Г Ходе
ТЕОРИЯ



ЦБ ПЕЙ
И
ПРОЕКТИРОВАНИЕ

УСИЛИТЕЛЕЙ
С ОБРАТНОЙ


ТЕОРИЯ
ЦЕШ Й
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
• .
С ОБРАТНОЙ
СВЯЗЬЮ
СВЯЗЬЮ













Г


и*л
Государственное издательство
иностранной
литературы
*
NETWORK ANALYSIS
AND FEEDBACK
AMPLIFIER DESIGN
By
HENDRIK W. BODE, Ph. D.
NEW YORK
1946
Г. БОДЕ
ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ УСИЛИТЕЛЕЙ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
И РЕДАКЦИЯ
А. А. КОЛОСОВА и Л. А. МЕЕРОВИЧА
Scan AAW
1948
Государственное издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Af осква
ОТ РЕДАКЦИИ
Книга Г. Боде, предлагаемая вниманию читателя в русском пе-
реводе, представляет интерес с двух точек зрения. Во-первых, книга
содержит изложение и развитие ряда идей, лежащих в основе общей
теории цепей. Этот круг вопросов, разработанных главным образом
в течение последних 15—20 лет, приобретает все большее значение
как в различных отраслях техники связи и радиотехники (телефон-
ные, телевизионные, вещательные, импульсные и др. системы), так
и в смежных областях — автоматическое регулирование, следящие
системы и т. п. Во-вторых, значительный интерес представляет из-
ложение методов проектирования усилителей вообще, и усилителей
с обратной связью, в особенности.
Настоящая книга не дает достаточно полного и систематичного
изложения теории цепей. Некоторые разделы излагаются довольно
конспективно, а иные вовсе не затрагиваются. Поэтому читатель,
желающий ознакомиться с общими положениями теории цепей, смо-
жет это сделать с большим успехом, воспользовавшись соответст-
вующими советскими учебниками (например, книгой Акульшина и
др; „Теория связи по проводам/ М., 1940). В то же время в книге
весьма подробно изложен ряд логически связанных между собой
вопросов, относящихся к синтезу цепей, к их физической осуществи-
мости и особенно к связи между амплитудно-частотными и фазо-
частотными характеристиками. Эти вопросы, разработанные в зна-
чительной степени самим автором, заслуживают серьезного внимания.
То же относится к некоторым специальным разделам теории усили-
телей. Значительный интерес представляют, например, результаты
разработки проблем устойчивости для систем с многоканальной об-
ратной связью, а также изложение общих принципов проектирова-
ния усилительных систем на основе реальной устойчивости схемы
и заданных паразитных параметров. Благодаря обстоятельности из-
ложения, полученные результаты могут быть применены непосред-
ственно в инженерной практике.
Такой выбор материала определяется тем, что главная задача,
которую ставил себе автор книги, сводится к разработке общих
методов синтеза цепей, применительно к усилителям с обратной
связью. Книга представляет интерес в первую очередь именно как
монография, посвященная решению этой задачи.
Было бы неправильно переоценивать значение предлагаемых
автором методов проектирования усилителей. Далеко не всегда эти
пути проектирования практически вполне оправданы; поэтому в том
виде, в котором они изложены, они, разумеется, не могут вытеснить
принятые в инженерной практике методы технического проектиро-
вания. Следует все же признать, что автору книги удалось суще-
ственно развить и усовершенствовать методы синтеза цепей и в зна-
чительной степени приблизить их' к решению практических задач.
Однако и с этой точки зрения книга не лишена некоторых недо-
статков. Например, хотя автор и ограничился рассмотрением линей-
ных, систем, тем не менее было бы вполне естественным дать краткий
анализ особенностей, которые всегда вносит нелинейность, неизбеж-
ная в реальных устройствах. Несомненно, что одна из причин, по
которым этот вопрос оказался не отраженным в книге, заключается
в том, что в американской и вообще в зарубежной литературе
теория нелинейных колебаний сравнительно слабо разработана.
Неоправдано также полное игнорирование передовых процес-
сов. В настоящее время в связи с развитием телевидения и импульс-
ной техники рассмотрение ряда вопросов теории цепей, в частности
синтеза цепей, нельзя ограничить лишь стационарными характеристи-
ками, поскольку такое рассмотрение не всегда оказывается доста-
точно полноценным.
В список основной литературы по теории цепей и по усилите-
лям с обратной связью, публикуемый в конце книги, включены
также книги, которые помогут читателю восполнить отмеченные
недостатки. Кроме того, цитированная автором литература в боль-
шинстве случаев заменена равноценными русскими изданиями.
Следует отметить, что значительные трудности при редактиро-
вании перевода возникли в связи с терминологией. Эти трудности
были вызваны не только некоторой терминологической непоследо-
вательностью автора и вводимыми им, подчас весьма смело, новыми
терминами, но, главным образом, отсутствием единой общепринятой
терминологии в области теории цепей. При выборе терминов для
перевода учтена терминология, принятая в советских работах.
Несмотря на отмеченные недостатки, книга Боде безусловно
окажется полезной для научных работников и специалистов в раз-
личных областях радиофизики, радиотехники, техники связи и дру-
гих смежных областях.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Настоящая книга была задумана как руководство по про-
ектированию усилителей с обратной связью. Однако вскоре
стало ясно, что для удовлетворительного рассмотрения задачи
обратной связи необходимо предварительно подробно изложить
теорию электрических цепей. Вместе с другими логически свя-
занными главами это делает книгу прежде всего монографией
по общей теории цепей. Задача обратной связи попрежнему
занимает заметное место, но книга содержит также материал
по проектированию усилителей без обратной связи, в частности
широкополосных усилителей, и различные задачи, возника-
ющие вообще в широкополосных системах. Значительная
часть этого материала до сих пор не публиковалась в ранее
изданных книгах по теории цепей. С другой стороны, вовсе
опущена теория линий и фильтров, которая находилась в центре
внимания в большей части ранее изданных книг по теории
цепей.
О построении книги следует сделать два дополнительных
замечания. Первое из них заключается в том, что хотя в боль-
шей части книги рассматривается усилитель с обычной одно-
канальной обратной связью абсолютно устойчивого типа, тем
не менее весь план книги предусматривает две последние
главы, посвященные методике проектирования многоканальной
обратной связи и условно устойчивых схем.
В целях подготовки к этим главам предварительная теория
в предыдущих частях книги изложена в более общей форме,
чем это требовалось бы при отсутствии этих глав. В частности,
в главах IV—VI это заметно усложняет рассмотрение, поэтому
читатель, интересующийся лишь обычными усилителями с об-
ратной связью, может позволить себе пропустить наиболее
трудные части этих глав.
Второе замечание относится к излишним, на первый взгляд,
тонкостям, с которыми в некоторых случаях излагаются методы
проектирования. Это объясняется тем, что при первоначальной
подготовке рукописи особое внимание было уделено проме-
жуточным усилителям дальних телефонных связей. Так как
система дальней связи может содержать большое число уси-
лительных пунктов, то даже совсем незначительное несовер-
шенство отдельных усилителей может оказаться существенным
в целом для системы, и проектирование усилителей в этом слу-
чае требует большего внимания, чем это может быть оправ-
дано в обычных технических применениях.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — вещественная составляющая величины 9.
♦ А, В, Сц.. — узлы.
Ат — максимально возможная обратная связь.
At—потери в цепи.
Ао — усиление системы по петле обратной связи в рабочей
полосе частот.
В — мнимая составляющая величины 9.
*В — число ветвей в цепи.
С — общее обозначение емкости.
D — общее обозначение для обратной емкости.
*Dfp Dfo — обратные емкости цепи.
Dy—взаимная обратная емкость, /
Dy—собственная обратная емкость, i~j.
Е—	общее обозначение напряжения.
Е& &&••• — напряжение в узлах.
E#— выходное напряжение.
Ei —напряжение, вводимое в контур f, i= 1, 2,..., п.
Е; —напряжение в узле f, /=1,2, ..., п.
Ео —входное напряжение.
*	Et — выходное напряжение лампы.
*	2?! — возвратное напряжение.
—выходное напряжение р-цепи.
*	Е^— входное напряжение |х-цепи.
F—возвратная разность или коэфициент обратной связи.
F(k)— возвратная разность элемента W, когда
— возвратная разность элемента W для исходного значения k.
F(0) — возвратная разность W при коротком замыкании данной
пары зажимов схемы.
F(co) — возвратная разность W при разомкнутой данной паре зажи-
мов схемы.
*F—диссипативная функция.
*F(a) или Fa—значение диссипативной функции, полученное при замене
мгновенных значений физических токов вещественными
составляющими комплексных амплитуд тока.
*F(b) или Fb — значение диссипативной функции, полученное при замене
мгновенных значений физических токов мнимыми состав-
ляющими комплексных амплитуд тока.
* Звездочки соответствуют второстепенным обозначениям или же
обозначениям, используемым только в одном из разделов книги.
Обозначения
9
*Fcp—среднее значение диссипативной функции по времени.
G — общее обозначение активной составляющей проводимости.
Gm — крутизна, равная
Оц—активная составляющая взаимной проводимости.
I—общее обозначение тока.
/^—выходной ток или ток в нагрузке.
*ZO, Io...—мгновенное значение токов в ветвях.
Ц — ток в 1-ом контуре, где i — 1, 2,..., п.
// — ток, подводимый к узлу Z, где 1=1,2,..., п.
Ij— стационарное значение контурного тока в контуре /; коэфи-
циент при е1Ы.
*Ija—вещественная составляющая величины /у.
*/yft — мнимая составляющая величины Ij.
—	входной ток.
—	анодный ток.
—входной ток £-цепи.
— выходной ток ц-цепи.
L — общее обозначение индуктивности.
*Lai L&- • • — индуктивности ветвей.
Ly—взаимная индуктивность,
Lif — самоиндукция, i — j.
*	N — число узлов в цепи.
*	N — число нулей в области, ограниченной контуром.
*	Р— число полюсов в области, ограниченной контуром.
Q — отношение реактивного к активному сопротивлению.
R— общее обозначение для активного сопротивления.
РТ—активное сопротивление передачи; вещественная соста-
вляющая величины Zp
*Ra, Rb> R&- • • — активное сопротивление ветвей.
Rp и Rg—активное сопротивление анодной и сеточной цепи.
Rij — взаимное активное сопротивление, i^£j.
Rij — собственное активное сопротивление, i~j.
Ro — характеристическое сопротивление цепей типа постоян-
ного R.
Ro — внутреннее сопротивление лампы.
*Ro — сопротивление внешней цепи (нагрузки).
Ri и R2 — сопротивления внешней цепи.
5 — чувствительность.
5' — относительная чувствительность.
*Sm — крутизна лампы.
Т—возвратное отношение.
*7—значение функции запасенной магнитной энергии.
*Т(а) или Та — значение функции запасенной магнитной энергии, получен-
ное путем замены мгновенных значений физических токов ве-
щественными составляющими комплексных амплитуд токов.
10
Обозначения
*Т(Ь) или Tb— значение функции запасенной магнитной энергии, полу-
ченное путем замены мгновенных значений физических
токов мнимыми составляющими комплексных амплитуд
токов.
♦Тср—среднее значение по времени функции запасенной магнит-
ной энергии.
—функция запасенной электрической энергии.
*К(а) или Va — значение функции запасенной электрической энергии, полу-
ченное путем замены мгновенных значений физических
токов вещественными значениями комплексных амплитуд
токов.
*V(b) или Vb — значение функции запасенной электрической энергии,
полученное путем замены мгновенных значений физиче-
ских токов мнимыми значениями комплексных амплитуд
токов.
♦Уср— среднее значение по времени функции запасенной элек-
трической энергии.
W — общее обозначение иммитанса; обозначение выбран-
ного одностороннего или двухстороннего элемента схемы.
— выходной иммитанс.
WT—иммитанс передачи.
U70 — исходные значения элемента W.
W' — величина разности W — Р70.
X—общее обозначение реактивного сопротивления.
У—общее обозначение проводимости.
Ут — проводимость передачи.
У/ъ — взаимная проводимость, J ^6 k.
У/к — собственная проводимость, J = Л.
Z— общее обозначение сопротивления.
Zj — характеристическое сопротивление.
ZT—сопротивление передачи.
— сопротивление сеточной цепи.
*Zn—произвольное сопротивление, дополнительно включенное
в /г-ый контур.
Zx и Zy — сопротивления ветвей схем скрещенного типа.
Zjk — взаимное сопротивление, у ^6 Л.
Zyfe — собственное сопротивление, j = k.
ZQ — сопротивление схемы, когда один из ее элементов обра-
щается в нуль.
*а, Ь, с,...— ветви.
at — нули функции Zp Z=l, 2, ..., п.
bi — полюсы функции Zp i= 1, 2, ..., п.
*е — напряжение ZgI на сетке.
е, еп — мгновенные значения напряжения на элементе.
f—частота в герцах.
Обозначения
11
fa^fb — частоты, ограничивающие горизонтальную ступеньку ха-
рактеристики.
fc и fd — частоты, ограничивающие горизонтальную ступеньку для
предельного усиления и предельного увеличения фазового
сдвига.
/о — граничная частота рабочей полосы.
fp — частота, при которой дополнительная фаза петли обрат-
ной связи равна 2nfa радиан.
*/г— частота, при которой активное и реактивное сопротивле-
ния емкостно-реостатной схемы равны между собой.
ft — частота коэфициента качества.
in — мгновенные значения тока.
k — тип фильтра.
k — произвольное исходное значение IF.
и kf—коэфициенты пассивной передачи.
*k* и ks' — коэфициенты передачи входной и выходной цепи, изме-
ренных между р.-цепью и (3-цепью.
*k3 и — коэфициенты передачи соответственно между (3-цепью
и входными и выходными внешними цепями.
т — параметр фильтров.
п — крутизна асимптоты, за единицу измерения которой при-
нята крутизна в 6 дб на октаву.
р и 1/р — соответственно дифференциальный и интегральный опера-
торы.
р — 2nif.
*рп и рп' — соответственно нули и полюсы иммитанса.
g, qn — заряд конденсатора.
t — время.
х — запас по усилению в дб.
у — запас по фазовому сдвигу, выраженный в долях гс радиан.
*а — коэфициент передачи вспомогательной цепи обратной
связи.
Р — коэфициент передачи обратного канала или канала обратной
связи, или же сам канал обратной связи.
*Ть Та» 7з,	— коэфициент передачи ламповой схемы при выключенной
лампе.
Q — общее обозначение комплексной величины, характеризую-
щей передачу, т. е. затухание (или усиление) и фазовый
сдвиг. В широком толковании — обозначение общей комп-
лексной функции цепи (=A-\-iB).
Q —постоянная затухания и фазовая постоянная; характери-
стическая постоянная передачи.
*9 — фазовый угол входного сопротивления.
0F—парциальное усиление, W=0.
6/ — парциальное усиление, W = IF0.
— усиление между точками А и В.
12
Обозначения
О0 — усиление прямого канала.
*Х — отношение числа каскадов к оптимальному числу каскадов
в усилителе с обратной связью.
р. — коэфициент усиления лампы.
р. — постоянная передачи прямого канала или сам прямой
канал.
р — коэфициент несогласованности.
Ф — величина arcsin <о/<оо.
<?'— величина arcsin <о0/а>.
ш — угловая скорость, 2гс/.
*Г/у — обратная индуктивность.
Д — определитель контурных уравнений.
Д*— значение Д при W—k.
Д°—значение Д при W = 0.
Д' — значение Д при или U70.
*	Д' — определитель узловых уравнений.
Д/У, Д/д/ и т. д. — алгебраическое дополнение Д.
*	Ф — аналитическая функция A-^-iB, представляющая некоторую
характеристику цепи.
*	Ф0 — значение Ф в случае пренебрежения потерями.
—	интеграл в комплексной плоскости по контуру С.
с
—	интеграл в комплексной плоскости по окружности,
о
(j*—интеграл по полуокружности в правой полуплоскости
с центром в начале координат.
(j) — интеграл по замкнутому контуру, состоящему из указанной
выше полуокружности и части мнимой оси (с обходом,
в случае необходимости, особых точек на мнимой оси).
ГЛABA I
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ, СОСТАВЛЕННЫЕ МЕТОДОМ
КОНТУРНЫХ ТОКОВ И УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
1.	Введение
Предметом рассмотрения настоящей книги являются цепи,
состоящие из сосредоточенных индуктивностей, сопротивлений
и емкостей, а также из электронных ламп. В качестве внеш-
них зажимов ламп выбраны сетка, анод и катод. Такие вспо-
могательные электроды лампы, как противодинатронная или
экранная сетки, не будут приниматься во внимание, так как
при анализе мы будем предполагать, что для токов частоты
сигнала они накоротко замкнуты с катодом.
Для удобства рассмотрения лампы будут заменяться экви-
валентными схемами, состоящими из обычных элементов кон-
тура, включенных между внешними зажимами, а также из
источника тока или напряжения, характеризующего усилитель-
ные свойства лампы. При этом йе будет учитываться влияние
таких факторов, как время пролета электронов и распреде-
ленная индуктивность вводов лампы, которые в реальных лам-
пах могут иметь значение лишь при достаточно высоких часто-
тах. Во всех случаях будет предполагаться, что все элементы
цепи линейны.
Основное назначение настоящей главы — краткое изложе-
ние обычной теории цепей, содержащих электронные лампы,
в таком виде, который позволит использовать эту теорию
в качестве фундамента для последующих глав.
2.	Уравнения для ветвей пассивной цепи
Удобнее всего начать с цепи, не содержащей активных
элементов. Цепь подобного рода может быть рассмотрена как
совокупность отдельных ветвей, состоящих из любой комби-
нации последовательно включенных элементов /?, С и L, при-
чем отдельные ветви образуют между собой различного рода
соединения и узлы. Пример подобной цепи показан на фиг. 1.
Цепь содержит шесть ветвей, обозначенных через	и
четыре узла, соответствующих точкам А,..., D. Питающие цепь
генераторы включены в трех ветвях. С целью упрощения
последующих уравнений конденсаторы определены через
14
Глава I. Уравнения для активных цепей
обратную емкость D = ^. Каждая ветвь показана содержа-
щей все три типа элементов; однако, разумеется, в реаль*
ной цепи многие из элементов могут отсутствовать.
Основные выражения, служащие для анализа подобной цепи,
могут быть составлены путем приравнивания суммы мгновенных
Фиг. 1.
значений падений напряжения в каждой ветви цепи и напря-
жения, приложенного к этой ветви. Если, например, /а пред-
ставляет собой мгновенное значение тока в первой ветви
фиг. 1, то напряжения на отдельных элементах этой ветви
будут RaIa, pLaIa и (1/р) DaIa, где р и 1/р. обозначают соот-
ветственно дифференцирование и интегрирование по времени.
Сумма падений напряжения на этих трех элементах должна
быть равна э. д. с. генератора Еа плюс разность между по-
тенциалами в узлах А и D, на которых заканчивается ветвь.
Если мы обозначим через Еа и Ed напряжения в узлах, то
получим
(pZa + /?a+jDo) Ia = EA + ED-EA .	(1.1)
Для каждой ветви цепи будет иметь место одно уравнение,
подобное (1.1); следовательно, если В представляет число ветвей,
то получится В уравнений. Помимо этого, однако, получаются
еще дополнительные уравнения. Эти уравнения могут быть
составлены на основании того, что поскольку ни в одном из
узлов не может накапливаться какой-либо электрический заряд,
Уравнения для ветвей пассивной цепи
15
то сумма мгновенных значений токов, вытекающих из каждого
узла, должна быть равна сумме мгновенных значений токов,
втекающих в него. Например, для узла А (фиг. 1) это приво-
дит к условию = Ц- Для каждого узла получится по
одному дополнительному уравнению. Однако из этих уравне-
ний одно является излишним, так как если закон постоянства
заряда удовлетворяется во всех узлах, кроме одного, то он
автоматически удовлетворяется также и в этом последнем
узле1). Если число узлов будет N, то получится N—1 незави-
симых уравнений для токов. Первоначальные уравнения вет-
вей включали, кроме токов ветвей, еще N потенциалов в узлах.
Однако один из этих потенциалов может быть выбран произ-
вольно, так как уравнения ветвей содержат только разности
потенциалов. Таким образом, имеется всего B-}-N — 1 неиз-
вестных, которые подлежат определению. Число уравнений
токов, равное N — 1, вместе с первоначальными В уравнениями
ветвей, как раз достаточно, чтобы получить решение.
Наличие N— 1 условий, составленных для узлов, дает нам
возможность выразить W—1 токов ветвей через остальные,
так что соответствующее число уравнений, подобных уравне-
нию (1.1), для напряжения ветвей может быть исключено. Это
уменьшение числа уравнений станет особенно очевидным, если
мы будем придерживаться обычной трактовки, согласно которой
подлежащие рассмотрению токи ветвей рассматриваются как
протекающие через полностью замкнутые контуры в цепи.
Рассматривая замкнутые контуры, мы получим два преиму-
щества. Во-первых, наличие замкнутых контуров, очевидно,
ведет к автоматическому удовлетворению условия сохранения
заряда для каждого узла, так как в каждом из контуров ток,
вытекающий из какого-нибудь узла, равен току, втекающему
в него. Во-вторых, при этом исключаются разности потенци-
алов в узлах, которые имели место в первоначальных уравне-
ниях ветвей, так как сумма всех этих разностей потенциалов
в замкнутом контуре должна быть равна нулю. Мы можем
также заметить, что поскольку первоначально имелось В токов
ветвей и АЛ—1 из них были затем исключены, то число оста-
ющихся токов или контуров определится следующей теоремой:
Теорема. В любой кондуктивно связанной цепи число
независимых замкнутых контуров будет на единицу больше,
чем разность между числом ветвей и числом узлов.
9 С целью упрощения настоящего анализа мы пе учитываем связей за
счет взаимоиндукции. Если цепь состоит из некоторого числа отдельных
элементов, связанных между собой только с помощью взаимоиндукции, то
очевидно, что для каждого отдельного элемента цепи будет иметь место
одно лишнее условие подобного рода.
16
Глава I. Уравнения для активных цепей
Фиг. 2
Уменьшение числа неизвестных при переходе от токов
ветвей к контурным токам можно иллюстрировать на примере
фиг. 2. На этой фигуре выбор контурных токов выполнен для
цепи, соответствующей фиг. 1. Независимые токи ветвей,
с помощью которых выражены остальные токи, протекают
через ветви a, d и /, причем каждая из этих ветвей включена
только в один контур. Имеются три контура, так как цепь
содержит шесть ветвей и четыре узла.
Очевидно, контуры вообще могут быть выбраны различным
образом. Так, на фиг. 2 в качестве независимых токов вет-
вей могут быть выбраны токи, про-
текающие, например, через a, d и е или
через а, b и с. Подобная свобода вы-
бора контуров полезна, так как она
позволяет выделять отдельные кон-
туры ветви, которые почему-либо пред-
ставляют особый интерес, такие, на-
пример, как ветви, содержащие сопро-
тивление генератора или нагрузки. В
заданной физической цепи подобный
выбор не может быть сделан совер-
шенно свободно. Например, на фиг. 1
и 2 невозможно предназначить ветви а, b и d для от-
дельных контуров, потому что токи соответствующих вет-
вей связаны между собой условием в узле Л и не являются
независимыми переменными. Однако при проведении после-
дующего анализа будет предполагаться, что на выбор конту-
ров не было наложено никаких ограничений, так как путем
добавления идеального трансформатора или каких-либо дру-
гих элементов, не меняющих физической сущности явле-
ний, всегда может быть получена соответствующая система
контуров.
3.	Уравнения контурных токов для пассивной цепи1)
Очевидно, что каждое контурное уравнение может быть
получено путем сложения всех напряжений тех ветвей, кото-
рые составляют замкнутый контур с одновременным исклю-
чением излишних токов ветвей, исходя из условий для узло-
вых токов. Так как это вводит в первоначальные уравнения
ветвей только линейные комбинации коэфициентов, то резуль-
тирующая система уравнений в общей форме должна иметь вид:
*) Метод контурных токов более подробно рассмотрен в книге Круга
Основы электротехники, М. — Л., 1946. (Прим, ред.)
Уравнения контурных токов для пассивной цепи	17
Znii 4"-^иЛ+ • • • 4~^1лЛ=^1>
£иЛ+-£м/44- ’• • • ~Ь-^8лЛ = ^,
.............................  •	}	(1-2)
Д11Л + Zn*J<l 4~ • • • Г^лпЛ — Еп, J
где Z, в левой части, равно
а р представляет собой d/dt.
Чтобы отличить контурные токи от токов ветвей, они обозна-
чены числовыми индексами. Коэфициенты Zn и Z2? мы будем
называть собственными полными, сопротивлениями соответ-
ствующих контуров, а коэфициенты Zn; Z18, Z23 и т. д. —
взаимными сопротивлениями или сопротивлениями связи
между контурами.
Контурные уравнения, в сущности говоря, представляют
собой уравнения состояния равновесия для напряжения. Дру-
гими словами, они характеризуют то обстоятельство, что сумма
всех напряжений, подводимых к замкнутому контуру, должна
быть равна сумме падений напряжения в этом контуре. Это
дает возможность легко оценить в уравнениях величины Е
и Z. Предположим, например, что в первом контурном урав-
нении мы положили /4=/а = . . . =/п = 0; это можно сде-
лать, не нарушая первого контура, путем введения достаточно
больших сопротивлений в каждый из остальных контуров.
Тогда первое контурное уравнение приводится к виду
(1Д)
Так как никаких других токов в схеме не протекает, то
левая часть этого выражения, очевидно, представляет собою
падение напряжения за счет тока /ь проходящего через все эле-
менты в первом контуре. Таким образом, коэфициенты £п,
и Dn представляют соответственно сумму индуктивностей, со-
противлений и обратных емкостей в первом контуре. Соответ-
ственно в правой части представляет сумму напряжений,
развиваемых генераторами в этом контуре. Теперь если мы
примем во внимание также ток /2, то в первом контуре по-
явится добавочное падение напряжения Z12/2. Оно должно,
очевидно, возникать благодаря протеканию тока /2 через эле-
менты, которые входят как в первый, так и во второй кон-
туры. Подобным же образом Zia представляет элементы, кото-
рые являются общими для первого и третьего контура, и т. д.
' Коэфициенты в уравнениях для других контуров могут
2 Зак. 1327
•*4 Глава I. Уравнения для активных цепей
бы ть определены аналогичным путем. В чисто пассивных цепях,
кото рые теперь рассматриваются, коэфициенты, представляю-
щие . элементы связи между двумя контурами, должны быть
одинаковыми в каждом из контурных уравнений. Другими
словами, Ztj в Z-ом уравнении должно быть таким же, как Zjt
в у-ом уравнении, потому что любая из этих величин просто
характеризует элементы, которые являются общими для этих
двух контуров.
Определение коэфициентов можно проиллюстрировать на
примере фиг. 1 и 2. Полное сопротивление Zu в первом кон-
туре равно сумме сопротивлений в этом контуре. Таким обра-
зом, мы имеем Ln = La-\-Lb-\-Lc, Ru~ Ra + Rb + Rc и
Du = Da -j- Db 4~ Dc.
Подобным же образом напряжение Et равно полному напря-
жению Еа -J- Еь Ес всех генераторов в этом контуре. Полные
сопротивления Z12 и Z13 соответствуют элементам первого
контура, которые одновременно входят соответственно во вто-
рой и в третий контуры. Однако, как показано на фиг. 1,
положительное напряжение тока первого контура в каждой
из общих ветвей противоположно направлению токов второго
и третьего контуров. Элементы связи должны быть, следова-
тельно, взяты с отрицательным знаком, чтобы отметить, что
падения напряжения на них за счет токов второго и третьего
контуров противоположны напряжению,создаваемомутоком пер-
вого контура. Таким образом, мы имеем £13 =— Lb, Ru =— Rt>
и т. д. Выражения, которые появляются в других контурных
уравнениях, могут быть определены аналогичным образом,
4.	Уравнения контурных токов для активной цепи
Чтобы ‘обобщить уравнение (1.2) на случай цепи, содержа-
щей электронные лампы, мы можем предположить, что только
одна из величин Е в правой части этого уравнения в действи-
тельности является подводимым напряжением и что осталь-
ные Е представляют собою эквивалентные генераторы, ото-
бражающие усиление ламп. Предположим, например, что
в одной из ламп ток у-го контура протекает от сетки к катоду,
а ток Л-го контура — от катода к аноду, как это показано на
фиг. 3. Тогда, в соответствии с обычными представлениями,
усиление лампы может быть отображено введением эквива-
лентного генератора — ре, включенного последовательно с вну-
тренним сопротивлением /?0. Здесь е представляет собой напря-
жение на сетке (фиг. 4). Пассивные сопротивления лампы
могут быть представлены как часть общей пассивной цепи и
не влияют на характер анализа. Так как на фиг. 4 e — ZeI^
то напряжение эквивалентного генератора может быть запи-
Уравнения контурных токов для активной цеци 19
сано как— pZgIj. Поэтому £-ое уравнение (1.2) можно при-
вести к виду
• • • ~\~^kJn— V-Zglj
или
. +(Zkj + *Zg)I}+ . . . +ZknIn=0, (1.4)
где Zkj представляет пассивные элементы связи между двумя
контурами.
Фиг. 3	Фиг. 4
Уравнение, очевидно, примет тот же вид, что и -первона-
чальное &-ое уравнение, если мы заменим Zk] некоторой дру-
гой величиной (Zk}-\-pZ^). Это —известный результат, заключаю-
щийся в том, что усиление, даваемое лампами, можно учесть
путем изменения величины элементов, входящих в контурные
уравнения. Поскольку общий вид уравнений сохраняется, то раз-
личие между активными и пассивными системами сказывается
лишь в том, что мы, вообще говоря, не можем больше счи-
тать, что принцип взаимности имеет место. Другими словами,
мы не можем дальше предполагать, что Zij = Zji. Величина yZg
будет названа взаимным сопротивлением или сопротивлением
передачи лампы по аналогии с проводимостью передачи, ис-
пользуемой в последующем изложении.
Чтобы предотвратить в дальнейшем путаницу со знаками,
важно заметить здесь условие, принятое на фиг. 3 для поло-
жительного направления сеточного и анодного токов. Направле-
ние было выбрано так, чтобы сопротивления передачи в левых
частях контурных уравнений были положительными, когда р
положительно, как и должно быть в обычных лампах. При
таком выборе напряжение эквивалентного генератора имеет
отрицательный знак, так что каждая лампа в усилительном
тракте поворачивает фазу на 180° в дополнение к любым
фазовым изменениям, которые могут возникнуть за счет чисто
пассивных элементов цепи. Аналогичные замечания могут быть
применены также и к приводимому ниже анализу, основан-
ному на методе узловых потенциалов.
В качестве примера, иллюстрирующего процессы, описы-
ваемые уравнением (1.4), мы можем рассмотреть контурные
20
Глава I. Уравнения для активных цепей
уравнения для цепи, представленной на фиг. 5. Вся система
представляет собой один каскад усилителя, имеющего связь
между анодом и сеткой. Сопротивление связи обозначено
через Z4, а сопротивления в сеточной и анодной цепи — соот-
ветственно через Zx и Z5. Внутриламповая емкость сетка-катод
обозначена через Z2, a Z3 представляет внутреннее сопротив-
ление лампы. Цепь имеет три кон-
тура. Они выбраны с таким
расчетом, чтобы сопротивление
нагрузки генератора, сеточное
сопротивление и внутреннее со-
противление входили только в
один из контуров каждое, как это
показано на фиг. 5. Если мы пока
предположим, что лампа не дает
усиления, то контурные уравне-
ния легко можно составить в виде
(Z, + z4 4- Z,) д - (Z4 + Z,) Z2 + ZtIt = Е,
- (Z4+ Z,) л + (A + Z4 + Z,) Z2 - Z8Z3 = 0,
Z,Z1-ZllZ2 + (Z3 + Z8)Z2 = 0.
(1.5)
Когда направление токов выбрано в соответствии с фиг. 5, то
напряжение на сетке равно -|~Z2Z2. Поэтому эквивалентный
генератор в анодной цепи будет —yZ2Z2. Это напряжение
появляется в третьем контурном уравнении как напряжение
возбуждения.
Перенося этот член в левую часть уравнения, получим
г.ц + (Rz, - z,) z2+(z,+z,) zs=о,	(i .6)
в то время как другие контурные уравнения остаются неиз-
менными.
5.	Стационарные решения контурных уравнений
Контурные уравнения в том виде, в каком они были даны,
всегда представляют собой дифференциальные уравнения цепи.
Например, в уравнениях (1.2) величины Е и 1 являются мгно-
венными значениями напряжений и токов, а р соответствует
операции дифференцирования по времени. Следовательно, чтобы
найти реакцию цепи в случае, когда одна из величин Е пред-,
ставляет собой напряжение, изменяющееся синусоидально в®
времени, мы, строго говоря, должны подставить sin mt или cosmZ
вместо соответствующей величины Е и попытаться найти выра-
жения для токов в виде суммы синусоидальных и косинусо-
идальных членов в форме, удовлетворяющей системе диффе-
ренциальных уравнений. Эту процедуру можно значительно-
Входное сопротивление и сопротивление передачи 21
упростить, пользуясь обычными приемами, если вместо сину-
соиды воспользоваться экспонентой е'шП). Тогда токи и напря-
жения системы запишутся в виде I}eiu>t и Eje,u>t, где / и Е
будут представлять собой константы вместо величин, изменя-
ющихся во времени, как это было в (1.2).
Преимущества подобной замены вытекают из того факта,
что дифференцирование и интегрирование eiwt по времени при-
водят просто к умножению или делению экспоненты е"°* на Z®.
Таким образом, когда первоначальные токи в урав-
нениях (1.2) заменяются токами Ie'wi, то любые величины вида
ре'ш‘ или (l/p)eiwt просто превращаются в i<x>eiu>t и (1/Za>)e'w, после
того как доведено до конца дифференцирование или интег-
рирование, соответствующие символам р и 1/р. Коэфициенты
e‘wt, характеризующие процесс изменения по времени, остаются
©дними и теми же в выражениях для тока и напряжения и
могут быть исключены из окончательных уравнений.
6.	Входное сопротивление и сопротивление передачи
Из только что приведенных соображений следует, что
дифференциальные уравнения (1.2) можно также рассматривать
как математическое выражение для стационарного процесса,
вызванного в системе синусоидальными напряжениями частоты
®/2те в предположении, что р заменено на и что Е и /
являются постоянными коэфициентами в общих выражениях
тока и напряжения Ietwt и Eeiwt. При таком рассмотрении
вопроса определение любого, отдельно взятого тока, возни-
кающего при действии одного из напряжений, соответствует
решению системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. Например, ток в первом контуре вызванный напря-
жением Eieiwt, действующим также в первом контуре, опре-
деляется как
(1.7)
где Д — определитель коэфициентов левой части системы (1.2),
а Дп — минор, полученный путем исключения первой строки
и первого столбца.
Входное сопротивление первого контура Z представляет
собой, по определению, отношение напряжения к току в урав-
нении (1.7). Другими словами, оно равно
	Z=?=E'	<t8)
9 Обсуждение физической сущности такой замены дано в следующей
главе.
22 Глава I. Уравнения для активных цепей
Подобным же образом можно решить уравнения, чтобы
определить ток в любом другом контуре, вызванный тем же
самым напряжением. Например, ток во втором контуре будет
(1.9)
где Д14 представляет собой минор определителя для коэфици-
ентов левой части системы (1.2), полученный путем вычерки-
вания первой строки и второго столбца1).
Отношение напряжения Et к току 74 будем называть сопро-
тивлением передачи, Zr, от первого контура ко второму. Оно
определяется равенством
7.	Z и ZT как функции одного параметра
В последующих рассуждениях нам часто придется изучать
зависимость входного сопротивления и сопротивления передачи
от одного из параметров цепи. Предположим, например, что
нас интересует изменение величины Z, в зависимости от двух-
стороннего сопротивления z в у-ом контуре2).
Эту зависимость можно изучить, установив, каким путем
величина z вводится в определители Д и Ди соотношения (1.8).
Вообще говоря, любой определитель можно рассматривать
как сумму всех возможных произведений, образованных пере-
множением элементов определителя, причем каждое произве-
дение включает один элемент из каждой строки и один эле-
мент из каждого столбца определителя, при условии, что эти
произведения берутся с соответствующим знаком. Так как z
входит в у-ую строку и у-ый столбец Д, то, следовательно,
оно должно быть умножено на все возможные произведения
элементов, взятых из каждой строки и столбца Д, исключая
те, которые имеют значок у. Очевидно, эти произведения об-
разуют минор Д^ первоначального определителя.
Аналогичным образом, при составлении Дп выражение, с кото-
рым перемножается z, должно быть минором Дщу, полученным
*) Здесь Дп, Дц и т. д. представляют собой алгебраические дополнения.
Другими словами, указанные обозначения относятся к определителям, най-
денным так, как это было указано в тексте, и умноженным на 4-1 или—1,
в соответствии с общими правилами теории определителей. В частности, Дп
имеет отрицательный знак. Однако последнее обстоятельство можно не учи-
тывать при анализе.
*) Другими словами, здесь предполагается, что г.входит в J-ый и только
в Z-ый контур, и таким образом относится лишь к составляющим z,-j равен-
ства (1.2).
Уравнения узловых напряжений для пассивной цепи 23
путем вычеркивания как первого, так и у'-го столбца и /-ой
строки. Если через Д° и Д/, обозначить соответственнЪ А и
Дн, при z = 0, то получим
д‘ + ^7
(1.11)
Так как, очевидно, Ду7 и ДИу; не зависят от г, то они могут
быть записаны либо как Д°/7. либо как Дип/;, В последующем
анализе в некоторых случаях будут употребляться подобные
обозначения, чтобы облегчить дальнейшие преобразования.
Соотношение между Zt и z можно найти таким же путем:
Д’ + гД»
(1-12)
Если z вместо двухстороннего элемента представляет собой
элемент односторонней связи, то рассуждения по существу
остаются теми же.
Таким образом, если мы предположим, что z является
частью Zu первоначального определителя, то легко найдем
„	Д|) + *ДУ
Zr	ДЬ + гАн,, •
(1-13).
(1.14)
8.	Уравнения узловых напряжений для пассивной цепи
При составлении уравнений контурных токов источники внеш-
него возбуждения рассматриваются как напряжения. Зависи-
мые переменные, определители которых составляют решение
системы, представляют собой токи в различных замкнутых
цепях или контурах. Для каждого контура имеется одно урав-
нение, и каждое из этих уравнений отображает тот факт,
что для всех контуров необходимо наличие равновесия по
напряжению.
Как и следовало ожидать, оказывается также возможным
составить систему уравнений, в которой, напротив, внешние
силы представлены в виде токов, а реакция системы про-
является в качестве напряжений. В этом случае узлы заменяют
собою замкнутые контуры, использованные в анализе уравне-
ний методом контурных токов.
На фиг. 6 показана схема, на примере которой можно
рассмотреть применение такого метода анализа. Внешние силы
представлены токами/ь . . ., 1п, подведенными к узлам 1,. . .,п
от каких-нибудь внешних источников. Реакция системы про-
является в виде напряжений Et,. . .,Епд,ля отдельных узлов.
21
Глава I. Уравнения для активных цепей
Предполагается, что каждое напряжение измеряется относи-
тельно какого-то одного и того же узла, который предпола-
гается заземленным.
Фундаментальными уравнениями в системе узловых на-
пряжений являются выражения равновесия тока. Эти уравне-
ния показывают, что подводимый ток, втекающий извне в любой
узел цепи, должен быть ра-
вен полному току, вытекаю-
щему из этого узла, точно
так же, как уравнения кон-
турных токов отображали
условия равновесия между
подводимым напряжением и
падениями напряжения в лю-
бом из контуров.
На фиг. 6, например, ток,
втекающий в первый узел
извне, обозначен через /,.
Ток, вытекающий из этого
узла к заземленной точке, будет равен KjEj. Ток, вытекающий
ив первого узла ко второму узлу, будет У12 (Et — Е2) и т. д.
Следовательно, полное уравнение имеет вид
Y1Ei + Y„(El-Et)+. . . + Yln(E1-En) = I1. (1.15)
Оно, очевидно, может быть записано как
где
YuEt - Y„E* - YitEt - ... - YinEn = Л , (1.16)
К11=К1+У„+Г1,+ . . . + Г1Я. (1.17)
В уравнении (1.17) Ytl представляет полную проводимость
между первым узлом и всеми другими узлами, когда послед-
ние закорочены между собой. Эту проводимость мы будем
называть собственной проводимостью узла; очевидно, она ана-
логична собственному полному сопротивлению контура, кото-
рое может быть определено как сопротивление контура в слу-
чае, когда все другие контуры разомкнуты.
Подобным же образом члены У у представляют взаимные
проводимости, соответствующие взаимным сопротивлениям,
появляющимся в системе уравнений контурных токов.
Так как уравнение, аналогичное (1.16), может быть напи-
сано для каждого узла, то полная система уравнений будет
—• • • — YinEn=Iit
^21^1 УъчРч . . . — YinEn — /8,
(1.18)
Уп1^1	• • • + Упп^-п—Ai •
Уравнения узловых напряжений для пассивной цепи 25
Нет необходимости писать отдельное уравнение для по-
следнего или заземленйого узла. Условие непрерывности в нем
тока будет автоматически удовлетворяться, если оно удовле-
творяется во всех других узлах, так как полное количество
тока, которое должно оставить цепь, будет в точности равно
количеству тока, вошедшему в нее. Таким образом, мы имеем
следующую теорему:
Теорема. В любой кондуктивно связанной цепи число*
независимых узловых уравнений на одно меньше, чем пол-
ное число узлов.
С первого взгляда может показаться, что случаи, в кото-
рых мы можем рассматривать источники энергии как генера-
торы постоянного тока или, другими словами, как генераторы
с бесконечными внутренними
довольно редки. Однако при
анализе уравнений методом
контурных токов мы точно
так же редко имеем дело
с генераторами, обладающи-
ми нулевым внутренним со-
противлением, и обычно, что-
бы принять такие допуще-
ния, приходится относить
внутреннее сопротивление
генератора к сопротивлению
контура, в который включен генератор,
мне вопроса достигает этого этапа, оба
совершенно равноценными.
Чтобы показать это обстоятельство,
сопротивлениями, должны быть
Фиг. 7
Генератор
с бесконечно
большим
сопротивлением
Zo
Фиг.
8
Когда
метода
рассмотре-
становятся
предположим, что*
реальный источник энергии представляет собой генератор
с э. д. с. Е и внутренним сопротивлением Zo, присоединенный:
между клеммами i и j, как это изображено на фиг. 7.
Легко видеть, что при любых соединениях между i и j эта
цепь должна быть эквивалентна цепи, показанной на фиг. 8.
Другими словами, источник, показанный на фиг. 7, может быть
отображен в анализе узловых проводимостей с помощью вы-
бора возбуждающих токов Ц и 1}, которые полагаются рав-
ными соответственно F/Zo и — E/Z^ с добавлением между
клеммами i и J проводимости 1/ZO.
В настоящей книге мы чаще будем пользоваться генерато-
рами тока, чем генераторами напряжения, только для того>.
чтобы иметь возможность писать уравнения цепи в весьма
общей форме, данной соотношением (1.18).
Интересно заметить, что формальная симметрия между урав-
нениями, составленными методом контурных токов, и уравне-
26 Глава I. Уравнения для активных цепей
ниями, составленными методом узловых напряжений, может
быть также распространена и на отдельные члены соответ-
ствующих уравнений. Это следует из того факта, что зави-
симости между током и напряжением для сопротивления или
проводимости могут быть записаны как E = RI и I — GE, в то
время как соответствующие выражения для емкости или индук-
тивности будут E — LpI и 1 = СрЕ. Здесь р может представ-
лять либо /<•>, либо d/dt. Очевидно, что, пользуясь симметрией
этих выражений, мы можем систему уравнений узловых напря-
жений составить формально идентично соответствующей систе-
ме уравнений контурных токов, заменяя R на G и L на С там,
где встречаются эти величины.
Другими словами, общий член Zi}= pL^-y R^-R Dtjlp
в (1.2) заменяется на У1/=рСц-{- Сц-\-Ту1р в (1.18), гдеГ пред-
ставляет величину, обратную индуктивности, так же как D изо-
бражает величину, обратную емкости.
Две системы уравнений будут, очевидно, равны почленно,
если мы положим
Ьц = Сц, Rij=Gij и
Установление подобной общей возможности составляет
содержание так называемого принципа двойственности в тео-
рии цепей *).
Если уравнения для контурных токов одной какой-либо
цепи почленно соответствуют уравнениям для узловых напря-
жений какой-то другой цепи, то эти две цепи называются
обратными системами. Не всегда оказывается возможным полу-
чить систему, в точности обратную данной. Возникают, напри-
мер, трудности в случае цепей, имеющих связи посредством
взаимоиндукции, так как соответствующий вид емкостной связи
между катушками не существует. Обратимость может также
отсутствовать вследствие того, что обратная система уравне-
ний не соответствует никакой возможной комбинации вет-
вей, составленных из сопротивлений, однако в большинстве
таких случаев оказывается возможным получить цепь, ко-
торая будет вести себя как требуемая обратная система,
поскольку внешние соединения будут находиться в нуж-
ном соответствии, хотя внутреннее строение может и быть
отличным.
Детальное рассмотрение этих вопросов выходит за пределы
настоящей главы. К ним мы еще вернемся в главе X.
*) См. Guillem in, Communication Networks, том II, и Gardner and
Barnes, Transients in Linear Systems, том I, New York, 1942.
Уравнения узловых напряжений для активной цепи
27
9.	Уравнения узловых напряжений для активной цепи
Изменения, которые необходимо внести в уравнения, состав-
ленные методом узловых напряжений, для того чтобы рассматри-
вать цепи, включающие электронные лампы, по существу такие
же, как те, которые мы уже делали в методе контурных токов.
Предположим, например, что сетка, анод и катод данной лампы
представляют соответственно узлы j,k и т полной цепи. Тогда
напряжение между сеткой и катодом будет Ej — Ети,в соот-
ветствии с нашими предыдущими рассуждениями, эффект уси-
ления лампы может быть отображен введением в анодную цепь
эквивалентного генератора — v-(Ef — Ет). Однако из фиг. 7 и 8
следует, что этот эквивалентный генератор в свою очередь
может быть заменен двумя источниками тока, развивающими
силу тока — р. (Ej —	и р. (fy — £m)//?0, причем эти источ-
ники тока присоединены соответственно к аноду и к катоду.
Величина /?0 представляет собой внутреннее сопротивление
лампы, причем предполагается, что проводимость 1//?0 между
анодом и катодом является частью общей цепи.
С введением этих двух источников тока, k-oe и т-ое урав-
нения для узловых напряжений приобретают вид
_ V Р V Р .. V Р ____________ Iх
1	1	’	* krr-'n - р	’
(1Л9>
VP V Р	V Р ___
1	1 тЪс'Ч. ’**	* тпРп—	♦
Члены, стоящие в правой части, могут быть перенесены
в левую и представлены как часть выражения взаимной про-
водимости, имеющегося в левой части.
В большинстве случаев wz-ый или катодный узел будет за-
землен.
Предположим, как это было сделано для случая, изобра-
женного на фиг. 3, что сеточная и анодная цепи находятся
в отдельных контурах; тогда второе из уравнений (1.19) можно
будет отбросить.
В этом случае первое уравнение будет равно
-	-------(Пу-От)£у--------YknEn = 0, (1.20)
где Gm = представляет собой величину, обычно назы-
ваемую крутизной лампы.
Как и в анализе методом контурных токов, эффект добав-
ления электронных ламп не изменяет вида уравнений, но
нарушает лишь условие взаимности У,7 =
В качестве иллюстрации сказанного составим узловые
уравнения для цепи, приведенной на фиг. 9. Это точно такая
26
Глава I. Уравнения для активных цепей
же цепь, какая уже приводилась на фиг. 5, но перечерченная
в виде, удобном для анализа методом узловых напряжений.
Так как нижний или катодный узел может рассматриваться
как заземленный, то мы получаем два уравнения. Если перво-
начально предположить, что генератор тока — GmElt действую-
щий в анодной цепи, равен нулю, то уравнения легко нахо-
дятся в виде
(Л + У4+^)^1-^=
(1.21)
Введение анодного генератора соответствует добавлению-
величины — GmEi к правой части второго из приведенных
уравнений.
После того как этот член будет перенесен в левую часть,
уравнение примет вид
-(У4 - Gm) Е. + (У8 + Yt + У,) Et = 0,	(1.22)
иричем первое из уравнений остается неизменным.
Решения уравнений для узловых напряжений, определяю-
щие напряжения стационарного режима, соответствующие лю-
бой системе подводимых синусоидальных токов, очевидно, могут
быть получены таким же методом,
который применялся и для уравне-
ний контурных токов. Например,
входная проводимость Y между
первым узлом и землей будет опре-
деляться как отношение подводи-
мого тока, втекающего в этот узел,
к результирующему напряжению в
узле. Она, очевидно, будет равна
0-23>
где штрихи означают, что определители относятся к системе
уравнений (1.18).
Аналогичным образом проводимость передачи Yt между
нервым и вторым узлом будет определена как отношение
тока в первом узле к результирующему напряжению вто-
рого узла. Эта величина может быть записана в виде
YT
fs A/t
(1.24)
Ввиду очевидной аналогии между анализом цепи методом
контурных токов и методом узловых напряжений оба метода
Выбор между методами анализа
29
в большинстве последующих рассуждений будут применяться
на равных основаниях. Штрихи, которые применялись в урав-
нениях (1.23) и (1.24), чтобы отличить „узловые" определители
от определителей, полученных из уравнений контурных токов,
будут в большинстве случаев отсутствовать. Таким образом,
определитель Д будет обычно относиться к любой системе до
тех пор, пока не найдутся какие-нибудь особые причины для
того, чтобы осуществить различие между ними. Символ W,
которыйможет быть назван „иммитанс*1), также будет отно-
ситься к’ элементам любой системы.
10.	Выбор между анализом методом контурных токов
и анализом методом узловых напряжений
Приведенное рассмотрение подчеркивало тот факт, что в
общем теоретическом анализе могут применяться как уравне-
ния контурных токов, так и уравнения узловых напряжений.
Однако не следует считать, что выбор между двумя системами
не имеет значения, когда мы имеем дело с определенной
физической цепью.
В большинстве случаев анализ методом узловых напряже-
ний окажется значительно более удобным.
Преимущества анализа методом узловых напряжений вы-
текают из нескольких обстоятельств; наиболее очевидным,
конечно, является тот факт, что многие цепи содержат лампы
с экранирующей сеткой, имеющие очень большое внутреннее
сопротивление. Так как такие лампы очень близки к генера-
торам постоянной силы тока, то очевидно, что содержащие
их цепи более удобно анализировать методом узловых напря-
жений, чем методом контурных токов.
Другое преимущество узловых уравнений вытекает из тоге
обстоятельства, что эти уравнения могут находиться в более
непосредственном соответствии с физическим строением цепи,
чем это возможно при контурных уравнениях. Уравнения для
узловых напряжений могут быть написаны непосредственно,
в то время как применение анализа методом контурных токов
необходимо начать по крайней мере с выбора подходящей
системы замкнутых контуров. В сложной цепи это не является
таким простым делом как кажется с первого взгляда.
Различие становится особенно заметным в случае обратной
задачи, когда дана система уравнений и желательно опреде-
*) Таким образом, под „иммитансом* можно понимать либо сопротивление,
либо проводимость, в зависимости от того, какой системой уравнений мы
пользуемся. Понятие иммитанса, которое широко используется в настоящей
книге, введено Г. Боде. Русский термин, соответствующий английскому
.immittance*, отсутствует. (Прим, ред.)
Зв Глава I. Уравнения для активных цепей
лить соответствующую этой системе уравнений физическую
сложную цепь.
Очевидно, соответствующая цепь может быть легко состав-
лена, если мы применим уравнения для узловых напряжений.
С другой стороны, если мы начнем с уравнений для контур-
ных токов, то задача может стать достаточно трудной. В этом
случае теоретически оказывается возможным составить систему
уравнений для контурных токов, для которой никакой соот-
ветствующей конфигурации реальной цепи не существует.
Последнее обстоятельство, которое нужно отметить, заклю-
чается в том, что хотя как уравнения для контурных токов,
так и уравнения для узловых напряжений могут быть исполь-
зованы при анализе любой заданной цепи, все же нет осно-
ваний утверждать, что в обоих случаях требуется одинаковое
число уравнений.
Из предыдущего видно, что требуемое число уравнений
для системы контурных токов равно В—(N— 1), а для системы
узловых напряжений оно равно 2V— I1). Чтобы сравнить эти
выражения, предположим, что первоначально цепь была очень
проста и что она приобрела свой окончательный вид путем
постепенного добавления новых узлов. Очевидно, что каждый
новый узел, если он является действующей частью системы,
должен быть соединен с первоначальной цепью по крайней
мере двумя дополнительными ветвями. Следовательно, мы
можем полагать, что В будет по крайней мере в два раза
больше, чем N—1, так что вообще число уравнений в случае
контурных токов не будет меньше, чем число уравнений для
узловых напряжений, а может быть и больше, если цепь
сложная. Например, для анализа системы, показанной на
фиг. 5 и 9, необходимы три уравнения для контурных токов
и только два уравнения для узловых напряжений. Вообще
оказывается, что анализ методом узловых напряжений особенно
удобен при рассмотрении сложных высокочастотных цепей,
где мы должны учитывать большое число емкостей, включен-
ных на землю. Очевидно, что эти емкости на землю для любых
узлов не очень усложнят уравнения для узловых напряжений,
но они могут значительно увеличить число контуров в цепи.
*) Подобное заключение будет верным лишь „вообще говоря*, благодаря
возможности образования двух новых узлов путем добавления одной ветви.
Примером в этом отношении может служить лестничная схема, в которой
поперечные соединения создаются параллельными ветвями. Однако подоб-
ные случаи являются исключительными, н они обычно не имеют места в
применяемых на практике схемах.
ГЛАВА 11
ПЛОСКОСТЬ КОМПЛЕКСНОЙ ЧАСТОТЫ
1.	Введение
В практических инженерных задачах нас интересует дей-
ствие на электрическую цепь лишь токов и напряжений, час-
тота которых является вещественной величиной, т. е. токов
и напряжений в виде обычных синусоид. Однако в анализе
часто бывает необходимо рассматривать также действие на цепы
внешних сил с комплексными частотами.
В этой главе выясняется физическое значение термина
„комплексная частота" и рассматривается несколько элемен-
тарных способов, с помощью которых можно использовать
понятие комплексных частот при определении свойств цепей.
2.	Одиночный резонансный контур
Следует напомнить, что общие уравнения предыдущей
главы были вначале получены в дифференциальной форме..
Полученные же в результате интегрирования так называемые
стационарные решения для синусоидальных внешних сил
бцли найдены в предположении, что си-
нусоиду можно заменить экспонентой eimt. —<QQ00,_vwvv-l I—i
Смысл комплексной частоты можно по- l Е Я Д I
нять очень легко, если вернуться к '-------------GD—--'
этому последнему этапу. Достаточно рас-
смотреть это решение в случае одного Фиг. 10
резонансного контура, состоящего из
активного сопротивления, индуктивности и емкости, соеди-
ненных последовательно, как показано на фиг. 10.
Пусть приложенное синусоидальное напряжение дано в виде
.Eecos<o4 Если q представляет собой заряд конденсатора, так
что ток I—dq/dt, то дифференциальное уравнение контура
будет
L^+R^t + Dq^E'Cosrt.	(2.1)
Будем искать решение этого уравнения в виде
q — A cos 4>t + В sin	(2.2)
32
Глава II. Плоскость комплексной частоты.
ИЛИ
= — Да>5Ш<о/-|-В<осоз<оЛ	(2.3)
где А и В — постоянные, подлежащие определению.
Подставляя выражение (2.2) вместо q в уравнение (2.1),
получаем
—Д£о>2 cos mt—BLm1 sin mt—ARm sin <»/
4-	BRm cos mt4~ AD cos mt 4- BD sin mt — Eo cos mt.	(2.4)
Это уравнение должно удовлетворяться при любом значе-
нии t.
В частности, оно должно удовлетворяться для тех значе-
ний t, при которых sin mt равен нулю, так же, как и для зна-
чений t, при которых cos®£ равен нулю. Однако, когда сину-
соидальные члены равны нулю, из выражения (2.4) следует
—ALm1 4- BRm 4- AD = Eq,	(2.5)
а когда косинусоидальные члены равны нулю, мы получаем
—BLm'-—ARm-{-BD = Q.	(2.6)
Эти уравнения можно решить совместно относительна
А и В. При этом имеем
t__ Ф Lui1) Et
(/?«>)’+ (О —£<>=)’ ’	1 ’
Д _ _____(^?<В) Eq__ ZQ
° — (/?«>)’ + ф — £«)’)’ •
Тогда принятое для q решение (2.2) получит вид
4 ~ [(flip -|-(D — £«*)’ cos	+ (fl«)8 + (О — £<>’)*sin °*]
или
COS mt 4- Jd^ sin Ш^| • (2’10)
Подставляя полученные выражения в (2.1), легко убе-
диться в том, что они являются решениями этого уравнения.
Естественно, что коэфициентами в формуле (2.10) оказываются
знакомые нам выражения для синфазной и квадратурной со-
ставляющих общего тока.
Представление синусоиды с помощью экспоненты
33
3.	Представление синусоиды с помощью экспоненты1)
Выражение (2.10), очевидно, определяет истинный физиче-
ский ток, вызванный приложенным синусоидальным напряже-
нием. Однако для вывода выражения (2.10) приходится поль-
зоваться трудным и громоздким методом.
Эти трудности оказались бы еще значительно большими,
если бы мы рассматривали многоконтурную систему. Значи-
тельно более легкий путь для анализа цепей дает замена
действительной синусоиды экспонентой е'ш(.
Допустимость использования eia>( вместо синусоиды опре-
деляется принципом суперпозиции. Другими словами, она опре-
деляется тем обстоятельством, что ток, вызванный в линейной
системе, как, например, в системе (2.1), двумя действующими
совместно внешними -силами, равен сумме токов, которые вы-
зывали бы эти внешние силы, действуя порознь. Так в (2.1),
если ^j(0 обусловлено Ct(f), так что
£S! + ;?rff + jD^=F1^	(2.П)
a 41(f) представляет собой реакцию, вызванную E2(f), и, сле-
довательно,
+	+	=	(2.12)
ТО
L+/?+ D(qi + qt) = Е, (t) + Ei(t), (2.13)
что следует из простого суммирования формул (2.11) и'(2.12)-
Обычно этот принцип применяется с целью определения
реакции на Ех (f) + Е* (t) по известным в отдельности реакциям
ца £\ (t) и (t). Однако в данном случае этот принцип исполь-
зуется для решения обратной задачи—определения реакции
на каждую из внешних сил £>(0 и Е'2(^), по известной реак-
ции на сумму (£) +	(£). Очевидно, что это не всегда
оказывается возможным, так как знание одной лишь суммы
(0 + 9г (?) не обязательно говорит о том, как велики qx (t)
и q* (t), взятые в отдельности. Однако такое разложение может
быть выполнено однозначно, если Ех (?) является вещественной,
9 Начало использования экспоненциального решения в теории электри-
ческих цепей относится по крайней мере ко времени выхода книги Heavi-
side, Electromagnetic Theory, London, 1922. Более позднее рассмотрение дано
в следующих работах:- Campbell, Cisoidal Oscillations, Trans. A. I. E.E.,
April, 1911; Карсон, Электрические нестационарные явления и операцион-
ное исчисление, Харьков — Киев, 1934. Фрай, Элементарная теория диффе-
ренциальных уравнений. В последней из названных книг приведено весьма под-
робное рассмотрение этого вопроса. [См. также Круг, Основы электро-
техники, М. — Л., 1946. {Прим, ред.)]
3 Зак. 1327
34
Глава II. Плоскость комплексной частоты
a Ei(t) чисто мнимой величиной, ибо вследствие того, что
коэфициенты уравнения (2.1) являются вещественными вели-
чинами, qi (t) и (t) должны быть соответственно веществен-
ной и чисто мнимой величинами. Поэтому в этом частном случае
мы можем разбить уравнение (2.13) на (2.11) и (2.12), просто
разделив вещественную и мнимую составляющие величины q,
являющейся решением уравнения (2.13).
В нашем случае мы имеем е'ш* = со5	sin <о/. Следова-
тельно, вещественная и мнимая составляющие величины q,
обусловленной приложенным напряжением ем, должны являться
такими значениями q, которые определяются соответственно
напряжениями cos«/ и zsin<uZ. Пусть, например, и iq<t будут
решениями, соответствующими напряжениям cos®/ nzsinw/
в уравнении (2.1), и пусть q = qi-\-iqi. Тогда мы имеем
	L^ + R^ + Dqi=EoCOs<»t	(2.14)
j ь df-	+ R	+ D (iqt) = z£0 sin <0/.	(2.15)
Складывая (2.14)	и (2.15), получаем	
1^4-	•/?^ + D? = Eo^ = £oe*,	(2.16)
где вместо z<o записано р. Согласно предыдущему, веществен-
ная составляющая величины q, удовлетворяющей этому урав-
нению, будет qlt которая удовлетворяет (2.14). Полагая, что
q = q6ept, легко находим
q0^(piL + pR^D)e‘>t = E,ept.	(2.17)
Отсюда следует, что
^«== piL+pR + D' '	(2.18)
или
/—	(2 19)
1 p*L+pR + D ’	^.1»/
После подстановки i® вместо р в (2.19) получаем
J= E0(cos<u' +isin<oZ)	(9 90¥
<о£ — — D
(О
/?-м(
Вещественная составляющая (2.20) должна являться током,,
вызванным напряжением E„cosmt. Она равна
/вещ
_____R COS hit
/г24-(ш£—— D
\	(О
------D sin
<0	/
[ 1 \2
+	D\
(2.21)
Представление синусоиды с помощью экспоненты 35
что соответствует формуле (2.10). В качестве побочного ре-
зультата этот метод дает также ток, вызываемый напряжением
Ео sin Чтобы получить этот ток, достаточно взять мнимую
составляющую (2.20) и отбросить множитель I. Это дает
/мн. ---/-О
R sin u>t
cos wt
. (2.22),
Этот метод очевидно может б.ыть непосредственно распро-
странен на многоконтурные цепи. Если мы будем исходить из
приложенного напряжения Eept, то получим решение уравне-
ний цепи для любого из токов в виде Iept. Если рассматри-
вать вещественную составляющую величины Eept как истинное
физическое напряжение, то вещественная составляющая вели-
чины Iept будет физическим током.
Результаты этого рассмотрения удобно резюмировать в
виде ряда определений тех значений, которые мы приписываем
терминам частота и сопротивление. Итак:
1.	Напряжение с частотой f записывается в виде E^ept, где-
p — ^if. Это выражение получит физическое значение, когда
мы берем лишь его вещественную составляющую. Величина
Ей, которая в предыдущем примере являлась вещественной,
в общем случае может быть величиной комплексной. Благо-
даря применению комплексного значения Ео просто опреде-
ляется сдвиг фазы физического напряжения, что легко видеть,,
взяв вещественную составляющую выражения (EOi + iEni) ept.
2.	Вместо тока в любом контуре мы будем рассматривать
величину, удовлетворяющую дифференциальным уравнениям
цепи, когда внешней силой является напряжение, определен-
ное согласно п. 1. Эта величина будет иметь вид Цер*, где /«*
является новой комплексной постоянной. Реальный физический
ток, соответствующий реальному физическому напряжению,
будет равен вещественной составляющей этого выражения.
Для краткости эти постоянные Ео и /0 иногда называют на-
пряжением и током.
3.	Собственное сопротивление, или сопротивление передачи,
в зависимости от того, относятся ли ток и напряжение к одному
контуру или к различным контурам, определяется как отно-
шение постоянных Еп: /0 в выражениях для напряжения и тока,
соответствующих п. 1 и п. 2.
4.	Сопротивление определяется в виде алгебраической ве-
личины из решения системы линейных уравнений, которая
получается при замене оператора d/dt величиной р — А» в диф-
ференциальных уравнениях цепи.
36
Глава II. Плоскость комплексной частоты
4. Плоскость комплексной частоты
Только что данное определение частоты и сопротивления
было основано на предположении, что внешняя сила меняется
ио синусоидальному закону. Тогда частота является веще-
ственной величиной, а новая переменная р — чисто мнимой вели-
чиной. Однако совершенно очевидно, что эти определения
можно формально распространить на случаи, когда как /, так
и р является комплексными величинами. Легко найти физи-
ческое значение такого предположения. Предположим, напри-
мер, что приложенное напряжение равно Ейер*. Пусть £0 и Р
Фиг. 11
соответственно равны Ей1~\-1Е^ и pi~\-ipt. Тогда напряжение
можно записать в виде
(Ей1 + ^os)e(P1 + /ps) t=(Е61 cos pit—E^ sinp/) ePi*
+ i (Ей1 sin рЛ^- Ew cos p<£) ep^t (2.23)
Согласно только что установленному определению, физическим
напряжением является вещественная составляющая этого вы-
ражения или, другими словами, (f01 cos р<£ — Ей* sin pj) еР1‘.
Она, очевидно, является синусоидальным колебанием с по-
ложительным или отрицательным затуханием, в зависимости
от того, положительна или отрицательна величина рь Физи-
ческий ток, соответствующий этому напряжению, может
быть получен путем деления комплексного напряжения
на сопротивление и нахождения вещественной части этого
Плоскость комплексной частоты	3>7
результата. Очевидно, это будет затухающая синусоида
с частотой и затуханием приложенного напряжения.
В дальнейшем мы будем считать, что в общем случае
частота является комплексной величиной. Ее удобно пред-
ставлять на плоскости, показанной на фиг. 11. На этой фигуре
горизонтальная ось представляет вещественные значения р, а
вертикальная ось — мнимые значения р или вещественные зна-
чения частоты. Таким образом, вещественные частоты можно
получить, ведя отсчет по вертикальной шкале. Такое распо-
ложение осей при теоретическом анализе обычно является наибо-
лее целесообразным, ибо р является более удобной переменной,
чем /. Однако, если это необходимо, диаграмма может быть
повернута на четверть оборота по часовой стрелке, так что
вещественные значения частоты расположатся на шкале слева
направо. В этом случае комплексные частоты располагаются
над и под осью вещественных частот. Ось вещественных зна-
чений р или чисто мнимых значений частоты соответствует
предельному случаю, при котором приложенное напряжение
и вызванные им напряжения и токи экспоненциально возра*
стают или убывают монотонно.
Следует отметить, что диаграмма изображает как положи-
тельные, так и отрицательные значения частоты. Нижняя по-
ловина плоскости, где расположены отрицательные частоты,
редко представляет реальный интерес в теории цепей. В любом
физическом контуре вещественная составляющая комплексного
сопротивления является четной функцией частоты, а мнимая
составляющая — нечетной функцией частоты. Другими словами,
вещественная составляющая сопротивления при отрицательной
частоте равна ее значению при соответствующей положитель-
ной частоте, в то время как мнимая составляющая при отри-
цательной частоте равна по величине и обратна по знаку зна-
чению при соответствующей положительной частоте. Таким
образом, простые законы симметрии связывают между собой
верхнюю и нижнюю половины плоскости.
С другой стороны, различие между правой и левой поло-
винами плоскости р или верхней и нижней половинами плос-
кости частот имеет первостепенное значение. Это опреде*
ляется тем фактом, что на одной из этих половин возбуждающее
напряжение и реакция соответствуют функциям, экспоненциаль-
но убывающим со временем, в то время, как на другой поло-
вине они представляют собой экспоненциально растущие
функции.
Как следует из дальнейшего рассмотрения, существует
тесная связь между характеристиками цепи, относящимися к
стационарным процессам, и характеристиками нестационарных:
процессов. Так как цепь, у которой при нестационарном
38
Глава П. Плоскость комплексной частоты
процессе реакция возрастает со временем, является неустой-
чивой, или, другими словами, физически неосуществимой, то
характеристики физически осуществимых цепей строго ограни-
чены в той половине плоскости, которая соответствует экспо-
ненциально нарастающим функциям.
5- Нули и полюсы сопротивления и проводимости
Наибольший интерес представляет поведение в комплексной
плоскости функций, являющихся входным сопротивлением и
сопротивлением передачи Z и Zt, а также функций, соответ-
ствующих проводимостям Y и Yt. Каждая из этих функций
может быть представлена определителями, элементы которых
являются сравнительно простыми функциями частоты. При при-
менении метода контурных токов, например, общее выражение
для сопротивления запишется в виде Zij=(p’tLij^-pRij-\-DiJ}/p.
Так как любой из определителей Д, Дп, Д12, входящий в вы-
ражения, определяющие Z и Zt, может быть представлен
в виде суммы произведений величин подобного типа, то ясно,
что все эти выражения должны являться полиномами р, де-
ленными на р в некоторой степени. Естественно, что тот же
результат дают определители, полученные методом узловых
напряжений.
Как следует из (1.8), (1.10), (1.23) и (1.24), каждую из
функций можно выразить в виде отношения двух определи-
телей. Поэтому очевидно, что каждую из них можно предста-
вить в общем случае в виде отношения двух полиномов сле-
дующего вида:
______АтРт-Y Am-ipm~1-Y • • • +Ар+Л	(П 9ДЧ
W(T) — ~впРп + Bn_iPn~l + • • • + BiP + в0 •	(2,24)
Такое выражение называется рациональной функцией р.
При изучении свойств функции типа (2.24) в плоскости
комплексной частоты полезно уделять особое внимание ее
нулям и полюсам, под которыми понимаются точки, где функ-
ция соответственно обращается в нуль и в бесконечность.
Это легко сделать наглядным, если переписать числитель
и знаменатель (2.24) в виде произведений простых множителей,
так что формула получит вид
пу  (Р	Pi) (Р —Ра) ' • • (Р —Рт)
U Вп{р— p'i)(p— p't) • • • (р— р'п) ’
(2.25)
Очевидно, что pt- • • рт являются нулями, а р\ • • • • р’п — по-
люсами. Обычно все р и р' различны, и все являются нулями
и полюсами первого порядка или „простыми" нулями и полюсами.
Нули и полюсы сопротивления и проводимости
39
Однако в особых случаях два или больше нулей или
полюсов могут совпасть, образуя кратный нуль или полюс.
Очевидно, что нули и полюсы в цепях общего вида анало-
гичны хорошо известным резонансам и противорезонансам
в системах, состоящих из чисто реактивных элементов. Глав-
ное отличи.е заключается в том, что эти „резонансы" и „про-
тиворезонансы" в цепях общего вида могут иметь место при
комплексных частотах.
Важность рассмотрения нулей и полюсов определяется
двумя причинами. Первая заключается в том, что если исклю-
чить из рассмотрения постоянный множитель Ат/Вп, то нули
и полюсы, очевидно, полностью определяют выражение (2.25).
Полагая далее, что W представляет входное комплексное
сопротивление или входную комплексную проводимость, мы
приходим к заключению, что два входных комплексных сопро-
тивления, или две входные комплексные проводимости, об-
ладающие одинаковыми нулями и полюсами, могут отли-
чаться лишь идеальным трансформатором.
Аналогично, если W является комплексным сопротивлением1
передачи, или комплексной проводимостью передачи, мы можем
сказать, что два сопротивления передачи, или две комплексные
проводимости передачи, обладающие одинаковыми нулями
и полюсами, могут отличаться лишь постоянной величиной
усиления или затухания.
Вторая причина особого внимания, уделяемого нулям и по-
люсам, будет ясно видна в следующих главах. Она обусло-
влена тем, что расположение нулей и полюсов на плоскости
частот дает нам удобные основания для классификации цепей.
Так, функции сопротивлений будут соответствовать физи-
чески осуществимым цепям, лишь если нули и полюсы этих
функций удовлетворяют определенным требованиям. Если эти
требования выполняются, то дальнейшее изучение нулей и по-
люсов позволяет отнести функцию к одной из нескольких
общих категорий. 6
6. Нули и полюсы сопротивления резонансного контура
Для иллюстрации этого положения мы вернемся к ранее
рассмотренному в этой главе резонансному контуру. Сопроти-
вление этого контура, согласно (2.19), может быть записано в
виде
Z = L	(p.—pJ t	(2.26)
где
40
Глава И. Плоскость комплексной частоты
Величины Рх и Ръ очевидно являются нулями сопротивления.'
Их расположение зависит от двух величин: R/L и D/L. Если
мы умножим R/L на некоторую величину, a D/L на квадрат
этой величины, то Pi и р* окажутся умноженными каждое на
ту же величину. Поэтому достаточно изучить возможные по-
ложения pi и ръ при изменении R/L в случае неизменного
D/L. Если R/L мало по сравнению с D/L, что соответствует
резонансному контуру с малым затуханием, то величины,
стоящие под знаком корня, будут отрицательными, a pi и р*
поэтому будут сопряженными комплексными числами с отри-
цательной вещественной частью. Типичные положения pi и р%
показаны кружками на фиг. 12. Крест в начале координат
показывает полюс сопротивления, расположенный при /> = 0.
Обычно считают, что существует другой полюс при /? = оо,
так как здесь сопротивление также бесконечно велико.
Плоскость Р
Фиг. 12
Плоскость Р
-ш
Фиг. 13
Легко показать, что при изменении R/L Pi и двигаются
по окружностям, как показано на фиг. 13. В крайних точках
А и Д', для которых R обращается в нуль, Pi и лежат на
оси вещественных частот. Точки В и В' соответствуют нулям
в случае контура с относительно малым затуханием. Это ана-
логично случаю, иллюстрированному на фиг. 12. С дру-
гой стороны, в точке С, где (R[2Lf — D/L, два нуля совпадают
между собой. Другими словами, сопротивление имеет в этой
точке двойной нуль. Это случай критического затухания. Так
как С находится на оси вещественных значений р, то соот-
ветствующие физические напряжение и ток являются моно-
тонными экспоненциально убывающими функциями. Если
R/L значительно больше, то Pi и р.2 находятся соответственно
справа или слева от С на оси вещественных значений р, что
показано точками D и D'. Следует отметить, что, хотя при
различных соотношениях между R, L и D полюсы могут быть
расположены самым различным образом, тем не менее они,
всегда находятся в левой половине плоскости р.
Аналитические функции
4Г
7. Аналитические функции.
С точки зрения математики введение комплексных значе-
ний частоты сводится к применению методов теории функций
для изучения таких величин, как входное сопротивление и со-
противление передачи. В этой области одним из наиболее важ-
ных понятий является понятие об аналитической функции.
Определение. Функция называется аналитической в дан-
ной точке плоскости независимой переменной, если она
в данной точке обладает конечной производной, независимой
от направления.
Функция является аналитической в данной области, если
она аналитическая в каждой точке этой области. Точки, в ко-
торых функция не является аналитической, называются особыми
точками или особенностями.
В технических приложениях требование независимости
производной от направления является относительно маловаж-
ным. Оно исключает лишь тайие функции, как вещественная
составляющая величины Z или модуль Z. Например, |Z| не
может быть аналитической функцией р в любой точке, так как
d | Z | должно быть вещественно и, следовательно, фазовый,
угол производной d | Z | / dp должен изменяться с изменением
фазового угла, или направления, по которому берется dp. По-
скольку мы ограничиваем себя функциями в общем случае
комплексными, как, например, Z или InZ, то можно считать
установленным, что производная независима от направления.
Существенным свойством определения является то, что ана-
литическая функция должна иметь конечную производную..
Точки, где производная рациональной функции, определя-
емой, например, выражением (2.25), обращается в бесконеч-
ность, могут быть легко определены. Если, например, М и D
представляют собой соответственно полиномы в числителе я
знаменателе (2.25), то обычное правило дифференцирования дает
dW(D _ dp dp	•
dp ~ D* *	(2.28)
Так как AZ и D являются обычными полиномами, то ни они,
ни их производные не могут обращаться в бесконечность при
конечных значениях р. Поэтому выражение (2.28) обращается
в бесконечность лишь в точках, где D обращается в нуль, или,
другими словами, лишь в полюсах исходной функции. Таким
образом, особыми точками функции комплексного сопротив-
ления, или комплексной проводимости, являются ее полюсы,
и эта функция будет аналитической в любой области пло-
скости, не содержащей полюсов.
42
Глава И. Плоскость комплексной частоты
Можно показать, что аналитичность функции W комплекс-
ного сопротивления, или комплексной проводимости, не за-
висит от расположения ее полюсов. Когда W является со-
противлением, или проводимостью,передачи, эту величину обыч-
но принято выражать через затухание и сдвиг фаз. Это сво-
.дится к использованию функции In W вместо самой вели-
чины W. Выражение для производной In W, соответствующее
<2.28), будет
D™-N™
dlnWm_ dp dp
dp ~ ND ‘
Это выражение, очевидно, обращается в бесконечность, когда
V или D равны нулю. Таким образом, особыми точками *) ло-
гарифма сопротивления, или проводимости, являются нули и
полюсы исходной функции. In W является аналитической функ-
цией лишь в областях, не содержащих нулей и полюсов W.
Свойства аналитических функций дают наиболее прямой
•путь для установления критерия устойчивости Найквиста. По-
этому применение полученных результатов будет дано в гла-
ве VIII, где рассматривается критерий Найквиста.
8. Физическое значение комплексных частот.
Понятие комплексной частоты можно рассматривать с не-
скольких точек зрения. Например, мы можем считать, что
комплексные частоты действительно существуют физически.
"Определения комплексной частоты и сопротивления были
даны таким образом, что анализ, изложенный с помощью
понятия комплексных частот, можно подвергнуть физической
проверке. Нетрудно себе представить генератор, выполнен-
ный так, что в течение не слишком большого промежутка
времени он развивает напряжение, изменяющееся по возрас-
тающей или затухающей синусоиде. Если питать цепь с по-
мощью такого генератора, то путем непосредственных физи-
ческих измерений можно выявить свойства системы. Таким
•образом, понятие комплексной частоты может быть установ-
лено в лаборатории путем непосредственного сравнения ре-
зультатов измерений и вычислений.
1) Эти особые точки являются «логарифмическими особенностями', а не
полюсами. Чтобы точка р0 была полюсом, функция вблизи р0 должна стре-
миться к бесконечности как 1/(р—р0)п, где п — целое число. Хотя In W и
-стремится к бесконечности вблизи нулей и полюсов W, но рост происходит
значительно медленнее. Например, в обычном курсе математики показы-
вается, что хотя 1пх = — 1п(1/х) стремится к—со при приближении х
к нулю, тем не менее рост происходит столь медленно, что предел xlnx
2мвен нулю.
Физическое значение комплексных частот	43
Несмотря на наличие возможности такой физической трак-
товки, более наглядной является другая точка зрения. В ко-
нечном счете нас интересует реакция цепи только при веще-
ственных частотах, так как лишь эти свойства определяются
в обычных задачах, возникающих при проектировании. Кроме
того, с помощью интеграла Фурье, зная реакцию цепи на
внешние напряжения в виде чистых синусоид, мы можем
найти ее реакцию на любое другое внешнее напряжение.
Поэтому свойства при вещественных частотах дают нам пол-
ное представление о цепи. В тех случаях, когда дело касается
чисто теоретических соотношений, мы можем исходить из ре-
акции при вещественных частотах и вычислять методом ин-
теграла Фурье реакцию для экспоненциально нарастающих
или затухающих синусоид, соответствующую комплексным
частотам.
Хотя понятие комплексной частоты и не является принци-
пиально необходимым, его введение имеет большое значение,
поскольку оно облегчает математический аппарат теории.
С чисто математической точки зрения изучать функцию со-
противления легче в плоскости комплексной частоты, чем рас-
сматривать лишь вещественные частоты.
С аналогичным положением мы уже столкнулись при рас-
смотрении реакции резонансного контура на синусоидальное
внешнее напряжение. Дополнение мнимой составляющей на-
пряжения, несмотря на то, что она позже отбрасывается, де-
лает математические выражения значительно более симметрич-
ными, вследствие чего значительно упрощаются алгебраиче-
ские выкладки. Примерно такие же преимущества дает обоб-
щение понятия частоты на комплексные значения.
В настоящей книге мы будем пользоваться идеей комплекс-
ной частоты главным образом как средством для опреде-
ления того, какие виды характеристик цепи являются физиче-
ски осуществимыми. Те же результаты теоретически могут
быть получены с помощью методов Фурье и характеристик
для вещественных частот, но при такой трактовке требуется
использование более сложного математического аппарата.
Более детальное рассмотрение физического значения ком-
плексной частоты приводит нас к выявлению интересного раз-
личия между реакцией при комплексной и вещественной часто-
тах. Естественно, что исследуемые свойства соответствуют
стационарным процессам в цепи. Так как мы никогда не име-
ем цепи, в которой данное напряжение действует в течение
бесконечно долгого времени, то в любых экспериментальных
условиях стационарный процесс, строго говоря, никогда не
реализуется. Мы обычно предполагаем, однако, что физические
измерения стационарного процесса можно провести с доста-
44
Глава II. Плоскость комплексной частоты
точной точностью с помощью внезапно приложенного напря-
жения, если при этих измерениях мы выждем достаточное;
время для того, чтобы процесс в основном установился. Это
не трудно выполнить, если внешнее напряжение чисто сину-
соидально. Это также возможно, если внешнее напряжение
лежит в правой части плоскости р, так как в этом случае
стационарный процесс представляет собой нарастающую экс-1
поненту, в то время как процесс установления убывает.
С другой стороны, если внешнее напряжение находится до-
статочно далеко в левой части плоскости р, то „нестационарный
процесс" убывает со временем даже быстрее, чем процесс уста-
новления. Очевидно, что при частотах, соответствующих этой
части плоскости, нельзя выполнить никаких физических изме-
рений, которые выявили бы реакцию, определяемую в основ-
ном стационарными характеристиками цепи. Так как физиче-
скую реакцию можно всегда вычислить по свойствам при ве-
щественных частотах с помощью интеграла Фурье, то это опре-
деленно указывает на то, что связь между стационарными
свойствами в далекой левой части плоскости р и свойствами
при вещественных частотах достаточно тонкая. Имеется
возможность довольно свободно манипулировать свой-
ствами в далекой левой части плоскости р, не оказывая при
этом существенного или вовсе никакого влияния на свойства
при вещественных частотах. Такая возможность используется
в некоторых разделах теории цепей. Однако рассмотрение этих
вопросов выходит за рамки настоящей книги.
ГЛАВА III
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
1. Введение
Настоящая глава, как и три последующие, посвящена об-
щему анализу цепей обратной связи, а также рассмотрению
вопроса о сущности обратной связи. Целью анализа является,
главным образом, развитие общей теории обратной связи на
основе уравнений для узловых напряжений и контурных токов
усилителя, который рассматривается как единое целое, без раз-
деления на р- и p-цепи. Это обусловлено, с одной стороны, тем,
что уравнения для узловых напряжений и контурных токов
наиболее удобны при проведении анализа, а с другой стороны, —
трудностью создания без общего фундамента сколько-нибудь
удовлетворительной теории систем с многоканальной обратной
Связью.
В настоящей главе в качестве введения к общему анализу
изложены основные положения обычной теории усилителей
с обратной связью, а также дано описание некоторых про-
стейших устройств. Указанные вопросы излагаются в весьма
сжатой форме, так как предполагается, что читатель уже имеет
общее представление о системах с обратной связью ’).
2. Элементарная теория схем с обратной связью.
В простейшем виде усилитель с обратной связью может
быть представлен как совокупность обычного усилителя, или
p-цепи, и пассивного четырехполюсника, или p-цепи, при по-
мощи которого часть энергии с выхода системы может быть
подана обратно на вход. Подобная комбинация изображена
на фиг. 14. Обе цепи, р. и р, являются, само собой разумеется,
четырехполюсниками и только ради простоты обозначены на
фиг. 14 одной линией.
Если часть энергии с выхода возвращается обратно ко входу,
в схеме, естественно, могут возникнуть паразитные колебания.
В этом случае схема обычно не может работать как усилитель.
Однако характеристики устройства могут быть легко опреде-
*) См. Black, .Electrical Engineering*, январь 1934 г. [См. также лите-
ратуру в конце книги. (Прим. ред.)]
46
Глава III. Обратная связь
лены, если мы предположим, что подобные колебания в схеме
отсутствуют. Необходимо только учитывать, что процессы,
происходящие как в р-- так и в р-цепях, полностью опреде-
ляются напряжением на зажимах этих четырехполюсников. При
этом можно не принимать во внимание, что последние являются
частями замкнутой цепи обрат-
ной связи. Обозначим соответ-
ственно через Ей и ER напря-
жение, подводимое от источ-
ника ко входу, и напряжение,
Фиг. 14	снимаемое с выхода схемы, как
это показано на фиг. 14. Пусть
Ех будет некоторое дополнительное напряжение, подаваемое
p-цепью с выхода схемы на вход. Ввиду того, что ц-цепь рабо-
тае т как обычный усилитель, должно удовлетворяться уравнение
£* = ^« + £1)-	(ЗЛ>
Аналогично, если р является коэфициентом передачи р-цепи,.
то напряжение, подводимое к входным зажимам посредством
обратной связи, может быть представлено в виде
Ei = ^Er.	(3.2)
Исключая Ei из этих двух уравнений, находим
ER =	(3.3)
или
(3'4>
При отсутствии p-цепи выходное напряжение может быть
записано в виде
Er = jiE0.
Отсюда следует приводимая ниже теорема:
Теорема. Обратная связь уменьшает коэфициентусиле-
ния усилителя el — у-Р раз1).
х) Все теоремы, приведенные в этой главе, должны считаться прибли-
женными в том смысле, что они будут заменены в главах V и VI более
общими положениями. Мы должны также отметить, что во многих случаях
величина, показывающая, во сколько раз уменьшается коэфициент усиления,
записывается в виде 1 -|- р|3. Выбор знака перед членом р определяется тем,
каким образом отсчитывается величина фазового сдвига, создаваемого лам-
пами. Обычная электронная лампа дает сдвиг по фазе 180° в дополнение к тому
фазовому сдвигу, который обусловлен междукаскадными импедансами*
В p-цепи, состоящей из нечетного числа ламп, мы получаем, следовательно, по-
ворот фазы на 180°. Если это обстоятельство учитывается в р, то упомяну-
тая выше величина может быть записана как 1 — рр. Если поворот фазы
учитывается отдельно, то соответствующее выражение имеет вид 1 -|- р?~
Элементарная теория схем с обратной связью
47
Величина рР может быть названа коэфициентом обратной:
связи *).
Очевидно, что эта величина определяет коэфициент пере-
дачи напряжения по замкнутой петле от входа усилителя
обратно к этому же входу. На практике обычно рР значительно
больше единицы. При этом уравнение (3.4) удобно переписать
следующим образом
Учитывая, что если *лр велико, то первый множитель в пра-
вой части (3.5) близок по абсолютной величине к единице,
мы можем заключить, что коэфициент усиления усилителя
примерно обратно пропорционален коэфициенту передачи р-цепи
или, другими словами, примерно пропорционален затуханию
в р-цепи.
Получаемая при этом погрешность за счет отклонения
| рр/(1 — рР) | от единицы будет в дальнейшем называться
^-погрешностью.
Из (3.5) следует, что на величину коэфициента усиления
в значительной степени влияют небольшие изменения в р-цепи,
в то время как изменения в р-цепи почти не оказывают ни-
какого действия. Чтобы последнее положение стало более
ясным, продифференцируем (3.4), считая р постоянной величи-
ной. Разделив затем обе части полученного уравнения на (3.4),.
имеем
1 rfp
1 Р^ Р
В этом выражении величины cLEr/Er и rfp/p, очевидно,
представляют соответственно изменения коэфициента усиления
усилителя в целом и коэфициента усиления р-цепи в случае,.,
когда обе величины выражены в логарифмических едини-
цах — неперах или децибелах. Отсюда следует теорема:
(3.6)
Теор.ема. Изменение общего коэфициента усиления уси-
лителя (в дб) на каждый децибел изменения коэфициента
усиления р.-цепи уменьшается обратной связью в отношении
(1-рр):1.
Последнее свойство обратной связи является особо важным
с точки зрения уменьшения действия помех или нелинейных-
искажений, возникающих в р-цепи. В Широком физическом
смысле помехи, так же как и нелинейные искажения в неко-
*) Термин „величина обратной связи" в последующих главах, будет приме
пяться к величине 1 — р{3.	—
48
Глава HI. Обратная связь
тором элементе схемы, могут рассматриваться как некоторые
изменения" в данном элементе. Чувствительность цепи к та-
кого рода изменениям всегда находится в определенном
соответствии с чувствительностью цепи к нормальным изме-
нениям параметров данного элемента *). Поэтому указанное
«свойство систем с обратной связью является следствием только
что выведенной теоремы. Однако
0	для того чтобы доказать это
£ независимым образом, положим,
вх°9	Л вых?9- что в каком-либо внутреннем
ЯХ—g)-----/Л	звене p-цепи включен генера-
тор £)0, как показано на фиг. 15.
ф ._	Do может представлять со-
иг'	бой напряжение помех, кото-
рые возникают за счет плохого
контакта или фона переменного тока, либо напряжение, по-
лучающееся за счет нелинейных искажений в р-цепи.
Обозначим через Ed выходное напряжение, обусловленное
генератором шумов, а через — дополнительное напряжение,
(появляющееся между р, и р2 благодаря связи по петле р0.
Учитывая, что общее напряжение в месте включения гене-
ратора равно Z)e + Dt, а коэфициент усиления между этим
участком и выходными зажимами схемы равен р2, мы можем
.записать выражение для Еа в следующем виде:
£d = ^(£>o + A).	(3.7)
Напряжение Dlt обусловленное обратной связью через
0-цепь и цепь рь очевидно, определится следующим образом:
(3.8)
Исключая £>i, получим:
(3.9)
где р равно общему коэфициецту усиления усилителя pip2.
Принимая во внимание, что напряжение помех на выходе
при отсутствии обратной связи равно р2£)0, получаем сле-
дующую теорему:
Теорема. Уровень помех на выходе усилителя понижается
обратной связью в отношении (1 — р.0): 1.
Отсюда, конечно, не следует, что отношение сигнала к по-
мехе увеличивается в то же число раз, так как обратная связь
изменяет уровень сигнала в р-цепи.
') В общем виде это показано в главе V.
Элементарная теория схем с обратной связью
49
Чтобы выяснить, как влияет обратная связь на величину
отношения сигнала к помехе, сравним наш усилитель с устрой-
ством без обратной связи, имеющим тот же результирующий
коэфициент усиления |1/(1-рф) и то же входное и выходное напря-
жения Ей и Ер . Для облегчения сравнения положим, что ji-цепь
усилителя с обратной связью разделена на два участка, щ и ji9
(фиг. 15), коэфициенты усиления которых соответственно равны
1 — р-Р и {1/(1 — р-Р). Ввиду того, что каскад {i2 усилителя с об-
ратной связью и усилитель без обратной связи, с которым мы
производим сравнение, имеют одинаковые величины коэфици-
ента усиления и одинаковые значения выходного напряжения,
то очевидно, что уровни сигнала на выходе {i2 и на входе
усилителя без обратной связи будут также одинаковы. Следо-
вательно, обратная связь наиболее эффективно улучшает отно-
шение сигнала к помехам, если источник помех включен в ji-ка-
нал между р-i и у-э.
С другой стороны, в части уровни сигнала меньше, чем
в любом месте сравниваемого усилителя без обратной связи;
поэтому, если источник помех включен в этой части ji-цепи,
то отношение сигнала к помехе будет улучшаться лишь ча-
стичнд.
На входных зажимах первой лампы, где величина сигнала
понижается также в (1 — уР) раз, обратная связь не дает ни-
какого изменения величины отношения сигнала к помехе. По-
этому обратная связь является удобным методом борьбы с по-
мехами, характерными для оконечных каскадов и обусловлен-
ными вторичной модуляцией, или фоном питающего перемен-
ного тока(например, в случаях применения ламп прямого на-
кала). Помехи такого рода, однако, малы по сравнению с шу-
мами, обусловленными термическими флюктуациями, дробовым
эффектом и т. д., которые заметно сказываются в первых ка-
скадах.
Обратная связь играет важную роль в радиотехнических
устройствах, так как она позволяет в значительной степени
уменьшить эффект, вызываемый фоном и изменением коэфи-
циента усиления {i-цепи и т. д. Понижение общего коэфици-
ента усиления при применении обратной связи является, есте-
ственно, недостатком последней и делает необходимым при-
менение более сложной {i-цепи для получения заданной вели-
чины коэфициента усиления. Однако это обстоятельство не
является столь серьезной жертвой, если учесть выигрыш, ко-
торый при этом достигается.
Рассмотрим для примера усилитель с общим коэфициентом
усиления во внешней цепи в 40 дб и обратной связью также
в 40 дб. При этом у-цепь должна иметь коэфициент усиления,
равный 80 дб, т. е. в два раза больше того коэфициента усиления
4 Зак. 1327
50
Глава III. Обратная связь
в дб, который соответствует отсутствию обратной связи. Таким
образом, усложнив в два раза ji-цепь, получим повышение
линейности и стабильности усиления в 100 раз.
3.	Типы схем с обратной связью
Проще всего классифицировать схемы с обратной связью,
выбирая в качестве основного критерия способ соединения
(1- и p-цепей между собой, а также с входной и выходной
внешними цепями. Чтобы показать возможность получения раз-
личных вариантов соединений, неудобно, конечно, пользоваться
Фиг. 16
Фиг. 17
изображением н* и p-цепей в виде одиночных линий, как это
было сделано на фиг. 14, ибо эти цепи так же, как входная
и выходная внешние цепи, являются двухпроводными. Учиты-
вая это обстоятельство, мы приходим к схеме, изображенной
на фиг. 16, где три цепи соединены между собой при помо-
щи шестиполюсников. Клас-
сификация схем обратной
связи определяется видом
этих соединительных ше-
стиполюсников. Представ-
ляется, конечно, возмож-
ным построить весьма боль-
шое число подобного рода
устройств. Простейшие и в
то же время наиболее часто
употребляемые из них пока-
заны на фиг. 17—21. Зажимы
на каждой из этих фиГур обозначены в соответствии с фиг. 16.
На фиг. 17, например, показана схема обратной связи по
току. Здесь ji-цепь представляет обычный трехкаскадный уси-
литель, междукаскадные импедансы которого обозначены че-
рез /1 и /2, Цепь р представлена в виде П-образного со-
единения ветвей А, В и С. В частном случае число
ветвей может быть уменьшено до' одной. В других случаях
Типы схем с обратной связью
51
[3-цепь может иметь более сложную конфигурацию. Зажимы
входной и выходной цепей е —f и е' —f соответствуют об-
моткам трансформаторов, подключенных к лампам. В этом^
случае трансформаторы и внешние цепи не входят в общую
схему и должны быть учтены дополнительно 1).
Характерной особенностью данного усилителя является то„
что и р-цепи соединены между собой на обоих концах уси-
лителя последовательно, если смотреть со стороны внешних
цепей.
На фиг. 18 показана схема обратной связи по напряжению.
Фиг. 18
Здесь p-цепь взята типа Г, но, как и в предыдущем случае,
она может представлять любой четырехполюсник а).
В этой схеме, как легко видеть, р- и р-цепи, а также
внешние цепи как на входе, так и на выходе усилителя
включены параллельно друг другу. Схемы обратной связи
по току и по напряжению являются простейшими, но в то же
время для большинства случаев, вероятно, наиболее удобными
устройствами. Помимо того, эти схемы позволяют обычно по-
лучить максимальную величину обратной связи. Однако, с дру-
гой стороны, этим схемам присущи два важных недостатка.
Первый из них, рассматриваемый более подробно в главе V,
заключается в том, что за счет обратной связи сопротивления
усилителя, измеренные со стороны внешних цепей, становятся
Можно также задавать обратную связь со стороны обмоток трансфор-
матора, подключенных к внешним цепям. В этом случае трансформаторы
жлаются составными частями jx-цепи.
а) Следует отметить, однако, что если p-цепь на фиг. 17 будет выбрана
типа Т, а на фиг. 18 — типа 77, то крайние ветви могут рассматриваться как
составные части полного сопротивления внешних цепей. Ввиду того, что
введение дополнительных сопротивлений приводит к потерям мощности,
применение указанных комбинаций не имеет смысла, за исключением слу-
чаев, когда влиянием крайних ветвей можно пренебречь.
Поэтому приведенные на фиг. 17 и 18 способы включения цепей наиболее
приемлемы для практических целей. Более детально эти вопросы рассмат-
риваются в следующих главах.
♦
52
Глава III. Обратная связь
либо очень большими, либо очень малыми. Поэтому эти схемы
непригодны в тех случаях, когда необходимо получить удо-
влетворительную величину коэфициента отражения от внешней
цепи. Вторым недостатком приведенных схем является то об-
стоятельство, что сопротивления внешних цепей представляют
собой части р$-канала. Поэтому изменение сопротивлений
внешних цепей может влиять на {^-характеристики, что приво-
дит к неустойчивости схемы.
Эти недостатки можно устранить применением мостовой
схемы обратной связи, изображенной на фиг. 19. Данная схема
содержит три новых ветви, обозначенных через Z2, Z3 и Zt
и включенных на каждой стороне усилителя. Четвертая
Фиг. 20
ветвь, Zb позволяет регулировать, если это необходимо, вход-
ное и выходное сопротивления p-цепи J).
Три новых ветви совместно с сопротивлениями р-и 0-цепей,
а также внешних цепей, образуют устройство, имеющее в общей
сложности шесть ветвей. Если какую-либо из этих ветвей
В главе V будут рассмотрены последствия, к которым приводит от-
сутствие Zf
Типы, схем с обратной связью
53
представить как сопротивление генератора, то остальные пять
ветвей дадут четыре плеча моста и диагональную ветвь. Напри-
мер, если в качестве сопротивления генератора взять внешнюю
цепь, то в диагональ оказывается включенным сопротивление
Р-цепи. При сбалансированном мосте сопротивление внешних
цепей, очевидно, не оказывает влияния на |ф-петлю. Кроме
Фиг. 21
того, в этом случае уничтожается влияние обратной связи на
величины входного и выходного сопротивлений усилителя,
которые путем подбора элементов моста сделаны равными такой
величине, какая необходима для согласования с внешними
цепями.
Недостатком мостовой схемы следует считать то, что при
ней могут получиться либо слишком большие, либо слишком
малые значения сопротивлений усилителя. Кроме того, здесь
имеет место расход части выходной мощности в ветвях схемы,
Фиг. 22
введенных для обеспечения баланса мостов. Эти трудности
могут быть преодолены путем замены моста трехобмоточным
трансформатором или же соответствующим балансным транс-
форматором. Замена такого рода может быть проведена раз-
личным образом, так как существуют разные пути, с помощью
которых возможно осуществить эквивалентность между мостом
и трехобмоточным трансформатором. На фиг. 20, например,
54
Глава III. Обратная связь
изображена схема, в которой обратная связь подается с обмотки
„высокого напряжения". В этом случае Zn представляет „балан-
сирующее" сопротивление. На фиг. 21 представлена схема
с обратной связью по „низкому напряжению".
В предыдущих случаях на входе и на выходе усилителя
применялись соединения одного и того же типа, что делалось
для простоты рассмотрения. Число возможных вариантов схем
может быть значительно увеличено путем комбинирования раз-
личных типов соединений на входе и на выходе схемы.
В качестве примера такого рода на фиг. 22 приведена схема
с последовательным соединением на входе при параллельном
соединении на выходе.
На фиг. 23 показана комбинация последовательной схемы
входа с балансным трансформатором на выходе.
4.	Катодная обратная связь
Помимо рассмотренных выше схем, на практике может быть
использовано большое число других видов обратной связи.
Весьма важной разновидностью, в частности, является так
называемая катодная обратная связь. В зависимости от коли-
чества каскадов в ц-цепи применяется один из двух вариантов
этого типа. Любой из этих в: риантов представляет собой видо-
изменение схемы усилителя с обратной связью по току. На-
пример, на фиг. 24, А показана схема двухкасю дного усили-
теля с обратной связью по току, а на фиг. 24, В—соответствую-
щая схема с катодной связью. Роль 0-цепи здесь осуществляет
только ветвь Z^.B данном случае катодная связь используется
для получения напряжения обратной связи в противофазе с вход-
ным напряжением.
Как было указано в главе I, каждая последующая лампа
р-цепи поворачивает фазу напряжения на 180°. При нечетном
Катодная обратная связь
55
числе ламп обеспечивается требуемый результирующий сдвиг
по фазе для обратной связи, исключающей возможность не-
стабильности работы усилителя. Если, однако, число ламп будет
четным, как показано на фиг. 24, А, то при непосредственной
подаче обратной связи на вход схемы не будет выполняться
необходимое с точки зрения устойчивости условие сдвига по
фазе напряжения обратной связи. На фиг. 24, В зажимы f-цепи
перекрещены, что позволяет выполнить указанное выше условие,
так как при этом создается дополнительный фазовый сдвиг
на 180°.
Ввиду того, что катод первой лампы оказывается при этом
незаземленным, обратная связь в этой схеме называется .ка-
тодной" х).
Применение катодной обратной связи вместо соответствующей
схемы обратной связи по току в случае, когда [i-цепь имеет
нечетное количество ламп, показано на фиг. 25.
Здесь обратная связь служит в основном для уменьшения
распределенной емкости относительно земли. В случае схемы
обратной связи по току, изображенной на фиг. 25, А, заземлен-
ной является точка соединения катодов всех ламп Рр При
этом точка Р2, к которой присоединяются трансформаторы, оказы-
вается незаземленной, что приводит к тому, что паразитные
емкости обмоток трансформаторов относительно земли шунти-
руют f-цепь.
Если же мы попытаемся заземлить точку Р2, а не Рь то
при этом f-цепь будет шунтироваться емкостью р-цепи, кото-
рая по своей величине может даже превосходить емкость
*) Поворот фазы на 180° может быть произведен, очевидно, и без приме-
нения катодной связи, путем введения в схему трансформатора. Однако, как
это будет показано далее, на действие обратной связи при этом накладываются
некоторые ограничения. Поэтому следует отдать предпочтение схеме, пред-
ставленной на фиг. 24.
56
Глава III. Обратная связь
обмоток трансформаторов. Уменьшение величины этих пара-
зитных емкостей может быть достигнуто применением схемы,
приведенной на фиг. 25, В. При этом точного поворота фазы
на 180° не достигается ввиду того, что в катодах входной и
выходной ламп имеется дополнительная нагрузка Zp.
Следует отметить особенность схемы с катодной связью,
заключающуюся в том, что известная величина обратной связи
может иметь место для лампы с независимым катодом даже в том
случае, если остальные лампы будут выключены. Например, в
схеме, изображенной на фиг. 24, В, анодный ток первой лампы,
протекая через сопротивление Р-цепи, создает напряжение обрат-
ной связи на сетке этой же лампы, которое будет существо-
вать и в том случае, если вторая лампа будет погашена. Это заме-
чание относится также к первой и третьей лампам на фиг. 25, В.
Грубо говоря, мы можем полагать, что сопротивление р-цепи дей-
ствует таким образом, как будто основная обратная связь и до-
полнительная обратнаясвязь
Фиг. 26
создаются независимо.
На фиг. 26 показана схе-
ма, приближенно эквива-
лентная в этом смысле схеме,
приведенной на фиг. 25, В.
Она может быть полу-
чена из исходной последо-
вательной схемы (фиг. 25, А)
путем включения в катодные цепи первой и третьей ламп
сопротивлений, равных по величине сопротивлениям Р-цепи.
При этом первый и третий каскады могут рассматри-
ваться как элементарные усилители с обратной связью
по току. Общая величина обратной связи оказывается при этом
большей, чем в случае, когда рассматривается связь только
по основной петле обратной связи. С другой стороны, коэ-
фициент передачи по основной петле будет уменьшен из-за
понижения коэфициента усиления отдельных каскадов за счет
действия местных обратных связей, если, конечно, это не будет
каким-либо образом скомпенсировано.
5.	Усилители с многоканальной обратной связью
Схемы, приведенные на фиг. 24, В и 25, В, являются при-
мерами усилителей с многоканальной обратной связью, или,
иначе говоря, усилителями, в которых напряжение обратной
связи может подаваться к сеткам лампы несколькими путями *),
*) Усилители подобного типа называют также усилителями с многопетле-
вой обратной связью. (Прим, ред.)
Усилители с многоканальной обратной связью
57
так что действующие обратные связи для различных ламп будут
отличаться друг от друга. В этих устройствах дополнительные
каналы обратной связи играют вспомогательную роль. Однако
при усовершенствовании усилителей развилась также тенден-
ция к применению систем с многоканальной связью, дающих
результаты, которые не могут быть получены в одноканальных
устройствах.
Простой тип схемы тако-
го рода приведен на фиг. 27.
Устройство представляет со-
бой усилитель с последова-
тельной Обратной связью, в
котором дополнительная об-
Фиг. 27
ратная связь осуществлена
путем введения сопротив-
ления в катодную цепь последней лампы. Схема подобна
рассмотренному ранее „эквивалентному" усилителю (фиг. 26),
с той лишь разницей, что местная обратная связь может быть
определяется теперь сопро-
тивлением Zp2, не зависящим
от сопротивления основ-
ной обратной связи Zpi. В
этой схеме можно достиг-
нуть более значительного,
по сравнению с одноканаль-
ной системой, уменьшения
нелинейных искажений в по-
задана произвольно, так как она
ФНГ. 28	следнеи лампе, в соответ-
ствии с принципами, которые
будут изложены позднее. На фиг. 28 представлен второй тип
усилителя с многоканальной обратной связью. Его отличие от
предыдущей схемы заключается в том, что дополнительная
обратная связь осуществлена скорее по параллельной, чем
по последовательной схеме.
Дополнительный канал об-
ратной связи может рассмат-
риваться как ветвь, постав-
ленная специально для улуч-
шения характеристики вы-
ходной лампы, либо может
представлять собой паразит-
ную емкость большой ве-
Фиг. 29
личины, как это имеет ме-
сто в мощных триодах, применяемых в радиовещании. Тре-
тий пример подобной схемы изображен на фиг. 29. Здесь местная
обратная связь по току задается между первыми двумя каска-
58
Глава III. Обратная связь
дами всей ji-цепи. Она может быть регенеративной, что обес-
печивает более высокое значение коэфициента усиления
полной петли обратной связи по сравнению с другими воз-
можными способами. Помимо схем, представленных на
фиг. 27—29, может быть получено много других типов путем
комбинации двух или трех местных обратных связей.
6.	Другие схемы с обратной связью
В предыдущем разделе был приведен краткий обзор устройств,
которые рассматриваются в данной книге.
Все эти устройства были составлены из электронных ламп
и пассивных элементов, причем электронная лампа рассматри-
валась как линейный прибор. Однако цепи обратной связи
могут включать в себя нелинейные и, вообще говоря, даже
неэлектрические элементы. Многие из них столь подобны
линейным цепям, что при условии соответствующих оговорок
могут рассматриваться с по-
мощью тех же методов.
Разнообразие примене-
ний обратной связи мы про-
иллюстрируем двумя приме-
рами. В первом из них цепь
обратной связи включает в
себя устройство для преоб-
разования частоты. На фиг. 30
изображен радиопередат-
фиг. 30
чик, в котором часть выходного напряжения детектируется
и подается обратно на вход в виде напряжения звуковой
частоты. Если модулятор и детектор близки к идеальным,
а несущая частота значительно выше полосы звуковых
частот, то цепь обратной связи может считаться состоящей
из линейных элементов. При этом необходимо лишь рас-
смотреть передачу напряжения „эквивалентной" звуковой
частоты по замкнутому кольцу. Более сложная картина
будет в тех случаях, когда несущая частота недостаточно
высока или когда на выходе модулятора получается целый
ряд дополнительных составляющих, которые могут быть пере-
даны по петле обратной связи. Подобные случаи здесь рас-
сматриваться не будут.
В качестве второго примера общего характера можно ука-
зать на регулятор скорости, напряжения или частоты. В таких
устройствах цепи регулировки действуют аналогично электрон-
ной усилительной лампе, т. е. позволяют получить значитель-
ные изменения регулирующей величины на выходе при малой
Другие схемы с обратной связью	59
затрате энергии на входе системы. Использование части выход-
ной энергии для управления цепью регулировки является
здесь, естественно, обратной связью. Конечно, в этом примере
нет возможности применить термин „связь" в том смысле, как
это понимается в электрических схемах, поскольку здесь нельзя
говорить об определенной полосе частот, в которой действует
обратная связь. Однако приближенное значение „эквивалентной"
полосы обычно можно найти из рассмотрения той скорости,
с которой срабатывает цепь регулировки. Важной проблемой
в подобных устройствах является уничтожение „качаний",
которые могут считаться эквивалентом нестабильности в уси-
лителях с обратной связью.
ГЛАВА IV
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
1.	Введение
Резюмируем сказанное в предыдущей главе об усилителе
с обратной связью. Усилитель с обратной связью состоит из
р-цепи, посредством которой напряжение передается от входа
к выходу, и р-цепи, передающей напряжение в обратном на-
правлении. Величина обратной связи определяется произведе-
нием рР, представляющим коэфициент передачи по замкнутой
петле, образованной цепями р и р.
Основное физическое свойство схемы с обратной связью
заключается в уменьшении эффекта, вызванного изменениями
в р-цепи, в (1—рр) раз по сравнению с усилителем без обратной
связи. Изменения в р-цепи могут быть связаны как с откло-
нениями величины коэфициента усиления р от нормального
значения, так и с нелинейными искажениями усилителя или
с возникающими в нем помехами. Указанный комплекс понятий
необходим для описания работы усилителя с обратной связью,
а также для обоснования тех функций, которые выполняются
различными частями схемы. В настоящей главе эти понятия
развиваются дальше и используются для чисто математического
рассмотрения вопроса об обратной связи, которое основывается
на общих уравнениях для контурных токов и узловых напря-
жений, разобранных в главе I.
Важно отметить, что система указанных уравнений берется
для всего усилителя в целом, без разграничения между цепями
р и р, в силу чего мы не пользуемся отдельно этими понятиями
при анализе. Последнее обстоятельство обусловлено двумя
причинами. Наиболее очевидная из них заключается в том, что
анализ с помощью уравнений для контурных токов и узловых
напряжений создает удобную базу для последующих теоре-
тических исследований, особенно для рассмотрения соотноше-
ния между обратной связью и стабильностью усилителя.
Вторая причина, которой может быть оправдано развитие
общей теории обратной связи на основе уравнений усилителя,
рассматриваемого как единое целое, связана с теми неопре-
деленностями и неясностями, которые появляются в том случае,
когда мы всецело полагаемся на анализ, базирующийся на
раздельном рассмотрении цепей н и р. Действительно, послед-
Введение
61
ний метод анализа предполагает, что цепи и р представляют
собой четко различимые части схемы, которым могут быть
приписаны определенные свойства, не зависимые друг от друга.
Это подразумевалось, например, в обобщенной схеме, изо-
браженной на фиг. 14. Однако в некоторых приведенных ниже
реальных физических системах не удается провести четкой
грани между двумя цепями, в результате чего неясно, что
следует называть |*-цепью, а что—p-цепью. Затруднения соз-
даются тем, что стабилизирующие свойства схемы, а также
уменьшения искажений определяются н-депью, в то время как
возможное значение величины коэфициента усиления зависит
от Р-цепи.
В качестве простейшего примера, иллюстрирующего труд-
ность четкого разграничения между цепями у. и р, рассмотрим
расчет коэфициента усиления схемы с обратной связью, для
чего воспользуемся уже известным нам уравнением
е
i-rf'
Для вычисления необходимо знать значения р- и рР. Вели-
чина произведения р-Р, представляющая коэфициент передачи
по петле обратной связи, определяется достаточно просто. В то
же время нахождение точной величины усиления р. сопряжено
с определенными трудностями. Эта величина зависит, в частности,
от способа распреде-
ления тока в соедини-
тельных шестипо-
люсниках, показан-
ных на входе и на
выходе усилителя,
схема которого была
приведена на фиг. 16.
Поэтому при опреде-
Фиг. 31
лении величины и мы должны принять во внимание сопротивление
Р-цепи, так как распределение токов, вообще говоря, изменится
в том случае, если мы уберем p-цепь. В некоторых частных
случаях это можно сделать путем исследования соответствующих
уравнений для схемы, хотя, вообще говоря, обычно трудно
определить без дополнительного теоретического исследования,
какие именно ветви р-цепи должны быть учтены при подсчете
величины |». Поэтому расчет р-цепи, обеспечивающей заданную
величину общего коэфициента усиления, усложняется тем,
что некоторые элементы оказывают влияние одновременно как
на величину ji, так и на величину р.р.
Разделение усилителя на цепи ц и р особо затруднено
в случае сложных усилительных систем, содержащих несколько
62
Глава IV. Математическое определение обратно й связи
каналов обратной связи. Весьма характерна в этом отношении
схема с катодной обратной связью, приведенная на фиг. 25, В.
На схеме изображены только элементы, необходимые при
проектировании усилителя. Однако в реальном устройстве
следует учесть также паразитные емкости сетка-катод и анод-
катод в каждой из ламп. Если принять во внимание эти емкости,
то схема приобретет вид, показанный на фиг. 31.
Для целей расчета можно, конечно, разделить элементы
схемы на группы, каждая из которых имеет основное значение
при определении какой-либо величины, например такой, как
коэфициент усиления прямого канала. Тем не менее, нельзя
провести четкого разделения схемы на цепи р- и р, так как
каждый элемент устройства в некоторой степени входит как
в канал прямой передачи, так и в канал обратной передачи.
2.	Возвратное напряжение и уменьшение эффекта,
вызванного изменениями в лампах
Рассмотрение устройств с многоканальной обратной связью
приводит к еще одному положению, обусловливающему необ-
ходимость общего математического определения обратной связи.
Это соображение несколько менее очевидно, чем те, которые
приводились в предыдущем разделе. Основной величиной,
характеризующей передачу по цепи одно-
канальной обратной связи, является произ-
ведение р.р. Если разомкнуть цепь обратной
связи на сетке одной из ламп и приложить
к этбй сетке единичное напряжение, то
появляющееся на другом конце разомкну-
того кольца напряжение будет иметь вели-
чину, как раз равную |ф. В дальнейшем
мы будем называть это напряжение воз-
Фиг. 32
вратным. Как известно, в устройствах с
одноканальной обратной связью уменьшение эффекта, вызван-
ного изменениями в лампах, выражается коэфициентом (1—р$),
величина которого, очевидно, будет всегда находиться в опре-
деленном соотношении с величиной возвратного напряжения.
При применении многоканальной обратной связи напряже-
ние может возвращаться к сетке каждой из ламп различными
путями. Общее возвратное напряжение для какой-нибудь опре-
деленной лампы может быть, однако, найдено по крайней мере
расчетным путем на основании сложения напряжений, попадаю-
щих на сетку этой лампы всеми возможными путями. Последнее
положение иллюстрируется фиг. 32. Здесь 2V представляет
собой полную цепь, за исключением рассматриваемой лампы,
а токи и Р2, соединенные вместе, соответствуют сеточному
Возвратное напряжение
63
вводу лампы при обычных условиях работы. Возвратное на-
пряжение может быть в данном случае определено как напря-
жение, возникающее на точках и О при подаче единичного
напряжения к точкам Р, и О. Точки Р, и Р2 при этом, есте-
ственно, должны быть разъединены. Емкость сетка-анод и сетка-
катод изображены на рисунке подключенными к точке Рь Это
сделано для того, чтобы показать, что при разрыве цепи не
изменяются величины проводимостей, измеренных между
и другими точками схемы.
Представляется также возможным определить величину
отношения между ранее описанным небольшим изменением
величины коэфициента усиления данной лампы и получающимся
при этом изменением величины коэфициента передачи всего
устройства в целом. Естественно было бы предполагать, что
корреляция между величиной этого отношения и величиной
возвратного напряжения в общем случае будет такой же,
как и в устройстве с одноканальной обратной связью. В про-
стейших и наиболее распространенных схемах это предполо-
жение вполне оправдывается. Однако в некоторых схемах
влияние изменений в какой-либо отдельной лампе на общую
величину коэфициента передачи может в сильной степени отли-
чаться в ту или иную сторону от результата, определяемого
величиной возвратного напряжения. Поэтому одна из целей,
которые ставятся при общей математической трактовке вопроса об
обратной связи, состоит в определении условий,при которых воз-
вратное напряжение может служить надежным показателем эф-
фекта, вызванного изменениями в лампах, а также установлению
того, какие поправки должны быть внесены в тех случаях, когда
последнее обстоятельство не имеет места.
Заслуживает внимания еще одна сторона рассматриваемого
вопроса. Из всех частей усилителя электронные лампы более
всего подвержены различного рода изменениям и, кроме того,
они, как правило, являются единственными нелинейными эле-
ментами схемы.
Поэтому с инженерной точки зрения важность обратной
связи состоит главным образом в„корректировании" характе-
ристик электронных ламп. С другой стороны, побочным резуль-
татом применения обратной связи является понижение эффекта
изменений в остальных элементах схемы. Например, эффект
изменения величины междукаскадного сопротивления пони-
жается обратной связью в той же степени, что и эффект из-
менения крутизны характеристики лампы. Следовательно, во
всех случаях, когда разбирается вопрос о соотношении между
обратной связью и эффектом изменения в элементах схемы,
будет вполне законным распространить рассмотрение на двух-
сторонние элементы схемы так же, ка!к и на односторонние.
64
Глава IV. Математическое определение обратной связи
Аналитическая теория обратной связи, развиваемая в настоя-
щей главе, одинаково применима к элементам обоих типов.
Однако чтобы упростить изложение, мы будем говорить
только об односторонних элементах. Применение анализа к
случаю двухсторонних элементов приводится несколько позже.
3.	Возвратное отношение, возвратная разность
и чувствительность
В предыдущем разделе было указано, что понятие „вели-
чина обратной связи" заключает в себе две различные идеи.
Первая из них связана с явлением передачи сигнала по замкну-
той петле и с наличием напряжения обратной подачи. Вто-
рая относится к уменьшению эффекта, вызванного изменениями
параметров ламп. В обычных схемах обе эти идеи связаны
простыми математическими соотношениями, так что термин
„величина обратной связи" охватывает как ту, так и другую.
В некоторых специальных схемах, в которых корреляция
между двумя указанными идеями нарушается, первая из них
ближе согласуется с обычным физическим представлением об
обратной связи. Поэтому она будет взята за основу в общем
случае при математической трактовке обратной связи. Во из-
бежание возможной путаницы к этому понятию будет приме-
няться новый термин — возвратная разность. Другое общее
понятие, связанное с уменьшением эффекта, вызванного изме-
нениями в лампах, мы будем называть чувствительностью.
Возвратная разность или коэфициент обратной связи, а также
чувствительность будут обозначаться соответственно симво-
лами F и S. Обе эти величины аналогичны величине (1—рф) в
устройстве с одноканальной связью. В случае схемы, изображен-
ной на фиг. 32, „возвратная разность", являющаяся сокращением
термина возвратная разность напряжений, представляет собой
напряжение между точками Pt и Р<), при указанных выше усло-
виях измерения. Величина (1—р(3) выбрана в качестве основной
единицы, так как при этом в большинстве случаев формулы полу-
чаются более простыми, чем в случае использования величины р₽.
Величину коэфициента передачи по замкнутой петле мы
будем обозначать через 1-f- Т. Таким образом, в случае
обычного усилителя, Т равно—рф1). Величину Т в дальнейшем
‘) Введение знака „минус" может быть объяснено тем, что обычный уси-
литель с обратной связью содержит нечетное число ламп, которые создают
нечетное число поворотов фазы напряжения на 180°. Поэтому Т равно коэ-
фициенту передачи по замкнутой петле без учета этого общего фазового
сдвига, и обычно является положительной величиной, если не принимать во
внимание возможные фазовые сдвиги в междукаскадных цепях и в цепях
обратной связи. Знак, выбранный для Г, наиболее удобен также в тех слу-
чаях, когда мы имеем дело с двухсторонними элементами.
Определение возвратного отношения
65
мы будем называть возвратным отношением. Для полноты
терминологии следовало бы.ввести также обозначение величины
S— 1, но этого мы делать не будем, учитывая, что такое обо-
значение может применяться лишь в редких случаях.)
4.	Определение возвратного отношения
и возвратной разности
Чтобы дать более точное определение величин, описанных
в предыдущем разделе, будем считать вход общей схемы первым
контуром, или узлом, а выход—вторым. Обозначим также сеточ-
ный и анодный вводы рассматриваемой лампы соответственно
3 и 4, а ее крутизну — через W. Таким образом, W будет соот-
ветствовать величинам Z43 и Yi3 в общей системе уравнений
для контурных токов и узловых напряжений. В последующих
разделах определение возвратного отношения и возвратной
разности будет распространено на двухсторонние элементы.
Вид возвратного отношения и возвратной разности останется
тем же, если W будет представлять собой двухсторонний эле-
мент, за исключением случаев, когда W является в большей
степени частью собственного сопротивления Z33 или собствен-
ной проводимости У33, чем элементом связи Z43 или У43.
Коэфициент передачи по замкнутой петле или возвратное
напряжение на фиг. 32 может быть получено путем умноже-
ния величины взаимного иммитанса W на коэфициент рас-
сматриваемой обратной передачи от анода к Рх. Чтобы при
этом был обеспечен требуемый разрыв цепи между точками
Pi и Р2, мы можем не размыкать эти точки, но считать лампу
выключенной. Обозначая определитель схемы при W = 0 сим-
волом Д°, получим из уравнений (1,10) и (1.24) значение ко-
эфициента ооратной передачи в виде Д43/Д®. Так как знак
минус, получающийся благодаря фазовому сдвигу в лампе,
уничтожается тем, что Т равно — рф, имеем следующее выра-
жение для F:
Р —l + T=\+W^.	(4.1)
Но, как следует из рассуждений, приведенных в связи
с уравнениями (1.11), (1.12), (1.13) и (1.14), A®-f-U7AtJ равно
значению определителя схемы в случае, если величина взаим-
ного иммитанса лампы имеет свое нормальное значение W.
Поэтому, обозначая определитель схемы обычным символом: Д,
мы можем записать уравнение (4.1) в виде:
F = до	(4.2)
* Зак. 1327
66 Глава IV., Математическое определение обратной связи
Чтобы подчеркнуть важность последней формулы, а также
подготовить почву для рассмотрения схем с двухсторонними
элементами в последующих разделах, мы изложим смысл этой
формулы в виде следующего определения:
Определение. Возвратная разность, или коэфициент
обратной связи, для любого элемента сложной схемы равна,
отношению значений определителя схемы при нормальной
величине указанного элемента к значению определителя,
соответствующего отсутствию в схеме этого элемента.
Уравнение (4.2) представляет собой, вероятно, наиболее
удобную расчетную формулу при аналитическом рассмотрении
вопроса об обратной связи. Некоторые примеры применения
этой формулы при анализе схем с обратной связью будут
даны в следующей главе. То обстоятельство, что в этом урав-
нении F выражается через определитель схемы, представляет
особые удобства при изучении соотнсшения между обратной
связью и устойчивостью схемы, так как по корням определи-
теля оказывается возможным судить, является ли система
устойчивой. Формула (4.2) полезна также при исследовании
систем с многоканальной обратной связью, так как в этом слу-
чае для расчета коэфициента обратной связи по различным
каналам достаточно один раз определить значение определи-
теля схемы и не производить полный расчет отдельно цля
каждой лампы.
5.	Возвратная разность для общего случая
Обобщим теперь понятие возвратной разности, смысл ко-
торой, вероятно, станет полностью ясным лишь значительно
позднее. При выводе уравнения (4.1) мы основывались на опре-
деленном состоянии схемы, которое получилось при W = 0.
Таким образом, коэфициент обратной передачи от анода к сетке
был получен для указанного выше состояния схемы. Коэфи-
циент прямой передачи W, на который необходимо умножить
коэфициент обратной передачи для получения общего коэфи-
циента передачи по замкнутой петле, может рассматриваться
как W — 0, или же как превышение действительной величины
взаимного иммитанса лампы над указанным значением. Мы
можем, очевидно, произвести подобный расчет для любого
состояния схемы, определяемого условием W=k. При этом
общий коэфициент передачи для всей замкнутой петли
будет равен действующему значению взаимного иммитанса W—k,
умноженному на величину коэфициента обратной передачи
от анода к сетке, определенному при условии W = k. В этом
случае величина коэфициента обратной передачи будет в не-
Возвратная разность для общего случая
67
которой степени зависеть от величины обратной связи, так
как лампа теперь не полностью выключена. Это, однако, при-
водит к трудностям скорее практического, чем теоретического
характера. Величина k может быть выбрана какой угодно.
Например, она может быть равна некоторому значению вза-
имного иммитанса, при котором данная лампа подлежит замене
новой, или же такому значению, при ^котором получается
заданный общий коэфициент усилителя всего устройства.
Последнее условие используется в последующих приложе-
ниях.
Возвратное отношение и возвратная разность, получаю-
щиеся в результате расчета для случая W—k, будут в даль-
нейшем называться возвратным отношением и возвратной раз-
ностью величины W относительно k. Значение этой возврат-
ной разности, которую мы обозначим через Fk, записывается
в виде
Fa = 1+(IF-£)^,	(4.3)
где Д* равно значению определителя схемы при W = k. Но
если учесть, что
Д*=±= Д° + ЛДИ, а Д = Д»4-1РДИ,
где Д°, как и раньше, представляет собой значение определи-
теля схемы при W = 0, то уравнение (4.3) может быть пере-
писано в следующем виде:
(4-4)
Это уравнение, как мы видим, аналогично (4.2) и так же
как и последнее используется в дальнейших рассужде-
ниях. Уравнение (4.4) приводит к простому способу опреде-
ления возвратной разности относительно k по известной ве-
личине возвратной разности относительно нуля. Действительно,
умножая и деля правую сторону (4.4) на Д°, получаем
F (W) — — - =	(4.5)
1 k\w ) додя F(k)
Полученный результат сформулируем в виде следующей тео-
ремы:
Теорема. Возвратная разность относительно любой за-
данной величины, k равна отношению двух возвратных раз-
мостей относительно нуля, из которых первая взята при
нормальном, для данной схемы значении W, а вторая —
при W, равном заданной величине k.
68 Глава IV. Математическое определение обратной связи
Понятие о возвратной разности относительно величины»
отличной от нуля, будет использовано в конце настоящей
главы. В то же время, если не сделано никаких оговорок,
мы будем считать, что термин „возвратная разность" относится
к случаю kc=0.
6.	Возвратная разность для двухстороннего элемента
Полагая, что уравнение (4.2) определяет возвратную раз-
ность, мы формально распространим анализ на двухсторонние
элементы, так же как и на односторонние, учитывая, что Д и Л*
имеют в обоих случаях одинаковый смысл. Легче всего по-
нять физическое содержание возвратной разности для двух
стороннего элемента, используя вместо уравнения (4.2) пред-
шествующее ему уравнение (4.1). Если W является составной
частью У8з или Z33, то очевидно, что в случае двухстороннего
элемента мы имеем Д = Д° -f- й^Дзз. Подставляя это выражение
в (4.2), получаем:
+	+	(4-6)
Нетрудно видеть, что последнее выражение сходно с (4.1), за
исключением того, что здесь Д43 заменено на Д33.
Рассматривая соотношение (4.6), можно понять смысл воз-
вратной разности для случая двухстороннего элемента. Пред-
положим, например, что W представляет собой сопротивление.
Тогда Д°/Д3з будет являться сопротивлением контура, содержа-
щего W при IF = 0, если измерение сопротивления произво-
дить со стороны генератора. Другими словами, это есть со-
противление контура, подключенного к зажимам W. Поэтому
возвратное отношение Т = W&aa/&9 будет равно отношению
сопротивления W к сопротивлению остальной части контура.
Возвратная разность F равна отношению величины полного
сопротивления контура, включая W, к величине сопротивления
оставшейся внешней части контура. Аналогичным образом,
если W представляет собой проводимость, то возвратное отно-
шение Т и возвратная разность F будут соответственно равны
отношению проводимости W к проводимости остальной части
контура и отношению проводимости всего контура к прово-
димости части контура без W *).
*) Эти соотношения справедливы, конечно, для обоих типов цепей: актив-
ных и пассивных. Важно отметить, что в том случае, когда схема содеожит
электронную лампу, сопротивление внешней цепи должно быть активным,
соответствующим включенным лампам. Это сопротивление может быть со-
вершенно отличным от сопротивления, получающегося за счет только пас-
сивных элементов. Методы расчета активного сопротивления, исходя из пас-
сивного, будут описаны в следующейглаве.
Определение чу ветвит е льност и	69
С этой точки зрения понятие возвратной разности для двух?
стороннего элемента выражает известное положение, заключаю?
щееся в том, что генератор не может развивать на своих
внешних зажимах полную величину э. д. с., так как существует
падение напряжения на внутреннем сопротивлении генератора.
Это падение напряжения на внутреннем сопротивлении гене-
ратора и представляет собой „возвратное® напряжение. Оно
является возвратным в том смысле, что уже не может быть
приложенным к внешней цепи.
Примем, что W представляет собой сопротивление Z, а со-
противление внешней части контура обозначим через Zo. При
отсутствии Z генератор единичного напряжения создает ток
в контуре, равный 1/ZO. Введение Z в контур эквивалентно до-
бавлению или „возвращению® к источнику напряжения — Z/Zo.
Предполагается, что при добавлении Z сила тока в контуре
не изменяется. Поэтому возвратная разность представляет
собой разность между исходным и возвратным напряжениями,
т. е. действительное напряжение, приложенное к внешней цепи,
7.	Определение чувствительности
Вернемся теперь ко второму понятию, рассматриваемому
в настоящей главе, а именно к чувствительности. Для иллю-
страции сущности этого понятия обратимся к уравнению (3.6),
которое имеет вид
__	1 dp
—• 7-
Это уравнение, очевидно, показывает, что отношение про-
центного изменения в р-цепи к процентному изменению вы-
ходного напряжения, вызванного указанным изменением в р-це-
пи, определяется величиной (1 — рР). Другими словами, (1 — рР)
есть мера чувствительности всей схемы к малым изменениям р.
Применение уравнения (3.6) ограничивается, конечно, слу-
чаями p-элементов в обычных схемах с обратной связью. Чтобы
иметь выражение чувствительности для более общего случая,
примем общий коэфициент усиления схемы равным 6. Тогда
можно дать следующее определение:
Определение. Чувствительность S элемента W опреде-
ляется выражением
5 = —(4.7)
d(ln U7)
Это определение в одинаковой степени применимо как к двух-
хторонним, так и к односторонним элементам. Соотношение
70 Глава IV. Математическое определение обратной связи 
между (4.7) и (3.6) может быть сделано более очевидным, если
мы выразим 0 в виде логарифма выходного напряжения Er и,
кроме того, заменим частную производную обыкновенной, по-
лагая, что W является единственным элементом в схеме, кото-
рый может изменяться.
При этом (4.7) примет вид
_1 dW
~Е^~ S W
(4.8),
Таким образом, 5 представляет собой, в общем случае, от-
ношение процентного изменения величины W к возникающему
при этом процентному изменению Er.
Очевидно, (1 — рф) представляет собой как раз соответствую-
щее отношение между изменениями р. и Er в частном случае
усилителя с одноканальной обратной связью. В среднем можно
считать, что 5 имеет величину порядка единицы. Например, в
обычном усилителе без обратной связи изменение общего коэфи-
циента усиления всего усилителя равно 1 дб на каждый децибел
изменения коэфициента усиления какой-нибудь из ламп.т. е.
величина S для любой из ламп равна в точности едини-
це. ,В других случаях S может быть значительно больше
единицы.
Если, например, общий коэфициент усиления изменяется на
0,01 дб при изменении на 1 дб величины W, то чувствитель-
ность S будет равна 100. Этот результат мы можем получить
для элементов в цепи прямой передачи усилителя, для кото-
рого величина обратной связи равна 40 дб. Такая величина
чувствительности может быть получена даже в случае чисто
пассивной схемы, если W представляет собой элемент сопро-
тивления, мало влияющий на значение общего коэфициента
передачи. Чувствительность 5 может иметь также величину,
намного меньше единицы. Это имеет место, например,
в регенеративном усилителе при критической обратной
связи, а также в обычной схеме, включающей сбалансиро-
ванный мост или реактивную ветвь с острой резонансной
кривой.
Следует отметить, что, хотя при рассмотрении возвратной
разности мы и указываем месторасположение входных и вы-
ходных зажимов системы, все же это обстоятельство непо-
средственно не учитывается в нашем анализе. Однако следует
учитывать, что величина чувствительности зависит от значения
коэфициента передачи всей схемы. Поэтому она будет опре-
деляться, вообще говоря, месторасположением входных и вы-
ходных зажимов системы, а также выбором самого эле-
мента W.
Общая формула для чувствительности
71
8.	Общая формула для чувствительности
Для более конкретного определения чувствительности
исследуем функциональную зависимость, существующую ме-
жду 6 и W. Если мы сохраним обозначения, которыми пользо-
вались в предыдущих разделах, и обозначим выходное со-
противление или проводимость через Wr, то общий коэфициент
усиления схемы в общем виде может быть записан следующим
образом:
(4.9)
В главе I было показано, что Д12 и Д являются линейными
функциями от W. Поэтому, если обозначить значение этих
определителей при 117=0 через Д®, и Д°, то уравнение (4.9)
можно записать следующим образом:
w.io)
Это уравнение справедливо для любых значений W. Для
последующих рассуждений представляет интерес случай,
когда 117=0. Коэфициент усиления при этом условии назы-
вается коэфициентом. непосредственной передачих).
Обозначим эту величину через 60-
Тогда
(4.11)
Применяя определение чувствительности S, данное форму-
лой (4.7), к общему уравнению (4.10), мы после некоторых
преобразований получаем
С _ 11 '(М, + W^124.) (Д’ +	U 1 ПЛ
“ w Д’Д1Ш-Д?,Д4.	'
Последнее уравнение может быть упрощено с помощью
общего равенства из теории определителей, которое часто
применяется в анализе цэпзй. Эго равенство имеет вид]
^^ab,cd== ^ab&cd ^ad^cb >	(4 Л 3)
где Д — некоторый определитель, а и с —две любые строки,
b и d — два любых столбца определителя Д. Полагая Д° общим
определителем Д в соотношении (4.13) и используя последнее
для преобразования (4.12), получаем:
	5 =	(4.14)
*) При этом происходит передача непосредственно к выходу схемы, без
какого-либо влияния со стороны элемента W.
72 Глава IV. Математическое определение обратной связи
Если W в большей степени является двухсторонним эле-
ментом Z33 или К33, чем односторонним элементом Z43 или У43,
то все этапы вывода от соотношения (4.9) до (4.14) в точности
повторяются. Однако везде вместо индекса 4 необходимо ста-
вить индекс 3.
9.	Возвратная разность и чувствительность
в простейших случаях
Вывод общей формулы (4.14), приведенный в предыдущем
разделе, был сделан главным образом для того, чтобы полу-
чить результат в достаточно общем виде. В практических
случаях обычно оказывается более простым определить зна-
чение чувствительности, исходя из возвратной разности. Во-
обще говоря, чувствительность и возвратная разность для дан-
ного элемента не равны между собой, так что если мы желаем
подсчитать S, исходя из F, то прежде всего необходимо найти
соотношение между ними.
Выводу этих соотношений посвящены несколько следую-
щих разделов. Рассмотрим, однако, частный случай, когда F uS
равны друг другу. Это имеет место, когда коэфициент непо-
средственной передачи, определяемый уравнением (4.11), равен
нулю. Если мы положим затем, что равен нулю, то анализ,
приведенный в предыдущем разделе, значительно упрощается.
Так, подставляя это условие непосредственно в уравнение (4.12),
сразу получаем
о д» + Ш48_ Д	М1кЧ
до до*	(4*15)
Такой же в точности вид имеет формула (4.2) для возврат-
ной разности. Это дает нам возможность сформулировать сле-
дующую теорему:
Теорема. Чувствительность и возвратная разность
равны друг другу для любого элемента, имеющего коэфициент
непосредственной передачи, равный нулю.
Наиболее часто встречающимся примером элемента, для
которого справедливо это условие, является электронная лампа
в прямом канале обычного усилителя с обратной связью.
Практически можно считать, что коэфициент передачи
устройства будет равен нулю, если одна из ламп выключена,
хотя, строго говоря, только в редких случаях это положение
будет совершенно точным. Обычно некоторый ток будет про-
текать через 0-цепь в нагрузку даже тогда, когда у. = О1).
’) Это имеет место при отсутствии сбалансированного моста на входе
или на выходе схемы.
Возвратная разность и чувствительность
73~
Однако величина этого тока, как правило, значительно меныпе-
величины нормального выходного тока. Пренебрегая ввиду
этого током через 0-цепь, мы можем для практических целей
считать, что удовлетворяется условие, при котором приведен-
ная теорема справедлива. Конечно, в этом случае она не вы-
ражает ничего нового.
Учитывая, что теорема не требует никаких допущений, за
исключением только ничтожно малого значения коэфициента
непосредственной передачи, она может применяться в случаях,
схем, существенно отличающихся от обычных устройств с одно-
канальной обратной связью. В качестве простого примера
двухстороннего элемента, к которому может быть применена,
указанная теорема, приведем лестничную цепь. Очевидно,
в такой схеме можно получить нулевой коэфициент передачи
при W—0, если сопротивление W стоит в параллельной ветви,
В случае, когда под W подра-
зумевается проводимость, она
должна быть помещена в после-
довательную цепь. Подобная
схема показана на фиг. 33.
Фиг. 34
Фиг. 33
Предполагается, что передача происходит от Zt к Za, причем"
переменный параметр W представлен элементом Z. Возвратная
разность может быть в этом случае записана в виде отношения
сопротивлений
7 I Z1Zt
Р_	_ад + 2(2.+^)	,	.
г— ад ~ ад, •	л
адг,
С другой стороны, при воздействии на систему единичным
напряжением со стороны Zb через цепь Za будет протекать
ток, равный
ei ~ ад+г(адг2) ’	(4-1
откуда
= z/ад +zi 'd4-	<4-18>
ZjZa-f-Z (Z1-f--^2/
74 Глава IV- Математическое определение обратной связи
На основании (4.8) можно заключить, что коэфициент в пра-
вой части (4.18) равен 1/S. Таким образом, справедливость
теоремы подтверждена для этого случая.
В качестве второго примера приведем мостовую схему,
изображенную на фиг. 34. В этой схеме передача осущест-
вляется от Zi к Z4, переменным элементом является Z,
а остальные сопротивления подобраны таким образом, что
мост оказывается сбалансированным при Z = 0. Для простоты
все сопротивления, кроме Z, примем равными 1. Тогда Z и Z4
будут сопряженными величинами.
При этом
ie = 2Tz¥'	<«’)
Это соотношение может быть проверено путем рассмотре-
ния уравнений для моста, что требует, однако, громоздких
алгебраических выкладок, приводить которые здесь было бы
нецелесообразно.
10.	Схемы со значительной величиной непосредственной
передачи
Возвратимся теперь к случаю, когда нельзя пренебрегать
непосредственной передачей. Примеры элементов, обладающих
заметной величиной непосредственной передачи, могут быть
легко найдены среди обычных усилителей с одноканальной
обратной связью. Например, элементы 0-цепи в большинстве
случаев принадлежат к этому классу, так же как и многие
элементы обычных входных и выходных цепей. Наконец, эле-
менты • схем мостового типа также обычно относятся к этой
категории *). Более сложный случай имеет место тогда, когда IF
является взаимным иммитансом лампы в схемах с многока-
нальной обратной связью.
Подобный пример показан на фиг. 35. Изображенная схема
является однокаскадным усилителем с обратной связью, но
она может также представлять собой последний каскад уси-
лителя с двухканальной обратной связью, схема которого при-
ведена на фиг. 27. Сопротивления Zt и Zg могут рассматри-
ваться как сопротивления, стоящие на входе и выходе в слу-
чае усилителя с одноканальной обратной связью. Сопротив-
ление Z8 представляет собой элемент обратной связи, a Z8
я Z4 — соответственно сопротивления сетка-катод и анод-катод.
Ч Исключения для схем этого типа имеют место в особых случаях,
подобных показанному на фиг. 31, где мост оказывается сбалансированным
при переменном элементе, равном нулю.
Соотношение между чувствительностью и возвратной разностью 75
Если коэфициент усиления лампы принять равным нулю,
то схема приводится к виду, показанному на фиг. 36, причем
для случая однокаскадного усилителя коэфициент передачи
этой схемы, очевидно, представится величиной е°°, определен-
ной из уравнения (4.11). Соответствующим выбором элементов
Z$ и Z4 можно получить какое угодно соотношение между
коэфициентом передачи этой схемы и коэфициентом усиления
лампы. Если, например, Z3 весьма мало, a Z.2 и Z4 достаточно
велики, то величина коэфициента непосредственной передачи
будет незначительной. В том случае, когда Z2 и Z4 доста-
точно малы, a Z3 очень велико, непосредственная передача
может играть более существенную роль, чем передача через
лампу. Выбрав соответствующим образом величины сопротив-
лений, можно при некоторых заданных условиях обеспечить
Фиг. 36
взаимное уничтожение токов, получающихся на выходе за счет
непосредственной передачи и передачи через лампу, так что
напряжение на выходе будет равно нулю.
В обычных случаях Z3 будет, конечно, малым, a Z2 и Z4 —
весьма большим, так что ток, получающийся за счет непосред-
ственной передачи, может считаться значительно меньшим
по величине, чем ток, протекающий через лампу. В случае
сложного усилителя это означает, что мы обычно имеем право
пренебрегать током непосредственной передачи. Если речь
идет о последнем каскаде усилителя с многоканальной обрат-
ной связью, то остальная часть устройства должна также быть
рассмотрена с точки зрения непосредственного прохождения
тока к выходному нагрузочному сопротивлению. В этом случае
даже небольшой ток, протекающий непосредственно через
пассивные элементы (фиг. 36), может играть иногда существен-
ную роль. Причины, обусловливающие это различие влияния
непосредственной передачи, будут рассмотрены позже.
11.	Общее соотношение между чувствительностью
и возвратной разностью
В случае, когда непосредственная передача имеет значи-
тельную величину, ею удобно воспользоваться для того, чтобы
определить значение остальной части выходного напряжения
76 Глава IV. Математическое определение обратной связи
или тока. Мы будем интересоваться только разностью между
нормальным выходным напряжением (током) и напряжением
(током), непосредственно переданным к выходу. Исходя из
уравнений (4.10) и (4.11), можем записать:
е» — е6» = д‘3	Wr — -1— Wr =
е е д»+«7д43 r	д» Wr
— 1F(AOAJM3 — д?8 д48) цгл	/4 9ЛЪ
~ Д°(Д»+ ГД43) Wr'	(4.20)
Последнее уравнение может быть упрощено с помощью
общего соотношения (4.13), в результате чего получим:
еэ _	= —~ UZA.13.^» де,	(421)
с с ДО (Д» + 1ГД33) R‘	V*-61/
Рассмотрим теперь „чувствительность" величины е9 — е9°,.
понимая под этим термином, как обычно, отношение между
процентным изменением величины W и соответствующим про-
центным изменением величины е9 — е9». Правая часть уравне-
ния (4.21), как функция от U7, очень похожа на правую часть
уравнения (4.10), когда Д?2=0. Разница между ними заклю-
чается только в том, что величина Дшз в (4.10) заменена
в (4.21) величиной —Д13Д42/Д°. Но при определении чувстви-
тельности из (4.10) при Д®^ = 0 мы пришли к (4.15), куда не
входит Д1М3.
Таким образом, можно сформулировать следующую тео-
рему:
Теорема. Для данного элемента W чувствительность-
разности (е9 — г9») между нормальной величиной выходного
напряжения (тока) и величиной, непосредственно передан-
ной к выходу, равна возвратной разности для этого эле-
мента.
Эта теорема включает, конечно, как частный случай при-
веденную ранее теорему для схемы с нулевым значением
непосредственной передачи. Если бы мы исходили из ранее
приведенной теоремы, то настоящий результат был бы очевиден
для схемы, составленной из двух параллельных каналов, один
из которых содержит W и не имеет непосредственной пере-
дачи, а второй допускает непосредственную передачу, но не
включает в себя W. Такой случай очень мало похож на то,
что в действительности имеет место, так как почти всегда оба
канала могут взаимодействовать между собой на входных и
выходных зажимах схемы, если даже в других местах воз-
можность токов взаимодействия исключена. Однако теорема
показывает, что любая схема действительно может рассматри-
Соотношение между чувствительностью и возвратной разностью 77
(4.22)
ваться как состоящая из двух каналов, даже если физически
невозможно произвести разделение схемы на такие каналы.
Приведенная теорема может быть также выражена в ана-
литической форме, которая более удобна для расчетов. Если
выходное напряжение системы изменяется на определенную
величину, то это изменение в процентах будет, очевидно,
обратно пропорциональным величине рассматриваемого выход-
ного напряжения. Поэтому выраженное в процентах измене-
ние величин е9 и (е9 — е9»), вызванное изменением в элементе W,
будет равно отношению величины (е9 — е9») к е9.
Учитывая, что чувствительность представляет собой обрат-
ную меру процентного изменения, что следует из (4.8), мы
можем записать теорему в аналитической форме следующим
образом:
F е9 — е9» .	е9®
s ?	~ Т9 ’
где S, как и прежде, представляет собой чувствительность
для всего выходного напряжения е9.
Этот результат может быть получен непосредственно из
•формул (4.2), (4.10), (4.11) и (4.14) и является справедливым
для любой схемы. Он относится как к двухсторонним, так и
к односторонним элементам. Уравнение (4.22) представляет
особый интерес в смысле быстрой оценки того, является ли
возвратная разность достаточной мерой чувствительности, или
для определения последней требуются более сложные расчеты.
Так как обычно мы имеем дело с чувствительностью порядка
лишь нескольких дб, то можно считать, что возвратная раз-
ность может рассматриваться как мера чувствительности до
тех пор, пока е9» не более е9 по абсолютной величине. Однако,
когда эти величины мало отличаются по абсолютному значению
и по фазовому углу, то оценка, произведенная указанным
методом, не дает надежных результатов. С другой стороны,
в схемах, где е9« значительно больше е9 по абсолютной вели-
чине, чувствительность будет намного меньше, чем возвратная
разность.
Использование уравнения (4.22) будет более детально иллю-
стрировано рассмотрением трех различных случаев. В качестве
первого примера примем, что W есть крутизна одной из ламп
обычного усилителя с обратной связью. Чтобы говорить о чем-то
определенном, будем считать, что нормальное условие е9 равно
40 дб. Величина коэфициента передачи е9®, получающегося при
1F=O, будет определяться, в частности, видом выбранной
схемы. Например, если на входе или на выходе имеется сбалан-
сированный мост, так что 0-цепь и внешняя цепь соединены
между собой, то эта величина будет равна нулю. При других
78 Глава IV. Математическое определение обратной связи
обстоятельствах она не будет точно равна нулю и мы можем
считать ее равной —40 дб, исходя из общего правила, со-
гласно которому внешнее усиление будет равно затуханию
в р-цепи. Таким образом, отношение е9»/е9 имеет величину по-
рядка —80 дб, и различие между чувствительностью и воз-
вратной разностью незначительно.
Во втором примере будем считать, что W находится в р-цепи
и представляет собой либо параллельное сопротивление, либо»
последовательную проводимость, либо, наконец, крутизну по-
следней лампы, как показано далее на фиг. 39. В любом из.
этих случаев при W = 0 цепь обратной связи разрывается*
так что е9° оказывается намного большей величиной, чем е9..
Поэтому изменение величины W в большей степени влияет
на общий коэфициент передачи, чем это показывает расчет
возвратной разности.
Третий случай может быть представлен с помощью схемы,
приведенной ранее на фиг. 35. Если показанное там устройство
является сложным усилителем с обратной связью, то этот слу-
чай в основных чертах подобен первому из рассмотренных.
Разница между ними определяется тем, что поскольку теперь
схема имеет только одну лампу, то возможно, что величины
0о и 0 будут численно меньшими, чем это предполагалось ранее.
Мы можем положить, например, что отношение е90/е9 равно
—30 дб. При этом различие между возвратной разностью и чув-
ствительностью оказывается в большинстве случаев все еще
незначительным. Положение, совершенно отличное от описан-
ного, имеет место тогда, когда указанная схема представляет
собой последний каскад усилителя с двухканальной обратной
связью. Здесь 60 и 6 относятся к коэфициенту передачи всего
усилителя и, благодаря обратной связи по основному каналу,
эти величины мало изменяются даже при изменениях коэфи-
циента усиления рассматриваемого последнего каскада. Если,
например, нормальная обратная связь равна 40 дб, то при
уменьшении усиления в схеме, изображенной на фиг. 35, на
30 дб при W, равном нулю, еще остается обратная связь
в 10 дб по основному каналу. Разница между значениями е9»
и е9 поэтому обусловлена только |ф-эффектом, при умень-
шении усиления от 40 до 10 дб.
Отсюда следует, что F будет, очевидно, намного меньше,
чем S в (4.20), так что действительная стабилизация схемы при
изменении в последней лампе будет намного большей, чем это
показывает расчет возвратной разности для данной лампы.
Этот несколько неожиданный результат можно физически
объяснить тем, что в устройстве с многоканальной обратной
связью напряжение может подаваться с анода последней лампы
на ее сетку двумя различными путями. Первый из них про-
Исходное значение для W
79
ходит через основную 0-цепь и первые каскады усилителя,,
а второй — прямо через элементы местной обратной связи.
Будем полагать, что эти две цепи образуют усилитель с обрат-
ной связью, в котором первая из указанных цепей является
р-цепью, а вторая 0-цепью. При этом можно считать, что
имеется некоторый коэфициент усиления по замкнутому каналу
обратной связи этого усилителя и что введение обратной связи
должно поэтому уменьшать его усиление. Другими словами,
введение элементов местной обратной связи уменьшает обрат-
ное напряжение последней лампы.
Грубо говоря, различие между F и S является показателем
того, что этим эффектом можно пренебречь. Возвратное напря-
жение, которое лучше всего характеризует эффективную ста-
билизацию схемы при изменениях величины W, может быть
получено при отсутствии местной обратной связи. В первом
приближении введение цепи местной обратной связи не влияет
на обратную связь в последней лампе, но, конечно, влияет
на обратную связь в оставшихся лампах, изменяя коэфициент
передачи по основному каналу. Более детально этот вопрос рас-
сматривается в одной из следующих глав.
12.	Исходное значение для W
Рассмотренный выше метод расчета чувствительности со-
стоял в выделении непосредственно передаваемой составляющей
общего выходного тока и в использовании последней величины
для нахождения действующего значения выходного тока. Для
Обычного усилителя с одноканальной обратной связью это
иллюстрируется фиг. 37. Реальная двухсторонняя 0-цепь уси-
лителя здесь символически представлена в виде совокупности
двух односторонних компонент 0! и 02. Если предположить,
что элемент W здесь отождествлен со всей у-цепью, то ком-
понента 02 будет обеспечивать непосредственную передачу.
.80 Глава IV. Математическое определение обратной связи
Это эквивалентно тому, что мы рассматриваем действие ₽2
в образовании выходного напряжения отдельно от действия
идеального усилителя с обратной связью, образованного ком-
бинацией цепей jx и и обведенного на фиг. 37 пунктирной
.линией. Мы могли бы также учесть непосредственную пере-
дачу, изменив начало отсчета, относительно которого опреде-
ляется переменный элемент W. Например, мы можем представить
объединенными в одно целое не |1и а р. и 02, как показано на
фиг. 38. При этом устройство превращаете я в идеальный усилитель
с одноканальной обратной связью без непосредственной пере-
дачи, в котором действующее значение коэфициента усиления по
лрямому каналу равно р-' = у. -f- 02. Это эквивалентно отсчету р от
.точки, сдвинутой относительно 0 на —р2. Использование
относительной точки начала отсчета для величины элемента W
в большинстве элементарных случаев является ненужным
усложнением, ибо задачу можно решить ранее показанными
методами. Однако этот метод все же заслуживает внимания,
так как в некоторых случаях удается таким образом упростить
анализ. Последнее обстоятельство станет более ясным в главе VI.
В общем случае новое начало отсчета W будет называться
исходным значением W. Обозначаемое через IF0, оно будет
соответствовать следующему определению:
Определение. Исходным значением данного элемента назы-
вается ' такое значение, при котором общий коэфициент
передачи схемы делается равным нулю. При этом все другие
элементы схемы имеют свои нормальные величины.
Ранее было указано, что расчет величины возвратной раз-
ности в общем случае может основываться на использовании
произвольной исходной величины W. С этой точки зрения W
представляет собой особый случай, который мы называем
^исходным. Очевидно, что исходные условия несколько похожи
Исходное значение для W
81
на условие баланса моста и что определение величины W
«ереэ ее отклонение от сходно с определением в мостовой
схеме величины сопротивления одного из плеч моста по сте-
пени отклонения от некоторой критической величины, при
которой мост оказывается точно сбалансированным. Напомним,
что таким методом мы пользовались для упрощения анализа
схемы, приведенной на фиг. 34. Из уравнения (4.10) значение W,
для односторонних и двухсторонних элементов соответственно
определяется следующим образом:
	До
^0 = -^.	(4.24)
Обозначим отклонение W от его исходного значения через W,
т. е. ^' = №-№7
Тогда уравнение (4.10) примет вид
е* =----дЛ^--------.	(4.25)
а1248
В этом выражении функциональная зависимость <?’ от W
идентична зависимости е® от W в исходном уравнении (4.10),
если положить Д°, = 0.
Следовательно, мы здесь можем поступить так же, как и
при выводе уравнения (4.15), которое относилось к чувстви-
тельности для случая, когда значение коэфициента непосред-
ственной передачи было равно нулю. Ввиду того что заданная
величина процентного изменения W, вообще говоря, не равна
процентному изменению W, значения чувствительности, рассчи-
танные по формуле (4.25) и по формулам (4.7) или (4.8), не будут
равны друг другу. Во избежание недоразумений, результат, полу-
ченный по формуле (4.25), будет называться относительной
чувствительностью, которую мы будем обозначать через 5'.
Тогда
S'=—^-=1+»"т=г-	<4-26>
d(ln W)
где
Д' = Д’-^-Д43.	(4.27)
^1248
Очевидно, что Д' представляет собой, значение Д при W=0.
Если уравнение (4.27) упростить с помощью уравнения (4.13),
то мы сможем записать выражение для 5' следующим образом:
5' = 1-=	(4.28)
АцД« ДцД«
4 Зак. 1327
92 Глава IV. Математическое определение обратной связи
Нетрудно убедиться в формальной аналогии между резуль-
татами, полученными сейчас, и результатами для обычной схемы
с нулевым значением коэфициента непосредственной передачи.
Например, (4.26) в точности совпадает с (4.15), если W заме-
нить величиной IF, а Д' - величиной Д°. Такие же точно за-
мены мы производим при переходе от возвратной разности
для 117=0 к возвратной разности для	Это приводит
нас к следующей теореме:
Теорема. Относительная чувствительность для данного
элемента W равна возвратной разности величины W отно-
сительно
Нам осталось еще определить S' через более удобные для
измерения величины, а также найти соотношение между 5'
и действительной чувствительностью 5.
Из всех уравнений, которые могут быть использованы для
определения S', наиболее простым, невидимому, является сле-
дующее:
5=^,,	(W)
где F(W), как обычно, представляет собой возвратную раз-
ность для W, когда W имеет свое нормальное значение, a F(W^)—
возвратную разность для W при W = Wn. Это уравнение полу-
чается непосредственно из (4.5). В других случаях может быть
использована следующая простая формула:
S' = -^---Г,	(4.30)
е9со_ев ’	' Л
где величина ев°° соответствует (Д1443/Д43) WR и, как это сле-
дует из (4.10), равна коэфициенту передачи системы при
117=со. Заметим, что если элемент W представляет собой
лампу, то это условие, конечно, не может быть выполнено.
Представляется также возможным определить 5' на основании
измерений, выполненных при 117=0, для чего схема опреде-
ленным образом преобразуется. Этот метод будет описан
в главе VI.
Наиболее простым соотношением между 5' и 5, повидимому,
является следующее:
5= ^S' = (1-^)5*.	(4.31)
Для того чтобы убедиться в справедливости этого урав-
нёния, необходимо вспомнить, в чем заключается различие
между 5 и S'. Последнее определяется лишь тем, что при
неравных значениях W и W' данное изменение в схеме при-
Исходное значение для W и положение элемента в петле
83
водит к различным процентным изменениям W и W. Другие
удобные для расчетов формулы, определяющие соотношение
между 5 и S', могут быть записаны в следующем виде:
5=?Дг(5'-1),	(4.32)
Я
(4.33)
Оба последних выражения получаются из предшествующих
общих уравнений для F, S и S' и тождества (4.13). Частные
случаи, имеющие место при различных соотношениях между е9»
и е9, могут быть проиллюстрированы теми же примерами, кото-
рые приводились при исследовании уравнения (4.22).
13.	Исходное значение для IV как показатель положения
элемента в рф-петле
Введение исходного значения в расчет чувствительности
является в широком смысле слова аналитическим отображе-
нием того факта, что свойства схемы с обратной связью изме-
няются при изменении положения элементов в канале. Другими
словами, это означает, что такие характерные черты обратной
связи, как стабилизация и уменьшение искажений, относятся
только к элементам р.-цепи. Однако, пока не выбрано поло-
жение входных и выходных зажимов схемы, мы не можем
определить, какая из частей замкнутого кольца является
li-цепью, а какая — p-цепью. Поэтому указанные свойства для
данного элемента устройства определяются как самим фактом
наличия обратной связи в схеме, так и расположением эле-
мента относительно прямого и обратного каналов передачи.
Это, очевидно, будет учитываться значением исходной вели-
чины IV0, так как эта величина зависит от выбора входных
и-выходных зажимов схемы.
Значение исходной величины для элемента [i-цепи, как
было показано в предыдущих примерах, обычно весьма мало,
так что при большей величине возвратного напряжения дей-
ствующая чувствительность оказывается также значительной.
С другой стороны, если рассматриваемый элемент находится
в р-цепи, то исходное значение IVO, при котором общий коэфи-
циент передачи системы равен нулю, будет, ~ вообще говоря*
большим. В этом случае стабилизация общего коэфициента
передачи всего усилителя при изменениях величины W оказы-
вается сравнительно малой. Покажем конкретно на примере
схемы, изображенной на фиг. 39, каким образом исходная вели-
чина может служить показателем местоположения элемента.
*
84 Глава IV. Математическое определение обратной связи
Устройство, показанное на этой фигуре, представляет собой
обычный усилитель с одноканальной обратной связью, выход-
ное сопротивление которого обозначено через /?3. Отличие
заключается только в том, что здесь переходная цепь между
вторым и третьим каскадами конкретизирована в виде комби-
нации из трансформатора с сопротивлением. Если считать,
что W является крутизной характеристики последней лампы
и принять исходное значение для W ничтожно малым, то мы
сможем легко найти, что
до duz, 1 dW
'Eg ~ & W ~ • 1 4- Т W ’
(4.34)
где T—Wfbu/b9) представляет собой коэфициент передачи
по замкнутой петле, взятый со знаком минус.
Фиг. 39
Таким образом, последнее уравнение выражает известное
положение, которое заключается в том, что благодаря обрат-
ной связи эффект изменений коэфициента усиления лампы
уменьшается в (1 — р.3) раз.
Теперь допустим, что выходным сопротивлением является
причем /?2 остается в качестве обычного элемента схемы. Оче-
видно, что при этом замкнутая петля обратной связи оста-
нется той же, что и в предыдущем случае. Однако при таком
выборе положения выходного сопротивления последняя лампа
оказывается включенной в p-цепь и мы можем ожидать, что
в этом случае будет отсутствовать стабилизация обратной
связью общего коэфициента усиления схемы при изменении
коэфициента усиления последней лампы. Этот случай может
быть проанализирован с помощью соотношения для относитель-
ной чувствительности (4.26).
Если положить Д' = Д — и^'Д<3, то эта формула может быть
записана следующим образом:
dEg _ д — W"AM dW
Eg--------	--.
Исходное значение для W и положение элемента в петле 85
Определим теперь величину W9, при которой общий коэфи-
циент передачи усилителя равен нулю. В данном случае W^o,
очевидно, должно быть равно бесконечности, так как нулевое
значение коэфициента передачи может быть получено только
при бесконечно большом усилении ,8-цепи. Но при бесконечно
большом значении UZn, очевидно, W' будет также равно беско-
нечности и уравнение (4.35) примет вид
d^ = -^dW.	(4.36)
Умножая и деля правую часть уравнения (4.36) на IF и Д’
и сравнивая полученное выражение с (4.34), получаем
dER _ до «7ДМ dw _ - т dW	о7ч
Ео — Д Д’ W~ 1J-T тг»
где Т попрежнему равно — р-Р при нормальных условиях.
Справедливость этой формулы может быть легко проверена
непосредственным дифференцированием обычного уравнения,
выражающего коэфициент усиления усилителя с обратной
связью как функцию от р.
ГЛАВА V
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О СХЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ — А
1.	Введение
В настоящей и следующей главах продолжается, общее
рассмотрение схем с обратной связью, начатое в предыдущей
главе с помощью введенных там понятий чувствительности и
возвратной разности.
Основной целью этих глав следует считать вывод общих
теорем, связывающих указанные величины с коэфициентом
усиления, величиной нелинейных искажений, сопротивлением
активной цепи и т. д. Теоремы настоящей главы основываются
на простых математических соотношениях, которые остаются
справедливыми при любых значениях исходных величин эле-
ментов схемы. В аналитических выражениях будет фигуриро-
вать возвратная разность для общего случая, понятие которой,
в частности, включает относительную чувствительность и воз-
вратную разность относительно нуля *).
2.	Сопротивление активной цепи
Первая общая теорема относится к влиянию обратной связи
на величину сопротивления, измеренного между двумя любыми
точками схемы. Помимо того, что эта теорема представляет
общий интерес, она, в частности, оказывается полезной при
расчете возвратной разности для двухсторонних элементов,
величина которой, как было показано в предыдущей главе,
зависит от сопротивления между теми точками схемы, к кото-
рым подключается данный элемент. При выводе этой теоремы
мы будем предполагать, что сопротивление схемы в случае
отсутствия активных элементов было уже предварительно най-
дено обычными методами исследования цепей. Таким образом,
мы будем рассматривать только те изменения величины сопро-
тивления схемы, которые вызваны добавлением активных эле-
ментов. Очевидно, это как раз и является наиболее важной
стороной рассматриваемого вопроса.
Наличие самого факта влияния активных элементов на
величину сопротивления схемы легко проверить, например,
*) Материал, приведенный в настоящей главе, представляет собой
в основном изложение работы Blackman Bell Syst. Techn. Journ.,OKT. (1943).
Сопротивление активной цепи
87
для случая входного сопротивления обычного усилителя
с обратной связью. Согласно определению, это сопротивление
должно быть равно отношению входного напряжения к току,
протекающему через входные зажимы усилителя. Однако общий
ток, который протекает через входные зажимы, состоит из
тока, который протекал бы здесь, если бы мы учитывали лишь
пассивные элементы схемы, и тока, который подается обратно
к источнику через цепь обратной связи. Наличие этого тока
обратной связи приводит к тому, что величина входного со*
противления усилителя при работающих лампах оказывается
совершенно отличной от величины сопротивления при выклю-
ченных лампах.
Нетрудно установить соотношение между этими двумя
величинами входного сопротивления. Предположим, например,
что мы интересуемся величиной активного сопротивления Z,
измеренного на зажимах генератора с ничтожно малым вну-
тренним сопротивлением, включенного в n-ый контур схемы.
Эта величина, очевидно, равна
Z=A
Адл
Теперь допустим, что мы выбрали любой элемент W вну-
три схемы. Удобно считать, что W является взаимным сопро-
тивлением ZtJ, хотя конечный результат будет тем
в случаях, когда W представляет собой сопротивление
стороннего или двухстороннего элемента.
Выражение (5.1) может быть переписано в виде
Z= — = — -
ьпп д»л а» длл’
где Д° и Апл, как и в предыдущейтглаве, представляют
значения А и Длл при 1^=0.	,
В равенстве (5.2) отношение До/Долл является сопротивле-
нием, измеренным при HZ=O. Полагая, что Ж или Zti пред-
ставляют собой сопротивление одной из ламп, мы можем
назвать это отношение пассивным сопротивлением Zo или со-
противлением, измеренным при выключенной лампе. Кроме
того, Д/Д° является возвратной разностью для W при нормаль-
ном состоянии схемы, т. е. при замкнутых накоротко зажи-
мах, между которыми производится измерение Z.
Далее Длл и Длл будут представлять собой коэфициенты при
Znn соответственно в определителях А и Д°.
Поэтому отношение Длл/Длл является пределом, к которому
стремится Д/До, когда Znn стремится к бесконечности. Отсюда
следует, что это отношение является возвратной разностью
(5.1)
же и
одно-
(5.2)
собой
88 Глава И. Общие теоремы о схемах с обратной связью — А
для W, в случае, когда собственное сопротивление л-го кон-
тура делается бесконечно большим или, другими словами,
когда разомкнуты зажимы, между которыми измеряется W.
Поэтому равенство (5.2) может быть записано в виде:
7—7
F(oo) ’
где F(Q) и F(oo) представляют собой значения возвратных
разностей для W при замкнутых накоротко и соответственно
разомкнутых зажимах, между которыми производится изме-
рение.
Если мы будем пользоваться не сопротивлениями, а прово-
димостями, то результат будет иметь аналогичный вид:
- F(0)
• F(oo)’
(5.4)
где /'(О) и F(co) теперь представляют возвратные разности
для W соответственно при нулевой и бесконечной проводи-
мостях, добавляемых к зажимам, между которыми опреде-
ляется Y.
Равенства (5.3) и (5.4) выражают сопротивление или про-
водимость в любой части схемы с обратной связью через
сопротивление или проводимость, которое получилось бы при
параметре одного из элементов, обращающемся в нуль, и
через возвратную разность для этого элемента. Если в каче-
стве произвольного элемента W выбрано взаимное сопроти-
вление или крутизна электронной лампы, то можно не прини-
мать во внимание то обстоятельство, что мы имеем дело
с активным элементом цепи. В обычных усилителях с обрат-
ной связью при нулевом значении коэфициента усиления одной
из ламп цепь обратной связи разрывается, так что, выбирая
в качестве W одну из ламп с помощью (5.3) или (5.4), можно
непосредственно определить сопротивление или проводимость.
В более сложных случаях, в результате включения одной из
ламп, мы не всегда приходим к таким схемам, для которых
можно вести расчет, полагая, что мы имеем дело только
с пассивными элементами. Однако мы можем сначала считать,
что все лампы схемы выключены, а затем применить уравне-
ния (5.3) и (5.4) по очереди к каждой из ламп, полагая вся-
кий раз, что лампа имеет свое нормальное значение коэфи-
циента усиления. Это даст нам возможность провести расчет
для любой схемы.
При выводе (5.3) и (5.4) мы полагали, что исходное значе-
ние для W равно нулю. Если, однако, учесть идентичность
уравнений (5.2) и (5.1), то станет ясной возможность произволь-
ного выбора исходного значения для W. Необходимо только,
Примеры сопротивлений активного типа
89
чтобы исходные значения для F(0) и Л (со) имели то же
значение, что и для W. Таким образом, мы можем сформули-
ровать следующую теорему:
Теорема. Отношение сопротивлений между двумя любыми
точками цепи при двух различных значениях величины дан-
ного элемента W равно отношению возвратных разностей
для W при коротком замыкании и при разрыве точек,,
между которыми производится измерение сопротивления.
При определении возвратных разностей новое значение.W
следует считать соответствующим рабочим условиям, а
другое — исходным условиям.
Соотношение между обратной связью и сопротивлением
системы можно определить еще другим способом. Предполо-
жим, что некоторое произвольное сопротивление Zn дополни-
тельно включено последовательно в n-ый контур. При этом
величины А и Д°, получающиеся при добавлении Zn, обозна-
чим соответственно через Д' и Д°'. Возвратная разность для
любого элемента W при включенном Zn может быть записана
в виде
р   А ~Ь 2тАпп
Г —	д»+гпд"„ •
Теперь допустим, что величина Zn выбрана такой, при ко-
торой F=0. Сравнивая полученный результат с уравнением
(5.1), мы можем установить следующее положение:
(5.5>
Теорема. Сопротивление, измеренное в любом контуре-
схемы, равно по величине и обратно по знаку сопротивле-
нию, которое необходимо включить в этот контур для
того, чтобы возвратная разность для произвольно выбран-
ного элемента схемы обратилась в нуль.
Эта теорема станет совершенно очевидной при рассмотре-
нии вопроса об устойчивости схемы, которое проводится
в одной из последующих глав. Там будет показано, что равен-
ство нулю возвратной разности либо сопротивления системы
на любой частоте соответствует возможности возникновения
собственных колебаний в схеме на этой частоте.
3.	Примеры сопротивлений активного типа
В качестве примера применения полученных соотношений
рассмотрим схему усилителя с обратной связью по току, изо-
браженную на фиг. 40. Пусть Z в равенстве (5.3) представляет
собой сопротивление, которое измеряется между одной из-
следующих пар зажимов: АА’, СС или DD'.
SO Глава И. Общие теоремы о схемах с обратной связью — А
Примем, что W в равенствах (5.1) и (5.2) представляет
собой крутизну одной из ламп. Возвратная разность относи-
тельно W при замкнутых накоротко зажимах АА’, СС и DD'
будет равна F(0) = l — цР, где р-Р является коэфициентом
передачи всей петли, вычисленным обычным образом; с дру-
гой стороны, при разомкнутых зажимах возвратная разность
для W будет равна единице. Следовательно, из уравнения
(5.3) получаем
Z=Z0(l-tf),	(5.6)
где Zo представляет собой сопротивление в случае, когда одна
из ламп выключена, т. е. обычное пассивное сопротивление.
Фиг. 40
Сопротивление, измеренное между какой-либо из указанных
пар зажимов, будет намного больше этого пассивного сопро-
тивления. Например, величина сопротивления между точками
А и А' определится следующим образом:
Д =	+ +	(5.7)
При этом мы полагаем, что входные и выходные сопроти-
вления ламп значительно больше сопротивлений в Р-цепи.
Теперь рассмотрим сопротивление между какой-либо из точек А
или С и землей. Нетрудно видеть, что нормальное значение
возвратного отношения получается при бесконечно большой
величине сопротивлений, включенных между А или С и зем-
лей. Если же точки А или С накоротко соединить с землей,
то величина возвратного отношения будет равна нулю. Дру-
гими словами, F(0) = l и /7(оо) = 1 — цр.
Таким образом, уравнение (5.3) дает
г=1^?-	(5-8)
Поэтому здесь величина сопротивления, измеренного парал-
лельно петле обратной связи, уменьшается за счет действия
Примеры, сопротивлений активного типа
91
обратной связи. Например, для сопротивления, измеренного
-между А и землей, будем иметь
7. 1 zjz.+zj
1-н^ z1+z,+z, •
(5.9)
В качестве более сложного примера рассмотрим сопротив-
ление, измеренное между зажимами Е и Е' на фиг. 40.
В этом случае
ябо
— Za-[
Zy (Zt -f- Л.)
Zy-\~ zt 4" z10 ’
F(0) = l-^,
(5.10)
<511>
Коэфициент при во втором уравнении получается путем
подсчета изменения величины коэфициента передачи между-
каскадной цепи при размыкании точек£и£". Подстановка F(0)
и F(oo) в уравнение (5.3) дает искомое значение сопротивле-
ния. В частности, когда очень велико,
Z = Z7 + Z8.	(5.12)
Этот результат можно было, конечно, предвидеть, исходя
из (5.6). Если рассматривать последовательное соединение
ZT и Z8 как одно сопротивление, то из уравнения (5.6) сле-
дует, что сопротивление схемы, к которой эти сопротивления
подключаются, должно иметь очень большую величину при
достаточно большом значении коэфициента обратной связи.
Поэтому при определении величины сопротивления между
точками Е и Е' необходимо учитывать только сопротивления
Л И Zg.
Приведенные выше расчеты основываются на первой из
двух теорем предыдущего раздела. Те же результаты могут
быть получены с помощью второй теоремы. Для примера вер-
немся еще раз к рассмотрению действия обратной связи на
величину последовательного сопротивления, выраженного урав-
нением (5.6). .Обозначим через Z' сопротивление, введение
которого в последовательную ветвь уменьшает до нуля значе-
ние возвратной разности. Если это сопротивление ввести по-
следовательно с Zo, то при этом к коэфициенту передачи по
петле прибавится затухание Z0/(Z’4~Z0). Однако для того,
чтобы возвратная разность стала равной нулю, необходимо
уменьшить коэфициент передачи по замкнутой петле до
единицы.
92
Глава V. Общие теоремы о схемах с обратной связью — А
Следовательно,	Лг.-*	<613>
или	Z' = (rf-l)Z„	(5.14)
т. е. Z' равно по величине и обратно по знаку сопротивлению
активного типа, определенному из уравнения (5.6).
4.	Обратная связь при двухсторонних элементах
Если известны сопротивления активных элементов схемы,
то с помощью методов, изложенных в предыдущей главе,
нетрудно вычислить возвратные разности и чувствительности
для двухсторонних элементов, входящих в данную схему.
В качестве примера возьмем сопротивление Z6 на фиг. 40.
Как следует из предыдущего рассмотрения, возвратное отно-
шение для этого элемента равно отношению его сопротивле-
ния или проводимости к сопротивлению или проводимости
схемы, к которой подключен этот элемент. Возвратная раз-
ность равна возвратному отношению плюс единица, а чувстви-
тельность — возвратной разности с учетом величины непосред-
ственной передачи. Если не принимать в расчет небольшой
ток, непосредственно протекающий через p-цепь, то при раз-
рыве ветви, в которой находится Ze, выходной ток будет
равен нулю. Поэтому в данном случае удобно при расчетах
пользоваться методом проводимостей, так как при этом член,
определяющий непосредственную передачу, будет равен нулю,
и чувствительность может быть взята равной возвратной раз-
ности.
Сопротивление, измеренное на зажимах С и С' на фиг. 40,
будет равно (1 — rP) (Z4 -f- Z5 -f- Z6), что следует из уравнения
(5.3), а следовательно, проводимость цепи, подключенной к Zg,
будет равна величине, обратной (1 — |*Р) (^i + -^в + ^е) ~ Z»-
Разделив проводимость элемента Ze на эту величину, полу-
чаем выражения для возвратного отношения и возвратной
разности, или чувствительности, для элемента Z6 в следую-
щем виде:
Т= гв [(1 — иР) (Z4+Z5+Z6) - Z6]
и
F — S = (1 — p-P)Z< f Z- .	(5.15)
Смысл множителя (1 — у-Р) в последнем выражении не требует
особых пояснений. Второй множитель (Z4 + -|- Z6)/Z6 отобра-
жает то обстоятельство, что благодаря наличию других сопроти-
Обратная связь при двухсторонних элементах 93
-влений коэфициент усиления |*-цепи изменяется не в точности
обратно пропорционально Ze. Если, например, величина Ze
мала, то даже значительное ее изменение в процентном отно-
шении мало влияет на величину р.. Поэтому соответствующий
член в выражении для чувствительности должен быть учтен
с помощью основного определения, данного уравнением (4.8).
Если мы будем рассматривать какое-либо из шунтирующих
сопротивлений, например Z4, то ход рассуждений останется
тем же. В этом случае удобнее пользоваться сопротивлениями,
а не проводимостями, так как исходное состояние теперь со-
ответствует короткозамкнутой цепи. Отношение сопротивле-
ния Z4 к сопротивлению остальной части схемы, в которую
входит Z4, увеличивается благодаря обратной связи, так как
при этом уменьшается сопротивление той части схемы, которая
является внешней по отношению к Z4. Для этого случая мы полу-
чаем результат такого же типа, как и в случае равенства (5.15).
В качестве третьего примера рассмотрим сопротивление Zs
в р-цепи фиг. 40. С точки зрения расчета возвратного отно-
шения и возвратной разности этот случай совершенно иденти-
чен примеру, относящемуся к сопротивлению Ze. Поэтому мы
снова можем воспользоваться уравнением (5.15) с соответ-
ствующей заменой Zb Za и Z3 на Z4, Z3 и Zg. Однако нали-
чие здесь значительной непосредственной передачи усложняет
расчет чувствительности. Проще всего начать с определения
относительной чувствительности 5'. Очевидно, что можно полу-
чить нулевое значение коэфициента передачи всего усилителя,
если взять величину коэфициента передачи по р-цепи доста-
точно большой и равной значению коэфициента усиления р-цепи
и, кроме того, подобрать фазовые сдвиги в цепях р и р, отли-
чающимися на 180°. Исходное значение для Z2 должно быть
поэтому^очень близким к величине—(Zj-j-Zj) или, другими
словами, очень близким к величине взятого с обратным знаком
пассивного сопротивления цепи, к которой присоединено Za.
В силу этого действующее сопротивление W' может быть
взято равным Z, -f- Z2 -J- Z3. Сопротивление, которое присоеди-
нено к W, представляет собой разность между W' и общим
сопротивлением, определенным по формуле (5.7). Очевидно,
что эта разность равна pp(ZI-|-Z8-|-Z3). Относительная и
абсолютная чувствительность легко могут быть определены на
основании изложенного выше, а также учитывая соотноше-
ние S'/S = W/W, откуда
94	Глава V. Общие теоремы о схемах е обратной связью — А
Очевидно, что в обычных случаях эти величины будут
малы. Полученный результат может быть легко проверен
иутем дифференцирования уравнения для коэфициента усиле-
ния усилителя, которое в связи с основным определением было-
приведено в главе IV. Интересно отметить, что разница между
большой и малой величинами чувствительности, полученными
из уравнений (5.15) и (5.16), определяется различием исходных
условий. В остальном все в точности одно и то же.
5.	Влияние обратной связи на входные и выходные
сопротивления усилителей
Различие между сопротивлениями активного и пассивного
типа в схеме с обратной связью оказывается особенно важным
при рассмотрении влияния обратной связи на сопротивление,
которое представляет собой усилитель для внешней цепи.
Основные результаты для схем, описанных в главе III, могут
быть сформулированы следующим образом:
1.	Сопротивление активного типа для усилителя с обратной
связью по току в (1 — р-Ю раз больше его пассивного сопроти-
вления. Ввиду того, что входные и выходные сопротивления
лампы обычно весьма велики, сопротивление активного типа,
вообще говоря, равно бесконечности. То же самое можно
сказать и о схеме с катодной обратной связью.
2.	Сопротивление активного типа в схеме усилителя с об-
ратной связью по напряжению в (1 — у.[3) раз меньше его пас-
сивного сопротивления. Таким образом, оно имеет относительно
малую величину.
3.	Сопротивление активного типа усилителя со сбалансиро-
ванным мостом равно его пассивному сопротивлению. Эта
схема поэтому является промежуточной между схемами с об-
ратной связью по току и напряжению.
4.	Если баланс моста в схеме, указанной в предыдущем
разделе, нарушается благодаря изменению сопротивления по-
следней лампы, то величина коэфициента несогласованности
между сопротивлением активного типа, полученным при нару-
шении баланса и сопротивлением активного типа при сбаланси-
рованной схеме, будет в (1 — р.(3) раз меньше величины коэфици-
ента несогласованности для пассивной схемы. Здесь величина рр
представляет собой коэфициент передачи по замкнутой петле
после того, как произошло указанное нарушение баланса схемы.
Первые три из приведенных положений не требуют по-
дробных пояснений. Входное и выходное сопротивления усили-
телей с обратной связью по току или напряжению являются
особыми случаями общего последовательного или параллель-
ного сопротивлений, которые могут быть определены по уже
Влияние обратной связи на сопротивления
95
известным формулам (5.6) и (5.8). В случае баланса мостовой
схемы имеет место согласование между линией и р-цепью.
Это следует из того, что коэфициент передачи по всей петле
не зависит от внешнего сопротивления1). Поэтому в уравне-
нии (5.3) F (0) = F (оо) и, следовательно, обратная связь не
оказывает никакого влияния на это сопротивление.
Четвертое положение следует несколько развить. В схеме
с идеально сбалансированным мостом сопротивление лампы
является одним из плеч, входящих в мост. Так как сопроти-
вления ламп весьма изменчивы, то практически оказывается
невозможным получить полный баланс моста.
Кроме того, иногда оказывается необходимым шунтировать
лампу диссипативной ветвью для того, чтобы получить требуе-
мые для баланса моста значения модуля и аргумента комплекс-
ного сопротивления при та-
ких значениях сопротивле-
ний в других плечах, кото-
рые могут быть осуществле-
ны. Это обстоятельство, в
частности, и приводит к не-
которым затруднениям в
случае выходного моста, так
как при этом понижается
выходная мощность усили-
теля. Четвертое из выше-
приведенных положений в
сущности говорит о том, что при большой величине коэ-
фициента обратной связи входное и выходное сопротивле-
ния усилителя изменяются крайне незначительно, даже если
не принято никаких мер по подбору величины сопротив-
ления лампы. Однако при этом, конечно, не будет сохра-
няться другое свойство мостовой схемы, заключающееся
в независимости величины коэфициента передачи по замкну-
той петле от величины внешнего сопротивления.
Действие обратной связи на величину входного и выход-
ного сопротивлений легко проследить с помощью уравнения
(5.3) двумя различными способами. Пусть Za на фиг. 41 пред-
ставляет собой сопротивление, отключение которого от схемы
вызывает интересующее нас возмущение. Будем полагать,
что мост оказывается полностью сбалансированным при нали-
чии Za. Обозначим через Zd сопротивление на зажимах внеш-
него сопротивления. Пусть Zbi и являются пассивными
сопротивлениями части схемы справа от Za при Zd, равном
’) Последнее положение следует непосредственно из принципа обрати-
мости. См., например, раздел 2 следующей главы.
96
Глава V. Общие теоремы о схемах с обратной связью — А
соответственно своей нормальной величине и при коротком
замыкании на его зажимах. Наконец, обозначим соответ-
ственно через Zci и Zct сопротивления активного типа усили-
теля при наличии и отсутствии Za. Выключение Za можно
осуществить размыканием зажимов Р\ и Р*.
Вначале вычислим сопротивление активного типа Zn изме-
ренное между зажимами Рх и Р2 при величине сопротивления
правой части схемы относительно Za, равной Zbi. Допустим,
что это сопротивление представляет собой Z в равенстве (5.3).
Пусть стоящие в этом уравненяи величины F(0) и F(oo) отне-
сены к последней лампе. Полагая величину коэфициента пере-
дачи по замкнутой петле, при отсутствии Za, равной р.3,
получаем, что Л(оо) = 1 — (*,8.
Введение Za изменяет величину коэфициента передачи по
замкнутой петле до значения \Za/(Za 4- Zbt)] рр, что следует
непосредственно из рассмотрения схемы. Кроме того, пассив-
ное сопротивление Zb равно Za-irZbl. Следовательно
Л = (Ze + Zbi)----•	(5*17)
Теперь рассмотрим сопротивление Z2, соответствующее со-
противлению ZM. Пассивное сопротивление делается при этом
равным Za-|-ZM. Величина F(0) будет такой же, как и при
выводе формулы (5.17), так как при наличии Za мост оказы-
вается сбалансированным и изменение величины внешнего
сопротивления не влияет на петлю обратной связи. Отношение
значений коэфициента передачи по всей петле при наличии
и отсутствия Za равно Za](Za + Zbi).
Таким образом, Za можно записать в следующем виде:
Za = (Ze-|-ZM)----<5Л8>
В этих расчетах величины F(0) и F(oo) уравнения (5.3)
относились к последней лампе. Сейчас мы опять применим
равенство (5.3), но F(0) и F(co) будем брать по отношению
к Zd. Из (5.3) следует, что отношение величин возвратной
разности для Zd при наличии и отсутствии Za будет равно
отношению Zj/Zg.
Отсюда
Zc_i
ZCl _______ Zj
Zc> + Zd	Zt
Zct
(5.19)
Определение обратной связи по сопротивлениям
97
ИЛИ
~~ Zcl) ____-I_	1 Zbl Zbi	re ол\
Zci(Zci + Zd)— zt	za + zbi- '-0,zu'
Если положить Zd=^ZcU то левая часть равенства (5.20)
будет представлять собой коэфициент несогласованности между
сопротивлениями активного типа цепи при наличии и отсут-
ствии Za. Все величины правой части (5.20), за исключением
1 — относятся к пассивному состоянию цепи. Таким обра-
зом, четвертое из приведенных положений доказано.
6.	Определение обратной связи на основании измерения
сопротивлений
Выведенные в первом разделе теоремы служат для расчета
сопротивлений активного типа в схеме по известным величи-
нам возвратной разности. Однако эти теоремы чаще, пожалуй,
используются для определения возвратной разности с помощью
измерений сопротивлений. Этот метод нахождения возвратной
разности часто оказывается бодее удобным, чем измерение
непосредственной передачи, так как при этом не требуется
разрывать петлю обратной связи. Указанным способом можно
пользоваться даже в неустойчивых системах, если при изме-
рении включать известное сопротивление, величина которого
взята- такой, чтобы обеспечить устойчивость схемы.
7.	Соотношения между параметрами обратной связи при
двух элементах
Метод, примененный выше при выводе формулы для сопро-
тивления активного типа, может быть также использован для
получения теоремы, связывающей значения возвратных раз-
ностей для двух элементов схемы при действительных усло-
виях работы с величинами возвратных разностей, которые
могут быть найдены для каждого из элементов в отдельности,
если второй из них отсутствует. Обозначим эти два элемента
через Wx и W*. Определитель системы в общем случае мы
будем записывать в виде Д(№'1, чтобы показать, что
последний зависит как от Wu так и от
Тогда Д(0, представит собой значение определителя
при U7j=0, a A(lFi,0)-—при Ws=0. Величина определителя
при и71==0 и IF2 = 0 будет обозначаться через Д(0,0).
Возвратная разность для любого элемента может быть
выражена в виде отношения полного определителя к опреде-
лителю, соответствующему равенству нулю величины этого
элемента. Возвратные разности для W\ и W2, которые мы
7 Зак. 1327
98 Глава К Общие теоремы о схемах с обратной связью — А
обозначим соответственно через F, и Ft, могут быть записаны
следующим образом:
р _
1 — Д (О, Wt) •
F _b(Wt,Wt)
A(U7„ 0)
ИЛИ
Л _ Д(ТС\, 0) _ Д(И\, 0)	Д(0,0) _F2(Wt=V)
Fs	Д(0, Г2) ~ Д (0,0) ’ Д (0, Ws) F2(Wi = 0y
Уравнение (5.22) будет справедливо при любых исходных
значениях для W\ и W^, поскольку эти значения взяты одина-
ковыми в правой и левой частях равенства.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме:
Теорема. Отношение между действительными значениями
возвратных разностей для двух произвольных элементов
схемы при любых исходных условиях останется тем же, если
возвратная разность для каждого из элементов будет вы-
числена при условии, что другой элемент имеет свое
исходное значение.
В качестве примера примем, что К6 на фиг. 40 соответ-
ствует величине а под будем подразумевать крутизну
одной из ламп.
Нетрудно видеть, что /\(U/\ = 0) = 1 и F1(U7’<s = 0) =
= (Zi -j- Z5 -|- Z6) /Ze. Приведенная выше теорема устанавливает,
что отношение между этими двумя величинами и Ft будет
сохраняться при любых значениях W\ и [WV Это, конечно,
подтверждается уравнением (5.15).
8.	Теорема Тевенина для активных цепей
Общая формула для возвратной разности может быть
также использована для вывода соотношения другого типа,
даже несколько более простого, чем рассмотренное выше.
Предположим, например, что W представляет собой взаим-
ный иммитанс лампы, сетка и анод которой обозначены
соответственно через I и j. Величина W должна соответство-
вать элементам Z}i и Yji в определителе, записанном в общем
виде. На основании формулы (4.2) возвратная разность будет
равна
р =	= (5'23)
где Д° представляет собой значение Д при 1^=0, a k — номер
любого другого узла или контура схемы.
Теорема Тевенина для активных цепей 99
Определитель Дй; в уравнении (5.23) с равным основанием
может быть записан в виде Д%г, исходя из того, что он не
содержит элементов Z-го столбца основного определителя
и поэтому не зависит от W. Отношения Д^/Д и ДЛ(-/Д° таким
образом представляют передачу1) от k к i при w, равном
соответственно его нормальной величине и величине при
vr=o.
Помимо этого, соотношение будет оставаться также спра-
ведливым не только при U7'=0, но и при любом другом
исходном значении для W. Отсюда мы можем сделать следую-
щий вывод, который мы сформулируем в виде теоремы::
Теорема. Отношение между значениями передачи от
какой-либо точки цепи до сетки данной лампы при про-
извольно выбранных исходных условиях и при условиях
нормального режима равно возвратной разности для лампы
при выбранных исходных условиях.
Простым примером может служить передача от входных
зажимов к р.-цепи обычного усилителя. Действующее зна-
чение уровня сигнала на сетке любой из ламп в (1—р.0) раз
меньше уровня для случая, когда эта лампа погашена. Мы
можем также записать равенство для возвратной разности
в виде:
=	<5.24)
Величины Д,.,/Д И представляют, очевидно, значение
передачи от анодной цепи к точке k соответственно при
нормальных и исходных условиях.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме:
Теорема, Отношение величин передачи от анода данной
лампы к любой точке цепи при произвольно выбранных
исходных условиях и при условиях нормального режима
равно значению возвратной разности для лампы при выбран-
ных исходных условиях.
Последнее положение лучше всего иллюстрируется мате-
риалом следующих разделов.
Если W является двухсторонним элементом, то все сказан-
ное остается в силе, за исключением только того, что здесь
не требуется производить разграничения между „анодным"
и „сеточным" концами W. Таким образом, мы получаем сле-
дующую теорему:
*) Примененный здесь термин „передача” объединяет термины „прово-
димость передачи” в анализе методом контурных уравнений и „сопроти-
вление передачи” в анализе методом контурных токов.
*
100 Глава V. Общие теоремы, о схемах с обратной связью—А
Теорема. Отношение между значениями величины пере-
дачи от данного двухстороннего элемента к любой точке
цепи или обратно при произвольно выбранных исходных
условиях и при условиях нормального режима равно вели-
чине возвратной разности для данного элемента при вы-
бранных исходных условиях.
Последняя теорема позволяет с более общей точки зре-
ния охарактеризовать те три теоремы, которые были приве-
дены выше. Если W является двухсторонним элементом, то
возвратная разность для W, соответствующая любому задан-
ному исходному значению, равна отношению полных иммитан-
сов, измеренных со стороны W при W, имеющем свое нор-
мальное и исходное значения.
Однако, утверждая, что последнее отношение равно отно-
шению величин передачи от k к W при этих двух условиях,
мы тем самым лишь несколько иным способом выражаем
теорему Тевенина1).
Поэтому группа, состоящая из трех теорем, дающих со-
отношение между возвратной разностью и величиной передачи,
будет называться обобщенной теоремой Тевенина, применимой
как к односторонним, так и к двухсторонним элементам. Дру-
гими словами, возвратная разность играет ту же роль для
одностороннего элемента при определении результирующей
реакции, что и отношения сопротивлений между зажимами
генератора или потребителя в обычных расчетах передачи.
9.	Вычисление величины Wo
В качестве примера применения этих теорем рассмотрим
вопрос о том, как определить исходное значение IFe для одной
из ламп схемы.
Напомним, что Wo представляет собой такое значение,
при котором коэфициент передачи всего устройства оказы-
вается равным нулю. Равенство (4.23) для определения
уже было дано- в предыдущей главе, но величины Д12 и Д1МЗ,
входящие в это равенство, трудно определить путем непо-
средственных измерений. С помощью обобщенной теоремы
Тевенина, рассмотренной в предыдущем разделе, оказывается
возможным вывести другую формулу для IF0, в которую
входят величины, имеющие более непосредственное физиче-
ское значение.
Обозначим вход и выход всей схемы, а также сетку и
анод лампы IF, соответственно через 1, 2, 3 и 4. Пусть ве-
*) Теорема Тевенина рассматривается в ряде книг. См., например,
С и ф о р о в, Радиоприемные устройства, гл. II, § 3, М.—Л., 1939.
. (Прим, ред.)
Уменьшение искажений введением обратной связи
101
личины Т! = Д^/Д0, 74 = Д13/Д°, 78=Ди/Д® и т4 = Д13/Д° пред-
ставляют собой соответственно коэфициенты передачи от
входа к выходу, от входа к сетке, от анода к выходу и от
анода к сетке. Все эти величины соответствуют состоянию
схемы, при котором лампа W погашена. Будем считать, что
значения этих величин известны.
Если на вход схемы подать единичное напряжение, то на-
пряжение на сетке погашенной лампы будет равно у2. То
обстоятельство, что лампа имеет остаточное усиление в исход-
ных условиях, можно учесть, полагая включенным эквива-
лентный генератор—W'oTa» в анодную цепь лампы1). Если
этот генератор является независимым источником тока или
напряжения, то обусловленное им выходное напряжение может
быть записано в виде—IF0t4t8.
Исходное состояние может быть определено путем нахо-
ждения такого значения U^o, при котором указанное выходное
напряжение полностью компенсируется непосредственной пе-
редачей, определяемой величиной Но введение эквивалент-
ного генератора равноценно изменению коэфициента усиления
лампы от нуля до 1FO. В соответствии с теоремами, изложен-
ными в предыдущем разделе, мы должны уменьшить коэфи-
циент передачи от анода к выходу схемы в некоторое число
раз, равное возвратной разности лампы при W = И70. Послед-
няя величина может быть найдена с помощью величины коэфи-
циента передачи у4 от анода к сетке. Таким образом, имеем
следующее соотношение:
или
1+^оТ4	71
(5.25)
ТзТз —
(5.26)
где все величины могут быть непосредственно измерены.
В идентичности полученного результата с основной формулой
для IFO можно убедиться, воспользовавшись уравнением (4.13).
10.	Уменьшение искажений введением обратной связи
Одним из основных преимуществ обратной связи является
то, что при ее применении уменьшаются составляющие тока
в нагрузке, обусловленные нелинейными искажениями в эле-
ментах у-цепи. Чтобы исследовать это положение, будем
считать, что нелинейные искажения представлены добавлением
,*) Знак минус объясняется сдвигом напряжения по фазе на 180°, кото-
рый получается в лампе.
102 Глава V. Общие теоремы о схемах с обратной связью—А
отдельного „генератора искажений" в анодной цепи искажаю-
щей лампы, причем сама схема остается линейной. При этом
предполагается, что уровень основных составляющих сигнала
был установлен заранее, так что величина нелинейных иска-
жений может быть подсчитана. Кроме того, мы считаем, что
величина искажений мала по сравнению с величиной сигнала, так
что эффектом второго порядка, т. е. „искажениями искажений",
можно пренебречь. Генератор искажений может быть исполь-
зован также для представления источника внутренних помех.
Необходимые соотношения для этого случая можно сразу
получить, пользуясь приведенной выше обобщенной теоремой
Тевенина. Следует только выбрать точку k таким образом,
чтобы она соответствовала выходу схемы. Вторая из приве-
денных ранее трех теорем для нашего случая может быть
записана следующим образом:
Теорема. Выходной, ток, вызванный генератором искаже-
ний или помех, включенным в одном из элементов схемы,
равен току, который получается при произвольно выбран-
ном исходном состоянии элемента, разделенном на возврат-
ную разность для данного элемента, при выбранном исход-
ном значении.
Но если мы имеем дело только с частью выходного тока,
обусловленного действием данного элемента схемы как гене-
ратора, то возвратная разность является также мерой чувстви-
тельности схемы к изменениям линейных свойств в данном
элементе. Отсюда мы можем заключить, что роль данного
элемента в образовании как „искаженного" выходного тока, так
и выходного тока основной частоты определяется одними
и теми же законами. Этот результат не покажется неожидан-
ным, если мы вспомним, что небольшое изменение линейных
свойств схемы может быть представлено введением некото-
рого генератора в соответствующей точке ’). Схема должна,
естественно, иметь одни и те же свойства в случаях, когда
генератор представляет искажение или изменение линейных
параметров схемы.
11.	Точная формула для внешнего усиления при наличии
обратной связи
Соотношения между коэфициентом внешнего усиления схемы
и коэфициентом обратной связи обычно выражают в форме
утверждения о том, что усиление схемы уменьшается благо-
*) См. „Теорема компенсации* в книге Ш и (Shea), Четырехполюсники
и электрические фильтры. М., 1939.
Точная формула для внешнего усиления
103
даря обратной связи в некоторое количество раз, равное
коэфициенту обратной связи. Например, равенство (3.4) позво-
ляет получить этот результат в простом виде в случае неза-
висимых цепей [I и р.
Если, однако, мы желаем произвести особо точный расчет
величины коэфициента усиления, то упомянутая формула ока-
зывается неудовлетворительной в силу двух обстоятельств.
Первое из них состоит в неопределенности значения коэфи-
циента усиления при отсутствии обратной связи, благодаря
взаимодействию между сопротивлениями цепей у. и 0 на входе
и на выходе усилителя. Не вполне ясно, должны ли мы просто
полностью убрать цепь обратной связи при расчете коэфи-
циента усиления схемы без обратной связи, или же мы должны
принять во внимание поглощение энергии во входных и выход-
ных элементах 0-цепи, а если это следует сделать, то каким
образом можно осуществить подобный учет?
Вторая трудность заключается в том, что соотношение
между величинами коэфициента усиления схемы и коэфициента
обратной связи было выведено только для обычного усилителя
с одноканальной обратной связью. Неясно, как это соотноше-
ние можно применить к другим схемам и, в частности, к слу-
чаю, когда коэфициент непосредственной передачи имеет зна-
чительную величину. Поэтому в качестве последнего примера
применения методов, изложенных в главе IV, мы выведем точ-
ное выражение для величины внешнего усиления схемы при
наличии обратной связи.
При этом удобно исходить из уравнения (4.21). Если мы
умножим и разделим это уравнение на Д’, то результат при-
мет вид
е е — Д«4-П7Д43 ДОДО
Величина Д°/(Д°-|-итД43) в этом выражении равна обрат-
ному значению возвратной разности г. Если мы остальную
часть выражения обозначим через е F, то получим следующую
зависимость:
е9 — е9о = 4гЛ.	(5.28)
На основании формулы (4.22) это уравнение может быть
переписано следующим образом:
е
о S вр
О--	- р г
— pie
(5.29)
104 Глава V. Общие теоремы о схемах с обратной связью — А
Величина еер, которую в дальнейшем мы будем называть
парциальным, коэфициентом. усиления, может рассматри-
ваться, как точное определение того, что мы называем коэфи-
циентом усиления схемы при отсутствии обратной связи. За-
метим, что эта величина, в сущности, представляет собой произ-
ведение трех множителей. Два из них, Д13/Ди и (Дп/Д°) Wr,
являются соответственно коэфициентами передачи от входа
к сетке и от анода к выходу при погашенной лампе. Следо-
вательно, они включают входное и выходное сопротивления
0-цепи. Третий множитель W представляет собой коэфициент
усиления самой лампы. Парциальный коэфициент усиления
в случае системы с одноканальной обратной связью опреде-
лится как коэфициент усиления, который может быть полу-
чен, если мы сможем разбрвать 0-цепь, не изменяя ее вход-
ного и выходного сопротивлений. В качестве примера приведем
схему, изображенную на фиг. 35. Если под этой системой
понимается весь усилитель, то парциальный коэфициент уси-
ления может быть легко вычислен в виде:
z ^(Z, + zy(Z.+Z,)zf‘	(5.30)
Z1 + 2 + Z.+z. + Z. Zt+Zs+Z, + Zi + Zs
где Zs в правой части отождествлено с Wr в общей формуле
(5.27), а два предшествующих множителя соответствуют коэфи-
циентам передачи от входа к сетке и от анода к выходу,
т. е. являются величинами Д13/Д® и Д42/Д® для данного частного
случая.
Равенства (5.28) и (5.29) дают возможность рассмотреть
иным способом вопрос об уменьшении величины коэфициента
усиления схемы из-за обратной связи в случае заметной вели-
чины непосредственной передачи. Понижение величины коэфи-
циента усиления определяется в уравнении (5.28)только пре-
вышением общего выходного напряжения над выходным на-
пряжением, получающимся за счет непосредственной передачи.
Это является наиболее естественным соотношением, если мы,
как и раньше, будем полагать, что наша система состоит из
двух невзаимодействующих каналов, включенных в параллель,
один из которых обеспечивает полностью прямую передачу,
в то время как другой содержит переменное W и характе-
ризует все явления, связанные с обратной связью. Однако
равенство (5.29) показывает, что возможно также отнести
уменьшение усиления за счет обратной связи ко всему вы-
ходному напряжению, если считать коэфициент обратной связи
равным F^/S.
Точная формула для внешнего усиления 103
Уравнение (5.27) может рассматриваться как соотношение,
которым удобно пользоваться в тех случаях, когда мы при-
даем особое значение исходному условию W=0. Величины
и Д°, очевидно, относятся к этому случаю. Однако, как
и для большинства уравнений настоящей главы, аналогичное
выражение можно было бы получить для любого исходного
состояния. Применение исходного значения W9 представляет
особый интерес, так как в этом случае мы приходим к не-
сколько иному выражению для „коэфициента усиления схемы
без обратной связи", основанному на измерениях, которые
производятся при разорванной цепи обратной связи. Этот
вопрос будет рассмотрен в следующей главе.
ГЛ ABA VI
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О СХЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ—£
1.	Введение
В настоящей главе будет продолжено начатое ранее рас-
смотрение общих теорем, относящихся к обратной связи.
В отличие от предыдущего, здесь в центре внимания нахо-
дится относительная чувствительность S', а также вопрос
об использовании понятия относительной чувствительности
для упрощения расчета коэфициента обратной связи и коэфи-
циента усиления. Значительное место уделено схемам с много-
канальной обратной связью, где понятие относительной чув-
ствительности оказывается наиболее плодотворным. Читатель,
интересующийся лишь простейшими схемами с обратной
связью, мсжет опустить настоящую главу.
2.	Соответствие исходной обратной связи балансу моста
При расчетах обычных схем мы часто сталкиваемся с со-
стоянием баланса двух плеч моста. Использование подобного
состояния баланса схемы позволяет значительно упростить
расчеты величины коэфициента передачи, даже если передача
осуществляется не непосредственно ме-
I—Гс1—।	жду двумя рассматриваемыми ветвями.
I	j — _ I	Рассмотрим в качестве примера расчет
m	Ч—гтт^г	величины тока, вызванного в ветви F
1	И	гд некот°Рым генератором, включенным в
Н	I	I ветвь А схемы, изображенной на фиг. 42,
[_______________считая, что ветви В и F являются двумя
диагоналями моста. С задачами такого
Фиг. 42	типа приходится встречаться, например,
при проектировании корректирующих це-
пей, содержащих постоянные сопротивления.
Ветви А и В не являются диагональными, и, следовательно,
генератор, включенный в А, вызовет ток в В. В силу этого
обстоятельства может вначале показаться, что условие баланса
не дает никаких упрощений при вычислении передачи от А к F.
Однако на основании принципа обратимости ток, вызванный
в F генератором, включенным в А, должен быть равен току,
получающемуся в А при включении генератора в F. Однако,
Возвратная разность и относительная чувствительность 107
если генератор будет включен в F, то в ветви В ток будет
равен нулю. Пользуясь последним обстоятельством, мы можем,
не влияя на результат, выбрать любые значения величин со-
противлений в ветви В. Удобно выбирать для сопротивления
ветви В нулевое или бесконечно большое значение, так как
в обоих случаях схема сводится к простой, последовательно-
параллельной комбинации, которая легко может быть рассчи-
тана.
Третьим удобным значением для В является такое значе-
ние, при котором мост, составленный из ветвей В, С, Е и F,
оказывается сбалансированным. В этом случае ветвь D может
не приниматься во внимание, если считать, что генератор
включен в цепь А, и мы снова приходим к простой, последо-
вательно-параллельной схеме. Расчеты схемы с обратной
связью при исходных условиях, вообще говоря, аналогичны
только что указанным. В силу того, что при исходных усло-
виях выходной ток в схеме с обратной связью равен нулю
и не зависит от входного напряжения, такое состояние схемы
в' известной степени аналогично балансу моста между входом
и выходом. Однако благодаря тому, что принцип обратимости
не применим к схемам, содержащим односторонние элементы,
метод, указанный в связи со схемой, изображенной на фиг. 42,
не может быть использован в схемах с обратной связью. Будет
показано, что в некоторых последующих теоремах расчеты,
соответствующие исходным условиям, могут быть произведены
при произвольно выбранных сопротивлениях входного и вы-
ходного контура.
Выбор таких сопротивлений, при которых расчеты суще-
ственно упрощаются, зависит, вообще, говоря, уже от изобре-
тательности проектировщика.
3.	Возвратная разность и относительная чувствительность
Простейшей иллюстрацией рассмотренных возможностей
являются соотношения между величинами возвратной разности
и передачи от входа к сетке, а также от анода к выходу
интересующей нас лампы. Обозначим, как и в главе IV, вход,
выход, сетку и анод соответственно цифрами 1,2,3 и 4. Затем
на основании (4.2) и (4.26) мы можем записать:
А
F__ Al— А» Д'	zfin
S' -~_Д_— д° — д° д13 •
Д'
Здесь, как и раньше, 0 и ' указывают, что определи-
тели, к которым они отйосятся, вычислены соответственно
108	Г лава VI. Общие теоремы о схемах с обратной связью — В
при W=0 и W'= Q. Заметим, что определитель Д13 в (6.1)
не зависит от W и может быть записан как А/а либо как Д'13.
Таким образом, множитель AI3/A° в (6.1) представляет собой
величину передачи от входа к сетке при погашенной лампе,
а множитель Л'/Д1з равен обратной величине передачи между
теми же точками для случая, когда лампа имеет данные, соот-
ветствующие исходному значению. Мы можем получить ана-
логичные выражения для передачи от анода к выходу при
этих двух значениях W. Для этого только нужно в (6.1)
произвести умножение и деление F/S' на Д42 вместо Д13.
Основная трудность здесь заключается в том, что значения
передачи от входа к сетке и от анода к выходу при исходном
состоянии схемы не могут быть вычислены без учета оста-
точной обратной связи, которая имеет место благодаря наличию
некоторого остаточного взаимного иммитанса лампы. Однако
для большинства схем идея баланса моста между входом и
выходом при исходном состоянии значительно упрощает за-
дачу. Пользуясь тем, что баланс не зависит от величин вход-
ного и выходного сопротивлений, мы можем рассматривать
передачу от входа к сетке при произвольном значении со-
противления, подключенного к выходным зажимам, или пере-
дачу от анода к выходу при произвольном значении сопроти-
вления, подключенного ко входу. В общем случае имеется
возможность надлежащим выбором параметров как бы разо-
рвать канал остаточной обратной связи *).
Несмотря на физическую очевидность этих возможностей,
мы для облегчения дальнейшего изложения подтвердим их
математически. Чтобы учесть влияние изменений в цепи, под-
ключенной к выходу, на передачу от входа к сетке для исход-
ных значений перепишем (6.1) следующим образом:
F ___ А1з Д' -|- W'jA'js	п\
S' — Д’ Д'18+1Г8Д'1МЗ ’
где представляет собой произвольный иммитанс, который
добавляется к выходным зажимам, когда лампа имеет данные,
соответствующие исходному значению.
Но мы можем также записать:
Д Д 1322 = Д 13Д 22>	(6.3)
Последнее соотношение следует из равенства (4.13), если
учесть, что Д'12 = 0, ибо коэфициент передачи от входа к вы-
ходу в исходном состоянии равен нулю.
*) Это остается справедливым во всех случаях, за исключением мосто-
вого типа схемы усилителя с обратной связью, описанного в главе III, где
коэфициент передачи по замкнутой петле не зависит от величин вход-
ного и выходного сопротивлений.
Возвратная разность и относительная чувствительность 109
На основании (6.3) легко убедиться, что (6.2) не зависит
от W*. Поэтому мы можем выбрать любое значение 1F?, не на-
рушая соотношения между S' и F, определяемого (6.1). В ча-
стности, величина может быть выбрана такой, что канал
обратной подачи от анода к сетке будет разорван, т. е.,
другими словами,
Ai3 = 0.
При подобном выборе второй множитель в (6.2) оказы-
вается не зависящим от WQ, и мы можем полагать, что лампа
погашена, а не находится в исходном состоянии.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме:
Теорема. Отношение между возвратной разностью и
относительной чувствительностью для какой-нибудь лампы
равно отношению величины передач от входного кон-
тура к сетке данной лампы, при нормальном значении
выходного сопротивления, к величине передачи между этими
двумя точками схемы, когда значение выходного сопротив-
ления выбрано таким, что обратный канал от анода
к сетке лампы оказывается разорванным. В обоих случаях
предполагается, что лампа выключена.
Совершенно аналогичным образом мы могли бы рассма-
тривать передачу от анода к выходу. Для этого случая ре-
зультат может быть сформулирован следующим образом:
Теорема. Отношение между -возвратной разностью и от-
носительной чувствительностью для какой-нибудь лампы
равно отношению между передачей от анода данной лампы к
выходному контуру (при нормальном значении входного кон-
тура) и величиной передачи между этими же точками,
когда параметры входного контура таковы, что обратный
канал от анода к сетке лампы оказывается разорванным.
В обоих случаях предполагается, что лампа выключена.
Эти теоремы могут быть просто проиллюстрированы на при-
мерах обычного усилителя с одноканальной обратной связью.
Применим, например, первую из приведенных теорем к усили-
телю с обратной связью по току. При этом требуемый разрыв
обратного канала может быть осуществлен размыканием цепи,
подключенной к выходу. Это, очевидно, приведет к неболь-
шому изменению входного сопротивления f-цепи, к которой
было приключено последовательное соединение сопротивле-
ния цепи, подключенной к выходу, и выходного сопротивле-
ния р-цепи.
Ввиду того, что внешняя входная цепь, вход р-цепи,
а также входное сопротивление f-цепи присоединены после-
110 Глава VI. Общие теоремы о схемах с обратной связью — В
довательно к входным зажимам схемы, будет иметь место
соответствующее небольшое изменение величины передачи от
входной внешней цепи к ц-цепи. В системе с обратной связью
по напряжению мы получим аналогичную картину, за исклю-
чением того, что в этом случае разрыв обратного канала произ-
водится коротким замыканием выходных зажимов. Само < со-
бой разумеется, что в обоих случаях изменение величины
передачи при обычных условиях весьма мало.
В качестве примера рассмотрим схему, изображенную на
фиг. 35. Используя первую теорему, мы должны для разрыва
обратного канала разомкнуть ветвь Z5. Коэфициент передачи
от генератора, включенного последовательно с Z.x к сетке
лампы, обратно пропорционален сопротивлению схемы, изме-
ренного со стороны зажимов генератора. Это положение оче-
видно остается в силе как при нормальном значении Z3, так
и при разомкнутой цепи Z5.
Следовательно,
р 	+ Z3	/с д\
s' ” 7 ±7 j_±^l:	v
z»+z»+z3_|_Z4+Z5'
4.	Внешнее усиление при наличии обратной связи
В конце предыдущей главы было упомянуто о возмож-
ности получения выражений для коэфициента усиления, ана-
логичных тем, которые были уже выведены, основываясь на
произвольных исходных значениях переменного элемента 'W.
В частности, пользуясь исходным значением ГГ0, мы получим
формулы, из которых вытекают соображения, весьма близкие
к изложенным в предыдущем разделе.
Соответствующее уравнение для величины коэфициента
усиления, основанное на исходном значении 1^0, может быть
записано, по аналогии с уравнением (5.27), в виде:
<65>
или
<6-6)
если заменить последнюю группу множителей, стоящих в пра-
в*
вой части (6.5), через е F. Чтобы подтвердить справедливость
равенства (6.5), мы можем воспользоваться уравнениями (4.25)
и (4.28), а также условием Д'Д'тз = — Д'13Д'42, которое следует
из тех же соображений, что и в случае выражения (6.3).
Учитывая различные возможные соотношения между 5, S' и Ft
Упрощенный расчет величины. UZ0
111
о которых шла речь в предыдущем разделе, а также в главе IV,
можно будет записать выражения (6.5) и (6.6) рядом дру-
гих способов. Если мы ограничимся рассмотрением уравнений
(6.5) и (6.6) в данной форме, то нас будет в основном инте-
ресовать только величина е р. Она представляет собой, оче-
видно, выражение для парциального коэфициента усиления,
весьма подобное тому е9/г, о котором шла речь в главе V,
Разница заключается только в том, что три множителя,
из которых состоит эта величина, вычисляются здесь при ус-
ловии W = 1Г'О, а не при W=Q, как это делалось раньше,
Как и в предыдущем разделе, множители, представляющие
входной и выходной коэфициенты передачи Дц/Л' и Ai9/A',
могут быть определены при произвольном значении внешнего
сопротивления, которое непосредственно не входит в цепь
передачи. Если мы выберем, в частности, такие значения, при
которых обратный канал оказывается разорванным, то вычис-
ления можно будет производить при погашенной лампе.
Таким образом, разница между множителями, входящими
в выражение ер, и теми, которые входят в выражения для
е р, заключается в том, что в первом случае они учитывают
сопротивления на каждом конце 0-цепи при разрыве на дру-
гом конце петли обратной связи, в то время как во втором
случае эти сопротивления соответствуют значениям для замк-
нутой петли.
Простым примером может служить схема усилителя с об-
ратной связью, показанная на фиг. 35, которую мы использо-
вали ранее для иллюстрации вычисления величины парциального
коэфициента усиления в случае нулевого исходного значения.
Нетрудно видеть, что в этой схеме для определения зна-
чения коэфициента передачи от Zv к сетке удобно величину
Z5 положить равной бесконечности, а для определения коэ-
фициента передачи от анода к Z5 считать равной бесконеч-
ности величину Zj. Поэтому выражение для парциального коэ-
фициента передачи при исходном значении UZ-# может быть
записано следующим образом:
р^Р — Zi_____________	______
Zt -f- Zi -|- Z3 Z3 -|- Zh Z5
Z5r'.
(6.7)
(5 Полученное выражение полезно сравнить с уравнением
5.	Упрощенный расчет величины Wo
Материал предыдущих разделов был выбран в основном
для того, чтобы дать возможно более простую иллюстрацию
использования условия баланса моста в случае, когда анализ
112 Глава VI. Общие теоремы о схемах с обратной связью—В
основывается на исходном значении Однако на первый
взгляд может показаться, что выбор в качестве исходного
значения Wo вместо нуля лишь только усложнит вычис-
ления.
Действительно, при использовании исходного значения
мы оперируем переменными W и S', которые, очевидно, вы-
числяются с бблыпим трудом, чем соответствующие перемен-
ные W и F при нулевом исходном значении. Но, с другой
стороны, пользуясь исходным значением W\, мы получаем
в общем случае более простые соотношения. Например, урав-
нение (6.7) проще, чем соответствующее ему выражение при
нулевом исходном значении. Упрощение, получающееся при
применении исходного значения VF0, станет еще более оче-
видным, если учесть, что уравнение (6.7) может быть непо-
средственно использовано для определения выходного напря-
жения, в то время как при методе нулевого исходного значе-
ния нам еще пришлось бы вычислять коэфициент прямой пе-
редачи. Коэфициент прямой передачи нам нужно также знать
при нулевом исходном значении для определения абсолютной
чувствительности. В то же время уравнение (4.31) дает зна-
чение S непосредственно, если мы пользуемся W' и S'. Вообще
же говоря, в случае сложных схем указанные преимущества
вычислений при исходном значении превалируют над труд-
ностями определения W' и S'. Однако при анализе простых
схем удобнее пользоваться нулевым исходным значением.
Ввиду того что для вычислений при исходном значении W9
необходимо знать в первую очередь значения величин W и
S', мы рассмотрим, каким образом удобнее всего их вычис-
лить. Само собой разумеется, что величина W' непосред-
ственно зависит от Й70. Величина 5" может быть определена
косвенным образом по F с помощью методов, описанных
ранее в этой главе и в главе IV. В этом случае, однако, не-
обходимо предварительно найти величину F. Если бы мы по-
желали определить S' непосредственно, то нам пришлось бы,
вообще говоря, иметь дело с обратной передачей от анода
к сетке в исходном состоянии, так как S', как это было ранее
показано, равно возвратной разности для исходного значения
W9. Вычисление как U70, так и коэфициента обратной пере-
дачи в йсходном состоянии может быть упрощено, если вос-
пользоваться условиями баланса моста, рассмотренными выше.
Особенно удобно это делать в тех случаях, когда схема от-
носится к одному из общих типов, показанных на фиг. 43—46.
На каждом рисунке цепи Nt и N9 могут иметь произвольные
конфигурации, но, как мы увидим далее, зависимость между
цепями генератора и цепью сетки или же между цепями
анода и нагрузкой оказывается здесь особенно простой.
Упрощенный расчет величины W9
ИЗ
Например, на фиг. 43 анод и нагрузка включены между собой
параллельно в том смысле, что если замкнуть нако-
ротко сопротивление между анодом и катодом, то пе-
редача от входа к нагрузке или от сетки к нагрузке
будет отсутствовать. Аналогично на фиг. 44 представлено
устройство с последовательным включением нагрузки отно-
сительно анодной цепи. На фиг. 45 и 46 приведены способы
подключения входа к сетке. Следует указать, что схема
должна относиться к одному из этих типов лишь в общих
чертах, так как небольшие отклонения не оказывают замет-
ного влияния на результаты. Например, могут существовать
еще какие-либо другие каналы передачи между входом и вы-
ходом в дополнение к показанным на фигурах при условии,
что коэфициенты передачи через эти каналы будут сравни-
тельно малыми, так как на основании изложенного в главе IV
различие между S' и S или F определяется только отноше-
нием еВ 9<> к ев.
В этом разделе мы будем заниматься только вычислением
величины W9. Если мы, в частности, рассмотрим схему, пока-
занную на фиг. 43, то заметим, что в исходном состоянии на-
пряжение на выходе должно быть равно нулю, в силу чего
разность напряжений на зажимах АА' также равна нулю. По-
этому мы можем с тем же успехом определить исходное со-
стояние, полагая эти зажимы замкнутыми накоротко при ус-
ловии, что исходное состояние определено равенством нулю
тока через короткозамкнутую цепь. Это, очевидно, требует
взаимной компенсации токов в короткозамкнутой цепи, обуслов-
ленной, с одной стороны, самой лампой и, с другой стороны,
остальной частью схемы при погашенной лампе. Однако при
вычислении тока, обусловленного лампой, мы можем не учи-
тывать какие-либо остаточные обратные связи, так как
8 Зак. 1327
1 14 Глава VI. Общие теоремы о схемах с обратной связью — В
короткое замыкание зажимов АА' уничтожает обратный канал.
Исходное значение крутизны характеристики лампы для схемы,
показанной на фиг. 43, будет поэтому равно отношению тока,
протекающего между А и Д', к напряжению между сеткой и
катодом. Обе эти величины вычисляются при короткозамкну-
тых зажимах АА' и погашенной лампе. Заметим, что при этом
требуется знание только двух коэфициентов передачи вместо
четырех, как это имело место в (5.26).
В качестве простого примера рассмотрим схему, изобра-
женную на фиг 47. Напряжение Eg, действующее между сет-
кой и катодом, будет, очевидно, создавать ток У3 Eg в кброт-
Фиг, 48
козамкнутой цепи между анодом и катодом при погашенной
лампе.
Поэтому
(6.8)
Устройство, относящееся к общему типу, показанному на
фиг. 44, может быть проанализировано аналогичным образом,
если мы вместо короткого замыкания зажимов А и Д' про-
изведем разрыв цепи между зажимами В и В'.
Исходное взаимное сопротивление равно отношению на-
пряжения на ВВ' к току в сеточной цепи. Обе эти величины
вычисляются при размыкании зажимов ВВ' и погашенной
лампе. Например, для схемы, показанной на фиг. 48, имеем:
W^=Z,.	(6.9)
Можно определить исходное состояние для схемы, пока-
занной на фиг. 48, также и через проводимости. Если мы бу-
дем исходить из какого-либо напряжения между сеткой и
катодом и непосредственно вычислим крутизну лампы, при
которой обеспечивается баланс напряжений на Z3 и при
разомкнутом Zt, то мы без труда сумеем определить Wo как
крутизну в следующем виде:

^0
(МО)
Упрощенный расчет величины Wt 115
Для случая схемы, принадлежащей к общему типу, изо-
браженному на фиг. 45, разрыв канала остаточной обратной
связи можно осуществить, полагая, что генератор напряжения
с нулевым внутренним сопротивлением включен между сет-
кой и катодом. В схеме, показанной на фиг. 46, мы можем
предполагать, что контур содержит генератор с бесконечным
внутренним сопротивлением, включенный последовательно
с утечкой сетки. Исходное значение взаимного иммитанса бу-
дет равно отношению тока или напряжения источника в анод-
ной цепи к напряжению или току источника в сеточной цепи, если
анодный и сеточный источники обусловливают одинаковую реак-
цию на выход схемы при погашенной лампе. Эти соотношения мо-
гут быть проиллюстрированы на примерах систем, показанных
на фиг. 47 и 48, и дадут те же результаты, что и (6.8) и (6.9).
Несмотря на то, что полученные результаты в достаточной
степени физически очевидны, мы покажем, как они могут
быть получены математически, что упростит рассуждения,
приведенные в следующем разделе. Рассмотрим, в частности,
систему, изображенную на фиг. 43. Для анализа этой системы
удобно воспользоваться уравнением для узловых напряжений,
полагая катод лампы заземленным. Как мы уже условились
ранее обозначим вход, выход, сетку и катод соответ-
ственно, как первый, второй, третий и четвертый узлы. Ко-
роткое замыкание между зажимами А и А' можно предста-
вить добавлением произвольно большой величины к про-
водимости четвертого узла.
Напряжение, получающееся на сетке и аноде при подклю-
чении ко входу схемы источника единичного напряжения,
в случае погашенной лампы может быть, при указанных обо-
значениях, записано следующим образом:
р А°1з -р KfAjMi	fc 1 1 \
(6.11)
И
£.= v+h.. 	<6Л2>
где Д° представляет собой определитель системы при пога-
шенной лампе й У4 = 0.
Ток через У4 равен £4К4. Требуется доказать, что исходная
крутизна лампы равна отношению этого тока к сеточному
напряжению Е3, когда У4 бесконечно велико. Общая формула
для исходного значения (4.23) была приведена в главе IV.
Пользуясь выражениями (6.11) и (6.12) для нахождения отно-
шения тока к напряжению при У4 = со, мы можем получить
требуемое соотношение в виде:
=	(6.13)
Д1844	Д1248
116	Глава VI. Общие теоремы о схемах с обратной связью — В
Чтобы убедиться в справедливости этого уравнения, запи-
шем напряжение на выходном узле следующим образом:
Если Ft бесконечно велико, то напряжение Е, в схеме,
показанной на фиг. 43, делается равным нулю. Поэтому
А1«м=0-
Полагая Д12и равным Cd в равенстве (4.13), получаем
Д°12Д44 = ^14Д4«‘	(6.15)
Выражение (6.13) следует непосредственно из (6.15), если мы
снова воспользуемся (4.13) для того, чтобы заменить Д1Ш и
их значениями, выраженными через миноры первого по-
рядка.
в. Упрощенный расчет величины передачи от анода к сетке
То обстоятельство, что входная и выходная цепи при ис-
ходных данных должны соответствовать условиям баланса,
которые мы только что использовали для упрощения расчета
исходного значения 1F"O, может быть также применено к вы-
числению передачи анод — сетка при W = Wo. Это можно проил-
люстрировать рассмотрением схемы, изображенной на фиг. 43.
Например, из условия баланса следует, что сопротивление,
измеренное между зажимами АА' при отключении части схемы,
находящейся справа от этих зажимов (фиг. 43), должно не
зависеть от входной цепи при W =
В противном случае, если мы будем изменять сопротивле-
ние входной цепи, то должны будем ожидать изменения со-
противления между зажимами АА' для заданного генератора,
действующего в анодной цепи, а следовательно, и изменения,
тока в выходной цепи. Но это не может иметь место при ба-
лансе входа и выхода. Чтобы это стало ясным, напомним, что
изменение входного сопротивления эквивалентно поддержанию
величины этого сопротивления постоянной и добавлению по-
следовательно к нему соответствующего генератора. Анало-
гично ток, проходящий через входное сопротивление, и свя-
занные с ним элементы в распределяются в различных
контурах Nt независимо от величины выходного сопротивления.
Поэтому общая величина передачи между анодом и сеткой
при исходных значениях может быть разделена на два мно-
жителя, один из которых зависит, вообще говоря, от сопро-
тивления нагрузки и элементов но не зависит от входного
Упрощенный расчет величины передачи 117
сопротивления, а второй зависит от входного сопротивления
и элементов но не зависит от выходных сопротивлений.
Эти соотношения могут быть сформулированы следующим об-
разом:
Теорема. Если система относится к одному из типов,
приведенных на фиг. 43—46, то реальная схема, используе-
мая для вычисления величины передачи между анодом и
сеткой в исходном состоянии, может быть заменена экви-
валентной схемой, в которой выходное сопротивление мо-
жет иметь произвольное значение при условии, что внеш-
ний источник напряжения в эквивалентной схеме выбран
относительно источника исходной схемы таким образом,
что они оба развивают напряжения одинаковой величины
на входе лампы при любом, произвольно выбранном значе-
нии сопротивления входной цепи усилителя.
Эквивалентный генератор может быть включен как в анод-
ную цепь, так и в цепь нагрузки, а сравнение напряжений
может производиться либо на сетке самой лампы, либо на
входных зажимах схемы. Применяя настоящую теорему
к расчету схем, стремятся, конечно, выбрать величину выход-
ного сопротивления таким образом, чтобы облегчить вычисле-
ние коэфициента обратной связи, в то время как входное со-
противление выбирается с точки зрения облегчения промежу-
точного этапа, заключающегося в сравнении напряжений.
При выводе теоремы мы будем придерживаться обозначений
предыдущего раздела. То обстоятельство, что выходная цепь
в эквивалентной схеме выбирается произвольным образом, бу-
дет учтено добавлением произвольно выбранной величины Ye
к собственной проводимости Ytt. Произвольная входная цепь,
которая используется при сравнении напряжений, будет точно
так же представлена путем добавления проводимости Yt
к Ytll). Пусть /4 представляет собой ток, развиваемый действи-
тельным источником, а/9— ток, который дается эквивалентным
генератором. Напряжение, развиваемое каждым из источников
на входе, обозначим через Еи При сравнении напряжений,
имеем
= А'+Ъ..	<6Л6)
*) В случае, если мы пользуемся не проводимостями, а сопротивления-
ми, то указанные выражения соответственно изменяются. Как и в преды-
дущем разделе, мы считаем ради простоты, что катод заземлен, а вход и
выход схемы также имеют заземленные точки. В этом случае, например,
изменения входной и выходной цепи будут сказываться только на членах,
относящихся к собственной проводимости.
118 Глава VI. Общие теоремы о схемах с обратной связью—В
И
= Z« Д' + Y^n + rX, + Y.Y^, ’	<6Л7)
где Д' является определителем реальной схемы при Yi = К«=0
и W— Wo. В соответствии с условиями теоремы, величина тока Z,
должна быть выбрана такой по отношению к /4, чтобы вели-
чины Elt определяемые обоими уравнениями, были равны одна
другой. С другой стороны, в случае, когда входная цепь
имеет свое значение проводимости, соответствующее реальной
схеме, эквивалентный источник будет развивать напряжение
между сеткой и катодом, равное
Если мы, пользуясь уравнениями (6.16) и (6.17), заменим Д
его значением, выраженным через /4, то выражение (6.18)
примет вид
Z7 __ J ^41 А.» А' (Д' 4~ ^1^X1	^2^22 +	^8-^112а)	/(? 1 Q\
3 /4Д'Д'м	(Д' + Г1Д'и)(Д'+У2Д^)	• tb-iy'
На основании равенства (4.13),
дч«=д;а..	(6.20)
Это следует из того обстоятельства, что при исходных
значениях передача от входа к выходу отсутствует, и следо-
вательно,
д;3=о.
Пользуясь (6.20), нетрудно увидеть, что второй множитель
в (6.19) должен быть равен единице. Поэтому это уравнение
примет вид -
(6.21)
Но величина передачи от анода к сетке в реальной схеме
равна
Et = k^.	(6.22)
Следовательно, теорема доказана, если мы можем принять
^41^28  1
^48^21
В качестве последнего шага мы должны установить, что
(6.23) будет иметь место для обеих систем общего типа, по-
Упрощенный расчет величины передачи 119
казанных на фиг. 43—46. Для этого достаточно исследовать
схему, показанную на фиг. 43. Из рассуждений, подобных тем,
которыми мы пользовались при выводе (6.15), следует, что
для этой схемы
^2144 == ^2344 — 0.
На основании (6.15) мы можем поэтому записать
^21 ^44 = ^24^41	(6.24)
^23^44 = 24^43,	(6.25)
откуда непосредственно следует справедливость уравнения
(6.23).
Доказательство справедливости (6.23) для других схем мо-
жет быть произведено такими же методами. Отметим, что,
хотя при выводе (6.23) мы полагали, что эквивалентный ге-
нератор соединен с выходом, а сравнение напряжений произ-
водилось на входе схемы, указанное уравнение может быть
получено и в том случае, если эквивалентный генератор бу-
дет подключен к аноду и сравнение напряжений будет произ-
водиться на сетке лампы, так что и при этих условиях тео-
рема остается в силе.
В качестве простого примера рассмотрим систему, приво-
дившуюся ранее на фиг. 48. Будем считать, что Zt этой си-
стемы представляет собой входную цепь, a Zt нагрузку.
При введении в схему эквивалентного генератора удобно
положить ZB = co, так как при этом все элементы со стороны
анода могут не приниматься в расчет. С другой стороны, при
сравнении напряжений мы будем считать, что Zx — Q£>, так
как при этом мы можем не учитывать сеточные элементы. Если
ток первоначального анодного источника равен /4, то напря-
жение на Z3 (или на Z,) в том случае, когда будет произво-
диться сравнение напряжения, равно I^Z^ZJ^Z^Zk-\-Z^\,
Эквивалентный генератор должен развивать на сопро-
тивлении Z3 такое же напряжение. Однако введение экви-
валентного генератора при принятых нами предположе-
ниях соответствует разомкнутой анодной цепи. Если мы вос-
становим величину входного сопротивления для того, чтобы
произвести действительное измерение, то получим, что отно-
шение напряжения между сеткой и катодом к напряжению,
развиваемому на сопротивлении Z3, при условии сравнения
должно быть равно Z2/(Z1 -f- Z2 -|- Z3). Если мы также введем
множитель W' для того, чтобы получить полную передачу по
замкнутой петле, то возвратное отношение для исходного
значения можно будет записать в виде:
(6.26)
120 Глава VI. Общие теоремы о схемах е обратной связью — В
Очевидно, что равенство (6.26) представляет собой выра-
жение для возвратного напряжения, которое получается, если
предположить, что величина Z3 так мала по сравнению с дру-
гими сопротивлениями, что взаимодействие между двумя парами
полюсов цепи отсутствует. Выбор исходного значения Wt
эквивалентен, в сущности, устранению взаимодействия между
входом и выходом. Уравнение, выраженное через это исход-
ное значение, делается точно таким же, как и выражение для
7', даже когда Z3 не является малым. Другими словами, в
исходном состоянии два вида связи прямой передачи, которые
представляют собой ветвь Z8 и крутизну лампы, действуют,
взаимно компенсируя друг друга. Передача в обратном на-
правлении от анода к сетке является поэтому односторонней,
и две пары полюсов схемы не зависят одна от другой, точно
так же, как взаимно независимы анодная и сеточная цепи в
идеальной электронной лампе.
7.	Усилитель с местной обратной связью.
Расчет величины Wo
Приведенные теоремы можно проиллюстрировать с помощью
системы, показанной на фиг. 49. Схема представляет собой
усилитель с многоканальной обратной связью, относящийся
к общему типу схем, изображенных на фиг. 27 и 28. Главная
обратная связь обеспечивается ветвью У8. Последний каскад
Фиг. 49
имеет дополнительную обратную связь, обусловленную^вет-
вями У8 и Кв. Этот каскад подобен уже рассмотренным ранее
системам, изображенным на фиг. 47 и 48. Хотя анализ схемы
не зависит от того, какие частные предположения сделаны в
отношении того или иного элемента, мы все же ради удоб-
ства можем принять, что У8 представляет собой паразитную
емкость сетка — анод лампы, а У8 является некоторым элемен-
том, добавленным в схему специально для увеличения общей
Усилитель с местной обратной связью
121
обратной связи каскада. , Введенные в схему элементы и Yf
отражают тот факт, что в реальной лампе имеются некоторые
проводимости между анодом и катодом, а также между сеткой
и катодом, которые, в случаях, когда катод не заземлен, сле-
дует отличать от проводимостей между указанными электро-
дами и землей. Этот случай как раз имеет место в нашей
схеме. Величины Ух и У5 представляют собой обычные пара-
зитные емкости, а также другие элементы схемы, включенные
на землю, а У7 является общей выходной проводимостью.
Наличие как К8, так и У6 приводит к значительно более
сложным уравнениям, что в основном обусловлено тем, что
схема в этом случае относится скорее к мостовому типу, чем
к типу схем с комбинированной обратной связью по току и
напряжению. С целью упрощения рассуждений мы будем
поэтому начинать каждый этап анализа с
предположения, что только один из этих двух
элементов имеется в наличии, а общие урав-
нения для всей системы рассмотрим лишь в
конечной стадии анализа.
Ввиду того что свойства схемы относи-
тельно первого и второго каскадов подобны
свойствам усилителя с одноканальной обрат-
ной связью, мы можем сразу же обратиться
к оконечному каскаду. Первый шаг будет
состоять в определении исходного значения
Wq для крутизны лампы. Учитывая, что
Фиг. 50
в исходном состоянии ток в выходной цепи равен нулю, мы
можем удалить У7, и тогда основное условие будет заклю-
чаться в равенстве нулю суммы напряжений на У8 и У8. Однако
величина напряжения на У8 весьма мала, и ею мы можем
пренебречь. Таким образом, схема сводится к виду, показан-
ному на фиг. 50, и задача теперь состоит в определении кру-
тизны 1Г0, при которой коэфициент передачи от Л к В будет
равен нулю.
Из ранее приведенных в этой главе рассуждений следует»
что величина Ц70 не должна зависеть от У1 и У8, так что эти
проводимости могут быть при расчете выбраны любой, удоб-
ной для нас величины. Если одна из ветвей 3 или 6 будет
отсутствовать, то схема сводится к одному из типов, изобра-
женных на фиг. 47 и 48, для которых величина исходной
крутизны уже была определена уравнениями (6.8) и (6.10).
После соответствующих изменений обозначений, согласна
фиг. 50, результаты примут вид
W,
У,У,
Г»
(6.27>
122 Глава VI. Общие теоремы о схемах с обратной связью —В
при У6, равном нулю, и
1Г0 = Г6	(6.28)
при У3, равном бесконечности.
В общем случае, когда нельзя пренебречь ни У3, ни Yt)
мы можем определить 1170из расчета величины передачи, исполь-
зуя произвольные значения Yt и Ув. В данном случае удобно
выбрать Ув = 0 и Yt = — У3. При этом выборе данных обрат-
ный канал от анода к сетке оказывается разорванным, так
что суммарное выходное напряжение, которое должно быть
принято равным нулю, может рассматриваться как суперпо-
зиция напряжения, создаваемого основным источником, и на-
пряжения, которое получается за счет протекающего анодного
тока. При погашенной лампе и указанных значениях и Ув
нетрудно вычислить напряжение между узлом В и землей, т. е.
напряжение, действующее на Кв, которое создается источни-
ком тока 1а, подключенным к узлу А (фиг. 50). Это напря-
жение может быть выражено следующим образом:
= - у8~(^+гЛ(ПК6 + К2У6 + Y.Y, + У3У6).	(6.29)
Напряжение между сеткой и катодом, вызванное тем же
возбуждающим током, будет равно —Ia/Yz. Учитывая сдвиг
по фазе на 180° в лампе, получаем для исходного состояния
соответствующую величину анодного тока, равную /aWqIY3.
Если такой источник тока будет подключен к цепи, в кото-
рой лампа попрежнему погашена, и элементы Y, и Ув имеют
.выбранные выше величины, то результирующее падение на-
пряжения на YB будет равно
Ев,
__ 1
~ rs л + г.
(6.30)
Но сумма двух напряжений, определяемых уравнениями
<6.29) и (6.30), должна быть равна нулю. Поэтому точное зна-
чение равно

_r4re+r2ye-f-y2F4 + F3ye
К,-Г,
(6.31)
откуда следуют уравнения (6.27) и (6.28) в качестве частных
случаев.
С Другой стороны, представляется также возможным опре-
делить Wo непосредственно из уравнений для узловых напря-
жений. Ввиду того что такого рода расчет является весьма
общим, он заслуживает дополнительного рассмотрения. Для
Расчет местной обратной связи
123
схемы, изображенной на фиг. 50, уравнения для узловых на-
пряжений имеют вид:
Еa (Г, + + Г.) - Ев У6 - Ес Y3 =1а ,
- Еа (К6 - Г) + ЕВ (Г4 + У8 + У6)-Ес (У4 + W) =0,
- Еа (Г, + W) -EbY, + £с.( + Г3 + У, + W) = 0,
(6.32)
если мы будем полагать, что схема возбуждается током /а,
входящим в узел А. При W = U70 мы должны получить коэ-
фициент передачи от А к В, равный нулю. Это соответствует
равенству нулю определителя Д^в, так что U70 находится из
выражения
-(Г.-1Г0)
-(П+Го)
-(Кз+Г0)
(Гз + Кз+Кз + ^о)
= 0.
(6.33)
й £ Если развернуть определитель, то мы получим формулу
для IFO, уже найденную в виде (6.31).
8.	Усилитель с местной обратной связью.
Расчет местной обратной связи
Будем считать, что конечной целью анализа схемы, изо-
браженной на фиг. 49, является определение относительной
чувствительности для последней лампы. Абсолютная чувстви-
тельность для этой лампы, естественно, может быть найдена
непосредственно по относительной чувствительности и отно-
шению W/W', которое определено заданным значением We.
Вычисление величины S' для последней лампы удобно осно-
вывать на теореме, вытекающей из уравнения (5.22). Пусть
представляет собой крутизну выходной лампы, a UZ2 — кру-
тизну одной из предыдущих ламп. Выберем исходные значе-
ния согласно этой теореме, соответственно равные IF0 и нулю.
Возвратная разность для выходной лампы при исходном зна-
чении Ц70 будет, конечно, такой же, как и величина S'. Более
того, когда V7t имеет свое исходное значение, возвратная
разность для IF2 равна единице, так как основная петля ока-
зывается разорванной. Аналогично при W», равном своему
исходному значению, возвратная разность для при исход-
ном значении определяется только той возвратной раз-
ностью, которая получается при рассмотрении „местной“
системы, показанной, на фиг. 50 и включающей входные и
выходные цепи и сопротивления (3-цепи. Поэтому, как это
следует из теоремы, действительная величина относительной
чувствительности для Wt равна произведению возвратной раз-
ности для IF2 и „местной" относительной чувствительности
для IFj. В этом разделе рассматривается только расчет
124	Глава VI. Общие теоремы о схемах с обратной связью — В
местной чувствительности. Если Ув = 0, то местная схема иден-
тична ранее показанной на фиг. 48, за исключением того, что
Z^Z8 добавлены в параллель с ZB. Поэтому выражение для
местной чувствительности на основании уравнения (6.26) может
быть сразу записано в виде:
= 1 + у 4-Z -UZ Z , z\zZ3^',
А"т^«"т^з ^з_г^4‘Т'^е
(6.34>
где Z9 представляет собой общее сопротивление, составленное
из Z, и Z8, включенных в параллель с ZB.
С другой стороны, если Z3 равно нулю, схема соответствует
виду, изображенному на фиг. 43. Следовательно, теорема,,
относящаяся к расчету обратной связи при помощи эквива-
лентного генератора, остается в силе. В этом примере удобно
полагать, что эквивалентный генератор определяется условием
К, = со и что сравнение напряжений на сетке производится
при условии Kj = оо. При У1 = оо ток Ij в анодной цепи бу-
дет, очевидно, создавать напряжение между точками В и С,
равное ///(К*4-Г, + Г,).
С другой стороны, при нормальном значении генератор
единичного напряжения с нулевым внутренним сопротивле-
нием, подключенный между точками В и С, будет создавать
напряжение между точками А и С, равное ^/(Kj + Уа-|-Ув).
Поэтому величина местной чувствительности определяется,
следующим образом:
Ге	W
гГ+К+К К+г. + гГ*
(6.35)
Если мы не можем пренебречь ни ветвью 3, ни ветвью 6,
анализ значительно усложняется. Ввиду того что схема тогда
не будет относиться ни к одному из типов, показанных на
фиг. 43—46, для вычисления обратной связи уже нельзя будет
воспользоваться теоремой об эквивалентном генераторе. Од-
нако необходимое выражение может быть выведено непосред-
ственно из определителя системы. В качестве другого способа,
требующего такого же количества алгебраических выкладок,
хотя и могущего показаться более простым, укажем вывод
чувствительности из возвратной разности. Выражение возврат-
ной разности для местной схемы может быть получено обыч-
ными методами анализа цепей в следующем виде:
р_ 1 । Г.Г. + У,(У, + У,) + У»У.
' a+bYt + cY' + dYiY, ’	Ip.OOJ
Окончательные соотношения
125
где
(6.37)
Однако мы знаем, что величина 3J равна величине F, опре-
деляемой выражением (6.36), деленной на значение, которое
принимает F при W — We. Зная величину Wo, выражение для
можно записать следующим образом:
е. _ , д. [Г.Г9 + У,(Г, + у,) + Г,Гв] (У, - у,) W"	,fi „ох
°' — 1 Т (Г1Га _|_ YtYt) (YiYt + У,У,) + У, (а + bYt + 4У,У.) * ’°-00'
9.	Усилитель с местной обратной связью.
Окончательные соотношения
В соответствии с вышеприведенными рассуждениями, зна-
чение 3' для третьей лампы фиг. 49 может быть получено умно-
жением соотношения (6.38) на возвратную разность для одной
из других ламп. Однако возвратное отношение для первой или
второй лампы представляет собой просто величину передачи
по главной петле.
Последняя величина может быть разбита на две составляю-
щие, одна из которых будет представлять собой величину пе-
редачи от точки А на фиг. 50 до некоторой точки, например В,
а вторая — величину передачи для оставшейся части петли.
Обозначим эту вторую составляющую через К и будем пред-
полагать, что ее значение известно, так как определение ее
не представляет собой самостоятельной задачи. Ввиду того что
величина 3/ для последней лампы нам уже известна, уравне-
ния (6.5) и (6.6) дают возможность вычислить величину пере-
дачи от А к В, коль скоро определено значение парциального
коэфициента усиления для этой лампы в исходном состоянии.
Напомним, что член, определяющий передачу для сеточной
цепи, может быть определен для произвольно выбранного
сопротивления нагрузки так же, как член, выражающий пере-
дачу для анодной цепи, в случае произвольно выбранного
входного сопротивления.
Предположим, прежде всего, что Кв = 0. Заметим, что при
каждом вычислении удобно выбирать сопротивление таким
образом, чтобы оно равнялось бесконечности, что даст возмож-
ность получить разорванную цепь. В этом обстоятельстве мы
уже убедились в связи с уравнением (6.7).
126 Глава IV. Общие теоремы о схемах с обратной связью — В
Результирующая величина передачи от А к В для настоя-
щей схемы может быть записана в виде1):
= Z^X	(6.39)
где Sz должно быть определено из (6.34) в соответствии с тем,
что мы приняли К6 = 0.
С другой стороны, если принять Z3 = 0, то наиболее удоб-
ным будет определить передачу для сеточной цепи при усло-
вии Z9 = 0, а передачу для анодной цепи — при условии Zx =0.
При этих предположениях величины передачи, как легкф
видеть, соответственно равны \/(¥\ -ф-	+ К6) и 1 /(К4-j-У6-ф- У9).
Следовательно, коэфициент передачи от А к В будет равен
рвАВ-J______1_________!____ГК"
е —S'{ Л + Yi + Y, + Vsw ’
(6.40)
где S'i определяется из (6.35).
Когда нельзя пренебречь ни ветвью 3, ни ветвью 6, анализ,
естественно, усложняется, но все же он может быть выпол-
нен теми же общими методами. Например, при вычислении
передачи до сетки удобно положить, что
К9 = -П [(Л + Кз)/(Л + Уе)].
При таком значении У9 передача от У4 к У9 делается рав-
ной нулю, так что ток, протекающий через Yit благодаря нали-
чию передачи в пассивных частях цепи или благодаря пере-
даче за счет остаточной крутизны IFO не будет влиять на на-
пряжения на
Таким образом, вычисление может быть произведено для
любого значения У4, например для короткого замыкания цепи.
Аналогично, при вычислении коэфициента передачи от анода
к нагрузке мы можем принять
Л = -П[(Уз + У4)/(К6 + г9)],
что приводит нас к короткому замыканию Выражение для
*) Числитель правой части выражения (6.39) содержит множители Zj и Z,,
для которых не существует соответствующих членов в (6.7). Эти множители
введены для того, чтобы выразить результат в том виде, который характе-
рен для метода узловых напряжений, а не для метода контурных токов. Так,,
в уравнении (6.7), где мы пользовались сопротивлениями, а не проводимо-
стями, источник возбуждения был взят в виде единичного генератора, вклю-
ченного последовательно с Zn а реакция была выражена через ток в нагруз-
ке. Введение множителя Zr определяет источник возбуждения в виде еди-
ничного генератора, присоединенного к Zb в то время как введение Z*
эквивалентно выражению реакции в виде напряжения на нагрузке. Анализ
с помощью узловых напряжений выбран здесь для того, чтобы привести
результаты в соответствие с другими уравнениями этого раздела.
Окончательные соотношения
127
величины передачи от Л к В будет иметь вид:
g9AB = -1-------~	---------------—	_______уу eg 4|\
е Ав S't Y,Yt + FjF» + rsF3 +r8re FsF4 + F3F3 + F3F, + Г4У, W д0>4
где первое и второе выражения, включающие величины К,
представляют собой соответственно значения величин пере-
дачи от источника к сетке и от анода к нагрузке.
После умножения одного из этих выражений на величину К,
представляющую собой коэфициент передачи остальной части
замкнутой петли (начиная от точки В и включая крутизну
второй лампы), мы получим полный коэфициент усиления
р.р-цепи, который равен—Г либо для первой, либо для вто-
рой лампы. В соответствии с теоремой о соотношении между
двумя возвратными разностями реальная относительная чув-
ствительность для третьей лампы может быть получена умно-
жением соответствующей величины F либо для первой, либо
для второй лампы на величину S'i для третьей лампы, которая
выражается уравнениями (6.34), (6.35) или (6.38). Например,
если положить К3 = оо и написать выражение для общей отно-
сительной чувствительности для третьей лампы S', то, поль-
зуясь соотношениями (6.35) и (6.40), получим:
,s"=s‘ ('+«Г г, + у. + К Т7+ у. + у, w =
= 1+т^чП7 гЯ^+К<г- + '<>,г-	(6'42)
В качестве последнего этапа анализа мы можем вычислить
искажения, которые будут обнаружены на выходе за счет дей-
ствия описанного ранее генератора искажений, включенного
в анодную цепь третьей лампы. Теоремы, приведенные в гла-
ве V, показывают, что эти искажения равны величине иска-
жений на выходе, в случае, когда третья лампа находится в
исходном состоянии, разделенной на величину S' для этой:
лампы. Однако мы уже вычислили отношение между данным
анодным током и напряжением между точкой В и землей в
исходном состоянии. Пусть k представляет собой отношение
между напряжением в точке В и результирующим напряже-
нием на сопротивлении нагрузки при разорванной входной
цепи усилителя. Тогда результат может быть сразу записан в
следующем виде:
El~~S' Zt+Zf+zJj для =
= я у -i~Y	для -^8 = °;	(6.43>
О /4'Т'‘Гв“ГГ8
Л	—	Т	*
~ S' Y,Yt + У3Г, + У,Г, + Г4Г, 1]' ДЛЯ об1дего случая,
128 Глава VI. Общие теоремы о схемах с обратной связью — В
где Ij—ток вышеупомянутого генератора искажений, a S' —
в каждом случае соответствующая относительная чувствитель-
ность для третьей лампы. Напомним, что система с двухканаль-
ной обратной связью, весьма подобная рассматриваемой сейчас,
была использована в главе IV для иллюстрации того обсто-
ятельства, что чувствительность лампы в ji-цепи системы с
многоканальной обратной связью не обязательно равна ее воз-
вратной разности. Этот пример может быть сделан более кон-
кретным, если мы воспользуемся выведенными выше уравне-
ниями.
Предположим, например, в уравнении (6.42), что W' = — IF0.
Эго эквивалентно тому, что мы принимаем 11^=0, так
что соответствующая возвратная разность будет равна единице,
Однако ясно, что отношение относительной чувствительности
к возвратной разности не зависит от W, так что оно будет
таким же как в условиях нормальной работы, так и в специ-
ально выбранных нами условиях. Полагая на основании (6.23)
Wr0 = Ke, мы можем для случая, представленного уравнением
{6.42), записать:
F	(Г1 + Г, + Ув) (Yt + Y, + Y9)	•
Из этого уравнения следует, что если мы можем сделать К
достаточно большим, то чувствительность1) будет при этом зна-
чительно больше возвратной разности. С другой стороны, выби-
рая специальные значения для К и различных У, мы мЪжем
также получить чувствительность, значительно меньшую, чем
возвратная разность. Значения этих величин, с которыми прихо-
дится встречаться в обычной расчетной практике, могут,конечно,
отличаться от указанных. Однако тот факт, что чувствитель-
ность и возвратная разность не обязательно должны быть
равны между собой, представляет значительный теоретический
интерес, так как ограничения, накладываемые на осуществи-
мую обратную связь и выведенные в последующих главах, явля-
ются в действительности ограничениями только для возвратной
разности.
1) Здесь не требуется делать какого-либо различия между S и S', так
как мы можем легко выбрать достаточно малым для того, чтобы эти
две величины были приблизительно равны одна другой, не влияя на осталь-
ную часть наших рассуждений.
ГЛ AB A VII
УСТОЙЧИВОСТЬ И ФИЗИЧЕСКАЯ ОСУЩЕСТВИМОСТЬ
1.	Введение
Предыдущие главы были посвящены в основном задаче
анализа цепей. Другими словами, до сих пор предполагалось,
что рассматриваемая система задана и наша задача заклю-
чается в определении ее поведения. Прежде всего с этой целью
были введены уравнения контурных токов и узловых напря-
жений. Последующие главы содержали основные применения
этих уравнений к различным случаям. При этом особое внима-
ние уделялось вопросу о том, что эти уравнения могут сказать
нам о влиянии данного отдельного элемента на характеристики
в целом.
Начиная с настоящей главы, мы переходим от задач ана-
лиза к задачам синтеза, т. е. проектирования. Другими сло-
вами, теперь нашей главной целью будет обратная задача
перехода от заданного типа характеристики системы к цепи,
которая может обладать такой характеристикой. Данная глава
является лишь введением в этот вопрос. Она посвящена в основ-
ном рассмотрению требований, которым должна удовлетворять
цепь для того, чтобы быть устойчивой, и ограничений, накла-
дываемых в связи с этим на характеристики цепей.
2.	Методы проектирования и вопрос о физической
осуществимости
К разработке методов проектирования усилителей с обрат-
ной связью мы подходим здесь длинным и, может быть, не
вполне прямым путем. Поэтому прежде чем приступить к изло-
жению вопроса, необходимо сказать несколько слов в оправ-
дание такого. подхода. Прежде всего необходимо учесть, что
процессы проектирования, т. е. синтеза, в некоторых отноше-
ниях существенно отличаются от процессов анализа. Если цепь
задана, то при известной внешней силе возможна лишь един-
ственная реакция, и эта реакция, во всяком случае принци-
пиально, может быть найдена путем механических вычислений,
так что весь процесс анализа сводится к применению трафа-
ретных правил.
9 Зак. 1327
130 Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
Процесс проектирования нельзя описать с такой определен-
ностью. Этот процесс в широком смысле заключается в построе-
нии более сложных узлов путем выбора варианта сочетания
нескольких, легче поддающихся проектированию, более про-
стых узлов. Например, в усилителе с обратной связью перед
нами в первую очередь стоит задача получения соответствую-
щих характеристик усиления в целом путем выбора варианта
сочетания отдельных узлов и этементов, из которых этот
усилитель составляется, ламп, вх_>дных и выходных цепей,
цепей обратной связи, межкаскадных связей и т. д. Кроме
того, нас может интересовать зависимость свойств каждой из
этих схем от различных элементов, из которых эти схемы
выполнены.
Почти во всех случаях проектирования некоторые или
даже многие из этих вариантов могут давать удовлетворитель-
ное решение. Например, мы можем получить заданное прямое
усиление в усилителе с обратной связью при различных ком-
бинациях входных и выходных схем, ламп и межкаскадных
цепей. В меньшей степени заданную межкаскадную характе-
ристику при отклонениях, лежащих в допустимых пределах,
обычно можно получить с помощью систем с различной физи-
ческой конфигурацией. Выбор между возможными решениями
может определяться дополнительными соображениями, такими,
как соображения экономичности, надежности, потребления мощ-
ности, производственными соображениями и т. д., т. е. выбор
определяется факторами, которые не легко учесть, во всяком
случае детально, при теоретическом рассмотрении.
Бывают случаи, когда выбор варианта может быть произ-
веден совершенно произвольно. Во всяком случае выбор одного
из вариантов требует со стороны конструктора творческо-
го воображения. Поэтому проектирование является творче-
ским процессом, т. е. процессом, не подчиняющимся строгой
теории.
Для ряда систем, в значительной степени аналогичных одна
другой, как, например, в случае серии усилителей, удовлетво-
ряющих близким друг другу требованиям, в почти одинаковом
диапазоне частот ложет оказаться возможным найти общий
вариант, так что работа сведется к трафарету. Однако чем
разнообразнее будут применения, тем более явным становится
творческий характер процесса проектирования.
Из этого рассмотрения следует, что никогда полностью
нельзя свести к набору определенных правил методы проекти-
рования, пригодные в разнообразных условиях. В лучшем слу-
чае эти методы, если и доводят до предела разработку основ-
ных положений и процессов, которые дают возможно простой
и легкий путь для получения любой частной группы соче-
Методы проектирования
131
таний, то все же оставляют конструктору окончательный
синтез.
Этот синтез отчасти может быть облегчен путем отбрасы-
вания тех типов сочетаний, которые хотя и кажутся вероят-
ными, но либо не могут быть осуществлены, либо ведут к
неудовлетворительным результатам.
Так, например, бесцельно ставить перед собой задачу созда-
ния усилителя с обратной связью и со входным трансформатором,
коэфициент передачи которого больше, чем можно получить
при данных паразитных емкостях.
Проектирование безусловно можно ускорить путем состав-
ления общих комбинаций, которые можно применять к раз-
личным случаям путем выбора числовых значений нескольких
параметров и путем отыскания простых методов определения
вспомогательных узлов, из которых составляется вся система.
Превосходным примером этому является теория фильтров.
В данном случае общей системой является составной фильтр
с согласованными характеристическими сопротивлениями. Вспо-
могательными узлами являются отдельные звенья. Задача,
в частности, облегчается благодаря тому, что отдельные звенья
по существу определяются единственным параметром, а пара-
метры, характеризующие существенные свойства звеньев, про-
сто суммируются. Выбор любой частной комбинации звеньев
для удовлетворения частной системы требований, однако,
остается в руках проектировщика.
Отсюда видно, что при разработке методов проектирования
систем с обратной связью мы больше всего нуждаемся в опре-
делении основных свойств реальных узлов, из которых может
составляться система в целом, данных в такой форме, которая
обеспечивает предельно легкое использование при разработке
общего проекта.
Само собой разумеется, что это является необходимым,
если мы хотим избежать тех трудностей, которые были опи-
саны выше. Это требуется при составлении вариантов общих
компановок, о которых можно предполагать, что они имеют
практическое значение, а также при уточнении величин пара-
метров в любом из частных вариантов. На основании реаль-
ного опыта представляется, что если можно правильно и точно
задать характеристики узлов усилителей, то тем самым откры-
вается относительно прямая дорога к окончательному, деталь-
ному проектировгнию.
В синтезе цепей характеристика является „реальной"
в широком смысле слова в том случае, если она может быть
получена из комбинации физически осуществимых элементов.
Ограничения, относящиеся к физическим элементам, не суще-
ственны в анализе цепей. Для процесса расчета данной системы
132 Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
безразлично, являются ли входящие в нее элементы поло-
жительными или отрицательными, если не говорить о паразит-
ных явлениях, которые могут встретиться на практике. Однако
при проектировании цепей эти ограничения имеют фундамен-
тальное значение и должны явиться ближайшей целью иссле-
дования.
Наиболее важными из величин, фигурировавших в преды-
дущем изложении, были входной и взаимный иммитанс, воз-
вратная разность и чувствительность. Их можно объединить
в общем понятии функций цепи. Все они определяются как
отношения определителей, так что все они являются рацио-
нальными функциями от р. Как было показано в главе I, лю-
бая рациональная функция без учета постоянного множителя
определяется своими нулями и полюсами.
В нескольких следующих главах будет рассмотрено усло-
вие физической осуществимости в форме ограничений, кото-
рое оно накладывает на расположение нулей и полюсов раз-
личных функций цепи на плоскости комплексной величины р.
В соответствии с этим анализом, ограничения, накладываемые
на нули и полюсы, будут преобразованы в эквивалентные огра-
ничения поведения функций на оси вещественных частот. Осно-
вываясь на этом рассмотрении, мы постепенно получим возмож-
ность подойти непосредственно к задаче реального проектиро-
вания.
3.	Признаки физической осуществимости
Прежде чем приступить к изучению ограничений, которые
накладывают на функции цепи условия физической осуществи-
мости, необходимо, очевидно, найти формулировку нашего
понимания физической осуществимости, которая может быть
использована как основание для дальнейших заключений. На
первый взгляд представляется, что наиболее очевидная фор-
мулировка сводится к утверждению, что физически осущест-
вимой цепью является любая комбинация физически осуще-
ствимых элементов, т. е. электронных ламп и положительных
индуктивностей, емкостей и активных сопротивлений. Однако
такая формулировка неудобна и может ввести в заблуждение.
За исключением очень простых схем, анализ связей между
знаками элементов и результирующей характеристикой систе-
мы приводит к крайне громоздким алгебраическим соотноше-
ниям. Кроме того, легко показать1), что любой отрицательный
элемент можно представить, во всяком случае принципиально,
в виде соответствующей комбинации ламп и положительных
элементов. Таким образом, различие между положительными
*) См., например, схемы, описанные в конце главы IX.
Признаки физической осуществимости
133
и отрицательными элементами не может явиться исходным
положением при решении нашей задачи.
Хотя знаки элементов не могут быть использованы как
основание для анализа, некоторое значение может быть при-
дано тому обстоятельству, что элементы должны быть во
всяком случае вещественными. Отсюда непосредственно сле-
дует, что если в качестве переменной взять частоту р, то
коэфициенты в контурных и узловых уравнениях, а следова-
тельно, и коэфициенты в функциях цепи также должны быть
вещественными. Если в любом члене функции цепи заменить
р сопряженной величиной, то этот член соответственно дол-
жен принять значение, сопряженное по отношению к исход-
ному. Так как сопряженные значения, входящие в функции,
должны дать сопряженные результаты, то это приводит нас
к следующей теореме:
Теорема. Функция физически осуществимой цепи полу-
чает сопряженные комплексные значения в сопряженных
комплексных точках плоскости р.
Эта теорема может быть выражена в форме, более удоб-
ной для большинства случаев применения, т. е. в виде сле-
дующих положений:
1. Все невещественные нули и полюсы функции любой
физической цепи должны образовывать сопряженные ком-
плексные пары.
2. Вещественные и мнимые составляющие функции физи-
ческой цепи на оси вещественных частот обладают соот-
ветственно четной и нечетной симметрией относительно
начала.
Первое из этих положений с очевидностью следует из того
обстоятельства, что нулевые и бесконечные значения функции
цепи являются сопряженными самим себе. Второе положение
можно получить, если заметить, что симметричные значения
положительных и отрицательных вещественных частот явля-
ются частным случаем сопряженных значений р. Эти два поло-
жения, взятые совместно, равносильны исходной теореме, так
как нули и полюсы определяют цепь полностью с точностью
до постоянного коэфициента, а если справедливо второе поло-
жение, то этот коэфициент должен быть вещественным.
Теорема о вещественных значениях элементов лишь в очень
общей форме ограничивает область реальных характеристик.
Эту область можно значительно сузить путем рассмотрения
устойчивости цепи. Известно, что многие, казалось бы, надеж-
но рассчитанные системы с обратной связью при их включе-
нии зуммируют, т. е. самопроизвольно начинают генериро-
вать. Это большей частью объясняют как результат воз-
134
Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
буждения собственных колебаний этой системы. Другими
словами, считают, что система возбуждается некоторыми ма-
лыми толчками, которые вызывают обычный процесс уста-
новления в виде собственных колебаний. В большей части
систем собственные колебания представляют собой экспонен-
циально затухающие функции времени и быстро прекра-
щаются. Однако если система зуммирует, то считают, что
одно из собственных колебаний обладает отрицательным за-
туханием и поэтому возрастает со временем. В этом случае
собственные колебания действительно становятся очень боль-
шими, независимо от того, насколько мал начальный толчок. Так
как малые толчки, имеющие статистический характер, являются
неизбежными, хотя бы в виде термических флюктуаций, то
это явление должно иметь место, если система обладает ка-
кими-либо собственными колебаниями, возрастающими со вре-
менем.
В реальной схеме амплитуда колебаний может стать до-
статочной, чтобы вывести часть системы из нормального
режима. Иначе говоря, при превышении определенного пре-
дела наступает ограничение вследствие нелинейности харак-
теристики амплитуды. Это, например, имеет место в обычном
генераторе, амплитуда которого часто ограничивается физи-
ческими возможностями выходной лампы. Так как излагаемая
в этой книге теория относится лишь к линейным схемам, то
этот вопрос выходит за рамки нашего рассмотрения1).
Несмотря на то, что возможность появления генерации
может быть существенной, на первый взгляд может показаться,
что она должна рассматриваться независимо от стоящей перед
нами задачи, которая сводится к исследованию стационарных
характеристик цепи. Однако связь между этими задачами
определяется хорошо известным свойством, которое заклю-
чается в том, что нестационарный процесс однозначно опреде-
ляется стационарными характеристиками. Анализ, проведенный
в следующих главах, показывает настолько тесную связь
между ними, что стационарные характеристики, которые можно
получить в устойчивых системах, фундаментально ограничены
по сравнению с характеристиками для случайно выбранных
математических функций.
*) В некоторых современных схемах генераторов амплитуда колебаний
ограничивается термистором. Так как изменения за период колебаний в тер-
мисторе ничтожны, то, по существу, эти схемы можно считать линейными
и потому мы их не исключаем из нашего рассмотрения. После того как
в термисторе установилось стационарное состояние, эти схемы, как будет
показано дальше, могут рассматриваться как устойчивые, но обладающие
корнем на оси вещественных частот.
Признаки физической осуществимости
135
Так как суть дела заключается не в том, чтобы рассматри-
вать гипотетические „стационарные" характеристики систем,
которые в действительности при осуществлении зуммируют,
то целесообразно начать рассмотрение с объединения этих
двух идей. Поэтому формулировка того, что мы понимаем
под физической осуществимостью, может быть выражена сле-
дующим образом:
Определение. Функция цепи будет называться физиче-
ски осуществимой, если она соответствует цепи, составлен-
ной из вещественных элементов, ни одно из собственных
колебаний которой не обладает амплитудой, неограниченно
возрастающей со временем.
Это мы будем считать также определением того, что мы
понимаем под устойчивой системой *). Связь между формами
собственных колебаний и стационарными функциями цепи рас-
смотрена в следующих разделах и в более общей форме
в следующих главах.
Только что приведенное определение является фундамен-
том, на котором основывается анализ всех схем, включающих
как электронные лампы, так и пассивные элементы. С другой
стороны, система, составленная только из пассивных элемен-
тов, не может дать такого разнообразия характеристик, кото-
рое допускает само определение. Так как многие блоки,
из которых состоит обычный усилитель с обратной связью,
как, например, межкаскадные цепи и собственно цепь обрат-
ной связи, являются обычно пассивными цепями, то интересно
установить дополнительные ограничения для пассивных схем.
Эта задача рассмотрена в конце данной главы.
В процессе этого рассмотрения будут доказаны следующие
положения:
1.	Пассивная схема всегда устойчива.
2.	Вещественная составляющая пассивного иммитанса
при вещественных частотах никогда не бывает отрица-
тельной.
3.	Если пассивная цепь возбуждается генератором, даю-
щим одну вещественную частоту, то общая мощность,
поступающая в цепь, всегда больше илм равна мощности, по-
требляемой любым из активных сопротивлений системы.
Второе и третье из свойств пассивной цепи, очевидно, пред-
ставляют собой просто следствие принципа сохранения энергии
1) Следует отметить, что устойчивость, определенная подобным обра-
зом, включает в себя в качестве предельного случая возможность чисто
синусоидальных собственных колебаний, которые ни возрастают, ни затуха-
ют со временем, что соответствует чисто реактивным системам. Этот пре-
дельный случай более детально будет рассмотрен в следующем разделе.
136
Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
с учетом того обстоятельства, что пассивная цепь не может
содержать источник энергии. Первое свойство не так оче-
видно, но приводимое ниже доказательство, используя методы
классической динамики, обосновывает его теми же общими
принципами.
4.	Устойчивость и корни определителя
Нашей первой задачей является разработка аналитического
аппарата для исследования связи между стационарными харак-
теристиками цепи и ее устойчивостью. Устойчивость схемы
зависит от возможных собственных колебаний, и поэтому луч-
ше всего ее определить путем исследования дифференциальных
уравнений, описывающих эти собственные колебания. Это
облегчается тем, что общие контурные и узловые уравнения
главы I были вначале получены в дифференциальной форме.
Например, уравнения (1.2) представляют собой дифференциаль-
ные уравнения контурных токов и могут быть здесь перепи-
саны в виде:
(7-1)
7-л1	+ Rniir\-Dnl J* t^dt -j-
+ Т'лп + Rndn 4- Dnn J indt = 0.
Эти выражения отличаются от первоначальных тем, что
мгновенные значения токов здесь обозначены строчными/ а не
прописными буквами, и кроме того, чтобы избежать Опасности
спутать обозначения, теперь полностью записаны производные
и интегралы по времени. Значения внешних напряжений в пра-
вых частях уравнений положены равными нулю, так как мы
интересуемся лишь свободными колебаниями в системе.
Устойчивость и корни определителя 137~
Будем искать решения для свободных колебаний в виде
экспоненты Отдельные токи ilf Ц,. . ., in можно тогда
записать в виде_ Цер1, Rept, . . ., Здесь величины I явля-
ются постоянными, значения которых определяются начальным
возмущением. В общем случае величины р, характеризующие
возможные собственные колебания, могут быть либо веще-
ственными, либо должны образовывать пары сопряженных
комплексных величин. Если р является комплексной величи-
ной, то „токи" Це**, Rept и т. д. также должны быть комплекс-
ными величинами.
Однако, как показано в главе II, вещественные составляющие-
этих „токов" сами по себе удовлетворяют дифференциальным
уравнениям, и можно считать, что они представляют действи-
тельные физические собственные колебания.
После подстановки Це'3*, Цер* и т. д. в уравнения (7.1) и
деления на общий временной множитель ept получаем резуль-
тат в виде:
(рЛ,1+ /?и 4~) Л+4-/?12-Ь^/2+...+
+ (гЛп+Я1Я + ;уп)4=0;
/?21 + ^1) Л +	+ /?22 + Ц + ... +
+	+ Rin ~ О»
(7.2)
[pLai -F Rnl + j Л + (р£„2+/?п2 +	/2 + • • • -I
+ ^£яп + /?„„ + ^-)/„ = 0.
Очевидно, что Л = /2=.. . = /„ = 0 всегда является реше-
нием уравнений (7.2). Так как мы имеем п уравнений и п
значений /, то, вообще говоря, мы можем ожидать, что вели-
чины I определяются однозначно, так что это является един-
ственным решением. Однако, если собственные колебании
физически существуют, то, по меньшей мере, некоторые из-
величин I должны отличаться от нуля. Это возможно при
условии, что р выбрано так, что п уравнений представляет
собой меньше, чем п независимых условий, связывающих вели-
чины I.
Мы можем, например, принять, что при определенном
выборе р одно из уравнений будет равно сумме двух других.
J38
Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
Можно показать '), что общим условием того, что п уравнений
представляет собой меньше, чем п независимых связей, яв-
ляется равенство нулю определителя, составленного из коэфи-
циентов уравнений. Поэтому выражение, определяющее вели-
чины р, которые могут характеризовать собственные колеба-
ния, будет
Д = 0,	(7.3)
где Д, как само собой разумеется, идентично тому определи-
телю Д, которым мы пользовались раньше, и представляет
собой полином относительно р, деленный на р в некоторой
степени.
Если одна из величин р, удовлетворяющих уравнению
<(7.3), лежит в левой полуплоскости, то (как следует из рас-
смотрения, связанного с фиг.
<>	11) соответствующее физиче-
ское собственное колебание бу-
°	дет представлять собой за-
тухающую синусоиду вида
e~a<cospf. Если р лежит в
правой полуплоскости, то соб-
ственное колебание будет
иметь вид eat cos $t, где а, как
Ппоскость р
и в первом случае, положи-
°	тельно. Однако синусоида с
экспоненциально возрастающей
°	амплитудой в виде ea<cos0£
Фиг. 51"	представляет собой тот не-
допустимый вид собствен-
ных колебаний, который был установлен ранее данным опре-
делением физической осуществимости. Таким образом, мы
можем сформулировать теорему:
Теорема. Ни один из нулей главного определителя физи-
ческой цепи не может лежать в правой половине плоско-
сти р.
Пример допустимого распределения нулей дан на фиг. 51.
Как показывает рисунок, некоторые из нулей взяты в виде
вещественных чисел, другие — в виде сопряженных комплекс-
ных пар. Большая часть нулей находится в левой полупло-
скости, но, кроме того, есть один нуль в начале и пара сопря-
женных нулей на оси вещественных частот. Нули этого типа
соответствуют собственным колебаниям, амплитуда которых
*) См., например, Курош, Курс высшей алгебры, М. — Л., 1946.
(Прим, ред.)
Нули определителя А, расположенные на оси вещественных частот 139
остается постоянной, но не возрастает со временем. Таким
образом, нет физических оснований для того, чтобы отбросить
эти корни, как соответствующие неустойчивости, однако они
представляют собой предельный случай устойчивой системы.
Более детальный пример допустимых нулей можно полу-
чить, вернувшись к колебательному контуру с затуханием,
который мы использовали в качестве иллюстрации в главе II.
Эти нули были даны формулами (2.27) в виде:
Они являлись там нулями сопротивления, но так как
_£=Д/Дц, то они, очевидно, не отличаются от нулей Д. При
7? = 0 обе эти величины р лежат на оси вещественных частот.
При небольшом затухании они расположены в определенных
точках в левой части плоскости р, в то время как при крити-
ческом затухании они находятся на отрицательной веществен-
ной оси. Эго показано на фиг. 13. Интересно отметить, что
в этом простом случае требование устойчивости почти точно
соответствует требованию, чтобы все элементы были положи-
тельными. Если мы изменим знак одного или двух произволь-
ных элементов, то, по меньшей мере, один из нулей будет
находиться в правой полуплоскости. Единственное возможное
исключение представляет очевидный симметричный случай,
при котором все три элемента отрицательны.
5.	Нули определителя Д, расположенные на оси
вещественных частот
Случай нулей при вещественных частотах, показанный на
примере фиг. 51, требует дальнейшего рассмотрения. В пассив-
ных системах, составленных из чисто реактивных элементов,
нули должны соответствовать вещественным частотам1). Напри-
мер, в только что описанном резонансном контуре нули при
вещественных частотах были получены в предположении, что
Д’ = 0. Такие нули могут быть получены даже при наличии зату-
хания и в активных цепях, содержащих источники энергии, кото-
рые в точности компенсируют потери. В качестве примера такого
случая можно представить усилитель с обратной связью, кото-
рый нормально является устойчивым, но может быть сделан
неустойчизым с помощью плавного вращения соответствую-
щего органа управ яениг. Если мы установим этот орган упра-
вления точно в положение, соответствующее границе между
1) См., например, рассмотрение, приведенное в конце этой главы.
140
Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
устойчивой и неустойчивой областями, то нули окажутся на
оси вещественных частот.
Очевидно, что вероятность обеспечения такой точности
компенсации и получения подобных идеальных элементов без
потерь в реальных системах бесконечно мала. Таким образом,
мы вынуждены предположить, что все нули в реальных систе-
мах расположены несколько левее оси вещественных частот.
Однако при рассмотрении обычных резонансов в пассив-
ных цепях мы это не будем учитывать. Предположение
об отсутствии затухания часто является удобной идеализа-
цией, особенно при рассмотрении входных иммитансов. Эта
идеализация может оказаться удобной и при теоретическом
рассмотрении задач, касающихся иммитансов передачи, как,
например, это имеет место при расчете передачи через фильтр
без потерь, замкнутый накоротко или разомкнутый на обоих
концах. Однако в практических случаях рассматриваются
исключительно четырехполюсники, у которых хотя бы нагруз-
ки содержат потери.
Другие возможности получения нулей при вещественных ча-
стотах дают схемы, содержащие активные элементы. Здесь будет
удобно предполагать, что нули в действительности лежат не-
сколько левее оси вещественных частот. Независимо от удобств,
которые дают такое предположение, оно обусловлено особыми
физическими соображениями. При нуле, лежащем на оси веще-
ственных частот, внешняя сила соответствующей частоты,введен-
ная в любую часть схемы, создает бесконечно большую реакцию
во всех ее частях. Например, если вход и выход некоторого уси-
лителя соответственно обозначить цифрами 1 и2,то выходной ток,
вызванный единичным напряжением на входе, будет А1в/Д, так
что для внешней силы, частота которой совпадает с одним из
нулей А, усиление будет бесконечным. Само собой разумеется,
’что в реальных случаях, как только мы приблизимся к этой
частоте, активные элементы окажутся перегруженными и суще-
ственно нелинейными. Так как точное положение нуля не
играет существенной роли в любом случае, если мы инте-
ресуемся лишь внешними силами с частотами, сильно отли-
чающимися от частоты нуля, то наше предположение является
допустимым для линейной системы.
Хорошим примером является генератор, управляемый
термистором. Если амплитуда колебаний мала и контур терми-
стора обладает значительной резонансной селективностью, то
для напряжения сигнала с частотами, отличающимися от
частоты собственных колебаний, этот контур будет предста-
влять собой линейную систему. Однако в этих областях
стационарные характеристики пренебрегаемо мало зависят от
изменения положения нуля величины А в сторону от оси
Нули других определителей
141
вещественных частот. Если к контуру приложить внешние
силы с частотой, близкой к частоте нуля, то контур становится
нелинейным, так как в этом случае он сильно отзывается на
сигнал, и температура термистора будет определяться теплотой,
развиваемой токами сигнала, протекающими через него.
Если предположить, что нули Д получаются при веще-
ственных частотах, то они подчиняются ограничению, с которым
мы еще не сталкивались до сих пор. При рассмотрении
равенства (7.3) предполагалось, хотя это и не было оговорено,
что все нули различны. В особых случаях, однако, возможны
кратные нули. Известно, что в этих случаях может измениться
форма собственных колебаний. Эта форма может теперь
определяться не только экспонентами, йо и членами в виде
экспонент, умноженных на t в некоторой степени. Например,
если р является двойным нулем уравнения (7.3), то соответ-
ствующее колебание будет иметь вид: Aept-\-Bfept. Независимо
от того, расположено ли р в пределах правой или левой
полуплоскости, дополнительный множитель t во втором члене
не играет роли при решении вопроса о том, нарастают или
затухают колебания со временем, так как преобладающую
роль играет экспонента. Однако в частном случае, когда р
лежит на оси вещественных частот, этот множитель превра-
щает колебание с постоянной амплитудой в нарастающее.
Так как колебания, нарастающие со временем, недопустимы,
то мы можем сформулировать следующую теорему:
Теорема. Нули определителя Д, расположенные на оси
вещественных частот, должны быть простыми1).
6.	Нули других определителей
Кроме самого Д, в выведенные ранее формулы входят
другие определители, которые различным путем могут быть
получены из Д. Одна группа таких определителей содержит Д°
х) Эта теорема, строго говоря, неприменима к вырожденным системам.
Предположим для примера, что система состоит из двух идентичных, но
совершенно независимых блоков. Для описания обоих блоков может быть
использована одна и та же система контурных уравнений. Определитель
системы будет равен произведению определителей для каждого из блоков
и должен обладать двойным нулем для каждой из вещественных частот,
при которой определители отдельных блоков имеют простые нули. Однако
при самой слабой связи между блоками это соотношение нарушится. Во
всяком случае, такое исключение не нарушает физического значения этой
теоремы, так как мы, в конечном счете, интересуемся нулями не самого Д,
а отношения Д к одному из его главных миноров. Если, вследствие подоб-
ного рода вырождения, Д обладает кратным нулем, то минор будет обладать
нулем, порядок которого будет на единицу меньше, так что нуль отноше-
ния всегда будет простым.
142
Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
и то, что может быть названо „симметричными" минорами Д,7,
Дуу, Дад и т. д. Каждую из этих величин можно рассматривать
как форму, к которой приводится Д при изменении цепи,
производимом определенным образом. Нули этих величин,
следовательно, могут быть ограничены таким же образом,
как ограничены нули Д, если известно, что после произведен-
ных изменений цепь остается устойчивой. Так, Д° является
формой, к которой приводится Д, когда некоторый данный
элемент W обращается в нуль. Поэтому величина Д° не может
иметь нулей в правой полуплоскости и может при веществен-
ных частотах иметь лишь простые нули, если схема устойчива
при отсутствии W. Это, например, определенно справедливо,
если W представляет собой одну из ламп в обычном усили-
теле с одной петлей обратной связи, так как при W=0
петля оказывается разомкнутой.
Аналогично такие величины, как Д,7 или Ду7, являются
алгебраическими дополнениями 1^,7или Wjj вД. Таким образом,
они являются формами, к которым приводится Д1), когда U^17
и Wjj становятся бесконечными. Это равносильно размыканию
в z-ом или /-ом контуре при использовании метода контурных
токов или короткому замыканию z-ro или у-го узлов на землю
при использовании метода узловых напряжений. Таким же
образом, Д,7уу дает тот же результат при обрыве или коротком
замыкании в i и j.
Если схема устойчива после обрыва или короткого замыка- -
ния, то нули любой из этих величин ограничены так же, как
и нули самого Д. Это, например, справедливо, когда мы имеем
дело с последовательным сопротивлением или параллельной
проводимостью в усилителе с одноканальнсй обратной связью,
так как обрыв последовательной ветви или короткое замыка-
ние параллельной ветви разрывает петлю обратной связи.
Все эти соотношения становятся особенно простыми
в пассивных цепях. Очевидно, что пассивная цепь всегда
остается пассивной после любой из таких манипуляций,
совершаемых с ней. Поэтому ранее сформулированное пред-
положение о том, что пассивная цепь всегда является устой-
чивой, приводит нас к следующей теореме:
Теорема. В пассивной цепи, ни один us нулей Д° или
любого другого симметричного минора Д не может лежать
в правой половине плоскости р, и всякий нуль на веще-
ственной оси частот должен быть простым.
*) Очевидно, что в действительности Д в этих случаях стремится
к величинам №ц Д,7 и by Но поскольку нас интересует лишь расположе-
ние нулей Д, то множители tFl7 и Wy можно не учитывать.
Поясняющий пример рассмотрения нулей 143
Остальные определители, входящие в формулы, характери-
зующие свойства цепи, являются несимметричными минорами
типа Д(7, Д,76й, Д,7М и т. д. Их, очевидно, можно рассматривать
как формы, к которым приводится Д, когда в цепи доба-
вляются односторонние, т. е. не подчиняющиеся принципу
взаимности, бесконечно большие связи. Например, поскольку Д,7
является алгебраическим дополнением W^, то он является
пределом, к которому стремится Д, если в цепь ввести идеаль-
ную электронную лампу с крайне большим усилением, сетка
которой присоединена к точке J, а анод — к i. К сожалению,,
обычно трудно найти простой метод для определения того, будет
ли схема после этого изменения устойчивой, так что подобная
физическая трактовка не имеет большого значения. Предста-
вляется, что для цепей общего вида нули этих несимметрич-
ных алгебраических дополнений могут оказаться в любой
части плоскости, даже если система целиком составлена из
пассивных элементов. Они ограничены лишь условием сопря-
женности.
Иногда на эти нули могут оказаться наложенными ограни-
чения, если известно, что цепь должна иметь одну из опреде-
ленных конфигураций. Но этот вопрос удобнее рассматривать
в следующей главе.
7.	Поясняющий пример рассмотрения нулей
Изложенные принципы будут рассмотрены на примере схемы
фиг. 52. В качестве исходной, будет взята система в виде
схемы типа, перекрытого Т, составленная из чисто пассивных
элементов. Пунктирные линии, идущие к А и В, представляют
собой соединения с электронной лампой следующего каскада,,
сделанные для того, чтобы показать в дальнейшем, как актив-
ный элемент влияет на устойчивость схемы. ’
Для конкретности предположим, что все.пассивные элементы
имеют единичную величину. Если контуры выбраны такими,
как показано на фигуре, и лампа удалена, то контурные
уравнения при отсутствии внешней силы будут иметь следую-
щий вид:
(jp+l + ^)А— ph—— 1»=0;
-ph + (2р +1) h-pl3 = 0;	(7.5)
—	ph~\~	1+^Л=о.
144
Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
Уравнение, соответствующее (7.3), будет:
или
Д = |(Зр3 + 4^ + 7р + 2) = О.
(7-6)
(7.7)
Корнями (7.7) являются р =—у и р =— у (l±z р^7). Они
указаны на фиг. 53 кружками. Все они лежат в левой поло-
вине плоскости р, как это и следовало ожидать, поскольку
щепь, будучи пассивной, обяза-
тельно устойчива.
Дальше мы можем показать,
что нули А0 и симметричных
миноров определителя А в пас-
сивных системах также ограни-
Фиг. 52
Фиг. 53
чены в левой полуплоскости. Предположим, что А0 представ-
ляет собой систему при А2 = 0. Удаление равносильно
замене членов Z22, Z23, Z32 и Z33 в (7.6) соответственно вели-
чинам (р + 1)> 0, 0 и (1+^)- Мы легко находим, что урав-
нением, соответствующим (7.7), будет:
Д’ = 7(1+рЛ	(7.8)
Это уравнение имеет двойной корень при р = — 1, который,
понятно, расположен в левой полуплоскости. Этот двойной
корень на фиг. 53 обозначен крестиками. Аналогичные резуль-
таты получатся, если Д° соответствует равенству нулю любого
.другого элемента.
Поясняющий пример рассмотрения нулей
145
В качестве примера симметричнэго минора возьмем Дм.
Эта величина получается из (7.6) в виде:
А
S3----
(7.9)
= j(P3 + 2/>4 + 3/> + 2).
Корни находятся в левой полуплоскости в точках —1
и — у(1±/Х7). На фиг. 53 они показаны квадратиками1).
Симметричные миноры второго порядка еще проще, так как
она подобны собственным сопротивлениям отдельных контуров.
Например, мы имеем Днзз = 2р -ф-1 с корнем при р = — ~.
Свойства несимметричных миноров можно проиллюстриро-
вать с помощью А31. Из (7.6) находим, что
Р
А
= ±(рЗ + 2р + 1).	(7.Ю)
Корни будут при р = — 0,453 и при р = -[- 0,227	1,47,
что показано на фиг. 53 треугольниками. Таким образом, они
расположены в обеих половинах плоскости. Это можно было
в общем случае предвидеть, поскольку мы имеем дело с цепью,
на которую не было наложено никаких ограничений. С другой
стороны, выбором особой конфигурации или специальных вели-
чин элементов можно было ограничить расположение корней
несимметричного минора лишь в левой полуплоскости также,
как это было с корнами ранее рассмотренных определителей.
В качестве примера предположим, что последовательно с на
фиг. 52 добавлено активное сопротивление /?. Мы можем пред-
положить, что /? одновременно вычитается из /?х и /?2, так что
9 То обстоятельство, что многие из корней этих различных выражений
оказываются совпадающими, обусловлено особо простой и симметричной
формой данной цепи и в общем случае не имеет местз. Например,
Zt и L2 образуют сбалансированный мост, если рассматривать его со.сто-
роны Поэтому генератор, включенный последовательно с /?2, не может
вызвать тока в D, так что входное сопротивление, измеренное во втором
контуре, будет определяться значительно проще, чем это может показаться
вследствие сложности схемы. Этому соответствует то обстоятельство, что
Д и Д22 имеют общие корни, отсутствующие в отношении Д/Даа, представляю-
щем это сопротивление.
10 Зак. 1327
146 Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
это изменение влияет на Z]2 и Z21, но не влияет на собствен-
ные сопротивления Zn и Z22. Легко показать, что (7.10) при-
мет вид:
Азх (р3 + Rpi + 2р + 1).	(7.11)
Когда /?>-^, все корни лежат в левой полуплоскости.
2
Например, если/? = -д, они расположены в точках р = — 0,52 и
при р — — 0,074±i 1,38.
Эти положения показаны на фиг. 53 треугольниками СО'
штрихом.
Причина особого внимания, уделяемого цепям, у которых
расположение корней, по меньшей мере некоторых опреде-
ленных несимметричных миноров, ограничено левой полупло-
скостью, заключается в том, что это приводит к условиям
„минимальной фазы", которые имеют большое значение в тео-
рии усилителей. К „минимально-фазовым" цепям мы вернемся
в одном из следующих разделов, а детальное рассмотрение их
свойств будет приведено в следующей главе.
Чтобы показать изменения свойств схемы, которые могут
быть вызваны наличием какого-либо активного элемента, мы
можем предположить, что в цепь включена электронная лампа,
как это показано пунктиром на фиг. 52. Мы можем принять,
что /?1 и /?3 представляют собой сопротивления сеточной и
анодной цепи лампы. Так как /?1 = 1, то сопротивление пере-
дачи лампы, в общем случае равное сеточному сопротивлению,
умноженному на у., будет равно просто у-, а введение лампы
эквивалентно добавлению у к Z31 в контурных уравнениях.
Отсюда легко найти новый определитель системы. Он будет
= у[з^ + 4?+7/> + 2 + у(р3 + 2/> + 1)].	(7.12)
Когда у- очень мало, нули (7.12) будут, очевидно, очень
близки нулям, ранее определенным из (7.7). Однако, когда у.
становится все большим и большим, некоторые из них будут
появляться в правой полуплоскости, так что цепь сделается
неустойчивой. Это легче всего исследовать, учитывая, что
при изменении у нули должны изменяться непрерывно, и
Поясняющий пример рассмотрения нулей
147
поэтому они могут переходить из одной полуплоскости в другую,
только пересекая ось вещественных частот. Тогда, если мы
придадим р из (7.12) чисто мнимое значение, вещественные и
мнимые составляющие этого выражения можно будет разде-
лить и по отдельности приравнять нулю. Это дает:
(3 + р)^ + (7 + 2р)р = 0	(7.13)
И
4p* + (2-W = 0.	(7.14)
Если мы исключим р из (7.13) и (7.14), то получим
4/?5 + 7/?3-3/7 = 0.	(7.15)
Это уравнение удовлетворяется при р = 0, /?2 = —2,1 и
//’"= 4~ 0>35. Последнее из этих значений можно не учитывать,
так как очевидно, что оно не соответствует точке на оси ве-
щественных частот. Оно представляет собой побочное реше-
ние (7.13) и (7.14) в другой части плоскости. Однако первые
два значения являются интересующими нас решениями и со-
ответствуют р =— 2 и р. = -|-6,4. Поэтому мы можем заклю-
чить, что цепь устойчива для 6,4 > р > — 2 и будет самовоз-
буждаться, когда р взято вне этих пределов. Например, прй
р = 9 будут нули р = — 0,43 и р = + 0,05	1,45, в то времй
как при р= —2,5 нулями будут р = -\- 0,18, р~ — 0,74 и
Р = - 7,5 *).
*) Отрицательные значения р, естественно, не могут быть получены
в обычных лампах, но их можно получить, используя какую-либо лампу
с „отрицательной' крутизной" в случае „падающей" характеристики.
10»
148
Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
Эти соотношения иллюстрированы на фиг. 54. Путь, по
которому перемещаются нули, когда усиление лампы изме-
няется от у. = 0 до у- = -1- со, приближенно показан сплошными
линиями. Направление движения показано стрелками. Пути для
области у = 0 до у =— оо изображены пунктирными линиями.
Кресты и квадраты соответствуют корням, ранее определенным
для частных значений « = 9 и у. = — 2,5. Кружки дают исход-
ные положения нулей при у = 0 и треугольники — их коне ные
положения при у = ±оо. Как показывает сравнение (7.10) и
(7.12), конечные положения такие же, как и у корней Д31.
Так как некоторые из корней находятся в правой полуплоско-
сти, то без дальнейшего рассмотрения очевидно, что схема
должна „самовозбуждаться", если у. сделано достаточно 6oib-
шим при любом знаке. Это может в некоторой степени объ-
яснить, почему столько усилий было затрачено в нашем преды-
дущем анализе на изучение возможности ограничить располо-
жен те корней этого определителт в левой полуплоскости.
Добавление активного элемента вызывает аналогичные из-
менения в других определителях цепи. Главное, что необхо-
димо отметить, заключается в том, что нули А0 и симметрич-
ных миноров обязательно оказываются в левой части плоскости
лишь в случае, если схема пассивна. После добавления лампы
в общем случае они по 1вляются в правой половине при зна-
чении у-, лежащем вне определенной области.
В качестве последнего примера мы можем рассмотреть
влияние лампы на Д22. Если введено у, то этот определитель
оказывается равным:
Д32 = 7 (Р3 + 2/>2 + Зр + 2 + у).	(7.16)
С помощью методов, аналогичных тем, которые мы приме-
няли в связи с (7.12), легко найти, что все корни этого выра-
жения лежат в левой полуплоскости при 4 > и j> — 2, но неко-
торые из них оказываются в правой полуплоскости при
значениях у, лежащих вне этих пределов.
Следует заметить, что область устойчивости для Д22 не со-
впадает с областью устойчивости для Д. Например, если мы выбе-
рем у. =5, цепь как таковая будет устойчивой, так как все нули Д
всегда находятся в левой полуплоскости. Однако система будет
самовозбуждаться, если разомкнуть /?2, так как при этом значе-
нии у- некоторые из нулей пересекут ось вещественных частот.
8.	Сводка требований, предъявляемых к функциям цепи
Сейчас нам следует остановиться, чтобы резюмировать
выводы, полученные в предыдущем анализе различных функ-
ций цепи. К числу функций цепи относятся входной иммитанс
Требования, предъявляемые к функциям цепи 149
взаимный иммитанс Ц7г = Д/Дг7, возвратная разность
^=Д/Д°, абсолютная чувствительность 5= — ДД12/1ГД13Д42 и
относительная чувствительность = — ДД1243/Д]3Д42. Чувстви-
тельности S и У, а также возвратная разность включены сюда
главным образом для полноты. В настоящее время еще не раз-
работаны методы проектирования, которые дают возможность
произвольно менять чувствительность в тех случаях, когда пос-
ледняя существенно зависит от возвратной разности. Г ораздо легче
изменять величину возвратной разности, но в обычных усло-
виях значительно проще пользоваться возвратным отношением,
которое обладает свойствами взаимного иммитанса, поскольку
возвратное отношение является параметром передачи замкну-
той петли обратной связи.
Мы начнем с перечисления требований, которые должны
быть предъявлены к функциям цепи, соответствующим устой-
чивой физической схеме, и далее дополним этот перечень
требованиями, которые удовлетворяются не всеми системами,
а лишь специальным классом систем, представляющих частный
интерес.
Наиболее очевидные требования определяются тем обстоя-
тельством, что входной и взаимный иммитансы, возвратная
разность и обе чувствительности являются рациональными
функциями р с вещественными коэфициентами. Поэтому все
указанные функции должны удовлетворять следующим требо-
ваниям:
1.	Нули и полюсы либо являются вещественными, либо
входят в сопряженные комплексные пары.
2.	Вещественная и мнимая составляющие представляют
собой соответственно четную и нечетную функции частоты
на оси вещественных частот.
По отношению к чувствительностям 5 и У общие требова-
ния этим и ограничиваются. Мы' даже не можем ограничить
расположение их нулей, так как числители этих двух выраже-
ний содержат соответственно несимметричные миноры Д12 и
Д(24з, корни которых могут лежать в любой части плоскости.
Поэтому эти функции здесь больше не будут рассматриваться.
Числители остальных трех функций содержат лишь Д. Для
этих функций, следовательно, мы можем сформулировать сле-
дующие дополнительные требования:
3.	Ни один из нулей не может находиться в правой
полуплоскости.
4.	Нули, расположенные на оси вещественных частот,
должны быть простыми1).
2)	К этому добавляется требование, вытекающее из ранее приведенных
соображений, чтобы нули не лежали точно на этой оси.
150 Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
Лишь эти четыре требования в общем случае могут быть,
предъявлены к входному иммитансу, иммитансу передачи и
возвратной разности. Например, пользуясь ранее выведенными
в этом разделе обозначениями, полюсы этих функций являются
соответственно корнями определителей Ду7, Д<7 и Д°. Как уже
отмечалось раньше, в общем случае ничего нельзя сказать
относительно корней Д,7. Корни Д/7 и Д° трактовались как формы
собственных колебаний цепи после того, как она преобразо-
вана определенным образом, и поэтому не могут находиться
в правой полуплоскости, если изменение цепи не делает ее
неустойчивой. Однако в общем случае между устойчивостью
измененной и неизмененной систем нет прямой связи.
Например, схема, описанная в предыдущем разделе, была
устойчивой в нормальных условиях при коэфициенте усиления
лампы, имевшем промежуточные значения около у> = 5, но
становилась неустойчивой при этих значениях у- в условиях,
когда критерий устойчивости определяется величиной Д22.
Поэтому мы можем заключить, что в наиболее общем слу-
чае полюсы функций возвратной разности, входного иммитанса
и иммитанса передачи могут лежать в любой части плоскости.
Тем не менее, условия, которые ограничивают их в левой
полуплоскости, представляют особый интерес. Их можно сфор-
мулировать следующим образом:
5а. Ни один из полюсов возвратной разности не может
лежать в правой полуплоскости, а полюсы на оси веще-
ственных частот должны быть простыми, если схема
остается устойчивой при удалении определенного эле-
мента W. Это требование всегда удовлетворяется пассив-
ными цепями.
56. Ни один из полюсов входного иммитанса не может
лежать в правой полуплоскости, а полюсы на оси веще-
ственных частот должны быть простыми, если схема
остается устойчивой, когда к входным зажимам добав-
ляется бесконечный иммитанс. Это требование всегда удо-
влетворяется пассивными цепями.
5в. Полюсы иммитанса передачи могут иногда находиться
в правой полуплоскости, даже при пассивных цепях, однако
иммитансы передачи, не имеющие полюсов в правой полу-
плоскости, обладают особыми свойствами, являясь „мини-
мально-фазовыми функциями". Смысл введения этого тер-
мина и значение условия минимальной фазы будут рассмот-
рены в следующих главах. Минимально-фазовые свойства не
зависят от того, являются ли полюсы, лежащие на оси ве-
щественных частот, простыми или кратными.
Этими пятью требованиями ограничивается перечень усло-
вий, представляющих особый интерес применительно к воз-
Требования, предъявляемые к функциям цепи
151
вратной разности. Однако желательно продолжить на одну-две
-ступени наши рассуждения о входном иммитансе и иммитансе
передачи. Из оставшихся для рассмотрения положений главное
заключается в том, что каждая из функций иммитанса может
удовлетворять всем предыдущим требованиям и все же не будет
соответствовать пассивной цепи. Однако из ранее выписанных
условий легко получить дополнительные требования, которым
должны удовлетворять пассивные системы. Эти условия могут
быть записаны следующим образом:
6а. Вещественная составляющая входного иммитанса
для пассивной цепи не может быть отрицательной при
вещественных частотах.
66. Если функция иммитанса передачи соответствует
пассивной цепи, то реакция, определяемая в последней ветви,
где включена нагрузка, не может быть настолько большой,
что мощность, выделяющаяся в нагрузке при любой веще-
ственной частоте, будет превосходить мощность, которую
давал бы генератор, отключенный от цепи и присоединен-
ный к нагрузке, величина которой равна сопряженному зна-
чению его собственного внутреннего сопротивления.
Очевидно, что условие 6а является лишь другой формули-
ровкой второго из трех условий, данных ранее для пассивных
систем. Легко видеть, что оно не является следствием пер-
вых пяти условий, так как эти условия в равной степени удовле-
творяются отрицательным пассивным иммитансом. Они удовлетво-
ряются также функцией иммитанса, вещественная составляющая
которого положительна в одной области частот и отрицательна
в другой, как это показано в примере, приведенном в следующем
разделе. Условие 66 можно понять, если вспомнить, что максимум
мощности, которую может отдать генератор с заданным внутрен-
ним иммитансом, имеет место в случае нагрузки, величина кото-
рой равна сопряженному внутреннему иммитансу. Величина этого
максимума, очевидно, должна быть, по меньшей мере, такой
же, как и мощность, которая поступает от генератора в реаль-
ную цепь, и поэтому, как следует из третьего положения третьего
раздела настоящей главы, она должна быть не меньше мощ-
ности, потребляемой реальной нагрузкой.
Важно отметить, что 6а и 66, несмотря на то, что оба эти
требования относятся к пассивным схемам, в других отноше-
ниях являются совершенно различными и не могут взаимно
заменить друг друга. Например, другая формулировка условия 6а
заключается в том, что фазовый угол входного иммитанса не
может превосходить 4-90°. Это ограничение было бы совер-
шенно неуместно для большинства задач об иммитансе пере-
дачи, в которых в общем случае сдвиги фаз могут быть про-
извольно большими. Аналогично, касаясь условия 66, мы
152 Глава VII.. Устойчивость и фазическая осуществимость
можем заметить, что поскольку иммитанс передачи является
рациональной функцией частоты, она полностью определяется
своими нулями и полюсами и постоянным коэфициентом. Реак-
ция в последней ветви изменяется обратно пропорционально
изменению иммитанса передачи, и при заданных нулях и
полюсах может быть сделана сколь угодно малой ’) в любой
точке на оси вещественных частот путем выб ра достаточно
большого постоянного коэфициента. Таким образом, условие 66,
по существу является ограничением, накладываемым на по-
стоянный коэфициент, и не имеет смысла в задачах, касаю-
щихся входного иммитанса.
Можно также упомянуть последнее требование, которое
определяет особый класс входных иммитансов, аналогичных
классу минимально-фазовых иммитансов передачи. Как и в слу-
чае минимального сдвига фазы, свойства, определяемые этим
ограничением, рассмотрены в следующей главе. Здесь оно
вводится просто для-полноты перечня, на который в дальней-
шем мы будем ссылаться.
Мы имеем:
7.	Входное сопротивление, удовлетворяющее предыдущим.'
требованиям, предъявляемым к входным иммитансам, и,
кроме того, не имеющее нулей на оси вещественных частот,
является входным сопротивлением типа „минимальней
реактивной проводимости", а в случае отсутствия полю-
сов на оси вещественных частот — типа „минимального
реактивного сопротивления". Если функция представляет
собой входную проводимость, то термины „минимальная реак-
тивная проводимость" и „минимальное реактивное сопротив-
ление"- взаимно меняются местами. Очевидно, что иммитанс
может быть как типа „минимальной реактивной проводи-
мости", так и „минимального реактивного сопротивления".
9.	Примеры физически осуществимых функций цепи
Выполнение различных требований можно показать на при-
мере следующей серии выражений:
_ ^»+р + 2 . 1— 5/Я + Зу>-|-4 ’		/?! = - p —-
Z -	_ рг+р + 2 .	
^2 -	~4ps + 2p-|-2 ’	
z3=	_ p‘+p+2 . 3ps+p ’	/?3 =
	_ P2 + p + 2 2p2 — 2	’	/?4 =
(7.17)
5<о4 — 11<о2	8
(4 _ 5<о2;2 4- 9<в2 ’
4(1 — <о2)2	.
(2 — 4<о:)2	4<о2	’
3<о2 — 5
9<о24-Г ’
со2 —— 2
2(<d24-1)’
*) Так как при этом рассмотрении предполагается, что схема не обладает по-
терями, то нули иммитанса передачи при вещественных частотах, которые де лают
несправедливым это соображение, исключаются по ранее указанным причинам».
Примеры физически осуществимых функций цепи
15$
Выражения записаны в виде сопротивлений, так как в об-
щем случае функции входного иммитанса могут удовлетво-
рять наиболее развернутой системе требований. Величины
представляют собой вещественные составляющие соответ-
ствующей величины Z при вещественных частотах и опреде-
ляются подстановкой p — i<& и обычным преобразованием.
Каждое сопротивление получается из предыдущего путем
параллельного присоединения к нему активного сопротивле-
ния, величина которого равна — I1). Это иллюстрировано схе-
мой фиг. 55, на которой внутреннее сопротивление генера-
тора предположено равным нулю. Равенство нулю сопротив-
ления генератора важно потому, что нули сопротивления,
определяющие устойчивость, являются нулями всей цепи,
включая генератор. Если сопротивление генератора не равно^
нулю, то включение дополнительных отрицательных сопротив-
лений может, очевидно, влиять на нули общего сопротивления,,
а следовательно, и на устойчивость.	_____________
Обращаясь вначале к Zr в (7.17), мы	Г	I
замечаем, что эта величина является pa- w
циональной функцией р с веществен-	[	11
ными коэфициентами, все нули и полю-
сы которой лежат в левой полуплоскости. фИГ> 55
Таким образом, она удовлетворяет тре-
бованиям 1, 2, 3, 4 и 56. Знаменатель соответствующей вели-
чины /?! представляет собой сумму квадратов и поэтому всегда
положителен при вещественный частотах. Числитель также
всегда положителен, так как он может изменить знак лишь
щоходя через нуль. Как легко видеть, он не имеет нулей при
вещественных значениях <о, поэтому Zl удовлетворяет также
требованию 6а и представляет собой пассивное сопротивление.
Поскольку эта величина не имеет нулей или полюсов на оси
вещественных частот, то она случайно удовлетворяет также
условиям „минимального реактивного сопротивления" и „ми-
нимальной реактивной проводимости", данных в требовании 7.
При постепенном увеличении отрицательной проводимости,
присоединенной параллельно Zlf вначале характер функции не
изменяется2). Однако активная составляющая сопротивления
*) Отрицательное сопротивление введено просто для обеспечения систе-
матичности в переходе от одного выражения для сопротивления к другому
и во всяком случае не должно возбуждать вопросы, касающиеся физиче-
ской конструкции или характеристик такого устройства. Цель настоящего
раздела будет достигнута, если мы непосредственно примем эти выражения
Для сопротивлений, не вникая в физические связи между ними.
2) Т. е. она все время удовлетворяет требованиям пассивности и может
быть представлена некоторой цепью, состоящей лишь из пассивных эле-
ментов.
154 Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
уменьшается и может при этом стать отрицательной. Крити-
ческий случай соответствует величине Z2. Величина /?2 пока
еще везде положительна и обращается в нуль при <о = ± 1.
При дальнейшем росте отрицательной проводимости условие
6а уже больше не выполняется, хотя остальные условия, вклю-
чая условие 56, могут все время удовлетворяться. Например,
вещественная составляющая величины Z3 меняет знак при
<о = ±]/5/3. Полюсы все время находятся в левой полу-
плоскости, хотя один из них располагается на границе при
jp = O. Наконец, Z4 представляет собой сопротивление, удов-
летворяющее лишь первым четырем условиям.
Добавление все большей и большей отрицательной про-
водимости в схему, приведенную на фиг. 55, очевидно, не сделает
ее неустойчивой, так что если исключить из рассмотрения Z4, то
первые четыре условия всегда удовлетворяются. Однако при-
мер неустойчивости схемы можно получить, добавив соответ-
ствующее отрицательное сопротивление последовательно с пер-
воначальными значениями Z или как отрицательное, так и поло-
жительное активное сопротивление последовательно с Z4.
Так, если мы добавим-j-2 к Z4, то получим:
Z, =	.	(7.18).
Эта величина имеет нули при р = — 0,74 и /> = —|—0,54 и
поэтому представляет собой неустойчивую систему.
Эту же систему рациональных выражений можно исполь-
зовать, чтобы на примере проиллюстрировать другие функции
цепи. Например, если мы будем рассматривать величины Z не
как входные сопротивления, а как сопротивления передачи,
то сразу можно установить, что Zlt Z% и Z3 являются физи-
чески осуществимыми выражениями минимально фазового
типа. Величина Z4 является физически осуществимой, но не
минимально-фазовой, так как она обладает полюсом в правой
полуплоскости, a Zs — физически неосуществимая величина.
Главное отличие появляется при применении условий, кото-
рым должны удовлетворять пассивные цепи. В случае сопро-
тивления передачи равенство нулю вещественной составляю-
щей на оси вещественных частот, как это имело место на
примере Z.2, уже больше не имеет особого значения. Напро-
тив, мы интересуемся минимальными абсолютными значениями
различных функций на оси вещественных частот. Например,
легко показать, что минимальное абсолютное значение Z2 при
вещественных частотах равно 0,19. Это показывает, что макси-
мальный ток, протекающий в нагрузке при воздействии еди-
ничного генератора, будет равен 1/0,19 = 5,29, так что если
мы обозначим сопротивление нагрузки через Rj, то соответ-
Энергетические соотношения для пассивной цепи
155
ствующая мощность будет равна 28,0 Rj. Максимальная мощ-
ность, которую может отдать единичный генератор, однако,
равна 1/4 А*,-, где Rt— внутреннее сопротивление генератора.
Поэтому условие пассивности цепи требует, чтобы
28,0/?,^.	(7.19)
Поэтому величина Z, как таковая представляет собой пассив-
ную функцию, если Ri и R, достаточно малы.
Если принять данные рациональные функции за возвратные
разности, то первые четыре величины Z представляют собой
физически осуществимые выражения, хотя Z4 соответствует
цепи, которая была бы неустойчивой, если бы данная величина
JF обратилась в нуль. Если эти выражения представляют собой
чувствительности, то положение упрощается, так как при этом
не ограничиваются даже нули этой функции, и все пять вы-
ражений можно рассматривать как физически осуществимые.
10.	Энергетические соотношения для пассивной цепи
Теперь перейдем к последнему этапу нашего анализа,
заключающемуся в рассмотрении трех особых условий, накла-
дываемых на пассивные цепи, которые уже были приведены
в начале этой главы без доказательства. Отличительным свой-
ством пассивной цепи является то обстоятельство, что она не
содержит источников энергии. Поэтому исходное положение,
необходимое для того, чтобы установить эти условия, можно
найти, изучая энергетические соотношения в схеме1).
Мгновенная мощность, рассеиваемая в любом активном
сопротивлении R системы, равна z2/?, где t — мгновенное зна-
чение тока, протекающего по элементу. Аналогично, мгновен-
ное значение энергии, запасенной в магнитном поле индуктив-
ности, равно i>L, а мгновенное значение энергии, запасен-
ной в конденсаторе, равно
где q = ^idt
есть
заряд
конденсатора. Каждая из этих величин должна быть положи-
тельной, если соответствующие величины /?, L и D являются
положительными, и следовательно, в цепи, состоящей лишь
из положительных элементов, общий запас энергии или рас-
сеиваемая мощность должны быть положительными при любых
Данный здесь метод является применением обычной динамической
трактовки малых колебаний. См., например, Ландау и Пятигорский,
Механика, гл. IV, М.—Л., 1940; Л а м б, Теоретическая механика, т. III,
гл. IX, М—Л., 1936. (Прим, ред.)
156
Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
мгновенных значениях i и q. Это является фундаментальным?
условием, на котором строится анализ.
Общий запас энергии или рассеиваемую мощность не очень
удобно выражать непосредственно через отдельные элементы,
цепи главным образом потому, что ни одна из других наших
формул через них не выражена. Однако сравнительно просто
можно составить формулы для энергии и мощности, выразив
их через коэфициенты контурных или узловых уравнений.
Например, мы можем начать с системы дифференциальных кон-
турных уравнений, отличающихся от уравнений (7.1) тем, что
эти уравнения будут записаны теперь для стационарного процесса,
причем в правые части введены мгновенные значения напря-
жений е1г ..., еп. Предположим, что первое уравнение умно-
жается на второе — на и т. д., и затем уравнения скла-
дываются между собой. Результат будет равен:
г, s = п	г, s = п	г, s = n	г = п
2 2^++22 ++ S+2 2	2 е^> <7-20>
Г, 5 = 1	Г, 5 = 1	Л 5 = 1	Г = 1
где первое суммирование, например, представляет собой ряд
членов вида:
+... +	+	+ AW22 + • • • + Rnnf'n^
В третьей сумме для краткости записано qs вместо J isdt.
Каждый член вида erir в правой части, очевидно, равен
мгновенной мощности, отдаваемой в схему r-ым генератором,
так что сумма дает общую мгновенную мощность, поступаю-
щую в схему извне. Первая сумма в левой части должна пред-
ставлять собой мгновенную мощность, рассеиваемую в актив-
ных сопротивлениях, так как она является единственным
членом, который существовал бы в цепи, составленной из
чисто активных сопротивлений. Этот член можно записать в
виде двойного1) значения „диссипативной функции" F, где F
определяется выражением:
Г=П 5 = Л
2 2 7?++-	(7-21)
О Множитель „два" введен произвольно для обеспечения симметрии с
рассматриваемыми ниже функциями. Обозначения F, Т и V для перечислен-
ных функций заимствованы из динамики. Трудно спутать их с другими поня-
тиями, как возвратная разность, возвратное отношение и т. д., обозначае-
мыми теми же символами, так как энергетические функции рассматриваются
лишь в пределах настоящей главы.
Энергетические соотношения для пассивной цепи	157
Остальные члены левой части представляют собой скорости
изменения запасенной энергии в катушках и конденсаторах.
.Например, член второй суммы, соответствующий r = st мы
можем записать в виде:
Lrrtr (dir/dt) = (d/dt) Lrrir\
Если r=£s, то, поскольку мы имеем пассивную схему,
Lrs = Lsrl). Поэтому сумма членов с индексами rs и sr может
быть записана в виде
Очевидно, что полное значение второй суммы равно dT/dt,
.где Т—запасенная магнитная энергия, которую можно выра-
зить следующим образом
г = п s = n
т=^ 2 2	(7-22>
В третьей сумме удобно положить ij = dqj/dt. Действуя
аналогично предыдущему, получаем для этой суммы значение
dV/dt, где V представляет собой энергию, запасенную в кон-
денсаторах и равную
Г = п s = п
y=i 2 2	<7-23)
Г= 1 5=1
Существенным результатом этого рассмотрения является
вывод выражений (7.21), (7.22) и (7.23) для квадратичных форм F,
Г и И. Из предыдущего следует, что в цепи, составленной из
положительных элементов, величины F, Т и V должны быть
положительными.* * Кроме того, при этом утверждении мы мо-
жем рассматривать отдельные значения i и q как произволь-
ные величины, так ках мы начали рассмотрение, задавшись
произвольными генераторами. Поэтому F, Т и V должны оста-,
ваться положительными при любых положительных или отри-
цательных значениях i и q и могут обращаться в нуль, лишь
когда все значения i и q равны нулю2). Выражаясь языком
9 Следует обратить особое внимание на применимость принципа обра-
тимости в настоящем и последующих разделах, так как он объясняет, почему
этот метод анапиза годен лишь при пассивных цепях.
2) Последняя часть этого утверждения справедлива вообще для любых
цепей, но в частных случаях могут иметь место исключения. Например,
если первый контур не содержит индуктивности, то запасенная магнитная
* энергия, очевидно, будет равна нулю при любом значении iu если осталь-
ные i равнь^ нулю. >
158
Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
математики, можно назвать все три функции положительно
определенными.
Свойства положительно определенных функций лучше всего
понимать как систему ограничений, накладываемых на значе-
ния, которые могут иметь коэфициенты Rrs, Lrs и Drs в том
случае, если система контурных уравнений соответствует пас-
сивной цепи. Предположим, например, что все значения I, за
исключением Zj, выбраны равными нулю. Тогда F получит зна-
чение у Ruij. Функция будет положительно определенной,
если > 0, Аналогично все другие коэфициенты типа Rj,-,
Ljj и Djj должны быть положительными. Если в энергетиче-
ские функции входят лишь „собственные" коэфициенты этого
типа, то они будут равны суммам величин мощности или энер-
гии отдельных физических элементов. Однако цадо также
учесть взаимные члены, как Rrs^s> ПРИ Какой бы ни
был знак Rrs, этот член, очевидно, может быть отрицательным
при соответствующем выборе знаков ir и is. Поэтому свойство
положительно определенных функций требует, чтобы абсо-
лютные значения таких взаимных коэфициентов, как Rrs, не
были слишком велики по сравнению - с собственными коэфи-
циентами. Пример дает функция
+	+	(7.24)
Если | k |	2, то это выражение положительно при всех
вещественных значениях z\ и z2, что легче всего видеть, поло-
жив выражение (7.24) равным нулю и заметив, что корни, выражен-
ные через /]//<!, должны быть комплексными. Однако для дру-
гих значений k выражение (7.24) может проходить через значе-
ние, равное нулю, и становиться отрицательным при соответ-
ственном изменении z^. Поэтому при ] k | > 2 это выражение
уже не является положительно определенным. При наличии боль-
ше чем двух величин z положение становится более сложным,
но основная картина соотношений сохраняется.
В общем, собственные и взаимные коэфициенты, как это
можно было ожидать, подчиняются тем же законам, что и
самоиндукции и взаимоиндукции в системе катушек с физи-
чески осуществимыми коэфициентами связи, ибо в обоих слу-
чаях проявляются требования положительного значения энергии.
11.	Связь между полным сопротивлением и энергией
при вещественных частотах
Вывод выражений для функций F, Т и V подготовил нас
к доказательству сформулированных в начале главы трех осо-^
бых условий, которым подчиняются пассивные цепи5 В насто-
Связь между полным сопротивлением и энергией	159
ящем разделе будут рассмотрены только второе и третье из
этих условий.
Поскольку второе и третье условия выражены через ста-
ционарные характеристики, то естественно начать рассмотре-
ние с обычных стационарных контурных уравнений для схемы.
В основу нашего рассмотрения мы положим систему энерге-
тических выражений, которую можно получить, умножив
каждое контурное уравнение на соответствующий ток и сло-
жив между собой все уравнения так же, как это было сде-
лано при получении (7.20). Однако необходимо учесть, что
выражение (7.20) было получено из дифференциальных уравне-
ний схемы, и поэтому его энергетические функции были
выражены через истинные мгновенные значения токов и на-
пряжений в системе. С другой стороны, величины I и Е, фигу-
рирующие в системе обычных стационарных контурных урав-
нений, являются комплексными величинами, которые вводятся
при замене истинных токов и напряжений фиктивными выра-
жениями типа Ijept и Ejept согласно правилам, приведен-
ным в главе II. Однако это все же приведет нас к полноцен-
ному результату, если вместо умножения каждого уравнения
на соответствующее значение I мы будем умножать его на
сопряженную с / величину. Если, далее, эти уравнения сло-
жить, то получится результат в виде
г, s = п	г, s = n	Г, S =п
/<0 j 2 wz+2 2 ^а+4-2 2	(т.25>.
Г, 5 = 1	Г, 5 = 1	Г, 5 = 1
где р заменено на А», так как мы интересуемся лишь свой-
ствами при вещественных частотах, a Ij представляет собой
величину, сопряженную /у. Чтобы искомый результат выразить
через сопротивление, измеряемое в первом контуре, в систему
включен лишь один генератор Ех.
Так как величины / в *(7.25) не являются функциями вре-
мени, то три суммы не могут представлять собой реальные
мгновенные значения физических энергетических функций.
Однако можно почленно доказать тождественность сумм и
среднего значения по времени соответствующих членов истин-
ных энергетических выражений, умноженных на некоторый
коэфициент. Чтобы показать это, начнемте рассмотрения члена
^собственной" индуктивности вида	После замены Д и
71 на /1а + //1Ь и Ца — Ин, этот член получает вид (lla + /ib).
Соответствующий член в выражении для истинной магнит-
ной энергии схемы равен у АцД*2, где I* представляет собой
мгновенное физическое значение тока в первом контуре.
$60 Глава VJI. Устойчивость и физическая осуществимость
Однако из определения Д следует, что
I* = вещественной составляющей (4a+^i&)(cos	sin =
= Ila cos <o£— Ilb Sin <of.	(7.26)
Поэтому член в выражении для истинной магнитной энер-
гии можно записать в виде
Т Г *2--
2 —
= у £и (71а3 cos5 mt — 2IlaIlb sin mt cos mt-|-Iib* sin5 mt). (7.27)
Если это выражение усреднить за большой интервал вре-
мени, то член sin mt cos mt исчезнет, а каждый из членов с
cosW и sin3o>£ даст */2. Поэтому среднее значение магнитной
энергии, обусловленное током I*, в Ln равно
(4 )ср = | Ln (V + V),	(7.28)
что составляет как раз от величины, найденной для члена
-LnlJi в первой из сумм выражения (7.25).
Аналогично при рассмотрении пары членов взаимных
индуктивностей в (7.25), как, например, Lx4IJi £21/,/2, мы с
помощью равенства Л12 = А21 легко находим, что их можно
записать в виде 2А12(/1а/2а-|-ЛЛД Соответствующий член в
выражении для истинной магнитной энергии равен
1(Л12/1*/2* + Л2171*/2*) =
—Z12	cos3	(ЛаЛь+ДаЛб) sin atf cos mt-]-IlbIib sin3 <!>/]. (7.29)
Его среднее значение равно:
Эта величина вновь составляет у от суммы в (7.25). Таким
образом, мы приходим к заключению, что сумма всех этих
членов дает учетверенное среднее значение общей магнитной
энергии Т за большой промежуток времени.
Очевидно, что вторая сумма в (7.25) совершенно анало-
тично равна учетверенному среднему значению диссипативной
функции F.
Нельзя непосредственно доказать тождественность третьей
суммы в (7.25) и среднего значения энергетической функции V,
умноженной на некоторый коэфициент, так как эта сумма
зависит от произведения токов, а V определяется зарядами.
Связь между полным сопротивлением и энергией 161
Однако, поскольку ток является производной заряда, то появ-
ление тока вместо соответствующего, синусоидально меняю-
щегося заряда лишь дает умножение на ш и сдвиг по фазе,
который не имеет значения при усреднении за большой про-
межуток времени. Так как в третью сумму входят две вели-
чины /, то появление токов вместо зарядов увеличивает ее
значение в раз, и мы можем сделать заключение, что
сумма равна среднему значению энергии, запасенной конден-
саторами, умноженной на 4<о\
Используя полученные только что значения для трех сумм,
мы можем вместо выражения (7.25) записать следующее:
4z<o7'Cp + 4Fcp — 4А»Кр = 51/х-	(7.30)
Если предположить, что приложенное напряжение £, обла-
дает единичной амплитудой, то ток Д будет равен проводи-
мости цепи. Само собой разумеется, что Ц отличается от Д
лишь знаком мнимой части. Поэтому формулу (7.30) можно
использовать для получения соотношения между энергетиче-
скими функциями цепи и ее входной проводимостью.
Мы получаем
У=4[ГСр + Н^р—Гер)],	(7.31)
где FCp, Уср и Тер должны вычисляться при условии, что цепь
возбуждается напряжением с единичной амплитудой1).
Второе из трех условий, наложенных на пассивные цепи
и сформулированных в начале этой главы, имеет в виду, что
вещественная составляющая входного иммитанса никогда не
бывает отрицательной при вещественных частотах. Так как F
должно быть положительным, то это условие непосредственно
вытекает из (7.31). Третье условие говорит, что общая мощ-
ность, отдаваемая в цепь внешним генератором при вещест-
венной частоте, должна быть не меньше мощности, рассеивае-
мой в любом из активных сопротивлений. Это можно показать,
исследовав, каким образом каждый из элементов входит в
выражение для F. Однако более простой путь дает предполо-
жение, что данное активное сопротивление удалено и заменено
генератором, обладающим напряжением, равным падению напря-
жения, вызванному на этом активном сопротивлении внешним
*) Выражение „единичная амплитуда* здесь означает, что максимальное
значение синусоидального напряжения равно единице. Так как мы имеем
дело с энергией, то более естественно, пожалуй, пользоваться среднеквадра-
тичной или „эффективной* эл.с., которая в 2 раз меньше максималь-
ного значения. Поэтому если мы пользуемся единичным эффективным
напряжением, то постоянную 4 в правой части формулы (7.31) надо заме-
нить на 2.
It Зак. 1327
162 Глава VII. Устойчивость и физическая осуществимость
генератором. Это не вызовет изменения распределения токов
в остальной части схемы. Если мы повторим рассуждения,
которые привели нас к формуле (7.31) для случая измененной
цепи, возбуждаемой уже этими двумя генераторами, то вещест-
венная составляющая правой части полученного выражения
попрежнему будет представлять среднее значение F для
измененной системы и должна быть положительной или рав-
ной нулю. Поэтому, очевидно, мощность, поглощаемая осталь-
ной частью схемы, не может быть отрицательной, так что
общая мощность, потребляемая всей системой, должна быть
не меньше, чем эта мощность, потребляемая данным активным
сопротивлением.
Фиг. 56
Фиг. 57
В качестве примеров для (7.31) мы можем взять цепи
фиг. 56 и 57. Сопротивление цепи фиг. 56 при резонансе
индуктивности и емкости является чисто активным. Поэтому
среднее значение энергии, запасенной в индуктивности на
этой частоте, должно быть равно среднему значению энергии,
запасенной в конденсаторе. Цепь фиг. 57 эквивалентна чисто
активному сопротивлению на всех частотах. Следовательно,
средние значения Т и V по той же причине должны быть
одинаковыми на всех частотах. Само собой разумеется, что
с помощью вычислений можно легко проверить оба эти
заключения.
12. Устойчивость пассивных цепей
Первое из трех свойств пассивных цепей, упомяну-
тых в начале этой главы, заключается в том, что пассив-
ная цепь всегда устойчива. В заключение настоящего рас-
смотрения докажем, что это свойство является следствием
того, что три энергетические функции F, Т и V пассивной
цепи являются положительно определенными. Действительно,
связь между устойчивостью и энергией определяется тем, что
энергия приводит систему в движение, и тем, что в общем
случае чем больше возмущение, тем больше энергия. Поэтому
на первый взгляд может показаться, что устойчивость обес-
печивается положительным значением только F, так как если
Устойчивость пассивных цепей
163
F положительно, то система в целом непрерывно расходует
энергию, независимо от знаков Т и V. Однако в действитель-
ности в такой же степени важны положительные знаки Т и V.
Если одна из этих функций отрицательна, то схема может
непрерывно рассеивать энергию в потерях вида PR и все же
оставаться далеко от положения равновесия, если при этом
запасается все больше и больше энергии1).
Связь между устойчивостью и энергетическими функциями
легче всего получить, если обратиться к системе уравнений (7.2).
Эти уравнения идентичны обычным контурным уравнениям, за
исключением того, что приложенные напряжения взяты рав-
ными нулю; а величина р — равной одному из частных значений,
соответствующих собственным колебаниям в цепи. После пре-
образований, аналогичных примененным при выводе (7.25),
легко получить из этих уравнений следующий результат:
r,S — n	r,S = n	г, s = п
(7-32>
Г, 5 = 1	Г, 5 = 1
Это выражение отличается от (7.25) лишь тем, что правая
часть здесь положена равной нулю, a i<s> заменено на р, так
как частота собственных колебаний не обязательно должна
быть вещественным числом.
Выше мы доказали тождественность каждой из сумм, вхо-
дящих в выражение (7.32), среднему значению одной из энер-
гетических функций цепи. Здесь мы не можем этого сделать,
так как при комплексной частоте физические токи в цепи
возрастают или убывают и определение среднего значения
теряет смысл. Однако, к счастью, нет необходимости в по-
добной физической трактовке. Вспомним, что при замене
в (7.25) Л на его значение, выраженное через Iia и /1Ь, член
первой суммы, содержащий Zu, становится равным Ln (Да^-Рь)-
Аналогично сумма членов, содержащих Z,j2 и Z.sl, становится
равной (£12-|-£21) (71а4а + Лб4Д Таким образом, члены, со-
держащие „собственные" и „взаимные" индуктивности, обра-
зуют сумму двух членов, один из которых содержит произве-
*) Поскольку трудно себе представить „отрицательную энергию", то
мы можем предположить, что рассматриваемая схема является пассивной
системой, за исключением того, что она содержит эквивалент отрицательной
индуктивности, составленный с помощью одной из описанных ниже лампо-
вых схем. До тех пор пока отрицательная индуктивность рассматривается
как одно целое, вся схема может рассматриваться методами, применяемыми
для пассивных систем, так как здесь применим принцип взаимности. Однако
«отрицательная энергия*, запасенная в индуктивности, может рассматри-
ваться физически как положительная энергия, развиваемая электронными
лампами и отдаваемая в остальную часть схемы.
164 Глава VII. Устойчивость а физическая осуществимость
дения величин 1а, а другой — произведения величин 1Ь. Само
собой разумеется, что соответствующие результаты получаются
и для членов, содержащих R и D. Поэтому, даже без помощи
физической трактовки сумм, мы можем переписать (7.32) в сле-
дующем виде:
г, s=n	г, s=n
^rs (JrJsa 4“ ^rb^sb)	(Jralsa 4“ Irb^sb) "4"
r, 5=1	r, 5=1
1 (7‘33>
P r,s=A
r, s — n
Очевидно, сумма LrshiJsa равна двойному значению энерге-
Г, 5 = 1
тической функции Т при замене мгновенных значений физи-
ческих токов соответствующими величинами 1а. Поэтому мы
можем представить эту часть формулы (7.33) в виде 27'(й).
Г, 5 = Л
Аналогично, сумма	представляет собой двойное
Г, 5 = 1
значение функции Т при замене физических токов соответ-
ствующими величинами 1Ь. Поэтому ее можно записать
в виде 2Т(Ь). Другие члены формулы (7.33) таким же образом
представляют собой двойное значение функций F и V при
замене соответствующих физических токов и зарядов величи-
нами 1а и Ц. Поэтому полное выражение можно записать
в виде:
+ Г(*)] +Г(Ц) + F (*)+у [У(Ц)+ mi =0. (7.34)
Вэличины Т, F и V, входящие в формулу (7.34), вовсе не
обязательно соответствуют некоторой физической энергии
в схеме. Это просто определенные математические выражения,
полученные заменой мгновенных значений токов в истинных
выражениях для энергии величинами IJa и /д,. В общем случае
можно ожидать, что они приобретают различные значения при
переходе от одной формы собственных колебаний к другой,
так как распределение токов в цепи, а следовательно, вели-
чины Ija, и 1]Ь зависят от частоты собственных колебаний.
Однако мы знаем, что по меньшей мере исходные энергети-
ческие выражения являются положительными для всех воз-
можных мгновенных значений токов. Отсюда следует, что но-
вые значения Т, F и V должны быть во всех случаях поло-
жительными. Поэтому любое значение р, соответствующее
возможной форме собственных колебаний, должно удовлетво-
Сравнение признаков физической осуществимости
165
рять квадратному уравнению (7.34), в котором все коэфициенты
положительны. С помощью обычной формулы для корней
квадратного уравнения мы легко можем показать, что воз-
можные значения величин р, т. е. нули Д, должны обладать
следующими свойствами:
1.	Если Т или V тождественно равно нулю, то нули
соответствуют отрицательным вещественным значениям р.
Другими словами, сопротивление цепей, состоящих лишь
из емкостей и активных сопротивлений или лишь из индук-
тивностей и активных сопротивлений, имеют нули на
отрицательной вещественной оси р.
2.	Нули будут находиться на отрицательной веществен-
ной оси даже при Т и V, отличных от нуля, если только Е
достаточно велико. Это означает, что цепи с большими
потерями обладают отрицательными вещественными ну-
лями даже при наличии реактивных элементов обоих видов.
3.	Если F тождественно равно нулю, нули находятся
на мнимой оси. Другими словами, сопротивление цепи, не
обладающей потерями, обращается в нуль лишь при веще-
ственных частотах.
4.	В случае, когда ни одно из этих условий не выпол-
няется, нули обычно появляются в виде сопряженных ком-
плексных пар. Вещественные части нулей всегда являются
отрицательными.
Эти предложения лучше всего иллюстрируются примерами,
рассматриваемыми в следующей главе. В этих предложениях,
очевидно, заключено значительно более детальное представле-
ние о пассивных цепях, чем утверждение, что пассивная цепь
должна быть устойчивой. Однако ясно, что эти предложения,
во всяком случае, подкрепляют такое утверждение.
13. Сравнение признаков физической осуществимости
Выше, исходя из различных условий, были установлены
свойства физически осуществимых систем. Например, примени-
тельно к пассивным системам, мы начали с утверждения, что
схема должна состоять лишь из положительных элементов, и
позже заменили это утверждением, что ее энергетические
функции должны быть положительными. С другой стороны,
применительно к активным системам, мы главным образом
основывались на следующем постулате: „физическая система
должна быть устойчивой". Эти условия в данной форме не
легко непосредственно сравнить друг с другом в основном
потому, что формула для энергетических функций была вы-
ведена в предположении, что схема подчиняется принципу
166 Глава УИ. Устойчивость и физическая осуществимость
взаимности, согласно которому Z-^ — Z^, так что ее не легко
распространять на общий случай.
Чтобы иметь возможность сравнить эти критерии, предпо-
ложим, что активные элементы являются частями систем, об-
ладающих отрицательным сопротивлением. Если эти системы
рассматривать, в свою очередь, как отдельные элементы, то
схему можно считать выполненной из элементов *), к которым
применим принцип взаимности. Тогда ясно, что различные при-
знаки логически не равнозначны. В вышеприведенном перечне
признаки были даны в порядке убывающей общности. Другими
словами, цепь, все элементы которой положительны, всегда
обладает положительно определенными энергетическими функ-
циями, а цепь, энергетические функции которой являются по-
ложительно определенными, всегда устойчива. Однако обрат-
ные положения не справедливы. Устойчивая цепь не обя-
зательно обладает положительно определенными энергетиче-
скими функциями, и цепь, обладающая положительно опреде-
ленными энергетическими функциями, не обязательно со-
стоит исключительно из положительных элементов.
То обстоятельство, что положительный знак энергии не
равноценен положительному знаку для элементов, ясно из
простейших примеров. Например, очевидно, что характер энер-
гии не меняется, если мы добавляем отрицательное активное
сопротивление либо последовательно с реальной цепью, со-
держащей равное или большее положительное активное со-
противление, либо последовательно с эквивалентом такой цепи.
Более сложный пример представляет собой Т-образный экви-
валент двухобмрточного трансформатора. Напомним, что сред-
няя ветвь Т-образного эквивалента содержит отрицательную
индуктивность. Общая энергия, запасенная в индуктивностях,
однако, всегда положительна. Очевидно, что энергия попреж-
нему будет положительной, если мы заменим трансформатор
соответствующим устройством, состоящим из трех положи-
тельных и отрицательных индуктивностей. Энергетические
условия будут выполнены также, если вместо индуктивностей
мы включим положительные и отрицательные сопротивления
любого характера, подобранные соответствующим образом.
С другой стороны, мы можем показать, что любая функция
сопротивления, удовлетворяющая требованиям, вытекающим
из энергетических свойств, всегда может быть представлена
некоторой цепью, содержащей лишь положительные элементы
и ряд обычных взаимных индуктивностей. Поэтому в этом
*) См. предыдущее примечание. В соответствии со сделанным здесь пред-
положением, слово «элемент* в настоящем разделе принято как обозначение
элемента, удовлетворяющего принципу взаимности.
Сравнение признаков физической осуществимости 167
смысле энергетические свойства и свойства положительных
элементов являются эквивалентными.
Труднее понять связь между свойством цепи быть устой-
чивой и свойством ее энергетической функции — быть поло-
жительно определенной. Если цепь содержит лишь два вида
элементов, то можно показать, что она будет устойчивой, если
обе соответствующие энергетические функции являются поло-
жительно определенными. Однако если в наличии имеются все
три вида элементов, то положительно определенный характер
функций не необходим. Это можно показать на примере фор-
мул (7.17) для сопротивлений.
Например, две последние формулы относятся к сопротивле-
ниям, удовлетворяющим условию устойчивости, но обла-
дают вещественными составляющими, становящимися в неко-
торых областях спектра вещественных частот отрицатель-
ными. Очевидно, что диссипативная функция F для таких со-
противлений не является положительно определенной. Мы
можем также вспомнить, что для ограничения расположения
полюсов сопротивления оказалось необходимым предположить,
что система является устойчивой при разомкнутых входных
полюсах.
Так как положительно определенные энергетические функ-
ции остаются положительно определенными, когда ток во вход-
ном контуре равен нулю, то устойчивость разомкнутой цепи
обеспечивается выполнением энергетических условий. Однако,
как показывают примеры, подобные сопротивлению Zlt опре-
деляемому формулой (7.17), устойчивость разомкнутой цепи
не является свойством всех систем, устойчивых в их номи-
нальных рабочих условиях, так что это дает другую возмож-
ность для получения устойчивой системы, не удовлетворяющей
энергетическим условиям.
ГЛАВА VIII
КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬЦИ КРИТЕРИЙ
УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
1. Введение
Предыдущая глава была посвящена, в сущности, исследо-
ванию ограничений, которые должны быть наложены на неко-
торые функции цепи, чтобы система при различных условиях
была устойчивой. Это исследование является первым этапом
рассмотрения общей задачи определения характеристик, кото-
рые могут быть получены в физически осуществимых системах.
Однако такое исследование само по себе имеет ограниченную
ценность. Главный недостаток его определяется тем, что эти
ограничения относятся к поведению функции при комплексных
частотах, в то время как для практических целей проектиро-
вания интерес представляют лишь характеристики для веще-
ственных частот. Что касается связи между этими двумя ви-
дами свойств, то она настолько сложна, что непосредственно
ее использовать невозможно. Например, при известных огра-
ничениях, накладываемых на нули и полюсы, еще не ясно,
какого типа характеристики для вещественных частот являются
физически осуществимыми. Более того, если нам дана извест-
ная система и вычисленные ее характеристики для веществен-
ных частот оказываются удовлетворительными, то в общем
случае нужен еще длинный и утомительный процесс, чтобы
определить, удовлетворяют ли корни Определителя Д условию
устойчивости. Если некоторые из этих корней оказываются
в несоответствующей части плоскости, то нам еще не известно,
получилось ли это вследствие просто неудачного выбора не-
которых второстепенных данных конструкции или этот резуль-
тат неизбежен в любой схеме, обладающей требуемыми свой-
ствами.
Чтобы сделать теорию практически полезной, нам необхо-
дим математический аппарат, с помощью которого ограничения,
накладываемые на поведение функций цепи при комплексных
частотах, можно было преобразовывать непосредственно в экви-
валентные ограничения поведения этих функций при веществен-
ных частотах. Ось вещественных частот можно рассматривать
как границу правой полуплоскости, где действуют особые
ограничения функций цепи. Поэтому математическая задача
сводится к отысканию связи между поведением функции внутри
Интегрирование в' комплексной плоскости 169
данной области и ее поведением на границе этой области.
Наиболее удобный аппарат для этого может быть найден
в теории аналитических функций, развитой Коши, в виде инте-
грирования по замкнутому контуру. Главной задачей настоя-
щей главы является краткое изложение некоторых элементар-
ных положений этой теории *). Основное применение этот ма-
териал получит в последующих главах после рассмотрения
общих свойств входных иммитансов и иммитансов передачи.
В настоящей главе эта теория иллюстрируется применением
ее для рассмотрения метода определения устойчивости с по-
мощью диаграмм Найквиста. В настоящей главе изложены
также две частные теоремы, которые будут использованы
в нескольких следующих главах при рассмотрении входных
иммитансов и иммитансов передачи. Содержание настоящей
главы связано с группой общих идей, развитых в главе II. По-
этому, перед тем как приступить к изучению данной главы,
следует повторить материал главы И.
2. Интегрирование в комплексной плоскости
В обычном анализе мы имели дело с понятием интеграла
как площади, ограниченной кривой. Например, на фиг. 58 по-
казано приближение к площади данной кривой с помощью
ряда узких вертикальных полосок. Мы знаем, что интеграл
функции, взятый в пределах от хг до ха, равен пределу, .к ко-
торому стремится площадь полосок, когда число полосок ста-
новится бесконечно большим, а каждая из полосок — бесконечно
*) Более подробное рассмотрение может быть найдено в, любой [книге
по теории функций комплексного переменного. [См., в частности, П р!и в а-
л о в, Теория функций комплексного переменного, М.—Л., 1945; Г у р с а, Курс
математического анализа, т. II, ч. 1, М.—Л., 1933 и др. (Прим, ред.).]
170 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
узкой. Однако площадь любой из полосок, например заштри-
хованной на фигуре, очевидно, равна ее высоте, умноженной
на ширину, или, другими словами, равна f(Xj)(Xj+i — Xj). Это
определение интеграла можно выразить следующей формулой:
*2
]’ /(x) dx = lim 2/(ху)(ху+1 - Xj).	(8.1)
Ч
Совершенно таким же образом можно определить интегралы
от функций комплексного переменного. Если, например, функ-
ция f(z) должна быть проинтегрирована вдоль заданной кри-
вой, соединяющей точки zt и z%, как показано на фиг. 59, то
прежде всего мы зададимся рядом промежуточных точек Zj.
При любых промежуточных точках мы можем составить со-
ответствующую сумму	— Zj). Тогда интеграл опре-
делится как предел *). к которому стремится эта сумма, когда
число промежуточных точек становится бесконечно большим
и соседние точки оказываются бесконечно близкими одна
к другой. Другими словами, интеграл может быть выражен
следующим образом:
*2
j' f(z)dz = lim^f(Zj)(zJ+i-Zj).	(8.2)
Легко видеть, что эта формула внешне не отличается от фор-
мулы (8.1). Единственная разница заключается в том, что по-
следнее выражение является обычно комплексным, так как
в общем случае f(Zj) и (гу+1 — zj) — комплексные величины.
3.	Значения интегралов в предельных случаях
Определение интеграла, выраженное формулой (8.2), непо-
средственно приводит к простому следствию, которое мы
многократно будем применять в нижеследующем рассмотре-
нии. Из формулы (8.2) видно, что модуль интеграла не может
быть больше суммы модулей всех составляющих ее членов
f (zi) (zj+i — zi)- Положим теперь, что М представляет собой
наибольшее значение модуля функции f(z) на рассматриваемой
кривой. Модуль каждого из членов не может быть больше
*) При этом рассмотрении, само собой разумеется, мы обошли такие
вопросы, как доказательство существования предела для соответствующей
функции f(z) и независимости предела от выбора значений гу, рассмотрение
которых в строгой теории является необходимым.
Значения интегралов в предельных случаях 171
модуля величины, которую мы бы получили, если бы заме-
нили f(zj) величиной М. Поэтому имеем:
г2
j* f(z)dz	j* М | dz | = Af X длина пути. (8.3)
Zt
Пусть в качестве примера дуть интегрирования представляет
собой полуокружность радиуса R, показанную на фиг. 60.
При этом предположим, что радиус R может быть сделан
бесконечно большим. Длина пути равна ~R. Если f(z) при
больших значениях z изменяется как z в некоторой положи-
тельной степени, то мы, очевидно, ничего не можем сказать
на основании формулы (8.3) об интеграле, ибо как Af, так и
длина пути при большом R становятся очень большими. Фор-
мула (8.3) также не дает предела, если при z,
стремящемся к бесконечности, f(z) стремится
к постоянной величине, отличающейся от ну- 2>
ля. С другой стороны, если f(z) изменяется	А
как z в некоторой отрицательной степени,	)
например, как г-'2, то Af должно изменяться	j
как R~\ Таким образом, из формулы (8.3)	J
мы видим, что интеграл должен обращаться 2
в нуль при достаточно больших значениях R,
несмотря на то, что длина пути бесконечно
велика. Само собой разумеется, что тот Фиг. 60
же результат справедлив, когда f(z) изме-
няется как z в любой большей отрицательной степени.
Если предположить, что полуокружность на фиг. 60 очень
мала, то получатся, по существу, аналогичные результаты.
Теперь длина пути в пределе обращается в нуль, так что из
(8.3) с очевидностью следует, что если вблизи начала коорди-
нат f(z) стремится к постоянному значению или изменяется
как z в любой положительной степени, то интеграл также
обращается в нуль. С другой стороны, если f(z) ведет себя
как z~* или как z в большей отрицательной степени, то Af
возрастает так быстро при уменьшении R, что мы ничего не
можем сказать на основании формулы (8.3) о значении инте-
грала.
Промежуточное место между этими случаями занимает
функция /(^-изменяющаяся как Z-1. При очень большой полу-
окружности эта функция дает Af, уменьшающееся с увеличением
длины пути, в то время как при малой полуокружности Af растет
с уменьшением длины пути. В обоих случаях относительная
скорость возрастания и убывания такова, что произведение
двух этих величин постоянно. Таким образом, формула (8.3)
172
Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
дает конечный верхний предел интеграла. Однако точное его
значение остается еще нам не известно.
Точное значение интеграла можно найти, выразив z
через полярный угол 6, показанный на фиг. 61. Ради общности
путь интегрирования вместо полуокружности показан в виде
произвольной дуги окружности с конечными точками, соот-
ветствующими 6 = 91 и 6 = 62. Если записать z = Relfl, то, оче-
видно, мы имеем dz = iReif>dfi, так что интеграл от 6j до 62
будет равен
<8.4>
С «1	«1
При этом, если интегрирование производить в обратном
направлении, результат, очевидно, будет тот же по величине,
но обратный по знаку. Таким образом,
2, мы получаем следующую теорему:
Теорема. Интеграл от zr\ взя-
Л тый по дуге окружности, с центром * 2
~дв-\—J —Г	в начале координат, равен централь-
\ у г / ному углу дуги в радианах, умно-
/ женному на -\-i или—I, в зависимо-
\	/ сти от того, производится ли ин-
тегрирование против направления
2г	или по направлению часовой стрелки.
Фиг. 61	Значение этого результата заклю-
чается в той роли, которую он играет
при вычислении интегралов для многих предельных случаев.
Например, в дальнейшем нам часто придется рассматривать
интегралы по очень большой полуокружности от функций,
которые вблизи бесконечности ведут себя как ряд
। । ।
Z "* Z8 + Z* "г • • •
Очевидно, что если полуокружность достаточно велика, то мы
можем отбросить все члены ряда, кроме первого, и вычислить
интеграл с помощью только что приведенной теоремы.
Для дальнейшего это рассмотрение надо развить в одном
частном направлении. До сих пор мы просто отбрасывали слу-
чаи как очень большой, так и очень малой полуокружности,
когда /(г) изменяется как z в такой степени, что в пределе
произведение М на длину пути становится бесконечно боль-
шим. На основании одной лишь формулы (8.3) мы не можем
сделать заключение о таких случаях, и действительно, нельзя
сказать ничего существенного до тех пор, пока путь интегри-
Зависимость интеграла от пути интегрирования 173
рования представляет собой произвольную дугу окружности.
Однако в следующих разделах нам придется выполнять инте-
грирование от некоторой точки по замкнутому контуру, воз-
вращающему нас в исходную точку. Это создает особо сим-
метричные условия, при которых интегрирование можно зна-
чительно упростить. Чтобы показать это, мы повторим расчет
по формуле (8.4), заменив z~l на zn, а верхний и нижний пре-
делы интегрирования на —п и те. При этом мы получим:
^dz = J [/?Vn«p7?ezM9 =
О тс
Г	(8.5)
= z7?"+1J [cos(«4- l)6 + Zsin(n + l)0]u6.
тс
Если п является любым положительным или отрицательным
целым числом, кроме —1, то эти выражения должны обра-
щаться в нуль, так как интеграл как от синуса, так и от ко-
синус£ взятый за полный период, равен нулю. Если » = —1,
то результат вычисления будет равен —2те/ при интегрирова-
нии по направлению часовой стрелки, что можно видеть из
формулы (8.5) или предыдущей теоремы. Таким образом, мы
получаем следующую теорему:
Теорема. Интеграл от &1, взятый по полной окруж-
ности, центр которой расположен в начале координат,
равен нулю, если только п не равно — 1. Если п =— 1, он
равен —при интегрировании по направлению часовой
стрелки и -|-2те/ при интегрировании против часовой стрелки.
4.	Зависимость интеграла от пути интегрирования
Наряду с аналогией, которая, как указывают формулы (8.1)
и (8.2), существует между определениями вещественного и
комплексного интегралов, между ними есть разница, которую
мы до сих пор не подчеркивали. При определении веществен-
ного интеграла по формуле (8.1) было достаточно указать пре-
делы интегрирования хх и х2, ибо ясно, что точки Xj обяза-
тельно должны быть расположены на оси х между этими пре-
делами. С другой стороны, при комплексной переменной z необхо-
димо задать не только пределы интегрирования г/ и zz, но
также' и определенную кривую, соединяющую эти пределы,
на которой предполагаются расположенными промежуточные
точки Zj. Естественно возникает вопрос: играет ли существен-
ную роль выбор пути между zx и z2 или мы будем получать
174
Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
один и тот же результат, соединяя zY и z2 различными кри-
выми, как это показано на фиг. 62?
Ответ на этот вопрос дает важная теорема, данная Коши, ко-
торую иногда называют „основной теоремой анализа". Согласно
теореме Коши, интеграл, взятый от zx до z2, имеет одно и то же
значение для двух кривых, если только интегрируемая функ-
ция является аналитической на обеих кривых и в области,
расположенной между этими кривыми. В большинстве случаев,
вместо интегрирования от zv до z2 вдоль двух различных кри-
вых, бывает удобно производить интегрирование по всему
замкнутому контуру, начиная обход от некоторой точки и
возвращаясь к ней. Например, на фиг. 62 мы можем считать,
что контур интегрирования образуется при обходе кривой А
от zt до z2 и кривой В в обратном на-
>гг правлении от z2 до zx.
*(~—Ясно, однако, что интеграл от z2 до
\	\ zit взятый по кривой В, должен быть
2<-^/	равен по величине и иметь обратный
_____'Л.__________. знак интегралу от z^ до z2, взятому
вдоль В. Поэтому этот интеграл должен
быть равен по величине и иметь знак,
обратный интегралу от до z2 вдоль
Фиг. 62 кривой А, если интегралы, взятые от
Zi до z2 по двум кривым, равны между
собой. Таким образом, теорему Коши, которую мы примем
без доказательства, можно сформулировать следующим образом:
Теорема. Если функция f(z) является аналитической
внутри замкнутой кривой и на самой кривой, то интеграл
от f(z), взятый по этой кривой, равен нулю.
Теорема Коши легко може! быть проиллюстрирована с по-
мощью рассмотренного ранее интегрирования степенной функ-
ции z по окружности. Возьмем, например, в качестве замкну-
того контура окружность, внутри которой расположено начала
координат, и пусть функция f(z) взята в виде полинома
До +-Ai2 Н~ ••• +	Следовательно, f(z) является функцией
аналитической на окружности и внутри ее, так что, соответ-
ственно теореме Коши, интеграл по замкнутой окружности
должен обращаться в нуль. Естественно, что это подтвер-
ждается предыдущим рассмотрением, из которого следует, чта
интеграл от каждого члена полинома обращается в нуль.
Далее мы можем предположить, что к полиному добавлен
член k[z. Этот дополнительный член создает полюс в начале
координат, так что функция теперь уже больше не является
аналитической во всех точках внутри окружности и условия,
устанавливаемые теоремой Коши, не удовлетворяются. Соот-
Зависимость интеграла от пути интегрирования	175-
ветственно этому, из нашего предыдущего рассмотрения сле-
дует, что интеграл уже не обращается в нуль, а получает
значение 2itik, если предполагать, что интегрирование произ-
водится в направлении против часовой стрелки. С другой сто-
роны, если бы вместо kjz мы добавили к полиному k/z^, то
контурный интеграл остался бы равным нулю, несмотря на то,
что новая функция попрежнему не является аналитической
в начале координат. Таким образом, очевидно, что положение,
обратное теореме Коши, не является справедливым. В частных
случаях контурный интеграл может быть равным нулю, даже
когда функция не является аналитической во всех точках
внутри контура.
В этих примерах в качестве замкнутого контура мы брали
окружность. Само собой разумеется, что с точки зрения вы-
числений она является
особенно удобной кри-
вой. Однако важно отме-
тить утверждение теоре-
мы Коши, что если окруж-
Фиг. 63
ность деформировать в контур любой другой формы, то ре-
зультат получится тот же самый. Чтобы показать это, рас-
смотрим интеграл от z* по контуру в виде квадрата, показан-
ного на фиг. 63. Сторона квадрата взята в 3 единицы, а вер-
шины А, В, С и D расположены соответственно в точках
1— i, 1 —|-/2, — 2-]-12 и —2 — I. Если положить, что z = х-j-iy,
то г® будет равно х® — у*-{-21ху. Для стороны АВ имеем х — 1
и dz — idy. Поэтому эта часть контура интеграла может быть
записана в виде
в	2
I* z'dz = f [(1 - у'2) + 2iy] idy.	(8.6)
А	—* 1
Этот интеграл можно вычислить методами обычного ана-
лиза. В результате вычисления получаем —3. Аналогично для
176 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
стороны ВС мы имеем у = 2, dz = dx, и интеграл, взятый по
этой стороне, равен
с	— 2
f z*dz = [ [(х2-4) + 4ix] dx—9 -f- 61.	(8.7)
в	iJ
Интегралы, взятые по двум остальным сторонам, можно
получить тем же путем, и они оказываются равными соот-
ветственно —6—91 и 3Z. Легко видеть, что сумма по всему
контуру обращается в нуль, и тем самым теорема Коши под-
тверждается для этого случая.
В последующем теорема Коши будет главным образом
применяться к замкнутым контурам в плоскости р, подобным
показанному на фиг. 64. Этот контур состоит из большой полу-
окружности в правой половине плоскости р. Для обхода любых
особенностей, которые могут иметь место на оси вещественных
частот, предусмотрены небольшие выступы в виде очень ма-
леньких полуокружностей. Интеграл по всему контуру будет
обозначаться символом <j>, а интеграл по большой полуокруж-
ности—символом
Такой контур выбран потому, что с помощью ранее при-
веденных соображений, касающихся расположения нулей и
полюсов физически осуществимых цепей, легко можно уста-
новить аналитичность в правой половине плоскости р какой-
либо из функций цепи. Таким образом, для изучения интегралов
этих выражений, взятых по замкнутому контуру, можно приме-
нить теорему Коши. Однако если мы предположим, что контур
очень велик, то от интегралов как по большой полуокружности,
так и по малым выступам легко можно избавиться с помощью
методов, описанных в предыдущем разделе. Тогда оставшаяся
часть будет представлять собой интеграл, взятый по оси веще-
ственных частот от некоторой очень большой отрицательной
частоты до соответственной большой положительной частоты,,
так что теорема Коши даст нам возможность непосредственно
связать характеристики системы для вещественных частот с
условиями физической осуществимости.
5.	Теория вычетов
Прежде чем приступить к детальному изучению возможно-
стей, которые раскрывает эта теория, необходимо вкратце
рассмотреть, что происходит с интегралом данной функции по
замкнутому контуру, когда функция не является аналитиче-
ской внутри контура. Результаты этого уже упоминались
з ранее приведенных примерах. Чтобы изучить общий случай,
Теория вычетов
177
предположим, что функция является аналитической всюду, за
исключением точки za, где она обладает простым полюсом. Таким
образом, вблизи za она может быть представлена в виде х)
д
+ А + A, (z-za) + л2 (z—za)3 +...	(8.8)
Возьмем теперь путь интегрирования, показанный на фиг. 65.
Функция является аналитической внутри этого замкнутого
всему контуру должен быть
контура, так что интеграл по
равен нулю. Однако интегриро-
вание на участке между Pt и Pt
в обоих направлениях, очевид-
но, дает нуль. Поэтому инте-
грал, взятый по внешнему кон-
туру от точки Рх до той же точки
Ри должен быть равен взятому
с обратным знаком интегралу
по малой внутренней окруж-
ности, внутри которой располо-
жена точка za. Однако, если
мы интегрируем f(z), заданную
формулой (8.8), по этой малой
окружности, то все члены,
кроме первого, должны дать
Фиг. 65
нули. Первый же член может
быть вычислен с помощью формулы (8.4), если начало коорди-
нат перенести в точку za. Следовательно, мы приходим к за-
ключению, что интеграл по внешнему контуру равена)
<§f(z)dz=—2~iA р
(8.9)
х) Ряд (8.8) введен здесь как удобный способ для описания поведения
функции вблизи za. С точки зрения математики, его применение не
вполне логично, так как доказательство такого разложения вытекает из рас-
смотрения, аналогичного приведенному здесь. Однако можно заметить, что
нам, в сущности, необходимо знать лишь, что f(z) можно представить в виде
суммы первого члена формулы (8.8) и остальной части, которая вблизи za
ограничена. Это легко установить, исходя из определения полюса. Однако
из формулы (8.5) следует, что интеграл ограниченной части, взятый по очень
малой окружности вблизи za, можно отбросить, так что можно получить
правильный результат, не используя всего разложения.
2) Важно отметить, что отрицательный знак в правой части формулы
(8.9) обусловлен направлением интегрирования (по часовой стрелке на на-
ружном контуре), показанным на ф1иг. 65. Это направление здесь удобно тем,
что, когда мы окончательно применяем результат к контурам вида, показан-
ного на фиг. 64, оно приводит к положительному направлению интегриро-
вания вдоль «оси вещественных частот. Однако в большинстве случаев при
рассмотрении интеграла Коши интегрирование по контуру выполняют обычно
в противоположном направлении, так что формула, соответствующая формуле
(8.9), не содержит знака „минус*.
12 Зак. 1327
178 Глава VIII. Контурные интегралы, и критерий Найквиста
Коэфициент А_! называется вычетом функции в полюсе za.
Когда внутри контура имеется несколько полюсов, то, действуя
аналогично в отношении каждого полюса, мы можем последо-
вательно учесть их один за другим и придем в общем случае
к выражению
§f(z)dz=-2rd [Л_! +	4- C_t +... +ЛГ-1].	(8.10)
Из формулы (8.5) следует, что лишь в случае простых по-
люсов интегралы по контурам, в виде малых окружностей,
внутри которых расположены полюсы, отличаются от нуля.
Поэтому при составлении выражения вида (8.10) надо рассма-
тривать лишь коэфициенты, соответствующие полюсам первого
порядка в любой точке.
Примеры применения теории вычетов можно показать на
том же материале, который ранее использовался для иллю-
страции общей теоремы Коши. То обстоятельство, что инте-
грал от 1/z по малой окружности, внутри которой находится
начало координат, равен 2~1, было использовано при выводе
формул (8.9) и (8.10). Поэтому мы вряд ли можем рассматри-
вать это обстоятельство как пример применения теории вычетов.
Однако, рассматривая интеграл той же функции по контуру
в виде квадрата (фиг. 63), можно на примере показать, что
результат не зависит от формы контура. Положив, как и раньше,
z = x-\-iy, получим
1 _ х	iy
~Z X2 + >2	“х2 + у •
Тогда интеграл от А до В легко записать следующим образом:
В	2
Пгн^-иЫ'^- (8JI>
А	— 1
Вычисляя этот интеграл обычными методами, получим
у In 5—у In 2 i arc tg 2—i arc tg (—1).
Тем же путем находим, что интеграл от В до С может быть
записан в виде
С •	-2
fv’=f	=
J z J |xs + 4 x2 4- 4 J
В	1
= In 8—In 5 — i arc tg (— 1) 4- i arc tg .	(8.12)
Применяя аналогичные методы, находим результат для двух
Теория вычетов
179
других сторон. Он равен, соответственно,
у In 5 — у In 8— Zarc tg(— 1)—J-Z arc tg y
и
-rr In 2 — ~2~ln 5 -J- i arc tg 1 — i arc tg (—2).
Если сложить между собой интегралы для всех четырех
сторон, то, как легко видеть, сумма вещественных членов будет
равна нулю. Сумму мнимых членов легче всего найти, заметив,
что каждый из этих членов, взятый в отдельности, равен цен-
тральному углу в начале координат, стягиваемому соответ-
ствующей стороной. Так, мнимый член i arc tg 2 — i arc tg (— 1),
полученный в результате интегрирования по АВ, равен углу
(в радианах) между прямыми, проведенными из начала коор-
динат в вершины А и В. Очевидно, что общий центральный
угол, стягиваемый всеми четырьмя сторонами, соответствует
одному обороту, т. е. равен 2л радиан. Таким образом, ин-
теграл по замкнутому контуру равен 2nZ. Это соответствует
формуле (8.9), если учесть, что интегрирование производится
против часовой стрелки.
Равенство мнимой части, получаю-
щейся в результате интегрирования
по каждой из сторон, центральному
углу, стягиваемому этой стороной,
является важным вследствие того, что
оно показывает, почему существен-
ную роль играет не точная форма	фиг. 66
контура, а то обстоятельство, что полюс в начале коор-
динат находится внутри контура. Очевидно, что при небольших
изменениях формы контура общий центральный угол остается
равным одному обороту или радиану. С другой стороны, пред-
положим, что контур без изменения формы перенесен в неко-
торое положение A'B'C'D' (фиг. 66), при котором полюс в на-
чале координат уже не находится внутри контура. Тогда общий
центральный угол, стягиваемый всеми четырьмя сторонами, будет
равен нулю, так что контурный интеграл обратится в нуль.
Пример другого типа дает одна из классических теорем
теории вычетов. Пусть g(z) есть функция, аналитическая на
данном замкнутом контуре и внутри его, и пусть q есть про-
извольная точка внутри этого контура. Тогда g(z) / (z— q) есть
функция, аналитическая в той же области, за исключением
точки z = q, где она обладает простым полюсом. Вычет в этом
полюсе должен быть равен g{q), т. е. значению g при z = q,
что легко видеть из разложения g(z) в окрестности этой точки
в ряд Тэйлора H?)+^'(?)(2 — £) + ^£’''(?)(* —?)’ + ••. и
180 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
заметив, что после деления на z — q ряд принимает тот же вид,
который имела f(z) в формуле (8.8). Положив g(z) / (г — q)
равным f(z), сможем записать:
§T=^dz=-2nlg(q).	(8.13)
Здесь, как и раньше, интегрирование производится по направле-
нию часовой стрелки.
Эта теорема представляет здесь интерес в связи с уже
упоминавшейся раньше в этой главе общей задачей установле-
ния связи между значениями, которые принимает аналитическая
функция внутри области, и ее значениями на границе этой об-
ласти. Очевидно, если известна функция g(z), мы можем вы-
полнить интегрирование в левой части формулы (8.13) и непо-
средственно вычислить частное значение g(q). Чтобы иметь
возможность это сделать, достаточно знать значения g(z) лишь
на контуре интегрирования, т. е. лишь на границе. Таким об-
разом, формула (8.13) дает метод определения аналитической
функции в любой точке внутри данной области по ее поведе-
нию, известному лишь на границе этой области. Задача, кото-
рая интересует нас в действительности, заключается в опреде-
лении свойств, которыми должна обладать функция на границе
области, по известным ее свойствам внутри этой области. Оче-
видно, что в известном смысле эта задача обратна задаче, ре-
шенной формулой (8.13). Однако последняя задача является
более общей, так как мы исходим лишь из общих свойств
функции, а не из ее поведения, известного в деталях. В силу
этого невозможно дать полный ответ, выраженный в одной
компактной формуле, подобно (8.13). Ряд вопросов, имеющих
практический интерес, требует вывода значительного числа
различных формул, лишь часть которых приводится в настоя-
щей главе. Однако, учитывая вышесказанное, решение этой
обратной задачи определяет такие же жесткие связи между
значениями функции на границе области и внутри ее, какие
определяются формулой (8.13).
6.	Интеграл логарифмической производной
Значение предыдущего рассмотрения для ближайших целей
настоящей главы определяется главным образом тем, что его
результаты позволяют получить теорему, представляющую
непосредственный интерес при проектировании усилителей.
Пусть f(z) является некоторой данной функцией, которая в об-
щем случае может обладать внутри некоторого заданного
контура как нулями, так и полюсами, но, кроме полюсов, не
имеет других особенностей. Задача теоремы заключается в том,
Интеграл логарифмической производной
181
чтобы, исходя из рассмотрения значений, которые принимает
f (z) на самом контуре, по возможности определить число нулей
и полюсов, расположенных внутри контура.
Теорема может быть доказана путем рассмотрения интеграла
от производной логарифма функции. Для этого мы полагаем
в = А -|- IB = In f(z) и запишем:
+	<«-Н)
Подинтегральное выражение в формуле (8.14) является, оче-
видно, функцией, аналитической внутри контура, за исключе-
нием, может быть, некоторых точек, в которых f(z) равно либо
нулю, либо бесконечности. Если предположить, что пред-
ставляет собой такую точку и что функция обладает в точке za
нулем или полюсом я-го порядка, то мы сможем записать
/(2)=(z-z/g(2);
/' (*)= n(z- za)n-1 g(z) + (z - £0)ng’ (Z'jl
n . g'(z)
f(z) Z — Z<>' g(z) ’
(8.15)
где n положительно, если точка z9 является нулем, и отрица-
тельно, если zn является полюсом, a g(z) — аналитической
функцией и не равно нулю в окрестностях г0. Таким образом,
мы видим, что /' (z)lf(z) при z — z0 имеет простой полюс с вы-
четом п.
Интеграл, взятый по замкнутому контуру согласно (8.14),
должен быть равен сумме всех этих вычетов, умноженной
на —2п/, если интегрирование производится в направлении часо-
вой стрелки. Однако в точках, где f(z) равно нулю, п поло-
жительно, и поэтому сумма таких вычетов равна общему числу
нулей внутри контура, если подсчет нулей ведется соответ-
ственно их кратности. Аналогично в полюсе п отрицательно,
поэтому сумма всех таких вычетов будет равна числу полюсов,
взятому со знаком минус, если кратные полюсы учитываются
в соответствии с их кратностью. Формула (8.14) поэтому должна
иметь следующий вид:
^}dz=M(P-N),	(8.16)
где Л/ и Р соответственно являются числом нулей и числом
полюсов. При этом предполагается, что интегрирование ведется
в направлении часовой стрелки.
С другой стороны, первое и второе выражения в формуле
(8.14) являются просто интегралами производйой от 6 или от
величины A-\~iB, поэтому интегрирование может быть выпол-
182 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
нено непосредственно. Результат должен представлять собой
разность между начальными и конечными значениями 6 или
Д-j-ZB при обходе контура. Так как правая часть формулы
(8.16) чисто мнимая, то мы должны рассматривать лишь
мнимый член IB. Если мы обозначим начальную и конеч-
ную точки соответственно 1 и 2, то это уравнение примет вид
=	(8.17)
Соотношению, выраженному формулой (8.17), можно дать
простое графическое толкование. Если мы представим себе
комплексную плоскость f(z), то значения, которые принимает
f(z) при движении z по заданному контуру, можно предста-
вить точкой, движущейся в этой плоскости f(z). Но левая
часть формулы (8.17) равна общему изменению фазового угла
f(z), при обходе z по всему контуру, умноженному на 1/2те.
Так как 2я радиан составляет один оборот, то левая часть
формулы (8.17) равна числу оборотов, которые делает движу-
щаяся точка, представляющая f(z}, вокруг начала координат
плоскости f(z) за то время, пока само z один раз обходит
контур интегрирования. Следовательно, чтобы вычислить левую
часть, нам надо просто построить диаграмму значений f\z),
соответствующих значениям z на заданном контуре, и подсчи-
тать, сколько раз построенная диаграмма охватывает начало
координат. Результат, полученный в формуле (8.17), можно
выразить в виде следующей теоремы:
Теорема. Если функция f(z) является аналитической
внутри данного контура и на нем, за исключением возмож-
ных здесь полюсов, то число обходов в положительном на-
правлении х) диаграммы f(z') вокруг начала координат пло-
скости f(z), при одном обходе z по заданному контуру
в направлении часовой стрелки, равно числу полюсов минус
число нулей функции f(z), лежащих внутри контура, если
вести подсчет нулей и полюсов в соответствии с их крат-
ностью.
Для иллюстрации этой теоремы предположим, что
f(z)—z и что в качестве контура интегрирования в плоско-
сти z выбрана единичная окружнорть или квадрат фиг. 63.
Очевидно, что в этом случае кривые, которые обхо-
дит движущаяся точка в плоскости f{z), не отличаются
*) Понятно, что положительным направлением является такое направле-
ние, при котором аргумент f (z) возрастает. Другими словами, оно опреде-
ляет обход движущейся точкой вокруг начала координат плоскости f(z)
в направлении против часовой стрелки.
Интеграл логарифмической, производной
183
от контуров в плоскости z. Они отмечены цифрами I и II на
фиг. 67. Соответственно тому обстоятельству, что каждый
контур в плоскости z содержит один нуль и не содержит полю-
сов, каждая из этих кривых обходится в направлении часовой
стрелки по одному разу, в то время как z обходит по часовой
стрелке один раз соответствующий контур интегрирования.
С другой стороны, если f(z)=Alz, то контурами в плоскости
/(г), соответствующими окружности и квадрату в плоскости z,
Плоскость f(z)
Фиг. 68
будут окружность / и фигура //, состоящая из четырех
отрезков кривых (фиг. 68). Каждый из этих контуров об-
ходится по одному разу в направлении против часовой
стрелки, при одном обходе точки z по часовой стрелке по
соответствующему контуру z. Это свидетельствует о том, что
каждый контур содержит теперь один полюс функции f(z) и не
содержит ее нулей. Понятно, что если брать более сложные
выражения для f(z), то контуры станут более сложными и
могут охватывать начало координат более одного раза. Однако
подобные случаи лучше всего рассмотреть на примерах, при-
веденных в следующих разделах.
Как показывают предыдущие примеры, теорема логарифми-
ческой производной в простейших случаях указывает на изве-
стное соответствие между определенными площадями в плоско-
стях z и /(г). Предположим, что контуром в плоскости z
является контур, показанный на фиг. 69, и что внутри этого
контура есть один нуль и нет полюсов функции f(z). Однако
могут иметься нули и полюсы, расположенные вне этого кон-
тура. Соответствующий контур f(z), как показано на фиг. 70,
должен один раз охватывать начало координат плоскости f(z).
Далее теорема, в сущности, говорит, что области, ограниченные
184 Глава УШ. Контурные интегралы, и критерий Найквиста
этими двумя контурами, в известном смысле соответствуют одйа
другой. Например, пусть внутри контура z на фиг. 69 сущест-
вует точка, в которой /(г) = 0. Соответственно точка /(z) = 0,
т. е. начало координат плоскости/(z), находится внутри контура
этой плоскости, как это показано на фиг. 70. Предположим,
однако, что мы выбрали любую другую точку внутри кон-
тура z. Тогда новая функция f(z)—f(z^ попрежнему имеет
Нуль, а не полюс внутри этого контура, так что ее диаграмма
должна охватывать начало координат этой плоскости. Однако
диаграмма f(z) — f(z0) может быть найдена из диаграммы f(z)
на фиг. 70 путем простого смещения на величину f(z^), так что
этот результат возможен лишь, когда f{z^j лежит внутри кон-
тура на фиг. 701). Таким образом, каждая точка внутри контура
фиг. 69 соответствует некоторой точке внутри контура фиг. 70.
Если, напротив, внутри контура на фиг. 69 имеются полюсы, но
нет нулей, то с помощью аналогичных соображений можно
доказать, что любая точка внутри контура z должна соответ-
ствовать некоторой точке, расположенной вне контура f(z).
Это проявляется в том, что контур /(г) обходится в обратном
направлении.. При увеличении числа нулей и полюсов внутри
области, ограниченной контуром z, эти соотношения, естествен-
но, становятся более сложными. В общем случае мы должны
представлять себе область, расположенную внутри контура zr
разделенной на несколько частичных областей, из которых
одни области соответствуют внутренним областям контура f '(z),
а другие — внешним областям, или — в случае, когда диаграмма
пересекает сама себя несколько раз, — внутренним и внешним
областям определенных контуров диаграммы f(z).
*) Внутренний контур на фиг. 70 показан для иллюстрации того, что при
частных значениях f (z0) диаграмма новой функции f{z)—f (z0) может охва-
тывать начало координат более одного раза. Таким образом, в данном случае
внутри контура z может существовать более одной точки, соответствующей
заданному значению f (z0). Очевидно, что это возможно лишь, когда контур
/(z) сам себя пересекает. В других случаях между точками двух внутрен-
них областей существует взаимно однозначное соответствие.
Критерий Найквиста. Одноканальная обратная связь
18&
7. Критерий устойчивости Найквиста — случай
одноканальной обратной связи
Только что полученная теорема имеет большое значение,,
так как она непосредственно приводит к известному критерию
устойчивости, данному Найквистом *). Чтобы показать это, возь-
мем в качестве независимой переменной вместо z комплексную
частоту р. Пусть контуром интегрирования будет контур
в плоскости р, показанный ранее на фиг. 64. Предположим, что
этот контур сделан бесконечно большим. В качестве функции,
чья логарифмическая производная интегрируется по данному
контуру, возьмем возвратную разность 7? = Д/Д° для одной из
ламп схемы. Допустим, что F не имеет особенностей на оси
вещественных частот, так что небольшие выступы, показанные
на фиг. 64, оказываются ненужными.
Диаграмма Найквиста, служащая для определения устой-
чивости схемы, по существу представляет собой геометриче-
ское место точек, определяемых значениями F и соответствую-
щих точкам р на данном контуре, построенная так, как это
было описано в предыдущем разделе. Однако при построении
этой диаграммы для упрощения надо воспользоваться рядом
возможностей. Прежде всего любая реальная лампа со-
держит паразитные емкости анод — катод и сетка — катод, ко-
торые при очень высоких частотах замыкают накоротко уси-
лительный тракт. Иначе говоря, это означает, что при беско-
нечно большом р возвратное отношение лампы равно нулю,
или ее возвратная разность приблизительно равна единице..
Если все больше и больше увеличивать контур на фиг. 64, то,
в то время как р движется по полуокружности, составляющей
часть замкнутого контура, движущаяся в плоскости F точка,
соответственно описывающая контур F, все меньше и меньше
перемещается. В пределе эта часть контура может быть пол-
ностью отброшена, так что полная диаграмма превращается
в геометрическое место точек, соответствующих лишь значе-
ниям F при вещественных частотах на всей оси вещественных
частот от — оо до 4~
Второе упрощение обусловлено четной и нечетной сим-
метрией, соответственно вещественной и мнимой составляющих F
на оси вещественных частот, которая была рассмотрена в пре-
дыдущей главе. Это делает необходимым расчет диаграммы
в плоскости F лишь для положительных частот. Другая поло-
вина диаграммы, соответствующая отрицательным частотам,
2) Nyquist, Regeneration Theory, Bell Syst. Techn. Journ., янв. (1932)..
См. также Peterson, Kreer and Ware, Regeneration Theory and Ex-
periment, Proc. I. R. E., окт. (1934).
186
Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
может быть дополнена в виде зеркального изображения пер-
вой части относительно вещественной оси этой плоскости.
Третье упрощение является, пожалуй, более существенным,
чем любое из первых двух. Нули и полюсы F соответственно
являются корнями Д и Д®. Если сделать контур интегрирования
на фиг. 64 достаточно большим, то можно считать, что
все лежащие в правой полуплоскости корни- этих двух опре-
делителей попадут внутрь этого контура. Поэтому, подсчитав
число оборотов кривой F вокруг начала координат, мы можем
найти разность между числом корней Д и Д®, лежащих в пра-
вой полуплоскости. Однако устойчивость системы зависит от
расположения корней лишь Д, так что подсчет числа оборотов
кривой не дает определенного представления об устойчивости
схемы, пока мы не будем знать, сколько корней Д° входит
в общее число корней. Это затруднение можно обойти, пред-
положив, что схема заведомо устойчива, когда данное W об-
ращается в нуль. Это, например, справедливо для усилителя
с одноканальной обратной связью, который и рассматривался
в действительности Найквистом в его оригинальной работе,
так как в этом случае отсутствие любой из ламп раз-
рывает петлю обратной связи. При этих обстоятельствах Д® не
может иметь корней в правой полуплоскости, так что устой-
чивость или неустойчивость схемы может быть определена
однозначно по диаграмме Найквиста. Очевидно, что условие
устойчивости заключается в том, что диаграмма не должна
охватывать начало координат.
Для иллюстрации изложенного на фиг. 71, 72 и 73 пред-
ставлен ряд диаграмм. Во всех случаях область максимальных
значений F представляет собой полосу частот с серединой
в некоторой точке ш0. Когда мы уходим от ®0 к бесконечной
частоте, возвратная разность, естественно, должна по ранее
указанным причинам уменьшаться до единицы. На каждой из
фигур показано, что F уменьшается до единицы также и при
нулевой частоте, так как дроссели анодного питания и разде-
Критерий Найквиста. Одноканальная обратная связь 187
лительные конденсаторы обычно разрывают цепь обратной
связи для постоянного тока *). Части диаграммы, относящиеся
к положительным и отрицательным частотам, показаны соот-
ветственно сплошными и пунктирными линиями. Направления
обхода диаграмм при изменении ш от — оо до -|- °° показаны
стрелками. Очевидно, что фиг. 71 относится к устойчивой
системе. Наоборот, фиг. 73 представляет собой неустойчивую
систему с четырьмя корнями в правой полуплоскости, ибо
диаграмма охватывает начало координат четыре раза. С первого
взгляда может показаться, что система фиг. 72 также неустой-
чива. Однако легко видеть, что общее изменение фазового
угла вектора, соединяющего начало координат с движущейся
точкой на диаграмме при обходе замкнутого контура, равно
нулю, так что система является устойчивой.
Вышеприведенное описание диаграммы Найквиста ради про-
стоты было дано применительно к возвратной разности F. Однако
практически диаграмма обычно строится для возвратного отно-
шения Т или общего коэфициента передачи по замкнутой
петле обратной связи |*р. Так как F=l-{-7'=l — р-Р, то мо-
жно легко установить взаимосвязь между этими диаграммами.
Например, на фиг. 74 показана диаграмма фиг. 71, построен-
ная для Г. Она отличается от фиг. 71 лишь смещением на одну
единицу влево. Фиг. 75 показывает ту же диаграмму, постро-
енную для р-Р, и отличается от показанной на фиг. 74 пово-
1) Однако • применением специальных схем можно создать путь обратной
связи для постоянного тока. Тогда можно считать, что максимальная обрат-
ная связь имеет место' в полосе, середина которой расположена на нулевой
частоте. Помимо того, при анализе часто бывает удобно, не учитывая эле-
ментов питания, полагать, что это так, с тем, чтобы использовать преобра-
зование симметричных характеристик типа полосового фильтра в характери-
стики типа фильтра низших частот, описанное в одной из следующих глав.
Два примера, данные ниже в этом разделе, относятся к этому типу. Прибли-
женные характеристики можно получить из фиг. 71, 72 и 73, опустив части
каждой диаграммы, заключенные между — о>0 и <о0, и положив ± о>0 равным
нулевой частоте.
188
Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
ротом на 180°. На каждой из фигур область отрицательных
частот для простоты опущена. Очевидно, что обход начала
координат в диаграмме F не отличается от обхода точки —1,0
в диаграмме для Т или точки 1,0 в диаграмме для р-р.
Если назвать эти три точки критическими, то общий ре-
зультат рассмотрения можно суммировать в следующей тео-
реме:
Теорема. Если система устойчива при удалении данного
элемента, то необходимое и достаточноеусловие для того,
чтобы она осталась устойчивой, когда этот элемент имеет
свою нормальную величину, заключается в том, что диа-
грамма Найквиста для возвратной разности, возвратного
отношения или коэфициента передачи петли для этого
элемента не должна охватывать соответствующую кри-
тическую точку.
При выборе между диаграммами для Т и удобно исхо-
дить из хорошо известного обстоятельства, заключающегося
в том, что в нормальных условиях усилитель с обратной связью
должен иметь нечетное число каскадов. Например, в обычных
устройствах чисто пассивные части цепи обратной связи дают
вблизи середины полосы <ь0 очень малый сдвиг фазы, в то время
как по обе стороны от <о0 он изменяется аналогично тому, как
это имеет место в диаграмме фиг. 74. Ясно, что если харак-
теристику для всей величины нР обусловливают пассивные схемы,
то такая диаграмма будет охватывать точку 1,0 и вызывает
неустойчивость, если только общий коэфициент передачи не
очень мал. Однако каждая из ламп дает изменение фазы на
180°. Применяя нечетное число ламп, мы обеспечиваем общее
изменение фазы на 180°. Это поворачивает диаграмму p-р в по-
ложение, показанное на фиг. 75, и позволяет применить суще-
ственную обратную связь вблизи <о0, не вызывая неустойчиво-
сти. Таким образом, диаграмма рР удобна в тех случаях, когда
мы рассматриваем общий сдвиг фаз в петле обратной связи,
включая лампы, в то время как применение диаграммы для Т
в усилителе, содержащем нечетное число каскадов, равно-
сильно рассмотрению сдвигов фазы лишь пассивных частей
системы. Само собой разумеется, что усилитель может быть
с четным числом каскадов, если используется одно из уст-
ройств, описанных в главе III.
В качестве численного примера для диаграммы Найквиста
мы можем рассмотреть схему фиг. 52. Из формулы (7.12) видно,
что возвратное отношение Т для лампы может быть записано
в виде
'р_Р3 4~2/> + 1____	/о -а q\
aPJ + 4Р2+ !р +2 ‘	'
Критерий Найквиста. Одноканальная обратная связь 189
Если мы для определенности положим, что р = 5, то полу-
чим следующие значения Т:
<0	Т	(0	т	
0,0	2,50 — i 0,00	1,7	— 0,26-	и 2 0,87
0,5	1,73—21,05	1,8	0,00-1	- 21,02
1,0	0,50 — 2 1,50	2,0	0,44-	F 21,12
1,2	__ 0,33 —21,17	3,0	1,29-	-20,81
1,4	— 0,79 — 20,26	4,0	1,48-1	-2 0,59
1,5	— 0,73 + 20,23	6,0	1,59 -	- 2 0,38
1,6	— 0,53 + 20,61	10,0	1,64-	- 2 0,22
Диаграмма Найквиста, построенная по этим точкам, приве-
дена на фиг. 76. Диаграмма не охватывает точку —1,0, так
что система устойчива. Однако легко видеть, что диаграмма
в целом пропорциональна р и будет охватывать точку—1,0,
если увеличить р пример-
но в 1,25 или 1,3 раза.
Это соответствует расче-
там предыдущей главы,
из которых следовало, что
при р больше 6,4 некото-
рые из нулей А будут на-
ходиться в правой полу-
плоскости. Устойчивость
схемы при отрицательных
значениях р может быть
удобно проверена с по-
мощью той же диаграммы
при критической точке
1,0. Мы видим, что для
того, чтобы сделать си-
Фиг. 76
стему устойчивой при всех
условиях, мы должны умножить р на коэфициент порядка 0,4,
что соответствует пределу р = '—2, найденному в предыду-
щей главе. Можно также заметить, что значения <», при ко-
торых диаграмма Найквиста пересекает вещественную ось и
которые, как само собой разумеется, определяют места встре-
чи диаграммы с критическими точками, когда р имеет гранич-
ные значения, соответственно равные ±1,45 и 0. Это соответ-
ствует значениям, приведенным в главе VII для точек, при
которых различные нули А переходят из левой в правую по-
лов.ину плоскости.
Вторым примером является схема фиг. 77. Система пред-
ставляет собой обычный трехкаскадный усилитель с обратной
связью по напряжению.
Для упрощения расчетов проводимость всех ветвей взята
пропорциональной данной проводимости у. Пусть значения
190 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
крутизны трех ламп обозначены Sb и 53. Если не учитывать
поворота фазы, обусловленного лампами, то значения усиле-
ния напряжения между сетками первой и второй ламп и между
сетками второй и третьей ламп соответственно равны Sjy и
S<t/y, в то время как усиление между сетками третьей и пер-
вой ламп равно ^5з/(1 + 2^)у. Произведение этих трех вели-
чин есть возвратное отношение Тдля любой из ламп. Поэтому
мы имеем
T = T^2k^S3^.	(8.19)
Чтобы начертить диаграмму Найквиста, мы положим, что
у — 1 р Это соответствует сопротивлению, емкости и
Фиг. 77
Фиг. 78
индуктивности, соединенным в параллель. Такую систему мо-
жет представлять собой усилитель простого вида, воспроиз-
водящий некоторую полосу частот вблизи резонанса. Если мы
выберем	/ (1 + 2k) = 6, то это дает диаграмму Найкви-
ста, изображенную на фиг. 78. Здесь показана лишь положи-
тельная половина диаграммы, так как при выбранных симме-
тричных характеристиках отрицательная половина является точ-
ной копией. Мы видим, что схема устойчива и дает возврат-
ную разность в середине полосы в 17 дб. Однако схема ста-
новится неустойчивой, если лампы будут давать несколько
большее усиление.
8. Критерий устойчивости Найквиста — случай
многоканальной обратной связи
Проведенное в предыдущем разделе рассмотрение основы-
валось на предположении, что ни один из корней Д° не может
находиться в правой полуплоскости, или, другими словами,
что схема устойчива, когда заданное W обращается в нуль.
Само собой разумеется, что это предположение справедливо,
Критерий Найквиста. Многоканальная обратная связь 191
когда W представляет собой некоторую лампу в любом уси-
лителе с одной петлей обратной связи. Можно также
ожидать, что оно в большинстве случаев будет справедливым
и для усилителей с многоканальной обратной связью. С другой
стороны, некоторые многоканальные схемы могут быть устой-
чивыми в рабочих условиях, но становятся йеустойчивыми при
выключении определенных ламп. В настоящем разделе будет
рассмотрено применение диаграммы Найквиста к подобным
случаям.
Если некоторые из корней Д° находятся в правой полупло-
скости, то очевидно, что схема не будет устойчивой во всех
случаях, когда диаграмма Найквиста перестает охватывать кри-
тическую .точку. В соответствии с формулой (8.17), в этом слу-
чае Д будет иметь столько корней, сколько корней Д° распо-
ложено в правой полуплоскости. Чтобы была обеспечена устой-
чивость, диаграмма Найквиста должна охватывать критическую
точку, делая столько оборотов вокруг нее против часовой
стрелки, сколько корней есть у Д°. Поэтому необходимо знать
число этих корней. Его можно определить из диаграмм Най-
квиста для других ламп данной схемы, при выключенной исход-
ной лампе. Чтобы в общем виде рассмотреть это положение,
предположим, что вначале все лампы выключены, а затем они
одна за другой, в некотором определенном порядке, приобре-
тают нормальное усиление. Мы можем вычислить возйратную
разность для каждой из ламп в ее нормальном режиме, при
режиме других ламп, соответствующем данной стадии процесса
восстановления нормального режима, и вычертить соответствую-
щую диаграмму Найквиста. Из формулы (8.17) следует, что
диаграмма для у-ой лампы будет охватывать критическую
точку, делая вокруг нее Pj— Nj оборотов против часовой
стрелки, если Pj и Nj представляют собой соответственно чи-
сло полюсов и нулей у-ой возвратной разности, расположен-
ных в правой полуплоскости. Общее число оборотов вокруг
критической точки для всех диаграмм будет (Pi — Wi) +
+ (Р2 — ЛА2) +... (Рп — N„). Но определитель Д, стоящий в чи-
слителе каждой из возвратных разностей, не отличается от опре-
делителя Д’, стоящего в знаменателе следующей возвратной
разности. Поэтому Л/)=Р/-|-1. Кроме того, А =0, так как схема
при выключении всех ламп должна быть устойчива. В конечном
состоянии схема будет устойчивой, если Nn — 0. Таким обра-
зом, мы. приходим к. следующей теореме:
Теорема. Если схема устойчива в случае, когда все ее
лампы обладают нормальным усилением, то общее число
оборотов вокруг критической точки по часовой стрелке
должно быть равно общему числу оборотов против часовой
192
Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
-стрелки в серии диаграмм Найквиста, построенных для
отдельных ламп в различных случаях. Диаграммы
строятся для случаев, когда все лампы выключены, и слу-
чаев, соответствующих восстановлению усиления каждой
данной лампы, происходящему в любой последователь-
ности.
При применении этой теоремы важно учесть, что усиление
ламп может восстанавливаться в самом различном порядке.
Если усилитель имеет п ламп, то в общем случае возможно п\
вариантов. Хотя окончательное решение вопроса об устойчи-
вости не должно зависеть от выбранного порядка включения
ламп, но диаграмма для каждой из ламп может в очень силь-
ной степени зависеть от того, в какой последовательности вос-
станавливается ее усиление.
Пример этой теоремы дает схема фиг. 79, отличающаяся
от ранее изображенной на
Фиг. 79
фиг. 77 только тем, что здесь до-
бавлена дополнительная обратная
связь с выхода второго каскада на
вход первого *).
Дополнительная обратная связь
с выхода второго , каскада нам
удобна также для иллюстрации воз-
можности появления неустойчиво-
сти в системе при выключении одной
из ламп, ибо, как было ранее пока-
зано, четное число каскадов обу-
словливает знак напряжения обрат-
ной связи, явно неправильный с точки зрения устойчивости.
В этой схеме мы можем ожидать самовозбуждения при вы-
ключении выходной лампы, если усиление первых двух каска-
дов достаточно велико.
Предположим, для определенности, что =0,001 и
6г = 0,01. В соответствии с этими цифрами, можно ожидать, что
вопрос об устойчивости будет возникать всякий раз, как уси-
ление напряжения на каскад превосходит примерно 10. Само
собой разумеется, что несколько диаграмм Найквиста, необхо-
димых для определения устойчивости системы, можно' полу-
чить путем вычисления коэфициента передачи петли, как это
было сделано применительно к фиг. 77. Однако для различ-
ных случаев, которые должны быть здесь рассмотрены, проще
*) Такой тип схем был описан Левеллином (Llewellyn, U.S. Pat.
№ 2245598), который назвал вспомогательную обратную связь а-цепью,
в отличие от главной или (3-обратной связи. Само собой разумеется, что
в настоящем примере не ставится задача детального рассмотрения техниче-
ских применений такой схемы.
Критерий Найквиста. Многоканальная обратная связь.193
провести анализ с помощью определителя системы. Используя
метод узловых напряжений, легко находим, что
(Н-^ + ^г)у 0	—	— М
д=	у °	0	=
— k^y S%	О
k^y 0	53	(1 k^)y
=yi + kik^Sz —	+ ktySiS^,	(8.20)
где Sb и 53, как и раньше, обозначают крутизну трех ламп.
Во втором выражении сделаны упрощения за счет пренебре-
жения малыми.величинами kt и £2_по сравнению с единицей.
Так как схема содержит три лампы, то существует 3!=6
различных порядков, в которых лампы могут восстанавливать
свое усиление. Однако первые две лампы при анализе можно
рассматривать как одну лампу, так как они включены непо-
средственно одна за другой и не могут повлиять на устойчи-
вость схемы, если обе они не находятся в рабочем состоянии.
Это подтверждается тем, что и 52 входят в формулу (8.20)
лишь в виде произведения S^. Соответственно этому необ-
ходимо рассмотреть лишь два возможных случая: 1) когда
усиление восстанавливается в порядке 53; и 2) когда вос-
становление усиления происходит в порядке 5,5г; S3.
Более простые диаграммы Найквиста получатся в том слу-
чае, когда мы начнем с восстановления 53. После того как53
приняло нормальное значение, его возвратное отношение легко
найти из формулы (8.20) с помощью соотношения Г=(Д/Д°)—1,
где, как само собой разумеется, Д представляет собой опре-
делитель, составленный при S3, имеющем нормальное значение,
Д®—определитель при 53, равном нулю, и обе величины полу-
чены в предположении, что SiS2 = 0, так как усиление этих
ламп в этот момент еще не восстановилось. Это дает
Т=^.	(8.21)
Полагая, как и прежде, у = 1 +р-|-(1/р), приходим к диа-
грамме Найквиста, половина которой, соответствующая поло-
жительным частотам, показана на фиг. 80. Для реальных зна-
чений St диаграмма получается очень малой (так как очень
малым является значение А:^), и, во всяком случае, ясно, что
она не охватывает критическую точку —1,0.
Далее, мы восстанавливаем нормальные значения усиления
ламп Sj и 52. Получающееся при этом возвратное отношение
для этих ламп может быть найдено тем же общим методом,
13 Зак. 1327
194 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
который мы применяли при получении формулы (8.21). Мы по-
лучаем его в виде
/у. __	^1^3	Q Q
1 ~klkayiS3-\-yi г>»г>2-
(8.22)
Серия кривых для половины значений Т, соответствующих
положительным частотам при ш больше 1, показана на
фиг. 81 ’).
Во всех случаях предполагается, что 51S<! = 200. Само собой
разумеется, что для других значений можно получить ре-
зультат просто с помощью увеличения или уменьшения раз-
меров полученных кривых. В предположении, что = 200,.
кривая 1 представляет со-
бой диаграмму Найквиста
для —40. Мы видим,
что диаграмма охватывает
критическую точку- 1,0.
Предыдущая диаграмма
Фиг. 80
(фиг. 80), наоборот, не охватывает критической точки. Общее
число обходов двух диаграмм поэтому не равно нулю, и,
в соответствии с предыдущей теоремой, система неустойчива.
Кривая II представляет собой результат для S3=20. Схема
теперь находится на грани неустойчивости, так как диаграмма
непосредственно проходит через критическую точку. Когда S3
меньше 20, схема становится определенно устойчивой. Напри-
мер, кривая III представляет результат для 53=10. С другой
стороны, очень малые значения о3 приводят опять к неустой-
чивости. Например, когда 53 = 4, диаграмма имеет вид, пока-
занный кривой IV, и опять охватывает критическую точку.
Вместо того, чтобы придерживаться этого порядка, мы мо-
жем восстанавливать усиление в порядке SiS2; S3. Возвратное
отношение для и Ss при S3 = 0 можно получить из формулы
(8.20) в виде
T=~k^Si .	(8.23)
*) Зеркальное изображение этих кривых относительно вещественной оси
соответствует значениям w с 1.
Критерий Найквиста. Многоканальная обратная связь 195
Соответствующая диаграмма Найквиста для Sj52 = 200 изо-
бражена на фиг. 82.
Мы видим, что эта кривая на фиг. 82 делает один оборот
по часовой стрелке вокруг критической точки *>. В соответ-
ствии с предыдущей теоремой, если схема в целом устойчива,
окончательная диаграмма возвратного отношения для 53 дол-
жна охватывать критическую точку, делая против часовой
стрелки один оборот. Это можно проверить, если вместо воз-
вратного отношения для S3 подставить выражение
<8'24>
Диаграмма Найквиста, соответствующая этой формуле при
53=10 и S1S2 = 200, показана сплошной кривой на фиг. 83.
Диаграммы, полученные для того же значения 53, но при 5t52,
равном 100 и 400, соответственно показаны пунктирными кри-
выми / и II. Рассматривая, в частности, сплошную кривую,
видим, что диаграмма действительно должна делать один обо-
рот против часовой стрелки вокруг точки —1,0, так что система
в конечном счете является устойчивой. Само собой разумеется,
что это находится в соответствии с заключением, ранее полу-
ченным в связи с фиг. 81, так как принятые значения 5 те же,
что и в случае кривой /// на этой фигуре.
Изменяя 53, возможно подтвердить ранее полученные
заключения для условий, соответствующих другим кривым
фиг. 81. Изменения 53 могут быть представлены на фиг. 83
путем расширения или сжатия диаграммы или—при неизмен-
ной диаграмме, ч^го более удобно,—путем перемещения крити-
ческой точки. Если мы сохраним выбранное значение 5tS2 = 200,
то заметим, что схема остается устойчивой при измене-
*) На фиг. 82 представлена лишь половина диаграммы, соответствующая
положительным частотам. Отрицательная половина образует второй контур,
охватывающий критическую точку.
196 Глава VIIL Контурные интегралы и критерий Найквиста
ниях 53 на небольшую величину в любом направлении от
исходного значения, равного 10, но при больших изменениях
становится неустойчивой. В качестве примера мы можем вы-
брать .$з=4, что соответствует кривой IV на фиг. 81. Это рав-
носильно перемещению критической точки в положение Pt
на фиг. 83. Таким образом, критическая точка оказалась вне
сплошной кривой, что при этих обстоятельствах соответствует
неустойчивости. С другой стороны, при S3 = 40, что соответ-
ствует кривой/на фиг. 81, критическая точка перемещается в по-
ложение Р4. При этом изменении точка все время остается охва-
ченной кривой, но обход совершается в обратном направлении.
9.	Условная и безусловная устойчивость
В формальном математическом смысле вышеустановленный
критерий устойчивости, основанный целиком на обходе кри-
тической точки диаграммой Найквиста, не нуждается в ого-
ворках. Любая система, удовлетворяющая этому критерию,
устойчива. Однако с точки зрения практической техники, не-
обходимо не только подсчитывать число оборотов диаграммы
вокруг критической точки, но и уделять некоторое внимание
общей форме диаграммы Найквиста. В результате такого рас-
смотрения мы приходим к двум классам устойчивых систем,
что видно из диаграмм фиг. 84 и 85, построенных для возврат-
ного отношения усилителя с одноканальной обратной связью. Обе
диаграммы соответствуют устойчивым схемам. Однако первая из
них абсолютно, илнбезусловно,устойчива,втовремяк.аквто-
рая устойчива только по Найквисту *), или условно устойчива.
1) Устойчивость названа так потому,что до работы Найквиста считалось,
что невозможно получить положительное вещественное значение щЗ, боль-
шее единицы, не сделав систему неустойчивой.
Условная и безусловная устойчивость	197
Смысл этого разграничения становится ясным, если учесть,
что в реальных случаях мы практически интересуемся устой-
чивостью усилителя в течение некоторого промежутка времени.
Большую часть элементов усилителя можно рассматривать как
в значительной степени постоянную. Однако усиление ламп,
вследствие старения, со временем может уменьшаться, и по-
скольку одной из обычных целей применения обратной связи
является уменьшение влияния изменения параметров ламп на
внешнее усиление, то мы будем считать, что это уменьшение
существенно. Так как диаграмма возвратного отношения в си-
стеме с одноканальной обратной связью расширяется прямо
пропорционально усилению ламп, то влияние старения будет
сказываться в сокращении диаграммы.
Если диаграмма имеет вид, показанный на фиг. 85, и в ин-
тервале, где петля обратной связи имеет усиление, большее
единицы, ее возвратное отношение
заходит в область значений сдвига
фаз, превышающих 180°, то существен- X"
ное уменьшение размеров диаграммы Л
приводит к картине, показанной на	\
фиг. 86, которая, очевидно, соответ- '	d
ствует неустойчивости схемы. С дру- у	J
гой стороны, в случае диаграммы ти-
па безусловной устойчивости, пока-	-----
занной на фиг. 84, ее размеры могут
неограниченно уменьшаться, не созда-	фИг. 86
вая неустойчивости.
Кроме того, усиление ламп может изменяться со временем
при включении питания ламп. До тех пор пока катоды не разо-
греются, усиление ламп очень мало. Поэтому при подаче
питания в схему диаграмма возвратного отношения вначале
будет очень мала и затем, в процессе возрастания температуры
катода, непрерывно расширяется до своего конечного положе-
ния. Если конечная диаграмма относится к типу, показанному
на фиг. 85, то в процессе расширения диаграммы будет иметь
место промежуточное состояние, когда система неустойчива.
Когда наступает это промежуточное положение, возникают и
экспоненциально нарастают собственные колебания.
Само собой разумеется, что в то же время усиление ламп
растет, так как. температура катодов приближается к своему
рабочему значению, и, следовательно, у усилителя имеется тен-
денция выйти из этого неустойчивого состояния. Однако в боль-
шинстве случаев генерация развивается настолько быстро, что
лампы оказываются перегруженными, прежде чем усиление
оказывается достаточным для того, чтобы вывести диаграмму
Найквиста из неустойчивого состояния. Так как перегрузка
198 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
обычно уменьшает эффективное усиление ламп, то весьма
вероятно, что система постоянно будет попадать в неустой-
чивое состояние.
Эта трудность не всегда непреодолима. Например, мы можем
включать петлю обратной связи после того, как усиление ламп
достигнет своего нормального значения, или же мы можем
включать батарею анодного питания после того, как катоды
уже достаточно разогрелись. Однако в практических условиях
это вызывает нежелательные осложнения. Более того, даже
при применении этих ухищрений усилитель оказывается не
вполне надежным, так как он все же может самовозбудиться
при достаточном старении ламп или при изменении напряжения
источника питания. По этим причинам в дальнейшем в боль-
шинстве рассматриваемых случаев будет предполагаться, что
усилитель безусловно устойчив. С другой стороны, при одина-
ковых обстоятельствах условно устойчивый усилитель может
иметь значительно бдлыпую обратную связь, чем можно полу-
чить в безусловно устойчивой системе. Таким образом, условная
устойчивость дает существенную возможность в тех случаях,
когда без нее трудно обеспечить достаточную обратную связь.
Необходимо сделать еще одну оговорку. При рассмотрении
свойств условно устойчивой схемы мысленно предполагалось,
что система имеет лишь один канал обратйой связи. Очевидно,
что аналогичные физические соображения применимы также
к многоканальным системам. Однако в случае одноканальной
обратной связи мы можем отличить условную устойчивость
от безусловной просто по форме диаграммы Найквиста, так
как изменения в усилении ламп влияют лишь на размер этой
диаграммы. С другой стороны, в схеме с многоканальной
обратной связью как форма, так и размер диаграммы Найк-
виста для любой из ламп могут изменяться вследствие изме-
нения усиления других ламп. Примерами этого являются фиг. 81
и 83. Очевидно, что это значительно усложняет задачу. Рас-
смотрение такой задачи мы дадим позже.
10.	Дополнения к критерию Найквиста
До сих пор мы применяли метод определения устойчивости
с помощью диаграммы Найквиста лишь к возвратной разно-
сти Д/Д». Так как Д входит почти во все выражения для коэ-
фициента передачи и сопротивления, то свое внимание мы
концентрировали на нем. Тем не менее, ясно, что применение
критерия вовсе не ограничивается этой функцией. Рассмотрим
сейчас некоторые из возможных дополнений.
Рассмотрение будет проведено лишь в общих чертах, так
как по существу мы имеем здесь те же соотношения, что и для
Дополнения к критерию Найквиста	199
функции возвратной разности. Надо заметить, что главное
заключается в том, что любое выражение для коэфициента
передачи или сопротивления содержит, кроме Л, еще некоторые
другие определители; например, возвратная разность содержит
как А, так и Д°. В общем случае диаграмма Найквиста дает лишь
разность между числом нулей и числом полюсов данной функ-
ции сопротивления или коэфициента передачи или, другими
словами, лишь разность между числом нулей определителя Д
и того определителя, совместно с которым он входит в данное
выражение. Поэтому, дополняя критерий Найквиста, надо пред-
положить, что мы имеем возможность определить в правой
полуплоскости число нулей, принадлежащих второму определи-
телю.- Обычно это положение равносильно тому, что мы должны
знать о наличии устойчивости в системе при некоторых част-
ных исходных условиях или, если она неустойчива, то каков тип
этой неустойчивости.
Х.КритерийНайквистадля входного иммитанса.Иммитанс,
измеренный на клеммах, к которым присоединяется генератор,
питающий n-ый контур или узел некоторой цепи общего вида,
можно записать в виде
=	(8.25)
Если мы построим диаграмму Найквиста для этого выраже-
ния, то, как следует из (8.17), число ее оборотов вокруг начала
координат будет равно разности между числом нулей Д и Дяя
в правой полуплоскости. Однако величина Дяя является формой,
к которой приводится определитель системы, когда ко входным
полюсам присоединен бесконечный иммитанс, т. е., другими
словами, когда на входных клеммах имеет место холостой ход,
если анализ ведется методом сопротивлений, или короткое замы-
кание, если анализ ведется методом проводимостей. Если
известно, что при этих условиях система должна быть устой-
чивой; то выражение (8.25) не может иметь полюсов в правой
полуплоскости. Если она в этой области не имеет также и
нулей, так что система в нормальных условиях является устой-
чивой, то отсюда следует, что диаграмма Найквиста не может
охватывать начало координат.
Этот результат можно обобщить. Предположим, что вместо
того, чтобы присоединять ко входным полюсам бесконечный
иммитанс, мы присоединяем конечное значение Wn. Так как
Дяя должно быть независимым от Wn, то формула (8.25) полу-
чает вид:
W’ = W+Wn=^-,	(8.26)
200 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
где Д' представляет собой новое значение Д. Разделив (8.25)
на (8.26), получаем:
W _ w _ д	(Я 97х
W'~’ U7-f- Wn — Д' •	7
Если известно, что после присоединения Wn система является
устойчивой, то (8.27) не может иметь полюсов в правой полу-
плоскости и, следовательно, имеют силу прежние соображения.
Таким образом, мы получаем следующую теорему:
Теорема. Если в случае присоединения заданного имми-
танса к какой-либо паре клемм система является устойчи-
вой, то она будет устойчива и без данного иммитанса, при
условии, что диаграмма Найквиста для отношения общих
иммитансов этих двух случаев на данных клеммах не
охватывает начала координат. В частности, если система
устойчива, когда к входным клеммам присоединяется беско-
нечный иммитанс, то необходимо построить диаграмму
лишь для нормального иммитанса.
Применяя эту теорему, следует принимать во внимание,
что на фиг. 64 контур Найквиста в целом включает, кроме
вещественной оси, еще большую полуокружность в правой
полуплоскости. Эта часть контура при рассмотрении F была
опущена на основании предположения, что физическая возврат-
ная разность стремится к единице при бесконечных частотах.
Такое же упрощение можно получить и здесь, если в беско-
нечности величина, для которой строится диаграмма, стремится
к постоянному значению. Однако если вблизи бесконечности
она ведет себя как частота в положительной или отрицатель-
ной степени, то диаграмма Найквиста должна содержать дугу
очень большой или очень малой окружности, представляющую
значения функции в этой части контура.
2.	Критерий Найквиста для взаимного иммитанса. Взаим-
ный иммитанс между точками i и J некоторой цепи общего
вида может быть записан в виде
=	(8.28)
Диаграмма Найквиста, соответствующая выражению (8.28),
будет столько раз охватывать начало, сколько корней опре-
делителя находится в правой полуплоскости, при условии, что
в этой области нет корней определителя йц. Как следует из
пункта 5в в перечне свойств цепи общего вида, данного
в предыдущей главе, это ограничение корней определителя Ду
равносильно тому, что взаимный иммитанс является минималь-
______________Дополнения к критерию Найквиста_________ 201
но-фазовой функцией. Таким образом, мы приходим к заклю-
чению, что если известен минимально-фазовый взаимный имми-
танс, то цепь будет устойчива при условии, если диаграмма
Найквиста для взаимного иммитанса не охватывает начала.
В качестве примера мы можем рассмотреть знакомое выраже-
ние р7(1—нР)> определяющее усиление обычного усилителя
с обратной связью. Так как взаимный иммитанс имеет физиче-
ское значение затухания, то это выражение можно рассматри-
вать как величину, обратную взаимному иммитансу между
входом и выходом. Полюсами взаимного иммитанса, следова-
тельно, являются все точки, в которых р- обращается в нуль,
или точки, в которых р обращается в бесконечность. Ни одна
из точек последней группы не может быть расположена в правой
полуплоскости, так как P-цепь, будучи пассивной, обязательно
устойчива. Ни одна из точек первой группы не может оказаться
в правой полуплоскости, если усиление у- само по себе опре-
деляется выражением минимально-фазового типа. Это спра-
ведливо для всех p-цепей, встречающихся в обычных случаях
проектирования. Поэтому в обычных условиях устойчивость
усилителя может быть определена по тому, охватывает ли
диаграмма Найквиста, построенная для внешнего усиления, на-
чало координат1).
Это рассмотрение можно обобщить с помощью методов,-
аналогичных тем, которые применялись для входного иммитанса.
Мы замечаем, что Дгу в формуле (8.28) должно быть незави-
симым от собственных иммитансов для i и j. Поэтому если мы
сделаем произвольные изменения в одном из собственных
иммитансов или в обоих, то мы сможем записать для нового
взаимного иммитанса:
W'T=f>	(8-29)
ч
где Д' представляет собой новое значение Д. Отношение (8.28)
к (8.29) равно
WT д
“ 7 ’
и диаграмма Найквиста для этой функции будет охватывать
начало координат столько раз, сколько корней Д имеется в пра-
вой полуплоскости, если в этой области нет нулей Д'. Таким
образом, мы получаем следующую теорему:
Однако при построении такой диаграммы вновь надо учесть, что контур
Найквиста в целом включает большую полуокружность в правой полупло-
скости. В практических случаях усиление усилителя должно спадать по закону
частоты в некоторой отрицательной степени. Конечная часть диаграммы должна
содержать дугу очень малой окружности, представляющую поведение такой
функции на большой полуокружности, являющейся частью этого контура.
202 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
Теорема. Если система устойчива в случае присоединения
к двум гпочкам схемы заданного иммитанса, то она также
будет устойчива без этого иммитанса при условии, что
диаграмма Найквиста для отношения взаимных иммитансов
между этими двумя точками в обоих случаях не охваты-
вает начало координат. В частности, если известно,
что функция взаимного иммитанса является минимально -
фазовой, то надо строить лишь диаграмму взаимного им-
митанса для второго случая.
11.	Две теоремы теории функций комплексного переменного
В заключение настоящей главы изложим две классические
теоремы из теории функций комплексного переменного. Эти
теоремы приводятся здесь, поскольку они нам понадобятся
в нескольких последующих главах.
		Их удобно рассмотреть как побочный
f________________результат метода диаграммы Найкви-
---------.--1---.—	ста для оценки устойчивости.
k ' J2 3 Чтобы получить первую теорему,
------'	ПОЛОЖИМ, ЧТО fl (z) Н f2{z) являются
аналитическими функциями внутри и
на границе данной области. Однако
фиг- 87	как/] (г), так и /4(г) могут иметь нули
внутри этой области. Предположим,
что |/i (z) | \ft(z) | во всех точках ограничивающего контура.
Рассмотрим функцию F(z), определяемую следующим образом:
Р (~Х___fl (*) +/t (г)  1 I fi (г)
(8.31)
В соответствии с (8.17), число оборотов вокруг начала коор-
динат диаграммы Найквиста для F(z) равно разности между
числом нулей F(z) и числом полюсов F(z), расположенных внутри
этой области. Но нули и полюсы являются соответственно кор-
нями /i(z)+/i(z)H /1(г). Кроме того, так как мы предположили,
что на границе области |/t (г) | |/а (z) |, то, как показывает правая
часть формулы (8.31), диаграмма Найквиста должна быть рас-
положена внутри единичной окружности фиг. 87. Очевидно,
что эта диаграмма вовсе не может охватывать начало.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме:
Теорема. Если/Х(г) и fn_(z) являются аналитическими
функциями на данном замкнутом контуре и внутри его и на
контуре \fi(z)\>\fi(z)\, то функции ft(z) и j\(z)-f-/4(z)
имеют одинаковое число корней внутри этого контура.
Две теоремы теории функций комплексного переменного 203
Область применения этой теоремы, очевидно, заключается
в определении ориентировочных пределов, внутри которых изме-
нение системы не должно влиять на ее устойчивость. В качестве
примера пустьД (z) представляет собой сопротивление, измерен-
ное на одной из пар зажимов усилителя. Предположим, что
функция fi(z) „устойчива при холостом ходе“, так что она не
имеет полюсов в правой полуплоскости. Пусть /2(г) есть обычное
пассивное комплексное сопротивление, дополнительно присоеди-
няемое между этими зажимами. Если |/t (z) | >|/2(z) | во всех
точках на вещественной оси частот, то добавление этого пас-
сивного сопротивления не может повлиять на устойчивость
или неустойчивость системы.
Чтобы получить вторую теорему, предположим, что f(z)
является аналитической функцией внутри и на границе некоторой
данной области. Диаграмма Найквиста для f(z) будет иметь
форму, показанную на одной из фиг. 88 и 89, в зависимости
от того, лежит ли в этой области корень f(z). Пусть г0’есть
произвольная точка в этой области. В соответствии с сообра-
жениями, изложенными в связи с фиг. 70, f(z^ можно пред-
ставить некоторой точкой Р, лежащей внутри диаграммы Най-
квиста на фиг. 88 или 89. Очевидно, что вещественная составля-
ющая функция f(z^) всегда меньше вещественной составляющей
функции f(z) в некоторых точках границы, вследствие того,
что в любом случае мы можем найти некоторую точку Рг на
самой диаграмме, которая лежит правее точки Р. Аналогично
существование точек типа Р2 показывает, что должны
быть такие участки границы, для которых вещественная со-
ставляющая функции f(z) меньше, чем вещественная составля-
ющая функции У(г0). Точки Р3 и Р4 иллюстрируют аналогичные
соотношения для мнимой составляющей. В обеих диаграммах
существует также некоторая точка Ps, для которой модуль/(г)
больше, чем модуль/(г0). На фиг. 89 мы можем дополнительно
204 Глава VIII. Контурные интегралы и критерий Найквиста
найти точку Pt, соответствующую меньшему модулю, чем
У так же как и точки Рч и Р*> гДе фазовый угол больше
и меньше, чем фазовый угол f(z^. Но z0 является произволь-
ной точкой внутри этой области. Таким образом, мы приходим
наследующей теореме:
Теорема. Если f(z) является аналитической функцией
на данном замкнутом контуре и внутри его, то максималь-
ное и минимальное значения вещественной и мнимой состав-
ляющих функции f (z) и максимальное значение модуля f(z)
для области, состоящей из самого контура и точек, рас-
положенных внутри его, находятся на этом контуре. Если,
кроме того, f(z) не имеет нулей внутри контура, то мини-
мальное значение модуля f (z) и максимум и минимум фазо-
вого угла f(z) также находятся на контуре.
Примером применения теоремы является обычная техни-
ческая задача получения максимума или минимума некоторых
параметров данной пассивной системы на заданной частоте,
путем выбора сопротивления одной из ветвей. Предпола-
гается, что сопротивление ветви может быть реактивным,
активным или некоторой комбинацией из реактивных и активных
составляющих. В общем случае любой обычный параметр пас»
сивной системы, как, например, входное сопротивление или
сопротивление передачи, при рассмотрении его как функции
сопротивления одной из ветвей, никогда не имеет ни нулей,
ни полюсов, коль скоро сопротивление ветви имеет положи-
тельную активную составляющую1). Другими словами, как
входное сопротивление, так и сопротивление передачи и его
логарифм являются аналитическими функциями в правой поло-
вине плоскости, представляющей сопротивление ветви. Сле-
довательно, вещественная и мнимая составляющие входного
сопротивления и сопротивления передачи, их модули и их фазо-
вые углы принимают на мнимой оси бдльшие и меньшие значения,
чем они имеют где-либо в правой полуплоскости. Так как мы не
можем предполагать наличие отрицательной активной составля-
ющей в сопротивлении ветви, то физическиосуществимые макси-
мальные и минимальные значения любой из этих величин
должны иметь место при чисто мнимом сопротивлении
ветви. Таким образом, в нашем случае нет необходимости
рассматривать сопротивления, обладающие потерями.
*) Исключение из этого утверждения должно быть сделано для сопротив-
ления передачи некоторых типов мостовых схем, где с помощью баланса
моста можно получить нулевой выходной ток. Эти схемы являются немини-
мально-фазовыми цепями, рассматриваемыми в следующей главе.
ГЛАВА IX
ФИЗИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВХОДНОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ
1.	Введение
Настоящая и следующая главы посвящены общему рассмо-
трению свойств функций входных сопротивлений и проводи-
мостей, основанному на требованиях, изложенных в главах VII
и VIII. Это рассмотрение приведено не с целью построения
законченной теории, а главным образом для иллюстрации общих
требований, полученных в предыдущих главах, на наиболее
простых физических следствиях, вытекающих из этих общих
требований. Ради логической стройности в настоящей главе
основное внимание уделяется общей задаче, заключающейся
в доказательстве того, что условия, изложенные в главе VII
для входных сопротивлений, необходимы и достаточны. Другими
словами, любая функция сопротивления, удовлетворяющая этим
условиям, может быть осуществлена в виде физической си-
стемы. Различные дополнительные соображения об осуще-
ствлении функций сопротивления рассматриваются далее, в
главе X.
Приведенный в главе VII перечень требований, предъявляе-
мых к функциям входных сопротивлений, содержит как общие
условия, применимые ко всем цепям, активным или пассивным,
так и дополнительные особые условия, применимые лишь к пас-
сивным системам. В основном рассматриваются чисто пассивные
сопротивления, так как они имеют наибольшее значение при про-
ектировании. Рассмотрение сопротивлений активного типа ве-
дется путем выявления особенностей этих сопротивлений, ко-
торые нужно учитывать при обобщении на активные элементы
теории пассивных систем. В частности, настоящая глава начи-
нается с рассмотрения того, как может быть осуществлена
любая функция сопротивления, удовлетворяющая требованиям,
предъявляемым к пассивным системам. Далее рассматривается
задача осуществления функций сопротивлений активного типа.
В связи с этим показано, что любое сопротивление активного
типа может быть получено в виде комбинации полного сопроти-
вления пассивного типа и отрицательного активного сопро-
тивления.
206
Глава IX. Функции входного сопротивления
2.	Редукция активных составляющих сопротивлений
пассивного типа
Условия, которым должна удовлетворять любая функция
пассивного сопротивления, были даны в пп. 1, 2,3, 4, 56 и ба
перечня главы VII. Наша первая задача заключается в том,
чтобы показать, что для любой функции сопротивления, удовле-
творяющей этим требованиям, может быть найдена реальная
физическая система, которая представляет собой эту функцию.
Методы решения этой задачи были предложены Бруне1 2 *) и
Дарлингтоном4). Схема, которой пользуется Дарлингтон, пред-
ставляет собой реактивный четырехполюсник, подключенный
к активному сопротивлению. Можно показать, что входное
сопротивление такой системы, если ее параметры выбраны
должным образом, может изменяться по закону любой функции,
удовлетворяющей вышеприведенным требованиям.
Для целей, поставленных в данной книге, более удобен
метод Бруне, основанный на двух принципах. Чтобы пояснить
первый из них, предположим, ради простоты, что функция
сопротивления не обладает ни нулями, ни полюсами на мнимой
оси. Что это предположение несущественно, показано в следу-
ющем разделе. Тогда и сопротивление и проводимость будут
представлять собой функции, аналитические в правой половине
плоскости р, включая мнимую ось. Это положение можно
подтвердить с помощью второй из теорем, приведенных в конце
предыдущей главы, если рассматривать правую половину пло-
скости р как область, где функция является аналитической, а мни-
мую ось—как ее границу. В частности, особый интерес для
нас представляет заключение, согласно которому минимальное
значение активного сопротивления, или проводимости на мнимой
оси, меньше любого значения активного сопротивления, или
проводимости в правой полуплоскости. Так как, согласно п. ба
главы VII, вещественная составляющая сопротивления положи-
тельна во всех точках оси вещественных частот, то
отсюда следует, что она также должна быть положительна
во всей правой половине плоскости р. Бруне сформулировал
это положение, говоря, что сопротивление пассивной цепи
является положительной вещественной функцией, подразуме-
вая при этом, что вещественная составляющая Z всегда поло-
жительна, если положительна вещественная составляющая р.
Тот же результат можно получить и с помощью энергети-
ческих функций, если записать вместо нуля в правой части
*) Erune, Journal of Mathematics and Physics, M. I. T., том X, окт. 1931,
191—235.
2) Darlington, Journal of Mathematics and Physics, M. I. T., тем XVIII,
сент. 1939, 257—353.
Редукция активных составляющих сопротивлений]
207
равенства _(7.32), как и в предыдущем равенстве (7.25), выра-
жение EJi, так что равенство будет относиться не к собствен-
ным колебаниям, а к стационарному процессу. Само собой
разумеется, что член Е^ останется в окончательном выраже-
нии (7.34), и его можно трактовать как величину, сопря-
женную входной проводимости, таким же образом, как это
делалось применительно к равенству (7.30)
Если мы обозначим фазовый угол сопротивления через 6,
положим р —Pi + ipi и для краткости обозначим суммы Та-\- Ть,
и т. д. через Т, F и V, то это дает нам возможность записать
следующее выражение:
(9.1)
Рг (7--у- ]
\	Р1+Р2
0 = arctg ----------
F+P11T+ 2 , 2
\ Pi+pI
Само собой разумеется, что величины Т, F и V всегда
положительны. Легко видеть, что в правой полуплоскости,,
где pi также положительно, модуль 0 меньше или, по крайней
мере, равен модулю arctg p^pi. Другими словами, при р, рас-
положенном в правой полуплоскости, Z должно обладать фазо-
вым углом, меньшим или в пределе, равном фазовому углу
самого р. Поэтому фазовый угол Z, очевидно, не может дости-
гать 4- 90°, так что вещественная составляющая Z должна быть
положительной.
То обстоятельство, что минимум активного сопротивления
имеет место на оси вещественных частот, может быть использо-
вано для получения второго заключения. Очевидно, что если мы
из функции сопротивления вычтем любое активное сопротивле-
ние не большее, чем этот минимум, мы все же будем иметь
во всей правой полуплоскости положительное активное сопро-
тивление. Следовательно, новая функция не может иметь нулей
в этой области. Более того, вычитание конечной вещественной
постоянной не влияет на полюсы этой функции и свойства
сопряженности. Поскольку совершенно симметричная картина
получается, если при анализе вместо сопротивлений, пользо-
ваться проводимостями, то это дает нам возможность сформули-
ровать следующую теорему:
Теорема. Пассивный иммитанс продолжает удовлетво-
рять условиям физической осуществимости в пассивных
цепях, при его уменьшении на любую вещественную постоян-
ную, до тех пор, пока вещественная составляющая полу-
чившегося выражения не станет отрицательной на какой-
либо вещественной частоте.
208	Глава IX. Функции входного сопротивления
Функцию иммитанса мы будем называть выражением типа
минимального активного сопротивления или типа минималь-
ной активной проводимости, если ее вещественная составляю-
щая обращается в нуль в какой-либо точке на оси веществен-
ных частот, так что ее дальнейшее уменьшение невозможно
без нарушения условий пассивности.
В качестве примера этих соотношений мы можем рассмо-
треть сопротивление Zb заданное первым из равенств (7.17).
Соответствующая величина /?ь также заданная этими выраже-
ниями, имеет минимум при <о? = 1,63, равный 0,105. Сопротивле-
ние будет, следовательно, продолжать удовлетворять условиям
пассивности, если мы вычтем из него любое активное сопро-
тивление, не большее 0,105. Предельное выражение, т. е.
выражение типа минимального активного сопротивления, будет
следующим:
г; = г,^одО5=-?«^±148 . (ад
С другой стороны, мы можем рассмотреть величину, обрат-
ную Z1( используя метод анализа проводимости. Вещественная
составляющая 1/Zt принимает минимальное значение, равное
единице, при <», = 1. Соответствующее выражение типа ми-
нимальной активной проводимости будет:
у' — J__1 4Р3 + 2р + 2	,д
1—' р’4-р + 2 •
Это выражение не отличается от значения 1/Z2, согласно
равенству (7.17), что можно было ожидать, учитывая связь
между Zj и Z2, показанную на фиг. 55.
Принцип редукции активного сопротивления или активной
проводимости был изложен здесь главным образом как этап
в развитии метода Бруне для синтеза цепей. Однако он имеет
определенное непосредственное значение в задачах реального
проектирования. Предположим, в качестве примера, что неко-
торая межкаскадная цепь была рассчитана без учета активной
проводимости анодной цепи или утечки и нам надо учесть эти
величины. Если сделанный расчет межкаскадной цепи пред-
полагает параллельное сопротивление достаточно малой вели-
чины, то соответствующие изменения,понятно, сделать нетрудно.
В то же время предыдущая теорема показывает, что если
минимальная активная проводимость цепи достаточно велика,
то полное сопротивление можно всегда представить себе содер-
жащим такую ветвь, даже если исходная схема цепи ее вовсе
ле имеет. Само собой разумеется, что хотя в данном примере
эквивалентная схема теоретически и является физически осу-
ществимой, тем не менее она не легко может быть осуществлена
(В виде реальной конструкции.
Редукция реактивных составляющих сопротивлений
209
3.	Редукция реактивных составляющих сопротивлений
пассивного типа
В предыдущем разделе было показано, что вещественную
составляющую пассивного иммитанса можно в определенных
пределах изменять на постоянную величину, не нарушая пас-
сивного характера всего выражения. Аналогичная возможность
может существовать также для мнимой составляющей, за
исключением того, что это изменение должно быть уже не
постоянной величины, а определенным образом зависеть от
частоты.
Эта возможность связана с наличием нулей и полюсов
сопротивления на оси вещественных частот. Следует напомнить,
что нули и полюсы сопротивления при вещественных частотах
всегда являются простыми и составляют пары положительных
и отрицательных значений. Пусть ±р0 представляет собой
такую пару полюсов или нулей. Если представляет собой
полюс, то мы можем записать, что Z — Z'/(p — р0), где Z’ не
имеет полюса при р9 и, следовательно, может быть разложено
в этой точке в ряд Тэйлора. Таким образом, мы можем записать:
Z = 1 [Ао + Ai (р — />о) + А2 (р — р0)2	=
Р Pq
=^; + А + А(/’-а) + ... (9.4)
Если р0 представляет собой нуль, то аналогично мы имеем
z=(р - Ро) [Во + Bl (р - р0) + В2 (р - А)’ + ...].	(9.5)
Когда р близко к р0, то члены AJ(p — р0) и ВЛ(р — рв)
в этих выражениях играют значительно более важную роль,
чем другие. Так как р—рй является положительной мнимой
величиной при значениях р, лежащих на мнимой оси .по одну
сторону от рй, и отрицательной мнимой величиной для значе-
ний, лежащих по другую сторону от р0, то как Ао, так и В,
должны быть вещественными величинами, если только сопро-
тивление не обладает отрицательной вещественной составля-
ющей при частотах, достаточно близких к />0.
Как Ао, так и В6 должны быть также положительными. Это
будет непосредственно видно, если использовать равенство (9.1).
Если Ав и Во не являются положительными величинами, то
сопротивление представляет собой, грубо говоря, отрицатель-
ное активное сопротивление и обладает фазовым углом, несом-
ненно, большим, чем ±90°, при значениях р, лежащих в пра-
вой полуплоскости достаточно близко к рЛ. То обстоятельство,
что Ао и В# должны быть положительными, можно также показать
14 Зак. 1327
210
Глава IX. Функции входного сопротивления
непосредственно с помощью диаграммы устойчивости Найквиста.
Применяя этот метод, следует помнить, что при построении
диаграммы предполагается, что контур интегрирования может
иметь небольшие выступы на оси вещественных частот, пока-
занные на фиг. 64, для обхода особенностей подинтегрального
выражения на этой оси. Так как подинтегральным выражением
в методе Найквиста является логарифмическая производная
функции сопротивления, то такой выступ должен быть преду-
смотрен для каждого нуля и полюса сопротивления на веще-
ственной оси. Если мы рассмотрим, в частности, полюс, то полу-
чающаяся диаграмма Найквиста может быть изучена с помощью
фиг. 90. Сплошная ’линия изображает поведение функции на
таком малом выступе и прилегающих частях вещественной
оси, когда Ло предполагается положительным. Пунктирная
линия изображает аналогичную картину при отрицательном
расположенные при
значении Ло. Тонкий пунктир соот-
ветствует другим частям оси веще-
ственных частот. Независимо от
того, какова точная форма диаграм-
мы, эта часть ее должна, конечно,
соединяться либо со сплошной, ли-
бо с пунктирной частью, не выходя
за пределы правой полуплоскости.
Ясно, что если взять пунктирную
кривую, то диаграмма будет охваты-
вать начало координат, так что усло-
вие устойчивости будет нарушено.
На основании этих фактов лег-
ко показать, что нуль или полюс,
вещественных частотах, всегда можно
представить резонансным или противорезонансным контуром.
Например, должно существовать разложение, аналогичное ра-
венству (9.4), относительно сопряженного полюса при — рй.
Хотя эти два разложения в общем случае не будут тожде-
ственны, тем не менее, как легко видеть, по меньшей мере
постоянная Ло будет у них одинакова, и сумма этих двух чле-
нов, представляющих собой полюсы, равна 2Айр/ (ръ — р*). Это
выражение можно отождествить с выражением pD/(p'1 -)-£>/£),
которое представляет собой сопротивление противорезонанс-
ного контура, если положить
М=12Л0;	(9;б)
Ро
Т.ак как Ло положительно, а р* отрицательно, то величины
обоих этих элементов должны быть положительными. В част-
ном случае, когда полюс находится в нуле или в бесконечности,
Редукция реактивных составляющих сопротивлений
211
противорезонансный контур сводится к конденсатору или
индуктивности. Само собой разумеется, что совершенно таким
же путем мы можем представить нули сопротивления или
полюсы проводимости с помощью последовательных резонансных
контуров, соединенных параллельно остальной части цепи.
Сопротивление, у которого все полюсы, расположенные
на вещественной оси, удалены таким способом, мы будем назы-
вать цепью типа минимального реактивного сопротивления
(минимально-реактивной цепью). Если удалены все такие нули,
то систему мы будем называть системой* типа минимально-
реактивной проводимости. Само собой разумеется, что в любом
случае удаляемая ветвь представляет собой чисто мнимую
величину на оси вещественных частот1). Поэтому активное
сопротивление остающейся части все же положительно, и мы
просто должны- повторить соображения предыдущего раздела,
чтобы показать, что остающаяся часть цепи должна удовлет-
ворять всем условиям пассивности. Таким образом, мы прихо-
дим к следующей теореме:
Теорема. Пассивное сопротивление (или проводимость)
продолжает удовлетворять условиям физической осуще-
ствимости пассивных цепей, если вычесть из нее реактивное
сопротивление (или реактивную проводимость), соответ-
ствующее их полюсам, расположенным на оси вещественных
частот.
В качестве примера рассмотрим следующую функцию сопро-
тивления:
__। 2Р2+р + 1	/п 7\
‘р’+р’+р-Н •	'-У-°
Это выражение удовлетворяет всем требованиям физиче-
ской осуществимости для пассивной цепи. Оно обладает тремя
полюсами, один из которых находится в точке р = — 1 и два
других в точках p = ±i. Последняя пара полюсов располо-
жена на оси вещественных частот. Это показывает, что Z не
является минимально-реактивной функцией. Чтобы исключить
») Однако в правой полуплоскости она обладает положительной веще-
ственной составляющей, что можно видеть из рассмотрения выражения для
иммитанса ветви. Это представляет интерес в связи с анализом, изложенным
в предыдущем разделе, ..-который основывался на том предположении, что
иммитанс не обладает особенностями на оси вещественных частот, и на
вытекающем отсюда обстоятельстве, заключающемся в том, что его веще-
ственная составляющая на этой оси достигает меньших значений, чем она
имеет где-либо в пределах правой полуплоскости. Ясно, что это соображение
тем более справедливо, если мы исходим из выражения типа неминимально-
реактивного сопротивления или неминимально-реактивной проводимости.
212
Глава IX. Функции входного сопротивления
эти полюсы, следует учесть, что Ао в равенствах (9.4) и (9.6)
должно удовлетворять следующему условию:
A = lim [(p-p9)Z] = lira [£=-&-zl. (9.8)
/> — Po	p-^Pt>L ZPo J
В нашем случае, когда р^ = — 1,
А -Пга Г£+1	+1 I_ 1 ’ (Q9а
яв-ит.[ 2i (p + D^ + dJ- 2«
Подставляя (9.9) в выражение (9.6), находим, что элементы
соответствующего противорезонансного контура определяются
равенством £ = D = 1. Если сопротивления этих составляющих
цепей записать раздельно, то полное выражение, соответ-
ствующее равенству (9.7), получит следующий вид:
Z = rf7. + T^7-	(9.10)
Первый член правой части представляет собой резонансный
контур, а второй — минимально-реактивную часть всего выра-
жения. Второй член легко отождествить с сопротивлением
комбинации, составленной из парал-
Фиг. 91
лельно соединенных активного сопро-
тивления и конденсатора, так что вся
система будет иметь вид, показанный
на фиг. 91.
При проектировании усилителей
принцип редукции реактивного со-
противления или реактивной проводимости может быть ис-
пользован главным образом для облегчения выбора меж-
каскадных схем. Обратимся к схемам, приведенным в ка-
честве примера на фиг. 92 и 93. Если отвлечься от паразитной
емкости, то межкаскадное сопротивление на фиг. 92 должно
обладать полюсом в бесконечности, так как обе ветви содер-
жат индуктивности. Следовательно, эту часть цепи можно
представить в виде одной индуктивности, последовательно
соединенной с некоторым сопротивлением другого вида. Это
показано на фиг. 93, на которой квадрат изображает часть
схемы, остающуюся после удаления полюса в бесконечности.
Точная конфигурация остающейся части в известной степени
зависит от числовых значений параметров элементов исходной
системы. Одна из возможных схем показана пунктиром. Хотя
обе системы принципиально эквивалентны, тем не менее система
фиг. 93 обладает тем практическим преимуществом, что в ней
Редукция реактивных составляющих сопротивлений
213
меньшее влияние оказывают емкости элементов по отношению
к земле. При высоких частотах мы в сущности должны счи-
таться лишь с емкостью по отношению к земле единствен-
ной последовательно включенной катушки, так что включение
межкаскадных элементов приводит лишь к незначительному
увеличению общей межкаскадной емкости.
В качестве второго примера предположим, что межкаскад-
ным сопротивлением является система фиг. 91, к которой
Фиг. 93
Фиг. 94
добавляется обычная паразитная емкость. Эта частная схема
оказывается удобной в ряде случаев. Однако с теоретической
точки зрения, она, очевидно, неэффективна, так как на высо-
ких частотах существует емкостный путь через цепь. Анали-
тически это соответствует полюсу проводимости в бесконеч-
ности. Как показало • ранее проведенное рассмотрение, этот
полюс можно выделить в виде отдельной шунтирующей ем-
кости, которую можно присоединить к обычной паразитной
емкости межкаскадной цепи. Выделению емкости соответствует
запись равенства (9.7) в следующем виде:
у _ Р I J. р8+р + 2
— 2 “Г" 2 2р*+р + 1 '
(9.11)
Цепь, соответствующая этому выражению, показана на
фиг. 94. Само собой разумеется, что первый член выражения
(9.11) представляет параллельную емкость. Метод физического
осуществления второго члена менее очевиден и будет изложен
в следующем разделе. То обстоятельство, что в этой части
схемы для точного воспроизведения выражения необходима
взаимная индуктивность, является недостатком. Однако в боль-
шинстве случаев достаточно хорошее приближение может
быть получено с помощью той же схемы без взаимосвязи
между элементами.
214
Глава IX. Функции входного сопротивления
4.	Свойства цепей, составленных из чисто реактивных
элементовг)
В последующих главах будет показано, что цепи типа ми-
нимального активного сопротивления и минимальной реактив-
ности обладают тем особым свойством, что в любом случае
одна из составляющих полного сопротивления полностью опре-
делена, если известна другая. Например, если цепь является
минимально-реактивной, то ее характеристика реактивного со-
противления может быть вычислена по характеристике актив-
ного сопротивления. Единственная возможность изменения
реактивного сопротивления, не связанного с изменением актив-
ного сопротивления, заключается в добавлении чисто реактив-
ных цепей. Это, в частности, определяет наш интерес к свой-
ствам чисто реактивных двухполюсников.
Как мы уже видели, любые нули и полюсы, расположенные
на оси вещественных частот, могут быть представлены с по-
мощью резонансных и противорезонансных контуров. Наоборот,
всякой цепи, составленной исключительно из чисто реактивных
сопротивлений, соответствует единственно возможное распо-
ложение нулей и полюсов. Доказательство вытекает из
того обстоятельства, что реактивная составляющая любой
физической цепи должна быть всегда нечетной функцией
частоты. Поэтому, если цепь составлена из чисто реактивных
элементов, сопротивление в целом должно быть нечетной
функцией. Отсюда следует, что если реактивная цепь обладает
нулем или полюсом в любой точке комплексной плоскости,
то должен быть соответствующий нуль или полюс в точке — рЛ.
Но поскольку никогда не может быть нулей или полюсов
в пределах правой полуплоскости, то это означает, что не
может быть нулей и полюсов и в пределах левой полуплоско-
сти. Следовательно,нули и полюсы могут быть расположены лишь
на мнимой оси. Понятно, что тогда они должны быть просты-
ми и составлять пары положительных и отрицательных значений.
Еще одно обстоятельство дополняет математическое опре-
деление сопротивления цепи, составленной из чисто реактив-
ных элементов. Для цепи общего вида не существует ограни-
чений числа или расположения нулей и полюсов при веще-
ственных частотах. С другой стороны, в чисто реактивной цепи
число нулей должно быть таким же, как и число полюсов,
если учесть внешние нули и полюсы при нулевой и беско-
нечной частотах. Кроме того, нули и полюсы должны распо-
лагаться вдоль оси вещественных частот, поочередно следуя
О Материал этого раздела основан на работе Foster, A Reactance
Theorem, Bell Syst. Techn. Journ., апрель (1924).
Свойства цепей, составленных из реактивных элементов 215
один за другим. Чтобы показать, почему это должно быть так,
предположим обратное, т. е. что два нуля располагаются один
за другим. Характеристика реактивного сопротивления в окре-
стностях этих нулей, очевидно, будет иметь форму, подобную
показанной пунктирной или сплошной линией на фиг. 95.
В любом случае при этом производная реактивного сопротив-
ления будет положительна в одном нуле и отрицательна в дру-
гом. Однако в равенстве (9.5), очевидно, Во можно отожде-
ствить со значением производной в соот-
ветствующем нуле. Поэтому если все ве-
личины Во положительны, то картина, по-
казанная на фиг. 95, невозможна. Анало-
гичные соображения можно использовать
для доказательства того, что два полюса
Фиг. 95
не могут располагаться один за другим.
На основании этого мы можем записать общую формулу
для сопротивления любой реактивной цепи в следующем виде:
Z = kp	Ps^>  • • ~
(Р8 —Р?)(Р8—Р8)--. (Р8 —Рот-1)
(9.12)
В этом выражении величина k является положительной веще-
ственной постоянной, а р\, р\ и т. д. представляют собой
отрицательные вещественные величины. Каждый из множите-
лей (р? — />9а), таким , образом, представляет собой пару нулей
или полюсов йри положительной и отрицательной вещественных
частотах. При этом нули и полюсы должны чередоваться, под-
чиняясь следующему условию:
Соответственно тому, как записано равенство (9.12), сопро-
тивление равно нулю при нулевой частоте и бесконечности
при бесконечной частоте. Это означает, что через цепь обра-
зуется не емкостный, а индуктивный путь. Очевидно, что как
216	Глава IX. Функции входного сопротивления
на нулевой, так и на бесконечной частотах должны находиться
либо нуль, либо полюс. Но в общем случае нет особых осно-
ваний для того, чтобы на этих частотах была одна особен-
ность, а не другая. Поэтому мы можем классифицировать реак-
тивные цепи, разбив их на следующие формы: L — L, L — C,
С___£ и С — С, соответствующие типам элементов, которыми
апроксимируется сопротивление цепи на нулевой и бесконечной
частотах. Например, выражение, записанное в виде равенства
Фиг. 97
Фиг. 98
(9.12), представляет собой цепь L — L. Чтобы рассмотреть дру-
гие случаи, предположим, что pi принимает частное значение,
равное нулю, если мы хотим представить цепь, реактивное
сопротивление которой на нулевой Частоте аналогично реак-
тивному сопротивлению емкости, а также что последний мно-
житель/?’— рт опущен, чтобы представить цепь, поведение
которой на бесконечной частоте подобно поведению емкости.
На фиг. 96 приведена типичная характеристика, соответству-
ющая равенству (9.12). Изменения, необходимые, чтобы пред-
ставить другие типы цепей, грубо пока-
заны пунктиром.
Если исходить из общей формулы,
подобной формуле (9.12), то соответ-
ствующую физическую цепь-можно по-
лучить, следуя уже описанным методам
либо представив полюсы с помощью по-
следовательно соединенных противоре-
зонансных контуров, либо представив
нули параллельно соединенными резо-
нансными контурами. Это единственное
результатом того, что в случае си-
стемы, составленной из чисто реактивных элементов, до-
статочно осуществить нули и полюсы при вещественных
частотах, чтобы получить всю цепь. Здесь нет остаю-
щейся цепи типа „минимально-реактивного сопротивления"
или „минимально-реактивной проводимости", которая требует
других форм осуществления. Так, если мы произведем разло-
жение по полюсам сопротивления, то получающаяся схема
имеет в общем случае вид, показанный на фиг. 97, в то время
как разложение, произведенное относительно нулей сопротив-
ления, дает результат вида, показанного на фиг. 98. На фиг. 97
последовательно включенные индуктивность и емкость пред-
является
Свойства цепей, составленных из реактивных элементов 217
ставляют собой соответственно полюсы при бесконечной и ну-
левой частотах, так что система относится к типу С — L в обо-
значениях предыдущего раздела. С другой стороны, наличие
на фиг. 98 параллельно присоединенных индуктивности и
емкости указывает, что система относится к типу L — С,
В обоих случаях, исключив один или оба непарных элемента,,
можно изменить цепи, так, чтобы они удовлетворяли другим
условиям.
Значения элементов при любой конфигурации можно вычис»
лить методами, уже рассмотренными в связи с равенствами
(9.4) и (9.6). Если в схеме фиг. 97 Lj и Cj обозначают эле-
менты противорезонансного контура, еоответствующего полюсам
в точках ±рj, то эти равенства можно объединить в выра-
жении
<9лз>
Соответствующая формула для элементов фиг. 98 будет
иметь следующий вид:
В большинстве случаев выбор между этими двумя схемами
определяется тем, какая из схем дает более удобные значения
элементов. В общем случае, оказывается, что схема фиг. 98
требует больших индуктивностей и меньших емкостей.
Фиг.'ЭЭ	Фиг. 100
Само собой разумеется, что реактивные цепи можно по-
строить также в виде многих других различных схем. Две
совершенно очевидные возможности показаны на фиг. 99 и 100.
Например, чтобы представить любую реактивную цепь в виде
схемы, показанной на фиг. 99, мы можем начать с того, что
представим цепь-в форме, показанной на фиг. 97, и отожде-
ствим первую последовательно включенную катушку в этой
схеме с первой последовательно включенной катушкой на
фиг. 99. Оставшуюся часть реактивной цепи тогда можно
преобразовать в форму, показанную на фиг. 98, и отождествить
шунтирующий конденсатор с первым шунтирующим конденса-
тором фиг. 99. Повторяя этот прием, мы построим всю схему.
2/8	Глава IX. Функции входного сопротивления
С точки зрения общих технических задач, наиболее важ-
ной стороной вопроса о цепях, составленных из чисто реак-
тивных элементов, повидимому, является то, что их характе-
ристики ограничены указанным выше образом. В случае про-
стой индуктивности или простой емкости характеристика один
раз пробегает над всей осью вещественных частот, включая
как положительную, так и отрицательную ее часть, все зна-
чения от — оо до 4~оо, обладая при этом положительной
крутизной. Характеристика реактивной цепи наиболее общего
вида, как показано на фиг. 96, представляет собой такую же
характеристику, повторенную
несколько раз в измененной
шкале частот.
Это изменение частотной
шкалы всегда приводит к тому,
что характеристика реактивно-
го сопротивления имеет кру-
тизну большую, чем в случае
простой индуктивности или
емкости. Легче всего это по-
казать, если обратиться к энер-
гетическому анализу, изложен-
ному в главе VII. Так, в частном случае чисто реактивной си-
стемы равенство (7.31) принимает вид
= 4о>(7'- V).
(9.15)
Однако для чисто реактивных цепей можно получить также
следующее соотношение:
g=4X2(7’+V).	(9.16)
где, как и в равенстве (9.15), Т и V получены в предполо-
жении, что цепь возбуждается напряжением, амплитуда кото-
рого равна единице. Если второе из этих соотношений раз-
делить на первое, то мы получим
<1Х__Х г+ v r-J*!
тйв ш Т — V	’
(9.17) .
где, как само собой понятно, знак равенства справедлив, лишь
когда цепь состоит исключительно из индуктивностей или
исключительно из емкостей. Таким образом, мы приходим
к следующей теореме:
Теорема. Крутизна характеристики сопротивления ре-
активной цепи в общем случае на любой частоте всегда
Составление пассивных двухполюсников общего типа
219
больше, чем в случае простой индуктивности или емкости,
обладающих тем же реактивным сопротивлением на дан-
ной .частоте.
Это положение иллюстрировано на фиг. 101.
Следует отметить, что равенства (9.15) и (9.16), взятые
совместно, определяют Т и V по X и dXId^. Это представ-
ляет известный интерес в связи с расчетом мощных контуров,
например, для радиопередатчиков, где стоимость элементов
в основном определяется номинальной мощностью в киловольт-
амперах. Ясно, что общая номинальная мощность в киловольт-
амперах всей цепи, при любой частоте сигнала, зависит лишь
от внешних параметров и не зависит от ее схемы.
5. Составление пассивных двухполюсников общего типа
по методу Бруне
Описанные выше два приема уменьшения активного сопро-
тивления и уменьшения реактивного сопротивления были
использованы Бруне для доказательства того, что любое выра-
жение для сопротивления, удовлетворяющее общим условиям
пассивности, действительно может быть представлено физиче-
ской цепью. Согласно методу Бруне, цепь определяется посте-
пенно — шаг за шагом. Ветви цепи определяются отдельно,
одна за другой, пока не будет получена последняя ветвь в
виде чисто активного сопротивления.
Процесс вычисления начинается с того, что полюсы сопро-
тивления при вещественных частотах только что описанным
способом представляют в виде ряда последовательно соеди-
ненных противорезонансных контуров. После того как все
полюсы сопротивления оказываются исключенными, аналогично
поступают с нулями сопротивления, или полюсами проводи-
мости, уже упрощенного двухполюсника. Это дает несколько
следующих элементов цепи в виде ряда параллельно соеди-
ненных резонансных контуров. После того как исключены нули
сопротивления, можно найти новые полюсы, которые должны
быть исключены, затем вновь новые нули и т. д. Таким обра-
зом, первая часть разложения осуществляется в виде лестнич-
ной цепи общего типа, показанной на фиг. 102.
Так как каждый шаг при представлении нулей и полюсов
уменьшает степень рациональной функции, определяющей
сопротивление, то очевидно, что процесс успешно завершится,
давая нам все сопротивление, или же мы в конце концов при-
дем к положению, когда на оси вещественных частот не оста-
нется ни нулей, ни полюсов. Представим себе, что на
фиг. 103 представляет собой сопротивление после того, как
уже больше невозможно удалить из схемы чисто реактивные
220
Глава IX. Функции входного сопротивления
элементы — как последовательные, так и параллельные. Чтобы
продолжить анализ, мы искусственно вводим нуль на оси
вещественных частот, так что вновь можно удалять шунти-
рующие реактивные элементы. Первый шаг в этом процессе
заключается в удалении из двухполюсника последовательного
активного сопротивления (на фиг. 103 оно обозначено буквой R),
равного минимальному значению активного сопротивления на
оси. Это дает новое сопротивление Z2, которое в некоторых
Фиг. 102	Фиг. 103
точках на оси является чисто реактивным. Реактивное сопро-
тивление в этих точках уничтожается путем удаления соот?
ветствующего элемента. Для этой цели выбирается индуктив-
ность, а не емкость, так как дальше для составления цепи
нам потребуется отрицательное взаимное сопротивление, физи-
чески осуществимое при индуктивностях, но не осуществимое
при емкостях.
Предположим вначале, что необходима отрицательная индук-
тивность, например — показанная на фиг. 103. Удаляя ее,
получаем сопротивление Z3, которое должно быть равным нулю
при той частоте, при которой активная составляющая сопро-
тивления Zj была минимальной. Следовательно, мы можем
ввести соответствующий параллельно включенный резонансный
контур £.2 — D. Это дает Z4. Сопротивление Z2 не имело полюса
в бесконечности, но введение — Lx дало нам в Z3 полюс в беско-
нечности, и, очевидно, Z4 также должно обладать таким по-
люсом. Пусть этот полюс удален введением элемента Z3, что
цриводит к сопротивлению Zs, которое вновь не имеет ни
полюсов, ни нулей на мнимой оси. Легко видеть, что если
ни Z2, ни Zg не обладают полюсом в бесконечности, то индук?
тивности —	Z,2 и Z3 должны составлять Т-образный экви-
валент трансформатора, обладающего конечной индуктивностью
и идеальной связью. Следовательно, используя такой транс-
форматор, мы можем получить требуемую отрицательную
индуктивность — Zj. Если Zj положительно, то процесс будет
точно таким же, за исключением того, что теперь £3 оказы-
вается отрицательным.
Легко видеть, что если исходное сопротивление удовлетт
воряет требованиям физической осуществимости, каждое на
Составление пассивных двухполюсников общего типа
221
последовательно образуемых сопротивлений также будет удов-
летворять этим требованиям1). Поэтому Z8 удовлетворяет тем
же условиям, что и Zn за исключением того, что рациональ-
ная функция, соответствующая Z8, имеет несколько меньшую
степень. Следовательно, повторяя этот процесс, мы в конеч-
ном счете составим всю цепь.
Рассмотрим в качестве примера такого процесса осуще-
ствление двойного значения полученной в равенстве (9.11)
„	„	р’ 4- р 4- 2 гч
остаточной проводимости	ij~ • Это выражение уже
соответствует типу минимальной реактивной проводимости и
минимального реактивного сопротивления, так что мы можем
сразу начать с того этапа разложения, который представлен
на фиг. ЮЗ. Приравняв величину, обрдтную проводимости,
величине ZY на фиг. 103, мы легко находим, что соответству-
ющее активное сопротивление равно
/?, = 2	(9.18)
1	со4 — Заг + 4 1	4
Эта величина принимает свое минимальное значение, рав-
ное нулю, при ®4 = 1. Поэтому в данном случае нет необходи-
мости рассматривать уменьшение активного сопротивления,
обозначенное на фиг. 103 буквой /?. При и = 1 мы находим,
что Zi=Z. Индуктивность, обозначенная через —Lx на фиг. 103,
следовательно, равна +1. После вычитания этой индуктив-
ности получаем для Z8:
_ _|2р’+р + 1 п_ (1-р)(1+р«)	zqlqx
z3- р* + р + 2	Р- р’ + р+2 •
Множитель (1+р*) в равенстве (9.19) представляет собой
нуль, соответствующий резонансу Lt и D на фиг. 103. С по-
мощью равенства (9.14) можно вычислить величины этих эле-
мейтов, которые оказываются равными £S = D=1. Если вы-
честь соответствующие им величины из Z, получим оконча-
тельно
Z4 = —(9.20)
цлен —р/Ъ, очевидно, представляет индуктивность Z, на
фиг. 103. Естественно, что эта индуктивность отрицательна,
так' как первая индуктивность была положительной. Член,
9 Временное отклонение от строгих требований имеет место, когда Lt
положительно. Однако оно устраняется, как только добавляется Lt.
222	Глава IX. Функции входного сопротивления
равный представляет собой оконечное сопротивление Z5.
В этом примере процесса, иллюстрированного с помощью
фиг. 103, требовался лишь один этап, чтобы дойти до око-
нечного сопротивления, которое представляет собой по-
стоянное активное сопротивление, ибо исходное выражение
для сопротивления было лишь второй степени. Вся схема по-
казана на фиг. 104.
Выражение для в равенстве (7.17) часто использовалось
нами для целей иллюстрации. Поэтому удобно применить это
0,105	-0,165	0,338
Фиг. 105
выражение в качестве второго примера разложения по Бруне.
Положение здесь, в сущности, такое же, как в только что
рассмотренном случае, за исключением того, что в данном
случае начальное сопротивление не является сопротивлением
типа минимального активного сопротивления. Однако в связи
с равенством (9.2) мы уже нашли, что минимальное активное
сопротивление для Zx равно
Фиг. 106
0,105. Это дает 7? на фиг. 103 и
остающуюся цепь. Полная схема
показана на фиг. 105.
С другой стороны, мы можем
начать с уменьшения активной
проводимости двухполюсника,
следуя методу, изложенному в
связи с равенством (9.3). Так как
цепь минимальной активной про-
водимости является также цепью
минимального активного сопро-
тивления, то это будет в такой же степени законный метод
перехода от исходного выражения к этапу, представленному
сопротивлением Z2 на фиг. 103. В этом положении получается
схема, показанная на фиг. 106.
С точки зрения практических применений, главные недо-
статки метода Бруне заключаются в том, что в нем исполь-
зуется взаимная индуктивность, и в том, что он слишком гро-
моздок. С другой стороны, в технике необходимо знание
Отрицательные активные сопротивления
22*
сопротивления лишь при вещественных частотах, поэтому этот
метод имеет известное преимущество при построении двух-
полюсников, сопротивление которых задано с помощью кривых..
6. Отрицательные активные сопротивления
До сих пор мы рассматривали лишь функции сопротивле-
ний, удовлетворяющие требованиям пассивности. Естественно,
что соответствующие физические системы состоят из комби-
наций трех пассивных элементов: сопротивления, индуктив-
ности и емкости. Чтобы иметь возможность рассматривать
более общие случаи, нам необходим еще один дополнительный
элемент. Этот дополнительный элемент удобно взять в виде
отрицательного активного сопротивления, ибо в таком эле-
менте наиболее отчетливо проявляется различие между пассив-
ной цепью и схемой общего вида, содержащей источник
энергии.
Отрицательное активное сопротивление может быть полу-
чено с помощью целого ряда известных методов. Здесь мы не
будем пытаться детально рас-
сматривать эти методы. Рас-
смотрим лишь различие между
сопротивлениями активного и
пассивного типа схем с обрат-
ной связью, выражение для ко-
торых дано, например, в равен-
ствах (5.3) и (5.4). Очевидно,
что отрицательное активное со-
противление может быть полу-
чено в любой схеме с обратной

Фиг. 107
связью, составленной из чисто
активных сопротивлений, если эта схема составлена так, что две
возвратные разности F(0) и F(oo) в равенствах (5.3) и (5.4) имеют
противоположные знаки. Пример такой схемы показан на
фиг. 107. Если мы будем считать электронные лампы идеаль*
ними, то сопротивление пассивного типа на входных зажимах
будет равно	. При закороченных входных зажимах
возвратная разность F(0) становится равной единице, так как
возвратное отношение обращается в нуль. Возвратное отно-
шение при разомкнутых входных зажимах отрицательно, в со-
ответствии с тем, что при двух каскадах, показанных на
фиг. 107, нет изменения фазы на обратную. Возвратное отно-
шение легко может быть вычислено и оказывается равным
— - в . Л , в , где Gm и От — значения крутизны ламп.
Подставляя это значение в равенство (5.3), мы, следовательно,
224
Глава IX. Функции входного сопротивления
получим
_ /?1 № + #*)__________1_______=
R1 ~|“ Rt +	^m^m^RiRiRi
1 Ri+Ri + Ri
=________/?,(W)__________
Rl + Rz + Ri — Gm Gm RiR^Rz
1	2
(9.21)
Величина Z, очевидно, будет представлять собой отрицатель-
ное сопротивление, если должным образом выбрать значения
сопротивлений /?. Например, если положить /?t и /?3, которые вве-
дены лишь для того, чтобы сделать идеализацию схемы несколь-
ко более естественной, равными бесконечности, то Z всегда будет
отрицательным, что с очевидностью следует из выражения
Z= G~G R •	(9-22)
<Jm, “2
1	2
Отрицательное активное сопротивление может быть полу-
чено с помощью других устройств, как, например, динатрона
или дугового разряда. Примерная характеристика динатрона по-
казана сплошной линией на фиг. 108.
'	Отношение e/i, представляющее со-
F бой активное сопротивление ста-
/	ционарному напряжению е, всегда
д	/	положительно. Однако вблизи точ-
>—----------д	ки крутизна характеристики отри-
/	/ цательна. Если приложенное напря-
/X---------^2?	жение е представить себе, как это
/	делается при анализе параметров
о	—~е	электронных ламп, в виде суммы
„„	постоянной составляющей и неболь-
Фиг 70S
1ио	шои наложенной на нее переменной
составляющей, то эффективное ак-
тивное сопротивление для переменной составляющей будет
отрицательным, когда рабочая точка находится вблизи С.
Отрицательное сопротивление было введено здесь просто
как удобное средство для изучения чисто математических
идей, содержащихся в общих требованиях к функциям вход-
ного иммитанса, изложенных в главе VII. С этой целью они
будут рассматриваться как идеализированные элементы в точ-
ности такого же типа, как и положительные активные сопро-
тивления. Однако не следует придавать слишком большого
значения тому обстоятельству, что реальное отрицательное
сопротивление является значительно более сложным устрой-
ством, что обусловливает много ограничений, которые не учи-
тываются при идеализации. В зависимости от схемы, к кото-
рой присоединяется отрицательное сопротивление, а может
Отрицательные активные сопротивления
225
быть, даже от истории явлений в схеме, мы можем наблюдать
случаи отклонения от ее поведения, вычисленного на основе иде-
ализированного рассмотрения. Например, фиг. 108 предста-
вляет собой характеристику, которую можно было бы физи-
чески получить, питая схему от батареи с регулируемым на-
пряжением, и которая обладает нулевым внутренним сопроти-
влением. С другой стороны, предположим, что устройство
питается с помощью источника со значительно большим на-
пряжением через большое внешнее сопротивление. Тогда в дей-
ствительности мы будем регулировать ток, а не напряжение
на зажимах отрицательного сопротивления. Очевидно, что
реальная характеристика может перескакивать с одной ветви
на другую, как это показывают пунктирные прямые AD и BE,

Фиг. 109
-Я
Фиг. 110
так что будет целиком обойдена та часть номинальной харак-
теристики, где крутизна отрицательна. Если внешнее сопроти-
вление содержит реактивные элементы, то скачок может опре-
деляться процессом установления, или, другими словами, будет
зависеть от предыдущей истории процессов в схеме и скорости
изменения питающего напряжения. Так как внешнее сопротив-
ление необходимо для разделения постоянной и переменной
составляющих, то этими соображениями в любом практиче-
ском случае нельзя полностью пренебречь.
В устройстве, обладающем отрицательным сопротивлением
и использующем электронные лампы, картина усложняется
вследствие неизбежных паразитных емкостей ламп. Очевидно,
что вследствие влияния этих емкостей отрицательное сопро-
тивление превращается в обычное пассивное сопротивление
на достаточно высоких частотах. Это изменение может быть
в некоторых случаях несущественно, но в других случаях
может вызвать самовозбуждение. В общем случае характер
поведения в действительности определяется как внешними
Цепями, так и типом обратной связи, примененной для полу-
чения отрицательного сопротивления.
Если мы согласились иметь дело с идеализированными эле-
ментами в виде отрицательного активного сопротивления, то,
как следствие этого, можно также получить отрицательные эле-
менты других типой. Это легко можно показать, обратившись к
знакомой схеме, показанной нафиг. 109и ПО. Простые вычисле-
15 Зак. 1327
226
Глава IX. Функции входного сопротивления
нияпоказывают,что входное сопротивление в обоихслучанх равно
Z,==^~.	(9.2£)
Таким образом, любое отрицательное сопротивление, в том
числе, как частный случай, отрицательная емкость и отрица-
тельная индуктивность, может быть получено путем подклю-
чения этой Г-сбразной схемы к обратному по знаку поло-
жительному сопротивлению соответствующего типа и величины,
7. Физическое представление функций входного иммитанса
в общем случае
Из требований общего перечня главы VII к функциям
входного иммитанса относятся требования 1, 2, 3, 4, 56 и 6а.
Из них первым четырем должна удовлетворять любая функция
иммитанса. Это дает основание для того, чтобы все возмож-
ные функции разделить на три общих класса, в зависимости
от того, удовлетворяют ли они только первым четырем тре-
бованиям, или и требованию 56, или всем шести требованиям
Добавив два достаточно очевидных подкласса, мы получаем
следующую схему:
1а. Функции, не обладающие полюсами в правой полу-
плоскости и вещественные составляющие которых положи-
тельны (или равны нулю) во всех точках на оси веществен-
ных частот.
16. Функции, не обладающие полюсами в правой полу-
плоскости и вещественные составляющие которых отри-
цательны (или равны нулю) во всех точках на оси веще-
ственных частот.
II. Функции, не обладающие полюсами в правой полу-
плоскости и вещественные составляющие которых поло-
жительны в некоторых частях оси вещественных частот
и отрицательны в других.
Ша. Функции сопротивлений, некоторые полюсы которых
расположены в правой полуплоскости. •
Шб. Функции проводимостей, некоторые полюсы кото-[
рых расположены в правой полуплоскости.
Само собой разумеется, что класс 1а является классом
обычных пассивных иммитансов. Функции класса 16 в точности
*) Четвертый класс, который, на первый взгляд, должен состоять из
функций, удовлетворяющих первым четырем требованиям и требованию 6а,
но не удовлетворяющих требованию 56, существовать не может. Если тре-
бование 56 не удовлетворяется, так что есть полюсы в правой полуплоскости,
то диаграмма Найквиста должна охватывать начало координат, что проти-
воречит требованию 6а. В некоторых пунктах приводимого перечня знак
веществешой составляющей и одновременно расположение полюсов указы-
ваются просто для ясности.
Физическое представление функций входного иммитанса 227
представляют собой обычные пассивные функции, взятые с
обратным знаком. Мы будем их называть отрицательными
иммитансами. Более общие функции, описанные в следующих
классах, мы будем называть иммитансами общего или активного
типа. Понятие отрицательного иммитанса введено здесь как
удобная теоретическая абстракция. Такую функцию, очевидно,
можно получить в идеализированных условиях с помощью
методов, вытекающих из фиг. 109 и 110. Учитывая, однако,,
ограниченность физических устройств, обладающих отрица-
тельным сопротивлением, представляется вероятным, что лю-
бая реальная функция будет относиться к одному из более
общих классов II и III.
Функции сопротивлений и функции проводимостей записаны
раздельно в классе III для того, чтобы подчеркнуть то обстоя-
тельство, что возбуждающим источником в случае функции
Фиг. 111
сопротивления является генератор напряжения с нулевым внут-
ренним сопротивлением, а в случае функции проводимости —
генератор тока с бесконечно большим внутренним сопроти-
влением. Цепи, соответствующие
функциям этих двух типов, то-
гда соответственно можно опре-
делить как устойчивые при ко-
ротком замыкании и устой-
чивые при холостом ходе. Если
функции относятся к классу III,
то соответствующие цепи, есте-
ственно, не останутся устой-
чивыми при взаимной замене
источников возбуждения. Когда иммитанс активного типа по-
лучается в схеме с обратной связью, мы можем обычно опре-
делить проверкой, является ли она устойчивой при холостом
ходе или устойчивой при коротком замыкании. Например, лю-
бой иммитанс, измеряемый в разрыве замкнутой петли обрат-
ной связи, каким является точка АА' или ВВ' на фиг. 111,
должен быть устойчивым при холостом ходе, в то время как
любой иммитанс, измеряемый в сечении замкнутой петли,
например в точках СС' или DD\ должен быть уст йчивым
при коротком замыкании, так как в каждом из случаев введе-
ние сопротивления соответствующего генератора разрывает
замкнутую петлю обратной связи.
С точки зрения теории, удобнее рассматривать образование
активных двухполюсников как результат продолжении про-
цесса уменьшения.активного сопротивления или ак;ивной про-
водимости, описанного ранее в этой главе. При рассмотрении
пассивных иммитансов эти процессы были ограничены тем, что
вещественная составляющая пассивного иммитанса не должна
♦
228 Глава IX. Функции входного сопротивления
была становиться отрицательной. Когда, помимо обычных пас-
сивных элементов, мы вводим в рассмотрение отрицательное
активное сопротивление, это ограничение оказывается ненуж-
ным, и мы сразу приходим к представлению активных имми-
тансов с помощью методов, которые применялись для пас-
сивных контуров.
Чтобы на примере показать этот процесс, допустим, что
функция, которая должна быть представлена в виде цепи,
является сопротивлением класса Ша. Предположим также, что
ни один из нулей сопротивления не лежит точно на оси ве-
щественных частот1). Обратная величина заданного сопротив-
ления, которую мы обозначим через К, будет, следовательно,
аналитической функцией в правой полуплоскости, включая ее
границу — ось вещественных частот. Пусть и 0.2 предста-
вляют собой максимальное и минимальное значения веществен-
Фиг. 112	Фиг. из
ной составляющей величины Y на этой оси. В соответствии с
редыдущими теоремами, эти величины будут также являться
максимальным и минимальным значениями вещественной со-
ставляющей во всей правой полуплоскости. Следовательно, если
мы перепишем проводимость в виде —O2-f-(^+Oa), то член
будет иметь положительную вещественную составляю-
щую во всей правой полуплоскости. По Бруне она является
функцией „положительного вещественного“ типа и может быть
представлена в виде обычного пассивного двухполюсника. Само
х) Если есть нули на вещественной оси, то соответствующие вы-
четы функции 1/Z должны быть положительными вещественными, отри-
цательными вещественными или комплексными величинами. Нули, соответ-
ствующие положительным вещественным вычетам, можно по отдельности
представить резонансными контурами способом, уже описанным для пассив-
ных цепей. Другие возможные случаи выдвигают более трудную задачу.
Например, теоретически они могут иметь место в усилителе с обратной
связью, находящемся на грани самовозбуждения. Однако мы не будем здесь
останавливаться на рассмотрении этих возможных случаев по причине, упо-
мянутой в главе VII и заключающейся в том, что^ физическая схема, обла-
дающая такими нулями, явно нелинейна. Конечно, отрицательные веществен-
ные вычеты теоретически можно представить с помощью отрицательных
реактивных элементов. Однако рассмотрение этих случаев является сугубо
нереальным, ибо, кроме вопроса о нелинейности, система, обладающая такими
нулями, обязательно должна становиться неустойчивой, если ее питать с
помощью цепи, содержащей хотя бы ничтожные потери.
Физическое представление функций входного иммитанса
229
собой разумеется, что первый член —G2 представляет собой
параллельное отрицательное активное сопротивление. Эта ком-
бинация показана на фиг. 112, а. Аналогично, если мы запи-
шем Y в виде О1 + (У—Gt), то весь двухполюсник будет
представлять собой положительное активное сопротивление,
параллельно присоединенное к отрицательному полному со-
противлению. Это показано на фиг. 112, Ь. Если мы будем исхо-
дить из функции класса Шб, то анализ будет по существу тем
же, за исключением того, что мы теперь, как показано на
фиг. 113, а и 113, Ь, приходим к последовательному соедине-
нию положительного или отрицательного активного сопротив-
ления и отрицательного или положительного полного сопротив-
ления. Полученные результаты можно резюмировать в следую-
щей теореме:
Теорема. Если некоторая активная цепь является
устойчивой при питающем источнике с нулевым внутренним
сопротивлением, то сопротивление, на которое включен
источник, может быть представлено либо отрицательным
активным сопротивлением, параллельно соединенным с
обычной пассивной цепью, либо положительным активным
сопротивлением, параллельно соединенным с пассивной цепью,
элементы которой имеют отрицательные знаки. Если цепь
является устойчивой при питающем источнике с бесконечно
большим сопротивлением, то сопротивление цепи можно
представить либо отрицательным активным сопротивле-
нием, последовательно соединенным с пассивной цепью, либо
положительным активным сопротивлением, последова-
тельно соединенным с пассивной цепью, элементы которой
имеют отрицательные знаки.
Это рассмотрение было проведено применительно к функ-
циям класса III. Однако ясно, что оно в равной степени дей-
ствительно и для функций классов I и II. Нам надо лишь
учесть, что функции этих классов одновременно устойчивы
при холостом ходе и при коротком замыкании, так что они
могут быть физически представлены с помощью любого из
четырех способов, показанных на фиг. 112 и 113. Интересно
также отметить, что методы физического представления можно
комбинировать и получать еще другие схемы. Например, посколь-
ку отрицательное полное сопротивление на фиг. 112, b устойчиво
при холостом ходе и при коротком замыкании, то ♦само это
сопротивление можно представить в форме, показанной на
фиг. 113, а, что приводит к тому, что исходное выражение
представляется положительным полным сопротивлением и не-
которым L-образным звеном, составленным из положительных
и отрицательных активных сопротивлений.
230	Глава IX. Функции входного сопротивления
Надо подчеркнуть, что схемы фиг. 112 и 113 не обязатель-
но дают единственный или требуемый с физической точки
зрения путь для составления активных двухполюсников. Они
были приведены просто в качестве удобного метода выраже-
ния физического значения условий, накладываемых на вход-
ные иммитансы активного и пассивного типов, приведенные
в главе VII. Можно видеть, что различие между входными
иммитансами активного и пассивного типов определяется, по
существу, соответствующим расположением только отрица-
тельного активного сопротивления. Существует большая ана-
логия между этим результатом и результатом, который будет
получен для иммитансов передачи активного и пассивного
типов.
8. Соединения активных двухполюсников
Имея дело с пассивными схемами, мы привыкли считать,
что отдельные пассивные двухполюсники являются элементами,
которые любым образом можно соединить один с другим и с
питающим генератором. При этом, независимо от того, какая
выбрана комбинация, схема в целом остается пассивной и,
следовательно, устойчивой. Наоборот, в активных схемах по-
добная свобода невозможна. Двухполюсники, являющиеся
устойчивыми при одном питающем источнике, могут стать
неустойчивыми при замене источника, а два двухполюсника,
являющиеся при данном источнике устойчивыми, каждый в
отдельности, могут стать неустойчивыми, когда они соединены
между’собой, даже если источник не заменен. Следователь-
но, имея дело с активными схемами, необходимо изучать
устойчивость системы в зависимости от всего присоеди-
ненного к источнику тока или напряжения сопротивления,
или проводимости, включая собственное сопротивление или
собственную проводимость самого источника.
Это, очевидно, является серьезным ограничением, влияющим
на свободу как в проектировании самой активной цепи, так
и в выборе питающего источника. Последнее, повидймому,
особенно существенно. До сих пор мы предполагали, что соб-
ственное сопротивление источника было равным нулю или
бесконечности, в то время как большинство реальных источ-
ников обладает некоторым конечным, а не нулевым, собствен-
ным сопротивлением. Задача ослабления этих ограничений
решается здесь на основе рассмотрения устойчивости при хо-
лостом ходе или коротком замыкании последовательной или
параллельной комбинации двух иммитансов, показанных на
фиг. 114 и 115. Каждый из двух иммитансов можно рассмат-
ривать, по желанию, как некоторую активную систему или
Соединения активных двухполюсников	231
можно считать, что одна из них представляет собой действи-
тельное собственное сопротивление реального генератора.
Легко можно рассмотреть два случая, иллюстрированные
фиг. 114. Если один из двухполюсников устойчив при корот-
ком замыкании, как это имеет место нафиг. 114, а, то ни один
из его нулей не может находиться в правой полуплоскости.
Фиг. 114	Фиг. 115
Однако, поскольку нули сопротивления, составленного из па-
раллельно соединенных ветвей, не отличаются от нулей от-
дельных ветвей, то каждое из сопротивлений ветвей может
быть ограничено аналогично. Соответственно нули проводи-
мости или полюсы сопротивления в схеме фиг. 114, b не отли-
чаются от нулей проводимостей элементов схемы, и, если вся
схема устойчива, эти нули должны быть исключены из правой
полуплоскости. Таким образом, мы получаем следующую оче-
видную теорему:
Теорема. Параллельное соединение сопротивлений будет
устойчивым при коротком замыкании тогда и только
тогда, когда все отдельные сопротивления устойчивы при
коротком замыкании. Аналогично последовательное соеди-
нение будет устойчивым при холостом ходе тогда, и только
тогда, когда все отдельные сопротивления устойчивы при
холостом ходе.
Комбинации, ’ показанные на фиг. 115, представляют более
трудную задачу. Мы дадим здесь лишь несколько элементарных
правил, которые в некоторых случаях могут быть полезными.
Чтобы дать задаче физическое содержание, мы можем пред-
положить, что ZY и Y\ на фиг. 115, а и 115, b являются соот-
ветственно системами устойчивыми при коротком замыкании
и при холостом ходе и что Z2 и К2 представляют собой соб-
ственное сопротивление, или проводимость, некоторого реаль-
ного генератора. Надо решить вопрос о том, при каких усло-
виях можно ввести Z2 и У2, не нарушив устойчивости схемы.
Если Z2 и К2 являются вещественными постоянными, то их
влияние на устойчивость системы легче всего определить из
рассмотрения диаграммы Найквиста для основных Zt или Yt.
Добавление некоторой постоянной Za или У2 равносильно
232	Глава IX. Функции входного сопротивления
горизонтальному смещению всей диаграммы. Ясно, что горизон-
тальное смещение не будет сказываться на устойчивости схемы
до тех пор, пока оно не станет достаточно большим, чтобы
перенести любую из точек пересечения диаграммы Найквиста
с горизонтальной осью с одной стороны начала координат на
другую.
Это приводит к следующей теореме:
Теорема. Последовательное соединение сопротивления,
устойчивого при коротком замыкании, с положительным
или отрицательным активным сопротивлением дает со-
противление, устойчивое при коротком замыкании, если до-
бавление активного сопротивления оставляет неизменным,
знак вещественной составляющей сопротивления в любой
точке на оси вещественных частот, в которой мнимая
составляющая сопротивления обращается в нуль. Анало-
гично система, устойчивая при холостом ходе, остается
устойчивой при холостом ходе, когда параллельно ей вклю-
чается положительное или отрицательное активное со-
противление, при тех же условиях для вещественной и
мнимой составляющих исходной и конечной проводимости.
Если Z2 или У2 являются функциями частоты, а не веществен-
ными постоянными, задача становится труднее, но все же можно
показать, что они не будут влиять на устойчивость схемы/
если они удовлетворяют определенным условиям. Это поло-
жение может быть сформулировано в следующей теореме:
Теорема. Последовательное соединение сопротивления Zit.
устойчивого при коротком замыкании, и сопротивления
устойчивого при холостом ходе, будет устойчивым при
коротком замыкании, если |Zi|>|Z2| во всех точках на
оси вещественных частот. Аналогично параллельное сое-
динение проводимости Yr, устойчивой при холостом ходе,
и проводимости У2, устойчивой при коротком замыкании,
будет устойчивым при холостом ходе, если | Л | > | К21 на
всех вещественных частотах1).
Формулировка теоремы не предполагает, что некоторый
иммитанс, определенный, например, как устойчивый при ко-
*) В процессе всего этого рассмотрения для простоты предполагалось, что
ни один из нулей и полюсов различного рода иммитансов не лежит точна
на оси вещественных частот, в том числе и в бесконечности. Эти теоремы
не обязательно оказываются несправедливыми даже в том случае, когда такое
предположение не оправдывается, как это, например, может быть в схемах,
поведение которых на высоких частотах определяется паразитными емко-
стями. Однако подобные случаи, ^очевидно, требуют внимательного рассмот-
рения.
Соединения активных двухполюсников
233-
ротком замыкании, не может быть также устойчивым при хо-
лостом ходе.
Эту теорему легко доказать методом, аналогичным тому,
который применялся для первой теоремы в конце предыдущей
главы. В частности, если рассматривать, например, связь между
Zi и Z», то мы можем записать
Z1 + Z2 = Z1(l+g).	(9.24}
Величина Zj-(-Z2 не может иметь нулей в правой полу-
плоскости, если она должна, быть устойчивой при коротком
замыкании, и ее полюсы должны быть такие же, как у Zt, ибо
Z^ будучи устойчивым при холостом ходе, не имеет полюсов,
в этой области. Следовательно, диаграмма Найквиста для
Zt4-Z2 должна охватывать начало координат столько же раз
в том же направлении, что и диаграмма ZP Однако число*
оборотов диаграммы Zj 4- Z2 вокруг начала координат, оче- '
видно, равно сумме числа оборотов диаграммы для множи-
телей Zj и 1 + (Z^Zj ) правой части равенства (9.24). Так как
диаграмма для 1 (Zj/ZJ вовсе не может охватывать начало-
координат при принятых условиях, как это видно из фиг. 87,
то теорема является доказанной.
Из доказательства теоремы становится очевидным, что ус-
ловие | Zj | > | Z41 или | Yt | > | У21 не обязательно фиксирует
реальный верхний предел значений, которые может принимать-
добавляемая величина Z2 или У2. Во многих случаях схема,
будет оставаться устойчивой, даже когда это условие нару-
шается в некоторой части частотного спектра. Однако, если
не учитывать одного частного случая, существует конечный
верхний предел, который не может превышать добавляемый
иммитанс, не вызывая при этом неустойчивости. Это изложено
В следующей теореме:
Теорема. Последовательное соединение сопротивления Zu
устойчивого при коротком замыкании, и сопротивления Z^
устойчивого при холостом ходе, не может быть устойчи-
вым при коротком замыкании, когда | Z2 О | Zt | во всех
точках на оси вещественных частот, если только Zx не-
обладает также устойчивостью при холостом ходе uZ* —
устойчивостью при коротком замыкании. Аналогично па-
раллельное соединение проводимости Yu устойчивой при:
холостом ходе, и проводимости К2, устойчивой при корот-
ком замыкании, когда | |>| Ki| для всех вещественных
частот, может быть устойчивым при холостом ходе лишь-
в случае, если Yi и Уг действительно устойчивы как при.
коротком замыкании, так и при холостом ходе.
234	Глава IX. Функции входного сопротивления
Доказательство этой теоремы, по существу, аналогично до-
казательству предыдущей теоремы. Мы начнем его, записав
общее сопротивление в виде
(!+!)•	(9.25)
При принятых условиях диаграмма для множителя 1 -t-(Zj/Z2)
не может охватывать начало координат. Следовательно, общее
число оборотов диаграммы Zj-j-^s должно быть таким же,
как и диаграммы Z2. Направление обходов должно соответ-
ствовать нулям, так как, согласно нашему предположению, Z,
устойчиво при холостом ходе и не имеет полюсов в правой
полуплоскости. Однако, так же как и в предыдущей теореме,
диаграмма суммы Zi-^-Z^ должна охватывать начало коорди-
нат столько же раз и в том же направлении, что и диаграмма Z,,
если сумма Zj-j-Z^ не должна обладать нулями в правой по-
луплоскости. Это направление обходов должно соответствовать
полюсам, так как Zx устойчиво при коротком замыкании. Оче-
видно, что эти требования не могут быть выполнены до тех
пор, пока ни одна из диаграмм вообще не будет охватывать
начало координат, что равносильно утверждению, что каждое
из сопротивлений Z, и Z2 должно быть устойчивым как при
коротком замыкании, так и при холостом ходе.
Предыдущие теоремы исчерпывают все комбинации двух
сопротивлений, за исключением тех, в которых оба сопротив-
ления устойчивы при холостом ходе, но не устойчивы при
коротком замыкании, или наоборот; Для этого случая основ-
ные принципы дает следующая теорема:
Теорема. Последовательное соединение двух сопротив-
лений не может быть устойчивым при коротком замыка-
нии и параллельное соединение двух сопротивлений не может
быть устойчивым при холостом ходе, когда оба сопротив-
ления устойчивы при коротком замыкании, но не устойчивы
при холостом ходе, или если модуль одного из сопротивлений
больше, чем модуль другого сопротивления, во всех точках
оси вещественных частот.
При этом предполагается, что можно не учитывать выро-
жденный случай, когда оба иммитанса обладают точно совпа-
дающими между собой полюсами в правой полуплоскости.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
предыдущих теорем. Если мы, например, предположим, что
|22|>|Д| и что Zj и Z, устойчивы при коротком замыкании,
то их сумма будет устойчивой при коротком замыкании лишь
в том случае, если диаграмма суммы Zj-f-Z^ охватывает на-
чало координат столько раз, сколько Zj и Z, имеют полюсов
Соединения активных двухполюсников	235
в правой полуплоскости. Однако, в соответствии с равенством
(9. 25), действительная диаграмма будет охватывать начало
координат столько раз, сколько полюсов имеет в правой по-
луплоскости одно лишь Z2. Два этих условия несовместимы,
за исключением тривиального случая, когда и Z2 обладают
одинаковыми полюсами в правой полуплоскости.
Любопытной особенностью этого результата является вы-
текающее из него заключение, что устойчивость сопротивле-
ния, устойчивого при коротком замыкании, не нарушается при
добавлении небольшого сопротивления, устойчивого при хо-
лостом ходе, но она может быть полностью нарушена, если
добавить даже очень малое сопротивление, устойчивое также
при коротком замыкании.
Ни одна из двух последних теорем не применима к сопро-
тивлениям, если они оба устойчивы при холостом ходе и устой-
чивы при коротком замыкании. Естественно ожидать, что эта
комбинация, вероятнее, чем другие, должна быть устойчивой.
Если, например, эти два сопротивления пассивны, то их можно
соединить между собой при любом соотношении их величин.
Однако в более общем случае все же необходимо учитывать
возможность неустойчивости окончательной схемы. Пример
этому дает следующая теорема:
Теорема, Если Zv и Z* являются соответственно поло-
жительным полным сопротивлением и отрицательным
полным сопротивлением, то всегда можно найти такие
значения для положительного постоянного множителя
что последовательное соединение ZY и XZ.2 не будет устой-
чивым при коротком замыкании и их параллельное соеди-
нение не будет устойчивым при холостом ходе, если толь-
ко ZY и Z^ в точности не пропорциональны одно другому.
Доказательство с очевидностью вытекает из диаграммы
Найквиста для функции (Zt -U >Z2)/Zlt
ГЛАВАХ
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА ДВУХПОЛЮСНЫХ ЦЕПЕЙ
ПО ЗАДАННЫМ ФУНКЦИЯМ СОПРОТИВЛЕНИЯ
1.	Введение
Предыдущая глава, в сущности, сводилась к попытке
найти общее физическое значение, которое имеет данный'
в главе VII ряд ограничений, накладываемых на функции
входного иммитанса. В настоящей главе мы продолжим это
рассмотрение в другом направлении. Предметом рассмотрения
в настоящей главе являются устройства и соображения, непо-
средственно применимые при проектировании. Таким образом,
эта глава, в широком смысле слова, должна явиться сводкой
методов проектирования. Однако ее содержание ограничено
тем, что сюда не включены вопросы, которые нелегко связать
с разработанной ранее системой анализа.
В первую очередь здесь рассматриваются функции вход-
ного иммитанса, но многие из результатов применимы также
к функциям цепи другого вида. В этой главе, при отсутствии
особых оговорок, будет предполагаться, что рассматриваемые
цепи являются пассивными.
Поскольку настоящая глава непосредственно не входит
в теоретическую часть книги, при необходимости ее можно
опустить, особенно, если читатель достаточно знаком с элемен-
тарной теорией пассивных цепей. Однако, если глава опускается,
надо, во всяком случае, обратить внимание на преобразования
частоты, описанные в конце главы, так как они будут исполь-
зованы в последующем.
2.	Обратные цепи
Двойственность методов анализа цепей с помощью сопро-
тивлений и проводимостей приводит к заключению, которое
уже упоминалось вкратце в главе I, но подробно еще не было
рассмотрено. Оно сводится к тому, что каждой цепи соответ-
ствует обратная цепь. Само собой разумеется, что этот вывод
вытекает из того обстоятельства, что требования, предъявляе-
мые к физическим функциям двухполюсника, одинаковы при
рассмотрении как сопротивления, так и проводимости. Напри-
мер, если мы имеем дело с пассивной системой, то требова-
ние, чтобы вещественная составляющая сопротивления была
Обратные цепи
237
положительной при вещественных частотах, подразумевает
и то, что вещественная составляющая проводимости также
должна быть положительной. Более того, ограничения нулей
и полюсов симметричны, так что взаимная замена нулей и по-
люсов, которая имеет место при переходе от сопротивления
к обратной величине, не влияет на выполнение условий физи-
ческой осуществимости. Отсюда следует, что если пассивное
сопротивление физически осуществимо, то обратная величина
также осуществима.
Вид схемы, соответствующий обратному сопротивлению
для обычных цепей, может быть найден известным способом,
который иллюстрируется фиг. 1161). Каждое последовательное
соединение заменяется параллельным соединением, и наоборот.
Отдельные элементы определяются путем замены активных
сопротивлений активными сопротивлениями, индуктивностей —
емкостями и емкостей — индуктивностями таким образом, что
произведение соответствующих активных сопротивлений или
соответствующих индуктивностей и величин, обратных емко-
стям, всегда равно постоянной величине. Нафиг. Непостоян-
ная величина произведения соответствующих сопротивлений,
включая и входные сопротивления, взята равной
Тип обратной цепи, показанный на фиг. 116, мы можем
рассматривать как инверсию схемы исходной цепи. Очевидно,
что метод, примененный для отыскания инверсии этой схемы,
не является общим. Например, поскольку он пригоден лишь
для последовательного или параллельного соединения, он не
дает возможности отыскать инверсию моста Уитстона. Однако
инверсия схемы мостовой цепи может быть найдена с
х) Zobel, Bell Syst. Techn. Journ., январь (1923) и июль (1928). Этот
вопрос изложен также в книге G u i 11 е m i n, Communication Networks,
л*. II, стр. 203.
238 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
помощью некоторого усовершенствования этого метода. Это
усовершенствование основывается на рассмотрении цепи как
геометрической фигуры, состоящей из линий и точек, которые
делят плоскость на отдельные области. Физически точки-
представляют собой узлы схемы, линии — различные элементы,
соединяющие эти узлы между собой, а области — замкнутые
контуры в схеме. Процесс нахождения инверсной цепи состоит*
Фиг. 117
вообще говоря, во взаимной замене областей и точек. Новая
точка берется в каждой области, и каждая такая новая точка
соединяется со всеми новыми точками в соседних областях
с помощью ветвей, являющихся инверсией тех ветвей, кото-
рые разделяли соответствующие области. Этот способ иллю-
стрирован фиг. 117, где новые точки обозначены Л,
Мы видим, что инверсией моста Уитстона является другой
мост.
Несмотря на это обобщение, инверсия схемы может быть
найдена не для любой цепи. Например, для цепи Бруне, опи-
санной в предыдущей главе, обратной схемы не существует,
поскольку мы не можем найти эквивалент для пары идеально
связанных емкостей, который необходим, чтобы представить
инверсию связанных катушек исходной схемы. Более того,
как показал Фостер 2), некоторые виды схемы не могут быть
представлены в виде сочетания точек, линий и областей на
плоскости, как это предполагалось в предыдущем рассмотрении.
2) Foster, Geometrical Circuits of Electrical Networks Trans. A. I. E. E.,
июнь (1932).
Обратные цепи
239
Для таких цепей, если даже не учитывать взаимоиндук-
ции, не существует инверсии схемы.
Хотя инверсию схемы не всегда можно получить» мы всегда
можем найти некоторую цепь, сопротивление которой равна
величине, обратной сопротивлению любой данной цепи. Сэтой
точки зрения* инверсией цепи Бруне является другая цепь
Бруне. Это можно иллюстрировать с помощью цепей, показан-
ных на фиг. 104 и 106. Первая из них соответствует сопроти-
влению Z = (2р*р/ (р*р2). Вторая составлена так,,
чтобы представлять сопротивление согласно равенству
(7.17). Однако, если мы удалим шунтирующее сопротивление
на входе, эта цепь будет представлять собой сопротивление Z*
из той же серии выражений и удовлетворять уравнению
7 — _L Р8 + р + 2
*	2 2ps + p+ 1 •
Таким образом, если удалена эта ветвь, то две цепи становятся
инверсными схемами, у которых произведение сопротивлений
равно ‘/2.
Для простоты мы ограничились рассмотрением пассивных
цепей. Очевидно, однако, эти рассуждения нетрудно распро-
странить на отрицательные сопротивления активных цепей,
отнесенных в. предыдущей главе к. классу II. С другой сто-
роны, если мы обратимся к классу III, то здесь ограничения,
накладываемые на нули и полюсы иммитансов, уже не являются
симметричными. У этих цепей должно быть ограничено левой
полуплоскостью лишь расположение нулей. Тем не менее,
функции сопротивления класса Ша и функции проводимости
класса Шб, очевидно, являются в известном смысле инверс-
ными. Разница заключается лишь в том, что при переходе от
класса Ша к классу Шб или обратно нужно брать не только-
инверсную цепь, но и инверсный источник, в то время как до сих
пор мы предполагали, что источник остается неизменным. По-
этому если считать, что такое изменение источника возможно,
то общий результат можно суммировать в следующей теореме:
Теорема. Каждому выражению физически осуществимого-
сопротивления соответствует выражение физически осу-
ществимой проводимости. Прее бра зевание стадной фермы
выражения к другой не включает генератора, если исход-
ное сопротивление или проводимость устойчивы как при
холостом ходе, так и. при коротком замыкании.
Если сопротивления активных цепей представляют собой
комбинации пассивных цепей и отрицательных активных со-
противлений, как это имело место в предыдущей главе, то
ранее сделанные замечания об инверсии схемы данной цепи
*240 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
могут быть отнесены на общий случай без изменений. Задача
отыскания инверсии схемы, содержащей ‘электронные лампы,
этим не исчерпывается.
3.	Дополняющие цепи
Кроме инверсии данной функции иммитанса, мы можем
также ввести понятие ее дополнения. Дополнение можно опре-
делить требованием, чтобы сумма исходной функции и ее до-
полнения была равна вещественной постоянной величине. До-
полнение будет представлять собой пассивное сопротивление,
•если мы выполним требования следующей теоремы:
Теорема. Пассивное дополнение может быть найдено для
любой функции иммитанса, если заданная функция не имеет
полюсов в правой полуплоскости и на оси вещественных
частот и если сумма заданной функции и ее дополнения
не меньше максимального значения вещественной составляю-
щей заданной функции на оси вещественных частот.
Доказательство этой теоремы мы здесь опускаем, так как
его легко получить путем повторения методов, которыми мы
пользовались в предыдущей главе. Если в качестве „примера
гвзять сопротивление пассивной цепи, то это требование будет
L	С
Фиг. 118
просто означать, что сопротивление должно быть типа мини-
мальной реактивности и что окончательное активное сопроти-
вление должно быть не меньше максимального активного со-
противления исходной системы.
Схемы, обладающие постоянным активным сопротивлением,
знакомые из обычной теории цепей, представляют собой част-
ные случаи, к которым относятся соотношения для дополняю-
щих цепей. Подобный пример показан на фиг. 118.
4.	Разложение выражения для сопротивления на простые
дроби в общем случае
Мы видели из предыдущей главы, что полюсы сопротивле-
ния или проводимости на оси вещественных частот могут быть
.выделены из полного выражения для сопротивления и пред-
Разложение выражения для сопротивления
241
ставлены отдельно с помощью реактивных цепей, присоеди-
ненных последовательно или параллельно системе в целом.
Этот же метод можно распространить, во всяком случае фор-
мально, и на другие полюсы сопротивления или проводимости.
Полученное таким образом представление сопротивления цепи
особенно интересно с точки зрения теории. Практическое зн ;-
чение этого метода ограничено тем, что в наиболее важном
частном случае пассивных цепей, при представлении функции
пассивного иммитанса, он не всегда приводит к пассивной цепи.
Несмотря на это, этот метод во многих случаях оказывается
полезным.
Рассмотрение этого вопроса можно упростить, если огра-
ничиться пассивными схемами и считать, что заданная функция
является сопротивлением. Положим далее, что полюсы сопро-
тивления расположены в точках ри..., рп. Чтобы избежать
сложности изложения, предположим также, что все полюсы
являются простыми. Порядок рассмотрения здесь, в сущности,
такой же, какому мы следовали в связи с равенством (9.8).
Соответственно для любого частного полюса pj мы можем
определить величину Cj с помощью следующего равенства:
Q = [(p-py)Z]p=v	(10.1)
Легко видеть, что Cj соответствует величине, которая
в предыдущем равенстве (9.8) обозначалась Д#. Мы можем
поэтому, на основании рассмотрения этого равенства, заклю-
чить, что выражение CjKp—pj) соответствует полюсу pj.
Другими словами, величина Z — С}/(р—pj) не будет иметь
полюса в точке pj. Предположим, что путем повторного при-
менения этого приема все полюсы исключены из исходного
выражения для сопротивления. Тогда оставшаяся величина
не имеет нигде в комплексной плоскости полюсов и, как это
следует из общих принципов теории функций, должна быть
постоянной J). Мы можем легко показать, что эта постоянная
является вещественной величиной, или, другими словами,
активным сопротивлением4). Если мы обозначим его через/?#,
то сопротивление можно будет представить с помощью фор-
мального разложения:
^=А.+^;+-+Л;+/?-• <10-* 2>
Как показывает равенство (10.2), сопротивление может быть
представлено рядом “ последовательно соединенных цепей,
г) См. теорему Лиувилля в любом учебнике по теории функций.
2) Как следует из (10.2), постоянная равна активному сопротивлению
цепи при бесконечной частоте.
16 Зак. 1327
242 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
причем каждая цепь соответствует одному из членов этого
выражения. Возможность такого представления с помощью пас-
сивной цепи определяется в сущности постоянной /?0. Чтобы
иметь возможность представить любой член разложения в виде
Фиг. 120
сопротивления простой пассивной цепи, естественно, необхо-
димо, чтобы каждое активное сопротивление оставалось, поло-
жительным на всех вещественных частотах. Может оказаться,
что какой-либо член выражения не удовлетворяет этому усло-
вию. Тогда все же можно представить сопротивление в виде
пассивной цепи, если для того, чтобы выполнить условие, мы
сможем добавить к нему достаточно большое активное сопро-
тивление, которое, естественно, надо вычесть из члена /?0.
Следовательно, существенное требование, которое должно быть
выполнено, заключается в том, что должно быть доста-
точно большим, чтобы обеспечить положительное активное
сопротивление на вещественных частотах во всех составляю-
щих цепях, при отсутствии отрицательного активного сопро-
тивления, последовательно включенного с системой в целом.
Между этим результатом и одним из положений теории четы-
рехполюсников существует весьма большая аналогия. Как мы
увидим позже, характеристики передачи четырехполюсника
можно всегда представить в виде ряда одна за другой вклю-
ченных систем, если только общая величина потерь исходной
цепи достаточно велика, чтобы обеспечить каждой из состав-
ляющих положительные потери на всех частотах.
Для иллюстрации сказанного предположим, что располо-
жено на отрицательной вещественной оси. Тогда легко пока-
зать, что соответствующее значение С} должно быть'.веще-
ственной величиной. Если С положительно, член С^(р—р^
легко отождествить с параллельной комбинацией сопротивления
и емкости, показанной на фиг. 119. Если С] отрицательно, то
такое представление не имеет физического смысла. Однако
при добавлении активного сопротивления С./р} выражение
получает вид С}р/р}(р—pj), что соответствует показанной на
фиг. 120 цепи, состоящей из индуктивности и сопротивления.
Разложение выражения для сопротивления
243
В случае комплексного полюса необходим более деталь-
ный анализ. Комплексные полюсы, естественно, составляют
сопряженные пары, и для получения физической цепи надо
полюсы объединять в такие пары. Пусть одной из частных пар
сопряженных полюсов является ра~^Рь- Легко показать, что
Фиг. 122
Фиг. 121
Фиг. 123
соответствующие значения С также должны быть сопряжен-
ными величинами. Если мы их обозначим через Ca±iCb, то
составляющее сопротивление Zj можно будет записать в виде
С а Н~ iCb__I____С a	iCb
p — <Pa+lPb) * р — {Ра~ IPb)
___ 2 (CgPa 4" Cbpb)
~ Pa — ^PaP + (pl+ ft) ‘
(10.3)
Во многих случаях вещественная составляющая выражения
(10.3) не будет положительной на всех вещественных частотах.
Однако, если мы дббавим достаточное сопротивление, то может
быть получена пассивная система. Когда добавляемое сопро-
Фиг. 124
тивление является наименьшим из возможных, система, как
показано на фиг. 121, принимает форму последней ячейки
цепи Бруне. Если сопротивление достаточно велико, to могут
получиться другие схемьь В общем случае они будут содер-
жать одну индуктивность, одну емкость и три активных со-
противления. Однако частные виды возможных схем опреде-
ляются числовыми значениями постоянных в выражении (10.3).
Типичные схемы показаны на фиг. 122 и 123.
Эти соображения .можно распространить на все полюсы. Если
мы, в частности, примем для комплексных полюсов их пред-
ставление по Бруне и будем рассматривать схемы, показанные
на фиг. 119 и 120, как частные случаи цепи Бруне, то полная
244 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
Фиг. 125
схема принимает вид, показанный на фиг. 124. Соответствую-
щая комбинация параллельно соединенных цепей, полученная
методом проводимостей, приведена на фиг. 125.
Как видно из фигуры, активное сопротивление (или прово-
димость), остающееся после того, как представлены все полюсы
иммитанса, может быть как положитель-
ным, так и отрицательным. Естественно,
оно будет положительным, если исходное
сопротивление, или проводимость, доста-
точно велико. С другой стороны, поскольку
минимум активного сопротивления, или
проводимости, различных составляющих
цепей обычно имеет место на разных ча-
стотах, то мы можем ожидать, что сум-
марная характеристика будет существенно
больше нуля во всех точках на оси ве-
щественных частот. Поэтому мы можем
ожидать, что последняя ветвь будет отри-
цательной, если исходный иммитанс при-
близительно соответствует предельному
случаю минимального активного сопротивления или минималь-
ной активной проводимости. Само собой разумеется, что это
является серьезным практическим ограничением. Однако в тео-
ретических исследованиях представление полного иммитанса
в виде суммы ряда очень простых членов все же может при-
водить к весьма полезным схемам. Во всяком случае, мы
можем с этой целью сформулировать результат в виде сле-
дующей теоремы:
Теорема. Пассивный иммитанс, не обладающий кратными
полюсами, всегда может быть представлен в виде суммы
пассивных иммитансов, каждый из которых имеет степень не.
выше второй, и некоторой положительной или отрицатель-
ной вещественной постоянной.
При применении этого метода к сопротивлениям активных
цепей надо учесть лишь два соображения. Прежде всего,
если сопротивление не является устойчивым как при коротком
замыкании, так и при холостом ходе, то некоторые из полюсов
сопротивления, или проводимости, будут расположены в правой
полуплоскости. При разложении соответствующие составляю-
щие цепи, представляющие эти полюсы, все же могут быть
построены, но они не будут пассивными системами. Второе
очевидное соображение заключается в том, что когда мы
имеем дело со схемой активного типа, то обстоятельство,
что последний член активного сопротивления или проводимо-
сти может быть отрицательным, не имеет значения.
Расчет полного сопротивления
245
5.	Расчет полного сопротивления пассивного типа
по одной из его составляющих *)
Рассмотрение предыдущей главы показало, что характе-
ристики активного и реактивного сопротивлений пассивной
цепи можно в известных пределах изменять независимо одна
от другой. Так, мы можем изменить на постоянную величину
характеристику активного сопротивления цепи, не меняя ее
реактивного сопротивления, и мы можем прибавить или вычесть
реактивное сопротивление, соответствующее полюсу на оси
вещественных частот, не оказывая влияния на активное сопро-
тивление. Однако это единственные два возможных случая,
когда две составляющие могут изменяться независимо одна
от другой. Если мы ограничимся цепями с минимальным актив-
ным сопротивлением или минимальным реактивным сопроти-
влением, то активное и реактивное сопротивления будут свя-
заны между собой однозначно. Если мы знаем любое из них,
то мы можем определить другое, а следовательно, и полное
сопротивление в целом.
Так как мы рассматриваем вещественную и мнимую соста-
вляющие сопротивления при вещественных частотах, то проще
всего записать Z в виде функции «, а не р. Естественно,
в общем случае Z может быть представлено в виде отноше-
ния двух полиномов от р. На оси вещественных частот члены
четных степеней в каждом из полиномов будут веществен-
ными величинами, а члены нечетных степеней — чисто мнимыми
величинами. Следовательно, мы можем записать
где А, В, С и D являются полиномами относительно с ве-
щественными коэфициентами. Если мы для уничтожения мни-
мости в знаменателе умножим числитель и знаменатель на
С — io>D, то получим
Z(<o) са + «>2£>а Са+<|АО’ ‘	(Ю.5)
Таким образом, активное сопротивление является четной
рациональной функцией <о с вещественными коэфициентами,
а реактивнее сопротивление представляет собой аналогичную
функцию, умноженную на <».
Наша задача заключается в отыскании полного выражения
для Z по известной одной из ее составляющих. Пусть нам
х) Общее рассмотрение подобного рода преобразований см. в статье
Darlington, Synthesis of Reactance 4 —Poles, Journal of Mathematics and
Physics, сент. (1939).
246 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
известна четная рациональная функция, представляющая собой
активное сопротивление. Начнем с разложения этого выраже-
ния на простые дроби по способу, описанному в предыдущем
разделе. Так как знаменатель является четной функцией ®,
то полюсы должны составлять пары отрицательных и положи-
тельных значений. Кроме того, каждому полюсу должен
соответствовать сопряженный полюс, так как все коэфициенты
знаменателя являются вещественными величинами. Таким обра-
зом, полюсы составляют группы по четыре полюса, симме-
трично расположенных вокруг начала координат. В частном
случае, когда полюсы находятся на оси мнимых частот, груп-
пы, каждая из которых состоит из четырех полюсов, превра-
щаются в пары. Полюсы могли бы также быть в парах, если бы
они располагались на оси вещественных частот, однако если
исходить из характеристики активного сопротивления соответ-
ствующей физической цепи, то таких полюсов существовать
не может.
Полюсы функции активного сопротивления, лежащие под
осью вещественных частот1), появляются, когда числитель и
знаменатель исходного выражения для сопротивления умножа-
ются на С — i<»D. Если окончательный результат должен соответ-
ствовать физической цепи, то их надо исключить путем пре-
образования выражения для Z. Пусть полюсы, расположенные
выше этой оси, соответствуют частотам . . . ,®„ и соответ-
ствующие вычеты Су в равенстве (10.2) будут С1(. . . ,С„. Тогда
^полюсы, _лежащие ниже оси, будут сопряженными точками
<»i, . . •, <оя, а их вычеты, как легко показать, — соответствен-
ными сопряженными величинами С\, . . ., С„.
Если мы припишем постоянную /?0 в равенстве (10.2) к этим
двум группам полюсов, то это позволит нам написать полное
разложение на простые дроби, в соответствии с равенством
(10.2), в следующем симметричном виде:
п	п _
Очевидно, что два выражения в скобках представляют
собой сопряженные величины на оси вещественных частот.
Следовательно, каждое из них дает половину окончательной
характеристики активного сопротивления. Если мы умножим
J) Т. е. под вещественной осью плоскости частоты или справа от мни-
мой оси плоскости р. См. описание фиг. 11.
Расчет полного сопротивления	247
правое из них на два, получим выражение для искомого сопро-
тивления в виде
п
z=2^+*.- (ад
1 1
Легко установить, что это равенство действительно дает
искомое выражение для сопротивления. Оно, очевидно, дает
правильную характеристику активного сопротивления, и его
полюсы расположены в соответствующей части плоскости. Тот
факт, что нули также находятся в соответствующей половине
плоскости, сразу получается как следствие, если мы вспом-
ним, что активное сопротивление должно быть положитель-
ным на оси вещественных частот, и если использовать общую
теорему о расположении максимума аналитической функции.
Легко также показать, что выражение (10.7) представляет
собой единственное полное сопротивление, соответствующее
исходной характеристике активного сопротивления, если толь-
ко не учитывать возможности введения чисто реактивных
цепей путем добавления полюсов на оси вещественных частот.
Если мы будем исходить из характеристики реактивного
сопротивления, то способ, в сущности, остается тот же. Един-
ственное различие заключается в том, что, вследствие наличия
множителя z<o, вычеты полюсов, лежащих ниже оси вещест-
венных частот, являются сопряженными вычетам для полюсов,
лежащих выше оси, взятым с обратным знаком. Следователь-
но, на вещественной оси суммы составляющих двух групп
полюсов имеют вещественные составляющие противополож-
ного знака и мнимые составляющие одного знака. Следова-
тельно, можно добавить постоянную вещественную величину
к одной группе и ее же с обратным знаком к другой группе,
не изменив результата.
Само собой разумеется, что это соответствует неизменности
реактивной составляющей любой цепи при добавлении адди-
тивной постоянной к ее активной составляющей.
Очевидно, что в общем случае не представляет большого
труда распространить анализ на полные сопротивления актив-
ного типа. Однако при этом необходимо предположить, что
требуемый тип устойчивости соответствует ограничениям полю-
сов данной функции, Так, если мы исходим из активного
сопротивления, мы легко можем составить соответствующую
функцию полного Сопротивления, которая будет устойчивой
при холостом ходе.- Однако не так легко определить полное
сопротивление, являющееся устойчивым при коротком замыка-
нии и неустойчивым при холостом ходе, так как полюсы функ-
ции, устойчивой при коротком замыкании, могут оказаться
248 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
в обеих половинах плоскости и может существовать несколь-
ко способов разделения на две группы членов разложения
активного сопротивления на простые дроби.
6. Выбор коэфициентов в выражениях
для сопротивления
До сих пор мы рассматривали физические ограничения,
налагаемые на возможные выражения для сопротивления, и
некоторые способы получения определенной схемы, соответ-
ствующей любому полному сопротивлению частного вида.
Здесь мы рассмотрим задачу, заключающуюся в выборе
выражения для сопротивления, аппроксимирующего уже задан-
ную характеристику. Существует ряд способов решения этой
задачи, особенно, когда эта характеристика задана в простой
аналитической форме. Однако для полноты ниже излагается
наиболее простой и прямой путь ее решения1).
Пусть рациональная функция, представляющая собрй сопро-
тивление, записана в виде
7 n I ,• V  Л + ^lP + ^Р1 + • • • + АтРт	/1ЛО\
Если мы заменим р на i<o и умножим все выражение на
(Во ... -|- Втрт), то, сравнивая отдельно вещественные и мни-
мые части, мы сможем получить следующие два равенства:
(До - Д2ш2 +	— ...) — У? (Во —	+ В4<о* -...) +
+ Х(о(В1-В3^ + В8<о4-...) = 0;	(10.9)
(Д4 - Д3о>2 + Двш4 -...)-₽ (В4 - В3<о2 +.Ввш4 -...)-
-А(В« - В^ + ВХ - .. .)=0.
Пусть теперь о>, /? и X в этих выражениях принимают
частные значения, взятые из той характеристики, которую мы
пытаемся аппроксимировать. Если мы выберем достаточное
число групп значений этих трех величин, то получим систему
совместных уравнений относительно величин Д и В, решение
которой дает цепь, аппроксимирующую требуемое сопротивле-
ние. Так как все эти уравнения линейны, то их решение будет
сравнительно простым.
Наиболее простой расчет получается, когда мы используем
оба уравнения (10.9) на каждой частоте. Однако в некоторых
*) Описанный метод, в сущности, является видоизменением метода Зобе-
ля. См. Z о b е 1, Distortion Correction in Electrical Circuits, Bell Syst. Techn.
Journ., июль (1928).
Выбор коэфициентов
249
случаях характеристика в целом получается лучшей, если мы
выберем вдвое большее число частот и применим для различ-
ных частот то одно, то другое из этих уравнений.
Так как равенство (10.8), очевидно, не нарушится, если
разделить числитель и знаменатель на любую постоянную, то
одна из величин А или В является произвольной и может
быть положена равной единице. Очевидно, что, применяя этот
метод, мы не гарантированы в получении физически осущест-
вимого выражения для сопротивления, так как характеристики
активного и реактивного сопротивлений физической цепи нель-
зя выбирать совершенно независимо друг от друга.
Тот же общий метод может быть применен для аппрокси-
мации по отдельности каждой из составляющих. Пусть, напри-
мер, мы исходим из функции активного сопротивления,задан-
ного выражением
р  ^4 0 ——|— у4 "!-••• + Ат<°2т	/1 n in\
Ba+B^ + B^ + ... + Bma>im •
Тогда, очевидно, мы можем выбрать соответствующие значе-
ния постоянных с помощью системы совместных линейных
уравнений, полученных путем подстановки частных значений о
и /? в равенстве
(Ло + А. + Ат«™) - R (В, +	+ • • • + Вт^т)\= 0.
(10.11)
Далее, из формулы для R ранее описанным методом может
быть составлено выражение для полного сопротивления.
При этом методе требования физической осуществимости
значительно менее трудны, чем были раньше. Однако все же
надо обращать внимание на то, чтобы рациональная функция,
которая получается для R, не имела полюсов любой кратно-
сти и нулей нечетной кратности на оси вещественных частот.
Хотя этот метод как будто требует знания лишь одной состав-
ляющей, он все же пригоден для аппроксимации полного
сопротивления.
Так как характеристики минимального реактивного сопро-
тивления и активного сопротивления цепи всегда зависимы
одна от другой, то, без существенного ущерба для общности,
можно ограничиться вначале одной лишь характеристикой
активного сопротивления. Мы всегда можем в известной сте-
пени изменять характеристику реактивного сопротивления,
добавляя в конце последовательную реактивную цепь.
Процесс аппроксимации активного сопротивления стано-
вится особенно простым, если мы используем то обстоятель-
ство, что цепи, построенные в виде фильтра высших или
250 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
низших частот типа „постоянного А*, замкнутого на активное
сопротивление, обладают входным активным сопротивлением
типа (10.10), в котором все члены числителя, за исключением
первого, равны нулю1). Тогда задача сводится к аппроксимации
заданной характеристики полиномом.
В этом случае могут быть применены обычные методы
степенных рядов.
7.	Преобразование частоты
Если мы вернемся вновь к общим уравнениям, подобным
уравнению (1.2), мы заметим, что, не считая членов активного
сопротивления, все входящие в них величины имеют форму
Ltjp или DtJlp. Само собой разумеется, что полное сопроти-
вление в целом является некоторой функцией р, определяе-
мой частными значениями величин L, D и R.
Положим теперь, что в данной цепи мы заменяем каждую
индуктивность полным сопротивлением, изменяющимся с часто-
той как некоторая функция f(p) и каждую емкость — полным
сопротивлением, изменяющимся как llf(p). Предположим также,
что различные сопротивления, заменившие первоначальные
индуктивности или емкости, находятся между собой в том же
соотношении, как и сами первоначальные индуктивности или
емкости. Очевидно, что это сводится просто к замене в .каж-
дом равенстве р на f(p), так что сопротивление Z(p} преоб-
разуется в Z[f(p)\. Другими словами, если мы знаем функцию
полного сопротивления данной системы, мы сразу можем
найти функцию сопротивления системы, полученной при заме-
не каждой индуктивности пропорциональным сопротивлением
некоторого другого типа и каждой емкости — соответствующим
обратным сопротивлением. Необходимо просто заменить р
в первоначальной функции полного сопротивления выраже-
нием сопротивления, которое заменяет индуктивность. Хотя
это положение было сформулировано применительно к вход-
ным сопротивлениям, оно, очевидно, справедливо также для
четырехполюсников.
Исходя из формулировки принципа, каждая индуктивность
может быть заменена полным сопротивлением с потерями
(фиг. 126). Однако практически этот принцип главным обра-
зом важен, когда каждая индуктивность заменяется цепью,
состоящей из чистых реактивностей. Это объясняется тем,
что когда мы имеем дело с цепью, состоящей из чистых
реактивностей, то первоначальная переменная р и новая пере-
*) Детали этого вопроса даны в статье Bode, A Method of Impedance
Correction, Bell Syst Techn. Journ., окт. (1930).
Преобразование часто mu
251
менная f(p) принимают при вещественных частотах лишь чисто
мнимые значения. Поэтому характеристики для вещественных
частот преобразованной цепи могут быть получены из харак-
теристик для вещественных частот исходной системы просто
путем сопоставления соответствующих значений р и f(p),
в то время как в случае диссипативной цепи эти характери-
стики преобразованной системы должны
определяться с помощью вычислений. Ре-
активное сопротивление самой сложной
реактивной цепи просто несколько раз
повторно пробегает все значения от — оо Фиг. 126
до -]-оо, когда первоначальная перемен- .
ная р пробегает эти значения лишь один раз. Поэтому в худ-
шем случае преобразованная характеристика несколько раз
воспроизводит первоначальную характеристику в несколько
искаженном масштабе частот и, может быть, даже при обрат-
ной шкале частоты.
Лучшие примеры этого принципа дает теория фильтров.
Например, если мы будем исходить из фильтра нижних частот,
показанного на фиг. 127, А, то наи-
более простое преобразование полу-
чится, если мы положим f(p) — k/p,
где k является вещественной по-
стоянной. При этом каждая индуктив-
ность заменяется емкостью и каждая
емкость—индуктивностью, как показа-
но на фиг. 127, В. Характеристики
при этом получаются такие же, как
и у первоначальной системы, за исклю-
чением того, что частотная шкала
теперь стала обратной, а положи-
тельные и отрицательные частоты по-
менялись местами. Другими словами,
новая система является уже фильтром
верхних частот. Соотношение между
двумя соответствующими частотами
двух систем на шкале абсолютных
частот, как, например, между частотами среза, можно изменять
путем выбора постоянной k.
Следующее простейшее преобразование определяется фор-
мулой f(jp) = k(pl<i>r^-<»rlp). Оно заменяет, как показано на
фиг. 127, С, 'каждую индуктивность последовательным резо-
нансным контуром и каждую емкость — противорезонансным
контуром. Как легко видеть, в результате получается поло-
совой фильтр. Резонансные частоты цепей, заменяющих перво-
начальные катушки и конденсаторы, соответствуют нулевой
252 Глава X, Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
частоте в фильтре нижних частот и представляют собой сере-
дину полосы пропускания. В остальном характеристика пред-
ставляет собой искаженную копию первоначальных характе-
ристик фильтра нижних частот. Само собой разумеется, что
।----1-----1----1----1..—*...— ..X, о Фильтр
-3,0 —2,0 —1,0	0,0	1,0	2,0	3,0 нижних частот
0,33 0,5	1,0 2,0 °° —1,0 -0,5 -0,33 верхних частот
(л) п
  * -  .1 " —» >.. * — Полосовой
0,5 0,62 0,78 1,0	1,28 1,5	2,0 иг фильтр
Фиг. 128
частота, на которой расположена середина полосы пропуска-
ния, определяется постоянной ®г, а ширину полосы можно
изменять с помощью постоянной k.
Эти соотношения детально показаны на фиг. 128. Сплош-
ная и пунктирная кривые в верхней части фигуры изображают
соответственно вещественную и мнимую составляющие пол-
ной характеристики фильтра. Фигура построена таким обра-
зом, что сама характеристика рассматривалась как неизменная,
а изменения, имеющие место при переходе от одного типа
фильтра к другому, показаны с помощью изменений шкалы
частот, произведенных на горизонтальных осях внизу чертежа.
Верхняя ось представляет собой шкалу для^ случая филь-
тра нижних частот. Так как эту шкалу можно использовать
в качестве эталона, то она выполнена в виде обычной линей-
ной шкалы.
Чтобы полностью выразить взаимосоответствие между этими
тремя характеристиками, необходимо для случая фильтра
нижних частот вычертить как положительную, так и отрица-
Преобразования частоты при проектировании усилителей 253
тельную половину оси вещественных частот. Положительная
половина оси вычерчена жирной линией, в соответствии с тем
фактом, что при непосредственном проектировании лишь она
представляет интерес. Соотношение между двумя половинами
этой характеристики легко найти, так как, в соответствии
с общим принципом, изложенным в предыдущей главе, веще-
ственная и мнимая составляющие характеристики должны
представлять собой четную и нечетную функции частоты.
Вторая горизонтальная ось дает шкалу для фильтра верх-
них частот. Постоянная k здесь выбрана равной единице.
Преобразование, в сущности, здесь сводится просто к замене
частот обратными величинами, по сравнению со случаем филь-
тра нижних частот. Но чтобы обеспечить точное соответствие,
, положительная половина шкалы частот в случае фильтра
верхних частот должна быть отождествлена с отрицательной
половиной шкалы частот фильтра нижних частот. Нижняя ось
дает шкалу для полосового фильтра при постоянной k, рав-
ной двум. Здесь положительная и отрицательная половины
шкалы для фильтра нижних частот соответствуют положитель-
ным частотам большим и меньшим величины, лежащей в сере-
дине шкалы полосового фильтра.
8.	Преобразования частоты при проектировании
усилителей
Преобразования частоты будут использованы в последующих
главах для упрощения рассмотрения методов проектирования
усилителей. Большинство усилителей предназначено для пере-
дачи полосы частот, лежащей между одной конечной, не рав-
ной нулю, частотой и другой конечной частотой. Однако для
анализа мы в качестве исходной будем брать систему, про-
пускающую частоты от нуля, т. е. постоянного тока, до неко-
торой заданной частоты. Эту систему мы будем называть
эквивалентным, усилителем, пропускающим нижние частоты.
Изменение характеристик эквивалентного усилителя, необ-
ходимое для того* чтобы удовлетворить требованиям, может
быть осуществлено одним из двух методов, в зависимости
от ширины полосы пропускания реального усилителя. Если
эта полоса относительно широкая, то проще всего предполо-
жить, что характеристики эквивалентного усилителя совпада-
ют на высоких частотах с характеристиками реальной системы,
и на них наложить низкочастотные характеристики, учитывая,
что полоса пропускания реального усилителя не доходит до
нулевой частоты. Требуемые низкочастотные характеристики
можно получить в любом соответствующем высокочастотном
устройстве, начертив характеристики в обратной шкале частот
254 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
и используя преобразование от низкочастотного фильтра к
высокочастотному, которое было описано в предыдущем раз-
деле. Это показано на фиг. 129. Сплошная кривая представ-
ляет собой характеристику канала усиления в основном экви-
валенте, прозрачном для нижних частот; пунктирная линия
показывает изменения в характеристике вблизи нижней гра-
ницы рабочей полосы.
Наоборот, если реальный усилитель обладает сравнительно
узкой полосой, то более удобно считать, что характеристика
частота
Фиг. 130
целиком получена от эквивалентной системы, пропускающей
нижние частоты, с помощью ее преобразования в полосовой
фильтр. Например, на фиг. 130 показана характеристика поло-
сового фильтра, соответствующая характеристике фильтра ниж-
них частот (фиг. 129). Так как подобное преобразование всегда
приводит к характеристикам, симметричным относительно
середины полосы, то усилители, характеристики которых у
верхней и нижней границ имеют различную форму, должны
рассматриваться непосредственно. Однако узкополосные усили-
тели, характеристики которых, согласно предъявленным к ним
требованиям, должны быть асимметричными, представляют
собой исключение.
Эти преобразования частоты были здесь изложены в каче-
стве способа упрощения анализа. Однако часто они оказыва-
ются удобными также в предварительных этапах реального
проектирования, ибо схему эквивалентного усилителя обычно
значительно легче рассчитать, чем схему реальной системы.
9.	Принцип постоянства ширины полосы
Преобразование системы, пропускающей нижние частоты
в полосовую, обладает одним простым свойством, имеющим
большое значение.  Оно заключается в том, что преобразова-
ние катушки в резонансный контур или конденсатора в проти-
ворезонансный контур не влияет на ширину полосы в герцах,
если мы сохраняем неизменными в первом случае катушку и
Принцип постоянства ширины полосы 255
во втором — конденсатор. Пусть, например, в системе, про-
пускающей нижние частоты, реактивная проводимость данной
емкости С меньше некоторого фиксированного значения В»
при всех частотах от нуля до некоторого значения ®0, при
котором В0 = ®0С. В полосовой системе реактивная проводи-
мость соответствующей ветви может быть в общем случае
записана в виде
шВ^^С------(10.12)
Величина В принимает значения ±В9 в двух точках на
противоположных концах полосы пропускания. В этих точках,
которые можно обозначить через и ®2, равенство (10.12)
получает значения
«>2В0 =	;
— <в1В0 = о>2С —(10.13)
Вычитая второе равенство из первого, получаем
(<°2 — Ш1) С = (“2 + Ш1)	= (®2 + ®1)
или
— о>1 = ®0.	(10.14)
Таким образом, частотный интервал между соответствующими
точками характеристики полосовой системы такой же, как
эквивалентный интервал *) в характеристике системы, пропускаю-
щей нижние частоты, независимо от средней частоты полосы
пропускания, которая может быть выбрана путем изменения L.
Аналогичный результат, очевидно, получится, когда при
преобразовании катушки в последовательный резонансный кон-
тур мы сохраним неизменной индуктивность.
Аналогичные соотношения будут справедливыми также и
при замене отдельной катушки или конденсатора цепью лю-
бой сложности, составленной из реактивных элементов, при
соблюдении того лишь условия, что цепь ведет себя как
заменяемый ею элемент при бесконечной частоте. Полное
сопротивление, или проводимость, этой ветви тогда будет
9 Само собой разумеется, что этот интервал представляет собой лишь часть
полосы системы, пропускающей нижние частоты, соответствующую положи-
тельным частотам. Так как характеристика полосовой системы сравнивалась
на фиг. 128 с суммой характеристик системы, пропускающей нижние частоты,
построенных для положительных и отрицательных частот, то, на первый
взгляд, может показаться, что ширина полосы в полосовой системе должна
быть удвоена. Кажущееся противоречие объясняется тем, что там должна
быть также полосовая характеристика для отрицательных частот. Общий
интервал на всей оси вещественных частот в обоих случаях одинаков.
256 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
изменяться в заданных пределах в ряде дискретных полос
пропускания, ширина и расположение которых определяются
выбранными резонансами и противорезонансами. Однако сумма
всех этих интервалов равна соответствующему интервалу при
исходной индуктивности или емкости.
Важность этих заключений с большей отчетливостью будет
видна из следующих глав. Можно показать, что большинство
характеристик усилителей с обратной связью ограничены пре-
делами, определяемыми паразитными элементами в схеме, како-
выми являются, во-первых, шунтирующие емкости на землю
и, во-вторых, последовательные индуктивности. Например,
усиление ламп ограничено пределом, зависящим от межкас-
кадных емкостей. Входные и выходные трансформаторы, во
всяком случае на высоких частотах, ограничены главным обра-
зом самоиндукцией рассеяния и емкостью высоковольтной
обмотки. Величина обратной связи, которую можно получить,
ограничена таким же образом различными паразитными эле-
ментами в замкнутой петле обратной связи. Очевидно, что
во всех этих случаях можно применить только что получен-
ный результат к паразитным элементам, если их рассматривать,
'как часть полосовой системы, полученной в результате пре-’
образования из системы, пропускающей нижние частоты. Одна-
ко поскольку относительные величины сопротивлений различ-
ных ветвей в полной схеме не изменяются при преобразова-
нии, то реактивное сопротивление, или проводимость, любой
ветви, содержащей паразитный элемент, находится в таком же
соответствии с любым параметром, характеризующим реакцию
схемы после преобразования1), в каком оно находится для
системы, пропускающей нижние частоты. Следовательно,
*) Точнее говоря, с любым параметром, который определяется значе-
ниями сопротивления ветвей на одной частоте. Очевидно, что отсюда, на-
пример, исключается запаздывание, так как оно зависит как от сопротивле-
ний ветвей, так и от скорости их изменения с частотой. Естественно, при
этом не придается значения тому обстоятельству, что знак такого пара-
метра, как, например, реактивное сопротивление, может быть в одной части
полосы противоположным знаку параметра системы, пропускающей нижние
частоты.
Получение двухполюсников с потерями
257
общий результат может быть сформулирован в нижеприводи-
мой теореме:
Теорема. Ширина полосы частот в герцах, в пределах
которой может быть получена заданная реакция схемы
данной общей конфигурации, содержащей заданные после-
довательные индуктивности и шунтирующие емкости, не
зависит от расположения этой полосы в спектре.
Это постоянство ширины полосы при преобразовании систе-
мы, пропускающей нижние частоты, в систему полосовую
иллюстрировано фиг. 131. Характеристики здесь те же, что и
изображенные на фиг. 129 и 130. Равные интервалы в этих
двух случаях указаны горизонтальными линиями А, В и С.
10. Получение двухполюсников с потерями
путем преобразования частоты
В связи с рассмотрением фиг. 124 было видно, что преоб-
разование частоты, при которой реактивные элементы исход-
ной системы заменяются сопротивлениями с потерями, имеет
относительно небольшое значение. В общем случае это спра-
ведливо. Однако есть два частных случая, когда подобные
преобразования представляют известный интерес. Первый из
этих случаев имеет место, когда исходная система составлена
только из реактивных элементов. В этом случае этот метод
преобразования может быть использован для обобщения резуль-
татов Фостера, полученных им для цепей, состоящих из чисто
реактивных элементов, и распространения их на цепи, состоя-
щие из двух любых типов элементов. Нет необходимости счи-
тать, как это делалось раньше, что элементы цепей, заменяю-
щие катушки и конденсаторы в исходной системе, являются
инверсными.
Правило выполнения преобразования можно легче всего
выразить с помощью равенства (9.12). Система, к которой отно-
сится это равенство, вырождается на высоких частотах в неко-
торую индуктивность» Очевидно, величина р, на которую умно-
жается вся правая часть равенства, может рассматриваться
как выражение для- полного сопротивления этой индуктивно-
сти. Аналогично, .члены с р* различных множителей числителя
и знаменателя соответствуют резонансам между индуктивно-
стями и емкостями цепи и могут рассматриваться как отно-
шения полных сопротивлений индуктивности и емкости. С по-
мощью более подробного рассмотрения можно показать, что
это правильно. Следовательно, если мы заменим индуктивности
и емкости цепи, состоящей из чисто реактивных элементов,
17 Зак. 1327
258 Глава X. Некоторые вопроси расчета двухполюсных цепей
пропорциональными полными сопротивлениями любых двух
других типов элементов, то выражение для нового полного
сопротивления может быть получено на основании следующей
теоремы:
Теорема. Выражение для полного сопротивления цепи,
составленной из двух видов элементов, может быть полу-
чено из выражения для полного сопротивления соответ-
ствующей цепи, составленной из чисто реактивных эле-
ментов, если заменить множитель р в выражении для
чисто реактивного сопротивления полным сопротивлением,
соответствующим единичной индуктивности, и заменить
члены р* в оставшейся части выражения для чисто ре-
активного сопротивления отношением полных сопротивле-
ний, соответствующих единичной индуктивности и единич-
ной емкости.
Так как исходное выражение для реактивного сопротивле-
ния было получено в главе IX для схемы типа L — L,iq фор-
мулировка теоремы имеет в виду систему этого типа. Однако
необходимые для других случаев изменения легко могут
быть сделаны с помощью методов, описанных в предыдущей
главе.
В качестве примера этой теоремы рассмотрим цепь, состоя-
щую из индуктивностей и активных сопротивлений. При полу-
чении такой системы путем преобразования цепи, состоящей
из чисто реактивных элементов, единичная индуктивность
сохраняется в виде единичной индуктивности, но единичная
емкость заменяется единичным активным сопротивлением.
Таким образом, множитель р в выражении для чисто реактив-
ной цепи не изменяется, а каждая величина р* заменяется
величиной р. Подставляя это в равенство (9.12), получаем
выражение для нового сопротивления в виде
7_£,_ (Р— pD (Р— Ргд"’(р— рт)
(Р ~Р*д (Р ~Pi)-• (р-Р^)
(10.15)
В качестве второго примера положим, что цепь составлена
из емкости и активных сопротивлений. В этом случае единич-
ная емкость остается в виде единичной емкости, в то время
как единичная индуктивность заменяется единичным активным
сопротивлением. В формуле для полного сопротивления мно-
житель р заменяется единицей, а каждая величина р2, как и
раньше, заменяется величиной р. В результате получается
7—Ъ (p-pi)(p—pl)---(p—pm)
(Р —pi) (Р-pl)- -(Р —рт-1) ’
(10.16)
Влияние потерь
259
В (10.15) и (10.16) нули и полюсы находятся на оси отри-
цательных вещественных значений р и следуют, чередуясь
друг за другом. Единственное различие между этими двумя
выражениями заключается в том, что при движении вдоль оси,
начиная от начала координат, в случае цепи, составленной из
индуктивностей и активных сопротивлений, мы первым встре-
чаем нуль, а в случае цепи, составленной из емкостей и актив-
ных сопротивлений, мы первым встречаем полюс.
Оба типа цепей можно представить в форме, соответствую-
щей разложению на простые дроби. Например, для цепи, состо-
ящей из индуктивностей и активных сопротивлений, мы можем
получить одну из схем, показанных на
фиг. 132 и 133. Эти разложения были
уже в основном описаны в связи с
фиг. 118, 119 и 120.
-АЛЛЛЛ
уОРО-г
Фиг. 133
Фиг. 132
Как показывает анализ, несмотря на то, что полюсы цепей,
составленных из индуктивностей и активных сопротивлений,
а также емкостей и активных сопротивлений, в обоих случаях
расположены на отрицательной вещественной оси, они соответ-
ствуют величинам С] или вычетам, взятым с обратным знаком.
Следовательно, когда мы между собой складываем, согласно
фиг. 118, соответствующие члены, относящиеся к цепи, состо-
ящей из емкостей и активных сопротивлений; и к цепи, состо-
ящей из индуктивностей и активных сопротивлений, полюсы
взаимно уничтожаются, и остается только постоянная вели-
чина.
11. Влияние потерь
Второй случай, в котором может быть использовано пре-
образование частоты, заменяющее реактивные элементы двух-
полюсниками с потерями, имеет место, когда мы стремимся
выразить в формулах для цепи влияние обычных потерь в
катушках и конденсаторах. Например, если /? есть активное
сопротивление катушки L, мы можем записать полное сопро-
тивление катушки в виде
pl+r=(p+t^l.
♦
260 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
Влияние потерь, таким образом, может быть отражено заме-
ной р на р-\-ЩЬ в выражении для полного сопротивления
катушки без потерь. Аналогично полное сопротивление кон-
денсатора, обладающего активной проводимостью О, может
быть записано в виде
. 1 1
pC+G

т. е. оно равно полному сопротивлению емкости без потерь,
если р заменить на pA-G/C.
В большинстве цепей отношение R/L имеет приблизительно
одинаковое значение для всех катушек и отношение G/С при-
близительно одинаково для всех конденсаторов. Если, кроме
того, в цепи эти два отношения равны между собой, то про
такую цепь говорят, что она обладает однородными потерями;
Это второе условие выполняется не так часто в реальных
схемах. Однако в обычных схемах влияние потерь практически
одинаково как в случае, когда мы считаем потери сосредото-
ченными только в катушках или только в конденсаторах, так
и в случае, когда мы полагаем, что они поровну разделены
между этими двумя типами элементов’). При этих условиях мы,
очевидно, можем выразить влияние потерь, заменив р на
р-\~ -% (R/L -J- О/С) в выражениях для полного сопротивления
как для катушек, так и для конденсаторов. Таким образом,
мы приходим к следующей теореме:
9 Это можно считать экспериментально установленным. Однако этот
факт можно также доказать теоретически для многих видов цепей. Так, если
мы вернемся к энергетическому анализу, главы VII, то станет очевидным,
что влияние потерь должно проявляться в виде потерь мощности в дисси-
пативных элементах. Но отношение мощности потерь PR в катушке с поте-
рями к накопленной ею энергии PL равно просто 2/?/£, а для конденса-
тора с потерями это отношение равно 2G/C. Следовательно, во всей цепи
мощность рассеяния должна быть равна (2 R/L) Г + (2 GjC) У, что можно
записать также в виде:
(Г+.Ю (т + ?)+(Г-'Ю (£—£)•
\ л-»	О J	\*~*	О J
Первый член этого выражения, очевидно, представляет собой принятое выше
значение для средней мощности рассеяния, а второй член дает ошибку этого
предположения. Так как Т— V, согласно равенству (7.31), пропорционально
входной реактивной проводимости, то ошибка будет пренебрегаемо малой
для любой цепи, полное сопротивление которой приблизительно активно.
Даже если это условие не удовлетворяется, второй член, как показывают
равенства (9.15) и (9.17), будет пренебрегаемо малым по сравнению с первым,
если цепь представляет собой двухполюсник с резко изменяющимся реактив-
ным сопротивлением, или, как будет показано следующими аналогичными
равенствами, если цепь является электрически длинной системой, подобной
фильтру.
Влияние потерь
261
Теорема. Если цепь можно считать обладающей одно-
родными потерями, то любой из ее действительных пара-
метров может быть получен заменой р на р ^-~(R/L+-G/C)
в равенствах для соответствующих параметров, составлен-
ных для случая отсутствия потерь.
С математической точки зрения, эта теорема, в сущности,
утверждает, что изменения, обусловленные потерями, можно
учесть, если брать значения данной функции не на самой оси
вещественных частот, а на линии, расположенной несколько
правее этой оси. Это показано на фиг. 134. Тонкая сплошная
линия представляет собой новую ось для случая, когда
R/L-\- G/С не зависит от частоты, а пунктирная линия,—для обыч-
ного в практике случая, когда R/L -j- О/С возрастает с часто-
той. С другой стороны, мы, естествен-
но, можем считать, что вычисления
попрежнему делаются на оси веще-
ственных частот, но сама функция,
включая ее нулц, полюсы и другие
характерные точки, сместилась на со-
ответствующее расстояние влево.
Эти соотношения приводят к про-
стому методу расчета цепей, дающе-
му автоматическую компенсацию влия-
ния потерь. Этот метод был впервые
применен Дарлингтоном1) для расчета
фильтров, дающих равномерное про-
пускание в полосах прозрачности при
наличии диссипативных элементов.
Согласно этому методу, расчет цепи производится без учета
потерь, а затем все нули и полюсы полученного выражения
для полного сопротивления переносятся в плоскости р вправо
на величину-^- (R/L-\- О/С). Само собой разумеется, что после
того, как влияние потерь учтено, нули и > полюсы передви-
гаются обратно в свои истинные положения. Если R и G не
зависят, от частоты, то необходимое смещение одинаково для
всех полюсов и нулей. В противном случае, обычно бывает
достаточно сместить каждый полюс или нуль на значение
величины ^-(R/L-^O/C) на соответствующей вещественной
частоте. Пример показан на фиг. 135, которая изображает рас-
пределение нулей и полюсов сопротивления передачи фильтра
низких частот, равного Д/Д^. Жирная линия приближенно
J) Loc. cit., стр. 335 и дальше.
262 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
показывает полосу пропускания. Кресты изображают полюсы,
т. е. точки бесконечного затухания, а кружки представляют
собой нули, т. е. точки бесконечного усиленияJ). Предваритель-
ное изменение характеристики, служащее для компенсации
потерь, осуществляется перемещением полюсов й нулей в
положения, отмеченные индексами со штрихом*).
Само собой разумеется, что при таком перемещении нулей
и полюсов вправо необходимо удостовериться в том, что полу-
чающаяся цепь не является физически неосуществимой. На-
го описанном случае нули представляют
собой корни определителя А и не могут
сдвигаться в правую полуплоскость даже
при предварительном расчете, если мы
имеем дело с пассивной цепью.
В этом частном примере нет существен-
ного ограничения расположения полюсов
функции. Однако если бы метод применял-
ся к пассивному входному сопротивлению,
то необходимо было бы предположить, что
и нули и полюсы исходной системы сдви-
нуты влево от оси вещественных частот по
меньшей мере на величину (R/L 4~ G/C),
с тем чтобы критические частоты обоих
типов не могли в результате смещения по-
пасть в правую полуплоскость. Таким обра-
зом, область, заключенная между мнимой
осью и прямой, расположенной левее ее
на у (R/L-j-G/C) единиц, представляет
собой запретную зону,’ в пределы которой
мы не должны допускать нули и полюсы
исходной системы.
Преобразование частоты может быть также применено для
получения удобного способа оценки влияния потерь непосред-
ственно из рассмотрения характеристик системы для веще-
ственных частот. Чтобы показать это, предположим, что мы
интересуемся некоторой характеристикой Ф = А IB. Пусть Ф
является аналитической функцией частоты в окрестностях ис-
следуемой нами точки. Если мы исключим такие изолирован-
9 Более детально это рассмотрено в следующей главе. Выяснение
оснований тому, что распределение полюсов и нулей этого типа должно
соответствовать фильтру нижних частот, выходит за пределы излагаемого
вопроса.
*) Практически полюсы обычно не смещают, так как изменение их поло-
жения относительно мало влияет на искажения в полосе пропускания и тре-
бует усложнения структуры цепи.
пример, в только
0-01
О—О1
О--О'
0^0г
О--О'
о- О'
О--О'
:-х*
Фиг. 135
Влияние потерь
263
ные частоты, как полюсы или частоты среза, то это даст нам
возможность рассматривать почти любую желательную Haii
характеристику цепи. Метод может быть, например, применен
к самым различным функциям, кйк сопротивление, отношение
напряжений, фактически получающаяся частотная характери-
стика или характеристическая постоянная передачи.
Однако необходимо вспомнить, что если Ф должно ,быть
аналитической функцией, то должны быть представлены цак
С ?з Ось вещест-
, венных значений ш
Д со Рг
Фиг. 136
ее вещественная, так и мнимая составляющие. Другими сло-
вами, если мы интересуемся такими функциями, как активное
сопротивление или затухание цепи, то мы должны добавить
в функцию Ф соответствующее активное сопротивление или
сдвиг фаз.
Метод основывается на разложении функции Ф с помощью
ряда Тэйлора. Как мы уже видели, появление потерь в цепи
эквивалентно замене р или i® величиной £«>-}-у (R/L-+- G/C).
Следовательно, переменная w изменяется на величину
Да> = -/*/4 (/?/£ +О/С).
Пользуясь обычным обозначением Q для того, чтобы выра-
зить среднее затухание в катушках и конденсаторах, мы можем
записать это изменение <о в виде — za>/Q. Следовательно, разло-
жение Ф в ряд Тэйлора будет иметь следующий вид:
Ф + \ 1 Q} ~dv “Ь 2! \ 1 ~q]	’ (10.17)
где Ф представляет собой характеристику, соответствующую
фактически существующим потерям, а Фо — характеристику
без учета потерь. Чтобы применить этот ряд, естественно,
необходимо знать. числовые значения производных. Прираще-
ние <о является мнимой величиной, в то время как поведение Ф
известно лишь на оси вещественных частот. Однако, поскольку
Ф является аналитической функцией, ее производные одина-
264 Глава X. Некоторые в:' гросы. расчета двухполюсных цепей
ковы во всех направлениях. Следовательно, мы можем их
вычислить с помощью следующих равенств:
d® _dA . .dB. d*<T>_d*A ,^*В
dm dm ‘ dm ’ d<o* dm* ~ dm* ’	’
(10.18)
где предполагается, что дифференцирование осуществляется
при вещественных частотах. Это иллюстрировано фиг. 136. Дей-
ствительное перемещение <» происходит из точки Л в сторону
от оси вещественных частот в точку Р*. Однако законным
является составление ряда Тэйлора в предположении, что мы
имеем дело с эквивалентным вещественным смещением час-
тоты в одну из точек Р3 или Р3. Для получения окончатель-
ного ответа мы должны далее приращение <» в каждом члене
ряда повернуть на 90°. Результат получается аналитически
подстановкой (10.18) в (10.17). При этом мы получаем
о —J
J 21 Q2
7ZM . .d\
d<&
(10.19)
отдельности
Приравнивая теперь по
величины, находим:
.__ .	.о» dB	1	<оа	d2A
Л — ло -Г q fa —
П—П	<LdA	1d-B
—	q dvi	2\Q*dv*
вещественные и
1 ,<ц3
3! Q* dm*
1 т* d*A
3!Q‘dm*
мнимые
(10.20)
(10.21)
Так как влияние потерь обычно бывает мало, то члены выс-
ших порядков можно отбросить и получить удобные формулы
А~А^Т)“‘	(10.22)
(10.23)
При численных расчетах важно помнить, что в этих выра-
жениях величина Q соответствует среднему затуханию кату-
шек и конденсаторов, и в случае, когда затуханием конден-
саторов можно пренебречь, его следует брать равным двой-
ному значению Q катушек1).
Равенства (10.22) и (10.23) показывают, что в первом при-
ближении изменение, вызванное в вещественной составляющей
характеристики цепи, пропорционально пройзводной ее мни-
J)T. е. считать Q катушки, как обычно, равным mLjR. (Прам. ред.)
Влияние потерь
26b
мой составляющей, и наоборот. Например, если считать, что А
представляет собой активное сопротивление и В — реактивное
сопротивление цепи, то мы видим, что активное сопротивление,
вносимое потерями, будет пропорционально производной харак-
теристики реактивного сопротивления и, обратно, изменение
реактивного сопротивления пропорционально производной ак-
тивного сопротивления.
С другой стороны, если считать, что А является коэфици-
ентом затухания и В — фазовым коэфициентом цепи, то, как сле-
дует из равенства (10.22),
изменение затухания, вы-
званное потерями, будет
пропорцион ально я време-
ни запаздывания”. Анало-
гично равенство (10.23)
показывает, что влияние
потерь на изменение фазы
зависит от производной
характеристики затуха-
ния.
Пример этих соотно-
шений приведен на фиг.
137. На этой фигуре
сплошные линии дают ве-
щественную и мнимую со-
ставляющие постоянной
передачи фильтра нижних
частот без потерь. В изве-
стном смысле эта харак-
теристика выбрана не-
удачно, так как она обла-
дает особенностями на
срезе и в точках беско-
нечного затухания. Как
видно, в каждой из этих
точек крутизна характе-
ристики затухания бесконечна. Кроме того, фазовая ха-
рактеристика имеет- разрывы в точках бесконечного зату-
хания, соответствующие изменению знака тока в нагрузке,
когда значения его переходят через нуль. Само собой разу-
меется, что формулы нельзя применять в любой из особых
точек. Теоретически они также не применимы на любой ча-
стоте, настолько близкой к особой точке, что особая точка
попадает внутрь интервала P3Pt на фиг. 136, ибо в этом слу-
чае ряды (10.20) и (10.21) перестанут сходиться, а при несколько
более отдаленной частоте можно ожидать настолько медлен-
266 Глава X. Некоторые вопроси расчета двухполюсных цепей
ной сходимости, что равенства (10.22) и (10.23) не будут давать
достаточного приближения. Однако оказывается, что эти фор-
мулы дают, во всяком случае качественно, правильные резуль-
таты даже на частотах, очень близких к особенностям.
Характеристики фазы и затухания фильтра с потерями пока-
заны пунктиром на фиг. 137. Чтобы пример иллюстрировал
численные соотношения, предположим, что фильтр представляет
собой систему звуковых частот с частотой среза ® = 20 000.
Предположим также, что затуханием конденсаторов можно
пренебречь, а катушки обладают Q, равным 20 на частоте
среза1). Среднее значение Q, которое входит в равенства (10.22)
и (10.23), следовательно, равно 40 на частоте среза, и если мы
предположим, что Q пропорционально частоте, то множитель
чо/Q может быть заменен постоянной величиной 500.
Обращаясь вначале к влиянию потерь на фазовую характе-
ристику, мы замечаем, что внутри полосы пропускания кру-
тизна характеристики затухания ничтожна. В соответствии с
равенством (10.23), фазовые характеристики с учетом и без
учета затухания в этой области почти одинаковы.
Между срезом и первым пиком затухания крутизна харак-
теристики затухания положительна, и, как показывает равенство
(10.23), паразитные потери уменьшают фазовый сдвиг. За се-
рединой этой области между срезом и первым пиком, где
крутизна наименьшая, мы мож^м найти, что dA[d& прибли-
зительно равно 1 неперу на тысячу единиц <о. Следовательно,
в этой точке уменьшение фазового сдвига составляет около
половины радиана, но оно прогрессивно возрастает при при-
ближении как к срезу, так и к пику. С другой стороны, в
области, находящейся непосредственно за первым пиком, про-
изводная затухания отрицательна, и сдвиг фаз увеличивается
.за счет потерь и т. д.
Обращаясь теперь к равенству (10.22), замечаем, что потери
увеличивают затухание в полосе пропускания, где фазовая
характеристика имеет положительную крутизну. При принятом
здесь трехзвенном фильтре сдвиг фазы на частоте среза со-
ставляет Зя радиан. Это соответствует среднему значению
производной dBjd^ в полосе пропускания, равному приблизи-
тельно 5 X Ю~4, или, при заданном значении o>/Q, среднему
затуханию, равному около 0,25 непера. На низких частотах,
где dB[da> составляет лишь около половины этого среднего
значения, затухание соответственно уменьшается, но оно имеет
значительно большее значение вблизи среза, где велика кру-
’) Малое значение Q взято здесь для того, чтобы сделать заметным вли-
яние паразитных потерь. Однако мы не стремились построить кривые точно
в масштабе.
Потери в неискажающей среде
267
тизна фазовой характеристики. За частотой среза крутизна
фазовой характеристики в общем случае равна нулю, и потери
мало влияют на затухание. Однако потери уменьшают пики
затухания от бесконечности до конечных значений, что можно
рассматривать как качественное соответствие разрывам фазо-
вой характеристики.
12. Потери в неискажающей среде
Равенства (10.22) и (10.23) дают особенно интересные ре-
зультаты, когда они применяются к цепи, характеристики ко-
торой в случае отсутствия потерь приблизительно совпадают
с характеристиками идеальной неискажающей среды. В этом
случае и при наличии затухания характеристики системы су-
щественно не ухудшаются, или, другими словами, в цепи,
характеристики которой приближаются к идеальным,
грубо говоря, автоматически компенсируется влияние од-
нородных потерь. Например, если полное сопротивление цепи
приблизительно равно идеальному постоянному активному
сопротивлению, то производные по частоте ее активной и ре-
активной составляющих обычно очень малы1). Изменения, вы-
званные потерями в активном и реактивном сопротивлениях,
как показывают (10.22) и (10.23), естественно, должны быть
•соответственно малыми. Следовательно, насколько можно су-
дить по этим формулам, полное сопротивление должно быть
почти одинаковым при расчете его с учетом или без учета
потерь.
Если цепь должна обладать идеальной характеристикой
коэфициента передачи, так же как и идеальным полным сопро-
т'ивлением, то ее затухание должно быть постоянным и фазо-
вый сдвиг должен линейно изменяться с частотой3). Соответ-
ственно приведенным соображениям, постоянство затухания
указывает, что фазовая характеристика лишь незначительно
изменяется вследствие потерь. Мы не можем использовать те
же соображения, чтобы показать, что вследствие потерь зату-
хание не . меняется, так как линейность фазовой характеристики
предполагает, что производная dB/cb» имеет постоянное зна-
чение, в общем случае не равное нулю. Однако из равенства
(10.22) мы видим,^что, по меньшей мере, в узких диапазонах
частот относительная величина искажений в схеме с постоян-
ным запаздыванием не может быть больше относительной
х) Отсюда должны быть, естественно, исключены характеристики полного
сопротивления, обладающие быстрыми изменениями, но имеющие небольшие
отклонения от идеального значения,
а) Карсон, Электрические нестационарные явления и операционное
исчисление, Харьков-Киев, 1934.
268 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
ширины полосы, если только Q не уменьшается с частотой.
В более широких диапазонах затухание, вносимое потерями,
будет зависеть от изменения множителя <»/Q. Так как Q прямо
пропорционально частоте, если активные сопротивления кату-
шек и утечки конденсаторов постоянны, то система в этом
предельном случае также будет являться неискажающей в широ-
ких диапазонах.
Эти соотношения легче всего иллюстрировать на примере
из теории длинных линий. Например, хорошо известно, что
идеальная длинная линия без потерь является неискажающей
и что она остается неискажающей, когда добавляются потери,
определяемые соотношением R/L — О/С, или, другими словами,
потери являются однородными. Реальные линии, не удовлет-
воряющие этому соотношению, дают заметные искажения на
низких частотах. Однако когда частота достаточно велика,
чтобы величины Q для последовательных сопротивлений и
шунтирующих проводимостей стали относительно большими,
такая линия ведет себя подобно неискажающим линиям, даже
если потери неоднородны *). В практических применениях эти
соотношения, вероятно, оказываются наиболее полезными в слу-
чае сложных соединений фильтров, корректирующих цепей и
фазо-корректирующих цепей, общая характеристика которых
не дает искажений. Очевидно, что влияние паразитных потерь
в отдельных элементах должно стремиться дать взаимную
компенсацию, так что мы облегчим свою работу, откладывая
рассмотрение этой задачи до получения результатов предва-
рительного расчета.
13. Влияние изменения одного из элементов на внешние
параметры цепи
Во многих задачах проектирования цепей бывает полезно
исследовать влияние на внешний параметр цепи одного из
наиболее существенных элементов. В этом случае одному
элементу придают различные значения, оставляя все другие
элементы постоянными. Такое исследование может быть зна-
чительно облегчено, если использовать некоторые элементар-
ные предложения из теории функций. Вообще говоря, эти
применения теории функций аналогичны тем, с которыми мы
уже встречались. Отличием здесь является то, что в качестве
независимой переменной берется комплексное сопротивление
ветви, а не комплексная частота.
') При этом, само собой разумеется, предполагается, что R и G не ме-
няются с частотой. В реальных линиях R и Q обычно растут с частотой,
так что затухание также возрастает, а не выравнивается. Это соответствует
ранее рассмотренным изменениям множителя «>IQ-
Влияние изменения элемента на параметры цепи	269
Простейшее из предложений, которое мы можем применить,
вытекает из общего функционального соотношения, сущест-
вующего между параметрами цепи, представляющими для нас
наибольший интерес, и сопротивлением любой из ветвей.
Например, если величина Z является либо входным сопро-
тивлением, либо сопротивлением передачи, то из равенств (1.11)
и (1.12) следует, что она должна быть связана с сопротивле-
нием z любой данной ветви равенством следующего типа:
Z=?TS'	<10-24)
где А, В, С и D — величины, зависящие от других элементов
схемы. Естественно, что эти величины обычно зависят от
частоты. Однако, если мы будем поддерживать частоту неиз-
менной, так что А, В, С и D явятся просто постоянными, то
равенство (10.24) будет представлять собой так называемое
„билинейное преобразование" переменной z. Это преобразова-
ние обладает тем свойством, что если z принимает значения,
лежащие на * некоторой окружности (в том числе, в качестве
частного случая, на прямой), то соответствующие значения Z
также будут лежать на некоторой окружности.
Если z является активным сопротивлением, то мы можем
считать, что „окружностью", на которой лежат его значения,
является вещественная ось, включая ее положительную и
отрицательную части. Если z является реактивным сопротив-
лением, то „окружностью" аналогично будет вся мнимая ось.
Окружность, описываемая точкой Z и соответствующая
каждому из этик случаев, оказывается определенной, если нам
известны три тсЛки на ней. В большинстве случаев две из
этих точек можно легко найти, давая z частные значения нуль
и бесконечность.. Третья точка может быть найдена, если
задаться любым удобным промежуточным значением. Часто
положение окружности можно определить из условий симмет-
рии. Например, если мы имеем дело с переменным активным
сопротивлением некоторой цепи, все остальные элементы
270 Глава X. Некоторые вопросы расчета двухполюсных цепей
которой являются реактивными, то части окружности Z, соответ-
ствующие положительным и отрицательным активным сопро-
тивлениям, очевидно, должны быть расположены симметрично
относительно оси чисто мнимых величин. В качестве примера
на фиг. 138 показаны цепь и соответствующая ей диаграмма
сопротивлений. Части диаграммы, показанные сплошной и
пунктирной линиями, относятся соответственно к положитель-
ным и отрицательным значениям переменного активного сопро-
тивления цепи. Система является так называемой схемой „по-
стоянного сопротивления", так как она обладает тем свойством,
что модуль ее полного сопротивления не зависит от перемен-
ного активного сопротивления.
Это можно проверить путем непосредственных вычислений.
Однако можно отметить, что это должно следовать из сим-
метрии диаграммы относительно мнимой оси, если наша цепь
выбрана так, что реактивные сопротивления, соответствующие
нулевому и бесконечному значениям переменного активного
сопротивления, равно отстоят от начала координат.
Второй пример, теперь относящийся к случаю симметрии
относительно вещественной оси, показан на фиг. 139. Пункти-
ром показано геометрическое место точек Z для случая, когда
конденсатор заменен индуктивностью.
Некоторую помощь в такого рода исследованиях может
дать учет того обстоятельства, что часто после исключения
отдельных точек параметр любой обычной цепи должен являться
аналитической функцией сопротивления любой из ветвей. Сле-
довательно, если мы меняем это сопротивление, то параметр
цепи должен изменяться „конформно". Это означает, что если
мы знаем влияние на этот параметр, обусловленное неболь-
шими изменениями в любом направлении сопротивления ветви,
то мы можем найти влияние, обусловленное небольшими изме-
нениями сопротивления в любом другом направлении, путем
поворота первоначального изменения параметра на тот же
фазовый угол, на который повернуто изменение сопротивле-
Влияние изменения элемента на параметры цепи	271'
ния ветви. Например, изменение сопротивления цепи, обуслов-
ленное небольшим изменением активного сопротивления одной,
ветви, и небольшое изменение в ее реактивном сопротивлении
находятся под прямым углом друг к другу. Так, если в схеме:
фиг. 140 мы изменяем индуктивность, но поддерживаем посто-
янным любое выбранное нами значение активного сопротивле-
ния, то новая окружность должна под прямым углом (орто-
гонально) пересекать первоначальную окружность фиг. 138»
Это показано на фиг. 140 для активного сопротивления, рав-
ного X, которое соответствует точке Р на фиг. 138. Перво-
начальная окружность фиг. 138 вычерчена здесь пунктиром.
Мы можем также исследовать влияние сопротивления одной
ветви на всю цепь с помощью теоремы о максимуме и мини-
муме аналитических функций, приведенную в главе VIII. На-
пример, если мы будем точку z двигать по все большим и
большим окружностям в- правой полуплоскости, то соответ-
ствующие окружности Z также становятся все большими. Наи-
большей из возможных^ „окружностей" для z в пассивной цепи
является ось чисто реактивных сопротивлений, и максимум и
минимум каждой из составляющих Z должен, следовательно,
иметь место при z чисто мнимом. Это уже было рассмотрено
в главе VIII;
ГЛ AB A XI
ФИЗИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПЕРЕДАЧИ
1.	Введение
Анализ, проведенный в нескольких последних разделах,
вообще говоря, представлял собой попытку построения общей
теории цепей, в основе которой лежит постулат, что осущест-
вимая цепь должна быть устойчивой. В главах VII и VIII даны
основные положения этой теории и требования для различных
функций цепи, к которым приводит эта теория. В главах IX
и X была сделана попытка выяснить физический смысл требо-
ваний к входному иммитансу с помощью вытекающих из этих
требований ряда частных следствий для более или менее
характерных схем. В настоящей главе продолжается то же
исследование для функций иммитанса передачи. В частности,
настоящую главу можно рассматривать как аналог теории
входного иммитанса, изложенной в главе IX.
Основное содержание настоящей главы сводится к попытке
показать, что требования к функциям передачи, приведенные
в главе VII, необходимы и достаточны. Это сделано путем
доказательства возможности осуществления всякой функции,
удовлетворяющей этим требованиям, в виде конкретной схемы
определенного типа.
Между теорией входного иммитанса и теорией иммитанса
передачи имеется много общего. Однако аналогией входного
сопротивления является не собственно иммитанс передачи,
а его логарифм. Так, можно считать, что в анализе функций
передачи затухание и фаза занимают место активного сопро-
тивления или активной проводимости и реактивного сопро-
тивления или реактивной проводимости в анализе входных
-функций. В настоящей главе эта аналогия проводится с макси-
мально возможной полнотой. Начальные операции редукции
активного сопротивления, или активной проводимости, и ре-
дукции реактивного сопротивления, или реактивной проводи-
мости, описанные в главе IX, заменяются здесь соответствую-
щими операциями редукции затухания и фазы. Как и при
анализе входных функций, в первую очередь рассматриваются
пассивные цепи.
При анализе входных функций решение для пассивных
цепей было распространено и на общий случай, путем введения
Постановка задачи
273
понятия об отрицательном сопротивлении активных цепей.
Это позволило избежать ограничения, заключающегося в том,
что активные сопротивления и проводимость пассивного вход-
ного иммитанса не могут быть отрицательными. Решение для
функций пассивной передачи может быть обобщено анало-
гично — путем введения идеального усилителя, который позво-
ляет получить отрицательное затухание.
В следующей главе аналогия проводится дальше путем
представления функции передачи общего вида рядом включен-
ных друг за другом простых систем. Это соответствует пред-
ставлению входной функции общего вида рядом последова-
тельно или параллельно включенных простых сопротивлений.
Вышеописанная аналогия нарушается только в одном
существенном отношении. Чтобы учесть равную возможность
использования в анализе систем как метода контурных, так и
• метода узловых уравнений, общее рассмотрение вопроса про-
водилось до сих пор в двух формах. При рассмотрении вход-
ных функций эта математическая двойственность соответ-
ствует физической сущности задачи, так как она, естественно,
приводит к представлению данной функции в виде последова-
тельной или параллельной комбинации. Это приводит также
к тем усложнениям, которые возникли в главе IX, когда мы
пытались установить устойчивость при коротком замыкании
последовательно включенных сопротивлений или устойчивость
при разомкнутой цепи параллельно соединенных сопротивлений.
С другой стороны, в анализе функций передачи математи-
ческая двойственность не имеет определенного физического
смысла. Для ряда каскадно соединенных цепей не сущест-
вует инверсной схемы в том смысле, в котором последова-
тельное соединение цепей является инверсией параллельного
соединения. Поэтому с целью упрощения изложения мы будем
рассматривать только сопротивления передачи.
2.	Постановка задачи
В предыдущих главах сопротивления и проводимости пере-
дачи использовались, вообще говоря, как мерило реакции,
которое получается в определенной точке цепи при включе-
нии источника напряжения или тока в какую-либо другую
точку. В пределах такой формулировки задачи указанные две
точки могут являться любыми произвольно выбранными вет-
вями или узлами цепи. Собственные сопротивления или про-
водимости -ч этих двух точках не обязательно должны чем-либо
резко отличаться от остальной части цепи. Однако в практи-
ческих условиях эти две точки являются обычно реальным
источником интересующих нас сигналов и реальным устрой-
18 Зак. 1327
274
Глава XI. Функции сопротивления передачи
ством, на котором выделяется сигнал, и задача заключается
в отыскании некоторой цепи, которая обеспечивала бы пере-
дачу сигналов между ними требуемым образом. Поскольку
источник и нагрузка обычно бывают даны, а требуется опре-
делить цепь, то желательно различать собственно цепь и ее
внешние элементы, как это показано на фиг. 141. Здесь соб-
ственно цепь изображена прямоугольником, а ее внешние
элементы — в виде сопротивлений /?! и /?2 ’).
Рассмотрение схемы, изображенной на фиг. 141, вызывает
ряд раньше не возникавших вопросов. Например, в теории
двухполюсников входное сопротивление системы полностью
определяет ее с точки зрения ее роли в общей работе всей
схемы, в которой она рассматривается. В то же время выбор
сопротивления передачи четырехполюсника характеризует цепь
только частично. Например, в схеме фиг. 141 оно определяет
только ток /2, создаваемый генератором Et. Нас может инте-
ресовать также входной ток создаваемый тем же генера-
тором, или токи /ь /2, возникающие при включении в выход-
ную цепь второго генератора f2. Очевидно, перед тем как
пойти дальше, необходимо знать, сколько параметров требуется,
чтобы полностью определить цепь.
Проще всего можно исследовать указанную задачу, выра-
зив решения контурных уравнений для токов Ц и /2 через
Ei и Е^. Если мы предположим, что входные и выходные
цепи выбраны соответственно в качестве первого и второго
контуров, то легко видеть, что решение уравнений (1.7) и
(1.9) будет иметь вид:
где Д — определитель всей цепи, включая оконечные элементы
/?! и /?2. Однако мы можем записать эти уравнения так, чтобы
выделить свойства собственно цепи. Используя метод разло-
жения, указанный равенствами (1.11) или (1.12), получаем:
(11.2)
х) Оконечные элементы могут быть полными сопротивлениями общего
вида, так как входящие в них любые реактивные сопротивления могут
рассматриваться как часть цепи. В данном случае, чтобы при решении задач
о построении цепи, аппроксимирующей все возможные сопротивления пере-
дачи, избежать ограничений, накладываемых на цепи, предполагается, что
оконечный элемент является активным сопротивлением.
Постановка задачи
275
где ДД и Д22 представляют собой величины Дп и Д22 при
/? = 7?2 = 0. Верхний индекс не играет роли в остальных опре-
делителях.
Из равенств (11.2) видно, что для полного определения
работы цепи, при любых значениях величин Е и R, нужно,
вообще говоря, знать четыре величины: Д2° /Д1122, Д21/Дп22,
^12/^1122 И Д", /Дц!2.
Фиг. 142
Фиг. 141
В пассивных цепях, рассмотрением которых мы сейчас
ограничиваемся, требуется знать только три величины, так
как для определения четвертой, на основании принципа взаим-
ности имеется условие: Д12 —Д21. Остальные три величины
могут быть, конечно, заменены другими величинами, функцио-
нально связанными с тремц заменяемыми величинами. Если,
например, рассматривать уравнения (11.2) как контурные урав-
нения схемы, показанной на фиг. 142, то цепь будет, в сущ-
ности, определяться тремя ветвями Т-образного эквивалента.
Такое звено нам хорошо известно. Мы можем также анали-
зировать цепь, пользуясь ее характеристическими параметрами,
т. е. вторичными параметрами. Однако, чтобы полностью ха-
рактеризовать цепь, требуется знать по крайней мере три ее
параметра. Зная эти параметры, можно определить поведение
цепи при всех возможных внешних условиях на выходе системы.
Сложное и несколько громоздкое решение общей задачи
расчета цепи, три параметра которой выбраны произвольно в
физически допустимых границах, было предложено Гевертцем1).
Однако для целей настоящего рассмотрения достаточно пока-
зать, что определенное сопротивление передачи Д-/Д12 между
входом и выл одом может быть получено при заданных значе-
ниях оконечных элементов. При этом остаются два параметра,
которые могут быть выбраны произвольно. Выбирая эти пара-
метры различным образом, можно получить большое количе-
ство решений. Все эти решения, безусловно, будут одинако-
*) Gewertz, Synthesis of a Finite Four — Terminal Network, Journal of
Mathematics and Physics, декабрь, 1—257 (1932—1933).
276	Глава XI. Функции сопротивления передачи
выми с точки зрения характеристики передачи, но у них могут
быть различными такие свойства, как сопротивление, вносимое
цепью в источник или нагрузку. Один из возможных путей дает
метод Дарлингтона1). При этом методе два произвольных пара-
метра вводятся в предположении, что в схеме содержатся
только реактивные элементы. Это решение, в частности, может
быть использовано в теории фильтров.
Решение, приводимое здесь, основано на предположении,
что цепь на обоих концах должна иметь постоянное активное
характеристическое сопротивление. Такое предположение осо-
бенно удобно для теоретических целей, так как оно позво-
ляет пренебречь влиянием отражения при расчете характери-
стики передачи. Это будет особенно полезно дальше, когда
мы перейдем к задаче о представлении характеристики рядом
каскадно включенных простых схем. Это решение обладает
также дополнительным преимуществом для целей настоящей
книги, так как оно фактически превращает проводимый анализ
в теорию корректирующих цепей. Поэтому приводимый мате-
риал приобретает непосредственное значение для задачи пред-
варительного корректирования или корректирования 0-цепей
при проектировании усилителей и имеет также, правда, более
отдаленное, отношение к расчету таких элементов, как между-
каскадные цепи, которые в значительной степени подобны
корректирующим цепям.
3.	Представление сопротивления передачи
Пусть Zt обозначает сопротивление передачи Д/Дк между
/?! и /?2 на фиг. 141. Так как величина ZT характеризует пере-
дачу, то ее также удобно измерять в логарифмических еди-
ницах. Наиболее эффективная передача между Rv и с
помощью пассивных цепей будет обеспечена, если они будут
согласованы посредством идеального трансформатора при
условии, что Zt = 2 /R^R*. Если к этому значению величины
Zt относить все другие ее значения, то логарифмической
мерой ZT будет 6 = ln(Zr/2 VRiRz)> где компоненты вели-
чины 6 = Д + могут быть названы затуханием и фазой
передачи. Так как Zt, очевидно, является рациональной функ-
цией р, то эти соотношения могут быть также записаны в виде:
^г=А=2/ад4е’ = 2 /адвеА+«=
= 2 /ад, k	.	(11 ’3)
9 Darlington, Synthesis of Reactance 4 — Poles, Journal of Mathematics
and Physics, стр. 257—353, сент. 1939.
Представление сопротивления передачи
277
Понятно, что коэфициенты а и b в равенстве (11.3) является
нулями и полюсами функции Zr или, применительно к функ-
ции 0, точками бесконечного усиления или бесконечного зату-
хания. Условия, которым они должны удовлетворять, чтобы Zt
соответствовало реальной физической схеме, перечислены
в главе УП. Эти условия, вообще говоря, заключаются в том,
что нули и полюсы должны быть либо вещественными, либо
должны образовывать сопряженные комплексные пары, и что
нули должны находиться только в пределах левой полупло-
скости. Однако полюсы могут находиться в любой части
плоскости1). Пока анализ ограничивается рассмотрением только
пассивных цепей, необходимо,
кроме того, удовлетворить
требованию 66, которое, в сущ-
ности, заключается в том,
что цепь не может служить
источником энергии. В нашем
случае, это означает, что по-
стоянная k должна быть доста-
точно велика, чтобы модуль по-
следнего выражения в форму-
ле (11.3) был по крайней мере

Фиг. 143

^2
равен 2 / RiR<i во всех точках
Другими словами, затухание
на оси вещественных частот,
передачи А не должно быть
отрицательным.
При сравнении этой формулировки ограничений, налагаемых
на пассивные сопротивления передачи, с ограничениями, нала-
гаемыми на пассивные входные сопротивления, мы замечаем,
что различие между ними определяется двумя существенными
положениями. Первое заключается в том, что предыдущее
требование, не допускающее отрицательных значений веще-
ственной составляющей сопротивления на оси веществен-
ных частот, в последней формулировке отсутствует. Оно
заменено требованием, - чтобы вещественная составляющая
величины 9 не была отрицательной при вещественных часто-
тах. Второе состоит в том, что расположение полюсов функ-
ции не. ограничивается только левой полуплоскостью. Как
покажет последующий анализ, эти изменения необходимы,
если вещественную и мнимую составляющие величины 6 рас-
сматривать как аналоги вещественной и мнимой составляю-
щих функции входного сопротивления. Для представления
х) Следует отметить, что сюда не включено условие минимальной
фазы" (п. 5 в главе VII). Цепи „минимальной фазы" рассматриваются ниже.
В соответствии с главой VII, здесь также предполагается, что ни один из
нулей не лежит точно на оси вещественных частот.
278	Глава XI. Функции сопротивления передачи
этой пассивной функции передачи общего вида мы будем
применять схему, которая является комбинацией симметричной
цепи скрещенного типа1) и идеального трансформатора, пока-
занную на фиг. 143. В общем случае характеристическое
сопротивление и характеристическая постоянная передачи
скрещенной схемы могут быть выражены через сопротивления
ветвей Zx и Z? следующим образом:
Z,= /Z^;	(11.4/
4=/v	<1L5>
Как уже отмечалось раньше, мы будем предполагать, что
характеристическое сопротивление скрещенной схемы должно
являться постоянным активным сопротивлением. Его можно
сделать равным оконечному сопротивлению путем соответ-
ствующего подбора Zx и Zy. Для этого нужно, чтобы Zx и Z?
являлись инверсными цепями с произведением ZxZy = R\. При
этом условии входное сопротивление скрещенной цепи будет,
конечно, также равно /?2- Трансформатор на фиг. 143 введен
для окончательного согласования этого сопротивления с
сопротивлением генератора Его можно не применять,
когда затухание, обусловленное несогласованностью этих двух
сопротивлений, не имеет значения.
Из указанных соотношений вытекает, что величина 0 в
уравнении (11.5), представляющая собой постоянную передачи
скрещенной цепи, может быть отождествлена с величиной,
которая представляет собой так называемые „затухание и фазу
передачи" в уравнении (11.3). Однако поскольку Z? можно
выразить через Zx и из условия (11.4), определяющего
характеристическое сопротивление, то формулу (11.5) легко
переписать в таком виде:
х) Для удобства читателя, не знакомого со схемой скрещенного типа,
быть может, будет полезно указать, что эту схему можно развернуть в
виде моста Уитстона, у которого противоположные плечи равны между
собой. Скрещенная схема часто используется в теории цепей как вследствие
простоты ее расчетных формул, так и благодаря тому, что с помощью ее
можно получать характеристики, которыми обладает любая другая симме-
тричная схема. Более подробные сведения о свойствах указанной схемы при-
ведены в следующей главе. Более полное рассмотрение вопроса об исполь-
зовании скрещенной схемы при проектировании фильтров читатель найдет
в книге G u i 11 е m i п, Communication Network, т. II, гл. X. Введение скре-
щенной схемы в теорию цепей впервые быю произведено Кэмпбеллом,
Physical Theory of the Electric Wave Filter, Bell Syst. Techn. Journ., ноябрь (1922).
Представление сопротивления передачи	279
или в виде	9 .
(П.7)
Таким образом,задача сводится к выборузначения Zx согласно
равенству (11.7), обеспечивающему получение заданной харак-
теристики передачи. Поскольку е9 является рациональной
функцией частоты, очевидно, что Zx будет также являться
рациональной функцией. Для завершения анализа мы должны
показать, что эта рациональная функция может быть пред-
ставлена в виде физического двухполюсника, если е* удовле-
творяет условиям, установленным для сопротивлений передачи.
Доказательство возможности физической реализации Zx
основывается на приложении ранее изложенной теории о мак-
симуме и минимуме аналитических функций. Хотя е9 может
иметь полюсы в правой половине плоскости р, но по крайней
мере ее обратная величина будет аналитической функцией в
этой области. Поэтому модуль обратной величины в любой
точке на оси вещественных частот имеет большее значение,
чем где-либо в пределах правой полуплоскости. Это равно-
сильно утверждению, что минимальное значение затухания
передачи А во всей правой половине плоскости р имеет место
на оси вещественных частот. Однако мы уже видели, что в
случае пассивной цепи минимальное значение А на оси веще-
ственных частот не может быть меньше нуля. Поэтому в пре-
делах правой половины плоскости Д^>0. Из равенства (11.7)
следует, что Zx в этой области не может иметь ни нулей, ни
полюсов. Более того, записав выражение е9 = еА cos В+ieA sin В,
легко определить вещественную составляющую Zx, которая
оказывается равной
е2Л—I
Rx = R<t !еА cos S	sin •	(11 -8)
При принятых условиях эта величина, очевидно, будет
положительна на оси вещественных частот. Таким образом,
Zx удовлетворяет всем условиям физической осуществимости
и может быть представлена в виде двухполюсной цепи Бруне
или другой эквивалентной схемы. Так как инверсное сопро-
тивление Z?, ’ очевидно, также является физически осуще-
ствимым, то мы можем сформулировать следующую теорему:
Теорема. Сопротивление передачи любой пассивной цепи1)
может быть представлено симметричной скрещенной цепью
J) Предполагается, что ни один из нулей А не лежит точно на
оси вещественных частот. С другой стороны, однако, эта формулировка
является несколько ограниченной, ибо, как будет видно из дальнейшего,
сопротивление передачи активной цепи также может быть представлено
пассивной скрещенной цепью, если ее оконечные сопротивления могут
отличаться от оконечных сопротивлений первоначальной схемы.
280 Глава XI. Функции сопротивления передачи
с постоянным активным характеристическим сопротивле-
нием, нагруженной активным сопротивлением.
Этот вывод имеет как технический, так и теоретический
интерес. Он, например, указывает на то обстоятельство, что
любая характеристика фильтра может быть получена в цепи
с постоянным активным сопротивлением, благодаря чему
исключается несогласованность сопротивления, которая обычно
характерна для фильтров. Трудности этого метода заключаются
в том, что двухполюсники, образующие ветви скрещенной
цепи, могут быть весьма сложными, а также в том, что схема
с постоянным активным сопротивлением в целом требует,
вообще говоря, значительно большего количества элементов,
чем обычный фильтр. Первой из этих трудностей можно избе-
жать с помощью метода разложения, описанного в следующей
главе, ценой значительного увеличения постоянного затуха-
ния цепи. Естественно, что величина постоянного затухания
может быть сделана настолько малой, насколько это позво-
ляет всякая пассивная цепь при включении идеального транс-
форматора для согласования сопротивлений и /?2.
4.	Примеры представления функций передачи посредством
скрещенных схем
В качестве элементарного примера рассмотрим цепь, пока-
занную на фиг. 144. Сопротивление передачи от одного сопро-
тивления к другому выражается формулой ZT =р 2 р.
Фиг. 145
.Фиг. 146
Фиг. 144
Так как в этой схеме 2 ]/= 2, то соответствующие потери
и фаза передачи определяются выражением е0 = 14-р/2. Под-
ставляя это значение ев в уравнение (11.7), получаем:
у __ Р ____ р№	(119)
р+4	Г/4 + 1 '	1	'
Это выражение соответствует двухполюснику, состоящему
из единичного активного сопротивления, соединенного в парад-
Примеры представления функций передачи
281
лель с индуктивностью, равной четверти единичной. Полная
скрещенная схема показана на фиг. 1451). Этот пример несколько
усложняется при добавлении, как показано на фиг. 146^
Фиг. 148
Фиг. 147
параллельной емкости в первоначальную цепь. Сопротивление
передачи в этом случае, как легко показать, ^удет
:Zr=.p2+.2p + 2.	(11.10)
9 Пунктирные линии в этой и следующих скрещенных схемах соот-
ветствуют последовательным и поперечным ветвям. Эти ветви идентичны
соответствующим ветвям, показанным полностью.
282
Глава XI. Функции сопротивления передачи
Р*+2р
р‘ + 2р-Ь4 •
(П.Н)
Следует отметить, что Zx имеет нуль в начале координат.
Процесс представления сопротивления удобно начать с редукции
реактивной проводимости в этой точке. При этом легко можно
определить всю цепь. Выраженная через проводимость, фор-
мула цепи имеет вид:
/плз)
Таким образом, цепь представляет собой индуктивность,
соединенную параллельно с последовательным соединением
емкости и сопротивления. Эта скрещенная схема показана на
фиг. 147.
Схему, показанную на фиг. 146, очевидно, можно рас-
сматривать как элементарный фильтр. При переходе к бол|е
0,0/57	0,575 -!,728р	2,881 р
Фиг. 150
сложным фильтрам общий ход рассмотрения не изменяется,
однако повышается степень выражений для сопротивлений,
и вычислительная работа становится более громоздкой. Удобно,
однако, рассмотреть один пример более сложного фильтра,
чтобы подготовить путь к описанию другого метода, приво-
димого в следующей главе. Схема показана на фиг. 148.
Она представляет собой полтора звена фильтра низших частот
с предельной частотой <о = 1 и характеристикой потерь, пока-
занной на фиг. 1491 * *). Выражение для сопротивления передачи,
определяемое обычными методами контурных уравнений,
имеет вид:
7 _ 9р9 _ 1 ,654/,= + 4,264р4 + 6,576л» + 6,84/,= + 4,4/, + 2
Z,r —. (11.1^
1) Фильтр состоит из полного звена с коэфициентом т= 0,8 и полузвена
с т = 0,6. Характеристики сопротивления передачи и потерь, показанные
ниже, соответствуют точным значениям элементов схемы этого типа, а не
приближенным величинам, указанным на фиг. 148.
Редукция затухания и фазы сопротивления передачи 283
Соответствующее сопротивление ветви Zx будет равно
7 = l.lp (1 + !,!/>+	+ 0,864р» + 0,376р«)	......
х	1 + 1,1р +2,21р2•-]- 1,644р3 + 1,181р* -f-0,413/>5 ’	U1-1^
Следуя методу Бруне, это выражение можно представить
в форме, которой соответствует схема, показанная на фиг. 150.
5.	Редукция затухания и фазы сопротивления передачи
При рассмотрении двухполюсников было отмечено, что
обычно имеется возможность независимо друг от друга про-
изводить редукцию активного сопротивления и реактивного
сопротивления до некоторых минимальных величин. Например,
мы можем всегда уменьшать активное сопротивление цепи до
тех пор, пока в характеристике активного сопротивления не
появится нуль на оси вещественных частот. Соответственно,
мы всегда можем исключать чисто реактивные элементы до
тех пор, пока не исчезнут все полюсы на оси вещественных
частот. Аналогичные преобразования возможны и в четырех-
полюсниках, если вместо активного и реактивного сопротивле-
ний рассматривать затухание и фазовый сдвиг.
Возможность редукции затухания следует непосредственно
из предыдущего раздела. Очевидно, что приводимое там дока-
зательство остается справедливым при изменении затухания
передачи на постоянную величину, если только затухание
при этом не становится отрицательным ни в одной из точек
на оси вещественных частот. Отмеченная закономерность
может быть сформулирована в виде следующей теоремы:
Теорема. Затухание и фаза передачи пассивных цепей
продолжают удовлетворять условиям физической осущест-
вимости при уменьшении затухания передачи на некото-
рую вещественную постоянную величину, до тех пор, пока
затухание не станет отрицательным на какой-нибудь
вещественной частоте.
Функцию передачи называют функцией минимального зату-
хания, если минимальное затухание передачи на оси вещест-
венных частот равно нулю, так что дальнейшее уменьшение
его невозможно без нарушения условий пассивности для цепи.
Редукция фазового сдвига цепи требует более детального
рассмотрения. В этом случае аналогией полюса входного
сопротивления на оси вещественных частот является полюс
в выражении Zt, находящийся где-либо в правой половине
плоскости р, в то время как аналогией двухполюсника, состав-
ленного из чисто реактивных элементов, служит фазо-коррек-
тирующая схема, пропускающая все частоты.
284
Глава XI. Функции сопротивления передачи
Чтобы детально показать это соответствие, положим, что
один из полюсов bj функции ZT, определяемой равенством (11,3),.
находится на оси положительных вещественных значений р.
Значение Zt, очевидно, не изменится, если мы заменим со-
ответствующий множитель р — bj величиной p-j-b, и одно-
временно умножим все выражение на (p-\-bj)[(p— oj).
Таким образом, получим
Р + Ъ ;
=	,	(Ц.15)
где Z't представляет собой значение Zt после замены р — bj
величиной p-\-bj. Однако, поскольку р является мнимой вели-
чиной на оси вещественных частот, в то время как bj является
вещественной постоянной, модуль величины (p-j-bj)j(p— bj)
при вещественных частотах должен быть равен единице.
Таким образом, минимальное затухание передачи, соответ-
ствующее Z't, равно затуханию, соответствующему Zt, и оче-
видно, что Z't удовлетворяет всем условиям физической осу-
ществимости, если Zt физически осуществимо. Кроме того
как видно из равенства (11.6), величина (p-\-bj)/(p— bj) соот-
ветствует фазо-корректирующему звену, пропускающему все
частоты, аналогично показанному на фиг. 151, у которого
Zx = R*(bjlp). Так как умножение Z't Ha. {p-\-bj)l(p — bj) экви-
валентно добавлению соответствующей величины затухания
и фазы, то Zt может быть представлено каскадным соедине-
нием цепи (фиг. 151) с цепью, представляющей Zj. Построен-
ная таким образом цепь показана на фиг. 152.
Устранение пары сопряженных комплексных полюсов в
правой полуплоскости может быть произведено таким же
образом. Если мы представим полюсы в виде bjizhibj^, то урав-
нение, соответствующее (11.15), будет иметь вид:
_ (р + ^ + /^)(р + ^-^)_
г г (р - ~ '^) (р - ьн + «'М “
Ра + (^+^,)
2*Z1P
Р2 + (^
(11.16)
Редукция затухания и фазы сопротивления передачи 235
Очевидно, что в этом уравнении выражение
________________________________
представляет собой противорезонансный контур и может быть
отождествлено с выражением Zx[Ri в формуле (11.6). Соот-
ветствующая фазосдвигающая цепь относится поэтому к типу,
показанному на фиг. 1531). Переходя подобным образом после-
довательно от одного полюса в правой половине плоскости
к другому, можно все эти полюсы заменить соответствующими
им отрицательными полюсами в левой половине плоскости.
В конце концов мы придем к схеме, состоящей из ряда цепей,
показанных на фиг. 151 и 153, соединенных каскадно с цепью,
сопротивление передачи которой имеет нули и полюсы только
в левой половине плоскости. В соответствии с определением,
данным в главе VII, оставшаяся цепь носит название мини-
мально-фазовой системы.
В проведенном рассмотрении осо- 0 00QQ_______н
бое внимание было уделено замещению	/ 0
полюсов в правой половине плоскости
полюсами в левой половине плоско-
сти, так как условие минимальных _	____
фазовых сдвигов будет играть исклю-
чительно важную роль в дальнейшем	фиг>
нашем анализе. Возможно, однако, в
одинаковой степени производить замещение полюсов в обратном
направлении. Само собой разумеется, что при каждом пере-
мещении вещественного полюса или пары сопряженных ком-
плексных полюсов из левой в правую половину плоскости
фазовый сдвиг будет увеличиваться на величину, соответ-
ствующую одному звену, пропускающему все частоты. Это
имеет определенное практическое значение, так как сложность
цепи будет, вообще говоря, зависеть от числа полюсов, а не от
того, в какой половине плоскости они находятся2).
Следовательно, допуская расположение любых полюсов в
любой половине плоскости, мы тем самым обеспечиваем
*) На фиг. 153 противорезонансная ветвь находится в диагонали, а не в
последовательном плече. Из рассмотрения самой схемы или уравнений (11.4)
и (11.5) очевидно, что перемена местами диагонали и последовательной
ветви скрещенной схемы приводит только к изменению знака выходного
тока, не вызывая каких-либо других изменений. Учитывая это в дальнейшем,
мы не будем производить никаких систематических попыток разграничения
последовательных плеч и диагоналей.
’) Предполагается, что схема выполнена в виде скрещенной схемы. При
неуравновешенной схеме это утверждение все же остается справедливым в
чисто теоретическом смысле, однако изменение расположения полюсов
может затруднить отыскание цепи с положительными элементами. Этот
вопрос рассматривается в следующей главе.
286
Глава XI. Функции сопротивления передачи
возможность подбора фазовых характеристик корректирующих
цепей, обладающих заданными характеристиками затухания,
без увеличения числа элементов в схеме. Это общее положе-
ние может быть сформулировано следующим образом:
Теорема. Пассивное сопротивление передачи- будет про-
должать удовлетворять условиям физической осуществи-
мости пассивных цепей, если любой из его вещественных
полюсов или любую пару его сопряженных комплексных по-
люсов заменить равными по величине, но противополож-
ными по знаку полюсами. Каждая такая замена эквива-
лентна увеличению или уменьшению фазового сдвига функ-
ции передачи на величину, соответ-
ствующую звену, пропускающему все
частоты.
Простым примером этих преобра-
зований может служить функция
^ = -2^	(П-1?)
Используя уравнение (11.7) и по-
лагая для простоты /?1 = 7?ч = 1,
находим соответствующую цепь в ви-
де, показанном на фиг. 154, А. Ее
характеристика затухания и фазовая
характеристика показаны соответ-
ственно на фиг. 155 и сплошной ли-
нией на фиг. 156. Чтобы осуществить редукцию фазы, запишем
эту функцию в виде
Pl-
ains)
Два множителя в правой части уравнения относятся соот-
ветственно к корректирующей цепи и фазо-корректирующей
схеме на фиг. 154, В1). Характеристика затухания, обуслов-
ленная исключительно корректирующей цепью, имеет попреж-
нему вид, показанный на фиг. 155. Фазовые характеристики
9 Как мог заметить читатель, замена полюса полюсом, равным ему по
величине, но противоположным по знаку, подобная сделанной в равенстве
(11.15), меняет знак Z’T относительно ZT при нулевой частоте. Это компен-
сируется аналогичным изменением знака на нулевой частоте в удаляемом
звене, пропускающем все частоты. Но поскольку, чтобы иметь возможное ь
сравнения, обычно бывает желательно иметь фазовые сдвиги всех состав-
ляющих равными на нулевой частоте, то в обеих цепях фиг. 154, В, путем
взаимной замены местами ветвей Zx и Zv, введены дополнительные фазо-
вые сдвиги.	у
Свойства систем, пропускающих все частоты
287
обеих составляющих показаны соответственно пунктирными
линиями I и II на фиг. 156..Эта схема имеет только две воз-
можные фазовые характеристики, которые могут быть связаны
с дополнительной характеристикой потерь без применения
дополнительных элементов. Однако в корректирующей цепи,
сопротивление передачи которой обладает большим количе-
ством полюсов, число возможных характеристик, очевидно, зна-
чительно больше1).
6.	Свойства систем, пропускающих все частоты
Кроме нескольких цепей, показанных на фиг. 151 и 153,
может быть также построен ряд других типов цепей, пропу-
скающих все частоты. Например, очевидно, что скрещенная
схема будет являться схе-
мой, пропускающей все ча-
стоты,при условии, что ветви Плоскости р
Zx и Zy представляют собой
инверсные реактивные со-
противления любой сложно-
сти. Так как чисто реактив-
ное сопротивление будет
всегда являться нечетной
функцией частоты, легко ви-
деть из уравнения (11.6),
что любая такая схема будет
обладать свойствами, ко-
торые мы paffee установи-
ли для простых цепей
Фиг. 157
фиг. 151 и 153. Именно нули
и полюсы сопротивления
передачи такой схемы соответ-
ственно равны по величине и противоположны по знаку. Это
мы примем за определение цепи, пропускающей все частоты.
*) Дополнительные примеры возможных фазовых характеристик для
простых схем приведены в работе Z о b е 1, Distortion Correction in Electrical
Circuits, Bell Syst. Techn. Journ., июль (1928).
288
Глава XI- Функции сопротивления передачи
Типичное расположение нулей и полюсов показано на фиг. 157.
Здесь нули обозначены кружками, а полюсы—крестами. Соот-
ветствующие друг другу нули и полюсы обозначены одинако-
выми буквами Р, Q и т. д.
Вообще говоря, звенья, пропускающие все частоты, играют
такую роль в теории четырехполюсников, какую чисто реак-
тивные цепи играют в теории двухполюсников. В соответ-
ствующих им областях оба типа систем определяют возможные
пути изменения мнимой составляющей характеристики цепи
без изменения ее вещественной составляющей.
Несмотря на то, что могут существовать очень сложные
звенья, пропускающие все частоты, тот факт, что их нули и
полюсы должны образовывать соответствующие пары положи-
тельных и отрицательных значений, позволяет их очень просто
рассматривать, так как очевидно, что отдельные комбинации
нулей и полюсов могут быть представлены раздельно элемен-
тарными цепями типа, показанного на фиг. 151 и 153. Это мо-
жет быть сформулировано в виде следующей теоремы:
Теорема. Любая цепь, пропускающая все частоты, экви-
валентна ряду каскадно соединенных цепей первого и вто-
рого порядка, пропускающих все частоты.
Фиг. 158 иллюстрирует разложение цепи пятого порядка,
пропускающей все частоты (т. е. цепи, сопротивление передачи
которой имеет пять нулей и пять полюсов), на более простые
составляющие.
С точки зрения общей аналогии между цепями, пропуска-
ющими все частоты, и реактивными двухполюсниками, это
предложение можно считать соответствующим теореме о том,
что всякий реактивный двухполюсник всегда может быть
представлен рядом последовательно соединенных простых про-
тиворезонансных цепей, как показано, например, йа фиг. 97.
Поэтому двухэлементную схему на фиг. 153 можно считать
соответствующей противорезонансному контуру, а одноэле-
ментную на фиг. 151 —эквивалентной простой катушке или кон-
денсатору, включенным последовательно. Так как в случае
цепей, пропускающих все частоты, мы можем притти к ряду
каскадно соединенных простых цепей, то аналогия не яв-
ляется вполне точной. Формальная аналогия может быть,
Свойства систем, пропускающих все частоты
289
однако, продолжена, если комбинировать простые цепи попарно
для получения двух элементарных цепей на основе эквива-
лентности, описанной в следующей главе. В сущности, парал-
лелизм нарушается только в одном смысле. В теории двухпо-
люсников существование инверсных соотношений позволяет
делать выбор между представлением в виде ряда последова-
тельно соединенных противорезонансных контуров и .пред-
ставлением в виде ряда параллельно соединенных резонанс-
ных контуров. Наоборот, в цепях^ пропускающих все частоты,
не существует пар взаимнообратных разложений.
Аналогию между реактивными двухполюсниками и цепями,
пропускающими все частоты, можно расширить, включив в нее
также энергетические соотношения. Например, в соответствии
с уравнением (9.16), можно составить выражение
Й = |.(7-+Ю,	(11.19)
где В представляет собой фазовый сдвиг, — характеристи-
ческое сопротивление цепи, а энергетические функции состав-
лены на основе предположения, что
цепь питается током с единичной
максимальной амплитудой.
Так как энергетические функции
являются обязательно положительны-
ми величинами, то, как следует из
уравнения (9-16), реактивное сопротив-
ление физической реактивной, цепи
является всегда нарастающей функ-
цией частоты. Соответственно, мы
видим из уравнения (11.19), что фазовая характеристика
цепщ пропускающей все частоты, должна всегда иметь
положительную крутизну. Типичные характеристики пока-
заны на фиг. 159 ‘). Кривая I соответствует одноэлемент-
ному звену типа, показанного на фиг. 151. При одном только
элементе в последовательной ветви скрещенной схемы звенья
этого типа имеют только один расчетный параметр, и он ис-
ключается путем выбора единицы частоты. Поэтому характери-
стики всех звеньев этого типа имеют единую общую форму.
9 На фиг. 159 значения фазовых характеристик, соответствующих нуле-
вой частоте, взяты для удобства равными нулю. При обычных условиях
фазовый сдвиг на нулевой частоте в цепях, показанных на фиг. 151 и 153, факти-
чески равен ± п. Эта разница, конечно, представляет собой только измене-
ние фазы на обратную, которая может быть получена переключением вход-
ных и выходных концов.
19 Зак. 1327
290	Глава XL Функции сопротивления передачи_______
Они удовлетворяют уравнению В = 2 arctgkf* l 2). Для двухэле-
ментных звеньев мы можем считать, что единица частоты оп-
ределяется резонансами скрещенных ветвей. В результате
свободным остается один параметр, который может быть ис-
пользован для подбора нужной формы кривой. В качестве
дополнительного параметра может быть взята относительная
обратная емкость противорезонансной ветви или фазовый угол
комплексных корней и полюсов функции передачи, причем
соотношение между этими величинами легко понять из урав-
нения (11.16). Если противорезонансный контур имеет боль-
шую относительную обратную емкость, то корни и полюсы
будут почти вещественными’), как показано точками Q на
фиг. 157, и фазовая характеристика будет почти равна удвоен-
ной фазовой характеристике некоторой одноэлементной цепи.
Это иллюстрируется кривой II на фиг. 159. В другом крайнем
случае противорезонансный контур с обратной малой емкостью
дает нули и полюсы, которые являются почти чисто мнимыми,
что показано точками Р на фиг. 157. В окрестности вещест-
венной частоты, на которой имеет место противорезонанс,
фазовая характеристика быстро изменяется; это иллюстри-
руется кривой III фиг. 159.
7.	Минимально-фазовы^ цепи
В теории четырехполюсников минимально-фазовая цепь ана-
логична двухполюснику, у которого исключены все его по-
люсы, расположенные на оси вещественных частот. После до-
стижения условий, соответствующих минимальному фазовому
сдвигу, мы не можем производить дальнейших изменений
в фазовой характеристике, не изменяя в то же время затуха-
ния. Так как нули и полюсы сопротивления передачи мини-
мально-фазового типа должны находиться в левой половине
плоскости р, аналитические ограничения, налагаемые на‘такое
сопротивление, те же, что и для двухполюсников, за исклю-
чением того, что полюсы на вещественных частотах не обяза-
тельно должны быть простыми или что вещественная состав-
ляющая функции не обязательно должна быть положительной
во всех точках на оси вещественных частот.
*) Более подробные сведения о расчете цепей, пропускающих все ча-
стоты, и их применении в системах связи приведены в работах:
1. Mead, Phase Distortion and Phase Distortion Correction, Bell Syst.
Techn. Journ., апрель (1928).
2. Nyquist, Phase Compensating Network, U. S. Patent № 1770122,
July, 1930.
2) При очень большой обратной емкости противорезонансного контура
все нули и полюсы являются вещественными. Само собой разумеется, что
в этом случае двухэлементная система может быть представлена двумя од-
ноэлементными системами и ничего нового не дает.
Минимально-фазовые цепи
291
Так как цепи минимального фазового сдвига будут далее
часто рассматриваться как известные, то важно установить, когда
цепь относится действительно к категории цепей минималь-
ного фазового сдвига. На этот вопрос не всегда легко дать
ответ. Некоторые указания, однако, можно почерпнуть из
двух общих правил. Первое правило может быть сформулиро-
вано в виде следующей теоремы:
Теорема. Сопротивление передачи, обладающее полю-
сами кратности П1 и пъ соответственно на нулевой и бес-
конечной частотах, относится к типу минимального фазово-
го сдвига тогда, и только тогда, когда общее изменение фазы
между нулем и бесконечностью равно (nt -f- п2) (гс/2) радианам.
В частности, если затухание как на нулевой, так и на
бесконечной частотах является конечным, то общее измене-
ние фазы должно быть равно нулю. В „неминимальной" цепи
общее изменение фазы является, конечно, всегда положитель-
ным. Теорема легко может быть доказана из рассмотрения
диаграммы Найквиста.
Кроме того, есть разница и структурного характера. Сле-
дует напомнить, что полюсы сопротивления передачи пред-
ставляют собой частоты, при которых ток, текущий в на-
грузке, равен нулю. Однако в цепи лестничного типа ток*, те-
кущий в сопротивлении нагрузки, может стать равным нулю
только в том случае, если какое-нибудь параллельное сопро-
тивление станет равным нулю или какое-нибудь последователь-
ное сопротивление -станет равным бесконечности. Так как
нули и полюсы сопротивлений ветвей должны находиться
в левой половине плоскости, если ветви являются пассивными,
то мы приходим к следующей теореме:
Теорема. Всякая пассивная лестничная цепь является
системой минимального фа.зового сдвига.
Само собой разумеется, что эта теорема справедлива и
в случае передачи через ряд усилительных ламп, являющихся
односторонними элементами с междукаскадными соединениями
лестничного типа.
Схемами, которые, вообще говоря, не относятся к лестнич-
ному типу, являются такие, в которых ток может попасть
в нагрузку несколькими различными путями. Это показано
символически на фиг. 160. Частными примерами таких схем,
кроме скрещенной цепи, являются схема типа перекрытого Т
и цепь лестничного типа с дополнительной связью через
взаимоиндукцию, показанные на фиг. 161.
В таких схемах полюсы сопротивления передачи необяза-
тельно совпадают с нулями и полюсами сопротивлений ветвей.
19*
2д2	Глава XI. Функции сопротивления передачи
Нулевой ток в нагрузке может быть получен также вслед-
ствие взаимной компенсации токов, поступающих в нагрузку
различными путями. Полюсы не обязательно должны нахо-
диться в левой полуплоскости, и цепь может иметь немини-
мальную фазовую характеристику. Обладает ли данная цепь
Фиг. 160	Фиг. 161
в действительности такими свойствами, зависит от конкрет-
ных величин входящих в нее элементов. При отсутствии дру-
гих возможностей может оказаться необходимым непосред^
ственно производить расчет полюсов. Описанные выше си-
стемы могут быть отнесены к схемам мостового типа. Скре-
щенная схема непосредственно представляет собой настоящий
мост Уитстона, остальные являются балансными схемами. Вы-
шеизложенное-можно поэтому рассматривать как указание на
существенную разницу в расчете между мостовой и лестнич-
ной, или параллельно-последовательной, схемами. Очевидно, что
эта разница существует между возможными фазовыми характери-
стиками приданной характеристике затухания. Возможные харак-
теристики затухания сами по себе одинаковы для обоих типов
схем1). Для технической практики это последнее заключение
надо ограничить в одном отношении. Как мы видели в пре-
дыдущей главе, появление потерь эквивалентно небольшому
смещению влево в плоскости р всех критических частот цепи,
включая частоты, на которых затухание бесконечно. Следова-
тельно, если исходная цепь является цепью минимального
фазового сдвига, то она не может давать бесконечного зату-
хания на вещественных частотах при учете потерь. С другой
стороны, цепь неминимального фазового сдвига может иметь
бесконечное затухание на определенных частотах, которые
попадают на ось вещественных частот после сдвига, вызван-
ного потерями. Простым примером является фазо-корректи-
*) Это может быть строго доказано с помощью методов, применяемых
в следующей главе, если абсолютный уровень затухания не имеет сущест-
венного значения.
Представление сопротивлений передачи
293
рующее звено на фиг. 153. На резонансной частоте, если
учесть потери, обе ветви цепи превращаются в активные со-
противления. При соответствующем подборе величин оба ак-
тивных сопротивления могут быть сделаны равными, так что
на этой частоте цепь будет иметь бесконечное затухание.
В этой частной схеме для осуществления таких условий не-
обходимы экстремальные значения элементов. Однако в дру-
гих схемах тот же результат может быть получен при более
приемлемых данных элементов. Применение цепей с немини-
мальным фазовым сдвигом имеет значение главным образом
в задачах теории фильтров и аналогичных случаях, когда
требуется предельно острая избирательность.
8. Представление сопротивлений передачи
активного типа
Мы видели при рассмотрении функций входного сопротив-
ления и проводимости, что существенное различие между
активными и пассивными функциями может быть представлено
посредством отрицательного сопротивления, включаемого по-
следовательно или параллельно с остальной частью цепи.
Отрицательное сопротивление учиты-
вает тот факт, что вещественная со-
ставляющая функции пассивного вход-
ного сопротивления должна быть поло-
жительной на вещественных частотах
и позволяет построить всю остальную
часть схемы в виде пассивной цепи.
Н Пас-
сивная
цепь
Фиг. 162
Аналогично можно рассматривать и сопротивления пере-
дачи активного типа. Очевидно, они ничем не отличаются от
сопротивлений передачи пассивного типа, если не считать
того, что здесь нет необходимости полагать, как это дела-
лось в связи с (11.3), .что модуль функции выбран так, что
потери передачи остаются положительными на всех вещест-
венных частотах. Это ограничение может быть устранено
введением в пассивную цепь отрицательного затухания или,
другими словами, идеального усилителя с постоянным коэфи-
циентом усиления. Однако при рассмотрении двухполюсников
необходимо было рассматривать различные последовательные
и параллельные комбинации отрицательного сопротивления и
пассивной цепи, показанные на фиг. 112 и 113, чтобы учесть
различие между определениями цепи с помощью сопротивле-
ния и проводимости. При рассмотрении функций передачи
пассивные и активные элементы могут быть сразу располо-
жены каскадно, как показано на фиг. 162. Это положение мо-
жет быть сформулировано в следующей теореме:
294
Глава XI. Функции сопротивления передачи
Теорема. Функция иммитанса передачи общего вида
всегда может быть представлена пассивной цепью и кас-
кадно включенным идеальным, неискажающим усилителем.
Эта теорема находит применение главным образом для ре-
шения кажущихся парадоксов в теории активных цепей. Так
как весь этот анализ в основном базируется на постулате
о том, что цепь устойчива, у нас прежде всего должно возникать
подозрение, что всякая особенно удивительная или необычайная,
характеристика передачи, существенно отличающаяся от обыч-
ных, была рассчитана для неустойчивой цепи. В качестве
примера мы можем рассмо-
—। треть задачу о построении
I „отрицательной" цепи1), про-
/ $ пускающей все частоты, или о
| линии с отрицательной длиной.
—I Так как усиление усилителя
с обратной связью в области
больших обратных связей рав-
но потерям в его 0-цепи, то мы
Фиг. 163
можем воспроизвести такую характеристику в значительном
диапазоне частот путем построения усилителя с соответствую-
щей положительной структурой в его цепи обратной связи. Мы
можем также попытаться получить такую характеристику путем
применения одного или нескольких отрицательных элементов.
Например, на фиг. 163 показан эквивалент отрицательной схе-
мы, пропускающей все частоты, полученный с помощью отри-
цательного сопротивления.
Нет ничего действительно невозможного в задаче пред-
ставления отрицательного звена, пропускающего все частоты,
или отрицательного участка передающей линии в небольшом
диапазоне частот. Любая характеристика может быть, в сущ-
ности, аппроксимирована посредством обычных корректирую-
щих цепей, однако при применении корректирующих цепей
мы знаем, что это кажущееся изменение знака обычных свойств
на низких частотах достигается только ценой значительных
изменений структуры характеристики за пределами области
аппроксимации. Это изменение происходит' в направлении
уменьшения потерь на высоких частотах и является обычно
достаточным, чтобы свести к нулю результат, ожидаемый
нами от указанного устройства. При осуществлении, напри-
мер, отрицательной линии запаздывание на нижних ча-
стотах будет отрицательным, однако воспроизведение высоко-
*) Это цепь, характеристики затухания и фазы которой на любой' ча-
стоте точно равны по величине и обратны по знаку соответствующим харак-
теристикам обычной цепи, пропускающей все частоты.
Представление сопротивлений передачи	295
частотных составляющих всякого внезапно приложенного
сигнала настолько возрастает, что запаздывание’ на нижних
частотах не будет являться правильной мерой действитель-
ного запаздывания сигнала. Каким бы ни был сигнал в- цепи,
в схеме никогда не будет переходного процесса при отрица-
тельном времени. Чтобы рассмотреть менее очевидный случай,
мы предположим, что линия, или цепь, пропускающая все ча-
стоты, используется для устранения фазового сдвига фильтра
нижних частот. Если фазовый сдвиг действительно уничто-
жается, то изменение затухания на верхних частотах оказы-
вается настолько большим, что первоначальные селективные
свойства фильтров также теряются.
Смысл теоремы заключается в том, что в точности анало-
гичные ограничения должны быть справедливыми для актив-
ной цепи при условии, что цепь устойчива. Например, в уси-
лителе с обратной^ связью, представляющем собой отрицатель-
ную линию, или отрицательную цепь, пропускающую все ча-
стоты, любые значения |* и 0, которые обеспечивают- это
представление и соответствуют устойчивой цепи, должны при-
водить к фактическому усилению р-/(1 — 1Ф), которое возра-
стает за пределами рабочей полосы частот так же резко и
бесконтрольно, как и характеристика корректирующей цепи.
Схема, подобная показанной на фиг. 163, обладающая посто-
янным усилением, неустойчива, как мы можем легко видеть
из рассмотрения резонанса в первой междукаскадной петле
обратной связи.
В качестве примера иного применения этой теоремы мы
можем рассмотреть получение очень узкополосной характе-
ристики путем использования в p-цепи усилителя с обратной
связью режекторной схемы с очень узкой полосой. Практи-
чески достигнуть сильно узкополосной характеристики с по-
мощью чисто пассивных элементов нельзя, в то время как
обратная характеристика может быть получена сравнительно
легко при применении некоторых типов мостовых схем, даю-
щих быстрые изменения характеристики вблизи точки баланса.
Однако теорема прямо утверждает, что окончательные
характеристики передачи усилителя могут быть воспроизве-
дены пассивной цепью, если не учитывать постоянного зату-
хания. Суть здесь заключается в том, что теорема относится
к идеализированным пассивным элементам.
Теорема не учитывает ограничений, вызываемых разме-
рами элементов, или, что более важно для этой задачи, огра-
ничений, обусловленных потерями в элементах. Вообще го-
воря, преимущество схем с обратной связью заключается
в том, что они обеспечивают легкий и удобный способ под-
ведения энергии для нейтрализации потерь в элементах.
296
Глава XI. Функции сопротивления передачи
9. Элементы входных функций и функций передачи
общего вида
Основное содержание последующих глав основано на ис-
пользовании соотношений, обязательно существующих между
вещественной и мнимой составляющими входных функций
передачи, если эти функции должны представлять собой фи-
зические цепи. Это рассмотрение усложняется тем, что не
существует совершенно точных и универсальных соотношений
между указанными двумя составляющими. Например, если мы
исходим из заданной характеристики активного сопротивления,
мы всегда можем получить ряд различных соответствующих
		Входная функция	Функция передачи
возможные случаи для пассивных цепей	Основной элемент		
	изменение одной лишь мнимой составляющей		
	Изменение одной лишь вещественной составляющей	4г	
Дополнитель ные возмем- ные случаи] для других цепей |	Изменение одной лишь вещественной составляющей	о—ЛЛЛЛЛ/	О	о		О
Фиг. 164
характеристик реактивного сопротивления путем добавления
в схему чисто реактивных цепей.
Глава IX и настоящая глава посвящены главным образом
изучению того, каким образом вещественная и мнимая состав-
ляющие входных функций и функций передачи могут изменяться
независимо друг от друга. Это необходимо было сделать, чтобы
устранить связанные с этим неясности, прежде чем перехо-
дить к основной задаче. Сводка результатов, полученных
в обеих главах, представлена на фиг. 164.
В верхней части фигуры, в столбце входных функций,
показана схема с минимальным активным сопротивлением
и минимальным реактивным сопротивлением, а в столбце
функций передачи — схема с минимальным затуханием и
минимальным фазовым сдвигом. В показанных схемах
Элементы входных функций и функций передачи 297
используется простейшая форма цепи Бруне. Более сложные
функции могут быть представлены путем усложнения цепи.
Однако, в соответствии с анализом главы X, если не учиты-
вать дополнительного активного сопротивления, мы можем:
также представлять более сложные входные функции путем
суммирования ряда элементарных цепей. В следующей главе
показано, что соответствующий результат справедлив для.
функций передачи. Таким образом, показанные цепи, в извест-
ном смысле, представляют собой главные случаи возможного-
поведения физических входных сопротивлений передачи. Кроме
того, в этих цепях вещественная и мнимая составляющие
входной функции или функции передачи связаны между собой
однозначно. Зная одну составляющую, можно найти точные
значения другой.
В остальной части фиг. 164 показаны возможные способы
изменения одной из составляющих входной функции или функ-
ции передачи основной цепи без влияния на другую составляю-
щую. Так, мы можем изменить мнимую составляющую добавле-
нием противорезонансных цепей или звеньев, пропускающих все
частоты, как показано во втором ряду фигуры. Вещественная
составляющая, как показано в третьем ряду, может быть изме-
нена путем добавления положительного активного сопроти-
вления или положительных потерь.
Наконец, если, наряду с пассивными, ввести активные
элементы, то вещественную составляющую исходных функций,
можно изменять путем добавления отрицательного активного
сопротивления или отрицательных потерь. Если считать, что-
диаграмма символизирует как параллельные, так и последо-
вательные комбинации элементов двухполюсников, то эта фи-
гура дает полное представление о всех возможных *) входных
функциях и функциях передачи.
*) Следует напомнить, что для упрощения анализа мы в различных
местах пренебрегали наличием многократных полюсов, нулей и полюсов^
расположенных точно на оси вещественных частот, и т. д.
ГЛАВА XII
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА КОРРЕКТИРУЮЩИХ ЦЕПЕЙ
1. Введение
В настоящей главе мы продолжим рассмотрение функций
передачи применительно к корректирующим цепям. Приводи-
мое ниже рассмотрение основывается на положениях, изложен-
ных в главе XI. Задача.данной главы заключается в обзоре1)
различных методов и идей, представляющих интерес при ре-
альном проектировании корректирующих цепей. Таким образом,
эта глава в общем аналогична главе X, содержащей подобный
обзор для входных функций, и, так же как глава X, непосред-
ственно не входит в общую теорию, развитую в данной книге.
Приступающий к ее изучению может облегчить себе работу,
если учтет, что значительная часть материала, содержащегося
в этой главе, соответствует материалу главы X. Отличие за-
ключается лишь в том, что вместо активного и реактивного
«сопротивлений здесь фигурируют затухание и фазовый сдвиг.
2. Дополняющие характеристики
При рассмотрении двухполюсников было показано, что если
дано полное сопротивление типа минимального реактивного'
сопротивления, то второе сопротивление всегда может быть
найдено так, что сумма этих двух величин будет представлять
собой постоянное активное сопротивление. Аналогичное соот-
ношение может быть получено для минимально-фазовых функ-
ций передачи, если мы исключим предельный случай, когда
на самой оси вещественных частот есть точки бесконечного
затухания. При этом ограничении как нули, так и полюсы ис-
ходного сопротивления передачи должны находиться в пре-
делах левой половины плоскости р, исключая ее границу. Ве-
личина, обратная сопротивлению передачй, которая, естественно,
дает дополняющие характеристики фазы и затухания, очевидно,
обладает теми же свойствами. Это дает нам возможность
сформулировать следующую теорему:
*) Рассмотрение многих вопросов, обсуждаемых в настоящей главе, см.
в статье Zobel, loc. cit.
Разложение выражения для сопротивления
299
Теорема. Соответственно любой минимально-фазовой
функции передачи, не обладающей полюсами затухания на
оси вещественных частот, существует такая дополняющая
функция, что сумма этих двух функций дает постоянное
затухание и нулевой фазовый сдвиг на всех частотах. До-
полняющая функция является физически осуществимой в пас-
сивной цепи, если суммарное постоянное затухание, по мень-
шей мере, равно максимальному затуханию исходной функ-
ции на оси вещественных частот.
На фйг. 165 приведен простой пример, иллюстрирующий
эту теорему.
3. Разложение на простые множители выражения для
сопротивления передачи в общем случае
При изучении сопротивлений двухполюсников мы рассмот-
рели два возможных способа представления сопротивления.
Первый из них приводил к построению всего сопротивления
в виде одной сложной цепи Бруне. Однако мы видели также,
что с помощью разложения на простые дроби можно предста-
вить сопротивление в виде последовательного соединения бо-
лее простых цепей, если только активная составляющая всего
сопротивления достаточно велика. Примерно аналогичным спо-
собом можно заменить одну сложную скрещенную схему, ко-
торой мы до сих пор пользовались для представления сопро-
тивления передачи, рядом каскадно соединенных более про-
стых систем, если допустимо большое постоянное затухание.
Так как изменение затухания на постоянную величину обычно
не имеет большого значения, то эта особенность метода здесь
не так важна, как при рассмотрении сопротивлений двухпо-
люсников.
Разложение на каскадно соединенные звенья можно полу-
чить, просто переписав первоначальное выражение (11.3) для
Zt в виде
7 _Г.	1 Г, (р-а/+1)...(р-ап) 1	.
Zr~r1(P-bi)...(p-bJ) .II?3 * * * * 8 (p-bi+i}...(p-bn) } (12->
300
Глава XII. Вопросы расчета корректирующих цепей
где произведение равно величине k в исходном равенстве..
Очевидно, что каждый из двух множителей в квадратных
скобках первой части этого выражения сам по себе имеет
должную форму для представления . сопротивления передачи..
Таким образом, из этого равенства следует, что исходное со-
противление передачи может быть представлено двумя каскад-
но соединенными цепями, каждая из которых соответствует
одному из множителей в равенстве (12.1). Это представление
будет физически осуществимо, если мы удовлетворим двум усло-
виям. Первое из них заключается в том, что исходная вели-
чина k, которая фиксирует постоянное затухание цепи, дол-
жна быть достаточно большой, чтобы затухание каждой из
составляющих цепей имело положительные значения на оси
вещественных частот. Так как составляющие цепи обычно не
обладают минимумом затухания на одних и тех же частотах,,
то в общем случае это означает, что суммарная цепь будет
иметь большее затухание, чем необходимо для построения си-
стемы в виде одного скрещенного звена. Второе условие за-
ключается просто в том, что оба множителя, соответствующие
каждой сопряженной паре нулей или полюсов, должны быть-
приписаны либо одной цепи, либо другой. Так как в осталь-
ном порядок расположения нулей и полюсов в выражении
(12.1) произвольный и нет необходимости предъявлять особые
требования к количеству множителей двух составляющих це-
пей, то, несмотря на эти требования, мы все же приходим
к огромному количеству различных способов деления системы.
Это деление цепи на ряд каскадно соединенных более про-
стых систем может быть продолжено, если делить каждую из
ранее полученных систем. Для целей теории, в частности, пред-
ставляет интерес результат такого деления, если его продол-
жать сколь возможно долго. В этрм случае многие из получаемых
в конце концов предельных систем будут первой степени, выра-
жение для сопротивления передачи которых имеет единствен-
ный вещественный нуль и единственный вещественный полюс..
Так как пару сопряженных нулей или полюсов нельзя разби-
вать, то некоторые из окончательных систем могут иметь-
сопротивление передачи второго порядка. Однако легко видеть,
что второй порядок является наивысшим в предельных случаях.
Этот результат можно сформулировать в следующей теореме:
Теорема. Любое физически осуществимое сопротивление
передачи можно представить, с точностью до постоянной
величины затухания, в виде каскадного соединения пассив-
ных скрещенных звеньев постоянного активного сопротив-
ления, причем каждое из составляющих систему звеньев
имеет порядок не выше второго.
Разложение выражения для сопротивления
301
Таблица элементарных систем первого и второго порядка, со-
ответствующих элементарным сопротивлениям передачи, кото-
рые получаются в результате этого процесса деления, приве-
дена на фиг. 166 и 167. В каждом случае элементарная си-
стема обладает нулевым затуханием, на какой-либо частоте.
	Схема	Требования~ физической осуществимости	Величины ’ элементов	Типовые характеристики затухания и фазового сдвига	
I	L ——24 о	а=-Ъ	1 — L~ ъ П^о/L		/
И		а^-Ь, аг=-Ьг	+ „ + . о? С? Ос5 О? lL ’L ’1А к, А		/ / / Z
ш	/rvUULn л d yL р	|а|<|Ь|	ta jo С" »1 " и аГ о-l0’ °1°		
IV		l°R|b|	» — Ь о р К'~ Ь+а Р'° D=-^lb-a)R<>		—
Фиг. 166
В общем случае, если допустимы большие величины зату-
хания, физическая структура цепей может быть существенно
изменена. Для облегчения использования этих схем при практиче-
ском проектировании на фигурах приведены также наброски
характеристик фазы и затухания, изображенных соответственно
сплошными и пунктирными линиями в правой части фигур.
Две цепи первого порядка представлены схемами III и IV на
фиг. 166. Легко видеть, что эти две схемы, взятые вместе,
дают все возможные случаи одного вещественного нуля и од-
ного вещественного полюса. Фиг. 166 содержит также два
фазо-корректирующих звена, показанных ранее на фиг. 151 и
153. Мы можем считать, что системы с затуханием относятся
к минимально-фазовому типу. Однако в случае необходимости
все схемы могут быть взяты не минимально-фазовыми. Это
302 Глава XII. Вопросы расчета корректирующих цепей
существенно в тех случаях, когда мы хотим аппроксимировать
неминимально-фазовое сопротивлений, не применяя лишние
элементы.
Схемы второго порядка показаны на фиг. 167. Эти схемы,
вместе взятые, достаточны для того, чтобы представить все
	Схема	Требования физической осуществимости	Типовые характеристики затухания и фазового сдвига	
V		|а,а2| > |b,t>2| Ъ? + Ь% Величины Ъ обычно являются Комплексными. Величины а могут быть веществен- ными или комплексными		
W		|а,а2|< |Ъ, й2| <_ < b? bl a* af величины b обычно являются комплексными. Величины а могут быть веществен- ными или комплексными		
VH		|а,а2|>|Ь,йг| > а2+о2 Величины а обычно являются комплексными. Величины Ъ могут быть вещественными или комплексными		
чш	О'	-о	|а/а2|^|ЬЛ| / / / / Ъ,+Ь?г > а*ч- а * Величины а обычно являются комплексными. Величины b могут быть вещественнымс или комплексными	г	
Фиг. 167
возможные сопротивления второго порядка, за исключением не-
скольких случаев, при которых нули и полюсы являются ве-
щественными.
Так как любое подобное сопротивление передачи, естест-
венно, может быть представлено двумя цепями первого по-
рядка1), то эти случаи здесь опущены. Как видно из фиг. 167,
х) Соответствующие схемы второго порядка, естественно, также могут
быть найдены. Чтобы охватить все возможные функции второго порядка, мы
должны включить в фиг. 167 две дополнительные цепи, отличающиеся от
цепей V и VI тем, что реактивные элементы каждой ветви скрещенной
схемы одновременно являются индуктивностями или емкостями. Условия
физической осуществимости для этих двух цепей, выраженные через вели-
чины а и Ь, такие же, как для соответствующей цепи V или VI, имеющей
реактивный элемент того же типа, параллельно присоединенный к ветви
Разложение выражения для сопротивления 303
схемы V и VI требуются обычно тогда, когда полюсы ком-
плексны, а нули вещественны или почти вещественны. Схемы
VII и VIII соответствуют комплексным нулям и вещественным
полюсам; любая из этих схем может оказаться необходимой.
D
L
Фиг. 168
J __ ^0 Г+ ^2 _____
2 |_ ^1^2	^1^2 J
> __________Ro________
2	#i#24~	__Ro •
bib2	Ri
(bi + ^2)	— (^14- ^2) flAn
bib2 — aka2
__n [(^1 + W— (ai 4“
“ ° (al + al)-(bi + bl)
p —____________________
Qia2 4*bib*__Po
aia2 — М2 P[
__(bi + b2) — (ai 4- a2) o
—-------7ГZ------------^2
axa2 — bib2
в случае, когда и полюсы и нули являются комплексными»
Однако эти указания следует рассматривать лишь как ориенти-
ровочные.
Величины элементов цепей первого порядка определяются
подробными формулами на фиг. 166. Величины элементов це-
пей второго порядка записать еще легче. Для схем У и VI они
вычислены и приведены для ветви Zx на фиг. 168 и 169. Для
цепей Бруне, представленных схемами VII и VIII, вряд ли воз-
можно дать подробные формулы. Проще- всего дать формулы
для сопротивления ветви скрещенной схемы в целом, с тем»
что по этим выражения^будут определяться величины отдель-
ных элементов.
Если мы запишем сопротивление Zx
схемы в виде
7 _n Ai А3р 4- А3р*
х~~А^А,р+А3р* ’
ветви
скрещенной.
(12.2)
то коэфициенты Aj,..., Ав должны удовлетворять следующей,
системе 'уравнений:
А, А* = Ь^Ь<1 (Д8 А6),
А4~ A2 = <?i6f2(A5-f- Д6),
А - А4= -	+ Ь.) (А, - А),
А А А=~ (Й1+(А А А)'
304 Глава XII. Вопросы расчета корректирующих цепей
Здесь, само собой разумеется, аь аъ Ь{ и Ь% являются
рулями и полюсами представляемой функции второго порядка,
причем предполагается, что они удовлетворяют неравенствам,
приведенным на фиг. 167. Четыре условия (12.3) дают возмож-
ность решить систему уравнений с шестью неизвестными ве-
личинами А, если две из них, например Ав и Д6, являются за-
данными.
Однако поскольку при умножении на постоянную величину
числителя и знаменателя равенство (12.2) не меняется, то одна
яз величин А является произвольной.
Удобно предположить, что Л6 = 1, тогда As определяется
уравнением:
^ + ^ + ^ = 0,	(12.4)
где Ki=[(«! + а1) - (Ь; + ф]’;
К. =| [(«J + atf - (bl +	- (alal - blbl),
[(4 + al) 4- (bl + /ф]’ - 2(alal + b^),
•х==л« + йГ-
При решении уравнения (12.4) надо брать больший ко-
рень, однако безразлично, какое значение Д5 мы выберем
соответствующим определенному значению х, так как за-
мена Д8 на обратную величину просто меняет местами Zx
и Zs.
Раз определены коэфициенты А, то элементы цепи Бруне,
естественно, могут быть найдены с помощью ранее описанных
методов. Нахождение элементов может быть облегчено тем,
что точка минимального активного сопротивления определяется
из условия = AiAi/AgAg.
4. Пример разложения функции передачи на простые
множители
Рассмотрим только что изложенные методы на примере
схемы фильтра, показанной на фиг. 158. Сопротивление пере-
дачи этой схемы дано равенством (11.13). Чтобы представить
сопротивление в виде произведения более простых выражений,
прежде всего необходимо найти его корни и полюсы. Это
может быть сделано с помощью любого из обычных методов
вычисления корней полинома. В данном случае результат
доожет быть записан в виде
_ 17Т= Ч 50+ Х'П1Р + 1,043)(р4 * * * 8 +0,268р + 0,981)(р + 1Д83)	„ ,-ч
— 2Лг '5,0У	(р8+ 1,5625) (р8 4-2,778)	.(12.5)
Пример разложения функции передачи
305
Такие квадратичные множители, как (р? +1,127/? +1,043)
или (р2 -|- 1,5625), имеют сопряженные комплексные нули или
полюсы. Кроме того, есть один вещественный нуль, опреде-
ляемый множителем (/?-)- 1,183), и один полюс в бесконечности.
Рассмотрение равенства (12.5) показывает, что вся функция
передачи может быть представлена тремя каскадно соединен-
ными элементарными схемами. Если мы примем порядок за-
писи множителей в числителе и знаменателе, который взят
в равенстве (12.5), то равенство можно переписать в виде
еА«е9 — е91 евз
где
в	. р^ + 1,127р +1,043.
к ~~а р1 4- 1,5625
,	. ^+0,268р+0,981.
е — й р* 4- 2,778
в9’= &<.(/?-}-1,183).
(12.6)
(12.7)
(12.8)
(12.9)
Надо предположить, что множители ka, kb и kc в этих вы-
ражениях имеют такие значения, что затухание каждой из со-
ставляющих цепей является положительным или равным нулю
во всех точках на оси вещественных
частот. Величина Ло определяет ре-
зультирующее увеличение затухания
всей цепи, необходимое для того,
чтобы выполнить это условие. Из
сравнения поведения выражений (12.5)
и (12.6) на бесконечной частоте видно,
что eA» = kakbkc/3,59. Чтобы восполь-
зоваться методом расчета, изложен-
ным в общих чертах на фиг. 166—169,
нет необходимости знать величины k.
Они обычно легко мо-
гут быть определены из рассмотрения цепей, получающихся в
результате расчета. Одна'ко, предвосхищая результаты вычис-
лений, можно указать, что они оказываются равными соответ-
ственно 1,498, 7,034 и 0,845. Так, еЛ»=.2,46, что соответствует
результирующему росту затухания приблизительно на 8 дб.
Составление цепи удобно начать с представления е9». Эта
функция обладает нулем при —1,183 и полюсом в бесконечности.
Так как эти величины можно приравнять величинам а и b на
фиг. 166, то из формул следует, что требуемой скрещенной
схемой является схема типа III. Конкретные данные элементов
указаны на фиг. 170 *). * 20
х) Все схемы, приведенные в качестве примеров, за исключением особо
отмеченных, построены в предположении, что /?0=1.
20 Зак '1227
306
Глава ХП. Вопросы расчета корректирующих ц?пей
Рассмотрение других составляющих цепей может быть об-
легчено, если воспользоваться связью между корнями квадра-
тичного выражения и его коэфициентами. Напомним, например,
что если гх и г2 являются корнями квадратичной формы
р*«р + т0 ? —rir2 И а= — (Г1 + Г<г)-В равенстве (12.7) это,
очевидно, означает, что aia<l= 1,043 и btb^ = 1,5625, так что
соответствующая скрещенная схема должна принадлежать
к типу VI или VIII фиг. 167. Чтобы определить, какой из типов
должен быть выбран, удобно записать числитель и знамена-
тель равенства (12.7), выразив их через р в отрицательных
степенях. Итак, если записать числитель в виде
(да+Шк’+Н
то мы, очевидно, имеем:
1 _ 1	1 1_ 1 — _ Ы27
"а^	1,043 И ‘ ~а3	1,043’
откуда мы должны заключить, что
1 । ! _ /1,127\4	2
а! “г а|“*\1,043/	1,043*
С помощью аналогичных вычислений для знаменателя мож-
но показать, что требуемая схема относится к типу VI. Зна-
чения элементов ее ветви Zx, вычисленные по формулам
/£иг. 168, показаны на фиг. 171. Таким же образом может быть
0.5403?
0,743 0,219
Р
Фиг. 171
0,789р —0,594р
Фиг. 172
рассмотрено равенство (12.8). Но оно приводит к схеме, тип
которой обозначен на фиг. 167 цифрой VIII. Значения элемен-
тов для ее ветви Zx, вычисленные по методу, изложенному в
связи с равенствами (12.2), (12.3) и (12.4), показаны на фиг. 172.
Для проверки этого анализа были вычислены характери-
стики затухания трех составляющих цепей, показанные соот-
ветственно кривыми /, II, III на фиг. 173. Общее затухание
показано кривой IV. Само собой разумеется, что она совпа-
дает с характеристикой затухания фильтра, приведенной в гла-
ве XI, если не считать дополнительного постоянного затуха-
ния в 8 дб.
Пример разложения функции передачи
307
При вычислении этого решения квадратичные множители
в числителе и знаменателе равенства (12.5) группировались
в пары в том порядке, в каком они записаны в этом равенстве.
Фиг. 173
Очевидно, мы можем получить другое решение, изменив по-
рядок группировки в пары множителей и числителя и знаме-
нателя. Это равносильно замене равенств (12.7) и (12.8) сле-
дующими равенствами:
,.^,^+^ + ..43	(12.10)
(12.11)
С помощью уже описанных методов можно показать, что
равенство (12.10) представляет собой схему типа V71) на
фиг. 167 и равенство (12.11) — схему типа VIII. Соответствую-
щие ветви Zx показаны на фиг. 174 и 175, а различные харак-
теристики затухания — нафиг. 176. Мы видим, что эти характери-
стики по существу такого же типа, что и ранее показанные
на фиг. 173. Дополнительное постоянное затухание схемы
здесь уменьшилось с 8 до 4 дб.
х) Строго говоря, требуемая схема относится к типу VIII. Однако по-
скольку она очень близка к границе между этими двумя типами, то выбран
более простой тип VI. Возможности такого или даже еще большего упро-
щения, заключающегося в построении целой группы различных составляю-
щих с помощью единственной элементарной цепи, известны в технике.
308
Глава XII. Вопроси расчета корректирующих цепей
5.	Введение добавочных множителей
Из предыдущего рассмотрения следует, что любое сопро-
тивление передачи с достаточной величиной постоянного за-
тухания может быть представлено рядом звеньев скрещенного
0,54р
0,83 0,454
Фиг. 174
0,618 р
о—'olfbff'—
1,65 р
1,37
—0,45р
Фиг. 175
типа первого или второго порядка. Однако даже при таком огра-
ничении сложности составляющих схем обычно цепи неодно-
значно соответствуют любому частному сопротивлению пере-
дачи. Например, одна из возможностей изменения отдельных
составляющих цепей заключается просто в изменении порядка
группировки в пары множителей числителя и знаменателя. Это
было показано на примере предыдущего раздела. Если надо
выбрать п пар множителей, то это дает п\ возможных ком-
бинаций составляющих звеньев.
Еще большее количество различных составляющих звеньев
можно получить, если иметь возможность перед расстановкой
Введение добавочных множителей
309
множителей умножать числитель и знаменатель функции пе-
редачи на дополнительные произвольные множители. Этот прием
был использован в главе XI в связи с равенством (11.15),
чтобы привести функцию передачи общего вида к минимально-
фазовому случаю. Пример его применения к обычной коррек-
тирующей цепи показан на фиг. 177. Схема А на этой фигуре
Л	в	с
Фиг. 177
соответствует функции передачи (р + 4)/(р + 2), а В и С яв-
ляются эквивалентными схемами, которые можно получить,
переписав функцию передачи соответственно в виде
р Р 3 р 4~ 4 р -{- 1	_	/-‘л'
рф-2 и рЯ-2 • ПРИ составлении схемы С необходимо
предполагать, что может быть допущено добавочное постоян-
ное затухание.
Применение добавочных множителей в практических слу-
чаях затруднено тем, что они увеличивают число элементов
в схеме, а также могут увеличить ее постоянное затухание.
Однако этот метод в некоторых случаях может иметь значе-
ние, давая упрощение составляемых цепей. В качестве при-
мера предположим, что наличие взаимной индуктивности, не-
обходимой для цепей Бруне, используемых для реализации
функции передачи (12.11), неприемлемо. Эту трудность можно
обойти, записав функцию в виде
X _ h' Р2 + Хр+0,981 р2 + 0,268р +0,981	.
г — Кь р* 4- 1,5625 р2 + Хр 4-0,981 ’
Если мы выберем X большим 0,85, то первая рациональная
функция правой части будет удовлетворять требованиям, предъ-
являемым при составлении схемы типа VI фиг. 167. Вторая —
может быть представлена первой из схем, показанных на фиг. 178.
Если достаточно далеко продолжать процесс, иллюстриро-
ванный равенством (12.12), не обращая внимания ни на число
элементов цепи, ни на постоянную величину затухания, то можно
показать, что сопротивление передачи общего вида может
быть представлено более простым рядом элементарных состав-
ляющих звеньев, чем показанные на фиг. 166 и 167. Так, при
изучении функций второго порядка среди возможных случаев,
310 Глава XII. Вопросы расчета корректирующих цепей
которые мы должны были рассмотреть, были случаи пары со-
пряженных нулей в соединении с парой вещественных полю-
сов, пары сопряженных полюсов в соединении с парой веще-
ственных нулей и пары сопряженных нулей в соединении
с парой сопряженных полюсов. Если, однако, мы умножим и
разделим сопротивление передачи последнего типа на соответ-
ствующий вещественный множитель, то его, очевидно, можно
Схема	Условия физической осуществимост и	Величины элементов	Типовые характеристики	
L, Д О	* О	а, аг = Ь, Ьг |а,+а2|<|6,+<)2| В типичных сли- чает величины а являются комп- лексными, вели- чины b являются общественным и	(Ьг+ьг)-(а,+аг) ’ 0 (Ь,± Ь3^(а,^а2) _ D,	(bf-tb2)-(af+a2> Lf b,b2° -Z(a,+a2)(b,+ b?) D2-btbaL2^R0 (br^^dffa^	1	
ришА в* № лх	а,аг= b,b2 В типичных слу- чаях величины d являются вещест венными, величи< ны b являются комплексными	р_к (а^аг)-(Ь^Ъг)	1 (a< ictzf+f	^2) D^b.^L^-^a^azHb^bz)] о о <°1*аг>+<ь1+ьг) 2 0 (а^а2)-(Ъ^Ъг} L _ ^2 _	.	^0	 4 b/b2 (uf-i-a2)-(brt-b2)		
Фиг. 178
будет представить в виде произведения сопротивлений пере-
дачи первых двух типов. Следовательно, имея дело с цепями
второго порядка, нам необходимо рассматривать лишь функции
этих первых двух типов. Более того, даже при этих функциях,
введение дополнительных добавочных множителей, очевидно,
позволит нам произвольно выбрать вещественные нули и по-
люсы, при условии, что мы скомпенсируем ошибки, вызванные
при этом цепями первого порядка. Единственная существенная
задача заключается в представлении комплексных нулей или
полюсов.
Используя эти возможности, можно большинство схем об-
щего вида, необходимых при построении функций второго по-
рядка, привести к двум схемам, показанным на фиг. 178. Пер-
вая из них соответствует паре комплексных нулей и веще-
ственным полюсам, а вторая — паре комплексных полюсов и
вещественным нулям.
Как^видно из фигуры, в обеих цепях произведения полюсов
и нулей должны быть равны между собой. При применении
этих цепей, естественно, предполагается, что комплексные
нули или полюсы определяются заданным сопротивлением
Расчет сопротивления передачи 311
передачи, а вещественным нулям и полюсам дают любые удоб-
ные значения, совместимые с этим ограничением. Так как все
цепи фиг. 166 являются частными случаями этих двух схем,
то фиг. 178 можно рассматривать как полную таблицу элемен-
тарных составляющих сопротивления передачи общего вида.
6.	Расчет сопротивления передачи по одной
из составляющих
Мы видели в предыдущей главе, что хотя составляющие
активного и реактивного сопротивлений физического двухпо-
люсника можно изменять один относительно другого, но
способы этих изменений ограничены узкими пределами. На-
пример, если фиксирована характеристика реактивного сопро-
тивления, то активное сопротивление может изменяться лишь
на постоянную величину, а если фиксирована характеристика
активного сопротивления, то реактивное сопротивление может
быть изменено лишь на величину, соответствующую последо-
вательно добавленному обычному реактивному сопротивлению.
Следовательно, можно составить выражение полного сопро-
тивления для схемы минимального активного и минимального
реактивного сопротивлений, если мы знаем лишь одну из со-
ставляющих.
Аналогичное положение имеет место и в отношении сопро-
тивления передачи. Характеристики затухания и фазы цепи
можно изменять друг относительно друга лишь на величины,
соответствующие постоянному затуханию или добавлению иде-
альной цепи, пропускающей все частоты.
Если мы предположим, что цепь является цепью типа ми-
нимального затухания и минимального сдвига фаз, то характе-
ристика комплексного сопротивления передачи может быть,
следовательно, получена, когда нам известно либо затухание,
либо фазовый сдвиг.
Метод получения этой характеристики подобен ранее опи-
санному.'Члены четных степеней рациональной функции, пред-
ставляющей собой сопротивление передачи Zr, будут являться
на оси вещественных частот вещественными величинами, а члены
нечетных степеней — чисто мнимыми величинами. Поэтому мы
можем записать:
(12.13)
где Ci, С2, С3 и С4 являются полиномами относительно
с вещественными коэфициентами. Затухание и фаза, таким
образом, будут определяться следующими выражениями:
ЛА-	(CJ+iwGAG-ioiCJ	П9Ш
е ~ ci + ^ci “ (C,+i«>Q(C8-i<»c4), ;
312
Глава XII. Вопросы расчета корректирующих цепей
Последнее из выражений более удобно записать в следую-
щем виде:
_________ (Ci -|- fo>C2) (С3 — iuCi)	(19 1К\
1 —itgB- (Сз+гшС4)(С! —г®С2) '	?
Форма, в которой записаны равенства (12.14) и (12.16), сразу
показывает, что получение этой характеристики возможно.
Предположим, например, что дана формула для г2А. Если это
выражение соответствует физической цепи, то оно должно
являться рациональной функцией <о2’). Следовательно, при опре-
делении нулей и полюсов мы находим их в парах положитель-
ных и отрицательных значений; один из полюсов или нулей
данной пары лежит в одной-- из половин плоскости, второй
полюс или нуль — в другой. Формула для е2А, следовательно,
может быть записана в виде
л2А — Г Ь (Р (Р —	• (Р — ап) 1 Г и (Р ~Ь (Р ~Ь ' ' ' (Р ~F an) 1
L (р — *i)(p — W ••• (р — ъп) JL (р + *1)(р+*2) ••• (p + W-T
(12.17)
Здесь первое из выражений в прямых скобках содержит
нули и полюсы, расположенные в левой половине плоскости р,
а второе — соответствующие этим нулям и полюсам нули и
полюсы, расположенные в другой половине плоскости. Оче-
видно, что первое выражение в прямых скобках может быть
•отождествлено с Zt и является искомым выражением для со-
противления передачи.
Получение сопротивления передачи по известной фазовой
характеристике осуществляется аналогично. Если выражение
для tg В соответствует физической цепи, то оно должно быть
нечетной рациональной функцией частоты с веществен-
ными коэфициентами. Мы начнем с составления выражения
(1 —|—Ztg£J)/(l—Hg В), согласно равенству (12.16), и вычисления
его нулей и полюсов. Так как ztgB является нечетной функцией
частоты, то точки, в которых эта величина принимает значе-
ния -f-1 и — 1, отличаются одна от другой лишь знаком.
Другими словами, нули выражения (1 —Z tg В)/(1 — i tg В) должны
быть равны его полюсам и иметь обратный знак.
Предположим, что нули и полюсы вычислены и располо-
жены в группах, соответствующих их местам в правой и левой
половинах плоскости/?. Нули в правой половине плоскости тогда
*) Само собой разумеется, что, кроме того, коэфициенты должны быть
вещественными и на оси вещественных частот не должно быть нулей,,
а также полюсов нечетной кратности.
★Расчет сопротивления передачи________ 313
будут равны полюсам левой половины и иметь обратные им
знаки, и наоборот. Тогда, очевидно, результат, совместимый
с равенством (12.16), будет получен, если мы отождествим
+ с произведением множителей, соответствующих ну-
лям в левой половине плоскости, а С34-ДоС4 — с произведе-
нием множителей, соответствующих полюсам левой половины
плоскости. Поэтому, согласно равенству (12.13), отношение
этих величин будет равно искомому выражению для сопро-
тивления передачи. Так как фиксированное затухание нельзя
определить из фазовой характеристики, то это отношение
должно быть умножено на произвольную постоянную.
В обоих этих случаях расчет дает однозначный результат
для сопротивления передачи, если мы предположим, что система
является минимально-фазовой. Это очевидно, когда мы исходим
из характеристики затухания. Кроме Zr, определяемого равен-
ством (12.17), можно получить бесконечное число других ре-
шений, меняя местами полюсы на левой половине плоскости
с полюсами, равными им по величине, но противоположными
по знаку, или добавляя нули и полюсы, расположенные сим-
метрично относительно оси вещественных частот. Наоборот,
если мы исходим из самой фазовой характеристики, то можно
ожидать, что при определении того, является ли цепь мини-
мально-фазовой, затруднений не встретится. Однако, когда мы
выбираем нули ZT из нулей выражения (1 + ZtgB)/(l — t tg В),
то появляется неопределенность. Хотя и ясно, что допустимы
лишь нули, находящиеся в левой половине плоскости р, тем
не менее в общем случае нет необходимости, чтобы все нули
этой области были выбраны в качестве нулей Zr. Некоторые
нули можно не брать для Zr, рассматривая их вместо этого
как нули С3—-Л»С4 в равенстве (12.16). В этом случае соот-
ветствующие полюсы Zr, как это определяется правилом, по-
лученным с помощью равенства (12.16), будут лежать в правой
половине плоскости, так что получается решение неминимально-
фазового типа. Очевидно, что возможно получение нескольких
решений, если опускать различные комбинации нулей 2). Это
иллюстрировано в следующем разделе.
х) Однако каждый раз, когда опускается нуль, степень числителя соот-
ветствующего значения Z? уменьшается, а знаменателя возрастает. Так как
рациональная функция, представляющая собой физическое сопротивление
передачи, не может иметь нулей в бесконечности, — это устанавливает пре-
дел общего числа нулей, которые можно опустить. Очевидно, что
при составлении выражения Zr нельзя опускать 'нули выражения
(1 4- ztgB)/(l — Zig В), находящиеся в левой полуплоскости, если только
общее число нулей в этой области не превосходит числа полюсов по край-
ней мере на два. Это можно согласовать с суммарным изменением фазы
между нулем и бесконечностью с помощью контурного интегрирования. Если
314
Глава XII. Вопросы расчета корректирующих цепей
7.	Цепи с одинаковыми фазовыми сдвигами
Из только что проведенного рассмотрения следует, что
должна иметься возможность получения одной и той же фа-
зовой характеристики в неминимально-фазовой и в минимально-
фазовой схемах. Этбт вопрос представляет особый интерес, так
как здесь нарушается аналогия между входными функциями и
функциями передачи. Очевидно, мы не можем получить одина-
ковое реактивное сопротивление в цепи, составленной из чисто
реактивных элементов, и системе минимальной реактивности.
Кроме того, это означает, что хотя мы и не можем получить
изменяющийся коэфициент затухания без соответствующего
сдвига фаз, мы можем составить два канала, имеющих изме-
няющуюся разность затуханий при
отсутствии относительного фазово-
го сдвига.
Если характеристики затухания
этих двух каналов в определенной
области частот сделаны приблизи-
тельно одинаковыми и добавлено
некоторое устройство для баланси-
ровки друг относительно друга
выходных каналов, то такая
схема мысленно может быть исполь-
ФИГ. pg	зована вместо обычных фильтров
для получения частотной селекции.
В качестве примера, показывающего возможность получе-
ния одинаковых фазовых характеристик в устройствах мини-
мально-фазового и неминимально-фазового типов, рассмотрим
функцию (1 -|-/Х)\где Xпредставляет собой'некоторое реактив-
ное сопротивление. Это выражение, очевидно, представляет
собой функцию передачи двух каскадно соединенных идентичных
цепей скрещенного типа, показанных нафиг. 179, А. Однако соот-
ветствующий фазовый сдвиг, равный 2arctg X, равен фазовому
сдвигу цепи, пропускающей все частоты, показанному на
фиг. 179,5. Поэтому, очевидно, недостаточно того факта, что цепь
обладает фазовой характеристикой системы, пропускающей все
частоты, чтобы заключить, что она действительно является
цепью, пропускающей все частоты. Она может представлять
собой комбинацию простых корректирующих систем.
суммарный сдвиг фаз отрицателен, характеристика не является физической.
Если он равен нулю или 90°, — характеристика должна быть минимально-фазо-
вого типа. Далее появляется неопределенность, так как изменение на 180°
может быть приписано либо идеальному звену, пропускающему все частоты,
или минимально-фазовой цепи, обладающей бесконечным затуханием на
концах спектра.
Выбор параметрон
315
Только что полученный результат можно несколько обоб-
щить. Если мы обозначим IX — ар, то величину (1 -|- IX) можно
рассматривать как множитель функции передачи в общем виде,
содержащий вещественный нуль. Аналогично,если iX=ap-\-^/p,
то величину (1 -ф- IX) можно рассматривать как множитель,
содержащий пару сопряженных комплексных нулей. Таким
образом, соотношения, показанные на фиг. 179, соответствуют
утверждению, что сдвиги фаз, связанные с нулями функции
передачи общего вида, равны половине фазовых сдвигов ряда
элементарных фазо-корректирующих систем, тип которых по-
казан на фиг. 151 и 153. Так как те же результаты должны
быть справедливы для полюсов функции, если не учитывать
разных знаков фазовых сдвигов, то мы можем сформулировать
следующую теорему:
Теорема. Фазовая постоянная в общем случае всегда равна
половине фазовой постоянной ряда элементарных положи-
тельных или отрицательных фазо-корректирующих си-
стем.
На основании этой теоремы легко сформулировать соотно-
шения, связывающие между собой свойства двух каналов, ко-
торые должны обладать одинаковыми фазовыми характеристи-
ками, но различными характеристиками затухания. Основное
требование заключается в том, что функции передачи двух
каналов вначале должны быть выбраны так, чтобы их отно-
шение или произведение было равно квадрату рациональной
функции частоты. Это получается, когда две функции пере-
дачи имеют вид е01 е9* и е01^03, где е02 и с03 представляют собой
дополняющие характеристики и e'!i является произвольной функ-
цией передачи. Из свойств дополняющих функций и из предыду-
щей теоремы следует, что разность между фазовыми характе-
ристиками двух каналов должна быть в этом случае характери-
стикой ряда положительных или отрицательных фазо-корректи-
рующих систем? Чтобы сделать  равным нулю разность фаз, не-
обходимо просто добавить в один из каналов соответствующее
звено, пропускающее все частоты.
8.	Выбор параметров
Выбор коэфициентов рациональной функции, представляю-
щей собой сопротивление передачи с заданной характеристи-
кой, может быть осуществлен методами, аналогичными реше-
нию уравнений, описанному применительно к двухполюсникам.
Например, если мы пытаемся построить цепь, обладающую
одновременно данной характеристикой затухания и данной
316 Глава XII. Вопросы расчета корректирующих цепей
фазовой характеристикой, то мы можем записать следующее
равенство
а" + 4 (^) + ^ (/<а)2+	= zT = eAcos В + ie А sin В. (12.13)
£о+ *!(/«>) +ЫН2 + •••	1	7
Приравнивая по отдельности вещественные и мнимые части,
получим
(л0 — rt2or 4- <74<04 — ...) — еА cos В (Ьо —	—...) _|_
4- ®еА sin В (Ьу — й3ш2 4* ^5°>4 — ...) = 0;	(12.19)
<о (rZj — й3о? 4~	— • • •) — шеА cos В (Ьх — Ь-уг 4- Z>go>4 — ...) —
- еА sin В (Ь„ -	-...) = 0.	(12.20)
Если подставить в эти выражения группы значений ш, А и В,
взятые в выбранных точках по заданной характеристике, то
мы получим систему совместных линейных уравнений, решение
которых определяет коэфициенты а и Ь.
Можно также исходить только из характеристики затуха-
ния или только из фазовой характеристики. Так, если нас
интересует затухание, мы можем записать:
+  • • + gn<°sre _ 2А	(1 9 9 п
'd0 + d^ + d^+ ... dn<uM ’	UZ.zi;
или
(с0 4-	4-... 4- с/") - е2А (d0 + d^ +’... + dn<uw) = 0. (12.22)
Само собой разумеется, что это исходное линейное соот-
ношение дает возможность, как и в общем случае, составить
систему уравнений для определения коэфициентов с и d. Тогда
методом, изложенным в предыдущем разделе, можно построить
цепь, аппроксимирующую своей характеристикой данное, вы-
ражение для комплексного сопротивления передачи. По при-
чинам, рассмотренным в связи с соответствующей задачей
по проектированию двухполюсников, этот метод оказывается
пригодным даже в тех случаях, если мы в конечном счете
интересуемся фазовым сдвигом так же, как и затуханием.
Уверенность в том, что фазовые требования будут удовлетво-
рены, основывается на возможности при окончательном про-
ектировании предусмотреть фазовый корректор *)•
Целесообразность использования этих методов в практи-
ческих условиях определяется главным образом рассматривае-
мой задачей. Во многих случаях система, обеспечивающая
с достаточной точностью требуемую характеристику, может
быть спроектирована непосредственно без затраты труда,
*) Более подробное рассмотрение см. в статье Z о b е 1, loc. cit.
Цепи, эквивалентные скрещенным схемам	317
необходимого для использования вспомогательного математиче-
ского аппарата. Однако метод системы уравнений дает простой
и систематизированный путь расчета в тех случаях, когда от-
падает прямой путь подбора элементов.
9.	Цепи, эквивалентные скрещенным схемам
Для целей теории скрещенная схема, которая до сих пор
была единственной рассматриваемой нами цепью, является
особенно удобной как вследствие возможности ее применения
во всех случаях, так и вслед-
ствие простоты и симмет-
рии ее расчетных формул.
Однако в практических при-
ложениях часто приходится
предпочитать ей другие ти-
пы схем. Целью настоящего
раздела является составле-
ние перечня случаев эквива-
лентности цепей, с помощью
которого облегчается при-
менение теории, развитой
для скрещенной^схемы, к
другим типам систем.
Основные соотношения,
определяющие эквивалент-
ность между скрещенной	Фиг. 180
схемой и другими симмет-
ричными четырехполюсниками, показаны на фиг. 180 *). Т-образ-
ная схема, приведенная на фигуре, взята просто для определен-
ности.
Здесь не предполагается, что эквивалентность ограничи-
вается каким-либо частным видом схем. Эту эквивалентность
легко понять, если заметить, что ветви реальной скрещенной
схемы можно непосредственно получить из измерений внешних
сопротивлений, применив соответствующую цепь, замыкающую
накоротко пзру внешних клемм, для того чтобы в каж-
дом случае устранить одну из ветвей. Например, если
мы замкнем в скрещенной схеме фиг. 181 клеммы А и С,
а также В и D, то сопротивление между АС и BD, оче-
видно, будет равно Zy/2. Аналогично, если мы соединим А с D и
*) Эти соотношения, определяющие эквивалентность, незначительно от-
личаются от данных впервые Кэмпбеллом. См. Campbell, Physical Theory
of the Electrical Wave Filter, Bell Syst. Techn. Journ., ноябрь (1922).
318 Глава XII. Вопроси расчета корректирующих цепей
В с С, то сопротивление между AD и ВС будет равно Zx/2.
Из фиг. 180, в сущности, следует, что ветви скрещенной
схемы, эквивалентной симметричной цепи общего вида, можно
определить с помощью этих двух измерений на соответствую-
щих полюсах А, В, С и D системы общего вида.
Идеальные трансформаторы на концах системы фиг. 180
имеют коэфициент трансформации, равный единице. Они вклю-
чены просто для учета того, что цепь, для которой мы ищем
эквивалентную скрещенную схему,
А________<-=—।______С	необязательно является системой
°	*4. IZx I	°	уравновешенной (поперечно-сим-
метричной). Стрелки на фиг. 180
указывают соответствующие на-
правления включения обмоток
/ X.	трансформатора. Однако посколь-
с	/ I у I х 0	ку изменение направления включе-
$	।—jj	ния одной из обмоток равнозначно
взаимной замене Zx и Zy в экви-
фиг- 181	валентной скрещенной схеме или
изменению фазы на обратную при
передаче через цепь, то оно почти не играет роли.
Если рассматриваемая цепь полностью уравновешена, то, оче-
видно, трансформаторы можно не включать. Их можно не
включать даже в случае совсем неуравновешенной схемы,
например, Т-образной схемы, показанной на фиг. 180, если
несколько изменить схему включения. Заметим, что единствен-
ное отличие между измерениями, служащими для определе-
ния Zx и Zy, заключается в том, что ток в одном трансформа-
торе меняет свое направление на обратное. Однако, исходя
из симметрии, токи в обоих измерениях должны быть равны
по величине. При определении Zy токи во вторичных обмотках
текут в одинаковом направлении, так что напряжение между А'
и В' равно напряжению между С и D', или, другими словами,
клеммы А' и В' находятся под тем же потенциалом. Сопро-
тивление Zyl4, измеряемое между АС я BD, следовательно, то же,
что и имело бы место при удалении трансформаторов и измере-
нии непосредственно между зажимом В' и зажимами А' и С',
соединенными между собой. С другой стороны, когда мы опре-
деляем Zx, токи во вторичных обмотках имеют противопо-
ложные направления, так что ток по заземленному проводу
не вытекает из цепи и не втекает в нее. Следовательно,
результаты измерения не изменились бы, если нижние клеммы
вторичных обмоток трансформаторов не присоединялись к за-
жимам В' и D', а были бы соединены между собой непосред-
ственно. Если мы учтем то обстоятельство, что коэфициент
трансформации сопротивлений, равный отношению четырех
Примеры эквивалентных скрещенных схем 319
к одному, является результатом того, что первичные об-
мотки трансформаторов соединены параллельно, в то время
как их вторичные обмотки соединены, в сущности, после-
довательно, то мы можем заключить, что сопротивление Zx/2
как раз равно одной четверти сопротивления, которое мы
бы измерили между зажимами А' и С', если бы не было
никаких внешних соединений с другими частями схемы,,
в том числе и с зажимом В'. Это приводит к эквивалентности
между скрещенной схемой и симметричной неуравновешенной
цепью, показанной на фиг. 182, где Z{ представляет собой
только что упомянутое сопротивление между А' и С, a Z2 ~
сопротивление между А' и В', при С', соединенном с Д', как
было указано раньше *)•
10.	Примеры эквивалентных скрещенных схем
На фиг. 183 и 184 показана эквивалентность применительно
к Т- и П-образным цепям. Средние ветви Т- и П-образных
схем разбиты на две равные части, чтобы наглядно показать,
что ветви Za и Zb эквивалентной скрещенной схемы соответ-
ственно равны сопротивлениям половины Т- или П-образных
9 В сущности те же соотношения сформулированы Бартлетом в так на-
зываемой теореме деления пополам (см. В artlet t, The Theory of Electri-
cal Artificial Lines and Filters, p. 28). Теорема Бартлета утверждает, что
сопротивление Zx и Zv, эквивалентные в случае скрещенной схемы для дан-
ной симметричной цепи, могут быть найдены путем деления пополам цепи
в плоскости симметрии и измерения входного сопротивления каждой из по-
ловин сначала при коротком замыкании, а затем при холостом ходе полюсов,
которые нормально служат для соединения с другой половиной. Это ясно
видно из фиг. 182, где вследствие симметрии при измерении Zr все зажимы
в плоскости симметрии нахоДятся под общим потенциалом, так что их можно
соединить между собой, не изменив результатов измерений. В то же время,
при измерении Z2, в проводах, соединяющих две половины цепи, нет тока,
так что их можно разорвать. Однако эквивалентность фиг. 182 применима
также к необычным схемам, обладающим симметричными внешними пара-
метрами, но не являющимися симметричными по схеме.
320 Глава XII. Вопросы, расчета корректирующих цепей
звеньев при коротком замыканий или при холостом ходе. Легко
видеть, что эквивалент в виде физической скрещенной схемы
всегда может быть получен для любой Т- или П-образной
системы. Однако обратное положение не всегда справедливо.
Фиг. 183
Другие примеры такой эквивалентности приведены на
фиг. 185 и 186. Как показывают фигуры, сопротивление, вклю-
ченное последовательно или параллельно с обеими скрещен-
Фиг.'184
ными ветвями, можно удалить и включить последовательно
или параллельно всей скрещенной схеме в целом. Повидимому,
наиболее полезное из применений этих соотношений при про-
ектировании корректирующих цепей показано на фиг. 187. Так
как последовательные и параллельно включенные активные
сопротивления, показанные вне скрещенной схемы на правой
части фиг. 187, можно рассматривать просто как удлинители,
Примеры эквивалентных скрещенных схем
321
то мы видим, что добавление последовательно с обеими скре-
щенными ветвями или параллельно им активных сопротивле-
ний вносит, в сущности, постоянную величину затухания.
Фиг. 186
Обратно, если скрещенная схема относится к типу минималь-
ного затухания, то активное сопротивление, или активная про-
водимость, каждой ветви должна обращаться в нуль в неко-
торой точке на оси вещественных частот.
Фиг. 187
Более сложный пример такой эквивалентности приведен на
фиг. 188, на которой представлена комбинация двух скрещен-
ных цепей и одна эквивалентная этой комбинации скрещенная
схема. Как видно из соотношения ZX1Zyi = ZX2ZV2, показанного
на фигуре, исходные скрещенные схемы должны обладать
21 Зак. 1327
322 Глава XII. Вопросы расчета корректирующих цепей
одинаковым характеристическим сопротивлением. В общем
случае это условие необходимо, если образуемая схема должна
быть симметричной. Предыдущее наше рассмотрение в данной
главе было посвящено главным образом описанию методов
разложения характеристики сопротивления передачи общего
вида для получения каскадной комбинации ряда очень простых
схем. Построение эквивалента, показанного на фиг. 188, оче-
видно, представляет собой обратную операцию, с помощью
которой можно из элементарных схем получать составную
систему.
11.	Другие виды корректирующих цепей
С помощью этой эквивалентности скрещенные корректирую-
щие цепи могут быть заменены рядом других схем. Две из
них, представляющие особый интерес, будут описаны в этом
разделе. Первая из них является эквивалентом скрещенной
схемы лишь в определенном смысле. Она получается, как по-
казано на фиг. 189, путем простой замены каждой из ветвей Zx
или Zy в исходной схеме простыми активными сопротивле-
ниями, равными сопротивлениям внешних цепей. Сопротивле-
ния передачи получающихся цепей легко вычислить, если мы их
вначале представим в виде Т- или
П-образных схем с помощью фиг. 183
или 184. В обоих случаях мы нахо-
дима
Zz = 4/?0---(12.23)
Как видно из сравнения с равен-
ствами (11.3) и (11.6), это выражение
Фиг. 189	как раз вдвое превышает сопротивле-
ние передачи исходной цепи. Следова-
тельно, за счет дополнительного Затухания в 6 дб мы обес-
печиваем значительное упрощение сложной цепи. Однако
надо заметить, что новые цепи не являются цепями типа
постоянного /?. Поэтому „эквивалентность" соблюдается лишь
для токов, когда оба сопротивления внешних цепей имеют
определенные значения. Эти цепи нельзя применять, если со-
противления внешних цепей не удовлетворяют этим условиям
или когда мы должны каскадно соединять между собой различ-
ные схемы.
Другие виды, корректирующих цепей
323
Вторым эквивалентом скрещенной схемы является пере-
крытая Т-образная схема, показанная на фиг. 190 ’). Скрещен-
ный эквивалент этой цепи, определенный по методу фиг. 182,
имеет ветвь Zx, состоящую из сопротивления Zc перекрытой
Т-образной схемы, параллельно которому присоединена поло-
вина ее сопротивления Za. Ветвь Zy состоит из сопротивле-
ния Zc, последовательно с которым включено двойное сопро-
тивление Zb. Следовательно, если перекрытая Т-образная схема
Фиг. 190
физически осуществима, то эквивалентная скрещенная схема
всегда осуществима, но мы можем преобразовать скрещенную
схему в перекрытую Т-образную лишь в том случае, если
можно найти двухполюсник, представляющий собой сопроти-
вление Zc, которое включено последовательно с одной из
ветвей скрещенной схемы и параллельно другой.
При проектировании корректирующих цепей обычно
предполагают, что перекрытая Т-образная схема является си-
стемой постоянного активного сопротивления, у которой, как
показано на фиг. 191, сопротивление Zc равно сопротивлению
нагрузки /?0. Легко показать, что при этом значении Zc усло-
вие постоянного активного сопротивления будет выполняться,
если Zu и Z21 являются инверсными цепями с произведением
сопротивлений, равным ZnZ2i = Если система на выходном
конце замкнута на активное сопротивление 7?0, то первое по-
следовательное активное сопротивление /?0, два инверсных
сопротивления Zn и Z21 и оконечное сопротивление внешней
*) Здесь рассматривается перекрытая Т-образная схема, поскольку она
наиболее употребительна при проектировании корректирующих цепей.
Однако в других приложениях, по меньшей мере в такой же степени, обыч-
ным является преобразование скрещенной схемы в любую из различных
комбинаций, составленных из двух ветвей, сопротивления которых соответ-
ственно пропорциональны сопротивлениям Zx и Zy исходной скрещенной
схемы двух- или трехобмоточного трансформатора. Краткий перечень таких
схем дан в книге Starr, Electric Circuits and Wave Filters, p. 366. Общее
теоретическое исследование возможных методов составления скрещенных и
мостовых схем с помощью трансформаторов дано в статье Campbell
and Foster, Maximum Output Networks, Trans. A. I. E. E. 39, часть I,
231—280 (1920).
324 Глава XII. Вопросы, расчета корректирующих цепей
цепи образуют четыре плеча моста, у которого ветвью
гальванометра является второе последовательное сопротивле-
ние /?0. Однако условие ZnZ21 = /?J требует так сбалансиро-
Фиг. 192
вать мост, чтобы через гальванометр не протекал ток. Сле-
довательно, строго говоря, этот элемент цепи является
лишним. Его можно заменить коротким замыканием или раз-
рывом, что не изменит ни входного сопротивления, ни харак-
теристики передачи системы. Это осуществлено на фиг. 192
и фиг. 193. Однако обычно принято включать второе активное
сопротивление, так как его наличие делает схему менее чув-
ствительной к небольшим отклонениям сопротивлений внешней
цепи от их номинальных значений.
12.	Расчетные формулы для корректирующих цепей
типа перекрытого Т
Хотя перекрытая Т-образная схема введена как экви-
валент скрещенной схемы, обычно ее легко применять к за-
дачам проектирования, используя непосредственно ее собствен-
ные расчетные формулы. Подставляя выражение, связывающее
Zx с Zn в равенство (11.6), получаем:
14-^1.	(12.24)
Так как для этой схемы Zr = 2/?0e’, если оба внешних со-
противления равны /?0, то сопротивление передачи перекрытой
Т-образной схемы пропорционально расчетному сопротивлению
Zu, последовательно соединенному с некоторым активным
сопротивлением. Мы сразу можем использовать равенство
(12.24) для получения некоторых свойств перекрытой Т-образ-
ной схемы по аналогии со свойствами, которые мы уже уста-
новили для скрещенной схемы. Например, в связи с фиг. 187
мы видели, что добавление постоянного затухания к скрещен-
ной схеме, в сущности, было эквивалентно добавлению актив-
Расчетные формулы, для корректирующих цепей 325
них сопротивлений последовательно и параллельно с обеими
скрещенными ветвями. Чтобы скрещенная схема была типа
минимального затухания, необходимо, чтобы активная состав-
ляющая сопротивления или проводимости каждой из ветвей
обращалась в нуль на некоторой вещественной частоте.
С другой стороны, если мы добавим постоянное .затухание
Дв к величине 0, определяемой равенством (12.24), выражение
получит следующий вид:
е8+л° = ^.(14-^)=!	(gAo - Ц, (12.25)
'	•*'0 /	"о
Следовательно, если не считать изменения шкалы, то доба-
вление постоянного затухания к перекрытой Т-образной схеме
эквивалентно добавлению активного сопротивления последова-
тельно с Zn. Обратно, можно вычесть достоянное затухание
из скрещенной Т-образной схемы, если активная составляющая
ее сопротивления Zn больше нуля на всех вещественных ча-
стотах.
Применение формулы (12.24) дает нам также возможность
заменить перекрытую Т-образную схему более простой схемой,
примерно таким же путем, как скрещенная схема постоянного
активного сопротивления может быть заменена одной из цепей,
показанных на фиг. 189. Однако в этом случае заменяющая
цепь всегда более проста. Она состоит, как показано на фиг. 194
и 195, только из простых последовательных и параллельных
Фиг. 194
Фиг. 195
сопротивлений, пропорциональных исходным ветвям Zn или
ZM. Путем проверки можно убедиться в том, что вносимое
этими схемами затухание такое же, какое определяется фор-
мулой (12.24). Хотя эти схемы аналогичны схемам фиг. 189,
они обладают тем преимуществом, что здесь не требуется до-
полнительного затухания в 6 дб. Само собой разумеется, что
ни один из этих „эквивалентов" не может быть применен,
когда замыкающие сопротивления внешних цепей имеют вели-
чину, отличающуюся от заданной, или если нам надо каскадно
соединять между собой различные системы.
Из предыдущего рассмотрения видно, что перекрытая Т-об-
разная схема постоянного активного сопротивления фиг. 191
326 Глава XII. Вопросы расчета корректирующих цепей
является значительно менее общей, чем скрещенная схема
постоянного активного сопротивления. Например, эти две схемы
могут быть сделаны эквивалентными лишь в случае, если
сопротивления j?0 включены параллельно ветви Zx скрещенной
схемы и последовательно с ее ветвью Zy. Значение этих требо-
ваний, предъявляемых к структуре, лучше всего видно из
равенства (12.24). Из этого равенства видно, что Zn будет
физическим сопротивлением, когда е* 8 является минимально-
фазовым выражением, и лишь тогда, когда сдвиг фаз нигде
не превышает st 90°. С другой сто-
______________ роны, если мы исходим из такого
/'~\__________выражения и вводим достаточное
.---Xz_------- постоянное затухание, всегда мож-
но получить физически осуществи-
Фиг. 196	мое сопротивление Zn.
В общем случае ограничение
максимального сдвига фаз перекрытой Т-образной схемы ста-
новится тем более неприятным, чем сложнее схема. Например,
имея дело со скрещенными схемами, мы видели, что две каскадно
соединенные простые схемы всегда могут быть заменены более
сложной скрещенной. Однако такого положения нет в случае
перекрытых Т-образных схем, так как две схемы, у каждой
из которых сдвиг фаз меньше 90°, легко могут дать общий
сдвиг фаз, превышающий этот предел. Следовательно, чем
сложнее перекрытая Т-образная схема, тем менее общей она
является.
С другой стороны, из рассмотрения расчетных формул легко
видеть, что, когда удовлетворяются требования минимума фазы,
схемы фиг. 178 всегда могут быть выполнены в виде пере-
крытых Т-образных схем. Следовательно, если мы будем исхо-
дить из разложения характеристики на достаточно простые
составляющие, то с помощью перекрытых Т-образных цепей
могут быть представлены любые минимально-фазовые сопро-
тивления передачи.
Для практических целей обычно проще всего производить
расчет перекрытых Т-образных корректирующих цепей путем
подбора величин. Обычно для ветви Zn принимают схему
в виде активного сопротивления, параллельно присоединенного
к цепи, составленной из чисто реактивных элементов.
Очевидно, что получающаяся характеристика затухания
будет достигать равных максимумов при каждом противоре-
зонансе реактивной цепи и обращаться в нуль при каждом'
последовательном резонансе. Это иллюстрировано фиг. 196.
Схему этого типа обычно применяют, когда требуемая характе-
ристика в интересующем нас диапазоне частот аналогична
характеристике фиг. 196 между двумя соседними максимумами,
Расчетные формулы для корректирующих цепей 32Т
двумя соседними минимумами или одним максимумом и преды-
дущим или следующим минимумом. Так как максимальное
значение затухания фиксировано параллельным активным со-
противлением, то этот элемент цепи может быть выбран сразу.
Таким образом, задача проектирования сводится к выбору
подходящей схемы реактивного двухполюсника. Однако в ра-
бочем диапазоне резонансы и противорезонансы фиксированы
расположением максимумов и минимумов затухания. Следова-
тельно, путем подбора надо выбрать главным образом постоян-
ный множитель в выражении для реактивного сопротивления
и, может быть, дополнительные элементы, дающие резонансы
вне рабочей полосы, чтобы получить необходимую форму
характеристики в промежуточных точках.
Для расчета можно воспользоваться следующей формулой:
«2А — 1 । .	(12.26)
е 1 7?0 (G2 + В1) '	7
Эту формулу легко вывести из равенства (12.24). В этом
выражении Q представляет собой активную проводимость
(известного) параллельного активного сопротивления, а В—ре-
активную проводимость искомой реактивной цепи.
ГЛАВА XIII
ОГРАНИЧЕНИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЗИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ ПРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧАСТОТАХ
1.	Введение
В предыдущих главах было показано, что для того, чтобы
система была физически осуществимой, математическое выра-
жение каждой из обычных характеристик цепи должно удо-
влетворять определенным условиям. В частности, боль-
шинство функций цепи должно особым образом вести себя
в правой полуплоскости р. Эта формулировка физической
осуществимости формально является точной и исчерпываю-
щей. Однако в практических инженерных задачах обычно
бывает желательно иметь дело лишь с поведением системы
при вещественных частотах. При этом, вполне естественно,
возникает вопрос о том, каким образом эти ограничения свойств
цепи в правой полуплоскости сказываются на значениях функций
цепи, которые могут быть получены в физических схемах
в точках на оси вещественных частот.
Эта задача уже излагалась в главе VIII, где для ее рас-
смотрения в качестве основного математического аппарата
была введена теория Коши об интегрировании в комплексной
плоскости. Однако эта теория была использована лишь для
доказательства критерия устойчивости Найквиста. В настоящей
и нескольких последующих главах она будет использована для
вывода ряда дополнительных соотношений, которым должны
удовлетворять функции физически осуществимых цепей. При
этом, в частности, будет использована теорема Коши об ин-
теграле аналитической функции по замкнутому контуру и
различные частные результаты интегрирования степеней z по
дугам окружности, изложенные во введении к главе VIII. При
необходимости, читатель должен повторить этот материал,
прежде чем он приступит к изучению настоящей главы.
2.	Природа ограничений, налагаемых на характеристики
физически осуществимых цепей
Прежде чем приступить к анализу, полезно рассмотреть
общую природу искомых соотношений. По существу, задача
получения заданной характеристики с помощью физической
цепи сводится к аппроксимации характеристики в указанной
Природа ограничений характеристик цепей
329
области рациональной функцией частоты. Если бы эта рацио-
нальная функция не была ограничена, то задачу можно было
бы всегда решить с любой степенью точности. Однако, вообще
говоря, получающаяся функция будет иметь нули и полюсы,
расположенные во всех частях плоскости р. Так как в дей-
ствительности нули могут быть расположены лишь в одной
полуплоскости, то это означает, что, в известном смысле, усло-
вия физической осуществимости предопределяют половину
любой задачи. * Вообще говоря, если нули и полюсы должны
находиться в соответствующей полуплоскости, то на каждое
обстоятельство, которое мы можем произвольно ввести, имеется
противостоящее обстоятельство, противодействующее нам.
Примеры подобного рода соотношений мы находим в зада-
чах получения полного сопротивления по известной характе-
ристике вещественной составляющей или получения функции
коэфициента передачи по известной характеристике затухания,
которые были описаны в главах X и XII. В каждом случае
можно исходить из представления заданной характеристики
вещественной части сопротивления или затухания с помощью
любой четной рациональной функции. Поэтому, очевидно,'за-
дача осуществления любой заданной характеристики веще-
ственной части сопротивления или затухания не имеет ограни-
чений в тех случаях, когда мы предполагаем четную симме-
трию *). Однако в общем случае при построении входного полного
сопротивления или полного сопротивления передачи по его
составляющей оказывается, что результат полностью предопре-
делен исходной функцией. Таким образом, в качестве компен-
сации за свободу выбора по нашему желанию характеристики
вещественной части сопротивления или затухания, мы должны
пожертвовать возможностью произвольно менять характери-
стику мнимой части сопротивления или фазового сдвига.
Обратно, если мы выберем мнимую составляющую, то убе-
димся, что вещественная составляющая оказывается опреде-
ленной. Единственное исключение заключается в возможностях,
которыми обладают цепи с неминимальной фазой или немини-
мальной реактивной составляющей.
Из теорем контурных интегралов вытекают как эти соот-
ношения, так и многие другие. Например, вместо того, чтобы
выбирать в качестве определяемой нами половины свойств;
только вещественную составляющую или только мнимую со-
ставляющую во всем частотном спектре, мы можем произвольно
задать вещественную составляющую в некоторых частях
*) Конечно, за исключением того, что при рассмотрении пассивных систем
вещественная часть сопротивления или затухания не может быть отрица-
тельной.
330	Глава ХП1. Характеристики физических цепей
спектра и мнимую составляющую в остальных частях спектра.
Остальные части всей комплексной характеристики тогда
оказываются определенными. Мы можем также произвольно
задать лишь единственное отдельное обстоятельство, характе-
ризующее свойства цепи. Тогда, независимо от нашего желания,
оказывается определенным соответствующее другое отдельное
обстоятельство. Например, если мы установим, что сопротивле-
ние должно убывать при бесконечно больших частотах как
заданное емкостное сопротивление, но не будем налагать
никаких других ограничений на характеристику, то будет
существовать единственное требование к свойствам полного
сопротивления на конечных частотах.
Аналогично, если мы примем, что разность между за-
туханием на двух избранных частотах должна быть равна
заданной величине, то будет существовать соответствую-
щее единственное требование к фазовой характеристике си-
стемы.
Существует большое число различных соотношений этого
типа с контурными интегралами. К сожалению, в высшей сте-
пени трудно в какой-либо степени связать в общую систему
все возможные соотношения подобного рода. С чисто мате-
матической точки зрения, большая часть формул может быть
получена путем настолько очевидных преобразований, что нет
-смысла выделять какие-либо частные независимые группы
этих формул.
В конечном счете все эти формулы являются просто след-
ствиями теоремы Коши. Таким образом, предпочтение, отда-
ваемое отдельным выражениям, должно определяться их фи-
зическим смыслом и соответствием этого физического смысла
данной частной задаче. Не представляет труда выделить от-
дельные группы, пригодные для задач, связанных между собой
известной общностью. Кроме того, существует почти неисчер-
паемый список формул, которые, понятно, могут оказаться
полезными в отдельных частных случаях. В этих случаях успех
выбора определяется, искусством инженера.
Настоящая глава будет посвящена главным образом теоре-
мам, которые применимы при наличии единственного ограниче-
ния, накладываемого на функцию. Большая часть главы отно-
сится к двум простейшим теоремам. Различные способы,
с помощью которых можно составить большое число разно-
образных соотношений, описаны более коротко в конце этой
главы. В следующих главах даются выражения, которые, в част-
ности, могут быть применены в случаях, если мы полностью
выбираем половину характеристики или задав вещественную
{либо мнимую) составляющую при всех частотах, или обе со-
ставляющие в различных диапазонах частот.
Аналитические условия
331
3.	Аналитические условия
Контурный интеграл мы будем брать по контуру, изобра-
женному на фиг. 197. Здесь взят такой же контур, какой был
использован для доказательства критерия устойчивости Най-
квиста в главе VIII. Так же как и там, здесь предполагается, что
полуокружность, являющаяся частью контура, бесконечно
велика, а малые выступы на оси вещественных частот служат
для обхода особых точек, которые может иметь здесь подин-
тегральное выражение. Интеграл по замкнутому контуру мы
’будем обозначать знаком $, а интеграл, взятый по полуок-
ружности, — знаком £.
Пусть интересующая нас функция будет 0 = A-f-ZB. Пред-,
положим, что 6 удовлетворяет следующим условиям:
1.	Вещественная составляю-
щая А является четной функцией
частоты.
2.	Мнимая составляющая В
является нечетной функцией ча-
стоты.
3.	В. пределах правой полу-
плоскости отсутствуют особые
точки.
4.	Особенности, расположен-
ные в любой конечной точке
оси вещественных частот, обла-
дают тем свойством, что (р— ро)8
стремится к нулю при р, стре-
мящемся к р0. Этим допускаются
логарифмические особые, точки
точки разветвления, но
и
исключаются полюсы на оси вещественных частот.
5.	В общем случае предполагается, что 6 является анали-
тической функцией в бесконечности. Однако многие из теорем
допускают особые точки в бесконечности при условии, что
при р, стремящемся к бесконечности, 6/р стремится к нулю.
6.	Если 6 является аналитической функцией при нулевой
и бесконечной частотах, то величины Ао, Во, А», Вт и т. д.
•определяются как коэфициенты разложения в соответствующий
степенной ряд:
6 = Ae + zB0o>+A1^ + ZB1®3 + ...	(13.1)
я
6 = Aoo-f-/+	+	.	(13.2)
В число наиболее важных функций, удовлетворяющих этим
332
Глава XIII. Характеристики физических цепей
ограничениям, входят такие функции, как пассивные сопротив-
ления типа минимальной реактивности или пассивные прово-
димости типа минимальной реактивной проводимости, функции
затухания передачи и фазового коэфициента передачи мини-
мально-фазового типа. Функция передачи включена сюда
потому, что, помимо того, что она удовлетворяет требованиям
1 и 2, она еще не имеет особых точек внутри правой полу-
плоскости, а особые точки, или точки бесконечного затухания,
на оси вещественных частот являются логарифмическими.
Функции сопротивления типа минимальной реактивной состав-
ляющей сопротивления и функции проводимости типа минималь-
ной реактивной составляющей проводимости также входят сюда.
Однако функции неминимального типа должны быть исключены,
так как они обладают полюсами на оси вещественных частот.
Кроме этих возможных главных случаев, 6 может пред-
ставлять собой также функции других типов. Например, мы
можем включить в число исследуемых функций функции вход-
ного сопротивления активного типа в том случае, когда тре-
буется тщательное исследование цепи, устойчивой при холостом
ходе, но неустойчивой при коротком замыкании, и функции
входной проводимости активного типа в обратном случае. Мы
можем также включить в число этих функций логарифм со-
противления любого пассивного двухполюсника без ограни-
чений, касающихся минимальной реактивности. Наоборот,
сопротивления передачи или проводимости передачи в боль-
шинстве случаев можно рассматривать непосредственно, не
выражая их через затухание и фазу. Так как точки разветвле-
ния допустимы на оси вещественных частот, то 6 может также
являться характеристическим сопротивлением и характеристи-
ческой постоянной передачи.
Все эти функции являются функциями того типа, который
относится к теории цепей с сосредоточенными постоянными.
Здесь мы рассматриваем лишь цепи с сосредоточенными по-
стоянными. Однако теоремы контурных интегралов при соот-
ветствующих изменениях можно также распространить на
многие из систем с распределенными элементами. Вкратце этот
вопрос будет рассмотрен в конце этой главы.
В общем случае первый шаг при выводе нижеприводимых
теорем заключается в отыскании такого сочетания функции &
с другой функцией, при котором результат в бесконечности
стремится к нулю по меньшей мере как <о-1. Это дает воз-
можность вычислить ту часть значения всего интеграла, кото-
рую дает большая полуокружность. Если подинтегральное
выражение стремится к нулю быстрее, чем «о-1, то, как сле-
дует из главы VIII, интегралом по полуокружности можно
полностью пренебречь, когда эта полуокружность взята доста-
Теорема интеграла активного сопротивления	333
точно большой. В противном случае эта часть контура должна
быть учтена, но даваемая ею часть интеграла может быть
легко вычислена по (8.4).
Таким образом, контурное интегрирование, в сущности,
сводится к интегрированию вдоль оси вещественных частот от
некоторой очень большой отрицательной частоты до такой
же большой положительной частоты. Но вещественная
и мнимая составляющие функции 6  обладают на оси
вещественных частот соответственно четной и нечетной сим-
метрией относительно начала координат. Если такая же сим-
метрия соблюдается для всего подинтегрального выражения,
то интеграл мнимой составляющей, очевидно, дает нуль, а ин-
теграл от вещественной составляющей может быть заменен
двойным значением интеграла, взятым лишь вдоль положи-
тельной половины оси. Однако из теоремы Коши следует, что
интеграл по замкнутому контуру равен нулю. В результате
интеграл вещественной составляющей, взятый по всей области
положительных частот, должен быть равен либо нулю, если
подинтегральное выражение убывает быстрее, чем <о-1, либо
некоторой известной постоянной, если подинтегральное выра-
жение изменяется так же, как <о-1.
4.	Теорема интеграла активного сопротивления
или интеграла затухания
Чтобы получить наиболее простой из возможных примеров
подобных вычислений, надо в формуле (13.2) вычесть Лео из 0.
Тем самым мы получим подинтегральное выражение, которое
должным образом изменяется в области высоких частот. Так
как интеграл по замкнутому контуру должен быть равен нулю,
то мы можем записать:
<j> (0 — Лоо) d<t> = 0.	(13.3)
Этот интеграл можно разбить на интеграл по полуокруж-
ности и интеграл по оси вещественных частот. При этом если
контур сделан бесконечно большим, то пределы последнего
интеграла должны быть взяты —со и 4-оо. Эта дает нам:
J (б—Лоо) d«> 4- $ (6—Лоо) d«> = 0.	(13.4)
— оо
Во втором интеграле формулы (13.4) в результат войдет
лишь первый член	степенного ряда (13.2) для 6 — Лоо.
Если мы разобьем и первый интеграл на отдельные выражения
334	Глава XIII. Характеристики физических цепей
для вещественной и мнимой составляющих 6 — Лоо, то мы
сможем полное выражение записать в виде
~ .°° в
J (Л-Лоо)4/® + /] Вй?«>+^/-^(/<0=0.	(13.5)
— оо	— оо
Так как В является нечетной функцией частоты, то второй
интеграл в формуле (13.5) должен быть равен нулю. Соответ-
ственно, поскольку Л является четной функцией, то первый
интеграл может быть заменен двойным значением интеграла,,
взятого в пределах от нуля до бесконечности. Наконец, третий
интеграл можно приравнять величине *Воо, согласно фор-
муле (8.4). Следовательно, объединяя эти результаты, получим
J (Л - Л») do> = — у Воо.	(13.6>
о
Для иллюстрации теорем данной главы используем две
цепи, показанные на фиг. 198. Ввиду того что 6 в нашем слу-
чае представляет собой полное сопротивление одной из цепей,
А и В представляют соответственно ее активное и реактивное
сопротивления. Из схем видно, что Лю = 0иВео =— 1/С. Сле-
довательно, формула (13.6) получает вид:
J* Rdm = £.	(13.7)
о
Этот результат легко подтвердить с помощью непосред-
ственных вычислений. Например, активное сопротивление цепи
фиг. 198, л равно R = RO/(1 -f- <о’С*/?®). Следовательно, подста-
новка в (13.7) дает после интегрирования
f Rd<» =	= Г\ =
J	J 1 + шзс2/?2 CJ J+WjCco)2
0	0	о
= 1 [arc tg /?0С<»1 =	.	(13.8)
Jo
Для системы фиг. 198, b вычисления оказываются несколько
более трудными, но могут быть выполнены с помощью того
же общего метода. Активное сопротивление системы равно
% ~ 1+(Я’О — 2£ С) ®s + ISCW •	(13.9)
Теорема интеграла активного сопротивления 335
Если это выражение разбить на простые дроби, то интеграл
активного сопротивления будет равен
<* С Rpd<*>
а — р J 1 + аша
О
где
Rd®
О
(13.10)
а = у ДО2 - 2LC + /?0С ]/7?;С2 - 4LC),
р = у ДО2 - 2LC ~/?,С	- 4LC ).
Интегрируя каждый член, как это было сделано в (13.8),.
вновь получаем результат п/2С. Равенство площадей, ограни-
ченных характеристиками активных сопротивлений при постоян-
Фиг. 198
а
ном значении С, видно из фиг. 199. Кривые 1 и Г дают типич-
ные характеристики для системы фиг. 198, а. Кривые // и 1Г
представляют собой характеристики, полученные для фиг. 198, Ь.
Формула (13.7) справедлива также для любых цепей типа
Фиг. 200
минимального реактивного сопротивления, содержащих парал-
лельную емкость С. Однако она несправедлива для систем, по-
добных показанным на фиг. 200 и 201, поскольку ни одна из них
не является системой типа минимального реактивного сопро-
тивления. Чтобы выполнить контурное интегрирование для
полного сопротивления такой цепи, необходимо с помощью
выступов, показанных на фиг. 197, обойти полюсы сопротивления
336	Глава XIII. Характеристики физических цепей
и рассмотреть также влияние результата интегрирования
по этим выступам на интеграл, взятый по всему замкнутому
контуру. Однако поскольку вычет в полосе на оси веществен-
ных частот всегда положителен, то по меньшей мере известен
знак интеграла по выступу. Поэтому мы можем обобщить фор-
мулу (13.7), сделав ее применимой как к минимальным, так
и к неминимальным случаям, записав ее в виде
СО
(13.12)
о
где знак равенства справедлив для минимальных систем.
Формула (13.6) введена в таблицу, данную в конце
главы (стр. 359), под номером I (а). Остальные формулы I (Ь),
1(c) и 1(d) первой группы формул этой таблицы представляют
собой различные виды того же соотношения. Например, фор-
мула 1(b) представляет собой формулу 1(a), преобразованную
для обратной шкалы частот, а формулы I (с) и I (d) получены
путем интегрирования по частям первых двух формул.
5.	Корректирующие цепи и схемы с местной обратной
связью при наличии паразитных емкостей
Если трактовать 6 не как сопротивление, то общую фор-
мулу (13.6) можно использовать для получения ряда других
частных результатов. Многие из этих результатов играют
существенную роль при рассмотрении характеристик, которые
могут быть получены от цепи, содержащей паразитные эле-
менты, как, например, шунтирующую емкость, определяющую
их поведение на высоких частотах. Если в подобном случае 6
выбрано соответствующим образом, то А можно отождествить
с параметром, определяющим характеристику, интересующую
яас при рабочих частотах, в то время как Вю может быть
выражено, на основании изучения системы на высоких часто-
тах, через паразитный элемент. Тогда, используя (13.6), можно
вычислить максимально возможную реакцию физической си-
стемы с учетом заданного паразитного параметра.
В большей части подобных применений используются также
еще не рассмотренные аналитические методы, которые будут
приведены ниже. Чтобы иллюстрировать это, мы рассмотрим
частный случай, когда 6 задано выражением
6 = 1п(1 + ^).	(13.13)
Эта формула выражает затухание и фазовый сдвиг коррек-
тирующего контура постоянного активного сопротивления
Корректирующие цепи
337
общего типа, описанного в главе XII и изображенного на
фиг. 202.
Предположим, что в сопротивление Zn входит заданная
шунтирующая емкость С, как это показано на фиг. 202. Оче-
видно, что если С велико, то ZH не может иметь большую
величину в широкой1 полосе частот и, в соответствии с фор-
мулой (13.13), затухание будет соответственно мало. С другой
стороны, когда С делается малым, Zn и затухание А мбгут
Фиг. 202
принимать все большие и большие значения. Теорема, рас-
смотренная в этом разделе, устанавливает точную связь между
этими величинами.
Смысл рассмотрения подобной задачи определяется тем,
что нам часто приходится вводить корректирующие контуры
в p-цепи усилителей для изменения их характеристик усиле:
ния. Однако в одной из следующих глав показано, что вели-
чина обратной связи, которую можно получить в усилителе,
зависит от асимптотических характеристик обратной связи на
частотах, лежащих вне полосы, и что эта величина обратной
связи уменьшается благодаря любой причине, вносящей зату-
хание в замкнутую петлю обратной связи в этой асимптоти-
ческой области. Очевидно, что поведение корректирующего
контура при очень высоких частотах зависит от значения С
и» следовате'льно, связь между С и общим уровнем затухания,
который способна обеспечить система, может быть использо-
вана при определении величины, до которой снижается макси-
мально возможная обратная связь при введении корректирую-
щего контура в схему.
.Кроме данной частной задачи, этот анализ можно также
применить к ряду близких задач, в которых нас интересует
функция, аналогичная (13.ГЗ). Примером этому является вве-
дение местной обратной связи с помощью сопротивления,
22 Зак. 1327
338
Глава XIII. Характеристики физических цепей
включенного между катодом одной лампы и землей, как пока-
зано на фиг. 203. Формула для усиления такой схемы, если
пренебречь проводимостями сетка-катод и анод-катод, по
сравнению с другими проводимостями схемы, имеет следующий
вид:
(Ш4>
Уменьшение усиления, вызываемоедиестной обратной связью,
следовательно, определяется величиной 14- GmZ. Очевидно,
что это выражение отличается от выражения (13.13) лишь тем,
что здесь вместо величины, обратной /?0, стоит крутизна Gm.
Так как Z на высоких частотах в общем случае определяется
паразитной емкостью С (фиг. 203) между катодом и землей,
то положение здесь аналогично рассмотренному для корректи-
рующего контура.
Связь между затуханием корректирующего контура или
уменьшением усиления, вызванным местной обратной связью,
и емкостью С можно установить, заменив Zu в формуле (13.13)
его значением 1/teC при высоких частотах. Легко показать,
что In (1 + 1//шС/?0) при очень больших значениях прибли-
зительно равен l/z<oC/?0. Таким образом, мы имеем Ат = 0 и
Вт =—X/CRq. Следовательно, подставляя в (13.6) эти значе-
ния, получаем:
оо
(13.15)
о
В качестве примера предположим, что мы хотим при-
менить местную обратную связь в лампе, у которой
Gm = 4 Х10~3 амп/вольт и C=40ji|xF.
Эквивалентное /?0, которое входит в формулу (13.15), равно
1/От, т. е. 250 ом.
Простые вычисления показывают, что общая величина макси-
мально возможной местной обратной связи составляет 1 непер-
в полосе 25 мгц и 2 непера в полосе 12,5 мгц.
Однако поскольку интеграл в формуле (13.15) имеет в ка-
честве верхнего предела бесконечность и мы, очевидно, не
можем получить величину А, скачком уменьшающуюся до
нуля, то максимально возможная обратная связь в определен-
ном диапазоне (от 12 до 25 мгц) несколько меньше этих зна-
чений1).
*) Этот пример заимствован из расчета промежуточных усилителей, ко-
торые несколько лет тому назад применялись в экспериментальной системе
для широкополосной передачи по концентрическим линиям на большие рас-
стояния. Эта система предназначалась для телефонирования несущими часто-
тами в полосе 2 мгц; в измененном виде эта система, с несколько расширен-
Положительная и отрицательная обратная связь
339
6.	Положительная и отрицательная обратная связь
Только что развитая теория может быть также применена
для получения другого результата, который по меньшей мере
любопытен, если даже он и не имеет большого практического
значения. Мы привыкли считать, что усилители с обратной
связью либо обладают положительной обратной связью, когда
внешнее усиление возрастает при одновременном возрастании
влияния изменения параметров лампы, либо обладают отрица-
тельной обратной связью, когда усиление падает при одновре-
менном соответственном уменьшении влияния изменений в
лампе. Однако ясно, что выражение ln(l-|-OmZ), которое мы
только что рассматривали, является просто частным видом,
к которому приводится общее выражение In (1 — р.0) в случае
однолампового усилителя с обратной связью. Поэтому фор-
мула (13.15) определяет общее уменьшение усиления такой
системы. Аналогичным образом мы можем для усилителя
общего вида заменить в в формуле (13.13) на In (1 — |ф) и про-
должать анализ прежним путем.
Общий случай будет отличаться в одном отношении.' В то
время как в одноламповом усилителе с обратной связью, вообще
говоря, обратная связь при высоких частотах изменяется
обратно пропорционально первой степени частоты, в общем
случае многолампового усилителя обратная связь будет убы-
вать как частота в более высокой степени. Однако если обрат-
ная связь спадает по закону более высокой степени, чем пер-
вая, то результат интегрирования по бесконечной полуокруж-
ности, очевидно, будет равен нулю и, следовательно, правая
часть формулы (13.15) обратится в нуль.
Это можно сформулировать в следующей теореме:
Теорема. В усилителе с одноканальной обратной связью,
имеющем больше одного каскада, средняя положительная
или отрицательная обратная связь по всему спектру равна
нулю.
ной для телевидения полосой, описана в статье Strieby and Wentz,
Television Transmission over Wire Lines, Bell Syst. Techn. Journ., янв. (1941).
Упомянутая в тексте емкость в 40 p-y-F между катодом и землей зна-
чительно больше физической емкости в реальном усилителе, но емкость
сетка-катод и анод-катод совместно дают эффективное значение С, равное
примерно этой величине. Смысл обеспечения местной обратной связи в таком
широком диапазоне, как диапазон порядка от 12 до 25 мгц, заключается
в том, что в противном случае имеется опасность нарушения устойчивости
системы при уменьшении усиления лампы, к которой подана местная
обратная связь, даже в том случае, когда характеристики главной петли
обратной связи представляются абсолютно устойчивыми. Этот расчет более
детально рассмотрен в следующей главе.
22*
340
Глава XIII. Характеристики физических цепей
Другими словами, в обычном усилителе возрастание уси-
ления на высоких частотах, обусловленное тем, что 11 — уЗ |
меньше единицы, как раз компенсируется уменьшением уси-
ления в рабочей полосе и вблизи нее, обусловленным обрат-
ной связью. Напомним, что сравнение производится при линей-
ной шкале частот и область высоких частот, где имеет место
заметное увеличение усиления, может быть весьма широкой.
7.	Интеграл фазы или реактивности
Формула (13.6) дает интеграл вещественной составляющей
функции цепи по всей оси вещественных частот, выраженный
через значение мнимой составляющей при бесконечной частоте.
Вторая теорема контурных интегралов дает аналогичное со-
отношение между интегралом мнимой составляющей функции
по всей оси вещественных частот и значением вещественной
составляющей на граничных частотах.
При выводе соотношения (13.6) предполагалось, что вблизи
бесконечности подинтегральное выражение изменяется как ю’1,
так что после вычитания из 6 можно было выполнить
интегрирование по большой полуокружности. Мы можем также
получить подинтегральное выражение удобного вида на высо-
ких частотах, разделив 6 на <о. Это даст нам
$^«> = 0.	(13.16)
Если взять очень большой контур, то интеграл по замкну-
тому контуру можно вновь разбить на интеграл вдоль оси
вещественных частот и интеграл вдоль бесконечной полуок-
ружности. Однако необходимо добавить результат интегриро-
вания вдоль малого выступа вокруг начала координат, чтобы
учесть наличие в этой точке полюса подинтегрального выра-
жения. Таким образом, формула (13.16) получает следующий
вид:
оо
j' i *“+);>+Пл“=о- <1зл7>
—оо
где третий интеграл взят по очень малой полуокружности
вблизи начала координат.
При вычислении первого члена формулы (13.17) мы видим,
что нам вновь надо рассматривать лишь составляющую, обла-
дающую четной симметрией в области положительных и отри-
цательных частот. Однако в данном случае эта составляющая
равна 1В/ч>. Подинтегральные выражения остальных членов
можно записать в виде Ат/ч> и Л0/ш, так как, когда путь
Интеграл фазы или реактивности
341
интегрирования принимает предельную форму, интегралы членов
более высокого порядка в выражении (13.2) обращаются в
нуль. Это дает
со
2Z f	Г^4/ф = 0.	(13.18)
J W 1 J (D	1 J СО	4	'
О
Второй и третий интегралы в формуле (13.18) можно вычис-
лить с помощью' формулы (8.4). Они равны соответственно
— тгМсо и тЛАй. Следовательно, полное выражение будет:
j5tZ«=^(Xoo -До),	(13.19)
— со
где вместо rfco/co записано du— б/(Inсо). Эта формула в точ-
ности аналогична интегралу вещественной составляющей фор-
мулы (13.6), за исключением того, что интегрирование совер-
шается по логарифмической шкале частот и правая часть
содержит разность значений вещественной составляющей при
нулевой и бесконечной частотах. Смысл последнего измене-
ния фактически очевиден, так как абсолютную величину актив-
ного сопротивления или абсолютный уровень затухания в
схеме всегда можно по желанию изменять, не оказывая влия-
ния в остальном на характеристики схемы.
В сущности, формула (13.19) устанавливает, что общая пло-
щадь, ограниченная кривой мнимой составляющей, построен-
ной при логарифмической шкале частот, зависит лишь от раз-
ности между значениями, которые принимает вещественная
составляющая при нулевой и бесконечной частотах, и не зави-
сит от промежуточных значений вещественной составляющей.
Это иллюстрированохарактеристиками, приведенныминафиг.204.
Если изменения вещественной составляющей ограничиваются
3^2	Глава XIII. Характеристики физических цепей
узкой частью частотного спектра, то мнимая характеристика
имеет острый пик, в то время как в случае более плавного
изменения вещественной составляющей мнимая характеристика
становится широкой и плоской. Однако при заданном общем
изменении вещественной характеристики'площадь, ограничен-
ная мнимой характеристикой, всегда остается одной и той же.
Если А и В являются затуханием и фазой, то формула (13.19)
выражается в неперах и' радианах (как легко видеть, площадь
фазовой характеристики равна 90°), умноженных на диапазон
частот, равный затуханию, выра-
женному отношением токов.
Например, фильтр низших ча-
стот, имеющий потери на высо-
—Д-----------------—------ких частотах1) в 40 дб, обла-
Дает площадью фазовой характе-
ристики, равной 90°, в диапазоне.
у/	частот 100: 1.
\ \ У'	Чтобы показать это соотно-
1 Vи	шение в деталях на примере,
I V	мы вновь можем рассмотреть
I /_,	простую цепь, изображенную на
I /	фиг. 198, полагая, что А и В
\J	представляют собой соответ-
ственно активное и реактивное
Фиг. 205	сопротивления. Если выбрать си-
стему фиг. 198, а, то мы будем
иметь Ао = 7?о, Аос = 0 и 5 =-(<oC/?‘)/(l+<o2Wa). Следова-
тельно, формула (13.19) получит вид:
оо
J" T+™U;	=	(13.20)
О
что легко проверить путем обычного интегрирования. Анало-
гичное выражение для системы фиг. 198, b имеет вид:
ОО
J (1 —co’LC)2 -J-(<о/?0С)2	2	(Гд.21)
о
Это также может быть подтверждено с помощью обычного
интегрирования, хотя алгебраические преобразования в этом
^Буквально Лоо в формуле (13.19) представляет собой потери на беско-
нечной частоте, где затухание реального фильтра низкой частоты равно
бесконечности вследствие отражений. Однако очевидно, что, если в качестве
Лоо взять потери при некоторой характерной высокой частоте, формула
должна дать достаточно близкое значение для площади фазовой характери-
стики на более низких частотах. Эту трудность можно обойти, если 0 рас-
сматривать как постоянную передачи, а не вносимые фильтром потери.
Постоянство площади фазовой характеристики 343
случае несколько более сложны. Равенство площадей кривых
реактивной составляющей для этих цепей при определенном
значении /?0 видно из фиг. 205. На этой фигуре кривые пред-
ставляют собой характеристики реактивных сопротивлений,
соответствующие характеристикам активных сопротивлений,
изображенным на фиг. 199. Реактивное сопротивление, соответ-
ствующее кривой /' на фиг. 199, разделено пополам, с тем
чтобы все характеристики соответствовали одному значению /?0.
8.	Применение закона постоянства площади
фазовой характеристики при проектировании усилителей
Формула (13.19) может быть использована при проектиро-
вании усилителей как при выборе общей формы Характери-
стики среза для петли обратной связи, так и при внесении
небольших исправлений в вариант проекта, в основном удо-
влетворяющий предъявляемым требованиям. В качестве при-
мера первого использования предположим, что мы имеем дело
с эквивалентным усилителем, пропускающим нижние частоты,
описанным в главе X. Пусть 6 = Т, где Т представляет
собой возвратное отношение для одной из ламп и не отли-
чается от —р-Р для обычного усилителя с одним каналом обрат-
ной связи. Очевидно, что Ао в формуле (13.19) представляет
собой эффективную обратную связь в неперах и полосе про-
пускания *).
При более высоких частотах, лежащих за пределами полосы
пропускания, цР должно падать до тех пор, пока оно за ча-
стотой среза не станет меньше единицы. Это изменение усиле-
ния, очевидно, можно грубо отождествить с величиной Ат — Ао
в формуле (13.19).
Этой величине соответствует известная определенная
площадь фазовой характеристики. Однако, если усилитель
является абсолютно устойчивым, то, как следует из диаграммы
Найквиста для Г, представленной на фиг. 84, максимальный
сдвиг фаз на любой частоте, меньшей частоты среза, должен
быть меньше 180°. Так как общая площадь фазовой характе-
ристики задана, то это требование может удовлетворяться
лишь в случае, когда эта площадь растянута в достаточно
широком диапазоне частот. Например, если обратная связь в
рабочем диапазоне составляет 40 дб и сдвиг фаз нигде не
превышает 180°, то из формулы (13.19) следует, что площадь
фазовой характеристики должна занимать диапазон частот не
меньший, чем измеряемый отношением 10:1.
х) Т. е. Яо дано в виде отрицательного затухания. Следует напомнить,
что рР определено как усиление, в то время как А в (13.19) представляет
собой затухание.
344
Глава XIII. Характеристики физических цепей
Физически совершенно очевидно, что это должно прибли-
зительно соответствовать области спадания цр между рабочим
диапазоном и срезом частотной характеристики и, следовательно,
при проектировании петли обратной связи этот расчет дает
оценку максимальной скорости спадания Если при проекти-
ровании принять более крутой срез, чем данный, то пиковый
сдвиг фаз обязательно получится боль-
шим 180°, и усилитель будет либо
устойчивым по Найквисту, либо не-
устойчивым. Более точная оценка,
основанная на учете того обстоятель-
ства, что известная часть площади
фазовой характеристики может нахо-
диться выше или ниже области среза
частотной характеристики, может быть
получена с помощью нйже описывае-
мых методов.
Обратимся теперь к примеру применения закона площади
фазовой характеристики при детальном расчете. Предположим
для этого, что в результате предварительного расчета полу-
чена диаграмма Найквиста для величины Г, имеющая в обла-
сти вблизи точки среза форму, изображенную сплошной ли-
нией на фиг. 206. Соответствующие характеристики усиления
и фазы, построенные в зависимости от 1п<о, показаны сплош-
ными линиями на фиг. 207 и 208. При этом предполагается,
Фиг. 208
что рабочая полоса находится в области относительно низких
частот, значительно более низких, чем область, изображенная
йа графиках. Само собой разумеется, что усилитель неустой-
чив. Однако он становится устойчивым, если сдвинуть харак-
теристики в положения, показанные пунктиром на трех фи-
гурах1).
2) Причины, определяющие необходимость предположения, что обе харак-
теристики для усиления и фазы петли обратной связи должны быть изме-
нены, и того, что должны быть взяты новые характеристики вида, показан-
ного на фиг. 207 и 208, частично вытекают из настоящего изложения, но в
более ясной форме они будут выявлены в следующих главах.
Постоянство площади фазовой характеристики
345
Обращаясь сначала к фазовой характеристике, мы замечаем,
что в результате изменения уменьшилась площадь фазовой
характеристики на величину, показанную штриховкой на
фиг. 208. Этому должно соответствовать изменение величины
До ~ Доо 9- Однако для реальной схемы мы можем считать,
что характеристики петли обратной связи при очень высоких:
частотах определяются паразитными па-
раметрами, например межкаскадными
емкостями, которые мы не можем из-
менять. Следовательно, изменение долж-
но повлиять на До, а не на Лоо. Это
изменение 8Д показано на фиг. 207 в
предположении, что в области более
ь
Фиг. 209
низких частот, чем представленные на
фигуре, сплошная и пунктирная харак-
теристики остаются параллельными. Та-
ким образом, закон площади фазовой
характеристики дает возможность оце-
нить уменьшение обратной связи в ра-
бочей полосе, необходимое для того,
чтобы сделать усилитель устойчивым.
На основании полученного результа-
та можно сравнительно просто произвести детальный выбор
параметров. Предположим, например, что внешнее усиление
усилителя является достаточным.,Тогда обратная связь в ра-
бочей полосе должна быть уменьшена путем изменений,
вносимых в ц-цёЬь, а не в p-цепь. Одна из возможностей за-
ключается во включении в одну из межкаскадных цепей кон-
тура, показанного на фиг. 209.
Первоначальная схема межкаскадной цепи показана на
фиг. 209, а, а измененная схема, содержащая дополнительный,
контур, на фиг. 209, Ь. При низких частотах, когда элементы
L и R контура не играют роли, очевидно, вторая схема обла-
дает теми же характеристиками, что и первая, за исключением
изменения их уровня на постоянную величину, равную 1п(14~^)-
Поэтому мы можем определить k и, следовательно, емкость,
контура С по паразитной емкости Со на основании результата
вычисления площади фазовой характеристики. Например, если
расчет площади фазовой характеристики показывает, что об-
ратная связь в рабочей полосе должна быть уменьшена на
12 дб, то мы должны выбрать k = 3. Индуктивность А контура,
должна быть выбрана так, чтобы она резонировала с kCQ
9 В реальном усилителе Лоо должно быть бесконечным. Однако по-
скольку высокочастотные характеристики петли обратной связи не измени-
лись, то при этих вычислениях достаточно считать Лею равным затуханию»
на любой частоте, лежащей вне интересующей нас полосы частот.
346	Глава ХИГ Характеристики физических цепей
приблизительно на частоте, обозначенной через <о0 на фиг. 208,
где должно быть получено максимальное изменение фазы,
a R определяется требуемым изменением фазы в этой точке.
Так как общая площадь фазовой характеристики имеет нуж-
ную величину, то в большинстве случаев это без труда дол-
жно давать достаточно удовлетворительный результат. Однако
некоторые дальнейшие улучшения могут быть получены путем
небольших изменений L и /? или путем шунтирования L. Изме-
нение характеристики усиления, показанной на фиг. 207, не
-требует особого внимания, так как оно происходит автомати-
чески, если реализуется необходимая фазовая ха-
грактеристика.
Усиление р.-цепи может быть уменьшено также
путем применения контура местной обратной связи
в одной из ламп. Это показано на фиг. 210. R вы-
бирается, согласно (13.14), так, чтобы оно да-
вало необходимое уменьшение усиления на низ-
~ ких частотах. Емкость С можно определить из
Фиг. 210 соотношения, данного в одном из предыдущих
разделов, a L и С вместе образуют простой
фильтр с частотой среза вблизи в>0. Само собой разу-
меется, что этот фильтр можно усложнить как путем заме-
ны L противорезонансным контуром, так и путем добавле-
ния в цепь нескольких ветвей, с тем, чтобы иметь воз-
можность более тщательна подобрать характеристики. Чита-
тель должен учесть, что эти примеры даны до изложения
общей техники проектирования и до некоторой степени под-
чинены тем соображениям, которые еще не излагались. На-
пример, когда применяется система местной обратной связи,
необходимо посмотреть, остается ли схема устойчивой, когда
уменьшается усиление той лампы, где эта обратная связь
введена.
9. Другие общие соотношения
До сих пор главное внимание уделялось формулам интег-
рала вещественной составляющей и интеграла мнимой со-
ставляющей, так как обе эти формулы представляют собой
наиболее простые из результатов применения теории контур-
ных интегралов и имеют особенно широкое применение. Если
мы будем брать все более и более сложные подинтегральные
выражения, то с помощью этой теории мы можем получить
почти нескончаемый ряд других формул. Однако с усложне-
нием формул их применение в физических задачах становится
все более и более трудным. Мы не будем детально рассматри-
вать вывод дополнительных формул. Нижеследующий пере-
чень содержит краткую характеристику некоторых методов,
Другие общие соотношения
347
которые могут быть использованы для расширения теории.
Типовые результаты, к которым приводят эти методы, даны
в таблице (стр. 359).
1.	Формулы, содержащие коэфициенты членов высших
порядков в степенном ряду для 6. Вывод формулы (13.6)
мы начали с вычитания первого члена степенного разложения
для 6 при бесконечной частоте. Первым членом оставшегося
ряда, таким образом, является второй член исходного ряда.
Коэфициент при этом члене можно получить с помощью ин-
тегрирования по большой полуокружности. Продолжая этот
процесс, мы получим один из возможных методов развития
предыдущих теорем. Если мы будем вычитать последовательно
все больше и больше членов исходного ряда, то последова-
тельные коэфициенты разложения могут быть выражены друг
через друга. Например, формулы III (а) и III (Ь) в таблице,
помещенной на стр. 359, показывают, как можно представить
коэфициенты А, и А, в разложениях (13.1) и (13.2).
Можно получить простой пример применения этих формул,
если обратиться вновь к системе, изображенной на фиг. 198
Для схемы, приведенной на фиг. 198, а мы имеем А'=1//?0С’,
в то время как для схемы фиг. 198, b А,, очевидно, равно
нулю. Формула III (а) для этих двух цепей, таким образом,
получает следующий вид:
я
1 +<о’(?Я*

Л<гЬ(\—&ЬС) — <М$С
(1 — <o2£C)2 + (<i>/?0Q’
(13.22)
(13.23)
Первая из этих формул очевидна сама по себе. Вторую
можно доказать, записав ее в виде
f (1—x8)rfx _ n
j (l-x8)8 + ^x8
(13.24)
или
	+ Г----L1--------=о, (13.25)
f.y +-------------------------------f (1 _ x!)s +	№
где х* = ш*1С. Если мы во втором интеграле формулы (13.25)
заменим х на 1/х, то будет видно, что он равен первому ин-
тегралу, взятому с обратным знаком.
348
Глава XIII. Характеристики физических цепей
Физическое значение формул III (а) и III (Ь) легче всего
выразить, если, например, переписать III (а) в одном из сле-
дующих видов:
оо
J>-¥) d^) = T.A\	(13.26)'
О
или
f Г Д-.----=£ £ .	(13.27)
J [Boo/W J 2 Boo	V 7
О
Если <о заменить на 1/<о, то соответствующие выражения будут
справедливы для формулы III (Ь). Само собой разумеется, что
в (13.26) и (13.27) Boo/со является мнимой характеристикой,
которая была бы осуществлена, если бы поведение при беско-
среднее процентное отклонение
сительно другой равно нулю, ес
обычной линейной шкале частот.
нечных частотах сохраня-
лось на всем частотном
диапазоне.
Если положить, что Л'
равно нулю, то, как видно
из формул, среднее значе-
ние действующей мнимой
характеристики в известном
смысле равно предельному
значению в области беско-
нечных частот. Например,
в формуле (13.26) площадь,
ограниченная этими двумя
характеристиками, та же,
что и в случае расчета
при квадратичной частотной
шкале. В формуле (13.27)
одной характеристики отно-
ди вычисление ведется при
Формула (13.27), применительно к системе фиг. 198, графи-
чески представлена на фиг. 211. Очевидно, что в этих цепях
Всо/ы равно емкостному сопротивлению—1/С<о, и поэтому
ВЦВ^/ы) равно отношению действительного реактивного со-
противления к емкостному сопротивлению. Кривые I и Г
фиг. 211 представляют собой это отношение для характери-
стик реактивного сопротивления, приведенных ранее на кри-
вых I и Г фиг. 205. Так как эти кривые соответствуют си-
стеме фиг. 198, а, для которой Л'/2?оо в (13.27) равно — 1//?0С то
площади, ограниченные кривыми, меньше площади, ограничен-
ной единичной линией. С другой стороны, коэфициент Л^
Другие общие соотношения
349
для цепи фиг. 198, b равен нулю, и, следовательно, средняя
высота соответствующих кривых I и 1Г равна единице. Дру-
гими словами, в известном смысле включение элементов /?0 и L
влияет на среднее значение характеристики реактивного со-
противления, полученной для цепей того типа, который изоб-
ражен на фиг. 198, Ь.
2.	Формулы, содержащие произведения функций. Чтобы
получить второй метод расширения таблицы формул, мы будем
рассматривать исходную функцию 6 как произведение двух
функций 61 = а-|-/р и 6^ = уг8. Как вь так и во могут сами
по себе являться „функциями цепи" или одна из них может
рассматриваться как интересующая нас характеристика цепи,
в то время как другая является некоторой произвольной
функцией частоты, введенной для того, чтобы придать раз-
личным частям частотного спектра некоторый желательный
вес. Однако удобно предположить, что в любом случае веще-
ственная составляющая у функции в2 в бесконечности обра-
щается в нуль. Предположим, что 0! и ведут себя в беско-
нечности в остальном так же, как мы установили это для
исходной функции 0. Тогда все члены в произведении • 62,
за исключением otoo^,, будут стремиться к нулю, по крайней
мере так же, как и ими можно будет пренебречь при
интегрировании по бесконечной полуокружности. Результат
интегрирования по бесконечной полуокружности, следова-
тельно, равен—С другой стороны, на оси веществен-
ных частот мы должны сохранить в подинтегральном выраже-
нии четную часть ау— £В. Поэтому результат можно записать
в общем виде:
оо
J(а7 - ₽8)d® = - J аоо 8m.	(13.28)
о
Случаи, в которых одна из двух функций выбирается про-
извольно для получения необходимого взвешивания резуль-
татов на вещественной оси частот, будут изложены ниже.
Простейший пример применения этой формулы в случае, когда
как 61( так и б2 являются „функциями цепи", мы получим,
положив 61 = 62 = 6 — ба,. Этому соответствует формула IV (а)
в таблице, помещенной на стр. 359. При обратной шкале
частот это соотношение может быть записано также в виде
формулы IV (Ь). Естественно, что этот процесс можно про-
должить, вводя все более высокие степени 6 — бот. Например,
формула IV (с) дает результат для случая 61 = 62 = (6 — 6ОТ)2.
Очевидно, что формулу (13.28) можно применить к слу-
чаям, когда и б2 являются функциями различных цепей.
Например, если б( и б.2 являются сопротивлениями + и
350
Глава XIII. Характеристики физических цепей
двух цепей общего типа, показанного на фиг. 198,
то очевидно, что формула (13.28) дает
оо	со
.= § XiX^d®.
(13.29).
Вместо того, чтобы рассматривать два совершенно различных
сопротивления, мы можем также рассматривать одно сопротив-
ление R-\-iX и приращение этого сопротивления &R-{-i&X,
вызванное какими-либо физическими изменениями цепей. Если
предположить, что в бесконечности сопротивление обращается
в нуль как до изменения, так и после него, то мы получим
о	о
(13.30)
Формулы IV (а) и IV (Ь) представляют особый интерес, по-
скольку они показывают, что вещественная и мнимая составля-
ющие 6 должны быть связаны между собой так, чтобы не
только удовлетворить ряду общих интегральных условий,
заданных ранее приведенными формулами, но, кроме того, дол-
жны обладать приблизительно одинаковыми изгибами. Напри-
мер, формула (13.19) приводит нас к заключению, что фильтр
низкой или высокой частоты без фазового сдвига выполнить
нельзя. Однако эта формула ничего не говорит о системах,
обладающих одинаковым затуханием на нулевой и бесконеч-
ной частотах. С другой стороны, формулы IV (а) и IV (Ь) дают
значительно более общий результат, который нужно сформу-
лировать в виде следующей теоремы:
Теорема. Цепь, реактивное сопротивление или, фазовый
сдвиг которой равны нулю во всех точках на оси вещест-
венных частот, не может обладать активным сопротив-
лением или затуханием, которое каким-либо образом изме-
няется с частотой. Обратно, если активное сопротивле-
ние или затухание цепи постоянно, то его характеристика
реактивного сопротивления или фазовая характеристика
может быть лишь такой, какую можно получить от реак-
тивного двухполюсника или фазо-корректирующей системы.
3.	Формулы, содержащие произведения функций, обла-
дающих обратной симметрией. Чтобы продолжить развитие
этого процесса получения рабочих формул, мы можем также
положить, что подинтегральное выражение имеет вид 616s/w.
Положим, что и 08 имеют прежние значения, за исключением
того, что теперь нет необходимости считать, что веществен-
ная составляющая одной из функций обращается в нуль при
Другие общие соотношения
351
бесконечной частоте. Введение множителя 1/а» вызывает изме-
нение симметрии вещественной и мнимой составляющих про-
изведения 0j02 на оси вещественных частот, превращая чет-
ную симметрию в нечетную, и наоборот. Таким образом, в ре-
зультате получается обращение формулы (13.28) в таком же
точно смысле, в каком формула (13.19) является обращением
формулы (13.6). Мы легко находим, что
оо
J(PT + a8)z/« = y (ctooToo —а0Т0),	(13.31)
— оо
где и = 1п<о.
Если положить = 02 — 0, то это выражение дает фор-
мулу V(a) таблицы, приведенной на стр. 359. Аналогично^
полагая 0, = 0.2 — zw(0 — 0ОТ) и 02 = 02 = (1//<о) (0 — 0О), полу-
чаем соответственно формулы V (Ь) и V (с). Как и раньше,,
эту формулу можно применить, когда 0! и 02 относятся к раз-
личным цепям. Например, формула, соответствующая выраже-
нию (13.29), имеет вид:
оо
J (ад + ад) du=- ад02,	(13.32)
— оо
где /?01 и /?02 — значения двух сопротивлений при нулевой
частоте.' Аналогично, взамен (13.30), если положить, что Д7?
обращается в нуль на нулевой и бесконечной частотах, полу-
чим
со	оо
= — ^XdRdti.	(13.33).
— оо	— оо
Повидимому, наиболее интересной формулой этой группы
является формула V (d). Эта формула, соответствующая фор-
муле V (а), получена с помощью некоторых из предыдущих
формул посредством трансформаций следующего вида:
оо	00
J ABdu = ^^ |(Л„-	= j’ztfn. (13.34)
— оо	—оо
Отсюда непосредственно следует формула V (d), если под А
понимать (Аоо + А0)/2. По существу, эта формула устанавли-
вает, что вещественная и мнимая составляющие 0 взаимно
ортогональны при логарифмической шкале частот, если мы
отсчитываем вещественную составляющую от этого ее значе-
ния. Простой пример этому дает цепь, показанная на фиг. 198.
Характеристика реактивного сопротивления этой системы и
352	Глава XIII. Характеристики физических цепей
характеристика ее активного сопротивления, отсчитываемого
от значения Л, соответственно показаны пунктирной и сплош-
ной кривыми на фиг. 212. В этом случае ортогональность двух
составляющих легко усмотреть из того обстоятельства, что
они имеют соответственно четную и нечетную симметрию
относительно середины характеристики.
4.	Формулы, содержащие значения А и В в конечных
точках или интегралы от А и от В, взятые в конечных
интервалах. Рассмотренные до сих пор формулы распадаются
на два общих класса. В формулах одного класса, к которому
относится, в частности, формула IV (а), между собой сравни-
ваются интегралы двух величин, характеризующих с различ-
ных точек зрения свойства цепи. В другом классе, примером,
которого является формула 1 (а), один из таких интегралов
связан с определенным числом, полученным из характеристики,
определяющей свойства цепи с другой точки зрения. Однако
в любом случае интегралы бе'рутся
Z?,5l—по всему спектру частот — от нуля
до бесконечности, а любые опреде-
0--	——- ° ленные числа, если таковые входят
в Ф°РМУЛЫ> характеризуют поведе- •
---.—	ние системы лишь в крайних пре-
дельных точках.
Фиг. 212	Практическое значение этих
формул было бы значительно
большим, если бы вместо этих чисел, входили числа, характе-„
ризующие поведение функции в конечных точках, или инте-
гралы, взятые в конечных интервалах. Например, формула I (а)
показывает, какйё ограничения должны быть наложены на
вещественную составляющую, если мнимая составляющая ведет
себя заданным образом в бесконечности. Для некоторых задач
проектирования было бы более полезным знать, как ограни-
чивается вещественная составляющая, если мнимая составля-
ющая принимает некоторое выбранное значение в заданной
конечной точке. Мыслимо также другое использование фор-
мулы I (а) для определения того, как должна вести себя
в бесконечности мнимая составляющая, если вещественная
составляющая задана во всем спектре частот. Однако в прак-
тических задачах проектирования характеристики обычно
бывают заданными лишь в конечном диапазоне. В этих слу-
чаях, очевидно, более полезной была бы формула, которая
при интегрцровании А лишь в конечном интервале опреде-
ляет, как должно быть ограничено В.
Формулы такого типа могут быть получены путем соответ-
ствующего преобразования подинтегральных выражений в ранее
полученных формулах. Например, величины, подобные До, Во,
Другие общие соотношения
353
Ла, И Воо, появляются в прежних формулах, так как они являют-
ся вычетами подинтегрального выражения, которые полу-
чаются при интегрировании как по большой полуокружности,
так и по малому выступу у начала координат. Вычеты, опре-
деляющие значения А и В в других точках, можно получать,
если ввести соответствующие полюсы в подинтегральное выра-
жение и выбрать соответствующим образом выступы в контуре
интегрирования. Например, мы можем получить подинтеграль-
ное выражение с полюсами, взятыми, чтобы сохранить симмет-
рию в -}- ®о и — ш0, путем умножения подинтегральных выраже-
ний любой из предыдущих формул на 1/(® — <о0)± 1/(ш—|—<о0).
Аналогично мы можем ограничить область интегрирования
как А, так и В путем введения точек разветвления, которые
взаимно меняют местами вещественную и мнимую составляю-
щие в подинтегральном выражении.
Эти возможности были здесь упомянуты главным образом
из соображений полноты изложения. Они постепенно будут
введены в теорию, излагаемую в следующих главах, и смогут
упростить изложение. Однако мы можем в качестве примера
введения точек разветвления для обобщения формулы, подоб-
ной I (а), рассмотреть следующую формулу:
<13-35>
в которой берется положительное значение корня yf 1 — <оч/®с.
Другими словами, / 1 — ®7®с является положительной веще-
ственной величиной при —<ос <7 to <7 шс, положительной мнимой
величиной при o>>wc и отрицательной мнимой величиной при
<о<^— ®с *)• Это то же условие, которое имеет место в слу-
чае, когда ]/1 — и’/01’ представляет собой характеристиче-
ское сопротивление фильтра.
Очевидно, что в (13.35) интегрирование по большой полу-
окружности можно не учитывать. Следовательно, интеграл от
нулевой до бесконечной частоты от четной составляющей под-
интегрального выражения также дожен быть равен нулю. Однако,
благодаря свойствам/1функция (А — А^)//1—®7®?
является четной функцией частоты при |®|<7®c и нечетной
l) С математической точки зрения, разрез между + <ос и — шс должен
быть выбран так, чтобы контур интегрирования лежал на одном из ли-
стов римановой поверхности. Эти знаки для	соответствуют тому,
что мы считаем |Л1 — <й2/<о2 положительным при положительных вещест-
венных значениях р, и двигаемся непрерывно к оси вещественных частот,
оставаясь на данном листе.
23 Зак. 1327
354	Глава XIII. Характеристики физических цепей
при |ю|>®£, в то время как iB/ /1 — является четной
функцией при |в>|и нечетной при меньших значениях <о.
Следовательно, формула приводится к следующему виду:
f л~Лсо-	de>.
J У1 —	J V ®7®c —1
О	c
(13.36)
Это выражение помещено под номером VI (а) в таблице,
приведенной на стр. 359. Соответствующая формула, выра-
женная через величины, обратные частоте, помещена под номе-
ром VI (Ь). Дополнительно к этим двум формулам путем умно-
жения или деления исходных подинтегральных выражений
в VI (а) и VI (Ь) на <о, а также применением тех же методов
к другим формулам таблицы можно получить еще ряд вы-
ражений.
Чтобы показать применение формулы (13.36) к реальным
задачам, предположим, что имеется усилитель, характеристики
которого вне рабочей полосы частот являются удовлетвори-
тельными, но характеристика обратной связи этого усилителя
в рабочей полосе неудовлетворительна. Например, обратная
связь изменяется в рабочей полосе, в то время как она должна
быть постоянной, или остается постоянной, когда более
желательна изменяющаяся обратная связь. Чтобы применить
формулу (13.36), будем считать, что о>с является границей
полосы эквивалентного устройства, пропускающего нижние
частоты, и положим, что А и В соответственно представ-
ляют собой модуль и аргумент величины рр. Если не изме-
нять В во втором интеграле формулы (13.36) или не менять
величины Ат, которую можно рассматривать как модуль вели-
чины в любой характерной высокочастотной точке в первом
интегралё, то требуемые характеристики вне полосы остаются
без изменения. Таким образом, формула устанавливает, что
при выборе нужного значения обратной связи в рабочей полосе
интеграл
(о4/*0?
должен
оставаться
неизменным»
Так как dv>/У1 —шч/в)-с=:о>са'ср, где <р = arcsin (<о/ш£), то это
равносильно утверждению, что площадь год характеристикой,
изображающей величину А в зависимости от <р, должна оста-
ваться постоянной. Аналогичное правило справедливо для
максимального усиления, которое может быть получено от
межкаскадной цепи при различных характеристиках. Более
детально эти применения будут рассмотрены в последующих
главах.
Применение формул контурного интегрирования
355
10. Применение формул контурного интегрирования
к другим системам
Настоящее рассмотрение прежде всего относится к элек-
трическим системам со сосредоточенными элементами. Однако,
исходя из общности метода контурного интегрирования, резонно
было бы предполагать, что эти формулы в одинаковой сте-
пени можно применить к другим системам. В качестве при-
мера мы можем взять систему, содержащую наряду с электри-
ческими элементами механические, или систему с распределен-
ными электрическими элементами, каковой является, например,
длинная линия.
Задачу применения формул контурных интегралов к дру-
гим системам очень легко решить, если мы знаем аналити-
ческое выражение той функции 6, которую мы хотим изу-
чить Очевидно, что прежде всего необходимо проверить,
удовлетворяет ли функция условиям, приведенным в начале
этой главы (стр. 331).
Особенное внимание должно быть уделено условию, кото-
рое ограничивает поведение функции 6 при бесконечной ча-
стоте. Во многих формулах, выведенных в этой главе, необхо-
димо предполагать, что в бесконечности функция 0 остается
конечной. В других формулах, в частности приводимых ниже,
это ограничение не является необходимым, но во всех
случаях, по меньшей мере, необходимо предполагать, что
6/® обращается в нуль, когда ® становится бесконечно
большим. Само собой разумеется, что функция 6 будет
конечной при бесконечной частоте, если она представляет
собой входное сопротивление или проводимость минимального
типа в контуре со сосредоточенными постоянными. Если 0 пред-
ставляет собой затухание передачи или фазовый коэфициент
передачи, то это не совсем верно, но поскольку эта функция
может расти лишь самое большее логарифмически, то требо-
вания, налагаемые на 6/®, всегда оказываются выполненными.
С другой стороны, если мы имеем дело с обычной формулой
для длинной линии 6= (R -}- i® Z.C)(G-|-z®C), ни одно из тре-
бований не выполняется, так как 6 изменяется вблизи беско-
нечности, как г® /LC. Само собой разумеется, что член /® /LC
является линейной фазовой характеристикой, соответс. вующей
запаздыванию при распространении электромагнитной волны
вдоль линии, и мы, естественно, не можем ожидать, чтобы он
находился в соответствии с характеристикой затухания линии.
В этом случае мы можем применить формулы контурного
интегрирования, просто вычитая эту линейную характеристику
из общей фазовой характеристики.
23*
356	Глава XIII. Характеристики физических цепей
Трудности, возникающие при таком подходе, заключаются
в том, что мы часто не имеем в своем распоряжении точной
аналитической формулы для 6, а это имеет место как раз
в тех случаях, когда наши знания о поведении функции
несколько неполны, так что дополнительная помощь, оказы-
ваемая интегральными соотношениями, наиболее полезна.
Например, в реальной длинной линии „постоянные" R, L, G
и С обычно несколько изменяются с частотой вследствие
скин-эффекта, эффекта близости и т. п. Можно получить фор-
мулы, которые описывают поведение линии в широком диапа-
зоне частот, но другое дело получить точные формулы, кото-
рые остаются действительными, буквально, до бесконечности.
Если мы, тем не менее, принимаем, что существует анали-
тическая функция 0, хотя форма ее нам неизвестна, то можно
заключить на основании общих соображений, что она должна
удовлетворить большей части ранее данных условий. Напри-
мер, симметрия вещественной и мнимой составляющих функ-
ций 9, оговоренная в условиях (1) и (2), в электрических си-
стемах со сосредоточенными параметрами определяется лишь
тем обстоятельством, что все коэфициенты в дифференциаль-
ных уравнениях в таких системах являются вещественными
величинами. Очевидно, что те же соображения применимы
к любой физической системе. Если не считать очевидных ого-
ворок, требуемых при рассмотрении таких функций, как зату-
хание и фазовый коэфициент передачи неминимального типа,
то условие (3) удовлетворяется в системах со сосредоточен-
ными параметрами просто потому, что схема устойчива. Тот
же общий аргумент можно, очевидно, распространить на
любую систему, определяемую обыкновенными линейными
дифференциальными уравнениями, аналогичными контурным
уравнениям электрической схемы. Этот аргумент также приме-
ним к системам с распределенными постоянными, если мы, как
это обычно делают, предположим, что такая система может
быть представлена как предел ряда систем со сосредоточен-
ными постоянными.
С другой стороны, мы можем также исследовать поведе-
ние функции непосредственно в правой полуплоскости, не
обращаясь к предельному переходу. Проще всего это можно
выразить в следующей теореме:
Теорема. Входная проводимость, или проводимость пере-
дачи, устойчивой физической системы не может приобре-
тать неограниченно большие значения в окрестностях
любой точки внутри правой полуплоскости, если соот-
ветствующая переходная проводимость системы ограни-
чена.
Применение формул контурного интегрирования
357
Эту теорему легко доказать с помощью известной формулы1)
/(0 = £(0)Л(0 +р (/-Х)Г(Х)</Х,
(13.37)
о
где E(t)—напряжение, приложенное в момент t = Q к неко-
торой точке системы;
E'(t) — производная по времени от Е (f);
1 (t) — ток, вызванный напряжением E(t) в этой же или
некоторой другой точке схемы;
A (t) — соответствующая переходная проводимость.
Если М является верхней границей функции A (t), то эта
формула может быть записана в виде
t
|/(/)|^|£0|Ж + Ж J|Г(Х) |rfX.
о*7
(13.38)
Однако действительная реакция должна быть равна сумме
стационарного и переходного членов. Если мы положим, что
E(f) — ept, причем р выбрано в окрестности точки, где стацио-
нарная реакция становится неограниченно большой, то ясно,
что предел, представленный ,в формуле (13.38), может быть
сделан неограниченно малым по сравнению с огибающей
стационарной реакции. Тогда переходный член должен быть
приблизительно равен стационарному члену и должен экспо-
ненционально возрастать, так же, как и стационарный член.
Другими словами, система неустойчива.
Если проводимость является однозначной функцией рТ то
единственно возможными ее особыми точками в правой полу-
плоскости являются полюсы или существенно особые точки.
Однако в любом случае эти особые точки исключаются только
что полученной теоремой, так как проводимость становится
неограниченно большой в точках, выбранных соответствую-
щим образом вблизи особых точек 2 *).
Мы можем также представить себе, что проводимость
является многозначной’ функцией. Однако, если проводимость
должна представлять собой нечто физически определенное,
то возможность наличия точек разветвления в правой полу-
плоскости ограничена тем, что мы должны выбрать одну
из ветвей функции так, чтобы она представляла собой
*) См., например, Карсон, Электрические нестационарные явления и
операционное исчисление, Харьков — Киев, 1934, или Лурье, Операционное
исчисление, ОНТИ, 1938, и др. (Прим, ред.)
2) См., например, Г у р с а, Курс математического анализа, т. II, ч. I,
стр. 85, М.-Л., 1933. (Прим, ред.)
358	Глава XIII. Характеристики физических цепей______
„физическую" проводимость без введения разрезов, которые
внесут разрывы непрерывности в физическую характеристику1).
Даже независимо от этого соображения, предыдущая теорема
исключает такие возможности, как логарифмические особые
точки или точки разветвления типа (р—
Пример точек разветвления, которые можно себе предста-
вить существующими в правой полуплоскости, мы получим,
если предположим, что проводимость содержит множители
(Р — ai)1/a(P — Очевидно, этот случай не исключается
предыдущей теоремой. Кроме того, если остальная часть функ-
ции является вещественной при вещественных значениях р,
то вся функция должна быть чисто мнимой на разрезе, иду-
щем от «j до аа на оси вещественных значений р. Таким
образом, физическая реакция, которая определяется веще-
ственной составляющей величины eptY, равна нулю на разрезе,
и там нет разрыва непрерывности при движении из верхней
в нижнюю половину плоскости. Если а, и почти равны, то
два иррациональных множителя приближенно можцо заменить
одним простым нулем. Так как нуль в правой полуплоскости
в случае обычной цепи просто указывает, что функция яв-
ляется неминимально-фазной, то существование такой возмож-
ности, повидимому, не является неестественным.
Однако не следует переоценивать значение этого рассмот-
рения, ибо неблагоразумно догматически подходить к столь
сложной и общей задаче. Тем не менее, из этого рассмотре-
ния можно сделать следующий вывод. Если известно, что
линейная физическая система устойчива, что подтверждается
ее реальным существованием, то ее входные функции передачи
должны удовлетворять большей части условий, вводимых
в теории контурных интегралов. Не говоря уже об особых
точках только что описанного типа, при исследовании
вероятно появление дополнительных трудностей, обусловлен-
ных главным образом существованием особых точек на оси
вещественных частот и особенно в бесконечности. Если мы
интересуемся, в частности, функциями передачи, то эти явле-
ния можно рассматривать как нарушение условия минималь-
ной фазы. Качественно они аналогичны подобным наруше-
ниям, которые могут иметь место в цепях со сосредоточенными
параметрами, хотя в деталях может быть отличие от воз-
можных характеристик цепей со сосредоточенными пара-
метрами.
*) Это соображение неприменимо в равной степени к точкам разветвления
в левой полуплоскости, так как не всегда возможно определить «стационар-
ные* характеристики в этой области путем физических измерений. (См.,
например, рассмотрение в конце главы II.)
359
ТАБЛИЦА ФОРМУЛ КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Группа	Подинтегральное выражение		Результат
I	(а)	0-9оо	оо ^(A-Ado)d<a=-^Boa 0
	(Ъ)	<я? 1 3 ф	1 е4 II к>| а
	(с)		( <о	й = у 5 J аш	2 00 0
	(d)	<3> 6, 1	f 1 dA . п 0
II	(а)	е	J Bdu=~(Am~At) — ОО
III	(а)	/ “ 9~А»-*—	J(<»B-500)d«» = y^t' 0
	(Ь)	9 — Л„ — <В„ <> (О*	J	<0*	2 0
IV	(а)	(®-М‘	J*0 — Д^)* d“ = J 5*d® 0	0
	(Ь)	(9-V (О8	0	0
	(с)	(9-0ОТУ	f (Л - Лоэ)‘ = 3 f (Д - дте) вч<« 0	0
Продолжение
Г руппа
Подинтегральное
выражение
Результат
J ABdu=^(A^-Al)
СО
О
7<Л-.Ло)Д d(tt= * В*
J <о8	4	•
О
J" (л -Л)54п = 0
VI
V
В формулах II, V(a) и V (d) «=1по>.
ГЛАВА XIV
СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ И МНИМЫМИ СОСТАВЛЯЮЩИМИ
ФУНКЦИЙ ЦЕПИ1)
1.	Введение
Теоремы, рассмотренные в предыдущих главах, относятся
к ряду довольно частных соотношений, связывающих между
собой вещественные и мнимые составляющие характеристик
цепи. Например, первая теорема позволяет нам вычислить-
интеграл сопротивления или интеграл затухания по известному
поведению соответствующей характеристики реактивного со-
противления или фазовой характеристики при бесконечной
частоте. Вторая теорема дает аналогичную связь интеграла от
мнимой составляющей с поведением вещественной составляю-
щей на крайних частотах. Однако эти теоремы не позволяют
детально определить характеристики вещественной и мнимой
составляющих.
В настоящей главе это рассмотрение продолжено в напра-
влении решения задачи полного определения одной характе-
ристики, если другая известна на всех частотах. Рассматри-
ваются три следующие частные задачи:
1.	Расчет по заданной во беем спектре частот характери-
стике вещественной составляющей соответствующей характе-
ристики мнимой составляющей.
2.	Расчет по заданной характеристике мнимой составляю-
щей соответствующей характеристики вещественной соста-
вляющей.
3.	Расчет по заданной в некоторых частях частотного
спектра вещественной составляющей и в остальной части
*) Тот факт, что между вещественной и мнимой составляющими характе-
ристики цепи должна существовать аналитическая связь, был замечен рядом
авторов. Литература по этому вопросу содержит значительное число более
или менее оригинальных результатов, полученных в большинстве случаев
методом Фурье или операционным методом. Здесь не делается попытки дать-
обзор этих работ отчасти потому, что трудно на общей основе изложить
самые различные методы подхода, которым следовали авторы работ, и от-
части потому, что формулы часто являются неоднозначными из-за того, что
авторы не учитывали условий минимума фазы. Особо должны быть отмечены
работы Винера и его учеников. См. статью Lee, Journa’ of Mathematics
and Physics, июнь (1932), которая содержит формулы, эквивалентные ряду
формул настоящей главы. [См. также работу Антокольского, ЖТФ, 17, № 2
(1947). (Прим ред.)]
362 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
спектра мнимой составляющей остальных частей этих двух
характеристик.
В данной главе результаты рассмотрения даются в виде
-аналитических формул. Методы приближенных графических
расчетов рассматриваются в следующей главе.
2.	Применение формул, связывающих между собой характе-
ристики вещественной и мнимой составляющих
Формулы, связывающие между собой вещественные и мни-
мые составляющие в трех только что перечисленных случаях,
выводятся здесь главным образом с тем, чтобы получить
аппарат, необходимый для расчета усилителей с обратной
связью. Если мы, например, интересуемся характеристикой
всей петли усилителя с обратной связью, то теорема об
интеграле фазы в предыдущей главе дает нам некоторое пред-
ставление о фазовой характеристике всей петли, которую
можно ожидать в соответствии с характеристикой среза дан-
ного типа. Однако, чтобы быть уверенным в том, что макси-
мальный фазовый сдвиг не превысит безопасного предела, не-
обходимы более точные данные о связи между • обеими
характеристиками. Для этой цели может быть использована
любая из трех формул настоящей главы, и в особенности
первая и третья. Эти формулы могут быть также использо-
ваны в задачах детального проектирования усилителя.
Эти формулы могут быть также приложены ко многим
задачам обычной теории цепей. Для иллюстрации можно рас-
смотреть расчет полного сопротивления Zn в корректирующем
устройстве типа постоянного сопротивления, описанного
в главе XII. Как величина, так и фазовый угол сопротивле-
ния Zn оказываются определенными, если мы зададим потери
и фазовый сдвиг всей системы. Однако, если мы имеем дело
только с характеристикой потерь, то требуемое затухание на
какой-либо частоте можно получить при сопротивлении Zn,
обладающем любым фазовым углом при условии, что пра-
вильно выбран модуль этого сопротивления. С первого взгляда
кажется, что это вносит известную гибкость в задачу. Однако,
в соответствии с результатами настоящей главы, фазовая харак-
теристика корректирующего устройства будет полностью задана,
если требуемая характеристика потерь задана на всех часто-
тах, и фазовая характеристика будет приблизительно опреде-
лена в центре относительно широкой полосы, в которой задана
характеристика потерь. Поэтому в действительности сопроти-
вление Zu многих корректирующих устройств может быть
точно определено как по величине, так и по фазовому углу.
До многих задачах коррекции такого рода грубые предвари-
<разовая характеристика, соответств. характеристике затухания 363
тельные расчеты могут быть полезны при ориентировочной
оценке вариантов. Так как для сопротивления Zn не может
быть получен фазовый угол, больший 90°, то такой предва-
рительный расчет также полезен при определении физической
осуществимости заданной характеристики с помощью одного
корректирующего звена.
Эти применения формул достаточно подробно рассмотрены
на примерах в последующих главах. Поэтому в настоящей
главе формулы иллюстрируются рассмотрением общей задачи
получения селективной системы без фазовых искажений. Само
собой разумеется, что такой системой может быть фильтр
низких частот с линейной фазовой характеристикой. Эта .си-
стема" может быть, однако, менее или более сложной, чем
фильтр. Например, очень простую систему такого типа пред-
ставляет собой межкаскадная цепь в видео-усилителе без
обратной связи. Здесь селективность определяется тем, что
усиление межкаскадной цепи должно спадать на высоких
частотах вследствие наличия межкаскадных емкостей. Другой
крайний случай представляет собой система, служащая для
передачи телевизионных сигналов и состоящая из коаксиаль-
ной линии с усилителями, корректирующими устройствами
и т. д. В этом случае селективность системы определяется
возрастанием затухания линии и тем, что обычные усилители
не могут давать усиление, которое остается постоянным на
частотах, лежащих как выше, так и ниже рабочей полосы.
Практически в подобных случаях обычно получают удовле-
творительные характеристики посредством дополнительного
фазового корректирования. Однако полученные здесь формулы
относятся только к цепям с минимальным фазовым сдвигом.
Таким образом, этим рассмотрением делается попытка пока-
зать лишь, какие типы искажений можно ожидать в селек-
тивных системах, не имеющих отдельной фазовой коррекции,
и, очень грубо, как связана величина требуемой фазовой кор-
рекции с частотной характеристикой.
3.	Фазовая характеристика, соответствующая заданной
характеристике затухания1)
Формула, устанавливающая в общем виде связь между
характеристиками мнимой и вещественной части, представляет
собой, в сущности, развитие формулы (13.6). Как уже отме-
чалось, эта формула рассматривалась как условие, наложенное
1) Для простоты вещественная и мнимая составляющие функции 0 рас-
сматриваются в остальной части этой главы часто как „затухание" и „фаза".
Читатель может, разумеется, подразумевать под 0 любую функцию, удовле-
творяющую требованиям, изложенным в предыдущей главе.
364 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
на вещественную характеристику при заданном в окрестности
бесконечности изменении характеристики мнимой части. С дру-
гой стороны, мы можем с одинаковым успехом рассматривать
эту формулу как метод определения поведения мнимой соста-
вляющей на высоких частотах, когда известна вещественная
составляющая.
Величина В<х> появляется в окончательном выражении благо-
даря тому, что функция имеет в бесконечности вычет такой
величины. Этот вычет получается при интегрировании по боль-
шой полуокружности. Если мы сможем получить соответ-
ствующий вычет на любой конечной частоте, то также легко
будет определить соответствующее значение В в этой точке.
Предположим, например, что мы хотим определить величину В
при «о,.. Прежде всего, необходимо создать полюс в этой точке
делением 6 на <о — <ос. Чтобы сохранить симметрию выражения,
следует также ввести член, дающий полюс в дополнительной
точке, — Если мы также предположим, что Ас, т. е. значе-
ние, которое А принимает при в>=<ос, вычитается из 61), то
получающийся при этом контурный интеграл может быть
записан в виде
(£	_ ±=jVu<o = 0.	(14.1)
J \ <0-<DC	v z
Легко видеть, что на высоких частотах подинтегральное
выражение стремится к нулю, по крайней мере, как По-
этому можно при вычислении всего интеграла не вводить
в рассмотрение отрезок пути по большой полуокружности.
Оставшаяся часть пути состоит из оси вещественных частот и
J) Это Сделано для существенного облегчения рассмотрения- Например^
в равенстве (14.2) это позволяет нам избегнуть рассмотрения членов, содер-
жащих А, которые в противном случае появляются в двух отмеченных
штрихом интегралах. Это также упрощает рассмотрение формулы (14.3), так
как приближение к нулю величины А — Ас приш = шс предотвращает суще-
ствование полюса в подинтегральной функции в этой точке. Однако это
делается скорее ради удобства, чем по необходимости. Так, введенные
члены А в двух отмеченных штрихом интегралах так или иначе сократились
бы, даже если бы они вначале и были оставлены. Трудность, относящаяся
к формуле (14.3), может быть избегнута, если мы заметим, что метод полу-
чения формулы (14.3) сводится к определению так называемого „главного
значения" интеграла. Другими словами, если малая величина е представляет
собой радиус полуокружности, по которой мы обходим вокруг ± <ос, то дей-
ствительное интегрирование будет выполняться в пределах от нуля до <ос —-&
и от <Dc-|-8 до бесконечности. Для этих пределов, как это легко показать
непосредственным интегрированием, член, содержащий Ас, ничего не вносит
в результат, если е сделано достаточно малым. Поэтому, если интегралы
определены главным значением, то этот член можно опустить в (14.3) и во
всех последующих равенствах. Это будет иметь некоторое значение в гла-
вах, где члены, аналогичные Ас, изредка опускаются для упрощения
выражений.
фазовая характеристика, соответств. характеристике затухания 365
двух малых выступов в виде полуокружностей, показанных
на фиг. 197 и служащих для обхода полюсов при <o = zt:<o<..
Если выступы очень малы, то 6 на каждом из них может быть
принято постоянным и равным значению Ас -j- 1ВС или Ас — 1ВС,
которое она принимает в соответствующих точках ±<ос. Это
позволяет следующим образом написать формулу (14.1):
f	(-4 - Л + IB) d. + f' IB.	rf. -
(14.2)
где первый член представляет собой результат интегрирова-
ния вдоль оси вещественных частот, а второй и третий члены —
результат интегрирования по двум малым выступам. В первом
интеграле, учитывая симметрию, мы можем опустить мнимую
составляющую. Во втором интеграле мы можем пренебречь
величиной 1/(а>-}-а>с) по сравнению с 1/(<» — о>с), если предпо-
лагать, что этот выступ сделан вблизи точки шс. С помощью
формулы (8.4) можно вычислить значение этого интеграла,
которое оказывается равным
Ьк(1Вс) = — пВс.
Этой величине равен также и третий интеграл, значение
которого может быть получено аналогичным образом. Поэтому
результат будет равен
А—А
(2)“ -О)
г da>.
(14.3)
Другой вид формулы (14.3) будет получен в следующем
разделе. Данный вид формулы, в частности, оказывается удоб-
ным при изучении формы фазовой характеристики, соответ-
ствующей характеристике затухания, приблизительно постоян-
ного в полосе частот около %, но которое может заметно
изменяться на более удаленных частотах. Подобные характе-
ристики показаны на фиг. 213 и 214. Например, на фиг. 213
затухание приблизительно постоянно в области левее некото-
рой точки <oh. Если меньше, чем <оЛ, то разность А — Ас
в формуле (14.3) будет очень мала во всей области низких
частот, и этой частью интеграла можно пренебречь. Если мы
также будем пренебрегать по сравнению с а»5 при интегри-
366
Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
ровании в области, лежащей по другую сторону <оЛ, то фор-
мула может быть записана в виде
"Л
1/>«л
«.[if (Л-Л) </(!)].
и
(14.4>
Другими словами, фазовый сдвиг на низких частотах про-
порционален частоте и площади, образуемой характеристикой.
затухания на высоких частотах,
Фиг. 213
вычисленной при условии,,
что по оси абсцисс отло-
жена величина, обратная:
частоте. Фазовый сдвиг по-
казан пунктирной линией на
фиг. 213. Этот результат по
форме аналогичен равен-
ству I (Ь) (стр. 359). Одна-
ко примененный здесь ме-
тод вывода дал возмож-
ность получить формулу „
пригодную для расчетов в широком диапазоне частот.
Для решения дальнейших задач наиболее важней особен-
ностью формулы, повидимому, является тот факт, что^при
любой форме характеристики
затухания на высоких часто-
тах отображаются на низких
частотах в виде линейного
фазового сдвига. Это свойство
часто используется в формиро-
вании среза характеристики
усилителя на высоких часто-
тах, так как оно позволяет
сравнительно свободно выби-
рать форму характеристики в
области высоких частот и, тем
не менее, получать соответ-
ствующие фазовые характери-
стики, взаимно компенсирую-
щиеся в широкой полосе низ-
Фиг. 214
ких частот.
Если характеристика затухания имеет форму, показанную
на фиг. 214, то мы можем действовать таким же образом, за
Исключением того, что теперь в знаменателе подинтегральной
Фазовая характеристика, соответств. характеристике затухания 367
функции формулы (14.3) нужно пренебрегать «>’ по сравнению
с В результате мы получим
wi
И-А)<*4	(14.5}
о
где <oz, как показано на фиг. 214, представляет собой точку,,
в которой начинается характеристика затухания для низких
частот. Таким образом, фазовый сдвиг на высоких частотах
обратно пропорционален частоте и прямо пропорционален взя-
тому с отрицательным знаком значению площади, образуемой,
характеристикой затухания на низких частотах, вычисленной
при линейной шкале частот. Фазовый сдвиг показан пунктир-
ной кривой на фиг. 214.
Если затухание постоянно вблизи <*>с, но изменяется как на
высоких, так и на низких частотах, то мы можем получить
фазовый сдвиг сложением частных результатов (14.4) и (14.5).
Это дает
(14.6)
с
где постоянные Xi и Х2, введенные для краткости, обозначают
члены, заключенные в скобки, в равенствах (14.4) и (14.5). Если
оба коэфициента Xt и Kz положительны, то результирующая
фазовая характеристика цепи, очевидно, подобна диаграм-
ме реактивного сопротивления обычного резонансного кон-
тура.
Простейшую иллюстрацию этих формул дают фильтры.
Предположим, например, что мы имеем дело с фильтром низ-
кой частоты, который имеет среднее затухание около 6 непе-
ров в полосе частот от 3000 гц до бесконечности. Согласна
формуле (14.4), фазовый сдвиг для низких частот приблизи-
тельно равен:
1/6000Л
J б<)]-2Х10-*Ч.	(14.7)
о
Следует заметить, что это запаздывание на низких часто-
тах, равное приблизительно 0,2 миллисек., является следствием
только наличия частотной зависимости на высоких частотах и
не зависит от схемы, выбранной в каждом частном случае
для фильтра. Это имеет некоторый интерес в связи с приве-
денным в конце главы XI рассмотрением задачи расчета отри-
цательной цепи с бесконечной полосой пропускания.
368
Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
4.	Коррекция фазы в широкополосной системе
Более сложный пример применения равенств (14.4), (14.5) и
(14.6) можно получить при изучении общих фазовых характе-
ристик телефонной системы, вкратце рассмотренных в одном
из предыдущих разделов. Удобно предположить, что рассматри-
ваемая система является широкополосной, подобно коаксиаль-
ной линии с ее системой усилителей и корректирующих
устройств. Предположим далее, что мы особенно интересуемся
факторами, которые определяют, какая потребуется величина
Фиг. 215
компенсации фазы для того, чтобы сделать систему пригодной
для передачи телевизионных сигналов. ’
Если амплитудно-частотные характеристики корректирую-
щих устройств и усилителей выбраны должным образом, то
общее затухание системы должно быть постоянным и, грубо
говоря, равным нулю во всей рабочей полосе частот от
до <о2. Мы можем, однако, считать, что затухание будет быстро
возрастать для частот ниже и выше <о2 из-за неспособ-
ности усилителей давать постоянное усиление вне рабочей
полосы и вследствие возрастания затухания линии на высоких
частотах. Таким образом, характеристика полного затухания
принимает фэрму, показанную сплошной линией на фиг. 215.
При большой протяженности линии, содержащей много уси-
лительных пунктов, потери на частотах ниже <о£ и выше <о2
могут доходить до сотен или тысяч децибел.
Предположим, что все усилители и корректирующие устрой-
ства являются системами минимально-фазового типа. В.соот-
ветствии со сказанным в предыдущей главе, предполагается,
что линия тоже может быть включена в число систем мини-
мально-фазового типа, если мы не будем принимать во вни-
мание линейную фазовую характеристику, отображающую
Коррекция фазы, в широкополосной системе	369
поведение этой системы на бесконечной частоте *). Поэтому
соответственно характеристике общего затухания, показанной
сплошной линией на фиг. 215, суммарная фазовая характери-
стика должна принять форму, определяемую формулой (14.6).
Это иллюстрировано пунктирной линией на фиг. 215. На осно-
вании соотношений, выраженных равенством (14.6), мы при-
ходим к следующим заключениям:
1.	Корректирование характеристики затухания линии со-
здает сильную тенденцию к автоматической компенсации
также и ее фазовых искажений. Эта тенденция становится тем
более резко выраженной, чем шире полоса, измеренная в окта-
вах. Другими словами, формула (14.6) показывает, что на
фазовую характеристику влияют только изменения в характе-
ристике затухания вне полосы пропускания. Если полоса очень
широка, то области большого затухания так удалены от цен-
тра рабочей полосы, что суммарная фазовая постоянная в этом
интервале очень мала. С другой стороны, если полоса пропу-
скания не шире одной или двух октав, то тенденция системы
к автоматическому корректированию проявится лишь очень
незначительно.
2.	В первом приближении затухание на высоких частотах
соответствует линейному фазовому сдвигу в рабочей полосе
частот. Поэтому тут нет фактора, порождающего фазовые
искажения. С другой стороны, наличие затухания на низких
частотах создает фазовую характеристику, изменяющуюся
как l/ч»3. Поэтому в широкополосной системе затухание на низ-
кой частоте может вызвать существенные фазовые искажения.
Следовательно, в случае, когда окончательная коррекция фазы
системы должна быть как можно более простой, полное зату-
хание на низкой частоте должно быть существенно меньше,
чем полное затухание на высокой частоте. Так как затухание
линии на частотах ниже полосы пропускания действительно
будет много меньше, чем затухание на частотах выше полосы
пропускания, то, к счастью, это условие нетрудно выполнить.
3.	У границ полосы пропускания приближенная формула
(14.6) перестает быть справедливой. Однако мы замечаем, что
когда <ос приближается к границе полосы, то подинтегральное
выражение равенства (14.3) в пределах интегрирования превы-
шает приближенную величину, определяемую равенствами
(14.4), (14.5) и (14.6). Поэтому на границах полосы суммарный
фазовый сдвиг должен быть больше, чем указывает прибли-
*) Затухание линии при бесконечной частоте, конечно, остается. При
ярименении теории необходимо предполагать, что Л/ш стремится к нулю
в бесконечности. Это требование удовлетворяется коаксиальной линией,
у которой затухание изменяется на высоких частотах приблизительно как
24 Зак. 1327
370
Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
женная формула. Это иллюстрировано тонкими пунктирными
диниями на фиг. 215. Благодаря этому мы не можем заклю-
чить, что затухание на высоких частотах не влияет на фазо-
вые искажения. Однако очевидно, что отношения между при-
ближенной величиной подинтегрального выражения в равенствах
(14.4), (14.5) и (14.6) и его точным значением на любой задан-
ной частоте в>с больше для той части области интегрирования,
которая лежит вблизи рабочей полосы частот, чем для уда-
ленных частот. Поэтому фазовые искажения на высоких часто-
тах и возрастание фазовых искажений на низких частотах были
бы значительно снижены, если бы характеристика потерь могла
быть сделана с плавным срезом, начинающимся на границе
рабочей полосы частот. Эта задача подробно рассматривается
ниже.
4.	Те же соображения приводят ко второму заключению.
Так как преобладающим является влияние характеристики за-
тухания в области частот, лежащих вне полосы пропускания
у ее границы, то сравнительно малое отрицательное затухание
в пределах этой полосы компенсировало бы фазовые искаже-
ния, возникающие благодаря гораздо большему положитель-
ному затуханию, которого физически невозможно избегнуть
на более удаленных частотах. Другими словами, система,
имеющая характеристику передачи типа, показанного на
фиг. 216, практически не обладала бы фазовыми искажениями.
Характеристика передачи такого типа не всегда оказывается
приемлемой по различным причинам. Например, в системе
с большой длиной требуемое общее усиление на границах
полосы, даже если оно относительно мало, все же на-
столько велико (в децибелах), что шумы в этой части
спектра могут в конечном счете перегрузить усилитель. Тем
не менее, этот способ может быть полезным в специальных
случаях.
Другая формула, связывающая затухание и фазу '371
5.	Другая формула, связывающая между собой
затухание и фазу
Равенство (14.3) полезно при изучении фазовых характе-
ристик, соответствующих затуханию на относительно дале-
ких частотах. Однако, когда затухание заметно изменяется
вблизи частоты, для которой должна быть определена фаза,
то более удобно применить другое выражение. Вторая фор-
мула получается, если записать выражение (14.3) для логариф-
мической шкалы частот.
Если мы положим, что и = In (о>/«>с), то выражение примет
вид:
D 2 С А — Ас ’ с'а> 2 f А — Ас . If А — Ас ,	. о.
0	—oo	— oo
Далее это равенство интегрируется по частям, подобно
тому, как интегрировалось равенство 1(a) для получения ра-
венства I (с) (стр. 359). Однако интегрирование равенства
(14.8) упрощается, если мы разобьем область интегрирования
на отдельные области, лежащие выше и ниже « = 0. Рас-
сматривая сначала интегрирование по положительным значе-
ниям и, мы имеем.
ОО	оо
Bt = — 4 [(-4 — A) In cth -yl + f In cth ^du. (14.9)
О О
Если мы заменяем и на —и, то интегрирование по отрица-
тельным значениям и может быть выполнено аналогично х) и
дает:
о о
А =4 [и - Ас) In cth +1J g In cth =£du. (14.10).
Вблизи и = 0 величина A — Ac должна быть приблизи-
тельно пропорциональной «, в то время как In cth («/2)
будет изменяться как —1п (и/2). Поэтому при значении пре-
дела и = 0 проинтегрированная часть равенств (14.9) и (14.10)
должна иметь вид: и In и, эта функция стремится к нулю при
9 T. е. интеграл от 1/sh а, равный In cth (н/2) для положительных
значений и, берется равным In cth (—а/2) при отрицательном значении а.
Мнимая составляющая, которая появилась бы, если бы интеграл принимался
равным In cth (я/2) также и для отрицательных значений а, действительно
не имеет значения, так как она уничтожается, когда подставляются пределы
интегрирования, но ее наличие лишь затрудняет рассмотрение. Аналогичное
положение имеет место в ряде равенств, например, (14.20) и (14.28).
24*
372 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
стремлении и к нулю. При другом значении предела интегри-
рования член Incth приближается к 2е"“ или 2(<ос/о>) в
равенстве (14.9) и к 2е“ или 2(ш/а>с) в равенстве (14.10). Так
как мы уже ограничили возможные функции потерь такими
функциями, для которых <оА и Л/<о стремятся к нулю соответ-
ственно на нулевой и бесконечной частоте, то это означает,
что проинтегрированные части равенств (14.9) и (14.10) также
должны стремиться к нулю при этих пределах и могут быть
полностью опущены. Поэтому, когда при определении пол-
ного фазового сдвига оба равенства складываются, то резуль-
тат представляется в виде
f ST ln cthLr^«-	(14.11)
• V	<414
ОО
Хотя равенство (14.11) может казаться более сложным
выражением, чем равенство (14.3), ему можно дать простое
физическое толкование. Прежде всего, равенство (14.11) ясно
показывает, что фазовая постоянная пропорциональна крутизне
характеристики за-•
тухания при лога-
рифмической шкале
частот. Если мы
удвоим dA/du, то
также удвоим и Во.
Однако, поскольку
интегрирование про-
изводится по всему
спектру частот, то
фазовая характери-
стика в любой точке
зависит от крутизны
характеристики за-
тухания во всех ча-
стях спектра. Отно-
сительная роль кру-
тизны в различных
частях спектра опре-
деляется множите-
лем In cth | и/21, который может быть также записан в виде
In | (<о +	/ (со — <ос) |. Таким образом, это выражение, графи-
чески изображенное на фиг. 217, играет роль множителя веса.
Как и следовало ожидать из физических соображений,
этот множитель имеет большое значение вблизи <s> = <s>c. Дей-
ствительно, он становится логарифмически бесконечным в
этой точке. Таким образом, при определении результата гораздо
Фазовые характеристики и примеры характеристик затухания 373
важнее производная от затухания вблизи частоты, на кото-
рой должна быть рассчитана фаза, чем крутизна характери-
стики затухания в более удаленных точках. Для частот, много
больших, чем <ос, вес приблизительно равен 2(<ос/ш), тогда как
на частотах, много меньших, чем а>с, он приблизительно
равен 2 (<о/<ос). Таким образом, в любом случае для частот,
сильно отличающихся от <ос, значение крутизны характери-
стики затухания обратно пропорционально интервалу, выра-
женному отношением частот между точкой, в которой опре-
деляется крутизна, и точкой, для которой рассчитывается
фаза. Очевидно, что это соответствует нашим предыдущим
результатам, согласно которым затухание при частотах, уда-
ленных от рабочей полосы частот, определяет фазовую харак-
теристику, пропорциональную частоте при условии, что зату-
хание относится к частотам, лежащим выше рабочей полосы
частот, или же обратно пропорциональную частоте, если
характеристика затухания относится к частотам, лежащим
ниже рабочей полосы.
6.	Фазовые характеристики, соответствующие некоторым
примерам характеристик затухания
Имея в своем распоряжении формулу (14.11), мы можем
определить фазовую характеристику, соответствующую любой
характеристике затухания. Для этого нам необходимо только
продифференцировать характеристику затухания при логариф-
мической шкале частот, затем умножить ее на функцию веса
и проинтегрировать результат, применяя, если необходимо,
графическое интегрирование. Если, однако, нужно получить
большое число точек фазовой характеристики, то повторение
подобных вычислений становится утомительным. В следующей
главе описан более легкий способ, применимый в большин-
стве случаев. В настоящем разделе формула (14.11) будет
применена к ряду очень простых характеристик затухания,
для которых могут быть аналитически найдены соответству-
ющие фазовые характеристики.
Самый простой пример применения формулы (14.11) мы
получим, взяв характеристику затухания, имеющую постоянную
на всех частотах крутизну при логарифмической шкале
частот. Если в формуле (14.11) обозначим dA/du — k, то она
примет следующий вид:
В = — f In cth Цр	(14.12)
ТС - У	£
374
Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
Однако известно1), что этот определенный интеграл равен
л’/2. Поэтому сдвиг фаз определяется формулой
B = k~.	(14.13)
Таким образом, фаза постоянна и равна 90°, умноженным
на крутизну характеристики затухания. Это показано на
фиг. 218.
Для целей дальнейшего рассмотрения желательно
уточнить единицы, в которых выражается крутизна k. Так
как и представляет собой натуральный логарифм и А выра-
жается в неперах, то выбор k — 1 равносилен предположению,
что А будет изменяться на. один непер при изменении частоты
в число раз, равное
е = 2,7183. Другими сло-
вами, если л = 1, то за-
тухание, выраженное как
отношение токов, пропор-
ционально частоте. В
дальнейшем мы будем на-
зывать эту величину еди-
ничной крутизной. Еди-
ничная крутизна, оче-
видно, соответствует из-
менению в 6 дб на окта-
ву или 20 дб на декаду2).
В качестве второго
примера применения фор-.
мулы (14.11) предполо-
жим, что затухание везде постоянно, за исключением разры-
ва на одной частоте. Это показано на кривой А фиг. 219.
Чтобы применить формулу (14.11), мы можем представить раз-
рыв в виде очень большого значения dA/du в очень малой
области вблизи разрыва. Так как dA/du везде, кроме этой
области, равно нулю, то мы должны в формуле (14.11) брать
интеграл только по этой малой области. Так как вес можно
считать постоянным в этой малой области, то интеграл в дей-
ствительности сводится к интегралу от самой производной по
всей области резкого изменения функции. Этот интеграл равен
полному изменению функции А в точке разрыва. Поэтому
сдвиг фазы в любой точке равен произведению величины
*) См. Bierens de Haan, Nouvelles tables d’integrales definies, табл. 256.
2) Термин „декада”, получивший все расширяющееся применение обо-
значает интервал частот, находящихся в отношении 10:1, или интервал
одной группы делений на графике, построенном на обыкновенной логариф-
мической бумаге.	г *
Фазовые характеристики и примеры характеристик затухания 375
изменения А на значение веса, соответствующее интервалу
между частотой, на которой имеется разрыв, и частотой, на
которой вычисляется сдвиг фазы. Это может быть написано
в виде
В = 4'"|Й5|.	(14-14)
где k есть изменение А в неперах, а <»0 есть частота, на
которой имеется разрыв. Это иллюстрировано кривой В на
фиг. 219, построенной для k = l.
Третья, простая, особенно интересная характеристика
соответствует постоянной величине затухания по одну сто-
рону заданной частоты и имеет постоянную величину про-
изводной по другую сторону этой частоты. Это показано на
кривой А фиг. 220. Характеристики этого типа описаны более
детально в следующей главе и будут в дальнейшем приме-
няться в различных случаях. В дальнейшем мы будем назы-
вать их полу бесконечными характеристиками постоянной,
крутизны.
Расчет фазовой характеристики, соответствующей характе-
ристике затухания такого вида, более труден, чем для лю-
бого из предыдущих примеров. Поэтому детальное рас-
смотрение этой задачи мы отложим до следующей главы. Тем
не менее, общие свойства фазовой характеристики можно
понять по кривой В фиг. 220. Например, на частоте, которая
лежит в пределах наклонной части характеристики затухания,
фазовый сдвиг лишь немногим меньше Л(я/2), где k есть
крутизна характеристики затухания. Таким образом, этот фа-
зовый сдвиг почти равен фазовому сдвигу, который получился
бы при характеристике затухания, имеющей постоянную кру-
тизну k на всех частотах. То, что это должно быть так, оче-
видно из формулы (14.11), так как единственная разница между
этими двумя случаями заключается в том, что для „полубес-
конечной" характеристики в формуле (14.11) величина dAIdu
376 Глава XIV- Связь между составляющими функций цепи
равна нулю в полосе интегрирования, соответствующей одной
из ветвей кривой веса. Мы замечаем, что сдвиг фаз на ча-
стоте в>0 как раз равен половине асимптотического значения
£(я/2) и что характеристика обладает нечетной симметрией
при логарифмической шкале частот относительно этой точки.
Смысл этого соотношения опять-таки виден из формулы
(14.11), если заметить, что сумма двух полубесконечных
характеристик с одинаковой крутизной k, но идущих в про-
тивоположных направлениях от <о0, должна быть равна харак-
теристике с постоянной крутизной. Это показано на фиг. 221,
где две полубесконечные характеристики
представлены сплош-
ной и пунктирной линиями.
Сумма соответствующих фа-
зовых характеристикдолжна
быть, конечно, равна £ (^/2),
тогда как из симметрии фор-
мулы (14.11) для положи-
тельных и отрицательных
значений и ясно, что обе ха-
рактеристики должны иметь
равные значения на часто-
тах, связанных обратным
соотношением. В соответ-
ствии с предыдущим, фазо-
вый сдвиг на низких ча-
стотах для полубесконеч-
ной характеристики (фиг.
220) должен быть суще-
ственно линейным при линейной шкале. Точное выражение
легко получается из формулы (14.4) в виде
В = k —, ф < ®0.
Л <0„ ’	о
(14.15)
Таким образом, если мы положим й = 1, то линейная фа-
зовая характеристика, экстраполированная до <оо, дает сдвиг
фаз, равный 2/я радианам, или 36,5°. Действительно, фазовый
сдвиг в этой точке, как следует из только что приведенного
рассмотрения, равен х/4 радиана, или 45°. Эти цифры показы-
вают, что фазовая характеристика, по крайней мере в пер-
вом приближении, линейна во всей полосе частот, меньших <в0.
В действительности, в большей части этой полосы частот
приближение даже лучше, чем это может показаться из рас-
смотрения этих цифр, так как отклонение действительной
фазовой характеристики от линейного приближения имеет
место главным образом в непосредственной близости к <ол.
Связь фазовой характеристики и характеристики затухания 377’
Легче всего можно это видеть из формулы
=	1^1	(14.16}
Эта формула будет выведена в следующей главе. Это
выражение приблизительно постоянно в пределах двух третей
или трех четвертей полосы частот. Однако на более высоких
частотах оно быстро возрастает и логарифмически стремится к
бесконечности, когда «> стремится к <о0. Само собой разумеется,
что очень большое значение величины вблизи % получи-
лось в результате искусственности принятой характеристики
затухания. Этого не будет, если затухание плавно изменяется:
при прохождении через %.
Элементарные характеристики, показанные на фиг. 218,.
219 и 220, нужны нам главным образом для приближенного
изучения связи между затуханием и фазой согласно методам,,
излагаемым ниже. Однако они представляют некоторый инте-
рес в связи с рассматривавшейся выше общей задачей фазо-
вых искажений в селективных цепях. Например, мы, очевидно,,
можем рассматривать фиг. 219 как систему, представляющую
свойство идеализированного фильтра низких частот с беско-
нечно крутым срезом характеристики между полосами про-
зрачности и затухания. Тогда равенство (14.14) показывает
фазовые искажения, которые должна иметь такая система-
при отсутствии фазового корректирования, и представляет
предел, к которому стремится реальный фильтр с увеличением
крутизны среза характеристик. С другой стороны, сопоста-
вление фиг. 219 и 220 показывает, что фазовые искажения в
первую очередь обусловливаются наличием резкого возраста-
ния затухания вне рабочей полосы в непосредственной бли-
зости к границе, а не тем, что система в целом обладает
различными свойствами в полосе прозрачности и затухания..
Так, фазовая характеристика на фиг. 220 приблизительно
линейна в большей части рабочей полосы, несмотря на то,
что затухание, в конечном счете, растет до много большего-
значения, чем было на фиг. 219. Более того, .даже остаточ-
ные фазовые искажения на фиг. 220 могут быть немного
снижены, если сделать более плавным переход между полосами
пропускания и затухания. Эти результаты получат подтвер-
ждение и будут развиты в последующих примерах.
7.	Связь между фазовой характеристикой и
характеристикой затухания при линейной шкале частот
Равенство (14.11) было выражено через логарифм частоты,,
так как логарифмическая шкала обычно наиболее подходяща
для физических задач. Однако с помощью прямого преобра-
378
Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи'
зования это равенство может быть выражено через любую
другую переменную величину z, изменяющуюся с частотой.
Это преобразование особенно полезно, если z представляет
собой или самую частоту или величину, обратную частоте. Пре-
образование к новой частотной шкале z облегчается тем, что
член (dA!dti)du в подинтегральном выражении равенства (14.11)
получает значение (dAldz) dz, каким бы ни было z. По-
этому, чтобы выполнить преобразование, необходимо только
выразить функцию веса соответственно новой шкале и так
изменить пределы интегрирования, чтобы они охватывали всю
положительную ocf> вещественных частот. Таким образом,
-если z представляет собой частоту <», то равенство (14.11)
преобразовывается в следующее:
(14.17)
с тз J ао> | <d — (Dc I	4	'
о
Если же z представляет собой 1/<о, то равенство получает
следующий вид:
оо
Вс = - — Ш I	+ \^с I d (1/о>).	(14.18)
с	- J а (1 /со) I 1 /(D — 1 /<ас |	4	7
о
В качестве примера таких преобразований предположим,
что характеристика затухания, для которой должен быть опре-
делен соответствую-
щий фазовый сдвиг,
имеет постоянную кру-
тизну в конечном ин-
тервале линейной шка-
лы частот. Такая харак-
теристика показана кри-
вой А на фиг. 222, где
для удобства предпо-
лагается, что наклон-
ная часть начинается в
начале координат1). Ха-
рактеристика являет-
ся, в известном смы-
Фиг. 222
сле, копией полубесконечной характеристики в логариф-
х) Так как, по условию, А есть четная функция частоты, то это озна-
чает, что кривая должна резко менять направление в начале координат.
Соответственно этому и поведение фазовой характеристики на крайне низ-
ких частотах, как показывает рассмотрение равенства (14.20) или фиг. 222,
довольно своеобразно. Здесь можно не обращать внимания на этот несколько
искусственный выбор характеристики затухания, так как результаты этого
выбора не сказываются при применении анализа, приведенного ниже в
этой и в следующей главах.
Характеристика затухания, соотвешств. фазовой характеристике 379
мической шкале частот, которая была рассмотрена раньше.
Однако важно отметить, что в противоположность наклонной
характеристике в логарифмической шкале частот характери-
стику, которую мы сейчас рассматриваем, нельзя считать про-
стирающейся в неограниченно большой области, так как это
нарушит условие, по которому А/а> должно стремиться к
нулю при бесконечно большой частоте.
Обозначим через k крутизну dA/d® между началом коор-
динат и точкой %, тогда, поскольку на более высоких часто-
тах dA/d<a = 0, равенство (14.17) может быть записано в виде
ц>0
б
Этот интеграл легко взять. В результате получим
Bc = ^[(x4-l)ln(x+l) + (x-l)ln|x-l 1-2Х1ПХ], (14.20)
где х=ъс/<»й.
Вид функции, определяемой равенством (14.20), показан
кривой В на фиг. 222. Ее форма приблизительно соответ-
ствует той, которую можно было ожидать при рассмотрении
равенства (14.11), если учесть, что постоянная крутизна
характеристики затухания при линейной шкале эквивалентна
крутизне, постепенно убывающей в сторону низких частот,
когда характеристика вычерчена в логарифмической шкале
частот.
8.	Характеристика затухания, соответствующая
данной фазовой характеристике
До сих пор в этой главе рассматривалась задача, заклю-
чающаяся в определении фазовой характеристики, соответ-
ствующей данному затуханию. Теперь мы перейдем к обратной
задаче определения затухания, когда известна фаза. В общих
чертах решение этой задачи отличается от предыдущей только
в одном существенном отношении. Когда задано затухание,
то соответствующая минимальная фаза определяется одно-
значно. Однако, поскольку мы всегда можем прибавить или
вычесть произвольные потери в физическом контуре, не по-
влияв на его фазовую характеристику, то затухание, соответ-
ствующее данной фазе, может быть определено только с
точностью до произвольной аддитивной постоянной.
В последующих равенствах это учитывается путем определения
380 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи____
отношения характеристики затухания к затуханию на нулевой
или бесконечной частоте.
Искомые формулы могут быть получены проще всего
путем замены во всех предыдущих равенствах 0 на i<o (6 — Дос)
или (6 —Д0)//<о. Введение множителя имеет своим основ-
ным следствием взаимную замену вещественных и мнимых
составляющих во всех этапах анализа. Так, если мы будем
исходить из функции —Лоо), то вещественная составляю-
щая равна —шВ и обладает четной симметрией, в то время
как мнимая составляющая равна г<о(Д —Да,) и обладает не-
четной симметрией. Поэтому, если мы заменим А на —<оВ и В
на <о (Д — Доо), то формулы, которые были использованы для
определения В по известному Д, могут быть с тем же
успехом применены к определению А по известному В. По-
добным образом, выбор функции (0 — A^/i® эквивалентен
замене первоначальных величин А и В соответственно
на В/<» и —(Д — Л0)/да. Члены Ао и Ат введены в новые вы-
ражения, чтобы предотвратить появление полюса при нулевой
или бесконечной частоте, так как появление полюса противо-
речило бы нашим первоначальным предположениям об инте-
грируемости функции. Введение этих членов, как указыва-
лось выше, эквивалентно отсчету затухания от его значения
на нулевой или бесконечной частоте. Если взять это за ос-
нову, то вывод соответствующих формул для расчета характе-
ристики потерь, соответствующей данной фазовой характе-
ристике, сводится к простой подстановке. Так, если мы будем
исходить из функции Z®(0 — До,), то равенство (14.3) получит
вид:
(14.21)
О
Если же мы будем исходить из функции (6 — А0)/г<о, то
получим
оо
(14.22)
о
Подобным же образом, равенство (14.11) может быть пре-
образовано в следующие:
^1псйЦ!-Л (14.23)
и -£>
ОО
4 - До = - f *№! In cth du. (14.24)
к j аи	z	4 z
Характеристика затухания соответств. фазовой характеристике 381
В реальных задачах фазовый сдвиг часто остается постоян-
ным на больших участках, так что функции Во> и В/о> будут
изменяться соответственно как <» или 1/<о. Это делает выра-
жение формул в линейной шкале частот или в обратной
шкале частот более интересным, чем в том случае, когда
известной составляющей было затухание. Соответствующие
этим шкалам формулы легко получить, преобразуя равенства
(14.17) и (14.18). Если мы примем, что z представляет собой <>
или 1/о>, то результаты для обоих равенств могут быть запи-
саны в виде
|i±g|<fc (14.25)
я	о
оо
(14.26)
О
f-де в каждом выражении при z = o> должен быть взят отрица-
тельный знак, а при z = l/<>> — положительный знак.
Во всех этих формулах предполагается, что или До или Ам
должно быть конечным. Само собой разумеется, что это не
всегда имеет место. Однако в реальных системах потери на
нулевой и бесконечной частоте, если они не конечны,
обращаются в бесконечность логарифмически. Поэтому либо
одно, либо другое из двух значений потерь может быть всегда
сделано конечным путем добавления соответствующих потерь,
характеристика которых имеет постоянную крутизну. Требуе-
мый наклон легко определяется из рассмотрения фазовой
характеристики на границе. Элементарные примеры этих пре-
образований легче всего получить, обратившись к характери-
стикам, показанным раньше на фиг. 218, 219, 220 и 222. Мы
можем преобразовать любую из этих фигур для получения
новых соотношений между А и В путем умножения или
деления характеристик при данном <о и взаимной замены харак-
теристик вещественной и мнимой составляющих. Для примера
рассмотрим фиг. 219. Если мы предположим, что имеем
дело с преобразованием, в котором 0 заменяется величиной
(6 — Лоо), то кривая А на этой фигуре может быть отожде-
ствлена с результатом умножения —<о на новое значение В,
в то время как кривая В в <о раз больше нового значения
А — Ах. Следовательно, мы можем разделить первоначальную
кривую на z±<o, чтобы получить характеристики для нового зна-
чения В и нового значения А — Ат, показанных на фиг. 223.
Обратно, если мы предположим, что 0 заменяется на
(6 — Д0)/Ао, то кривые А и В на фиг. 219 становятся соответ-
382 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
ограничено в
степени, чем
отклонение от условия минимально-
ственно графиками В/о> и — (А — А0)/<о для новых функций.
Новое значение В и новое значение (А — Ао), следовательно,
принимают вид, пока-
занный на фиг. 224. Сле-
дует заметить, что новая
величина В становится
бесконечной на бесконеч-
ной частоте. Это показы-
вает, что такие преоб-
разования позволяют нам
в некоторых случаях дей-
ствовать с величиной О,
поведение которой при
нулевой и бесконечной
частоте
меньшей
предполагалось прежде.
Например, на фиг. 224 бесконечное значение В на бесконеч-
ной частоте указывает на
фазового сдвига того ти-
па, который был описан
в предыдущей главе, и
соответствует обычной
длинной линии. При же-
лании мы можем испра-
вить фазовую кривую вы-
читанием линейно-расту-
щей компоненты, или, что
равнозначно, путем та-
кого смещения первона-
чальной характеристики
затухания на фиг. 219,
которое делает равным
нулю затухание на бес-
конечной частоте. Это
приводит к новой фазо-
вой кривой, обозначенной
буквой В' на фиг 224.
9.	Системы с линейной фазовой характеристикой
Для рассмотрения более сложного примера расчета харак-
теристики затухания, соответствующей данной фазовой харак-
теристике, обратимся вновь к задаче построения селектив-
ной системы, не дающей искажений в пределах рабочей полосы.
Если полоса не бесконечно широка, то нельзя одновременно
Системы с линейной фаза вой характеристикой
383
удовлетворить требованиям отсутствия амплитудных и фазо-
вых искажений при минимально-фазовой характеристике. Рань-
ше при рассмотрении этой задачи предполагалось, что харак-
теристика затухания идеальна во всей полосе пропускания, и
мы пытались определить остаточные фазовые искажения, кото-
рые должны быть скомпенсированы путем фазового корректи-
рования. Здесь, наоборот, мы будем предполагать, что идеаль-
ной является минимально-фазовая характеристика, и будем
рассматривать остаточные амплитудно-частотные искажения*
которые в результате это-
го здесь следует ожидать.
Для упрощения задачи аш0
не будем учитывать ниж-
ний срез характеристики
системы. Далее, предполо-
жим, что требуемая фазо-
вая характеристика имеет
вид, показанный на фиг. 225.
В
СО о
Фиг. 225
Крутизна фазовой характеристики между нулем и некоторой
точкой <о0 взята равной постоянному значению с1В[с1ы = а,
тогда как выше <о0 сам сдвиг фаз В постоянен и равен а<о0.
Постоянное значение величины В на высоких частотах, оче-
Фиг. 226
видно,- означает, что затухание будет в конечном счете лога-
рифмически возрастать с частотой, аналогично случаю полу-
бесконечной наклонной характеристики фиг. 220. Как мы уже
видели, полубесконечная характеристика дает приблизительно
линейную фазовую характеристику на низких частотах, и это
приближение к линейности
улучшается при наличии
более плавного перехода
между наклонной и нена-
клонной частью характери-
стики затухания. Настоящий
расчет, таким образом, при-
водит нас к точному опре-
делению закругления в ха-
требуется для того, чтобы
в точности линейной.
рактеристике затухания, которое
сделать фазовую характеристику
При определении характеристики затухания, соответствую-
щей фазовой характеристике фиг. 225, мы можем, пользуясь
предыдущими общими равенствами, выбрать В<о или В/<о.
В данном случае, очевидно, удобно использовать функцию
В/<о. Дальнейшее упрощение дает выбор обратной шкалы
частот. При этом В/<» является прямой линией с наклоном
(z<»0 от 1/<о = О до 1/<о = 1/<о0 и постоянной величиной при более
высоких значениях. Это показано сплошной линией на фиг. 226.
384
Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
Анализ этой характеристики уже, в сущности, дан равен-
ством (14.20). Чтобы приложить результат равенства (14.20)
к настоящей задаче, необходимо только заменить Вс на
(1/<ос) (Ас — Ао) и произвести изменения, вызванные инверсией
шкалы частот. Это дает
= -f(—+ lbni— -Н1 + (—	— 1| —2 —In—1.
* L\ «°C	/	\ <°с	!	\ <°с	/ I "с 1	<°с	<°С J
(14.27)
А это может быть приведено к следующему выражению:
Ас - А =	[(1 +“с I In (1 +	+ (1 - M’ln 11 - ^1 ]. (14.28)
График характеристики затухания, определяемой равен-
ством (14.28) при постоянной <г<о0, взятой равной единице, пред-
ставлен на фиг. 227. Первоначально заданная фазовая харак-
теристика показана пунктиром. Мы видим, что характеристики
-очень сходны с характеристиками фильтра нижних частот, за
исключением того, что у границ полосы пропускания имеются
существенные амплитудно-частотные искажения.
Другая форма характеристик затухания получается при
предположении, что фазовый сдвиг равен нулю между нача-
лом координат и <о0, но сохраняет в то же время свое значе-
ние в области высоких частот после точки <%. Это экви-
валентно предположению, что характеристика резко спадает
до нуля на границе полосы, как показано пунктирной линией
на фиг. 226. Влияние такого резкого скачка может быть по-
лучено при замене Вс на (1/«>с)(А — Ао) в предыдущем решении
Системы с линейной фазовой характеристикой
385
(14.14) для фазовой характеристики, соответствующей раз-
рывной характеристике затухания. Результат будет
=	(14.29)
что, после прибавления к равенству (14.28), дает
Лс-А = ^1п|1—£|.	(14.30)
** I ш0 I
График характеристики, соответствующей равенству (14.30),
показан на фиг. 228. Мы видим, что при этом решении харак-
теристика затухания в пределах полосы резко изгибается
книзу, а не кверху, как и при равенстве (14.28). Это с оче-
видностью указывает на то, что еще лучшие характеристики
могут быть получены с помощью комбинации этих двух реше-
ний. Если мы умножим равенство (14.28) на к и равенство (14.30)
на (1 —X), то после сложения равенств получим
in 11 —
’о
(14.31)
Если к = 0,63, то это дает характеристики фазы от затухания,
показанные сплошными 'линиями на фиг. 229.
Кривые фиг. 229 интересны главным образом как примеры,
иллюстрирующие доводы, приведенные ранее в связи с фиг. 216.
2S Зак. 1327
386 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
Мы видим, что введение довольно узкой области усиления
у границы рабочей полосы позволяет построить систему с фак-
тически нулевыми амплитудными и фазовыми искажениями
во всей остальной части рабочей полосы при большом затуха-
нии на более удаленных частотах. Для практических целей
характеристика результирующего усиления, конечно, необяза-
тельно должна в точности принимать форму, предписанную
ей этим анализом. Например, ее форма может быть изменена
так, как указано пунктирными линиями на фиг. 229. Однако,
если нельзя применить усиление, то необходимо или допустить
амплитудно-частотные искажения, имеющие вид, примерно, по-
казанный на фиг. 227, или прибегнуть к корректированию фазы.
Простейшие физические примеры цепей, имеющих харак-
теристики, показанные на фиг. 227, 228 и 229, могут быть
получены, если представить себе, что мы пытаемся рассчитать
межкаскадную цепь для видео-усилителя без обратной связи.
Очень легко создать цепь для получения характеристик
фиг. 228, так как если множитель а<»01п в равенстве (14.30) равен
половине, то это равенство можно рассматривать как выраже-
ние модуля характеристического сопротивления П-образного
фильтра низких частот типа постоянного k2). Таким образом,
9 Здесь используется обычная теория фильтров,разработанная главным
образом Зобелем [см. Bell Syst. Techn. Journ., янв. (1923) и более поздние
статьи]. Характеристические сопротивления фильтров и вообще цепей,
аналогичных фильтрам, часто применяются к системам, используемым
в качестве примеров. Необходимо предполагать, что читатель имеет,
по крайней мере, поверхностное знакомство с теорией фильтров.
Из довольно обширного перечня литературы следует отметить краткое
изложение этого вопроса в книге G u i 1 1 е m i n, Communication
Networks, vol. II, в которой дано более детальное его рассмотрение.
При ознакомлении с книгой читателю рекомендуется обратить вни-
мание, в частности, на разделы, посвященные скрещенным звеньями
фильтра. Они содержат общие аналитические формулы возможных
характеристических сопротивлений фильтров тех типов, которые рассмотре-
Системы с линейной фазовой характеристикой 387
межкаскадная цепь может быть выполнена в виде обычной
схемы фильтра, в которой межкаскадная емкость рассматри-
вается как выходная параллельная ветвь.
Характеристики, изображенные на других фигурах, могут
быть представлены сопротивлениями того же типа, но с не-
сколько измененными значениями элементов. В качестве при-
мера мы можем рассмотреть расчет межкаскадной схемы для
получения характеристики фиг. 227. На высоких частотах физи-
чески цепь должна
сводиться к межка-
скадной емкости, так
что ее затухание вы-
ражается как 1пюС0,
где Со обозначает
емкость. Однако мы
замечаем без боль-
шого труда, что
Фиг. 230
Фиг. 231
когда« велико,то затухание в равенстве(14.28) приблизительно
равно 2«<о0/тс In (<о/<»0). Следовательно, мы должны иметь а = те/2%.
Имея эту величину, очень просто рассчитать из фиг. 227 то
сопротивление, которым, помимо емкости, должна обладать
ны здесь. Хотя эти формулы для характеристических сопротивлений выве-
дены только для скрещенных схем, они также могут быть распростра-
нены и на достаточно сложные схемы лестничного типа. Частной задаче
расчета конечной цепи, обеспечивающей хорошее приближение к теоре-
тическому характеристическому сопротивлению фильтра, посвящена статья
Зобеля, Bell Syst. Techn. Journ., апрель (1931). Дополнительно в главе XVII
будет рассмотрен ряд особых схем. Учитывая наличие этих работ, мы будем
ниже в рассматриваемых примерах предполагать расчет законченным, если
найдено характеристическое сопротивление фильтра.
[Расчет фильтров изложен в книге Акульшина и др., Теория связи по
проводам, М. 1940. (Прим, ред.)]
25*
388 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
межкаскадная цепь. Результат показан на фиг. 230. Сопротив-
ление это почти равно характеристическому сопротивлению
Т-образного фильтра типа постоянного k, к которому до-
бавлена дополнительная индуктивность. Если выбрана эта
форма представления, то полная межкаскадная цепь прини-
мает вид, показанный на фиг. 231. Ее фазовая характеристи-
ка и характеристика затухания имеют форму, показанную на
фиг. 232.
Сплошная и пунктирная линии соответственно изображают
характеристику затухания и фазовую характеристику, перво-
начально заданные на фиг. 227. Каждая характеристика теперь
умножена на те/2, чтобы получить значение выбранное
в этом примере. Крестики изображают характеристики, кото-
рыми действительно обладает схема фиг. 231.
10. Случай, когда А и В заданы в различных
диапазонах частот
Третьей общей задачей, рассматриваемой в этой главе,
является задача определения полного сопротивления или коэ-
фициента передачи, когда вещественная составляющая опре-
делена в некотором интервале частот, а мнимая составляющая
определена в остальной части спектра. Предположим, напри-
мер, что затухание известно на частотах ниже о>0, а фазовый
сдвиг известен в области выше ш0. Тогда задача, которая
должна быть разрешена, заключается в получении дополне-
ний этих характеристик путем расчета фазы в полосе частот
ниже <», и затухания выше этой точки.
Случай, когда А и В заданы в различных диапазонах частот 389
В каждой из предыдущих теорем известная составляющая
являлась четной функцией частоты, а составляющая, подле-
жавшая определению, — нечетной функцией. Так, в первой
теореме предполагалось известным затухание, имеющее чет-
ную симметрию, и по затуханию определялась фаза. Во вто-
рой теореме роли обеих составляющих были переставле-
ны посредством умножения или деления исходной вели-
чины 6 на /<».
Тот же самый прием может быть принят и в настоящей
задаче, за исключением того, что функцией, на которую умно-
жается или делится 6, теперь является 1 — (®4/®’)> а не
Свойства функции V1 — (®2/®‘) для случая, когда надлежащим
образом выбрана поверхность Риманна, на которой опреде-
ляется квадратный корень, были подробно описаны в предыду-
щей главе. Следует напомнить, что при значениях ® в области
между <о0 и —<о0 „положительный" квадратный корень является
положительной вещественной величиной и имеет четную сим-
метрию. Поэтому в этой области частот введение новой функ-
ции не нарушает первоначальной четной или нечетной сим-
метрии функций А и В. Наоборот, при частотах, больших <о0,
„положительный" квадратный корень j/l — есть поло-
жительная мнимая величина, тогда как при частотах, мень-
ших —®0, он представляет собой отрицательную мнимую вели-
чину. Поэтому в этих интервалах функция имеет нечетную
симметрию, которая компенсирует нечетную симметрию вели-
чины В. Таким образом, в каждой части спектра члены под-
интегрального выражения, обладающие четной симметрией и
отпадающие, следовательно, при окончательном интегрирова-
нии, определяются той составляющей величины 6, которая за-
дана в этой части спектра.
Этот прием можно пояснить, записав отношение ’) 6 к
— (®2/®*) в виде
6	А	I з	В
- ,	----= —z	— -4-I ,	-= , а> <" о>«
У1—<•>*/“<>	yi-<o2M	r
В	.	А
=----,....-	-- i Г	~	®в>
1 У — 1
где все квадратные корни в правой части равенств являют-
ся вещественными положительными величинами. Любая из
*) В данном случае не берется произведение, так как на высоких часто-
тах оно сводится к /со (Лоо/<»)о) С полюсом в бесконечности. Если бы было
известно Лоо, то легко можно было бы избежать учета влияния этого по-
люса. Но поскольку поведение Л на высокой частоте определяется одной
из функций, которую пытается определить анализ, то присутствие полюса
дает некоторое усложнение, которое желательно было бы избегнуть.
390 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
формул, выведенных ранее, может быть применена в данном
случае, ’ если мы заменим первоначальные функции А и В
соответственно вещественной и мнимой составляющими выра-
жения, данного равенством (14.32). Если мы, например, сде-
лаем эту подстановку в (14.3), то получим
2а>с Г A	dot ।
Ле .’ у 1 — «>2Л4 <°2 —	"Т"
I 2-с С В dv = __В^_^	(14.33)
г- |/ф2/<о2 —1 <"2 — “с	У1 —	’ С
(В А *
где оба интеграла в левой части равенства заменяют один
интеграл в равенстве (14.3)J) и члены в правой частй равен-
Веш,остренная
составляющая величины
0,1 0,2 0^ 0,6 1	2 Ь 6
ства заменяют первоначаль-
ное значение Вс. Так как
мы первоначально предпо-
лагали, что величина А
была известна при часто-
тах, меньших ш0, а В — вы-
ше %, то оба интеграла
могут быть вычислены и
определены остальные ча-
сти обеих характеристик.
ю Можно также воспользо-
ваться соотношением в виде
ФИГ, 233	равенства (14.11), содержа-
щего производную. Однако
при применении этой фор-
мулы необходимы особые предосторожности, чтобы учесть
резкие изменения производной вещественной составляющей
выражения^ 0//1 — <о2/шо вблизи частоты <о0. Для практиче-
ских целей, вероятно, проще всего сгладить пик характери-
стики вещественной составляющей, как показано пунктиром
на фиг. 233, оставив сам пик для исследования при помощи
формул, подобных равенству (14.33). Также может оказаться
желательным так подобрать постоянный уровень затухания,
чтобы величины А и В имели одинаковые значения при <о0.
х) В равенстве (14.33) и в последующих равенствах член, соответствую-
щий величине Ас в равенстве (14.3), для простоты опущен. Как показано
в связи с рассмотрением равенства (14.1), это вполне допустимо при усло-
вии, что интегралы определены их „главными значениями".
Случай, когда А и В заданы, в различных диапазонах частот 391
так что кривая с пиком -будет симметрична вблизи %. Этот
анализ может быть распространен совершенно очевидным
способом и на случаи, в которых величины А и В заданы
для других интервалов частот. Например, если В задано
в области частот, меньших %, а А — больших %, то функция»
которую следует применить, будет 1 — а>2/а>^, и формула»
соответствующая равенству (14.33), будет
ш0
2<ос Г	— <аВ	do> ।
i 2u»c Г	da> __ <йсАс	(14.34)
~	уша/<°о —1 <“s—уг—у.^ ’ с"' *
Аналогично, если величина А задана в полосе частот от <о1
до и величина В — на частотах вне этой полосы, то пра-
вильное разделение спектра частот получается, если мы
исходим из функции
/ (j/ J	1 --- ).
Это приводит к следующей формуле:
( Г) I С I __________________®сАс_______________
г	ут^^у
______________<*СВС
У/to2 — 1 У1 — to2/to2 '
________— ®сАс_____________
УGJ2 /toj — 1 у0)2  1
где
wi
р= Г :_________________________________________________
J УI _ ^2 у 1 _ (02/wf
(Оо
5 — | ______________________ .... .
J У О)2/to?   1 У1  to2/toj
U>i г	'
ОС
f_____________шВ
J l/~to2/to:--- 1	У(1)*/а)* - 1
(Оо г
<°С < 0>1
(14.35)
da)
<О8 --- ’
da)
to2 — wj ’
dm
to2 — to2 ’
Для получения простых примеров этих преобразований мы
можем снова вернуться к элементарным характеристикам
фиг. 219. Так, если нас интересует функция 6/у/1 — о^/ш* н
392 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
мы считаем, что <о0 представляет, собой точку разрыва на
фиг. 219, то кривая А на этой фигуре может быть отождествлена
с величиной А/т/1 — <»г/<о* на частотах, меньших ®0, и с вели-
чиной В/]/“’/“о — 1 на частотах, больших о>0. Аналогично,
кривая В представляет собой величину В/-/ 1 — <о/В 9<о’ для
частот, меньших %, и — A/У®2/о>* — 1 для частот, больших ®в.
Поэтому простой расчет приводит к кривым для новой
величины А и новой величины В, показанным на фиг. 234.
Как и при рассмотрении
фиг. 224, новая величина В
имеет полюс в бесконечно-
сти. Чтобы устранить эту
Фиг. 235
трудность, можно вычесть постоянную величину из первона-
чальной кривой А фиг. 219. Тогда видоизмененные харак-
теристики принимают форму кривых А* и В', начерченных пунк-
тиром на фиг. 234. Если мы исходим из функции Ы)/]/1 —
то анализ остается по существу тем же, за исключением
того, что при этом не появляется затруднений с поведением но-
вой функции в бесконечности, и приводит к результату, по-
казанному на фиг. 235.
11. Система с линейной фазовой характеристикой
и заданной избирательностью
В приведенном ранее рассмотрении селективных систем
с линейной фазовой характеристикой в заданном интервале
частот предполагалось, что фазовый сдвиг должен быть
постоянным за пределами заданной области частот. Это пред-
положение очень удобно в случае систем, подобных межка-
скадной цепи, показанной на фиг. 231, в которой физически
необходимо, чтобы затухание логарифмически возрастало на
высоких частотах. Однако, как показывает фиг. 227, это при-
Система с линейной фазовой характеристикой
393
А (непер)
и
В (радиан)
Фиг. 236
водит к довольно низкой избирательности вблизи границ
полосы и к излишне высокому для большинства случаев затуха-
нию на более удаленных частотах. Если позволяют физиче-
ские условия, то желательно предварительно задать затуха-
ние, которое должно быть получено вне полосы с линейной
фазовой характеристикой. Рассмотрение этой задачи является
хорошим примером общих методов анализа,
описанных в предыдущей главе.
Предположим, что при частотах, мень-
ших ®о, величина В равна ао> и что при
частотах, больших %, величина А равна К.
Это показано сплошной кривой на фиг. 236.
Остальные части обеих характеристик обо-
значены пунктиром. Их точную форму мож-
но найти с помощью равенства (14.34).
Так как введение постоянного усиления
или затухания не будет влиять на реше-
ние, то в целях изучения равенства (14.34)
предположим, что постоянная К, опреде-
ляющая затухание на высокой частоте,
равна нулю. Это позволяет нам не принимать во внимание
второй интеграл в равенстве (14.34). Это равенство, следова-
тельно, получит следующий вид:
U)q
2<ас Г [— д<о8__________________(fe
(14.36)

Удобно начать с решения [для Вс. Если мы разобьем инте-
грал в (14.36) на две части, то это равенство представится
в виде
(14.37)
Первый интеграл этого выражения может быть взят сразу же
394
Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
и оказывается равным (тс/2)<о0. Для вычисления второго интег-
рала заменим <о/о>0 величиной х/ /1 -U Это дает
W о
Г
J	у 1 _ (02/0)2
ОО
dv _____ Г	dx	___
<“3 — <"с	0)0.1 1 +( —<“;/<»?)х*
о
(14.38)
После подстановки в (14.37) мы, следовательно, получим
(14-39)
Эта характеристика уже была показана на фиг. 236.
Вычисление значения Ас по формуле (14.36) производится
аналогично. Однако необходимо произвести одно изменение,
чтобы учесть, что при	подинтегральное выражение
в равенстве (14.36) имеет полюс в области интегрирования.
В соответствии с предыдущим рассмотрением, в данном случае
должно быть взято „главное значение" интеграла. Это важно
в основном при определении величины интеграла (14.38). Если
мы положим (<°о/шс) “ 1 — то полюс в подинтегральном
выражении в (14.38) имеет место при x = k. Чтобы определить
главное значение интеграла, разобьем всю область интегриро-
вания на две части, одна из которых имеет пределы нуль и
k — s, а другая простирается от Д° бесконечности, где
s — очень малая величина. Это позволяет написать второй инте-
грал в (14.38) в виде
оо	k — е	оо
Jdx	Г dx	f dx
= J i—J f—(14.40)
0	0	k + t
Но если мы подставим y — k^/x, то легко будет видеть, что
второй интеграл правой части равенства (14.40) в точности
равен первому интегралу, взятому с обратным знаком. Поэтому
при вычислении Ас по формуле (14.36) нет составляющей,
соответствующей равенству (14.38). Отсюда определяется вели-
чина Ас в виде
Ас = К-а^У1~-^ ,	(14.41)
Г	шо
где вновь в равенство введено постоянное затухание К, кото-
рое не учитывалось в самом анализе.
Результаты, данные равенствами (14.39) и (14.41), очевидно,
могут быть объединены с первоначальными, дающими Ли В, для
Система с линейной фазовой характеристикой
395
определения всей характеристики посредством одного равен-
ства
Ь =	=	\	(14.42)
График этой характеристики при К=дш0 приведен в крупном
масштабе на фиг. 237.
Хотя характеристика фиг. 237 более тщательно аппрокси-
мирует фильтр, чем прежняя характеристика на фиг. 227, она
все же имеет заметный подъем
в полосе передачи. Чтобы полу- А<мепер)
чить лучшее приближение окон-
чательной характеристики к го-
ризонтальной прямой, мы можем
предположить, что система дол-
жна быть применена для пере-
дачи на одной боковой полосе.
Это требует таких значений пара-
метров характеристики, при ко-
торых несущая частота должна
попадать в точку, где затухание
равно 6 дб. Например, если за-
тухание на высокой частоте
равно 30 дб, то 6 дб будет при
Фиг. 237
<» = 0,6<»0, что приводит к ре-
зультирующей характеристике коэфициента передачи, пока-
занной на фиг. 238.
При соотношениях, выбранных для фиг. 238, передаваемая
боковая полоса перекрывает первые 60% области с линейной
фазой, а срезаемая боковая полоса — остальные 40 %. Таким
образом, остаток срезаемой
96	боковой полосы составляет
две трети величины пере-
горая частота даваемой боковой полосы
0______________________ и представляет собой уже
несущая	нечто большее, чем просто
।	„остаток". Это отношение
ifii	может быть значительно
понижено, если мы предпо-
Фиг. 238	ложим, что реальная пере-
дача происходит в узкой
полосе и что характеристика фиг. 237 изображает просто про-
пускающий низкие частоты эквивалент такой цепи, описанный
в главе X. В этом случае область, перекрываемая фиг. 237,
соответствует только половине всей полосы частот, и другая
половина также пропускает передаваемую боковую полосу. Если
396 Глава XIV. Связь между составляющими функций цепи
предположить, что другая половина характеристики может быть
сделана горизонтальной без того, чтобы существенно искази-
лась характеристика в области срезаемой боковой полосы, то
тогда получится полная характеристика такого типа, как по-
казано на фиг. 239. Можно видеть, что область остатка сре-
заемой боковой полосы теперь составляет около одной чет-
верти ширины области, занимаемой передаваемой боковой
полосой.
Это рассмотрение применимо, конечно, только к системам
с минимальным сдвигом фазы. Мы можем, очевидно, гораздо
больше сузить область срезаемой боковой полосы посредством
применения корректирования фазы в окончательной схеме.
\	Несущая ]
\	V
Передаваемая Срезаемая to-
боковая полоса новая полоса
Фиг. 239
С другой стороны, характеристика с минимальным фазовым
сдвигом того типа, что показан на фиг. 239, обычно может
быть довольно легко осуществлена с помощью обыкновенных
фильтров и амплитудных корректирующих контуров, тогда как
добавление любого существенного корректирования фазы зна-
чительно усложняет систему. Таким образом, фиг. 239 может
рассматриваться, по крайней мере, как средство для грубой
оценки при выборе соотношений, которым нужно следовать,
когда в- первую очередь нас интересует не вопрос уплотнения
спектра частот, а применение относительно простой конструк-
ции цепи. С такой задачей можно, например, встретиться при
коротковолновой передаче или при приеме телевизионных сиг-
налов. На практике, конечно, может оказаться необходимым
предоставить срезаемой боковой полосе область даже большую,
чем 20% всей полосы, как это определено для нее на фиг. 239.
Эта величина получена в предположении, что затухание вне
,полосы пропускания в 30 дб достаточна, и, как показывает
рассмотрение фиг. 237, она должна быть увеличена, если тре-
буется большая избирательность. Если во всей области, зани-
маемой пропускаемой боковой полосой, необходимо иметь
линейную фазовую характеристику, то невозможно также
выровнять характеристику в нижней половине всей полосы
пропускания в такой степени, как это изображено на фиг. 239,
так что относительная ширина срезаемой области еще возра-
стает.
ТАБЛИЦА СООТНОШЕНИИ МЕЖДУ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ И МНИМЫМИ
СОСТАВЛЯЮЩИМИ ФУНКЦИЙ ЦЕПЕЙ
Группа
Формула
I (а)
(Ь)
(с)
(d)
-----V
О)2 -- йЛ
1	1	4-t, п Л
—	| — in cth ~-da
к J da	2
co
£ f dA
Tt J d(l/o>)
0
I !/<>+!/<><: I
I 1/“— l/“cl
d(l/«)
H (a)
(b)
(c)
HI (a)
(b)
(c)
ГС J 0)* — (i)’
0	C
1 f d(wB) f .. | ct| A
*=--------I —4—' In cth -Ч/- du
r<oc J da	2.
— oo
±_Lfd(-B)lnl£±^|dz
n<i>c J dz I z — zc I
о
TC J (D2 — (0*
0
=	^d(BI^{a^\^da
re J da	2
— oo
re J dz \ z — zc\
0
Продолжение
Продолжение-
Группа
Формула
V (Ь)
='НчГ11-51'/г<и+1'+":',=в''
= — Лс, <о2 > <ос
V V Л
где
ш2 А
У1 —"a)7^f у 1 — ш2/®!'
d со
(D2 ----- (t)2
(О2 В_______________
У~Г у 1 — ш2/о>5
d о
(D2 -- О)2
Примечание. В формулах 1(b), 11(b) и 111(b) через и обозначен In <о/<ос.
В формулах II(с) и III(c) z может обозначать либо ю, либо 1/<*>, ново всех
формулах при z, равном 1/<d, следует брать знак „плюс", а при zf рав-
ном w, следует брать знак „минус*.
Г Л А В A XV
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВЯЗИ МЕЖДУ ВЕЩЕСТВЕННОЙ
И МНИМОЙ СОСТАВЛЯЮЩИМИ ФУНКЦИЙ ЦЕПИ
1.	Введение
Эта глава состоит главным образом из ряда графиков, пред-
назначенных для облегчения практического приближенного
расчета связи между затуханием и фазой. Теоретическая часть
главы ограничивается только изложением методов, посред-
ством которых были получены графики, и способов их исполь-
зования.
2.	Аппроксимация реальных характеристик
ломаными линиями
Полученные в предыдущей главе результаты принципиально
дают возможность находить графическими методами соотно-
шения между вещественной и мнимой составляющими функций
цепи. Например, если мы воспользуемся равенством (14.11),
то как дифференцирование вели-
s чины А, так и интегрирование
произведения dA/du на функцию
—у	веса являются действиями, кото-
I/'"	рые могут быть произведены
/	графически. Однако при опре-
/	u=tncj	делении большого числа точек
------	.----- характеристики мнимой части
ша-----------------------шс-подобные вычисления становятся
фиг 240	довольно утомительными.
В настоящей главе дается дру-
гой путь решения этой задачи,
основанный на приближенном представлении характеристики
вещественной составляющей ломаной линией. Это показано
яа фиг. 240. Вещественная характеристика, которая аппрокси-
мирована таким образом, может представлять или реальную
вещественную составляющую, как, например, затухание или
сопротивление, или эквивалентную характеристику, подобную
В® или В/®, полученную при помощи методов, описанных
в предыдущей главе. При аппроксимации ломаной линией
обычно бывает достаточно точно отобразить основные особен-
яости изменения вещественной характеристики. Как показывает
Аппроксимация реальных характеристик
401
рассмотрение предыдущей главы в связи с равенством (14.11),
связь между вещественной и мнимой составляющими в любом
случае дает сглаживание или усреднение вещественной части
характеристики. Поэтому если точно представлены основные
черты изменения, то мнимые характеристики, соответствующие
фактически существующей характеристике вещественной соста-
вляющей и ее аппроксимации ломаной линией, будут более
сходны между собой, чем сами характеристики вещественной
составляющей — реальная и аппроксимированная.
Преимущество аппроксимации ломаной линией, само собой
разумеется, заключается в том, что при этом характеристика
вещественной части сводится к сумме элементарных характе-
ристик. Так как мнимая составляющая, соответствующая каждой
Фиг. 242
из элементарных характеристик, может быть вычислена раз на-
всегда, то это сводит вычисление полной характеристики мни-
мой составляющей к сложению нескольких известных кривых.
В принципе достаточно рассмотреть только одну элементарную
характеристику, а именно бесконечную наклонную полупрямую.
Например, фиг. 241 показывает, как можно представить в виде
суммы трех таких наклонных полупрямых характеристику,
состоящую из отрезков прямых линий фиг. 240. Этот способ
изображения максимально упрощает работу по подготовке
расчетных графиков, так как полная характеристика может
быть составлена, если известна одна элементарная кривая.
Однако этот способ имеет тот недостаток, что величины фазы,
даваемые отдельными наклонными полупрямыми, могут иметь
довольно большие положительные или отрицательные значения,
даже если суммарный фазовый сдвиг совсем мал. Следова-
тельно, необходимо довольно точно определять частичные фа-
зовые характеристики, чтобы получить достаточно точный
окончательный результат. Это особенно справедливо в том
случае, когда при аппроксимации полной характеристики веще-
ственной части ломаная линия содержит несколько коротких
участков, содержащих отрезки с большой крутизной. Для
практических целей, следовательно, лучше рассматривать в ка-,
честве элементарных характеристик, на которых основывается
26 Зак. 1327
402
Глава AV. Графические методы расчета
анализ, сами отдельные конечные „участки ломаной", соста-
вленные из полупрямых и отрезков прямых линий. Например,
на фиг. 242 показано, как можно представить характеристику
фиг. 240 посредством одного такого „участка" и бесконечной
наклонной полупрямой.
Эта глава в основном посвящена графикам фазовых харак-
теристик для бесконечных наклонных полупрямых и „участков
ломаной", составленных из отрезков прямых линий и полу-
прямых, выполненных в крупном масштабе. Само собой разу-
меется, что достаточно рассмотреть только одну полубеско-
нечную характеристику. Однако, чтобы представить „участки"
различной ширины, необходима серия кривых. В дополнение
к этим кривым, в отношении которых предполагается, что
исходная вещественная характеристика была построена в лога-
рифмической шкале частот, приведено также несколько кри-
вых, представляющих собой фазовые характеристики, соответ-
ствующие „участкам ломаной" при линейной шкале частот.
Рассчитанная таким образом мнимая характеристика в целом
будет довольно точно соответствовать истинной характери-
стике мнимой части. Естественно, однако, что между ними
будут иметься некоторые расхождения, обусловленные резкими
изменениями наклона при аппроксимации ломаной линией, в то
время как реальная характеристика изменяется плавно. Общее
положение может быть удобнее всего выражено следующей
теоремой:
Теорема. Если одна составляющая самой величины 6 или
любой производной от 6 имеет разрыв в некоторой точке,
то другая составляющая 6 или ее про-
У	изводной должна быть логарифмически
в cf	бесконечной в этой точке.
Эта связь уже была установлена для
/	разрыва вещественной составляющей’ са-
/I	мой функции 6 при рассмотрении, отно-
,	сящемся к фиг. 219. Распространить это
положение на мнимую составляющую или
Li—____________. производную легко можно с помощью опи-
Фиг 243 санных ранее методов взаимной переста-
иг‘	новки вещественной и мнимой составляю-
щих и учета того, что функция 6 и ее
производные удовлетворяют одним и тем же общйм условиям.
При аппроксимировании ломаными линиями производная
dA/dto имеет разрывы в общих точках двух соседних отрезков
прямых. Это создает положения, иллюстрируемые фиг. 243.
Сплошные линии указывают действительные характеристики,
а пунктирные — характеристики, получаемые при приближен-
Краткое пояснение к расчетным графикам 403
ном анализе. В фазовой характеристике, показанной пунктиром,
имеется излом в точке, где изменяется наклон характеристики
вещественной части в соответствии с тем, что здесь должен
быть бесконечным наклон фазовой характеристики. Однако
поскольку бесконечность является только логарифмической,
то излом очень мал и практически едва заметен, если харак-
теристика не вычерчена в очень крупном масштабе.
3.	Краткое пояснение к расчетным графикам
Среди графиков, приведенных в конце главы, первые два
дают характеристики мнимой части, соответствующие полубес-
конечной характеристике вещественной части с единичной
крутизной. График I дает характеристику мнимой части, вычер-
ченную в логарифмическом масштабе частоты, и представляет
собой те же кривые, что и фиг. 220, но вычерченные в более
крупном масштабе. График II дает ту же зависимость в линей-
ной шкале частот. Кроме того, на этом графике в более круп-
ном масштабе дана область вблизи <о0, где характеристика
изменяется более быстро. Формулы, с помощью которых рас-
считана характеристика, довольно сложны. Они приведены
в следующем разделе. Кривые охватывают только область ча-
стот, меньших <о0, так как остальная часть графика может быть
получена из условий симметрии, приведенных при предыдущем
рассмотрении этой характеристики.
Графики III и IV являются аналогичными графиками функ-
ции Т/я In cth | u/21, где In cth | п/21 — функция веса в равен-
стве (14.11). Они удовлетворяют равенству
В = In cth Щ = -1п|<^Ь-°|.	(15.1)
Кривые охватывают только полосу частот, меньших %, так как
функция имеет одинаковые значения при <» и Как пока-
зано в связи с фиг. 219, этот график изображает также фазо-
вый сдвиг, соответствующий разрывной характеристике зату-
хания. Для облегчения применения кривых мнимая состав-
ляющая построена в двух шкалах. Первая дает фазовый сдвиг
в радианах при изменении затухания на 1 непер, а вторая дает
фазовый сдвиг в градусах при изменении затухания на 1 дб.
Так как в 1 радиане содержится 180/те градусов и в 1 непере
8,686 дб, то отношение масштабов шкал равно 180/8,686 я = 6,6.
Читатель должен иметь в виду, что хотя градусы и децибелы могут
применяться к расчетам затухания и фазы, все же неперы
и радианы являются единицами, естественно вытекающими
из теории, которые можно использовать и в других задачах.
Например, шкала радианов дает реактивное сопротивление
26*
404
Глава XV. Графические методы расчета
в омах, соответствующее скачку в 1 ом в характеристике
реактивного сопротивления.
Следующая серия графиков дает характеристики мнимой
части, соответствующие „участкам ломаной" такого типа, ко-
торый был раньше показан на фиг. 242. Они получены путем вы-
читания двух полубесконечных характеристик. Предполагается,
что частота % расположена в геометрическом центре „участка"
и наклонная часть простирается от о>0/а до а<%. Это иллюстри-
руется сплошной линией на фиг. 244. Тут, как и на графиках III и
IV (стр. 412 и 413), даются две шкалы для мнимой составляющей.
Первая шкала дается в соответствии с теоретическими едини-
цами. Если, например, А и В — затухание и фаза, то эта шкала
дает фазовый сдвиг в радианах, когда полное изменение зату-
хания 8Д на фиг. 244 составляет
	j		1 непер. Вторая шкала дает фа-
у--------------------------*-зовый сдвиг в градусах, когда
/	1	изменение затухания равно 1 дб.
------Zi—--	У	Само собой разумеется, что для
аыо----------------------других величин изменения за-
тухания фазовый сдвиг должен
Фиг* 244	быть умножен на соответствую-
щую величину. В каждом гра-
фике кривые вычерчены только для области, где они заметно
отличаются от кривой на графиках, обозначенной а = 1,0. Эта
предельная кривая может быть получена, если характери-
стика вещественной части изменяется скачком на единицу на
частоте о>0, как показано пунктиром на фиг. 244, и не отли-
чается от кривой, данной на графиках III и IV. Поэтому вне
области, охватываемой кривыми, характеристики должны опре-
деляться по предыдущим графикам.
Графики X и XI (стр. 419 и 420) дают характеристику мни-
мой части, соответствующую характеристике вещественной
части, показанной на фиг. 245, где предполагается, что шкала
частот линейна. Это та же самая характеристика, что и на
фиг. 222, при kw0 = 1. При этом для мнимой составляющей
мы имеем следующее равенство:
В=±	1)1п(х+ 1)4- (х - 1) In |х - 11 - 2xln х], (15.2)
где х = <о/<о0. Эти графики построены аналогично предыдущим.
Единственное отличие, которое следует отметить, определяется
тем, что равенство (15.2) не обладает свойством симметрии.
Вследствие этого необходимо было расширить шкалу частот
у этих графиков.
Остальные графики дают характеристику мнимой части,
соответствующую характеристике вещественной части в виде
Расчетные методы для полу бесконечной характеристики 405
„участкаломаной линии" при линейной шкалечастот. Кривыеэтих
графиков соответственно заменяют кривые, данные в графиках от
V до IX (стр. 414—418), в случаях, когда метод аппроксимации
ломаной линией упрощается применением линейной шкалы
частот вместо логарифмической. Естественно, что эти кривые
были получены как разность между двумя характеристиками
того типа, который дан равенством (15.2). Частота берется
в середине отрезка, и предполагается, что наклонная часть
простирается от (1 — а)<о0 до (1 + а)шо- Эти соотношения иллю-
“♦-----
।
I и
Фиг. 246
стрируются фиг. 246. Для очень малых значений величины а
кривые не приведены, так как в узком интервале „участки
ломаной линии“ при линейной и логарифмической шкалах
частот неразличимы.
4.	Расчетные методы для полубесконечной характеристики
постоянной крутизны
Большая часть вычислений, требуемых для построения рас-
четных графиков, может быть основана на подробных форму-
лах, которые приводились ранее. Однако расчеты мнимой со-
ставляющей, соответствующей полубесконечной характеристике
с постоянной крутизной, требуют особого рассмотрения.
Если мы предположим, что крутизна равна единице и на-
клонная часть начинается при частоте %, то мнимая состав-
ляющая в любой точке <»с дается выражением (14.11) в виде
Вс = -^- J Incth(15.3)
ие
где ис = In <о0/юс, ибо в области частот, меньших ис, крутизна
равна нулю, и подинтегральное выражение в равенстве (14.11)
обращается в нуль. Для целей расчета равенство (15.3) может
быть переписано в виде
р"|гЙ|т>	(15.4)
0
где xc = e)c/<o0.
406
Глава XV- Графические методы расчета
Результат равенства (15.4) не может быть выражен в ко-
нечной форме с помощью элементарных функций. Однако мы
можем вычислить Вс путем разложения в степенной ряд. Это
вычисление упрощается, как указывалось раньше, симметрией Вс
относительно точки %, что позволяет ограничить расчет зна-
чениями величины хс, меньшими единицы.
Второе упрощение того же типа обусловлено соотноше-
нием между величиной В на частоте, немного меньшей %,
и величиной В на соответствующей частоте вблизи ш = 0.
Чтобы вывести это соотношение, положим
Ус=Г+Тс’	<15-5)
Выражая равенство (15.4) через новую переменную у, мы можем
переписать его в виде
В(хс)=-± j’ inyd (In х).	(15.6)
х = 0
Проинтегрируем это равенство по частям. Результатом будет
х — х С
в (О = - I [In х Iny^ Zoc +1 J In xd (Iny),	(15.7)
x =0
что легко преобразовать в выражение
В(*с) = — ~lnxclnyc — i j Inxd(lny). (15.8)
У=Ус
Однако связь между х и у, данная равенством (15.5), симме-
трична. Другими словами, если зависимость у от х определяется
равенством (15.5), то зависимость х от у определяется совер-
шенно аналогичным выражением: х = (1 —у)/(1 +у). Так, инте-
грал в (15.8) имеет тот же вид, что и в (15.6). Единственное разли-
чие определяется тем, что пределами интегрирования в (15.6)
являются нуль и хс, тогда как в (15.8) ими являются ус и единица.
Мы можем, однако, записать интеграл в (15.8) в виде разности
между интегралом, взятым от нуля до единицы, и интегралом
от нуля до ус. Первый из них должен представлять собой харак-
теристику мнимой части, соответствующую бесконечной на-
клонной полупрямой в точке о>0, и поэтому равен ге/4, как пока-
зано в предыдущей главе. Интеграл от нуля до ус, согласно
Расчетные методы для полу бесконечной характеристики 407
равенству (15.6), есть характеристика мнимой части в точке ус.
Поэтому равенство (15.8) может быть записано в виде
В (хс) - В (Л) =	1 In хс 1пус	(15.9)
при условии, что хс и ус удовлетворяют равенству (15.5).
Если в равенстве (15.5) хс близко к единице, то соответ-
ствующее ус очень мало, но оно возрастает с уменьшением хс,
и оба становятся равными при хс—ус =0,414. Таким образом,
фазовая характеристика может быть рассчитана на всех часто-
тах, если она известна лишь между нулем и 0,414. Внутри
этой области мы можем ожидать, что степенной ряд для В
сходится быстро. Соответствующий ряд получается, если запи-
сать:
=	+ +	(15.10)
После подстановки этого выражения в (15.4) и интегрирования
почленно получим
В (хс) = |	+ f 4-...	(15.11)
Если мы возьмем только первый член равенства (15.11)
•с учетом (15.9), то можно написать:
0ex.ss0.414
0.414ех.«1. (15.14)
Максимальная ошибка при вычислении В с помощью этого
выражения составляет около 2%. Если мы возьмем два первых
члена в (15.11), то результат будет почти точным.
Наиболее быстрые изменения В имеют место в области
вблизи единицы. В этой области поведение функции лучше
всего характеризуется ее производной. Так как производная
от' интеграла пэ переменному верхнему пределу равна под-
интегральному выражению, то легко видеть из (15.4), что
——1_________J™ |	615 13)
d(£>r	<и0 dxc	1 — хс *	\ • /
С	Uu	k. V О	1	OI
Таким образом, запаздывание логарифмически бесконечно
в точке, в которой начинается наклонная прямая. Само собой
разумеется, что это есть частный случай рассмотренной ранее
теоремы о влиянии разрыва непрерывности одной составляю-
щей функции 9 или ее производных.
408
Глава XV. Графические методы расчета
5.	Примеры применения расчетных графиков
Чтобы на простом примере показать применение графиков
и точность, которую можно от них ожидать, рассмотрим
сопротивление цепи, показанной на фиг. 247. Характери-
стики ее активного и реактивного сопроти-
I_/vvvv_| влений при логарифмической шкале частот
показаны пунктирными линиями на фиг. 248
°"-	0 и 249. Простую аппроксимацию активного
____II___ сопротивления ломаной линией дает харак-
X_______теристика I на фиг. 248. Наклонный участок
этой характеристики имеет центр вблизи
Фиг. 247 точки <о = 1, а его ширина определяется па-
раметром а = 2,8. Соответствующая харак-
теристика реактивного сопротивления может быть, следова-
тельно, сразу получена из кривых графика IX. Она показана
сплошной кривой I на фиг. 249.
Более тщательную аппроксимацию ломаной линией дает
характеристика II, вычерченная сплошными линиями на фиг. 248.
Примеры применения расчетных графиков 409
Здесь центральный и два соседних „участка" определены
значением а. = 2,0. Соответствующие характеристики реак-
тивного сопротивления могут быть найдены по графику V.
Следует учесть, что центральные точки боковых „участков"
расположены при <о = 0,25 и <о = 4,0 и что все три характе-
ристики реактивного сопротивления должны быть соответ-
1	2	1
ственно умножены на g-, и-^-для согласования с полным из-
менением активного сопротивления, соответствующим каж-
дому из „участков ломаной". Это приводит к элементарным
характеристикам реактивного сопротивления, показанным на
кривых Па, lib и II с в фиг. 249. Их сумма обозначена кре-
стиками.
Градусы
50
W
зо1
iiiiiiiiiiiiitiiiiiiiiiiiiiiiiiiaia»BiBiRiaiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitiiiiiiiii
eiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitiiiii
iiiiiiiitHfiiiiiiiiiaiiiiaiaiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiii
|1111111111111111111ва88вааав11а111В>|11шш1Ш11111111111111111П|
................................................. ‘Z.............111111111 Hllllllll
iiiiiiiiiiiiiiiiii
.--------------------------------  JIIIIIIIIIIIIIHIII
lllllllllllllllllllllllllllllllHllllllljlllllllllllllllllllllllllll
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii-----------------------------...................
llallllllllHHIHIIIHII
вещественная характеристика;
бесконечная полупрямая
с единичной крутизной
IIIH-HHIH-H-Hmtiltllnl
iiiiiiiiiiiiii nun mu lllllllllillllllllllllillllllllHllHlllllllllllll
______________________5—i aiiMiiiiiiiii iiiiii mu nun ll888aaeellBllialllшllllllllllllllllllllut
lппllllнlн	iiiiiiiiiHii	iiiiii uni	iiiiii	lllllllillllllllllllllllllllllllHlllllll
iiiiiiiiiHii	iiiiii uni	iiiiii	lllmllllllllllllllllllllнниllllllllllнll
iiiiiiiiiHii	iiiiii inn	iiiiii	iiiiaeiisBaiHiiiaiiaiiiiiiiiiiiiiHiiiiiiiiiiiiiiii
!	aaaaiii	iiiiii inn	huh	HSaaaaiBiaaiaaaiHMiiiimiHiiHiiHHiiiiiiiiHi
iiiiiiiiiHii	iiihi inn	iiiiii	llllllllllllllllllllHllHlHlllllllllHlll
llиlнннllall laiiimiiiHi	iiiiii ihh	iiiiii	llaaaallMllllllllHlннllHlHlHlmllГ££J
lamaiaiBaBBBaBaBiBiiBaiiaiiimiiiiiiHiiiiiiHiiiiKiiiiiiiaBaBOBaBBiiBiiiiiiiiiiimiiiiiHiiiiHHiiii
единичной крутизной
£ IНУн м ГнТ Ш
......................................................................   Jillllllllll
______JiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiMMiiMiiHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiimi
iBaiaiiaiBiBiiiHHiaHiHiiiiHiHiiiiiiHiBBaaBeaaaiiaaiiMMiiHiiHiiHHiiHHiiijiiiiiii
Родиона
liiiaiiiiiiiuiiiiiiiiiiiiiiiiiHHiiHiiiiiiiiiiii iiiiii iiiiiiiiiiiiiiihiiiiuiihiihiiiihiiiiii.
ll»lнllaвaala»alllllllннlнlнннjiннiн шва niiaMiiaaniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiHiiiiiiiihi
lla»мllllllllllHllHlнllнhllIlil! inaa iBaiaiiBaiiiiiiiiiiHimiiiiiiHiiiiiiiii’jn
—l»aallllllllllllннlrlllllllнl!ll!lll lllnlllllllllllннlнlllulнll|lll!|ишl
liiaaaaBaaaaaiiBiaiiHiiiiiHiiiiiiHiiiHUHHi maai MaMBliimaaBauiniiiiiiiiiiiiiniiiihiiiif
lllllllllllllllннlнlннlнllllllll Hina r—..........................................“""inn
.......................................... "	hi in a a j	inn
is ii::i L.
in inia aaaai iiBBgiaaiBiiHHiiiiiiiiiiKHiiii:iiiiii
--------___ —___________-----hiiiiiiiui’Hiiiiiiiiiiiti
.......-____------------------HiiHi№4iiHiiiH!iiiiii
imuiuMMBBiBaeaiaaaiaaeaiiaHiiiiiiwiimiifiiiiiiiii
iiiiiiiiiBnBBBBaaBiiaiaiiiiiiiiHiiiujiiHHHiiiiiuiiiti
—...."“laeBiaBBaiaaaiaaiBiiiiiii^iiiiHHiijiiiiiiiiiii
HiiBHiaaaaiiimiiiiiiiiiiiiii i iiiiiiiiiHii
BaaBBBBBiBiiiiiiiiiiiimiiiiii i iiiiiiiii hi
lnllllllllllllllll i iiiiiiiii 111
lмививввв8la»llllllllllllll i iiiiiiiiiHii
--------------------------------e
1Ш . я мш

\rt
4
4- ) И
татавин8нвва1вва1вааааа1111111ШН11.....................................
Iивми8в8alшmlllllllнннllннliнlllllпlllllвiип&aв8lивll8вl8llннш
lввиa88aaвlв8lallllllllнннlllнllнlllllllllllllг------——......—
lввввaвввaвl^вlalllllilljнlнlнllннliilllllнlil

tttH
fl
6
+пт
..............itiiiii in
in i uni mu min in
inilllUI IIIIIIIIII in
rikiniii iiiiiiiiii in
iiiiiHiii iiiiiiiiiiiiii
III !1111ПМ1111ШП111
ill iiiiiiiiiiiiiiiniii
____________JiiHiiiiiniiii
laiiiiiiiiiiiiiiHiiiHiiiiii...
....JHIHIHilUHIBL___________________________________________
ilHiiujiiiiBBBBsaeaaaiiiiH»iiiiiiii
....---------—"iaiiaaaiiiHilaiiii
IIIIIIIII
iiiiiiiii
Щ+
Н| -
20
10
О
III1IIIIUIHIII
Hill
9
iiiiiiiiii iiiiiiiiii
iiiiiiiii iiiiiiiiii
Hiiiiiinmiiiiiii
HaeMaaiBaHiiniiiiiiuiiiiHii
aaaiagBaaiiaiiaiiiiiiiiiiiiiiiiii
aaiaaaaBBiiiiiiiiimiiiiiiiiiiii
и)
£</
0,2
0,3 0,9 1,0
0,1
IIIIII
niui
iiiiii
е>|Ц

188888888888188888181	118881111111 111181888888888888	888888888881818111811111111111111111
188188888888188888111	llllllll	Illi HIIBBBaaBBBBa	888888888881818111811111111......
—..............	iiiiiuiiiiil UIIB88IIBIBIIIII	88888888188181111111111111
11111111	ill Ш11М|В88вавввв	iiiiiiiiiiiimiiiiiiiiin
iiiiiiu	111 lllliввввв8ввa	iiiiiiiiiiiiiiiiiiihiiiiiL-
muni	iu niiBaaaaaaii 1»	iiiiiuiimiiiiiiiiiiiiiiiiii]
....................... ilium	1111 iiHeaaaaaaaa gai	aiiMiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiil.
1888888888881 88881 I	IIIHIII	III UIIMMaaSSB IBB	lllllllllllllllllllllllllllllll!illl
1818888888888 88881 I	IIIHIII	IH 1111888818111 888	818888881881111111111111111111111111
1818888888881 lllll I	IIIIIUI	HI 1111888888888 888	8118888818111111111111111111111 Illi
1888888888811 lllll	I	IIHHHII	HI	1111888888888	BBS	8118888111111111111111111111111 IHII
1888881888881 lllll	II	HUilll	111	1111888888888	888	BIIIIIIIIIIIIIIIHIHIIIIIIIIII lllll
lllillllgllll lllll	I	IIIHIII	Illi 1111888888888	888	ЗНОЙ!IIBIBIII8Blllllllllllllll lllll
lllllll|lllll lllll	I	I	IIIHIII	HI	1111888888888	888	811881111111111111111111111111 Hill
...................Ill IIIIBBB8S8I88 888 BIIIBIIIIIIIIIIIHIHIIHIIHIilllll
График Ш
Ш ft
Градусы
8
iHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiBiaaiBiiaiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiriiiiiii
liiiiiamiiiiiiiiiiiiiiiHiiiiiiiiiiiiBBaaiBiiiiiiimiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiHiii
iiiBiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiHHiiiiiiiHiiBBBBiBiiiiNiiiiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiriiimii
.....................jiimiiiiiiiiiiiiiiBSBaaaiBBiiiiiaiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiii'HiiHHi
ТП-
tt
ii:n
1+
iiiiiBiiiiaiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiini
iwnaBiaaiiBiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiir ihiiihii
11Шввмвавввввв8вВ111вв11111111111Н1нн1Ш111пж:
HiiaaaaaaRBiBiBaaiiiiiiiiiiiiiimiiimiJiiiiiiiiiii
iiiiiiBBBBBaBsiiaiiiiiiiiiiiRiiiiiiHiiiHMiiiiiiiiii
|||||вваав88ав11В111111111111111111Н1Н1Г1Н11Н1|1111
6
iiiaiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiimaaaaiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiimiiiihiiiiiiiiiiiii
lllllUllllllllllllllllillllllllfllllllfll8ISIIiaaillllllllllllllllllllllllllilllll||llfl(ff
111111111!11111111111111111111111111111111В88В»1111111т111111111111||||||.|||111|||||||||
ИЯ
i!!l!il!!i
188388888811888811 IIIIII ГЛ1Н1Н IHII lllll
188888888888888881 11111ГЛ11Н1НН111Ш11
88111188811181111 IIIIUIIIIIIIHHIIHIIIII
liiiiiiiiiiiiiiiiimiijiiiiiiiiiiiiiilitiiii
liBiiiaaiiiiiiiiiiiinmiiiiiiiiiiiiiiimii
5
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiaiaiaaiiaiiiiiiiiimiiiJiihiiiiiiiiiimiiiiii!
laiiaiaiiiiiBimiiiiiSiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiii

111111111III 1 |t
111ГП111 и!* —171 ’
4
iiiiiiiiiiniiL___...
iiiiiiiiiianiiiuiiiii 111
uiiliiiiiiiiiiiiiiiiiiifiL......_________________...._______
iHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiiiiiiiiBBBMM»iiiiKimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
niiiiiuiiiiiiiiiiiiii iimiiiii»»aiaiiiia^iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiini!i
.sin
	   IMHIIII
iiiiiiiii iiiiiiii'iiiiiiiiiiiii ii iiiiiiiiiiiiiiin	iiiiii	iiiiiii	iuiiiiii	I	miilii*
BiiBiaiii liiinii iiiiiiiiiHii 11 iiiiiiBBBBBBaasaB	iiiiii	iiiiiii	iiiiini	i	iihihii
biibiiiii	iiiiiiu	iiiiiiiiiiiii 11111111ввввав»ва	aimii	iiiiiii	iiiiiii	iuiii i
iiiiiiiii	iiiiiiii	iiiiiuiiiiil 11	fiiiiiaaa^MBai	iiiiii	iiiiiii	тип	imiiiiii
IIIIIIIII	llllllll	1181111111811 II	IIIHIBCaillHli	llllll	IIIIIII	IIIIIII	INIIII i
----------||fl||||	jniiiiiiun	„	|||'>;488вавав18	881811	llllllll	llllllll	IIIHIIII
iliiii!i!iii нш*':!!н1н!|!1Ш1ввв!!вм|!	iiiiii	iiiiiii	ihiIii	iiiiiiu!
liiiiiniiii i!:«iiiHiiiiiiiiiiiijiflBflaB88iBi	iiiiii	iiiiiii	iiiiiii	iiiiiiiii
2

MiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiHiiiniilinii
iiiiiiiiiimiiiiimii
nimiRiiiBiiiiiiiiiHiiiuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiaimi
1
iiiiiimiijiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiHiiniiiaiiiiiBiiii

0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
WllllliniHllllljlH miiiiiiniiiiiiiiii II1IHIIIIIIIIIIIH1I	
liiiiiiiiiiiiiiiiiiii liiiiiiiiiiiiiiuiui	0
0,8 0,9 1,0

414
415
416
.417
11 Зак. 1327
418
Ь Радиан
оз непер
0,6
0,5
1ЦЦЩ111Ш
ТТТГПпГГПЛ
0,4
0,5
0,2
4- | |
0,1
14 I II
111 I Illi II
IIIH1III 141111 l-HWHHWH-
0
0,4
0,2
46
0,8
l
1111111111111111111)11
liiiimiimi iiiiiu
llllllllillillllll
iiiimiii
niiiiiiniiiiiiimiiiiiuiiiiiiiiniiifiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiinnniiiiiiHiiiiitiHiiiiiiiiiiiiniii
iiiuiiiiiiiii iiiiiiii iiiiii hi
iiiiiiii mu iiiiiiiiiiiiiiijii
IIIIIIII HUI 1111111111111) 1Н1
iiiiiiiiinn iiiiiiiinun ill
iiiiiiii mu iiiiiiii mm hi
iiiiiiiimu iiiiiiiimin in
iiiiiiiiiiiiiiiiuiiiiiiiii hi
iiiiimmii niiiiiiiiim hi
mum inn iiiiiiii min ни
iliumiiiii iiiiiiiimm in
.......Illi fllllUIUIHIU III
............. inn iiiiiiiimm in
iiiiiiiiiimiiiii пн in mm iiii
miiiiiii lin iiiiiiiiiiiiiiii
lllllllllllllllllllllllllllll!l
Iiillllilllll! IIIIIIIIIIIIIIII
IIIUIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIII
IIIUIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIII
Iiillllilllll 11ШШ1111Ш
ND
n luiiiiimiiiiimu.miiiwa
hum mium moiiiim
ниш min hi iiiTiHinm
шиши huh hi юноша
BHIIIIN Hl Illi IMI8
mill hi НШ1П11Нm
ilin iiii iiifem
miimilniii iinuinm
шт min hi mini*i
iiiii iiniiiuimi hi iiii miiiiiiiH
hi iiiiiHi iji umHimmi! iuiiimwi
ii iiiiiiihiii шин ншшimiuiiiiimi
iMHiiiiiiiiui miihi iiiiiih iiiiiiii шиш
и iiiiiiihiii iiiii i iiiiiu imimiHmia
и mini iui iiiii i шин Hiiiiii num
ii num mi lint i iiiiiu iimmiiimm
...........in iniiiiiiiiii inn i iiiiiu mum шина
IMIIlilllllll IIIIIIII Illi HI I I IIIIIIII IIIIIIII iiiiiiii
liiiiiiiiiuiiiniiimmiufiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiimmHim
8iaiei»llllltinilllllllUllllllllllilllllllllllllll
...............................................................
laBBaUllIlllllllinillliyiipilllllllllinillllllllllllimilllllHrWHI
lillllHlillllllIilllllllllшlllllll i
igMBiiiaiimijiiiiiiiiiiiiiiii шипит
^iмmiЩшнн!l!i!lll!ll цшнНш
lllllllllllllllillllllll IIIIIHIIIII
lIIIIIIIIIПIIIIIIUIIIII IIIIIHIIIII
limlllHlllllllШllllllllllllllllll i
iiiiihiiiii.,...............
iimiiiiiuimiiHiiifiiiniiii
111111111111111Ш111111ПП11И
1 и 111 111 HliHlili
iilll iiillllilllll
iiniiiiiiiiiiiiiii.................
iiiiiiiii!iiiiiiiiiiiiii min miiimiiiiliiini
aiiMMuiiiiiiiiuiiiiii iiiiiu 1111111Ш111Щ1П|
-------------1|||||||IW |H|l m....! 
________________jiiiiiiiiiii iiiii mi
iBBaiiBiiiniiiiiiiiiiiiiiiii inn hi
lninlllllUIIIIIIIIIIIIll HIM III
imaiuiiiiiiiiiiiiiiiiiiim mu m
818181111111111111111111111111111 III
lalвlllllllllllllllшll iiiiiu in
llil!llllllllllllll iiimi in
......................и ||||||t 1(|
................................   ii	iiiiiu in
№|яв!!а|!тшш1шш1Ш111'11111!!!
llllнiiвlllПllllllllllilillll тип
1111111II
Iilll n> j
ТйТГППЖ
График X
BSmiliMllilliiliSni
IIIIIHIIIII
Й1И1И
air iif
iiiiiiii!! urn
I!!!!!?!!!!!!1 111
1 и!н
I I [ 1111 И I I
ГГПП1111111111
IIIIII
IIIIII
Вещественная
.	’J 1111111
Iffli
IIIIIU
!!!!!!!
ей

............................IIIIIU
Hllllllllllll IIIIHI
.................Illlllllinill IIII II
inmniiiiiiiifiii i пи и
llllllllllllllllllll I IIII II
IIIIIIUIIIIIIIIIIIII IIII II
iliiiiniiiuiiiiiii i Iiiiiu
ВЯШгй®8®1*®®
iiiiiiiil!li!inll...........
BllllllinilHIIIIIIIIIII I
lllllllllllllilllllllllll I
iiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiii i
laiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiii i
jiiiiiiiiiiiiiniiiiiiniiiiiiii i
iiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiniiiimi i
_____JHiiiiiiiiiiiinmiiiniiiimi i
iiiiiiiiiinr........................
llillllllllllll
характеристика:
.... ‘  | [||l| jllllHH
1 непер
iiiiiiitiiiiiu in
IIIIIIIIUIHinUI
iifimiiHiiii in
iiiiiiiiimiiiiiii
IHIIIII llnnilllillll
lllllllllHIIIIIILilll
llllllllllllltllirin
lllllllllllllllllllillll
lllllllllllllllllllillll
llllllllllllltlllliilll
IlllllllllllillliOlil
1П111111111Н1Н11Н1111
IIIIIIIIIIIIIIIIIHHIIII
IlllinilllllllllJIhi
llllllllillintinil.i
3
ганнт
2
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIUIIIII
_________________________ ... Jlllllllllllllinilllllllll
IIIIIMIIIIIIIIIIIlIir..................................
-НгН
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiini
lllllllllllllillliiilil
iiiiniiiiiiimmi
.......JiiHii	i
IIHIIIIIIIIII I ...................
IMIIIIIIIIIII	I	lllllllllllllllllllllll
iiiiiiiiiiiiii	i	iiiiiiiiiiiitiiimiiii
IMIIIIIIIIIII	I	III UIIIIIIIIIIIHIIII
—z---------।	n| niriniminiiui
.....................  I	III lllllllllllllllllfl
 11111111111 II I IIII Ilf............
	 IIIIII II	....
		iiiiiiiiiii	и	i	in imiiim
»	iiiiiiiiiii	и	i	in nr.::::
iiiiiiii	и	i	in inn in.....
		IIIIIIII	II	I	III IIIII Hl IIIIIIIUI
		iimin	и	i	in iiiii in...
		11111111	II	I	in iiiii hi
—	———....	Ц	,	H| Hll| и,...
__________________ II	I	III IIIII III lllllllll
lllullll______и	i	iii iiiii iiii.......
»	hi	и	i	in uni	hi.
iii	hi	и	i	ни iiiii	hi iiiiiini
lllhlll и i hi iiiii hi inulin
llll	III	II	c
□in	hi	и	i	in mu	imumumi
£«111	III	II	I	Illi IIII	llillllllllllll
^lll III	II	I	lllllllll llillllllllllll
£111	iii	и	i	iii	nisi	imuuiimii
£111	IIII	II	I	III	IIII	lllllllll IIIII
2MI	III	II	I	III	IIII	lllllllll IIIII
IltMII	II	I	III	IIII	lllllllll IIIII
шив:?	ii	i	in iiiuiiiiiiiii inn
_______________________1		Hi inmilliiiii iiiii
llllllllllll__i	пи i:*!uiiiiiiii iiiii
........................... I	IIII llllllllillin;!!!"
>~~>K-|aaiiiiiiiiiiii.......i	mi iiiniiiiiiiiii iiiii
iiiiiiiMii	i	iiii iiiniiiiiiiiii mu
lllllllllll	I	IIII llillllllllllll mu
i^^i^l^»	i	iiii iiiniiiiiiiiii mu
llllllllllllllllllllllllilll
llllllllllllllllllllllllilll
IIIIIIIHIIIIHI-rilll
IIIIIIIIHIIinill
IIIIIIIIIIIIIIIIHHH
п+НтН41+
imiiiiiiiiiii
IIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIII........
iiiiiiii
lllllllllll
lllllllllll
lllllllllll
lllllllllll
lllllllllllllinwiii I
niiiiiiiiiiiiiiiiiml
2
IIIIIHIIIIIIIIMll
11 ПИНI
iiiiiiiiiii
iiiiiiniii
IIIIIIIUI
IIIIIIIUI
IIIIIIIUI
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIII
uiiiiiimiiiniiBiiii
iii'iiiiiiiiiiiiiijiiii
IUIIIIIIIIIIIIIII iilll
lltliuillllllllll I'lil
iiiimiiniiiiiiH'iii
llllllilllllllllllllllllllllll
lllllllllllltlll№ll|
III lllllllllllll'lll"
lUHIHIllllllillMi
т Hi tltlг гг
lllllllllllliiiiliili
О)
U)o
niiniiiiiii.iiiuii|
/
k 6	8 Ю

Радиан
непер
lllllillllfl
1ИПГТП ГI I Г111 f 1 I'l'l'll III
laaaaiiiiiiiiiiianaaaimBiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiii iiiiihiiiiiiii ii iiiiiii!iiii''iiiiiii«iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiBMiiiKiimiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiii!iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii;!ii iintri
iBaaaiiiiiiiiiiiHBBOBwaaatuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiihiiiiiiii и iiiiiiiihii iiiiiiiiMBMiiiiBiiiiifliiiiMMiiiiaHiiBiaiiiiiiiiiiiiitimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiu
ieaU8IBBiaBBIIIIBBi8BBBBB8eaaaillMllimilinill!lll IIIIIHIIIIIIII II llllill1llllllll|MWMaMM|MMW9aE">>>BI>>>>>>>*l<>>>>>IIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIUIIIIIIUIIIMIIIillll llllllll
— ----------------------——UBiiiuiiiiiiiiiiiiiifiniii iiiiihiiiiiiii и iiiiiiiiiiiFiinfJlBTCTm^w^lBBBaaaaaaaaaaiaHaiiiHHiiiiiiiiiiiimiiiiitiii'iiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiu
iiiiihiiiiiiii ii iiiiiiiihii un	..... .......................................................
1вввввавававвв88а11иваввв
42
40
«вами..................................................................
—~1вввв1вв111тввваваавав1ав11ш11111111111111111111111111 m n iiiiiiii inniil
.-jiaflsaaaiiiiBBBBiBflBiBiiaaiaiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiiiii m и iiiiiiiii iriui
iflflaiBBBeaiiliBnBBBaBBflaBiiBiiiiatiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuil ну n iiiiiiiii iiiiiii
imi ш iminiinniiiiiii
HUI III llfllllllll llllllll
...........................................................Iiiiii in in:::::::::::::!":!__
патт iiiiiiiiiii hi i iiiiiiiiiiiiifinniniiBBB
....Jlllll 1 I linillllll ill llllllllhllllllll ШП11ВВВ
iaia iiai 11 iiiiiiiihii hi mtiiimtiiiiuri^miBBfl
ii nil 11 un mu ill iimiHiiiiiiiiiiLMKiMi
ii nan hi uiii inn hi nmiiHiiiiiiiiiiiFSl'SBB
an nai i mi uni un uiii iiiiiimmiiuniaBBB
и im i mi mu ! 1.......................—
ii nai i hiii iiiiii iiiiiiiiiimiiiniiiL'iiiiiinii
ii inn i iiiiiiiiiii ||Н1Н1|11|111111111.|||Г"
ii nai i iiiiiiiiiii iimiiihi iiiiiiiг ж
н
ГрафИК ХЕ
0,8
Вещественная характеристика:
ii ininnmnu nr\ un	>> 11 и и и i и ПН
„участок
liaaaiiiiii

iiniiiiiiiiniiw
ieaiaaaBiaiaiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii un iumn
-------------------- ...1||Н|||||||1|||Н111|1||||||||!1))|1||[Ш)
....... iiHiniiiiHiiiiiiiiiiidiiniiiiim
..  jjllllllllllllllllllllllllllUlIhllll
u_______JiiHiiinniiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiii iiiiiiii
laiiiiminiiiiHmiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii.iifiiiii
.........iiiliiHiniiiiiiiiMiiiiiiiiiiiiiiiiiifLiiiiiiit
iiniimi iiHitiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiimii
IIHHIIII llllllllllllllllllllllllllllllilllllllt
.......ii aiHHNiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiriiiiiiii
.......ii hiiiiihiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiii
iiiiiimnniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
lillllllll IIIHHHIilllllllllllllllllll!llll|lll
laaamiin

1IIIIII tliti
0,6
iBiia iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiniiiiiniiiii k.h.i
alii liiiiiiiiiiiii huh in iiiiimiiiiiinnii iiiii№|i
aiii liijjiu inn iiiiii ill uni imiiiiiiiijiuiiifl|
iiiiiaiiinii uni nil!I ill mlSlllli;i'i 19
aiu iiiiiiu uni iiiiiiiiii iiiiiuiiiiihi'iiim^uii
gill llllllll Iglll HIIIIIIIIIII
in пиан
____________________in iiiiiii
1вввваввв8в1вв1ваа1н1|11111
iBBBBflBBBBBiaBiBiiii afiaiiii
iBBBBHBflBBBiaBiaiiiiiiiiiaii
iBBBBBBBBaBiaaiBiaii iiiiiii
1ваввпввавв11в1вна1 iiiiiii
1ВВВВВНаН8В»В111111 IIIIIII
0A
ttt
И
 iffli

niiiiHiiuiiiK iiiuiiiiiii iKiifiijiiiib.,
iiiiiiiiiiiiimi iiliiiiiiiitP'.iiiiiiiui1'
.....................Illlllllli I»' llllli'M
II I
mil nun in iiiiiii* ii .tiiiiii'tinil
mi iiiiii in iiiii*r,:/diiiiiiiiiin>!
nil	iiiiii	nt	iii’.rai/tiiiiimjuni	i
im	iiiiii	in	i».,i,ii('iih!;iiiiiiiih	I
ini	iiiiii	in	'.iii.i»r:iiiiiiniiiii!!;	।
ни	mill	i’’dib'i iiiiiiuciiiiiiii	I
uni iiiiiiv.iP’tM 1iii':,iiiiiiiiiiu'; .—
.............................................mi iiiiM?;i'iM:iiiiiniii Iiiiii iiiiiob
---------------.............jlllll Illi IIM’dll'!y,|||||l|!:iillllllllll miiiir
iBBBaaBniBBiBiiiiiiiniii mi ii??i^iiJ<i'!:iiiiiiini iiiiiiu iiiiuii
iwaaBaiaBiaiiiiiiiiiiniii ini ’;d'.di'i'riiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiu цини____________________________
-------------------------------------«П||	aiiiiimiiHiii muni ими
IBBBnHaU88UB8MIBnilillllll\il|l.;i'.M'Jlllllllll1IHIIIII Oil 11Н1ШВВ
lflBBBflBBBIBBIBIIIIIIIIIIir^,:i'iP/l'd|llll!lllllllllllll IIIIIIIIMMBi
iBflBBfliiBiiiiiiiiiiiini’.>:air.i*7ihiiiiiiiiiiiiiiiiiiHii iiitiiiiiiiiiiiiBBBi
iBBBBa^BaiBBiiiiiaiin^'diiM'ZMiiiiiiiiiiiiiiiniiiiii MiiittnBB
iHBBBBB8aiBBmiir.>jrjiihi'/?miiiiiiliiiuiHiiiiiiiii iiiiii
iBBMflBBBBiiBi|i»:iiLt'4iin''?.iiiiiiiiiiiiimiiiihiiiiii im
1вввваввв1вв»?лглм1ш’
iBiBiiiiii’nii:oi:i’/:
iaBaBaaaiiailiiiiiiBBaBaaaaaiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
1вввввавпавв|||||11вввввввавцна!в!!!1|1!!ц|1!
'ааНаавипГ
nil


iiimiiiiimi iiiiiuiiiiiiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiiiii
BiBiaiiiiiuiiiiiii Ilian miiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
BBBIBIflliaillllllll iiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiliiiiiiii
BBBaiaaiiaiiaiiiiia iiiiiii ihiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihiiiiiiiiiiiii
ii num iiniiuiiiiiiiiiiiiiiiiHiiit imini
il IIIIIII Illlinillllllllllllllllllllll'IllllUi I
Bum iiiiiiiiii iminiiiiiiiiiiiiiiiiinii
lllll llllllllllllllllllllllllllllllillill.'ll
........................................ilium iimniiiiiniiiiiiiiiiiifiiiiiiiii
in iiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
III IIIIIIIIII IIIIIIIIIIIHIIIIlUiniHIIIIUIII
III iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihiiiiiihiii.
11881111111 IIIIIIIIII llllllllllllllllllllllllllllllllllll
iiiiiiiiin iiiiiiiiiiiuiiiihiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
“**1111111 IIIIIIIIII lllllllllllllinillllllilll'llilljll
...________________...illllll iiiiiiiiii iiiiiuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
iBiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiii iiiiiniiiiiiiiiiiiiiii'iiiiiiiiiin
IBBIIIIIIIIIIIHIIII IIIIIIIIII llllllllllllllllllllllllllllllllllll
IlllllllllllllllllUlllllllllllllllllllllllUillltllll
iiiiiiiiniiiiiiiii iiiihiiiihiiiuiiiiiiuiiiiiiiii
lljlllllllllillllll llllllllllllllllllilllOIIHI
___________________________________iiiiiiiiiimiiuii HiiiiiiiiiniiiiiihiiiiiiHiiiii
ilaaaaaiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiuu iiiiihiiiiiiii iiiiiiiiiiuninr
Blllllllllllll|i|||lll!ll1IHI!ll
llUillllillllilllllJirillllilL
„...........................IIIIIIIIII	lllllllllllllllllllllillllllilllli
liiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiHii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiHiBiiii
MMBUBH
......IAU888I
ib8b3»\ummi i......................................
8
7
6
5
4
0,2
iiiiiii
iBBBBBaiiaiiihiiii_______..
iBBBaiaiimiiiiiiBBBBBBBBL..
iBBBBBBauauiiiiiBBBBBBBaaf!
iHiiiiiiiiiBi
a
IBMBIIHIIIIinil
o,i
0,2
3
ЩИ1
eaaaaa^Xi'i
ninr
0,8
0,6
I
iBIIIIIIinilllllll III I llllllinilll Wil Ш11Н1В
........*“111ПНН1 III nilllll IIMMB
I IIIIIIIII Ul I IIIIII IIIIII Illi ШШ11В
...........i i lium in i пни инн тиишпии
iaiiiiiiniiiiiiiiiiuun hiiiiiiiiiii uuiuiiiib
... iiiiiiiii	hi i mm iiiiii ihowbbbbbbbbbbb
.............-----.....------- iiiiiiiii hi iiiiiiu iiiiii im iWBBBBBBBiBli
iMbbbauBBaBBihiBiiiiiiimiiii iiiiiiiii hi t min iiiiii i«iiiumbbmiiibi
.—e..........---imaimiii iiiiiiiii iih i iiiiii iiiiii йИ’Ивввввввавв
iiniiMiiiiiiiiiiiiii mi niiiuiiniiia 1ойвиввввавввв1
laBBBBBBBBaHaBaaaiBiihhMiiiiiiiiiiiiitiiiiinniiiuiiiiiiipiiiuiHiiMi
limaaiaiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiliMHiiiiiiiiiifi^iiiwiiiii
liaiaaa iiiiiiiuiiiiiiniiiii uihii iihh mi iiuiiiiiiHimiiiiiwiiii
iiiiii HiiiiiHH m
....... ........jiiiimiiuiriiii	——
iiBiiBiiiiiiiimimiiii iiiiiiiiiii iimiiiiiiiiiiiiiiiiphiiiiiwMiiBBBBflBflBBUHaii
iiBaaaiaaiiiaiiiHiiiiui iiiiiiiiiiiiiuiiHiinihiiiiii'iiUHiiiliiBBBOHBBaaBBiBHaaii
.t! 14 11411II 141Ш
Г11 i 11 Til ii IП Г Гт*
о/
iiitiiiiiiiiiuiiiuiuumuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
llllllllllllllllillHlllllliiilliliilliiliiiiiliiii:ini
ibii BBiiim niinii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiii iihiii
____________Min annul aaiiiiii iiiHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiini
bbbbbb aiii biiiiiiiiiiiihii iiiiiiiihii lllllllllllllllllllllinil
‘iiiaiiiaiiiiiiitii! im miumiii iiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiih
UBulniiimiiitiiii Пиппин hiiiiiiiiiii iiiiiuiiiiil
iiini iBiiniiiiii im Himiuiu iiliiiiiiiiiiiiiiiiiiniii
liinaiiiiiiiuii iiimHiiiiiil!iHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
^«liiHiiiiHiin iiiiiiiiiiiiiiiii iiiiuiiniiiiiiHiiiiiii
SIIUIIIIIIIIIIIIIIIHlIlllllllllllllllil
iiiuiiiiiiiuiimiiiHiiiiiiiiiiiiiii
inimininnmiiti iliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitu.
nhiiHiimiiiiiiiimiiiiiiiiiiinaiiiiinni:
iiliiimiiiiuiiiiiiiuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiir
iimiiurTnihii iniiiiiiiiiiiiiiiniiiiii
Inn niuiiimiiiMiiiiii
ini iiiiiiiiiiniaiiiiii
uiiuMiiitimiiHHiiiiiiiir
s
2
I
10
2
3
4
5
т
ГЛАВА XVI
ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ТЕОРЕМ К РАСЧЕТУ ВХОДНЫХ
и ВЫХОДНЫХ ЦЕПЕЙ
1.	Введение
Начиная с настоящей главы мы перенесем основное вни-
мание с разработки общих методов проектирования на рас-
смотрение частных задач, относящихся к расчету отдельных
цепей усилителя. Предыдущий материал был изложен таким
образом, что каждая глава начиналась с рассмотрения воз-
можности применения разработанных ранее общих методов
к частным задачам, разбираемым в данной главе. При этом
указанное рассмотрение сопровождалось иллюстрирующими
примерами. Эти примеры широко основывались на имею-
щихся предыдущих расчетах, но во многих случаях было не-
обходимо несколько упростить или видоизменить расчет,
чтобы сконцентрировать внимание на отдельных этапах про-
цесса расчета, подлежащего рассмотрению. Поэтому утвер-
ждение, что каждый отдельный иллюстрационный расчет изо-
бражает цепь, рассчитанную для какой-то вполне определен-
ной цели, не должно пониматься буквально.
Материал настоящей главы базируется на двух теоремах.
Первая из них относится к расчету входного или же выход-
ного трансформатора, к внешней обмотке которого подклю-
чена только паразитная шунтирующая емкость схемы. Вторая
теорема имеет в виду трансформаторы, к внешним зажимам
которых подключена цепь, состоящая из сопротивления и па-
разитной емкости. Эти две теоремы иллюстрируются расчетом
входной (или же выходной) цепи одного из усилителей в си-
стеме передачи по коаксикальной линии1), а также расчетом
контура связи с антенной радиопередающего устройства.
В следующей главе производится подобное же рассмотрение
расчета для случая межкаскадных цепей, включающих неко-
торую шунтирующую емкость. Прежде чем приступить к из-
ложению этих двух глав, желательно отметить, что, в сущ-
ности говоря, нет необходимости ограничивать применение
математических выражений, на которых основывается указан-
*) Сказанное относится к системе передачи, описанной в главе XIII (см.
примечание, стр. 338).
Входные и выходные цепи при отсутствии нагрузки 425
ное рассмотрение, случаями расчета входных, выходных ж
межкаскадных цепей, для которых эти выражения были не-
посредственно выведены. Например, основной теоремой на-
стоящей главы является теорема о величине коэфициента не-
согласованности, который может быть получен в цепях,,
включающих заданный паразитный элемент. При анализе це-
пей часто появляются величины, являющиеся математическим
выражением для коэфициента несогласованности, поэтому эта
теорема может оказаться полезной также ив случаях, не имеющих
ничего общего с входной и выходной цепями. Поэтому до не-
которой степени важно обратить внимание на математическую
форму исследуемых функций, вне связи с тем физическим
контекстом, в котором они появляются. Можно также заме-
тить, что поскольку при анализе всегда предполагается нали-
чие заданного паразитного элемента, то обычно основой ана-
лиза является теорема о постоянстве ширины полосы в цепях
с заданными паразитными элементами. Этот вопрос был раз-
работан в главе X. В случае необходимости читатель должен
вернуться к этому материалу еще раз, прежде чем присту-
пить к изучению настоящей главы.
2.	Входные и выходные цепи при отсутствии нагрузим
Первая теорема относится к наилучшей характеристике, кото-
рую можно получить от входной или выходной цепи усилителя,
когда полное сопротивление усилителя представляет собой.
Фиг. 250	Фиг. 251
шунтирующую емкость. Например, на фиг. 250 показана выходная
цепь усилителя, в качестве последней лампы которого ис-
пользуется лампа с экранирующей сеткой, так что внутреннее
сопротивление лампы можно считать бесконечным по сравне-
нию с другими сопротивлениями системы. На фиг. 251 дана
соответствующая входная цепь. На каждой из этих фигур'
сопротивление Rl изображает внешнюю цепь, a TV — цепь связи.
Конечно, в реальной системе в большинстве случаев N будет
представлять собой трансформатор. Однако для общности
настоящего рассмотрения будет “предположено, что N, помимо
собственно трансформатора, может включать любое число
426	Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
элементов, обеспечивающих нужный подбор формы характе-
ристики. Хотя фиг. 250 и 251 относятся к усилителям без
обратной связи, однако условия теоремы часто выполняются
и в системах с обратной связью, особенно если обратная
связь осуществлена по току или по схеме с катодной на-
грузкой. При любом из этих типов обратной связи активное
сопротивление собственно усилителя очень велико, на что уже
обращалось внимание в главе V, так что входная или выход-
ная цепь фактически разомкнута. Единственная разница, ко-
торую можно заметить, заключается в том, что при наличии
-обратной связи емкость С на фиг. 250 и 251 изображает уже
не сумму емкости лампы и емкости подключенной к лампе
обмотки входного или же выходного трансформатора,
л сводится только к емкости самого трансформатора ’).
Если бы не было паразитной емкости С, то мы, очевидно,
могли бы считать, что цепь 2V состоит из идеального транс-
форматора, имеющего бесконечно большое отношение числа
витков. Это позволило бы нам получить в пределах любой
заданной полосы отношения токов IJI, в случае фиг. 250, или
отношение напряжений EfEL, в случае фиг. 251, на столько боль-
шим, на сколько это было бы желательно. Однако наличие емкости
ограничивает это соотношение, так как при слишком больших
величинах отношения емкость будет закорачивать трансформатор
макоротко. Несомненный теоретический интерес представляет
задача определения наибольшего соотношения, которое можно
получить при любой заданной полосе, когда применяется воз-
можно лучшая цепь N, включающая и трансформатор и до-
полнительные элементы регулировки. Эта задача легко ре-
шается при помощи условия об интеграле сопротивления
со
f Rd<* =	(16.1)
О
которое первоначально было выведено в виде равенства (13.7).
Если мы считаем, например, что величина Z = R-f~iX изобра-
жает сопротивление, включенное со стороны выхода самой
лампы, как указано на фиг. 250, то мощность, доставляемая
лампой, равна 111 2/?. Если система недиссипативна, что, оче-
видно, является наиболее благоприятным случаем, то эта
мощность такая же, что и мощность | Il выделяемая на
внешней нагрузке. Поэтому мы имеем
х) Рассмотрение вопроса о коэфициенте пассивной передачи дано ниже
я настоящей главе.
Входные и выходные цепи при отсутствии нагрузки 427
При помощи принципа взаимности легко показать, что повы-
шение напряжения во входной цепи выражается совершенно
лодобной же формулой
£| = УТ	(16.3)
Если мы допустим, что изображает либо отношение токов
|/z//|, либо отношение напряжений \EIEl |, и введем в 7? ог-
раничение, даваемое равенством (16.1), то можно сразу же
притти к общему соотношению
со
о
Если равенство (16.4) написано в таком виде, то характери-
стика усиления распространяется на весь спектр частот. Од-
нако поскольку /? не может быть отрицательным, то из (16.1)
ясно, что максимальное отношение может быть получено
в конечном интервале частот, если е*л вне этого интервала
равно нулю.
Это позволит нам заменить пределы интегрирования в ра-
венстве (16.4) на и о>2 при условии, что эти значения со-
ответствуют крайним частотам рабочей полосы. Например,
если требуется горизонтальная форма характеристики, то мы
приходим к условию
а X In —--------1 . —,	(16.5)
2	2 (ша — <ot) CR^ ’	'	'
где знак равенства удерживается в граничном случае, когда
величина передачи вне рабочей полосы равна нулю. То об-
стоятельство, что разность (о>2 — <»i) входит в рассматриваемое
соотношение, очевидно, является иллюстрацией принципа
постоянства ширины полосы, который уже рассматривался
ранее. Следует заметить, что наилучшее возможное отно-
шение будет равно отношению, которое можно было бы
получить, если заменить цепь, включающую емкость С,
идеальным трансформатором, работающим на внешнюю цепь.
У этого трансформатора сопротивление повышающей обмотки
равно увеличенному в к/2 раз абсолютному значению „сопро-
тивления емкости С для данной ширины полосы" *).
1) Фраза „сопротивление емкости С для данной ширины полосы” при-
меняется здесь, а также в дальнейшем рассмотрении для величины
1/(а>4 — «>i)C. В соответствии с принципом постоянства ширины полосы, эта ве-
личина дает сопротивление емкости С на краю полосы в эквивалентной за-
даче, относящейся к прохождению низких частот.
428
Глава XVI. Расчет входных it выходных цепей
Эта же формула может быть, очевидно, распространена и
на те случаи, когда требуемая характеристика усиления изме-
няется с частотой. Например, с такой задачей можно встре1-
титься, когда требуется сконструировать входную илй выход-
ную цепь, подключенную к усилителю в линии передачи та-
ким образом, чтобы получить коррекцию характеристик.
Предположим, что коэфицйент передачи а написан в виде
а = а0 аь где «1 определяет требуемое изменение в харак-
теристике, а а0 характеризует ее общий уровень. Тогда легко
найти:
1
ю2
j* rf<o
и»!
а0 2 In 2CRl
(16.6>
и так как величина at как функция частоты известна, то
можно определить и величину а0.
В обоих случаях результат можно выразить следующей
теоремой:
Теорема. В данной полосе частот среднее эффективное
отношение сопротивлений для входной или выходной цепи,
включающей заданную емкость С, не больше, чем соответ-
ствующее отношение для подключенного к внешней цепи
идеального трансформатора, для которого сопротивление
со стороны повышающей обмотки равно увеличенному в
к/2 раз абсолютному значению сопротивления емкости С
для заданной полосы.
Ниже приводятся примеры применения этой теоремы при
расчете входной и выходной цепей.
3.	Входные и выходные цепи, подключенные
к сопротивлениям конечной величины
Вторая теорема, которая будет приведена в настоящем
разделе, относится к входной и выходной цепям, имеющим
на одном конце параллельное соединение из емкости и актив-
ного сопротивления конечной величины. Это обстоятельства
иллюстрируется фиг. 252, где элементы, подключенные
на конце, обозначены через Ri и С. Например, такое поло-
жение может возникнуть, если заменить выходной пентод
фиг. 250 триодом, имеющим значительную величину внутрен-
ней проводимости. Так как цепи, изображенные на фиг. 250 и
251, являются чистыми реактивностями и, таким образом, пред-
ставляют со стороны внешней цепи очень незначительное со-
противление, то мы можем рассматривать /?1 как элемент, до-
полнительно подключенный в цепь с тем, чтобы увеличить
Входные и выходные цепи с сопротивлениями конечной величины 429
сопротивление усилителя. Аналитические соотношения, сход-
ные с теми, которые имеют место для схемы фиг. 252, могут
быть применены и к другим случаям. Например, в некоторых
телефонных системах для дальней связи подача энергии
к усилителям производится по линии. В такой системе парал-
лельно йключенные индуктивности и последовательные ем-
кости, которые требуются для того, чтобы отделить ток
Л,
£
Л2
Фиг. 252	Фиг. 253
с частотой сигнала от постоянного тока, играют роль, не-
сколько сходную с той, какую выполняет параллельная ем-
кость на схеме фиг. 252.
Теорема, которая далее будет рассмотрена, устанавливает
связь коэфициента несогласованности р между Ал и сопро-
тивлением, к которому оно подключено. Если обозначить че-
рез Z = R-\-iX сопротивление со стороны Rlt как показано
на фиг. 252, то формула для р примет вид:
Хотя сама величина р не представляет непосредственного
интереса, ее, однако, можно легко выразить через сопротив-
ление, которое представляет собой усилитель относительно
внешней цепи, или через коэфициент передачи по цепи. На-
пример, если цепь недиссипативна и £а и Zb изображают со-
противления, расположенные по обеим сторонам от какой-то
точки, как показано на фиг. 253, то легко показать, что
ое-s)
где Zb есть величина, сопряженная Zb. В частности, если за
точку, относительно которой ведется рассмотрение, выбрать
концы внешней цепи и предположить, что сопротивление
этой цепи является чисто активным, то можно притти к вы-
воду, что абсолютное значение коэфициента несогласован-
ности между усилителем и внешней цепью будет тем же
самым, что и абсолютное значение величины р. Соотношение
между р и величиной передачи по цепи можно установить
с помощью выражения, для мощности, которую доставляет
430
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
цепи генератор Е, включенный последовательно с Ад. А именно:
мощность =	•	(16.9)
Если система недиссипативна, то это же выражение будет
определять также и мощность, которая передается внешней
цепи. Максимальная мощность, которую может давать соеди-1
ненный последовательно с генератор Е любой внешней
нагрузке, будет E'!l\Ri. Поэтому если обозначить через а по-
тери мощности при передаче, по отношению к этому опти-
мальному значению, то мы получим
е 2а =	= 1 ~ IРI2-	(16.10)
Те ограничения в отношении величины р, которые следуют
из факта, что Z должно включать паразитную емкость С,
могут быть более легко исследованы при помощи обычного,
контурного интегрирования величины 1п(1/р) по полуокруж-
ности. Вещественную компоненту этого выражения, равную
lnjl/p|, считают за ту величину, о которой обычно говорят,
как о „возвратных потерях“ в теореме о коэфициенте отра-
жения. При выполнении интегрирования следует принять во
внимание, что выражение In (1/р) или In [(A1!-|-Z)/(A\ — Z))
не обязательно является аналитическим в правой полу-
плоскости. С величиной (Ад-J-Z), стоящей в числителе, не свя-
заны какие-либо затруднения, ибо если Rx и Z — пассивные
сопротивления, то и их сумма Rr -\-Z тоже должна быть пассив-
ным сопротивлением и не может иметь ни нулей, ни полюсов
в правой полуплоскости. Однако эти соображения не могут
быть применены к корням разности (Ад — Z). Следовательно,
необходимо предположить, что 1/р может иметь полюсы
в правой полуплоскости, подобно неминимальному сопротив-
лению передачи.
Предположим, что возможные полюсы в правой полупло-
скости выражаются через ау.. .ап. Они будут замещены соот-
ветствующими полюсами в левой полуплоскости, если мы
умножим 1/р на величину вида (р — а^(р -|- а/). Этот прием
существенно сходен с методом, которому мы следовали, когда
приводили сопротивление передачи, не обладающее минималь-
ной величиной фазового сдвига, к минимально-фазному сопро-
тивлению.
Так как теперь функция в правой полуплоскости является
аналитической, то это позволяет нам написать
In [“Kf	=°*	(16.1X>.
Входные и выходные цепа с сопротивлениями конечной величины 431
Как и во всем предыдущем рассмотрении, при определении
величины Интеграла вдоль оси вещественных частот следует
рассмотреть только вещественную составляющую подинте-
грального выражения (16.11). Однако на вещественных часто-
тах модуль произведения всех множителей, содержащих я,
равен единице. В этом интервале подинтегральное выражение,
таким образом, сводится к 1п|1/р|.
С другой стороны, если «> очень велика, то Z становится
равным 1/ZaC, а In [(/?i	— Z)] приближенно дает 2li&CR^
Если мы имеем дело с любой парой множителей вида
(р—aj)/(p + cij), то аналогичным образом находим, что резуль-
тат сводится к —
Очевидно, что эти выражения должны быть взяты при ин-
тегрировании по части контура, имеющего вид большой по-
луокружности. Поэтому полный интеграл сводится к виду
2/1"|1р. + ^[е?г-_2 2«]^₽0,-	(16.12)
что легко преобразовать в выражение
оо
J In’ 1- К 2 ар	(16.13)
о
Величины а в (16.13) являются вещественными или сопряжен-
ными комплексными величинами, но в любом случае они дол-
жны иметь положительные вещественные компоненты, так как
соответствуют полюсам функции (Ал -|- Z)/(/?t — Z), лежащим
в правой полуплоскости.
Таким образом, 2 й/ должна быть положительной веще-
ственной величиной, которая ограничивает значение интеграла
(16.13), по сравнению со .случаем, когда принимаются во вни-
мание только величины С и Причина того, почему подобный
член должен появиться в общем случае, становится очевид-
ной, если вспомнить, что, исходя из (16.8), абсолютное зна-
чение коэфициента несогласованности должно быть одним
и тем же, независимо от того, измеряется ли оно на концах
сопротивления /?, или на концах Rl для случая фиг. 252,
Равенство такого типа, как то, которое соответствует выра-
жению (16.13), может быть получено с одинаковым основа-
нием для любой пары зажимов. Если С на фиг. 252 является
емкостью,'определяющей характеристики схемы, то величина,,
соответствующая члену IfCRi, если проводить расчет для то-
чен включения внешней цепи, должна быть, вообще говоря,,
меньше, чем сама дробь 1/CRi.
432
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
Таким образом, если необходимо осуществить равенство
коэфициентов несогласованности, то результат анализа у кон-
цов линии должен во всяком случае включать в себя член
такого типа, как — 2 й/»
В частных случаях дополнительный член может появиться
м при расчете относительно зажимов Предположим, на-
пример, что схема фиг. 252 принимает в частном случае вид,
показанный на фиг. 254, где Ro представляет собой пересчи-
танное с помощью трансформатора сопротивление Rl. Если
элементы выбраны правильно, то цепь является простым
.фильтром, и мы можем ожидать, что Rr и Z будут нужным
образом подобраны, так что 1п| 1/р | бу-
дет иметь достаточно большое значе-
ние, по крайней мере в некотором огра-
ниченном интервале частот. С другой
стороны, если оказалось слишком
малым, то цепь приближается к про-
тиворезонансному контуру с малым
затуханием, причем такая цепь на всех
частотах дает плохое согласование с Rt.
Однако в целях практического расчета
шет необходимости точно учитывать потери подобного рода,
так как обычно можно сравнительно легко получить расчет,
® котором член вида — не входит в выражение для коэфи-
циента несогласованности на концах паразитного элемента,
определяющего характеристики системы. В следующих разде-
лах рассмотрены условия, которым должна удовлетворять цепь
.для получения подобного результата. Равенство (16.13) в том
виде, как оно написано, содержит коэфициент несогласованно-
сти, относящийся ко всему спектру частот, так же как и соот-
ветствующее, приведенное ранее, соотношение (16.4). Однако
равенство (16.13) может быть ограничено конечным интервалом
частот, если учесть, что In 11 /р | можно переписать в виде
Фиг. 254
*0

если учесть, что In 11 /р | можно переписать в виде
..111 in Р-+7 I- 1 In (/?1 + /?)8 + хз HRW
п I7l“ln |Я1— 2	2 1П (/?! —7?)2 + № '	(16.14)
очевидно, что правая часть равенства (16.14) обра-
нуль, когда R — Ь, и будет больше нуля для любого
Вполне
-тится в
положительного значения R. Поэтому, как и в предыдущей
теореме, мы можем притти к заключению, что максимальное
.значение 1п| 1/р| в любом заданном интервале частот будет
получено в том случае, когда R стремится к нулю вне этого
интервала. Если и ®2 соответствуют краям заданной по-
лосы, то равенство (16.13) можно написать в виде
<Л>2

CPt *
(16.15)
Входные и выходные цепи с сопротивлениями конечной величины 433
где &нак равенства появляется в граничном случае, когда
S а =0, a R очень незначительно ниже о», и выше о>2.
Простейшим примером, для которого мы приходим к ра-
венству (16.15), является случай, когда коэфициент несогла-
сованности постоянен в заданном интервале частот. Тогда мы
имеем
что можно также написать в виде
|р|
(16.17)
где Q означает отношение реактивного сопротивления к ак-
тивному в данной полосе частот, т. е. (а>2 — <»1) CRi. Если мы
включим в рассмотрение также и цепи, в которых | р | изме-
няется с частотой, то общий результат может быть выражен
следующей теоремой:
Теорема. Если цепь, включающая в себя оконечную парал-
лельную емкость, подключена к активному сопротивлению,
то выраженное в неперах среднее значение „возвратных
потерь" между активным сопротивлением и полным сопро-
тивлением цепи для той ширины полосы, в пределах кото-
рой берется среднее значение, будет не больше, чем к, де-
ленное на отношение
полного сопротивле-
ния к активному, при
заданной величине ак-
тивного сопротивле-
ния, соединенного па-
раллельно с емкостью.
На фиг. 255 показан
график | р | в зависи-
мости от Q, построен-
ный согласно равен-
ству(16.17). Для сравне-
ния пунктирные линии
дают то значение | р |,
которое оно приняло
бы, если бы цепь N на фиг. 252 представляла собой неко-
торое сопротивление, образованное параллельным включением
элементов /?, и С.
Нетрудно установить, что когда Q меньше 0,7 или 0,8, то
соответствующий выбор элементов цепи ТУ позволяет почти
полностью скомпенсировать наличие С. Даже если Q = l, то
коэфициент несогласованности может быть снижен с 45%
28 Зак. 1327
.434	Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
почти до одной десятой этой величины. Однако для более
высоких значений Q наименьшее возможное значение р быстро
возрастает и все меньше зависит от того, какой вид имеет
схема цепи N.
Пользуясь соотношением между коэфициентом несогласо-
ванности и потерями при передаче, которое определяется ра-
венством (16.10), мож-
но построить график
коэфициента передачи
цепи. Это показано на
фиг. 256. Ввиду того,
что в выражение (16.10)
|р | входит только в ква-
драте, то при неболь-
ших Q потери очень
малы, но они быстро
возрастают с возра-
«	_	, станием Q. Когда Q
1	6 J * Ч > становится бесконеч-
Фиг. 256	но большим, мы при-
ходим к такой системе,
для которой имеет место первая из приведенных в настоя^-
щей главе теорем.
4.	Применение теорем о входных и выходных цепях
к задачам практического проектирования
Две выведенные выше теоремы были, в первую очередь,
получены с целью установления общего теоретического кри-
терия возможностей получения наилучших данных входных
и выходных цепей, включающих заданные паразитные элементы.
Однако не менее важно отметить, что эти теоремы устанавли-
вают также, каким образом можно получить общую основу для
практического расчета, дающего результаты, приближающиеся
к теоретическим. Применение этих теорем само по себе не
дает возможности провести полный технический расчет, но
они могут быть использованы как вспомогательное средство.
Указанные обстоятельства следуют наиболее отчетливо из
того факта, что параметры входной и выходной цепей дости-
гают своего теоретически предельного значения только тогда,
когда активная составляющая полного сопротивления, рас-
сматриваемого в точках включения паразитного элемента,
является исчезающе малой на частотах, лежащих за преде-
лами рабочей полосы. Так как сопротивление может рассмат-
риваться как мера мощности, которая может быть поглощена
цепью и передана внешней нагрузке, то это означает, что
Применение теорем о входных и выходных цепях	435
оптимальное решение должно быть получено от системы с
бесконечной избирательностью, или, другими словами, от
системы, соответствующей идеальному фильтру. По своим
свойствам трансформатор с настроенными обмотками, выпол-
ненный по обычно используемой на практике схеме, является
системой, несколько сходной с простейшими фильтрами. Таким
образом, анализ устанавливает, что, когда это требуется,
можно получить более совершенное приближение к предель-
ному усилению путем добавления большего числа резонанс-
ных элементов, с тем чтобы увеличить избирательность цепи.
Те же самые соображения применимы и к расчету межкас-
кадных цепей, так как в следующей главе будет показано,
что для получения максимального коэфициента передачи
межкаскадной цепи в заданной полосе точно так же требуется,
чтобы активная составляющая вне рабочей полосы частот
.была невелика. Если рассматривать подобную межкаскадную
цепь как фильтр, то она будет отличаться от обычного
фильтра в одном существенном отношении. Поскольку R есть
мера мощности, то степень приближения к идеальному слу-
чаю зависит от затухания фильтра, выраженного в виде отно-
шения мощностей. В этих условиях затухание порядка от
15 до 25 дб, которое считалось бы довольно малым в обычной
схеме фильтра, здесь уже становится существенным. С другой
стороны, то же самое рассмотрение указывает на важность
сведения к минимуму ширины „области перехода", лежащей
у границы рабочей полосы частот, где потери очень малы.
Таким образом, система, дающая достаточно хорошее при-
ближение к наилучшим возможным данным, должна иметь
низкий общий уровень затухания вйе рабочей полосы1) и отно-
сительно хорошую избирательность. Та величина дополнитель-
ной избирательности, которую желательно получить, помимо*
соображений простоты ’ и стоимости, ограничивается также
наличием паразитных потерь в элементах контура. Если уже
достигнуто довольно хорошее приближение к теоретическим
пределам, то дальнейшего увеличения избирательности цепи
не удается достигнуть из-за возрастающих потерь, сказываю-
щихся сильнее, чем тот выигрыш, который может быть полу-
чен за счет более точного приближения к идеальной харак-
теристике.
2) Эти замечания*относятся к областям, расположенным вблизи от рабо-
чей полосы частот, где проверочный расчет возможен и имеет существен-
ное значение. Поскольку интегрирование распространено до бесконечной
частоты, то сопротивление на более удаленных частотах должно быть бес-
конечно мало, так как иначе результат будет соответствовать бесконечно
большим значениям. Однако это обстоятельство автоматически выполняется
благодаря наличию паразитных элементов цепи.
28*
436	Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
Часто возникает задача о соотношении между числом
элементов, которые должны быть применены в схеме, и той
степенью приближения к теоретическому пределу, которую
при этом можно ожидать. Приближенный ответ можно полу-
чить с помощью известного из теории фильтров соотношения
между числом ячеек фильтра и величиной избирательности,
которая может быть получена от этого фильтра в любой
заданной полосе частот. Это соотношение для фильтра удоб-
нее всего выразить формулой ')
аа = [10 log10	-1) -10 (2т) +1) logu? -12], (16.18)
где аа — наименьшее затухание в децибелах в заданной области;
а,р — величина допустимых искажений в полосе пропускания;
») —число ячеек фильтра;
q —параметр, определяющий частотный интервал между
заданными областями передачи и затухания.
Конечно, при этом предполагается, что для любого дан-
ного т] каждая определенная ячейка выбрана таким образом,
чтобы обеспечить максимально возможное значение аа.
Поскольку входное активное сопротивление в полосе зату-
хания зависит от мощности, проходящей через систему, то
мы можем приближенно выразить его через e~iaa. Но если
и q выбраны постоянными, то из равенства (16.18) ясно, что
добавление единицы к величине ») изменит величину e~iaa на
какую-то постоянную величину, каково бы ни было зна-
чение т]. Более того, в тех случаях, к которым применяются
предыдущие общие теоремы о входных и выходных цепях,
разница между теоретическими предельными 2) данными цепи
и действительными данными, полученными от любой отдельно
взятой цепи, зависит от того, какова величина сопротивления
вне рабочей полосы. Если мы примем, что т] обозначает число
элементов, а не число ячеек, то это, очевидно, позволит нам
притти к следующей теореме:
Теорема. Если цепь ограничена паразитным, элементом
.таким образом, что наилучшие данные в рассматриваемой
полосе частот могут быть получены только, если вещест-
венная 'компонента некоторого полного сопротивления
имеет заметное значение в пределах полосы частот, но
близко к нулю вне этой полосы, то разница между дейст-
вительными и предельными данными стремится умень-
*) Darlington, Synthesis of Reactance 4 — Poles, Journal of Mathema-
tics and Physics, сент. 1939, стр. 332.
a) В этом рассмотрении не устанавливаются единицы, которыми опреде-
ляются параметры системы, ввиду того что рассмотрение качественное.
Применение теорем о входных и выходных цепях
437
Р
п
Фиг. 257
шиться до некоторой постоянной величины каждый раз,
когда в цепь включается дополнительней элемент, при усло-
вии, что данные каждого каскада преобразуются так, чтобы,
получить наилучшее использование этого элемента.
Это положение сформулировано в виде теоремы только
для того, чтобы подчеркнуть его значение.
Помимо того, что имеется некоторая неясность в изложен
нии этой теоремы, которая пытается охватить межкаскадные
цепи, рассмотренные в следующей главе, так же как и рас-
сматриваемые здесь входные и выходные цепи, приведенную
выше формулировку теоремы можно оспаривать и вследствие
того, что основания, на которых она базируется, недоста-
точны. Например, равенство (16.18)
является только приближенным со-
отношением, основанным на предпо-
ложении, что величина аа не чрез-
мерно большая. Более того, как уже
указывалось ранее, ввиду особой
важности области частот, лежащей
вне рабочей полосы частот, с точки
зрения полного интеграла сопротивле-
ния, естественно ожидать, что в схему
будут введены дополнительные элементы, дабы сделать цепь
более остро селективной. Это не нарушает основных положений
теоремы, но сказывается на количественных соотношениях,
даваемых равенством (16.18). Тем не менее, если мы все же
примем приведенную формулировку теоремы, то придем к
соотношению, связывающему данные, характеризующие каче-
ство цепи, с числом элементов системы. Это соотношение
иллюстрируется кривой фиг. 257. Указанная кривая соот-
ветствует равенству
Р=М — ае~Ьп,	(16.19)
где а и b — постоянные величины;
Р — величина, характеризующая качество рассматри-
ваемой системы;
М — максимальное значение величины Р;
п — число элементов, примененное в системе.
Изучение соотношения между равенствами (16.18) и (16.1'9)
указывает, что постоянная а аналогична величине ар в том
смысле, что физцчески она может рассматриваться как показа-
тель точности, с которой должна воспроизводиться требуемая
характеристика в пределах рабочей полосы. Если мы не будем
обращать внимания на затруднения, связанные с тем, что теоре-
тическое обоснование равенства распространяется в лучшем
случае на те варианты, для которых имеет место хорошее
438
Глава XVf. Расчет входных и выходных цепей
приближение к предельной характеристике, то в большинстве
случаев окажется возможным определить величину а при
помощи рассмотрения цепи, из которой исключены допол-
нительные элементы, формирующие характеристику. Напри-
мер, если требуется получить разомкнутую на конце входную
или выходную цепь, имеющую горизонтальную характеристику,
то мы можем найти величину а, устранив N из фиг. 250 и 251 и
вычислив то наибольшее значение Rl, которое может быть
взято с тем, чтобы искажения в пределах рабочей полосы,
вызванные паразитной емкостью С, не превышали заданного
предела.
Постоянная b является просто коэфициентом, определяю-
щим масштаб шкалы, который лучше всего может быть най-
ден посредством сравнения результатов, даваемых двумя раз-
личными цепями. Однако, если исходить из равенства (16.18),
то мы получим, что b зависит главным образом от того, как
должна быть выбрана величина q для получения наилуч-
шего компромисса между высокой избирательностью и воз-
можной величиной затухания. При этом результат не зави-
сит от требований к точности подбора ар. Таким образом,
b будет приблизительно одним и тем же для всех схем дан-
ного типа, независимо от изменений -значения постоянной а.
Если рассматривается влияние паразитных параметров, то при
объяснении равенства (16.19) необходимо учитывать, что вели-
чина М может быть несколько меньше, чем та, которая опре-
деляется теоретической формулой, относящейся к недисси-
пативным цепям.
5. Упрощение расчета путем построения мнимой
составляющей функции цепи
Теоремы, относящиеся к входным и выходным цепям,
могут быть также рассмотрены и с несколько другой точки
зрения, которую можно использовать для того, чтобы облег-
чить выкладки при расчетах. Теоремы, в том виде, как они
были изложены, устанавливают условия, ограничивающие зна-
чения активной составляющей некоторой функции в рабочей
полосе частот. Если, однако, параметры цепи будут доста-
точно близки к своему теоретическому предельному значе-
нию, то активная составляющая должна быть достаточно малой
вне рабочей полосы. Таким образом, мы знаем с достаточной
точностью поведение активной составляющей во всем спектре
частот и, следовательно, можем применить описанные в пре-
дыдущей главе методы для оценки того значения, которое
примет соответствующая мнимая составляющая. Можно опре-
делить полное сопротивление, рассматриваемое относительно
Упрощение расчета
439
точек включения паразитного элемента, или, если мы исключим
ту часть, которая вносится этим элементом, то найдем сопро-
тивление самой цепи. Если же известна величина сопротив-
ления цепи, то обычно легко найти вид схемы, имеющей
подобное сопротивление.
Фиг. 258
В качестве простого примера предположим, что нужно
рассчитать разомкнутый входной трансформатор, имеющий
горизонтальную характеристику, соответствующую теорети-
ческой. Активное сопротивление повышающей обмотки будет
иметь характеристику вида, изображенного на фиг. 258, если
представить схему в виде эквивалентной системы, пропускающей
440
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
низшие частоты. Полученная кривая есть характеристика
вещественной составляющей, с помощью которой соответст-
вующая характеристика для мнимой составляющей может быть
легко найдена из графиков предыдущей главы и принимает
форму, соответствующую кривой —X на фиг. 258. Если мы
вычтем сопротивление параллельно включенной емкости, то
активное и реактивное сопротивления самой цепи приобре-
тают вид, характеризующийся кривыми, изображенными на
фиг. 259. Исключим на время из рассмотрения реактивную
составляющую. Тогда характеристика активного сопротивления
может быть с достаточной для практических целей точно-
стью заменена обычным характеристическим сопротивлением
Т-образного звена типа постоянной k.
Чтобы проиллюстрировать теоретические основы рассмат-
риваемого метода, применим более сложную функцию:
1/1—1-о,914-1
•	(16-20)
z 1 — 0,938 Л-
<°о
Эта функция соответствует требуемой характеристике со зна-
чительной точностью, как это видно из фиг. 259, на которой
крестиками обозначены точки, вычисленные с помощью соот-
ношения (16.20).
Характеристическое сопротивление, выраженное формулой
(16.20), может быть .получено с помощью цепей различного
вида. Если мы, в частности, выберем производные звенья
типа т, то цепь принимает общий вид, соответствующий
схеме фиг. 260. Паразитная емкость обозначена через Со.
Обведенная линией прямоугольная ячейка изображает фильтр,
в котором обозначенные сплошными линиями элементы обра-
зуют оконечное полузвено типа постоянной тт. При этом,
конечно, предполагается, что на другом конце фильтр закан-
чивается звеном, с достаточной точностью согласующим сопро-
тивление внешней цепи Rl в полосе передачи. Теперь рас-
смотрим реактивную составляющую для фиг. 259. Совершенно
очевидно, что она может быть приближенно заменена простой
Упрощение расчета
44Г
последовательной индуктивностью L, как это показано на
фиг. 260. Однако лучшая аппроксимация может быть полу-
чена, если рассматривать задачу в более общем виде. Вообще
говоря, анализ начинается с определения сопротивления
(фиг. 258), которое выбрано таким образом, что включает в
себя параллельную емкость Со. При этом вещественная и
мнимая составляющие удовлетворяют условиям, необходимым
для того, чтобы изобразить функции в целом при помощи
некоторой реальной цепи. Отсюда следует, что то сопротив-
ление, которое остается, когда мы отбросим емкость Со, тоже
должно быть таким, чтобы его можно было осуществить на
практике. Однако каждое физически осуществляемое сопро-
тивление можно рассматривать, как сочетание цепи с мини-
мальной реактивностью с чисто реактивной системой. Если
составляющая активного сопротивления с достаточной точ-
ностью подобрана применительно к цепи, имеющей минималь-
ную реактивность, то можно ожидать, что всегда окажется:
возможным найти такую физическую цепь из чистой реактив-
ности, которая дает возможность получить в целом нужные
параметры системы. В рассматриваемом случае трудность с
подбором реактивности, очевидно, вытекает из того факта,
что полное сопротивление, создаваемое фильтром, не является
полным сопротивлением с минимальной реактивностью. Оно-
имеет полюсы на оси вещественных частот — на частоте,
равной бесконечности, а также на частоте параллельного-
резонанса элементов Lt и Си указанных пунктиром на фиг. 260.
Полюс, соответствующий бесконечности, не доставляет непри-
ятностей, так как в любом случае должна быть добавлена
последовательная индуктивность, но второй полюс нежелате-
лен и должен быть уничтожен с помощью устранения из
схемы соответствующих элементов1). С этим видоизменением
добавление катушки L в фиг. 260 позволяет подобрать тре-
бующуюся реактивность с такой точностью, какая соответ-
ствует точкам, нанесенным крестиками на фиг. 259.
Окончательная характеристика, учитывающая паразитную
емкость, помечена крестиками на фиг. 258. Практическую
схему можно представить с помощью уже рассматривавше-
гося ранее трансформатора, показанного на фиг. 261. Пред-
полагается, что изображенный на схеме трансформатор
*) Подобное устрдцение полюса может быть сделано для характеристи-
ческого сопротивления любой сложности. Метод дан в патенте автора
U. S. Patent № 2,249,415. Возможно также удалить и полюс, соответст-
вующий бесконечности. Хотя эта операция и не улучшит подбора, реактив-
ности в цепи, но может иметь то практическое преимущество, что она уве-
личивает необходимую индуктивность, которая может быть отождествлена
с индуктивностью рассеяния выходного трансформатора.
442
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
является идеальным, в то время как индуктивность рассея-
ния, взаимная индуктивность и паразитная емкость, имеющие
место в реальной схеме, выражаются соответственно через
Lm и С. Если рабочая полоса частот охватывает несколько
октав, то мы можем пренебречь величиной Lm на том осно-
вании, что фиг. 260 относится только к поведению системы
на высоких частотах. Это, очевидно, приведет к цепи, пока-
занной на фиг. 262, где прямоугольник изображает первона-
Фиг. 261

чальные элементы фильтра фиг. 260, отнесенные к обмотке
трансформатора с меньшим числом витков, a La есть индук-
тивность, которая при необходимости может быть добавлена,
чтобы облегчить получение нужной величины рассеяния в
трансформаторе. С другой стороны, если рабочая полоса
относительно узка или если коэфициент связи в трансформа-
торе мал, то лучше рассматривать схему фиг. 260 просто как
эквивалент действительной цепи, пропускающий низкие частоты.
Фиг. 263
Фиг. 264
В этом случае катушки и конденсаторы на схеме фиг. 260
будут изображать соответственно ветви последовательного и
параллельного резонанса в реальной схеме. Это дает цепь
вида, показанного на фиг. 263. Теперь прямоугольник изо-
бражает уже полосовой фильтр, который заменяет рассматри-
вавшийся ранее фильтр низких частот.
Величины La и Са являются элементами подгонки и
настройки для приведения рассеяния к значению, необходи-
мому для соответствующего резонансного контура. Индук-
тивность L„ добавлена для получения точного параллельного
Упрощение расчета
443
резонанса в последней ветви цепи на том основании, что, как
это видно из схемы, емкость С, а не Zm- является ограничи-
вающим элементом в вет-
ви. Если ограничивающим
фактором является взаим-
ная индуктивность, то
добавляемым элементом
должна быть, конечно,
емкость.
Для практических це-
лей только что описан-
ный расчет может быть
заменен двумя совер-
шенно очевидными про-
цессами. Во-первых, вме-
сто того, чтобы заменять
активное сопротивление
0,2	0,4 0,6 i 2 i 6 Ю
Фиг. 265
характеристическим ср-
противлением фильтра, учитывая сложность цепей, которые
получаются при этом способе, мы можем непосредственно за-
менить его подходящей комбинацией активного и реактивного
сопротивлений. Например, характеристика активного сопроти-
вления на фиг. 259 очень близка к той характеристике, кото-
рую мы ожидали бы от сопротивления, соединенного парал-
лельно с настроенным контуром и имеющего резонанс у края
полосы. После добавления последовательной индуктивности
для получения необходимой реактивности мы приходим к схе-
ме, изображенной на фиг. 264. Несмотря на свою простоту,
эта цепь дает достаточное прак-
тическое соответствие с окон-
чательной теоретической харак-
теристикой, как это видно из
фиг. 265. Если требуется иметь
более точно подобранное харак-
теристическое активное сопро-
тивление, то можно использо-
вать тот факт, что линия из
п элементов (каждый из которых состоит из последовательно
включенной индуктивности и параллельно включенной емко-
сти), оканчивающаяся активным сопротивлением Rl (как ука-
зано на фиг. 266), имеет входное сопротивление, выражаю-
щееся формулой	&
R = 1 + А^ 4-	+... + Апш-п ’	(16.21)
L„	Ls L,
Фиг. 266
где все п постоянных А!...Ап относятся к п элементам цепи
и могут быть использованы для их определения. В этой форму-
444
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
лировке отношение Rl к требуемому R определяет кривую,
которой должен следовать многочлен 1 4-... -|- и .процесс
расчета сводится к выбору соответствующих значений для
'величин А при помощи известных методов приближенного.
представления многочленов.
Мы можем также видоизменить процесс расчета, изменяя
наши требования к результирующим данным всей цепи. Напри-
мер, при принятых до сих пор предположениях, согласно
которым коэфициент передачи трансформатора имеет свое
максимальное теоретически возможное значение, вся площадь,
определяемая интегралом сопротивления, отнесенного к зажи-
мам повышающей обмотки трансформатора, должна лежать
в пределах рабочей полосы. В данном случае можно говорить
о том, что „коэфициент площади" равен 100%. С другой
стороны, если коэфи-
циент передачи транс-
форматора будет на
1 дб меньше своего
теоретического пре-
дела, то коэфициент
площади должен со-
ставлять только 80%,
а 20% площади мо-
жет быть использо-
Фиг. 267
вано для того, чтобы смягчить резкость перехода между об-
ластью передачи и областью затухания. Это обстоятельство
иллюстрируется фиг. 267, на которой характеристика сопро-
тивления показана в виде наклонной линии вне пределов по-
лосы, а характеристика соответствующего реактивного сопро-
тивления определяется графиками, приведенными в предыду-
щей главе. Характер изменения сопротивления вне полосы
может быть выбран любым при условии, что полная площадь
остается постоянной. Однако простейшая наклонная харак-
теристика, приводимая на фигуре, должна быть достаточно
точной для большинства случаев.
Преимуществом подобного преобразования является то, что
оно после вычитания сопротивления паразитной емкости приво-
дит к некоторому остаточному сопротивлению, которое гораздо
легче представить с помощью простой цепи. Понижение изби-
рательности системы в целом полезно также с точки
зрения сведения к минимуму потерь паразитного характера.
На основании примеров расчета, данных в следующем разделе,
можно произвести оценку количественного значения соответ-
ствующих изменений величины сопротивления.
Только что описанный процесс расчета входных и выходных
цепей, несмотря на свою элементарность, был рассмотрен очень
Пример расчета коэфициента несогласованности 445
детально, ввиду того что и во многих других задачах расчета
цепей применение соотношений с контурными интегралами
дает возможность упростить технику вычислений. Например,
технический расчет межкаскадной цепи, изложенный в следую-
щей главе, имеет тот же характер. Мы начинали расчет с уста-
новления соотношения между коэфициентом усиления, который
можно получить от межкаскадной цепи, и величиной ее пара-
зитной емкости. После того как таким образом определена
характеристика усиления, вычисляется соответствующая фазовая
характеристика. Если принимается во внимание влияние пара-
зитной емкости, то это определяет активное и реактивное
сопротивления, требуемые от самой межкаскадной цепи. Задача
расчета сводится, в сущности, к нахождению такой цепи с мини-
мальной реактивностью, которая с достаточной точностью дает
возможность получить требуемое активное сопротивление.
По причинам, рассмотренным ранее, дополнительное реак-
тивное сопротивление, требуемое для завершения расчета,
всегда будет соответствовать некоторой реальной цепи, и
в практических случаях получающаяся цепь обычно настолько
проста, что определить указанную дополнительную реактивность
не представляет большого труда. Тот же самый общий прием
может быть применен и во многих других случаях. В принципе
метод расчета основывается только на признании того факта,
что формулы с контурными интегралами дают возможность
разработать относительно точную и подробную картину тех
свойств, которые должна иметь физическая цепь, обладающая
требуемой результирующей характеристикой. Таким образом,
исключены расчетные предположения, приводящие к цепи, кото-
рая не может быть фактически осуществлена, поэтому работа
по подгонке элементов схемы соответственно упрощается.
6. Пример расчета коэфициента несогласованности
Примером применения.теоремы о коэфициенте несогласован-
ности может служить расчет цепи, связывающей выходной
каскад длинноволнового радиопередатчика с его антенной1).
Если антенна может быть отождествлена с выходной цепью, то
этот случай очень сходен с тем, который соответствует
фиг. 252. Однако при рассмотрении этой фигуры было пред-
положено, что определяющим паразитным элементом быда
емкость С '/ зажимов выходной лампы и что имеющим физи-
*) Рассматриваемый в примере передатчик установлен в Роки-Пойнт
(Лонг-Айленд) и служит для обеспечения коммерческой телефонной связи
с Англией. Длина волны его около 5000 м.
446	Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
ческое значение коэфициентом несогласованности является
тот, который измеряется у зажимов внешней цепи. Результаты
анализа для этого случая выражались в виде коэфициента
несогласованности на зажимах выходной лампы и потом пере-
считывались к зажимам внешней цепи на оснований того факта,
что если цепь не является диссипативной, то абсолютное зна-
чение коэфициента несогласованности в этих двух точках
должно быть одним и тем же.
В настоящей задаче все эти соотношения имеют другой
характер. При узкой полосе частот емкость выходного каскада
может быть устранена тем или другим путем и не является
ограничивающей. С другой стороны, антенна имеет большие
реальные размеры, чтобы обес-
__________________________ печить эффективное излуче-
ние на тех длинах волн, кото-
z", рые дает передатчик, и вслед-
I ствие этого обладает огромной
емкостью по отношению к зем-
Фиг. 268__________________ле. Когда эта система настраи-
вается соответствующими ин-
дуктивностями антенного ввода и снижения антенны, то полное
сопротивление антенны приближенно можно представить
в виде постоянного активного сопротивления, соединенного
последовательно с резонансным контуром, резонансная ча-
стота которого оказывается в центре полосы, которую ну-
жно передать. Здесь сопротивлением, представляющим непо-
средственный технический интерес, является то, которое пред-
ставляют собой для выходной лампы взятые вместе антенна и
цепь связи. При уровне мощности в 100 квт, которую доста-
вляет передатчик, как ток, так и напряжение у анодных концов
имеют при обычных условиях весьма большую величину. Если
сопротивление цепи связи колеблется между очень большим и
очень малым значением, так что лампа работает почти на разом-
кнутую цепь при некоторых частотах сигнала, или почти на
короткозамкнутую цепь для остальных частот, то появляется
опасность того, что лампа может выйти из строя. Для практи-
ческих целей это равносильно ограничению абсолютного зна-
чения коэфициента несогласованности, который может иметь
место между полным сопротивлением связи и внутренним
сопротивлением лампы. Этот случай соответствует схеме,
приведенной на фиг. 268. Элементы /?а, La и Са определяют
собой полное сопротивление антенны. Расчет проводится
непосредственно для коэфициента несогласованности между
/?в и Z1; в то время как в конечном итоге требуется определить
коэфициент несогласованности между внутренним сопротивле-
нием /?р и Z2. Значения 7?а> La и Са, найденные на основании
Пример расчета коэфициента несогласованности
447
измерения, показывают, что на любом краю полосы1) реактив-
ное сопротивление антенны в 2,5 раза больше его активного
сопротивления. Если цепь связи была бы трансформатором,
согласующим сопротивление антенны с внутренним сопротивле-
нием лампы, то это дало бы коэфициент несогласованности,
равный 78%.
В соответствии с равенством (16.17), минимальный коэфи-
циент несогласованности, который возможно получить в идеаль-
ной цепи, равен 28°/в. Однако экономически не является воз-
можным применять большое число элементов в цепи, действую-
щей на таком высоком уровне мощности, поэтому следует
ожидать, что окончательный коэфициент несогласованности
будет несколько меньше этого предельного значения. С целью
рассмотрения этого предположим, что цепи, которые подле-
жат расчету, и!неют к. п. д., соответственно равный 60 и 80%.
Другими словами, цепи должны быть выполнены таким
образом, чтобы 60 или 80% полного интеграла от In 11/ р |,
входящего в равенство (16.15), приходилось на область рабочей
полосы частот. Это даст значение коэфициента несогласован-
ности в рабочей полосе, равное соответственно 47 и 36°/0.
В соответствии с соотношением, выраженным равенством (16.19),
уменьшение первоначального коэфициента несогласованности,.
31
равного с 78% до 47%, составляет эд от того уменьшения
коэфициента несогласованности (с 78 до 28%), которое могло
бы быть получено при применении бесконечного числа элемен-
тов. Подобным же образом, уменьшение с 47 до 36% уничто-
жит jg той величины, которая могла бы быть выиграна. Так
как два отношения эд и jg приблизительно равны, то правило,
даваемое равенством (16.19), приведет к тому, что цепь с к. п. д.
в 80% требует приблизительно в 2 раза большего числа эле-
ментов, чем цепь с к. п. д., равным 6О°/о2). Интересно отметить,.
• г) Это предполагает довольно узкую полосу используемых звуковых
частот. Для нормальной ширины полосы это отношение будет несколько
выше. Узкая полоса выбрана здесь для удобства расчета, так как оконечная
цепь не очень селективна и эффективная передача может быть получена
только в полосе частот несколько большей, чем номинальная.
2) Приблизительно те же результаты получаются, если эффективность
выражается через In | 1 / р |, а не через | р |, хотя эти два масштаба, очевидно,
серьезно отличались бы один от другого, если бы предельный коэфициент
несогласованности был много меньше, чем 28%. Ввиду некоторой неопреде-
ленности логического обоснования равенства (16.19), особенно в области малых
значений величины п, едва ли представляется возможным определить, какой
масштаб является предпочтительным. Когда п велико и достигнуто хорошее
448
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
что указанное правило подтверждается и в этом частном
случае. Действительный процесс расчета начинается с построе-
ния предполагаемых полных характеристик для In 11/р | и с рас-
чета соответствующих им мнимых составляющих, согласно
дем методам, которые были рассмотрены в предыдущем разделе.
На фиг. 269 и 270 приведены результаты для цепей, имеющих
величину к. п. д., собственно равную 60 и 80%. Все кривые
вычерчены для некоторой эквивалентной цепи, пропускающей
низкие частоты. Кривая, обозначенная через А, вычерчена
для In 11/ р |, а кривая^ обозначенная через В, для соответствую-
щего фазового угла.
Данный на фиг. 270 график вещественной составляющей вне
'полосы частот изображен простейшим возможным способом
в виде отрезка прямой линии. Фиг. 269 содержит также другую
характеристику, характер изменения которой более близок
к характеру изменения тех характеристик, которые можно
было бы ожидать от реальной цепи, что позволяет установить,
как влияет различный выбор характеристик в этой области
на получаемое решение. Во всяком случае, можно сказать,
что величина площади, занимаемой вещественной характеристи-
кой вне полосы частот, должна, конечно, выражаться правиль-
ной дробью, равной всего 20 или 40%.
Так как кривые на фиг. 269 и 270 полностью определяют
коэфициенты несогласованности между Zx и Ra для схемы
фиг. 268, то из них мы можем легко определить, каким обра-
зом Zt будет выражаться через Ra. Если отбросить паразитные
реактивности ,La и Са, то расчет также определяет полное
сопротивление цепи Z3, т. е. величину, с которой мы непосред-
ственно будем иметь дело. Для тех двух случаев, которые
приближение к предельному значению, то, конечно, допустимо применить
любой масштаб, так как отклонения от идеального случая, выраженные ариф-
метическими или логарифмическими единицами, становятся пропорциональ-
ными друг другу.
Пример расчета коэфициента несогласованности
449
показаны на фиг. 269 и 270, результирующие характеристики
для Z3 даны соответственно на фиг. 271 и 272.
Далее необходимо подобрать подходящую схему для рас-
сматриваемой цепи связи, используя в качестве основного
материала характеристики, приведенные на фиг. 271 и 272. Это
очень просто делается для характеристик, относящихся
к фиг. 271. Соответствующей цепью является, очевидно, парал-
лельное соединение активного сопротивления и емкости, пока-
занное на схеме фиг. 273. При этом получается результат,
показанный пунктирными линиями на фиг. 271. Для получения
характеристик, соответствующих фиг. 272, требуется оолее
сложная цепь. Однако можно воспользоваться тем обстоятель-
ством, что поскольку характеристики должны соответствовать
физической схеме с минимальной реактивностью, то необходимо
подробно рассмотреть только активную составляющую сопро-
тивления. Реактивная составляющая при этом получится авто-
матически. Если активное сопротивление было найдено с по-
мощью метода, описанного в связи с равенством (16.21), то
мы придем к схеме, представленной на фиг. 274. Это приводит
нас к характеристикам, показанным пунктиром на фиг. 272.
Характеристики этой фигуры могут быть получены также, если
первоначально исходить из проводимостей.
При таком подходе мы, разумеется, снова придем к опре-
деленной физической цепи, хотя эта цепь и необязательно
будет обладать минимальной реактивной проводимостью. При
этом активное сопротивление и индуктивность в схеме фиг. 274
будут найдены, исходя из требований к активной проводимости,
а емкость определяется как последний элемент, который нужно
добавить для того, чтобы получить требуемую реактивную
проводимость.
Несмотря на свою совершенную элементарность, этот про-
цесс расчета был описан так подробно главным образом для
того, чтобы проиллюстрировать его преимущества, проявляю-
щиеся при использовании соотношений с контурными интегра-
зе Зак. 1327
450
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
лами, что дает возможность получить полную картину. При
этом, в частности, удается определить как вещественную, так
и мнимую составляющие функции цепи на всех частотах,
которые должны быть взяты при проектировании. Однако
дальнейшие этапы расчета представляют меньший интерес и
должны быть лишь подытожены.
Система фиг. 273 выбрана потому, что она дает соответ-
ствующий результат простейшим возможным образом. Если
Фиг. 275
Фиг. 273.
Фиг. 274
рассматривать эту систему как полосовой фильтр, то она
представляет собой активное сопротивление, подключенное
параллельно к противорезонансному контуру. Однако, к сожа-
лению, активное сопротивление не соответствует тому значе-
нию, которое дало бы возможность приравнять его к внутрен-
нему сопротивлению лампы. Во избежание этих затруднений,
схема составлена в виде, изображенном на фиг. 275. Обоснова-
ние такого видоизменения, с точки зрения теории, может быть
дано на основании обстоятельства, при-
веденного в конце главы X, согласно
которому геометрическим местом точек
концов вектора полного сопротивления,
состоящего из включенного параллельно
противорезонансному контуру веще-
ственного сопротивления, должна явить-
ся окружность, как это показано сплош-
ной линией на фиг. 276. Между тем,
если рассматривать конденсаторы в схе-
ме фиг. 275 как реактивности, имею-
щие в узкой полосе частот фиксирован-
ную величину, то из главы X следует,
что геометрическим местом точек сопро-
тивления, изображенного на фиг. 275, также будет окружность.
Это показано с помощью пунктирной линии на фиг. 276. Для
данного Rp можно посредством подбора параллельных емкостей
установить нужное значение диаметра новой окружности. Эта
окружность может быть смещена в вертикальном направлении
до совпадения со старой окружностью путем добавления
оконечной реактивности, которую можно объединить сэлемен-
Пример расчета коэфициента несогласованности	451
тами настройки антенны. Если требования в отношении кило-
вольтампер для параллельных конденсаторов не высоки, то
эти конденсаторы не увеличивают заметно стоимости системы.
Хотя при анализе рассматривалась передача с одной боковой
полосой, но в действительной цепи было необходимо обес-
печить передачу с двумя боковыми полосами, одна из которых
имеет среднюю частоту в 60 кгц, а вторая — 68 кгц, Это было
осуществлено с помощью замены каждого из резонансных
Фиг. 278
контуров двумя резонансными контурами, соединенными
в параллель, а также путем небольшой подстройки, с тем,
чтобы скомпенсировать отклонения в величине активного
сопротивления антенны и реактивного сопротивления парал-
лельных конденсаторов схемы фиг. 275 при переходе от одной
полосы к другой.
В соответствии с принципом постоянства ширины полосы,
двойная настройка антенны удваивает значение Q по сравне-
нию с тем, которое имеет антенна в случае одной боковой
полосы. Чтобы избежать этого, последовательно с антенной
вводится активное сопротивление, создающее затухание в 3 дб.
Окончательные результаты изображены на фиг. 277. Диаграмма
представляет собой график полного сопротивления Z2, соот-
ветствующего схеме фиг. 268. Точка Р определяет внутрен-
нее сопротивление выходной лампы, а окружность, вычерченная
жирной линией, является геометрическим местом точек полного
сопротивления, для которого коэфициент несогласованности
относительно сопротивления лампы равен 45%. Из фигуры
также видно, что график сопротивления Z2 окружает точку Р.
Это происходит потому, что коэфициент несогласованности
в этой точке не является минимальной функцией фазы вслед-
ствие тех причин, которые были рассмотрены в связи с дока-
29*
452
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
зательством теоремы о коэфициенте несогласованности. С другой
стороны, соответствующий график полного сопротивления
схемы фиг. 268 дает такое же абсолютное значение коэфициента
несогласованности, но не окружает исходной точки. Это
иллюстрируется с помощью графика фиг. 278, вычерченного
в мелком масштабе^
7.	Общее рассмотрение метода расчета входных и выходных
цепей для усилителей с обратной связью
Если требуется применять теоремы, относящиеся к харак-
теристикам входных и выходных систем, включенных любым
способом, то очевидно, что в первую очередь необходимо
знать, какие элементы усилителя должны рассматриваться как
оконечные. В усилителе без обратной связи этот вопрос, конечно,
не представляет трудностей, подобно тому, как это имело
место в системе, рассмотренной в связи с теоремой о коэфици-
енте несогласованности. Однако в системах с обратной связью
элементы, которые являются оконечными для входной или
выходной цепи в рабочих условиях, не обязательно совпадают
с теми, которые будут важны, если мы разорвем петлю обрат-
ной связи и будем рассматривать систему как простое устрой-
ство без обратной связи. Указания о том, какие изменения
при этом могут произойти, даются рядом теорем главы V. Эти
теоремы показывают, что действующее сопротивление или
сопротивление активного типа, какое представляет собой сам
усилитель для входной или выходной цепи (или же для внеш-
ней линии, к которой подключена входная или выходная
система), может значительно отличаться от сопротивления,
которое мы рассчитали бы при отсутствии обратной связи.
Однако эти изменения имеют место только для некоторых
параметров входных и выходных цепей. Чтобы сделать понят-
ным приведенный ниже пример расчета входной цепи усили-
теля с обратной связью, необходимо сначала остановиться на
этом вопросе.
Прежде всего следует начать с перечисления таких пара-
метров входных или выходных цепей, которые обычно пред-
ставляют наибольший технический интерес. В усилителе без
обратной связи мы обычно интересуемся одним или же двумя
перечисленными ниже параметрами:
1.	Полное сопротивление, которое представляет собой вход-
ная или выходная цепь для внешней цепи *>.
*) В практических случаях непосредственное значение может также иметь
то сопротивление, которое цепь представляет для лампы. Например, если
лампа выходного каскада является экранированной, то, чтобы свести к ми-
нимуму нелинейные искажения, необходимо, независимо от всех других
Метод расчета входных и выходных цепей 433
2.	Степень влияния цепи на общее усиление усилителя.
Очевидно, что последнее будет определяться коэфициентом
передачи от входных зажимов до сетки лампы в случае вход-
ной цепи или в случае выходной цепи коэфициентом пере-
дачи от выхода лампы (или от ее анодной цепи) до зажимов
выходной нагрузки.
Наличие обратной связи требует оценки обоих только что
указанных параметров через динамические сопротивления, а
не статические сопротивления чисто пассивного типа.
Уже был отмечен тот факт, что полное сопротивление
действующего усилителя с обратной связью может отличаться
от его пассивного полного сопротивления. Как показывает
дальнейшее рассмотрение, подобная поправка может быть не-
обходима при оценке влияния входных и выходных цепей на
общее усиление усилителя. Применение обратной связи делает
желательным изучение параметров входной и выходной цепей
с двух дополнительных точек зрения. Таковыми являются:
3.	Влияние входной и выходной цепей на коэфициент пе-
редачи всей петли обратной связи.
4.	Коэфициент полезного действия цепи при передаче мощ-
ности от выходной лампы к внешней цепи, в случае выходной
системы, или значение отношения сигнал/шум на сетке пер-
вой лампы, в случае входной системы.
Первый из указанных параметров не требует особых пояс-
нений. Что касается второго параметра, то он был бы неот-
личим от обычного коэфициента передачи цепи, которая вы-
ражается указанным выше п. 2, если бы мы имели дело с уси-
лителем без обратной связи. Однако в системе с обратной
связью параметры, определенные пп. 2 и 4, необязательно
идентичны, хотя во многих приложениях различие между ними
оказывается трудно установить.
Рассмотрение данного вопроса может быть облегчено, если
вспомнить, что, согласно фиг. 16, входная или выходная цепь
обычного усилителя с обратной связью может, в сущности,
рассматриваться, как цепь, имеющая три пары зажимов. Одна
пара ведет к внешней цепи, одна пара к у.-цепи и одна пара
к p-цепи. Для целей настоящего рассмотрения схему удобно
представить в виде, указанном на фиг. 279. Значения соответ-
ствующих обозначений можно легко понять из самого чертежа.
Например, величина kx относится к цепи, лежащей между
входными зажимами и входной сеточной цепью, и численно
обстоятельств, выбрать сопротивление, к которому подключается лампа ниже
некоторого предельного значения. Вопросы такого рода здесь не разбираются,
так как в тех случаях, к которым относится настоящее рассмотрение, вели-
чина сопротивления, которое может быть использовано в цепи, более
жестко ограничивается паразитными емкостями.
454
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
выбрана таким образом, что если напряжение во внешней цепи
есть Еъ, то входное сеточное напряжение Е^ будет kiE^,. Ана-
логичным образом величина Gm0 относится к части схемы, ле-
жащей между входной сеточной цепью и выходной анодной
цепью, и соответствует анодному току в выходной цепи
/(1=Gm0£'|1. Подобным же образом, ток, появляющийся в (3-цепи
вследствие протекания анодного тока, выражается величиной
Этот ток создает соответствующее напряжение
Е$ =ро/р на зажимах, соединяющих другой конец [3-цепи со
входной системой 1 \ Все эти величины, за исключением усиле-
ния От9, которое изображает усиление прямого канала, должны
быть определены при выключенных лампах. Удобно рассмат-
ривать проводимость лампы как часть входной и выходной
цепей, так что элемент Gm0 с каждой стороны имеет беско-
нечное сопротивление.
Входные и выходные цепи на фиг. 279 определяются пас-
сивными сопротивлениями Zp и Zp, а также рядом парамет-
ров kit k<i и k3 или k{, k'2 и k'z, изображащих различные воз-
можные пути передачи в схеме. Однако пассивные сопротив-
ления и параметры А3 и k'z, определяющие коэфициент пере-
дачи между (3-цепью и входной или выходной внешней цепью,
представляют интерес только при определении действительного
полного сопротивления усилителя на выходных или входных
зажимах и могут быть отброшены из рассмотрения. Например,
если мы предположим, что обратная связь очень велика, то мо-
жно показать, что ток, протекающий во входной внешней цепи
при работающей лампе и соответствующий генератору с электро-
движущей силой £0, равен
<16-22>
Таким образом, активная проводимость схемы, включающей
сопротивление внешней цепи, равна уменьшенной на величину
пассивной проводимости X/(ZP-1-А*о) входа, соединен-
ной последовательно с внешней цепью. Равенство (16.22) при-
ведено здесь только ради полноты рассмотрения, так как сей-
час мы не будем интересоваться полными сопротивлениями
усилителя. Более того, для практических целей это равенство
не является особенно полезным, за исключением, может быть,
случаев, когда оно говорит о том, что динамическое сопро- '
*) Здесь предполагается, что /3-цепь возбуждается током и дает реакцию
в виде напряжения. При этом имеется в виду, что ее сопротивление много
меньше, чем сопротивление остальной части цепи, как это имеет место, напри-
мер, в усилителе с обратной связью по току, который рассматривается
ниже. Однако и другие предположения, которые могут оказаться более
удобными для других видов обратной связи, очевидно, также законны.
Метод расчета входных и выходных цепей
455
тивление усилителя может быть равно его пассивному со-
противлению только, если мы положим А?3 = 0. Другими сло-
вами, это может иметь место только, если выбрана цепь,
имеющая нулевой коэфициент передачи для пассивных элемен-
тов между внешней цепью и 0-цепью. Для обычных цепей
более удобными будут те правила, которые были рассмотрены
в главе V.
Параметрами входной и выходной цепей, которые подле-
жат исследованию, являются или k\ и А, или k'a. Ввиду
того что смысл этих величин очевиден, величины, которые
входят во вторую пару, могут быть сразу названы коэфициен-
0-цепью. Первая пара величин, разумеется, определяет коэфи-
циент пассивной передачи от входной внешней цепи ко вход-
ной сеточной цепи или от выходной анодной цепи к выход-
ной нагрузке. Поскольку мы можем ожидать, что активные и
пассивные параметры цепи могут быть несколько отличными
один от другого, то не вполне ясно, какие реальные ве-
личины они будут принимать для действующего усилителя.
Однако мы видим, что k\ определяет отношение тока на вы-
ходе последнего каскада к току 7ц как в случае, когда цепь
активна, так и при пассивной цепи. Так как предполагается
при этом, что проводимость лампы является частью выходной
цепи, то ток 7ц должен быть тем током, который в действи-
тельности протекает в анодной цепи последней лампы. Его
величина ограничивается допустимой мощностью рассеяния
на аноде, вне зависимости от того, что лампа является частью
цепи обратной связи. Таким образом, параметр k\ определяет
коэфициент полезного действия выходной цепи в случае зна-
чительной мощности, отдаваемой оконечным каскадом усили-
теля. Подобным же образом, параметр определяет эффек-
тивность входной цепи с точки зрения обеспечения значи-
тельной величины отношения сигнал/шум для первой лампы.
Это обстоятельство легче понять, если вспомнить (см. главу V),
456
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
что величина сигнала на выходе, создаваемая единичным ге-
нератором на входных зажимах, будет равна парциальному
коэфициенту усиления, взятому относительно первой лампы,
разделенному на возвратную разность для этой лампы. В то
же время формулы главы V показывают, что ток, протекающий
в выходной цепи за счет действия генератора шумов в пер-
вой лампе, равен току, который протекал бы при нера-
ботающей первой лампе, деленному на возвратную разность
для этой лампы.
При расчете отношения сигнал/шум обе величины F взаимно
уничтожаются, и результат сводится, в сущности, к тому, что
можно было бы получить от усилителя без обратной связи,
соответствующего действительной системе, в которой разо-
рвана петля обратной связи. Вследствие этого параметры и
k't мы будем называть коэфициентами пассивной передачи
входных и выходных цепей. Точно так же должно быть выяс-
нено, какая часть общего усиления работающего усилителя
обусловлена входными и выходными цепями. Это легче всего
установить путем непосредственного изучения выражений для
общего коэфициента усиления. Парциальное усиление какой-
либо из ламп в прямом канале будет, очевидно,	а воз-
вратное отношение для любой лампы соответствует —
Если можно пренебречь непосредственной передачей, то ток,
протекающий в выходной цепи за счет действия генератора Ео,
выражается формулой (5.28) как отношение парциального уси-
ления к возвратной разности. Общее усиление может быть
вычислено с помощью тока	который протекал бы во
внешней цепи, включенной на выходе, если бы усилитель
был изъят, а входная и выходная внешние цепи непосред-
ственно присоединены одна к другой. Это приводит к сле-
дующему выражению для общего усиления:
-0__
е — i-kaka'Gm^ •
(16.23)
Когда усиление замкнутой петли обратной связи велико,
то равенство (16.23) сводится к выражению
e’=-WT-	(16.24)
В этом выражении отношение 2/?0/р0, очевидно, представляет
собой величину усиления, которая может быть приписана
самой p-цепи, тогда как отношения kjk^ и ki/k* характери-
зуют влияния входной и выходной цепей. Эти последние ве-
личины будут названы коэфициентами внешнего усиления или
коэфициентами активной передачи входной и выходной цепей.
Принимая во внимание обозначения, которые были уже при-
Характеристики пассивной передачи
457
няты для различных величин k, мы, очевидно, можем сфор-
мулировать следующую теорему:
Теорема. Коэфициенты активной, передачи входной и вы-
ходной цепей равны в логарифмических единицах разности
между коэфициентом пассивной передачи и коэфициентом
передачи по замкнутой петле данной схемы.
Хотя это соотношение имеет достаточно ясный аналитиче-
ский смысл, его приложения к практическому расчету цепей
не столь определенны, как это может показаться. Это про-
исходит потому, что мы, обычно, интересуемся коэфициентом
усиления и коэфициентом пассивной передачи только в рабочей
полосе частот, тогда как вопрос об обеспечении устойчивости по
петле обратной связи, с учетом коэфициента передачи по зам-
кнутой петле, является особенно важным как раз вне рабочей
полосы. Вследствие этого для практических целей часто ста-
новится возможным рассматривать в ограниченных пределах
эти три параметра передачи как взаимно независимые.
В реальном усилителе различие между коэфициентом пе-
редачи входных и выходных цепей и их эффективностями
при передаче энергии к усилителю и от усилителя, обычно, за-
висит от проводимостей на входных и выходных зажимах
самой р.-цепи. Как было указано ранее, для целей анализа эти
проводимости рассматриваются как часть самих входных и вы-
ходных цепей. Совершенно очевидно, что если эти проводи-
мости сильно возрастают, то как коэфициент пассивной пере-
дачи, так и коэфициент передачи по замкнутой петле соот-
ветственно снижаются. Однако, по теореме Тевенина, измене-
ния в этих параметрах должны быть одинаковыми, и вслед-
ствие этого величина внешнего усилителя остается без измене-
ния. Таким образом, в усилителе низкой частоты обычно не-
заметно различие между коэфициентом внешнего усиления и
коэфициентом пассивной передачи,если не учитывается внутрен-
няя проводимость лампы. С другой стороны, на более высоких
частотах, когда паразитные емкости лампы начинают сильно
сказываться, различие приобретает большее существенное зна-
чение.
8.	Характеристики пассивной передачи и внешнего усиления
входной и выходной цепей промежуточных усилителей
в системе передачи по коаксиальной линии
Примером применения только что изложенной теории могут
служить входные и выходные цепи некоторых усилителей,
примененных в системе передачи по коаксиальной линии г>.
*) См. примечание к стр. 338.
458
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
В этих усилителях применяется схема с обратной связью по
току или схема с катодной связью. Если мы для простоты
рассмотрим схему с обратной связью по току, то общая схема уси-
лителя примет вид, показанный на фиг. 2^0. Входные и выход-
ные цепи являются идентичными. Паразитными элементами
схемы являются емкости С и Со.
Емкости лампы Со являются теми основными реактивно-
стями, которые определяют уровень полного сопротивления
в остальной части цепи Ч Они должны быть возможно меньше
по величине.
Емкость С является заданной кратной величиной емкости Со,
-определенной описанным ниже методом. В действительных
условиях она представляет собой емкость повышающей обмотки
трансформатора, к которой, обычно, добавляется емкость до-
полнительного, параллельно включенного конденсатора. Со-
противление обратной связи Z?) очевидно, равно отношению
напряжения к току, которое в предыдущем рассмотрении обо-
значалось через р0. В соответствии с равенством (16.24), оно
может быть определено как величина, кратная сопротивлению
внешней цепи, после того как найдены требуемое полное уси-
ление и коэфициент передачи входных и выходных цепей.
Эта величина обычно мала по сравнению с другими сопротив-
лениями петли обратной связи.
Легко определить коэфициент передачи kt для этих цепей.
Если мы пренебрегаем малым сопротивлением Zp, то очевидно,
что ki является величиной коэфициента передачи между по-
вышающей обмоткой и внешней цепью, когда к зажимам ука-
занной обмотки подключена полная емкость С-|-Со. Коэфи-
циент передачи может быть получен, если учесть, что напря-
жение обратной связи представляет собой, вообще говоря,
•падение напряжения на сопротивлении Zp, вызванное проте-
канием анодного тока выходной лампы.
Однако из-за наличия емкости Со только часть анодного
тока действительно доходит до Zp. Если снова пренебречь Zp,
по сравнению с другими сопротивлениями цепи, то эта часть
выразится как отношение Z0/(Z-f-Z0) при обозначениях, при-
нятых на фиг. 280. Аналогичным образом, последовательно
соединенные сопротивления Z и Zo образуют у входных за-
жимов потенциометр, с которого подается на сетку равная
^0/(Z + Ze) часть полного напряжения, действующего на Z&.
Эго предполагает наличие высокочастотной широкополосной системы
того типа, который применяется при передаче по коаксиальной линии.
В усилителях низкой частоты предельная величина полного сопротивления
может быть найдена из других соображений, так как проводимости самой
лампы очень незначительны.
Характеристики пассивной передачи
459
Часть Z0/(Z -|- Zo), очевидно, и представляет собой величину
в любом случае.
Соотношение между коэфициентом передачи по замкну-
той петле, коэфициентом пассивной передачи и коэфициен-
том внешнего усиления как для входной, так и для выходной
цепи дает характеристика внешнего усиления в виде увели-
Фиг. 280
ценного в (Z-|-Z0)/Ze число раз коэфициента пассивной пере-
дачи. Этому обстоятельству может быть дано простое физи-
ческое толкование. Предположим, что когда входная *> цепь
начерчена в том виде, как это показано на фиг. 281, Е изо-
бражает напряжение на повышающей обмотке в случае, когда
АА' разомкнуты. Из теоремы Тевенина следует, что напряже-
ние, действующее на емкость. Со при замкнутых концах АА',
будет равно Z0Z/(Z + Zo) и что оно должно соответствовать
напряжению пассивной передачи. Поэтому напряжение внешего
усиления равно самой величине Е. Дру-
гими словами, коэфициент внешнего	А А
усиления будет таким же, как и коэ-	° |р
фициент передачи для самой разомкну-	Е == °
той входной (или выходной) цепи, в слу-	~*z i
чае, когда отсутствует влияние пара- ~	----1-----
зитных проводимостей в прямом канале.
Это можно проверить, если обратиться
к главе V, согласно которой сопроти-
вление активного типа, подключенное
Фиг. 281
к зажимам входной
или выходной цепи усилителя с обратной связью по току,
соответствует, по существу, разомкнутой цепи.
Основной результат, установленный настоящим анализом,
заключается в том, что паразитная емкость, ограничивающая
значение параметров входной или выходной цепи, соответ-
ствует либо С, либо С Со, в зависимости от того, рассматри-
») Принцип взаимности говорит о том, что тот же самый результат по-
лучится и для выходных цепей.
460	Глава XVГ Расчет входных и выходных цепей
ваем ли мы коэфициент внешнего усиления или коэфициент
пассивной передачи. В практических расчетах выбор величины С,
выраженной через величину Со, зависит от того компромисса,
к которому мы придем при выборе коэфициента пассивной пе-
редачи и величины обратной связи. Коэфициент пассивной
передачи, который может быть получен, возрастает в том слу-
чае, когда емкость С очень мала по сравнению с Со. С другой
стороны, коэфициент передачи по замкнутой петле на очень
высоких частотах вырождается в величину С/(С-|-С0). В сле-
дующей главе показано, что можно осуществить максимальную,
в пределах рабочей полосы, обратную связь при прочих не-
изменных условиях, если С очень велико, так что асимпто-
тическое затухание, определяемое величиной СДС-рСо), соот-
ветственно мало. Для практических целей мы можем предпо-
лагать, что найден достаточно хороший компромисс в отно-
шении удовлетворения обоим этим требованиям, если вели-
чина С при обычной полосе выбрана равной от 1,2 Со до 2С0 V.
Точное значение С некритично и в нижеприведенном рассмо-
трении выбрано в качестве параметра расчета. Физическое
значение понятий „внешнее усиление" и „коэфициент пассив-
ной передачи" можно проиллюстрировать с помощью рассмо-
трения тех требований, которые предъявляются к этим вели-
чинам в несколько упрощенной и идеализированной системе
передачи по коаксиальной линии. В подобной идеализиро-
ванной системе внешнее усиление и коэфициент пассивной
передачи равны между собой для любой входной и выходной
цепи 2). Каждая из этих величин, являющихся функцией ча-
стоты, равна половине того значения, какое требуется для
компенсации потерь в линии, соединяющей промежуточные
усилители. Причины, обусловливающие постановку подобных
требований, можно понять из фиг. 282. На фигуре изображен
выходной каскад одного из усилителей, первый каскад сле-
дующего усилителя и находящаяся между ними линия.
*) Нижний предел соответствует теоретическому значению, основанному
на предположении, что основное назначение обратной связи заключается
главным образом в уменьшении величины нелинейных искажений, а коэфи-
циент пассивной передачи определяется отношением сигнала к шуму, в соот-
ветствии с анализом, выполненным в предыдущих разделах. Величина не-
линейных искажений и отношение сигнала к шуму связаны тем обстоя-
тельством, что одна из этих величин может быть улучшена за счет другой
путем изменения уровня сигнала, при котором работает система. Оптималь-
ное согласование этих условий получается в ряде случаев при С=1,2Со>
Если используется большая величина С, то это основывается на необхо-
димости часто выбирать обратную связь, исходя не из величины искажений,
а из других соображений.
2) Как и в предыдущем рассмотрении, предполагается, что входная и
выходная цепи идентичны.
Характеристики пассивной передачи
461
Требования в отношении внешнего усиления входной и
выходной цепей определяются возможностью получить во
всей системе передачи горизонтальную характеристику, не
применяя коррекцию в линии1). Это необходимо по причинам,
которые будут рассмотрены ниже. Для схемы фиг. 282 это
приводит к горизонтальной характеристике передачи между
точками В и С, причем общая характеристика передачи системы
также будет горизонтальной, если усилители рассчитаны таким
образом, что входящая в (16.23) величина (Jo постоянна.
/оризонтальная характеристика —
^Горизонтальная характеристикам
• ।
L. Равное напряжение
для всех каналов
Выход
ная
цепь
Линия с при-
соединенный
ми к ней уст-
ройствами
Вход-
ная
цепь
Равное напряжение-^
для всех каналов
Фиг. 282
Вообще говоря, мы можем, конечно, избежать необходимости
введения коррекции в линии, не определяя внешнее усиление
входной и выходной цепей и предполагая, что 0О изменяется
соответствующим образом с частотой. Однако в реальных уси-
лителях, используемых в системе с концентрической линией,
конструкция 0-цепи должна во всех случаях предусматри-
вать возможность регулирования.
Если система является такой, которая допускает максималь-
ную величину обратной связи, то при этом оказывается за-
труднительным ввести какую-либо значительную величину
коррекции 0-цепи.
Что касается требования к коэфициенту пассивной пере-
дачи, то - оно определяется отношением сигнала к шуму
в системе. Уровень сигнала, при котором работает система, оп-
ределяется, вообще говоря, номинальной мощностью выходной
*) На практике описанный здесь метод коррекции выполняется лишь
частично, так что в линии в действительности имеет место дополнительная
коррекция па низких частотах. Это желательно во всех случаях, так как,
при наличии описанных здесь ненагружепных трансформаторов, сопротивле-
ние промежуточных усилителей дает очень плохое согласование с линией,
и необходимо поддержать некоторый минимум затухания в линии, чтобы
устранить взаимодействие между следующими друг за другом элементами,
состоящими из линии и усилителя.
462
Глава XVI- Расчет входных и выходных цепей
лампы усилителя, причем мы можем предположить, что
лампа будет работать с максимальной эффективностью, если
уровень сигнала на ее сетке, соответствующий точке А на
фиг. 282, будет одинаков для всех каналов. Так как наличие
экранировки коаксиальной линии позволяет не принимать
во внимание внешние помехи, то можно считать, что шумы
будут создаваться сопротивлением и лампой первого каскада
усилителя. Эти две составляющие шумов могут быть пред-
ставлены в виде напряжений, появляющихся соответственно
в точках Е и D на фиг. 282, причем их величины не будут
изменяться с частотой. При установлении требований мы будем
предполагать, что шумы лампы имеют большее значение^ чем
шумы за счет сопротивления. Тогда отношение сигнал/шум
в системе зависит от коэфициента передачи между точками
А и D. Этот коэфициент передачи может быть назван коэфи-
циентом пассивной передачи одного звена системы коаксиаль-
ного кабеля1).
В целом мы, очевидно, сможем получить наибольшее зна-
чение коэфициента пассивной передачи звена, если в линии
отсутствуют потери. Это является причиной, приводящей к кор-
ректированию системы за счет характеристик внешнего уси-
ления трансформаторов, как это было только что описано.
Если бы характеристика усиления самих трансформаторов
была горизонтальной, то характеристика коэфициента пассив-
ной передачи звена была бы наихудшей для верхнего канала
системы, когда затухание линии является наибольшим, и посте-
пенно улучшалась бы на более низких частотах. Однако, когда
предполагается, что характеристика пассивной передачи транс-
форматора имеет заданную форму, то усиление верхних кана-
лов будет улучшаться за счет других каналов до тех пор,
пока полная характеристика звена от А до D не станет постоян-
ной на всех частотах в пределах рабочей полосы. Очевидно,
это соответствует оптимальным условиям, если качество
системы оценивается с помощью отношения сигнала к шуму
в ее наихудшем канале. Попутно следует отметить, что если
мы предположим, что основное значение имеют шумы за счет
сопротивления а не шумы лампы, то анализ будет вестись
тем же путем, за исключением того, что теперь уже должна
х) Более полное рассмотрение этой, а также других сторон вопроса,
относящегося к коэфициенту пассивной передачи, дается в патенте Боде —
U. S. Patent №2,242,878. Можно также распространить дальше понятие коэфи-
циента пассивной передачи, чтобы сделать возможным применение этого
понятия к передаче в сложной системе связи, включающей промежуточные
усилители, или распространить его на такие случаи, как передача телеви-
зионных сигналов, где помехи, соответствующие по своему характеру шумам,,
имеют в различных частях полосы различное относительное значение.
 Примеры, проектирования 463
быть горизонтальной характеристика передачи от точек А до Е,
так что в данном случае одна лишь характеристика пассивной
передачи выходной цепи будет обеспечивать корректирование.
Таким образом, характеристика входной цепи должна быть
горизонтальной, если шумы лампы не имеют существенного
значения.
9. Примеры проектирования ненагруженных
входных и выходных цепей
В качестве заключительного раздела настоящей главы рас-
смотрим расчет цепи, поясняющей на примере применение
теоремы о разомкнутых входной и выходной цепях, рас-
смотре. ной в начале главы. Предполагается, что цепь пред-
назначается для усилителя с обратной связью по току того
типа, который был описан в предыдущем разделе, и что для
этой цепи характеристика внешнего усиления и характери-
стика пассивной передачи
должны приблизительноудо-
влетворить предъявленным
там идеальным требованиям.
В соответствии с указанным
рассмотрением, характери-
Ro

СТ
^0
стика внешнего усиления и	Фиг. 283
характеристика пассивной
передачи зависят соответ-
ственно от Ri и /?2, т. е. от вещественных4 составляющих
полных сопротивлений Zx и Z2, изображенных на фиг. 283.
Эти два активных сопротивления, очевидно, должны быть
равны в пределах всей рабочей полосы частот, так как физи-
чески ясно, что они будут равны на низких частотах и что
требования в отношении коррекции одинаковы для характе-
ристики усиления и характеристики пассивной передачи. Однако
вне рабочей полосы частот обе характеристики сопротивления
должйы быть различны, так как они соответствуют различным
ограничивающим емкостям, а потому и различным интегралам
сопротивления. Поскольку характеристика сопротивления /?2
определяет конечное отношение сигнала к шуму, то можно
предположить, что проводимый расчет дает достаточно удовле-
творительные результаты при относительно малом значении
сопротивления вне рабочей полосы.
Проектирование начинается с расчета требуемых характе-
ристик для Ал или /?2. Чтобы скорректировать половину потерь
мощности между промежуточными усилителями, эта характе-
ристика должна изменяться по закону , где а представляет
собой полное затухание линии для промежуточного звена.
464
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
Предположим, что а равна 40 дб на высшей частоте и изме-
няется по закону f, что соответствует действительным
условиям для затухания при длине обычного концентриче-
ского кабеля порядка 5 миль, в случае когда высшая частота
равна 2 мгц. Тогда мы приходим к характеристике сопротив-
ления, показанной кривой / на фиг. 284. Пока не будем при-
нимать во внимание масштаб графика и отвлечемся от рас-
смотрения той части его, которая лежит за краем рабочей
полосы и соответствует <о = <о0. Конечно, в практической
схеме нельзя ожидать, что удастся подобрать характеристику
трансформатора на низких частотах таким образом, чтобы это
соответствовало приведенной кривой. Если мы предположим,
что имеются только обычные возможности в отношении регу-
лировки, то при проектировании можно считать, что реальная
характеристика сопротивления принимает какую-то форму,
сходную с кривой II. Ввиду того что предельное значение дан-
ных цепи зависит от интеграла сопротивления, оказывается
возможным, даже при указанном выше выборе характеристики,
реализовать большую часть тех преимуществ, которые теоре-
тически могут быть получены при использовании наклонной,
а не горизонтальной характеристики.
Далее нужно установить, какому условию следует удовле -
творить, если оба сопротивления и /?2 равны между собой
и соответствуют той характеристике, которая определена
•фиг. 284. При этом предполагается, что соответствующие
полные сопротивления и Z2, приведенные на фиг. 283,
отличаются только параллельной емкощью Со. Легко видеть,
что искомое условие заключается в том, что соответствующие
Примеры проектирования
465
данным характеристикам реактивные сопротивления Ху и "Хг
будут определяться в виде
Хх= — X. = 4-11 — V 1 — ®’(16.25)
<ои0
где 7?, так как это указано на фиг. 284, представляет собой
либо /?ь либо Реактивное сопротивление, определенное
этим равенством, будет оставаться малым, пока мала величина
<»€«/?, но оно начнет быстро возрастать, когда величина <»Св7?
приближается к единице, в то время как при значении, боль-
шем единицы, решение перестает быть возможным. На фиг. 284
шкала сопротивления выбрана таким образом, что максималь-
ное значение величины <oC0R равно 0,95. Эта величина при-
ближается к максимально возможному значению, но соответ-
ствует небольшому запасу, во избежание резких изменений,
которые появляются при слишком близком приближении, к
предельному значению. В частности, если мы имеем дело
с кривой II фиг. 284, то результирующая характеристика при-
нимает вид, соответствующий кривой / фиг. 285.
К сожалению, установление требуемой характеристики ре-
активного сопротивления недостаточно для того,чтобы полу-
чить возможность приступить к проектированию. Чтобы
осуществить систему в целом, мы должны удостовериться
в том, что реактивное сопротивление физически соответствует
заданному активному сопротивлению. Этот вопрос легче всего
разрешается для области нижних частот, захватывающей при-
мерно от половины до двух третей всей полосы частот. В этой
30 Зак. 1327
4$$	Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
области величина реактивного сопротивления будет почти равна
нулю, что легко показать либо с помощью равенства (16.25),
либо исходя из общих соотношений между вещественной и
мнимой составляющими функций цепи, которые были рассмот-
рены в предыдущих главах. Во всех случаях нет необходи-
мости в получении точно заданной характеристики реактивного
сопротивления для обеспечения на этих частотах важного
равенства между сопротивлениями и Т?2-
Вблизи верхней границы полосы частот можно воспользо-
ваться следующим обстоятельством: используемое реактивное
сопротивление, которое должно соответствовать требуемому
активному сопротивлению, будет в значительной степени зави-
сеть от поведения активного сопротивления непосредственно
за пределами рабочей полосы. Так как на эту часть характе-
ристики сопротивления не было пока наложено определенных
требований, то она может быть использована для получения
такого реактивного сопротивления, которое требуется равен-
ством (16.25). Подобный подбор становится особенно простым,
если мы имеем дело с /?2 и Х2, а не с AS и Хъ так как зна-
чение сопротивления AS заепределами рабочей полосы частот
много меньше, чем значение сопротивления AS, как это было
установлено из предыдущего рассмотрения. Таким образом,
характеристика сопротивления R2 вне рабочей полосы во всех
случаям будет относительно быстро спадать до нуля, и чтобы
получить самую величину требуемой реактивности, нужно
будет только несколько подрегулировать степень различия
спадания характеристики.
Чтобы выполнить это, мы начнем с расчета реактивного
сопротивления, которое соответствует заданной характеристике
активного сопротивления в пределах рабочей полосы частот.
Если мы применим аппроксимацию кривой II фиг. 284 с помощью
отрезков прямых, показанных пунктиром, и воспользуемся,
кроме того, графиками главы XV, то это даст график реактив-
ного сопротивления, изображенный в виде кривой II на
фиг. 285. При со = <о0 реактивное сопротивление равно 0,5, в то
время как требуемое реактивное сопротивление, показанное-
кривой /, равно —0,7. Необходимая разность, равная —1,2,
должна быть добавлена за счет характеристики активного
сопротивления вне рабочей полосы частот. В качестве пред-
варительного предположения мы можем считать, что характе-
ристика активного сопротивления вне рабочей полосы частот
представляет собой спадающую прямую, как это показано
пунктирной линией ПГ на фиг. 284. И в этом случае с помощью
графиков мы ^найдем, что необходимая величина реактивного
сопротивления при <о0 будет получена, если спадающая харак-
теристика будет соответствовать <о=1,04<о0. Чтобы придать '
Примеры проектирования
467
решению более реальный характер, можно заменить спадаю-
щую линию наклонной прямой, обозначенной HI (фиг. 284).
Это вносит очень незначительное количественное изменение
в результат, рассматриваемый в настоящем примере. Полная
характеристика реактивного сопротивления, соответствующая
наклонной линии, показана кривой III на фиг. 285. Результи-
рующая кривая IV для кривых II и IIIдает хорошее соответ-
ствие с характеристикой требуемого реактивного сопротивле-
ния, показанной с помощью кривой /. Соответствие с требуемым
реактивным сопротивлением не является полным в промежу-
точном интервале между = 0,5 <»0 и <о = 0,8со0. Однако при
практических расчетах, где могут быть допущены относительно
большие отклонения в величине коэфициента пассивной пере-
дачи, при точно установленной величине внешнего усиления
можно не принимать во внимание разность между величинами
/?! и /?2, которой и соответствует это расхождение характе-
ристик.
Если от входной и выходной цепей требуется большая
степень коррекции, то общий ход анализа будет тем же.
Однако реактивное сопротивление, соответствующее кривой //
(фиг. 285), будет при этом возрастать, так как оно отра-
жает наклон характеристики активного сопротивления в пре-
делах рабочей полосы. Это требует более резкого спада
характеристики активного сопротивления вне рабочей полосы
частот для обеспечения нужной величины реактивного сопро-
тивления у края полосы. При этом будет иметь место увели-
чение расхождения между кривыми I и IV.
Остальная часть процесса проектирования следует описан-
ным ранее в данной главе известным правилам и не нуждается
в подробных пояснениях. Следующий шаг расчета заклю-
чается в вычислении площади, ограниченной линиями II пШ
фиг. 285. Если мы примем во внимание небольшой уча-
сток в высокочастотной части характеристики активного
сопротивления, показанной пунктирной линией ПГ на фиг. 284,
то площадь окажется равной 0,53, если ее выразить в тех
единицах, в каких вычерчена кривая. Поскольку мы имеем
дело с характеристикой /?2, для которой ограничивающей
емкостью является емкость С Со, то из теоремы об интеграле
сопротивления (16.1) следует также, что площадь, взятая в этих
единицах, будет равна (т^/2) [С*0/(С* —j—С*о)]. Вследствие этого мы
найдем, что величина С = 1,96С0.
Чтобы продолжить расчет, мы сначала вычислим сопротив-
ление Z3 (фиг. 283), вычитая сопротивление параллельной
емкости СЧ~С0 из сопротивления Z2, определенного из фиг. 284
и 285. При выполнении этого расчета реактивная состав-
ляющая сопротивления Z2, конечно, должна быть взята согласно
зо*
468
Глава XVI. Расчет входныхи выход них цепей
кривой IV, а не кривой I фиг. 285, так как было бы беспо-
лезно пытаться перешагнуть за пределы того, что физически
осуществимо. Полное сопротивление, полученное на основании
расчета, показано на фиг. 286. Далее подберем по веществен-
ной составляющей это-
го нового полного со-
противления соответ-
ствующую схему типа
минимального реактив-
ного сопротивления.
Это приходится делать
методом подгонки па-
• раметров. Для рассма-
триваемого случая под-
ходящая система най-
дена в виде, указанном
на фиг. 287. Величины
элементов, указанные
“	1}о на схеме, соответству-
ют случаю, когда ча-
Фиг. 286	стота и полное сопро-
тивление выражены
через о>0 и 1/<»0С0. Легко найти результат, если учесть, что со-
противление /?з, которое требуется определить, удовлетворяет
соотношению
R =
3 ’
(16.26)
где Xt и Xt являются соответственно реактивными сопротив-
лениями противорезонансного контура и емкости. Максималь-
ное значение величины RJX\, очевидно, получается при
0,124
Фиг. 287
Фиг. 288
Х14--Х’з = 0. Но так как Х<,_ должно изменяться по закону
<о-1, то нужно лишь вычертить график величины <о4/?3
для определения положения максимума. Когда оно прибли-
женно найдено, остальная часть расчета выполняется легко.
Примеры, проектирования
469
Эю приводит к такому соответствию с требуемой характери-
стикой /?8, какое показано крестиками на фиг. 286.
В качестве последнего шага расчета было вычислено
реактивное сопротивление цепи, обеспечивающей подбор
необходимой величины активного сопротивления. Найденное
реактивное сопротивление было вычтено из величины Х3 на
фиг. 286. Соответствующая разность может быть представлена
в виде последовательной индуктивности. Крестики на кривых
фиг. 286 показывают точность полученных результатов, когда
Фиг. 28S>
индуктивность выбрана равной 0,660, если ее выразить в тех
единицах, которые применялись прежде. Если мы включим
также и паразитную емкость, то полная цепь принимает вид,
указанный на фиг. 288. Ее можно преобразовать в схему с
трансформатором, если рассматривать последовательную индук-
тивность в качестве индуктивности рассеяния трансформатора
так же, как это уже рассматривалось в связи со схемой фиг. 262.
Окончательные характеристики для сопротивлений 7?i и У?8
даны на фиг. 289. Крестики обозначают точки, перенесен-
ные для сравнения с первоначальной характеристикой на
фиг. 284.
Последовательная индуктивность, получение я в качестве
последнего элемента расчета, требует некоторых пояснений.
Из приведенного выше в этой главе рассмотрения следует,
что характеристика реактивного сопротивления, которая должна
быть получена на последнем этапе расчета, всегда является
470
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
характеристикой физически осуществимой реактивной цепи.
Казалось бы, что требуемая цепь только случайно мо-
жет представлять собой катушку индуктивности, причем
в этом случае эту катушку можно отождествить с индуктив-
ностью рассеяния трансформатора. В действительности
Фиг. 290
подобный результат можно получить, если точно подобраны
остальные элементы системы и, в частности, если величина С
определена на основании теоремы об интеграле сопротивле-
ния. Для иллюстрации этого положения расчет был выполнен
вторично в предположении, что величина выбрана равной 1,75 Со,
в то время как ее точное значение соответствует 1,96 С^.
При указанном значении С мы получаем новые характеристики
для и Х3, несколько отличающиеся от тех, которые были
l2
показаны на фиг. 286. Однако
вновь найденная величина /?3 мо-
жет быть представлена схемой
того же типа, который был вы-
бран раньше, и почти с такой же
степенью точности.
Фиг. 291	Основное расхождение в ре-
зультатах возникнет, когда мы по-
пытаемся выбрать последовательное реактивное сопротивле-
ние. Это обстоятельство видно из фиг. 290. Кривая / соот-
ветствует тому реактивному сопротивлению, которое имеет
место согласно данным прежнего расчета, а кривая//—реак-
тивному сопротивлению, полученному согласно новому расчету.
Первая кривая довольно точно представляет собой прямую
линию, в то время как вторая кривая слегка загибается вверх.
Это потребует введения противорезонансного контура с до-
вольно удаленной частотой резонанса, с тем, чтобы получить
Замечания практического характера
471
кривую с той же степенью точности, которая была принята
в остальной части расчета. Если мы введем такой контур, то
схема фиг. 288 заменится схемой, показанной на фиг. 291.
В дополнение к первоначальным паразитным емкостям С и Со
на высоких частотах в схеме будет сказываться новая емкост-
ная цепь, состоящая из последовательно соединенных емко-
стей и С3, причем эта новая цепь как раз достаточна для
того, чтобы скомпенсировать влияние разности емкостей, рав-
ной разности величин емкости С для обоих рассмотренных
случаев, т. е. 1,96 Со — 1,75 Со-
Обратно, если бы мы предположили, что емкость С слиш-
ком велика, то мы могли бы ожидать, что требуемое реактив-
ное сопротивление должно быть таким, какое соответствует
параллельному соединению индуктивности с „отрицательной
емкостью", причем характеристика в этом случае изображалась
бы в виде загнутой вниз пунктирной кривой III (фиг. 290).
Если встречается любая из этих характеристик реактивного
сопротивления, то следует выполнить вновь расчет, с тем,
чтобы уточнить значение величины емкости С. Характеристика
неправильной формы, не соответствующая ни одной из ука-
занных категорий, является признаком допущенной неточности
в предыдущих расчетах.
10. Замечания практического характера
Только что рассмотренный иллюстративный расчет перво-
начально предназначался в качестве примера применения
методов, разработанных в предыдущих главах, а не в каче-
стве образца для практического проектирования. Главными
возражениями против подобного расчета являются излишняя
точность, с которой проверяется ха-
рактеристика пассивной передачи, и
чрезмерная избирательность цепи.
Оба эти обстоятельства связаны тем
.фактом, что острая избирательность
использовалась с целью получения
такой реактивной составляющей, ко-	фиг 292
торая сделает идентичными характе-
ристику пассивной передачи и харак-
теристику внешнего усиления у края полосы. Селективность
может быть понижена путем ослабления этого требования и
применения несколько, менее точного расчета, включая сюда
и худшее приближение максимума сопротивления к значению,
равному
Примеры практических схем с несколько пониженной изби-
рательностью показаны на фиг. 292 и 293. Они предназначены
472	Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
для усилителей с рабочей полосой частот порядка 2 или
3 мгц. На фиг. 292, вместо определяющих сопротивление
параллельной емкости и противорезонансного контура фиг. 288,
поставлена просто емкость Остальные элементы выпол-
няют свои прежние функции. На фиг. 293 сопротивление /?3
определяется тремя элементами Сь Lr и Са, на основании
методов, описанных в связи с равенством (16.21)1).. В этой
цепи индуктивность рассеяния отождествлена с L3. Подбор
величины Х3 выполняется с помощью отдельной катушки Lt,
имеющей паразитную емкость, показанную на схеме в виде
конденсатора С3. Сама паразитная емкость автоматически
появляется при создании эквивалента величины Х3, если эта
емкость заранее учитывается как
L2	часть общего высокочастотного
пути через цепь, в соответствии
с тем рассмотрением, которое
Св было дано в связи с фиг. 290
и 291. В этой цепи изменено
также физическое значение, ко-
фиг 293	торое должно быть приписано
величинам Со и С. В рассмо-
тренных ранее усилителях с
обратной связью по току эти емкости были отождествле-
ны соответственно с емкостью лампы и емкостью подклю-
ченного к повышающей обмотке трансформатора. Однако
усилитель, в котором используется схема фиг. 293, имеет
обратную связь типа катодной связи, уже приводившуюся на
фиг. 25. Так как замена обратной связи по схеме с катодной
связью на обратную связь по току связана с отключением
катодов входных и выходных ламп от земли, то следует де-
лать различие между емкостью сетка — катод или емкостью
анод—катод и, соответственно, емкостями сетки и анода по
отношению к земле. Эти емкости, очевидно, могут быть
отождествлены соответственно с Со и С на фиг. 293. Следует
заметить, что при катодной связи емкость цепи пассивной
передачи С4~С0 является такой же, как общая емкость лампы,
если не считать небольших параллельных емкостей. В то же
*) В данном частном случае рассматриваемого усилителя требование в
отношении коэфициента пассивной передачи распространяется только до
частоты в 2 мгц; однако требуется очень точная характеристика внешнего
усиления во всей высокочастотной области, простирающейся доЗ мгц. При-
менение трех элементов продиктовано как раз необходимостью сделать
• очень точной характеристику внешн го усиления на высоких частотах, а не
формой характеристики, требуемой на частотах ниже 2 мгц, где характери-
стика пассивной передачи и характеристика внешнего усиления рассматри-
ваются совместно.
Замечания практического характера
473
время в усилителе с обратной связью по току емкость лампы
соответствует только емкости Со, а сумма С 4- Со обязательно
имеет значительно большее значение. Это уменьшение емкости,,
наряду с улучшением качественных показателей, которые
здесь удается получить, является одним из главных преиму-
ществ применения схемы с катодной связью в системах, рабо-
тающих на высоких частотах.
Предположение о том, что в практических схемах входная
и выходная цепи должны быть менее селективными, чем
цепь, приведенная в качестве примера и рассмотренная в пре-
дыдущем разделе, сделано отчасти для того, чтобы учесть,
влияние потерь, которые прежде не принимались во внима-
ние. Ввиду малости той величины, до которой падает значе-
ние сопротивления на
фиг. 286, совершенно ясно, что
любое заметное по величине
активное сопротивление, под-
ключенное к конечной ин-
дуктивности в цепи, будет
поглощать значительную часть
мощности, подаваемой в си-
стему. Это особенно важно
для схемы фиг. 292, где ин-
дуктивность представляет со-
бой индуктивность рассеяния
трансформатора и имеет, от-
носительно низкое Q. Мень-
шее значение это имеет для
цепей такого типа, как указано на фиг. 293, на которой,
конечная индуктивность представляет собой отдельную ка-
тушку и может быть выполнена с более высоким Q.
Другая причина к тому, чтобы стремиться получить цепь
с неслишком большой селективностью, связана с характери-
стикой передачи для петли обратной связи. В рабочей
полосе частот характеристика передачи замкнутой петли
обратной связи полностью определена требованиями в отно-
шении внешнего усиления и пассивной передачи, так как она
зависит только от сопротивлений и Z2 (фиг. 283), которые
определены как раз этими же самыми требованиями. Более
того, величина передачи по петле изменяется от затухания,
равного нулю на нулевой частоте, до затухания, определяе-
мого величиной 1/(С + С0) на бесконечной частоте.
Если отношение С к Со найдено, то, согласно формуле
(13.19), это должно соответствовать некоторой определенной
площади, образуемой фазовой характеристикой. Так как фазо-
вая характеристика в пределах рабочей полосы определена,
474
Глава XVI. Расчет входных и выходных цепей
то и площадь, ограниченная фазовой кривой за пределами
полосы, также известна. Однако, с точки зрения практики,
имеется большое различие в том, как эта площадь была опре-
делена. Например, сплошная линия на фиг. 294 показывает
фазовый сдвиг по петле для случая схемы, рассмотренной
в предыдущем разделе. Соответствующая характеристика
усиления показана на фиг. 295. В данном случае цепь обла-
дает настолько большой селективностью, что оказывается
возможным пренебречь активной составляющей сопротивления
повышающей обмотки трансформатора, и оба сопротивления,
входящие в потенциометр петли обратной связи на частотах,
лежащих за пределами рабочей полосы, сводятся к емкостным
сопротивлениям. Так как емкостной потенциометр не может
создать сдвиг фаз, то это зна-
чит, что площадь, ограничен-
ная фазовой кривой, уклады-
вается в узкой области у края
рабочей полосы и что харак-
теристика должна иметь зна-
чительный пик. Теоретически
возможно скомпенсировать
наличие такого пика при
проектировании одного из
элементов петли обратной
связи, такой, например, как
межкаскадная цепь, так что
полная характеристика петли
сведется к одной из плавно
изменяющихся кривых, рассмотренных в следующей главе.
Однако очевидно, что подобная компенсация может быть
выполнена с весьма большим трудом, особенно, если при-
нять во внимание тот факт, что должны быть рассмотрены
обе цепи: входная и выходная. Расчет полной замкнутой
цепи значительно упрощается, если цепи сделаны менее изби-
рательными, так что площадь, ограниченная фазовой кривой,
может быть растянута по более широкой области, как в пер-?
вом приближении показано пунктиром на фиг. 294.
ГЛАВА XVII
ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ТЕОРЕМ К ПРОЕКТИРОВАНИЮ
МЕЖКАСКАДНЫХ ЦЕПЕЙ
1.	Введение
В Этой главе продолжается рассмотрение вопросов проек-
тирования отдельных элементов усилителя, которое было
начато в предыдущей главе. Устройства, рассматриваемые
здесь, представляют собой межкаскадные цепи. В настоящей
главе, так же как и в предыдущей, матерел, в сущности,
дается лишь в качестве иллюстрации применения формул инте-
грирования по контуру и не претендует на полноту.
В усилителе с обратной связью наиболее удобным типом
межкаскадных цепей обычно являются двухполюсные схемы,
т. е. схемы, составленные из простых параллельных сопроти-
влений. Четырехполюсные межкаскадные цепи, состоящие
из сопротивления, включенного последовательно между анод-
ной емкостью одной лампы и сеточной емкостью следующей
лампы, обычно вызывают в петле обратной связи сдвиг фаз,
который недопустимо велик, за исключением случая, когда
последовательное сопротивление настолько мало, что схема не
отличается существенно от двухполюсной цепи. Целью анализа
является рассмотрение двухполюсных межкаскадных цепей
с помощью одной основной теоремы, которая связывает усиле-
ние межкаскадной цепи1) в рабочей полосе и фазовый сдвиг
вне полосы с паразитной емкостью схемы. После рассмотрения
этой теоремы мы обращаемся к случаям, когда представляет
интерес лишь характеристика усиления, а фазовая характе-
ристика не играет существенной роли, а также к случаям,
когда предъявляются определенные требования как к уси-
лению, так и к фазовому сдвигу.
*) Строго говоря, слово „усиление" должно применяться ко всему уси-
лительному каскаду, включая как лампу, так и межкаскадную цепь. Так,
в обозначениях фиг. 296, усиление каскада и фазовый сдвиг определяются
выражением
In £1/E0 = lnGmZ,
где Gm = IiJEb представляет собой крутизну предыдущей лампы. Однако
так как Gm является просто заданной постоянной, то расчет сводится
к вычислению In Z.
476 Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
Глава заканчивается кратким учетом соответствующих огра-
ничений, которые можно ожидать в четырехполюсных меж-
каскадных цепях в тех случаях, когда рассматривается лишь
одна характеристика усиления.
2.	Общие, теоремы для двухполюсных межкаскадных цепей
Двухполюсная межкаскадная цепь изображена на фиг. 296.
В соответствии с методом уравнений узловых напряжений,
изложенным в главе I, анодная цепь представлена в виде
генератора тока. При этом внутреннее сопротивление Rp оказы-
вается включенным параллельно остальной части межка-
скадной цепи, подобно тому как У3 включено параллельно Yt
на фиг. 9.
Активное сотуэотивление сеточной цепи на фиг. 296 обозна-
чено через Rg, а общая паразитная емкость — через С. Элементы
меж каскадной цепи, подлежащие выбору при проектировании,
за исключением таких элементов, как
переходные конденсаторы, влияющие
на работу схемы только на очень
низких частотах, представлены двух-
полюсником Z'. Совместно с Rp, Rg и
С они образуют общее межкаскад-
ное сопротивление Z.
Сеточное активное сопротивление
и внутреннее сопротивление. лампы
введены здесь для полноты рассмотрения. Однако в боль-
шинстве широкополосных схем в качестве ламп использу-
ются пентоды, у которых Rp и Rg являются очень большими
сопротивлениями по сравнению с сопротивлением межкаскад-
ней цепи. Поэтому они обычно не учитываются в приведен-
ных ниже схемах. Общие теоремы этой главы остаются спра-
ведливыми даже в тех случаях, когда Rp и Rg играют
существенную роль, но вычисления максимально возможного
усиления межкаскадных цепей должны вестись несколько иным
образом, так как эти вычисления основываются на) предполо-
жении, что межкаскадная цепь ведет себя вне интересующего
нас диапазона частот как чисто реактивное сопротивление.
Простейший из результатов, который может быть получен
для схем того типа, который показан на фиг. 296, заключается-
в установлении зависимости между усилением, даваемым реаль-
ной межкаскадной цепью, и усилением, которое получилось
бы при удалении полностью всей цепи Z', за исключением
может быть дросселей, обладающих бесконечной индуктивно-
стью, через которые питание подводится к лампам. Эта зави-
симость сформулирована в виде следующей теоремы:
Общие теоремы для двухполюсных межкаскадных цепей 47?
Теорема. Среднее усиление по всему диапазону частот
реальной межкаскадной цепи, включая заданную паразит-
ную емкость С, не может быть больше, чем усиление, полу-
чающееся, когда цепь состоит из одной емкости С.
Для доказательства теоремы необходимо просто положить
О —1п/о> CZ. Вблизи бесконечной частоты мы можем записать
(17.1)
откуда для 6
выражение:
в первом приближении получим следующее
6^In Г1 -r-zЯklC
I 1 (О I	(О
(17.2)
Следовательно, если мы отождествим это значение с тем,
которое определяется равенством (13.6), то получим Доо=0,
В0О = ^|С'. Таким образом, результат, полученный в главе ХШ,
Дает
J In | i<»CZ | dm = - J kfi.	(17.3)
о
Подинтегральное выражение левой части этого равенства
является разностью между усилением, которое получается при
реальном межкаскадном сопротивлении Z, и тем усилением,
которое получилось бы при
наличии одной лишь емко-
сти С. Как можно видеть из
равенства (17.1), величина
в правой части равенства в
1/С* раз больше активной про-
водимости цепи при бесконеч-
Фиг. 297
ной частоте и поэтому она не может быть отрицательной.
Таким образом, среднее усиление реальной межкаскадной
цепи не может быть больше, чем усиление, которое полу-
чается в случае одной лишь емкости С. Оно будет равно
усилению, получаемому при наличии одной лишь этой емко-
сти, когда активная проводимость при бесконечной частоте
равна нулю.
478	Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
В качестве примера применения теоремы предположим, что
межкаскадная цепь имеет вид, показанный на фиг. 297. Соот-
ветствующие этому случаи характеристики усиления изобра-
жены сплошной кривой / на фиг. 298, а характеристика уси-
ления, которая получилась бы при наличии только одной
емкости, дана пунктиром. В данном случае проводимость на
бесконечной частоте равна нулю, и средняя высота обеих
кривых одна и та же. Если из нашей цепи, однако, исключить
катушку, то кривая усиления II при этом будет проходить
даже ниже, чем это было бы в случае одной емкости.
Разумеется, недостатком полученного результата является
то обстоятельство, что он включает данные, относящиеся
к коэфициенту передачи межкаскадной цепи в пределах всего
спектра частот. На практике нас обычно интересует величина
усиления для некоторой заданной конечной полосы, которую
для определенности мы можем считать лежащей в пределах
от 0 до о)0. Задачу подобного рода можно решать, пользуясь
скорее уравнением (13.36), чем уравнением (13.6).
Удобно также, хотя это и не является необходимым, пред-
положить, что выражение In i^CZ (которое ранее использо-
валось вместо 6) заменено на In ~	) CZ. Так
как в дальнейшем будет показано, что проводимость межка-
скадной цепи, дающей максимально возможное равномерное
усиление между 0 и <»0 будет (]/'о>о — ш*2 До) С, то подоб-
ная замена эквивалентна использованию этой межкаскадной
цепи, а не чистой емкости С в качестве эталона, с которым
сравнивается сопротивление Z. Пока мы интересуемся пове-
дением системы на бесконечной частоте, поэтому оба опреде-
ления 6 равноценны. Если мы введем новое значение 6 и
поставим его непосредственно в соотношение (13.36), то
получим
71п 41	+ A cz\ г в
-------= -	-7--^.--- tZ<o, (17.4)
J у 1 — <о2К	J *	1
О	°
где, величина В, входящая в правую часть равенства, для
краткости обозначения сохранена как мнимая составляющая 6.
Выражение может быть несколько упрощено, если написать
1nZ = a-|^/p. Это позволяет заменить В через ^/2 + 0. В левой
части равенства числитель подинтегрального выражения ста-
новится равным
а In -1 | / со2 — о2 4- /со ; С,
Общие теоремы для двухполюсных межкаскадных цепей 479
что можно также записать как а -In (ш0 С/2), так как модуль
|/ <1>о — в пределах интегрирования равен %. Это позво-
ляет переписать (17.4) в виде
(О0	оо
f а .1 I Г In(%C/2)	Г	тг/2 + 3
I	/,---I /	7 </<» = —	I	/—:-т- - d<0	(17.5}
J	1/1 —(О2/^	J /l—ш2/^	I	/ «,«/«>* — 1	v
О	CD о
или, если проинтегрируем второй член, то
1	оо
а . /<о\ . f ~/2 + ?	/<о \	71.	2
~7-~- —d (т I / о~	d ()	о поГс* (17.6У
1/1—«в2/^ Vе»' J У ш2/^ —1	'“о/	2 ш»с	4	'
О	1
Равенство (17.6) представляет собой важнейший результат на-
стоящей главы. Его физический смысл легче понять, если мы
на момент предположим, что второй интеграл отсутствует.
Тогда равенство дает соотношение между усилением а в пре-
делах рабочей полосы и паразитной емкостью С. Если в рабо-
чей полосе задана относительная величина усиления на различ-
ных частотах, то из приведенного соотношения легко опреде-
лить, каков может быть абсолютный уровень усиления.
Рассматривая теперь второй интеграл, замечаем, что вели-
чина J3, ввиду того, что она характеризует фазовый угол Z*
fyyjyw приближаться на высоких частотах к —^/2 по мере того,
как сопротивление Z начнет вырождаться в паразитную
емкость С. Однако мы не можем приписать £ большего отри-
цательного значения, чем —~/2, так как Z не может иметь
отрицательной составляющей сопротивления. Поэтому второй
интеграл в (17.6) всегда либо положителен по знаку, либо
равен нулю, и сделанное ранее предположение о том, что
им можно пренебречь при подсчете усиления, соответствует
оптимальному случаю. Мы можемлакже отметить, что оптимум
может быть осуществлен только, если активная составляющая
сопротивления Z за пределами полосы равна нулю, так что
межкаскадная цепь, дающая максимальную абсолютную вели-
чину усиления, всегда представляет собой фильтр с идеальной
селективностью, независимо от того, каким образом задана
величина относительного усиления в различных точках рабо-
чей полосы *). В усилителях без обратной связи с комплексной
нагрузкой требование получения достаточного приближения
к идеальному фильтру представляет собой основное сообра-
х) Очевидно, что при этом предполагается также, что проводимостью
сеточной и анодной цепей можно пренебречь. См. соображения, изложен-
ные в связи со схемой фиг. 296.
480	Глава XVH. Проектирование межкаскадных цепей
жение, которое должно учитываться при проектировании.
Положение вещей здесь, вообще говоря, сходно с тем, кото-
рое мы имели в предыдущей главе в отношении входных и
выходных цепей. С другой стороны, чтобы получить устойчи-
вость схемы в усилителях с обратной связью, необходимо
установить определенные требования к межкаскадной цепи по
фазовому углу, по крайней мере, для некоторой части области,
лежащей за пределами рабочей полосы. В этом случае вто-
рой интеграл может быть использован для определения,
насколько должно быть уменьшено усиление в рабочей полосе
для получения некоторой заданной величины запаса между
Действительным значением фазового сдвига и сдвигом при на-
личии одной чистой емкости, которая имеет место в системе,
обеспечивающей максимум усиления. Вычисления подобного
рода рассмотрены более подробно в следующих разделах.
Вышеизложенное рассмотрение приводит нас к выводу,
представляющему существенный интерес в связи с рассмотрен-
ной ранее теоремой. Так как межкаскадная цепь, обладающая
максимальным коэфициентом передачи в рабочем диапазоне,
имеет вне пределов полосы фазовый угол — л/2, то она не
может иметь заметной активной составляющей проводимости
в'этой области. На основании предыдущего анализа мы можем
сформулировать следующую теорему:
Теорема. Среднее усиление двухполюсной межкаскадной
цепи, включающей данную паразитную емкость С, будет
.всегда одним и тем же в пределах полного спектра частот,
если цепь относится к тому типу, который обеспечивает
максимальный абсолютный уровень усиления в пределах
данной конечной полосы, независимо от того, каким обра-
зом изменяется характеристика усиления за пределами
данной полосы. Эта величина будет равна среднему усиле-
нию, которое получилось бы, если бы цепь состояла только
мз одной емкости С. '
Другими словами, если мы используем межкаскадную цепь,
►обеспечивающую максимум усиления, то мы имеем в распоря-
жении заданную величину, которую можно назвать площадью
усиления. Эта площадь лежит между нулевой частотой и
некоторой произвольно выбранной точкой в области высоких
частот, для которой можно считать, что цепь вырождается
и паразитную емкость. Изменяя форму характеристики в пре-
делах рабочей полосы различным образом, мы будем перерас-
пределять площади, не изменяя их суммарной величины *).
*) Однако следует учесть, что при этом изменение площади будет иметь
место не только за пределами рабочей полосы, но и внутри нее. Этот вопрос
рассмотрен несколько дальше.
Двухполюсные межкаскадные цепи
481
3.	Двухполюсные межкаскадные цепи, обладающие
максимальным постоянным усилением
В качестве иллюстрации приведенной выше теоремы рас-
смотрим вопрос о проектировании межкаскадных цепей, обес-
печивающих наибольшее возможное постоянное усиление
в области, лежащей между нулем и частотой <»0. Эмпирическое
решение такой задачи было получено много лет тому
назад1). Однако развернутый анализ до сих пор никогда не
давался, несмотря на принципиальный интерес, который пред-
ставляет настоящий вопрос.
Если мы пренебрежем вторым интегралом и в (17.6) заме-
ним а постоянной а0, то получим
Но так как левая часть равенства при непосредственном инте-
грировании дает (к/2)а0, то величина усиления может быть
записана в виде
«о = 1пЛ.	(17.8)
Заметим, что если бы имелась только одна емкость, то уси-
ление на краю полосы было бы равно In 1/а>0С*. Поэтому макси-
мальное усиление в области горизонтальной части характери-
стики будет как раз на 6 дб выше усиления, соответствующего
наличию одной емкости при предельной частоте.
Фазовый угол межкаскадного сопротивления должен быть,
конечно, равен —тс/2 на частотах, лежащих за пределами
полосы, в том случае, когда в пределах полосы имеет место
максимальное усиление. Зная характеристику усиления в пре-
делах полосы и фазовую характеристику за пределами полосы
можно найти остальные части характеристик с помощью со-
отношения (14.33). Расчет упростится, если мы учтем, что
заданное усиление 1п 2/%С в рабочей полосе служит Только
для определения абсолютного уровня усиления окончательной
характеристики. Мы можем положить его равным нулю, если
*) Опубликованные результаты были даны Wheeler, Р. I. R. Е.,
июль (1939). Однако возможности, которыми обладают зашунтированные емко-
стью фильтры, используемые в качестве двухполюсников, были известны
специалистам, работающим в области фильтров, значительно раньше, хотя
проектировщики усилителей были, как правило, с этим незнакомы. Работа
Wheeler включает также рассмотрение вопроса об использовании фильтров
в качестве межкаскадных четырехполюсников. Подобные системы разобраны
дальше, в разделе 8.
31 Зак. 1327
4$2	Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
внесем соответствующие поправки в величину усиления, под-
считанную для области частот, лежащих за пределами полосы.
При этом первый интеграл в уравнении может быть от-
брошен. Если мы подставим р = —тс/2 во второй интеграл, та
окончательные формулы для а и р примут вид:
₽(<“с)
d<&
о 2
-- Шс
_ - [а (<ос) - In (2/w0C)]
V Vc/vl — 1
(17.9)
Уравнение (17.9) легко интегрируется подстановкой
ш4/<о* = 1/(1 — №). Если, в частности, мы рассмотрим формулу
для р, то получим
₽(%) =
(17.10)
Пользуясь обычными методами вычисления, найдем
Р (“«) = — arctg<1>с— = — arcsin .
(17.11)
Аналогично1), для(а получим
а(<ос) = 1п ——
v с/	лиt.
arcctg .—-—г =
V <ь/ — <о§ .
(17.12)
Характеристика усиления и фазовая характеристика2) меж-
каскадной цепи, определяемые этими уравнениями, приведены
сплошными линиями на фиг. 299 и 300. Пунктирная линия
Ходя интегралы для ₽ и а идентичны, следует учесть, что в первом
случае	а во втором ыс > <й0. Следовательно, полюс <d = <dc в под-
интегральном выражении (17.9) выходит за пределы области интегрирования
длй случая р, но не для случая а. В соответствии с результатами главы XIV*,
для второго случая может быть найдено „главное значение" интеграла. Дру-
гими словами, можно считать, что интеграл, входящий в (17.9) с пределами
от <оо до оо, представляет собой сумму двух интегралов, имеющих пределы
от <о0 до (ьс — ей wc + e до оо. Результат, приведенный в (17.12), непосред-
ственно вытекает из такого рассмотрения вопроса.	«
2) Отрицательное значение фазы в (17.11) означает, что, в соответствии
с обычными предположениями, шунтирующая емкость дает положительный'
фазовый сдвиг.
Двухполюсные межкаскадные цепи 483
на фиг. 299 дает характеристику усиления в случае наличия
только одной емкости. В масштабе логарифмической частотной
шкалы, приведенной на фигуре, эта характеристика предста-
вляет собой прямую линию с крутизной в 6 дб на октаву.
Характеристика усиления системы несколько приподнята над
этой прямой на высоких частотах. Это видно и из приведен-
ных выше формул, так как выражение (17.12) переходит
в 1п1/<осС при большом <»<.. Зато характеристика системы растет
более резко у края полосы, благодаря чему в соответствии
с формулой (17.8) у края полосы получается превышение
в 6 дб. Из общих соотношений между величиной фазового
сдвига и крутизной спада характеристики, определяемыми
уравнением (14.11), возрастание крутизны характеристики
системы по сравнению с характеристикой при наличии одной
емкости непосредственно за пределами полосы и уменьшение
крутизны в пределах рабочей полосы могут рассматриваться
как результат, соответствующий откорректированной характе-
ристике, при этом одновременно обеспечивается поддер-
жание исходной величины фазового сдвига в пределах той
31*
484	Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
области частот, в которой межкаскадная цепь имеет срез.
Характеристики, приведенные на фиг. 299 и 300, должны быть
тщательно изучены, так как при условии изменения масштаба
они еще будут использованы в следующей главе как основа
для общего метода проектирования всей петли обратной связи.
Реальная схема, которой будет соответствовать эта характе-
ристика, может быть легче всего получена, если мы учтем,
что выражения для аир, полученные в виде равенств (17.11)
и (17.12), рассматривались нами до сих пор раздельно, в то
время как они могут быть представлены в виде одной общей
формулы, определяющей коэфициент передачи межкаскадной
цепи и величину фазового сдвига. Эта формула будет иметь
вид:
2
«+	------ (17.13)
/ ,	(й- ,	. <0
Соответствующее сопротивление межкаскадной цепи будет
Для проводимости мы получим
Фиг. 301
Последнее выражение будет относиться к фильтру низких
частот, в котором паразитная емкость С образует шунтирую-
щую цепь. Подобная система изо-
бражена на фиг. 301. Цепь, обве-
денная пунктиром, представляет
собой идеальный фильтр низких
частот типа постоянной k, имею-
щий частоту среза а> = «0. Он имеет
проводимость у <»0С У1 — <о2/а>* .
Подключенная к концам емкость
представляет собой половину пара-
зитной емкости схемы. Вторая часть емкости отнесена к цепи,
обведенной пунктиром. То обстоятельство, что половина емкости
входит в самый фильтр, проводимость которого становится
равной нулю на частоте среза, поясняет, почему усиление
межкаскадной цепи на 6 дб больше усиления, которое полу-
чилось бы на этой частоте при наличии одной емкости.
Двухполюсные межкаскадные цепи
485
Для практических целей сопротивление идеальной системы,
показанной на фиг. 301, можно аппроксимировать цепью, даю-
щей достаточно точное согласование с сопротивлением нагрузки
2/<о0С. Методы построения подобных цепей рассматриваются
fl} 1,80
(I') 1,70
х 0000 Z
(Ш) 1,60
(ДГ) 1,50
0,600
(JV) 2,000 Q'600
(ГУ") 1,93* rJULn
в теории фильтров, поэтому нет необходимости останавли-
ваться на них. Однако для полноты изложения некоторые из
специальных схем подобного рода, расположенные в порядке
их сложности, приведены на фиг. 302. На каждой из схем
величины входящих в схему элементов выражены через
частоту <и0 и сопротивление 2/«>0С. Две емкости, подключенные
486
Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
к концам, каждая из которых в выбранной |системе единиц
равна 1, разумеется, соответствуют емкостям С/2 (см. фиг. 301).
Система, определяемая первой группой значения элементов,
обозначенных на фиг. 302, С, а также системы фиг. 302, В и
302, Е представляют собой обычные схемы фильтров, в кото-
Двухполюсные межкаскадные цепа
487
рых согласование с выходным сопротивлением достигается
включением на выходе фильтров с производными звеньями
типа т или типа тт *). Другие системы были получены путем
*) См. Zobel, Extensions to the Theory and Design of Wave Filters,
Bell Syst. Techn. Journ., апрель (1931).
488	Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
более или менее обычных методов подгонки параметров. Харак-
теристики усиления и фазовые характеристики для систем,
приведенных на фиг. 302, А и 302, В, даны на фиг. 303.
Кривые / и Г относятся к соответствующим двум группам
значений элементов фиг. 302, А, а кривая II — к фиг. 302, В.
Кривые усиления и фазовые кривые для остальных систем
даны на фиг. 304. Кривые III и IV относятся соответственно
к системам, приведенным на фиг. 302, С и 302,1).
Данные, относящиеся к системе фиг. 302, Е, показаны пунк-
тиром, так как они слишком близко совпадают с идеальным
случаем, чтобы их можно было показать отдельно.
Приведенные схемы могут быть также использованы для
воспроизведения характеристического сопротивления последо-
вательно-производных звеньев, путем устранения паразитной
емкости и уменьшения на одну условную единицу индуктив-
ности последней ветви. В частности, это может оказаться
удобным в некоторых других случаях проектирования. Соот-
ветствующие примеры можно найти как в предыдущей главе,
так и в настоящей главе. Причиной того, что понятие сопро-
тивления фильтров так часто используется в теоретических
вопросах, подобных рассматриваемым нами сейчас, безусловно
является то обстоятельство, что мы часто встречаемся с зада-
чами, в которых процесс не изменяется непрерывно и в кото-
рых для решения задачи требуется наличие сопротивления,
резко меняющегося в некоторой точке. Резкий переход, имею-
щий место при теоретическом рассмотрении вопроса, можно
рассматривать в практических случаях, как предел последо-
вательности плавных, но все более сильно выраженных пере-
ходов того типа, который соответствует кривым фиг. ЗОВ
и 304.
4.	Двухполюсные межкаскадные цепи с максимальным
изменяющимся по величине усилением
В том случае, когда усиление в рабочей полосе должно
скорее изменяться с частотой, чем быть постоянным по вели-
чине, анализ, конечно, несколько усложняется, однако он
будет итти по тому же пути. В практических задачах наиболее
важно установить, насколько высоко может проходить харак-
теристика, соответствующая изменяющемуся по величине
усилению, по сравнению со случаем характеристики горизон-
тального типа, если задана величина паразитной емкости.
Это обстоятельство можно рассмотреть, заменяя переменную-
интегрирования ®/<о0 в первом интеграле соотношения (17.6) на
sin 9.
Двухполюсные цепи с изменяющимся усилением
489
Отбрасывая второй интеграл с тем, чтобы получить усло-
вия, соответствующие максимуму усиления, получим
тс/2
О
что, очевидно, эквивалентно следующей теореме:
Теорема. Если двухполюсная межкаскадная цепь, вклю-
чающая заданную паразитную емкость, имеет максималь-
ный абсолютный уровень усиления между нулем и некото-
рой фиксированной точкой <s>^, то площадь, ограниченная ее
характеристикой усиления, построенной в функции величины
Ф=arcsin <о/<о0, будет постоянной, независимо от того, каково
будет относительное усиление в различных точках задан-
ной полосы.
Применение этой теоремы можно проиллюстрировать с по-
мощью фиг. 305. Нулевой уровень выбран для значения In 1/%С..
Прямоугольник, помеченный циф-
рой /, дает зависимость усиле-
ния от <р, когда межкаскадная
цепь относится к типу, обеспе-
чивающему наибольшее, постоян-
ное по величине, усиление для
случая, рассмотренного в преды-
дущем разделе. Кривые И и ///
соответствуют двум крайним слу-
чаям межкаскадных цепей, име-
ющих изменяющиеся по уровню
характеристики.
Первая из них относится к
межкаскадной цепи, представля-
ющей собой паразитную емкость. Если эту характеристику
изобразить, выбрав логарифмический масштаб, то мы получим
кривую с убывающей крутизной в 6 дб на октаву; Кривая ИГ
соответствует обратному случаю, для которого усиление воз-
растает с крутизной в 6 дб на октаву. Эта характеристика
будет соответствовать соотношению
ot -4- /0 — In ~ г - ~	—	•
z г со? 2	4<о
(17.16)
Следует заметить, что величина
(<о0С/2) /1 - »’/«>: + i (“ С/2) -	С/4<о),
которая, очевидно, представляет собой проводимость межка-
490	Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
«скадной цепи, является той же самой, что и знаменатель ко-
нечного соотношения (17.14), за исключением лишь дополни-
тельного члена — Z («о® С/4о>). Таким образом, можно получить
межкаскадную цепь интересующего нас вида, добавляя парал-
лельную индуктивность к межкаскадной цепи, дающей „по-
стоянное усиление", как это показано на фиг. 306. Существенно
также заметить, что усилитель, имеющий две межкаскадные
цепи, дающие постоянное усиление, может быть заменен уси-
лителем, имеющим лишь одну цепь одного из тех видов, которые
относятся к кривым // и ///, что дает сокращенное число
-элементов. Результирующая кривая IV (см. фиг.' 305) соот-
ветствует межкаскадной цепи вида, обычно используемого на
практике. Ее кривая усиления, имеющая линейный масштаб
по шкале частот, показана на фиг. 307.
Фиг. 306
В соответствии с теоремой, приведенной раньше в настоя-
щем разделе, площади, ограниченные кривыми всех приведен-
ных на фиг. 305 типов, должны быть одними и теми же. Если
требуется осуществить межкаскадную цепь с непрямолинейной
характеристикой, то нужно дополнительно наложить требова-
ние о том, чтобы фазовый угол в рабочей полосе не выходил
за пределы ±я/2. С другой стороны, очевидно, что такая цепь
не может быть создана без использования отрицательного
‘Сопротивления. Здесь не встречается никаких трудностей в слу-
чае, когда характеристика усиления незначительно отклоняется
от прямой, как это имеет место в случае кривой IV (фиг. 305),
однако если характеристика значительно отклоняется от пря-
мой, то фазовый сдвиг может быть слишком велик. Кривые II
-и III, когда они вводились впервые, были названы „предель-
ными", так как для них величина фазового сдвига как раз
принимает предельное значение. Они поэтому могут быть
использованы для приближенного установления предела в слу-
чае, когда имеют место изменения характеристики усиления
в пределах полосы, однако небольшие отклонения в некоторой
части полосы, разумеется, допустимы.
Двухполюсные цепи с изменяющимся усилением 491
Переход от шкалы линейной частоты к шкале q> = arcsiu <о/<о0
сказывается главным образом в том, что растягивается и вы-
деляется область, лежащая вблизи края рабочей полосы. Осно-
вания к тому, чтобы уделять особое внимание этой части
характеристики, легче понять, если вспомнить, что, согласно
одной из предыдущих теорем настоящей главы, при линейной
частотной шкале площадь, ограниченная характеристикой уси-
ления в пределах всего спектра частот, является постоянной
величиной для любой системы, обеспечивающей максимальную
величину усиления. До тех пор пока мы рассматриваем характе-
ристику только в области, лежащей далеко за пределами края
полосы, этот принцип позволяет перераспределять площадь уси-
ления, как мы уже видели, без всякого ухудшения результатов.
С другой стороны, изменения
в форме характеристики вблизи
края полосы предполагают, что
при этом происходят измене-
ния в площади усиления, не-
посредственно за пределами
полосы, которые имеют место
даже в тех случаях, когда
эти изменения непосредствен-
но не относятся к.какой-либо
рабочей части характеристики.
Это видно из фиг. 308, на ко-
торой приведена характери-
стика усиления при наличии
только одной емкости и ха-
рактеристика постоянного усиления, которая приводилась уже
на фиг. 299, причем теперь эти характеристики отнесены к ли-
нейной шкале частот.
В соответствии с теоремой о площади усиления, площадь I
равна сумме площадей II и III. Площадь III непосредственно
не используется, но она не может не входить в площадь II,
так как характеристика усиления не может падать более резко,
чем это приведено на фигуре, без того, чтобы фазовый угол
не превысил п/2. Дополнительное изменение площади характе-
ристики усиления непосредственно на частотах более низких,
чем. <»0, которое получается за счет преобразования шкалы,
вызвано наличием этой необходимой добавочной площади на
частотах, лежащих ниже <о0.
Проектирование межкаскадных цепей, имеющих изменяю-
щуюся характеристику усиления, в случае использования одного
из тех типов, которые обеспечивают максимум усиления, можно,
вообще говоря, выполнить, пользуясь изложенной ранее после-
довательностью расчета.
492
Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
После того, как найдено значение а в пределах рабочей
полосы и значение 0 за пределами полосы, необходимо в пер-
вую очередь рассчитать остальную часть характеристики, поль-
зуясь соотношением (14.33), подобно тому, как это было сде-
лано с помощью равенства (17.9), за исключением того, что
здесь следует рассматривать оба интеграла. На этом этапе до-
статочен лишь приближенный подсчет. Далее из общей меж-
каскадной проводимости должна быть выделена паразитная
емкость, а остальная часть цепи определена методами под-
гонки.
Для цепи, обеспечивающей требуемую характеристику,
основное значение будет, разумеется, иметь характеристическое
сопротивление фильтра. Аналогичные задачи уже рассматри-
вались в связи с фиг. 231 и фиг. 260.
5.	Точная формула для полосовых межкаскадных цепей
При рассмотрении межкаскадных цепей, пропускающих
нижние частоты, разумеется, предполагалось, что полученное
решение может быть применено к широкополосным системам,
а также к узкополосным симметричным системам с помощью
трансформации, описанной в главе X. Однако для полноты
рассмотрения будет приведена также общая формула, которая
относится как к симметричным, так и к несимметричным по-
лосовым системам.
Эта формула будет иметь вид:
О>2
ц>1
W1
(D
где
ad<&
V «?/«>* — 11/1 — ^/а>1
(17.17)
Л,= I---------,	w2~/“
J <»i“s У1 — У1 — ш2/ш|
д' __ С ___________(Р п/2) d<°_____.
3 J <“i<“s У <о*/<^ — 1 l/a>s/a>i —1
(В 2	Г 1	Г /
Здесь <о1 и относятся к крайним частотам рабочей полосы,
а обозначения остальных величин, входящих в соотношения,
те же, что и в случае (17.6). Чтобы рассмотреть условия макси-
мального усиления, отбросим второй и третий интегралы и
предположим, что угол межкаскадного сдвига фаз на частотах
ниже полосы будет +те/2, что соответствует индуктивному
сопротивлению, и —тс/2 на частотах выше полосы, что соот-
Двухполюсные цепи с заданным запасом по фазовому сдвигу 493
ветствует емкостному сопротивлению. Оставшийся интеграл
в точности соответствует интегралу усиления для случая
системы, пропускающей нижние частоты, за исключением того,
что функция 1// 1—<о4/<о*, которая определяет характеристику
усиления вблизи резонансной частоты, здесь заменена на
ш4/со*— 1 |/ 1 —Ф4/о>*.
В последнее выражение входят граничные частоты для обоих
краев полосы.
6.	Двухполюсные межкаскадные цепи с заданным
запасом по фазовому сдвигу
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда фазовый
угол межкаскадной цепи не может достигать значения 90°
в любой точке, лежащей за пределами рабочей полосы, так
что уже не оказывается возможным пренебрегать вторым
интегралом в (17.6). Величину 0-л/2, входящую в соотноше-
ние (17.6) и определяющую разность между существующим
значением межкаскадного фазового сдвига и его предельным
значением, будем называть запасом по фазовому сдвигу меж-
каскадной цепи. Задачи подобного рода чаще всего возникают
при проектировании усилителей с обратной связью, где необ-
ходимо ограничить фазовые углы для межкаскадных цепей
в некоторой области частот с тем, чтобы обеспечить устой-
чивость схемы. Обстоятельства, при которых более важно
подбирать фазовый сдвиг за счет межкаскадных цепей, чем
за счет цепи обратной связи, рассмотрены в следующей главе.
Они, вообще говоря, относятся к величине усиления, которое,
в конечном итоге, требуется от усилителя.
В рассматриваемых сейчас случаях мы можем представить
себе, что при проектировании входная и выходная цепи, а также
депь обратной связи выбраны и что их влияние на передачу
вдоль петли обратной связи известно. Кроме того, будем счи-
тать, что мы установили, какова должна быть результирующая
фазовая характеристика петли для получения устойчивого
усиления, имеющего определенную величину запаса по фазо-
вому сдвигу с тем, чтобы обеспечить отсутствие самовозбуж-
дения. Наконец, будем считать, что определена относительная
величина связи на различных частотах полосы.
Основания к тому, что задача проектирования ставится
таким образом, станут более ясными из следующей главы.
Там же мы остановимся более подробно на деталях в отно-
шении установления требований по величине фазового сдвига.
Предполагая, что указанные нами данные известны, можно
494	Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
подсчитать фазовую характеристику межкаскадных цепей за
пределами рабочей полосы и относительные величины усиле-
ния в пределах полосы. Таким образом, останется подобрать-
межкаскадные цепи так, чтобы, удовлетворяя указанным тре- 
бованиям, они обеспечивали настолько высокий абсолютный,
уровень усиления, насколько это возможно при заданной вели-
чине емкостей каскадов *). Эта задача в области проектирова-
ния может быть решена более прямыми методами, если мы
начнем с использования уравнения (17.6) для определения того,
насколько мы должны пожертвовать усилением для получения
заданной фазовой характеристики. Как мы уже указывали,
это обстоятельство определяется тем, что второй интеграл,
входящий в (17.6), должен быть положительным, пока 0 не
достигнет значения те/2 для любой частоты за пределами ра-
бочей полосы. Это приводит при заданной величине С к умень-
шению значения первого интеграла. Чтобы найти это умень-
шение, заменим во втором интеграле переменную ®/<о0 на
ср' = arcsin <о0/<о. Если мы сохраним для первого интеграла преж-
нюю подстановку 9 = arcsin <о/а>0, то полное уравнение можно-
переписать в виде:
тс/2	тс/2
J	=	О7.18>
О	о
Таким образом, можно найти уменьшение усиления, построив
графическую зависимость величины (<о/<о0) (п/2 + 0) от Ввиду
идентичности обеих шкал для углов результат может быть
сформулирован в виде следующей теоремы:
Теорема. Если двухполюсная межкаскадная цепь, вклю-
чающая в себя заданную шунтирующую емкость, имеет
определенную величину фазового угла 0 за пределами неко-
торой определенной точки <о0, то выраженное в неперах
уменьшение абсолютного уровня усиления на частотах ни-
же <о0, по сравнению с теоретическим максимумом, будет
равно взятой в радианах средней высоте кривой, дающей
зависимость величины (а>/а>0) (тг/2 + 0) от 9' = arcsin <о0/<о.
Если рассматривается не одиночная цепь, а полная много-
каскадная [х-схема, то очевидно, что мы должны произвести
х) Если воспользоваться методом расчета, изложенным в следующей
главе, то можно определить абсолютный уровень усиления межкаскадной
цепи прямо из предварительных расчетов, которые определяют общий выбор
элементов схемы и фазовую характеристику. Несмотря на это, описанный
здесь самостоятельный путь расчета удобен, так как он может дать значи-
тельно более точные результаты, чем те, которые получаются при предва-
рительном расчете, где используются приближенные данные.
Двухполюсные цепи с заданным запасом по фазовому сдвигу 495
расчет для всего усилителя и затем распределить полное умень-
шение усиления между отдельными каскадами любым образом,
который позволит получить удовлетворительную конструкцию.
Следует заметить, что переход к шкале у' подчеркивает
важность фазовой характеристики в области, лежащей непо-
средственно за частотой %. Указанное обстоятельство анало-
гично тому, что мы имели при переходе на шкалу ф при ана-
лизе усиления, и основывается на тех же причинах. Следует
напомнить, что при анализе усиления закон, относящийся
к площади усиления, справедлив для области полного спектра
частот, но если рассматривать лишь ограниченный участок
спектра, то необходимо учитывать, что изменение в характе-
ристике усиления вблизи края полосы вызывает изменения
площади как вне полосы, так и внутри нее. В рассматриваемом:
сейчас случае результаты для всего спектра определяются
аналогичным образом законом площади фазовой характеристики,
который вытекает из равенства (13.19). Когда <о велико, вто-
рой интеграл в (17.6) принимает вид:
J* +	+
где и = In <о. Это равенство точно выражает указанный закон.
Следует также вспомнить, что в главе XIII на основе закона
площади фазовой характеристики рассматривается вопрос об
использовании режекторных контуров с тем, чтобы подобрать
фазовую характеристику межкаскадных цепей на частотах,
выходящих за пределы полосы.
Если фаза подобрана вблизи края полосы, то закон, отно-
сящийся к площади, ограниченной фазовой характеристикой,
будет попрежнему применим, однако та часть полной площади,
которая лежит в пределах полосы, будет изменяться и поэтому
не может быть включена непосредственно при интегрировании
в область, начинающуюся от края полосы. Так же как и при
рассмотрении вопросов, относящихся к усилению, переход
к шкале ф' косвенно учитывает это обстоятельство, подчерки-
вая относительное увеличение для полученных результа-
тов той части характеристики, которая лежит непосредственно
за пределами полосы. Когда величина абсолютного уровня
в пределах рабочей полосы определена, остальная часть рас-
чета может быть выполнена обычными методами, аналогич-
ными в ряде случаев тем, которые использовались в рассмо-
тренных ранее задачах. Последовательность расчета проще
всего проследить на примере. Так как подбор величины фа-
зового сдвига на высоких частотах с использованием ре-
жекторного контура уже рассматривался в главе XIII, то здесь
мы предположим, что подбор фазы выполнен до пределов
496	Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
области, граничащей с рабочей полосой. Предположим, что
сдвиг по фазе составляет 60° в пределах той октавы, которая
находится непосредственно за пределами рабочей полосы, и
от 60° до 90° в следующей октаве, как показано на фиг. 309.
Предположим также, что характеристика усиления в рабочей
полосе является горизонтальной.
Начнем расчет с построения зависимости величины
(<о/о>0) (те/2-f-P) отф'. Воспользовавшись данными для 0, приве-
денными на фиг. 309, получим результат, представленный на
фиг. 310. Средняя высо-
-Р
ОТ 
60° 
30°
0 -
и =1п
та кривой равна пример-
но 32°,т.е. 0,56 радиана.
Из соотношения (17.18)
следует, что абсолют-
ный уровень усиления
в пределах рабочей
полосы должен быть на
0,55 непера, или 4,9 дб,
меньше максимального
Фиг. 309	усиления межкаскад-
ной цепи. Другимй
словами, при горизонтальной характеристике усиление в ра-
бочей полосе будет на 1,1 дб больше In 1/<о0С. Далее, под-
считываем полные характеристики межкаскадной цепи по
известным участкам фазовой характеристики и характери-
стики усиления. Проще всего первоначально ’ считать, что
заданный фазовый сдвиг равен 60° на всех частотах выше
рабочей полосы. При этом предположении, очевидно, мы по-
лучим тот же случай, который уже рассматривался с помощью
уравнений (17.9) — (17.13), с тем лишь отличием, что здесь
^фазовый сдвиг равен 60°, а не 90°, и что уровень усиления
Двухполюсные цепи с заданным запасом по фазовому сдвигу 497
в пределах рабочей полосы несколько другой. Следовательно,
мы можем построить полные характеристики для усиления и
фазового сдвига, умножая правую часть равенства (17.13)
на */з и добавляя соответствующую постоянную величину
с тем, чтобы получить нужный уровень усиления в пределах
полосы. При этом мы придем к результатам, показанным
пунктиром на фиг. 311 и 312. На фиг. 311 величина усиления
отнесена к значению In 1/%С, а сплошная прямая линия со-
ответствует характеристике усиления при наличии лишь одной
емкости.
32 Зак. 1327
498	Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
То обстоятельство, что фазовый угол межкаскадной цепи
в действительности равен 60° не для всех частот, лежащих за
частотой <о0, проще всего учесть, рассматривая В в равенстве
(14.33) как величину ошибки и определяя результат с помощью
графиков главы XV.
Следует напомнить, что равенство (14.33) представляет со-
бой обычное соотношение между вещественной и мнимой
составляющими функции цепи, когда эти составляющие при-
нимают вид, определяемый равенством (14.22). В рассматривае-
мой задаче „вещественная составляющая", с которой мы имеем
дело, очевидно, представляет собой деленную на величину
у/ <ог/<°о— 1 разность между фазовым сдвигом реальной цепи
на частотах выше % и сдвигом в 60°. Эта функция показана
в виде кривой I на фиг. 313. С помощью графиков главы XV
находим соответствующую мнимую составляющую, представлен-
ную кривой II на той же фигуре. Но мнимая компонента
равна B/Y1 — Для и —Д/у/ а?/40»—1 для<о><о0.
Поэтому на основании кривой II мы можем построить кри-
вые III и IV, изображающие величины А и В. Эти кривые,
очевидно, характеризуют коррекцию, которая должна быть
применена к исходной характеристике межкаскадного усиле-
ния и к фазовой характеристике с тем, чтобы учесть требуе-
мое отклонение фазовой характеристики от значений 60° на
Двухполюсные цепи с заданным запасом по фазовому сдвигу 499
высоких частотах. Когда корректирование выполнено, полные
характеристики межкаскадной цепи принимают вид сплошных
кривых (фиг. 311 и 312).
После того, как мы достигли этого этапа расчета, даль-
нейшая его часть может быть выполнена обычными методами,
которые уже иллюстрировались на целом ряде предыдущих
примеров. Определим сначала на основании фиг. 311 £и 312,
каково должно быть сопротивление межкаскадной цепи, не
считая паразитной емкости. Результат приведен на фиг. 314,
где в качестве единицы сопроти-
вления взята величина 1/ш0С. Далее
добьемся согласования активной
составляющей, используя цепь с ми-
нимальной реактивностью.
В данном примере основная
часть сопротивления создается ха-
рактеристическим сопротивлением
фильтра нижних частот типа по-
стоянной k, имеющим срез при
<о/<о0 = 4, параллельно которому
подключена емкость. Система пока-
зана в виде цепи А на фиг. 315.
В данном случае был исполь-
зован фильтр, чтобы показать воз-
можность достаточной точности
приближения к заданной характе-
ристике. При практическом проекти-
ровании можно ограничиться значительно более простыми си-
стемами, такими, например, как сопротивление, зашунтированное
емкостью. В рассматриваемой системе добавлена также индук-
тивность L с тем, чтобы скомпенсировать разность между
реактивными сопротивлениями цепей А и В и реактивным со-
противлением, соответствующим данным фиг. 314. То обстоя-
32*
500
Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
тельство, что нужный подбор реактивых сопротивлений может
быть всегда обеспечен, вытекает из рассмотрения аналогичных
задач предыдущей главы, и мы не будем здесь к нему возвра-
щаться. Точно так же мы не будем повторять то, что было
сказано относительно общих вопросов расчета. Окончательные
характеристики усиления и фазовые характеристики приведены
на фиг. 316 для системы, величины элементов которой соот-
ветствуют данным фиг. 315. Характеристики фиг. 311 и 312
показаны здесь пунктирными линиями.
7.	Межкаскадные цепи простейших типов
Техника проектирования, которая рассматривалась до сих
пор, относилась главным образом к двум предельным задачам.
В первой из них требовалось получить достаточное прибли-
жение к максимальной величине усиления в пределах рабо-
чей полосы, в то время как во второй нужно было сочетать
получение заданной характеристики относительного усиления
в пределах полосы с заданной величиной запаса по фазовому
сдвигу за пределами полосы. В каждом из этих случаев за-
дача рассматривалась как чисто теоретическая, без каких-либо
ограничений в отношении числа используемых элементов, и
поэтому полученные системы, вообще говоря, обычно были
довольно сложными.
При практическом проектировании, конечно, часто возможно
ограничиться более простыми системами. Степень простоты
системы зависит, вообще говоря, как от требований, предъ-
являемых к усилителю, так и от искусства проектировщика.
Обстоятельство, которое здесь может быть использовано для
Межкаскадные цепи простейших типов 501
контроля, основывается на том, что для любого усилителя
интеграл от суммы запасов по фазе межкаскадных цепей,
графически выраженный в функции от 9', представляет собой
определенную величину, которая может быть найдена для дан-
ной схемы и заданной величины полного усиления. Если эта
сумма равна нулю, то физический предел для качества усилителя
определяется используемым усилением fx-цепи. Межкаскадные
цепи теоретически должны представлять собой системы, обес-
печивающие максимум усиления, и всякое отклонение от усло-
вий максимального усиления за счет упрощения цепи отра-
зится непосредственно на величине обратной связи. С другой
стороны, если интеграл не равен нулю, то положение допускает
большую свободу выбора. Например, до тех пор, пока значе-
ние интеграла фиксировано, изменение с частотой величины
запаса по фазовому сдвигу для всей |х-цепи может обычно
регулироваться в широких пределах путем подбора других
элементов схемы, в то время как в пределах самой ^-цепи за-
пас по фазовому сдвигу может быть, конечно, распределен
между отдельными каскадами. Таким образом, задача проекти-
рования сводится к тому, чтобы разбить указанный интеграл
на отдельные части с целью получения возможно более про-
стых систем. Техника расчета, рассмотренная в предыдущем
разделе, является крайним средством, к которому приходится
прибегать в тех случаях, когда процесс разбивки на части не
дает достаточно удовлетворительных результатов. Этот вопрос
рассмотрен более подробно в следующей главе.
Когда межкаскадные цепи очень просты, их проще всего
конструировать методом подгонки. В качестве путеводной
нити при этом можно воспользоваться схемами, данными на
фиг. 317. На этой фигуре приведены все схемы с четырьмя
элементами (включая и паразитную емкость), которые могут
быть использованы при проектировании усилителей и эквива-
лентные схемы которых сводятся к системам, пропускающим
нижние частоты ]).
Кривые, приведенные для схем, показывают, какие харак-
теристики имеют место в каждом случае. Например, первая
система применима в тех межкаскадных цепях, в Которых тре-
буется получить большую и примерно постоянную величину
запаса по фазовому сдвигу в широкой области за пределами
9 Т, е. к системам, дающим бесконечное затухание на конечных часто-
тах. Например, параллельно включенные индуктивные цепи могут быть
исключены из рассмотрения в предположении, что при расчете системы нижних
частот любая из подобных цепей может вызвать лишь незначительные из-
менения характеристики того вида, которые показаны пунктирными линиями
на фиг. 129. Поэтому при расчетах, относящихся к зоне верхних частот,
влиянием подобных цепей можно пренебречь.
Фиг. 317
Четырехполюсники в качестве межкаскадных иепей 503
рабочей полосы. Однако значительная величина запаса по
фазовому сдвигу может быть получена лишь ценой низкого
усиления при негоризонтальной форме характеристики в пре-
делах рабочего диапазона. Вторая система дает большее уси-
ление и более горизонтальную характеристику, но запас по
фазовому сдвигу на высоких частотах здесь становится отно-
сительно малым. Третья система применима в межкаскадных
цепях, когда требуется получить либо горизонтальную, либо
наклонную характеристику усиления в пределах рабочей
полосы и умеренную величину запаса фазового сдвига в ши-
рокой области высоких частот. Расхождение между характе-
ристиками для этих трех цепей можно оценить только на
основе рассмотрения соответствующих реальных устройств.
Четвертая система может быть использована только в тех
случаях, когда вопрос о запасе по фазовому сдвигу на высо-
кг1х частотах является несущественным, однако при наличии
этого ограничения допускается возможность получить различ-
ные типы характеристик. Семейство кривых, дающих характе-
ристики при соответствующих значениях элементов схемы, дано
в виде графиков в конце настоящей главы (стр. 523—528). В эти
графики входят также два вырожденных случая, в которых в
нагрузку, включая и паразитную емкость, входит только
сопротивление или же последовательно включенные сопро-
тивление и индуктивность, которые могут рассматриваться
как предельные случаи для любой из приведенных схем.
8.	Четырехполюсники в качестве межкаскадных
цепей. Общее рассмотрение
При проектировании обычных усилителей редко прихо-
дится встречаться с межкаскадными цепями типа четырехпо-
люсников, такими, например, как настроенные трансформа-
торы или же подобные им системы. Чаще приходится иметь
дело с простыми параллельными сопротивлениями, которые
мы уже рассматривали ранее. Четырехполюсные межкаскад-
ные цепи часто удобны с точки зрения практического при-
менения. Например, трансформаторный усилитель, отличаясь
своей простотой, дает удобный способ подведения напряжений
от анодной цепи к сеточной.
Четырехполюсные системы способны также дать большее
усиление, чем то, которое может быть получено от двухпо-
люсных межкаскадных цепей. Они до сих пор не рассматри-
вались, так как эти системы обычно дают сравнительно боль-
шую величину фазового сдвига, что делает их непригодными
для использования в устройствах с обратной связью. Несмотря
504	Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
на это, мы вкратце остановимся на них вследствие общего
интереса, который они представляют.
Причины, по которым четырехполюсные межкаскадные
цепи могут дать большее усиление, чем двухполюсные системы,
проще всего установить с помощью схемы1), приведенной на
фиг. 318. Межкаскадная цепь представляет собой фильтр
нижних частот того типа, который был рассмотрен в связи с
двухполюсными межкаскадными цепями, дающими максимум
усиления. Здесь сеточная и анодная емкости включены раз-
дельно, как две емкости, на фигуре обозначенные С/2. Вели-
чина усиления и фазового сдвига здесь определяется из
условия
=	'	(17,19)
На высоких частотах усиление
усиление двухполюсной цепи, а
Фиг. 318
схемы много меньше, чем
величина фазового сдвига
много больше, как это мо-
жно установить из того, что
одно из звеньев фильтра
включено между сеткой и
анодом. С другой стороны,
в пределах полосы фильтр
обладает прозрачностью, а
так как он состоит из по-
вторяющихся элементов, то
абсолютное значение напряжений на сетке и на аноде будет
тем же. Однако к зажимам анодной цепи подключено сопро-
тивление фильтра типа постоянной k, и поэтому анодйый ток
создает падение напряжения, которое сохраняет постоянным
величину уровня в пределах полосы так же, как это было в
случае двухполюсных цепей. Единственная разница заклю-
чается в величине абсолютного уровня усиления, который на
6 дб выше для случая уравнения (17.19), чем для соответству-
ющего уравнения (17.13). Это обусловлено тем, что здесь
крайняя цепь фильтра подключена к емкости С/2, а не к С,
как в предыдущем случае. Разделение анодной и сеточной
емкостей, которое здесь оказывается возможным, представ-
ляет собой, очевидно, основное преимущество четырехполюс-
ных цепей по сравнению с двухполюсными.
В схеме, показанной на фиг. 318, предполагается, что
емкости анодной и сеточной цепей равны между собой. Это
при обычных лампах приближенно более или менее верно.
9 Wheeler, loc. cit.
Четырехполюсники в качестве межкаскадных цепей
505
Если эти две емкости существенно отличны по своей вели-
чине, то с точки зрения расчета систему можно рассматривать
как включающую в себя идеальный трансформатор или же
какую-либо эквивалентную ему систему, как это показано на
фиг. 319. Выигрыш в усилении для такой схемы по сравнению
с аналогичной схемой, к зажимам которой с каждой стороны
включены емкости (G 4-С2)/2, будет равен у (/
Эта величина всегда больше единицы. Однако величина
выигрыша составляет лишь несколько десятых децибела для
обычных соотношений между Сх и С2, так что при подсчетах
1,6
НЯЯП-г-
0,6±
ио
Фиг. 320
можно просто брать среднее значение сеточной и анодной
емкостей. Следует отметить, что, за исключением подбора
емкостей, не существует каких-либо оснований принципиаль-
ного характера к тому, чтобы использовать в схеме транс-
форматоры1). Для практических целей идеальный фильтр,
изображенный на фиг. 318, может быть аппроксимирован цепью,
в которой параллельно включенное сопротивление между
сеткой и катодом согласовывается с подключенными к зажи-
мам фильтра сопротивлениями с помощью последовательно-
производного полузвена при //г = 0,6, как показано на фиг. 320*).
9 Следует иметь в виду, что здесь рассмотрение сосредоточено только
на вопросе об ограничениях, которые накладываются на межкаскадные
цепи параллельно включенной емкостью. В узкополосных усилителях ограни-
чения,, определяемые емкостью, могут допустить использование больших
величин сопротивлений межкаскадных цепей, чем те, которые могут быть
в действительности осуществлены или же которые могут быть использо-
ваны с данным типом ламп, особенно в отношении анодной цепи. В этом
случае применение трансформатора может оказаться необходимым. Усили-
тели, в которых имеет место значительная мощность рассеивания на аноде
или на сетке, или усилители, имеющие критическое значение нагрузки,
здесь не рассматриваются.
2) Так же как и на фиг. 302, указанные на схеме цифры относятся к фильтру
с единичной частотой среза и с единичной величиной сопротивления.
Величина ш0, рассматриваемая как единица частоты, и величина 4/<и0С, рас-
сматриваемая как единица сопротивления, позволяют получить значения
элементов в омах, генри и фарадах. Эти же замечания относятся и к фиг. 323.
605
Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
На фиг. 321 и 322 приведены характеристика усиления и
фазовая характеристика цепи, показанной на фиг. 320; пунк-
тирные кривые соот-
ветствуют теоретиче-
ским характеристикам.
Фиг. 323 дает несколь-
ко другой тип систе-
мы, в которой парал-
лельно - производное
полузвено использует-
ся для согласования
с выходным сопро-
тивлением. Подобное
устройство удобно ис-
пользовать для того,
чтобы при расчете, в случае неодинаковых емкостей сетки
и анода, добиться выравнивания, не пользуясь идеальным
трансформатором, ко-
торый мы использовали
на фиг. 319.
Если сеточную и
анодную емкости вы-
разить через параметр
т оконечного полу-
звена, то они будут
соответственно равны
величинам [2/(3-j-m)] С
и [(1 +^)/(3 + zn)]G а
не С/2.
Для фиг. 323 пред-
полагается т — 0,6, что
Фиг. 322
соответствует отношению
ниях отношения емкостей величина
емкостей 5:4. При крайних значе-
Фиг. 323
т становится слишком
(2
и
ю
8
0.1	0,2	0,Ь	0,6 0£ 1,0
Фиг. 324
малой для получения хорошего согласования с выходным
сопротивлением, и тогда практически оказывается проще до-
Эквивалентные схемы, для четырехполюсных цепей

биться примерного равенства между двумя концами цепи пу-
тем добавления соответствующей дополнительной емкости.
При том подборе элементов, который приведен на фиг. 323,
мы получаем аппроксимацию теоретических характеристик в
соответствии с кривыми, изображенными сплошными линиями
на фиг. 324 и 325.
9.	Эквивалентные схемы для четырехполюсных
межкаскадных цепей
Четырехполюсные межкаскадные цепи, рассмотренные в
предыдущем разделе, не обязательно будут относиться к
типу, обеспечивающему максимальную возможную величину
усиления при заданных емкостях. Однако, к сожалению, общее
рассмотрение этого вопроса для четырехполюсных систем
является гораздо более сложным, чем для двухполюсных.
Основная причина, которая приводит к увеличению трудно-
стей, вытекает из того обстоятельства, что в четырехполюсных
системах абсолютный уровень усиления не определяется
полностью величиной паразитных емкостей и тем, каким обра-
зом их характеристика усиления и фазовая характеристика
изменяются с частотой. В этом заключается отличие от слу-
чая двухполюсных систем, где указанные величины опреде-
ляют поведение системы и дают возможность установить
определенные соотношения такого вида, как (17.6). С другой
стороны, в различных реальных четырехполюсниках при оди-
наковой величине емкостей и одинаковом характере измене-
ния фазы и величины усиления с частотой возможно полу-
чить различную величину абсолютного усиления. Поэтому,
прежде чем подсчитывать величину максимального усиления,
необходимо установить, вследствие каких причин возникает
это неравенство в величине уровня и каким дополнительным
условиям должна удовлетворять цепь с тем, чтобы получить
508
Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
наиболее благоприятный случай. Рассмотрение вопроса, кото-
рое приводится в настоящем разделе, дает лишь общее пред-
ставление о характере задачи и не претендует ни на стро-
гость, ни на полноту анализа.
Задача об установлении теоретических пределов наиболь-
шего усиления, которое может быть получено с помощью
четырехполюсных межкаскадных цепей, будет решаться путем
представления межкаскадной цепи в виде комбинации из
положительных и отрицательных сопротивлений. Каждое сопро-
тивление включает в себя параллельные емкости, так что
можно воспользоваться условием
(13.7) для интеграла сопро-
тивления. Можно устано-
вить наибольшую величину
усиления на основании изу-
чения указанного условия.
При анализе удобно пред-
положить, что межкаскад-
ная цепь заменена эквива-
Фиг. 326	лентной П-образной цепью,
состоящей из сопротивле-
ний Zb Z2 и Z3, как показано на фиг. 326. Так как Zj не обя-
зательно должно быть равно Z3, то сама межкаскадная цепь
не может быть несимметричной. Однако предполагается, что
подключенные *к сеточным и анодным зажимам емкости С/2
равны между собой. Если бы отклонение от этого условия
имело место, то его можно было бы учесть тем методом,
который рассматривался в связи с фиг. 319. Ввиду того, что
несимметричная П-образная цепь включает в себя идеальный
трансформатор с любым отношением витков, то сделанное
предположение не означает уменьшения общности в поста-
новке задачи.
Усиление можно выразить через сопротивление передачи
ZT = RT-\- iXt, которое характеризует напряжение на сеточ-
ных зажимах при единичном токе в анодной цепи. Тогда

+ •
(17.20)
Здесь Z' и Z' введены для краткости. Они представляют
собой параллельное соединение выходной емкости С/2, соот-
ветственно с Zj и Z3. Равенство (17.20) можно переписать
в виде
+	Z'^+ZJ Zs(Z\+Z^ ]
z; + z2 + zj	z; + z2 + z:J”
t=±[ZA-]-ZB-Zc],	(17.21)
Четырехполюсные межкаскадные цепи с ограничениями 509
где Za, Zb и Zc представляют соответствующие члены пер-
вого выражения. Мы видим, что все эти три величины явля-
ются физическими сопротивлениями, которые можно опреде-
лить на основании измерений внешних параметров цепи.
Например, ZA представляет собой сопротивление, которое
можно измерить между точками и a Zc —то сопротив-
ление, которое можно измерить между F\ и Р3 (см. фиг. 326).
•Следовательно, со-
противление пере-
дачи можно физи-
чески осуществить
в виде, представлен-
ном на фиг. 327,
где последователь-
ность сопротивлений
С	С
Фиг. 327
соответствует после-
довательности членов равенства (17.21). Следует заметить, что
каждое из сопротивлений включает параллельную емкость
и, таким образом, в отношении своей вещественной составля-
ющей подлежит тем ограничениям, которые связаны с инте-
гралом сопротивления. Чтобы использовать эти условия, сле-
дует в первую очередь обратить внимание именно на веще-
ственную составляющую, так что равенство (17.21) можно
свести к более простой форме:
Rr=i(RA+RB-Rc).
(17.22)
10.	Четырехполюсные межкаскадные цепи с ограничениями
в отношении фазовой характеристики
Удобно начать рассмотрение вопроса с того, чтобы пока-
зать следующее: преимущества четырехполюсных цепей в
отношении величины усиления по сравнению с двухполюс-
ными цепями могут быть осуществлены только, если фазо-
вый сдвиг четырехполюсных систем, по крайней мере в пре-
делах части частотного спектра, может быть больше 90°, или,
другими словами, больше максимально возможной для двух-
полюсных цепей величины. Предположим, например, что мак-
симальная величина фазового сдвига четырехполюсной системы
ограничивается углом 90°. Если мы будем исходить из соот-
ветствующих этому ограничению величин относительно уси-
ления и фазового сдвига межкаскадной цепи, то на основе
этих данных мы сможем немедленно построить кривую соот-
ветствующих значений При заданных ограничениях в от-
ношении фазового сдвига кривая, разумеется, всегда будет
соответствовать положительным значениям, в то время как
510
Глава XVII- Проектирование межкаскадных цепей
масштаб, к которому она отнесена, будет зависеть от вы-
бранной величины абсолютного уровня усиления. Но если фа-
зовый сдвиг достигает лишь значения 90° на высоких часто-
тах, то усиление будет убывать на 6 дб на октаву, или,
другими словами, величина ZT будет изменяться как
Соотношение между постоянной k и площадью, ограниченной
характеристикой RT, в данном случае, очевидно, в точности
такое же, как и соотношение между ограничивающей емкостью
и интегралом сопротивления при двухполюсном сопротивле-
нии. Следовательно, если мы найдем наименьшее возможное
значение k, то соотношение площадей определит масштаб,
относительно которого должна быть построена характери-
стика 7?г, а отсюда можно установить величину максимально
возможного абсолютного уровня усиления. Ясно, что абсолют-
ный уровень усиления для четырехполюсных систем будет
больше, чем для двухполюсных межкаскадных цепей, имею-
щих ту же величину относительного
усиления и фазового сдвига, только
в том случае, если мы сможем полу-
чить k меньше чем С.
Если Za, Zb и Zc в соотношении
(17.21) включают в себя только ем-
костные цепи, показанные на фиг. 327,
Фиг. 328	то положительные и отрицательные
площади, ограниченные характери-
стикой сопротивления, будут вычи-
таться. Следовательно, для получения положительной пло-
щади, лежащей под характеристикой необходимо предпо-
ложить, что сама межкаскадная цепь будет включать в себя
емкостную цепь, помимо той цепи, которая создается внеш-
ними паразитными емкостями. Можно рассмотреть этот слу-
чай, предполагая, что сама межкаскадная цепь может быть
на бесконечной частоте представлена как эквивалентная П-об-
разная цепь, состоящая из емкостей С2 и С3, как это по-
казано на фиг. 3281).
9 Для получения постоянной величины площади, ограниченной характе-
ристикой сопротивления, не обязательно, чтобы ветви П-образной схемы
на бесконечной частоте вырождались в емкости, особенно в тех случаях,
когда возможно использование идеального трансформатора. Мы можем,
вообще говоря, считать, что эти ветви на бесконечной частоте будут
А^п и Д3<оп, где, ввиду того, что отдельные ветви П-образной схемы
могут не быть физическими сопротивлениями, п может быть нуль, единица
или целое отрицательное число. Если, однако, межкаскадная цепь в целом
может быть физически осуществлена, то ветви эквивалентной системы
должны быть выполнены так, чтобы их физическое сопротивление можно
было найти путем измерения внешних параметров. Это означает, что вели-
чины Д1, Лз и Л3 должны удовлетворять соотношению вида (17.24), все
Четырехполюсные межкаскадные цепи с ограничениями
511
Соответствующее выражение для Zt будет
=	с‘+ 2 (С1 + 2Са + с3) С 4- 4 (GG + С& + С2С3) • (17'23>
То обстоятельство, что реальная межкаскадная цепь
является физически осуществимой, не обязательно означает,
что С\, С2 и С3 в эквивалентной схеме П-образного типа
должны быть положительны. Однако очевидно, что емкости С
должны быть выбраны так, чтобы при любых внешних изме-
рениях цепи мы получали положительную величину емкости.
Таким образом,	Сг-]-С3 и С^-\-С3 должны быть поло-
жительными, так как каждая из этих величин равна емкости
между внешними зажимами, когда другие зажимы закорочены.
Если, помимо этого, мы примем во внимание, что измеряемая
емкость должна также оставаться положительной, когда остав-
шиеся свободными зажимы ни к чем/ не присоединены, то-
нетрудно показать, что емкость С должна удовлетворять
условию
QG + С\С3 + С/?3 0.	(17.24)
Из этого условия легко установить, что Zr, входящее в (17.23),
не может быть больше 1/АоС и достигает этого предела только
при С2 = оо и Ci = C3 = 0. Отсюда мы непосредственно полу-
чаем следующую теорему:
Теорема. Для четырехполюсной межкаскадной цепи,,
нагруженной с обоих концов на равные по величине задан-
ные емкости, абсолютный уровень усиления в пределах
любой данной полосы не может быть больше усиления для
соответствующей двухполюсной цепи, если для четырех-
полюсной цепи угол фазового сдвига не будет превышать
90Р, по крайней мере для некоторой части полосы.
Условия, что С2 = со, а Сг — С3 — 0, которые соответствуют
максимальному усилению в случае четырехполюсной цепи,
очевидно, применимы к системе, которая вырождается в двух-
полюсную систему. Ограничение, заключающееся в том, что
фазовый сдвиг не может превышать 90°, можно рассматри-
вать с двух точек зрения. На высоких частотах оно предпо-
лагает, что уменьшение усиления на октаву составляет 6 дб,
а не 12 или 18 дб. В усилителях с обратной связью фазовый
сдвиг межкаскадной цепи, превышающий 90°, обычно
члены которого имеют одинаковые знаки, за исключением случая, когда
п = 0 или п = ±1. С помощью этого условия можно показать, что полу-
ченные выше результаты для П-образной цепи, составленной из емкостей,
будут иметь место и в общем случае. Однако для сокращения изложе-
ния детали анализа здесь опущены.
512	Глава XVII- Проектирование межкаскадных цепей
недопустим, если требуется получить очень большую величину
обратной связи. С другой стороны, величина фазового сдвига,
большая 90°, в пределах ограниченной области низших частот
не может привести к неприятным последствиям. Однако сле-
дует отметить, что если четырехполюсные и двухполюсные
межкаскадные цепи дают одинаковую величину усиления и
фазового сдвига на верхних частотах, то общие „площади
усиления" на нижних частотах будут также одинаковыми.
Таким образом, отсутствие ограничений в отношении фазовой
характеристики для четырехполюсной системы просто озна-
чает, что здесь усиление может изменяться более резко, и,
следовательно, заданная площадь усиления может быть рас-
пределена с большей степенью произвола, чем это было воз-
можно в случае двухполюсных цепей. Однако в многокаскад-
ных усилителях эти дополнительные возможности могут быть
использованы только в исключительных случаях.
11.	Общие ограничения в отношении усиления
четырехполюсных межкаскадных цепей
Принимая во внимание полученные результаты, мы далее
будем предполагать, что четырехполюсные системы спроек-
тированы таким образом, чтобы обес-
печить максимально возможное уси-
ление, независимо от ограничений
\	в отношении фазовой характеристики.
\	г\ При этом, разумеется, мы будем счи-
0 Т J \	7~ ы тать, что вещественная составляю-
\ I \	/ щая будет положительной в извест-
\ /	\^J ных частях частотного диапазона и
отрицательной в других его частях,
Фиг. 329	как эт0 показано на фиг. 329. Так
как картина имеет симметричный ха-
рактер, то оптимальное решение по-
лучится, когда положительные и отрицательные площади бу-
дут, насколько это возкожно, велики и равны между собой.
Другими словами, здесь не будет таких случаев, какие имели
место в предыдущем рассмотрении, когда требовалось доба-
вить емкостные цепи к межкаскадным цепям, как это было
показано на фиг. 327.
Предположим, в соответствии с предыдущим, что форма
характеристики для на фиг. 329 будет определяться харак-
теристикой относительного усиления и фазовой характери-
стикой, причем масштаб для этих характеристик будет зави-
сеть от абсолютного уровня усиления. Мы не можем огра-
ничить величину абсолютного усиления, основываясь на
Общие ограничения в отношении усиления цепей 513
соображениях, относящихся к интегралу сопротивления
так как, согласно изложенному в предыдущем разделе, полная
площадь, ограниченная характеристикой в оптимальном случае,
может считаться равной нулю. Однако возможно установить
соответствующие ограничения, применяя условия, относящиеся
к интегралу сопротивления, отдельно для положительной и
отрицательной составляющих
2”	и 2"
входящих в равенстве (17.22) в величину RT.
В цепи со случайно подобранными параметрами следует
ожидать, что как 1/i(RA-\-RB), так и 7^с будут иметь
заметное значение в большей части частотного спектра.
Таким образом, обе составляющие будут стремиться вычи-
таться одна из другой, и взятая с учетом другой составляю-
щей площадь, ограниченная одной положительной частью
характеристики RT или же соответствующей отрицательной
частью, будет меньше, чем интегралы от 7з(#д+₽в) или
7, Rc> взятые отдельно. Разумеется, это означает, что абсо-
лютный уровень усиления должен быть соответственно умень-
шен. Например, пунктирные кривые фиг. 330 дают положитель-
ные и отрицательные составляющие для частного случая схемы
фиг. 318, а сплошная кривая — результирующую величину RT *).
Эта цепь отличается тем, что в ней отсутствуют какие-
либо каналы, действующие на высоких частотах, помимо тех,
какие создаются паразитными емкостями, так что площадь,
*) За единичную величину для сопротивления на фиг. 330, а также на
фиг. 331, 333 и 334 взята величина 4.[<1>йС ом.
33 Зак. 1327
514	Глава XVII- Проектирование межкаскадных цепей
ограниченная положительной частью 7?г, простирающаяся от
ш = 0 до ® = 0,5<о0, равна площади, ограниченной отрицатель-
ной частью, которая простирается от ® = 0 до <о=0,5®0. Од-
нако из фигуры видно, что эти площади вычитаются таким
образом, что каждая из них составляет лишь примерно 40°/Ф
площади, ограниченной характеристиками для % (/?д +/?в}
или */а Rc , взятыми отдельно.
То обстоятельство, что подобные результаты могут быть
получены, и притом с различными численными значениями
для разных систем, позволяет понять, каким образом оказы-
вается возможным получить четырехполюсные межкаскадные
цепи, в которые входят те же паразитные емкости и кото-
рые имеют то же относительное усиление и фазовую харак-
теристику, в то время как их абсолютные уровни усиления
различны. Очевидно, что максимально возможный уровень
усиления в идеальном случае может быть получен, если
равно нулю в той области частотного спектра, где RT поло-
жительно, a Ra-\-Rb Равно нулю, где RT отрицательно, так
чтобы взаимные вычитания величин не могли иметь место.
К сожалению, указанные соотношения не могут быть полу-
чены в физически осуществимых межкаскадных цепях. Од-
нако мы можем установить, какая минимальная степень вычи-
тания может быть достигнута. Условие физической осуще-
ствимости межкаскадной цепи имеет вид1)
RARB —Rt^°	(17.25}
или	,----
/₽д₽в=1₽г1 + 8ь	(17.26}
где — положительная величина или нуль. Этим условием
можно воспользоваться совместно с равенством (17.22), кото-
рое мы перепишем в виде
= VR^Rb-^ Rc+ h-	(17.27}
Здесь 8а = (//?д — VRB)* и также либо положительная вели-
чина, либо нуль. Если Rr отрицательно, то из двух указанных
равенств следует
 2/?r = -4#c+8i + 8*-	(17.28}
Указанное условие вытекает из условий, которые даны в работе
Gewertz, Network synthesis, Journ. of Math. a. Phys. 12 (1932—1933). Это^
условие по существу аналогично тому, которое было установлено в виде*
соотношения (17.24) для емкостной цепи. Оно было выведено из рассмотре-
ния обстоятельств, при, которых входное сопротивление цепи будет оста-
ваться положительным, когда чисто реактивное сопротивление соответ-
ствующей величины и знака подключено к выходным зажимам цепи.
Общие ограничения в отношении усиления цепей
515
при этом удовлетворяется.
Для положительного значения /?г имеем
|/?с=81 + 82.	(17.29)
Оптимальные условия непосредственно определяются из этих
соотношений. Оптимум имеет место при 81 = 82 = О, что опре-
деляет симметричность системы. Условие физической осуще-
ствимости системы (17.26'	“
указанных значений 8
мы имеем 7?с=0 при
положительном /?р так ito
что полная площадь,
ограниченная характе-
ристикой 747?с, будет О
относиться к области
частот, где /?г отрица-
тельно.
Но в этой области
RT=1/i Rc, так что по-
ловина площади, огра-
ниченной характери-
стикой для 7а(#д+Фиг. 331
должна также отно-
ситься к этой же
области с тем, чтобы получились правильные результаты вычи-
тания. Очевидно, что вторая половина площади, ограниченной
характеристикой 74 (/?Лопределяет характеристику^
для той части спектра, где RT положительно.
Указанные соотношения иллюстрируются фиг. 331, где
даны положительные и отрицательные составляющие харак-
теристики RT фиг. 330 для идеального случая. Из положи-
тельных составляющих изображена только суммарная состав-
ляющая 7а (#a+A*b), так как вследствие симметрии системы
Ввиду того, что емкости, ограничивающие значения вели-
чин ZA, ZB и Zc, известны, приведенным нами соображениям
можно придать количественную формулировку. При этом мы
приходим к следующей терреме:
Теорема. Площади, ограниченные как положительной,
так и отрицательной составляющими характеристики
сопротивления передачи четырехполюсной межкаскадной
цепи, к зажимам которой с обеих сторон подключены
равные емкости, не могут превышать значения интеграла
зз*
516	Глава XVII- Проектирование межкаскадных цепей
сопротивления для суммы, подключенных к зажимам ем-
костей. Предельный случай может быть получен тогда и
только тогда, когда система вполне симметрична и когда
ее собственное сопротивление и сопротивление передачи
соответствуют предельным условиям и могут быть физи-
чески осуществлены.
То обстоятельство, что для оптимального случая система
симметрична, позволяет заменить приведенное выше соотно-
шение (17.21) для ZT несколько более простым соотноше-
нием, в котором условие получения минимального значения
при вычитании площадей, ограниченных положительной и
отрицательной составляющими характеристики, удовлетво-
ряется автоматически. Если в (17.20) мы положим Z' = Z,, то
найдем, что уравнение можно переписать в виде
1 1 __________________ 1 1
2 1 ~ ~2	У 1 ~Т Zс’
(17.30)
где приведенные обозначения имеют прежний смысл. Это
выражение характеризует изображенную на фиг. 332 комби-
нацию, состоящую из по-
ложительных и отрица-
тельных сопротивлений.
Если мы приведем срав-
нение с соответствую-
щей общему случаю ком-
бинацией элементов, кб-
фиг. зз2	торая уже приводилась
ранее на фиг. 327, то
заметим, что емкости,
ограничивающие положительную и отрицательную составляю-
щие сопротивления, как раз вдвое больше тех, которые имели
место в предыдущем случае.
С другой стороны, положительная и отрицательная состав-
ляющие могут теперь рассматриваться как совершенно неза-
висимые сопротивления. Напомним при этом, что положитель-
ная и отрицательная составляющие для фиг. 327 могут быть
определены теми или иными измерениями внешних парамет-
ров цепи. В частности, отрицательная составляющая имеет 1
величину, кратную величине сопротивления между зажимами
Pi и Р3 на общей схеме фиг. 326. Этот способ определения
применим и к схеме фиг. 332, так как отрицательная состав-
ляющая для этой схемы будет отличаться от того, что имеет
место в предыдущем случае, лишь на постоянный множитель.
В то же время две положительные составляющие х1ч.2А и
Общие ограничения в отношении усиления цепей
517
1/iZB на фиг. 327 должны быть заменены одним сопротивле-
нием 1liZ'l.
Чтобы определить новую положительную составляющую,
мы должны заменить проводившееся прежде измерение изме-
рением сопротивления для схемы фиг. 326 между точкой Рг
и точками Ръ Р3, соединенными между собой. При этих ус-
ловиях измерение, заключающееся в определении как поло-
жительной, так и отрицательной составляющих, сводится в
точности к тому же самому способу, которым мы пользо-
вались при определении ветвей эквивалентной схемы, соответ-
ствующей системе, изображенной на фиг. 182. Интересующие
нас составляющие будут просто представлять собой величины,
кратные сопротивлениям ветвей эквивалентной схемы фиг. 182.
Мы можем предположить, что эти составляющие были
первоначально выбраны совершенно независимым образом и
что различные соотношения для цепей, приведенных в гла-
ве XII, будут использованы для получения с их помощью
некоторой конкретной схемы для межкаскадной цепи. Это
делает ненужными какие-либо предположения о том, что
имеет место взаимное перекрытие или взаимное вычитание
положительных и отрицательных характеристик сопротивле-
ния. Оптимальный результат получится, если мы положим,
что положительная часть характеристики РТ полностью опре-
деляется положительной компонентой сопротивления, и
наоборот. При рассмотрении общего случая было найдено,
что здесь требуется уменьшение по площади по крайней мере
на 5О°/0. Это объясняется тем, что емкости, ограничивающие
величину составляющих сопротивлений, здесь в два раза
больше, чем в предыдущем случае, так что величина инте-
грала сопротивления оказывается соответственно меньше. Так
как абсолютный уровень усиления в конце концов ограничи-
вается условиями, относящимися к интегралам положитель-
ного и отрицательного сопротивления, то естественно пред-
положить, что максимальное усиление в заданной области
спектра частот может быть получено, если RT = 0 за преде-
лами области. Таким образом, так же как и • в слу-
чае двухполюсных систем, площади сопротивления будут
полностью сосредоточены в рабочей полосе. Если мы при-
мем это предположение, то окажется возможным придать
вполне определенную форму процессу расчета для четырех-
полюсной системы, имеющей любую заданную характеристику
относительно усиления в рабочей полосе. При этом надо
будет начать с нахождения соотношения для усиления и
фазового сдвига межкаскадной цепи.
Подобные соотношения можно получить, умножая выра-
жения для характеристики усиления и фазовой характери-
'518
Глава XVII- Проектирование межкаскадных цепей
-стики на п, где п — некоторое нечетное число, большее
единицы *). Далее может быть вычерчена характеристика для RT
с масштабом, определяющим абсолютный уровень усиления
-и подобранным таким образом, чтобы положительная и отри-
цательная части характеристики удовлетворили интегральным
условиям. Указанное обстоятельство дает возможность опре-
делить реактивные сопротивления, которые соответствуют
положительной и отрицательной составляющим сопротивлений.
Это фиксирует сопротивления ветвей для эквивалентной
схемы конечной системы и позволяет выбрать конкретную
схему, используя соотношения, рассмотренные в главе XII.
Соответствующий пример дан в следующем разделе.
12. Примеры проектирования четырехполюсных систем
Приведенное выше теоретическое рассмотрение можно про-
иллюстрировать примерами проектирования че'тырехполюо-
ных межкаскадных цепей, обеспечивающих максимально
возможное, постоянное по величине усиление в пределах
заданной полосы.
Начнем с составления формулы для характеристики уси-
ления и фазовой характеристики, умножая на некоторое нечет-
ное число п выражение для усиления и фазового сдвига двух-
полюсной системы, дающей постоянное усиление:
a + Z0=InZr = lntf-nln[y’l--^- 4-Z-^]. (17.31)
При л = 3 мы, очевидно, получим уже известное соотноше-
ние, которое приводилось ранее в качестве равенства (17.19),
Фиг. ззз
причем разница может за-
ключаться только в абсо-
лютном уровне усиления.
Характеристика RT, опре-
деляемая равенством (17.31),
даст кривую, изображенную
на фиг. 333. Число выбро-
сов кривой вверх и вниз,
разумеется, зависит от п,
однако легко видеть, что
положительная и отрица-
тельная площади при лю-
бом п будут равны одна
*) Подобный выбор величины л приводит к характеристике для 7?г, имею-
щей равные между собой положительную и отрицательную площади, при-
чем за пределами полосы /?г=0.
Примеры, проектирования четырехполюсных систем
519
другой. Задача, подлежащая разрешению, заключается в та-
ком подборе коэфициента К, чтобы как положительная, так
и отрицательная площади удовлетворяли условию интеграла
сопротивления. Если мы положим ?=arcsin<»/<»e, то выраже-
ние для кривой фиг. 333 примет вид/Ceos «ф, и интеграл
для положительной составляющей будет равен
тс/2	ртс/2/х	5тс/2л
1 (4-/?) cos = I cos «ф cos I cos «ф cos «pt/ф+
0	L У	3^2„
tc/2	-j
4-...+ j	cos пф cos ф</ф I ==2~^"	(17:32)
(n —2)tt/2/z	J	°
Частота %, входящая в правую часть равенства, и величина
cos ф в каждом из подинтегральных выражений вошли в соот-
ношение (17.32) в связи с тем, что условия для интеграла
сопротивления относились к случаю интегрирования по <», а
не по ф. Непосредственное интегрирование соотношения
(17.32) даст
пК Г ге . Зге । 5ге ,	, (п—2)ге1
Г [cos2-4- cos2-4- cosr2- 4-... 4- cos J =
re
2<o0C
(17.33)
Что касается тригонометрического ряда, входящего в левую
часть, то он равен ctg (ге/2д). Таким образом, формула для К
приобретает вид:
(17.34)
Выражение, стоящее в скобках, достигает своего максималь-
ного значения, равного я, когда д = со. Предел наибольшего
постоянного по величине усиления, который может быть
достигнут в системе, будет, таким образом, определяться сле-
дующей теоремой:
Теорема. Наибольшее сопротивление передачи, которое
может быть получено в пределах данной полосы частот
в симметричной четырехполюсной межкаскадной цепи, к
внешним зажимам которой с каждой стороны подключены
емкости С/2, может превышать сопротивление емкости С
в данной полосе не более чем в ^/2 раз.
Это предельное значение примерно на 8 дб выше макси-
мального усиления, которое может дать двухполюсная меж-
каскадная цепь, или на 2 дб выше усиления системы, изобра-
женной на фиг. 318.
520
Глава XVII. Проектирование межкаскадных цепей
Если мы, выбирая достаточно большое п, подойдем близко
к предельному теоретическому значению, то положитель-
ная и отрицательная части характеристики Rr будут состоять
из большого числа отдельных отрезков и, следовательно,
соответствующая цепь окажется весьма сложной. Однако
не будет существен-
ного проигрыша, если
мы возьмем п = 3, что
соответствует мини-
мально возможному
значению. Даже при
таком значении п вы-
ражение, стоящее в
квадратных скобках ра-
венства (17.34), оказы-
вается равным 3,08, т. е.
оказывается лишь на
0,2 дб ниже максималь-
ного значения. При
таком выборе данных
характеристика RT при-
нимает тот же вид, что
и для кривых на
фиг. 330 и 331. Подоб-
ная характеристика в
соответствующем масштабе дана на фиг. 334.
Положительная составляющая RT может быть определена
как та часть характеристики, которая лежит между началом?
координат и точкой пересечения характеристики с нулевой
линией и которая далее совпадает с самой нулевой линией.
Кривая в общих чертах напоминает характеристику фильтра.
В качестве первого шага к получению кривой подобного
вида можно построить фильтр нижних частот, имеющий среа
вблизи частоты <0 = 0,5%,
на которой положительная
составляющая характеристи-
ки достигает нуля. Такой Za^7^T2,a
у*
±0/t3C “
фильтр обведен прямоуголь-
ником на фиг. 335. Эта си-
(v0C
стема включает в себя ем-
кость 0,43 С в качестве
Фиг. 335
шунтирующей ветви. Так
как общая параллельная емкость для каждой составляющей
сопротивления схемы фиг. 332 равна С, то необходимо вклю-
чить в цепь добавочную емкость 0,57 С. Без всяких допол-
Примеры, проектирования четырехполюсных систем 52Г
нительных изменений в схеме это приводит к получению
характеристики, соответствующей характери’стике положи-
тельного сопротивления, показанной крестиками на фиг. 334.
Составляющая отрицательного сопротивления равна нулю
в пределах от начала координат до частоты <о = 0,5 ®0 и да-
лее совпадает с характеристикой Ее также можно по-
строить описанным выше способом. В качестве основного
Фиг. 336
элемента
лосовую
в> = 0,5 %
Фиг. 337
соответствующей реальной цепи возьмем здесь по-
систему, пропускающую частоты примерно от
до <о = ю0. Такая система обведена прямоугольником?
на фиг. 336. Номинальная величина характеристического
сопротивления взята несколько отличной от своего теорети-
ческого значения, равного 4,84/®0С, с’ тем, чтобы получить,
нужную величину характеристического сопротивления на
пике кривой отрицательного сопротивления.
Фильтр включает в себя емкость 0,49 С. Чтобы составить,
полную схему, требуется добавить дополнительную емкость
в 0,51 С и катушку индук-
тивности с тем, чтобы
получить максимум со-
противления на рпреде-
ленной частоте. Совпаде-
ние с теоретической ха-
рактеристикой показано
при этом кружками на
фиг. 334. В соответствии
с анализом, который при-
водился в связи с соот-
ношением (17.30), изобра-
женные на фиг. 335 и
336 системы имеют со-
противления, которые составляют половину сопротивления
ветвей схемы скрещенного типа эквивалентной полной цепи.
Чтобы определить окончательный вид системы, мы можем-
начать с того, что отбросим параллельные емкости, пользуясь
условиями эквивалентности, приведенными на фиг. 186. Остав-
шуюся часть схемы можно преобразовать в схему типа пере-
522 Глава XVII- Проектирование межкаскадных цепей
крытого Т, пользуясь условием эквивалентности, относящимся
к схеме фиг. 190. Это приводит нас к системе, изображенной
на фиг. 337. Цепь Ni соответствует обведенной прямоуголь-
ником системе фиг. 335, если все остальные элементы отбро-
шены, а цепь соответствует при тех же условиях анало-
гичной системе фиг. 336, но с сопротивлениями, в четыре
раза большими. Окончательная характеристика усиления и
•фазовая характеристика приведены на фиг. 333, где за отно-
сительный уровень усиления взята величина In
Неболыпой провал в центральной части полосы вызван
тем, что фильтр обладает слишком большой селективностью,
чтобы было возможно обеспечить совпадение с характери-
стикой фиг. 334 в этой области. Этот провал в характери-
стике можно ослабить, либо используя упрощенные фильтры
с малой селективностью, либо вводя дополнительные потери
в систему. Пунктирная линия на фиг. 338 показывает, какие
результаты могут быть получены, если предположить, что
используемые фильтры имеют величину Q, равную 100.
523
График I
524
1,0
Графики
ГрафцкШ
525
526
527
График V
528
*	 to ^rc Z/град) ,	
		 ^zEEz’tt: Е±ЕЕЕЕЕ=ЕЕт:
	^s?5.;z==	'-#-/-	  __ ___^^_^-|-4-f— - —-
	:	*- A	
				
“±:	“qzl:Ld b: :::: 4 -Lh-V-^A _ -к?	J	L_A	
_c^		Г"“ГТ	 :*•	:: :::: ~j ifcb ::::: ::::
. ®*.	— к=2 Л	i—\4-	1	 -£>		A	i	
azeezee;;====':|::|| 1ze|

i— i^r/fo	__йгА-=£^й—it-
- Hri ig 	:	"	-L/ic	:

_. T-	-V-Ar
	Ei-EEEi—^ЕЕ-ЕНЕЕЕ^-ЕЕЕ-Е^ЕЕ
Графин VI
ГЛАВА XVIII
ПРОЕКТИРОВАНИЕ АБСОЛЮТНО УСТОЙЧИВЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
С ОДНОКАНАЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ1}
1. Введение
В двух предыдущих главах основное внимание было со-
средоточено на расчете отдельных частей усилителей с обрат-
ной связью. Начиная с этой главы, мы перейдем к вопросам
полного расчета всей системы в целом. Наибольшее внимание
будет уделено абсолютно устойчивым усилителям с одноканаль-
ной обратной связью, с которыми наиболее часто приходится
сталкиваться в обычной практике проектирования. Примеры
расчета, иллюстрирующие результаты анализа, изложенного
в настоящей главе, выделены отдельно и будут рассмотрены
в главе XIX. Однако в настоящей главе приведены ссылки
на последующий материал, позволяющие читателю непосред-
ственно обратиться к соответствующим примерам в том случае,
если это окажется нужным. Ограничение, заключающееся
в одноканальной обратной связи, в сущности означает, что
лампы представляют собой устройства одностороннего дей-
ствия, которые, как это имеет место в обычной р-цепи, вклю-
чены каскадно.
С точки зрения последующего материала важно усвоить
точный смысл приводимого ниже определения.
Определение. Усилителем с одноканальной обратной
связью называется усилитель, для которого возвратная раз-
ность любой из ламп равна единице в том случае, когда усиле-
ние любой другой лампы, используемой в схеме, равно нулю.
Очевидно, что это определение равносильно утверждению
о том, что величины крутизны различных ламп могут входить
в определитель системы только в виде произведения GmGmi...Gmn.
При этом предполагается, что лампы имеют непосредственное
каскадное включение и что возвратная разность для. всех ламп
в рабочих условиях имеет одну и ту же величину. Следует отме-
тить, что приведенное определение не включает в себя усилите-
лей, в которых имеются местные обратные связи в одной или не-
скольких лампах, за счет сопротивлений в цепи катода, паразитной
1) См. также работу автора в Bell Syst. Tech. Journ., июль 1940.
34 Зак. 1327
530 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
емкости анод-сетка и т. п. С точки зрения инженерной прак-
тики, ограничение подобного рода иногда бывает чересчур
строгим, так как многие из указанных выше схем можно рас-
сматривать как схемы с одноканальной обратной связью,
принимая лишь во внимание изменение усиления в предыду-
щих каскадах, которое создается за счет этой местной обрат-
ной связи.
Однако, как показывает анализ, проведенный с более общей
точки зрения, устойчивость подобных схем сильно зависит от
степени изменения усиления лампы со сроком службы или
же от того, насколько увеличивается усиление при разогреве
ламп в результате включения.
Поэтому, вообще говоря, предположение о том, что подоб-
ные системы без всяких ограничений можно рассматривать
как усилители с одноканальной
?	; обратной связью, было бы не-
обоснованным.
I--^-|----	С другой стороны, согласно
~	приведенному выше определе-
I&J	нию, к усилителям с одноканаль-
фиг 339	ной обратной связью должны
быть отнесены все системы,
имеющие произвольное число
различных цепей, по которым осуществляется обратная по-
дача напряжения с анода оконечной лампы на сетку первой
лампы. Пример расчета подобной системы приведен в следую-
щей главе.
Эта система имеет одну ц-цепь и две 0-цепи, как это по-
казано нафиг. 339. Различие между двумя указанными 0-цепями
существенно, так как только одна из этих цепей действует
в рабочем диапазоне частот и, таким образом, определяет
внешние параметры усилителя. Вторая 0-цепь добавлена для
улучшения фазового угла возвратного напряжения на высо-
ких частотах. Однако для тех целей, которые ставятся при
настоящем рассмотрении и которые главным образом имеют
в виду вопросы устойчивости схемы, можно объединить любое
число подобных путей обратной связи и считать, что>мы имеем
дело с одним четырехполюсником обратной связи.
Чтобы удовлетворить требования к абсолютной устойчи-
вости системы, воспользуемся анализом, изложенным в главе VIIL
Напомним,- что диаграмма Т для типового усилителя соответ-
ствует одному из трех случаев, приведенных на фиг. 340.
Если имеет место кривая типа //, которая охватывает точ-
ку (—1,0), то система неустойчива. Усилитель будет устойчив
при кривой типа I или III, из которых ни одна не охваты-
вает точки (—1, 0).
Введение
531
Однако устойчивость, определяемая кривой III, будет иметь
место -только до тех пор, пока кривая не сдвинется до кри-
тической точки. Таким образом, система может самовозбу-
диться, если за счет
ухудшения параметров
со сроком службы, уси-
ление, даваемое лампа-
ми, начнет падать. Точно
так же система может
самовозбудиться и при
возрастании усиления
цепи от нуля при разо-
греве ламп после вклю-
чения усилителя. Вслед-
ствие этого мы в на-
стоящей главе будем
считать, что усилитель,
относящийся к абсолют-
но устойчивому типу, соответствует кривой типа / и
остается устойчивым при любых изменениях усиления цепи.
Очевидно, что условие абсолютной устойчивости усилителя
заключается в том, что фазовый сдвиг по петле обрат-
ной связи не должен
превышать 180° до тех
пор, пока усиление вдоль
петли не упадет до нуля
или же еще ниже. Одна-
ко теоретические харак-
теристики, которые бу-
дут соответствовать это-
му условию, окажутся
неудовлетворительными,
так как указанный гра-
ничный фазовый сдвиг
может в действительно-
сти быть превышен за
счет небольших откло-
нений, обусловленных
либо конструктивным
выполнением усилителя, либо подбором его параметров.
Таким образом, предельный фазовый сдвиг должен быть
на некоторую определенную величину меньше 180°. Это
иллюстрируется фиг. 341, на которой величина запаса по фа-
зовому сдвигу обозначена через уп радиан. Во многих схемах
на частотах, выходящих далеко за пределы полосы, физически
невозможно удержать фазовый сдвиг в указанных пределах.
34*
532 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
Поэтому в качестве дополнительного условия мы будем
предполагать, что большие величины фазового сдвига допу-
стимы только в том случае, когда усиление цепи на х дб ниже
нуля. Это обстоятельство иллюстрируется кривой фиг. 341,
где величина в х дб показана пунктирной дугой. Разумеется,
не следует думать, что величины „запаса прочности” по отно-
шению к фазовому сдвигу, определяемые величинами х и у,
могут быть наперед заданы произвольным образом. Если мы
выбираем большие величины запаса, то можно допустить
значительные отклонения от нормы в конструктивном выполне-
нии устройства и в выборе его деталей, без опасности получения
неустойчивой работы. Однако оказывается, что при заданной
ширине полосы степень обратной связи, которая может быть
осуществлена, уменьшается в случае возрастания запаса проч-
ности, так что обычно из соображений устойчивости жела-
тельно выбирать настолько малую величину запаса, насколько
это возможно.
В настоящей главе будет предполагаться, что усилитель
имеет полосу, ограниченную со стороны верхних частот.
Соображения, изложенные в главе X, в частности, те, которые
связаны с теоремой о постоянстве ширины полосы, могут
быть применены и к другим случаям. Соответствующие при-
меры в этом направлении можно найти в следующей главе.
2. Характеристики идеального среза
В вопросе, который сейчас нами рассматривается, суще-
ственно требование о том, чтобы усиление по петле обратной
связи уменьшалось от значительной величины, соответствую-
щей обычной полосе частот, до нуля или даже ниже на доста-
точно высоких частотах. При этом величина фазового сдвига
не должна превышать некоторого заданного значения. Из
общих соображений, приведенных в главе XIV, следует, что
это требование определяет, насколько резко должно умень-
шаться усиление за пределами полосы. Если бы не было огра-
ничений, обусловленных фазой, то было бы желательно, чтобы
усиление уменьшалось очень резко. Чем резче убывает вели-
чина обратной связи, тем более узкой может быть взята та
область, в которой требуется соблюдение условий, обеспечи-
вающих отсутствие самовозбуждения.
Более того, желательно, чтобы срез характеристики имел
место как можно раньше с тем, чтобы избежать трудностей,
связанных с влиянием паразитных параметров на высоких часто-
тах. Однако анализ, приведенный в главе XIV, показывает, что
фазовый сдвиг примерно пропорционален степени изменения
усиления. Следовательно, если фазовый сдвиг не должен
Характеристики идеального среза 533
превосходить определенной величины, то и частота, начиная
с которой появляется срез, не может превышать опреде-
ленного предела. Например, если мы примем величину за-
паса по фазовому сдвигу равной 30°, то допустимый
сдвиг по фазе р-Р будет 150°, что примерно соответствует
изменению величины усиления в 10 дб на октаву.
Ясно, что желательно иметь в заданных пределах возможно
большую допустимую величину фазового сдвига с тем, чтобы
обеспечить возможно более резкий срез характеристики. Точ-
ная форма среза, которая наилучшим образом удовлетворяет
этому условию, может быть найдена, если мы обратимся к
анализу, связанному с соотношением (17.13), определяющим
максимальную величину усиления межкаскадной цепи. Напом-
ним, что это соотношение было получено из общей фор-
мулы (14.33) в предположении, что усиление межкаскадной
цепи постоянно в рабочей полосе и что фазовый угол за
пределами полосы также постоянен и равен—гс/2. Совершен-
но аналогичная аналитическая задача возникает и в данном
случае, если требуется получить постоянную обратную связь
в рабочей полосе.
Требования, относящиеся к усилению вдоль петли обрат-
ной связи, здесь должны заменить собой те требования, ко-
торые были установлены к усилению межкаскадной цепи, в
то время как за пределами полосы требование о том, чтобы
фазовый сдвиг по петле обратной связи не превышал извест-
ной величины, должно заменить собой соответствующие тре-
бования в отношении фазового угла межкаскадной цепи.
Единственное различие заключается в том, что требования к
фазовому углу должны соответствовать (1 —у)« радиан, взамен
те/2 радиан. Следовательно, мы можем переписать те выраже-
ния, которые мы имели для усиления межкаскадной цепи и
фазового сдвига применительно к цепи обратной связи, в сле-
дующем виде:
Д + /В = Д0-2(1-у)1п[|/'	+	(18.1)
где Д и В представляют собой соответственно вещественную
и мнимую составляющие величины In Т = 1п( —р.0), а Д9
определяет усиление по петле в рабочей полосе частот.
На фиг. 342 приведены кривые для А и В при значении у = 1/е,
соответствующем величине запаса по фазовому сдвигу в 30°.
Разумеется, постоянная составляющая усиления До должна
быть добавлена к величине, приведенной на графике (фиг. 342).
Вследствие полной аналогии между вопросами, относя-,
щимися к межкаскадным элементам, и вопросами, связанными
534 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
с петлей обратной связи, ббльшая часть положений, изложен-
ных в предыдущей главе, может быть непосредственно при-
менена и в данном случае.
Наиболее существенные результаты в этом отношении
заключаются в следующем:
1.	Для случая межкаскадных элементов кривая, характе-
ризующая зависимость усиления от lgo>, переходит на высоких
частотах в прямую с крутизной 6 дб на октаву. Эта прямая
Фиг. 342
соответствует характеристике, определяемой одной лишь па-
разитной емкостью.
В рассматриваемом сейчас случае точно так же кривая,
соответствующая уравнению (18.1), переходит в прямую ли-
нию, имеющую крутизну, равную 12(1—у)дб на октаву. Это
показано пунктирной линией на фиг. 342. У края полосы дей-
ствительная кривая будет спадать по закону, более резкому,
чем прямая линия, если мы примем во внимание, что в
пределах полосы крутизна характеристики равна нулю, а на
краю полосы она лежит на 12 (1 — у) дб выше прямой.
Это соответствует выигрышу 6 дб, который дает межкаскад-
ный элемент с плоской формой характеристики усиления на
краю полосы по сравнению с характеристикой, определяемой
одной емкостью. Благодаря этому возникает возможность
выиграть целую октаву в области интервала среза.
2.	Если запас по фазе и величина усиления для петли
обратной связи поддерживаются постоянными на высоких
.частотах, в то время как в пределах рабочей полосы имеет
место изменение усиления с частотой, то абсолютный уровень
Характеристики идеального среза
535
усиления удовлетворяет условию, по которому площадь, ограни-
ченная кривой, дающей зависимость усиления OT? = arcsin (<»/<о0),
должна быть постоянной.
3.	Если усиление по петле обратной связи на высоких
частотах и форма характеристики усиления в рабочей полосе
заданы, в то время как за пределами области среза желательно
иметь не постоянную, а переменную величину запаса фазо-
вого сдвига, то имеет место следующее положение: абсолют-
ный уровень усиления в неперах будет изменяться в рабочей
полосе частот на величину, равную выраженной в радианах
средней высоте кривой, дающей зависимость (ш/% [В — (1 —у)
в функции от ф' =sin <о0/о>. Здесь В и (1—у) тс определяют
соответственно переменную и постоянную часть величины
запаса фазового сдвига.
При расчете межкаскадных цепей характеристика усиления
в области высоких частот является заданной, так как она
определяется паразитной емкостью схемы. Основания к тому,
чтобы считать характеристику заданной, в случае, когда имеют
место приведенные выше условия 2 и 3, будут рассмотрены
ниже. Следует также отметить, что, хотя эти условия непо-
средственно относятся к усилителям с изменяющимися величи-
нами обратной связи и фазового сдвига в пределах рабочей
полосы, однако они могут быть также использованы для
уточнения предварительного расчета, относящегося к системам,
в которых обратная связь и фазовый сдвиг несколько изменяются
по своей величине, в то время как они должны быть посто-
янными. Например, если при предварительном подборе данных
получаются в целом удовлетворительные результаты, за исклю-
чением того, что обратная связь изменяется по величине, то
условие 2 показывает, какую величину обратной связи следует
выбрать, чтобы получить более горизонтальную характеристику.
Полная аналогия между характеристикой идеального среза,
определяемой условием 1, и характеристикой наибольшего
усиления межкаскадных цепей дает возможность воспроизвести
условие 1 с помощью усилителя, в котором коэфициент пе-
редачи по петле обратной связи полностью определяется меж-
каскадными элементами.
Подобное устройство, представляющее собой усилитель с
обратной связью по напряжению, изображено на фиг. 343.
Трансформатор, показанный на схеме, является идеальным и
имеет коэфициент трансформации, равный единице. Этот
трансформатор используется в схеме только для обеспечения
необходимого для четного числа ламп в схеме сдвига по фазе.
Можно было бы устранить этот трансформатор, переходя к
пушпульной схеме с перекрещивающейся подачей обратной
536 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
связи. Элементы нагрузки в обоих каскадах усилителя фиг. 343
относятся к типу, показанному на фиг. 301; они подобраны
так, чтобы обеспечить максимальное усиление.
Усиление для петли, выраженное в децибелах, равно сумме
усилений обоих каскадов и может быть выражено с помощью
соотношения
+ « =	(18-2)
где Gm — крутизна, а С — полная емкость каскада, равная
сумме входной и выходной емкостей лампы. Это соотноше-
ние соответствует условию (18.1) для предельного случая,
когда запас по фазовому сдвигу равен нулю.
Помимо того что рассмотренная схема фиг. 343 может
служить примером, иллюстрирующим применение соотноше-
ния (18.1), она интересна также •
и с другой точки зрения. Эта
схема определяет ту предельную
форму, которую принимает уси-
литель, когда все остальные со-
ображения по выбору параме-
тров схемы приходится подчи-
нить условию получения наи-
большей возможной величины
обратной связи. Для заданной
системы величина обратной свя-
зи, которая может быть получена в пределах определенной по-
лосы частот, определяется первым членом соотношения (18.2)
и зависит только от отношения 0щ1С и ширины полосы <о0. Вели-
чина Gm!Cпредставляет собой так называемыйкоэфициент каче-
ства лампы. Если эту величину выразить в радианах в секунду,
то она будет определять предельную частоту, на которой лампа,
работающая на собственную межэлектродную емкость, пере-
станет давать усиление. Величина обратной связи будет равна
нулю, когда <о0 равно 2Gm/C. Это можно установить либо из
рассмотрения уравнения (18.2), либо непосредственно из того
обстоятельства, что максимальное межкаскадное усиление
будет на 6 дб больше, чем усиление на краю полосы при ис-
пользовании в качестве нагрузки одной лишь емкости С.
В некоторых из современных ламп коэфициент качества
будет определять частоту, доходящую до 100 мгц. Поэтому
сказанное выше означает, что в тех случаях, когда возможно
осуществить систему, соответствующую приведенной на
фиг. 343, возможно также получить и определенную величину
обратной связи (]	j^=l) в пределах полосы на частотах до
Асимптотические характеристики 537
200 мгц’). Если в качестве исходной полосы мы возьмем по-
лосу в 200 мгц, то величина обратной связи, которую будет
давать система при более узких полосах, будет изменяться,
обратно пропорционально квадрату ширины полосы. Так, при
ширине полосы, превышающей 10 мгц, величина обратной
связи будет примерно равна 50 дб, при полосе больше
1 мгц—90 дб и, наконец, при полосе больше 10 кгц—170 дб.
Приведенные цифры соответствуют, разумеется, значитель-
но ббльшим значениям обратной связи, чем те, которые имеют
место в обычной практике. Они были получены только бла-
годаря предельной простоте схемы. В практических конструк-
циях оказывается необходимым включить входную и выходную*
цепи таким образом, чтобы они позволяли передать конечную
величину мощности сигнала от усилителя к внешней цепи, а
ввести p-цепь, имеющую потери, так чтобы усилитель да-
вал известное усиление. Мы должны также принять во вни-
мание такие факторы, как время пролета электронов в лампах,,
возможность использования ламп, имеющих меньшую величину
коэфициента качества при одновременно лучших остальных
параметрах, или же, наконец,-наличие определенного запаса
по величине фазового сдвига, что дает возможность создать-
устройство, имеющее соответствующую величину допусков в-
отношении подбора его данных. Все эти обстоятельства при-
водят к соответственному уменьшению величины обратной:
связи в практических конструкциях.
Однако с общей точки зрения одна из наиболее важных
задач, возникающих при проектировании усилителей с обрат-
ной связью, заключается в создании схемы с большой вели-
чиной обратной связи. В этом отношении схема фиг. 343„
несмотря на свою искусственность, может быть использована
как эталон, с которым можно вести сравнение других схем.
3.	Асимптотические характеристики петли обратной связи
Непосредственная аналогия между характеристиками меж-
каскадного усиления и коэфициентом передачи вдоль петли
обратной связи оказывается нарушенной только в одном су-
щественном пункте. В случае межкаскадных цепей очевидно,,
что предел абсолютного уровня усиления определяется тем-
обстоятельством, что на достаточно высоких частотах харак-
теристики усилителя вырождаются в характеристики чисто*
емкостной нагрузки. Если усиление в рабочей полосе будет
очень велико, то окажется невозможным уменьшить усиление-
*) Здесь не принимается во внимание время пролета электронов в лампе.,
что будет сделано несколько позже.
538 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
за пределами полосы настолько, чтобы оно совпадало с уси-
.лением, определяемым чисто емкостной нагрузкой, без полу-
чения сдвига по фазе, превышающего 90°.
В задачах, относящихся к коэфициенту передачи по петле
обратной связи, абсолютный уровень усиления, который может
быть получен в рабочей полосе, оказывается ограниченным
условиями, сходными с предыдущими, но более сложными.
Если исходить из чисто теоретических соотношений, анало-
гичных (18.1), то ясно, что не существует никаких обстоя-
тельств, которые в этом отношении ограничивали бы вели-
чину обратной связи. Если, однако, постоянная До, определяющая
величину обратной связи в рабочей полосе частот, будет
возрастать, то область, в пределах которой имеет место за-
метная величина коэфициента передачи, начнет расширяться в
сторону все более и более высоких частот. Ограничение на-
ступает в том случае, когда частота становится столь высокой,
что паразитные параметры определяют поведение системы и
не дают возможности получить с достаточной точностью те
результаты, которые соответствуют уравнению (18.1). Например,
мы, очевидно, встречаемся с затруднениями в том случае,
когда соотношение (18.1) определяет усиление вдоль петли
обратной связи при столь высокой частоте, что лампы, рабо-
тающие лишь на собственные межэлектродные емкости, не
могут обеспечить усиление. Этот предельный случай, который
осуществляется в рассмотренной нами специальной схеме
фиг. 343, является одной из причин возможности использо-
вания этой схемы при расчетах для сравнения с ней других
схем. В практических схемах усилителей ограничения в уси-
лении по петле обратной связи возникают раньше, вследствие
наличия дополнительных потерь в величине коэфициента пе-
редачи по петле, за счет входной и выходной цепей, а также
Р-цепи.
В сравнении со случаем межкаскадного усиления основное
различие, которое должно быть отмечено, заключается здесь
в том, что коэфициент передачи на высоких частотах зависит
от целого комплекса причин, а не от одной лишь величины
собственной паразитной емкости. Характеристика, которая
определяет величину передачи по петле обратной связи на
достаточно высоких частотах при учете действия всех пара-
-зитных параметров петли, будет в дальнейшем называться
асимптотической характеристикой петли. На примере схемы,
приведенной на фиг. 344, легко понять, как можно рассчитать
такую асимптотическую характеристику. Схема представляет
собой усилитель с обратной связью по напряжению. Система
относится к Т-образному типу и образуется цепями/V5, и ZV7.
Входная и выходная цепи представлены элементами и Nt,
Асимптотические характеристики
539
а межкаскадные сопротивления — элементами и N$. Кон-
денсаторы С представляют собой паразитные емкости, за исклю-
чением конденсаторов С3 и С6, которые могут рассматри-
ваться как емкости, введенные в схему для шунтирования
сопротивлений и с тем, чтобы на высоких частотах
получить необходимую величину передачи с выхода на вход.
На достаточно высоких частотах величина передачи по петле
обратной связи будет определяться только величиной этих
емкостей, независимо от значения IV. Таким образом, если
обозначить крутизны ламп через ОтЪ Gmi и Оот3, то асимпто-
тические значения усиления для первых двух ламп будут
От1/шС2 и Gm2/e>C3. Оставшаяся часть петли обратной связи
будет включать в себя третью лампу и потенциометр, со-
ставленный из емкостей Сь С4, С5 и С6. Асимптотическую ве-
личину усиления можно записать в виде Gm3/<o С, где
с = + С4 + (св + С,) .	(18.3)
Величина полного асимптотического усиления будет пред-
ставлять собой произведение всех этих величин или, другими
словами, будет равна От1От3От3/ш3СС3С3.
Фиг. 344
Если изобразить зависимость величины асимптотического
усиления от частоты в логарифмическом масштабе, то мы
получим прямую линию с наклоном в 18 дб на октаву. В том,
что указанная асимптота при логарифмическом масштабе бу-
дет представлять собой прямую линию для самого общего
случая, можно убедиться, записав выражение для сопротив-
ления передачи вдоль петли обратной связи в виде
7 _^« + AW + ^2('<“)! + . •  +	/'1ЯДЛ
—В. + В^ + 8,(1^ + . . .+Втз(1^ •
Когда о> приближается к бесконечности, предыдущее выраже-
ние дает:
л
7	(i	— ml)	Z1QE\
ZT= ъ—G“)	,	(18.5)
nm2
540 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
что определяет собой прямую линию с наклоном в (/п2 — mt)
условных единиц на октаву, причем каждая из условных
единиц соответствует 6 дб.
В дальнейшем величину (т2 — mJ мы будем обозначать
через п. На фиг. 344 и = 3, что соответствует числу ламп
в схеме. Очевидно, что п не может быть меньше, чем числа
ламп, так как каждая из ламп во всяком случае будет рабо-
тать на собственную паразитную емкость, в то время как
в некоторых схемах эта емкость, входящая в нагрузку, мо-
жет быть и больше. Например, если устранить емкость Св или
на фиг. 344 и считать, что элементы или являются
сопротивлениями, то
асимптота получит на-
клон, соответствующий
4 условным единицам,
и будет лежать ниже
предыдущей асимпто-
ты на всех достаточно
высоких частотах1).
На фиг. 345 приве-
дены кривые для систе-
мы с обратной связью.
Кривая ABEF является
воспроизведением ха-
рактеристики идеаль-
ного среза, которая
уже приводилась на
фиг.344. Напомним еще
раз, что кривая была
построена для значения _у = 1/6, что соответствует запасу по
величине фазового сдвига в 30° при почти постоянном на-
клоне, равном 10 дб на октаву для той части характеристики,
которая обозначена через DEF.
Прямая СЕК соответствует асимптоте того типа, который
только что рассматривался, при наклоне в 18 дб на октаву и
при величине усиления, равной нулю на частоте <о = 9®0. Так
как асимптотические характеристики служат для обозначения
практического предела усиления в области верхних частот,
то влияние паразитных элементов можно учесть, заменяя
теоретическую характеристику среза ломаной линией ABDEK.
Угол на кривой в точке Е для действительной схемы был
бы, разумеется, сглажен, однако это обстоятельство не может
*) При этом постоянная АЛ не принималась во внимание. На фиг. 34%
а также на фиг. 351, 353 и 356 кривая асимптоты остается одной и той же,
а величина Ло для каждого случая подобрана таким образом, чтобы полу-
чить продолжение характеристики среза, подлежащей рассмотрению.
Асимптотические характеристики для некоторых схем 54Z
оказать сколько-нибудь заметного влияния на количественный
результат. Ввиду того что линии EF и ЕК расходятся между
собой на 8 дб на октаву, влияние паразитных элементов мож-
но изучить путем добавления кривой того типа, которая была
приведена на фиг. 220 к исходной характеристике среза.
•Фазовая характеристика для идеального случая представлена
в виде кривой / фиг. 346. Если учесть дополнительный фазо-
вый сдвиг, соответствующий наклону амплитудно-частотной
характеристики в области высоких частот в 8 дб на октаву,
то мы получим результирующую фазочастотную характери-
стику, приведенную в виде кривой /. В точке В, где||ф| = 1,
дополнительный сдвиг
по фазе составляет 35°.
Так как эта величина
больше, чем величина
исходного запаса по
фазовому сдвигу, ко-
торая равнялась 30°,
то усилитель при на-
личии паразитных эле-
ментов будет неустой-
чив. В данном случае
устойчивость может
быть достигнута, если
уменьшить у до ’/ц,
что будет соответ-
ствовать линии AQKH
фиг. 345. При этом вели-
чина запаса по фазово-
Фиг. 346
му сдвигу уменьшается до 15°, однако частотный интервал между
<7 и К настолько шире интервала между В и Е, что вели-
чина дополнительного сдвига уменьшается еще сильнее и ока-
зывается меньше 15° в новой точке О. Это показано с по-
мощью кривых П и 1Г на фиг. 346. С другой стороны, если
линия нулевого усиления будет пересекать асимптоту СЕК
в области несколько более низких частот, то никакие изме-
нения одной величины у не окажутся достаточными. Чтобы
обеспечить устойчивость работы, здесь уже придется умень-
шить степень обратной связи в пределах всей рабочей полосы.
4.	Асимптотические характеристики для некоторых схем
В последующих разделах рассмотрение вопроса о влиянии
асимптотических характеристик на ограничение допустимой
величины обратной связи будет основываться на соотноше-
ниях несколько более общих, чем соотношения между
542 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей-
характеристикой идеального среза и асимптотой, определяемые
кривыми фиг. 345 и 346. Но даже то упрощенное представле-
ние, которое может быть получено на основании изучения
этих фигур, оказываемся достаточным для выяснения важной
роли, какую асимптотические характеристики играют . в во-
просах проектирования. Очевидно, что бблыпую величину
обратной связи не удается получить в том случае, когда
асимптота пересекает линию нулевого усиления слишком
близко к области рабочего диапазона или же тогда, когда
асимптота имеет слишком большую крутизну.
К счастью, асимптотические характеристики могут быть
относительно легко построены, так как они зависят только
от паразитных параметров и, может быть, еще от некоторых
других элементов схемы. Таким образом, эту характеристику
можно вычислить с помощью упрощения действительной схемы.
Во избежание напрасной потери времени, которую могло бы
повлечь за собой выполнение практически неосуществимого
варианта обратной связи, подобный расчет асимптоты жела-
тельно сделать как можно раньше, во всяком случае до того,
как сделан подробный расчет усилителя.
Вообще говоря, асимптотические характеристики опреде-
ляются отчасти емкостями ламп и межкаскадных элементов,
а отчасти — входной и выходной цепями и самой р-цепью.
Подобное разделение, естественно, возникает в связи с рас-
смотрением вопроса о схеме фиг. 343. Приведенная там схема
относится к предельному случаю, для которого влияние вход-
ной, выходной и (3-цепи на асимптотическую характеристику
снижено до нуля благодаря упрощению схемы усилителя
в целом. Задача, стоящая перед инженером при проектиро-
вании, значительно шире, чем та, которая связана с созданием
схемы, имеющей заданную асимптотическую характеристику.
Общее решение, которое будет получено, отчасти зависит от
вида обратной связи, а отчасти от того, каким образом раз-
решается вопрос о получении достаточно сильной обратной
связи при соответствующих значениях прочих параметров,
усилителя.
Указанные соображения удобнее всего пояснить, возвра-
щаясь к вопросу об асимптотических характеристиках, кото-
рый мы разберем для случая простых схем, уже рассмотрен-
ных в главе III (фиг. 18 — 21). Если мы начнем с усилителей
с обратной связью по напряжению, то в качестве типичной
схемы можно выбрать схему фиг. 344.
На фиг. 347 показана соответствующая предельному слу-
чаю асимптотическая цепь перехода от анода последнего
каскада к сетке первого каскада. Наличие входных и выход-
ных трансформаторов в схеме можно учесть добавлением
Асимптотические характеристики для некоторых схем
543--
параллельно конденсаторам Ct и С4 емкостей, эквивалентных
распределенным емкостям обмоток. Чтобы схема обладала
наибольшей эффективностью, эти дополнительные емкости
должны быть невелики. Если мы будем, однако, стремиться
сделать их слишком малыми, например, за счет уменьшения
числа витков обмоток, то можем ухудшить другие параметры
схемы.
В нашей „асимптотической" схеме (3-цепь представлена
последовательно включенными емкостями С. и С6. Для полу-
чения максимальной обратной
связи величина этих емко-
стей должна быть взята зна-
чительной. В сущности го-
воря, их емкость может быть
взята сколь угодно большой,
так как при любой величине
потерь в (3-цепи, уменьшая
величину сопротивления в то-
ковой цепи обратной связи
Т-образной схемы фиг. 344, мы
получим также уменьшение на соответствующую величину
сопротивления цепи, относящейся к обратной связи по напря-
жению. Однако, если величина сопротивления (3-цепи будет
сделана очень малой, то в пределах рабочей полосы может
проявлять себя ее шунтирующее влияние на входную и вы-
ходную цепи усилителя. Это вызовет уменьшение коэфи-
циента пассивной передачи вследствие причин, рассмотрен-
ных в главе XVI. Таким образом, точный вид асимптотической
Фиг. 348
характеристики зависит от того, каким образом осуществлен
компромисс между величиной обратной связи и коэфициентом
пассивной передачи.
Простая схема усилителя с обратной связью по току при-
ведена на фиг. 348. Для нее асимптотическая цепь от анода
лампы на выходе схемы к входной сетке показана на фиг. 349.
Емкость С7 может рассматриваться как распределенная
емкость на землю (3-цепи, а также входного и выходного
трансформаторов. Желательно, чтобы эта емкость была
544 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
возможно меньше. Две последовательно включенные емкости
и Св характеризуют емкость тех обмоток трансформаторов,
которые имеют большее число витков. Наибольшая асимпто-
тическая передача может быть получена в том случае, когда
эти емкости имеют значительную величину. С другой стороны,
соотношения главы XVI показывают, что наивысший уровень
коэфициента пассивной передачи и внешнего усиления можно
получить, если обе эти емкости настолько малы, насколько
это возможно. Таким образом, и в этом случае вид асимпто-
тической характеристики определяется тем, каким образом
был достигнут компромисс между отмеченными выше сообра-
жениями и соображениями, относящимися к обратной связи,
хотя надо сказать, что детали этого вопроса несколько отли-
чаются от того, что мы имели в случае усилителя с обратной
связью по напряжению.
При составлении фиг. 348 p-цепь была изображена как
простое параллельное сопротивление. В качестве другого
Фиг. 34?
Фиг. 350
варианта рассмотрим случай, когда p-цепь относится к П-об-
разному типу. Переход от одной схемы к другой можно
сделать, вводя в конструкцию дополнительные емкости. Если
мы будем считать, что средняя ветвь П-образной схемы соот-
ветствует емкости С8 и что параллельная емкость исходной
цепи разбита на дв'е равные части С7/2, отнесенные к обеим
сторонам новой системы, то мы получим асимптотическую
цепь, изображенную на фиг. 350. Ясно, что введение емкости С8
неизбежно приводит к увеличению асимптотических потерь
в величине передачи, так что p-цепь, имеющая только одну
ветвь, соответствует оптимальному варианту. Однако, если
величина сопротивлений, входящих в П-образную цепь, доста-
точно мала, то возможно выбрать емкость С8 настолько боль-
шой, что увеличение асимптотических потерь окажется несу-
щественным.
Соображения, которые определяют асимптотические цепи
для других видов усилителей с обратной связью, носят, вообще
говоря, сходный характер. Например, в усилителях с обратной
связью, выполненных по мостовой схеме фиг. 19, асимпто-
тические цепи будут иметь примерно тот же вид, что и
Максимально возможная обратная связь
545
в системах с обратной связью по напряжению или по току
с той лишь разницей, что появятся дополнительные потери
в величине передачи с каждой стороны моста. Величина этих
дополнительных потерь зависит от отношения плеч. Обычно
принято использовать неравные отношения плеч с тем, чтобы
выиграть в величине коэфициента передачи между усилителем
и линией или, другими словами, в величине коэфициента пас-
сивной передачи. Если отношение плеч будет чрезмерно ве-
лико, то потери в величине передачи вдоль асимптотической
петли обратной связи станут слишком большими, так что
здесь опять требуется принимать компромиссное решение.
Можно также довести асимптотические потери в величине
передачи до некоторого определенного уровня, включая
последовательно малые катушки индуктивности или же парал-
лельные конденсаторы в различные ветви моста с тем, чтобы,
насколько это возможно, получить проигрыш в величине
асимптотической передачи лишь в области высоких частот.
В схемах с балансным трансформатором асимптотические
характеристики существенно зависят от того, с первичной
или со вторичной обмотки снимается обратная связь. Напри-
мер, если обратная связь снимается с первичной обмотки, то
асимптотически^ характеристики будут определяться емкостью,
шунтирующей первичную обмотку. С другой стороны, при
обратной связи, снимаемой со вторичной обмотки, асимптоти-
ческая цепь проходит таким образом, что индуктивность
рассеяния оказывается включенной как последовательный
элемент между паразитными емкостями, входящими в осталь-
ную часть схемы.
Для многих усилителей это может настолько значительно
увеличить асимптотические потери, что величина действую-
щей обратной связи существенно уменьшится. В то же время,
благодаря тому, что обратная связь снимается со вторичной
обмотки, выходной трансформатор оказывается охваченным
обратной связью, что не имеет места в случае, когда обрат-
ная связь снимается с первичной обмотки.
5.	Максимально возможная обратная связь1)
Анализ, который был проведен в связи со схемой фиг. 345,
показывает, почему асимптотическая характеристика ограни-
1) Соотношения для максимально возможной обратной связи, которые
приводятся в настоящем разделе, основываются на характеристиках среза
каналов того типа, которые обычно получаются в практических конструк-
циях. Используя, однако, более сложные характеристики, теоретически
возможно получить несколько большую величину обратной связи. Это
обстоятельство будет рассмотрено в дальнейшем.
35 Зак. 1327
546 Глава XVIII- Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
чивает величину обратной связи, которая может быть достиг-
нута, однако он не дает точного ответа на вопрос, какая
величина обратной связи может быть получена при данной
асимптоте. Как уже указывалось, результирующая фазовая
характеристика достигает предельного значения 180° лишь
в точке пересечения, в то время как на всех более низких
частотах имеет место различная величина запаса по фазовому
сдвигу. Соотношение между величиной запаса по фазовому
сдвигу и степенью обратной связи, которое было приведено
раньше в настоящей главе, показывает, что несколько более
выгодные результаты для крайнего случая^могут быть полу-
чены, если предельное значение 180° будет достигнуто за
пределами области среза. Можно получить требуемую фазо-
вую характеристику,
если учесть, что ис-
ходная характеристика
идеального среза свя-
зана с асимптотой не-
сколько более слож-
ным образом, чем в
рассмотренном выше
случае.
На фиг. 351 приве-
дена общая характе-
ристика среза. Она со-
стоит из исходной тео-
ретической характери-
стики, построенной при
условии, что у = 0 для
области, лежащей ме-
жду краем полосы и
точкой fb, соответствующей пересечению характеристики
с линией нулевого усиления, из отрезка fbfa, на котором
точка fa определяет пересечение линии нулевого усиления
с асимптотой, и, наконец, из самой асимптоты. Можно счи-
тать, что эта характеристика составлена из характеристики
идеального среза, продолженной до бесконечности, и из двух
наклонных полупрямых. Одна из этих полупрямых начинается
в точке fb и имеет положительную крутизну в 12 дб на ок-
таву, так как характеристика идеального среза относилась-
к предельному значению у. Другая начинается в точке fa и
имеет отрицательную крутизну, равную крутизне самой асим-
птоты. Как видно из уравнения (15.12), фазовая характериг
стика, соответствующая наклонной полупрямой, в области
низких частот линейна. Величина фазового сдвига, определяе-
мая двумя дополнительными полупрямыми, будет изменяться
Максимально возможная обратная связь 547
таким же образом, а так как они имеют крутизну противо-
положного знака, то результат можно получить, производя
вычитание, при условии, конечно, что постоянные, определяю-
щие величину масштаба по осям, выбраны соответствующим
образом.
Очевидно, что правильное соотношение можно получить
в том случае, когда отношение частот для тех точек, из
которых начинаются полупрямые, равно отношению крутизн
этих полупрямых. Если мы обозначим через п крутизну асим-
птоты, взятую в единицах, соответствующих 6 дб на октаву,
•О
Фиг. 352
то величина fb может быть выражена через fa с помощью
соотношения
Л =~f.-	(18.6)
Например, на фиг 351, где крутизна асимптоты равна 18 дб
на октаву, отношение частот равно 18:12 или 3:2. При этом
на нижних частотах результирующая фазовая характеристика
будет совпадать с первоначальной идеальной кривой. На верх-
них частотах, где линейная аппроксимация фазовой характери-
стики полубесконечной наклонной прямой недостаточно точна,
указанные составляющие будут иметь известное значение.
Однако, как видно из фиг. 352, угол фазового сдвига полу-
чается меньше 180° в точке, соответствующей пересечению
характеристики усиления с нулевой линией. Таким образом,
устойчивость схемы обеспечена.
После того как величина fb найдена, нетрудно определить,
насколько значительной может быть обратная связь в преде-
лах полосы. Для этого достаточно во всей области, от края
35*
548 Глава XVIII. Проектирование абсолютна устойчивых усилителей
полосы до частоты fb, сбросить по 12 дб на октаву и доба-
вить к полученному результату еще 12 дб с тем, чтобы при-
нять во внимание увеличение крутизны характеристики среза
у края полосы. Основываясь на соотношении (18.6), получим:
4m = 401og10g?,	(18.7)
где /о соответствует краю полосы, а Ат определяет величину
обратной связи в децибелах в пределах полосы. Если обрат-
ная связь, определяемая (18.7), больше той, которая требуется
Фиг. 353
для^всего усилителя в целом, то ее излишек можно исполь-
зовать для получения характеристики среза, соответствующей
таким величинам усиления и фазового сдвига, какие позволяют
избежать самовозбуждения.
В качестве иллюстрации этого положения на фиг. 353 и 354
приведены соответствующие кривые, построенные для ве-
личины усиления и фазового сдвига х = 9 иу = */6.
Величина запаса по углу фазового сдвига у = 1/6 (что
соответствует 30°) относится к характеристике идеального
среза, имеющей крутизну в 10 дб на октаву, как и до сих
пор. Запас по величине усиления характеризуется тем, что
горизонтальная часть характеристики, связывающая идеальный
срез с асимптотой, опущена на соответствующую величину
ниже уровня нулевого усиления. Как и прежде, предпола-
гается, что отношение частот, с которых начинаются полу-
прямые, такое же, как и отношение крутизн этих прямых,
так что полученная фазовая характеристика в области среза
совершенно аналогична идеальной характеристике.
Максимально возможная обратная связь 549
Таким образом, очень просто подсчитать, на сколько нужно
уменьшить величину обратной связи для получения требуе-
мого запаса по величине усиления и фазового сдвига.^При-
ступая к подобному расчету, частоту fc, которая на фиг. 353
соответствует точке пересечения с асимптотой, следует выра-
зить через частоту fa при помощи крутизны асимптоты и
запаса по усилению х. Так как крутизна асимптоты равна?
6 ц дб на октаву, что соответствует 20 п дб на декаду (т. е.
для соотношения частот 10:1), то очевидно, что мы получим
£>260
» 240
S 220
§>
u 200
| 180
I
/40
4
/20
050,60^1,0	2 3 9 56 8 Ю 20 30 9050
f_
fo
Фиг. 354
fe/fa = xl2Qn, или, другими словами, fc = \<3x/™nfa. В толже
время крутизна идеального среза соответствует 12 (1 —у)?дб
на октаву или 40(1—у) дб на декаду. Таким образом, мы
имеем соотношение между величинами крутизны и частотами,
находящимися на границе горизонтальной части характери-
стики, которое дает /<, = [2(1 — y)/n]fc. Наконец, известные
соотношения, относящиеся к идеальному срезу, показывают,
что обратная связь на краю полосы /0 должна быть больше,
чем на частоте /<,, на 40(1 — у) log10 2/<,//0 дб. Однако эта раз-
ница равна A-j-x, где Л —величина обратной связи в преде-
лах полосы.
Суммируя полученные результаты, мы можем написать:
А = 40 (1 - у) log,# Юж/20я 77] - * =
=40(1 -y)log10^+40(l -y)log10(l -y)+aLz2)x_x. (18.8)
550 Глава XVIII- Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
Так как у представляет собой малую величину, то мы
можем разложить log10(l—у) в степенной яд и-пренебречь
членами, в которые у входит в степени выше первой. Это
позволяет в соотношении (18.8) член 40(1 — y)log10(l — у)
заменить на —17,4у. Если мы, кроме того, на основании
(18.7) заменим 40 log10 4/о/п/0 на Ат, то получим следующее
окончательное выражение:
дт-Д = (Дт + 17,4)у-Н^х + 4’^.	(18.9)
Так как последний член правой части обычно имеет малую
величину, то общее уменьшение величины обратной связи
может рассматриваться как сумма уменьшений за счет отдельно
взятых величин запаса по фазовому сдвигу и по усилению.
Примером применения полученного соотношения может
служить сопоставление кривых фиг. 351 и 353. В обоих слу-
чаях асимптотическая частота fa была принята равной 9/0.
Согласно соотношению (18.7), при этом можно получить вели-
чину обратной связи не больше, чем 43 дб, что как раз соот-
ветствует обратной связи, указанной на фиг. 351. В то же
время величина обратной связи, которая характеризуется
фиг. 353, составляет только 29 дб. Из общей разности в 14 дб
около 10 дб относится к тому члену соотношения, который
определяет запас по фазовому сдвигу, около 3 дб — к члену,
определяющему запас по усилению и примерно 1 дб к послед-
нему члену с ху.
6.	Соотношения между корректированными
и некорректированными характеристиками
петли обратной связи для типовых случаев
Если мы хотим построить характеристики среза того вида,
который соответствует фиг. 351, то для различных типов уси-
лителей нам придется пользоваться несколько различными
методами. Возможности, которые имеются в этом отношении,
будут рассмотрены в этой главе несколько ниже. В следую-
щей главе будут приведены примеры, подробно иллюстри-
рующие методы проектирования. Однако возможно сделать
одно замечание общего характера, которое может быть отне-
сено к громадному большинству случаев проектирования уси-
лителей. Если в усилителе, выполненном наиболее простым
путем, без учета формы характеристики среза, мы имеем го-
ризонтальную характеристику обратной связи в пределах ра-
бочей полосы, то эта форма характеристики будет иметь
тенденцию сохраниться и в некоторой области за пределами
Соотношения между характеристиками 551
полосы. Такое положение имеет место, во всяком случае, для
некоторой части схем. Однако на высоких частотах характе-
ристика имеет спад за счет влияния паразитных элементов
схемы. По мере повышения частоты паразитные' параметры
сказываются все более заметным образом, причем в конце
концов общая характеристика петли обратной связи принимает
асимптотический вид. В этом случае характеристика любой
схемы полностью определяется только одними паразитными
AAAAAAAAA?--------------
Фиг. 355
элементами. Таким образом, полная характеристика петли об-
ратной связи имеет вогнутость во внутрь, если не во всей
области среза, то во всяком случае на высоких частотах.
В то же время характеристика среза, изображенная на фиг. 351,
имеет вогнутость наружу. Следовательно, основная задача
при проектировании большей части усилителей заключается в
том, чтобы в петлю обратной связи внести такие потери, что-
бы степень среза возрастала на частотах, незначительно откло--
няющихся от частот рабочей полосы, и в то же время умень-
шалось бы на более высоких частотах. Это эквивалентно такому
уменьшению влияния паразитных параметров, при котором
они уже не сказываются на характеристике петли обратной
связи до тех пор, пока эта характеристика не пересекается
с асимптотой.
В качестве крайнего случая рассмотрим схему, изобра-
женную на фиг. 355. Предполагается, что система представ-
ляет собой простой полосовой усилитель, в котором во входной и
выходной цепях, а также в качестве межкаскадных элементов
используются зашунтированные сопротивлениями резонансные
контуры. Примем, что все контуры имеют одинаковую вели-
чину Q. Если воспользоваться соотношениями для фильтров
нижних частот, то уравнение для характеристики петли мож-
но записать как 140 (1-f-0,287/®)\ Коэфициенты в этом вы-
ражении выбраны таким образом, чтобы было удобно вести
сравнение с результатами, приведенными на фиг. 351. Здесь
получается такая же величина усиления на нижних частотах
552 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
п та же асимптота1), что и на указанной фигуре. Характери-
стика усиления петли для рассматриваемого устройства изоб-
ражена в виде кривой I на фиг. 356, а теоретическая харак-
теристика среза фиг. 351 дана кривой II. Таким образом,.
разность между этими кривыми, показанная в виде заштри-
хованной площади,'соответствует величине потерь, которые
должны быть внесены в
петлю обратной связи
с помощью выравниваю-
щих Контуров или же
каких-либо аналогичных
устройств с тем, чтобы
стабилизировать схему.
Результаты, которые
при этом получаются, мож-
но усмотреть на осно-
вании сравнения фазовых
характеристик, показан-
ных в виде кривых / и
II фиг. 357. Площади,
ограниченные этими кривыми, равны между собой, однако
внесение дополнительных потерь приводит к такому пере-
распределению общей площади, что максимальная величина
фазового сдвига остается меньше 180° в более широком
интервале частот. Из чертежа видно, что исходная фазо-
вая характеристика пе-
ресекает линию 180° на
частоте f= 3,5 /0. Если
схема стабилизирована
введением регулировки
усиления, с помощью
которой в этой точке
усиление канала умень-
шено до нуля, то ре-
зультирующая величина
обратной связи в преде-
лах рабочей полосы бу-
дет равна 12 дб. Для
теоретических характе-
ристик среза соответству-
ющая величина равна 43
дб. Примерно половину от разно-
’) Крутизна асимптоты для фиг. 351 возросла по своему значению от
3 до 4, но в то асе время нулевое усиление, соответствующее точке пересече-
ния /а, изменилось пропорциональным образом с тем, чтобы, в соответствии,
с соотношением (18.6), на нижних частотах имели место те же самые усло-
вия.
Соотношения между характеристиками 553
сти в 30 дб для дополнительной обратной связи можно по-
лучить, если на фиг. 356 заменить кривую I прямой ли-
нией с соответствующим образом подобранной крутизной.
Увеличение крутизны теоретической характеристики непосред-
ственно за краем рабочей полосы соответствует приращению
на 12 дб, а для горизонтальной части результирующей кривой
непосредственно перед пересечением с асимптотой — прира-
щению на 5 или 6 дб. В первом примере следующей главы
вопросы расчета, относящиеся к подобным случаям, рассмот-
рены более подробно.
Анализ, который был сейчас приведен, дает возможность
сделать некоторые дополнительные, в высшей степени важные,
заключения. Они относятся к эффективной ширине полосы
усилителей с обратной связью. Предположим, что мы приняли
соотношения, приведенные на фиг. 353, как типовые для слу-
чаев практического проектирования. Тогда можно заметить,
что выраженный в октавах интервал частот, лежащий в пре-
делах между краем рабочей полосы и частотой, для которой
характеристика среза пересекает линию нулевого усиления,
будет на одну октаву меньше, чем величина обратной связи,
выраженная в условных единицах, причем за условную еди-
ницу выбрана обратная связь в 10 дб.
Между точкой пересечения нулевого усиления и точкой
пересечения характеристики с асимптотой имеется дополни-
тельный интервал примерно в две октавы. Таким образом,
эффективная расчетная полоса равна примерно одной октаве
на каждые 10 дб величины обратной связи плюс одна допол-
нительная октава. Если предполагается наличие изменений
величины запаса по фазовому сдвигу и величины усиления
или величины асимптотической крутизны, то это обстоятель-
ство, хотя оно и может иметь известное значение, не вызо-
вет, однако, изменений в смысле порядка получающихся ре-
зультатов.
Если мы будем исходить из номинальных величин, то это
значит, что усилитель с обратной связью в 30 дб будет иметь
эффективную полосу, которая на 4 октавы, т. е. в 16 раз,
шире рабочей полосы. Если мы увеличим обратную связь до
60 дб, то эффективная полоса окажется более чем в сто
раз шире рабочей полосы. При рабочей полосе, которая
сама по себе достаточно широка, мы придем к огромным зна-
чениям эффективной полосы. Например, для телевизионного
усилителя с полосой в 4 мгц эффективная полоса при обрат-
ной связи в 30 дб будет равна 60 мгц или 400 мгц, если мы
возьмем обратную связь в 60 дб.
Значение полученных результатов с точки зрения инже-
нерной практики очевидно. Они превращают проектировочный
5о4 Глава ХУНГ Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
расчет усилителя с обратной связью в значительно более дей-
ственное средство, чем в том случае, когда принимается во
внимание одна только ширина полосы. Выполнение и нала-
живание устройства, Kotopoe будет иметь заданные харак-
теристики в столь широкой полосе частот, является, по всей
вероятности, значительно более трудной задачей, чем вы-
полнение соответствующего расчета.
Следует иметь в виду, что область характеристики среза
расширяется примерно пропорционально величине фазового
сдвига петли обратной связи. Эта область соответствует срав-
нительно ограниченным пределам, если только величина фа-
зового сдвига не является чрезмерной.
7.	Характеристики среза в области высоких частот
Напомним, что когда мы рассматривали вопрос о теорети-
ческих характеристиках петли для усилителей с обратной
связью, то начинали с построения идеальной характеристики,
которая простиралась от края рабочей полосы до бесконеч-
ности и имела заданную постоянную характеристику фазового
сдвига в пределах всей этой области. Однако для получения
решения, пригодного для использования на практике, необхо-
димо принять во внимание, что характеристика петли для
реальных усилителей в области достаточно высоких частот
в большей степени соответствует асимптотической линии,
определяемой паразитными элементами, чем идеальной харак-
теристике.
Построение, приведенное на фиг. 351 и 353, заключалось
в том, что идеальная характеристика и асимптота были сое-
динены прямолинейным отрезком определенной длины. Такое
решение вопроса является простейшим. Однако имеются другие
пути к тому, чтобы соединить эти две характеристики, причем
в некоторых случаях удается получить несколько большую
величину допустимой обратной связи, чем для указанного
выше ступенчатого построения. Поэтому утверждение о том,
что величина Ат, входящая в соотношение (18.7), определяет
максимально возможную величину обратной связи, не является
достаточно точным. Но с точки зрения практики, дополни-
тельные возможные решения не должны серьезно приниматься
в расчет, так как они дают величину обратной связи лишь на
несколько децибел бблыпую, чем в обычных случаях. Кроме того,
подбор требуемых данных затрудняется тем, что мы имеем
дело с областью частот, в которой паразитные элементы схе-
мы приобретают существенное значение. Однако возможность
получения этих решений представляет принципиальный интерес
и имеет известное практическое значение, как мера того,
Характеристики среза в области высоких частот
555
насколько точно может быть осуществлена ступенчатая харак-
теристика с целью получения удовлетворительных результатов.
Причины возможности получения лучших результатов, чем
в случае ступенчатой кривой, ясны из рассмотрения соответ-
ствующей фазовой характеристики. Из теории, относящейся
к фазовому интегралу [уравнение (13.19)], следует, что раз*
ность между усилением по петле для некоторой достаточно
низкой частоты, лежащей в пределах полосы, и усилением по
петле для некоторой достаточно высокой частоты, для кото-
рой мы можем считать, что асимптотические условия це-
ликом выполняются, — определяется площадью, ограниченной
фазовой характеристи-
кой для области, ле-
жащей между этими
двумя точками. Поэто-
му можно получить
небольшое улучшение
по сравнению со сту-
пенчатой характеристи-
кой среза, если заме-
нить фазовую харак-
теристику фиг. 352 та-
кой, которая по воз-
можности точно сов-
падает с линией 180°
до края полосы и за-
тем резко возрастает
до своего конечного
значения.
Эту задачу можно решить либо аналитически, либо путем
подбора формы ступенчатой характеристики. Пример возмож-
ных вариантов подбора характеристик приведен на кривых
усиления фиг. 358 и на соответствующих фазовых кривых
фиг. 359. Эти кривые построены только для области, лежа-
щей в пределах между характеристикой идеального среза и
асимптотой. На обеих фигурах кривые / относятся к исход-
ной ступенчатой характеристике, в то время как остальные кри-
вые представляют собой видоизмененные характеристики. При
построении кривых было принято для простоты, что обратная
связь на нижних частотах для всех видоизмененных характе-
ристик одна и та же, и на 2 дб больше, чем для исходной харак-
теристики. Указанная величина соответствует примерно тому
максимальному улучшению, которое может быть достигнуто
для рассматриваемого случая, для которого крутизна асим-
птоты равна трем условным единицам. Однако несколько ббль-
шая величина выигрыша может быть получена при больших
556 Глава XVIII- Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
значениях п. Наиболее простой из видоизмененных характе-
ристик является кривая II, полученная путем некоторого
удлинения горизонтальной части исходной характеристики.
Влияние, которое оказывает приближение фазовой харак-
теристики к линии 180° в области, близкой к краю полосы, можно
уяснить из рассмотрения фазовых характеристик фиг. 359.
Строго говоря, этот вид характеристики не может быть отне-
сен к абсолютно устойчивым усилителям, так как здесь на
нижних частотах получается фазовый сдвиг, несколько боль-
ший 180°. Однако величина этого превышения, очевидно, не-
велика и ею можно пренебречь, если принять во внимание, что
усилители выполняются
с известным запасом по
фазовому сдвигу. Поэто-
му Ат представляет ин-
терес лишь как одна из
величин, которая входит
в соотношение (18.9).
Кривая III получена
путем замены горизон-
тальной ступеньки исход-
ной характеристики ли-
нией, имеющей неболь-
шой наклон. За исклю-
чением того, что здесь
затруднения с фазовой
характеристикой в обла-
сти нижних частот оказы-
ваются обойденными, в
остальных отношениях мы получаем результаты, аналогич-
ные предыдущему случаю. Однако в связи с тем, что точно
контролировать характеристики петли обратной связи в асим-
птотической области довольно затруднительно, эти кривые
дают результаты, которые могут быть получены легче, чем
в случае кривых вида I или II. Кривые IV приведены для то-
го, чтобы показать, каким образом повлияет продление пло-
ской ступеньки характеристики до точки пересечения с асимпто-
той. Можно представить, что подобная характеристика получена
за счет применения в какой-то части канала противорезо-
нансного контура, включающего в себя паразитную емкость.
Согласно расчету, подобный метод позволяет значительно
увеличить допустимую обратную связь в том случае, если
продолжение характеристики идет достаточно далеко, напри-
мер, вплоть до частот, которые в 10 раз выше частоты, соот-
ветствующей точке пересечения асимптоты с' линией нулевого
усиления. Однако очевидно, что таким соотношениям будет
Характеристики среза в области высоких частот
557
соответствовать неосуществимая величина обратной связи на
верхних частотах. В качестве более непосредственной при-
чины, которая может привести к ограничениям, отметим то
обстоятельство, что, по мере того как горизонтальная часть
характеристики будет продолжена в область все более и бо-
лее высоких частот, максимальная величина фазового сдвига
будет становиться все значительнее. В то же время, если
рассматривать петлю как цепь, в которую входят п реактив-
ных ветвей, включенных последовательно или параллельно,
то максимальная величина фазового сдвига, которая может
быть физически осуществлена, будет равна п(л/2) радиан. Этот
предел несколько выше того, который можно получить даже
при использовании соотношений соответствующих кривых
фиг. 358 и 359.
Несколько более систематический подход к указанной
общей задаче может быть получен, если мы будем добивать-
ся, чтобы фазовая характеристика точно проходила через
все заданные точки за пределами рабочей полосы. При этом
для асимптотического случая предполагается, что для очень
высоких частот величина фазового сдвига равна п(п/2) радиан.
Соответствующие характеристики усиления могут быть опре-
делены с помощью общих формул главы XIV. В качестве
одного из примеров результатов, которые могут быть получе-
ны таким путем, можно привести соотношение
A + iB = A0-21n[j/'+	-
1--21 ,	(18.10)’
— (п — 2)1пу
где так же, как и в (18.1), А и В определяют усиление и вели-
чину фазового сдвига для петли, а Ао есть усиление по петле
в пределах рабочей полосы.
Характеристики А и В для случая уравнения (18.10) обо-
значены цифрой I на фиг. 360 и 361.
В качестве второго примера приведем соотношение
А IB = Ав — 21п
1_______
— (п
(18.11)
Характеристики для А и В в данном случае даются кри-
выми П на фиг. 360 и 361. Из приведенных результатов видно,
что оба выражения дают качественно сходные по своему
558 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
виду' характеристики, но имеющееся различие в форме этих
характеристик особенно заметно в случае фиг. 361.
Смысл соотношений (18.10) и (18.11) можно понять лучше,
если сравнить их с (18.1). Очевидно, что первая часть обоих
выражений определяет решение, соответствующее идеальному
срезу для предельного случая нулевого запаса по фазовому
сдвигу. Последние члены обоих выражений представляют
собой „переходные члены", определяющие переход от реше-
ния для идеального среза на высоких частотах к асимптоти-
ческой характеристике. Таким образом, ни один из этих членов
не оказывает заметного влияния на усиление петли в преде-
лах рабочей полосы1) и не изменяет величину фазового сдвига
на частотах ниже fr. Эта частота соответствует точке острого
угла характеристики для кривой / фиг. 360 или пику харак-
теристики //. С другой стороны, на частотах, которые значи-
тельно выше fr, последние члены вызывают фазовый сдвиг
в (га— 2) (я/2) радиан и наклон характеристики с крутизной
в (га — 2) условных единиц. В сочетании с величиной фазо-
вого сдвига и наклоном характеристики для случая идеаль-
ного среза это дает крутизну в п условных единиц и фазо-
вый сдвиг в га(п/2) радиан, что соответствует данным асимпто-
тической характеристики.
Если мы выберем частоту fr и величину обратной связи
в пределах рабочей полосы таким образом, чтобы удовлетво-
*) Очевидно, что интегральные уравнения главы XIV позволяют найти
решения, для которых величина обратной связи будет строго постоянна.
Однако здесь мы не учитываем этой возможности, так как в данном случае
мы приходим к значительно более сложным результатам. Кроме того, изме-
нения величины обратной связи, вытекающие из соотношений (18.10) и (18.11),
несущественны для практических целей.
Характеристики среза в области высоких частот 559
рить двум указанным ниже условиям, то рассматриваемые
выражения получат определенное численное значение. Оче-
видно, что первое условие заключается в том, что уравнения
должны определять собой асимптоту, соответствующую не-
обходимому уровню абсолютного усиления, а также необхо-
димой величине крутизны характеристики. Второе условие
предполагает, что для каждой из характеристик усиления,
наступающий непосредственно за частотой fr минимум обу-
словливает спад характеристики до уровня нулевой линии
усиления.
Выполнение этих условий позволяет получить максимально
возможную величину обратной связи. Они приводят нас к
устойчивым системам, если мы будем считать, что обе фазовые
характеристики имеют бесконечно малую крутизну вблизи
точки минимума и пересекают линию 180° при минимуме. Это
позволяет при построении диаграмм Найквиста сделать обход
непосредственно у самой критической точки, как это пока-
зано на фиг. 362 и 363, так что полное усиление по петле и
значительная величина фазового сдвига вблизи частоты fr не
означают нестабильности.
Пунктирная линия дуги на второй фигуре приведена для
того, чтобы показать дугу бесконечного радиуса, которая
будет соответствовать точке усиления на пике и точке раз-
рыва непрерывности фазовой характеристики на частоте fr
для кривой // на фиг. 360 и 361.
Алгебраические соотношения, к которым приводят эти
условия, несколько сложны и не будут приводиться здесь.
Для характеристик, определяемых соотношением (18.11), они
указывают на возможность увеличения обратной связи, по-
560 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
сравнению с максимально возможной для случая ступенчатой
характеристики среза, примерно на 4 дб при п — З. Степень
увеличения обратной связи постепенно повышается с величи-
ной п и достигает 8 дб при « = 6.
Если имеет место вытекающее из соотношения (18.10) ре-
шение, соответствующее меньшему значению экстремума, то
увеличение обратной связи будет на 1 или 2 дб больше. При
л^>б никакое из решений не может быть использовано, так
как при больших значениях п величина фазового сдвига на
частотах, лежащих выше минимума усиления, становится столь
большой, что диаграмма Найквиста охватывает критическую
точку при втором обходе вокруг начала координат.
8.	Роль ламп и электрических цепей в ограничении
величины обратной связи
Материал, приведенный в предыдущих разделах, показывает,
каким образом величина обратной связи, которая может быть
получена в любом усилителе, зависит от асимптотической
характеристики петли обратной связи на высоких частотах.
Поэтому представляет известный интерес установить, каким
образом основные части усилителя влияют на асимптотическую
характеристику и каким образом улучшение какой-либо из
них сказывается на общей допустимой обратной связи.
В предыдущем рассмотрении асимптотическая петля об-
ратной связи считалась состоящей из двух основных частей.
Одна из них включала в себя каскады канала прямого уси-
ления, а вторая охватывала входную и выходную цепи и цепь
обратной связи. Как мы уже видели, лампы определяют верх-
ний положительный предел асимптотических значений ввиду
того, что вряд ли возможно получить лучшие результаты, чем
те, которые соответствуют случаю непосредственного вклю-
чения цепи4обратной подачи и выхода последнего каскада на
вход первого каскада. Однако при заданных лампах многое
зависит от того, насколько искусно проектировщик будет осу-
ществлять цепь обратной подачи, не вводя в схему дополни-
тельные шунтирующие емкости. Будет целесообразно продол-
жить здесь рассмотрение этого вопроса с тем, чтобы более
детально показать, каким образом два указанных фактора
влияют на величину общей допустимой обратной связи.
Влияние, которое оказывают на полную асимптотическую
характеристику усилительные каскады и элементы цепи обрат-
ной подачи, можно более отчетливо уяснить, если на фиг. 351
добавить вторую асимптоту, которая будет характеризовать
усиление ламп, работающих только на собственные паразит-
ные емкости. Это приводит нас к результатам, представленным
Роль ламп, и электрических цепей
561
яа фиг. 364. Асимптотическая характеристика для ламп пока-
зана в виде пунктирной линии. Она пересекает ось нулевого
усиления на частоте ft — Gml2nC, где Gm и С — соответственно
крутизна и емкость лампы, используемой в схеме.
Так как величина Gm/C представляет собой так называемый
„коэфициент качества®, то мы можем назвать частоту fr «ча-
стотой коэфйциента качества® прямого канала.
Расстояние между двумя асимптотами обозначено величи-
ной At. Очевидно, что эта величина равна уменьшению уси-
ления за счет цепи возвратной подачи на частоте//. В простей-
ших схемах, которые, к тому
же могут обеспечить наиболь-
шую обратную связь, таких,
например, как схемы, приве-
денные на фиг. 344 и 348,
цепь обратной подачи сводит-
ся на верхних частотах к емко-
стному потенциометру, причем
асимптотическое значение этой
цепи определяется просто де-
лением напряжения в этом по-
тенциометре. На фиг. 364 это
показано с помощью двух
асимптот, имеющих равную крутизну, однако в более слож-
ных цепях, разумеется, крутизны могут быть различны.
Интересующее нас соотношение может быть получено,
если мы выразим частоту fa, соответствующую пересечению
с асимптотой, через члены /, А( и п. Это позволит заменить
соотношение (18.7) следующим:
-4« = 401og..^-^.	(18.12)
Первый член соотношения (18.12) показывает, каким образом ис-
пользуемая обратная связь зависит при данной ширине полосы от
'применяемых ламп. При маломощных лампах специальной конст-
рукции частота// может доходить до 50 или даже 100 мгц. Однако
если частота /0 достаточно низка, то первый член будет иметь су-
щественное значение даже в том случае, когда выбраны лампы с
гораздо менйпей величиной//. Второй член соотношения (18.12)
показывает, насколько величина обратной связи может умень-
шиться за счет остальных элементов схемы.
Если детали в усилителе размещены рационально и все
остальные конструктивные требования выполнены удачно,
то этот член может давать лишь 10—15 дб. При использова-
нии современных ламп, второй член соответствует такому
порядку величин, при которых усилитель должен иметь
Зв Зак. 1^П
562 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
достаточно большую обратную связь при ширине рабочей по-
лосы в несколько мегагерц. С другой стороны, если в отно-
шении входной и выходной цепей, а также в отношении цепи
обратной связи установлены очень жесткие требования или
если рабочая полоса настолько узка, что соответствующая
величина обратной связи может быть получена даже при
отсутствии тщательно выполненной конструкции, то второй
член может иметь существенно большее значение.
9.	Оптимальное число каскадов в усилителе
с обратной связью
В соотношение (18.12), помимо величин/) и At, входит также
асимптотическая крутизна п. Так как лампы не вызывают за-
вала асимптотической характеристики на частоте f=ft, то мы
можем варьировать величину п путем изменения числа ламп
схемы, не воздействуя при этом на значение А(. Это дает воз-
можность подсчитать оптимальное число ламп, которое должно
быть применено для каждого данного случая, с тем, чтобы
получить максимально возможную величину обратной связи.
Если At мало, то первый член соотношения (18.12) будет
иметь преобладающее значение, и очевидно, что здесь жела-
тельно иметь малое число каскадов. В качестве предельного
значения можно принять п = 2, так как в случае лишь одного
каскада степень обратной связи ограничивается величиной
усиления по прямому каналу, что не было принято во вни-
мание в настоящем анализе. С другой стороны, ввиду того-,
что второй член изменяется с величиной п более быстро, чем
первый, оптимальное число каскадов будет возрастать, если At
возрастет. В общем случае оно определяется соотношением
(18.13)
или, другими словами, оптимальное число каскадов равно вы-
раженной в неперах величине завала асимптотической харак-
теристики.
Результат, который получится, если мы выберем число п
больше или меньше оптимального, можно установить, полагая
п= К (Д^/8,68). Это позволяет переписать (18.12) в виде
л ,П1	12,8 ft Г.„.	, । 17,4(1—ХП /1О5..
An = 401og10^- уД —|401og10X-|— ']. (18.14)
Очевидно, что первый член характеризует обратную связь,,
получающуюся при оптимальном числе каскадов, а второй
член — то уменьшение обратной связи, которое вызвано исполь-
зованием числа каскадов, отличного от оптимального. График
Оптимальное число каскадов
563
для второго члена изображен на фиг. 365. Из него видно,
что проигрыш получается сравнительно незначительным, если
мы выбираем число каскадов в пределах от 0,5 до 2 от опти-
мального значения, однако при более существенном откло-
нении ухудшение будет значительно более заметным.
Ввиду того, что усилители с обратной связью обычно выпол-
няются с тремя каскадами усиления по прямому каналу, мы мо-
жем проиллюстрировать эти соотношения, рассматривая вопрос
о том, при каких условиях усилитель с тремя каскадами спосо-
бен обеспечить максимальную величину обратной связи. Одно
Фиг. 365
из экстремальных значений здесь будет соответствовать уси-
лителю с очень широкой полосой, такому, например, как теле-
визионный усилитель с полосой в 4 мгц. При такой большой
величине /0 приемлемая величина обратной связи может быть
получена только при условии, что ft столь велико, a At столь
мало, насколько это возможно. Предположим, например, .что
наиболее подходящими значениями для этих величин будут
соответственно 80 мгц и 18 дб. Если мы примем, что п — 3,
то согласно (18.12) максимально допустимая обратная связь
будет равна 45 дб. Если принята во внимание соответствующая
величина запаса по усилению и величина фазового сдвига, то
на практике используется заметно меньшая величина обратной
связи. Для выбранного At ближайшее число, удовлетворяющее
(18.13), будет 2, однако из фиг. 365 ясно, что если вместо
этого мы возьмем три каскада, то в результате получится лишь
незначительная разница. С другой стороны, будет иметь место
существенный проигрыш как в том случае, когда мы будем
применять при заданном значении At больше трех каскадов,
так и при увеличении оптимального п путем увеличения At.
564 Глава XVIII- Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
Когда усилитель имеет более узкую полосу, то становится
значительно проще получить большую величину обратной связи.
Предположим, например, что/; = 40 мгц и Д; = 3 неперам, или
26 дб, так что три каскада соответствуют оптимальному числу.
Тогда для трехкаскадного усилителя максимальная обратная
связь будет 68 дб для рабочей полосы в 400 кгц, для полосы
в 100 кгц она будет больше 90 дб и, наконец, для полосы
в 10 кгц —больше 130 дб. За исключением, может быть, пер-
вого случая, указанные значения лежат за пределами тех вели-
чин, которые представляют практический интерес. Они прин-
ципиально не могут быть осуществлены в практических кон-
струкциях, так как величины At, которые в действительности
встречаются, значительно больше, чем 3 непера, из которых
мы исходим при расчете. Это, разумеется, означает, что опти-
мальное число каскадов соответственно больше, чем три. Таким
образом, в качестве общего вывода мы можем сказать, что при
использовании современных ламп с большим усилением, наибо-
лее подходящим числом каскадов будет два или три для уси-
лителей с рабочей полосой в несколько мегагерц. Однако для
систем с меньшей шириной полосы, начиная, может быть,
с полосы в несколько сот килогерц, допустимая обратная связь
всегда может быть увеличена путем увеличения числа каска-
дов сверх трех. Правда, обратная связь, которая допустима
даже при трех каскадах, столь велика, что ни в каких случаях
не встречается практической необходимости в ее дальнейшем
повышении.
В предыдущем рассмотрении, разумеется, не учитывалось
то обстоятельство, что число каскадов, которое может быть
использовано, ограничивается экономическими соображениями.
Однако в других случаях добавление лишних каскадов для
того, чтобы учесть требования, связанные с большим значе-
нием Ait является часто сравнительно простым средством уве-
личения допустимого значения обратной связи. Пример в этом
отношении может быть взят из области мощных усилителей
того типа, который используется в радиопередающих устрой-
ствах, где ограничения, накладываемые на усилитель, довольно
жестки, в то время как стоимость дополнительных ламп, во
всяком случае в маломощных каскадах, имеет сравнительно
малое значение. В качестве крайнего примера мы можем рас-
смотреть задачу по созданию обратной связи по огибающей
в передающем устройстве. При сравнительно узкой ширине
полосы, которая обычно имеет место в высокочастотных каска-
дах передатчика, асимптотическая характеристика канала обрат-
ной связи будет сравнительно неблагоприятной. Для опреде-
ленности примем, что fa = 40 кгц и л = 6. В соответствии
с (18.7) это приведет к максимально допустимой величине
Усилители с дополнительным фазовым сдвигом
565
обратной связи 17 дб, при полосе по низкой частоте 10 кгц.
Предположим также, что дополнительные лампы, которые
будут использоваться в маломощных каскадах, будут иметь
частоту ft, равную 10 мгц. Соответствующая величина А( будет
33 непера’), а это, согласно соотношению (18.13), означает, что
допустимая обратная связь будет возрастать по мере увели-
чения ламп в схеме до 27. Естественно, что в подобном край-
нем случае результат нужно рассматривать лишь как каче-
ственное указание на то, в каком направлении идет процесс.
Если мы добавим только 4 лампы, то допустимая обратная
связь станет равна 46 дб, если же мы добавим 10 ламп, то она
возрастет до 60 дб.
Крайнее значение обратной связи в том случае, когда доба-
влены все 27 ламп, дается первым членом соотношения (18.14)
и равно 66 дб. Отсюда видно, что лишь небольшая часть уси-
ления, даваемого дополнительными лампами, используется
для непосредственного повышения величины обратной связи.
Остальная часть усиления используется для того, чтобы ском-
пенсировать нежелательные фазовые сдвиги, вносимые дру-
гими частями схемы.
10.	Усилители с дополнительным фазовым сдвигом
До сих пор предполагалось, что фазовый сдвиг по петле
обратной связи усилителя имеет наименьшую величину, кото-
рая возможна при данной характеристике усиления петли.
Однако в некоторых усилителях имеет место отклонение от
законов минимальных фазовых сдвигов. Это отклонение обычно
можно учесть, добавляя линейную фазовую характеристику
к обычной характеристике минимального фазового сдвига,
В настоящем разделе будут рассматриваться только дополни-
тельные характеристики этого типа. Дополнительная величина
фазового сдвига, обычно, незначительна, если мы рассматриваем
только рабочую полосу. Однако нужно принимать во вни-
мание, что с точки зрения вопросов проектирования суще-
ственным является тот факт, что эффективная ширина поло-
сы усилителя с обратной связью во много раз шире рабочей
полосы.
Отклонение от законов минимального фазового сдвига для
петли обратной связи может получиться вследствие целого
ряда обстоятельств. Основные из них перечислены ниже:
0 Разумеется, не следует ожидать, что действительная крутизна асим-
птоты будет постоянна в пределах от 40 кгц до 10 мгц. Поскольку
с точки зрения окончательного расчета имеет значение только область
в несколько октав, лежащих выше 40 кгц, то значение At может быть най-
дено путем экстраполирования крутизны в этой области.
566 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
1. Хорошо известно, что реакция электрической системы
может быть точно изучена только с помощью уравнений
электромагнитного поля. Законы электрических цепей пред-
ставляют собой аппроксимацию, которая дает удовлетворитель-
ные результаты, когда длина волны используемого сигнала
значительно больше геометрических размеров устройства, но
которая оказывается неверной, если эти величины становятся
соизмеримыми. При проектировании петли обратной связи это
означает, что трудности, связанные с дополнительными фазо-
выми сдвигами, будут возникать всякий раз, когда путь вдоль
петли станет сравнимым с длиной волны, соответствующей
верхней используемой частоте.
В качестве примера предположим, что расстояние вдоль
петли будет равно 1 м. Длина волны в 1 м означает, что мы
имеем частоту в 300 мгц. Так как сдвиг на одну длину волны
соответствует сдвигу по фазе на 360°, то, следовательно,
мы можем ориентировочно *) считать, что имеющая место
в действительности фазовая характеристика петли обрат-
ной связи содержит дополнительную линейную составляющую
с крутизной в 1,2° на мегагерц. В усилителе с узкой полосой
этот дополнительный фазовый сдвиг будет несущественным,
в то время как в телевизионных усилителях, где эффективная
ширина полосы превышает иногда 50 или даже 100 мгц, ука-
занное обстоятельство становится весьма важным.
Очевидно, что избежать затруднения в этом отношении
проще всего путем конструирования усилителя в как можно
более компактном виде с тем, чтобы длина пути вдоль петли
обратной связи была значительно меньше первоначально
выбранной величины 1 м. Напротив, значительно большая ве-
личина дополнительного фазового сдвига получится в том
случае, когда путь обратной связи очень значителен, как это,
например, может быть в случае, когда мы создадим обратную
связь по огибающей в передающем устройстве, используя
приемную антенну, расположенную на некотором расстоянии
от самого передатчика.
*) Причины того, почему расчет не может дать точных результатов,
можно понять, рассматривая вопрос о передаче по обычной линии. Фазовая
характеристика такой системы будет представлять собой прямую линию,
соответствующую времени запаздывания цепи. Однако, если линия плохо
согласована с обеих сторон, то получающаяся при этом фазовая характе-
ристика будет осциллировать относительно линейной характеристики, пере-
секая ее в точках, соответствующих четверти волны. Таким образом,
действительная характеристика может существенно отклоняться от линейной,
особенно в области первой четверти волны. Очевидно, что можно получить
аналогичную картину, если рассматривать различные элементы петли об-
ратной связи как системы с распределенными постоянными.
Усилители с дополнительным фазовым сдвигом
567
2. Вторая основная причина, вызывающая дополнительный
фазовый сдвиг, связана с влиянием времени пролета в лампах.
Временем пролета называют время, которое требуется элек-
тронам для того, чтобы пройти путь в лампе от катода до
анода под влиянием поля, создаваемого анодной батареей. Эта
величина зависит от напряжения батареи и от расстояния между
электродами. Можно учесть влияние времени пролета, вводя
линейную фазовую характеристику, подобно тому как мы рас-
сматриваем время запаздывания в обычных электрических
системах. В современных лампах, предназначенных для работ
на высоких частотах, соответствующий фазовый сдвиг будет
составлять всего десятые доли градуса на мегагерц для каждой
лампы. Даже при этих условиях величина фазового сдвига
может быть значительной, если мы
Фиг. 366
сложим фазовые сдвиги нескольких
ламп и будем рассматривать эффек-
тивные полосы порядка 50—100 мгц.
3. В усилителях с произвольным
образом подобранными параметрами
дополнительный фазовый сдвиг может
возникнуть вследствие использования
в некоторых частях петли таких
систем, которые не обладают ми-
нимальным фазовым сдвигом. Труд-
ности подобного рода обычно легко
преодолеть. В качестве примера рассмотрим фиг. 366, на кото-
рой изображен экранированный входной трансформатор, который
используется в усилителе с обратной связью по току. В идеаль-
ном случае трансформатор должен был бы входить в петлю
обратной связи в качестве двухполюсника, включенного между
fJ-цепью и сеткой лампы. Однако в действительности между
вторичной обмоткой трансформатора и экраном имеются рас-
пределенные емкости, которые показаны на схеме. Если при-
соединить экран к земле, как показано пунктирной линией I,
то эти емкости, совместно с индуктивностью вторичной обмотки,
создадут четырехполюсник, не обладающий минимальной вели-
чиной фазового сдвига, который будет отличаться свойствами,
сходными с теми, какие имеет длинная линия. При этих усло-
виях мы получим большую величину дополнительного фазо-
вого сдвига. Однако это затр/днение можно устранить, при-
соединяя экран к одному из концов вторичной обмотки, как
это показано пунктирной линией II.
4. Отклонение от характеристики минимального фазового
сдвига в некоторых усилителях может быть также вызвано
местными паразитными обратными связями, которые возни-
кают в отдельных лампах каскадов прямого канала усилй-
568 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
теля1). В качестве примера можно привести изображенный
на фиг. 367 триод с паразитной связью сетка-анод через ем-
кость Ср Для простоты предполагается, что схема получает
напряжение от генератора с нулевым внутренним сопроти-
влением и что в качестве элемента нагрузки используется
сопротивление, зашунтированное емкостью.
Мы видим, что напряжение от генератора может подаваться
двумя путями. Первым путем является нормальный путь через
лампу, в то время как второй путь — через емкость Cj —
имеет место даже тогда, когда лампа выключена. Разумеется,
что на нижних частотах первый путь будет иметь решающее
значение, но на достаточно высоких частотах будет пре-
обладать влияние второго пути.
Вследствие того, что лампа из-
меняет фазу на противополож-
ную, получаемые на выходе за
счет подачи по первому и вто-
рому пути напряжения будут
противоположны по знаку, что
вызовет уменьшение результи-
рующего эффекта. Однако име-
ются рассмотренные в главе XI
общие условия, определяющие
коэфициент передачи системы, обладающей величиной фазо-
вого сдвига, отличной от минимальной, благодаря чему мы
можем полагать, что результирующая фазовая характеристика
будет учитывать величину превышения над минимумом фазо-
вого сдвига.
Схема, изображенная на фиг. 367, может быть проанализи-
рована, если мы напишем выражение для усиления по напря-
жению в виде
Е* *________GmR_______|______i&CiR___	/1Я 1RA
ЕГ~	l+to^ + C,)/? “Г 1+«<о(С1 + С!)^ ’
Здесь Gm — крутизна лампы, а два члена, входящие в пра-
вую часть равенства, соответствуют коэфициенту передачи
по первому и по второму пути.
Это соотношение можно также переписать следующим
образом:	.
__________D Gm	Gm teCi	/1Я 1
 Е1~ * 1 + (С, + С,) R Gm+i«>Cl •
*) Строго говоря, усилители этого типа представляют собой систему
с многоканальной обратной связью и не входят в категорию схем, рассмат-
риваемых в настоящем разделе. Они включены в разбираемый нами сейчас
перечень в предположении, что местные обратные связи достаточно малы,
благодаря чему анализ, применяемый к усилителям с одноканальной обрат-
ной связью, может быть использоран и здесь.
Усилители с дополнительным фазовым сдвигом 569'
При такой форме записи второй множитель, который отно-
сится к элементарной цепи, пропускающей все частоты типа,,
представленного , на фиг. 151, будет характеризовать дополни-
тельный сдвиг по фазе. На не очень высоких частотах этот
дополнительный сдвиг может быть представлен в виде линей-
ной характеристики, имеющей крутизну в 7,2 X Ю8(С1/ОЯ1)
градусов на мегагерц.
5. Строго говоря, дополнительная величина фазового сдвига
не вызывается отклонением от минимума фазового сдвига,
однако для удобства рассмотрения целесообразно включить-
в настоящий перечень и этот вопрос. Напомним, что до сих
пор мы предполагаем, что асимптотическая характеристика
усилителя полностью определена и может быть изображена
в логарифмическом масштабе в виде прямой. В исключитель-
ных случаях это может оказать-
ся неверным, и член, характе-
ризующий дополнительный фа-
зовый сдвиг, может быть исполь-
зован для того, чтобы учесть
последующие изменения в пове-
дении асимптоты.
В качестве примера предпо-
ложим, что /VB и Ne на фиг. 344
для верхних частот представля-
ют собой активные сопротив-
ления и что включенные па-
раллельно им емкости Св и С6
весьма малы. Если мы полностью пренебрежем емкостями
Св и С6, то характеристика усиления петли примет вид, изо-
браженный на фиг. 368. На этой фигуре линия АВС пред-
ставляет собой асимптотическую характеристику для случая,
когда обе емкости отсутствуют. Действительная характери-
стика для области верхних частот, при включенных емкостях
Св и С6, соответствует линии ABD. Очевидно, что мы
можем представить тот же результат более простым об-
разом, полагая, что с точки зрения расчета линия АВС
является асимптотой и что расхождение между отрезками ВС
и BD можно учесть, добавляя соответствующую линейную
фазочастотную характеристику к характеристике петли для
области нижних частот,-Разумеется, дополнительный сдвиг по
фазе будет в этом случае отрицательным. Пунктирная линия BE
дает измененную характеристику, отличающуюся большей
величиной завала на верхних частотах, а также соответству-
ющей величиной дополнительного фазового сдвига, имеющего
положительный знак.
570 Глава ХУШ- Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
11. Подбор результирующей характеристики среза
с тем, чтобы скомпенсировать дополнительную
величину фазового сдвига
Напомним, что резкое изменение крутизны на концах гори-
зонтальной ступеньки результирующей характеристики уси-
ления петли обратной связи создает линейные фазовые харак-
теристики, которые могут взаимно скомпенсировать друг друга
при правильном соотношении частот, соответствующих краю
ступеньки. Так как предполагается, что характеристика допол-
нительного фазового сдвига также линейна, то, очевидно, ее
возможно тоже скомпенсировать, выбирая определенным обра-
зом длину ступеньки.
Например, если пользоваться обозначениями фиг. 351, то
величины фазового сдвига, соответствующие изменению кру-
тизны на краях ступеньки, будут —и (2 п/к) (/7/в).
Если мы определим длину дополнительного фазового сдвига,
полученного любым путем с помощью частоты fp, на которой
эта величина равна 2 n/л радиан, то, экстраполируя, найдем
требуемое соотношение:
-^+?£+?/7=°-	!(18Л7)
Отсюда частоту fb можно выразить через fa и fp следующим
образом:
(18'18)
Так как соотношение для среза на частоте ниже fb не будет
изменяться, то очевидно, что равенство (18.18) предполагает,
что выражение для максимально допустимой обратной связи
для общего случая можно переписать в виде
= (18Л9)
Таким образом, действующее значение асимптотической
частоты для предельной обратной связи представляет собой
как бы „параллельное включение" частот fa и fp. Если мы
сделаем такие же замены в (18.12), то получим
=	(18.20)
Это соотношение представляет собой интерес в случае
усилителей с весьма широкой полосой,, когда физически осу-
ществимые предельные значения определяются коэфициентом
Подбор результирующей характеристики среза 571
качества и временем пролета электронов применяемых ламп.
Следует заметить, что когда А( очень мало, частота ft, харак-
теризующая коэфициент качества, и частота fp, характеризую-
щая время пролета, имеют равное значение в ограничении допу-
стимой обратной связи. Однако, если величина At возрастает,
то повышение для ламп частоты ft имеет большее значение,
чем повышение fp.
Если конструируется усилитель с заданными величинами
запаса, то процесс подбора имеет тот же характер, за исклю-
чением того, что, поскольку запас по величине усиления рас-
ширяет ступенчатую часть характеристики среза в область
несколько более высоких частот, то характеристика дополни-
тельного фазового сдвига приобретает большее значение.
Однако в случае, когда усилитель является узкополосным,
имеет место некоторое видоиз-
менение процесса. Здесь жела-
тельно разбить общую характе-
ристику дополнительного фазо-
вого сдвига на постоянную часть,
определяющую фазовый сдвиг
относительно центра полосы, и
переменную часть, характеризу-
ющую изменение фазы в преде-
лах действующей расчетной по-
лосы с обеих сторон от цен-
тра полосы. Можно себе пред-
ставить, что постоянный сдвиг
по фазе может быть получен
там, где это требуется, путем перекрещивания концов и вклю-
чения в схему короткого отрезка линии или сравнительно
мало селективной системы со сосредоточенными параметрами
одного из видов, показанных на фиг. 369 *).
При этих условиях, производя замену реального усилителя
эквивалентной системой, пропускающей нижние частоты того
типа, который был описан в настоящей главе, нам достаточно
рассмотреть одну лишь переменную часть характеристики.
Принцип постоянства ширины полосы остается в силе и для
этой составляющей полного фазового сдвига. Другими словами,
характеристика дополнительного фазового сдвига, имеющая оп-
ределенную крутизну в градусах на мегагерц, будет одинаковым
образом ограничивать ширину полосы в мегагерцах, незави-
симо от того, в какой части частотного спектра расположена
эта полоса. В предельных случаях мы, очевидно, приходим
к диаграмме Найквиста, которая охватывает начало координат
*) См. патент Sh a w, U. S. Pat., № 2,210,503.
572 Глава XVIII. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
много раз, выше и ниже эффективной расчетной области»
Однако, если усилитель имеет соответствующим образом по*
добранную характеристику среза в пределах эффективной
полосы, то устойчивость системы обеспечена.
12. Зависимость расчета петли обратной связи
от внешнего усиления усилителя
В предыдущем рассмотрении внимание было сосредоточено
на форме общей характеристики среза для петли обратной
связи, причем специально не принималась во внимание та часть
характеристики, которая подлежит подбору. Однако очевидно,
что характеристику петли обычно проще откорректировать
путем выбора межкаскадных цепей, которые, в отличие от
входных и выходных цепей, а также p-цепи, независимы от
других параметров усилителя.
Если отсутствуют какие-либо специальные доводы обрат-
ного характера, то более логично начинать проектирование
всего усилителя с проектирования его входных и выходных
цепей, уделяя специальное внимание требованиям в отношении
подбора сопротивлений и коэфициента пассивной передачи,
которые определяют свойства схемы. В этом случае можно
подсчитать, какова та составляющая, которая вносится коэфи-
циентом передачи входной и выходной цепей во внешнее уси-
ление всего усилителя, и выбрать p-цепь с тем, чтобы полу-
чить требуемую результирующую характеристику усиления.
Межкаскадные цепи рассчитывают в последнюю очередь, опре-
деляя разность между данными для всей петли обратной связи
и данными входной, выходной и р-цепей.
Общий порядок расчета строится таким образом, чтобы
характеристики сопротивления, внешнего усиления и коэфи-
циента пассивной передачи были подобраны нормальным обра-
зом только в пределах рабочей полосы. Так, по крайней мере
при проектировании с карандашом и бумагой, имеются извест-
ные элементы произвола в отношении того, каким образом
различные составляющие петли обратной связи влияют на
параметры петли. С другой стороны, по мере того, как мы
переходим к все более и более высоким частотам и паразит-
ные элементы сказываются сильнее, становится все более
затруднительным добиться того, чтобы элементы схемы удо-
влетворяли своему назначению в пределах широкого диапазона
частот. Вследствие этого важно тщательно распределить общие
требования к усилителю по отдельным показателям между
отдельными частями схемы, если оказывается затруднительным
или невозможным сконструировать систему, не производя
расчета.
Расчет петли обратной связи и внешнее усиление
573
Распределение величины завала характеристики среза для
яетли обратной связи между отдельными элементами, вообще
говоря, определяется требованиями к внешнему усилению в пре-
делах рабочей полосы. Характеристика среза будет обусло-
влена главным образом межкаскадными цепями, если усиление
относительно мало, а если усиление достаточно велико, то
главным образом p-цепью. Примером в этом отношении
является усилитель с обратной связью по току, который уже
приводился ранее на фиг. 348.
Если в пределах рабочей полосы требуется сравнительно
малое внешнее усиление, то сопротивление цепи обратной
связи 2V8 должно быть большим. При этом, очевидно, предпо-
лагается, что цепь обратной связи будет определяться в области
среза главным образом шунтирующей цепь обратной связи
паразитной емкостью С7, и потому не может быть достаточно
точно учтена при проектировании. С другой стороны, малые
потери ;В [3-цепи требуют использования небольшого коэфи-
циента передачи межкаскадной цепи с тем, чтобы получить
заданную величину усиления для всей петли. В то же время,
ввиду того, что при малой величине межкаскадного усиления
ям можно распоряжаться с известным произволом, оказывается
возможным откорректировать характеристики петли как в пре-
делах рабочей полосы, так и в области характеристики среза.
Напротив, если требуемое усиление достаточно велико, то меж-
каскадные цепи должны быть того типа, при котором обеспе-
чивается максимальное усиление '), и будут определять харак-
теристики вне пределов полосы. Однако мы не имеем возмож-
ности воздействовать на [3-цепь, так как при большой величине
внешнего усиления сопротивление цепи обратной связи ока-
зывается настолько малым, что емкость С7 уже не будет ока-
зывать шунтирующего действия. Так как максимальная вели-
чина коэфициента передачи межкаскадной цепи резко умень-
шается вне пределов полосы, то очевидно, что требуемое
сопротивление цепи обратной связи должно постоянно возра-
стать в области среза с тем, чтобы дать общую величину
среза для всей петли обратной связи, укладывающуюся в допу-
стимые пределы.
9 В данном случае очевидно, что если внешнее усиление велико, то даже
максимальный коэфициент передачи межкаскадной цепи может оказаться
недостаточным для обеспечения этого усиления или той величины обратной
связи, которую можно было бы получить в других случаях при заданных
асимптотических условиях. Указанное обстоятельство представляет собой
очевидное ограничение физического характера, которое применимо во всей
теории, излагаемой в настоящей главе, и не требует дальнейших пояснений.
Следует также отметить, что в частном случае схемы фиг. 348 изменения
в величине внешнего усиления не влияют на асимптотические характери-
стики, а следовательно, и на величину допустимой обратной связи.
574 Глава ХУШ. Проектирование абсолютно устойчивых усилителей
Это положение можно рассмотреть количественно, исполь-
зуя соотношение (17.18). Напомним, что это соотношение было*
выведено с тем, чтобы установить, насколько нужно умень-
шить в пределах рабочей полосы коэфициент передачи меж-
каскадных цепей по сравнению с максимальным возможным
уровнем для получения за пределами полосы заданной вели-
чины фазового сдвига межкаскадной цепи, меньшей 90°. В дан-
ном случае может быть использовано это же соотношение. Если
мы будем сравнивать коэфициент передачи межкаскадной цепи,
необходимый для получения требуемой обратной связи, с мак-
симально возможной величиной коэфициента передачи, то фор-
мула (17.18) даст суммарную величину запаса по фазовому
сдвигу, которая будет получаться за счет межкаскадной цепи.
Отсюда легко определить, какой запас по фазовому сдвигу
может быть отнесен к остальной части цепи. Например, если
используется трехкаскадная ji-цепь, то фазовый сдвиг двух
межкаскадных элементов будет примерно равен 180°.
Так как общая величина фазового сдвига по петле обрат-
ной связи также примерно равна 180°, то фазовый сдвиг
в цепи обратной подачи от анодной цепи выхода до сеточной,
цепи входа должен примерно равняться нулю. Запас по фазо-
вому сдвигу петли может быть получен либо за счет исполь-
зования межкаскадных цепей, имеющих величины фазовога
сдвига, несколько меньшие, чем 90°, либо за счет применения
цепи обратной подачи с отрицательным углом фазового сдвига.
Интеграл, характеризующий величину уменьшения усиления,,
показывает, какую часть от общей величины должны обеспе-
чить межкаскадные цепи. После того, как подобное разделе-
ние выполнено, площадь ограничения кривой запаса по фазо-
вому сдвигу может быть представлена в виде функции от ча-
стоты любым путем, который представляет возможным полу-
чить простой подбор цепей.
Вообще говоря, удобно использовать запас по величине
фазового сдвига межкаскадных цепей вблизи края рабочей
полосы. Здесь могут использоваться элементы, корректирующие
форму характеристики в пределах полосы, в то время как
элементы остальной части схемы делают это возможным на
более высоких частотах, где подбор данных можно выполнить
при наличии известного произвола, не нарушая точности харак-
теристики внешнего усиления в пределах рабочей полосы.
Пример, иллюстрирующий расчеты подобного рода, приведен
в следующей главе.
ГЛАВА XIX
ПРИМЕРЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ УСИЛИТЕЛЕН С ОДНОКАНАЛЬНОЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1. Введение
Настоящая глава содержит некоторые примеры, иллюстри-
рующие общие методы проектирования систем с обратной
связью, разобранные в предыдущей главе. Из множества суще-
ствующих схем автором, были выбраны лишь те, которые .по-
зволяют продемонстрировать пути реализации общих теорети-
ческих характеристик идеального среза. В каждом примере
основное внимание сосредоточивается на проблеме обратной
связи. Другие особенности схем усилителей описаны лишь
в кратких чертах, а иногда даже в чрезмерно упрощенном
виде. В двух из приведенных схем применена дополнитель-
ная обратная связь в отдельных каскадах, помимо основной
петли обратной связи. Эти схемы рассматриваются для про-
стоты как усилители с одноканальной обратной связью, хотя
они, строго говоря, не отвечают тем требованиям, которые
были рассмотрены в предыдущей главе.
2. Проектирование системы с обратной связью в случае
приемника частотно-модулированных сигналов
Первым примером будет служить схема приемника частот-
но-модулированных сигналов с обратной связью, показанная
на фиг. 370 ’).
Если мы предположим на некоторое время, что зажимы АА’
разомкнуты, то „частотно-модулированный гетеродин", пока-
занный на чертеже, превратится в обычный местный генера-
тор с фиксированной частотой, а схема будет представлять
собой обыкновенный приемник ЧМ сигналов. Частотные детек-
торы являются обычным устройством, превращающим сигналы,
модулированные по частоте, в сигналы, модулированные по
амплитуде. Амплитудный детектор представляет собой выпря-
митель, выделяющий звуковые сигналы из амплитудно-моду-
лированного напряжения. Если цепь обратной связи замкнуть,
то частота гетеродина изменяется в соответствии со звуковыми
1) Автором этой схемы является Chaffee [см. Bell Syst. Techn. Journ.,
июль (1939)1.
576	['лава XIX. Примеры проектирования усилителей
сигналами, и эти изменения частоты накладываются на при-
ходящие сигналы при прохождении через каскады промежу-
точной частоты. Подробное рассмотрение этой схемы выходит
за пределы настоящей книги. Остановимся на этом вопросе
лишь вкратце. Напомним, что внешняя помеха в ЧМ сигнале
может быть разложена на две составляющие, одна из кото-
рых представляет частотную модуляцию, а другая — амплитуд-
ную модуляцию проходящих колебаний.
Первая из них не может быть отделена от частотной моду-
ляции полезного сигнала, но путем применения достаточно
Фиг. 370
глубокой модуляции ее мешающее действие может быть сде-
лано весьма малым. Составляющая амплитудной модуляции,
однако, оказывается более серьезной. Ввиду того, что око-
нечный детектор является прибором для амплитудной моду-
ляции, эта составляющая может, очевидно, появляться в выход-
ном звуковом сигнале и быть достаточно большой для того,
чтобы влиять на отношение сигнала к шуму системы. Пода-
вление амплитудной модуляции, обусловленной помехами,
было осуществлено в схеме Армстронга путем применения
специального амплитудного ограничителя, который ограничи-
вает приходящие колебания, превышающие определенный уро-
вень. Таким образом, амплитуда сигналов на выходе ограни-
чителя остается почти постоянной. Цепь обратной связи
(см. фиг. 370) выполняет ту же роль, что и амплитудный огра-
ничитель.
Чтобы можно было легче понять ее действие, будем рассмат-
ривать эту схему как обычный усилитель с обратной связью, в
котором р. представляет выходное напряжение (ток) звуковой
частоты, соответствующее единице отклонения частоты на
зажимах преобразователя, а р — отклонение частоты местного
гетеродина, соответствующее единице выходного напряжения
(тока) звуковой частоты. Это эквивалентно измерению сигнала
Проектирование системы с обратной связью
517
по величине тока или напряжения в каскадах звуковой частоты
и по отклонению частоты от несущей в каскадах промежу-
точной частоты.
При таких определениях величина представляет собой
коэфициент передачи звуковой частоты от зажимов АА' по
полной петле, опять к тем же зажимам АА'. В обычном уси-
лителе с обратной связью интенсивность сигнала в первых каска-
дах прямого канала уменьшается обратной связью, поэтому
требуется соответствующим образом увеличить коэфициент уси-
ления прямого канала, если необходимо поддерживать по-
стоянными уровень входного сигнала и выходной мощ-
ности. Здесь, аналогично этому, ЧМ — обратная связь —
уменьшает отклонение по частоте в каскадах промежуточной
частоты.
Коэфициент’усиления прямого канала увеличивается путем
повышения крутизны в схеме частотного детектора, что обес-
печивает ту же величину коэфициента преобразования частот-
ной модуляции в амплитудную при уменьшении частотной
девиации.
Уменьшение эффекта амплитудной модуляции, обусловлен-
ной внешними источниками, получающееся благодаря обрат-
ной связи, может быть представлено точно так же, как
уменьшение эффекта помех в прямом канале усилителя
с обратной связью, на что уже указывалось в главе III. Так
же как и там, мы можем рассматривать напряжение, развива-
емое на детекторе благодаря амплитудной модуляции приходя-
щего сигнала, в виде генератора внешних помех, подключенного
в этом месте схемы. При этих условиях эффект указанных помех
уменьшается обратной связью в отношении (1 — |*р):1. Ввиду
того, что величина выходного напряжения звуковой частоты
пропорциональна как амплитуде, так и отклонению частоты
на выходе преобразователя, изменения амплитуды приходя-
щего сигнала могут рассматриваться так же, как изменения
величины р. Они также уменьшаются обратной связью в отно-
шении (1 — р-Р): !•
Для рассмотрения вопроса о проектировании цепи обрат-
ной связи не требуется детального знакомства с работой высо-
кочастотных частей схемы. Рассматривая схему со стороны
зажимов АА', мы должны интересоваться только тем, чтобы
форма характеристики передачи на звуковых частотах вдоль
петли согласовалась с характеристикой идеального среза.
Ввиду того, что влияние на общий результат высокочастотных
частей схемы может быть определено путем измерений, задача
сводится к нахождению пассивной корректирующей цепи,
которая должна быть введена в цепь для получения требу-
емой общей характеристики. Это одна из простейших и в то
37 Зак. 1327
578 Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
же время наиболее обычных форм, к которой может быть све-
дена задача проектирования схем с обратной связью.
На фиг. 371 и 372 кривыми I обозначены экспериментально
снятые характеристики усиления и фазового сдвига при передаче
Фиг. 371
между входными зажимами местного гетеродина и выход-
ными зажимами детектора. Отсюда видно, что коэфициент усиле-
ния делается равным нулю на частоте около 50 кгц, а крутизна ха-
рактеристики усиления на высоких частотах соответствует 36 дб1
Фиг. 372
на октаву. Эти кривые можно рассматривать как асимптотиче-
ские характеристики для всей петли, если мы будем полагать,
что затухание, вносимое корректирующей цепью на высоких
частотах, невелико. Из этих кривых, на основании уравнения
(18.7), следует, что максимально допустимая величина обрат-
ной связи будет около 36 дб для указанной выше рабочей
Проектирование системы с обратной связью
579
полосы в 4 кгц. Если
сдвигу и коэфициен-
ту усиления, то ожи-
даемая величина ко-
эфициента обратной
связи может быть
взята равной 25 дб.
Идеальные характе-
ристики среза для
такого значения об-
ратной связи с за-
пасом по фазовому
сдвигу в 30° и по
принять во внимание запас по фазовому
Фиг. 373
коэфициенту усиле-
ния в 2 дб 9 приведены в виде кривых II на фиг. 371 и 372.
Дальнейшая часть работы по проектированию состоит
в таком подборе корректирующей цепи, при котором можно
будет свести к минимуму разность между измеренной и тео-
ретической характеристиками. Эта разность, выраженная в еди-
ницах затухания, показана сплошной кривой на фиг. 373, а раз-
Фиг. 374
отметить, однако, что принята
ность, создаваемая корректи-
рующей цепью, — пунктирной
"° кривой на той же фигуре* 2).
Корректирующее устройство
показано на фиг. 3743). ^Об-
щие характеристики | петли
при наличии корректирующей
цепи изображены пунктир-
ными линиями на фиг. 371 и
372. Величина коэфициента
обратной связи в 25 дб, полу-
чающаяся в схеме, достаточна
для этого случая. Интересно
я асимптотическая хара ктеристика
х) Величина запаса по коэфициенту усиления принята небольшой, ввиду
того, что экспериментальная схема содержит устройство для регулирования
величины коэфициента усиления, с помощью которого может устанавливаться
значение запаса.
2) Ход характеристики в области нижних частот, показанный пунктиром
на этой фигуре, так же как и на фиг. 371 и 372, объясняется наличием
блокировочного конденсатора в канале обратной связи. Этот элемент не
показан на фиг. 374, так как мы интересуемся в данном случае лишь ходом
характеристики в области верхних частот.
3) Лампы на фиг. 374 являются частью основной схемы. Коррекция
в данной схеме осуществляется благодаря замене переходной цепи с постоян-
ным активным сопротивлением общим комплексным сопротивлением, пока-
занным на фигуре.
37*
580
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
в отношении оптимального
обратной связью. Скелетная
Фиг. 375
петли соответствует очень большой величине затухания
цепи At. Таким образом, как это следует из (18.20), предста-
вляется возможным обеспечить немного большее значение
обратной связи в данной полосе или то же значение обратной
связи в пределах более широкой полосы, если мы добавим
несколько каскадов.
|3. Обратная связь по огибающей в радиопередающем
устройстве
В качестве второго примера рассмотрим схему обратной
связи для маломощного радиопередатчика, работающего на
ультракоротких волнах. Эта схема особенно интересна как
иллюстрация принципов, изложенных в предыдущей главе
ia каскадов в усилителе с
иа передатчика изображена
на фиг. 375. Низкочастот-
ный сигнал подводится к
левой части схемы. Этот
сигнал имеет спектр коле-
баний, захватывающих ^те-
лефонных каналов. При
стандартной полосе в 4 кгц
на каждый канал общая
полоса, занимаемая сигна-
лом, равна лишь 48 кгц,
хотя рабочая полоса устрой-
ства взята равной 100 кгц
для обеспечения возможности передачи, если это понадо-
бится, еще одной 12-канальной группы. Первоначально с по-
мощью усилителя сигнал усиливается по мощности до не-
обходимой величины, а затем в виде модулированного
напряжения высокой частоты подводится к антенне. Несу-
щая частота равна 141 мгц. Часть выходного напряжения
проходит через демодулятор и снова в виде напряжения
низкой частоты прикладывается ко входу. Это обеспечивает
обратную связь по низкой частоте по всему каналу передат-
чика. Обратная связь оказывается здесь полезной главным
образом с точки зрения уменьшения искажений, обусловлен-
ных междуканальной модуляцией, которая может иметь место
в передатчике, работающем с таким большим числом каналов.
Желательная величина, обратной связи равна 30 дб или даже
больше.
Все части петли обратной связи в некоторой степени опре-
деляют характеристику обратной связи по низкой частоте.
Однако изменение „тонкого рисунка“ характеристики петли
Обратная связь по огибающей
58!
удобнее всего получить в цепях усилителя сигналов. Цепи,
связанные с модулятором, не подходят для этой цели вслед-
ствие того, что они работают на высокой частоте и при боль-
шом уровне мощности. Указанные обстоятельства отсутствуют
в цепях, связанных с демодулятором. Однако мы должны
учитывать, что демодулятор является существенной частью
цепи. Очевидно, что уменьшение междуканальной модуляции,
Генератор
ЮО ООО Демодулятор
Фиг. 376
которое мы желаем получить от системы в целом, может
быть осуществлено лишь в том случае, если демодулятор
работает с высркрй степенью точности, как идеальный выпря-
митель. Проблема получения демодулятора, удовлетворяющего
указанным требованиям, сама по себе столь сложна, что неже-
лательно еще более усложнять ее введением каких-либо
других дополнительных элементов в этой части схемы.
Предварительная схема передатчика, построенного на ука-
занных принципах, изображена на фиг. 376. Для выходного
мощного каскада усилителя сигналов выбрана лампа типа 283 Н.
Нагрузочное сопротивление лампы, состоящее из активного
сопротивления в 7000 ом1), включенного в параллель с анодной
емкостью, выбрано, исходя из требования наиболее эффективной
отдачи мощности лампой, и не может рассматриваться как один
из элементов, служащих для формирования рф-характеристики,
с тем, чтобы обеспечить необходимое усиление по прямому
каналу. Выходному каскаду предшествует лампа 7708, даю-
щая значительное усиление, но сравнительно малую мощность.
Межкаскадная цепь W этой экспериментальной схемы изо-
бражена более подробно, чтобы рассмотреть вопрос о подборе
формы характеристики.
’) Это сопротивление представляет собой нагрузку лампы 233 И со сто-
роны модуляторного каскада.
582
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
Цепй, связанные с модулятором и демодулятором, не нуж-
даются в детальном описании. Они изображены на чертеже
в значительно более простом виде, чем это имеет место
в действительных устройствах. Вообще говоря, модулятор
состоит из" резонансных цепей, настроенных на несущую ча-
стоту, причем полоса пропускания контуров выбрана доста-
точно широкой для предотвращения дополнительного завала
характеристики по петле обратной связью. Затухание в канале
обратной связи принято равным 60 дб от зажимов модулятора
ко входу усилителя сигналов. Около 30 дб из этой величины
приходится на долю цепи связи’между модулятором и демо-
дулятором, которая представляет собой незначительную
Фиг. 377
нагрузку для демодулятора, что оказывается благоприятным для
его работы в режиме линейного выпрямителя. Оставшиеся
30 дб обусловливаются потенциометром, состоящим из сопро-
тивлений и емкостей, связывающих демодулятор со входом
схемы. Сопротивления потенциометра также выбраны, исходя
из требований максимальной линейности демодулятора.
Характеристика передачи между сеткой выходной лампы
и сеткой входной лампы устройства, показанного на фиг. 376,
изображена на фиг. 377.
Пользуясь этой кривой, а также известными данными
о величинах крутизны лампы и межкаскадной емкости для
первой лампы на фиг. 376, легко оценить, какой должна быть
асимптотическая характеристика полной петли обратной связи.
Мы найдем, что асимптота имеет крутизну в 4 единицы, или
24 дб на октаву, и пересекает ось нулевого коэфициента уси-
ления на частоте около 1,5 мгц. С помощью уравнения (18.7) и
этих кривых' мы найдем, что величина максимально допустимой
Обратная связь по огибающей 583
обратной £вязи при номинальной полосе в 1000 кгц рав-
на 47 дб. Это более чем достаточное значение обратной связи,
однако излишек в величине обратной связи слишком мал для
обеспечения значительной величины запаса по коэфициенту
усиления и фазовому сдвигу1).
Вследствие этого, прежде чем переходить к детальному
подбору |\3-характеристики, желательно пересмотреть схему
устройства с целью получения улучшенной асимптоты. Рас-
смотрение цепей, связанных с модулятором и демодулятором,
указывает на несколько путей, с помощью которых может
быть получена улучшенная асимптотическая характеристика.
Например, высокочастотный канал в настоящей схеме включает
в качестве последовательного элемента на выходе демодуля-
тора малую емкость, параллельно с сопротивлением в 100 000 ом.
Если это сопротивление заменить фильтром, представляю-
щим сопротивление, равное 100000 ом на нижних частотах, но
уменьшающееся на верхних частотах, то роль этой части
схемы в общей величине асимптотического затухания может
быть, очевидно, уменьшена. Мы можем также видоизменить
связывающую цепь между модулятором и демодулятором
с целью уменьшения затухания на частотах, выходящих за
пределы рабочей полосы. Эти возможности могут быть исполь-
зованы в тех случаях, когда отсутствуют лучшие способы
решения вопроса, но они, очевидно, приводят к нежелатель-
ным усложнениям схемы.
Более простой способ улучшения асимптотической харак-
теристики рассматриваемого устройства заключается в увели-
чении числа каскадов усиления по напряжению в усилителе
сигнала. Лампа 7708, относительно использования которой в од-
ном из каскадов усилителя уже указывалось, имеет коэфи-
циент качества, соответствующий частоте ft около 50 мгц2).
Зная асимптоту для нашей петли, можно найти, что затуха-
ние цепи At на этой частоте оказывается равным около 120 дб,
или 14 неперам. Из рассуждений, приведенных в предыдущей
главе, следует, что при увеличении числа ламп 7708 допустимое
0 В устройстве, показанном на фиг. 376, допускаемое значение обратной
связи в действительности еще более жестко ограничено величиной усиле-
ния, которое может быть получено за счет первой лампы. Это затруднение
здесь не принимается во внимание, так как допустимое усиление прямого
канала в окончательной схеме более чем достаточно для получения требу-
емой обратной связи.
2) Указанная величина относится к случаю, когда лампы 7708 имеют
каскадное включение. Значительно более низкая величина ft получается для
отдельно взятой лампы фиг. 376 благодаря большому влиянию межкаскад-
ной емкости, обусловленной последующей мощной лампой, а также умень-
шением крутизны, которая получается, когда лампа дает достаточную Мощ-
ность для раскачки последнего каскада.
584	Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
значение коэфициента обратной связи достигает максимума,
когда количество добавленных ламп оказывается достаточ-
ным для получения крутизны асимптоты, равной 14 услов-
ным единицам. Ввиду того, что крутизна асимптоты в нашей
схеме равна 4 условным единицам, количество требуемых
дополнительных каскадов равно 10. Коэфициент обратной
связи, имеющий место при этих условиях, определяется первым
членом уравнения (18.14) и равен 69 дб. Значение коэфициента
обратной связи, получающееся при любом другом числе кас-
кадов в прямом канале, может быть определено вычитанием
величин, показанных на фиг. 365, из этого предельного зна-
чения.
Если, например, к нашей схеме добавить одну лампу, то
мы получим Х = 0,286, и допустимое значение коэфициента
обратной связи делается равным 69 — 22 = 47 дб. Это согла-
суется с результатами, полученными ранее непосредственным
вычислением асимптотической характеристики устройства. Если
добавить две лампы, то Х = 0,43, и допустимая обратная связь
определится величиной 60 дб. Остановимся на двух дополни-
тельных каскадах для нашего устройства, так как улучшение
величины допустимой обратной связи оказывается вполне
достаточным для получения подходящей характеристики, а даль-
нейшее добавление каскадов не дает заметных преимуществ.
При максимально допустимой величине обратной связи,
равной 60 дб, величина обратной связи, которая может быть
осуществлена при заданном запасе по фазовому сдвигу и уси-
лению,^ определяется непосредственно из уравнения (18.9).
В нашей схеме запас по фазовому сдвигу выбран 30°, а по
коэфициенту усиления 12 дб. При этом коэфициент обратной
связи равен 38 дб. Остальная часть работы по проектированию
заключается лишь в подборе цепей, которые дадут возмож-
ность устранить разность между характеристикой, показанной
на фиг. 377, и характеристикой идеального среза, соответ-
ствующей указанным величинам. При двух добавочных каска-
дах мы будем иметь три межкаскадные цепи, между которыми
должна быть распределена необходимая степень коррекции
характеристики. Устройство в окончательном виде показано
на фиг. 378. Последняя межкаскадная цепь, которая работает
при .наивысшем уровне мощности, выбрана очень простой.
Эта часть схемы обеспечивает наибольшую часть усиления
для того, чтобы сделать достаточно низким уровень мощно-
сти в первых каскадах. Первые две межкаскадные цепи отно-
сятся к типу режекторных цепей, описанных в связи с
фиг. 206 — 209.
Ввиду того, что от этих межкаскадных цепей требуется
весьма низкий уровень усиления, оказалось возможным подо-
Обратная связь по огибающей
585>
брать режекторные цепи с очень малой величиной сопротив-
ления, так, чтобы они существенно влияли на характеристики^
Фиг. 378
петли обратной связи в широком диапазоне частот в пределах
рабочей полосы.
Характеристики коэфициента усиления и фазового сдвига,,
получающиеся при использовании этих трех межкаскадных
Фиг. 379
цепей, показаны на фиг. 3791), а общие характеристики коэфи-
циента усиления и фазового сдвига по петле —'на фиг. 380.
9 Сравнительная простота характеристик, полученных для второй меж-
каскадной цепи, несмотря на ее сложность, обеспечивается тем, что это
устройство в действительности предполагается настраиваемым. Приведенные
характеристики соответствуют исходной системе, для которой эффект, давае-
мый режекторными контурами, оказывается незначительным.
586	Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
Как видно из характеристики, величина обратной связи
в рабочей полосе получается равной 35 дб. Эта величина
сравнима с теоретически рассчитанной ранее величиной в 38 дб.
Небольшую разницу в результатах можно объяснить тем, что
характеристика реальной схемы не может иметь резкого угла
у края рабочей полосы, как это имело место в теоретических
мгц
Фиг. 380
характеристиках. Никаких особых мер для получения точного
«совпадения характеристик в этом участке не было предпри-
нято, так как достаточная величина обратной связи получается
и без этого.
4.	Пример проектирования усилителя с двумя каналами
обратной связи
Следующим примером будет служить усилитель, приме-
няемый в системе типа J1). Ввиду сравнительной сложности
схемы, мы не будем ее описывать подробно. Это устройство
является интересной иллюстрацией того, какую важную роль
играет асимптотическая характеристика в определении вели-
чины допустимой обратной связи; поэтому мы рассмотрим
•схему именно с этой точки зрения.
Рассматриваемый усилитель предназначен для работы в ка-
честве промежуточного усилителя в системе типа J. Он состоит
из трех основных частей: цепи прямого канала, внешней, или
главной, p-цепи и внутренней p-цепи. Блок-схема устройства
*) Телефонная система с воздушными линиями, работающая в диапазоне
от 30 до 140 кгц. Более подробное описание см. в статье Kendall and
Affel, Bell Syst. Techn. Journ., янв. (1939).
Проектирование усилителя с двумя каналами обратной связи 587
была приведена на фиг. 339. Если не принимать в расчет вну-
треннюю p-цепь, то более детальная схема устройства будет
иметь вид, показанный на фиг. 381. Цепь р включает в себя
регулировку усиления и корректирующую цепь, служащую
для компенсации частотных искажений в линии. Иначе го-
воря, характерной чертой усилителя является то, что обрат-
ная связь дана со стороны понижающих обмоток балансного
Фиг. 381
трансформатора. Этот способ подачи обратной связи особенно
удобен для системы типа J, в которой одной из важнейших
задач является обеспечение хорошего согласования сопротив-
лений во всех частях схемы. Как было показано в предыду-
щей главе, обратная связь с балансным трансформатором на
входе или на выходе схемы позволяет регулировать сопротив-
ление усилителя с помощью балансной цепи, так что оно
может быть весьма точно согласовано с характеристическим
сопротивлением линии. Применение обратной связи со стороны
понижающих, а не повышающих обмоток вызвано здесь тем
обстоятельством, что в первом случае балансный трансформа-
тор может рассматриваться как часть рщепи, и, следовательно,
согласование с линией остается хорошим даже при больших»
отклонениях параметров от своих номинальных значений.
Хотя выбранный вид обратной связи лучше всего удовле-
творяет требованиям, предъявляемым к усилителю, его при-
менение, к сожалению, приводит к одному нежелательному
обстоятельству. Ввиду того, что канал обратной связи вклю-
588
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
чает в себя катушки, индуктивности рассеивания последних
являются как бы последовательно включенными элементами
в асимптотической петле обратной связи. Поэтому асимптоти-
ческие характеристики
схемы оказываются зна-
чительно худшими по
сравнению с теми, ко-
торые получаются при
других типах обратной
связи. Указанное об-
стоятельство иллюст-
рируется кривыми I на
фиг. 382 и 383, ко-
торые представляют
собой характеристики
усиления и фазового
сдвига для петли, со-
ставленной из прямого
канала и внешней p-цепи фиг. 376 при величинах элементов,
соответствующих данным окончательного расчета. Асимптота
для этой петли показана пунктирной линией Г на фиг. 382.
При указанных характеристиках обеспечивается требуемая
мги.
Фиг. 383
величина обратной связи (45 дб) в рабочем диапазоне до 150 кгц..
Однако схема оказывается нестабильной вследствие того, что
характеристика фазового сдвига достигает 180°, прежде чем
коэфициент усиления по петле делается равным нулю. Поэтому
приходится уменьшить по крайней мере на 10 или 15 ?д6
обратную связь для обеспечения стабильности схемы.
Проектирование усилителя с двумя каналами обратной связи 589
Эта трудность может быть преодолена введением в схему
внутренней цепи обратной связи. Устройство, используемое
в качестве внутренней цепи, показано на фиг. 384. Оно вклю-
чается непосредственно ме-
жду анодом выходной и
сеткой входной лампы.Свой-
ства схемы подобны свой-
ствам фильтра верхних ча-
стот. В рабочей полосе
частот и вблизи нее зату-
хание цепи столь велико,
что действием, обусловлен-
ным внутренней цепью, мо-
жно пренебречь по сравне-
нию с действием внешней
p-цепи. Таким образом, вы-
числения коэфициента уси-
ления, произведенные при
наличии лишь одной внеш-
ней p-цепи, остаются в силе и после добавления внутренней
цепи. Однако на верхних частотах сопротивление внутренней
цепи становится все меньше и меньше, так что на частотах,
на которых асимптотическое затухание внешней цепи оказы-
вается большим, эта внутренняя цепь приобретает значитель-
ную роль. Более подробно
пями. Последние кривые
представляют интерес при определении стабильности, так как
все возможные каналы обратной связи по отношению к лампам
эти соотношения характе-
ризуются фиг. 385 и 386.
Кривые 1 на этих двух
фигурах представляют за-
тухание и фазовый сдвиг,
соответствующие передаче
от сетки выходной лампы
к сетке входной лампы че-
рез внешнюю p-цепь. Кри-
вые II изображают соответ-
ствующие величины при
передаче по внутренней
цепи, а кривые III—при
одновременной передаче с
выхода на вход обеими це-
могут быть объединены в виде некоторого четырехполюс-
ника без учета их отношения к входным и выходным линиям.
При выбранных величинах параметров схемы переход от
590	Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
области, где преобладает действие внешней цепи, к области,
где оказывается доминирующей внутренняя цепь, имеет место
на частоте около 1 мгц. Общая характеристика передачи за-
висит от соотношений между фазами и модулями коэфициентов
передачи для каждой из цепей. В нашем случае фазовый сдвиг
между каналами в указанной области перехода получается
равным 140°, что делает общее затухание большим, чем зату-
хание для каждой из составляющих. При разности фаз в 120°
все три кривые затухания пересекаются в точке, соответ-
ствующей переходу.
Влияние дополнительной внутренней p-цепи на общую
^-характеристику можно установить, корректируя кривые /
фиг. 382 и 383 таким образом, чтобы учесть разность между
характеристиками внешней p-цепи и результирующими харак-
теристиками, приведенными на фиг. 385 и 386. В результате,
получаем кривые II на фиг. 382 и 383. Как видно из этих
кривых, усилитель оказывается абсолютно стабильным. Улуч-
шенная асимптота, получающаяся при введении внутренней
p-цепи, изображена пунктирной кривой II на фиг. 382.
5.	Усилители с характеристиками передачи
полосового типа
Рассмотренные выше примеры относились к случаям схем
„низкочастотного типа”.
Другими словами, рабочий диапазон частот в этих схемах
доходит до столь низких частот, что постоянная составляющая
может считаться входящей в этот диапазон постольку, по-
скольку мы рассматриваем характеристики вблизи края полосы
или за верхним краем полосы пропускания. Усилители, передаю-
щие сравнительно узкую полосу частот, могут, в соответствии
с принципами, уже несколько раз описанными ранее, рассмат-
риваться как усилители нижних частот, на основании перехода
от полосовых систем к эквивалентным системам нижних частот
(см. главу X). Напомним, что полосовой усилитель и его низ-
кочастотный эквивалент имеют одинаковую ширину полосы,
выраженную в герцах. Полосовое устройство может быть по-
лучено из низкочастотного заменой катушек и конденсаторов
соответственно резонансными и антирезонансными контурами,
настроенными на середину проектируемой полосы. Индуктив-
ность в каждой резонансной цепи и емкости в каждой анти-
резонансной цепи должны при этом иметь те же величины,
что и в низкочастотной схеме.
Преобразование указанного типа в большинстве случаев
может быть сравнительно легко выполнено. Однако в тех
случаях, когда полоса чрезвычайно узка, использованию этого
Усилители полосового типа
59Г
метода препятствуют два практических обстоятельства, подоб-
ные тем, с которыми мы встретились в аналогичной задаче'
построения полосовых фильтров с очень узкой полосой. Одно
из указанных обстоятельств связано с порядком величин па-
раметров, необходимых для построения схемы, к которой мы
переходим, а другое—с величиной Q входящих в схему эле-
ментов. Для иллюстрации этого рассмотрим цепи, изображенные
на фиг. 387 и 388. На первой из них изображена эквивалент-
ная цепь, пропускающая низкие частоты. Мы можем пред-
положить, что схема имеет резонанс вблизи края рабочей
полосы, относящейся к случаю пропускания нижних частот,
и что два используемых реактивных элемента имеют величины,,
приемлемые для данной схемы. Потери для удобства рассмо-
трения распределены между емко-
стью и индуктивностью и предста-
влены в схеме двумя сопротивле-
ниями. „Трансформированная" поло-
совая схема изображена на фиг. 388.
Элементы L и С остаются теми же,
но элементы С и L' добавлены для
получения резонансной частоты, рав-
ной fr на середине требуемой полосы.
В соответствии с ранее сделанными
предположениями, мы должны при-
нять L/L' = С/С	где /о—верх-
няя частота полосы низкочастотной
схемы. Если fr намного больше, чем
/0, то это соотношение указывает на
значительную несоразмерность в величинах элементов, таю
что некоторые из элементов должны иметь слишком боль-
шую величину, а другие — слишком малую. Можно также от-
метить, что поскольку активные сопротивления в обеих схемах
имеют равные величины, то требуемые значения Q для реак-
тивных элементов должны быть в полосовой схеме большими^
чем в схеме нижних частот, в соотношении fr/f^ Трудности^
возникающие в связи с величинами элементов, могут быть
преодолены представлением ветвей цепи в. каких-либо других
эквивалентных видах, но проблема обеспечения надлежащей
величины Q не может быть решена так легко.
В качестве простой иллюстрации преобразования низкоча-
стотного устройства в полосовое рассмотрим схему, состоящую’
из трех каскадов усиления мощности радиопередатчика, кото-
рой мы уже интересовались ранее. Устройство предназначено’
для работы на несущей частоте в 20 мгц при 12 каналах,
каждый из которых занимает 50 кгц с обеих сторон полосы.
Обратная связь применена здесь для подавления межканальной
592
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
перекрестной модуляции. Схема, таким образом, напоми-
нает ранее описанный передатчик, с той лишь разницей, что
в данном случае применена обратная связь по верхней, а не
по нижней частоте. В схеме поэтому отсутствуют модулятор
и демодулятор, и она работает при несколько более высоком
уровне мощности. Следовательно, применяемые здесь лампы
должны иметь более низкий коэфициент качества.
Экспериментальная схема приведена на фиг. 389. Каждая
.из катушек, к которой подключена параллельная емкость,
резонирует на средней частоте полосы. Внутреннее сопротив-
ление источника и сопротивление нагрузки представлены актив-
ными сопротивлениями в 10000 и 3500 ом, включенными на
входе и на выходе, причем сопротивление, стоящее на выходе,
включает вчсебя и включенное параллельно внутреннее со-
противление выходной лампы. В усилителе используется схема
обратной связи по напряжению.
Потери в этой цепи регулируются, в основном, емкостным
потенциометром, показанным на чертеже. Дополнительное по-
следовательное сопротивление поставлено для того, чтобы
цепь обратной связи представляла достаточно высокое сопро-
тивление со стороны входа. Для уменьшения влияния этого
сопротивления на асимптотическую петлю оно шунтировано
антирезонансным контуром. Межкаскадные сопротивления
в прямом канале выполнены в виде простейших настроенных
контуров. Активные сопротивления, подключенные параллельно
с этими контурами, характеризуют потери .в катушках, а также
потери, вносимые анодной и сеточной цепями соответствую-
щих ламп. Вторая и третья лампы являются мощными
Усилители полосового типа
593
триодами, имеющими сравнительно большую величину емко-
стей сетка-анод. Как показано на чертеже, эти емкости ней-
трализуются катушками. Ввиду того, что настроенные контуры
Фиг. 390
являются противорезонансными цепями, для получения низко-
частотного эквивалента следует только отключить все катушки
Фиг. 391
Вычисленные характеристики усиления и фазового сдвига
устройства показаны сплошной линией на фиг. 391 и 392.
9 Элементы емкостного потенциометра не создают никаких затруднений,
поскольку катушка в анодной цепи выходной лампы предполагается настроен-
ной в резонанс с общей емкостью, подключенной параллельно с ней
(около 20 p-p-F). В силу этого низкочастотный эквивалент, представленный
на фиг. 390, справедлив везде, за исключением области нижних частот (по-
рядка 0,1 мгц и ниже), где сопротивление параллельной ветви потенциометра
(фиг. 390) делается столь большим по сравнению со следующими за ним со-
противлениями, что потенциометр не может больше рассматриваться как
делитель напряжения. Поэтому кривые на фиг. 391 и 393 не соответствуют
фиг. 390 на самых нижних частотах.
38 Зак. 1327
594
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
Асимптота, как это следует из'графика, пересекает ось нулевого
усиления на частоте 2 мгци’имеет крутизну 12 дб на октаву *).
Характеристика петли в сильной степени зависит от величин
емкостей сетка-анод в последних двух лампах. Чтобы
проиллюстрировать это обстоятельство, на фиг. 391 и 392 пун-
ктиром показаны характеристики для случая, когда указан-
ными емкостями можно пренебречь. Важно также напомнить,
Фиг. 393
что, как это следует из предыдущей главы, наличие емкостей сет-
ка-анод переводит устройство из систем, обладающих мини-
9 Другими словами, указанная величина была задана при расчете. Дей-
ствительный ход характеристики в области верхних частот зависит в силь-
ной степени от величины емкости паразитной связи сетка-анод и может до-
стигать крутизны 6 дб на октаву. Если бы емкости сетка-анод отсутствовали,
крутизна была бы равной 18 дб на октаву. Этот эффект изменения крутизны
связан с описанным далее дополнительным фазовым сдвигом.
Усилители полосового типа
595
мальным фазовым сдвигом, в класс систем, при которых фазо-
вый сдвиг не является минимальным. Линия на фиг. 390
соответствует характеристике минимального фазового сдвига,
имеющей место в случае действительной характеристики уси-
ления, показанной с помощью кривой / на фиг. 391.
Характеристика идеального среза показана в виде кривой II
на фиг. 391 и 392. Запас по фазовому сдвигу и по величине
усиления равен соответственно 30° и 10 дб. Можно отметить,
что горизонтальная ступенька характеристики усиления здесь
намного шире, чем это имеет место в нормальных схемах.
При обычных соотношениях граничные частоты горизонталь-
ной ступеньки должны относиться друг к другу так же, как
и соответствующие крутизны, т. е. как 12:10. В соответствии
с изложенным в конце предыдущей главы, действительная
ширина горизонтальной ступеньки должна быть сделана для
компенсации дополнительного фазового сдвига в петле при-
мерно на половину октавы шире, чем указанная выше. По-
лучение характеристики идеального среза не вызывает затруд-
нений на частотах выше нескольких сотен килогерц от края
полосы, но вблизи полосы ограничения, относящиеся к Q и
к значениям величин элементов схемы, получающихся при
переходе от низкочастотного устройства к полосовому, затруд-
няют получение характеристики с достаточной селективностью.
Это обстоятельство иллюстрируется кривыми II на фиг. 393
и 394, которые дают результаты для случая, когда исходная
межкаскадная цепь первого каскада (фиг. 390) заменена устрой-
ством, показанным на фиг. 395, Д. Нетрудно видеть, что не-
достаточная селективность в области нижних частот приводит
к тому, что величина обратной связи в пределах рабочей по-
лосы оказывается на 20 дб меньше той величины, которая
38*
596	Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
допускается теоретической характеристикой идеального среза,
показанной кривыми I на фиг. 393 и 394.
Фиг. 395	Фиг. 396
Устройство, показанное на фиг. 395, Л, представляет собой
простую режекторную цепь с резонансной частотой около 1 мгц,
Gm=2500	. GrrrfOOO
которая служит для устранения
резкого изменения в величине
затухания для кривых I и II
фиг. 391 в средней области ча-
стот.
На фиг. 395, В представлен
несколько измененный вид цепи,
имеющей- более подходящее для
Фиг. 398
полосового эквивалента рас-
Фиг- 397	пределение потерь. Как сле-
дует из приведенных схем, мы
можем, очевидно, обеспечить значительно большую обратную
связь в рабочей полосе без существенного влияния на ^-ха-
рактеристику в обла-
сти высоких частот,
только за счет умень-
шения проводимости
цепи на нулевой часто-
те. Преобразовав цепь,
показанную на фиг.
395, В, в полосовой
эквивалент, приведен-
ный на фиг. 396, мы
заключаем, что даже
при имеющихся вели-
чинах элементов ин-
дуктивности катушек в двух антирезонансных цепях должны
иметь величину Q, превышающую 200 на несущей частоте.
Низкочастотний срез характеристики усилителя
597
Если Q не может быть сделано столь большим, то величину
обратной связи в рабочей полосе придется взять еще меньШе.
Кривые /// на фиг. 393 и 394, например, изображают резуль-
таты, получающиеся в
том случае, если ма-
ксимально возможное град.	/
значение Q равно 100. 300	/
В связи с указан-	/
ным ограничением ока- ^ии 	___________
зывается более удоб- /оо
ным получить требуе-
мую величину обрат- - oQ5 Q f ft2 0/)Q6 f 2	4 Q
ной связи просто путем
добавления четвертого
каскада к существу-	иг’
ющему устройству на
фиг. 390 J). Это приводит к тем же результатам, что и уве-
личение числа каскадов в ранее описанном передатчике.
Новая межкаскадная цепь также относится к типу режектор-
ных цепей, как это показано на фиг. 397. Получающиеся
при этом общие характеристики усиления и фазового сдвига
по петле приведены на фиг. 398 и 399 (кривая /). В этом
случае требуемая величина Q равна 100. Кривые //и///отно-
сятся к случаям, когда Q равно соответственно и 74 тре-
буемой величины.
6.	Низкочастотный срез характеристики усилителя
с обратной связью
Описанное выше преобразование низкочастотного устрой-
ства в полосовое применимо в усилителях, в которых отно-
шение верхней граничной частоты рабочей полосы к нижней
граничной частоте не очень велико. В тех случаях, когда
нижняя граничная частота составляет лишь небольшую долю * 2)
х) Требуемый для расчета сдвиг по фазе на 180° в схеме с четным
числом каскадов можно получить путем перекрещивания зажимов. Усили-
тель представляет собой, в действительности, пушпульную схему, и только
ради простоты рассматривается одна половина устройства.
2) Ввиду того, что полосовая характеристика теоретически всегда более
эффективна, чем комбинация низкочастотной и высокочастотной характери-
стик, вопрос должен решаться, исходя из того, какая степень улучшения
величины обратной связи может считаться существенной. Преимущество,
даваемое полосовой характеристикой, легко определить, отождествляя /0
в уравнении (18.7) сначала с верхней граничной частотой полосы и затем
с разностью между верхней и нижней частотами. Например, если отношение
между верхней и нижней частотами полосы равно 5:1, то использование
598
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
от верхней, проще рассматривать получение характеристики
среза в области частот ниже рабочей полосы как независи-
мую задачу.
Приемлемая форма низкочастотного среза может быть,
очевидно, получена путем построения перевернутой характе-
ристики верхнего среза. Фиг. 400, например, изображает на
линейной шкале комбинацию верхней и нижней характеристик
усилителя, рабочая полоса которого, выраженная в октавах,
очень широка.
^Асимптота для нижнего среза характеристики, получающаяся
при использовании комбинации характеристик этого типа,
определяется различными элементами, используемыми в схеме
для подачи постоянных напряжений. Главными из них обычно
являются дроссели, блокирующие конденсаторы, гридлики
в межкаскадных цепях, фильтрующие элементы в цепях анод-
ного питания и цепи, состоящие из сопротивлений и емкостей
в катодах ламп, служащие для создания автоматического сме-
щения на сетку. Задача получения требуемого низкочастот-
ного среза характеристики обычно не столь трудна, как соответ-
ствующая задача получения высокочастотного среза, вследствие
того, что мы можем получить любую требуемую асимптоту, при-
меняя достаточно большие величины блокирующих конденсато-
иолосовой характеристики позволяет увеличить допустимую обратнуюсвязь на
4 дб, в то время, как при отношении частот 10:1 улучшение равно 2 дб. Следует,
однако, отметить, что различные элементы схемы, используемые в цепях
подачи напряжения, такие, как сопротивления утечки сетки, блокирующие
конденсаторы, дроссели и т. д., могут использоваться для коррекции нижних
частот при соответствующем использовании комбинации характеристик,
в то время как полосовая характеристика может, строго говоря, считаться
законной лишь в том случае, когда эти элементы взяты столь большой ве-
личины, что они не влияют на форму характеристики в интересующем нас
участке. Это обстоятельство обычно ограничивает пределы применимости
полосовой характеристики
Низкочастотный срез характеристики усилителя 599
ров и катушек. По этой причине обычно не требуется обеспечи-
вать очень резкий срез, имеющий небольшой запас по фазовому
сдвигу и резкий угол на краю полосы. Следует, однако, под-
черкнуть, что все же необходимо затратить известные усилия
для того, чтобы добиться корректирования низкочастотного
среза характеристики.
Обычно одно увеличение значений параметров элементов
цепей ^питания оказывается недостаточным. Например, если мы
Фиг. 401
удвоим величины всех индуктивностей, и емкостей, которые
влияют на форму характеристики в области нижних частот, то
исходные частотные характеристики будут просто повторены
со сдвигом на одну октаву в сторону более низких частот.
Если усилитель был неустойчив при исходных значениях
элементов, то он останется попрежнему неустойчивым. Устой-
чивость может быть осуществлена лишь с помощью измене-
ния соотношений между низкочастотными элементами. В ка-
честве примера устройства, обладающего характеристикой
с низкочастотным срезом, рассмотрим вариант усилителя,
пропускающего нижние частоты, который уже приводился в этой
главе. Нижняя граница полосы этого усилителя равна 60 кгц.
Схема усилителя, включающая элементы, влияющие на нижние
частоты, изображена на фиг. 401 х). Сопротивления двух меж-
каскадных цепей и p-цепи на нижних частотах равны соответ-
ственно 4200, 2000 и 550 ом. Другие элементы предназначены
9 Принятое значение для сопротивления первой межкаскадной цепи
соответствует схеме фиг. 426, за исключением катушки с индуктивностью
5657 р. Н. При окончательном проектировании схемы сделан ряд изменений,
которые обусловливают наличие этой катушки.
600
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
для создания автоматического смещения и служат также
в качестве блокирующих конденсаторов, гридликов и емко-
стно-реостатных фильтров в цепях анодного питания.
Если рассматривать каждый блокирующий конденсатор и
связанное с ним сопротивление утечки сетки как одно целое,
то вся схема оказывается составленной из простых комбина-
ций, состоящих из сопротивлений и емкостей. Каждая из этих
комбинаций характеризуется произведением CR, определяю-,
щим значение частоты, при которой емкость и активное со-
противление имеют равные абсолютные значения сопротивле-
ния. Ниже приводится таблица значений этих частот, соответ-
ствующих определенным величинам произведений CR для
различных элементов схемы.
Цепь
Первый катод...................
Второй катод ..................
Блок конденсатор - утечка сетки:
в I межкаскадной цепи .
во II межкаскадной цепи
в /3-цепи......................
CR фильтр:
в I анодной цепи ..............
во II анодной цепи . . . .
в III анодной цепи . . . .
		CR	fr «ГЦ
—				6- IO-" 6 • 10-’	26,5 26,5
			® ® са 1 1 1 ООО О О LQ ю о т—4	3,2 1,6 32,0
		50 • 10-’ 50 • IO’6 125 • 1О-о	3,2 3,2 1,3
Изучая данные этой таблицы, легко понять принцип, на
котором основывается проектирование. Этот принцип сводится,
вообще говоря, к распределению произведений CR таким об-
разом, чтобы различные цепи оказывали влияние в различных
участках диапазона частот, а крутизна среза получилась по-
стоянной. Например, две из трех цепей, имеющих наибольшие
значения CR, являются катодными элементами автоматического
смещения, причем величина CR в каждом из них взята более
чем на октаву ниже рабочей полосы частот. Эти две цепи авто-
матического смещения не оказывают никакого действия на
верхние частоты, в то время как на нижних частотах они вво-
дят местную обратную связь, снижающую усиление каждого из
каскадов почти на 11 дб. Произведения CR примерно определяют
частоту, ниже которой местная обратная связь начинает уже
заметно сказываться.
Так, при выбранных значениях CR в цепях автоматического
смещения основная часть из 22 дб общего изменения в
9 Автоматическое смещение в мощном каскаде обеспечивается сопро-
тивлением, не зашунтированным емкостью для получения местной обратной
связи в каскаде.
Низкочастотный срез характеристики усилителя 60£
усилении, обусловленного этими цепями, получается уже в об-
ласти примерно на полторы октавы ниже рабочей полосы, и
^-характеристика в этой области определяется, в основном,
указанными элементами схемы. Эффект, вызванный цепями
автоматического смещения, изображен более подробно на фиг.
402 и 403 (кривая /)х).
Фиг. 403
Третьей цепью, имеющей сравнительно высокую частоту fn
является комбинация блокирующего конденсатора с сопротив-
лением утечки сетки, связанная с сеткой первой лампы. Характе-
0 Как показано на фиг. 402, характеристика местной обратной связи
простирается весьма далеко в область рабочей полосы, что приводит к за-
метному загибу характеристики в области выше 60 кгц. В действительной
схеме это в значительной степени компенсируется изменением сопротивле-
ний межкаскадных цепей и /3-цепи. При отсутствии такой компенсации же-
лательно выбрать величины fr на пол-октавы ниже.
602
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
ристика этой части схемы представлена кривой //фиг. 402 и 403.
Благодаря этому звену вводится затухание с крутизной
6 дб на октаву в диапазоне ниже частоты fr указанного звена,
т. е. в области частот, лежащих более чем на октаву ниже
рабочей полосы. На частотах, лежащих выше fn действие звена
почти не сказывается. Таким образом, эта цепь оказывает
Фиг. 404
влияние именно там, где крутизна характеристики, обуслов-
ленная цепями автоматического смещения, начинает падать.
Общее действие, обусловленное комбинацией указанных цепей,
обеспечивает почти постоянную крутизну характеристики в 9 дб
на октаву для области частот в несколько октав, расположен-
ной ниже рабочей полосы, как показано на фиг. 402 и 403
(кривая ///).
Действие остальных элементов петли .начинает сказываться
на значительно более низких частотах. Основную роль здесь
играют комбинации ’ блокиру-
ющий конденсатор — сопроти-
вление утечки сетки, связан-
ные со второй и третьей лам-
пами.
Вместе с уже рассмотрен-
ной подобной же комбина-
цией в цепи первой сетки они
создают общую крутизну асим-
птоты в 18 дб на октаву. До-
Фиг. 405
стижение совпадения с асимптотой, однако, затрудняется
благодаря увеличению усиления по петле, обусловленному CR-
комбинациями, используемыми в качестве фильтров питания
и р- цепи. Это приводит к образованию небольшого уступа
в характеристике среза. Результирующие характеристики
Низкочастотный срез характеристики усилителя 603
петли, учитывающие некоторые второстепенные факторы, ко-
торые йы здесь не рассматривали, показаны на фиг. 404, при-
чем при построении учтен соответствующий уровень усиления
по петле в пределах полосы.
В изложенном методе проектирования крутизна нижнего
среза характеристики регулируется выбором цепей, имеющих
различные значения произведений СТ? так, чтобы их действие
начинало сказываться в различных частях участка среза. Это
оказывается возможным в усилителях, работающих на уме-
ренных частотах, когда можно ожидать, что величины эле-
ментов будут иметь приемлемые значения. Когда же рабочая
полоса простирается в область чрезмерно низких частот, сле-
дует рассмотреть ограничения, обусловленные допустимыми
величинами блокирующих конденсаторов и сопротивлений
утечки сетки.
Метод, основанный на распределении произведений СТ?,
очевидно, в этом случае оказывается непригодным вследствие
того, .что небольшая величина произведения может соответ-
ствовать чрезмерно большим емкостям или сопротивлениям.
Для получения другого способа регулирования характери-
стики на весьма низких частотах предположим, что сопро-
тивление утечки сетки в обычном усилителе заменено неко-
торым более сложным устройством, состоящим из емкостей
и сопротивлений. Преимущество применения сеточной цепи
для регулирования характеристики заключается в том, что
сопротивление утечки сетки обычно имеет столь большую
величину, что величины емкостей, требуемые для корректи-
рования характеристики, оказываются сравнительно неболь-
шими даже на самых низких частотах.
604
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
Типичная схема такого устройства приведена на фиг. 405.
Сопротивление R и конденсатор С представляют собой обыч-
ную межкаскадную цепь, но сопротивление утечки сетки
А
Входная цепь
Пере, межкаскадн.цепь
Втор, межкаскадн. цепь
В
Фиг. 407
заменено здесь трехэлементной цепью, составленной из
Ri и Ci.
Если положить, что величина сопротивления	—Н АЧ фик-
сирована, то форма характеристики в области нижних частот
Низкочастотный срез характеристики усилителя
605
определяется отношениями /?1//?0 и С/Сь которые мы обозна-
чим соответственно, как параметры k и /о/Л- Простой рас-
чет показывает, что напряжение на сетке может быть
выражено через величину напряжения Е\ на сопротивлении/?,
а указанные параметры следующим образом:
Р —if________О ~Ь^)/о р	ziq i\
На фиг. 406 показаны подобные характеристики, соответ-
ствующие двум выбранным парам значений к и /о//о (кривые
II и III). Здесь же для сравнения приводится кривая I, соот-
ветствующая обычному сопротивлению утечки сетки. Как
видно из этих кривых, цепи указанного вида удовлетворяют
основному требованию, необходимому для решения нашей
задачи, т. е. они позволяют получить заданную среднюю кру-
тиз’ну среза и соответствующий фазовый сдвиг в значитель-
ной области частот.
В качестве примера пользования указанным приемом рас-
смотрим проектирование лабораторного усилителя, который
должен.иметь обратную связь в 60 дб в диапазоне от 5 до
25 гц. Схема усилителя приведена на фиг. 407А и В.
Основной составной частью p-цепи является емкостно-рео-
статный мост, предназначенный для получения пика зату-
хания на устанавливаемой частоте в диапазоне от 5 до 25 гц.
Во всех каскадах применены сеточные цепи только что рас-
смотренного типа, имеющие к = 5 и f]f'a=4Q. Такие значения
параметров соответствуют кривой II на фиг. 406. Однако меж-
каскадные цепи в целом сдвинуты по частоте, так что исход-
ное значение /0 увеличивается в три раза, когда мы перехо-
дим от первой ко второй и от второй к третьей сеткам ламп.
Общие характеристики усиления и фазового сдвига в области
606	Глава XIX. Примеры проектирования, усилителей
нижних частот показаны на фиг. 4081). Крутизна среза, как
следует из этих характеристик, получается с большой точ-
ностью равной 9 дб на октаву вплоть до частоты в один
период в минуту.
При расчете низкочастотного среза предполагалось, как
это следует из фиг. 405, что нагрузки в анодных цепях всех
ламп представляют собой достаточно малые активные сопро-
тивления. Высокочастотный срез усиления может быть полу-
чен добавлением соответствующих элементов к этим сопро-
тивлениям. В настоящем примере удобно воспользоваться тем
обстоятельством, что выражение для
	I	определяемое уравнением (19.1),
I___________~| f0 . при замене z///0 на fQ/if можно также •
L	Т~1Т интерпретировать как сопротивление
Л	I устройства, показанного на фиг. 409. Та-
<	I . Го ким образом, соответствующим выбором
к~р0 >	еДиниД Для сопротивления и частоты низ-
кочастотного среза можно сразу полу-
Т	чить данные корректирующей цепи, ко-
торые обеспечивают срез характеристики,
Фиг. 409 в точности симметричный высокочастот-
ному срезу. Остальные элементы в двух
межкаскадных цепях (см. фиг. 407) определяются таким же
способом. Сопротивление в 150 ом и связанные с ним три эле-
мента CR звена в (3-цепи выполняют те же функции для цепи,
идущей к сетке первой лампы. Заметим, что общая рф- харак-
теристика была получена без применения индуктивностей, ко-
торые, очевидно, были бы нежелательны в схеме, работаю-
щей на столь низких частотах.
7. Пример проектирования широкополосного
усилителя
Последним примером будет служить один из промежуточ-
ных усилителей, предназначенных для работы в системе пере-
дачи по концентрической линии2). Рабочая полоса устройства
лежит в пределах от 60 до 2000 кгц. Ввиду того, что расчет
низкочастотного среза был описан в предыдущем разделе, мы
0 Абсолютный уровень усиления зависит, конечно, от крутизны лампы
и от потерь в /3-цепи. Рассмотрение этого обстоятельства здесь опускает-
ся ввиду того, что проектирование p-цепи включает ряд вопросов, не
представляющих особого интереса при общем проектировании петли обрат-
ной связи.
2) См. примечание на стр. 338. Регулирующие цепи в тракте обратной
связи усилителя принадлежат к общему классу устройств, описанных в
работе Bode, Variable Equalizers, Bell Syst. Techn. Journ., апрель (1938).
Пример проектирования широкополосного усилителя 607
рассмотрим здесь лишь высокочастотный участок характери-
стики. Номинальное расстояние между промежуточными уси-
лителями равно 8,5 км, что соответствует потерям в линии
на частоте 2000 кгц порядка 40 дб, которые промежуточный
усилитель должен компенсировать. С целью компенсации воз-
можного неравенства расстояний между промежуточными уси-
лителями, а также изменений затухания в линии за счет коле-
баний температуры, в усилителе имеется регулируемая
р - цепь, которая увеличивает или уменьшает усиление по срав-
нению с нормальной величиной. Максимальное отклонение в
длине линии достигает ± 2 км, что соответствует колебаниям
Фиг. 410
в усилении от 30 до 50 дб на частоте 2000 кгц. При этом
величина обратной связи должна быть порядка от 25 до
30 дб1).
Задача обеспечения требуемой величины обратной связи
при указанной ширине полосы относится к основным сообра-
жениям при’выборе общей схемы усилителя. Исследования
показывают, - что наилучшая асимптота получается при приме-
нении обратной связи по току2). Поэтому был применен именно
этот тип обратной связи. Общая схема устройства приведена
на фиг. 410.
Помимо применения обратной связи по току, было сделано
все возможное для улучшения асимптоты путем уменьшения
всех паразитных емкостей до минимума и построения пере-'
х) С целью упрощения здесь приводится величина полного диапазона
регулировки, в пределах которого предполагается, что усилитель сохраняет
устойчивость. В обычном устройстве величина диапазона регулировки не-
сколько уже.
2) Катодная обратная связь, дающая несколько лучшие результаты, не
была в достаточной степени исследована в то время, когда проектировался
этот усилитель. Подобного же рода замечание может быть сделано также
и в отношении численных значений емкостей и крутизны ламп в схеме,
608 Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
менной (3 - цепи в виде одной параллельной ветви так, чтобы
небольшие последовательные индуктивности вовсе исключа-
лись из высокочастотного тракта. Физическая природа раз-
личных емкостей, показанных на чертеже, вполне очевидна.
Укажем лишь, что емкость, включенная параллельно (3-цепи,
Фиг. 411

обусловлена, в основном, емкостью трансформаторов относи-
тельно земли. При указанных значениях крутизны ламп и
емкостей в межкаскадных цепях частота ft, соответствующая
„коэфициенту качества" ламп, оказывается равной примерно
50 мгц.
Асимптота имеет крутизну в 18 дб на октаву, а величина Аь
характеризующая потери на частоте 50 мгц, равна 18 дб.-
Результирующее значение Ат получается из уравнения (18.12)
равным 48 дб. Интересно отметить, что цепь обратной связи
по току, применяемая в усилителе, приближается к идеаль-
ной. Допустимая величина обратной связи может быть уве-
личена при данном качестве ламп только до 12 дб, если мы
имеем идеальную схему с At — 0.
Детальное проектирование усилителя начинается со входной
и выходной цепей. Эти части схемы, однако, здесь не пред-
ставляют большого интереса и будут поэтому рассмотрены
лишь вкратце. Вообще говоря, входная и выходная цепи обеспе-
чивают подбор характеристики усиления, которая компенсирует
при нормальных длинах линии и температуре изменения зату-
хания линии на верхней частоте рабочей полосы. Дополни-
Пример проектирования широкополосного усилителя
609
тельная коррекция нижних частот достигается добавочной кор-
ректирующей цепью обычного типа, включенной перед усили-
телем1). Общая техника проектирования такая же, как и опи-
санная в главе XVI. Входная н выходная цепи нас сейчас
интересуют, в основном, с точки зрения их влияния на общую
характеристику петли, выраженную через так называемый
«коэфициент деления", рассмотренный в связи с фиг. 40ft
График для суммы указанных коэфициентов входной и выход-
ной цепей показан на фиг. 411. Затем мы должны рассмо-
треть проектирование прямого канала и сопротивления цепи
обратной связи, обеспечи-
вающих необходимую ха-
рактеристику петли,
задача
Эта
усложняется тем,
что характеристика петли
должна изменяться, если мы
будем изменять параметры
0 -цепи для того, чтобы ком-
пенсировать различие в дли-
нах линий между промежу-
точными усилителями. Для
пояснения этого факта по-
строим переменную харак-
теристику в масштабе ф,
который рассматривался в
главах XVII и XVIII. На фиг. 412 приведен график требуемого
изменения затухания от среднего до крайнего положения
1) Вообще говоря, коррекция может быть также достигнут^ путем при-
менения регулировки затухания fl - цепи. Однако в том случае, когда сле-
дует применять р - цепь, имеющую одну параллельную ветвь, оказывается,
что ее нормальная характеристика затухания должна быть постоянной.
Характеристика действительной P-цепи приводится на фиг. 419.
39 Зак. 1327
616	Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
регулятора, построенный в обычном логарифмическом частот-
ном масштабе, а на фиг. 413 показана та же характеристика
в масштабе <р. Средняя высота кривой в масштабе ср равна при-
мерно 7,5 дб. Таким образом, изменения значения коэфициента
иередачи по петле, вводимые регулировкой, эквивалентны
при своих крайних положениях изменению обратной связи на
7,5 дб в обе стороны от среднего значения.
Ввиду того, что асимптота является фиксированной, эти
изменения в действующей величине обратной связи должны,
очевидно, сводиться к соответствующим изменениям величины
запаса по усилению либо по фазовому сдвигу для среза харак-
теристики петли, либо этих величин вместе взятых. Для
целей проектирования предполагается, что запас по усилению
остается постоянным и равным 15 дб для всех положе-
ний регулятора и что изменения в действующей величине
Пример проектирования широкополосного усилителя 611
обратной связи, обусловленные регулятором, должны соответ-
ствовать изменениям в запасе по фазовому сдвигу. Вели-
чина обратной связи в рабочей полосе принята равной 28,5 дб
для среднего положения регулятора.
Характеристики для крайних пoлoжeнийJ регулятора, сле-
довательно, соответствуют постоянным значениям обратной
связи в 21 дб и 36 дб. Так как величина Ат известна, -то,
пользуясь уравнением (18.9), легко определить значения запаса
по фазовому сдвигу. Они оказываются равными, соответствен-
но 17, 35 и 53° для максимального, среднего и минималь-
ного положений. Детальные характеристики среза, вычислен-
ные на основании этих данных1), показаны на фиг. 414 и 415.
Вследствие того, что разность между соседними характе-
ристиками фиг. 414 и 415 должна соответствовать данным
регулятора, этот анализ приводит к полному определению
характеристики затухания и фазового сдвига регулятора на
всех частотах, несмотря на то, что, исходя из общих требо-
ваний к усилителю, было определено лишь затухание в рабо-
чей полосе. Затухание и фазовый сдвиг на частотах выше
рабочей полосы не требуется определять с большой точ-
ностью, так как отклонения в величине запаса по фазовому
сдвигу относительно их постоянного значения для характе-
ристик, соответствующих среднему и низшему положениям
регулятора, имеют допустимую величину, если хорошо подо-
брана характеристика для максимального положения регуля-
тора. Получающиеся в действительности характеристики регу-
лятора показаны сплошными линиями на фиг. 416 и 4172).
*) Точный расчет для крайних положений, при которых обратная связь
в рабочей полосе изменяется с частотой, требует применения формул, подоб-
ных (14.33). Однако можно оценить характеристики с достаточной точностью
на. основании известной характеристики петли, имеющей эквивалентную
постоянную величину связи.
8) На каждой фигуре показано лишь по одной характеристике, так как
положительные и отрицательные отклонения от исходного положения явля-
ются симметричными.
39*
612
, Глава XIX. Примеры, проектирования усилителей
„Теоретические" характеристики, представляющие собой раз-
ность между общими характеристиками среза, показаны пунк-
тирными линиями.
Детали проектирования регулятора выходят за рамки нашего
рассмотрения. Само устройство приведено на фиг. 418. Исходные
значения затухания и фазового сдвига в среднем положении,
относительно которых вычислены характеристики регулятора,
показаны на фиг. 419*). Кривые учитывают паразитные
емкости, а также элементы, показанные на фиг. 418.
Точная характеристика схемы, конечно, довольно сложна,
однако в области высоких частот она подобна характеристике,
изображенной на фиг. 420 для противорезонансного контура.
Фиг, lie
имеющего достаточно большое затухание. Емкость трансфор-
матора относительно земли равна 20 ppF и показана на
фиг. 410. Эта емкость учитывает шунтирующее действие
входной и выходной цепей на сопротивление P-цепи, а так-
же паразитную емкость элементов самой р - цепи. Индуктив-
ность имеет, конечно, ту же величину, что и первый элемент
фиг. 418, а сопротивлением в 115 ом представлена остальная
*) Кривые характеризуют усиление и фазовый сдвиг, получающиеся в
том случае, если схема используется в качестве межкаскадной цепи в одном
из каскадов прямого • канала. Ввиду того, что крутизна ламп равна
4 м амп/вольт, эго j эквивалентно выбору в качестве единицы сопротивления
величины^250 ом.
Пример проектирования широкополосного усилителя
613
часть схемы. Противорезонансная частота может быть произ-
вольно установлена в довольно широких пределах путем изме-
нения индуктивности. Причины, по которым в действительной
схеме она имеет весьма большую величину, будут выяснены
позднее.
Проектирование завершается расчетом у-цепи, которая,
совместно с уже выбранными цепями, обеспечивает необхо-
димые результирующие характеристики среза. Вообще говоря,
Фиг. 419
противорезонанс-
т
можно получить большое число вариантов различных схем
вследствие того, что, с одной стороны, возможно перераспре-
деление данных в отношении межкаскадных цепей, а с дру-
гой стороны, мы можем изменять требуемую характеристику
прямого канала в целом за счет изменения
ного контура ,6 - цепи (см. фиг. 420). Ввиду
того, что одни из этих комбинаций могут
оказаться более простыми, чем другие, сле-
дует рассмотреть возможные варианты,
прежде чем приступить к детальному про-
ектированию. Одним из критериев при
этом может служить соотношение между
избытком усиления и запасом по фазовому
углу, выведенное для межкаскадных це-
пей в главе XVII, а для всей петли об-
ратной связи — в конце главы XVIII. Дру-
гой метод подхода заключается в установлении связи между
вершинами различных углов и . крутизнами характеристики
идеального среза и соответствующими физическими элемен-
тами усилителя, которые могут их создавать.
Вычисление избытка усиления и величины запаса фазового
сдвига удобно начать со следующего замечания. Если мы
будем пользоваться характеристиками усиления, показанными
на фиг. 411 и 419, то требуемая величина обратной, связи
±45
Фиг, 420
614
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
в 28,5 дб для нормального положения регулятора получается
при почти постоянном общем усилении межкаскадных цепей
по всему диапазону, равном примерно 35 дб. Однако при
ламп и межкаскадных ем-
костей максимально воз-
можное усиление, полу-
чающееся от двух меж-
каскадных цепей, равно
66 дб. Таким образом,
имеется избыток усиле-
ния в 31 дб, или 3,6 не-
пера. В соответствии с
уравнением (17.18) это
означает, что средняя ве-
личина запаса по фазо-
вому сдвигу в межкаскад-
ной цепи в масштабе <р'
должна быть равна 3,6 ра-
диана. Более подробно
указанные соотношения
характеризуются кривы-
ми фиг. 421. Кривая /
представляет собой гр'а-
фик (<о/<о0) (180° — BL), где
BL — фазовый сдвиг для
характеристики идеаль-
ного среза при нормаль-
ных условиях. Кривые II
и III являются анало-
гичными графиками для
(у>1<»Л)Вт и (<о/<о0)В?, где
Вт и Вр представляют
собой соответственно фа-
зовые сдвиги трансфор-
матора и р- цепи, приве-
денные на фиг. 411 и 419.
Так как в случае двух
межкаскадных цепей пре-
дельный фазовый сдвиг,
для которого вычислен запас по фазе межкаскадных цепей, равен
180°, то легко убедиться в том, что сумма всех трех кривых
представляет собой функцию запаса по фазе, входящую в
уравнение (17.18).
Сумма трех кривых фиг. 421 изображена в виде жирной
кривой на фиг. 422. Наличие широкого выступа, расположен-
ного в области от <р'=50° до ?'=90°, сравнительно легко
Пример проектирования широкополосного усилителя
615
можно объяснить. Вследствие того что ф' = arcsin (®/<»о), этот
интервал на шкале ф' соответствует сравнительно узкому
интервалу, расположенному сразу же за рабочей полосой на
шкале частот. Мы должны, очевидно, ожидать, что характе-
ристики запаса по фазовому сдвигу для простейшей межкас-
кадной цепи с большим затуханием, приведенной на фиг. 423,
будут сравнительно постоянными в этом диапазоне,
но будут постепенно падать с приближением к мень-
шим значениям ф'. Мы можем, следовательно, поло-
жить, что первая межкаскадная цепь относится к этому
простому типу, и ввести запас по фазовому сдвигу,
примерно соответствующий кривой / фиг. 422*).
В обычном усилителе было бы желательно пере-
делать 0-цепь таким образом, чтобы вся площадь,
ограниченная кривой запаса по фазовому сдвигу,
была сконцентрирована в выступе вблизи правого
края графика. Это позволило бы осуществить обе
Фиг- 423
7,3jjjiF
13jujiF
2fyuH\
межкаскадные цепи в виде сравнительно простых
устройств. Однако в нашем усилителе требование в отно-
шении регулировки 0-цепи не позволяет применить никакой
другой метод регулировки его характеристики, кроме метода
сдвига, за счет изменения противорезонансной частоты кон-
тура, показанного на фиг. 420. Следовательно, оказывается
необходимым усложнить схему прямого канала с тем, чтобы
получить требуемый запас по фазо-
вому сдвигу при малых значениях ф'.
Пик кривой запаса по фазовому
сдвигу вблизи ф' = 5° обеспечивается
в действительной схеме введением
в катод третьей лампы цепи, пока-
занной на фиг. 424. Конденсатор
емкости в 13 pjxF представляет со-
бой паразитную емкость катода от-
носительно земли. Эта схема обеспе-
чивает местную обратную связь в
третьем каскаде, которая понижает
Фиг. 424	его усиление на 12 дб. Другими
словами, при этом затрачивается 12 дб
из общего избытка усиления в 31 дб, которое должно быть
израсходовано. Величина местной обратной связи остается
1) Кривая Г представляет собой приближенный график зависимости
(ш/ш0) (90° — Bi) от <р', где Bi определяет фазовую характеристику, которую
можно ожидать для цепи типа, приведенного на фиг. 423. Аналогично, кри-
вая III дает график (®/®0) (90° — Вг), где В» — фазовая характеристика для
межкаскадной цепи на фиг. 425, а кривая И—график — (<о/а>0) Вс, где Вс —
фазовый сдвиг, вводимый катодной цепью на фиг. 424 в прямой канал.
616	Глава ХГХ. Примеры проектирования усилителей
почти постоянной в рабочей полосе и почти до 20 мгц за ее
пределами. Однако на высоких частотах она устраняется бла-
годаря противорезонансной цепи и параллельной емкости,
показанных на фиг. 424, которые действуют как фильтры.
Это приводит к увеличению усиления в третьем каскаде со
связанным с этим фазовым сдвигом, изображенным в виде
кривой II на фиг. 422. Характеристики затухания и фазового
сдвига, очень близкие к тем, которые создаются местной
обратной связью, могут быть также получены с помощью
межкаскадной режекторной цепи. Применение местной обрат-
ной связи более желательно в связи с тем, что она имеет
дополнительное преимущество, заключающееся в уменьшении
нелинейных искажений в выходной лампе. Однако следует
отметить одну трудность, связанную с использованием местной
обратной связи. Ввиду того, что фазовый сдвиг, вносимый
местной обратной связью, зависит от величины крутизны
последней лампы, схема может сделаться неустойчивой, если
усиление этой лампы уменьшится с течением времени, несмотря
на то, что характеристика идеального среза для основной
петли будет в точности удовлетворяться при нормальных
значениях усиления ламп. В рассматриваемом усилителе эта
трудность обходится благодаря тому, что фазовый сдвиг,
получающийся благодаря местной обратной связи, имеет место
лишь в области очень высоких частот за срезом характери-
стики петли. Для получения подобного результата -оказы-
вается необходимым ограничить величину обратной связи
в рабочей полосе примерно значением в 12 дб. Это как раз
то значение обратной связи, которое имеет место в действи-
тельности, так как при значительно больших величинах катод-
ного сопротивления шунтирующий эффект паразитной емкости
катод-земля делается уже заметным на весьма низких часто-
тах.
Если на кривой запаса по фазовому сдвигу обеспечено
наличие рассмотренных выше пика и уступа характеристики,
то остальная часть кривой оказывается почти горизонтальной.
Это достигается за счет второй межкаскадной цепи, схема
которой приведена на фиг. 425. Ее роль в общей величине
запаса по фазовому сдвигу можно установить из рассмотре-
ния кривой III фиг. 422. Активное сопротивление этой цепи
составляет примерно лишь одну треть от емкостного сопро-
тивления на высшей частоте полосы, так что эта цепь расхо-
дует около половины общего избытка усиления в 31 до. Ука-
занное соотношение между активным сопротивлением и емко-
стью является весьма удобным при решении задачи об опре-
делении запаса по фазовому сдвигу, но оно может иметь зна-
чение также и для другой цели. Если обозначить емкостное-
Пример проектирования широкополосного усилителя 617
сопротивление через X, то фазовый сдвиг в межкаскадной
цепи будет, очевидно, равен B = arctg (R/X) = arctg ojA’C. На
основании этого мы можем записать:
OR= 1	= ~R “i" ^Rc} • (i9-2)
Но, как известно, функция' (z + 1/z) имеет, примерно по-
стоянное значение для z, близких к единице. Для выбранного
соотношения величина <о/?С делается равной единице на часто-
те 6 мгц, которая является средней геометрической частотой
участка среза, простирающегося от 2 до 15 или 20 мгц. Таким
образом, небольшое изменение величины R приводит при-
мерно к постоянной величине изменения запаса по фазовому
сдвигу в интервале среза. Ввиду того, что небольшое изме-
нение /?, очевидно, приводит также к почти постоянной величине

j- "уцб
“Г-
Фиг. 425	Фиг. 426
изменения усиления в рабочей полосе, то можно считать, что
устройство обеспечивает простые способы установления ком-
промиссного значения для обратной связи и запаса по фазо-
вому сдвигу.
В качестве последнего шага необходимо несколько услож-
нить схему межкаскадной цепи для получения лучшего сов-
падения с требуемой характеристикой обратной связи в пре-
делах рабочей полосы и вблизи нее. Окончательный вид схе-
мы этой межкаскадной цепи показан на фиг. 426. Эта цепь
создает величину запаса по фазовому сдвигу, показанную
кривой 1 на фиг. 422. Эта кривая получается при использо-
вании примерно 4 дб избыточного усиления. Крестики на
фиг. 422 соответствуют сумме трех составляющих характе-
ристик, в то время как жирная сплошная линия представляет
собой идеальную характеристику запаса по фазовому сдвигу.
Приведенное рассмотрение с помощью фазовых характе-
ристик различных цепей было сделано для того, чтобы пока-
зать, каким образом график запаса по фазовому сдвигу может
быть использован при выборе схемы. При практическом
618
Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
проектировании может быть также полезно изучение соотноше-
ния между усилением в различных частях схемы и усилением
по всей петле. Для нашего частного случая мы можем грубо
Фиг. 427
разделить характеристику петли на участок с большой кру-
тизной, находящейся непосредственно за краем полосы, на
участок с почти постоянной крутизной от 9 до 10 дб на октаву,
простирающийся от 3 до 25 мгц, и на горизонтальную часть
характеристики. Для рассмотренных типов цепей начальный
крутой участок определяется главным образом составляющими,
рассмотренными в связи с фиг. 411. Ввиду чрезмерной селек-
тивности системы для этой области частот вводится коррек-
ция в первой межкаскадной цепи с помощью характеристики,
имеющей пик на участке, расположенном чуть выше рабочей
полосы. На более высоких частотах эта межкаскадная цепь
Пример проектирования широкополосного усилителя 619
создает крутизну результирующей характеристики в 6 дб на
октаву/,Оставшаяся крутизна в 3 или 4 дб на октаву, необ-
ходимая для получения требуемой крутизны результирующей
характеристики, определяется^главным образом второй меж-
каскадной цепью. Крутизна характеристики, обусловленная
Фиг. 429
этой цепью, в значительной степени понижается по сравне-
нию с обычной крутизной, равной 6 дб на октаву, благодаря
параллельно подключенному активному сопротивлению. Напри-
мер, крутизна, обусловленная этой цепью, в точности равна
3 дб на октаву на частоте в 6 мгц, где емкостное и актив-
Фнг. 430
иое сопротивления равны одно другому. Горизонтальный уча-
сток результирующей характеристики получается путем под-
бора соотношения между крутизной характеристики межкас-
кадных цепей и увеличением усиления петли за счет антире-
зонансного контура 0 - цепи и устранения местной обратной'
связи в последнем каскаде.
620	Глава XIX. Примеры проектирования усилителей
Окончательные результаты показаны на фиг. 427—430. На
первых двух фигурах изображены в логарифмическом мас-
штабе частоты характеристики усиления и фазового сдвига раз-
личных частей прямого канала. Кривые /, // и /// относятся
соответственно к первой межкаскадной цепи, к цепи местной
обратной связи и ко второй межкаскадной цепи. На двух
других фигурах приведены общие характеристики петли для
среднего, а также для двух крайних положений регулятора.
Кривые, соответствующие максимальной обратной связи, весьма
хорошо согласуются с теоретическими кривыми, приведен-
ными на фиг. 414 и 415. Для других положений регулятора
усилитель оказывается достаточно устойчивым, но кривые в.
некоторой степени отличаются от теоретических вследствие
отклонений характеристик регулятора за пределы_полосы, что
было показано на фиг. 416 и 417.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ И ПО УСИЛИТЕЛЯМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ’)
1.	Акул ь ш ин, Кощеев и Кульбацкий, Теория связи по про-
водам. М., 1940.
2.	Андронов А. А. иХайкинС. Э., Теория колебаний. М., 1936.
3. А с е е в Б. Л., Основы радиотехники. М.—Л., 1947.
4.	Войшвилло Г. В., Усилители низкой частоты. М., 1939.
5.	Евланов С. Н., Корректирующие контуры в телеграфно-телефон-
ных цепях. М., 1937.
6.	Ев т я н о в С. И., Переходные процессы в линейных системах. М., 1948.
7.	Карсон Дж., Электрические нестационарные явления и операцион-
ное исчисление. Харьков — Киев, 1934.
8/К руг К. А., Основы электротехники. М.—Л., 1936.
9.	Сифоров В. И., Радиоприемные устройства. М., 1939.
10.	Теодорчик К. Ф., Автоколебательные системы. М. — Л., 1947.
11.	X а р к е в и ч А. А., Теория электроакустических аппаратов. М., 1940.
12.	Цыкин Г. С., Отрицательная обратная связь и ^е применение. М.>
1940.
13« Ш и Т. Е., Четырехполюсники и электрические фильтры. М., 1939.
’) Добавлена редакцией.
предметный указатель
А
Абсолютно устойчивый усилитель,
см. устойчивость.
Абсолютный уровень затухания, 341
----- усиления по петле обратной
связи, 559
-----в межкаскадной четырехполюс-
ной цепи, 507—518
----------двухполюсной цепи, 481,
488
Автоматическая компенсация фазо-
вого сдвига, 369
Автоматического смещения катод-
ного, схемы, 599—602
Активного сопротивления интеграл,
теорема, 333—336
------ редукция в двухполюсниках,
-----теорема, 207
— типа сопротивление передачи, его
представление, 293—295
----- сопротивления, влияние обрат-
ной связи на них, 86—92
-------их получение, 205, 223,
229—230
-------их соединения, 230—235
-----элемент, 296—297
-------, влияние на расположение
нулей, 146
Активной цепи сопротивление, 86—
—'— теорема Тевенина, 98—100
-----уравнения контурных токов,
18—20
-----уравнения узловых напряже-
ний, 27—29
Аналитические условия для харак-
теристик цепей, 331—333
— функции, 41—42
Аналитических функций, теория
Коши, 168—176
Анод, 13, 18, 27
Анод-катод, проводимость между
ними, 338 •
Анод-сетка, расчет передачи между
ними, 115
Анодное сопротивление, активное, 28
Аппроксимация характеристики ак-
тивное сопротивления, 443-
— харак ристик с помощью лома-
ных линий, 400—403
Асимптота, пересечение ее с линией
нулевого усиления, 540
Асимптотическая характеристика пет-
ли обратной связи, 537—545,579—
580
— — влияние ламп и цепей, 560
—• частота, действующая, 570—572
Асимптотический канал в схемах с
обратной связью, 543—544
Б
Балансные цепи, 587
Балансный трансформатор, 545
-----обратная связь с повышающей
обмотки, 545
-----с понижающей обмотки, 545
Билинейные преобразования, 269
Бруне метод разложения пассивного
сопротивления общего типа, 206,
219—222, 228
— цепь, 279, 283, 296, 299, 303, 309
-----аналитическая инверсия, 238
В
Веса, функция в расчете фазового
1 сдвига, 372
Ветви пассивной цепи, уравнения
13—17
Вещественная и мнимая составляю-
щие функций цепи, 361—399
-------графический расчет, 400—
423
622
Предметный указатель
Вещественные элементы, 133
— частоты, 161, 168
Взаимное сопротивление лампы, 19
Взаимности теорема, см. Обратимо-
сти теорема.
Взаимоиндукция, 222
Видео-усилителя межкаскадная цепь,
386—387
Влияние потерь, 259—267
Внешнего усиления характеристика,
457—463
--------, определение, 456
Внешнее усиление, 110
— — предъявляемые требования,
544
----- при наличии обратной связи,
102—105, 110—Ш
Возвратная разность для двухсто-
ронних элементов, 68—69, 92
-----для двух элементов, 97—100
----- и измерения, 97
----- и сопротивление, 89
-----и чувствительность, 64, 72—79
— — относительная, 107—ПО
-----при исходном значении, рав- •
ном k, 66—68, 86
-----при исходном значении, равном
нулю, 68, 86
----- при холостом ходе и коротком
замыкании элементов, 89
Возвратной разности диаграмма,
185—187
-----определение, 65
Возвратное затухание в теории
коэфициента несогласованности,
430—432
Возвратное напряжение, 62, 69
----влияние изменений в лампах, 62
Возвратное отношение, 64—65, 223
— — для двухсторонних элементов,
68, 92
-----для исходного значения, рав-
ного kt 67
-----1 равного нулю, 66
-----определение, 65—66
Возвратного отношения диаграмма
187, 194—196, 559
Время пролета, 13, 537, 567, 571
-----частота Л, характеризующая
его, 571
Вспомогательный канал обратной
связи, 192, 575
Выбор коэфициентов в выражениях
для полного сопротивления,
248—250
— между методом контурных и уз-
ловых уравнений, 29—30
Вычет функции в полюсе, 178, 353,.
364
Входной имитанс, 236, 272, 293—295
Входное сопротивление, 21—22, 269,
293—295
-----, зависимость	от отдельных
элементов, 22—23
-----, физическое	представление,.
203—235
Входного имитанса функции, общие
методы представления, 226—235
Входной или выходной трансформа-
тор, 424—426
Входные и выходные сопротивления
усилителя с обратной связью,
94_____97
-------цепи, 424—474, 542—543
----------, влияние на результи-
рующее усиление, 456—457
---------- для усилителей с обрат-
ной связью по току, 463—471
----------, коэфициент пассивной
передачи в них, 455, 456
----------, нагруженные на емкость,.
426—428
----------, нагруженные на емкость
и сопротивление, 428—430
----------, применение общих тео-
рем к расчету, 424—474
----------, примерный расчет коэ-
фициента несогласованности,
445—452
----------, согласование сопротив-
лений с помощью фильтров и
других схем, 440—442
Входные и выходные цепи, теорема
о коэфициенте отражения в них,
364
----------, теоремы, 368—371
— --------, упрощения расчета пу-
тем построения мнимой состав-
ляющей, 372—378
----------, фильтры как идеальные
устройства, 369
----------, характеристика внеш-
него усиления, 387
----------, число элементов, 370
----------, эквивалентный или иде-
альный трансформатор, 363
Г
Генератор постоянной силы тока, 12у
14
— с нулевым и бесконечным внут-
ренним сопротивлением, 12
—, эквивалентный для анодной цепи*
6—7
Предметный указатель
623
Главное значение интеграла, 364, 394.
409
Горизонтальная ступенька в харак-
теристике среза петли обратной
связи, 471, 505, 513
-----для избыточного фазового
сдвига, 484—485, 507
----- при наличии запаса по усиле-
нию и фазовому сдвигу, 468
— характеристика усиления петли
обратной связи в рабочей по-
лосе, 455—456, 486
Графические методы расчета для
полубесконечной характеристики
постоянной крутизны, 405—407
Графический метод расчета связи
между вещественной и мнимой
составляющими функций цепей,
400—423
Грид лик, 601
Гридлика схемы, 598—600
Д
Двойной канал обратной связи, 586-—
590
Двойственность методов сопротив-
лений и проводимостей, 26, 236,
272—273
Двухполюсная межкаскадная цепь,
идеальная, 484—486
-------, коэфициент передачи, 475—
479
-------максимального изменяюще-
гося коэфициента передачи,
479—489
------- максимального постоян-
ного коэфициента передачи, 489—
-------, общие теоремы, 475—480
-------, полосовая, 492
-------, простейшие типы, 500—503
-------, с определенным фазовым
запасом, 493—500
Двухполюсник типа Бруне, 219—222
Действующая асимптотическая ча-
стота, 570—572
— ширина полосы усилителя с об-
ратной связью, 531—537, 552—
554
Декада, ее определение, 374
Диссипативная энергетическая функ-
ция, 156
Дифференциальные контурные урав-
нения, 136—137
Длинная линия, 268, 355
Дополнительный фазовый сдвиг в
петле обратной связи, 565
Дополнительный фазовый сдвиг,
компенсация, 570, 573
-------, максимально-допустимая
обратная связь, при наличии,.
570—572
-------, причины, 566—570
Дополняющие двухполюсники, их. ха-
рактеристики, 240
— корректирующие цепи, их харак-
теристики, 298
Дроссельные катушки, 407, 598
Е
диничная амплитуда, определение,.
— крутизна, определение, 374
Емкостный потенциометр, 473, 539,
582, 593
— путь при бесконечной частоте,.
539
3
Закон сохранения количества элек-
тричества, 15
Запас по избытку усиления и фазо-
вого сдвига, расчет, 613—617
Запасенной энергии функции Т и U
157, 207, 260
Затухание, 42, 278, 283
— графики для расчета связи с фа-
зовым сдвигом, 400
— дополняющее, 298
— редукция, 272—287
—, характеристика при заданном фа-
зовом сдвиге, 379—382
Затухания и фазового сдвига ре-
дукция, в четырехполюснике,
379—382
— характеристика для заданной пло-
щади фазовой характеристики,,
379—382
Зуммирование — см. Устойчивость.
И
Идеальная горизонтальная харак-
теристика усиления, 294
— линия без потерь, 267
— характеристика передачи, 267
Идеальный^ трансформатор, 39,
-----в межкаскадных цепях, 505, 503
-----во входных и выходных цепях,.
505, 508
-----для поворота фазы, 535
1)24	Предметный указатель
Инверсии соотношения, 278—289
Инверсия, аналитическая, 239
— моста Уитстона, 237—238
— сопротивлений активного типа, 239
— схемы, 237, 238
Инверсная цепь, определение, 236—
238
Иммитанс, см. Входной иммитанс
также Сопротивление передачи.
Индуктивность, 17, 26
— взаимная, 15
— распределенная, 13
— сосредоточенная, 13
Интегрирование в комплексной пло-
скости, 169 и след.
------ — величины, z~l и У1,
171—172
--------по квадрату, 175
--------по окружности, 172
--------по очень малому или очень
большому контуру, 170—171
Искажений, генератор, 102—103
—, уменьшение за счет обратной
связи, 101—102
Исключение полюсов из выражения
для входного сопротивления, 211
Источники возбуждения, 23
— тока и напряжения, 25
Исходное значение для лампы, 99—
100
--------элементов, 79—83
Исходные условия, возвратная раз-
ность при любых значениях, 66
-----, схемы, упрощенный расчет,
116—117
К
Катод, 15, 19
— с прямым накалом, 49
Катодная обратная связь, 426
--------в промежуточных усилите-
лях, 457
--------, соотношение между коэфи-
циентом пассивной передачи и
внешним усилением, 472
--------, схемы, 54—56, 62
Каскад усиления, см. Межкаскадная
цепь.
Каскада усиление и фазовый сдвиг,
Комбинация характеристик низко-
частотного и высокочастотного
среза, 597
Комплексная частота, 31, 168
-----, возбуждающая сила при, 31
-----, измерение реакции при, 44
Комплексная частота, плоскость,
31—44
----, физический смысл, 42—44
Комплексное сопротивление ветви,
268
Конденсатор, см. Емкость.
Контурное интегрирование, 168—204
----, две теоремы из теории функ-
ций, 202—204
------ логарифмической производной,
180—184
----} применение к расчету вход-
ных и выходных цепей 444, 448,
• 450
----, применение к расчету меж-
каскадных цепей, 444
----, формулы для функций цепи,
319—330, 346—354
Контурные интегралы в предельных
случаях, 170—173
Контурных токов, метод, 15, 16, 17
-------уравнения, 15, 16—20	4
------------------------------для цепи активного типа,
18—20
-------для цепи пассивного типа,
16—18
-------, стационарное решение, 20—
Конформное изменение характери-
стики цепи, 270
Концентрическая линия, 363, 368, 370
----, промежуточные усилители для,
425
Корни определителей Д и Д°, 139—
143, 165
Корректирующие цепи, 286, 294, 607
----в линиях передачи, 461, 607
-----в р-цепи, 579, 580, 607
---- при наличии паразитной ем-
кости, 336—338
— расчет, 298—327
----расчет параметров, 315—317
Коши теорема, 174, 328, 330, 333
Коэфициент качества, 536, 561, 570,
607
----, частота, 561, 565, 581
— парциального усиления, 103
— пассивной передачи, 456, 462,
471—474, 572
----и внешнее усиление, 471, 497
— -----, компромисс между величи-
ной обратной связи и 460, 544
-------, одного звена системы кон-
центрического кабеля, 464
-------, определение характеристик,
456
—------, пример расчета, 464
Предметный указатель
625
Коэфициент пассивной передачи,
требования, 463—464
— передачи межкаскадной цепи,
475—518
----простейших межкаскадных це-
пей, 503—505
----обратной связи, 105
— усиления в схеме с местной об-
ратной связью, 336
•---при исходном значении
110—123
----₽-цепи, 336—338
Критическая точка, 188, 191
Критических частот смещение за
счет потерь, 261, 292
Круговая диаграмма для полного со-
противления, 269, 451
Л
Лестничного типа схемы, 291, 386
Линейная шкала частот, связь между
характеристиками фазы и зату-
хания, 379—381
Линейный фазовый сдвиг, в рабочем
диапазоне, 368
— :----при заданной избиратель-
ности, 392—396
------ —, системы обладающие, 382—
386
Лиувилля теорема, 241
Логарифмическая производная, инте-
грал, 180
— шкала частот, 402, 408
Ломаной линией метод аппроксима-
ции, 400—403
М
Максимальная допустимая обратная
связь, уменьшение величины за-
паса по усилению и фазовому
сдвигу, 549—551, 571—573
----------, уменьшение дополни-
тельного фазовогосдвига570—571
— мощность, 429—430
Максимально возможная обратная
связь 546—549, 554, 558
Максимум и минимум аналитических
функций, 204
Местная обратная связь, 57—58
-------, влияние паразитной емко-
сти, 336—338, 345, 530
-------, пути ее, 567, 601
----—, расчет, 120—123
-------, свойства, 123—125
-------, схема с катодной связью, 62
Межкаскадные емкости, 494, 513, 542,
581, 607
Межкаскадные цепи в видео-усили-
теле без обратной связи, 363—364
----, коэфициент передачи, 537, 585
----, расчет, применение общих
теорем, 475—522
----, сопротивление, 64, 599
----, техника расчета, 444
Межкаскадный фазовый сдвиг, 574
Минимального затухания система,
283, 296
----функция передачи, 325
Минимального активного сопротив-
ления цепи, 219, 296
----:--определение, 208
— реактивного сопротивления цепи,
219, 296, 441, 468, 499
-------определение, 152
— фазового сдвига условие, 146, 430
-------определение, 150, 290
-------цепи, 277, 285,290—293, 296,
363, 382, 595
Минимальной активной проводимо-
сти цепи, 208—296
— реактивной проводимости цепи,
296
----входное сопротивление, 152
-------определение, 211
Минимально-фазовые функции пере-
дачи, 299, 300, 311, 313, 326
----цепи типа перекрытого Т, 291,
326—327
----— лестничного типа с индук-
тивной связью, 291
-------скрещенного типа, 291
Миноры, симметричные и несиммет-
ричные, 142
Многоканальная обратная связь, уси-
лители обладающие, 56—58, 62,
106 и след.
:------критерий устойчивости,
190—196
-------примерный расчет, 120—128
Модулятор, 58, 580—581
Мост, схема 73
Мостового типа обратная связь, 544
Н
Найквиста, критерий устойчивости,
168, 185—196, 328
----, дополнения, 198
— диаграмма для возвратного от-
ношения, 559—560
Напряжение в узле, 14—15
— входное и выходное, 46, 48
— комплексное, экспоненциальное
или синусоидальное,	21—22,
33—38
40 Зак. 1327
626
Предметный указатель
Напряжение частоты /, 35
Напряжения генератор с нулевым
внутренним сопротивлением, 227
-----г, эквивалентный анодной цепи,
19
— источник, 15, 25
—, мгновенные значения, 20
Неискажающая среда, 267
Нелинейные искажения, 48
-----в }л-цепи, 49
— —, снижение, 57, 101—102
Неминимально-фазовые цепи, 565,
595
Непосредственная передача, 71, 74—
75, 79—80
Несимметричные миноры, 143
-----, корни, 145
Несогласованность, взаимные помехи
вызванные, 587
Несогласованности коэфициент, 94,
96, 425, 429-^31
-----, зависимость от качества со-
противления нагрузки, 433—434
-----, постоянство в заданной по-
лосе, 435
-----, примерный расчет, 445—452
-----, формула, 432
Неустойчивость, см. Устойчивость.
Низкие частоты, пропускающий уси-
литель, 530—532, 575—579
-----, эквивалент усилителя, 590, 592
Низкой частоты фильтр, типа посто-
янного k, 484, 499, 504
-------производный, типа т, 485,
505
Низкочастотного среза характери-
стика, в широкополосном усили-
теле, 597
-------, выбор низкочастотных эле-
ментов для, 598—606
Низкочастотной системы преобразо-
вание в полосовую, 492
Нулевое исходное значение для эле-
мента, 65—66
Нули и полюсы, взаимная замена, 237
-------, в частном случае одной
схемы, 143—148
-------на оси вещественных ча-
стот, 132, 130—141
------- определителя Д на оси ве-
щественных частот, 139—141
-------при расчете корректирую-
щих цепей, 298—327
-------при редукции фазового
сдвига, 430
-------, смещение вследствие по-
терь, 261
Нули и полюсы сопротивления резо-
нансного контура, 39—40
--------устойчивых цепей, 165
4-------физической цепи общего
вида, 133, 138, 149—150
--------чисто реактивных сопротив-
лений, 215
О
Обратимости теорема, 13, 19, 26
Обратная емкость, 14
Обратная связь, 45—59
-----, влияние на входное и выход-
ное ^сопротивление усилителя,
-----, внешнее усиление при нали-
чии, 102—105, 110—111
-----в полосе частот, 536—537, 562
-----в усилителе, см. Усилитель с
обратной связью
также Местная обратная связь,
Типы схем обратной связи.
----- для двухсторонних элементов,
92—94
----- исходная как баланс моста,
106—107
-----максимально допустимая, см.
Максимально допустимая обрат-
ная связь.
-----остаточная, ИЗ
— — при двух элементах, 97—98
Обратной связи влияние на сопро-
тивление, 88—89, 452, 608
-----коэфициент, 47
----- математическая трактовка, 60
-----пути, 61, 79—80
Обратной связью, уменьшение иска-
жений, 101—102
Однородные потери, определение,’260
-----, преобразование частоты в этом
случае, 261
Определитель схемы, 65, 123
Определители, 38
Оптимальное число каскадов в уси-
лителе с обратной связью, 562—
565
Относительная чувствительность,
81—82, 93
-----в схемах с многоканальной об-
ратной связью, 106
-----, отношение возвратной раз-
ности, 107—108
Отрицательная и положительная об-
ратная связь, 339—340
— линия, 294
Отрицательное сопротивление, 166,,
224
Предметный указатель
627
Отрицательное фазокорректирующее
звено, 294
Отрицательные активные сопротив-
ления, 223—226, 293
— элементы, 132
Остаточные амплитудно-частотные
искажения, в случае линейной
минимально-фазовой характери-
стики, 382—388
Особые точки, 40—41, 176, 180, 185
----- в бесконечности, 358
-----логарифмические, 42, 331, 358
-----существенные, 357
-----точки разветвления, 331, 358
П
Паразитная емкость анод-катод, 62
------во входных и выходных цепях,
430, 437, 440, 444
-----в корректирующих ' цепях,
336—338
-----в межкаскадных цепях, 477,
479, 484, 489, 504, 507, 545
-----сетка-анод, 63
-----сетка-катод, 63
-----цепи местной обратной связи,
336—338
Паразитное сопротивление анод-
катод, 74
-----сетка-катод, 74
Паразитные элементы, 424, 425, 430,
436, 438—440
-----на высоких частотах, 532, 550—
554, 572
-----принцип постоянства полосы,
254—257
Параметры четырехполюсников, 273—
276
Парциальный коэфициент усиления,
103, 111, 456—457
Пассивного типа функции входного
сопротивления, их физическое
представление, 103, 111, 456—457
----- редукция активного сопротив-
ления или проводимости, 206—208
Пассивные цепи лестничного типа, 291
-----уравнения для ветвей, 13—16
— элементы, 19
Пассивных цепей контурные уравне-
ния, 16—18
-----узловые уравнения, 23—26
-----параметры, 273—276
-----функции^см. Физически осуще-
ствимые функции цепей.
--------передачи, редукция затуха-
ния и фазового сдвига, 283—287
Пассивных цепей функции, минималь-
но-фазовые, 290—293
--------, физическое представление,
272—293
--------, характеристики передачи,
456
Передачи сопротивления, активного
типа, 293—295
-----и входное сопротивление, 21 —
22, 39
-----, выбор параметров при расчете,
315—317
-----298°П°ЛНЯЮЩаЯ хаРактеРистика’
-----добавочные множители,308—311
-----как параметр четырехполюс-
ника, 272—276
-----как функция величины отдель-
ного элемента, 22—23, 268
-----минимально-фазовое, 285, 290—
293
-----определяемое внешними изме-
рениями сопротивлений, 317—
319, 432
-----представление, 276—280
-----разложение на простые множи-
тели, 299—311
----- расчет по заданной одной из
составляющих, 311—313
-----, редукция затухания и фазо-
вого сдвига, 283—287
-----, составляющие функции, 296—
297, 301, 310
-----цепи, пропускающей все ча-
стоты, 287—290
Перекрытого? корректирующая цепь,
расчетные формулы, 324—327
Переходная проводимость, 357
Переходные процессы, 44, 134, 136
Петля обратной связи, главная и
вспомогательная, 192, 489
Петли обратной связи, асимптота,
537—538
--------длина, 566
--------избыток фазового сдвига,
565
--------коэфициент передачи общий,.
65
--------коэфициент передачи, 582
--------характеристика, 454—458
--------для усиления и фазового
сдвига 473, 585 и далее
--------характеристика высокоча-
стотного среза 483, 554—560
--------асимптотическая, 537—545
--------, влияние ламп и цепей на,
560—561
40*
628
Предметный указатель
Петли обратной связи характеристи-
ка, корректированная и скор-
ректированная, 550—554
-------- характеристика среза, вели-
чина запаса для нее, 531
---------горизонтальная ступенька,
---------идеальная, 532—537, 553—
554, 559, 578—579
---------компенсация дополнитель-
ного фазового сдвига, 565—569
—--------с максимально возможной
величиной обратной связи, 545—
550
---------с несколькими 8-каналами,
530
— —------область среза, 531
—--------f общие методы аппрокси-
мации, 569—572
--------, соотношение частот для
идеальной фазовой характери-
стики ей соответствующей, 546,
550, 567
Плоскость р, 36
Площади коэфициент, определение,443
-----, снижение в области перехода,
444
Положительная вещественная функ-
ция, 206, 228
Положительно определенная квадра-
тичная форма, 157—158
-----энергетическая функция, 164
Положительные элементы, 165
Полосовой эквивалент, 442
-----, распределение потерь, 594
-----, характеристики передачи, 590—
596
Полосы пропускания постоянство,
254______257
Полюсы, 177—180, 184, 207, 226, 233,
277, 283—285, 299, 304, 310, 312,
331, 353, 357, 364, 365, 374, 409
— в бесконечности, 212, 220
— комплексные, 300, 303
— —, физическое представление, 243
—, представление с помощью про-
стых дробей, 240
—, расположение в случае мини-
мального фазового сдвига, 283—
285
—, случаи единственного веществен-
ного полюса, 301
— цепей, состоящих из сопротивле-
ния и емкости или сопротивле-
ния и индуктивности, 259
Потубесконечная характеристика,
401, 403—407
Полуокружность в качестве пути
интегрирования, 176
Помех генератор, посторонний. 48,
102, 577
Постоянного полного сопротивления
схема, 270
Постоянной силы тока генератор, 25,
28 227
Потери, 435, 437, 444, 501
— в неискажающей среде, 267—268
— в фильтрах, разложение в ряд
Тэйлора, 263
--------, расчет, 259
—, связь с избирательностью, 472
—, смещение критических частот
обусловленное, 292
—, формулы для расчета влияния, 264
Предварительное корректирование,
или корректирование в р-цепи
при проектировании усилителя,
Представление функций сопротивле-
ния, см. Физическое представ-
ление сопротивления передачи.
Преобразование межкаскадной цепи,
пропускающей низкие частоты
в полосовую, 492
Принцип двойственности, 26
— постоянства ширины полосы,
254—257
Проводимости, взаимные, 24
—	входные, 28, 38
—	, нули и полюсы, 38—39
—	передачи, 28, 38
—	собственные, 24
' Проектирование систем с обратной
связью, общие соображения о
методах, 129—132
— усилителей, применение закона
фазовой птощади, 343—346
Произведение RC, 600—602
Пролета время, 537, 565, 570
Простые дроби, разложения выраже-
ния для сопротивления, 240—
244
— множители, разложение выраже-
ния для сопротивления передачи,
299—304
Противорезонансные контуры, см.
Резонансные контуры.
Прямой канал, расчет, 613
-----, сопротивление, 608
-----, усиление, 577, 579, 586, 589
Путь интегрирования, 173, 331—333,
353
— —,	зависимость интеграла,
173—176
Предметный указатель
629
Р
Равновесие напряжений, 23
— токов, 24
Радиопередатчики с обратной связью,
примеры расчетов, 580—586,592—
Разделительные конденсаторы, 579,
600—601, 603
Разрыв в одной из составляющих
величины 0 или ее производной,
402
Рассеяния индуктивность в трансфор-
маторе, 442—443, 545
Рациональные функции, 38
Реактивного сопротивления инте-
грал, 340—343
---- крутизна характеристики, 218
----редукция, 209—213, 272, 283
—------в межкаскадных цепях,
212—213
-------, цепь, остающаяся после,
212
Реактивных цепей свойства, 214—219
Реальная характеристика, определе-
ние, 131
Резонансные и противорезонансные
контуры, 210, 216, 219
Резонансный контур, одиночный,
31—32
Результирующая фазовая характе-
ристика дтя системы передачи
в целом, 368- 371
— характеристика усиления, 47
-------590
Результирующие характеристики
усиления и фазового сдвига в
области низких частот, 606
Режекторный контур, 495—496,
585—586
Римана поверхность, 353
С
Свободные колебания, 134
’ Связь между вещественной и мни-
мой составляющими функций
цепи, 361—390
---------------графический расчет
ее, 400—423
---------------, применение фор-
мул определяющих, 362—363
---------------> таблица формул,
398—399
Сетка-анод, емкость связи между,
20, 57, 62, 120
Сетка-катод, сопротивление между,
см. Паразитная емкость.
Сигнала к шуму, отношение,
452—456, 461, 464, 577
-------, связь с коэфициентом пе-
редачи и уровнем сигнала, 462
-------, связь с уровнем сигнала и
нелинейные искажения, 461
Симметричные межкаскадные четы-
рехполюсники, 516—518
— миноры, 142
----, корни, 145
Синтез и анализ цепей примени-
тельно к усилителям с обратной
связью, 129
Синусоида, 21
—, представление с помощью экспо-
ненты, 20—21
Скрещенного типа цепи, взаимная
замена ветвей в них, 285
-------, эквивалент типа перекры-
того Т, 322—324
--------, представление сопротивле-
ния передачи с помощью, 276—
280
------ —, преобразование в цепь типа
перекрытого Т, 522
-------, расчет ветвей, 278—279
—------, с идеальным трансформа-
тором, 277
-------симметричные, 277—280
----межкаскадные цепи, 518
----фильтры, 386
----эквиваленты, 317—319
Смещение автоматическое, схема,
599—601
Собственное сопротивление, 17
Сопротивление, 19—20
— активного типа, 86—89
— взаимное или связи, 17
----лампы, 19
----между контурами, 24
— входное обычного усилителя, с об-
ратной связью, 87
—, выражение, выбор коэфициентов,
248—250
— двухстороннее, 23
- емкости С для заданной ширины
полосы, 427, 438
— и энергия, соотношение между
ними при вещественных часто-
тах, 158—162
—	комплексное, 38
-	— собственное и передачи, 35'
—	общего типа, разложение на про-
стые дроби, 240—244
—	пассивного типа, 68
-------, добавление элементов ак-
тивного типа, 86
630
Предметный указатель
Сопротивление пассивного типа,
построение по известной одной
из составляющих, 245
— передачи, лампы, 19—20
—, полюсы и нули, 38—39
— при наличии обратной связи,
86-89
— связи, 17
— сеточное, 20
— собственное, 17
Сопротивлений измерения для опре-
деления обратной связи, 97
Сопротивления интеграл для коэфи-
циента передачи четырехпо-
люсной межкаскадной цепи,
512—513, 515, 518
-----, теорема, 333—336
----- условие, 426,	465—467,
507—512
Среднее качество, Q, катушек и кон-
денсаторов, 263—267
Среза характеристики, 554—560
----- для петли обратной связи, см.
Петля обратной связи.
-----, ограничения, накладываемые
величиной и значениями элемен-
тов, 595
-----, степень, 554
Стационарное решение контурных
уравнений, 20—21, 31
Стационарные характеристики, 357
-----, связь с устойчивостью, 135
Степень среза, 370
Ступенчатый срез, 547, 559
Суперпозиции принцип, 33
Схемы с обратной связью, типы, см.
Типы схем с обратной связью.
--------- —, общие теоремы, 86—128
•---------, положительной и отри-
цательной, 339—340
----------элементарная теория, 45—
54
Т
Тевенина теорема, для схем актив-
ного типа 98—100
-----обобщенная, 102
Теорема компенсации, 102
Тип обратной связи, катодная, 54—
56, 109, 426, 472
--------, местная, 57, 120—128
-------, по току и напряжению, 57
-------, многоканальная, 56, 106
-------, одноканальная, 57, 62—64,
73, 108, 529—574
-------, по напряжению, 51—52, 94,
109, 544
Тип обратной связи, по току, 51—
52, 94—96, 109, 426, 543
-------, сбалансированный мост,
52—53
— -----, с балансным трансформа-
тором, 53, 544, 587
Типа J система передачи несущей
частоты по воздушным линиям,
586—588
Тока генератор, мгновенные значе-
ния, 20
----, синфазные и квадратурные
составляющие, 32
Трансформатор настроенный, 435
----в качестве межкаскадной цепи,
503
Трансформатора Т-образная эквива-
лентная схема, 220
У
Узел, 13
Узловых напряжений уравнения, 13
------- для цепей активного типа,
27—29
— — — — — пассивного типа,
23—26
— уравнений метод, 20
----—, применение к межкаскад-
ным цепям, 475
— и контурных уравнений метод,
29-30
Уменьшение искажений введением
обратной связи, 48, 101—102
— эффекта, вызванного изменениями
в лампах, 47, 64
Уровня ограничитель, 576
Усиления, площадь, ее определение,
480
Усилитель, 19, 45—46, 49, 61
— абсолютно устойчивый, 196—198,
343, 531
—, входные и выходные цепи, 94—
97
—, допустимая обратная связь в
полосе пропускания, 563, 571
—, преобразование частоты при про-
ектировании, 253—254
— промежуточный, 586
— условно устойчивый, 196—198, 531
— с двойной цепью обратной связи,
586—590
— с обратной связью, 45, 185
-----------по напряжению, 51—52,
94, 109, 544
----------------, сопротивление, 73
----------по току, 51—52, 94—96,
606—608
Предметный указатель
631
Усилитель с обратной связью,
роль крутизны ламп,	189—
196
Усилителя, запасы по усилению и
фазе, 563
— коэфициент усиления, 46—47
—, с обратной связью, внешнее уси-
ление, 456
---------- коэфициент пассивной
передачи, 456
----------коэфициент передачи по
петле, 60—63, 455
— сопротивление, 94
— характеристика среза в области
низких частот, 597
Условие постоянства площади харак-
теристики усиления по петле
обратной связи, 534
Условная и безусловная устойчи-
вость, 196—198
Устойчивость, 60, 185, 295
—, влияние изменения усиления ламп,
531
----- превышения фазового сдвига,
455
— и зуммирование, 134
— и корни определителя Д,
136—139
— и собственные колебания, 134
— и физическая осуществимость,
129—167
—, корректирование характеристик
петли обратной связи для полу-
чения, 550
—, ограничения функций цепей,
определяемые требованием,
129—167
— пассивных цепей, 162—165
—, предельный запас усиления и фа-
зового сдвига, 531
—, при холостом ходе или коротком
замыкании, 231
—, связь со стационарными характе-
ристиками, 134—135
—, типы, условная и безусловная,
196—198, 343, 531
—, требования, вытекающие из энер-
гетических функций, 162—165
----, предъявляемые к корням опре-
делителя Д, 136—139
— условная или по Найквисту,
- 196—198, 344, 530
Устойчивые при холостом ходе цепи,
231, 239, 247, 273, 332
Участки ломаной в расчете связи
между затуханием и фазой,
400
Ф
Фазовая характеристика и характе-
ристика затухания, заданные в
различных диапазонах, 388—392
-----, связь между, 371—373
-----, обладающая разрывом непре-
рывности, 573
-----, связь с крутизной характери-
стики затухания, 572
-----, соответствующая заданной
характеристике затухания,
363—367, 373—377
-----в линейной шкале частот,
377—379
Фазового сдвига, изменение между
нулевой и бесконечной часто-
тами, 291
-----интеграл, 340—343
-----корректирование, 363, 382
-----в широкополосной системе,
368—370
-----редукция, 272, 283
Фазовой характеристики, площадь,
341, 472
-----, закон по тоянства, 343—346,
495
-----, растяжение в широком диа-
пазоне, 474
-----свободный выбор, 288
Фазовые искажения, 369
-----в селективных системах, 363,
377
Фазовый сдвиг, 19, 35, 42, 298, 557
-----, знак, 482
-----линейный, системы обладаю-
щие, 382—388
-------- при заданной избиратель-
ности, 392—396
Фазовый сдвиг, пропорциональный
производной усиления, 533
Фазокорректирующие системы, про-
пускающие все частоты, 287—290,
296
-----, выбор параметров, 289—290
-----, определение, 287
-----, свойства, 287—290
— цепи, 286, 314—315
--------отрицательные, 294
Физически осуществимые функции
цепей, 129—155
----------методы расчета, 129—132
----------, нули определителей для,
139—148
----------, определение, 135
----------примеры выражений,
152—155
€32
Предметный указатель
Физически осуществимые функции
цепей, связь между энергией и
полным сопротивлением, 158—162
----------, требования, предъявля-
емые, 132—136, 148—152, 162—
165
----цепи, требования предъявляе-
мые к входным функциям,
226—230
Физические характеристики цепей
при вещественных частотах.
Общие ограничения, наклады-
ваемые на них, 328—360
Физическое значение комплексных
частот, 28—30
— представление сопротивлений пе-
редачи, 205—235
-------с помощью цепей Бруне,
219—222
-------с помощью цепей скрещен-
ного типа, 276—283, 300—304
---- функций входного сопротивле-
ния, 226—230, 296—297
— ----- сопротивлений передачи,
272—297
Фильтр, 13
-	в виде скрещенной схемы,
280—283
—	в качестве входной и выходной
цепи, 435, 438
-------межкаскадной цепи, 503
—	с потерями, 261
Формулы для функций физических
цепей при вещественных часто-
тах, 346
— — цепей с сосредоточенными
постоянными, 355—358
—, содержащие значения Л и В, в
конечных точках, 352—354
----интеграл от А и В, взятый в
конечных пределах, 352—354
----коэфициенты высших порядков
степенных рядов, 347—349
----произведения функций, 349—
350
-------с обратной симметрией,
350—352
X
Характеристика усиления, 585 и
далее
Характеристики коэфициента переда-
чи, определение, 456
Характеристические параметры, 275
Характеристическое сопротивление
Т-образного фильтра типа по-
стоянной £, 388, 440
Характеристическое сопротивление
производного звена типа т, 440
-----П-образного фильтра типа по-
стоянного £, 440
Ц
Цепей параметры, влияние измене-
ния отдельного элемента на них,
268—271
Цепей функции вещественная и
мнимая составляющие, см. Связь
между ними.
-----, определение, 132
-----, требования, предъявляемые к
ним, для устойчивых цепей,
148—152
— —, условие сопряженности,, 133
-----х физически осуществимые, 135
-----, примеры, 152—155
-----, четная и нечетная симметрия
их составляющих, 133
Цепи дополняющие, 240
— лестничного типа, 291
—, обладающие одинаковым фазовым
сдвигом, 292
— пассивные, 13—16, 68
—, содержащие два вида элементов,
257
—, чисто реактивные, 214—219
—, эквивалентные скрещенным,
317—319
Ч
Частота вещественная, 37
— идеального среза, 532
— комплексная, 37, 42
— коэфициента качества, 561
—, определение ее, 36
—, определяемая временем пролета,
570
—, отрицательная, 37
— эффективная асимптотическая,
570
Частоты комплексной плоскость, 37
— преобразования, 236, 250—254, 262
-----в фильтрах, 253—254, 257
-----в цепях, состоящих из двух
видов элементов, 258
-----при наличии потерь, 257—259
----- при проектировании усилите-
лей, 250, 253—254
Частотно-моду лированных сигналов
приемник, 575
Частотный детектор, 576
Предметный указатель
633
Четная и нечетная симметрия, 133,149
Четырехполюсники, 274, 283
Четырехполюсников, параметры, 275
— представление с помощью каскад-
но-соединенных простых систем,
273
Четырзхполюсные межкаскадные
цепи, 503
-------в виде фильтров, 479, 504
------- максимального постоянного
усиления, 518—522
--------- отделение сеточной емкости
от анодной, 504
-------с идеальными трансформа-
торами, 505
-------симметричные, 519
-------с ограниченным фазовым
сдвигом, 509—512
Число каскадов, выбор, 583
— нулей и полюсов функции внутри
контура, 182
Чувствительности, общая формула,
71—72
— определение, 64
Чувствительность, 64—65, 70—79,
82, 107—110
—, связь с возвратной разностью,
68—79
Ш
Шестиполюсник, 50
Э
Эквивалентная Т-образная цепь, 275,
538
Эквивалентное П-образное звено для
межкаскадной цепи, 508
Эквивалентный генератор напряже-
ния для анодной цепи, 13, 19
— усилитель пропускающий низкие
частоты, 253—254, 343
Экранированная лампа, 13, 29, 452
Электронной лампы взаимное сопро-
тивление, 19
— - возвратная разность, 98
-----имитанс передачи, 65—66, 74>
-----коэфициент качества, 561
----- сопротивление передачи, 19
----- сопротивления, 19
-----токи и напряжения, 19
Элементарные схемы корректирую-
щих цепей, 301—304
Элементы функций двухполюсников
общего вида, 296—297
Энергетические функции диссипа-
тивные, 156
— — для пассивных цепей, 155—158
------ запасенной энергии, 157
------, связь с устойчивостью, 162—165
------, положительно определенные, 158.
(3-цепь, 45—62
— —, корректирование, 336
р- и (3-цепи, 45—62
рР-петля, 47—64
-----характеристика, 47
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции..................................................   5
Из предисловия автора.......................................... 7
'Обозначения................................................... 8
Г ла в а I
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ, СОСТАВЛЕННЫЕ МЕТОДОМ. КОНТУРНЫХ
ТОКОВ И УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
1.	Введение............................................ 13
2.	Уравнения для ветвей пассивной цепи................. 13
3.	Уравнения контурных токов для пассивной цепи........ 16
4.	Уравнения контурных токов для активной цепи......... 18
5.	Стационарные решения контурных уравнений............ 20
6.	Входное сопротивление и сопротивление передачи ..... 21
7.	Z и ZT как функции одного параметра................. 22
8.	Уравнения узловых напряжений для пассивной цепи..... 23
9.	Уравнения узловых напряжений для активной цепи...... 27
10.	Выбор между анализом методом контурных токов и анализом
методом узловых напряжений.............................. 29
Глава II
плоскость комплексной ЧАСТОТЫ
1.	Введение............................................ 31
2.	Одиночный резонансный контур........................ 31
3.	Представление синусоиды с помощью экспоненты........ 33
4.	Плоскость комплексной частоты....................... 36
5.	Нули и полюсы сопротивления и проводимости.......... 38
6.	Нули и полюсы сопротивления резонансного контура ... 39
7.	Аналитические функции............................... 41
8.	Физическое значение комплексных частот.............. 42
Глава III
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
1.	Введение............................................ 45
2.	Элементарная теория схем с обратной	связью.......... 45
3.	Типы схем с обратной связью......................... 50
4.	Катодная обратная связь............................. 54
5.	Усилители с многоканальной обратной	связью.......... 56
6.	Другие схемы с обратной связью...................... 58
Оглавление
635
Глава IV
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
1. Введение............................................... 60
2.	Возвратное напряжение и уменьшение эффекта, вызванного
изменениями в лампах...................................... 62
3.	Возвратное отношение, возвратная разность и чувствитель-
ность .................................................... 64
4.	Определение возвратного отношения и возвратной разности . 65
5.	Возвратная разность для общего случая................. 66
6.	Возвратная разность для двухстороннего	элемента....... 68
7.	Определение чувствительности............... .......... 69
8.	Общая формула для чувствительности...................  71
9.	Возвратная разность и чувствительность в простейших слу-
чаях ...........*......................................... 72
10.	Схемы со значительной величиной непосредственной передачи 74
11.	Общее соотношение между чувствительностью и возвратной
разностью................................................. 75
12.	Исходное значение	для W............................... 79
13.	Исходное значение для W как показатель положения эле-
мента в р$_петле	..................................... 83
Г ла в а V
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О СХЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ — А
1.	Введение.............................................. 86
2.	Сопротивление активной цепи........................... 86
3.	Примеры сопротивлений активного типа.................. 89
4.	Обратная .связь при двухсторонних элементах........... 92
5.	Влияние обратной связи на входные и выходные сопротивле-
ния усилителей..........................................   94
6.	Определение обратной связи на основании измерения сопро-
тивлений ................................................. 97
7.	Соотношения между параметрами обратной связи при двух
элементах................................................. 97
8.	Теорема Тевенина для активных цепей................... 98
9.	Вычисление величины U70................................Ю0
10.	Уменьшение искажений введением обратной связи.........101
11.	Точная формула для внешнего усиления при наличии обрат-
ной связи.................................................102
Глава VI
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О СХЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ — В
1.	Введение............................................. 106
2.	Соответствие исходной обратной связи балансу моста....106
3.	Возвратная разность и относительная чувствительность .... 107
4.	Внешнее усиление при наличии обратной связи............ПО
5.	Упрощенный расчет величины 1Г0......................  111
636	Оглавление
6.	Упрощенный расчет величины передачи от анода к сетке. . . 1Гб
7.	Усилитель с местной обратной связью. Расчет величины 120
8.	Усилитель с местной обратной связью. Расчет местной обрат-
ной связи................................................123
9.	Усилитель с местной обратной связью. Окончательные соот-
ношения .................................................125
Глава VII
УСТОЙЧИВОСТЬ Й ФИЗИЧЕСКАЯ ОСУЩЕСТВИМОСТЬ
1.	Введение..............................................129
2.	Методы проектирования и вопрос о физической осуществи-
мости ...................................................129
3.	Признаки физической осуществимости....................132
4.	Устойчивость и корни определителя ....................136
5.	Нули определителя Д, расположённые на оси вещественных
частот...................................................139
6.	Нули других определителей.............................141
7.	Поясняющий пример рассмотрения нулей..................143
8.	Сводка требований, предъявляемых к функциям цепи.....148
9.	Примеры физически осуществимых функций	цепи.........152
10.	Энергетические соотношения для пассивной	цепи.........155
11.	Связь между полным сопротивлением и энергией при веще-
ственных частотах.........................................158
12.	Устойчивость пассивных цепей..................'.......162
.13. Сравнение признаков физической осуществимости........165
Глава VIII
КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
1.	Введение..............................................168
2.	Интегрирование в комплексной плоскости................169
3.	Значения интегралов в предельных случаях..............170
4.	Зависимость интеграла от пути интегрирования..........173
5.	Теория вычетов........................................176
6.	Интеграл логарифмической производной..................180
7.	Критерий устойчивости Найквиста —случай одноканал! ной
обратной связи ......................................... 185
8.	Критерий устойчивости Найквиста — случай многоканальной
обратной связи...........................................190
9.	Условная и безусловная устойчивость...................196
10.	Дополнения к критерию Найквиста.......................198
11.	Две теоремы теории функций комплексного переменного . . . 202
Глава IX
ФИЗИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
1.	Введение..............................................205
2.	Редукция активных составляющих сопротивлений пассивного
типа.....................................................206
Оглавление
637
3.	Редукция реактивных составляющих сопротивлений пассивного
типа....................................................209
4.	Свойства цепей, составленных из чисто реактивных элементов 214
5.	Составление пассивных двухполюсников общего типа по ме-
тоду Бруне..............................................219
6.	Отрицательные	активные	сопротивления.................223
7.	Физическое представление функций входного иммитанса в
общем случае............................................226
3. Соединения активных	двухполюсников....................230
Глава X
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА ДВУХПОЛЮСНЫХ ЦЕПЕЙ ПО ЗАДАННЫМ
ФУНКЦИЯМ СОПРОТИВЛЕНИЯ
1.	Введение.............................................236
2.	Обратные цепи....................................... 236
3.	Дополняющие цепи.....................................240
4.	Разложение выражения для сопротивления на простые дроби
в общем случае..........................................240
5.	Расчет полного сопротивления пассивного типа по одной из
его составляющих.......................................	. 245
6.	Выбор коэфициентов в выражениях для сопротивления .... 248
7.	Преобразование частоты...............................250
8.	Преобразования частоты при проектировании усилителей . . . 253
9.	Принцип постоянства ширины полосы....................254
10.	Получение двухполюсников с потерями путем преобразования
частоты..................................................257
11.	Влияние	потерь.......................................259
12.	Потери в	неискажающей среде..........................267
13.	Влияние изменения одного из элементов на внешние парамет-
ры цепи..................................................268
Глава XI
ФИЗИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ
1.	Введение , ...........................................272
2.	Постановка задачи.....................................273
3.	Представление сопротивления передачи..................276
4.	Примеры представления функций передачи посредством скре-
щенных схем. . . ........................................280
5.	Редукция затухания и фазы сопротивления передачи......283
6.	Свойства систем, пропускающих все частоты.............287
7.	Минимально-фазовые цепи...............................290
8.	Представление сопротивлений передачи активного типа .... 293
;9. Элементы входных функций и функций передачи общего вида 296
838	Оглавление________________
Глава XII
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА КОРРЕКТИРУЮЩИХ ЦЕПЕЙ
1.	Введение .............................................298
2.	Дополняющие характеристики............................298
3.	Разложение на простые множители выражения для сопротив-
ления передачи в общем случае.............................299
4.	Пример разложения функции передачи на простые множители 304
5.	Введение добавочных множителей.........................308
6.	Расчет сопротивления передачи по одной из составляющих. . 311
7.	Цепи с одинаковыми фазовыми сдвигами...................314
8.	Выбор параметров.......................................315
9.	Цепи, эквивалентные скрещенным схемам..................317
10,	Примеры эквивалентных скрещенных схем..................319'
11.	Другие виды корректирующих цепей.......................322
12.	Расчетные формулы для корректирующих цепей типа пере-
крытого Т................................................. 324-
Глава XIII
ОГРАНИЧЕНИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЗИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ ПРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧАСТОТАХ
1.	Введение............................•.................328
2.	Природа ограничений, налагаемых на характеристики физиче-
ски осуществимых цепей..................................328
3.	Аналитические условия.................................. 331
4.	Теорема интеграла активного сопротивления или интеграла
затухания................................................333
5.	Корректирующие цепи и схемы с местной обратной связью
при наличии паразитных емкостей..........................336
6.	Положительная	и отрицательная обратная связь..........339
7.	Интеграл фазы	или реактивности........................340
8.	Применение закона постоянства площади фазовой характери-
стики при проектировании усилителей......................343
9.	Другие общие соотношения..............................346
10.	Применение формул контурного интегрирования к другим
системам...................................................355
Г ла ва XIV
СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ И МНИМЫМИ СОСТАВЛЯЮЩИМИ
ФУНКЦИЙ ЦЕПИ
1.	Введение..............................................361
2.	Применение формул, связывающих между собой характери-
стики вещественной и мнимой составляющих................ 362’
3.	Фазовая характеристика, соответствующая заданной характе-
ристике затухания........................................363
4.	Коррекция фазы в широкополосной системе.............. 368.
5.	Другая формула, связывающая между собой затухание и фазу 37L
Оглавление
639?
6.	Фазовые характеристики, соответствующие некоторым приме-
рам характеристик затухания..............................373
7.	Связь между фазовой характеристикой и характеристикой
затухания при линейной шкале частот......................377
8.	Характеристика затухания, соответствующая данной фазовой
характеристике ......................................... 379
9.	Системы с линейной фазовой	характеристикой............382
10.	Случай, когда А и В заданы	в различных	диапазонах частот 388
11.	Система с линейной фазовой характеристикой и заданной изби-
рательностью ...........................................  392
Глава XV
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВЯЗИ МЕЖДУ ВЕЩЕСТВЕННОЙ
И МНИМОЙ СОСТАВЛЯЮЩИМИ ФУНКЦИЙ ЦЕПИ
1.	Введение..............................................400
2.	Аппроксимация реальных характеристик ломаными линиями. 400
3.	Краткое пояснение к	расчетным	графикам................403
4.	Расчетные методы для полубесконечной характеристики
постоянной крутизны......................................405
5.	Примеры применения	расчетных	графиков................408
Глава XVI
ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ТЕОРЕМ К РАСЧЕТУ ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ ЦЕПЕЙ
1.	Введение. л...........................................424
2.	Входные -и выходные цепи при отсутствии нагрузки......425
3.	Входные и выходные цепи, подключенные к сопротивлениям
конечной величины....................................... 428
4.	Применение теорем о входных и выходных цепях к задачам
практического проектирования.............................434
5.	Упрощение расчета путем построения мнимой составляющей
функции цепи.............................................438
6.	Пример расчета коэфициента несогласованности..........445
7.	Общее рассмотрение метода расчета входных и выходных
цепей для усилителей с обратной связью...................452
8.	Характеристики пассивной передачи и внешнего усиления
входной и выходной цепей промежуточных усилителей в си-
стеме передачи по коаксиальной линии ................... 457
9.	Примеры проектирования ненагруженных входных и £ выход-
ных цепей................................................463
10.	Замечания практического характера.................... 471
Глава XVII
ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ТЕОРЕМ К ПРОЕКТИРОВАНИЮ МЕЖКАСКАДНЫХ
ЦЕПЕЙ
1.	Введение..............................................475
2.	Общие теоремы для двухполюсных межкаскадных цепей . . . 476^
640
Оглавление
3.	Двухполюсные межкаскадные цепи, обладающие максимальным
постоянным усилением...................................481
4.	Двухполюсные межкаскадные цепи с максимальным изменяю-
щимся по величине усилением............................488
5.	Точная формула для полосовых	межкаскадных цепей......492
6.	Двухполюсные межкаскадные цепи с заданным запасом по
фазовому сдвигу......................................  493
7.	Межкаскадные цепи простейших	типов..................500
8.	Четырехполюсники в качестве межкаскадных цепей. Общее
рассмотрение...........................................503
9.	Эквивалентные схемы для четырехполюсных межкаскадных
цепей..................................................507
10.	Четырехполюсные межкаскадные цепи с ограничениями в от-
ношении фазовой характеристики..........................509
11.	Общие ограничения в отношении усиления четырехполюсных
межкаскадных цепей................................; . . . . 512
32. Примеры проектирования четырехполюсных систем.......518
Глава XVIII
ПРОЕКТИРОВАНИЕ АБСОЛЮТНО УСТОЙЧИВЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
С ОДНОКАНАЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1. Введение.............................................529
2. Характеристики идеального среза .................... 532
• 3. Асимптотические характеристики петли обратной	связи.537
4.	Асимптотические характеристики для некоторых	схем..541
5.	Максимально возможная обратная связь.................545
6.	Соотношения между корректированными и некоррелирован-
ными характеристиками петли обратной связи для типовых
случаев.................................................550
7.	Характеристики среза в области высоких частот........554
8.	Роль ламп и электрических цепей в ограничении величины
обратной связи..........................................560
9.	Оптимальное число каскадов в усилителе с обратной связью; 562
10.	Усилители с дополнительным фазовым сдвигом...........565
11.	Подбор результирующей характеристики среза с тем, чтобы
скомпенсировать дополнительную величину фазового сдвига . 570
42.	Зависимость расчета петли обратной связи от внешнего уси-
ления усилителя..........................................572
Глава XIX
ПРИМЕРЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ УСИЛИТЕЛЕЙ С ОДНОКАНАЛЬНОЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1.	Введение.............................................575
2.	Проектирование системы с обратной связью в случае прием-
ника частотно-модулированных сигналов....................575
Оглавление	641
3.	Обратная связь по огибающей в радиопередающем устрой-
стве .................................................  580
4.	Пример проектирования усилителя с двумя каналами обратной
связи................................................   586
5.	Усилители с характеристиками передачи полосового типа. . . 590
6.	Низкочастотный срез характеристики усилителя с обратной
связью	....................................597
7.	Пример проектирования широкополосного усилителя....« 606
Основная литература по теории цепей и по усилителям с обратной
связью	...................... ...	620
Предметный указатель . . ...................................  621
’/©41 Зак. 132?
Редакторы М Д. Карасев и JL В. Гессен
Переплет художника Г. Л1. Рафтина
Тепический редактор Б И. Корнилов
Корректор Б. Л. Бруса дамский
Подписано к печати lu/VIIl 1948 г. А«07812.
Печ. л. 4Ш/8. Уч. издат. л. 39,9.
Формат	Издат. № 2/134.
Цена 38 руб. 90 коп. Заказ Кв 1327.
2’0 типография! .Печатный Двор“ им. А. М.
Горького тр°ста „Пэлигоафснига* ОГИЗа
при Совете Министров СССР. Ленинград,
Гатчинская, 26.
СПИСОК ОПЕЧАТОК
Стр.	Строка	Напечатано	Следует читать
6	13 св.	передовых	переходных
14	7 сн.	^А + &D	Ea + ED-EA
34	10 сн..	1 д0 = (р»1 + р^ + О)еР‘	q^L+pR^D)^
177	27 св.	— 2т:г4х	— 2тЛА_1
353	3 сн.		
Кроме того, на стр. 523—526, графики I—IV, напечатано In, следует
читать Jg.
Заказ 1327.