* • п), при интегрировании не дадут вклада, вследствие того, что (е-по) = О. Подставляя вычисленные интегралы в (1), получим окончательно:
О/ = — Im [е • F (п0)].	(3)
Оптическая теорема (3) допускает простую физическую интерпретацию: полное сечение дает меру ослабления первичной волны. Это ослабление является результатом интерференции падающей волны с той частью рассеянной волны, которая имеет ту же поляризацию и направление распространения, что и падающая волна. Поэтому полное сечение оказывается связанным с амплитудой рассеяния «вперед».
468.	Рассеянная волна создается электрическим и магнитным дипольными моментами, которые индуцируются падающей волной. Амплитуда рассеяния F (и) (см. предыдущую задачу) определяется по формулам (ХП. 17) и (XII. 20).
Окончательный результат:
4л<д (ан агг\ а« = —(ре +М-
469.	аа = 6л62£'.
470.	Сила направлена вдоль волнового вектора падающей волны и имеет величину
где у0 —средняя плотность потока энергии в падающей волне и интегрирование производится по всему телесному углу.
471.	Для идеально проводящего шара:
-	43а6 со4 2
Г=-96?-£«:
для диэлектрического шара:
/ 8-1 \2
Зс‘ U + 2/ °-
472.	Применяем дифракционную формулу (VIII. 29). В качестве поверхности интегрирования выберем плоскость, в которой находится экран. Тогда на поверхности интегрирования
и = А ехР-У^'1, dSn = 2лг cos (Ri, z) = 2л dr, Al
где A = const. После подстановки этих выражений в (VIII. 29) переходим к новой переменной интегрирования р = /? + /?]:
ОО	оо
up(z) = -ikAz. f ^i^+^Lrdr=_ikAz Г	(1)
i	'PJ p/?i(p)
где
Ро^/ЛРЛ^.
Интегрированием по частям можно представить (1) в виде ряда по возрастающим отрицательным степеням ftp; условие к^.а позволяет отбросить
351
все члены ряда, кроме первого. Это дает
up(z) = u0
Ро
где и0 = А
=--!— амплитуда падающей волны па границе
,2
экрана.
Переходя к интенсивности 7 ~ | ир j2, имеем А
.2 1Л2
Цг) = 1е
(2)
В точке, симметричной относительно экрана (z}=z):
/ (?) = А ———
' '	4 e2 + z2'
Таким образом, в симметричной точке за экраном, не слишком близкой к нему, будет светлое пятно.
Этот результат, противоречащий представлению о прямолинейном ходе световых лучей, был теоретически предсказан Пуассоном (1818 г.), который выдвигал его в качестве возражения против теории дифракции Френеля и волновой теории света в целом. Однако, эксперименты, выполненные Араго и Френелем, подтверждали наличие пятна, появляющегося вследствие симметрии экрана. Волны, огибающие его края, приходят в среднюю точку с одинаковыми фазами. Очевидно, таким свойством обладают все точки, лежащие на средней линии: в этих точках интенсивность света будет значительно больше, чем в соседних, не лежащих на оси z.
473.	Используя принцип Бабине (см. (VIII. 31)), получим при z = z1^>o:
,	, . , /га2
/ = /°sin 2z*’
где /0 — интенсивность первичной волны па краю отверстия.
474.	При г» о, 7 = 470 sin2
Интенсивность света на средней линии круглой диафрагмы осциллирует бесконечное число раз, уменьшаясь до нуля при z -> оо. Убывание интенсивности по оси связано с тем, что параллельный пучок становится из-за дифракции на отверстии расходящимся и поток энергии через отверстие с увеличением z распределяется на все большую площадь.
475.	Пользуясь формулой (VIII. 30) дифракции Фраунгофера, находим
, [a/i (aka) - bjt (bka)]2
Cli — л о '	---------- Cl
где a — угол дифракции, /0 — интенсивность падающего света.
В случае круглого отверстия
, /?(aka)
ill = l'o ——j— №, и ла2
/22
где 70~ла | и0 | —полная интенсивность падающего на отверстие света.
476.	Дифрагированная волна будет описываться функцией
uceiklic Г
=	exp[iqil.r]dS„,
352
где — к = q, q и q± — составляющие q в плоскости экрана и в перпендикулярном направлении.
При интегрировании по плоскости отверстия воспользуемся полярными координатами с началом в центре отверстия и полярной осью вдоль qL. Это дает
u„t’lk"k cos 0
UP = 2niR0
exp [— iq r cos <p] r dr d<f,
где через 0 обозначен угол падения.
С помощью формул (ПЗ. 11), (П3.13) и (ПЗ. 9) получим
di = I ир |2 R20 dQ = Zo 71 dQ,
л<7ц
где /0~ I «о I2 яс2 cos 0-полная интенсивность падающего на отверстие света.
Считая угол дифракции а (угол между к и к') малым, выразим q^ через а, угол падения 0 и азимутальный угол а' между q и плоскостью-падения:	_______________
q^ = ka V 1 — sin2 0 cos2 a',
J2 (kaa 1^1 — sin2 0 cos2 a' )
di ~ 1° ла2 (1 — sin2 0 cos2 a')
Формула становится несправедливой при скользящем падении (0 « л/2).
477.	Применение формулы Кирхгофа в векторной форме (VIII. 32) позволяет получить следующие выражения для поля излучения:
e>kR- / sin k'xa \ / sin k'b \
= Ha — ~ ikabE0------ ----7-----I --7---1(1+ cos 0) sin a,
nR \ kxa / \ k„
elks- I sin k'a \ I sin k'b \
Ea = — Hq = — ikabE0------ ---7----I ------- I (1 + cos 0) cos a,
nR \ kxa / \ k b j
где 0, a—углы сферической системы координат с полярной осью, перпендикулярной плоскости отверстия, kx = k sin & cos a, k' = k sin 0 sin a — проекции волнового вектора дифрагированной волны.
Угловое распределение излучения:
abk2 ( sin k'a \2 f sin k'b \2
dl = lo--------7^-	-7^— (l+cos0)2dQ,
4л2 \ k'a / \ k'b /
л	У
. cab ^9
где /0 — Eq — интенсивность падающей на отверстие волны.
478.	Если направить оси х, yt z вдоль векторов Ео, Но и к соответственно, то поле излучения:
г „	ika2E0	e,kR	/	Ц (ka sin 0)	) „ ,
Ev = Ha=-------—	—	J	(1	+ cos	0)	cos a,
p „	ika2E0	etkK	(	Jt (ka sin 0)	1 ..	.
Ea=-H^ — (—fl-sin~J (1 + cos 0) s.n a;
dZ = T/o (—XS0^)2 + cos V2 dQ>
„„ r ca2 2
Де 7o	интенсивность волны, падающей на отверстие.
23 В. В. Батыгин, И. Н« Топтыгин
353
При ©	1 имеем
/2(feaO) dI~Ia л©2
d£l.
Этот результат был получен в задаче 475 с помощью скалярной дифракционной формулы.
§ 4.	Когерентность и интерференция
z ±	& 1 I Z V
481.	Дй = 7T = \"z7/ ‘ Телесный угол когерентности не зависит от расстояния R до источника.
482.	ДЛ « 3,52-Ю-10 с.ч; 7, ~ 1-5- = 5,4.10-3 см\ 7.—^- = 7,1 м;
-1- L	" ДЛ
ДЙ-1,3.10-31 стерад; ДГ = /^/|~2,1.10“4 см3.
483.	R = 9,46 • 1018 км, т. е. в 6,3 • 105 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Отсюда следует, что /± « 3,4 • 103 гм — в 6,3 • 105 раз больше, чем /± в предыдущей задаче. Что же касается /( « Л2/ДХ « 7,1 см и ДЙ~1,3-10-31 стерад, то они сохраняют те же значения, что и в предыдущей задаче. Объем когерентности ДГ « 8,3 • 107 см3 — в 4-1011 раз больше, чем объем когерентности солнечного излучения на Земле. Характерным является увеличение степени когерентности света по мере его распространения. Это относится только к поперечной когерентности.
Л.
484.	7ц—«3 - 108 см. Так как от оптического генератора идет конус лучей с углом раствора ДО— Л/£)=10-5, то прилегающий к генератору объем когерентности имеет вид конуса, обращенного к генератору вершиной.
7) = 5 см у генератора,
/ « X
2/ц	6000 см у основания конуса когерентности.
485.
1
ДГ = -д- Л О
б=а-й-4-~ 200 пря 7 = 1 см, 7 = 273°К, 2лйс	г
6 = e-I00« 10-43 при Л = 5- 10-’ см, 7 = 273%,
б = —J-----«0,07 при Л = 5-10“5с.ч, Т =10 000 %.
е‘ - 1
486. д = 5 • 1018, 7= 1,4-1023 %.
ОО
487. Г (т) = ^ J 1 (со) (1 + cos сот) d&. о
488. Г (т) = 7
sin Дсот 2лт
cos соот.
354
489.	Разность хода для света от одного нз независимых излучателей,
, .	хх' + ци' ,
находящегося в точке (х, у ), есть sj — s2 --------- (см. рис. 26), если
А
учесть, что поперечные размеры источника много больше, чем D=Vx2 + у2. Поле в точках п (0, 0), г2 (х, у) создается всеми излучателями источника:
V,	VI	xxi + УУг
ui V}, « (Г2, 0 = X М‘ еХ₽ [ “ ‘Ц------------------------ k
I	i
где ui (/) — интенсивность поля i-ro излучателя на первом отверстии в момент времени t. Корреляционная функция
Г (г,, г2, 0) = и* (г,, 0 и (г2, /) =
Г ..xx'i+yy'i
2uUi ^Ui ^ехр I “ lk--------а-----
+ 2	«/ (0 ехр
1^1
хх. + уу.
Второй член в Г пропадает нз-за некогерентности независимых излучателей. Первый же член представляет собой усредненную интенсивность излучения от отдельных излучателей с учетом разности хода Si — з2. Перейдя от суммирования к интегрированию, получим
V (*. У) =
J J I (х', у') ехр ik ~Х ] dx' dtf S_____________
J J / « y') dx' dt/ S
где интегрирование выполняется по поперечному сечению источника.
490.	а) В (D) = | у (D, 0) | = cos
б)	В (D) = (2Л/я£>) J, (лаП/Л).
491.	а) р = /?/а = 2П/?/Л= 1,5-106 км;
б)	d = /?/а = £>/?/( 1,22Л) = 620 • 10е км;
диаметр звезды Бетельгейзе приблизительно в 450 раз больше диаметра Солнца и, следовательно, больше, чем диаметры орбит не только Земли, но и Марса!
492.	От первого источника идет плоская волна и, = И] ехр [ilqr] = = |Л11 ехр |7 (kir + СС1)], фаза щ н амплитуда Д] которой меняются случайным образом, причем At — 0, а |	|2 имеет постоянное ненулевое значение.
От второго источника идет волна u2 = А2 ехр [Zk2r], обладающая аналогичными свойствами. Обе эти волны поступают в фотоэлементы Pt н Р2. Не-усреднениый сигнал от фотоэлемента Pt был бы пропорционален
1 (п, 0 = I «1 (п, 0 + и2 (п, о |2 =
= Ml I2 + |Л2 I2 + Л1Л2 ехР [‘ (kl - М • Г] + А1А2 ехР [-» (к1 - м •	<1)
Сигнал (1) испытывает случайные флуктуации за счет флуктуаций фаз At и А2 на частотах, значительно меньших, чем частота волн ult и2, пришедших от источников. Эти флуктуации, тем не менее, не регистрируются и наблюдается усредненная интенсивность. При включении только одного детектора усредненная интенсивность
/(о. 0 = 1 А |2 + | Л2|2 = / (г21 /)
23*
355
не зависит от к] — к2 (фазы At и Л2 флуктуируют независимо, так что Л)Л2 = Л)Л2 = 0).
Пусть теперь сигналы от фотоэлементов Р] и Р2 поступают сначала в умножитель, в котором интенсивности / (п, t) и / (г2, /) перед регистрацией перемножаются. Наблюдаемый на выходе сигнал будет пропорционален
I (п, о / (г2, о = ( Ml I2 + I Л I2) + 21 Л, I21 Л212 cos [(к, - к2). (г, - г2)1.
Он зависит от к] — к2 и, следовательно, от углового расстояния между удаленными источниками. Меняя расстояние п — г2 между детекторами и на
блюдая ослабления и усиления сигнала, можно найти это угловое расстояние. 2л
493. Д<р = —— (п — 1) х, где координата х отсчитывается от преломляю-Л
щего ребра перпендикулярно ему.
Если любым способом осуществить на плоскости ху фазовый сдвиг Д<р ел х, то такая плоскость будет поворачивать фронт плоской волны в сторону больших х, т. е. действовать так же, как призма.
494.	Фазовый сдвиг на расстоянии х от оси линзы в случае собирающей линзы есть
Д<р = —
лх2
7Г'
где f—фокусное расстояние, определяемое равенством
В
случае рассеивающей линзы
« л*2
Д<р- + 7Г.
495.	Распределение интенсивности света на фотопластинке имеет вид
/ (х) = | Ai ехр [ikx& J + Л2 ехр [г£хО2] |2 = /] + /2 + 2 cos k&x,
где ©2 = ©+©i, & = 2n/Z, /1 = | Л] |2, /2 = |Л2|2, координата х отсчитывается вдоль фотопластинки, как показано на рис. 29. Распределение почернения на проявленной фотопластинке определяется распределением интенсивности / (х). Пропускание Т (х) пропорционально [/(х)]-^2, где у —коэффициент контрастности фотоэмульсии, и является периодической функцией х с периодом Л/©. Оно может быть записано в виде Т (х) = а + b cos k&x (о и Ь — постоянные), если оставить только две низшие гармоники. Проявленную фотопластинку можно рассматривать как дифракционную решетку, которая разбивает падающую плоскую волну на плоские пучки, направле-
Л
ния 6 распространения которых определяются соотношением sin 6 = пК,
п = 0, ±1, ± 2, ... Главными являются центральный пучок нулевого порядка и два пучка первого порядка в направлениях 6=±©. Заметим, что эти три основных пучка можно получить, умножив падающую волну Ло ехр [ikz] на пропускание Т (х). При этом получим волновое поле за фотопластинкой вида
Аоа ехр [ikx] + Ао ехр [ik (z + ©х)] + Ло у ехр [ik (г — Ох)],
где первый член описывает неотклоненный центральный пучок, второй — 356
пучок первого порядка, отклоненный на + #, третий —пучок первого порядка отклоненный на
496.	Опорное поле на пластинке имеет вид
«1 = Ло ехр [— /рх],
2л (и — 1) а
К '
Мы не пишем здесь и далее общего множителя ехр ]/ (fez — to/)]. Поле, дифрагировавшее на отверстии:
и2 = А (х) ехр
Г • пх21 1‘ ТО
Суммарное поле
и (х) = щ + и2,
а интенсивность
I(x) = |« (х) I2 = Ад + Л2 (х) + 2Л0Л (х) cos (рх + \ /Л ,
Распределение интенсивности содержит информацию о фазе дифрагировавшей волны только благодаря наличию опорного пучка.
497.	Пропускание 7" (х) проявленной фотоэмульсии
Т (х) оо I/ (х)Г*'2 = Ло“* / 1 +	+ 2 cos [рх +	} V/2 «
( Ао А) V М / J
» ATY~2 { Ао ~ У 7,2 <*) - V-АЛ w cos[px +
если использовать условие Ао А (х). Последнее соотношение можно переписать в виде
Т (х) со2Л2 - YЛ2 (х) - уЛ0Л (х) ехр [/ [рх +	-
— уЛ0Л (х) ехр [—i [рх	(О
Это равенство называется формулой голограммы Габора.
При освещении голограммы плоской монохроматической световой волной Ло ехр [/(fez —to/)] за голограммой возникает волновое поле, представляющее собой результат дифракции на голограмме. Это поле можно получить (ср. решение задачи 495) просто путем умножения первичного волнового поля Ло ехр [/(fez — <о/)] на пропускание Т (х), выражаемое формулой Габора (1). При этом получится поле вида
л ~ (2Л§ — у Л2 (х)) ехр [i (kz — to/)] —
Г ( kx2 \”I
—	уЛ0Л (х) ехр [/ (fez - to/)] • ехр Рх-j] —
—	уЛ0Л (х)ехр [/ (kz- to/)] - ехр [- / [рх	(2)
Первый член в (2) соответствует неравномерному дифракционному (из-за Л2 (х)) ослаблению падающей волны. Угол дифракции мал, так как Л (х) — плавно меняющаяся функция по сравнению с участвующими экспонентами. Второй член действует как комбинация призмы, отклоняющей пучок вверх, и рассеивающей линзы с фокусным расстоянием / (см. задачи 493, 494).
357
Третий член действует как комбинация призмы, отклоняющей пучок вниз: и собирающей линзы. В итоге прн пропускании плоской монохроматической волны через голограмму восстанавливается первоначальные волновые фронты
(рис. 88): плоская волна и сферический фронт от отверстия. Последний воссоздается два раза: в виде волны от действительного и от мнимого изображен ни.
498.
ехр [ik'z] Т (х) ел ^2А% — 2уА2 (1 + cos £>х)^ ехр [ik'z] —
- уЛ0Л { ехр [»(х - О)2] + ехр [z — (х + О)2] | ехр [z (₽х + k'z)] -
. л ~г V
— уАеА | ехр [ — z	(х — £>)2 j + ехр
(х + О)2 > ехр [- z (₽х - k'z)]~
Второй н третий члены, как и в задаче 497, описывают поле, отклоненное вверх и вниз и сфокусированное в две пары точек. Однако фокусные расстояния соответствующих рассеивающей и собирающей линз другие,, а именно
Линейное увеличение выражается формулой 2Л р + <7 А' <7 2D ~ р ~ A f где
I	1___I	К'
Р	<7	f'	М’
р — расстояние от источника волн Л.' до голограммы, а <7 — расстояние-358
изображения от голограммы (рис. 89). Чтобы достичь увеличения, надо использовать при восстановлении длину волны Л' > К, а источник помещать ла конечном расстоянии р от голограммы.
499.	Распределение интенсивности на голограмме может быть передано <5ез существенных искажений, если пространственный период дифракционной •картины больше, чем d.
(см. решение задачи 496). Этим условием ограничивается максимальный размер голограммы в направлении х 2xmax ~ V-kf/d. Этот размер играет роль диаметра линзы в теории разрешающей способности Рэлея (ср. с задачей 426). Применяя критерий Рэлея для минимального размера s предмета, который может быть разрешен, мы получим
Л __ U	d
2© 2.rmax 2
Здесь 6 — половина угла раствора конуса лучей, идущего от голограммы .к изображению.
§ 5. Дифракция рентгеновых лучей
500.	Прежде всего необходимо, чтобы выполнялось неравенство <о 2> <оат. 'Одиако этого недостаточно. Рассмотрим сначала случай, когда длина I когерентности велика по сравнению с размерами L тела. Тогда при достаточно малых углах рассеяния •& < 7./L произведение	экспоненты в форму-
лах (VIII. 43) или (VIII. 45) для сечений близки к единицие Jп ехр [iq • г] dV= = NZ. Если длина волны	то это выполняется при любых углах.
359
При этом мы получим, например, из (VIII. 43) do = r2№z2 sin26zffl.
(1)
Эта формула соответствует когерентному томсоновскому рассеянию на всех NZ зарядах тела. Если же, например, длина когерентности меньше межатомного расстояния, но больше размера атома, то при О < Z./Z когерентно вложатся только вклады от Z электронов атома, и в формуле (1) вместо N2Z2 нужно будет написать NZ2. При больших значениях углов величина сечения будет резко убывать из-за быстро осциллирующего множителя ехр [zq • г] под интегралом.
501.	Концентрацию электронов в газе можно представить в виде суммы членов, относящихся к отдельным атомам, п (г) = У, па (г — Ra), где Ra ха-
Д = 1
рактеризует мгновенное расположение а-го атома. Тогда
п (г) ехр [zq • г] dV
па (К) ехр [zq - г'] dV
а
= I Fa (Ч) I2 V ехр [zq • Ra]
(1)
a
где г' = г —Ro, a Fa (q) — атомный формфактор (VIII. 47). Усреднение в (1) должно быть выполнено по всем положениям Ra. Так как атомы в газе расположены хаотически, то | У ехр (zq • Ид) |2 = N. В итоге, для неполя-ризованного излучения
do = >/2 (1 + cos2 -0) | Fa (q)\2N dQ.	(2)
Вычисление формфактора при заданной в задаче плотности па (г) выполняется элементарно и дает
Fa (?)= 7~ч гу-	(3) .
Окончательно:
/"л	1 4- ros^'ft
do (O)=32n2J noaN	+ -------^-z/Q.
Ь+Ы sin2T]
Из экспериментально найденного сечения (2) можно получить модуль формфактора. Для нахождения распределения электронов надо, вообще говоря, знать еще фазу формфактора.
502.	do = IVr2 1+с^° \Fa (<?) |2 • 2 (1 +	dQ.
Сечение отличается от сечения рассеяния на изолированных атомах „ {. , sin qR \
структурным множителем 2^14-------—j , зависящим от взаимного распо-
ложения атомов в молекуле.
503.
— СО
Существенна сравнительная величина l/q и Ь. При q^> 1/Ь исчезает быстро ЗьО
осциллирующий член c sin q (Ro + x). Тепловое движение уничтожает структурный эффект при таких передачах. При q <С 1/6 структурный множитель , , sin qRD
имеет тот же вид 1 4-----g—, что и в случае неподвижных ядер.
<7'м>
505. Направим оси х, у, z вдоль ребер Lb L2, L3 монокристалла.
f п (г) ехр [iq-r] dV = Fa (q) J} exp [iq-R] = R
' N,
2 exp [iqyan2] ,n2=0
_	1 - exp [foxg/Vi] 1 - exp	1 - exp [i<7zgA’3]
- °	1 - exp [iqxa] I -exp [iqya] l~exp[iqza] '
где Ni = Li[a, N2 = L2!a, У3 = L3/c — числа элементарных ячеек вдоль ребер Li, L2, L3, очевидно, У = Л'1Л,2Л'3. Используя (VIII.45), получим
. , qxaN\ . , qyaN2 , qzaN3
sin2---g— sin2—-— sin2—-
(Nt
2 exp [i^cnj n,=o
У, exp [iqzan3] kn3=0
do = -£ (I + cos2®) | Fa (q)!2
dQ. (1)
. , <7xC . qya	qza	' >
sin2-^— sin2 — sm2 —
Положения главных максимумов определяются условием обращения знаменателей в нуль, откуда следует, что qx = 2ftmx/a, qy = 2jimyla, qz=2ntnzla, где отг, ту, mz — целые числа. Последние равенства представляют собой уравнение Лауэ, записанное в проекциях, поскольку компоненты g выражаются формулами: g = (тх1а, Шу/а, mja). В максимумах сечение
da =	(1 + cos2 ©) | Fa (2ng) |2 ->-1g62 37 dQ.
Оно пропорционально квадрату объема кристалла. Результаты задач 505—509 справедливы, только если монокристалл целиком расположен внутри объема когерентности (см. § 4).
г0
506. da = ~ (1 + cos2©) | Fa (q) I2 X
sin2-^
Q lid	G ZCL
4 sin2 -f- sin2 ~
2
qxaNi (qx + qy) aNi -]2 sm - 2- - sin----g----
. qxa . (qx + qy) a
sin— sin ----------- J
qxaNy (,qx + qy)N,a
i2<7^i sm—2—sin -
1	2	qxa (qx + qy)a
sm -g- sin--g---
где ^ = Z,]/a, N3 = L3/a. Положения главных максимумов выражаются условием Лауэ: q = 2ng, где g=(mx/a, ту/а, mz/a). В максимумах сечение
г2	(L2L Y
= у (1 + cos2 ©) | Fa (2ng) |2	4‘a637  dQ.
Угол ©0 связан c q = 2ng соотношением (VIII.44).
361
507.	При k^>l/a дифракционная картина сосредоточена в области малых углов, поскольку, согласно (VIII.44) и уравнению Лауэ, feO = 2ng~l/a н O~l/afe<Cl; при этом q<Sik.
Введем обозначение: я = q — 2ng. В области дифракционного пятна вблизи данного главного максимума величина x-C2ng-Cfe. Возведем равенство
к = к0 + 2ng + я
в квадрат н заметим, что k2 = fe2, а
g • к0 = - ng2.
(1)
При этом получится (ko + 2ng)-x+x2 = O, откуда видно, что при x-Cg оказывается x±k0 + 2ng, т. е. добавка х перпендикулярна волновому вектору, отвечающему рассеянию в направлении главного максимума. Запишем равенство-(k0 + 2ng) • я = 0 в виде хг ~ — 2n[(gx/k0)xx + (gy/kB)xy], откуда видно, что-|хг| -С |хл|, | ху |. Благодаря этому в выражении (1) задачи 505 отношение:
sin2^
sin2
2
sin2
• 2 ^2^ Sln —
является значительно более пологой функцией от хг, чем первые два отношения, и может быть заменено значением ?v| в максимуме = 0). Сечение принимает вид (О-С1)
XrO.Ni xuaW2
откуда видно, что угловая ширина главного максимума по порядку величины-составляет \/kaNi и l/fea?V2 в направлениях хну соответственно. Записав элемент телесного угла в виде dQ = dxx dxy/k2 и интегрируя по хЛ и Ху, в бесконечных пределах, получим
<7 = 4го
Ио(2^)|2(^-)2^а-
Сечение по-разному зависит от продольных и поперечных размеров. Прк приблизительном равенстве их полное сечение пропорционально У*!* (V — объем тела), а угловая ширина пропорциональна {У*1г/У2)'1г=1/У'1г.
508.
, „	KyLy _ KzLz
sin2—-— sin2—-— sin2------------
da = 32r2 (1 + cos2 0) | Fa (2ng) |2---/----------------------dQ,
xx xy xz
где
y-xksx + *ykey + *zksz °= °> kg = k0 + 2ng.
. O 2 b ,	2a\. г ra x й sin xR — xR cos xR
509.	da = Snr-Q (1 + cos t>) | Fa (2ng) | -----------dQ.
362
где А ~ Besa sin ха; остальные компоненты g и 5С равны нулю. Параметры х и s определяются из системы уравнений:
(ха)2 + (so)2 = (ец - 1);	(2)
Эту систему легко решить графически. Возможные значения х и s соответствуют точкам пересечения кривых (3) с окружностью радиуса г = —рец—1
so
Рис. 90.
(рис. 90). При заданных со, а, е, ц имеется конечное число точек пересечения, т. е. конечное число типов волн, у которых распределение поля описывается формулами (1). В частности, при г< л существует лишь одна волна типа Еоо,
Рассмотрим зависимость постоянной распространения , л / <о2ец ~	/~ со2 ,
6-	Р с2 * у с2 +s	<4>
от частоты со при заданных параметрах диэлектрического слоя для данного типа волны. Из рис. 90 видно, что при частотах, близких к граничной частоте, при которой появляется данный тип волны, s близко к нулю, a k — к со/с. Волна при этих частотах имеет такую же постоянную распространения, как и в вакууме, и поле проникает на большие расстояния от границы слоя. С ростом со параметр s возрастает, а х остается ограничен-
„	,	® I •--
ным. При этом k стремится к — > ец, т. е. к тому значению, которое соответствует волне, распространяющейся в неограниченной диэлектрической среде с параметрами е, ц. При достаточно больших со и, следовательно, больших s, поле сосредоточено почти целиком внутри диэлектрического слоя.
б)	Нечетные решения [^Л- (х) = — ’ix (- х),	(х) = -	(- x)J
2z(x) = ^(-x)]:
при х > а
%? = Ae~sx, — Ae~sx, = — Ae~sx\ s	у sc
при — а х а
= В cos хх, %х ——— В sin хх,	—^-Bsinxx;
х	s хе
(5)
364
при х < — а
%z=Aesx, = -^-Aesx, &ey = -~Aesx,
где л = Besa cos на; остальные компоненты 8 и равны нулю. Параметры s и х определяются из системы уравнений:
(ха)2 + (sa)2 = (ец — 1), sa =----ха cfg ха,	(6}
Постоянная распространения k связана с х и s соотношениями (4).
Из графического анализа легко получить, что при г < л/2 нечетные электрические волны не могут существовать. Остальные закономерности качественно те же, что и для четных волн.
Волны магнитного типа можно проанализировать таким же путем.
513.	Вдоль слоя могут распространяться четные волны электрического типа и нечетные волны магнитного типа с теми же характеристиками (постоянная распространения, конфигурация полей в области х > 0 и др.), чтб и в предыдущей задаче.
514.	Волны электрического типа.
Для определения волн этого типа нужно решить уравнение для продольной компоненты электрического поля:
дг2
1	1 d2Sz
г дг г2 да2
+ х28г = 0.
(1)
Уравнение (1) интегрируется путем разделения переменных. Частные решения имеют вид
8г (г, a) = Jm (хг) sin (та + фш),	(2)
где Jm — функция Бесселя, — произвольная постоянная. Чтобы поле возвращалось к исходному значению при изменении а на 2л, нужно считать т целым числом (m = 0, 1, 2, ...).
Поперечные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через <£г с помощью уравнений Максвелла:
ik f
^Т^= —Jт <xr) sin ('«« + ’I’m)-ltnk _ f \ f   \ 2a 5=5 “727“ (xr) cos (ma + фт),
даг= — -^77 Jm (иг) cos (ma + фт),
~M sin (m« + ’I’m)-
Возможные значения параметра x определяются из граничных условий на стенке волновода:
8г1г=а = 0> 8alr=B~0.
Это дает итпа = атп, где атп — п-й корень функции Бесселя: 7m(«mn)=0, п — 1, 2, ...
Таким образом, волны рассматриваемого типа характеризуются двумя индексами т, п; при т — 0 иоле обладает симметрией вращения относительно оси г. Фазы фт в случае идеального волновода определяются условиями возбуждения. В реальных случаях, однако, они существенно зависят от дефектов стенок волновода (отступления от круговой формы сечения, продольные царапины и т. д.).
365
Распространение волны вдоль волновода возможно, если k =
будет вещественной величиной. Поэтому волна типа т, п будет распро-
страняться в волноводе, если ее частота удовлетворяет неравенству
2 2
с атп
а2
Наименьшая частота возможна для волны типа (0, 1):
CCtol о л с (Вп =---- ~ 2,4 —,
а	а
Соответствующая длина волны
— порядка радиуса волновода.
Волны магнитного типа:
<ЭСг “ Jm (xr) sin (та + фт) (т = 0, 1, 2, ...).
Значения постоянной распространения k определяются нз равенства
r2
СО
=	(П=1, 2, ...),
где ₽тя —n-й корень уравнения ^m(₽mn) = 0. Наименьший корень рп « 1,8; ему соответствуют граничная частота <в0 « Xfic/a н граничная длина волны Zo = 2лс/<в0 =» 3,5а.
Для волн магнитного типа граничная частота ниже, чем для волн электрического типа. Если частота волны лежит в пределах <в0 эл > со > <в0 маги, то эта волна может быть только типа Нх ь
515.	Для Д-волн:
„ . ь:|^ .
cak’
Для Д-волн типа (т, п):
_ с£х2 Г._________щ2со2 ~]
а u>ak L с2х2 (а2х2 — т2) J’
где £' = Re £.
516.	Волновой вектор k и частота со волн в волноводе связаны соотношением
-^-=£2 + х2,
с2
где х — постоянная, зависящая от типа волны н размеров поперечного сечения волновода. По обычным формулам имеем
СО	б/СО г-----------
^“T-Vi-CX/Xo)2 ’	i-(x/x0)2,
где Хо —граничная длина волны.
Из полученных формул видно, что всегда о(р >. с, vg < с, причем Оф • Vg = с2. Этот результат справедлив для волновода, внутри которого вакуум (диэлектрические свойства воздуха для рассматриваемой области явлений практически не отличаются от свойств вакуума).
366
Если волновод заполнен диэлектриком, причем дисперсией е и ц можно пренебречь, все вышеприведенные формулы остаются справедливыми при замене с на с = с/Уёр. Поэтому в таком волноводе vw =	1	.
/ец /1 - (Л/Ло)2 может стать меньше с, волна «замедляется» (см. задачу 522).
517.	Hz = '/г^о [е‘ f-v-'x+kz'> + е‘	e~‘at. Направления распростра-
нения двух плоских воли, на которые разлагается волна Я10, составляют с осью волновода угол 0 (рис. 91), который определяется условием
cos 6 =
Фазовая плоскость / перемещается со скорсстью с в направлении, составляющем угол 6 с осью z; однако скорость ее перемещения вдоль оси волновода будет больше:
с	с
cos е /1 - (Л/л0)2 v
Это и есть фазовая скорость волны в волноводе.
Г рупповая скорость совпадает со скоростью движения энергии. Но в плоской волне в вакууме энергия движется со скоростью с в направлении распространения волны. Каждая плоская волна, входящая в состав рассма-
Рис. 91.
триваемой волны Н10, будет испытывать многократные отражения от стенок волновода, и ее „путь" будет зигзагообразным. Результирующая скорость вдоль оси волновода будет
что совпадает с групповой скоростью уе.
518.
Яа = Ег=4 ехРр
где А — постоянная, а остальные компоненты полей равны нулю. Поток энергии
А2с . b
У =—Г— 1п —•
4 а
(1)
(2)
В случае одиночного идеально проводящего провода поля во всем пространстве вне провода описываются формулами (1); полный поток энергии через плоскость z = const бесконечно велик: у -> оо при Ь -> со. Поэтому такая волна не может поддерживаться источником конечной мощности, и, следовательно, рассматриваемый случай не имеет физического смысла.
519.	Волны электрического типа:
<k“ {AmnJm (xmnr) + BmnNm (Хтпг)] sin (та + фт), m = 0, 1, 2, ..., где хтп — n-й корень уравнения
Jm (ха) Nm (хб) - Jm (х/>) Nm (ха) = 0.
367
Здесь Mm, Jm — цилиндрические функции (см. приложение 3), Атп и Втп — постоянные, связанные условием
AmrJ т (хтпа) + BmnNт (ктпа) — 0.
Волны магнитного типа:
&Cz — [СmtJ т (хтпг) + DmnNm (xmnr)] sin {пга + фт). т = 0, 1,2,.,., где хтп — п-и корень уравнения
1'т (ка) N'm (иЬ) - N'm (на) j'm (иЬ) = 0,
а Стп и Dmn связаны условием:
^mrJm (ктпа) + ^тп^т (*тпа) ~
Остальные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через tz и &GZ с помощью уравнений Максвелла.
Чэн п г S' <а + fc)
2ab 1п {b/а) ’
где t,' = Re £.
521.	Если поле симметрично относительно оси провода, продольная компонента <f2 удовлетворяет уравнению
-^+7-> + х> = 0-	J
Поскольку рассматривается проводник с конечной проводимостью, параметры k и х будут комплексными. Определим знак х так, чтобы Imx = = к" > 0.
Общее решение уравнения (1) запишем в виде
(г) = А'Н^ (хг) + В'Н™ (хг),
где Нц\ Н^1 — функции Ханкеля. Из асимптотического поведения этих функций (см. приложение 3) и условия Im х > 0 следует, что должно быть В' —0, так как в противном случае поле будет возрастать на бесконечности. Остальные компоненты g и выразим через <fz с помощью уравнений Максвелла:
Яг = А'Н$>{хг), %г = ^А'н\1>М, На = ^А'Н^{иг).	(2)
При достаточно больших значениях хг функции и пропорцио-
нальны — е~К г и, следовательно, электромагнитное поле затухает экс-У хг
поненциально на больших расстояниях от провода. Максимальная концентрация поля существует вблизи провода, волна имеет поверхностный характер.
Граничное условие Леонтовича на поверхности провода
приводит к характеристическому уравнению для определения х:
/ИР (ха)	со
ха—----------% — а.
Н\1} (ха)	с
368
Здесь g — поверхностный импеданс металла. Для хорошего проводника 15 I 1, поэтому последнее равенство может выполняться только при малых ха. Пользуясь приближенными формулами для Нц> и н\1> (приложе-
ние 3), получим
(ха)2 1п = £ -у а, 1п у = 0,5772.
(3)
Трансцендентное уравнение (3) нельзя решить графическим методом, так как входящие в него величины комплексны. Зоммерфельд использовал пля решения этого уравнения метод итераций, основанный на том, что 1п ха ''	I V
изменяется значительно медленнее, чем ха. Обозначим I  I —и.
1'у2ю 2с
tfi = V. Тогда уравнение (3) запишется в виде
и 1п и — V.
Если найдено приближенное значение u,t (п-е приближение), то более точное значение un+i ((п+1)-е приближение) можно получить по формуле
ап+11па„ = ш
В нулевом приближении можно положить и0 = у, тогда
v	_ у	____________v_________
Ы*— In v ’ Us In (o/ln о) ’ Ыз . v П In (tl/ln о)
Для дециметровых радиоволн (Л = 2лс/о = 30 см), распространяющихся вдоль медного провода радиусом 1 мм (проводимость меди а=5,2- 1017ее/с-1), расчет указанным методом с использованием формул (VIII. 9) —(VIII. 11) дает
и ~ (4,2 + 4.5Z) • 10“8, •откуда
k - -у- [1 + (6,0 + 6,41) • 10~5].
Фазовая скорость волны
волна несколько замедлилась.
Этот результат можно понять из следующих соображений. В случае идеальной проводимости провода поперечная электромагнитная волна имеет фазовую скорость с, поле внутри провода равно нулю. При конечной проводимости часть энергии будет распространяться внутри провода; так как скорость распространения в металле значительно меньше с, то «в среднем» электромагнитная волна замедлится. Кроме того, появится затухание.
Исследуем характер поля в предельном случае £ -> 0 (идеальная проводимость). При этом, как следует из (3), х -> 0, k -> й/с. Используя выражение функций и И'? при малых аргументах, получим из формул (2)
$z —
.. 2iA' . lim------In
x->0 11
2kA' 1 lim =— x->0 r
2i )’
1r —
<Stfa = lim x->0
2kA' 1
ЛХ2 r
24 В. В. Батыгин, И. H. Топтыгин
369
Поскольку компоненты поля не могут принимать бесконечных значений, нужно предположить, что величина А' пропорциональна х2. Положим
А’ = А тогда к д %г = о&а = —> Ъг = 0.
Это — чисто поперечная электромагнитная волна, распространяющаяся со скоростью с.
522.	Составляющие электромагнитного поля в волноводе определяются следующими выражениями:
при
<£г =	(х1г), Чг = ~ I (к,г), аЮа = ~ *----------------<?оЛ (х,г);
Xj	CXj
при а г b ъ
tz = ЛУ0 (x2r) + BNB (x2r),	= — i— [AJt (x2r) + BNi (x2r)J,
Х2
~ i-------[ЛУj (х2г) + BNj (х2г)].
Здесь х,=1/	—k2; х2 = "|/	----k2; ^0, А, В — постоянные.
Граничные условия запишутся в виде
*Л=Ь = °«	*Л=О-0 = *Л=а+0.	«^а1г-О-0=«^а1^О+0-
При этом граничное условие для будет выполняться автоматически.
Исключая постоянные А, В, %в, получим трансцендентное уравнение, связывающее k и со:
ех, /о (х,а) = JB (х2а) NB (и2Ь) — NB (х2а) JB (х26) х2 Zj (х,а) J, (х2а) NB (x2Z>) — IV, (х2а) JB (и2Ь) ‘
При а b это уравнение существенно упрощается. Рассмотрим волну, которая будет иметь наибольшее k. Если бы волновод был заполнен диэлектриком целиком (а = 0), то соответствующее значение х2 было бы равно Xo2 = aOi/6, где а01 = 2,4, JB (а0,) = 0 (см. задачу 514).
Будем искать решение, мало отличающееся от х02:
. z aoi , Да х2~х02 + х2“	’
где Да имеет порядок не ниже а/b. Считая aoia/b •< 1, используем приближенные формулы для JB, No, Ji, Nt из приложения 3. Это дает вместо (1) уравнение
[2	1 Г	2	2 Т
(x2a)2 NB (x2Z>) +— JB (x2Z>) = (x2a)2 NB (x2Z>) + — In —— JB (x2Z>) .
3v	J	L	yX2l*	J
Положим в нем NB (x2Z>) = ДГ0 (aOi + Да) « No (aoi), Л) (x2^) = ~ Л (аю) Да-Тогда, отбрасывая малый член с логарифмом, получим /	lYo(aoi) / а \2
Ла V	в/ 4 /Ja,,,) U/*
Фазовая скорость волны со	______со______________
есо2 (а2, + 2а01 Да)
Т2 F2
370
Вводя обозначение <o0 = a0ic/b « 2,4с/Ь (минимальная частота для волновода, не содержащего диэлектрика) и подставляя табличные значения NB (а01) и Л (aoi). получим
Оф = С
2
1+3,7
(2)
Если волновод заполнен диэлектриком целиком (а = 0), то
Граничная частота частично заполненного волновода
лежит между граничными частотами незаполненного и целиком заполненного волновода:
«о
1'е
Фазовая скорость (2) становится меньше скорости с при частотах
<о>
Юр
— 1
[,+,’85('4)Я-
Таким образом, волновод, частично или целиком заполненный диэлектриком, является замедляющей системой: фазовая скорость электромагнитных волн в нем может быть меньше с. Важной особенностью медленных волн является то, что они могут эффективно взаимодействовать с пучками заряженных частиц. Взаимодействие волн с пучком частиц может быть использовано как для генерации и усиления электромагнитных колебаний сверхвысокой частоты (клистрон, лампа с бегущей волной, магнетрон), так и для ускорения частиц (линейный ускоритель).
523.	Граничные условия иа анизотропно проводящей плоскости имеют вид
Eix ~ Егх — 0.	Etx = flsxt Elz ~ Ezz-
Индексом 1 обозначена область у > 0, индексом 2 — область у < 0. Первые два равенства являются следствием идеальной проводимости полосок, последние два выражают отсутствие тока в направлении, перпендикулярном полоскам. Кроме того, Еу = Ег = 0 при х = ± а и все составляющие поля должны быть ограничены при у -> ± оо.
Решая уравнения Максвелла с указанными граничными условиями, найдем
21л- = 0, %iy = — Ве~®у cos ах,
lz = iB у e~$y cos ах,
^хх = В
( k0E	а2 )
\ k	kok /
е cos ах,
&&ty — В e Рг/ sin ах,
= — iB -4 e py sin ax,
Rq
24*
371
где k0 = и/с, В — постоянная,
_ (2m+ 1) л
u ---------2---
w = 0, I, 2,
₽ = = У^2 - *0e + <4 •
Постоянная распространения k выражается через <о по формуле
k — km — Ctm
*0
1-(е+1)-£-
Для заданного т волна может распространяться, если ее частота о заключена в пределах
при этом k меняется от 0 до оо.
Если е = 1 (диэлектрик отсутствует), то система превращается в резонатор: в ней возможны колебания при дискретных частотах <от = сат. При е > 1 рассмотренное устройство является замедляющей системой. Групповая и фазовая скорости волн в ней меньше скорости света с.
524.	Волны электрического типа в рассматриваемом случае существовать не могут. Волны магнитного типа:
<й?2 = -^°С (х cos их — k sin их
1 k sin их — и cos их юр	р±
=	=	= 0,
пл ,	тЛ <о2е.,р,	(tin
где и =----------, k= I/ —/------------------------
а	г с2 \ а
4z — sin их,
п = I, 2, 3, ...,
в2
т->	(п)
Граничная частота cDq ------.
6|,р
Как следует из формул для и конфигурация магнитного поля для волны данного типа зависит от знака k, т. е. от направления распространения волны, и от знака ро, т. е. от направления постоянного магнитного поля. Этот эффект связан с гиротропией среды, заполняющей волновод.
525.	Уравнения Максвелла для комплексно-сопряженных амплитуд 8о>^о
имеют вид
rot £о — ik0 (ег X So) —	~ Зе0.
го1эе;-«л0(егхэд=^-8;
(О
372
Амплитуды g, удовлетворяют уравнениям
rotg-Hfe(ezX g) = -^p'9C.	rot9e+i£(ezX9e)=--^e'g,	(2)
где p'9€, e'g - векторы с компонентами ]i'ih<Stfh, e'ikr£k; n'ik = e'ik = 6ik - вне. области, занятой диэлектриком, p(ft = pzft, ezft = eik — внутри этой области Из уравнения для rotgg и rot5€ следует:
rot g q — g о rot +1 — /?о) (ez X g о) — (ЭС  е ё  g о)-	(3)
Проинтегрируем обе части этого равенства по поперечному сечению волновода S. Первые два члена можно преобразовать следующим образом:
j (9€rotg*-8*rot9e)dS = -i- j div (go X tf)dV.
S	V
В последнем выражении интеграл берется по объему, ограниченному стенкой волновода и двумя сечениями, отстоящими друг от друга на расстояние I (подынтегральное выражение не зависит от г).
Применяя затем теорему Остроградского — Гаусса, получим
j div(goX 9€)dv= j (gjx 9e)*nds= J (n x go)-9eds.
На стенке волновода nX8o = O в силу граничного условия '/0х = 0, а интегралы по сечениям входят с противоположными знаками и взаимно сокращаются. Поэтому
J (n X So)-9€dS = O, и равенство (3) дает
(fe — Z»o) J (8оХ * ez dS — s
= — co
J	J(g-g’)dS- J
_S	S	Д5
Aeg -godS
(4)
где Ле = ё — 1 и AS — поперечное сечение области, занятой диэлектриком. Таким же путем из уравнений для rot g и rot ЭСд находим
М J*	«о)" ez dS ~~
s
J (9e-9to)rfs~ J (8 • go)rfS+ J Ар5€-9ёр</5
Ls	S	Д5
(5)
где Ар = p — 1.
Складывая равенства (4) и (5), получаем формулу, приведенную в условии задачи. Она представляет собою точное соотношение, связывающее изменение Ай постоянной распространения с амплитудами полей. Однако в большинстве случаев точное решение задачи о волноводе, частично заполненном диэлектриком, не может быть получено. Только при достаточно малых поперечных размерах области, занятой диэлектриком, удается приближенно определить амплитуды возмущенных полей g и 9С. Тогда с
373
помощью полученной формулы для Aft можно подсчитать изменение постоянной распространения, которая является важной характеристикой волны в волноводе. Примеры расчета волноводов таким методом приведены в задачах 526— 528.
526.	В случае пластинки малой толщины амплитуды возмущенных полей можно приближенно выразить через невозмущенные амплитуды, которые для волны типа Hi0 имеют вид
лх	ikna . лх
36 аг =	cos-, &еОх =------— sin------,
а	па
% о у = 	<Ж0 sin а t %ojc ~	= ^оу ~ 0-
(Эти выражения могут быть получены из результатов задачи 510.) Пренебрежем изменением амплитуд поля вне объема, занятого пластинкой. Кроме того, пренебрежем изменением полей по толщине пластинки. Это эквивалентно отбрасыванию членов порядка d2 и выше. На поверхности пластинки должны выполняться граничные условия:
тде невозмущенные амплитуды в правых частях берутся при х = хь Эти равенства определяют амплитуды возмущенного поля в пластинке.
Интеграл, стоящий в числителе выражения для Aft (см. условие предыдущей задачи), равен произведению подынтегральной функции на площадь поперечного сечения пластинки bd, так как поле не зависит от у, а зависимостью от х пренебрегаем.
В интеграл, стоящий в знаменателе, можно подставить невозмущенные значения амплитуд. В результате получим
Kk = -r— koa
(е — 1) со2 с2
Так как р.± зависит от величины постоянного подмагничивающего поля Но (см. задачу 331), то и Aft будет зависеть от этого поля. Изменение Нв вызывает изменение фазы волны. Устройства, основанные на этом явлении, широко применяются в радиотехнике для преобразования фазы.
527.	д*=^._±1£_/е_П 4яс afclnAV а
528. a) Л£ = 4пс	b — a j	1_\ , . b Iе	Иц / ab In — '	11 ' а
corf б) А/г = —— 4лс	b — a /	1 \ 	Г Iе	• «Нп — '	' а
В случае a) Aft практически не зависит от величины постоянного магнитного поля Яо, так как Рц~1 (см. задачу 331). Это объясняется тем, что внутри пластины высокочастотное магнитное поле совпадает по направлению с постоянным полем и не поддерживает прецессии намагниченности М. В случае б) высокочастотное магнитное поле внутри пластины перпендикулярно постоянному полю, р± зависит от Яо, причем эта зависимость носит резонансный характер.
374
529. Интегрируя уравнения (IX. 1) с граничным условием (IX. 2), находим Ех = Л] cos (kix) sin (k2y) sin (k3z)
Ey = A2 cos (k2y) sin (ktx) sin (k3z),	(1)
Ez = A3 cos (k3z) sin (Ацх) sin (k2y),
где At — постоянные,
k j = n, л/а, k2 = n^lb, k3 = n3n/h, и2 = c2 (/г2 + k2 + Л2),
nt, n2, «3 = 0, 1, 2, ... (временной множитель e-iwf опущен).
Вектор H выражается через Е с помощью уравнений Максвелла.
Уравнение divE=0 приводит к условию поперечное™ А-к = 0, где вектор А = (Аь А2, А3). Отсюда следует, что колебания при заданных kx, ky, кг¥=0 двукратно вырождены, так как вектор А можно выбрать в плоскости, перпендикулярной к, двумя независимыми и произвольными способами. Положим для каждого такого к:
Afca — ^еко’ ° ~
где ек0 — единичный вектор такой, что ekI-ek2=0 и ek(J-k = 0, а постоянная
/32л	..	,,
—р— , причем V = abh — объем резонатора.
Тогда все собственные функции будут взаимно ортогональны и нормированы условием
J Ev,EvdV = 4ndvv„
Это соотношение легко проверить, непосредственно интегрируя (1). Индексы V, v' введены для обозначения четырех чисел: щ, п2, п3 и о.
Если одна из проекций к равна нулю, то вырождение отсутствует, так как в решение (I) входит в этом случае только одна постоянная.
I/
530 EN = —5-5- со2Дш.
531.	Колебания электрического типа:
Ее = %<>Jm (иг) sin (та + фч) cos (kz} e~‘al, Нг — 0,
Ef = —	(хг) sin (та + фт) sin (kz) e~iat,
Еа — —	'{й1т (иг) cos (та+ фт) sin (kz) e~,at,
Иr =----40Jm (иг) cos (та + фт) cos (kz)e~'at,
Яа = -^ (иг) sin (та + фт) cos (kz) e~lb)t;
k = tilth, 1 = 0, 1, 2, ..., итп — атп/а, amn —
корни уравнения Jm (am„) = 0, w2 = с2 (и2 n + k2).
Колебания магнитного типа:
Hz = (иг) sin (ma + фт) sin (kz) e~!at;
k=ln[h, 1=1, 2, ...; значение 1 = 0 невозможно; итп = $тп1а, гДе Ргап-корень уравнения }'т(^тп) = °', «2 = с2 (и^„ + 1г2). Остальные компоненты полей выражаются через Нг с помощью уравнений Максвелла.
375
Прп m^O колебания как электрического, так и магнитного типов двукратно вырождены, так как каждой собственной частоте соответствуют две собственные функции, например,
Нг = ^0/,и (хг) sin та sin (kz) e~iat и
Hz = (xr) cos ma sin (kz) e~,<at.
532.	В квазистациоиарном приближении можно рассматривать указанную систему как колебательный контур, состоящий из конденсатора емкостью (8&	7 \
1П —----4I.
(Вычисление самоиндукции проволочного кольца см. в задаче 272). По формуле Томсоиа (VII. 3)
с
п, / лб /. 86	7\
/?1/ 1п------------г
I d \ а 4)
Квазистационарное приближение применимо, если Л.о = 2лс/<оо много больше размеров системы (т._е. Л » /?, 6).
533.	= — 1Z4 •
а t лб
534.	В квазистациоиарном приближении (Хо = 2лс/о\, о, 6) считаем, что электрическое поле целиком сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное поле — внутри тороидальной камеры. При таких предположениях резонатор эквивалентен обычному колебательному контуру, „	г (Ь — а)2
состоящему из емкости и индуктивности, емкость конденсатора С  -——,
самоиндукция тора L — 4л (б —р^б2 — а2) (см. задачу 269). Собственная частота:
(b-a) 1	л(б-Кб2-а2)
Рысшие типы колебаний рассмотренного резонатора не могут быть вычислены в квазистациоиарном приближении, так как для них не выполняется условие Л. >> а, 6.
гог-	2с
535- "о~~2Ь--а
d
п ,, 26 + о
2л6 In—:---
26 — о	t
536.	В коаксиальном волноводе, закороченном с одной стороны (при .2 = 0) идеально проводящей перегородкой, устанавливается стоячая поперечная волна с напряженностями поля:
А .	<02 —ttof гт	л—i(£>t	ft\
Er =— sin------------e 9	=----------cos--------e .	(I)
r c	r c
В любой плоскости, перпендикулярной оси волновода, распределение электрического поля такое же, как в цилиндрическом конденсаторе, и можно считать, что оио создается разностью потенциалов
Лф = A In — sin	(2)
между центральным стержнем и оболочкой.
Эту разность потенциалов следует приравнять напряжению на обкладках конденсатора, образованного торцом стержня и верхней крышкой резонатора:
Дф|г=/1 =<?/С.	(3)
376
Здесь С = a2/(4d) — емкость конденсатора; q — заряд одной из обкладок,, который можно выразить через силу тока 9, протекающего по стержню (или равный ему по величине и противоположный по направлению ток в оболочке)	_
9 — — iwq.
Вычисляя силу тока по известному магнитному полю (1) и подставляя ее, а также разность потенциалов (2) в формулу (3), найдем трансцендентное уравнение, которому удовлетворяют собственные частоты:
. сой	2ла2ш . Ь
ctg----=------—In —.
с cd а
Это уравнение легко решается графически. При соЛ/с 1 (это означает, что Л 2nfi — квазистационарное приближение) получаем
с
с
Ш =------ ---------------
а2	b	VLC
|/	- • 2Л In —
г Ad	а
где L — коэффициент самоиндукции отрезка коаксиальной линии длиной h. В этом приближении вычисляется только одна —низшая —собственная частота (ср. решения предыдущих задач 532— 535).
При d = 0 (закороченный с двух сторон отрезок коаксиального волновода) имеем
ыт = ^~-т,	т=1, 2, ...	(4)
Это означает, что на длине резонатора должно укладываться целое число полуволн: Л = —2~ т.
537.	Поле в резонаторе описывается уравнениями Максвелла (VIII. 1), (VIII. 2), причем В — Н, D = E. Умножим первое из них скалярно на Hv, а второе — иа Ev и проинтегрируем по объему резонатора:
d Г dt J
H-HvdV=-c
Hv. rot E dV,
d
dt
E • Ev dV = c Ev. rot H dV.
(1)
Считая собственные функции Ev, Hv ортонормированными в соответствии с условием (IX. 3), вычислим интегралы в правых частях равенств (1):
d dt
Н  Hv dV = 4npv,
d dt
E • Ev dV — 4nqv.
(2)
Собственные функции Ev, Hv удовлетворяют уравнениям:
rot Ev == ikvHv, rot Hv = — ikyEy, rot rot Ev = ^Ev, rot rot Hv = &vHv>
(3)
где kv (kt, ^2, k3) — соответствующие собственные числа (они вычислялись в задачах 529, 531). С помощью (3) можно преобразовать интегралы, стоящие в правых частях равенств (1),
div [Е X rot EJ = rot Ev • rot Е — Е • rot rot Ev = ZfevHv • rot E — fe^Ev  E,
377
поэтому
j" Hv • rot E dV = - ikv J Ev • E dV + — [ div [E X rot EVJ dV =
= — 4nikvqv+ ф Hv [п X E] dS, (4)
где последний интеграл берется по внутренней поверхности резонатора и п —орт нормали, направленный в глубь проводника. Но поле на стенке резонатора удовлетворяет условию (VIII. 10), которое можно записать в виде
£Нт = пХЕ.	(5)
Собственная функция Hv резонатора с идеальной проводимостью имеет на стейке только касательную составляющую, поэтому при подстановке (5) в интеграл (4) можно заменить Нт иа Н. В итоге, собирая формулы (1)—(5), получим уравнение
Pv ~	(р Hv - Н dS.	(6)
Второе уравнение выводится аналогичным путем:
<7v — ic>vPv — 0-	(7)
Исследуем влияние конечной проводимости стенок на v-н тип колебаний идеального резонатора. Возмущенное поле Н при £->0 должно переходить в невозмущениое поле, т. е. в сумме
H = 2Pv'Hv'
V'
должен оставаться один член с v' = v. Следовательно, амплитуды pv, с v' = v пропорциональны и их подстановка в (6) дает члены порядка и выше. Пренебрегая такими членами, заменим Н в (6) на pvHv и получим уравнение вида
pv -7wv9v = - Pv Hv dS-	<8)
Если исключить одну из переменных (pv) с помощью (8), то для другой получится уравнение
qv + ^vqv+^^H2dS^qv = 0.	(9)
Величина, стоящая в скобке, комплексна. Поэтому уравнение (9) описывает гармонический осциллятор, на который действует «сила трения» —	- ф dsj qv, где t,' — действительная часть поверхностного импеданса.
Решая последнее уравнение, найдем комплексную добавку Лац, — iyv к собственной частоте идеального резонатора. Потери приводят к затуханию собственных колебаний с декрементом
"0)
и к сдвигу собственных частот на величину
= HvdS,	(И)
так что измененная собственная частота wv = cov + Aaiv.
378
Связь между добротностью резонатора и декрементом затухания дается-формулой (IX. 4).
WvO	„
538.	(?v = ‘4-p’= у —2с=—‘ Система потеряет резонансные свойства при достаточно высоких частотах, когда расстояние между соседними собственными частотами станет сравнимым с шириной резонансной кривой, определяемой декрементом затухания yv = <ov/2Qv. При высоких частотах, как следует из результатов задачи 530, расстояние между соседними собственными частотами:
Aw _ л2с3 1
ЛМ а3 w2 ’
Приравнивая эту величину декременту у, найдем область частот, для которых система обладает резонансными свойствами:
<о 109а'^я
При 1 см и <Г = 1017 сек~1 имеем: w^3> 1012 сек-1.
539.	Производя разложение Е и Н по собственным функциям идеального резонатора, как это сделано в задаче 537, получим для амплитуд pv и qv систему уравнений:
pv - /й<7Л, + 2i 2 A QV'!V> = °.	(О
v'
qv-iavpv=~^jve-iat,	(2)
где Afiv = Aw — iyv — комплексный сдвиг собственных частот;
/V- J	j • Ev dV.	(3)
Ишем решение уравнений (1), (2) в	виде	
„	„о.—ie>t Pv = Pve	, -7v = <7>-^.	(4)
Исключив величины q^, получим p°v (w2 - 2w Afiv - w2) =	= ~/v + 2“S Afiv'P?'-	(5)

Знак «б» у суммы означает, что член с v' = v отсутствует (он перенесен в левую часть равенства).
Решаем систему (5) методом последовательных приближений. В нулевом приближении отбрасываем сумму (29 и получаем
„0_________iWy/y______ /с\
Pv / 2 о	9\ •
с (w2 — 2ю AQV — w J
В следующем приближении получим добавку к (6), равную
________2w У1' aq о w2--2wAQv —w2 v'₽v'-
V	V yf
Она мала, если w близко к wv, а все остальные собственные частоты wvr удовлетворяют условию | w — wv, |	| A£2V, [.
379
Выразим знаменатель (6) через добротность Qv и измененную собственную частоту Sv = ttlv + Awv- Имеем:
АГх	А	А	/(0(0у
co = со Дсоу — ccoyv ~ wv Awv 57;—»
что справедливо вблизи резонанса (| со — cov | С со). Отсюда
по__________ie>viv_____ о_________________iujy______
ер_й?+-*)-	1
Зависимость амплитуд поля от частоты имеет резонансный характер. При заданном j поле при резонансе тем больше, чем выше добротность резонатора:
о _ о _ jvQv	,й.
Чурез Рурез	•	1°)
Из полученных формул следует также, что проводник с током следует помещать в пучность электрического поля Ev и ориентировать вдоль Ev. При этом величины jv и, следовательно, р“, будут иметь наибольшее значение.
540.	Если волновое поле с энергией W, заполняющее резонатор, отражается от зеркала один раз, то потеря энергии составляет 1Р(1—Р). За время dt теряется энергия
dr=-U7(l-J?)
где с dt/L — число отражений. По определению добротности (IX. 4)
соГ гоЕ
У|	с(1-Я)'
dt
где со —частота рассматриваемых колебаний.
Излучение через боковую поверхность вызвано тем, что ограниченный в поперечном направлении пучок света не может быть строго направленным. Он обизательно имеет поперечную составляющую волнового вектора ДЕ, , которую можно оценить из условия ДЕ± • D~ 1 (см. задачу 424). Это приведет к тому, что лучи света, распространяющиеся от одного зеркала к другому, образуют слегка расходящийся пучок с углом раствора
2 Д/г I	2с
20 = —А = -к--
Рис. 92.	k	Da
Часть лучей не попадет на второе зеркало (рис. 92), и потеря энергии при одном отражении составит WLQ/D. За время dt потеря
dW = - w~ = - W dt. D L	D2a
Добротность за счет излучения:
.. W
42 =—72-
380
Если потери в зеркалах и на излучение малы, они складываются. Полная добротность Q определяется по формуле
_L=JL+J_.
Q Qi Q2
При указанных в условии задачи значениях параметров: Q,«4-105;	Q2«4-108»Q,; Q « Q, « 4 • 10s.
541.	Если первоначально луч распространялся по нормали к плоскости одного из зеркал, по после n-го отражения угол между нормалью и лучом
будет равен «₽ (рис. 93). За п-е прохождение между зеркалами луч смещается на расстояние «р£; число отражений N до выхода луча из резонатора оценивается из соотношения
N
2	«* D.
n=l
При N >> 1 получим	2> чт0 соответствует времени затухания
собственного типа колебаний
С с \ ₽ )
Это время можно отождествить с обратным декрементом затухания у:
Добротность за счет непараллельиости зеркал: со со ( 2DL \'/2
Чтобы иепараллельность зеркал не уменьшила существенным образом добротности резонатора, требуется выполнение условия Q3 Q, где Q — добротность резонатора с параллельными зеркалами. Отсюда
f>2 DL
2с2 Q2 •
Для параметров резонатора, приведенных в условии предыдущей задачи, находим
0,0012.
381
542.	а) Угол О принимает дискретные значения, определяемые условием
L	пК
cos О	2
(1)
где n > 1 - целое положительное число. Если при заданном Л возможно значение 0 = 0, которое соответствует и = п0 (L = п0Л/2), то дискретные значения угла 0*	1 определяются формулой

(2)
б) Добротность Qi, учитывающая потери в зеркалах, была найдена в задаче 540. Добротность Q2, связанная с потерями на излучение, по порядку величины составляет
Qi--^ ПрИ О>0,	=	ПРИ ° <е>	(3)
где 0 — угол дифракции, определенный в задаче 540.
Если Qi < Q2 max. то полная добротность Q резонатора для тех типов колебаний, у которых Q2 (О) > Qi, будет практически одинаковой и близкой к Q1. Если Qi > Qi max. то Q будет определяться, в основном, величиной Q2 в соответствии с формулами (3).
глава х
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Преобразования Лореица
X - Хд + V (/ - tg)	,	,
543. х-х0 =-----у~у^у ~У(>'
z _/о + тг(* -*о)
Z ~ г0 = Z “ 4 * - *0 =	т/Т—02
546. Координаты часов, показывающих равное время / = /' в системах S и S':
Из этих формул видно, что точка, в которой t = f, движется разномерно в каждой из систем S и S'. Если ввести систему отсчета, относительно которой эта точка неподвижна, то S и S' движутся в противоположные стороны с равными скоростями Vo =-р-~ (Ео представляет собой релятивистскую «половину» скорости V в том смысле, что релятивистское сложение двух скоростей Vo даст V).
547. В системе S' продолжительность одного периода Г = 2//с; в системе S время Т\ движения «зайчика» вдоль стержня в направлении относительной скорости V вычисляется из уравнения

382
время движения в обратном направлении Т2 получается заменой V па — V. Для отношения Т' к Т = 7’14-7’2 находим
у- = V\-V4c\
откуда следует (X. 7).
54	9. а) Нельзя. 12 час 00 мин могут показать одновременно двое часов в одной из систем отсчета и только одни часы в другой системе отсчета.
б)	Показания пространственно совпадающих часов не зависят от выбора системы отсчета:
ta, = 12 час 00 мин + ~~ = 13 час 00 мин; Л	I/
<. = 12 час 00 мин + уу А	I/
= 12 час 36 мин.
Показания оставшихся часов В к В' будут зависеть от выбора системы отсчета вследствие относительности одновременности.
Рис. 94.
С точки зрения наблюдателя на «платформе» (рис. 94, а): <„,= 12 час 21,6 мин, <„ = <. = 12 час 36 мин. £3	£3 А
С точки зрения наблюдателя в «поезде» (рис. 94, б): = час 00 мин, <„ = 13 час 14,4 мин. £3 А	£3
<д, = 13 час 14,4 мин.
<g = 13 час 00 мин.
в)	С точки зрения наблюдателя на «платформе»:
/.= 13 час 00 мин = 1о,	<„,= 12 час 36 мин,
А	£3	£3
С точки зрения наблюдателя в «поезде»:
<д= 12 час 21,6 мин,	час 36 мин,
Во всех случаях отстают те часы, показания которых приходится сравнивать с показаниями двух часов в другой системе отсчета.
550. По земным часам: Д< = 8 лет. При расчете запасов снаряжения следует брать в основу промежуток времени Д<0 = 0,01 Д< « 1 месяц по часам в ракете;
Т — тс2 (у — 1)=2,5 • 1016 квт-ч.
Это количество энергии примерно в 10 000 раз превышает годовую выработку электроэнергии во всем мире в настоящее время.
551.^—2<°А<( (Д<)2 + 1Ц с'
2 ’
383
Для наблюдателя, связанного с первым масштабом (рис. 95, а), сначала совпадут левые концы, потом правые; для наблюдателя, связанного со вторым масштабом (рнс. 95, б), — наоборот. С точки зрения наблюдателя >
]/
______________ V
21	'Z3--------*
а)
Рис. 95.
б)
относительно которого масштабы движутся с одинаковой по величине скоростью, концы совпадают одновременно.
552.	Введем поперечную и продольную компоненты радиуса-вектора .. r-V , ..r' V
ГИ V v2 ’ ги * V2 ’ г±=г-г|р г1=/-4 Применив к Г| и гпреобразования Лоренца (X. 1), получим rii=v(r;+v/),	г±=г2-
Окончательно:
г = у (r' +Vf) 4-(у — 1) (Г'Х^)Х¥,	/ =
553.	А = у (А' + у А') + (у- 1) (A,X^)XV , Ао = у (4 + АрС).
v' + V + (y-l)-^[(v'-V) + V2]
554.	v = Vj| + Vj ---------------,	--------, где v и v' — скорости
в системах S и S'. Можно также просто продифференцировать по времени радиус-вектор г, выраженный через г' и V формулой, полученной в задаче 552.
558.	Угол томасовской прецессии определяется соотношением
о2 V1 - У2/с2 + У2 V1 - о2/с2
<Р- arccos JZ2 + t,2 _ 172ц2/С2
При о, V С с угол <р ~ 0.	__________
При v -> с угол <р — arccos V 1 — V2/c2;
<р -> л/2.
1 — v2/c2
559.
1 + v2/c2
560. a) V = 2- 0,9с = 1,8с; б) V = 0,994с.
если при этом и У -> с, то
561. Относительная скорость двух частиц
из них, У =
2у
1 + v2/c2
* V1 - У2/с2
в системе, связанной с
одной
Отсюда
тс2	2
= тс2
384
В ультрарелятивистском случае <?0 » тс2 и, следовательно,
2^2
Если ускорению подвергаются электроны (тс2 = 0,5 Мэв), то, например, при =50 Мэв получается выигрыш мощности ускорителя в 200 раз: 2°= 10 000 Мэв.
562.	Эту задачу, как и задачу 554, можно решить двумя способами. Результат:
•__1 •,_ (у - 1) (у'-У) V _ (? • V) V
v	y2s2 V y3s3V2	y2s3c2 ’
Из этих формул видно, что если в одной системе отсчета частица движется с постоянным ускорением v', то в другой системе отсчета ускорение у, вообще говоря, зависит от времени (так как в формулы преобразования входит переменная скорость у' частицы).
563.	гг>2= — у6[ V2 — (v X -yj — у4[ v2 + Y2v2-^2-J < 0, т. е. четырехмер-нэе ускорение — пространственноподобный вектор.
564.	Пусть S' — мгновенно сопутствующая частице система. Согласно ответу к задаче 562,
v' = Y2p + -^5— (v-v) v]-	(1)
Отсюда квадрат ускорения
у'2=Y4 |> +	=Y6 [	_ (; х ^)2].	(2)
Если скорость частицы меняется только по величине, то v || v и
v' = y3v.	(3)
Если скорость частицы меняется только по направлению, то v 1 v и v  v = 0, так что
v' = y2v-	(4)
Результат (2) можно получить и другим, более простым способом, воспользовавшись выражением квадрата четырехмерного ускорения, найденным в предыдущей задаче. Квадрат то? является четырехмериым инвариантом. Это значит, что вычисление а»? как в системе S, так и в системе S' должно дать один и тот же результат. Замечая, что скорость частицы у' = 0, получим формулу (2).
без. но«l + c/n-tcW
” I V Г\	I
В ультрарелятивистском пределе:
V (t) С, X (t) ~ Ct — C2!w.
25 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин	385
В нерелятивистском пределе:
t) (/) = t)0 + И’/, X^—Xa + Vot+'/iWt2.
566.	Время разгона по часам в неподвижной системе:
V
Г =4- [ ------dv=_v==^=s47>5
|v| J (1-и2/с2)/г |vlFl-t>2/c2
Время разгона по часам в системе, связанной с ракетой, с . I 1 + о/с „ с
1 =----— In ----------- = 2,5 года.
2 | v | I 1 — v/c
567.	Формулы (1) описывают преобразование Лоренца с малой относительной скоростью Av и поворот на угол Д<р=|Д<р|, причем ось вращения проходит через начало координат и параллельна вектору Д<р. Эти преобразования вследствие малости Ду и Д<р могут производится в любой последовательности. Таким образом, мгновенно сопутствующая система является вращающейся. Это вращение представляет собой чисто кинематический релятивистский эффект и называется прецессией Томаса (ср. задачу 558).
При v^c формулы (2) принимают вид
Ду « бу, Д<Г ~ 6v X V.
В этом пределе величину
Д<р 1 •
“г бГ~'2с2’ v Х v
можно рассматривать как угловую скорость томасовской прецессии мгновенно сопутствующей системы относительно лабораторной системы S.
568.	В системе S; cos а = . V|. Л2 . В системе S'-.
I VI 11 v2I
(у, — V) • (v2—V) —(v, X V) • (v2 X V) cos а' =  	:—г	.  	—
]/ (vi-V)2-y (v, X V)2 у (v2-V)’-l(y2XV)2
569.	Угол в системе S стремится к нулю. Для того чтобы убедиться в этом, положим V = Vос, где | Vo | = 1. Вычислим cos а' по формуле, полученной в предыдущей задаче. Воспользовавшись тождеством
(а X Ь) • (a, X Ь,) = (а  а,) (Ь • Ь,) - (а • bj) (а, • Ь), получим
с2 — Vi • V — v2 • V +	(v! • V) (v2 • У)
COS а' = -г	—г	. . . — = 1,
К(с - у, • V/c)2 • /(с - v2 • V/c)2
откуда а'= 0. Это сужение углового распределения является характерным релятивистским эффектом, проявляющимся во многих явлениях.
570.	Определение угла аберрации сводится к вычислению двух углов (рис. 96): угла а! между направлением луча АС и направлением скорости v Земли в первом ее положении и угла а2 между направлением ВС луча и направлением скорости v' Земли во втором ее положении (через полгода). Угол аберрации б можно определить как б= (л — а2) — «1 = л — eq — а2. Углы «1 и а2 вычислим по формулам (Х.15), выразив их через угол О’, который
386
наблюдается в системе отсчета, связанной с Солнцем, между лучом ОС света и вектором скорости Земли:
tg (л-а,) = y
sin
cos & — р ’
tg (л-а2) =
1 sin &
у cos ft + р ’
„ V	1
где Р = ?,
Отсюда находим
1 — cos б
1 + cos б
= Ру sin -О'.
Заметим, что все три угла между скоростями, изображенные на рис. 96
относятся к разным системам отсчета и что сам рисунок условен (например, изображенные на нем отрезки АС = СО = СВ = с).
Из полученных результатов видно, в частности, что угол аберрации б зависит только от относительной скорости v Земли и Солнца и не зависит от скорости Солнечной системы относительно звезды.
571.	Если положение Земли на орбите определяется азимутальным углом <р и а = (0, а^, аа) — вектор, проведенный из точки (-О, а) небесной сферы в точку видимого положения звезды на небесной сфере, то
= — р cos О • sin (а — <р), аа = — р cos (а — <р).
Рис. 96.
Отсюда видно, что видимое положение звезды на небосводе в течение года описывает эллипс с полуосями Р cos Фир.
572.	Рассмотрим в системе S пучок внутри телесного угла dQ = sin ft d& da. В системе S' этот пучок будет наблюдаться внутри угла dQ' — sin О' d&' da'. ,,	I	Л.Г cos ® ~ P Л
Угол a = a, a cos & = -—s------у-. Отсюда
1 — P cos -fr
1 — B2
dQ' = sin -O' dfi' da' = ——- p	dQ.
(1 — P cos ft)2
При этом, разумеется, J dQ' = f dQ = 4л.
dN No dQ No 1-p2
573‘ 7ЙУ =	 W = 4л~ (i — p cos O')2 ’ где 0 “ полное число види'
мых звезд.
574.	со = усо' (1 + —-У-)	или ш  --—2——,	к = у(к' +	+
yl1-—) с }
+ (у - 1)(V X V) X -ру, где n = k/k, п' = к'/k', k = со/с.
575.	Если со0 — частота в той системе, где источник покоится и V — скорость источника относительно приемника света, то приемник зарегистрирует меньшую частоту со = со0 )1 — У2/с2 (красное смещение).
25*	387
Угол а луча с направлением движения источника в системе его покоя определяется формулой
V cos а =------
с
Угол а близок к 90° только при V с. Если V -> с, то а -> л.
„„	i — Vfc	t/T+WT
576.	а) Л-Ло j/ i + vfc , б) Л-Лоу {_у/с .
... о - о	1 - j (’-р2)*'2
577.	со-соо j_pcose.	(1-pcOsG)2’-
Частоты совпадают, со = <оо при 6 = 601 где cos 60=(1 —/1 — р2 )/р; при этом / = /0) 1—р2. Интенсивности сравниваются, J = J0 при 0 = 0i<0o, cos0j = = [1 —(1 — Р2) ^4]/р. Когда источник света находится далеко от наблюдателя, приближаясь к нему, так что 0 < 0О, частота со > сос из-за эффекта Доплера («фиолетовое» смещение). Если к тому же 0 <0Ь то интенсивность J также превышает JB—движущийся источник выглядит более ярким, чем неподвижный. Интенсивность максимальна при 0=>О н составляет /max =/о (1 + Р/2/1^1—р. При 0 > 0О частота со < соо, и наблюдатель видит «красное» смещение; интенсивность света теперь меньше, чем у неподвижного источника. Эти эффекты особенно заметны при V ~ с, когда
®тах “ С00	СОо И J max “ •’о	•’о»
а угол	_
0О- /2(1-Р)7* С 1,
так что покраснение света начинается, когда источник находится еще далеко от наблюдателя, приближаясь к нему. Это происходит, начиная с расстояний / — d/Q0.
7Vi = /0(1-P2)| о
Число фотонов, излучаемых в единицу лабораторного времени в интервале углов 0 < 0 < 0О, есть
е»
2л sin 0 dQ v~j-----1 + р -/1 -Р2 .
(i-pcoseT^2n7°F1~p -------------Р------
= 2л/0 /1 — Р2 (1 + cos 0О),
а в интервале 0О < 0 < л
N2 = 2л/„ /Г^р5	= 2л/0 /Г^Р5 (1 - cos 0„).
Р
Очевидно, что Ni + N2 = 4л/0 Г 1 — Р2 соответствует полному числу фотонов, излучаемому в единицу времени по всем направлениям. N1 и N? равны между собой при Р < 1, когда cos 0О ~ 0. Если же Р приближается к единице, то Ni делается много больше, чем N2. Таким образом в этом ультрарелятивистском случае подавляющая часть света излучается в узком конусе 0 < 0О, испытывая при этом фиолетовое^смещеиие.
578.	Используя решение предыдущей задачи, получим
(1 — В2)2
/ = /Йсо = /0 (1_pcos6)3- •
где /0 = /ойсоо — изотропно распределенная сила света в системе покоя
388
источника. Полный световой поток
ф-j-(T-jptfe). (4л)	О
одинаков в системе покоя источника и в лабораторной системе (сравнить с результатом задачи 767).
579.	Введем систему S', связанную с зеркалом (S — лабораторная система). Обозначим через О] и а2 углы, образуемые волновыми векторами
направлением скорости V зеркала будем обозначать <0j и ©2 соответ-
kJ и 1<2 падающей и отраженной волн с (рис. 97). Частоту до и после отражения
ственно. Аналогичные величины в системе S будем обозначать теми же буквами без штрихов. Будем исходить из известных законов отражения в системе S ; ©| — ©2 = © и а' = л — а,, откуда cos а2 = — cos
Выражая ©' через ©, cos а' через cos а с помощью формул (X. 4) и (X. 14) и решая получившиеся уравнения относительно ©г и cos аг, найдем
(1 + р2) cos Oi — 20
COS а2	1 4 ло	т о2 *
1 — 2р cos Oi 4- р2
1 — 20 cos Oi + 02
“г =	------ГТГЙ2------•
Если р -> 1, то при нормальном падении на удаляющееся зеркало ю2->0, а при нормальном падении иа приближающееся зеркало ©2 -> со.
580.	©] = ©2.
Угол падения равен углу отражения.
581.	Изображение создается квантами света, одновременно достигающими фотопластинки. Но эти кванты испускаются точками движущегося тела, вообще говоря, неодновременно. Это происходит как вследствие неодинаковости расстояний различных точек тела до фотопластинки, так и из-за того, что события, одновременные в одной системе отсчета, неодновременны в другой. Поэтому изображение движущегося предмета будет не таким, как изображение неподвижного предмета.
Кванты, испущенные разными точками ребра А'В' одновременно в системе S' (куба), достигнут фотопластинки тоже одновременно. Длина изображения АВ будет такой же, как и в случае неподвижного куба, и будет определяться только тем сокращением, которое обусловлено расстоянием до предмета и фокусным расстоянием фотоаппарата. Примем эту длину за 1.
У неподвижного куба изображение ребра E'F' было бы слито с изображением А'В’ (в предельном случае сколь угодно малого телесного угла, когда все лучи параллельны). В случае движущегося куба кванты от ребра E’F' достигнут фотопластинки одновременно с квантами от ребра А'В', если первые будут испущены раньше на время Д1 = 10/с (в системе S). В это время ребро E'F' занимало положение E\f\ и до испускания света ребром А’В' проделало путь, равный Vl0/c. Следовательно, теперь ребро E'F' не будет загорожено ребром АВ, изображения ребер А'Е’ и B'F' будут иметь длину V/c = 0, а не нуль, как у неподвижного куба, и вся
389
грань A'B'F'E' сфотографируется в виде прямоугольника ABFE (рис. 98, а) с отношением сторон 1 : р.
Кванты, создающие изображение ребер А'В' и CD', испускаются кубом одновременно в системе S. В системе S', как следует из преобразований Лоренца (X. 1), кванты с ребра CD' должны быть испущены раньше, чем
Рнс. 98.
с ребра А'В', на время ДГ — — yVl, где Z — длина ребер В’С н A'D' в системе S. Можно считать, что в системе S' в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии Дх' = /0, произошли два события, одно на ДГ позже другого. Расстояние между ними в системе S определяется с помощью (Х.1):
/еэ Дх = у(Дх,-УДГ),
откуда, подставляя Дх' н ДГ, находим / = /0] 1 — Р2 — длину ребер ВС н AD в системе S. Они испытали обычное лоренцево сокращение. Их изображения (с учетом сокращения в фотоаппарате) будут иметь длины ]' 1 — Р2.
Чертеж нзсбраження куба приведен на рис. 98, а. Любопытно отметить, что такое же изображение даст неподвижный куб, повернутый относительно V на угол а = arcsin (V/c). Видимая форма предмета в данном случае не испытывает деформации из-за лоренцева сокращения — предмет только «повернулся» на угол а. Этот результат, как оказывается (см. [24], а также следующие задачи), имеет место для любого предмета и любого угла между скоростью и направлением наблюдения. Нужно только, чтобы предмет был виде» под малым телесным углом.
Если бы были справедливы преобразования Галилея, то ребра A'D' и В'С не испытали бы лоренцева сокращения, и изображение приняло бы вид, показанный на рис. 98,6. Задняя (по отношению к направлению движения) грань куба по-прежнему была бы сфотографирована. Таким образом, видимая форма движущегося предмета подверглась бы искажению.
582.	а) / = /0 11 1 — Р2 cos а' — р sin а' I, Р = V/c. Значение %]ах, при котором функция | J 1 — р2 cos а'— р sin а'| имеет максимум, определяется усло-
390
вием 1g = — P/l 1—₽2- При этом 1 — 10: таким образом, наибольшая длина / равна 10. Изображение в этом случае эквивапентно изображению неподвижного стержня, ориентированного параллельно фотопластинке. Стержень «повернулся» на угол л-а^ах.
/ /1 - Р2 \
б) а' = arcig^—р-—J; в этом случае изображение получится таким, как если бы стержень был неподвижен и ориентирован перпендикулярно
фотопластинке.
в) Если два наблюдателя, неподвижных в системе S, одновременно сделают зарубки на плоскости ху в точках М и N, мимо которых в данный
момент проходят концы стержня, то полученный ими отрезок MN будет составлять с осью х
угол
583. Изображение будет иметь форму круга. Сфотографируется полусфера, заштрихованная на рис. 99 Она ограничена плоскостью А'В', составляющей угол
а' = arcfg
с направлением V (в системе шара) Вопреки естественному интуитивному представлению, движущийся шар не воспринимается наблюдателем как эллипсоид, сплющенный в направлении движения. Лоренцево сокращение оказывается невидимым! Но это, разумеется, не
Рис. 99.
означает, что оно отсутствует.
584. Видимые положения куба изображены схематически на рис. 100. При Vic < cos а видна передняя грань A'D' и нижняя грань А'В'. Если в оптической системе фотоаппарата не происходит сокращения размеров
предмета, то
АВ-1вУТ=у , s'ria ,
1 — р cos а
AD = la
cos Ct — Р
1 — р cos а ’
С помощью этих формул находим угол О' поворота куба:
О = —— а — 6, где tg 6 = 2
cos а — р sin а J 1 — р2
При V/c = cos а имеем © = л/2 —а и видна только При V/c > cos а видны нижняя и задняя грани,
нижняя грань А'В’
tt =-----а + arctg
2
Р — cos а V1 — р2 sin а
Наконец, при Р/с -» 1 видна только задняя грань, нижняя грань испытала лореицево сокращение до нуля, О = п — а.
585. Пусть в системе отсчета S', связанной со средой, распространяется плоская волна с частотой со' и волновым вектором k'(А>'cos a', fe'sina', 0), , , , г, .	, с со'	cv
к _L Oz. Фазовая скорость волны v = — = -р- в системе о не зависит от
391
угла а', определяющего направление распространения волны. Компоненты
—ik -x,	. (\	,
поля пропорциональные , где £t- = l—> к'1- Так как фаза kix[ = kixi —
инвариант относительно преобразования Лоренца, то ki представляет собой 4-вектор (волновой 4-вектор). Используя (X. 4) и (X. 14), мы можем найти
Рис. 100.
компоненты ki в системе отсчета S, относительно которой среда движетси со скоростью V || Ох, откуда
<о = у<о' (1 + cos а').	(•)
.	sin а'
у (cos а'+ р/п) ’
<о	1 + Pn cos а'
о =--= с .......... -I ...._____  	,	(о)
k \rn2 + 2pn cos а' + p2 (1 — n2 sin2 a')
где P = V/c, y = (l — p2)~'\ Из (3) видно, что фазовая скорость волны относительно системы S зависит от направления распространения. Возникает своеобразная анизотропия, связанная с движением среды.
586. Искомую скорость можно найти по формуле (3) предыдущей задачи
1+РМП с ______________________________________1_\
я(Х') + Р я(Г)+Ц п2(К)Г
Здесь Z' = 2яс/ц>, со' — частота, наблюдаемая в системе S', относительно которой среда покоится. По формуле (1) предыдущей задачи находим с точностью до членов первого порядка по V/c:
К’ со . nV  - = —т- =1-1--.
Z со	с
392
откуда
и окончательно:
с	_ с________с dn	nV
п (X') п (X)	п2 d7. с ’
t>=~4n +Г п (X)
1_________X >dn (X) \
п2 (X) п (X)	</Х / ’
1 -
§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры
590. На трехмерный тензор II ранга Лар (а, 0=1,2, 3), два трехмерных вектора Лоа и лао (а=1, 2, 3) и трехмерный скаляр Лоо-
591. Антисимметричный 4-тензор Л/s может быть представлен в виде
	0	-В,	-В2	~В3
Aik ~	В,	0	Лз	— Л2
	В2	— Л3	0	Л1
	В3	л2	— Л]	0
где А = (Л], Л2, Л3) и В=(В,, В2, В3) — трехмерные векторы (точнее, В —полярный, а А — аксиальный вектор).
595. Инвариантная величина
dtp = dx0 + dxt + dx2 + dx3 v дх0 oxi ох2 ох3
597. а) скаляр; б) 4-вектор.
598. Перепишем условие параллельности векторов Л/ и В/ в виде (умножив числитель и знаменатель каждой из дробей на одно и то же число):
Цр/Лр   Ct 1 /Л 1   С12;Л2   ССз/Лз ctp/Bp cti/B| &2iB2	— ссз^Вз
393
Воспользовавшись теперь известным свойством равных отношений, получим аоА ~	~ а2<^2 ~ аз»^з	^1
&1 аоА —аН®1 — а2«®2 — а3<^3
599. Существенно различны четыре компоненты. Они совпадают с точ-л 1
ностью до знака с компонентами вектора = — eiktmAktm, откуда Ло — — ^123 == ^231 =  • ,	= ~ ^230	^320 ” • • ч Л2 = — ^310 ~ ^130 = • • ч Л3 ~
= — Л120 = И210 = .. • Остальные компоненты Aiki равны нулю (у них имеются совпадающие индексы). Отсюда следует, что не равные нулю компоненты Ац^ преобразуются прн четырехмерных поворотах и отражениях как компоненты четырехмерного псевдовектора.
601. Если хг = агйХу то матрица а имеет вид
ch а — sh а	0	0
А sh а — ch а	0	0
а= 0	0-1 о *
0	0	0 -1
602. Искомую матрицу £ можно представить в^иде произведения трех
матриц: Матрица	£ = £(O, <j)g(a) g~‘(O', <p). 10	0	0
<P) =	0 —cos O'cos <p sin<p — sinOcos<p 0 — cos 0 sin <p — cos<p —sin Osin <p 0	sin 0	0	— cos 0
описывает пространственный поворот системы координат (рис. 101)
Матрица	ch a	0	0	— sh a
	0	- 1	0	0
g (a) =	0	0	- 1	0
	sh a	0	0	— cha
соответствует переходу к системе отсчета S" от системы S'", движущейся вдоль оси х" со скоростью V/c = th а (т. е. описывает преобразование Лоренца для координат х0, х3). Наконец, матрица g~l (О, <р) описывает поворот, в результате которого система отсчета S' переходит в S'" (см. рис. 101). g—1 (&, <р) совпадает с матрицей, транспонированной к g (О, <р). Перемножив матрицы, найдем
ch а — Wjsha	— co2sha — co3sha
Wjsha of (1 — ch a) — 1 WjCOj (1 — ch а) со1со3(1 — cha)
p —	n	>
co2sha со1со2(1 — cha)	co2(l—cha) —1 co2<o3 (1 — ch a)
w3sha co1G)3(l — cha)	со2со3 (1 — ch a)	co|(l—cha) —1
где
Wj = sin О cos <p, co2 = sin О sin <p, co3 = cosO',
394
§ 3.	Релятивистская электродинамика
603.	В вакууме:
e = y(e'—KXh')-(y-i)v-^1,
Н=Т[нЧуХЕ')-(у-1)уИ.
В средах:
p = v(p' + ^XM')-(y-l)V-^^p-,
’	m = y(m'-^xp')-(y-i)v-^1.
формулы преобразования для пар векторов Е, В и D, Н аналогичны формулам преобразования пары Е, Н в вакууме.
604.	Задача имеет бесчисленное множество решений. Если найдена система S' (движущаяся со скоростью V), в которой Е' II Н', то в любой системе отсчета, движущейся относительно S' вдоль этого общего направления, Е и Н будут параллельны, как это следует из (X. 25). Будем искать в связи с этим только ту систему отсчета S', которая движется перпендикулярно плоскости Е, Н. Воспользовавшись условием параллельности векторов Е' и Н', Е' X Н' = 0 и формулами преобразования из задачи 603, найдем:
V	Е2 -ь Я2 — Пе2-Я2)2 + 4(Е.Н)2
с ХН	2(ЕХН)2
С помощью инвариантов поля получим далее
Е'2 = у [Е2 - Я2 + К(Е2 - Я2)2 + 4 (Е • Н)2 ],
Я'2 = 1 [я2 - Е2 + К(Е2 - Я2)2 + 4 (Е • Н)2 ].
605.	Для предварительного исследования удобно воспользоваться инвариантами поля. При Е > Я должна существовать система отсчета, в которой Я'= 0, Е'= V Е2 — И2. При Е < Я существует система отсчета, в которой Е' = 0, Я'= Кя2-Е2.
В случае Е > Я имеем
V = c Е ХН-, Е' = -|-/Е2-Я2.
В любой системе S", движущейся вдоль Е' с произвольной нитное поле также будет отсутствовать.
В случае Е < Я
V = e—
скоростью, маг-
606.	При к < Я /с в системе отсчета, движущейся со скоростью V = = с2х/Я параллельно оси цилиндра в направлении вектора Е X Н, электри-ческое поле Е' = 0, а магнитное поле Н' —---~\/ 1----=-- .
’	сг г Я2
При к > ff/с в системе отсчета, движущейся со скоростью V = ff/к
2х /	\Ч2
параллельно оси цилиндра в направлении Е X Н, Я' = 0 и Е'=—11----.
395
При х = 91с не существует такой системы отсчета, в которой имелось бы только электрическое или только магнитное поле. Как видно из приведенных формул, при х -> 9 )с скорость такой системы отсчета стремилась бы к с, а величины обоих полей — к нулю.
607.	а) В фиксированный момент времени (dt = O) получаем уравнения dr X Н = 0, Е • dr — 0. Первое из них показывает, что dr || Н, т. е. dr является элементом магнитной силовой линии. Систему (2) можно записать в виде dxk = 0, откуда следует ее релятивистская инвариантность. Здесь F— тензор поля, dxk — приращения координат.
б)	Условие совместности системы имеет вид Е • Н = 0. Оно релятивистски инвариантно и показывает, что релятивистски инвариантные магнитные силовые линия можно ввести только для взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей.
в)	Условие интегрируемости системы имеет вид
Н, rotE + —	- Е div Н = 0,
с dt J
dF
или в ковариантной записи, Ftkekimtr g™" и всегда удовлетворяется
в силу уравнений Максвелла.
г)	Записав уравнения (2) в виде (Е ± Н):
Н (Н  dr} , EXH., dr = —	 + с —jp— dt.
убеждаемся в справедливости 608. В трехмерной записи
сделанного в условии задачи утверждения г), система, приведенная в условии задачи, при-
нимает вид
dr X Е - сН dt = 0, Н  dr = 0,
откуда следует, что в любой фиксированный момент времени (dt = O) выполняется условие параллельности dr X Е = 0 приращения dr и электрического вектора Е. Уравнения совместны при Е  Н = 0 и интегрируемы при
Е, rot Н -
1 дЕ1 с dt J
+ Н div Е = 0.
Последнее уравнение накладывает на распределение зарядов и токов усло-
вие вида
Е X j + cHp=O.
Если перечисленные условия не выполняются, то инвариантных силовых линий электрического поля ввести не удается. Силовые линии движутся по-
Е X Н
перек своего направления со скоростью и = — с —gj— •
е . V
610- ф- А —е cR* ’
eR eR(l—V2/c2)
V H-------X E,
c
где УУх— Vt)2 + (1 — P2) (у2т z2), (Vt, 0, 0) — координаты движущегося заряда в момент t, R (х — Vt, у, z) — радиус-вектор от заряда в точку наблюдения в момент t, •& — угол между R и V.
396
611. Из формул предыдущей задачи следует, что вдоль линии движения заряда ('6 = 0, л) поле Е ослаблено по сравнению с кулоновым EKy„ = e/R2 в 1 _ V2/c2 раз, а в перпендикулярном направлении (й = л/2) поле Е усилено в  *	- раз. При V~c поле велико только в узком интервале углов
Дй ~	~ V2lc2 вблизи экваториальной плоскости.
Условие Ец=Е|| относится к одним и тем же точкам 4-пространства. Но если в системе покоя заряда какая-то точка находится на оси х на расстоянии R от заряда, то в лабораторной системе та же точка будет находиться от него на расстоянии /?|^1— р2 . Сравнивая значения £ц в точке r _ р2 и Еу в точке R, получим
a/?ri^F (1-р2) е _р,
11	(е/1-Р2)3 R2
как и должно быть.
Ро • г*
612. <р = -!^-, уг*
А_* Е _ 3* (Ро • г*) - Рог*2 Л’	у2г*6
г* = {х — Vt, 1 у, 1 zj, диполь движется с радиусом-вектором Vt.
V Н=—ХЕ, с
по оси х, на-
V	V •
m = m<__Xp<_(Y_1)vr_2L, системе покоя.

Рис. 102.
где R
ходясь в момент времени t в точке
613.
р = р' + -у Xm-(Y-l)V-^H-, где р' и tn' — дипольные моменты в
614.	Используя формулы преобразования четырехмериой плотности тока, найдем, что стороны 2 и 4 прямоугольника (рис. 102) не заряжены, а стороны 1 й 3 несут заряды qY = — q$ = = —	• *-•“, где у — ток в си-
с С
стеме S', связанной с петлей. Отсюда (или из результата задачи 613) следует, что электрический дипольный момент петли, наблюдаемый в S', равен р = , V ,	, 5'аЬ
= qsb = — in, где tn ----------маг-
с	с
иитный момент петли, наблюдаемый в системе S'.
615.	Пусть щ — четырехмерная скорость среды. Составим четырехмерный инвариант (см. формулу (X. 37)):
—	= У (f • V) — у (Q + f • V) = — yQ = inv.
Если обозначить через Qo количество тепла, выделяемого в единице объема среды в единицу времени в той системе, где среда покоится, то Q = Q0l/'l-p2.
616.	® = у2 (да' + 2Ё V + f?T'
S« = v(s; + V7’'J sz = y(s: + vr'2), Тхх = у‘
Т —т' Т —т' Т =т’
УУ	У У'	уг ‘ уг< 1 гг 1 г»
^ху^У
;x=v2[(i+₽2)s;+vw'+vr'j, 3(т' а. 2₽ с' _i. й2„.
У?’
Тхг = У
397
разить интегралами f Toa dS n
zr»'-const
x0-const
617.	7',,= 0.
618.	Импульс и энергию поля в объеме V в момент t = xB[c можно вы-соответственно, где dS — элемент гиперповерхности х0 = const (очевидно, dS = dV). Аналогичными интегралами выражаются импульс и энергия поля в момент t' = х'0/с. Введем произвольный вспомогательный постоянный 4-вектор а, и составим сумму Т^сц. Рассмотрим далее четырехмерный объем Q, ограниченный цилиндрической гиперповерхностью 5, образующая которой параллельна оси хв, н двумя гиперплоскостями: х0 — const и х'}- const (рнс. 103).
Применим четырехмерную теорему Гаусса к интегралу по этой гиперповерхности от функции TOiaf.
&TBiaidS= ^LaidQ = 0, J	J OXl
£1
так как dTBtldxi — 0 при отсутствии зарядов. На цилвндрической гиперповерхности ТВ1 = 0, поскольку на границах объема V системы поле отсутствует. Тогда (учитывая направление нормали) получим
Рнс. 103.	г	, г ,
ai | Toi dV = ai TOidV .
Другими словами, величина at J TBi dV — инвариант относительно преобразования Лоренца. Но тогда [" TBi dV должен быть 4-вектором (ср. с задачами 597 и 4).
619.	Вычислим изменение A/ft *) за время dt. При этом придется сравнивать значения A/ft на двух близких гиперплоскостях t = const и t + dt — const Учитывая, что на бесконечности поле отсутствует, можно преобразовать разность интегралов по этим гиперплоскостям в интеграл по замкнутой гиперповерхности S, образуемой дополнением этих гиперплоскостей бесконечно удаленной боковой гиперповерхностью. Полученный интеграл преобразуется по теореме Остроградского — Гаусса:
S	И
(£2 —объем внутри замкнутой гиперповерхности S). Преобразуем правую часть последнего выражения:
dAiki д ,	.	т dTki дТц
дх[ ~ dxt(XiTkl XkT^~Tk‘ Tlk + Xl dxt Xk~d^'
Здесь T[k = Tki вследствие симметрии 4-тензора натяжений.
*) Azft—функционал от пространственноподобной гиперповерхности t = const.
398
Г dTki ,о_
Рассмотрим J xi аы — с системой точечных частиц, то
J xiFkiiidQ. Так как мы имеем дело
xiFkiii dV =

п поавой части последнего выражения стоят координаты частиц и их функ-
F	е г dxt dpk
ции в момент t. Согласно уравнениям движения частиц, — rkl = ~~ц~'
dQ.
Аналогично можно рассмотреть Таким образом, интеграл по dQ обращается dt и сокращается
Xk dt )
В
с такой же суммой по частицам. Поэтому
-^-=0, Kik = const. dt
хрТау) dSy,
S бок
t+dt
х
Рнс. 104.
620. Полный момент импульса частиц и поля в рассматриваемом объеме
Кар (0 — ^ар ~ ~ j
t
где &ар = х0Рр — Хрра — момент импульса одной из частиц, интеграл берется по той части гиперплоскости t = const, проекция которой иа трехмерное пространство равна К. Аналогичным Kap(Z + dt). Рассмотрим момент импульса, теряемый системой за промежуток времени dt-.
-dKop = Kap(t)-Kap(f + rff) = - У d*0p+4 f
t+dt
образом записывается
с J t
Разность интегралов по близким гиперплоскостям можно представить в другом виде, заметив, что J+ J + J = (j) по замкнутой цнлиндриче-1 t+dt S6O,<
ской гиперповерхности (см. рис. 104) *), образующие которой параллельны оси времени. Так же, как это было сделано в предыдущей задаче, можно убедиться, что А) сокращается с — dka$. Тогда
~dKa^~
^бок
(•’a^'p'Y -^рЛху) dSy.
Элементы гиперповерхности 5бок> очевидно, нормальны к оси I и могут быть представлены в форме dSy = с dt Пу df, где df — элемент обычной поверхности, замыкающей объем V, п — орт нормали к этому элементу. Отсюда
) Не следует забывать об условности таких рисунков.
399
получаем выражение для убыли момента импульса системы в единицу времени:
(— ХцГру + ХрГцу) riy df.	(1)
f 'dt ”J
Введем антисимметричный по значкам а, 0 тензор 9?apY — х$Тау — хаТ$у. Этот тензор должен быть интерпретирован как плотность потока момента импульса, что ясно из формулы (1). Компонента 9?apY равна количеству сф-компоненты полного момента импульса Кор, протекающему в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к оси Ху. Подобно тому, как вместо К(1р можно ввести псевдовектор момента К, можно ввести также псевдовектор, эквивалентный 9?apY«Y. Тогда равенство (1) принимает вид
(2)
£2 । /72	1
& == —------(г Х n) ~	[(г X Е) (п  Е) + (г X Н) (п - Н)].	(3)
При выводе (3) использовано выражение (X. 29) для компонент Та^.
ГЛАВА XI
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 1. Энергия и импульс
621.	р = ± VT(T + 2mc2).
622.	у = ~т С~.
V р2 + т2с2
623.	р = ^ = /1 -(ОП2, %в = тс2.
В нерелятивистском случае 0 ~ У2Т/%е, в ультрарелятивистском = 1 •
₽ =
624.	а) T = ^mv2 + -^m~+ ...
б) Т =	^- +
' 2т 8 т3с2
625. v —
2еУ т
eV 2тс2
при eV тс2.
3 eV
4 тс2
частности, при eV -С тс2,
с;
~ с.
400
626.	a) v — 3,42  10 2c; 6) t> = 0,9999985c; в) 0,81c; r) 0,9956c.
627.	F - — VT(T + 2mc2}, Г = T. ce	e
2tnv2N
628.	p - j _ v2/c2 
Давление имеет одинаковое значение в системе, связанной с телом, и в системе, связанной с газом. В этом можно убедиться как путем прямого вычисления давления в каждой из этих систем отсчета, так и произведя преобразование Лоренца для четырехмерной силы (см. (XI. 18)).
629.	Длина п-й трубки
L -°" - с л/ 1 ( mci V " 2v 2v V	\nVee + mc2) ’
где tin — скорость частицы в п-й трубке. В начале ускорения тс2 neVe и £п ~	д/~Уп. В ультрарелятивистском пределе Тп^>тс2, о « с и
Ln c/2v.
Оценим длину ускорителя:
N ______________________
п	0
— о -ту ГI (NeVe + тс2)2 — т,2с4 — тс2 arccos .г-------в-Ъ
2veVe L	NeVe + mc2 J
630.	Отношение интенсивностей
Ih h Г h т^с2 ]
- = ехр-~ехр[——J~2,5
/	т0	X
I т *= —у	—время жизни р-мезона, движущегося со скоростью о).
\ V1 — о2/с2	/
Если бы релятивистское преобразование времени не имело места, мы получили бы для отношения интенсивностей (считая, что скорость мезонов равна с):
l'h	h
—f- ~ ехр--« 94,4.
Zo	TqC
Наблюдения согласуются с первым результатом (/л//0	2,5) и тем са-
мым дают прямое экспериментальное доказательство существования релятивистского эффекта замедления хода движущихся часов.
1 р, sin О' 1 sin О'
631.	tgO = ---------------F" = V----------V' где
* p' cos O' + V —	' cos &' + —
C*	v
V=n-V2/C2 ’	* = Y(*' + P'Vcostf),
P. p' — импульсы частицы в системах S и S' соответственно.
Приведенной в условии приближенной формулой для ультрареляти-вистского случая можно пользоваться, если cos	।—“г|> где
, _ , с2
v ~ Р ~— скорость частицы в S'. Энергия в ультрарелятивистском случае
26 В. В. Батытн, И. Н. Топтыгин
401
принимает вид
О'
t ~ рс 2yg' cos2 -g-.
632. Рассмотрим dN частиц, движущихся в системе S' внутри телесного угла dQ'. В системе S те же dN частиц будут двигаться внутри телесного угла dSl = sin fl rffl da, образованного векторами скоростей этих частиц в системе S. Угловое распределение частиц в системе S будет описываться функцией F (fl, а), определяемой из равенства
dN
F (Ъ, a) = F' (•&', а') dQ,' = dW =	.	(1)
Угол fl' должен быть выражен через fl с помощью формулы
cos2 fl =
1 (cos^ + j-)2
1 4- tg2 fl |	(cos^+v)	.2 i	’ 1 + ~y2 S*n2
следующей из решения задачи 631
.2
— скорость частицы в системе
Учитывая, что а = а', получим окончательно:
г/ V \2	1	1’/.
у2 I cos fl' Ч—-1 -I—j- sin2 6'
F (fl, а) = F' (fl), а] —--------------v>----------------L_
1 Ч—т cos fl'
(2)
В случае ультрарелятивистских частиц v' — c и угловое распределение в системе S упрощается (ср. с задачей 572):
(1 Ч- — cos fl' F (fl, a) = F' [fl' (fl), a] i-c
Заметим, что частицы, движущиеся в системе S под разными углами fl, обладают различной энергией, несмотря на то, что в системе S' у иих одна и та же энергия.
633. Функция распределения f является инвариантной величиной. Это означает, что при переходе к другой системе отсчета S':
f' (Н Р', /') = f (г, р, О,
где в правой части равенства надо выразить г, р и t через штрихованные величины по формулам (X. 4).
634. Обозначим через zii и п2 числа рассеиваемых и рассеивающих частиц в единице объема. Рассмотрим процесс рассеяния в системе S. Общее число частиц dN, рассеянных в интервал телесного угла dQ, за время t рассеивающими частицами, заключенными в объеме V, выражается, согласно определению сечеиия, формулой: dN = do^J^riiVt, где j12 = ntVi. В системе S' можно написать для того же числа dN аналогичное выражение: dN = = da'l2J[r>n'9V't', где	|V1 — v21 (в эт°й системе dN представляет со-
бой число частиц, рассеиваемых в телесный угол rfQ', соответствующий rf£2). Таким образом,
do^n^v^’t = da'i^n^ | Vj — v21 V't',	(1)
402
Подобно четырехмерной плотности (pc, pv) электрического тока, величина (пс, nv) является 4-вектором. Отсюда следует, что
, , ( v[ • Vg \ п1п2 = п1п2^1----—у,	(2)
так как скалярное произведение двух 4-векторов инвариантно. Учитывая (2) и то, что 4-объем инвариантен: V/ = V't', мы получим окончательно
В том частном случае, когда v, || v2, / г V1~V2 V1=-------------------------------7—Г
. vr v2 с2
(см. задачу 554) и из (3) следует, что сечение инвариантно:
da(2=do12.	(4)
Этот случай имеет место, например, при преобразовании от лабораторной системы отсчета к системе Ц. и. Заметим, что если поток определить
( vi' v2
формулой Zj2 = ntv, где v = t>i I 1-j—
при произвольном преобразовании Лоренца (см. (6], § 28.3).
635.	dW =-z—2 .. ^ о---aTTi I dll
4лу2 (1 - р cos О)2 J 4Л
1 + Р	f 4- 1
636.	f =---—, откуда g = /nc2-—=•, где т — масса л°-мезона.
1-Р	2Vf
638. Поскольку импульс фотона р = %/с, то (ср с задачей 631)
g...	Г= —	6 = -
у (1 — р cos О) ’	2 ’	* с ’
, то сечение будет инвариантно
= 1, где р = о/с.
Сопоставив следующее отсюда выражение dg —
%'d (1 — Р cos О) у (1 — Р cos й)2
с угло-
вым распределением у-квантов распада, найденным в ответе к задаче 635, получим распределение вероятностей для энергий фотонов распада.
dW (g) =
ГДе gmln — 1/ । , а
Г 1 +Р
— минимальное значение энергии у-кванта распада
I о"
—^- — максимальное значение энергии у-кваита
1 — р
распада (при й = 0). Отсюда видно, что спектр у-квантов распада имеет в лабораторной системе отсчета прямоугольную форму, т. е. любые значения энергии в промежутке от gmin до gmax равновероятны.
26*
403
#max ^mln
с2
640.	гт? ~ + /??2 “Ь Ф/м+»ш+ m|) —p1p2c°s®], с = 1; тл = 139,58 Мэв.
641.	= т2 + т% — 2 [ 1^(р2 + m2) (р2 + m2) — рр2 cos ftj, с = 1.
642.	т2 = g2 - р2 = т2 + т2 + р==,
643. Т,
у = _Р =________m'v  	С=1
•g mt + т2 j I - v2
(та — т^ — т1	(тй — т<$ — т2
2т0	*	2т0
а) Га/Тя — 58,5;
б) ^/^ = 7,27;
в) Гу/Гя
2тс2
Mg ’
где т — масса исходного ядра, М£ — энергия его возбуждения, причем тс2 3> Mg.
Из общих формул для 1\, Т2, а также из рассмотренных примеров видно, что большая часть энергии приходится на долю более легкой частицы.
644. QB = Ть
_______Ть + 2ть______ rnd + VT2b + 2Tbmb + m2d
Qy+ = 109,6 Мэв-,
Л12+ = 1188,7 Мэв (2+ -> п + л+);
Q2+ = 116,1 Мэв-,
Mv+ = 1189,3 Мэв (2+ -+ р + л°).
Оба значения находятся
в хорошем согласии друг с другом.
645.
Ag “~Т
Энергия Йсо, уносимая квантом, меньше, чем Mg, на величину энергии (Ag)2/(2mc2), уносимой ядром отдачи. В условиях жесткой связи ядра с кристаллической решеткой последняя не получает энергии (так как ее масса М 3> т очень велика) и квант уносит всю энергию, neo = Mg.
646. а) Закон сохранения энергии ограничивает равносторонний треугольник АВС (рис. 105, а), высота ВО которого равна энергии распада q = т — mt — т2 — т3 (с=1). Расстояние от точки D до основания АС равно 7] по построению, расстояния от D до АВ и ВС легко вычисляются и оказываются равными Т2 и Т3 соответственно.
б) Величины импульсов при заданных массах всех частиц определяются заданием двух энергий, например Т\ и Т2 (так как Q — Tt — Т2), или их двуми линейными комбинациями х и у. Импульсы частиц, образовавшихся при распаде, являются сторонами треугольника (Р1+Р2 + Рз = 0 в Системе покоя распадающейся частицы). Углы треугольника характеризуют отно-
Ag \ 2тс2 ) ’
404
сительные направления вылета частиц и могут быть найдены по известным
Р1, Р2, Рз-	.
в) Границы разрешенной области определяются условиями
Pi + Рз Рз, ~ Рз Pi ~ Р2 Рз-
Эти условия приводят к области, заштрихованной на рис. 105, б. Сверху область ограничена прямой у = (т — /«! )2/2ггг, снизу — гиперболой х =
Рис. 105.
647.	Диаграмма Далица имеет вид, изображенный на рис. 105, б.
а)	?1 max ~ ^2 max ~ Т3 max ~69,8 Мэв.
hn — m{f	trP — trS
б)	max	‘ ~ 127 Мэв, Т2 щах ~ Т 3 max ~  й-----------~ 228 Мэв.
Ztn
Максимальные импульсы всех трех частиц одинаковы.
648.	Диаграмма Далица в приближении Q«mx приведена на рис. 106.
OB = Q, R = Q/3, Ттак = 2Q/3 « 50 Мэв.
649.	Диаграмма Далица приведена на рис. 107. OB = Q, 7max « 210 Мэв. Внутренняя замкнутая кривая дается уравнением
X = ± -1 / <2тлУ + у2)	- тл)2 - 4тя - 2пгау] .
V	з [(та - шя)2 - 2та(/]
650.	6-функцию от 4-вектора нужно понимать как произведение четырех 6-функций от его компонент:
в (Pl ~ Pil ~ Pi2 ~ Р1з) = 6 (Р ~ Pl - Р2 - Рз) 6 (% - Zi -	- %3).	(1)
Производя интегрирование по (dp3) с помощью (1), придем к выражению
+ + +	<2>
где %3 = т —	— g2, О —угол между Pi и р2.
Представим (dp2) в виде (dp2) = p|dp2 dQ2, где dO^ — элемент телесного угла. Примем за полную ось направление р^ тогда dfi2 = 2л sin О <И}. Кроме
405
того, P2dp2 — ^2^2, как следует из (XI. 3). Преобразуем 6-функцию в (2) использовав формулу (П 1.18):
6 (l^Pi +pI + >"1 + 2Plp2 cos & - £3) = 2g36 (2pI₽2 cos О + pf + p| + - iff). (3)
Поскольку — 1 =C cos •&	1, то интеграл (2) будет отличен от нуля
только при выполнении неравенств
Pl + Р2 > Рз, Р1 - р2 < Рз, Pl - Р2 > — Рз, но именно эти неравенства определяют границы разрешенной области на диаграмме Далица.
С помощью (3) и (П1.5), выполнив интегрирование по М, получим
Г = л [	f
J cipl	J
Перейдем теперь к интегрированию по переменным
_ Гг — Т’з _ ^i + 2^ + Мз — ^2 “ w рз “	]3	’
которые использовались при построении диаграммы Далица. Преобразовав элемент dti d%2, найдем
Г = 2 ) 3 л2 J dx dy,
где область интегрирования ограничена внутренней кривой диаграммы (см. рис. 105,6—107).
Последняя формула показывает, что элемент фазового объема dV = = 2 )z3 л2 dx dy пропорционален элементу площади на диаграмме Далица. Энергии Ti, Т2 и Т2 частиц, образующихся при распаде, можно измерять экспериментально и наносить соответствующие точки на диаграмму Далица. При этом густота точек будет пропорциональна величине р (см. условие задачи), которая таким образом может быть найдена из данных эксперимента.
651.	Рассмотрим 4-вектор энергии — импульса системы частиц рр Он сохраняется, т. е. его соответствующие компоненты до и после реакции равны между собой. При значении кинетической энергии 70, соответствующем порогу реакции, образовавшиеся частицы покоятся в системе ц. и. (заметим, чго в лабораторной системе отсчета частицы не могут покоиться при поро-406
говом значении To, так как это означало бы нарушение закона сохранения импульса). Вектор полного 4-импульса системы до реакции имеет в лабораторной системе вид
р(о> = (А + т{С< Ро),
где g0 —полная энергия и р0 — полный импульс, соответствующие порогу реакции.	f
После же реакции в системе ц. и. 4-импульс равен pt = (Afc, 0). Вследствие инвариантности квадрата 4-вектора и закона сохранения 4-импульса 2
р<°> spJ . Запишем последнее равенство в развернутом виде
^>2
М2с2 = — + 2т110 + т\с2 - р2,
откуда	2
Го=-^— (M-nti — т) (M + mi+m).
652.	a) Fq = 288 Мэв; б) Го=16О Мэв; в) Г0 = 763 Мэв;
2тр (т + 2тр) с2
г) Го =----------------.
'	т
В частном случае столкновения с протоном т = тр имеем
То = &irtpC2 = 5,63 Гэв.
Приближенная формула для пороговой энергии „	2 (Л + 2)	,
Го =----~ тРс •
При больших А, То « 2трс2.
653.	Го = (1 + j Д& В случае а) имеем по приведенной выше приближенной формуле
Д^ = Го=2,18 Мэв (га = 0).
По точной формуле (см. задачу 574) мы получили бы больше на I Q I2
—0.0012 Мэв, где Q = — (М — тх — т) с2—энергетический выход реакции.
В случае б) приближенная формула дает То = 2 | Q | =7,96 Мэв. Отличие от точной формулы составляет 0,003 Мэв.
654.	Уравнение реакции имеет вид
у + частица -> е+ + е~ + частица.
Порог можно найти по общей формуле (см. задачу 651)
( til \
Го = йа0 = —— (nii+2m — mi) (пц +2т + mt) =2тс2 1 -I---,
\ ГП\ /
где га —масса электрона (или позитрона). Когда частицы нет, так что га] ->0, пороговая энергия Го -> оо, что и означает невозможность реакции.
Последний результат можно также получить, показав невозможность выполнения равенства k{ = p+i + p_[t где kit p+i, p_z— 4-импульсы фотона, позитрона и электрона. Возводя обе части последнего равенства в квадрат, будем иметь
^ = (г+ + «_)2-(Р+ + Р_)2.
407
Hofe? = 0, а инвариантная величина, стоящая в правой части, не равна нулю ни при каких значениях р+, р_. Это становится очевидным, если перейти в систему отсчета, в которой р+ + р_=О.
VZ2 ~2А г — т.с
656. » =---—------5-----
g + т2с* 2
657. По закону сохранения 4-импульса
Ри + Ры = Ри + Pzt-	(1)
Чтобы определить угол рассеяния первой частицы, перенесем ри налево и возведем обе части получившегося равенства в квадрат:
Л»2 + п(0)2 + п2 + 2n(0)n(0) - 2n(0)n -2п(0>п -п2
Pli + P2i + Ри ' zP\iP2i ^РцРц ZP2iP\l~P2i-
(2)
Согласно (XI. 7), р®* = p2t = п^с2,	= р.^ = т^с2. Скалярные произведения
преобразуются следующим образом (р®* = 0):
_ „<0> (0) _ (0). (0) _ J_ „(0)„(0)_ (0)	_
P\iP2i Р| ₽2 с2 ®1 ®2	®0те2> P2iPll~m2^\'
~ PuPli — ₽1°J ’ ₽1 с2 ~ РоР\ cos ~ “'I* •
**	с
где р0 = -^2 V^o~mie4- Подставляя полученные выражения в (2), найдем
Аналогично
658.
g| (<5С + т?с2) — 't^tn^c2 — cos О] =------------------------------------
cpoPi
(<?о + т2с2) (Ч2 ~ т2с2) с2рор2
sin2 01
(Yo + ^f + fro-1)0052^
(yo + -2-)2-(Yo-1)c°S2«2 где
go
Yo mic2 ’
(В
(2)
Из этих формул видно, что при mi > т2 возможно рассеяние только на углы 01, не превышающие arcsin	(подкоренное выражение в (1)
должно быть положительно). При этом каждому значению 01 отвечают два значения энергии
При mi = т2 угол рассеяния 01 не превышает л/2 и каждому значению О] отвечает только одно значение энергии, соответствующее выбору знака «+» в формуле (1). Знаку «—» отвечало бы значение g, = mic2 не-408
зависимо от угла рассеяния, что, очевидно, не соответствует действитель* иости. По аналогичной причине в числителе формулы (2) для <f2 оставлен только знак « + ».	„
При mi < т2 возможно рассеяние на любом угол и каждому значению ©1 отвечает одно значение Если 0 < ©! < л/2, то в формуле (1) нужно выбрать знак «+», если л/2 < ©i < л, то нужно выбрать знак « —». При таком выборе знаков рассеянию налетающей частицы иа больший угол соответствует большая потеря энергии, как и должно быть.
659.	1 «---------------------
660.	1 «-------——------------
_	Го COS2©!
661.	Ti = г------5-----—-------
1 +
2 (^)Sin2f>1
mt + m2 / L \
I — 2 sin2 ©i ±
± 2 COS ©|
| —sin2©! ;
„	4т,т2 „
T2 = -г--, -r, To cos2 ©2.
(т,+т2)2
Правило знаков сформулировано в решении задачи 658.
663.	Угол разлета частиц % = ©i + ©2 выражается формулой
(X + t'z)]/ 1-Т2- sinr
v'i sin2©7 + (V — t»,)(1 — cos ©z) (ср. с задачей 568).
При ml - m2 скорости vt =v2 = V и
/ V2 2с21/ 1--4-,	I c2
v2Sin©'
В этом случае % < 90°. В нерелятивистском пределе % -> 90°.
664.	Поступая так ясе, как при решении задачи 657, получим
<оо^—-р0 cos ©oj
-у- — р„ COS ©1 +	(1 — COS ©)
где ©—угол между направлениями движения первичного и рассеянного фотонов, ©1—угол между направлениями начального движения электрона и движения фотона после рассеяния.
Если электрон до столкновения покоился, то
<0р
со = -----
- ЛСОп ,
1 -I----7- (1 — cos ©)
тс2
409
665.	Энергия рассеянного кванта максимальна при ft0 = ft = ^, ft|=0 т. е. при лобовом столкновении с рассеянием кванта назад. При этом
fico « ficoo
2<?0 (me2)2 ~2^Г + 2Ъы°
(1)
Из (1) видно, что в ультрарелятивистском случае происходит значительное «ужесточение» кванта, fico^>ficoo. Отметим два частных случая. При Й<£>0 « тс2 формула (1) дает:	— 4ficoo j »йсо0- Если же
Л<оо» тс2	то fiw приближается к #0.
„„„	t pocfcosOo-costM + fitooG-cos#) _
666.	1 — '£0 = fici>0--------г——r—т:-------—?---. Обозначения
<fo — poc cos ft1 +/коо (1 -cos ft)
углов те же, что в задаче 664. Покоившийся вначале электрон при столкновении с фотоном всегда увеличивает свою энергию:
„ _	2 = (fitoo)2(l - COS ft)
г тс2 + ficoo (1 — cos ft) ‘
Если электрон обладает до рассеяния импульсом р0 fi<o/c, то его энергия увеличивается при рассеянии, если ft0 < ftb и уменьшается в противном случае. Максимальное ускорение электрона получится при ft0 = 0, ft — ft2=n.
При этом
g - <f0 = 2йш0
рос + йсо0
<?о + Рос 4" 2йсоо
Если электрон нерелятивистский, но рос » fiw0, то Ч — <f0 = 2йсо0 (о0/с) < йсо0. Если электрон ультрарелятивистский, то Ч — Чй « fit£>0 и условия ускорения электрона оптимальны.
667.	s = 4 (ш2 + q2), t = — 2q2 (I — cos ft), и = — 2q2 (1 + cos ft).
6681	(s “	Pa =	m2a, mty,
=	p' = -^7^ VX(S ml- m"b\
£ r S	2 V S
где	/
X (x, y, z) = x2 + y2 + z2 — 2xy — 2xz — 2yz.
Поскольку в системе ц. и. ра= - pt., то величина s имеет смысл квадрата полной энергии в этой системе отсчета:
s = (/o + ^)2-(^ + ^)2.
669‘ = +
+ C = L
410
670. cos 0 —
(s-m%) ( ml + mg - «) + 2m2b (t-m2a- mg) /^(s, mg, ml) V^(u, m2b, ml)
^o> s2 + s(21-mg-mg-mg-m^) + (mg-mg)(mg-mg,) Vz(s, mg, mb) ]Л(«> mg> md)
Здесь c=1, а величина Л определена в ответе к задаче 668.
671.	Величина s = (g„ + ^p)2 имеет смысл квадрата полной энергии двух частиц в системе ц. и., поэтому она всегда положительна. Минимальное значение smin = (m + Af)2 соответствует случаю, когда л-мезон (масса т) и протон (масса М) покоятся в системе ц. и. Таким образом, (т + Л1)2<«<°°-
Рис. 108.
Косинус угла рассеяния 0' в системе ц. и. связан с s и t формулой
s2 + s (2/ — 2Л12 — m2) + М2 (М2 — т2) cos и ----------,		—.
(s — М2) Vs2 — 2s (М2 + т2) + (Л12 — т2)2
Поскольку -1<cos6'<1, то, подставляя в это двойное неравенство cos 0' из (1), найдем допустимые при заданном s значения t.
Физическая область заштрихована на рис 108. Порогу реакции отве-
чает точка А, причем эЛ=(М + т)2,	.
.г , т2 Т т3
° т+ 2Л1 ’ л 2М(М + т)*
672.	Искомые области изображены на рис. 109.
673.	Разрешенные области для первых двух процессов изображены на рис. ПО, а, для третьего — на рис. ПО. б.
Можно построить одну кинематическую диаграмму для всех трех процессов, рассматривая их как три возможных канала одной реакции, в которой участвуют два нуклона и два мезона. Начальные и конечные состояния
411
(О
мезонов н нуклонов в рассматриваемых каналах различаются энергиями, импульсами и зарядами *).
Для построения диаграммы (рис. 111) проведем три прямые, иа которых соответственно s«=0, 1 = 0и« = 0, таким образом, чтобы они, пересекаясь, образовывали равносторонний треугольник с высотой h = s + t + u =
t cos Л
Рис. ПО.
= т2а + т% + т2 + m2d (с = 1). Значениям s = s0 = const будет соответствовать прямая, параллельная оси s = 0 и отстоящая от нее на расстояние |s0|. Эта
*) А также еще некоторыми характеристиками, изучаемыми в квантовой теории.
412
прямая должна проводиться с той же стороны, с которой находится треугольник, если s0 > О, и со стороны, противоположной треугольнику, при s < 0. Аналогично строятся линии t — const и и — const.
В результате на плоскости построена косоугольная система координат и любой точке плоскости сопоставлены три числа s, t и и, положительные или отрицательные. Сумма этих трех величин удовлетворяет нужному условию (XI. 14). Чтобы в этом убедиться, возьмем произвольную точку D и опустим из нее перпендикуляры на стороны АВ, ВС и АС или их продолжения. Поскольку площадь АВС = площади ABD — (площадь BCD + площадь ACD), то
DM — DN — DK — h = Щд + т% + т2 + m2d.	(1)
Но — DN — s, — DK = t, DM = u, откуда и следует (XI. 14).
Для нашей цели удобно несколько изменить определения s, t и и по сравнению с (XI. 13). Пусть
S = (Pai + Ры)2. t = (Pai + Pci)2> U = (Pai + Pdi)2.	(2)
где для чабтиц, исчезающих в результате реакции, pt =>(—?,— р), а для чаетиц, рождающихся в реакции, pi = (?, р). Это правило знаков соответствует тому, что pat- = 0, как и в случае распада. Припишем индексы а
а и Ь мезонам, а с и d— нуклонам. Тогда для канала в) pai — (~ ?а, — Ра). РЫ = (-«ь, -Рб). Pci = (%с, Pc). Pdi = ("id, Pd); + ?ь)2 =	+ '4)2 > 4Л12;
допустимые значения t получаются из условия | cos 0' |	1.
Граница физической области дается уравнением
(М2 — т2}2
s=.-t-A— ™ > +2(М2 + т2)^4М2	(3)
и представляет собой гиперболу с асимптотами t — О и w = 0 (рис. 112).
413
В случае канала а) полагаем рй/ = (— #с, — рй), p« = (-<fc, — рс), рь1= — (<?л. Pi). Pdi = (<?<Ь Pd)- Физическая область ограничена прямой s = 0 и гиперболой
s=-f—(М2~т2)2 +2(М2 + т2), t^(M + m)2,
которая является второй ветвью гиперболы (3).
Аналогично строится физическая область для канала б). Как видно из изложенного, полученная диаграмма очень похожа на диаграмму Далица дли трехчастичного распада (см. задачу 646).
Рис. 112.
Сходство обусловлено тем, что в обоих случаях в процессе участвуют 4 частицы, 4-импульсы которых в силу закона сохранения связаны условием Pai + РЫ + Pct + Pdi — 0- Из 4-импульсов частиц с учетом того, что при заданных массах всех частиц т2а = р2( и т. д., как нетрудно убедиться, можно составить только 2 независимых инварианта, например s = (pat + Pbt)2 и t = {Pat + Pci)2- Поэтому для изображения таких процессов требуется двумерное пространство (кинематическая плоскость).
675. Если частица, двигавшаяся с 4-импульсом р01-, испустила в среде .	/ Йсо Scon 1
фотон с 4-импульсом ki = I -у, -у-1 • т0 законы сохранения энергии и импульса могут быть выражены четырехмерным равенством
Poi = Pi "Ь ki,
где pt — 4-импульс частицы после излучения фотона. Перенесем kt налево и возведем обе части получившегося равенства в квадрат. После элементарных
414
преобразований получим
_е Д = Ti/mc — комптонова длина волны частицы, К = 2лс/а>п — длина волны Лотона, f> — v/c. Второй член, равный по порядку величины Л/Л, обычно очень мал. Если опустить этот член, выражающий квантовые поправки (Л пропорциональна Й), то выражение (1) сведется к классическому условию излучения Вавилова — Черенкова:
„ 1
cos и =—— , «р
677.	Обозначив через pai и р,- 4-импульсы частицы до и после излучения, через kt — 4-нмпульс фотона, напишем закон сохранения энергии и импульса в виде
Pol = pi-
Возводя обе части этого равенства в квадрат и отбрасывая член с й2, получим
(т2 — т2) с2 — 2р • к + %—°— = О,
где т0 — масса возбужденной частицы, т — масса частицы в нормальном состоянии.
Представим разность с2(п^ — т2) в виде с2 (m0 — т) (m0 + т) « 2йсоот. Тогда
и (со) ₽ cos & = 1 --^-/Г^р2",	(1)
где р = о/с. При со0 —> О равенство (1) переходит в условие п (со) р cos О = 1
возникновения излучения Вавилова — Черенкова. Это излучение не связано, таким образом, с изменением внутреннего состояния частицы.
При соо^=0 перепишем (1) в виде
Ш = —ШоГ1-Р2
1 — п (со) Р cos •&
(2)
Формулой (2) описывается эффект Доплера в преломляющей среде (ср. с задачей 585). Она применима, если п (со) р cos ft < 1 и отличается от соответствующей формулы, описывающей эффект Доплера в вакууме, только наличием п (со) в знаменателе. При Р <С 1 никаких качественно новых явлений не возникает, но при р « 1 и при наличии дисперсии в среде явление усложняется.
В общем случае формула (2) представляет собой нелинейное уравнение относительно со (п — функция со!) н может иметь более чем одно решение. При этом вместо одной смещенной линии, как в обычном эффекте Доплера, в лабораторной системе будет наблюдаться несколько линий (сложный эффект Доплера).
678.	Поступая так же, как при решении задачи 677, получим следующие результаты.
Излучение частоты со, сопровождаемое возбуждением частицы, может возникнуть, если скорость v — ре движения частицы превосходит пороговое
с п (со) cos ft
значение
(6 —угол между направлением скорости частицы и
415
направлением импульса фотона). Необходимая для этого энергия заимствуется из кинетической энергии частицы. Излучение такого типа наблюдается при фиксированном значении о только в некотором интервале острых углов 'О внутри черенковского конуса, поверхность которого определяется уравнением «Р cos 6=1. Наблюдаемая частота со связана с углом & и величинами Р, п (со) формулой
со — —1—7-—г [п (со) р cos 'ft > 1 ], п (со) р cos fr - 1	J’
представляющей собой, как и в случае задачи 677, уравнение относительно со. Это уравнение допускает, в общем случае, несколько решений (сложный сверхсветовой эффект Доплера).
679.	Обозначим через угол между начальным импульсом электрона Ро и направлением распространения мягкого кванта, а через 0^ — угол между р0 и направлением распространения жесткого кванта. Из закона сохранения 4-импульса (ср. задачу 675) в предположении ficO] <С £0, й<в0 С 70 следует
* I-------— COS &]
COS fi's =-г +	-------------.	(I )
^(“) ЙИ‘ ^п(И1) с
Отсюда видно, что жесткий черенковский квант Й<в2 распространяется внутри черенковского конуса, отвечающего мягкому черепковскому кванту с частотой о),. Угол раствора этого конуса при принятой точности определяется условием cos'6'1 = с/о0л (<»i). Для возникновения жесткого излучения Вавилова-Черенкова необходимо выполнение неравенства о0 > cjn (<»i), как и в случае обычного черенковского излучения. Это возможно только при n(a>i) > 1. Следовательно, один из квантов должен быть достаточно мягким.
Решая (1) относительно Й<о2, получим
n (Oj) 1)0
--------COS Vi — 1
Й(02 = 6<0] -------------.
I — COS &2 C
Максимальное значение энергии Йи2 достигается при ©i = '62 = 0:
„(СО,)^-1
(ЙС02)тах — Йй>]	’
1
с
2й<В] [n (toj cos -61 — 1]
680.	Й<о2 =-------------------------------------------------о -
(тс2/$?о)2 + 2 (fi<Oi/go) [« (ю1) cos О, - 1 ] +
Максимальное значение Йе>2 достигается при О1='О2 = 0. Частные случаи: при <*0 С (тс2)2/ЙО1
(Й<В2)тах ~ 2Й(О| j [п (®i) — 1 ], при %0 »(тс2)2/Й(0!
(йи2)тах *о-
Из последнего выражения видно, что жесткий черенковский квант может уносить большую часть первоначальной энергии ультрарелятивястского электрона.
416
681.	Угол рассеяния принимает дискретные значения, определяемые уравнением
© гтП
sin -^- =---,
2 про
гпе !«= — + — + —, га/ —целые числа.
А а ах а2 а3
683.	При Лео < %0
._____________________________(дсУ/^„
(тсг/?вУ +	- 2 (<7С/?О) •
Энергия Па тормозного кванта принимает дискретные значения при фиксированных значениях угла О, так как передаваемый импульс q = 2^fig дискретен.
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
	т	dv			mvv		dv _F.
684.	(1-	v2!c2)'’" dt	c2	(1-	O2/c2)3^	dt
а)	(1 -	m	dv v2lc2)Sl' dt	= F	при	v||F;	
б)	(1 -	m	dv o’/C2)7' dt	= F	при	v 1 F;	
	dv					
в)	m~dT	= F.				
__	ill	III’	п
Величины ----------- и-----------г- иногда называют продольной
(1—v2/c2)7	(l-v2/c2)'
и поперечной массами соответственно.
Р-±Г + (,-1)-!1^-, F.vF_(v-0^.
1
Г" '(!-«»
686. F~^~.
К
2х (1 — В2)
688.	ф (а) =--r	к	In г, где 6 = v/c, г — расстояние
У (1 - Р2) cos2 а + sin2 а
от точки наблюдения до провода.
\в9. F = —.	♦
уг
Решить задачу можно разными способами:
а)	непосредственно вычислить электромагнитную силу, действующую на движущийся точечный заряд со стороны линейного заряда и тока (учесть лоренцево сокращение!);
б)	определить силу в той системе отсчета, в которой магнитное поле отсутствует, и воспользоваться формулами преобразования 4-силы;
в)	воспользоваться конвекционным потенциалом ф, полученным в задаче 688,
F =- — е grad ф.
27 В. В Батыгин, И. Н. Топтыгин	417
690.
где г — расстояние электрона от оси пучка,
5'г = ——=
J- 1-В2 J г о
ток через круг радиуса г.
п-=(1 +
тс2 ) \ 2тс2' V т
—скорость электронов (см. задачу 689).
F = e
1 2
*----2~1-----, где
а — радиус пучка.
691. Ускорение наружного электрона нормально к оси пучка и к скорости электрона, поэтому в лабораторной системе отсчета имеем (см. ответы к задачам 684 и 690)
(l—v2/c2\'la	SI
UF -------------------(1 _ v2/c2\\
т	mav
йп =
Уширение пучка
Ла =
<W2 _ агЛ2
2	2v2 ’
Согласно условию Да<£, откуда vnL/v<^.v или vnt<^v < с. Таким образом, применение иерелятивистской формулы для вычисления Да оправдано.
То же значение Да можно получить, рассматривая уширение пучка в системе отсчета, движущейся вместе с электронами пучка; в этой системе на электроны действует только электрическая сила.
692. Выберем ось х||еЕ. Дифференциальные уравнения движения в четырехмер ной форме имеют в данном случае вид:
d2x | е | £ d (ct) d2y d2z _ d2 (cl) _ ] e} E dx
dr2 me dx ’ dx2 ' dx2 ’ dx2 me dx ’
Интегрируя эту систему с начальными условиями:
dx
х — у — г — ct = O, —— dx
Рох
dy Роу dt т ’
dz	_ dt
~Г~ = °, с — = dx	dx
Че
—— при
тс
т = 0, где ?0=1 с2р2+т2с\
найдем параметрические пространстве:
уравнения траектории частицы в четырехмериом
Чо
|е | Е
|е | £т
тс
I еI £	тс
Роу* т
z = 0,
ct =__
1е)Е
I е | £т сро,г тс + |е|£
\ тс )
Из последнего уравнения находим
тс Рох + I е I £? + V (Рох + I е I Et)2 + т2с2 + I £ I £	Рол + ^olc
418
Используя это выражение и исключая sh и ch из первого и последнего уравнений, получим закон движения в трехмерной форме:
Х W = ТёТЁ
сРоу . Рох + I е I Et + ^(Рох + I е 1 £02 + "'2с2 + Роу
У(t) = ТН£ 1п---------	7	
2 (/) = 0.
При р0Спс и /С-.—г-С- движение нерелятивистское. Выражения для I е I £
х, у, z переходят при этом в обычные нерелятивистские формулы равноускоренного движения:
х(0=р-/+1£1А/2;
'' т 2т
Pox + <Д/С
v т
истечении достаточно боль-
По
шого времени с момента начала
I, 'ПС \
движения ——тг скорость
\ I с | Е /
частицы становится близкой к с (даже если она была мала в чале). При этом
на-
х (/) =ct —
тс2
МТ’
CP°V .
|е|£ П
2 | е| Д’/
тс
и движение становится равномерным (со скоростью с). Ход х (?) и у (t) представлен на рис. 113, а и 113,6 соответственно.
Движение, которое получается при роу — 0 (см. рис. 113, а) принято называть гиперболическим.
693. Траектория частицы определяется уравнением
££»_sh-|cl£-,/ I е | Е сроу J
<Д |е|£
сроу
I I Ei]
В нерелятивистском пределе = тс2, р0<^тс и -—!——<^1. Последнее сРоу
следует из того, что | е | Ех — приобретенный частицей импульс — должен быть в нерелятивистском случае мал по сравнению с тс. Таким образом, х = m | е j Еу2 рох „
694. 1=-—~ еЕ
^Роу
Роу
27*
419
695. Направим ось z|| Н. Будем исходить из дифференциальных уравнений движения в четырехмерной форме *): d2y	dx
dx2 W’ dx ’
d2x dy dr2 W1 dx '
где «! = eHJmc.
Первые два уравнения
и = х + iy. Из последнего уравнения получим ct~^-x, тс
dx2 ’ dx2 4
удобно записать
в
d2u . du _
виде d^+'Wl dF = 0> где
20 = с V р2 Ч- т2с2,	<g = тс2 =%0.
Энергия частицы не зависит от времени, так как силы магнитного поля не совершают работы. Интегрируя уравнения для и и z, отделив вещественную и мнимую части и и выразив собственное время х через t, найдем:
cpQy	\
x — Ri cos (a2t + а) Ч-г;— + х0,
еп
г, -га. ч CPoV	(I)
У~ - Sin (ast + а)------^~ + Уо,
2 = Vozt-
Из уравнений (1) видно, что частица движется в магнитном полэ по винтовой линии, навитой иа силовые линии магнитного поля. Радиус этой винтовой линии равен Р = |7?1|, где R} = pQLc!eH, ро± — \^р2х+р2у. Частота обращения равна <а = I <т>21» где ai = eHcl't (знак заряда может быть отрицательным). Шаг винтовой линии равен
2л | voz |	2л% | уог |
| «21 I е | Нс ’ где v0z = p0zc2l4.
Очевидно, что R = п0±/I и2 ' гДе °ох = Рьуугв ~ составляющая скорости частицы, перпендикулярная к полю При малой скорости частицы g = тс2 и mcv0 ,	I е | Н
Я = ~,—гЁГ"	<*> =----•
| е I Н	тс
Угол а определяется уравнениями:
sin а =----------,
Po_L
cos а --------
Ро±
696.
сЕу х = a sin at Ч—ту— t, п
у = a (cos at — 1),
2 = t2 + Vozt,
(1)
tiojr— cEyjH
где а =--------------
и
*) Можно исходить также из трехмерного уравнения —~---------------•
сделав в ием замену p = gv/c2 и воспользовавшись тем, что g = const (магнитное поле не совершает работы над частицей).
420
Вдоль оси z происходит равноускоренное движение под действием z-составляющей электрического поля. Движение в плоскости ху представляет собою обращение заряда в однородном магнитном поле по окружности, радиус
которой а, а центр равномерно движется («дрейфует») в направлении, перпендикулярном плоскости (Е, Н).
Скорость дрейфа
сЕу vg~ н •
Возможные проекции траектории частицы на плоскость приведены на рис. 114. Траектории а), в), д), ж) являются трохоидами общего вида, б), е) — циклоидами. Движение будет нерелятивистским, если v0<^c, Еу/Н^ \ и время t не слишком велико:
еЕг а>Ег
697.
Рохс  и . РоуС / w
X =---ту- Sin хНт +-zj- (COS ХНТ — 1),
еп	еп
РпХС	Р$иС
у = —г;- (cos хДт — 1) -1-гг sin хЛт,
s еп	еп
г — (ch хЕт — 1) + sh нЕт, еН '	' еН
ct = (ch х£т — 1) + -Дг sh х£т, еЕ	еЕ
где х = е/тс.
698.	а) Пусть электрическое поле Е || у, магнитное поле Н ||z (в системе S). В начальный момент t = 0 частица находится в точке х = у = z = 0 и обладает импульсом р0. Движение имеет различный характер в случаях Е > Н и Н > Е. В первом случае существует, как это следует из вида инвариантов поля Е  Н = О, Е2 — Н2 > 0, такая система отсчета S', в которой отсутствует магнитное поле. Из преобразований Лоренца для поля видно, что система S' должна двигаться относительно S параллельно оси х со скоростью V = cH)E (см. задачу 603). Интересующие нас уравнения движения
ок)
Рис, 114,
однородном х' + Vi'
V 1 - V2/c2'
быть выражены через цел 1чицы
частицы в S получаются из уравнений движения частицы в электрическом поле Е' с помощью преобразований Лоренца:
И Т. д. При этом £', p'(l*, p'Gf), p'Qg должны
421
X ”
без штрихов. В результате получим
ЕСсрол-Е-^оЯ) т _Н(%0Е-сРв<Н)_ sh j <£2_Я2Т + е (Е2 - Н2)11
тс (Е2 - Н2)
где
и = е/тс,
(ch х х ~ 0 +
— ?ВУ sh х Ve2 — Н2 т; еУЕ2-Н2
(1)
У —
ct = Н(сРвх-Ч0Н)х + Е_^_оЕ-_сРохН) sh х уЕ2_Н2 т тс (Е2 - Н2) е (Е2 - И2)1*
+ е (Е2 - Н2) (ch Х ~Н2 Т “ 1
При И > Е преобразование от системы отсчета, в которой имеется только магнитное поле, приводит к результатам, отличающимся от (1) только заменой Е на Н. При выполнении такой замены нужно учитывать, что shia = isina, ch ia = cos а. Случай E = H можно получить из написанных формул предельным переходом Е->Н. Результат:
и2Н2 6т
т3+
сРвух2Н	Рвх
—о-----г +---т
2е	т
и т. д.
Решение для случая б) аналогично решениям задач 692, 695.
699.	Т = тс2	откуда, например, в случае, рассмотренном в
задаче 697, получим
Т = Чв ch хЕт + cPbz sh хЕт — тс2.
700.	Исходя из результата задачи 603 и вычисляя V/с с точностью до первого порядка по EIH, получим V/c = Еу/Н. Схема решения — как в задаче 698. Во всех вычислениях нужно пренебречь малыми членами второго и более высоких порядков по Еу/Н, Ez/H и vB/c. Окончательно найдем
Еу
х = a sin at -I-(cos at — 1) + c t,
a	n
у— a (cos at — 1) + sin at,
eEzt2
Z = —о-----+
2<?i
где
vBX — cEyIH	eH
a ---------------- и <o =------.
<o	me
В начальный момент t = 0 частица находится в точке х = у = z = 0.
В формулах (1) содержится, в частности, результат задачи 696.
422	\
701.	Выберем ось х вдоль направления распространения плоской волны. Тогда поле волны будет полностью характеризоваться двумя функциями от f, например, Еу (f) и Ez (/'):
Е = [0, Еу (/'), Ez (/')], Н = [0, — Ez (/'), Еу (/')].
Из уравнений (XI.19) сначала получим, что f = т, затем найдем уравнения движения частицы в параметрической форме:
г	т
х (т) = Ж 1 ₽2J-rfT1 у (т) = ТГ J ₽/т’ о	о
т	т
2 (т) = J ₽*dT’	/ (т) = т+ 2^ J pl dr,
о	о
т
где р± = е J Е (/') dt' — еуру + ezpz — составляющая импульса частицы о
в плоскости Е, Н.
702.	Координаты частицы:
х = xD cos со/, у = ув ch со/, Z = vt, где со2 = 2ek/m.
Из полученных зависимостей х (/) и у (/) видно, что с помощью лиизы рассматриваемого типа может быть сформирован пучок заряженных частиц, имеющий форму плоской ленты.
703.
d I тг dt \ V1 — о2/с2 ,
+ еЕТ + - (- Haz + Hzra), /1 - о2/с2	с
d dt
/ тг2а \ Г г , 1	 и .. 1
7^=77=? =е ^а + ~(Л/г2_//гГ) Г’
1 — С12/с2 1	\_ с	J
d
dt
тг
1 - о2/с2
= e^Ez +— (Har — Hrra)
G
Первое и третье из этих уравнений имеют вид обычных уравнений дви-
(.	. т \ „
но с переменной массой —.—— 1. При этом в правой
J 1 — v2/c2 ]
тга.2
части первого уравнения содержится член  ... —, не зависящий от У 1 — v2/c2
вида электромагнитных сил (центробежная сила). Второе уравнение выражает производную по времени от момента импульса частицы относительно оси z через z-составляющую момента силы Лоренца.
704. При Н = 0 траектории электронов прямолинейны. По мере увеличения магнитного поля траектории все больше искривляются в плоскости, перпендикулярной оси. Введем цилиндрические координаты г, а, г, где z совпадает с осью цилиндра. Электроны перестанут попадать на анод, когда при г = Ь их скорость окажется параллельной поверхности анода, т. е. при г|г=ь = 0. При этом а |г=ь = Ощах/б. Воспользуемся вторым из уравнений в ответе к задаче 703, которое в данном случае принимает вид
d
dt
’ mr2a \
JI- v2/c2 J
~H(r) c
dr r---.
dt
(1)
423
Проинтегрируем (1) вдоль траектории частицы от г = а до г = Ь:
Ь
. Г" - - f 2nHrdr~ -
V1 — v2!c2 |Л=О 2лс J	2лс
Отсюда	_______________
2лс6	/"2mV (.	|е|К\
ФКр- |е| Pmax-2nc6J |е| [1+2тсг)>	(2)
если воспользоваться результатом задачи 621 и тем, что Tmax = | е | V.
При малой разности потенциалов | е | V тс2 (это эквивалентно тому, что и < с), результат (2) упрощается:
Фкр = 2лс6]/-^у .	(3)
705. Разность потенциалов V должна быть больше, чем
Укр
. , b , т2с*	тс2
In2 — +—=--------г
а е2 | е I
При |e|V<Cmc2 (нерелятивистские электроны), получаем из общей формулы
v _ 2^2!И 1пд ь
Ик₽ тс* 1П а'
___,	pQ(r	mv0
706. Ь = аехр—^——, где р0 =
#\е\
708. Воспользуемся цилиндрическими координатами г, а, начало которых совпадает с зарядом Ze и полярная ось направлена вдоль момента импульса частицы. Тогда движение происходит в плоскости г = 0, причем г будет представлять собой расстояние между зарядами — е и Zfe. Первые два уравнения в ответе к задаче 703 примут вид
d I тг' = тга2 Ze2
dt \ К1 — t>2/c2 /	— о2/с2 г2
d I тг2а \ = 0
dt \ V1 - v2/c2 I ~
Из второго уравнения следует, что момент импульса является интегралом
движения:
тг2а
V1 — v2/c2
= К = const.
Другим интегралом
движения является полная энергия системы
тс2 fl-v2/c2
Ze2
----= = const.
Из выражения (3) видно, что возможны траектории двух основных типов. При больших значениях г полная энергия 'с~тс2 + Т (Г —кинетическая энергия), поскольку при г -> оо потенциальная энергия Ze2/r->0. Так как Г^0, то при £ < тс2 частица не может далеко отойти от притягивающего центра и ее траектория заключена в ограниченной области (финитное движение). При t > тс2 существуют ветви траектории, уходящие на бесконечность (инфинитное движение).
424
Найдем дифференциальное уравнение, которым определяются траектории частицы. Из (2) следует
d К fl- v2/c2 d
da ’
dt
mr2
(4)
Подставляя (3) и (4) в первое из уравнений (1), получим дифференциальное уравнение траектории частицы d2
da2
2 1 Ze2? . .
P2)y = KV’(5)
где
p *= Ze2!Kc.
Интегрирование этого уравнения дает при р ф 1:
P
P =
1 + e cos (K1 — p2a) №c2 - Z2ef
(6)
Ze2?
e — постоянная интегриро-
где	. .
вания. Вторую постоянную интегрирования можно исключить соответствующим выбором начала отсчета угла а, а величину е выразить через Ч и К- Траектории симметричны относительно оси х (а = 0).
Рассмотрим подробнее случай р < 1. Как частица не приближается к центру ближе, чем если принять что е > 0. В формуле (6) начало отсчета угла а выбрано так, что г = Гщ1п при а = 0. Частица может многократно проходить на расстоянии rmin от центра. Во всех таких точках г = 0 и скорость направлена пер-т-т	гл	ITIVrmln	г г
пендикулярно к радиусу-вектору г. Поэтому К «= -	. Исключая от-
V 1 — v2/c2
тс2 Zf?%
сюда и из уравнения (3) Ч —	----------величину ч и используя
У 1 - v2lc2 rmln
выражение rmin через е, найдем
видно из (6), в этом случае
р
на расстояние rm]n *= ~~—,
1
e = — P
1--^(1-P2)-
(7)
Из (7) видно (р < 1), что при Ч < тс2 параметр е < 1. Движение при этом финитно и траектория «эллипсовидна» (рис. 115) Она имеет, вообще говоря, вид незамкнутой розетки, заключенной между окружностями с радиусами । Р и j £ е~ • Ее можно получить путем вращения (прецессии) нерелятивистской эллиптической траектории в своей плоскости. Полное колебание величины г от минимального значения rmin = -~-— (перигей) до
425
р максимального аначення гтах = -г-Е— 1 — в
(апогей) и обратно до нового мини-2л гт «	,
. Перигеи орбиты, таким
образом, за один период изменения г поворачивается на угол 2л
мума происходит при возрастании а на
______	.К1—р2 /
Если У 1 — р2 представляет собой рациональное число, то после некоторого числа оборотов траектория замыкается на себя.
При S > тс2 параметр е> 1. Движение инфинитно и траектория «гн-перболовидна» (рис. 116). Она имеет две ветви, уходящие на бесконечность
arccos(—1/е) при а = ± а0, где а0 =--- —	---. Частица,
I Г— р2
приближающаяся к заряду Ze по одной из этих ветвей, может совершить вокруг заряда несколько оборотов, раньше чем уйти от него на бесконечность по другой ветви.
Случаю g — mc2 отвечает е=1. Движение в этом случае также инфинитно, а траектория «параболовидна».
При р 1 рассмотренные траектории переходят в обычные эллипс (е< 1), гиперболу (е> 1) и параболу (е= 1) нерелятивистской кеплеровой задачи. Это естественно, так как при v/c 1 выполняется условие р 1 *),
700. Решение уравнения (5) предыдущей задачи щем
в случае р > I удобнее записать в виде:
следую-
где
Pi
— 1 4-в! ch Ip2— la
- №с2 + Z2e4 Pi =
Ze2S
(О
El =
(2)
Траектории, описываемые уравнением (1), имеют вид спиралей, закручивающихся вокруг начала координат при а -> ± °°. Частица падает на силовой центр (в нерелятивистском случае падение на центр возможно только при К = 0, р = оо). При S > тс2 параметр в] < 1 и траектория имеет две ветви, уходящие на бесконечность при а — ± а0. где ао = г 1  arch —
У р2- 1 В1 (рис. 117). При g < тс2, параметр В] > 1 и траектория имеет вид, изобра-жейный на рис. 118.
В случае р = 1 решение вида (1) неприменимо и дифференциальное уравнение траектории должно быть проинтегрировано заново. Результат
*) Можно произвести такую оценку величины р в нерелятивистском случае:
_ Ze2 ~ Ze2 ~ _!_£]_
Р Кс rmvc mvc
По теореме вир нала | U I = 27’ ~ mv2, так что р v/c 1.
426
интегрирования
2Ze2g
(a2 — 1) + m2c4 ’
(3)
Траектория также представляет собой спираль, закручивающуюся вокруг центра при а-»±«>, 50 медленнее, чем в случае р > 1. Общий характер траектории такой же, как в случаях, изображенных на рис. 117, 118.
710. В случае Ze2/Kc < 1
— 1 + е cos a 1/ 1 —2 Г	1\ С
ГДе
р = -	>	6 = zfc"	<№2-Z2e4) > 1.
Траектория имеет гиперболоподобный
Рис. 117.
характер (рис. 119). Две ее ветви уходят на бесконечность при a = ± а0, где
.1 1
а0 =---т====- arccos —.
Д г2е4 е.
V К2с2
При Ze2!Kc С1 частица движется по гиперболе. Этот случай отвечает нерелятивистскому движению, 1‘<с (см. примечание на стр. 426).
В случае Ze2/Kc > 1,
.	.	/ Z2e4 , ’
l-8cha)/ ^-1
где е < 1. Характер траектории
такой при
же, как в первом случае. Две
ее ветви уходят на бесконечность
1
V К2с2
к 1 агсп —. е
В
случае Ze2/Kc — 1,
2Ze2g
Ч2 (1 — a2) — т2с4
Ветви траектории уходят на бесконечность при
/й2 - т2с‘ а --------------
Ч
427
712. В случае ее' < 0 (притяжение):
о | е2 - 1 |
1 + е cos а ’
где
ее' 2g
2gK2 ре2е'2
mi + m2
а =
Рис. 119.
(1)
„	,.	ее' lit;2
д = цга — момент импульса, g =------h ----полная энергия частицы,
г, а—полярные координаты. Траектория частицы представляет собой коническое сечение: при g< 0 —эллипс (е < 1), при g > 0 — гипербола, во внутреннем фокусе которой находится заряд е'(е > 1), при g = 0 —парабола (е=1).
В случае ее' > 0 (отталкивание):
а (е2 — 1) г = —г-;------•
— 1 + е cos а
В этом случае g > 0, эксцентриситет е > 1, и траектория представляет собой гиперболу с зарядом е' во внешнем фокусе.
713. Дифференциальное сечение рассеяния может быть вычислено по формуле
_ /пл_ s ds
sin 0 dO ’
где 6 — угол рассеяния частицы, соответствующий данному значению s параметра соударения (прицельного расстояния). Связь s и 0 может быть найдена из уравнения траектории частицы (см. задачу 712). В случае притяжения (ее' < 0) cos а > ——. Угол а меняется от — а0 до а0 (рис. 120) при прохождении частицей всей траектории (cos <х0 = —Угол рассеяния 0 дополняет угол между асимптотами гиперболической траектории до л. Из рис. 120 видно, что 0/2 = — л/2 + а0, от-
, , 0	1	.	1	,	2 ,	2g№
куда ctg2 — =---0-^^^Г-1 =е 1 =-------------
2	с-„2_ cos ао	те2е
sm 2
Момент импульса выражается через прицельное расстояние s формулой Л = mvos. Таким
образом,
е2е'2	2 0
s =~TTctg 7" т о0 2
Дифференцируя и подставляя в (1), получим
Это - известная формула Резерфорда. Тот же результат получается при ее' > 0.
428
714. В случае ее' < 0 (притяжение):
2сК . оо Кс2№ - Z2e4 —	— arctg —- —	—
с2К2 - Z2e*
2сК
I с2№ - Z2e4 1
cZe2
где ц0 —скорость заряда при г->°о.
В случае ее' > 0 (отталкивание):
е = л arctg «Л^-ZV Vc2K2-Z2e4
715. Малым углам рассеяния отвечают; большие ния s. Поэтому, положив К = Pt>s, где р0 — импульс можно найти интересующую нас зависимость угла рассеяния 6 от s предельным переходом s -> оо (при этом, очевидно, К > | ее' |/с) в общих формулах, приведенных в предыдущей задаче При выполнении предельного перехода как в случае ее' < 0, так и в случае ее' > 0, получается один и тот же результат:
e = n-2arctg-^=-^«l,
lee | vopos
cZe2
прицельные расстоя-частицы при г -> оо.
716.
о 1ее'1 откуда s = 2 --—
3	«оРоб
ff(e)=6de
Рис. 120.
,	_ / в + 1 /7га3
= =	т=т~2^-
717. Ускоряющее электрическое поле:
F 1 а 2пгс dt ’
где г —радиус орбиты электрона, Ф —магнитный поток, пронизывающий орбиту, а — азимут электрона.
При передвижении электрона по орбите совершает работу
на расстояние г da поле
Еа
8Л = Ear da.
(О
Ускорение электрона происходит на орбите постоянного радиуса г = ср/еНа (см задачу 695), где Но — магнитное поле на орбите, перпендикулярное ее плоскости и нарастающее со временем. Из условия dr = 0 находим
dp = -~dH0.
(2)
Энергия электрона ^ — cVp2 + m2c2 увеличивается на c2pdp c2p2dH0
* я %н0 •
гели использовать равенство (2) Очевидно, что
М = d%.
(3)
(4)
429
„	,,,	с2р	da
Подставляя (1) и (3) в (4) и используя равенство —-^- = v — r получим после интегрирования
Ф = 2Ф0,
где Ф0 = пг2Н0.
Последним равенством и выражается искомое правило «2:1».
718. Энергия V взаимодействия двух заряженных частиц определяется формулой (XI. 23), в которую нужно подставить заряд et одной из частиц и запаздывающие потенциалы ср2, А2 поля другой частицы. Воспользовавшись разложениями, приведенными в задаче 757, получим
е2	ё2 d2R	e2v2
4,2 R + 2с2 dt2 ’ Аг cR ’
(I)
где R — расстояние между частицами. Выбрав калибровочную функцию % в виде
е2 3R
Х = ~2с~дГ'
произведем градиентное преобразование потенциалов. Новые потенциалы принимают вид
_/	_	• е2
<₽2-<Р2	с dt ~ R’
.r , ,	, e2 [v2 + (n • v2) n]
A2 = A2 + grad % = i1
2cR
где
R
R'
Отсюда для энергии взаимодействия получаем формулу Брейта
в]	^-1^-2 J	*
и = ei<p2 - — (V) • А2) =	-! I - -^2- [vj • v2 + (v> • n) (v2 • n)J
Эта формула приближенно учитывает то обстоятельство, что сила, действующая на одну из двух взаимодействующих заряженных частиц, находящихся на расстоянии R друг от друга, определяется предшествующим положением и состоянием движения другого заряда. Энергия и импульс передаются зарядами полю и переносятся полем от заряда к заряду в течение промежутка времени R/c. Частицы и поле образуют единую систему, и вследствие этого невозможно точное описание движения системы взаимодействующих частиц без привлечения степеней свободы поля.
2	4	2	4
m,v, m,v, m9v9	m9v9 e.e9 e,e9
719.	L = -y + -I g— + gc2 + 2c2/? tvi ‘ v2 + (v> • n) (v2 • n)J.
720.	Магнитный момент частицы прецессирует вокруг направления магнитного поля с угловой частотой о = — кН.
721.	В мгновенно сопутствующей системе, согласно (X. 25), существует магнитное поле
Н' = — — vXE, с
где Е — электрическое поле в неподвижной системе, а о <g с. Спиновый механический момент в сопутствующей системе изменяется по закону
\ dt /сопутств
= m X Н'.
430
с помощью формулы, приведенной в условии задачи, найдем
|	= Ш X
неподв
тс
Н--------<о.
е
Из сравнения этого уравнения с уравнением (VI.14) получаем, что НЭфф в рассматриваемом случае имеет вид
,,	и, тс
Нэфф — “
Но
е _ dtp г „	1	1 dtp ,
v Е, Е —	, и Нэфф —	_	, 1,
т	dr г	2тс г dr
где 1 — момент импульса частицы, создаваемый ее движением как целого (орбитальный момент). Энергия взаимодействия магнитного момента с эффективным полем имеет обычный вид
= ш • Нэфф
и, дифференцируя эту величину по углам, определяющим ориентацию ш, можно найти обобщенные силы, действующие на магнитный момент. Окон-
чательно получим
е___ 1 dtp ।
2,п2с2 г dr
s.
Это выражение используется в квантовой теории атомов и называется энергией спин-орбитального взаимодействия.
722.	Энергия взаимодействия возникает только за счет томасовской пре-
цессии и имеет вид
,,________1	1 dV ,
2т2с2 г dr S'
(1)
Рассмотренная в этой задаче ситуация приближенно осуществляется в атомных ядрах. На нуклоны в ядре действуют большие неэлектрические (ядерные) силы и сравнительно слабые электростатические силы, которыми можно пренебречь. Поэтому энергия спин-орбитального взаимодействия определяется формулой (1), где V — потенциал ядерных сил. Учет спин-орбитального взаимодействия нуклонов играет важную роль при расчете ядерных уровней.
723.	Отражение происходит при антипараллельной ориентации магнитного момента и поля, если угол скольжения а достаточно мал, так что /щ0Я
—Т~ ’
724.	Движение нейтрона вдоль провода равномерно. Движение в плоскости, перпендикулярной проводу, происходит в потенциальном поле
U = ±	. Следовательно, проекции траекторий нейтрона на эту пло
скость имеют тот же вид, что и траектории относительного движения двух зарядов е и е', взаимодействующих по закону Кулона (см. задачу 722). При , j 2ni0^
этом в решении данной задачи нужно заменить ее на ±---------, а под
К2 2тг2
+ U (г) — понимать энергию поперечного движения (К=тг2а —
момент импульса). В частности, при <( < 0 нейтроны совершают финитное
движение около провода.
725. I (а) =
1110-67 c/nog sin2 а/2
431
ГЛАВА XII
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям
728. Д<р =— 4лр, ДА —
1 <Э2А 1 .dtp 4л
'c2'~dir~T gradTt с~
J.
730. Плотность потока момента импульса:
то . (п X р) (п • р)
2лА2
гг	rfK
При вычислении величины — — = I Si
ЛОЙ = */3 б/fe (см. гл. I).
В результате получим
dK(Z) _ 2
dt ~ Зс2
полезно воспользоваться форму-
731. Магнитные силовые линии имеют вид окружностей, плоскости которых нормальны к оси z, а центры лежат на этой оси. Электрические силовые линии описываются следующими уравнениями:
С] = sin2 О [у cos (kr — at) + k sin (kr — col) j, C2 = a,
где С], C2 — постоянные.
732. H =
1 d rot Z c dt
= ea
Г I • °2 _L Le0 ( 1 c2r +
exp [Z (kr — at + a)],
E = rot rot Z = ea[er	2 sin 0 +
/ a? ..a	1 \	„	(.a2
+ еИт¥ + '-^2--7r)cosO + ea (»
-----j j exp [Z (kr — at + a)].
В волновой зоне г >> Л = 2лс/<о выражения Е и Н упрощаются:
СО2
Н = еа —j— (— Zefl + ea cos О) ехр [Z (kr — at + a)],
CO2
E = ea (ee cos © + ZeQ) exp [Z (kr — at + a)] = H X n.
При излучении в верхнюю полусферу (cos ft > 0) получается левая эллиптическая поляризация, в частности, при 0 = 0 —левая круговая поляризация. При излучении в нижнюю полусферу (cos О < 0) — правая эллиптическая поляризация, переходящая в круговую при О = л. Волны, излучаемые в экваториальной плоскости, имеют линейную поляризацию. Угловое распределение и полная интенсивность излучения
dt -	,
e2co4a2 8лс3
(1 + cos2 О),
j 2а4е2а2
J Зс3” *
432
Рассмотренный случай осуществляется, например, при движении заряда в однородном магнитном поле.
733.	р = 111 = О, Q =/= О, Н = у А X п =
4еа ш gjn Q cos (2wf _ 2а) + еа cos & sin (2wf — 2а)]. Частота колебаний распределения заряда и тока и, следовательно, частота поля вдвое превышают частоту е> обращения каждого из зарядов по орбите. Поляризация излучения — эллиптическая, приближающаяся к круговой при &->0, ли переходящая в линейную при & = л/2
di 2е2а4ие . , л „ ,	,	-	32 е2а4ое
dQ лс6	'	5 с5
Если убрать один из зарядов, то интенсивность излучения возрастет по порядку величины в (Х/а)2 раз, т. е. весьма значительно, так как выполняется условие а/Х<1.
734.	Если угол между радиусами-векторами зарядов равен л — ср, то /12 асо
735.	Направим ось х вдоль амплитуды момента осциллятора, опережающего по фазе, а в качестве плоскости ху выберем плоскость, в которой лежат моменты обоих осцилляторов. Обозначив через &, а полярные углы орта п, указывающего направление распространения волны, получим
Н (г, 0 =	= "c2r~te0 tsin а + г sin (а ~	+
+ еа (cos а + i cos (а — qp)( cos &} е (1)
di р^со*	_ 2р?е>4
~dQ = W {2 ~(cos2 а + COs2 (а ~Ф)1 Si"2 1 = ~3^-
Излучение максимально в направлениях & = 0 и & = л, перпендикулярных моментам обоих осцилляторов, и неравномерно распределено по
азимуту. Это иллюстрируется на рис. 121 полярными диаграммами для случая <р = 45°. На рис. 121, а показано угловое распределение по а
28 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин	433
в плоскости 0 = 90°, на рис. 121, б —угловое распределение по О' в плоскости а = -^=22,5°.
736.	Сдвинув начало отсчета фазы на у, получим новую амплитуду поля He~‘v = Hi — iH2. Потребовав, чтобы Hi-H2 = 0, найдем, что
, „	„ sin a sin (а — ф) + cos а cos (а — <р) cos2 О
tg 2у = 2	-------ту------у—----5----- 2, —г;-------5-д- •	(2)
sin2 а — sin2 (а — <р) + [cos2 а — cos2 (а — <p)J cos2 О ' '
Определив с помощью (2) cos у и sin у, найдем И] и Н2 в зависимости от О, а, <р.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Прн 0 = 90° поляризация линейная; плоскость поляризации перпендикулярна плоскости ху. При О = 0, л поляризация эллиптическая, причем отношение полуосей эллипса равно
. Ч>
tg—- ; в частности,
при ф = л/2 и 0 = 0, л поляризация круговая. Легко
исследуются также случаи а = ф/2, ф/2± л/2, ф/2 + л. Во всех этих случаях поляризация, вообще говоря, эллиптическая. При а = ф/2, ф/2 + л в напра
влениях, определяемых условием
tg у = I cos О |,
поляризация получается круговой.
При а = ф/2 ± ч/2 направления с круговой поляризацией определяются уравнением ctg	= | cos ft I.
— е2а2со4	e2a2co3 . _	2 e2a2co3
737-Y= &^(,+C0s <>)e'+ ta^smee"- N=y-^-e- n°-следний результат можно получить, либо учитывая, что теряемый излучающей системой в единицу времени момент импульса	р X р (см. за-
tit АС
дачу 730) равен вращательному моменту N, приложенному к экрану, либо непосредственно по формуле
N = — г X yr2 dQ.
с J г~2> а
738. И = ШС°с2^П Ф • (efl cos О' + fej ехр [i (kr — со/ + а)],
_	шсо2 sin ф .	а . • \	r-z<.	. ,
Е =---------—— (—% cos © + iefl) ехр [с (kr — cot + а)],
где ш = 4/3ла3М,
di _ in2co4 sin2 ф
dQ 8лс3
(1 + cos2 О),
-у- 2ш2со4 sin2 ф Зе3
739.
di 9
dQ = 800л
со6ф2/?оа2 с5
sin2 О' cos2 О,
_	3 со6ф2/?ма2
/= 500 с3
740.	Е = -^-, Н=0.
Г3
434
741.	Разлагая вектор Герца Z (г, t) на монохроматические компоненты и используя разложение (П3.20), получим
Zp(r, 0=-^-, где f = t-rlc,
z0(r’ о =2^0(0+ ^Q(n, zm (г, о = х n + Ц* m (f) dt'] x n.
(1)
(2)
(3)
Эти формулы справедливы при г » а, где а — размер системы Произвольная постоянная, возникающая при вычислении интеграла, входящего в (3), не сказывается на величине напряженностей поля.
742.	Поле магнитного диполя:
.ч 1 *	" X in (f) , n X lit (Г)
Еш (г> 0---с m ---------czr +------^2---’
Нт (г, Q = rot Am = -3-п (-У+ ?п	’ ДЬ-4. + JL-X (" X ш)
m	m	rJ	cr2	c2r
Поле электрического диполя получится из поля магнитного диполя путем замены ш -> р, Hm -> Ее, Ет — Не.
dl <йр
743.	~d£i ~ 4псз {₽2 0 ~ sin2 cos2 а) + 11,2 ^п2 ® + ШР s'n ® s>n «);
2®о
/= -=-s- (р2 + т2). Здесь использована система координат, ось х которой на-
правлена вдоль р, а ось z — вдоль ш. Дипольные моменты в обоих случаях имеют значения
р = Ро cos co0t, nt = ш0 sin co0t,
где ро = qod, Шо = nR2q0o0/c, q0 — максимальный заряд одной из обкладок конденсатора, определяемый условием возбуждения системы, d—ширина зазора, R — радиус проволочного кольца в случае а) или цилиндрической оболочки в случае б).
Усреднив интенсивности излучения по периоду колебаний, получим
= 8^ {ро<1 - sin2 <> cos2 а) + mg sin2 О), Т= (р2 + ш2).
744.	Дипольные моменты системы равны нулю, электрический квадру-польный момент имеет одну отличную от нуля компоненту Qzz (если направить ось z вдоль Ро).
Вследствие этого вектор Q будет параллелен оси z и равен Q (Г) = = Qo cos tt cos о/'ег при соответствующем выборе начала отсчета времени, здесь Q0 = 2p0n.
Удобно проводить вычисления в комплексной форме, воспользовавшись выражением (2) из решения задачи 74i и спроектировав Z на оси сферической системы координат. Отделив вещественную часть, получим в
28*	435
результате:
Ча — Qo sin SO1 (-у---------sin (at — kr) — cos (at — kr)
Er^-^Qo (3cos2 ft — 1)	cos (co/ — kr) — sin (at — fer)J,
E-& = Qo sin 2ft ---cos .j.	j sjn ^at _ kry
di Qjjfl)6 dfi = 32^sitl2^cos2^
где Q0 = 2p0a.
745. Выберем координатную деление
Qo®6 60с5 ’
где
систему, как показано на рис. 122. Распре-тока в антенне выражается формулой
9 = ff Q sin
exp (— iat),
k — а/с = тзг/1.
Электрический дипольный момент единицы длины антенны Р=~^Ч, согласно (XII. 9). Элемент d£ антенны можно рассматривать как электрический дипольный осциллятор с моментом dp = P d£. Поскольку выполняется неравенство dgcZ, то создаваемое элементом d£ в точке А магнитное поле можно вычислить по формулам (XII. 17) и (XII.20):
dH0 (г0, /) =---A- еа sin &Р (/ — -yj dg,
где
г = rQ — g cos ft.
Так как мы интересуемся только полем в волновой sin ft
зоне, то величину —-—, которая мало меняется в области г /, можно вынести из-под знака интеграла. Таким образом,
Яг = Яв = 0,
Z/2
На = - -	 9о ехр [I (kr0 - о/)] J ехр [ik% cos ft] sin рпл |A + yj] dg.
-Z/2
Выполнив интегрирование, найдем угловое распределение по формуле dt _ С —2 2. dQ 4л “ °’
dt dQ
9/ тл Л cosm —cos и* ^0	\ 2	/
-----------. 9 к---- при т нечетном, 2лс	sin2 v
sin ~T'cosa)
—-------. „д------- при т четном.
2лс sin2 v
436
Характер углового распределения виден из полярных диаграмм, приведенных на рис. 123. Штриховой линией показано распределение тока по длине антенны, сплошной — угловое распределение излучения. -
746. I = [In (2лш) + С — Ci (2лш)],
/? = 2 —= — [1п (2л т) + С — Ci (2лш)]. с
JJ ^2 sin2 & sin2 (1 — cos ©)
dQ 2лс	(1—cos®)2
/ =
<7 2
C
sin (4л//Л) 1
4л//Л	] ’
где Л = 2л/k — длина излучаемой волны, ® — полярный угол, отсчитываемый от координатной оси g.
Рис. 123.
Легко убедиться, что бегущая волна излучает интенсивнее, чем стоячая волна с теми же значениями I, Л, &в.
748.	Если расстояние г точки наблюдения А (г0, ®, а) (рис. 124) от петли велико (г > а), то можно считать, что радиусы-векторы г от всех элементов кольца dl параллельны, причем г — rQ — a cos <р = rD — a sin ® cos (а' — а) (см. задачу 1). Элемент dl обладает электрическим дипольным моментом dp = Pdi — — 3 dl, где через Р обозначен электрический дипольный момент СО
единицы длины провода, и создает в точке А магнитное поле (см. XII. 20): лк,Д|,(7у|1 -
= — i	ехр [ — «со/ + ikrD — iak sin cos (o' — a)] X
ь Гр
X sin tia' [cos (a' — a) efl + cos & sin (a' — a) ej da'.
В знаменателе пренебрегаем величиной порядка а по сравнению с г0. Этого нельзя делать в показателе степени, так как величина ak, вообще говоря, не мала и существенно влияет на фазу.
437
Задача нахождения поля сводится к интегрированию:
л

1аа 0В са гв
ехр [i (krB
-со/)] J
—л
cos (а' — а) sin па' X
X ехр [—ika sin & cos (а' — а)] da'
Выражение для На отличается от выражения Я® заменой в предэкспонен-цнальном множителе cos (а' —а) на sin (а' —а).
2	А	Вводя переменную интегрирования р = а' — а,
р ]24	Первый из интегралов, стоящих в скобке,
с’ ‘	обращается в нуль вследствие нечетности
подынтегральной функции, второй может быть преобразован к промежутку 0, л (четная подынтегральная функция) и выражен через производную от функции Бесселя (см. приложение 3). Таким образом,
гг ,	..	„ 2тоа	Г./,	, л	,,	• лл
Я^ (г0, /) = — Еа = —---ехр р \kr0 — at — п j J sin naJn (ka sin О).
Путем аналогичных вычислений с использованием формулы Jn-i (х) + + /п+1 U) = — J" (х), получим
Ha(rB, ty^E® —
kr-at — n-^-
c2rB
Jn (ka sin 0) cos na } .-a— ka tg tr
dl	co Ро	I n	®
749.	-угу = -75—s- (1 - sin2 0 cos2 a) cos2 h- cos2 -r-dfi	2nc3	\ 2	2
где 0, a — полярные углы, характеризующие направление излучения (см. полярные диаграммы на рис. 125). Опережающий осциллятор расположен выше по осн 2.
750.	Так как j = pv = р -~р то (jx, jy, jz)~>(~ lx, — jy> iz), при этом отраженные токи вычисляются в отраженных точках: ]х (г) — — j'x (/) и т. д.
Аналогично, используя обычные определения и формулы (XII. 1), (XII. 2), записанные в декартовых координатах, получим: (рх, Ру, pz) ->(~Рх, ~Ру, Рг)> (Qx, Qy, Qz) -> (- Qx, - Qy, - Qz), ('«x. nil/. 111г)	(m.r. Ч1|/. - Шг)>
(Ex, Ey, Ez) -> (- Ex, - Ey, Ez), (Hx, Hy, Hz) -> (Hx, Hy, - Hz).
438
751.	Граничные условия Нп = 0 и Et = 0 на поверхности (z = 0) проводника выполняются— это прямо следует из результатов задачи 750. В частном случае электрического дипольного осциллятора электромагнитное поле в полупространстве z > 0 совпадает с полем электрического дипольного осциллятора с моментом р = 2ezf (t) sin <р0- Оно обращается в нуль при <р0 = 0 (диполь параллелен плоскости) и максимально при <р0 =-^-= (диполь перпендикулярен плоскости). Полная энергия, излучаемая в последнем случае
в полупространство z > 0, вчетверо превышает энергию излучения такого же осциллятора, находящегося вдали от проводящей плоскости.
752.	Ел = Н,,= ю Р°а cos 2& cos a cos со/',
2с6г
Еа = — Н® = COS s’n а C0S
dl Рпа2ш6
лгГ = “55—Г (cos2	cos а + cos2 sinS «)-
dQ 32ясь
753.	б)Яг=0,Яо=-^^, Ha = ik%L
dr2	г dr д®	г sin © dr да
Ро 755. и^-^-—^
1=0
h™ (kb) b
d [rjt (fer)]
у_______
d [M|l) (fer)] dr
 Л;1* (kr) Pj (cos О).
r=a
Поля Е и Н выражаются отсюда по формулам, полученным в задаче 753. Для нахождения углового распределения излучения нужно воспользоваться асимптотическим выражением сферических функций Ханкеля (см. ПЗ. 19). При этом получится:
Ea = H» = 0, ди gikr Ha = ik^ = F(b)^-Е(>’
439
где
f(#)-
ОО
Pofe2 X1 2/+1 ь Zj ?-* /=о
d\rh<" (M| dr
dP[ (cos 0) dO
r=a
dl _ c dQ 8л
l2^—^Н'ЧО) I2.
§ 2. Электромагнитное поле точечного зарида, движущегося произвольным образом
756. Потенциал <р поля частицы выражается интегралом:
Ф(г, 0 = f P^,t-R/c) dV. = g f d[r' - r0 (<-/?/с)] J A	J	Н
(1)
где R = | г — г' |. Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой J f (Ri) (Ri) (dRi) — f (0) (см. приложение 1). Перейдем в интеграле (1) к новой переменной Rj = г' — г0 (/ — R/c). Якобиан преобразования
I dRi I , v-R
I df | cR •
(2)
В новых переменных интеграл (1) принимает вид
<Г (г. /) = е
f 6(Ri)(dR,)е
с	с
Ri=0
Условие Ri = 0 означает, что в правой части этой формулы все величины относятся к точке f = г0 (/ — R/c), в которой заряд находился в ретар-дированный момент времени f ~t — R/c. Вычисления в случае векторного потенциала выполняются аналогичным образом.
757.
ф(г, ,,.J	„dV._
n=0
у(-1)" dn7?r’
~eZi cnn\ dtn •
n=0
(-1)" d"(v(0/?r‘)
где /?о = |г-гоЮ I; A (г,	B+1 ~-------Ц-----
_ L- rt I	i
n—0
Все величины
в правых частях этих равенств берутся в тот же момент времени, что и в левых. Запаздывающее взаимодействие формально сводится к мгновенному. Полученными разложениями можно пользоваться при достаточно медленном (о с) и плавном (ограничены ускорение и его производные всех порядков) движении для не слишком больших R.
440
760.	При малых v/c формулы (XII. 25) принимают вид
_ ег „ ег (г • v) ev er X (г X v) I
— r3 + J rrt	rr2 ' r2r3
r	cr	er	c r	l/'=/-r/c
ev X r	ev X r I
H ~ rr3 + r2r2 cr	c ' H'-=t-rlc
Здесь г —расстояние от какой-либо точки области, в которой происходит движение заряда, до точки наблюдения.
Первые три члена в выражении Е и первый член в Н пропорциональны 1/г2 и преобладают на сравнительно малых расстояниях от заряда (в квазистационарпой зоне). Электрическое поле в этой зоне сводится в основном к кулонову полю Е = ег/r3; магнитное поле описывается фор-
мулой Био —Савара Н=——• Набольших расстояниях от заряда (в волновой зоне) доминируют последние члены в Е и Н, убывающие по закону 1/г. Эти члены описывают поле излучения и имеют вид
_ en X (п X v)	ev X n
9	,11 ~~	q	,
(rr	(rr
где n = r/r.
Положение границы квазистационар-ной и волновой зон определяется условием
е| v |/(с2ггр) откуда	с2
*	t'	t>
если учесть, что |v| ~ —, где о—величина порядка размера той области, в которой происходит движение заряда.
dl р2 .	2е2 •
761.	-^=- = -^—3- (v X и)2,	/ =	у2> где п = т!г-
dQ 4пс3 ' Зс3
762.	а) Порция энергии — d4, излученная частицей внутри телесного угла dQ за время df, проходит мимо точки наблюдения поля в течение „ „	dl dl dt
промежутка времени аг. Следовательно, —df dQ ~~dQ~df~' В0СП0ЛЬ30вав' шись равенством t = f + R!c, и заметив, что dR/dt' = — n-v, где n=R//?, получим
откуда окончательно:
d4 ( n-v \ dl
dfdQ\ c ) dQ’
б) энергия, излученная зарядом в течение промежутка времени df, заключена между двумя сферами. Первая из этих сфер имеет центр в точке О, где заряд находился в момент f, вторая — в точке О', где он находился в момент f + df (рис. 126). Радиус первой сферы R + cdf, второй сферы R. Рассмотрим элемент объема dV — dS dR = R2 dQ (c — n • v) df.
E2 cE2
В этом объеме заключена электромагнитная энергия dW — — dV = X
441
n‘v к,?	d% dW
—-—j R* ail at. Отсюда для скорости потери энергии —	~
значение, приведенное выше.
получим
765.
/	УХ Н\2	(Е • у)8
dg	2е4	\	с )	с2
dt'	Зт2с3	. v2
7^
766. _ dp_______________________________у d%
dt' ~ с2 ’ dt”
где v — скорость частицы в момент f.
767. Сравним скорость потери энергии частицей в двух системах отсчета: мгновенно сопутствующей Sc, в которой частица в данный момент времени покоится, и лабораторной S, в которой частица имеет скорость v. В системе So излучение имеет электрический дипольный характер, поэтому частица в So не теряет импульса. Это следует из центральной симметрии углового распределения излучения в этой системе отсчета (или из результата задачи 766).
Рассмотрим количество энергии —dg0, излучаемое частицей за промежуток времени d/0^=dT в системе So. В системе S наблюдается при этом потеря энергии — d% — ~	за промежуток времени dt =	- 
Отсюда получаем для скорости потери 0 энергии:
e(j _ dg _ _ dgp/^ 1 - v2/c2 = _ dg0
dt‘ dr/1 - v2/c2 dx
\_y	Результат не зависит от v. Это озна-
чает, что суммарная по всем направлениям Рис. 127.	скорость потери энергии во всех системах
отсчета одинакова.
Полная интенсивность излучения в момент времени t определяется интегралом от нормальной составляющей вектора Псйнтинга по поверхности сферы радиуса R, с центром в точке, где находилась частица в ре-тардированный момент времени t' = t — R/c. В отличие от инвариантной величины — dg/df, полная интенсивность излучения не обладает простыми свойствами релятивистского преобразования при переходе от одной системы отсчета к другой.
768‘	=	^Г-ТсоТа?-’ где ^-уол между напра-
влением скорости v и направлением излучения п, Р — v/c. Угловая диаграмма излучения приведена на рис. 127. Когда скорость v частицы мала, излучение вперед и назад имеет одинаковую интенсивность. Когда v сравнимо с с, преобладает излучение вперед тем в большей степени, чем ближе икс. Максимум излучения наблюдается в направлении •б’о, определяемом уравнением
cos й’о =-тд-(F 1 + 24рз — 1).
4р
При р~>0 &(;-> л/2; прн р -» 1 Фо-»О. Таким образом, в ультрареляти-вистском пределе излучение происходит в основном под малыми углами
442
к направлению скорости частицы. Полагая 1, представим в виде
е2о2®2________
fnr2 \2	16
dl _ dQ
2лс3
Из этой формулы видно, что ультрарелятнвнстская частица излучает тс2 главным образом внутри конуса с углом раствора ф =	.
Полная интенсивность излучения: r f dl 2е2о2 1 +₽2/5 /-J dQ Зс3 (1—P2)4 '
Полная скорость потерн энергии:
dg _ 2е2 v2
df Зс3 (1- Р2)3 •
769. Полное тормозное излучение в направлении dQ за все время пролета частицы:
dSW
dQ
dl Г / d’i ~dadt = } dZTd?
e2t>Q sin2 ®
16лс3т cos® (.
По
— cos
с
Т-1
где & — угол между направлением скорости частицы и направлением излучения п.
Наблюдаемая длительность импульса зависит от угла О между скоростью частицы и направлением излучения:
Д/ = т
По
2с C0S
неподвижный наблю-
77П M 2e4H2p2 dt'	3m* cs ‘
d%	2e4№sin26	„ „	---sr-s
77L ~dF= 3,^(1-W ПрИ 6>>’ Vlc
датель, находящийся далеко от электрона, зарегистрирует отдельные им-
пульсы излучения, испущенные в те моменты времени, когда скорость электрона направлена на наблюдателя (в пределах конуса с углом раствора ф « V1 — о2/с2, см. задачу 768). Время между импульсами (рис. 128)
/ Оц cos 6
т = Т
~ T sin2 6,
с
где Т = 2я%/есН — период циклотронного вращения, g —энергия частицы, с1ц = v cos 6 — проекция скорости на направление поля. Таким образом, вследствие поступательного движения электрона со скоростью Оц излучение, испускаемое за время Г, пройдет через неподвижную сферу за время т. Отсюда
d'i Т 2е4Н2
dt' т	3m2c (1 — п2/с2)
443
При 0	1 будем иметь
2е4//2	О2
dl е21 v |2 (1 — р cos А)2 — (1 — р2) sin2 ft cos2 а „	,
772. -ттт- =	' 1 -------------А—з---------------------> где p = t>/c.
dQ 4лсэ	(1 — р cos А)6
Полярная ось направлена вдоль скорости, азимут а отсчитывается от направления ускорения. Угловое распределение излучения приведено на рис. 129. Излучения не происходит в направлениях, определяемых уравнением у (1 — -у cos flj — sin А | cos а |. В частности, при а = 0, л (рис. 129, а)
V излучения нет в направлении fl = arccos —. При а — л/2, Зл/2 (рис. 129,6) интенсивность излучения отлична от 0 при всех fl'.
773.
2л
dl_________rfg______е4Я2р2	Г (1 — р2) cos2 fl + (Р — sin fl cos a)2 .
dQ dQdf 8л2т2с3 J	(1 — P sin fl cos a)5	°
о
e4//2p2 (1 - p2) 1 + COs2 ° " T p2 (1 + 3p2) Sin4 ® 8nm2c3	(1 — P2 sin2 flj7^2
где P = v/c.
Начало отсчета азимутального угла а, входящего в подынтегральное выражение, выбрано так, чтобы направление вектора характеризовалось полярными углами fl, л/2. В ультрарелятивистском случае v с излучение сосредоточивается вблизи плоскости орбиты в интервале углов ДА ~ I 1 — р2.
774.
2л
еРе1*^^0 Г
Ал = о г.— cos fl	cos а' ехр [/ (па' — пб sin fl sin a')] da',
ZJt/уо	J
Г
Ana — q^d " sin а' ехР Ь’ (п^г ~ sin sin <*')! da', J 0
GJ где волновой вектор k = n—, начало координат— в центре орбиты, oq? #
444
перпендикулярна плоскости орбиты, направление к характеризуется полярными углами й, л/2; 7?0 — расстояние от центра орбиты до точки наблюдении. Отсюда
Нпа •= i у «410 « i ^СП	ctg &. Jn (пр sin &),
С	UAq
,,	. ® . ер2п ехр [г&/?0]	, а  л\
------ — пАпа =	------Jn (н₽ sin «).
С	UAo
(2)
и нпа, равным р tg Д z- р
^т-. Направление обхода эллипса опреде-
Поляризация излучения оказывается, вообще говоря, эллиптической, с главными осями в направлениях е([ и и отношением полуосей Нп$
J„ («3 sin
sin
ляется знаком этого отношения. При ©• = 0 поляризация круговая, при 0 = л/2 линейная. При достаточно больших п и р линейная поляризация получается также в тех направлениях, которым соответствуют нули или полюсы функции
775. Наличие высших гармоник в спектре поля объясняется тем, что время распространения поля между разными точками орбиты конечно и сравнимо, вообще говоря, с периодом обращения заряда по орбите, если скорость заряда сравнима со скоростью света с. Вследствие этого время прохождения через точку наблюдения поля, излучаемого частицей в течение полупериода, когда частица приближалась к этой точке, меньше, чем время прохождения через нее поля, излученного в течение второго полупериода. Простой гармонической зависимости координат частицы от времени соответствует, следовательно, некоторая сложная периодическая зависимость поля от времени, изображаемая суперпозицией ряда гармоник Фурье.
Следует ожидать, что при р~>0 высшие гармоники исчезнут. Действи-
f
тельио, при х 0, п > 0 имеем (см. приложение 3): J п (х) «
х"-1
~ 2" (и — 1)1* И3 этих Ф°РМУЛ видно, что, когда Р~»0, существенны лишь гармоники с наименьшим возможным значением | п | = 1. При этом (ср. с ответом к задаче 732)
и и , и	ер2 cos О sin (А>7?о)
П а = nia + H-ia----------------------,
Я	АО
т. 4в- ЪГI"" I2<“₽ 81п *>+ sl" •>]
Если движение по окружности происходит под действием постоянного однородного магнитного поля Н, то
тс2р
а—-----г— —
еН/1-р2
777. При решении задачи 774 были получены выражения (2) для п-й гармоники поля излучения от одного заряда. Выражения этих гармоник для разных зарядов, очевидно, отличаются друг от друга только начальными фазами. Обозначив через ч}’? сдвиг фазы поля /-го электрона относительно поля того электрона, которому приписан первый номер, запишем
445
результирующее поле в вещественной форме
N
Нпь “ J'n Sin COS n (W/ ~	+ J •
l=\
Выражение для Hna аналогично. Среднее значение интенсивности излучения за период Т = 2л/<в равно т
dI^ = Т /	+ dtR°dQ = S" "«•
о
где dln — интенсивность излучения от одного электрона, найденная в предыдущей задаче, a Хд, — коэффициент, учитывающий интерференцию полей электронов («фактор когерентности»):
N
sn^n+ S cos п (ф, - фг).
I, 1'-1
(I =jt I')
Рассмотрим частные случаи:
а) при совершенно беспорядочном расположении электронов на орбите
2 cos п (ф, - фг) = 0;
б) при равномерном расположении электронов на орбите
О™
, если не целое число,
,,, п
№, если -ту- целое число;
N
в) если электроны образуют сгусток, то все разности фг — ф;, малы. Для не слишком больших п, при которых размер сгустка мал по сравнению с соответствующей длиной волны, можно заменить все cos п (ф; — т|у) в выражении SN единицами. Тогда SN = №. С увеличением п фактор SN уменьшается; значение при этом зависит от деталей расположения электронов в сгустке и не может быть указано в общем виде.
778. Выберем начало координат в центре инерции системы зарядов. Тогда электрический дипольный момент системы
р = air] + е2г2 = р
ei ег \г Ш] т2 ) '
(1)
где г = п — г2> р =
ГП1ГП2 mi + тг '
446
Поскольку отношения е/т зарядов различны, та ; 0 и система будет излучать в основном как электрический диполь (v/c <К 1). Мгновенная интенсивность
2
/(/) =
Зс3 Зс3 \ mi т2)	'
Согласно уравнению движения зарядов, рг =	, так что I =
9 9.	» 2	.
2е& / е, е2 \ 1
—______I---------1 —При вычислении средней по времени интенсив-
С	2 т
ности излучения 7=-^- J / dt', заменим интегрирование по С ннтегрирова-о
pr2da
нием по углу а согласно уравнению dt = —— (д — момент импульса системы) и воспользуемся уравнением траектории. В результате получим
23/2 ( ei __£2_V H5/2|eie2 |31 g |3'2 Л _ 2 | у |Л2\
Зс3 m2J К5 \ Heie2 /
dK = _ 27/У/2| Ч |3/2 / е, _ е2 \2 К dt	Зс3 \ т, т2 / №
780.	Поступая так же, как при решении задачи 778, запишем вторую производную дипольного момента в виде
Вычисление А не вызывает затруднений. Для вычисления В нужно знать pz — проекцию р на направление первоначального’движения рассеиваемых частиц — в виде функции координат г, а (полярные координаты в. плоскости относительного движения частиц). При этом следует учитывать, что в уравнении траектории относительного движения — 1 + е cos а = а (е° — J )/г, угол а отсчитывается от оси симметрии (ось z') траектории. Таким образом, z/' = rsina, z' = г cos а. Угол между осями z и г' равен л — a0 (cos аэ = 1/е), поэтому 1	)Ле2 -1	\
— cosa Ч-------  — sin al. Используя (1) и за
метив, что sin а — нечетная функция, получим
z = — z' cos а0 — if sin а0 = — г
+ ОО
I cos2 а + (е2 — 1) sin2 а „
J ----------------------------dt s ds.
— СЮ
С помощью уравнения траектории выразим cos2 а и sin2 а через г и е и сделаем подстановку е2 = и, s ds= 1/^а2 du. После этого выписанный интеграл преобразуется к виду
447
При вычислении интеграла по du возникает логарифмический член, который преобразуется интегрированием по частям. Для вычисления внешнего интеграла по dr целесообразно сделать подстановку х = 2а!г, которая приводит этот интеграл к сумме нескольких В-функций: В {k, I) = J xft_| (1 — х)г~' dx— о
Г (fe) Г (/)
T(k + l) •
Окончательно получаем
. 8л	I ei	е2 V	„л
Л = —тт—I-----------ро0. В = 0.
9	\ /Wj	т2)
781.	В рассматриваемом приближении v = const, а траектория частицы представляет собой прямую. Пусть движение частицы происходит в плоскости xz параллельно оси z. В этих координатах
n = (dx, Пу, п.г), где пх = sin © cos а, пу = sin © sin а,
nz = cos ft, г = (s, 0, vf), г = /s2 + v2f2,
v=(0, 0, v).
c^t)	me?	v
Из известной формулы v = ——, где	——fl?)1/2 *	= ’ полУчим
c2p c2pi _	• e!e2r „
—-------у—. Согласно уравнению движения частицы, р =-f—. Закон
ОС	I
сохранения энергии требует, чтобы + — в2 = const. Дифференцируя последнее равенство по f, получим
z _ ехе2г _ <?1<?2г • v
® г2 г3
так что
о L	с J сГ
Подставив найденные выражения в (XII. 26), получим
<W„	е\&
dQ 4лс382 (1 — P«z)5
s2[(l -P/iz)2-/i2 (1 -₽2)] X
X
df
(s2 + v2f2)
2₽2(l-p2)2(l-nz)2
f2 df (s2 + v2f2)3
Интегрирование дает:
dAU7n e!4(l—P2)
dQ 32m2c3s3v (1 — P«2)5
X [4-3n2-«2-6₽«z + ₽2(-2 + 3n2+5n^) + p4(l -
В нерелятивистском пределе p -> 0 и
ЙД1ГП e\el .	„
-ZicT- = адЧ-з— (4 - 3'4 - «г)-аъ!	32m2cds3r v	x	zi
«!)]• (0
448
В ультрарелятивистском случае f « I и d\Wn 3ej^(l-₽) d“ 2Pm2c*s3 sin4
При '0'^1 1— Р последняя формула несправедлива, и иужио пользоваться точным выражением (1).
пе№ 4 — В2 v ДГ
782.	ДГ = 12msc3sSl| ] _ р2 - ^Р = —^2—•
d ДГ	8efe?o>2c Г „ / cos \	„ / cos \1
783.	—;	‘ 2 . к? ------ + К2 ------- .
dco Зло4 L 1 \ v /	° \ v / J
784.	Условие применимости формулы (XII.33) выполняется при всех частотах со, так как время столкновения т = 0. При рассеянии иа твердой •О сфере угол падения равен углу отражения, поэтому | v2 — vt | = 2о sin —, где О — угол рассеяния. Угол •& связан с прицельным расстоянием s соотио-шеиием: s = asm-g- при s^a. При s > а частица не испытывает рассеяния.
Отсюда получаем а 2z>2 С Л	4р2п2т12
dna = -5—4и2 sin2 2л.1? ds da> — —5-5— dco. Зле3 J 2	Зс3
о
Найденное дифференциальное эффективное излучение ие зависит от частоты. Поэтому полное эффективное излучение
ОО
х = J d-K^ = ОО. о
Эта расходимость объясняется тем, что сфера считалась абсолютно твердой. На самом деле абсолютно твердых тел ие существует, т =/= 0 и при больших значениях со найденное для dxG, выражение незаконно.
785.	Формулу (XII.30) для дифференциального эффективного излучения можно записать в виде
ОО оо __
dx_ f Г dl "d£T = 2nJ J dQ dtsds-	<’)
0	—00
Интенсивность излучения -44-=-г-#2r2, где H = — А X п. В формуле (I) 4Л	С	'
усреднение интенсивности излучения должно быть произведено по всем направлениям в плоскости, перпендикулярной к направлению потока падающих частиц. Для выполнения усреднения удобно представить векторное произведение, входящее в выражение Н, в форме На = -i- Сцру^рИу. где «ару— антисимметричный единичный псевдотензор (см. задачи 24 и 26), по повторяющимся индексам выполняется суммирование. Компоненты векторного потенциала Ар выражаются через компоненты квадрупольного момента Qpe, определяемые формулой (XII. 19):
= 2c2f Qfiene-
29 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
449
Таким образом,
и
— 2c3r eaPv^ps/lvrte
di 1 К >" „ „	--:: 
d£2 ~ 16лс5 ^pe<*P'e'e“Pve“P'v'rtVrtertV'rte'"
Воспользуемся полярной системой координат с полярной осью, направленной вдоль падающего потока и с полюсом в точке, где находится частица с зарядом е2 и массой т2. Усреднение должно выполняться при фиксированном значении составляющей пг = п3 = со5'& (•& — направление излучения). Легко убедиться, что
nink=^6ik 0 ~«з).
ninknlnm = J (Ь&т + \fikm + SiA) (’ ~ «з)2 "rWi = 0'
(2)
где индексы i, k, I принимают значения 1, 2.
Воспользовавшись (2), а также формулой
ea₽veaP'V'= 6PP'6YY' ~ 6PY 6yP''
получим
— =------Ц- (Снз - <2чз) c°s4 О +
dSl 16лс5 V ₽3	7
+ (*2рр'— 3Фрз +	~ 2Сзз^рр) s’n2 0 cos2 +
+ "g- [2Qpp' — (Qpp)2 ~ 3(2зз + 2Q33Qpp] sin4 fl}. (3)
Подставляя (3) в (1), найдем окончательно:
dv,
-J?- = A + BP2 (cos f}) + CPt (cos O'),
CLqI
где P2, P4 — полиномы Лежандра (см. приложение 2), ОО оо
А = 120с5 J J [3^РР' “ (Фрр)2]s dt’
— ОО 0 оо оо
В = 168с5 J J 3<^РР'+ 2 (^РР)2 + 9^Р3 ~ ^3Q₽₽]s ds dt’ — 00 о оо оо
С = 280с5 J J [~ 2^' + 2^з ~(^рр)2 -35<21з+ 1°Фзз*2рр]5 ds dt-— 00 о
(4)
(5)
н
786.	Полное эффективное излучение dx ^dQ dil
450
Используя формулы (4) и (5), полученные в предыдущей задаче, можно написать (см. приложение 2)
ОО оо
х = 4лЛ = J J sdsdt-	(,)
— оо О
Обозначим через ха декартовы компоненты относительного радиуса-вектора частиц, а через va = ха — декартовы компоненты относительной скорости частиц. Тогда, учитывая уравнение относительного движения частиц, найдем
2е2ха -	2е2 rxa — 3xavr
Ха~ тг3 ’ Ха~ т г6
где
vr = r.
Подставляя эти выражения в формулу (1) и вводя азимутальную компоненту относительной скорости частиц va (o2 = o^ + t^), получим
х —
4 ле6
15т2 с5
v2 + 1 iv2
s ds dt.
(2)
Вследствие сохранения энергии и момента импульса, v2 = v2 — 4е2/тг и fa — vos/r. Выполняя в (2) интегрирование (при этом следует заменить инте-,	,	,	j. dr
грирование по dt интегрированием —> dr, согласно формуле dt — — = v г — —	, причем интегрировать можно в любом порядке), получим
окончательно:
_ 4л
Х 9 тс5
§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
787. Импульс поля движущейся частицы
G= J gdV,
где g= 4“ Е X Н, а интеграл берется по всему пространству. Магнитное Е
поле движущейся частицы H=vX —, так как в системе покоя частицы (S') магнитное поле отсутствует. Отсюда
С помощью формул (X. 25) находим е'	е'
Ех = Е'х, Е — -г—у-^, Ег = г -х х у П-p2	/1-₽2
29*
451
(ось х направлена вдоль v). Элемент объема dV = dV'J 1 — 02 (вследствие лоренцова сокращения). Таким образом,
_____V
4лсЧ 1 - ₽2
G =-------*	—
4пс2 J 1 — р2

(1)
 -| | Е'2 dV.
Последнее преобразование следует из сферической симметрии поля в системе S'.
Если принять, что масса покоя частицы имеет чисто электромагнитное происхождение, т. е. представляет собой массу ее электрического поля, определяемую соотношением Эйнштейна W' = tnDc2, то она должна равняться
= f Е'2 dV'.
С ОЗТ J
(2)
п	,	-	OlnV
При этом импульс поля должен бы быть равен -	однако из фор-
V 1 — Р2
мулы (1) видно, что это не так *) Импульс поля зависит от скорости v точно так же, как это должно быть в случае частицы:
G =
трУ
КГ^р2
(3)
Но «масса» т0 = */зШ0^т0 не совпадает с массой покоя частицы т0, определяемой формулой (2).
Наличие коэффициента 4/з в выражении G означает, что энергия и импульс электромагнитного поля частицы не образуют 4-вектора и не могут быть отождествлены с ее энергией и импульсом.
Отметим, что определяемая формулой (2) электромагнитная масса
обращается в бесконечность в случае точечной частицы.
788. W
1
т~ 8л
| Н2 dV =
1 ЩрО2
2 К1 - Р2
где величина т0 определена в ре-
шении предыдущей задачи.
Полная энергия электромагнитного поля частицы
W = 4- ( (Е2 + Е2) dV = т'0с2 I л .1..  - —
8л J '	0 U 1 - Р2 4	/
не обнаруживает зависимости от скорости вида
твс2
, которая должна
иметь место для энергии частицы (ср. с задачей 787).
789. Отбросим члены порядка v/c и выше, и рассмотрим действие некоторого элемента dei на другой элемент de2. Кулонова часть электрического
поля сферически симметрична и не дает вклада в силу самодействия;
квазистационарное магнитное поле тоже не дает вклада. Таким образом, достаточно рассмотреть только ту часть напряженности rfE электрического поля элемента deb которая зависит от ускорения. На элемент de2 действует
сила
rfF = - de2 dt = de^6-z- Й - r0 (r0 - V)],
*) Энергия поля при таком предположении должна бы быть равна
твс2
но как показано в следующей задаче это также не имеет места, fl - р2
452
где r0 = г/г, г — радиус-вектор, направленный от элемента de\ к элементу de2. На частицу в целом действует сила
F =
3 с2
dci (1^2	и
---------энергия электромагнитного поля покоящейся ча-
^0=4
где
стицы; множитель 4/з получается при интегрировании по направлениям г0.
Определив массу покоя частицы как т0 =  ~ (см. задачу 787), получим
для силы самодействия выражение
F = — т0 v.
Таким образом, сила самодействия частицы, если пренебречь запаздыванием, совпадает с силой инерции.
790. Сила, действующая на элемент заряда de2 со стороны элемента det. определяется ускорением v последнего в момент времени f:
[; - г„ (г0 • v')J
с
Разлагая ускорение v по степеням f — t — r/ct получим
V (f) = V (0 + (f - 0 V (/) = v (0 - -у V (0-
Интегрирование по элементам delt de2 даст (см. предыдущую задачу) искомую силу самодействия:
F=-m04 + |-^-v.
Второй член в правой части представляет собой силу лучистого трения. Он не зависит от структуры частицы и в предельном случае точечной частицы не изменяет своего вида. Собственная энергия WB и, следовательно, электромагнитная масса т„ в этом предельном случае обращаются в бесконечность. Неучтенные члены порядка (f — t)n, где п 2, очевидно, пропорциональны гр-1 (г0 — радиус частицы) и в пределе точечной частицы
исчезают.
2 3 3
тсап	. о
791. 7= , . - = 3,2-10~13
4е4
сек.
Сделанные няются, если
по сравнению
с	е%
а-->>Гр =---5
v	тс*
предположения о характере движения электрона выпол-потеря энергии за период т обращения по орбите мала с полной энергией электрона, т. е. т С | g |, откуда
(г0 — классический радиус электрона). Это условие начинает
нарушаться только на очень малых расстояниях порядка 10“ 3 см, на которых вообще неприменима классическая электродинамика, так как она в этой области внутренне противоречива (см. [65] § 75).
Следовательно, результат задачи — очень малое время жизни атома — определенно указывает на неправильность классических представлений о движении электрона в атоме (представление о траектории и т. и.). В про-
цессе преодоления этой и других фундаментальных трудностей классической
физики и была создана квантовая механика.
792. g (/) = тс2
2eW2	1 g0 + тс2
Зт3с5	2 П g0 — тс2
30 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
453
При /->оо, g (/) -> тс2, т. е. частица останавливается. Радиус орбиты можно выразить через % (/) по формуле
При f->oo, г(/)->0, т. е. частица движется по закручивающейся спирали.
Э'Г~ 3/7 2
793.	'/кр = тс21/	, где г0 = е2!тс2.
г	2сг 0
794.	Уравнение движения гармонического осциллятора при учете силы лучистого треиия имеет вид
2	2 е2 •••
г + wnr = -z---я г.	(1)
и 3 тс2	' '
Уравнению (1) соответствует кубическое характеристическое уравнение
k2 + Wq =	k3.	(2)
и 3 тс3	' '
Условие малости силы лучистого трения по сравнению с квазиупругой силой позволяет решить (2) последовательными приближениями, отбросив в нулевом приближении правую часть; при этом k^k0— ± коо. В первом приближении, подставив в правую часть (2) вместо k значение k0 и введя обозначение
2 e2w2 Y = у тсз
(3)
получим k ~ ki = ± /соо — Y/2- Можно ограничиться одним из решений, например, тем, которому соответствует знак «—»:
г = г0е-^2-е-^‘	(/>0).	(4)
Это решение справедливо при y<;w0 и имеет характер затухающих колебаний. Энергия осциллятора убывает как квадрат модуля его амплитуды:
W = Woe~yt.
(5)
Величину 1/у естественно называть временем жизни возбужденного состояния осциллятора.
Напряженность электрического поля излучения пропорциональна г, так что
и
4-оо
Е = J Еоехр [—cw/] dw =
— СЮ
Ео ехр [- Zw0/] ехр| - уу 0
при t > О, при t < О
СЮ
Е“ = 1л J ехр [~ ('2' + Z“°) z + ,ш/] dt ----------------г----------------vT
О	2л I i (w - w0) - у
Отсюда находим спектральное распределение интенсивности излучения:
dw 2л
1
(w - Wo)2 + -у-
(6)
454
где 10 =	dla — полная интенсивность излучения. Спектральное распреде
ление (6) имеет характер резонансной кривой (рис. 130).
Ширина спектральной линии характеризуется величиной Асо = у.
Естественная ширина линии очень мала 2лс 4л
лась бы ДА = Д--------= -j- г0 =
со 3
лив графике длин волн она равня-
= 1,17-10-12 см).
Если считать, что излучение происходит не непрерывно, а дискретными порциями (это предположение, очевидно, выходит за рамки классической электродинамики), то неопределенность энергии фотонов Д<? = В Дсо = Ву свя зана со временем жизни возбу жденного состояния т=1/у соотношением
Дг • т = Ь- (7)
Это — частный случай весьма общего квантовомеханического соотношения неопределенности
для энергии — времени. 
___ dl<„ , f (co-cooVl
795.	-^- = /оехр	———) J. где уд = |/	- доплерова ши-
рина спектральной линии, а через 10 обозначена интенсивность при (0 = ©0. Ширина линии зависит от температуры и может служить мерой температуры газа.
4-оо
796.	-^- = -^-7------\2~1~г27л > где /== I dl(a-
d(o 2л (w — <оо)2 + Г2/4	J
— оо
797. Если волна поляризована вдоль оси х, то
еЕха 
•*0) —	о .1	>
т соц — со — zcoy
(11
где
2 е2сод
Y = “3 me3
Энергия, поглощенная осциллирующим электроном,
4-оо	оо
ДГ = f еЕх (/) х (!) dt = f | Еха I2 2gY d<-> *), _JTO	т 0J	(с^-и2)2 + со2у2
*) Как легко проверить, 4-00	оо
/ А (0 - В (/) dt = 2л j (Лщй; + А'&ва) rfco.
—оо	О
30*
455
так как (х)и = — гахи. Подынтегральная функция в последнем выражении описывает спектральное распределение интенсивности поглощения. Из вида этой функции следует, что мерой ширины линии поглощения является величина у, как и в случае испускания. Так как, по условию, ширина спектрального распределения группы велика по сравнению с естественной шириной линии у, то
где £ = а — ас. Нижний предел можно заменить на — оо, так как y<Sa0. В результате интегрирования получим окончательно:
Л IP =	| £	12 = 2л2Гпс8а ,
щ I XWo I	и W
где rB = e2jmc2 — классический радиус электрона. Результат не зависит от у. Зависимость от .частоты только косвенная: величина AIF пропорциональна спектральной плотности при резонансной частоте а0 осциллятора. Из вывода ясно, что тот же результат мы получили бы и в случае падения на изотропный осциллятор неполяризованной и неплоской группы волн. В этом случае S(1) представляла бы собой сумму интенсивностей всех поляризованных волн частоты а, входящих в эту группу.
798. a) KW = 2л2г0с5О(1 cos2 О;
б) AW = n2rltcS sin2 0;
в) ДГ = 2/3л2г0с50о.
799. Уравнение движения гармонического осциллятора в данном случае принимает вид
г + (ОрГ = -?^з- г + —	(1)
и Зтс6 т
если пренебречь неоднородностью электрического поля в области, занятой осциллятором, и действием магнитной силы — эффектами порядка v/c.
Решение уравнения (1), соответствующее вынужденным колебаниям, выражается формулой
е Е
г	2	2		'
т ©д — о — ray
Отсюда для усредненной по времени интенсивности света, рассеянного в данном направлении, найдем
Z/ 1 —-------------- cEffi a4 sin2 &
---в	I вГ X П | =	“7 п п\п о o’> dQ 4лс3	8л (а2 — a J + а у
где О — угол между направлением п распространения рассеянного излучения и направлением поляризации падающей волны. Плотность потока с£2
энергии (усредненная по времени) в падающей волне у0 = -&^-. Дифференциальное сечение рассеяния:
do _ 1 dl _ 2 a4 sin2 О
dQ у() dQ 0 (a2 - a2)2 + a2y2 ’
456
Полное сечение рассеяния получается отсюда интегрированием по углам:
f do ЛГ1 8л 2 о4
Тг>2-<о2)2 + иу’
В случае сильно связанного электрона, когда (Oj е>,
8л г2ш4
<т =-----т~-
3 %
Характерна зависимость сечения от частоты: а~<о4.
В случае слабо связанного электрона при малом лучистом трении у ~ О, ш0 » 0 и
8лгд а = _з“-
800.	Н = —	(en cos О — iefl) ехр [ — / (<of — а)], где О, а — полярные
углы направления п распространения рассеянной волны (направление распространения падающей волны вдоль оси z), А — амплитуда падающей волны.
Из выражения Н видно, что рассеянная волна оказывается, вообще говоря, эллиптически поляризованной. Волны, рассеянные вперед и назад, поляризованы по кругу. Волна, рассеянная в плоскости ху, поляризована линейно. Дифференциальное и полное сечения рассеяния
do 2 (1+cos2 fl) _ 8л ^2 dfi~f° 2	’
801.	р = cos2 &.
802.	В случае линейно поляризованной волны:
<ЧоЛ = (1(Г1рсоГ^2 1(1 - Э cos Д)2 - (1 - Р2) sin2 О cos2 а],
где fl, а — полярные углы направления распространения рассеянной волны, ось z параллельна скорости v заряда, р = v/c, азимутальный угол а отсчитывается от направления вектора Е в падающей волне.
В случае неполяризованной волны:
do = г2	[ 1	(1 + cos2 ~ 20 cos Я •
непол 0 (1 — р Cos-Й-)6 L 2	'	' Г J
803.	Решая уравнение движения осциллятора в магнитном поле H||z так, как это делалось в задаче 695, получим при
еН
°0>> =
г = А• (ех + 1еу) ехр [— i (<00 - <о£) 1] + л2 (ех - iey) ехр [- i (<о0 + и£) /] +
+ Л3егехр [- /и>0/],
где Alf Л2, А3 — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Из выражения г видно, что осциллятор, помещенный в магнитное поле, становится анизотропным, частота его колебаний расщепляется на 3 частоты: <о0 и <о() ± <в£. При наблюдении излучения в любом направлении поляризация каждой из монохроматических компонент оказывается, вообще говоря,
457
эллиптической. В частности, вдоль оси г (вдоль поля Н) наблюдаются две спектральные линии, поляризованные по кругу в противоположные стороны. В перпендикулярном к полю направлении наблюдаются все три монохроматические компоненты, поляризованные линейно. При этом вектор электрического поля несмещенной спектральной линии колеблется в направлении магнитного поля, вектора же электрического поля у обеих смещенных линий колеблются в перпендикулярном направлении.
§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны
805. Еи (г) = - grad <ри (г) + i у Аа (г),
Нй (г) = rot Аи (г),
Ek (O=-tk<pk(/)-±Ak,
Нк (/) - «к X Ак (/),
^ксо = ~ 'кЧ’кш + ‘ Akd>>
»кю = X Ак(0.
806. а) го!Ею= Нм div еЕи= 4лра,
rot На= --^-Еи + -у-ja, divpHa = 0;
б) z‘k X Ек = — — Вк, ik • Dk = 4лрк. 1 • , 4л .	_ _	~
tkXHk = -Dk + — jk,	к-Вк = 0;
ар	4лрка
в) кХЕкю=— Нкш, ,к.Ека = —
+	кН,.-0.
S07..)	+	+
С	Ь	С	v
div Аи - <ра = 0;
4лс2рк
б) ерфк + k!c2<pk =--—,
ерАк + £2с2Ак — 4лср]и, — ick • Ак 4- ерфк = 0;
458
808. Воспользуемся формулой (XII. 40'). Выполняя интегрирование по углам, получим	°°
1 С	'1с	в
<p(r)e"‘ ‘r(dr)=wJ sin*rdr-
о
Последний интеграл не имеет, вообще говоря, определенного значения, так как величина
N
, f . . j 1—cosWV ,,
I, sin kr dr =--------г----- при N -> oo
N J	k
0
не стремится ни к какому определенному пределу. Легко видеть, однако, что неопределенный член, содержащий cos kN, не дает вклада в потенциал <р (г) при подстановке IN в разложение (XII. 40) и переходе к пределу А/-> оо.
ОО
Г cos kN {h.r ....	_
Это вытекает из того, что	—-— е	(dk) -> 0 при N -> оо вслед-
о
ствие быстрых осцилляций. Таким образом, эффективно можно положить
е
Заметим, что значение /= lim IN = l/k можно получить, например, если 7V -> оо
оо
определить / как предел J е~Ьг sin kr dr при b -> 0.
о
Можно получить тот же результат и другим способом. Применяя к обеим частям равенства <р (г) = J q>keZk’r(dk) оператор Лапласа Д, получим
(Д<р)к = - fc2q>k.
С другой стороны, выражение компоненты Фурье (Д<р)к = — можно получить, взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения Пуассона Д<р= — 4леб (г). Приравнивая эти два выражения для (Д<р)к, получим дли <рк прежний результат.
хек
8Э9. Лк = — zkq>k =	2л2£2 ‘
810. Так как объемная плотность р (г, t) = et>(r — vt), то
Pka = ,Д4 f f 6(r-vflexp[- z(k-r —cd)] (dr)dt =
oo
g	I	f>
= W J eXp [Z (“ “ k ’ V)] dt = 8^ 6 <k •v - “)•
— OO
Отсюда с помощью результатов предыдущей задачи находим
е б (к • v — а)
Фкш - 2^ fe2_tt2/c2 •
459
Таким же образом можно получить, что
А ev б (к  v — со) Ак“-2ЛГ й2-со2/с2 '
Используя выражения компонент напряженностей поля (см. решение задачи 805), получим
. е б (к  у - со) f	усо \
к“ 1 2л2 й2-со2/с2 I	с2 Г
нксо =zk X Аксо = ‘ 2^7 (к Х k2-a2lc2 ‘
Во всех компонентах поля присутствует множитель б (к • v — со), обязанный дисперсионному уравнению со = к • v. Благодаря этому все разложения Фурье электромагнитного поля в данном случае фактически являются не четырех, а трехмерными. Например, в случае потенциала ср:
ОО
Ф = J J 6fe2a_~J/c2^' ех₽ I* (к •г - ш/)1 (^к) da = J фк (/) ехр [zk • г] (dk), (к) —оо
где m ,»___________________________е ехр [—z(k • у)/]
Фк W “ 2л2 k2 - а21с2	'
812.	Рассмотрим вычисление скалярного потенциала. Согласно уравнениям в) решения задачи 807
Фко> = tf-tflc2'’ (е = и=1)' ГУ	UJ 11г
Компонента Фурье плотности заряда:
ркш= - J [р-grad б (r-v/)] ехр [- i (к • г - со/)] (dr) d/ =
= -(2^4 J {р • grad ехр [ - / (к • г - со/)]) б (г - v/) (dr) dt = - i б (co - к • v).
Дисперсионное уравнение co = k-v имеет тот же вид, что и в случае поля равномерно движущегося точечного заряда (см. задачу 810). Поступая при вычислении ф (г, /) в соответствии с указанием к задаче 811, получим
Ф (г, /)= - P-grad=	(1)
Г г
где r0 = (x-td, -Дг], г* = ]/(*-и/)2 +-Д-(с/2 + г2).
Аналогичные вычисления дают для векторного потенциала
А (г, /)=252g:+	(2)
г*	сг*
813.	а) А = 1ПоХ3Г\ ф = 0; уг*
. ш0 X г*	v • А
б) А= —, Ф =---------------.
г*	с
460
816.	Разложим все векторы, входящие в уравнения Максвелла, на безвихревую и солеиоидальиую *) (или продольную и поперечную — см. задачу 815) части:
Е = Е„+Е±, J=Jh + Jj_. 1
H-HL,	нн=о.	/	'
Приравнивая поперечные части векторов, получим из уравнений Максвелла:
rot Е . = — — Н, rot Н= — Ё. + — j,, с	с -i- С -L
div Ej^ = 0,	div Н = 0.
(2)
Продольная (безвихревая) часть электрического поля определяется уравнениями:
div Еи (г, /) = 4лр (г, /), )
1	(3)
rot Е j (г, t) = 0,	J
имеющими вид уравнений электростатики. Время в них входит как параметр. Отсюда следует, что Ец — кулоиово поле.
817.	Согласно результатам задачи 8076)
Ъй +“k'7k>. = °-	(О
где шк = kc.
Это уравнение линейного гармонического осциллятора. Его общее решение имеет вид
<7кЛ <0 = акЬе iat + Ьк^-
Коэффициенты и Ьк^ связаны между собой соотношением, вытекающим из вещественности [А (г, /) = А*(г, <)]:
ek>.°k>. = e-kXft-kX’ ek>?k>. = e-k&a-kV
Если выбрать орты, описывающие основные состояния поляризации волн с противоположными волновыми векторами к и — к так, что
ек>. - е-кЛ>
то и
ак1.~Ь-к1.’ ЬкК~а~кК
ЧкК^-акКе~^ + а_^.
Напряженности поля Е, Н выражаются через координаты qk^ (t):
1 <ЭА с dt
уу / ekxWk’r (dk)>
Н = rot А = —^= к X ekx<7kxe‘k-r (dk). л I 2 J
(2)
(3)
(4)
(5)
*) Разложение электромагнитного поля на продольную и поперечную части используется в одном из вариантов квантовой электродинамики. При этом разложении поперечная часть поля квантуется — ей соответствуют частицы (фотоны), продольная часть поля ие квантуется.
461
Рассмотрим вычисление энергии электромагнитного поля
Г = f (£* + №) (dr).
ОЛ J
Так как Е, .Н — вещественны, то можно написать
ekk • ek-v9kk?k'k' ехР 1‘ (к “ Н • Н (dr) №) (dk') =
kk'
I f V . .*
~ ~2 J ?kk?kk (rfk)-k
Мы воспользовались ортогональностью ортов поляризации, принадлежащих одному и тому же к, нэ разным X: ек1-ек2 = 0, а также формулой (П1. 15). Аналогичным образом вычисляется энергия магнитного поля. Для полной энергии электромагнитного поля получаем
W = ~2 J ('Дк^кк + ak?kk?kk) (rfk)-	(6)
k
Она складывается из энергий
Wkk = ~2 Gkk^kk + ak?kk?kk)	(7)
отдельных «осцилляторов поля». Энергию поля (6) можно выразить непосредственно через коэффициенты ак?, используя выражение (3):
Г = 2/ “2kakk4.(rfk)-	(8)
Л
Аналогичным образом получаем для импульса поля выражение
G =-г— [ EX Н (rfr)=-5J— Г (EX Н’ + Е’Х H)(dr) =
4лс J	оЛС J
=4 J Уk Gkk^kk - ?‘kk?kk) (rfk)-	(э>
k
Рассмотренные в этой задаче осцилляторные координаты аналогичны координатам, описывающим нормальные колебания механической системы (главное отличие ст механики состоит в том, что поле представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы). Эта аналогия позволяет применять формальные методы механики к решению задач электродинамики (классической и квантовой).
818.
А (г’ = “i7Z“ f У ekk Г<2kk (О COS к • г - — Qk? (/) sin к • rl (dk), лУ 2 J bJ l	о	J
К
Е (г, 0 = - J J} ekiJQkb cos к • г + GiQfca, sin к • г] (dk),
к
Н (г, 0 =----J (1< X екк) £ Qкх sin к  г + — Qkil cos к  г j (dk).
к
162
При выводе выражения для Е (г, /) мы использовали то обстоятельство, что координаты QkX удовлетворяют уравнению
ФкЛ +	= °-
Выражение энергии поля проще всего получить из формулы (8) предыдущей задачи, выразив входящие в нее коэффициенты скА и акА через СкЛ и QkX;
I п . * A iat акК~~2 QkKe	+“2<о^к^е ’
* _ 1 ci	z A
йкЛ ~ у ^kke ~ "2^
Отсюда
J (ёк+<>!<&) w-
Л
Из последней формулы видно, что энергия свободного электромагнитного поля представляется в виде суммы энергий осцилляторов поля, имеющих в точности такой же вид, как в случае механической колебательной системы:
J V rkA(dk),	(9)
л
где 1ГкА = -g- (<jkA + wkQkA)-
Вычисление импульса поля G дает:
°-	ЕХН<Л).
X
Импульс отдельного осциллятора GkA связан с его энергией формулой
кГкА
<10>
Такой же формулой выражается связь энергии с импульсом в случае частиц, движущихся со скоростью света в направлении к (фотоны!).
819.	Записав уравнения, приведенные в решении задачи 8076) и умножая их на екА, получим для поперечной части потенциала Ак (/):
?кЛ (0 + “к^кЛ (0 = Ла (0.	(О
где
FkK & = -^2 fekA • V (О] ехр [- zk • г0 (/)],	(2)
а го (0 — радиус-вектор частицы в момент времени t, v — ее скорость в этот же момент времени. В нерелятивистском случае
mre = F + еЕ (г0),	(3)
где т — масса частицы, F — действующая иа частицу сила неэлектромагнитного происхождения,
Е (Го) = ~ 7F1F J ek^kA ехр I/k ’ r°l(Л)	(4)
463
— напряженность поля излучения в той точке, где находится частица. Мы не учитываем силу, действующую на частицу со стороны магнитного поля, так как предполагается, что о<Сс. Уравнение (1) представляет собой уравнение вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы (/). Движение частицы и электромагнитного поля, взаимодействующих между собой, описывается системой уравнений (1), (3).
820.	Изменение энергии одного осциллятора:
dWkK 1 (F ••	• Л
~dt "“jV kZ ?кХ + /’kZ <7k J-
Скорость изменения энергии поля:
dW _ 1 | dt - 2 J	1 У (FkA ?кЛ + Fkk <7kJ <dk)‘
	821. Сила Fk? (/) в данном случае принимает вид Fk>. W = bkk cos “o'-
где	fckX пу2 (У0‘екл)’ V0 ш0г0
(для простоты рассматриваем линейно поляризованные осцилляторы поля, так что орты ekJl — вещественны). Интегрируя уравнение (1) задачи 819, получаем
<7кЛ = U „ (cos “o' - cos шк0-“к ““О
если в начальный момент времени t = 0 осцилляторы поля не были возбуждены. Это значение <;к? подставим в выражение для скорости изменения
энергии поля излучения —’ найденное в задаче 820:
dWkk bk>.
------— —?------т (шк cos aQt sin <ок/ — <о0 cos a>ot sin <o0f).
dt <Ok — COq
Интегрируя последнее выражение no t от 0 до t, получим количество энергии, переданное частицей за время t осциллятору поля (к, X):
f dWM. ,, bkk Г “к 1 - cos (сок + со0) /
J dt	- COq 2	СОк + СО0
СОк 1 — COS (сок — COq) t COq 1 — cos 2со0/ '
+ 2	COk - COq	4	CO0
При cok = co0 и t -> oo второй член в скобках очень велик по сравнению с первым и третьим членами. Возбуждение осцилляторов происходит, следовательно, резонансным образом, в первую очередь возбуждаются те осцилляторы поля, частота которых близка к частоте вынуждающей силы Fk?. Оставим поэтому только резонансный член и просуммируем энергии, полученные осцилляторами поля, у которых частоты не сильно отличаются от со0, направление к заключено внутри телесного угла dQ, а орт поляризации
464
ек1 (екг) имеет одно и то же направление: o>o + fi
wk6kA
1-cos(rok-ro0)/ (rok-ro0)!
Vi dQ Г v ^=1^кЛ=2?Г J 2 кЛ	%-б Л
Подынтегральная функция в последнем выражении имеет резкий максимум при гок = Этот максимум тем уже, чем больше t. При достаточно боль-VI ®к^кЛ
плавно меняющийся множитель >,-- за знак
^“к + ио
Л.
ших t можно вынести
интеграла, положив в нем сок = <£>0. В оставшемся интеграле мо^но устремить 6 к ОО. Тогда он
примет вид (см. приложение 1):
1 — cos at t .
------5----a a — ra, a2
Мы получим, таким образом:
dW п
~dQ=~
Отсюда для интенсивности излучения в данном направлении находим хорошо известный результат:	__
dl 1 dW e2ro2t)2 sin2©
dQ t dQ 4nc5 ’
где через п2 = п§2 обозначена средняя скорость колеблющейся частицы, через © — угол между направлением v0 и направлением к. При выводе последней формулы мы воспользовались легко получаемым соотношением (v0-eki)2 + (v0-ek2)2 = n2sin2©.
Интегрирование'м по углам находим полную интенсивность излучения Г= 7зв2(й2о2.
823 *. Будем приближенно решать систему уравнений (1) и (3) задачи 819. Пренебрегая реакцией излучения, подставим в уравнение (3) напряженность поля Е = Ео cos at падающей волны. Его решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид
г(П = -Е0
т
(Z’kl + О «о (
2с3
cos at
2	2~‘
CDq — GT падающей уравнению
(1)
волны будет возбуждать (1) задачи 819, в котором
Движение частицы под действием осцилляторы поля излучения согласно нужно силу Fk) выразить через г (/):
г _	е2(0_______
кХ	тп V2	го2 - ГО2
Орты поляризации выбраны вещественными. Решая уравнения (1) задачи 819 с начальным условием <7кХ(0) = 0, получим
„. е* и(Ео‘екл)
Чук _
ekz. ‘ Ео
sin at.
тп]^2 (юк —го2)(го2
(sin at — sin rok0-
465
Поступая далее так же, как в задаче 821, найдем интенсивность излучения в направлении к с поляризацией, характеризуемой ортом ekJl:
°' ИЕ0-еи)2
dQ i d£i 8лт2с3 (со2 — сод)2
Из (2) видно, что рассеянное излучение линейно поляризовано в плоскости, проходящей через Ео и к. Вводя угол & между векторами Ео и к, получим
da 8л dl ( е2 V' со1
"	9	I 9IZ9 9\9	"О»	г
dSl cEq dSl	(Шо — С)2)2
что находится в полном согласии с результатом задачи 799. Интегрированием по углам находим полное сечение рассеяния:
ГЛАВА XIII
ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ВЕЩЕСТВОМ
826.	Разложив векторы поля в интеграл Фурье по координатам и времени:
Е (R, /) = J 8 (k, со) ехр [i (к  R — св/)] (d'<) da ....
получим из уравнений Максвелла систему алгебраических уравнений относительно амплитуд Фурье:
xn X 8 (к, со) =	(к, св),
xn X К (к, св)-----е (св) 8 (к, св) - i 2^2 6 (у п • v - I
хе(св)п.8(к,
xn •	(к, св) = 0;
(О
Здесь Э€(к, св) — амплитуда Фурье магнитного поля, к =-^хп, х —параметр.
выражающийся через св и к, п — единичный вектор. При выводе (I) нужно учесть, что амплитуда Фурье функции 6(R — vt) равна 6 (к • v — со) и
что б (ах) =
7—г 6 (х). Из системы (I) определяются 8 и |а|
8 (к, со) = -
tec xn — (v/c) в , /_х 2л2со2 е (х2 — в) \ с П
V-1
•К (к, со) =
сех n X v 2л2со2 х2 —е
— п • v — 1
,с
(2)
6
466
Для определения полей нужно произвести обратное преобразование Фурье. Начнем с вычисления £Z(R, 0. Как следует из (2):
„ ..	.	iec и cos 0 — Be - (D n	..
(k- O) = - -W e(x2-e) 6 (Px C0S 6 -
поэтому
Ег (R. 0 = -
ie
2n2c2
x cos 6 — pe e (x2 — e)
X ехр/ i — к [г sin 6 cos (Ф — <р) — г cos 6] | б (рх cos 6 — 1) sin 6 dQdG>.
(3)
Здесь через г обозначена составляющая R в плоскости ху, ф —угол между г и осью х, ft = v/c, 6 и Ф —полярные углы п.
Интеграл по Ф выражается через функцию Бесселя Jo (-у- хг sin ej (см. ПЗ. 11).
Интеграл по 6 имеет вид
л	рх
J f (0) б(рх cos 6- 1) sin 0J0 =J (у) ?> (у - V) dy.
О	-рх
(4)
Он отличен от нуля только в случае, если Рх 1, поэтому нижний предел изменения х равен 1/р. В формуле (3) это учитывается автоматически, вследствие наличия б-функции, но после интегрирования по у б-функция исчезнет, и нужно будет учесть нижний предел интегрирования в явном виде.
Интегрируя (4) по у, получим
4- <p(J) = oJ-/(0)L й 1 • рх рх	I cos е =—
(5)
Подставим (5) в (3) и введем вместо х переменную х
поскольку х меняется в пределах от 1/р до оо, х будет меняться от 0 до оо.
Тогда £z(R, 0 запишется в виде
оо	°° 7 f СО \	,
в‘ <«• ° - £ J “р [“ (г -')](' - w) I »+	 •
— оо	о
Формула (ПЗ. 16) позволяет провести интегрирование по х:
Ег№, t) =
рУ Ко (sr) ехр
СО rfcO,
(6)
J
0
где обозначено s2 = -----е (со). Знак s нужно выбирать так, чтобы
Re s > 0, в противном случае интеграл по со оказывается расходящимся. Интегрирование по со в (6) можно провести, только задавшись конкретным видом функции е (со).
При вычислении EX(R, 0 также начинаем с интегрирования по Ф.
467
Интегрирование по 0 выполняется с помощью б-функции. При последующем интегрировании по х-]'хг~ 1/Р2 нужно воспользоваться формулой
ОО
J х2 4- k2 о г которая получается из (ПЗ. 16) дифференцированием по г, если учесть, что Jq= -	=
В результате находим
ОО
CIS	Г / 2 И
Ех (R, О = cos ср —	— К/ (sr) ехР ри I ~ ~ И
— ОО
Компоненты Еу(9., t) и Н (R, О определяются таким же путем. Еу отличается от Ех заменой cos ср на sin ср; поэтому в цилиндрических координатах имеем
ОО
£r(R. t) = —	— К, (sr)exp [zco(--Z dco, £„ = 0.	(7)
эти J Ё	|_	\ V I
Для H получим oo
Eff (R, /) = -— J s£i (sr) exp [zco (-2- — da, Hz = Hr = 0.	(8)
— oo
Как следует из формул (6) —(8), электромагнитное поле обладает аксиальной симметрией.
Полученные формулы справедливы только в области г^а, где а — величина порядка межатомных расстояний. В области необходимо учитывать пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости.
827.	Как следует из формул (6) —(8) предыдущей задачи, монохроматические компоненты полей ЕЬ) (R, t) и Ню (R, t) имеют вид
£WZ(R. 0 = 5-(l-pt)/Co(sr)exp[i<o^-l]]..„	(1)
ГДе	2	2
s2 =	----е (ш). Re s > 0,	(2)
а /(„—модифицированные функции Бесселя
В волновой зоне | sr I 1, вследствие чего можно использовать асимптотическое выражение (ПЗ. 8) для функций
En(sr) = j/ ^e~Sr-	(3)
Из (2) следует, что при вещественном е (со) s будет вещественным, если 1/Р2 > е (со) или р/т (со) < 1 (п (со) — показатель преломления для волне частотой со). При Р/г (со) > 1 s будет чисто мнимым.
Если s — вещественная величина (в силу (2), при этом s > 0), то в волновой зоне поле будет затухать экспоненциально, излучения не происходит. При чисто мнимом s амплитуда полей в волновой зоне будет меняться как 1/| г , что соответствует цилиндрическим волнам. Покажем, что эти волны будут расходящимися, т. е. в этом случае действительно будет происходить излучение.
468
Запишем s в виде
s=±-l/ -Х- —е(и) = ±/-nl/057 Г	(4)
с * р	с
и выясним, какой знак нужно выбрать перед корнем. Для этого нужно принять во внимание, что рассматриваемый диэлектрик без потерь является предельным случаем слабо поглощающего диэлектрика с комплексным показателем преломления п = п' + in". Чтобы мнимая часть показателя преломления п" действительно описывала поглощение энергии (т. е. чтобы амплитуда соответствующей волны затухала, а не возрастала), требуется выполнение условий п" > 0 при и > 0 и п" < 0 при со < 0. Считая п" весьма малым, можем записать
(«' + in")2 - 1 « Vf>2n'2 - 1 (1 + i ^П'2П" t
Отсюда следует, что условие Re s > 0 будет выполняться, если выбрать в (4) знак минус. Устремив после этого п" к нулю, получим
s=-i^- Ур2п2 - 1 .	(5)
Но такой знак как раз соответствует расходящимся волнам, так как экспоненциальный множитель в выражениях (1) примет вид
ехр i (к • R — со/) = ехр i [k (z cos 0 4- r sin 0) — co/],	(6)
где
k = — n, coS 0 = tt-, sin 0 =	1 —-J - , k cos 0 = k, = k„ и k sin 0 = k . —
c	I p2n2	-	11
компоненты волнового вектора.
Таким образом, при выполнении условия Рч (со) > 1 частица, движущаяся в диэлектрике с постоянной скоростью v = рс, излучает электромагнитные волны с частотой со (излучение Вавилова — Черенкова). Условие Р« > 1 означает, что скорость частицы должна превосходить фазовую скорость волны с частотой со в данной среде. Как следует из выражения для волнового вектора к, излучение направлено под углом 0 к скорости частицы, причем
Эта характерная направленность излучения является следствием когерентности волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории (см. задачу 829).
Фазовая скорость волн Вавилова — Черенкова
— такая же, как у всех поперечных электромагнитных волн. Поляризацию излучения легко определить из формул (1): вектор Н направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через траекторию частицы и волновой вектор к, а вектор Е лежит в указанной плоскости (и перпендикулярен к в волновой зоне). В перпендикулярности к и Е можно убедиться, вычислив скалярное произведение к • Ео.
Полная энергия черенковского излучения шв_ч на единице пути равна интегралу по времени от потока вектора Пойнтинга через бесконечно удаленную цилиндрическую поверхность единичной длины, окружаю цую
469
траекторию частицы: оо	оо
I п	Г Г I
а»в_ч=2лг | _(ЕХН)ГЛ=-J H^Ezdt.
— оо	—ОО
(8)
Используя формулу, приведенную на стр. 455, можно представить (8) в виде
Wg_4 “ 2лсг Re j	(9)
₽п (оу > 1
где монохроматические компоненты Ha>f, ЕЬ12 должны быть взяты в волновой -зоне, а интегрирование ведется по области частот, в которой выполняется условие излучения (со) > 1. С помощью формул (1) — (3) находим окончательно:
^в-ч“~Г / О-'(10)
р« (о) > 1
2 9	2 9
е ш0	е “о	е0
828.	юв_ч =	(Р2 - О +	(е0 ~ 01п Со _ j • При указанных
в условии задачи значениях параметров сив_ц =« 5000 эв/см.
Излучение сконцентрировано в интервале углов
e0<e<-J
где
Р2е0 cos2 0О = 1.
Рис. 131.
829.	Каждую точку траектории можно рассматривать как источник элементарного возбуждения, распространяющегося в виде сферической волны со скоростью Vy-c/ti (рис. 131). Фронт результирующей волны представляет собой огибающую элементарных сферических волн. Нормаль к фронту составляет с траекторией угол 0, причем, как следует из рисунка, cos 0=1/|Зп.
830. Поле равномерно движущейся заряженной частицы представляет собой суперпозицию плоских волн с частотами со = к • V, где v — скорость частицы, к — волновой вектор (см. задачу 810). В неограниченном диэлектрике возможны колебания с частотами со = kc/ti, где п — показатель преломления среды (собственные колебания среды). Из условия резонанса
— = к • v “ kv cos 0 п
следует, что cos 0 = c!vn. Так как cos 0	1, то пп/с 1, а это и есть условие
существования излучения Вавилова — Черенкова.
I	с
831. т = — tg2 0, / = с0в_чс> ctg2 0, гдесо50 = —, ссв_ч —энергия черенковского излучения на единице длины, вычисленная в задаче 827.
470
833.	При рп < 1 (т. е. при v < t^)
е
ф =------
е] (z - vt)2 + г2 (1 - р2п2)
(1)
Это выражение получается таким же путем, как в задаче 811.
При p»i > 1 метод, примененный в задаче 811, не может быть использован так как подынтегральное выражение в этом случае будет иметь (к • v)2 полюс при k2 = ер -——.
Введя в пространстве к цилиндрические координаты, запишем ф в виде
е
<p(R. 0 = т~2~ 2л е
ехр [ife2 (z — vt) + ikLr cos a]
-------------------------------------- k i dk I dk, da.
*2±-*2(р2п2-1)
Для вычисления интеграла no kz воспользуемся теоремой о вычетах. Зна-£_L
менатель имеет нули в точках fez=±—	—; чтобы выяснить правило
[ Р2п2- 1
обхода этих полюсов, допустим, что п имеет малую мнимую часть п" > 0 при kz > 0, п" < 0 при kz < 0 (см. аналогичный анализ в задаче 827; в данном случае знак <о совпадает со знаком kz, так как <o = k-v). Поэтому оба нуля будут смещены в нижнюю полуплоскость комплексной переменной kz. При z > vt нужно замкнуть контур интегрирования дугой бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (на этой дуге подынтегральная функция обращается в нуль). Так как знаменатель не имеет нулей в верхней полуплоскости, интеграл по kz в этом случае будет равен нулю. При z < vt замыкаем контур интегрирования в нижней полуплоскости. Вклад в интеграл дают оба полюса, в результате интегрирования получим
ОО
Г ехр [ikz (z — о/)]	2л	kL (z — vt)
J k2 - k2 (p2M2 -l)dkz~~ k.v PV - 1 Sin / pv - 1
—- OO -L Z	-L
Интеграл no a выражается через функцию Бесселя ^о(^’±г) (см- П3.11). Последний интеграл по k± вычислим с помощью формулы (6.671,7), приведенной в справочнике [91]. Таким образом, при Р« > 1 имеем
Ф (R, 0 =
______________2е______________
е V (z — vt)2 — г2 (Р V — 1)
при z < vt — г 1лр V — 1 ,
(2)
0
в остальном пространстве.
Векторный потенциал А получается умножением ф на epv/c.
Формула (2) показывает, что при выполнении условия Вавилова — Черенкова р« > 1 поле является разрывным. Оно существует только внутри конуса, поверхность которого описывается уравнением
z-vt + r V р V - 1 = 0.	(3)
Нормаль к поверхности конуса составляет с направлением движения частицы угол 0 = arccos Как следует из (3), коническая волна распространяется вдоль оси z со скоростью частицы.
Рассмотренную структуру могут иметь не только электромагнитные волны, но и волны другой природы. Например, разрывные акустические волны указанного типа возбуждаются снарядом, движущимся в воздухе со скоростью, большей скорости звука (ударная баллистическая волна).
471
Тот же характер имеют волны, образованные на поверхности воды достаточно быстро движущимся судном.
834.	Излучение Вавилова — Черенкова происходит при условии 0ц > 1, где п(<о) = 1 е(<о)р(<о); векторный потенциал имеет вид
с ехр Г г — (у — vt+ I Р2«2 — 1 | г| )]
А _iS_ L у ___________________________ J ц (со) dco _
х с J	1 Р2«2 — 1	со ’
432 f ц (со) dco шв-ч = —=г. В 4 C2v J ) R2„2 _ 1
Рп>1 н
Тормозящая сила вычисляется по формуле f = — (j X В), где В должно быть взято в точке г = 0, y = vt. Сила приложена в направлении, обратном оси у, и по абсолютной величине равна потере энергии на единице пути: Fy — — шв_ч. Этот результат прямо вытекает из закона сохранения энергии.
2е2 Г 1,	1 \ /, со/ \
835.	“'в-ч=-^2_ J	J 1± cos —) codco. Знак плюс соответ-
рп> I
ствует случаю а), минус — случаю б). Спектральная плотность излучения двух одинаковых зарядов отличается от спектральной плотности излучения одного заряда множителем 2	+ cos-~-j. Поэтому интенсивность гармоник с ча-
стотами
(й = _2л£я	(И = о, 1,2, ...)
возрастает в 4 раза, а гармоники с частотами
о = -у-(2п+1)
исчезнут. При различных по знаку зарядах картина станет обратной.
Для перехода к случаю точечного диполя, ориентированного по напра-со/
влению движения, нужно разложить 1— cos—в ряд, считая аргумент косинуса малым. Это даст
Рп> I
где р — электрический момент диполя, измеренный в лабораторной системе.
836.	иR ц = —&-2	I (1 - -дГт) [cos2 а+ sin2 а (Р2«2 — 1)1 <»3 d<o, где
_	₽п>1
п = Ve, р — электрический дипольный момент в лабораторной системе отсчета.
837.	И1в_ч = С2Г2 J (*	рги2 j
₽п>1
838.	Потери энергии на единицу пути выражаются интегралом по времени от потока энергии через цилиндрическую поверхность единичной длины и радиуса а, окружающую траекторию частицы. Для вычисления потерь можно воспользоваться формулой (9), полученной при решении задачи 827,
472
если в этой формуле взять значения полей при г —а и вести интегрирование по всем частотам от 0 до оо. Используя выражения компонент поля, найденные в задаче 826, и указанный в условии данной задачи конкретный вид функции е (<о), получим
2е2«2 Г / 1 — х2 \
---57- =	Ref -----г - ₽2 s'aKi (s*a) (sa) х dx, (1) al--------------------------J \ e0 — x /
о
где x — m/Mq, e (0) = e0 = 1 + <0p/(0^ — статическое значение диэлектрической проницаемости,
Как следует из формулы (1), в потери вносит вклад только мнимая часть интеграла. Функции Ко и Ki ~ вещественны при вещественном аргументе, поэтому интересующая нас мнимая часть интеграла будет определяться только той областью изменения х, в которой s будет комплексным. Эта область, как видно из (2), зависит от знака и величины параметра Ь. Если Ь>0 (это означает, что_ п < с/Ке0), то s будет чисто мнимым при значениях х в интервале (j^b, 1) и вещественным вне этого интервала. Если b < 0 (этому соответствует v > с/],Ле0 ), то s будет мнимым при Ой^х 1 и вещественным при х > 1.
Кроме указанных интервалов изменения х, вклад в мнимую часть интеграла будут давать отдельные точки, в которых знаменатель подынтегрального выражения е0 — х2 обращается в нуль: х = ± У^Во. Поскольку интегрирование в (1) ведется по значениям х > 0, нужно рассмотреть один полюс х = уге()> 1. Если пренебречь потерями, то этот полюс окажется на вещественной оси. При учете потерь, как легко видеть из явного выражения е (<о) (см. VI. 12), он переместится в нижнюю полуплоскость комплексной переменной <о *). Чтобы получить правильное значение интеграла, нужно или ввести параметр затухания и после вычисления интеграла устремить этот параметр к нулю, или слегка деформировать путь интегрирования, произведя обход вокруг полюса по окружности бесконечно малого радиуса в верхней полуплоскости. Используем второй способ. Обозначив интегрирование по указанной полуокружности значком получим
-------j- s*aKi (s*a) Ко (sa) х dx =
Eq X
_ 1 - е0 a>Da Vе0 „ [ (о0а У ее } „ I <ооа Veo \
“ 1 ~2-----------v----Ко --------------Г' I--------v----Л	(3)
Теперь вычислим интеграл по области, в которой s чисто мнимо. Для этого заметим, что при чисто мнимом аргументе цилиндрические функции Ко и Ki связаны зависимостью
s*aKi (s*a) Ко (sa) - saKi (sa) Ko (s*a) = i у,
*) Это находится в соответствии с общей теоремой о том, что е (<о) не имеет нулей в верхней полуплоскости (см. [66], § 62).	'
31 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
473
которая следует из свойств вронскиана системы решений уравнения Бесселя (см. [68], § 5.9). Поэтому
s2<0	s2<0
(4)
Последний интеграл вычисляется элементарными методами. Пределы интегрирования выбираются так, как указано выше.
Подставляя (3) и (4) в (1), получим при о < с/р^ео
dg 2neW Г	( a®oV^,\ „ (\ п2
——т:-------Ъ I	Ло I	I Ai I	J Р ——р ) I (о)
dl mv2 L v \ v /	\ v )	4 'J v ’
и при о>сЛЛё7
dg 2ne4N Г 2acoo l^e0 I aa0 Уe0 A / aa0 J/e0 \
л ' ---5— I -------А о I-------1 A । I-------1 —
dl mv2 L v \ v /	\ v /
1~P2
e0— 1
+ In
Eq ~| e0— I J
(6)
Та часть полных потерь, которая ие исчезает при а->оо (члены, не содержащие о в (5) и (6)) представляет собой потери энергии иа излучение поперечных воли (эффект Вавилова — Черенкова):

(7а)
ldg\ _	е ЮР ( 1 - Р2 , , е0 \
( dl )в_ч Wb-4 2и2 ( е0-1 + е0—1)
с
при 1)>-р=г. (76)
Выражение (76) было получено в задаче 828.
Члены с Ко, Ki в (5) и (6), зависящие от а, возникли в результате обхода полюса в точке <в=П= у Оц + сОр , в которой е обращается в нуль. Но при таких частотах возбуждаются продольные колебания (см. задачу 443), поэтому выражение
(->)
пол
2 2 ал
е Юрз а Ко(—1	(—)
(8)
описывает потери на возбуждение
Qa .
ные потери). При ——	1 формула
продольных колебаний (поляризацион-
(8) принимает простой вид (см. ПЗ. 6):
(-1)
пол
2 2 еар, —А 1п о2
V
Qa
(9)
При ----1 величина — I—тт-1 становится очень малой (она пропорцио-
0	'	' пол
Г 1 1 сч
нальиа ехр------— I. Это показывает, что влияние поляризации среды при
малых скоростях мало.
474
Изложенный в этой задаче макроскопический метод расчета потерь принадлежит Фермн (1940 г.).
839.
d4 dl
е2а3ра (ыра\ / ара-
V3 \ V /	1 \ V ,
(1)
Если параметр topalv <С 1, что имеет скорости частицы, то можно использовать (ПЗ. 6). При этом (1) переходит в
место при достаточно большой приближенные формулы для
2 2 е
dl v2 П уа>ра
(2)
Как следует из формул (1), (2)’ потери частицы существенно зависят от величины <ор. Она представляет собою частоту продольных плазменных колебаний (см. задачу 443).
Излучения Вавилова — Черенкова в плазме не возникает, так как при всех частотах е (со) < 1 и условие излучения (Ее 1 не выполняется (но черепковское излучение становится воз-
можным, если плазма находится в магнитном поле).
При квантовомеханическом рассмо-	и
трении возбуждение плазменных колебаний эквивалентно возникновению	'
некоторых дискретных элементарных	р
возбуждений (квазичастиц — «плазмо-	Рис’ ‘°2-
нов»). Энергия каждого плазмона
равна й(0р, где fi=l,05-10-27 эрг • сек — постоянная Планка. Для металлов величина Асор лежит в пределах от 5 до 30 эв. Таким образом, при возбуждении плазменных колебаний частица теряет энергию дискретными порциями. Изучение этих дискретных (или характеристических) потерь энергии позволяет получать ценные сведения о свойствах твердых тел.
840. Разложим плотность тока (рис. 132):
( — ev6 (z + vt) 6 (х) 6 (у)	при
>г ( — evf> (z — vt) 6 (х) б (у)	при
z>0,
z 0, — оо < / < 0,
в интеграл Фурье по времени:
7=	ja~
_^cx1’[-‘72]6W6^ нри г>°>
е Г. ® 11 / \ t / \	«
— 2^- ехр 11 — z О (х) 6 (у) при z<0.
Введем вектор поляризации согласно (XII. 9)
(3)
Вектор Рв направлен по оси г.
Формулы (2) и (3) показывают, что плотность заряда и плотность тока, создаваемые движущейся частицей, эквивалентны набору гармонических
Р
а —
1а ita ’
31*
475
осцилляторов, распределенных в пространстве по закону
ie
— ехр
2л(о
ie
—ехр
2л<о
Ра> —
— i -у г j б (х) б (у) при z > О, £ 2] 6 6 при 2 °'
(4)
Наличие б (х) б (у) в (4) означает, что фактически осцилляторы находятся только на линии движения заряда.
Осцилляторы, находящиеся на отрезке dz, создадут в точке М волновой зоны магнитное поле (см. рис. 132):
^2 (Л/?
=------c2R2 (Ро X R) dz =------Ра sin Qeadz. (5)
Интегрируя (5) по z, получим полное поле
В последнем выражении интегралы берутся от произведения убывающей и осциллирующей функций, поэтому основной вклад в них даст область вблизи z = 0. Это объясняется тем, что излучение имеет место при переходе из вакуума в металл. Вычислим интегралы приближенно, для чего положим в показателях экспонент R — r — zcos0. Выражая sin О через R, получим
ikr  of л ехр Г/— (1 — р cos 0) zl iee>e г sin 6	' L о	J
Я<а“ ~ 2nc2 J	R2	dZ +
— OO
p° exp i (1 + p cos 6) z
+ J	R*
о
Интегрированием no частям можно представить эти интегралы в виде рядов по степеням 1/R; оставляя только члены, линейные по этому параметру,
получим
1	[	11 sin 0e‘'fer
-^-(1—pcosG) (1 + р cos 6) I r
(6)
Второй член в этом выражении описывает поле излучения, возникающего при внезапной остановке заряда, а первый член — излучение, создаваемое изображением. Интенсивность излучения с частотой ю в телесный угол dQ определяем по формуле
dl (ы, e)=c|£(w,0)]2r2dQ =
e2v2 sin2 0 dQ n2c3 (1 -p2 cos2©)2'
(7)
476
В нерелятивистском пределе (0	1) формула (7) дает дипольное излу-
чение:
g2ri2	*
dl (<о, 0) = sin2 6 dQ,	(8)
интенсивность которого пропорциональна квадрату скорости частицы. Отметим, что интенсивность излучения не зависит от массы частицы.
Интегралы от (7) и (8) по <о, дающие угловое распределение полного излучения (со всеми частотами), будут расходящимися. Это обусловлено тем, что металл считался идеально проводящим. В действительности, уже в инфракрасной области спектра металл нельзя считать идеально проводящим, так что при высоких частотах результаты (7) и (8) неверны.
Спектральное распределение полного излучения получится интегрированием (7) по верхней полусфере:
.	4е2о2 /3 В2 + 1 , 1+р	3 \
Зле3 (в р3 П 1-0	402)'
В ультрарелятивистском пределе, когда полная энергия частицы g много больше энергии покоя тс2, формула (9) дает
,, .	2е2 . 2
I («) =----in—=.
ле тс2
Интенсивность излучения растет логарифмически с ростом энергии.
В нерелятивистском пределе выражение в скобках обращается в единицу:
4е2п2
0°)
841. Компонента Фурье вектора поляризации имеет вид
“ ~“2Йгехр [“ z‘ Vг]6 w6 (у)-
(1)
Определим сначала поле в точке А от осцилляторов, находящихся в области z > 0 (рис. 133). Достаточно рассмотреть осцилляторы, лежащие вблизи точки z = 0, так как только они создают поле излучения (см. предыдущую задачу).
При использовании теоремы взаимности выберем осциллятор р£ на оси z вблизи 2 = 0 (точка В), а осциллятор рл в точке А, поле в которой мы должны определить. Пусть оба они одинаковы по абсолютной величине и направлены вдоль г, а расстояние между ними велико по сравнению с длиной волны. Осциллятор р£ создает в точке А поле, амплитуда Е+
Л
которого составляет с осью 2 угол, приближенно равный — 0 (см. рис. 133).
Волны из Л в В приходят двумя путями: непосредственно и после отражения от границы диэлектрика. Соответствующие амплитуды обозначены
Л
на рисунке через Е' и Е". Они составляют с Oz такие же углы -g- — О'«
г»-g-— 6. Поэтому по теореме взаимности имеем Е+ = Е' + Е" или, учитывая, что в волновой зоне осциллятора Н = п X Е, получаем Н+=— Н' —Н" (все три вектора Н+, Н', Н" перпендикулярны плоскости АОг).
Волна, приходящая из А в В непосредственно, создает поле
dH' = —575— Ры sin 6 dz.
c2R
(2)
477
Амплитуду отраженной волны можно определить с помощью формул Френеля, так^как расстояние АС велико и волна, испускаемая из точки А, может рассматриваться вблизи точки С как плоская. С помощью формул (VIII.’20), учитывая изменение фазы волны и то, что &' « 6, получим
(gpfglkR'
dfl" =	Ри Sin 6 dZ,
(3)
где
е cos 6 — ре — sin2 6
е cos 6 + Ke — sin2 6
R' = АСВ.
То поле Н+, которое создается в точке А всеми осцилляторами, находящимися в области z > 0, получится интегрирование суммы — (dH' + dH")
по г от 0 до оо. Интегрирование проводится точно так же, как в предыдущей задаче. Результат имеет вид
Н = — (	1 д. f \ sin Ge‘kr	1Л\
+ 2лс21 1 + Р cos 6	1 — Р cos 6 ) г	' '
Эту формулу легко понять путем сравнения с аналогичной формулой (6) предыдущей задачи. Первый член описывает поле частицы, движущейся в вакууме и внезапно останавливающейся в точке z — 0; второй — поле изображения (— е/), движущегося в диэлектрике навстречу частице и также останавливающегося в точке z — О. В отличие от случая идеального проводника, изображение слабее в / раз, его величина зависит от частоты со рассматриваемой гармоники (через е (<в)) и от положения точки наблюдения (через угол 6).
Поле Н_ от диполей, лежащих при z<0, определяем таким же путем. Волна придет из А в В, преломившись на границе раздела. Используя 478
снова формулы Френеля, получим
dH_ = -	(1 + f) Ра sin OV* dz.
(5)
Здесь /?" = /' + /"--длина тывает запаздывание:
ломаной линии АСВ' (см. рис. 133). Фаза <р учи-
to „	0)
<Р = — / + — ре /".
с с
При | г | -С г (г < 0) имеем I' = г + г tg &" sin 6, I" = — С()3 уЛ Учитывая за-sin	п
кон преломления sm © = —и заменяя и на 6, находим
Уе
to to
<Р = — г —— г J е — sin2 6 .
Проинтегрировав (5) в области г < 0:
от — оо до 0, получим поле от диполей, лежащих
Я_ = -
ev .	_________1__________sin Ge,kr
2лес2 "1-0 У, - sir,2 0 г
(6)
Полное поле в точке А равно сумме Н+ + Я— Интенсивность излучения с частотой to в телесный угол dQ.
di («, е)=л2 (о, е) sin2 е da,
20 cos 0
А (со, 0) = -т—з+
'	’	1—0 cos2 0
е(1 — 0Уе —sin2©) 1 — 0 cos 6
Величина А зависит от частоты через в (to). В нерелятивистском пределе 0 « 1 получаем
... e2v2 (е—I)2sin2 ©cos26	_
dl (to, 0) = —---------— ---	 dQ.
пс (е cos 6 + р е —sin2 © )2
(8)
ГЛАВА XIV
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ
§ 1.	Движение отдельных частиц в плазме
sin О dl)
844.	dwW=^----------Sin°rf-\ 3/2, ?=21+L^-2_kzJ),n2c4.
2 [1 + (п — 1) cos2 О]3 2	8	3
В нерелятивистском случае имеем для средней кинетической энергии Т в конечном состоянии
2
Т - - Ро 2m ‘
_	2п+ 1
Г----3-То,
845.	Для вычисления нужно найти добавку к скорости частицы, обусловленную наличием градиента поля и усредненную по циклотронному
479
периоду вращения. Запишем уравнения движения для поперечной скорости
частицы у±:
dv± еН dt тс fV±
X h].
(1)
Здесь h — единичный вектор в направлении магнитного поля. В уравнение входит Н (г) — значение поля в точке, где находится частица. Представим его в виде
Н (г) = Н (R) + (r-V//),	(2)
где R — радиус-вектор ведущего центра, г —радиус-вектор частицы, отсчитываемый от положения ведущего центра. В первом приближении можно считать, что ведущий центр не испытывает поперечных смещений за время одного оборота частицы. Подставив (2) в (1), получим уравнение движения
А О	h
где S2 =-----п.
тс _	drn
Разложим v± на две составляющие — скорость v0 = -^ в однородном поле и малую добавку vp
v± = vo + vi-
В поправочном члене уравнения (3) можно заменить величины v± и г на v0 и г0. Учитывая, что
^T=v0Xft,	(4)
получим для Vi уравнение
^-=[v1+v0(r0-V//)]xft.	(5)
Усредним обе части этого уравнения по периоду вращения частицы. При усреднении производной dvt/dt получим
rfv, Vi (/ + Г) — Vi (7)
dt	Т
с точностью до членов первого порядка по малой величине V//. Усредняя правую часть, найдем	_ 
vd = vi=“vo(ro-V7/)-	(6>
Величины v0 и г0 соответствуют движению частицы в однородном поле и могут быть получены из уравнения (4). Их можно выбрать в виде
г0 =	(в] sin Qt + е2 cos Qij, v0 = t)±r0Xh,	(7)
где ei и e2 — орты, перпендикулярные h и друг другу. Проведя усреднение, получим формулу, приведенную в условии задачи.
846.	Адиабатическим инвариантом для релятивистской частицы является
1
величина уц, где у =—____
1 1 — v2jc2
р =p±t)±/2//— магнитный момент. Если
кинетическая энергия частицы сохраняется, 'То у = const и ц = const. Последнее соотношение выполняется для нерелятивистской частицы, у которой
у ~ 1, и в том случае, когда ее энергия не сохраняется.
480
Р1У±
847.	F = — M • VZf, "где ц =———h —магнитный момент, создаваемый Zn
вращением частицы. Это выражение совпадает с правой частью уравнения (XIV. 2), если в ней положить Е = О, так как из уравнения Максвелла div Н = 0 следует Н div h = — h • VH.
848.	sin & > 1 HIHm.
849.	/?= 1
850.	r = rol
где r0 — расстояние ведущего центра до оси ловушки в поле Нй, г — расстояние после изменения поля до величины Н. Возрастание поля вызывает сжа-
плазмы к оси ловушки.
851. Ведущий центр перейдет на силовую линию г = 1, <р =
тие
уса
2cq
852. Ведущий центр протона движется равномерно по окружности ради-г = 2г., лежащей в плоскости экватора, с угловой скоростью
ЗсУ	ЗутМ
ер ер
где у - гравитационная постоянная; R = 226 км, Т « 14,9 сек.
853. а) Из уравнения (XIV. 1), вычисляя произведения [h X ГЯ] и [h X (h • V) h] для поля магнитного диполя, находим, что движение поперек магнитных силовых линий сводится к азимутальному дрейфу, при котором расстояние до центра Земли и широтный угол не меняются. Кроме того, ведущий центр движется вдоль силовой линии, уравнение которой имеет вид
г = г0 cos2 X,
(1)
где г0 — расстояние в экваториальной плоскости от силовой линии до центра. При этом энергия частицы остается постоянной вследствие пренебрежения гравитационным полем.
Используя известные выражения для напряженности поля магнитного диполя, а также уравнения (XIV. 1), (1) и (XIV. 5), находим угловую скорость азимутального дрейфа.
(vd)a Зсрог0 sin2 a 1 + sin2 К
— т	2ец cos3 Л (3 sin2 X + 1)
_ cpvr0 cos3 X (3 sin2 X — 1)
ep. (3sin2X +1)2
Здесь p и v — импульс и скорость протона.
б)	С помощью уравнения (XIV. 5) находим условие, определяющее К,п > 0:
cos6 Xm . „
— = sin2 a.
sin2 Xm + 1
Частицы движутся в области — Xm X Xm.
в)	Протон достигает поверхности Земли при условии
Го cos2 X.„ < г.,
где г, — радиус земного шара.
854. Через площадку da — s ds da плоскости, перпендикулярной направлению движения частиц, проходит за единицу времени nv da частиц. Они передают неподвижной частице импульс, равный
т До^по da,	(I)
481
где At>z — изменение z-компоненты скорости одной частицы при рассеянии ее на неподвижной частице.
Искомая сила, равная полному импульсу, передаваемому за единицу времени, получится интегрированием (1) по всему сечению пучка частиц. При этом нужно выразить Лог через прицельный параметр s. Поскольку столкновения упругие, имеем
Лог = — 2о sin2 ,	(2)
6 — угол рассеяния. Его связь с прицельным параметром s была найдена при
решении задачи 713:
е2е? 0
s2=wct®2T-
(3)
ние
После подстановки (2), (3) в (1) и интегрирования по а получим выраже-для силы:
F = —ЛЛй т	v3
(4)
где
,2
(5)
При sm то, что соответствует неограниченному пучку, величина Л расходится. Этот результат объясняется дальнодействующим характером кулоновых сил, в результате чего с неподвижной частицей взаимодействуют и те частицы, которые пролетают от нее сколь угодно далеко. Фактически в плазме любой заряд экранируется зарядами противоположного знака, поэтому с любой частицей взаимодействуют только те частицы, которые пролетают от нее на расстояниях, не превышающих радиуса экранировки. Для статистически равновесной плазмы радиус экранировки был вычислен в задаче 308 (радиус Дебая — Хюккеля)г
п / КГ
sm- I/ I ,2., . TV’	(о)
' 4л (е N + е2п)
где еле' — заряды электронов и ионов, п и N — их концентрации.
Величина Л называется кулоновым логарифмом. Пренебрегая слабой зависимостью Л от о, можно считать Л = const, где const —число порядка 10.
855.
— . \ 4Я „ ,2. I	V—V7 . , ....	...
F(v)=-—е2е' Z J |v_v,|3	(1)
mm'
где pi = " +	— приведенная масса.
Полезно иметь в виду следующую электростатическую аналогию: выражение (1) можно записать в виде электрической силы F = ^E, с которой
„	4л „ ,2л
действует на заряд q -------- е^е л «электростатическое поле»
И
Е (v) = - gradv <р (v),	(2)
где
ф(у)= f мххт.
ф W J I v — v' I
— «электростатический потенциал», удовлетворяющий уравнению Пуассона
ДуЧР (v) = - 4л/ (v).	(3)
482
856. Энергия пробной частицы не меняется при столкновениях с неподвижными бесконечно тяжелыми частицами. Изменение среднего импульса
описывается уравнением
^L = f, dt ’
(1)
где F — средняя сила. Ее удобно вычислять с помощью электростатической аналогии, указанной в решении предыдущей задачи. Распределение по скоростям частиц среды описывается функцией f (v) = п(> (у). Поэтому <р (v) = n/v, Е (v) = nv/t)3,
F=~— e2//^,	(2)
m	v6
F имеет характер «силы трения», стремящейся уменьшить направленную скорость частицы. Но это трение тем меньше, чем больше скорость частицы (F ~ 1/ц2, «падающее трение»).
Интегрируя уравнение (1), найдем
v (0 = v0 ехр
где т = ——2------характерное время потери частицей направленной ско-
4ле2е' пл
рости.
857.
О	при v < ц0»
F =	. , ,2, / 1 , 1 \ nv
(We^_ + —J — при ц>ц0.
858.
_	при v.v0>t>2
4ле2е,гХп	4—— при v • vn < t>n-
\ т tn } v0	и °
859. На электрон, движущийся со скоростью v в среде неподвижных однозарядных ионов, действует сила трения
- 4ле4нА v
р ——	'	Q
т vd
(см. решение задачи 856). Отметим, что зависимость силы F от скорости можно получить и из следующих полукачественных соображений. Сила трения есть потеря импульса частицей в единицу времени из-за столкновений. Если среднее время между столкновениями т, а при каждом столкновении теряется импульс порядка полного импульса частицы tnv (это означает, что в результате столкновения электрон отклоняется на большой угол), то
F
(2)
При таком столкновении электрон подходит к иону на расстояние, на котором его кинетическая энергия — порядка потенциальной:
тв2 ~ е2
~~2	7
(3)
483
Это приближенное равенство позволяет оценить сечение столкновения
а ~ лг2 ~
4 ле4
m2vi
и среднее время между столкновениями
1	m2v3
nov	4лпе4 '
(4)
(5)
Подставляя т в (2), находим F ~
4лпе* mv2 ’
или, учитывая тормозящий харак-
тер силы,
4лгге4у
mv3
(6)
что отличается от (1) отсутствием кулонова логарифма Л. Но это естественно: при оценке по формулам (2) — (5) мы не учитывали далеких столкновений с малыми передачами импульса, вклад которых и дается кулоно-вым логарифмом.
Усредним теперь формулу (1) по возможным скоростям электрона. Для этого положим
v = и + vT,	(7)
где vT —тепловая скорость, и —скорость, приобретаемая под действием электрического поля Е. При и С цт можем положить в знаменателе выражения (1) ц3 ~ v^. В числителе же нельзя пренебречь и по сравнению с vT, так как при усреднении по направлениям тепловой скорости получим vT = 0. В итоге будем иметь
= 4лпе4Л
F =-----~и<
mv''
(8)
где под от теперь нужно понимать величину порядка средней тепловой скорости. В случае распределения Максвелла v^-SkT/m. Таким образом, при и С пт получаем F ~ и.
При и vT полагаем v ~ и и получаем
= 4лпе4Л
F «------g—,
ти2
(9)
т. е. F ~ 1/ы2. Максимуму F, очевидно, будет соответствовать значение и ~ пт; при этом обе формулы (8) и (9) дадут одинаковое значение
— 4лпе4Л
F~------
mv2
(Ю)
Примерный ход функции F (и) представлен на рис. 134.
Если поле в плазме Е < ^max/e = ED *), то сила торможения при некотором значении и, удовлетворяющем равенству Е(ы) = е£, превысит ускоряющую электрическую силу еЕ, и электроны не смогут больше ускоряться. Это — область значений поля Е, при которых имеет место обычный закон Ома. В случае Е > ED ускоряющая сила превышает торможение, и элек-
') Критическое значение поля Е = ЕО называется драйсеровскнм.
F
484
троны получают возможность ускоряться неограниченно *). Это явление получило название «убегающих электронов».
Рис. 134.
Подставляя v^ = 3kT/m в формулу (10), получим
£ =_L_£^.	£)2__^Z 	(]])
LD 3 D2’	U Anne2'	11 °
Точный расчет для этого же случая дает ([28], в. 1)
Ed = 0,214	(12)
Наша порядковая оценка дала результат, близкий к точному значению.
§ 2.	Коллективные движения в плазме
860.	Естественно предположить, что скорость движения жидкости направлена вдоль оси z и зависит только от поперечной координаты х. Поскольку движущаяся проводящая жидкость увлекает за собой силовые линии магнитного поля, то при движении должна возникнуть продольная составляющая магнитного поля Нг (х). Таким образом, неизвестные функции v н Н ищем в виде v(0, 0, v (х)); Н (Но, 0, Яг(х)); при этом уравнения (XIV.9), (XIV.10) удовлетворяются тождественно. Уравнения (XIV.7), (X1V.8) принимают следующий вид:
dv с2 d2Hz = „
dx	АпаН0 dx2 ’
d2v	Но dHz	\ d f
dx2	4лг] dx	r] dz V
(I)
(2)
(3)
*) В действительности из-за коллективных эффектов электронный газ как целое не ускоряется, его сопротивление может даже возрастать.
485
Н2
Из последнего равенства следует, что р + —— зависит только от z. Но
ОЛ
а /	н2 \ dp	,
~т~ Р + ~о~ = ~г~ = const, dz у 8л j dz
(4)
так как №/8л от z не зависит. Поэтому равенства (1) и (2) представляют собой систему обыкновенных линейных уравнений для определения неизвестных функций v (х), Нг (х). Исключая из них , получим уравнение dv относительно и = ——: dx
из которого следует
d2u 1	_ с
—к- г и = 0, х0   dx Xq	Но
п = х0
В ехр
+ С.
(5)
(6)
Граничные условия имеют вид v (± а) = 0, так как вязкая жидкость у стенки неподвижна. Кроме того, из соображений симметрии следует v (х) = v (—х). Из граничных условий н (6) находим
ch — - ch -i, п(х) = о0---\(7)
ch —— 1
Хо
где По ~ новая постоянная, имеющая смысл скорости в средней плоскости х — 0. t>o можно выразить через градиент давления:
«о
Магнитное поле определяется нз (2), (7) и граничных условий Hz(± а) = 0: .	(-)sh—-sh —
<9>
eh—— 1
*0
Отношение a/x0 — M называется числом Гартмана. При М 1 имеем
a2 dp . .	( х2 \
= (10)
как в обычной гидродинамике. Магнитное поле 7/г = 0 в первом порядке по числу Гартмана. Продольное поле Нг появляется только в следующих приближениях.
В противоположном предельном случае М 1 получаем
a2 dp . .	(, Г а -1 х | 1 \
t'o =---! r>W = Vo 1-ехр----------------------.	(11)
r)M dz	\ rL х0 J /
Сравнение (10) с (11) показывает, что средняя скорость движения уменьшается с ростом II0, а профиль скоростей становится более плоским в сред-
486
ней части потока, но резко меняется в слое толщиной х0 у стенок. Продольное магнитное поле в этом пределе имеет вид

4 ла2 Vот] сМ
dp dz
(т"ехР
(12)
—1 sh —)
*0 J XB J
Как видно из формулы, оно убывает с ростам числа Гартмана. Наибольшую величину Hz имеет при М ~ 1.
Плотность тока в движущейся жидкости вычисляется из уравнения
Максвелла j = -у— rot Н. Отлична от нуля только (/-компонента тока: 4л
/ ch— \
=	I-?-—.	(13)
Но dz I х , а I	' '
\ sh— / \	Л'о /
Создаваемое им магнитное поле Hz равно нулю всюду вне области, занятой жидкостью. Там остается только поперечное поле Нй.
, X	,	X
sh —	sh	—
861.	v{x) — t>0-—. Плотность тока jy (x) =	----—. Этот ток
sh —	sh	—
xD	Xo
создает магнитное поле
. ch — -ch —
Яг(х) = 4»_
Яохо sh_a_
обращающееся в нуль при | х | а.
862.	Магнитное поле имеет одну проекцию
г
я<р^^(г)=4т Jr'(r) dr'
О
Интегрируя уравнение движения (XIV. 7) с граничным условием р |г>а ~ О, находим
а
где 7/ =---- rj (г) dr при г < «, Н = 29 !сг при г > а.
о
Чтобы связать силу тока 9 с Т и N, полагаем р — 2п (г) kT, где k — постоянная Больцмана, и интегрируем обе части (1) по площади поперечного сечения столба плазмы. Получим
9=2cVNkT.
(2)
При 7~ 10е °К и N ~ Ю15 частица!см3 (значения, характерные для термоядерных исследований) имеем
9 =7,5- 10* а.
487
863.	Ток должен течь по тонкому поверхностному слою. Тогда внутри столба будет постоянное давление
Я2 ? 2пс2а2 '
864.	Беря проекцию уравнения (XIV.12) на ось г и подставляя v = o —, v = const, получим уравнение для определения Нг-
дНг _	2v	дНг
dt	г	дг	'
Решение этого уравнения выражается через произвольную функцию F от аргументов г — vt, ft и а:
Нг (г, &, а) = F {г - vt, &, а).	(2)
Граничное условие имеет вид
Wrlr=a=Wor(fi'. a+Qt) = ±-F(a-vt, ft, а)	(3)
(аргумент a —fit у Ног написан в связи с переходом в неподвижную систему координат) Таким образом,
F (a — vt, &, а) = а2Нвг (&, а + fit).
Следовательно, (2) запишется в виде
Нт (г, ft, a, t) = (у Hor (ft, а -	+ fit j.	(4)
Таким же путем находим
Яо = у Яоо (ft, а - (f~a)Q + fit),
На = у Нт (ft, а - (r~a)Q + fit).	(5)
Из уравнения div Н = 0 вытекает следующая связь между проекциями вектора Но-.
afi дНог . .	<3 ,,,	.	, дНоа
Ts,n^+^(^sin^)+T-=0-
При = 0 находим //# — О,
Нва ---------Hor sin ft + f (ft);
v
если положить f (ft) = 0, то будем иметь
На (г, ft, a, t) = Hor (ft, а ———+ fit) sin ft.
(6)
Паркер использовал рассмотренную модель для описания межпланетного магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечным ветром). В модели межпланетного магнитного поля Паркера —О, а Нг и На даются формулами (4), (6). Измерения межпланетного магнитного поля, произведенные на спутниках и ракетах, показывают, что усредненное магнитное поле вблизи орбиты Земли удовлетворительно описывается моделью Паркера.
488
865.	Силовые линии имеют вид спиралей Архимеда:
г = (а — а0),	а0 = const,
6 = arctg — ~ 56°;	Я«4,5-10-5э.
V
4л с2 р
866.	е, =1 4-775—, где р —плотность плазмы. Найденное значение е,
-L
получается из результатов задачи 321 в предельном случае со->О.
/4лл.в2
——-— , где т — масса электрона.
868. При со < <0р, R = 1,
Е = ^i(j Ео ехр [— qz - zco/J,
где q =
со
— 1, k — — , Ео — амплитуда падающей волны. Глубина
1	с
проникновения б = —= ; 6~-^—при со<Ссор. Затухание поля
вызвано не диссипацией энергии, а возникновением токов в плазме, которые создают поле противоположного знака.
Прн со > сор
|, Е=—Ео ехр [/(9г — со/)], k + q
где q = У со2 — Ыр/с, волна распространяется в плазме без затухания.
869. Представим радиус-вектор частицы в виде
R(/)=Ro + vo/ + R1(/),	(1)
где va —скорость частицы в отсутствие поля (тепловая скорость); Ro —радиус-вектор при / = 0; R1 (/) —добавка, обусловленная действием электрического поля плоской волны (магнитным полем пренебрегаем, считая частицы нерелятивистскими).
Величина Ri удовлетворяет уравнению
mR! = еЕ0 ехр [z (к  Ro + к • vot + к • Ri — со/)].	(2)
В показателе экспоненты можно пренебречь слагаемым k- Rb считая выполненным неравенство kRi С 1. В этом приближении, линейном по Ео, решение (2), соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид
R = _ е Ео ехр [zk • Ro - z (со - к • v0) /]
1 ' ' т
(3)
(со — к  vo)2
Скорость частицы выражается в виде *)
v (/) = v„ + ю-Е^;уо ехр [zk • Ro - z (со - к • v0) /].
(4)
*) Расходимость выражений (3) и (4) при kv0 = со связана с некорректным рассмотрением «резонансных» частиц, т. е. частиц, скорость которых удовлетворяет условию kv0 = со. Чтобы избежать этой трудности, предположим, что в плазме отсутствуют частицы с такими скоростями, т. е. исключим из рассмотрения интервал скоростей, удовлетворяющих неравенству | v - Vq | <С и0.
32 В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
489