/
Author: Кейслер Г. Чэн Ч.Ч.
Tags: анализ математика естественные науки точные науки теория моделей
Year: 1977
Text
STUDIES IN LOGIC
AND
THE FOUNDATIONS OF MATHEMATICS
Volume 73
MODEL THEORY
C. C. CHANG
University of California, Los Angeles
and
H. J. KEISLER
University of Wisconsin, Madison
1973
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY — AMSTERDAM»LONDON>.
AMERICAN ELSEVIER PUBLISHING COMPANY, Inc. —NEW YORK
Г. КЕИСЛБР, Ч.Ч.ЧЭН
ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Перевод с английского
С. С. ГОНЧАРОВА, С. Д. ДЕНИСОВА,
В. А. ДУШСКОГО И Д. И. СВИРИДЕНКО
Под редакцией
Ю. Л. ЕРШОВА И А. Д. ТАЙМАНОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1977
УДК 517.11
Книга посвящена бурно развивающейся в последние двад-
цать лет области математики — теории моделей. В ней тщатель-
но разобраны как классические, так и новейшие достижения
теории. Удачно изложены общие методы построения моделей
с помощью констант, цепей и ультрапроизведений. Каждая
глава заканчивается упражнениями. В конце книги приводятся
исторические замечания и формулировки нерешенных проблем.
Книга написана с большим педагогическим мастерством.
Предназначена для математиков различных специальностей
и может использоваться как учебное пособие студентами и аспи-
рантами университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
20203-002
041 (01)—77
© North-Holland Publishing Company — 1973
© Перевод на русский язык, «Мир», 1977
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
«Теория моделей» Г Кейслера и Ч. Ч. Чэна, выдающихся спе-
циалистов по математической логике, посвящена теории моделей
языка первого порядка, которую иногда называют элементарной
пли даже классической. В монографии подведен итог развития
этой теории за полвека, с двадцатых до начала семидесятых годов.
В ней изложены как основные, классические результаты теории
и их применения в алгебре и теории множеств, так и ряд новых
результатов, составляющих перспективные направления.
За этот период интенсивного развития элементарной теории
моделей и ее приложений накопилось огромное количество резуль-
татов, которые невозможно изложить в одной книге. Перед автора-
ми встали трудные задачи: выбрать из полученных результатов
самые основные и указать наиболее перспективные направления
теории и ее применений, причем построить изложение так, чтобы
читатель не только получил достаточно полное представление
о достижениях теории, но и смог принять посильное участие в ее
развитии. С этими задачами авторы превосходно справились.
В начале книги описываются основные методы и конструкции
элементарной теории моделей. Изложение построено так, что эти
методы и конструкции постоянно демонстрируются в применении
к конкретным результатам. Практически весь материал книги
излагается с единой точки зрения и единым методом — это суще-
ственно облегчает его восприятие. Книга написана ясно, наглядно,
с большим педагогическим мастерством. От читателя требуется
лишь знание математической логики и алгебры в объеме совет-
ских университетских курсов. Монография охватывает огромный
материал, разбросанный по многочисленным журнальным статьям.
Ряд интересных результатов, не включенных в основной текст,
можно найти в упражнениях.
Указанные особенности книги позволяют не только рекомендо-
вать ее в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов,
занимающихся математической логикой, но и надеяться, что она
будет для специалистов настольной книгой.
Английское издание этой монографии быстро завоевало попу-
лярность, и сейчас готовится новое ее издание. Авторы любезно
прислали нам дополнения и улучшения текста, а также большой
список опечаток и исправлений, приготовленный ими для пере-
издания. При подготовке русского перевода большинство пожела-
6
Предисловие редакторов перевода
ний авторов удалось учесть, так что читатели по существу полу-
чают перевод второго английского издания. Мы выражаем авто-
рам книги свою глубокую благодарность за их неоценимую помощь
и внимание к нашей работе.
В заключение необходимо отметить, что в последние десятиле-
тия бурно развивались и неклассические направления в теории
моделей, такие, как логика бесконечных формул, теория моделей
интуиционистской логики, теория допустимых множеств, теория
конструктивных моделей, теория обобщенных кванторов и др.
Эти направления не рассматриваются в книге Г. Кейслера
и Ч. Ч. Чэна. Читателей, интересующихся указанными теориями,
мы отсылаем к следующим монографиям:
1. Keisler Н. J., Model theory for infinitary logic, Logic with
countable conjunctions and finite quantifiers, Amsterdam — London,
N.H. Publ. Comp., 1971.
2. Fitting M. C., Intuitionistic logic model theory and forcing,
Amsterdam — London, N.H. Publ. Comp., 1969.
3. Barwise J., Admissible sets and structures. An approach to
definability theory, 1975.
4. Ершов Ю. Л., Теория нумераций 3, Новосибирск, НГУ, 1974.
Ю. Л, Ершов
А. Д. Тайманов
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория моделей — раздел математической логики, изучающий
связи между формальным языком и его интерпретациями, или
моделями. В нашей книге будет изложена теория моделей логики
предикатов первого порядка — простейшего из языков, имеющих
приложения собственно к математике. Техника теории моделей
развивалась большей частью именно для логики первого порядка
и по-прежнему лучше всего истолковывается именно в этом случае.
Основателями теории моделей были Лёвенгейм [1915], Скулем
[1920], Гёдель [1930], Тарский [1931] и Мальцев [1936]. В само-
стоятельный раздел математической логики она оформилась в рабо-
тах Генкина, Робинсона и Тарского в конце 40-х — начале
50-х годов. С тех пор она представляет собой область активных
исследований.
Обозревая предмет с современных позиций, мы пришли к выво-
ду, что лучше всего излагать его на базе сравнительно немногих
общих методов построения моделей. В то время как сами по себе
эти методы очень просты, применяя их многократно и комбинируя
различными способами, можно получить практически все наиболее
глубокие результаты рассматриваемой теории. Поэтому при
построении нашей книги мы, как правило, придерживались сле-
дующего плана: новый метод вводится в первом разделе соответ-
ствующей главы, а в следующих ее разделах описываются неко-
торые его приложения. Основные методы построения моделей —
это методы, в которых для построения используются константы
(разд. 2.1), элементарные цепи (разд. 3.1), скулемовские функции
(разд. 3.3), множества неразличимых элементов (разд. 3.3), ультра-
произведения (разд. 4.1) и специальные модели (разд. 5.1).
В последних двух главах, 6-й и 7-й, мы излагаем некоторые раз-
делы теории, требующие более развитой техники; в них исполь-
зуется сочетание ряда названных методов. Нам кажется, что эта
книга охватывает большую часть теории моделей первого порядка,
а также многие из ее приложений к алгебре и теории множеств.
До сего времени книги такого рода не существовало. Это
обстоятельство затрудняло студентам и неспециалистам ознакомле-
ние с важными разделами логики. Из-за этого им приходилось
рыться в практически неограниченном множестве беспорядочно
разбросанных статей, к тому же подчас трудных для чтения.
Мы не ставили себе целью собрать все результаты, относящиеся
8
Предисловие
к теории моделей первого порядка, но постарались включить
в книгу все важные факты, без знания которых невозможна даль-
нейшая работа в этой области. Кроме того, мы включили ряд
более новых результатов, которые стимулируют современные
и, по всей видимости, будущие исследования. К ним относятся
теорема Кейслера — Шелаха об изоморфизме, теорема Морли
о категоричности, работы Акса — Кочена и Ершова по теории
полей и результаты Роуботтома, Гейфмана и Силвера о больших
кардиналах и конструктивном универсуме.
Построение теории моделей первого порядка служит предпо-
сылкой для развития теорий моделей других типов и таких ее при-
ложений, как нестандартный анализ. В настоящее время разви-
ваются также теории моделей логики с бесконечными формулами,
логики с дополнительными кванторами, многозначной логики,
многосортной логики, интуиционистской логики, модальной логи-
ки, логики второго порядка. Теория моделей логики с бесконеч-
ными формулами в последние годы сделала большие успехи. Теория
моделей логики второго порядка в значительной мере лежит вне
сферы действия современных методов, но потенциально очень
важна. Мы надеемся, что наличие btoii книги будет способствовать
дальнейшим исследованиям во всех областях теории моделей,
а также открытию новых ее приложений.
Эта книга возникла на основе многочисленных курсов по тео-
рии моделей, читавшихся нами в Калифорнийском (Лос-Анджелес)
и Висконсинском университетах. Мысль о написании учебника
такого рода возникла в 1963 г., когда мы завершали работу над
нашей более ранней монографией «Теория непрерывных моде-
лей». В 1963—64 г. записки некоторых курсов Кейслера время
от времени подвергались обработке, в результате чего постепенно
выкристаллизовывался теперешний план книги. По-настоящему
мы начали писать ее в начале 1965 г. В последующие годы наша
книга постепенно обретала форму, опробовалась в аудиториях,
обогащалась содержанием; наконец, она была почти полностью
переписана во время года логики в Калифорнийском университете
в 1967—68 г. В 1971—72 г. в нее были внесены новые значитель-
ные изменения.
Мы чувствуем себя обязанными многим математикам, трудами
которых создавалась теория моделей. Особое место среди них
принадлежит Альфреду Тарскому, игравшему в формировании
этой теории роль направляющей и вдохновляющей силы. Что
касается нас, то мы оба получили докторские степени под его
руководством в Калифорнийском университете в Беркли. Ограни-
ченность места не позволяет нам перечислить здесь имена всех
наших коллег и учеников, в различное время читавших рукопись
этой книги или пользовавшихся ею и внесших многочисленные
конструктивные предложения и критические замечания.
П редисловие
9
Чтобы сделать хоть что-то приятное всем, кто оказывал нам
помощь, мы посвящаем нашу книгу всем специалистам по теории
моделей — ведь никому из них не приходило в голову посвящать
книги самим себе.
Во время написания книги мы пользовались поддержкой
математических отделений Калифорнийского университета в Лос-
Анджелесе и Висконсинского университета в Мэдисоне, рядом
субсидий, предоставленных Национальным научным фондом,
а также фуллбрайтовской стипендией в 1966—67 г. (Чэн) и слоа-
новской стипендией в 1966—67 и 1968—69 гг. (Кейслер).
Неоценимую помощь при подготовке рукописи оказал нам
Джерри Гоулд. Перри Смит потратил многие часы, помогая нам
при чтении корректуры. Мы признательны госпоже Кетлин Салли-
вэн за изготовление указателя. Мы благодарим госпожу Джер-
ри Формэнак за превосходную перепечатку рукописи.
Висконсинский университет,
Мэдисон Г. Дж, Кейслер
Калифорнийский университет,
Лос-Анджелес Ч. Ч. Чэн
КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ЭТОЙ КНИГОЙ
Эта книга написана на уровне, доступном студентам-матема-
тикам старших курсов. Единственным предварительным условием
является некоторое знакомство с элементарной логикой, включая
понятие формального вывода. Для изучающего полезно было бы
также заранее прослушать вводные курсы по теории множеств
и современной алгебре. Все сведения из теории множеств, необ-
ходимые для чтения этой книги, содержатся в приложении, кото-
рым читатель может воспользоваться, чтобы восполнить пробелы
в своих знаниях. Первые четыре главы написаны в неторопливой
манере, а в последних трех изложение ведется быстрее, и они
требуют от изучающего большей привычки к математическим
рассуждениям.
В книге содержится материал годового спецкурса по теории
моделей, рассчитанного на старшекурсников, однако книга
построена так, что на ее основе можно скомпоновать ряд более
коротких курсов. Глава 1 содержит вводный материал, а начиная
с гл. 2 в каждом разделе имеется хотя бы по одной интересной
теореме. Сведения, собранные в разделах 1.1, 1.3, 1.4, 2.1, 3.1 и 4.1,
необходимы для любого курса по теории моделей. Следующими
за ними по степени необходимости являются разделы 1.2, 2.2,
3.3, 4.3, 5.1, 6.1.
Чтобы помочь лекторам в составлении программ их курсов,
мы приводим ниже таблицу, показывающую зависимость разделов
в первых пяти главах. Эта таблица относится только к самому
тексту этих глав, но не к упражнениям, которые могут опираться
на любой из предыдущих разделов.
Тематике, требующей более развитой техники, посвящены гл. 6
и 7. В следующей таблице перечисляются разделы, необходимые
для изучения каждого из разделов этих последних глав.
6.1: 4.3, 5.1. 7.1: 2.3, 3.2, 3.3, 5.1.
6.2: 4.1. 7.2: 3.2, 3.3, 5.1. 3.3, 4.2.
6.3: 5.5, 6.2. 7.3: 3.2,
6.4: 4.2, 4.3. 7.4: 7.3.
6.5: 6.4.
Каждое разумно замкнутое множество из приведенного выше
частичного упорядочения разделов может использоваться как
самостоятельный курс. Очень короткий курс можно составить из
Как пользоваться этой книгой
И
содержания «сердцевинных» разделов 1.1, 1.3, 1.4, 2.1, 3.1 и 4.1.
Курс, рассчитанный на одну четверть, мог бы, помимо указанной
выше «сердцевины», включать также разделы 2.2, 2.3, 3.2 и 3.3;
он давал бы довольно полную картину теории счетных моделей.
Другой вариант четвертного курса, ориентированный на ультра-
произведения и насыщенные модели, получается добавлением
к нашей «сердцевине» разделов 4.3, 5.1 и либо 4.2 и 5.2, либо 6.1.
Объединение этих двух планов дает вполне приемлемый семестро-
вый курс.
Упражнения варьируются от предельно простых до необычай-
но сложных. Те из них, сложность которых превосходит уровень
непосредственных вычислений, отмечены одной звездочкой; неко-
торые из более трудных отмечены двумя звездочками. Уточнения
основных теорем, доказанных в тексте, нередко относятся в упраж-
нения. Некоторые упражнения представляют собой большие
самостоятельные теоремы, включенные нами, чтобы расширить
круг затронутых вопросов. Чтобы достигнуть настоящего пони-
мания предмета, изучающий должен попытаться сделать по мень-
шей мере треть предлагаемых упражнений.
В конце книги мы поместили список нерешенных проблем
классической теории моделей. Мы ожидаем, что решение любой
из них было бы существенным вкладом в теорию и заслуживало бы
опубликования. Не все эти проблемы поставлены нами.
12
Как пользоваться этой книгой
Все исторические замечания к результатам, содержащимся
в тексте, в упражнениях, а также к открытым проблемам, сведены
нами в самостоятельный раздел, озаглавленный «Исторические
замечания». По всей вероятности, там имеются ошибки и искаже-
ния, за которые мы заранее приносим свои извинения. Во многих
случаях в этих замечаниях читатели могут найти приглашение
к дальнейшим исследованиям.
В заключение заметим, что окончание каждого доказательства
отмечается особым знаком -Ч, представляющим собой повернутый
в противоположную сторону обычный знак выводимости в логике
первого порядка.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЁ
1.1. Что такое теория моделей?
Теория моделей представляет собой раздел математической
логики, изучающий соотношения между формальным языком и его
интерпретациями, или моделями. Мы сосредоточим наше внимание
на теории моделей логики предикатов первого порядка, которую
можно назвать «классической теорией моделей».
Совершим теперь небольшую вводную экскурсию по теории
моделей. Начнем с моделей, представляющих собой структуры,
встречающиеся в математике. Например, циклическая группа
пятого порядка, поле рациональных чисел и частично упорядочен-
ное множество, состоящее из всех множеств целых чисел, упоря-
доченных по включению, суть модели рассматриваемого типа.
Если бы мы того захотели, можно было бы прямо сейчас, не при-
влекая к рассмотрению формальный язык, начать изучение наших
моделей. Тогда мы оказались бы в области, известной под назва-
нием универсальной алгебры, предметом которой являются гомо-
морфизмы, подструктуры, свободные структуры, прямые произ-
ведения и тому подобное. Граница между универсальной алгеброй
и теорией моделей несколько расплывчата; наше употребление
этих терминов объясняется равенством
универсальная алгебра + логика — теория моделей.
Чтобы добраться до теории моделей, мы введем в рассмотре-
ние формальный язык — язык логики предикатов первого поряд-
ка с равенством. Мы определим список символов и затем укажем
точные правила, по которым из символов строятся предложения.
Формальный язык требуется нам для того, чтобы в наших рассуж-
дениях о моделях мы могли использовать и предложения соот-
ветствующих формальных систем. С этой целью мы каждой
паре, состоящей из предложения и модели, ставим в соответствие
одно из истинностных значений — истинно или ложно. Вводимое
таким образом понятие истинности играет роль моста, связыва-
ющего формальный язык с его интерпретацией посредством моде-
лей. Если предложению ф и модели ЭД сопоставлено истинностное
значение «истинно», будем говорить, что ф истинно в ЭД, а также
что ЭД является моделью предложения ф. В противном случае
14
Гл. 1. Введение
мы говорим, что ф ложно в 21 и что 21 не является моделью для ф.
Далее, скажем, что 21 является моделью множества предложе-
ний S, если 21 — модель для каждого предложения из множе-
ства 2.
Какого сорта теоремы доказывают в теории моделей? Мы уже
имеем возможность привести несколько примеров. Пожалуй,
самой ранней в теории моделей была теорема Лёвенгейма (Лёвен-
гейм [1915]): если некоторое высказывание имеет бесконечную
модель, то оно имеет и счетную модель. Другой классический
результат — теорема компактности, принадлежащая Гёделю [1930]
и Мальцеву [1936]: если каждое конечное подмножество множе-
ства S имеет модель, то и все множество S имеет модель. В каче-
стве третьего примера мы можем сформулировать более новый
результат, принадлежащий Морли [1965]. Будем говорить, что
множество высказываний 2 категорично в мощности а, если для
него существует одна и с точностью до изоморфизма толька
одна модель мощности а. Теорема Морли гласит, что если S кате-
горично в какой-нибудь одной 'несчетной мощности, то оно катего-
рично в любой несчетной мощности.
Эти теоремы — типичные результаты теории моделей. Все они
содержат некоторую информацию негативного характера о «выра-
зительности» логики предикатов первого порядка. Так, теоре-
ма Лёвенгейма показывает, что никакое непротиворечивое пред-
ложение не может заключать в себе требования несчетности моде-
ли. Теорема Морли показывает, что логика предикатов первого
порядка в том, что касается категоричности, не позволяет отличить
одну несчетную мощность от другой. С помощью же теоремы
компактности было показано, что многие интересные свойства
моделей нельзя выразить, используя только множества предложе-
ний логики первого порядка — например, не существует множе-
ства предложений, моделями которого были бы в точности все
конечные к модели.
Три сформулированные нами теоремы утверждают и кое-что
положительное о существовании моделей с определенными свой-
ствами. Действительно, ключом к доказательству почти всех глу-
боких теорем теории моделей служит построение моделей нужного
типа. Обратимся, например, снова к теореме Лёвенгейма. Чтобы
доказать эту теорему, мы должны начать с несчетной модели
данного предложения и с ее помощью построить для него счет-
ную модель. Подобным же образом для доказательства теоремы
компактности мы должны построить единую модель, в которой
было бы истинным каждое предложение из множества S. Даже
для теоремы Морли жизненно важно построение некоторой модели.
Чтобы доказать ее, мы сначала предполагаем, что S имеет две раз-
личные модели одной и той же несчетной мощности, и затем строим
по две различные модели всякой другой несчетной мощности.
1.1. Что такое теория моделей?
15
Существует сравнительно немного действительно важных спо-
собов, с помощью которых строились модели. Например, для
самых разных целей их можно строить из индивидных констант,,
из функций, из скулемовских термов или как объединения цепей
моделей. Эти конструкции придают предмету теории моделей един-
ство. Материал, излагаемый в этой книге, в большой мере рас-
пределен в соответствии с этими методами построения моделей.
Другим моментом, придающим единство теории моделей,,
является проводимое во всей этой теории различение синтаксиса
и семантики. Синтаксис имеет дело с чисто формальной структу-
рой языка — например, длина предложения или совокупность
входящих в него символов являются его синтаксическими харак-
теристиками. Семантика изучает интерпретацию, или значение
формального языка: истинность или ложность предложения в моде-
ли — вопрос семантический. Как мы скоро увидим, большая часть
теории моделей исследует взаимодействие синтаксических и семан-
тических идей.
Перейдем теперь к краткому историческому очерку. Математи-
ки обнаружили, что одна теория может иметь более одной модели,
когда в XIX в. Бойяи и Лобачевский построили неевклидову
геометрию, а Риман построил модель, в которой постулат о парал-
лельных был ложным, а все остальные аксиомы классической гео-
метрии — истинными. Позднее, в XIX столетии Фреге формальна
построил логику предикатов, а Кантор создал наивную теорию
множеств, в которой и существуют наши модели.
Теория моделей молода. До начала 50-х годов ее не выделяли
отчетливо в качестве самостоятельной области математических
исследований. Однако ее исторические корни уходят в такие более
старые предметы, как логика, универсальная алгебра и теория
множеств, а некоторые из более ранних работ, например теоре-
му Лёвенгейма, ныне относят к теории моделей. Перечислим дру-
гие важные достижения того времени, обогатившие эту теорию:
обобщение теоремы Лёвенгейма, полученное Скулемом [1920}
и Тарским; теорема Гёделя о полноте [1930] и ее обобщение, при-
надлежащее Мальцеву [1936]; описание определимых множеств
действительных чисел, строгое определение истинности предложе-
ния в модели и исследование реляционных систем, принадлежащие
Тарскому [1931, 1933, 1935а]; построение нестандартных моделей
теории чисел Скулемом [1934] и изучение эквациональных клас-
сов, начатое Биркгофом [1935]. Теория моделей многим обязана
общим методам, первоначально развитым в более старых разделах
математики. В нашей книге мы не раз столкнемся с такой ситуа-
цией; сейчас для примера достаточно упомянуть хотя бы важное
понятие насыщенной модели (гл. 5), восходящее к ца-структурам
в теории линейного порядка, принадлежащим Хаусдорфу [1914].
После 1950 года теория моделей быстро росла, стимулируемая
46
Гл. 1. Введение
работами Генкина [1949], Тарского [1950] и Робинсона [1950].
Название «теория моделей» предложено Тарским [1954]. Сейчас
литература по этому предмету очень обширна. Наиболее полная
библиография имеется у Аддисона, Генкина и Тарского [1965].
В последние годы теория моделей нашла применения, позволив-
шие получать важные результаты в других областях, особенно
в теории множеств, алгебре и анализе. Пока, однако, в таких
приложениях использовалась лишь очень малая часть потенциаль-
ной мощи теории моделей. Интересно, что получится, когда (и если)
будет использована вся ее сила.
1.2. Теория моделей логики высказываний
Во введении — разделе 1.1 — мы постарались дать читателю
общее представление о теории моделей, но мы еще не были готовы
к изложению многих деталей. Теперь мы спустимся на землю
и дадим строгое изложение теории моделей для одного очень
простого формального языка — логики высказываний (известного
также как пропозициональное исчисление). Мы быстро изложим
эту «игрушечную» теорию моделей по той же схеме, что и гораздо
более глубокую теорию моделей логики предикатов. Основными
орудиями здесь служат принадлежащая Посту [1921] разрешаю-
щая процедура, основанная на применении таблиц истинности,
и теорема Линденбаума вместе с вытекающей из нее теоремой
компактности. Таким образом, этот раздел содержит предвари-
тельный набросок того, что нас ждет впереди в этой книге.
Мы предполагаем (см. предисловие), что читатель уже хорошо
знаком с логикой высказываний и даже логикой предикатов.
Поэтому мы считаем возможным довольно быстро продвигаться
вперед. Тем не менее мы начнем с самого начала, чтобы показать,
как выглядит логика высказываний, когда ее излагают в духе
теории мрделей.
Классическая логика высказываний предназначена для изуче-
ния множества простых утверждений, а также построенных
из них составных утверждений. На интуитивном уровне под-
разумеваемой интерпретацией для этих утверждений служит «воз-
можный мир», в котором каждое утверждение истинно или ложно.
Мы хотим заменить эти интуитивные интерпретации совокупно-
стью точных математических объектов, которые можно было бы
использовать в качестве моделей. Первое, что приходит на ум,—
это отображение Fсопоставляющее каждому простому утвержде-
нию S одно из истинностных значений «истинно» или «ложно».
Отбрасывая несущественные детали, мы будем вместо этого рас-
сматривать как модель произвольное подмножество А множества #,
причем S £ А означает, что простое высказывание S истинно,
а 5 А — что простое высказывание S ложно.
1.2. Теория моделей логики высказываний
17
1.2.1. Моделью А для & мы называем] всякое подмножество А
множества сЛ
Таким образом, множество всех этих моделей имеет мощность
2^'. Сразу приходят в голову некоторые отношения и операции
над моделями — например, А о 5, & \ А и пересечение Q Ai
множества {А^: i £ 1} моделей. Среди моделей имеются две выде-
ленные: пустое множество 0 и само множество
Опишем теперь логику высказываний как формальный язык.
Наш язык содержит следующие символы:
логические связки (и), (не);]
скобки (,);
непустое множество ef высказывательных символов.
Интуитивно говоря, высказывательные символы употребляют-
ся для изображения простых утверждений, а связки л и “] при-
меняются вместо слов, используемых для построения составных
утверждений из простых. Формально высказывания относительно
множества of' высказывательных символов определяются сле-
дующим образом:
1.2.2. (i) Всякий высказывательный символ S есть высказы-
вание.
(ii) Если ф — высказывание, то и (”“|ф) — высказывание.
(iii) Если ф и ф — высказывания, то и (ф л ф) — высказы-
вание.
(iv) Конечная последовательность символов является выска-
зыванием только тогда, когда это можно показать с помощью
конечного числа применений пунктов (i) — (iii).
Наше определение высказывания относительно некоторого
множества высказывательных символов может быть переформули-
ровано как рекурсивное определение с рекурсией по длине конеч-
ной последовательности символов:
Символ является высказыванием тогда и только тогда, когда
он — высказывательный символ; последовательность симво-
лов ф длины п >* 1 является высказыванием тогда и только
тогда, когда существуют такие высказывания ф и 0, что их
длины меньше п и ф есть либо (~]ф), либо (фЛ0).
Наконец, наше определение можно переформулировать на теоре-
тико-множественном языке:
Множество всех высказываний относительно множества &
есть наименьшее множество 5 конечных последовательностей
символов из сУ5, такое, что каждый высказывательный символ S
принадлежит множеству 2 и, если ф и 0 принадлежат множе-
ству 2, то и (~|ф) и (фЛ 0) принадлежат ему.
2 Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
18
Гл. 1. Введение
Неважно, как представлять себе высказывания; существенно
лишь, что доказывать любые свойства высказываний можно с по-
мощью одной только индукции, основанной на определении 1.2.2.
Более точно, для того чтобы показать, что всякое высказывание ср
обладает некоторым данным свойством Р, мы должны установить
следующие три факта: (1) всякий высказывательный символ S
обладает свойством Р; (2) если ф есть (^ф) и ф обладает свой-
ством Р, то и ф обладает свойством Р', (3) если ф есть (ф а 9) и ф и 0
обладают свойством Р, то и ф обладает этим свойством. (Читатель
может проверить свое понимание этого момента, доказав по индук-
ции, что всякое высказывание содержит равное число левых
и правых скобок.)
Сколько существует высказываний относительно множества с/?
Это зависит от числа |высказывательных символов S £ & Каждое
высказывание есть конечная последовательность символов. Если
множество & конечно или счетно, то счетным будет и множество
высказываний относительно & Разумеется, не всякая конечная
последовательность символов является высказыванием; напри-
мер, (50 А (П^б)) — высказывание, а А л) и So л r“]S5 — нет.
Если множество высказывательных символов имеет несчетную
мощность а, то и мощность множества высказываний относитель-
но е/7 равна а.
Сделаем небольшую паузу, чтобы объяснить употребление гре-
ческих букв ф, ф, 2 и т. д. В предыдущих абзацах мы использо-
вали малые греческие буквы ф, ф, 0, в качестве имен для про-
извольных конечных последовательностей символов из & Эти
буквы были нужны, чтобы записать определение высказывания.
В дальнейшем нас больше будут интересовать высказывания, а не
произвольные конечные последовательности символов. Поэтому,
начиная с этого момента, мы будем использовать малые греческие
буквы ф, ф, 0, как имена произвольных высказываний отно-
сительно ^множества символов Ситуация сходна с элементарной
арифметикой, где мы изучаем натуральные числа 0, 1, 2, 3,
но большую часть времени пишем буквы вроде т, п, х, у,
в качестве имен произвольных натуральных чисел. Так же, как
в арифметике, где мы пишем формулы типа т = х + у, мы будем
здесь писать, например, ф — (ф А 0), чтобы выразить тот факт,
что ф и (ф А 0) —одно и то же высказывание. В предыдущих
абзацах мы пользовались также большими греческими буквами
2, Г, как именами для произвольных множеств конечных
последовательностей символов из # ; с этого времени мы будем
употреблять большие греческие буквы в качестве имен для про-
извольных множеств высказываний относительно Символы ф,
ф, 0, ., 2, Г, не содержатся в списке формальных сим-
волов нашего языка — это только неформальные символы, исполь-
зуемые нами в рассуждениях о множестве & для удобства.
1,2. Теория моделей логики высказываний
19
Чтобы сделать высказывания более удобными для чтения, обыч-
ным способом вводим в наш язык сокращения. Символы V (или),
—> (влечет) и *-► (тогда и только тогда, когда) суть сокращения,
определяемые следующим образом:
(ф V ф) — сокращение для (“| ((“] ф) Л (”| ф))),
(фф) —сокращение для ((~| ф) V ф),
(ф 'ф) — сокращение для ((ф -> ф) л (ф -> ф)).
Разумеется, V, —> и с тем же успехом можно было бы
включить в наш список символов в качестве трех дополнительных
связок. Есть, однако, некоторые преимущества в том, чтобы сохра-
нить наш список символов коротким. Например, определение 1.2.2
и доказательства по индукции, основанные на нем, оказываются
в этом случае короче. Стремясь в этом направлении к пределу,
мы могли бы работать с единственной связкой, расшифровкой
которой служит выражение «ни..., ни...». Мы не делаем этого,
потому что связка «ни..., ни...» очень уж неестественна.
Другое сокращение, вводимое нами, состоит в отбрасывании
излишних скобок. Например, мы никогда не будем утруждать себя
написанием наружных скобок в высказывании — таким образом,
5 служит нашим сокращением для высказывания (^]5). При
отбрасывании других скобок мы будем следовать общепринятым
соглашениям. Так, связка считается связывающей теснее, чем
Л и V, которые в свою очередь связывают теснее, чем и
Например, "~|ф V ф —0 Л ф означает ((“|ф) V ф) -> (0 Л ф).
Далее мы будем пользоваться] одним и тем же символом <У>
для обозначения как множества высказывательных символов, так
и языка, построенного на основе этих символов. Это не повлечет
за собой путаницы, поскольку язык однозначно определяется
множеством своих высказывательных символов по модулю
множества связок.
Теперь мы готовы посредством определения истинности выска-
зывания в модели перекинуть мост между языком & и его моде-
лями. Тот факт, что высказывание ф истинно в модели Л, мы
будем кратко выражать специальным обозначением
А ф.
Отношение А != ф определяется следующим образом:
1.2.3. (i) Если ф —высказывательный символ S, то А £= ф
тогда и только тогда, когда S С А.
(ii) Если ф есть ф А 0, то А 1= ф тогда и только тогда, когда
A tz ф и A 0.
(iii) Если ф есть ~"| ф, то A 1= ф тогда и только тогда, когда
4 Ё ф не имеет места.
2*
20
Гл, 1. Введение
Если А ф, то мы говорим, что ф истинно в модели Л, или
что ф выполняется в Л, или что Л —модель для ф. Если Л ^ф
не имеет места, будем говорить, что ф ложно в А или что ф не
выполняется в Л. Приведенное выше определение отношения
Л ф служит примером рекурсивного определения, базирую-
щегося, в свою очередь, на определении 1.2.2. Доказать, что это
определение ни для какого высказывания ф не приводит к неодно-
значности, можно, конечно, с помощью индукции, опирающейся
на 1.2.2.
Особенно важным видом высказываний являются истинные
высказывания. Высказывание ф называется истинным (это обозна-
чается через ф), если ф истинно во всех моделях языка
т. е. если Л ф для всех Л. Некоторые понятия, тесно примы-
кающие к понятию истинности, обсуждаются в упражнениях.
На первый взгляд кажется, что для ответа на вопрос, является
ли данное высказывание ф бесконечного языка of истинным, необ-
ходимо исследовать несчетное множество различных бесконечных
моделей Л. Это происходит из-за того, что истинность — семанти-
ческое понятие, определяемое с помощью моделей. Однако, как,
конечно, известно читателю, существует простой и регулярный
способ распознавать в конечное число шагов, является данное
высказывание истинным или нет.
Эта разрешающая процедура для установления истинности
основана на синтаксическом понятии тавтологии. Пусть ф —
высказывание, все высказывательные символы которого содер-
жатся среди п + 1 символов 80, Sn. Пусть а0, а1?
., ап —конечная последовательность, построенная из букв t
и f. Назовем всякую такую последовательность интерпретацией.
1.2.4. Значение высказывания ф при интерпретации а0, ап
рекурсивно определяется следующим образом:
(i) Е}сли ф —высказывательный символ Sm, т п, то зна-
чение высказывания ф есть ат.
(ii) Если ф есть то значение высказывания ф противо-
положно значению высказывания гр.
(iii) Если ф есть гр А 0, то значением высказывания ф служит t,
если значения обоих высказываний Ар и 0 суть t, и f в противном
случае.
Отметим, сколь сходны определения 1.2.3 и 1.2.4. Единствен-
ное существенное различие между ними состоит в том, что 1.2.3
оперирует с бесконечной моделью А, в то время как 1.2.4 — только
с конечной интерпретацией а0, ап.
1.2.5. Пусть ф — высказывание и 80, ., Sn — все высказы-
вательные символы, входящие в ф. Говорят, что ф — тавтология
(обозначение: |—ф), если ф имеет значение t при всякой интер-
претации а0, . . ., ап.
1.2. Теория моделей логики высказываний
21
В этой книге мы будем использовать символы и |— многими
различными способами. Для правильной ориентации запомним:
знак относится к семантике, а Н употребляется в синтаксиче-
ских рассмотрениях.
Значение высказывания ср при интерпретации а0, ап
можно легко вычислить. Сначала находим значения входящих в ф
высказывательных символов, а затем вычисляем значения проме-
жуточных высказываний, появившихся в процессе построения
высказывания ф. Таблица, показывающая, какие значения при-
нимает ф для всевозможных интерпретаций д0, ., ап, назы-
вается таблицей истинности высказывания ф. Мы предполагаем,
что таблицы истинности уже хорошо знакомы читателю и что он
умеет их строить для данных высказываний. Применение таблиц
истинности позволяет построить простую и чисто механическую
процедуру, определяющую, является ли высказывание ф тавто-
логией,— надо просто выписать таблицу истинности для ф и про-
верить, при всех ли интерпретациях ф принимает значение t.
Предложение 1.2.6. Предположим, что все входящие в высказы-
вание ф высказывательные символы содержатся среди 50,
., 5П. Тогда значение высказывания ф при интерпретации
а0, аг, ап, ., ап+т совпадает со значением этого высказы-
вания при интерпретации а$, аг, ап.
Теперь докажем первую из серии теорем, утверждающих, что
некоторое синтаксическое условие эквивалентно соответствующе-
му семантическому условию.
Теорема 1.2.7. (Теорема о полноте.) Н ф тогда и только тогда,
когда ^=ф; иными словами, высказывание является тавтологией
тогда и только тогда, когда оно истинно.
Доказательство. Пусть ф — высказывание, и пусть
все его высказывательные символы находятся среди So, ., Sn.
Рассмотрим произвольную модель А. Для т 0, 1, ., п пола-
гаем ат = t, если Sm £ А, и ат f, если Sm $ А. Это дает неко-
торую интерпретацию а0, а±, ап. Мы утверждаем, что
(1) А (= ф тогда и только тогда, когда высказывание ф при
интерпретации а0, ах, ап принимает значение t.
Это легко доказывается по индукции. Утверждение очевидно,
если ф —высказывательный символ Sm. Предполагая, что (1)
справедливо для высказываний ф — ip и ф = 0, тотчас убеждаем-
ся, что (1) справедливо также для ф = и ф = ip л 0.
Пусть теперь So, ., Sn — все высказывательные символы,
входящие в высказывание ф. Если ф является тавтологией, то,
согласно (1), ф истинно. Но так как всякая интерпретация а0,
22
Гл. 1. Введение
а1У ап может быть получена из некоторой модели А, на
основании (1) заключаем, что если ф истинно, то оно — тавто-
логия. Ч
Таким образом, с помощью нашей разрешающей процедуры для
отношения Н<р можно также выяснять, истинно ли ф. Нам неодно-
кратно представятся случаи воспользоваться тем фактом, что
высказывание является тавтологией тогда и только тогда, когда
оно истинноЛМы^’будем обычно опускать доказательство того, что
данное высказывание языка истинно, поскольку оно всегда
одно и то же — достаточно просто взглянуть на таблицу истин-
ности.
Введем теперь понятие формального вывода в нашей логике &
Правило отделения (или модус поненс) гласит:
Из высказываний ф и ф ф выводится ср.
Будем говорить, что ф выводится из ф, 0 с помощью правила отде-
ления тогда и только тогда, когда 0 есть высказывание ф —> ф.
Рассмотрим теперь конечное или бесконечное множество
высказываний 2 в языке &.
Высказывание ср называется выводимым из 2 (обозначение:
2 Н ф) тогда'и только тогда, когда существует такая конечная
последовательность высказываний ф0, ф1? ., фп, что <р = фп
и каждое высказывание фт$либо является тавтологией, либо при-
надлежит множеству 5, либо выводится с помощью правила отде-
ления из двух высказываний, стоящих в этой последовательности
где-то до фт. Последовательность ф0, фп ., фа называется
в этом случае выводом высказывания ср из множества 2. Заметим,
что (р выводимо из пустого множества высказываний тогда и только
тогда, когда ср — тавтология.
Будем говорить, что 5 противоречиво (несовместно), если
2 I— ср для всякого высказывания ф. В противном случае мы
называем множество 2 непротиворечивым (совместным). Наконец,
назовем 2 максимальным непротиворечивым множеством, если
2 непротиворечиво и единственное непротиворечивое множество,
содержащее 2, есть само 2. Следующее предложение содержит све-
дения, которые можно найти в самых элементарных учебниках
логики.
Предложение 1.2.8. (i) Если 2 непротиворечиво, а Г —множе-
ство всех высказываний, выводимых из 2, то и Г непротиворечиво.
(ii) Если 2 — максимальное непротиворечивое множество
и 2 Н ф, то ф £ 2.
(iii) Множество 2 противоречиво тогда и только тогда, когда
2 Н S л S (для произвольного S £ о?).
(iv) (теорема дедукции). Если 2 U {ф} Н ф, то 2 Н ф -> ф.
1.2. Теория моделей логики высказываний
23
Лемма 1.2.9. (Теорема Линденбаума.) Всякое непротиворечивое
множество 2 может быть расширено до максимального непро-
тиворечивого множества высказываний Г.
Доказательство. Расположим все высказывания язы-
ка в виде некоторого списка ф0, фи ф2, фа, . Поря-
док, в котором мы их выписываем, несуществен — лишь бы наш
список каждое высказывание сопоставлял взаимно однозначно
с некоторым ординальным числом. Образуем теперь возрастающую
цепь
2=2ocz2iczz22cz cz S а cz
непротиворечивых множеств высказываний. Если 2 U {<р0} непро-
тиворечиво, полагаем 2Х = 2 J {ф0}. В противном случае при-
нимаем 21 = 2. На а-м шаге мы полагаем 2а+1 = 2а (J {фа},
если 2а U {<ра} непротиворечиво, и 2а+1 = 2а в противном
случае. Для предельных ординалов а строим объединения: 2а =
U Sp. За Г принимаем объединение всех множеств 2а.
3<а
Мы утверждаем, что Г непротиворечиво. Предположим против-
ное. Тогда существует вывод -фо, ., фр высказывания
S А "“] S из множества Г (см. предложение 1.2.8). Пусть 01?
.,0 g — все высказывания из множества Г, участвующие в этом
выводе. Мы можем так выбрать а, чтобы все высказывания 01?
0g принадлежали множеству 2а. Но это означает, что 2а про-
тиворечиво (см. опять-таки предложение 1.2.8), что противоречит
нашему построению.
Доказав, что Г непротиворечиво, убедимся теперь, что это
максимальное непротиворечивое множество. Для этого пред-
положим, что множество Д непротиворечиво и Г cz Д. Пусть
фа £ Д. Тогда 2а U {<ра} непротиворечиво и потому 2а+1 =
= 2а U {фа}. Следовательно, фа f Г и, значит, Д = Г —1
Лемма 1.2.10. Пусть Г —максимальное непротиворечивое
множество высказываний в языке Тогда
(i) Для каждого высказывания ф точно одно из двух высказыва-
ний ф и ~]ф принадлежит множеству Г.
(ii) Для каждой пары высказываний ф и ф высказывание ф А ф
принадлежит множеству Г тогда и только тогда, когда и ф, и ф
принадлежат множеству Г
Мы предлагаем читателю доказать эту лемму как упражнение.
Рассмотрим теперь некоторое множество высказываний 2
языка of Будем говорить, что А —модель множества 2, A 2,
если всякое высказывание ф £ 2 истинно в А. Множество 2
называется выполнимым, если оно имеет хотя бы одну модель.
Докажем теперь самую важную теорему логики высказываний,
дающую критерий выполнимости множества 2.
24
Гл. 1. Введение
Теорема 1.2.11. (Обобщенная теорема о полноте.) Множество 2
высказываний языка & непротиворечиво тогда и только тогда,
когда оно выполнимо.
Доказательство. Вначале предположим, что 2 выпол-
нимо, и пусть A S. Покажем, что всякое выводимое из множе-
ства 2 высказывание истинно в А. Пусть ф0, ф1? Фп — вывод
высказывания фп из множества 2. Пусть т п. Если € 2
или "фт является тавтологией, то i|?m истинно в А. Если же т|>т
выводится из двух высказываний фр и фр->фт, истинных в А,
то фт, понятно, тоже должно быть истинным в А. Индукцией по т
проверяется, что каждое из высказываний 'Фо, Ч>1, •> Фп истинно
в Л. А так как 8 Л ~"| 8 не является истинным в А, оно и не
выводимо из 2, и, значит, множество 2 непротиворечиво.
Предположим теперь, что 2 непротиворечиво. Согласно теоре-
ме Линденбаума, мы можем расширить 2 до максимального непро-
тиворечивого множества Г.
Построим теперь для множества 2 модель. Пусть А — множе-
ство всех высказывательных символов 8 £ с^, таких, что S £ Г.
Покажем индукцией, что для всякого высказывания ср
(1) <р € Г тогда и только тогда, когда А ср.
По определению условие (1) верно, если ср — высказыватель-
ный символ Sn. Лемма 1.2.10 (i) гарантирует, что если утвержде-
ние (1) верно для <р = ф, то оно верно и для <р = “| ф. Из лем-
мы 1.2.10 (ii) следует, что если (1) верно для ср = ф и для ср = 0,
то оно верно и для ср = ф л 0. Но из (1) вытекает, что A Г,
а так как 2 сг Г, получаем, что A 2. —|
Мы можем вывести отсюда чисто семантическое следствие.
Назовем множество 2 конечно выполнимым, если выполнимо вся-
кое его конечное подмножество.
Следствие 1.2.12. (Теорема компактности.) Всякое конечно
выполнимое множество 2 выполнимо.
Доказательство. Предположим, что 2 не выполнимо.
Тогда, согласно обобщенной теореме о полноте, 2 противоречиво.
Поэтому 2 Н8 Л “| 8. Но в выводе высказывания 8 /\ ~| 8
из 2 участвует только конечное множество 20 высказываний из
множества 2. Отсюда следует, что 20 |— 8 Л S, так что
20 противоречиво. Поэтому 20 не является выполнимым, а 2 —
конечно выполнимым. —|
Заметим, что обращение теоремы компактности тривиальным
образом верно, т. е. всякое выполнимое множество высказываний
является конечно выполнимым.
1.2, Теория моделей логики высказываний
25
Назовем высказывание ф следствием множества высказыва-
ний S (обозначение: S fcz ф), если всякая модель множества S
служит также моделью для ср. Читателю предлагается доказать
упр. 1.2.3—1.2.6, равно как и такое
Следствие 1.2.13.
(i) 2 h ф тогда и только тогда, когда S ф.
(ii) Если 2 ф, то существует такое конечное подмножество
So множества S, что So Jz: ф.
Наше изложение теории моделей для логики высказываний
мы закончим несколькими приложениями теоремы компактности.
В этих приложениях проявляется истинный дух теории моделей,
хотя еще в очень примитивной форме. Поскольку нам часто нужно
будет соединять конечное множество высказываний в единое
высказывание, мы будем употреблять выражения типа
<Р1 А ф2 Л Л фп
и
Ф1 V ф2 V фп.
Для определенности будем считать, что скобки в этих выраже-
ниях ассоциированы вправо; например,
Ф1 А ф2 Л ф3 — Ф1 Л (ф2 Л ф3).
Введем еще несколько терминов. Всякое множество высказы-
ваний Г называется теорией.
Теория Г называется замкнутой, если ей принадлежит всякое
ее следствие. Множество высказываний Л называется множеством
аксиом теории Г, если Г и А имеют одни и те же следствия. Теория
называется конечно аксиоматизируемой, если она обладает конеч-
ным множеством аксиом. Поскольку из конечного множества
аксиом можно построить их конъюнкцию, всякая конечно аксио-
матизируемая теория может быть задана единственной аксиомой.
Множество Г всех следствий теории Г является единственной
замкнутой теорией, содержащей Г в качестве множества аксиом.
Предложение 1.2.14. Множество j А есть множество аксиом
теории Г тогда и только тогда, когда А имеет в точности те же
модели, что и Г.
Следствие 1.2.15. Пусть Гх и Г2 —такие две теории, что
множество всех моделей теории Г2 является дополнением множе-
ства всех моделей теории в множестве всех моделей языка, этих
теорий. Тогда и Г17 и Г2 конечно аксиоматизируемы.
Доказательство. Множество Гх U Г2 не выполнимо,
а потому не является и конечно выполнимым. Тогда мы можем
выбрать такие конечные множества Аг с: 1\ и А2 cz Г2, что
26
Гл. 1. Введение
Дг J Д2 не выполнимо. Если А Е= Д1? то А не является моделью
для Г2, а потому 4 t ГР В соответствии с предложением 1.2.14
заключаем, что Aj представляет собой конечное множество аксиом
теории 1\. Аналогично, Д2 — конечное множество аксиом тео-
рии Г2. Ч
Следующая группа теорем выявляет связи между математиче-
скими операциями над моделями и синтаксическими свойствами
высказываний. Первый из этих результатов касается позитивных
высказываний. Высказывание ф называют позитивным, если оно
построено из высказывательных символов с использованием,
в качестве связок только ли v. Например, высказывание
(50 л (52 v 53)) v 516 позитивно, в то время как “]В4
и S3 S3 — нет. Множество высказываний 2 называется моно-
тонным, если из того, что А 1= 2 и A cz В, следует, что В 2.
Теорема 1.2.16. (i) А о В тогда и только тогда, когда всякое
позитивное высказывание, истинное в А, истинно и в В.
(ii) Непротиворечивая теория Г является монотонной тогда
и только тогда, когда она обладает множеством позитивных
аксиом.
(iii) Высказывание ф является монотонным тогда и только
тогда, когда либо ф эквивалентно некоторому позитивному выска-
зыванию, либо ф истинно, либо Дф истинно.
Доказательство, (i) По индукции проверяется, что
если A cz В, то всякое позитивное высказывание, истинное в А,
истинно и в В. Прежде всего, всякий высказывательный символ,
истинный в А, в силу определения 1.2.3 (i) и включения A cz В,
является истинным ивВ. Используя 1.2.3 (ii) и упр. 1.2.2, можно
проверить, что если утверждение «если ф истинно в А, то ф истин-
но в В» справедливо при ф = гр и при ф = 0, то оно справедливо
и при ф = гр л 0, и при ф = гр v 0. Следовательно, это утвержде-
ние справедливо для любого позитивного высказывания ф.
Предположим теперь, что всякое позитивное высказывание,
истинное в А, истинно и в В. В частности, для всякого S
из А S следует В S. Поэтому если S g А, то S £ В, так что
A cz В. Этим доказан пункт (i).
(ii) Пусть теперь Г —непротиворечивая монотонная теория.
Пусть Д — множество всех позитивных следствий теории Г.
Предположим, что В £= Д. Пусть 2 —множество всех высказы-
ваний вида ~]ф, таких, что ф позитивно и В £= ~"|ф- Пусть
ПФ1» Пфп € 2. Тогда высказывание фг V V фп пози-
тивно и не является истинным в В. Поэтому <рх v V фп не
принадлежит множеству Д и, значит, не является следствием
множества Г Следовательно, множество Г U {Дф1, •» ~]фп}
выполнимо, а потому множество Г J 2 конечно выполнимо.
1.2. Теория моделей логики высказываний
27
По теореме компактности Г U 2 имеет модель; обозначим ее через
А. Поскольку для всякого позитивного высказывания ф, не
являющегося истинным в В, имеем ~"|ф £ 2, то ф ложно в А.
Таким образом, всякое позитивное высказывание, истинное в Л,
истинно в В, и, в силу (i), имеем включение A czz В. Так как
A Г, а Г —монотонное множество, то В fz Г. Отсюда мы
заключаем, что всякая модель множества А является моделью
и для Г. Но’A cz Г, и, значит, А — множество позитивных аксиом
теории Г.
Обратно, если Г обладает множеством позитивных аксиом,
то из (i) следует, что Г —монотонная теория.
(iii) Пусть ф — монотонное высказывание. Будем предпола-
гать далее, что ф выполнимо. Если Г — множество всех следствий
высказывания ф, то в силу (и) оно обладает позитивным множе-
ством аксиом А. Поскольку ф £ Г, то А ф, а по следствию 1.2.13
найдется такое конечное подмножество {ipi, i|?n} множества А,
что {ipi, . ., %} ф. Если п ~ 0, то ф — истинное, высказы-
вание. Пусть п > 0. Каждое из высказываний ipm содержится
в множестве А, а потому и в Г, так что каждое 4m является след-
ствием высказывания ф. Таким образом, получаем, что ф эквива-
лентно позитивному высказыванию 41 А А 4п-
Обратно, из пункта (i) следует, что всякое позитивное выска-
зывание является монотонным. Очевидно также, что монотонными
будут и всякое истинное, и всякое невыполнимое высказыва-
ния. —|
Часть (i) доказанной только что теоремы имеет следующий
совершенно тривиальный аналог: А = В тогда и только тогда,
когда всякое высказывание, истинное в модели А, истинно и в В.
Дальше в этой книге мы увидим, сколь сильно отличается
ситуация в случае логики предикатов, где обычно максимальная
непротиворечивая теория отнюдь не определяет единственную
модель. В этом одна из причин, по которым теория моделей в слу-
чае логики предикатов намного более интересна и трудна, чем
теория моделей логики высказываний.
Обратимся теперь к другому частному виду высказываний.
Будем называть условными высказывания вида ф! л А фп,
где каждое ф£ — высказывание одного из следующих трех типов:
(1) S,
(2) "l^i П ^2 V И sp,
(3) 1 v ~] S2 v Sp v У.
Множество высказываний 2 называется устойчивым относи-
тельно конечных пересечений, если из условий A 1= 2 и В 2
вытекает, что A Q В 1= 2. Назовем множество 2 устойчивым
28
Гл. 1. Введение
относительно произвольных пересечений, если пересечение Р) Л/
любого непустого множества {At i £ 1} моделей множества S
также является моделью для S.
Лемма 1.2.17. Теория является устойчивой относительно
конечных пересечений тогда и только тогда, когда она устойчива
относительно произвольных пересечений.
Доказательство. Пусть Г — теория, устойчивая отно-
сительно конечных пересечений, {Л t i £ 1} —непустое множе-
ство ее моделей и В — П At. Пусть 2 — множество всех истин-
ных в В высказываний вида S или Покажем, что множество
Г [J S выполнимо. Пусть* So —произвольное конечное подмноже-
ство множества S, и пусть “]Si, • —все содержащиеся
в 20 негативные х) высказывания. Если р — 0, то все высказыва-
ния из множества So позитивны, и, поскольку В cz At, каждая
из моделей AL является моделью для 50. Если же р > 0, то выбе-
рем в данном множестве такие модели чт0 $
$Лг-1? Sp^Aip. Тогда Л = Л^ П Q Aip является
моделью для 20, а так как множество Г устойчиво относительно
конечных пересечений, Л является моделью и для Г. Мы показали,
что Г (J S конечно выполнимо. Согласно теореме компактности,
Г J 2 имеет модель. Но единственной моделью множества S
служит В, поэтому В — модель и для Г. Н
Имея в виду последнюю лемму, мы будем дальше говорить про-
сто об устойчивости теории относительно пересечений, поскольку
безразлично, какие пересечения здесь подразумеваются — конеч-
ные или произвольные.
Теорема 1.2.18. (i) Теория Г устойчива относительно пересече-
ний тогда и только тогда, когда она обладает множеством услов-
ных аксиом.
(ii) Высказывание ср устойчиво относительно пересечений тогда
и только тогда, когда оно эквивалентно некоторому условному
высказыванию.
Доказательство, (i) Мы предоставляем читателю дока-
зательство того факта, что всякое условное высказывание (а пото-
му и всякое множество условных высказываний) устойчиво отно-
сительно пересечений.
Обратно, пусть теория Г устойчива относительно пересечений.
Рассмотрим множество А всех условных следствий теории Г
Достаточно показать, что всякая модель множества А служит
х) То есть высказывания вида । — Прим. ред.
1.2. Теория моделей логики высказываний
29
моделью и для Г. Пусть В — произвольная модель множества А.
Для каждого Т £ if \ В обозначим через S т множество всех
истинных в В высказываний вида
Л л Sp f\ | Т
Само высказывание ~\Т мы также относим в 2Г. Заметим сначала,
что конъюнкция конечного числа высказываний из множества 2Г
эквивалентна некоторому единственному высказыванию из этого
множества. Рассмотрим произвольное высказывание <р, входящее
в 2Т. Очевидно, что “]ф эквивалентно условному высказыванию ф,
имеющему либо вид В, либо вид
V v v Т.
Но ф ложно в В, так что ф не входит в А. Это означает, что ф,
а потому и не являются следствиями множества Г, откуда
вытекает, что Г J {ср} выполнимо. Поскольку множество ST
с точностью до эквивалентности замкнуто относительно конечных
конъюнкций, Г J конечно выполнимо. Согласно теоре-
ме компактности, для множества Г U существует мо-
дель Ат.
Для каждого высказывательного символа Т£ df\B имеем
Т $ А Г и В cz Ат. Поэтому, если df\B непусто, то
В= П Ат-
т$в
Поскольку каждое Ат служит моделью теории Г, а Г устойчива
относительно пересечений, имеем В Г.
В оставшемся еще не рассмотренным случае В = if обозначим
через 2 множество всех высказываний вида
Si л Л Sp.
Рассуждая, как прежде, находим, что множество Г J 2 ко-
нечно выполнимо и потому имеет модель. Но S обладает един-
ственной моделью В, так что опять-таки В оказывается мо-
делью для Г
Итак, мы показали, что всякая модель множества высказыва-
ний А служит моделью и для Г, откуда следует, что А — множе-
ство условных аксиом теории Г.
(ii) Это утверждение выводится из пункта (i) с помощью рас-
суждений, сходных с последней частью доказательства теоре-
мы 1.2.16. —|
Мы закончим этот параграф, сведя в единую таблицу семанти-
ческие и синтаксические свойства, эквивалентность которых
нами доказана (некоторые из них рассмотрены в упражнениях).
30
Гл. 1. Введение
Таблица 1.2.1
Синтаксис
Семантика
Ф—тавтология, I— Ф
2 непротиворечиво
Ф противоречиво
Ф выводимо из 2, 2 I— ф
Ф эквивалентно позитивному
высказыванию
Ф эквивалентно условному
высказыванию
Ф истинно, fz ф
2 выполнимо
ф не выполнимо
Ф—следствие множества 2,
2 ф
Ф — монотонное высказывание,
не являющееся ни истин-
ным, ни невыполнимым
Ф устойчиво относительно
пересечений
Упражнения
1.2.1. Пусть А — такая модель, что S, Т £ 4, a t7, V £ е?\А.
Какие из следующих высказываний истинны в А:
U, S, Т/\ U, 7, 5 л (5 V U++(VТ7))?
1.2.2. Докажите, что если ф — ф V 0, то А ф тогда и толь-
ко тогда, когда или A ф, или A 0, или верны обе последние
формулы. Придумайте подобные правила для формул вида А ф—>
—>- 0 и A ф 0.
1.2.3. Высказывание ф выполнимо тогда и только тогда, когда
оно имеет хотя бы одну модель. Докажите, что ф выполнимо
тогда и только тогда, когда высказывание 'Дф не является
истинным.
1.2.4. Высказывание ф называется следствием высказывания ф
(обозначение: ф ф), если всякая модель высказывания ф
служит моделью и для ф. Докажите, что ф ф тогда и только
тогда, когда ф -> ф.
1.2.5. Высказывания ф и ф называют (семантически) эквива-
лентными, если они имеют в точности одни и те же модели. Дока-
жите, что ф и ф эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое
из них является следствием другого, или, что равносильно, когда
fz Ф ф.
1.2.6. Докажите, что если высказывание фвыполнимо и язык &
счетен, то множество всех его моделей имеет мощность континуума.
1.2.7* (интерполяционная теорема). Пусть ф £ф. Докажите,
что или (i) ф не выполнимо, или (ii) ф истинно, или (iii) существует
такое высказывание 0, что ф 0, 0 ё фи всякий высказыва-
тельный символ, входящий в 0, входит и в ф, и в ф.
1.2. Теория моделей логики высказываний
31
1.2.8. Докажите предложение 1.2.6.
1.2.9* . (i) Для всякого конечного множества моделей К суще-
ствует такое множество высказываний 2, что К — множество
всех моделей для 2.
(ii) Приведите пример множества высказываний 2, множество
всех моделей которого было бы (бесконечным) счетным.
(iii) Приведите пример счетного множества моделей, не являю-
щегося множеством всех моделей ни для какого множества выска-
зываний.
В пунктах (ii) и (iii) & предполагается счетным.
1.2.10. Если 2 |— Ф Для всякого <р £ Г и, кроме того, 2 J
и г н е, то 2 н 0.
1.2.11. Докажите, что множество всех «немоделей» множества
высказываний 2 пусто или имеет мощность 21^1.
1.2.12. Докажите, что никакое позитивное высказывание не
является ни истинным, ни опровержимым.
1.2.13. Теория Г называется полной, если для всякого выска-
зывания ф справедливо в точности одно из двух: Г (= <р или
Г Пф- Для любого множества высказываний 2 равносильны
следующие утверждения:
(i) Множество всех следствий высказываний из 2 является
максимальным непротиворечивым.
(ii) 2 — полная теория.
(iii) 2 имеет точно одну модель.
(iv) Существует такая модель А, что для всякого высказы-
вания ф формулы 2 ф и А Ф верны или неверны одновре-
менно.
1.2.14. Пусть Г — непротиворечивая теория, а В — модель
языка (У Докажите, что В является моделью множества всех
позитивных следствий из Г тогда и только тогда, когда суще-
ствует такая модель А теории Г, что А о В.
1.2.15. Докажите, что всякое условное высказывание устой-
чиво относительно пересечений.
1.2.16. Сформулируйте и докажите аналог утверждения из
упр. 1.2.14, относящийся к условным высказываниям и устой-
чивости относительно пересечений.
1.2.17* . Сформулируйте и докажите аналог теоремы 1.2.18,
относящийся к объединениям множеств моделей.
1.2.18. Множество высказываний 2 называется независимым,
если никакое высказывание о из 2 не является следствием множе-
32
Гл. 1. Введение
ства 2 \ {о»}. Докажите, что если язык X счетен, то всякая тео-
рия Г в языке & имеет независимое множество аксиом.
[У казание: покажите, что Г обладает таким множеством аксиом
2 {Oj, о2, о3, .}, что при каждом п справедливо ►-
оп, но неверно, что |— ап —<7п+1. После этого рассмотрите
множество {(Тр о1 —а2, а2 аз> }.]
1.2.19* * Без каких бы то ни было ограничений на мощность
языка X докажите, что всякая теория в этом языке обладает
независимым множеством аксиом.] (Случай | <5^ | = coj намного
легче общего случая, но, тем не менее, заслуживает серьезного
внимания.)
1.3. Языки, модели и выполнимость
Теперь мы приступим к изучению языков первого порядка,
следуя примерно тому же плану, что и при рассмотрении логики
высказываний в разд. 1.2. Сначала мы введем понятия языка пер-
вого порядка X и модели языка X. Мы определим также не-
которые основные понятия, выражающие соотношения между
моделями, а именно, включим в круг наших рассмотрений обед-
нения и обогащения моделей, изоморфизмы между ними, под-
модели и расширения моделей. Затем, определяя множества тер-
мов, формул и предложений и формулируя аксиомы и правила
вывода, мы опишем синтаксис языка X. Наконец, будет дано
важнейшее определение истинности данного предложения в мо-
дели языка X. Точная формулировка этого определения в слу-
чае логики первого порядка требует гораздо большего внимания,
чем в случае логики высказываний. В конце этого раздела мы
сформулируем теоремы о полноте и компактности (теоремы
1.3.20—1.3.22), отложив, однако, их доказательства до сле-
дующей главы.
Сначала изложим стандартную терминологию, а также ряд
соглашений, относящихся к таким языкам и их моделям. Язык
X есть некоторая совокупность символов. Эти символы подраз-
деляются на три группы — символы предикатные, функциональ-
ные и константные (символы индивидных констант). Предикат-
ные и функциональные символы языка X будут обозначаться
большими латинскими буквами Р, F с индексами. Малые латин-
ские буквы с с индексами обозначают константные символы языка
X. Если X — конечное множество, мы можем выписать все его
символы:
£ = {Ро, Fo, м
Всякий имеющийся в языке X предикатный символ Р мыслится
как обозначение некоторого n-местного отношения, причем целое
1.3. Языки, модели и выполнимость
33
число n > 1 зависит от Р. Аналогично, всякий функциональный
символ F языка X является символом тп-местной функции, где
также зависит от F, Отметим, что 0-местных предикатных
и функциональных символов мы не рассматриваем.
В тех случаях, когда мы одновременно имеем дело с несколь-
кими языками, мы будем обозначать их через X, X', X" и т. д.
Если в рассматриваемом языке используются только стандартные
символы, такие, например, как + для сложения, < для отно-
шения порядка и т. п. мы просто пишем
X = { < }, X = {<, + г, 0}, X = {+ 1}, и т. д.
«Местность» (число аргументов) используемых символов опре-
деляется как обычно. Мощность, или кардинал, языка X, обо-
значаемая через ||£||, определяется как1)
\\z\\ - <*U| х |.
Мы называем язык X счетным или несчетным в соответствии
с тем, является его мощность ||<5?|| счетной или несчетной.
Нам придется иногда переходить от данного языка X к дру-
гому, X', содержащему все символы языка X вместе с некото-
рыми дополнительными символами. Мы изображаем такую ситуа-
цию формулой X ci X' и говорим, что язык X' является обогаще-
нием языкам, а X — обеднением языка X' В том частном случае,
когда язык X' содержит, кроме символов языка X, только не-
которые константные символы, X' называется простым обога-
щением языка X. Поскольку языки X и X’ являются просто
множествами символов, обогащенный язык X' можно предста-
вить в виде X’ = X U гДе % — множество новых символов.
Переходя теперь к моделям данного языка X, отметим сразу
же, что ситуация здесь намного сложнее, чем в случае логики
высказываний рассмотренном в разд. 1.2. Там каждое выска-
зывание S £ могло принимать только два значения — истинно или
ложно. Поэтому множество допустимых интерпретаций логики X
устроено, как заметил читатель, довольно просто. Теперь же
допустимыми интерпретациями n-местного предикатного символа
служат всевозможные n-местные отношения между рассматривае-
мыми объектами, допустимыми интерпретациями каждого тп-мест-
ного функционального символа служат все ттг-местные функции,
отображающие объекты в объекты, и, наконец, допустимыми
интерпретациями для константных символов —фиксированные,
выделенные объекты. Поэтому «мыслимый мир», или модель для X,
включает в себя прежде всего непустое множество — универсум А.
В этом универсуме всякий n-местный предикатный символ Р соот-
т) Таким образом, мощность ||J£|| языка X не равна, вообще говоря,
теоретико-множественной мощности IX] множества X.— Прим, персе.
3 Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
34
Гл. 1. Введение
ветствует п-местному отношению R cz Ап, всякий тп-местный
функциональный символ F соответствует тп-местной функции G:
Ат-> А, а всякий константный символ с — некоторой констан-
те х £ А. Это соответствие задается интерпретирующим отобра-
жением 3, отображающим символы языка X в соответствующие
отношения, функции и константы в множестве А. Моделью язы-
ка X называется пара (Л, J). Для обозначения моделей мы
будем пользоваться готическими буквами. Так, мы пишем 21 =
= <Л, 3), 9S (В, ^>,6 = (С, и т. д., употребляя также
верхние и нижние индексы. Мы будем стараться употреблять эти
обозначения согласованно, так что универсумами моделей 9S\
93", 2Bf, 2Sy и т. д. будут множества В', В", Bf, Bj и т. д. Отноше-
ниями, функциями и константами модели служат соответствен-
но образы предикатных, функциональных и константных символов
языка X при отображении 3.
Заметим, что при данном универсуме А для символов языка X
может существовать много различных интерпретаций. Пусть
21 = (Л, 3) и 21' = (Л', 3') — модели языка X, а В и R' —
отношения в моделях 21 и 21' соответственно. Будем говорить,
что R' — отношение, соответствующее отношению R, если они
служат интерпретациями одного и того же предикатного символа
языка X, т. е.
3 (Р) — 7? и 3' (В) = R' для некоторого Р £ X.
Введем также аналогичные соглашения для функций и констант.
Если
X’ = {Ро, Bn, Bq, • • •, Bm, Cq, £(/}»
то развернутое обозначение модели языка X имеет вид
21 = (Л, Bq, Rn, Gq, Gmi *0» • • •!
Если все символы языка X стандартны, условимся для обозначе-
ния, например, модели языка X = + , •} использовать
запись
21 = (Л, <, +, •>.
Если того Потребует контекст, мы можем прибегнуть к таким обо-
значениям, как
21 (Л, эд, +эд, *эд), S8 = {В, и т* Д*
Если нам дана модель 21 языка X, ее всегда можно обогатить
до модели языка X1 = X U X, придавая символам из множества X
подходящие интерпретации. Если 3' — произвольная интерпре-
тация символов из множества X в универсуме модели 21 и множе-
ства X и X не пересекаются, то 21' = (Л, 3 3’} является
моделью языка X’. В таком случае мы говорим, что 21' — обо-
1.3. Языки, модели и выполнимость
35
гащение модели ЭД до модели языка X', а ЭД — обеднение моде-
ли ЭД' до модели языка X. Иногда для ЭД' мы используем более
короткое обозначение (ЭД, Z7'). Очевидно, имеется много спосо-
бов обогатить модель ЭД языка X до модели ЭД' языка X' С дру-
гой стороны, для всякой модели ЭД' языка X' существуй един-
ственное обеднение ЭД на X. Именно мы образуем модель ЭД,
ограничив интерпретирующее отображение J', определенное на
# U X, множеством X. Переход к обогащению или к обеднению
модели не меняет ее универсума.
Мощностью, или кардиналом, модели ЭД называется карди-
нал | А |. Модель ЭД называется конечной, счетной или несчетной,
если | А | — конечный, счетный или несчетный кардинал соответ-
ственно. Заметим, что в случае конечного универсума А, где
можно построить лишь конечное число различных отношений,
функций и констант, количество различных интерпретирующих
отображений Z7 зависит от | X | и может быть очень большим.
Теперь мы введем некоторые простые, но важные понятия
и операции над моделями. Чтобы освоиться с ними, читателю
следует внимательно разобраться в упражнениях, помещенных
в конце этого раздела.
Модели ЭД и ЭД' языка X называются изоморфными, если
существует взаимно однозначное отображение / множества А на
А', удовлетворяющее таким условиям:
(i) Для всякого n-местного отношения R модели ЭД и соответ-
ствующего отношения 7?' модели ЭД'
R (х1ч ., хп) тогда и только тогда, когда R' (/ (^), ., / (хп))
для всех хг, ., хп из А.
(ii) Для всякой тп-местной функции G модели ЭД и соответ-
ствующей функции G' модели ЭД'
/ (G (х,, хт)) = G’ (f (^), f (xm))
для всех хх, ., хт из А.
(iii) Для всякой константы х модели ЭД и соответствующей
константы х' модели ЭД'
f (*) %'
Всякое отображение /, удовлетворяющее этим условиям, назы-
вается изоморфизмом модели ЭД на модель ЭД' или изоморфизмом
между моделями ЭД и ЭД' Тот факт, что / — изоморфизм модели ЭД
на ЭД', мы выражаем записью f: ЭД ЭД' а формула ЭД ЭД'
означает просто, что модели ЭД и ЭД' изоморфны.
В целях удобства мы употребляем знак для обозначения
отношения изоморфизма между моделями языка X. Совершенно
ясно, что отношение является отношением эквивалентности.
Кроме того, оно сохраняет мощности, так что из ЭД 2S выте-
кает | А | = | В |. Изоморфные модели ЭД и Ж могут, очевидно,
3*
36
Гл. 1. Введение
считаться неразличимыми в любом смысле, если только мы не
пожелаем рассматривать внутреннее строение каждого элемента
из множеств А и В.
Модель ЭД' называется подмоделью модели ЭД, если А'с Л и
(i) Всякое n-местное отношение 7?' модели ЭД' является огра-
ничением на множество А' соответствующего отношения R моде-
ли ЭД, т. е. R' = R f] (АТ.
(ii) Всякая тп-местная функция G' модели ЭД' является огра-
ничением на множество А' соответствующей функции G моде-
ли ЭД, т. е. G' - G 1 (А')т.
(iii) Всякая константа модели ЭД' совпадает с соответствую-
щей константой модели ЭД.
Мы используем запись ЭД' cz ЭД, чтобы выразить тот факт, что
ЭД' является подмоделью модели ЭД, а символ cz — для обозначе-
ния отношения «быть подмоделью» между моделями языка <55.
Читателю следует проверить, что отношение cz является отноше-
нием частичного порядка и что если ЭД с: 23, то | А | | В |.
Если ЭД является подмоделью модели 28, то 23 называется рас-
ширением модели ЭД.
Соединяя в одном определении два последних понятия, будем
говорить, что модель ЭД изоморфно вкладывается в модель 28, если
найдутся такие модель 6 и изоморфизм /, что /: ЭД = ® и (5 cz 23.
В этом случае мы называем отображение / изоморфным вложением
модели ЭД в модель 28. Если ЭД изоморфно вкладывается в 23,
то модель 23 изоморфна некоторому расширению модели ЭД.
Для формализации языка X нам нужны следующие логиче-
ские символы (см. соответствующее описание языка X в разд. 1.2):
скобки ), (;
переменные и0, . vn,
связки л (и), "Д (не);
квантор V (для всех)
и один символ бинарного отношения = (равенство).
Разумеется, мы предполагаем, что ни один символ собственно
языка X не встречается в этом списке. Некоторые слова, построен-
ные из символов как языка <55, так и приведенного выше списка,
называются термами. Они определяются следующим образом:
1.3.1. (i) Переменная есть терм.
(ii) Константный символ есть терм.
(iii) Если F — некоторый тп-местный функциональный символ,
a tm — термы, то F (Ч, ., tm) — терм.
(iv) Построенное из символов слово является термом в том
и только том случае, когда это можно показать с помощью конеч-
ного числа применений пунктов (i) — (iii).
Атомными формулами языка <55 называются слова следую-
щего вида:
1.3. Языки, модели и выполнимость
37
1.3.2, (i) Если t± и t2 — термы языка X, то tr = t2 — атомная
формула.
(ii) Если Р есть n-местный предикатный символ, а tn—
гермы, то Р tn) — атомная формула.
Наконец, формулы языка X определяются следующим образом:
1.3.3. (i) Атомная формула есть формула.
(ii) Если (риф — формулы, то (ср д ф) и (^ф) — формулы.
(iii) Если и — переменная, а ср — формула, то (Vp) ср есть
формула.
(iv) Построенное из символов слово является формулой тогда
и только тогда, когда это можно показать с помощью конечного
числа применений пунктов (i) — (iii).
Как и в случае языка X, мы можем представить определе-
ния 1.3.1 и 1.3.3 в теоретико-множественной форме. Именно
множество термов языка X есть наименьшее множество Т, содер-
жащее все константные символы и все переменные ип, п = 0, 1,2,. ..,
для которого всякий раз, когда F — символ zn-местной функции,
a ., tm лежат в Т, имеет место F (tx, ., tm) £ Т. Анало-
гично, множество формул языка X есть наименьшее множе-
ство Ф, которому принадлежат все атомные формулы и все форму-
лы вида (<р л ф), (П«р) и (Vи) <р, где ф, ф £ Ф, а и -— некоторая
переменная.
Отметим, что мы, не связывая себя явным обязательством,
употребляем буквы t (возможно, с индексами) для обозначения
термов, v — для переменных, а (р и ф — для формул. Подчеркнем
еще раз, что свойства термов и формул языка X можно доказывать
только посредством индукции, основанной на определениях 1.3.1
и 1.3.3.
Теперь мы так же, как в разд. 1.2, введем сокращения V,
и Более того, мы примем все ранее введенные соглашения.
Новый символ 3 (существует) вводится как следующее сокра-
щение:
(Зу) (р вместо *"1 (Vv) П ф.
Примем еще несколько новых соглашений:
<Pi Л <р2 Л Л Фп используется вместо (<pt X (ф2 Л Л фп));
Ф1 *7 ф2 v V фп — вместо (ф! v (ф2 v v Фп))
(Vzp:2 Яп)ф —вместо (Vxt) (Vx2) (Vzn) ф;
(3#ia:2 Яп) фвместо (3xt) (Зх2) (Эхп) ф.
Начиная с этого момента мы предполагаем, что читатель доста-
точно хорошо знаком с логикой предикатов первого порядка,
Для того чтобы самому продолжить эту предварительную работу.
38
Гл. 1. Введение
В частности, мы предоставляем ему разобраться с понятиями
подформулы, свободного и связанного вхождений переменной в фор-
мулу и дать точное (основанное на определениях 1.3.1 и 1.3.3)
определение подстановки терма на место переменной в формулу.
Введем теперь чрезвычайно важное соглашение об обозначе-
ниях. Чтобы быть уверенными, что читатель не пропустит его,
мы заключаем это соглашение в рамку.
Мы обозначаем через t (vQ, ., vn) всякий терм t, пере-
менные которого образуют подмножество множества {р0,
., vn}. Аналогично, всякую формулу (р, свободные пере-
менные которой образуют подмножество множества {р0,
., vn}, будем обозначать через ф (р0, . . ., vn).
-----------------------------------------------------------Т
Отметим, что мы не требуем, чтобы все переменные vQ, . ., vn
были свободными переменными формулы ф (р0, ., vn). Форму-
ла ф (р0, ., vn) может в действительности вовсе не содержать
свободных переменных. На связанные же переменные мы не
накладываем никаких ограничений. Например, каждая из сле-
дующих формул имеет вид ф (v0, v2):
(Vvi) (Зр3) R {v0, Vj_, v3), R (v0, Vj_, v2),
S (vQ, t>2), S (y4, v4).
Предложением называется формула без свободных пере-
менных.
Заметим, что даже если язык X не содержит никаких соб-
ственных символов, в нем все-таки существуют формулы. Эти фор-
мулы построены только из символа равенства = и других пере-
численных выше логических символов. Такие формулы называют-
ся формулами равенства и содержатся во всяком языке. Следующее
предложение является простым, но важным.
Предложение 1.3.4. Мощность множества всех формул языка
X равна || J5||.
Чтобы превратить определенные выше синтаксические понятия
в формальную систему, нам понадобятся логические аксиомы и пра-
вила вывода. Логические аксиомы языка X подразделяются на
три группы.
1.3.5. Аксиомы предложений', всякая формула ф языка X,
которая может быть получена из некоторой тавтологии ф языка &
в результате подстановки формул языка X на место высказыва-
аельных символов, входящих в ф (одновременно для всех их
вхождений), есть логическая аксиома языка X. Далее мы будем
называть всякую такую формулу ф тавтологией языка X.
1.3. Языки, модели и выполнимость
39
1.3.6. Аксиомы кванторов*.
(i) Если <р и ф — формулы языка <5?, a v — переменная, не
входящая в ф свободно, то формула
(Vp) (<р i|>) -> (<Р -> (Vv) Ч>)
есть логическая аксиома.
(ii) Если ф и ф — формулы и ф получена из ф в результате
подстановки вместо каждого свободного вхождения переменной v
в формулу ф терма t, допустимого для подстановки вместо v
(т. е. никакая переменная х терма t не может оказаться связан-
ной в формуле ф в том месте, где подставлено t), то формула
(V0 ф -> ф
есть логическая аксиома.
1.3.7. Аксиомы равенства: пусть х, у — переменные, t (t?0,
., ип) — терм, а ф (р0, ., vn) — атомная формула. Тогда
формулы
х = х,
X =У~+ t (Ро, ., Pf-i, х, vi+l, ., vn) = t (p0, v^,
У, vi+i, vn),
Уч ^i + 14 •? Pn))
суть логические аксиомы.
Имеется также два правила вывода.
1.3.8. Правило отделения (или модус поненс): из формул ф
и ф -> ф выводится ф.
1.3.9. Правило обобщения: из формулы ф выводится (V#) ф.
Мы предполагаем, что, когда заданы аксиомы и правила выво-
да какой-либо теории, читатель понимает, что такое доказатель-
ство, длина доказательства, теорема в ней. Поскольку мы зани-
маемся обычной логикой первого порядка с равенством, будем
считать известными и свободно пользоваться всеми основными
теоремами рассматриваемых формальных систем и метатеорема-
ми о них.
В соответствии со стандартным употреблением символа V-
запись Н ф означает, что ф — теорема в языке X. Если S —
некоторое множество предложений языка X, то с помощью
2 h Ф мы выражаем тот факт, что существует вывод формулы ф
из логических аксиом и формул множества S. Если множество
2 {о1? ., оп} конечно, то вместо 2 Ь ф мы пишем а1?
., an Н ф. Поскольку логические аксиомы всегда считаются
данными, будем в тех случаях, когда 2 h <р, говорить, что суще-
ствует вывод формулы ф из множества 2 или что ф выводимо из S.
40
Гл, 1, Введение
Множество 2 называется противоречивым (несовместным), если
из него выводима всякая формула языка X. В противном слу-
чае 2 называется непротиворечивым (совместным). Предложе-
ние а называют непротиворечивым, если таково множество {ст}.
Говорят, что 2 — максимальное непротиворечивое (в языке X)
множество, если 2 непротиворечиво и никакое множество пред-
ложений (языка X), строго содержащее множество 2, не является
непротиворечивым. В следующем предложении перечисляются
некоторые полезные, хотя и простые свойства непротиворечивых
и максимальных непротиворечивых множеств предложений. (Мно-
гие из этих свойств сформулированы также в предложении 1.2.8.)
Предложение 1.3.10. (i) Множество 2 непротиворечиво тогда
и только тогда, когда непротиворечиво любое его конечное под-
множество.
(ii) Пусть о — предложение. Множество 2 [J {о} противо-
речиво тогда и только тогда, когда 2 Н ^а. Поэтому 2 (J {а}
непротиворечиво тогда и только тогда, когда предложение ^]<т
не выводимо из 2.
(iii) Если 2 — максимальное непротиворечивое множество, то
для любых предложений сих
2 |— с тогда и только тогда, когда а g 2;
а $ 2 тогда и только тогда, когда
а А т 6 2 тогда и только тогда, когда и а и х содержатся в 2.
(iv) (Теорема дедукции.) 2 U {а} Н ? тогда и только тогда,
когда 2 |— а -> т. (Здесь а — предложение, хотя х таковым быть
не обязано.)
Следующее предложение дублирует лемму 1.2.9. Ее доказа-
тельство переносится без изменений.
Предложение 1.3.11. (Теорема Линденбаума.) Всякое непро-
тиворечивое множество предложений языка X может быть рас-
ширено до максимального непротиворечивого множества предложе-
ний этого языка.
Перейдем теперь к основному определению этого раздела.
Собственно говоря, определение выполнимости, которое сейчас
будет дано, служит краеугольным камнем теории моделей. Сна-
чала мы в нескольких замечаниях изложим приводящие к нему
соображения. Если сравнить рассмотренные в разд. 1.2 модели
с изучаемыми нами сейчас, то мы увидим, что, говоря о первых,
мы касались лишь вопроса об истинности или ложности некото-
рого утверждения в модели, в то время как теперь ситуация
намного усложнилась из-за того, что предложения языка X
содержат некоторые утверждения относительно индивидуальных
элементов модели. В полном объеме вопрос об истинности или
ложности данного предложения (первого порядка) в некотором
1,3. Языки, модели и выполнимость
41
возможном мире (т. е. в модели) оказывается не таким уж про-
стым. Например, не существует регулярного метода, позволяю-
щего по произвольному данному предложению языка X =
= {+, -,S,0} решать, истинно оно или ложно в стандартной
модели (TV, +, ♦ , S, 0> арифметики (здесь S обозначает функцию
следования). В разделе же 1.2 мы, напротив, показали, что для
всякой модели языка существует такая разрешающая про-
цедура, дающая ответ для всякого высказывания языка . Чтобы
определить понятие
предложение а истинно в модели 21,
мы должны сначала разбить а на меньшие части и испытать каж-
дую из полученных частей. Если а имеет вид ""|<р или <р Л ф,
то ясно, что вопрос об истинности или ложности предложения а
в модели ЭД решается, как только мы разберемся, истинны ср и г|>
в 21 или ложны. С другой стороны, если о имеет вид (V#) ср, то
такой метод определения истинности или ложности предложе-
ния о не проходит, так как ср может и не быть предложением,
а потому было бы бессмысленно спрашивать, истинно ср в 21
или ложно.
Подразумевается, что значения всякой свободной в формуле ср
переменной х пробегают множество А. Для каждого конкретного
элемента а множества А имеет смысл вопрос,
является ли формула ср истинной в модели 21, если ср говорит об а.
Если для каждого а из А ответ на этот вопрос окажется утвер-
дительным, то мы можем сказать, что о истинно в 21. Если же
в А найдется элемент а, для которого ответ будет отрицательным,
то мы скажем, что о ложно в 21. Но для того, чтобы ответить на
такой вопрос для одного только, фиксированного, элемента из Л,
нам в случае, когда ср имеет вид (V#) ф, придется вновь преодоле-
вать те же трудности. Поэтому мы естественно приходим к вопросу,
является ли формула ф истинной в модели 2Г,
если ф говорит о паре элементов а и Ъ из А,
Теперь остается сделать совсем маленький шаг, чтобы заме-
тить, что решающим является следующий вопрос:
Пусть даны формула ср (v0, ., vp) и последовательность
элементов х0, ., хр из множества Л; что понимается под
словами «<р истинна в модели 21, когда переменные v0,
., vp принимают значения xQ, ., хр»?
Наш план состоит в том, чтобы сначала ответить на этот вопрос
Для любой атомной формулы ф (v0, ., vp) и любых элементов
хр. Затем, с помощью индуктивной процедуры, основан-
ной на индуктивном определении формулы (1.3.1—1.3.3), мы
42
Гл. 1. Введение
сумеем дать ответ для всех формул гр (р0, vp) и последова-
тельностей я0, хр.
Осуществление этого плана наталкивается еще на одну труд-
ность: если все свободные переменные формулы ср содержатся среди
v0, •, vp, то отсюда вовсе не следует, что среди р0, ир
содержатся и все свободные переменные любой подформулы фор-
мулы ср. Дело в том, что квантор превращает свободную пере-
менную в связанную. Из-за этого при реализации нашего плана
на индуктивном шаге могут возникнуть неприятности. Обойти
эту трудность позволяет следующее замечание: если все пере-
менные формулы ср, свободные и связанные, содержатся среди
г>0, ., vq, то и все переменные любой ее подформулы также
содержатся среди р0, vq. Поэтому мы модифицируем наш
план следующим образом: сначала мы отвечаем на поставленный
вопрос для всех атомных формул ф (р0, ., vq) и всех элемен-
тов я0, ., xq. Затем с помощью индуктивной процедуры м$я
отвечаем на этот вопрос для всех формул ср, все переменные кото-
рых, свободные и связанные, содержатся среди v0, ., vq, и для
всех элементов xQ, ., xq. Наконец, мы доказываем, что ответ
на данный вопрос для формулы ср (р0, ., vp) и элементов
я0, •, xq, зависит только от элементов хй, хр,
соответствующих свободным переменным формулы ср, так что
значения ., xq несущественны.
Теперь мы готовы дать формальное определение. Основным
определяемым понятием является такое: пусть ср — произвольная
формула языка X, все переменные которой, свободные и связан-
ные, содержатся среди v0, ., vq, и пусть я0, ., xq— про-
извольная последовательность элементов множества А. Мы опре-
деляем предикат
1.3.12. ср выполняется на последовательности xQ, . xq
в модели И, или я0, ., xq удовлетворяют формуле ср в ЭД.
Определение дается в три шага (ср. с 1.3.1 —1.3.3).
Пусть ЭД — некоторая фиксированная модель языка X.
1.3.13. Значение терма t (v0, ., vq) на последовательности
х0, ., xq определяется следующим образом (мы обозначаем
это значение через • яд]):
(i) Если t = Vi, то t [я0, ., Яд] = яг.
(ii) Если t — символ константы с, то t [я0, яд] есть
интерпретация символа с в модели ЭД.
(iii) Если t = F (tY, tm), где F — символ тп-местной
функции, то
= & (^1 ^gL • • •» ^gD»
где G — интерпретация символа F в модели ЭД.
1.3» Языки, модели и выполнимость
43
1.3.14. (i) Пусть ср (yQ, ., vq) — атомная формула вида
= £2, где t± (р0, ., vq) и t2 (i?0, ., vq) — термы. Формула ср
выполняется на элементах xQ, xq, если
(ii) Пусть ср (р0, ., vq) — атомная формула вида Р (£х,
tn), где Р — п-местный предикатный символ, a t± (v0,
., vq), ., tn (р0, vq) — термы. Формула ср выполняется
на элементах я0, xq, если
7? (ij_ ко,
Яд],
Uo , *> Яд]),
где R — интерпретация в модели ?! символа Р.
Тот факт, что формула ср выполняется в модели ?! на элемен-
тах я0, xq, мы изображаем для краткости с помощью записи
21 1= Ср [Х0, Яд].
Таким образом, определение 1.3.14 можно сформулировать так:
(i) 21 t= (*i = Q яд], если t± [я0, я?д] =
^2 ., Яд].
(ii) 21 |= Р (t^ tn) [я0, Яд], если R (^ [я0,
Яд], tn (Яф, Яд])*
1.3.15. Пусть ср — формула языка X, все свободные и свя-
занные переменные которой содержатся среди v0, vq.
(i) Если ср имеет вид 0Х А 02, то
21 t= ср [я0, Яд], если 21 0Х [я0, ., xq] и
21 02 ко, Яд].
(ii) Если ср имеет вид 0, то
21 t= ср 1я0, Яд], если неверно, что 21 0 к0, яд].
(iii) Если ср имеет вид (V^/) ф, где i q, то
21 ср [я0, Яд],
если 21 ф к0, Я/_1? я, xi+1, яд] для любого я £ А.
Наше определение предиката 1.3.12 завершено. Читатель
может проверить в качестве простых упражнений, что сокраще-
ния V, и 3 имеют свои обычные значения. В частности,
если ср есть (3^) ф, где i q, то 21ср [я0, xq] тогда
и только тогда, когда существует такой элемент я С А, что
21 t= ф [я0? х, ян-ь ., Яд]. Более существенно —
и читателю следует проделать это,— что мы можем также на
языке теории множеств сформулировать точные определения для
Ня0, ., ха] и 21 t= ср [я0, . . я0], основанные на 1.3.13—
1.3Л5.
44
Гл. 1. Введение
Теперь, когда это определение дано, наша ближайшая зада-
ча — доказать предложение о том, что утверждение
ЭД ф (l>0> Vp) [х0, Xq}
зависит только от значений х0, хр, где р < q. Это последняя
часть намеченного нами плана.
Предложение 1.3.16. (i) Пусть t (yQ, ., vp)— терм,
а xq и У о> ч У г — такие две последовательности эле-
ментов, что р q, р г и xt — уесли только vt — свободная
переменная терма t. Тогда
(ii) Пусть ср — формула, все переменные которой, свободные
и связанные, содержатся среди у0, ., vp, и пусть х0, ., xq
и у 0, ., у г — такие две последовательности элементов, что
Р Уч Р г и-> если только vt — свободная в формуле ср перемен-
ная, Xi = y-t. Тогда
ЭД ср [я;0, . . Хд\ в том и только том случае, когда
Замечание. Предложение 1.3.16 показывает, что значение
терма t на xQ, ., xq и ответ на вопрос, выполняется ли формула
ср для этой последовательности, зависят только от тех значений
для которых Vi — свободная переменная, и не зависят от других
элементов данной последовательности, равно как и от ее длины.
Длина q рассматриваемой последовательности должна только
быть достаточно большой, чтобы захватить все свободные и свя-
занные переменные терма t или формулы ср — для того чтобы
выражения t[xQ, ., я;д] и ЭД ср [я;0, ., хд] вообще были
определены. Теперь мы можем немедленно заключить, что если
О’ — предложение, то вопрос об истинности утверждения ЭД
о [я;0, ., xq] совершенно не зависит от последовательности
я0, ., Xq. Важность сформулированного выше предложения
состоит в том, что оно позволяет нам дать следующее определение.
1.3.17, Пусть (р (vQ, ., vp) — формула, все переменные кото-
рой, свободные и связанные, содержатся среди v0, ., vq,
р q. Пусть х^, ., хр — последовательность элементов множе-
ства А. Будем говорить, что (р выполняется в ЭД на xQ, хр,
ЭД 1= ф [х0, Хр],
если <р выполняется в ЭД на xq, ., хр, ., xq при некоторой
(или, эквивалентно, любой) последовательности xp+i, xq.
Пусть гр — предложение, все связанные переменные которого
содержатся среди и0, . . ., vq. Скажем, что ср выполняется в моде-
1,3. Языки, модели и выполнимость
45
ли ?! (обозначение: $ t= ф), если ф выполняется в ЭД на некото-
рой (или, эквивалентно, любой) последовательности я0, хд.
Доказательство предложения 1.3.16 просто, но утомительно.
Мы приведем здесь его набросок как пример доказательства
индукцией по «сложности» формул. В дальнейшем подобные
простые индуктивные доказательства мы часто будем опускать.
Доказат ельство предложения 1.3.16. (i) Если
t (v0, vp) — переменная vi4 то
t [х0, Xg] = Xi = yt = t [y0, J/rl.
Если t (vQ, ., vp) — константный символ с, a x — его интер-
претация в модели ЭД, то
t [хо, . . Xg] = X = t [{/(,, l/rl.
Пусть t (р0, ., Vp) есть F (t1? ., tm), где F — некоторый
m-местный функциональный символ, и доказываемое предложение
верно для каждого из термов tm. Это означает, что
k0, • • •» *^g] = ко’ •» Уг} 1 > • м ^)*
Поэтому если G — интерпретация символа F в модели ЭД, то
к0,
•1 Яд] — (^1 ^Яо,
= G (^ [i/0,
= t ko>
k0,
Яд])
Уг])
Тем самым пункт (i) нашего предложения доказан для всех тер-
мов t.
(ii) Если ф — атомная формула вида = Z2, то, используя (i),
получаем
^1 ко, ~ ^1 к(М УгЬ
^2 k0, == $2 [ Уоу У А*
Поэтому следующие утверждения равносильны:
ЭД 1= Ф k0, яд],
кд» Яд] == ^2 к0, Яд],
*/;•]= *2^0» м Ут\,
Я 1= <Р 1Уо, • • м УтУ
Пусть ф — атомная формула вида Р (£n tn), где Р есть
«-местный предикатный символ, а £г, ., tn — термы. Тогда,
применяя (i), видим, что следующие утверждения равносильны
46
Гл. 1. Введение
(здесь R — интерпретация символа Р в модели 21):
Ф 1я0, * 1 1
R [х0, ql» *п •Tql),
R (^1 Уг^ 1 *п [уо. У г]),
31 1= ф 1*/о> УгУ
Пусть теперь ф и 9 — формулы, все переменные которых, сво-
бодные и связанные, содержатся среди р0, ., рр, причем для
ф и 0 справедливо утверждение (ii) доказываемого предложения.
Если ф есть ф Л 0, то следующие утверждения равносильны:
21 1= Ф 1х0,
21 Г ф lyQ,
21 1= ф [х0, Xq],
Xq] И 21 t= 0 [х0,
уг] И 21 t= 0 1у0,
21 1= Ф [у0, уД
Я-ql,
У г],
Если ср есть ~]ф, то равносильны следующие утверждения:
неверно,
неверно,
21
21 t= ф ]х0, Хд],
ЧТО 21 t= ф [х0, Xq],
ЧТО 21 t= ф 1у0, Уг],
t= <Р [у0, уД
Наконец, пусть ср есть (Vof) ф, где
следующие утверждения:
i р. Тогда эквивалентны
21 t= ф [х0,
21 t= ф [у0,
21 1= Ф к0,
У.-i, У, У;+1,
21 1= ф [у0,
Xq] ДЛЯ ВСЯКОГО X £ А,
уг] для ВСЯКОГО у £ А,
у Д
В этой последней части доказательства мы воспользовались тем
фактом, что свободными переменными формулы ф являются в точ-
ности свободные переменные формулы ф и еще, возможно, р^.
Теперь наше доказательство закончено. —|
Сформулируем теперь одно более элементарное предложение,
говорящее о поведении отношения выполнимости при подстановке
термов вместо переменных. Мы опускаем его доказательство,
представляющее собой снова скучную и прямолинейную
индукцию.
Предложение 1.3.18. Пусть ф (р0, ., рр) — формула,
а (ро, • ♦ , рр), • , tP ., vp) — термы. Предположим,
что ни одна переменная, входящая хотя бы в один из термов
i0, tp, не входит в ф связанной. Пусть xQ, ., хр — после-
довательность элементов множества А, а ф (£0, . . ., tp) — форму-
1.3. Языки, модели и выполнимость
ла, полученная из ср путем подстановки термов вместо перемен-
ных Vi (j = 0, р). Тогда
ЭД ср (i0, ., tp) [л:0, Яр] в том и только том случае,
когда ЭД t= ф Щ Uo, <rpl, tp [х0,
Теперь мы завершили наш план, к которому приступили не-
сколько абзацев назад. Именно, мы говорим, что
предложение о истинно в ЭД,
если
ЭД 1= о [<г0, ., xq] для некоторой (или, что равносильно, для
любой) последовательности xQ, xq элементов из А.
Для выражения этого факта мы используем специальное обозна-
чение ЭД о. Утверждение «о истинно в ЭД» считается равно-
сильным каждой из следующих фраз:
о верно в ЭД,
а выполняется в ЭД,
ЭД — модель предложения о.
В случае когда о не истинно в ЭД, мы говорим, что а ложно в ЭД
или что а не выполняется в ЭД, или что ЭД — модель предложе-
ния Дет. Если дано множество X предложений, будем говорить,
что ЭД — модель этого множества, если ЭД является моделью
каждого предложения для этого понятия удобно ввести
обозначение ЭД 2. Предложение о, выполняющееся в каждой
модели языка X, называется истинным. Предложение (или
множество предложений) называется выполнимым, если оно имеет
хотя бы одну модель. Предложение а называется опровержимым,
если До выполнимо. Истинность предложения о мы обозначаем
через о.
Предложение ф называется следствием другого предложения о
(обозначение: о ф), если всякая модель предложения о является
также моделью для ф. Предложение ф называется следствием
множества предложений 2 (обозначение: 2 Ё ф), если всякая
модель для 2 является моделью и для ф. Отсюда следует, что
2 (J {о} ф тогда и только тогда, когда 2^а->ф.
Модели ЭД и 23 языка X называются элементарно эквивалент-
ными, если всякое предложение, истинное в ЭД, истинно и в 25,
и обратно. Мы выражаем это отношение между моделями обо-
значением = . Легко видеть, что отношение =, конечно же,
является отношением эквивалентности. Символ, выбранный нами
Для обозначения элементарной эквивалентности, совпадает с сим-
волом равенства, содержащимся в языке X. Никакой путаницы,
48
Гл. 1. Введение
однако, произойти не должно, поскольку один из них обозначает
отношение между моделями языка а другой — отношение
между термами этого языка. В дальнейшем, там, где это допу-
скает контекст, мы вместо «элементарно эквивалентные» будем
писать «эквивалентные».
Предложение 1.3.19. Если 31 = 23, то 31 = 23. Если же
31 — конечная модель, то верно и обратное.
Мы закончим этот раздел, сформулировав без доказательства
ряд важных результатов; их доказательства будут приведены
в следующей главе.
ТворемА 1.3.20. (Теорема Гёделя о полноте.) Произвольное
предложение языка X является теоремой тогда и только тогда,
когда оно истинно.
Теорема 1.3.21. (Обобщенная теорема о полноте.) Пусть
5 — произвольное множество предложений', тогда оно непротиво-
речиво в том и только том случае, когда оно имеет модель.
Теорема 1.3.22. (Теорема компактности.) Множество пред-
ложений S имеет модель тогда и только тогда, когда имеет модель
всякое его конечное подмножество.
Мы заключаем этот раздел, как и предыдущий, таблицей экви-
валентных понятий.
Таблица 1.3.1
Синтаксис
Семантика
Ф— теорема, Н ф
S непротиворечиво
<р выводимо из S, или
S Н (р
ср истинно, fZ ф
S имеет модель
Ф — следствие множест-
ва S, или S fz ср
Упражнения:
1.3.1. Докажите, что отношение изоморфизма есть отношение
эквивалентности. Пусть а — произвольное кардинальное число.
Докажите, что для языка X существует не более 2а неизо-
морфных моделей мощности а.
1.3.2. Пусть 31 с 23 означает, что модель 31 изоморфно вкла-
дывается в модель 23. Покажите, что отношение с рефлексивно,
транзитивно, но не антисимметрично. Пусть N — множество
1.3. Языки, модели и выполнимость
49
натуральных чисел О, 1, 2
щих соотношений верны:
Определите, какие из следую-
(N, <, +,0)<z(N, <, 1),
(N, <, 1) с (N, <, +, 0),
(N-{0}, <, .,1>с(АГ, <, +,0)
(N -{0}, 1)с(АГ, +,0),
(N-{0}, )c{N, +).
Здесь + и понимаются как обычные упорядочение и опера-
ции на ЛГ.
1.3.3. Пусть ф (р0, ., vn) — формула языка X, а ЭД —
модель языка X. Докажите, что
(i) Определение отношения выполнимости 21 1= ср [я0, ., хп\
можно формализовать в теории множеств Цермело — Френкеля.
(ii) Если ЭД' — обогащение модели ЭД и я0, £ Л, то
ЭД ср [#0, . ., хп] тогда и только тогда, когда ЭД' ср [х0,. . ., яп].
1.3.4. Докажите предложение 1.3.19. Постройте также соот-
ветствующий контрпример для случая, когда модель ЭД не конечна.
1.3.5. Предложение ср называется универсальным, если оно дано
в пренексной форме и все его кванторы — кванторы всеобщности,
т. е. V. Докажите, что если ср — универсальное предложение
и ЭД cz 23 и 23 ср, то и ЭД ср. Предложение называется экзи-
стенциальным, если оно находится в пренексной форме и все
его кванторы — кванторы существования, т. е. 3. Докажите, что
если ср — экзистенциальное предложение, ЭД cz 23 и ЭД £= ср, то
и 23 £= ср. Таким образом, универсальные предложения устой-
чивы относительно подмоделей, а экзистенциальные — относи-
тельно расширений моделей.
1.3.6. Существует не более чем неэквивалентных моде-
лей языка X.
1.3.7. Пусть ЭД и 23 — эквивалентные модели для X. Пусть
каждый элемент множества А является константой модели ЭД
и аналогичное утверждение имеет место для модели 28. Докажите,
что при этом условии ЭД 23. Если же сделанное предположение
справедливо только для ЭД, то докажите, что ЭД изоморфно
вкладывается в 23.
1.3.8* . Найдите необходимое и достаточное условие, которому
должен удовлетворять язык X, чтобы для него существовало
точно 2|,е^Ч неэквивалентных моделей. Решите аналогичную
задачу о существовании точно 2а неизоморфных моделей мощно-
сти а, где а — произвольный бесконечный кардинал.
Г. Кейслер, . Чэн
50
Гл. 1. Введение
1.3.9. Пусть 21 — модель языка X, а X — непустое подмноже-
ство множества А. Пусть
в == П {С : 6 <= а и X с С}.
Тогда существует подмодель 23 с 21 с универсумом 5, называе-
мая подмоделью, порожденной множеством X.
1.3.10. Пусть 21 и X такие же, как в упр. 1.3.9, а S3 — под-
модель, порожденная множеством X. Тогда
В = {t [жх, хп] t — терм языка X и х^ хп X}.
Кроме того,
|X|<|5|<|X|U 11^11.
1.3.11. Пусть X cz А и X порождает всю модель 21. Пусть
/ — некоторое одно-однозначное отображение множества X в дру-
гую модель 23. Тогда существует не более одного изоморфного
вложения g модели 21 в модель 23, для которого f cz: g.
1.3.12. Пусть X не содержит ни функциональных, ни кон-
стантных символов. Тогда для всякой модели 21 языка X и про-
извольного непустого подмножества X с А существует подмодель
модели 21, универсумом которой служит X.
Пусть теперь X не содержит только функциональных сим-
волов. Тогда для всякой модели 21 языка X и произвольного
непустого множества X cz А, содержащего все константы этой
модели, существует подмодель модели 21, универсумом которой
служит X.
1.3.13. С помощью обобщенной теоремы о полноте проверьте
все «утверждения-параллели» таблицы 1.3.1.
1.3.14* . Элемент а £ А модели 21 называется определимым
(в 21), если существует такая формула <р (х) языка X, что а —
единственный элемент в множестве А, для которого выполняется
<р (х). Для всякого п £ о) укажите такую модель 21 п языка X
и такой язык, содержащий лишь конечное число символов, чтобы
в 21п содержалось точно п неопределимых элементов. В случае
п == 0 и п > 1 такие примеры находятся легко. Для п = 1 это<
намного труднее.
1.3.15* . Пусть язык X содержит лишь конечное число преди-
катных и константных символов, но не содержит функциональ-
ных символов. Следующим образом по индукции определим отно-
шения ==п на моделях языка X:
^=О23, если изоморфны подмодели моделей 21 и 23, порож-
денные константами этих моделей, или если X
вовсе не содержит константных символов.
1.3. Языки, модели и выполнимость
51
§[=п+123, если для всякого а£А существует такой элемент
Ъ^В, что (31, а) =п ($8, 6), и для всякого Ь^В
существует такой а что (31, а)=п(ЯЗ, Ъ).
Отметим, что определение отношения sn+i опирается на тот
факт, что отношение =п уже определено для всех языков вида
3? U {cv м ст}- Докажите, что 3( = 2S тогда и только тогда,
когда ==п ЯЗ при всяком п.
[Указание'. Сделайте сначала 1.3.16 и 1.3.17.]
1.3.16. Пусть язык X удовлетворяет условиям упр. 1.3.15.
Докажите, что если 31 =п ЯЗ, то для всякого предложения ф
языка X, находящегося в пренексной форме с не более чем п кван-
торами,
31 {= ф тогда и только тогда, когда ЯЗ ф.
1.3.17* . Пусть язык X вновь удовлетворяет условиям
упр. 1.3.15. Пусть К — некоторый класс моделей этого языка.
Докажите эквивалентность следующих утверждений:
(i) Существует такое предложение ф в языке X, что К — класс
всех моделей для X, в которых выполняется ф.
(ii) Для некоторого п £ со класс К замкнут относительно =л,
т. е. если 31 Е К и 31 ЯЗ, то и ЯЗ £ К.
[Указание'. Для каждого п существует лишь конечное число
неэквивалентных предложений в пренексной форме с не более
чем п кванторами.]
1.3.18. Покажите, что утверждение упр. 1.3.15 становится
неверным как в том случае, когда язык X содержит функцио-
нальные символы, так и в том случае, когда X содержит беско-
нечно много предикатных или константных символов. И в этих
случаях, однако, из того, что 31 =п ЯЗ при всяком п, вытекает
31 = ЯЗ.
1.3.19. Докажите, что модели 31 и ЯЗ для’ X эквивалентны
тогда и только тогда, когда для всех конечных подъязыков
XQ (^i X соответствующие обеднения моделей 31 и ЯЗ эквивалент-
ны. Это утверждение показывает, что в случае, когда X не содер-
жит функциональных символов, сохраняется некоторый вариант
упр. 1.3.15.
1.3.20* . В качестве приложения упр. 1.3.15 установите экви-
валентность следующих пар моделей 31 и ЯЗ:
(i) 31 = (Л), ЯЗ = (В), где А к В бесконечны.
(п) 31 = (Л, <;), ЯЗ = (В, <С), где множества АиВ плотно
упорядочены отношением и не содержат концевых точек.
52
Гл. 1. Введение
(iii) ЭД = {(о, й = (<о +(о* + (о, где со-|-(о*-|-со—поряд-
ковый тип множества всех натуральных чисел, за которыми
следуют все целые.
(iv) ЭД = (со®, ^), й = <сэх» где со® — результат воз-
ведения множества <о в ординальную степень со.
(v) ЭД = (5Ы (X), <=), й = <5(о (У), cz), где X и У — бес-
конечные множества, (X) и 5Ш (У) — множества всех их конеч-
ных подмножеств, ас: — отношение включения.
1.4. Теории и примеры теорий
Теория (первого порядка) Т в языке X есть по определению
некоторое множество предложений в языке X. Теория Т назы-
вается замкнутой, если она замкнута относительно отношения .
Согласно таблице 1.3.1, это требование равносильно требованию
замкнутости теории Т относительно отношения Н. Поскольку
теории суть множества предложений в языке X, мы можем пользо-
ваться выражениями
модель теории,
непротиворечивая теория,
выполнимая теория
в том смысле, как они были введены в разд. 1.3.
Теория Т называется полной (в языке X), если множество
всех ее следствий является максимальным непротиворечивым.
Если Т — теория в языке X и X X', X X', то теория Т
не замкнута в языке X' С другой стороны, легко видеть, что если
X' cz.X, то ограничение замкнутой теории Т на язык X', обозначае-
мое через Т | X', обязательно оказывается замкнутой теорией
в языкё X1 Говорят, что Т — подтеория теории Т', если Т cz Т'
Если Т — подтеория теории Т', то Т' называют расширением
теории Т
Множеством аксиом теории Т называется всякое множество
предложений, обладающее теми же самыми следствиями, что и Т.
Очевидно, что всякая теория Т сама для себя служит множеством
аксиом и что пустое множество является множеством аксиом тех
и только тех теорий, которые состоят лишь из истинных предложе-
ний языка X. Всякое множество предложений S есть множество
аксиом замкнутой теории Т = {<р : S 1= <р}. Теория называется
конечно аксиоматизируемой, если она обладает конечным множе-
ством аксиом.
Наиболее привычный и удобный способ задания теории Т заклю-
чается в выписывании конечного или бесконечного множества ее
аксиом. Другой способ задания теории состоит в следующем:
пусть ЭД — некоторая модель языка X*, тогда теорией модели ЭД
1.4. Теории и примеры теорий
53
называется множество всех предложений, истинных в Я. Теория
всякой модели 31, очевидно, является полной.
Исторически значение теорий определяется следующими двумя
обстоятельствами. Как только аксиомы теории заданы, мы можем
с помощью отношения н , т. е. синтаксическим способом, отыскать
все следствия теории Т С другой стороны, используя отношение
выполнимости, мы можем также изучить все модели теории Т.
В силу обобщенной теоремы о полноте, оба эти подхода приво-
дят в основном к одним и тем же результатам относительно след-
ствий теории Т Однако из-за того, что интерес представляют не
только свойства первого порядка моделей теории Т, но и такие
объекты, как изоморфизмы, подмодели, расширения и многие дру-
гие, второй подход и приводит нас к области, известной ныне
как теория моделей.
В оставшейся части этого раздела мы приведем некоторые
примеры теорий и их моделей и с их помощью продемонстрируем
тесные связи между теорией моделей и другими областями мате-
матики. В каждом из этих примеров с помощью множества аксиом
описывается некоторая замкнутая теория. Некоторые классические
результаты будут сформулированы без доказательства.
1.4.1. Пусть X содержит только двуместный предикатный
символ Используя обычную запись для мы пишем х у
вместо (х, у). Теория частичного порядка имеет три аксиомы:
(1) yxyz) (х ^у К у < z -> х < z),
(2) Уху) (х ^у Ь у ^.х-+ х = у),
(3) Ух) (х < х).
Они изображают свойства транзитивности, антисимметричности
и рефлексивности частичного порядка соответственно. Всякая
модель (А, этой теории состоит из непустого множества А
и отношения частичного порядка на А. Если присоединить
к (1) — (3) аксиому сравнимости
(4) ($ху) (х < у V у < х),
то мы получим теорию линейного порядка (называемого также
простым порядком). Моделью (Л, этой теории служит всякое
линейно упорядоченное множество. Добавляя еще две аксиомы
(мы пишем х у вместо *”| (х = у)):
(5) Уху) (х^уКхф=у-+ (3z)
<У У),
(6) (Зху) (х фу),
получаем теорию плотного (линейного) порядка. Рациональные
числа с естественным порядком служат примером модели этой
54
Гл. 1. Введение
теории. Теория плотного порядка не имеет конечных моделей.
Если же мы хотим рассматривать только плотные порядки без кон-
цевых точек, то добавляются аксиомы
(7) (V*) (Зу) (х < у кх-^у),
(8) (V*) (Зу) (у < х Л х ф у).
Предложение 1.4.2. Любые две счетные модели теории плот-
ного порядка без концевых точек изоморфны.
Пример 1.4.3. Пусть X = { + , •, 0, 1}, где + и суть
двуместные функциональные символы, " есть одноместный функ-
циональный символ, а 0 и 1 — константные символы. Теория
булевых алгебр задается следующими аксиомами (мы подразумеваем
при этом, что на все следующие ниже формулы спереди навешены
кванторы всеобщности по всем их свободным переменным).
Ассоциативность функций + и
х + (у + z) = (х 4- у) + z, х- (y-z) = (x-y)-z.
Коммутативность функций + и
X + у = у + х, х-у = у-х.
Законы идемпотентности:
х + х = х
Законы дистрибутивности:
х + (y-z) = (х + у)-(х + z),
Законы поглощения:
х + (х-у) £= х,
Законы де Моргана:
х + у = х-у.
Законы нуля и единицы:
х-\-0 = х,
х-[-1 = 7,
х4-х = 1,
х-(у + z) = Х> у + X-Z.
X- (х + у) S X
х-у = х + у.
х-0 = 0,
х-1 = х,
Х'Х = 0.
Закон двойного отрицания:
х = х.
Всякая модель 21 — {X, 0, 1} этой теории называется
булевой алгеброй. (Строго говоря, функции и константы модели 21
1.4. Теории и примеры теорий
55
следовало бы обозначать так: +эд, -эд, “эд, Оэд, 1эд, но мы, следуя
нашему соглашению, будем опускать индексы.) На множестве А
можно определить частичный порядок: полагаем х у, если
х + у = у. Можно показать, что порядок обладает наибольшим
элементом, а именно 1, наименьшим, а именно 0, и для любых двух
элементов х, у £ А существуют их т. в. г. (точная верхняя грань)
х + у и т. н. г. (точная нижняя грань) х-у.
Полем множеств называют всякую совокупность 5 подмножеств
непустого множества X, содержащую пустое множество 0 и само
множество X и замкнутую относительно операций U, П и "
(переход к дополнению множества относительно X). Легко видеть,
что если S — поле множеств, то
(5, U, П, 0, X)
есть булева алгебра. Обратно, справедливо
Предложение 1.4.4. (Теорема о представлении булевых алгебр.)
Всякая булева алгебра изоморфна некоторому полю множеств.
Атомом булевой алгебры называется всякий элемент х -ф О,
такой, что ни один элемент у не может лежать строго между Ойо:,
т. е. ни для какого у невозможно 0 у х, О =Н= у, у х. Булева
алгебра называется атомной, если всякий ее ненулевой элемент
содержит некоторый атом. Булеву алгебру называют безатомной,
если она не содержит атомов. Существуют булевы алгебры, не
являющиеся ни атомными, ни безатомными. Присоединение к уже
введенным аксиомы (мы пишем х у вместо х + у = у)
(V*) (0=£х~+ (Зу) (y^ix f\O^=y h (Vz) (z^y-+z==O vz = y)))
приводит нас к теории атомных булевых алгебр; если же (вместо
нее) добавить аксиому
П(Зг/) (О ф у Л (Vz) (!^!/->-z=(lv2 = у)),
то мы получим теорию безатомных булевых алгебр.
Предложение 1.4.5. Всякие две счетные безатомные булевы алгеб-
ры изоморфны.
Некоторые другие связанные с изложенным сведения о булевых
алгебрах можно найти в упражнениях.
Пример 1.4.6. Пусть X = {+, 0}, где + есть двуместный
функциональный символ, а 0 — константный символ. Теория
групп задается следующими аксиомами:
(1) x+(y + z) = (x-\~y)~[-z (ассоциативность),
(2) — = х (аксиомы нуля),
(3) (Зу) (х + у = 0/\у + х = 0) (существование обратного эле-
мента).
56
Гл. 1. Введение
Всякая модель (G, +, 0) этой теории называется группой.
Мы получим теорию абелевых групп, добавляя аксиому
(4) х + у = у + х (коммутативность).
Порядком элемента х группы называется наименьшее нату-
ральное п, для которого
х х + . . + х = 0.
п раз
Если такого п не существует, то х считается элементом бесконеч-
ного порядка. При фиксированном п 1 мы вводим для выра-
жения
х + (х 4- (. . . (х + х) . . . )) (п раз)
сокращение пх. Пусть теперь р — простое число. Теория абелевых
групп экспоненты р определяется дополнительной аксиомой
(5Р) рх = 0.
Предложение 1.4.7. Любые две равномощные модели теории
абелевых групп экспоненты р изоморфны.
Чтобы получить теорию абелевых групп, все элементы которых
имеют порядок оо (группы без кручения), нам понадобится уже
бесконечный список аксиом: для всякого п 1 мы присоединяем
к аксиомам (1) — (4) аксиому
(6П) х 0 -*• пх 0.
Это наш первый пример теории, не являющейся конечно аксио-
матизируемой. Если мы добавим сюда еще один бесконечный спи-
сок аксиом, по одной для каждого п 1,
(7П) (Зг/) (пу = х),
то получим теорию полных абелевых групп без кручения.
Предложение 1.4.8. Любые две равномощные несчетные полные
абелевы группы без кручения изоморфны. Имеется, однако, счетное
множество попарно неизоморфных счетных групп этого типа.
Пример 1.4.9. Пусть X = { + , •, 0, 1}, где + и суть
двуместные функциональные символы, а 0 и 1 — константные
символы. Теория коммутативных колец (с единицей) задается
выписанными выше аксиомами (1) — (4) вместе со следующими ак-
сиомами (8) — (11):
(8) 1*х = х Л х*1 = х (1 есть единичный элемент),
(9) х- (у'%) а (х- y)-z (ассоциативность умножения),
(10) х-у = у*х (коммутативность умножения),
(11) х-(у + z) = (х-у) + (x*z) (дистрибутивность умножения
относительно сложения).
Добавляя еще одну аксиому
1.4. Теории и примеры теорий
57
(12) х-у = 0 х = О \/ у = 0 (отсутствие делителей нуля),
приходим к теории областей целостности. Введение еще двух
аксиом
(13) 0^1,
(14) х =^= 0 —> (Зу) (у-х == 1) (существование элемента, обрат-
ного относительно умножения)
дает нам важную теорию полей. Добавляя при фиксированном:
простом р аксиому
(15p) pl = О,
получаем теорию полей характеристики р. С другой стороны, если
вместо этого принять отрицания аксиом вида (15р) для всех про-
стых р, а именно все аксиомы вида
(16) pl 0, где р — простое число,
то приходим к теории полей характеристики нуль. Введем теперь
сокращение хп для выражения
х-(х-(х . . . х) .)
(п раз)..
Бесконечный список аксиом (по одной для каждого п 1)
(17п) (Зу) (хп-уп + хп_гуп-г + 4- Xi-y 4- хй = 0) v
V хп = 0
добавляемых к теории полей, приводит нас к теории алгебраически-
замкнутых полей.
Предложение 1.4.10. Любые два равномощных алгебраически
замкнутых поля одной и той же характеристики изоморфны.
Аксиома (17п) говорит, что всякий многочлен степени п имеет
корень. Теория вещественно замкнутых полей имеет в качества
множества аксиом все аксиомы теории полей, дополненные-
аксиомой
(18) (Vz) (Зу) (у2 == х v у2 + х = 0)/
и еще двумя бесконечными списками аксиом. Первый из них —
бесконечный список аксиом вида (17п) для всех нечетных п, вто-
рой — бесконечный список аксиом, утверждающих, что 0 не
представим в виде суммы нетривиальных квадратов:
(18п) х* + х\ + + Хп = 0 xQ = 0 А х± = 0 л
А хп =\0-
Теория упорядоченных полей формулируется в языке X =
— {^, +, •, 0, 1}. Она задается всеми аксиомами теории полейг
аксиомами линейного порядка, а также аксиомами
х ^у К 0 ^z-^ x*z ^.y<z.
Примерами упорядоченных полей служат поля рациональных
и действительных чисел.
38
Гл. 1. Введение
Среди рассмотренных до сих пор примеров теорий полными
являются следующие теории: плотного порядка без концевых
элементов, безатомных булевых алгебр, бесконечных абелевых
групп экспоненты />, полных абелевых групп без кручения, алгеб-
раически замкнутых полей данной характеристики и вещественно
замкнутых полей. Сформулированные выше предложения пока-
зывают, что каждая из этих полных теорий, кроме последней,
обладает тем необычным свойством, что для некоторых (а иногда
и для всех) бесконечных мощностей все модели рассматриваемой
теории, имеющие эту мощность, изоморфны.
Пример 1.4.11. Пусть X = {+, • , 5, 0}, где + и суть
двуместные функциональные символы, S — одноместный функ-
циональный символ (символ так называемой функции следова-
ния), а 0 — константный символ. Теория чисел (или арифметика
Леано) задается следующим списком аксиом:
(1) 0 Sx (0 не имеет предшествующего элемента),
(2) Sx = Sy —> х = у (функция S о дно-однозначна),
(3) х + 0 = х,
(4) х + Sy = S (х + у),
(5) х-0 = 0,
(6) x-Sy = (х-у) + х,
и, наконец, для каждой формулы <р (и0, vn) языка X, где <р
сне содержит связанных вхождений переменной v0, вводится
.аксиома
(7Ф) <р (0, vt, vn) л (Vp0) (ф ”п)
-> <р (Sv0, , yn)) (Vv0) Ф (v0, vn).
Аксиомы (3) и (4) представляют собой обычное рекурсивное опре-
деление сложения через 0 и S, а аксиомы (5) и (6) — рекурсивное
определение умножения через 0, S и + . Весь список аксиом (7Ф),
по одн^й для каждой формулы ср, называется схемой аксиом
индукции.
Стандартная модель теории чисел есть (со, + , •, S, 0),
где 5 — функция следования, а символы +, и 0 имеют свое
обычное значение. Все иные (не изоморфные стандартной) модели
называются нестандартными. Полной теорией чисел называют
множество Всех предложений ф языка X, истинных в стандартной
модели.
Относительно теории чисел имеются следующие глубокие
результаты:
Теорема Гёделя о неполноте [1931] гласит, что теория чисел
неполна; поэтому полная теория чисел является собственным рас-
ширением теории чисел.
Никакое конечное расширение (т. е. расширение, полученное
путем добавления конечного числа новых аксиом) теории чисел
1,4. Теории и примеры теорий
59
не является полным; следовательно, полная теория чисел не допу-
скает конечной аксиоматизации внутри теории чисел и тем более
не является конечно аксиоматизируемой.
Сама теория чисел также не является конечно аксиоматизируе-
мой. Доказано это было Рылль-Нардзевским [1952] с помощью
нестандартных моделей. Существование нестандартных моделей
полной теории чисел обнаружено Скулемом [1934].
Упомянем еще о некоторых интересных подтеориях теории
чисел. Например, если принцип индукции (7Ф) заменить единствен-
ной аксиомой
(8) (Vx) (х Ф 0 -> (Зу) (х = Sy)),
то мы получим конечно аксиоматизируемую неполную подтеорию
теории чисел (теорию Тарского, Мостовского и Робинсона
[1953]), никакое конечное расширение которой также не является
полным.
Если рассмотреть язык X' = {5, 0}, полученный из языка
теории чисел удалением символов + и , то подтеория теории
чисел, задаваемая аксиомами (1), (2) и схемой аксиом (7Ф), рассмат-
риваемой, разумеется, только для формул языка оказывается
полной. Однако она все еще не является конечно аксиоматизи-
руемой, что можно показать с помощью теоремы компактности.
В языке X" = {+, S, 0} аксиомы (1) — (4) и схема (7Ф), опять-
таки рассматриваемая лишь для языка X”, задают аддитивную
теорию чисел. Эта теория не является конечно аксиоматизируе-
мой, но зато она полна (Пресбургер [1929]); из доказательства
Пресбургера вытекает и полнота теории языка X', описанной
в предыдущем абзаце.
Пример 1.4.12. Теперь мы обсудим некоторые системы теории
множеств.
Имеется две совершенно различные причины для того, чтобы
в книгу по теории моделей включить рассмотрение формальных
теорий множеств. Первая из них состоит в том, что, если мы хотим
быть совершенно аккуратными, нам следует все наше построение
теории моделей развивать внутри некоторой заранее выбранной
системы аксиоматической теории множеств. На самом деле мы
предпочитаем более практический подход, проводя наши рассуж-
дения в рамках наивной теории множеств, но все-таки важно, что
принципе мы могли бы проделать все это внутри некоторой аксио-
матической теории множеств. Краткий очерк наивной теории мно-
жеств, которой мы пользуемся, вынесен нами в приложение. Дру-
гая причина рассмотрения аксиоматических теорий множеств
состоит в том, что они доставляют одни из самых интересных и важ-
ных примеров теорий. Именно эта сторона дела и занимает нас
сейчас. Как раз для изучения моделей теории множеств теория
моделей приспособлена особенно хорошо. В дополнении мы при-
60
Гл. 1. Введение
водим аксиомы четырех наиболее известных аксиоматических
теорий множеств: теорий Цермело, Цермело — Френкеля, Бер-
найса и Бернайса — Морса. Первые две из них формулируются
в языке <# = {£}, а остальные две — в языке X' = {£, V}, где
£ — двуместный, а V — одноместный предикатные символы. Тео-
рия Цермело является подтеорией системы Цермело — Френкеляг
а теория Бернайса — подтеория системы Бернайса — Морса.
Наиболее глубокие результаты в теории множеств получены
с помощью построения соответствующих моделей. Часто, однако,
эти построения бывают весьма специальными, ориентированными
на модели именно теории множеств, и потому они выпадают иа
общего плана нашей книги. Например, Гёдель [19391 использовал
понятие конструктивных множеств, чтобы показать, что если
теория множеств Бернайса непротиворечива, то она остается непро-
тиворечивой и после присоединения к ней аксиомы выбора и обоб-
щенной континуум-гипотезы; иными словами, если теория Бернай-
са имеет хотя бы одну модель, то она имеет и такую модель, в кото-
рой верны и аксиома выбора, и обобщенная континуум-гипотеза.
Хорошо известно, что те же результаты с теми же доказательст-
вами проходят и в теории множеств Цермело — Френкеля. Коэнов-
ское понятие вынуждения было использовано самим Коэном и дру-
гими для получения целого ряда новых замечательных резуль-
татов о совместности (см. Коэн [1966]). Например, если теория
множеств Бернайса (или Цермело — Френкеля) имеет модель,
то она имеет и такую модель, в которой аксиома выбора оказы-
вается ложной, и такую, в которой аксиома выбора истинна, а обоб-
щенная континуум-гипотеза ложна.
Условимся до конца наших рассмотрений обозначать теорию
множеств Цермело — Френкеля через ZF. Ответ на вопрос, можем
мы доказать непротиворечивость ZF или нет, зависит от того,
сколь богатой считаем мы нашу наивную теорию множеств. Если
наивная теория множеств обладает теми же выразительными
средствами, что и ZF, то мы не сможем доказать непротиворечи-
вость ZF, даже если позволим себе использовать аксиому выбора.
Так же обстоит дело и с другими аксиоматическими теориями
множеств Г, введенными нами в приложении: мы не можем дока-
зать непротиворечивость теории Т, если наша наивная теория
множеств совпадает по объему с Т. Эти утверждения вытекают
из теоремы Гёделя о неполноте. С другой стороны, в теории мно-
жеств Бернайса — Морса можно доказать непротиворечивость
как теории множеств Бернайса, так и ZF. В ZF можно доказать
непротиворечивость теории множеств Цермело. Если же допу-
стить существование недостижимых кардиналов, то можно дока-
зать, что непротиворечивы как теория множеств Бернайса —
Морса, так и ZF. Теория множеств Бернайса и ZF очень тесно
связаны между собой, и можно доказать, что любая из них непро-
1.4. Теории и примеры, теорий
61
тиворечива тогда и только тогда когда непротиворечива другая.
Последние три результата мы относим в упражнения.
Ни теория множеств Цермело, ни* ZF, ни теория множеств
Бернайса — Морса не являются конечно аксиоматизируемыми
(в предположении, что они непротиворечивы). Удивительным
образом, однако, теория множеств Бернайса оказывается конечно
аксиоматизируемой (Бернайс [1937]). Эту систему, рассматривае-
мую вместе с ее конечной аксиоматизацией, называют иногда
теорией множеств Бернайса — Гёделя. Каждая из четырех назван-
ных выше аксиоматических теорий множеств, подобно теории
чисел, обладает следующим свойством: если данная теория непро-
тиворечива, то она неполна и никакое ее конечное расширение
также не является полным. Этот факт следует из теоремы Гёделя
о неполноте.
Не существует вполне удовлетворительного понятия «стандарт-
ной» модели теории множеств. Ближе всего к нему подходит поня-
тие натуральной модели. Грубо говоря, натуральными называют
модели вида (Af, 0, где М — некоторое множество множеств,
построенных, отправляясь от пустого, с помощью применения
в любом числе операций объединения и перехода к множеству-
степени, a g есть ограничение на множество М обычного (^-отноше-
ния. Точнее говоря, для каждого ординала а мы следующим обра-
зом определяем множество R (а):
7?(0) = О,
R (а + 1) = S (R (а))
И
R (а) = U R (₽), если а — предельный ординал.
0<а
Тогда натуральная модель системы ZF (как и теории множеств
Цермело) есть модель вида (R (a), Q. Натуральной моделью
теории множеств Бернайса называют модель вида (R (а + 1),
€, R (а)).
Ни одна из упомянутых нами аксиоматических теорий мно-
жеств не имеет счетных натуральных моделей. Поэтому важным
оказывается также несколько более слабое понятие «стандартной»
модели. Именно, модель (М, С) называют транзитивной, если С
есть ограничение на множество М обычного ^-отношения и вся-
кий элемент элемента множества М сам является элементом мно-
жества М. Аналогичное определение вводится и применительно
к моделям языка X' — {g, V}. Счетные транзитивные модели
играют очень важную роль при определении коэновского понятия
вынуждения.
Поскольку теория чисел неполна и имеет точно одну стандарт-
ную модель, у этой теории есть непротиворечивые расширения, уже
не обладающие стандартными моделями. Что же касается теории
62
Гл. 1, Введение
ZF, то если она имеет вообще хотя бы одну транзитивную модель г
то у нее имеется много неэквивалентных транзитивных моделей. Тем
не менее, если ZF непротиворечива, то она обладает непротиворе-
чивыми расширениями, не имеющими транзитивных моделей вовсе.
Более того, в ZF с присоединенной аксиомой выбора мы все еще
не можем доказать, что если ZF имеет какую-либо модель, то эта
теория обладает и транзитивной моделью.
Упражнения
1.4.1. Можно ли считать, что теория полного порядка является
теорией в языке первого порядка {«^}?
1.4.2. Укажите два плотно упорядоченных множества беа
концевых точек, равномощных, но не являющихся изоморфными.
1.4.3. Всякая конечная булева алгебра является атомной.
Если она содержит п атомов, то она состоит точно из 2П элементов.
Любые две конечные булевы алгебры с одним и тем же числом
элементов изоморфны.
1.4.4. Всякое конечное подмножество булевой алгебры порож-
дает конечную булеву подалгебру.
1.4.5. Укажите пару равномощных безатомных булевых алгебрг
не являющихся изоморфными.
1.4.6. Докажите следующую слабую форму теоремы о представ-
лении: всякая атомная булева алгебра изоморфна некоторому
полю множеств.
1.4.7. Докажите, что теория бесконечных моделей (аксиомы
которой образуют бесконечный список предложений оп, причем
каждое оп утверждает, что существует по меньшей мере п различ-
ных элементов) не является конечно аксиоматизируемой.
1.4.8. Докажите, что не существует такой теории Т, чтобы Я
служила ее моделью тогда и только тогда, когда ЭД конечна.
1.4.9. Пусть ЭД = (Л, +, •, ", 0, 1) —некоторая булева
алгебра. Подмножество D cz А называется (собственным) филь-
тром в ЭД, если D У= 0, D У= А и из условий х, у £ D и х z
следует, что х-у £ D и z £ D. Говорят, что подмножество Е мно-
жества А обладает свойством центрированности, если
•хп 0 для любых хх, ., хп Е Е при произвольном п.
Докажите, что всякое подмножество Е, обладающее свойством
центрированности, в следующем смысле порождает фильтр D'.
х £ D4 если х г/р . . . • уп для некоторых уг, . . ., уп £ Е.
1.4. Теории и примеры теорий
6$
Фильтр D в И называется главным, если для некоторого элемента
а 0 из А
х t D тогда и только тогда, когда а х.
D называется ультрафильтром в й, если никакое собственное
расширение фильтра D не является фильтром в й. Докажите, что^
единственными главными ультрафильтрами в й оказываются
фильтры, порожденные атомами алгебры й, т. е. D является
главным ультрафильтром тогда и только тогда, когда для некото-
рого атома а £ А
х £ D в том и только том случае, когда а <1 х.
Таким образом, если булева алгебра й безатомна, то все
ультрафильтры в й неглавные. Докажите также следующие
утверждения:
(i) Всякий ненулевой элемент из А принадлежит некоторому
ультрафильтру, и, более общо, всякий фильтр в й может быть
расширен до некоторого ультрафильтра.
(ii) Если D — ультрафильтр в й, то
х + У € D тогда и только тогда, когда либо х t D, либо у t D*
х £ D тогда и только тогда, когда х QD.
(iii) Пусть X — множество всех ультрафильтров в й. Для
каждого а С А положим
ha “ {D 6 Х\ а Е -D).
Проверьте, что h — изоморфизм между булевой алгеброй й и по-
лем множеств
<{Ла at A}, U, П, 0» X).
Этим доказывается предложение 1.4.4.
1.4.10. Пусть X — некоторый язык первого порядка. Рас-
смотрим отношение эквивалентности |— (р -<-> ф на формулах язы-
ка X. Пусть
(ф) = {ф I- ф
— {(ср) ср — формула в языке X},
0g = (ср Л П ф), 1^ = (ф V П <р).
Положим
(<р) + (Ф) = (ф v Ф), (фМФ) = (ф л ч>), (ф) = (П ф).
Тогда 93^ = , •, 0%, 1^) — булева алгебра, известная
под названием алгебры Линденбаума языка X. Мы будем опускать
«4
Гл. 1. Введение
индекс когда это не приводит к недоразумениям. Алгебра ЯЗ
имеет ряд важных подалгебр. Для произвольного п £ со положим
Вп — {(ф): все свободные переменные формулы ф
содержатся среди р0,
Тогда множество Вп определяет булеву подалгебру ЯЗП алгебры ЯЗ.
В частности, Я30 — алгебра Линденбаума всех предложений язы-
ка X. Докажите эквивалентность следующих утверждений:
(i) Теорема Линденбаума для языка предложение 1.3.11.
(ii) Всякий фильтр на алгебре Линденбаума Я30 может быть
продолжен до некоторого ультрафильтра.
1.4.11. Пусть Т — произвольная теория в языке X. Положим
= {(<р) Т |= <р}.
Докажите, что
(i) Теория Т непротиворечива тогда и только тогда, когда
DT —фильтр в алгебре Я30.
(ii) Теория Т непротиворечива и конечно аксиоматизируема
тогда и только тогда, когда DT — главный фильтр в Я30.
(iii) Теория Т полна тогда и только тогда, когда DT — ультра-
фильтр в Я30.
(iv) Теория Т полна и конечно аксиоматизируема тогда и толь-
ко тогда, когда DT — главный ультрафильтр в Я30.
Для четырех сформулированных только что эквивалентностей
справедливы также следующие их «обращения». Пусть D —
произвольное подмножество множества Во; положим
TD ~ {ф : ф —предложение и (ф) £ Z)}.
Тогда утверждения (i) — (iv) остаются верными и после замены
Т на Т&, & ЬТ — на D. Если теория Т полна, то, очевидно, фак-
торалгебра 5БО/РГ оказывается двухэлементной. Вообще суще-
ствует одно-однозначное соответствие между полными замкнутыми
расширениями теории Т и ультрафильтрами на 23O/DT. Докажите,
не пользуясь теоремой о полноте, что приведенные выше резуль-
таты остаются верными и после замены понятий замкнутой,
конечно аксиоматизируемой и полной теорий их синтаксическими
аналогами.
1.4.12. Пусть X —язык, введенный в разд. 1.2. Рассматривая
отношение эквивалентности |— ф ф среди высказываний языка
мы можем определить точный аналог алгебры Я3^₽, а именно
Следующие утверждения показывают, что между теоремами о пол-
ноте и представлениями булевых алгебр существует тесная связь.
1А. Теории и примеры теорий
65
Именно, докажите эквивалентность следующих предложений:
(i) Теорема о полноте для языка & —теорема 1.2.7.
(ii) Алгебра Линденбаума 93изоморфна некоторому полю
множеств.
У этого результата имеется аналог, говорящий о языке X
и алгебре 23мы обсудим его в упражнениях к разд. 2.1.
1.4.13. Докажите эквивалентность теорий, задаваемых в язы-
ке {S, 0} множествами аксиом (см. пример 1.4.11)
(А) аксиомы (1), (2) и схема (7Ф).
(В) аксиомы (1), (2), (8) и схема
(9П) Sv0 8иг ф v2 v V Svn р0.
1.4.14. Докажите, что если а —предельный ординал и ю < а,
то (7? (а), С > является моделью теории множеств Цермело. Поэто-
му в ZF можно доказать непротиворечивость теории множеств
Цермело.
1.4.15. Пусть 0 —некоторый (несчетный) недостижимый карди-
нал. Покажите, что (R (0), 0 — модель теории ZF, a (R (0-4-1),
g, R (0)) — модель теории множеств Бернайса —Морса.
1.4.16. Какие из аксиом теории ZF верны в модели {R (со), g>?
А в модели (R (со + со), 0?
1.4.17*
(i) Пусть (4, Е, U) —произвольная модель теории множеств
Бернайса. Докажите, что (С7, Е Q (U X U)) является моделью
теории ZF. Поэтому, если теория множеств Бернайса непротиво-
речива, непротиворечивой оказывается и ZF.
(ii) Пусть ЭД = (А, Е} —произвольная модель теории ZF.
Мы можем считать, что никакое подмножество множества А не
принадлежит самому А. Назовем множество Xcz А определимым
в модели ЭД, если существуют такие формула ср (р0, ип)
и элементы хп £ А, что
X = {х Е А ЭД ф [х, х1У яп]}.
Пусть В — множество всех таких определимых подмножеств
X из А, что не существует у £ А, для которого бы Х = {х£А :хЕу},
и пусть Е' —множество всех пар х £ А, X £ В, для которых
х £ X. Докажите, что {A J S, Е (J Е', А ) —модель теории
множеств Бернайса. Поэтому если непротиворечива ZF, то непро-
тиворечива и теория множеств Бернайса.
. 1.4.18* (i) Пусть (4, С) —произвольная модель аксиомы
объемности, где £ обозначает ограничение на А обычного (^-отно-
шения. Докажите, что (4, изоморфна некоторой транзитив-
ной модели, называемой транзитивной реализацией модели (4, £).
5 Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
66
Гл. 1. Введение
(ii) Докажите, что любые две изоморфные транзитивные модели
аксиомы объемности совпадают между собой.
1.4.19. Докажите существование полной теории Т, обладающей
произвольно большими натуральными моделями. За Т можно
взять некоторое расширение теории множеств Цермело.
1.5. Элиминация кванторов
W Всякая модель ЭД теории Т естественно приводит нас к некото-
рой полной теории, служащей расширением теории Г, а именно
к множеству всех предложений, истинных в модели ЭД. Поэтому
представляется важным узнать хоть что-нибудь о полных рас-
ширениях данной теории. В некоторых счастливых случаях удает-
ся дать простое описание всех полных расширений данной теории,
основываясь на методе элиминации (исключения) кванторов.
Этот метод применим только к теориям очень специального
вида. Более того, всякий раз, когда этот метод применяется к новой
теории, приходится проводить доказательства с самого начала,
так как для использования общих теорем о моделях здесь пред-
ставляется мало возможностей. С другой стороны, этот метод
оказывается чрезвычайно ценным, если мы хотим как следует
разобраться в некоторой конкретной теории. В тех случаях,
когда его удается применить, метод элиминации кванторов дает
огромное количество информации о рассматриваемой теории.
Так, он дает сведения о поведении всех формул, равно как и всех
предложений соответствующего языка, по отношению к этой
теории. Обычно он приводит также к регулярному способу, позво-
ляющему решать, принадлежит ли некоторое высказывание нашей
теории — иными словами, он дает доказательство разрешимости
теории.ч
Вопрос о разрешимости теорий не принадлежит к числу рас-
сматриваемых в этой книге, поскольку им обычно в теории моде-
лей не занимаются. Однако это очень важный вопрос, и на самом
деле наиболее замечательные приложения метода элиминации
кванторов заключаются как раз в доказательстве разрешимости
некоторых теорий. Этот метод оказывается важным и как источ-
ник до конца понятных теорий, полезных при проверке гипотез
и для иллюстрации результатов. Его можно представлять себе
как прямую атаку на данную теорию. Позже мы познакомимся
с другими, не столь прямыми способами исследования теорий,
применимыми чаще, но зато и дающими меньше информации
в конкретных случаях.
Для описания этого метода нам потребуются некоторые допол-
нительные обозначения. В разд. 1.3 мы определили, что значит,
что предложение ф есть следствие множества предложений S
1.5. Элиминация кванторов
67
(в обозначениях: 2 ср). Какое значение следует придать выраже-
нию 2 ф в случае, когда ср — формула? Будем говорить, что
формула ф (и0, уп) является следствием множества 2 (обо-
значение: 2 ф), если для всякой модели ЭД множества 2 и для
всякой последовательности а0, ап g А формула ф выполняет-
ся для а0, ., ап. Отсюда вытекает, что формула ф (и0, vn)
является следствием множества предложений 2 тогда и только
тогда, когда следствием множества 2 является предложение
(Vv0 vn) ф (yo, • vn)- Формулы ф и ф называются ^-экви-
валентными, если 2 ф -<-► ф.
В общих чертах метод элиминации кванторов состоит в сле-
дующем: во-первых, в зависимости от теории Т мы выбираем неко-
торое исходное множество формул, называемых базисными. Под
булевой комбинацией базисных формул мы понимаем всякую фор-
мулу, полученную из базисных в результате их соединения произ-
вольным числом связок и Л. Наша главная цель —доказать,
что всякая формула Т-эквивалентна некоторой булевой комбинации
базисных формул. Ключевым этапом доказательства будет шаг,
на котором мы «элиминируем кванторы». В действительности
мы можем сразу же сформулировать простую, но важную лемму,
объясняющую, почему этому методу было дано название «метод
элиминации кванторов» (название это принадлежит Тарскому
[1935]).
Лемма 1.5.1. Пусть Т —теория, а 2 —множество формул,
называемых базисными. Чтобы доказать, что всякая формула Т-эк-
вивалентна некоторой булевой комбинации базисных формул, доста-
точно проверить следующие утверждения'.
(i) Всякая атомная формула Т-эквивалентна булевой комбина-
ции базисных формул.
(ii) Если 0 — булева комбинация базисных формул, то формула
0 оказывается Т-эквивалентной булевой комбинации базис-
ных формул.
Доказательство. Пусть Y — множество всех формул,
^-эквивалентных каким-либо булевым комбинациям базисных
формул. С помощью индукции покажем, что всякая формула ф
входит в Т. Если ф — атомная формула, то ф g Чг в силу (i).
Если ф имеет вид Дф, а ф g Т, то, очевидно, ф g У. Аналогично,
если ф есть ф1 Л ф2 и ф1т ф2 g Т, то ф g V. Если ф есть (Зг?т) ф
и ф gV, то ф является ^-эквивалентной булевой комбинации 0
базисных формул. Более того, ф, очевидно, 7-эквивалентна
формуле (3i;m) 0. Согласно (ii), (3^m) 0gT, а потому ф g У.-]
Проиллюстрируем применение этого метода двумя простыми
примерами. В качестве первого примера рассмотрим теорию
плотного линейного порядка без концевых точек (пример 1.4.1).
Временно (только в этом разделе) будем называть эту теорию А.
5*
68
Гл. 1. Введение
Как мы отмечали в разд. 1.4, теория А является полной. Метод
элиминации кванторов представляет собой один из многих спосо-
бов, с которыми мы будем встречаться при доказательстве полно-
ты теорий. Полнота теории А будет следовать из приводимых нами
ниже результатов. Элиминация кванторов была применена к тео-
рии А очень давно; это сделал Ленгфорд [1927].
За базисные примем атомные формулы
Vm = Vn, Vm < Vn.
Булевы комбинации базисных формул — это в точности формулы,
не содержащие кванторов. Формулы произвольного языка, не
содержащие кванторов, называются открытыми. Итак, мы хотим
доказать, что всякая формула ф рассматриваемого языка Д-экви-
валентна некоторой открытой формуле ф. По ходу наших основ-
ных рассмотрений мы будем также следить и за тем, какие именно
переменные входят в открытую формулу, оказывающуюся А-экви-
валентной данной формуле. Это окажется полезным для приложе-
ний. Прежде чем заняться элиминацией каких-либо кванторов,
мы должны внимательно рассмотреть открытые формулы. Будем
для удобства использовать сокращение
»т < Vn вместо vm < vn л 7| vm = vn.
Рассмотрим п + 1 переменных р0, ., рп,
нием переменных v0, vn будем называть
п > 0. Распределе-
конечную конъюнк-
цию вида
00 л 0! Л л 0п-1,
где п0, ., ип —те же переменные р0, . ., vn, только, воз-
можно, в ином порядке, а всякая формула 0f есть либо ut <С Щ+ъ
либо Ui = ui+1. Следующая лемма позволяет приводить всякую
открытую формулу к «нормальной форме», построенной из рас-
пределений переменных.
Лемма 1.5.2. Всякая открытая формула ф (у0, •> рп) долж-
на быть ^-эквивалентна либо одной из формул v0 <Z vQ, v0 = v0,
либо дизъюнкции конечного числа распределений переменных
v0, vn.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай п = 0.
ВГэтом случае открытая формула ф (р0) построена из атомных
формул Ро < Ро И Vo = Vo. ПОСКОЛЬКУ A Vo Vq И А Vq = р0,
имеем либо А й Ф и А ф р0 = и0, либо A ~|ф и А й Ф
Г(< Vq.
Отметим теперь три простых свойства распределений (мы
предположим, что п>0):
(1) Существует лишь конечное число различных распределений
переменных v0, . . ., vn.
1.5. Элиминация, кванторов
69
(2) Во всякой липейно упорядоченной структуре Я на всякой
последовательности а0, ., ап выполняется некоторое распреде-
ление переменных р0, ., ип.
(3) Пусть ф (р0, рп) — открытая формула, а ф — распре-
деление переменных v0, ип. Тогда хотя бы одна из формул
ф —> Ф и ф —>”]ф является следствием теории линейного порядка.
Свойство (1) очевидно; (2) легко выводится из того факта, что
во всякой линейно упорядоченной структуре для любых двух
элементов а и Ь имеет место в точности одно из соотношений а < 6,
а = Ь, Ъ < а. Свойство (3) доказывается индукцией по длине
открытой формулы ф, и мы оставляем это читателю.
Пусть теперь ф (р0, ., рп) —некоторая открытая формула.
Если A fz ф, то ф, очевидно, A-эквивалентна формуле р0 < и0.
Рассмотрим теперь другую возможность, а именно случай, когда
А Ф не имеет места. Рассмотрим произвольную модель И тео-
рии А и последовательность а0, ., ап, на которой в модели И
выполняется ф. В силу (2), на последовательности а0, ., ап
в 91 выполняется также некоторое распределение ф переменных
v0, . ., vn. Поэтому А ф "3 Ф не имеет места, и, в силу (3),
мы будем иметь А |= ф -> ф. Образуем дизъюнкцию 0 всех рас-
пределений ф переменных р0, . рл, для которых A ф ф.
В дизъюнкцию 0 входит хотя бы одна, но, ввиду (1), лишь конеч-
ное число формул. Из приведенных выше замечаний следует, что
А £ 0, а из определения формулы 0 видно, что А £ 0-> ф.
Итак, А-эквивалентность формул ф и 0 доказана, чем и завершает-
ся доказательство леммы.
Заметим, гго в действительности наша лемма справедлива как
для теории А, так и для теории линейного порядка. Читатель
может проверить это, внимательно проглядев доказательство
и убедившись, что из аксиом теории А мы пользовались на самом
деле только аксиомами линейного порядка. В следующей теореме,
однако, нам потребуются уже все аксиомы теории А.
Теорема 1.5.3. Всякая формула рассматриваемого языка А-экви-
валентна некоторой открытой формуле ф. Более того, если все
свободные переменные формулы ф содержатся среди у0, ., ип,
п 0, то формулу ф можно выбрать так, чтобы все ее переменные
также содержались среди р0, vn.
Доказательство. Сначала докажем А-эквивалент-
ность произвольной формулы ф подходящей открытой формуле
ф. Согласно лемме 1.5.1, достаточно доказать, что для всякой
открытой формулы ф (v0, ип) формула (3rm) ф оказывается
A-эквивалентной некоторой открытой формуле. Если т > п,
то ит вовсе не входит в формулу ф, так что (3vm) ф, оче-
видно, A-эквивалентна формуле ф. Поэтому можно считать, что
70
Гл. 1. Введение
т п. Переименовав переменные, мы можем даже считать,
что т — п.
Воспользовавшись леммой 1.5.2, мы можем предполагать, что
гр есть либо vQ < либо z?0 = р0, либо дизъюнкция конечного
числа распределений переменных v0, ., vn. Если гр совпадает
с vQ < г0 или ро = т0 (З^п) гр, очевидно, Д-эквивалентна
формуле гр. В оставшемся случае пусть
гр = 90 V 6р,
где каждое 0Z — некоторое распределение переменных р0, vn.
Тогда
Д (Зрп) гр ++ (Зип) 0О V V (Зрп) 0Р.
Мы можем элиминировать квантор (Зрп) следующим образом.
Если п = 1, то для формулы (3^1) 0г имеются лишь такие
возможности:
(3vx) Vq < Vly (3pj) Vq = V19 (3Pi) Vi < Vq.
Каждая из этих формул является следствием теории Д, откуда
вытекает, что и формула (3^) гр является следствием теории Д
и потому Д-эквивэлентна формуле Vq = v0.
Пусть теперь п > 1. Тогда из всякого распределения 0f пере-
менных р0, ., vn мы можем естественным образом получить
распределение 0* переменных р0, . ., уп_1? просто удаляя из 0^
атомные формулы, содержащие vn. Легко видеть, что
Д 1= (Зрп) 0f ++ 0*, i = 0, р,
а потому
Д (Зрп) гр 0J v V 0р.
Мы показали, что и в этом случае формула (Зрт) гр оказывается
Д-эквивайентной некоторой открытой формуле.
Докажем теперь второе утверждение теоремы. Проведенное
нами выше доказательство в действительности показывает, что
если гр (у0, ., vn) —открытая формула и п > 0, то формула
(Зрп) гр оказывается Д-эквивалентной открытой формуле вида
0 (р0, . ., Пусть ср (р0, ^п) —произвольная формула4
п 0. Тогда ф будет Д-эквивалентной некоторой открытой фор-
муле гр (р0, yn, . . ил+т). Но ф также Д-эквивалентна
формуле (Зрп+1) . (3z>n+m) ф, а потому и формуле (3i>n+1)
(3vn+m) гр. Последняя же формула Д-эквивалентна открытой
формуле вида 0 (р0, ., ь\), которой, следовательно, Д-эквива-
лентна и ф. Доказательство закончено. Н
Доказательство этой теоремы дает также разрешающую про-
цедуру для теории Д. Вкратце эта разрешающая процедура состоит
в следующем. Пусть нам дано произвольное предложение ф, и мы
1.5. Элиминация кванторов
71
хотим определить, принадлежит ли оно теории Д. Наш первый
шаг заключается в приведении формулы ср к пренексной нормаль-
ной форме, скажем (после перенумерации переменных) к виду
(Q0v0) (QiPj) . . (Qnvn) i|5,
где Qo, Qn —кванторы 3 и V, а формула ф открыта. Мы
можем предположить, далее, что Qn есть 3, рассматривая в про-
тивном случае формулу ~”]ф. Затем мы преобразуем формулу ф
в одну из формул v0 < Vq, Vq = Vq или в дизъюнкцию конечного
числа распределений переменных v0, vn. После этого элими-
нируем квантор (Зрп), т. е. в результате процесса, изложенного
в доказательстве предыдущей теоремы, заменяем формулу (Зрп) ф
на Д-эквивалентную ей открытую формулу 0 (ь>0, ., ^n-i)*
Далее мы до тех пор повторяем этот процесс, пока все кванторы,
кроме (Q0i>0), не окажутся элиминированными. Когда этот процесс
закончится, мы сможем тотчас сказать, принадлежит ли резуль-
тирующее предложение (Qo^o) 0 (ро) теории Д. Если речь зайдет
о действительном применении, нашу разрешающую процедуру
можно, конечно, сделать значительно более целенаправленной.
Выведем теперь другое следствие нашей теоремы.
Следствие 1.5.4. Теория плотного линейного порядка без кон-
цевых точек является полной.
Доказательство. Пусть <р — произвольное предло-
жение. По теореме 1.5.3 оно Д-эквивалентно некоторой открытой
формуле ф (р0). Но для всякой открытой формулы ф (р0) имеем
либо Д tz ф, либо Д fz ”"|ф. Поэтому либо Д fz ф, либо Д fz "] ф,
и теория Д полна.—]
Заметим, что следствие 1.5.4 касается только предложений, но,
чтобы доказать его на основе теоремы 1.5.3, мы применили индук-
цию, относящуюся к произвольным формулам. В теории моделей
это встречается нередко, так как понятие предложения вводится
на основе рекурсивного определения формулы. Теорема 1.5.3
сообщает нам также кое-что о теориях, которые можно построить,
добавив к рассматриваемому языку новые константные символы
и приняв за аксиомы то же множество Д. Мы рассмотрим это при-
менение нашей теоремы как одно из упражнений.
Теорему 1.5.3 можно слегка усилить, приняв за базисные толь-
ко формулы vm vn.
Следствие 1.5.5. Всякая формула р (р0, ., рп) является \-экг
вивалентной булевой комбинации формул вида vm vp, где т =
= 0, . . ., п и /? = 0, . . ., п.
72
Гл. 1. Введение
Доказательство. Имея в виду теорему 1.5.3, доста-
точно заметить, что
Д 1= vm = vp vm < vp д vp < vm. н
Займемся теперь нашим вторым примером элиминации кван-
торов. Мы получим полное описание всех полных замкнутых
теорий в чистом языке равенства (см. разд. 1.3), не содержащем
вообще никаких предикатных, функциональных и константных
символов. Иными словами, мы опишем все полные замкнутые
расширения теории, задаваемой в чистом языке равенства пустым
множеством аксиом.
Как и в случае плотного линейного порядка, мы начнем с лем-
мы, касающейся распределений. Что следует теперь понимать под
распределением? Распределением переменных v0, ., vn будет
у нас формула, говорящая о том, какие из этих переменных равны
друг другу, а какие — нет. Чтобы быть точными, обозначим
через е произвольное отношение эквивалентности на множестве
{О, 1, . ., п} индексов переменных р0, ., vn. Мы определяем
распределение переменных v0, vn, задаваемое отношением е,
как конъюнкцию всех формул
Vi = Vj при iej и = Vj при невыполнении условия iej.
Лемма 1.5.6. Всякая открытая формула ф (р0, •> vn) или
противоречива, или эквивалентна дизъюнкции конечного числа рас-
пределений переменных vQ, vn.
Ее доказательство очень похоже на доказательство леммы 1.5.2
и потому отнесено в упражнения.
Теперь нам следует выбрать множество базисных формул.
Вероятно, читателю ясно, что одних атомных формул нам не хва-
тит. Например, предложение (Vpoyi) (^оs vi) не может быть
представлено открытой формулой.
За базисные мы теперь принимаем все атомные формулы
Vm — Vn
вместе с предложениями оп, гласящими, что существует более,
чем п, различных элементов. Формально оп, п > 0, можно запи-
сать в виде
(VV1 Vn) (3v0) (“I v0 = Vi Л П v0 = vn).
Для удобства обозначений примем за о0 некоторое истинное пред-
ложение, скажем (Эр0) (^о = уо)-
Теоремэ 1.5.7. Всякая формула ф чистого языка равенства
эквивалентна некоторой булевой комбинации ф базисных формул.
Более того, если все свободные переменные формулы ф содержатся
1.5. Элиминация кванторов
73
среди v0, ., vn, то можно так выбрать формулу ф, что все ее
свободные переменные также будут содержаться среди v0, , vn.
В частности, если <р — предложение, то предложением будет и ф.
Доказательство. Сначала покажем, что всякая фор-
мула эквивалентна некоторой булевой комбинации базисных фор-
мул. Пусть ф (vq, . ., рп) —произвольная булева комбинация
базисных формул. Согласно лемме 1.5.1, достаточно доказать, что
формула (Зит) ф эквивалентна булевой комбинации базисных
формул. Заметим, во-первых, что формула ф эквивалентна фор-
муле вида
(фо Л 9о) V V (фр Л Ор)»
где каждая формула ф^ открыта, а каждая 0; является булевой,
комбинацией предложений а0, а2, В силу леммы 1.5.6,
мы можем, кроме того, считать, что каждая ф^ является либа
противоречивым предложением а0, либо дизъюнкцией конеч-
ного числа распределений переменных р0, ., ип.
Как и в предыдущей теореме, без потери общности можно
считать, что т = п. В случае п — 0 единственное распределение
переменной у0 есть просто истинная формула у0 = v0, так что
каждая формула ф^ либо оказывается истинной и в этом случае
может быть заменена предложением о0, либо представляет собой
противоречивую формулу о0. Таким образом, формула ф экви-
валентна булевой комбинации предложений о0, аг, а потому
то же верно и для формулы (3i?n) ф.
Пусть теперь п > 0. Из каждого распределения фо i р,
в результате опускания всех равенств и неравенств, в которых
присутствует переменная vn, образуем выражение ф*. Каждое
ф* является распределением оставшихся переменных vQ,
vn-i- (Если случится, что ф^ есть о07 то за Ф* мы просто
принимаем а0.) Заметим, что формула (Зуп) ф$, вообще говоря,
не эквивалентна формуле ф*. (Почему?) Однако если — отно-
шение эквивалентности, которое порождает распределение ф/,
и — число его классов эквивалентности, то легко убедиться,
что формула (Зрп) фг оказывается эквивалентной формуле-
ar-i Л ф*. К тому же (Зип) ф эквивалентна формуле
(0О Л (Зрп) ф0) v v (0Р л (3vn) ФР).
Отсюда вытекает, что (Зип) ф эквивалентна формуле
(0О л aro_i Л фо) V V (0р Л Orp-i Л ф£).
Это выражение представляет собой в действительности булеву
комбинацию базисных формул, и первая часть теоремы доказана.
Теперь с помощью того же приема, которым мы воспользова-
лись в конце доказательства теоремы 1.5.3, мы можем получить,
утверждение теоремы полностью — и утверждение, что всякая
74
Гл. 1. Введение
формула ф (и0, уп) эквивалентна булевой комбинации
ф (l’o, ., vn) базисных формул, и утверждение, что если ф —
предложение, то предложением будет и ф. —|
Теперь мы готовы к тому, чтобы дать прозрачное описание
всех замкнутых теорий в чистом языке равенства. Легко видеть,
что для любого конечного множества N положительных натураль-
ных чисел существует предложение a (7V), моделями которого слу-
жат в точности те ЭД, для которых | А | £ 7V. Читателю следует
убедиться в том, что, каково бы ни было ЛГ, a (N) оказывается
предложением в чистом языке равенства и даже булевой комбина-
цией предложений а0, ах, Мы можем теперь заключить,
что предложения о (N) и их отрицания, с точностью до эквивалент-
ности, исчерпывают предложения чистого языка равенства.
Следствие 1.5.8. Для всякого предложения ф чистого языка
равенства существует такое конечное множество N положитель-
ных натуральных чисел, что ф эквивалентно либо о (N), либо
П * w.
Займемся теперь теориями. Легко видеть, что для всякого
конечного или бесконечного множества N положительных нату-
ральных чисел существует замкнутая теория A (N), моделями
которой служат в точности такие ЭД, что либо | А | £ N, либо ЭД
бесконечна. Снова читателю следует убедиться в том, что каждая
теория A (N) задается некоторым множеством предложений чистого
языка равенства, рассматриваемых в качестве аксиом. Чтобы
сделать систему наших обозначений более полной, введем также
наименование 2 (N) для замкнутой теории, задаваемой един-
ственной аксиомой о (2V), где множество N конечно. Следст-
вие 1.5.9 показывает, что A (7V) и S (N) — единственные замкну-
тые теории в чистом языке равенства.
Следствие 1.5.9. (i) Конечно аксиоматизируемые замкнутые
теории в чистом языке равенства суть в точности теории 2 (N),
где множество N конечно, и A (7V), где конечно множество со \ N.
(ii) Замкнутые теории в чистом языке равенства, не допускаю-
щие конечной аксиоматизации, суть в точности теории A (N),
где со \ N бесконечно.
Доказательство, (i) Теории 2 (М), где М конечно,
и A (N), где со \ N конечно, являются конечно аксиоматизируемы-
ми. В самом деле, S (М) задается единственной аксиомой о (М),
a A (7V) —единственной аксиомой "| о (со \ N). Согласно след-
ствию 1.5.8, всякая конечно аксиоматизируемая теория может
быть задана единственной аксиомой вида о (N) или ~"| о (7V), где N
конечно. Этим доказан пункт (i).
1.5. Элиминация кванторов
75
(ii) Пусть теперь Т — произвольная замкнутая теория в чи-
стом языке равенства. Пусть N —множество всех положитель-
ных натуральных чисел, служащих мощностями конечных моде-
лей теории Т. Тогда любая конечная модель ЭД является моделью
теории Т в том и только том случае, когда | А | £ N. Если хотя
бы одно предложение вида а (М), где М конечно, принадлежит
теории Т, то все модели этой теории конечны и JVcz М, а потому
Т = 2 (N).
Предположим теперь, что теория Т не имеет вида 2 (7V). Отсю-
да следует, что всякое предложение <р £ Т эквивалентно предло-
жению вида ~] а (М). Пусть N' — объединение всех множеств М,
для которых Т ~|а (М). Теперь понятно, что ЭД является моделью
теории Т тогда и только тогда, когда либо ЭД бесконечна, либо
| А | £ (О \ Поэтому Т — А (со \7V'). Заметим также, что
<о \ N' — N, так что Т есть A (N). Наконец, если теория Т не допу-
скает конечной аксиоматизации, то, в силу (i), множество со \ N
оказывается бесконечным. Этим доказан и пункт (ii). —(
Отметим, что, согласно последнему следствию, в рассматривае-
мом нами языке не существует теории, моделями которой были
бы в точности все конечные модели. Подобным образом, если 7V —
произвольное бесконечное множество положительных натураль-
ных чисел, то не существует теории, моделями которой были бы
как раз все ЭД, для которых | А | £ N. Иными словами, в чистом
языке равенства всякая теория, обладающая сколь угодно боль-
шими конечными моделями, имеет и бесконечную модель. Позже
мы увидим, что так же обстоит дело и во всех других языках
первого порядка.
С помощью метода элиминации кванторов удалось проанализи-
ровать ряд очень важных теорий, например аддитивную теорию
чисел (Пресбургер [1929]), теорию абелевых групп (Шмелёва
[1955]), теорию булевых алгебр (Тарский [1949]), теорию вполне
упорядоченных моделей (Мостовский и Тарский [1949]) и теории
вещественно замкнутых полей и алгебраически замкнутых полей
(Тарский [1948]). Уже на основании двух наших простых приме-
ров можно было почувствовать, что в некоторых из более содержа-
тельных случаев, упомянутых выше, элиминация кванторов
оказывается довольно трудным делом. В каждом из этих случаев
указанный метод дает разрешающую процедуру, а также полез-
ную классификацию всех формул и всех полных расширений
данной теории.
По большей части появляющиеся в математике интересные
теории оказываются неразрешимыми (например, теория чисел,
теория множеств, теории групп, полей, частичного порядка),
п для этих теорий метод элиминации кванторов оказывается непри-
годным.
76
Гл. 1. Введение
Упражнения
1.5.1. Пусть X (п) — язык с0, полученный и»
языка {<С} добавлением к нему п константных символов.
(i) Докажите, что множество предложений А не является
полным в языке X (п) при п > 1. Докажите, что все его полные
расширения конечно аксиоматизируемы.
(ii)* Опишите все полные расширения теории Л в языке
X (со).
1.5.2.* Пусть Г —теория плотного линейного порядка. Дока-
жите, что Г имеет ровно четыре полных замкнутых расширения,
каждое из которых получается введением одной из четырех допол-
нительных аксиом:
не существует концевых точек;
существует левая, но не существует правой концевой точки;
существует правая, но не существует левой концевой точки;
существуют и левая, и правая концевые точки.
Указание*. Примите за множество базисных формул множество
всех атомных формул вместе с формулами, утверждающими, что:
vm — левая концевая точка;
vm — правая концевая точка;
существует левая концевая точка;
существует правая концевая точка.
Измените доказательство теоремы 1.5.3 так, чтобы установить-
Г-эквивалентность любой формулы подходящей булевой комби-
нации базисных формул.
1.5.3* С помощью элиминации кванторов докажите полноту
теории безатомных булевых алгебр.
1.5.4. Что представляют собой полные теории в чистом языке
равенства^ Сформулируйте простой критерий эквивалентности
двух моделей этого языка.
1.5.5. Опишите все полные теории в языке, содержащем п
константных символов, но не содержащем ни предикатных, ни
функциональных символов. Проделайте то же для языка с о>
константными* символами.
1.5.6. Опишите разрешающую процедуру для определения
истинности произвольного предложения в чистом языке равенства.
1.5.7* . С помощью метода элиминации кванторов проанализи-
руйте следующие теории:
(i) Безаксиомная теория в языке с единственным одномест-
ным предикатным символом, не содержащем более никаких сим-
волов (Беман 11922]).
1,5, Элиминация кванторов
77
(ii) Теория абелевых групп, все элементы которых имеют
порядок 3.
(iii) Теория полных абелевых групц.
(iv) Логика одноместных предикатов первого порядка.
1.5.8*. Это и следующие упражнения оказываются слишком
длинными и утомительными, если в них выписывать полные дока-
зательства. Теория одной функции следования задается аксиома-
ми (1), (2) и (7Ф) из примера 1.4.11 в языке X = {S, 0), С помощью
элиминации кванторов докажите полноту этой теории.
1.5.9*. Методом элиминации кванторов докажите, что аддитив-
ная теория чисел (из примера 1.4.11) в языке X = {+, S, 0}
полна.
1.5.10*. Теория одного отношения эквивалентности, изла-
гаемая в языке X — {£*}, задается следующими аксиомами:
хЕх,
хЕу к yEz xEz,
хЕу уЕх.
С помощью метода элиминации кванторов постройте для этой
теории разрешающую процедуру.
1.5.11*. С помощью элиминации кванторов постройте раз-
решающую процедуру для теории абелевых групп (пример 1.4.6).
Воспользуйтесь этим для описания всех полных расширений дан-
ной теории.
ГЛАВА 2
МОДЕЛИ, ПОСТРОЕННЫЕ ИЗ КОНСТАНТ
2.1. Полнота и компактность
В этом разделе мы доказываем фундаментальную теорему о пол-
ноте, впервые доказанную Гёделем [1930]. Приводимое нами
доказательство принадлежит Генкину [1949] и обладает несколько
более широкой областью применимости, чем первоначальное
доказательство Гёделя. Возможность такого обобщения была
известна уже Мальцеву [1936].
Доказываемый нами результат состоит в том, что всякое непро-
тиворечивое множество предложений Т в языке X обладает
моделью, иными словами, является выполнимым. Доказатель-
ство проводится в два этапа. Сначала мы покажем, что Т можно
расширить до некоторого другого непротиворечивого множества Т
предложений в обогащенном языке X, обладающего рядом полез-
ных свойств. Затем мы покажем, что всякое множество Г, имеющее
эти желательные для нас свойства, обладает моделью. Не имеет
никакого значения, который из этих двух этапов осуществляется
первым.
Определение. Пусть Т — некоторое множество предложений
в языке X, а С — некоторое множество константных символов
языка Х> (Подчеркнем, что С может быть собственным подмно-
жеством множества всех константных символов языка X.) Назо-
вем С множеством свидетелей для Т в языке X, если для всякой
формулы ф языка X. содержащей не более одной свободной пере-
менной (скажем, х), существует такая константа с Е С, что
Т Н (Зх) ф-> ф (с).
Будем говорить, что Т имеет свидетелей в языке X, если для
Т в X существует некоторое множество свидетелей С.
Условимся, что здесь и во всех дальнейших разделах этой
главы под выражением ф (с) понимается следующее: ф (с) полу-
чается из формулы ф в результате одновременной подстановки
константы с вместо всех свободных вхождений в формулу ф пере-
менной х. Мы будем использовать выражение ф (с) только в тех
случаях, когда из контекста ясно, вместо какой именно перемен-
2.1. Полнота и компактность
79*
ной х подставляется константа с. В противном случае обозначение
Ф (с) может допускать разночтения. Например, если ф — формула
со свободными переменными х и у, то необходимо указать, как
получено ф (с): в результате подстановки константы с вместо
переменной х или вместо переменной у. Во избежание недоразуме-
ний можно было бы обозначать формулу, полученную с помощью
подстановки константы с вместо всех свободных в ф вхождений
переменной х, через ф (с/х}. Мы, однако, предпочитаем пользо-
ваться обозначением ф (с) вместо более громоздкого ф (с/х), пола-
гаясь в отношении ясности на контекст.
Лемма 2.1.1. Пусть Т —непротиворечивое множество пред-
ложений в языке X, С —множество новых константных символов,
мощность | С | которого равна || X ]|, и пусть X = X U С —
простое обогащение языка X, полученное добавлением к X всех
констант из множества С. Тогда множество Т можно расширить
до такого непротиворечивого множества Т предложений языка X,
что С является множеством свидетелей последнего в этом языке.
Доказательство. Пусть а — || X ||. Для каждого
Р < а пусть ср — некоторый константный символ, не принадлежа-
щий языку X и отличный от всех при р < у < а. Положим
С = {ср Р < а}, X = X J С. Очевидно, что || X || = а, и поэто-
му все формулы языка X с не более чем одной свободной перемен-
ной можно расположить в виде последовательности ф^, £ < а.
Определим теперь возрастающую последовательность множеств
предложений в языке X
.^TK<=z В<а,
и последовательность d^ £ < а, констант из множества С, такие,
что
(i) каждое множество непротиворечиво в языке X,
(ii) если g = £ + l,ToTs = 7Tc U {(Згг^) ф^->- ф^ (ds)}; здесь
х^ —(единственная) свободная переменная формулы ф&, если
в ней есть свободная переменная, и х^ = г0 в противном случае;
(iii) если £ — предельный ординал, отличный от 0, то
л = U л-
Пусть множество Топределено. Заметим, что число предложе-
ний, входящих в Т и не являющихся предложениями языка X
(т. е. мощность множества таких предложений), меньше, чем а.
К тому же каждое такое предложение содержит не более конеч-
ного числа констант из множества С. Пусть теперь —первый
элемент множества С, не фигурирующий в предложениях из
so
Гл. 2. Модели, построенные из констант
(такой элемент найдется). Например, d0 = с0. Мы покажем, что
множество
П+1 = П и {(3zs) <pt -> ФС (de)}
непротиворечиво. Если бы это было не так, мы имели бы
ПН "1((3^)Фс-*Фс№)).
Логика высказываний дает тогда
Ь Фс Л ”1 Фс №)•
Но так как символ не входит в предложения из Т с помощью
логики предикатов получаем
Ь (V^c) ((3*с) Фс Л П ф£ (^)),
ЛЬ (З^с) Фе л П (3*е) Фе,
что несовместимо с непротиворечивостью множества Т Если
же £ — ненулевой предельный ординал и каждое множество из
возрастающей цепи непротиворечиво, то, очевидно,
непротиворечиво и множество Л* Этим завершается
индукция.
Положим теперь Т = Т Очевидно, что множество Т —
£<а __
расширение множества Г, непротиворечивое в языке X. Пусть
<р — некоторая формула языка X, содержащая, самое большее,
одну свободную переменную х. Можно считать тогда, что <р = <р
и х = х± для некоторого f < а. Но тогда предложение
(3*0 Фб -> Фб (^5)
принадлежит множеству Т а потому и множеству Т -|
Идея следующей леммы так же проста, но доказательство ее
оказывается более сложным и утомительным.
Лемма 2.1.2. Пусть Т —непротиворечивое множество предло-
жений, а С — множество свидетелей для Т в языке X, Тогда мно-
жество Т имеет такую модель ЭД, что всякий ее элемент является
интерпретацией некоторой константы с £ С.
Доказательство. Заметим, во-первых, что если С
является множеством свидетелей в языке X для множества пред-
ложений Т, то С оказывается также множеством свидетелей для
любого расширения множества Т Во-вторых, если некоторое
расширение множества Т имеет модель ЭД, то ЭД служит моделью
и для самого Т. Поэтому можно считать, что Т — максимальное
непротиворечивое в языке X множество.
2.1. Полнота и компактность
81
Для произвольных констант с, d £ С положим
с ~ d, если с = d £ Т.
Поскольку Т —максимальное непротиворечивое множество, для
любых с, d, е £ С имеем
с~ с\
если с ~ d и d ~ е, то с ~ е\
если с ~ d, то d ~ с.
Таким образом, ~ есть отношение эквивалентности на множест-
ве С. Для каждого с £ С пусть
с = {d £ С : d ~ с}
— класс эквивалентности элемента с. Мы намереваемся построить
модель Э, множество элементов А которой состоит из всех таких
классов эквивалентности с, где с £ С; поэтому мы определяем
(1) а = {с с£ с}.
Определим теперь отношения, константы и функции модели §[.
(i) Для каждого n-местного предикатного символа Р языка X
определяем тг-местное отношение R' на множестве С, полагая
для произвольных констант с19 сп £ С
(2) R' (с17 сп) тогда и только тогда, когда Р (сг, сп)£
€ Т-
В силу наших аксиом равенства имеем
|-7> (ci,
cn = dn > Р (d^,
.,dn).
Таким образом, отношение ~ представляет собой так называемое
отношение конгруэнтности на множестве С для отношения R*
Отсюда следует, что отношение R можно определить на Л, полагая
(3) R (е1? . . ., сп) тогда и только тогда, когда Р (q, ..., сп) £ Т
Согласно (2), определение (3) не зависит от выбора представи-
телей в классах эквивалентности q, ., сп. Построенное отно-
шение R является в модели ?! интерпретацией символа Р.
(ii) Рассмотрим теперь произвольный константный символ d
языка X. В соответствии с логикой предикатов имеем
Н (3v0) (d = v0).
Поэтому (Эр0) ss p0) € T. а так как T обладает свидетелями,
существует такая константа с g С, что
(d = с) е т.
Сама константа с может оказаться не единственной, но все кон-
станты, удовлетворяющие последнему условию, образуют один
класс эквивалентности, поскольку, в силу наших аксиом равен-
ства,
(d = c/\d=c'-+c = с).
6 Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
82
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Итак, интерпретацией константного символа d в модели 21 являет-
ся (однозначно определенный) элемент с множества Л. В част-
ности, если d £ С, то, поскольку (d == d) £ Т, интерпретацией сим-
вола d в 21 служит его собственный класс эквивалентности d.
(iii) Подобным же образом поступим с функциональными сим-
волами. Пусть F — произвольный тп-местный функциональный
символ языка X, и пусть q, ст С С. Как и ранее, имеем
(Э^о) (^ (q, ст) = v0) С Г,
а так как множество Т обладает свидетелями, найдется такая
константа с С С, что
(Р ta, ст) = с) е т.
Из-за того, что константа с может оказаться не единственной^
вновь возникает небольшое затруднение, но с помощью аксиом
равенства мы получаем
Н (Р (Cl, ст) = с Л С! = dx Л Л ст == dm Л с = d) ->
F (dx, dm) = d.
Это соотношение показывает, что функцию G можно определить
на множестве А классов эквивалентности, полагая
(4) G (с1? . ст) — с тогда и только тогда, когда (F(cj,
. . ., ст)
Детальную проверку возможности такого определения мы оставля-
ем читателю. Интерпретацией функционального символа F в моде-
ли 21 будет служить функция G.
Итак, мы описали универсум модели 21 и интерпретацию в 21
всех символов языка <5?, тем самым полностью определив
модель 21. Мы показали, что интерпретацией всякой константы
с £ С служит в модели 21 ее класс эквивалентности с, причем из
построения видно, что каждый элемент с £ А является интерпре-
тацией некоторой константы с £ С.
Докажем теперь, что 21 — модель множества предложений Т
Прежде всего, воспользовавшись в качестве первого шага индук-
ции определением (4), мы легко докажем, что
(5) для любого терма t в языке X, не содержащего свободных
переменных, и для любой константы с £ С
21 t = с тогда и только тогда, когда (t = с) g Г.
Используя тот факт, что С является множеством свидетелей для
7, из (5) выводим
(6) для любых термов и t2 в языке X, не содержащих сво-
бодных переменных,
21 1= = тогда и только тогда, когда (^ = t2) £ Т\
2.1. Полнота и компактность
83
(7) для любой атомной формулы Р (Zv tn) языка не
содержащей свободных переменных,
21 Р (/х, tn) тогда и только тогда, когда
Р (ti, tn) 6 Т
С помощью утверждений (6) и (7) можно доказать следующее
утверждение:
(8) для любого предложения ф языка X
21 ф тогда и только тогда, когда ф Е Г.
Доказательство утверждения (8) несколько необычно тем, что
оно проводится индукцией по длине предложений в языке X.
Как увидит читатель, сделать это оказывается возможным потому,
что множество Т является максимальным непротиворечивым
и обладает множеством свидетелей в языке X. Без особенных уси-
лий мы получаем, что для произвольных предложений ф и ф
языка X
21 "|Ф тОГДа и только тогда, когда (”~| ф) g Г,
и
21 ф л ф тогда и только тогда, когда (ф л ф) С Т*
Пусть теперь ф = (За?) ф. Если 21 ф, то 21 ф [d для некото-
рого с £ А. Это означает, что 21 ф (с), гдеф (с) получено из фор-
мулы ф в результате подстановки константы с вместо всех свобод-
ных вхождений переменной х. Поэтому ф (с) £ Т и, поскольку
|_ ф (с)-> (Зя) ф,
получаем ф С Т С другой стороны, если ф £ Г, то, поскольку Т
обладает свидетелями, найдется такая константа с £ С, что
Т J— (Зя) ф -> ф (с).
В силу максимальности множества Г, имеем ф (с) £ Г, а потому
21 t= ф (с). Из последнего соотношения следует, что 21 ф kJ
и 21 ф. Тем самым доказано, что 21 — модель множества пред-
ложений Т. —|
Отметим, что легко доказывается и обращение леммы 2.1.2,
а именно
Лемма 2.1.3. Пусть С —множество константных символов?
языка X, а Т — некоторое множество предложений этого языка.
Если Т имеет модель 21, всякий элемент которой является интер-
претацией некоторой константы с (z С, то множество Т можно
дасширить до непротиворечивого в X множества Т, множеством
свидетелей которого служит С.
6*
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Для доказательства леммы 2.1.3 нужно просто принять за Т
множество всех предложений языка X, истинных в модели 21.
Всякую модель 21, построенную из констант с g С языка X
€ помощью перехода к подходящим классам эквивалентности, мы
будем просто называть моделью, построенной из множества кон-
стант С языка X. Поскольку всякий элемент а £ А представляет
собой интерпретацию некоторой константы с £ С, то | А |<С \ С |.
Приведем теперь доказательства трех фундаментальных теорем,
•сформулированных нами в гл. 1.
Теорема 1.3.21. (Обобщенная теорема о полноте.) Пусть 2 —
произвольное множество предложений в языке X. Множество 2
непротиворечиво тогда и только тогда, когда оно имеет модель.
Доказательство. Непротиворечивость множества
предложений, имеющего модель, устанавливается непосредствен-
но. Поэтому предположим, что 2 непротиворечиво. Воспользовав-
шись леммой 2.1.1, рассмотрим такие расширения 2 множества
2 и X языка X (|| X || =Ц X ||), что 2 имеет в X множество
свидетелей. Пусть 21 —модель для 2, существующая в силу
леммы 2.1.2. Поскольку 21 —модель обогащенного языка X,
рассмотрим также модель 28 языка X, представляющую собой
обеднение модели 21 до модели языка X. Поскольку в предложе-
ния из множества 2 не входят константы языка X, не принадлежа-
щие языку X, получаем, что 28 —модель множества 2. Ч
Следствие 2.1.4. Всякая непротиворечивая теория Т, сфор-
мулированная в языке X, обладает моделью, мощность которой
не превосходит || X ||.
Доказательство. В приведенном выше доказатель-
стве можно было так построить модель 21, чтобы каждый ее эле-
мент был некоторой константой, и тогда мы получаем, что | В | ==
= | А | < || X || = || X ||. Ч
СледствиЕ 2.1.4 по существу представляет собой первоначаль-
ный вариант теоремы Лёвенгейма [1915]: если некоторое предложе-
ние имеет модель, то оно имеет не более чем счетную (конечную
или бесконечную) модель.
Теорема 1.3.20. (Теорема Гёделя о полноте.) Предложение
языка X является в этом языке теоремой тогда и только тогда,
когда оно истинно.
Доказательство. Нам нужно доказать эту теорему
лишь в одну сторону. Если предложение о не является в языке X
теоремой, то {Д а} непротиворечиво в X. По теореме 1.3.21 {Д а}
2.1. Полнота и компактность
85
имеет модель, в которой а не является истинным. Поэтому а
и вообще не будет истинным. —1
Теорема 1.3.22. (Теорема компактности.) Множество предложе-
ний S имеет модель тогда и только тогда, когда обладает моделью
всякое его конечное подмножество.
Доказательство. Если всякое конечное подмножество
множества S имеет модель, то, очевидно, всякое такое подмноже-
ство непротиворечиво. Значит, непротиворечиво и множество S,
и, в силу теоремы 1.3.21, 5 имеет модель. Н
Мы заключаем этот раздел довольно-таки обширным набором
следствий и приложений теорем о полноте и компактности. Некото-
рые дополнительные факты содержатся в упражнениях к этому
разделу.
Следствие 2.1.5. Теория Т, обладающая сколь угодно большими
конечными моделями, имеет и бесконечную модель.
Доказательство. Пусть Т — теория в языке X, обла-
дающая сколь угодно большими конечными моделями. Рассмотрим
обогащение X’ = X U {сп п£ со}, где { сп} —список различ-
ных константных символов, не принадлежащих языку X. Рас-
смотрим множество 2 предложений в языке X' определяемое
равенством
2 = Т U {“| (сп = ст) п<т< 6)}.
Во всяком конечном подмножестве 2' множества 2 фигурирует
лишь конечное число констант, скажем, с0, ., ст при некото-
ром т. Пусть 21 — модель теории Т, содержащая не менее т + 1
элементов, и пусть т + 1 элементов а0, ., ат модели 21 попар-
но различны. Мы легко можем проверить, что модель (21, а0, .., ат)
служит моделью для множества S', если все рассматривается
в конечном обогащении X" = X U {с0, ., ст} данного языка X.
Но тогда, согласно теореме^1.3.22, и множество S имеет модель.
Обеднение этой модели до модели языка X дает нам модель мно-
жества предложений Т, являющуюся, очевидно, бесконечной. —|
Следствие 2.1.6. (Теорема Лёвенгейма —Скулема —Тар-
ского.) Если теория Т имеет бесконечные модели, то она имеет
бесконечные модели произвольной заданной мощности а || X || •
Доказательство этой теоремы подобно доказательству
следствия 2.1.5. Пусть с^, £ < а, —список различных констант-
ных символов, не принадлежащих языку X. Рассмотрим множе-
ство предложений S = Т U {(<Ч s : < Л < аЬ Во вся-
ком конечном подмножестве S' множества S фигурирует не более
конечного числа констант Ct. Поэтому всякую бесконечную модель
86
Гл. 2. Модели, построенные из констант
множества предложений Т можно обогатить до модели множе-
ства S'. По теореме 1.3.22 множество S имеет модель 21, а, согласно
следствию 2.1.4, мощность этой модели не превосходит
|| X U Н < а) || = а.
С другой стороны, интерпретациями констант с^ в модели 21 слу-
жат попарно различные элементы множества А. Таким образом,
а | А | а, т. е. | А | = а. Н
Следующий результат впервые опубликован Скулемом [1934].
Следствие 2.1.7. Полная теория чисел обладает нестандарт-
ными моделями.
Доказательство. Напомним (см. пример 1.4.11), что
полной теорией чисел называют множество всех предложений,
истинных в стандартной модели (со, + , •, 5,0) теории чисел.
Так как у "этой теории имеется бесконечная модель, теория обладает
моделями любой бесконечной мощности. Очевидно, что любая не-
счетная модель полной теории чисел не может быть стандартной. —|
Простым, но мощным орудием теории моделей является метод
диаграмм. Пусть 21 — модель языка X. Обогатим язык X до
нового языка
ХА - X U {са а С 4},
добавляя по новой константе са для каждого элемента а £ А.
Понятно, что если а Ъ, то символы са и съ различны. Мы можем
теперь обогатить 21 до модели
Яд = (Я, а)оед
языка X А, принимая за интерпретацию каждого нового символа
са сам элемент а. Диаграммой модели 21 (обозначение: А^) назы-
вается мйожество всех атомных предложений и отрицаний атом-
ных предложений языка ХА, истинных в модели 21А.
Если X — произвольное подмножество множества А, мы обо-
значаем язык X U {са а € %} через Хх, а естественное обогаще-
ние модели 21 до модели языка Хх —через 21х = (21, а)а£х.
Если / — некоторое отображение множества X в множество В
элементов модели 23 языка X, то через (23, fu)a^x обозначим обо-
гащение модели 23 до модели языка Хх, получающееся, если
каждую константу са интерпретировать как fa.
Метод введения новых константных символов для элементов
модели используется в теории моделей все вновь и вновь. Следующее
предложение демонстрирует полезность диаграмм.
Предложение 2.1.8. Пусть 21 и 23 —модели языка X; 21 изо-
морфно вкладывается в 23 тогда и только тогда, когда модель 23
имеет обогащение, являющееся моделью диаграммы модели 21.
2.1. Полнота и компактность
87
Доказательство. Если / — изоморфное вложение
модели ЭД в модель 93, то (23, /а)асА является моделью для диа-
граммы С другой стороны, еслй (23, /а)а£А — модель для
Дзд, то отображение f оказывается изоморфным вложением модели
ЭД в модель 25. —I
Следствие 2.1.9. Предположим, что язык X не содержит ни
функциональных, ни константных символов. Пусть Т —некоторая
теория в языке X и ЭД —модель для X. Модель ЭД изоморфно
вкладывается в некоторую модель теории Т тогда и только тогда,
когда всякая конечная подмодель модели ЭД изоморфно вкладывается
в некоторую модель теории Т
Доказательство. В одну сторону доказательство оче-
видно, и мы его опустим. Предположим, что всякая конечная
подмодель модели ЭД изоморфно вкладывается в некоторую модель
теории!1 Покажем, что множество 2 = Т U Д^ непротиворечиво.
Всякое конечное подмножество 2' множества 2 содержит не более
конечного числа новых констант; обозначим их через cai, ., са^.
Поскольку язык X не содержит ни функциональных, ни констант-
ных символов, конечное множество А' = {а1? . ., порож-
дает некоторую конечную подмодель ЭД' модели ЭД. Пусть 28' —
модель теории Т, в которую ЭД' изоморфно вкладывается. Мы без
труда заметим, что 2'cz Т J Д^/. Поэтому, в силу предложе-
ния 2.1.8, модель 23' можно обогатить до модели теории 2', и, зна-
чит, 2' имеет модель. По теореме компактности и теория 2 обла-
дает некоторой моделью 25. Но обеднение модели 23 до модели
языка X —опять-таки в силу предложения 2.1.8 —оказывается
моделью теории Т, в которую ЭД изоморфно вкладывается. —1
Рассмотрим теперь два приложения полученных результатов
к теории полей (см. пример 1.4.9).
Следствие 2.1.10. Пусть Т —некоторая теория в языке X =
— { + , •> 0, 1}, допускающая в качестве моделей поля сколь
угодно большой конечной характеристики. Тогда и некоторое
поле характеристики 0 является моделью теории Т.
Доказательство. Пусть Т' — обычная теория полей.
Рассмотрим множество
2 == Т U 71' U {pl ^0 Р —произвольное простое число}.
Напомним, что pl, как это определено в гл. 1, служит сокраще-
нием для терма 1 + • + 1 {р раз) языка X. Для всякого конеч-
ного подмножества 2' множества 2 среди входящих в 2' простых
чисел существует наибольшее, скажем р. Пусть ЭД — модель
теории Т, являющаяся полем, а потому и моделью для Г', причем
88 Гл. 2. Модели, построенные из констант
а - - -
характеристика поля 21 больше р. Тогда 21 является моделью
для S', а по теореме компактности обладает моделью и 5. Эта
последняя модель служит моделью теории является полем
и имеет характеристику 0.
Следствие 2.1.11. Существуют неархимедовы упорядоченные
поля, элементарно эквивалентные упорядоченному полю действи-
тельных чисел.
Доказательство. Упорядоченное поле ( F, + , • , 0,
1, называется архимедовым, если для любых его положитель-
ных элементов а и Ь найдется такое натуральное число п, что
па Ъ. Это условие не выразимо в логике первого порядка.
Пусть Т — множество всех предложений языка X =
= { + , •, 0, 1, <}, истинных в упорядоченном поле действи-
тельных чисел. Пусть с —некоторый константный символ, отлич-
ный от 0 и 1. Положим
2 = Т U {п1 с п £ со}.
Для всякого конечного подмножества 2' множества 2 существует
обогащение поля действительных чисел до модели для 2' По тео-
реме компактности обладает моделью и множество 2, и пусть
Ъ — интерпретация символа с в этой модели. И 1, и Ъ положи-
тельны в этой модели, но никакое кратное единицы не превосхо-
дит элемента Ъ. —j
Следствие 2.1.11 служит начальным пунктом одного из направ-
лений теории моделей, известного под названием нестандартного
анализа.
Рассмотрим введенную выше диаграмму Д^ модели §1. Мы
видели, что предложение 2.1.8 устанавливает тесную связь между
моделями диаграммы Д^ и моделями, в которые 21 изоморфно
вкладывается. Под позитивной диаграммой модели 2( мы пони-
маем подмножество множества Д^, состоящее из одних только
атомных предложений (не содержащее отрицаний атомных пред-
ложений). Мы увидим, что позитивные диаграммы оказываются
связанными со следующим понятием гомоморфного вложения.
Пусть 21 и 21' —модели языка X. Тогда 21 называется гомо-
морфно отобразимой на 2Г, если существует отображение f уни-
версума А на универсум А' удовлетворяющее следующим усло-
виям:
(i) Для каждого n-местного отношения R в модели 21 и соот-
ветствующего ему отношения R' в 2Г и для любых элементов
хг, . . хп из А
если R (хъ . . хп), то R’ (f (xj, . . f (хп)).
2.1. Полнота и компактность
8£
(ii) Для каждой иг-местной функции G модели 21 и соответ-
ствующей функции G' модели 21' и для любых хг, хт из А
f(G(xlt хт)) = G' (/ (A), Ы
(iii) Для каждой константы х модели 21 соответствующей ей
константой модели 21' служит / (х).
Всякая функция /, удовлетворяющая указанным выше тре-
бованиям, называется гомоморфизмом модели 21 на 21' Если
/ — такой гомоморфизм, будем писать 21 /21'; если 21 гомоморф-
но отобразима на 2Г, но нет необходимости указывать соответ-
ствующий гомоморфизм, мы пишем 21 21' В этом случае будем
также говорить, что 21' — гомоморфный образ модели 21. Скажем,
наконец, что 21 гомоморфно вкладывается в 21', если 21 гомоморфна
отображается на некоторую подмодель модели 21' Некоторые
элементарные свойства этих понятий приведены в упр. 2.1.3»
Следующее предложение соответствует предложению 2.1.8.
Предложение 2.1.12. Пусть 21 и 23 —модели языка X. Модель
21 гомоморфно вкладывается в 28 тогда и только тогда, когда
некоторое обогащение модели $8 служит моделью для позитивной
диаграммы модели 21.
Следствие 2.1.13. Всякий частичный порядок на множестве X
можно продолжить до линейного порядка на этом множестве.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Пусть отношение частично упо-
рядочивает множество X. Положим 21= (X, Пусть
{сх : х Е X} —множество различных констант, соотнесенных с эле-
ментами х £ X, а А — позитивная диаграмма модели 21. Положим
S = А и {сх Су х=£ у в X} и {о},
где о — предложение, гласящее, что есть отношение линейнога
порядка (см. пример 1.4.1). Пусть 2' —некоторое конечное под-
множество множества 2, причем в 2' фигурируют, скажем, эле-
менты хг, ., хп и соответствующие константы. Нам нужно дока-
зать следующий факт:
(1) Всякий частичный порядок на множестве {а?17 ., £п}
можно продолжить до линейного порядка на этом множестве
с сохранением отношения (т. е. если xt Xj, то хг fXj).
Утверждение (1) без труда доказывается индукцией по п.
Считая (1) доказанным, замечаем, что ({^j, . . ., хп}, ) —
модель множества 2' По теореме компактности 2 имеет линейно
упорядоченную модель (У, </>, в которой для каждой констан-
ты сх имеется соответствующий элементу. Очевидно, что множе-
ство {ух х £ X} линейно упорядочено отношением При
этом если х z, то ух ’уг, и если х z, то z/x yz. Применяя
теперь обратную к одно-однозначной функции у х -> ух, полу-
чаем на множестве X линейный порядок, продолжающий данное
отношение —|
90
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Упражнения
2.1.1. Докажите, что полная теория чисел имеет и счетные
нестандартные модели.
2.1.2. С помощью метода диаграмм докажите теорему о пред-
ставлении булевых алгебр (предложение 1.4.4).
{Указание', (а) Всякая атомная булева алгебра изоморфна
некоторому полю множеств. (Ь) Всякое конечное подмножество
произвольной булевой алгебры порождает конечную — а потому
атомную — булеву алгебру, (с) Если модель ЭД изоморфно вкла-
дывается в поле множеств, то сама ЭД изоморфна некоторому полю
множеств.]
2.1.3. Докажите следующие утверждения. Отношение гомо-
морфизма ~ рефлексивно и транзитивно. Оно не является ни сим-
метричным, ни антисимметричным. Если ЭД 2^ 25, то | А | | В |.
Предложение сг называется позитивным, если оно построено из
атомных формул с помощью только связок д, v и кванторов
3, V Если ЭД ~ 23, а — позитивное предложение и ЭД а,
то 23 а. Сравните последний факт с упр. 1.3.5.
2.1.4. Докажите утверждение (1), содержащееся в следствии
2.1.13.
2.1.5. Докажите, что всякое упорядоченное поле эквивалентно
некоторому неархимедову упорядоченному полю.
2.1.6. Докажите, что всякая группа, обладающая элементами
сколь угодно большого конечного порядка, эквивалентна группе,
в которой имеется элемент бесконечного порядка.
2.1.7. Докажите, что всякая модель теории ZF эквивалентна
некоторой (счетной) модели (А, £), содержащей бесконечную
последовательность
ЕхъЕх^Ехц.
Поэтому всякая модель теории ZF эквивалентна некоторой счет-
ной модели, не изоморфной никакой транзитивной модели.
2.1.8. Пусть ЭД = (А, .) — некоторая бесконечная
модель, вполне упорядоченная отношением Докажите, что
существует эквивалентная модели ЭД модель ЭД' = (А', .),
в которой не есть отношение вполне-упорядочения.
2.1.9. Докажите, что всякая бесконечная модель ЭД языка £
имеет такую эквивалентную модель 28 мощности || <55 ||, что не
всякий элемент множества В является константой этой модели.
2.1.10. Пусть язык <5? не содержит ни функциональных, ни
константных символов, Т — теория в языке <55, ЭД — модель
2.1, Полнота и компактность
91
языка X, Тогда $ гомоморфно вкладывается в некоторую модель
теории Т в том и только том случае, когда всякая конечная под-
модель модели 21 гомоморфно вкладывается в некоторую модель
теории Т. (Это относящийся к гомоморфизмам вариант следст-
вия 2.1.9.)
2.1.11. Пусть 21 — произвольная бесконечная модель и
|| X ||. Тогда существует такая модель 23, эквивалентная моде-
ли 21, что если формула ф (х) с одной свободной переменной выпол-
няется в модели 93 на бесконечном множестве элементов, то эта
формула выполняется на а различных элементах модели S3.
2.1.12. Модель 23 называется конечно порожденной, если суще-
ствует конечное множество Xcz В, порождающее модель 23 (см.
упр. 1.3.9). Пусть Т — теория в языке X, а 21 — модель для X.
Тогда 21 изоморфно вкладывается в некоторую модель теории Т
в том и только том случае, когда всякая конечно порожденная
подмодель модели 21 изоморфно вкладывается в некоторую модель
теории Т (ср. со следствием 2.1.9).
2.1.13. (i) Если 7\ и Т2— такие теории, что для теории Tr J Т2
не существует моделей, то найдется такое предложение ср, что
одновременно верно Т1 |= ф и Т2 tz П Ф-
(ii) Если теории и Г2 таковы, что произвольная модель 21
соответствующего языка является моделью теории 7\ тогда и только
тогда, когда 21 не есть модель теории Т2, то теории Т\ и Т2 конечно
аксиоматизируемы.
2.1.14. Пусть 7\cz T2cz ^3cz . — строго возрастающая
последовательность замкнутых теорий в языке X. Докажите, что
их объединение Т = (_] Тп есть непротиворечивая замкнутая
П<(0
теория в языке X, не допускающая конечной аксиоматизации.
2.1.15. Цель этого и некоторых из следующих за ним упраж-
нений — описать иной метод доказательства обобщенной теоремы
о полноте для счетных языков. После этого описывается обобще-
ние данного метода на несчетные языки.
Пусть X — счетный язык, а Т — непротиворечивое множество
предложений в нем, замкнутое относительно отношения |—. Мы
хотим доказать, что Т имеет модель. Отправным пунктом наших
рассмотрений будет счетная алгебра Линденбаума 23^. В упр. 1.4.11
мы уже видели, что Т соответствует некоторому фильтру в 23о,
алгебре Линденбаума предложений языка X, Легко проверяется
также, что множество
Ф={ф:ГНфИф — формула языка X}
92 Гл. 2. Модели, построенные из констант
является фильтром в 2S. Для простоты будем работать теперь
с факторалгеброй 23/Ф. Классы эквивалентности, служащие эле-
ментами этой новой алгебры, представляют собой множества
формул
Ор) = {ф Т н ф
причем единичным элементом в ней служит множество Ф, а нуле-
вым — множество
{ф Т Н “1 ф).
Мы обозначаем эту факторалгебру через 23 т и называем ее алгеб-
рой Линденбаума теории Т. Очевидно, что 23т — счетная булева
алгебра.
2.1.16. Пусть 21 — произвольная булева алгебра, а У — под-
множество множества А. Суммой, или т. в. г. (точной верхней
гранью), множества У называется такой однозначно определенный
элемент у g А, что
х у для всякого х g У (т. е. у — верхняя грань множества У)
и
если z £ А — произвольная верхняя грань множества У
то у z.
Если для множества У определена сумма, мы обозначаем ее через
\JY или, если все элементы множества У занумерованы индек-
сами, пробегающими множество /, — через \/ yt. Совершенно
аналогично определяется произведение, или т. н. г. (точная ниж-
няя грань), множества У обозначаемое через Д У или Д у^
Не для всякого множества У с: А существуют сумма и произведе-
ние. Если они существуют, для них выполняются следующие
тождества (мы предполагаем, что существует \/ у$):
(V Уг) + *= V (yi + x),
i€l г£7
(V У,)-х=\/ {Vi-x),
V yt= А У1-
Разумеется, эти тождества означают, в частности, что суммы
и произведения, входящие в правые части, существуют. Формули-
ровка двойственных тождеств для операции Д предоставляется
читателю.
Пусть ф — произвольная формула языка <55. Пусть ф (к/р) —
формула, получающаяся из ф, если сначала заменить все связан-
ные вхождения переменной vp в формулу ф на V; — первую в спи-
2.1. Полнота и компактность
93
ске v0, переменную, не входящую в ф, а затем заменить
все свободные вхождения переменной v^ на vp. Докажите, что
в булевой алгебре 23 г имеют место тождества
V (ф(*/р)) = ((Э^)ф),
р£(1)
Л (<P(*/p)) = ((Vvh)<p).
p£G)
Таким образом, сумма и произведение счетного множества формул,
полученных из одной формулы ф с помощью всевозможных под-
становок, всегда существуют и соответствуют навешиванию на ф
квантора существования или всеобщности соответственно. Отме-
тим, что таких сумм (и произведений) в алгебре 23т имеется счет-
ное множество.
2.1.17. Говорят, что ультрафильтр D на булевой алгебре 21
сохраняет сумму V Z/i» если
\/ yt £ D тогда и только тогда, когда yt £ D для некоторого
Аналогично, D сохраняет произведение /\ уг, если
Л Ui 6 D тогда и только тогда, когда z/z £ D для всех yf.
г£/
Докажите следующее утверждение: пусть в булевой алгебре 21
задана счетная последовательность произведений Д Хо, ДХ1?
Д Хп, .; тогда существует ультрафильтр D на 21, сохра-
няющий каждое из этих произведений.
[Указание: Выберите такую последовательность хп £ Хп, что
никакое конечное произведение элементов вида Д Хп + хп не
равно нулю. После этого рассмотрите любой такой ультрафильтр
D, что все элементы вида Д Хп + хп являются его элементами.]
Аналогичный результат относительно счетных последователь-
ностей сумм также имеет место.
2.1.18. Пусть D — произвольный ультрафильтр на буле-
вой алгебре 23т» сохраняющий все произведения, указанные
в упр. 2.1.16. Построим из переменных v0, v19 языка X модель
теории Т Поскольку процесс построения совершенно аналогичен
описанному в лемме 2.1.2, мы предлагаем читателю самостоя-
тельно восполнить опущенные здесь детали.
Введем сначала отношение эквивалентности, полагая
Vj ~ Vj тогда и только тогда, когда (vf =vj} £D.
Соответствующие классы эквивалентности обозначим через
Пусть с — некоторый константный символ языка <55. Посколь-
ку н (Зр0) (с =и0), а ультрафильтр D сохраняет суммы, полу-
94
Гл. 2. Модели, построенные из констант
чаем (с =Vj) £D при некотором i. Пусть интерпретацией кон-
станты с служит класс эквивалентности pf.
Пусть t — произвольный терм языка X (причем допускаются
случаи и функционального, и константного символов), а ир —
переменная, не входящая в t. Тогда имеем (Зрр) (t =vp).
Поскольку D сохраняет суммы, получаем (t = Vj) £ D при некото-
ром j. Пусть интерпретацией терма t (определенного на классах
эквивалентности vt) служит Vj.
Пусть, наконец, Р — любой предикатный символ языка X.
Определим отношение /?, полагая
Rtyis тогда и только тогда, когда (Р(р<р .. ., pin))gz>.
Таким образом, мы корректно определили модель ЭД языка Ху
универсумом которой является множество классов эквивалент-
ности vt. Теперь индукцией по построению формулы <р (р0, ип)
языка X докажем, что
ЭД 1= Ф [^о, ..., ип] тогда и только тогда, когда (ф (р0, ., vn)) С D.
При этом, рассматривая навешивание кванторов V и 3, мы вновь
опираемся на тот факт, что D сохраняет суммы. Так как из условия
Ф С Т следует, что (ф) g D, получаем, что ЭД — модель теории Т
2.1.19. Если язык X несчетен, то и множество сумм и произ-
ведений, соответствующих в булевой алгебре кванторам 3
и V, также оказывается несчетным. При этом, хотя в общем слу-
чае упр. 2.1.17 не проходит для несчетных последовательностей
произведений в произвольной булевой алгебре, некоторый его
вариант оказывается справедливым для алгебры ЗЗу. Это проис-
ходит потому, что всякая формула ф содержит лишь конечное
число символов. Наше обобщение упр. 2.1.17 формулируется
следующим образом (доказывается оно непосредственно).
Пусть ЭД — булева алгебра, а — бесконечный кардинал,
а Д Хр, Р < а, — последовательность произведений в алгебре ЭД.
Предположим, что для всех р < а и для всех фильтров Е на
алгебре ЭД, порожденных менее, чем а, элементами,
Д Хр g Е всякий раз, когда Xpcz Е.
Тогда существует ультрафильтр D на алгебре ЭД, сохраняющий
каждое произведение Д Хр.
С помощью этого факта удается обобщить на несчетные языки
X и доказательство упр. 2.1.18. (Одна техническая деталь заслу-
живает упоминания: прежде чем приступать к доказательству,
мы должны обогатить язык X до языка X, добавив || X || новых
константных символов. Это, по-видимому, необходимо; см. доказа-
тельство леммы 2.1.1.)
2.2. Опускание типов и интерполяционные теоремы
95-
2.2. Усовершенствование метода. Опускание типов
и интерполяционные теоремы
Метод, использованный в разд. 2.1 при построении счетных
моделей с некоторыми дополнительными свойствами, будет усовер-
шенствован в этом разделе в двух направлениях. Первое из этих
усовершенствований приведет нас к теореме об опускании типов.
Возможности перенесения этой техники на несчетные языки и моде-
ли в настоящее время не вполне понятны. Мы упомянем только два
результата, касающихся несчетных языков.
Отправной точкой нашего обсуждения является понятие мно-
жества формул 5 языка X от (свободных) переменных х19 хп.
Мы употребляем здесь символы х19 х2, . . в качестве имен про-
извольных свободных переменных языка X. С тем же успехом
можно было бы использовать но мы испытываем
неприязнь к двойным индексам. Приведем точное определение: S
называется множеством формул языка X от (свободных) пере-
менных х19 хп (обозначение: S = S (#i, яп)), если
«^i, хп — различные индивидные переменные и все свободные
переменные каждой формулы а g S содержатся среди х19 ., хп.
Условимся теперь понимать запись о = а (^1? хп) так жег
как это было сделано для обозначений ср = ф (р0, ип). Если
а — а (х±, хп), то запись
?I t= о ап]
означает, что формула а выполняется в ЭД на последовательности
а19 ., ап элементов множества А (см. раздел, посвященный
выполнимости). Полезно также ввести обозначение
1= 2 [«1, ап],
выражающее тот факт, что всякая формула а £ S выполняется в ЭД
на а19 ., ап; будем в этом случае говорить, что множество'
S выполняется или реализуется в $ на последовательности
а15 . ., ап (или что элементы а19 ап удовлетворяют множе-
ству 2 формул). Если q, сп — последовательность констант-
ных символов, то через о (с15 сп) обозначим предложение,
получающееся в результате одновременной подстановки символов
с^ 1 i^2. п, вместо каждого из свободных вхождений соответ-
ствующей переменной х-г в формулу о. Иногда, однако, мы будем
заменять константами только некоторые из имеющихся перемен-
ных. Обозначение о (сп ст, хт+1, хп), где т п,
говорит само за себя.
По причинам, изложенным в разд. 2.1 (перед леммой 2.1.1),
мы должны следить за тем, чтобы применять введенное только что
обозначение лишь в тех случаях, когда список переменных хг,
. ., хп вполне определяется контекстом. Можно, конечно, ввести
96
Гл. 2. Модели, построенные из констант
обозначения, не допускающие разночтений, но лишь ценой боль-
шей громоздкости. Например, можно было бы использовать обо-
значения
21 о [ах/х±, еьп1хп} вместо 21 су [ах, ап],
(J (Сд/^х, ^тп+17 *^п) Вместо
& (^1» ^т+1? *^71)•
Пусть 2 — множество формул от переменных х±, хп,
а 21 — модель языка X. Будем говорить, что 21 реализует мно-
жество 2, если 5 выполняется в модели 21 на некоторой последо-
вательности (n-ке) из п элементов множества А. Будем говорить,
что модель 21 опускает 2, если 21 не реализует 2. Утверждение
«2 выполнимо в модели 21» имеет тот же смысл, что и фраза «21 реа-
лизует 2». Множество 2 совместно, если и только если оно выпол-
нимо ванекоторой модели.
Пример 2.2.1. Пусть Т — арифметика Пеано, и пусть 2 (х) —
множество предложений
{О фх, SO х, SS0 х,
Элемент модели теории Т называется нестандартным, если он
реализует множество 2 (х). Стандартная модель теории Т опу-
скает 2 (я), в то время как всякая нестандартная модель этой
теории его реализует.
Пример 2.2.2. Пусть Т — теория упорядоченных полей,
а 2 (х) — множество предложений
{7 С х, 1 + 1 х, 1 + 1 + 1 х, . . .}.
Элемент модели теории Т называется положительно бесконечным,
если он реализует множество 2 (ж). Упорядоченное поле опускает
множество 2 (х) тогда и только тогда, когда это поле является
архимедовым. Упорядоченные поля рациональных и действитель-
ных чисел опускают 2 (х). Примеры неархимедовых упорядочен-
ных полей были построены в предыдущем разделе с помощью
теоремы компактности.
Пример 2.2.3. Пусть Т — теория абелевых групп, а 2 (х) —
множество предложений
{х 0, 2х 0, Зх 0, . .
Элементы, реализующие множество 2 (х), называются элементами
бесконечного порядка. Абелева группа, опускающая множество
2 (х), называется периодической. Таким образом, некоторое крат-
ное всякого элемента периодической группы равно нулю.
Пример 2.2.4. Здесь мы рассматриваем множество формул
с бесконечным множеством переменных. Пусть Т — теория частич-
2.2. Опускание типов и интерполяционные теоремы
97
ного порядка, а 2 — множество
{*^1 <'С *^2 *^1> *3 *^2’ •}*
Модель теории Т опускает множество 2 тогда и только тогда,
когда относительно этого порядка < модель §1 обладает свой-
ством обрыва убывающих цепей. Линейно упорядоченная модель
Ш опускает 2 тогда и только тогда, когда она является вполне-
упорядочением.
Пример 2.2.5. Типом Г (jr15 ., лп) от переменных ., хп
мы называем всякое максимальное непротиворечивое множество
формул языка X, зависящих от этих переменных. Если даны
произвольная модель И и n-ка элементов ах, ., ап £ Л, то мно-
жество Г (хг, хп) всех формул у (х^ ., л:п), выполняющих-
ся на ап, есть тип, причем в действительности это единст-
венный тип, реализуемый последовательностью аг, ап. Он
называется типом п-ки а±, ап в модели И.
Пример 2.2.6. Пусть И — упорядоченное поле действитель-
ных чисел. Любые два различных элемента а, Ь £ А имеют раз-
личные типы. В самом деле, если а < Ь, то существует такое рацио-
нальное число г, что а < г < Ь, и элемент а удовлетворяет усло-
вию х < г, в то время как b не удовлетворяет ему. Таким образом,
поле ?! реализует 2е0 различных типов от одной переменной.
Следующее предложение дает ответ на вопрос, при каких
условиях множество формул реализуется некоторой моделью тео-
рии Т Оно доказывается простым применением теоремы компакт-
ности.
Предложение 2.2.7. Пусть Т — некоторая теория, и пусть
2 2 (дд, х„). Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) Теория Т имеет модель, реализующую множество 2.
(ii) Всякое конечное подмножество множества 2 реализуется
в некоторой модели теории Т
(iii) Теория Т J {(3 хг хп) (ог л л crm) m< со, о17. .
вт £ 2 } непротиворечива.
Будем говорить, что формула о (х17 ., хп) совместима с тео-
рией Т, если существует модель 91 теории Т, реализующая множе-
ство {о). Множество формул 2 {хг, ., хп) называется совмести-
мым с теорией Т, если существует модель теории Т, реализующая
множество 2. Таким образом, каждое из сформулированных выше
условий (i)—(iii) эквивалентно утверждению о совместимости
множества 2 с теорией Т.
Зададимся теперь вопросом: при каких условиях множество
формул 2 от переменных хх, . ., хп опускается некоторой моделью
теории Г? Это значительно более трудный вопрос, и, чтобы отве-
7 Г. Кейслер, Ч. Ч.
98
Гл. 2. Модели, построенные из констант
тить на него, нам не хватит одной теоремы компактности. Основ-
ная теорема этого раздела, теорема 2.2.9, содержит условие на
теорию Т, необходимое и достаточное для того, чтобы Т обладала
моделью, опускающей множество 2. Одним из ее многочисленных
следствий является теорема об ©-полноте (2.2.13). Мы будем при-
менять теорему 2.2.9 и в следующем разделе, и дальше. Если
множество формул 2 конечно, то ответ на вопрос, может ли 2 быть
опущенным, дается без труда, так как предложение
<р = (3 я?! . хп) (ах л л ат),
где 2 {с^, . ат}, и его отрицание ”]<р означают соответ-
ственно, что 2 реализуется или опускается. Итак, интересен
лишь случай бесконечного множества 2.
Сначала вновь обратимся к лемме 2.1.2. То свойство, что всякий
элемент построенной там модели 21 является интерпретацией неко-
торой константы с £ С, было использовано нами пока только для
того, чтобы доказать неравенство | А | | С |. В этом разделе
мы извлечем из сформулированного свойства модели 21 значитель-
но больше пользы.
Основным орудием при рассмотрении нашей проблемы будет
понятие теории, локально реализующей данное множество формул.
Пусть 2=2 (хп ., хп) — некоторое множество формул
языка X. Говорят, что теория Т в языке X локально реализует
множество 2, если существует такая формула ф (х±, хп)
языка <55, что
(i) ф совместима с теорией Т,
(ii) Т t= ф -> и для всех о £ 2.
Таким образом, всякая n-ка элементов произвольной модели
теории 7, на которой выполняется формула ф, реализует множе-
ство 2,
Скажем, что теория Т локально опускает множество 2, если 2
не является локально реализуемым теорией Т. Таким образом, Т
локально опускает множество 2 тогда и только тогда, когда для
всякой совместимой с теорией Т формулы ф (хг, ., х^) суще-
ствует такая формула Qf 2, что ф Л "I а совместимо с теорией Т
Для полных теорий имеем следующее
Предложение 2.2.8. Пусть Т — полная теория в языке X,
а 2 = 2 (хг, ., хп) — некоторое множество формул языка X.
Если Т имеет модель, опускающую множество 2, то Т локально
опускает множество 2.
Доказательство. Наше предложение можно перефор-
мулировать следующим образом: если Т локально реализует
множество 2, то всякая модель теории Т реализует 2. Предполо-
жим, что Т локально реализует 2, и пусть ф (хх, хп) —
такая совместимая с теорией Т формула, что Г ф —> о, о 2.
2.2. Опускание типов и интерполяционные теоремы 99
Пусть й — некоторая модель теории Т Так как теория Т
полна, Toj Т £= (3#! хп) ср. Поэтому ср выполняется в 21
на некоторой n-ке а1У ап. Но тогда и каждая формула а
из 2 выполняется на а1э ап, и, значит, n-ка а19 ап
реализует в модели 21 множество 2. Н
Теорема об опускании типов представляет собой обращение
доказанного нами только что предложения. Она имеет место для
произвольных непротиворечивых теорий в счетных языках.
Теорема 2.^.9. (Теорема об опускании типов.) Пусть Т —
непротиворечивая теория в счетном языке X, а 2 (z1? ., хп) —
некоторое множество формул. Если теория Т локально опускает
2, то Т обладает счетной моделью, опускающей 2.
Доказательство. Для простоты обозначений будем
считать, что 2 (х) — множество формул от одной переменной х.
Предположим, что Т локально опускает 2 (х). Пусть, далее, С =
= {<?(>, ci, •} — счетное множество новых константных симво-
лов, не принадлежащих языку X. Положим X' = X (J С. Язык
X1, очевидно, счетен. Выпишем все предложения языка X1 в виде
последовательности ср0, фп ф2> Построим теперь возрастаю-
щую последовательность непротиворечивых теорий
Т = .с
в языке X', таких, что:
(1) Каждая теория является конечным расширением тео-
рии Т.
(2) Для каждого m либо <рт 6 Тт+1, либо (“] <рт) 6 Тт+1.
(3) Если <рт = (Зх) ф (х) и срт 6 Тт+1, то ф (ср) С Тт+1, где
ср — первая из нашего списка констант, не встречающаяся ни
в Тт, ни в <рт.
(4) Существует такая формула о (х) £ 2 (х), что (”|о (ст)) £
€ т+1*
Предполагая, что мы уже построили теорию Тт, следующим
образом определим теорию Tm+1. Пусть Тт — Т (J {0г, 0Г},
г >0, 0 = 0jl Д Л вг. Пусть список с0, ., сп содержит
все константы из множества С, входящие в формулу 0. Образуем
формулу 0 (хт) языка X, подставляя в 0 вместо каждой константы
Ci соответствующую переменную xt, переименовывая, если потре-
буется, связанные переменные и навешивая кванторы 3xi9 i т.
Формула 0 (rrm) совместима с теорией Т Поэтому и формула
0(a:m) Л 1 а (^т) совместима с теорией Т при некотором о (х) £
g 2 (х). Отнесем предложение о (ст) к теории Тт^г. Этим обес-
печено выполнение условия (4).
Если предложение <рт совместимо с теорией J {"”|о (ст)},
относим фт к теории 777П+1. В противном случае относим к Тт+1
7*
100
Г л. 2. Модели, построенные из констант
предложение (~] фт). Этим обеспечивается выполнение условия (2).
Если фт (Зя) ф (х) совместимо с теорией Тт (J {”"|cr (ст)},
то включаем в предложение ф (ср). Этим удовлетворено
и условие (3). Теория Тт+1 оказывается непротиворечивым конеч-
ным расширением теории Тт. Итак, для Тт+1 выполнены все
условия (1)—(4).
Положим Уф =-• U Тп- Условия (1) и (2) показывают, что
п < со
Та — максимальная непротиворечивая теория в языке X'
Пусть S3' = (93, &0, .) — счетная модель теории Та,
а ЭД' = (ЭД, &0, .) — подмодель модели 93', порожденная
константами й0, Из (3) следует, что
А {Ьо, ^1»
Более того, используя (3) и полноту теории 7^, индукцией по
сложности предложения ф языка X* можно доказать эквивалент-
ность утверждений
ЭД' |= ф, 93' t= ф, Та 1= ф.
Следовательно, ЭД' — модель теории Тш, а потому ЭД — модель
теории Г. Наконец, условие (4) гарантирует, что ЭД опускает 2. —|
Итак, мы видим, что если Т — полная теория, она локально
опускает множество 2 (ях, ., X.J) тогда и только тогда, когда
у нее имеется модель, опускающая множество 2. Приведем теперь
необходимое и достаточное условие, действующее в общем случае.
Следствие 2.2.10. Пусть язык X счетен. Теория Т обладает
(счетной) моделью, опускающей множество 2 (я1? ., яп), тогда
и только тогда, когда некоторое полное расширение теории Т
локально опускает 2 (хх, хп).
Пример 2.2.11. Рассмотрим язык X = {+, •, S, 0}. Введем
сокращения: 1 = S0, 2 = SSO, 3 — SSSO, Назовем ы-мо-
делью любую такую модель ЭД языка X, что
А = {0, 1, 2, 3,
т. е. модельх опускающую множество {х 0, х 1, х 2,
Теория Т в языке X называется (^-непротиворечивой, если не
существует такой формулы ф (х) языка X, что
Т Ф (0), Т ф (1), Т |= ф (2),
и в то же время
Т fz (Зя) ”| ф (я).
Теория Т называется (^-полной, если для всякой формулы ф (я)
языка X из того, что
Т |= ф(0), Т ф(7), Т |= Ф(2), . . .,
2.2. Опускание типов и интерполяционные теоремы
101
следует
Т (V#) <р (х).
Из теоремы об опускании типов вытекает
Предложение 2.2.12. Пусть теория Т в языке X непротиво-
речива.
(i) Если Т является (д-полной, то она имеет ^-модель.
(ii) Если Т имеет ы-модель, то она (^-непротиворечива.
Доказательство, (i) Покажем, что теория Т локаль-
но опускает множество S (х) — {х ф. 0, х н0= 7, . .}. Предпо-
ложим, что формула 0 (х) совместима с теорией Т Тогда утвержде-
ние Т (V#) П 0 (х) оказывается ложным. В силу со-полноты
теории 7\ существует такое п, что Т ~"| 0 (п) не имеет места.
Поэтому 0 (п) совместимо с теорией 7, а значит, и 0 (х) л ”| х =0= п
совместимо с Т Таким образом, теория Т локально опускает
множество S (х).
(ii) Тривиально. Ч
Следующее бесконечное правило вывода называется (о-прави-
лом: из предложений ф (0), ф (7), ф (2), выводится (Vx) ф (х),
где ф (х) — произвольная формула языка X. Если к аксиомам
и правилам вывода логики первого порядка X присоединить
со-правило, допуская при этом бесконечно длинные доказатель-
ства, то мы получим ы-логику. Для со-логики справедлива сле-
дующая теорема о полноте.
ПредложЕниЕ 2.2.13. (Теорема об со-полноте.) Теория Т в языке
X непротиворечива в ы-логике тогда и только тогда, когда Т имеет
еи-модель.
Доказательство. Пусть Т' — множество всех пред-
ложений языка X, выводимых из Т в со-логике. Тогда теория
Т непротиворечива в со-логике в том и только том случае, когда
множество Т' непротиворечиво в X. Кроме того, Т’ является
со-полным. Поэтому Т' имеет со-модель тогда и только тогда, когда
Т' непротиворечиво. —|
Следующий пример показывает, что теорема об опускании
типов, вообще говоря, неверна для множеств формул от бесконеч-
ного числа свободных переменных.
Пример 2.2.14. Пусть Т — теория плотного линейного поряд-
ка без концевых точек. Как известно, теория Т полна. Обозначим
через S (.г0, хг, хг, .) множество формул
2 <
{•^1 Xq, X
102
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Как уже отмечалось, модель 31 теории Т опускает 1 в том
и только том случае, когда 31 вполне упорядочена отношением <.
Но у теории Т нет вполне упорядоченных моделей, так что никакая
ее модель не опускает S. В то же время теория Т локально опу-
скает 2, поскольку, если формула ср (я0, хг, . хп) совместима
с Г, то и ф Д ^n+2 < xn+i совместима с Т
Теорема об опускании типов допускает обобщение на случай
счетной совокупности множеств формул.
Теорема 2.2.15. (Обобщенная теорема об опускании типов.
Пусть Т — непротиворечивая теория в счетном языке X, и для
каждого г < со пусть 2Г (ггг, хп^) — множество формул от
пг переменных. Если теория Т локально опускает каждое 2Г, то она
имеет счетную модель, опускающую каждое множество 2Г.
Доказательство этой теоремы аналогично доказа-
тельству теоремы об опускании типов. Единственное различие
состоит в том, что все пг-ки новых констант при каждом г распо-
лагаются в виде отдельного списка
<?г <?г
V \_j_p %+2’
Теории Тт строятся таким образом, чтобы для каждого г =
= 0, 1, . ., т существовала такая формула о £ 2Г, что
(Д О' ($т)) £ Ттп-Н* “Ч
Продемонстрируем сразу же применение обобщенной теоремы
об опускании типов. В нем используется понятие элементарного рас-
ширения, играющее важную роль в нашем дальнейшем изложении.
2.2.16. Модель 28 называется элементарным расширением
модели 91 (обозначение: 91 < 28), если
(i) 23 является расширением модели 91, 91 cz 23.
(ii) Каковы бы ни были формула ф (хг, хп) языка X и эле-
менты ап £ А, формула£ф выполняется в модели 91 на
последовательности а1з ап тогда и только тогда, когда ф
выполняется на ней в модели 28.
Если 23 —элементарное расширение модели 91, мы будем
также говорить, что 91 — элементарная подмодель модели 23.
Часто бывает полезно следующее эквивалентное определение.
Предложение 2.2.17. Модель 28 является элементарным рас-
ширением модели 91 тогда и только тогда, когда Ас: В и
(91т я)а£А==(®? ^)а£А’
Рассмотрим теперь теорию ZF — теорию множеств Цермело —
Френкеля. Модель 23 = (В, F) теории ZF называется концевым
2.2. Опускание типов и интерполяционные теоремы
103
расширением модели 21 = (Л, Е> той же теории, если S3 является
собственным расширением модели 21 и никакой элемент из А
(рассматриваемый как множество) не приобретает новых эле-
ментов, т. е.
если а £ А и Ъ £ В, то bFa влечет за собой b С А.
Теорема 2.2.18. У всякой счетной модели 21 = (Л, Е} теории
ZF имеется концевое элементарное расширение.
Доказательство. Пусть X — язык с единственным
предикатным символом с константными символами а (по одному
для каждого a £ Л) и еще одним константным символом с. Пусть
Т — теория, аксиомами которой служат
Th ((21, а)а€А),
с $ а, где a £ Л.
Теория Т непротиворечива, поскольку всякое ее конечное под-
множество имеет модель вида (21, а, с)а^А. Определим для каж-
дого a £ Л множество формул
Sa (х) = {х G a} J {х Ъ : ЪЕа}.
Достаточно показать, что Т локально опускает каждое множе-
ство (х), поскольку тогда у теории Т имеется модель (S3, а,
с)аед, опускающая каждое множество Sa (х). Мы можем также
считать, что Л с: В. Модель S3 является элементарным расши-
рением модели 2С» так как Th ((21, u)a^A)cz Т, откуда следует
(21, й)а£ Л = (55, а)а е А. Поскольку с £ В \ Л, S3 является ее
собственным расширением. Наконец, S3 является концевым рас-
ширением, так как S3, опускает каждое So (яг).
Чтобы убедиться в том, что теория Т локально опускает каж-
дое множество 2а (х), заметим, что произвольная формула ф (х, с)
языка X совместима с теорией Т тогда и только тогда, когда
(?l, a)a£A t= (Vy) (3z) (3x) [Z $ у Л <р (ж, z)].
Предположим, что формула ф (х, с) совместима с теорией 7\
а ф (х, с) л х £ а не совместима с ней. Тогда с теорией Т совме-
стима формула ф (я, с) д х £ а. Применяя имеющуюся в ZF
аксиому подстановки, последовательно обнаруживаем истинность
в модели (21, а)а € А следующих предложений:
(Vy) (3z) (Зя) [z % у Л ф (я, z) Л я g а],
(Зя) (Vу) (3z) [z $ у л Ф (я, z) Л я G а].
Тогда для некоторого Ь £ Л предложение ф (6, с) д Ъ £ а совме-
стимо с теорией Т, откуда следует, что ф (я, с) л я = Ъ совместимо
с теорией Т. Итак, Т локально опускает (я).-(
104
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Теорема об опускании типов в том виде, в котором она нами
сформулирована, в случае несчетных языков оказывается лож-
ной. Пусть, например, Т —теория с аксиомами
в языке X с константами
{са а< (Di} U {dn п< <о}.
Рассмотрим множество формул
Г (х) = {х dn п < со}.
Теория Т локально опускает Г (х). Однако никакая модель теории
Т не опускает Г (х), поскольку все модели этой теории несчетны,
а всякая модель, опускающая Г (я), обязана быть счетной.
Более сложный контрпример, в котором теория Т является
полной, принадлежит Фуркену [1962].
Однако, если определить подходящим образом понятие «локаль-
ного опускания», теорему об опускании типов можно обобщить
на несчетные языки. Именно, пусть Т —теория, а 2 (хг, яп) —
множество формул языка У, мощность которого равна а. Теория
Т называется а-реализующей множество 2, если существует
такое множество Ф (Х1, хп), состоящее из менее чем а формул
языка X, что
(i) Ф совместимо с теорией Т.
(ii) Т (J Ф (хг, . хп) |= 2 (x-l, хп),
т. е. если во всякой модели ?1 теории Т всякая n-ка, реализую-
щая множество Ф, реализует также и 2. Говорят, что теория Т
а-опускает множество 2 («z^, ., хп), если Т не а-реализует
2 (xj, ., х^). Заметим, что если мощность множества 2 меньше,
чем а, то^Т тривиально а-реализует 2. Таким образом, а-опу-
скаться могут только множества формул, мощность которых равна а.
Теорема 2.2.19. (Теорема об a-опускании типов.) Пусть Т —
непротиворечивая теория в языке X мощности а, и пусть
2 (хь ., геп) —некоторое множество формул языка X. Если
Т а-опускает 2, то она имеет модель мощности не более а,
опускающую множество} 2.
Доказывается эта теорема аналогично теореме об опускании
типов. Важной проблемой является отыскание удобного доста-
точного условия, при котором теория в несчетном языке имела бы
модель, опускающую счетное множество формул. Теорема об
a-опускании типов здесь не помогает, так как счетное множество
формул не может а-опускаться, если а > со.
Обратимся теперь к интерполяционным теоремам Крэйга
и Линдона.
2.2. Опускание типов и интерполяционные теоремы
105
Теорема 2.2.20. (Интерполяционная теорема Крэйга.) Пусть ф
и ф — такие предложения, что <р ф. Тогда найдется такое
предложение 0, что
( i) ф 0 и 0 ф.
(ii) Всякий предикатный, функциональный или константный
символ (за исключением равенства), входящий в предложение 0,
входит также и в ф, и в ф.
Предложение 0 будет называться интерполянтом Крэйга для
предложений ф и ф. Символу равенства разрешается входить
в предложение 0. Следующий пример показывает, почему это
необходимо.
Пример 2.2.21. В каждой из следующих трех пар ф и ф —
такие предложения, что символ равенства входит не более, чем
в одно из них, и ф ф; ни одна из этих пар, тем не менее, не имеет
интерполянта Крэйга, который не содержал бы символа равенства:
(i) <р = (Эх) (Р (х) л Р (х)), i|) = (Эх) Q (х);
(ii) <р = (Эх) Q (х), = (Эх) (Р (х) v ~| Р (х));
(iii) <j> = (Vxt/) (х = у), \|) = (Vxi/) (Р (х) Р (у)).
В упражнениях мы, однако, увидим, что если символ равен-
ства не входит ни в ф, ни в ф, причем не имеет места ни "~| ф,
ни ф, то для предложений ф и ф найдется интерполянт Крэйга,
не содержащий символа равенства.
Доказательство теоремы 2.2.20. Предположим,
что для предложений ф и ф не существует интерполянта Крэйга 0,
и докажем, что в этом случае невозможно ф ф. С этой целью
мы построим модель для предложения ф л ф. Без умале-
ния общности мы можем считать, что язык X состоит в точности
из тех символов, которые входят хотя бы в одно из предложений
Ф и ф. Пусть Хл — язык символов предложения ф, <Z2 — язык
символов предложения ф, a —язык символов, входящих
и в ф, и в ф. Тогда
Построим обогащение X' языка Z, добавив к последнему счет-
ное множество С новых константных символов, и положим
U С, Х\ - X, и с, = Х2 и С.
Наше доказательство напоминает доказательства теорем о пол-
ноте и об опускании типов, но вместо понятия непротиворечивой
теории мы будем пользоваться более общим понятием неотделимой
пары теорий.
Рассмотрим пару теорий Т (в языке Х{) и U (в языке <Z2).
Говорят, что'предложение 0 языка ^отделяет теории Т и U, если
П=0и?7Г:"]0.
106
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Теории Т и U называют неотделимыми, если никакое предложе-
ние 0 языка X'Q не отделяет их. Прежде всего мы видим, что
(1) {<р} и {“3 ф} неотделимы.
Действительно, если предложение 0 (q, ., сп) отделяет {ф}
и { ~|ф}, а иг, ., ип —переменные, не входящие в 0 (сх, , сп),
то предложение (Vux ип) 0 (их, ., ип) оказывается интер-
полянтом Крэйга ф иф, что противоречит нашему предположению.
Пусть теперь
Фо, Ф1, ф2, Фо, Ф1, Ф2,
— списки, составленные из всех предложений языков Х\ и
соответственно. Построим две возрастающие последовательности
теорий
{ф} — TqCZ Т
ПФ} = С70с=
в языках Х[ и Х'г соответственно, такие, что
(2) Zm и Г7т — неотделимые конечные множества предло-
жений.
(3) Если теории Tm J {фт} и Um неотделимы, то фт £ Tm+i-
Если неотделимы теории Тт+1 и Um U {фт}, то фт £
€ ^т+1-
(4) Если фт = (Зя) о (я) и фт 6 Тт+1, то а (с) 6 Лп+i при
некотором с £ С.
Если фт = (Зя) 6 (я) и фт £ Um+1, то 6 (d) £ Um+1 при
некотором d £ С.
Итак, если даны теории Тт и Z7m, теория Тт+1, а затем и Um+1
строится очевидным образом. В пункте (4) используются кон-
станты с и d, не встречающиеся ни в теориях Тт и Um, ни в пред-
ложениях фт ифт. Неотделимость при этом сохраняется. Положим
L=U4- /7ш=и^-
7П<(0 7П<(0
Теории и неотделимы. Отсюда следует, что обе они непро-
тиворечивы. Нам нужно доказать, что непротиворечива и теория
Та J Uа- Сначала покажем, что
(5) Та — максимальная непротиворечивая теория в языке
Х\, Ua—максимальная непротиворечивая теория в 2
Чтобы убедиться в этом, допустим, что фт $ Та и (Д фт) 4
$ Та- Так как теория Тт U {фт} отделима от Um, найдется такое
предложение 0 С «2^, чт0
Уц) фиг ~| 0*
Такие же рассуждения показывают, что существует такое пред-
ложение 0' £ Х'о, что
Та 1= ~1 фт -> 0', Ua ~| О'.
2.2. Опускание типов и интерполяционные теоремы
107
Но тогда
Ло 0 V0', [/о 1= ~| (0 v 0'),
что противоречит неотделимости теорий Та и Ua- Это означает,
что Та — максимальная непротиворечивая теория в языке Х{.
Максимальность теории U& доказывается аналогично.
Теперь установим следующий факт:
(6) П С/© — максимальная непротиворечивая теория в язы-
ке Xq.
Докажем утверждение (6). Пусть о — произвольное предложе-
ние языка Xq. Согласно (5), справедливо либо а £ Та, либо
(~| о) С ^(07 а также или a £ или СД о) С Ua- В силу неотде-
лимости теорий Та и Ua, невозможно одновременное выполнение
НИ условий О G Та И о) £ t7w, НИ условий (”] о) (Е Та И О £
С Uа- Поэтому имеем либо Та П Ua о, либо Та П Uа "] CF*
Теперь мы готовы построить модель. Пусть 93^=(23х, Ьо, Ьх, ...) —
некоторая модель теории Та- Применяя пункты (4) и (5), видим,
что ее подмодель = (2Ii, be, .) с универсумом Аг =
— {Ь07 .} также служит моделью теории Та- Аналогично,
теория иш имеет модель ЭД2 = (ЭД2, dQ, d±, . .) с универсумом
А2 = №. ^1. •}• Из (6) следует, что ^-обеднения моделей
и ЭД2 изоморфны, причем константы Ьп соответствуют кон-
стантам dn. Поэтому мы можем принять Ьп = dn при каждом п,
в результате чего модели и Я2 будут иметь одно и то же Хо-
обеднение. Пусть ЭД —модель языка X, для которой ^-обедне-
нием является ЭДЬ а ^-обеднением — ЭД2. Поскольку ср £ Та,
(~| ф) £ Ua, то §1 является моделью предложения ср л “I н
Мы укажем два применения интерполяционной теоремы Крэйга.
Первое из них касается способов определения отношений. Пусть
Р и Р' — новые n-местные предикатные символы, не принадлежа-
щие языку Xi Пусть 2 (Р) —некоторое множество предложений
в языке X U {Р}, a 2 (Р') — соответствующее множество пред-
ложений в языке X U {Р'}, полученных из предложений множе-
ства 2 (Р) заменой всюду символа Р на Р' Будем говорить, что
2 (Р) неявно определяет отношение Р, если
2 (Р) и 2 (/>') 1= (V*! *п) [/>(*!, .,хп) ...,хп)1.
Иными словами, если (ЭД, R) и (ЭД, R') — модели для 2 (Р), то
R• = R' Говорят, что 2 (Р) явно определяет отношение Р, если
существует такая формула ср (хп хп) языка X, что
2 (Р) |= (V^! . . хп) [Р (х15 хп) ф (хх, хп)].
Очевидно, что если 2 (Р) явно определяет отношение Р, то 2 (Р)
определяет Р и неявно. Следовательно, чтобы убедиться, что
2 (Р) не определяет Р явно, достаточно найти такие модели (ЭД, R)
108
Гл. 2. Модели, построенные из констант
и (SI, R') для 2 (Р) с общим «Z-обеднением 21, что R ф R'
Это весьма употребительный классический метод, известный под
названием метода Падоа. Докажем теперь обращение утвержде-
ния, на котором основан этот метод.
Теорема 2.2.22. (Теорема Бета.) Множество 2 (Р) неявно опре-
деляет Р тогда и только тогда, когда 2 (Р) определяет Р явно.
Доказательство. Мы докажем теорему только в «труд-
ном» направлении. Пусть 2 (Р) неявно определяет Р. Добавим
к языку X новые константы сп. Тогда
2 (Р) U 2 (Р') Р (*i, <n) Р’ (Q, сп).
В силу теоремы компактности, найдутся такие конечные подмно-
жества Лег 2 (Р) и Д'с 2 (Р')> что
Д U Л' |= Р (с1?
^n) Р (^i 1
Обозначим через гр (Р) конъюнкцию всех таких предложений
о (Р) g 2 (Р), что о (Р) £ Д или о (Р') £ Д' Тогда
(Р) л гр (Р') Р ta, сп) Р' (сп сп).
Перенося все символы Р в одну сторону, а все Р' — в другую,
получим
гр (Р) л Р (с1?
сп) |= гр (Р') Р' (q, сп).
Тогда, в силу интерполяционной теоремы Крэйга, в языке X J
U сп} существует такое предложение 0 (сп сп), что
(1) гр (Р) л Р (сх, сп) (= 0 (q, еп),
(2) 0 (ci, сп) гр (Pz) -> Р' (г1э сп).
Но всякая модель (21, R') языка X U {Р'
вается моделью и языка X U {Р, Ci, £n}i
интерпретировать как отношение R' Поэтому из
(3) 0 (q, сп) f= гр (Р) -> Р (сп
Теперь из (1) и (3) вытекает
(4) гр (Р) Р (сх, сп) 0 (ci,
., сп} оказы-
если символ Р
(2) следует
Сп) •
Поскольку константы сг, ., сп не входят в предложение гр (Р)
(оно построено из предложений, входящих в множество 2 (Р)),
имеем
гр (Р) (Vх± хп) [Р (^i, ., хп) < (^i, ч
где хг, ., хп —переменные, не входящие в предложение
0 (сц сп). Поэтому
2 (Р) (VrCi . . . хп) [Р (х^ . . ., хп) -ь* 0 (л^, . . д;п)].н
2.2. Опускание типов и интерполяционные теоремы 109
Теорема 2.2.23. (Теорема Робинсона о непротиворечивости.)
Пусть Х±и Х2 — языки и X — Xr П Х2. Предположим, что Т —
полная теория в языке X, а zd Т и Т2=> Т — непротиворечи-
вые теории в языках Хг и Х2 соответственно. Тогда Тг (J Т2 —
непротиворечивая теория в языке Хг J X2.
Доказательство. Допустим, что теория Тг U Т2 про-
тиворечива. Тогда существуют такие конечные подмножества
Sid и 22cz Т2, что уже множество J S2 противоречиво.
Пусть ох —конъюнкция предложений из Sx, а сг2 — конъюнкция
предложений из S2. Тогда имеем crx ~| а2. Согласно интерполя-
ционной теореме Крэйга, существует такое предложение 0, что
ох 0 и 0 “| о2, причем каждый предикатный, функциональ-
ный или константный символ, входящий в 0, входит одновременно
и в Oj, и в а2. Следовательно, 0 является предложением в языке
Л Х2 — Х. Возвращаясь теперь к теориям 7\ и Т2, видим,
что Тг 0. Поскольку теория Тг непротиворечива, неверно, что
~] 0, а потому и из Т не следует ~| 0. С другой стороны,
Г21= “]0 и, в силу непротиворечивости теории Т2, из Т2 не следует
0, а значит, неверно, что Zt=0. Но это противоречит предпо-
ложению о полноте теории Т в языке X. —|
Интерполяционная теорема Линдона представляет собой уточ-
нение интерполяционной теоремы Крэйга, но она имеет место
только для языков, не содержащих ни функциональных, ни кон-
стантных символов. Для ее формулировки нам потребуются поня-
тия позитивного и негативного вхождений символа в формулу.
До конца этого раздела (исключая упражнения) мы будем
рассматривать формулы, построенные только с помощью связок
v, л, и кванторов V и 3. Связки -> и не допускаются.
[Строго говоря, язык X был определен в разд. 1.2 так, что он
содержал только связки д и и единственный квантор V. Осталь-
ные связки и квантор 3 были введены как сокращения. Таким
образом, теперь мы отказываемся от употребления и
Рассмотрим теперь более внимательно, какими способами
символ может входить в предложение. Пусть s — некоторый
символ языка X, а ф — предложение в X. Говорят, что 5 входит
в ф позитивно, если существует вхождение символа $ в ф, находя-
щееся в области действия четного числа отрицаний. Символ 5
входит в ф негативно, если в ф существует вхождение символа s,
находящееся в области действия нечетного числа отрицаний. Имея
в виду, что в ф может существовать несколько различных вхож-
дений символа s, получаем, что существует четыре возможности:
не входит в ф;
$ позитивно входит в ф;
s негативно входит в ф;
s входит в ф и позитивно, и негативно.
110
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Мы иключили сокращения-> и потому что в них содержатся
«скрытые» символы отрицания. Например, предложение Р (с) —>
-> Q (с) служит сокращением для “] (Р (с) л ~] Q (с)), так что Р
входит в это предложение негативно, но не позитивно, а констан-
та с — и позитивно, и негативно.
С другой стороны, сокращения
Ф Уф = 1 ("| ф А 1 if), (Зх) = П (Vx) “I <р
не доставляют трудностей при решении вопроса, позитивно или
негативно вхождение символа $, поскольку каждое из них вводит
по два «скрытых» символа отрицания, действующих на (р и
а два — число четное.
Теорема 2.2.24. (Интерполяционная теорема Линдона.)
Пусть (р и ф — такие предложения в X, что ф Jz: ф. Тогда в языке
X существует такое предложение 0, что
(i) ф 0 и 0 1= ф.
(ii) Всякий предикатный символ (кроме равенства), позитивно
входящий в 0, позитивно входит и в ф, и в ф.
(iii) Тоже, что и (ii), с заменой «позитивно» на «негативно».
Следующий простой пример показывает, что эта теорема пере-
стает быть верной, если в пункте (ii) ее заключения слова «преди-
катный^символ» заменить на «нелогический символ» х):
(Зя) (х = с л "~| В (х)) 1= ”| R (с).
Мы видим, что в левую часть символ с входит позитивно, в пра-
вую — негативно, и при этом он обязан входить в любой интер-
полянт.
Доказательство теоремы 2.2.24 получается из
доказательства интерполяционной теоремы Крэйга с помощью
весьма незначительных изменений. Предположим, что не суще-
ствует предложения 0, удовлетворяющего условия (i)—(iii),
и докажем тогда, что предложение ф л ~] ф имеет модель. Обра-
зуем, как раньше, язык-обогащение X' = X U С.
Назовем формулу какого-либо языка негативной нормальной
формой (ннф) ; если она построена из атомных формул и их отри-
цаний с помощью связок л, VH кванторов 3, V. Всякая формула
эквивалентна некоторой ннф. Предположим, что ф и ф —нега-
тивные нормальные формы. Через о* обозначим ннф, эквива-
лентную формуле “] о.
В данной ситуации понятие неотделимой пары теорий опреде-
ляется следующим образом. Пусть Ф есть множество всех
х) Заметим, что в соответствии с определением логических символов на
стр. 36 не логическими являются предикатные, функциональные и констант-
ные символы.— Прим, перев.
2.2. Опускание типов и интерполяционные теоремы
111
ннф-предложений с языка#', для которых всякий предикатный
символ, позитивно (или негативно) входящий в а, также дозитив-
но (или негативно) входит в ф. Аналогично определяется множество
Т, но только по отношению к предложению ф. Пусть Y* =
= {о* а £ Т}. Теории Tcz Фи £7cz Т* назовем неотделимыми,
если не существует такого предложения 0 £ Ф П чтобы
Т t= 0 и U ~] 0. Используя это определение, мы с помощью
такого же построения, как и в доказательстве интерполяционной
теоремы Крэйга, получим модель предложения ф Л ф* Н
Упражнения
2.2.1. Пусть Т —полная теория в некотором счетном языке,
а Гх (хх), Г2(х2), Г3 (х3), —счетная совокупность множеств
формул, каждое из которых совместимо с теорией Т Докажите,
что теория Т имеет счетную модель, реализующую каждое мно-
жество Гп (хп).
2.2.2. Пусть Т —полная теория. Докажите, что Т имеет
такую модель ЭД, что всякое множество формул Г (хх, х2, .),
совместимое с Т, реализуется в ЭД?
2.2.3. Пусть ЭД = (А, +, •, 0, 1) — упорядоченное
поле. Элемент а £ А называется финитным, если существует
такое п<(о, что —п^а^п. Предположим, что для любой
формулы ф (х) из того, что ЭД t= (Зх) ф (х), следует существова-
ние такого финитного элемента а £ А, что ЭД 1= ф (а]. Докажите,
что ЭД элементарно эквивалентно некоторому архимедову упоря-
доченному полю.
2.2.4. Пусть Т — теория в счетном языке #, a S (х) и Д (у) —
множества формул языка #, совместимые с теорией Т Предполо-
жим, что для всякой формулы ф (х, у) языка # существует такая
формула о (я) £ 2 (х), что, каковы бы ни были (у), 6п (у) 6
£ Д (у), из совместимости с теорией Т множества формул
{ф, Sj, . ., 6П} вытекает, что {ф, ., 6л, ~] а} также совме-
стимо с Т Докажите, что теория Т имеет модель, реализующую
множество Д (у) и опускающую множество 2 (х).
2.2.5. Пусть Т — полная теория в счетном языке #. Пред-
положим, что Т для^любого п <С ю'имеет модель ЭДП, опускающую
множество формул 2П (.г). Докажите, что существует модель ЭД
теории Т, опускающая каждое 2П (х).
2.2.6. Пусть # — счетный язык, а #' = # U Pi> •} —
его счетное обогащение. Пусть Т' — максимальная непротиворе-
чивая теория в языке а Г (х) —некоторое множество формул
в языке #. Предположим, что для каждого п ограничение теории
112
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Т' на язык X U {Ро» Рп •, Рп} обладает моделью, опускающей
Г (х). Докажите, что сама теория Г также имеет модель, опу-
скающую Г (х).
2.2.7. Докажите, что существует такой ординал а < (оь
что всякая формула ф co-логики, которая имеет доказатель-
ство, имеет доказательство длины меньшей а.
2.2.8. Докажите, что теорема компактности не имеет места
в со-логике.
2.2.9. Докажите, что теорема Лёвенгейма —Скулема —Тар-
ского не имеет места для моделей теории Т, которые опускают S.
2.2.10* . Модель 93 арифметики Пеано называется концевым
расширением модели S2I, если 23 является собственным расшире-
нием модели ?! и для любых элементов б^йиа^Лиз неравен-
ства b < а следует, что Ъ С А. Докажите, что всякая счетная
модель арифметики Пеано имеет концевое элементарное расшире-
ние.
2.2.11* Пусть || X || = со, а Т —некоторое непротиворечивое
множество УЗ-предложений, т. е. предложений вида
(V^i i/m) (3Zi zn) <p,
где формула ф не содержит кванторов. Предположим, что S (я) —
некоторое множество универсальных формул и что для любой
экзистенциальной формулы 0 (я), совместимой с теорией Т, суще-
ствует такая формула о (х) £ S (х), что формула 0 (z) А о (х)
совместима с Т Докажите, что Т имеет счетную модель, опускаю-
щую множество S (я).
2.2.12* . Выведите интерполяционную теорему Крэйга из тео-
ремы Робинсона о непротиворечивости.
2.2.13. Пусть 2 иГ —такие множества предложений языка
X, что S U Г противоречиво. Тогда в языке X существует такое
предложение 0, что
(i) S t= 0 и Г t= П 0-
(ii) Всякий предикатный, функциональный или константный
символ, входящий в 0, входит также в некоторое предложение
из множества 2 и в некоторое предложение из множества Г.
2.2.14. Докажите, что теорема Робинсона о непротиворечиво-
сти не имеет места без предположения о полноте теории Т.
2.2.15. Докажите интерполяционную теорему Крэйга для
формул ф (#i, ., х^ и ф (а?!, . а:п). Она легко выводится из
интерполяционной теоремы Крэйга для предложений.
2. 3. Счетные модели полных теорий 113
2.2.16. Пусть язык X не содержит ни функциональных, ни
константных символов. Предположим, что множество предложе-
ний S (Р) языка X (J {Р} неявно определяет отношение Р. Тогда
найдется такая формула ср (ях, х-^ языка <55, что:
(i) 2 (Р) 1 Р (ях, . ., яп) ’*-> ф (Я1, • ? ^п)’
(ii) Всякий входящий в формулу ф символ языка <55 входит
в множество S (Р) и позитивно, и негативно.
2.2.17 Пусть <55' — некоторое обогащение языка 55, а Р—
некоторый n-местный предикатный символ из множества .55'\<55.
Пусть Т — теория в языке <55' Предположим, что, какова бы ни
была модель ЭД языка <55, в любых ее обогащениях ЭД' и ЭД" до
моделей теории Т отношения, соответствующие символу Р, сов-
падают. Докажите, что тогда существует такая формула
0 (ях, хп) языка <55, что
Т Р (ях, *л) 9 *^п)*
2.2.18. Пусть <55'—некоторое обогащение языка <55, а Г' —
теория в языке <55' Предположим, что каждая модель ЭД языка <55
допускает не более одного обогащения до модели теории Т' Дока-
жите, что существует теория Т в языке <55, совокупность всех
моделей которой совпадает с множеством всех <55-обеднений моде-
лей теории Т'
2.2.19* Докажите, что интерполяционная теорема Линдона
остается верной, если в ее заключение добавить слова
(iv) Если ф — универсальное предложение, то и предложение
0 универсально.
Она сохраняется и при добавлении утверждения
(iv') Если ф — экзистенциальное предложение, то и предложе-
ние 0 экзистенциально.
Однако эта теорема перестает быть верной, если к ее заключе-
нию присоединить пункты (iv) и (iv') одновременно. В этом упраж-
нении мы должны считать, что язык <55 не содержит ни функцио-
нальных, ни константных символов; необходимость этого пред-
положения видна из примера R (с) (Эя) R (я).
2.2.20. Докажите, что интерполяционные теоремы Крэйга
и Линдона остаются верными при добавлении к их заключениям
следующего пункта:
(iv) Если ни ~| ф, ни ф не имеют места и символ равенства
не входит ни в ф, ни в ф, то символ равенства не входит и в 0.
2.3. Счетные модели полных теорий
В этом разделе предполагается, что язык <55 счетен. Мы займем-
ся систематическим изучением счетных моделей полных теорий.
Это изучение позволит нам понять, чего можно ожидать в общем
8 г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
114
Гл. 2. Модели, построенные из констант
случае. Наше исследование будет сосредоточено на двух типах
счетных моделей — на атомных, «малых», моделях и на счетно
насыщенных, «больших», моделях. Начнем мы с атомных моделей.
Рассмотрим полную теорию Т в языке X. Формула <р (^i, . .,хп)
называется полной {в теории Т), если для любой формулы
ф (#1, хп) имеет место точно одно из соотношений
Т ф —> ф или 7 ф -> “] ф.
Формула 0 (хх, ., хп) называется пополнимой (в теории Т),
если существует полная формула ф (хп ., хп), для которой
Т 1= ф -> 0. Если формула не является пополнимой, то ее назы-
вают непополнимой.
Теория Т называется атомной, если всякая совместимая с Т
формула языка X пополнима в Т. Модель 91 называется атом-
ной, если для всякой n-ки аг, ., ап £ А существует полная
в теории Th (?[) формула, выполняющаяся на этой п-ке.
В этой и следующей главах мы будем часто прерывать основ-
ное изложение, чтобы проиллюстрировать примерами наши опре-
деления. Иногда мы будем оставлять сделанные об этих примерах
утверждения без доказательств. Обычно такие доказательства
представляют собой некоторые комбинации из стандартных алгеб-
раических результатов и теорем, содержащихся в первых трех
главах этой книги. Мы вернемся к этим примерам в разд. 3.4 и при-
ведем там соответствующие доказательства.
2.3.1. Примеры
(1) Пусть Т —полная теория, а с0, сх, с2, •—константные
символы языка X. Тогда всякая формула языка X, имеющая
вид
Xq = Cq Хг = Cj А Хп = Сд,
полна в теории Т. Если же 91 — такая модель теории Т, что
всякий ее элемент —константа, то 91 является атомной моделью.
(2) Стандартная модель теории чисел является атомной.
(3) Пусть Т — теория вещественно замкнутых упорядоченных
полей. Упорядоченное поле действительных алгебраических чисел
является единственной атомной моделью теории Т. Например,
упорядоченное поле всех действительных чисел не является
атомным.
(4) Всякая конечная модель атомна.
(5) Всякая модель чистой теории равенства является атомной.
Это дает примеры несчетных атомных моделей.
(6) Всякое плотное линейное упорядочение без концевых
точек является атомным.
(7) Следующая теория Т полна и не имеет ни пополнимых
формул, ни атомных моделей. Пусть ее язык X содержит 1-мест-
2.3, Счетные модели полных теорий
115
ные предикатные символы PQ (х), Рг (х), . Аксиомами теории Т
служат предложения вида
(Зх) (Pi, (х) Л Л Pim (х) Л "1 Pj, (х) Л 1 Pjn (х)),
где все индексы im, ., /п различны.
Наша первая теорема об атомных моделях представляет собой
применение обобщенной теоремы об опускании типов.
Теорема 2.3.2. (Теорема существования атомных моделей.)
Пусть Т — некоторая полная теория. Она имеет счетную атом-
ную модель тогда и только тогда, когда Т — атомная теория.
Доказательство. Предположим сначала, что Т имеет
атомную модель ЭД. Пусть формула ср (х^ ., хп) совместима
с теорией Т. Тогда, поскольку теория Т полна, имеем
Т ^п) <р (^1» •» ^п)«
Пусть формула ф выполняется на n-ке аг, ап£ A, a
ф (хг, . ., хп) —некоторая полная формула, выполняющаяся
на этой же n-ке. Тогда соотношение Т t= ф —>- "] ф невозможно,
и, следовательно, имеем Т |= ф ф. Поэтому формула ф попол-
нима, и теория Т атомна.
Пусть теперь Т —атомная теория. Для каждого п < со
обозначим через Гп . ., хп) множество отрицаний всех пол-
ных формул ф (ях, . яп) теории Т Всякая совместимая с тео-
рией Т формула ф (х1? ., хп) пополнима, а потому формула
Ф л у совместима с теорией Т при некотором у С Гп. Следо-
вательно, Т локально опускает каждое множество Гп (хх, . ., хп).
Согласно обобщенной теореме об опускании типов, теория Т имеет
счетную модель ЭД, опускающую каждое Гп. Поэтому для всякой
n-ки ах, . ., ап £ А существует полная формула, выполняющая-
ся на ней, и, значит, ЭД — атомная модель. -4
Вновь обращаясь к нашим примерам, мы видим, что, посколь-
ку полная теория чисел и теория вещественно замкнутых упоря-
доченных полей обладают атомными моделями, они сами являют-
ся атомными.
Теорема 2.3.3. (Теорема единственности для атомных моде-
лей.) Если ЭД и 23 —счетные атомные модели и ЭД = 23, то
ЭД ~ 23.
Доказательство. Если ЭД или 23 — конечная модель,
то, очевидно, ЭД = 25. Пусть теперь ЭД и 23 бесконечны. Упоря-
дочим множества Л и 5 по типу со. Доказательство представляет
собой первый встречающийся нам пример челночной конструкции.
В дальнейшем мы столкнемся со многими другими доказательства-
ми этого типа.
8*
116
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Пусть а0 —первый элемент множества Л, а ф0 (х0) —некото-
рая полная формула, выполняющаяся в модели 21 на элементе а0.
Поскольку $ 1= (Зх0) <р0 (х0), получаем 93 (Зх0) ф0 (*о)- Сле-
довательно, мы можем выбрать элемент Ьо £ В, на котором выпол-
няется формула ф0 (xQ). Пусть теперь Ь± — первый элемент мно-
жества В\{й0}» а фх (xQ, Xj) — некоторая полная формула, выпол-
няющаяся в модели 93 на элементах Ьо, Ь±. Тогда, в силу пол-
ноты формулы ф0, формула
(Vx0) (фо М (3X1) Ф1 (х0, Xi))
выполняется и в 21, и в 93. Поэтому существует такой элемент
б Л, что ф! (я0, хг) выполняется на паре а0, а^ Пусть теперь
а2—первый элемент множества А\{а0, и т. д. Перемещаясь
со раз взад и вперед, получим последовательности
Я0, ^2’ ^0» ^1» ^2’
По ходу этих перемещений мы полностью исчерпаем множества А
и В, так что
^4 = {#о, &i, я2, В = bj,
К тому же, каково бы ни было и, на n-ках а0, . ап^ и Ьо,
., Ьп-х выполняется одна и та же полная формула. Отсюда
вытекает, что отображение ат —> Ът есть изоморфизм модели 21
на модель 93. Ч
Третий наш результат об атомных моделях показывает, что
их следует мыслить как «малые» модели теории Т. Для этого
нам потребуется предварительно ввести понятия элементарного
вложения и простой модели.
Отображение f: А -> В называется элементарным вложением
модели 21 в модель 93 (символически /: 21 < 93), если для всех
формул ф (#i, ., яп) языка X и для всех n-ок аг, ап £ А
имеем
211= ф [ Ох, ап 1 тогда и только тогда, когда 931= Ф [fax, ., fan ].
Таким образом, элементарное вложение модели 21 в модель 93
есть не что иное, как изоморфизм модели 21 на элементарную
подмодель модели 93.
Модель 21 называется простой, если 21 элементарно вкладывается
во всякую модель теории Th (21). Будем называть 21 счетно-
простой, если 21 — счетная модель, элементарно вкладывающая-
ся во всякую счетную модель теории Th (21).
Теорема 2.3.4. Следующие утверждения эквивалентны:
(i) 21 — счетная атомная модель.
(ii) 21 — простая модель.
(iii) 2( — счетно-простая модель.
2,3. Счетные модели полных теорий
117
Доказательство. Предположим сначала, что 21 — счет-
ная атомная модель, и пусть Т = Th (Я). Простота модели 21
доказывается с помощью «одностороннего» применения челночной
конструкции. Пусть А = {а0, ах, а2, . .}, и пусть 98 —про-
извольная модель теории Т. Пусть <р0 (х0) — полная формула,
выполняющаяся на элементе а0. Тогда Т 1= (3z0) qp0, так что
можно указать элемент на котором выполняется форму-
ла <р0 (я0). Пусть теперь (х0, хх) —полная формула, выполня-
ющаяся на паре а0, аг, Тогда Т t= ф0 (я0) -> (3^) фх (л:0, х-^.
Выбираем элемент Ъг £ В таким образом, чтобы фх выполня-
лась на &о, Ъх и т. д. Отображение ат —> Ът и осуществляет элемен-
тарное вложение модели 21 в модель 93.
Пусть теперь 21 — простая модель. Тогда 21 элементарно
вкладывается во всякую счетную модель теории Т, а значит,
21 — счетно-простая модель.
Предположим, далее, что 21 счетно-проста. Пусть а1?
. ., ап g Л, и пусть Г (хх, ., х^) —множество всех формул
у (ях, ., яп) языка X, выполняющихся на элементах
., ап, Для любой счетной модели 93 теории Т существует эле-
ментарное вложение f: 21 -< 93, и, значит, множество Г (хх,. . хп)
выполняется в 93 на элементах /а15 ., fan, Таким образом,
Г реализуется во всякой счетной модели теории Т. Согласно
теореме об опускании типов, множество Г локально реализуется
теорией Т, Поэтому существует такая совместимая с теорией Т
формула <р (хх, . ., хп), что Т 1= ср —у для всех формул у € Г.
Но для каждой формулы ф (хг, хп) имеем либо ф £ Г, либо
(”I Ф) 6 Г. Таким образом, формула <р полна в теории Т. Соотно-
шение Т t= <р ”|<р невозможно, и потому <р £ Г. Следовательно,
<р (хц хп} — полная формула, выполняющаяся в модели 21
на ах, ап, и, значит, 21 — атомная модель. Ч
Обратимся теперь к изучению «больших» счетных моделей.
Пусть даны модель 21 и некоторое множество Ус Л. Обогащен-
ную модель (21, я)аеу будем обозначать через 21у, а соответст-
вующий ей язык — через XY,
Модель 21 называется ^-насыщенной, если, каково бы ни было
конечное множество Y cz А, всякое совместимое с теорией Th (21 у)
множество формул Г (х) языка XY реализуется в модели 21Y,
Модель называется счетно-насыщенной, если она является одно-
временно счетной и (о-насыщенной.
Чтобы приобрести некоторую "интуицию, связанную с этими
понятиями, мы приведем ряд примеров счетно-насыщенных моде
лей. Отметим, что если модель 21 является?;’(д-насыщенной, то
(о-насыщенной будет и модель 21 у для любого конечного множе-
ства Y cz А.
118
Гл. 2. Модели, построенные из констант
2.3.5. Примеры
(1) Всякая счетная модель чистой теории равенства является
счетно-насыщенной.
(2) Упорядочение рациональных чисел есть счетно-насыщен-
ная модель.
(3) Пусть Т —теория в языке, единственными константами
которого служат с0, ., и пусть она задается аксиомами
Ci ф Cj, i < /< со. Теория Т имеет с точностью до изоморфизма
счетное множество счетных моделей, именно, для всякого а со
существует модель, содержащая точно а элементов, не являющих-
ся константами. Модель, все элементы которой — константы,
является атомной. Модель с со неконстантными элементами счетно-
насыщенна.
(4) Пусть Т — теория алгебраически замкнутых полей харак-
теристики нуль. У нее также имеется счетное множество счетных
моделей: для каждого а со существует модель, степень транс-
цендентности которой над полем рациональных чисел равна а.
Модель степени нуль, т. е. поле всех алгебраических чисел,
является атомной моделью теории 7. Модель степени трансцен-
дентности со является счетно-насыщенной.
(5) Всякая конечная модель счетно-насыщенна.
Нам потребуется еще одно понятие, связанное с множествами
формул. Вспомним, что тип от переменных ., хп — это
любое максимальное непротиворечивое множество формул
Г (#!, ., хп). Множество 7", составленное из входящих в тип Г
предложений, есть максимальная непротиворечивая теория; мы
будем называть ее теориейтипаГ, а если ГсГ, то Г назовем типом
теории Т. Если даны модель ЭД теории Т и n-ка а1? ., ап g Л, то
множество всех формул у (хх, ., хп) языка X, выполняющих-
ся на элементах ., ап, является типом теории Г, называ-
емым типом элементов а1ч . ., ап.
Рассмотрим множество формул S (ях, ., хп) языка <55.
Формула ф (#1, ., хп) называется следствием множества S
(обозначение: 2 t ф), если, какова бы ни была модель ЭД, на вся-
кой я-ке аг, ., ап С А, на которой выполняется множество S,
выполняется и формула ф, т. е.
ЭДГ=2 [ап ап] влечет за собой ЭДЕ=ф [ах, ап].
Через 2 (сх, ., сп) мы будем обозначать множество всех след-
ствий в языке <55 U сп} из множества предложений
{о (сх, сп) О’ (л^х, хп} £ S }.
Аналогично вводится обозначение S (сх, ., ст, хт+х, . ., хп\
Пусть <55' = <55 J {pi, ., ст} —конечное простое обогаще-
ние языка <55. Между типами S (хх, . . ., хп) в языке X и
2.3. Счетные модели полных теорий
119
и Г (хт+ь хп) в языке X' существует естественное взаимно
однозначное соответствие. Именно, если S (х±, хп) — тип
в языке X, то
(^1? •» *^тп+1» *^п)
является типом в языке <2/ Обратно, если Г (хт+1,
тип в языке 2?', то множество формул
2(хх, Хп) — {(У (#i, ., Хп) . О’ (сх, Ст,
хп)
.,*п)€Г}
является единственным типом в языке <£, для которого Sz = Г.
(Проверку этого утверждения мы оставляем в качестве упраж-
нения.)
Читателя могло удивить, что в определении о-насыщенной
модели были использованы только множества формул от одной
свободной переменной. На первый взгляд может показаться, что
мы получили бы более содержательное понятие, рассматривая
множества формул с произвольным конечным числом переменных.
Следующее предложение, однако, показывает, что на этом пути
не получается никакого усиления вводимого понятия.
Предложение 2.3.6. Пусть модель ЭД является ^-насыщенной.
Тогда, каково бы ни было конечное множество Y с: А, всякое совме-
стимое с теорией Th (ЭД у) множество Г (х^ хп) формул
языка Ху реализуется в модели ЭДУ.
Доказательство проводится индукцией по п. Для
п = 1 наш результат верен по определению. Предположим, что
он справедлив для п — 1, и пусть множество формул Г (хх, ., хп)
совместимо с теорией Th (ЭДу). Можно считать, что множество Г
замкнуто относительно конечных конъюнкций. Положим
Г (ху, xn—i) = {(З^п) У (^Т? хп) • У € Г}’
Множество формул Г' совместимо с Т11(ЭДУ). В силу предполо-
жения индукции, найдется (п — 1)-ка аг, . ап_х, на которой
множество Г' выполняется в модели ЭДу. Положим У' =
= Y U {^17 an-i}* Множество Y' как и У, конечно. При
этом множество формул Г (сх, ., cn-L, хп) совместимо с тео-
рией Th (ЭДух), так как для любых формул ух, ., ут € Г имеем
(З.гп) (Yi л А ут) € Г' В силу со-насыщенности модели ЭД,
существует элемент ап g А, на котором Г (сх, сп-Т1 хп) реа-
лизуется в модели ЭДу/. Но тогда элементы ах, ап реализуют
множество формул Г в модели ЭДУ. -|
Приводимые нами ниже три теоремы о счетно-насыщенных
моделях являются аналогами доказанных выше теорем об атом-
ных моделях. Именно, мы докажем для счетно-насыщенных моде-
лей теоремы существования и единственности, а также теорему,
120
Гл. 2. Модели, построенные из констант.
показывающую, что счетно-насыщенные модели в некотором
смысле «велики».
Теорема 2.3.7. (Теорема существования счетно-насыщенных
моделей.) Пусть Т — полная теория*, она имеет счетно-насыщен-
ную модель тогда и только тогда, когда для всякого п < (о в этой
теории существует не более счетного множества различных типов
от п переменных.
Доказательство. Предположим сначала, что Т имеет
счетно-насыщенную модель ЭД. Согласно предложению 2.3.6,
всякий тип теории Т от п переменных реализуется в модели ЭД.
Но никакая n-ка не может реализовать два различных типа от п
переменных. Поэтому Т имеет не более чем счетное множество
различных типов.
Предположим теперь, что теория Т при всяком п имеет лишь
счетное множество типов от п переменных. Построим язык X',
присоединив к языку X счетное множество С = {сг, с2, .}
новых константных символов. Для всякого конечного множества
К = {di, dn} cz С
типы Г (гг) теории Т в языке Ху находятся во взаимно однознач-
ном соответствии с типами S (хх, ., хп, х) теории Т в языке X.
Поэтому Т и в языке Ху имеет только счетное множество типов
Г (х). К тому же и конечных множеств Y cz С существует лишь
счетное множество. Пусть теперь
(#)> Г2 (х),
— список всех типов теории Т во всех обогащениях Ху, где
Y — конечное подмножество множества С. Пусть, далее,
Ф1> Ф2>
— список4 всех предложений языка X' Построим в языке X'
такую возрастающую последовательность теорий
Т = Т. с: Л cz Тг с=
что для всякого m < <о
(1) Тт — непротиворечивая теория, содержащая лишь конеч-
ное число констант из множества С.
(2) Либо 6 Тт+1, либо (“]фт) € Тт+1.
(3) Если (рт = (Зя) хр (х) попадает в Тт+1, то и хр (с) £ Тт+1
при некотором с £ С.
(4) Если множество формул Гт (х) совместимо с теорией Тт+19
то Гт (d) cz 7m+1 для некоторого d £ С.
Теории Тт строятся непосредственно. Их объединение =
Тп является максимальной непротиворечивой теорией
п < со
2.3. Счетные модели полных теории
121
в языке X' Воспользовавшись условием (3), замечаем, что Г(1>
имеет такую модель ЭД' ~ (ЭД, а1? а2» .), что А = {ах, а2,
Таким образом, ЭД — счетная модель, теории Т.
Остается доказать со-насыщенность модели ЭД. Пусть множе-
ство Y cz А конечно, а множество формул S (х) совместимо с тео-
рией Th (ЭДу). Расширим множество S (х) до некоторого типа
Г (х) в теории Th (ЭДу). Для некоторого т имеем Г (х) = Гт (х).
Тип Гт (х) совместим с теорией Т^. а потому и с теорией Тт+1.
Но тогда, в силу (4), Гт (ef) cz Ттп^1 для некоторого ct С С. откуда
следует, что элемент at реализует тип Г (х) в модели ЭДУ. —|
Следствие 2.3.8. Полная теория Т. имеющая не более чем
счетное множество неизоморфных счетных моделей, имеет счетно-
насыщенную модель.
Доказательство. Всякий тип теории Т реализуется
в некоторой ее счетной модели, а каждая счетная модель реализует
не более счетного множества типов. Следовательно, теория Т
имеет не более чем счетное множество типов. —|
Теорема 2.3.9. (Теорема единственности для счетно-насыщен-
ных моделей.) Если ЭД u SB — счетно-насыщенные модели и ЭД = 23,
то ЭД и 25 изоморфны.
Доказательство проводится с помощью челночной
конструкции, очень напоминающей доказательство теоремы един-
ственности для атомных моделей. Единственное различие заклю-
чается в том, что мы работаем с типами, а не с полными формула-
ми. Поскольку модели ЭД и 23 счетно-насыщенны, можно так
занумеровать их универсумы А и В. что
А — {а0, аг. .}, В — ^1» •},
причем элемент ап при всяком п реализует в модели (ЭД, а0,
тот же тип, который в модели (23, Ь^. реализуется
элементом Ьп. Поэтому
(ЭД, а0, .) = (23, Ьо. Ьг, .),
откуда следует, что ЭД 23, причем изоморфизм задается отобра-
жением ап bn. —I
Jt tv *
«Двойственным» по отношению к понятию простой модели слу-
жит понятие счетно-универсальной модели. Модель ЭД называется
счетно-универсальной, если ЭД счетна и всякая счетная модель 23,
для которой ЭД = SB, элементарно вкладывается в модель ЭД.
Следующая теорема показывает, что счетно-насыщенные модели
являются «большими» в этом смысле.
Теорема 2.3.10. Всякая счетно-насыщенная модель является
счетно-универсальной.
122
Гл. 2. Модели, построенные из констант
Доказательство. Пусть 93 — некоторая счетная мо-
дель, а ЭД — счетно-насыщенная модель, для которой ЭД = 23.
Пусть В — {Ьо, Ьх, Воспользовавшись односторонним ва-
риантом челночной конструкции и насыщенностью модели ЭД, по-
лучаем в множестве А такую последовательность а0, а2,
что
(93, Bq, bj, ,)==-. (ЭД, Oq, .).
Отображение Ьп -> ап и осуществляет элементарное вложение
модели 23 в модель ЭД. —|
Связанное с этой теоремой необходимое и достаточное условие
счетной насыщенности можно найти в упр. 2.3.12. Пример 2.3.12
показывает, что обращение теоремы 2.3.10 не верно.
Пример 2.3.11. Пусть Т —теория с бесконечно многими одно-
местными отношениями Ро (z), Рг (х), и с последователь-
ностью констант i, у < со, занумерованной двойными индек-
сами. Аксиомы теории:
(Vz) Я (Pi (х) Л Pj (х)), I < / < со,
CjJ Ciki 7
Можно показать, что теория Т полна. Она имеет 2° неизоморф-
ных счетных моделей, поскольку для любого п отношение Рп (х)
может содержать или не содержать любые неконстанты. Однако Т
имеет счетно-насыщенную модель. Ею служит модель, в которой
каждое отношение Рп (х) содержит со неконстант, и дополнение
всех отношений Рп (х) также имеет мощность со.
Пример 2.3.12. Пусть Т —теория линейного упорядочения,
в котором каждый элемент обладает непосредственно предшест-
вующим ему и непосредственно следующим за ним. Можно пока-
зать, что теория Т полна и что ее моделями служат в точности
упорядочения, получающиеся из всевозможных линейных упоря-
дочений (А,<3 заменой каждого элемента а £ А на экземпляр
упорядочения целых чисел (Z, ). Теория Т имеет 2® неизоморф-
ных счетных моделей. Модель (Z, > является ее атомной мо-
делью. Модель (В, <;), получающаяся в результате замены каж-
дого рационального числа экземпляром упорядочения (Z,
является счетно-насыщенной моделью теории Т Присоединяя
к концу модели {В, еще один экземпляр упорядоченного
множества (Z, получим счетно-универсальную модель тео-
рии Т, не являющуюся счетно-насыщенной.
Мы заключим этот раздел демонстрацией трех применений
наших основных результатов относительно атомных и насыщен-
2.3. Счетные модели полных теорий
123
ных моделей. Напомним, что теория Т называется ^категорич-
ной, если все ее модели мощности со изоморфны.
Теорема 2.3.13. (Описание со-категоричных теорий.) Пусть Т —
полная теория. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(а) Т является (^-категоричной.
(d) Для всякого п < со теория Т имеет лишь конечное число
типов от переменных хг, хп.
Доказательство. Прежде чем начать доказательство,
мы советуем читателю усесться поудобнее. Мы докажем эквива-
лентность утверждений (а) и (d), установив цепь импликаций
(а) -+ (Ь) -> (с) -> (d) (е) -> (f) -> (а).
Каждое из этих шести эквивалентных условий интересно само
по себе.
Предполагая, что выполняется (а),т. е. что Т является co-кате-
горичной теорией, докажем
(Ь) Теория Т имеет модель 21, являющуюся одновременно
и счетно-насыщенной, и атомной.
Пусть 21 — единственная счетная модель теории Т Модель 21
счетно-проста и потому является атомной. А так как теория Т
имеет только одну (следовательно, не более счетного множества)
счетную модель, Т обладает счетно-насыщенной моделью. Значит,
21 счетно-насыщенна.
Теперь, считая выполненным (Ь), докажем
(с) Для всякого п < со каждый тип Г (х±. хп) теории Т
содержит полную формулу.
В силу co-насыщенности модели 21, тип Г реализуется в модели 21
некоторой n-кой аг, ., ап. Но поскольку модель 21 является
атомной, на ап выполняется некоторая полная формула
у (х1? хп). А так как невозможно, чтобы (~]у) Е Г, получаем,
что у содержится в Г
Предполагая выполненным (с), докажем теперь
(d) Для всякого п < со теория Т имеет лишь конечное число
типов от переменных хх, . ., хп.
На время доказательства (d) обозначим через 2 хп)
множество отрицаний всех полных формул ср (zx, ., хп) тео-
рии Т. Множество 2 нельзя расширить до типа от переменных
х1У ., хп, и, значит, 5 не совместимо с теорией Т Поэтому
уже некоторое конечное подмножество
{~|ф1’ ~|фпг}^ 2
не совместимо с теорией Т Следовательно,
т Я(Пф1 А • • • А ~]<рт),
124
Гл. 2. Модели, построенные из констант
откуда
Т фх V V фт.
Для всякого I тп множество Г\ (хп . хп) всех следствий
теории Т U {фг} является типом в теории Т. Но в каждой модели
теории Т на каждой n-ке выполняется одна из формул фь и, зна-
чит, эта n-ка реализует один из типов Гр Следовательно, список Гп
Г2, ., Гт исчерпывает все типы теории Т от переменных х19
Предположим теперь, что дано (d), и докажем
(е) Для всякого п <2 со с точностью до эквивалентности в тео-
рии Т существует лишь конечное число формул ф(хг, . ., л:п).
Для всякой формулы ф (^i, хп) обозначим через ф* мно-
жество всех типов Г (хи хп) теории Т, содержащих форму-
лу ф. Тогда равенство ф* = ф* влечет за собой соотношение
Т 1= ф ф. Но в теории Т имеется лишь конечное число типов
от переменных хг, ., хп, скажем т. Поэтому существует всего
2т множеств типов, а потому, с точностью до эквивалентности
в Г, не более 2т формул.
Из (е) мы выведем
(f) Все модели теории Т являются атомными.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим модель ЭД теории Т
и элементы а1? . ап £ А. Пусть фх (хА, ., хп),
Фг ♦ , яп) —конечный список всех (с точностью до
эквивалентности в теории Т) формул, выполняющихся на эле-
ментах аг, ., ап. Тогда фх Л . Л фг —полная формула
теории Т, выполняющаяся в модели И на элементах ах, ап.
Значит, ЭД является атомной.
Наконец, предполагая выполненным (f), замечаем, что любые
две счетные модели теории Т являются атомными и элементарно
эквивалентными, а потому изоморфными. Тем самым доказана
(о-категоричность теории Т. -|
С помощью следующей теоремы часто удается установить
существование атомной модели данной теории.
Теорема 2.3.14. Всякая полная теория Т, обладающая счетно-
насыщенной 'моделью, имеет и счетную атомную модель.
Доказательство. Предположим, что Т не имеет счет-
ной атомной модели. Тогда сама теория Т не является атомной.
Поэтому существует совместимая с Т непополнимая формула
Ф (а?!, ., хп). Для всякой совместимой с теорией Т неисполни-
мой формулы ф (xx, хп) можно подобрать такие совместимые
с Т формулы ф0 (хх, хп) и фх (хп хп), что
(1) Т Г ip, Т Г -> 1|), т\=. Л Ч>1).
2.3. Счетные модели полных теорий
125
Формулы г|>0 и фх также непополнимы. Повторяя аналогичные
рассуждения, получим дерево неисполнимых формул
Всякая бесконечная последовательность из нулей и единиц $0,
sx, s2, . определяет некоторую ветвь Г8= {<р, q>8(), ф8()81, <р$о81з2,...}
этого дерева. Всего в нем существует 2Ш ветвей. Согласно (1),
каждая ветвь Г8 . ., хп) представляет собой совместимое
с теорией Т множество формул, в то время как любые две ветви
не совместимы друг с другом. Расширяя каждую ветвь Г8 до
соответствующего типа теории Г, получим 2® различных типов.
Поэтому для теории Т не существует счетно-насыщенной модели. Ч
Обращение доказанной выше теоремы не верно. Например,
мы уже видели, что теория вещественно-замкнутых упорядочен-
ных полей имеет счетную атомную модель. Но эта теория имеет 2е
различных типов и потому не имеет счетно-насыщенной модели.
Другим примером теории, обладающей счетной атомной моделью,
но не имеющей счетно-насыщенной модели, служит полная теория
чисел.
Здесь уместно еще раз перечислить некоторые из наших при-
меров о-категоричных теорий: безатомные булевы алгебры, четы-
ре полные теории плотного линейного порядка, теория бесконеч-
ных моделей чистой теории равенства, теория бесконечных абеле-
вых р-групп (р — простое число), теория одного отношения
эквивалентности с бесконечно многими классами эквивалентно-
сти, каждый из которых бесконечен.
Мы заключим этот раздел одним неожиданным результатом
Вота.
Теорема 2.3.15. Никакая полная теория Т не может обладать
точно двумя неизоморфными счетными моделями
Доказательство. Допустим, напротив, что Т имеет
ровно две неизоморфные счетные модели. Наши предыдущие
результаты показывают, что Т имеет счетно-насыщенную модель
23 и счетную атомную модель ?! и что эти модели не могут быть
изоморфными. Поскольку модель 23 не атомна, в ней найдется
ft-ка &х, . ., 6П, на которой не выполняется никакая полная
формула. Наш план состоит в том, чтобы построить некоторую
126
Гл. 2. Модели, построенные из констант
счетную атомную модель (б, Су, сп) полной теории Т' =
=Th ((93, by, ^bn)) и показать, что обеднение б этой модели
не может быть ни со-насыщенным, нп атомным. Тем самым будет
обнаружено, что теория Т имеет по крайней мере три неизоморф-
ные счетные модели 21, 23 и б.
Поскольку модель 25 счетно-насыщенна, счетно-насыщенной
является и модель (23, by, ., Ъп). Теория Т', следовательно,
имеет счетно-насыщенную модель, а потому и счетную атомную
модель (б, Су, ., сп). Ее обеднение б есть модель теории Т.
Модель б не атомна, потому что n-ка Су, ., сппе удовлетворяет
никакой полной формуле. Остается показать, что модель б
не может быть и со-насыщенной. Поскольку теория Т не является
со-категоричной, она содержит бесконечно много попарно неэкви-
валентных формул. Следовательно, и Т’ содержит бесконечно
много неэквивалентных формул. Поэтому никакая модель теории
Т’ не является одновременно атомной и со-насыщенной. В част-
ности, поскольку (б, Су, . ., сп) — атомная модель, она не
может быть со-насыщенной. Отсюда следует, что б не является
со-насыщенной. Ч
Упражнения
2.3.1. Докажите, что если формула ср (Ху, хп) от пере-
менных Ху, . ., хп полна в теории Т, то формула (3#n) ф(#1,
^n-i, хп) от Xi, хп_у полна в теории Т
2.3.2. Докажите, что простое обогащение (21, a)agA произ-
вольной модели 21 является атомной моделью.
2.3.3. Пусть Су, ст — новые константные символы. Дока-
жите, что для всякого п т отображение
S (Ху, 37п) > S (б?!, • • ., *^тп+1» • • •» хп)
является одно-однозначным на множестве типов в языке X от п
переменных и отображает их на типы в языке X U {с\, ст}
от п — т переменных.
2.3.4. Пусть 21 s 23. Докажите, что n-ки Оу, ., ап £ А
и by, ., Ь^ Е В реализуют один и тот же тип тогда и только
тогда, когда (21, аг, ап) = (23, by, bn).
2.3.5* . Докажите, что модель 21 является атомной тогда
и только тогда, когда для всякого конечного множества Y сг А
на всяком элементе а Е А выполняется некоторая полная в тео-
рии Th (21 у) формула ср (х). Воспользуйтесь этим фактом для
доказательства следующего утверждения: если 21 — атомная
модель, а множество Y сг А конечно, то модель 21 у также являет-
ся атомной.
2.3. Счетные модели полных теорий
127
2.3.6. Докажите, что если модель §1 элементарно вкладывает-
ся в модель 23, то всякий тип Г (х^ хп), реализуемый в мо-
дели ЭД, реализуется и в 58.
2.3.7. Пусть S (х1У ., хп) — некоторый тип полной теории Т.
Докажите, что S реализуется во всякой модели теории Т тогда
и только тогда, когда он содержит некоторую полную формулу.
2.3.8. Докажите, что если полная теория Т имеет менее 2°
типов, то она обладает атомной моделью.
2.3.9* . Докажите, что полная теория чисел не имеет счетно-
насыщенной модели.
2.3.10* . Докажите, что никакое упорядоченное поле не являет-
ся счетно-насыщенным.
2.3.11. Докажите, что всякая полная теория, имеющая счетно-
универсальную модель, имеет и счетно-насыщенную модель.
2.3.12. Пусть ЭД — некоторая счетная модель. Докажите, что
ЭД является счетно-насыщенной тогда и только тогда, когда для
всякого конечного множества Y cz А модель ЭДУ счетно-универ-
сальна.
2.3.13. Докажите, что обеднение счетно-насыщенной модели
до модели какого-либо подъязыка данного языка X является
счетно-насыщенной моделью.
2.3.14* . Пусть Т — некоторая полная теория, а 23г — алгебра
Линденбаума теории Т, определенная в упр. 1.4.10 и 2.1.15.
Для всякого п < со обозначим через 58П1Г булеву подалгебру
алгебры 23г, определяемую формулами tp (р0, Дока-
жите, что
(а) ф (р0, . ., Рд-х) совместима с теорией Т тогда и только
тогда, когда (ф) =А 0 в алгебре 58п, т.
(Ь) ф (р0, ., является полной в теории Т формулой
тогда и только тогда, когда (ф) — атом алгебры 58п, т.
(с) Теория Т является атомной в том и только том случае,
когда каждая булева алгебра 9Sn, т атомна.
(d) Для того чтобы теория Т была о-категоричной, необходимо
и достаточно, чтобы булева алгебра 58л, т была конечной при
всяком п < (О.
(е) Теория Т имеет счетно-насыщенную модель тогда и только
тогда, когда каждая алгебра 23п> т содержит лишь конечное число
ультрафильтров. [Указание: Докажите, что типы S (и0, ., vn^x)
теории Т соответствуют ультрафильтрам алгебры 2Sn, т-1
2.3.15* . (Эренфойхт.) Пусть X = {<С, с0, си и пусть Т—
теория в языке X, утверждающая, что отношение <1 есть плот-
128
Гл. 2. Модели, построенные из констант
ный линейный порядок без концевых точек и что сп <cn+i для всех
п < ш. Легко видеть, что теория Т полна. У теории Т имеют-
ся счетные модели трех сортов. Если отождествить универсум счет-
ной модели с множеством всех рациональных чисел (исчерпав
полностью и те, и другие), то возможен один из следующих трех
случаев:
lim сп = оо;
П-+-0О
lim сп < оо — рациональное число;
п->оо
lim сп < оо — иррациональное число.
П-*ОО
Определите, которая из этих трех моделей является счетно-насы-
щенной, которая — счетной атомной и которая не обладает ни
одним из этих свойств.
2.3.16* . (Эренфойхт.) Модифицируйте приведенный выше при-
мер так, чтобы превратить его в пример полной теории Т, обла-
дающей ровно п неизоморфными счетными моделями, n 3.
[Указание: К языку X нужно добавить п — 2 новых 1-мест-
ных предикатных символов.]
2.3.17* *. Пусть Т — теория в счетном языке X. Докажите,
что если Т имеет более сох неизоморфных счетных моделей, то она
имеет континуум неизоморфных счетных моделей. Этот результат
становится тривиальным, если принимается континуум-гипотеза.
Открытым остается вопрос, можно ли ослабить условие этого
утверждения, предполагая лишь, что Т имеет несчетное множество
неизоморфных счетных моделей (естественно, континуум-гипотезу
считая неверной).
ГЛАВА 3
ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи
Для выражения связей, существующих между моделями ЭД
и SB языка мы уже ввели два отношения: ЭД = 98 (ЭД и 93
элементарно эквивалентны) и ЭД cz 25 (ЭД — подмодель модели 93).
Последовательно пользуясь этими отношениями, мы можем от
данной модели перейти к моделям, являющимся подмоделями
или, наоборот, расширениями модели, элементарно эквивалент-
ной данной. Например, модель <(о\{0}, является подмоделью
модели (со, и, будучи, очевидно, изоморфными, они оказы-
ваются также эквивалентными. При этом, однако, 1 — первый
элемент в множестве со\{0}, а в множестве со — второй. Понятие
элементарной подмодели является значительно более строгим,
а именно, в элементарной подмодели данной модели все элементы
обладают одними и теми же свойствами первого порядка как
по отношению к этой подмодели, так и по отношению к исходной
модели. Напомним определение элементарной подмодели.
Говорят, что ЭД — элементарная подмодель модели 93, если
ЭД cz 93 и для всякой формулы ср языка X, зависящей от пере-
менных хг, хп, и для любых элементов ах, ап £ А
ЭД ср [ап м ап] тогда и только тогда, когда 93 t= <p [ах,
Если ЭД — элементарная подмодель модели 23, то 23 называется
элементарным расширением модели ЭД. Рассмотрев некоторые
простые свойства элементарных подмоделей и расширений, мы
в этом разделе также дадим ответы на следующие вопросы:
(1) Как можно определить, является ли модель ЭД элементар-
ной подмоделью другой модели 23 (изоморфна ей)?
(2) Существуют ли какие-либо ограничения на мощности эле-
ментарных подмоделей и расширений данной модели ЭД?
(3) При каких условиях две или более моделей имеют общее
элементарное расширение?
(4) Можно ли операцию элементарного расширения, итерируя,
продолжить по трансфинитам?
Для выражения того факта, что ЭД — элементарная подмодель
модели 23, мы пользуемся обозначением ЭД < 23. Для удобства
мы вместо ЭД < 93 пишем иногда 23 > ЭД. Пусть X cz А. Через
9 г. Кейслер, . Ч. Чэн
130
Гл» 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
ЭД ч а)аех или ЭДх обозначается естественное обогащение моде-
ли 21 до модели языка X U {са а С X}, содержащего новые
константы са.
Предложение 3.1.1.
(i) Если 21 < то 21 = 23.
(ii) ЭД <ЭД.
(iii) Если ЭД < Ж и $8 -< ©, то 21 <
(iv) Если 21 < 6, 23 < 6 и 21 <= 23, то 21 < 23.
Доказательство этих утверждений представляет собой простое
упражнение.
Предложение 3.1.2. 21 -< й) тогда и только тогда, когда
21 с 23 и для всякой формулы (Эх) ср (х, хг, хп), зависящей
т переменных х±, хп, и для любых аг, ап £ А
если 23 1= (Зх) ф [аг, ., ап], то существует
такой элемент а £ А, что 23 1= ф 1а, аг, ап].
Доказательство. С помощью индукции по строению
формулы ф докажем неочевидную часть этого предложения,
а именно, что если ф — формула от переменных хх, хп,
а Я1, ап — элементы множества А, то
2[ £=ф [alt . . ., ап} тогда и только тогда, когда 28 ф [а1? ап]-
Это утверждение легко проверяется для атомных формул, а шаг
индукции без труда проходит для пропозициональных связок.
В наиболее сложном случае перехода от формулы ф (хг, хп)
к формуле (3^) ф (х2, хп) заметим следующее: если даны
а2, • , О'п € А и известно, что 21 1= (3^) ф [а2, . ап], то
существует такой элемент аг £ А, что 21 t= ф [а1? ., ап].
По предположению индукции 23 Ё= ф [ах, ., ап], а потому
и 23 t= (3^) ф [а2, . ., ап]. С другой стороны, если 23 t=
(Зхх) ф [а2, . ., ап], то по условию существует такой элемент
ах£Л, что 23 1= ф [«!, ап]. А тогда по предположению
индукции 21 ф [а1? ап] и, следовательно, 21 (3^) ф [а2,. . .
Напомним, что элементарным вложением модели 21 в модель 23
(обозначение: /:j 21 -< 23) называется всякий изоморфизм / моде-
ли 21 на элементарную подмодель модели 23. По аналогии с записью
21223, означающей, что 21 вкладывается в 23, будем тот факт,
что 21 элементарно вкладывается в 23, выражать обозначением
ЭД^ 23.
Пусть XА = X (J {са а £ А}. Элементарной диаграммой мо-
дели 21 называется теория Th (21а), состоящая из всех предло-
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи
131
жений языка £А, истинных в модели 31А = (31, о)аЕА- (Вспом-
ним, что диаграммой модели 31 мы называли множество всех
атомных предложений языка ХА и их отрицаний, истинных
В 9U-)
Предложение 3.1.3. Пусть ГА — элементарная диаграмма
модели Я. Для того чтобы 312< 23, необходимо и достаточно,
чтобы некоторое обогащение 23' модели 23 служило моделью для ГА.
Если 31 cz 23, то 31 -< S3 тогда и только тогда, когда (23, о)а£А^
Предложение 3.1.4. Пусть — произвольное непустое мно-
жество элементарно эквивалентных моделей. Тогда существует
такая модель 23, что всякая модель 31 6 S элементарно вклады-
вается в 23.
Доказательство. Для каждой модели 31 Е ч®рез ГА
обозначим ее элементарную диаграмму. Сначала добьемся того,
чтобы при 31 #= ЗГ множества констант {са a g А} и {са а £ Л'}
не пересекались. Пусть А = J ГА. Мы утверждаем, что А —
непротиворечивое множество предложений в языке U <2? а-
Предположим, что {<Pi, . ., фп} —некоторое конечное подмно-
жество множества А. Можно считать, что при i =/= j формулы
Ф^ и ф/ принадлежат разным слагаемым ХА множества ХА.
Тогда существуют такие формулы ф{', . ., ф^, содержащие пере-
менные хг, хт, и элементы а^ А*, 1 i п, 1 j т,
что 3h € и
4 А 1Пь
Поскольку 31; = 91/ при 1 i, / получаем, что предложе-
ние (3x1? хт) <pj а (3®!, хт) Фа А л (3^ ... xm) <р;
истинно в модели 3[х. Этим доказано, что множество {фх, . ., фп}
непротиворечиво. По теореме компактности множество А имеет
модель 23' Пусть 23 — обеднение модели 23' до модели исход-
ного языка X. Теперь предложение 3.1.3 показывает, что каждая
модель 31 € 8 элементарно вкладывается в модель 23.
Теорема 3.1.5. Всякая бесконечная модель 31 обладает сколь
угодно большими элементарными расширениями.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Г — элементарная диаграм-
ма модели 31. В силу теоремы Лёвенгейма — Скулема — Тар-
ского, Г имеет сколь угодно большие модели, и доказываемый
результат следует теперь из предложения 3.1.3. н
9*
32
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Теорему 3.1.5 можно рассматривать как усиление теоремы
Лёвенгейма — Скулема — Тарского. Любопытно, что на следую-
щий, более специальный, чем рассматриваемый в теореме 3.1.5,
вопрос — всякая ли бесконечная модель ЭД имеет собственное
элементарное расширение той же мощности, что и ЭД,— ответить
уже весьма непросто. Ответ получается легко, если || X ||
|Л | (см. упр. 3.1.6). В дальнейшем мы приведем некоторые
более полные решения.
Наша следующая теорема представляет собой усиление теоре-
мы Лёвенгейма — Скулема — Тарского в сторону понижения
мощности.
Теорема 3.1.6. Пусть ЭД — модель мощности а, и пусть
II X || Р а. Тогда ЭД имеет элементарную подмодель мощ-
ности р. Если к тому же задано множество X с: А, мощность
которого не превосходит р, то ЭД имеет элементарную подмодель
мощности р, содержащую множество X.
Доказательство. Можно считать, что множество X
имеет мощность р. Для всякой формулы ф (х, хг, ., хп) и произ-
вольной п-ки ах. ал £ X, удовлетворяющих условию ЭД 1=
t= (Эя) ф [а1? ап], выберем такой элемент b £ Л, что ЭД
t= ф [Ь, ., ап]. Пусть множество Х± получается присоеди-
нением всех так выбранных элементов b к множеству X. Посколь-
ку | X | = р и || X || р, мощность множества Хг равна р.
Повторим этот процесс счетное число раз, образуя, тем самым, цепь
2
Положим В = U Хп. Множество В] замкнуто относительно
п<ш
функций, имеющихся в модели ЭД. Каждое Хп имеет мощность р,
так что tfy же мощность имеет и В. Пусть $8 — подмодель моде-
ли ЭД, универсумом которой служит В. Рассмотрим формулу
Ф (я, яь яп) и п-ку bu bn £ В, для которых
ЭД Г= (Эя) ф [Ь1? Ьп].
Для некоторого т < со имеем Ьх, . Ъп £ Хт. Тогда существует
такой элемент b g Xm+x, что ЭД t= ф [Ь, Ъп]. Поэтому
Ь £ В. и, согласно предложению 3.1.2, получаем, что 23 < ЭД.—I
В качестве непосредственного следствия доказанной теоремы
получаем, что если теория Т имеет модель ЭД мощности а, опускаю-
щую множество формул S (я), и || X || Р < а, то Т обладает
моделью 23 мощности р, опускающей S (я). Такова любая модель
23 < ЭД мощности р.
Понятие модельно полной теории служит источником приме-
ров элементарных расширений.
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи
133
Теория Т называется модельно полной, если для любых моде-
лей ЭД и 93 теории Т из условия ЭД cz 93 следует, что ЭД -< 93.
Модельная полнота теории не влечет за собой ее (обычной)
полноты; обратная импликация также неверна. Теория плотного
линейного порядка с первым и последним элементами является
полной, но не модельно полной. Так же обстоит дело с теориями
моделей (<о, S). (со, О, (со, 0, 5, О. Приведем теперь
некоторые примеры модельно полных теорий:
(1) Теория алгебраически замкнутых полей (причем эта тео-
рия неполна).
(2) Полная теория модели <<о, О, S).
(3) Полная теория модели (Z, <, S), где Z — множество всех
целых чисел, aS — функция следования.
(4) Теория со счетным множеством одноместных отношений,
задаваемая аксиомами (см. также стр. 114—115)
(Эя) (Рг1 (х) Л Л Pim (я) Л “I Pjt (х) Л . Л “|Pjn (х)).
(5) Теория вещественно замкнутых полей.
(6) Теория вещественно замкнутых упорядоченных полей.
Таким образом, например, всякое вещественно замкнутое
подполе вещественно замкнутого поля является элементарной
подмоделью последнего.
Приведем теперь некоторые критерии модельной полноты.
Предложение 3.1.7. Если Т — теория в языке X, то следующие
утверждения эквивалентны:
(i) Теория Т модельно полна.
(ii) Для всякой модели ЭД теории Т теория Т (J А^ полна
в языке X где Аэд — диаграмма модели ЭД.
(iii) Если ЭД и 93 — модели теории Т и ЭД с: 93, то всякое
экзистенциальное предложение, истинное в модели 93 А, истинно
и в ЭДЛ.
(iv) Для всякой формулы ф (г/х, уп) существует такая
универсальная формула ф (ух, уп). что Т (р ф.
Доказательство, (i) => (ii). Допустим, что выполнено
условие (i), т. е. теория Т модельно полна. Пусть ЭД — модель
теории Т Поскольку всякое расширение модели ЭД является
элементарным, теория Т J А^ имеет в точности те же модели,
что и элементарная диаграмма Th (ЭДА), и, следовательно, Т (J А^
полна.
(ii) => (iii). Пусть выполняется условие (ii). Если ЭД и 93 —
модели теории Т. для которых ЭД с: 93, то и ЭДА и 93 А служат
моделями полной теории Т (J А^, так что всякое экзистенциальное
предложение, истинное в модели 93А, истинно и в ЭДА. Тем самым
(iii) доказано.]
134
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
(iii) => (iv). Предположим, что верно (iii). Пусть формула
ср (Ун -ч Уп) экзистенциальна. Нам будет удобно ввести новые
константы и построить экзистенциальное предложение ср (сх, . ., сп)
языка X' = X J {сх, . сп}. Пусть Г — множество всех уни-
версальных предложений у языка X', для которых Т 1= ср -> у.
Пусть (91, Ьх, ., Ьп) — модель теории Т J Г, а — диаг-
рамма модели 91. Всякая конечная конъюнкция 0 (ах, .,
6Х, Ьп) предложений теории Д^ совместима с теорией
Т J {ср}, поскольку универсальное предложение (V^
0 (xr, ., xm, Ьх, Ьп) ложно в модели 91, а потому
не входит в множество Г и не является следствием теории Т J {ф}-
Поэтому теория Т J {ср} (J Д^ имеет модель 23а- Отсюда следует,
что 91 cz 23, причем 23 — модель теории Т. В силу (iii), всякое
экзистенциальное предложение, истинное в 23А, истинно и в 91а-
В частности, экзистенциальное предложение (р истинно в модели
(91, Ьг, ., Ъп). Мы заключаем, что всякая модель теории Т U Г
является моделью и для предложения <р,т. е. Г Ц Г 1= ф. По тео-
реме компактности существуют такие ух, . ., уь £ Г, что Т
ух л . л уъ -> ф. Отсюда следует, что Т ух л . л yk -<-*
ср. Вынося кванторы вперед и заменяя константы сх, сп
переменными у1У уп, мы получим универсальную формулу ф,
для которой Т t= ф <-► ср. Индукцией по сложности формулы
выводим, что для всякой формулы ср существует такая универсаль-
ная формула ф, что Т ср ф.
(iv) => (i). Пусть 91 и 23 — модели теории Г, причем 91 cz 25.
Пусть ах, ., ап £ А, и предположим, что 23 1= ср [ах, ., ап].
Пусть ф — универсальная формула, для которой Т 1= ср ф.
Тогда 23 1= ф [ах, ап\, 91 1= ф [ах, . ., ап] и 91 1=
ср [ах, ., ап]. Поэтому 91 -< 23, итеорияТ модельно полна. Ч
Полученное только что предложение часто применяется для
доказательства модельной полноты конкретных теорий, таких, как
теория вещественно замкнутых полей. Приведенное доказатель-
ство в действительности дает следующий более сильный результат,
который тоже иногда бывает полезен.
Следствие 3.1.8. Пусть теория Т не имеет конечных моделей
и а || X ||. Тогда каждое из следующих утверждений является
необходимым идостаточным условием модельной полноты теории Т:
(iia) Для всякой модели 91 теории Т, для которой | А | = а,
теория ГиД® полна.
(iiia) Если 9( и 23 — модели теории Т, для которых | А | =
| В 1 = а и 91 cz 23, то всякое экзистенциальное предложение,
истинное в модели 23А, истинно и в модели 91а*
Доказательство проходит так же, как доказатель-
ство предыдущей теоремы, с использованием, однако, на шаге
(iiia) =>- (iv) моделей мощности а. Ч
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи
135
Следующие три результата связывают между собой понятия
категоричности, полноты и модельной полноты.
Предложение 3.1.9. Пусть теория Т модельно полна. Тогда
(i) Если любые две модели теории Т изоморфно вкладываются
в некоторую третью модель этой теории, то теория Т полна.
(ii) Если Т обладает моделью ЭД, изоморфно вкладывающейся
в любую модель этой теории, то теория Т полна.
Доказательство. Оба утверждения тотчас же выте-
кают из того факта, что всякое изоморфное вложение одной моде-
ли теории Т в другую является элементарным вложением. Н
Приведем пример применения утверждения (ii): теория Т
вещественно замкнутых упорядоченных полей модельно полна,
а поле действительных алгебраических чисел изоморфно вклады-
вается в любую модель теории Т, поэтому Т полна.
Обращения утверждений (i) и (ii) неверны. Например, всякие
две модели любой полной теории изоморфно (и даже элементарно)
вкладываются в некоторую третью модель той же теории. Однако
мы уже видели, что полные теории моделей (<о, S), (со, <),
(со, О, S, +, •, О не являются модельно полными. При этом
каждая из указанных моделей изоморфно вкладывается в любую
Другую модель своей теории. Таким образом, обращения обоих
утверждений (i) и (ii) этими примерами опровергаются.
Предложение 3.1.10. (Тест Лося — Вота.) Всякая непротиворе-
чивая теория Т, имеющая лишь бесконечные модели и а-категорич-
ная в некоторой бесконечной мощности а || X ||, является пол-
ной.
Доказательство. Достаточно показать, что любые две
модели ЭДи® теории Т эквивалентны. Поскольку Т обладает
лишь бесконечными моделями, ЭД и 23 бесконечны. По теореме
Лёвенгейма — Скулема — Тарского (в зависимости от мощностей
этих моделей применяемой для понижения или для повышения
мощности) существуют такие модели ЭД' и ЯЗ' мощности а, что
ЭД = ЭД' и ЯЗ = ®' Но в силу а-категоричности теории Т,
ЭД' 23', а потому ЭД' = ЯЗ' и ЭД == ЯЗ. -I
В силу этого предложения, например, следующие теории, кате-
горичные в некоторых бесконечных мощностях и не имеющие
конечных моделей, оказываются полными.
(1) Теория плотно линейно упорядоченных множеств без
концевых точек (со-категоричная).
(2) Теория безатомных булевых алгебр (со-категоричная).
((3) Теория алгебраически замкнутых полей характеристики
нуль (или р) ((Oi-категоричная).
136
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
(4) Теория бесконечных абелевых групп экспоненты р (а-кате-
горичная для всех а).
(5) Теория счетной совокупности различных константных
символов ((^-категоричная).
(6) Теория одно-однозначной функции, отображающей мно-
жество А на А без конечных циклов (<огкатегоричная).
Следующая теорема показывает, что все перечисленные выше
теории являются также модельно полными. В этой теореме идет
речь о цепях моделей. Цепью моделей называется возрастающая
последовательность моделей
<=2Гр(= ₽<а,
упорядоченная по типу ординала а. Объединение такой цепи
есть модель 21 = |j2Ip, определяемая следующим образом'-
р<а
универсумом модели 21 служит множество А — U 4 р; каждое
0<а
отношение 7?, имеющееся в модели 21, представляет собой объеди-
нение соответствующих отношений моделей 21 р: R = (J R р;
0<а
аналогично, каждая функция G модели 21 есть объединение соот-
ветствующих функций моделей 21 р: G = [J Gp; модели 21 р и 21
Р^а
имеют одни и те же константы.
Сначала приведем одну простую лемму.
Лемма 3.1.11. Пусть дана цепь моделей 2lp, Р < а. Тогда
(J 21 р является единственной моделью, универсумом которой
Р<а
служит А р и которая содержит каждую модель 21 р в каче-
Р<а
стве подмодели.
Теорема 3.1.12. (Теорема Линдстрёма.) Пусть Т —теория
в счетном языке, удовлетворяющая следующим условиям:
(i) Все модели теории Т бесконечны.
(ii) Объединение всякой цепи моделей теории Т является мо-
делью теории Т.
(iii) Т является а-категоричной для некоторого бесконечного
кардинала а.
Тогда теория Т модельно полна.
Доказательство. Введем сначала еще несколько тер-
минов. Модель 93 назовем Т-расширением модели 21, если 21 с: 98
и как 21, так и 93 —модели теории Т. Модель 21 теории Т назы-
вается алгебраически замкнутой, если, каково бы ни было Z-рас-
ширение 93 модели 21, всякое экзистенциальное предложение,
истинное в модели 93А, истинно и в 21А. Согласно предложению
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи
137
3.1.7 и следствию 3.1.8, можно утверждать, что теория Т
модельно полна тогда и только тогда, когда всякая ее модель
мощности а алгебраически замкнута.
Основной момент нашего доказательства состоит в том, чтобы
с помощью одних только условий (i) и (ii) показать, что теория Т
имеет алгебраически замкнутую модель в каждой бесконечной
мощности а. Пусть И — произвольная модель теории Т мощно-
сти а, и пусть {<рр р < а} — множество всех экзистенциальных
предложений языка УА. Образуем такую цепь моделей теории Т
SI-3I0 cz 3G cz cz^Ipcz
каждая из которых имеет мощность а, что если предложение фр
истинно в некотором Г-расширении модели 31 рА, то оно истинно
в модели 31 р+1 А. Мы можем продолжить процесс построения цепи
и через предельные ординалы, так как объединение цепи моделей
теории Т есть модель этой теории. Положим 31' 31 р.
Р<а
Тогда всякое экзистенциальное предложение ф, истинное в неко-
тором Т-расширении модели 31а, истинно в самой модели 31 д.
Повторяя это построение со раз, получим такую цепь
31 = 31° cz ЗР cz
что всякое экзистенциальное предложение, истинное в некотором
Т-расширении модели 31 А^\ истинно в модели 31™^1 Отсюда
следует, что объединение этой цепи 31° U ЭД™ — алгебраи-
771 < (О
чески замкнутая модель теории Т мощности а.
Теперь, воспользовавшись а-категоричностью теории Т, заклю-
чаем что всякая ее модель мощности а алгебраически замкнута.
А так как Т не имеет конечных моделей, следствие 3.1.8 показы-
вает, что теория Т модельно полна. —|
Примером соркатегоричной полной теории, не являющейся,
однако, модельно полной, служит теория модели (cd, S). Анало-
гичный пример со-категоричной теории дает теория одного отно-
шения эквивалентности, обладающего бесконечно многими клас-
сами эквивалентности, один из которых состоит точно из одного
элемента, а все остальные бесконечны.
Итерируя процесс построения элементарных расширений, мы
приходим к понятию элементарной цепи. Элементарная цепь
моделей есть такая цепь
ЭДо<ЭД1< <ЭДз< ₽<«,
что 3IV < 31 р, если у < Р < а.
Например, если' 31 п ПРИ всяком п < со — алгебраически
замкнутое поле характеристики нуль и степени трансцендентно-
138
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
сти п над полем рациональных чисел, то
210 < <
— элементарная цепь. Объединение 21 Q этой цепи представляет
собой алгебраически замкнутое поле характеристики нуль и сте-
пени трансцендентности со. При этом 21п -< 21 ш для всякого п.
Следующая теорема является аналогом леммы 3.1.11 для эле-
ментарных цепей. Рассматриваемая в ней конструкция, несмотря
на ее простоту, очень важна.
Теорема 3.1.13. (Теорема об элементарных цепях.) Пусть
21g, £ < а, — элементарная цепь моделей. Тогда 21g < U
£<а
при всяком g < ос.
Доказательство. Положим 21 = 21g. Индукцией
£<а
по формуле ф докажем следующее утверждение: для всякой фор-
мулы ф от переменных ., хп, всякого ординала £ < а
и*любых элементов ап £ А
21g t= ф [«i, тогда и только тогда, когда 211=Ф [аг, ап].
Для атомных формул доказательство проходит непосредственно.
Шаг индукции при введении пропозициональных связок осущест-
вляется тоже просто. Пусть теперь ф — (3^) ф — формула от
переменных z2, хп, £ — ординал, меньший а, и а2,
., ап £ Л^. Если 21g 1= ф [а2, ап], то существует такой
элемент С А что 21g 1= ф lalf ап]. Тогда, в силу пред-
положения индукции, Й 1= ф [ап ап] и 21 1= Ф [а2, ., ап].
С другой стороны, если 21 ф 1а2, . ап], то для некоторых
г] < а и аг £ А имеем а17 ., ап £ Ап и 21 t= ф [«i, ап].
Так как модели 21g, £ < а, образуют цепь, можно считать, что
£ тр Поскольку все элементы а1? ., a7J принадлежат множе-
ству Ля, то, в силу предположения индукции, 21^ ф [ax, .,ап],
а потому 21т) ф [а2, ., ап]. Но так как 21g < 2Ц, оконча-
тельно получаем 21g t= Ф [а2, ап]. Ч
В качестве непосредственного приложения теоремы об элемен-
тарных цепях получаем такое
Следствие 3.1.14. Объединение всякой цепи моделей модельно
полной теории Т само является моделью этой теории.
Приведем пример, показывающий, что фигурирующий в тео"
реме об элементарных цепях знак -< нельзя заменить на =.
Пусть 210 (со, > — множество натуральных чисел вместе
с его естественным упорядочением. Для каждого п образуем
модель 21 добавляя п новых элементов в начале упорядочения
(со, ). Тогда
210 cz 2Ii cz 2I2 cz . ..,
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи
139
причем для каждого п имеем йп == й0 и даже йп = й0- Однако
модель *21 to U йп есть упорядоченное множество, не содер-
П<(0
жащее первого элемента. Поэтому й© й0-
Чтобы проиллюстрировать значение элементарных цепей, при-
ведем новое, основанное на их применении доказательство теоре-
мы Робинсона о непротиворечивости. Напомним ее формулировку:
Пусть Хг и Х2 — языки и X = Хг Q Х2- Пусть Т —
полная теория в языке X, а zd Т и Т2 гэ Т — непроти-
воречивые теории в языках Хг и Х2 соответственно. Тогда
теория 7\ U Т2 непротиворечива в языке Хх Х2.
В предыдущей главе мы доказали теорему Робинсона о непро-
тиворечивости с помощью предварительно доказанной там же
интерполяционной теоремы Крэйга. Теперь мы дадим прямое
доказательство теоремы Робинсона, воспроизводящее по существу
рассуждения ее автора.
Итак, пусть й0 и Я30 — модели теорий Тг и Г2 соответственно.
Для упрощения обозначений условимся, что §1 = ^83 означает
элементарную эквивалентность «^-обеднений моделей §1 и 83,
a f: 21 < означает, что / — элементарное вложение модели
й | X в модель S3 | X.
Поскольку Йо | X и 83О | X — модели полной теории Т,
то Йо = Отсюда следует, что элементарная диаграмма
модели Йо | X совместима с элементарной диаграммой модели 83О.
Поэтому существуют некоторое элементарное расширение ЯЗг >
> 33О и вложение /г: й0< Переходя к обогащенному
языку Xav получаем
(Йо» ^)а£Ао = с$?Д0 (®1» /1^)а£Ао*
Проводя такое же построение в другом направлении, получим
элементарное расширение Й1 > й0 и вложение
gi- (2*lt М)а£А0 Л)аЕАо-
При этом g? является продолжением отображения Итерируя
эти построения, получим диаграмму
Ио
в которой при всяком ш
fm gm /т+1» fm' йт-1 “К gm- ^Йщ*
140
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Положим 91 U 91т, 58 = IJ 58m- Тогда St является мо-
m<G) т<(0
делью теории 7\, а $8 — моделью теории Т2. При этом отобра-
жение fm представляет собой изоморфизм модели 91 | X
на модель 28 | X. Поэтому модель 28 изоморфна некоторой моде-
ли 23', для которой 91 | X — 58' | X. Соединяя модели 91 и 23'
в одно целое, получим такую модель 6 языка ХЛ J Х^ что 6 | Хг
= 91, 6 I Хг = 23' Следовательно, 6 — модель теории U Г2Н.
Интерполяционная теорема Крэйга легко выводится из теоре"
мы Робинсона о непротиворечивости (см. упр. 2.2.12). Таким
образом, мы получаем новое доказательство теоремы Крэйга.
С понятием элементарной цепи очень сходно понятие частично
элементарной цепи. Точнее, оно заключено между понятиями цепи
моделей и элементарной цепи моделей. Оно также оказывается
полезным для получения некоторых результатов в теории моделей
(см. теорему 3.1.16 и некоторые из упражнений этого раздела).
Для точного описания этой конструкции мы сейчас формально
введем понятия 2^- и Щ-формул.
Зафиксируем для наших рассмотрений некоторый язык X.
Формула ф языка X называется = Л^-формулой. если она
не содержит кванторов. Продолжая по индукции, Ъп+\-формулой
(соответственно Л^^-формулой) назовем формулу ф языка X.
имеющую вид ф — (3^ . . ф (соответственно (у^ .
гДе Ф есть Пп-формула (соответственно Sn-фор-
мула). Очевидно, что всякая формула, находящаяся в пренексной
форме, является или Щ-формулой при некотором и. Предло-
жение, являющееся Sn-формулой (соответственно Щ-формулой),
называется ^^-предложением (соответственно Л^-предложением').
Экзистенциальные предложения —это 2°-предложения, универ-
сальные ч— это IIJ-предложения, универсально-экзистенциальные
— это Щ-предложения и т. д.
Модель 23 называется ^-расширением модели 91, если для
всякой 2п~формулы ф (xn ггП7) и любых элементов аг,
Е А
из 91 ф ki, ат] следует 23 Г= ф [аь ат].
Цепь моделей
9I0 cz 91п. с с 913с= ₽<а,
называется 1^п-цепъю моделей, если для любых Р < у < а модель
9IV является Sn-расширением модели 91р. Всякое расширение
произвольной модели является ее S?-расширением, и потому
всякая цепь моделей является -цепью.
Следующая лемма представляет собой аналог теоремы об эле-
ментарных цепях.
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи
141
Лемма 3.1.15. Пусть ЭДр, 0 < а,— некоторая Ъп-цепь моделей
и ЭД U Яр. Тогда
Р<а
(i) Модель ЭД является Ъп-расширением каждой модели ЭДр.
(ii) Всякое Пп+г предложение, истинное во всех моделях ЭД р,
истинно и в ЭД.
Доказательство. Проведем индукцию по п. Резуль-
тат уже верен для п = 0. Предполагая, что он справедлив для
п — 1, докажем его для п. Пусть
Ф = (3^ Хт) ф (xlt хт, ylt Ур)
— некоторая 2„-формула, где <р —соответствующая Щ-1-форму-
ла. Предположим, что гр выполняется в модели ЭДр на элементах
., Ьр 6 Л р. Тогда для некоторых элементов ат £
£ А а имеем
ЭДр 1= ф [ап ат, blt Ьр].
Пусть Y {аг, ат, Ъг, Ьр}. Рассмотрим Е^-цепь
ЭДруС! ЭДрнуСГ ., объединением которой служит ЭДУ. Наше
Пи-г-предложение ф (ах, ат, Ъ1Ч ., Ьр) истинно в каждой
из моделей этой цепи и, в силу предположения индукции, истинно
в модели ЭДу. Следовательно,
ЭДt= (Н^х хт) ф [fei, 6Р].
Этим доказано, что ЭД является ^-расширением модели ЭДр.
Чтобы доказать пункт (ii), рассмотрим Щ+1-предложение
(V^i хт) 6 (где 0 — некоторая ^-формула), истинное во
всех моделях ЭДр. Пусть аг, ., ат С А. Тогда ., ат С А р
при некотором 0 < а. Формула 0 выполняется в модели ЭДр
на этих элементах, а потому она и в модели ЭД выполняется на них.
Значит, предложение (V^i хт) 0 истинно в модели ЭД. -|
Последняя теорема этого раздела содержит теоретико-модель-
ное доказательство одного утверждения о логике предикатов.
Теорема 3.1.16. Следующие утверждения эквивалентны (здесь
гс > 0):
(i) Предложение ф эквивалентно как некоторому 'Яп+гпредло-
жению, так и некоторому Xin+i-предложению.
(ii) Предложение ф эквивалентно некоторой булевой комбинации
2 п-предложений.
Доказательство. Несложное доказательство того фак-
та, что всякая булева комбинация 2п-предложений эквивалентна
и i-предложению, и Щ+1-предложению, мы оставляем читате-
лю. Все дело в том, что к любому предложению всегда можно
добавить фиктивные кванторы, не меняя при этом его смысла.
142
Гл, 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Для доказательства обратной импликации предположим, что
выполняется (i). Сначала докажем, что для любых моделей 31 и 28,
(1) если всякое Sn-предложение истинно в модели 21 тогда
и только тогда, когда оно истинно в модели 23, то 21 ф
тогда и только тогда, когда 23 ф.
Итак, пусть 21 и 28 — модели, для которых выполнена посылка
утверждения (1). Построим 2$-цепь моделей
2l = ?loc=26ocz2l1cz231c= cz 2Ift с= 23ft cz ...,
для которой
(2) s 2t и 23fe = 23 при всяком k g co.
Предположим, что мы построили конечную Sn-цепь
2Iocz2Soc:
так, что условие (2) имеет место для всех к т. Пусть Т — сово-
купность всех Зд-предложений языка X U {съ b £ Вт}, истин-
ных в модели 23т. Легко видеть, что если дано произвольное
конечное подмножество множества Т, то, взяв конъюнкцию входя-
щих в него предложений и навесив затем квантор существования
на все новые константы, мы получим Sn-предложение гр языка X,
истинное в модели 23т. В силу посылки утверждения (1), пред-
ложение гр истинно и в модели 21. Таким образом, теория Т U
U Th (21) непротиворечива и, значит, имеет модель 2Im+i. Нетруд-
но проверить, что цепь
210с= 230о cz2Smcz2Im+1
также является 2д-цепыо. Точно такое же рассуждение, приме-
ненное к модели 21т+ъ приводит нас к следующей в рассматривае-
мой Sn-цепи модели 23^+!. Пусть ф — предложение, истинное
в модели 21; тогда оцо истинно и в модели 2U при всяком к.
Поскольку ф является Щ+1-предложением, оно, согласно лем-
ме 3.1.15, истинно и в модели U ~ U Если же ф
ftgco
не истинно в модели 23, то его отрицание ф является (эквива-
лентно) П°^-предложением, истинным в модели 28. Опять же
по лемме 3.1.15 предложение ~~|ф должно быть истинным в моде-
ли U 23& —противоречие. Утверждение (1) доказано.
ftgCO
Установив (1), будем рассуждать следующим образом: если
утверждение (ii) ложно, то для любой конечной совокупности
^^-предложений, скажем а1? ат, можно указать такие
модели 21 и 28, что
(3) 21 Ф, 23 t= “|ф и 21 1= Of тогда и только тогда, когда
28 tr 1 z тп.
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи
143
Этот факт доказывается так: построим 2т конъюнкций о =
= nJ л Ла™ где каждое о< есть либо of, либо ~"| of. Неко-
торая конъюнкция о (из построенных) должна быть совместимой
как с предложением ф, так и с поскольку в противном случае
мы имели бы |— о -> ф или |— о ~]ф для всех таких о и логика
высказываний позволила бы заключить, что предложение ф
является некоторой конечной дизъюнкцией (точнее, эквивалентно
ей) таких предложений о, так что утверждение (ii) оказалось бы
верным. Теперь, отправляясь от (3), в результате простого при-
менения теоремы компактности приходим к моделям 91 и ЯЗ,
эквивалентным относительно всех -предложений, но не экви-
валентным относительно предложения ф, что противоречит утверж-
дению (1). -|
Теорема 3.1.16 верна и при п = 0, если только язык X содер-
жит константные символы.
Упражнения
3.1.1. Пусть 91 cz 98. Предположим, что для любых элемен-
тов а1ч . ., ап £ А и Ъ g В существует автоморфизм модели ЯЗ
(на себя), оставляющий элементы ., ап на месте и перево-
дящий элемент Ъ в некоторый элемент из А. Тогда 91 < 25.
3.1.2. Докажите модельную полноту следующих теорий:
(i) Теория бесконечных множеств.
(ii) Теория плотного линейного порядка без концевых точек,
(iii) Теория безатомных булевых алгебр.
(iv) Теория полных абелевых групп без кручения.
(v) Теория функции следования на множестве со, т. е. множе-
ство всех предложений, истинных в модели (со, О, S), где Sn =
= п + 1 (является ли эта теория конечно аксиоматизируемой?).
[Указание: воспользуйтесь теоремой 3.1.12.]
3.1.3. Пусть 91 — кольцо (см. пример 1.4.9), а 91 х и ?1у —
кольца многочленов над 91 относительно переменных х £ X
и у £ У Докажите, что если X cz У и множество X бесконечно,
то 91х < Яу.
3.1.4. Пусть (0,1) —множество всех рациональных чисел,
лежащих строго между 0 и 1, а [0, 1) = (0, 1) (J {0}. Положим
91 = <(0, 1), <;), ЯЗ = ([0, 1), Пусть 91' — объединение
различных экземпляров модели 91 и к0 различных экземпляров
модели ЯЗ, а ЯЗ' — объединение х0 экземпляров модели 91 и
экземпляров модели ЯЗ. (Объединение моделей (Ло i £ I,
с двуместными отношениями определяется как модель
U^/-) Тогда.
(i) Модели 91' и ЯЗ' изоморфно вкладываются друг в друга.
144
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
(ii) Не существует элементарного вложения какой-либо из этих
моделей в другую.
(iii) ЭД' = 95', и потому (согласно предложению 3.1.4) обе
модели ЭД' и 93'элементарно вкладываются в некоторую модель
3.1.5. Пусть ЭД и 25 — модели языка X. Следующие утвержде-
ния эквивалентны:
(i) Существуют такая модель 6 и элементарные вложения /
модели ЭД в 6 и g модели 95 в (£, что
/ I А П В g\A П В.
(ii) (ЭД, я)аЕАГ|В === &)аЕАПв*
3.1.6. Если || X || | А |, то модель ЭД обладает собственным
элементарным расширением той же мощности, что и ЭД.
3.1.7* . Принимая обобщенную континуум-гипотезу, докажите,
что независимо от величины || X || всякая бесконечная модель ЭД
имеет элементарное расширение произвольной мощности 0 >
> I Л |.
3.1.8. Предложение в пренексной форме называется универ-
сально-экзистенциальным или просто VS-предложением, если все
его кванторы всеобщности (если таковые имеются) предшествуют
всем его кванторам существования (если и они в нем существуют).
Очевидно, что всякое универсальное или экзистенциальное пред-
ложение (см. упр. 1.3.5) оказывается и УЗ-предложением.
Докажите, что если (р является VB-предложением и ЭД^ 1= ср
для всякого члена] цепи ЭД^, Е < а, то ЭД? <р. (Это частный
случай леммы 3.1.15.)
3.1. Двуместное отношение D на множестве I называется
направленным, если для любых z1? z2 € I существует такое Z3 6 /,
что iiDi3 и i2Di3. Совокупность моделей ЭД/, i £ I, называют
направленной, если существует такое направленное отношение D
на множестве индексов I, что для любых I, / С I
если iDj, то ЭД/ cz ЭД;.
Покажите, что можно дать разумное определение модели U ЭД/.
<Е*
При этом оказывается, что ЭД/ cz ЭД/ для всякого i £ /.
iEl
Распространите результат упр. 3.1.8 и теорему об элементар-
ных цепях на направленные множества моделей.
3.1.10* Класс моделей К называется замкнутым относительно
объединений вполне упорядоченных цепей, если объединение всякой
вполне упорядоченной цепи моделей из класса К принадлежит
этому классу. Аналогично можно ввести понятие замкнутого
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи
145
относительно объединений направленных множеств моделей (см.
упр. 3.1.9) класса. Докажите, что всякий класс моделей К замкнут
относительно объединений вполне упорядоченных цепей тогда
и только тогда, когда он замкнут относительно объединений
направленных множеств.
[Указание: Проведите индукцию по мощности направленного
множества.]
3.1.11. Пусть Т —теория в счетном языке X, Предположим,
что для всякой конечной или счетной модели 21 теории Т теория
Т U Лсд полна. Тогда теория Т модельно полна.
3.1.12. С помощью упр. 3.1.11 покажите, что теория алгебраи-
чески замкнутых полей модельно полна (но не полна).
3.1.13. Теория Т называется подмоделъно полной, если для
всякой модели 21 теории Т и для любой подмодели 93 cz 21 тео-
рия Т U Asg полна в языке Хв. Заметим (полагая 23 — 21),
что всякая подмодельно’полная теория явля модельно полной.
Докажите, что теория Т подмоделъно полна тогда и только
тогда, когда для любой модели 21 теории Т и для всякой конечно
порожденной подмодели 28 cz 21 теория Т (J Д^ является пол-
ной.
3.1.14* . С помощью предыдущего упражнения докажите, что
каждая из пяти перечисленных в упр. 3.1.2 теорий является
подмоделъно полной. Докажите также подмодельную полноту
теории алгебраически замкнутых полей.
3.1.15* . Предполагая, что теория Т вещественно замкнутых
упорядоченных полей модельно полна, докажите ее подмодель-
ную полноту.
[Указание: Пусть 23 —произвольная подмодель некоторой
модели теории Т, и пусть 23 — вещественное замыкание модели 23.
Покажите, что всякое предложение языка Хв, совместимое с тео-
рией Т (J Д^, совместимо и с Т (J Д^.]
3.1.16. Докажите, что теория вещественно замкнутых полей
(без отношения порядка) не является подмоделъно полной.
3.1.17. Докажите эквивалентность следующих утверждений:
(i) Теория Т подмодельно полна.
(ii) Если 21 и 23 —модели теории Т, а 6 —подмодель, обеих
этих моделей, то всякое экзистенциальное предложение, истин-
ное в модели 23с, истинно и в модели 21с-
(iii) Теория Т допускает элиминацию кванторов, т. е. для
всякой формулы ф (х17 ., хп), 1 п, существует такая 2°-фор-
мула ф (гсх, хп), что Т ср <^>ф.
Ю Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
146
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
3.1.18* . Пусть Т —теория в языке с тремя одноместными
отношениями £7, V и W и двумя двуместными отношениями В и S\
которая задается аксиомами, утверждающими, что
множество U U V J W совпадает с универсумом модели;
отношения U. V и W попарно не пересекаются;
отношение R есть одно-однозначная функция, отображающая
U на 7;
отношение 5 есть одно-однозначная функция, отображающая
и и У на W;
всякая модель теории Т бесконечна.
Докажите, что теория Т полна (в действительности она а-катего-
рична во всякой бесконечной мощности а) и модельно полна „
но не является подмодельно полной.
3.1.19. Докажите, что если теория Т имеет модель мощности а,
опускающую тип 5 хг, х3, .), и || X || 0 < а, то суще-
ствует модель теории Т мощности 0, также опускающая тип
2 (^1, #2’ ^3» •)•
3.1.20. Предположим, что теория Т имеет модель, опускающую
тип S (xj, ., хп), и каждая такая модель обладает собственным
элементарным расширением, опускающим этот тип. Докажите, что-
Т имеет модели сколь угодно большой мощности, опускающие
3.1.21. Пусть язык X содержит двуместное отношение
Модель ЭД = .) языка X называется вполне упорядо-
ченной. если отношение вполне упорядочивает универсум А.
Докажите, что если теория Т имеет вполне упорядоченную модель
мощности а и || # || <^ 0 < а, то Т имеет и вполне упорядочен-
ную модель мощности 0.
3.1.22* . Понятно, что условие (ii) в теореме 3.1.12 можно-
заменить более сильным (по крайней мере на первый взгляд)5
требованием:
(ii)i Теория Т обладает множеством аксиом, состоящим только*
из универсально-экзистенциальных (П®-) предложений.
(См. упр. 3.1.8.)
Покажите, что если условие (ii) этой теоремы заменить (при
п 1) условием
(ii)n Т обладает множеством аксиом, являющихся Щ+1-пред-
ложениями,
то ее заключение можно заменить на
(iv)n Всякая формула <р языка X эквивалентна относительно»
теории Т некоторой SX-формуле.
[Указание: Постройте SX-цепь моделей.]
3.2. Приложения элементарных цепей
147
3.1.23* Пусть Т —конечно аксиоматизируемая теория, обла-
дающая в некоторой бесконечной мощности а не более чем конеч-
ным числом неизоморфных моделей. Докажите, что для некоторого
п Q (о всякая формула эквивалентна относительно теории Т под-
ходящей ^-формуле.
3.2. Приложения элементарных цепей
В этом разделе мы рассмотрим некоторые применения элемен-
тарных цепей, демонстрирующие их значение в теории моделей.
Начнем с нескольких примеров «теорем об устойчивости».
Будем говорить, что теория Т устойчива относительно подмоде-
лей^ если всякая подмодель любой модели теории Т сама является
моделью этой теории. Теория Т называется устойчивой относитель-
но объединений цепей, если объединение всякой цепи моделей
теории Т является моделью этой теории. Теория называется
устойчивой относительно гомоморфизмов, если всякий гомоморф-
ный образ любой ее модели сам является ее моделью. Теоремы
об устойчивости представляют собой результаты, в которых харак-
теризуются теории, устойчивые относительно подмоделей, объеди-
нений цепей и т. д. Имеется ряд результатов этого типа. Мы при-
ведем три из них здесь и еще несколько — в гл. 5 и 6.
Таблица 3.2.1
Устойчива относительно
Теория подмо- делей U цепей гомомор физмов
Частичный порядок Да Да Нет
Плотный линейный порядок Нет Да Нет
Булевы алгебры Да Да Да
Атомные булевы алгебры Нет Нет Нет
Группы Нет Да Да
Группы с символом для —X Да Да Да
Коммутативные кольца Нет Да Да
Области целостности Нет Да Нет
Поля Нет Да Нет
Поля и одноэлементные кольца Нет Да Да
Алгебраически замкнутые поля Нет Да Нет
(3 х) у) R (х, у) Нет Нет Да
Арифметика Пеано Нет Нет Нет
ZF Нет Нет Нет
Свойства устойчивости различных известных теорий сведепы
нами в табл. 3.2.1. Замечательно, что эти явления устойчивости
можно объяснить, исходя из одной только синтаксической формы
аксиом рассматриваемых теорий.
Мы будем пользоваться следующей общей леммой.
148 Гл. 3, Дальнейшие теоретико-модельные констпрукции
Лемма 3.2Л. Пусть Т — непротиворечивая теория в языке X,
а Е — множество предложений языка X, замкнутое относитель-
но конечных дизъюнкций. Тогда следующие утверждения эквива-
лентны:
(i) Т обладает таким множеством аксиом Г, что Гс Д.
(ii) Если 21 — модель теории 93 — модель языка X и вся-
кое предложение 6 £ Д, истинное в модели 21, истинно в модели 93,
то 93 — модель теории Т.
Доказательство. Очевидно, что из (i) следует (ii).
Пусть теперь выполнено (ii). Пусть Г — множество всех предло-
жений ф языка X, для которых Т t= ф и ф £ Д. Тогда, очевидно,
Т Г. Покажем, что и Г t Г, откуда следует, что Г —множе-
ство аксиом теории Т. Пусть 93 — произвольная модель для Г.
Определим множество предложений 2 таке
2 = 93 1= 16, бе А}.
Покажем, что теория 2 J Т непротиворечива. Теория Т непро-
тиворечива по условию. Предположим, что теория Т J 2 проти-
воречива. Тогда найдутся такие предложения 16j, . П6П е
е 2, п > 1, что Т t= "I (~]6Х Л Л ~]6П)- Поэтому
Т t= 6Х V V 6П.
Но поскольку множество Д замкнуто относительно операции V,
то 6Х V • • V 6П е А, а потому 6Х V V 6Л £ Г и
93 t= 6Х V V 6П.
Но это противоречит тому, что 98 t= Д6Х, ., 93 t= ~]6П. Значит,
теория S J Т непротиворечива и, следовательно, имеет модель 21.
Тогда всякое предложение 6 £ Д, истинное в 21, должно быть
истинным и в 93, потому что в противном случае (Д6) £ 2. -]
Наша первая и простейшая теорема об устойчивости, приво-
димая ниже, опирается лишь на теорему компактности, обходясь
без использования элементарных цепей.
Теорема 3.2.2. Теория Т устойчива относительно подмоделей
тогда и только тогда, когда она обладает множеством универ-
сальных (т. е. П®-) аксиом.
Доказательство. Легко проверяется, что если Т обла-
дает множеством универсальных аксиом, то она устойчива отно-
сительно подмоделей. Пусть теперь дано, что Т устойчива отно-
сительно. подмоделей. Применим лемму 3.2.1, приняв за Д мно-
жество всех предложений, эквивалентных П?-предложениям. Рас-
смотрим такие две модели 21 Т и 93, что всякое истинное в 21
универсальное предложение истинно и в 93. Тогда всякое экзистен-
3.2. Приложения элементарных цепей
149
циальное предложение, истинное в 28, истинно в 21. Рассмотрим
теорию Т' = Т U Дф в языке Хв, где, Д$ — диаграмма модели 23.
Теория Г' непротиворечива, так как для любого конечного мно-
жества
{®1 (&1, ^n)’ (&1> bn)} cz Д$3
экзистенциальное предложение
£n) (0j (^1} %п) Л А 0т ^п))
истинно в модели 28, а потому и в модели Я, и, следовательног
оно совместимо с теорией Т Пусть ©' = ©в —модель’теории Т'
Модель 28 является подмоделью модели 6, а сама очевидно,—
моделью теории Т. Поэтому и 23 — модель теории Т. Согласно
лемме 3.2.1, Т имеет множество универсальных аксиом. —|
В следующей теореме об устойчивости уже применяются эле-
ментарные цепи.
Теорема 3.2.3. Теория Т устойчива относительно объединений
цепей тогда и только тогда, когда Т обладает множеством уни-
версально-экзистенциальных (т. е. IIJ-) аксиом.
Доказательство. (ч=). Эта импликация доказывается
просто. Пусть Г —множество Щ-аксиом теории 7, и пусть 21р,-
Р < а,— цепь ее моделей. Положим 21 = (J 21р. Рассмотрим
6<а
входящее в множество Г предложение
V = (Vxx . . . хт3уг уп) (Xj, хт, У1, . . уп),
формула ф| уже не содержит кванторов. Каждая модель Эр
является моделью для у. Пусть аг, ., ат £ А. Для некоторого
Р < а имеем ат £ А р. Тогда существуют такие &1Э
• • м Ьп 6 А р, что
ЭДр Ф 1^1, ^1» • • •» W*
Отсюда следует, что
ЭД Ф • • М ^1? • • •♦
а потому у выполняется в модели 2L Значит, 21 —модель для Г
и, следовательно, для Т
(=>). Пусть теперь дано, что теория Т устойчива относительно
объединений цепей. Обозначим через Д множество всех предложе-
ний, логически эквивалентных П°-предложениям. Множество А
замкнуто относительно конечных дизъюнкций. Пусть 21 и 28 —
такие модели, что 21 t= Т и всякое Щ-предложение, истинное
в модели 21, истинно и в 23. Тогда всякое -предложение, истин-
150
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
ное в 93, истинно в ЭД. Докажем следующее утверждение:
(1) Существуют такие модели ЭД' и ЭВ', что 2} cz ЭД', ЭД'cz 93',
23 •< 93' и ЭД = ЭД'
Чтобы доказать (1), для каждого b £ В введем по новой константе
съ. образовав тем самым модель 93в и язык X в. Пусть Т± —
полная теория модели ЭД в языке X, а Т2 — множество всех
универсальных предложений языка X в. истинных в модели 93 в.
Теория Тг U Т2 непротиворечива, так как Т2 замкнута (с точ-
ностью до эквивалентности) относительно конъюнкций и, каково
бы ни было предложение ф (?&*, теории Т2, ^-предло-
жение (3i/i • . . уп) ф истинно в 93, а потому и в ЭД. Пусть
ЭДЬ=(ЭД\ Ъ)Ь£В
— модель теории U Т2. Тогда ЭД = ЭД' и 93 сс ЭД'. Кроме того,
всякое универсальное предложение языка X в, истинное в 93 в,
истинно и в ЭДв, а потому всякое экзистенциальное предложение,
истинное в ЭДЬ, истинно в 93в- Обогатим используемый нами
язык еще более, добавив к нему по новой константе са для каждо-
го элемента Тогда теория
£>№) и ть (ззв)
(т. е. диаграмма модели ЭДв, объединенная с элементарной диаг
рамной модели 93в) непротиворечива. Следовательно, она имеет
модель (93', я)аед'. Тогда ЭД' cz 35' и 93 < 23', и (1) доказано.
Итерируя построение (1), получаем такую цепь
93 ~93О gz ЭД1 cz 93i cz ЭД2 <=.
что для каждого п
ЭДпэЭД и 93п < ЗЗп+1
Пусть ЭД о — объединение этой цепи. Поскольку каждая из ЭДП —
модель теории Т ЭД^ также является моделью для Т Модель ЭД^,
однако, в то .же время служит объединением элементарной цепи
«о < 931 < «2 < • • •
Поэтому, в силу теоремы об элементарных цепях, 93О -< ЭД^,
и, следовательно, 98 = 33О —также модель теории Т. По лем-
ме 3.2.1 заключаем, что Т имеет множество Щ-аксиом. Н
Формула ф называется позитивной^ если она построена из атом-
ных формул с использованием только связок Л и V и кванторов
V и 3.
3.2. Приложения элементарных цепей
151
Теорема 3.2.4. Непротиворечивая теория Т устойчива отно-
сительно гомоморфизмов тогда и только тогда, когда она обладает
множеством позитивных аксиом.
Доказательство. (<=). Сначала докажем более простую
часть теоремы. Формула ф (хг, ., х^) называется устойчивой
относительно гомоморфизмов, если для всякого гомоморфизма /
модели 21 на модель 23 и для любых элементов аг, ап £ А
из условия 21 ф [ax, ап} вытекает, что 23 ф [/ах,
Достаточно показать, что все позитивные формулы ф устойчивы
относительно гомоморфизмов. Это делается с помощью индукции
по сложности формулы ф. Утверждение очевидным образом вер-
но, если ф — атомная формула; оно сохраняется также при шаге
индукции, на котором вводятся связки V и Л Предположим
теперь, что формула ф (х, хг, ., яп) устойчива относительно
гомоморфизмов. Пусть вначале дано, что 21 t= (Зя) ф [ах, ап].
Тогда для некоторого элемента а £ А имеем 2t ф [а, аг, ап],
5b ф [/а, /ах, ., /ап], а потому 93 t= (Зя) ф [/ах, ., /аЛ].
Пусть теперь дано, что 21 1= (Уя) ф [ах, . ., ап\. Пусть Ъ —
произвольный элемент множества В. Тогда Ь = fa для некоторого
а С А. Теперь 21 t= Ф [а, а±, . ., ап], 23 1= ф [Ь, fa±, fan]
и, следовательно, 93 (Уя) ф lfa1, ., fan]. Поэтому и фор-
мулы (Зя) ф и (Уя) ф оказываются устойчивыми относительно
гомоморфизмов.
(=>). Докажем теперь более трудную часть теоремы. Пусть
выражение 21 pos 23 означает, что всякое позитивное предложе-
ние, истинное в модели 21, истинно и в 23. Сначала докажем, что
(1) если 21 pos 23, то существуют элементарное расширение
93' модели 23 и вложение /: 21 23' такие, что
(91, я)а£А POS (93', /а)абА.
Для этого добавим к рассматриваемому языку новые константы
са. a £ А, и db, Ъ £ В. Пусть Т\ —множество всех позитивных
предложений языка X (J {са а£А}, истинных в модели 21А,
а Т\ —множество всех предложений языка X (J {db Ъ £ В},
истинных в модели 23в. Теория 7\ J Т2 непротиворечива, так как
21 pos 93. Пусть (23', a', &)aGA, bQB — модель теории Т\ U ?2;
из определения теории Г2 явствует, что 93' >* 58. Пусть / —
вложение, определяемое равенством / {а) = а'\ определение тео-
рии показывает, что (21, а)аеa P°s (93',/л)а£А.
С помощью аналогичного рассуждения доказывается следую-
щее двойственное по отношению к (1) утверждение:
^2) если 21 pos 93, то существует элементарное расширение
2Г модели 21 и отображение] g: В Л', такие, что
(2Г, gb) ьев pos (93, Ь)ъев.
152
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Пусть теперь 210 и 23О — такие модели, что ?I0 t= Т и 2I0 pos $В0.
Итерируя построения (1) и (2), мы получим диаграмму
удовлетворяющую условиям
(Я0, я)а£Ао (231» /(j^)aE-Ao’
(ЭД1? Л, ^1^)а£Ао» &Е-В1 pOS (231» ^)а£Ао. ЬЕ-Вц
(ЭДь a, gib, а')а£А(>, Ь£В1. аЧ£А1 pos (232, /оа? М^аЕАо, Ь£В1. a'E^i
и так далее. Отсюда следует, что при всяком п отображение fn —
гомоморфизм модели 21п в модель 23п-ы и
fn /п+1» gn+i fn+i*
Обозначим через 2I©= (J 21п? 23©= U объединения
fl«D 71<©
соответствующих элементарных цепей и положим /© = (J fn~
п«о
Тогда /© — гомоморфизм модели 21© на модель 23© (/© отобра-
жает множество Л© на множество так как gn1 <= /© при
всяком п). Согласно теореме об элементарных цепях, 21© > 210»
98© > 23О, откуда следует, что 21© — модель теории Т Но Т
устойчива относительно гомоморфизмов, так что S3© 1= Т, а пото-
му и 25О Т. Следовательно, по лемме 3.2.1 теория Т обладает
множеством позитивных аксиом. —)
Эти три теоремы об устойчивости служат объяснением к табл.
3.2.1. Обычные формулировки аксиом оказываются универсаль-
ными предложениями в случае теорий, устойчивых относительно
подмоделей, П°-предложениями—для теорий, устойчивых отно-
сительно объединений цепей, и позитивными предложениями —
для теорий, -устойчивых относительно гомоморфизмов. Попытай-
тесь выписать соответствующие аксиомы и убедитесь в этом сами.
Каждая из теорем об устойчивости имеет также формулировку,
относящуюся к одному предложению.
Следствие 3.2.5. Предложение устойчиво относительно (а) под-
моделей, (Ь) объединений цепей, (с) гомоморфизмов тогда
и только тогда, когда оно логически эквивалентно некоторому (а)
универсальному, (Ь) универсально-экзистенциальному, (с) пози-
тивному или логически ложному предложению соответственно.
3,2, Приложения элементарных цепей 1531
Доказательство. Докажем в качестве иллюстрации
утверждение (а). Всякое универсальное предложение устойчиво
относительно подмоделей. Пусть, обратно, дано, что предложение <р
устойчиво относительно подмоделей. Тогда теория Т = {<р} обла-
дает множеством Г универсальных аксиом. Имеем Г <р, так что
по теореме компактности существуют такие предложения
., уп е Г, что л л уп t= ф. Существует универсальное
предложение у, эквивалентное предложению л л уп. Отсю-
да у ф. Но так как Г у, получаем, что ср t= у, а потому пред-
ложение ф логически эквивалентно предложению у. Ч
Теперь мы двинемся в другом направлении, имея в виду обоб-
щение теоремы Лёвенгейма — Скулема — Тарского, в котором
речь пойдет о двух кардиналах. До конца этого раздела мы будем
работать только со счетными языками.
Вспомним, что в гл. 2 мы назвали счетно-насыщенной всякую
счетную модель И, являющуюся со-насыщенной, т. е. такую, что
для любого конечного множества X с: А модель (Й, а)а^х реали-
зует все типы S (х) своей теории. Мы также доказали важную
теорему 2.3.7, утверждающую, в частности, что если полная
теория Т (являющаяся счетной) имеет не более счетного множества
типов, то Т обладает счетно-насыщенной моделью. Ниже мы даем
для этого результата другое, использующее элементарные цепи,
доказательство.
Предложение 3.2.6. Пусть Т — полная теория в счетном
языке X. Предположим, что Т при всяком п содержит не более
счетного множества типов от п переменных. Тогда теория Т
имеет счетно-насыщенную модель.
Доказательство. Пусть 31 — произвольная счетная
модель. Ее элементарное расширение 98 > называется счетно-
насыщенным над Я, если модель 98 счетна и для любого конечного
множества У cz А всякий тип Г (х) теории Th (Sly) реализуется
в модели 98у.
Пусть теперь ?[0 — некоторая счетная модель теории Т
Мы отыщем некоторое ее элементарное расширение SIj, являю-
щееся счетно-насыщенным над 210.
Пусть X cz Ао — конечное множество, и пусть S (х) —произ-
вольный тип от переменной х теории модели (210, л)аех. Поскольку
имеется не более счетного множества типов теории Т, существует
не более счетного множества типов S (х) и теории модели (?I0, о)а^х*
А так как множество Ао имеет лишь счетное число конечных
подмножеств X, число всех таких типов S (х) оказывается также
не более чем счетным. Введем для всякого такого множества
X cz Ао и типа S новый константный символ Положим
454
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
TQ = (элементарная диаграмма модели 210 в языке X J
U {са a g Ао}) U {2 (csx) X —конечное подмножество
множества Ло, a 2 (х) —тип теории модели (й0, a)agx}.
Стандартное рассуждение показывает, что всякая конечная под
теория теории То непротиворечива. Следовательно, и теория Zo
непротиворечива в счетном языке X [} {са а 6 Ло} U
Пусть 25Х —произвольная счетная модель теории и пусть
21г —обеднение модели до модели языка X. Мы можем считать,
что 211 является элементарным расширением модели 210* Тогда
модель 211 оказывается счетно-насыщенной над 210- Теперь
мы повторим описанную процедуру, отправляясь от модели 21х,
и получим счетное элементарное расширение 212 модели 211,
счетно-насыщенное над 211, и т. д.
Рассмотрим элементарную цепь
2Io<?Ii <212<...
и положим 21 = (J 21п- Очевидно, что 21 — также счетная
n£(i)
модель теории Т Мы утверждаем, что 21 является со-насыщенной
моделью. Пусть X —некоторое конечное едмножество множе-
ства А>= U Ап. Существует такое числом, что X с: Ап. Пусть
2 (х) — произвольный тип теории модели (21, а)аЕх- Тогда,
в силу условия (21п, а)а£х -< (й, 2 (х) является типом
теории модели (J[n, a)ecz. Отсюда следует, что некоторый элемент
6 G А п+1 реализует тип 2 в модели (2U+i, ^)а^х- X потому элемент
Ъ реализует тип 2 в модели (21, |
Отметим, что описанная выше конструкция приводит к счетно-
насыщенному элементарному расширению произвольной счетной
модели теории Т только при условии, что Т имеет не более счет-
ного множества типов. В случае когда их в теории Т имеется
несчетное множество, это построение не проходит. Однако оказы-
вается, что практически та же конструкция всегда приводит
к счетному элементарному расширению, обладающему несколько
более слабым, но тем не менее полезным свойством.
Модель 21 называется ^-однородной, если для любых после-
довательностей элементов ., ап+1 и 6Х, ., Ьп множества А
из условия (21, ап) = (2П Ь1Ч Ъп) следует суще-
ствование такого элемента Z?n+1 $ А, что (21, ar, ^n+i)
== (21, Й1, &n+i)- Как и в случае со-насыщенных моделей,
введенное понятие ш-однородной модели допускает естественное
обобщение на бесконечные кардиналы а. Сейчас, однако, мы огра-
ничимся счетными моделями. Модель называется счетно-однород-
ной, если она является одновременно счетной и со-однородной.
3.2. Приложения элементарных цепей
155
Предложение 3.2.7. Всякая счетно-насыщенная модель является
счетно-однородной. Всякая счетная атомная модель также являет-
ся счетно-однородной.
Доказательство предоставляем читателю в качестве
упражнения.
Полная теория модели (со, > служит нам прекрасным при-
мером. Ее модели — это в точности модели, получающиеся в ре-
зультате присоединения к концу упорядочения (со, линейно
упорядоченного множества, состоящего из экземпляров упорядо-
чения (Z, где Z —множество целых чисел. Эта теория имеет
ровно три счетно-однородные модели. Первая из них — атомная
модель (со,<^>. Другая —счетно-насыщенная модель, образован-
ная присоединением к концу упорядочения (со, счетного
плотного множества экземпляров упорядочения (Z, >. Третья
получена присоединением лишь одного экземпляра (Z, ) к кон-
цу (со, ). Простейшая неоднородная модель состоит из (со,
и двух экземпляров (Z, > вслед за ним. Элемент а из первого
экземпляра реализует тот же тип, что и элемент Ъ из второго,
но не существует такого элемента с, чтобы пара <&, с} реализо-
вала тот же тип, что и (а, Ь).
С другой стороны, всякая счетная модель теории алгебраиче-
ски замкнутых полей является счетно-однородной.
Теорема 3.2.8. Всякая счетная модель имеет счетно-однородное
элементарное расширение.
у Доказательство. Как и раньше, мы начнем с произ-
вольной счетной модели Яо. Построим такое счетное элементарное
расширение Six модели St0, что для любых конечных последо
вательностей элементов аь . ., и Ъ±, ., Ъп множества Ао
из условия (?[0, ах, ап) == (?10, Ь1? Ьп) вытекает суще-
ствование такого элемента fen+1 £ А1? что aL, . ., ап+1)
= (STn &п+1)- Положим = X и {са : a £ 40}. Для
любых двух последовательностей и , Ъп
из множества Ао, удовлетворяющих условию (Sig, а±, ап) =
= (SU &i, Ьп), введем новую константу с и тип
S (с&1 съп. х) в теории (ST0, bn) так, что
Sig 1= S [<Хх» • ♦ Яп4-1).
Пусть S (с) — совокупность всех предложений S (съ^
a TQ — объединение элементарной диаграммы модели SI0 в язы-
ке X' со всеми совокупностями 2 (с) предложений, полученными
указанным выше способом. Поскольку множество всех конечных
последовательностей из Ао счетно, счетным будет и множество Го.
Обычное рассуждение показывает, что теория непротиворечива.
156
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Пусть SSj —произвольная счетная модель теории То и 311 —
обеднение этой модели до модели языка X. Мы вновь можем
считать, что 311 является счетным элементарным расширением
модели ЗГ0- Должно быть очевидным, что 31т—элементарное
расширение модели 310, удовлетворяющее поставленным в начале
доказательства условиям. Повторяя эту процедуру, мы получим
элементарную цепь
ЗГ0 < 211 < 312 <
и положим 31 = U 31п» Модель 31 — счетное элементарное рас-
n£(D
ширение модели 310. Пусть а±, an+i и Ъп —такие
последовательности элементов из Л, что (31, а1? ., ап) =
== (31, bi, Ьп). Пусть т настолько велико, что at, bj
для всех указанных элементов. Тогда (3Im, fli, an) =
== (3lm, Ьп), откуда следует существование такого &п+1 6
€ Ат+1, что (2[m+i, а17 ап+1) = Ь17 bn+1). Отсю-
да получаем (Я, alt ап+1) = (Я, blf bn+1). -J
В следующем предложении перечисляются некоторые простые
свойства счетно-однородных моделей.
Предложение 3.2.9.
(i) Пусть 31 —счетно-однородная модель, и пусть аг, ., ап
и Ьп — такие последовательности элементов, что
(Я, а1( ап) = (й, Ъг, . Ьп). Тогда существует автомор-
физм модели 31 (на 31), отображающий at на bt при всех 1 i п.
(ii) Объединение любой счетной элементарной цепи счетно-
однородных моделей есть счетно-однородная модель.
(iii) Счетно-однородные модели изоморфны тогда и только
тогда, когда они реализуют одно и то же множество типов в языке
X (от конечного числа переменных).
(iv) Объединение любой счетной элементарной цепи попарно
изоморфных счетно-однородных моделей изоморфно каждому члену
этой цепи.
Доказательство, (i) Доказательство этого пункта,
состоящее в несложном применении челночной конструкции, мы
относим в упражнения (упр. 3.2.8).
(ii) и (iii) доказываются непосредственно и также отнесены
в упражнения.
(iv) Пусть 31а, р,— такая цепь, и пусть 31 = (J 31а•
а<0
Тогда, в силу (ii), модель 31 счетно-однородна. Легко видеть,
что произвольный тип реализуется в модели 31 тогда и только
тогда, когда он реализуется в некоторой модели 81а. Поскольку
все модели 31а изоморфны, они реализуют в точности те же типы»
что и 31. Согласно (iii), 31а = 31.
3.2. Приложения элементарных цепей
157
Докажем теперь один результат, который будет использован
нами позже, но представляет интерес и сам по себе. Напомним,
что обозначение 93 > ЭД выражает тот факт, что модель 93 есть
элементарное расширение модели ЭД, т. е. что ЭД < 93.
Предложение 3.2.10. Пусть ЭД0 — счетная модель, а 23О —
элементарная подмодель модели ЭД0. Тогда модель (ЭД0, Во) имеет
такое элементарное расширение (ЭД, В), что модель ЭД счетно-
однородна, а множество В определяет некоторую элементарную
подмодель 98 модели ЭД, для которой ЭД = 93.
Доказательство. Условимся рассматривать (ЭД0, Во)
как модель языка X (J {Р}, где Р — новый одноместный преди-
катный символ. Для каждого типа 2 (хх, хп) теории модели
ЭД0 положим
S (Хц • • м хп) = 2 (#х, • • «9 Хп) U {Р (^1)? • • «9 Р
Всякий реализуемый в модели ЭД0 тип 2 (#х, . ., хп) совместим
с теорией модели 93<ь и, поскольку 93О -< ЭД0, получаем, что
2Р (ях, ., хп) совместим с теорией модели (ЭД0, 50). В модели
ЭД0 реализуется лишь счетное множество типов 2 (хх, ., хп).
Поэтому существует такое счетное элементарное расширение
(ЭД* В') > (ЭД0, Bq), что для всех типов 2 (жх, хп) имеем
(1) если модель ЭД0 реализует тип 2, то модель (ЭД', В')
реализует 2Р.
Из доказательства теоремы 3.2.8 выводится существование
такой модели (ЭДХ, Вг) > (ЭД', В'), что SIj и 93х счетно-однородны.
Очевидно, для всех типов 2 (хх, ., хп) утверждение (1) справед-
ливо и для модели (ЭДХ, Вг). Пусть 98х — подмодель модели ЭДХ,
определяемая множеством Вг. Поскольку (ЭДХ, Вх) = (ЭД0, Во)
и 93О -< ЭДо» получаем, что 93х -< ЭДХ. Понятно, что 98х реализует
тип 2 тогда и только тогда, когда модель (ЭД1? Рг) реализует 2Р
Итак, всякий тип 2 (rrj, . хп), реализуемый моделью ЭД0,
реализуется также моделью 93v Повторяя этот процесс, мы полу-
чим счетную элементарную цепь
(Яо, Bq) < (ЭДХ, В^Х ... .
При всяком п обозначим через 93п подмодель модели ЭДП, опреде-
ляемую множеством Вп. Тогда модели нашей цепи обладают при
всяком п следующими свойствами:
модели ЭДП и 93п счетно-однородны
и
(2) всякий тип 2 (хх, , хъ), реализуемый в модели
ЭДП, реализуется в модели ®п+х.
158
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Пусть (31, В) = U (Ип, Вп), и пусть S3 — подмодель модели
П<(1)
21, определяемая множеством В, Согласно предложению 3.2.9 (ii),
модели 21 и 23 будут счетпо-однородными. Далее, (21, В) > (21п>
Вп) при всяком п и, в частности, (21, В) > (210, Во), Поэтому
25 -< 21. Отсюда следует, что всякий реализуемый в модели 2J
тип реализуется и в 21- С другой стороны, если тип S (х1У ., Хъ)
реализуется в модели 21, то он реализуется и в 21 п при подходя-
щем значении п, значит, согласно (2), он реализуется в модели
23n+2, а потому и в 23. Применяя теперь предложение 3.2.9 (iii),
получаем, что 21 и 25 изоморфны. —|
Следующее приложение элементарных цепей относится к од-
ному аналогу теоремы Лёвенгейма — Скулема — Тарского.
Вспомним, что если теория Т (в счетном языке X) имеет бесконеч-
ную модель, то Т имеет бесконечные модели любых мощностей.
Таким образом, никакая теория Т не может уловить различие
между бесконечными кардиналами. Зададимся теперь вопросом,
может ли теория Т обнаружить различие между парами бесконеч-
ных кардиналов в следующем смысле. Пусть язык X содержит одно-
местный предикатный символ U, Пусть 21 — модель языка X,
а V — интерпретация символа U в модели 2L Мы можем, таким
образом, писать 21 = (Л, V, . .). Будем говорить, что 21 яв-
ляется (а, $)-моделью, если | А | = а, | V | = р. Скажем, что
теория Т допускает пару кардиналов (а, Р), если Т обладает (а, Р)-
моделью. Вопрос состоит в следующем:
если теория Т допускает пару (а, р), то какие еще пары
(а', Р') должна она допускать?
Следующее предложение перечисляет все те простые свойства
таких пар, которые удается доказать с помощью уже сейчас имею-
щегося в" нашем распоряжении аппарата. Сначала введем некото-
рые обозначения. Определим хп (а) следующим образом с помо-
щью индукции по п: х0 (а) = а, хп+1 (а) = [кп (а)]+ г). Анало-
гично определяется и (а): (а) =а, 2п+1 (а) = 2^п(а).
Предложение 3.2.11. Пусть Т — теория в счетном языке X,
а а, р, у — бесконечные кардиналы. Тогда
(i) Теория Т, допускающая пару (а, Р), допускает и всякую пару
(у, р), где а > у > р.
(ii) Если Т допускает пару (а, р), то она допускает все пары
(?, ?)•
(iii) Для всякого п £ со существует теория Т, допускающая вся-
кую пару (2П (а), а) и не допускающая никакой пары (Зп (а)+, а).
х) Здесь через а+ обозначен наименьший кардинал, следующий за а.—
Прим, перев.
3.2. Приложения элементарных цепей
15$
(iv) Для всякого п £ со существует теория Т, допускающая лю-
бую пару (хп (а), а) и не допускающая ни одной пары (а), а)*
Доказательство, (i) Пусть 51 = G4, У, . .) — мо-
дель теории Т, удовлетворяющая условиям | А | = а и | V ] = 0.
Пусть кардинал у таков, что а у 0. Пусть, наконец, X —
произвольное подмножество множества А, для которого | X | = у-
и V cz X. Модель 91 имеет такую элементарную подмодель $8 =
= {В, W, .), что В zd X и | В | = у. Поскольку W — V Q
f] В — У, получаем, что | W | = 0.
(ii) Мы уже знаем, что, в силу (i), теория Т допускает пару
(0, 0). Пусть, скажем, 51 = (Л, У, . . — модель теории Г,
удовлетворяющая условиям | Л ] = ] У ] = 0. Положим X' =
= X J {F}, где F — новый одноместный функциональный сим-
вол. Пусть Т' — теория в языке X’, состоящая из всех предложе-
ний теории Т и еще одного предложения, гласящего, что F является
одно-однозначным отображением универсума Л на множество У
Теория Т’ непротиворечива и имеет бесконечную модель, а именно
обогащение 51' — (Я, G), где G — произвольная одно-однознач-
ная функция, отображающая Л на У. По теореме Лёвенгейма —
Скулема — Тарского теория Т' имеет модель во всякой бесконеч-
ной мощности у. Очевидно, что «55-обеднения этих моделей теории
Т' являются (у, у)-моделями теории Т.
(iii) Продемонстрируем доказательство этого пункта для слу-
чая п = 1. Предположим, что язык «55 содержит двуместный пре-
дикатный символ Е и одноместный предикатный символ U. Рас-
смотрим следующие предложения языка X:
(Уху) (х s (Vz) (Е (z, х)++Е (z, i/))),
(V^) (П ВД (Vy) (Е (у, х) -+Ю (у))).
Эти предложения гласят, что всякий не входящий в множество U
элемент х определяет с помощью множества всех у, для которых
выполняется Е (у, х), некоторое подмножество Ux множества U,
причем Ux =^= U у, если только х у. Минутное размышление
убеждает нас, что если интерпретация множества U в модели
имеет мощность а, то мощность самой модели не может быть боль-
ше, чем 2а. Отсюда видно, что теория Г, задаваемая двумя указан-
ными выше предложениями, будет допускать пару (а), а)
при любом кардинале а, но не будет допускать никакую пару
(31 (а)+, а). Итерация этих рассуждений позволяет доказать пункт
(iii) полностью.
(iv) Доказательство этого пункта мы оставляем читателю,
хотя оно и требует несколько более тонких рассуждений, чем
доказательство пункта (iii). Н
Теорема 3.2.12. Если счетная теория Т допускает пару (а,0)^
а > 0 (о, то она допускает и пару (©!, <о).
160
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Доказательство. Пусть ЭД = <4, У, ) — такая
модель теории Т, что | А | = а, | V | = р. В силу теоремы 3.1.6,
существует элементарная подмодель 33 модели ЭД, удовлетворяю-
щая условиям В о V и | В | = р. Пусть Т' — теория модели
(ЭД, В). Она имеет счетную модель, и по предложению 3.2.10
найдется такая модель (ЭД0, BQ) теории Т', что ЭД0 — счетно-
однородная модель, 98О -< ЭД0 и 38О = ЭД0. Заметим, что, поскольку
В — собственное подмножество множества А, то и Во является
собственным подмножеством множества 40. Отметим также, что
интерпретацией одноместного предикатного символа U как в мо-
дели 33О, так и в модели ЭД0 служит одно и то же множество W
А так как ЭД0 = 23О, множество W рассматриваемым изоморфиз-
мом одно-однозначно отображается на себя. Построим теперь
такую элементарную цепь счетных моделей 98g, | £ (Oj, что 28g =
= 23О при всяком £ и интерпретацией символа U в каждой модели
93g служит множество W. Предположим, что цепь 38g уже по-
строена для £ < т|. Если т) = £ + 1, то, поскольку 38g 38О -<
-< ЭД0, принимаем за 33g+! некоторое элементарное расширение
модели £8g, для которого (SSg-f-n 5g) = (ЭД0, 50). Этим обеспечи-
вается выполнение соотношения 33g+! & 23О, причем множество W
остается интерпретацией символа U и в модели SSg+p Пусть те-
перь ц — предельный ординал, ц < (ох. На основании предложе-
ния 3.2.9 (iv) заключаем, что [J 38g ~ ЗЗо» и потому полагаем
£<Т|
33п = U Процесс индуктивного построения закончен.
s<n
Поскольку 50 — собственное подмножество множества 40, каж-
дое В g строго содержится в В g+i. Поэтому модель ЯЗ-р имеет
Т]«й1
мощность (Ор Очевидно, что интерпретацией символа U в этой мо-
дели служит ТУ. Таким образом, теория Т допускает пару (шх, со). —I
Из только что законченного доказательства можно извлечь
еще один факт, формулируемый ниже в виде следствия.
Следствие 3.2.13, Пусть Т — счетная теория, обладающая
такими моделями
ЭД = <4, V, . . . > и 38 = (В, V, . .
что 38 — собственная элементарная подмодель модели ЭД, а мно^
жество V бесконечно и служит в ЭД и в 38 интерпретацией одного
и того же символа. Тогда Т допускает пару (сох, со).
Аналогом теоремы Лёвенгейма — Скулема — Тарского о по-
нижении мощности служит в случае двух кардиналов следующее
предложение, известное как гипотеза Чэна:
Всякая модель типа (а, Р), где со |3 < а, имеет элемен-
тарную подмодель типа (сор со).
3.2. Приложения элементарных цепей
161
В гл. 7 мы увидим, что это утверждение не может быть дока-
зано в ZFC х) и может быть опровергнуто при наличии аксиомы
конструктивности. Следующая теоремд занимает промежуточное
положение между теоремой 3.2.12 и гипотезой Чэна. Ее доказатель-
ство опирается на теорему об опускании типов.
Теорема 3.2.14. Пусть 21 (Л, У, ) — модель, для кото-
рой со | У | < | А |. Тогда существуют такие модели 23 =
= {В, W, . .) и 6 - {С, W, ), что 23 <21, | В | = со»
23 < © и | С | = юр
(Подчеркнем, что множество W в моделях 23 и 6 — одно и то
же.)
Доказательство. Согласно теореме Лёвенгейма — Ску-
лема — Тарского о понижении мощности, мы можем считать, что
| Л | = | У |+, так что | А | — регулярный бесконечный карди-
нал. Пусть множество А вполне упорядочено отношением по
типу \ А |, причем можно считать, что множество У образует при
этом вполне-упорядочении начальный сегмент типа | У |. Пусть
аг, • , ап £ А. Заметим, что в модели (21, <С) имеет место сле-
дующее обстоятельство: если существуют такие сколь угодно боль-
шие a g А, что для подходящих b £ V справедливо 21 ф [&, а,
а19 aj, то существуют такой фиксированный элемент b £ V
и такие сколь угодно большие а £ А, что 21 1= ф lb, а,
. . ., ап]. Это происходит в силу регулярности кардинала |Л |.
Иными словами, в модели (21, справедливо следующее пред-
ложение (гдеф (х, у, щ, vn) — произвольная формула языка #):
(1) (Vvi vn) [(Vzlyx) (z<^y \U (x) лф(ж, у, vn))-+
(BxVzBy) (z<y \ U (x) \ ф (x, y,Vi, ..., vn))].
Переходим теперь к доказательству важнейшего этапа в нашей
теореме:
(2) всякая счетная модель (23О, <^0) = (21, <С) обладает таким
собственным счетным элементарным расширением (23х, <^),
что символ U имеет в моделях 230 и 2Sj одну и ту же интер-
претацию.
Итак, пусть 23О = (Во, W, ) — такая счетная модель,
что (23О, <^0) = (21, Заметим, что множество Во не обязательно
вполне упорядочивается отношением <С0. Построим обогащение
X' языка X, добавляя к последнему символы с} и {сь Ь £
g Bq}. Определим теорию Т как объединение элементарной диа-
граммы модели (25О, <0) и совокупности всех предложений {съ <
г) То есть в теории ZF с присоединенной к ней аксиомой выбора.— Прим,
персе.
И Г KcV.iep. ч.
162
Гл. 3, Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
< с b £ #о}- Пусть 2 (х) — множество формул {U (я)} |J
U {х ф съ : Ъ £ (У}. Попытаемся найти модель теории Г, опуска-
ющую множество 2. Заметим, во-первых, что Т — непротиворе-
чивая теория в счетном языке, поскольку, если дана произволь-
ная конечная подтеория теории Г, то можно указать интерпрета-
цию символа с в модели (58О, <^0), расположенную (относительно
упорядочения <^0) дальше, чем все те элементы Ь £ для кото-
рых соответствующие символы съ фигурируют в этой конечной под-
теории. Проверим, во-вторых, что
теория Т локально опускает множество 2.
Пусть 58* — обогащенная модель (58О, Ь)ъ$во- Заметим
сначала, что произвольная формулаф с) языка X' совместима с
теорией Т тогда и только тогда, когда ф (у) выполняется на
сколь угодно больших элементах из 58J, т. е. когда
S3; 1= (Vx3y) (х<г/ Л (г/)).
Предположим, что формула (Зя) 6 (я, с) совместима с теорией Т.
Тогда или
(3) формула ( Зя) (0 (я, с) Л *"] U (я)) совместима с Г,
или
(4) формула|(3 я) (0 (я, с) Л U (я)) совместима с Т.
Если имеет место (3), то мы тем самым нашли в совокупности
2 такую формулу а (я), что формула 0 (я, с) л *"| а (я) совместима
с теорией Т. Так что предположим, что имеет место (4). Тогда
58? 1= (УгЗуя) (z^y л U (я) л 0 (я, у)).
Имея в виду эквивалентность моделей (58О, <10) и (ЭД, <1), а также
используя утверждение (1), получаем, что
33J 1= (ЗяУгЗу) (zCу л U (я) д 0 (я, у)).
Тогда для некоторого b£W
S3? 1= (Vz3y) (z^y л U (cb) л 0 (сь, у)),
откуда
58? t (Vz3y) (z^y \ (Зя) (0 (я, у) л я = съ)).
Отсюда видно, что формула (3 я) (0 (я, с) д я = сь) совместима
с теорией Т. Но формула я =^= сь принадлежит совокупности 2,
и, значит, мы доказали, что Т локально опускает 2.
В силу теоремы об опускании типов, теория Т имеет счетную
модель 58', опускающую 2. Обеднение модели 58' до модели языка
модели (58О, Со) есть такая модель
Со),
3.2, Приложения элементарных цепей
163
что найдется хотя бы один элемент Ъ £ причем и в 83О,
и в ЯВд символ U интерпретируется как множество W. Таким
образом, (2) доказано. Построим теперь упорядоченную по типу
элементарную цепь счетных моделей (83 < ©и такую, что
(83$, = (Я, <С) и S3g+i\831 Ф 0 при всяком |, причем интер-
претацией символа U в каждой модели 83 служит множество W.
Тогда23= U 235 — модель теории Т, удовлетворяющая усло-
ВИЯМ | В | = (Dj и | W | = (0.
Приведем пример, показывающий, что фигурирующая в теоре-
ме 3.2.14 модель 83 не может быть произвольной счетной элемен-
тарной подмоделью модели §1 , т. е. что эта теорема не допускает
следующего усиления*.
если ?! = (Л, V, .) — модель типа (а, 0), где (о 0 <
< а, то всякая счетная элементарная подмодель 83 =
= (В, W, . .) модели 31 имеет элементарное расширение
6 = (С, W, .) мощности (£>! с тем же множеством^W.
Пусть модель И = (Л, V, F1? У2, Е, F) построена следующим
образом (сначала нарисуем картинку, а затем объясним детали).
Пусть Z — множество всех целых чисел, I — множество мощности
о), а 7 — множество мощности сох, не пересекающееся с I. Поло-
жим
А = (7 X Z) U (/ X Z).
Определим Е как отношение эквивалентности на множестве Л,
классами которого служат
I X {n}, J X {n}, п £ Z.
И*
164
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Таким образом, у отношения эквивалентности Е имеется <а счет-
ных и (о несчетных классов. За Ух примем класс эквивалентности
I X {0}. Зафиксируем элементы £ I и /0 £ J. Определим V2
как множество
^2 = ({io} X Z) U ({70} X Z),
содержащее точно по одному элементу из каждого класса экви-
валентности Е. Множество V, определяемое как Vx J ^2» счетно.
Наконец, функцию F задаем равенствами
F (</, п)) = <i, п + 1>, i С I U «Л п g Z.
Она одно-однозначно отображает множество А на себя и является
автоморфизмом модели (А, Р2, Е}.
Пусть 93 — подмодель модели 21, универсумом которой служит
множество В — I X Z. Модель 23 счетна. С помощью теоремы ком-
пактности и теоремы об элементарных цепях показывается, что
модели 21 в и £8В обладают элементарными расширениями 21 в
и 23в с о)! классами эквивалентности, каждый из которых имеет
мощность причем 21 в = 23в- Отсюда следует, что 23 -< 21.
Множеству V в модели 25 соответствует множество
w = vx U (F2 ns).
Если 6 — (С, W, ) — элементарное расширение модели
25, то мы обязательно получаем S = 23, поскольку для всякого
с £ С существуют такое b g У2Г|5, что сЕЪ, и такое п £ Z, что
действующее в модели 28 отображение Fn отображает Ух на класс
эквивалентности элемента Ъ. Поэтому модель 28 не может иметь
собственного элементарного расширения с тем же множеством W.
В заключение продемонстрируем одно применение теоремы
3.2.14 к проблеме опускания типов.
Следствие 3.2.15. Пусть Т — теория, a S (х) — множество
формул в некотором счетном языке. Предположим, что Т имеет
модель 21 типа (а, Р), <а <1 Р < а, опускающую S (х). Тогда Т
имеет модель типа ((ох, со), также опускающую S (х).
Доказательство. Пусть 2 (х) — {о0 (х), сгх (х), .}.
Можно считать, что со — подмножество множества V Пусть, да-
лее, R — такое двуместное отношение на множестве А, что R (п, х)
имеет место тогда и только тогда, когда п £ со и 21 ап Ы. Рас-
смотрим обогащение
?1* = (21, 7?, со, 0, 1, 2, . .)
модели 21. Поскольку 21 опускает S (х),
(1) 21* 1= "1 (3xVu) (со (и) R (и, х)).
3.2, Приложения элементарных цепей
165
Но для всякого п
(2) Я* t= (Vx) (Л (п, х) — ап (х)).
Пусть теперь модели 93* и 6* таковы, что 93* -< 21*, К* > 93*,
причем 93* счетна, ®* имеет тип ((оп со), а символ U в моделях 93*
и ©* имеет одну и ту же интерпретацию. Тогда
со = {0, 1, 2, .}
в моделях Ж* и ©* Далее, имеем (S* = 21*. Из условий (1) и (2)
вытекает, что ®* опускает множество S (х). Значит, обеднение ®
модели б* до модели языка X является моделью теории Т типа
(coj, со) и опускает S (х). —|
Приведем, наконец, один пример, показывающий, что след-
ствию 3.2.15 нельзя придать такую более сильную форму:
если 21 — счетная модель, опускающая множество формул
S (х) и обладающая собственным элементарным расшире-
нием, также опускающим S (ж), то 21 имеет и несчетное
элементарное расширение, опускающее S (х).
Пример 3.2.16. Пусть
21 = (Л, F, F, а>а£У,
где множество V счетно, a F — некоторая двуместная функция,
одно-однозначно отображающая множество V X V на Л\Г Бу-
дем представлять функцию F в виде трехместного отношения,
поскольку она не определена вне множества F X Г Теория
Th (21) категорична в мощности (ог Пусть
93 = (В, Ж, G. a)aEV
— расширение модели 21. причем множество W = V J {&0}
отличается от множества V всего одним элементом, а функция G
одно-однозначно отображает W X И7 на Поскольку 21 и
93 имеют изоморфные расширения мощности то 93 является
собственным элементарным расширением модели 21. И 21, и 93
опускают множество формул S (я), гласящих, что х лежит вне U
и что х — образ пары различных элементов, не являющихся кон-
стантами а £ Г т. е., формально.
s (х) {“1 (Эу) (F (у, а) = х): а £ У} U {(3z) (F (a, z) = х) V) 1J
U { “] U (х)} U {(3p3z) (у ф z F(y,z) = x)}.
Однако всякое несчетное элементарное расширение модели 'Л
реализует S (х).
Этот пример независимо предложили Грегори, Мак-Кензи и
Морли.
166
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Упражнения
3 2.1. Докажите, что теория устойчива относительно расши-
рений тогда и только тогда, когда она обладает множеством экзи-
стенциальных аксиом.
3.2.2. Докажите, что непротиворечивая теория Т устойчива
относительно как гомоморфизмов, так и подмоделей тогда и только
тогда, когда она обладает множеством аксиом, являющихся одно-
временно универсальными и позитивными.
3.2.3. С помощью теорем об устойчивости докажите, что вся-
кая теория, устойчивая относительно подмоделей, устойчива и
относительно объединений цепей моделей.
3.2.4* . Пусть То — произвольная теория. Скажем, что тео-
рия Т устойчива относительно Т0-подмоделей, если для любых
моделей 91 и 93 теории Го из условий 91 Т и 93 с: 21 следует, что
93 t= Т Докажите, что для устойчивости теории Т относительно
То-подмоделей необходимо и достаточно, чтобы теория Т (J TQ
имела множество аксиом вида Г J Го, где Г — множество уни-
версальных предложений. Докажите подобные «релятивизован-
ные» теоремы об устойчивости относительно объединений цепей,
гомоморфизмов и расширений.
3.2.5. Докажите, что всякая счетно-насыщенная модель яв-
ляется счетно-однородной.
3.2.6. Докажите, что всякая счетная атомная модель является
счетно-однородной.
3.2.7. Докажите, что если модель 21 счетно-однородна и вся-
кий тип Г (х1? ., хп) теории Th (21) реализуется в ней, то 21
является <счетно-насыщенной.
3.2.8. Докажите предложение 3.2.9 для однородных мо-
делей.
3.2.9. Докажите, что всякая со-однородная модель имеет счет-
но-однородную элементарную подмодель.
3.2.10. Если 21 — счетно-однородная модель, 93 — счетная
модель, 93 = 21 и всякий тип Г (х1? ., хп), реализуемый в 98,
реализуется и в 21, то 98 элементарно вкладывается в 21.
3.2.11. Если теория не является со-категоричной, то она обла-
дает хотя бы двумя неизоморфными счетно-однородными моде-
лями.
3.2.12* . Пусть 21 ~ ((Ох, <, Я1, Я2, . > — модель некото-
рого счетного языка. Докажите, что 21 представима в виде объеди-
3.2. Приложения элементарных цепей
167
нения элементарной цепи таких счетных моделей 21а, а < colt
что всякое Аа является начальным сегментом ординала <o1? т. е.
счетным ординалом.
3.2.13* . Пусть Т — теория в некотором счетном языке. До-
кажите, что если всякая конечная подтеория теории Т допускает
дару (соь ю), то и сама Т допускает (фр ш).
3.2.14. Докажите, что всякая счетная модель теории ZF имеет
несчетное элементарное концевое расширение. То же задание для
арифметики Пеано (см. стр. 102, 112).
3.2.15. Пусть Т — теория, аксиомами которой служат аксио-
щ линейного порядка, а также
фху) [у < х -> (3z) (U (z) Л F (х, z) = у)],
т е. F (я, г), рассматриваемая как функция переменной z, ото-
б»ажает множество U на множество {у у х}. Докажите, что
7| допускает пару (a, (J), где <о р а, тогда и только тогда,
к гда а = р или а = р+.
I 3.2.16*. Предположим, что язык X содержит, по крайней ме-
рц одноместные предикатные символы U2, . Un,
П/сть T — теория в языке X, обладающая такой моделью 21 ==
=| (4, Vj, У2, .), что со | Vn | < | А | при всяком п. До-
к;жите, что существует такая модель 93— <В, W17 Ж2, .)
тории Г, что | В | ~ со1? а | W п\ = со при всяком п.
3.2.17* . Докажите, что теорема 3.2.14 не обобщается на си-
тзщию, описанную в упр. 3.2.16, т. е. что не существует счетной
э?рментарной подмодели 93 модели 21, обладающей элементарным
^сширением ® мощности сор в котором каждый из символов Un
шел бы ту же интерпретацию, что и в модели 93.
3.2.18* . Постройте счетную модель 21 = <4, V, .Fez 4,
бла дающую собственным счетным элементарным расширением
S = (В, V, .) (с тем же самым множеством V), которое бы,
цнако, уже не имело такого расширения. Сравните этот резуль-
тт с примером 3.2.16.
3.2.19* . Пусть (4, В, . >cz <В, 5, . .причем R и S —
Яуместные отношения. Модель (В, S, . .) называется концевым
реширением модели (4, В, .), если В А и для всех а £ А
i b £ В\А выполняется aSb, но не bSa. Докажите, что всякая
аетная модель (4, В, .), имеющая элементарное концевое
реширение, обладает элементарным концевым расширением мощ-
всти фр (Язык X предполагается счетным. Введенное сейчас
пнятие отличается от концевых расширений моделей теории ZF
ни арифметики Пеано.)
168
Г л. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы
В этом разделе условие счетности рассматриваемых языков
не так существенно. Мы опишем здесь метод построения моделей,
в котором наряду со скулемовскими функциями используется
другое важное понятие, а именно понятие неразличимых элемен-?
тов модели. Вначале мы изучим скулемовские функции. Затем
будет доказан один комбинаторный результат, известный под
названием теоремы Рамсея. Мы применим его к построению мо-
делей, порожденных неразличимыми элементами, и в заключенф
приведем некоторые другие применения этого понятия. Мы встре-
тимся с этим типом построений и в последующих разделах наш^1
книги. I
Пусть дан некоторый язык X. Мы обогатим его до нового язг-
ка X*, добавив к X новые функциональные символы. Пусть F —
некоторое отображение множества всех формул вида ф = (3 х) р
из X в совокупность новых функциональных символов F^. Мл
предполагаем, что отображение F о дно-однозначно, причем если
ф — функция с ровно п свободными переменными, то F^ оказы-
вается n-местным функциональным символом (скулемовскш
функции). Назовем этот язык-обогащение X J Ф
— (3 х) ф — формула языка X} скулемовским обогащением язы^а
X и будем обозначать его через X* Очевидно, || X* || || X
Скулемовская теория языка X, являющаяся теорией в язь
ке <5?*, имеет в качестве аксиом следующие предложения языка Xч
Пусть ф = (3 х) ф — произвольная формула языка X, npei-
положим, что ., хп — в точности все ее свободные перемег-
ные. Пусть z/n ., уп — переменные, не входящие в формулу \
Тогда предложение 1
(V^i -.Уп) ОР (г/i, Уп) -» <р Уп), У1, Уп\
есть аксиома теории 2^. (Подчеркнем, что формула ф (F^ (уг,
Уп), У1, •, Уп) получена из формулы ф (х, хг, ., xj
в результате замены всех свободных вхождений переменной •
в ф термом Г\ (ух, уп) и всех свободных вхождений пере
менных xt —. переменными z/p)
Пусть ЭД — модель языка X. Обогащение ЭД* модели ЭД 4
модели языка X* называется скулемовским обогащением, еслг
ЭД* t= Если же Т — теория в языке X, то скулемовским обогс
щением теории Т, обозначаемым через Т*, будем называть теорю
Т*, задаваемую множеством аксиом Т J 5^.
Предложение 3.3.1.
(i) Всякая модель ЭД языка X обладает скулемовским обогащ<
наем ЭД*.
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы
169
(ii) Если Т — непротиворечивая теория в языке X, то ее ску-
лемовское обогащение Т* — непротиворечивая теория в языке Ж*
(iii) Пусть ЭД и 95 — модели языка X, и пусть 95* — ску-
лемовское обогащение модели 95, а И*—обогащение модели ЭД до модели
языкаХ*. Тогда из условия ЭД* cz 95* следует, что ЭД -< 95.
Доказательство, (i) Пусть ЭД — модель языка X.
Пусть гр (3 х) ф, причем хг, ., хп — в точности все свобод-
ные переменные формулы ф. Определим интерпретации симво-
лов Fy в модели ЭД следующим образом. Сначала вполне упоря-
дочим универсум А. Для произвольных элементов л1? ап £ А
если ЭД ф [ях, ап], то за G$ (а±, ., ап) принимаем
первый элемент а множества А, удовлетворяющий условию
ЭД Ф [я, ах, ап],
а
если ЭД t= ф [яц . ап\ не имеет’ места, то значение
Оф [ах, яп] выбирается произвольно.
Легко проверить, что обогащение ЭД* = (ЭД, {G^ ф
(Эх) ф — формула языка X}) является скулемовским обогаще-
нием модели ЭД.
Доказательство пункта (ii) непосредственно следует из (i)r
а доказательство пункта (iii) получается на основе предложения
3.1.2. -|
Пусть ЭД* — скулемовское обогащение модели ЭД, и пусть
Xcz А. Скулемовским замыканием множества X в модели ЭД*
называется наименьшее множество У, содержащее все константы
модели ЭД, замкнутое относительно всех функций модели ЭД* и
удовлетворяющее условию XczyczA. Мы обозначаем скуле-
мовское замыкание множества X через Н (X), а соответствующую
подмодель модели ЭД, определяемую множеством Н (X),— через
$ (X).
Предложение 3.3.2. Пусть ЭД* — скулемовское обогащение мо-
дели ЭД, и пусть Xcz А. Тогда скулемовское замыкание $$ (X) яв-
ляется элементарной подмоделью модели ЭД, причем | Н (X) |
IX |- \\Х ||.
Доказательство. Если обозначить через Jg (X)* мо-
дель, определяемую множеством Н (X) в модели ЭД*, то очевидно,
что $g (X)*cz ЭД* Поскольку (X)* — обогащение модели
(X) до модели языка X*, доказываемый результат следует из
предложения 3.3.1 (iii). -j
Будем говорить, что теория Т в языке X имеет термальные
скулемовские функции, если для всякой формулы ф (Зя) ф, сво-
170 Гл. 3, Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
водными переменными которой являются в точности хг, хп,
в языке X существует такой n-местный терм что
Т I- (Vyu уп) (ф (j/i, уп) ф («♦ (л, Уп),
У1, Уп)).
(Переменные уг, уп не могут входить ни в формулу ф, ни
в терм Ц, а формулы ф (уп уп) и <р (уг, уп), уг,
., уп) получаются из ф хп) и (р (х, хх, хп) оче-
видным образом.)
Предложение 3.3.3. Всякая имеющая термальные скулемов-
ские функции теория Т модельно полна, т. е. если и 23 — такие
модели теории Т, что ЭДсз 23, то ?! -< 23.
Доказательство. Поскольку 31 — подмодель модели
23, она замкнута относительно всех термов Ц языка X. Теперь до-
казываемый результат вытекает из предложения 3.1.2. —|
Предложение 3.3.4. Пусть Т — теория в языке X* Тогда су-
ществуют такое обогащение X языка X и расширение Т теории Т
(при этом Т — теория в языке X), что Т имеет термальные ску-
лемовские функции. К тому же у всякой модели теории Т суще-
ствует обогащение, служащее моделью теории Т.
Доказательство. Отправляясь от языка X = Х$, оп-
ределим возрастающую последовательность языков-обогащений
Хп, полагая Хп-^1 = (Хп)*. Заметим, что для всякого п скулемов-
ская теория представляет собой множество предложений
языка <5?n+i- Пусть X = [J Хп, а за Т примем теорию с системой
п
аксиом Т U [J • Поскольку всякая формула языка X со-
V п п
держит лишь конечное число символов, мы видим, что Т имеет
термальные скулемовские функции. Тот факт, что у всякой мо-
дели теории Т существует обогащение, являющееся моделью тео-
рии Т, доказывается индукцией, базирующейся на предложении
3.3.1. ч
Для упрощения рассуждений, связанных с теоремой Рамсея
мы сначала, совершив мимолетный экскурс в разд. 4.1, введем
понятие ультрафильтра над счетным множеством. Это понятие
не является совершенно необходимым для наших рассмотрений,
но оно значительно прояснит существо дела. Если читатель того
пожелает, он может забежать вперед и прочесть о фильтрах и
ультрафильтрах в разд. 4.1, однако для понимания дальнейшего
материала настоящего раздела вполне достаточно нескольких сле-
дующих абзацев.
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы
171
Пусть I — непустое множество. Совокупность D подмножеств
множества I называется ультрафильтром над I, если для любых
множеств X, Y cz I
(а) из X £ D и Xcz Y следует Y £ D\
(b) из X, Y £ D следует X f| Y gZ);
(с) X £ D тогда и только тогда, когда Z\X D.
Ультрафильтр D называется неглавным, если для него выпол-
нено также условие
(d) {i} $ D ни при каком i С Z.
Из условий (а)—(d) легко выводятся следующие простые
свойства неглавных ультрафильтров D над Z. Из (а) — (с) сле-
дует, что D 0, а также что I £ D и 0 (f D. Из (Ь) следует, что
множество I должно быть бесконечным, так как если бы I =
= {h, in}, то, согласно (d) и (с), мы имели бы
{ij} £ D для 1 у n.
Если мы теперь конечное число раз воспользуемся условием (Ь),
то увидим, что О £ D, и получаем противоречие.
Совокупность Е подмножеств множества I называется центри-
рованной, если пересечение любого конечного числа элементов из
Е непусто. Понятно, что всякий ультрафильтр D над I является
центрированной системой. Следующее предложение содержит ус-
ловия, необходимые и достаточные для того, чтобы центрирован-
ная система была ультрафильтром.
Предложение 3.3.5. Пусть I — непустое множество. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
ji) D — ультрафильтр над множеством Г,
(ii) D — максимальная центрированная система, т. е. если
Е — некоторая центрированная система подмножеств множества
I, то D не может быть ее собственной подсистемой’,
(iii) совокупность D непуста, О $D, для D выполняются при-
веденные выше условия (а) и (Ь), и если X U Y £ D, то или X £ D,
или Y £ D.
Доказательство. (i) => (ii). Если D — собственная
подсистема системы Е, то найдется множество Хс I, для которого
X £ Е и X D. Отсюда следует, что Z\X С D, а потому I\X £ Е
и (Z\X) П X — 0. Но это противоречит тому, что Е — цен-
трированная система.
(ii) => (iii). Очевидно, что 0 $ Z). К тому же D 0, так как
система {/} является центрированной. Положим
Е {Уcz I Хс= У для некоторого X £ D}.
Ясно, что система Е содержит D как подсистему и является цен-
трированной. Поэтому D = Е, и, значит, D удовлетворяет уело-
172
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
вию (а). Аналогично, если мы положим
Е {Zcz / Z X П Y для некоторых X, Y
то опять получим D Е. Поэтому система D удовлетворяет усло-
вию (Ь).
Предположим, наконец, что X J Y £ D. Мы утверждаем, что
хотя бы одна из систем D J {X} и D J {У} является центри-
рованной. Отсюда вытекает, что либо X £ D, либо У £ D. Предпо-
ложим, напротив, что существуют такие множества X' У' £ D,
что X' П X = 0 и У' Г) У = 0. Тогда
0 = (X' п X) и (Г П Y) =--(Х' и У') п (X' и У) п (X и У') п (х и У).
Каждое из входящих в правую часть выражений в скобках при-
надлежит системе D, а потому ей принадлежит и их пересечение
(равное 0), и мы приходим к противоречию.
(ii i) => (i). Поскольку I £ Z), одно и только одно из множеств
X и 7\Х принадлежит системе D. Таким образом, условие (с) вы-
полнено. —|
Предложение 3.3.6. Над всяким бесконечным множеством I
существует неглавный ультрафильтр.
Доказательство. Мы воспользуемся предложением
3.3.5 (ii). Положим
Е {/\Х X — конечное подмножество множества I}.
Поскольку I — бесконечное множество, система Е является
центрированной. Если цепь Z?;-, j £ J, центрированных систем
подмножеств множества I такова, что Ecz. Ej, то система U Ej
< Т
также состоит из подмножеств множества 1 и является центри-
рованной. Поэтому по лемме Цорна существует максимальное
расширение D системы Е. В силу предложения 3.3.5 (ii), D уже
является ультрафильтром над I. X поскольку Ecz D, никакое
конечное подмножество множества I не принадлежит семейству D
и, значит, ультрафильтр D — неглавный. —|
Если дано множество X, мы будем через [Х]п обозначать сово-
купность всех подмножеств множества X, состоящих точно из п
элементов. Через S ы (X) обозначим множество всех конечных под-
множеств множества X. Очевидно, что S t0 (X) [J [ХР
Предположим, что множество X (строго) линейно упорядочено
отношением <• Тогда существует одно-однозначное соответствие
между элементами множества [Х]п и строго возрастающими после-
довательностями хЛ <Z . . . < из п элементов множества X.
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы
173
Теорема 3.3.7. (Теорема Рамсея.) Пусть I — бесконечное мно-
жество и п £ со. Пусть также [/]n Ао (J Тогда существует
такое бесконечное множество Jcz Ц мто или [J]n cz Ао, или
НРс Лр
Доказательство. БудехМ сначала предполагать, что
множество / счетно, поскольку всякое счетное подмножество мно-
жества I удовлетворяет условиям теоремы. Расположим элементы
множества I в виде возрастающей последовательности, упорядочен-
ной отношением <,
Z'O < ll < <
Можно считать, что п >1. Пусть D — произвольный неглавный
ультрафильтр над множеством I. Заметим, что {i £ I im < i} С D
для всякого т.
Индукцией по г определим для каждого г < п подмножества
Л£“г и А^г множества [Z]n“r:
Л^Л0, Л” = Лр
Пусть множества А°~г и А^~г уже определены, так что cz
cz Ло”г (J А*~г Положим
дп-r-i = < < уп_г1 : (j б / : < г
и {z/i, ..., yn-r-i, 0 € g D},
An~r-1 = < < yn_r_t: {j £ / : < i
И {j/i, ..., Уп-г-1, 1} € А*~г} € О}.
Используя свойства системы D, получим, что
с Лп-г-1 и Лп-г-1,
л
Повторяя такие же построения, в конце концов получим, что
fez Л J J Л}. Теперь наши рассуждения идут по одному из
двух симметричных путей в зависимости от того, которое из двух
включений Л£ £ D и А] £ D имеет место. Пусть Л J £ Z). С помо-
щью индукции определим бесконечную последовательность
7о < 71 < 1т
элементов множества Т Полагаем /0 £ Л^. Предположим, что уже
определены элементы у0 < < /т, удовлетворяющие условию
(1) для всякого г, 1 г и для любых z/x < . . < Уг из
множества {/0, ут} имеем {г/х, ут} €
Определим jm+1 следующим образом. В силу (1), если даны у± < . ..
< уг из {/0, jm}, для которых г < п, то
, yr ~ V 6 • Ус i и {j/i> • • •» Ус, 1} € -^о } €
174
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Поскольку существует лишь конечное число возрастающих после-
довательностей элементов множества {/0, . ., /т}, длина кото-
рых не превосходит п— 1, число множеств XVii .,.tVr оказывается
конечным, и потому их пересечение Y принадлежит ультрафильтру
D. Так как ультрафильтр D неглавный, можно указать такой эле-
мент jm+1 С У, что jm < jm+i' Теперь ясно, что условие (1) сохра-
няется при переходе от т к т + 1. Легко видеть, что продолжая
таким же образом, можно построить бесконечное множество J =
= {/о? im> Нетрудно заметить, что для любых элемен-
тов уг < < уп из J имеем {у„ уп} £ = Ло, так что
[J]ncz Ао.
В случае когда А* С D, получаем [J]ncz Аг. —]
Пусть 31 — модель языка X. и пусть X<zz А — подмножество
множества А, строго линейно упорядоченное отношением <. За-
метим, что < может быть одним из принадлежащих модели 31 от-
ношений, а может и не быть им. Назовем X множеством элементов,
неразличимых в 31 (по отношению к упорядочению <), если (31,
хг, ., яп) s(3l, ух, ., z/п) Для всех п и для любых последо-
вательностей х1 < < хп и у± < < уп из множества X.
Если понятно, о каком именно отношении < идет речь, мы не
будем упоминать его явно. Будем также называть X просто мно-
жеством неразличимых в 31. Мы видим, что термин «неразличимые»
означает, что наборы хг < <яп и уг < < уп не разли-
чаются никакой формулой первого порядка языка X. Будем назы-
вать изоморфное вложение одной линейно упорядоченной струк-
туры в другую изотопным вложением. Изотопным автоморфизмом
структуры (X, <) называется всякий автоморфизм этой структуры
(сохраняющий порядок). Это помогает подчеркнуть разницу между
изоморфизмами моделей языка X и изотопными автоморфизмами
множеств неразличимых элементов в этих моделях.
Приведем теперь некоторое достаточное условие, позволяющее
строить примеры множеств неразличимых элементов.
Предложение 3.3.8. Пусть <Х, <) — некоторое линейно упо-
рядоченное подмножество модели 31. Предположим, что для любых
двух упорядоченных по возрастанию п-ок х± < • <Z хп и
У1 <2 • < уп из X существует такой автоморфизм f модели
31, что f (хг) = уг, ., / (хп) = уп. Тогда X — множество не-
различимых в 31 элементов.
Доказательство. По условию имеем
/: (Я, хп) s* (§1, i/i, уп).
Поэтому
(SI, ^i, ^n) s(2G У1» Уп)
и, следовательно, X — множество неразличимых. —|
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы
175
Отсюда следует, например, что множество X алгебраически
независимых элементов в произвольном алгебраически замкнутом
поле характеристики нуль оказывается множеством неразличи-
мых элементов относительно любого линейного упорядочения
< на X. Другие примеры приведены в упр. 3.3.13.
Лемма 3.3.9. Пусть X9 ~ X(J {сп : п £ <о}» где сп — новые
(по отношению к языку X) константы. Пусть Т — теория в языке
X, обладающая бесконечными моделями. Тогда множество
Т' = Т U {ф (сй, ..., cin) ++ ф , cjn): ф (i>i, ..., vn) — формула
языка <£, и £ со и ц < < 1п, 71 < • • • < 7n} U
U {"~1 £$1 = ^*1’2 • ч =^= ч}
предложений языка X' является непротиворечивым.
Доказательство. Пусть ЭД — произвольная беско-
нечная модель теории Т, и пусть I — некоторое счетное подмно-
жество множества А. Предположим, что множество I вполне упо-
рядочено отношением <, так что
— список всех элементов из I. Мы утверждаем, что
(1) для всякой конечной подтеории Д теории Т' существует
такое бесконечное подмножество /д множества I, что для
всякого бесконечного подмножества
7о < 71 < • • • 7п
множества /д обогащение (ЭД, /п)п6(0 модели ЭД служит
моделью для Д.
л
Доказывается это индукцией по числу предложений в множестве
Д. Итак, будем считать, что (1) верно для некоторого конечного
множества Дс: Tf, и пусть ф (i^, vm) — формула языка X.
Разделим теперь множество [7д]т на две части. Положим
А о {*^1 ^тп • И ЭД 1= ф [#i, • «у
и
А^ = \х\ <С <С xm хг £ /д и ЭД | ф
Очевидно, что [JA]mcz Ао J А^ По теореме 3.3.7 существует
такое бесконечное множество Kez J&, что либо [7dm cz Ло, либо
[A’]mcz Пусть к0 < кг < < кп <Z .— некоторое бес-
конечное подмножество множества К. Легко проверяется, что
в обоих случаях в модели (ЭД, кп)п&& выполняется формула
Ф (^sp • • • » ^s?n) ** Ф • • • > Ctm) >
176
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
где $! < . . < sm, а < tm. При этом, конечно, в мо-
дели (21, кп)п&) выполняются все предложения теории Д. Этим
доказано, что утверждение (1) остается верным при присоедине-
нии к множеству Д нового предложения, и индукция проведена
полностью. Непротиворечивость множества Г' следует из (1)
непосредственно. —|
Теорема 3.3.10. Пусть Т — теория в языке X, обладающая бес-
конечными моделями, и пусть (X, <) — произвольное линейно упо-
рядоченное множество. Тогда существует такая модель 31 теории
Т, что X cz А, причем X — множество неразличимых в модели 21
элементов.
Доказательство. Положим X' — X U {сх х £ Х}> и
пусть
Т' • • •, схСу ):Ф(рь ..Vn) — формула
X Г Л И
языка X, ng со, Xi<Z <хп, yi<Z .. . <Zyn — элементы
множества X} (J
U { j Сх. == Сх • Х^ «2^1, Х% g X}.
Поскольку всякое конечное подмножество множества X изотопно
вкладывается в упорядочение (<о, < >, множество предложений Т'
языка X' оказывается, в силу леммы 3.3.9, непротиворечивым.
Пусть §1' — произвольная модель теории Т', и пусть 51 — ее обед-
нение до модели языка X. Понятно, что 21 — модель теории Т.
Без потери общности можно отождествить интерпретации в модели
51' константных символов сх, х g X, с самими элементами х.
Теперь из определения теории Т' усматриваем, что если даны фор-
мулы (р (у1? . ., рп) языка X и элементы xA<Z . < хп и уг < . .
< уп из X, то
хп] тогда и только тогда, когда 21 q> l?/i, .,ynt
Итак, (21, хп) = (21, г/i, уп), а следовательно, X —
множество неразличимых элементов в модели 21. —]
Уже тот факт, что теория Т имеет модели с множествами не-
различимых произвольного порядкового типа, является доста-
точно интересным. Ниже мы увидим, что если теория Т имеет тер-
мальные скулемовские функции, то эта же конструкция дает нам
модели с еще более замечательными свойствами.
В следующем абзаце предполагается, что теория Т имеет тер-
мальные скулемовские функции. Перечислим следующие простые
свойства моделей теории Т
ЗаметНхИ сначала, что, согласно предложению 3.3.4, всякую тео-
рию можно расширить до теории, имеющей термальные скулемов-
ские функции. Если 21 — модель теории Т, то скулемовское обо-
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы
177
гащение 91* модели 91 может быть получено из 91 просто с помо-
щью добавления к 91 некоторых функций, уже определимых в 91,
т. е. функций, служащих интерпретациями в 91 термов языка X-
Поэтому между моделями 91 и 91* нет практически никакой раз-
ницы, и всюду в дальнейшем мы будем рассматривать их как
одну модель. В самом деле, 91 и 91* оказываются одной и той же
моделью, если считать, что скулемовские функции модели 91 слу-
жат интерпретациями соответствующих функциональных симво-
лов языка <55, которые могли бы быть в нем заданы. Вспомним так-
же, что если XczA, то скулемовским замыканием, порожденным
множеством X, называется модель $ (X) = (Н (X), .>, где
Н (X) — замыкание множества X относительно всех термов моде-
ли 91. Известно также, что Sq (X) < 91. Будем говорить, что мо-
дель 91 порождается множеством неразличимых элементов, если
91 = ® (X) для некоторого множества Xcz А неразличимых
элементов модели 91.
В следующей теореме собрано большинство важнейших свойств
моделей, порожденных неразличимыми элементами.
Теорема 3.3.11. Пусть X — некоторое множество неразличи-
мых элементов модели 91 теории Т, обладающей термальными ску-
лемовскими функциями. Тогда
(а) (Теорема о подмножестве.) Всякое множество Ycz X яв-
ляется множеством неразличимых модели (У) по отношению к по-
рядку, индуцированному порядком на множестве X, причем $ (У) -<
< $ (X).
(Ь) (Теорема о распространении.) Пусть X и Y — бесконеч-
ные линейно упорядоченные множества. Тогда существует такая
модель 23, что У — множество неразличимых в ней, причем мно-
жества формул, выполняющихся в модели 91 на возрастающих по-
следовательностях элементов из X и в модели 23 на возрастающих
последовательностях элементов из У, совпадают.
(с) (Теорема об автоморфизмах.) Пусть f — произвольный изо-
тонный автоморфизм множества X. Тогда f единственным обра-
зом продолжается до автоморфизма скулемовского замыкания
Ж
(d) (Теорема об элементарных вложениях.) Пусть Y — такое
множество неразличимых в модели 23, что множества формул языка
X, выполняющихся на возрастающих последовательностях эле-
ментов из X и из Y, совпадают. Пусть / — изотопное одно-одно-
значное вложение множества X в множество Y Тогда f однозначно
продолжается до элементарного вложения / модели (X) в модель
(У), причем множеством значений отображения f служит ску-
лемовское замыкание множества значений отображения f.
(е) (Теорема о реализации и об опускании типов.) Пусть У
и 23 удовлетворяют первому предложению из пункта (d). Предпо-
12 г. Кейслер, Ч. Ч, Чэн
178
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
ложим также, что X и Y бесконечны. Тогда всякий тип 2 (vr,
., рп) в языке X реализуется в модели ф (X) тогда и только
тогда, когда 2 реализуется в
Доказательство, (а) Заметим сначала, что $ (У) яв-
ляется элементарной подмоделью модели (X). Совершенно яс-
но, что на возрастающих последовательностях элементов из У вы-
полняются те же формулы, что и на возрастающих последователь-
ностях элементов из X. Таким образом, (а) доказано.
(Ь) Пусть 2 — множество всех формул ф (vlt ., vn) языка
X, выполняющихся на возрастающих последовательностях хг <
< хп из X. Обозначим через 2' множество всех предло-
жений ф Суп) в обогащении X' — X U {су у С У} язы-
ка Х\ здесь ф £ 2, а уг < . . < уп — элементы из У Поскольку
множество X бесконечно, 2' оказывается непротиворечивым. По-
этому найдется модель 25, в которой У — множество неразличи-
мых элементов.
(с) вытекает из (d), и потому перейдем к доказательству (d).
(d) Всякий элемент у g Н (X) порождается некоторым термом
t (р1? рп) и некоторыми элементами хг, ., хп из X. Можно
считать, что терм t и элементы xt выбираются так, что свободными
переменными терма t служат в точности рх, ., vn, хг < х2 <
<Zxn и у — t (хг, хп). (Строго говоря, значение терма t
на элементах хг, ., хп нам следовало бы обозначать через
t Lrj, ., ггп]. Мы, однако, обойдемся без квадратных скобок,,
делая вид, будто t — функция.) Будем называть это выражение
стандартным представлением для у в модели Sq (X).
Пусть у = t (хг, хп) — некоторое стандартное представ-
ление для у. Положим
f (у) = t (f (*i), • • •, / М).
Покажем сначала, что отображение / корректно определено.
Пусть t' (z15 ., zm) — другое стандартное представление для
у. Тогда в модели @ (X) имеем t (хг, ., хп} = t' (zx, . zm).
Пусть ux < < иг — список элементов множества {л:х,
хп, zx, . . zm} в порядке возрастания. Равенство t (хг,
., хп) = % С&и zm) можно теперь выразить формулой фг
зависящей от иг, ., щ, и мы имеем $$ (X) ф [ux, uj.
Согласно условию, Sq (У) ф [/ (ux), . f (uz)]. Отсюда сле-
дует, что t (j (ях), / (хп)) = t' (f (zx), f (zm)) в модели
W)-
Пусть теперь ф (рх, ., — произвольная формула языка
X, и пусть уг, ., У1 таковы, что $ (X) t= ф [г/х, ., yt]. Вы-
берем для каждого элемента из у^ ., yi по стандартному пред-
ставлению — назовем их t19 ., ,— а также некоторую после-
довательность порождающих элементов х± < . . . <яп из X..
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы
179
Мы предполагаем, что значение терма ti на подходящей подпосле-
довательности последовательности хг < < хп есть элемент
yt- Теперь можно найти такую формулу ф, содержащую термы
ti и переменные ип, что
& (X) t= ср [z/1? yt] тогда и только тогда, когда
$ (X) t= ф [х1?
Как и раньше, % (Y) ф [/ (xj, f (яп)]. Рассмотрев строе-
ние формулы ф, убеждаемся, что $ (У) 1= (р If (ух), f (г/г))-
Итак, / — изоморфизм.
Если элемент z принадлежит скулемовскому замыканию Н (Rf)
множества значений Rf отображения /, то для него найдется такое
стандартное представление z = t (yn ут), что ., ут ^Rp
Пусть элементы х± < < хт множества X таковы, что / (xi) =
— yi. Тогда / отображает входящий в Н (X) элемент t (х1? ., хт)
в z. Таким образом, множество значений отображения / есть Н (Rf),
и результат (d) следует из (а). Мы оставляем читателю проверку
единственности отображения /.
(е) Пусть X, У, $ (X) и (У) удовлетворяют условиям этого
пункта. Предположим, что элементы zlf ., zn из Н (X) реали-
зуют в модели Sq (X) тип 2. Возьмем стандартные представления
для z1? ., zn в модели (X) и предположим, что в этих пред-
ставлениях не участвуют никакие порождающие элементы из X,
кроме x1<Z. < хт. Пусть / — произвольное изотопное ото-
бражение элементов на элементы у± << <С ут
из множества У Тогда, в силу (d), / ({#!, L, ят}) =
— ({Уп Ут})* Таким образом, n-ка элементов / (zj,
., f (zn) из £ ({i/i, ут}) реализует^ тип 2. А так как
€ ({Уп •> Ут}) < £ (Y)' мы видим, что / (zj, ., / (zn) реа-
лизуют тип 2 и в модели (У). Обратная импликация доказы-
вается аналогично. Ч
Ниже, а также в упражнениях приводятся некоторые прило-
жения описанной конструкции.
Следствие 3.3.12. Пусть X — счетный язык, а Т — теория
в X, обладающая бесконечными моделями. Тогда существует такая
счетная совокупность А типов в языке X, что Т имеет сколь угодно1
большие модели, реализующие в точности типы из совокупности А.
Доказательство. Обогатим сначала язык X до X и
расширим теорию Т до теории Т в языке X, обладающей термаль-
ными скулемовскими функциями. Теория Т также имеет бесконеч-
ные модели. Пусть X — множество неразличимых элементов в мо-
12*
180
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
дели fa (X), где @ (X) — модель теории Т, причем множество X
упорядочено отношением < по типу со. Поскольку язык X также
является счетным, счетной будет и модель $ (X). Значит, Sq (X)
реализует не более чем счетное множество различных типов (в язы-
ке X). Если теперь Y — бесконечное множество неразличимых
элементов в модели § (У), на возрастающих последовательностях
элементов которого выполняются точно те же формулы, что и на
возрастающих последовательностях элементов из X, то (У) реа-
лизует в точности те же типы (в языке X), что и модель Q (X).
Такая модель Sq (У) существует в силу теоремы о распростране-
нии 3.3.11 (Ь). Обеднения моделей § (X) и (У) до моделей язы-
ка X оба являются моделями теории Т и реализуют одни и те же
типы (в языке X)- Н
Следствие 3.3.13. Всякая бесконечная модель обладает элемен-
тарными расширениями со сколь угодно большими группами авто-
морфизмов.
Доказательство. Пусть 21 — бесконечная модель язы-
ка X, и пусть 21* — такое обогащение модели 21, что в теории
модели 21* имеются термальные скулемовские функции. Пусть
Т — элементарная диаграмма модели 21* в языке <55* (J {са : а £
£ Л}. В теории Т имеются термальные скулемовские функции, и
она обладает бесконечной моделью (21*, й)аед- Пусть X — множе-
ство неразличимых в $ (X), являющемся моделью теории Т Тог-
да обеднение модели $ (X) до модели языка X есть элементарное
расширение модели 21, имеющее по крайней мере столько же авто-
морфизмов, сколько существует изотопных автоморфизмов у мно-
жества X. (См. упр. 3.3.7.) —|
Следствие 3.3.14. Пусть X — счетный язык, а Т — теория в X,
обладающая бесконечными моделями. Тогда для любого бесконеч-
ного кардинала а теория Т имеет такую модель 21 мощности
а, что для любого множества В с: А обогащенная модель (21, Ъ)ь^в
реализует не более | В | + со типов в обогащенном языке
X U {съ be В}.
Доказательство. Расширим теорию Т до теории Т,
обладающей термальными скулемовскими функциями в обога-
щенном языке X» Пусть (X, <) — вполне упорядоченное множе-
ство, порядковый тип которого есть а, и пусть 21 = Sq (X) —
модель теории У, для которой X является множеством неразли-
чимых элементов. Поскольку язык X счетен, мощность модели 21
равна а. Пусть Вс 4. Для каждого b £ В выберем некоторое
стандартное представление, и пусть У — множество всех у £ X,
участвующих хотя бы в одном из этих стандартных представлений.
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы
181
Тогда | Y | | В | + (о. Назовем последовательности хг <
< хп и у± < < уп эквивалентными над Y если для всех
к <1 п и для всех z g Y имеем ху z, yk z и
xk <z z тогда и только тогда, когда у у < z.
Рассмотрим язык X' = X J {cz z 6 У} Если последователь-
ности хх < < хп и уг < < уп эквивалентны над У то
на них в модели (21, z)zey выполняются одни и те же формулы.
Отсюда следует, что для любого терма t (р1? ип) языка X1
элементы t (хп хп) и t (z/1? уп} реализуют один и тот же
тип в модели (21, z)2ey, а потому и в модели (21, &)ьев- Пусть
21 — обеднение модели 21 до модели языка X- Тогда всякий раз,
как последовательности хг < < хп и уг < <С уп экви-
валентны над У элементы t (а^, ., хп) и t (у^ ., уп) реали-
зуют один и тот же тип в модели (21, &)ьев- Существует, однако,
не более | У | + со не эквивалентных над У гс-ок, так как если
принять
х' = наименьшее z £ У для которого х < z.
или
х' = оо, если У < я,
то мы видим, что xY < < хп и У1 < • < Уп эквивалентны
над У тогда и только тогда, когда х\ = у\, х'п = у'п. Далее,
всякий элемент множества А равен значению в модели (21, z)2gy
некоторого терма t (хп хп), где хг (| У, хп (| У Итак,
в языке X' этой модели имеется не более | У | + со термов. От-
сюда следует, что модель (21, Ъ)ъ$в реализует не более |У| +
+ со | В | + (о различных типов. —|
Упражнения
3.3.1. Докажите, что если теория Т имеет термальные скуле-
мовские функции, а 21 — модель этой теории, то элементарная
диаграмма Th (21а) также имеет термальные скулемовские функ-
ции.
3.3.2. (Теорема Скулема о нормальной форме.) Для всякой
формулы ф языка X существует такая универсальная формула
ф языка <55*, что ф —>фи2^|— ф —> ф.
3.3.3. Пусть 21 = (со, Покажите, что 21 обладает двумя
скулемовскими обогащениями, не являющимися элементарно
эквивалентными в языке X* Таким образом, скулемовское обога-
щение полной теории Th (21) уже не является полным.
182
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
3.3.4. Докажите, что если множество I бесконечно и [Лп cz
cz Л о U U то существуют такое бесконечное множество
J cz I и такое /с, что 0 <3 и [J]n cz Ль.
3.3.5. Покажите, что если [Z]n cz Ло J Лх, a D — неглавный
ультрафильтр над множеством I, то не обязательно существует
такое множество J £ D, что [J]n cz Ло или [J]n cz Лх (n > 1).
3.3.6. Покажите, что если I X I cz Ло J Лх, то может не
найтись такого бесконечного J cz I, для которого бы J X J czMa
или J X J с Лг
3.3.7. Пусть X — множество неразличимых в модели Jg (X).
Докажите, что существует изоморфное вложение группы изотоп-
ных автоморфизмов модели (X, < > в группу всех автоморфизмов
модели $ (X). Если, далее, само упорядочение < на множестве X
определимо в модели $ (X), то это изоморфное вложение оказы-
вается «вложением на» (сюръективным). (Считайте, что $ (X) —
модель теории, содержащей термальные скулемовские функции.)
3.3.8. Обобщите следствие 3.3.12 на несчетные языки.
3.3.9* . Всякая бесконечная модель 31 обладает собственным
элементарным расширением 23О, содержащим убывающую цепь
93о > 581 > • • • > .
изоморфных элементарных подмоделей, удовлетворяющих усло-
вию = П 58п.
3.3.10. Будем говорить, что элементы х и у модели 31 являются
однотипными относительно автоморфизмов, если существует
такой автоморфизм / модели 31, что / (х) — у. Если элементы х л у
однотипны относительно автоморфизмов модели 31, то они реали-
зуют одни и те же типы в языке модели 31- Докажите, что если
язык X счетен, а теория Т, формулируемая в языке X, имеет бес-
конечные модели, то в любой бесконечной мощности Т имеет
модели, обладающие не более чем со разнотипными относительно
автоморфизмов элементами.
3.3.11* . В условиях предыдущего упражнения покажите, что
в любой бесконечной мощности а теория Т имеет такую модель 3(,
что для любого В cz А модель (31, Ь)ъ$в имеет не более | В | + со
элементов, разнотипных относительно автоморфизмов.
3.3.12. Докажите, что если (X, О — множество неразличи-
мых в модели 31, а £6 — содержащая множество X элементарная
подмодель модели 31, то (X, <> — множество неразличимых
и в модели 23.
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы
183
3.3.13. С помощью предложения 3.3.8 и упр. 3.3.12 проверьте,
что в каждом из следующих примеров X — множество неразличи-
мых в модели 21:
(i) 21 — чисто трансцендентное расширение поля ЯЗ, а X —
множество алгебраически независимых над полем 23 элементов.
(ii) 21 — алгебраически замкнутое поле, а X — множество
элементов, алгебраически независимых над соответствующим про-
стым полем.
(iii) 21 — свободная группа, а X — множество ее свободных
образующих.
(iv) 21 — кольцо многочленов над кольцом 23 от множества X
переменных.
(v) 21 — упорядоченное поле рациональных чисел, а (Х,<> =
= 21.
(vi) 21 — булева алгебра, а X — множество ее атомов.
(vii) 21 = (А, Е), где Е — отношение эквивалентности, а
X — один из классов эквивалентности.
(viii) 21 — то же, что и в (vii), а X — множество неэквивалент-
ных элементов, причем если х, у g X, то их классы эквивалентно-
сти равномощны.
3.3.14* . Пусть 21 = (А, <, •) — бесконечная модель не-
которого счетного языка, вполне упорядоченная отношением <•
Докажите, что для всякого регулярного кардинала а > со суще-
ствует модель 23 в 21, содержащая возрастающую относительно
упорядочения < последовательность длины а, но не содержащая
убывающих последовательностей этой длины.
[Указание: Воспользуйтесь множеством неразличимых, упоря-
доченным по типу а.]
3.3.15* *. Пусть 21 = (А, <, .) — бесконечная модель не-
которого счетного языка, линейно упорядоченная отношением <.
Докажите, что для всякого бесконечного кардинала-последова-
теля а+ существует модель 25 ss 21 мощности а+, не содержащая
ни возрастающих, ни убывающих последовательностей длины а+
[Указание: Воспользуйтесь множеством неразличимых, поряд-
ковый тип которого обладает желаемым свойством.]
3.3.16* . Покажите, что всякая модель 21 имеет такое собст-
венное элементарное расширение 23, что для некоторого элемен-
тарного вложения / модели 23 в 23
4=0 f*(B) = {b£B:f (&)=&}.
3.3.17* . Приведите примеры убывающих счетных элементар-
ных цепей 210 > 2ГХ > 2Г2 > • • таких, что
(i) Я Ап пусто.
184
Гл, 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
(ii) Модель 21 = Q непуста, но не является элемента р-
п
ной подмоделью ни одной из моделей ЭДП.
3.3.18* . Для каждого п приведите по примеру модели ЭД и
бесконечного упорядоченного множества (X, <), X cz А, таких,
чтобы любые две возрастающие га-ки из X реализовали одни и те
же типы из ЭД, но некоторые две возрастающие (п + 1)-ки из X
реализовали бы в ЭД различные типы.
3.3.19* . Пусть ЭД — модель языка X. Обозначим через G (ЭД)
группу автоморфизмов модели ЭД. Пусть 2 — произвольное не-
противоречивое множество предложений языка X. а К (2) — класс
всех групп, каждая из которых изоморфна подгруппе группы
G (ЭД) для некоторой модели ЭД теории 2. Докажите, что К (2)
представляет собой класс всех моделей некоторого множества Ф
универсальных предложений языка теории групп. Покажите, да-
лее, что если теория 2 рекурсивна, то и множество Ф может быть
выбрано рекурсивным.
3.3.20* . Пусть К — пересечение всех классов К (2), где 2
обладает хотя бы одной бесконечной моделью (обозначения см.
в упр. 3.3.19). Докажите, что К = К (20), где 20 — теория ли-
нейного порядка.
3.4. Некоторые примеры
В последних двух главах упоминалось большое количество
примеров, причем ряд утверждений о них был приведен без до-
казательств. В этом разделе пять из этих примеров будут рас-
смотрены довольно детально в свете уже доказанных нами теорем.
Большинство остальных примеров может быть исследовано по
аналогии с этими пятью. Единственное исключение составляет тео-
рия вещественно замкнутых полей, к которой мы вернемся в гл. 5.
Пример 3.4.1. Теория плотного линейного порядка без конце-
вых точек. Упорядочения действительных чисел и рациональных
чисел служат, классическими моделями этой теории. Все модели
рассматриваемой теории Т бесконечны.
Для доказательства со-категоричности теории Т применим кан-
торову челночную конструкцию. Пусть (4, и {В, — два
счетных плотных линейных упорядочения без концевых точек.
Назовем частичным изоморфизмом всякое одно-однозначное ото-
бражение / конечного множества Ло cz А на конечное же множе-
ство BQ cz В, для которого из условия а0 (в Ао) вытекает, что
/ (я0) Легко видеть, что для всякого частичного изомор-
физма f и для любых элементов а £ А и Ъ £ В существует такой
3.4. Некоторые примеры
185
частичный изоморфизм gzj f, что а входит в его область опреде-
ления, а Ъ — в множество значений. Поэтому можно построить
объединение цепи частичных изоморфизмов, представляющее
собой (настоящий) изоморфизм моделей (А, и <5,
В силу (D-категоричности теории Г, эта теория полна, и ее
счетная модель является одновременно счетно-насыщенной и атом-
ной. Далее, теория Т полна. Она, очевидно, устойчива относи-
тельно объединений цепей. Отсюда следует, что Т модельно полна.
Она, однако, не является устойчивой относительно подмоделей:
например, (со, — подмодель модели теории Г, не являющаяся
плотной. Теория Т не устойчива и относительно гомоморфизмов,,
так как, например, одноэлементная модель является гомоморфным
образом любой модели, но не является сама моделью теории Т
Канторова челночная конструкция позволяет показать, что
если 21 — (А, ^) — счетная модель теории Т и х± < < хпг
ух < < уп в А, то существует такой автоморфизм / модели
31, что / (^i) = ., / (хп) = уп. Отсюда следует, что само
(А, <3 является множеством неразличимых элементов в модели
21. Более того, всякая возрастающая n-ка реализует в модели 21
один, общий для всех, тип Г (хг, ., хп). В силу со-насыщенности
модели Я, всякий тип теории Т реализуется в 21. Поэтому и во«
всякой другой (возможно, несчетной) модели 23 теории Т всякая
возрастающая тг-ка также реализует тип Г (х^ . ., хп). Этим
показано, что в любой модели 23 = <5, теории Т само (В,
является множеством неразличимых.
Во всякой несчетной мощности а теория Т имеет 2а неизоморф-
ных моделей, допускающих следующее описание. Обозначим че-
рез со* + (Di упорядочение, состоящее из экземпляра множества
а>1, вполне упорядоченного «в сторону убывания», и следующего*
за ним экземпляра упорядоченного обычным способом, т. е.
3' 2', Г, О', 0, 1, 2, 3,
«1
Пусть ц (cd* + oh) — упорядочение, полученное из со* + о^ за-
меной каждой его точки на экземпляр упорядочения рациональ-
ных чисел, а г) (<о*Ч- сох + 1) — упорядочение, полученное при-
соединением к концу ц (со* + (dJ еще одного экземпляра множе-
ства рациональных чисел. Теперь для всякого множества S cz а
из упорядочения (а, <3 построим упорядочение 21s, заменяя
каждую точку р 5 экземпляром г] (со* + <ох), а каждую точку
Р g а\5 — экземпляром ц (со* + Oh + 1). Если а — несчетный
кардинал, то модели 21s Для 5 с а п представляют собой 2а неи-
зоморфных моделей теории Т мощности а.
Пример 3.4.2. Теория счетной совокупности независимых одно-
местных отношений. Эта теория задается в языке, содержащем
486
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
счетное множество одноместных предикатных символов Ро (х),
Р± (я), Р2 (я), аксиомами
(Эх)(Р^(х)/\ л pim (х) Л П Pjt (х) Л лП^п(г)),
где все индексы ix, ., Д, . ]п различны.
Покажем сначала, что теория Т полна. Все модели этой теории
бесконечны. Пусть 21 — произвольная счетная модель теории Т.
С помощью теоремы компактности легко доказывается, что об-
ладает таким элементарным расширением S3 мощности 2Ш, что для
всякого множества S cz со существует 2° элементов b £ В, для ко-
торых
23 Рп (Ь), если п g S,
23 1= Рп (Ъ), если п (J S.
Но с точностью до изоморфизма такая модель 23 единственна. Сле-
довательно, любые две счетные модели теории Т обладают изо-
морфными элементарными расширениями и потому элементарно
эквивалентны. Отсюда следует, что Т — полная теория.
Пусть 21 — некоторая модель теории Т и п < со. Рассмотрим
элементы а, Ь £ А. Предположим, что а и Ъ удовлетворяют одним
и тем же атомным формулам из совокупности Ро (х), ., Рп (х).
Тогда отображение, переводящее а в Ь, а Ъ в а, есть автоморфизм
обеднения модели 21 до модели подъязыка {Ро, ., Рп}- Отсюда
вытекает, что для всякой формулы ср (х), в которую входят только
символы Ро, Рпу
21 Е= (р [а] тогда и только тогда, когда 21 t= ср [Ь].
Основываясь на сказанном выше, мы видим, что всякая не-
противоречивая формула ср (х) непополнима в теории Т, так как
если в ср (х) входят только символы Ро, ., Рп, то в любой мо-
дели 21 террии Т найдутся такие элементы а и Ь, что
21 t= ср [а] Л Рп+1 (а), 21 1= <р [Ы Л 1 Pn+i (Ь).
Поэтому из теории Т с присоединенной к ней формулой ср (х) не
следует ни Рп+Х (х), ни “] Рп^1 (х). Поэтому теория Т не является
атомной и не имеет атомных моделей. Значит, Т не имеет и счетно-
насыщенных моделей.
Из проведенных рассмотрений следует также, что всякая фор-
мула ср (х) эквивалентна относительно Т конечной дизъюнкции
конъюнкций формул Pi (х) и Д Pj (х). Этот результат легко рас-
пространяется на формулы ф ., хп), если только допустить
еще равенства и неравенства. Следуя этому пути, можно доказать,
что Т модельно полна.
Элементы а и Ъ реализуют один и тот же тип в том и только том
случае, когда на них выполняются одни и те же отношения Рп (х).
Таким образом, теория Т имеет 2° типов Г (х). Для произволь-
3.4. Некоторые примеры
187
ного множества Хс о) обозначим через X (ЭД) множество всех
элементов b модели ЭД, для которых
ЭД Рп (Ь), если п 6 X,
ЭД Е= ~| Рп (Ь), если п £ со\Х.
Тогда произвольное X (ЭД) вместе с любым его линейным упорядо-
чением является множеством неразличимых в модели ЭД.
С точностью до изоморфизма модель ЭД языка X определяется
мощностями множеств X (ЭД), Xcz Для того чтобы ЭД была
моделью теории Т, необходимо и достаточно, чтобы семейство
множеств
S = {Х(= со X (ЭД) #= 0}
было плотным в том смысле, что для любых непересекающихся
конечных множеств s, tcz со должно существовать такое множе-
ство X С S, что scz X и tcz <о\Х. Отсюда видно, что у теории Т
существует 2W неизоморфных счетных моделей. Более того, в каж-
дой бесконечной мощности а 2° существует 2а неизоморфных
моделей теории Т Во всякой же мощности хр >2Ш теория Т
мн
обладает | |3 | неизоморфными моделями.
Нетрудно указать два плотных множества 5^ и S2, состоящих
из подмножеств множества со, для которых П S2 = 0. С их
помощью получаем такие счетные модели ЭДХ и ЭД2 теории Т,
что никакой тип Г (х) не реализуется одновременно в ЭДг и в ЭД2.
Именно, для построения модели ЭДг зачисляем в X (ЭДг) по одному
элементу для всякого X £ ЭД2 строится аналогично. В дей-
ствительности легко видеть, что существует 2ю попарно непере-
секающихся счетных плотных множеств, элементами которых слу-
жат подмножества из со, и, значит, существует семейство, состоя-
щее из 2° счетных моделей теории Т, таких, что всякий тип Г (х)
реализуется не более чем в одной из них.
Две n-ки av ., ап и ., Ъп реализуют в модели ЭД
один и тот же тип тогда и только тогда, когда каждый элемент (ц
реализует тот же тип, что и bt, и между элементами имеют
место те же равенства, что и между Отсюда легко выво-
дится, что всякая модель теории Т является со-однородной. В
произвольной бесконечной мощности а мы, взяв некоторое счет-
ное плотное множество S и относя в X (ЭД) по а элементов для
каждого X £ S, можем построить модель ЭД теории Г, реализую-
щую только счетное множество типов от п переменных.
Теория Т устойчива относительно расширений, а потому и
относительно объединений цепей. Чтобы убедиться в этом, вспом-
ним, что все ее аксиомы экзистенциальны. Устойчивостью отно-
сительно подмоделей и гомоморфизмов Т не обладает.
188
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
Пример 3.4.3. Теория алгебраически замкнутых полей характе-
ристики нуль. Базисом трансцендентности модели ЭД этой тео-
рии называется всякое максимальное множество Xcz А, никакая
n-ка элементов которого не является корнем ненулевого много-
члена от п переменных с рациональными коэффициентами. Клас-
сическим результатом теории полей является тот факт, что всякая
модель нашей теории Т имеет базис трансцендентности, что все
базисы трансцендентности модели ЭД имеют одну и ту же мощность
а {ранг трансцендентности модели ЭД) и что для всякой мощно-
сти а существует единственная модель ранга трансцендентности
а, причем эта модель имеет мощность а + со. Отсюда следует, что
Т является а-категоричной во всякой несчетной мощности а.
Поскольку все модели теории Т бесконечны, Т полна. Она также
устойчива относительно объединений цепей и, следовательно»
модельно полна.
Далее, Т имеет в точности счетное множество счетных моделей,
по одной для каждого ранга, не превосходящего со. Следователь-
но, Т имеет и счетно-насыщенную модель, и атомную модель.
Поскольку модель ранга со не вкладывается ни в какую модель
конечного ранга, все модели конечного ранга не являются счетно-
универсальными. Но счетно-насыщенная модель счетно-универ-
сальна, так что ею служит модель ранга со. Модель ранга нуль —
поле алгебраических чисел — является простой моделью теории
Т, а потому и атомной.
Другой классический результат состоит в том, что если лг-ки
а1У ап и ., Ъп из модели ЭД являются корнями одних
и тех же многочленов с рациональными коэффициентами, то су-
ществует такой автоморфизм / модели ЭД, что / (aj =
., / (ап) = Ъп. Отсюда следует, что если X — базис трансцен-
дентности модели ЭД, то он вместе с произвольным линейным по-
рядком на нем есть множество неразличимых в ЭД. Отсюда
следует также, что всякая модель рассматриваемой теории
со-однородна.
Пример 3.4.4. Теория дискретных линейных упорядочений с
первым элементом. Наша теория Т задается в языке X = { }
следующими аксиомами:
Аксиомы линейного порядка.
(3 х V у) (х у) (существование первого элемента).
Всякий элемент имеет непосредственного последователя.
Всякий элемент, кроме первого, имеет непосредственного пред-
шественника.
Модель (со, ^) является моделью для Г. Всякая иная модель
этой теории может быть получена следующим образом: пусть
ЭД = (А, — произвольное линейное упорядочение; модель
ЭД* = {В, теории Т получается в результате добавления к
3.4. Некоторые примеры
189
концу упорядочения (со, по одному экземпляру упорядочения
(Z, для каждого элемента а £ А. Более точно.
<1) В = (О и (Лх 2),
(2) есть естественное упорядочение на со,
{3) п <1 (а, для всех п £ со, {а, т} £ А X Z,
0) {а, т) <1 (Ь, п >, если а < Ъ или если а = Ъ и т п.
Всякая модель теории Т изоморфна либо модели (со, либо не-
которой 21*. Например, если Q — упорядочение рациональных
чисел, то получается в результате присоединения к концу
(со, счетного множества экземпляров (Z, по одному для
каждого рационального числа. Таким образом, в каждой беско-
нечной мощности а теория Т имеет 2а неизоморфных моделей.
Поначалу с нашей новой теорией удобно работать в языке,
обогащенном символом 0 для обозначения первого элемента и
символом S для функции следования. Обогащенная теория Т (О, S)
имеет дополнительные аксиомы
х =0 (V у) (х у),
у = Sx х < у Л "| (3 z) (х < z f\ z < у).
Всякая модель (В, теории Т может быть, очевидно, един-
ственным образом обогащена до модели {В, <1, 0, 5) теории
Т (О, S). В том, что теория Т (0, S) модельно полна, можно убе-
диться, доказав, что если 35 и 6 — модели теории Т (0, 5) и
боЯЗ, то всякое экзистенциальное предложение, истинное в мо-
дели 93с, истинно и в бс. Рассмотрим истинное в модели 33с
экзистенциальное предложение
(□ Х^ Хт) ф («Tj, Хт, ^19 ^п/9
где ., сп — элементы множества С. По теореме компактно-
сти модель б обладает таким элементарным расширением б', что
перед, сзади и между любыми двумя экземплярами упорядочения
(Z, ^), входящими в модель 6, в 6' имеется бесконечно много
экземпляров {Z, >. Пусть формула ф выполняется в 33с на по-
следовательности Ьт. Тогда можно так выбрать в б'
элементы dm, чтобы множества
{Z?i, &т9 ^1» • • 9 0} И {с^, ^19 ^П9 0}
были одинаковым образом упорядочены и чтобы расстояние в них
между двумя соответствующими элементами было либо одним и
тем же конечным числом, либо бесконечностью. Отсюда следует,
что ф выполняется в бс на элементах d±, . ., dm, так что пред-
ложение (3 хг . хт) ф верно в бс и в бс* Поэтому мы заклю-
чаем, что теория 7 (0, S) модельно полна.
Так как модель (со, 0, 8) изоморфно вкладывается во вся-
кую модель теории Т (0, 5), получаем, что Т {0, 5),— полная тео-
190
Гл. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
рия. Всякая ее счетная модель изоморфно, а потому элементарно,
вложена в модель <&*, 0, 5). Поэтому <®*, 0, S) — счет-
но-универсальная модель. Поскольку Т (0, S) имеет счетно-уни-
версальную модель, у нее имеется и счетно-насыщенная модель.
Теперь мы знаем о теории Т (0, S) достаточно много, для того что-
бы продолжить изучение исходной теории Т
Если даны модели 23 и Б теории Т7, то их обогащения (S3, 0,5)
и (Б, 0, S) до моделей теории Т (0, S) элементарно эквивалентны.
Поэтому элементарно эквивалентны и 23, и®, а значит, Т — полная
теория. В действительности Т = Th ((со, ^)). Эта теория не яв-
ляется модельно полной; например, добавляя в начале модели
(со, один новый элемент, мы получим ее расширение, изоморф-
ное ей, но не являющееся ее элементарным расширением. Итери-
руя этот процесс, убеждаемся, что Т не является даже устойчивой
относительно объединений цепей. Зато, по крайней мере, если
два линейных упорядочения связаны соотношением ЭД0о Ях, то
для соответствующих им моделей теории Т справедливо соотно-
шение ЭД* ЭД*, поскольку операции 0 и S в моделях ЭД* и
ЭД* — одни и те же.
Так как обеднение счетно-насыщенной модели само является
счетно-насыщенным, получаем, что Т имеет счетно-насыщенную
модель. Путем исключения мы можем опознать эту модель.
Модель (со, не является со-насыщенной, так как она
опускает множество всех «бесконечных» элементов. Пусть ЭД —
= (А, — произвольное счетное линейное упорядочение. Если
ЭД обладает последним элементом а, то (ЭД*, (а, 0)) опускает мно-
жество всех элементов, бесконечно больших, чем {а, 0), и потому
модель ЭД* не является со-насыщенной. Подобным же образом,,
если в ЭД имеется наименьший элемент или если ЭД не плотно,,
можно показать, что ЭД* не со-насыщенна. Единственная остаю-
щаяся возможность состоит в том, что ЭД — упорядочение Q, ра-
циональных чисел. Поэтому D* — счетно-насыщенная модель
теории Т Если же ЭД — счетное линейное упорядочение, содержа-
щее Q в качестве подмодели, но не изоморфное Q, то Q* -< ЭД*Г
и потому модель ЭД* счетно-универсальна, но не счетно-насыщенна.
У теории Т имеется и атомная модель. Так как никакая дру-
гая модель не вкладывается в модель (со, ), она и является про-
стой, а потому и атомной моделью теории Т
Теория Т имеет ровно три счетно-однородные модели, а имен-
но (со, ^), Q* и модель 1*, образованную присоединением един-
ственного экземпляра (Z, к концу (со, Чтобы убедиться
в счетной однородности модели 1*, заметим, что всякая функция /,
тождественная на (со, и сдвигающая множество (Z, на
конечное число позиций вправо или влево, является автоморфиз-
мом модели 1*. Предположим, что последовательности alt
. . ., ап и . . ., Ъп реализуют в модели 1* один и тот же тип.
3.4. Некоторые примеры
191
Тогда если at лежит в <(о, то непременно at = Если же
aj лежит в {Z. ), то там же находится и bj. и пусть bj = aj + т.
Кроме того, для всякого другого элемента из (Z, ЙС > разности
aj — ak и bj — bk должны совпадать, так что Ъь = + т.
Следовательно, существует автоморфизм модели 1*, отображаю*
щий каждый элемент aj в bj. Этим показано, что 1* счетно-одно-
родна. Доказательство того факта, что никакая другая модель
теории Т не является счетно-однородной, сходно с доказательст-
вом того, что никакая модель, кроме С*, не является счетно-
насыщенной, причём дополнительно используется приводимое
ниже описание типов.
Во всякой модели 21* теории Т множество (X, ^), где X =
= {{а, 0> а£Л}, есть множество неразличимых в 21*. Чтобы
убедиться в этом, предположим, что 21 — подмодель модели Q,
так что 21* -< Q*. Для любых возрастающих n-ок хг <
< хп и yi < . < уп из X существует автоморфизм мо-
дели Q*, переводящий каждый хг в Поэтому
(й*, хи .... хп) = (Q*, i/i, ., i/n).
Так как 21* < О*, имеем
(21*, хи .... хп) = (21*, i/i, ..., i/n),
откуда следует, что {X. — множество неразличимых в 21*.
Поскольку Т обладает счетно-насыщенной моделью, она имеет
только счетное множество типов n-ок. Эти типы могут быть явно
описаны. Рассмотрим следующие множества формул:
хг — хо = п означает, что х0 xlf и хг является n-м последо
вателем для я0,
xi — == оо означает, что xQ хх и 'Д (^ — х0 — п). п =
= 0, 1, 2,
Последовательности xlt .. хп и уг. ., уп реализуют один
и тот же тип тогда и только тогда, когда для любых i и j элементы
Xi. Xj и yi. yj реализуют одни и те же множества формул вида
Xt — 0 = П. Xf 0 = ОО, Xi — Xj = П. Xi — Xj = оо.
Чтобы доказать это, проверьте, что существует автоморфизм счет-
но-насыщенной модели, отображающий каждый хг в yt.
Пример 3.4.5. Арифметика Пеано. Теорема Гёделя о непол-
ноте показывает, что эта теория Т не полна. В действительности
и никакое ее конечное расширение Т J {ср^, ., срп} не является
полным. Поэтому, рассматривая соответствующее бинарное де-
рево, убеждаемся, что Т обладает 2° полными расширениями.
Согласно классическому результату Рылль-Нардзевского, Т ни
192
Г л. 3. Дальнейшие теоретико-модельные конструкции
при каком п не задается множеством Щ-аксиом. В частности, у
нее нет множества щ-аксиом. Поэтому, в силу соответствующей
теоремы об устойчивости, теория Т не является устойчивой отно-
сительно объединений цепей. Отсюда следует, что Т не устойчива
относительно подмоделей, а также не является модельно полной.
Она не устойчива и относительно гомоморфизмов, так как теория
Т не имеет одноэлементной модели.
Стандартная модель (со, О, S, -4-, > теории Т изоморфно вкла-
дывается в любую другую ее модель. Используя это обстоятель-
ство в сочетании с неполнотой теории Г, получаем еще одно дока-
зательство того факта, что Т не является модельно полной.
Теория Т «почти имеет» термальные скулемовские функции,
т. е. существует такое ее обогащение Г, что
(1) Т имеет термальные скулемовские функции.
(2) Всякая модель §1 теории Т обладает единственным обога-
щением до модели теории Т.
(3) Если ср — предложение языка то Т 1= ср тогда и только
тогда, когда Т ср.
(4) Для всякой формулы ср (£1? ., хп) языка X существует
такая формула ср (я1? хп) языка X. что Т 1= ср ср.
Обогащение Т получается в результате присоединения к языку
X новых функциональных символов (я1? яп), по одному
для каждой формулы (Эя) <р (я, я15 хп) языка X, и введения
аксиом
(Зя) ср (я, яп яп) -> ^(дх)ф (я1? яп) = наименьший
из тех х, для которых ср (я, х±, ял),
С (Зх) ф (х, xt, ..., хп) -> F(3x)(p (Z1, •. •, Хп) = 0.
Таким образом, (2) оказывается верным.
Благодаря имеющейся в арифметике Пеано схеме индукции тео-
рия Т обладает свойствами (1) — (4). Теория Т представляет собой
то, что называют расширением теории Т с помощью определений. Из
свойств (1)—(4) вытекает, что если ЭД и 33 — модели теории 7\ то
ЭД < 33 тогда и только тогда, когда ЭД cz 33. Отсюда видно, что пересе-
чение любого множества элементарных подмоделей модели 33 также
является ее элементарной подмоделью. В частности, всякая мо-
дель 33 теории Т обладает наименьшей элементарной подмоделью
и для всякого множества Xcz В существует наименьшая элемен-
тарная подмодель модели 33, содержащая X.
Всякое полное расширение Т' теории Т является атомной тео-
рией и потому имеет атомную модель. Причина этот явления со-
3.4, Некоторые примеры
193
стоит в том, что если формула ф (я^, яп) совместима с теорией
Т', то формула
(5) ср^!, .,ЖЛ)Л(УУ1 ^п)[ф(г/1, .. Уп)-+
^243v2... р^>2х13Х2 р**]
является полной в теории Т' и влечет за собой формулу ф. Стан-
дартная модель (со, О, S, + , ) является атомной моделью своей
собственной полной теории. Для всякой модели 93 арифметики
Пеано модель 21 -< 93, представляющая собой пересечение всех
элементарных подмоделей модели 23, должна быть счетной атом-
ной моделью теории Th (28). Это происходит потому, что ЭД не
имеет собственных элементарных подмоделей, так что никакая
другая модель теории Th (23) не может быть простой.
Счетную атомную модель ЭД < 23 можно также охарактеризо-
вать другим способом. Элемент Ъ В называется определимым
в модели 23, если существует такая формула ф (я), что Ъ — един-
ственный элемент множества В, на котором ф (х) выполняется
в 23, т. е.
23 1= (Vrc) (ф (х) ++ х = Ъ).
Тогда ЭД — такая подмодель модели 23, что А — множество всех
определимых в 23 элементов. Дело в том, что всякий определимый
в 23 элемент должен принадлежать модели ЭД, а если на элементе
а £ А выполняется полная формула ф (я), то а определим в ЭД,
а потому и в 23, посредством формулы ф (я) Л (Vy) (ф (у)у^я).
Поскольку существует лишь счетное множество формул, а всякий
элемент атомной модели теории Т определим указанным выше спо-
собом, получаем, что Т не имеет несчетных атомных моделей.
Покажем, наконец, что арифметика Пеано не имеет счетно-
насыщенных моделей. Действительно, пусть Т' — произвольное
полное расширение теории Т Пусть Рею — множество всех
простых чисел. Для всякого множества Хс Р, состоящего из
простых чисел, положим Гу (х) = {р | х : р U { р j х : р £ Р\Х}ф
Таким образом, х удовлетворяет множеству формул Гх (х)
тогда и только тогда, когда X — множество всех простых делите-
лей числа х. Для всякого конечного множества {фх (х),
Фп Гх (х) в арифметике Пеано можно доказать, что
(Эх) (ф! (х) Л Л фп (я)).
Поэтому каково бы ни былр полное расширение Т’ теории Г, вся-
кое множество Гх (х) должно быть совместимо с Т' Но если
Хг #= Х2, то множество (х) J Гх2 (х) несовместно. Отсюда
следует, что теория Т имеет 2ю различных типов от переменной
х (для каждого множества Г¥ (я), по крайней мере, по одному типу,
содержащему Гх (х)). Поэтому Т’ не имеет счетно-насыщенных
моделей.
13 г. Кейслер, . Ч, Чэн
ГЛАВА 4
УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЯ
4.1. Основная теорема
В предыдущих двух главах мы рассмотрели три важных метода
построения моделей, основанных на использовании констант,
скулемовских функций и элементарных цепей. В этой главе со-
держится обсуждение еще одного важнейшего метода построения
моделей — метода ультрапроизведений. Впервые он был приме-
нен в 30-х годах Скулемом, а после относящихся к 1955 г. работ
Лося использовался очень широко. В этом разделе мы вводим
понятия ультрафильтра и ультрапроизведения и получаем важ-
ные результаты, устанавливающие связь между ультрапроизве-
дениями и свойствами моделей языка первого порядка. Тут же
вводится более общая конструкция фильтрованного произведе-
ния, с которой мы вновь столкнемся в гл. 6.
Начнем с понятия ультрафильтра над множеством I, а затем
докажем теорему об ультрафильтрах, относящуюся к вопросу
об их существовании.
Пусть I — некоторое непустое множество. Напомним, что че-
рез 5 (7) обозначается множество всех подмножеств множества I.
Фильтр D над множеством I определяется как множество £>cz
cz S (Г), для которого
если X, Y £ D, то X Q У Е 7),
если X £ D и XczZcz/, то Z £ D.
Заметим, что, поскольку I D, всякий фильтр D есть непустое
множество. Приведем примеры фильтров:
Тривиальный фильтр D = {7}.
Несобственный фильтр D — S (I).
Фильтр D = {Xcz I FczX} для всякого множества Kez 7;
этот фильтр называется главным фильтром, порожденным множе-
ством Y
Фильтр Фреше D {X £ S (Г) 1\Х конечно}.
Фильтр D называется собственным, если он не совпадает с несоб-
ственным фильтром S (7). В следующем предложении показы-
4.1. Основная теорема
<95
вается, как можно построить фильтр, отправляясь от произволь-
ного подмножества множества 5 (7). Дадим сначала два определе-
ния.
Пусть Е — некоторое подмножество множества 5 (7). Филь-
тром, порожденным множеством Е, называется пересечение D
всех фильтров над 7, содержащих Е:
D = fl {F Ecz F и F — фильтр над 7).
Множество Е называется центрированным, если пересечение вся-
кого конечного числа элементов из Е непусто.
Предложение 4.1.1. Пусть Е — произвольное подмножество
множества S (Г), a D — фильтр, порожденный множеством Е.
Тогда
(i) D — фильтр над I.
(ii) D есть множество всех таких X £ S (Г), что или X ~ I,
или для некоторых Ух, Yn £ Е
А Уп<= X.
У1 А
(iii) Фильтр D является собственным тогда и только тогда,
когда Е — центрированное множество.
Доказательство, (i) почти очевидно.
Для доказательства пункта (ii) обозначим через D' множество
всех таких X g S (Г), что или X = I, или для некоторых Уъ
. ., Yn £ Е выполняется Ух А А Уп^ X. Покажем, что
D = D' Множество 7 мы уже зачислили в 7)' Пусть X, X’ С D',
и пусть Yi, Yj £ Е таковы, что
у^... рупс=х, у;а...аПсх
Если X cz Z cz 7, то
^1А
A^czZ,
и потому Z£Df. Кроме того,
YiА • • • А Уп A А
АУ^сХАХ'
и, значит, X А X' g D’ Следовательно, D'—фильтр над 1.
Очевидно, что Ecz D' Отсюда вытекает, что Daz ТУ
Рассмотрим теперь произвольный фильтр F над множеством 7,
содержащий множество Е. Очевидно, 7 £ F. Для любых множеств
Уъ • , Yn € Е имеем Yx А • А Уп € а потому фильтру
F принадлежит всякое множество X £ S (7), содержащее Ух А
А Уп. Следовательно, D' cz F. Отсюда вытекает, что D' cz D
и, значит, D — D'
(iii) непосредственно следует из (ii). —|
13*
196
Гл. 4. Улътрапроизведения
Сделаем небольшую паузу, чтобы привести еще один пример
фильтра, очень важный для нашего изложения. Пусть J — бес-
конечное множество, и пусть I = S& (J) — множество всех ко-
нечных подмножеств множества J. Для каждого j £ J пусть
j = {И I i € 0
— множество всех конечных подмножеств множества содержа-
щих элемент /. Положим теперь
Е = {/ 7 € J}-
Множество Е является подмножеством множества S (7), и мы
можем построить фильтр D, порожденный множеством Е. Согласно
предложению 4.1.1, D состоит в точности из таких подмножеств X
множества 7, что для Некоторого i С I всякий элемент-множество
i' £ Z, содержащий i, принадлежит множеству X. Кроме того,
множество Е является центрированным, и потому фильтр D соб-
ственный.
Обратимся теперь к ультрафильтрам. Фильтр D над множест-
вом I называется ультрафильтром над I, если для всякого
xesa)
X D тогда и только тогда, когда (Z\X)(fZ).
Если мы просто говорим, что D — ультрафильтр, то подразуме-
вается, что это ультрафильтр над множеством I = [J D.
Предложение 4.1.2. Следующие утверждения эквивалентны.
(i) D — ультрафильтр над множеством I.
(ii) D — максимальный собственный фильтр над 7, т. е.
D — собственный фильтр над I и всякий собственный фильтр
над 7, содержащий D, совпадает с
Доказательство. (i) =>- (ii). Пусть дано (i). Тогда
О £ Z), поскольку I g D и 0 = 7\7. Поэтому D — собственный
фильтр. Пусть теперь F — произвольный собственный фильтр над
множеством 7, содержащий D. Если X £ F и X Q D, то Z\X (: D,
поэтому I\X f F, и
0 = ХП(7\Х)6^.
Это противоречит предположению о том, что F — собственный
фильтр. Значит, Fez D, а потому F = D, и (ii) доказано.
(ii) (i). Пусть дано (ii). Рассмотрим произвольное множество
X £ S (/). Соотношения X £ D и f D не могут выполняться
одновременно, потому что тогда мы имели бы 0 f В, вследствие
чего всякое множество Y £ S (Г) входило бы в D и фильтр D
не был бы собственным. Поэтому достаточно доказать, что X g Z>,
если только QD. Пусть QD. Положим Е = D |J
4.1. Основная теорема
197
U {X}, и пусть F — фильтр, порожденный множеством Е, Возь-
мем произвольные множества У1? Yn £ Е, и положим
Z — П ПК.
Поскольку множество D замкнуто относительно конечных пере-
сечений, то либо Z g 7), либо Z = Y П X для некоторого У 6 7).
В первом случае Z =/= О, так как) 0 (+ D. Во втором случае мы так-
же имеем Z =/= О, поскольку иначе было бы У П X — О, У cz 7 \ X,
откуда 7\Х С D. Таким образом, в обоих случаях Z =/= 0. В силу
предложения 4.1.1, получаем, что 0 $ F. Это означает, что F —
собственный фильтр, содержащий фильтр D, откуда, согласно
(ii), F = D. Поэтому £cz D и X £ D. Этим доказано (i). —|
Докажем теперь важную теорему о существовании ультрафиль-
тров.
Предложение 4.1.3. (Теорема об ультрафильтрах.) Если Еа
cz S (7) — центрированное множество, то существует такой уль-
трафильтр D над 7, что EczD.
Доказательство. Согласно предложению 4.1.1, по-
рожденный множеством Е фильтр F не содержит пустого множе-
ства и, следовательно, является собственным. Если при этом
С — произвольная непустая цепь собственных фильтров над I, то
U С — также собственный фильтр над 7. Это очень легко выво-
дится из определения собственного фильтра, и мы предлагаем
читателю сделать это в качестве упражнения. Если, кроме того,
каждый фильтр D £ С включает множество Е, то и U С включает
Е. По лемме Цорна заключаем, что класс g всех собственных филь-
тров над 7, содержащих Е, обладает максимальным элементом,
скажем D. Таким образом, £cz D. Собственный фильтр D макси-
мален, так как если 7)' — собственный фильтр, содержащий D,
то Ес 7)', а потому D' £ S и D' — D. Итак, согласно предложе-
нию 4.1.2, D — ультрафильтр над множеством 7. —j
Следствие 4.1.4. Всякий собственный фильтр над I можно
расширить до некоторого ультрафильтра над 7.
Дока зательство. Всякий собственный фильтр яв-
ляется центрированным множеством (см. упр. 4.1.1). —|
Теперь мы готовы ввести понятие фильтрованного произведе-
ния и ультрапроизведения. Второе из них представляет собой
просто частный случай первого. Сначала мы применим соответст-
вующие конструкции к множествам, а затем — к моделям.
Пусть 7 — непустое множество, D — собственный фильтр над
7, а А{ при всяком i £ I — непустое множество. Пусть
198
Гл. 4. Улыпрапроизведения
— декартово произведение этих множеств. Иными словами, С —
множество всех отображений /, определенных на Z и таких, что
/ (0 g A i при всяком i g I. Функции f,gfzC назовем D-эквивалент-
ными (обозначение: / = Dg), если
= g(i)}£D.
Чтобы двигаться дальше, нам нужно следующее
Предложение 4.1.5. Отношение = D является отношением
эквивалентности на множестве С.
Доказательство его мы оставляем как упражнение. Пусть
теперь fD — класс эквивалентности, содержащий функцию /:
/о = {& € Сх / = ng}•
Мы определим теперь фильтрованное произведение множеств А,
по фильтру D как совокупность всех классов эквивалентности
отношения = D. Обозначается оно через £JAj. Итак,
ПЛ = {/п:/бП^}. °
D i£l
Множество I будем называть множеством индексов для [jAf.
D
В том случае когда D — ультрафильтр над множеством Z, филь-
трованное произведение [JA^ называется ультрапроизведением.
D
В том случае когда все множества At совпадают, т. е. Аг = А,
фильтрованное произведение обозначают через П А и называют
D
фильтрованной степенью множества А по фильтру D. Если,
в частности, D — ультрафильтр, то А называется ультрасте-
D
пенью множества А по фильтру D.
Строго говоря, наше обозначение f] At не вполне точно.
D
Имея фильтр/), мы можем извлечь из него множество индексов
I — Q 2), так что вводить I в наши обозначения нет необходимости.
Некоторые неясности могут, однако, возникнуть, если перемно-
жаемые множества зависят более чем от одного индекса, например
в случае П А/у. Фильтрованное произведение зависит на самом
D
деле не только от фильтра 2), но и от функции (Af. i g I}. Поэтому
иногда, когда в том возникнет нужда, мы будем применять для
фильтрованного произведения [jAf более подробнее обозначение
D
П(Л :*£/).
D
4.1, Основная теорема
199
Например, обозначение допускает разночтения, поскольку
D
под ним можно подразумевать любое, из произведений
П {А„ П (Ац: / € I), П <Atf: (i, /) € 1}
D D D
в наших более полных обозначениях.
Имеется целый ряд интересных и трудных проблем чисто тео-
ретико-множественной природы как относительно существования
ультрафильтров различных видов, так и относительно мощности
ультрапроизведений. Мы отложим обсуждение этих вопросов до
следующих двух разделов, а сейчас перейдем к основным теоре-
тико-модельным результатам об ультрапроизведениях, поскольку
именно эти результаты делают ультрапроизведения важными для
нас.
Дадим теперь определение фильтрованного произведения моде-
лей. Пусть I — непустое множество, D — собственный фильтр
над Z, и пусть при каждом i g I является моделью языка X.
Мы придерживаемся нашего обычного соглашения о том, что
предикатные символы Р интерпретируются в модели И; как 7?^,
функциональные символы F — как а константные с — как
4.1.6. Фильтрованное произведение есть по определению
D
модель языка описываемая следующим образом:
(i) Ее универсумом служит множество П Аг*
D
(ii) Пусть Р — некоторый n-местный предикатный символ
языка X, Интерпретацией символа Р в модели] [J служит
D
такое отношение 5, что
5 (/Ь, • • •» fb) тогда и только тогда, когда
(iii) Пусть F — некоторый n-местный функциональный символ
языка X. Символ F интерпретируется в П посредством так
D
определяемой функции Н:
н (/Ь, ..., /Ь) = (fit (/* (г), ..., Г (0): *6 I>D-
(iv) Пусть с — константный символ языка X. Интерпрета-
цией символа с служит элемент
b = (af: i £ I)D
множества [J At.
D
Для доказательства корректности сформулированного опре-
деления мы должны проверить, что значения S (/Ь, . . ., fb)
200 Гл. 4. Улътрапроизведения
и Н (/Ь, • /в) зависят только от классов эквивалентности
/Ь, /г и не зависят от их представителей /\ ., f1. Мы
оформляем этот факт в виде следующего предложения, оставляя
его доказательство в качестве упражнения.
Предложение 4.1.7. Пусть I, D. 9U такие же. как в определе-
нии 4.1.6. Предположим, что fl = Dg\ f1 = Dgn Тогда
{i £ I: Ri (Z1 (Z), f1 (Z))} в том и только
том случае, когда {I g I: Rt (g1 (Z), gn (Z))} g D,
и
<Gi (Z1 (0, Г (0): i e I > = Ж (g1 (Z), gn(Z)): Z 6 I >•
Докажем теперь две важные теоремы относительно ультра-
произведений. Первая из них, мы называем ее теоремой об обо-
гащении, имеет дело с переходом от языка X к его обогащению <2/
Это очень простой результат, но в сочетании с другими фактами
относительно ультрапроизведений он превращается в чрезвы-
чайно мощное орудие. Теорема об обогащении в действительности
имеет место для произвольных фильтрованных произведений.
Теорема 4.1.8. (Теорема об обогащении.) Пусть X' — обога-
щение языка X. Пусть I — непустое множество, и пусть 91 f
при всяком i g I — модель языка X, а 25/ — обогащение модели
91 j до модели языка X'. Пусть D — фильтр над I. Тогда филь-
трованное произведение [J 25 г- является обогащением филыпрован-
D
ного произведения 91/ до модели языка X'
D
Доказательство. Модели 91/ и 25/ при всяком i
имеют один и тот же универсум At = Вг. Поэтому и рассматри-
ваемые фильтрованные произведения имеют один и тот же уни-
версум Па П Bi. Поскольку 25i — обогащение модели 91/,
D Ь
каждый символ языка X одинаково интерпретируется в моделях
91/ и 25/. Из определения 4.1.6 видно, что интерпретация симво-
лов языка X в модели fl 911 зависит только от интерпретаций
D
этих символов в моделях Ин от универсумов этих моделей и от
фильтра D. Отсюда следует, что каждый символ языка X имеет
в моделях fl 25/ и [[ 91/ одну и ту же интерпретацию, и, таким
D D
образом, первая из этих моделей является обогащением второй. —[
Наш следующий результат представляет собой «основную тео-
рему» об ультрапроизведениях. Она справедлива лишь для ультра-
произведений, а не для произвольных фильтрованных произведе-
ний. Начиная с этого момента, мы сосредоточим наше внимание
4.1. Основная теорема
201
исключительно на ультрапроизведениях и вплоть до гл. 6 не будем
касаться фильтрованных произведений.
Теорема 4.1.9. (Основная теорема об ультрапроизведениях.)
Пусть 23 = П и пусть I — множество индексов. Тогда
D
(i) Для всякого терма t (хг, хп) языка X и элементов
/Ь, f Ъ 6 в
t/ь, ..., fb] - (% [/* (О, .., Г (01: i е I)d-
(ii) Для всякой формулы ср (а^, хп} языка X и элементов
/Ь , fb € в
23 ср [fb , fb 1 в том и только том случае,
когда {/ £ /: ср [fl (i), jn (/)]} £ D.
(iii) Для всякого предложения ср языка X
23 ср тогда и только тогда, когда {i £ Г. ср} Е В.
Доказательство, (iii) непосредственно следует из (i)
и (ii). Пункты (i) и (ii) доказываются индукцией по строению терма
или формулы соответственно.
(i) Непосредственно из определения фильтрованного произ-
ведения мы видим, что (i) имеет место для термов t (х±, ., хп)
вида F (хг, хп), и константных символов. Предположим
теперь, что
(*^1, • • •> *Сп) В (t-± (#i, ♦ , ^п), * •> tm (*^1’ ^п))*
где F — функциональный символ языка X, а для всех термов
•, tm утверждение (i) справедливо. Тогда по определению
интерпретации термов
*93 {/Ь? •••»/£>]= В (*193 1/Ь, ♦, /г>Ь ., tm% [fn, • • •, /г>1),
где Н — интерпретация символа F в модели 23. В силу (i), для
термов tt, tm имеем
= Ле = 1, т,
где
Согласно 4.1.6 (iii),
Н(ёЪ, ...,gS) = «?,(g1(O, •. gm (0): i e I)d-
Вновь применяя определение интерпретации терма, получаем
...,/п(01=(?{(^(0, •••, gra(0).
202
Гл. 4. Ультрапроизведения
Комбинируя полученные выше равенства, получим
1/Ь, • • •, /Ы = н (gb, ..., gS) = (%. I/1 (О, ..., Г (01:
Таким образом, утверждение (i) доказано и для терма t (х1ч
•» ^п)*
(ii) Доказательство того, что (ii) имеет место для всех атомных
формул, аналогично только что проведенному доказательству
пункта (i), и мы оставляем его детали читателю. Мы только ука-
жем, что при доказательстве пункта (ii) для атомных формул
используется пункт (i).
Предположим теперь, что <р = (хг, ., хп) и что (ii) имеет
место для формулы ф хп). Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
®i= <Pl/b, - -nib];
неверно, что 55 t= г|) [/Ь, • • •, fb]',
{i(EZ:2If 1=гит
{i 61: неверно, что <2Г4 1= гр (г), (01} € D-,
.... попел.
Тот факт, что D — ультрафильтр, используется при доказатель-
стве эквивалентности третьей и четвертой строк из этого списка.
Это единственное место во всем доказательстве теоремы, где дей-
ствительно нужно, чтобы D был ультрафильтром, а не просто
собственным фильтром.
На следующем шаге доказывается, что если утверждение (ii)
справедливо для формул ф и 0, то оно верно и для ф Д 0. Для
этого, подобно тому, как мы поступали в случае “|ф, выписы-
вается ряд эквивалентных соотношений. На этот раз важнейшее
нужное нам свойство фильтра D состоит в том, что
X р Y £ D тогда и только тогда, когда X £D и Y £D.
Этим свойством обладает всякий фильтр. Детальное проведение
этого шага доказательства не встречает затруднений и предо-
ставляется читателю.
Для шага индукции последнего типа предположим, что
ф (#i, хп) = (B^q) ф (Xq4 хъ х^
и что (ii) верно для ф. Тогда эквивалентны следующие утвер-
ждения:
35 t= <р[/Ь, ..., /Ы;
существует такой элемент fpg/?, что 55 ф [/2>, . ,/р];
(1) существует такой элемент /р£В,
что Об/:21^ф[Л(О, ...,/n(i)l}6^
4,1, Основная теорема
203
Поскольку из ЭД$ *ф [f° (i), ., f1 (i)] следует, что ЭДг t=
t= ф I/1 (i)> •> f1 (OL из сформулированного выше утвержде-
ния (1) вытекает
(2) {>€/: t= ф[/*(0, /п (01} € 29.
G другой стороны, если (2) верно, то можно выбрать такую функ-
цию f° £ [J что Для ее класса эквивалентности справедливо (1).
Ki
Поэтому утверждения (1) и (2) эквивалентны, и соотношение
« Ф[/Ь,
также оказывается эквивалентным утверждению (2). Тем самым
показано, что формула ф обладает свойством (ii). Наша индукция
закончена. Ч
Следствие 4.1.10. Пусть [J ?! — ультрастепенъ модели ЭД.
D
Тогда s?(.
D
Продемонстрируем теперь некоторые применения основной
теоремы. Дальнейшие ее приложения можно найти в упражне-
ниях. В качестве первого ее применения получим новое доказа-
тельство теоремы компактности (теорема 1.3.22).
Следствие 4.1.11. (Вариант теоремы компактности, связанный
с ультрапроизведениями.) Пусть S — множество предложений
языка X, I = So (S) —множество всех конечных подмножеств
множества S, и пусть ЭД* при всяком i £ I — модель множества
предложений i. Тогда существует такой ультрафильтр D над I,
что ультрапроизведение П является моделью для S.
D
Доказательство. Для всякого предложения о £ S
обозначим через а множество всех тех i £ I, для которых a f i.
Множество
Е = {а: а g S }
является центрированным, так как
{Oi, <тп} 6 од П П
Из теоремы об ультрафильтрах следует, что множество Е
можно расширить до некоторого ультрафильтра D над I. Именно,
можно взять любой ультрафильтр D над I, содержащий в качестве
подмножества множество Е. Если I £ о, то а £ I, откуда ЭД$ о.
Следовательно, для всякого предложения а Е S имеем
{i Е Г. ЭД; а} о а и а £ D.
Поэтому
{i £1: ЭД, t= а} £D.
204
Гл. 4. Ультрапроизведения
В силу основной теоремы об ультрапроизведениях, П £ а
D
для всех Значит, fj 21г— модель множества S. Ч
D
В следующем приложении основной теоремы с помощью уль-
трапроизведений и элементарной эквивалентности характери-
зуются понятия «элементарного класса» и «базисного элементар-
ного класса». Эта теорема лучше всего формулируется, если вос-
пользоваться понятием класса моделей. Эти классы столь велики,
что не могут быть множествами (см. приложение, посвященное тео-
рии множеств). Класс К моделей языка X называется элементар-
ным, если существует такая теория Т в языке X, что К есть класс
всех моделей этой теории. Класс К называется базисным элемен-
тарным, если существует такое предложение ср, что К — класс
всех моделей для ср. Класс К моделей языка X называется зам-
кнутым относительно элементарной эквивалентности, если из
условий £ К и 21 = 28 следует, что 23 Е Наконец, класс К
называется замкнутым относительно улыпрапроизведений, если
для всякого семейства моделей 21; С К и Для всякого ультра-
фильтра D имеем П а, € К.
D
Теорема 4.1.12. Пусть К — произвольный класс моделей. Тогда
(i) Класс К является элементарным в том и только том слу-
чае, когда он замкнут относительно ультрапроизведений и эле-
ментарной эквивалентности.
(ii) Класс К является базисным элементарным в том и только
том случае, когда и сам класс К, и его дополнение г) замкнуты
относительно ультрапроизведений и элементарной эквивалент-
ности.
Доказательство, (i) Всякий элементарный класс,
очевидно, замкнут относительно элементарной эквивалентности.
С другой стороны, основная теорема показывает, в частности, что
если 21 <р для всех i £ I, то J] 2G ср. Следовательно, всякий
D
элементарный класс замкнут также относительно ультрапроиз-
ведений.
Пусть теперь К — произвольный класс моделей, замкнутый
относительно ультрапроизведений и элементарной эквивалент-
ности. Пусть Т — множество всех предложений языка X, верных
во всех моделях 21 Е К. Очевидно, Т — теория в языке X, и вся-
кая модель 21 £ К — модель для Т Пусть 28 — произвольная
модель теории Т Пусть S — множество всех предложений, истин-
ных в модели 28; положим I — S w (S). Для всякого i = {о^,
., <тп} Е I существует модель 21; Е К, являющаяся моделью для
г) Имеется в виду дополнение класса К в классе всех моделей рассматри-
ваемого языка.— Прим, перев.
4.1. Основная теорема
205
множества предложений i, так как в противном случае предложе-
ние ”| (°i Л Л ап) принадлежало бы теории Т, будучи,
однако, ложным в модели ЯЗ. Для каждого i С / выберем по модели
21 £ К. Согласно следствию 4.1.11, существует их ультрапроиз-
ведение 21 (для подходящего ультрафильтра О), являющееся
D
моделью для S. Поскольку класс К замкнут относительно ультра-
произведений, имеем fj 21/ £ К. Но всякая модель множества
D
предложений 2 элементарно эквивалентна модели 26, так что
|[ 21 j = S3. Поэтому ЯЗ (Е Значит, К — класс всех моделей
D
теории Г, и, следовательно, К — элементарный класс.
(ii) Это легко выводится из пункта (i) и теоремы компактности
см. упр. 2.1.13). Детали оставляются в качестве упражнения. —|
В третьем приложении основной теоремы показывается, что
всякая модель 21 некоторым естественным образом элементарно
вкладывается во всякую свою ультрастепень. Мы сейчас опреде-
лим, что такое естественное вложение] модели 21 в модель Ц 21.
D
Этот вид вложений является очень важным и будет еще много раз
использоваться нами при изучении ультрапроизведений.
Пусть I —• непустое множество, D — собственный фильтр над
/, 21 — модель. Естественным вложением модели 21 в ультра-
степень Ц 21 называется такая функция d, что d (а) при всяком
D
а £ А есть класс эквивалентности функции-константы, прини-
мающей значение а, т. е.
d (а) = (a: i £ I }D.
Множество значений функции d обозначается через d (Л), а огра-
ничение модели (J 21 на множество d (Л) — через d (21).
D
Следствие 4.1.13. Пусть 21 — модель, a D — ультрафильтр.
Тогда естественное вложение модели 21 в ультрастепень 21
D
является элементарным вложением.
Доказательство. Пусть ср (х17 ., хп) — формула
языка X, и пусть аг, ., ап (Е Л. Тогда, согласно нашей основной
теореме, следующие утверждения эквивалентны:
П я 1= ф Id (ах), d (ап)];
D
{i € I- 91 t= ф [ап ап]} 6 D;
91 t= Ф [ах, ап]. Н
Следствие 4.1.13 показывает, что отображение d представляет
< < Г ой изоморфизм модели 21 на модель d (2Г) и что d (21) является
206
Гл. 4. Ультрапроизведения
элементарной подмоделью ультрастепени [] Я. В следующем
D
разделе среди прочих будет рассмотрен вопрос о том, при каких
условиях вложение d является собственным.
Последнее из рассматриваемых нами приложений основной
теоремы очень простое. В нем используется также теорема об обо-
гащении. Именно, мы покажем, что некоторые формулы второго
порядка «устойчивы относительно ультрапроизведений». Это при-
ложение окажется полезным в следующем разделе.
Мы хотим наряду с кванторами по индивидным переменным
рассматривать также кванторы по предикатным и функциональным
символам. Формулу ф назовем - формулой над языком <2?,
если она имеет вид
(*) (3 Л PmFi • Fn) Ф,
где Pi и Fj — новые предикатные и функциональные символы,
не входящие в язык £, а ф — формула в обогащенном (по срав-
нению с X) языке первого порядка
& = % и {Л, Pm. F^ Fn}.
Таким образом, 2}-формула представляет собой формулу второго
порядка, в которой все предикатные и функциональные кванто-
ры — кванторы существования, и располагаются они все в начале
формулы. Понятие выполнимости определяется для Sf-формул
очевидным образом. Если ф — предложение, то формула ф счи-
тается истинной в модели $ языка X тогда и только тогда, когда
существует такое обогащение
Я' = (Я, Rm, Gn)
модели 31 до модели языка X', что предложение ф истинно в Я'
Если же формула ф содержит свободную переменную х, то счи-
таем, что й t ф [а] в том и только том случае, когда существует
такое обогащение Я' модели Я до модели языка X' для которого
ST ф [а].
Следствие 4.1.14 (S|-формулы устойчивы относительно ультра
произведений.) Пусть 23 = П /Ь, /Ь € 5, а ф (хи
D
хТ) —некоторая ^i-формула. Если
i= ф I/1 (Z), Г (01} €
то
as ф i/ь, /&].
Доказательство. Пусть формула ф имеет вид (*);
положим
X = 0 6 7 : Я/ Г Ф I/1 (О, • • Г (01}-
4.1. Основная теорема
207
Для всякого i g[X обозначим через 2Ц такое обогащение модели
Я/ до модели языка X' что
st; t= ф t/1 (о. г (оь
Поскольку X £ D, по основной теореме об ультрапроизведениях
получаем
П ы ф i/ь,..., /Ь].
D
В силу теоремы об обогащении, модель П Ш является обогаще-
D
нием модели 23 = П до модели языка X' Поэтому
D
Я51= Ф[/Ь, Н
Использование обозначения S} могло удивить читателя. На
самом деле это просто частный случай весьма употребительного
способа классификации формул. Вообще Sn-формулой называется
всякая формула логики (т + 1)-го порядка, имеющая вид
(ЭХИ ... XlriVX21... X2r|... QXnl ХпГп) ф,
где ф — формула логики тп-го порядка. Нижний индекс п равен
числу блоков однотипных кванторов. Знак Q принимает значе-
ние V или 3 в зависимости от того, четно или нечетно число п.
Если формула имеет п блоков кванторов (т + 1)-го порядка,
первым из которых идет квантор всеобщности, то она называется
Пп-формулой. Как уже было сказано во введении к нашей книге,
мы будем иметь дело почти исключительно с логикой первого
порядка. Напомним, что Sn- и Щ-формулы — формулы первого
порядка —были уже введены нами в разд. 3.1.
Упражнения.
4.1.1. Пусть D —фильтр над множеством 7. Докажите экви-
валентность следующих утверждений:
(i) D — собственный фильтр.
(ii) О^Р.
(iii) D —центрированная система множеств.
4.1.2.
(i) Пересечение любого множества фильтров над I также
является фильтром над I.
(ii) Объединение любой цепи собственных фильтров над I
само является собственным фильтром над I.
4.1.3. Пусть D —ультрафильтр над множеством 7, и пусть
X g D. Тогда D П S (X) — ультрафильтр над X. Аналогичное
утверждение справедливо для собственных фильтров.
208
Гл. 4. У лътрапроизведения
4.1.4. Для того чтобы D был главным ультрафильтром над
множеством 7, необходимо и достаточно, чтобы D = {X £
£ S (I) i £ X} для некоторого i £ I.
4.1.5. Над всяким бесконечным множеством X существуют
неглавные ультрафильтры.
4.1.6. Фильтр D является главным тогда и только тогда,
когда Р) D £D. Всякий фильтр над конечным множеством глав-
ный.
4.1.7. Пусть D —собственный фильтр над множеством I.
Для того чтобы D был ультрафильтром, необходимо и достаточно,
чтобы для всех X, Y С S (7) из условия X J Y £ D вытекало бы,
что X £ D или Y g D.
4.1.8. Пусть Е — счетное подмножество множества S (со).
Порожденный множеством Е фильтр не может быть неглавным
ультрафильтром.
4.1.9. Докажите предложения 4.1.5 и 4.1.7.
4.1.10. Пусть D —главный ультрафильтр, a {]}£D. Дока-
жите, что модель ff Эг изоморфна модели
D
4.1.11. Пусть D —собственный фильтр над множеством 7.
Пусть, далее, X^DtlE—D[\S (X). Докажите, что
[]2Ь -Ж.
D Е
(Ср. с упр. 4.1.3.)
4.1.12« . Прямое произведение моделей S2P, где i £ 7, опреде-
ляется следующим образом.
Универсумом определяемой модели служит декартово произ-
ведение П Лр Считается, что отношение S (У1, /п) имеет
место в прямом произведении тогда и только тогда, когда соот-
ветствующее отношение Ri (У1 (i), . fn (i)) имеет место в каж-
дой из моделей i С 7. Функции Н определяются равенствами
77 (У1, П = (Д (0, Уп(0) И 7),
а константы Ь — равенствами
Ъ = {at i g 7).
Докажите, что прямое произведение изоморфно тривиальному
фильтрованному произведению [J ?Ij.
{1}
4.1. Основная теорема
209
4.1.13. Пусть D и Е —собственные фильтры над множе-
ством I и D cz Е. Тогда модель Ц является гомоморфным
Е
образом модели [J Поэтому всякое фильтрованное произве-
D
дение — гомоморфный образ прямого произведения моделей 21 f.
(Определения гомоморфизма и гомоморфного образа см.
в разд. 2.1.)
4.1.14. Докажите, что существует ультрапроизведение [J Аг
D
конечных множеств являющееся бесконечным.
4.1.15. Пусть D —собственный фильтр над множеством /.
Если каждая модель 21/ изоморфно вкладывается в соответствую-
щую модель 23f, то П изоморфно вкладывается в П
D D
Если каждая модель изоморфна модели 25ь то и модели f[
и J] изоморфны. Если каждая 21 t является гомоморфным
D
образом модели 25/, то и Д 21/ —гомоморфный образ модели
D
4.1.16. Пусть D —ультрафильтр над множеством I. Если
21/ = 93/ при всяком? i £ Ц то |[ s П Если же 21/ эле-
Pj D
ментарно вкладывается в 25i при всяком i £ I, то и [[ 2Г/ элемен-
* &
тарно вкладывается в JJ
d
4.1.17. Класс К моделей языка X называется псевдоэлемен-
тарным, если для некоторого обогащения X' языка X и неко-
торого элементарного класса К' моделей для X1 класс К пред-
ставляет собой совокупность всех ^-обеднений моделей из клас-
са К' Докажите, что всякий псевдоэлементарный класс замкнут
относительно ультрапроизведений. Докажите, что если Г —
некоторое множество SJ-предложений, то класс всех моделей
множества Г является псевдоэлементарным.
4.1.18. Пусть К —некоторый класс моделей языка X. Пусть
теперь М —класс всех моделей 2Г, элементарно эквивалентных
ультрапроизведениям элементов класса К. Докажите, что класс М
является элементарным и притом наименьшим элементарным
классом, содержащим класс К.
4.1.19. Докажите пункт (ii) из теоремы 4.1.12.
14 Г, Кейслер Ч. Ч. Чэп
210
Гл. 4. Улыпрапроизведения
4.1.20. Следующие утверждения равносильны:
(i) К — базисный элементарный класс.
(ii) К — класс всех моделей некоторой конечно аксиомати-
зируемой теории Т в языке X.
(iii) И К. и его дополнение — элементарные классы.
4.1.21. Пусть D —главный ультрафильтр. Докажите, что
d (ЭД) = fl ЭД и, следовательно, d —изоморфизм модели ЭД на
D
ультрастепень Ц ЭД.
D
4.1.22. Пусть D —собственный фильтр. Докажите, что есте-
ственное вложение d является изоморфным вложением модели ЭД
в модель [J ЭД.
D
4.1.23. Пусть К и М —классы моделей. Пусть —теория
класса К (т. е. множество всех предложений, истинных в каждой
модели из К), а Т2 —теория класса М. Докажите, что теория
Тг U Т2 непротиворечива тогда и только тогда, когда некоторое
ультрапроизведение моделей из класса К элементарно эквива-
лентно некоторому ультрапроизведению моделей из класса М.
4.1.24. Пусть ЭДа, а < р,— элементарная цепь моделей дли-
ны Р > 0. Пусть D — такой ультрафильтр над множеством Р,
что для всякого ординала а < р множество {у а<^у<;р}
входит в D. Докажите, что модель ЭДа элементарно вклады-
а<Э
вается в ультрапроизведение [J ЭДа.
4.1.25. Сохраняя остальные условия предыдущего упражне-
ния, будем считать, что ЭДа, а < Р, — (просто) цепь моделей, a D —
всего лишь собственный фильтр. Докажите, что I) ЭДа изоморф-
а<Э
но вкладывается в фильтрованное произведение ff ЭДа.
D
4.1.26. С помощью теоремы 4.1.12 докажите, что ни одна
из следующих теорий не является конечно аксиоматизируемой:
(i) бесконечные модели чистой теории равенства;
(ii) поля характеристики нуль;
(iii) вещественно замкнутые поля;
(iv) алгебраически замкнутые поля;
(v) полные абелевы группы;
(vi) абелевы группы без кручения;
(vii) теория модели (со, 5), где S —функция следования.
4.2. Измеримые кардиналы
211
4.1.27. Докажите, что ни один из перечисленных ниже клас-
сов моделей не замкнут относительно элементарной эквивалент-
ности (воспользуйтесь следствием 4.1.10):
(i) класс свободных групп;
(ii) класс периодических групп;
(iii) класс простых групп;
(iv) класс всех колец, изоморфных кольцам многочленов над
полем рациональных чисел.
4.1.28. Докажите, что всякая модель изоморфно вкладывается
в некоторое ультрапроизведение своих конечных подмоделей.
(Рассматривая эту задачу, сделайте предположение, что соответ-
ствующий язык X не содержит ни функциональных, ни кон-
стантных символов, так что конечные модели заведомо суще-
ствуют.) Отсюда получается более сильная форма следствия 2.1.9.
4.1.29. Постройте пример П}-формулы, не устойчивой отно-
сительно ультрапроизведений.
4.1.30. Пусть i £ 7,— некоторая совокупность полей.
Построим прямое произведение 7? = [{ Ft. Очевидно, что R —
кольцо. Для всякого ультрафильтра D над множеством 7 положим
Л7л = {/€7? {/С/:/(0 = 0}CD}.
Докажите, что
(i) Каков бы ни был ультрафильтр D, MD — максимальный
идеал кольца R.
(ii) Для всякого максимального идеала М кольца R суще-
ствует такой ультрафильтр D над 7, что М — MD.
(iii) Ультрапроизведение Ц 7\ изоморфно факторполю R/M.
D
Таким образом, ультрапроизведения полей представляют собой
по существу то же самое, что и факторполя прямых произведений
полей. Докажите, что те же утверждения имеют место и для тел
(задаваемых всеми аксиомами полей, кроме коммутативности
умножения).
4.2. Измеримые кардиналы
В этом разделе изучаются ультрапроизведения одного специ-
ального вида, а именно ультрапроизведения, построенные с помо-
щью a-полных ультрафильтров. Мы применим такие ультра-
произведения к проблеме существования a-полных ультрафиль-
тров. Эта проблема оказала большое влияние на современные
исследования в области теории множеств.
Пусть а — бесконечный кардинал. Фильтр D над множеством 7
называется а-полным, если пересечение всякого непустого множе-
14*
212
Гл. 4. Ультрапроизведения
ства, состоящего из меньшего, чем а, числа элементов фильтра Z),
само входит в D, т. е. если
из Е с: D и | Е | < а следует, что Q Е С £>•
Очевидно следующее
Предложение 4.2.1. (i) Всякий филыпр является ^-полным.
(ii) Фильтр D является a-полным для всех а тогда и только
тогда, когда он — главный фильтр.
(iii) Если а < 0, то всякий ^-полный фильтр является и
а-полным.
Несколько менее тривиально
Предложение 4.2.2. Пусть D — фильтр над множеством I
и | I | = а. Если D является а*-полным, то D — главный фильтр.
Доказательство. Пусть Е — множество всех эле-
ментов из D, дополнения к которым одноэлементны,
Е = {7\{0 I \ {г} € D}.
Поскольку | I | = а, то | Е | а < а+ В силу а+-полноты
фильтра D и очевидного включения E^D, имеем ^\E^D.
С другой стороны, если X £ D, то Q Е cz X, так как если i $X ,
то Хс / \ {/}, откуда I \ {£} £ D, I \ {/} £ Е и t $ Q Е. Итак,
D — главный фильтр, порожденный множеством Q Е. —(
Нас будут в основном интересовать неглавные a-полные уль-
трафильтры. Предыдущее предложение показывает, что в этом
случае а не может превышать мощность множества I.
Если а — регулярный кардинал, то совокупность D всех мно-
жеств Хс а, удовлетворяющих условию | а \ X | < а, пред-
ставляет собой а-полный неглавный фильтр над а. Ниже мы
увидим, что гораздо труднее найти a-полный неглавный ультра-
фильтр. Следующая лемма весьма полезна.
Лемма 4.2.3. Пусть D — ультрафильтр над множеством I.
Для того чтобы D был a-полным, необходимо и достаточно, чтобы
при всяком разбиении множества I на меньшее, чем а, число частей
хотя бы одна из этих частей попадала в D.
Доказательство. Предположим, что D является а-пол-
ным, и пусть I = — разбиение множества I на 0 частей,
где 0 < а. Тогда
П (/\хл)=о^р.
П<3
Поэтому I \ D при некотором т) < 0, откуда £ D.
4.2. Измеримые кардиналы
213
Предполож имтеперь, что при всяком разбиении множества I
на меньшее, чем а, число частей хотя бы одна из них попадает в D.
Пусть Е — некоторое подмножество множества D, причем | Е | <
< а. Пусть Е ~ {ел ц < 0} — его перечисление, где 0 < а.
Определим на I функцию / со значениями в 0 + 1 следующим
образом. Если i £ Q £, то f (z) = 0. Если i £ I \ то f (z)
есть наименьшее из тех ц < 0, для которых i $ еп. В силу нашего
предположения, найдется такое 0 + 1, что (ц) £ D. Для
каждого ц < 0 из равенства / (z) = ц вытекает, что i $ так что
У’1 (л) П ег\ = 0. Поскольку £ D, получаем (ц) QD. Поэтому
мы должны иметь f"1 (0) g D. Но /-1 (0) = Q Е и, значит, Q Е £
С D. Следовательно, ультрафильтр D является a-полным. -I
Теперь мы покажем, при каких условиях естественное вложе-
ние отображает модель ЭД на ультрастепень Q ЭД.
D
Предложение 4.2.4. Пусть ЭД —модель мощности a, a D —
ультрафильтр. Естественное вложение d отображает ЭД на
Д ЭД тогда и только тогда, когда ультрафильтр D является
D
а+-полным.
Доказательство. Предположим, что ультрафильтр D
является а+-полным. Пусть Дл. Тогда / отображает мно-
D
жество I в множество А. Поскольку | А | — а, разбиение I =
= [J {У-1 (а) а £ Л} разбивает множество I на меньшее, чем
а+, число частей. По лемме 4.2.3 существует такой элемент а £ Л,
что (а) g D. Тогда / = D{a t £ I}, так что fD = d (а). Этим
показано, что d (Л) = Д Л.
D
Предположим теперь, что d отображает ЭД на Д ЭД. Пусть
D
I — — разбиение множества I на 0<а+ частей. Так
как 0 а = | Л I, мы можем занумеровать множества по-дру-
гому, использовав в качестве индексов элементы множества Л,
скажем
/=Uxe,
а£В
где В cz А. Пусть / — отображение множества I в множество Л,
определяемое так: f (z) — а в том и только том случае, когда
i б Ха. Тогда fD £ J} Л = d (Л), так что fD = d (а) для некоторого
D
а £ А. Это означает, что /-1 (а) D. Но (а) = Ха, так что
Xn£D.B силу леммы 4.2.3, ультрафильтр 2) является а+-полным. н
214
Гл. 4. Улыпрапроиз ведения
Следствйе 4.2.5. Если модель 21 конечна или ультрафильтр D
главный, то естественное вложение d отображает модель 21 на
модель Ц 21.
D
Интерес представляют те ультрастепени, для которых d являет-
ся отображением строго в (а не на) П 21
D
Кардинал а называется измеримым, если на а существует
а-полный неглавный ультрафильтр. Очевидно, что со — измери-
мый кардинал. Из приводимых ниже результатов мы увидим, что
первый несчетный измеримый кардинал, если только он вообще
существует, должен быть очень большим. Заметим, что если над
некоторым множеством мощности а существует a-полный неглав-
ный ультрафильтр, то так же обстоит дело с любым другим мно-
жеством мощности а.
Лемма 4.2.6. Пусть D есть a-полный ультрафильтр над мно-
жеством I, a ft I —> J —некоторое отображение. Тогда множе-
ство Е = /-1 (У)16 D } является a-полным ультрафиль-
тром над множеством J.
Доказательство оставляем читателю в качестве упражнения.
Предложение 4.2.7. Пусть D — неглавный ультрафильтр.
Среди кардиналов а, для которых D является a-полным, суще-
ствует наибольший, а, причем он оказывается измеримым.
Доказательство. Поскольку ультрафильтр D неглав-
ный, среди кардиналов 0, для которых D не является 0-полным,
существует наименьший; назовем его 0. Этот кардинал не может
быть предельным, так как если бы ультрафильтр D был '/’-пол-
ным для всех у < 0, то D был бы замкнут относительно пересе-
чений любых совокупностей, состоящих из меньшего, чем 0,
количества множеств, и потому оказался бы 0-полным. Поэтому
0 — кардинал-последователь, т. е. 0 = а+, и а — наибольший
среди кардиналов а, для которых D является а-полным.
Так как D не является а+-полным, существует, согласно лем-
ме 4.2.3, такое разбиение I = множества I на а частей,
т|<а
что никакое из множеств Хп не принадлежит ультрафильтру D.
Пусть / — отображение множества I на множество а, задаваемое
следующим условием: / (i) == т] тогда и только тогда, когда i £
По лемме 4.2.6 множество
Е = {У cz а /-(У)€Д}
есть a-полный ультрафильтр над а. При этом Е не является глав-
ным ультрафильтром, так как если бы он был таковым, то мы
4.2. Измеримые кардиналы
215
имели бы {ц} G Е для некоторого ц < а, откуда следует, что
({л}) Значит, кардинал а измерим. Ч
Следствие 4.2.8. Если | А | меньше, чем первый несчетный изме-
римый кардинал {или если такового не существует), а ультра-
фильтр D является ^-полным, то естественное вложение d ото-
бражает модель ?! на ее ультрастепенъ Ц ЭД.
D
Доказательство. Если измеримых кардиналов, пре-
восходящих со, не существует, то по предложению 4.2.7 ультра-
фильтр D главный. Если же существует наименьший измеримый
кардинал а, больший со, то по предложению 4.2.7 ультрафильтр D
должен быть a-полным. Поскольку | А | < а, D будет и | А |+-пол-
ным. Наш результат вытекает поэтому из предложения 4.2.4. Ч
Теперь мы хотим доказать для a-полных ультрафильтров более
сильный вариант основной теоремы. Для этого нам потребуется
ввести язык Ха с бесконечными формулами. Язык Ха имеет
а индивидных переменных вместо счетного их множества, как
обычно. Множество формул языка Ха получается в результате
добавления к правилам построения формул, имеющимся в язы-
ке «56, следующих двух дополнительных правил, которые вводят
бесконечные конъюнкции и кванторы.
4.2.9. Если Ф —множество формул языка Ха, для которого
| Ф | < а, то ДФ есть формула языка Ха.
4.2.10. Если ф —формула языка Ха, а V —множество его
переменных, для которого | V | < а, то (V7) ф есть формула
языка Х„.
Таким образом, X ш —это просто обычная логика X.
Модели языка Ха — это те же модели, что и для языка X.
Если а — регулярный кардинал, то в каждую формулу языка Х^
входит меньше, чем а, символов. Следует заметить, что если
а > (о, то такая формула может содержать бесконечно много
свободных переменных. Определение истинности формулы языка
Х^ в модели получается из определения истинности формулы язы-
ка X в этой модели добавлением соответствующих пунктов.
Бесконечные дизъюнкции V Ф и кванторы существования (ЭЕ) ф
вводятся естественным образом как сокращения. Подробности
мы оставляем читателю в качестве упражнений.
Одним из наиболее интересных примеров свойств, выразимых
в языке Х^ служит свойство обрыва убывающих цепей для
рассматриваемого отношения. Следующее предложение означает,
что отношение Р {х, у) обладает этим свойством:
(V • • •) | Д Р ^п)*
216
Гл. 4. Улыпрапроизведения
Если это предложение присоединить к предложению языка X,
утверждающему, что Р (я, у) — линейное упорядочение, то полу-
чится предложение, гласящее, что Р (х, у) есть вполне-упоря-
дочение.
Предложение
~| (2*) А W <* € 2 }
языка Х^ означает, что тип 2 (х) опускается, а отрицание этого
предложения — что 2 (х) реализуется.
Предложение
(V#) (х = 0 v х = 1 v .)
истинно в модели 21 тогда и только тогда, когда 21 является
(о-моделью. Оно также является предложением языка Х&е
Теорема 4.2.11. Пусть 83 = [J 21^, где I —множество индек-
D
сов, a D —некоторый a-полный ультрафильтр. Тогда
(i) Если fb. fb. £ В, а ср (хх, х2, .) — формула языка
Ха, то
23 t= <р [fb, fb, .] тогда и только тогда,
когда {i £ I 2Tf ф [f1 (z), f (0, -5} € D.
(Список переменных хг, может быть бесконечным.)
(ii) Для произеолъного предложения ф языка Ха
23 ф тогда и только тогда, когда {z g I 21$ 1= ф} 6 /X
Доказательство. Утверждение (ii) — просто частный
случай утверждения (i). Из основной теоремы уже известно, что
(i) имеет место для формул языка X и, в частности, для атомных
формул. Совершенно аналогично доказательству этих фактов
доказывается, что если утверждение (i) справедливо для некоторой
формулы ф языка Х^, то оно справедливо и для формулы ~^ф.
Пусть теперь Ф —множество формул языка Х^, | Ф | < а
и (i) имеет место для каждой формулы ф £ Ф. Тогда для произ-
вольных элементов /Ь, fb, из В эквивалентны следующие
утверждения:
83t= (ДФ)[/Ь, /Ь,
53 1= ф [/ь, fb, •] для всех ф g Ф;
{z £ I 2Ii 1= Ф I/1 (i). f2 (i), .]} € D для всякой ф С Ф;
{z £ I 2lf ф [fl (z), f2 (0» -1 Для всякой ф g Ф} g
{tei 21, (дфи/чо,/2(0, лея.
Доказательство эквивалентности третьей и четвертой строк
опирается на a-полноту ультрафильтра D. Итак, для формул вида
ДФ выполняется утверждение (i).
4.2. Измеримые кардиналы
217
Предположим теперь, что (i) верно для формулы ф
У1у Учу •) языка Ха, где {г/х, i/2, .} —множество, со-
стоящее из меньшего, чем а, числа переменных, и
<Р = (ЭУ1У2 •) Ч-
Докажем, что (i) верно и для <р. Для этого достаточно заметить,
что эквивалентны следующие утверждения:
98 1= /Ь, ...1;
существуют такие gb, Sd, что
2S г= Ф [/Ь, /Ь, ...» gb, gD, ... 1;
существуют такие gb, gb, . € Б, что
{Н/ 2(f г ф [у1 (о, у2 (/), •» g1 (0, g2 (О»
{i£l 1= ср С/1 (Оэ У2 (0, -]}€2?-
Отсюда уже следует, что (i) имеет место для всех формул языка
Ха, так как бесконечный квантор всеобщности обычным образом
выражается через бесконечный квантор существования и отри-
цание. —|
Непосредственно применяя теорему 4.2.11, получаем, что при
условии сох-полноты ультрафильтра D всякое ультрапроизведение
вполне упорядоченных структур по ультрафильтру D является
вполне упорядоченным, а всякое ультрапроизведение по ультра-
фильтру D структур, обладающих свойством обрыва убывающих
цепей, само обладает этим свойством. Некоторые приложения
этой теоремы будут указаны в упражнениях. Особенно важным
ее приложением является следующая теорема о слабой компакт-
ности для языков с бесконечными формулами.
Теоремз 4.2.12 (теорема о слабой компактности). Пусть а —
измеримый кардинал. Если S — такое множество предложений
языка Х^у что I | = а и всякое подмножество So cz S, для кото-
рого | So | <; а, имеет модель, то Z имеет модель.
Доказательство. Так как кардинал а измерим, над а
существует а-полный неглавный ультрафильтр D. Поскольку D
не содержит одноэлементных множеств и является ос-полным,
он не содержит множеств мощности, меньшей а. Поэтому для
всякого 7 < а
{₽ у < ₽ < а} С D.
Перечислим множество 5 с помощью ординалов, меньших а:
2 = {ор : р < а}. Для всякого р < а множество предложений
218
Гл. 4. Улътрапроизведения
{ov у < 0} имеет некоторую модель Эр. Положим 23 = Ц Эр.
D
Тогда для всякого предложения oY £ S имеем
{р < а Эр t= о\} id {р у<₽<а}££>.
По теореме 4.2.11 получаем, что 23 —модель для 2. Ч
Всякий кардинал а, обладающий сформулированным в тео-
реме 4.2.12 свойством, называется слабо компактным. Таким
образом, всякий измеримый кардинал слабо компактен. Позднее
мы увидим, что обратное утверждение неверно и что на самом деле
для всякого несчетного измеримого кардинала а существует много
слабо компактных кардиналов р < а.
Лемма 4.2.13. Пусть а —несчетный измеримый кардинал,
и пусть D — неглавный a-полный ультрафильтр над а. Положим
23 = П (а, <). Тогда
D
(i) 23 — вполне упорядоченная структура, порядковый тип
которой больше, чем а.
(ii) Каков бы ни был ординал у < а, d (у) есть у-й элемент
структуры 23.
Доказательство. По теореме 4.2.11 структура 23 ока-
зывается вполне упорядоченной. Естественное вложение d являет-
ся изоморфным вложением, и потому порядковый тип структуры 23
не может быть меньше а. Для всякого у < а обозначим у-й эле-
мент из 23 через у. Пусть у < а, и предположим, что утвержде-
ние (ii) справедливо для всех б < у. Это означает, что d (б) = 6
для всех 6 < у. Для каждого б < а введем по новой констан-
те q, полагая, что с^ интерпретируется в модели {а, <, б >е<а
как б, а в модели (23, d (б))е<а — как d (б). В модели (а, <, б )б<а
выполняется предложение
(1) (Vx) (х < ++ V {ж = с6 б < у})
языка Ха. Поэтому, согласно теореме 4.2.11, (1) выполняется
и в модели (23, d (б))в<а. Таким образом, d (у) оказывается
у-м элементом модели 23, поскольку множество элементов, мень-
ших d (у), в точности совпадает с {б б < у}. Теперь утвержде-
ние (ii) получается по индукции.
Для доказательства пункта (i) вспомним, что ультрафильтр D
неглавный, а потому не является и а+-полным, откуда, согласно
предложению 4.2.4, получаем, что естественное вложение d ото-
бражает а строго в В. Но, в силу (ii), d (а) — начальный сегмент
структуры 23. Следовательно, d (а) — собственный начальный
сегмент, и мы получаем (i). Ч
4.2. Измеримые кардиналы
219
Теорема 4.2.14. Пусть а — несчетный измеримый кардинал.
Тогда
(i) а недостижим.
(ii) а является а-м недостижимым кардиналом.
Доказательство. Пусть D — неглавный а-полный
ультрафильтр над а. Рассмотрим модель 31 = (а, <, Ь)ь^а
и положим 98 = [J Я. Пусть Р — порядковый тип модели 93,
_ D
а через у для всякого у < Р обозначим у-й элемент модели 98.
Согласно лемме 4.2.13, имеем [3 > а, а также d (у) = у для всех
у < а. Таким образом, каждая константа cv, у < а, интерпре-
тируется в модели 21 как у, а в модели 93 — как d (у) = у. Теперь
все готово для доказательства пункта (i).
(i) Покажем сначала, что кардинал а регулярен. Предполо-
жим, что а сингулярен. Тогда для некоторого у < а существует
отображающая у в а функция F, множество значений которой
конфинально множеству (а, <). Положим F (6) = 0 для а >
>8>у и образуем модель (Я, F), а также ультрастепень
П (Я, F) = (33, G).
D
Для каждого б < а имеем
G (б) = G (d (б)) = d (F (б)) = F (б) < а.
Поэтому в модели (93, G) истинно предложение
(1) (Эх) (Vy) {у < су -> F (у) < х),
причем за х можно взять а. Но поскольку множество значений
функции F конфинально множеству (а, <>, предложение
(2) (Vx) (Зу) (y<cv*x<F (у))
истинно в модели (21, F), а потому и в модели (93, G). Однако
(1) и (2) противоречат друг другу. Поэтому а — регулярный кар-
динал.
Покажем теперь, что а — строго предельный кардинал, т. е.
что у < а влечет за собой 2v < а. Предположим, напротив, что
для некоторого у справедливы неравенства
У < а 2\
Тогда существует одно-однозначная функция F, отображающая а
в множество S (у). Пусть R cz а Ху — двуместное отношение,
«представляющее» функцию F, т.е.
R (т), б) тогда и только тогда, когда б £ F (я)*
220
Гл, 4. Улътрапроизведения
Построим ультрастепень
(S3, S) = П (я, я)-
D
Определим на 0 (порядковом типе модели 23) функцию F:
F (Я) = {6 < р S (я, б)}.
Функция F одно-однозначно отображает 0 в S (у), поскольку
в модели (21, R) — а потому и в модели (23, S) — истинны пред-
ложения
(Уху) (R (х, у)-+у< Су),
(Vxi/) [ж Ф у -> (3z) *“] (R (х, z) -<-> R (у, z))].
Кроме того, для всех ц < а имеем F (ц) = F (ц), так как есте-
ственное вложение d изоморфно отображает модель (21, F) в мо-
дель (23, G). Отсюда следует, что множество X — F (а) не при-
надлежит множеству значений функции F, в то время как X £
g S (у). Таким образом, предложение
(Зя) (Vy) (R (X, у) У {у = с6 б € X})
ложно в модели (21, 7?), но истинно в модели (23, 5), где за х
можно принять а. Полученное противоречие показывает, что
а — строго предельный кардинал, и (i) доказано.
(ii) Эта часть доказательства станет понятнее, если восполь-
зоваться тем фактом, что ^-формулы устойчивы относительно
ультрапроизведений (следствие 4.1.14). Пусть X — класс всех
недостижимых кардиналов, У — класс всех ординалов, не являю-
щихся регулярными кардиналами, a Z — класс всех ординалов,
не являющихся строго предельными кардиналами. Тем самым
у £ X тогда и только тогда, когда у $ У \}Z, Мы хотим показать,
что множество X П а конфинально множеству а. Отсюда, в силу
регулярности кардинала а, будет следовать, что | X П а | = а,
значит, а является а-м недостижимым кардиналом, и (ii) доказано.
Поскольку
ас XUYUZ,
достаточно доказать, что для любого у < а
(3) существует такой ординал 6, что у<Сб<аиб$Уи£-
Предположим, что утверждение (3) ложно для некоторого у <; а.
Тогда для всех б < а имеем
(4) б < у или б £ У или б £ Z.
Существует такая 2]-формула фу (и), что для всякой модели
<а', О, ординалом которой является а' и для всякого б < а'
(5) б £ У тогда и только тогда, когда (а'_ <С > 1= фу [б].
4.2. Измеримые кардиналы
221
Формула фу (ц) представляет собой формализацию утверждения
«Существует такой у < и и такар функция F: у -> и, что
множество значений функции F конфинально множеству и».
Существует также такая SJ-формула ф2 (и), что для любых
ординалов а' и 6 < а'
(6) 6 £ Z тогда и только тогда, когда <а', <) ф2 [б].
Формула фг (и) получается формализацией утверждения
«Существует такое у < и и такое отношение R сг и X у,
что R представляет одно-однозначную функцию, отображаю-
щую и в S (z/)».
Мы уже объясняли, каким образом функция F: и -> S (у) пред-
ставляется отношением R а и X у и как с помощью отношения R
выражается тот факт, что F одно-однозначна. Используя утвер-
ждения (4) — (6), получаем, что формула
(7) х < cv v (х) V фг (х)
выполняется в модели (а, < ) на всех элементах х £ а. Вынося
вперед кванторы второго порядка, замечаем, что утверждение (7)
эквивалентно некоторой 2}-формуле. Поэтому, согласно след-
ствию 4.1.14, формула (7) выполняется в модели <5, <) на всяком
элементе fa £ В- А так как модель (В, < > изоморфна модели
ф, <>, формула (7) выполняется в ф, <> на всяком х £ р.
Полагая х = а, получаем
а < у или ф, <) t= фу [а], или ф, <) фг [а].
Применяя (5) и (6) при 0 = а', мы видим, что
а < у или а g Y или а f Z.
Но это противоречит нашему предположению о том, что у < а,
и недостижимости кардинала а. Следовательно, утверждение (3)
справедливо, и наше доказательство окончено. —|
Пункт (ii) приведенного выше доказательства проходит и тог-
да, когда а — недостижимый слабо компактный кардинал (см.
упр. 4.2.9). Развивая это рассуждение, можно показать, что еще
большие кардиналы оказываются меньшими, чем а.
Следующее наше приложение измеримых кардиналов касается
аксиоматической теории множеств. Мы докажем, что из существо-
вания несчетного измеримого кардинала следует ложность аксио-
мы конструктивности, или — равносильно — из аксиомы кон-
структивности вытекает, что со — единственный измеримый кар-
динал. Аксиома конструктивности была введена в 1938 г. Гёделем
чтобы доказать совместимость обобщенной континуум-гипотезы
и аксиомы выбора с теорией ZF (или BG) в предположении непро-
222
Гл. 4. Ультрапроизведения
тиворечивости самой теории ZF. Сначала Гёдель доказал, что
если ZF непротиворечива, то непротиворечива и ZF с добавленной
к ней аксиомой конструктивности. Затем было показано, что аксио-
ма конструктивности влечет за собой и аксиому выбора, и обоб-
щенную континуум-гипотезу. Эти классические результаты при-
надлежат более теории множеств, нежели теории моделей, и поэто-
му лежат вне круга вопросов, рассматриваемых в этой книге.
Мы изложим сформулированный выше результат так, чтобы
обойтись минимумом сведений из теории множеств.
Вначале рассмотрим R (а) — функцию ранга. Для всякого
ординала а множество R (а) определяется следующим образом
(см. приложение):
R (0) = 0,
R (а + 1) = S (R (а)),
а для предельного ординала а
R (а) = U R (Р).
0<а
Множества R (а) важны потому, что они доставляют натураль-
ные модели теории множеств. В упр. 1.4.15 было показано, что
если 0 — несчетный недостижимый кардинал, то (R (0), f) являет-
ся моделью теории множеств Цермело — Френкеля, a (R (0 + 1),
£, R (0)) — моделью теории множеств Бернайса — Морса.
В следующем предложении перечисляются некоторые нужные
нам элементарные факты относительно функции R (а).
Предложение 4.2.15.
(i) Множество R (а) транзитивно, т. е. всякий элемент его
элемента сам является элементом из R (а) (см. разд. 1.4).
(ii) Если а Р, то R (а) с: R (Р).
(iii) Множество R (со + а) имеет мощность 2а.
(iv) Если а — ординал, то а cz 7? (а), но а $ R (а).
Нам потребуется еще одна теоретико-множественная функция
Н, значение Н (а) которой есть множество всех множеств, наслед-
ственно имеющих мощность, меньшую а. Именно для всякого
кардинала а множество Н (а) определяется условием
х g Н (а) тогда и только тогда, когда существует такое
транзитивное множество у, что х cz у и | у | < а.
Приведем некоторые основные свойства функции Н (а). Тео-
рия ZF — Р, описанная в приложении, представляет собой теорию
множеств Цермело — Френкеля без аксиомы множества-степени.
Предложение 4.2.16.
(i)7T(a) — транзитивное подмножество множества R (а).
(ii) Если а р, то Н (а) cz Н (0).
4.2. Измеримые кардиналы
223
(iii) a cz Н (а).
(iv) Если а — несчетный регулярный кардинал, то {Н (а), 0
есть модель теории ZF — Р.
Из определения неочевидно даже, что Н (а) — множество;
что это так, вытекает из пункта (i) сформулированного выше пред-
ложения. Чтобы доказать (i), мы индукцией по рангу множества у
показываем, что если у транзитивно и | у | < а, то у £ R (а).
Другие пункты также доказываются без труда. Оказывается также,
что Н (со) = R (со) и вообще Н (а) = R (а), если только а —
недостижимый кардинал. Однако Н (coj — сравнительно неболь-
шое подмножество множества R (toj: действительно, Н (сох) имеет
мощность 2°, в то время как мощность множества R (сох) рав-
на
Теперь нужно сказать несколько слов о фундированных моде-
лях. Напомним, что бинарное отношение Е называется фундиро-
ванным (или удовлетворяющим условию обрыва убывающих
цепей), если не существует бесконечной убывающей по отношению
к Е последовательности, т. е. не существует такой бесконечной
последовательности х$, что
x-JExq, х2Ехг,
Например, фундированным является е-отношение. Пусть {В, Е > —
фундированная модель. Будем говорить, что элемент b f В —
ординал модели {В, Е), если
(В, Е) 1= (Vyz) (y€bhz€b-+y€z\/z€yvy=z).
Легко видеть, что элемент х является ординалом модели {Н (а), С )
тогда и только тогда, когда х £ а. Нам понадобится еще один
предварительный результат.
Предложение 4.2.17. Пусть {В, Е)— фундированная модель
теории ZF — Р. Тогда множество ординалов модели {В, Е)
вполне упорядочено отношением Е.
Доказательство. Пусть х — произвольный ординал
модели {В, Е). На множестве X = {у g В : уЕх} отношение Е
должно быть транзитивным, так как если бы мы имели uEyEz,
но не uEz, то отсюда следовало бы либо и == z, либо zEu, и в обоих
случаях мы получили бы бесконечную последовательность, убы-
вающую по отношению к Е (либо у, и, у, и, ., либо z, у, и,
z, у, и, Следовательно, отношение Е линейно упорядочи-
вает множество X. А так как Е фундированно, множество X вполне
упорядочивается им. Теперь мы можем показать, что ординалы
модели {В, Е) вполне упорядочены отношением Е, сделав это
практически так же, как в системе ZF доказывается, что ординалы
вполне упорядочены отношением С (см. приложение). —}
224
Гл. 4. Улыпрапроизведения
Пусть {В, Е) — фундированная модель теории ZF — Р. По-
рядковым типом модели {В, Е) назовем порядковый тип множе-
ства всех ординалов модели <5, Е) относительно упорядочения Е.
Теперь мы можем сформулировать аксиому конструктивности.
Мы приводим ее в необычной формулировке, благодаря чему
оказывается возможным ограничиться минимумом сведений из тео-
рии множеств. Однако в ZF с аксиомой выбора можно показать,
что наша формулировка эквивалентна более привычным вариантам
аксиомы конструктивности.
Аксиома конструктивности. Каков бы ни был регулярный кар-
динал а > со, всякая фундированная модель {В, Е) теории ZF — Р
порядкового типа а изоморфна модели (Д’(a), £).
Эта аксиома утверждает, что множество Н (а) очень бедно.
Более ясно это усматривается из следующей эквивалентной фор-
мулировки аксиомы конструктивности (менее удобной, однако,
для наших целей):
Ни для какого регулярного кардинала а > со в множестве Н (а)
не существует собственного транзитивоного подмнжества М а,
такого, чтобы {М, £) было моделью теории ZF — Р.
Теорема 4.2.18. (Теорема Скотта.) (1) Из существования несчет-
ного измеримого кардинала вытекает ложность аксиомы конструк-
тивности.
(ii) Из аксиомы конструктивности следует, что со — един-
ственный измеримый кардинал.
Доказательство. Пусть а — первый несчетный изме-
римый кардинал. Положим р = I 222“ |+. Тогда R (а + 3) -
транзитивное множество мощности, меньшей 0, и 0 — регулярный
кардинал. ^Отсюда следует, что R (а + 3) g Н (0) и {Н (0), £) —
модель теории ZF — Р.
Пусть D — неглавный a-полный ультрафильтр над а. Постро-
им ультрастепень
(В, Е} = П <Я(р), 6>.
D
Она является фундированной моделью теории ZF — Р. Мы утвер-
ждаем, что модель {В, Е) имеет порядковый тип 0. Естественное
вложение d изоморфно отображает ординал 0 в множество орди-
налов модели (В, Е), так что порядковый тип модели {В, Е)
не меньше, чем 0. Пусть х — произвольный ординал модели
{В, Е). Тогда х = fD для некоторой функции /, отображающей
а в 0. Поскольку х) cf (0) > а, функция f не конфинальна орди-
х) Определения cf (0) и ау см. в приложении А.— Прим, перев.
4.2. Измеримые кардиналы
225
налу р. Таким образом, существует такой ординал у < 0, что
/ g ау. Отсюда следует, что если уЕх, то у = gD для некоторой
функции g £ ау. Поэтому множество {у уЕх} имеет мощность,
не большую, чем уа, а так как у 22 , получаем, что уа < р.
Этим показано, что всякий ординал модели {В, Е) имеет меньше,
чем Р, предшественников, откуда следует, что порядковый тип
модели (В, Е) не превосходит р. Наше утверждение доказано.
Пусть теперь ф (х) — формула теории множеств, утверждаю-
щая, что «х — первый несчетный измеримый кардинал». Если
выписать формулу ф (х) в явном виде, то нетрудно заметить,
что кванторы в ней можно ограничить, скажем, множеством
S (S (S (х))). Таким образом, элемент Ъ удовлетворяет в модели
{И (р), £) формуле <р (х) тогда и только тогда, когда b — дей-
ствительно первый несчетный измеримый кардинал, т. е. когда
Ъ = а. Поэтому единственный элемент ультрастепени (5, Е),
удовлетворяющий формуле ф (х),— это d (а). Ординал d (а) боль-
ше, чем а-й ординал модели (5, Е}, поскольку, в силу лем-
мы 4.2.13, существует такая функция / £ аа, что fD имеет а пред-
шественников, и в то же время ясно, что fD Ed (а). Это показы-
вает, что модель {В, Е) не изоморфна модели {Н (Р), О, так
как любой изоморфизм должен был бы отображать ординал а
в а-й ординал а модели (5, £), а ане удовлетворяет формуле
ф (х). Тем самым аксиома конструктивности оказывается лож-
ной. -Ч
ДокажехМ теперь еще одну теорему об ультрапроизведениях
по a-полным ультрафильтрам. Этот результат не имеет места для
слабо компактных кардиналов. Сначала нам нужно будет изучить
нормальные ультрафильтры. Так называют a-полные неглавные
ультрафильтры над а, обладающие одним важным дополнитель-
ным свойством. Мы определим нормальные ультрафильтры только
для множества а, являющегося несчетным измеримым кардина-
лом. Мы не будем пытаться вводить понятие нормального ультра-
фильтра над произвольным множеством I.
Ультрафильтр D над а называется нормальным, если а > со и
(1) D — неглавный ультрафильтр;
(2) D является а-полным;
(3) а-м элементом в ультрастепени (а, <) служит /р,
D
где / — тождественная на кардинале а функция, т. е. / (у) = у
для всех у < а.
Условие (3) можно сформулировать иначе:
Предложение 4.2.19. Пусть D — неглавный a-полный ультра-
фильтр над a; D является нормальным тогда и только тогда,
когда для всякой функции g £ аа, удовлетворяющей условию
15 г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
226
Гл, 4. Улыпрапроизведения
{0 : g (р) < 0} е d, существует такой ординал у < а, что
{i 6 « : g (0 = ?} € D.
Короче говоря, всякая «уменьшающая» функция на а эквивалентна
по модулю D функции-константе.
Мы относим доказательство этого факта в упражнения.
Предложение 4.2.20. Если а > со — измеримый кардинал,
то над а существует нормальный ультрафильтр.
Доказательство. Пусть Е — произвольный неглав-
ный a-полный ультрафильтр над а. Построим ультрастепень
П (а, <) = $8» и пусть fE — ее а-й элемент. Положим
D = {X с а : (X) £ Е).
Поскольку 0 $ D и для произвольных множеств X g S (а) и С cz
с$(а)
(а\Х) = а\/-‘ (X),
Г1 (UQ ^U/’1 (Q,
/-1 (ПС) =П/-1 (С),
то, в силу леммы 4.2.6, D является а-полным ультрафильтром
над а. Ультрафильтр D неглавный, потому что для каждого орди-
нала у < а
/в = а ¥= т = d (у),
откуда
/-1 ({?}) = {и а / (0 = у} $ Е,
так что {у} QD (как и раньше, через у обозначается у-й элемент
модели 23).
Покажем, наконец, что D нормален. Пусть функция g £ аа
такова, 4то
X = {0 g(0)< 0} (ЕЯ-
Мы хотим воспользоваться предложением 4.2.19. Положим h =
= go/. Тогда для всех ординалов 0 £ Л1 (Xj
h (0) = g (/ (0)) < / (0).
Поскольку f’1 (X) £ Е, то hE <Z Je ~ Поэтому для некоторого
у < а имеем hE = у. По теореме 4.2.14 у = d (у). Таким образом,
{i Е а МО = У} €
Но
{i h (i) = у} = {i g (j (г)) = ?} = Г1 ({/ g (j) = ?}),
откуда
/-1 ({/ : g (J) = ?}) € Е.
Согласно предложению 4.2.19, D нормален. —|
4,2. Измеримые кардиналы
227
Итак, теперь нам известно, что нормальные ультрафильтры
существуют. С другой стороны, для измеримого кардинала со
вряд ли можно построить полезный аналог нормального ультра-
фильтра, поскольку наше определение сильно зависело от вполне-
упорядочения на ультрапроизведении. Наша следующая теорема
показывает, сколь важны нормальные ультрафильтры.
Докажем теперь одно утверждение, касающееся ультрапроиз-
ведений множеств R (а).
Теорема 4.2.21. Пусть а — несчетный измеримый кардинал,
a D — нормальный ультрафильтр на а. Тогда
{R (а + 1), Е> & (₽ + 1). €>.
D
причем изоморфизм л рассматриваемых моделей может быть
задан следующим образом: для всякого х £ R (а 4- 1)
л (я) = (я fl Я (р) Р < а }D.
Док азательство. Введем для нашего ультрапроизве-
дения обозначение
п <Я(Р + 1), €) = <5, Е).
D
Нам нужно доказать, что функция л о дно-однозначна, сюръектив-
на и что для любых х. у £ R (а, + 1)
(1) х £ у тогда и только тогда, когда пхЕпу.
Чтобы убедиться в одно-однозначности функции л, предположим,
что х. у £ R (а -4- 1) и х =# у. Тогда существует элемент z. при-
надлежащий одному из выбранных элементов, но не другому —
скажем, z £ х\у. Поскольку х £ R (а + 1) = S (R (а)), имеем
z £ R (а). Ординал а предельный, поэтому z £ R (у) для некоторого
у < а. Тогда всякий раз, когда у Р < а, мы имеем
z = z n R (0) и i£(x(]R (0))\(i/ п R (0)).
Но множество всех ординалов р, для которых у Р < а, при-
надлежит ультрафильтру D, поскольку он является неглавным
и a-полным. Поэтому
nzEnx, но неверно, что nzEny,
Тем самым показано, что пх =^= пу, так что функция л одно-
однозначна.
Теперь проверим условие (1). Предположим, что х £ у. Тогда
х £ R (а), так что х f R (у) для некоторого у< а. Если у
Р <С а, то
х = X /?[(Р) и X С у 0 R (Р).
Отсюда следует, что пхЕпу,
15»
228
Гл. 4. Улыпрапроизведения
Докажем сюръективность функции л. Пусть fD £ В. Предпо-
ложим сначала, что
х - {р € а ;/(₽)€ R (Р)} € D.
Для ВСЯКОГО Р положим
g (Р) — наименьший ординал у, для которого / (Р) g Д (у + 1).
Тогда всякий раз, когда р g X, имеем g (Р) < р. Действительно,
если р — предельный ординал, то / (Р) g R (у) cz R (у + 1) для
некоторого у <; р. А если р = у + 1, то g (Р) у < р. Так как
ультрафильтр D нормален, по предложению 4.2.19 существует
такой у < а, что
y = {Р g (Р) = ?} е d.
Множество R (у + 1) имеет мощность ДНо, согласно тео-
реме 4.2.14, ординал а недостижим, и потому
а =
Рассмотрим теперь такое разбиение множества а, что одним из его
классов служит а\У и для любого множества и £ R (у + 1) мно-
жество
{р /(Р) = и}
также оказывается классом этого разбиения. Имеется всего
классов разбиения, и, в силу a-полноты ультрафильтра D, хотя бы
один из этих классов входит в D. Невозможно, чтобы а\У £ D,
так что существует такое и £ R (у + 1), что
{р /(Р) = и} £D.
Но для у < Р мы имеем и П R (р) = и, и потому
{р:/(Р) = и П Я(р)}€Я.
Отсюда следует, что fD == л (и); значит, fD является одним из зна-
чений функции л.
Приведенное выше рассуждение дает даже несколько больше:
(2) Если существует такой элемент gD g В, что hD EgD , то
найдется и £ R (а), для которого hD = ли.
Действительно, мы имеем
{Р -h (р) € g (Р)} € D,
откуда
{р h (р) е к (Р)} е d,
и наше рассуждение приводит к искомому и. Тем самым (1) дока-
зано в другом направлении.
Остается рассмотреть произвольный элемент fD £ В. Пусть
х = {у € R (а) щ/EId}-
4.2. Измеримые кардиналы
229
Тогда х f R (а + 1). Мы утверждаем, что пх = fD. Поскольку
аксиома объемности верна и в модели (7? (а + 1), О, и в модели
{В, Е), достаточно доказать, что
(3) hDEfD тогда и только тогда, когда hDEnx.
Если hDEfD. то, согласно (2), имеем hD = пи для некоторого
и £ R (а). Тогда uf х и, в силу (1), hD = пиЕпх.' Если же
hDEnx, то можно снова с помощью (2) получить такое и £ R (а),
что hD — пи. Но тогда пиЕпх и, согласно (1), и £ х. По определе-
нию множества х имеем hD = nuEjD. Этим доказано (3), так что
ля = /п, и, значит, л отображает R (а + 1) на В. Н
Следствие 4.2.22. Пусть а — несчетный измеримый кардинал,
a D — нормальный ультрафильтр над а. Тогда для всякой фор-
мулы ср (х±. хп) и произвольных 51? Sn £ 7? (а + 1)
(R (а + 1), £) ф [S1? 5П]
в том и только том случае, когда
{0 е а : (Я (р + 1), о 1= <р [S, Г1 я (Р), МЛ (Р)]} 6 D.
Если ф — предложение, то
{R (а + 1), £) ф
тогда и только тогда, когда
{р € а {R (р + 1), £) t= ф} £D.
Мы заключим этот раздел предложением, показывающим, что
несчетные измеримые кардиналы очень велики.
Теорема 4.2.23. Пусть а — несчетный измеримый кардинал,
a D — нормальный ультрафильтр над а. Тогда
(i) Множество всех недостижимых кардиналов 0 < а вхо-
дит в D.
(ii) Множество всех слабо компактных кардиналов 0 < а вхо-
дит в D.
(iii) а является а-м слабо компактным недостижимым карди-
налом.
Доказательство. Пункт (iii) вытекает из (i) и из (ii),
поскольку всякое входящее в D множество имеет мощность а.
(i) Если естественным образом формализовать определение
недостижимого кардинала, то мы получим такое предложение ф,
что для всякого ординала 0 условие <7? (0 + 1), (=) tzz ф выпол-
няется тогда и только тогда, когда 0 — недостижимый кардинал.
Поскольку а, согласно теореме 4.2.14, недостижим, предложе-
230
Гл. 4. Улыпрапроизведения
ние ф истинно в модели {R (а + 1), 0; поэтому, в силу след-
ствия 4.2.22, выполняется утверждение (i) теоремы.
(ii) Поскольку свойство слабой компактности было определено
в рамках теории моделей логики с бесконечными формулами,
формализовать его в теории множеств, ограничиваясь только
^-отношением, не так-то просто. Вместо этого мы воспользуемся
одним теоретико-множественньш свойством, которое для недости-
жимых кардиналов эквивалентно слабой компактности. Установ-
ление этой эквивалентности относится в одно из упражнений. Дву-
местное отношение хТу называется деревом на множестве X, если
(1) Т транзитивно, т. е. из хТу и yTz следует xTz;
(2) Т фундированно;
(3) если уТх и zTx, то либо yTz. либо zTy, либо у = z;
(4) Т обладает таким наименьшим элементом t, что tTx для
всех х £ Г\{г}.
Из (2) следует, что ни хТх, ни хТуТх невозможно. Пусть Т —
дерево на множестве X. Для всякого х £ X множество всех пред-
шественников элемента х вполне упорядочено отношением Г,
поскольку это множество линейно упорядочено, а отношение Т
фундированно. Пусть о (х), порядок элемента х. есть порядковый
тип множества всех предшественников элемента х. Порядок дере-
ва Т, обозначаемый через о (Г), определяется как точная верхняя
грань порядков всех х £ X:
-о (О = U о (*).
х£Х
Читателю следует самостоятельно убедиться в том, что график
всякого дерева выглядит как настоящее дерево. Ветвью дерева Т
называется всякое множество 5 с X, для которого
(5) если х £ В и уТх, то у С В;
(6) если х, у £ В, то либо хТу, либо уТх, либо х = у.
Таким образом, всякая ветвь дерева Т линейно упорядочена,
а потому и вполне упорядочена отношением Т Порядком ветви В
называется порядковый тип множества В при упорядочении Т7.
Будем говорить, что кардинал а обладает свойством ветвления,
если выполняется такое условие:
во всяком дереве Т мощности а и порядка а, в котором
при каждом Р < а имеется меньше чем а, элементов поряд-
ка р, всегда существует ветвь порядка а 1).
Мы относим в упражнения проверку того факта, что недости-
жимый кардинал а обладает свойством ветвления тогда и только
тогда, когда он слабо компактен. Если формализовать приведен-
г) По существу это условие означает, что для кардинала а справедлив
a-аналог теоремы Кёнига о счетных графах.— Прим» ред.
4.2. Измеримые кардиналы
231
ные выше определения дерева и свойства ветвления, то мы полу-
чим такое предложение гр, что для любого кардинала 0 условие
{R (0 + 1), g) tzz ф равносильно наличию у 0 свойства ветвле-
ния. Поскольку кардинал а слабо компактен (теорема 4.2.12)
и недостижим, получаем, что (7?(а-|-1), Q ф. Поэтому
С7 = {Р < а : (Я (0 + 1),
В силу (1), множество всех таких 0 £ U, что 0 — недостижимый
кардинал, входит в D, откуда следует (ii). -4
Упражнения
4.2.1. Пусть кардинал а измерим. Докажите, что если | I |
а, то над множеством I существует a-полный неглавный уль-
трафильтр.
4.2.2. Пусть ?! — модель, для которой [ А | а, и пусть
II £ II а* Докажите, что существует такое предложение ср языка
<S?a+, что для любой модели 23 условия 23 t= (р и 23 = ЭД рав-
носильны.
4.2.3* Пусть ЭД — модель, для которой | А | а. Дока-
жите, что для любой модели 23 условие эквивалентности моделей
ЭД и 23 в языке Ха+ равносильно условию ЭД = 23 (даже когда
X содержит более а символов).
4.2.4. Пусть ЭД = (а, 5)Sca, a 23 = CS, Ts)Sca — эле-
ментарное расширение модели ЭД в смысле языка <Za. Для любого
b £ В положим
Db = {S^a Ts(b)}.
Докажите, что каждое множество Db является a-полным уль-
трафильтром над а. При этом Db является главным тогда и только
тогда, когда Ъ £ а.
4.2.5. Кардинал а называется сильно компактным, если для
языка Ха имеет место следующая теорема компактности: пусть
2 — такое множество предложений языка что всякое мно-
жество 20 cz 2, для которого | 20 I < а, имеет модель; тогда и 2
имеет модель. Докажите, что всякий сильно компактный кардинал
измерим.
[Указание: Воспользуйтесь предыдущим упражнением.]
4.2.6. * Теоретико-модельные критерии измеримости. Докажи-
те эквивалентность следующих условий:
(i) а — измеримый кардинал.
(ii) Если последовательность множеств 2 р, 0 < а, предложе-
ний языка Ха такова, что для каждого у < а множество U 2Р
6<Y
232
Гл. 4. Улыпрапроизведения
имеет модель, то и множество (J 2р имеет модель («промежуточ-
на
нал компактность»).
(iii) Всякая модель §1 мощности | А | = а обладает собствен-
ным элементарным расширением в смысле языка <Za.
(iv) Модель (R (a), £, 5)§сЛ(а) обладает таким собственным
элементарным расширением S8 = {В, Е, Ts)s<zR(a), что для
всех Ь £ В и а £ В (а) из условия ЬЕа вытекает, что b £ R (а).
4.2.7. Докажите, что для любой 21-формулы ф (^1? хп)
формула (V^) ф (яц rrn)j также эквивалентна некоторой
2рформуле.
[Указание: Замените квантифицируемые предикатные и функ-
циональные символы символами с на единицу большим числом
аргументов.]
4.2.8. Пусть a — несчетный слабо компактный кардинал,
и пусть 21 = (а, <, Ri, Rn). Докажите, что существуют
такой ординал р >а и модель 23 = (0, <, ., 5П), что
21 < 23 и всякое 21-предложение, истинное в модели St, истинно
и в 23.
4.2.9. * Докажите, что если a > со — недостижимый слабо
компактный кардинал, то а является a-м недостижимым карди-
налом.
[Указание: Приспособьте к данной ситуации доказательство
теоремы 4.2.14 (ii), воспользовавшись двумя предыдущими упраж-
нениями.]
4.2.10. Множество Cq а называется неограниченным, если
U С = а; оно называется замкнутым, если для всякого непу-
стого множества X cz С справедливо X С С или X — a.
Докажите, ^что если a — регулярный кардинал, то пересечение
меньшего, чем а, числа замкнутых неограниченных подмножеств
множества а само является замкнутым неограниченным подмно-
жеством множества а.
4.2.11. Пусть cf (а) > со и С — замкнутое неограниченное под-
множество множества а. Докажите, что множество
С = {Ре a :₽ = U(<W)}
всех предельных точек множества С само является замкнутым
неограниченным подмножеством множества а.
4.2.12. Кардинал а называется числом Мало, если всякое зам-
кнутое неограниченное подмножество множества а содержит
некоторый недостижимый кардинал. Докажите, что всякое число
Мало а является a-м недостижимым кардиналом.
4.2. Измеримые кардиналы
233
4.2.13. * Пусть а > со — недостижимый слабо компактный кар-
динал.
(i) Докажите, что а — число Мало.
(ii) Докажите, что а является а-м числом Мало.
4.2.14. * Пусть Хр, р < а,— трансфинитная последователь-
ность подмножеств множества а. Диагональным пересечением
множеств Хр мы называем множество
dn х₽ = !т'ба:теГШ.
0<а (3<v
Докажите, что D является нормальным ультрафильтром над а
тогда и только тогда, когда D — неглавный a-полный ультра-
фильтр, замкнутый относительно диагональных пересечений, т. е.
если Хр g D при всех р < а, то dQ Хр £ D.
Р<а
4.2.15. * Пусть D — нормальный ультрафильтр над а. Дока-
жите, что всякое замкнутое неограниченное подмножество мно-
жества а входит в D.
{Указание: Примените теорему 4.2.19.]
4.2.16* . (Операция Мало.) Пусть X cz а. Определим М (X)
как множество всех таких ординалов р < а, что всякое замкнутое
неограниченное подмножество множества Р содержит элемент
из X. (Таким образом, если X — множество всех недостижимых
кардиналов р < а, то М (X) есть множество всех чисел Мало
Р < а.) Докажите, что всякий нормальный ультрафильтр D
над а замкнут относительно операции Мало, т. е. если X £ D,
то и М (X) g D.
4.2.17. Пусть D— нормальный ультрафильтр над a, a g£aa;
положим
Е = {Xca г1 W6Z?}.
Докажите, что если Е — нормальный ультрафильтр над а, то Е = D.
4.2.18. Пусть ф есть ^^-предложение в языке модели
{R (a), g, S }. Предположим, что а — измеримый кардинал, а D—
нормальный ультрафильтр над а. Докажите, что если
{ре<х: ш (Р), е, s А Я(Р)>1=
то
<R (а), С, |S) ф.
4.2.19. Кардинал а называется П%-неопределимым, если для
всякого множества S cz R (а) и для любого П™-предложения
Ф из условия
{R (a), С, S) t= ф
234
Гл, 4. Ультрапроизведения
вытекает существование такого (J < а, что
{R (р), е 5 пя(р)) г Ф.
Понятие ^-неопределимости вводится аналогично.
(i) Докажите П?-неопределимость всякого измеримого кар-
динала а >о).
(ii) Докажите, что первый измеримый кардинал а > со
не является 2^-неопределимым.
4.2.20*. Кардинал |3 называется неопределимым, если он
П™-неопределим при любых ттг, п < со. Докажите, что если а —
первый несчетный измеримый кардинал, то существует неопреде-
лимый кардинал р < а.
[Указание: Пусть D — нормальный ультрафильтр над а.
Докажите, что в ультрастепени ]J {R (а), £) формула, выра-
D
жающая утверждение «х неопределим», выполняется на эле-
менте а.]
4.2.21* Эквивалентные формулировки условия слабой ком-
пактности. Докажите, что для любого недостижимого кардинала а
следующие утверждения эквивалентны:
(i) а слабо компактен.
(ii) Всякая модель мощности а, имеющая не более а отноше-
ний и функций, обладает собственным элементарным расшире-
нием в смысле языка Ха.
(iii) Всякая модель
= <2? (а), е, Sn Sn>
обладает таким собственным элементарным расширением $8 = {В, Е,
Т1У ., 5ГП), что для всех Ь£В и a £ В (а) из условия ЬЕа
вытекает, что Ъ g R (а).
(iv) Либо а = со, либо а является П}-неопределимым карди-
налом.
(v) а обладает свойством ветвления (см. доказательство тео-
ремы 4.2.23).
(vi) (Теорема Линденбаума для языка <5?а.) Пусть | X | а.
Если S — множество предложений языка Х^, для которого
| S | а и которое обладает тем свойством, что всякое его под-
множество мощности, меньшей а, имеет модель, то S может быть
расширено до некоторого максимального множества, обладаю-
щего тем же свойством.
[Указание: Проще всего доказывать эти эквивалентности в та-
ком порядке:
(i) -* (ii) (iv) -> (v) (vi) -> (i) и (ii) -> (iii) (v).]
4.3. Регулярные ультрастепени
235
4.3. Регулярные ультрастепени
В предыдущем разделе мы исследовали ультрапроизведения,
построенные по a-полному ультрафильтру. Теперь мы изучим
противоположный случай — ультрапроизведения по ультрафиль-
тру, не являющемуся со1-полным. Читать этот раздел можно неза-
висимо от разд. 4.2.
Мы начнем с рассмотрения ультрафильтров различных типов,
а именно счетно-неполных, однородных и регулярных.
4.3.1. Фильтр D называется счетно-неполным, если существует
такое счетное множество Е cz D, что Q Е $D. (Это означает то
же, что и —в терминологии раздела 4.2 — не быть coj-полным.)
4.3.2. Пусть а — кардинал. Собственный фильтр D над мно-
жеством I называется a-регулярным, если существует такое мно-
жество Е cz D, что | Е | = а и всякий элемент i g I принадлежит
лишь конечному числу множеств е £ Е .
Предложение 4.3.3. Необходимым и достаточным условием
(^-регулярности фильтра D над множеством I является существо-
вание такой счетной убывающей цепи
что In £ D при всяком п и [~\1п = 0.
п
Это предложение часто бывает полезным при работе с ультра-
произведениями. Его доказательство мы оставляем в качестве
упражнения. Очевидно, что понятие a-регулярного фильтра по
мере возрастания а становится все более узким. Имея в виду
следующее предложение, мы можем мыслить а-регулярность
как все более и более усиливающийся с возрастанием а вид счет-
ной неполноты.
Предложение 4.3.4. Ультрафильтр D является (^-регулярным
тогда и только тогда, когда он счетно-неполон. Всякий ау-регу-
лярный фильтр счетно-неполон.
Доказательство. Предположим, что фильтр D являет-
ся co-регулярным. Пусть множество Е с: D, | Е | = со, таково,
что каждый элемент i £ I принадлежит лишь конечному числу
множеств е £ Е . Тогда Q Е = 0, а так как D — собственный
фильтр, получаем Q Е $ D, откуда следует, что D счетно-неполон.
Пусть теперь D — счетно-неполный ультрафильтр. Выберем
множество Е = {е0, е1? .} cz D так, чтобы Q Е $£>. Положим
~ ^9 ^п+1 ^п+1*
236
Гл. 4. Улыпрапроизеедения
Тогда Е' {е', е[, .} с D и Q Е' = 0. Следовательно, D
является w-регулярным. —1
Нашей следующей задачей будет установить существование
a-регулярных ультрафильтров.
Предложение 4.3.5. Над всяким множеством I бесконечной
мощности а существует а-регулярный ультрафильтр D.
Доказательство. Достаточно показать, что а-регу-
лярный ультрафильтр существует над некоторым множеством
J мощности а. Рассмотрим множество J = S о (а) всех конечных
подмножеств множества а. Для всякого РЕ» положим
₽ = {7б/:₽€/}
И
Множество Е имеет мощность а. При этом всякий элемент j £ J
принадлежит лишь конечному числу множеств 0 Е £*, поскольку
множество / конечно, а / ЕР означает, что 0 Е 7- Отсюда следует,
что всякий собственный фильтр над множеством J, содержа-
щий Е, является «-регулярным. Множество Е является центри-
рованным, так как
{01, 0n}Е01П П0п-
Поэтому по теореме об ультрафильтрах это множество Е может
быть расширено до некоторого ультрафильтра D над множе-
ством J, который, понятно, оказывается «-регулярным. —i
Обратимся теперь к проблеме мощности ультрапроизведений.
Если даны ультрафильтр D над множеством I и непустые мно-
жества Аь i Е I, то какова мощность их ультрапроизведения
fj A i? Из] упр,. 4.1.15 тривиально следует, что мощность ультра-
D
произведения зависит только от мощности множеств Л^.
D
Таким образом, наша проблема мощности представляет собой
в действительности задачу из арифметики кардинальных чисел.
Некоторые случаи этой проблемы остаются нерешенными и кажут-
ся довольно трудными. Мы приведем здесь, однако, некоторые
частичные ответы, значительно проясняющие этот вопрос, а затем
применим эти результаты в теории моделей. Начнем с перечисле-
ния некоторых элементарных фактов.
4.3. Регулярные улыпрастепени
237
Предложение 4.3.6. Пусть D — собственный фильтр над
множеством I. Тогда
(i) Если | Ai | = | Bi | для всех if/, то | f] At | = | [[ Вг |.
D D
(ii) Если | Ai | | Bi | для всех i f /, то I.
(iii) |Цлг । с i Грг |.
(iv) | A | C | Ip I < M Г-
D
Следующие два предложения дают несколько более существен-
ную информацию о мощностях ультрастепеней. Первое из них
показывает, что Ц А имеет наибольшую возможную мощность
D
в том случае, когда ультрафильтр D регулярен.
Предложение 4.3.7. Пусть D является a-регулярным фильтром
над множеством I мощности а. Если множество А бесконечно, то
IIP | = \А |«.
D
Док азательство. Предложение 4.3.6 (iv) дает нам
верхнюю границу:
|Цл|=|л1“
'D
Покажем теперь, что для всякого a-регулярного фильтра D неза-
висимо от мощности множества А справедливо неравенство
(1) |4|°Ч|Па|.
D
В силу a-регулярности фильтра D, существует такое множество
Е cz D, что | Е | = а и всякий элемент i f I содержится лишь
в конечном числе множеств е f Е. Пусть В — множество всех
конечных последовательностей элементов из А. Поскольку мно-
жество А бесконечно, имеем | А | — | В |. Значит, для доказатель-
ства неравенства (1) достаточно указать некоторую одно-одно-
значную функцию
л :еЛ->П5.
D
Для каждой функции g: Е А определим другую функцию
g': I В. Мы собираемся задать функцию л равенством ng —
— gb- Выберем сначала некоторое линейное упорядочение
множества Е. Для каждого i f / определим элемент g' (i) f В
следующим образом. Пусть
(2) (ех, . . еп>
238
Гл, 4. Ультрапроизведения
— конечное множество, состоящее из всех таких е £ Е, что i £ е,
причем элементы 6i расположены по возрастанию относительно
порядка Полагаем
g' (0 = (ej, g (en)).
Итак, функция g' отображает I в В. Положим теперь ng = gb-
Тогда функция л отображает ЕА в Ц В. Остается проверить ее
D
одно-однозначность. Пусть g, h С ЕА и g у= h, Тогда для неко-
торого множества е С Е имеем g (ё) =/= h (е), Для любого i £ е
множество е встретится в последовательности множеств (2), содер-
жащих элемент /, и пусть там е = ек- Тогда
g'(0=<. g(ek) .)#=(. h(ek) =
Итак, e g D и gf (i) y= h’ (i) для всех i g e, откуда
xg = gb^h'D^xh.
Значит, функция л одно-однозначна, и мы получаем (1).
В случае когда множество А конечно, мощность фильтрован-
ной степени [J А всегда совпадает с мощностью множества А,
D
поскольку тот факт, что А содержит п элементов, выражается
одним предложением языка <Z.
Следствие 4.3.8. Всякая бесконечная модель ЭД обладает ультра-
степенями сколь угодно большой мощности.
Это следствие дает новое доказательство теоремы Лёвенгей-
ма — Скулема — Тарского (теорема 3.1.5), поскольку модель ЭД
по следствию 4.1.13 элементарно вкладывается в любую свою
ультрастепень. Теперь мы покажем, что некоторые кардиналы
не могут служить мощностями ультрастепеней, по крайней мере,
когда ультрафильтр D счетно-неполон.
Предложение 4.3.9. Пусть D — некоторый ^-регулярный
фильтр. Если множество А бесконечно, то
ИРЫГНГ
D D
Доказательство. Пусть В — множество всех конеч-
ных последовательностей элементов из Л. В силу бесконечности
множества А, имеем | 5 | = |Л |. Поэтому достаточно доказать,
что
(1) 1Пл|-<1Пв|.
D D
Для этого достаточно найти какое-нибудь отображение т под-
множества множества П # на множество Ш(П Л). Мы решим эту
4.3. Регулярные улыпрастепени
239
задачу, если найдем такое отображение о множества *>(<4) в мно-
жество ТВ, что
(2) если g, h £ ®(ТА) и eg = Dah, то
g (n) = Ji (га) при всяком n.
Действительно, тогда отображение т можно определить так:
если 0g = /, то т (fD) = {g (0)D, g (1)л, . >.
В силу со-регулярности фильтра D, существует такая последо-
вательность I = zd 1г zd состоящая из множеств In
что Р| 1п — 0 (предложение 4.3.3). Теперь для всякого i С I
найдется единственное натуральное число п (i), для которого
i Е In(i)\^n(i)+l«
Для каждой функции g £ Ю(М) определим 0g g JB, полагая
(tfg) (0 = <g (1) (0? g & (0) (0 >•
Остается проверить условие (2). Пусть g, h £ “(Л4) и og = D0h.
Тогда
х = {i е Г. (ag) (i) = (oh) (i)} е D.
При каждом п < (о имеем X П In £ D. Если теперь i £ X [\ 1п,
то п п (0, а потому g (п) (i) = h (п) (i). Отсюда вытекает, что
g (га) = гЛ (га) для всех п. Итак, условие (2) выполнено, а с ним
выполняется и (1). Н
Отсюда, например, следует, что никакая ультрастепень по
счетно-неполному ультрафильтру не может иметь мощность со,
3 о и вообще никакую мощность конфинальности со. Известны
еще некоторые подобные теоремы о мощности, и мы включим их
в упражнения. Прежде чем перейти к следующей теме, мы хотим
сказать несколько слов о нерешенных проблемах. Следующие
вопросы остаются пока совершенно открытыми.
Существует ли такой счетно-неполный ультрафильтр D, что
кардинал I П со I сингулярен?
D
кардинал | П 03 I недостижим?
1П«|<1П(2“)|?
D D
Введя еще одно понятие, мы сможем сформулировать две более
тонкие проблемы из этого же круга вопросов. Фильтр D над
множеством I называется однородным, если всякий его элемент
имеет мощность | I |. Возникают такие вопросы:
240
Гл. 4. Ультрапроизведения
Существует ли счетно-неполный однородный ультрафильтр
над а, не являющийся «-регулярным?
Существует ли такой счетно-неполный однородный ультра-
фильтр D над а, что | П со | < 2а?
D
Отрицательные ответы на них уже были даны выше для слу-
чая а = со. Согласно предложению 4.3.7, положительный ответ
на второй вопрос влечет за собой положительное же решение пер-
вого. Из упр. 6.5.9 вытекают положительные ответы на оба вопро-
са в случае измеримого кардинала а. Недавно Прикри [1971]
показал, что из аксиомы конструктивности следует регулярность
всякого однородного ультрафильтра над ©р Этот результат пере-
несен Йенсеном на соп (неопубликовано). Из равенства V — L х)
также вытекает отрицательный ответ на второй вопрос (см.
упр. 4.3.17).
Изучим теперь теоретико-модельные свойства регулярных уль-
трастепеней.
Сначала применим наш результат о мощности ультрастепеней
(предложение 4.3.7) к проблеме Лёвенгейма — Скулема о двух
кардиналах, рассмотренной в разд. 3.2. Пусть язык X содержит
среди прочих одноместный предикатный символ U. Мы будем
использовать термин (а, ^-модель для обозначения модели 21 язы-
ка X, универсум А которой имеет мощность а, а интерпретация
символа U имеет мощность р. Мы говорим, что теория Т в языке X
допускает пару (а, Р), если Т обладает (а, Р)-моделью.
Теорема 4.3.10. Если теория Т допускает пару (а, Р), где
Р со, то она допускает и пару PY) для любого кардинала у.
В действительности всякая (а, $)-моделъ имеет элементарное
расширение, являющееся (а>, $*)-моделъю.
Доказательство. Пусть 21 есть (а, Р)-модель тео-
рии Т, и пусть V — интерпретация символа U в модели 21. Кар-
динал у можно считать бесконечным. Пусть D — некоторый
у-регулярный ультрафильтр над множеством мощности у. Постро-
им ультрастепень [J 21. В силу предложения 4.3.7, имеем
D
(1) |ПЛ| = <ХТ, |ЦУ|=РЛ
D D
Пусть V' — интерпретация символа U в модели Ц 21. Покажем,
D
что V' имеет ту же мощность, что и [J V Для каждой функции
D
f £ TV мы рассматривали два ее различных класса эквивалентно-
х) Обычная формулировка аксиомы конструктивности.— Прим- перев.
4.3. Регулярные ультрастепени
241
сти, обозначая каждый из них просто через fD. Теперь нам нужно
различать их, и поэтому мы будем писать
Id = {g С : / = оё} — (fn в смысле ультрастепени Ц Л),
D
fn = {g £?V : / — Dg} = (fD в смысле ультрастепени ДУ).
D
Для произвольных функций /, g £ V имеем
(2) /в == gD тогда и только тогда, когда / = Dg,
тогда и только тогда, когда /р — gp.
При этом для всякой функции / £ Л4, удовлетворяющей условию
fr> Е V, имеем
{HZ /(/)ег}ед.
Поэтому если определить функцию /' £ положив
/'(0=/(0> если
/'(^—произвольный элемент из V в противном случае,
то
(3) r^V и
Из соотношений (2) и (3) вытекает, что определяемая равенством
л (/п) = /d функция л одно-однозначно отображает Д V на V*
Следовательно, в силу (1), Д 31 есть (а^, р?)-модель. Ч
D
Следствие 4.3.11. (Уменьшение разрыва.) Пусть а>а'^
2^ Р' Р со и || X || а' Если принимается обобщенная кон-
тинуум-гипотеза, то всякая теория Т в языке X, допускающая пару
(а, Р), допускает и пару (а', Р').
Доказательство. Согласно предложению 3.2.11 (i)
(обобщенному на случай || X || а'), мы можем считать, что
Р < Р' Рассмотрим сначала случай, когда Р' — последователь,
т. е. Р' = у+ Тогда р у, откуда по обобщенной континуум-гипо-
тезе р' = pv По теореме 4.3.10 теория Т допускает пару (а?, р').
Применяя теперь предложение 3.2.11 (i), мы видим, что Т допу-
скает и (а', Р').
Случай предельного кардинала Р' требует итерирования тео-
ремы 4.3.10. Построим такую элементарную цепь ?[v, р у < Р',
что всякая 31 v есть (а, у)-модель теории Т Пусть 21 р — произ-
вольная (а, Р)-модель теории Т. Предположим, что у < р' и что
мы уже построили все модели 31т), р ц < у. Если у — предель-
16 Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
242
Гл. 4. Улътрапроизведения
ный ординал, то полагаем ЭДТ = {ЭДП Р т] < ?}. Тогда ЭД7
оказывается (а, у)-моделью теории Т Если же у = т]+, то у = т)1’,
и по тесреме 4.3.10 существует (а\ у)-модель 23 > ЭДП. В силу
предложения 3.2.11 (i), существует такая (а, у)-модель ЭД?, что
SC-n ЭД? < Применяя индукцию, получаем искомую элемен-
тарную цепь. Пусть теперь ЭД' = (J {ЭД7 : р у < Р'}. Модель ЭД'
является (а, р')-моделью теории Т. Итак, Т допускает пару (а, Р');
значит, Т допускает и (а', Р')-
В разделе 6.5 мы с помощью итерированных ультрастепеней
исключим из следствия 4.3.11 применение обобщенной континуум-
гипотезы.
Модель ЭД называется a-у ниве реальной, если всякая элементар-
но эквивалентная модели ЭД модель 23 мощности, меньшей аг
элементарно вкладывается в ЭД, т. е.
из23=ЭДи|В|<сс вытекает 23 ЭД.
Теорема 4.3.12. Пусть || X || a, a D — некоторый a-регу-
лярный ультрафильтр. Тогда ультрастепень ][ЭД всякой модели ЭД
D
является а?-универсальной.
Доказательство. Пусть Ecz. D, причем | Е | = а
и всякий элемент i £ I принадлежит лишь конечному числу мно-
жеств е g Е. Пусть, далее, 23 — такая модель, что 23 ЭД
и | В | а. Покажем, что 23 элементарно вкладывается в модель
ЭД. Введем в рассмотрение элементарную диаграмму Гв моде-
D
ли 23 в обогащенном языке X в, который содержит по новой кон-
станте для каждого Ъ £ В. Достаточно найти такое обогащение
(П ЭД» аъ)ъе в ультрастепени Ц ЭД, которое было бы моделью для Г в.
D D
Из неравенств || X || а и | В | а следует, что | Г в | а.
Поэтому некоторая одно-однозначная функция Н отображает Г в
в Е. Рассмотрим теперь произвольный элемент i g I. Поскольку
имеется лишь конечное число множеств е £ Е, для которых i g ег
существует лишь конечное число таких предложений ср £ Г в, что
i £ Н (ср). Положим
{<Pi, -,<₽«} = {ф € Г в i £Н (ср)}.
Предложение фхЛ. .Лфп истинно в модели (25, Ь)ь^в и, значитг
совместимо с теорией модели ЭД. Отсюда следует, что существует
обогащение
модели ЭД до модели языка X являющееся моделью предложения
<рхЛ. . .Л<Рп« Выбрав для каждого по такому обогащению, мы
4.3. Регулярные ультрастепени
243
получим функции Ь£В, для которых при всех if/
и ф £ Гв
из i£H (ср) следует (§[, /ь(О)ьев 1= ф-
При этом Я(ф) £ D для каждого предложения ф £ Г в, откуда по
основной теореме имеем
(1) П(Я,/ь(г))ьев 1= ф-
D
Для всякого Ъ положим аъ = (/b)D. Тогда по определению ультра-
произведения
П(Я, /ь(О)ьев = (Пй, аъ)ъев.
D D
Поэтому (1) показывает, что
ф.?1> ab)bEB
— модель
теории Г в,
и, значит, S3^<[] 21. -|
D
Следствие 4.3.13. (Теорема Фрейна.) Для эквивалентности моде-
лей 21 и S3 необходимо и достаточно, чтобы 21 элементарно скла-
дывалась в некоторую ультрастепень [J S3 модели S3.
D ~
Доказательство. Если 21 [J S3, то $ =П S3 = S3-
р р
Обратно, предположим теперь, что 21 = S3. Пусть а — наиболь-
шая из мощностей || X || и | А |, и пусть D — некоторый «-ре-
гулярный ультрафильтр над а. Тогда модель [] S3 по теореме 4.3.12
~ D
«♦-универсальна, откуда 21~<П®- Ч
р
Приведенное ниже следствие будет использовано в гл. 5 для
доказательства существования насыщенных моделей. Пусть S3 —
некоторое элементарное расширение модели 21, а р — некоторый
кардинал. Для всякого множества Yа А через X? обозначим
обогащение языка X, полученное в результате добавления нового
константного символа для каждого у f Y Модель S3 называется
^-насыщенной над 21, если она обладает следующим свойством:
Для всякого множества У с: Л мощности меньше р всякое
совместимое с теорией модели (21, у)У£у множество S (ж)
формул языка X? выполнимо в модели (S3, у)у$у*
Следствие 4.3.14. Пусть || X || а. Тогда всякая модель 21
языка X обладает а+-насыщенным над 21 элементарным расшире-
нием S3 > 21.
Доказательство. Возьмем некоторый «-регулярный
ультрафильтр D и построим ультрастепень Q 21. Пусть S3 — такое
элементарное расширение модели 21, что естественное вложение
: 21 П 21 может быть продолжено до изоморфизма f : S3 — П 21.
D D
16*
Гл, 4, Ультрапроизведения
Пусть, далее, Ycz А и | У | < а+. Тогда || X? II а. Теоре-
ма 4.3.12 показывает, что ультрастепень Д(ЭД, является
D
а+-универса лигой. Но Ц (ЭД, y)vgr = (Ц ЭД, d (y))v6y (®, у)и£у,
D D
а потому а+-универсальна и модель (93, у)У£у. Любое совместимое
с теорией модели (ЭД, у)у$у множество S (х) формул языка X?
выполнимо в некоторой модели (®, с^}у^у = (ЭД,] у)у$у не боль-
шей, чем а, мощности. Но модель (®, су)у$у элементарно вкла-
дывается в модель (23, г/)уеу, откуда вытекает выполнимость
множества S (х) в модели (23, у)у^у
Теорема 4.3.12 неверна для произвольных ультрапроизведений
(рассматриваемых вместо ультрастепеней). В разд. 6.1 мы изучим
ультрафильтры Z), для которых теорема 4.3.12 сохраняется и в слу-
чае ультрапроизведений (мы назовем такие ультрафильтры
«♦-хорошими).
Два интересных вопроса, связанных с теоремой 4.3.12, оста-
ются открытыми:
Для любых ли a-регулярного ультрафильтра D и модели ЭД
ультрастепень [J ЭД будет а++-регулярной?
D
Вытекает ли из того, что ЭД =23, | А |, | В | 2а, D — неко-
торый a-регулярный ультрафильтр над а и а* = 2а, изоморфизм
D D
Оба вопроса ставятся в предположении, что || а, ?ак
как в противном случае известны контрпримеры. В гл. 6 мы уви-
дим, что на оба вопроса дается положительный ответ, если только D
обладает несколько более сильным свойством, чем свойство
«быть «+-хорошим». Заметим, что первый вопрос касается воз-
можности усиления теоремы 4.3.12, выражающегося в замене
«♦-универсальности на а++-универсальность. В упр. 4.3.36 фор-
мулируется один результат, делающий правдоподобным положи-
тельный ответ на второй вопрос. Там показывается, что [J ЭД и [] 23
D D
во многом схожи, а именно обладают одинаковыми свойствами,
выразимыми *в языке Ха»
Упражнения.
4.3.1. Докажите предложение 4.3.3.
4.3.2. (i) Всякий однородный ультрафильтр над бесконечным
множеством неглавный.
(ii) Ультрафильтр D над множеством I однороден тогда и толь-
ко тогда, когда D содержит всякое множество X cz Ц для которого
4.3. Регулярные ультрастепени
245
4.3.3. Если D — произвольный ультрафильтр, a J — элемент
из D наименьшей мощности, то D Q S (J) представляет собой одно-
родный ультрафильтр над J. Аналогичное утверждение справед-
ливо для собственных фильтров. Поскольку
П
(упр. 4.1.11), то при изучении ультрапроизведений можно огра-
ничиться только однородными ультрафильтрами.
4.3.4. Пусть I — бесконечное множество мощности а. Тогда
всякий a-регулярный фильтр над I однороден.
4.3.5. Пусть I — бесконечное множество мощности а. Тогда
над I не существует а+-регулярного фильтра.
4.3.6. Если D является cz-регулярным ультрафильтром над мно-
жеством I тл. J £D, то Z) П S («Доказывается a-регулярным уль-
трафильтром над J. Подобный результат справедлив и для филь-
тров.
4.3.7. Пусть D — ультрафильтр над /, и дана функция /:/->-
—> J. Положим
Е = {X<=J :/-* (X)£D}.
Докажите, что Е — ультрафильтр над «/, и если при этом Е являет-
ся a-регулярным, то a-регулярен и D. (Ср. с леммой 4.2.6.)
4.3.8. Собственный фильтр D над множеством I тогда и только
тогда a-регулярен, когда существует такая функция /: I
—>- 5ш(а), что для всякого р С а
{и/
4.3.9* . Пусть I — бесконечное множество мощности а. Если
Eg S (Г), | Е | а и порожденный множеством Е фильтр одно-
роден, то Е можно расширить до а-регулярного ультрафильтра D
над I.
4.3.10. Ультрафильтр D называется а-полным по убыванию,
если для всякой убывающей цепи у < а, множеств Ху £ D,
длина которой равна а, справедливо соотношение Q Ху
Y<a
Докажите, что
(i) D является со-полным по убыванию тогда и только тогда,
когда он счетно-полон.
(ii) D является а-полным по убыванию тогда и только тогда,
кода он cf (а)-полон по убыванию.
(iii) Для a-полноты ультрафильтра D необходимо и достаточно,
чтобы он был 0-полным по убыванию при всяком р < а.
Гл. 4. Улыпрапроизведения
(iv) Если D — однородный ультрафильтр над множеством
мощности а, то D не является а-полным по убыванию. Однако D
будет |3-полным по убыванию, если только cf (Р) > а.
4.3.11* Никакой a-полный по убыванию ультрафильтр D не
является а-регулярным.
4.3.12* *. Если а — регулярный кардинал, то всякий а-полный
по убыванию ультрафильтр является и а+-полным по убыванию.
Таким образом, если т п < со, то никакой однородный ультра-
фильтр над множеством <оп не может быть сот-полным по убыванию.
4.3.13* . Пусть D — однородный ультрафильтр над множест-
вом мощности а и | А | = а. Тогда ifM | >а.
D
4.3.14* . Если D — счетно-неполный ультрафильтр, то
либо |ДД | <cd, либо | П At | ^2to,
D D
так что во
всех случаях |Цл,|^ш.
4.3.15* . Если D — произвольный ультрафильтр и | А | =
= I А |«, то |ПЛ | = |Ц А |».
D D
4.3.16* . Пусть ультрафильтр D не является a-полным по убы-
ванию. Если | А I | А р всякий раз, когда 0 < р < а, то
| ПЛ | | Цл |а. (Предложение 4.3.9 представляет собой част-
D D
ный случай этого утверждения при а = со.)
4.3.17* . Понятие дерева порядка а было введено во время
доказательства теоремы 4.2.23. Дерево Т порядка а называется
деревом Курепы, если Т7, обладая более, чем а, ветвями порядка а,
для всякого Р < а имеет меньше, чем а, элементов порядка р.
Предположим, что существует дерево Курены порядка а+ Тогда
для всякого однородного ультрафильтра D над множеством а+
| П а I >а+-
D
4.3.18* . Для всякого ультрафильтра D и любого кардинала а
1П(2“>|<2'5“ в iHMiciibi*.
D D D
Если же D — однородный ультрафильтр над а+ или над 2а, то
j П а I >а-
D
4.3. Регулярные ультрастепени
2А1
4.3.19. Пусть D — собственный фильтр и Яс 95. Построим
обогащенную модель (96, Л) и ее фильтрованную степень П (23,
р
Обозначим через А' (одноместное) отношение в модели Ц (95, Л),
D
соответствующее множеству А (рассматриваемому как одномест-
ное отношение модели 95), и пусть 51' — обеднение до модели
языка j?, обладающей универсумом Л', подмодели модели [] (95, Л).
D
Докажите, что ЭД' [J ЭД.
D
4.3.20. Если теория Т допускает тройку (а, Р, у), то она допу-
скает и (а6, Рб, у6) (при условии, что у (о). (Выражение «Т
допускает (а, Р, у)» определяется естественным образом.)
4.3.21. Множество XczB называется определимым в модели 95,
если существует такая формула ср (xQ, х19 хп) и такие эле-
менты bn Е В, что
X = {Ьо 6 в 98 1= <р[£>0, Ьи &п]}.
Пусть D — счетно-неполный ультрафильтр, а ЭД — произволь-
ная модель. Построим ультрастепень Ц ЭД. Докажите, что всякое
D
определимое в модели Ц ЭД множество либо конечно, либо имеет
D
мощность, не меньшую, чем 2Ш.
4.3.22. Класс К моделей языка X называется относительно
компактным, если для всякого множества S предложений язы-
ка X из существования в классе К модели для всякого конечного
подмножества множества S следует, что и 2 имеет модель в клас-
се К, Пусть || X || a, a D является a-регулярным ультрафиль-
тром. Тогда всякий замкнутый относительно ультрапроизведе-
ний по ультрафильтру D класс К моделей языка X относительно
компактен.
4.3.23. Всякая конечная модель а-универсальна.
4.3.24. Пусть || X || а, а X' — простое обогащение язы-
ка X, полученное из X в результате добавления а новых кон-
стант. Для а+-универсальности модели ЭД языка X необходимо
и достаточно, чтобы всякое совместимое с теорией модели ЭД мно-
жество 2 предложений языка X' обладало моделью ЭД', являю-
щейся обогащением модели ЭД.
4.3.25. Пусть || X || а; тогда всякое обеднение ^-универ-
сальной модели само а+-универсально.
248
Гл. 4. Ультрапроизведения
4.3.26. Пусть D есть a-регулярный ультрафильтр. Какова бы
ни была модель 31, всякое обеднение ультрастепени Пя до
D
модели языка мощности, не больше а, является ^-универсаль-
ным.
4.3.27. Пусть D — счетно-неполный ультрафильтр, а X —
счетный язык. Пусть 31 — модель языка <55. Тогда всякий тип
S (хх, яп), реализуемый в некоторой модели 25 =31, реали-
зуется и в ПЯ-
D
4.3.28* . Докажите, что если ультрафильтр D является «-регу-
лярным, то модель (а+, <) изоморфно вкладывается в ультра-
степень И <ш’
4.3.29* . Назовем модель 25 улыпрастепенным расширением
модели 31, если 31 cz 25 и существует такой ультрафильтр Z), что
естественное вложение d: 31 —> Д 31 может быть продолжено до
D
изоморфизма /: 26 = Д Я. Улыпрастепенной цепью над 31 мы
D
называем такую цепь 31 = SIo0 Slier Я2сс длины со, что
всякая модель 3U+1 есть ультрастепенное расширение модели 31п.
Докажите, что всякое ультрастепенное расширение модели 31
является ее элементарным расширением, а всякая ультрастепен-
ная цепь — элементарной цепью. Докажите, что 31 = 25 тогда
и только тогда, когда существуют такие ультрастепенные цепи
31-310с= 3l!<= 25 = 250 cz25i<=...
над 31 и 25 соответственно, что
U и 98п
П<С1)] п«о
Тем самым дано алгебраическое описание элементарной эквива-
лентности.
4.3.30. Докажите, что класс К элементарен тогда и только тог-
да, когда он замкнут относительно ультрапроизведений и к тому
же сам К и его дополнение замкнуты относительно изоморфизмов
и объединений ультрастепенных цепей. Дайте подобное описание
базисных элементарных классов.
4.3.31. В условиях упр. 4.3.29 предположим, что \\Х ||^$а
| А | Ла и | В | За. Докажите, что можно так выбрать
ультрастепенные цепи, чтобы их объединения имели мощность
(или же были конечными).
4.3. Регулярные улътрастепени
24»
4.3.32* . Докажите, что для a-регулярности’ ультрафильтра D
необходимо и достаточно, чтобы для любого языка X мощности
|| X || ^ а и для любой модели Я языка X ультрастепень [J Я
D
была а+-универсальной.
4.3.33* . Приведите пример, показывающий, что теорема 4.3.12
перестает быть верной, если условие || X || ^ а заменить более
слабым неравенством || X || а*.
4.3.34. Для того, чтобы ультрафильтр D был a-полным по
убыванию, необходимо и достаточно, чтобы множество d (а) было
конфинальным ультрастепени [J(a, <)•
D
4.3.35* . Пусть || X ||^a, a Z) —некоторый a-регулярный ультра-
фильтр. Пусть Я и 33—такие бесконечные модели, что 21 = 93.
Построим ультрастепени f] 21 и JJ S3. Предполол им, что Я' -< Цйг
р d &
»'<[]» и |Л?|, |5'|^а. Тогда существуют (такие модели Я*
D
и 23" мощности а, что
91'<‘9Г'<ПЯ, ЯЗ'<Я5"чП» и Г = 83"
D D
4.3.36* *. Пусть D — некоторый a-регулярный ультрафильтр
и Я =23. Тогда ультрастепени ПЯ и fj23 элементарно экви-
D D
валентны в языке Ха (описанном в разд. 4.2).
ГЛАВА 5
НАСЫЩЕННЫЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
5.1. Насыщенные и специальные модели
В разделе 2.3 мы ввели понятие со-насыщенной модели. Напом-
ним это определение: модель 51 называется ^-насыщенной, если
для каждого конечного подмножества Xcz А обогащение (21, а)а^х
реализует произвольный тип 2 (у), который совместим с его теори-
ей. Таким образом, ю-насыщенная модель богата реализуемыми
в ней типами; по существу она реализует наибольшее число типов,
В разделе 2.3 мы также доказали, что любые две эквивалентные
счетные (о-насыщенные модели изоморфны; кроме того, если тео-
рия Т имеет лишь счетное число конечных типов, то она обладает
счетно-насыщенной моделью. В этом разделе мы приведем несколь-
ко обобщений понятия со-насыщенной модели и рассмотрим неко-
торые простые свойства получающихся при этих обобщениях мо-
делей. Мы остановимся на a-насыщенной модели, насыщенной
модели и специальной модели.
Пусть а — кардинал. Модель 21 называется а-насыщенной,
если для каждого подмножества Xcz А мощности, меньшей а,
обогащение (21, о.)а^х реализует каждый тип S (и) в языке X (J
и {са а £ X}, который совместим с теорией модели (21, а)а$х.
При работе с a-насыщенными моделями нам удобно предполагать,
что в обогащении (21, а)аЕх множество X вполне упорядочено.
Таким образом, если | — ординал, меньший а, и X —
Л < I}, то модель (21, л)аех обозначается через (21, Ят])п<£-
Употребление выражения (21, = (23, но вызывает
никаких недоразумений.
Модель 21 называется насыщенной, если она | А (-насыщенна.
Предложение 5.1.1. (i) Если а — предельный кардинал, то мо-
дель 21 является а-насыщенной тогда и только тогда, когда она
^-насыщенна для всех кардиналов Р < а.
Hi) Модель 21 а-насыщенна тогда и только тогда, когда для
всякого ординала $ < а и произвольного а £ А модель (21, <2n)n<g
реализует все типы 2 (я-р zn), совместимые с теорией этой
модели.
(iii) Модель 21 является а-насыщенной тогда и только тогда,
когда для каждого ординала | < а и произвольного а £ А модель
•(2I, а-насыщенна.
5.1. Насыщенные и специальные модели
251
(iv) Если модель ЭД а-насыщенна, то всякое ее обеднение также
а-насыщенно.
В пунктах (ii) и (iii) предполагается, что кардинал а беско-
нечен.
Доказательство предложения 5.1.1 мы оставляем читателю.
Предложение 5.1.2. (i) Если модель ЭД бесконечна и a-насыщенна,
то | А | а.
(ii) Модель ЭД конечна тогда и только тогда, когда она а-насы-
щенна для всех а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Допустим, что | А | < а. Пусть
—перечисление всех элементов множества А, и пусть
2 (и) есть тип, такой, что
2 (р) о {и са а £А}.
Тогда 2 является типом над моделью (ЭД, а)а^А и не может быть
реализован в ней.
(ii) Если модель ЭД бесконечна, то из пункта (i) вытекает, что
она не может быть | А |+-насыщенной. Обратно, допустим, что ЭД
конечна. Пусть Xcz А, и пусть 2 (и) есть тип над (ЭД, а)а$х. Если
2 (р) не реализуется в ЭД, то для всякого Ъ С А найдется формула
оь (р) £ 2, такая, что (ЭД, о,)а$х “] оь [Ы. Это показывает, что
конечное подмножество {оь (р) : b g А} множества 2 несовмести-
мо с теорией модели (ЭД, а)а$х. —|
Сейчас мы переформулируем один известный результат из гл. 4.
Лемма 5.1.3. Пусть || X || а и со <1 | А | 2а Тогда
•существует элементарное расширение 23 модели ЭД мощности
2а, такое, что для произвольного подмножества X cz А мощнос-
ти а в модели (23, а)а^х реализуется любой тип 2 (р), определенный
в (ЭД, а)а^х.
Доказательство. Эта лемма вытекает из следствия
4.3.14. В приведенном в гл. 4 доказательстве этого следствия
используются ультрастепени по регулярному ультрафильтру.
Хотя это доказательство несложно, читателю полезно знать, что
для доказательства нашей леммы достаточно уже теоремы компакт-
ности. По этой причине мы наметим другое доказательство.
Так как | А | 2а, то мощность множества подмножеств
X cz А, | X | = а, не превосходит 2а, т. е. | {Хс А | X | = а}|^
2а Язык Хх — X (J {са a £ X} имеет не более а символов.
Следовательно, общее число типов 2 (р) в языке Xх не превосхо-
дит 2а. Для каждого подмножества X cz А мощности а и каждого
типа 2 (р) над (ЭД, а)а^х введем новую константу схъ. Пусть
252
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Т = элементарная диаграмма модели ?! в языке ХА плюс все
предложения из 2 = {afcxs] а(р) С 2 (v)} для каж-
дого подмножества Xcz А мощности а и каждого типа
2 (у) над (Я, а)аех.
Можно показать, что Т совместна и имеет бесконечную модель.
Так как Т содержит не более 2е символов, она обладает моделью
мощности 2а. Обеднение этой модели до модели языка X и есть
искомая модель 23- —|
Лемма 5.1.4. (Существование а+-насыщенной модели мощ-
ности 2а.) Пусть || X || а и со | А | <1 2а. Тогда существует
(^-насыщенное элементарное расширение 23 модели 21 мощности 2а*
Доказательство. Мы построим элементарную после-
довательность 23 | < 2а, длины 2а, такую, что
(1) каждая модель 23 есть элементарное расширение моде-
ли 21 мощности 2а;
(2) для любого подмножества X cz мощности а модель
(23^+1, а)аех реализует каждый тип 2 (и) над (23$,
За 23О мы возьмем модель, построенную в лемме 5.1.3. Если
т] — предельный ординал, 0 < т] < 2а, то мы полагаем 23п =
= U 23v Если Л = £ + 1, то мы берем в качестве 2Sn элементар-
нее
ное расширение 23^, существование которого обеспечивается
леммой 5.1.3, если 21 заменить на 23^. Пусть 23 = (J 2Sn.
*п<2а
Очевидно, что модель 23 является элементарным расширением
модели 21 мощности 2а. Пусть Ха В имеет мощность и пусть
2[(v) — тйп над (23, а)аех. Так как 2а имеет конфинальность,
большую а, то найдется В < 2а, для которого Xcz. В %. Но 23$ —
элементарная подмодель модели 23. Следовательно, 2 (и) есть тип
над (23^, а)а£Х. Из нашего построения вытекает, что некоторый
элемент Ь £ В^+1 реализует 2, т. е.
(SSfc+ь а)аех 2 [&].
Так как 23^+1 -< 23, то (23, а)оех |= 2[bL Н
Предложение 5.1.5. (i) (ОКГ) Пусть || X || а. Тогда каждая
теория Т в языке X, имеющая бесконечные модели, обладает
насыщенной моделью любой регулярной мощности р >а.
(ii) Пусть || X || а. Тогда каждая теория Т в языке X,
имеющая бесконечные модели, обладает насыщенной моделью любой
недостижимой мощности у >а.
5.1. Насыщенные и специальные модели
253
Доказательство, (i) В случае когда Р = у+, это
очевидно. В случае когда Р есть регулярный предельный кардинал,
справедливость утверждения вытекает из рассуждений, проведен-
ных ниже для пункта (ii) и ОКГ.
(ii) Пусть Sla— модель теории Т мощности] а. По| лемме 5.1.4
мы строим такую элементарную цепь Sip, где [3 пробегает все кар-
диналы между а и 7, что
SIp = 1| SU для предельных кардиналов Р;
SL* есть р+-насыщенная модель мощности 2Р.
н
Тогда объединение Stv= (J Sip будет у-насыщенной моделью
теории Т мощности у, так как
|4v| = (j2p=V
P<v
и каждое подмножество Xcz Ау мощности | X | < у лежит в не-
котором Лр+, где | X | р. Н
В одном из упражнений мы предлагаем читателю доказать, что
ОКГ не может быть элиминирована из доказательства предложе-
ния 5.1.5 (i). Таким образом, в общем случае существование бес-
конечных насыщенных моделей не может быть доказано без ОКГ
или без предположения о существовании недостижимых кардина-
лов. Конечно, как мы уже отмечали вначале этого раздела, некото-
рые (очень специальные) теории могут иметь бесконечные (счет-
но-) насыщенные модели. Оказывается, что во многих ситуациях
насыщенные модели можно заменить специальными. Понятие спе-
циальной модели является обобщением понятия насыщенной моде-
ли, причем насыщенные модели образуют собственный подкласс
класса специальных моделей. Важно, что доказательство сущест-
вования специальных моделей не требует ОКГ или существования
недостижимых кардиналов. Сейчас мы займемся изучением специ-
альных моделей.
Модель SI называется специальной, если она является объеди-
нениелМ элементарной цепи моделей Sip, где Р — кардиналы,
меньшие \А |, и каждая модель Sip Р+-насыщенна. Цепь моделей
Sip, Р < I А |, называется специализирующей цепью для SI.
Отметим, что кардинал р всегда меньше | А |, а о мощности Sip
ничего нельзя сказать. Разумеется, как вытекает из предложе-
ния 5.1.2, либо модель Sip конечна, либо | Лр | р+.
Предложение 5.1.6. (i) Каждая насыщенная модель специальна.
(ii) Каждая конечная модель специальна.
(iii) Модель мощности а+ насыщенна тогда и только тогда,
когда она специальна.
254
Гл» 5. Насыщенные и специальные модели
(iv) Если а — регулярный предельный кардинал, то модель*
мощности а насыщенна тогда и только тогда», когда она специальна»
(v) Если модель ?! специальна, то каждое ее обеднение также
специально»
(vi) (ОКГ) Если теория Т обладает бесконечной моделью, то для
каждого кардинала а > || X || существует специальная модель-
теории Т мощности а.
Доказательство, (i) Для каждого кардинала р <
< |Л | положим ЭДР — 21. Тогда, так как модель ЭД | А |-насы-
щенна, модель ЭДр будет р+-насыщенной и ЭДр = ЭД.
(ii) Это следует из пункта (i) и предложения 5.1.2.
(iii) Пусть ЭД — модель мощности а+. Если она насыщенна, тог
в силу (i), она специальна. Предположим, что ЭД специальна,
и пусть ЭДр, Р < а+, — специализирующая цепь для ЭД. Послед-
ним элементом этой цепи будет модель ЭДа, которая должна быть
равна ЭД. Но ЭДа а+-насыщенна, а следовательно, а+-насыщен-
на и модель ЭД.
(iv) Пусть ЭДр, Р < а,— специализирующая цепь для ЭД. Если?
Xcz А и | X | < а, то Хс Лр и | X |^Р для некоторого Р < ос-
и каждый тип 2 (у) над (ЭД, а)а$х реализуется в ЭДр.
(v) Это следует из предложения 5.1.1 (iv).
(vi) Это следует из пункта (i) и предложения 5.1.5. Н
Пусть а — бесконечный кардинал Определим кардинал а* сле-
дующим образом: а* = М 2Р, где 2^ — кардинальная сте-
3<а
пень 2 с показателем р. Мы докажем, что для всякого кардинала
удовлетворяющего условию а = а*, существует специальная
модель мощности а.
Но сначала мы приведем несколько простых свойств операции *.
Предложение 5.1.7. (i) а = а* тогда и только тогда, когда
2$ а для всех Р < а.
(ii) Существуют сколь угодно большие кардиналы а, такие, что
а — а*.
(iii) а+ = (а+)* тогда и только тогда, когда 2а = а+.
(iv) ОКГ эквивалентна утверждению, что а = а* для всех
бесконечных кардиналов а.
Предложение 5.1.8. (Существование специальных моделей.)
Предположим, что а = а*, || X || < а и со | А ] < а. Тогда суще-
ствует специальное элементарное расширение S3 модели ЭД мощно-
сти а.
Доказательство. Если а = у*, то из пункта (iii)
предложения 5.1.7 вытекает, что 2Y == у+. Следовательно, по
5.1. Насыщенные и специальные модели
255-
лемме 5.1.4 модель ЭД имеет насыщенное элементарное расшире-
ние мощности у+ = а. Предположим теперь, что а — предельный
кардинал. Это означает, что если р < а, то р+ < а и 2Р а.
Пусть || X HU | Л |. Мы построим (многократно применяя
лемму 5.1.4) элементарную цепь моделей 23р, где Р — кардинал,
меньший а, следующим образом. Пусть 23v — некоторое у+-
насыщенное элементарное расширение модели ЭД мощности 2V. Для
произвольного кардинала 6 < у положим 23^ = 23v. Если мо-
дель 23р, у р < а, уже построена и имеет мощность не бо-
лее 2^, то пусть 23р+ есть некоторое] р++-насыщенное элементарное
расширение модели 23 р мощности 2(^ Если р — предельный
кардинал, меньший а, модели 23б, 6 < Р, уже построены и | Въ 1^
^2Р, то сначала образуем объединение 25& = 23я, которое
6<Э
является бесконечной моделью мощности не более , а затем
возьмем в качестве 23 р некоторое р+-насыщенное элементарное
расширение модели 23р мощности 2$ По построению цепь моде-
лей 23 р, Р < а, является специализирующей цепью для модели
23 р мощности а. ч
Р<а
Мы предлагаем читателю в качестве упражнения показать»
что, немного усложняя доказательство, можно условие со | А |<?
<аиз предложения 5.1.8 ослабить до со | А | а.
После того как существование специальных моделей установ-
лено, мы будем изучать их, привлекая понятия а-однородных
и a-универсальных моделей. Напомним, что мы уже ввели а-уни-
версальные модели в разд. 4.3 и со-однородные модели в разд. 3.2.
Сейчас мы определим соответствующее понятие a-однородной мо-
дели для произвольного бесконечного кардинала а. Модель ЭД
называется a-однородной, если для любых Е <Z а, я £ &Л, Ъ g 5 Л
и с £ А из (ЭД, а )п> =(ЭД, следует существование такого
d£A, что (ЭД, ап, с) ^=(ЭД, d)n<^. Напомним также, что-
модель ЭД называется a-у ниве реальной, если каждая модель 23
мощности, меньшей а, и такая, что 23 =ЭД, элементарно вклады-
вается в ЭД. Если дан класс моделей К, то мы будем говорить, что
модель ЭД а-универсальна относительно К, если каждая модель
23 К мощности, меньшей а, элементарно вкладывается в ЭД.
И наконец, мы скажем, что модель ЭД однородна (универсальна)г
если ЭД является | А |-однородной (| А |-универсальной).
Следующее предложение аналогично предложению 5.1.1.
Предложение 5.1.9. Пусть кардинал а бесконечен.
(i) Модель ЭД будет a-однородной (а-универсалъной) тогда и толь-
ко тогда, когда она ^-однородна (^-универсальна) для всех Р а»
256
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
(ii) Если а — предельный кардинал, то модель 21 а~однородна
{а-универсалъна) тогда и только тогда, когда она ^-однородна
(^-универсальна) для всех [J < а.
(iii) Если модель 21 а-насыщенна. то она а-однородна.
(iv) Модель 21 является a-однородной тогда и только тогда,
когда для всех | < а и произвольного а обогащение (21,
а-однородно.
Д о к аз ательство предлагается в качестве упражнения.
Лемма 5.1.10. Предположим, что модель ^а-насыщенна,^ = 28
и b £ Тогда существует элемент а £ аА, такой, что
(21, = (23, 0)$<а»
Доказательство. Мы построим последовательность
£ < а, индукцией по £ < а. Допустим, что для каждого
г) < £ мы нашли такие an £ А, что
(21, ®т))т)<^ = (23, ^т))п<^-
Пусть 2(0 —тип элемента над (S3, Очевидно, что 2
есть тип над (21, следовательно, 2 реализуется некоторым
элементом, скажем а% £ А. Это влечет за собой соотношение
(21, дт))т^,— (25,
Мы нашли элемент а%, и индукция завершена. Так как а — пре-
дельный ординал, лемма доказана. -|
Симметричный вариант леммы 5.1.10 выглядит следующим об-
разом:
Лемма 5.1.11. (Лемма о челноке.) Пусть а — бесконечный кар-
динал, модели 21 и 23 являются а-насыщенными и 21 = 23. Пусть
а a Л и Ъ £ Тогда найдутся а £аА ub{ аВ. такие, что
range (а) с: range (а),
range (0 cz range (0,
(9L а0^<а = (23, 0)&<а.
Доказательство. Каждый ординал £ < а единствен-
ным образом представляется в виде суммы g = X + п, где 1 —
предельный ординал и п со. Будем говорить, что ординал g
четен, если п четно, и что % нечетен в противном случае. Нам надо
найти две последовательности а£аА. Ь^аВ. такие, чтобы для
всех ординалов £ < а выполнялись условия
(а) Если ординал т], т) < 5, четен, т. е. т] = X + 2п, то =
= ^Х+п-
5.1. Насыщенные и специальные модели
257
(Ь) Если ординал т], ц < L нечетен, т. е. т] — X + (2n + 1), то
Ь-Г] = Ь^+п. _ ~
(с) (§1, Ят])т]<| = (93, ^т])'П<&*
Допустим, что £<а и для всех г] < g мы нашли &л, та-
кие, что для £ выполняются условия (а), (Ь) и (с). Определим те-
перь а±, Ь%. Если £ = X + 2п, то положим = а^п. Пусть
S (р)— тип над (31, я^тк^. Из соотношения (с) вытекает, что S
есть тип над (23, &п)т1<|- Следовательно, S реализуется некоторым
элементом £ В. Очевидно, что
(31, = (23, &Т))т^£’
Случай, когда Е = X + (2п + 1), рассматривается аналогичным
образом: мы полагаем Ь%+п и находим а%. Это определяет
я и & по индукции. Построенные последовательности a £ аА
и Ь £аВ удовлетворяют заключениям леммы. —|
Две приведенные выше леммы будут нашим инструментом до
конца этого раздела.
Теорема 5.1.12. а-насыщенные модели а+-универсальны.
Доказательство. Пусть модель 31 а-насыщенна,
и пусть 23 — произвольная модель мощности а, эквивалент-
ная модели 31. Пусть Ь£аВ —перечисление всех элементов мно-
жества В. По лемме 5.1.10 существует последовательность я£аЛ,
для которой
(31, Л|)|<а= (93, ^)^<а.
Из этого соотношения и предложения 3.1.3 вытекает, что 23-<3l- -j
Теорема 5.1.13. (Единственность насыщенных моделей.) Пусть
31 и 25 — эквивалентные насыщенные модели одинаковой мощно-
сти. Тогда 31 = 2d.
Доказательство. Пусть | А | = | В | = а, и пусть
а С аЛ, Ь £ аВ — перечисления множеств А и В соответственно.
По лемме 5.1.11 существуют а £ аЛ, b £ аВ, расширяющие а и Ъ
соответственно, такие, что
(Я, а^<0. = (SBAW
Так как я, Ъ также перечисляют^! ,В, то модели 31 и 23 изоморфны. —|
Теорема 5.1.14. (a-насыщенные модели —это в точности а-
однородные а-универсальные модели.) Предположим, что || X || <
< а. Тогда следующие три условия эквивалентны:
(i) Модель 31 а-насыщенна.
17 г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
258
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
(ii) Модель й а-однородна и а+-универсалъна.
(iii) Модель Я ^-однородна и а-универсалъна.
Доказательство. Импликация (i) => (ii) вытекает из=
предложения 5.1.9 (iii) и теоремы 5.1.12.
Пункт (iii) тривиально следует из (ii).
Докажем импликацию (iii) => (i). Предположим, что Я
a-однородна и а-универеальна. Пусть £ <; а, а £^А, и пусть
S(p) — тип над (й, ап)т)<^. Обозначим через Т следующее множе-
ство предложений: теория модели (й, ал)п<£ в языке X (J
U • т] < £} плюс все предложения из S (с). Очевидно, что Т
непротиворечиво и имеет мощность | Т | < а. Пусть 23' — модель
теории Т. Мы имеем 28' = (23, d)n<b где S3 есть ^-обеднение
модели S3' Таким образом,
(1) (й,
Так как модель й a-универсальна и | В | < а, то модель 93
элементарно вкладывается в й. Чтобы не вводить новых обозна-
чений, предположим, что сама модель 93 является элементарной
подмоделью модели й. Следовательно, мы можем заменить (1) на
(й, = ^т])л<В*
Так как модель й a-однородна, найдется такой элемент с £ А, что
Следовательно, с реализует тип S в (й, 0т])п<£’ Ч
Заметим, что эквивалентность пунктов (i) и (ii) теоремы 5.1.14
сохраняется и в случае, когда || || == а.
Следствие 5.1.15. (Насыщенные модели однородны и универ-
сальны.) Если || <55 || < | Л |, то й насыщенна тогда и только
тогда, когда она однородна и универсальна.
Это немедленно вытекает из теоремы 5.1.14.
Теперь мы вернемся к изучению специальных моделей.
Теоцема 5.1.16. Если модель й специальна, то она | А ^-уни-
версальна.
Доказательство. Пусть а = | А | Если а — не пре-
дельный кардинал, то й насыщенна и, значит, а+-универсальна.
Предположим, что а —предельный кардинал. Пусть й р,
< а,—специализирующая цепь для й. Пусть 93 —произволь-
ная модель мощности а, эквивалентная й, а Ь £ аВ — перечне-
5.1. Насыщенные и специальные модели
259
ление множества В. Нам надо найти а £ аЛ, такое, что для всех
Р < а, а | р С М р и
(1) (Яр, «б)б<р s (93, 6$)g<p.
Допустим, что мы нашли а | б для всех б < 0. Если 0 = у+, то
из (1) вытекает
Так как модель (21р, 0+-насыщенна, из леммы 5.1.10 выте-
кает, что можно найти такие элементы Ар, у ?<0, чтобы
выполнялось соотношение (1). Если 0 —предельный кардинал,
то ясно, что каждый элемент оц, £ < 0, лежит в А р и соотноше-
ние (1) опять выполняется. Таким образом, найдена последова-
тельность a £ аЛ, такая, что (21, = (9S, Так как
Ъ перечисляет все элементы множества В, это доказывает теорему, -j
Теорема 5.1.17. (Единственность специальных моделей.) Если
21 и 35 — эквивалентные специальные модели одинаковой мощности,
то 21 35.
Доказательство. Доказательство использует чел-
ночный метод, который применяется к специализирующим цепям
21 р, 0 < а, и 23 р, 0 < а, моделей 21 и 33 соответственно. При
построении надо использовать лемму 5.1.10 и определять изомор-
физм поблочно, а не поэлементно, как в доказательстве 5.1.11,
Детали мы оставляем читателю. Н
Конец этого раздела мы посвятим изучению однородных мо-
лей.
Лемма 5.1.18. Пусть 0 а и модель 21 а-однородна. Пусть
£ <С 0, — такая последовательность, что для всех £
<С Т1 < Р имеет место элементарная эквивалентность
(Я, (Я, «?);.<?•
Тогда существует такая последовательность а f М, что для
всех £ < 0
(Я, ах)х<^(Я,
Доказательство. Предположим, что для всех X <; £ <
<С 0 мы нашли элементы а% £ Л, такие, что
(!) (2L Дх)х<т1s (Я, aJJhcT) для всех T]<g.
Нам надо удлинить последовательность а^, Х< £, на один эле-
мент. Если £ = £ + 1, то
(2) (Я,ах)х^(Я,4)^С-
17*
260
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
По предположению мы имеем
(3) (Я,4)^С^(Я,4+1)^С.
Объединяя (2) и (3) и используя a-однородность модели Я, мы мо-
жем найти элемент а^£ А. такой, что
(4)
Допустим, что £ — предельный ординал. Пусть — упомяну-
тая в условиях леммы последовательность. Мы утверждаем, что
(5) (Я,4+1Х<^(Я,ах)х<5.
Это обычная ситуация, возникающая при рассмотрении формул
конечной длины. Разумеется, мы существенно использовали тот
факт, что £ —предельный ординал: действительно, если соотно-
шение (1) выполняется для всех то оно выполняется и для
Следовательно, (ЭД, = (ЭД, а из этого вытекает (5).
Используя соотношение (5) и a-однородность, мы опять сможем
найти такой элемент оц £ А, чтобы выполнялось (4). —|
Лемма 5.1.19. Предположим, что модель ЭД а-однородна и каж-
дый тип. реализуемый в модели 28, реализуется в ЭД, т. е, для
произвольных элементов Ьг. . . ., Ъп £ В (тг £ <о) существуют
ах, ., ап g А. такие, что (ЭД, ап) = (28, Ъг. Ьп).
Тогда для каждой последовательности Ъ £а В существует а £аА,
такая, что (ЭД, а^<а = (28, Ъ^<а.
Доказательство. Мы докажем следующее утвержде-
ние индукцией по бесконечным кардиналам 0 а:
(1) для каждой последовательности Ь (^В существует последова-
тельность а такая, что (23, ss (ЭД,
Утверждение (1) справедливо для 0 = (о. Это можно показать
следующим образом. Пусть Ъ £®В. и пусть Ъп для каждого п £ со
есть^ограничение Ъ на п. Из наших предположений вытекает, что
существуют последовательности ап £пА, для которых
(93, Mm<n = (St, Oilmen ДЛЯ ВСвХ П.
Последовательности ап. п £ ю. удовлетворяют предположениям
леммы 5.1.18. Следовательно, существует последовательность
а , такая, что
(St, am)m<n = (98, Ьт)т<п для всех п.
А это] влечет за собой эквивалентность (ЭД, ат)т<:о) = (23,
Два других случая: 0 = у+ и 0 есть предельный кардинал —совер-
шенно аналогичны случаю 0 = со. Необходимо только отме-
5.1. Насыщенные и специальные модели
261
тить, что если сдотношение (1) выполняется для бесконечного кар-
динала Р, то мы можем так перенумеровать последовательности,
что можно будет применить лемму 5.1.18. Именно:
для каждого ординала | < Р+ и любой последовательности
Ъ найдется последовательность а такая, что
(93, s a'n)n<£* Н
Лемма 5.1.20. Допустим, что кардинал а бесконечен, а моде-
ли и S3 а-насыщенны и реализуют одни и те же типы. Тогда
для любых а £а А и Ъ £аВ существуют а А и b £аВ, такие, что
range (а) с: range (а),
range (b) cz range (fe),
(Я, (93,
Доказательство. Доказательство проводится аналогич-
но доказательству леммы 5.1.11, однако мы привлечем сюда индук-
цию, как это было сделано в лемме 5.1.19. По индукции мы будем
доказывать такое утверждение: для всех бесконечных кардиналов
Р а мы имеем
для любых Ь£$В существуют
что range (а) cz range (а), range (b) cz range (b) и (ЭД, =
= (93,
Дополнительных трудностей здесь не возникает, и мы оставляем
доказательство в качестве упражнения.
Предложение 5.1.21. Предположим, что модель ЭД а -одно-
родна. Пусть класс моделей К определяется следующим образом:
23 Е К, если и только если каждый тип, реализуемый в 33, реали-
зуется в ЭД. Тогда модель ЭД а+-универсальна относительно
класса К.
Доказательство. Пусть ЗЗбА', |5|<^аи5 (^В —
перечисление всех элементов множества В. По лемме 5.1.19 най-
дется последовательность а £аА, для которой
(95, ^)^<а = (Я, ^)^<а-
Следовательно, 33 ЭД. —|
а^А, Ь€*В, такие,
Теорема 5.1.22. Предположим, что ЭД и 33 суть однородные
модели одинаковой мощности а, реализующие одни и те же типы.
Тогда ЭД S3.
Доказательство. Пусть кардинал а бесконечен,
и пусть а £ аА, b £ аВ — перечисления множеств А и В соот-
262
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
ветственно. По лемме 5.1.20 существуют а £ аЛ, Ъ €аВ^ такие, что
(2L fl£h<a=(23, ^)g<a
и а, и Ъ также перечисляют множества А и В. Это влечет за собой
изоморфизм 21 = S3. Если a — конечный кардинал, то так как
модели 21 и S3 реализуют одни и те же типы, они элементарно
эквивалентны и, следовательно, изоморфны. —|
Упражнения
5.1.1. Если кардинал а регулярен, то объединение элементарной
цепи 2ГП, т] < а, a-насыщенных моделей а-насыщенно.
5.1.2. Найдите счетную элементарную последовательность <о-
насыщенных моделей, объединение которой не является (^-насы-
щенным.
5.1.3. Пусть модель 21 Р+-насыщенна, и пусть подмножество
Xcz А имеет такую мощность, что р | X | || X ||. Тогда су-
ществует | X |+-насыщенная элементарная подмодель модели 21
мощности не более 2,Т|, содержащая множество X. Докажите то
же утверждение с заменой р+-насыщенности и | X p-насыщенно-
сти на р+-однородность и | X ^-однородность.
5.1.4. Пусть || X || — а. Найдите теорию Т в языке X, облада-
ющую бесконечными моделями и имеющую насыщенную модель
мощности а+ тогда и только тогда, когда a+ — 2а.
5.1.5. Если кардинал а слабо недостижим, то каждая специ-
альная модель мощности а насыщенна.
5.1.6. ^Пусть модель 21 специальна и имеет мощность а. Пока-
жите, что для 21 существует специализирующая цепь 21/з, Р < а,
такая, что | А р | 2^, если || X || р < а.
5.1.7. Допустим, что || X || < а, а = а* — | А | = | А' |, 21 р,
Р < а,— специализирующая цепь для модели 21 и 21 *< 21' Дока-
жите, что существуют специальное элементарное расширение S3
модели 21' мощности а и специализирующая цепь S3 р, Р < сс,
для S3, такие, что 21 р < 95 р для всех р < а.
5.1.8. Покажите, что если модель 21 a-универсальна и || X ||<а,
то каждое ее обеднение будет а-универсальным.
5.1.9* . Наше определение a-однородной модели таково, что
в случае сингулярного а трудно доказать существование а-одно-
родных моделей мощности а. Введем новое понятие. Пусть а
бесконечный кардинал. Назовем модель 21 мощности а слабо одно-
5.1. Насыщенные и специальные модели
263
родной, если 31 есть объединение элементарной цепи, 31 = (J3lp,
р«х
причем каждая модель 31 р 0+-однородна. Каждая специальная
модель 31 слабо однородна. Если кардинал а регулярен, то для
моделей мощности а слабая однородность эквивалентна однород-
ности. Докажите аналоги предложения 5.1.21 и теоремы 5.1.22
(и необходимых лемм) для слабо однородных моделей мощности а,
предполагая, что || X || < а.
5.1.10* . Пусть X— счетный язык. Докажите, что если теория Т
в языке X имеет не более чем счетное число счетных однородных
моделей, то в любой мощности а она имеет не более чем счетное
число (слабо) однородных моделей.
[Указание*. Покажите, что каждая однородная модель теории Т
мощности а реализует не более чем счетное число типов.]
5.1.11* (ОКГ). Пусть ||#|| = со, и пусть 31 —слабо однород-
ная модель мощности 0. Докажите, что для каждого кардинала у,
(01 у < р, существует элементарная подмодель 23 модели 31,
такая, что 23 слабо однородна и имеет мощность у.
5.1.12 (ОКГ). Предположим, что ||<5С|| = со и < а < 0.
Пусть Т — теория в языке X. Тогда число ее (неизоморфных)
слабо однородных моделей мощности а больше или равно числу
слабо однородных моделей этой теории мощности 0.
5.1.13* (ОКГ). Приведите пример полной теории, которая имеет
три однородные модели мощности соо, две однородные модели мощ-
ности (Oi и одну однородную модель мощности со2.
5.1.14. Пусть ||£|| = (о. Покажите, что в каждой мощности а
имеется не более 22° неизоморфных однородных моделей. Найди-
те теорию, имеющую точно 22° неизоморфных однородных моде-
лей в каждой мощности а 2®.
5.1.15* . Приведите пример полной теории Т в счетном языке,
такой, что
(i) все модели теории Т мощности > 2® однородны;
(ii) теория Т имеет неоднородную модель мощности 2®.
5.1.16* (ОКГ). Приведите пример полной теории, которая
имеет точно со неизоморфных (слабо) однородных моделей в каж-
дой бесконечной мощности. Сделайте то же самое для 2®, 2 и 3
вместо со.
Для каких конечных кардиналов п такие примеры можно
найти? (Это открытый вопрос.)
5.1.17. Пусть X — счетный язык, содержащий двухместный
предикатный символ, а а — бесконечный кардинал. Покажите,
264 Гл, 5, Насыщенные и специальные модели
что существует бесконечная а+-насыщенная модель ?! языка X,
такая, что ни для какого подмножества Вс: А, (о ] В | а,
модель (ЭД, В) не является (Орнасыщенной.
[Указание: Рассмотрите а+-насыщенную модель, эквивалент-
ную модели {R (о)), О.]
5.2. Теоремы об устойчивости
В разделе 3.2 мы доказали, используя элементарные цепи,
группу результатов, названных там теоремами об устойчивости.
Применение насыщенных или специальных моделей дает более об-
щий метод получения теорем об устойчивости. Здесь мы приведем
доказательства этим методом теорем об устойчивости из гл. 3
(устойчивость относительно подмоделей, относительно объедине-
ний цепей и устойчивость относительно гомоморфизмов), а затем
перейдем к другим теоремам об устойчивости.
Мы будем часто пользоваться первой леммой из разд.3.2, поэто-
му для удобства приведем ее здесь.
Лвмма 3.2.1. (Повторение.) Пусть Т — совместная теория язы-
ка X, и пусть Д — множество предложений из Т, замкнутое отно-
сительно конечных дизъюнкций. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(i) Т имеет систему аксиом Г, такую, что Го: Д.
(ii) Если ЭД —модель теории Т и каждое предложение б £ Д,
истинное в ЭД, истинно в 93, то 93 есть модель для Т
Следующая лемма есть аналог теоремы о том, что а-насыщен-
ная модель а+-универсальна.
Лемма 5.2.1. Пусть модель 93 а-насыщенна, а | А \ и каж-
дое экзистенциальное предложение, истинное в ЭД, истинно в 93.
Тогда модель ЭД изоморфно вкладывается в модель 93.
Доказательство. Для целей этого (и последующих)
доказательств мы введем временное обозначение: 93i(E)932 озна-
чает, что каждое экзистенциальное предложение, истинное в 931,
истинно в 932. Пусть а £ аА — перечисление всех элементов мно-
жества А, Мы определим последовательность а, индукцией
по £ < а. Предположим, что для всех ц < Н мы нашли g В,
такие, что
(Я, ал)п<8 (Е) (93, Мп<6.
Пусть 2 (и) —множество всех экзистенциальных формул н (и),
выполняющихся в модели (ЭД, an)n<^ на элементе а%. Рассматри-
вая конечные конъюнкции ф формул а из 2 и навешивая на них
квантор (3v), мы получаем предложения, эквивалентные экзи-
5.2. Теоремы об устойчивости
265
стенциальным. Следовательно, все такие предложения (3p)q>
истинны в модели (58, &-п)т)<|. Таким образом, 2 совместимо с тео-
рией модели (58, &т))-п<В- Мы можем расширить 2 до некоторого
(полного) типа 2 (и) над (58, Так как модель (58, Ьт))п<&
также a-насыщенна, тип 2 , а значит, и 2 реализуются некото-
рым элементом Ь^£В. Таким образом,
(51, (Е) (58,
Этим индукция завершена. В силу того что а —предельный орди-
нал, справедливо соотношение (55, а^<а (Е) (58, Ь^)|<а. Так как
множество экзистенциальных предложений содержит все атомные
предложения и все их отрицания, отображение Ь- является
изоморфным вложением модели 55 в модель 58. Ч
Напомним, что по определению предложение ф устойчиво отно-
сительно расширений, если для всех моделей 55, 58 из SI cz 5&
и 55 ф вытекает 58 ф.
Предложение 5.2.2. Следующие два условия эквивалентны:
(i) Каждое экзистенциальное предложение, истинное в модели
55, истинно в модели 58.
(ii) Модель 55 изоморфно вкладывается в некоторое элементар-
ное расширение модели 58.
Доказательство, (ii) => (i). Так как экзистенциаль-
ные предложения устойчивы относительно расширений, это три-
виально.
(i) => (ii). Пусть р —такой кардинал, что | А | р и || X || р.
По теореме существования для насыщенных моделей 58 имеет
Р+-насыщенное элементарное расширение 58', которое либо ко-
нечно, либо имеет мощность 2₽. По лемме 5.2.1 модель 31 эле-
ментарно вкладывается в модель $8' Ч
Теорема 5.2.3. Теория Т устойчива относительно расширений
тогда и только тогда, когда ее можно аксиоматизировать посред-
ством экзистенциальных предложений (т, е, Т обладает множе-
ством экзистенциальных аксиом).
Доказательство. Мы докажем только трудную часть
теоремы. Допустим, что теория Т устойчива относительно расши-
рений. Дизъюнкция конечного числа экзистенциальных предложе-
ний эквивалентна экзистенциальному предложению, следовательно,
мы можем использовать лемму 3.2.1. Пусть 31 —модель тео-
рии Т, и предположим, что каждое экзистенциальное предло-
жение, истинное в 3(, истинно в 58. Тогда модель 55 изоморфно
вкладывается в некоторое элементарное расширение 58' модели 58.
Поэтому 58', а значит, и 58, являются моделями для Т. По лемме^
266
Гл, 5, Насыщенные и специальные модели
3.2.1 теория Т аксиоматизируется посредством экзистенциальных
предложений. —|
Теорема 5.2.4. Теория Т устойчива относительно подмоделей
тогда и только тогда, когда Т аксиоматизируется посредством
универсальных предложений.
Доказательство аналогично доказательству преды-
дущей теоремы. —|
Сейчас мы сосредоточим наше внимание на универсально-эк-
зистенциальных предложениях, т. е. Щ-предложениях.
Предложение 5.2.5. Следующие утверждения эквивалентны:
(i) Каждое универсально-экзистенциальное предложение, истин-
ное в модели 31, истинно в модели 93.
(ii) Существуют две модели S3' и 31', такие, что 93с: 3l'cz
cz эу 95 <эз' и 31 < г
Доказательство, (ii) => (i). Пусть ср — универсально-
экзистенциальное предложение, истинное в 31. Чтобы не услож-
нять обозначений, предположим, что ф = (V#3y)o, где о —
бескванторная формула. Мы покажем, что 93 t= ф. Пусть Ь £ В.
Тогда (93, Ъ) = (Ж', Ь). Так как Ъ £ А' и ЗГ t= ф, то ЗГ (Зг/)о[&].
Экзистенциальные предложения устойчивы относительно расши-
рений, следовательно, 23' 1= (Зг/)о[&]. Это влечет за собой
93 t= (3i/)o[&]. Значит, 93 (V^3i/)cr.
(i)=^(ii). Из пункта (i) вытекает, что
каждое экзистенциально-универсальное (^^предложение,
истинное в 93, истинно в 31.
Пусть ЗГ — такое | В [-насыщенное элементарное расширение
модели 31, что | В | | И'|, и пусть Ь £*В — перечисление всех
элементов множества В, Проводя точно такую же индукцию, как
и в лемме 5.2.1 (простые детали мы оставляем в качестве упраж-
нения), можно найти последовательность а £ аЛ' такую, что
каждое экзистенциально-универсальное предложение, ис-
тинное в модели (93, &fc)fc<a5 истинно в модели (31' a^)^<a.
Отсюда следует, что каждое экзистенциальное предложение, ис-
тинное в (31', а$ ^<а, истинно в (93, ^<а. Применяя теперь пред-
ложение 5.2.2, мы непосредственным образом получаем элемен-
тарное расширение (93', b^) ^<а модели (93, Ь^)^<а, в которое мо-
дель (31', изоморфно вкладывается. Мы можем без ограни-
чения общности считать, что
95 <= ЗГ cz 93', 31 < Г, 93 < 93'. Ч
5.2. Теоремы об устойчивости
267
Мы скажем, что три модели 31, ЯЗ, 6 образуют 1-сандвич,
^сли ЭДсгЯЗс1(£иЭД-<(5. Скажем, что модель 31 прослаивается
моделью 23, если существуют элементарные расширения ЗГ>- 31,
Я3'> ЯЗ, такие, что ЯЗ, ЗГ, ЯЗ' составляют 1-сандвич.
Теорема 5.2.6. Следующие утверждения эквивалентны:
(i) Теория Т аксиоматизируется посредством универсально-
экзистенциальных предложений.
(ii) Теория Т устойчива относительно объединений цепей
.моделей.
(iii) Теория Т устойчива относительно 1-сандвичей, т. е. если
ЭД Т и модель 31 прослаивается моделью ЯЗ, то ЯЗ 1= Т.
Доказательство. Мы докажем следующие имплика-
ции: (i) => (ii) => (iii) => (i).
(i) => (ii). Это очевидно.
(ii) => (iii). Допустим, что модель 31 прослаивается моделью ЯЗ.
Мы построим последовательность моделей
(1) ЯЗосЗГосЯЗ^ЗЬс ... сйпсЭД.с
ч’акую, что Я30 = ЯЗ, каждая тройка ЯЗП, ЭДП, ЯЗп+1 образует 1-сан-
двич, ЭД0 > ЭД и каждая модель ЭДп+1 элементарно эквивалентна
модели ЭД. Ясно, что для того, чтобы определить модели ЭДП, ЯЗП
по индукции, нам достаточно доказать следующее утверждение:
(2) Если модели ЯЗП, ЭДП, ЯЗп+1 образуют 1-сандвич, то сущест-
вуют модель ЭДп+1, элементарно эквивалентная модели ЭДП,
и элементарное расширение ЯЗп+2 модели ЯЗп+1, такие, что
тройка ЯЗп+1, ЭДп+n ЗЗп+2 является 1-сандвичем.
Для доказательства утверждения (2) рассмотрим язык X' =
= X U {сь b £ £n+1} U {^}, где U — одноместный предикатный
символ, и теорию Т' в языке X', определяемую следующим обра-
зом:
Т' = {элементарная диаграмма ЯЗп+1} U
U : ЭДп <p}u Wb):H5n+i}.
Здесь — релятивизация предложения ф(см. упр. 5.2.20). Возь-
мем произвольную модель ЯЗп+2 теории Т' Она является элемен-
тарным расширением модели ЯЗп+1 и содержит подмножество 67,
равное интерпретации предикатного символа U в ЯЗп+2, в котором
содержится ЯЗп+1 и такое, что подмодель модели ЯЗп+2 с универ-
сумом U эквивалентна модели ЭДП. Совместность Тг доказывает-
ся следующим образом. Произвольное конечное подмножество
множества Т' состоит из трех частей:
предложения о(с&1, ., cbm), такие, что ЯЗп+1^=о[\, . . ., &т],
предложения такие, что ЭДп1=(р,
предложение U(cbi) /\ . . . \U (cbm)-
268
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
* 1 _* * 1 " — г -
Так как ЯЗП < ЯЗп+ь т0 найдутся dm £ Вп, такие, что
Я3д^о,[с?1, dm], Я3д+х^п[с^, dm].
И модель (83n+i, 4n, ., dm) будет, очевидно, моделью этого
конечного подмножества теории Т' Следовательно, Т' имеет мо-
дель, и утверждение (2) доказано.
Рассмотрим теперь последовательность моделей из цепи (1).
Так как множество предложений Т выполняется в модели ЭД0, то
ЭД^Т для всех п. Следовательно, (J ЭДд^Т С другой стороны,.
ng(O
цепь моделей ЯЗП, п £ ш, элементарна и, значит, 23 < (J 23п =
П£СО
— U ЭДд. Из предыдущего вытекает, что 23^ Г.
п£(0
(iii) => (i). Предположим, что выполняется (iii). Тогда (i)
вытекает из предложения 5.2.5 и леммы 3.2.1. Н
Имеются естественные обобщения теоремы 5.2.6 на ^-предло-
жения, а также на Щ- и Sn-предложения, где п 3. Для полно-
ты изложения мы приведем обобщение теоремы 5.2.6 на Щт-пред-
ложения. В упражнениях содержатся аналогичные обобщения
на Щгпредложения для нечетных m и на 2д-предложения для
п 2. Цепь из 2n + 1 моделей
яз0^эд0...
называется п-сандвичем, если
2So < 9S1 < ... < ЯЗП И ЭД0 <ЭД4 < < ЭДд-4.
Мы скажем, что модель ?! п-прослоена моделью 23О Лесли сущест-
вуют элементарные цепи
... <ЭДП_Ь ®0<...<23д,
такие, чтЧ) цепь
Я30 С= ЭД0 с= ... cz SU-i cz $Вд
есть n-сандвич. Следующее предложение обобщает предложе-
ние 5.2.5.
Предложение 5.2.7. Пусть п 1. Следующие утверждения
эквивалентны'.
(i) Каждое Т^п-иредложение, истинное в модели ЭД, истинно
в модели 23.
(ii) Существует п-сандвич
... с=эдп_1(=23п,
такой, что 23О = ЯЗ и ЭД -< ЭД0.
Доказательство. Читателю следует предварительно
восстановить в памяти доказательство предложения 5.2.5.
5.2. Теоремы об устойчивости
269
(ii) => (i). Эта импликация базируется на следующем утвер-
ждении, которое доказывается индукцией по к. 1 к п:
для всякой П^-формулы (р (#!, . xi) и любых
где к. из bt]
следует 9Sm 1= <р[ , bt].
Заметим, что когда к — 1, первый шаг индукции для всех иг,
Q т п —1, по существу приведен в доказательстве (в одном
направлении) предложения 5.2.5. При проведении шага индук-
ции от к к к + 1 особых трудностей не возникает. Поэтому мы бу-
дем предполагать, что это утверждение доказано. Мы видим, что
при к = п каждое Шп-предложение, истинное в модели ЭД0,
истинно и в модели 23О, что и требовалось доказать.
(i) => (ii). Начнем с моделей ЭД и 23О = 23. Пусть ЭД0 —неко-
торое | BQ(-насыщенное элементарное расширение модели ЭД,
и пусть ft0 £ &>BQ — перечисление всех элементов множества BQ.
Таким образом,
каждое Щп-предложение, истинное в модели ЭД, истинно
и в модели 23О
и, следовательно,
(1) каждое З^п-предложение, истинное в 23О, истинно в ЭД.
Из доказательства предложения 5.2.5 и утверждения (1) вытека-
ет , что
(2) существует последовательность а°£&°Л0, такая, что каждое
Е^п-предложение, истинное в модели (Я30, b|)g<p0, истинно
и в модели (ЭД0,
Учитывая, что ^гп-гформула является Егп-формулой, мы получа-
ем из утверждения (2) следующее утверждение:
(3) каждое Х^-гпредложение, истинное в модели (ЭД0, а|)£<р0,
истинно в модели (23О, Ц)^<р0.
Пусть 231 —некоторое | Ло (-насыщенное элементарное расшире-
ние модели 25О, и пусть а0 С а°Л0 — расширение а0, которое пере-
числяет множество Ло. Тогда из (3) вытекает
(4) существует последовательность такая, что каждое
-предложение, истинное в (ЭД0, а|)^<ао, истинно
в (58ь &1Ь<ао-
Из утверждения (4) следует
(5) каждое 22(п-1)-предложение, истинное в модели 231, истин-
но в модели ЭД0.
270
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Кроме того, мы уже имеем 1-сандвич
2S0cz Яоczйь ?! <И0, Йо
Очевидно, что используя (5) таким же образом, как мы использо-
вали (1), можно расширить этот 1-сандвич до 2-сандвича
йос:ИоС=й1с=Я1с1Й2, 93О < <й2,
причем такого, что
каждое 220(п-2Гпредложение, истинное в модели й2, истин-
но в модели 311.
Теперь очевидно, как вести индукцию дальше; следовательно, мы
можем построить n-сандвич, который требуется в (ii). —|
Следующая теорема обобщает теорему 5.2.6.
Теорема 5.2.8. (Теорема Кейслера о сандвиче.) Пусть Т —
теория в языке X, и пусть п 1. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(i) Теория Т аксиоматизируется посредством Н^ггиредложений.
(ii) Теория Т устойчива относительно объединений ^п- гцепей.
(iii) Теория Т устойчива относительно п-сандвичей, т. е. если
31 Т и модель 31 п-прослоена моделью й, то й Т
Доказательство. (i) => (ii). Это следует из лем-
мы 3.1.15.
(ii) => (iii). Предположим, что модель 31 n-прослоена моделью
й — й0 и 3! Т Тогда имеет место следующее утверждение,
которое доказывается по индукции совершенно аналогично тому,
как это делалось в предложении 5.2.7:
(1) для всякой 22п-гформулы ф (х1? . . ., j/) и произвольных
Я1, \ ., аг £ Л из йх ф[а1?. ., аг] следует 3I0 Ф
aj.
Рассмотрим три модели йо<= ЗГ0 с: йх, такие, что Йо < йх и для
пары ЗГо» 981 выполняется (1). Мы продолжим эту цепь до
Йо с= 3(0 <= 981 <= 3Ii cz Й2,
добавляя такие две модели, что
(2) Йо < 931 < 932, 31© = Й1 и для пар ЗТо? и ЭДь 932 выпол-
няется (1).
Для доказательства (2) обобщим соответствующие рассуждения из;
доказательства теоремы 5.2.6. Пусть
£' = £Ufcb:feeSi}U{t/},
5.2. Теоремы об устойчивости
27t
и рассмотрим теорию которая определяется следующими пред-
ложениями языка X':
элементарная диаграмма модели 2S1?
{0(tZ): Йо 0 и 0 — предложение языка <5?},
{С7(еь)
{Ф(Ш (Сае... ,сО/) : , at £ Ло, ф (#i, . .., xt) есть Щп_ гфор-
мула, такая, что Йо t= ф [дь • • •, ad},
{(V#i.. -Xi) (ф A U (xi) а . a U {xi) -> ф<и)): ф (xb ..., Xi) есть
^2n-i-формула языка <5?}.
Типичное конечное подмножество множества предложений из Т
состоит из пяти частей:
(3) предложения о (сЬ1, ..., с^), такие, что Я3± t= о [&i, ..., fem]r
предложения 0(17), где Йо t= 0»
предложения U (сь^ к aU (сът),
предложения ф^) (са1, .. ., са1), такие, что {аь ..., at} cz
cz {fen . .., fem}, 4i есть IIL-i-формула и Йо t= ф4 [а1? ..., az],
предложения (V#i #0(4*2 A (#i) A A U (#0 -> ф<2и>), где
ф2 есть Sin-i-формула.
Из утверждения (1) следует, что 2SX фх [ах, . аД. Так как
23О т0 мы можем найти такие элементы dx, ., dm £ BOr
что в модели (2SX, Ао, d14 . ., dm) выполняются все предложения
из (3). Таким образом, Т совместна. Пусть 232 есть модель тео-
рии Т, и пусть Аг — интерпретация символа U в 232. Легко видеть,,
что в этом случае (2) выполняется. Повторяя эту процедуру, по»
индукции мы получим цепь моделей
93О cz Йо <= 931 <= Й1 с= ... с 23п с йп cz 23п+1 cz ....
такую, что
93О < 93, < <93п<...,
модели йп, со, образуют SJn-i-ijenb и
$80< U?In.
пЕф пЕ®
Так как йп ss Для каждого п, предложение <р истинно в их
объединении. Значит, ср истинно в модели 23О. Тем самым доказа-
но (iii).
(iii) => (i). Это следует из предложения 5.2.7. Ч
Теорема о сандвиче имеет приложение к арифметике Пеано.
Можно показать, что арифметика Пеано не аксиоматизируется
Пп-предложениями ни для какого фиксированного п. Отсюда сле-
дует, что арифметика Пеано не устойчива относительно п-сандви-
чей ни для какого п, т. е. для любого п существует цепь моделей
ЯЗо cz Йо cz ... cz йп-i ^ЗЗп»
272
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
такая, что
5Во<... <98п
и модель ЭД0 является моделью арифметики Пеано, а модель 2% —
нет.
Известно также, что ZF не аксиоматизируется Пп-предложения-
ми, следовательно, ZF тоже не устойчива относительно гс-санд-
вичей.
Следующие результаты связаны с позитивными предложениями
и гомоморфизмами. Напомним, что по определению позитивные
формулы строятся из атомных формул с помощью связок л, V,
3, V. Скажем, что формула негативна, если она строится из от-
рицаний атомных формул и связок л, v, 3, V. Очевидно, что предло-
жение ср эквивалентно позитивному предложению тогда и только
тогда, когда ^~|ф эквивалентно негативному. Напомним также,
что гомоморфизм модели §1 на модель 23 — это отображение /
множества А на множество В, которое сохраняет все атомные
формулы, т. е. если о (я^, хп) — атомная формула и
ЭД t= а[ах, ап], то 95 1= a[f (ах), / (ап)].
Следующие две леммы обобщают леммы 5.1.10 и 5.1.11. Мы вве-
дем временное обозначение: Я31(Р)Я32 (®i(N)582) означает, что
каждое позитивное (негативное) предложение, истинное в моде-
ли 231, истинно в модели 232. Более общо, если Ф — произволь-
ное множество формул, то 231(Ф)932 есть сокращение следующего
выражения: каждое предложение из Ф, истинное в модели 2819
истинно в модели 232-
Лемма 5.2.9. Пусть Ф — множество формулы языка X, эквива-
лентных позитивным {негативным) формулам. Пусть модель 23
а-насыщенна, ЭД(Ф)28 и а^аА. Тогда существует последователь-
ность b £ аВ, такая, что
О, <а (Ф) (Ж, Ь^<а.
Доказательство. Отметим сначала, что в приведенном
ниже рассуждении от Ф требуется только, чтобы оно было замкну-
то относительно конъюнкции и экзистенциальной квантификации.
Следовательно, наше доказательство для Ф = Р годится также
для Ф = N или для Ф, равного множеству всех формул языка X
{лемма 5.1.10).
Мы определим последовательность Ь^, % < а, по индукции.
Допустим, что ? < а и для всех ц < | мы нашли Ь^, для которых
(ЭД, ап)11<Е(Ф) (98, Ьц)п<8.
Пусть S (у) есть множество всех таких формул а из Ф в языке мо-
дели (й, an)n<j от °Дн°й переменной v, что
(ЭД, «n)n<i t= о [ad-
5.2. Теоремы об у сто йчивости 27 3
Используя основные свойства Ф, мы убеждаемся в том, что
(23, ^п)т)<£ (Эр) а для всех of Ф(2(р)).
Следовательно, S можно расширить до полного типа над (38,
Так как модель (25, &п)п<£ «-насыщенна, некоторый элемент
Ъ f В реализует S, так что
(й, (Ф) (98, bj
Индукция завершена, и лемма доказана. Н
Лемма 5.2.10. Допустим, что кардинал а бесконечен, модели
21, 26 а-насыщенны, a f аА, b £ аВ и ЧХ (Р) 23- Тогда существуют
a f аА, b f аВ такие, что
range (а) с: range (а),
range (Ь) cz range (6),
(Я, а^<а (Р) (58,
Доказательство. (Пожалуйста, просмотрите сначала
еще раз доказательство леммы 5.1.11.) Мы определим последова-
тельности а, Ъ, такие, что
если £=%4“2п, то а^ = а^п\
если_£= X+(2n+1), то =
(И, ал)л<. (Р) (28, Ь^.
(X — предельный ординал).
Если ординал £ четен, то мы определяем а^, как указано выше,
и находим f В так же, как и в лемме 5.2.9. Если ординал £ не-
четен, то мы определяем Ь^, как указано выше. Замечая, что
(98, &т])тк1 (N) (21, #п)п<£,
мы. опять можем найти нужный элемент а f А, как и в лемме 5.2.9.
Предложение 5.2.11. Пусть 21 и 28 суть специальные модели
и каждое позитивное предложение, истинное в 21, истинно в 28*
Предположим, что либо модель 28 конечна, либо | А ] = | В |. Тог-
да 21 28.
Док азательство. Ниже мы наметим доказательство
для случая, когда множество В бесконечно и | А | = | В |.
Однако если множество В конечно, то это доказательство тоже
годится, вне зависимости от конечности или бесконечности мно-
жества А. Надо только вспомнить, что конечные модели а-насыщен-
ны для всех кардиналов а; следовательно, применима лемма 5.2.10.
Если а = у+, то модели 21 и 28 а-насыщенны и имеют мощ-
ность а. Пусть a f аА, Ь f аВ — перечисления множеств Л и В
18 Г. Кейслер. Ч. Ч. Чэн
274
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
соответственно. Тогда существуют Ь £ аВ, которые удовлет-
воряют лемме 5.2.10. Следовательно, а, Ъ должны перечислять все
элементы множеств А и В и отображение Ь%, где £ < а,
является гомоморфизмом модели Я на модель 93.
Если а — предельный кардинал, то пусть 91 р, Р < а, и 93р,
Р < а,—специализирующие цепи для моделей 91 и 93 соответ-
ственно. Дальше доказательство протекает с использованием чел-
ночного метода, как и в теореме единственности, а детали мы остав-
ляем читателю. Ч
Предложение 5.2.12. Следующие утверждения эквивалентны:
(i) Каждое позитивное предложение, истинное в модели 91,
истинно в модели 93.
(ii) Существуют элементарные расширения 91' > 91, 93' >- 93 мо-
делей 91 и 93 соответственно, такие, что 93' есть гомоморфный
образ 9£z
Д о к а з а т ельство (ii) => (i). Это вытекает из того,
что позитивные предложения устойчивы относительно гомомор-
физмов.
(i) => (ii). Заметим, что если одна из моделей 91 или 93 конеч-
на, то | А | | В |. Поэтому существуют такие специальные
элементарные расширения 91' и 93' моделей 91 и 93 соответствен-
но, что 9Г(Р)23' и | А' | | В '(, причем имеет место равен-
ство, если модель 93 бесконечна. По предложению 5.2.11 мо-
дель 93' есть гомоморфный образ модели 91' Ч
Из этого предложения и леммы 3.2.1 немедленно вытекает
теорема Линдона о гомоморфизмах. Мы сформулируем ее еще раз.
Теорема 5.2.13. Совместная теория Т устойчива относительно
гомоморфизмов в том и только том случае, когда она аксиомати-
зируется посредством позитивных предложений.
Следующие три результата не являются, строго говоря, теоре-
мами об устойчивости, и их доказательство не требует использо-
вания a-насыщенных или специальных моделей. Тем не менее они
дают нам хорошее введение в общую проблему описания элемен-
тарных классов, замкнутых относительно данных операций, и при-
водят к некоторым интересным (и трудным) упражнениям, сфор-
мулированным в конце этого раздела. Мы сформулируем результа-
ты для отдельных предложений, а соответствующие результаты
для произвольных совокупностей предложений оставим как
упражнения.
Предложение 5.2.14. Пусть ф — предложение языка X. Пред-
положим, что если 9(, 931, 932 — модели этого предложения
u 981т 93а cz 91, то пересечение 931 А 232 снова является моделью
5.2. Теоремы об устойчивости
275
для ср. Тогда пересечение QX произвольной совокупности X мо-
делей предложения <р, являющихся подмоделями некоторой модели
этого предложения, снова будет его моделью.
Доказательство. (Пересечения 93х Q 932 и Q X опре-
деляются естественным образом.) Пусть 31 — модель предложения
ср, а X — непустая совокупность подмоделей модели Я, которые
являются моделями для ср. Пусть X' = X J {са ' а € A} U {?/}»
где U — новый одноместный предикатный символ. Пусть Т —
теория языка X', которая задается следующими предложениями:
диаграмма модели 91 в языке X (J {са а £ А},
релятивизированное предложение ср(С7\
предложения U (са) для всех элементов а из пересечения Qx,
предложения U (са) для всех элементов а £ А, не лежащих
в Пх.
Любое конечное подмножество Т множества аксиом для Т со-
держит лишь конечное число предложений U (са^, U(cQ^a
Допустим, что
93гСХ
для 1 i п. Пусть 93 = Q 9Sf. Ввиду наших предположе-
ний 93 есть модель предложения ср. Следовательно, модель
(ЭД, В,а)о€А
есть модель для Т', где U интерпретируется как множество В.
Таким образом, Т непротиворечива. Пусть 93 — модель теории Т.
Ясно, что модель 91 изоморфна подмодели 911 модели 93, и интер-
претация U в 93 определяет другую подмодель И2 модели 25.
Как так и Я2 являются моделями предложения ср, следова-
тельно, ЭДХ Q ЭД2 “ модель для ср. Но очевидно,f что 9^ Q 912 а*
QX. Значит, р|Х — модель для ср. Ч
Предложение 5.2.15. Пусть (р — предложение в языке X, удо-
влетворяющее условиям предложения 5.2.14. Тогда ср эквивалентно
универсально-экзистенциальному предложению.
Доказательство. Мы докажем, что ср устойчиво отно-
сительно объединений цепей. Утверждение предложения тогда
вытекает из теоремы 5.2.6. Нам также достаточно доказать, что
предложение ср устойчиво относительно объединений цепей типа со.
(Общий случай см. в упр. 5.2.13 и 5.2.14.) Пусть
ЭДоСЗЭД^ ... О1ЭДП(=
— цепь моделей предложения (р. Пусть 91 = (J 91п. Используя
диаграмму модели 91 и теорему компактности, мы легко можем
18*
276
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
показать, что ?1 есть подмодель некоторой модели 23 предложе-
ния <р. Наши рассуждения теперь аналогичны тем, которые исполь-
зовались в доказательстве предложения 5.2.12. Пусть Т — теория
в языке X U {сь задаваемая следующими пред-
ложениями:
диаграмма модели 23 в языке X U {съ'Ь^В},
ф(^),
U (са) для каждого а£А,
”]Е7 (са) Для каждого а£В\А.
Очевидно, что Т совместна. Следовательно, она имеет модель 23',
причем 23' Ё=ф. Теперь и 23, и подмодель модели 23' с универсу-
мом, равным интерпретации U в 23', суть модели предложения ф.
Значит, их пересечение служит моделью для ф. Но это пересечение
изоморфно Я. Ч
Предложение 5.2.16. Пусть предложение ф устойчиво относи-
тельно непустых пересечений убывающих последовательностей,
т. е. если
— последовательность моделей предложения ф и их пересечение
непусто, то это пересечение снова есть модель для ф. Тогда ф
эквивалентно универсально-экзистенциальному предложению.
Доказательство. Как и в доказательстве предложе-
ния 5.2.15, мы воспользуемся теоремой 5.2.6. Покажем, что пред-
ложение ф устойчиво относительно объединений цепей. Пусть
Яос: <=йп<=...
— цепь моделей предложения ф. Мы можем считать, что объеди-
нение есть подмодель некоторой] модели 23О предложе-
ния ф. Пусть иг, U2, ., Uп, — последовательность новых
одноместных предикатных символов; мы построим такую возраста-
ющую цепь моделей
23О с= 231 <= cz 23п с
что каждая модель 23п есть модель языка Хп = X\]{Ut 1
i п}, а «^-обеднение цепи
23n cz 23n+i с=
есть элементарная цепь моделей языка Хп. Более того, мы потре-
буем, чтобы интерпретация Un+i в модели 23п+п обозначим ее
5.2. Теоремы об устойчивости
277
через Vn+i, удовлетворяла следующим условиям:
V"+l с= Vn+1 (интерпретация Un в 5Bn+i);
ЛсУЙ!, Щ|П(5П\Л) = О,
9Sn+i •= <р(С7п+1)
Допустим, что мы имеем последовательность моделей Я80 с:
cz 93п, удовлетворяющую приведенным выше условиям. Тогда
в модели выполняются следующие соотношения:
Нам надо найти такую модель 8Sn+i языка <55n+i» чт0 23п
где 93п-ь1 есть <£п-обеднение модели 98п+ь в которой имели
бы место соотношения
У#}(1(Я„\Л) = 0,
28n+i t= 1 4-1.
Чтобы найти 25п+!, рассмотрим теорию Г, которая задается эле-
ментарной диаграммой модели 93п в языке Хп и предложениями,
выражающими (используя полный объем языка #л+1 и константы
для элементов из Вп) следующее:
?4 сс U ст U п,
ф(С7п+1^
С7л+1П(5п\Л)=О.
Совместность произвольной конечной подсистемы из Т может быть
проверена в модели 93п выбором подходящего Ат в качестве
интерпретации Un+1. Следовательно, Т совместна, и можно
считать, что она имеет модель 93п+г которая продолжает нашу
цепь до
cz 93п+1.
Пусть 93 = (J 93п, и пусть Vt, V2, .—интерпретация С/2, • • •
п£(1)
... в S3. Легко видеть, что
Лс...сГ„с
Рп+1П(5п\Л)=О,
93 .
278
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Следовательно, подмодели модели S3 с универсумами Fn, являю-
щиеся моделями исходного языка <55, образуют убывающую цепь
моделей предложения ср, пересечение которых равно ЭД. Следо-
вательно, ЭД |= ф. —|
Развитую в приведенных выше доказательствах технику можно
приспособить для получения других результатов; см. упражнения.
Упражнения
5.2.1* . Допустим, что язык X имеет лишь конечное число пре-
дикатных символов и не содержит функциональных и константных
символов. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(i) К — класс моделей некоторого множества универсальных
предложений.
(ii) Произвольная модель ЭД принадлежит К тогда и только
тогда, когда каждая конечная подмодель модели ЭД изоморфно
вкладывается в подходящую модель из К. Докажите анало-
гичное утверждение для (не обязательно конечного) языка X.
содержащего лишь предикатные символы. Докажите аналог для
произвольного языка X.
5.2.2* Пусть язык X удовлетворяет предположениям упр. 5.2.1.
Докажите, что К есть класс моделей одного универсального пред-
ложения в том и только том случае, когда существует число п,
такое, что произвольная модель ЭД принадлежит К тогда и только
тогда, когда каждая подмодель модели ЭД, состоящая из п эле-
ментов, изоморфно вкладывается в подходящую модель из К.
Существуют ли какие-нибудь аналоги для произвольного языка <55?
5.2.3. Пусть К — элементарный класс. Покажите, что класс К
всех подмоделей моделей из К есть класс моделей некоторого
множества универсальных предложений.
[Указание: Используйте упр. 5.2.1, случай произвольного <55.]
5.2.4* . Приведите пример, показывающий, что если К —
базисный элементарный класс, то класс К из упр. 5.2.3 не обяза-
тельно является классом моделей одного универсального пред-
ложения.
5.2.5* . Найдите соответствующие примеры для аналогов упр.
5.2.3, в случае когда К есть класс всех расширений моделей из К.
всех гомоморфных образов моделей из К, класс объединений про-
извольных цепей моделей из К.
5.2.6. Предложение называется экзистенциально-позитивным.
если оно экзистенциально и позитивно. Докажите, что предложе-
ние ф устойчиво относительно гомоморфизмов и расширений тогда
5.2. Теоремы об устойчивости
27 9
и только тогда, когда оно эквивалентно экзистенциально-позитив-
ному предложению или Н —]ф. Докажите аналогичное утверждение
для универсально-позитивных предложений и устойчивости отно-
сительно гомоморфизмов и подмоделей. Существуют ли аналоги
для универсально-экзистенциально-позитивных предложений?
5.2.7. Дайте теоретико-модельную характеристику в духе тео-
ремы 5.2.8 теорий, аксиоматизируемых посредством 2§п-предложе-
ний. Используя сандвичи четной длины, например сандвичи,
начинающиеся с 28О и оканчивающиеся Яп, опишите теории,
аксиоматизируемые посредством П^- и ^-предложений для
нечетного т. Обобщите все эти результаты на элементарные классы.
5.2.8. Понятие n-сандвича можно ввести чисто алгебраически
следующим образом. Докажите, что модель 21 n-прослоена моде-
лью 23О, если и только если существует (2п + 1)-цепь моделей
с= 2U, с= азп,
такая, что каждая модель 2Sft+1 изоморфна ультрастепени модели
23а, 0 к < п, и аналогичное условие выполняется для моделей
2I&, 0 fc < w. При этом все ссылки на синтаксические понятия
или понятия выполнимости опускаются*
5.2.9. Привлекая доказательство теоремы 5.2.6, покажите, что
элементарный класс К замкнут относительно объединений беско-
нечных цепей длины <о в том и только том случае, когда К замкнут
относительно произвольных объединений направленных множеств
моделей. (Определение объединений направленных множеств моде-
лей см. упр. 3.1.9, а также упр. 3.1.10.)
5.2.10. Замените условия предложения 5.2.14 на следующие:
если 21, 231-» Я32 — модели предложения ф, 23х> 332 с и А
П 332 #= о, то 23х П 9S2 — модель для ср. Докажите, что аналогич-
но можно заменить заключение: если пересечение непустого се-
мейства моделей’предложения ср, являющихся подмоделями некото-
рой его модели, непусто, то оно есть модель для ф.
5.2.11. Покажите, что существуют предложения ф, устойчивые
относительно непустых пересечений убывающих цепей, но не
устойчивые относительно непустых пересечений двух подмоделей.
5.2.12* *. Опишите предложения ф или множества предложе-
ний S, которые устойчивы относительно непустых пересечений
двух подмоделей. (За отправную точку возьмите упр. 5.2.18.)
5.2.13* * Докажите, что предложение ф устойчиво относитель-
но непустых пересечений убывающих цепей тогда и только тог-
да, когда оно устойчиво относительно объединений цепей и непу-
стых пересечений двух элементарных подмоделей.
280
Гл, 5. Насыщенные и специальные модели
5.2.14* . Докажите, что предложение ср устойчиво относительно
(непустых) произвольных пересечений бесконечных убывающих
цепей тогда и только тогда, когда ф устойчиво относительно (не-
пустых) пересечений направленных вниз множеств моделей.
5.2.15. Докажите следующее обобщение предложения 5.2.16.
Допустим, что предложение ф устойчиво относительно непустых
пересечений убывающих цепей. Пусть ЭД — модель, такая, что
(i) некоторое расширение модели ЭД есть модель для <р,
(ii) для каждого расширения 58 модели ЭД, являющегося мо-
делью для ф, и для любых конечных подмножеств Л' czz Л, В' cz
сВ\ А существует модель (5 предложения ф, для которой Л' cz
пС [\В' = 0.
Тогда ЭД — модель для ф.
5.2.16*. Найдите предложение ф, устойчивое относительно
объединений цепей, но не устойчивое относительно непустых
пересечений убывающих цепей.
5.2.17*. Пусть U — одноместный предикатный символ из X
и Т — полная теория в языке X. Докажите эквивалентность
следующих утверждений:
(i) Существует модель ЭД (Л, V, ) теории Т, такая, что
V есть пересечение убывающей последовательности подмоделей
модели ЭД, являющихся моделями для Т7.
(ii) Существует модель ЭД = <Л, V, ) теории Т, такая, что
для любого конечного подмножества X cz Л \ V существует под-
модель 58 = {В, V, . .) модели ЭД, являющаяся моделью тео-
рии Г, для которой В zd V и В П X = 0.
5.2.18. Пусть предложение ф имеет следующий вид (ф бес-
кванторна):
ф = (Vxj.. .x„3yt.. .ym) x„, yt, ym)
A (VZj. . . Zm) (1|5 (#1, Xn , Zi, • . . , Zm) >- у I = *j)]«
1 '<1<7И
Покажите, что ф устойчиво относительно пересечений под-
моделей.
5.2.19*. Модель ЭД называется минимальной, если каждый ее
гомоморфизм на произвольную модель 58 является изоморфизмом
ЭД на 58. Пусть Т — теория в языке X. Тогда каждая модель тео-
рии Т минимальна в том и только том случае, когда каждая фор-
мула языка X эквивалентна по модулю Т позитивной формуле.
5.2.20*. Пусть U — одноместный предикатный символ из X.
Для данной модели ЭД = (Л, U, .) языка X обозначим через
ЭД | U наименьшую подмодель модели ЭД, содержащую U. Реляши-
5.2. Теоремы об устойчивости
281
визация уи формулы ф языка X по U (или [/-релятивизация) опре-
деляется следующим образом:
Если ф атомна, то ф^ = ф;
(фл ф)С7 = Фил Фи, (фу ф)у = фс v Фи, (Пф)17 = ”~1фг;
((Уя) ф)и Ух (U (х) => фи);
((Зя) ф)и = Эя (U (я) л Фи).
Докажите, что фи логически эквивалентна (<ри)и Докажите, что
для всякой теории Т и предложения ф языка X следующие усло-
вия эквивалентны:
(i) Существует предложение ф языка X, такое, что
ЛЬ <р**СФи)-
(ii) Если для двух произвольных моделей ЭД = <4, £/, >
и 23 = (5, У, ) теории Т имеем ЭД | U 28 | V и ЭД ф,
то 23ф.
5.2.21*. Скажем, что модель ЭД есть объединение множества К
моделей, если каждая модель S3 Е К есть подмодель модели ЭД
и А = U {В £ К}. Докажите, что предложение ф устойчиво
относительно объединений, если и только если оно логически
эквивалентно предложению вида (УяЗг/т уп)ф, гДе Ф — бескван-
торная формула.
5.2.22*. Под строгим гомоморфизмом модели ЭД на модель 23
мы понимаем гомоморфизм / модели ЭД на 23, такой, что для
каждого n-местного отношения 7? из ЭД и соответствующего отно-
шения 5 из 23
= { (/Л]_, ., ) (^1» м > С 7?J.
Допустим, что язык X содержит только двуместные предикатные
символы. Докажите, что предложение ф устойчиво относительно
строгих гомоморфизмов тогда и только тогда, когда оно эквива-
лентно предложению вида
(Зх^у^Зх^у^г ... 3xmVi/mzm) Д V
i=l 1=1
где каждая формула или атомна, или имеет вид (уь,
Распространите это утверждение на произвольный язык X. При-
ведите пример предложения, устойчивого относительно гомомор-
физмов, но не устойчивого относительно строгих гомоморфизмов.
5.2.23**. Прямое произведение ЭД X 25 двух моделей ЭД, 23
определялось в упр. 4.1.12. Мы скажем, что модель ЭД является
прямым сомножителем модели 6, если существует модель 23,
такая, что или ЭД X 23 = или 25 X ЭД — Дайте синтакси-
ческое описание предложений, устойчивых относительно прямых
282
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
сомножителей. Приведите пример предложения, устойчивого от-
носительно строгих гомоморфизмов, но не относительно прямых
сомножителей,
5.2.24*. Под прямой системой типа со мы понимаем последова-
тельность моделей ЭД0, ЭДХ, ЭД2, и последовательность отобра-
жений /0, /х, f2, . ., таких, что каждое /п есть гомоморфизм моде-
ли ЭДП в ЭДп+1. Модель ЭД называется прямым пределом прямой
системы, если для каждого п существует гомоморфизм gn модели ЭДП
в модель ЭД, такой, что
(i) gn (а) = gn+1 fn (а) для всех п < со и а £ Лп;|
(ii) А есть объединение образов функции g0, gx, g2, .;
(iii) для произвольной модели ЭД' и произвольных гомомор-
физмов g„, удовлетворяющих (i) и (ii), существует гомоморфизм Л
модели ЭД на ЭД', такой, что gn ° h == g'n для всех п.
Докажите, что прямой предел существует и единствен с точностью
до изоморфизма. Докажите, что предложение <р устойчиво относи-
тельно прямых пределов тогда и только тогда, когда оно экви-
валентно предложению вида
т
!Л (V«1... Xe) (i|>f (Зу?,... у№),\
i==l
где 0j — бескванторные позитивные формулы.
5.2.25*. Под обратной системой типа со мы понимаем после-
довательность моделей ЭД0, ЭДХ, ЭД2, и отображений /0, /х,
/2, таких, что каждое /п есть гомоморфизм подмодели моде-
ли ЭДп+1 на модель ЭДП. Модель ЭД называется обратным пределом
обратной системы, если для каждого п существует гомоморфизм
gn подмодели 93п сг ЭД на модель ЭДП, такой, что
(i) для всех п и всех b С Вп имеем /ngn+1 (&) = gn (Ь);
(ii) И = U 93п;
п<®
(iii) если ЭД' и gn удовлетворяют (i), (ii), то существует гомо-
морфизм h модели ЭД' на ЭД, такой, что h о gn = g'n для каждого п.
Покажите, что обратный предел произвольной обратной системы
существует и единствен. Докажите, что предложение ср устойчиво
относительно обратных пределов тогда и только тогда, когда оно
эквивалентно предложению вида
т
Л (Vrri zs)((Vyi
<==1
где и 0^ — бескванторные позитивные формулы.
5.2.26*. Пусть X — {£}, где £ —двуместный предикатный сим-
вол. Пусть даны две модели ЭД = (А, Е>, ЭД' = (А', Е') языка X.
Скажем, что модель ЭД' является внешним расширением модели ЭД,
5.3. Применение специальных моделей
283
если ЭД cz ЭД' и для всех а £ А и b £ А' из ЪЕ'а вытекает Ъ £ А.
Формула ср языка X называется существенно экзистенциальной,
если она получается из атомных формул и отрицаний атомных
формул с помощью
конъюнкции: 0.|_ а 02;
дизъюнкции: 0! V 02;
ограниченных квантификаций: (Уя) (х бу—>9), (Эя) (я g у д 9);
экзистенциальных квантификаций: (Зу)ср.
Докажите, что предложение ср языка X устойчиво относительно
внешних расширений в том и только том случае, когда оно экви-
валентно существенно экзистенциальному предложению. Обоб-
щите этот результат на случай, когда X содержит (предикатные
и функциональные) символы, отличные от
5.3. Применение специальных моделей
в теории интерполяции и определимости
В этом разделе специальные модели применяются к доказатель-
ству некоторых общих результатов об интерполяции и определи-
мости. Мы уже доказали в разд. 2.2 две интерполяционные тео-
ремы, Крэйга и Линдона, и теорему об определимости Бета.
Доказательство, приведенное в разд. 2.2, имеет, конечно, совер-
шенно элементарный характер по сравнению с доказательствами,
которые используют специальные или насыщенные модели. Тем
не менее, ниже мы встретимся с доказательствами некоторых
обобщений, в которых используются специальные модели, и в на-
стоящее время представляется, что специальные модели приме-
няются в доказательствах этих результатов (теорема 5.3.6 и некото-
рые упражнения) по существу.
В порядке ознакомления с применением специальных моделей
в доказательстве результатов об интерполяции и определимости
и чтобы освежить в памяти читателя этот результат, мы сначала
приведем новое доказательство теоремы Робинсона о непротиво-
речивости, из которой читатель должен уметь выводить теорему
Крэйга об интерполяции.
Теорема 2.2.23. (Теорема Робинсона о непротиворечивости.)
Пусть Хх и Х2 — два языка и X = Х1(]Х2- Предположим,
что Т — полная теория в языке X, а Т± и Т, Т — непро-
тиворечивые теории в языках Х± и Х2 соответственно. Тогда
теория Тг J Т2 в языке Х1[)Х2 непротиворечива.
Доказательство. Допустим, что ЭДХ |= Тх и ЭД2 1= Т2.
Пусть ЯВх есть ^-обеднение модели ЭДХ, и, аналогично, пусть 232
есть ^-обеднение модели ЭД2. Так как 2311= 2", 2S3I= 7*, а теория Т
284
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
полна, то ЯЙ1 = Э32- Пусть теперь ЭДП ЭД2— специальные эле-
ментарные расширения моделей ЭДХ и ЭД2 одинаковой мощности
(конечной или бесконечной). Пусть 2Si и $82 суть ^-обеднения
моделей и ЭД2 соответственно. Легко видеть, что
и аз2 < Ж2;
SBX и ЯВ2 — эквивалентные специальные модели одинаковой
мощности.
Следовательно, = SS2. Используя это, мы можем определить
U #2-обогащение ЭД модели ЭДП интерпретируя символы из
как образы соответствующих интерпретаций в ЭД2 при
изоморфном отображении 9S2 на 2Si- Модель ЭД будет тогда такой
моделью языка Хх U #2, что ее ^-обеднение есть ЭДЬ а У2-
обеднение изоморфно ЭД2. Следовательно, каждое предложение из
7\U^2 истинно в модели ЭД и, значит, 7\ (J Т2 совместна. Ч
Пусть Р и Р' суть n-местные предикатные символы, не входя-
щие в X. Пусть S (Р) — множество предложений в языке X (J
(J {Р}, и пусть 5 (Р') — соответствующее множество предложе-
ний в языке X U {Р'}, полученное из 2 (Р) заменой всех вхожде-
ний Р на Р' Напомним (гл. 2), что 2 (Р) неявно определяет Р, если
2 (Р), 2 (Р') (Vrq „ . хп) (Р (хи ...,хп)~Р‘ (хь ..., хп)).
Можно сформулировать несколько иное, но эквивалентное
определение этого понятия:
Для произвольной модели ЭД языка X существует не более
одного n-местного отношения R на Л, такого, что
(ЭД, Я) 1=2 (Р).
Если 2 \Р) — конечное множество предложений (рассуждения,
использующие теорему компактности, сводят произвольное мно-
жество 2 (Р) к этому случаю), то условие, что существует не более
одного отношения Л, может быть записано так:
(*) ЭД 1= (VPP')(2 (Р) Л 2 (Р') Р - Р')>
Предложение, стоящее справа от t=, есть предложение второго
порядка, фактически П}-предложение (см. обсуждение в гл. 4).
Интерпретация 1= есть, конечно, стандартное отношение выполни-
мости для предложений второго порядка. По теореме Бета 2.2.22,
(*) истинно для каждой модели языка X тогда и только тогда,
когда 2 (Р) определяет Р явно, т. е. существует формула
ср (хг, хп) языка X, такая, что
2 (P)t^(V.T,, • • .дгп)(Р (а^, • • •, #п) Ф ^п))*
5.3. Применение специальных моделей
285
Эта форма теоремы Бета показывает важность следующего теоре-
тико-модельного вопроса:
Дано S (Р) и дана модель ЭД языка X. Какова совокуп-
ность отношений Л на Л, таких, что (ЭД, jR)t=S (Р)?
Этот вопрос для произвольной модели ЭД чрезвычайно труден, так
как из ответа на него вытекают решения некоторых проблем логики
второго порядка, которыми мы еще не располагаем. Если вопрос
ставится для всего класса моделей ЭД языка X, как, например,
в теореме Бета и в некоторых наших последующих теоремах этого
раздела, то можно получить очень элегантные ответы. Оказывает-
ся, как показывает следующее предложение, что для специальных
моделей мы можем вполне удовлетворительно ответить на вопрос,
когда
(ЭР) Л 2
Предложение 5.3.1. Пусть S (Р; хх, ., хп) — множество
формул языка X U {Р} от свободных переменных хг, хп.
Тогда существует множество формул Ф языка X от свободных
переменных х1У ., хп, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) каждая формула ф (хх, ., хп) из Ф содержит только те
символы языка X, которые входят в 2;
(ii) t= (V^ . xn) ((ЗР) Л 2 Л ф);
(iii) для каждой специальной модели ЭД языка X, которая или
конечна, или имеет мощность | А |, такую, что о < | А | =
|Л |*, \\Х II < |Л I ,
И t= (Vxt .. л:п) ((ЗР) Л 2 л ф).
Доказательство. Мы определим множество Ф следую-
щим образом. Пусть Ф состоит из всех формул ф (хх, ., хп)
языка X, содержащих только символы, входящие в S, и таких,
что
l=(Vx, хп) ((ЗР) Л S+ф).
Тогда ясно, что пункты (i) и (ii) выполняются.
Докажем (iii). Пусть модель ЭД удовлетворяет предположениям
пункта (iii), и пусть ап g А таковы, что
(1) Я 1= ЛФЬ,..., йп].
Сначала мы покажем, что
(2) {теория модели (ЭД, ..., an)} (J 2 (Р\ <4, ..., сп) — совмест-
ное множество предложений в языке X' =Х U {Р, Cf . .., ел).
Если (2) неверно, то для некоторой формулы о (х±, ., хп) языка X
ЭД (j[an ап\,
2 (Р, • . ., сп) (Сц • • сп)*
286
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Принимая во внимание интерполяционную теорему, мы можем счи-
тать, что формула ~]а (х±, . ., хп) содержит только символы,
входящие в 5. Следовательно, .,-гл) € Ф» что противоре-
чит (1). Пусть теперь (S3, R, Ь1Ч ., Ьп) — специальная модель
языка <5?', в которой выполняется множество предложений из (2)
и которая имеет мощность | 5| = | А |. Так как
(Я, а1У ап) =(3S, &i, Ьп),
обе модели специальны и одинаковой мощности, то
(Я, ап) (S3, br, bn).
Изоморфизм естественно переводит отношение R на В в такое отно-
шение S на А, что
(SI, S, аг, ., ап) Г 2 (Р; с1? сл). Н
Можно сделать несколько замечаний к этому простому на пер-
вый взгляд предложению. Если язык X счетен и множество его
формул можно наделить гёделевой нумерацией, то легко видеть,
что множество Ф будет рекурсивно перечислимо в множестве 2.
Если 2 состоит из одной формулы или предложения, то Ф рекур-
сивно перечислимо. Предложение 5.3.1 можно усилить в двух
направлениях. Во-первых, если 2 состоит из одного предложения
или формулы, то Ф можно выбрать примитивно рекурсивным,
т. е. мы можем найти множество Ф, имеющее явное описание, для
которого заключение предложения 5.3.1 остается верным. Во-
вторых, мы можем удалить предположение о том, что мощность
модели 51 есть кардинал а, для которого а = а*, а в случае
когда 2 состоит из одного предложения, ограничение | А | >
> || X || также не необходимо. В заключение отметим, что исполь-
зование в доказательстве интерполяционной теоремы Крэйга не
существенно, так как мы можем ограничиться теми символами
языка X, которые входят хотя бы в одну формулу из 2.
Сейчас мы докажем обобщение интерполяционной теоремы
Крэйга. Интерполяционная теорема для формул в ее простейшем
виде может быть представлена следующим образом:
Пусть ^i, ., ^п) — формула языка X U {Р},
а ф (@; хг, ., хп) — формула языка X J {#}• Мы предполагаем,
что предикатные символы Р и Q не входят в X. Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
(i) i= (V^, *п)((ЗР)ф->(У0Ф);
(ii) существует формула 0 (^1? хп) языка X, такая, что
t= (Vxx хп) [((ЗР) ф 6) л (6 -> (V<2) г|>)].
Следующее обобщение формулируется аналогичным образом.
5.3, Применение специальных моделей
287
Теорема 5.3.2. Пусть ф и ф сохраняют прежнее значение,
и пусть Ор • Qn — произвольная последовательность кванто-
ров. Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) 1= (ОЛ. • <ХО((3/>) <р -> (V0ip).
(ii) Существует формула Q{xr, xn) языка X, такая, что
t= (Qa- .(Vn)l((3 P) ф -> e) л (0—> (V0i|))l.
Доказательство, (ii) => (i). Это тривиально и вытека-
ет из законов логики предикатов.
(i) => (ii). Пусть множество Ф соответствует формуле (ЭР) ф
по предложению 5.3.1, а
^*2? ^т?
— список всех формул (языка X} из Ф, и пусть ¥ соответствует
формуле (30 “| ф по предложению 5.3.1, а
*^1» » Ьп)
— список отрицаний всех формул (языка X} из Т. Мы можем счи-
тать, взяв конечные конъюнкции, что
^m+1 ^т
и, взяв конечные дизъюнкции, что
^т “'^т+1*
Мы уже знаем, что
(1) |=(ЗР)ф^ЛОт,
т
(2) 1=
т
Утверждается, что
(3) существует т, для которого Г (Q^ ... Qnxn) (am->xm).
Очевидно, что справедливости утверждения (3) вполне достаточна
для доказательства теоремы, так как, взяв 0 — от или 0 = тт
и используя (1), (2), (3) и логику предикатов, мы получаем (ii}
в качестве заключения. (Это подходящее место, чтобы освежить
в памяти некоторые правила логики предикатов.) Следовательно,
достаточно доказать (3). Допустим, что (3) не верно. Тогда
(4) для каждого т существует модель ЭДт, такая, что
51m (GA- ’Qn^n) (<7тЛ J^m)»
где Qj = 3, если Q£ = V, и Qf = V, если Qf = 3. Предложе-
ния из (4) при возрастании’ап становятся логически более сильны-
ми. Следовательно, по теореме компактности множество пред-
ложений
(5) (Qi^i . . . Qn<rn) (отЛ | Тщ), m 1, 2, ...
288
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
непротиворечиво и имеет модель Так как ат и тт содержат толь-
ко символы, входящие в <р или ф, мы можем предполагать, что
язык X счетен. Пусть — специальная модель множества пред-
ложений из (5) мощности 3Ш1. Непосредственно проверяется не
только, что модель 31 специальна, но и что
(6) 31 (^-насыщенна.
В неформальных обозначениях
ЭД Л (Ql^l Qn^n) Л | ^т)*
т
Покажем, используя (6), что
(7) $ 1= (Ql^l Оа) [Л (°т Л ~] тт)].
т
Это доказывается переносом бесконечной конъюнкции Д через
т
кванторы Q один за другим. Если OU V, то ясно, что Д Qf
т
СиД. Если = 3, то мы сначала докажем справедливость
т
следующего утверждения:
(8) пусть а1ч — произвольная последовательность
элементов из Л, и пусть (3^/)цт (ггх, ., xt\ т =
1, 2,. ., — произвольная последовательность формул
языка #, такая, что tzr]m+1 -> Цт- Тогда
31 Д (Зл:/)т]т [а1? ., aw, Xil в том и только том случае,
когда $ t= (Зжг)Дт|т[«1, «;-1,
т
Доказательство (8) очевидно, так как, в силу (6), модель (31,
а19 . а^) будет а>1-насыщенной, и мы легко можем найти
С Л, такое, что
ЭД 1= Пт •> Для всех т = 1’ 2,
Теперь мы видим, что
31 (Qi Xf. . . Qj—fXj-j) Д (Qf^i Qn^n) (°m A |^m)
m
в том и только том случае, когда
ЭД Ё- (Qi^i QiXj) /\ (Qi+i^z+1 • • • Qn^n) (&m l^m)*
m
И следовательно, соотношение (7) доказано по индукции. Так как
(3tol) (StOi)*, заключения предложения 5.3.1 справедливы
как для пары <р и 31, так и для пары ф и 31. Следовательно (опять
5,3, Применение специальных моделей
289
используем логику предикатов),
Я 1= (Ql^l Qn^n) (Affm Л “1 V Tm)»
тп. m
Я t= (Qi^ ... Qnxn) ((ЗР) ср Л Я (V0 ф),
21 1= Я (Ой Qnxn) ((ЗР) ф-> (V(?) ф).
Это противоречит пункту (i). Следовательно, утверждение (3)
должно выполняться, и теорема доказана. —j
Дополнительные уточнения теоремы 5.3.2 можно найти в уп-
ражнениях.
Следующие ниже результаты являются обобщениями теоремы
Бета в различных направлениях. И здесь, до теоремы 5.3.6, нет
существенной необходимости в использовании специальных моде-
лей, хотя доказательства теорем 5.3.3 и 5.3.4 и предложения 5.3.5
со специальными моделями проще.
Пусть 2 (Р) — множество предложений в языке {Р}, где Р
есть n-местный предикатный символ, не входящий в X, Говорят,
что 2 (Р) определяет Р явно с точностью до дизъюнкции, если
существует конечное множество формул ф^л^, хп),
., фт (z17 ., хп) языка X, таких, что
S (Р) (\fXi £п) (Р (*^1» • • - , Хп) фг ? *^п))*
Говорят, что 2 (Р) определяет Р явно с точностью до параметров,
если существует формула ф (л:1? ., хп, уг, ., i/m) языка <55, та-
кая, что
2 (Р) t= (3 У1- .утУ .хп)(Р (х1У хп)
** ф (Х1,. . хп, уг,. . ут)).
Наконец, будем говорить, что 2(Р) определяет Р явно с точностью
до параметров и дизъюнкции, если существуют формулы
Ф1 (*^1? • • 7 У1ч Утп)1 фА • • • •) Уп Ут)
языка <55, такие, что
S (Р) t= V (31/1 ... УтУъ ... Хп) (Р (а?!, хп)
► ф$ (#i, ., Хп, у. ., Угп)) •
По теореме компактности каждый из приведенных ниже результа-
тов распространяется очевидным образом на произвольные мно-
жества предложений в языке <55 J {Р}, если только мы сможем
доказать его для отдельных предложений языка <55 J {Р}. Так
же очевидно, что вместо n-местного предикатного символа Р мы
можем для простоты обозначений использовать одноместный пре-
19 Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
290
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
дикатный символ U. Мы предлагаем читателю проверить эти
утверждения в качестве упражнения. Если ф (U) — предложение
языка X U {U}, то иногда вместо ф (U) мы будем писать просто ф.
Следующая теорема немного расширяет область применения
теоремы Бета.
Теорема 5.3.3. (Теорема Свенониуса.) Пусть ф — предложение
языка X U { С7}, где U — новый одноместный предикатный символ.
Следующие утверждения эквивалентны'.
(i) Если два обогащения (ЭД, Xi), (ЭД, Х2) произвольной модели ЭД
языка X изоморфны и являются моделями предложения ф, то
Xi = Х2.
(ii) Предложение ф определяет U явно с точностю до дизъюн-
кции.
Доказательство. (ii) => (i). Предположим, что
91 С37), 0л (#) суть формулы языка X, такие, что
(1) <р V (V^)(t7(^) — ef(x)).
Пусть (ЭД, X) — обогащение модели ЭД, являющееся моделью для ф.
Это означает, что для некоторой формулы 0Г- (х)
X {а^А ЭД 1= 0f Ы}.
Следовательно, множество X переходит в себя под действием любо-
го автоморфизма модели ЭД и, в частности, любого изоморфизма
(ЭД, X) на (ЭД, X').
(i) => (ii). Предположим, что утверждение (ii) не верно, т. е. не
существует формул 0Х (х), (.г) языка X. удовлетворяющих
(1). Тогда множество
S — {ф} U {П(^я) (U (х) -<-»0 (х)): 0 (х)— формула языка X}
предложений языка X U {£/} непротиворечиво. Пусть Т — неко-
торое полное расширение множества 2 в языке X J {U}. Заме-
тим, что Т не определяет U явно, так как не существует формулы
0 (х) языка X, такой, что
Т t= tfx) (U (х) — 0 (я)).
Следовательно, по теореме Бета существует модель ЭД языка X, ко*
торая имеет два различных обогащения до моделей совокупно-
сти Т:
(ЭД, Xi) 1= Т, (ЭД, Х2) 1= г, хг=/=х2.
Так как Т полна, мы также имеем
х2).
Рассмотрим модель (ЭД, Х1? Х2) языка X J {СЛ U'}. Пусть
(2S, Ут, У2) — се специальное элементарное расширение. Очевид-
5,3. Применение специальных моделей
291
но, что модели (93, У^ и (ЯЗ, У2) специальны, одинаковой мощ-
ности и эквивалентны. И так как (ЭД, Х\, Х2) t= "~|(Vx)(U(х) ++U' (я)),
мы видим, что
(93, УО (98, У2),
(93, Уг) t H(Vx) (U (х) ~ U' (х)),
У1 7^ У2-
Это противоречит (i). —|
Следующий конечный аналог теоремы Бета имеет более слож-
ное доказательство. Эта теорема дает некоторый ответ на вопрос,
который мы сформулировали непосредственно перед предложе-
нием 5.3.1.
Теорема 5.3.4. (Теорема Кыокера о конечной определимости.)
Пусть ср — предложение языка X J {£7}, и пусть п 1. Тогда
следующие утверждения эквивалентны'.
(i)n Для всякой модели ЭД языка X существует не более п под-
множеств Ха А, таких, что (ЭД, X) <р.
(ii)n. Существуют формулы о (р1? pfe), 0г- (х, v±, vk),
1 i п, языка X, такие, что
<р Г= (Вгч vft)o,
Ф1= (Vv4 V (Vx)(t7Cr)~ef)L
Доказательство. (ii)n => (i)n. Это проверяется легко.
(i)n => (ii)n. Сначала мы докажем одно простое следствие пред-
ложения 5.3.1.
Пусть 9 (Р; у) — формула языка X J {Р}. Тогда следующие
утверждения эквивалентны*.
(1) t= (3j/VP) 0.
(2) Существует формула в (у) языка X, такая, что t= (Эу) а
и 1= (V*/) (а^6)•
Вывод (1) из (2) прост, и мы оставляем его читателю. Предполо-
жим теперь, что имеет место (1). Тогда, по предложению 5.3.1,
существует множество формул 2 (у) языка X, для которого
ЭДГ (Vzz) ((VP)0~ V2),
для каждой специальной модели ЭД языка X, такой, что | А |
и |* и II ХЦ < | AI если ЭД бесконечна. Из (1) мы имеем
ЭД t= (Зу) о для некоторого a f 2.
Так как каждая модель языка X эквивалентна некоторой спе-
циальной модели ЭД такого вида, мы видим, что
l=V{(3y)a: о 6 2}.
19*
292
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Следовательно, из теоремы компактности вытекает, что существу»
ют ах, ат £ 2, такие, что
t= (Зг/) <тх V V (Зу) от.
И, полагая а = ох V V ат, мы убеждаемся в справедливости (2).
Возвратимся теперь к доказательству теоремы; пусть выпол-
няется (i)n. Сначала мы покажем, что существуют формулы
фг (U; v± vk) языка 1 i п, такие, что
(3) Г vftVC7C7'V^)[((p(t7)-> V Ыи-,»п . ^)) л
t^i^n
Л (ф № (U) Ь Ф (U') Л -> (U (х) -> V (х)))|.
Условие (3) утверждает просто, что в произвольной модели ЭД
языка X мы можем найти такие элементы ах, . а* £ 4, что
существует не более одного подмножества Хс А, для которого
имеет место
(ЭД, X) 1= ф л ф/ ak].
Мы сейчас опишем процедуру, которая даст нам нужные ф$.
Пусть дана модель ЭД; предположим, что А имеет точно п под-
множеств Хх, Хп, таких, что
(ЭД, 1= ф, i = l, п.
Мы можем считать, что одно из Xj, скажем Хп, таково, что
Хпф Xi для i = l, п — 1.
Пусть
Ф1 (Z7; ult vn-i) = U (vj) л U (у2) л . . л U (у^),
и пусть а, £ Хп \ Х{ для i = 1, . . п — 1. Тогда Хп — един-
ственноек подмножество множества А, такое, что
(Я, хп) t= ф Л Ф1 [Oj, an_J.
Далее, мы можем считать, что
Хп_х ф Xi для i = 1, . . ., п — 2.t
Положим
ф2 (Z7; рх, . . р2п_3) = (ПФх) л U (ип) л .. ,.Лл U (yin_3),>
и зафиксируем элементы an-i+z € Хп_х \ * = 1» •••» п — 2,
тогда Хп^г является единственным подмножеством множества 4,
для которого
(ЭД, Xn_x) t ф л Ф2 Г^1, • • •> ^2П-з1*
Двигаясь в этом направлении, мы получим формулы i =
= 1, . . ., п. Число к — это просто общее число различных пере-
5.3. Применение специальных моделей
293
менных, требуемых для записи фп. Наш выбор элементов а1?
ak£A, очевидно, таков, что предложение из (3) истинно
в модели 21. В том случае, когда множество А имеет менее чем
п подмножеств X, для которых (21, X) ф, мы сможем показать
истинность предложения из (3) в модели 21, выбирая некоторые а^
равными. Следовательно, (3) доказано.
Пусть 0 есть подформула формулы из (3), следующая непо-
средственно за кванторами по подмножествам. Применим сейчас
импликацию (1) => (2) к 0. (Ясно, что в этой импликации мы
можем заменить (Зу) на (Зрх . vk) и (VP) на (VUU').) Таким
образом мы получим формулу а (ух, v^) языка X, такую, что
t=f(3vi... vft)a,
(4) v ж
(5) t= (Vyt ... [о Лф(^)Дф; (10 Лф(€Олф/(£/')--►-
-> (U(x)^Uf (x))]. i=l,...f n.
Используя логику высказываний, мы можем переписать каждую
часть формулы из (5) в виде импликации двух формул, одна из
которых содержит только /7, а другая — только U' Применив
затем интерполяционную теорему Крэйга к каждой части форму-
лы из (5), мы получим формулы 0Z (vx, vk, х) языка X,
i = l, и, такие, что
1= (V^
vhx) [(а л ф (U) л ф^ (U) л £/[(я) 0г) л|
а (0, (<р (U') л ф/ (Uf) U9 (х)))], i = 1,
п.
После идентификации U и U‘ и выноса ф за знак , мы получим
<р t (Vvx . . . vhx) 1<j л i|)f (U) (U (x) 0; (x))], i = 1, n,
<p tz (Vvx vkx) hfi (U) -> (0£ U (x))J, i = 1, n.
Из двух последних соотношений и (4) мы получаем требуемое
заключение
Ф^ (УУ1...^)[о-> V (Vz)(tf(z) — 0i)]. Ч
Конечным аналогом теоремы 5.3.3 является следующее
Предложение 5.3.5. Пусть ф — предложение языка X (J {U},
и пусть п 1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) Для каждой модели (21, X) предложения ф существует
более п подмножеств Y cz А, таких, что (21, X) (21, Y).
(ii) Существуют формулы Gj (vn ., vk), 0i; (x, v±, -*vh),
1 7 m, 1 i n, языка X, такие, что]
<Р*= V {(^^i • * •Vk) Qj (Vvi ., . v^) (GjV (V^r) (U(x) — 0O))}.
294
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.3.3,
и мы оставляем его в качестве упражнения.
Теперь мы рассмотрим бесконечный аналог теоремы Бета
и теоремы 5.3.3. Отметим, что условие (v) теоремы 5.3.6 утверж-
дает, что формула ф определяет предикатный символ U явно с точ-
ностью до дизъюнкции и параметров. Теорема 5.3.6 дает другой
ответ на наш сформулированный ранее вопрос.
Теорема 5.3.6. (Теорема Чэна — Маккея.) Пусть ф — пред-
ложение языка X U {£/}. Следующие пять условий эквивалентны:
(i) Для всякой бесконечной модели 31 языка X
| {X X с: А и (?1, X) 1= ф} | < | А |+
(ii) Для всякой бесконечной модели (Я, X) предложения ф
| {Y X) (И, У)} |< [А Г
(iii) Для всякой бесконечной модели 31 языка X
I {X ХсЛ и (31, X) 1= ф} | < 21д1.
(iv) Для всякой бесконечной модели (ЗГ, X) предложения ф
| {У (31, X) ~ (31, У)} |<21А|.
(v) Существует конечное множество формул 0г (х,
рт), 0П (я, vx, ит) языка X, таких, что
фЕ= V (3vi vmVx)(U(x)~ 0f).
Доказательство. Множество всех последовательно-
стей длины т элементов бесконечного множества А имеет мощ-
ность | А |. Из этого обстоятельства вытекает, что условие (v)
влечет за собой все остальные условия (i), (ii), (iii) и (iv). Из четы-
рех условий (i) — (iv) условие (iv) самое слабое, так как из его
ложности вытекает ложность условий (i) — (iii)- Следовательно,
нам достаточно доказать, что из (iv) вытекает (v). Мы покажем,
что если (v) ложно, то ложно и (iv). Это и составит доказатель-
ство теоремы.
Чтобы несколько упростить доказательство, мы будем считать,
что язык X счетен; фактически мы можем допустить, что язык X
содержит только символы, входящие в ф. Предположим, что
утверждение (v) не верно. Тогда множество
{ф} U {(Vv2 v2...) ~| (Vz) (U (х) ++ 0 (х, иг, у2, .))
0 (х, ух, р2, .) является формулой языка X}
совместно и, следовательно, имеет модель (31, X). В модели 31
множество X не может быть определено никакой формулой язы-
5.3. Применение специальных моделей
295
ка X с конечным числом параметров из А, Следовательно, множе-
ство А должно быть бесконечным. Поэтому мы можем считать, что
модель (21, X) специальна и имеет мощность J ш. Из этого выте-
кает, что модель (21, X) есть объединение специализирующей эле-
ментарной цепи
(й0, *о) < (йп *1) < < (йп, *п) <
(мы взяли только подцепь, определяемую кардиналами
и используем индекс п вместо 5П), где каждая модель (21п, Хп)
является Дп-насыщенной и имеет мощность Jn+1. Мы можем
также предполагать, что множество А вполне упорядочено
и имеют место равенства
Ап = {а % Зп+1} Для всех п < со.
Как будет показано, модель (21, X) не удовлетворяет условию
(iv), т. е.
| {У (21, X) ~ (21, У)} I = 2,А1
Для этого мы построим 2*л1 автоморфизмов модели 2(, таких,
что различные автоморфизмы из этой совокупности, будучи приме-
ненными к X. дают различные подмножества множества А.
Обозначим через <1^2 множество всех функций, область
определения которых есть некоторый ординал £ < | А |, а область
значений лежит в {0, 1}. То есть
<|а|2 = {/ /е^2 и £< | А |}.
Мы определим две функции G и Н, для которых выполняются
следующие условия:
(1) Область определения G — область определения Н — <1А^2.
(2) Если f cz g. то G (/) с= G (g) и Я (/) с Я (g).
(3) Если f&2 и g<Jn, то
G(f) H(f)&An, (21, G(/)n)n<^(2I, Я(/)п)л<&.
(4) Если / 6 ^2 и g = X + Зтп, где X — предельный ординал, то
G (f U {<L 0») = G (f U {<£,!>}) = G (/) U {^ак+т)}.
(5) Если / Е ^2 и £ = X + Зтп + 1, где X есть предельный орди-
нал, то
н (/и {<ё, 0>» = Я (/ и {<£, 1 >}) = я (/) и {(£, ах+т>}.
(6) Если / Е ^2, g < Дп и £ = X + Зтп + 2, где X — предельный
ординал, то существуют два элемента bQ Е Хп и Ъг (£ Хп, такие, что
С(/и {<§, о>}) = б? (/) и {<£, Ьо>},
G(f U {<£,!>}) = <?(/) U {<£, МЬ
Я(/ U {<£, о») = Я(/) U {<ё, 1 >}.
296
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Существование функций G и Н доказывается индукцией по £,
области определения /. Имеются три вида шага индукции, которые
соответствуют случаям (4), (5), (6). Итак, допустим, что G и Н уже
определены на всех таких функциях / £ <1Л12, область определе-
ния которых меньше Если £ является предельным ординалом,
то продолжение функций G и Н на g (- ^2 получается очевидным
образом. Следовательно, нам надо разобрать только случай, когда
| = ц + 1.
Случай 1. £<2П, Е = X + Зтп, X — предельный ординал.
Пусть g 6 *2. Тогда g = / J {<^, 0 >} или g = / U {<§,!>} Для
некоторой функции / £ ^2. В любом случае положим G (g) =
= G (j) J {(f, ax+m)}. Теперь нам надо найти такой элемент
а £ АП1 чтобы
(7) (Я, 9 (/)t, ax+^)t<n (И, Н (/)с, а);<п-
По предположению индукции
G(/)t)^<T1 = (§1, Я(Ш.
Сл едо в ат ел ьно,
(Яп,
Так как а%+т £ Ап и модель является 3п-насыщенной, то
элемент a g Ап, удовлетворяющий (7), можно найти с помощью
обычной техники. И мы полагаем
Случай 2. £ < Зп, £ = А, + 3?п + 1, X — предельный орди-
нал. Функции G и Н определяются совершенно аналогично слу-
чаю 1, за исключением того, что сначала мы доопределяем Н
по (5), а затем доопределяем G.
Случай 3. g < 3n, £ = А, + Зтп + 2, X — предельный орди-
нал. Пусть / g п2. Рассмотрим два возможных продолжения
функции /:
g0=/U{<?, О» И =/и{<В. 1».
Для того чтобы удовлетворялось (6), нам надо найти такие три
элемента Ъо, Ьх, а £ Ап, что
G(?o) = G(/)U{<£, *o>b
G(gl) = G(/)U{<g, М).
н (go) = Н (gl) = Н (/)U {(I, а».
Сначала мы будем искать b0, bv удовлетворяющие соотношениям
(8) Ъо £ Хп, Хп,
(Йп, G (/):, &0):<п (Яп, G (/)£, Ъ^.
5,3. Применение специальных моделей
297
Если (8) не верно для всех Ьо, 61? то
(9) для любых bQ^Xn. &i $ Хп! существует формула <pbobt (х)
языка X U {с с < т]}, такая , что
(Sin, G(/):h<Ti (pbobt
(Sin, G(/)c)c<nt= ПфЬоьЛ^Ь
Зафиксируем b0 £ Xn. Пусть 2Ьо = {фь^ $ ^n}- Тогда из (9)
вытекает, что
(10) {а £ Ап (ЭДП, G (/) ^<п Sbo la]} с= Хп.
Для некоторого конечного подмножества S' cz Sbo мы имеем
аналогичное соотношение
(11) {а£Лп (8Гп,С(/)^<пГ 2bola]}c=Xn.
Действительно, в противном случае, используя Д^-насыщенность
модели (ЭДП, Хп), мы могли бы найти элемент Ьг $ Хп, такой, что
(Sin, G(/)ck<n 1= 2ь0 [Ь1],
а это противоречит (10). Обозначим через abo конъюнкцию эле-
ментов конечного подмножества S' из (11). Очевидно, что
Ж,
Следовательно, заставляя Ьо пробегать? Хп и полагая S =
= {% • € *п}, мы видим, что из (И) вытекает
Хп = {а £ Ап : (ЭДП, G (/)c)s<nV 2 [a]}.
Используя опять ^^насыщенность модели (ЭДП, Хп), таким же
образом, как и в доказательстве соотношения (11), мы убеждаемся
в том, что некоторая конечная дизъюнкция о формул из множе-
ства 5 удовлетворяет соотношению
Хп = {а£Ап (ЯП,С(/)Ж <п о [а]}.
Это означает, что множество Хп определимо в модели ЭДП форму-
лой а языка X с параметрами из Ап. Так как (ЭДП, Хп) -< (ЭД, X),
это приводит к противоречию. Следовательно, (8) доказано.
Так как по предположению индукции (ЭДП, G (/) е)^<л =
s (ЭДП, Н (f)s)s<n, мы можем, используя ^^-насыщенность4 моде-
ли ЭДЛ, найти элемент а £ Ап, такой, что
(Sin, G(/k, Ь0)^^(ЭДп, Я(/)с, a):<n.
Из (8) мы также имеем
ГЖ, G(/):, Н(/)с, a)s<n.
Этим мы закончили разбор случая 3.
298
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Таким образом, мы нашли функции G и Н с областью определе-
ния <1А12, удовлетворяющие соотношениям (1) — (6), и можно
естественным образом продолжить их до функций, определенных
на множестве 1Л12, так, чтобы для произвольного f £ 1Л12 выпол-
нялось
(Я, G(/)s)s<ia| = (3I,^(/)s)£<|A1.
Так как для / £ 1Л12
область значений G (/) = А = область значений Н (/),
то соответствие G (/) $ -> Н (/) s определяет автоморфизм модели ЭД.
Если функции / и g не равны и первый раз принимают разные
значения на ординале £ = X + 3m + 2, где % — предельный
ординал, то два автоморфизма
G (/)5-> Я (/)G(g)i^H(g)i
переводят множество X в различные подмножества множества А.
Это вытекает из того, что по (6)
а = Я(/)5 = Я(г)5
и, если, скажем /^ = О, a = 1, то
G(/)5fX, a G(g)t£X.
Следовательно, образ множества X при автоморфизме
->//(/)£ содержит а, а его образ при автоморфизме G(g)$->
-> Н (g)% не содержит а. Очевидно, что имеется 21 А I таких функ-
ций, значит, существует 21АI различных автоморфных образов
множества X. Итак, (iv) не верно. Следовательно, теорема дока-
зана. —|
Упражнения
5.3.1*. Предположим, что множество S (Р; х1? ., хп) из
предложения 5.3.1 состоит из единственной формулы языка
U {Р}. Усильте предложение 5.3.1 в следующем направлении:
существует примитивно рекурсивное множество Ф формул язы-
ка X (содержащих только те символы, которые входят в формулу
из 2), такое, что для всех специальных моделей ЭД языка X
ЭД (V яп) ((ЭР) 2 - Л Ф).
[Указание'. Без ограничения общности можно считать, что
Р есть одноместный функциональный символ и что S —
(3PV*) Ф (Р (я), х), где ф (i/, х) — формула языка X,
а ф (Р (я), х) получается из ф (г/, х) заменой у на Р (х). Тогда
5.3. Применение специальных моделей
299
интуитивно ясно, что S влечет каждое из следующих предложений:
(Ух^у^ <р (ia, xt),
(Ух^у^ХгЗуг) ((xt = x2-^yi = у2) л'ф (i/i, х{) Л <р (у2, х2)),
•
9
Vxn3z/n) ( л (xt=xiyt =yj) л
л Л xt))-
l^i^n
Покажите, что если ?[ является специальной моделью языка <Z,
то ЭД 1= (ЗР) S тогда и только тогда, когда в модели §1 истинны
все предложения из приведенного выше списка.]
5.3.2*. Докажите следующее обобщение теоремы 5.3.2. Пусть
— формула языка X (J {Р, 8т}, а
Ф (ф» *^1’ *^п)
— формула языка X (J {£, 5т}, где Р, (?, 5Х, . ., 5W—
новые предикатные (или функциональные) символы. Пусть &. —
последовательность кванторов по переменным (второго порядка)
5Х, ,, 5т и по переменным (первого порядка) х^ хп,
такая, что всякий квантор второго порядка из @ универсален.
Мы не делаем никаких предположений о порядке, в котором эти
кванторы расположены в $. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(о g«эр)<р->(vm).
(ii) Существует формула 0 (Sv Sm; хи хп) языка
X 1) {^х, Sm), такая, что
Г & [((ЗР) <р -> 0) л (0 (V0 ф)1.
[Указание: Попытайтесь «закодировать» отношения (и функ-
ции) модели ?! с помощью элементов из А и отношений на еди-
ницу большей местности. В этом месте предположение о том, что
переменные второго порядка связываются только универсальными
кванторами, существенно.]
5.3.3. Выведите теорему Бета 2.2.22 непосредственно из теоре-
мы 5.3.3.
5.3.4. Проверьте, что доказательства теорем 5.3.3 и 5.3.4,
предложения 5.3.5 и теоремы 5.3.6 годятся и для случая, когда
рассматривается множество S (Р) предложений языка X (J {Р},
где Р — не обязательно одноместный предикатный символ.
300
Гл, 5. Насыщенные и специальные модели
5.3.5. Проведите доказательство предложения 5.3.1 без исполь-
зования мощностного ограничения | А | = | А |* из пункта (iii)
этого предложения.
[Замечание: Это упражнение легче, чем приведенное выше
упр. 5.З.1.]
5.3.6. Привести контрпример к следующему усилению теоре-
мы 5.3.4: для п 1 пункт (i)n теоремы 5.3.4 эквивалентен такому
утверждению:
(ii') Существует п формул 0Х (z), 0П (х) языка X, для
которых
ФГ V (У*)(Щх)~0Дх)).
5.3.7. Докажите предложение 5.3.5.
5.3.8* . Следующее утверждение является простым обобще-
нием теоремы 5.3.4 и предложения 5.3.5 на счетный случай
(ср. с теоремой 5.3.6). Пусть <р — предложение языка Х\ \ {£/}.
Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) Для каждой модели ЭД языка X существует лишь конеч-
ное число подмножеств X множества А, таких, что (ЭД, X) ср.
(ii) Для каждой модели (ЭД, X) предложения ср существует
лишь конечное число подмножеств У cz Л, таких, что (ЭД, X)
= (ЭД, У).
(iii) Существуют число п и формулы a (v1? и&),9г vx,
Рь), 1 <1 i n, языка X. такие, что
Ф 1= (Э^ ... vk)o9
ф1=(УУ1...^)Го-> V (V*)(t7(*)~0i)].
5.3.9. Пусть <p является предложением языка X U {£717
., Uny. Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) Для каждой модели ЭД языка X существует не более одной
и-ки Хп Хп подмножеств множества Л, такой, что
(ЭД, Хх, Xn) ф.
(ii) Существуют формулы 0г (я), 0П (х) языка X, для
которых
ф A (Vx) (Ut (z) *-> 0f (x)).
5.3.10. Пусть ф — предложение языка X J {t7}. Следующие
утверждения эквивалентны:
(i) Для всякой модели ЭД языка X множество
{X : X cz Л и (ЭД, X) ф}
является цепью подмножеств множества Л.
5.3. Применение специальных моделей
301
(ii) Существует формула ф (х, у) языка X. такая, что
<₽ 1= (V^y) [(U (х) -> (ф (х, у) + U (у))) л (П U (х) -> (U (у) ->
~>Ф(^ !/)))]•
5.3.11* . Пусть К — элементарный класс частично упорядочен-
ных множеств 21 = (Л, <3. Подмножество X cz А называется
наследственным. если а £ X и Ъ а влечет b £ X. Допустим, что
каждый автоморфизм любой модели 21 из К отображает каждое
наследственное подмножество X cz А на множество Y cz А, срав-
нимое с X. т. е. такое, что X cY или Y cz X. Тогда существует
такое п. что во всякой модели из К каждое множество попарно
несравнимых (относительно <С) элементов содержит не более
п элементов.
5.3.12. Эквивалентность условий (1) и (2) из доказательства
теоремы 5.3.4 может быть обобщена следующим образом. Пусть
е (Sv sk; Х1, xh) является формулой языка X J
U {*S\, ., Sk}- Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) г 3xhVSk)Q.
(ii) Существуют формулы (51? . ., S^; хг. xt) язы-
ка X U {5Т, ., Sj-i}, i = l, такие, что
(а) Г= (Зг/i) о^;
(b) (VX} X/) (oj > (3^j-j-j) о^_|-1), i 1, к 1,
(c) t= (V xr xh) (aft -> 6).
Интерполяционная теорема из упр. 5.3.2 (так же, как и теоре-
ма 5.3.2) теперь может быть усилена следующим образом. Пред-
положим (это не ограничивает общности), что (в обозначениях
упр. 5.3.2) т = п = к и @ есть последовательность кванторов
такого вида: (B^VSt Тогда следующее утвержде-
ние эквивалентно как пункту (i), так и пункту (ii) упр. 5.3.2:
(iii) Существуют формулы (5\, . ., 5/^; хх. . ., х^ язы-
ка X U {51? ., Sf-x}, i = 1, ., к. и формула 0 (51? ., Sk\
х±. . . ., хк) языка X U {51? S\}, такие, что выполняют-
ся (а), (Ь) и
t= (V^ . . xk) [(aft Л (ЗР) ф —> 0) Л (0 —> (V0 ф)].
5.3.13. Выведите теорему Бета непосредственно из теоре-
мы 5.3.6.
5.3.14. Покажите, что теорема 5.3.6 останется справедливой,
если условия (i) — (iv) модифицировать следующим образом:
удалить везде слово «бесконечная», заменить | А |+ на | А |+ U со
и 2|А’ на 2|А| и (О.
5.3.15. Докажите, используя теорему 5.3.6, что каждая спе-
циальная модель языка X мощности а > || X || имеет 2а автомор-
302
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
физмов. Из этого вытекает, что каждая насыщенная модель мощно-
сти а > || X || имеет 2а автоморфизмов.
5.3.16* . Докажите, применяя технику, аналогичную той, кото-
рая использовалась в доказательстве теоремы 5.3.6, что каждая
счетная модель счетного языка имеет континуум автоморфизмов,
если она имеет несчетное число автоморфизмов.
5.3.17* Пусть 31 — счетная модель счетного языка «Z, и пусть
X cz А. Если
| {У У с А и (Я, У) ~ (Я, X)} I > со,
то
I {Y Y <= А и (81, У) ~ (51, X)} I - 2ю
5.3.18. Используя упр. 5.3.17, покажите с помощью обычных
рассуждений, что теорема 5.3.6 останется справедливой, если
слово «бесконечная» заменить везде на «счетная бесконечная»,
предполагая при этом, что язык X счетен.
[Указание: Закодируйте подмножества элементами модели,
а затем используйте теорему 3.2.12 о двух кардиналах.]
5.3.19* . Пусть <р (Р, Q) — предложение языка X J {Р, @}.
Покажите, что следующие два условия эквивалентны:
(i) Если ср -> т для некоторого предложения т (Р) языка
X и {Р}, то 1= Т.
(ii) Если некоторое предложение т (Р) языка X J {Р} имеет
модель, то и т (Р) Л ср (Л 0 имеет модель. С другой стороны,
покажите на примере, что следующий результат об определимости
не верен: (i) эквивалентно тому, что
(Г) Каждая модель 51 языка X (J {Р} имеет обогащение 31*,
которое является моделью для ср (Р, Q).
5.4. Применения к теории полей
Насыщенные и специальные модели дают нам очень сильный
метод доказательства полноты различных теорий. В этом разделе
мы будем применять его к некоторым расширениям теории полей.
Метод основырается на приведенном ниже простом следствии
результатов разд. 5.1.
Предложение 5.4.1. Пусть язык X счетен, и пусть Т — непро-
тиворечивая теория в языке X, все модели которой бесконечны.
(i) Предположим справедливость континуум-гипотезы. Тогда
теория Т полна, если и только если любые две ее насыщенные модели
мощности (Oj изоморфны.
(ii) Теория Т полна тогда и только тогда, когда любые две
ее специальные модели мощности 3 о изоморфны.
5.4. Применения к теории полей
303
Доказательство, (i) Если теория Т полна, то любые
две ее насыщенные модели одинаковой мощности элементарно
эквивалентны и, следовательно, изоморфны. Если теория Т не
полна, то она имеет два различных полных расширения, скажем Тг
и Т2. Так как все модели теории Т бесконечны, Тг и Т2 имеют
(Oj-насыщенные модели ЭДП ЭД2 мощности 2ю = ©р Тогда и ЭД2
являются моделями для Т Но они не элементарно эквивалентны
и, следовательно, не изоморфны.
Доказательство (ii) аналогично. —|
Мы будем использовать пункт (i) предложения 5.4.1 для
доказательства полноты теорий в предположении, что справед-
лива континуум-гипотеза. В каждом таком случае имеется ана-
логичное доказательство, использующее пункт (ii) предложе-
ния 5.4.1, которое показывает полноту теории без использования
континуум-гипотезы. Однако работа со специальными моделями
более сложна и возникающие дополнительные трудности могут
заслонить основные идеи доказательства. Поэтому мы континуум-
гипотезу используем только для упрощения доказательства, и ее
всегда можно элиминировать, применяя специальные модели
вместо насыщенных.
Насыщенные модели являются фактически обобщением «т|а-
множеств» Хаусдорфа. Эти ца-множества, являющиеся очень
частным видом плотно упорядоченных множеств, знакомят нас
с поучительным примером насыщенных моделей. Пусть (Л, —
плотно упорядоченное множество без концевых элементов. Если
X, Y — подмножества множества Л, то мы пишем X < Y если
х < у для всех х £ X, у £ У (где х < у означает, что х у и х^у).
Если z £ А и X с Л, то X < z есть сокращение для X < {z},
a z < X — сокращение для {z} < X. Пусть а — ординал. Мы ска-
жем, что модель (Л, <3 является ^-множеством, если
(1) (Л, — плотно упорядоченное множество без концевых
элементов и
(2) для любых подмножеств X, У cz Л, таких, что | X |,
| У | < соа и X < У существует элемент z £ Л, такой, что
X < z < У
Отметим, в частности, что в ца-множестве каждое подмножество
мощности, меньшей юа, имеет верхнюю и нижнюю грани, так
как всегда X < 0 и 0 < У где 0 — пустое множество.
Предложение 5.4.2. Пусть (Л, — плотно упорядоченное
множество без концевых элементов, и пусть а — ординал. Тогда
модель (Л, ыа~насыщенна, если и только если она является
ц ^-множеством.
Доказательство. Пусть модель (Л, ) = ЭД юа-
пасыщенна. Пусть X, У — подмножества множества Л мощности,
304
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
меньшей соа, и такие, что X < У; рассмотрим обогащенную модель
(21, х, у)х€х, уЕг = ЭД" Пусть сх, су — соответствующие кон-
стантные символы. Тогда множество формул
(1) 2 (0 = К < v: х е X} (J {v < су у £ У}
совместимо с теорией модели 21' Так как | X | < соа и | У | < соа,
S (и) реализуется в 2Г некоторым элементом z £ А. И мы имеем
X < z < У.
Обратное утверждение вытекает из следующего факта:
(2) Если модели 21, 23 суть плотно упорядоченные множества
без концевых элементов, ф (хх, хп) — формула языка
«} и обогащения (21, ., ап), (23, ., Ъп)
удовлетворяют одним и тем же атомным предложениям, то
21 1= ф [ах, ап] тогда и только тогда,
когда 23 t= ф [blt • * &п].
Доказательство (2) проводится прямой индукцией по сложно-
сти формулы ф.
Предположим, что модель 21 является ца-множеством. Пусть
Ло — подмножество множества А мощности | Ао | < соа, и пусть
Г (и) есть тип над обогащенной моделью 21' = (21, а)а^А0- Мы
должны показать, что тип Г (и) реализуется в модели 21'
Если для некоторого а £ Ло формула са = v лежит в Г (р), то
Г (у) есть просто тип, определенный формулой са = у, и элемент а
реализует Г (у) в модели 21'
Допустим теперь, что для каждого а £ Ло формула са v
лежит в Г (у). Пусть
X = {а £А0 (ca<v)^r (у)},
Y = {а Е : (v < са) £ Г (у)}.
Тогда X U У = Ло, X < У и | X |, | У | < соа. Следовательно,
существует элемент а* £ Л, такой, что X < а* < У Пусть
с* — новая индивидная константа. Тогда множество предложе-
ний Г (с*) совместно и, следовательно, имеет модель
(58, Ьа, 6*)аСАо = (й',Ь*)»
где Ь* — интерпретация с*. Таким образом,
ba < b* для а С X, Ъ < Ъа для a g У.
Из этого вытекает, что модели (2Г, л*) и (S3', Ь*) удовлетворяют
одним и тем же атомным предложениям и что модель 23 является
плотно упорядоченным множеством без концевых элементов. Сле-
довательно, по (2)
(21', а*) = (23', &*).
5.4. Применения к теории полей
305
Так как (93', Ь*) является моделью для Г (с*), мы заключаем,
что и (SI' а*) есть модель для Г (с*), следовательно, а* реали-
зует Г (р). —I
В качестве первой иллюстрации нашего метода доказательства
полноты мы проведем доказательство того, что теория вещественно
замкнутых полей полна. Нам хотелось бы выделить те места
доказательства, где используются методы теории моделей. Поэто-
му сначала мы приведем чисто алгебраическую лемму; хотя эта
лемма представляет собой глубокий результат теории полей,
ее доказательство использует стандартные алгебраические методы,
лежащие в стороне от основного содержания этой книги. В связи
с этим мы опустили это доказательство и просим читателя или
принять ее на веру, или найти ее доказательство в какой-нибудь
другой книге.
Напомним (см. разд. 1.4), что теория вещественно замкнутых
полей определяется следующими аксиомами: аксиомы поля плюс
аксиомы, утверждающие, что каждый многочлен нечетной степени
имеет корень, что 0 не есть сумма нетривиальных квадратов и что
для любого х или х, или —х имеет квадратный корень. Из этого
сразу вытекает, что вещественно замкнутые поля имеют нулевую
характеристику и, следовательно, бесконечны.
Наиболее известное вещественно замкнутое поле — это поле
вещественных чисел. Пусть в теории вещественно замкнутых
полей х у является сокращением для формулы
(3z) (z2 == у — х).
Тогда отношение на любом вещественно замкнутом поле являет-
ся линейным упорядочением, которое не имеет наибольшего
и наименьшего элемента. Так что каждое вещественно замкнутое
поле F можно, и единственным образом, обогатить до упорядочен-
ного вещественно замкнутого поля (F, Иногда будет удобнее
работать с упорядоченными вещественно замкнутыми полями.
Из аксиом поля легко вытекает, что пересечение произволь-
ного семейства подполей некоторого поля снова будет полем.
Если F — поле, — его подполе, а х £ F, то обозначим через
Fо (х) наименьшее подполе Fr поля F, такое, что FQ cz FT и х g Fx.
По теореме Лёвенгейма — Скулема — Тарского
I I I U со.
Это также можно показать, используя тот факт, что Fo (х) совпа-
дает с множеством всех значений рациональных функций с коэф-
фициентами из Fo в точке х.
Элемент х £ F называется алгебраическим над подполем Fo,
если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициен-
тами из Fq. Мы будем обозначать через FQ множество всех эле-
20 г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
306
Гл, 5, Насыщенные и специальные модели
ментов х £ F, алгебраических над FQ, Таким образом, Fo cz FQ,
Подполе Fq называется относительным алгебраическим замыка-
нием подполя Fq в поле F. Поле F± называется вещественным замы-
канием поля Fq, если Fo cz F±, поле Fr вещественно замкнуто
и каждый элемент х £ Fx алгебраичен над FQ, т. е. Fr cz FQ.
В наших последующих рассуждениях будет удобно обозначать
символом F как поле, так и его универсум, так что
F = (F, +, .,0, 1).
Если на поле F задан порядок то через (F, ^) обозначается
обогащение F до модели языка { + , •, 0, 1, в то время как
через (F, ) будет обозначаться соответствующее обеднение
до модели языка
Лемма 5.4.3.
(i) Пусть F — вещественно замкнутое поле, а — соответ-
ствующий порядок на F, и пусть FQ — наименьшее подполе поля F.
Тогда (Fo, <3 изоморфно полю рациональных чисел с обычным
порядком,
(ii) Пусть F — произвольное поле и Fo — его подполе. Тогда
относительное алгебраическое замыкание Fo поля FQ в F является
подполем поля F и
Я = Fq, I Fol С I Р. I и 0).
Кроме того, если F — вещественно замкнутое поле, то Fq является
вещественным замыканием поля FQ.
(iii) Пусть F — вещественно замкнутое поле и FQ — его веще-
ственно замкнутое подполе. Тогда для любых х, у £ Fq мы имеем:
х у в смысле Fq тогда и только тогда, когда х у в смысле
F. Кроме того, Fq = Fq.
(iv) Пусть (F, =С) и (G, С) — упорядоченные вещественно
замкнутые поля, пусть FQ, Go — вещественно замкнутые подполя
полей F и G соответственно, a f: Fq = Go — изоморфизм. Пред-
положим, что х £ F \ Fo, у G \ Gq и для всех а £ FQ
а х в том и только том случае, когда f (а) С у.
Тогда изоморфизм f можно продолжить до изоморфизма
g: (Fq (х), С) (Go (у), С), такого, что g (х) = у.
(v) (Единственность вещественного замыкания.) Пусть FQ,
Gq — некоторые поля, Fx, Gr — их вещественные замыкания,
а ^)» “ соответствующие упорядоченные вещественно
замкнутые поля. Тогда любой изоморфизм f: (Fo, С) (Go, CD
можно продолжить до изоморфизма g: (Ft, С) = (Glt С)*
Первые три пункта приведенной выше леммы являются эле-
ментарными и просто доказываемыми фактами, в то время как
5.4, Применения к теории полей
307
два последних представляют собой глубокие результаты теории
полей. В пункте (v) утверждается, что каждое упорядоченное поле
имеет не более одного вещественного замыкания. В общем случае
неверно, что каждое поле имеет не более одного вещественного
замыкания. Поэтому в (v) мы не можем предположение, что /:
(Fo, = (Go, ^), заменить на более слабое /: Fo Go.
Теорема 5.4.4. (Теорема Тарского.) Теория вещественно зам-
кнутых полей полна.
Доказательство. Мы предполагаем справедливость
континуум-гипотезы и будем использовать пункт (i) предложе-
ния 5.4.1. Как мы уже объяснили выше, континуум-гипотеза
может быть элиминирована, если воспользоваться пунктом (ii)
предложения 5.4.1, при этом доказательство будет похожим, но
более сложным.
Пусть F, G — два произвольных насыщенных вещественно
замкнутых поля мощности <ох. Как следует из предложения 5.4.1,
нам достаточно доказать, что модели F и G изоморфны. Так как
отношение порядка определимо, упорядоченные вещественно
замкнутые поля (F, <Z) и (G, также насыщенны. Поэтому
и все их обеднения будут насыщенными. В частности, упорядо-
ченные множества (F, > и (G, > будут тц-множествами. Вполне
упорядочим множества F и G по типу ©х:
F = {аа а < сох}, G = {ba : а < cOi}.
Мы построим две возрастающие цепи множеств Fa, Ga и возра-
стающую цепь отображений /а, такие, что для всех а < сох
(1) Fa и Ga будут счетными вещественно замкнутыми подполя-
ми полей F и G соответственно;
(2) fa* Fa — Ga;
(3) {av у < а) <= и {6? у < а} с: Ga.
Рассмотрим минимальные подполя F' cz F, G'Qcz G. По лем-
ме 5.4.3 (i) упорядоченное поле (F'Q, ^) изоморфно упорядоченному
полю (G', ^). Пусть Fq = F', Go = G'. Тогда по лемме 5.4.3 (v)
существует изоморфизм /0: Fo ~ Go. Если a — предельный орди-
нал, то положим
Ga=UG6, /a=U/6.
6<a 6<a 6<a
Предполагая, что условия (1) — (3) справедливы для всех орди-
налов р < а, можно легко показать, что они выполняются и для а.
В частности, объединение цепи вещественно замкнутых полей
будет вещественно замкнутым полем, так как аксиомы теории
вещественно замкнутых полей являются Па-предложениями.
20#
308
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Предположим теперь, что условия (1) — (3) выполняются для
ординала а. Для продолжения цепи мы будем использовать чел-
ночный метод. Так как модель (G, является Црмножеством,
а множество Fa счетно, существует у £ G, такой, что для всех
С G Fa
с аа тогда и только тогда, когда /а (с) + у,
с = аа тогда и только тогда, когда /а (с) = у.
Тогда по лемме 5.4.3 (iv) отображение /а можно продолжить до
изоморфизма
/: (Fa (аа), С) (Ga (у), <).
По лемме 5.4.3 (v) /, в свою очередь, можно продолжить до изо-
морфизма
g- Fa (яа) Ga (у).
Отметим, что Fa (аа) и Ga (у) будут счетными полями. Теперь,
используя тот факт, что модель {F, ) является т]^множеством,
мы можем найти элемент х £ F, такой, что для всех d £ Ga (у)
d ba тогда и только тогда, когда g"1 (d) я,
d = Ьа тогда и только тогда, когда g4 (d) = х.
Значит, g можно продолжить до изоморфизма
hx(F^)(x), ^)^(G^(ba), ^).
Пусть
•^а+1 — Fa (da) (#) > Ga+i == Ga (у) (Ьа) •
Отображение h можно продолжить до изоморфизма
/а+1° ^а+1 — ^а+1*
Теперь мы имеем /acz/czgcz7zcz /а+1 и аа £ Fa+1, ba £ Ga+1,
следовательно, условия (1) — (3) выполняются и для а+1.
Наконец, положим = и /а. Тогда из (1) — (3) сле-
СКШ1
дует, что /Ю1 изоморфно отображает поле F на поле G, /Ш1: F^G. —|
Отметим, что в приведенном выше доказательстве мы исполь-
зовали только тот факт, что модели (F, <+ и ((?, являются
тц-множествами, а не все предположение о (Oi-насыщенности моде-
лей F и G. Кроме того, эти рассуждения остаются справедливыми
и для любого кардинала (Oa+j вместо сох. Таким образом, доказа-
тельство теоремы 5.4.4 дает следующую дополнительную информа-
цию для каждого ординала а:
Два произвольных вещественно замкнутых поля F и G изо-
морфны, если соответствующие упорядоченные множества (F, +)
5.4. Применения к теории полей
309
и (G, являются т)а+1-множествами мощности соа+1 (Эрдёш,
Гиллман и Хенриксен [1955]).
Аналогичным образом можно доказать, что
вещественно замкнутое поле F соа+1-насыщенно, если соот-
ветствующее упорядоченное множество (F, ^) является соа+з-
насыщенной моделью (т. е. Г]а^-множеством).
Аналогичное доказательство устанавливает, что теория алгеб-
раически замкнутых полей характеристики р полна. Однако это
уже следует из о^-категоричности этой теории. Более интересным
случаем является теория всех моделей вида (F, f7), где F — алгеб-
раически замкнутое поле, at/ — его подполе. Если дана такая
модель (F, tt), то говорят, что элемент х g F имеет степень п над
подполем U, когда п есть наименьшее целое положительное число,
такое, что х является корнем некоторого многочлена степени п
с коэффициентами из U. Таким образом, х имеет степень 1 в том
и только том случае, когда х g tt, их имеет некоторую степень
/I < (о в том и только том случае, когда х алгебраичен над U.
Мы скажем, что элемент х £ F трансцендентен над U или что он
имеет бесконечную степень над U, если он не является элементом
степени п над U ни для какого п. Подмножество X cz F назы-
вается трансцендентным (или алгебраически независимым) над U,
если для произвольной последовательности х1ч ., хп различ-
ных элементов из X и для произвольного многочлена ф от п пере-
менных с коэффициентами из U из равенства ф (я^, ., х„) 0
следует, что ф = 0. Таким образом, множество {#} трансцендентно
тогда и только тогда, когда элемент х трансцендентен.
Лемма 5.4.5. (i) Пусть F, G — алгебраически замкнутые поля,
пусть U, V — подполя полей F и G соответственно, a f: U V —
изоморфизм поля U на поле V Предположим, что X с: F —
максимальное трансцендентное над U множество, Y cz G —
максимальное трансцендентное над V множество и | X | | Y |.
Тогда f можно продолжить до изоморфизма g: F G.
(ii) Если F — алгебраически замкнутое поле, a U — его под-
поле, то два произвольных максимальных трансцендентных над U
множества имеют одинаковую мощность.
(iii) Пусть F — алгебраически замкнутое поле, a U — его
подполе. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
(a) F U.
(b) U является вещественно замкнутым полем и поле F служит
его алгебраическим замыканием.
(с) Для каждого п < со существует элемент х £ F степени
(возможно, бесконечной) над IE
Теорема 5.4.6. Пусть F и G являются алгебраически замкнуты-
ми полями, U, V — их подполя и U V. Допустим также, что
ни (F, U), ни (G, V) не удовлетворяют условиям (а) и (Ь) из лем-
310
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
мы 5.4.5. Тогда
(F, U) =(G, V).
Доказательство. Мы можем предполагать, что модели
(F, U) и (G, У) насыщенны и имеют мощность <о1? и доказывать,
что они изоморфны. Объединение цепи трансцендентных над U
множеств, очевидно, трансцендентно над U, следовательно, по
лемме Цорна существует максимальное трансцендентное над U
множество X. Существует множество формул S (у), которое
реализуется в модели (F, U) элементом х тогда и только тогда,
когда х трансцендентен над U. Можно взять просто S (р) =
= {“] оп (у) п < со}, где формула оп (у) утверждает, что v имеет
степень п над U. По лемме 5.4.5 (iii), каждое конечное подмноже-
ство множества S (у) выполнимо в модели (F, С7), а следовательно,
множество S (у) выполняется в модели (F, U). Это доказывает
непустоту множества X. Рассмотрим теперь множество формул
2 (vlt рп), утверждающее, что множество {рх, ., рп} транс-
цендентно над U. Если х £ X, то для каждого т < со п-ка
не может быть корнем ненулевого многочлена степени, меньшей
с коэффициентами из £7, так как в противном случае мы смогли бы
построить ненулевой многочлен с коэффициентами из С/, для
которого х является корнем. Отсюда вытекает, что каждое конеч-
ное подмножество множества 2 (рь рп) выполняется в моде-
ли (F, С7), следовательно, существуют множества мощности п,
трансцендентные над U. По лемме 5.4.5 (ii) максимальное множе-
ство X должно быть бесконечным. Мы можем образовать обога-
щенную модель (F, U, х)х^х и рассмотреть множество формул
Г (р), определенных в этой модели, утверждающее, что множе-
ство X U "{у} трансцендентно над U. Так как множество X беско-
нечно, каждое конечное подмножество множества Г (и) выпол-
няется в модели (F, <7, х)х^х на элементе из X, не входящем
в формулы этого конечного подмножества из Г (у). Если множе-
ство X счетно, то из насыщенности модели (F, U) следует, что
Г (р) выполняется в модели (F, U, х)х^х- Но X является макси-
мальным трансцендентным над U множеством, следовательно,
Г (р) не выполняется в (F, С7, х)х$х- Таким образом, множество X
несчетно и, значит, | X | = coj.
Точно такими же рассуждениями показывается, что суще-
ствует максимальное трансцендентное над V множество Y мощно-
сти сох. Так как модели (F, U) и (G, V) (Oi-насыщенны, подполя U
и V также сорнасыщенны. Следовательно, либо они оба конечны,
либо оба имеют мощность а>х. В любом случае, так как U = V,
существует изоморфизм /: U V. По лемме 5.4.5 (i) отображе-
5.4. Применения к теории полей
311
ние / можно продолжить до изоморфизма g: F G. Так как
f cz g, g отображает U на У, следовательно, g: (F, U) = (G, V). —|
В качестве третьего примера использования нашего метода
мы покажем, что если два поля характеристики нуль элементарно
эквивалентны, то поля формально степенных рядов с коэффициен-
тами в этих полях также элементарно эквивалентны. Мы докажем
на самом деле намного более общий результат о нормированных
полях, но сначала рассмотрим классический случай.
Рассмотрим поле Я, и пусть Н (t) будет его чисто трансцендент-
ным расширением. Мы определим нормирование val на Н (0 сле-
дующим образом. Положим val (0) = 0. Для каждого элемента
а У= 0 из Н положим val (а) = 1. Для каждого ненулевого много-
члена
Ъ — aQ + art + + antn
с коэффициентами из поля Н пусть val (6) = tm, где ат — первый
ненулевой коэффициент, т. е.
йо — 0, 1 ~ 0, 0.
В частности, val (tm) = tm. Наконец, если Ъ и с — два многочлена
с коэффициентами из Я и с #= 0, то положим
v \ с ) val (с) •
Пусть Z — множество целых чисел, и пусть
V = {tm: т Е Z}.
Тогда <У, •, 1) будет подгруппой группы (Н (0 \ {0}, •, 1 >
и val отображает Н (0 на V U {0}. Мы введем отношение линей-
ного порядка на множестве V U {0}, полагая 0 х для всех
х £ V и
tm tn тогда и только тогда, когда т п.
Тогда модель (V, -, 1, ^) изоморфна модели (Z, + , 0, ^).
Модель
{Н (0, +, .,о,1, У, С, val)
является примером нормированного поля. Сейчас мы выпишем
аксиомы теории нормированных полей. Как легко убедиться, все
эти аксиомы выполняются в поле Н (0.
5.4.7. Нормированное поле (с сечением) — это модель
F = (Л +, .,0,1, У, С, val),
где
(a) (F, +, *, 0, 1) — поле;
(Ь) (У, 1) — группа с единичным элементом 1 {группа зна-
чений);
312
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
(с) является линейным порядком на множестве V J {0}
с наибольшим элементом 0;
(d) для всех х. у, z £ V соотношение х у влечет x-z y-z\
(е) val является функцией из F на множество V J {0};
(f) для всех х, у £ F
val (х-у) = val (я)-val (i/),
val (х + у) min {val (я), val (*/)},
val (x) = 0, если и только если х = 0;
(g) val (я) = х для всех х £ V (аксиома сечения).
Сейчас мы расширим нормированное поле Н (f) до нормированного
поля Н ((f)), которое называется пополнением поля Н (t). Это поле
строится методом, аналогичным методу построения вещественных
чисел из рациональных. Одно из стандартных определений множе-
ства вещественных чисел — это определение его как совокупности
классов эквивалентности последовательностей Коши рациональ-
ных чисел. Последовательность рациональных чисел п < о >
называется последовательностью Коши, если lim | xv — хт | =
т, п->оо
= 0; две последовательности {хп >, {уп) эквивалентны, если
lim | хп — уп | = 0. Сумма и произведение определяются поэле-
ментно, т. е. (хп} 4- (уп> = {хп + уп >.
Аналогичным образом определяется последовательность Коши
в нормированном поле Н (t); это такая последовательность
{хп п < (о) элементов из Н (f), что для всякого у £ Г суще-
ствует 2V < со, такое, что
val (хт — хп) > у для всех т.п >N.
Две последовательности Коши {хп}. {уп) эквивалентны, если для
всякого z g V существует N < со, такое, что
val (хп — уп) > z для всех п >N.
Определим Н ((f)) как множество классов эквивалентных после-
довательностей Коши в Н (f). Если мы определим сумму и произ-
ведение последовательностей Коши поэлементно, то превратим
множество Н ((f)) в поле. Отождествив каждый элемент х £ Н (f)
с классом эквивалентности стационарной последовательности
(х, х. .), мы превратим Н (f) в подполе поля #((/)). Кроме
того, если (хп) — последовательность Коши, не эквивалентная
нулевой последовательности, то val (хп) как функция от п почти
постоянна, т. е. существуют N < со и у £ V, такие, что
val (хп) = у для всех п N.
Следовательно, функция нормирования на Н (f) может быть про-
должена до функции val с областью определения Н ((f)) и обла-
5.4. Применения к теории полей
313
стью значений V U {0}, если определить val ((хп)) как стацио-
нарное значение последовательности val (хп). Нетрудно проверить,
что модель
<Я((0), +, .,0, 1, 7, val)
является нормированным полем. Поле Н ((0) называется полем
формальных степенных рядов над Н, и его также называют попол-
нением поля Н (t).
Нормированное поле Н ((0) обладает также другим, более
глубоким свойством, для него справедлива так называемая лем-
ма Гензеля. Для формулировки леммы Гензеля нам необходимы
новые обозначения. Рассмотрим нормированное поле F Под коль-
цом нормирования мы понимаем подкольцо R (F) поля (F, +, •,
0, 1), состоящее из тех элементов х £ F, для которых val (х) 1.
Из аксиомы (f) вытекает, что R (F) является кольцом с нулем 0
и единицей 1. Кроме того, множество
М (F) = {х С F val (х) >1}
является максимальным идеалом в кольце R (F), так как если
идеал I cz R (F) содержит элемент х, такой, что val (х) — 1, то
х"1 g R (F), следовательно, 1 = х-х'1 £ Таким образом, фактор-
кольцо
F* = R (F)/M (F)
будет полем. Поле F* называется полем классов вычетов поля F.
Для каждого х £ R (F) пусть
х* — х/М (F)
есть класс вычетов, содержащий х. Тогда * является гомоморфиз-
мом кольца R (F) на поле F* Из этого вытекает, что если поле F
имеет простую характеристику р, то таково же и поле F*. И зна-
чит, если поле F* имеет нулевую характеристику, тс и поле F
имеет характеристику 0.
В частном случае F Н ((t)) мы имеем Я ((0)* Я (0*.
На самом деле справедлива следующая лемма:
Лемма 5.4.8. Поле Н является подполем кольца R (Н ((0)),
и ограничение гомоморфизма * на Н отображает Н изоморфно на
Ж(0)*. Следовательно, мы можем отождествить Н с полем
классов вычетов поля Н ((0).
Мы обозначим через R (F) [0 и F* [0 кольца многочленов
от переменной t с коэффициентами в кольце R (F) и поле F* соот-
ветственно. Для каждого р (0 £ R (F) [0 пусть р* (t) получается
из р (0 заменой каждого коэффициента а многочлена р (0 на а*.
Тогда лемма Гензеля формулируется следующим образом:
314
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
5.4.9. (Лемма Гензеля). Если р (t) £ R (F) [fl, старший коэф-
фициент многочлена р (0 равен \ и в кольце F* [И мы имеем р* (0 =
= g' (t) г' (t), где ф (0, г' (0 взаимно просты, то существует раз-
ложение р (t) = q (t) г (t) в кольце R (F) [fl, такое, что q* (t) =
= Ф (0, г* (0 = г' (0.
Под гензелевым полем мы понимаем нормированное поле, в кото-
ром выполняется лемма Гензеля. Классическим результатом
является следующая
Лемма 5.4.10. Для всякого поля Н нормированное поле н ((«))
формальных степенных рядов гензелево.
Возвращаемся к теории моделей:
Лемма 5.4.11. Класс всех гензелевых полей является элементар-
ным классом.
Детали доказательства леммы 5.4.11 оставляем в качестве
упражнения. Единственным трудным местом является представле-
ние леммы Гензеля в языке X. Укажем, что для каждого целого
положительного п лемма Гензеля для многочленов степени п
может быть выражена одним предложением языка X.
Для данного нормированного поля F группа значений будет
обозначаться через
val(F) = (V,
Сейчас мы докажем следующую теорему.
Теорема 5.4.12. Предположим, что F и G являются такими
гензелевыми полями, что поле F* имеет характеристику 0,
F* = G* и val (F) =val (G). Тогда F =G.
Полезными пособием по нормированным полям является моно-
графия Рибенбойма [1967], на которую в дальнейшем мы ссылаем-
ся как на [И]. Мы дадим доказательство сформулированной выше
теоремы, используя некоторые результаты из [R] чисто алгебраи-
ческой природы. Все теоретико-модельные рассуждения, исполь-
зованные в доказательстве, будут приведены полностью. Нам
потребуется несколько новых определений.
Рассмотрим нормированное поле F. Если {G, + , -,0, 1)
является подполем поля {F, + ,*,0,1), то мы полагаем
уа1г (G) = {val (х) : х £ G и х + 0}
и
G*p = {#* х g G и val (х) 1}.
Поле G называется нормированным подполем поля F, если G —
подполе поля F и valF (G) cz G. Легко проверяется, что каждое
5.4. Применения к теории полей
315
нормированное подполе поля F само является нормированным
полем. Если G — нормированное подполе поля F, то valK (G) =
= val (G), и поле G*F становится полём G* при отождествлении
х/М (F) с х!М (б). Для всякого подмножества X cz F существует
наименьшее нормированное подполе поля F, содержащее X.
Напомним, что если поле G является подполем поля F, то относи-
тельное алгебраическое замыкание G поля G в F — это множество
всех элементов х g F, алгебраичных над G. Из леммы 5.4.3 (ii)
мы знаем, что G является подполем поля F. Будем говорить, что
подполе G относительно алгебраически замкнуто в F, если G = G,
Пусть поле G — нормированное подполе поля F. Тогда гово-
рят, что группа значений val (G) замкнута относительно корней,
если для любого у £ val (F) и любого целого положительного п
из уп С val (G) следует у £ val (G). То есть всякий корень п-й сте-
пени из элемента, лежащего в val (G), снова принадлежит val (G).
Ясно, что если поле G является относительно алгебраически
замкнутым нормированным подполем поля F, то группа значений
val (G) замкнута относительно корней.
Сейчас мы введем аналог вещественного замыкания поля.
Пусть F — нормированное поле, a G является его нормированным
подполем. Скажем, что поле F есть гензелизация поля G, если
(1) F является алгебраическим расширением поля G,
(2) поле F гензелево,
(3) для произвольного алгебраического расширения Н поля G,
которое является гензелевым полем, существует изоморфное
вложение поля F в Н, тождественное на G.
Следующая лемма содержит чисто алгебраические факты, необ-
ходимые для доказательства теоремы 5.4.12.
Лемма 5.4.13. (i) Пусть F — нормированное поле. Если х, у £ F
и val (х) < val (у), то
val (х + у) = val (я),
val (—х) ~ val (х).
Кроме того, если х С val (F) и 0 < п < <в, то существует не
более одного у £ val (/), такого, что уп = х.
(ii) Пусть F является гензелевым полем и его поле классов
вычетов имеет характеристику 0. Тогда существует нормиро-
ванное подполе Fq cz F, такое, что Fo z: R (F) и гомоморфизм *
изоморфно отображает FQ на F*,
(iii) Пусть и G1 — нормированные поля с гензелевыми под-
полями Fq и Go соответственно, f: FQ = Go — изоморфизм Fq
на Gq, и предположим, что поля F± и Gr являются алгебраическими
расширениями полей FQ и Gq соответственно. Тогда если отображе-
316
Гл, 5. Насыщенные и специальные модели
ние / можно продолжить до изоморфизма полей g: Gx, то
f можно продолжить до изоморфизма нормированных полей h:
Fx Gr. Кроме того, если о — автоморфизм поля Ft, тождествен-
ный на Fq, и х £ Fu то val (х) = val (ах),
(iv) Каждое нормированное поле имеет гензелизацию, Если Fo
и Gq — нормированные поля, FT и Gx — их гензелизации, a f: Fo
= Gq — изоморфизм, то отображение / можно продолжить до
изоморфизма g: Fr = G± (т, е. гензелизация единственна),
(v) Если является гензелизацией нормированного подполя Fo,
то F*q = F* и val (Fo) = val (FJ.
(vi) Если F — нормированное поле, a Fq — его нормированное
подполе, то группа val (/%) будет замыканием группы val (Fo)
относительно корней в группе val (F), Если F является гензелевым
полем, Fq — его нормированное подполе, F* = F*, F* имеет
характеристику нуль и группа val (Fo) замкнута относительно
корней в группе val (F), то поле FQ будет гензелизацией поля Fq,
(vii) Пусть Fr и Gt — гензелевы поля, F* имеет характеристи-
ку О, F и G — гензелевы подполя полей Fr и Gr соответственно,
х С Fr и у g Gx трансцендентны над F и G соответственно,
f: F G является изоморфизмом,
val (F (х)) val (F), F (я)* = F*
и
f (val (х — а)) == val (у — f (а)) для всякого а £ F.
Тогда
val (G (у)) - val (G), G (у)* = G*,
и отображение / можно продолжить до изоморфизма
ё- F{x)^G (у).
(viii) Предположим, что F± — гензелево поле, F — его гензелево
подполе, х £ Fr трансцендентен над F и F (я)* = F*. Если группа
val (F) содержит более одного элемента, то
| val (F (л)) | = | val (F) |.
Доказательство, (i) Это тривиально.
(ii) Мы имеем
val (1) = val (1 •!) = val (1) *val (1)
и val (1) #= 0; следовательно, val (1) s= 1. Если n — произволь-
ное целое положительное число, то
val (n) = val (1 + + 1) val (1) = 1,
а значит, п £ R (F). Так как поле F* имеет характеристику О,
n* = и yz 0; поэтому val (п) = 1. Для всякого положительного
рационального числа т!п имеем val (mln) — val (m)/val (n) = 1.
5,4. Применения к теории полей
317
Из пункта (i) следует, что норма всякого отрицательного рацио-
нального числа также равна 1. Таким образом, поле рациональных
чисел Q является подполем кольца R (#). Объединение цепи полей
будет полем, следовательно, по лемме Цорна существует макси-
мальное подполе Fq cz R (F). Для всякого ненулевого элемента
х g Fq имеем val (х) — val (1/я) = 1. Гомоморфизм * изоморфно
отображает поле F0 на подполе GQ cz F*. Мы покажем, что GQ = F*.
Предположим сначала, что существует элемент а £ F* \ Go,
алгебраический над Go. Тогда найдется неприводимый многочлен
Pi (0 € Go [rf со старшим коэффициентом 1, такой, что рг (а) = 0.
Взяв прообразы коэффициентов многочлена рг (t) относительно
отображения * | FQ, мы получим многочлен р (t) £ Fo [z] со стар-
шим коэффициентом 1, такой, что р* (Z) = рх (Z).TaK как поле GQ
имеет характеристику 0, многочлен р* (t) не имеет кратных кор-
ней и, следовательно, в поле F* мы имеем разложение
р* (0 = («) (t — «),
где многочлены (Z) и t — а взаимно просты. Теперь по лемме
Гензеля существуют многочлены q (Z), г (t) £ R (F) [z], такие, что
Р (0 = д (0 г (/), q* (t) = q! (0, Г* (t) = t — a.
Так как старшие коэффициенты многочленов q (t) и г (t) имеют
норму ^1, а их произведение равно 1, то их норма равна 1. Сле-
довательно, степень многочлена q (t) равна степени g* (t), а много-
член г (£) имеет степень 1. Пусть г (t) = b0 + bjt. Тогда элемент
у = —ь0/Ьх является корнем многочлена г (t) и, следовательно,
корнем р (t). Так как р* (Z) неприводим над полем Go, многочлен
р (t) неприводим над Fo, значит, у $ Fo. Но val (ЬЦ = 1
и val (fe0) 1, следовательно, val (у) 1. Мы имеем у* =
= —b*/bf — а. Для всякого многочлена s (Z) g Fo [z] степени
deg (5 (Z)) < deg (p (Z)) мы имеем s (1/)* = s* (a) 0, поэтому
val (s (y)) = 1. Но поле Fo (у) совпадает с множеством всех таких
s (у). Таким образом, FQ (у) cz R (F), что противоречит макси-
мальности Fq.
Предположим теперь, что существует трансцендентный над Go
элемент а £ F* \ Go. Возьмем произвольный у £ R (F), такой,
что у* — а. Тогда для всякого ненулевого многочлена р (t) £
€ И
Р (у)* = Р* (а) =£ 0,
следовательно, val (р (у)) = 1. Таким образом, если р (Z) и q (t) g
€ Fq [Z] — два ненулевых многочлена, то val (р (y)/q (у)) = 1.
Тогда Fq (у) cz R (F), что опять противоречит максимальности
поля Fq. Следовательно, GQ = F*, и пункт (ii) доказан.
(iii) Это доказано в [R], гл. F, теорема 4. Эквивалентность
данного здесь определения гензелизации и того, которое приведе-
318
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
но в [R], доказывается в [R], гл. F, следствие 2 теоремы 2 и тео-
рема 4.
(iv) Это доказано в [R], гл. F, теорема 2.
(v) Это доказано в [R], гл. F, следствие 1 теоремы 3.
(vi) Пусть V — замыкание группы val (Fo) относительно кор-
ней. Если х g FQ, то из [R], гл. F, теорема 1, вытекает, что
val (х) £ V. Следовательно, val (Fo) cz V cz Fo. Но группа
val (Fo) замкнута относительно корней, значит, val (Fq) = V.
Допустим теперь, что F является гензелевым полем, val (Fq) = V
и F* = F* имеет характеристику 0. Пусть старший коэффициент
многочлена р (t) £ R (Fo) |7] равен 1. Предположим, что в кольце
F* [i] мы имеем р* (t) = q' (t) г (t), где многочлены q' (t), rf (t)
взаимно просты. Так как поле F гензелево, существуют многочле-
ны q (t), г (t) g R (F) [d, такие, что p (t) — q (t) r (t), q* (t) —
= q' (t) и r* (t) = r' (t). Мы можем считать, что старшие коэф-
фициенты многочленов q (t) и г (t) равны 1. В силу того что поле Fo
относительно алгебраически замкнуто в F, мы имеем q (t), г (t) g
£ Fq [rf. Это показывает, что поле Fq гензелево. Из определения
гензелизации и пункта (iv) вытекает, что существует гензелиза-
ция F± поля Fo, такая, что FQ cz F1 cz Fo. Тогда поле Fo является
алгебраическим расширением поля F^ для которого
val (Fq) = val (Л), Fo*, = FJ.
Как показано в [Л], гл. G, теорема 2, если Ft — гензелево поле
и поле классов вычетов F* имеет характеристику 0, то не суще-
ствует собственных алгебраических нормированных расширений
поля Fx с той же самой группой значений и тем же самым полем
классов вычетов. Из этого вытекает, что Fo = Fx.
(vii) Пусть поле F{ является алгебраическим замыканием
поля Fx, a G{ — алгебраическое замыкание поля Как доказано
в книге [Л], гл. В, теорема 5, поле F{ можно превратить в норми-
рованное таким образом, что Fr будет его нормированным под-
полем, и то же самое верно и для G{. Обозначим через F', G' алгеб-
раические замыкания полей F, G в полях F,, G{ соответственно.
Из [R], гл. F, теорема 1, вытекает, что группа val (F') является
замыканием группы val (F) относительно корней в группе val (FJ),
и аналогичное утверждение справедливо для поля G' Следова-
тельно, F', G' являются нормированными подполями полей F{, G{.
Тогда из пункта (iii) вытекает, что отображение / можно продол-
жить до изоморфизма нормированных полей
F' G'.
Мы покажем, что для любых b g F (х) и а 6 F9 \ F
(1) существует а g F, такое, что val (Ъ — а) val (а — а).
5.4. Применения к теории полей
319
Предположим, что (1) не выполняется для некоторых b и а. Пусть
р (t) g F [/] — неприводимый многочлен со старшим коэффициен-
том 1, такой, что р (а) = 0. Пусть а =*= а17 ап — все корни
многочлена p(t). Таким образом,
р (0 = (« — ах) . . (t — ап) = с0 + cxt + 4- cn_xtfn-1 + tn.
Пусть
е = val (Ь сп-1П-1).
Так как утверждение (1) не верно, из пункта (iii) вытекает, что
е = val (af — cn-in-1), i = 1, п.
Положим теперь
aj = е-1 (af — cn-in-1), i = 1, п.
Из определения вытекает, что val (ai) = 1 для каждого I. Рас-
смотрим многочлен
Pi (О = (* — «0 (t — «п) = d0 + <4* + + d^f1-1 + tn.
Каждый коэффициент dt является симметрической функцией от
ах, . . ., ап и, следовательно, принадлежит F, поэтому рг (t) £
С F [0. Кроме того, многочлен рх (0 неприводим над полем F,
так как F (a) = F (а') и, значит, а и а' имеют одинаковую сте-
пень п над F. Мы имеем
(2) val (d0) — val (aj . a^) = val (aj) = = val (a^) = 1,
(3) dn-i = a,’ + + a„ = e"1 (ax + . + an — cn<) = 0
и val (di) 1 для всякого i n. Пусть
b' = e"1 (b — Сп-л-п"1).
Тогда val (b') ~ 1. Следовательно, b' g R (F (x)), и из равенства
F (x)* = F* вытекает, что существует такой элемент а £ F, что
val (b' — а) > 1. Тогда val (а' — а) > 1 вследствие ложности (1).
Из пункта (iii) вытекает, что
val (ai — а) = val (а' — а), i = 1, . п,
и, значит,
val (рг (а)) = val (а' — а)п > 1.
Таким образом,
Р? (а*) = 0,
и многочлен р* (t) делится на (t — а*). Так как F является гензе-
левым полем и многочлен р± (t) неприводим над F, многочлен
р* (t) не может быть произведением двух взаимно простых сомно-
жителей. Следовательно, мы должны иметь
(4) рТ (О = а - а*)п.
320 Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Из соотношений (2), (3) и (4) вытекает, что
(а*)п = J* 0.
Но в то же время
па* = d*-.! = 0,
что невозможно, так как поле F* имеет нулевую характеристику.
Отсюда мы заключаем, что утверждение (1) справедливо для всех
b £ F (д:) и а £ F' \ F.
Определим теперь функцию g из F (х) в G (у) соотношением
/ др+gix ~1~ • •»Ч~ атхт \ _ f (flo) ~F / (gi) у 4-»• ♦ Ч~ / fa) ут
gUo + M+..-+Mn / f(bQ) + f(bi)y+...+f(bn)yn •
Тогда функция g продолжает / и является изоморфизмом поля
F (х) на поле G (у). Осталось доказать, что для всех b £ F (х)
val (g (Ь)) = / (val (6)).
Так как / является изоморфизмом и функция нормы сохраняет
произведения, нам достаточно показать, что для всякого непри-
водимого многочлена р (7) £ F [d со старшим коэффициентом 1
имеет место соотношение
(5) val (g (р (х))) = / (val (р (а:))).
Из наших предположений следует, что соотношение (5) выпол-
няется, если многочлен р (t) имеет степень ^1. Допустим, что
р имеет степень >1, и пусть а — корень многочлена р (t) в поле F'
Тогда a £ F' \ F и, следовательно, для х и а выполняется (1).
Пусть а £ F — элемент, существование которого утверждается
в (1). Мы имеем
f (val (х — а)) = val (у — / (а)),
/' (val (а — а)) = val (/' (а) — f (а)).
Если
val (х — а) < val (а — а),
то мы видим, что
val (х — а) = val (х — а),
val (у —f (а)) = val (у — f (а)),
следовательно,
/ (val (р (х\)) — f (val (х — а)71) = / (val (х — а)п) =
— val (у — f (а))п = val (у — f (а))п = val (g (р (х))),
и^соотношение (5) выполняется. В противном случае
val (а — а) < val (х — а)
значит,
val (х — а) = val (а — а),
val (у —f (а)) = val (/ (a) —(а)),
5.4. Применения к теории полей
321
и вычисления, аналогичные приведенным выше, показывают, что
соотношение (5) опять выполняется.
(viii) Как и в пункте (vii), обозначим через F\ алгебраическое
замыкание поля F^ наделенное структурой нормированного поля,
которая превращает его в нормированное расширение поля Fx.
Пусть F’ — алгебраическое замыкание поля F в поле F\. Снова
группа val (Р') является замыканием группы val (F) относительно
корней в группе val (F'^. Так как группа val (F) не одноэле-
ментна, из аксиом нормированного поля вытекает, что она беско-
нечна. Следовательно, по пункту (i) мы имеем
| val (F) | = | val (F) |.
Мы покажем, что
(6) I val (Г) | = | val (Г (х)) |,
а это соотношение в свою очередь влечет за собой
| val (F) |< | val (F (я)) | = | val (F (я)) | = ] val (F) |.
Каждый элемент поля F' (х) есть частное произведений элементов
вида х — а, а £ Р' Заметим, что если а, 0 С Р' и val (х — а) <С
< val (х — 0), то по пункту (i)
val (х — а) = val ((ж — а) — (х — 0)) = val (0 — а),
следовательно, val (х — а) £ val (Fr). Таким образом, множество
{val (х — а) а £ F'} \ val (F')
содержит не более одного элемента. Поэтому
| val (F (х)) |< со + | val (F) |,
и соотношение (6) выполняется. —|
Доказательство теоремы 5.4.12. Доказательство
использует предложение 5.4.1 (i) и протекает параллельно дока-
зательству полноты теории вещественно замкнутых полей. Пусть
F и G — насыщенные модели мощности со1? такие, что F == F
и G == G. Из леммы 5.4.11 вытекает, что поля F и G гензелевы.
Легко проверяется, что F* = F* = G* = G* и val (F) =
= val (F) = val (G) = val (G) (см. ynp. 5.4.16). Следовательно,
предполагая справедливость коптину у м-гипотезы, мы можем счи-
тать, что F и G являются насыщенными моделями мощности со1?
и доказывать, что они изоморфны, F G. Отметим сначала, что
при наших предположениях поля классов вычетов F* и G* и груп-
пы значений val (F) и val (G) являются coj-насыщенными моделями
(см. упр. 5.4.16). За исключением тривиального случая val (F) =
= {1}, поля F* и G* и группы val (F) и val (G) имеют мощность cdv
21 г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
322
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Из леммы 5.4.13 (ii) вытекает, что мы можем отождествить поля
F* и G* с подполями полей F и G таким образом, чтобы гомомор-
физм * был бы тождественным отображением на F* и G* Так как
F* = G*, существует изоморфизм /0: F* G* В тривиальном
случае, когда val [F) = {1}, мы имеем val (G) = {1} и F = F*,
G = G*, следовательно, /0: F & G.
Предположим теперь, что группа val (F) нетривиальна. Если
F± и Gi — нормированные подполя полей F и G, то мы будем
писать Д: Ft Gi вместо
Fi^Gt и (val (F), x)x£4^Fi) ;= (val (G), A (я))хетаил).
Мы будем доказывать следующие утверждения:
(i) Поля F* и G* являются относительно алгебраически замкну-
тыми нормированными подполями полей F и G соответственно.
(ii) Пусть F± и Gr — относительно алгебраически замкнутые
нормированные подполя полей F и G соответственно, такие, что
F* cz G* cz Gx и группа val (FJ счетна. Предположим также,
что /0 cz /j и Д: F1^G1. Тогда для каждого х £ F существуют
относительно алгебраически замкнутые нормированные под-
поля F2 и G2 и отображение /2: ^2, такие, что группа val (F2)
счетна и
% € R 2ч с— ^2» ^1 с ^2» /1 с /г*
(iii) Утверждение (ii) останется справедливым, если поменять
местами F и G.
Из (i) — (iii) обычными «челночными» рассуждениями выво-
дится изоморфизм полей F и G. Отметим сначала, что /0: F* -<->G*,
так как val (F*) = {1} = val (G*), следовательно, пункт (i) дает
нам начало построения.
Доказательство (i). Пусть р (t) С F* [/]. Тогда, так как F* cz
cz R (F), ^то p (t) C R (R) UL Если x g F и val (x) < 1, то все
ненулевые слагаемые amxm элемента p (x) имеют различные нормы
и val (z)m < 1. Следовательно, val (р (я)) < 1 и х не может быть
корнем многочлена р (t). Допустим, что х £ F —корень этого
многочлена. Тогда val (х) 1, а значит, определено х* и р (х*) =
= 0. Таким образом, многочлен р (t) имеет корень х* в F* и потому
F* = F*. Аналогичное доказательство устанавливает, что G*
= G*.
Доказательство (ii). Сначала мы рассмотрим частный случай:
(iia) Если val (Fr (х)) = val (Fx), то утверждение (ii) спра-
ведливо. В доказательстве мы воспользуемся леммой 5.4.13 (vii).
Мы имеем
Л (х)* = F* - F*.
Если х С F13 то (ii) тривиальным образом выполняется, следова-
тельно, можно считать, что х $ Ft. Тогда поле F± (х) будет простым
5.4. Применения к теории полей
323
трансцендентным расширением поля F±. По лемме 5.4.13 (vi)
поле Fx = Fr гензелево и по той же причине гензелево поле G^
Мы должны найти такой элемент у g G, что для всех а Рг
(1) Л (val (х — а)) = val (у — А (а)).
Мы утверждаем, что
(2) Для всякого конечного подмножества A cz Fr существует
элемент у £ G, такой, что для всех а £ А выполняется (1).
Докажем (2). Пусть А — конечное подмножество множества F19
и пусть Ъ Е А — элемент из Л с наибольшей нормой val (х — Ь) =
— с. Так как val (F\) — val (F1 (я)), то с f val (F^). Для каждого
положительного натурального числа п < со имеем val (тг) = 1,
потому что Т7* — поле характеристики 0, а следовательно,
val (тге)=с. Из этого равенства вытекает, что для всех п и всех
а £ Л
val(b — пс — a)^min(val(&— #),val(nc), val (х—а)) = val (я —а).
Кроме того, для каждого а £ Л существует не более одного тако-
го п, что
val (b — пс — а) > val (х — а).
Последнее вытекает из того, что если т <С /г, а £ Л и
min (val (& — тс — a), val (Ъ — пс — а)) > val (х — а),
то
val (х — а) < val ((/г — т) с) = с,
и, следовательно, по лемме 5.4Л3 (i)
val (ft — пс — а) — val (х — а).
Но множество Л конечно, поэтому существует положительное
тг < со, такое, что
val (b — пс — а) = val (х — а) для всех а £ Л.
Пусть у = Д (Ь — пс). Тогда для всех a £ Л
A (val (х — а)) = Л (val (b — пс — а)) = val (у — Д (а)),
и справедливость (2) доказана.
Вследствие счетности множества val (ТА (х)) существует счет-
ное подмножество А± cz F^ такое, что
(3) для любого Ъ С F± существует а £ Л1? для которого
val (х — а) = val (х — Ь).
Используя (2) и тот факт, что модель G является (Ох-насыщенной,
мы можем найти элемент у g G, такой, что равенство (1) выпол-
21*
324
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
няется для всех а £ А1Г Пусть Ъ Е Fx. Принимая во внимание
равенство Fr (х)* — F*, мы видим, что существует b' g для
которого
val ((х — b) c~l — b') > 1, где с — val (х — Ь),
и, значит,
val (х — (Ъ + cb')) > val (х — Ь).
Следовательно, существует элемент a £ такой, что
val (х — b) <Z val (х — а).
Таким образом,
val (х — b) = val (а — Ъ) < val (х — а),
и, применяя к этому соотношению Д, мы получаем
val (Ла — fib) = fi (val (а — b)) < A (val (х — а)) = val (у — Да).
Отсюда
val (у — fib) = val (у — М+М — Д&) — val (Да — ДЬ) =
= Л (val (а — b)) = fr (val (х — b)).
Таким образом, соотношение (1) выполняется для Ь.
Мы проверили все предположения пункта (vii) леммы 5.4.13.
Следовательно,
val (G, (у)) = val (Gx),
и отображение Д можно продолжить до изоморфизма
gl: Fi (х) - Gi (у).
Так как F± = Fr и G± = группы значений
(4) val (Fi (х)) = val (Л), val (G, (у)) val (GJ
замкнуты относительно корней в группах val (F) и val (G) соот-
ветственно. Значит, по лемме 5.4.13 (vi) поля (х) и G± (у)
являются гензелизациями полей Fr (х) и (у) соответственно.
Таким образом, по лемме 5.4.13 (iv) отображение gj можно про-
должить до изоморфизма
g2: Ft (х) = Gi (у).
-Из леммы 5.4.13 (v) и равенств (4) вытекает, что
val (Fi (х)) val (Fj, val (Gt (у)) = val (Gt).
Следовательно, пункт (ii) выполняется, если положить
Р2, — Pi (х)» G2= -Gf(y), fz — gz*
Таким образом, мы доказали частный случай (iia).
5,4. Применения к теории полей 325
Рассмотрим теперь другой частный случай утверждения (ii):
(iib) Если х Е val (F), то (ii) справедливо.
Опять мы можем предполагать, что х $ Ft. Так как /х: F± <—* Gx
и группа val (Fx) счетна, мы можем найти элемент у Е val (G),
такой, что
(5) (val (F), х, a)a6vaKFj) = (val (G), у,
Пусть V —подгруппа группы val (F), порожденная множеством
val (Fx) (J {х}, a W — подгруппа val (G), порожденная множе-
ством val (Gx) (J {у}. Группы V и W счетны. Рассмотрим произ-
вольный многочлен
Р (0 = + ert + + entn Е П].
Если г < s п и er, es^ 0, то мы должны иметь
val (erxr) val (e3xs)^
так как в противном случае
val (eTxr) = val (ег) хт = val (es) х3
и, следовательно,
Xs~г = val (er)/val (es) Е val (/^x),
но группа val (/\) замкнута относительно корней, значит, х Е
g val С?\), а это противоречит нашему допущению, что х $ Ft.
Поэтому существует точно одно слагаемое егхг многочлена р (х)
с наименьшей нормой и по лемме 5.4.13 (i)
(6) val (р (х)) = val (ег) xr Е V
Аналогично, если мы возьмем в качестве q (t) Е Gx И) образ много-
члена р (t) при /х,
Ч (I) — /1 (е0) + Л (^i) t + + Л (^л) j
то из соотношения (5) получим, что для того же самого г п
имеет место равенство
(7) val (q (у)) = val (Д (ег)) Е W
Следовательно, val (F\ (х)) = Г, val (G3 (у)) = W Таким обра-
зом, поля Fx (х) и Gx (у) являются нормированными подполями
полей F и G соответственно.
Определим отображение gx поля FT (х) на поле Gr (у) так:
д, / • • • Ч~ йтпХт \ __ A (do) 4- ♦.. + fi (dm) ym
\ е0 + е^+ ...-\-епхп / /1 (*о)+• • • + А (*п) 1/п
Тогда gx изоморфно отображает поле (я) на поле Gx (у) и /х cz: g±.
Из соотношений (6) и (7) вытекает, что gT — изоморфизм нормиро-
326
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
ванных полей F± (х) и Gr (у). Из (5) следует, что
(8) (val (F), c)cGv = (val (G), gx (c))c6y.
Из пункта (iv) леммы 5.4.13 получаем, что существуют гензелиза-
ции F2 и G2 полей Fx (х) и GT (у) соответственно. По лемме 5.4.13 (vi)
Fr (х) и Gj (у) являются гензелевыми полями. Следовательно, по
определению гензелизации мы можем выбрать поля F2 и G2 так,
чтобы
Л (х) с F2 с G1 (у) GAy).
Используя пункт (iv) леммы 5.4.13 об единственности гензелиза-
ции, мы можем продолжить отображение g± до изоморфизма
g2: F2 G2.
По лемме 5.4.13 (v)
val (F2) = 7, val (G2) = W
Обозначим через V, W замыкания групп V и W относительно
корней в группах val (F) и val (G). По пункту (i) леммы 5.4.13
группы V, W счетны. Используя (8), ограничение g2 I можно
единственным образом продолжить до изоморфизма h: V = W.
В действительности для h имеет место соотношение
(9) (val (F), с)се7 (val (G), Мс£у,
и элемент с С V является корнем неприводимого над F2 многочле-
на тогда и только тогда, когда he есть корень образа этого много-
члена при g2. Пусть F3 = F2 (V), G3 = G2 (ТУ) — подполя, порож-
денные соответственно множествами F2 (J V и G2 (J W Тогда
F3 и G3 являются алгебраическими расширениями полей F2 и G2
соответственно. Из леммы 5.4.13 (vi) вытекает, что val (F3) — У,
val (G3) = W, следовательно, поля F3 и G3 являются нормирован-
ными подполями F и G. Так как имеет место соотношение (9),
мы можем продолжить отображение g2 до изоморфизма поля F3
на поле G3. Тогда из леммы 5.4.13 (iii) вытекает, что g2 можно
продолжить до изоморфизма нормированных полей g3: F3 G3.
Так как отображение h определяется единственным образом.
h - g3 I V
Мы напомним, что
F* с= cz F3, G* cz Gx cz G3,
значит,
F* = F3*, G* = G3*.
Следовательно, из пункта (vi) леммы 5.4.13 вытекает, что поля F3
и G3 являются гензелизациями полей F3 и G3 соответственно.
5.4. Применения к теории полей
327
II по лемме 5.4.13 (iv) мы можем продолжить отображение g3
до изоморфизма g4: F3 G3. Из пунктов (vi) или (v) леммы 5.4.13
вытекает, что
val (F3) = val (F3) - V,
val (G3) = val (G3) = W
Поэтому, в силу соотношения (9), g4: F3 G3. И мы уже отме-
чали, что группа V счетна. Таким образом, (ii) выполняется,
если взять F2 = F3, G2 = G3, f2 = g^. Это доказывает (iib).
Докажем теперь утверждение (ii) в общем случае. Так как
F± = элемент х трансцендентен над Рг. По пункту (viii) лем-
мы 5.4.13 группа значений val (Fx (а*)) счетна. Следовательно,
применяя (iib) счетное число раз и беря объединение, мы найдем
нормированные подполя F2, G2 и отображение g2, такие, что
группа val (F2) счетна и
Л cz F2- F3, G, cz G2 = G2*, Д cz g2: F2^G2,
val (Fi (x)) cz val (F2).
Повторяя этот процесс счетное число раз, мы получим для 2
п < со нормированные подполя Fn+1, Gn+1 и отображение gn+1,
такие, что группа val (Fn+1) счетна и
Положим
2^п<(0 2^п«о 2^п<(0
Тогда все условия утверждения (ii) выполняются, если вместо Fr,
Gi, Л рассматривать F® g®. Кроме того,
val (Fa (х)) =• J val (х)) = val (F®).
2^п<ш
Следовательно, сейчас мы можем применить частный случай (iia)
и заключить, что утверждение (ii) справедливо и в общем случае.
Доказательство (iii). Оно протекает точно так же, как доказа-
тельство (ii), но с заменой F на G и G на F. —j
Следствие 5.4.14. Если F и G — поля характеристики О
и F = G, то F ((£)) = G ((/)).
Доказательство. Это вытекает из лемм 5.4.8 и 5.4.10,
теоремы 5.4.12 и соотношения
val (F ((0)) (Z, +, ., О, - val (G ((/))). Ч
328
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Другим классическим примером нормированного поля являет-
ся поле р-адических чисел, где р — простое число. Сначала мы
опишем р-адическое нормирование на поле d рациональных
чисел. Каждое рациональное число 0 можно единственным
образом представить в виде г = рп •$, где п С Z — некоторое
целое число, as — частное двух целых чисел, не делящихся на р.
Положим val (г) = рп. В частности, val (рп) = рп. Пусть
V = {рп: n£Z}
и р™4 Рп, если и только если т^п. Положив val (0) — О
и г 0 для всех г £ V, мы превратим Q в нормированное поле
(Q, +, ., 0, 1, У, <, val),
называемое полем рациональных чисел с р-адическим нормирова-
нием. Его группа значений изоморфна группе (Z, +, 0, ).
А его поле классов вычетов является простым полем Zp характе-
ристики р, Zp {0, 1, ., р —1}. Действительно, если т =
— qp к £ £ и 0 к < р, то ттг* = к и, если n* 0, то
(тп/п)* == тп*/п* в поле Zp.
Поле р-адических чисел, обозначаемое через Gtp, является
пополнением поля Q рациональных чисел с р-адическим нормиро-
ванием. Построение этого пополнения производится точно так же,
как построение поля Н ((£)) из поля Н (£), которое было описано
выше.
Лемма 5.4.15. Поле гензелево и = Zp, val (Qp)
Следующая лемма известна.
Лемма 5.4.16.
(i) (Шевалье.) Пусть f (t14 ., tn) —многочлен с коэффи-
циентами из поля Zp степени d<n с нулевым свободным членом.
Тогда / имеет нетривиальный корень в поле (тривиальный
корень —это (0, 0, . ., 0)).
(ii) (Ленг.) Пусть f (tr, ., tn) —многочлен с коэффициента-
ми из поля Zp ((£)) с нулевым свободным членом и степени d, такой,
что d2 < п. Тогда f имеет нетривиальный нуль в поле Zp ((f)).
Следствие 5.4.17. Пусть f (tly ., tn) —многочлен с коэф-
фициентами из кольца Z с нулевым свободным членом и степени
d <Z п. Тогда существует конечное множество Y простых чисел,
такое, что если р QY, то f имеет нетривиальный нуль в поле
р-адических чисел.
Доказательство. Предположим, что существует бес-
конечная последовательность простых чисел р0 < Pi < р2 <
такая, что для каждого п < со многочлен / имеет лишь тривиальный
5.4. Применения к теории полей 329
корень в поле QPn. Пусть D — неглавный ультрафильтр над
{р0, Pi’ Образуем ультрапроизведение
f ~ П
D
Тогда / имеет только тривиальный корень в поле F. Так как
каждое поле Qp гензелево, поле F гензелево. Кроме того,
^=n^n,
D п
и, следовательно, поле Т7* имеет характеристику 0. Из лем-
мы 5.4.13 (ii) вытекает, что F* изоморфно подполю поля F. По лем-
ме 5.4.16 (i) многочлен / имеет нетривиальный корень в каждом
поле поэтому он имеет нетривиальный корень в поле F*
и, значит, в F. Это противоречие завершает доказательство. —]
Следующий результат является применением теоремы 5.4.12.
Это точная формулировка того интуитивного соображения, что
гензелевы поля GLp и Zp ((/)) очень похожи, хотя поле Qp имеет
характеристику нуль, а поле Zp ((£)) — характеристику р.
Следствие 5.4.18. Пусть ф— предложение языка теории нор-
мированных полей. Тогда для почти всех (для всех, за исключением
конечного числа) простых чисел мы имеем
Qp |= ф тогда и только тогда, когда 7LP ((«)) 1= ф.
Доказательство. По лемме 5.4.10 каждое поле Zp ((/))
гензелево. Из определения следует, что каждое поле &р также ген-
зелево. Кроме того,
Zp ((ф* Zp = Q*,
val (Zp ((/))) <Z, +, 0, <) val (Qp).
Пусть D — произвольный неглавный ультрафильтр над множе-
ством всех простых чисел. Образуем ультрапроизведения
F=nzP((/)),
D D
Тогда модели F и G являются гензелевыми полями. Мы имеем
D
val(F) О = val(G),
D
и поле F* имеет характеристику 0. Следовательно, по теоре-
ме 5.4.12 поля F и G элементарно эквивалентны. Таким образом,
330
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
для каждого предложения
5Ф = {Р ®Lp t= ф, если и только если («)) t= ф) е d.
Так как это выполняется для любого неглавного ультрафильтра D,
множество должно содержать почти все простые числа Н
Следующее утверждение выглядит весьма похожим на след-
ствие 5.4.17, но оно основывается на теореме 5.4.12 и, значит,
намного глубже.
Следствие 5.4.19. (Гипотеза Артина.) Для каждого целого
положительного числа d существует конечное множество Y про-
стых чисел, такое, что для каждого простого р $ Y любой много-
член / (£1? . £п) степени d с коэффициентами из поля Оьр и нуле-
вым свободным членом, такой, что п^> d2, имеет нетривиальный
нуль в поле Qp.
Доказательство. Для каждой пары целых положи-
тельных чисел d, п обозначим через <Pd, п предложение языка
теории полей, утверждающее, что
Каждый полином степени d от п переменных и с нулевым
свободным членом имеет нетривиальный нуль.
Заметим, что если п > d2, то предложение
Фс2, d2-hl Ф<л п
истинно во всех полях, так как п — (d2 + 1) дополнительных
переменных можно положить равными нулю. Из пункта (ii)
леммы 5.4.16 вытекает, что предложение (pd, 424-1 выполняется
в каждоу поле ((£)). Значит, по следствию 5.4.18 предложе-
ние <pd, 424-1 выполняется в поле Qp для почти всех простых р. —|
В упражнениях мы увидим, что теорема 5.4.12 остается спра-
ведливой, если предположение о том, что поле F* имеет харак-
теристику нуль, заменить предположением, что F = Оьр. Этот
результат дает систему аксиом для (полной) теории модели Qp,
так же как тёорема 5.4.4 дает систему аксиом для (полной) теории
поля вещественных чисел.
Вместо нормированных полей с сечением иногда рассматри-
вают несколько более общее понятие нормированного поля
(F, V, val), где F — поле, V — упорядоченная абелева группа
(непересекающаяся с F), a val есть функция, отображающая F
на V U {0}, для которой выполняются очевидные аналоги приве-
денных выше аксиом 5.4.7 (а) — (f). С некоторыми усложнениями
можно обобщить теорему 5.4.12 на гензелевы поля без сечения.
5.4. Применения к теории полей
331
Упражнения
5.4.1. Каждое тц-множество имеет мощность ^2Ш.
5.4.2. Говорят, что вещественно замкнутое поле F есть т]а-поле,
если упорядоченное множество {F, ) является ца-множеством.
Докажите, что любые два т]а-поля мощности соа изоморфны.
5.4.3. Предположим справедливость континуум-гипотезы.
Докажите, что теория Т в счетном языке X модельно полна тогда
и только тогда, когда для каждой счетной модели ЭД теории Т
и любых двух насыщенных моделей 93, (S теории Т, которые
либо конечны, либо имеют мощность (о1? из ЭД о $6 и 21 cz ©
вытекает, что (93, о)а 6 Л (©, а)а 6 А.
5.4.4. Докажите, что теория вещественно замкнутых полей
модельно полна.
5.4.5. Докажите, что вещественно замкнутое поле F является
т)а-полем, если и только если оно (оа-насыщенно.
5.4.6* Докажите, что теория бесконечных атомных булевых
алгебр полна, но не модельно полна.
5.4.7. Докажите, что теория бесконечных атомных булевых
алгебр с дополнительным предикатом At (я), выделяющим атомы,
модельно полна.
5.4.8. Покажите, что для каждого полного расширения Т тео-
рии полей существует теория Т' в языке теории полей плюс новый
одноместный предикатный символ U, такая, что (F, U) является
моделью теории Т' в том и только том случае, когда F — алгебраи-
чески замкнутое поле, U — его подполе, являющееся моделью
для Т и поле F не является алгебраическим расширением U сте-
пени ^2.
5.4.9. Предположим, что F, G — алгебраически замкнутые
поля, t7, V — их подполя, Ic 7 и У с G - непустые транс-
цендентные над U и V соответственно множества, а / — взаимно
однозначное отображение X на Y Докажите, что если U = V, то
(F, U,x)xex^(G, V,fx)xex.
5.4.10* . Докажите, что теория полных упорядоченных абеле-
вых групп полна и модельно полна. Это теория в языке { + , 0,
имеющая следующие аксиомы:
(i) аксиомы полных абелевых групп;
(ii) (Vxyz) (х < у -> х + z < у + z);
(iii) аксиомы линейного порядка.
332
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
5.4.11. Теория Z-групп—это теория в языке {+, 0, 1.
имеющая следующие аксиомы:
(i) аксиомы абелевых групп с нейтральным элементом 0;
(ii) аксиомы линейного порядка;
(iii) (Vxyz) (х < у х + z < у + z);
(iv) 1 является наименьшим элементом среди элементов у
больших 0;
(v) (V#3i/) (п-у = х п-у = х Ч- 1 п-у == х -\-
+ (п — 1)), для каждого целого положительного /г; здесь т и т-у
есть терм 1 + + 1, т раз и у + + у, т раз соответ-
ственно.
Покажите, что модель <2, +, 0, 1,<Э является Z-группой.
5.4.12* . (Пресбургер.) Покажите, что теория Z-групп полна
(используйте методы этого раздела).
5.4.13. Используя упр. 5.4.12, получите систему аксиом для
(полной) теории модели (со, +, 0, 1, <1 >.
5.4.14. Пусть Т — теория Z-групп с дополнительными отноше-
ниями Рп (х), п = 1, 2, и аксиомами
(Vx) (Рп (х) «-к (Зу) (п-у == х)).
Докажите, что теория Т модельно полна.
5.4.15. Проведите доказательство лемм 5.4.8 и 5.4.11.
5.4.16. Пусть F и G — нормированные поля, такие, что
F = G. Покажите, что F* = G* и val (F) = val (G). Кроме того,
если поле F a-насыщенно, то поле F* и группа val (F) также
а-насыщенны.
5.4.17. \Дайте прямые доказательства теорем 5.4.4, 5.4.6
и 5.4.12, не использующие континуум-гипотезу.
5.4.18. Пусть Тг — теория в языке {+, •, 0, 1}, а Т2 — теория
в языке Покажите, что класс всех нормированных
полей F, таких, что F* J\, val (F) Г= Т2, является элементар-
ным, и покажите, как строить множество аксиом для этого клас-
са, исходя из аксиом для и Т2.
5.4.19* Z-нормированное поле — это нормированное поле F,
такое, что для некоторого с g F модель (val (F), с) является
Z-группой. Таким образом, для каждого поля Н поле Н ((t)) есть
Z-нормированное гензелево поле и для каждого простого р поле
р-адических чисел есть Z-нормированное гензелево поле.
Покажите, что если является полным расширением теории полей
характеристики нуль, то теория Z-нормированных гензелевых
5А. Применения к теории полей
333
полей, у которых поле классов вычетов является моделью для Тх,
полна.
5.4.20* . Пусть F — гензелево поле, такое, что его поле клас-
сов вычетов F* имеет характеристику нуль. Пусть G — гензелево
подполе поля F, такое, что val (G) -< val (F) и G* — F*. Докажи-
те, что G -< F.
[Указание: Нужно редуцировать задачу к случаю, когда поле F
насыщенно и имеет мощность (Oj, а группа val (G) счетна. Тогда,
используя доказательство теоремы 5.4.12, покажите, что произ-
вольное элементарное вложение G в F, тождественное на F*,
можно продолжить до автоморфизма поля F.]
5.4.21* . Докажите утверждение предыдущего упражнения,
заменив предположение G* = F* на более слабое G* -< F*.
5.4.22. Пусть С — поле комплексных чисел. Любой ненулевой
элемент поля С ((£)) можно естественным образом отождествить
с формальным степенным рядом вида
(1) amtm + +
тде т £ Z, ап £ С для всех и аП1у= 0. Ряд (1) называется
ростком мероморфной функции, если существует окрестность
нуля U, такая, что для всех z С U \ {0} ряд (1) сходится
при t — z. Множество М всех ростков мероморфных функций
вместе с 0 составляют относительно алгебраически замкнутое нор-
мированное подполе поля С ((£)). Используя этот факт и упр. 5.4.20,
покажите, что М -< С ((/)).
5.4.23. Говорят, что нормированное поле F имеет ранг 1,
если для любых х, у £ val (F), таких, что у > 1, существует
целое положительное п, для которого х < уп. Пополнение норми-
рованного поля F ранга 1 определяется как множество всех клас-
сов эквивалентности последовательностей Коши в F так же, как
и в частном случае полей Н ((/)) и О,р. Известно, что пополнение
поля F является гензелевым полем, в которое F вложено как
нормированное подполе, причем его группа значений и поле
классов вычетов равны группе значений и полю классов выче-
тов поля F Используя этот факт, покажите, что если F и G —
нормированные поля ранга 1, F* имеет характеристику нуль
и F = G, то пополнения полей F и G элементарно эквивалентны.
5.4.24. Предположим, что F является гензелевым полем,
таким, что для любого гензелевого поля G из F* = G* и val (F) =
= val (G) вытекает, что F = G. Докажите, что поле F не имеет
собственных алгебраических нормированных расширений с той же
группой значений и тем же полем классов вычетов.
334 Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Замечание: В книге [R], гл. G, приводятся примеры гензеле-
вых полей F с полем классов вычетов F* простой характеристики,
которые имеют собственные алгебраические нормированные рас-
ширения с той же группой значений и тем же полем классов
вычетов.
5.4.25* . Пусть р — простое число. Пусть F является /-нор-
мированным гензелевым полем характеристики нуль, для которо-
го F* = Zp и р есть наименьший элемент из val (F), такой, что
р > 1. Покажите, что F элементарно эквивалентно полю р-адиче-
ских чисел, F~Clp. Это утверждение дает систему аксиом для
(полной) теории модели Gtp.
{Указание: Следует рассуждать, как и в доказательстве теоре-
мы 5.4.12, но лемму 5.4.13 нужно модифицировать.]
5.4.26* . Пусть р — простое число и F == Gtp. Покажите, что
если G — гензелево подполе поля F и группа val (G) замкнута
относительно корней в группе val (F), то G < F. Следовательно,
(полная) теория модели
(О>р, Р27 Fз, Р^ •)’
где
Рп = {х £ val (Gtp) х имеет корень n-й степени},
модельно полна.
5.5. Приложения к булевым алгебрам
Все наши приложения из разд. 5.4 относились к полным тео-
риям. В некоторых случаях метод насыщенных моделей может
быть также применен к неполным теориям для того, чтобы полу-
чить полезное описание всех полных расширений данной теории.
В качестве иллюстрации мы рассмотрим классификацию полных
расширений теории булевых алгебр. Аксиомы этой теории приве-
дены в примере 1.4.3, некоторые простые определения и резуль-
таты содержатся в примере 1.4.3 и в упражнениях из разд. 1.4.
Кроме этого мы будем предполагать, что у читателя уже есть
некоторый, хотя не обязательно обширный, опыт работы с буле-
выми алгебрами. Приведенная здесь классификация будет исполь-
зована в разд. 6.3 при изучении фильтрованных произведений.
Мы начнем с описания простых свойств булевых алгебр. Пусть
X = {+, • , 0, 7} — язык теории булевых алгебр. Среди наших
аксиом теории булевых алгебр имелась аксиома 0^1. Но в этом
разделе будет удобно опустить эту аксиому и говорить, что булева
алгебра
26= (В, +, 0, 1)
5.5. Приложения к булевым алгебрам
335
тривиальна, если 0 = 1, и что она нетривиальна в противном
случае. Отметим, что в соответствии с нашими определениями
тривиальная булева алгебра одновременно атомна и безатомна.
Пусть а — элемент булевой алгебры 23. Положим
В \ а = {х £ В х а}
и определим операцию
(z)_o = а-х для всех х £ В | а.
Тогда модель
SB | а = {В | а, +, “а, 0, а)
является булевой алгеброй с операциями + , • , индуцированными
операциями булевой алгебры 23, “а и константами 0, а. Алгебра
28 | а является подалгеброй алгебры 23 тогда и только тогда,
когда а = 1, и 23 | а является тривиальной алгеброй тогда и толь-
ко тогда, когда а = 0. Каждый элемент х £ В можно единствен-
ным образом представить в виде суммы двух элементов у, z, таких,
что у^а, z^a; фактически у = х-a, z = х *а. Это разложение
элемента х на два слагаемых определяет одно-однозначное ото-
бражение множества В на прямое произведение В | а X В | а,
которое, как нетрудно показать, является изоморфизмом,
(5.5.1) 23 = 23|а х 23|а.
Элемент а называется атомным, если булева алгебра 23 | а атом-
на, и, аналогично, а называется безатомным, если булева алгебра
23 | а безатомна. Заметим, что нулевой элемент 0 одновременно
атомный и безатомный. Из существования изоморфизма (5.5.1)
вытекает, что для произвольного а £ В
(5.5.2) Булева алгебра 28 атомна, если и только если и 23 | а
и 23 | а — атомные булевы алгебры,
28 безатомна, если и только если алгебры 23 | а и 28 | а
безатомны.
Идеалом булевой алгебры 28 называется подмножество I cz В,
такое, что для всех х, у, z £ В,
если х, у £ I, то х + У и x*z £ 7.
Если / =А 0, то 0 £ 7. Множество дополнений всех элементов
некоторого идеала составляет фильтр булевой алгебры 23. Если
7 — идеал булевой алгебры 23, то отношение (7), определяемое
следующим образом:
х (7) г/, если и только если х*у + х*у £ 7,
является отношением конгруэнтности на 23. Для х £ В обозна-
чим через хП класс конгруэнтности элемента х относительно (7)
336
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
И ПОЛОЖИМ
ВИ {хИ х£ В}.
Фактор алгебр а
23/Z {ВИ, +, 0,1)
получается наделением множества ВИ естественными образами
операций + , и имеет в качестве нуля множество I, а в каче-
стве единицы — фильтр, соответствующий Z. Отображение х хИ
является гомоморфизмом булевой алгебры 23 на факторалгебру
23/Z. Ядро этого гомоморфизма — это в точности множество Z.
Факторалгебра 23/Z тривиальна тогда и только тогда, когда I = В.
Идеал I называется главным, если I = В | а для некоторого
а £ В. Если I — В | а, то факторалгебра 23 | Z изоморфна 23 | а,
и, следовательно, по (5.5.1) мы имеем
23 ~ 23/Z х 23 | а.
Выделим в булевой алгебре 23 некоторый специальный идеал
I (23) следующим образом:
Z (23) = {х £ В существуют элементы у, z £ В, такие, что
х — у + z, причем у атомный, a z безатомный}.
Если х± = г/i + Zi, х2 = у2 + z2, где уг и у2 атомные, а и z2 —
безатомные элементы, то хг + х2 ~ {уг + у2) + (2^ + z2), где
У1 + У2 — атомный элемент, a z± + z2 — безатомный. Если и £ В,
то хх*и = у^и + ZfU, где — атомный элемент, a zr -и —
безатомный. Следовательно,множество I (23) действительно являет-
ся идеалом булевой алгебры 23. Заметим, что если булева алгебра
28 имеет лишь конечное число атомов, то I (23) = В. Если алгеб-
ра 23 атомна, то также I (23) = В. Легко проверить, что для
любого элемента а С В мы имеем
I (23 | а) = I (23) П В | а,
I (23 | а) = I (23) П В | а,
I (Ж) = {х g В х можно единственным образом представить
в виде суммы х = у + z, где у £ I (23 | а),
г 6 7(98 | а)}.
Из этого мы легко получаем, что
(5.5.3) 23/Z (23) (231 а)Ц (231 а) X (23 | а)Ц (231 а).
Определим по индукции последовательность
(98№))й<ш
факторалгебр, последовательность
({(г, з^у.х^В, BW})h<0>
5.5. Приложения к булевым алгебрам
337
гомоморфизмов булевой алгебры 23 на 23(Л) и последовательность
Л<ш
идеалов булевой алгебры 23 следующим образом:
Х° — X,
(5.5.4а) Z° = {0},
23° = 23;
a;(ft+l)=xW/Z (23W),
(5.5.4b) /*+1) = {хgВ : х<й+‘> = 0),
23(ft+1)==23(ft7Z(23(h)).
Из определения очевидным образом вытекает, что для каждого
к < со
(i) отображение х —> является гомоморфизмом булевой
алгебры 23 на 23<Л>;
(ii) множество /(Л) является идеалом булевой алгебры 23;
(iii) 23(fe) = 23/Z(ft).
Заметим, что каждый идеал Z(fc+1) можно также описать как
множество всех х £ В, таких, что х^} есть сумма x(fc) = y{k} + z(ft),
где y(k) — атомный элемент из SS<fe>, a z(ft) — безатомный эле-
мент из 23(й).
Предложение 5.5.5. Для любых к, 1<2 со существуют формулы
фк, Фй, Pai Ль.ь tffc, i языка X от свободной переменной х, такие,
что для любой булевой алгебры 23 и произвольного элемента а £ В
имеют место следующие утверждения'.
(i) 23 Е= фь [а] тогда и только тогда, когда а £ Z(ft) (a<ft) = 0).
(ii) 23 фь [а] тогда и только тогда, когда a(ft) — атомный
элемент алгебры 23(ft).
S (iii) 23 Рь [л] тогда и только тогда, когда a(h} — безатом-
ный элемент алгебры 23(ft).
(iv) 23 1= lai тогда и только тогда, когда а(к} содержит
не более I атомов алгебры 23<fe).
(v) 28 Oft, i [al тогда и только тогда, когда a(ft) содержит
по крайней мере I атомов алгебры 23<ft).
Нетрудное доказательство оставляется в качестве упражнения.
Пусть 23 — нетривиальная булева алгебра. Рассмотрим после-
довательность факторалгебр
23(О), 23П), 23(А),
определенную в (5.5.4). Либо некоторая факторалгебра 23(ft)
тривиальна, в этом случае все 23(Z), к, тривиальны, либо
22 Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
338
Гл» 5. Насыщенные и специальные модели
все 23(Л> нетривиальны. В первом случае можно найти наимень-
шее к, для которого факторалгебра 23<ft+1> тривиальна. Это озна-
чает, что факторалгебра 23^ нетривиальна и каждый ее элемент
лежит в идеале I (23<ft))- Мы можем спросить, будет ли атомной
или безатомной факторалгебра 23(Л) и конечно или бесконечно
число ее атомов. Главный результат этого раздела состоит в том,
что ответы на эти вопросы полностью определяют элементарный
тип (теории) модели 23. Свяжем с каждой нетривиальной булевой
алгеброй 23 пару инвариантов (т (23), п (23)) следующим обра-
зом:
(5.5.6а)
(5.5.6с)
{наименьшее такое, что
торалгебра 23(ft+1) тривиальна,
такое к существует;
оо в противном случае;
фак-
если
(5.5.6b)
nQ (23) =
если т (23) = к и 23(й) имеет бес-
конечно много атомов;
если т (23) — к и 23(ft) имеет Z со
атомов
О, если тп(23) = оо;
По (23), если т (23) ~ к и 23(h) —
атомная булева алгебра;
— wo(23), если т (23) =/с и 23(А) не
является атомной булевой
алгеброй.
Таким образом, число т (23) указывает, когда булева алгебра
23(А+1) становится тривиальной, знак п (23) указывает, атомна
или нет булева алгебра 23(Л1(®)), а п0 (23) = | п (23) ] равно числу
атомов в булевой алгебре 23(m(®n. Инвариант т (23) есть либо
натуральное число, либо оо, а п (23) равно либо целому числу,
либо ±оо. Если т (23) = к < со и п 06) = 0, то булева алгебра
23(*>
является нетривиальной безатомной булевой алгеброй.
Из предложения 5.5.5 легко вытекает следующее утверждение
Предложение 5.5.7.
(i) Для любых к, I < со каждое из следующих соотношений
выражается одним предложением языка
т (23) =
тп(23)=й и n(23) = Z,
т (23)= к и п(ЙЗ)=—I.
5.5. Приложения к булевым алгебрам
339
(ii) Для любого к < со каждое из следующих соотношений выра-
жается множеством предложений языка Х\
т (33) = оо,
т (33) = к и п (S3) = оо,
тп(33)=А и п (33) = —оо.
Доказательство предлагается в качестве упражне-
ния.
Многократное применение соотношения (5.5.3) показывает, что
для к < (о и а £ В
Я8(й) ~ (ЯЗ | a)w х (Я5 |a)(h).
Рассмотрение соотношения (5.5.2) позволяет нам доказать
Предложение 5.5.8. Пусть 33 — нетривиальная булева алгебра
и а £ В. Тогда
(i) т (S3) = max (т (33 | а)} т (33 | а)).
(ii) Если т (33 | а) < т (33 | а), то т (S3) = т (53 | а) и
п (33) - п (33 | а).
(iii) Если т (33 | а) = т (33 | а) < оо, то
п (38) = 0 тогда и только тогда, когда п (33 | а) = п (53 | а) =
= 0,
п (S3) >0 тогда и только тогда, когда п (S3 | а) >0 и
п (33 |а) >0,
п (33) < 0 тогда и только тогда, когда или п (S3 | а) 0,
или п (S3 | а) 0, и хотя бы один из инвариантов
п (S3 | а), п (S3 | а) отличен от нуля.
(iv) Если тп (S3 | а) = т (S3 | а) < оо, то nQ (S3) = п0 (S3 | а) +
+ п0 (S3 \а).
Приведенная ниже лемма является ключевым моментом в дока-
зательстве теоремы 5.5.10.
Лемма 5.5.9. Пусть $1, 33 — нетривиальные булевы алгебры,
такие, что
(т (§1), п (?!)) = (т (S3), п (23)).
Предположим, что а £ А, 0 а 1 и алгебра S3 ы-насыщенна.
Тогда существует элемент Ъ £ В, такой, что 0 Ъ 1 и
(т (31 | а), п (31 I а)) = (т (S3 | £), п (38 | Ь)),
(т (31 | а), п (31 I а)) = (т (S3 | Ь), п (33 | Ь)).
340
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
Доказательство. Предположим сначала, что
пь (21 | а) = т (ЭД | а) = оо.
Мы имеем т (ЭД) оо, следовательно, т (23) = оо. Это означает
что для каждого к < со существует элемент & £ В, такой, что
0 и 6(fe) у= 1 в S3(fe). Из предложения 5.5.5 и со-насыщен-
ности модели S3 вытекает, что существует элемент Ъ В, такой,
что 6<h> =/= о, 6(h) 1 в S8(ft) для всех к. Очевидно, что для этого
ь ев
т (S3 | Ь) - т (S3 | Ъ) = оо.
Предположим теперь, что
т (ЭД | а) < т (ЭД \ а) = т (ЭД).
Мы утверждаем, что достаточно найти такой Ъ е В, для которого
(1) т (S3 | Ь) = т (ЭД | а) и п (S3 | Ъ) - п (ЭД | а).
Действительно, из предложения 5.5.8 (i) и (ii) вытекает, что
т (ЭД | а) = т (ЭД) = т (S3) =
= тах (т (S3 | 6), т (S3 | Ъ)) = т (S3 | Ь),
и, аналогично,
п (ЭД | а) = п (ЭД) = п (S3) = п (S3 | Ь).
Пусть к = т (ЭД | а). Мы проверим соотношения (1) для всех
возможных значений п (ЭД | а). Так как к < т (S3), то
(2) булева алгебра 33(fe) содержит бесконечно много атомов,
булева алгебра 23<ft) не является атомной.
Действительно, в противном случае алгебра S3(ft+1> была бы
тривиальной, что противоречит определению т (S3). Исполь-
зуя (2), предложение 5.5.5 и со-насыщенность модели S3, нетруд-
но найти элемент Ъ £ В, такой, что
т (S3 | Ь) = к и п (S3 | Ь) - п (ЭД | а).
Случай когда п (ЭД | а) — ±оо, немного сложнее остальных.
Именно здесь нам требуется со-насыщенность модели S3.
Случай
zn (ЭД | а) < nt (ЭД | а) = zn (ЭД)
разбирается совершенно аналогично предыдущему.
Предположим, что
т (ЭД | а) = т (ЭД | а) < оо.
Пусть к = т (ЭД) т (ЭД | а) = т (ЭД | а). Если п (ЭД) = 0, то
из пункта (iii) предложения 5.5.8 вытекает, что п (33)= п (ЭД | а) =
5.5, Приложения к булевым алгабрам
341
= п (ЭД | а) = 0. В этом случае возьмем такой элемент b £ В,
что b<ky 0 и 1 в булевой алгебре 93(ft). Тогда очевидно,
что
т (98 | Ъ) - т (S3 | Ъ) = к
и
п (93 | Ь) = п (98 | Ь) - о.
Если п (ЭД) >0, то из пунктов (iii) и (iv) предложения 5.5.8
вытекает, что п (93) >0 и
п (ЭД | а) >0, и (ЭД |а) >0,
п0 (58) - п0 (ЭД) - п0 (ЭД | а) + п. (ЭД | а).
В этом случае, используя предложение 5.5.5 и со-насыщенность
модели 93, мы можем найти элемент Ъ £ 5, такой, что
элемент &(Л) атомный и содержит точно и0 (ЭД | а) атомов
булевой алгебры 93(ft),
элемент атомный и содержит точно п0 (ЭД | а) атомов
булевой алгебры 93(Л).
Тогда
т (581Ь) = т (931Ь) = к
и
и(93| &) =и(ЭД |а), п(93|&) = п(ЭД ]а).
Наконец, если п (ЭД) 0, то из пунктов (iii) и (iv) предложе-
ния 5.5.8 вытекает, что п (93) ^0 и
п(ЭД|а)#=0 или п(ЭД|а)=/=0,
и(ЭД|а)^0 или и(ЭД|а)^0,
по (58) = и0 (Я) = по (ЭД | а) + и0 (Я | а).
Методы доказательства теперь достаточно ясны, поэтому мы мо-
жем оставить последний случай в качестве упражнения. Во всех
случаях (о-насыщенность модели 93 была необходима только
тогда, когда один из инвариантов равнялся ±°о. Н
Пусть а1? ап — элементы булевой алгебры 93. Под битом
элементов ап мы понимаем произвольное произведение
где каждое равно либо либо а^. Если s и t — два бита эле-
ментов . . ., ап и 5 t, то 5-1 — 0. Множество всевозможных
342
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
сумм элементов множества
{s s — бит элементов ах, ап}
— это в точности конечная подалгебра булевой алгебры] 93,
порожденная элементами аЛ, ., ап. Если &х, ., Ьп £ В и s
есть бит элементов ах, ап, то под соответствующим битом
элементов Ъх, Ъп мы понимаем произведение
где tt = Ъ}, если st — и tt — Ьь если sf = Пусть ЭД и 23 —
булевы алгебры, и пусть аг, ап £А, Ьп £ В.
Мы скажем, что модели (ЭД, аг, ., ап), ($6, Ьг, Ьп) подоб-
ны, если для каждого бита s элементов ах, ., ап и соответ-
ствующего бита t элементов Ъг, ., Ъп булевы алгебры ЭД | s
и 28 | t либо обе тривиальны, либо имеют равные пары инвариан-
тов. Тот факт, что модели (ЭД, а±, ., ап), (23, Ь1? Ъп)
подобны, мы будем обозначать следующим образом:
(ЭД,
&п) ~ (28, &i,
Ьп).
А ЭД 23 означает просто, что булевы алгебры ЭД, 25 либо обе
тривиальны, либо имеют одинаковые инварианты. Если а
Ъ В, то по определению
(ЭД, ^п)п< о, (23, Ьп)п< о),
если и только если для всех п < со
(ЭД, ^m)m<n (93, Ьт)т<п.
Теорема 5.5.10. Булевы алгебры ЭД, 23 элементарно эквивалент-
ны в том и только том случае, когда они либо обе тривиальны,
либо имеют равные инварианты,
(т (ЭД), п (ЭД)) = (тп (28), п (23)).
Доказательство. Необходимость следует из предло-
жения 5.5.7.
Достаточность может быть показана различными методами.
Например, доказательство достаточности может быть проведено
с помощью метода элиминации кванторов (см. разд. 1.5) или
с применением пункта (i) или (ii) предложения 5.4.1. Здесь мы
будем использовать более простой метод, чем предложение 5.4.1.
Доказательство представляет собой обычную челночную конст-
рукцию, которая имеет только счетное (а не (оД число шагов.
Этот метод удобен здесь потому, что конечно порожденные булевы
алгебры конечны и легко описываются. Доказательство исполь-
зует ш-насыщенные модели и не зависит от континуум-гипотезы.
5,5, Приложения к булевым алгебрам
343
Если булевы алгебры 21 и 23 обе конечны и нетривиальны,
то, так как 21 « 93, мы имеем Я 23 и, следовательно, 31 и 23
элементарно эквивалентны. Таким образом, мы можем предпо-
ложить, что булевы алгебры 21 и 23 бесконечны и со-насыщенны;
в частности, мы можем считать, что 21 и 23 имеют мощность 2®,
хотя континуум-гипотеза в дальнейшем не используется. Дока-
жем сначала следующее утверждение:
(1) Для всех ял+1 £ А и Ъп £ В, если
(21, а1ч «л) (23, Ьл),
то существует &л+1 £ В, такой, что
(21, ^1, ^п+1) (33, Ьр ^п+1)*
Для доказательства (1) мы предварительно докажем
(2) Допустим, что (21, ., ап) ж (23, Ьг, ,, Ьп) и an+1 g
g А, Тогда для каждого бита s последовательности аъ
ап и соответствующего бита t последовательности
Ьг, Ъп существует с t, такое, что
(Я | s, an+1-s) « (95 | t, с).
Из предположений мы имеем 21 I $ ~ 23 I t, Если эти булевы
алгебры тривиальны, то пусть с — 0. Если они обе нетривиальны,
то они имеют одинаковые инварианты. Если an+1-s = 0, то пусть
с = 0. Если an+1-s = s, то пусть с — L Предположим теперь,
что 0 7^= an+fsy= Очевидно, что булева алгебра 23 | t со-насы-
щенна, так как все операции модели 23 I t определимы в модели 23
с параметром t, Следовательно, по лемме 5.5.9 существует с £ В | £,
для которого справедливо заключение утверждения (2). Таким
образом, (2) доказано.
Пусть теперь &п+1 равно сумме всех элементов с, полученных
в (2), по одному для каждого бита последовательности ., ап.
Ясно, что это Ьл+1 удовлетворяет заключению утверждения (1).
Расположим все термы из скулемовского обогащения <55*
языка X в простую бесконечную последовательность
п,
(возможно, с повторениями) так, чтобы выполнялись следующие
соотношения:
(3) Свободные переменные скулемовского терма tn содержатся
в множестве {р0,
(4) Если а £®4, Ь таковы, что для каждого п < со
#2п = [а0, • • • i ^n-l],
^2n+l ~ 1^0’ ' • • ’ ^n-11 ’
344
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
то множества элементов последовательностей а и Ь определяют
элементарные подмодели моделей 91 и 93 соответственно. Здесь
tn%* и tn%* являются интерпретациями терма tn в скулемовских
обогащениях 91*, 93* моделей 91 и 93 соответственно. Такая
последовательность термов tn легко может быть построена. Комби-
нируя утверждение (1) с двойственным утверждением, т. е. утверж-
дением, получающимся перестановкой 91 и 98, обычным челночным
методом мы можем найти а и Ъ такие, что
(5) (Я, ап)П«д (93, Ьп)П<(1)1
для которых выполняются предположения утверждения (4).
Тогда, принимая во внимание соотношение (5), простыми рас-
суждениями мы убеждаемся в том, что отображение
А. ап —> Ьп
является изоморфизмом между булевыми алгебрами
й0 = п< со}, +, 0, 1).
и
®0 = ({Ьп П< о}, +, 0, 1).
Здесь мы используем тот факт, что бит последовательности а0,
ап равен 0, если и только если соответствующий бит последо-
вательности Ьо, Ьп равен 0. Заключение утверждения (4)
дает нам
й0<й и 93О<93.
Следовательно, Я =93. Ч
Упражнения
5.5.1. Проведите доказательство соотношений (5.5.1) — (5.5.3).
5.5.2. Докажите предложение 5.5.5.
5.5.3. Определите инварианты следующих булевых алгебр:
(i) конечной булевой алгебры с п атомами;
(ii) нетривиальной безатомной булевой алгебры;
(iii) бесконечной атомной булевой алгебры.
5.5.4* . Докажите, что для каждой пары (иг, и), где (иг, п) —
— (оо, 0) или т < оо и —оо и оо, существует булева алгеб-
ра с инвариантами (т, п).
5.5.5. Докажите предложение 5.5.7.
5.5.6. Докажите предложение 5.5.8. Более общо, попытайтесь
вычислить инварианты булевой алгебры й X 93, исходя из
инвариантов алгебр 91 и SB.
5.5. Приложения к булевым алгебрам
345
5.5.7. Проведите детальное доказательство леммы 5.5.9.
5.5.8. Используя технику теоремы 5.5.10, докажите, что две
произвольные насыщенные булевы алгебры мощности с оди-
наковыми инвариантами изоморфны.
5.5.9. Теория булевых алгебр имеет только счетное число
полных расширений и каждое полное расширение имеет только
счетное число конечных типов. Следовательно, каждая булева
алгебра ЭД элементарно эквивалентна некоторой счетной насыщен-
ной булевой алгебре ЯЗ.
5.5.10* . (а) Под теорией индуктивного порядка мы понимаем
теорию языка X = 0) с аксиомами линейного порядка,
аксиомой, утверждающей, что 0 — наименьший элемент, и индук-
тивной схемой
(Зх) ф (х) -> (ЗхУу) (ф (х) Л (ф (у) х г/)),
где (р (х) — формула, которая, возможно, имеет и другие свобод-
ные переменные zx . . . zn. Например, для каждого ординала
а >0 модель (а, 0) является моделью теории индуктивного
порядка. Пусть ЭД — модель теории индуктивного порядка.
Элемент х £ А называется ^-предельной точкой, если в множестве
{у £ Л у < х} нет наибольшего элемента; х называется (п + 1)-
пределъной точкой, если среди n-предельных точек у < х нет
наибольшей. Каждый элемент является 0-предельной точкой.
Следовательно, 0 является n-предельной точкой для каждого п.
Покажите, что понятие //-предельной точки можно выразить
одной формулой языка X.
(Ь) С каждой моделью ЭД теории индуктивного порядка свяжем
инварианты т (ЭД), п (ЭД), рк (ЭД), к = 0, 1, 2, следующим
образом:
т(ЭД) =
п(ЭД) = .
к, если к — наименьшее натуральное число,
такое, что, среди fc-предельных точек
в модели ЭД существует наибольшая,
оо, если для каждого Л<(о модель ЭД име-
ет произвольно большие А-предельные
точки.
к, если к является наибольшим натураль-
ным числом, таким, что модель ЭД имеет
Ar-предельную точку, отличную от 0,
оо, если для каждого k<Z(& модель ЭД имеет
^-предельную точку, отличную от 0.
346
Гл. 5. Насыщенные и специальные модели
оо, если к<т(^)3
оо, если к^гп,($[) и существует бесконечно
много fc-предельных точек, превосходящих
наибольшую (&+ 1)-предельнуто точку,
Z, если к m(2l) и существует точно Z <
й-пре дельных точек, превосходящих наи-
большую 1)-предельную точку.
Докажите, что если 21, 23 — модели теории индуктивного поряд-
ка, то 21 = Ж, если и только если 21 и 23 имеют одинаковые
инварианты.
[Указание: Используйте методы теоремы 5.5.10.]
5.5.11. Определите, какие наборы могут быть инвариантами
некоторой модели индуктивного порядка. Определите также,
какие инварианты соответствуют вполне упорядоченным моделям.
Используя это, покажите, что теория индуктивного порядка
имеет 2ю полных расширений.
[Указание: Рассмотрите представление ординала по убываю-
щим степеням со (нормальная форма).]
5.5.12*. Какие полные расширения теории индуктивного
порядка имеют несчетное число 1-типов?
5.5.13*. Докажите, что каждое предложение, истинное в любой
модели (а, 0}, где 0 < а < со® (ординальная степень), являет-
ся следствием аксиом теории индуктивного порядка. Следователь-
но, теория индуктивного порядка является теорией класса всех
вполне упорядоченных моделей, а также теорией множества
моделей {(а, 0) : 0 < а < со®}.
5.5.14*^ Докажите, что каждая вполне упорядоченная модель
(а, 0) элементарно эквивалентна единственной модели вида
(Р, 0), где 0 < р < со® + со®.
5.5.15*. Обозначим через Ог класс всех ординалов. В этом
упражнении мы будем рассматривать объекты (Or, ), (Ог, +),
(Or, +, ) как модели, где +, — обычные порядок,
сложение и умножение ординалов. Докажите следующие утверж-
дения: (i) (со®, (Or, (ii)(co®w, +)<(Ог, +);
(iii) (со0<0<°, <, +, -)<(Ог, + , •)•
Докажите также, что каждый элемент любой из моделей, стоящих
слева, определяется в этой модели одной формулой.
[Указание: Доказательства пунктов (ii) и (iii) основываются
на технике, развитой в упр. 1.3.15 и теореме о нормальной форме
ординалов.]
ГЛАВА 6
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЯХ
И ИХ ОБОБЩЕНИЯХ
В этой главе мы продолжим изучение ультрапроизведений,
начатое в гл. 4, но теперь мы будем использовать насыщенные
модели. Раздел 6.1 свяжет понятие ультрапроизведения и поня-
тие насыщенной модели; он также содержит очень изящное описа-
ние элементарных классов. В остальных разделах рассматривают-
ся различные обобщения конструкции ультрапроизведепия.
6.1. Насыщенные ультрапроизведения
Мы покажем здесь, что некоторые ультрапроизведения моделей
являются насыщенными моделями. Главная теорема этого разде-
ла — это теорема об изоморфизме для ультрапроизведений: две
модели элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда
некоторые их ультрастепени изоморфны (теорема 6.1.15). Дока-
зательства некоторых теорем этого раздела и разд. 6.3 используют
континуум-гипотезу или обобщенную континуум-гипотезу. Мы нач-
нем с теоремы о счетно-неполных ультрапроизведениях. Напом-
ним, что ультрафильтр D называется счетно-неполным, если
он не замкнут относительно счетных пересечений.
Теорема 6.1.1. Пусть X — счетный язык, и пусть D — счетно-
неполный ультрафильтр над множеством I. Тогда для каждого
семейства ЭД i, i £ Ц моделей языка X ультрапроизведение ЦЭДг
D
является (ненасыщенной моделью.
Доказательство. Мы должны показать, что если
т < со,— любая счетная последовательность элементов из
S (X) — произвольное множество формул языка X J
D
U {с0, .} и каждое конечное подмножество множества 2 (х)
ВЫПОЛНИМО В МОДелИ (ПЭД/, ^тп)т<(^ то и 2 (я) выполнимо
D
В ат)т<а, Заметим, что если ат = {ат (i) i £ I}D, то
D
348
Гл. 6. Дополнительные сведения
Так как X является произвольным счетным языком и язык X (J
U {со, } также счетен, нам достаточно доказать следующее:
(1) Если 2 (х) — произвольное множество формул языка X
и каждое его конечное подмножество выполнимо в
b
то И все 2 (х) ВЫПОЛНИМО В
D
Предположим, что каждое конечное подмножество множества
2 (я) выполнимо в [J?!/. Так как язык X счетен, множество
D
2 (х) счетно, и мы можем записать
2 (х) = {ох (х), о2 (х), .}.
Так как ультрафильтр D счетно-неполон, можно найти убываю-
щую цепь множеств
7 = Zo ZD о /2 ZD
такую, что каждое 1п принадлежит D и Q 1п — 0. Пусть
п < (О
XQ = I, и для каждого положительного п < си пусть
In П {i € I t= (Эх) (Oi (х) Л л оп (х))}.
Тогда по основной теореме 4.1.9 каждое Хп принадлежит Z).
Кроме того, Q Хп — 0 и Хп о Хп+1. Из этого вытекает, что
п < <1)
для каждого i g I существует наибольшее п (0 < со, такое, что
Мы определим функцию / g Ц A t следующим образом: если
п (0 = 0, то пусть / (0 — произвольный элемент из Af, если
п (0 >0, то выберем /(0 так, чтобы выполнялось соотно-
шение
21. i= (°i л л CTn to) I/(01-
Тогда, если 0 < п и i g Хп, то п п (0, следовательно, 9h
an [/(0]. Из основной теоремы 4.1.9 вытекает, что J]9(i
D
1= an t/o для всех тг >0 и, таким образом, 2 (х) выполняется
на элементе fD в Это доказывает утверждение (1). Н
D
Следствие 6.1.2. Предположим справедливость континуум-
гипотезы. Пусть 21 и 95 — две модели счетного языка X и
| А |, | В | (ov Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) Я = 95.
(ii) П ?! = Ц 95 (и П 91 = П 95) для любых неглавных ультра-
D Е D D
фильтров D и Е над <о.
6.1. Насыщенные улыпрапроизведения
349
(iii) Существуют ультрафильтры D и Е, такие, что =
Паз.
Е
Доказательство. (i) => (ii) Допустим, что выполняет-
ся (i). Из теоремы 6.1.1 вытекает, что модели Дй и ДЭЗ сох-насы-
D Е
щенны. Так как | А |, | В | и 2® = (оп мощность ультра-
степеней ДЭД и ДЯ5 не превосходит <ох. Из соотношения (i) и упо-
D Е
мянутой выше основной теоремы вытекает, что эти ультрастепени
элементарно эквивалентны. Следовательно, по теореме единствен-
ности для насыщенных моделей они изоморфны.
Очевидно, что пункт (ii) влечет (iii), a (iii) влечет (i), так как
по теореме 4.1.19 каждая модель элементарно эквивалентна своей
ультрастепени. —[
Оставшаяся часть этого раздела посвящена обобщению теоре-
мы 6.1.1 на произвольные кардиналы. Из мощностных соображе-
ний ясно, что условия счетной неполноты ультрафильтра D
недостаточно для обеспечения со,,-насыщенности модели Д?[.
D
Фактически для а > со предположения, что ультрафильтр D
a-регулярен или даже а+-регулярен, недостаточно для обеспече-
ния а+-насыщенности модели Дй (см. упр. 6.1.6). Для того
D
чтобы дать обобщение теоремы 6.1.1, нам необходимо ввести совер-
шенно новый тип ультрафильтров, так называемые «хорошие
ультрафильтры».
Сначала нам необходимо ввести некоторые обозначения, отно-
сящиеся к функциям. Пусть I — непустое множество, ар —
кардинал. Рассмотрим функции f и g, отображающие множество
(Р) всех конечных подмножеств множества р в множество
5(1) всех подмножеств множества I. Скажем, что g /, если
g (и) ст / (и) для каждого и £ (Р). Таким образом, g f озна-
чает, что каждое значение g содержится в соответствующем зна-
чении /. Мы скажем, что функция f монотонна, если
u, w g Sto (Р) и и cz w влечет f (и) о / (гр).
Отметим, что знаки включения обращаются. Таким образом, боль-
шему значению и отвечает меньшее значение / (и). Строго говоря,
термин «антимонотонная» был бы уместнее, но он также и длин-
нее. Функция g называется аддитивной, если
и, w 3^ (р) влечет g (и J w) = g (и) Q g (гр).
350
Гл. 6. Дополнительные сведения
Отметим опять, что слева стоит объединение, а справа — пересе-
чение. Термин «антиаддитивная» был бы лучше, но длиннее.
Очевидно, что имеет место следующая
Лемма 6.1.3. Каждая аддитивная функция, отображающая
(Р) 6 S (7), монотонна.
Так как ультрафильтр D над множеством I является подмно-
жеством множества S (7), всякая функция /, отображающая
(р) в 7), является также функцией, отображающей 8Ш (Р)
в S (7). Мы будем рассматривать именно этот случай.
Приведем теперь главное определение. Пусть а — бесконеч-
ный кардинал. Ультрафильтр D над множеством 7 называется
a-хорошим, если он обладает следующим свойством:
Для каждого кардинала Р < а и любой монотонной функ-
ции /, отображающей (₽) в D, существует аддитивная
функция g, отображающая S'(D (Р) в D, такая, что g
Отметим, что если ультрафильтр D является а-хорошим,
то он будет p-хорошим для всех бесконечных кардинчлов р < а.
Приведем один пример монотонной функции / из (Р) в D.
Допустим, что D — счетно-неполный ультрафильтр над множе-
ством 7, и пусть 7 — 70 zd zd 72 ю .— убывающая цепь
элементов In eD, такая, что f 1п = 0. Тогда функция / £W(P) —>
п<(1)
-> D, определенная соотношением f (и) = 1\щ, и g Sw (р), моно-
тонна. В то же время f не аддитивна, так как
f (и U w) — 11 и (JW I , / (и) Q / (w) = Imax(|u|, |w|)*
Достоинство a-хороших ультрафильтров состоит в том, что моно-
тонные функции / (такие, как приведенная выше), которые являют-
ся очень неаддитивными, можно «утончить» до аддитивных функ-
ций g из Sa (Р) в D.
В упражнении 6.1.2 мы увидим, что каждый счетно-неполный
ультрафильтр является сох-хорошим. Для обобщения теоремы 6.1.1
на большие кардиналы мы сначала должны доказать существо-
вание счетно-неполного a-хорошего ультрафильтра для каждого
бесконечного кардинала а. Сначала мы сформулируем теорему
существования, а затем докажем несколько лемм, которые будут
использоваться в доказательстве существования a-хороших ультра-
фильтров.
Теорема 6.1.4. Пусть I—множество мощности а. Тогда
существует а+-хороший счетно-неполный ультрафильтр D над 7.
Лемма 6.1.5. Для того чтобы ультрафильтр D был ^-хоро-
шим, необходимо и достаточно, чтобы для каждой монотонной
функции / : S'o (а) —> D существовала аддитивная функция
g : S'ш (а) D, такая, что g /.
6.1. Насыщенные ультрапроизведения
351
Дока зательство. Необходимость очевидна.
Докажем достаточность. Пусть [3 а, и пусть / 5Ю (р) -> D —
монотонная функция. Определим функцию /' (а) -> D сле-
дующим образом:
/' (и) = / (и fl Р) для всех и £ SQ (а).
Тогда функция /' монотонна. По предположению существует
аддитивная функция g' f из (а) в D. Пусть g является
ограничением g' на множество 5^ (Р). Тогда она отображает
S'© ф) в Р, и легко проверяется, что g аддитивна и g /. Это
доказывает, что условия леммы достаточны для того, чтобы ультра-
фильтр D был а+-хорошим. —|
Лемма 6.1.6. Пусть а — бесконечный кардинал. Предположим,
что множество X имеет мощность а, и пусть Yx, х £ X,— семей-
ство множеств, каждое из которых имеет мощность а. Тогда
существует семейство множеств Zx, х £ X, такое, что для всех
х, у £Х
(О ^х Ух,
(ii) множество Zx имеет мощность а;
(iii) если х =^= у, то Zx П Zy ~ 0.
То есть произвольное семейство, состоящее из а множеств мощ-
ности а, можно утончить до семейства, состоящего из а непере-
секающихся множеств мощности а.
Доказательство. Без ограничения общности мы можем
предполагать, что X = а. Для каждого ординала р а введем
множество
= {<т, т с 6 и 6 < £}.
Таким образом, Хр является подмножеством множества р X р.
(Если представлять а X а графически как первый квадрант,
то множество Х$ будет левым треугольником со сторонами дли-
ны р.) Так как а является предельным ординалом, Ха Хр.
3 < а
Мы найдем функцию / с областью определения Ха, которая будет
одно-однозначной и
(1) если у S < а, то / (у, 6) £ Уу.
Если функция / уже определена, то мы можем положить
= {/ (у. б) у < 6 < а},
и семейство Zv, у < а, очевидно, обладает требуемыми свойства-
ми (i) — (iii).
Функция / определяется с помощью трансфинитной индукции.
Пусть Р < а и предположим, что мы уже определили одно-одно-
352
Гл. 6. Дополнительные сведения
значную функцию /р с областью определения Хр, такую, что (1)
выполняется для р. Так как | Хр |< а и | Yy | = а для всех
7 < а, мы можем продолжить до одно-одно значной функции
/р+1 с областью определения Хр+1, такой, что (1) выполняется для
Р -Г 1, выбирая для каждого у Р значение / р+1 (у, Р) £ У?,
отличное от всех ранее выбранных значений /р+1. Для предельных
ординалов надо брать объединение. Таким образом, мы получили
цепь функций /р с областями определения Хр, такую, что каждая
функция /р одно-однозначна и обладает свойством (1). Тогда
объединение / — U /₽ является о дно-однозначной функцией
3 < а
с областью определения Ха, удовлетворяющей условию (1). Ч
Следующее понятие является ключевым в доказательствах
леммы 6.1.7 и теоремы 6.1.4.
Пусть П — непустая совокупность разбиений множества а,
такая, что каждое разбиение имеет точно а классов эквивалент-
ности, и пусть F — нетривиальный фильтр над а. Мы скажем,
что пара (П, F) совместна, если для произвольного элемента
X С F и произвольных Хь Хп, п < со, где Хг принадлежат
различным разбиениям С П, X П Q Xf =/= 0. Следую-
1 i < п
щая лемма содержит необходимую информацию об этом понятии
совместности. Если F — фильтр и множество F |J Е центриро-
вание, то через (F, Е) мы обозначим фильтр, порожденный F J Е.
Лемма 6.1.7. Пусть а — бесконечный кардинал.
(i) Предположим, что F — однородный фильтр над множест-
вом а, который порождается подмножеством Е cz F мощности
не более а. Тогда существует совокупность П разбиений множест-
ва а, такая, что | П | = 2а и пара (П, F) совместна.
(ii) Предположим, что пара (П, F) совместна. Пусть J cz а.
Тогда совместна либо пара (П, (F, {/})), либо пара (П', (F, {а\/}))
для некоторого П' cz П, такого, что |П\П'|<о).
(iii) Предположим, что пара (П, F) совместна. Пусть р —
произвольное монотонное отображение множества (а) в F,
и пусть Р g П. Тогда существует расширение F' фильтра F и адди-
тивная функция q: Sby (а) -> F', такие, что q р и пара
(П\{Р},^') совместна.
Доказательство, (i) Пусть J р, Р < а,— список всех
пересечений конечных семейств элементов из Е. Каждое J р имеет
мощность а, | /р | — а. По лемме 6.1.6 существуют множества
/р, р < а, такие, что | Zp | = а, /р cz Jp и f) = 0, если
P 4= P'. Рассмотрим множество
В - {(s, г) : 5 £ SQ (а) и г: S (s) -> а}.
6.1. Насыщенные ультрапроизведения
353
Очевидно, | В | = а. Пусть г^), |<а,— перечисление эле-
ментов множества В (возможно, с повторениями), такое, что
В — {{$$, £ £ /р} для каждого [3 < а.
Для каждого подмножества J cz а определим функцию а—> а
следующим образом:
h © =4 (Л П ««). если U
0<а
//(?)=: О в противном случае.
Сначала мы докажем, что имеется 2а таких функций. Предполо-
жим, что =# J2. Из соображений симметрии мы можем допустить,
что существует х £ J^ такой, что х J2. Пусть s = {х} и г =
— {({#}, 0), (0, 1)}. Тогда ($, г) £ В и, следовательно, <$, г} =
rs) для некоторого £. Но /71 (£) ~r(J1 f] s) = 0 и fj2 (£) =
= г (J2 f] s) = 1. Следовательно, ф fj2- Пусть теперь 0,
., уп — ординалы, меньшие a, a Jlf ., Jn — различные
подмножества множества а. Тогда мы утверждаем, что существует
Е £ /р, такой, что
/jj (I) = Tit 1 =С i С П.
Докажем это. Пусть s — произвольное конечное подмножество
множества а, такое, что
1 < i < / < я.
Определим теперь г: S (s) —> а таким образом, чтобы
г (Ji П 5) = Ti, 1 с i с тг.
Существует % £ 7р, такое, что <$£, r±) = (s, г), Следовательно,
(?) = rl (Jt А *0 = r (Ji П *) = Tf.
Мы дополнительно показали, что область значений каждой функ-
ции fj равна а. В заключение положим
П= {{/51(?):т<а}:/с=а}.
Ясно, что П является совокупностью 2а разбиений множества а.
И очевидно, что пара (П, F) совместна.
(ii) Предположим, что пара (П, (F, {/})) не совместна. Тогда
существуют X £ F и Xi £ Pi £ П, 1 i п, где все Pi различны,
такие, что
(1) j n X П п *i=0-
l^i^n
23 г. Нейслер, Ч. Ч. Чэн
354
Гл. 6. Дополнительные сведения
Пусть П' = П\{РХ, . ., Рп}. Пусть Qj, 1 — различные
элементы из П' и Yj £ Qj. Из наших предположений следует, что
(2) ХП П^п П
l^i^n
Из соотношений (1) и (2) немедленно вытекает, что
(а\/)ПХП 0 Yj^O.
Следовательно, пара (П', (F, {а\ J})) совместна.
(iii) Пусть Ха, 6 < а,— перечисление элементов множества Р
без повторения. Пусть (а) = 6 < а}. Для каждого орди-
нала 6 < а определим функцию (а) S (а) следующим
образом:
(5) = Р (М П если s с=
q& ($) = 0» если $ ф ifi.
Отметим, что q^ (s) cz р (£б), q$ (s) =Д 0, если s cz и (sx J s2) =
= (si) П Qb ta)- Последнее справедливо, так как
U s2 с ^6, если и только если с: и s2 с
Определим функцию q: 8а (а) —> 5 (а) следующим образом:
9 (s) — U 9« (*)» 5 € (“)•
0<а
Так как функция р монотонна, очевидно, что q (s) cz р (s), следо-
вательно, q р. Так как q& (5) П q& (s) = 0, если 6 =7^= S', мы
видим, что q (5) является объединением непересекающихся под-
множеств из Ха. Используя тот факт, что каждая функция q&
аддитивна и что
Хъ П Х^ =/= 0 тогда и только тогда, когда S == S',
легко проверить, что функция q аддитивна. Положим теперь
F'= (F, Rng q). Мы утверждаем, что пара (П\ {Р}, F') совместна.
Пусть X С F, $ £ S© (a), Xt g Pi € П, 1 i я, и разбиения Pt
попарно различны и отличны от Р. Так как s = tb для некоторого
6 < а, то q (5) zd дб (5) = р (^) Г] Хб и
Следовательно,
ХПд(я)0 П Н
l^i^n
Доказательство теоремы 6.1.4. Мы можем пред-
полагать, что I ~ а. Пусть /п, п < со,— последовательность под-
множеств мощности а множества а, такая, что 7n+1cz Zn, П /п =
п < ю
6.1. Насыщенные ультрапроизведения
355
= 0. Обозначим через FQ однородный фильтр, порожденный
множеством {1п п < о}. Пусть По — совокупность разбиений
множества а, существование которой обеспечивается пунктом (i)
леммы 6.1.7, такая, что | По | = 2а и пара (По, Fo) совместна.
Мы определим с помощью трансфинитной индукции две последо-
вательности П^, £ < 2а, F & | <2а, такие, что
Щ cz Пп, F^ если т]СВ< 2а,
|Пе| = 2«, |Щ\Пж|«о,
если X — предельный ординал,
Т|<Х
пара (П^, F £ совместна для £ < 2а.
Построение протекает следующим образом: пусть £ <; 2а,—
перечисление всех монотонных функций, отображающих множе-
ство Sqj (а) в S (а), и пусть J £ < 2а,— перечисление элементов
множества S (а). Предположим, что уже определены Щ, F^ для
т] < £ < 2е, удовлетворяющие всем предположениям индукции.
Если £ — предельный ординал, то полагаем просто
щ=Ппл и Л=и^.
Ясно, что пара (П^, F £ совместна и | П^ [ ~ 2а. Если £ = X +
+ 2п + 1, где X — предельный ординал и п < ю, то пусть J
есть первый элемент множества S (а) (относительно нашего пере-
числения), не входящий в FI-!. Из пункта (ii) леммы 6.1.7 выте-
кает, что мы можем найти П$, F^ такие, что
in^xlljlco), |Щ| = 2“,
J £ FI или (а \ J) Е FI.
пара (Щ, F совместна.
Если £ = X + 2п + 2, где X — предельный ординал и п < со,
то пусть р: S (а) —> F есть первая функция в перечислении
Pr\i Л < 2а, которую мы еще не рассматривали. Из пункта (iii)
леммы 6.1.7 вытекает, что мы можем найти П F q: S со (а) —> F
такие, что
|nw\n5| = l, |П6| = 2“,
q р и функция q аддитивна,
Л = Rng q),
пара (П$, F0 совместна.
Пусть F = U Fi. Из нашего построения и неравенства
£<2в
cf (2а) >»а вытекает, что F является счетно-неполным ^-хоро-
шим ультрафильтром над а. —(
23*
356
Гл. 6. Дополнительные сведения
Заметим, что использование в полном объеме лемм 6.1.6 и 6.1.7
позволяет нам доказать, что всякий однородный фильтр F над а,
порождающийся множеством мощности, не превосходящей а,
может быть расширен до а+-хорошего ультрафильтра над а
(упр. 6.1.4).
Теперь мы докажем обобщение теоремы 6.1.1.
Теорема 6.1.8. Пусть а — бесконечный кардинал, и пусть
D — счетно-неполный a-хороший ультрафильтр над множест-
вом I. Предположим, что || X || < а. Тогда для всякого семейства
1, i £ I, моделей языка X ультрапроизведение ЦЭДt является
D
а-насыщенной моделью.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 6.1.1
нам достаточно показать, что
(1) если 2 (я) — произвольное множество формул языка X
и каждое конечное подмножество этого множества выпол-
нимо в ПЭДь т0 и все 2 (х) выполнимо в
D D
Предположим, что каждое конечное подмножество 2 (х) выпол-
няется в n^Ii- Так как ультрафильтр D счетно-неполный, мы
D
можем выбрать счетную цепь
— IQ zd Ii о 12
такую, что 1п £ D и Q 1п = 0. Мы имеем | 2
П < <0
|| X || < а. Определим функцию
< а, так как
следующим образом. Для каждого конечного подмножества a cz 2
положим
(2) / (а) = /|а1 П {»€ 1:Яt1= (Эх) До},
считая, что / (0) = I. Каждый элемент a £ S ш (2) является конеч-
ным множеством, выполнимым в Цйо следовательно, IJSCr
D D
(Зя) Д а. Из упоминавшейся выше основной теоремы вытекает,
что / (о) g D. Когда о cz: т С S ш (2), мы имеем
Дг| <= Да|, t= (Эх) Дт -> (Эх) До,
следовательно, f (т) cz / (о) и функция f монотонна. Используем
теперь тот факт, что ультрафильтр D a-хороший. Так как D
является a-хорошим, существует аддитивная функция g
6.1. Насыщенные улыпрапроизведения
357
отображающая S (2) в D. Для каждого i Е I положим
(3) a(O = U{0€2:i^({6})}.
Если | о (0 | и, то i Е 7П. Это вытекает из того, что если о (0
содержит по крайней мере п различных элементов 0Х, 0П,
то для 5 п мы имеем
i 6 g (0.).
и, следовательно, в силу аддитивности g,
itg({9i})П • • • Пg({On}) = g({0ь 0п})с/({0ь . • •, 0n})czIn.
Напомним, что Q In = 0 и, следовательно,
П< G)
для каждого i E I множество о (0 конечно.
Определим теперь элемент реализующий .2 (х) в модели Дйр
D
Для каждого j Е /, в силу соотношений (2), (3) и аддитивности g,
мы имеем
i 6 П {g ({0}) 0 € а (0} = g (о (0) cz / (а (»)),
значит, i Е / (<* (0)- Поэтому, в силу (2), мы можем выбрать эле-
мент h (0 Е Ль такой, что
(4) 9Ш= Aa(i)(fe(i)L
Теперь если 0 Е 2 и i Е g ({6}), то 0 Е (0 и из -(4) следует, что
2If 0 [h (0]. Но g ({0}) Е D, значит, по основной теореме 4.1.9
Д i 0 [Ad] для всех 0 Е 2. Это показывает, что элемент hD
D
реализует 2 в модели Н
D
Используя теоремы 6.1.4 и 6.1.8 и частный случай ОКГ, мы
выведем следствие, более сильное, чем теорема об изоморфизме
6.1.15, которую мы докажем позднее в этом разделе.
Теорема 6.1.9. Пусть || X || а, а Я и 23 — модели языка X,
причем | Л |, | В | а+ Предположим, что 2а = а+. Пусть D —
счетно-неполный а+-хороший ультрафильтр над множеством I
мощности а. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) м,
(ii)
Доказательство. (i) => (ii). Предположим, что спра-
ведливо (i). Из теоремы 6.1.8 вытекает, что ультрастепени Дй
D
и Дав являются а+-насыщенными моделями. Кроме того, их мощ-
D
358
Гл, 6, Дополнительные сведения
ности не превосходят (а+)а — 2а — а+. Принимая во внимание
эквивалентности {]ЭД = ЭД = ЯЗ
D
ности для насыщенных моделей,
D
(ii) =>- (i). Это очевидно. -4
= £[ЯЗ и теорему единствен-
D
мы получаем изоморфизм {[ЭД ~
D
Из теоремы 6.1.9 вытекает, что в предположении ОКГ две
произвольные модели ЭД, ЯЗ произвольного языка X элементар-
но эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморф-
ные ультрастепени. Эта теорема об изоморфизме дает нам чисто
алгебраическое описание отношения элементарной эквивалент-
ности. Заметим, что неизвестно, верна ли теорема 6.1.9 без пред-
положения 2а — а+, в то же время приведенное выше следствие
теоремы 6.1.9 верно и без предположения о справедливости ОКГ.
Следующие леммы нужны для доказательства теоремы об изомор-
физме, не использующего ОКГ.
Сначала мы дадим основное определение. Пусть %, к — беско-
нечные кардиналы, и пусть р является наименьшим кардина-
лом а, таким, что № >Х. Легко видеть, что р, % и р, будет регу-
лярным кардиналом. Пусть F — множество функций /: X—>- р,,
a G — множество функций g: %-> р (g), где р (g) — некоторый
кардинал, меньший р,. Пусть D — фильтр над X. Мы скажем, что
тройка (F, G, D) ^-совместна, если выполняются следующие усло-
вия:
(i) Фильтр D порождается подмножеством Е cz D мощности
не более х. Это означает, что существует Е cz Z>, | Е | х, мно-
жество Е замкнуто относительно конечных пересечений и каждый
элемент D является надмножеством некоторого элемента Е,
(ii) Пусть даны кардинал р < р,, последовательность /р,
р < р, различных функций из F, последовательность crp, р < Р,
ординалов, меньших р,, и две функции f £ F, g£G, причем /#=/Р
для всех р<Р, тогда множество
{В < /р (I) = Ор для всех р < р и / (В) = g (£)}
вместе с фильтром D порождают нетривиальный фильтр над X.
Из определения х-совместной тройки (F, G, D) вытекает, что D
является нетривиальным фильтром над 2с.
На самом деле определение х-совместной тройки является
обобщением определения совместной пары (П, F), а следующая
лемма есть непосредственное обобщение леммы 6.1.7 (i).
Лемма 6.1.10. Существует множество F функций из X в р,,
такое, что | F | == и тройка (F, 0, {X}) ^-совместна.
6.1. Насыщенные ультрапроизведения
359
Доказательство. Пусть
Н={(А, S, Л):4с=Х, |4[<р, S cz S (А), [51 <р и h: S р}.
Из определения р вытекает, что | Н | = X. Следовательно, мы
можем написать Я = {(4^, S%, h^) :%<.%}. Для В<=%,
положим
f MBfW, если BQ4^Sb
7в(ё)-| 0?
И пусть F — {/в : В cz X}. Легко проверяется, что если В С,
то f в fc. Пусть р < р, пусть Вр, р < Р,— различные подмно-
жества множества X, а сгр, р < р,— последовательность ордина-
лов, меньших р. Покажем, что множество
Й<^:/вр© = сгр Для всех р<Р)
непусто. Пусть А — подмножество множества X мощности, мень-
шей р, такое, что ВРП4=/=ВР'П4 для всех р, р'<Р, р=#р'.
Пусть 5 = {ВрГ|4:р<Р} и fe(4flBp) = ap. Тогда (4, 8, h) £Н
и, следовательно, (4, 5, fe) = (4^, S^, h%) для некоторого
Значит,
7вр (5) = Мвр П Л) = М5р ГМ) == tfp Для всех р<р. -]
Лемма 6.1.11. (i) Если тройка (F, G, D) к-совместна и х < уt
то она будет и у-совместной.
(ii) Предположим, что тройка (ВЕ, G^, D^) несовместна для
каждого £ < 6. Предположим также, что F% zd Fn, Gt cz G^,
D t ci Dn для % < т) < 6, Х£^х для каждого £ < S и cf (о) х.
Тогда тройка (QBt, (JG£, II ДЛ будет %-совместной.
£<д 5<б
(iii) Если тройка (F, G, D) к-совместна и F' с F, G’ cz G,
то и тройка (F', Gr, D) будет и-совместной.
Доказательство. Доказательство всех частей этой
леммы состоит в простой проверке определений. Мы оставляем
его читателю в качестве упражнения. —|
Следующая лемма является ключевой.
Лемма 6.1.12. Пусть G — множество функций с областью
определения X и кардиналами, меньшими р, в качестве значений,
причем р + | G | х. Предположим,ч что тройка (F, О, D)
и-совместна. Тогда существует F' cz F, такое, что | F\ F’ | ^х
и тройка (Ff, G, D) будет и-совместной.
360
Гл. 6. Дополнительные сведения
Доказательство. Так как | G | х, то, очевидно, нам
достаточно доказать, что
(1) для каждого элемента g £ G существует подмножество
Fg cz F, такое, что | Fg | х и тройка (F\ Fg^ {g}, D)
х-совместна.
Действительно, из (1) вытекает, что множество F' = F \ (J Fg
s б в
обладает требуемыми свойствами. Докажем (1). Пусть g С G.
Предположим, что (1) не выполняется для g. Тогда
(2) ни для какого подмножества F cz F мощности не более х
тройка (F\F, {g}, D) не является х-совместной.
Определим теперь по индукции (используя (2)) множества
F^t F^ g < х+, такие, что
Fq = F;
множество F^ есть подмножество множества F % мощности
йе более х, такое, что тройка (F {g}, D) не является х-сов-
местной;
Р Ж = Ръ \ Р
F^ = Q Fесли т] — предельный ординал, ц < х+.
£<t)
»Кроме того, поскольку р х, то, проанализировав, что на самом
деле означает х-несовместность тройки (F {g}, D), мы придем
к выводу, что для каждого g < х+ существует кардинал р^ <р,
последовательность ординалов Op, p<pg, меньших р, последова-
тельность различных функций £ F & р <; Pg, и функция ft С F
отличная 6т всех /р, такие, что множество
= {v<%:(v) == <4 для всех р<0Е и /6(v) = g(v)}
несовместимо с фильтром D. Напомним, что фильтр D порождается
множеством Е мощности, не превосходящей х. Так как каждое А g
несовместимо с фильтром Z), то
для каждого g < х+ существует X С Е, такой, что А % f) X % = 0.
В силу неравенства | Е | х, из этого вытекает, что существует
множество X g Е и множество ординалов g < х+ мощности х\
для которых А g р X = 0. Так как р х, без ограничения общ-
ности мы можем считать, что для всех Pg < х+
Пусть у < р — кардинал, такой, что g: X у.
6.1. Насыщенные улыпрапроизведения
36f
Очевидно, что у< х+. Рассмотрим теперь функции /р, £ < уг
р < р, и функции /Б, | < у. Рассмотрим также ординалы о|г
£ < у, р < р, и ординалы £ <С у. Ясно, что мы можем вполне
упорядочить все рассматриваемые функции и ординалы по типу
кардинала Р + у < р. Так как тройка (F, О, D) х-совместна,.
множество
Л = {v < X : (v) = Ор для всех £ < у и р < Р
И Л (v) = £ ДЛЯ всех | < у}
совместимо с фильтром D. Следовательно, в частности, A Q X =/= 0.
Пусть v g A f| X. Мы имеем v $ А % для всех % < х+, так как
А% f| X = 0. Но для некоторого Е < у имеет место равенство
g (v) = Значит, v £ Л £. Это противоречие. Таким образом,,
утверждение (1) доказано.
Лемма 6.1.13. (i) Предположим, что тройка (F, 0, D) ^-совме-
стна и A cz X. Тогда существует F' cz F, | F \ F' j < р, такоег
что к-совместна* либо тройка (Ff, 0, D'), либо тройка (F', 0, D"),
где Dr — фильтр, порожденный D и {A}, aD" — фильтр, порож-
денный D и {% \ А }.
(ii) Предположим, что тройка (F, 0, D) н-совместна, р к
и даны А cz: X, £ < х. Тогда существуют множество F' cz F
и фильтр D' zz> D, такие, что \F \ F' | х, тройка (F', 0, D'}
и-совместна и для всякого £ < х либо А £ D', либо (% \ А £ ZX
Доказательство, (i) Доказательство пункта (i) анало-
гично доказательству пункта (ii) леммы 6.1.7. Во-первых, очевид-
но, что оба фильтра D' и D" порождаются подмножествами мощ-
ности не более х. Допустим, что тройка (F, 0, D'} не является
х-совместной. Тогда существуют кардинал р < р, попарно раз-
личные функции /р, р < р, и ординалы ор, р < р, такие, что»
множество
В = {£ < X : /р (£) = ор для всех р < Р}
несовместимо с фильтром D' Следовательно, существует множе-
ство X £ Е, такое, что В Q X f| А = 0. Пусть Ff = F \ {/р : р <dp}.
Покажем, что тройка (F', 0, D") х-совместна. Пусть Р' < р,
и пусть даны последовательности /р, р < р', и Ор, р <; р' Рас-
смотрим множество
В' = {£ < X /р (£) = Ор для всех р < Р'}.
Так как тройка (F, 0, D) является х-совместной, множество
В f| В' совместимо с фильтром D. Пусть Y — некоторый элемент
из Е. Мы имеем В П В' f) Y f| X 0. Так как В П X f| А = 0г
из предыдущего вытекает, что Bf f| Y f] (X \ А)#=0. Следователь-
но, множество В' совместимо с фильтром D".
-362
Гл. 6, Дополнительные сведения
(ii) Доказательство пункта (ii) представляет собой многократ-
ное применение пункта (i). Ч
Следующая лемма является ключевым шагом в построении
изоморфизма.
Лемма 6.1.14. Пусть ЭД— модель языка X, |Л|<;р. Пусть трой-
ка (F, О, D) х-совместна, причем р < х и | F |>>х, а (х, г/), х, —
формулы языка X, причем их свободные переменные содержатся
среди {х, у}. Допустим, что множество формул {<pg: |<х} замкнуто
относительно конъюнкций. Для каждого |<х пусть at:
есть функция, отображающая К в А. Допустим, что для каж-
дого £<х
У$ = ^<Х:ЭД 1= (Эя) <р$ (х, at[y))}^D.
Тогда существуют а: %->Л, F' cz F
что 1 F\F' |<х, тройка (F', О, D')
.каждого £<х
и фильтр D‘ zd D, такие,
будет х-совместной и для
{v < %: ЭД |= ъ(а (v), at (v))} g D'.
Д о к а э ат е л ь с т в о. Пусть | А | = а, и пусть {а % £<а} —
перечисление множества А. Определим функции g%: X—>а для
< х следующим образом: для каждого v < % положим
gl (*) = *
первый ординал ц, такой, что ЭД t= 4^(0^, at (у)),
если такой элемент существует,
О в противном случае.
Пусть G = {g$ £ < х}. Заметим, что р + | G | ^х. Следова-
тельно, из леммы 6.1.12 вытекает, что существует F cz F, такое,
что | F \ F | х и тройка (F, G, D) х-совместна. Пусть / — неко-
торая функция из F. Определим функцию а: % -> А следующим
образом.4
[ a/(v), если /(v)<a,
a v = <
( a0 в противном случае.
.Для каждого |<х положим
^ = {v<X: ЭД ср^ (a (v), at (у))}.
Пусть D'— фильтр, порожденный фильтром D и совокупностью
{Bi g<x}. Заметим, что D' порождается подмножеством мощ-
ности не более х. Пусть Ff = F \ {/}. Покажем теперь, что заклю-
чение леммы выполняется для F', D' и а. Нам достаточно доказать,
что тройка (Ff, О, D') х-совместна.
Пусть р < ц, и предположим, что нам даны последователь-
.ности /р, р < р, и ар, р < р. Пусть
В = {v < % : /р (v) = ар для всех р < Р).
6.1. Насыщенные улътрапроизведения
363
Если множество В несовместимо с фильтром D', то существуют
X и < х, такие, что Sf|Xf|5^ = O. Рассмотрим
теперь нашу функцию f^F, последовательность/р, р<$, и функ-
цию g% £ G. Так как тройка (F, G, D) х-совместна, множество
В = {v < % /Р (v) = ор для всех р < р и / (v) = gt (v)}
совместимо с фильтром D. Если мы посмотрим на определение
и В^ то убедимся в том, что
У6П^с:В П В*.
Так как -Bf|y$f|X=/=O, то предыдущее соотношение влечет
В П В% f| X =/= 0. Это противоречит предположению о том, что
множество В несовместимо с фильтром D' -4
Заметим, что только сложность обозначений не позволила
нам привести доказательство последней леммы для множества
формул <р6 (я,
дело с функциями а|,
Уп^Ь £ < я, п% < о. Тогда бы мы имели
и множествами
п1
{v < % : Я 1= (Зя) <р6 (я, а| (v),
(v))}.
Но в доказательстве менять бы ничего не пришлось. Таким обра-
зом, мы будем предполагать, что лемма 6.1.14 справедлива в этой
более общей форме.
Теорема 6.1.15. (Теорема об изоморфизме.) Пусть 51 и 93 —
модели языка X. Тогда 31 и 93 элементарно эквивалентны, если
и только если они имеют изоморфные ультрастепени.
Доказательство. Часть «если» тривиальна, поэтому
сосредоточим наше внимание на трудной части «только если».
Пусть §1 и 93 — элементарно эквивалентные модели языка X.
Зафиксируем кардиналы р и X, такие, что р есть наименьший
кардинал, для которого >Х и | А | < р, | В | < р. Так как
21А1 МА1 = %, без ограничения общности мы можем считать,
что ||<25||^%. Построим теперь трансфинитной индукцией по
ординалам р < 2х- ультрафильтр D над множеством X и изомор-
физм между ультрастепенями и П93. Начнем с Fo, Z>0, таких,
D D
что
j Fq I 2\ Dq = {X} и тройка (Fo, 0, Z>0) 1-совместна.
Из лемм 6.1.10 и 6.1.11 (i) (так как р 1) вытекает, что нужное
Fq существует. Нам надо построить убывающую последователь-
ность Fp, р < 2х, и возрастающую последовательность фильтров
Z)p, р < 2х, которые удовлетворяют, помимо других, следующим
364
Гл. 6. Дополнительные сведения
условиям:
(1) I Fo \ Fp |< X + | р |, а значит, | Fp | = 2х;
тройка (Fp, 0, Рр) (X + | р |)-совместна;
Fn = Р| Fp, Dn = (J Dp, если ц — предельный ординал;
Р<?П (ХП
и кроме того, для каждого подмножества множества X либо оно
само, либо его дополнение принадлежит некоторому фильтру Dpr
р < 2х; объединение D — |J Dp и будет искомым ультрафильт-
р < 2х
ром. Нам также надо построить две последовательности элемен-
тов ар : X А и Ьр X В. такие, чтобы ар, р < 2х, и Ьр, р < 2\
были перечислениями (возможно, с повторениями) множеств Ак
и Вк соответственно и чтобы для каждого 5 < 2х выполнялись
следующие условия:
(2) для произвольной формулы <р (#1, . .., хп) языка X и любых
элементов аРр ..., аРп, где р$ <£, либо
{v<X:?I t= <p[aPl (v), .., aPn(v)]}€
либо
{v < X: SI t= <p [aPl (v), ..., aPn (v)]} € D$;
(3) ДЛЯ произвольной формулы ф (#!, ..., хп) языка X и любых
элементов аРр .aPn и &Pl, ..., ЬРп, где р$ <£, мы имеем
{v<X:SI t= <p[aPt (v), ..., aPn(v)]} G
тогда и только тогда, когда
{v< X: S3 1= ф[6Р1 (V), .... bpn (v)]} GA-
Используя леммы 6.1.13 (i), 6.1.11, можно легко выполнить все
требования из (1). Кроме того, если условия (2) и (3) выполняются
для всех 5 < Л < 2х, меньших некоторого предельного орди-
нала ц, то они автоматически выполняются и для ц. Следователь-
но, для использования обычной «челночной» техники нам необ-
ходимо, чтобы выполнялись условия (1) — (3), когда $ = о + 1;
в этом случае мы или произвольно выбираем аа (чтобы исчерпать
Лх) и ищем fea, или наоборот. В силу симметричности ситуации
разберем лишь первый вариант, и пусть — первый элемент
из Лх, который еще не встречается в списке ар, р < о. Нам надо
найти Fa+1, Da+1 и Ьа, такие, чтобы выполнялись условия (1) —
(3).
Для каждой формулы ф (х, у1? ., уп) языка X и ординалов;
рх, • • • > Рп < б рассмотрим множество X, зависящее от ф, р3, . . .
6.1. Насыщенные улътрапроизведения
365
• 1 Рп 1
Х(ф, рь pn) = {v<X:SI 1= <p[a0(v), aP1(v), ..., ар_(v)]}.
к
Имеется всего X + | о | таких множеств. Так как тройка (Fo, 0, Da)
(X + | а |)-совместна, из леммы 6.1.13 (ii) вытекает, что сущест-
вуют F' cz Fa, D* zd Z)a, такие, что
|Fa\F'|<X4-|o|,
тройка (F', 0, D') (Х + И|)“СОвместна,
для каждого множества X (ф, рь рп) либо оно само,
либо его дополнение лежит в D'.
Обозначим через Г множество всех формул ср (я, аР1, aPn),
таких, что соответствующее множество X (ср, рх, ., рп) при-
надлежит D’ Заметим, что если <р (х, aP1 aPn) £ Г, то
Пф (*, аРр аРд) С Г. Кроме того, для каждой формулы
чр (х, aP1, aPn) £ Г множество У, определенное ниже (У тоже
зависит от (р, р1? рп), принадлежит D':
У (ф, Pi, ..., Рп) = {V< Л: Я t= (Эх) ф (х, aPi (v), ..., аРп (v))} 6 D'.
Отметим, что существует не более X + | а | таких множеств У
Мы утверждаем, что зависящее от ф (я, aP1, аРп) £ Г мно-
жество Z (ср, рх, рп), определяемое ниже, принадлежит £>':
2((р, рь ..., pn) = {v<X:® 1= (Эх)ф(х, bP1(v), ..., bPn(y))}£D'
Это вытекает из того, что если Z (ф, рп ., pn)(£Z)', то
Z (ф, р1? . ., pn) Используя (3), мы убеждаемся в том, что
это влечет У (ф, рт, . ., pn) $DP. Но тогда из (2) вытекает, что
[Х\У (ф, рх, . pn)] ££>acz D' Это противоречит нетривиаль-
ное™ фильтра D' Теперь мы можем использовать лемму 6.1.14
для нахождения Ьо: Х-> 5, Fo+1(ZzF', Da+1^>D', таких, что
I F' \ Fa+1 |< X + | о |, тройка (Fa+1, 0, DP+1) (X + | а |)-совме-
етна и для каждой формулы ф (х, aP1, aPn) £ Г
{v < X S3 ф lb<j (у), &Р1 (v), bPn (v)]} € ^а+1-
Теперь мы имеем нужные Fc+t, Da+1 и Ьо. Прежде всего, из-за
нашего выбора D’ очевидно, что фильтр Z)a+1 удовлетворяет (2).
Для проверки справедливости условия (3) надо только заметить,
что если ф (х, aPi, аРп) С Г, то (3) выполняется для ф и аа,
лР1, аРп. Еслиф (х, аР1, аРп) (JT, то ~|ф (х, арр .^Рп)6
£ Г. Следовательно, (3) выполняется для ^ф, aa, aP1, aPn,
а значит, и для ф, aa, aPj, . . ., ар^. Таким образом, индукция
завершена.
366
Гл. 6. Дополнительные сведения
Пусть D — U Др. Тогда D является ультрафильтром над
р < 2^
множеством X. Кроме того, отображение bpD есть требуе-
мый изоморфизм модели Ц31 на модель []Яв. Ч
D D
Мы увидим в упражнениях, что теорема 6.1.15 может быть
усилена в различных направлениях. Тем не менее для доказатель-
ства этих усилений новых идей не требуется.
Как следствие мы приведем алгебраическую характеристику
понятия элементарного класса.
Следствие 6.1.16. Пусть К — произвольный класс моделей
языка X.
(i) К — элементарный класс тогда и только тогда, когда
он замкнут относительно улътрапроизведений и изоморфизмов^
а его дополнение замкнуто относительно ультрастепеней.
(ii) К — базисный элементарный класс тогда и только тогда,
когда и он и его дополнение замкнуты относительно улътрапроиз-
ведений и изоморфизмов.
Доказательство. Это вытекает из теорем 6.1.15 и
4.1.12. Ч
Приведенное ниже следствие есть сильная форма интерполя-
ционной теоремы Крэйга.
Следствие 6.1.17. (Теорема об отделимости.) Пусть К, L суть
два класса моделей языка X, такие, что К (]L = 0uKuL замк-
нуты относительно изоморфизмов и ультрапроизведений. Тогда
существует базисный элементарный класс М, такой, что К cz М
и L П М = 0.
Доказательство. Пусть К' — класс всех таких моде-
лей 31 языка X, что существует некоторая модель 93 6 К, элемен-
тарно эквивалентная Я. Определим L' аналогичным образом.
Тогда К cz К', L cz L' и К', L' замкнуты относительно элемен-
тарной эквивалентности. Из основной теоремы 4.1.9 вытекает,
что ультрапроизведение сохраняет элементарную эквивалент-
ность, т. е. если D — ультрафильтр над множеством Z и 31; = 93/
для всех t £ Т, то ПЗГ| ss [J28i- Следовательно, классы К', L'
D D
также замкнуты относительно ультрапроизведений. Из теоре-
мы 4.1.12 вытекает, что К’ и L' — элементарные классы. Мы
утверждаем, что К1 Q L' == 0. Действительно, если 31 6 К' f| Lr,
то существуют 98 £ ® С L, такие, что 93 s 31 = 6, и по
теореме об изоморфизме существует ультрафильтр D, такой, что
у93 = П®; так как К, L замкнуты относительно изоморфизмов
6.1. Насыщенные улыпрапроизведения
367
и ультрастепеней, то fj93 С К П L, а это противоречит нашему
D
предположению, что К f| L = 0. Теперь, так как К' f| L' = О
и К', L' — элементарные классы, из теоремы компактности
вытекает, что существует базисный элементарный класс М, такой,
что К' с= М, L' П М = 0. Так как К <= К', L с= L', то К с= М,
L П М = 0. Ч
Упражнения
6.1.1*. Приведите примеры подтверждающие, что
(i) Теорема 6.1.1 не верна для несчетного языка X.
(ii) Существуют счетная модель ЭД языка X мощности 2®
и неглавные ультрафильтры Z), Е над множеством со, такие, что
Ця * Ця.
(iii) Условия (ii), но ПЭД Ф П (П/Ю-
D D D
(iv) Для каждого неглавного ультрафильтра D над о сущест-
вуют счетные модели ЭД, 93 языка мощности 2®, такие, что ЭД = 93»
но ПЯ Ф П®-
D D
6.1.2. Докажите, что каждый ультрафильтр является о^-хоро-
шим. (Так что теорема 6.1.8 влечет за собой теорему 6.1.1.)
6.1.3*. Каждый счетно-неполный а+-хороший ультрафильтр
над множеством I a-регулярен. Следовательно, мощность мно-
жества I должна быть не меньше а.
6.1.4. Пусть | I | = а. Тогда каждое множество Е cz 5 (7),
такое, что | Е | а, каждый элемент из Е имеет мощность а
и Е замкнуто относительно конечных пересечений, может быть
расширено до а+-хорошего ультрафильтра над I.
6.1.5*. Существует 22<х различных а+-хороших ультрафильтров
над множеством а.
6.1.6*. Существует а-регулярный ультрафильтр над множе-
ством а, который не является (о2-хорошим. Если (ох Р < аг
то существует а-регулярный ультрафильтр над множеством а,
который является р+-хорошим, но не р++-хорошим.
6.1.7. Если D есть а-полный ультрафильтр и если ЭД — модель
языка X мощности || X || < а, то модель []ЭД а-насыщенна,
D
если и только если модель ЭД a-насыщенна. (Заметим, что а > со,
так как || X || ш.)
368
Гл. 6. Дополнительные сведения
6.1.8. Пусть D есть a-хороший счетно-неполный ультрафильтр
над множеством I, Тогда для всякого семейства непустых конеч-
ных множеств Л о i £/, ультрапроизведение fpli или конечно,
D
или имеет мощность а.
6.1.9. Каждая модель 21 мощности 2а имеет элементарное
расширение 93 мощности 2а, такое, что каждое обеднение
модели 28 до модели языка, содержащего не более а символов,
является а+-насыщенным.
6.1.10*. Допустим, что а+ — 2а, и пусть 21, 23 суть модели
мощности а+, такие, что 21 =93. Пусть || X || = 0. Докажи-
те, что если £>, Е являются а+-хорошими счетно-неполными ультра-
фильтрами над а и F — произвольный p-регулярный ультра-
фильтр, то
П(ПЮ-^П(Пй).
F D F Е
[Указание: Все обеднения моделей Пй, fJflS до моделей произ-
D Е
вольного конечного подъязыка языка X изоморфны.]
6.1.11*. Пусть р — наименьший кардинал а, такой, что
Л® >Х. Тогда над множеством % существует ультрафильтр D,
такой, что для любых двух моделей Я, 23 мощности, меньшей р,
ЭД = 23 в том и только том случае, когда JJ21 ~ [J23.
D D
6.1.12. Пусть кардиналы р и X такие же, как в Упр. 6.1.11.
Тогда над множеством % существует ультрафильтр D (фактически
годится ультрафильтр из упр. 6.1.11), такой, что для любого
языка X и его модели 21, таких, что | А | < X и || X || X,
ультрастщтень Ц21 Х+-насыщенна.
6.1.13*. Пусть опять Хи р, такие же, как в упр. 6.1.11. Тогда
над X можно построить ультрафильтр D, такой, что для любых
двух последовательностей моделей 2Г^, В < X, и 23 g, £ < X,
некоторого языка <55, удовлетворяющих условиям | A g | р < р,
| В % | р <‘р для всех | < X, из соотношения
D D
вытекает Ц21 g = Ц 93 g.
D D
6.1.14. (Теорема о непротиворечивости.) Пусть К, L суть два
класса моделей, и пусть Ти Т2 — теории классов К, L соответ-
ственно. Докажите, что 7\ J Т2 непротиворечиво, если и только
если некоторое ультрапроизведение элементов из К изоморфно
некоторому ультрапроизведению элементов из L (ср. упр. 4.1.23).
6,1. Насыщенные улыпрапроизведения 369
6.1.15* Пусть ?! — бесконечное линейно упорядоченное мно-
жество и D — неглавный ультрафильтр над со. Покажите, что
модель ЭД не является (2ш)+-насыщенной. Докажите также, что
D
модель (шр <) не является (о2’насыЩенн°й.
D
6.1.16**. Пусть D есть а-регулярный ультрафильтр. Дока-
жите, что если ЭД <со, +, •, 0, 1) — стандартная модель тео-
рии чисел и модель [J ЭД а+-насыщенна, то ультрафильтр D
D
является а+-хорошим. Аналогичный результат справедлив и для
других моделей, например для ЭД = (S ю (со), cz ).
6.1.17*. Докажите, что для каждого ультрафильтра D и каж-
дого кардинала а > со следующие четыре утверждения эквива-
лентны:
(i) Ультрафильтр D счетно-неполон и а-хороший.
(ii) Для каждой модели ЭД некоторого счетного языка модель
ПЭД а-насыщенна.
ь
(iii) Для каждого семейства ЭДЬ i £ /, моделей языка X,
[| <55 || < а, модель Ц ЭД^ а-универсальна.
(iv) То же, что в (iii), но с а-насыщенностью вместо а-универ-
сальности.
6.1.18. Пусть D есть а-регулярный ультрафильтр, и пусть ЭД
и 93 — модели языка мощности а, такие, что ЭД = 23. Тогда
модель ЭД является а+-насыщенной, если и только если модель
D
ЦЯЗ а+-насыщенна.
D
[Указание: См. упр. 4.3.36.]
6.1.19. Пусть D есть w2-хороший счетно неполный ультра-
фильтр над множеством coj, и пусть Е — счетно неполный ультра-
фильтр над со. Пусть ЭД — стандартная модель теории чисел,
ЭД (со, +, • , 0, 1>. Докажите, что
П(ГИ)фП(1И).
D Е Е D
6.1.20*. Пусть со а < р, пусть D есть а+-хороший ультра-
фильтр над множеством а, а Е есть р+-хоропшй ультрафильтр
над множеством р, и предположим, что ультрафильтры D и Е
счетно-неполны. Пусть ЭД — бесконечное линейно упорядоченное
множество; рассмотрим двойное ультрапроизведение 23 =
= П (И ЭД). Докажите, что
D Е
24 г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
370
Гл. 6. Дополнительные сведения
(i) модель 23 а+-насыщенна;
(ii) модель 23 не а++-однородна (и, следовательно, не а++-
насыщенна);
(iii) модель 23 0+-универсальна.
6.1.21*. Обозначим через Sn (а) множество всех подмножеств
множества а мощности < п. Ультрафильтр D называется Sn (а)-
хорошим, если для всякой монотонной функции /: Sn (а) —> D
существует аддитивная функция g: Sn (а) D, такая, что g /.
Каждый ультрафильтр D тривиальным образом оказывается
So (а)‘. (а)- и S2 (а)-хорошим. Покажите, что если 3 <1 п < со,
то ультрафильтр D является Sn (а)-хорошим, если и только если
он S3 (а)-хороший.
6.1.22**. Пусть D — счетно-неполный ультрафильтр. Тогда
D является (а)-хорошим, если и только если он а+-хороший.
6.1.23. Пусть ЭД — модель и ф (и, ., ип) — формула.
Множество S cz А назовем ^-определимым, если существуют
аг, ап £ Л, такие, что
S = {Ь £ А ЭД t= <р [&, «1, ап]}.
Под (ф, тп)-покрытием ЭД мы понимаем семейство из т ф-опреде-
лимых множеств Smcz Л, такое, что
51 и U Sm = А
и никакое собственное подсемейство из ., Sm не покры-
вает Л. Говорят, что модель ЭД обладает свойством конечного
покрытия, если существует формула ф (u, . ., vn), такая, что
для произвольно больших т < со модель ЭД обладает (ф, т)-
покрытием. Покажите, что если ЭД =23 и ЭД обладает свойством
конечного покрытия, то им обладает и модель 23.
6.1.24**. Покажите, что следующие утверждения эквивалент-
ны:
(i) Модель ЭД не обладает свойством конечного покрытия.
(ii) Существует кардинал а 2ю, такой, что для всякого
a-регулярного ультрафильтра D модель [J ЭД а+-насыщенна.
D
(iii) Для всякого а и для всякого а-регулярного ультрафильтра
D модель [J ЭД а+-насыщенна.
D
6.1.25. Если || X || = со, модель ЭД a-насыщенна, D — ульт-
рафильтр над множеством мощности 0 и модель ЭД (2^)+-насы-
JD
щенна, то модель ЭД а-насыщенна.
6.2. Прямые произведения, фильтрованные произведения
371
6.2. Прямые произведения, фильтрованные произведения
и хорновские предложения
В этом и следующем разделах мы более полно изучим перечис-
ленные в заглавии понятия. Один из доказанных здесь результа-
тов — теорема об устойчивости типа встречающихся в разд. 5.2:
формула <р устойчива относительно фильтрованных произведений
тогда и только тогда, когда она эквивалентна хорновской фор-
муле. Имеет место ряд в равной степени интересных результатов
относительно прямых произведений, например: (i) формула ф
устойчива относительно прямых произведений любых двух моде-
лей тогда и только тогда, когда она устойчива относительно
произвольных прямых произведений; (ii) каждая формула экви-
валентна булевой комбинации формул, устойчивых относитель-
но фильтрованных произведений.
Если D — собственный фильтр над непустым индексным мно-
жеством I, то фильтрованное произведение
по фильтру D в гл. 4 было обозначено через
моделей Яь i g 7,
Ц Яр Фильтрован-
ную степень модели Я по фильтру D обозначим через [J Я* В слу-
D
чае когда фильтр D состоит лишь из множества {7}, назовем П Яг-
прямым произведением моделей Яр (См. упр. 4.1.12, где
дано более точное определение прямого произведения.) Впредь
будем опускать индекс {7} в и обозначать прямое произведение
через [] Яр
<6/
В этом разделе мы всегда будем считать, что I — непустое
множество, a D — собственный фильтр над 7. Если множество 7
состоит точно из двух элементов, I = {1, 2}, то фильтрованное
произведение Ц Я/ вырождается в модель, которая изоморфна
D
или Я1, или Я2? или прямому произведению моделей Я1 и Я2>
которое мы обозначим через Я1 X Я2- Если рассматривать х как
бинарную операцию на моделях, то она коммутативна и ассоциа-
тивна (с точностью до изоморфизма). Существует единственная
(с точностью до изоморфизма) одноэлементная модель, которая
играет относительно этой операции роль единицы, а именно
одноэлементная модель Я, в которой все отношения не пусты.
Тогда $8 = 93 X Я = Я X 98 для всех моделей S3. Мы обозна-
чим через Я1 X Я2 X X Яп конечное прямое произведение
моделей' Яр Я2> Яп> в через П Яг — произвольное прямое
<61
произведение моделей Яг- Из контекста будет ясно, имеем мы
в виду конечное или произвольное прямое произведение. Мы сохра-
24*
372
Гл. 6. Дополнительные сведения
няем подобное соглашение относительно конечной и произвольной
прямой степени.
Если D — фильтр над I, то он будет фильтром в полной буле-
вой алгебре S (/), множестве всех подмножеств множества I
с естественными операциями. Поэтому мы можем определить
естественным способом факторалгебру S (I)/D. Если мы обозна-
чим через 1 двухэлементную булеву алгебру (1 означает здесь
тот факт, что эта булева алгебра имеет в точности один атом),
то существует естественный изоморфизм S (J)/D на фильтрованное
произведение П 1 (см. упр. 6.2.1). Исследование фильтрованных
произведений [J ?1г в большой степени зависит от наших знаний
D
теории булевой алгебры П 1.
D
В этом месте нам нужны некоторые общие комбинаторные лем-
мы о прямых и фильтрованных произведениях. Читатель уже
знает, что операция X на моделях коммутативна и ассоциативна
(с точностью до изоморфизма). Кроме того, он легко проверит,
что прямое произведение [J 5U прямых произведений =
iei
= П является снова (с точностью до изоморфизма) прямым
произведением с подходящим индексным множеством. Прямое
произведение [J f может быть всегда перегруппировано, в зави-
симости от разбиения I = Ij множества Z, так что оно будет
прямым произведением П 25; прямых произведений 2L = П ЭД/-
Аналогичный результат чуть менее тривиально устанавливает-
ся для фильтрованных произведений (а также для ультрапроиз-
ведений), и мы установим его более аккуратно ниже, отнеся боль-
шую часть этого доказательства в упражнения. (Эту тему мы обсу-
дим подробнее в начале разд. 6.4.) Пусть D и Е — фильтры над
множествами I и J соответственно. Мы определим D X Е как
совокупность всех подмножеств Y множества I X /, таких, что
{/е/ {и/ oenew-
Читателю нужно проверить, что D X Е — фильтр над множе-
ством I X J. В частности, если D и Е — собственные фильтры,
то таков же и D X Е. Пусть D — фильтр над множеством I
и I = U . U In — разбиение I на непересекающиеся мно-
жества Ij. Пусть для всех /, 1 j' п, и для всех X £ D мы
имеем X П Ij =/= 0. Тогда множество
Dj = {X П Ij : X £ D} для 1 j п
6.2. Прямые произведения, фильтрованные произведения
373
— собственный фильтр над Ij. Следующее предложение содержит
в сущности все, что нам нужно знать о комбинациях фильтро-
ванных произведений.
Предложение 6.2.1. (i) Пусть D и Е — фильтры над множе-
ствами I и J. Тогда для любых моделей J) £ I X J,
П «м ^П(П^м)-
DxE Е D
(ii) Пусть I = U U Ли В — фильтр над I, Dj —
фильтры над Ij, определенные выше. Тогда для любых моделей
И Л
ГИг = Цяг X П X хПЯь
D Di D% D
lb
Доказательство. Мы дадим точное определение изо-
морфизмов, а остальное отнесем в упражнения. Пусть а £
€ П А и- Для 7 € Л обозначим через а? ограничение а
(г, j)GZxJ
на множество /X {/}; а* — по существу элемент из Ц Л и поэто-
му ар лежит в Ц Ац. Определим функцию / следующим образом:
D
f ((Ldke) — (^7 € J (^d))e-
Тогда f — требуемый изоморфизм. Изоморфизм, нужный в пунк-
те (ii), строится совершенно аналогично. Обозначим для 1 /
/г через aj ограничение функции a £ fj на множество Ij.
iEI
Тогда отображение g (aD) = ) решает задачу. Н
Формула ср языка X называется базисной хорновской форму-
лой, если она является дизъюнкцией формул 0^,
Ф = 01 v 0Ш,
где, самое большее, одна из формул 0f атомна, а остальные —
отрицания атомных формул. Если т = 1, то ф — или атомная
формула, или отрицание атомной формулы. Если т > 1 и, ска-
жем, 0т — атомная формула, то ф эквивалентна формуле
(гр1 А ф2 л
А Фтп-1 ~бтп)»
где каждая формула 1 I < т, также атомна. Хорновские
формулы строятся из базисных хорновских формул с помощью
связок А, 3 и V. Хорновское предложение — это хорновская
формула без свободных переменных.
Предложение 6.2.2. (i) Пусть ф (^1? ., .гп) — хорновская
формула и i I,— модели языка X. Пусть D — (собственный)
374
Гл. 6. Дополнительные сведения
фильтр на I и а1, ап £ fj Если
&
txcpla1^), ...,an(i)]}£D,
то
EHf t=<pl4, .,а£].
D
(ii) Каждое хорновское предложение устойчиво относительно
фильтрованных произведений,
(iii) Каждое хорновское предложение устойчиво относительно
прямых (конечных и произвольных) произведений.
Док азательство. Мы дадим набросок доказательства
пункта (i). Из (i) легко следуют (ii) и (iii). Допустим, что <р =
= 0Х v v Qm — базисная хорновская формула. Предположим
сначала, что все 0; являются отрицаниями атомных формул ф; и
Х = {1£1:^ t= (“]ф1 v V фт) [a1 (0, ..., ап (0]}G Z>.
Это означает, что для некоторого 1 т, множество
Xj = {iei an(i)]}
не принадлежит D. В противном случае было бы XQ
. П Хт — 0 £ D, что приводит к противоречию. Тогда, в силу
определения фильтрованного произведения, для некоторого /
П i П 'Ф/ • • • ’ а$1 ’
D
отсюда
t= <p[flb, .
D
Теперь предположим, что 0; = "^фу, 1 < т, и фу и 0т —
атомные формулы. Опуская тривиальный случай т = 1, мы пред-
положим,4 что для 1 / < т
II t=Wo, ...,aSb
D
Тогда для любого ]
Xj = {i £ I t= Фу [a1 (i), an (»)]} € D,
и отсюда X — ХхП- Л € D- Теперь если
i € X П {i € I t= <p [a1 (0, an (г)]},
то 6m [я1 (O, fln (01- Поэтому
{i€Z Иг t= 0,n [fl1 (0, an(0]}€Z)
и
I] 21г t= ^mlaD, ...,anD].
D
6.2. Прямые произведения, фильтрованные произведения
375
Это доказывает (i) для базисных хорновских формул. Мы остав-
ляем шаг индукции для фг д ф2, (Эя) Ф и (V#) ф читателю. -Ч
Вернемся теперь к обращениям доказанных выше предложе-
ний. Возникают две естественные проблемы устойчивости: какие
предложения устойчивы относительно фильтрованных произведе-
ний и какие предложения устойчивы относительно прямых произ-
ведений? Следующий пример показывает, что эти два вопроса имеют
разные ответы.
Пример 6.2.3. Существует SJ-предложение ф, которое устой-
чиво относительно прямых произведений, но не устойчиво отно-
сительно фильтрованных произведений. Поэтому не является
логически эквивалентным хорновскому предложению.
Пусть ф — конъюнкция аксиом булевых алгебр и предложе-
ния «существует по крайней мере один атом», т. е.
(3x)(Vy) [х^Ол (x-yssy -> j/ = xv
Так как аксиомы булевых алгебр универсальны, то <р есть S®-
предложение. Предложение ф устойчиво относительно прямых
произведений, так^ как элемент / € Ц ЭД/ является атомом, если
он на координате i — атом, а на остальных — нуль. Однако ф
не устойчиво относительно фильтрованных произведений, так как
если D — фильтр Фреше, состоящий из всех коконечных подмно-
жеств множества со, то каждое фильтрованное произведение ПЭДП—
D
безатомная булева алгебра.
Исследуем проблему устойчивости для фильтрованных произ-
ведений.
Пусть I —• множество бесконечной мощности а. Фраза «почти
для всех i £ /» будет означать «для всех i £ I\Zi, где 1г — подмно-
жество множества I мощности, меньшей, чем а».
Лемма 6.2.4. Предположим, что || X || | I | = а, 2а = а+
и Яь * € Л— модели языка X с | Л/ | а+ Пусть 23 — либо
конечная, либо насыщенная модель мощности а+ Если каждое
хорновское предложение, истинное почти во всех Я о истинно в 23,
то 23 изоморфно фильтрованному произведению Ц ЭД/ моделей
D
по некоторому фильтру D над I.
Доказательство. Пусть А — Ц Л/. Так как 2а =
= а+, то | А | а+ Построим вначале отображение h множе-
ства А на В, такое, что
(1) если ф ., х„) — хорновская формула, у1, уп £
С А и ЭД/ Ё= ф [г/1 (0, . * уп (0] почти для всех i g Z,
то 23 1= Ф \hy\ • • •» hyn].
376
Гл. 6. Дополнительные сведения
Пусть a g а+Л и Ъ £ а+В — перечисления множеств А и В соответ-
ственно. По трансфинитной индукции мы конструируем две после-
довательности а £ а+А и Ъ g а+В, такие, что для каждого v < а+
(2) каждое хорновское предложение (в X J {А :£< v}), истинное
почти во всех моделях (3G, <4(0h<v, истинно и в (93,
(3) range (a) cz range (a), range (fe) cz range (6).
Индукция такого вида уже известна, и мы, отказавшись от соблю-
дения формальностей, изложим наиболее трудную часть. Предпо-
ложим, что (2) справедливо для v. В этом случае мы имеем две
возможности v = ц + 2к или v — ц + 2Л + 1 (ц — предельный
ординал, к < со).
Случай 1. v = ц + 2Л. Положим av = Ят|+ь- Пусть
2 = {ф (х) ф (х) — хорновская формула языка <SC[J < v}
и (Я|, а, % (/))^<г^ф lav (t)] почти для всех t g I.}
Непосредственно проверяется, что 2 замкнуто относительно
конъюнкции. По предположению индукции, в силу того, что
(За:) ф — хорновское предложение языка X (J {с < v}, для
каждой формулы ф (Е 2 имеет место (ЯЗ, v 1= (За:) ф (х). Это
показывает, что 2 может быть расширено до типа над (93,
А так как эта модель а+-насыщенна, то для некоторого элемента,
скажем, для bv 6
(ЯЗ, ^)^<*v (М-
Очевидно, (2) справедливо теперь для v + 1.
Случай 2. v — ц + 2к + 1. Положим bv = b^+h. Пусть
2 {ф (х) : ф — хорновская формула языка X U {с £ £ «< v}
и (®> 6?H<vt= Пф
Пусть <р 6 S. Тогда (93, b^)^<v [= (Эх) П Ф- Отсюда, согласно
логике предикатов, в (ЯЗ, b^%<v не может быть истинной формула
(Va:) ф.
По предположению индукции (2) множество /ф, которое мы
определим так:
Лр = в (Stj, а^ (0)^<v ложна формула (Va:) ф}>
имеет мощность а. Так как || X || а, то множество 2 тоже имеет
мощность не более а. Применяя лемму 6.1.6, мы получаем, что
(4) для каждого Ф 6 2 существует подмножество JФ с: мощ-
ности а, такое, что 7Ф Q = 0, если ф, ф £ 2 и ф ф.
6,2. Прямые произведения, фильтрованные произведения
377
Теперь определим av € II Ai следующим образом:
если i £ /ф, то выберем av (i) так, что
(Яь (Oh<v 1= (0L
если i $ U «Лр, то выберем в качестве av (0 произвольный
Ф62
элемент.
Элемент av определен так, что хорновское предложение ф,
истинное в почти всех (§[/, (0)£<v, истинно в (28,
в противном случае предложение ф не было бы истинным на мно-
жестве моделей (?[f, (0)&<v, мощность которого не меньше а.
Таким образом, (2) вновь справедливо для v + 1. После того
как индукция закончена, очевидным образом будет выполнено
и условие (3). Определим отображение h следующим образом:
h (av) = v < a+* Оно корректно определено, так как если
а % = то а % (i) = (i) для всех i £ /, а отсюда, применяя
тот факт, что =сл — хорновское предложение, получаем
= Ь^. Таким образом, (1) доказано.
Для атомной формулы ф (х1ч хп) языка X и произволь-
ной последовательности у = (г/1, уп) элементов из А опре-
делим
= 1= <Р [г/1 (0> уп (0П-
Если 23 1= ф [hy1, . . hyn}, то | у | — а, так как в противном
случае 28 Ф • hyn], в силу того, что ф — хорнов-
ская формула. Пусть Е — совокупность всех ТГФ>2/, таких, что
28 Ф Ihy1, ., hyn]. Так как дизъюнкция отрицаний атомных
формул — хорновская формула, то такими же рассуждениями,
как и раньше, можно показать, что
(5) любое конечное пересечение множеств из Е имеет мощность а.
В силу (5), как легко заметить, Е может быть расширено до
(собственного) фильтра D над I так, чтобы подмножество X из I
лежало в D тогда и только тогда, когда оно содержит пересечение
конечного числа элементов из Е.
Последним шагом нашего доказательства будет установление
изоморфизма моделей 28 и Q Покажем вначале, что
D
уЪ = уЪ Для каких-либо z/1, у2 £ А
тогда и только тогда, когда hy1 — hy2.
Если уЪ = y*D, то К {i £ I у1 (0 = У2 (0} Е Тогда
(6) К Zl f| f| z для А’ф 2 £ Е.
iv tv С С
Рассмотрим сейчас хорновскую формулу
Я1 = (ф1 А • А Фп -> Уг =УгУ
378
Гл. 6. Дополнительные сведения
В силу (6), гр истинна во всех моделях 21/ при очевидных интер-
претациях для ., яп, у1, у2. Тогда ф выполняется в $8
на элементах hz14 hzn, hy1, hy2. В силу определения Е, полу-
чаем $8 <Pi [hz^, ., 23 (pn [hzn]. Поэтому 23 i= hy1 =hy2
и hy1 = hy2. С другой стороны, если hy1 = hy2, то для формулы
<р (у1, у2) = (у1 =у2) имеет место включение К С Е и, следова-
тельно, К £ D, где
к = {t^i 2h t= /(0 =у2(0}.
Отсюда заключаем, что г/Ь = уя< Мы предоставляем читателю
аналогичным способом показать, что h сохраняет истинность
всех атомных формул и отрицаний атомных формул. Таким обра-
зом, h индуцирует изоморфизм модели 21 г на 23, и предложение
D
доказано. —|
Предыдущая лемма похожа на один результат из разд. 6.1
об ультрапроизведениях: в предположениях этой леммы, если
каждое предложение, истинное почти во всех моделях 21/, истин-
но в модели 23, то модель 23 изоморфна ультрапроизведению 21/
D
моделей 21 f по ультрафильтру D над I. Мы доказали в разд. 6.1,
что ультрафильтр D обладает свойством, что всякая ультрасте-
пень Ц 21 a-насыщенна, тогда и только тогда, когда этот ультра-
D
фильтр а-хороший. Мы уже упоминали, что аналогичный резуль-
тат верен для фильтрованных произведений. Бенда п Шелах
[1972] доказали следующее.
Пусть а > со. Фильтр D обладает свойством, что каждая
фильтрованная степень ГТ 21 a-насыщенна, тогда и только тогда,
D
когда он счетно неполный a-хороший ультрафильтр и булева
алгебра [] 1 а-насыщенна.
D
Мы говорим, что предложение <р устойчиво относительно фильт-
рованных произведений, если оно сохраняет истинность при взя-
тии фильтрованных произведений моделей. Аналогично опреде-
ляются предложения, устойчивые относительно фильтрованных
степеней, отйосительно конечных прямых степеней и так далее.
Мы докажем сейчас теорему об устойчивости для фильтрованных
произведений. Наше первое доказательство будет использовать
континуум-гипотезу 2® = со1. Затем мы покажем, как ее элимини-
ровать, применяя результаты, доказанные в следующем разделе.
Теорема 6.2.5. Предположим, что выполняется континуум-
гипотеза 2® со+ Тогда ср устойчиво относительно фильтрован-
ных произведений, если и только если оно эквивалентно хорновскому
предложению.
6.2. Прямые произведения, фильтрованные произведения
379
Д о к а з а т е л ь с т в о. Тот факт, что хорновские предло-
жения устойчивы относительно фильтрованных произведений, был
доказан в предложении 6.2.2, и в доказательстве не была исполь-
зована континуум-гипотеза. Предположим теперь, что предложе-
ние ф устойчиво относительно фильтрованных произведений.
Если ср противоречиво, то оно эквивалентно хорновскому пред-
ложению (V#) (х ф х). Итак, предположим, что ф совместно.
Так как мы имеем дело с одним предложением ф, то мы можем
предположить, что язык X счетен. Пусть
2 = {ф : ф — хорновское предложение и Нф—>ф).
Множество 2 непусто и замкнуто относительно конъюнкций.
Мы докажем, что
(1) I— ф—Ф для некоторого ф g 2.
По теореме компактности достаточно доказать, что 2 ф. Пусть
23 — модель множества формул 2, и мы можем предположить,
что она либо конечна, либо насыщенна и мощности сор Пусть
Ф* {ф ф — хорновское предложение и ф л *”] ф совместно).
Если Ф = 0, то все хорновские предложения лежат в множестве
2 и ф снова несовместно. Итак, пусть Т 0. Для каждого пред-
ложения ф выберем модель предложения ф л ~| ф. Каждая
модель ЭДф счетна. Пусть I = (о X Y. Для каждого i = (п, ф) g I
пусть ?Ii — Slip. Пусть, далее, ф—произвольное хорновское
предложение, и допустим, что ф истинно почти во всех й/. Тогда
ф $ Ф, а потому ф £ 2 и 23 ф. По лемме 6.2.4 модель 23 изоморф-
на фильтрованному произведению П Так как Ф и пред-
D
ложение ф устойчиво относительно фильтрованных произведений,
то 23t= ф. Это доказывает (1). —1
Мы предлагаем читателю в качестве упражнения доказать,
что в теореме 6.2.5 достаточно предположить, что 2а — а+ для
некоторого бесконечного кардинала а.
ПрЕдложвние 6.2.6. Предположим, что 2“ = (Oj. Тогда
(i) Предложение ф устойчиво относительно фильтрованных
степеней тогда и только тогда, когда оно эквивалентно дизъюнк-
ции торновских предложений.
(ti) Предложение ф устойчиво относительно конечных прямых
произведений и фильтрованных степеней тогда и только тогда,
когда оно эквивалентно хорновскому предложению.
Доказательство, (i) Пусть предложение ф устойчиво
относительно фильтрованных степеней. Пусть
- {1|51 V V 1|)т : %, 1|>т —
хорновские предложения и Нфх V . . . V фт ф).
380
Гл. 6. Дополнительные сведения
Это множество замкнуто относительно дизъюнкций. Предположим,
что
(1) не существует такого гр £ 5, чтобы ]— ф-^гр.
Тогда по теореме компактности {(р} (J {“"] гр : гр g 5 } совместно.
Пусть ЭД — произвольная счетная модель множества формул
{<р} U {гр : гр g S }. Заметим, что каждое хорновское предло-
жение гр, которое истинно на ЭД, должно также иметь модель,
в которой не выполняется ср. Так как хорновские предложения
замкнуты относительно конъюнкций, то, применив еще раз тео-
рему компактности, мы можем найти модель 23, такую, что 23 ф
и
всякое хорновское предложение, истинное в ЭД, истинно в 23.
Мы можем предположить, что 23 либо конечна, либо насыщенна
и мощности (ov Пусть ЭД = ЭД/, г 6 (0. Легко видеть, что хорнов-
ское предложение, истинное почти во всех моделях ЭД/, будет
истинно в модели 23. Тогда по лемме 6.2.4 модель 23 изоморфна
фильтрованной степени ЦЭД модели ЭД. Это противоречит тому,
D
что предложение ср устойчиво относительно фильтрованных степе-
ней и 23 t= П Ф* Итак, условие (1) неверно.
(ii) Этот пункт мы доказываем простыми аргументами. Допус-
тим, что предложение ф устойчиво относительно конечных прямых
произведений и относительно фильтрованных произведений. Тогда
по (i) предложение ф эквивалентно дизъюнкции хорновских
предложений. Для простоты пусть ф = грг v гр2. Пусть
S = {гр : гр — хорновское предложение и |— ф—>гр}.
Мы докажем, что
(2)^ Н'фф для некоторого гр g 2.
Такими же рассуждениями, как в теореме 6.2.5, получаем, что
для каждой модели 23 S существует семейство моделей ЭД/,
i £ Ц предложения ф, такое, что 23 sfl ЭД/. Мы разобьем сейчас
D
множество I на две части и 12 так, что
если то ЭД/ гр1?
если i £ /2, то ?Ii t= гр2.
Мы также можем предположить без ограничения общности, что
X Q Л =/= 0 и X П 12 =/= 0 для всех X £ D.
Тогда по предложению 6.2.1 [J ЭД/ П Яг X II Яр Очевидно,
D Di D2
что Д ЭД/ 1= Д ЭД/ 1= гр2, и так как предложение ф устойчиво
Di D2
6.2, Прямые произведения, фильтрованные произведения
381
относительно прямых произведений, [J ф. Отсюда 23 1= ф.
D
Итак, (2) справедливо. Понятно, что в доказательстве не утверж-
дается, что <р = или ф = ф2. —|
Два последних результата — теорема 6.2.5 и предложение
6.2.6 — были сначала доказаны Кейслером [1965d] с применением
континуум-гипотезы. Галвин [1965] нашел непрямой способ эли-
минации континуум-гипотезы из этого результата. Шелах [1972а]
получил прямое доказательство без континуум-гипотезы, основан-
ное на его доказательстве теоремы об изоморфизме для ультра-
произведений. Мы изложим сейчас непрямой метод Галвина эли-
минации континуум-гипотезы. Этот окольный путь использует
рекурсивные функции, булевы алгебры и конструктивный уни-
версум, но он дает пример метода, полезного при доказательствах
и в других случаях.
Предположим, что язык X счетен. Мы можем задать подходя-
щую гёделевскую нумерацию символов и выражений языка X
так, что все естественные синтаксические свойства и преобразо-
вания становятся на соответствующих гёделевских номерах рекур-
сивными предикатами и функциями. Так, например, предикаты
Ф — предложение языка Х\
Ф — хорновское предложение языка Х\
Ф — аксиома языка Х\
п — доказательство предложения ф из аксиом языка X
будут рекурсивными предикатами. Но хорошо известно, что
предикат
предложение ф — теорема языка X
не рекурсивен, если X содержит двуместный предикатный символ;
однако, как хорошо известно, этот предикат рекурсивно перечис-
лим, т. е. это предикат, полученный из рекурсивного предиката
навешиванием спереди единственного (числового) квантора суще-
ствования. Предикат Р (х) называется арифметическим, если он
получается из некоторого рекурсивного предиката R (х, уг, ., уп)
навешиванием последовательности кванторов (Qii/i QnZ/n)
(Qf — квантор существования или всеобщности) так, что
Р (х) для любого х тогда и только тогда, когда
&пУп) R z/i, Уп) *
Арифметическое утверждение — это нульместный арифметиче-
ский предикат. Пусть ZF обозначает теорию множеств Цермело —
Френкеля (см. приложение), и пусть ZFL обозначает ZF плюс
аксиома конструктивности (в неявной форме эта аксиома появ-
ляется в гл. 4; в более естественном виде она фигурирует в
382
Гл. 6. Дополнительные сведения
разд. 7.4). Следующие результаты неявно содержались в работе
Гёделя [1940]:
(1) Пусть Г — арифметическое утверждение. Оно доказуемо
в ZF тогда и только тогда, когда оно доказуемо в ZFL;
символически Hzf Г тогда и только тогда, когда Hzfl Г.
(2) В ZFL мы можем доказать аксиому выбора и обобщенную
континуум-гипотезу (ОКГ).
Из (1) и (2) непосредственно следует, что
(3) Пусть Г — арифметическое утверждение; если Г доказуемо
в ZF с аксиомой выбора и ОКГ, то Г доказуемо в ZF.
Мы рассмотрим сейчас такое утверждение:
(4) Предложение ср устойчиво относительно фильтрованных произ-
ведений тогда и только тогда, когда оно эквивалентно хор-
новскому предложению.
Нетрудно показать, что часть пункта (4), а именно предикат
«предложение ср эквивалентно хорновскому» является арифмети-
ческим.
В следующем разделе мы покажем, что другая часть утверж-
дения (4) — тоже арифметический предикат. Отсюда мы получаем
следующий результат.
Лемма 6.2.7. Предикат
предложение (р устойчиво относительно фильтрованных
произведений
является арифметическим.
Применяя эту лемму, мы видим, что (4) — арифметическое
утверждение. Теорема 6.2.5 устанавливает, что (4) может быть
доказано b<ZFC с аксиомой ОКГ. Мы можем заключить ввиду (3),
что эта теорема может быть доказана и в одной ZF. Итак, един-
ственным фактом, необходимым для элиминации континуум-
гипотезы, является лемма 6.2.7.
Мы рассмотрим сейчас проблему устойчивости для прямых
произведений. .Синтаксическая характеризация прямых произве-
дений была дана Вайнштейном [1965]. Так как его характериза-
ция очень сложна, мы не будем ее здесь приводить. Ограничимся
изучением простого случая универсальных и экзистенциальных
предложений, устойчивых относительно прямых произведений.
Предложение 6.2.8. Пусть <р — универсальное предложение.
Тогда оно устойчиво относительно (конечных) прямых произведе-
ний в том и только том случае, когда оно эквивалентно некоторому
универсальному хорновскому предложению.
6.2, Прямые произведения, фильтрованные произведения
383
Доказательство. Мы проиллюстрируем метод дока-
зательства на примере. Допустим, что предложение <р, устойчивое
относительно прямых произведений, имеет вид
<Р = (Vx) [(”] Pl (х) V Р2 (*) v Р3 (*)) Л (П Q1 (х) V Q2 (х) м Qa (х))).
Мы можем предположить для простоты, что х — единственная
свободная переменная, входящая в атомные формулы Ри Р2,
Р3, Qi, Q^ <?з- Мы утверждаем, что предложение ср эквивалентно
одному из следующих четырех универсальных хорновских пред-
ложений:
Ф1 = (Ух) ((Л~>Р2)л(С1~>О,
^ = (>tx)((Pi^P3)^(Qi^Q2)),
<Рз = (Vx) № + Р2) л (Qi + &)),
(p4 = (V^) ((Л~>Рз)л((?1^Сз)).
Очевидно, что <pf —> ср для 1 i 4. Допустим, что при 1
г 4 не имеет места 1= Ф->Ф£. Тогда существует четыре
модели ЭДг, 1 i 4, для ср и четыре элемента ai9 1 i 4,
аЛ £ At, таких, что
1= (Р1 («1) Л ~] Р2 (at)) Л (Qi (ai) Л ~] Qi (at)),
и т. д. Простой перебор возможностей показывает, что некоторое
произведение X Я/ двух моделей из четырех данных содер-
жит элемент {ah aj), который не удовлетворяет матрице форму-
лы ср, но это противоречит тому, что 21 j X Я/ t= <Р- -4
Предложение 6.2.9. Пусть ср — экзистенциальное предложение.
Тогда оно устойчиво относительно (конечных) прямых произведений
в том и только том случае, когда оно эквивалентно экзистенциаль-
ному хорновскому предложению.
Доказательство. Мы можем в доказательстве пред-
положить, что 2® = ©I. Это предположение может быть элими-
нировано применением леммы 6.2.7.
Предположим, что экзистенциальное предложение ср устойчи-
во относительно произведений двух моделей. Очевидно, что есте-
ственное вложение Я в П Я является изоморфным. Так как
D
предложение ср устойчиво относительно расширений, то это заме-
чание показывает, что оно устойчиво относительно фильтрован-
ных степеней. Отсюда, в силу 6.2.6, предложение ср устойчиво
относительно фильтрованных произведений. Пусть
S = {ф : ф — экзистенциальное хорновское предложение и
Н ф->ф}-
384
Гл. 6. Дополнительные сведения
2 замкнуто относительно конъюнкций. Если
(1) ни для какого ф £ 2 не справедливо Н ф -> ф,
то, в силу теоремы компактности, найдется модель 23 для ф) U
U 2. Для каждого экзистенциального хорновского предложе-
ния ф, такого, что ф л тр непротиворечиво, существует счетная
модель *2[ф предложения ф л ~| яр. Применяя технику доказатель-
ства теоремы 6.2.5, мы получаем семейство моделей i £ I,
со счетным множеством индексов I и такое, что
каждое экзистенциальное хорновское предложение, истинное
почти во всех моделях истинно в модели 23.
Предположим сейчас, что модель 23 по крайней мере 2ш-на-
сыщенна. Это всегда возможно, независимо от того, конечна или
бесконечна модель 23, и здесь не нужна континуум-гипотеза
ни в какой форме. Рассматривая доказательство леммы 6.2.4,
мы видим, что фильтрованное произведение Д 21 $ моделей Я/
D
изоморфно вкладывается в модель 23. Так как в каждой модели
21/ истинно ср, то Ц 21 j Ф- А так как предложение ф экзистен-
D
циальное, то 23 ф, но это противоречит тому, что 23 ~| ф.
Итак, (1) не верно. -J
Вайнштейн [1965] показал, что универсально-экзистенциаль-
ное предложение устойчиво относительно (конечных) прямых
произведений тогда и только тогда, когда оно логически экви-
валентно универсально-экзистенциальному хорновскому предло-
жению.
Пример 6.2.3 показывает, что дальше продвинуться нельзя,
так как он дает экзистенциально-универсальное предложение,
устойчивое относительно прямых произведений, которое не экви-
валентно никакому хорновскому предложению.
Упражнения
6.2.1. Пусть D — фильтр над множеством /. Покажите, что
отношение =в, такое, что X=DY тогда и только тогда, когда
X П Z Y П Z и X П Z Y П Z для некоторого Z £ D, являет-
ся конгруэнцией в булевой алгебре S (Г). Тогда мы можем опреде-
лить естественным способом факторалгебру S (I)/D, элементами
которой являются классы эквивалентности Х/D подмножества X
из I. Если мы отождествим подмножество X cz I с его характери-
стической функцией fx (fx (i) == 1, если i gX, fx(0 — 0, если
i (J X), то получим естественный изоморфим алгебры S {1)1 D
на фильтрованную степень [J 1, где 1 — двухэлементная булева
D
алгебра.
6.2. Прямые произведения, фильтрованные произведения
385
6.2.2. Покажите, что каждое фильтрованное произведение 21 j
D
над конечным индексным множеством I изоморфно прямому
произведению [] 21 i над некоторым подмножеством J cz I. Это
ге/
верно в более общем случае, когда D — главный фильтр над I.
6.2.3. Пусть Dj — фильтр над множеством Ij п D — фильтр
над J. Тогда существует фильтр Е над множеством
к = U (Л X {;}),
такой, что
Е D Dj
6.2.4* . Применяя результаты разд. 6.1, докажите теорему 6.2.5
прямо без КГ.
6.2.5. Докажите аналог теоремы 6.2.5 для элементарных клас-
сов: элементарный класс К замкнут относительно фильтрованных
произведений тогда и только тогда, когда он является классом
всех моделей некоторого множества хорновских предложений.
6.2.6* . Применяя лемму 6.2.4, докажите следующую теорему
об отделимости. Пусть Кг и К2 — произвольные классы моделей,
каждый из которых замкнут относительно фильтрованных произ-
ведений и изоморфизмов. Предположим, что Кг П К2 = 0, тогда
существует два элементарных класса Lr и Л2, каждый из которых
определяется множеством, хорновских предложений, таких, что
К-х К2 L2, Ly Q L2 = 0.
6.2.7. Пусть Т — теория в языке X. Если 2° = сох, то следую-
щие условия эквивалентны:
(i) Каждая формула эквивалентна в теории Т некоторому
хорновскому предложению.
(ii) Каждое фильтрованное произведение [J моделей 21 ь
D
i £ I, теории Г, которое само является моделью теории Т7, пред-
ставляется как ультрапроизведение моделей теории Т\ в действи-
тельности D — ультрафильтр над I.
Примерами теории Т, которая удовлетворяет условию (ii), будут
теория линейного порядка, теория полей, теория колец с деле-
нием (см. упр. 4.1.30).
6.2.8. Мы говорим, что базисная хорновская формула ф =
= 0Х v . V 0Ш — строго базисная хорновская формула, если
какая-либо из 0f — атомная формула. Строго хорновские пред-
25 г. Ксйслер, Ч. Ч, Чэн
386
Гл. 6. Дополнительные сведения
ложения строятся из строго базисных хорновских формул с по-
мощью связок д, 3 и V. Применяя континуум-гипотезу 2ю = (дь
докажите следующее утверждение. Предложение ср устойчиво
относительно фильтрованных произведений ЦЭДг независимо от
D
того, является D собственным фильтром над I или нет, тогда
и только тогда, когда оно эквивалентно строго хорновскому пред-
ложению.
6.2.9. Дизъюнкция атомных формул и отрицаний атомных фор-
мул 0г V 02 V V бтп называется слабо хорновской, если,
самое большее, два члена 0/, 0; — атомные форАмулы, а осталь-
ные — отрицания атомных формул. Замыкание этих формул
относительно связок Л, 3 и V образует множество слабо хорнов-
ских предложений. Покажите, используя технику леммы 6.2.4
(2° — <0j), что если каждое слабо хорновское предложение, истин-
ное во всех моделях теории Т, истинно в 93, то 28 — модель тео-
рии Т. Отсюда следует, что каждое предложение эквивалентно
слабо хорновскому предложению. Этот результат также может
быть получен без континуум-гипотезы.
[Указание*. Покажите, что фильтр Р, конструируемый в лем-
ме 6.2.4 так, чтобы ЯЗ = ПЭД, в Действительности является
D
ультрафильтром.]
6.2.10* . Предложение ср называется специальным хорновским,
если оно является конъюнкцией предложений вида
(V^
Хп) (Ф 0),
где 0 — атомная, а ф — позитивная формулы. Докажите, что
предложение ф устойчиво относительно подпрямых произведений
тогда и только тогда, когда оно эквивалентно специальному хор-
новскому предложению. [Подмодель ЯЗ прямого произведения
[J ЭД г моделей для ф называется подпрямым произведением моде-
лей ЭД£ тогда и только тогда, когда {6 (i) Ь £ В} = At для всех
i £1.\ Примером специального хорновского предложения является
предложение, выражающее условие, что центр группы тривиален,
т. е.
(V х) [(Vy) х + у =у + х^ х =0].
Найдите пример хорновского предложения, которое не эквивалент-
но никакому специальному хорновскому предложению.
6.2.11. Предложение ф называется устойчивым относительно
фильтрованных сомножителей, если условие f J f Ф влечет
{i : ЭД, ф} £D. Докажите, что любое позитивное предложе-
6.2. Прямые произведения, фильтрованные произведения
387
ние устойчиво относительно фильтрованных сомножителей. А так-
же докажите непосредственно, не применяя теорему Линдона, что
каждое предложение, устойчивое относительно гомоморфных обра-
зов, устойчиво относительно фильтрованных сомножителей. Найди-
те предложение, устойчивое относительно фильтрованных сомно-
жителей, которое не эквивалентно никакому позитивному пред-
ложению.
6.2.12. Покажите, что с помощью фильтрованных произведений
можно дать простое доказательство следующей теоремы компакт-
ности для хорновских предложений. Пусть 2 — множество хор-
новских предложений. Если каждое конечное подмножество из 2
имеет модель, то 2 имеет модель.
6.2.13* . Одним из ранних результатов в теории универсаль-
ных алгебр является следующая теорема Биркгофа. Пусть К —
произвольный класс алгебр. Тогда К — эквациональный класс,
т. е. класс моделей некоторого множества равенств, в том и только
том случае, когда он замкнут относительно подалгебр, гомоморфиз-
мов и произвольных прямых произведений. Дайте доказательство
этой теоремы, применяя результаты разд. 6.1 и 6.2.
[Указание'. Вначале покажите, что К замкнут относительно
ультрапроизведений, а его дополнение замкнуто относительно
ультрастепеней. Таким образом, К — элементарный класс. Так
как он замкнут относительно гомоморфизмов, то он определяется
множеством позитивных предложений. Так как он замкнут отно-
сительно подалгебр, то он определяется множеством универсаль-
ных позитивных предложений. Так как К замкнут относительно
прямых произведений, то он определяется множеством универ-
сальных позитивных хорновских предложений. Такие предложе-
ния будут равенствами.]
6.2.14. Рассмотрев доказательства леммы 6.2.4 и теоремы 6.2.5,
выведите, что предложение ф устойчиво относительно фильтрован-
ных произведений со счетным множеством индексов тогда и только
тогда, когда оно устойчиво относительно произвольных фильтро-
ванных произведений. Докажите аналогичное утверждение для
фильтрованных степеней.
6.2.15* . Имеет смысл не только понятие а-хорошего ультра-
фильтра, но и понятие а-хорошего фильтра. Предположим, что
D — фильтр над а и D содержит а+-хороший счетно-неполный
фильтр. Предположим, что выполнена ОКГ. Покажите, что если
|| X || а, ЭД и 23 — модели мощности не более а+ и ЭД =25,
то Па Паз.
D D
25»
388
Гл. 6, Дополнительные сведения
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
и хорновские предложения (продолжение)
Этот раздел продолжает разд. 6.2. Рассмотрим произвольное
фильтрованное произведение 2Ь« Мы задаем следующий вопрос:
D
даны модели 21; , i £ I, и фильтр D; как мы можем определить,
какие предложения истинны в фильтрованном произведении Ц 21 г?
D
Мы покажем, что значение истинности предложения ср в фильтро-
ванном произведении 211 определяется через значения истин-
D
ности некоторых других формул в моделях 21 j и в булевой алгебре
S Изучение этого факта дает большое количество инфор-
мации о предложениях, устойчивых относительно прямых и фильт-
рованных произведений. Мы начнем с ключевого определения.
6.3.1. Формула ф (хп . . хп) языка X определяется последо-
вательностью формул (а; ф1? ., фт), если
(i) Каждая фу — формула языка X со свободными перемен-
ными из набора х19 ., хп.
(ii) а (ух, ., z/m) — формула в языке булевых алгебр, являю-
щаяся монотонной, т. е.
Тва Ь (Vzt... zmyi ... ут) (ст (У1, . . . , ут) Л Л
>O’(Z|, Znt))«
(Здесь и в дальнейшем Гва будет обозначать теорию булевых
алгебр.)
(iii) Пусть I — произвольное множество индексов, D — фильтр
над I и 21 j, i € Ц— модели языка X. Пусть а1, ап g [J Ai9
и для каждого j, 1 j т, пусть
X3 = {i 6 I 21; t= фу [а1 (0» аП (01}-
Тогда
И 21; t= ф [аЬ , аЫ,
D
если и только если
S (I)/D |= о [X4D, Xm/D].
Мы говорим, что формула ф определена, если ф определяется
некоторой последовательностью.
Предложение 6.3.2. Каждая формула ф определена.
Дока зательство. Это доказывается индукцией по
сложности формулы ф. Предположим, что ф (ггх, . . ., хп) — атом-
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
389
ная формула. Покажем, что ср определяется последовательностью
(о; <р), где о (у) — формула у = 1 (в языке ГВА). Очевидно,
что 6.3.1 (i) и (ii) справедливы. Предположим, что выполняются
предположения из 6.3.1 (iii). Тогда в силу определения фильтро-
ванного произведения следующие условия эквивалентны:
П S* 1= Ф , anh
D
X = {i£I Ф[а‘(0,
Х/D = 1 в алгебре S^I)/D,
S (I)/D |= о [Х/D].
Предположим теперь, что ф определяется последовательностью
(а;^, ., фт). Пусть о = о (z/n ут), где у1У ., ут —
список переменных, содержащий все свободные переменные фор-
мулы о. Пусть т = а (—у19 ., —ут) (— означает булево
дополнение). Тогда ’Д ф определяется последовательностью
(т; ПЯ9!’ м Дф^). Очевидно, что условия 6.3.1 (i) и (ii) выпол-
нены. Для 1 j‘ т пусть
Xj = {i е I Si t= П ф; la1 (0, ап (i)]}.
Тогда следующие условия эквивалентны:
П Я i 1= “I Ф («О, --41,
D
не верно, что » ао],
D
не верно, что 5 (I)/D t= о [(I^X^/D, ..., (I\Xm)/D[,
S (I)ID 1= П о [- (Xt/D), , - (Xm/D)],
S (I)/D 1= т [XdD....Xm/D],
Предположим, что формула qp определяется последовательностью
(а; фх, фт), а % — последовательностью (т; 0Х, Ор)
Пусть ух, ут и zx, Z; — различные переменные и
Р (У1, Ут, z15 . . Zi) = О (l/p ут) Л т (Zp Z,).
Предположим, что все свободные переменные из формул ф и %
лежат в множестве {я^, хп}. Тогда формула Ф Л х опреде-
ляется последовательностью (р; фт, Oj, . ., 9г). Усло-
вия 6.3.1 (i) и (ii), очевидно, снова выполнены. Допустим, что
посылка в 6.3.1 (iii) с множествами Х}, 1 у т, и УЛ, 1 к
390
Гл, 6. Дополнительные сведения
Z, выполнена. Тогда следующие условия эквивалентны:
Ф^ Xl«D> •••’ aD],
D
ПЭДг ...» а£1 и t= , «5],
D D
S (I)/D t= о [Xi/D1 ..., Xm/D] и S (I)/D t= т (Y4D. Y^D},
S (I)/D t= p [X'/D, ..., Xm/D, Y'/D, .... Yl!D}.
Наконец предположим, что формула ср (я, xr, . хп) опреде-
ляется последовательностью (ст; ф1? фт). Пусть I — 2т
и s1? . ., Si —список всех подмножеств из {1, . т} с sk = {&}
при 1 к т. Для 1 к I пусть 0ft = Зх Д ip,. (Пустую
конъюнкцию будем считать истинной формулой.) Очевидно, что
6fe — 3 x\pft при 1 к т. Пусть
Vi) = (3zi
• гг) [ Л (zh С Vk) Л
Л Л (Zi • Z; == zft) Л a (zlt
si
Z,)l.
Мы покажем, что формула (Зя) ф определяется последова-
тельностью (т; бр . . ., 6;). Условие 6.3.1 (i), очевидно, выпол-
нено, а условие 6.3.1 (ii) выполнено в силу определения формулы т.
Предположим сначала, что П •= (Эх) ф [<*D, аЪ]. Тогда
D
существует такой, что Q ЭД f t= <р [aD, ab, abl.
D
Определим при 1 к I
Yh = {iQl ЭД£ 1= 0ft[a1 (0, ....ап(0П
и
zk= {i € I ЭД,- 1= Л % (a (0. a^(i), ...,an (f)]}.
Очевидно, что Zh a Yh,
A z‘ л z’ = zk
и
S(I)/D 1= a[Zl/D, Zm/D].
Отсюда S (I)!D t= т [У1//), ., Yl/D]. С другой стороны, пусть
У*, определено, как выше, и предположим существо-
вание таких множеств Zh, 1 к I, что для всех к, 1 к I,
S(I)/D 1= Zh/D^Yh/D,
(1) S(T)/D^ Л (zvdzyd^zVd),
S (I)/D t= ff [Zl/D, Zm/D].
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
391
Так как число условий в (1) конечно, то мы можем найти множе-
ство X g D, такое, что
(2) Zh fl Х<= Y\ если 1 к С I,
Z1 П Z1 П X = Zh П X, если S; и = sk-
Обозначим для каждого i £ X
j т}. Тогда, в силу (2) и
через s множество {/ i £ ZJ, 1
определения УЛ, мы получаем, что
Sli 1= (Эя) Л !«* (0, ..
Итак, выберем a (i) £ At так, что
Я/ Л 'Ф/ Ь (0, «х (О,
Определим а (г) £ произвольно, когда
введем обозначение
а"(01-
ап (г)].
i $ X. Для 1 j т
= «40, (OU-
Заметим, что, в силу выбора элемента а,
Zj Q Xcz W\ ^т.
Отсюда Z3ID WJ/D. Так как о удовлетворяет условию 6.3.1 (ii),
то, в силу (1),
S (Г) ID t= о [Ж1//), W™!D].
Но так как формула ф определяется последовательностью
(о; ifj, Фт), то из этого следует, что
П t= ф («д, «Ь, «551,
D
а отсюда и
Ц t= (Зх) ф [лЬ, а©], Ч
D
Рассматривая доказательство предложения 6.3.2, мы можем
сделать следующие дополнительные замечания. Если предложение
или формула <р заданы явно, то, используя процедуру, описанную
в предложении 6.3.2, мы можем явно найти формулы о,
такие, что ф определяется последовательностью
(о; ф1? ., фш). Другими словами, если мы знаем точный вид
формулы ф как слова в языке X, то мы можем выявить специаль-
ного вида формулы о, ., фт, которые определяют ф. Мы
назовем такой процесс эффективным. Эффективный процесс можно
определить и другим способом, а именно процесс эффективен тогда
и только тогда, когда мы можем запрограммировать машину так,
что если мы введем в нее выражение для ф, то она автоматически
и механически выдаст нам последовательность формул (о; ф1? . . .
392
Гл. 6. Дополнительные сведения
., tym) так, что каждый символ будет напечатан на куске ленты.
Такой процесс также называется рекурсивным} однако, так как
наша книга посвящена теории моделей, мы не будем здесь углуб-
ляться в теорию рекурсии. Хотя эта теория и нужна нам в даль-
нейшем, мы договоримся раз и навсегда, что на интересующие
читателя вопросы он найдет ответы в некоторых из предлагаемых
в конце книги работ. Но в дальнейшем не должно возникать сомне-
ний, что мы имеем в виду, когда говорим, что что-нибудь эффек-
тивно. Следующее предложение суммирует эти замечания.
Предложение 6.3.3. (i) Существует эффективный способ по
данной формуле ср находить определяющую ее последовательность
(О’, фх, . ., фти).
(ii) Существует эффективный способ по данной ^п-формуле
(соответственно Нп-формуле) ср находить определяющую ее после-
довательность (о; ф1э . ., фт), такую, что каждая формула фу
является ^п-формулой (соответственно Нп-формулой).
(iii) Если предложение ср есть ^п-предложение (соответственно
Hn-предложение), то каждая формула фу из определяющей после-
довательности — также ^п-предложение (соответственно Щ-
предложение).
Доказательство этого предложения очевидно. Заме-
тим, что понятие определяющей последовательности замкнуто
относительно логической эквивалентности. Итак, если формула (р
определяется последовательностью (о; фх, ., фт) и если форму-
лы ср', о', фр ., Ф™ эквивалентны формулам ср, о, фР
., фт соответственно, то формула ср' определяется последова-
тельностью (o'; фр . ., фт)- Это замечание основывается на
предположении, что формулы ср', о', фр ., фт имеют точно
то число свободных переменных, что и соответствующие формулы
в условии определения 6.3.1.
Непосредственным применением этих результатов является
следующая
Теорема 6.3.4. Фильтрованные произведения, фильтрованные
степени, прямые произведения и прямые степени сохраняют эле-
ментарную эквивалентность.
Доказательство. Предположим, что ЭДГ- = ЯВг при
i^I. Рассмотрим фильтрованные произведения ЭД = [Hi « 23 =
D
= П 2Sp Пусть (р — произвольное предложение языка X, и пусть
D
(о; фх, ., фт) — определяющая его последовательность. Каж-
дая формула фу является предложением языка X. По нашему пред-
положению для 1 jт
: ЭД: 1= Ф;} = = {И I : 9Sf 1= фу}.
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
393
Отсюда непосредственно следует эквивалентность таких утверж-
дений:
Я 1= Ф,
5 (I)/D |= о [X1//), Xm/D],
58 ф.
Так как фильтрованные степени, прямые произведения и прямые
степени являются частными случаями фильтрованного произведе-
ния, то предложение доказано. -4
Пусть S — конечное множество формул. Введем такие обо-
значения:
'"I S — множество отрицаний формул из S,
Д S — множество всех конечных конъюнкций формул из 5,
(Эя) S — множество всех формул вида (Эя) ф, где ф — фор-
мула из 5,
В (S) — множество всех булевых комбинаций формул из S.
Так как в дальнейшем нас будут интересовать формулы с точ-
ностью до логической эквивалентности, мы можем предположить,
что множества Д S и В (S) также конечны. В действительности
в дальнейшем обсуждении мы будем часто отождествлять форму-
лу ф с классом всех логически эквивалентных ей формул ф. Мы
постараемся тщательно проверять, что представитель ф можно
всегда выбрать так, чтобы он имел требуемое (наименьшее) число
свободных переменных или чтобы он был S®- или П^-формулой.
Рассмотрим понятие эффективности, когда речь идет о множест-
вах Д S или В (S). В первом случае мы можем взять в качестве
Д 5 все конечные конъюнкции элементов из S, включающие не
более | 5 | таких элементов. Тогда мы можем по данным элемен-
там ф, ф из Д S эффективно найти элемент 0 из Д S, эквивалент-
ный ф л ф. Во втором случае пусть В (S) будет множеством всех
различных дизъюнкций (длины не более 2|SI) конъюнкций вида
А егфг,
S|
где S = {ф^: 1 i | S ]} и каждое — либо пусто, либо сим-
вол Очевидно, что Scz В (S), так как V Д Ф есть то же сам°е,
ч о и ф. Кроме того, по ф, ф из В (S) мы можем эффективно найти
0, Р, X С В (S), такие, что Н А П Ф, Н р Ф V ф, Н
ф А ф. Мы можем также эффективно найти в В (S) противоре-
чивую и истинную формулы. Мы видим, что при переходе от 5
к В (S) число свободных переменных в формулах не увеличивает-
ся. Кроме того, если каждая формула ф £ 5 эквивалентна булевой
комбинации Sn-формул, то каждая формула ф £ В (S) эквива-
лентна Sn+i-формуле, а также Пп+гформуле. Если мы записы-
ваем выражение S = В (S), то это будет означать, что S замкнуто
394
Гл. 6. Дополнительные сведения
относительно булевых операций и что по любым ф, ф из S мы
можем эффективно найти в S формулы, эквивалентные противо-
речивой формуле, истинной формуле, формулам "] ф, ф ф
и ф ф.
Множество формул S называется самоопределяющимся, если
оно конечно и для любой формулы ф Е 5 существует определя-
ющая ее последовательность (с; фп ., фт), такая, что ф7- Е S.
Так как свойство существования определяющей последователь-
ности для ф не может быть описано эффективно, то мы будем
говорить, что мы можем эффективно найти самоопределяющееся
множество 5, если S явно задано и для каждой формулы ф Е S
определяющая последовательность (о; ф1? фт) также явно
задана.
Предложение 6.3.5. Пусть S и Т — самоопределяющиеся мно-
жества. Тогда следующие множества являются самоопределяю-
щимися'.
5 и Т, -] S, /\ S, (Эх) Л S, В (S).
Доказательство. Тот факт, что S J Т — самоопреде-
ляющееся множество, следует из определения. Для множеств
"| S, Д S, (3^) Д S этот результат может быть получен с по-
мощью доказательства предложения 6.3.2 и замечаний, предшест-
вующих этому предложению. Из комбинации доказательств для
Д S и Д S и рассмотрения формул специального вида из В (S)
легко видеть, что В (S) — также самоопределяющееся множе-
ство. Н
Замечание. В предложении 6.3.5, если множества S и Т явно
заданы, а также явно задано соответствие между ф и определяющей
ее последовательностью (а; ф\, ., фт), то мы можем эффектив-
но найти Множества из заключения предложения 6.3.5.
Множество формул S автономно, если оно самоопределяющееся
и S В (5), т. е. булевы операции на S эффективны и 5 замкнуто
относительно них. Следующая теорема — основной результат об
автономных множествах. Для большей выразительности разобьем
формулировку.на несколько частей.
Теорема 6.3.6. (i) По любой формуле ф языка X можно эффек-
тивно найти автономное множество содержащее формулу ф.
(ii) По любому конечному множеству Ф формул языка X мы
можем найти автономное множество 5ф, которое содержит мно-
жество Ф.
(iii) Если формула (предложение) ф эквивалентна булевой ком-
бинации Ъп-формул (соответственно ^^-предложений), то каж-
дый элемент множества эквивалентен булевой комбинации
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
395
^п-формул (соответственно ^-предложений), которая не содержит
свободных переменных, не входящих в <р.
(iv) Эта часть обобщает (ii) таким' же способом, как (iii) обоб-
щает (i).
Доказательство. Доказательство существенно зави-
сит от предшествующих результатов. Мы дадим набросок дока-
зательства части (i), а остальное можно доказать непосредствен-
но. Нам достаточно доказать, что каждая формула принадлежит
самопределяющемуся множеству 5, так как тогда В (S) автономно
и <р f В (5). Если ф — атомная формула, то очевидно, что множе-
ство {ф} самоопределяющееся. Если ф принадлежит самоопределя-
ющемуся множеству S, то ”| ф принадлежит самоопределяющемуся
множеству ”~| S. Если ф и ф принадлежат самоопределяющимся
множествам S и Т соответственно, то формула ф д ф принадлежит
самоопределяющемуся множеству Д (S J Т). Если ф принад-
лежит самоопределяющемуся множеству S, то (З.г) ф принадле-
жит самоопределяющемуся множеству (3^) Д S. —|
Мы отметим здесь факт, который нам будет нужен в дальней-
шем: если формула ф принадлежит автономному множеству S,
то (3#) ф принадлежит автономному множеству В ((3^) S).
Теорема 6.3.4 оправдывает следующую серию определений.
Пусть S — автономное множество предложений. Оно очевидным
образом превращается в конечную булеву алгебру относительно
логических операций ”|, д, V, 0, 1, где Ои 1 определяются как
противоречивое предложение из S и как истинное предложение
из S соответственно. Мы будем применять символ S и для обозна-
чения этой булевой алгебры. Так как S конечно, то булева алгеб-
ра S имеет точно п атомов фп ., фп, п 1. Обозначим через
{<Р1, • , Фп} множество всех атомов булевой алгебры S и введем
обозначение
at (5) = {<pi- Фп}-
Заметим, что для 1 i, j п мы имеем
6.3.7. (i) ф! V V ф71 =1.
(ii) фг- =# 0, ф^ А ф7- — 0, если i У= ].
(iii) Если ф £ S и ф фр то ф = 0 или ф фр
(iv) Если ф £ S, то ф равно дизъюнкции (возможно, пустой)
элементов из at (S).
(v) Каждая модель удовлетворяет одной из формул фр
(vi) Формула Ф, непротиворечива и имеет модель.
(vii) Если ?! — модель формулы фр а $8 — формулы ф7-, то
= / тогда и только тогда, когда для любой формулы ф £ S
2( ф эквивалентно 2J t= ф.
396
Гл. 6. Дополнительные сведения
Пусть I — множество индексов и D — фильтр над I. Допу-
стим, что <pi £ at (S) при i £ I. Мы покажем, что существует
о g at (5), такой, что
(*) ИЗ ЭД; t= <Pi следует Q ЭД; t= о.
D
Для достижения этой цели достаточно показать, что для любого
другого семейства моделей 93/, i € Л такого, что 23/ Ф/,
Ф т0ГДа 11 только тогда, когда П Ф
D D
для любой формулы ф € S.
Итак, пусть ф f S и ее определяет последовательность (о; ф1т
., Фт), гДе Ф/ € Так как и 9В^ эквивалентны относитель-
но всех предложений из 5, мы видим, что для 1 j т
{i^I = 23/ ФД.
Отсюда получаем, что следующие условия эквивалентны:
i= ч>,
S (/)/£> t= ст [Х‘/О, ...,ХтЮ],
П S3; t= Ф-
D
Значит, мы можем теперь корректно определить
П Фг = ст
D
в соответствии с (*).
Назовем Пф/ фильтрованным произведением атомов ф$. i £ /,
D
по фильтру D. Из этого понятия непосредственно получаются
такие:
фильтрованная степень ф,
D
прямое произведение [J ф/,
конечное прямое произведение ф^ X ф;.
4
Обычно в качестве D берется собственный фйльтр над I. В слу-
чае когда фильтр D несобственный, произведение моделей f] t
D
вырождается в тривиальную 1-элементную модель, на которой
отношения и функции всюду определены. Эта тривиальная 1-эле-
ментная модель, конечно, служит моделью некоторого предложе-
ния ф/ С at (5). Обозначим этот особый элемент из at (5) через £
или, более точно, через Zs- Из нашего определения видно, что все
комбинаторные свойства фильтрованных и прямых произведений
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
397
моделей могут быть перенесены на аналогичные операции на мно-
жестве at (5). В частности, чтобы привести несколько примеров,
отметим, что операция X коммутативна и ассоциативна и
Фг X £ = <Pi = £ X для всех 1 I п.
Поэтому нас не будет волновать расстановка скобок в выраже-
нии X X фгт- Пусть теперь ф^, i С Ц — произвольные
элементы из S, мы определим фильтрованное произведение формул ф^
по фильтру D как
n^i = V {° € at (5) существует <р; 6 at (5), <pf
D
и о = n<pj.
D
Заметим, что П ф/ = О, если некоторая формула ф^ равна 0. Вер-
D
ным остается и свойство (*), а именно
t= ф^ влечет [J
D D
Аналогично мы получаем
фильтрованную степень [[ ф,
D
прямое произведение Дфь
конечное прямое произведение ф£ X ф,
элементов из 5. И, разумеется, все комбинаторные свойства филь-
трованных произведений моделей переносятся на S. Из того фак-
та, что [J может быть определено на at (S) и на S, можно получить
D
некоторые интересные следствия. Многие из них основываются
на конечности множества 5, другие вытекают из эффективности
его задания. Во-первых, сформулируем практически очевидные
замечания, которые оставим в качестве упражнения:
6.3.8. Пусть (jp Е S. Тогда
(i) Предложение ф устойчиво относительно фильтрованных про-
изведений тогда и только тогда, когда ф ф для любых I, D.
D
(ii) Предложение ф устойчиво относительно фильтрованных
степеней тогда и только тогда, когда J ф ф для любого атома
D
ф ф и любых I, D.
(iii) Предложение ф устойчиво относительно прямых произведе-
ний тогда и только тогда, когда П Ф Ф &ля любого I*
398
Гл. 6. Дополнительные сведения
(iv) Предложение ср устойчиво относительно прямых степеней
тогда и только тогда, когда Ц ф Ф для любого атома ф Ф
и любого I.
(v) Предложение ср устойчиво относительно конечных прямых
произведений тогда и только тогда, когда ср X <р ф.
(vi) Предложение ср устойчиво относительно конечных прямых
степеней тогда и только тогда, когда ф X X ф (п раз) ср
для любого атома ф ср и всех п.
Во-вторых, сделаем замечания относительно эффективности
на S операций X и JJ. Мы уже показали, что по любой формуле ф
D
можно эффективно найти автономное множество S, такое, что
Ф Е S. Из определения автономного множества мы знаем, что для
любых формул ср, ф С S можно эффективно найти формулы р,
% и 0 в S, такие, что
I- Р ** П ср, Н %*-► <Р V ф, н 0 Ср Л гр.
Кроме того, мы можем эффективно найти в S противоречивое
и истинное предложения. Все это, однако, не гарантирует, что мы
можем эффективно узнать, какие из предложений множества 5
лежат в at (5). Вообще говоря, требование ср =/= 0 по существу
означает, что ср непротиворечива, а это мы не можем эффективно
установить. Поэтому невозможно сделать операции X и [J эффек-
D
тивными на 5. С другой стороны, даже если мы не можем отличить
атомы от неатомов, мы можем, однако, рассмотрев определение
В (S), всегда эффективно найти подмножество S' из S, такое, что
at (S) cz S' и каждое предложение из S' — либо атом из S, либо
противоречиво. Простое рассмотрение показывает нам, что по
любому предложению ср из S мы можем эффективно найти подмно-
жество S' из S, такое, что каждый атом из S, лежащий в ср, при-
надлежит S' и каждое предложение из S' — либо атом, лежащий
в ср, либо противоречиво.
Теорема 6.3.9. (i) Предложение ср устойчиво относительно конеч-
ных прямых степеней тогда и только тогда, когда оно эквивалентно
дизъюнкции предложений, устойчивых относительно конечных
прямых произведений.
(ii) Предложение ср устойчиво относительно прямых степеней
тогда и только тогда, когда оно эквивалентно дизъюнкции пред-
ложений, устойчивых относительно прямых произведений.
(iii) Предложение ср устойчиво относительно фильтрованных
степеней тогда и только тогда, когда оно эквивалентно дизъюнк-
ции предложений, устойчивых относительно фильтрованных произ-
ведений.
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
399
(iv) Предложение ф устойчиво относительно фильтрованных
произведений тогда и только тогда, когда оно устойчиво относи-
тельно конечных прямых произведений и устойчиво относительно
фильтрованных степеней.
Доказательство, (i) Пусть предложение ф устойчиво
относительно конечных прямых степеней. Найдем автономное
множество S, такое, что ф С S. Рассмотрим все предложения
ф f S, такие, что ф ф и ф устойчиво относительно конечных
прямых произведений. Мы докажем, что ф эквивалентно дизъюнк-
ции таких предложений ф. Пусть т g at (5) и т ф. Тогда множе-
ство всех конечных прямых степеней предложения т есть конечное
множество атомов, каждый элемент которого лежит в ф. Пусть
ф — дизъюнкция всех таких атомов. Очевидно, что т ^ф Ф
и предложение ф устойчиво относительно конечных прямых произ-
ведений. Итак, ф эквивалентно дизъюнкции таких предложений.
(ii) Доказательство аналогично доказательству пункта (i).
(iii) Пусть предложение ф устойчиво относительно фильтро-
ванных степеней и множество S автономно и содержит ф. Вновь
рассмотрим все ф g S, такие, что ф ф и предложение ф устой-
чиво относительно фильтрованных произведений. Пусть т g at (S)
и т ф. Тогда множество всех фильтрованных произведений
атома т есть конечное множество атомов, лежащих в ф. Пусть ф —
дизъюнкция таких атомов; тогда ф устойчиво относительно филь-
трованных произведений и т ф, так как фильтрованное произ-
ведение фильтрованных произведений атома т — снова филь-
трованное произведение т (см. упр. 6.2.3). Итак, ф — дизюъюнк-
ция таких предложений.
(iv) . Предположим, что предложение ф устойчиво относи-
тельно конечных прямых произведений и фильтрованных степе-
ней. Пусть ф £ S и S — автономное множество. Рассмотрим атомы
фг, i g I, из S, такие, что фг ф. Мы хотим показать, что филь-
трованное произведение ПФ* есть атом> содержащийся в ф. Мы
D
можем предположить без ограничения общности, что
{Фг i Е 1} = {ф/ 1^7^ каждое предложение ф>
лежит в at (S)
и для любых j и X £ D
= {i е I 1рг = фЛ
и
X n Ij 0.
Определив фильтр/); над Ij, как в предложении 6.2.1, мы видим,
что
ПФ; Пф1 X Пф2 X • • • X Цфг
D Di D% Dl
400
Гл. 6. Дополнительные сведения
Так как предложение ср устойчиво относительно фильтрованных
степеней, то Ц ср; — атом, содержащийся в <р, а так как ср устой-
D} - п
чиво относительно конечных прямых произведении, то содер-
D
жится в <р. Н
Примененная выше техника приводит к доказательству интер-
поляционной леммы (см. упр. 6.3.2). Дальнейшее усовершенство-
вание техники приводит к доказательству следующего важного
результата: предложение, устойчивое относительно конечных
прямых произведений, устойчиво относительно прямых произве-
дений.
Пусть S — автономное множество. Произвольная операция
возведения в прямую степень <рт = fj ср на S называется существенно
конечной индекса т, если для любого предложения ср £ S и любого
(непустого) множества индексов I, содержащего более т эле-
ментов, существует подмножество J, содержащее точно т эле-
ментов, такое, что
<pJ = <рК = (pi для любого А’, такого, что 7cz Kez 7.
Если такое т существует, то мы говорим, что (произвольная)
прямая степень существенно конечна на S.
Усовершенствование доказательства теоремы 6.3.6 приводит к
следующему результату:
Предложение 6.3.10. Для любого предложения ср языка X
мы можем эффективно найти автономное множество предложений
S, такое, что <р 6 5. Кроме того, прямая степень на S существенно
конечна индекса т и индекс т эффективно находится по (р.
Мы покажем здесь, что, в то время как операции X и [J на S
D
не эффективны, мы можем эффективно определить индекс т. Дока-
зательство этого предложения основывается на следующей лем-
ме. Примем вначале такое соглашение. Предположим, что S —
автономное множество формул от свободных переменных xt,
., хп. Мы можем найти соответствующее множество предложе-
ний S', подставив вместо всех свободных вхождений переменных
х19 ., хп в <р g S новые константы q, ., сп соответственно.
Таким способом наши определения фильтрованного произведе-
ния н т. п. на S' переносятся естественным образом на 5. Мы
можем также говорить, что S имеет существенно конечные прямые
степени и т. д.
Лемма 6.3.11. Любое конечное множество Ф булевых комбинаций
^-формул можно эффективно расширить до автономного множе-
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
401
ства S булевых комбинаций 'ЯЬ-формул (каждая свободная пере-
менная, входящая в какую-либо формулу из S, входит в некоторую
формулу из Ф), имеющего существенно конечную прямую степень
и такого, что индекс т эффективно вычислим.
Доказательство (в общих чертах). Докажем это
индукцией по п. Для п = 0 пусть S = В (S) — множество всех
булевых комбинаций атомных формул, входящих в Ф. Число т
есть просто число различных атомных формул (не предикатных
символов), входящих в Ф. Это можно показать следующим обра-
зом. Пусть а± (i), ап (i)), i £ I, — модели для X (J
U {ci> •> сп}, и предположим, что ] I | т. Для любой атом-
ной формулы <р (лг1? яп) из Ф выберем такой индекс i g I, что
Sf 1= “] Ф [ai (0, ап (0L
если он существует. Множество всех таких индексов обозначим
через J, оно содержит не более т элементов. Мы видим, что для
всех К, Jez Kez I, и любого ф £ S следующие условия эквива-
лентны:
I (Si, Oi (i),
П (Si, (i),
H(Si, (i),
«П (0) t= Ф,
an (i)) t= Ф,
«П (0) 1= ф.
Это доказывает наше утверждение для п = 0. Предположим, что
лемма верна для п. Пусть Ф — конечное подмножество булевых
комбинаций Sn+i-формул. Без ограничения общности мы можем
предположить, что существует конечное множество Y булевых
комбинаций Sn-формул и последовательность и — (уг, . ., ут)
переменных, такие, что каждая формула ф £ Ф является булевой
комбинацией формул из (Эи) Т. По предположению индукции Y
можно расширить до автономного множества Т булевых ком-
бинаций Sn-формул, прямая степень на котором существенно
конечна индекса т. Пусть S автономно, 5 — В ((Эи) Т). (Здесь мы
применяем замечание, приведенное после теоремы 6.3.6, и заме-
чаем, что в доказательстве предложения 6.3.2 несущественно,
навешиваем ли мы квантор на одну переменную или одновремен-
но на последовательность переменных.) Поэтому каждая формула
из S — это булева комбинация Sn+i-формул и 5 — расширение Ф.
Мы покажем сейчас, что прямая степень на S существенно конеч-
на. Пусть 0Х, ., — эффективное перечисление формул из
7, которое включает в себя все атомы из Т, такое, что каждая фор-
мула Of — либо атом в Т, либо противоречива. Мы утверждаем
26 г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
402
Гл. 6. Дополнительные сведения
сейчас, что множество S' всех конъюнкций
/1) <р = Л Ej (Ни) 0Ь пусто либо 7],
содержит все атомы из 5 и что каждая такая конъюнкция —
либо атом в S, либо противоречива. Это очевидно, так как для
любой формулы 0 £ Т формула (Ни) 0 эквивалентна дизъюнкции
формул вида (Ни) 0; и П (Ни) 0 эквивалентна конъюнкции фор-
мул вида (Hu) 0Р По теореме о дизъюнктной нормальной
форме каждый атом из 5 имеет представитель в 5', и очевидно,
что каждая конъюнкция в S' — либо атом, либо противоречивая
формула. Мы покажем, что тп* | S' | — требуемый индекс. Мы
сейчас докажем это неформально. Для каждого атома ф из S' пусть
g (ф) — дизъюнкция всех атомов 0f из Т, которые встречаются
в представлении (1) для ф в выражении (Hu) 0f без символа Г].
Тогда
(2) g — одно-одно значное отображение at (5) в Т
и
(3) g сохраняет прямые произведения, т. е. g (П фЭ = 11g (<рг).
ie? -ter
Мы оставляем утверждения (2) и (3) в качестве упражнений. Так
как прямая степень на Т существенно конечна индекса иг, то из
(2) и (3) следует, что прямая степень на at (5) существенно конечна
индекса тп. Вспомнив, что число атомов в S не превосходит | S' |,
мы видим, что произведение любых к тп • | S' | атомов из £
может быть всегда преобразовано в подпроизведение точно
тп * | S' | членов. (Здесь мы используем существенно тот факт,
что тп является индексом для фильтрованных степеней на at (5).)
Более точно, в каждом прямом произведении тп • | S' | атомов
из S некоторый атом повторяется не менее тп раз. Значит, мы
можем присоединить этот атом любое число раз без изменения
этого произведения. Так как прямое произведение на S есть есте-
ственное обобщение прямого произведения атомов из 5, то при-
веденные замечания показывают, что прямая степень на S имеет
индекс тп • ] S' |. Н
Пусть S — автономное множество предложений. Определим
на at (5) отношение следующим образом: для элементов
ф, Ф € at (5)
Ф Ф тогда и только тогда, когда ф X 0 = ф для
некоторого 0 g at (5).
Так как в at (S) существует единица то отношение рефлек-
сивно. Если ф — 0Хфиф=%Хт, то ф = (0 X х) X т и, сле-
довательно, отношение транзитивно.
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
403
Предложение 6.3.12. Пусть S — автономное множество. Еслц
прямая степень на S существенно конечна, то отношение ^Сх
задает на at (5) частичный порядок.
Доказательство. Пусть ср, гр, 9, % gat (S), ф = 0хф
и Ф = Х х Ф- Тогда
Ф — 0Хф=(0Х%)Хф = (0Х x)n X ф для любого п < со.
Пусть т — индекс прямой степени на S, тогда из коммутатив-
ности и ассоциативности операции X мы получаем
Ф 0т X f X Ф = 0W+1 X f X Ф = 0 X (0™ X X фУ =
= 0 X ф — ip.
Таким образом, отношение ^х антисимметрично. -]
Пусть ф g at (5), и рассмотрим множество
(*) Ф = {ф g at (5) <р <х ф}.
Очевидно, что ipi X ip2 € Ф> если грх, гр2 g Ф. Отсюда следует, что
предложение V Ф устойчиво относительно конечных прямых
произведений. Аналогичное рассмотрение показывает, что пред-
ложение
(** ) V bp 6 at (S) : ф sCx <p}
устойчиво относительно прямых сомножителей. Известно, что
если ^х задает (конечный) частичный порядок, то каждый эле-
мент ф g at (S) является булевой комбинацией как предложений
вида (*), так и предложений вида (**). Отсюда мы получаем
Предложение 6.3.13. (i) Каждое предложение эквивалентно
булевой комбинации предложений, устойчивых относительно конеч-
ных прямых произведений.
(ii) Каждое предложение эквивалентно булевой комбинации
предложений, устойчивых относительно прямых сомножителей.
Доказательство. В силу теоремы 6.3.9 и предложе-
ния 6.3.10, для любой формулы ф можно найти автономное мно-
жество 5, такое, что ф g S и отношение ^х задает на at (S) частич-
ный порядок. Теперь доказательство следует из предыдущих заме-
чаний. —|
Мы увидим дальше, что утверждение (i) может быть усилено.
Теорема 6.3.14. (i) Любое предложение, устойчивое относитель-
но конечных прямых произведений, устойчиво относительно (про-
извольных) прямых произведений.
(ii) Любое предложение, устойчивое относительно конечных
прямых степеней, устойчиво относительно прямых степеней.
(iii) Более общо, по любому предложению ф мы можем эффектив-
но найти число п, такое, что для любого индексного множества I
и любых моделей i g I, существует подмножество J в I, кото->
26*
404
Гл, 6. Дополнительные сведения
рое содержит не более п элементов, и для любого К, Jcz Kez I,
Ц?1£ Ф тогда и только тогда, когда П 1= Ч>.
i£K i£l
Доказательство. Оба условия (i) и (ii) следуют из
(iii). (В действительности уже по теореме 6.3.9 часть (ii) сле-
дует из (i)). Таким образом, мы должны доказать лишь (iii).
(iii) Для предложения ф найдем эффективно автономное
множество 5, на котором прямые степени существенно конечны
индекса т. Пусть п = т* | 5 |. (На самом деле это излишне, так
как мы можем найти гораздо лучшую верхнюю границу для числа
атомов в S, чем | S |.) Предположим, что дано семейство моделей
ЭДг, & € Л такое, что *1 t= lb где ф£ — атом из 5. Если атом ф
из 5 встречается в списке ф£, i С I, меньше, чем т раз, то мы отне-
сем в J все индексы i £ I, такие, что ф -= ф£. Если атом ф из 5
встречается в списке ф£, i £ I, т или большее число раз, то мы
просто выберем произвольные т индексов i, таких, что ф = ф£,
и отнесем их в J. В результате множество J имеет не более п эле-
ментов.
Чтобы проверить условие (iii), нам достаточно доказать его для
атомов ф ф. Пусть К таково, что J се К се I, ф g at (5) и ф ф.
Тогда, в силу того, что прямая степень на S имеет индекс т, мы
видим, что при подходящей перегруппировке атомов ф£, i g I,
П = П = Пя’г-
iGK
Итак, 0 ф/ = ф тогда и только тогда, когда Ц ф£ = ф, и отсюда
iGK г£Г
ф тогда и только тогда, когда П яг t= гр. ч
iGK
Продолжая наши исследования в том же направлении и приме-
няя аналогичные методы, мы покажем, что каждое предложение
языка X эквивалентно булевой комбинации предложений, устой-
чивых относительно фильтрованных произведений. Заметим, что
по теореме 6.3.9 (iii) нам достаточно показать, что каждое пред-
ложение эквивалентно булевой комбинации предложений, устой-
чивых относительно фильтрованных степеней.
Возвратимся сейчас к определению фильтрованной степени
Р{ф, определенной на атомах автономного множества. Напомним,
D
что П Ф = Ф тогда и только тогда, когда для любых моделей §1/,
D
i £ I, языка X, таких, что ф, выполняется Ц ЭД, ф. Так
D
как S — автономное множество, то существует определяющая
последовательность (о; ф1? ., фт) для ф, такая, что фу g S.
Это означает, что для X3 = {i g I : 21; ф;}, 1 т, выпол-
6,3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
405
няется такое условие:
ф тогда и только тогда, когда S (I)/D о [Х*/П, ..., Xm/D].
D
Заметим, что, поскольку ф, то множество Х} не зависит от
?Ii, j Е /, а зависит лишь от ф7-, а значит, и отф. Более того, в зави-
симости от того, лежит атом ф в ф; или не лежит, множество
будет равно / или 0 соответственно. Отсюда следует, что справед-
ливость равенства ф = Ф зависит лишь от того, будет ли выпол-
D
нено условие S (I)/D 1= o', где o' — предложение языка буле-
вых алгебр, зависящее лишь от ф. Из этого свойства мы можем
извлечь следующее простое, но важное утверждение:
Если S (I)/D и S (J)/E — элементарно эквивалентные буле-
вы алгебры, то Г1 ф = ф Т0ГДа и только тогда, когда П Ф = Ф-
D Е
Из этого вытекает, что фильтрованное произведение JJ ф на at (S)
D
зависит лишь от элементарного типа булевой алгебры 5 (/)/£>.
Пусть буквы а, Ь, с, задают классификацию элементарных
типов булевых алгебр вида S (ty/D, т. е. тех булевых алгебр,
которые являются (собственными) гомоморфными образами пол-
ной атомной булевой алгебры. Определим для предложения
Ф С at (5) и элементарного типа а булевой алгебры 5 (I)/D опера-
цию
а*ф = единственное предложение ф£ at (S), такое, что Цф=^ф.
Пусть Q — множество всех элементарных типов факторалгебр
вида S (/)/D. Из теоремы 6.3.4 следует, что прямое произведение
двух таких алгебр 5 (I)!D и S (J)!E определяется с точностью до
элементарной эквивалентности типами алгебр S (I)ID и S (J)/E.
Из предшествующего рассуждения также следует, что с точно-
стью до элементарной эквивалентности фильтрованная степень
П 5 (I)/D таких алгебр по фильтру Е над J определяется типом
Е
булевых алгебр S (I)/D и S (J)IE. Исходя из этих замечаний, мы
можем определить операции а X Ъ и а-Ъ для а, Ъ Е Q. Сейчас мы
введем известные специфические типы булевых алгебр, а именно:
п — тип булевой алгебры, имеющей точно п атомов,
оо — тип (полной) теории безатомной булевой алгебры.
Следующие две леммы дают все, что нам нужно знать об этих
трех операциях а X 6, а-Ъ и а* ф.
Лемма 6.3.15. Пусть а, Ъ — типы из Q. Тогда
(i) а X Ъ Е(>, а-Ъ п й £ Q;
406
Гл, 6. Дополнительные сведения
(ii) а»оо = оо-а = оо;
(iii) а. оо или а = с X 1 для некоторого с £Q.
Дока зательство. Мы дадим наброски доказательств
каждого пункта леммы, оставляя детали читателям. Пусть а —
тип булевой алгебры S (T)/D и Ъ — тип булевой алгебры S (J)IE.
Мы можем предположить, что I П «7 = 0. Тогда а X Ъ есть тип
булевой алгебры
5 (7 и JV{X и у X е D, Y е Е},
а а*Ь — тип булевой алгебры
(1) 5 (I X J)/D X Е,
Очевидно, что п С Q для всех п < со. Чтобы установить, что оо £
£ рассмотрим тип булевой алгебры
5 (о)/{Xcz со (со \ X) конечно}.
Обратим внимание, что вообще а-Ъ Ь*а, тем не менее прямым
способом или применяя определение для а* 6, данное в (1), легко
проверить, что а* оо = оо-а — оо. В последнем утверждении
если а не является ни безатомным, ни тривиальным, то он имеет
атом. Теперь легко выделить этот атом сомножителем. Н
Лемма 6.3.16. Пусть S — автономное множество, и пусть ср,
ф g at (S) и a, Ъ £ Q, Тогда
(i) (а-&)-ф = а-(Ь-ф).
(ii) (а X Ь)-ф = а-ф X &-ф.
(iii) а-(ф х ф) = а-ф X а-гр.
(iv) £s = a-ts-
(v) 1-<р = ф.
Мы оставляем легкое доказательство леммы 6.3.16 в качестве
упражнения. Для элементов ф, ф g at (5) введем новое отноше-
ние порядка положив
Ф ^С^ф тогда и только тогда, когда а-ф = ф
для некоторого a £ Q,
Следующие дйа результата аналогичны предложениям 6.3.12
и 6.3.13.
Предложение 6.3.17. Пусть S — автономное множество пред-
ложений. Если отношение на (5) задает на этом мно-
жестве частичный порядок, то отношение также является
частичным упорядочением.
Доказательство. В силу леммы 6.3.16 (i) и (v),
отношение рефлексивно и транзитивно. Поэтому нам остается
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
407
показать, что отношение антисимметрично. Итак, пусть ср =
— а• ф и ф = Ь-ср, где а, Ъ С Q и ф, ф £ at (5). Если один из типов а
или Ъ равен оо, пусть это будет а, то по лемме 6.3.15 (ii)
ф = оо-ф — (д-оо)-ф = Ь-ф — ф.
Если а У= оо, то по лемме 6.3.15 (iii) а == с X 1 для некоторого
с g Q. Тогда по лемме 6.3.16 (ii) и (v)
ф = (с X 1)-ф =; е-ф X 1-ф = е-ф X ф.
Итак, ф хф. Таким же образом если Ь=£ оо, то ф ХФ- Поэто-
му, в силу предположений, ф = ф. —|
ТЕоремл 6.3.18. Любое предложение ф эквивалентно булевой
комбинации предложений, устойчивых относительно фильтрован-
ных произведений.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Найдем автономное множество S,
содержащее ф, такое, что прямая степень на 5 существенно конеч-
на. В силу предложения 6.3.12, отношение ^х задает частичный
порядок на at (5). В силу предложения 6.3.17, отношение
также задает частичный порядок на at (5). Это означает, что каж-
дое предложение в S есть булева комбинация предложений вида
Фо V {Ф € at (5) 0 ф} для 0 g at (5).
Очевидно, если 0 ^ф, то 0 ф для любой фильтрованной
D
степени [J ф. Итак, каждое фе устойчиво относительно фильтро-
D
ванных степеней. Результат теоремы следует теперь из теоре-
мы 6.3.9 (iii). —|
Для того чтобы в дальнейших рассуждениях выделить в некото-
ром смысле самое основное, предположим, что S — автономное
множество. Пусть
Т = { Л (8ф)ф еФ либо пусто, либо *-]},
и, как и раньше, пусть В (5) — множество дизъюнкций предло-
жений из Т с не более чем I — | Т | членами. Как мы заметили
ранее, множество В (5) автономно. Но более важно, что Т состоит
из всех атомов из В (5) плюс, возможно, несколько других противо-
речивых предложений. Любое предложение ф (Е 5, конечно, экви-
валентно дизъюнкции подмножества из Т, такого, что
Тф = {0 € Т ф позитивно входит в 0}.
Отсюда, так как каждое ф С 5 определяется последовательностью
(о; ф1? . . ., фт), фу £ S, мы видим, что с помощью достаточно
408
Гл. 6. Дополнительные сведения
длинных выкладок можно показать, что, записав Т = {01т
для любого к, 1 к Z, мы можем эффективно найти фор-
мулу (jk от переменных у17 такую, что последо-
вательность (оь; 0lt . . ., 0г) определяет 0fe.
Пусть JczZhI^Zc^Z. Определим предложение р7> ь в языке
булевых алгебр следующим образом:
р/,л = (Эу1 yi)M^y}) =
kj
= 1л Л (угУ;=0)л Л (yj = O))-
i,
Для Jcz Z обозначим через Ф (J) следующее утверждение:
для любого к, такого, что kQJnl^k^.l, булево пред-
ложение р/.ь ложно во всех булевых алгебрах S (I)ID.
Для <р g S пусть Уф = {к 0fe g Z<p}.
Предложение 6.3.19. Предложение <р устойчиво относительно
фильтрованных произведений тогда и только тогда, когда для неко-
торого J cz «7Ф предложения Ф (J) и <р эквивалентны у 0h.
hEJ
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. (i) Предположим сначала, что q>
устойчиво относительно фильтрованных произведений. Пусть
J = {k £ /ф 0fe — атом в В (S)}.
Очевидно, что Jcz и <р эквивалентно у 0ft. Мы докажем сей-
KEJ
час утверждение Ф (J). Если ср противоречиво, то J = 0 и рЛ к
ложно в любой булевой алгебре, а также ложно и Ф (J). Пред-
положим сейчас, что предложение ср непротиворечиво. Предполо-
жим от противного, что
pJtk истинно' в некоторой булевой алгебре
S (I)/D для некоторого к (f J.
Тогда существуют множества X4D, X4D, такие, что
S (I}ID t= ok [Xl/D, . .., Xl/D] ь 2 Xj/D = 1 л A (XVD-Xj/D = 0).
56 J l^i<5^l
Пусть X £ D — такое множество, что
и
X1 р Р I = 0 для 1 i < j Z.
Заметим, что каждый элемент X^ID при ] $ J будет равен 0. Для
; g J и i £ X*'f| X пусть Sh — модель для 0f. Для i I \ X
возьмем в качестве 21 i произвольную модель предложения q>
6.3, Прямые произведения, фильтрованные произведения
409
(мы предположили, что ф совместно). Очевидно, что при j $ J
6; — либо несовместное предложение, либо атом, не содержащий-
ся в ф. Определим для /, 1 2,
(1) Y3 = {i^I 9j}.
Очевидно, что
У; = 0, если
и
Y3lD = X3lD,
(2) 2г/р=1,
l^i<
Так как S (I)/D t= IX1//), ., Xl/D], to 5 (I)/D 1=
Ой [Y3/D, ., Yl/D]. Так как последовательность (aft; 0Ъ
0Z) определяет формулу 0ft, мы видим, что
(3) П 21; 1= 0ь.
D
Это противоречит тому факту, что ф устойчиво относительно филь-
трованных произведений, a 0fe — атом, не содержащийся в ф.
(ii) В другую сторону, допустим, что для некоторого J a
предложения Ф (J) и ф эквивалентны V 0ft. Пусть /, D и
i £ У, таковы, что ф. Определим множества Y3, 1 j 2,
как в (1). Тогда очевидно, что (2) выполнено. Существует некото-
рый атом 0fe, такой, что (3) выполнено. Отсюда получаем
(4) S (I)/D 1= ak [Yr/D, Yl/D],
Взяв вместе (2) и (4), мы видим, что
pJtft выполняется в булевой алгебре 5 (/)/£>.
А из этого, в силу Ф (У), следует, что к £ J. Итак, П Я; t= <р. Ч
D
Рассмотрим сейчас утверждение S (ф) о предложении ф: для
некоторого J с: Уф предложения Ф (J) и ф эквивалентны V 0ft*
ftGJ
Взяв произвольное предложение ф, мы видим, что предложе-
ния 01? ., 0Z могут быть найдены эффективно; подобным же
образом могут быть найдены эффективно и формулы ах, nz.
Аналогичные замечания можно сделать относительно множеств
и Так как Уф конечно, то мы можем рассмотреть по очереди
все такие У, что Усс Уф. По данному У предложение V может
ktJ
быть сконструировано явно. Отсюда мы можем узнать, верно ли
Н Ф V 0ft, чт0 связано с нахождением доказательства пред-
ftGJ
410
Гл. 6. Дополнительные сведения
ложения V 0А. А это в свою очередь рекурсивно перечисли-
k&r
мое множество. Вернувшись теперь к утверждению Ф (J), мы
видим, прежде всего, что конструкция pJt & для любого J a: Jv
и к $ J задана явно. Тем не менее нет способа эффективно про-
интерпретировать утверждение
k не выполняется в булевых алгебрах S
Позднее мы увидим, что утверждение 2 (ф) арифметическое.
Наконец, последний результат этого раздела, применяющий
исследование булевых алгебр из разд. 5.5:
Теорема 6.3.20. (Теорема Ершова.) Пусть о—предложение
в языке булевых алгебр и ТВА — аксиомы теории булевых алгебр.
Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) Множество формул TbaU {а} совместно.
(ii) Предложение а выполняется в некоторой факторалгебре
S булевой алгебры S (со).
Доказательство. Мы заметим сначала, что (i) сле-
дует непосредственно из (ii).
(i) -> (ii). Для доказательства в другую сторону нам потре-
буется несколько промежуточных шагов. Сначала заметим, что (i)
эквивалентно утверждению
о выполняется в некоторой булевой алгебре 23.
В обозначениях разд. 5.5 пусть т (93) и п (93) — пара инва-
риантов, определенных для булевой алгебры 93. Если мы найдем
факторалгебру S ((j>)/D, такую, что
(1) т (S (со)//)) - т (93) и п (5 (со)//)) - п (93),
то мы можем заключить из 5.5.10, что предложение о выполнено
в S (со)//), ц (ii) будет доказано. Для доказательства (1) мы пока-
жем, что
(2) для любой пары возможных инвариантов (тп, п) для буле-
вых алгебр существует факторалгебра S (со)//), такая, что
т (S (со)//)) — т и п (5 (со)//)) ~ п.
Мы разобьем доказательство (2) на два случая: т конечно и т =
= оо.
Сначала мы рассмотрим случай конечного т. Напомним, что
в разд. 5.5 мы установили, что п — либо целое число, либо равно
± оо, что оно зависит от числа атомов в й(т) и от того, является
ли ЭД(7П) атомной булевой алгеброй. Мы докажем сначала сле-
дующую лемму индукцией по конечным т.
Лемма 6.3.21. Пусть п — либо натуральное число, либо ± оо.
Тогда существует факторалгебра S (со)//), такая, что
6,3, Прямые произведения, фильтрованные произведения
411
(i) D содержит все конечные подмножества из со;
(ii) т (S (co)/D) = т и п (S (co)/Z>) = п.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай т — О
и п = 1. Пусть D — произвольный неглавный ультрафильтр над со.
Тогда S ((o)/D имеет точно один атом и D удовлетворяет (i). Для
всех положительных значений п при т ~ 0 мы, применяя кон-
струкцию из леммы 6.3.15, находим фильтр D над со, удовлетво-
ряющий (i) и (ii). Если п — отрицательное число, то мы вновь
обратимся к конструкции из леммы 6.3.15, объединяя атомную
и безатомную части. Таким образом, случай т — 0 доказан.
Рассмотрим теперь произвольную пару инвариантов (т + 1, п),
где п — либо целое число, либо ± оо. По предположению индук-
ции мы уже имеем факторалгебру 5 (co)/Z>, удовлетворяющую (i)
и (ii). Мы сейчас сконструируем другую факторалгебру 93 =
= 5 (со X co)/F, такую, что
(3) (i) выполняется для F и 93(1) = S (co)/Z).
(93(1) определена в разд. 5.5). Из этого легко следует, что т (93) =
<= т + 1 и п (93) = п. Сконструируем фильтр F. Пусть Е —
произвольный неглавный ультрафильтр над со. Определим сле-
дующее семейство F подмножеств из со X со: для Xcz со X со поло-
жим Xi = X П {О X со. Тогда (в дальнейшем мы часто будем
отождествлять Xt с множеством {n: (t, тг) g Хг})
{4) X g F тогда и только тогда, когда Xt С Е для всех i g со
и {i £ со Xi коконечно} g D,
Легко показать, что F — фильтр над со X со. Кроме того, F содер-
жит все коконечные подмножества из со X со. Пусть 93 =
= S (со X <o)/F, и мы утверждаем, что 93 — искомая фактор-
алгебра, удовлетворяющая (3).
Пусть I — произвольное подмножество из со. Рассмотрев
«определение (4) для F, мы видим, что обе следующие эквивалент-
ности верны:
(5) I/D = 0 тогда и только тогда, когда существует множество
X g F, такое что I f| {i g со Xt коконечно} = 0;
J/D^O тогда и только тогда, когда I П {i £ со Xi коко-
нечно} =£ 0 для любого X £ F.
Так как по предположению D содержит все коконечные подмноже-
ства из со, то {i}/D = 0 для всех i £ со, и потому по (5)
(6) для всех i g со существует X g F, такое, что Xt £ Е, но Xi
не коконечно.
Еще одно определение: для любого X cz со X со пусть
(X) = 0 € (О : Xi 6 Z?}.
412
Гл, 6, Дополнительные сведения
Атомы алгебры 23 характеризуются следующим образом. Пусть
Хс со X (о. Тогда
(7) X/F — атом из 23 тогда и только тогда, когда (X) есть одно-
элементное множество {i} и X/F = XJF.
Для доказательства (7) предположим вначале, что (X) —
одноэлементное множество {i} и X/F = XJF. Нам достаточна
показать, что XJF — атом алгебры 23. Заметим, что <о \ Хг $ Е.
Поэтому cd X (о \ Xf а также XJF 0. Предположим, что
Усг Хг. Тогда или У g Е, или Х£ \ У g Е, а значит,
YIF = XIF или Y/F = 0.
С другой стороны, предположим, что X/F — атом из 23. Сначала
мы покажем, что
(8) (X) #= 0.
Допустим, что (8) не верно. Пусть
J = {i g со Xi бесконечно}.
Так как (8) не верно, то Xi $ Е для i £ J. Отсюда следует, что
со \ J (J Z>, так как в противном случае XIF = 0. Далее, для
каждого i £ J пусть Yt и — непересекающиеся бесконечные
подмножества множества Хг и
w = U Yi и и = U Zt.
teJ
Их (5) следует, что
0 #= W/F < X/F, U/F Х/F, WIF #= UIF.
Это противоречит тому, что XIF — атом. Следовательно, усло-
вие (8) выполнено. Если i, j £ (X) и i =/= у, то очевидно, что
0 ^KXilF X/F, 0 #= Xj/F < X/F, XJF Xj/F.
Поэтому мы получаем, что (X) = {i} для некоторого i g ю. Мы уже
доказали, что Xi/F — атом в 23 и XJF Х/F Отсюда следует,
что XJF = X/F и (7) доказано.
Из утверждения (7) и его доказательства получается и утвержде-
ние о следующей характеризации безатомных элементов алгеб-
ры 28. Пусть Ic со X со. Тогда
(9) XIF — безатомный элемент в 23 в том и только том случае,
когда Xi £ Е для всех i £ <о.
Мы оставляем простое доказательство этого утверждения читате-
лям. Следующие два утверждения характеризуют те элементы,
которые принадлежат I (23), т. е. те элементы алгебры 23, которые
разлагаются на атомную и безатомную часть (см. разд. 5.5).
Пусть X cz (о X со.
6.3, Прямые произведения, фильтрованные произведения 413
{10) Если (X)ID =0, то в 58 существует объединение всех
атомов, покрывающихся элементом XIF, и оно равно
(U Значит, в этом случае XIF £ I (93).
(11) Если (X)/D 0, то в 93 объединения всех атомов, покры-
вающихся элементом XIF, не существует. В этом случае
XIF $ I (93).
Докажем вначале (10). Мы уже видели при доказательстве (7),
что XJF — атом, покрывающийся элементом XIF. Пусть Y =
U Xt. Очевидно, что XJF YIF XIF для i g (X).
iew
Более того, легко показать, что
любой атом, покрывающийся элементом Х/F, равен одному
из XJF при i С (X).
Поэтому Y/F покрывает все атомы, покрывающиеся элемен-
том XIF. Предположим, что ZIF — безатомный элемент, такой,
что ZIF YIF. Мы можем предположить, что Z с У, и, принимая
во внимание (9), получаем, что Zt ф Е для всех i £ со. Так как
(X)ID = 0, то ZIF = 0. Итак, (10) доказано.
Предположим, теперь, что (X)ID =/= 0. В силу предыдущего
рассмотрения мы знаем, что XJF, где i £ (X), есть множество всех
атомов, покрывающихся элементом XIF. Мы знаем также, что
эти атомы покрываются элементом YIF, где Y — Xt. Пред-
i£(X)
положим, что в 93 существует объединение этих атомов, и обозна-
чим его через ZIF, Мы можем предположить, что Zcz Y Так как
XJF ZIF, то Zi £ Е для всех i £ (X), так как в противном слу-
чае XtlF-ZIF = 0. Поскольку Е — неглавный ультрафильтр,
то Zi — бесконечное множество. Поэтому мы выберем подмноже-
ство Wjtz: Zi, такое, что бесконечно и $ Е. Пусть W =
U Wt. В силу (9) W — безатомный элемент в 98, такой, что
<е(Х)
О #= W/F Z/F. Но это противоречит определению ZIF. Итак,
(11) доказано.
Из (10) и (11) вытекает, что
(X)ID = 0 тогда и только тогда, когда (XIF)II (93) = 0.
Кроме того, отображение X -> (X) является гомоморфизмом
алгебры 5 (со X со) на S' (со). Отсюда мы получаем, что
5 (co)/Z> (S (о X <o)/F)// (93).
Этим доказано (3) и завершена индукция. (Мы можем, конечно,
отождествить со X со с со и переопределить F так, чтобы 93 была
изоморфна факторалгебре 5 (co)/F.) Таким образом, лемма дока-
зана. —I
414
Гл. 6. Дополнительные сведения
Теперь сконструируем факторалгебру S (co)/Z>, такую, что
т (S (co)/D) = оо. Мы поступим следующим образом. Пусть
1п, п < со, — разбиение со на непересекающиеся бесконечные
множества. Для каждого 1п пусть Dn — фильтр над 1п, такой, что
тп (5 (Zn)/Dn) = и. Этот фильтр существует, в силу предыдущей
леммы. Пусть теперь
D = {Хс со X П In g Dn для всех тг < со}.
Мы оставляем читателям проверку того, что тп (S (co)/D) = оо.
Это завершает доказательство теоремы Ершова. -Ч
Применяя предложение 6.3.19 и теорему Ершова, мы можем,
наконец, заполнить пробел, возникший у нас при элиминации
континуум-гипотезы в предыдущем разделе. Мы должны доказать
следующее:
Лемма 6.2.7. Предикат
предложение ф устойчиво относительно фильтрованных
произведений
является арифметическим предикатом.
Док азательство. Применяя теорему Ершова, мы
видим, что следующие три утверждения эквивалентны:
k ложно на всех булевых алгебрах S
pJf ь ложно на всех булевых алгебрах S (co)AD;
pj.fe не совместимо с теорией булевых алгебр.
Заметим, что последнее утверждение, очевидно, является арифме-
тическим утверждением о рл &. Отсюда, в силу предложения 6.3.19
и последующего обсуждения, мы получаем, что предикат
<р устойчиво относительно фильтрованных произведений
является арифметическим. —|
Теперь мы можем сформулировать теорему 6.2.5 следующим
образом:
Теорема 6.2.5' Предложение ф устойчиво относительно филь-
трованных произведений тогда и только тогда, когда оно эквива-
лентно хорновскому предложению.
Мы можем, конечно, применить такую же технику к элимина-
ции континуум-гипотезы в предложении 6.2.6.
Упражнения
6.3.1. Пусть язык £ счетен и имеется подходящая гёделевская
нумерация формул языка <55. Покажите, что множество предложе-
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения
415
ний языка X, устойчивых относительно прямых произведений,
рекурсивно перечислимо.
[Указание'. Покажите, что в языке X U {£/, V}, где U и V —
одноместные предикатные символы, можно утверждение, что
предложение ф устойчиво относительно фильтрованных произведе-
ний, выразить рассматривая истинность подходящего предложе-
ния, которое выражает (ф<ц> л <р(У) —ф<ихУ)). Можно ли этот
метод применить для предложений, устойчивых относительно
прямых степеней, фильтрованных степеней или фильтрованных
произведений?]
6.3.2*. Докажите, используя доказательство теоремы 6.3.9,
следующую интерполяционную лемму. Пусть ф и ф — такие пред-
ложения, что ф истинно в каждом конечном прямом произведе-
нии (с одним или несколькими сомножителями) моделей предложе-
ния ср. Тогда существует предложение 6, устойчивое относительно
конечных прямых произведений, такое, что ф Н 6 и 0 |— ф.
6.3.3*. Используя доказательство теоремы 6.3.6, докажите
следующий результат: любое Пп+(-предложение ф, устойчивое
относительно фильтрованных (прямых) произведений, эквивалент-
но предложению вида
. xk) ф,
где ф есть Sn-формула, устойчивая относительно фильтрованных
(прямых) произведений (формула ф устойчива относительно
фильтрованных произведений, если предложение ф (сх, ., cft),
полученное из ф подстановкой вместо вхождений xt констант сь
устойчиво относительно фильтрованных произведений).
[Указание: Пусть S — самоопределяющееся множество 2J-
формул, замкнутое, с точностью до эквивалентности, относительно
А и V. Предположим для простоты, что х — единственная свобод-
ная переменная, входящая в S. Для каждой формулы ф £ S обо-
значим через ф' формулу из S, эквивалентную дизъюнкции всех
формул фй> а е 8, где
Фя.а А {° £ 5 31 1= о [а], а £ Л, и 21 (Vz) ф}.
Отображение ф ф' из 8 в 8 удовлетворяет следующим усло-
виям:
(У.г)ф (Vx) ф'
(ii) Пусть I — произвольное множество, D — фильтр над 1
и ф, ф|, i £1, — формулы из 8. Тогда если
любое фильтрованное произведение моделей
D
(V#) ф/ есть модель для (Vx) ф,
416
Гл. 6. Дополнительные сведения
ТО
любое фильтрованное произведение ЦЭД; моделей ЭД; ё=
D
1= (с) есть модель для ф' (с).]
6.3.4. Комбинируя упр. 6.3.3 и предложение 6.2.9, покажите,
что любое П2-предложение, устойчивое относительно прямых про-
изведений, эквивалентно хорновскому П^-предложению.
6.3.5. Докажите, что любое предложение ср, содержащее
лишь символ равенства и устойчивое относительно прямых про-
изведений, эквивалентно хорновскому предложению, содержа-
щему лишь символ равенства.
[Указание: Применяя результаты разд. 1.5, покажите, что
любое предложение ср, содержащее лишь символ равенства, экви-
валентно Щ-предложению. Затем примените упр. 6.3.4.]
Аналогичным способом показывается, что предложение,
устойчивое относительно прямых произведений и содержащее
лишь = и одноместные предикатные символы, эквивалентно хор-
новскому предложению.
6.3.6. Если язык X счетен, то для любого множества I и моде-
лей ЭДЬ i £ 7, существует счетное подмножество Acz 7, такое, что
для всех J, К a J cz 7,
6.3.7*. Применяя теорему 6.3.14, докажите следующий резуль-
тат типа теоремы Кантора — Бернштейна. Пусть ЭД, 23, 6 — три
модели языка X. Если ЭД =ЭД х 23 X то ЭД = ЭД х 23
(в общем случае мы не можем заменить = на =).
6.3.8. Применяя теорему 6.3.18, докажите, что если две модели
ЭД и 23 эквивалентны относительно всех хорновских предложе-
ний языка X, то они эквивалентны.
6.3.9. Предложение ср называется замкнутым относительно
фильтрованных корней, если из Ц ЭД (р следует ЭД ср. Дока-
D
жите такое следствие теоремы 6.3.18: любое предложение эквива-
лентно булевой комбинации предложений, замкнутых относительно
фильтрованных корней.
6.3.10*. Класс моделей К называется компактным, если любое
множество предложений 2, все конечные подмножества которого
имеют модели в К, имеет в К модель. Очевидно, что класс К ком-
пактен тогда и только тогда, когда его замыкание относительно
элементарной эквивалентности есть элементарный класс. Дока-
жите, что если класс К компактен, то класс всевозможных пря-
мых произведений моделей из К тоже компактен.
6.4. Предельные ультрастепени и полные расширения
417
6.3.11. Применяя результаты разд. 5.5, докажите, что условие
множество {о} J ТВА совместно, (несовместно)
— рекурсивный предикат.
6.3.12. Докажите следующее усиление предложения 6.3.19.
Пусть ф — произвольное предложение языка X. Тогда мы можем
эффективно найти устойчивые относительно фильтрованных произ-
ведений предложения ф17 . фш, такие, что
(i) Н ф; -> ф для 1 С j С т;
(ii) если ф — предложение, устойчивое относительно фильтро-
ванных произведений и Н ф ф, то Н ф -> ф7- для некоторого /,
1 7 тп.
6.3.13. Пусть ф — предложение, которое утверждает, что
универсум состоит не из трех элементов. Тогда ф одновременно
эквивалентно ^-предложению и хорновскому Щ-предложению.
Но ф не эквивалентно никакому хорновскому ^-предложению.
6.3.14*. Докажите, что любое хорновское предложение, истин-
ное в двухэлементной булевой алгебре, истинно в любой булевой
алгебре.
[Указание: Вначале элиминируйте в ф кванторы существова-
ния, применяя тот факт, что любая булева функция на {0, 1}
может быть получена из +, и —. Затем примените тот факт, что
универсальные хорновские предложения устойчивы относительно
подпрямых произведений. ]
6.3.15*. Применяя континуум-гипотезу, дайте более короткое
доказательство теоремы Ершова.
[Указание: Примените лемму 6.2.4 и предыдущее упражнение.]
6.4. Предельные ультрастепени и полные расширения
Конструкция предельных ультрастепеней есть обобщение кон-
струкции ультрастепеней. На нее переносятся многие желатель-
ные свойства ультрастепеней, и в частности основная теорема,
теорема об обогащении и существовании естественного вложе-
ния. Для многих проблем теории моделей конструкции ультра-
степеней недостаточно, а конструкция предельных ультрастепе-
ней дает нам искомые модели. Несмотря на то что определение
ультрастепени проще, класс предельных ультрастепеней модели 21
в некотором смысле гораздо более естествен, чем класс ультра-
степеней модели 21 (ср. следствие 6.4.11). Прежде чем перейти
к определению предельных ультрастепеней, изучим более подроб-
но свойства полных расширений моделей. Это особый вид элемен-
тарных расширений, тесно связанный с предельными ультрастепе-
нями.
27 г. <сйслер, . Чэн
418
Гл. 6. Дополнительные сведения
Рассмотрим модель 91 языка X бесконечной мощности а.
Тогда на множестве А существует 2а различных (конечноместных)
отношений и функций. Обогатим язык <55, присоединив новые сим-
волы для всех отношений и функций на Л и константные символы
для всех элементов из А. Новый язык <55# будет иметь 2а новых пре-
дикатных и функциональных символов и а новых константных
символов. Пусть ЭД#— обогащение модели ЭД до модели языка 35#,
при котором каждый новый символ имеет естественную интерпрета-
цию. Назовем ЭД# пополнением ЭД.
Пусть ЭД, 23 — две модели языка <55 и ЭД# — пополнение моде-
ли ЭД. Мы будем называть отображение f полным вложением ЭД
в ЯЗ, если существует обогащение б модели 23 до модели языка <55#,
такое, что f ЭД# < б. Другими словами, / — элементарное вло-
жение и мы можем одновременно расширить все отношения и функ-
ции на А до отношений и функций на В так, чтобы / осталось эле-
ментарным вложением обогащения модели ЭД в обогащение моде-
ли 23. Отсюда видно, что полное вложение есть очень специфиче-
ский случай элементарного вложения.
Естественное вложение для ультрастепеней дает нам пример
полного вложения.
Предложение 6.4.1. Пусть D — ультрафильтр и ЭД — модель.
Тогда естественное вложение d ЭД -> ЭД есть полное вложение.
D
Доказательство. Пусть ЭД# — пополнение модели ЭД.
По основной теореме об ультрапроизведениях d ЭД# < [J ЭД#. По
D
теореме об обогащении [J ЭД# есть обогащение Ц ЭД до модели
b D
языка <55#. —|
Ниже будет приведено еще несколько примеров полных вложе-
ний. Тем не менее уже сейчас, быть может, полезно описать один
такой пример.
Пример 6.4.2. Пусть ЭД — модель, D — ультрафильтр и Р —
бесконечный кардинал. Пусть
в = [go g и I range (g) | < 0}
и 23 — подмодель модели П ЭД с универсумом В. Повторяя доказа-
D
тельство основной теоремы, мы можем показать, что d — полное
вложение модели ЭД в 28. Мы оставляем детали в качестве упраж-
нения.
Часто говорят о расширении вместо вложения. Мы будем гово-
рить, что 23 — полное расширение модели ЭД, если ЭД cz и тожде-
ственное отображение есть полное вложение модели ЭД в 23. Назо-
6А. Предельные ультрастепени и полные расширения
419
вем 23 улътрастепенным расширением модели ЭД, если 21 с 23
и существует ультрастепень f[ ЭД модели ЭД, такая, что
D
($8, а)а6А = (П Я, d (а))а£А.
D
Отсюда по предложению 6.4.1 мы получаем
Следствие 6.4.3. Любое улътрастепенное расширение модели ЭД
является полным расширением этой модели.
Обращение этого следствия невозможно (ср. упр. 6.4.6). Однако
имеет место следующее слабое обращение.
Теорема 6.4.4. Пусть 23 — полное расширение модели ЭД.
Тогда для любого элемента Ъ g 23 существует улътрастепенное
расширение ® модели ЭД, такое, что 6 -< 23 и Ь £ С.
Доказательство. Пусть Ъ £ В. Пусть ЭД# — пополне-
ние модели ЭД, <55# — язык для ЭД# и 23# — обогащение 23 до
модели языка <55#, такое, что ЭД# -< 23#. Для каждого отноше-
ния R на А обозначим через R' соответствующее отношение из 23#»
аналогичные обозначения применим для функций. Рассмотрим
множество
d = {r е s (А) ье r'}.
Так как ЭД# -< 28#, то легко видеть, что D — ультрафильтр над
множеством А. Рассмотрим ультрастепень [J ЭД#. Для доказатель-
D
ства теоремы достаточно найти элементарное вложение g [*] ЭД# -<
D
*<23#, такое, что Ь £ range (g). Этого достаточно, так как каждый
элемент а Е А является константой в ЭД#, отсюда g (d (а)) = а,
а потому область значений 6 функции g есть улътрастепенное
расширение модели ЭД, содержащее fe, и (5 < 28.
Пусть i — тождественная функция на А. Рассмотрим произ-
вольную формулу ср (х) языка <55#, и пусть
7?ф - {а е А ЭД# Г ф Ы}.
Тогда — отношение из ЭД# и
(1)
Я# 1= (Vx) (<р (х) ~ R<f (х)).
В силу определения D, следующие условия эквивалентны:
t= ф[го];
йф Е -О»
fe Е
28# t= ф[Ь].
27*
420
Гл. 6. Дополнительные сведения
Последние два утверждения эквивалентны, так как 21# -< 23#, от-
сюда следует, что (1) для модели 23# выполняется. Тогда
(2) (ПЯ*, ip)^(S8* b).
D
Рассмотрим теперь произвольный элемент fD из П Я#. Тогда f
D
является функцией на А. Пусть /" — соответствующая функция из
п Я#. Тогда
/" (io) = </ (i (а)) а € A )D = fD.
Присоединим к языку <£# по новому константному символу Cf для
каждого f £ АА. Обогатим модели 21#, 23#, проинтерпретировав
D
cf как fD в первой и как /' (&) в последней. Тогда для каждого
предложения ср (cfi, cfn) нового языка следующие условия
эквивалентны:
(П 91#, • • •’
Пй* t= Ф1Г1 (iD),.
D
Пя#1=ф (Л /n(x))[id;
D
83# Г Ф (Л , /„(*))[&];
as# ГФ fn(b)]-
(83#,/'(й))/еААГф(С/1,...,с/п).
Отсюда
(Ця* ;п)/еАД=(23#, f(b))KAA.
Поэтому отображение fD -> f (b) является элементарным вложе-
нием fj 21# в 23#, которое отображает iD в элемент Ь. Ч
D
Теорема 6.4.5. (Теорема Кейслера— Рабина.) Пусть а —
бесконечный кардинал, такой, что со — единственный измеримый
кардинал сс. (Это означает, что или а меньше, чем первый
измеримый кардинал >> со, или со — единственный измеримый
кардинал.) Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) а — а®.
(ii) Любая модель 21 мощности а (с любым числом отношений)
имеет собственное элементарное расширение мощности а.
6.4. Предельные ультрастепени и полные расширения
421
(iii) Любая модель ЭД мощности а имеет собственное полное
расширение мощности а.
Доказательство. (i) => (й). Пусть D — неглавный
ультрафильтр над со. Тогда для любой модели ЭД мощности а
d есть элементарное вложение ЭД в ЭД. Так как А бесконечно
D
и D не (Oi-полно, то d — собственное вложение (предложение 4.2.4)
Кроме того,
а I ГР | а® = а.
D
Поэтому fl ЭД изоморфно собственному элементарному расшире-
D
нию модели ЭД мощности а и (ii) выполняется.
(ii) => (iii). Пусть ЭД — модель мощности а. Рассмотрим попол-
нение ЭД# модели ЭД. Применяя (ii) к ЭД#, получаем, что у нее
существует собственное элементарное расширение 28# мощности а.
Тогда обеднение S3 модели 23# до модели языка X будет собствен-
ным полным расширением модели ЭД, значит, (iii) справедливо.
(ii i) => (i). Пусть ЭД — модель мощности а и S3 — собственное
полное расширение мощности а. Тогда существует Ь £ В \ А. По
теореме 6.4.4 существует ультрастепенное расширение ® моде-
ли ЭД, такое, что Ь £ С, 6 < 23. Поэтому ® изоморфно некоторой
ультрастепени JJ ЭД, скажем / 6 = ЭД, и / (а) = d (а) для всех
D D
а С А. Так как Ъ £ С \ Л, то / (6) $ d (Л), откуда следует, что
d — собственное вложение А в Д А. Тогда по предложению 4.2.4 D
D
не будет а+-полным ультрафильтром. Но так как не существуе!
измеримого кардинала [3, такого, что oh (3 а, то по предлог
жению 4.2.7 D не (Oj-полон, т. е. D счетно-неполон. Поэтому D
(о-регулярен; в силу предложения 4.3.9, | ЕМ । = I ГМ г йб
D D
а | [] А |; итак,
D
| П-4 1° = I IP I = I С | С | В | = а.
D D
Отсюда следует (i). —|
Другие приложения теоремы 6.4.4 даются в упражнениях.
Мы дадим сейчас определение предельной ультрастепени. Гру-
бо говоря, предельная ультрастепень модели ЭД — это подмодель
ультрастепени Д ЭД, состоящая из элементов fD, где / — «почти
D
константа», т. е. множество пар (f, />, таких, что / (i) = / (у), при-
надлежит данному фильтру над I X I.
422
Гл. 6. Дополнительные сведения
Дадим формальное определение: для каждого g fz1 А отноше-
ние эквивалентности, определенное элементом g (обозначение:
eq (g)), задается следующим образом:
eq (g) = { <i> J > € 1 X I g (i) = g (j)}.
Пусть теперь D — ультрафильтр над Z, a V — фильтр над I X I.
Пусть A — множество. Определим его предельную улътрастепень
f А так:
Пл = {gorged и eq (g)en-
Djy
Для определения предельной ультрастепени модели нам необхо-
димо следующее предложение.
Предложение 6.4.6. Пусть ЭД —модель, D — ультрафильтр над
I и V — фильтр над I X Z. Тогда [J А — непустое подмножество
D|V
множества |^Л, замкнутое относительно функций и констант
D
модели Ц ЭД.
Доказательство. Если функция / £JA — константа,
то eq (/) = I X Z, значит, eq (/) g V и fD g П А. Это доказывает,
DJV
что d(a} g Пл для всех а g А. Поэтому множество П А непусто
D\V D\V
и содержит все константы из Д ЭД. Пусть G есть n-местная функция
D
из ЭД и Н — соответствующая функция из [J ЭД. Мы покажем, что
D
если
(1) /к
то
(2) Н (flD,
Предположим, что (1) выполнено. Тогда мы можем предположить,
что
eq (У1) С V, eq (Г) g V.
Отсюда
eq (У1) П П eq (fn) g V.
Но для всех (f, /) g I X I
= • • • > fn(i) =fn(j) влечет за
собой G (Г (J),..., Г (i)) = G (У1 (/)).
DjV
/к е II Л.
6.4, Предельные улыпрастепени и полные расширения
423
Таким образом,
eq (У1) П П eq (Г) с eq «G (>), . -., Г (i)): i € /» € V.
Так как
Я(/Ь, ...,/&) = (G(m
то условие (2) выполнено.
Мы можем теперь определить предельную улыпрастепенъ П ЭД
модели ЭД как подмодель модели Д ЭД с универсумом Д А.
D D1V
Модель 23 в примере 6.4.2 — в точности предельная ультра-
степень 23 = Д ЭД, где V — фильтр над 1x1, порожденный
множеством всех отношений эквивалентностей на I, имеющих < £
классов эквивалентности.
В литературе изучались конструкции, аналогичные конструк-
ции предельных ультрапроизведений. Мы не будем здесь обра-
щаться к ним. Нас будут интересовать в дальнейшем некоторые
теоретико-модельные свойства предельных ультрастепеней.
Предложение 6.4.7. (Теорема об обогащении.) Если ЭД' |
обогащение модели ЭД до модели языка X', то предельная ультра-
степень Д ЭД' является обогащением модели Д ЭД до модели
D\V D\V
языка X1
Предложение 6.4.8. (Основная теорема.) Пусть Д ЭД — предель-
но
нал улътрастепень модели ЭД. Тогда Д ЭД — элементарная под-
модель улътрастепени Д ЭД.
D
Мы оставляем доказательство этих двух предложений в качестве
упражнений. Скомбинировав предложение 6.4.8 с основной тео-
ремой для ультрапроизведений, мы получаем для определения
истинности в модели J ЭД тот же критерий, что и в модели Д ЭД.
DV D
Следствие 6.4.9. Пусть Д ЭД — предельная ультрастепень mo-
do
дели ЭД. Тогда естественное вложение d модели ЭД в ЭД является
также полным вложением модели ЭД в Д ЭД. Кроме того, существует
d[V
полное расширение 28 модели ЭД, такое, что
(S3, а)аел = (П^> d(a))^A.
D\V
Докажем теперь, что обратное утверждение тоже верно.
424
Гл. 6. Дополнительные сведения
Теорема 6,4.10. Для любых моделей ЭД, 95 следующие условия
эквивалентны:
(i) Модель 25 является полным расширением модели ЭД.
(ii) Существует предельная ультрастепень [] ЭД модели ЭД,
D|V
такая, что
{^,а)а^А ~ (П Я, d(ayuA.
Доказательство, (ii) => (i). Это непосредственно по-
лучается из следствия 6.4.9.
(i) => (ii). Пусть ЭД# — пополнение модели ЭД до модели язы-
ка J?# и 25# — обогащение 25 до модели языка <5?#, такое, что
ЭД#>25# Тогда ЭД# =25#, а значит, согласно следствию 4.3.13,
25# элементарно вкладывается в ультрастепень ЦЭД# Пусть
D
л 25#<ПЭД# — такое элементарное вложение. Так как каждый
D
элемент а £ А — константа в ЭД# и она интерпретируется в [{ЭД#
D
как d (а), то
(1) 7t(a)~d(a) для всех а£А.
Пусть С — область значений отображения л. Мы найдем фильтр V
над I X 7, где I = такой, что С ~ [J] Л.
D V
Определим V как фильтр над 7x1, порожденный множествами
{eq (/) /ей и /оеС}.
Тогда очевидно, что
(2) СсПЯ.
D|V
Пусть gD £ fl Тогда существует / — Dg, такое, что eq (/) £ К
DIV
Отсюда получаем существование элементов hoQC, таких,
что
eq (h1) п • П eq(An)c eq (/).
Это влечет за собой существование n-местной функции G на А,
такой, что для всех i £ 7
G (h1 (j), hn (j)) = / (i).
Так как ЭД# — пополнение модели ЭД, то G — функция из ЭД#.
Пусть G" — соответствующая функция из [J ЭД#. Тогда
G" (*Ь, • • •> hnD) = fD.
6.4. Предельные ультрастепени и полные расширения
425
Так как С — образ отображения л, то это множество замкнуто
относительно всех функций из f[ ЭД#. Поэтому fD £ С. Мы показа-
D
ли, что
(3) [ЦсС.
D I V
Из (2) и (3) мы получаем, что
(4) л:23#= [J Я*
D I V
Обедняя модель до модели языка X, из (1) и (4) мы получа-
П|У
ем требуемое заключение (ii). —I
Следствие 6.4.11. Модель 2S изоморфна полному расширению?
модели ЭД тогда и только тогда, когда она изоморфна предельной
ультрастепени модели ЭД.
Применение предельных ультрастепеней в приведенном ниже
следствии дает возможность получить новый результат, касаю-
щийся лишь полных вложений.
Следствие 6.4.12. Предположим, что / — полное вложение мо-
дели ЭД в 23. Тогда для любого расширения ЭД' zd ЭД существует
расширение 23' S3, такое, что f может быть продолжено до пол-
ного вложения /' модели (ЭД', А) в модель (23', В).
Доказательство. По теореме 6.4.10 существуют пре-
дельная ультрастепень П ЭД и изоморфизм
Р|У
л: (98, /(а))о6д^( [J S,d(a))oeA.
D I У
Возьмем предельную ультрастепень Q (ЭД', Л). Отождествим для
И|У
f £ ТА класс эквивалентности fD в смысле [J А с классом эквива-
ГЦУ
лентности fD в смысле А' В результате этого отождествления
П|У
модель ЭД становится подмоделью модели П Ти П (Я',л)=
Р|У П|У Р|У
= (ЦЭД', Л). Отсюда следует существование расширения S3'о 23
П|У
и изоморфизма
л' (S3', 5) ~ П (S', Л),
Р|У
такого, что лс л' Определим отображение /' : Л' В' следую-
щим образом:
Г (а) - л'-1 d(a).
426
Гл, 6, Дополнительные сведения
Так как d —полное вложение (Я', А) в ее предельную ультра-
степень, то /' — полное вложение (ЭД', А) в (28', В), Наконец, f
продолжает /, так как для а £ А
f (а) — (а) = яг1// (а) — / (а). Ч
Заметим, что в предыдущем следствии нет ограничения на
мощность модели ЭД' Например, мы можем получить из него такое
Следствие 6.4.13. Предположим, что а —ординал и f : {R (а),
С) -< 23. Если существуют расширение 23' zd 23 и продолжение
f, такие что f {R (а + 1), £ > < 23', то для любого ординала
Р > а существуют расширение 23" зэ 23 и продолжение f" гэ /,
такие, что /" (7? (Р), <23"
Доказательство. Все отношения, функции и кон-
станты из R (а) являются элементами из R (а + 1). Поэтому / —
полное вложение {R (а), в 23 и требуемый результат получает-
ся из предыдущего следствия. Ч
Следствие 6.4.14. Предположим, что f—полное вложение
(а, <> в модель 23. Тогда существуют расширение 23' 23 и про-
должение f зэ /, такие, что:
(i) /' — полное вложение (7? (а), £) в 23';
(ii) В — множество всех ординалов модели 23'.
Доказательство. По следствию 6.4.12 существует
«полное вложение ff модели (7? (a), g), а) в (23', В) для неко-
торой модели 23' гэ 23. Тогда /' — полное вложение <7? (а), £>
в 23'. Так как а — множество ординалов модели (<7? (а), £), а),
то В — множество ординалов модели (23', В), а значит, (ii) дока-
зано. Ч
Упражнения
6.4.1. Если ЭД# — пополнение модели ЭД, то теория модели ЭД#
имеет термальные скулемовские функции.
6.4.2. Модель 28 принадлежит любому нсевдоэлементарному
классу, содержащему модель ЭД, тогда и только тогда, когда она
изоморфна полному расширению модели ЭД. (См. упр. 4.1.17.)
6.4.3. Пусть / — полное вложение модели ЭД в модель 28. Тогда
(i) Если X' cz X, то / — полное вложение обеднения моде-
ли ЭД до модели языка X1 в обеднении модели 23 до модели язы-
ка X'
(ii) Если X<zz X' и ЭД' — обогащение ЭД до модели языка X*,
то существует обогащение 28' модели 23 до модели языка X’, та-
кое, что f — полное вложение ЭД' в 28'.
6.4. Предельные у лътр остепени и полные расширения
427
6.4.4. (i) Если б — полное расширение 93 и 23 — полное рас-
ширение Я, то ® — полное расширение Я.
(ii) Если Яп+1 — полное расширение* Яп Для всех п < со,
то U ЭД™ — полное расширение любой модели Яп- Обобщите
m<<n
это на вполне упорядоченные цепи любой длины.
6.4.5*. Пусть Я = (Л, L, .) — такая модель, что L задает
на А линейный порядок конфинальности > со. Тогда Я имеет
полное расширение 93 = {В, М, . . . > произвольной мощности,
такое, что А конфинально в (В, М).
6.4.6. Пусть со а, 2а р. Тогда любая модель Я мощно-
сти а имеет полное расширение 93 мощности 0. Если со — един-
ственный измеримый кардинал а и cf (0) = со, то полное
расширение 93 не является ультрастепенным расширением моде-
ли Я-
6.4.7*. (i) Не существует собственного ультрастепенного рас-
ширения модели (со, <> конфинальности со.
(ii) Модель (со, <) имеет собственное полное расширение
конфинальности со.
6.4.8. Докажите утверждение из примера 6.4.2.
6.4.9. Пусть D — ультрафильтр над I и Т — топология на I.
Пусть Я — модель, и на Л задана дискретная топология. Пусть
В = {/о • / /->Ли / непрерывно}.
Рассмотрим подмодель 93 модели Д Я с универсумом В. Докажите,
D
что 93 Ч П Я и d — полное вложение модели Я в модель 98.
D
6.4.10. Предположим, что со — единственный измеримый кар-
динал а, и пусть Я есть (а, со)-модель. Покажите, что суще-
ствует псевдоэлементарный классе К, такой, что Я € К и каждая
(а, (о)-модель 23 С К изоморфна модели Я.
6.4.11. Предположим, что со — единственный измеримый карди-
нал а, и пусть Я — модель мощности а. Пусть 2 (х) — счетное
множество формул, такое, что модель Я опускает 2 и 2 совмести-
мо с теорией модели Я. Найдите псевдоэлементарный класс К,
такой, что Я £ # и любая модель 23 6 которая опускает 2,
изоморфна Я.
6.4.12* . Предположим, что существует несчетный измеримый
кардинал 0 а. В предположении ОКГ докажите, что любая
модель мощности а имеет собственное полное расширение мощ-
ности а.
428
Гл, 6. Дополнительные сведения
[Указание: Покажите, что | [Ja | = а, если р < а < а® и В —
D
счетно-полный ультрафильтр над р.]
6.4.13. Пусть a — ординал и со — единственный измеримый
кардинал <1 а. Предположим, что {R (а), £) -< (В, А’) и со «неиз-
менно» в том смысле, что {Ь £ В ЬЕы} = со. Тогда
(i) Если а — непредельный ординал, а = у + 1, то
(В, Е) = (R (а), е>.
(ii) В общем случае {В, Е} является концевым расширением
модели (R (а), £) в том смысле, что
{b £ В ЪЕа для некоторого а g R (а)} = R (а).
6.4.14. Пусть а — кардинал, и предположим, что {В, L} —
полное расширение (а, <), такое, что а не конфинально в (В, В).
Тогда существует ультрафильтр В, который не a-полон по убыванию
(см. упр. 4.3.10), такой, что модель ([J (а, <>, d(P))pea элемен-
та
тарно вкладывается в (<В, £>, Р)реа.
[Указание: Примените упр. 4.3.34.]
6.4.15. Пусть (В', В, L)— полное расширение модели (a+r
a, <>. Если а конфинально в модели (В, В), то а+ конфинально
в модели (В', L).
[Указание: Примените упр. 4.3.12.]
6.4.16. Если V — несобственный фильтр, V = S (Z X 7),
то П Я = П Поэтому любая ультрастепень является пре-
D\V D
дельной ультрастепенью.
6.4.17. Если V — тривиальный фильтр, V = {I X /}, то
JJ ЭД = d (ЭД), где d — естественное вложение.
BIV
6.4.18. Предельная ультрастепень ЭД зависит лишь от отно-
D|V
шений эквивалентности на V А именно если g — множество
всех отношений эквивалентности на I и V fl g = W fl g, то
П эд= П Эд-
DlV DlW
6.4.19. Докажите предложение 6.4.7, предложение 6.4.8 и след-
ствие 6.4.9.
6.4.20. Предположим, что V, W — фильтры над I X I и Ус*
cz W. Тогда П ЭД -< П ЭД-
D|V D|W
6.4. Предельные ультрас те пени и полные расширения
429
6.4.21. В упражнении 6.4.9 модель ЯЗ является предельной
ультрастепенью модели ЭД.
6.4.22. Пусть D — собственный фильтр над I и V — фильтр над
1x1, Определите предельную фильтрованную степень Ц 21 и до-
гму
кажите для нее предложение 6.4.6.
6.4.23* Для любых двух моделей 21, ЯЗ, таких, что 21 = 93,
существует модель 6, такая, что для обеих моделей 21 и ЯЗ суще-
ствуют полные вложения в модель 6.
[Указание: Примените упр. 4.3.29.]
Более того, модель (5 можно выбрать мощности 2,Al |J 21
6.4.24. ЭД = ЯЗ тогда и только тогда, когда существуют пре-
дельные ультрастепени Ц 21 = П Более того, предельные
D|V E|W
ультрастепени можно выбрать мощности 2,А1 21В|.
6.4.25. Если V — главный фильтр над I X 7, то Ц 21 изо-
div
морфна ультрастепени модели 21.
6.4.26. Предположим, что ЯЗ — полное расширение модели 21.
Тогда существует множество моделей Л/, такое, что
(i) Любая модель © g М является ультрастепенным расшире-
нием модели 21, © -< ЯЗ и | С | 2,А1.
(ii) Для любых моделей ©1? ©2 € М существует модель © g
€ М, такая, что -< ©, Ё2 -< ® (т. е- множество М направленно).
(iii) 98 = (J М.
Это оправдывает термин «предельная ультрастепень».
[ Указание: Примените теорему 6.4.10 и упр. 6.4.20 и 6.4.25.]
6.4.27. Класс К будет элементарным тогда и только тогда,
когда он замкнут относительно ультрапроизведений, а кроме того,
и К, и его дополнение замкнуты относительно предельных ультра-
степеней и изоморфизмов.
6.4.28* . Пусть а — регулярный кардинал и 21 — модель,
ЭД — (а, <, .). Предположим, что ЯЗ = (В, А, .) — полное
расширение модели ЭД. Пусть
Во — € В bLa для некоторого а £ а},
и пусть Я30 — подмодель модели ЯЗ с универсумом Во. Докажите,
что Я30 — также полное расширение модели ЭД.
[Указание: Покажите, что если ЯЗ = II ЭД, то = II ЭД»
D|V D|W
где W — такой фильтр, что eq (/) g W тогда и только тогда, когда
«Ч (/) 6 К и | range f | < а.]
430
Гл. 6. Дополнительные сведения
6.4.29* . Предположим, что а — недостижимый кардинал,
{R (а), £)< <5, Е) и для любого элемента b £ В существует а £
£ В (а), такое, что ЬЕа. Тогда (5, Е) — полное расширение моде-
ли Cff(a), 0.
[ Указание: Любые отношение и функция на R (а) мощности
<а принадлежат R (а). Применяя этот факт и метод доказатель-
ства теоремы 6.4.10, покажите, что для некоторой предельной
ультрастепени П (R (а), £)
D\V
{В, Е, а)абща) = ( П (Я (а), Q, d(a))o6R(<x).]
Di V
6.4.30* . Пусть ЭД — модель с термальными скулемовскими функ-
циями. Функция / £ АА называется определимой, если существует
формула ф (х, у, z19 ., zn) и элементы ах, ., ап £ А, такие, что-
для всех а, Ь £ А
ЭД ф [а, Ь, а1, ., ап] тогда и только тогда, когда / (а) = Ъ.
Пусть D — произвольный ультрафильтр над А и
В = {/d 6 П-4 / определима}.
D
Пусть S3 — подмодель модели П St с универсумом В. Покажите,
D
что
0) </(Я) < азхПи.
D
(ii) Если D — неглавный фильтр, то d (ЭД) =/= 25.
(iii) Если модель ЭД и язык X счетны, то 23 — счетная модель.
Вообще | В |< | А | U II # II.
(iv) Если ЭД — пополнение модели б, то 23 = П SL
6.4.31. Обобщите конструкцию предыдущего упражнения,
рассматривая определимые подмножества Ucz А, беря ультра-
фильтр D над U и
в = {fD feuA и f определима в ЭД}.
6.4.32. Пусть ЭД=(А, U, . >— модель счетного языка с
термальнымискулемовскимифункциями. Пусть/) — ультрафильтр
над А, такой, что для любой определимой функции f £АА или
{а 6 A f(a)$U}e D,
или существует и £ U, для которого
{а £ A f (а) = и} g D.
Покажите, что если 23 = {В, V, . . .) — модель, построенная
в упр. 4.3.30, то V = d (U).
6.4. Предельные ультрастепени и полные расширения
431
6.4.33. Применяя предыдущее упражнение, дайте новое дока-
зательство теоремы 3.2.14.
6.4.34* . Пусть 31 — (не обязательно счетная) модель для ZF
их — регулярный кардинал из ЭД. Предположим, что множество
<г/€Л и 1= г/е 22"}
счетно. Тогда модель ЭД имеет элементарное расширение 23, та-
кое, что х остается неизменным, а 2х расширяется, т. е.
{у£В 95г у Л, {у £ В 95 1= у € 2х} \ А О,
и, кроме того,
{у € в аз )= у е 22Х}
все еще счетно. Итерируя эту конструкцию, покажите, что суще-
ствует расширение ® модели ЭД, такое, что
{у 6 с © t= У Е я} С А, I {у е С © г у € 2я} I = (Ор
6.4.35. (ОКГ) Пусть ЭД — насыщенная модель мощности а+
языка X, где || X || ^ а. Тогда любая модель 95 =ЭД мощно-
сти а+ имеет полное вложение в ЭД. Если 95 < ЭД и | В | а,
то ЭД — полное расширение модели 95.
6.4.36* . Найдите пример такого множества предложений 2
в несчетном языке X, что
(i) 2 имеет счетную модель.
(ii) Любое счетное подмножество 20 из 2 имеет счетную мо-
дель ЭД языка <5?0, состоящего только из символов, входящих в 20,
которая не может быть обогащена до модели множества 2.
[ Указание: Примените теорему 6.4.5 для а = со и так выбери-
те 5, чтобы символ функции следования входил в любой эле-
мент из 2.]
6.4.37* . В предыдущем упражнении найдите 2, которое также
обладает свойством
(iii) Для любой пары S, Т символов из X существует не более
чем счетное число предложений о £ 2, таких, что S и Т входят в о.
6.4.38*. Пусть 2 — множество предложений языка X, такое,
что любой символ из X входит не более чем в счетное число эле-
ментов из 2. Тогда существует счетное подмножество 20 из 2,
такое, что любая модель ЭД для 20 языка <55О, содержащего лишь
символы, входящие в множество 20, может быть обогащена до
модели для 2.
432
Гл. 6. Дополнительные сведения
'б.Э. Итерированные ультрастепени
Мы займемся теперь следующим вопросом: можно ли сконстру-
ировать новую модель с помощью итерирования ультрастепеней?
Ответ на этот вопрос положительный, и сконструированные таким
образом модели оказываются полезными при решении некоторых
вопросов. Итерированные ультрастепени всегда являются пре-
дельными ультрастепенями, но особый способ, которым они по-
строены, может придать им желаемые свойства, которыми не
обладают предельные ультрастепени. Начнем наши рассмотрения
с утверждения, что конечные итерации ультрастепеней не дают
ничего нового.
Рассмотрим пару ультрафильтров Z), Е над множествами Z, J.
Мы определим D х Е как множество всех У f S (/ X J), таких,
что
{i£l ki,j}£.Y}tD}tE.
Предположим, что Du ., Dn+r — ультрафильтры над множества-
ми Л+1, тогда по индукции мы определим
X X Dn+1 = (D±X .X Dn) X Dn+r.
Предложение 6.5.1. В принятых выше обозначениях D X Е —
ультрафильтр над I X J, a Dr X X Dn — ультрафильтр
над 1г X .X 1п.
Предложение 6.5.2. (Теорема о конечных итерациях.) Пусть
D и Е — ультрафильтры. Тогда для любой модели ?!
П Я (IIЯ).
DxE Е D
Если Z)x,
Dn — ультрафильтры, п >0, то
П я^П(...П(ПЮ.. •).
JDlX...XDn Dn D2 Di
Доказательство. Второе утверждение следует по
индукции из первого, поэтому нам нужно доказать лишь первое
утверждение. Пусть / С Для любого j £ J обозначим через
g ТА функцию
fi j) itV.
Мы покажем, что отношение, связывающее /dxe с /* </JjD ; £
€ ^)в, является изоморфизмом модели JJ §1 на Ц ([] 21). Рас-
DxE Е D
смотрим произвольную формулу ср (х17 хп) языка X и эле-
менты У1, . . ., /п £IxJA. Нам достаточно доказать, что
(1)
II 21 <Р [рЬхЕ, • • • , fbxE]
)ХЕ
6.5, И тер up о ванные ультрастепени
433
тогда и только тогда, когда
(2) П(1И) 1= Ф1/1*,
Е D
По основной теореме (1) эквивалентно
(3) {(^ 7>: 21 Ф t/1 7), ...,/n(^7)l}COx£,
но (3) в свою очередь эквивалентно (4) и (5):
(4)
(5)
t= Ф [/‘(г,/), .. •, Г (i, /)]} € D} £Е,
{/:Пя |= фi/h>, ...,fb]}eE.
D
Применяя основную теорему в третий раз, мы получаем, что (5)
эквивалентно (2). Ч
Примеры показывают, что в общем случае модели [J Я И
DxE EXD
не изоморфны. Поэтому важен порядок, в котором мы итерируем
ультрастепени. В общем случае мы будем предполагать, что за-
дано линейно упорядоченное (непустое) множество (У, <) и каж-
дому у С Y соответствует ультрафильтр Dy над множеством 1у.
Если упорядочение < известно, то мы через Y будем также обоз-
начать упорядоченное множество (У, <).
Мы определим теперь итерированную ультрастепень модели
по ультрафильтру Dy. Грубо говоря, это наименьшая модель 9S,
в которую все конечные итерации Я, < Уп
dVix XDyn
в У, могут быть естественным образом вложены. Если У — конечное
множество, скажем У — {у1ч уп), занумерованное в порядке
возрастания, то итерированная ультрастепень модели Я по уль-
трафильтру Dy совпадает с ультрастепенью [J Я.
ПУ1Х ... XDyn
Пусть К = 1У — декартово произведение индекс-
ных множеств 1У. Если Z cz: У, то мы говорим, что функция f
с областью определения К определяется через Z, если f (i) зависит
лишь от I | Z, т. е. для всех i, j £ К
i | Z = j | Z влечет за собой f (i) = f (/).
Подмножество $ cz: К определяется через Z, если характеристиче-
ская функция множества $ определяется через Z. Отсюда следует,
что $ определяется через Z тогда и только тогда, когда для всех
г, / g К
i ]Z = 7 | Z влечет за собой IQs тогда и только тогда, когда j £ s.
Множество {{i (i/i), i (уп)) i g $} назовем действием s
на {Уп Уп} и обозначим его через sy . ,у . Таким образом,
1 71*
28 г. Кейслер, Ч, Ч. Чэн
Гл. 6. Дополнительные сведения
’ Уп является подмножеством множества X ... X 1Уп. Мы
определим теперь произведение Dy ультрафильтров Dy следую-
щим образом:
/\Dy есть множество всех sc=K, таких, что для некото-
рого набора yi< <Zyn из Y
(1) $ определяется через {уи ..., уп};
(2) syiуп € X X Dy .
Поэтому У\Оу — множество подмножеств из К, и каждый его
элемент определяется через конечное подмножество из Y Прежде
чем идти дальше, нам нужна лемма, которая доказывается труд-
нее, чем можно было ожидать. По этой причине мы дадим доказа-
тельство с некоторыми деталями, даже если это затруднит чтение.
Лемма 6.5.3. Предположим, что s с: К и s определяется как
через множество Уо = {уг. ут}, так и через Zo = {zr, zn},
гдеугС. .<Zym,Zi<- .<ZzneY Тогда
sVi - vm^Dv1 x •x Dvm
в том и только том случае, когда
Доказательство. Если tQS (К) nj 6 7U1 X . . X IUp.
то пусть t | j' = {i £ t {i (Ui), . . ., i (up)) = /}. Заметим, что s
также определяется через Yo \J Zo. Поэтому достаточно доказать
лемму в случае Уо cz Zo. В этом случае утверждение IQs зависит
лишь от i (i/i), I (ут) ине зависит от i (z) для z g Zo \У0. Мы
можем предполагать в дальнейшем, что п — т + 1, так как мож-
но перейти от Уо к множеству Zo, присоединяя каждый раз по
одному элементу. Поэтому существует единственный элемент
z£Zo\yo. Индукцией по т легко показать, что для всех г,
1 << г < т. и любого множества t cz Iy X х Iу мы имеем
тогда и только тогда, когда
О € X ... X Iym : (t | /)У1 yr С Dy^ х ... X Dy^ £
^r+i Х • • • Х DVm-
6.5. Итерированные ультрастепени
435
Поэтому
(1) svi... х X^m тогда И только тогда, когда
Соответствующее утверждение справедливо также и для Zo. Мы
рассмотрим три случая.
Случай 1. z — наибольший элемент в Zo, т. е. ут <z. Тогда так
как s определяется через Уо, следующие условия эквивалентны:
sVi♦ • -Ут б Dvi X X Dym]
{i (z): Ут £ DV1 х X DVm} = 7Z;
{i (z):sVl,. ,ym G DVt X ... X DVm} £ Dz]
. .ym* E DVi x •.. X Dym x Dz.
Случай 2. z —наименьший элемент в Zo, т. e. z < y^. Тогда,
так как s определяется через Уо, следующие условия эквива-
лентны:
SVi- . l/m X
X Dym’
{/ С A/t X ... X IVm : (s | j)2 — Iz} £ DVi X X Dy^]
{i € iyt x ... x lym : (s ] j)z € Dz} € Dv, x x Dym>
Szyi.. .ym QDZX Dyt x ... X Dym.
Последний шаг использует утверждение (1) для Zo.
Случай 3. Пусть не имеет места ни один из первых двух случа-
ев. Тогда существует наибольший элемент уг£Уо, такой, что
уТ < z и г < zn. Далее, снова применяя предположение, что $
определяется через Уо и утверждение (1) для обоих множеств Уо
и Zo, мы видим, что следующие условия эквивалентны, где
и множества 70 и 1г определены аналогично:
$У1. . - Ут X Di]
{/ (: Л ’• (s I j)vi.. .yr б М>} С Di\
{j € Л : {Л £lz: ($ | h^j)yi.. .yr € Dq} =Iz}£
{j C Ji • € Iz: (s I h^i)yi.. -vr € -®o) € Dz} € De,
{j € Л : ($ I /)pi.. .yrz € Dq x Dz} g
sVx - - - Уг^Уг+i - - - Vm^DoX Dz X Di.
Мы доказали требуемый результат во всех трех случаях. —|
28*
436
Гл. 6. Дополнительные сведения
Предложение 6.5.4. Пусть S — множество всех подмно-
жеств $ из К, которые определяются через конечные подмноже-
ства из Y Тогда S замкнуто относительно конечных объединений,
конечных пересечений и дополнений относительно К. Кроме того,
существует ультрафильтр D над К, такой, что
D[\S=\Dy.
Y
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для
доказательства второго утверждения достаточно доказать, что
(1) для всех s£S или s^^Dy, или (AXs) £ X
у у
(2) множество X Dy центрирование.
Вначале мы докажем (1). Пусть s £ S. Тогда s определяется
через конечное множество Уо^= {у„ ., ут}, где уг < .< ут.
Так как Dy^ X. .X Dy^— ультрафильтр над множеством 1У^ х
X .X Iv , то или
(3) sVt. . .Ут € Dyt х ... X Dym,
или
(4) 1Ух х • • • X • • -Ут С Dyt х •.. х Dym.
Но так как s определяется через Уо, то
•>Ут X X •Tyw\s1/1.. ,Ут.
Значит, в случае (3) s £ Dу, в то время как в случае (4)
€ X Dy.
Для доказательства (2) нам нужна лемма 6.5.3. Нам достаточно
показать, что X Dy замкнуто относительно конечных пересече-
ний и не содержит пустого множества. Последнее верно, так как
для любых у± < . < ут из У
= ,Х°Ут'
Предположим, что s, t £ X Dy. Пусть 5определяется через У0,
a t — через Zo, где Уо и Zo — конечные множества. Тогда s П t
определяется через конечное множество Уои Zo. Пусть
Уо U Zo — {У1, Ут}) У1 < < Ут*
Тогда по лемме 6.5.3 оба множества
-4 = 8У1. . .ут, B = tyf*ym
6,5. И терированные улыпрастеп^ни
437
принадлежат ультрафильтру Dy^x .X Dym‘ Следовательно,
пересечение А р| В принадлежит ультрафильтру. Но так как $
и t определяются через {у1ч Ут}, то
igs тогда и только тогда, когда (г(У1),
i£t тогда и только тогда, когда (Z(yi), ..., i (утУ) Е В,
поэтому
i Е $ П t тогда и только тогда, когда {i (z/j), i (ут) > Е A Q В.
Отсюда
-Утп A[\B^DVtx X Е)ут
и потому s П t Е х D у. —|
Технические неприятности теперь пройдены.
Пусть снова <У, <) — линейно упорядоченное множество,
Dy — ультрафильтр над множеством Iу для любого у Е Y, К —
декартово произведение К Q и S — множество всех под-
бег
множеств s cz К, которые определяются через конечные подмно-
жества из Y Пусть теперь ЭД — модель языка X. Пусть
С — множество всех функций /: К —> А, которые определяются
через конечные подмножества из Y Для краткости мы обозначим
X Dy через Е. Мы будем говорить, что две функции f,g£C экви-
валентны по модулю Е, символически f если
{i^K =
Как обычно, класс функций, эквивалентных /, обозначим через
Зе — {§ € С f —Е &}•
Итерированную улътрастепенъ (J А множества А определим как
Е
множество всех классов эквивалентности:
|Ги = {/в /€С).
Е
Наконец, итерированную улътрастепенъ Ц ЭД модели ЭД опишем
Е
следующим образом. В качестве универсума модели П ЭД возьмем
множество ПЛ. Для любого n-местного отношения R из ЭД соот-
ветствующее отношение Я' из П ЭД определим так:
Е
R' (/Ь, •. /е) тогда и только тогда,
когда ..Л (0)} 6^
438
Гл. 6. Дополнительные сведения
Для любой n-местной функции G на Я соответствующую функцию
G' на J] Я определим так:
Е
см, .,/&) - «ч/чо, .,/40) *ек)Е.
Для любой константы а из Я соответствующей константой а' из
Ц ЭД является элемент
а = (я i £ К
Сходство между этим определением и определением ультра-
степени очевидно. Различие состоит в том, что теперь мы рассмат-
риваем подмножества See S (К), С az КА, Е cz D вместо целых
множеств. Как и при определении ультрапроизведений, прежде
чем мы убедимся в корректности нашего определения, нужно про-
верить некоторые детали. Мы перечислим их в следующем пред-
ложении.
Предложение 6.5.5.
(i) Если f1, ., 6 С, то
{i£K:R(f'(i),
(ii) Отношение = e является отношением эквивалентности на
множестве С.
(iii) Если У1 =в£1, ...» Г =Еёп, то
{it К R (fl (О, /“ (0)} 6 Е тогда и только тогда,
когда {i £ К R (g1 (0, gn (i))} 6 Е,
{G (I)......г (0): it К) = JG (g‘ (0, ..., gn (0) 'it К).
Основные результаты для итерированных ультрастепеней подоб-
ны результатам для ультрапроизведений и предельных ультра-
степеней и доказываются по существу аналогично.
Предложение 6.5.6 (Теорема об обогащении.) Пусть Е ==
= X Если Я' — обогащение модели Я до модели языка Z’,
то итерированная ультрастепень Ц (Я') является
итерированной ультрастепени Я до модели языка Z’
Е
Предложение 6.5.7. (Основная теорема.) Пусть Е
и fl SI — итерированная ультрастепень. Тогда для любой форму-
обогащением
у
6.5. Итерированные улътрастепени
439
лы ф (хц ., хп) языка X и любых элементов f1, • ГЕ КЛ,
которые определяются через конечные подмножества из У, мы имеем
тогда и только тогда, когда
Г ф[/ЧО,
Соответствующее утверждение для термов также верно, и, как
и прежде, основную теорему вначале следует доказывать для тер-
мов. Естественное вложение d А -> (J А определим как и раньше,
Е
положив d (а) равным классу эквивалентности, содержащему
константную функцию со значением а. Отсюда мы получаем такое
утверждение.
Следствие 6.5.8. Пусть = — итерированная
у Е
улыпрастепенъ. Тогда естественное вложение d\ является полным
вложением модели 21 в ЭД.
Е
Итерированные ультрастепени имеют большее число естест-
венных вложений в дополнение к первоначальному естественному
вложению ЭД в ее предельную ультрастепень. Рассмотрим конеч-
ное подмножество Z cz У, и пусть Z = {z19 ., zn} занумеровано
в порядке возрастания. Тогда естественно связать функцию
с функцией f К-^А, которая определяется через Z. Для Е =
= X В vi Ez = Dz X . X Dz мы можем определить естест-
k Y У п
венное вложение
положив
dz (gEZ) = (g (j (21), ..., i (Zn)) : i E K)E.
Для Z = 0 мы примем соглашение, что dQ — d— естественное вло-
жение Jmoдели ЭД в ЦЭД. Вложение dz зависит как от У, Dy
и множества Л, так и от Z.
Предложение 6.5.9. Пусть Z — конечное подмножество из У
Тогда
(i) dz— од но-од позначная функция из [J А в ПЛ.
ez е
(ii) range (dz) = {fE E [J A : / определяется через Z}.
E
440
Гл, 6. Дополнительные сведения,
(iii) n^ = U{range(dw):WGSa(y)}.
£
(iv) Если в Y, то
range (d{y}) Q range (d{z}) = range (c?0).
Доказательство, (i) Следующий ряд эквивалентных
утверждений для любых g, й: Iz^X X Izn -> А показывает
одновременно, что dz — функция и что она одно-однозначна:
8 =
{] х I2n : g (j) = h (J)} G Ez;
{i£K :g(i(zi), ..., i(zn)) = fe(i(Zi), ..., i.fo))} G#5
...» i(zn)): i£K).
(ii) Это утверждение непосредственно следует из того факта,
что функция /: К А определяется через Z тогда и только
тогда, когда существует функция g: IZ1 X ... X 12п А такая
что u
/=(gG(2i), ..., i(zn)) :iGE).
(iii) Это утверждение следует из (ii).
(iv) Очевидно, что range (d0) cz range (d{V}) и аналогично для z.
Пусть
b G range (d{y}) П range (d{2}).
Применяя (iii), получаем, что существуют /, g£KA, такие, что
& = fE = gE и f определяется через {у}, a g — через {z}. Допустим,
например, что y<z. Пусть f (t (i/)) = /(0, g' (i (z)) = g (0. Тогда
{i G К : f (i (y)) = g' (i (z))} = {i G К : / (0 = g (0} G E,
отсюда
(0 = g' (/)}€^}eZ>2.
Поэтому существует JoG-G, такой, что
(i) = gf Uo)}QDy.
Пусть a = g'(7o)- Тогда a£A и
{£ € I у • f (0 — °} G
отсюда
{iG#:/(0 = a}CE’,
а значит, fE = d0 (a) Grange (d0)- H
Предложение 6.5.10. Если W cz Z ^Sa}(Y), mo
<*Z: ПЯ-<ПЯ
Ez E
6.5, Итерированные ультрастепени
441
U
МП и) < dz( Hsi) < Пя.
EW EZ Е
Доказательство. Пусть ср (хх, хт) — формула
языка X и — функции из Zz X .X 7Zn в А, кото-
рые определяются через конечные подмножества множества Z.
Применяя основную теорему, мы получаем следующие эквива-
лентные утверждения:
IIЯ t=<pl/L,
EZ Z Z
в = {«€Д,х ...хЛ^И^чЧ/ЧО, • • •, Г (W €
{i g A: §1 t= <p I/1 (t (zj), ..., i (z„)), ..., fm (i (zt), ...,i (zn))|) £ E-,
{i € К : §11= <p .................Г(1)])£Е.
Здесь
f = <f (i (21), • • •, i (2n)): i € A');
ПЯ1= Ф1/1,
E
П«i=<pi<M/iz), ..ло
E
Это показывает, что dz П $ < П ВтоРое утверждение следует
ez Е
из первого и того факта, что range (dw)(H range (dz). -j
Самый полезный случай итерированной ультрастепени — это
когда все ультрафильтры Dy, у£ Y, одинаковы, скажем Dy == D.
В этом случае мы будем писать X & ~ X Dy Следующие два
у у
результата являются приложением итерированных ультрастепе-
ней к проблеме Лёвенгейма — Скулема (см. разд. 4.3.).
Теорема 6.5.11. (Уменьшение разрыва.) Пусть язык X содержит
одноместный предикатный символ U,
(i) Если Рю и а р <о, то любая (а, $)-моделъ
имеет полное расширение, которое является (а®, $')-моделъю.
(ii) Допустим, что а а' Р' Р°, Р со и а' || X ||.
Тогда любая теория, допускающая (а, р), допускает (а', Р')«
Доказательство, (ii) следует непосредственно из (i)
и теоремы Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности.
(i) Выберем счетно-неполный ультрафильтр D над со. Пусть
{Y, <) — произвольное линейно упорядоченное множество мощ-
ности Р'. Пусть 21 = (А, V, . . .) есть (а, Р)-модель, где | А | =
442
Гл. 6. Дополнительные сведения
= а, | V | = р. Рассмотрим итерированную ультрастепень
г=(Л', v, ...)=Пя, e=%d.
Е У
Так как d — полное вложение 31 в ЭД', то ЭД' изоморфно полному
расширению модели ЭД. Для любого конечного подмножества
Zg Y пусть ЭД = (А2, Vz, .По предложению 6.5.10
Ez
dz — элементарное вложение модели П Я в Я' По предло-
жи
жению 6.5.9
А’ = J {range (dz) Z £ Sa (У)}.
Если Z конечно, то Ez оказывается ультрафильтром над конечным
числом экземпляров множества со. Если Z у= 0, то Ez счетно-непо-
лон, так как ультрафильтр D счетно-неполон. Поэтому если Z —
непустое конечное множество,} то (по предложению 4.3.7) I П Л) =
Ez
— ссы. Тогда
аш^| А' У | = = аш,
а значит, | А' | = аш. Кроме того, мы имеем
(1) V' = UK(r2):Z6S<#(y)},
отсюда Р = |У|С|П^к₽“ и IVz| = | П I • Поэтому
Ez Ez
(2)
Так как V бесконечно и D — счетно-неполный ультрафильтр, то
d — собственное вложение V в ЦУ. Отсюда следует, что для любого
D
элемента у £ Y
(3) dQ (V) — собственное подмножество множества
Но по предложению 6.5.9 (iv) при у у= z из У
(4) d{y) (У{у>) П d{z) (У{г}) — dQ (У).
Из (1), (3) и (4) получаем, что
Р' I у I I г |.
Итак, из (2) мы получаем
|У' К | У 1-Р = Р'-Р® = Р'
Поэтому ] V' [ = Р'. Это показывает, что ЭД' есть (аш, Р')-модель
и (i) доказано. Н
6.5. И итерированные ультрастепени
443
Эта теорема элиминирует континуум-гипотезу из приведенного
ранее следствия 4.3.11.
Следующий результат дополняет теорему 6.4.5. Он интересен,
когда а < аш < 2а.
Следствие 6.5.12. Пусть а, Р — кардиналы, а > р > со и о) —
единственный измеримый кардинал а. Тогда следующие условия
эквивал ентны:
(i) а.
(ii) Любая модель ЭД мощности р имеет элементарное расши-
рение мощности а.
(iii) Любая модель ЭД мощности р имеет полное расширение
мощности а.
Доказательство. Предположим, что выполняется (i).
Пусть D — счетно-неполный ультрафильтр над множеством w,
Y — линейно упорядоченное множество мощности а и ЭД' =
П — итерированная ультрастепень. Доказательство тео-
XD
ремы 6.5.11 показывает, что ЭД' имеет мощность а и изоморфна
полному расширению модели ЭД. Поэтому (ii) и (iii) следуют из (ik
Применяя (ii) к пополнению модели ЭД, мы видим, что (ii)
влечет за собой (iii).
Мы пока не применяли предположение о том, что <о — един-
ственный измеримый кардинал а. Оно необходимо лишь для
вывода утверждения (i) из (iii).
Пусть выполняется (iii), и пусть модель ЭД имеет мощность р
и 23 — ее полное расширение мощности а. Так как а >Р, то
существует элемент Ь £ 5\Л. По теореме 6.4.4. существует уль-
трастепенное расширение 6 модели ЭД, такое, что Ъ С С и © < 23.
Тогда (S, а)а$А изоморфно ультрастепени ([J ЭД, d (а))аеА. Так
как Ъ $ Л, то существует элемент, лежащий в [}Л, но не в d (Л).
D
Таким образом, D не будет Р+-полным ультрафильтром, а отсюда
по нашему предположению об измеримых кардиналах ультра-
фильтр D счетно-неполон. Тогда по предложению 4.3.7 | Ц Л | =
D
= р0, значит, Р° = | С | | В | — а, и (i) доказано. —|
Что происходит при возведении в итерированную ультрасте-
пень, если все ультрафильтры Dy a-полны? Хотелось бы, чтобы
такие итерированные ультрастепени сохраняли истинность пред-
ложений языка с бесконечными формулами, но, к сожалению,
это не так (см. упр. 6.5.20). Тем не менее в одном частном случае
они сохраняют свойство фундированности. Мы будем использовать
этот факт, чтобы получить дополнительную информацию об изме-
444
Гл. 6. Дополнительные сведения
римых кардиналах. Оставшаяся часть этого раздела существенно
связана с разд. 4.2.
Лемма 6.5.13. Предположим, что (Y, <'>— упорядочение,
обратное к вполне-упорядочению, uDy есть a-полный ультрафильтр
для любого у £Y Тогда пересечение множеств любого подмножест-
ва множества X Dy мощности меньше а не пусто.
Y
Доказательство. Пусть Е cz X D у, | Е | < а. Мы
можем предположить, что <У, <') = <р, >>, где Р — ординал.
Предположим, что р — предельный ординал, а разбор другого
случая оставляем читателям. Для любого s £ Е выберем конечное
множество L (s)cz У, через которое определяется s. Предполо-
жим, что s £ Е, 0 < у < Р и L (s) = {Sx, Sn}, где 6Х >.
... >5П, 6п=0. Определим теперь множество Fy ($). В зависимости
от положения у возможны два случая.
Случай 1. 6Р > у >6р+1. Положим Fy (s) равным множеству
всех / € Лр+1 X .X /бп, таких, что
($17)б....вР€^б, х хАр
Случай 2. у >6Х. Положим Fy (s) = Положив р = О
в случае 2, мы всегда имеем Fv (5) g X ... X D^n. Будем
говорить, что функция j просеивается через Fy (5), если
<;(6р+1), .,7(бп)>е^(^)-
Теперь для любого у £ р, 0 < у, мы можем определить
Fv = {7’£ [J Z6: j просеивается через Fy(s) для любых $£/?}.
eev
Пусть Fo == {0}. Мы утверждаем, что
(1) если /б £ для любых 6 <у и если 6 < ц влечет /а cz /п,
то U 7в € Fy-,
6<v
(2) если 7 g Fv, то 7 может быть продолжена до функции k £ Fy+1.
Из конечности L ($) тотчас же следует (1). Чтобы доказать (2),
заметим сначала, что для любого s £ Е
Xs = {* € Л •. 7^i просеивается через Fy+i (5)} g Dy.
Так как | Е | < а и Dy есть а-полный ультрафильтр, множество
Q Х& принадлежит Dy и поэтому непусто. Выбрав t g Q Xs,
SEE
мы видим, что — к принадлежит Fv+1, и (2) доказано. В силу
леммы Цорна, из (1) и (2) мы можем заключить, что существует
6.5. И итерированные у лътр остепени
445
функция i £ К, такая, что для всех s £ Е
<i(6):6€L(s))es61...6„,
т. е. i£s. Поэтому и Пя=#о. -|
Теорема 6.5.14. Если а — несчетный измеримый кардинал, то
(i) Для любого кардинала 0 > а модель ф, <) имеет вполне
упорядоченное полное расширение произвольно большой мощности.
(ii) Для любого кардинала у >2а модель {у, <) является пол-
ным расширением модели (а, <).
Доказательство, (i) Рассмотрим неглавный а-полный
ультрафильтр D над а. Возьмем кардинал у и найдем вполне упоря-
доченное полное расширение модели (0, <> мощности не мень-
ше у. Пусть {Y, <’ ) — упорядочение, обратное к вполне-упорядо-
чению порядкового типа {у, >) и (В, L) = [J ф, <> — итери-
Е
рованная ультрастепень, где Е = X D. Так как D — неглавный
у
ультрафильтр, то он не а+-полон и поэтому d (0) — собственное
подмножество множества Ц0. Следовательно, range (dQ) — собствен-
D
ное подмножество множества range (d{y}) для любого у £ у. А отсюда
вытекает по предложению 6.5.9 (iv), что множество В имеет мощ-
ность не меньше у. Предположим, что <5, L) не вполне упорядо-
чено. Тогда существует счетная последовательность fy, /я,
элементов из В, такая, что
П = 0, 1, 2,
Тогда для любого п
Xn = {itK Г1 (0 < Г (0} £ £•
Так как а >со, мы можем применить лемму 6.5.13, и, следова-
тельно, множество Р| Хп непусто. Пусть t £ Q Хп. Тогда
п<ш п«о
в ф, <) мы имеем убывающую последовательность
/° (О >/чо >•
Но это противоречит тому, что (0, <) — вполне упорядоченное
множество. Поэтому {В, L) вполне упорядочена. Наконец, по
следствию 6.5.8 модель {В, L) изоморфна полному расширению
модели (0, <>.
(ii) Пусть D и Е будут такие же, как и в доказательстве (i), где
у — данный кардинал, у
степень
(A, L} = П <«,
>а. Образуем итерированную ультра-
<). Тогда (4, L) вполне упорядочена
446
Гл. 6. Дополнительные сведения
и | А | > у. Докажем, что
(1) d (а) — начальный сегмент из (A, L).
Пусть fE Е А и fELd (5) для некоторого 6 < а. Пусть функция /
определяется через {у^ ., уп}, где уТ >. ->уп- Тогда, поло-
жив Dy = D для всех у, получаем
{I Е уа: / (i) < 6}У1.. .Уп Q DV1 X X Dyn.
Так как D a-полон, то Dy^ X . X Dyn тоже a-полон. Поэтому
существует ц < 6, такой, что
{i G уа: / (0 = . ,Уп Е Dyt X •.. X Dyn.
Итак, fE = d (ц). Это доказывает (1). Пусть у' — порядковый
тип модели (Л, L). Тогда <у', <) — полное расширение (а,
В силу (i) | А | > у, а потому у' > у.
Нам остается показать, что у' у. Пусть fE Е А и функция f
определяется через {уг, уп}, где у >уг >. ->уп- Пусть
z = {у е у У1 > у} и
С — {gE Е А §еЦе и g определяется через конечное подмножество
множества Z}.
Так как существует не более | Z |-аа функций, которые определя-
ются через конечные подмножества множества Z, и аа, | Z | < у,
то | С | < у. Рассмотрим произвольный элемент hE Е Л, такой,
что hE LfE. Существует конечное число элементов zr >.
таких, что h определяется через {z1? ., zm} и {г/17 уп}^
cz {z1? . ., zm}. Предположим, что >уг. Тогда / определяется
через {z2, ., zm}. Так как hE LfE, то
{i &Y :A(0</(O} gE.
Для 7 Е X .X IZm определим h' (;) = h (i) и /' (у) = f (О,
где {i fo), i (zm)) = j. Тогда
{] € X X Izm h (j) <Z f (у)} E X . X DZm.
Поэтому множество
и={h 6 Л2 x x I2m: {Jo € IZi: h’ (jonft) < f € DJ
принадлежит DZl X X DZrn. Ho f (JonJi) зависит только от
7\ и не зависит от ;0, так как f определяется через {г2, ., zm}.
В силу сказанного выше, поскольку D есть a-полный ультрафильтр
и f < а, Для любого /х Е U существует элемент Г (/J <
< /' (Jon7i)» такой, что
Если мы зададим функцию I: TY а, положив I (i) = V (i (z2), .
. . i (zm)), то l определяется через {z2, . . ., zm} и hE = lE. Для
6.5. Итерированные ультрастепени
447
некоторого г т мы имеем у± — zr. Продолжая описанный выше
процесс, мы получим функцию к, определяющуюся через {zr.
., zm}, такую, что кЕ — hE. Но тогда к определяется через
конечное подмножество множества Z, кЕ £ С и hE g С. Это озна-
чает, что jE имеет | С | < у предшественников в (Л, L). Поэтому
мы заключаем, что у' у. —I
Эта теорема может быть также доказана для моделей вида
<7? (а), £ ) вместо (а, <).
Следствие 6.5.15. Пусть а — несчетный измеримый кардинал.
Тогда
(i) Для любого кардинала 0 > а модель {R (0), £ ) имеет фунди-
рованное полное расширение произвольно большой мощности.
(ii) Для любого кардинала у > 2а модель {R (а), С ) имеет полное
расширение {В, £), такое, что у о В cz R (у) и В — транзитив-
ное множество.
Доказательство (i) Пусть у — произвольный карди-
нал и {Во, <) — полное вполне упорядоченное расширение модели
<0, <) мощности > у. По следствию 6.4.14 {BQ, <) может быть
расширена до полного расширения {В, Е) модели {R (0), £). кото-
рое имеет те же самые ординалы, что и {Во, <). Отсюда мы заклю-
чаем, что (В, Е) фундированна.
Мы оставляем доказательство пункта (ii) в качестве упражне-
ния. —|
Упражнения
6.5.1. Докажите, что если!), Е — ультрафильтры, то D X Е —
тоже ультрафильтр. Более того, если D, Е — собственные ультра-
фильтры, то D X Е — тоже собственный ультрафильтр. Докажи-
те аналогичные результаты для Dx X .X Dn.
6.5.2. Пусть D, Е — собственные ультрафильтры над множе-
ствами I, J и для любой пары {i, j) g I X J задана модель
Докажите, что
П я«=>П(Пяц).
DXE Е D
Поэтому ультрапроизведение ультрапроизведений изоморфно
ультрапроизведению.
6.5.3. Пусть Е — собственный фильтр над J и для любого
j £ J задан собственный фильтр Dj над Ij. Пусть К = (J Ij.
Докажите, что множество
F = {X 6 S (К) : {] 6 J : X [\Ij 6 D}} £ Е}
448
Гл. 6. Дополнительные сведения
— собственный фильтр над К. Более того, если Е и все фильтры Dj
являются ультрафильтрами, то F — ультрафильтр.
6.5.4. В предыдущем упражнении, предположив, что множе-
ства Ij попарно не пересекаются, докажите, что
Пя.^П(Пи,).
F Е Dj
6.5.5. Пусть D, Е — ультрафильтры над /, J, а V, W — филь-
тры над I X Z, J X J Дайте подходящее определение для V X W
и покажите, что для любой модели 21
П я - п (П я).
DxE I VxW ElW DlV
6.5.6. Предположим, что D есть а-регулярный фильтр и Е —
собственный фильтр. Докажите, что D X Е и Е X D суть а-регу-
лярные фильтры.
6.5.7. Предположим, что D — однородный фильтр над I, Е —
собственный фильтр над J и | J | I |. Тогда D X Е и Е X D —
однородные фильтры.
6.5.8. Если D и Е суть a-полные фильтры, то D X Е будет
а-полным фильтром. Такое же утверждение верно для фильтров,
а-полных по убыванию.
6.5.9. Предположим, что D — однородный coj-полный ультра-
фильтр и Е — счетно-неполный ультрафильтр над со. Тогда
D X Е и Е X D — однородные счетно-неполные ультрафильтры,
которые не (^-регулярны.
6.5.10. Проведите доказательство предложений 6.5.5.—6.5.7
и следствия 6.5.8.
6.5.11. Пусть (У, <) — конечное упорядоченное множество, где
У = {z/n уп} — все его элементы в порядке возрастания.
Для данных ультрафильтров Dyv ., DVn положим Е — X В у*
Покажите, что для любой модели 21
6.5.12. Для данного множества <У, <> и ультрафильтров Dy,
у £ У, положим Е = X D у и К ==П I у. Найдите фильтр V над
Y v£Y
К х К, такой, что для всех фильтров D zd Е над К
6.5. Итерированные ультрастепени 449
Отсюда следует, что итерированная ультрастепень будет пре-
дельной ультрастепенью.
6.5.13. Если Е = D у, то покажите, что для любого непусто-
у
го множества А
|ДЛ | |У |U sup {|Л | ''Л у 6 У}.
Е
Если каждый Dy | 1у (-регулярен и множество А бесконечно, то
в предыдущем соотношении имеет место равенство.
6.5.14. Пусть ЭД0 -< ЭД1 < .— элементарная цепь длины со,
такая, что каждая модель ЭДп+1 является ультрастепенным расши-
рением модели ЭДП, а именно
(21п+ь ^)а£Ап = (П 2ln, d (d))а£Ап*
Dn
Пусть (У, <) = к<)и£- X Др Докажите, что
у
U Яп=ПЯп.
п<со Е
6.5.15. Покажите, что предыдущий результат не справедлив для
элементарных цепей длины со + 1.
[Указание: Рассмотрите мощности.]
6.5.16. ЭД = 23 тогда и только тогда, когда они имеют изо-
морфные итерированные ультрастепени типа (У, == (со, <).
6.5.17. Покажите, что фильтрованные степени и предельные
ультрастепени можно итерировать. То есть для данного линейно
упорядоченного множества (У, <> и фильтров Dy определите
и Пи.
у &
а для данных ультрафильтров Dyn фильтров Vy над Iу X Iу опре-
делите
X(W и П Я.
у I vy)
6.5.18. Пусть (Z, <> — конечный начальный сегмент линейно
упорядоченного множества (У, <>, W = У \ Z и Dy, у £ У,—
ультрафильтры. Покажите, что
II 8. II (П я).
XD XD XD
у V W W Z z
29 Г. Кейс л ер, Ч. Чэн
450
Гл. 6. Дополнительные сведения
Приведите пример, показывающий, что это не верно для беско-
нечных начальных сегментов Z множества Y
6.5.19* . Зададим итерированную ультрастепень Дл, где Е =
Е
= X Dу, и пусть W, Z £ S& (У). Покажите, что
range(dz) П range (dw) = range (dz^w)-
6.5.20. Покажите, что лемма 6.5.13 не верна для упорядочен-
ного множества (У, < > = <о>, <>. Покажите также что если а —
измеримый кардинал и D — неглавный a-полный ультрафильтр
над а, то Д (а, <) не вполне упорядоченно.
XD
(О
6.5.21. Пусть а — несчетный измеримый кардинал и ЭД —
модель мощности > а. Докажите, что ЭД имеет полное расшире-
ние ЯЗ любой произвольно большой мощности, такое, что любое
предложение вида (уЦ)\/Ф языка Xа с бесконечными формула-
ми, которое истинно в ЭД, истинно в ЯЗ. (Здесь Ф — множество
конечных формул.) Это утверждение обобщает теорему 6.5.14.
6.5.22. Пусть а — несчетный измеримый кардинал. Тогда для
любого кардинала у >2а модель {R (а), g) имеет полное расши-
рение (В, £), такое, что ycz Вс R (у) иВ — транзитивное мно-
жество. (Примените упр. 1.4.18 о существовании транзитивной
реализации для фундированной модели.)
Несколько следующих упражнений показывают, как, исполь-
зуя итерированные ультрастепени, можно дать другое доказа-
тельство результатов о неразличимых элементах из разд. 3.3.
6.5.23. Пусть (У, <> и (У', <') — линейно упорядоченные
множества ио — отображение, сохраняющее порядок, из У в У'.
Пусть Е = X D, Е' X D, где D — ультрафильтр над I. Оп-
ределим отображение о* у'/ у/, положив о* (/) = /©а.
Теперь определим естественное вложение dQ Д А -> Д Л, поло-
Е Е'
жив da (gE) = (£оо*)е'. Докажите, что do — элементарное вложе-
ние Д ЭД в Д ЭД Для любой модели ЭД. Более того, если о отобра-
Е Е'
жает У на У', то dQ отображает Д ЭД изоморфно на Д ЭД.
Е Е'
6.5.24. Пусть У, Z — линейно упорядоченные множества
и Dy, Ez — ультрафильтры для всех у g У, z £ Z. Пусть о У ->
—Z — сохраняющее порядок вложение, такое, что Dy = Е0{у>
6.5. Итерированные ультрастепени
451
для всех у £ Y Найдите естественное элементарное вложение
<v. П яч П а.
*Dy
6.5.25. Пусть D — ультрафильтр, У, Z — линейно упорядочен-
ные множества, о — сохраняющее порядок вложение У в Z
и 21 — модель. Покажите, что
range (d0) = {/хп f определяется через range (о)}.
z
6.5.26. Пусть D — ультрафильтр, У — упорядоченное множе-
ство и Е = У\Р. Для каждого Ъ £ П определим У —> [Г Л,
У D Е
положив еъ (у) = d{y} (Ъ) для любого у £ У Покажите, что
(i) если 5^£[Л\с/(Л), то еь — одно-однозначная функция;
D
(ii) для любого Ъ g П А и любого отображения о: У -> У,
D
сохраняющего порядок, dQ<>eb =
6.5.27. Пусть St — модель, D — ультрафильтр, такой, что
Ц (Л)=/=0, и (У, <> — линейно упорядоченное множество.
D
Пусть 93 — итерированная ультрастепень, 93 = П Я. Дока-
XD
Y
жите, что существуют множество Ccz В и упорядочение <' мно-
жества С, такие, что
(i) (С, <')- <У, <);
(ii) любой автоморфизм (С, <') может быть продолжен до
автоморфизма модели 93.
(iii) С — множество неразличимых в 93 элементов.
6.5.28. Пусть У, У', У" — линейно упорядоченные множест-
ва и о У У', т: У' У" — вложения, сохраняющие поря-
док. Тогда для любой модели Я и ультрафильтра D естественные
вложения удовлетворяют следующему соотношению:
тоа
— d^dQ.
6.5.29. Пусть У — линейно упорядоченное множество, D —
ультрафильтр, Е = Я — модель. Тогда соответствие о ->
da является изоморфным вложением группы автоморфизмов
множества У в группу автоморфизмов модели Ц Я. Оно также
Е
является отображением полугруппы сохраняющих порядок вло-
жений
У в У
в полугруппу элементарных вложений модели
5я
в себя.
29*
452
Гл. 6. Дополнительные сведения
6.5.30* . Пусть Е = \Dy и
(В, М) = П L)
— итерированная ультрастепень, где L — вполне-упорядочение
на А. Предположим, что fE MgE в (В, М) и / определяется через
Ж, a g определяется через Z, где Ж, Z g SQ (У). Дополнительно
предположим, что в Y множество Ж\^ является начальным сег-
ментом множества Ж (J Z. Тогда существует элемент hE в В, такой,
что fEMhE, hEMgE и h определяется через Ж(^.
6.5.31* . Пусть а — регулярный кардинал, а >2Ш. Пусть
(У, <) изоморфно (а, >). Для любого у £ У Dy — ультрафильтр
над со. Пусть ?! (Л, L} — такая модель, что L вполне упоря-
дочивает А. Тогда итерированная ультрастепень Q ЭД не содер-
XD
Y у
жит строго убывающей последовательности длины а.
6.5.32. Пусть Z), Е — ультрафильтры и Е счетно-неполон. Тог-
да D X Е является а-хорошим в том и только том случае, когда Е
а-хороший.
6.5.33. Примените предыдущее упражнение к упр. 6.1.6.
6.5.34. (ОКГ) Пусть D есть а+-хороший счетно-неполный
ультрафильтр над а, а Е есть р+-хороший счетно-неполный ультра-
фильтр над 0. Рассмотрим ультрафильтр D х Е над множеством
I — а X р. Найдите два семейства непустых конечных множеств
Ait Bir i Е /, таких, что
DXE DXE
6.5.35? Переформулируйте упр. 6.1.19 так, чтобы показать,
что если 2®1 = со2, то существуют ультрафильтры О, Е и счетная
модель ЭД, такие, что
dxe exd
6.5.36. Фйльтр D над множеством I мощности а называется
неразложимым, если для любого разбиения I = U множест-
ва
ва I на а непустых подмножеств Хр, таких, что Q Хр (J D для
₽<v
всех у < а, существует У g Z), такой, что |УГ|ХР | 1 для
всех р < а (т. е. для этого разбиения существует функция выбора).
Пусть D — неразложимый ультрафильтр над а. Покажите, что
не существует таких неглавных ультрафильтров Е, F над множе-
ствами J, А', чтобы F был однородным, | К | = а и существовало
6.5. Итерированные ультрастепени
453
бы одно-однозначное отображение J X К на а, которое отобра-
жало бы Е X F на D.
6.5.37. Пусть D — счетно-неполный неразложимый а+-хоро-
ший ультрафильтр над а. Покажите, что не существует счетно-
неполных ультрафильтров Е, F над множествами J, К. таких, что
некоторая одно-однозначная функция / из множества J X К на а
отображает Е X F на D.
6.5.38* . (ОКГ) Покажите, что существует ультрафильтр D
над а, который счетно-неполон, неразложим и является а+-хоро-
шим.
6.5.39. Пусть D — счетно-неполный ультрафильтр, а Е есть
a-полный ультрафильтр. Покажите, что D X Е будет a-хоро-
шим тогда и только тогда, когда D является а-хорошим.
(Ср. упр. 6.5.32.)
ГЛАВА 7
ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ
7.1. Категоричность в мощности
Напомним, что теория Т в языке X называется категоричной
в мощности а или а-категоричнойу если она имеет модель мощно-
сти а и любые две ее модели мощности а изоморфны. (Другими
словами, теория Т имеет с точностью до изоморфизма только одну
модель мощности а.) В разд. 2.3 мы получили необходимые и до-
статочные условия для того, чтобы теория была категоричной
в мощности со. В этом разделе мы изучим теории, категоричные
в несчетных мощностях.
Мы будем предполагать на протяжении этого параграфа, что
язык X счетен, ||#|| = со. Нас будут интересовать только полные
теории, так как любая а-категоричная теория, не имеющая конеч-
ных моделей, полна.
В разд. 1.4 мы нашли примеры теорий следующих типов:
категоричные в любой бесконечной мощности;
категоричные в мощности со, но не категоричные ни в какой
несчетной мощности;
категоричные в любой несчетной мощности, но не категоричные
в мощности со;
не категоричные ни в какой бесконечной мощности.
Лось предположил, что других возможностей нет. Гипотеза Лося
состояла в следующем: если теория Т в языке X категорична
в некоторой несчетной мощности, то она категорична в любой
несчетной мощности. Эта гипотеза была доказана Морли [1965а],
и наша основная цель в этом разделе — доказать теорему Морли
(теорема 7.1.14). Сначала мы дадим ряд примеров теорий, которые
категоричны в любой несчетной мощности. Известны лишь следу-
ющие естественные примеры таких теорий:
(i) Чистая теория равенства.
(ii) Бесконечные абелевы группы, в которых все элементы
имеют порядок р (р — простое число).
(iii) Полные абелевы группы без кручения.
(iv) Алгебраически замкнутые поля характеристики р (р —
нуль или простое число).
(v) Теория всех моделей (A, G), где А — бесконечное множест-
во, a G — его перестановка, не имеющая конечных циклов.
7.1. Категоричность в мощности
455
(vi) Теория всех моделей (Л, £7, G), где G есть и-местная одно-
однозначная функция, отображающая Un на Л\£7.
(vii) Теория в языке X = {сп п<со} с аксиомами *"| сп =
= ст, где п < 771 < 0).
(viii) Полная теория модели (со, S), где S — функция следова-
ния, S (х) = х + 1.
В доказательстве теоремы Морли будут применяться различные
методы, развитые в предшествующих главах, включая теорию
неразличимых множеств, насыщенные модели и одну теорему
Лёвенгейма — Скулема — Тарского о двух кардиналах, а имен-
но теорему 3.2.14.
Лемма 7.1.1. Пусть Т — полная теория в языке X, имеющая
бесконечные модели, причем любая ее модель мощности (di насыщенна.
Тогда любая несчетная модель теории Т насыщенна, и потому
эта теория категорична в любой несчетной мощности.
Доказательство. Мы применим теорему 3.2.14. Пред-
положим, что а > (Oi и теория Т имеет ненасыщенную модель ЭД
мощности а. Тогда существует множество Xcz А мощности
| X | < а и множество формул 2 (у) обогащенного языка Хх =
= X U {сх : х £ X}, такие, что любое конечное подмножество
множества 2 выполняется в модели (ЭД, х)х£х, но 5 не выполняется
в (ЭД, х)Х£Х. Так как ||£|| = со, то ||£х|| = | X | (J со < а;
отсюда | 5 | < а. Поэтому мы можем выбрать подмножество
Ucz А мощности | U | = | 2 | и одно-одно значную функцию <р,
отображающую множество U на 2. Найдем такое обогащение
модели ЭД, чтобы мы могли говорить, что на элементе выполняется
формула из 2, соответствующая некоторому элементу и £ U.
Кроме нового одноместного отношения U мы введем два двумест-
ных отношения R и S.
Отображение <р связывает с каждым элементом а £ U формулу
<ра из 2, где фа — формула языка Хх от переменной v. Пусть
R — множество всех пар {а, х) из А X А, таких, что a g U, х £ X
и константа сх входит в формулу фа. Поэтому для любого а £ А
существует лишь конечное множество, возможно, пустое, элемен-
тов х £ А, таких, что R (а, х). Положим S равным множеству
всех пар {а, Ь) 6 А X А, таких, что а g U и (ЭД, х)х^х^ фа [6].
Мы определим обогащение модели ЭД, положив
ЭД* = (ЭД, U, R, S).
На произвольном элементе a g U выполняется в (ЭД*, я)Хбх
формула
(1) Ф («) = (V0 (S (и, V) <ра (v)).
456
Гл. 7. Избранные вопросы
Кроме того, для любого п < со предложение
(2) bU(un)-+(3v)(S(Ui,v)
!\S(un, v))],
утверждающее, что любые п элементов из множества 2 одновре-
менно выполняются в 21, истинно в Я*. Наконец, истинно в 21*
следующее предложение:
(3) ~] (Эр Vp) (U (и) -> S (и, р)),
утверждающее, что множество формул 2 не выполняется в 21*
Так как | U | < | А \ , то по теореме 3.2.14 существуют две
модели 23* в 6*, такие, что
23*^21*, 23* <6*, |В| = ю, |C|=coi
и U интерпретируется в 23* так же, как в ®*. Поэтому мы
можем записать
23*-(58, Z7', 7?', S'), ©*-(©, U', R", S")
и отношение £7', будучи подмножеством множества В, счетно.
Положив X' = X П В, мы получим
(4) (23*, х)х£Х> < (21*, х)хеХ,
и
(5) (58*, х)х£Х> <(©*, х)хЕХ>.
Для любого a£U' множество {х g A R (а, #)} конечно и потому
{х £ A R (а, х)} = {х £ В R' (а, .r)}cz Х‘
Отсюда следует, что фа — формула языка X х> модели (58*, х}х^х»
для любого элемента а £ U' Отсюда, в силу (4) и (5) следует, что
для любого элемента a g V формула (1) выполнена на а в обеих
моделях (58*, х)х$Х' и ((£*, х)х$Х'. Аналогично, предложение (2)
для любого п< (ои предложение (3) истинны в моделях 23* и 6*.
Поэтому мы можем заключить, что в модели (6, х)х$Х’ множест-
во формул
2'(0 = {фо(0 atu’}
обладает тем свойством, что любое конечное подмножество формул
из 2'(р) выполняется, но все 2'(р) не выполняется. Так как X’ cz
cz В, то X' счетно. Поэтому модель 6 не -насыщенна. Но 6
имеет мощность и, в силу (4) и (5), она является моделью тео-
рии Т Это показывает, что Т имеет ненасыщенную модель ®
мощности соп что противоречит нашему предположению. Итак,
любая несчетная модель теории Т насыщенна.
Наконец, если Т — полная теория, имеющая бесконечные
модели, то любые две ее модели некоторой бесконечной мощности
7.1. Категоричность в мощности
457
элементарно эквивалентны и насыщенны, а потому, в силу теоре-
мы единственности для насыщенных моделей, они изоморфны,
и Т категорична в любой несчетной мощности. —]
В предыдущей лемме счетность языка X использовалась очень
существенно, так как она необходима в доказательстве теоре-
мы 3.2.14.
Нам нужно еще одно приложение теоремы 3.2.14. Это прило-
жение касается понятия теории, стабильной в некоторой мощно-
сти, которое интересно как само по себе, так и в качестве важного
инструмента в доказательстве теоремы Морли. Напомним, что
тип 2 (у) — это максимальное непротиворечивое множество фор-
мул от одной свободной переменной v. Поэтому любой элемент
модели реализует единственный тип.
7.1.2. Теория Т называется стабильной в мощности а, если
для любой модели Я теории Т и любого множества X cz А мощно-
сти а в простом обогащении константами (Я, ^)хЕх реализуется
точно а типов от одной свободной переменной v.
Рассмотрим теперь второе приложение теоремы 3.2.14.
Лемма 7.1.3. Если теория Т в языке X стабильна в мощности со,
то она стабильна в любой бесконечной мощности.
Доказательство. Предположим, что а > со и теория
Т не стабильна в мощности а. Тогда существует модель Я теории Т
и множество Хс Л мощности а, такие, что в (Я, х)х$х реализу-
ется не менее а+ типов от одной свободной переменной и. Без огра-
ничения общности по теореме Лёвенгейма — Скулема — Тарского
мы можем предположить, что Я имеет мощность а+ и (Я, я)хЕх
реализует точно а+ типов от одной свободной переменной и. Как
и в лемме 7.1.1, мы образуем подходящее обогащение модели Я.
Так как язык X счетен, то язык Хх ~ X U {сх х £ X}
имеет мощность а. Поэтому множество 2 всех формул ср (v) язы-
ка Хх от одной свободной переменной и имеет мощность а. Выбе-
рем подмножество Ua: А мощности а и одно-однозначную функ-
цию ф, отображающую можество U на 2. Как и в лемме 7.1.1,
определим двуместные отношения R и S на А следующим образом:
R (а, х) тогда и только тогда, когда а £ U и сх входит в фа;
S (а, Ь) тогда и только тогда, когда a g U и (Я,
Рассмотрим подмножество Гс Л мощности | V | = а+, такое,
что любые два различных элемента множества V реализуют раз-
личные типы в модели (Я, ^)Хбх» и одно-однозначную функцию G
из А в V. Теперь образуем обогащенную модель
Я* = (Я, U, 7, R, S, G).
458
Гл. 7. Избранные вопросы
На произвольном элементе а £ U в модели (21*» ^)х^х выполняет-
ся формула
(1) (Vp) (5 (u, v) ++ <ро (р)).
Кроме того, в модели 21* истинны следующие предложения:
(2) (Vpip) [р ф w л V (и) л V (w)
-> (3u) (U (и) к ~| (S (и, и) ++ S (и, гр)))],
(3) (Ургр) (р w -> V (G (р)) л G (р) ф G (ip)).
Первое из них утверждает, что два различных элемента из множе-
ства V реализуют различные типы, второе —что G отображает А
одно-однозначно в V
Применяя теперь теорему 3.2.14 и тот факт, что | U | < | А
мы получим модели
93* = (33, G', У', Я', 5', G'),
®* = (®, U', У", Я", S’", G"),
такие, что 93* -< 21*, [ В | = со, 93* -< 6* и | С | — (ох.
Так как (3) истинно в ©*, то
(4) | V" | = шр
Как и прежде, для всех а £ U' любой элемент х £ X, удовлетворя-
ющий условию R (а, х), принадлежит множеству X' = X Q В,
и, следовательно, <ра (р) — формула языка ХХ'- Поэтому для
любого а £ U' формула (1) выполнена в модели (93*, х)х&£'
и в модели (©*, х)х$х' на элементе а. Так как (2) выполнено в ®*
и U интерпретируется как U' в S*, то любые два различных эле-
мента из У" реализуют различные типы в модели (6, х)х^. Так
как X' cz jB, то X' —счетное множество. В силу (4), модель
(®, реализует несчетное число типов, и, следовательно,
теория Т не стабильна в мощности со. —|
Следующая лемма связывает понятие стабильности с понятием
категоричности.
Лемма 7.1.4. Еслитеория Т категорична в некоторой несчетной
мощности а, та она стабильна в мощности со.
Д о к а з ательство. Предположим, что Т не стабильна
в мощности со. Тогда существует модель 21 теории Т мощности (ох
и счетное подмножество Xcz А, такие, что модель (21, х)х$х реали-
зует сох типов. Применим теперь один результат о неразличимых
множествах, полученный в разд. 3.3. По следствию 3.3.14 теория Т
имеет модель 93 мощности а, такую, что для любого подмножест-
ва Y cz В обогащенная модель (93, y)V£Y реализует не более
| Y | [J со типов. Но так как теория Т а-категорична, тс любая ее
7.1. Категоричность в мощности
459
модель 93 мощности а обладает этим свойством. По теореме Лёвен-
гейма — Скулема — Тарского существует элементарное расшире-
ние 93 модели Я мощности а. Но тогда ё модели (93, х)Х£х реали-
зуется лишь | X | J со — со типов, в то время как в модели
(ЭД, реализуется сох типов. Это приводит к противоречию,
так как любой элемент из А реализует в (ЭД, х)хех тот же тип, что
он реализует в (93, х)х$х-
В свете леммы 7.1.4 мы хотим подробнее изучить теории, ста-
бильные в мощности со. Существуют полные теории, стабильные
в мощности со, ноне сох-категоричные. Простейшим примером такой
теории является теория всех моделей <А, С7 >, где U и А\С/ беско-
нечны. Другой пример — это теория всех отношений эквивалент-
ности <А, Е), где Е имеет бесконечно много классов эквивалент-
ности и каждый класс бесконечен. Обе эти теории со-категоричны.
Приведем пример полной со-стабильной теории, не категорич-
ной ни в какой мощности. Рассмотрим в качестве Т теорию всех
моделей <А, UQ, где каждое Un — одноместное отно-
шение, такое, что Un — бесконечные попарно непересекающиеся
подмножества А. Эта теория имеет счетное множество счетных
моделей. Если мы присоединим к Т константные символы emn,
и аксиомы, утверждающие, что все эти константы различны
и Un (стп), мы получим со-стабильную теорию, имеющую 2“ счет-
ных моделей.
Приводимое ниже следствие дает целый класс не со-стабильных
теорий.
Следствие 7.1.5. Пусть ?! (А, 7?0, .) — бесконечная
модель и отношение есть линейное упорядочение, тогда Th (ЭД)
не ^-стабильна и не (^-категорична.
Доказательство. По теореме компактности сущест-
вует модель 98 s ЭД и подмножество X cz В, такие, что (X, >
изоморфно множеству рациональных чисел с естественным поряд-
ком. Для любого начального сегмента Y cz X множество формул
{су < v y£Y}[J{v^cx z£X\Y}
совместимо с Th (93х)» А так как множество X имеет 2Ш начальных
сегментов, то теория Th (93.x) имеет 2° различных типов. —|
Лемма 7.1.6. Если теория Т имеет бесконечные модели и ста-
бильна в мощности со, то для любого регулярного кардинала а >> со
и любого р а существует а-насыщенная модель теории Т мощ-
ности р.
Доказате л ь с т в о. Рассмотрим произвольную модель ЭД
теории Т мощности р. Образуем обогащенную модель (ЭД, а)а$.А,
460
Гл. 7. Избранные вопросы
и пусть — полная теория этой модели. По теореме компакт-
ности существует модель (98, в которой любой тип, совме-
стимый с 7эд, реализуется. По лемме 7.1.3 теория Т стабильна
в мощности р. Поэтому (23, «)а£д реализует только | А | = р
различных типов. Следовательно, по теореме Лёвенгейма — Ску-
лема — Тарского существует элементарная подмодель (6, а)а^А -<
-< (23» а)а$А мощности [3, в которой любой тип, совместимый
с Тэд, реализуется. Из предложений 3.1.1 и 3.1.3 об элементарных
расширениях следует, что © — элементарное расширение моде-
ли ЭД. Мы показали:
(1) Любая модель ЭД теории Т мощности р имеет элементарное
расширение ЭД' мощности р, такое, что любой тип, совме-
стимый с теорией модели (ЭД, a)agA» реализуется в моде-
ли (ЭД', а)а±А.
Теперь, применив (1) а раз, мы получаем элементарную цепь
ЭД7, у < а, моделей теории Т мощности р, где
2iv = U я6, если у — предельный ординал,
причем для любого у < а условие (1) выполняется при ЭД = ЭД7
и ЭД' = ЭД7+х. Пусть 23 равно их объединению: 23 = U ?!?•
V«x
Тогда 23 — модель теории Т и, так как а р, имеет мощность р.
Покажем, что 23 есть a-насыщенная модель. Рассмотрим про-
извольное множество Ха В мощности | X | < а. Так как а —
регулярный кардинал, то | X | < cf (а), и, следовательно, суще-
ствует у < а, такое, что Ха ЭД7. Тогда любой тип 5 (р), совме-
стимый с полной теорией модели (ЭД7, реализуется в модели
(ЭД7+1, следовательно, он реализуется в модели (23, ^)хех-
Но поскольку ЭД7<23, то модели (ЭД7, х)х^.х и (23, х)х^х имеют оди-
наковые полные теории. Это показывает, что модель 23 а-насы-
щенна. Ч
Теперь мы можем доказать теорему Морли о категоричности
«вверх».
Лемма 7.1.7. (Теорема Морли «вверх».) Любая полная теория
категоричная в мощности (о19 категорична в любой несчет-
ной мощности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Т категорична в мощности
сох. Тогда она стабильна в мощности о. Так как сох — регулярный
кардинал, Т имеет насыщенную модель мощности ©х. Поэтому
любая модель этой теории мощности сох насыщенна. По лемме 7.1.1
все несчетные модели теории Т насыщенны. Так как она полна, то
любые две ее модели одной мощности изоморфны. Поэтому теория Т
категорична в любой несчетной мощности. —|
7.1. Категоричность в мощности
461
Прежде чем продолжить доказательство теоремы Морли,
выведем два интересных следствия о категоричности в мощности.
Следствие 7.1.8. Пусть а — несчетный кардинал и Т — полная
теория, имеющая бесконечные модели. Теория Т категорична в мощ-
ности а тогда и только тогда, когда любая ее модель Т мощности
а насыщенна.
Доказательство. Достаточность следует из теоремы
единственности для насыщенных моделей. Для доказательства не-
обходимости предположим, что Т а-категорична. Пусть ЭД —
модель теории Т мощности а. По лемме 7.1.4 теория Т ста-
бильна в мощности со. В силу леммы 7.1.6, для любого регуляр-
ного кардинала со < а' а теория Т имеет а'-насыщенную мо-
дель мощности а. Но так как ЭД — единственная модель теории Т
мощности а (с точностью до изоморфизма), то она а'-насыщенна
для всех регулярных а', со < а' а. Если а — не предельный
кардинал, то он регулярен и ЭД насыщенна. С другой стороны,
если а сингулярен, то ЭД у+-насыщенна для всех бесконечных
у < а и, следовательно, модель ЭД по предложению 5.1.1 насыщен-
на. Ч
Следствие 7.1.9. Если теория Т категорична в несчетной мощ-
ности а, то для любой модели ЭД теории Т и любого счетного мно-
жества Xcz А полная теория обогащенной модели (ЭД, х)х$х а-ка-
тегорична.
Доказательство. Пусть (ЯЗ, ух)х$х = ($, Х)х£х и 33
имеет мощность а, тогда модели (ЭД, х)х$х и (SB, i/x)x6x насыщенны
в мощности а, а любые две насыщенные модели одной мощности
изоморфны. Ч
Следующие две леммы касаются атомных моделей со-стабильных
теорий. Напомним, что полная формула, или атом, теории Т — это
формула ф (хх, . . ., х^), которая совместима с этой теорией и тако-
ва, что для любой формулы ф (хх, . хп) или ГЁ=ф—>-ф, или
Т^=ф-> ~| ф. Если ф (х19 ., х^} — полная формула и
ТЕзф (xn жп) ф (яп хп), то назовем ф атомом форму-
лы ф. Если формула ф (хг, . ., хп) имеет атом в теории Т, то
назовем ее пополнимой в этой теории. Теория Т называется атом-
ной, если любая формула, совместимая с Т, пополнима в ней.
В разделе 2.3 мы рассматривали атомные теории в счетных
языках. Теперь нам нужно изучить атомные теории в несчетных
языках, полученных из X присоединением констант.
Лемма 7.1.10. Если Т — теория в счетном языке X, стабиль-
ная в мощности со, то для любой ее модели ЭД и любого подмноже-
ства Xcz А полная теории обогащенной модели (ЭД, х)х$х итомна.
462
Гл. 7. Избранные вопросы
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Тх полную теорию
модели Яд: = (Я, х)х^.х, и пусть Хх = {сх : х £ X} — язык
модели Я х- Допустим, что для некоторого X cz А теория Т х не
атомна, и приведем это предположение к противоречию. Так как
теория Тх не атомна, то существует наименьшее положительное
число п и формула ф (рп рп), которая совместима с Тх и не по-
полнима. Покажем, что можно так выбрать Ха А, чтобы п = 1.
Допустим, что п > 1, тогда формула (3 ип) ф (р1? ., vn) имеет
атом ф (рп . . ., pn-i). Присоединим к языку Хх новые константы
..., с д-р Тогда множество предложений
Тх U {ф (с1» • • •» сп-1)} = Тх
определяет полную теорию в языке Хх U {^1» • » cn-i}- Мы
утверждаем, что формула ф (сх, ., vn) не имеет атомов в Т'х»
Предположим, что 0 (q, ., сп^, vn) — атом формулы ф (q,
cn_i, рп), тогда
ТX I 9 (^1, • • • » ^п-1, Vn) ** (^1» • • •, 1» Рд)
и, следовательно,
Тх Н ф (^1» • • •» Рд-1) Л 6 (Рр ..., рп) -> ф (Рр ..., vn).
Однако легко видеть, что формула ср (уи ., pn-i)A0(Pi, ., vn) —
атом теории ТХ1 что противоречит предположению о том, что
формула ф (рг, .. ., рл) не имеет атомов. Это доказывает, что фор-
мула ф (Ci, ., Сд-i, рп) не имеет атомов в Тх» Рассмотрим теперь
элементы аг, ., ап^ из Л, такие что Ях^Ф [«i, » .,
Тогда (Ях, . ., ап-г) — модель теории Тх, и формула
ф (ct, Сд-р рп) не имеет атомов в полной теории модели
(Ях» а1» •» лп-1)-
Мы можем в дальнейшем предположить, что п — 1 и ф (р)
совместима с Тх и не имеет атомов.
Мы будем4 применять для доказательства бинарные деревья.
Для любой формулы 0 (р), которая совместима с Тх и не пополня-
ема в Тх, мы можем выбрать две совместимые с Тх формулы
0о*(р) и 01 (р), такие, что
Тх Н ©о -> 0» Тх Н 01 -> 0. Тх F П (0о» Л 00.
Легко видеть, что формулы 0О (р) и 0j (р) не пополняемые в Тх»
Повторяя этот процесс, начиная с формулы ф (р), мы получим де-
рево совместных непополняемых в Тх формул
7.1, Категоричность в мощности
463
Пусть Y — множество всех констант х 6 X, которые входят ь фор-
мулы этого дерева, тогда Y — счетное подмножество множества X.
Пусть TY — полная теория модели (21, ^)Ж6у- Дерево имеет 2Ш
ветвей, и каждая ветвь — это множество формул, совместимое с TY.
Следовательно, теория TY имеет 2Ш типов от одной свободной пере-
менной v. По теореме компактности теория TY имеет модель, кото-
рая реализует 2Ш типов. Следовательно, теория Т не стабильна
в мощности со, что противоречит нашему предположению. —|
Напомним, что модель 21 называется атомной, если на любой
n-ке элементов из А выполняется некоторая полная формула тео-
рии Th (21). Кроме того, модель 21 называется простой, если 21
элементарно вкладывается в любую модель теории Th (31). В раз-
деле 2.3 мы доказали, что любая атомная теория в счетном языке
имеет модель, которая атомна и проста. Мы сейчас обобщим этот
результат на несчетные языки. Позднее мы изучим вопрос о един-
ственности простой модели.
Лемма 7.1.11. Если для любой модели 21 теории Т и любого
подмножества X cz А полная теория обогащенной модели 21 х —
= (21, ^)хбх атомна, то для любой модели 21 теории Т и любого
подмножества X cz А полная теория обогащенной модели 21 х
имеет атомную простую модель.
Доказательство. Мы будем конструировать элемен-
тарную подмодель модели 21 х, которая будет атомной и простой.
Пусть Хх — язык модели 21л: и 11^x11 — а. Найдем последова-
тельность ар, Р<а-(о, элементов из А, такую, что
(1) для любого Р < а-со элемент реализует атом полной
теории (21 х,
(2) для любого и<со и любого атома (р (и) полной теории моде-
ли (2lx, av)y<a-n существует 6 < a-(n + 1), такой, что а^
реализует (р (и).
Эта последовательность строится по индукции. Предположим,
что т < со и мы уже построили последовательность ap, P<a-m,
такую, что (1) выполняется для всех Р < а*т, а (2) выполняется
для всех п < т. Пусть <рб(0, 6 < а, — список всех атомов от
одной свободной переменной v полной теории модели (21 х> ау)у<:а.т.
Выберем в качестве аа.т элемент из А, который удовлетворяет
формуле <р0 (и) в модели (21 х, ^v)y<a-m- На следующем шаге
мы будем использовать тот факт, что полная теория модели
(21 х, fl?)v«x-m+i атомна. Поэтому формула <рх (и) имеет атом <pj (и)
в полной теории модели (2tx, av)y<a*m+i- (Заметим, что фор-
мула фх(0 сама является атомом для полной теории модели
(21х> Ду)т«х-т, но, возможно, не будет атомом полной теории мо-
дели (Йх, fly)v<a-m+i)- Выберем теперь элемент аа.т+1, удовле-
464
Гл. 7. Избранные вопросы
творяющий формуле ф^ (и). Продолжая построение таким образом,
мы получим аа.т+б, б<а, такие что (1) выполнено для р < ах
х(тп+ 1) и (2) выполнено для п = т. Это заканчивает индукцию.
Рассмотрим теперь подмодель 28 х модели Ях, такую, что
В={ар:р<а-(о}. Для любой совместимой с полной теорией
модели (21х, ар)0<а.о формулы ф (и) существует п < ю, такое,
что все константы входящие в формулу ф (0, появляются рань-
ше а-n, р < а-п. Так как теория (Six, ^р)р<а-п атомна, то ф (v)
содержит атом ф' (у) этой теории. Тогда, в силу (2), существует
б < а, такое, что аа.п^ удовлетворяет формуле ф' (у) и, следо-
вательно, формуле ф (у). Но аа.п+д — элемент из В. Это показы-
вает, что
(3)
®х < 2ix.
Покажем вначале, что модель 23х проста. Пусть ^&х =23х» Так
как каждый элемент реализует атом полной теории модели
(23х, по индукции заключаем, что существуют элементы
dy £ С, у < а - со, такие, что
(2Sx> ^v)Y<a»(D = (®х»
Следовательно, отображение av —>- dy является элементарным вло-
жением модели 23х в модель и, значит, модель 28 х проста.
Остается показать, что 23х — атомная модель. Для этого по
индукции мы докажем, что при всех р, р < а-ю,
(4) для всех бх, ., Sn < р n-ка удовлетворяет
некоторому атому в 21 х«
Предположим, что (4) выполнено для всех Р < у. Если у —
предельный ординал, то (4), очевидно, выполнено и для Р = у.
Предположим, что у — непредельный ординал и у — т] + 1.
Рассмотрим 6Х, ., <т] и п + 1 элементов ., ап.
В силу (1), на элементе выполняется атом ф (у) полной теории
модели (21 х, ар)р<Т]. Пусть ., — все константы, входя-
щие в формулу ф (и). Тогда по нашему предположению индукции
на (т + п)-ке «м» акт выполняется атом
0 (vlf . . ., pn, их, . ., ит) теории модели 21х- Кроме того, форму-
ла ф (и) может быть записана в виде ф (у, c^lt гДе
Ф (i?, и1? ., ит) — формула теории модели 21 х-
Для любой формулы ф (и) языка модели (21 х» ар)р<я °Дна
из формул
(W) (ф (v) ф (v)), (Vv) (ф (и) -> "] ф (0)
истинна в этой модели. Поэтому для любой формулы ф (и, и19 . . .
., ии ит) языка Xх или
2lx t= 9 (Vv) (ф (у, ., ит) ф),
7.1. Категоричность в мощности
4G5
ИЛИ
1= 0(l?i, . . Vn, Щ, (V0 (<р (р, щ, ..ит) -> П ф).
Следовательно, формула
6 м vn, иг, ит) л Ф {у, ., ит)
— атом теории модели ЭДх от переменных v, vr, , vn, ut,
um. Поэтому формула
(Эйр ит) [0 (р1? vn, um)A<jp(v, щ, ит)1
— атом теории модели ЭД х, который выполняется на элементах
#61» Это заканчивает доказательство (4). —|
Комбинируя последние две леммы, мы получаем
Следствие 7.1.12. Если Т — теория в счетном языке, стабиль-
ная в мощности со, то для любой ее модели ЭД и любого подмножества
Хс А полная теория модели ЭДХ имеет атомную простую модель.
Лемма 7.1.13. Если Т — полная ^-стабильная теория
и ЭД — ее несчетная модель, то существует собственное элемен-
тарное расширение 23 >- ЭД, такое, что любое счетное множество
Г (р) формул в языке ХА, которое реализуется в 23А, реализует-
ся в ЭДЛ.
Доказательство. Вначале найдем формулу ф (у) язы-
ка ХА, такую, что
(1) {Ь £ А ЭДАЕ=ф [&]} несчетно;
(2) для любой формулы ф (у) языка XА одно из множеств
{Ъ £ А ЭДа^Ф Л ф[Ы}, {6 € А ЭДА1=фл”| ф [&]}
счетно.
Если мы предположим, что такой формулы не существует, то
для любой формулы ф (у), выполняющейся на несчетном множестве
элементов модели ЭДА> существуют две формулы ф0 (у) и фх (у),
такие, что
Я а •= Фо ->• ф, Йа 1= Ф1 Ф. St а 1= 1 (Фо Л Ф1),
и обе формулы ф0 (р), фх (р) выполнены на несчетных множествах
элементов модели ЭДА- Применяя свойства бинарного дерева, мы
находим 2° типов, совместимых с Th (ЭДХ) Для некоторого счет-
ного множества Хсз А. Но это противоречит to-стабильности тео-
рии Т Поэтому существует формула ф (у) языка ХА, которая
удовлетворяет условиям (1) и (2).
Рассмотрим теперь новый константный символ с и множество Д
всех предложений ф (с) языка ХА (J {с}, таких, что ф (у) выполне-
на в модели ЭДА на всех элементах, на которых выполняется фор-
30 г. Кейслер, Ч. Чэн
466
Гл. 7. Избранные вопросы
мула ф (р), кроме, быть может, счетного подмножества. В силу (1)
и (2), множество Д — полная теория в языке ХА J {с}. Кроме то-
го, Th (ЭДА)с Д. По предыдущему следствию теория Д имеет
атомную модель
(28, fl, с)а£д
и ЭД •< 23. Модель 23 — собственное элементарное расширение
модели Я, так как для всех а £ А
Д = а.
Покажем, что любое счетное множество Г (у) формул языка ХА,
которое реализуется в 23А, реализуется и в ЭДА. Предположим,
что Ь £ В реализует Г (р). Тогда в атомной модели 23A(j{C) на b
выполнена полная формула ф (с, v). Следовательно, в силу пол-
ноты Д,
Д 1= (Зр) (р (с, р), Д i= ф (с, р) -> у (р)
для всех формул у (р) £ Г (р). Так как Г (р) счетно, то существует
счетное подмножество Aocz Д, такое, что
До 1= (Зр) ф (с, р), До Г= ф (с, р) -> у (р)
для всех формул у (р) £ Г (р). Так как каждая формула 6 (р), где
б (с) £ До, выполнена на всех элементах, на которых истинна
формула ф (р), за исключением, быть может, счетного подмноже-
ства, то существует элемент cQ £ А, такой, что (ЭДА, с0) — модель
множества формул До. Но тогда существует элемент dQ^At
для которого ЭДа^Ф (со» и поэтому d0 реализует Г(р) в ЭДА.
Это заканчивает доказательство. Ч
Теорема 7.1.14. (Теорема Морли о категоричности.) Если Т—
полная теория в счетном языке, категоричная в некоторой несчет-
ной мощности, то она категорична в любой несчетной мощности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть теория Т категорична в нес-
четной мощности а. По лемме 7.1.1 достаточно доказать, что
любая модель теории Т мощности 04 насыщенна. Пусть ЭД—мо-
дель теории Т мощности (ov Так как теория Т а-категорична, то
она co-стабильна. Применяя предыдущую лемму а раз и беря на
предельных местах объединение, мы получим элементарное расши-
рение 23 > ЭД мощности а, такое, что любое счетное множество
Г (р) формул языка X А, которое реализуется в 23а? реализуется
и в ЭДА. Так как со-стабильная теория Т имеет о^-насыщенную
модель мощности а и а-категорична, то 23 (Oi-насыщенна. Рас-
смотрим любое счетное множество Y cz А и любое множество
Г (р) формул в языке XY, совместимое с Th (ЭДу). Так как 23 есть
сорнасыщенная модель, то Г(р) реализуется в 23у и, следователь-
но, реализуется в ЭДУ. Поэтому модель ЭД (Dj-насыщенна. Ч
7.1. Категоричность в мощности 467
Доказательство теоремы Морли показывает в действительности
несколько большее, а именно
Следствие 7.1.15. Если Т — полная теория в счетном языке,
а > со и любая модель теории Т мощности а (^-насыщенна, то
любая несчетная модель теории Т насыщенна.
Приведенное доказательство теоремы Морли значительно про-
ще, чем первоначальное доказательство Морли, и принадлежит
Балдуину и Лахлану. Две основные леммы, а именно теорема
Лёвенгейма — Скулема — Тарского о двух кардиналах и лем-
ма 7.1.13, не были известны Морли, с другой стороны, первоначаль-
ное доказательство Морли дает большее количество дополнитель-
ной информации о ю-стабильных теориях, которая представляет
самостоятельный интерес. Одно из замечаний Морли, которое не-
трудно доказывается, касается понятия неразличимости в ста-
бильных теориях.
Подмножество X модели ЭД называется тотально неразличи-
мым, если для любых двух n-ок х19 ., хп и у1? ., уп элементов
из X, таких, что xt Xj и yt г/7-, где i =^= j,
(ЭД, х19 хп) = (ЭД, z/j, yj.
Заметим, что если множество X тотально неразличимо, то любое
линейное упорядочение (X, <) неразличимо в ЭД.
Например, в алгебраически замкнутых полях любой базис
трансцендентности тотально неразличим.
Теорема 7.1.16. Если ЭД—модель ^-стабильной теории, то
любое бесконечное неразличимое в ЭД множество (X, <) тотально
неразличимо.
Доказательство. Предположим, что (X, << > нераз-
личимо, по не тотально неразличимо. Тогда для некоторой форму-
лы ф (р1? ., ип) и некоторой перестановки л множества {1, п}
мы имеем
а^=ф[л-!, Хп], St t= ”|ф [яг„х, хлп]
для любой возрастающей гс-ки хг < < хп из X. Так как
любая перестановка является произведением транспозиций вида
(Z, г + 1), мы можем предположить, что л—транспозиция. По тео-
реме о распространении 3.3.11 мы можем предположить, что (X,
счетный плотный линейный порядок. Зафиксируем элементы
3^1 •<'С 37i-1 <С 37£4- 2 37п
из множества X, и пусть Y — интервал множества (X, <) между
элементами х^ и +2. Положим
Ф (^/? Ф (з^1, 37^1, у, Z, . ., Хп).
30*
468
Гл. 7. Избранные вопросы
Для любого начального сегмента S множества Y множество формул
Ге(р) = {ф(у, р) y£S} и {“] ф(у, р) 5}
совместимо с теорией Th (21х)- Следовательно, модель 21 х имеет
2штипов от одной переменной р, что противоречит (о-стабильности. —|
В первоначальном доказательстве теоремы о категоричности
Морли построил классификацию формул ф (и) языка модели 21 д,
поставив в соответствие каждой формуле ординал, который наз-
вал ее рангом трансцендентности. Чем выше ранг трансцендент-
ности, тем больше «сложность» формулы. Понятие ранга транс-
цендентности оказывается полезным и в других случаях. Мы
изложим здесь основной результат Морли и, кроме того, обсудим
некоторые более поздние приложения.
Мы начнем с ранга трансцендентности нуль. Рассмотрим мо-
дель 21. Формула ф (х) языка XА называется алгебраической
или формулой ранга трансцендентности нуль в модели 21, если
Ф (х) выполняется по крайней мере на одном, но не более чем на
конечном числе элементов модели 21. Число п элементов модели 21,
удовлетворяющих формуле ф (х), назовем степенью формулы ф (х).
Заметим, что любая алгебраическая формула ф (х) степени п
эквивалентна в теории Th (21а) конечной дизъюнкции
х == aY у v х = ап.
В частности, алгебраическая формула степени 1 эквивалентна
равенству х = а.
Теперь рассмотрим подмножество X cz А. Алгебраическая фор-
мула ф (х) называется неприводимойнад X, если множество формул,
выводимых из ф (я) в теории Th (21%), является типом в языке
Хх, т. е. максимальным совместным множеством в этом языке.
Тип S (х) в теории Th(2lx) называется алгебраическим над X,
если это мнржество всех формул, выводимых из некоторой непри-
водимой над X алгебраической формулы. Аналогично, элемент
а £ А называется алгебраическим над X, если он удовлетворяет
некоторой алгебраической неприводимой над X формуле.
Лемма 7.1.17. Если X cz А и ф (х) — алгебраическая формула
языка Хх, то ф (х) эквивалентна в теории Th (21х) конечной
дизъюнкции алгебраических неприводимых над X формул.
Доказательство. Пусть ., ап — элементы мно-
жества А, которые удовлетворяют формуле ф (х). Выберем мак-
симальное подмножество ., bm} cz {alt . . ., ап}, такое, что
все реализуют различные типы в модели 21х- Для каждого i
выберем формулу ф< (х) языка Хх, которая выполнена на bi4 но
не выполняется ни на одном Ь;, / У= i. Тогда фг- (х) = ф (х) л x|)f (х) —
алгебраическая и неприводимая над X формула для каждого i и
21лг 1= Ф^ Ф1 v . . . уфт. Н
7.1. Категоричность в мощности
469
Например, пусть ЭД — алгебраически замкнутое поле и X —
его подполе. Если р (х) — многочлен над X степени п без кратных
корней, то равенство р (х) = 0 является алгебраической форму-
лой степени п. Равенство р (х) = 0 неприводимо над X, если
и только если многочлен р (х) неприводим над X. Элемент а £ А
будет алгебраическим над X тогда и только тогда, когда он при-
надлежит алгебраическому замыканию множества X. Поскольку
любые два элемента, не принадлежащие алгебраическому замыка-
нию множества X, реализуют один и тот же тип в модели ЭДХ, то
если существует один такой элемент, их существует бесконечно
много.
Другой пример: пусть $ — плотное упорядочение без конце-
вых элементов и Xcz А. Тогда с помощью метода элиминации
кванторов, изложенного в разд. 1.5, мы убеждаемся, что элемент а
алгебраичен над X, если и только если a £ X.
Мы введем теперь высшие ранги трансцендентности. Идея состо-
ит в исключении алгебраических формул и рассмотрении того,
что остается. Удобно работать с сорнасыщенными моделями.
Пусть модель ЭД о^-насыщенна. Ранг трансцендентности
формулы <р (х) языка X А определим по индукции: формула (р (х)
имеет ранг а в модели ЭД, где а ординал, если и только если мно-
жество формул
(1) {ср (я)} U {”|а(^) а(гг) имеет ранг<а}
в языке X А совместно и имеет конечное множество максимальных
совместных расширений в теории Th (ЭДА). Число максимальных
совместных расширений множества формул (1) называется сте-
пенью формулы <р (х) ранга а.
Степень, таким образом, — всегда положительное число. Алгеб-
раическая формула — это то же самое, что и формула ранга нуль,
так как формула <р (х) выполняется на конечном числе элементов
аг, ., ап в модели ЭД тогда и только тогда, когда она имеет ко-
нечное число максимальных совместных расширений, определен-
ных формулами х =ах, ., х =ап.
Если формула ср (х) не совместима с теорией Th (ЭДА), мы при-
писываем ей ранг — 1. Если формула ср (х) совместима с Th (ЭДА),
но ей не поставлен в соответствие ординал в качестве ранга, мы
припишем ей ранг оо, который считается большим любого ордина-
ла. Таким образом, каждая формула ср (я) имеет единственный ранг.
Если мы полагаем
Sa (ЭД, х) = {~|а (х) а (х) имеет ранг < а}
для любого ординала а (часто мы будем писать просто Sa (х), если
из контекста ясно, какая модель имеется ввиду), то ранг трансцен-
дентности можно описать следующим образом: 50 (л:) множест-
во всех следствий теории ТЬ(ЭДА) с одной свободной переменной х.
470
Гл. 7. Избранные вопросы
Формула ф (х) будет алгебраической, если она совместима с SQ (х)
и имеет лишь конечное число максимальных совместных расшире-
ний; (х) эквивалентно множеству {х а а £ А}. Формула
Ф (х) имеет ранг 1, если {ф (z)} J (х) совместно и имеет лишь
конечное число максимальных совместных расширений. В общем
случае мы видим, что
(i) Если {ф (л:)} U Sa (х) несовместно, то ф (х) имеет ранг < а.
(ii) Если { ф (я)} J (х) совместна и имеет лишь конечное
число максимальных совместных расширений, то ф (х) имеет ранг а.
(iii) Если {ф (rr)} (J Sa (х) имеет бесконечное число максималь-
ных совместных расширений, то ф (х) имеет ранг >а.
(iv) Если {ф (я)} J Sa (х) совместно для всех а, то ф (я) имеет
ранг оо.
(v) Sa (я) замкнуто относительно выводимости и составляет
возрастающую последовательность.
Из определения и последующего обсуждения мы получаем следу-
ющий результат.
Лемма 7.1.18. Пусть ф (х) и гр (.т) — формулы языка XА.
(i) Ранг формулы ф (х) v ф (х) равен максимуму рангов фор-
мул ф (х) и ф (х).
(ii) Если ф (х) и ф (х) имеют ранг а и 31 а ~](ф (х) Дф (х\), то
степень формулы ф (х) уф (х) равна сумме степеней формул ф (х)
и ф (х).
(iii) Любая формула ранга а эквивалентна в теории Th (31 д)
конечной дизъюнкции формул ранга а и степени 1.
(iv) Если существует формула ранга а =/= оо, то существуют
формулы любого ранга р < а.
Из этой леммы следует, что истинная формула х ==х имеет
наибольший ранг. Мы назовем ранг этой формулы в модели 31
рангом моделей 31.
Закончим серию наших определений. Рассмотрим подмноже-
ство X gz А. Формула ф (х) в языке Хх ранга а называется не-
приводимой над X, если множество формул, выводимых из
{<Р (*)} U (Sa (х) П
образует тип в языке X х. (Неприводимая над А формула — это
то же самое, что формула степени 1.) Тип 2 (х) в теории Th (31 х)
имеет ранг а над X, если он совпадает с множеством формул, выво-
димых из
{ф (*)} U (Sa (х) fl Хх),
где ф (х) неприводима над X и имеет ранг а. Элемент а £ А имеет
ранг а над X, если его тип над X в 31 х имеет ранг а над X.
Лемма 7.1.19. Пусть X cz Л и ф (х)—формула языка Хх
ранга а. Тогда формула ф (х) эквивалентна в Th (31 х) конечной
7.1. Категоричность в мощности
471
дизъюнкции неприводимых формул ранга а над X. Более того,
Ф (х) неприводима над X, если и только если она неприводима над
любым конечным подмножеством Хо cz X, таким, что <р (х) —
формула языка
Доказательство аналогично доказательству 7.1.17. —]
Возвратимся к нашим примерам. Вначале рассмотрим алгебра-
ически замкнутое поле ЭД и его подполе X. Эта модель имеет
ранг трансцендентности 1, так как множество формул
51 (х) = {х =^= а а £ А }
определяет тип в Th (ЭДа)- Формула х ^х неприводима и имеет
ранг 1 над X. Элемент а С А имеет ранг 1 над X, если и только
если а не лежит в алгебраическом замыкании множества X.
Пример, где ЭД — плотное линейное упорядочение без конце-
вых элементов, резко отличается от этого. В этой модели не сущест-
вует формул ранга 1, так как если ср (х) выполняется на бесконеч-
ном множестве элементов, то множество
{ф (•*)} и а а £А}
имеет бесконечно много максимальных совместных расширений
в Th (ЭД А). Поэтому ср имеет ранг оо и любой элемент из име-
ет ранг оо над X.
Приведем пример модели ранга 2. Пусть ЭД— {А, Е), где
Е — отношение эквивалентности с (Ох классами эквивалентности
и каждый класс эквивалентности имеет мощность (Ох. Ранг фор-
мулы Е (a, v) равен 1 для любого a £ А, так как множество
{Е (а, р)} U {b =£ v Ъ Е А}
определяет тип S (и) в Th (ЭДА)« Формула v = v имеет ранг 2,
лак как
{и =р} J {“]# а С Л}
определяет тип в Th (ЭДа)» но
{v =v} (J {Ь v Ъ £ А}
не определяет. Следовательно, модель ЭД имеет ранг трансцен-
дентности 2.
Для любого а < (01 существуют примеры теорий, у которых
модели имеют ранг трансцендентности а.
Мы докажем теперь, что в двух элементарно эквивалентных сох-
насыщенных моделях одинаковые формулы имеют одинаковый
ранг трансцендентности. Это объясняет, почему (Oi-насыщенные
модели более удобны, чем произвольные.
Лемма 7.1.20. Пусть ЭД, 93 суть (ненасыщенные модели, X —
подмножество из А (] В и ЭДХ = 93 Тогда
472
Гл» 7. Избранные вопросы
(i) Любая формула ф (х) языка X х имеет в ЭД такой же ранг,
как и в 23. Следовательно, ЭД и 23 имеют одинаковые ранги.
(ii) Если ранг формулы ф (х) есть ординал, то она имеет в ЭД
такую же степень, как и в и является неприводимой над X
в ЭД, если и только если она неприводима над X в 23.
Доказательс т в о. Достаточно доказать наш результат
в случае, когда X конечно.
(i) Докажем индукцией по а, что для любых (^-насыщенных мо-
делей ЭД и 23 и конечного множества X, если ЭД¥ = 23 х и фор-
мула ф (х) языка Xх имеет ранг а в ЭД, то она имеет ранг а в 58.
Предположим, что наш результат доказан для всех р < а.
Допустим, что формула ф (х) имеет ранг а в ЭД. Тогда формула
Ф (х) не может иметь ранг < а в 23. Предположим, что формула
Ф (х) имеет ранг >а в 23, и получим противоречие. Множество-
формул
{ф (*)} и Sa (95, л)
имеет бесконечное множество максимальных совместных расшире-
ний. Поэтому для некоторого счетного множества С, Xcz Са Br
множество
{<₽(*)} и (Sa (23, х) П Хс)
имеет бесконечное множество максимальных совместных расшире-
ний в Хс. Так как ЭД есть (^-насыщенная модель, то существует
отображение С А, такое, что / (Ъ) = Ъ для b £ X и
(21, /(&))ьес = (23, Ь)ьес.
Для упрощения доказательства мы можем предположить, что-
С cz А П В и ЭДС =23с- По предположению индукции множество
формул Sa (ЭД, х) П % с совпадает с Sa (23, х) П Хс. Так как
Sa (х) замкнуто относительно выводимости, то
{ф (-г)} U Sa ($, х)
имеет бесконечно много максимальных совместных расширений.
Это противоречит тому, что ф (х) имеет ранг а в ЭД. Следовательног
формула ф (#) также имеет ранг а в 23.
(ii) Доказательство подобно (i). —I
Следствие 7.1.21. Если ранг ф (х) е ЭД равен ординалу а, то
а < (2W)+
Доказательство. Существует лишь 2й теорий насы-
щенных моделей ЭДХ, где X счетно. Следовательно, существует
лишь 2Ш различных рангов формул. —|
Лахлан [1971] улучшил предыдущий результат, доказав, что
а < coj.
7.1. Категоричность в мощности
47£
Теперь мы охарактеризуем со-стабильные теории в терминах
ранга трансцендентности. По предыдущей лемме любые две (Oj-
насыщенные модели полной теории Т имеют одинаковый ранг. Мы
назовем этот ранг рангом теории Т Теория Т называется тоталь-
но трансцендентной, если ее ранг есть ординал, меньший, чем оо.
Теорема 7.1.22. Пусть\Т— полная теория.
(i) Она (^-стабильна тогда и только тогда, когда она тоталь-
но трансцендентно.
(ii) Если теория Т тотально трансцендентно, то ее ранг —
счетный ординал.
Доказательство, (i) Вначале предположим, что Т
имеет ранг оо. Пусть 21 есть (Ох-насыщенная модель теории Т
и S (x)=[^Sa (х). Тогда S (х) совместно и S (х) S р (х) для
а
некоторого р. Для любой формулы ср (х), совместимой с S (х),
множество
{ф CD) U S (я)
имеет бесконечно много максимальных совместных расширений.
Применяя конструкцию деревьев, мы можем найти счетное множест-
во Ccz А, такое, что Th (21с) имеет 2“ типов. Следовательно, тео-
рия Т не (о-стабильна.
Предположим теперь, что Т имеет ранг < оо и 21 — модель
теории Т, а X — счетное подмножество множества А. Мы можем
предположить, что 21 есть (щ-насыщенная модель.
Пусть 2 (х)— тип теории Th (21х)- Любая формула из о (^) 6
£ S (.г) имеет ординальный ранг. Пусть о (х) — формула из 2 (х)
наименьшего ранга а. Так как о (х) — конечная дизъюнкция не-
приводимых над X формул, мы можем предположить, что о (х)
неприводима над X. Тогда 2 (х) совпадает с множеством всех
следствий из
о (л) и (Sa (х) П
Так как в языке Хх существует лишь счетное число формул и лю-
бой тип определяется, как и выше, формулой, то в Th (21 х) сУЩе-
ствует лишь счетное множество типов. Следовательно, теория Т
(D-стабильна.
(ii) Пусть Т есть со-стабильная теория. Тогда для любого п
она имеет счетное множество полных расширений в языке
X U {си • , сп}. Ранг формулы ф (х, ах, ., ап) в ^-насыщен-
ной модели 21 теории Т полностью определяется теорией модели
(21, ^i, •, ип). Следовательно, существует лишь счетное множе-
ство рангов формул в 21- Поэтому ранг модели 21 меньше, чем
и ранг Т меньше —|
474
Гл. 7. Избранные вопросы
В качестве приложения ранга трансцендентности мы покажем,
что любая несчетная модель со-стабильной теории содержит не-
различимые элементы.
Теорема 7.1.23. Если Т — полная ю-стабильная теория, то лю-
бая ее модель 21 регулярной мощности а > со содержит тотально
неразличимое множество мощности а. В действительности если
Y, Z а: А и | У | < | Z | = а, то 21 у имеет тотально неразличимое
множество Х<^ Z мощности а.
Д о к а з a т е л ь с т в о. Достаточно доказать последнее утвер-
ждение для всех со^насыщенных моделей мощности а. Пусть
Р — наименьший ординал, такой, что существует формула ф (х)
языка ХА ранга £, которая выполнена на а элементах множест-
ва Z. Следовательно, 0 < |3 < Существует формула ф ( х)
ранга р и степени 1, которая выполняется на а элементах из Z.
Для любого множества У'сг А мощности | У' | < а существует
меньше, чем а, формул языка ранга < р и каждая из них
выполняется меньше чем на а элементах из Z. Поэтому множество
SY\x) = {ф (<r)} U
выполняется на а элементах множества Z. Мы можем предположить,
что все константы формулы ф (х) лежат в У Тогда для любого
У' □ У множество SY'(x) определяет тип теории Th (21у')- Мы
можем выбрать элементы
а0, ^1»
у < а,
такие, что ау принадлежит Z и реализует множество
SYy(x), У? = У и {«б:6<у}.
Положим X равным множеству {а? у <а}. Мы покажем, что
X — множество неразличимых в 21 у. Достаточно показать, что
{X, <) неразличимо, где если и только если S < у.
Индукцией по п мы покажем, что для любых ух < < уп < а
и \ < < Sn < а
(21у, • • • , ^Yn) — #бц • • • » ^б )•
I v : v
Пусть предположение индукции справедливо для п, и пусть
У = У U {aY1, ..., Яуп} ’
У" = У и {а61, .,а$ }.
9 I»
Тогда
0 (aVl, aVn, х) 6 Sy (х)
ъ том и только в том случае, когда
0 (аб1, . . ал, х) £ Sy (х).
9 I»
7.1. Категоричность в мощности
475
Значит, для любых уп+1 >уп и бп+1 >6П следующие условия
эквивалентны:
2(у 0 (#Y1, . . . ,
$У' (я) 0 , dy ч #)>
н>
sY"(я) i= 0(й61, мЧ'1);
9 V
ЭДу tz 0 (й^|, ., d,$ ч а6п.Э-
<1 |»Т1
Это показывает, что для всех п < со
(Sly, •» ^yn-|.i) = (Sly, dfa ^n+f)’
Шелах, применяя степени трансцендентности, изучал простые
и атомные модели со-стабильных теорий с дополнительными кон-
стантами. Мы доказали в следствии 7.1.12, что если теория Т
со-стабильна, то для любой ее модели 51 и любого множества
X cz А теория Th (Six) имеет простую атомную модель. Шелах
получил следующий результат, который служит ответом на воп-
рос, поставленный Саксом.
7.1.24. Предположим^ что Т есть ы-стабилъная теория, 51 —
ее модель и Ха А.
(i) Th (Six) имеет единственную с точностью до изоморфизма
простую модель.
(ii) Модель 23х теории Th (31%) проста, если и только если
она атомна и не содержит несчетного неразличимого множества.
Грубо говоря, идея доказательства состоит в построении ин-
дукцией по рангу элементов изоморфизма между двумя простыми
моделями, используя челночный метод.
Работа Морли положила начало более глубокому изучению ста-
бильных теорий и категоричности. Мы не будем углубляться в эти
вопросы со всеми подробностями. Однако мы кратко остановимся
на некоторых из главных результатов этой теории.
Теорема Морли была обобщена на несчетные языки Шелахом
11971а], который доказал (продолжая более ранние работы Роубот-
тома и Рессейра), что
7.1.25. Если полная теория Т категорична в некоторой мощно-
сти, большей, чем ||Ж||, то она категорична в любой мощности,
большей ||#||.
В отношении теорий, категоричных точно в мощности ||<55||,
известен следующий результат:
7.1.26. ПреположиМч что Т — полная теория в языке X мощ-
ности а, такойч что или
(i) а = аш, или
(ii) а регулярен и со < а < 2W.
476
Гл, 7. Избранные вопросы
Если Т категорична в мощности а, то она имеет модель мощ-
ности и в действительности существует меньше, чем а фор-
мул, не эквивалентных относительно теории Т
Случай (i) доказан Шелахом, а случай (ii) Кейслером. Вме-
сте они показали, что любая (^-категоричная теория в языке мощ-
ности сох имеет счетную модель. Добавление при корректуре*,
Шелах недавно доказал 7.1.26, предполагая вместо (i) или (ii)
лишь, что а > (о.
Для счетных языков Балдуин и Лахлан получили следующий
результат относительно счетных моделей (Ox-категоричных теорий.
7.1.27 Предположим, что Т есть (^-категоричная теория
счетного языка. Тогда Т либо ^-категорична, либо имеет точно
счетное число моделей с точностью до изоморфизма. Кроме того,
все счетные модели теории Т (^-однородны.
Как побочный продукт этой теоремы Балдуин и Лахлан дают
характеризацию (Ox-категоричных теорий в терминах счетных мо-
делей. Чтобы сформулировать этот результат, мы введем одно
обозначение. Если дана модель 31 и формула ср (х) языка ХА, то
через <р (?[) обозначим множество
Ф (21) = {я Е Л ф (х) выполнено на а в 31А}.
7.1.28. Пусть Т — полная теория в счетном языке. Теория Т
(^-категорична, если и только если выполнены следующие два условия*,
(i) Т стабильна в мощности о.
(ii) Для любой пары счетных моделей §(, 2S теории Т, таких,
что 31^23, если ф (х)— формула*, языка ХА и ф (31) бесконечно, то
<p W £ч> (S3).
Необходимость условий (i) и (ii) для (Ох -категоричной теории
уже была известна, а достаточность была доказана Балдуином
и Лахланом. Необходимость (i) следует из леммы 7.1.4 (доказанной
Морли), тогда как необходимость (ii) следует из теоремы Вота
о двух кардиналах из разд. 3.2.
Понятие теории, стабильной в мощности, отличной от со, также
оказывается полезным. Шелах и Харник (см. Шелах [1971 d]) по-
казали, что
7.1.29. Если полная теория Т стабильна в мощности а, то она
имеет насыщенную модель мощности а.
Шелах классифицировал теории по мощностям, в которых они
стабильны.
7.1.30. Для любой полной теории Т в счетном языке имеет места
лишь одна из следующих возможностей:
7.1. Категоричность в мощности
477
(i) Т стабильна в любой мощности а 2Ш
(ii) Т стабильна в мощности а тогда и только тогда, когда
(О
<х = а .
(iii) Т не стабильна ни в какой бесконечной мощности.
Теория Т называется суперстабильной, если выполнено (i),
стабильной, если выполнено (i) или (ii), и нестабильной, если вы-
полнено (iii). Заметим, что (о-стабильность влечет суперстабиль-
ность.
Пример 7.1.31. Теория счетного числа независимых одномест-
ных предикатов стабильна в мощности а, если и только если
2ю Итак, эта теория суперстабильна, но не св-стабильна.
Пример 7.1.32. (Шелах.) Здесь мы определим полную теорию,
которая стабильна, но не суперстабильна, т. е. выполнено свой-
ство (ii). Язык состоит из счетного множества двухместных преди-
катных символов Eq, Ег, Е%, и аксиомы утверждают, что
(i) Каждый предикатный символ Еп является отношением эк-
вивалентности с бесконечным множеством классов и £’п+1 (х, у)
-> Еп (х, у).
(ii) Каждый класс из Еп равен объединению бесконечного мно-
жества классов из Еп+1.
Следующая теорема Шелаха дает характеризацию нестабиль-
ных теорий, не привлекающую мощностей.
7.1.33. Полная теория Т нестабильна тогда и только тогда,
когда существуют формула ср (а^, ., хп, у±, ., уп) — ^>{хч у)>
модель теории Т и бесконечное множество Ха Ап, такие, что
отношение
{(х, у):х, у£Х и 21 1= <р[х, у]}
линейно упорядочивает X.
Например, мы видим, что теория плотного линейного порядка
без концевых элементов нестабильна, теория безатомных булевых
алгебр тоже нестабильна.
Наконец, существует ряд результатов и открытых проблем
о числе неизоморфных моделей полной теории данной мощности.
Мы сформулируем один результат такого типа, полученный Шела-
хом, который представляет собой полную противоположность
теореме Морли.
7.1.34. Любая полная нестабильная теория в счетном языке
имеет 2а неизоморфных моделей в любой мощности а > <о.
478
Гл, 7, Избранные вопросы
Сейчас мы сформулируем четыре нерешенные проблемы, кото-
рые наиболее интересны. Они формулируются весьма привлека-
тельно как гипотезы, но мы отнюдь не уверены, что эти гипотезы
верны.
Пусть Т — полная теория в счетном языке <Х, и пусть /г (а) —
число неизоморфных моделей этой теории мощности а.
Гипотеза А (Морли). Если со < а < Р, mo fT (а) /т (Р).
Гипотеза В. (Вот). Если fT (со) >со, то fT (со) = 2Ш
(Морли [1970] показал, что если fT (со) >o>i, то fT (со) =
Гипотеза С (анонимная). Если Т — полная конечно аксиомати-
зируемая теория, то она не (^-категорична.
Дальнейшие результаты см. в приложении В.
Пусть XQ — подъязык языка X, тогда теория Т называется
а-насыщенной над Xq, если для любой модели ЭД теории Т иа
а-насыщенности ее обеднения до модели языка Xq следует, что
сама модель ЭД a-насыщенна. Следовательно, Т a-насыщенна над
чистым языком равенства Xq — 0, если и только если любая
модель этой теории мощности а является а-насыщенной. Тео-
рема Морли о категоричности показывает, что
если Т a-насыщенна над <5С0 = 0 для некоторого несчетного
кардинала а, то она P-насыщенна над Xq для любого несчет-
ного р.
С другой стороны, в разд. 5.4. после предложения 5.4.1 дока-
зано, что для любого непредельного кардинала соа+х теория веще-
ственно замкнутых упорядоченных полей соа+1-насыщенна над
языком Xq = {^}. Это наводит на мысль о следующей общей гипо-
тезе. k
Гипотеза D (Чэн). Если Т соа+1-насыщенна над Хо для некото-
рого а, то она со^насыщенна над Xq для любого р.
Упражнения.
Если не оговорено противное, то мы считаем, что язык X счетен.
7.1.1. Докажите прямо из леммы 7.1.1, следствия 7.1.5 и лем-
мы 7.1.6 следующее утверждение: любая полная теория Т, кото-
рая соркатегорична, категорична и в любой несчетной мощности.
7.1.2. Класс К моделей языка X называется а-категоричным,
если он содержит хотя бы одну модель мощности а и любые две
модели мощности а из класса К изоморфны. Докажите, что если Тг
категорична в мощности а в обогащении X1 языка X, то класс К
7.1. Категоричность в мощности
479
всех обеднений до моделей языка X моделей теории Т' a-категори-
чен.
7.1.3*. Найдите пример РСд-класса моделей языка X (см. гл. 4)г
который категоричен в мощности До, но не категоричен в мощ-
ности (Oi (язык X счетен).
7.1.4*. Докажите, что любой РСд-класс (счетного языка), кото-
рый «^категоричен, категоричен в любой несчетной мощности.
[Указание: Вначале проверьте это утверждение, предполагая,,
что 2Ш = (оп и используйте доказательство леммы 7.1.1. В общем
случае примените доказательство следствия 7.1.5 и леммы 7.1.6.I
7.1.5. Докажите следующую более сильную форму леммы 7.1.1.
Пусть Т —полная теория в языке X и So (р), (к), . — мно-
жества формул от одной свободной переменной и. Если любая
модель теории Т мощности со1? опускающая So (^), (v), .,
однородна, то любая несчетная модель теории Т, опускающая
So (у)> 21 (у), однородна. (Ср. с упр. 5.1.15.)
7.1.6. Пусть Т — полная теория и К — класс всех моделей
теории Г, которые опускают So (^), 2Х (р), . .. Докажите, что
если К a^-категоричен и любая модель 81 £ К мощности сох
однородна, то К категоричен в любой несчетной мощности.
7.1.7*. Найдите пример полной теории в языке с симво-
лами, которая категорична в мощности но не категорична ни
в какой большей мощности.
7.1.8. Найдите пример полной теории в языке с а символами,
которая категорична в любой мощности (3 >а, но не категорична
в мощности а (для любого бесконечного кардинала а).
7.1.9. Предположим, что Т есть со-стабильная теория в язы-
ке X и —модель теории Т Докажите, что для любого счет-
ного множества X cz А полная теория модели (81, х)х$х стабиль-
на в мощности (О.
7.1.10. Докажите, что пример 7.1.31 дает полную теорию,
стабильную в любой мощности а но не стабильную в мощ-
ности со. Следовательно, обращение леммы 7.1.4 невозможно.
7.1 11. Покажите, что теория Т стабильна для типов от одной
свободной переменной, если и только если она стабильна для ти-
пов с конечным числом переменных. Если теория Т стабильна
в мощности а, 21 — произвольная модель этой теории, Xcz А —
любое множество мощности а и п < «, то 21 реализует а типов
от переменных . . ., vn.
480
Гл. 7. Избранные вопросы
7.1.12. Для каждого примера о^-категоричной теории, приве-
денного в тексте, найдите бесконечное множество неразличимых
элементов в модели мощности (ох.
7.1.13*. Пусть ср (^!, ., vn) — формула, 31 — модель, X —
бесконечное подмножество в ЭД. Предположим, что для любой
последовательности различных элементов х19 • > хп из X сущест-
вует перестановка л множества {1, п}, такая, что точно одно
из условий
«2Г ср [«Tt, ..., хп], ЭД 1= ф [хя1 , « • . ,
выполнено. Тогда полная теория Т модели ЭД) не со-стабильна
и, следовательно, не (^-категорична.
[Указание: Примените теорему Рамсея.]
7.1.14*. Пусть Т — полная теория и К — класс моделей тео-
рии Т, которые опускают 20 (и), 2х (у), Предположим, что
<х > со и
(i) К а-категоричен;
(ii) любая счетная модель из К имеет элементарные расшире-
ния любой мощности;
(iii) любая модель из К мощности а ^-однородна.
Докажите, что класс К категоричен в любой несчетной мощности
и любая несчетная модель из К однородна.
[Указание: Примените методы этого раздела и разд. 7.2.]
7.1.15*. Пусть Т — полная {теория, ф (и, и) — формула и ЭД —
модель теории Т. Предположим, что для всех п < (о существуют
элементы ux, ип £ А, такие, что
ЭД |= (Vp) (ф (ии v) V ... V Ф (un, и)),
но для все^ m п
ЭД ~|(Vp) V <Р(Ир,
i^P^n
p=£m
Докажите, что Т не (ох-категорична.
[Указание: Примените теорему Рамсея.]
4
7.1.16*. Пусть Т — полная теория языка X и а — несчетный
кардинал. Предположим, что для любой модели ЭД теории Т мощ-
ности а и любого конечного множества X cz ЭД модель (ЭД, x)xqx
а+-универсальна. Докажите, что теория Т категорична в любой
несчетной мощности.
7.1.17*. Предположим, что теория Т ^-категорична. Тогда
любая счетная модель ЭД теории Т имеет собственное элементарное
расширение 93, такое, что
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения 481
(i) 23 проста над Я, т. е. для любого собственного элементарно-
го расширения 6 модели И существует элементарное вложение
модели (Ж, a)agA в (©, а)а6Л;
(ii) 28 — минимальная модель над ЭД, т. е. если ?! < 6 -<|23,
то ЭД — @ или 23 — Ё.
7.1.18*. Если теория Т (Ox-категорична, то она имеет не более со
неизоморфных счетных моделей.
7.1.19*. Если Т — полная теория, имеющая несчетное число
типов, то она имеет 2е01 неизоморфных моделей мощности ©х»
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения,
некоторые теоремы о двух кардиналах
В разделе 3.3 мы ввели понятие неразличимых элементов и ис-
пользовали его в разд. 7.1. В разделе 3.3 были получены также
основные результаты о неразличимых элементах, для доказатель-
ства которых (по крайней мере для доказательства существования
моделей с неразличимыми элементами) была использована теорема
Рамсея (теорема 3.3.7). Теорема об опускании типов (теорема 2.2.3)
дает нам достаточное условие существования (счетной) модели,
опускающей тип S, для (счетной) теории. Эта теорема, безусловно,
не верна, если язык X несчетен или если мы потребуем, чтобы
у счетной теории Т была несчетная модель, опускающая тип S.
Морли [1965b] первый заметил, что метод неразличимых элемен-
тов позволяет нам строить произвольно большие модели теории Т,
обладающие неразличимыми элементами и опускающие тип S,
при условии существования у Т достаточно больших моделей
с этими свойствами. Он обнаружил также, что простой теоремы
Рамсея для счетных множеств в данном случае недостаточно,
и указал на необходимость использования ее обобщения, получен-
ного Эрдёшем и Радо [1956]. Новый метод позволил ему довольно
легко доказать теорему Вота о двух кардиналах. Описание этого
подхода к построению моделей, использующего результат Эрдё-
ша — Радо, и будет составлять содержание данного раздела. Мы
решили включить в этот раздел также теорему Чэна о двух карди-
налах, хотя в ней не используются неразличимые элементы, а не-
обходимо понятие насыщенных моделей, введенное в разд.
5.1.
Первая наша задача — сформулировать и доказать часть тео-
ремы Эрдёша и Радо. Напомним (см. разд. 3.3), что [Х]п есть
множество всех n-элементных подмножеств из X. Если а — беско-
нечный кардинал, то как и раньше,
20(а) = а,
31 Г. Кейслер, Ч. Чэн
482
Гл. 7. Избранные вопросы
(а) =
Эт] (ос) — и 3^(а)»
£<«)
где ц — предельный ординал, отличный от 0.
Если а = со, мы просто пишем Jt вместо 5^ (со). Очевидног
обобщенная континуум-гипотеза эквивалентна утверждению 5^ =
= для всех ординалов
Теорема 7.2.1. (Эрдёш — Радо.) Пусть а— бесконечный карди
нал и п £ со. Предположим, что
|X|>Jn(a), [X]n+1c UG, |/|<«.
Тогда существуют подмножество Уcz X и i £ Д такие что
| У | > а и [У]п+1с= Cf.
Доказательство. Теорема доказывается индукцией
по п. Случай п = 0 следует из принципа классификации: если
множество, содержащее более чем а элементов, разбивается на а
классов, то некоторый класс содержит более чем а элементов.
Пусть п > 0, и предположим, что теорема верна для п — 1. Мы
можем считать, что /с X и что Ct П Cj = 0, если i j. Пусть R
есть (п + 2)-местное отношение на X, определенное следующим
образом:
R (х01 . .., хп, i), если и только если i £I и {х0, ..£ Cf
Образуем модель
21 = (X, Я,
Будем говорить, что элементарная подмодель 23 < 21 являет-
ся ^-насыщенной относительно И, если для каждого Z cz В мощно-
сти | Z | < Р^каждый тип S (р), реализуемый в (?[, реали-
зуется В (23, 6)b£Z.
Аналогично доказательству существования р+-насыщенной мо-
дели мощности 213 доказывается, что 21 имеет элементарную под-
модель 58 мощности 5П (а), такую, что 7cz В и 23 есть (а)+-
насыщенная относительно 21 подмодель. Необходимо только ука-
зать элементарную цепь
23? <21, ?<1пм(а)+,
такую, что 7cz Во, каждая модель 23v имеет мощность (а)
и для всех Zc Ву мощности Зп_х (а) каждый тип S (v), реализу-
емый в (21, b)b£z, реализуется и в (23v+i, b)bQZ- Это возможно г
так как на шаге у существует не более j (a)5ln-i(a).22n-i(a)—
— Jn (а) таких множеств Z и типов S(v).
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
483
Поскольку ЭД имеет мощность >2п(а), то 25 — собственная
подмодель модели ЭД. Выберем элемент с£А\ В и образуем
последовательность
из элементов множества В, такую, что для всех у реализует
в (И, frd)a<Y тот же тип, что и с. Все различны, так как с$В.
Пусть U — множество всех Ьу. Тогда оно имеет мощность 2n-i (а)+.
Разбиение [U]n на непересекающиеся множества ig Z, осуществ-
ляем следующим образом: для у0< • • • <Tn-i<21n-i(a)+
{feYo, .. .,&Y }£Z>n если и только если {&?0, .. .,feY , c}£Ci-
По предположению индукции для и — 1 существует подмно-
жество Y cr U мощности |У|>*а, такое, что для некоторого i £ I
[УГ<=А.
Тогда для всяких у0< • • • <Tn-i <iYn
{tYo> • • •’ C} £
Поскольку byn реализует в (ЭД, bfi)a<Y тот же тип, что и”с, то
{bYot • • •, bYn} Е Ci.
Это доказывает, что
Те и ерь мы сформулируем и докажем в простейшей форме теорему
Морли об опускании типов, оставляя различные ее следствия
в качестве упражнений. Пусть X — счетный язык, Т — теория
в X и S (р) — множество формул теории Т от одной свободной пе-
ременной v. Напомним, что модель ЭД теории Т опускает 2, если
и только если для всех а £ А не имеет места ЭД 1=2 [а], или, что
эквивалентно, для любого а существует формула oq(z?)E2,
такая, что ЭД t= ~]аа [#]•!
Теорема 7.2.2. (Теорема Морли об опускании типов.) Пусть Ху
Т и 2 такие, как было описано выше. Если для каждого кардинала
2g, сох, теория Т обладает моделью, опускающей тип 2,
мощность которой больше, чем 2g, то она обладает моделью,
опускающей 2, любой бесконечной мощности.
Доказательство. 1 Пусть £ < и пусть ЭД| =
= G4g, . .)—модель теории Т, опускающая 2, мощность
которой больше, чем 2v Пусть X* — обогащение языка X, кото-
рое имеет термальные скулемовские функции, и пусть Т* —
расширение теории Т в X*, полученное добавлением всех аксиом
теории Скулема. Из результатов гл. 3 следует, что каждая мо-
31*
484
Гл. 7. Избранные вопросы
дель 21^ имеет соответствующее обогащение 53|. Тогда при всех
6< Юн
(1) для любого а £ Аб существует формула а(у)£2, такая,
что “] <у [а].
Так^как X счетен, то X* также счетен, Пусть
^0» ^1» ^2» • • м ^П» • • •• 71 G
есть перечисление всех термов из <55*. Можно считать, что терм
tn рп-мыяен. и что переменные v19. vPn являются переменными
терма] tn. Пусть си с^,. .— новые константные символы, и пусть
X = <55* U {сь с*» Мы хотим доказать следующее: суще-
ствует такая последовательность
(2) (То (у)» • • •» <тл (у), ...» о,
формул из S, что следующее множество Т предложений языка X
непротиворечиво:
(3) множество Т*
и предложения
П Ъп (*п (Cip ...» cipn)) в случае, когда
Ч < ^2 < • • • < 1рп <
^(cf=cy) в случае, когда
Доказательство существования последовательности (2) и непро-
тиворечивости множества (3) проводится индукцией по пи следует
из вспомогательной индукции, приведенной ниже. Предположим,
что каждое множество А $ линейно упорядочено некоторым образом
отношением <. (Из контекста будет видно, имеем ли мы в виду <
или < п.) Докажем индукцией по п следующее:
(4) существуют формулы ., an_x (u)gS, конфинальное
подмножество Fn множества оь и последовательность под-
множеств As, £ G Fni такая что для каждого g G Fn
(i) | | > Ль, где есть Х-й элемент Fn,
(ii) 21 “Iam Um ^Pm)l для каждого m < n, если
xi < • • • <xPm лежат в Xj.
Утверждение (4), очевидно, верно при п = 0, FQ ~ coj и X g = А
Тогда и (4) (i), и (4) (ii) выполняются. Теперь предположим, что (4)
выполняется для п, а именно что мы уже нашли последовательность
<т0, . . ., ап-!, а также Fn и 5 6 Рп, удовлетворяющие условиям
(4) (i) и (4) (ii). Рассмотрим терм tn (14, vPn). Сначала предпо-
ложим, что рп^ 1. Образуем подмножество Gn множества Fn,
опуская все те элементы из Fn, которые нельзя записать в виде
t) + (Pn — 1) (в смысле естественного порядка на Fn).
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
485
Таким образом,
= {?еFn : существует элемент такой, что (£\т])АЛ1
имеет точно рп — 1 элементов},
Gn все еще конфинально в и, кроме того, для ^£Gn
(5) ] | > 5х+р -1, если В есть Х-й элемент множества Gn
Так как опускает 2, то всякий раз, когда Х1<...<хРп
лежат в Х§,
не имеет места |= 2 (tn (х^, ..., £рп)).
Таким образом, существует формула о (и) £2, такая, что
(6) $1*1= П («1» . . . » *РП)1-
Вспомним, что S счетно, поэтому (6) представляет разбиение
[Х5]р" на счетное число частей. Так как условие (5) выполняется,
мы можем воспользоваться теоремой 7.2.1, чтобы найти подмно-
жество такое, что
(7) I |>если £ есть Х-й элемент множества Gn>
и
(8) существует о£ 2 (обозначим эту формулу через oj, такое, что
t= П *рп)], если ^i<x2< .. . <яР|| из У6.
Очевидно, что (7) и (8) справедливы для каждого t>£Gn Так
как |б?п| = ®1ви |{а^:5€^п}| = е), тоаиз (8) следует
(9) существует формула о £ 2 (обозначим ее через ап) и конфи-
нальное подмножество Fn^ множества Gn, такое, что для
каждого | £ Fn+1
Sig °П Rn (#1 • • • *£р )]»
fir
где элементы Xt<Z •••<хрп принадлежат У^.
Так как Fn+Xcz Gn, из (7) очевидным образом следует, что
(10) |У^|>Зх, если £ есть Х-й элемент из Fn+i.
Так как всегда У $с= X то из условий (9) i (10) вытекает, что фор-
мулы о0, ., оп, множество Fn+1 и последовательность У £ 6
С -^n+i» удовлетворяют заключениям (4). Если рп = 0, то ^явля-
ется интерпретацией1* индивидной константы в каждой модели
£ £ Fn. Отсюда мы можем легко найти конфинальное подмноже-
ство Fn+1<= Fn, такое, что справедливо (9). Таким образом. (4)
доказано.
Рассмотрим теперь последовательность формул (2) просто как
последовательность, полученную согласно (4). Непротиворечивость
486
Гл. 7. Избранные вопросы
множества (3) теперь легко следует из теоремы компактности.
Действительно, предположим, что А — произвольное конечное
подмножество множества (3). Оно будет содержать некоторый терм
tn с наибольшим п. Теперь возьмем любое 5 € J'n+i* Поскольку
X — бесконечное подмножество множества А то для доказа-
тельства непротиворечивости А достаточно взять модель 21 (.
Наконец, пусть а — любой бесконечный кардинал, и пусть Xf—
язык X* {с£<а} с новыми константными символами
q, | < а. Пусть Т' есть следующее множество предложений
языка Х'г
множество 71*;
все предложения ~jcrn (tn (сь, с5 )) с |х< . . . < £Ря<а|
все предложения = сл) с £ < т] < а.
Тогда, используя непротиворечивость (3), легко доказать, что
Т непротиворечиво. Пусть 23' = (5', .) — произвольная
модель теории Т', и пусть С — множество всех интерпретаций
£<а, в 33' Пусть 23 — модель языка X (исходный язык),
полученная из скулемовского замыкания § (С) множества С в 23'
Следующие факты очевидны. Так как | С | = а и X* счетен,
модель 93 имеет в точности мощность а. Она является элементарной
подмоделью модели 23' (в языке X), значит, 23 есть модель для Т.
Докажем теперь, что 23 опускает тип S. Каждый элемент Ь £ В
получается из множества С применением (скулемовского) терма tn
к последовательности xlt хРп из С. Предположим, что Ъ =
= tn (#п • • £рп) и ., %рп суть интерпретации константных
символов ct , где < а* Из определения
множества Т' видно, что
п
23 Ип (^1» •> Ярп)Ь
откуда
23t= Пап 1Ы.Ч
Идея доказательства теоремы 7.2.2 на самом деле проста. Уси-
лим теперь основную идею некоторыми замечаниями. Читателю
предлагается проверить эти замечания в качестве упражнений.
Первое замечание, состоит в том, что теорема 7.2.2 остается
справедливой, если множество ‘формул S (у) заменить множеством
формул S (Pi, ., vm) от переменных Vi, . ., vm. Необходимые
изменения в доказательстве минимальны. Достаточно заменить
последовательность
всех термов яз ка X* последовательностью, перечисляющей все
га-ки термов из] <5?*. Переменные, встречающиеся в данной т-ке
термов, могут быть упорядочены произвольным образом. После
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
487
этого доказательство теоремы может быть повторено почти слово
в слово.
Второе: мы могли бы легко добавить требование, чтобы констан-
ты встречающиеся в (3), были неразличимы в смысле разд. 3.3.
Для этого необходимы только один или два дополнительных
шага, что не очень усложнит доказательство. Таким образм, утвер-
ждение теоремы 7.2.2 можно усилить, сказав, что теория Т
для каждой бесконечной мощности а обладает моделью мощно-
сти а, которая опускает S и имеет множество неразличимых элемен-
тов мощности а.
Третье замечание заключается в том, что в теореме 7.2.2 мы
можем заменить множество формул S любым счетным множеством
S множеств формул языка X. Если мы говорим, что ЭД опускает 5,
имея в виду, что ЭД опускает S для каждого S £ S, то доказатель-
ство теоремы 7.2.2 может быть повторено дословно с заменой S
на S. Множества формул в S могут иметь различное количество
свободных переменных. Справедливость этого замечания следует
из того, что S счетно и что доказательство условия (4) в теоре-
ме 7.2.2 включает в себя только конечную индукцию.
Что происходит с теоремой 7.2.2, когда язык X несчетен или
когда он заменяется языками, которые богаче, чем обычный язык
первого порядка, мы рассмотрим в упражнениях. Однако один
случай не классических языков заслуживает того, чтобы его здесь
рассмотреть. Предположим, что X — счетный язык, среди симво-
лов которого имеется одноместное отношение со и константы О,
1, ...» п £ со. Назовем ^-моделью модель ЭД языка X, в которой со
интерпретируется как со, а каждое п— как и.
Следствие 7.2.3. Пусть Т — теория в языке X. Допустим, что
для каждого кардинального числа 5^, £ < соп Т имеет ы-моделъ
мощности, большей чем 3$. Тогда Т имеет ы-модель любой беско-
нечной мощности.
Для доказательства следствия 7.2.3 достаточно рассмотреть
множество формул]
S = {со (у), у =0= 0, . ., у ф. п,
Если мы в некоторой со-модели введем отношение порядка
на со и потребуем, чтобы было стандартным, то получим по-
нятие со-стандартной модели. Для со-стандартных моделей след-
ствие 7.2.3 имеет место в случае, когда Т состоит из одного пред-
ложения. (См. 7.2.7.)
Прежде чем перейти к использованию идеи теоремы 7.2.2
в приложении к теоремам о двух кардиналах, мы приведем два
контрпримера в виде следующих двух утверждений. Первый при-
мер показывает, что теорема 7.2.2 не может быть усилена, а вто-
рой пример — что не существует точного аналога теоремы 7.2.2
488
Гл. 7. Избранные вопросы
для языков с а символами, где и cf (а) > со. Таким обра-
зом, теорема 7.2.2 станет неверной, если мы везде заменим (£4
на Шх, со2.
Предложение 7.2.4. Пусть 1— бесконечный ординал. Тогда
существует язык X с | £ | символами и% и Т в этом языке, такие,
что Т имеет модель мощности 3g, опускающую S, но не имеет
опускающей S модели мощности, превышающей 3g.
Доказательство. Это доказательство есть обобщение
идеи доказательства предложения 3.2.11 (iii). Пусть] X содержит
следующие символы:
константные символы сх для %
два двуместных предикатных символа < и Р;
одноместный предикатный символ U;
трехместный предикатный символ Q*
Пусть 2 (и) — следующее множество формул:
2 - U(v) U
Обозначим через Т множество предложений языка X, которые
выражают следующее:
(i) ск < если X < ji sgj U (сх), если %
(ii) < — отношение линейного порядка на U
(для удобства пусть Рх означает множество {у : Р (х, у)});
(iii) PxcziPy, если х < у;
(iv) PCQ есть множество {х : х < со};
(v) Рс^ есть универсум модели;
(vi) если х С S и х не имеет непосредственных предшественни-
ков, то Рх^= (J Ри\
У<х
(vii) если х С S и х имеет непосредственного предшественни-
ка у, то
(Vuy) [Р(я, и) Л Р(х, v) a
-> (Зш).(Р (у, w) л “I (Q (у, w,u)++Q (у, w, »)))].
Заметим, что, кроме бесконечного числа предожений из (i),
остальные предложения из Г, а именно (ii) — (vii), могут быть
сведены в одно предложение. Пусть теперь ?! — произвольная
модель теории Т, опускающая 5. Это означает, что интерпрета-
ция < на ЭД изоморфна естественному отношению < на ордина-
ле £ + 1. Используя условия (iv) — (vii). мы можем доказать
индукцией по X ji, что
| интерпретация Рск в ЭД | Зх*
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
489
Отсюда и из (v) следует, что | А | 5^. Интерпретируя с % как
5 и P$+i как S (Р5), мы можем получить модель 51 теории Т,
которая имеет мощность 5Ц и опускает 2 (0. —|
Усилив иусовершенствовав предложение 7.2.4, можно получить
Предложение 7.2.5. Пусть а — бесконечный кардинал, такой,
что cf (а) > со. Тогда существуют язык X с а символами и тип
2 теории Т в этом языке, такие, что Т имеет модель мощности
За+, опускающую Ъ,но не имеет модели, опускающей 2, мощно-
сти, большей, чем Ла+*
Доказательство (в общих чертах). Пусть X содержит
по крайней мере константные символы с^, К <С a, U и двуместный
предикатный символ < . Как и прежде, пусть
2 = U (v) U {v^cK :Х<а}.
Прежде чем подробно описывать Т, предположим, что 71 содер-
жит по крайней мере следующие предложения:
(i) с^ < си, если Z < р < a; U (б\), если < а;
(ii) < — отношение линейного порядка на U.
Таким образом, произвольная модель 21 теории Т, опускающая 2,
будет содержать стандартное упорядочение < на а. Для завер-
шения описания Т заметим сначала, что следующие утверждения
выразимы в <55 (с добавлением некоторого числа конечноместных
предикатных символов):
<Р1 (г) ; г есть отношение линейного порядка на а;
<р2 (г) : г есть отношение, вполне упорядочивающее множе-
ство а.
Через R обозначим семейство тех г, для которых <р2 (г).[
R вполне упорядочено порядком па множестве начальных
сегментов;
каждому г е R соответствует подмножество Рг;
множества Pr, г £ R* удовлетворяют условиям (vi) и (vii)
предложения 7.2.4.
Все эти утверждения, исключая <р2 (г), выразимы достаточно
просто, и мы предлагаем читателю воспроизвести доказательство
7.2.5 в упр. 7.2.9. Для того чтобы показать выразимость <р2 (г)
в языке X, нам потребуется установить следующий частный факт,
в котором используется условие cf со и то, что* а — кар-
динал:
г есть вполне-упорядочение множества а, если и только
если г, ограниченное на любое ос, является порядком,
изоморфным некоторому ординалу р < а.
Этого указания должно быть вполне достаточно. Н
490
Гл. 7. Избранные вопросы
Теперь мы обратим внимание на некоторые результаты, каса-
ющиеся проблемы двух кардиналов, введенной в разд. 3.2.
Напомним, что теория Т допускает пару (а, 0), где 0 со,
если она имеет модель ЭД = (Л, V, .где | А | = а и V ] =
= 0. Напомним также читателю, что кроме ряда результатов из
разд. 3.2 (в частности, утверждения 3.2.11, теоремы 3.2.12, теоре-
мы 3.2.14 и некоторых упражнений), мы встречались с проблемой
двух кардиналов в разд. 4.3 (в частности, теорема 4.3.10 и след-
ствие 4.3.11) и в разд. 6.5 (теорема 6.5.11). Идея доказательства
теоремы 7.2.2 используется для доказательства следующей теоре-
мы Вота; доказательство по существу восходит к Морли.
Теорема 7.2.6. Пусть X — счетный язык. Т — теория в язы-
ке X. которая допускает пару (Jn (уЛ), уп) бесконечных кардина-
лов для каждого п £ со. Тогда Т допускает любую пару бесконечных
кардиналов (а, 0).
Док азательство. Для каждого п пусть ЭДП =
= (An, Vn <Zn. .) — модель теории Т. такая, что | Ап | >
>3n(|Fn |); можно предположить, что <п есть упорядочение
множества Ап. Как и в доказательстве теоремы 7.2.2, мы сначала
рассмотрим обогащение X* языка X. имеющее термальные скуле-
мовские функции, и соответствующее обогащение ЭД* модели ЭДП.
Язык X* по-прежнему счетен, так как содержит только счетное
число термов. Для дальнейших целей мы будем рассматривать
все термы t (хх, ., хп\ уи ут) из X* от (различных) пере-
менных хх, . хп и у1ч ., ут. Заметим, что каждый терм
t м vi) из можно рассматривать как множество тер-
мов, если мы разобьем список рх, ., Vi на два множества пере-
менных. Безусловно, X* будет иметь только счетное число таких
термов, и мы можем расположить их в последовательность
^0» » 72 (0.
Пусть tn — терм 01 переменных хх, xQn и ух, уРп.
Рассмотрим язык X* (J {с3, с2, . • .} и множество Т предложений,
состоящее из
ci^bcj. если i<ir,
предложений скулемовского обогащения 7* теории Т\
предложений, выражающих бесконечность U;
всех предложений следующего вида:
• • • » ^'1 ’ * * = № (^1) Л
Л U (Хд^) Л Xj Л U (tn (Xf, . ,
• • ’ ’ * • ’ ’ ’ ’ ’ ’ С^Рп) ==/п (*^Ь
. . . , £qn, ^31, • • • , £;’pn)L
где n£(D HJ1< ... <jpn<0), 71< • • • <7pn<°>-
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
491
Сначала мы хотим показать, что
(1) Т непротиворечиво.
Это доказывается индукцией следующим образом (мы предполага-
ем, что каждое Ап упорядочено с помощью <п):
(2) существуют бесконечное подмножество Fnc со и последова-
тельность Xmcz Ат, m^Fn, такие, что для каждого т £ Fn
(i) I Хт 1 > 3/ (I Vm 1), если m ычъ l-й элемент из Fn;
(ii) для всех к < п и всех щ < . < uPk и . <Zu>ph
из Хт
3m t= [Ui, .... Uph; Wi, .... WpJ.
Для n = 0 (2) выполняется тривиально, если FQ = <o и Xm =
= Am для всех т g Fo. Предположим, что условие (2) выполняет-
ся для п. Рассмотрим терм tn . . , xqj У1, . , Урп); для просто-
ты и без потери общности рассмотрим только случай, когда qn
и рп оба не равны 0. Пусть
Fn+i = Fn\{первые рп элементов из Fn}.
Очевидно, Гп+1 есть бесконечное подмножество из со и
(3) |Xm|>3i+pn(| Vm|), если т есть Z-й элемент из Fn+i.
Теперь мы разобьем [Xm]Pn для т g Fn+1 на 21 Vm 1 классов сле-
дующим образом: будем считать, что и
<^рп из Хт эквивалентны тогда и только тогда, когда
I— <Уп [^1» • • • ♦ ир„» ^1» • • • ’ *
fl Ilf
Очевидно, что это отношение эквивалентности. Кроме того,
класс эквивалентности любой последовательности иг < . . . < ир
определяется отображением / множества ?п-ок из Vm в Vm U
U {ат}, где ат есть некоторый произвольный, но фиксированный
элемент из Лш\Ут, т. е. отображение задается так:
/ (wi> • • •» ирп)=
Zn[^i, ., Xqn; ии ...,Upn], если это элемент из Vm;
ат в противном случае.
Отсюда следует, что общее число классов эквивалентности на
Хт не больше 2|y™J. Следовательно, принимая во внимание (3)
и теорему 7.2.1, получаем, что если т есть Z-й элемент из Fn+i, т0
(4) существует подмножество Утс= Хт, такое, что | Ym | >
> 3z (I V-m I) и все элементы из | Ym |Рп эквивалентны.
Множество Fn+1 и последовательность т g Рп+1, удовлетво-
492
Гл. 7. Избранные вопросы
ряют условию (2) для п + 1. Таким образом, (2) выполняется для
всех п. Так как каждое Vn бесконечно, то из (2) и принципа ком-
пактности следует (1).
Пусть теперь а > р — бесконечные кардиналы. Рассмотрим
язык U {с^; £ <а} и множество Т' предложений этого языка*
определяющееся как и Г, с заменой, конечно, . . < гРл<
< © на £i< < Ерп <а и т. д. Очевидно, что Т' непротиво-
речиво. Следовательно, оно имеет (а, а)-модель. Обозначим эту
модель через 93 = (В, У, .). Пусть X — любое подмножество
множества V мощности 0, и пусть Y — объединение множества X
и множества интерпретаций всех < а, в 23. Тогда Y имеет
мощность а. Мы утверждаем, что
(5) скулемовское замыкание множества У в 23 относительно
языка X* есть (а, Р)-модель теории Т.
Пусть А — скулемовское замыкание У в 23. Очевидно, что
оно определяет модель языка X, которая является моделью тео-
рии Т мощности а. Остается лишь показать, что | А П V | = р.
Предположим, что а £ А П V. Тогда либо(1) а £ X, либо (ii) для
некоторых п £ со, . .< < а и ^ < . . .< из X имеем
а = tn 1^1» • • м • • •>
При таком выборе Т‘ и 23, мы, в силу (ii), никогда не можем
получить более чем счетное множество элементов a £ А П V.
Следовательно, р = | X | | A f| V | р. Таким образом, 91 =
= (Л, А П V, • • .) есть (а, Р)-модель теории Т, и теорема дока-
зана. —|
Для следующей и последней теоремы этого раздела мы не
воспользуемся методом, связанным с теоремой 7.2.1, а вернемся
к методу насыщенных моделей, введенному в разд. 5.1.
Теорема 7.2.7. (Теорема Чэна о двух кардиналах.) Пусть X —
счетный язык, Т — теория в языке X, и пусть имеет место обоб-
щенная континуум-гипотеза. Предположим также, что Т допу-
скает пару (а, Р) с а> р^ со. Тогда она допускает любую пару
(6+, 6), где 6 — регулярный бесконечный кардинал.
Док азательство. Заметим сначала, что для случая
6 = со теорема уже известна (теорема 3.2.12), и, более того, ее до-
казательство не требует ОКГ.
Впредь будем считать, что 6 — регулярный кардинал, больший,
чем со. Пусть 91 = G4, V, .) — модель теории Т, такая, что
| А | = а и | V | = р. Пусть В — новое двуместное отношение
на V, которое индексирует все конечные подмножества множества У;
это возможно, поскольку V бесконечно. Таким образом, мы имеем
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения 493
(1) для любых цх, ип £ V существует и £ V, такое, что
(й, R) 1= (VO (U (t) (Р (и, t) ++1 s щ v V t = un))
(P — новый двуместный предикатный символ, интерпретацией
которого является R). По теореме Лёвенгейма — Скулема, при-
мененной к языку X J {Р} и модели (й, Л), существует элемен-
тарная подмодель {В, V, R, .) модели (й, В), такая, что
Vc В и | В | = р. Пусть Q — новый одноместный предикатный
символ. Рассмотрим модель
(й, В, R) = (Л, В, V, R, . . .)
для X U {Р, 9}- Пусть Т' — теория модели (й, В, R). Заметим,
что она содержит все замыкания формул вида (согласно (1))
(2) U A A U (zn) А ф (Zj, Xj, . . ., А
А ф (zn, хь . . ., хт) (Зу) (Р (у, Zj) А А Р (у, Zn) А
где ф — произвольная формула языка X (J {Р, @}. По предло-
жению 5.1.5 (i), Г' имеет насыщенную модель
(Ло, Bq, Vq, Во, . .
мощности б. Поскольку В и V—бесконечные множества, легко
видеть, что | Aq | = | Во | = | Vo | = б. Кроме того, в теории Т'
существуют предложения, утверждающие, что универсум модели,
порождаемой множеством Во в модели (Ло, Во, Vo, Во, .), совпа-
дает с Во; обозначим эту модель через
»о= (Во, 70,В0,
Это собственная элементарная подмодель (в языке X U {Р}) модели
й0 = <ло, Уо, Во, . .
Очевидно, что и Я30, и й0 — насыщенные модели мощности б.
Так как они к тому же эквивалентны, то по теореме 5.1.13 об един-
ственности насыщенных моделей они изоморфны. Поскольку Во
есть собственное подмножество в Ло, а интерпретации U и Р
в 93О и Йо совпадают, то справедливо следующее утверждение:
(3) Если й' = <Л', V', В', . > — модель языка X J {Р},
которая элементарно вкладывается в й0, посредством изо-
морфизма, отображающего множество V на Vo, то
она имеет собственное элементарное расширение й" =
(Л*, V", В", такое, что
Г = R” = В\ й* ~ й0.
Суть утверждения (3) состоит в том, что, переходя от й/ к й",
мы не изменяем ни множество V', ни отношение В', во при этом
494
Гл. 7. Избранные вопросы
добавляем по крайней мере один элемент из Л"\Л' Теперь вос-
пользуемся трансфинитной индукцией для определения элемен-
тарной цепи моделей
Йо —- (Ло, Vq, Яо, -< йу “ Vo, Rq ...) v<6+,
удовлетворяющей следующему условию: для любого v < б+
(4) если | < ц v, то й0 = йл и й — собственная элемен-
тарная подмодель модели кроме того, интерпретации
символов РиС7вй^ийт) — одни и те же.
Пусть р — такой ординал, что 0 < р < б+ Допустим, что
найдены модели й^ v < р, такие, что (4) справедливо для всех
v < р. Если р = v + 1, то, используя (3), легко можем продол-
жить эту элементарную цепь, найдя модель йи = <ЛИ, Vo,
2?0, .), такую, что
йи Йо и йц — собственное элементарное расширение модели ЙУ*
Значит, (4) остается справедливым при замене v на р. Далее, как
может убедиться читатель, доказательство следует методу дока-
зательства теоремы 3.2.12. Лишь в случае предельных ординалов
встречаются трудности.
Предположим, что р — предельный ординал. Пусть й'
1= U Й£. Таким образом, й' =» <Л\ Vo, /?0, . . где Л' =
Е<р.
=5 U Л £. Поскольку р < б*, то | Л1 | = 6 и Л'; является собствен-
ным элементарным расширением каждой модели й Е < р. Таким
образом, ?Г s Йо- В следующих нескольких абзацах будет пока-
зано, что
(5) й' элементарно вложима в й0 таким образом, что множе-
ство Уо отображается на себя.
Доказательство пункта (5) проводится челночным методом,
который в настоящее время знаком каждому студенту. Так как
модель Йо насыщенна, то не составит труда найти соотвествую-
щее значение в множестве Ло. Заметим, что модель й' не обяза-
тельно насыщенна. Таким образом, для того чтобы доказать (5)г
нам необходимо Показать, что
(6) модель й' является У0-насыщенной, т. е. для всех X < б
и всех а 6 ХЛ' модель (й', а) реализует каждый тип S (и)
над ней, который содержит формулу U (и).
Для доказательства (6) пусть X, a, S будут те же, что и выше.
Так как S — тип (й' «), содержащий формулу U (и), то
(7) S конечно выполним в (Й\ а) на элементах из Vo-
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
495
Теперь достаточно показать, что f 2 одновременно выполним
в (?1а). Пусть s — конечное подмножество в 2, и пусть
<L> 00 = (Л СО) /\U(v).
Из (7) мы знаем, что для каждого s £ S ш (2)
(Г, a) t=(3p) us (р).
Формула os будет содержать конечное число констант . ,с^
для элементов а%п множества ас & < %. Следователь-
но (элементы конечно, зависят от s),
И' 1= (3p)os(p, ..., аВп).
Формула os (р, рп р2» рп) есть формула языка X (J {Р}. Все
элементы встречаются в множестве А9 откуда для
некоторого ординала, скажем для vs < |Л, мы имеем
dgi, ..., а^п £ ^vs*
Так как 1о
2Ц 1= (Зр)os(р, аь,
Пусть и9 £Vq — такой элемент, что
2U (us, ..., ).
о ft
Предположим, что s' — другое конечное подмножество 5, такое,,
что sc: s' Тогда легко видеть, что us* f Vo, £ АХл и
Stv Os (us-, flgj, ., ttg ).
0 ft
Теперь для| фиксированного s£Sffl(2) рассмотрим множество»
условий
rs (р) =г{Р(р, u5r) :sc s' f Sffl (2)} U
U{(Vi)(^(y, as ))}.
• V
Поскольку | 2 1 < б, легко видеть, что это множество условий
включает меньше, чем б, элементов изЭД^. Кроме того, согласно (2),
оно конечно выполнимо в ?1у . Так как К насыщенна, то мн о-
3 S
жество условий Гв (р) одновременно выполняется в §IVs на неко-
тором элементе, например ws £ Vo. Так, в частности, мы можем
выбрать для каждого s g S ш (2) такой элемент ws £ Йо, что
(8) SIvst=(VZ)(PH,C~>as(i,^1,
и
(9) §IV t= Р (ips, us*) для всех s', таких, что s cz s'£ (2).
S
496
Гл. 7. Избранные вопросы
Рассмотрим теперь множество условий
Д (0 = {Р (w8, р) :s€SUS)}.
Заметим, что [ Д | < б и все элементы w8 принадлежат Го; зна-
чит, они все принадлежат Ао. Для данных wSl, ., w8^ полагая
5 = $i (J . . • U мы получаем, что из (9) следует
?IV t= Р (w., ut) Л ... Л Р (u?., us)
□ 1
и, таким образом,
$0 1= P(ws , Ug) Л . .. , Ug).
1 f if
Поэтому множество условий Д (и) конечно выполнимо в Яо. Так
как модель 510 насыщенна, Д (v) выполняется в ?10 на некотором
элементе, например и. Из (8) видно, что
?(v i= crs (u, a£1, ..., аы) для всех (S).
3
Отсюда непосредственно следует, что
<Г,а)^2(4
Таким образом, (6) доказано. Мы оставляем читателю простое до-
казательство пункта (5) с помощью (6). Если справедливо (5),
то легко найти модель 51ц = С4а, Уо, /?0, .), такую, что имеет
место (4), если v заменить на р. Индукция завершена. Теперь мо-
дель U 5lv есть (8+ 6)-модель теории Т (игнорируя ненужное
v«y+
отношение R 0). Ч
Как легко заметить, это доказательство в основном базируется
на существовании насыщенных моделей и, следовательно, исполь-
зует ОКГ. Когда 8 — недостижимый кардинал, то мы можем при-
менить утверждение 5.1.5 (ii) и избежать ссылки на ОКГ.
Сейчас нам хотелось бы обсудить, в каком положении находит-
ся проблема двух кардиналов и другие родственные проблемы.
Читатель увидит, что проблема двух кардиналов теории моделей
тесно связана с различными проблемами теории множеств.
Так называемая гипотеза об п-разрыве может быть сформули-
рована следующим образом (в предположении, что язык X сче-
тен): каждая теория Т в языке <55, допускающая некоторую
пару (*п(«), а), а > о, допускает каждую пару (чЛ (0), 0),
0 со. Из гипотезы об n-разрыве для п 2 легко следует слабая
форма ОКГ, которая, как известно, недоказуема в ZFC (см.
упр. 7.2.32).
Йенсен доказал следующую теорему (не опубликовано).
7.2.8. Из аксиомы конструктивности следует справедливость
гипотезы об п-разрыве для всех п < со.
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
497
Этот результат показывает, что гипотеза об n-разрыве непро-
тиворечива и усиливает некоторые более ранние результаты
Силвера [1971] о непротиворечивости.
До доказательства теоремы 7.2.8 Йенсен получил более слабый
результат, заключающийся в том, что гипотеза об 1-разрыве следует
из аксиомы конструктивности. Изложенная выше теорема 7.2.7
показывает, что гипотеза об 1-разрыве, где р — регулярный кар-
динал, следует из ОКГ. В случае, когда р — сингулярный карди-
нал, этот вопрос остается открытым.
Гипотеза об 1-разрыве связана со следующей проблемой в тео-
рии множеств: мы говорим, что бесконечный кардинал а обладает
свойством ветвления, если каждое дерево высоты а на множестве а,
имеющее меньше, чем а, элементов на каждом уровне, обладает
ветвью длины а. (Это понятие было определено по ходу доказа-
тельства теоремы 4.2.23.) Известно, что недостижимый карди-
нал а обладает свойством ветвления, если и только если он слабо
компактен. Известно также, что если а — регулярный кардинал
(ОКГ необходима, если а > со), то а+ не обладает свойством вет-
вления. Оказывается, что примеры к последнему замечанию обес-
печиваются деревьями весьма специального вида, а именно деревь-
ями, которые получаются следующим образом.
7.2.9. Пусть (5, <) — линейно упорядоченное множество
мощности а. Элементы дерева Т уровня £ + 1, £ < а+, являются
одно-однозначными отображениям из £ в S, сохраняющими поря-
док. Если / и g— два таких отображения, принадлежащих Т, то
/ g тогда и только тогда, когда fez g. Если / £ Т, то все началь-
ные сегменты / принадлежат Т
Используя это определение, мы устанавливаем, что
7.2.10. Если а — регулярный кардинал (при а >> со необходи-
ма ОКГ), то существует дерево Т, определенное выше, такое, что Т
имеет высоту а+, имеет не более а элементов на каждом уровне
£ а+ и не имеет ветвей длины а+.
Следующее утверждение вытекает из замечаний Роуботтома
и Силвера (полученных независимо).
7.2.11. Существует предложение о в подходящем языке X,
которое для бесконечного кардинала а допускает (а+, а), если и толь-
ко если существует дерево, описанное в 7.2.9.
Из этого мы можем немедленно вывести принцип перехода для
кардиналов а+, не обладающих свойством ветвления, используя
гипотезу о 1-разрыве. В частности, если бы гипотеза об 1-разрыве
была верна, то кардинал х не обладал бы свойством ветвления.
Считая, что предположение о существовании некоторых больших
кардиналов непротиворечиво, Митчелл и Силвер доказали, что
32 г. Кейслер, Ч. Ч.
498
Гл. 7. Избранные вопросы
7.2.12. Существует модель теории ZFC, в которой контину-
ум-гипотеза ложна и предложение а (из 7.2.11) допускает (со1? со),
но не допускает (со2, coj).
Очевидно, отсюда следует, что в теореме 7.2.7 необходимо пред-
положение ОКГ
Если мы теперь обратимся к гипотезе о 2-разрыве, то оказы-
вается, что соответствующей теоретико-множественной проблемой
является проблема существования семейств или деревьев Куре-
пы. Скажем, что а со обладает свойством Кг, Кг (а), если суще-
ствует семейство (Курепы) F подмножеств а+, такое, что | F |
= а++ и для каждого £<а+
1Ц М X Е F} I а.
Будем говорить, что а со обладает свойством К2, К2 (а),
если существует дерево (Курепы) Т на а+ высоты а+, имеющее не
более а элементов на каждом уровне и по крайней мере а++
ветвей длины а+ (см. также упражнение 4.3.17). Снова легко
убедиться, что
7.2.13. Существует предложение о в подходящем языке, кото-
рое допускает (а++, а) для бесконечного кардинала а, если и только
если имеет место Кг (а), а также если и только если имеет мес-
то К2(а).
Таким образом, из гипотезы о 2-разрыве следовал бы принцип
перехода для семейств или деревьев Курепы. Свойство К± (со)
(или К2 (со)) известно как гипотеза Курепы. Известно, что
(результат Леви и Роуботтома, позднее улучшен Стюартом)
если ZF непротиворечива, то непротиворечива и ZF+A2 (со)+ОКГ.
Недавно этот результат был улучшен Соловеем:
7.2.14. ZFL Н (а) для каждого бесконечного кардинала а.
(ZFL означает ZF плюс аксиома конструктивности.)
В силу результата Силвера, у нас нет надежды доказать гипо-
тезу о 2-разрыве в ZF + ОКГ. Он показал следующее:
7.2.15. (Предполагается ОКГ.) Если ZF + «существуют два
недостижимых кардинала» непротиворечива, то непротиворечива
и каждая из следующих теорий'.
(a) ZF + ~\К2 (со) + К2 (соО,
(b) ZF + К2 (со) + ~]К2 (со,),
(с) ZF + К2 (сох) + -]Х2 (со5).
(d) ZF + К2 (со5) + “]А2(со1).
Эти результаты вместе с 7.2.13 показывают, что у нас нет надежды
доказать и отдельные случаи гипотезы о 2-разрыве. Например,
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
499
из 7.2.15 (а) и 7.2.13 мы не сможем доказать, что всякий раз, когда
теория Т имеет ((о3, оэ^-модель, то она имеет (а>2, (о)-модель.
Гипотеза, связанная с гипотезой о 1-разрыве и известная как
гипотеза Чэна, будет обсуждаться в следующем разд. 7.3, где
мы вновь убедимся в том, что теория множества в ней играет до-
минирующую роль.
Упражнения
7.2.1. Докажите, что теорема 7.2.2 остается справедливой, если
тип 2 (у) заменяется типом 2 vm) от переменных
^т*
7.2.2. Усильте теорему 7.2.2, требуя, чтобы модели теории Т
произвольной бесконечной мощности, опускающие 2, порожда-
лись множеством неразличимых элементов.
7.2.3. Докажите, что теорема 7.2.2 остается справедливой,
если тип 2 заменяется счетным множеством S типов.
7.2.4*. Пусть X имеет а (о символов, и пусть 2 —тип в <55.
Докажите, используя идеи теоремы 7.2.2, что если для каждого
Н < (2а)+ теория Т имеет модель мощности, превышающей 5^,
которая опускает 2, то она имеет модели произвольно больших
бесконечных мощностей, опускающие 2. Докажите также, что Т
имеет модель, которая опускает 2 и обладает бесконечным множе-
ством неразличимых элементов.
7.2.5*. Покажите, что упр. 7.2.4 остается верным, если 2 заме-
нить произвольным множеством 5 типов в языке X. Таким образом,
S может иметь 2а типов в языке X. Покажите также, используя
контрпримеры, как в предложении 7.2.4, что Л(2а)+ есть наимень-
ший кардинал, обладающий этим свойством.
[Указание: Пусть X содержит двуместные предикатные сим-
волы и Е и константы с %, £ < а. Пусть [3 — ординал, мень-
ший, чем (2а)+, и пусть W — вполне-упорядочение 5 (а) типа р.
Для X, Y cz а пусть
Vi) — {c^vq • £ Е X) U { ~] | $ X} U
и {c^EVi: £6 Y} и { “| c^Evi: И П U { Я (i>o^^i)}-
Пусть 5 {2ХУ W (X, У)} (J {(у0 < у v0 ф vx V < v0)}.]
7.2.6*. Пусть X имеет а со символов, и предположим, ч т
cf (а) — (о. Пусть 2 — тип языка <55. В предположении О К
докажите, что если для каждого £ < а+ теория Т имеет модел
мощности, превышающей 5^, которая опускает 2, то она имёе
32*
500
Гл. 7. Избранные вопросы
модели произвольно больших бесконечных мощностей, опускаю-
щие 2. (Здесь также 2 может быть заменен множеством типов 5
с | S | <ct.)
7.2.7** Пусть X имеет а со символов. Предположим, что X
содержит по крайней мере символы ск, и двуместный преди-
катный символ <. Модель языка X называется а-стандартной,
если интерпретация < в 31 есть в точности естественное упоря-
дочение ординала Ясно, что оз-стандартные модели являются
также (о-моделями. Пусть та — наименьший ординал X, такой,
что каждое предложение ср языка X, имеющее a-стандартную мо-
дель мощности имеет произвольно большие а-стандартные
модели. Докажите следующие утверждения:
(i) а < та < а+, если cf (а) =-= (о (ОКГ, если а >со);
(ii) а+ < < а++, если cf (а) > со;
(iii) есть первый нерекурсивный ординал, т. е. со^-ординал
Чёрча — Клини.
В литературе известны результаты, связывающие та и поня-
тие а+-рекурсивности для а > со.
7.2.8* *. Пусть Т — полная теория в языке X, и пусть 2 —
тип в языке X. Говорят, что Т и 2 характеризуют бесконечный
кардинал а, если
(i) Т и 2 шмеют, самое большее, а символов,
(ii) модели теории Т, опускающие 2, существуют именно в тех
бесконечных мощностях 0, которые меньше а.
Формулу ср (г) языка X называют алгебраической в Т, если в каж-
дой модели й теории Т существует только конечное число
элементов из 31, на которых выполняется ф. Элемент а модели 31
теории Т называется алгебраическим, если на нем выполняется
некоторая формула ф(р), алгебраическая в теории Т. Опровергните
следующую4 гипотезу Морли: если Т полна и Г и 2 характеризуют
а >(о, то каждая модель теории Г содержит бесконечное число
алгебраических элементов.
7.2.9. Дайте полное доказательство предложения 7.2.5. Убеди-
тесь, что все, кроме условий (i), требования на теорию Т могут
быть выражены одним предложением языка X-
7.2.10. Пусть 2 — множество формул счетного языка X от
переменной v. Будем говорить, что (Г, 2) допускает пару (а, 0),
если Т имеет модель 31, такую, что | А | = а и
I {а 6 А 31 t=S Ы} | - 0.
Используйте методы теорем 7.2.2 и 7.2.6 для доказательства сле-
дующего утверждения: если (Г, 2) допускает для каждого | < сог
некоторую пару (2^ (у$), у^) бесконечных кардиналов, то (Г, 2)
допускает все пары (а, 0) бесконечных кардиналов.
7,2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
501
7.2.11. Найдите вариант теоремы 7.2.6 для несчетных языков.
Сделайте то же самое для упр. 7.2.10 (см. упр. 7.2.4).
7.2.12. Докажите, что следующее свойство множества предло-
жений 2 компактно: 2 допускает все пары (a, (J) бесконечных кар-
диналов То есть докажите, что 2 допускает все пары (а, Р),
если и только если каждое конечное подмножество из 2 допускает
все пары (а, Р).
7.2.13. * Напомним, что в разд. 4.2 (в частности, 4.2.9 и 4.2.10)
уже был определен язык с бесконечными формулами <Za, где
a — бесконечный кардинал. Теперь опишем более ограниченный
подъязык языка <S?a, который, тем не менее, богаче классического
языка X Язык #а(й получается добавлением к правилахм обра-
зования языка X следующих двух новых правил: первое из них
уже было сформулировано в 4.2.9, а именно:
Если Ф — множество формул языка Ха& мощности | Ф | <
< а, то Д Ф есть формула языка Ха&.
Второе новое правило таково:
Если <р — формула из Ха и V — конечное множество
переменных, то (УГ)ф — формула языка Ха&.
Заметим, что Ха(й имеет все еще счетное число индивидных
переменных и что любое предложение языка <55a(I) будет содержать
лишь подформулы, каждая из которых имеет только конечное
число свободных переменных. (Почему?)
Пусть a — бесконечный кардинал, и пусть X имеет, самое
большее, а символов. Рассмотрим язык Ха+ы построенный из
бимволов языка X. Определим число Ханфа языка Ха+Ш как
наименьший кардинал Р, такой, что каждое предложение ф язы-
ка <5?а+ш, имеющее модель мощности р, имеет также модели про-
извольно больших мощностей. Определим число Морли языка X
как наименьший кардинал у, такой, что если 2 (| 2 | а) —
любой тип, а Т — произвольная теория в языке X, имеющая модель
мощности у, опускающую 2, то Т имеет модели произвольно боль-
ших мощностей, опускающие 2. Докажите следующие утвержде-
ния:
(i) Для языка <Za+(D существует число Ханфа.
(ii) Для некоторого языка X', где \\Х‘ || = <х, число Ханфа
языка совпадает с числом Морли языка X’ Следовательно,
в силу упр. 7.2.4 и предложения 7.2.4, число Ханфа языка
«Za+ш находится между 5а+ И Э(2а)+.
(iii) Если cf(a) = a> и мы допускаем ОКГ, то число Ханфа
языка <2?a+(o есть в точности За+.
(iv) Число Ханфа языка Х&^ есть 3Ш1.
502
Гл. 7. Избранные вопросы
(v) Если cf (а) >0), то число Ханфа языка <Za+Ctj больше,
чем )а+.
Это упражнение показывает, что для соответствующим образом
ограниченных подъязыков языка Ха числа Ханфа имеют разум-
ную величину. Если же мы рассмотрим полный язык Ха, то, ска-
жем, даже для Х&г число Ханфа также существует, но является
невероятно большим.
7.2.14. Завершите доказательство теоремы 7.2.7, доказав утвер-
ждение (5).
7.2.15. Предположим, что X содержит у со символов. Пока-
жите, что теорема 7.2.7 остается верной, без каких-либо сущест-
венных изменений в доказательстве, если мы потребуем, чтобы 6
был регулярным кардиналом, большим, чем у.
7.2.16. * Предположим, что X содержит у >> со символов,
и предположим, что у регулярен. Докажите, что упр. 7.2.15
можно усилить, положив б у.
[Указание'. Замените все ^-местные отношения (или функции)
модели языка X на (п + 1)-местное отношение (или функцию),
которое индексирует, используя элементы модели, все п-местные
отношения (или функции) модели. Тогда, имея любую модель язы-
ка X мощности по крайней мере у, мы можем перейти к «эквива-
лентной» модели той же мощности, которая содержит только счет-
ное число отношений и функций. Далее убедитесь в том, что
конструкцию из теоремы 7.2.7 можно переделать так. чтобы
23<?1О, где Ж — любая модель теории Т' мощности б.]
7.2.17. Предположим, что X содержит у > со символов. Пред-
положим, что имеет место ОКГ Докажите, что если теория Т
допускает пару (а+, а), то она допускает пару (а+++, а++). Заметь-
те, что не сделано никаких предположений об относительных
размерах а и у. Остается нерешенной проблема, допускает ли
Т пару (а++, а+).
7.2.18. * Комбинируя теоремы 7.2.6 и 7.2.7, докажите следую-
щую теорему о трех кардиналах: мы говорим, что Т допускает
(а, Р, у) с а Р у, если Т имеет модель
21 (Л, 71? К,
такую, что | Л | а, | V j | (3, | V2 | — у. Пусть X — счетный
язык, и пусть Т — теория в языке X. Предполагаем справедли-
вость ОКГ Предположим также, что для каждого п £ со теория Т
допускает тройку (?<л+1 (у), у+ у), у со. Тогда Т допускает все
тройки (а, Р+ Р), где а^р+, р^соир — регулярный кардинал.
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения
503
7.2.19. Докажите, что симметричный вариант упр. 7.2.18 не
справедлив. А именно, существует теория Т, которая допускает
(Зш, Зш, 30), НО не допускает (3,*, Зп. 30) Для любого 0<
< п <Z <о.
7.2.20. Докажите, что гипотеза о 2-разрыве эквивалентна
следующей проблеме о трех кардиналах: если Т допускает (а++,
а+, а), то она допускает все (Р++, Р+, Р), а, р со.
7.2.21. Предположим, что со < у, 5 ы (?) С Р, 2 « (Р) а
и что Т есть теория в счетном языке, которая допускает (а, р, у).
Докажите, что Т допускает каждую тройку бесконечных кардина-
лов (а' Р' у')» гДе а' Р" У' (Это обобщение теоремы 7.2.6.)
7.2.22* . Пусть Т — теория в счетном языке. Если со у < р,
3 о (Р) а и теория Т допускает (а, р, у), то для любого а' р
она допускает (а' Рю, у®).
7.2.23. Пусть Т — теория в счетном языке и S (и) — множество
формул. Говорим, что Т допускает пару (а, Р), опускающую S,
если она имеет модель (А, V, .), которая опускает 2 ив которой
| А | = сх, | V | = р. Докажите, что если Зон С Р и (р)
^аи если Т допускает пару (а, Р), опускающую S, то Т допуска-
ет каждую пару бесконечных кардиналов (а', Р'), опускающую 2.
(Ср. с теоремой 7.2.6 и упр. 7.2.21.)
7.2.24* Пусть Т и 2 — те же, что и выше. Если со у < Р,
Зол (Р) а и Г допускает (а, Р, у), опускающую 2, то Т допу-
скает тройку (a', coj, со), опускающую 2, для любого кардинала
а' сог (Ср. с упр. 7.2.18.)
7.2.25* Сформулируйте и докажите аналоги упр. 7.2.21
и 7.2.23 для счетных последовательностей кардиналов.
7.2.26. Покажите, что в каждом из упр. 7.2.21 — 7.2.24 пред-
положения могут быть ослаблены аналогично тому, как это было
сделано в теореме 7.2.6.
7.2.27* . Докажите предложение 7.2.10.
7.2.28* *. Докажите, что сох не обладает свойством ветвления,
построив дерево, как это описано в 7.2.8 и 7.2.9. Далее исполь-
зуйте теорему 7.2.7 для обоснования 7.2.9.
7.2.29* Докажите предложение 7.2.13.
7.2.30* . Напомним, что в разд. 4.2 мы ввели понятие слабо
компактного кардинала и логику Ха с бесконечными формулами.
Докажите следующую теорему. Пусть а — слабо компактный
кардинал, и пусть — модель вида ЭД = <7? (а), £, Яо, Я1? ...).
504
Гл. 7, Избранные вопросы
Тогда существуют элементарные расширения 33 — (В. Е, So,
5lt ) модели ЭД произвольно большой мощности, такие, что
для всех Ъ £ В и a £ R (а) ЬЕа влечет b £ R (а). (Это усиливает
упр. 4.2.21 (iii).)
[Указание: Мы можем предполагать, что ЭД обладает термаль-
ными скулемовскими функциями. Пусть Т — теория в языке «55 а
с константными символами са для каждого а £ R (а) и новыми
константными символами dQi и со следующими аксио-
мами:
(1) элементарная диаграмма модели ЭД;
(2) ср (c/yiQ, ., d<fip) * * ср (с/щф, • ? dmr), где н-±
пг0 < < тг и ср (v0, иг) есть формула языка X j
U {са : а 6 R (а)};
(3) (Vz) (х £ са ++ V =сь) для каждого а £ R (а);
Ъ£а
(4) dm, dn являются ординалами и dm <Z dn, где т < п.
Используйте упр. 7.2.4 для того, чтобы показать, что любое под-
множество теории Т мощности <а имеет модель и, следовательно,
благодаря слабой компактности сама теория Т имеет модель.
Тогда постройте нужную модель 93, заменив d0, . . порождаю-
щим множеством неразличимых элементов любой мощности.}
Следующая проблема остается открытой: каждая ли из моде-
лей ZFC, имеющих концевое элементарное расширение, имеет
произвольно большие концевые элементарные расширения? Час-
тичное решение этой проблемы содержится в следующем упраж-
нении.
7.2.31**. Докажите, что каждая модель теории множеств
Цермело — Френкеля, ординалы которой имеют конфинальность со,
имеет произвольно большие элементарные расширения, в которых
все новые ординалы встречаются после всех старых ординалов.
[Указание Попробуйте это сделать сначала для моделей тео-
рии множеств с аксиомой выбора, используя теорему Радо —
Эрдёша в пределах модели. Для общего случая докажите вариант
теоремы Радо — Эрдёша без аксиомы выбора.]
7.2.32. Покажите, что гипотеза об n-разрыве влечет следую-
щую слабую форму ОКГ: если m < п и существует бесконеч-
ный кардинал а, такой, что 2а = (а), то 2Р = (0) для
всех бесконечных кардиналов 0. В частности, из гипотезы о 2 -раз-
рыве следует, что, если 2а = а+ для некоторого бесконечного
кардинала а, то ОКГ справедлива.
7.2.33*. Пусть X — счетный язык, и пусть Р — одноместный
предикатный символ языка X. Модель ЭД = G4, R, > языка X
называется двухкардиналъной моделью, если | А | >> | R | <о.
Множество S предложений языка X есть множество аксиом для
7.3. Модели большой мощности
505
двухкардинальных моделей, если ЭД1=2 тогда и только тогда, когда
ЭД элементарно эквивалентна двухкардинальной модели. Для
каждого п и каждой конечной последовательности формул <р0,
<рт из #от переменных гг0, хп рассмотрим предложение
(3voVar03!foZo • • • Vxn3i/nzn) [ Л
O^i^n
/\ (P(Xj) hXi=Z]-+yi = X})/\ /\ (ф;(х0, . . Хп)~*
-*4>j(jfo, Уп))]-
Докажите, что все такие предложения образуют множество акси-
ом для двухкардинальных моделей.
7.3. Модели большой мощности
В этом разделе мы исследуем три тесно связанные между собой
проблемы, касающиеся моделей и кардинальных чисел. Прежде
чем формулировать первую проблему, напомним, что модель
типа (а, Р) есть модель ЭД С4, U, .такая, что | А | — а,
I и I = р.
7.3.1. Какие пары кардиналов (а, Р) и (у, б) обладают тем свой-
ством, что каждая модель ЭД типа (а, Р) счетного языка имеет
элементарную подмодель 23 типа (у, б)?
Будем говорить, что гипотеза Чэна справедлива для пар (а, Р),
(у, б), если эти пары обладают приведенным выше свойством. Ги-
потеза Чэна является более сильной формой проблемы Лёвенгей-
ма — Скулема для пар кардиналов; если гипотеза Чэна справед-
лива для (а, Р), (у, б), то каждая теория, которая допускает (а, Р),
допускает и (у, б). Гипотеза Чэна интересна только тогда, когда
а>Р>6 и а^Ьу >б; остальные случаи тривиальны. Когда
а >у >р — б, она оказывается очевидным следствием теоремы
Лёвенгейма — Скулема — Тарского. «Двойственный» случай а =
— у >Р >б — трудная проблема, которая ведет к результатам
о непротиворечивости в теории множеств.
Перейдем ко второй проблеме.
7.3.2. Какие кардиналы а обладают тем свойством, что каждая
модель мощности а счетного языка имеет собственную элементар-
ную подмодель мощности а?
Модель ЭД счетного языка, не имеющая собственной элементар-
ной подмодели мощности | А |, называется моделью Йонссона.
Таким образом, можно переформулировать задачу: для каких
кардиналов а не существует модели Йонссона мощности а?
506
Гл. 7. Избранные вопросы
Нетрудно видеть, что если а >Р >6и гипотеза Чэна справед-
лива для пар (а, Р), (а, 6), то не существует модели Йонссона мощ-
ности а (предложение 7.3.4). Таким образом, положительное реше-
ние проблемы 7.3.1 са = у >Р >6 влечет за собой положитель-
ное решение проблемы 7.3.2.
Для третьей проблемы нам необходимо понятие вполне упоря-
доченной модели. Говорят, что модель ЭД (А, <, .) вполне
упорядочена по типу а, если < есть вполне-упорядочение мно-
жества А порядкового типа а.
7.3.3. Какие кардиналы а, [3, где [3 < а, обладают тем свой-
ством, что каждая вполне упорядоченная по типу а модель (счет-
ного языка) имеет элементарную подмодель, вполне упорядоченную
по типу |3?
Это проблема Лёвенгейма — Скулема для вполне упорядочен-
ных моделей.
Естественный аналогичный вопрос имеется и для (3 >а, с ним
мы столкнемся в упражнениях (см. упр. 7.3.34).
Начнем с нескольких элементарных отрицательных результа-
тов, касающихся этих трех проблем. Затем мы перейдем к неко-
торым более глубоким положительным результатам, касающимся
больших кардиналов, так называемых кардиналов Рамсея.
В разд. 4.2 мы изучали большие кардиналы, а именно измеримые
кардиналы, используя конструкцию ультрапроизведения. Мы те-
перь возобновим исследование, начатое там, но будем применять
уже другие теоретико-модельные конструкции, в частности,
функции Скулема и неразличимые элементы. Сначала покажем,
что класс кардиналов Рамсея лежит между классами слабо ком-
пактных кардиналов и измеримых кардиналов. Затем будет по-
казано, что три приведенных выше вопроса имеют утвердитель-
ные ответы для кардиналов Рамсея. В следующем разд. 7.4 резуль-
таты, касающиеся кардиналов Рамсея, и три вопроса 7.3.1 —
7.3.3 будут применены к понятию конструктивного множества
и будет значительно усилена теорема Скотта 4.2.18 (о том, что
аксиома конструктивности и аксиома измеримости противоречат
друг другу). Стандартные факты о конструктивных множествах,
которые нам потребуются, формулируются здесь без доказа-
тельств.
Следующий результат устанавливает взаимосвязь между проб-
лемами 7.3.1 — 7.3.3.
Предложение 7.3.4. (i) Если а>р> у и гипотеза Чэна справед-
лива для пар (а, р), (а, у), то не существует модели Йонссона
мощности а.
(ii) Гипотеза Чэна справедлива для пар (а+, а), (Р+, Р) тогда
и только тогда, когда каждая вполне упорядоченная по типу а+
7.3. Модели большой мощности
507
модель имеет элементарную подмодель типа рт (для счетного
языка).
Доказательство, (i) Пусть ЭД — модель мощности а
(X счетен). Пусть U cz А имеет мощность р, тогда (Я, U) — мо-
дель типа (а, р). По гипотезе Чэна существует подмодель (25, V) -<
-< (ЭД, U) типа (а, у). Но тогда V U П В и V есть собственное
подмножество можества U, так что В — собственное подмножест-
во множества А. Таким образом, 25 — собственная элементарная
подмодель модели ЭД мощности а.
(ii) Предположим, что гипотеза Чэна выполняется для (а+, а),
(Р+, Р). Пусть ЭД (А, <, .) вполне упорядочена по типу а+.
Пусть U — начальный сегмент модели (Л, <> типа а. Каждый
элемент а С А имеет, самое большее, а предшественников, поэто-
му существует бинарная функция F: А X А Л, такая, что
для каждого а С Л
{F (a, b) b £ U} = {с £ А с < а}.
Модель (ЭД, /7, F) типа (а+, а) имеет элементарную подмодель
(25, V, G) типа (р+, Р). В каждой из таких моделей истинно пред-
ложение
(1) (VrcVi/) [у < (3z) (U (г) л F (х, г) = у)].
Из этого следует, что каждый элемент множества В имеет,
самое большее, | V | р предшественников. Более того, | В | —
= Р+ и 25 < ЭД, поэтому {В, <) вполне упорядочена по типу р+
Следовательно, {В, <) имеет в точности тип р+
Теперь предположим, что каждая вполне упорядоченная по типу
а+ модель имеет элементарную подмодель типа р+ Пусть ЭД =
(Л, С/, .) имеет тип (а+, а). Выберем вполне-упорядочение
< множества Л типа а+, такое, что U — начальный сегмент ти-
па а. Как и выше, выберем функцию F: А X Л -> Л, такую, что
в (ЭД, <, F) истинно предложение (1). Пусть (25, <, G) <(ЭД, <, F)
имеет тип Р+ Так как U — собственный начальный сегмент моде-
ли (Л, <), то V — собственный начальный сегмент модели
{В, <). Но (В, <) имеет порядковый тип р+, поэтому | V | р.
Однако, в силу (1), каждый элемент из В имеет, самое большее,
| V | предшественников, отсюда | V | = р. Таким образом, 23 име-
ет тип (0+, 0). н
Из утверждения 3.2.11 (iv) и (v) видно, что гипотеза Чэна не вер-
на для всех пар (Jn (а), а), (Р, 6), когда Р > Jn (6), и всех пар
(лп (а), а), (Р, 6), когда р > (6), так как соответствующие
гипотезы о двух кардиналах не верны. Таким образом, конечные
разрывы не могут быть увеличены. Гипотеза Чэна приводит к дру-
гой проблеме, проблеме существования семейств Курепы, с кото-
рыми мы сталкивались в предыдущем разделе. В разделе 7.2 мы
508
Гл. 7. Избранные вопросы
ввели обозначение Кг (а) для выражения «существует семейство
Курены подмножеств множества а+». Нетрудно видеть, что
7.3.5. Если А\(а), то гипотеза Чэна не верна для (а++, а+),
(а+, а).
Из 7.2.14 следует, таким образом, что аксиома конструктив-
ности влечет за собой ложность гипотезы Чэна для всех (а++, а+),
(а+, а). С другой стороны, Силвер показал следующее:
7.3.6. Если ZFC + «существует кардинал Рамсея» непротиворе-
чива, то ZFC + «гипотеза Чэна выполняется для (<о++, со+), (со+, со)»
также непротиворечива.
Теперь рассмотрим случаи, когда ответы на вопросы 7.3.2—
7.3.3 отрицательны. Для того чтобы дать отрицательный ответ
на проблему 7.3.2, мы должны привести пример модели Йонссона
мощности а. Существуют очевидные примеры моделей Йонссона
мощности со, например стандартная модель арифметики (со,4*, , 0>
есть модель Йонссона. Следующий результат дает нам другие
примеры.
Предложение 7.3.7. Допустим, что справедлива обобщенная
континуум-гипотеза. Тогда для каждого последователя кардинала
а+ существует модель Йонссона мощности а+
Доказательство. Пусть универсумом будет А а+
По ОКГ имеем (а+)а = 2а — а+, поэтому множество А имеет
в точности а+ подмножеств мощности а. Пусть Хр, р < а+, есть
перечисление всех подмножеств Ха А мощности | X | — а. Рас-
смотрим любое у < а+, где а у. Тогда | у | = а. Из леммы 6.1.6
следует, что произвольное семейство, состоящее из а множеств
мощности а, может быть преобразовано в семейство, состоящее из
а непересекающихся множеств мощности а, т. е. существуют под-
множества У^сг Хр, р<у, такие, что |Ур | = а и множества Ур
попарно не пересекаются. Для каждого р < у мы можем выбрать
одно-однозначную функцию /р? из У р на у. Множества У р, р < у,
попарно не пересекаются, поэтому /Р7 может быть «продолжена»
до функции / из Л X А в Л, так что
если р < у < а+ и у 6 У₽, то / (у, у) = (у).
Пусть ЭД (Л, / > и 93 — любая подмодель модели ЭД мощно-
сти а+, и пусть £ Е Л. Мы хотим доказать, что £ Е В. Возьмем
любое подмножество В мощности а, скажем Хр. Тогда существует
элемент у Е В, такой, что £<у иХрс у. Так как /р? отображает
Ур на у и Урсг Хр, то существует ц Е -X^cz В, такой, что
f Ob Y) = fay (n) = Но П € В и у Е В, откуда £ Е В. Н
В упражнениях мы увидим, что в приведенном выше утверж-
дении не нужна ОКГ, если а имеет вид соп, где п конечно. Однако
7.3. Модели большой мощности
509
остается открытым вопрос, нужна ли ОКГ вообще. Другой откры-
тый вопрос: можно ли доказать в ZFG существование модели
Йонссона мощности А. Г. Курошем давно поставлен вопрос:
существует ли группа Йонссона мощности
Приведенное выше предложение показывает, что в предполо-
жении ОКГ гипотеза Чэна ложна для (а+, р), (а+, у) всякий раз,
когда а+ >Р >у. Приведем несколько примеров, касающихся
проблемы 7.3.3.
Предложение 7.3.8. Предположим, что каждая теория Т в счет-
ном языке, имеющая вполне упорядоченную по типу а модель, имеет
модель, вполне упорядоченную по типу р. Тогда
(i) Если а >(о, то Р >со.
(ii) Если а — сингулярный кардинал, то р тоже сингулярен,
(iii) Если а — последователь, то и р — последователь.
(iv) Если существует у, такое, что у < a^2v, то существует
6, такое, что 6 < Р 2б.
Доказательство, (i) Если a > со, то (а, <) не будет
элементарно эквивалентна (со, <>.
(ii) Теория всех моделей (А, <, a, F}, F — функция, удов-
летворяющая условию
(V*3y) {у < а л х < F (у)),
имеет вполне упорядоченные модели только сингулярных типов.
(iii) Теория всех моделей (А, <, a, F), где
(VzVy) [y<x-+(3z) (z<aA F(x, z) = y)],
имеет вполне упорядоченные модели только типа ординалов-
последователей.
(iv) Рассмотрим теорию всех моделей (А, <, а, Е), удовлетво-
ряющих условию
(VaY#) [х-ф у-+ (Зг) (z<aA ~| (zEx++zEy))\.
Определим теперь кардиналы Рамсея. Напомним, что множе-
ство всех конечных подмножеств из X обозначается через S Q (X),
а множество всех подмножеств из X мощности п обозначается
через [Х]п. Таким образом, S ю (X) = [Х]п.
п«й
Говорят, что бесконечный кардинал а есть кардинал Рамсея,
если для каждого множества X мощности а из
5ю(Х)с J Ci и |/ |<а
следует существование подмножества Ус X мощности а и эле-
ментов 1г, i2, . . g I, таких, что
[У]п с: Ci , п = 1, 2, ....
п'
510
Гл. 7. Избранные вопросы
Кардиналы Рамсея называются так потому, что свойство раз-
биения, определяющее их, подсказано теоремой Рамсея.
Предложение 7.3.9. Если а — кардинал Рамсея, то а > (о
и а — недостижимый кардинал.
Док азательство. Прежде всего, пусть а= со, и возь-
мем X = а. Пусть Со — множество всех х £ S о (X), таких, что
| я | С я. Пусть Cj = S ш (X) \ Со. Рассмотрим любое бесконеч-
ное подмножество Ycz X и запишем Y = {у0, ух, .} в возра-
стающем порядке. Пусть п = yQ. Тогда множества {у0,
..., Уп-i} и {Уп . - •» Уп} не могут принадлежать одному и тому же
Ct. Таким образом, со не является кардиналом Рамсея.
Пусть теперь а сингулярен, и пусть (3 = cf (а) < а. Возьмем
X = а, и пусть I — конфинальное подмножество множества а
мощности р. Затем положим х £ если и только если i — наи-
меньший элемент из 7, который является верхней гранью для х.
Ясно, что ни для какого Yczz X мощности а мы не можем найти
даже такое i g I, чтобы [У]1 cz
Наконец, пусть а — кардинал, такой, что а 2V для неко-
торого у < а. Возьмем I = у, и пусть X — подмножество из
5 (у) мощности а. Для каждого {a, b} С [X]2 полагаем {a, b} g
где I — наименьший элемент из I, который принадлежит ровно
одному из а, Ъ. Определим Сг произвольно вне [X]2. Тогда для
любого У cz X мощности | У | 3 и для любого i £ I не имеет
места включение [У]2с= Cj. Следовательно, а не является карди-
налом Рамсея. —|
Кардиналы Рамсея можно также определить теоретико-модель-
ным способом:
Предложение 7.3.10. а является кардиналом Рамсея в том
и только томслучае, когда каждая модель §1 мощности а счетного
языка имеет множество неразличимых элементов мощности а.
Д о к a 3 a т е л ь с т в о. Предположим, что а — кардинал
Рамсея. Пусть I — множество всех множеств формул языка X.
Поскольку ||#|| = со, | I | — 2®, то кардиналы Рамсея недостижи-
мы и >(о, | I | < а. Выберем любой линейный порядок < на Л.
Разбиваем S 0 (Л), полагая {ах, ап} G если аг <
... < и
f = {(р (р1} ..., vn): Я 1= ф [аь ..., ап]}.
Так как а — кардинал Рамсея, то существует множество Хсс
czz Л мощности а, такое, что для каждого п все возрастающие
n-ки в <Х, <) принадлежат одному и тому жеС^. Это означает,
что (X, <) есть множество неразличимых элементов в §[.
7.3. Модели большой мощности
511
Обратно, пусть S ш (а)с^ (J и | I | < а. Мы можем пред-
ie/
полагать без потери общности, что I — собственный начальный
сегмент упорядочения (а, <). Образуем модель
2Г-=(а, <, Д Л, F21 ...),
где для каждого со Дпесть функция из ЛЛв/, такая, что если
< .< хп, то
Fn (#ь • • • , %п) = i влечет за собой {<гь ..., хп} £
Тогда 21 содержит множество (X, <') неразличимых элемен-
тов мощности а. Так как < — отношение из 21, <, должно сов-
падать либо с <С, либо с >, и мы можем считать, что <' есть <
(ограниченное на X). Поскольку а — кардинал, (X, <С> имеет
порядковый тип а.
Рассмотрим две n-ки х± <С .< хп и уг < .< уп в X.
Предположим, что
(1) Рп (*^1> • • •> %п) Рп (у1? • • •» Уп)*
Тогда выберем z± < < zn в X так, что хп < zx и уп < z1.
Соотношения
Рп (*^1, • • • , &п) — Рп (^1? ♦ • • ? 2П) — Fn (z/i, • • . , Уп)
не имеют места, поэтому мы можем предположить, что
(2) F п (xj, .»», #n) =^= F п (Zf, .. •, zn).
Существует последовательность п-ок
u|<...<u|, £<а,
элементов из X, такая, что
Н < t < а влечет за собой us < ut
I v А
Но из (2) и неразличимости следует, что
Рп (^1> wn), В ОЬ,
суть все различные элементы из /, что противоречит неравенству
| I | < а. Это показывает, что (1) никогда не имеет места, а из
этого следует, что любые два элемента из [Х]п принадлежат одно-
му и тому же Ct (с t = Fn (х^ ., хп)). Таким образом, а есть
кардинал Рамсея. —|
Теперь мы покажем, что кардиналы Рамсея слабо компактны.
Напомним из разд. 4.2, что кардинал а слабо компактен, если а
недостижим и в языке с бесконечными формулами справедлива
следующая теорема о слабой компактности: если S — множество
предложений языка Ха мощности | S | = а и если каждое под-
512
Гл. 7. Избранные вопросы
множество из 2 мощности < а имеет модель, то 2 имеет модель.
Кроме того, в разд. 4.2 было показано, что недостижимый карди-
нал а слабо компактен, если и только если он обладает свойством
ветвления: каждое дерево Т на а порядка а, такое, что для всех
Р < а оно содержит меньше, чем а, элементов порядка р, имеет
ветвь порядка а. Покажем, что кардиналы Рамсея обладают свой-
ством ветвления и, следовательно, слабо компактны.
Лемма 7.3.11. Каждый кардинал Рамсея а имеет следующее
свойство: всякое линейно упорядоченное множество (A, L}мощно-
сти а имеет подмножество мощности а, на котором L задает
вполне-упорядочение или обратное к нему упорядочение.
Доказательство. Выбираем любое вполне-упорядоче-
ние < множества А типа а. Затем разбиваем [А]а на две части
следующим образом:
{а, Ь) £ Ci тогда и только тогда, когда
(а < Ь, если и только если aLb);
{а, Ъ} £ С2 в остальных случаях.
То есть Сг содержит пары, на которых упорядочения L и <
совпадают. Мы предположили, что а — кардинал Рамсея, поэтому
существует множество Xcz. А, такое, что | X | = а и либо [X]2cz
czCx, либо [X]2cz С2. В первом случае X вполне упорядочивается
посредством//, а во втором на нем возникает упорядочение, обратное
к вполне-упорядочению L. —|
Предложение 7.3.12. Каждый кардинал Рамсея слабо компак-
тен.
Доказательство. Пусть а — кардинал Рамсея. Пока-
жем, что а обладает свойством ветвления. Пусть Т — дерево на а
порядка а и .такое, что для всех р < а порядок Р имеют меньше,
чем а, элементов. Определим линейное упорядочение xLy на а,
которое продолжает упорядочение Т следующим образом: пусть
х, у — различные элементы из а.
Случай 1. Если хТу, то xLy.
Случай 2. Если уТх, то yLx.
Случай 3. В остальных случаях множества
{х} U {z zTx и не zTy} = X,
{у} и {z zTy и не zTx} Y
непусты и вполне упорядочены посредством Т. Пусть xf g X,
у' g У — наименьшие элементы этих двух множеств. Тогда
xLy, если и только если х' < у' (как элементы а).
Легко проверить, что L линейно упорядочивает а. По лем-
ме 7.3.11 существует множество Zcz а мощности а, на котором L
7,3. Модели большой мощности
513
задает или вполне-упорядочение, или обратное к нему упорядоче-
ние. Предположим, что Z вполне упорядочено отношением L.
Мы можем предполагать, что его порядковый тип есть а (иначе
возьмем подмножество из Z порядкового типа а).
Пусть
В = {х £ а для некоторого у £ Z и всех z £ Z yLz влечет
за собой xTz},
т. е. элементы из Z, начиная с некоторого элемента, расположены
выше х в дереве Т. Если х £ В и иТх, то, очевидно, и £ В. Для
каждого р < а существует, самое большее, одинх £ В порядка р,
потому что никакой элемент не находится над двумя элементами
порядка р в Т. С другой стороны, для каждого Р < а существует
х С В порядка р. Для того чтобы в этом убедиться, заметим, что а
недостижим, в силу предложения 7.3.9, и существует < а элемен-
тов порядка <1 Р; поэтому Z содержит а элементов порядка >р,
и существует элемент xQ порядка р, такой, .что Z содержит а эле-
ментов, расположенных над xQ в Т. Поскольку <Z, L} имеет поряд-
ковый тип а, элементы из Z, находящиеся над xQ в Т, конфинальны
в (Z, L). Однако если xQTy, xQTz и у Lu, uLz, то из определения
L следует, что х^Ти. Следовательно, начиная с некоторого, эле-
менты из Z лежат над х0 в Т, т. е. xQ £ В. Из этого вытекает, что В
есть ветвь Т порядка а. -4
Напомним (см. разд. 4.2), что кардинал а называется измери-
мым, если над ним существуетнеглавный a-полный ультрафильтр.
Кроме того, ультрафильтр D над а называется нормальным, если
а D является а-полным и неглавным и а-й элемент ультра-
степени [J (а, есть класс эквивалентности тождественной
D
функции f. В предложении 4.2.20 было показано, что над всяким
измеримым кардиналом а > ш существует нормальный ультра-
фильтр.
Теорема 7.3.13. Пусть а — несчетный измеримый кардинал,
a D — нормальный ультрафильтр над а. Если I — множество
мощности | I | < а и если S w (a)cz [J Сг, то существует множе-
ство Y £ D и элементы ir, i& € Ц такие, что
[У]п с= , п = 1, 2, 3,
г»
Доказательство. Поскольку D счетно-полон, доста-
точно доказать, что для каждого положительного целого п суще-
ствуют i £ I и Y £D, такие, что [У]пс= С\. Тогда пересечение этих
У-ов будет обладать требуемым свойством. Зафиксируем п, впол-
не упорядочим I, и пусть f — функция, отображающая [а]п в I,
такая, что f (х) есть наименьший элемент i £ I, для которого
33 Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
514
Гл. 7. Избранные вопросы
х £ Ci. Продолжим / до функции из (J [а]т в I следующим обра-
тен
зом. Предполагая, что т < п и что / уже определена на [a]m+1,
мы определим / на [а]т условием
(1) f (*) = f, если и только если {0 6 а £ $ х и / (х U {0}) =
= i}£D.
Существует единственный элемент i £ I, удовлетворяющий усло-
вию (1), так как D является a-полным ультрафильтром. В конце
концов получаем по индукции значение / (0) = i0, когда т = 0.
С помощью трансфинитной индукции следующим образом опре-
делим элементы (JС <х и множества Yа (для £ < а):
(2) Х5={0£ $<£},
(3) У5 = {у^а:у^^ и f(x) = i0 для всех т^Ст^и х£ [Xg J {у}]™},
(4) — наименьший у £ Yg.
Из определения / и а-полноты D видно, что для всех £ 6 а
(5) / (х) = Iq для всех т п и х £ [X g]m,
(6) Yg 6 D, откуда следует, что pg существует.
Теперь для каждого у^а положим g(y) равным наименьшему
£ € а, такому, что у (J Y g+1. Из (3) видно, что у $ У?+1, и, сле-
довательно, g (у) у. Поскольку каждое множество Y g+1 при-
надлежит D, то для всех В
{? €а g(y) = g} §D.
Используем тот факт, что D нормален. По предложению 4.2.19
У = {? е а ! g (?) = ?} € D.
Докажем, что
(7) У € У? для всех у Е У
Если у = ц + 1, то g (у) >ц, откуда у 6 Уп+1 = У?. Если
у — предельный ординал, то у g f|yg, и тогда из (3) следует, что
£<v
у g У?. Из (7), (3) и (4) вытекает, что у == pv для всех у 6 У
Значит, из (2) и (5) следует, что [У]п cz Сго. Н
Нужно отметить сходство между приведенным выше доказа-
тельством и доказательством теоремы Рамсея 3.3.7.
Следствие 7.3.14. Каждый несчетный измеримый кардинал
есть кардинал Рамсея.
Доказательство. Пусть а — несчетный измеримый
кардинал, и пусть D — нормальный ультрафильтр над а. Пусть
| I | < а и (а) = U Ci> По теореме 7.3.13 существует множе-
&
7,3. Модели большой мощности
515
ство Y £ D и элементы /2, t3, £ Ц такие, что
[У]п с: Cin, п = 1, 2, а,
Так как D — нормальный ультрафильтр, то каждый его эле-
мент имеет мощность а; в частности, | Y | = а. —|
На самом деле свойство быть измеримым кардиналом намного
сильнее свойства быть кардиналом Рамсея.
Предложение 7.3.15. Пусть а —несчетный измеримый карди-
нал, и пусть D — нормальный ультрафильтр над а. Тогда мно-
жество всех кардиналов Рамсея р < а принадлежит D. Отсюда
следует, что а есть а-й кардинал Рамсея,
Доказательство. Доказательство аналогично доказа-
тельству теоремы 4.2.23. Из определения кардиналов Рамсея сле-
дует, что существует предложение ср, такое, что для всех ордина-
лов р {R (Р + 1), £) ср, если и только если р — кардинал
Рамсея. Из следствия 7.3.14 видно, что ф выполняется
в (R (а + 1), О, и тогда по следствию 4.2.22 {Р 6 a {R (р + 1),
Э> t= Ф} ED. Ч
Следующая теорема использует кардиналы Рамсея при реше-
нии проблем Чэна и Йонссона, описанных в 7.3.1 и 7.3.2.
Теорема 7.3.16. (Теорема Роуботтома.) Пусть а — кардинал
Рамсея. Тогда
(i) Если (о^у<Р<а, то гипотеза Чэна справедлива для
(а, Р,)» (а» Т)-
(ii) Не существует моделей Йонссона мощности а.
Доказательство. Согласно утверждению 7.3.4, (ii)
следует из (i). Докажем только (i).
Пусть 21 = (A, Z7, .) — модель с|А|=аи|С7| = р.
Можем считать без потери общности, что 21 обладает термальными
функциями Скулема. Выберем линейный порядок < на А, элемент
а С А\С7 и подмножество Hcz U мощности у. Образуем простое
обогащение 21* модели 21 до модели языка £*, добавив констан-
ту cw для каждого w £ W. Пусть Т — множество всех скулемов-
ских термов языка Ж*. Обозначим через I множество T(U U {а})
всех функций из Т в U J {а}. Так как Т имеет мощность у, a U
имеет мощность р, то I имеет мощность pv. Но а — недостижи-
мый кардинал, согласно утверждению 7.3.9, так что | Z | < а.
Разобьем S ы (А) = UG следующим образом: назовем терм
t g Т п-термом, если все переменные, встречающиеся в t, содер-
жатся среди vlf ., ип. (Следовательно, мы можем записать t
в виде t (рх, . ., i?n).) Пусть х = {ап ., ап} 6 S w (А), где
аг < . . . < ап. Тогда полагаем я £ С\, где * € I задается следу-
516
Гл. 7. Избранные вопросы
ющим образом:
i(t} = a, если t — не и-терм;
i (t) = a, если £ —n-терм и t (ап ..., ап) £ А \ С7;
i(i)==u, если t — n-терм и t{al1 ... ,an) = u£U.
Поскольку а — кардинал Рамсея, то
У cz ^мощности а и элементы i±1 i2, i3,
существует множество
С Л такие, что
[УРс Cln, n = 1, 2, 3,
Пусть S3* — скулемовское замыкание (У) в модели 21*,
и пусть S3 = (5, V, .) — обеднение S3* до модели языка X.
Тогда S3 есть элементарная подмодель модели 21 мощности а.
Поскольку каждый элемент из W есть константа из S3* и при-
надлежит U, то Wcz V, откуда
I W | = у < | V |
С другой стороны, каждый элемент Ъ g V имеет вид b = t (ух,
., уп) для некоторого скулемовского терма t С Т и некоторых
,W< < Уп в У Так как {ylt уп} С [УР<= Gn. то
г„ (0 = Ь.
Следовательно,
ь 6 U range (in) f| U,
П<(О
значит,
V С= и range (in) f] U,
п<ш
и отсюда вытекает, что
| V | со | Т | = со-у — у.
Таким образом, | V | = у. Ч
Назовем а кардиналом Роуботтома, если он обладает таким
свойством:
для всех Р < а гипотеза Чэна справедлива для (а, 0), (а, со).
Таким образом, приведенная выше теорема показывает, что все
кардиналы Рамсея являются кардиналами Роуботтома. Из пред-
ложения 7.3.7 вытекает, что все кардиналы Роуботтома либо слабо
недостижимы, либо имеют конфинальность со. Прикри получил
следующие результаты о непротиворечивости.
7.3.17а. Если
ZFC + «существует измеримый кардинал >> со»
7.3. Модели большой мощности
517
непротиворечива, то
ZFC + ОКГ + «существует кардинал Роуботтома а > со
конфинальности со»
и
ZFC + «существует кардинал Роуботтома а конфинальности со
и такой, что со < а < 2°»
также непротиворечивы.
Аналогичные результаты о непротиворечивости для слабо не-
достижимых кардиналов были получены Соловеем:
7.3.17 Ь. Если
ZFC + «существует измеримый кардинал > со»
непротиворечива, то
ZFC + «2® есть кардинал Роуботтома»
и
ZFC + «существует слабо недостижимый кардинал Роуботтома
а с со < а < 2е1»
также непротиворечивы.
В разделе 7.4 будет показано, что из аксиомы конструктив-
ности вытекает несуществование кардиналов Poy6oTTOMaj>co.
Кунен показал, что
7.3.17 с. Если
ZFC + «существует измеримый кардинал > со»
непротиворечива, то
ZFC + «существует измеримый кардинал > со» + «а > со
есть кардинал Роуботтома тогда и только тогда, когда
а есть кардинал Рамсея, а также тогда и только тогда,
когда не существует модели Йонссона мощности а»
также непротиворечива,
Клейнберг [1972] анонсировал следующий результат:
ZFC + «существует кардинал Роуботтома»
непротиворечива тогда и только тогда, когда
ZFC + «существует кардинал а, в котором не существует
модели Йонссона»
также непротиворечива.
Неизвестно, непротиворечивы ли следующие теории:
ZFC + «х (г) есть кардинал Роуботтома»,
518
Гл. 7. Избранные вопросы
ZFG + «первый недостижимый кардинал существует и является
кардиналом Роуботтома».
ZFC + «каждый кардинал, который имеет конфинальность со
или слабо недостижим, является кардиналом Роуботтома».
Используем кардиналы Рамсея для решения проблемы 7.3.3.
Здесь мы также воспользуемся понятием множества неразличимых
элементов, которое было введено в разд. 3.3 и использовалось
в предыдущих разделах.
Теорема 7.3.18. (Теорема Силвера.) Пусть а — кардинал Рам-
сея и X — счетный язык.
(i) Если (3 — кардинал, причем со < (3 а, то каждая вполне
упорядоченная модель типа а имеет элементарную подмодель,
которая является вполне упорядоченной моделью типа (3.
(ii) Пусть ЭД — вполне упорядоченная модель типа а. Тогда
существует элементарная цепь
ЭД^ = (А^, <, g —ординал > О,
со следующими свойствами:
(а) ЭДа (заметим, что а = соа);
(Ь) каждая модель ЭД$ является вполне упорядоченной моделью
типа со
(с) всякий раз, когда £ < т), А. — начальный сегмент модели
<А, <>;
(d) если и g определено как со %-й элемент относительно < , то
для каждого т] множество < т|} есть множество неразли-
чимых элементов в ЭДЛ.
Заметим, что из (ii) очевидным образом следует (i).
Прежде чем доказывать теорему, докажем две леммы. Предва-
рительно заметим, что если ЭД* — скулемовское обогащение
модели ЭД, то ЭД является вполне упорядоченной моделью типа 0,
если и только если ЭД* является таковой. Следовательно, доказы-
вая теорему 7.3.18, мы можем считать без ограничения общности,
что ЭД имеет термальные скулемовские функции.
Лемма 7.3.19. Пусть а — бесконечный кардинал, ЭД = {А,
<, .) — вполне упорядоченная модель типа а, обладающая тер-
мальными скулемовскими функциями, и предположим, что {X, <)—
множество неразличимых элементов в ЭД мощности а. Тогда на
каждой возрастающей последовательности хг < х2 < элемен-
тов из X выполняются в ЭД следующие формулы:
(i) Vi<ZVj, где
(ii) t(Vi, ., vm)<Zvn, где t — терм и т<п<<&\
(iii) t(yi, vm, vJe f(P!, vm, Vje...
..vJn) = t(Vi, .,vm, Vhe Vkn), где t—терм и
m<ii< .. m<Ai< . .. <ЛП <©.
7.3, Модели большой мощности
519
Доказательство. Очевидно, что на возрастающих
последовательностях из X формулы из (i) выполняются.
Для доказательства условия (ii) заметим, что {А, <) имеет
тип а и | X | = а, поэтому X конфинально в <Л, <). Следова-
тельно, для данных хг < .< хт из X элемент t хт)
должен быть меньше, чем некоторый элемент у £ X, где хт < у.
Но тогда из неразличимости X следует, что если хт < хп С X,
то t (хх, ., хт) < хп. Таким образом, пункт (ii) доказан.
Доказательство (iii) основано на том факте,что каждый эле-
мент из (Л, <) имеет меньше, чем а, предшественников. Пусть
< < Хт < < .< уп И Хт < Zi < . . . < Zn В {X, < >,
и предположим, что t (xn хт, уъ уп) хт, но
(1) t (Xj, Уи
Уп) $ (•*'!»
Znh
Выберем и\ < . < wn
Поскольку, согласно (1), не
в X так, чтобы уп < гщ, zn < и\.
могут иметь места равенства
•1 %mi Уп
Уп) = t (*!,
^1»
И
mi ZH
ТО
mi
Ун
*i %mi ^li
(2)
mi
Z11
mi WH
Более того,
из-за
не р а з л ичимости
(3)
mi ^li
т-
i (xr
Выберем теперь а различных п-ок
1^1 < . < Р < а,
в X, таких, что из у <С Р < а следует
Хт < <
Ifn-
Тогда из (2), (3) и неразличимости следует, что элементы
t (хх, хт, jz?i, ., tPn), р < а, должны быть все различными
и меньшими, чем хт. Но это невозможно, так как хт имеет мень-
ше, чем а, предшественников. Остюда вытекает, что формулы из
(iii) выполняются на возрастающих последовательностях из X. Ч
Лемма 7.3.20. Предположим^ что 58 = <5, <, .) — вполне
упорядоченная модель счетного языка, имеющая термальные ску-
лемовские функции, {X, <) — несчетное множество неразличимых
элементов в 85 и на каждой возрастающей последовательности
элементов из X выполняются формулы из (i)—(iii) леммы 7.3.19.
520
Гл. 7. Избранные вопросы
Тогда существует элементарная цепь
21 = <А С, ,), | — ординал >0,
моделей Я ^=23, удовлетворяющая условиям (Ь)—(d) теоре-
мы 7.3.18 и, кроме того, условию
(е) каждая модель 21 $ порождается множеством X $ неразли-
чимых элементов, таким, что на возрастающих последователь-
ностях из X % и из X выполняются одни и те же формулы.
Доказательство. Для каждого £ > 0 пусть (X %, < ) =
<>. Согласно теореме о распространении 3.3.11 (Ь), суще-
ствует модель 21 %, порождаемая множеством X % неразличимых
элементов, такая, что множества формул, которые удовлеворяются
возрастающими последовательностями из X в 23 и из X в 21
совпадают. По теореме об элементарных вложениях 3.3.11 (d)
всякий раз, когда g < т], существует элементарное вложение мо-
дели 21 £ в 21т]» ограничение которого на множество X ± есть тож-
дественное отображение. Следовательно, мы можем отождествлять
элементы из 21^ с их образами в 21т) и» таким образом, получаем
элементарную цепь 21 > 0. Из наших построений легко ви-
деть, что условие (е) выполняется.
Так как каждое ср, истинное в 23, выполнено на возрастающих
последовательностях из X в 23 и, следовательно, на возрастающих
последовательностях из X $ в 21 то оно истинно в 21 Таким
образом, 21 £ = 23. В частности, отношение < линейно упорядо-
чивает каждую модель 21 Кроме того, каждое счетное подмно-
жество из 21 g содержится в скулемовском замыкании § (Z) неко-
торого счетного подмножества Zcz Х^. Но X несчетно, и, следо-
вательно, существует одно-однозначное изотопное отображение /
модели (Z, <) в (X, <> (напомним, что и (X, <), и (Z, <)
вполне упорядочены). Из теоремы об элементарных вложениях
3.3.11 (d) следует, что / может быть продолжена до элементарного
вложения $ (Z) в 23. Так как 23 вполне упорядочена, то (Z)
также вполне упорядочено. Таким образом, каждое счетное под-
множество из 21 £ вполне упорядочено; отсюда вытекает, что 21 $ не
содержит бесконечной убывающей последовательности и, значит,
вполне упорядочена.
Порядковый тип каждой модели (А О не меньше со так
как Х^с: А % и | Х6 | = со ^. Возрастающие последовательности
из Х5 удовлетворяют всем формулам вида (ii) из леммы 7.3.19,
а X порождает 21 Это гарантирует, что X 6 является конфи-
нальным подмножеством в (А <). Формулы (iii) леммы 7.3.19
гарантируют, что для каждого х g X любой элемент у £ А
предшествующий я в упорядочении*^, однозначно определяется
термом t (i^ , ., Vim, иц, ., Vjn) и тп-кой элементов хг < .<
< хт из X £, где хт = х. (Переменная не обязательно должна
7.3. Модели большой мощности
521
входить в t.) По предположению X — счетный язык, поэтому
существует только со термов. Так как (X <) = <со <), то
элемент х имеет меньше, чем (Ofc, предшественников в упорядоче-
нии (X <). Следовательно, существует меньше, чем со*., конеч-
ных последовательностей х± < < хт = х из X %. К тому же
| >0 и потому co < со£. Отсюда вытекает, что элемент х имеет
меньше, чем со предшественников в упорядочении {А %, <).
Вспоминая, что X * конфинально в (А $, < >, получаем, что каж-
дый элемент из А * имеет меньше, чем со предшественников. Зна-
чит, G4 fc, <) имеет в точности порядковый тип со поэтому 21
является вполне упорядоченной моделью типа со fc. Это доказывает
условие (Ь).
Пусть теперь 0 < £ < т]. Докажем (с). Пусть а £ Ач, b £ А
а<Ъ. Мы должны показать, что а 6 A fc. Элемент а может быть
записан так:
> •? ^т-1» 2/1» •» Уп))
где х±
^7П-1 У1
Уп, Xi принадлежат X fc, а у/
принадлежат Xn\ X Для некоторого хт £ X fc имеем хт^± < хт
и b <Z хт. Добавив несущественную переменную можно на-
писать
•» У1,
Уп))
а — t (#!,
а кроме того, имеем
i (#i,
Можно выбрать так zp1?
шп £ X что
Хт < < < Wn-
Поскольку хт £ Xfc и С Xn\Xfc, то хт < уг. Используя усло-
вие (iii) леммы 7.3.19, получаем
a = t (я\,
Хщ, У1
Уп) = * (*1
Отсюда следует, что а С A fc и (с) выполняется.
Осталось доказать (d). Пусть будет со g-м элементом в упо-
рядочении < Пусть 0 < £ < тр Мы уже показали, что А% явля-
ется собственным начальным сегментом в Аъ порядкового типа со fc,
а отсюда следует, что — наименьший элемент из An\Afc
в упорядочении < Более того, если Е < т] < С, то со^-й эле-
мент из и со fc-й элемент из совпадают, так что определение
Ufc не зависит от тр Наша задача состоит в том, чтобы показать, что
все Ufc «происходят из одного и того же терма».
Вначале рассмотрим случай £ = 1 < Т]. Вспоминая наши
построения, видим, что <Х, <>=<0)!, <), (Хл, <) = (а>л, <}.
Следовательно, (Oj — это первый элемент множества ХЛг
522
Гл, 7. Избранные вопросы
не принадлежащий ЭДХ. Для всех х £
х < их и иг (01.
Элемент иг выразим как терм в ЭДтр
^1 = (*^1» *^7П» У11 Уп))
где X} принадлежат Хп а принадлежат и
Х1 < < хт < СО! < уг < < уп.
Согласно (iii) леммы 7.3.19,
иг = t (хг, хт, ©n ©г +1, COi + п).
Таким образом, для всех х £ Хг
(1) х < t (xlt хт, ©n ©х + 1, COi + n) < ©v
Теперь рассмотрим произвольное 1 £ <т]. Как и выше,
со — это первый элемент множества не принадлежащий А
и для всех х £ X %
х < и и^^Ссо^.
Выразим и % как терм в
U^=s(wi, Wp, (Ofc, zt, zg),
где элементы wt принадлежат X^, a zj принадлежат Xn \ X^ и
Wi <Z ... < wp < ©^ < Zi < ... < zq.
Вновь используя лемму 7.3.19 (iii), получаем
= «(?/?!, Wp, (0b COfc+1, (Ofc + 7).
Тогда всякий раз, когда wp<Zw^X^
(2) w<^s(Wi, wp, cos, co^ + 1, ^ + ?)^cos.
Выберем w{ < ...<Zw'p в X± так, чтобы для всех и
(3) Xi<Zwj, если и только если Xi<ZWj,
xi > wji если и только если > wj.
Из-за неразличимости и в силу (2), если w'p<Z xf^Xi, то
X<Zs(w{, wp, COf, ©1 + 1, <*>1 + ?)^®!*
Так как Xi конфинально в (4Ь <), то
s(w[, wp, (ob сон-1, о^+^еЛ^\4t,
откуда
(4) Wi = Z(^, xm, cot + 1, oh + rc)^
<s(u\, . .., wp, cof, ©i+l, . .©i + tf).
7.3. Модели большой мощности
523
Используя неразличимость и (3), (4), получаем, что
(5)
Хт,
sfo,
ZZ?p, (d£,
cos + ?) = uv
Более того, используя неразличимость и (1), видим, что
всех£н? £ X
(6) W < t Хт, СО £, СО £ + 1, СО £ + п).
ДЛЯ
Поскольку X £ конфинально в {А <), условия (5) и (6) влекут
за собой
(7) и i = t fo,
co^ + n).
Заметим, что всякий раз, когда 1 5 < £ < Л,
(8)
со £+п.
Из (7), (8) и неразличимости (Хп, <) в следует, что
{{и%: £<ц}, <) — множество неразличимых в й-q, а это и есть
условие (d). Н
Доказательство теоремы 7.3.18. Как было уже
замечено, нам нужно лишь доказать утверждение (ii), и мы можем
считать, что ?! имеет термальные скулемовские функции. Соглас-
но утверждению 7.3.10, ?! содержит множество <Х, <) неразли-
чимых элементов мощности а. Таким образом, выполняются усло-
вия леммы 7.3.19. Множество X несчетно, поэтому, согласно лем-
ме 7.3.19, условия следующей леммы 7.3.20 выполняются при
?1 S3. Тогда по лемме 7.3.20 существует элементарная цепь
2Ц, 5 — ординал > 0,
которая удовлетворяет условиям (Ь) — (d) теоремы и условию (е)
леммы 7.3.20. Наконец, согласно (е), модель И а порождается мно-
жеством (Ха, <) неразличимых элементов, возрастающие после-
довательности которых удовлетворяют тем же формулам, что
и возрастающие последовательности элементов множества X.
Кроме того, а — недостижимый кардинал, и потому соа = а
и ЭДа имеет порядковый тип соа = а, а следовательно, <Ха, <)
имеет порядковый тип а. Таким образом, (Ха, <) может
быть изотопно вложено в (X, <). Тогда, согласно теореме об эле-
ментарных вложениях, ЭДа элементарно вкладывается в ?1, поэто-
му условие (а) также можно считать доказанным. —|
Упражнения
7.3.1. Выясните, что происходит с гипотезой Чэна в «тривиаль-
ных» случаях, когда не выполняется одно из условий а >6
и а у >6.
524
Гл. 7. Избранные вопросы
7.3.2. Если гипотеза Чэна справедлива для (a, Р), (7, 6) и
а' а р, то она справедлива для (а', (3), (у, 6).
7.3.3. Если гипотеза Чэна справедлива для (а, Р), (у, 6),
а также для (у, 6), (р, v), то она справедлива и для (а, Р), (р, v).
7.3.4. Будем говорить, что гипотеза Чэна справедлива для
(а, р), (у, < 6), если каждая модель типа (а, Р) для счетного языка
имеет элементарную подмодель некоторого типа (у, р), где р <
< 6. Докажите, что если каждая вполне упорядоченная модель
типа а для счетного языка имеет элементарную подмодель, кото-
рая вполне упорядочена по типу у, то при всех Р < а гипотеза
Чэна справедлива для (а, Р), (у, <у).
7.3.5. Если гипотеза Чэна выполняется для (а, Р), (у, <6)
и если а р Р', то она справедлива для (а, Р'), (у» < 6).
Если гипотеза Чэна выполняется для (<х, Р), (у, (о) и а f
Р', то она справедлива для (а, Р'), (у, со).
7.3.6. Если 6 < cf (а) р а, то гипотеза Чэна не верна для
(а, Р), (а, 6).
7.3.7. Если а — кардинал Роуботтома, то либо а слабо недо-
стижим, либо cf (а) = <0.
7,3.8. Докажите предложение 7.3.5.
7.3.9 *. Предположим, что а >Р 6 и а у 6. Тогда
гипотеза Чэна для (а, Р), (у, <S) эквивалентна следующему свой-
ству разбиения.
Для каждого множества X мощности | X | — а, каждого мно-
жества I мощности 11 | = р и каждого разбиения S ф (X) cz (J Ci
существуют подмножества Y cz X мощности | Y | = у и J cz I
мощности | J | < 6, такие, что
(У) с и С3.
7.3.10*. Пусть а >Р 2^ 6, а >у 6. Предположим, что
Рц = р для всех (1 < 6. Если гипотеза Чэна выполняется для (а,
Р), (?» <6), то она справедлива также и для языков с числом сим-
волов, меньшим, чем 6. Если р' р < у, р = рц и гипотеза Чэна
справедлива для (<х, Р), (у, р#), то она справедлива для (а, р),
(?» Ю-
[Указание: Примените упражнение 7.3.9.]
7.3.11. 31 называется алгеброй Йонссона мощности а, если
| Л | = а и 21 не имеет собственной подмодели мощности а (и 21 —
модель счетного языка, содержащего только функциональные сим-
7.3. Модели большой мощности
525
волы). Каждая алгебра Йонссона, очевидно, является моделью
Йонссона. Докажите, что если существует модель Йонссона мощ-
ности а, то существует алгебра Йонссона мощности а.
7.3.12*. Докажите, что если существует алгебра Йонссона
мощности а, то существует алгебра Йонссона, которая имеет един-
ственную бинарную коммутативную функцию.
7.3.13*. Докажите, что для каждого кардинала а существует
алгебра Йонссона (Л, F} мощности а, где F есть со-местная функ-
ция.
7.3.14. Пусть Р < а. Докажите, что модель Йонссона мощно-
сти а с Р отношениями существует тогда и только тогда, когда
существуют модель ЭД мощности а со счетным числом отношений
и множество X ст А мощности Р, такие, что ЭД не имеет собствен-
ной элементарной подмодели мощности а, которая содержит X.
7.3.15*. Докажите, не используя ОКГ, что для каждого п <
< со существует модель Йонссона мощности хп. Более общее
утверждение: для всех кардиналов а из существования модели
Йонссона мощности а следует существование модели Йонссона
мощности а+
7.3.16. Докажите, что а будет кардиналом Рамсея, если и
только если а >> со и каждая модель ЭД языка X мощности
[| X || < а имеет множество неразличимых элементов мощности а
(см. предложение 7.3.10).
7.3.17. «Обозначение Эрдёша». Пусть а, р, у — кардиналы,
а п — натуральное число. Через
«-> (₽)?
обозначим такое свойство:
для каждого разбиения [a]n = множества [<х]п на у
частей существуют множество X cz а мощности | X | ~ Р
и i £ у, такие, что [X]ncz С\.
Аналогично,
а (р)^
означает, что
для каждого разбиения S w (а) = множества 5ш(а)
на у частей существуют X cz а мощности а и элементы
i2, € Y> такие, что [X]n cz п ~ 1, 2
Проверьте следующие утверждения:
526
Гл, 7. Избранные вопросы
(i) Теорема Рамсея (теорема 3.3.7) утверждает, что для всех
п < со, а со
а (со)§.
(ii) Теорема Радо — Эрдёша 7.2.1 утверждает, что для всех
п < со и а со
Зп («Г -> (*+)Г.
(iii) а является кардиналом Рамсея, если и только если для
всех Р < а
а -> (а)Г
(iv) Отношения а~>(р)5 и а(р)<° остаются справедливыми,
если увеличить кардинал а или уменьшить кардиналы, стоящие
справа от стрелки.
7.3.18. Покажите, что если а -> (у)^®, то гипотеза Чэна верна
для (а, р), (у, cd).
7.3.19*. Покажите, что а будет кардиналом Рамсея, если и
только если
а (а)?
[Указание: Используйте предложение 7.3.10.]
7.3.20. а (Р)^ш тогда и только тогда, когда каждая модель
мощности а для счетного языка имеет множество неразличимых
элементов мощности р.
7.3.21*» Если а -+ (а)®, то а — слабо компактный кардинал.
[Указание: Покажите, что из а (а)® следуют условия лем-
мы 7.3.11, а затем используйте доказательство предложения 7.3.12.
Надо также ^показать, что из а-> (а)| следует недостижимость
кардинала а.]
7.3.22*. Если а слабо компактен, то для всех р < а и п< (о
имеем а -> (а)р.
[Указание: Используйте доказательство, аналогичное дока-
зательству теоремы Рамсея и теоремы 7.3.13, но где D есть а-
полный ультрафильтр в a-полном поле множеств мощности а.]
7.3.23*. Для каждого бесконечного кардинала Р пусть х (Р) —
наименьший кардинал а, такой, что
а -> (P)F>
(если он существует). Таким образом, а будет кардиналом Рахм-
сея тогда и только тогда, когда а = н (а). Докажите, что если
х (Р) существует, то для всех у < х (Р) имеем х (Р) -> (Р)^°.
7.3. Модели большой мощности
527
7.3.24. Если х (0) существует, то он недостижим.
[Указание: Испольузуйте приведенное выше упражнение.]
7.3.25*. Если 0 < а и х (а) существует, то х (0) < х (а) (а,
0 — бесконечные кардиналы).
7.3.26**. Если х (со) существует, то существует кардинал со <
< 0 < х (со), такой, что 0 является П™-неопределимым для всех
т, п < со.
[Указание: Пусть а — предельный ординал > х(со), и рас-
смотрим модель CR (а), С, .) с термальными скулемовскими
функциями. Эта модель имеет множество неразличимых элемен-
тов (X, <) порядкового типа со, где X cz х (со). Отображение
хп определяет элементарное вложение /: (X) -< (X).
Возьмите в качестве 0 первый ординал, сдвинутый отображени-
ем /.]
Это упражнение показывает, что существуют слабо компакт-
ные кардиналы со < 0 < х (со); отсюда вытекает, что первый
несчетный слабо компактный кардинал не является кардиналом
Рамсея.
7.3.27*. Если а < х (а), то х (а) не является слабо компакт-
ным.
[Указание: Покажите, что х (а) Неопределим, используя ра-
венство х (а)а = х (а) из упр. 7.3.24.]
7.3.28*. Пусть D будет а-полным неглавным ультрафильтром
над а. Тогда он удовлетворяет условиям относительно разбиений,
сформулированным в теореме 7.3.13, если и только если существует
перестановка о для а, такая, что о (D) = {о (X) X g D} явля-
ется нормальным ультрафильтром над а.
7.3.29. Сформулируйте и докажите вариант теоремы Роубот-
тома для моделей языков £ мощности || £ || < а.
7.3.30*. Предположим, что а — предел измеримых кардиналов
и cf (а) 5^ у 0 < а. Тогда гипотеза Чэна справедлива для
(а, 0), (а, у). Таким образом, каждый предел а измеримых кар-
диналов, такой, что cf (а) = со, есть кардинал Роуботтома.
7.3.31. Сформулируйте и докажите обобщение теоремы Силвера
для языков мощности, меньшей, чем а.
7.3.32. Будем говорить, что модель 31 (Л, I/, <, .)
вполне упорядочена на U по типу а, если < есть вполне-упоря-
дочение множества U порядкового типа а. Обобщите теорему
Силвера на вполне упорядоченные модели на U.
528
Гл, 7. Избранные вопросы
7.3.33**. Покажите, что теорема Силвера остается верной,
если предположение «а есть кардинал Рамсея» заменить более
слабым условием «а = х (у) для некоторого у 04».
[Указание: Проверьте условия леммы 7.3.20.]
7.3.34*. Предположим, что а — кардинал Рамсея и 21 —
вполне упорядоченная модель типа а языка мощности ^а. Тогда
для каждого кардинала (J >а модель 21 имеет элементарное рас-
ширение, которое вполне упорядочено по типу р. В частно-
сти, существует элементарная цепь 21 р, где Р — кардинал 2^ а,
такая, что 21 а = 21, и для которой выполняются условия (Ь) — (d)
теоремы Силвера.
[Указание: Используйте тот факт, что а слабо компактен.]
7.3.35*. Модель 21 — <4, <, . > назовем (^-вполне упоря-
доченной, если < линейно упорядочивает Л и не существует убы-
вающей последовательности длины cov Если Т — теория в счет-
ном языке, которая имеет (ох-вполне упорядоченную модель мощ-
ности ) то она имеет а^-вполне упорядоченные модели любых
бесконечных мощностей.
[Указание: Используйте теорему Радо — Эрдёша.]
7.3.36. Пусть hWQ — число Ханфа для вполне упорядоченных
моделей, т. е. наименьший кардинал а со, такой, что для каж-
дой теории Т в счетном языке из того, что она имеет вполне упо-
рядоченную модель мощности а, следует, что она имеет вполне
упорядоченные модели любых бесконечных мощностей. Докажите
существование hWQ,
7.3.37*. Докажите, что если х ((ох) существует, то hWQ < х ((ох).
7.3.38*. Покажите, что (Ox cf (hWQ) 2Ш
[Указание: Докажите, что если теория Т имеет вполне упоря-
доченные модели любой мощности Р < а, но не имеет вполне упо-
рядоченных моделей какой-то бесконечной мощности, то суще-
ствует другая теория Т', которая имеет вполне упорядоченную
модель мощности а, но в какой-то мощности не имеет вполне упо-
рядоченной модели. ]
7.3.39*. Покажите, что hWQ = %hw0* Таким образом, (Oj < /?wo,
(0t и т. д.
7.3.40*. Если первый недостижимый кардинал а > со суще-
ствует, то а < hw().
7.3.41*. Если х (со) существует, то х (со) < hwo,
7.3.42. Говорят, что 21 = G4, <, .) есть а-подобная модель,
если < линейно упорядочивает А, А имеет мощность а и каждый
7.3. Модели большой мощности
529
элемент из А имеет меньше, чем а, предшественников. (Таким обра-
зом, вполне упорядоченная модель a-подобна, если и только если
она имеет тип а.) Приведите примеры:
(i) теории, которая имеет a-подобную модель для всех а > со,
но не для а —со;
(ii) теории, которая имеет а-подобные модели, если и только
если а является последователем;
(iii) теории, которая имеет a-подобные модели, если и только
если а сингулярен.
Для последующих упражнений будем предполагать, что X —
счетный язык.
7.3.43. (ОКГ.) Если теория Т имеет а+-подобную модель, то для
всех регулярных [3 она имеет р+-подобные модели. ОКГ не нужна,
если р+ (Ор
{Указание: Используйте теоремы о двух кардиналах.]
7.3.44*. Если Т имеет со-подобную модель, то она имеет а-
подобную модель для всех а.
[Указание: Используйте неразличимые элементы.]
7.3.45* (ОКГ.) Если а недостижим и теория Т имеет а-подоб-
ные модели, то она имеет р+-подобные модели для всех регуляр-
ных (3.
[Указание: Не пользуясь ОКГ, покажите, что Т имеет (Oi-
подобную модель, и затем используйте упр. 7.3.43.]
7.3.46** Пусть а — строго предельный кардинал. Если Т
имеет a-подобную модель, то она имеет [3-подобную модель для
всех сингулярных кардиналов [3.
[Указание: Используйте неразличимые элементы «с двойной
индексацией».]
7.3.47. В упражнении 4.2.12 мы определили число Мало как
такое а, что каждое его замкнутое неограниченное подмножество
содержит недостижимый кардинал. Числа Мало называют также
р^-кардиналами. Назовем а рп+х-кардиналом, если каждое его
замкнутое неограниченное подмножество содержит рп-кардинал.
Покажите, что если а есть рп+1-кардинал, то а есть а-й рл-кар-
динал. Покажите также, что если а > со и а слабо компактен,
то а есть рп-кардинал.
7.3.48**. Предположим, что для каждого п < со существует
рп-кардинал ап, такой, что Т имеет ап-подобную модель. Тогда
Т имеет p-подобную модель для каждого кардинала р >со.
7.3.49*. Для каждого тг<со существует предложение ап, кото-
рое имеет a-подобную модель, если и только если а не является
рп-кардиналом.
34 Г, Кейслер, Ч. Ч. Чэн
530
Гл. 7. Избранные вопросы
7.3.50**. Полугруппа (G, • ) есть множество G с ассоциативной
бинарной операцией. Полугруппа есть группа, если операция (•)
и слева, и справа разрешима, т. е.
для всех х, у £ G (3z) (x-z = у} и (3z) (z>x = у).
Пусть а — бесконечный кардинал. Докажите, что если полугруп-
па (G, ) мощности а есть полугруппа Йонссона, т. е. не имеет
собственной подполугруппы такой же мощности, то либо (G, )
есть группа, либо
cf (а) = (о и (ЗР) (₽ < а Л а< 2^).
Отсюда следует, что если cf (а) > <о или если (р < а 2$ а),
то каждая полугруппа Йонссона мощности а есть группа Йонссона.
7Л. Большие кардиналы и конструктивный универсум
Согласно теореме Скотта, приведенной в разд. 4.2, из существо-
вания несчетного измеримого кардинала следует ложность аксио-
мы конструктивности. Мы смогли дать доказательство этой теоре-
мы, требующее лишь минимальных сведений о конструктивных
множествах. Теорема Скотта может быть значительно улучшена,
если воспользоваться результатами предыдущего раздела. Мы
покажем, исходя из более слабого предположения о существова-
нии кардинала Рамсея, что аксиома конструктивности становится
ложной на самом низком возможном уровне, т. е. существуют
неконструктивные множества натуральных чисел (теорема 7.4.7).
Даже из более слабого предположения о том, что хотя бы в одном
«нетривиальном» случае одной из трех проблем 7.3.1—7.3.3 полу-
чен положительный ответ, следует, что аксиома конструктивности
неверна (теорема 7.4.10). Отсюда также вытекает, что существуют
неконструктивные подмножества множества <о (см. теорему 7.4.11),
но (длинное^ доказательство этого факта мы здесь не будем при-
водить.
В данном разделе нам понадобятся основные свойства конструк-
тивных множеств. Сведения о них можно найти в разных книгах,
например Коэн [1966], Гёдель [1940] или Шенфилд [1967]. Мы не
ставили здесь своей задачей дать полное введение в теорию кон-
структивных множеств. Вместо этого будет приведен краткий
обзор, предназначенный в основном для фиксирования обозначе-
ний и содержащий только необходимые для последующих теорем
сведения.
Мы рекомендуем читателю, прежде чем приступать к чтению
этого материала, познакомиться с основными свойствами конструк-
тивных множеств.
В разделе 4.2 была приведена следующая «теоретико-модель-
ная» формулировка аксиомы конструктивности:
7.4. Большие кардиналы и конструктивный универсум
531
* Ни для какого регулярного кардинала а > со не существует
собственного подмножества Мcz Н (а), такого, что ас М
и (Л/, С) есть модель теории ZF — Р.
Для наших целей это определение неудобно, и нам придется
вернуться к обычной формулировке аксиомы конструктивности,
известной в литературе.
Пусть М — множество множеств, подмножество Xcz М назы-
вается определимым в М (с параметрами), если существуют фор-
мула ср (u, vx, рп) языка X — {£} и элементы ух, £
g М, такие, что
X = {х е м (М, б) t= Ср [х, уг, 1/J}.
Заметим, что каждая формула ср (u, ., ип) и тг-ка ух, . .
. . ., уп £ М определяют единственное подмножество Xcz Л/.
Теперь по индукции определим цепь множеств L (а), а — ординал.
7.4.1. Если а — 0, то L (а) = 0. Если а >0 — предельный
ординал, то
L (а) = U L (р).
0<а
Если а — р + 1, то
L (а) = {Xcz L (Р) X определимо в L (Р)}.
t
Отсюда следует, что во всех случаях L (а) = М L (р + 1).
р<а
Множество х называется конструктивным, если существует а,
такое, что х g L (а). Класс всех конструктивных множеств назы-
вается конструктивным универсумом и обозначается через L.
Таким образом,
a
Предложение 7.4.2. Аксиома конструктивности справедлива
тогда и только тогда, когда каждое множество конструктивно.
Обычная формулировка аксиомы конструктивности — это
утверждение, что каждое множество конструктивно, а только что
приведенное предложение устанавливает, что эта обычная форму-
лировка эквивалентна приведенной в разд. 4.2.
Предложение 7.4.3. (i) Если a < Р, то L (a)cz L (Р) и
L (а) 6 L (р).
(ii) acz L (a) cz R (а) и а £ L (а + 1) \ L (а).
(iii) L (а) — транзитивное множество, т, е, из х £ у £ L (а)
следует, что х £ L (а). Значит, L — транзитивный класс,
(iv) Если а — бесконечный ординал, то | L (а) | = а.
34*
532
Гл. 7. Избранные вопросы
(v) Если а — кардинал, {В, Е) ==(L (а), 0 и (В, Е) —
фундированная модель, то существуют единственное ц и функ-
ция f, такие, что
f (В, Е>^ <L(T]), €>.
(vi) Если х £ L и xcz L (g), то х £ L (| £ |+). В общем случае,
если х g L и х — конечноместное отношение на L (|), то х £
€ L (| £ Г).
(vii) Если а — Да, то L (а) — R (а) П L.
Важным является результат о том, что конструктивный уни-
версум служит «моделью» теории ZF + аксиома конструктив-
ности.
Прежде чем мы сможем установить этот и другие результаты,
мы должны уточнить природу наивной теории множеств (UST),
на которой основаны все наши рассмотрения. До этого момента
мы могли проводить исследование, не делая никаких заявлений
о том, что мы принимаем за UST — теорию множеств ZFC или
теорию множеств Бернайса — Гёделя, или теорию множеств Бер-
найса — Морса. Но результаты, подобные приведенному выше
утверждению о конструктивном универсуме, должны формули-
роваться одним способом, когда UST есть ZFC, и другим, когда
UST есть теория Бернайса — Морса. С этого момента мы будем
считать, что UST является теорией множеств Бернайса — Морса.
Это даст нам возможность изучать модели, универсумы которых
являются классами, а не множествами.
Обычная конструкция упорядоченной пары
(х, у) = {{х}, (х, у}}
не подходит для работы с собственно классами, однако легко дать
другое определение, например
<Х, П = (ХХ {0}) и (У X {1}).
Рассмотрим класс А и двуместное отношение Е на А. Мы
можем образовать модель (Л, Е) языка = {£}. Понятие
выполнимости формулы ср языка Х$ в модели (Л, Е) может быть
определено обычным образом по индукции. Поскольку Л может
быть и собственно классом, то для того, чтобы дать такое опреде-
ление, необходимы аксиомы Бернайса — Морса. Мы можем рас-
пространить на такие модели обычные теоретико-модельные поня-
тия, например
{А, Е) t= <р [alt ап],
{А, Е) < {В, F)
И т. д.
В частности, можно рассмотреть модель (V, 0, где V — класс
всех множеств. Если ф (хп ...» хп) — формула языка Х$ и аг, . . .
7.4. Большие кардиналы и конструктивный универсум
533
ап — множества, то
ф (ап ап) истинна
тогда и только тогда, когда
(У, £> |= ф [а19 ап].
Если ф — формула языка и у — новая переменная, то
Ф<У) будет означать релятивизацию ф по у; при этом необходимо
заменить
(Зя) о на (Зя)(я£уло) и (Уя)о на (Уя) (я С у-^о).
При таких обозначениях видно, что для каждого класса А и
всех а19 ап £ А
Ф(А) (а19 ап) истинна
тогда и только тогда, когда
<Л, О t ф [ах, ап].
Будем писать ZFL вместо
ZF + аксиома конструктивности.
Исходя из этих соглашений, мы теперь можем сформулировать
следующую теорему.
Теорема 7.4.4. (Гёдель.) (i) (L, С) ZFL.
(ii) (аксиома выбора)(Ь).
(iii) (ОКГ)(Ь).
Комбинируя предложение 7.4.3 (vii) с теоремой 7.4.4 (i), полу-
чаем следующий полезный факт:
(из а = 5а следует R (а) = L (a))(L)
Формальное^ доказательство теоремы 7.4.4 может быть про-
ведено в ZF и приводит к следующему результату.
ТЕоремл 7.4.4' (i) ZF Н (ZFL)<L>.
(ii) ZFL H аксиома выбора.
(iii) ZFL Н ОКГ.
Здесь и далее под «формулой» мы будем подразумевать форму-
лу языка {С}.
Пусть А — транзитивный класс. Говорим, что формула
ф(яп ., яп) абсолютна для А, если для всех а19 ап £ А
Ф (а1? ап) ф<А> (an ап).
(Замечание: Можно заменить последнюю строку на
(У, 0 г ф ап] ++ <Л, 6 > ф tan • • an].)
534
Гл. 7. Избранные вопросы
Далее, формула ф (х±, . . хп) является абсолютной для L, если
для всех ах, ап С L
ф («1» Яп) ** <₽(L) (Я1, «п)-
Очевидно, что каждая атомная формула является абсолютной для
L так же, как и для каждого транзитивного класса В. Нас будет
в основном интересовать абсолютность для множеств L (а). Удоб-
ное достаточное условие абсолютности может быть дано с помощью
понятия ограниченной^формулы.
Под ограниченным квантором понимается квантор вида
(Vu g v) или (3u С где и и и — переменные, пробегающие
множества; (Vu £ v) ф означает (Vu) (и g v -> ф) и (Зи £ v) ф
означает (Зи) (и £ v Л ф). Говорят, что ф (ух, vn) — огра-
ниченная формула, если все*ее кванторы ограничены.
Лемма 7.4.5. Пусть ф(у1? уп) — ограниченная формула.
Тогда ф является абсолютной для L, а также для каждого транзи-
тивного класса В (а значит, для каждого множества L (а)).
Доказательство легко проводится индукцией по длине ф.
Используя сокращения, принятые в теории множеств,^мы
можем столкнуться с трудностями, когда имеем дело с понятием
абсолютности. Трудность эта состоит в том, что сокращение может
применяться к двум или нескольким формулам, которые эквива-
лентны относительно ZFG, но логически неэквивалентны; таким
образом, если {В, £ > не является моделью ZFC, то может слу-
читься, что одна из этих формул абсолютна для В, в то время как
другая — нет. Например, рассмотрим сокращение «х = (у, z)»
и две формулы (1) и (2):
(1) (Vu) [и£х ++ (Vy) (у £ и ++ v = у) v
v (Vy) (у С и v = у v у == z)]
или
(2) (3uy) [uga;Ayg^A(Viy)(iy£x->iy = u viy==y) а
ьу£и Л (Уи>) (и>£и-+т = у)л
у z w) (w w ~ у v w ~ z)\.
Эти формулы Логически неэквивалентны, но они эквивалентны
относительно ZFG. Таким образом, «х = (у, z)» может означать
либо (1), либо (2). Формула (2) — ограниченная формула, поэтому
по лемме 7.4.5 она абсолютна для каждого транзитивного клас-
са В. Однако формула (1) не является абсолютной для транзитив-
ного множества В — {0}.
Для того чтобы обойти эту трудность, будем говорить, что
сокращение ф для формулы может быть выражено формулой ф,
если ф есть одна из формул, которую ф обозначает. В этом случае
7 А. Большие кардиналы и конструктивный универсум
535
будем считать, что всякий раз, когда сокращение для формулы
может быть выражено ограниченной формулой, то в качестве сокра-
щения берется ограниченная формула. Следующие примеры пред-
ставляют собой примеры сокращений, которые могут быть выра-
жены ограниченными формулами:
«х cz у»;
«х = (У, z)»;
«х — функция»;
«х — ординал».
Нам также понадобятся следующие весьма специальные резуль-
таты об абсолютности.
Лемма 7.4.6. Предположим, что т] | I |+ Тогда для всех
х g L (ц) (и для соответствующей формулы, определяющей L (Е))
(i) х = L (|), если и только если (х — L
(ii) (х, £) t= о [а1? ап\, если и только если ((х, С)
t= а [л1? &ля 6Сех формул о и аг, ап £ х.
Следует предупредить читателя, что некоторые очень простые
и хорошо известные формулы не являются абсолютными для
L и для L (а), например:
« х есть кардинал»;
« х счетно»;
х = S (у\,
х R (Р).
Теперь мы перейдеАм к первому из основных результатов этого
раздела.
Теорема 7.4.7. П редположим, что существует кардинал Рам-
сея а. Тогда
(i) Существует лишь счетное число конструктивных подмно-
жеств множества со.
(ii) Для любых двух кардиналов р, у, где со < Р < у,
(А(Р), б) < (L(y), £).
(iii) Если у — кардинал, то
({Р р — кардинал и со < р < у}, <)
есть множество неразличимых элементов в {L (у), g).
Доказательство. Нетрудно доказать, что из (ii) сле-
дует (i). Однако мы получим (i) непосредственно из теоремы Роу-
боттома, а затем докажем (ii) и (iii), воспользовавшись теоремой
Силвера.
536
Гл. 7. Избранные вопросы
(i) Пусть U — множество L П S (со) всех конструктивных
подмножеств в со; тогда t/cz L (а). Рассмотрим модель {L (а), £ £7),
Таким образом, | L (а) | = а и | U | 2“ < а. По теореме Роу-
боттома существует элементарная подмодель (В, С? -<
-< {L (a), g, £7), такая, что | В | = а, | V | = со. Найдутся
единственные ц и /, такие, что / (В, {L (rj), £). Так как
| В | = а, | ц | = | L (я) | а, то Т| а. Но каждый ординал
из (В, g ) есть ординал из (В (a), £ >, так что ординалы из (В, С ),
а значит, и ординалы из {L (ц), g) имеют порядковый тип а.
Тогда т] а и, следовательно,
/: (В, О = <£(*), €).
Утверждение «у — конечный ординал» может быть выражено
ограниченной формулой и, следовательно, в модели (В (а), С, U)
выполняется предложение
(V#) (U (х) (Vу) (у £ х -> У есть конечный ординал)).
Поэтому приведенное выше предложение также выполняется
в (В, С, из чего следует, что изоморфизм / отображает V на
£7, а значит, | U | | V | = св.
(ii) Мы можем выбрать вполне-упорядочение <* множества
В (а), такое, что множество В (£) для всех £ < а есть начальный
сегмент в (В (а), <*). Это осуществляется сначала вполне-упоря-
дочением В (1), затем В (2) \ В (1) и т. д. Поскольку В (а) имеет
мощность а и В (£) для всех £ < а имеет мощность | £ | < а,
то порядковый тип <* в точности равен а. Это дает нам модель
Я = {В (а), <*, е>,
вполне упорядоченную по типу а. Из нашего выбора <* видно,
что в ЭД выполняется предложение
(1) (V^ri/) (х С У х < *у).
Это происходит потому, что из х £ У € В (£) следует, что я £ В (т|)
для некоторого ц < £ и что каждое В (ц) — начальный сегмент
модели (В (а), <*).
Используя теорему Силвера, получаем, что существует эле-
ментарная цепь
== ^6» & >0,
со свойствами (а) — (d). Согласно (а),
С4 (а)» £
а, согласно (Ь), ЭД — вполне упорядоченная модель типа со
Используя вновь (а), получаем, что (1) справедливо для ЭД и, сле-
довательно, — фундированное отношение. Поэтому по 7.4.3
7.4. Большие кардиналы и конструктивный универсум
537
существует единственный ординал т] и изоморфизм
Л <Л5, е6) - (L(nO. €>•
Поскольку | L (Q | = | £ | для всех бесконечных £, то
П 6 > I n 5 I I L (Т) 5) I | A t | = (0 6,
а значит, г| $ <о С другой стороны, согласно (1), ординалы
модели ЭД t имеют порядковый тип со £, следовательно, ординалы
модели (Z (т] 0, £) имеют порядковый тип со Но формула
«у есть ординал» абсолютна для L (г| 0. Отсюда вытекает, что
со и, таким образом, = со Следовательно,
(2) /5: <Л5, 65> ~ <Л(®5), 6), | >0.
Мы утверждаем, что
(3) если 0 < £ < £, ТО | л с = /£.
Для того чтобы доказать (3), заметим сначала, что
для b £ А^ a g из b следует b а,
так как из (1) мы имеем Ъ а, а согласно (с), множество А^ есть
начальный сегмент в ОЦ, <$>. Поскольку транзитивно,
fl = {fl (&) ъ €? а}- а € А
Кроме того,
/с (а) = {h (&) : Efcа} = {/с (Ь) :Ь^а}^ а£ А^.
Индукцией по можно показать, что (а) = Л (а) для всех
а £ А^ и отсюда следует (Я).
Объединяя (2), (3) и тот факт, что модели ЭД % образуют эле-
ментарную цепь, заключаем, что
(L (<о^), 0 < {L (<0fc), 0.
Это доказывает (ii).
(iii) Для данных £ > О и 0 < £ < £ пусть иг будет <о^-м
элементом в упорядочении < В нашем доказательстве усло-
вия (ii) вполне-упорядочение <* могло быть выбрано таким обра-
зом, чтобы Р был первым элементом из L (а) \ L (Р) для каждого
ординала Р < а. Поскольку формулы «у есть ординал» и «х £
£ L (у)» абсолютны для L (а), в модели ЭД выполняется
(4) <Уу)\У есть ординала (Уя)(я<*^^яб£ (#))].
Тогда (4) также выполняется и в ЭД Кроме того, для любых
О <С £< £, а £ А % следующие три условия эквивалентны
а £
/fc(a)e^((Ofc),
afct=«eA(/fc4^)).
538
Гл. 7. Избранные вопросы
Таким образом, согласно (4),
а £ А^, если и только если а /j1 (<о^).
Это означает, что /j1 (со^) есть со^-й элемент в упорядочении
О5, т. е.
Л («с) = ws.
Условие (d) теоремы Силвера утверждает, что множество
<{ut:0<g<a <?>
неразличимо в ЭД Согласно (1), тогда и только тогда,
когда £ < ц. Отсюда следует, что
<{(0с о<£<|}, €>
неразличимо в модели {L (со^), Это доказывает (iii). —|
Теорема 7.4.7 весьма примечательна, так как она показывает,
что из предположения о существовании большого кардинала (кар-
динала Рамсея) следует нечто новое о множествах натуральных
чисел. Конечно, даже из существования недостижимого кардинала
а > со вытекают теоретико-числовые факты, например что «ZF
непротиворечива». Однако теорема 7.4.7 более впечатляющая,
так как здесь из аксиомы бесконечности следуют интересные
и неожиданные с точки зрения математики факты о множествах
действительных чисел.
В теореме 7.4.7 содержится кое-что и о модели (L, £).
Следствие 7.4.8. Предположим, что существует кардинал Рам-
сея. Тогда
(i) {L (Р), О -< (L, £) для всех кардиналов р >>со.
(ii) Существует формула ф (u, v) языка Х^, такая, что для
всех и и v
ф (и, v), если и только если «и есть формула языка Х$,
v g L и {L, £) и [р]».
(iii) Если ф (0 есть формула языка Х$ и (L, £) 1= (30 ф,
то существует счетное множество х g L (сох), такое, что {L, £ )
t= Ф [я].
(iv) Пусть С — класс всех несчетных кардиналов. Тогда
(С, <) есть класс неразличимых элементов в {L, £}.
Доказательство, (i) По теореме 7.4.7 (ii) модели
{L (Р), £>, где Р — кардинал >со, образуют элементарную цепь.
Объединение этой цепи есть {L, £). Доказательство теоремы об
объединениях элементарных цепей для этого случая проходит,
поэтому
<L(p), £><<£,€>.
7.4. Большие кардиналы и конструктивный универсум 539
(ii) Пусть ф (u, и) — следующая формула: «и есть формула
языка Х$ и существует кардинал р > со, такой, что v g L (Р) и v
удовлетворяет и в (L (Р), £>». Тогда из (i) следует, что ф (u, и)
обладает требуемым свойством.
(iii) Если (L, £) t= (3z;) <р, то, согласно (i), (L (o)i), О t=
t= (Зг) ср и, следовательно, существует х £ L (a>i), такой, что
(L (coj. g) <p Ы. Вновь используя (i), получаем (L, t=
1= ф Ы. Поскольку x £ L (coj, to xcz L (E) для некоторого co
I < (ox. Таким образом, | x | | L (£) | = | Е | = со, и, сле-
довательно, х счетно.
(iv) Пусть ах < < ап и pj < < Рп — возрастающие
п-ки несчетных кардиналов, и пусть у — такой кардинал, что
ап < У» Рп < ?• По теореме 7.4.7 (iii)
(L (у), G, а1? ап) == <£, (у), G Рп Рп >•
Тогда, согласно (1),
(L, 6, ах, ап> = {L, е, Рп>. ч
Теорема 7.4.10 полностью решает проблемы 7.3.1—7.3.3 в пред-
положении, что справедлива аксиома конструктивности. Сле-
дующая лемма позволяет решить все три проблемы одновременно.
Лемма 7.4.9. Пусть а — кардинал, и пусть
(i) Для любого кардинала р а, если (В, £) X (L (а), £)
и | В | = р, то L (P)cz В. Тогда справедливо каждое из следующих
утверждений:
(ii) {L (а), С) есть модель Йонссона мощности а.
(iii) Для любых кардиналов б < Р < а и б < у а гипо-
теза Чэна не верна для пар (а, р), (у, 6).
(iv) Для любого кардинала р < а, существует вполне упорядо-
ченная модель типа а, которая не имеет элементарной подмодели
типа р.
Доказательство, (ii) выполняется, если р — а. Для
(iii) рассмотрим модель 21 (L (a), L (р), £ > типа (а, р.) и пред-
положим, что существует модель 58X21, 5В (5, V, типа
(у, 6). Тогда У = В 0 L (Р). Согласно (i), L (у) cz В, Если у
Р, то L (y)cz L (Р) и, следовательно, L (y)cz У, что противоре-
чит условию | У | — 6 С у. Аналогично, если р у, то L (Р)с= В
и, следовательно, L (P)cz У, а это противоречит условию | У | =
<5 <1 р. Таким образом, не существует 23 X 21 типа (у, б).
Для того чтобы доказать (iv), выберем вполне-упорядочение
<* множества L (а) порядкового типа а, такое, что L (Р) есть
начальный сегмент. Тогда {L (а), <*, С, Р> — вполне упорядо-
ченная модель типа а. Здесь Р — константа модели. Предполо-
жим, что (В, <*, €, р> X (Ь (а), <*, €, Р > — элементарная
подмодель типа р. В этом случае | В | = р, так что из (i) следует,
540
Гл. 7. Избранные вопросы
что L (Р)с: В. Но тогда элемент [3 L (Р) имеет Р предшествен-
ников, поэтому (В, <*, С, р) не может иметь типа р. Таким
образом, {L (а), <*, 6, Р) не имеет элементарных подмоделей
типа р. Н
Теорема 7.4.10. Предположим, что справедлива аксиома
конструктивности. Тогда условия (i) — (iv) леммы 7.4.9 выпол-
няются для всех кардиналов а.
Доказательство. Согласно лемме 7.4.9, достаточно
доказать (i). Для доказательства предположим, что (i) не верно,
и это приведет нас к противоречию. Итак, предположим, что
существуют кардиналы а >р и модель {В, Е > < (L (а), Е > мощ-
ности | В | = р, такие, что не имеет места L (Р)с= В. Поскольку
{В, Е) — вполне упорядоченная модель, то существует единст-
венный ординал 1] и изоморфизм
/: (В Сп), Е> = <5, Е>.
Следовательно, / — элементарное вложение
/: (В Сп), Е> < а (а), €>.
Имеем
| т] | = | L (т|) |' = р, а значит, т] > Р-
Для любой ограниченной формулы ср (и1? i?n) и любых
j:i, хп е L (т))
(1) (р (хх, хп) тогда и только тогда, когда
Ф (/ (*i), f (*п))т
так как ограниченные формулы являются абсолютными для L Сп)
и L (а). Кроме того, согласно лемме 7.4.6, для всех |ы < р имеем
(2) / (L (И)) = L (f (р)).
Действительно, следующие условия эквивалентны:
х = L (|1),
(о: L (H))(LO1)\
(/ (х) = £(/ (ц))/**”,
f(x) = L (/ (И)).
Так как L (Р) не является подмножеством В, то существует х Е
Е L (р), такое, что f (х) х. Пусть | — наименьший ординал,
такой, что
(3) / (х) =# х для некоторого х Е + 1).
7.4. Большие кардиналы и конструктивный универсум
541
Ординал (3 предельный, поэтому | < [3. В действительности (3
есть кардинал, значит,
(4) I I Г < 0 < П-
Из равенства L (£) = U L (v + 1) следует, что
(5) / (х) = х для всех х g L (В).
Таким образом, £ есть наибольший ординал, удовлетворяющий
условию (5)» Мы утверждаем, что
(6) /(£)>£-
Для доказательства (6) предположим, что / (В) В- Из (5) и того
факта, что / — одно-однозначное отображение, следует / (В)
поэтому f (В) = Из (4) видно, что L (5) Е L (-q). Пусть х Е
g L (В + 1). Тогда существуют формула ф (u, vn)
И г/1, уп £ L (В), такие, что
(7)
X = {z cz £ (В) ф(^) (Z, уп Уп)}-
Утверждение
я = О с и Чт&Уп Уп)}
ограниченное, так что, согласно (1),
(8) f (X) = {z е f (L (В)) ф(/(Ь*))> (2, / (yj, / (Уп))}-
Но, в силу (2), / (L (В)) L (j (В)) = L (В) и, согласно (5),
/ (У1) Ун •> f (Уп) = Уп- Из (7) и (8) следует, что f (х) = х.
Но х был произвольным элементом L (В + 1), что противоречит (3).
Отсюда заключаем, что / (5) >В, т. е. (6) справедливо.
Мы имеем £ >о>, потому что для каждого р со существует
ограниченная формула ф (р), такая, что р является единственным
множеством, удовлетворяющим ф (р), следовательно, f (р) — р.
Из (4) вытекает также, что
(9) 5 (|) П L с L (rj).
До этого места мы в доказательстве не использовали аксиомы
конструктивности. Воспользовавшись ею, легко убедиться, что
из (9) следует S (^)cz L (т]). Пусть
D {* 6 S (£) В 6 / (х)}.
Докажем, что D есть неглавный ^-полный ультрафильтр над В-
По существу это результат упражнения 4.2.4. но мы дадим здесь
его прямое доказательство. Заметим, что формулы х = 0, z ==
= х П у, z = # ограниченные. Таким образом, f (0) = 0,
поэтому ? Е / (0) и 0 (J D. Кроме того, для всех х, у из х f D
следует, что g Е f(^) и | Е/ (у)- Поэтому В Е / (4 П f(y) =
542
Гл. 7. Избранные вопросы
— / (х П у) и х (1 у € D. А для всех xczl Е, из х $ D сле-
дует | / (х). Отсюда I Е / (Е) \ f (х) = f (£ \ х), Е \ х £ D.
Следовательно, D — ультрафильтр, D — неглавный ультрафильтр,
так как для всех £Ё£
так что {£}$Р. Для доказательства того, что D является ^-пол-
ным, предположим, что £Е1 и {хп : л £ £} cz D. Здесь мы сталки-
ваемся с некоторой трудностью, так как неясно, верно ли, что
{хп :л££)€Цт\). Однако мы ее обойдем, полагая
г = {(л, н)Е£х£: цЕ^л}.
Тогда r£L(r\). Каждое хп принадлежит L (т]) и
ц)Ег} = хяЕ^.
Формула v = {р g Е (л, р) Е г} ограничена. Следовательно, для
всех л < £
^/(*Л) = {нЕ/® (Ж, Н>€/(г)} =
= {Н€/(В)
откуда (л, £)£/(г). Таким образом,
1Е{н€/(В) (VnC£)(n,
Поскольку формула v = {р £ £ (V л Е £) (л, р) Е г} также ограни-
ченна, то
/<п *«) = /({н€£ H>€r}) = z.
л<£
Отсюда
Q хя Е D.
л<£
Итак, мы показали, что £ — измеримый кардинал >со. Но по
теореме Скотта 4.2.18 это противоречит аксиоме конструктив-
ности. —4
Если переформулировать теорему 7.4.10 в контрапозитивной
форме:
если условие (i) не верно, то не верна и аксиома конструктив-
ности,
то оба ее предположения и заключение окажутся слабее, чем пред-
положения и заключение теоремы 7.4.7. В духе результатов
разд. 7.3 можно показать, что если а — кардинал Рамсея, то
условия (ii)—(iv) не выполняются и, значит, не имеет места и (i).
Кунен недавно доказал теорему, которую можно считать
решающей в этом направлении:
7.4. Большие кардиналы и конструктивный универсум
543
7.4.11. Если не выполняется любое из условий (i)—(iv), то все
заключения теоремы 7АЛ и следствие 7.4.8 выполняются.
(На самом деле достаточно показать, что если (i) ложно,
то следствие 7.4.8 (iv) выполняется.)
Таким образом, из более слабого предположения следует более
сильное заключение. Доказательство этого результата объединяет
методы предшествующих и настоящего разделов с обобщением
конструкции итерированного ультрапроизведения из разд. 6.5.
Хотя многие средства, необходимые для его проведения, уже
нами введены, мы не приводим это доказательство из-за его гро-
моздкости. Докажем последний результат, касающийся проб-
лем 7.3.1 —7.3.3 и конструктивного универсума.
Теорема 7.4.12. Допустим, что не существует ординала
Е > со, такого, что
(£ — слабо компактный кардинал)^.
Тогда выполняются условия (i)—(iv) леммы 7.4.9.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что (i) не верно. Пусть
/: <L(n), О < Е>
и £ такие же, как и в предыдущем доказательстве. Покажем сна-
чала, что (£ — недостижимый кардинал)<ь>. Легко проверить,
что £ — достижимый кардинал, если и только если
(1) существуют £ < £, у a % и га £ X у, такие, что у конфинален
в <|, <) и для всех р, л Е у из р #= л следует {v: r(v, р)} Ф
Ф {v: г (v, л)}.
Обозначим через ср (£, у, г) ту часть условия (1), которая нахо-
дится под кванторами; формально
(V z G ё) (3 L4C г/) [z £ zzj л (V л£1/)[ц^л^
“I (Vv Е £) [(3 5 Е г) (s = (V, р)) (3 s Е г) (s = (V, л»]].
Заметим, что в ср все кванторы ограниченные. Отсюда следует, что
ф абсолютна для L. Предположим, что (| — достижимый карди-
нал)(Ь). Тогда найдутся такие £ Е У € S (%) (] L, г £ S X у) (]
П L, что
Ф(Ь) (£, 5, У, г).
Воспользовавшись абсолютностью, получаем
Ф (£, £, у, г).
Так как | £ |+ то у Е L (y]) и г Е L (y]). Следовательно, как
было показано в предыдущем доказательстве,
Ф (/ (С), / (£)» / (у), / (г)).
544
Гл. 7. Избранные вопросы
Но / (С) = С, поэтому
(2) Ф (£, / (£), / (у), f (г)).
Из (2) следует, что / (у) конфинально в / (?) и, следовательно,
существует |К/(?)с^циц6 / (у). Пусть
(3) z = {v £ ?: (v, р. > 6 f (г)}.
Заметим, что / (л) — л для всех л £ ? и л £ у, если и только если
f (л) € / (у); следовательно,
(4) у = f (у) П
Для всех л £ / (у) |~| ? имеем л =/= р, и, таким образом, из (2)
и (3) следует, что
(5) z У= {v 6 ?: <v, л> е / (г)}.
Тогда
zc/(z), / (z) с f (?) = ?,
(? - z) с f (? - z) = f (?) - f (z) = ? - f (z)
и, следовательно, z = f (z). Таким образом, из (3) и (5) соответ-
ственно, используя (4), получаем
(3pCy)(z = {v£? : (v, р) 6 г}),
(Vn£y)(z#={v€? (V, л)£г}).
Но это противоречит нашим предположениям. Значит, (| — недо-
стижимый кардинал)(Ь\
Для того чтобы показать, что (£ слабо компактен)<ь\ восполь-
зуемся характеристикой слабой компактности, приведенной
в упр. 4.2.2 (iii). Там говорилось, что кардинал р слабо компактен
в том и только том случае, когда он недостижим и каждая модель
вида
<я(Р), е, sn>
имеет собственное элементарное расширение
<С, Е, Тъ Тп>,
такое, что
с g С, Ь g R (Р), из сЕЪ следует с g R (Р).
Заметим, что поскольку недостижим)(£), то (£ ЗЦ)<Ь); отсюда
(Л (?) L (?))(Ь).
Кроме того, используя лемму 7.4.6, получаем
/ (L (?)) = L U (?)).
7,4. Большие кардиналы и конструктивный универсум
545
Рассмотрим модель 23 Е L вида
23 <£(£), E,Si, 5П).
Тогда Sn £ L. Так как 51? Sn — конечноместные
отношения на L (£), то они все принадлежат L(| £ |+). Отсюда
23 € L (| Z |+) и 23 € L (т]). Теперь рассмотрим модель
f (23) </(£(£)), Е, f (SJ,
Принимая во внимание, что / — элементарное вложение {L (г]), g)
в {L (а), Е \ получаем для каждой j^-формулы ф (р1? . рп)
и хп Е L (£) эквивалентность следующих условий:
(9St=<p[x-1) £n])(L),
<Ь (я), € > t= (S3 t= <р [яч, a:n]),
{L (a), 6) t= (/ ($8) 1= <p [f (^), .., f (xn)l),
(/(93) t= Ф , f (*n)])(L>.
Это так, поскольку утверждение «23 t= <р Lrv zn]>> абсо-
лютно согласно лемме 7.4.6 (ii). Но / (xj) = х1, ., / (хп) = хп.
Следовательно, ($8 -< f (23))<L)- С другой стороны, go: L (|) и,
значит, | 6 /(£)<=/ (Л (£)), поэтому % £ / (L (£)). Но £ $ L (£).
Отсюда вытекает, что
(/ (98) — собственное элементарное расширение 2S)(L).
Если у (L (£)), z Е L (£) и у Е z, то у Е L (£), так как L (g)
транзитивно. Таким образом, / (23) обладает нужным свойством. —{
Следствие 7.4.13. Если существует кардинал Рамсея, то суще-
ствует счетный ординал р > со, такой, что
(Р — слабо компактный кардинал)^
Доказательство. По теореме Роуботтома не суще-
ствует модели Йонссона мощности а. Тогда по теореме 7.4.11
существует ординал £ ><о, такой, что
(£ — слабо компактный кардинал)<ь\
Заключение вытекает теперь из следствия 7.4.8 (ii).
Упражнения
7.4.1. Покажите, что следствие 7.4.8 (i) можно переформули-
ровать в виде следующей теоремы о ZFC:
Пусть ?! {А, Е) будет моделью для ZFC + «существует
кардинал Рамсея». Пусть
{а Е А : ЭД t «а Е £»},
ЭД |zz «р — кардинал >* со»
35 г. Кейслер, . Ч. Чэн
546
Гл, 7. Избранные вопросы
И
Тогда
L (0)я = {а е А: й 1= «а £ L (0)»}.
(Ь(0)Я Е} < (L«, Е}.
Дайте аналогичные формулировки для условий (iii) и (iv) того же
следствия.
7.4.2 *. Предполагая, что существует х (со^ (упр. 7.3.23), дока-
жите заключение теоремы 7.4.7.
[Указание: Используйте лемму 7.3.20 или упражнение 7.3.33
вместо теоремы Силвера.]
7.4.3. Допустим, что существует кардинал а и вполне-упоря-
дочение < * для L (а), такое, что в модели (L (а), < *, Е) выпол-
няются условия (1), (4) из доказательства теоремы 7.4.7, и пусть
эта модель имеет несчетное множество неразличимых элементов.
Покажите, что заключения теоремы 7.4.7 верны.
7.4.4*. Допустим, что класс кардиналов >>со неразличим в мо-
дели (L, £) (т. е. выполнено условие 7.4.8 (iv)). Пусть — мно-
жество всех формул <р (рх, vn) языка Х^ таких, что (L, £ > Е=
t= ф [©!, соп]. Здесь <»!, <оп употребляются в обычном
смысле, а не в смысле L. Докажите, что O# (f L.
[Указание: Пусть а кардинал > х©. Тогда 0# также есть мно-
жество всех формул ф (Pi, ., рп) языка Х^, такое, что (L (а),
Е) 1= ф [(01, <оп]. Используйте тот факт, что существует
вполне-упорядочение < * для L (а), которое определимо в {L (а),
Е> и таково, что в {L (а), Е> выполняются условия (1), (4) из до-
казательства теоремы 7.4.7.]
7.4.5. Условие (iv) следствия 7.4.8 влечет за собой условия (i)—
(iii) этого следствия.
[Указание: Используйте упражнение 7.4.3.]
7.4.6. Допустим, что а — кардинал Роуботтома. Тогда для
каждой формулы ф (у) языка Х^ такой, что (L (а), Е) 1= (Э10 Ф (у),
существует счетное х Е L (ан), такое, что {L (а), Е > Ф Ы-
В частности, если а то существует счетное множество кон-
структивных подмножеств множества (о.
7.4.7. Допустим, что а coj и гипотеза Чэна верна для (а, сох),
(а>1, со). Тогда множество конструктивных подмножеств множе-
ства со счетно.
[Замечание: Из упражнений разд. 7.3 видно, что если гипотеза
Чэна верна для некоторой пары (а, р), (у, со), а Р > со, а
^у >со, то она верна и для (a, (D-j, (g>j, со).]
7 А. Большие кардиналы и конструктивный универсум
547
7.4.8 *. Допустим, что а — кардинал и каждое счетное под-
множество из а конструктивно. Тогда справедливы условия (i) —
(iv) леммы 7.4.9.
[Указание'. Доказательство этого упражнения подобно доказа-
тельству теоремы 7.4.10, но надо доказывать, что £ есть кардинал
Рамсея вместо того, чтобы доказывать измеримость кардинала
7.4.9. Если у — недостижимый кардинал, то (у — недостижи-
мый кардинал)<ь\
7.4.10 *. Если у — слабо компактный кардинал, то (у слабо
компактен)<£).
[Указание: Из предыдущего упражнения следует, что (у — не-
достижимый кардинал)^). Таким образом, (7? (у) = L (y))(L).
Пусть у >со. Рассмотрим конструктивную модель ЯЗ — {L (у),
Е, iSx, Sn). Возьмем кардинал а >у и выберем элементар-
ную подмодель ® -< (а), мощности у, такую, что ycz С,
У € С, ЯЗ 6 С. Тогда 6 (L (ц), Е > для некоторого Т]. Из слабой
компактности вытекает существование 6 и элементарного
вложения /: {L (ц), £> -< {L (б), Е\ такого, что у есть наимень-
ший ординал / (у) у= у. Теперь нужно использовать метод теоре-
мы 7.4.11, чтобы доказать существование в конструктивном уни-
версуме / (ЯЗ) элементарного расширения модели ЯЗ требуемого
вида.]
7.4.11*. Пусть /: (L (т]), < (L (а), О, а — кардинал, £ —
наименьший ординал, такой, что f (|) =/= £ и | £ |+ т] (см. дока-
зательство теоремы 7.4.11). Тогда
(£ П?-неопределим)<ь>.
(Понятие Пд-неопределпмого кардинала введено в упр. 4.2.19.)
Если к тому же а — предельный кардинал, то
(£ неопределим)^).
Аналогичное заключение справедливо, если /: <L, g> -< (L,
и | — наименьший ординал, такой, что / (£) £.
7.4.12*. Допустим, что класс С всех несчетных кардиналов
неразличим в (L, Е ). Тогда для каждого кардинала а > со суще-
ствует элементарное вложение /: (L, Е) < (L, Е \ такое, что а
есть наименьший ординал, для которого f (а) =^= а. Следовательно,
(а слабо компактен)<ь)
и
(а неопределим)^).
[Указание: Используйте тот факт, что существует функция F,
определимая в (L, Е) и такая, что для (£, Е) выполняются утверж-
35*
Гл. 7. Избранные вопросы
дения (1) — (4) из доказательства теоремы 7.4.7. Таким образом,
(L, £) имеет определимые скулемовские функции и скулемовское
замыкание класса С изоморфно <L, £). Далее используйте теорему
об элементарном вложении для неразличимых элементов, т. е.
тот факт, что любое изотопное вложение класса неразличимых
элементов в себя порождает элехментарное вложение ft {L, £) -<
< е>.]
7.4.13**. Предположим, что /: (L (?]), £) < {L (а), Е), а — кар-
динал, 5 — наименьший ординал, такой, что /(£)=/=£ и | £ |+
т). (Предположения те же, что и в упр. 7.4.11.) Тогда существует
элементарное вложение
/: (L, О < (L, £),
такое, что | есть наименьший ординал с f (£) У= £.
[Указание: Рассмотрите «ультрастепень» f[ (£, £). Пусть
D {x^L П 5(g): U/ &}.
Заметим, что D $ L. Пусть элементы из [J (Л, будут классами
D
эквивалентности конструктивных функций g £ *£. Покажите, что
ультрастепень фундирована и, следовательно, изоморфна (А, £).
Пусть / — композиция естественного вложения и этого изомор-
физма. Это упражнение есть первый шаг в доказательстве теоремы
Купена 7.4.11.]
7.4.14. Используя упражнения 7.4.12 и 7.4.13, покажите, что
если
(не существует недостижимого кардинала)(£),
то условия (i) — (iv) леммы 7.4.9 выполняются.
Из указания для упражнения 7.4.12 видно, что существует
формула х < * г/, такая, что следующие формулы являются тео-
ремами в ZFL:
(V^)(z б У~+ % < * #),
(Va) (L (а) вполне упорядочивается посредством <С* );
(Va) (L (а) есть начальный сегмент для < *).
Используя < *, можно определить скулемовские функции
в ZFL. Для следующей проблемы мы будем использовать форму-
лы, содержащие < * и скулемовские термы, в качестве сокращений
для формул, которые определяют их в ZFL.
7.4.15*. Допустим, что класс всех несчетных кардиналов нераз-
личим в (L, О, и пусть 0# — множество всех формул языка
определенных в упр. 7.4.4. Покажите, что O# есть единственное
множество 2, такое, что
7.4. Большие кардиналы и конструктивный универсум
549
(1) S — максимальное непротиворечивое множество формул
языка Х^.
(2) Все аксиомы ZFL принадлежат 2.
(3) Все Уэ-формулы (i) — (iii) леммы 7.3.19 принадле-
жат 2.
(4) Все формулы языка Х^ вида
Vn<7 (У 1? • 5 ^П + 1, • • • » ^тп)
(^1? • ? + й • • • 1 ^т)
принадлежат 2.
(5) Все формулы языка Х$ вида
ф (^гр • • • , ф (^’р • ? yjn)’ <0^
х ft X /I
/1 < < in
принадлежат 2.
(6) Для любого вполне-упорядочения <Z' множества со модель,
порождаемая множеством (со, </) неразличимых элементов,
возрастающие последовательности которых удовлетворяют 5, впол-
не упорядочивается посредством <*
[Замечание: Оказывается, что при соответствующей гёделев-
ской нумерации формул языка Х$ условия (1) — (6) могут быть
представлены в виде Щ-формулы над CR (<о), О (т. е. универ-
сально-экзистенциальной формулы исчисления второго порядка).
Отсюда следует, что утверждение ср £ 0# есть AJ, т. е. может быть
определено как Щ-формулой, так и 2£-формулой в (R (со), £).
Известно, что это будет наипростейший возможный вид некон-
структивного множества в 2- и П-иерархии. Соловей показал, что
если ZF непротиворечива, то непротиворечива и теория
ZF + «существует неконструктивное AJ-множество».]
7.4.16*. Допустим, что класс кардиналов > со неразличим
в (L, f), и определим О#, как и прежде. Пусть М — транзитивное
множество или класс, такой, что (М, g) ZFC, См = {а £ М:
(М, Ota — кардинал >со} и
{х £ М: (М, £) х £ L}.
Докажите, что если 0# £ М, то <СМ, <) есть множество неразли-
чимых элементов в (Ьм, £). Отсюда вытекает, что все заключения
следствия 7.4.8 справедливы в (Л/, £) (согласно упр. 7.4.5). Это
означает, что, вложив множество 0# натуральных чисел в модель,
мы можем считать каждый определимый элемент из (L, £ ) счетным!
7.4.17* Конструкция Гейфмана. Пусть а > со— измеримый
кардинал, и пусть D — a-полный неглавный ультрафильтр над а.
Вспомним конструкцию итерированной ультрастепени из разд. 6.5.
550
Гл. 7. Избранные вопросы
Для каждого ординала р пусть
Еъ = X D
(Р,»
— ультрафильтр, образованный итерацией D р раз с обратным
к вполне-упорядочению упорядочением. Докажите, что
(i) Итерированная ультрастепень | ] (L, £) фундированна и
изоморфна {£, £).
(ii) Для каждого у 6 Р пусть d{y}: [] ^. О < П О —
D Ер
естественное вложение. Пусть & £ [] <£, — класс эквивалент-
D
ности функции равенства на а. Тогда элементы множества
{^{у} (^): У € Р} неразличимы в [] (L, С) (с очевидным упорядо-
чением). Отсюда следует, что <2, g) имеет неразличимые эле-
менты.
7.4.18*. Обобщите теорему 7.4.7 (ii) до следующего вида.
Предположим, что существует кардинал Рамсея а. Тогда для
любых трех бесконечных кардиналов а < Р < у, где Р и у регу-
лярны. имеем
(L(p), О < а<£(у), О-
(<а означает элементарную подмодель в смысле языка с бес-
конечными формулами, введенного в гл. 4). В частности,
(L ((02)» О *ХС01 Ту, £ ).
Этот результат может быть улучшен в духе упражнения 7.4.2.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ТЕОРИЯ^МНОЖЕСТВ
В начале данного приложения будет развита интуитивная (на-
ивная) теория множеств, необходимая для теории моделей. Наша
цель — зафиксировать понятия и одновременно изложить не-
сколько основных результатов об ординалах, трансфинитной индук-
ции и кардиналах. Это должно заполнить разрыв между теми
сведениями из теории множеств, которые используются в самых
различных областях математики, и несколько большим объемом
сведений, использующимся в теории моделей.
Последняя часть этого приложения содержит формальные спи-
ски аксиохм для четырех аксиоматических теорий множеств: Цер-
мело, Цермело — Френкеля, Бернайса и Бернайса — Морса.
Пустое множество будет обозначаться через 0 (или, иногда,
через 0). Множество всех таких х, для которых выполняется усло-
вие <р (х), если таковое существует, обозначим через {х\ ср (я)}.
Множество всех элементов множества X, которые не являются
элементами множества У, обозначим через Х\У Мы будем пи-
сать У cz X, если У есть подмножество множества X, включая
возможность У = X. Для объединений и пересечений используются
обычные обозначения. Упорядоченная пара х и у определяется так:
у'> = {О}, {*» г/}}-
Упорядоченная п-ка определяется по индукции:
{х) = х, {х1ч
^п+1
( {Х-^ъ
Декартово произведение X х У есть множество
ных пар (я, у}, где х £ X, у £ У, и
Л ^п+1 '•
всех упорядочен-
Xi X X Хп X Хп4~1 — (Х^ X X Хп) X Хп+^.
Под п-местным отношением (предикатом) на X понимают
некоторое подмножество Xя; под функцией понимают много-одно-
значное двуместное отношение.
Если / — функция и <#, #> £ Л то мы пишем у — f (х) или
у = fx. Если R является n-местным отношением, то иногда мы
пишем R (#!, ., хп) вместо {хг, . ., хп) g R. Если R — дву-
местное отношение, то вместо (л:, у) £ R пишем xRy. Будем гово-
рить, что f является функцией из X на Y, если X есть область
552
Приложение А
определения функции / (в обозначениях domain (/)), а У — область
значений функции / (в обозначениях range (/)); / есть функция из
X в Y, если X = domain (/) и range (/) cz У Ограничение функ-
ции f на множество У, Уcz domain (/) записывается так: / | У
По определению п-арная операция на X есть функция из Хп в X.
Множество всех функций из X в У обозначим через XY В частно-
сти, °Х {0}. Декартово произведение семейства множеств
{Xi*, i С 1} обозначается через [] Aj и определяется как множе-
iei
ство всех функций /, определенных на I и таких, что /(0 С Хг
для каждого i £ I
Отношение эквивалентности на множестве X есть двуместное
отношение R на X, которое рефлексивно (т. е. для всех х g X
имеет место xRx), симметрично (т. е. xRy влечет yRx) и транзи-
тивно (т. е. xRy и yRz влекут xRz). Частичное упорядочение множе-
ства X есть двуместное отношение R на X, которое рефлексивно,
транзитивно и антисимметрично (т. е. из xRy и yRx следует х =
= у). Линейное упорядочение множества X есть частичное упоря-
дочение R этого множества, которое является связным (т. е. для
всех х, у £ X либо xRy, либо yRx). Вполне-упорядочение множе-
ства X есть линейное упорядочение R этого множества, обладаю-
щее тем свойством, что каждое непустое подмножество У множе-
ства X имеет наименьший элемент (т. е. такой элемент у £ У, что
yRz для всех z £ У). Строгое вполне-упорядочение множества X
есть двуместное отношение R на X, которое иррефлексивно (если
х g X, то не имеет места xRx) и такое, что рефлексивное отноше-
ние R J {(х, хУ. х g X} есть вполне-упорядочение множества X.
Легко видеть, что если X (строго) вполне упорядочено отноше-
нием 7? и У с X, то У (строго) вполне упорядочено отношением
R А У х У
Каждое семейство множеств X частично упорядочено отноше-
нием включения cz. Множество X называется цепью, если оно
этим отношением cz линейно упорядочено, и называется вполне
упорядоченной цепью, если оно им вполне упорядочено. Две цепи
X, У называются изоморфными, если существует одпо-однознач-
ная функция /, называемая изоморфизмом из X на У такая, что
для всех х, у £ X из х cz у следует f (х) cz / (у).
Рассмотрим теперь ординальные числа, или ординалы. Орди-
нал есть множество а, такое, что с а и а строго вполне упоря-
дочено отношением £. Для обозначения ординалов мы, как пра-
вило, используем малые греческие буквы. Конечно, приведенное
определение ординалов весьма искусственно, хотя в настоящее
время оно является довольно стандартным в литературе. Интуи-
тивно ординал естественно воспринимать не как множество, а как
тип вполне-упорядочения. Наше определение ординала как мно-
жества определенного сорта является просто удобным приемом.
Теория множеств
553
Однако оно упрощает обозначения. По этой причине мы приняли
довольно искусственные определения упорядоченных пар и функ-
ций. (Если бы мы пожелали все изложить более естественным
образом, то нам пришлось бы начать не с одних только множеств,
а вводить вместо них разного рода базисные объекты.) Основные
факты об ординалах мы постараемся изложить аккуратно таким
образом, чтобы было видно, что они ведут себя именно так, как
мы хотели бы.
А.1. Каждый элемент ординала есть ординал.
Доказательство. Пусть а — ординал и х £ а. Если
у £ х, то у £ U а, так что у С а. Следовательно, х с а и отсюда
вытекает, что х строго вполне упорядочено отношением С- Пока-
жем сейчас, что или? другими словами, что из z £ г/, у £ х
следует z £ х. Пусть z £ у, у С Так как [Ja cz а, то у g а и, зна-
чит, z f а. Отношение £ транзитивно на а; отсюда z £ х. Н
А.2. Если a, Р — ординалы, то a cz Р в том и только том слу-
чае, когда а С Р или а = р.
Доказательство. Если a £ Р, то a cz [J р, и так как
Up cz р, то a cz р.
Предположим, что a cz Р и а У= р. Пусть у — наименьший
элемент непустого множества Р\а. Чтобы показать, что a С Р>
мы докажем, что а = у. Если б £ у, то б £ Р и, поскольку у —
наименьший элемент в р\а, то б £ а. Следовательно, уса. Пусть
теперь б £ а. Так как a cz р, то б £ р. Ординал р строго вполне
упорядочен отношением и, значит, либо у £ б, у б, либо
б £ у. Так как у (J а и б £ а, го у =# б и у $ б. Следовательно,
6 £у. Это показывает справедливость включения a cz у, что и за-
вершает доказательство. —|
Комбинируя два предыдущих результата, мы приходим к сле-
дующему :
А.З. Каждый ординал а является вполне упорядоченной цепью.
Следующий результат является существенным усилением А.З.
А.4. (i) Каждое множество ординалов строго вполне упорядо-
чено отношением С»
(ii) Каждое множество ординалов является вполне упорядочен-
ной цепью.
Доказательство. Так как (i) очевидным образом сле-
дует из (ii) и А.2, мы докажем только (ii).
554
Приложение А
Пусть X — множество ординалов. Тогда отношение с частич-
но упорядочивает X. Предположим, что а, р £ X. Если неверно,
что (J cz а, то существует наименьший ординал у £ р\а. Так как
5 Е у влечет за собой б g (3 Q а, то у cz а. Но у $ а, так что по А.2
у = а. Следовательно, а £ (3, и отсюда а cz [3. Это показывает, что
отношение cz является связным на X и, таким образом, cz ли-
нейно упорядочивает X.
Пусть Y — непустое подмножество множества X. Рассмотрим
а 6 У
Случай 1. а Q Y = 0. Пусть р £ У; тогда р $ а. Кроме того,
а cz р или р с: а. Если р cz а, то Р = а. Следовательно, а являет-
ся наименьшим элементом в У
Случай 2. а П У 0. Тогда а f] У имеет наименьший эле-
мент у. Мы имеем у П У = 0, так как если б^уПУ, тоб^а^У
и б £ у, что противоречит нашему выбору у как наименьшего эле-
мента варУ Так как у Г| У = 0, из случая 1 вытекает, что у
является наименьшим элементом в У Следовательно, cz: вполне
упорядочивает множество X. —|
Теперь, когда мы показали, что ординалы строго вполне упо-
рядочены отношением £, мы будем обычно писать а < р вместо
а € Р и а р вместо а £ р или а = р.
Напомним еще раз, что
а < р означает в точности то же, что и а £ р.
Заметим, что в А.1 утверждается, что каждый ординал а равен
множеству всех меньших ординалов, а = {Р : р < а}. Кроме того,
А.2 утверждает, что a cz р, если и только если а р.
Первые три ординала таковы: 0, 1 = {0}, 2 = {0, {0}}. Орди-
нал а + 1 = а (J {а} называется последователем ординала а;
а + 1 есть наименьший среди ординалов, строго больших, чем а.
Ординал а ^называется предельным, если он не является последо-
вателем никакого ординала. Наименьший предельный ординал,
отличный от 0, обозначим через со. Элементы из со называются
конечными ординалами, или натуральными числами; для обозна-
чения произвольных натуральных чисел мы используем буквы т,
н,
Точной нижней гранью непустого множества ординалов X назы-
вается наименьший элемент множества X, а точной верхней гранью
множества X — наибольший элемент множества X, если таковой
существует, или наименьший ординал, превосходящий все эле-
менты из X. Приведенное ниже упражнение А.5 дает очень удоб-
ные обозначения Q X для точной нижней грани и (J X для точной
верхней грани множества ординалов X.
А.5. Пусть X — непустое множество ординалов. Тогда Q X
it U X — ординалы. В действительности QX есть точная ниж-
Теория множеств
555
няя грань множества X, a IJX — точная верхняя грань этого
множества.
Мы сейчас установим очень полезный принцип трансфинитной
индукции.
А.6. (Трансфинитная индукция.) Пусть Р (а) — некоторое
свойство ординалов. Предположим, что для каждого ординала р
из того, что Р (у) справедливо для всех у < р, следует справедли-
вость Р (Р). Тогда Р (а) справедливо для всех ординалов а.
Доказательство, Мы предположим, что Р (а) ложно
для некоторого а, и придем к противоречию.
Пусть
X = {у а': Р (у) ложно}.
Это множество непусто, так как а £ X. Следовательно, X имеет
наименьший элемент р. Но Р (у) выполняется для всех у < р,
и по условию Р (Р) также справедливо. Это противоречит тому,
что р g X. Ч
Эта книга содержит много примеров доказательств, использую-
щих трансфинитную индукцию. Одним из таких примеров может
служить доказательство следующего утверждения.
А.7. Если а, р — ординалы, которые являются изоморфными
вполне упорядоченными цепями, то а = р. Более того, тожде-
ственная функция является единственным изоморфизмом цепи а
на себя.
Доказательство. Пусть Р (а) — следующее свойство:
«единственный ординал, изоморфный а, есть а, и един-
ственным изоморфизмом из а на а является тождественная
функция».
Предположим, что Р (у) выполняется для всех у < р. Пусть
/ — произвольный изоморфизм из р в 6. Для каждого у < Р огра-
ничение f на ординал у есть изоморфизм из у на / (у). Но так как
имеет место Р (у), то у / (у) и f — тождественная функция на р.
Следовательно, 6 р, и справедливо Р (Р). Ч
Самым главным при изучении ординалов является то обстоя-
тельство, что каждое вполне-упорядочение «похоже» на некото-
рый ординал. Более точно, будехМ говорить, что вполне-упорядо-
чение 7? на множестве X имеет порядковый тип а, если существует
одно-однозначная функция / из X на а, такая, что из xRy следует
/ (х) / (у). Функция / называется изоморфизмом между R и сс.
Как видно из А.7, вполне-упорядочение R имеет, самое большее,
один порядковый тип, так как любые два порядковых типа отно-
шения R должны быть изоморфны и, следовательно, равны. Более
556
Приложение А
того, существует, самое большее, один изоморфизм / между 7?
и его порядковым типом а, так как если /, g — два таких изо-
морфизма, то есть изоморфизм а на а. Следующий результат
показывает, что порядковый тип всегда существует.
А.8. Каждое вполне-упорядочение имеет в точности один
порядковый тип.
Доказательство. Доказательство этого утверждения
использует другой вариант принципа трансфинитной индукции,
который удобнее применять к вполне-упорядочениям, чем к орди-
налам. Пусть R — вполне-упорядочение множества X, и пусть
х £ X. Под начальным сегментом отношения 7?, определенным эле-
ментом х, мы понимаем ограничение R П Yx X Yx отношения R
на множество
Ух {у € X yRx и у =# х}.
Мы используем следующий принцип трансфинитной индукции
(его простое доказательство предоставляется читателю):
(1) Пусть Р (R) — некоторое свойство вполне-упорядочений, и
пусть для каждого вполне-упорядочения S из того, что для
каждого начального сегмента Т этого упорядочения выпол-
няется Р (Г), следует, что выполняется и Р (S). Тогда
Р (R) верно для всех R.
Применим теперь принцип (1) в случае, когда Р (7?) — такое
свойство:
«/? имеет порядковый тип».
Предположим, что каждый начальный сегмент вполне-упорядо-
чения S над X имеет порядковый тип. Достаточно доказать, что 5
имеет порядковый тип. Для каждого х £ X пусть fx есть един-
ственный изоморфизм начального сегмента отношения S, опре-
деленного элементом х, на его порядковый тип.
Случай 1, S имеет наибольший элемент х. Тогда если р — по-
рядковый тип начального сегмента отношения S, определенного
элементом х, то функция
/ /д U {<*, Р)}
является изоморфизмом между S и р + 1, так что Р (S) имеет
место.
Случай 2. S не имеет наибольшего элемента. Заметим, что если
ySx, то ограничение g функции /х на множество
{ z: zSy и z =Д у}
есть изоморфизм начального сегмента отношения S, определен
ного элементом у, на некоторый ординал. Следовательно, g -- fy
Теория множеств
557
и /у cz fx. Образуем теперь объединение / цепи {fx:x£X}. Это
изоморфизм между S и точной верхней гранью множества поряд-
ковых типов начальных сегментов отношения 5. Таким образом,
Р (S) вновь справедливо, и наше доказательство завершено. —|
Функция /, определенная на ординале а, называется (а)-после-
дователъностъю. Перечисление множества X есть последователь-
ность, множество значений которой совпадает с X. Мы иногда
будем пользоваться обозначениями </0, Д, /р, .), (3 <С а,
или /р, Р < а, или даже </0, /1? > для «-последовательности /.
Сумма а + Р двух ординалов есть ординал у а, такой, что
цепь у\а изоморфна цепи р. Для доказательства существования
и единственности а + р нужно воспользоваться трансфинитной
индукцией. Интуитивно а + Р можно представлять себе как спи-
сок ординалов из р, следующий за списком ординалов из а. Пусть
f есть «-последовательность, a g обозначает р-последовательность.
Конкатенация j^g последовательностей / и g есть (а + Р)-
последовательность, которая, на интуитивном уровне, получается
пересчетом сначала | < а, а затем < р. Более формально
f^g можно определить так:
/Og (I) f № для I < а;
/Hg (а + £,) g (0 для С < р.
Мы всегда будем предполагать справедливость аксиомы выбора,
которая утверждает, что
Если Xi — непустое множество для каждого i £ I, то декартово
произведение [J Xi непусто.
Аксиома выбора имеет большое число эквивалентных формулиро-
вок, которые можно найти едва ли не в каждой современной книге
по математике. Для удобства мы сформулируем некоторые из них.
Доказательства их эквивалентности аксиоме выбора можно най-
ти, например, в Келли [1955].
А.9. (Принцип вполне-упорядоченности.) Каждое множество
можно вполне упорядочить.
А. 10. (Принцип перечисления.) Каждое множество может
быть перечислено.
А.11. (Принцип максимума Хаусдорфа.) Каждое семейство
множеств X содержит максимальную цепь У, т. е. такую цепь
У cz X, что если Y с: Z cz X и Z является цепью, то Y Z.
А.12. (Лемма Цорна.) Пусть X — непустая совокупность мно-
жеств, замкнутая относительно объединений непустых цепей
558
Пр иложение А
(т. е. если О =И= Y о X и Y — цепь, то [J Y g X); тогда X обла-
дает максимальным элементом, т. е. таким элементом х £ X,
что из х cz у £Х следует х = у.
Довольно часто для определения новых понятий мы будем при-
менять трансфинитную индукцию. Следующий важный результат
теории множеств делает возможным такого рода определения.
А. 13. Пусть G — функция из IJ РХ в X. Тогда существует
единственная а-последовательность f, такая, что / (0) = G (/ | 0)
для всех 0 < а.
Доказательство. Воспользуемся методом трансфинит-
ной индукции А.6. Предположим, что утверждение справедливо
для всех а < а0. Докажем его справедливость для а = а0. Пусть
G—функция из U РХ в X. Для каждого у < а0 найдется един-
₽<а0
ственная ^-последовательность fy, такая, что Д (0) — G (fy [ 0)
для всех 0 < у. Если а0 — не предельный ординал, скажем
а0 = у + 1, мы берем в качестве / такую а-последовательность,
что / | у = Д и / (у) = G (Д). Тогда / (0) = G (/ | 0) для всех
Р < а0.
Предположим теперь, что а0 — предельный ординал. Заметим,
что если 6 < у < а0, то Д | б есть 6-последовательность, обла-
дающая тем свойством, что для всех 0 < б
А 16 (₽) = Л (Р) = G (А | р) = G ((/v | 6) | р).
В силу единственности Д, мы имеем Д | б = Д. Другими слова-
ми, Д cz Д. Отсюда следует, что объединение / = U Д является
Т«х
такой а-последовательностыо, что / (0) = /р+1 (0) = G (/р+1 | 0) =
= G (/ | Р). В обоих случаях мы показали существование искомой
функции /. v
Чтобы доказать единственность, предположим, что /' — другая
такая а0-последовательность, что /' (0) = G (f | 0) для всех 0 <
< а0. Тогда, в силу единственности /р,
/' I Р = /р = / I Р Для всех 0 < а0.
Отсюда следует,, что
/' (Р) - G (/' | Р) = G (/ | Р) = / (0)
для всех 0 < а0, и, следовательно, f = f —|
Под мощностью, или кардиналом, множества X, обозначаемой
через | X |, понимается наименьший ординал а, такой, что X
перечислимо a-последовательностью. (Существование | X | выте-
кает из аксиомы выбора.) Ординал а называется кардиналом, или
начальным ординалом, если а = | а |. Для обозначения кардина-
Теория множеств
559
лов мы, как и в случае ординалов, используем малые греческие
буквы; |-й бесконечный кардинал будем обозначать либо через
х либо через со
Последователь кардинала а, обозначаемый через а+, есть наи-
меньший кардинал, больший, чем а; таким образом, (к ^)+ = х >+1.
Кардинал а называется предельным кардиналом, если он не являет-
ся последователем никакого кардинала. Кардинальная степень
ординала а с показателем £ определяется равенством | |.
Числа Д определяются по индукции:
Зо “ *0, 2 £+1 “
и, когда £ — предельный ординал,
’1 "У ’ '
Эти числа тесно связаны с понятием строго предельного ординала.
Кардинал а называется строго предельным, если 2& < а для всех
£ < а. Доказательство следующего утверждения предоставляется
читателю.
А. 14. (i) а является бесконечным предельным кардиналом, если
и только если существует предельный ординал Е, такой, что а =
= 35-
(ii) а является бесконечным строго предельным кардиналом,
если и только если существует предельный ординал Е, такой, что
а = 3?-
А.15. (i)
(ii) Существуют сколь угодно большие кардиналы а. такие, что
ОС == За*
Континуум-гипотеза (КГ) утверждает, что 31 = *!, а обобщенная
континуум-гипотеза (ОКГ) утверждает, что = п для всех £.
Таким образом, из ОКГ следует, что J = н для всех |. Из ОКГ
также следует, что каждый предельный кардинал является строго
предельным. Мы не предполагаем, что КГ или ОКГ содержатся
в нашей наивной теории множеств. ОКГ интересна тем, что она
существенно упрощает арифметику кардиналов, и иногда мы будем
доказывать теоремы в предположении, что имеет место ОКГ.
Несколько основных результатов арифметики кардиналов соб-
раны в следующих трех утверждениях. Они включены, главным
образом, для ссылок и потому их доказательства не приведены.
Большинство из этих результатов доказаны в работах Камке
[1950] х).
х) См. также Александров П. С., Введение в общую теорию множеств
и функции, М.-Л. 1948; Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств,
М., 1970.— Прим. ред.
560
Приложение А
А. 16. Следующие три условия эквивалентны:
(i) | X | | Y | (как ординалы),
(ii) Существует одно-однозначная функция из X в Y.
(iii) Существует функция из Y на X,
А. 17. Пусть а, р, у — произвольные кардиналы.
(i) а < 2а.
(ii) Если а р, то аУ р? и (если 0 < у) уа
(iii) а0 = 1; 1а = 1; если а > 0, то 0а = 0.
(iv) Пусть р — бесконечный кардинал и у 0. Тогда
(aP)v = (aY)P = J аУ = a₽Uv.
Частный случай: (2Р)Р = 2Р.
(v) Если а — бесконечный кардинал и п > 0, то ап = а.
(vi) Если X — непустое множество кардиналов, то X
и Q X — также кардиналы.
А.18. (i) Если X [J Y — бесконечное множество, то
I X и Y I = I X I и |У|.
(ii) Если X J Y бесконечно и X, Y непусты, то
I X х Y | | X | U I Y |.
(iii) Если X — бесконечное множество множеств, то
т. е. мощность множества X не больше, чем точная верхняя грань
мощности X и мощностей элементов из X.
Неравенство в (iii) может быть заменено равенством в следую-
щих двух важных случаях:
(а) X вполне упорядочено отношением включения]
(Ь) каждые два множества в X не пересекаются.
Множество всех подмножеств множества X называется мно-
жеством-степенью множества X и обозначается через S (X). Если
а — кардинал, то мы будем писать
5а (X) = {яс X: |z |<а},
Sa(X) {х^Х | | < а}.
Например, S& (X) есть множество всех конечных подмножеств мно-
жества X и S® (X) — множество всех коконечных (дополнений
к конечным) подмножеств множества X.
А.19. (i) | S (X) | = 2,Х|.
Теория множеств
561
(ii) Если X бесконечно, то
| (X) I = I X |.
Пункт (i) очевиден, a (ii) следует из А.17 (v).
Функция ранга R (£) получается итерированием операции обра-
зования множеств-степеней. Определяем по индукции
R (0) = 0;
R (В + 1) = S (R (£));
если В > 0 — предельный ординал, то R (£) = (J R (ц).
Функция ранга обладает следующими очевидными свойствами:
А.20. (i) Если ц < £, то R (ц) cz R (5).
(ii) Для каждого ординала £ | R (со + £) | = 2$.
(iii) R (5) = U S (R (ц)) для всех £ > 0.
Аксиома регулярности есть следующее утверждение:
А.21. Для каждого множества х существует такой ординал Н,
что х С R (В)*
А.22. Аксиома регулярности эквивалентна каждому из следую-
щих утверждений*
(i) Для каждого непустого множества х существует у £ х,
такой, что х П у = 0.
(ii) Не существует бесконечной последовательности множеств
х0, ^2» •» такой, что хг £ xQ, х2 Е хг, х3 £ х2,
Эквивалентность (i) с аксиомой регулярности может быть дока-
зана без аксиомы выбора, но для доказательства того, что из (ii)
следует аксиома регулярности, необходима аксиома выбора.
Из утверждения (ii) следует, что х $ х для каждого множества х
или, более общим образом, не существует конечных циклов вида
С xi Е Х2 £ £ С х0.
Аксиома регулярности в этой книге совсем не используется.
Однако она обычно включается в список аксиом теории множеств,
так как только регулярные множества х £ R (£) представляют
математический интерес. По этой причине мы включили аксиому
регулярности в наивную теорию множеств. Следующий принцип
индукции, который может оказаться полезным в теории моделей,
является следствием аксиомы регулярности (ср. с. А.6).
А.23. Пусть Р (х) — свойство множеств. Предположим, что
для любого множества у, если Р (z) имеет место для всех z £ у, то
справедливо Р (у). Тогда мы имеем Р (х) для всех множеств х.
На следующих нескольких страницах мы изложим довольно
подробно важное понятие конфинальности. Пусть £ — предельный
36 Г. Кейслер, Ч. Чэн
562
Приложение А
ординал. Множество X называется конфинальным в £, если X с: §
и £ = [_JX. Конфинальность ординала £, обозначаемая через cf (£),
есть наименьший кардинал а, такой, что множество мощности а
конфинально в £.
В частности заметим, что cf (0) =0. Определим конфиналь-
ность последователя ординала равенством
cf (g + 1) = 1.
Но как ведет себя функция конфинальности? Уже из определения
видно, что
со < Cf (g) g,
если £ — бесконечный предельный ординал. Если g = со, мы
получаем равенство
со = cf (со).
Кардинал а называется регулярным, если cf (а) = а, и сингуляр-
ным, если cf (а) < а. Таким образом,
А.24. со — регулярный кардинал.
Занятно, что 0 и 1 — регулярные кардиналы, а все кардиналы
п> 1, п £ со, сингулярны. Однако понятия регулярного и син-
гулярного кардиналов важны только для бесконечных кардина-
лов. Существуют ли другие регулярные кардиналы? Следующее
предложение представляет нам некоторые из них.
А.25. Каждый бесконечный кардинал-последователь а* является
регулярным.
Доказательство. Пусть X конфинально в а+.
По А.18 (ii)
а+< |Х |U U {I Р I Р €Х}.
Но | р | для всех р g X, так что
U {I Р I Р €Х}с а-
Это означает, что | X | = а* и cf (а*) « а*. Ч
Если мы рассмотрим предельные кардиналы, отличные от со,
то убедимся, что обычно они бывают сингулярными. Например,
легко видеть, что
cf («®) = cf (5Ш) = ш.
Таким образом, и — сингулярные кардиналы. Можно дока-
зать другой, более общий, результат.
А.26. Для каждого предельного ординала £ > 0 имеет место
равенство
cf («5) = cf 0Ц) = cf (£).
Теория множеств
563
Доказательство. Если X конфинально в Е, то множе-
ство Y — {xv 7 g X} конфинально в Xfc и | Y | = | X |. Следо-
вательно, cf (х fc) cf (£).
Если X' конфинально в х fc, то множество
У' — {7: для некоторого р С X', | Р | = х?}
конфинально в £ и | У' | X' |. Итак, cf cf (х fc). Это дока-
зывает, что cf (£) = cf (xfc). Доказательство равенства cf (£) =
= cf (J fc) проводится аналогично. Н
Теперь естественно задать вопрос: существуют ли предельные
регулярные кардиналы, большие со? Из обычных аксиом теории
множеств нельзя получить ни положительного, ни отрицательного
ответа. Строго предельный кардинал, являющийся регулярным,
называется недостижимым кардиналом. Таким образом, со — недо-
стижимый кардинал. Другие недостижимые кардиналы, если они
существуют, имеют много общих замечательных свойств с со.
Гипотеза о недостижимости утверждает, что существуют недости-
жимые кардиналы, большие, чем со. Как и ОКГ, мы не вклю-
чаем гипотезу о недостижимости в нашу наивную теорию мно-
жеств; эта гипотеза является правдоподобным дополнительным
предположением о теории множеств, без которого обычно можно
обойтись.
Вернемся вновь к функции конфинальности.
А.27. Пусть £ — бесконечный предельный ординал. Тогда в %
существует конфиналъное множество Y, изоморфное как цепь кар-
диналу cf (£). Если £ — предельный кардинал то в качестве У
можно выбрать некоторое множество кардиналов.
Доказательство. Пусть а = cf (£), и пусть X — кон-
финальное в % множество мощности а. Пусть р < а, — пере-
числение множества X. Определим функцию / из а в £ методом
трансфинитной индукции. Пусть f (0) = 0. Далее, пусть 0 < Р <
< а, и предположим, что уже определено / (7) Е £ для каждого
7 < р. Тогда множество
Z = {xv : ? < 0} и {/ (?) ₽}
является подмножеством ординала мощности меньшей, чем а,
и, следовательно, равенство | = \_\Z невозможно. Единственная
возможность — это [_)Z < Следовательно, мы можем опреде-
лить / (Р) как наименьший ординал £ < такой, что
Функция / из а в £ обладает следующими свойствами:
(1) если 7 < р < а, то f (7) < f (р);
(2) g = U / (₽)•
Р<а
36*
564
Приложение А
Отсюда следует, что множество У, равное range (/), конфинально
в £ и / является изоморфизмом между У и а. Ч
А.28. Для каждого ординала £ кардинал cf (|) регулярен.
Доказательство. Мы должны показать, что
cf (cf (£)) = cf (g).
Это равенство очевидно в случае cf (£) = 0 или cf (|) = 1, поэтому
предположим, что cf (£) — бесконечный кардинал, и пусть а =
= cf (£). По А.27 существует множество У, конфинальное в £
и изоморфное а; пусть / — изоморфизм между а и У Пусть Z
конфинально в а. Тогда множество
W = {/(₽) P6Z}
конфинально в Значит, а | W |. Но | W | | Z |, так что
а | Z | и cf (а) = а. —|
А.29. Если а — бесконечный предельный кардинал, то а <
аеГ(а)ф
Доказательство. Пусть У — множество, конфиналь-
ное в а, и / — изоморфизм кардинала cf (а) на У. Пусть теперь
g — некоторая функция из а в множество cf<a>a. Мы хотим пока-
зать, что g не может быть функцией на cKa>a. Чтобы это показать,
определим функцию h g cf(a)a следующим образом. Для каждого
Р < cf (а) пусть h (Р) есть наименьший ординал £ < а, не при-
надлежащий множеству
Uv(₽) ?</(₽)}•
(1)
Нетрудно понять, что такое £ < а существует, так как множе-
ство (1) имеет мощность, самое большее, | / (Р) а | / (Р) | < а.
Функция Л де может лежать в списке gv, у < а, потому что когда
/ (0) > V» мы имеем h (Р) gv (р). Отсюда следует, что g не ото-
бражает а на cf<a>a и, значит,
| = ac^a\ —|
Только что полученный результат является переформулировкой
теоремы, известной как теорема Кёнига. Она является усилением
теоремы Кантора о том, что a < 2a (А.17 (i)), так как известно,
что
2cf(a) aa — 2a.
На самом деле, доказательство А.29 является одной из разновид-
ностей знаменитого канторовского диагонального метода, который
используется для доказательства того, что a < 2a.
В следующей части приложения мы дадим краткое описание
трех основных систем аксиоматической теории множеств, а имен-
Теория множеств
565
но теории множеств Цермело — Френкеля, Бернайса и Бернай-
са — Морса.
А.30. Теория множеств Цермело — Френкеля ZF. Эта теория
формулируется в логике предикатов первого порядка с равенством
и символом двуместного отношения £. Ее аксиомами являются
следующие девять аксиом:
1. Аксиома объемности: (Уху) (х = у ++ (Vz) (z £х z £ у)).
Интуитивно, х = у, если и только если х и у имеют одни
и те же элементы.
2. Аксиома пустого множества: (ЗяУу) (~"|У £х).
3. Аксиома пар: (VxylzVu) (u£z+-+u = x\ и = у).
Интуитивно, если х, у — множества, то {х, у} — также
множество.
4. Аксиома объединения: (^x^y^z) (z £ у (3u>) (z £ w л
Л w x)).
Интуитивно, если x — множество, то множеством является
И и*-
5. Аксиома степени: (Vz3yVz) (z £ у -<-> (Vw) (w E z -> w £ я)).
Интуитивно, если x — множество, то множеством является
и S (х).
6. Аксиома бесконечности: (Зя) ((Зу) (у € х) /\ (Уу) (у С х
(3z) (у € Z Л Z е х))).
Интуитивно, существуют бесконечные множества.
7. Аксиома регулярности: (Ух) ((Зу) (у£я)->(3у) (у С я
Л И (3z)(zGy Az£x))).
Интуитивно, каждое непустое множество не пересекается
с одним из своих элементов.
8. Аксиома подмножеств: (УяЗу Vz) (z £ у z £ х л Ф (z,
•» мп)), где ф— произвольная формула, в кото-
рую не входит у.
Интуитивно, у = {z £ X ф (z, U-L, ип)} — множество.
9. Аксиома семейств: (V я) [я £ и ->• ( 3 z) ф (я, z, и, . . ., vn)] —
->(3у Vx) (xgu->(3z) (z^j/A <р(х, z, и, Vi, ..vn))], где <р -
произвольная формула, в которую не входит у.
Интуитивно, если каждый из классов Сх = {z: ф (я, z, .)},
я f и, непуст, то существует множество у, пересекающееся
с каждым из этих классов.
566
Приложение А
Заметим, что 8 и 9 являются скорее бесконечными схемами
аксиом, чем просто аксиомами. Схему подмножеств и схему се-
мейств часто объединяют в одну схему аксиом, называемую схе-
мой подстановки.
Схема подстановки:
(V я 3! z) ср (я, z, u, ui, pn)-^(3z/Vz)[z£y++
(3 x) (x £ и A cp (x, Z, U, Vj, . . . , I2n))],
где ф — формула, не содержащая вхождений у, и 3! z
означает «существует единственный z».
Интуитивно, если F (х) есть единственное z, такое, что
имеет место <р (х, z, .), то {F (х): х £ и} есть множество.
Схема подстановки может быть выведена из аксиом ZF. С другой
стороны, схемы подмножеств и семейств можно доказать из осталь-
ных аксиом 1—7 системы ZF, используя схему подстановки. Таким
образом, аксиомы 1—7 вместе со схемой подстановки составляют
другое множество аксиом для ZF. Преимущество нашего списка
аксиом 1—9 состоит в том, что легко описываются подтеории теории
ZF, приведенные ниже.
Аксиомами теории множеств Цермело — Френкеля с аксио-
мой выбора ZFC служат аксиомы ZF плюс следующая аксиома:
10. Аксиома выбора: (V#3i/) [у есть функция с областью
определения х л (Vz) (z $ х л (Зи) (и £ z) у (z) £ z)].
Интуитивно, каждое множество имеет функцию выбора.
Все результаты этой книги, исключая небольшое число резуль-
татов, касающихся собственно классов, могут быть сформулиро-
ваны и доказаны в ZFC.
А.31. Подтеории теории ZF. Двумя важными подтеориями тео-
рии ZF являются теория множеств Цермело и ZF без аксиомы
степени.
(i) Теория множеств Цермело Z имеет все аксиомы ZF, кроме
схемы семейств, т. е. аксиомы!—8. Для каждого предельного орди-
нала а > со модель <7? (а), £) является моделью теории множеств
Цермело. Эта теория имеет главным образом историческое значе-
ние, так как она предшествовала ZF. Теории множеств Цермело
с аксиомой выбора оказывается достаточно для большей части
классической математики и большинства результатов этой книги.
Однако ее не хватает для определения последовательности ха
или R (а) или для доказательства того, что каждое вполне-упо-
рядочение имеет порядковый тип некоторого ординала. Таким
образом, кардиналы и вполне-упорядочения в теории множеств
Цермело трактуются по-разному.
Теория множеств
567
(ii) Теория множеств Цермело — Френкеля без аксиомы степе-
ни или ZF — Р. Эта теория имеет все аксиомы теории ZF, кроме
аксиомы степени, а именно аксиомы 1—4 и 6—9. Эта теория (и не-
которые ее подтеории) приобрела значение в современной литера-
туре в связи с обобщением теории рекурсий и бесконечной логики
(логики с бесконечными формулами). Ее средств не хватает для
классической математики, так как невозможно доказать существо-
вание множества действительных чисел. С другой стороны, боль-
шая часть современной теории множеств может быть изложена
в ZF — Р. Мы используем ZF — Р в разд. 4.2 (чтобы дать более
удобную формулировку аксиомы конструктивности.)
(iii) Теоретико-множественная арифметика. Эта теория имеет
те же аксиомы, что и ZF, только аксиома бесконечности заменена
на ее отрицание. Таким образом, аксиомами являются 1, 2, 3, 4,
5, ~| 6,7, 8, 9. Стандартной моделью этой теории является {R (со),
0. Теоретико-множественная арифметика эквивалентна арифме-
тике Пеано в том смысле, что каждая формула одного языка может
быть просто переведена в формулу другого языка таким образом,
что предложение доказуемо в одной теории, если и только если его
перевод доказуем в другой теории.
В ZF возможно доказать непротиворечивость теории множеств
Цермело, ZF — Р и теоретико-множественной арифметики. Непро-
тиворечивость теоретико-множественной арифметики может быть
также доказана в теории множеств Цермело и в ZF — Р.
А.32. Теория множеств Бернайса. Эта теория формулируется
в логике предикатов первого порядка с равенством, символом дву-
местного отношения £ и символом одноместного отношения V
Здесь V (х) читается «х есть множество», а ~"| V (х) читается «х
есть собственно класс». Чтобы сделать аксиомы удобочитаемыми,
нам необходимо ввести некоторые сокращения.
Мы определим V-релятивизацию произвольной формулы ср
(обозначение: фу) по индукции следующим образом.
Если ф — атомная формула, то фу = ф;
(<₽1 Л ф2)у = ф^ Л фр,
(~1ф1)г = 1(фГ);
((3 х) <p)v = (3 х) (Г(х)ЛфП;
((У*)фГ = (Ух)(7(х)->фЧ.
Таким образом, <pv можно интерпретировать как формулу ф, у ко-
торой все переменные под кванторами ограничены отношением V
Аксиомы теории множеств Бернайса представлены ниже спи-
ском аксиом 1* — 10*:
1*. Аксиома объемности’, совпадает с аксиомой 1.
568
Приложение А
2*—6*. V-релятивизация аксиом 2—6, т. е. аксиома пустого
множества, аксиома пар, аксиома объединения, аксиома
степени и аксиома бесконечности.
7*. Аксиома регулярности: аналогична аксиоме 7.
8*. Аксиома подстановки:
(Vw) (w есть функция-> [(Vu3zVi/) (у (3z) (х £ и л
- * (Я)))1у),
где понятие функции и обозначение х (z) используются
в обычном смысле. Заметим, что данная аксиома подста-
новки является просто формулой, а не бесконечной схе-
мой, так как вместо формулы ф (я, у) употребляется
класс w.
9*. Аксиома универсального класса: (Vz) (V (х) (Зу) (х £ у)).
Интуитивно, х есть множество, если и только если х яв-
ляется элементом некоторого класса.
10*. Аксиома выделения:
(3xVy) (у € х ++ V (у) л <pv (у, их, ип)),
где ф (у, их, ., ип) — произвольная формула, не содер-
жащая вхождений х.
Интуитивно, класс х = {у V (у) /\ фу (у, иг, ип)}
существует. Эта аксиома утверждает, что существует мно-
го классов. Заметим, что V (у) необходимо здесь, чтобы
избежать парадокса Рассела.
Для теории множеств Бернайса существуют две аксиомы выбо-
ра, одна из которых сильнее другой. Слабая аксиома выбора,
«аксиома выбора для множеств», представляет собой У-релятиви-
зацию аксиомы 10. Сильная аксиома выбора, «аксиома выбора
для классов», есть в точности аксиома 10. Интуитивно, первая
утверждает, что каждое множество обладает функцией выбора,
а последняя — что каждый класс имеет функцию выбора.
А.33. Теория множеств Бернайса — Морса. Эта теория имеет
те же аксиомы, что и теория множеств Бернайса, только схема
выделения 10* заменена более сильной схемой
10**. (3zV</) (у € X —> V (у) л <Р (у, Ux, ' ; Un)),
где ф — произвольная формула, не содержащая вхож-
дений х.
Различие состоит в том, что в теории множеств Бернайса схема
выделения содержит только те формулы, в которых область дей-
ствия кванторов ограничена множествами, в то время как теория
Теория множеств
569
множеств Бернайса — Морса разрешает в схеме выделения кван-
торам пробегать по произвольным классам. Таким образом, теория
множеств Бернайса — Морса является расширением теории мно-
жеств Бернайса. Взаимоотношение между моделями описанных
здесь трех теорий обсуждается в разд. 1.4. Теория множеств
Бернайса — Морса в особенности оказывается удобной в послед-
нем разделе книги, разд. 7.4, где результаты легче всего выразить
в терминах классов. К теории множеств Бернайса — Морса также
можно добавить аксиому выбора для множеств или более сильную
аксиому выбора для классов.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ОТКРЫТЫЕ ПРОБЛЕМЫ В КЛАССИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
Здесь перечисляются избранные открытые проблемы. Вообще
говоря, проблема попадает в число избранных или потому, что
она представляет исторический интерес, или потому, что она инте-
ресна сама по себе, или потому, что ее решение обещает дать инте-
ресные или важные новые методы. Эти проблемы можно прибли-
зительно разбить на три группы: старые проблемы (1—7), частные
проблемы (8—21) и общие проблемы (22—24). Когда проблема
наиболее впечатляюще выглядит в виде гипотезы, мы будем ее
формулировать именно так, даже если мы думаем, что эта гипо-
теза не верна. Предполагается, если не оговорено противное, что
язык X счетен. Всякий раз, когда нам известен автор проблемы,
его имя стоит в скобках после ее формулировки.
1. Проблема конечного спектра*. Пусть ф — некоторое предло-
жение. Его конечный спектр есть множество всех п <Z со, таких,
что ф имеет модель мощности п.
Гипотеза*. Если S cz со — конечный спектр некоторого пред-
ложения языка X, то со\5 также является конечным спектром
некоторого предложения этого языка (Шольц).
2. Гипотеза*. Существует группа Йонссона мощности сох
(Курош).
3. Пусть для любого п со — свободная группа с порож-
дающими хп1, т < п.
Гипотеза*. Если 2 p<Z п, то ~ ЭДП и в действительности
?tp<3ln (Тарский).
4. Гипотеза*. Если D — однородный счетно неполный ультра-
фильтр над р, а А — любое бесконечное множество, то | А | =
D
| А |р. (Известно, что эта гипотеза верна, если р соп, со
и выполняется условие V = L.)
5. Гипотеза*. Если Т — полная конечно аксиоматизируемая
теория в J5, то она не сох-категорична и нестабильна.
Открытые проблемы
571
6. Гипотеза*. Без континуум-гипотезы можно показать, что
любая теория 71, имеющая более чем со неизоморфных моделей
мощности со, имеет 2м неизоморфных моделей мощности со (Вот)’
7. Модель 31 называется жесткой, если единственный ее авто-
морфизм есть тождественная функция. Для данной теории Т
в языке X определим R (Т) как класс всех бесконечных кардина-
лов а, таких, что Т имеет жесткую модель мощности а.
Гипотеза (ОКГ): Для каждой теории Т в X либо
R (Т) = {а: а со},
либо
R (Т) = {а: а > со},
либо
R (71) = {а: со а со &} для некоторого ординала р < соп
либо
R (Z) = {а: со < а сор} для некоторого ординала Р < сог
(Эренфойхт).
8. Гипотеза: Существует модель Йонссона мощности х© и мо-
дель Йонссона мощности OU (Йонссон).
9. Пусть Т — теория в X, и пусть /т (а) — число ее неизо-
морфных моделей мощности а.
Гипотеза: Если со < а < Р, то fT (а) fT (Р) (Морли).
10. Гипотеза (ОКГ): Если а, Р^со и р сингулярен, то каждая
теория, допускающая (а+, а), допускает (р+, Р) (Вот). Это было
показано Йенсеном в предположении, что V = L.
11. Найти простое множество аксиом для теории всех моделей
31 (Л, U, .), таких, что | А | > JL (| U |) (Вот).
12. Гипотеза: Каждая теория Т, допускающая (хш, х0), допу-
скает (2К°, х0). Это верно в предположении КГ (Шелах).
13. Проблема трех кардиналов: Для каких троек кардиналов
(а, Р, у), (az, Р', у') каждая теория, допускающая (а, р, у), допу-
скает (а' Р' у')? (Вот).
14. Гипотеза ((ОКГ) или (V = L)): Если а меньше, чем пер-
вый измеримый кардинал >со, то каждый однородный ультра-
фильтр над а регулярен. (Кейслер).
15. Гипотеза: Пусть 0<п<;со. Каждый однородный ультра-
фильтр над соп регулярен (Кейслер). Предполагая, что V = L,
это показали Прикри и Йенсен.
572
Приложение В
16. Гипотеза (ОКГ): Если существует однородный (ох-полный
по убыванию ультрафильтр над а, то а не меньше, чем первый
несчетный измеримый кардинал (Кейслер).
17. Гипотеза (ОКГ): Если ультрафильтр D над а таков, что
каждое бесконечное ультрапроизведение П А з имеет мощность
D
а+, то D является а+-хорошим ультрафильтром.
18. Гипотеза'. Пусть | А |, | В |, [| X || а, и пусть D — ре-
гулярный ультрафильтр над а. Если Я = Я8, то П?1 = II ав
D D
(Чэн и Кейслер).
19. Гипотеза: Если D — регулярный ультрафильтр над а, то
f[ ?! есть а++-универсальная модель для любой бесконечной модели
31 (Чэн и Кейслер).
20. Гипотеза: Пусть Т — полная теория, имеющая бесконеч-
ные модели. Тогда верно в точности одно из следующих трех
утверждений:
(i) Т категорична в каждой мощности ха, а
(ii) Т имеет точно 32 неизоморфных моделей в каждой мощно-
сти sa, а > Jv
(iii) Т имеет, по крайней мере, | а | неизоморфных моделей
в каждой мощности на, а (Шелах).
21. Пусть X' cz X, и пусть Т — полная теория в языке X.
Она называется у-насыщенной над X', если каждая ее модель
мощности у с у-насыщенным <£'-обеднением является у-насыщен-
ной.
Гипотеза (ОКГ): Пусть а, р > <о. Если Т является ^-насыщен-
ной над X' тЬ Т является р+-насыщенной над X' (Чэн).
22. Исследовать теорию множеств, основанную на аксиомах
ZFC плюс гипотеза об n-разрыве с (или без) ОКГ.
23. Разработать теорию моделей, в которой главное внимание
уделяется порядковому типу модели 31 = (Л, <, .), а не мощ-
ности множества А.
24. Разработать теорию моделей логики второго и выше
порядков.
Ниже приводится обзор достижений, относящихся к сформули-
рованным выше проблемами полученных после опубликования пер-
вого английского издания этой книги в 1973 г. т)
х) Этот материал подготовлен авторами для второго издания их книги.—
Прим. ред.
Открытые проблемы
573
Гипотеза 1 остается недоказанной.
Гипотеза 2 доказана Шелахом [1976а]. В действительности им
построена такая группа G мощности (о1% что, каково бы ни было
множество Хс G, также имеющее мощность а>1э всякий элемент
g £ G представим в виде произведения меньшего, чем 106, числа
элементов из X. Таким образом, в G нет ни собственных подгрупп
мощности COi, ни Даже собственных подполугрупп этой мощности.
Гипотеза 3 остается недоказанной. Сейсердот получил в этом
направлении следующий частный результат: если 2 р <
< п со, то для всякой ^-формулы <р fo, хт) и произволь-
ных аг, . ат £ Ар из условия ф [ах, ат] вытекает
t ф [йх, • » ^mJ.
В формулировку гипотезы 4 следует включить дополнительное
предположение о том, что (J меньше первого несчетного измеримо-
го кардинала, так как в противном случае легко строится контр-
пример. Пусть Е — произвольный однородный счетно-полный
фильтр над р, a F — произвольный однородный фильтр над со.
Положим D — Е X F. Тогда | [J(o | = 2®.
D
Магидор [1976] анонсировал контрпример к гипотезе 4 для
р = (о3 в предположении совместимости сильной аксиомы беско-
нечности. Относительно понятий гигантского (huge) и суперком-
пактного кардиналов см. Канамори, Рейнхарт и Соловей [1976].
Магидор доказывает, что если теория [ZFC + «существует гигант-
ский кардинал»] совместна, то совместна и теория [ZFC + ОКГ 4-
+ «существует такой однородный ультрафильтр D над со3, для
которого | П (О | = <03»].
D
Выражение «0# существует» означает в теории множеств, что
кардиналы <on, 1 < и < со, неразличимы в модели (L, £) или
в модели {L £). Множество 0# рассматривается в разделе 7.5,
где показано, что из существования кардиналов Рамсея вытекает,
что существует и (?#. В свою очередь существование кардиналов
Рамсея следует из существования гигантских кардиналов. Воз-
можно, гипотеза 4 следует из предположения о том, что 0# не су-
ществует.
Маковский [1974] показал, что гипотеза 5 наполовину ложна.
Он построил пример полной конечно аксиоматизируемой супер-
стабильной теории. Пока остается открытым вопрос о том, может
ли полная конечно аксиоматизируемая теория быть сох-категорич-
ной (или даже со-стабильной). Однако Маковский показал, что
существование такой теории следует из существования бесконеч-
ной конечно представимой группы с конечным числом классов
сопряженности.
С гипотезой 6 положение остается прежним. См. стр. 478 по по-
воду одного частного результата Морли.
574
Приложение В
Гипотеза 7 опровергнута Шелахом [1975]. В предположении
ОКГ он доказал, что класс кардиналов С является классом R (Т)
для некоторой конечно аксиоматизируемой теории Т тогда и толь-
ко тогда, когда существует такое 2^-предложение <р, что С — класс
всех бесконечных кардиналов моделей для <р. Даже без привлече-
ния ОКГ можно показать, что совокупность классов R (Г) много
богаче, чем это предполагалось в гипотезе 7.
В отношении гипотез 8 и 9 никаких результатов нет.
Гипотеза 10 опровергнута Литманом и Шелахом [1976] в пред-
положении сильной аксиомы бесконечности. Они показали, что
если теория [ZFC + «существует суперкомпактный кардинал»]
совместна, то совместна и [ZFC + ОКГ + «существует теория Т,
допускающая пару (а)х, <о), но не допускающая ((ою+1, <ош)>>].
Проблема 11 частично решена Барвайзом [1975] и Шмерлом
[1975]. Независимо друг от друга они предложили множества
аксиом для рассматриваемой в этой гипотезе теории. Ни одно
из этих множеств не является, однако, достаточно простым для
чтения.
Гипотеза 12 доказана Шелахом [1976b] (без привлечения КГ).
С гипотезой 13 положение не изменилось. Некоторые частные
результаты сформулированы в упр. 7.2.18 — 7.2.22 в этой книге.
Гипотезам 14, 15 и 16 посвящена довольно обширная литера-
тура. В свете последних исследований кажется правдоподобным,
что все они вытекают из предположения о том, что 0# не суще-
ствует. Мы формулируем ниже самые сильные из известных резуль-
татов — и положительные, и отрицательные.
Гипотеза 15: Бенда (см. Бенда и Кетонен [1974]) доказал, что
если существует (ох-дерево Курены, то всякий однородный
ультрафильтр над регулярен. Кетонен [1976] утверждает, что
если 0# не существует, то всякий однородный ультрафильтр над
<ох регулярен. Магидор [1976] показывает, что из совместности
теории [ZFC Ц- «существует гигантский кардинал»] вытекает сов-
местность теории [ZFC + ОКГ + «существует однородный ультра-
фильтр над со3, не являющийся регулярным»]. Он получает также
аналогичный результат для а>2. Это показывает, что в случае сов-
местимости предположения о существовании гигантского карди-
нала ни гипотеза 14, ни гипотеза 15 не могут быть доказаны в тео-
рии ZFC + ОКГ. Гипотеза 14 в предположении V = L остается
недоказанной.
Гипотеза 16: Йенсен, Прикри и Силвер (см. Прикри [1973]),
предполагая V = L, доказывают, что для всякого регулярного, но
не слабо компактного кардинала а > о и всякого р < а всякий
однородный ультрафильтр над а является p-неполным по убыва-
нию. Г. В. Чудновский и Д. В. Чудновский [1974] обобщили этот
результат на некоторые слабо компактные кардиналы. Силвер,
предполагая, что O# не существует, доказывает, что для всякого
Открытые проблемы
575
недостижимого кардинала а > со и всякого однородного ультра-
фильтра D над а существует такой кардинал 0, что со < 0 < а
и D является 0-неполным по убыванию.
Гипотеза 17 опровергнута Шелахом [1976с]. Не привлекая
ОКГ, он построил для всякого а > со регулярный ультрафильтр D
над а, не являющийся хорошим и для которого всякое ультра-
произведение П А р конечно или имеет мощность, не меньшую 2а.
D
С гипотезами с 18 по 21 положение остается прежним. В рабо-
тах Робинсона [1973] и Фридмана [1975] опубликованы новые
списки открытых проблем.
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Замечания к гл. 1
1.1. Для ознакомления с ранними этапами развития логики
высказываний логики предикатов см. Чёрч [1956]. Универсаль-
ная алгебра как отдельный раздел появилась в работах Уайтхеда
и Рассела [1913, 1925, 1927]; состояние этой области в более позд-
ний период отражают книги Биркгофа [1961], Кона [1965] и Грет-
цера [1968] х). Книги Кона и Гретцера 2) содержат дальнейшее
обсуждение связи между универсальной алгеброй и теорией
моделей.
1.2. Многие результаты этого раздела (а также большая часть
упражнений) являются частными случаями более общих теорем
теории моделей языков первого порядка. Все эти более общие
результаты появятся в дальнейших разделах этой книги.
Упражнение 1.2.19: Случай | X | = сох исследован Крайзелем
и Шпеккером (см. Крайзель [1962]);
общий случай исследован Резниковым
[1965].
1.3. Фундаментальные понятия выполнимости и истинности
введены Тарским [1935а]. Он ввел также и другие понятия, такие,
как элементарная эквивалентность моделей, семантическое поня-
тие следствия, понятия подмодели и расширения. Мы вновь отсы-
лаем читателя к Чёрчу [1956] для ознакомления с историческими
аспектами теории языков первого порядка.
1.3.11: Линденбаум (см. Тарский [1930а]).
1.3.20: Гёдель [1930].
1.3.21- 22: Гёдель [1930] для счетного языка X, Мальцев [1936]
для несчетных языков.
Упражнение 1.3.14: Фуркен [1968].
Упражнения 1.3.15—20: Эти упражнения дают общий метод
доказательства эквивалентности двух
моделей. Этот метод был введен Фра-
2) См. также Мальцев А. И., Алгебраические системы, «Наука», М ,
1970.— Прим» ред.
2) И Мальцева.— Прим» ред»
Исторические замечания
577
иссе [1954] и, независимо, Эренфойх-
том [1961] х).
1.4. Определение теории дано Тарским. Большинство примеров
этого раздела — хорошо известные математические факты. Ссылки
на работы по теории чисел и теории множеств можно найти в тек-
сте. Для более полной информации о раннем этапе развития теории
множеств см. Френкель и Бар-Хиллел [1958]. Книга Сикорского
[1964] является хорошим пособием по теории булевых алгебр.
1.4.2: Кантор [1895].
1.4.4: Стоун [1936].
1.4.10: Штейниц [1910].
Упражнение 1.4.9: Стоун [1936].
Упражнение 1.4.10: Линденбаум (см. Тарский [1935b]).
Упражнение 1.4.15: Тарский [1938].
Упражнение 1.4.18: Мостовский [1949].
1.5. Элиминация кванторов является важным методом в дока-
зательстве положительных результатов, касающихся разрешимо-
сти. Этот раздел содержит только два простых примера.
1.5.3, 4: Ленгфорд [1927].
1.5.7- 9: Тарский [1936].
Упражнение 1.5.7: (i) Беман [1922]; (ii) Шмелёва [1955];
(iii) Тарский [1931]; (iv) Беман [1922].
Упражнения 1.5.8—9: Пресбургер [1930].
Упражнение 1.5.11: Шмелёва [1955].
Замечания к гл. 2
2.1. Теорема о полноте Гёделя была впервые доказана для
счетных языков Гёделем [1930], а в общем случае — Мальцевым
[1936]. Доказательство, приведенное здесь, принадлежит Ген-
кину [1949]. Его доказательство особенно важно в теории моделей
потому, что в нем вводится метод построения моделей из индивид-
ных констант. Теорема Лёвенгейма — Скулема — Тарского была
впервые доказана даже раньше, чем теорема о полноте; случай
а = <о доказан Лёвенгеймом [19151 и Скулемом [1920], а общий
случай — Тарским. Первые же применения теоремы о полноте
Генкиным, Мальцевым, Робинсоном и Тарским дали большой тол-
чок развитию теории моделей. Метод диаграмм появился в рабо-
тах Генкина и Робинсона 2) и привел, естественно, к несчетным
0 И А. Д. Таймановым (Тайманов А. Д., Характеристика аксиомати-
зируемых классов моделей, I, II, ИАН СССР, сер. матем., 25, № 4 (1961),
601—620, 25, № 5 (1961), 755—764. См. также Мальцев А. И., Некоторые
вопросы теории классов моделей, Труды четвертого всесоюзного математи-
ческого съезда, т. I, стр. 169—198, 1963.) — Прим. ред.
2) Метод диаграмм содержался в работе А. И. Мальцева [1936] и был
основным инструментом доказательства теоремы полноты в общем случае.—
Прим- ред.
37 г. Кейслер, Ч. Чэн
578
Исторические замечания
языкам. Нестандартный анализ создан был Робинсоном [1961а,
1966] и разрабатывался в последующие годы разными исследова-
телями в качестве нового подхода к анализу.
2.2.1— 5: Генкин [1949].
Скулем [1920].
Скулем [1934].
Генкин [1953].
2.1.10— 11: Робинсон [1951].
2.1.13: Марчевский-Шпильрайн [1930].
Упражнение 2.1.1: Скулем [1934].
Упражнение 2.1.2: Стоун [1936], Генкин [1954а].
Упражнение 2.1.5: Робинсон [1951].
Упражнение 2.1.12: Генкин [1953].
Упражнения 2.1.13—14: Тарский [1952].
Упражнения 2.1.15—19: Расёва и Сикорский [1950].
2.2. Теорема об со-полноте принадлежит Генкину и Оре,
Позднее различными авторами были получены разнообразные ее
усовершенствования. Одно из них — теорема об опускании типов
2.2.3, восходящая к Гжегорчику, Мостовскому, Рылль-Нардзев-
скому.
Падоа [1901] заметил, что если предложение <р (Р) в языке
X U {Р} имеет две неизоморфные модели, обеднения которых до
моделей языка L изоморфны, то Р не определим явно с помощью
Ф (Р). Теорема Бета обратна методу Падоа и была доказана Бетом
[1953]. Независимо и различными методами были позже доказаны
интерполяционная теорема Крэйга и теорема Робинсона о непро-
тиворечивости, каждая из которых, впрочем, легко влечет за собой
другую. Они выражают одно из основных свойств логики преди-
катов первого порядка. Доказательство теоремы Бета было дано
как Крэйгом, так и Робинсоном. В литературе появился целый ряд
различных доказательств этих результатов. Доказательство, при-
веденное здесь, принадлежит Генкину [1963]. Другое доказатель-
ство, использующее специальные модели, дано в гл. 5.
Материал этого раздела рассмотрен с несколько иной точки
зрения Крайзелем и Кривином [1967].
2.2.9, 10, 15: Гжегорчик, Мостовский, Рылль-Нардзевский
[1961].
2.2.19: Чэн [1964а]; Крайзель и Кривин [1967]»
2.2.13: Генкин [1954Ы; Ори [1956].
2.2.18: Кейслер и Морли [1968].
2.2.20: Крэйг [1957].
2.2.22: Бет [1953].
2.2.23: Робинсон [1956а].
2.2.24: Линдон [1959а].
Упражнение 2,2.10: Мак-Дауэлл и Шпеккер [1961].
Упражнение 2,2.19: Генкин [1963].
Исторические замечания
579
2.3. В изложении этого раздела мы в основном следуем статье
Вота [1961]. Понятия счетно насыщенной и атомной моделей вве-
дены в этой статье. Теорема 2.3.13 — характеризация со-катего-
ричных теорий — была независимо доказана Энгелером [1959],
Рылль-Нардзевским [1959] и Свенониусом [1959а].
2.3.2- 4, 7, 9: Вот [1961].
2.3.13: Энгелер [1959]; Рылль-Нардзевский [1959];
Свенониус [1959а]; Вот [1961].
2.3.15: Вот [1961].
Упражнения 2.3.15, 16: Эренфойхт (см. Вот [1961]).
Упражнение 2.3.17: Морли [1970].
Замечания к гл» 3
3.1. Понятие элементарной цепи (Тарский и Вот [1957]) играет
важную роль в теории моделей. Это понятие и основные резуль-
таты относительно элементарных расширений и элементарных
цепей принадлежат Тарскому и Воту [1957]. Тесно связанное
с ними понятие модельной полноты введено Робинсоном, который
в 1956 г. доказал основные результаты о модельной полноте и дал
несколько примеров модельно полных теорий. Последняя теоре-
ма этого раздела является нетривиальным применением, принад-
лежащим Шенфилду, метода элементарных цепей.
3.1.1— 6, 13: Тарский и Вот [1957].
3.1.10: Лось [1954]; Вот [1954а].
3.1.7, 9: Робинсон [1956Ь].
3.1.12: Линдстрем [1964].
3.1.16: Шенфилд (не опубликовано).
Упражнения 3.1.1, 3.1.3: Тарский и Вот [1957].
Упражнение 3.1.10: Кон[1965,стр.46,предложение 5.9]1).
Упражнения 3.1.22—23: Чэн [1967а].
3.2. До 1962 г. теоремы об устойчивости составляли основу
теории моделей. Позднее, на ранней стадии разработки теории
моделей логики с бесконечными формулами, они также занимали
видное место в этой теории. Различные теоремы об устойчивости
первоначально доказывались различными методами. Более еди-
нообразный метод, представленный здесь, был развит Кейслером
[1960]. Другой подход к теоремам об устойчивости, использующий
насыщенные модели, обсуждается в разд. 5.2.
Мы уже встречались с понятием счетно-насыщенных моделей
в гл. 2. Понятию счетно-однородных моделей положили начало
Крэйг, Йонссон, Морли и Вот; подробное обсуждение имеется
у Морли и Вота [1962]. Понятия теорий Т, допускающих пары
(а, Р) кардиналов, и общая проблематика теорем Лёвенгейма —
х) Страницы указаны пр русскому переводу— Прим, ред.
37*
580
Исторические замечания
Скулема о двух (или более) кардиналах принадлежат Воту; см.
Морли и Вот [1962], Вот [1965а, Ь].
3.2.2: Лось [1955b]; Тарский [1954].
3.2.3: Лось и Сушко [1957]; Чэн [1959].
3.2.4: Линдон [1959с]
3.2.8: Крэйг [1961]; Вот [1958а].
3.2.9: (i), (ii), (iv) — Вот, a (iii) — Крэйг.
3.2.10: Вот (см. Морли и Вот [1962]).
3.2.11: (iii) принадлежит Р. М. Робинсону, a (iv) — Морли (то
и другое не опубликовано).
3.2.12: Вот (см. Морли и Вот [1962])
3.2.14: Кейслер [1966Ь].
Упражнение 3.2.1: Робинсон [1956с].
Упражнение 3.2.2: Кейслер [1960].
Упражнение 3.2.4: Робинсон [1956с].
Упражнение 3.2.10: Крэйг [1961].
Упражнение 3.2.13: Морли и Вот [1962].
Упражнение 3.2.14: Кейслер и Морли [1968].
Упражнение 3.2.18: Кьюкер (не опубликовано).
Упражнение 3.2.19: Кейслер [1970].
3.3. Скулемовские функции восходят к работе Скулема [1920].
Важное понятие неразличимости принадлежит Эренфойхту и Мо-
стовскому [1956]. Теорема об ультрафильтрах, предложение 3.3.6,
впервые доказаны Тарским; об этом же см. замечания к разд. 4.1.
Замечательная теорема Рамсея [1930] была им установлена при
решении такой проблемы: существует ли алгоритм для решения
вопроса, имеет ли универсальное предложение бесконечную мо-
дель. Следствия его комбинаторной теоремы далеко превосходят
первоначальную цель, для которой теорема предназначалась.
3.3.6: Тарский [1930Ь].
3.3.7: v Рамсей [1930].
3.3.8— 13: Эренфойхт и Мостовский [1956].
3.3. 14: Морли [1965а].
Упражнения 3.3.7, 3.3.10—11: Эренфойхт и Мостовский [1956].
Упражнение 3.3.14: Кейслер (не опубликовано).
Упражнение 3.3.15: Ходжес [1969].
Упражнение 3.3.16: Парк (диссертация).
Упражнение 3.3.18:
Упражнения 3.3.19—20:
Кейслер (не опубликовано).
Рабин [1965].
Замечания к гл. 4.
4.1. Конструкция ультрапроизведения восходит к работе Ску-
лема [1934]. Он придумал «ограниченную» ультрастепень для того,
чтобы построить нестандартную модель полной арифметики. Позд-
нее Хьюитт [1948] изучал то, что мы могли бы теперь назвать уль-
Исторические замечания
581
трапроизведением вещественно замкнутых полей. Общая кон-
струкция фильтрованного произведения была введена Лосем
[1955а], и в этой же статье была доказана основная теорема. Фрейн,
Морел, Скотт и Тарский доказали в терминах ультрапроизведений
теорему компактности, ввели понятие естественного вложения
и установили ряд других основных фактов. Это сделало ультра-
произведение важной конструкцией в теории моделей; см. Фрейн,
Морел и Скотт [1962]. О роли ультрапроизведений в теории моделей
см. обзорные статьи Чэна [1967Ь]и Кейслера [1965а]. Книга Белла
и Сломсона [1969] излагает ту часть теории моделей, которую
можно получить, используя лишь конструкцию ультрапроизведе-
ния. Ультрапроизведения, как установлено, полезны и в других
областях математики, особенно в алгебре (Амицур, Акс, Кочен)
и в нестандартном анализе (Люксембург, Робинсон).
4.1.1— 4: Тарский [1930b]; Стоун [1936].
4.1.9: Лось [1955а].
4.1.12— 13: Фрейн, Морел и Скотт [1962]; Кочен [1961].
Упражнение 4.1.30: Деньо (см. Кочен [1961]).
4.2. Улам [1930] поставил проблему, существуют ли измеримые
кардиналы, и доказал, что каждый измеримый кардинал является
недостижимым. Впоследствии было обнаружено много других
математических условий, эквивалентных измеримости, см. Кей-
слер и Тарский [1964]. Новый этап в работе с измеримыми карди-
налами начался с того, что Ханф [1964] и Тарский [1962] показали,
что первый недостижимый кардинал слабо компактен и, следова-
тельно, не является измеримым. Кейслер [1962] применил кон-
струкцию ультрапроизведения для того, чтобы дать другое дока-
зательство неизмеримости первого недостижимого кардинала,
а затем Скотт [1961] использовал ультрапроизведения, чтобы пока-
зать, что существование измеримого кардинала противоречит
аксиоме конструктивности. Работы Ханфа и Скотта [1961] и Кей-
слера и Тарского [1964] показали, что слабо компактные карди-
налы очень велики, а измеримые кардиналы — еще больше. С этих
пор измеримые кардиналы и ультрапроизведения являются одной
из главных тем исследования в теории множеств, особенно в рабо-
тах Гейфмана, Кунена, Роуботтома, Силвера и Соловея. Некоторые
из этих работ излагаются в разд. 7.4.
4.2.4: Фрейн, Морел и Скотт [1962].
4.2.11: Кейслер [1962].
4.2.12: Тарский [1962].
4.2.14: Первое доказательство: Ханф [1964] и Тарский
[1962]; приведенное доказательство: Кейслер [1962].
4.2.18: Скотт [1961].
4.2.19— 23: Скотт [1961]; Кейслер и Тарский [1964].
Упражнение 4.2.6: Кейслер [1962].
582
Исторические замечания
Упражнение 4.2.9: Ханф [1964].
Упражнения 4.2.10—12: Леви [1960]
Упражнение 4.2.13: Ханф [1964].
Упражнения 4.2.14—16: Кейслер и Тарский [1964].
Упражнение 4.2.19: Ханф и Скотт [1961].
Упражнение 4.2.20: Вот [1963а].
Упражнение 4.2.21: Кейслер [1962]; Монк и Скотт [1964];
Тарский [1962]; Ханф и Скотт [1961];
Эрдёш и Тарский [1961].
4.3. Некоторые регулярные ультрафильтры использовались
Фрейном, Морелом, Скоттом и Тарским при доказательстве теоре-
мы компактности и теоремы Фрейна. Они также поставили пробле-
му мощности и по существу доказали предложение 4.3.7 о мощно-
стях ультрастепеней. Понятие a-регулярного ультрафильтра было
введено Кейслером [1964с]. Теорема о двух кардиналах 4.3.10
и ее следствия были доказаны Чэном и Кейслером. Это пример
теоремы, в утверждении которой не упоминаются ультрапроизве-
дения, а доказательство существенно использует понятие ультра-
степени.
4.3.7: Фрейн, Морел и Скотт [1962]; Кейслер [1964с].
4.3.9: Кейслер [1964с].
4.3.10— 11: Чэн и Кейслер [1962].
4.3.12: Фрейн, Морел и Скотт [1962]; Кейслер [1967а].
4.3.14: Морли и Вот
Упражнение 4.3.11:
Упражнение 4.3.12:
Упражнения 4.3.13, 14:
Упражнения 4.3.15, 16:
Упражнение 4.3.28:
Упражнения 4.3.29, 30:
Упражнение 4.3.32:
Упражнение 4.3.34:
Упражнение 4.3.35:
Упражнение 4.3.36:
[1962].
Кейслер (не опубликовано).
Чэн [1967с] с ОКГ, Кунен и Прикри
[1971] без ОКГ.
Фрейн, Морли и Скотт [1962].
Кейслер [1964с].
Ходжес (не опубликовано).
Кейслер [1963]; Кочен [1961].
Кейслер [1967а].
Кейслер (см. Чэн, [1967с]).
Волкоу (см. Кейслер [1968b]).
Бенда [1969]; Кейслер [1968Ь].
Замечания к гл. 5
5.1. Понятия a-насыщенной и насыщенной моделей восходят
к ца-множествам Хаусдорфа [1914]. Их важность для теории
моделей была понята не сразу, они не использовались в ней до
конца 50-х годов. Йонссон [1956, 1960] изучал понятия универ-
сальной (a-универсальной) и однородной (a-однородной) моделей.
В современных формулировках в рамках теории моделей эти
понятия приведены также у Морли и Вота [1962]. В этой работе
впервые были доказаны многие результаты, связывающие насы-
Исторические замечания
583
щенные и специальные модели с универсальными и однородными
моделями. Понятием специальной модели мы обязаны Морли и Воту
[1962]. Определение специальной модели, приведенное здесь,
принадлежит Чэну и Кейслеру [1966] и является более простым,
чем первоначальное.
5.1.4, 5: Вот (см. Морли и Вот [1962]).
5.1.8, 9: Морли и Вот [1962].
5.1.12— 14; Вот (см. Морли и Вот [1962]).
5.1.16, 17: Морли и Вот [1962].
5.1.19— 22: Кейслер и Морли [1967].
Большинство более легких упражнений этого раздела взяты
либо из работы Морли и Вота [1962], либо из Чэна и Кейслера
[1966].
Упражнения 5.1.9—13, 15, 16: Кейслер и Морли [1967].
5.2. Большинство теорем об устойчивости были доказаны до то-
го, как были введены насыщенные модели. Тем не менее насыщен-
ные модели позволяют найти единый подход к этим вопросам.
5.2.3, 4: Лось [1955b], Робинсон [1956с], Тарский [1954].
5.2.6: Эквивалентность (i) и (ii) доказана Лосем и Сушко
[1957] и Чэном [1959]; (iii) — Кейслером [1960].
5.2.7, 8: Кейслер [1960].
5.2.11: Морли и Вот [1962].
5.2.13: Линдон [1959с].
5.2.14, 15: Чэн [1959], уточняя более ранние результаты
Робинсона [1951].
5.2.16: Вот [1963Ь].
Упражнение 5.2.1: Тарский [1955].
Упражнение 5.2.2: Вот [1954Ь].
Упражнение 5.2.3: Тарский [1954], Лось [1955Ь].
Упражнение 5.2.4: Пример впервые был обнаружен Фра-
иссе (не опубликовано).
Упражнения 5.2.6, 7: Кейслер [1960].
Упражнение 5.2.8: Кочен [1961].
Упражнение 5.2.10: Чэн [1959].
Упражнение 5.2.12: Рабин [1960, 1962].
Упражнение 5.2.13: Парк (диссертация).
Упражнения 5.2.15, 17: Чэн (не опубликовано).
Упражнения 5.2.19—25: Кейслер [1965с].
Упражнение 5.2.26: Феферман [1968].
5.3. Отправной точкой для разд. 5.3 служат теорема Бета
и теорема Крэйга, доказанные в разд. 2.2. Теорема об определи-
мости и интерполяционная теорема выявляют интересные связи
между теоретико-модельными утверждениями в языке X и син-
таксическими утверждениями в его обогащениях.
584
Исторические замечания
5.3.1: Это в значительной степени упрощенный вариант
результата Чэна и Московакиса [1968]. Доказатель-
ство, приведенное здесь, дано Кьюкером [1970].
5.3.2: Чэн [1968с].
5.3.3: Свенониус [1959а].
5.3.4, 5: Кьюкер [1970].
5.3.6: Чэн [1964b], Маккей [1964]. Вот впервые указал, что
ОКГ не является необходимой для доказательства
этого результата; приведенное здесь доказательство
принадлежит Чэну.
Упражнение 5.3.2: Чэн (не опубликовано).
Упражнения 5.3.5, 6, 8: Кьюкер [1970].
Упражнение 5.3.9: Робинсон [1965].
Упражнения 5.3.10, 11: Чэн [1964Ь].
Упражнение 5.3.12: Кьюкер [1970].
Упражнение 5.3.15: Чэн [1964Ь].
Упражнения 5.3.16, 17: Кьюкер [1970].
Упражнение 5.3.18: Рейес [1970]; приведенное здесь до-
казательство принадлежит Чэну.
Упражнение 5.3.19: Это отрицательное решение, полу-
ченное Чэном, проблемы, постав-
ленной Мостовским.
5.4. ца-множества Хаусдорфа являются предвестниками соа-
насыщенных моделей.
В первоначальном доказательстве Тарского полноты теории
вещественно замкнутых полей использовался метод элиминации
кванторов и давалась разрешающая процедура для этой теории.
Позднее Эрдёш, Гиллман и Хенриксен [1955] доказали, что любые
два вещественно замкнутых поля мощности (Oj, порядки которых
суть тц-множества, изоморфны. Кочен заметил, что этот результат
плюс существование (^-насыщенных моделей мощности дают
новое доказательство теоремы Тарского. Настоящее доказатель-
ство является упрощением доказательства Кочена.
Теорема 5.4.6 впервые была доказана Робинсоном [1959, 1961b]
в частных случаях, когда U либо является вещественно замкну-
тым полем или алгебраически замкнутым полем, либо эквивалент-
но полю рациональных чисел. Робинсон поставил вопрос, будет ли
эта теорема справедлива в общем случае. Кейслер [1964а] дал
на него положительный ответ.
Теорема 5.4.12 была доказана независимо Аксом и Коченом
[1965а, Ь, 1966] и Ершовым [1965]. Приведенным здесь изложе-
нием мы в значительной мере обязаны Роуботтому. Применения,
включая гипотезу Артина, также приведены в этих работах.
Гипотеза Артина служит замечательным примером проблемы
из алгебры, которая не поддается чисто алгебраическим методам,
Исторические замечания
585
но была изящно решена с использованием методов теории моделей.
Еще одна трактовка, основанная на элиминации кванторов, раз-
работана Коэном.
5.4.4: Тарский и Мак-Кинси [1948]; Кочен [1961].
5.4.6: Кейслер [1964а].
5.4.12— 19: Акс и Кочен [1965а, Ь, 1966]; Ершов [1965].
Упражнение 5.4.1: Хаусдорф [1914].
Упражнение 5.4.2: Эрдеш, Гиллман и Хенриксен [1955].
Упражнение 5.4.4: Робинсон [1956b].
Упражнения 5.4.8, 9: Кейслер [1964а].
Упражнение 5.4.10: Робинсон [1956Ы-
Упражнение 5.4.12: Пресбургер [1930].
Упражнения 5.4.19—26: Акс и Кочен [1965а, Ь, 1966]; Ершов
[1965].
5.5. Основная теорема, теорема 5.5.10, так же как и определе-
ние инвариантов, принадлежат Тарскому. Этот результат был
переоткрыт Ершовым [1964]. Настоящее доказательство принадле-
жит Кейслеру.
5.5. 10: Тарский [1949].
Упражнения 5.5.8, 10—14: Кейслер (не опубликовано).
Упражнение 5.5.15: Мостовский и Тарский [1949]. Для
пунктов (ii) и (iii) требуется метод
Эренфойхта, изложенный в упр.
1.3.15-1.3.20.
Замечания к гл. 6
6.1. Понятие хорошего ультрафильтра, теоремы о существо-
вании хороших ультрафильтров (в предположении ОКГ) и о насы-
щенности хороших ультрапроизведений, а также теорема об изо-
морфизме ультрастепеней (в предположении ОКГ) принадлежат
Кейслеру. Существование хороших ультрафильтров без ОКГ,
а именно теорема 6.1.4, доказано Куненом. Теорема об изомор-
физме доказана без ОКГ Шелахом [1972b].
6.1.1: Кейслер [1960, 1964d]
6.1.4: Кейслер [1964b] с ОКГ; Кунен [1972] без ОКГ.
6.1.6: Кейслер [1964d].
6.1.7: (i) принадлежит Кетонену (не опубликовано); (ii),
(iii) доказано Куненом [1972].
6.1.9: Кейслер [1961, 1964d].
6.1.10- 15: Шелах [1972Ь].
6.1.16, 17: Кейслер [1961]; ОКГ элиминирована Шелахом
[1972Ь].
Упражнение 6.1.1: Кейслер [1964d].
Упражнение 6.1.3: Кейслер [1967а].
Упражнения 6.1.4, 5: Кейслер [1964b] с ОКГ: Кунен [1972]
без ОКГ.
586
Исторические замечания
Упражнение 6.1.6: Кейслер [1965Ь].
Упражнение 6.1.10: Чэн [1960].
Упражнения 6.1.11—13: Шелах [1972Ы.
Упражнение 6.1.14: Кейслер [1961].
Упражнения 6.1.15—18: Кейслер [1967а].
Упражнение 6.1.20: Кейслер [1967Ь].
Упражнение 6.1.21: Кейслер (см. Бенда [1970]).
Упражнение 6.1.22: Бенда [1970].
Упражнение 6.1.23: Кейслер [1967Ь].
Упражнения 6.1.24, 25: Шелах (не опубликовано).
6.2. Прямые произведения, фильтрованные произведения и
ультрапроизведения — все они играют важную роль в теории
моделей. Фильтрованные произведения изучались Фрейном, Море-
лом и Скоттом [1962]; некоторые из основных идей восходят также
к Чэну, Лосю [1955а] и Тарскому. Характеризация универсаль-
ных предложений, устойчивых относительно прямых произведе-
ний, данная в предложении 6.2.8, является самым ранним резуль-
татом об устойчивости Мак-Кинси [1943]. Тот факт, что хорнов-
ские предложения устойчивы относительно прямых произведений,
был доказан Хорном [1951], а их устойчивость относительно филь-
трованных произведений доказана Чэном. Обратный результат,
что предложения, устойчивые относительно фильтрованных про-
изведений, эквивалентны хорновским предложениям, был дока-
зан Кейслером [1965d] в предположении континуум-гипотезы.
Континуум-гипотеза была элиминирована Галвином [1965].
6.2.1: Фрейн, Морел и Скотт [1962].
6.2.2: Чэн (см. названную выше работу).
6.2.3: Чэн и Морел [1958].
6.2.4— 6: Кейслер [1965Ь].
6.2.7: Галвин [1965].
6.2.8: Мак-Кинси [1943].
6.2.9: Линдон [1959Ь].
Упражнения 6.2.7, 8: Кейслер [1965Ь].
Упражнение 6.2.10: Линдон [1959d].
Упражнение 6.2.11: Галвин [1965].
Упражнение 6.2.12: Тарский(см. Фрейн, Морел и Скотт [1962]).
Упражнение' 6.2.13: Биркгоф [1935]. Здесь приведено доказа-
тельство Чэна.
Упражнение 6.2.14: Кейслер [1965d].
Упражнение 6.2.15: Бенда [1970].
6.3. Понятие определяющей последовательности принадлежит
Феферману и Воту [1959] и восходит к более ранним идеям Вота
[1954с] и Мостовского [1952]. Приведенное здесь определение содер-
жит усовершенствования, внесенные Вайнштейном [1965]. Общим
изложением этого раздела мы в большой степени обязаны Вайн-
Исторические замечания
587
штейну [1965] и Галвину [1965]. Результаты Галвина и Вайнштей-
на содержатся в их докторских диссертациях 1965 г., приблизи
тельно в то же время доказана и теорема Ершова [1964].
6.3.2: Феферман и Вот [1959].
6.3.3: Вайнштейн [1965].
6.3.4: Феферман и Вот [1959].
6.3.6, 8: Вайнштейн [1965].
6.3.9: Вайнштейн [1965], Галвин [1965].
6.3.13: Галвин [1965].
6.3.14: Вот [1954с].
6.3.18, 19:Галвин [1965].
6.3.20: Ершов [1964].
Упражнение 6.3.1: Обершельп [1958].
Упражнения 6.3.2—4: Вайнштейн [1965].
Упражнение 6.3.5: Аппель [1959]. Приведенным здесь
простым доказательством мы обязаны
Вайнштейну.
Упражнение 6.3.10: Маккей [1965].
Упражнение 6.3.11: Галвин (не опубликовано).
Упражнение 6.3.12: Галвин [1965].
Упражнение 6.3.13: Чэн, Галвин.
Упражнение 6.3.14: Галвин [1965].
6.4. Пополнение Я# модели 21 введено Рабином [1959]. В этой
работе Рабин доказал теорему 6.4.5 для частного случая, когда
а — достижимый кардинал и выполняется ОКГ. В работе Кейсле-
ра [1963] введено понятие предельной ультрастепени и доказаны
три теоремы из этого раздела, причем теорема 6.4.5 в приведенном
здесь общем виде. Наше изложение основано на более простых
доказательствах, найденных Линдстремом для теоремы 6.4.4
и Чэном для теоремы 6.4.5. Бласс (не опубликовано) дал другое
доказательство теоремы 6.4.10. Более общую конструкцию пре-
дельного ультрапроизведения см. у Кейслера [1965а] и Коппер-
мана [1972]. Конструкция, намеченная в упр. 6.4.30, похожа на
первоначальную конструкцию «ограниченной» ультрастепени
Скулема.
6.4.4: Кейслер [1963], Линдстрем [1968].
6.4.5: Рабин [1959], Кейслер [1963], Чэн [1965Ь].
6.4.6— 11: Кейслер [1963].
6.4.12— 14: Кейслер [1965а].
Упражнение 6.4.12: Кейслер [1963].
Упражнение 6.4.13: Кейслер [1965а].
Упражнения 6.4.16—26: Кейслер [1963].
6.5. Конечные итерации ультрастепеней были разработаны
Фрейном, Морелом и Скоттом [1962]. Бесконечные итерации были
введены Гейфманом [1967]. Наше изложение — это упрощение
588
Исторические замечания
работы Гейфмана. Гейфман использовал теоретико-категорный
подход вместо того, чтобы использовать понятие функции, дей-
ствующей на конечном множестве. Независимо Кунен [1970] раз-
работал итерированные ультрастепени, причем по существу тем же
способом, как и в нашем изложении в этом разделе, и еще более
обобщил их конструкцию для того, чтобы с ее помощью изучать
модели теории множеств и измеримые кардиналы.
6.5.1, 2: Фрейн, Морел, Скотт [1962].
6.5.6— 10: Гейфман [1967].
6.5.11, 12: Кейслер (не опубликовано).
6.5.14: Гейфман [1967].
Упражнения 6.5.1—4: Фрейн, Морел, Скотт [1962].
Упражнение 6.5.16: Кейслер [1963], Кочен [1961].
Упражнения 6.5.22—29: Гейфман [1967].
Упражнение 6.5.32: Кейслер [1965а].
Упражнение 6.5.34: Кейслер [1967а].
Замечания к гл. 7
7.1. Лось высказал свою гипотезу в работе [1954]. Преж-
де чем Морли доказал гипотезу в общем случае, Вот доказал ее
частный случай: если а > со есть предельный кардинал и Т кате-
горична во всех мощностях, меньших, чем а, то она категорична
в мощности а. Первоначальное доказательство теоремы Морли
использовало понятие ранга трансцендентности. Это понятие дает
мощный способ классификации типов элементов. Настоящее более
простое доказательство выполнено Балдуином и Лахланом, исполь-
зовавшими методы Кейслера и Марша. Понятие стабильной теории
введено Морли, который использовал термин «тотально трансцен-
дентная теория». Двумя наиболее любопытными результатами
в теории категоричности являются утверждение 7.1.27, принадле-
жащее Балдуину и Лахлану, и утверждение 7.1.25, принадлежа-
щее Шелаху.
7.1.1: Морли [1965а]. (Доказательство Кейслера.)
7.1.3: Морли [1965а]. (Доказательство Силвера, не опу-
бликовано.)
7.1.4— 12: Морли [1965а].
7.1.13: Балдуин и Лахлан [1971].
7.1.14- 23: Морли [1965а].
7.1.24: Шелах [1972а].
7.1.25: Шелах [1970d].
7.1.26: Кейслер [1971b], Шелах [1970а].
7.1.27, 28: Балдуин и Лахлан [1971].
7.1.29- 32: Шелах [1971d].
Упражнение 7.1.3: Силвер (не опубликовано).
Упражнения 7.1.4—6: Кейслер [1971а].
Упражнение 7.1.13: Эренфойхт [1957], Морли [1965а].
Исторические замечания
589
Упражнения 7.1.14, 15: Кейслер [1971а], [1967b].
Упражнение 7.1.16: Силвер (не опубликовано), Рессейр
[1969], Роуботтом (не опубликовано).
Упражнения 7.1.17, 18: Морли [1965с].
Упражнение 7.1.19: Кейслер [1970].
7.2. Основными темами этого раздела являются теорема Морли
об опускании типов и некоторые теоремы Чэна и Вота относитель-
но проблемы двух кардиналов. Кроме методов неразличимых
элементов и насыщенных моделей, мы вводим принадлежащий
Морли метод, использующий теорему о разбиении Радо — Эрдёша
для построения моделей со специальными свойствами. Раздел
заканчивается обсуждением гипотезы об тг-разрыве и связанных
с ней проблем, что естественно приводит нас к вопросам, рас-
сматриваемым в следующем разделе.
7.2.1: Эрдёш и Радо. Изящное теоретико-модельное дока-
зательство, приводимое здесь, принадлежит С. Симп-
сону.
7.2.2— 4: Морли [1965Ь].
7.2.5: Морли и Морли [1967] (с V = L); Силвер (не опубли-
ковано, без V = L); настоящее доказательство при-
надлежит Чэну [1968b].
7.2.6: Вот [1965b]; по существу настоящим доказательством
мы обязаны Морли [ 1965b].
7.2.7: Чэн [1965а].
7.2.8: Йенсен (не опубликовано).
7.2.10: Шпеккер [1949].
7.2.11: Роуботтом и, независимо, Силвер (не опубликовано).
7.2.12: Митчелл и Силвер (не опубликовано).
7.2.13: Вот [1965а].
7.2.14: Соловей (не опубликовано).
7.2.15: Силвер, в AMS Set Theory.
Упражнения 7.2.1—4: Морли [1965b].
Упражнение 7.2.5: Чэн [1968b]; контрпример был найден независимо Шелахом [1971а] и Шмер- лом (не опубликовано).
Упражнение 7.2.6: Хеллинг [1964].
Упражнение 7.2.7: Морли [1965b], Морли и Морли [1967]; см. примечание к 7.2.5.
Упражнение 7.2.8: Говард (не опубликовано), Морли (не опубликовано), Шелах [1971а].
Упражнения 7.2.10, 12: Вот [1965Ы.
Упражнение 7.2.13: Встречается у нескольких авторов,
среди них Морли [1965b], Лопес-Эс-
кобар [1965b], Хеллинг [1964], Чэн
[1968Ь].
590
Исторические замечания
Упражнение 7.2.15:
Упражнение 7.2.16:
Упражнение 7.2.17:
Упражнение 7.2.18:
Упражнение 7.2.19:
Упражнения 7.2.20, 21:
Упражнение 7.2.25:
Упражнение 7.2.28:
Упражнение 7.2.30:
Упражнение 7.2.31:
Упражнение 7.2.33:
Чэн [1965а].
Вот [1965b].
Вот’ [1965а].
д-ру
Вот [1965Ь].
Кейслер [1971а].
Шпеккер [1949].
Кунен (не опубликовано).
Морли (см. Кейслер и Морли [1968]).
Кейслер [1966а].
7.3. Кардиналы Рамсея были введены Эрдёшем и его школой,
и мы обязаны им различными комбинаторными результатами,
например см. Эрдёш, Хайнал и Радо [1965]. Основными теоретико-
модельными результатами в этом разделе являются теоремы|Роу-
боттома и Силвера.
7.3.5: Вот [1965Ь].
7.3.6: Силвер (не опубликовано).
7.3.7: Эрдёш и Хайнал [1966].
7.3.8: Фуркен [1964].
7.3.9: Эрдёш [1942].
7.3.10: Силвер, Шенфилд (оба не опубликованы).
7.3.11: Эрдёш и Тарский [1961].
7.3.12: Ханф [1964].
7.3.13: Роуботтом [1964].
7.3.14: Эрдёш и Хайнал [1958, 1962].
7.3.15, 16: Роуботтом [1964].
7.3.16 (ii): Также Эрдёш и Хайнал [1966].
7.3.17( a),(Ь): Прикри [1968]; (с) Кунен [1970].
7.3.18: Силвер [1966].
Упражнения 7.3.9, 10: Роуботтом [1964].
Упражнение 7.3.12, 13:
Упражнение 7.3.15:
Упражнение 7.3.16:
Упражнения 7.3.18:
Упражнение 7.3.19:
Упражнение 7.3.21:
Упражнение 7.3.22:
Эрдёш и Хайнал.
Для п — 1 Галвин (не опубликовано),
в общем случае Роуботтом (не опубли-
ковано), Эрдёш и Хайнал [1966], Чэн
(не опубликовано).
Шенфилд (не опубликовано).
Роуботтом [1964].
Силвер [1966].
Ханф [1964].
Хеллинг [1965]; данное докаэатель
ство принадлежит Кейслеру.
Упражнения 7.3.23—26: Силвер [1966].
Упражнение 7.3.27: Роуботтом [1964].
Упражнение 7.3.28: Кейслер и Скотт (не опубликовано).
Исторические замечания
591
Упражнение 7.3.29: Роуботтом [1964].
Упражнение 7.3.30: Прикри [1968].
Упражнения7.3.31—35: Силвер [1966].
Упражнение 7.3.37: Силвер [1966].
Упражнение 7.3.40: Ханф [1964].
Упражнение 7.3.41: Силвер [1966].
Упражнения 7.3.42—43 Фуркен [1964].
Упражнение 7.3.44: Мак-Дауэлл и Шпеккер [1961].
Упражнение 7.3.45: Фуркен [1964].
Упражнение 7.3.46: Кейслер [1968а].
Упражнение 7.3.48: Шмерл и Шелах [1969].
Упражнение 7.3.49: Шмерл [1969].
Упражнение 7.3.50: Мак-Кензи [1971].
7.4. Аксиома конструктивности и основные свойства конструк-
тивных множеств введены Гёделем [1939, 1940] для доказатель-
ства того, что непротиворечивость ZF влечет за собой непротиворе-
чивость ZFC + ОКГ. Этот раздел основывается главным образом
на работе Гейфмана и Роуботтома, а затем и Силвера. Используя
итерированные ультрастепени, Гейфман доказал, что если суще-
ствует измеримый кардинал а > со, то все следствия теоремы 7.4.7
справедливы. Независимо Роуботтом доказал, что если существует
кардинал Рамсея, то справедлив пункт (i) теоремы 7.4.7. Исполь-
зуя методы, развитые в последнем разделе, Силвер доказал теоре-
му 7.4.7 в ее настоящем виде. Она улучшает как результат Гейф-
мана, так и результат Роуботтома. Другие два основных резуль-
тата этого раздела, теоремы 7.4.10 и 7.4.12, принадлежат Кейслеру
и Роуботтому. Роуботтом первый доказал, что любой нетривиаль-
ный случай гипотезы Чэна противоречит аксиоме конструктив-
ности.
7.4.1— 6: Гёдель [1939, 1940].
7.4.7, 8: Силвер [1966].
7.4.10: Кейслер и Роуботтом [1965].
7.4.11: Кунен [1970].
7.4.12: Кейслер и Роуботтом [1965].
Силвер [1966].
Соловей [1967].
Силвер [1966].
Роуботтом [1964].
12: Силвер [1966].
Кунен [1970].
Соловей [1967].
Гейфман
Чэн [1968а].
Упражнения 7.4.2, 3:
Упражнение 7.4.4:
Упражнение 7.4.5:
Упражнения 7.4.6—7:
Упражнения 7.4.8, 10—
Упражнение 7.4.13:
Упражнения 7.4.15—16
Упражнение 7.4.17:
Упражнение 7.4.18:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Аддисон, Генкин и Тарский,” ред. (Addison J. W., Henkin L., Tarski A.t
eds.)
[1965] The Theory of Models, North-Holland, Amsterdam.
Акс и Кочен (Ax J., Kochen S.)
[1965a] Diophantine problems over local fields, I, Amer. J. Math., 87, 605—
630.
[1965b] Diophantine problems over local fields, II, A complete set of axioms
for p-adic number theory, Amer. J. Math., 87, 631—648.
[1966] Diophantine problems over local fields, III, Decidable fields, Ann.
of Math., 83, 437—456.
Аппель (Appel К. I.)
[1959] Horn sentences in identity theory, J. Sy mb. Logic, 24, 306—310.
Балдуин и Лахлан (Baldwin J. T., Lachlan A. H.)
[1971] On strongly minimal sets, J Symb. Logic, 36, 79—96.
Барвайз (Barwise J.)
[1975] Some Eastern two-cardinal theorems, inlnt. Cong, of Logic, Methodo-
logy, and Phil, of Sci. at London, Okt. 1975.
Белл и Сломсон (Bell J. L., Slomson A. B.)
[1969] Models and Ultraproducts, North-Holland, Amsterdam.
Беман (Behmann H.)
[1922] Beitrage zur Algebra der Logik, insbesondere zur Entscheidungsprob-
lem, Math. Ann. 86, 163—229.
Бенда (Benda M.)
[1969] Reduced products and nonstandard logics, J. Symb. Logic, 34, 424—
436.
[1970] Reduced products, filters and Boolean ultrapowers, Ph. D. Thesis,
Univ, of Wisconsin; а также Ann. Math. Logic, 4 (1972), 1—31.
Бенда и Кетонен (Benda M., Ketonen J.)
[1974] Regularity of ultrafilters, Israel J. Math., 17, 231—240.
Бернайс (Bernays P.)
[1937] A system of axiomatic set theory, Parts I—V, J. Symb. Logic, 2 [1937],
65—77; 6 (1941], 1 — 17; 7 [1942], 65-89; 7 [1942], 133—145; 8 [1943],
89—106.
Бет (Beth E. W.)
[1953] On Padoa’s method in the theory of definition, Koninkl. Ned. Akad.
Wetensch. Proc., Ser. A, 56 ( = Indag. Math. 15), 330—339.
Биркгоф (Birkhoff G.)
[1935] On the structure of abstract algebras, Proc. Cambridge Phil. Soc.,
31, 433—454.
[1961] Lattice Theory, A. M. S. Colloq. Publ., Vol. 25, Amer. Math. Soc.,
Providence, R. I. [Русский перевод издания 1948 г.: Биркгоф Г.,
Теория структур, ИЛ, М., 1952.]
Список литературы
593
Вайнштейн (Weinstein J. М.)
[1965] First-order properties preserved by direct product, Ph. D. Thesis,
Univ, of Wisconsin, Madison, Wise.
Вот (Vaught R.)
[1954a] Applications] of the Lowenheim — Skolem — Tarski theorem to
problems of completeness and decidability, Koninkl. Ned. Akad. We-
tensch. Proc., Ser. A, 57 (= Indag. Math., 16), 467—472.
[1954b] Remarks on universal classes of relational systems, Koninkl. Ned.
Akad. Wetensch. Proc., Ser. A, 57, (= Indag. Math., 16), 589—
591.
[1954c]On sentences holding in direct products of relational system, Proc.
Intern. Congr. of Mathematicians, Amsterdam, 1954, 2, Noordhoff,
Groningen, 409.
[1958a]Prime models and saturated models, Notices Amer. Math. Soc., 5, 780.
[1958b]Homogeneous universal models of complete theories, Notices Amer.
Math. Soc., 5, 775.
[1961] Denumerable models of complete theories, in Infinitistic Methods,
Pergamon, London, 303—321.
[1963a]Indescribable cardinals, Notices A mer. Math. Soc., 10, 126.
[1963b]Elementary classes of models closed under descending intersection,
Notices Amer. Math. Soc., 10, 126.
[1965a]The Lowenheim — Skolem Theorem, in Logic, Methodology and Phi-
losophy of Science, Y. Bar-Hillel, ed., North-Holland, Amsterdam,
81—89.
[1965b]A Lowenheim — Skolem Theorem for cardinals far apart, in The Theory
of Models, J. W. Addison, L. Henkin and A. Tarski, eds., North-
Holland, Amsterdam, 390—401.
Галвин (Galvin F.)
[1965] Horn sentences, Thesis, Univ, of Minnesota.
[1967] Reduced products, Horn sentences, and decision problems, Bull. Amer*
Math. Soc., 73, 59—64.
[1968] A generalization of Ramsey’s Theorem, Notices Amer. Math. Soc.,
15, 548.
[1970] Horn sentences, Ann. Math. Logic, 1, 389—422.
Гейфман (Gaifman H.)
[1967] Uniform extension operators for models, in Sets, Medels and Recursion
Theory, J. N. Crossley, ed., North-Holland, Amsterdam, 122—155.
Генкин (Henkin L. A.)
[1949] The completeness of the first-order functional calculus, J. Symb. Lo-
gic, 14, 159—166.
[1953] Some Interconnections between modern algebra and mathematical
logic, Trans. Amer. Math. Soc., 74, 410—427.
[1954a]Metamathematical theorems equivalent to the prime ideal theorems
for Boolean algebras, Prelim. Rept., Bull. Amer. Math. Soc., 60, 387—
388.
[1954b]A generalization of the concept of ©-consistency, J. Symb. Logic, 19,
183—196.
[1963] An extension of the Craig — Lyndon interpolation theorem, J. Symb.
Logic, 28, 201 — 216.
Гёдель (Godel K.)
[1930] Die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkiils,
Monatsh. Math. Phys., 37, 349—360.
[1931] Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und
verwandter Systeme, I, Monatsh. Math. Phys., 38, 173—198.
1/2 38 Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
594
Список литературы
[1939] Consistency proof for the generalized continuum hypothesis, Proc.
Natl. Acad. Sci. U. S. A., 25, 220—224.
[1940] The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Con-
tinuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Ann. Math. Stu-
dies, 3, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J. [Русский перевод:
Гёдель К., Совместимость аксиомы выбора и обобщенной конти-
нуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, У МН, 8 (1948), вып.
1, 96-149.]
Гжегорчик, Мостовский и Рылль-Нардзевский (Grzegorczyk A., Mostowski А.
Ryll-Nardzewski С.)
[1961] Difinability of sets in models of axiomatic theories, Bull. Acad. Po-
lon. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 9, 163—167.
Гретцер (Gratzer G.)
[1968] Universal Algebra, Van Nostrand, New York.
Ершов Ю. Л.
[1964] Разрешимость элементарной теории дистрибутивных структур с
относительными дополнениями и теории фильтров, Алгебра и логика
(семинар), 3 (3), 17—38.
[1965] Об элементарной теории максимальных нормированных полей,
ДАН СССР, 165 (1), 24—26.
Йех (Jech Т.)
[197la]Lectures in Set Theory, Lecture Notes in Math., 27, Springer, Ber-
lin. [Русский перевод: Йех T., Теория множеств и метод форсинга,
«Мир», М., 1973.]
[1971b]Trees, J. Symb. Logic, 36, 1 —14.
Йонссон (Jonsson В.)
1956] Universal relational systems, Math. Scand., 4, 193—208.
I960] Homogeneous universal relational systems, Math. Scand., 8, 137—142.
Камке (Kamke E.)
[1950] The Theory of Sets, transl. by F. Bagemihl, Dover.
Канамори, Рейнхарт и Соловей (Kanamori A., Reinhardt W., Solovay R.)
[1976] Strong axioms of infinity and elementary embeddings, to appear.
Кантор (Cantor G.)
[1895] Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann.,
96, 481—512. English transl.: Contributions to the Founding of the
Theory of Transfinite Numbers, Dover Publications, New York, 1915.
Кейслер (Keisler H. J.)
[1960] Theory of models with generalized atomic formulas, J. Symb. Logic,
25, 1—26.
[1961] Ultraproducts and elementary classes, Koninkl. Ned. Akad. Wetensch.
Proc., Sec A, 64 (= Indag. Math., 23), 477—495.
[1962] Some applications of the theory of models to set theory, in Logic,
Methodology and Philosophy of Science, E. Nagel, P. Suppers and
A. Tarski, eds., Stanford Univ. Press, Standford, Calif., 80—86.
[1963] Limit ultrapowers, Trans. Amer. Math. Soc., 107, 383—408.
[1964a]Complete theories of algebraically closed fields with distinguished
subfields, Michigan Math. J., 11, 71—81.
[1964b]Good ideals in fields of sets, Ann. Math., 79, 338—359.
[1964c]On cardinalities of ultraproducts, Bull. Amer. Math. Soc., 70, 644—
647.
[1964d]Ultraproducts and saturated models, Koninkl. Ned. Akad. Wetensch.
Proc., Ser. A, 67 (= Indag. Math., 26), 178—186.
Список литературы
595
[1965а]A survey of ultraproducts, in Logic, Methodology and Philosophy of
Science, Y. Bar-Hillel, ed., North-Holland, Amsterdam, 112—126.
1965b]Limit ultraproducts, J. Symb. Logic, 30, 212—234.
1965c]Some applications of infinitely long formulas, J. Symb. Logic, 30,
339—349.
[1965d]Reduced products and Horn classes, Trans. Amer. Math. Soc.. 117,
307—328.
[1966a]First order properties of pairs of cardinals, Bull. Amer. Math. Soc.,
72, 141—144.
1966b]Some model-theoretic results for co-logic, Israel J. Math.. 4, 249—261.
1967a]Ultraproducts of finite sets, J. Symb. Logic., 32, 47—57.
1967b]Ultraproducts which are not saturated, J. Symb. Logic, 32, 23—46.
1968a]Models with orderings, in Logic, Methodology and Philosophy of Scien-
ce, B. van Rootselaar and J. F. Staal, eds., North-Holland, Amster-
dam, 35—62.
[1968b]Formulas with linearly ordered quantifiers, in The Syntax and Seman-
tics of Infinitary Languages, Lecture Notes in Math., 72, J. Barwise,
ed., Springer, Berlin, 96—130.
[1970] Logic with the quantifier «there exist uncountably many», Ann. Math.
Logic. 1, 1—93.
[1971a]Model Theory for Infinitary Logic, North-Holland, Amsterdam.
[1971b]On theories categorical in their own power, J. Symb. Logic, 36, 240—
244.
Кейслер и Морли M. (Keisler Н. J., Morley M.)
[1967] On the number of homogeneous models of a given power, Israel J.
Math., 5, 73—78.
[1968] Elementary extensions of models of set theory, Israel J. Math., 6,
49-65.
Кейслер и Роуботтом (Keisler H. J., Rowbottom F.)
[1965] Constructible sets and weakly compact cardinals, Notices Amer. Math.
Soc., 12, 373.
Кейслер и Тарский (Keisler H. J., Tarski A.)
[1964] From accessible to inaccessible cardinals, Fund. Math., 53, 225—308.
Келли (Kelley J. L.)
[1955] General Topology, Van Nostrand. [Русский перевод: Келли Дж.,
Общая топология, «Наука», М., 1968.]
Кетонен (Ketonen J.)
[1976] Some remarks on ultrafilters, Notices Amer. Math. Soc., 75, A—325
(abstract).
Клейнберг (Kleinberg E.)
[1972] The equiconsistency of two large cardinal axioms (abstract), Noti-
ces Amer. Math. Soc., 16, A—329.
Koh (Cohn P. M.)
[1965] Universal Algebra, Harper and Row, London. [Русский перевод:
Кон П., Универсальная алгебра, «Мир», М., 1968.]
Копперман (Kopperman R.)
[1972] Model Theory and its Applications, Allyn and Bacon.
Кочен (Kochen S. B.)
[1961] Ultraproducts in the theory of models, Ann. of Math., Ser. 2, 74, 221 —
261.
Коэн (Cohen P. J.)
[1963] The independence of the continuum hypothesis, Proc. Natl. Acad.
38*
596
Список литературы
Sci. U.S.A. 50, 1143—1148; 51 (1964) 105—110. [Русский перевод:
Коэн IL, Независимость континуум-гипотезы, Математика, 9:4
(1965), 142—155.]
[1966] Set Theory and the Continuum Hypothesis, Benjamin, New York.
[Русский перевод: КоэнП., Теория множеств и континуум-гипотеза,
«Мир», М., 1969.]
[1969] Decision procedures for real and p-adic fields, Comm. Pure and Ap-
plied Math., 22, 131 —151.
Крайзель (Kreisel G.)
[1962] Additions au Cours Polycopie, Paris.
Крайзель и Кривин (Kreisel G., Krivine J. L.)
[1967] Elements of Mathematical Logic: Model Theory, North-Holland, Am-
sterdam.
Крэйг (Craig W.)
[1957] Three uses of the Herbrand — Gentzen Theorem in relating model
theory and proof theory, J. Symb, Logic, 22, 269—285.
[1961] x0-homogeneous relatively universal systems, Notices Amer. Math.
Soc., 8, 265.
Кунен (Kunen K.)
[1970] Some applications of iterated ultrapowers in set theory, Ann. Math.
Logic, 1, 179—227.
[1972] Ultrafilters and independent sets, Trans. Amer. Math. Soc., 172, 19$—
206.
Кунен и Прикри (Kunen К., Prikry К.)
[1971] On descendingly incomplete ultrafilters, J. Symb. Logic, 36, 650—652.
Кьюкер (Kueker D. W.)
[1970] Generalized interpolation and definability, Ann. Math. Logic, 1, 423—
468.
Лахлан (Lachlan A.)
[1971] The transcendence rank of a theory, Pacific J. Math., 27, 119—122.
Леви (Levy A.)
[1960] Axiom schemata of strong infinity, Pacific J. Math., 10, 223—238.
Ленгфорд (Lengford С. H.)
[1927] Some< theorems on deducibility, Ann. of Math., Ser. 2, 28, 16—40.
Лёвенгейм (Lowenheim L.)
[1915] Uber Moglichkeiten, im Relativkalkiil, Math. Ann., 76, 447—470.
Линдон (Lyndon R. C.)
[1959a]An interpolation theorem in the predicate calculus, Pacific J. Math.,
9, 155—164.
[1959b]Existential Horn sentences, Proc. Amer. Math. Soc., 10, 994—998.
[1959c]Properties preserved under homomorphism, Pacific J. Math., 9, 143—
154.
[1959d]Properties preserved in subdirect products, Pacific J. Math., 9, 155.
Линдстрем (Lindstrom P.)
[1964] On model completeness, Theorie (Lund), 30, 183—196.
[1968] Remarks on some theorems of Keisler, J. Symb. Logic., 33, 571—576.
Литман и Шелах (Litman A., Shelah S.)
[1976] Independence of the gap one conjecture from G. С. H, Notices Amer.
Math. Soc., 23, A—495 (abstract).
Список литературы
597
Лопес-Эскобар (Lopez-Escobar Е. G. К.)
[1965a]An interpolation theorem for denumerably long sentences, Fund.
Math., 57, 253—272.
[1965b]Universal formulas in the infinitary languages Lap, Bull. Acad. Po-
Ion. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 13, 383—388.
[1966] On definable well orderings, Fund. Math., 55, 13—21.
Лось (£os J.)
[1954] On the categoricity in power of elementary deductive systems and some
related problems, Colloq. Math., 3, 58—62.
[ 1955a]Quelques remarques, theoremes et problemes sur les classes definis-
sables d’algebres, in Mathematical Interpretation of Formal Systems,
North-Hol land, Amsterdam, 98—113.
[1955b]On the extending of models, I, Fund. Math., 42, 38—54.
Лось и Сушко (£os J., Suszko R.)
[1957] On the extending of models IV: Infinite sums of models, Fund. Math.,
44, 52-60.
Магидор (Magidor M.)
[1976] On existence of nonregular ultrafilters, or variations on a theme by
Kunen, Logic Sumposium, Oxford, 1976 (abstract).
Мак-Дауэлл и Шпеккер (MacDowell R., Specker E.)
[1961] Modelie der Arithmetik, in Infinitistic Methods, Pergamon Press, Lon-
don, 257—263.
Маккей (Makkai M.)
[1964] On a generalization of a theorem of E. W. Beth, Acta Math. Acad.
Sci. Hung., 15, 227—235.
[1965] A compactness result concerning direct products of models, Fund.
Math. 57, 313—325.
Мак-Кензи (McKenzie R.)
[1971] On semigroups whose proper subsemigroups have lesser power, Al-
gebra Universalis, 1, 21—25.
Мак-Кинси (McKinsey J. С. C.)
[1943] The decision problem for some classes of sentences without quanti-
fiers, J. Symb. Logic, 8, 61—76.
Маковский (Makowsky J. A.)
[1974] On some conjectures connected with complete sentences, Fund. Math.,
81, 193—202.
Мальцев А. И.
[1936] Untersuchungen aus dem Gebiete der mathematischen Logic, Машем,
сб., 1 (43), 323—336.
Марчевский-Шпильрайн (Marczewski-Szpilrajn E.)
[1930] Sur Textension de 1’ordre partiel, Fund. Math., 16, 386—389.
Марш (Marsh W.)
[1966] On (Dj but not (o-categorical theories, Ph. D. Thesis, Univ, of Dart-
mouth.
Монк и Скотт (Monk D. J., Scott D.)
[1964] Additions to some theorems of Erdos and Tarski, Fund. Math., 53,
335—343.
Морли M. (Morley M.)
1965a]Categoricity in power, Trans. Amer. Math. Soc., 114, 514—538.
1965b]Omitting classes of elements, in The Theory of Models, J. W. Addison,
L. Henkin and A. Tarski, eds., North-Holland, Amsterdam, 265—273.
598
Список литературы
[1965c]Countable models of Ki-categorical theories, Israel J. Math., 5, 65—
72.
[1970] The number of countable models, /. Symb. Logic, 35, 14—18.
Морли M. и Вот (Morley M., Vaught R.)
[1962] Homogeneous universal models, Math. Scand., 11, 37—57.
Морли M. и Морли В. (Morley M., Morley V.)
[1967] The Hanf number for x-iogic, Notices Amer. Math. Soc., 14, 556.
Мостовский (Mostowski A.)
1949] An undecidable arithmetical statement, Fund. Math., 36, 143—164.
’1952] On direct products of theories, J. Symb. Logic, 7, 1—31.
Мостовский и Тарский (Mostowski A., Tarski A.)
[1949] Arithmetical classes and types of well-ordered systems, Prelim. Rept.,
Bull. Amer. Math. Soc., 55, 65.
Обершельп (Oberschelp A.)
[1958] Uber die Axiome produkt — abgeschlossener arithmetischer Klas-
sen, Arch. Math. Logic u. Grundl. Math., 4, 95—123.
Ори (Orey S.)
[1956] On (о-consistency and related properties, J. Symb. Logic, 21, 246—252.
Падоа (Padoa A.)
[1901] Essai d’une Theorie Algebrique des Nombres Entiers, precede d’une
Introduction Logique a une Theorie Deductive Quelconque, Biblio-
theque du Congr. Intern, de Philos., 3, Logique et Histoire des Scien-
ces, Paris, 309—365.
Пахольский и Рылль-Нардзевский (Pacholski L., Ryll-Nardzewski C.)
[1970] On countably compact reduced products, I, Fund. Math., 67, 155—
161.
Пост (Post E.)
[1921] Introduction to a general theory of elementary propositions. Amer.
J. Math., 43, 163—185.
Пресбургер (Presburger M.)
[1930] Uber die Vollstandigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik gan-
zer Zahlen in welchem die Addition als einzige Operation hervortritt,
C. <R. ler Congr. des Mathematiciens des Pays Slaves, Warsaw, 92—
101, 395.
Прикри (Prikry K.)
[1968] Changing measurable into accessible cardinals, Doctoral Dissertation,
Univ, of California, Berkeley, Calif, а также Diss. Math., 68 (1970),
1-55.
1971] On a problem of Gillman and Keisler, Ann. Math. Logic, 2, 179 — 188.
1973] On desCendingly complete ultrafilters, pp. 459—488 in Cambridge
Summer School in Math. Logic, Springer-Verlag Lecture Notes, No.
337.
Рабин (Rabin M. O.)
[1959] Arithmetical extensions with prescribed cardinality, Koninkl. Ned.
Akad. Wetensch. Proc., Ser. A, 62 (= Indag. Math., 21) 439—446.
[1960] Characterization of convex systems of axioms, Notices Amer. Math.
Soc., 7, 503—504.
[1962] Classes of models and sets of sentences with the intersection property,
Proc. B. Pascal Colloq., Ann. de la Faculte des Sci. de Г Universite
de Clermont, 1, 39—53.
Список литературы
599
[1965] Universal groups of automorphisms of models, in The Theory of Models,
J. W. Addison, L. Henkin and A. Tarski, eds., North-Holl and, Am-
sterdam, 74—84.
Рамсей (Ramsey F. P.)
[1930] On a problem in formal logic, Proc. Lond. Math. Soc., Ser. 2, 30,
264—286.
Расёва и Сикорский (Rasiowa H., Sikorski R.)
[1950] A proof of the completeness theorem of Godel, Fund. Math., 37, 193—
200.
Резников (Resnikoff I.)
[1965] Tout ensemble de formules de la logique classique est equivalent a
un ensemble independant, C. R. Acad. Sci. Paris, 260, 2385—2388.
Рейес (Reyes G. E.)
[1970] Local definability theory, Ann. Math. Logic, 1, 95—137.
Рессейр (Ressayre J. P.)
[1969] Sur les theories du premier ordre categorique en un cardinal, Trans.
Am. Math. Soc., 142, 481—505.
Рибенбойм (Ribenboim P.)
[1967] Theorie des Valuations, Publ. du Dept, de Math., Univ, de Montreal.
Робинсон A. (Robinson A.)
[1951] On the Metamathematics of Algebra, North-Holland, Amsterdam.
[1956a]A result on consistency and its application to the theory of definition,
Koninkl. Ned. Akad. Wetensch. Proc., Ser. A, 59, (= Indag. Math.
18) 47—58.
1956b]Complete Theories, North-Holland, Amsterdam.
1956c]On a problem of L. Henkin, J. Symb. Logic, 21, 33—35.
1959] On the concept of a differentially closed field, Bull. Res. Council Is-
rael, Sect. F, 8, 113—128.
[1961a]Non-standard analysis, Koninkl. Ned. Akad. Wetensch. Proc., Ser.
A, 64 (= Indag. Math., 23), 432—440.
[1961b]Model theory and non-standard arithmetic, in Infinitistic Methods,
Pergamon, London, 265—302.
[1963] On the Metamathematics of Algebra, North-Holland, Amsterdam.
[1965] Introduction to Model Theory and to the Metamathematics of Algebra,
2nd ed., North-Holland, Amsterdam. [Русский перевод: Робинсон A.,
Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры, «Наука»,
М., 1967.]
[1966] Non-Standard Analysis, North-Holland, Amsterdam.
[1973] Metamathematical problems, J. Symbolic Logic, 38, 500—516.
Роуботтом (Rowbottom F.)
[1964] Large cardinals and small constructible sets, Doctoral Dissertation,
Univ, of Wisconsin; also Ann. Math. Logic, 3 [1971], 1—44.
Рылль-Нардзевский (Ryll-Nardzewski C.)
[1952] The role of the axiom of induction in elementary arithmetic, Fund.
Math., 39, 239—263.
[1959] On the categoricity in power No, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci.
Math. Astron. Phys., 7, 545—548.
€акс (Sacks G.)
[1972] Saturated Model Theory, W. A. Benjamin. [Русский перевод: Тео-
рия насыщенных моделей, «Мир», М., 1976.]
600
Список литературы
Свенониус (Svenonius L.)
[1959а] N0-categoricity in first-order predicate calculus, Theoria (Lund), 25,
82—94.
[1959b] A theorem on permutations in models, Theoria (Lund), 25, 173—178.
Сикорский (Sikorski R.)
[1964] Boolean Algebras, 2nd ed., Springer, Berlin. [Русский перевод: Бу-
левы алгебры, «Мир», М., 1970.]
Силвер (Silver J.)
[1966] Some applications of model theory in set theory, Doctoral Disserta-
tion, Univ, of California, Berkeley, Calif., Ann. Math. Logic, 3 (1971),
45—110.
1970] Every analytic set is Ramsey, J. Symb. Logic, 35, 60—64.
1971] The independence of Kurepa’s conjecture and the two-cardinal con-
jectures in model theory, in Axiomatic Set Theory, Amer. Math. Soc.
Скотт (Scott D.)
[1961] Measurable cardinals and constructive sets, Bull. Acad. Polon. Sci.t
Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 9, 521—524.
Скулем (Skolem T.)
[1920] Logisch-kombinatorische Untersuchungen fiber die Erfullbarkeit oder
Beweisbarkeit mathematischer Satze nebst einem Theorem fiber di-
chte Mengen, Skrifter utgitt av Videnskapsselskapet i Kristiania, I,
Mat. Naturv. KI. 4. \
[1934] Uber die Nicht-Charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich
oder abzahlbar unendlicht vieler Aussagen mit ausschliesslich Zah-
lenvariablen, Fund. Math., 23, 150—161.
Соловей (Solovay R.)
[1967] A nonconstructible AJ set of integers, Trans. Amer. Math. Soc., 127,
50—75.
Стоун (Stone M. H.)
[1936] The representation theorem for Boolean algebra, Trans. Amer. Math.
Soc., 40, 37—111.
Тарский (Tarski A.)
[1930a]Uber einige fundamentale Begriffe der Metamathematik, C. R. Sean-
ces Soc. Sci. Lettres Varsovte Cl. Ill, 23, 22—29. English Transit Lo-
gic, Semantics and Metamathematics, Oxford, 1959, 30—37.
1930b]Une Contribution a la theorie de la mesure, Fund. Math., 15, 42—50.
1931] Sur les ensembles definissables de nombres reels I, Fund. Math., 17,
210—239; English Transl.: Logic, Semantics and Metamathematics,
Oxford, 1956, 110—142.
[1935a]Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Studia Philos.
(Warsaw) 1, 261—405. English Transl.: Logic, Semantics and Meta-
mathematics, Oxford, 1956, 152—278.
[1935b] Grundziige des Systemenkalkiils, I, Fund. Math., 25, 503—526. Eng-
lish Transl.: Logic, Semantics and Metamathematics, Oxford, 1956.
343—383.
1936] Grundziige des Systemenkalkiils, II, Fund. Math., 26, 283—301.
1938] Uber unerreichbate Kardinalzahlen, Fund. Math., 30, 68—89.
1949] Arithmetical classes and types of Boolen algebras, Prelim, Rept.,
Bull. Amer. Math. Soc., 55, 64, 1192.
[1952] Some notions and methods on the borderline of algebra and metama-
thematics, Proc. Intern. Congr. of Mathematicians, Cambridge, Mass,
1950, 1, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 705—720.
[1954] Contributions to the theory of models, I, II, Koninkl. Ned. Akad.
Wetensch. Proc., Ser. A, 57 (= Indag. Math., 16), 572—588.
Список литературы
601
[1955] Contributions to the theory of models, III, Koninkl, Ned, Akad. We-
tensch. Proc., Ser. A, 58 (= Indag. Math., 17) 56—64.
[1962] Some problems and results relevant to the foundations of set theory,
in Logic, Methodology and Philosophy of Science, E. Nagel, P. Suppes
and A. Tarski, eds., University Press, Stanford, Calif., 125—135.
Тарский и Вот (Tarski A., Vaught R.)
[1957] Arithmetical extensions of relational systems, Compositio Math., 13,
81-102.
Тарский и Мак-Кински (Tarski A., McKinsey J. С. C.)
[1948] A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry, 2nd ed.,
Berkeley, Los Angeles.
Тарский, Мостовский и Робинсон Р. (Tarski A., Mostowski A., Robinson R. М.)
[1953] Undecidable Theories, North-Holland, Amsterdam.
Уайтхед и Рассел (Whitehead A. N., Russell B.)
[1913] Principia Mathematica, 1, 2, 3, Cambridge Univ. Press, London; 2nd
ed., 1925; 2nd ed. of Vols. 1, 2, 1927.
Улам (Ulam S.)
[1930] Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, Fund. Math., 16,
140—150.
Феферман (Feferman S.)
[1968] Persistent and invariant formulas for outer extension, Comp. Math.,
20, 29—52.
Феферман и Вот (Feferman S., Vought R. L.)
[1959] The first order properties of algebraic systems, Fund Math., 47, 57—
103.
Фраиссе (Fraisse R.)
[1954] Sur quelques classifications des systemes de relations, Publ. Scit Univ.
Alger, Ser. A, 1, 35—182.
Фрейн, Морел и Скотт (Frayne Т. Е., Morel А. С., Scott D. S.)
[1962] Reduced direct products, Fund. Math., 51, 195—228 (Abstract: No-
tices Amer. Math. Soc., 5 (1958) 674).
Френкель и Бар-Хиллел (Fraenkel A. A., Bar-Hillel Y.)
[1958] Foundations of Set Theory, North-Holland, Amsterdam. [Русский
перевод: Френкель А. А. и Бар-Хиллел И., Основания теории
множеств, «Мир», М., 1966.]
Фридман (Friedman Н.)
[1975] One hundred and two problems in mathematical logic. J. Symbolic
Logic, 40, pp. 113—129.
Фуркен (Fuhrken G.)
[1962] Bemerkung zu einer Arbeit E. Engelers, Z. Math. Logik u. Grundl.
Math., 8, 277—279.
[1964] Skolem-type normal forms for first-order languages with a generalized
quantifier, Fund. Math,, 54, 291—302.
[1968] A model with exactly one undefinable element, Colloq. Math., 19,
183—185.
Ханф (Hanf W.)
[1964] Incompactness in languages with infinitely long expressions, Fund,
Math. 13, 309—324.
Ханф и Скотт (Hanf W., Scott D.)
[1961] Classifying inaccessible cardinals, Notices Amer. Math. Soc., 8, 445t
39—Г. Кейслер, Ч. Ч. Чэн
602
Список литературы
Хаусдорф (Hausdorff F.)
[1914] Grundziige der Mengenlehre, Leipzig. [Русский перевод: Теория
множеств, Гостехиздат, М., 1937.]
Хеллинг (Helling М.)
[1964] Hanf numbers for some generalizations of first-order languages, No-
tices Amer. Math. Soc., 11, 679.
[1965] Ph. D. Thesis, Univ, of California, Berkeley, Calif.
Ходжес (Hodges W. A.)
[1969] The Ehrenfeucht — Mostowski method of constructing models, Doc-
toral Dissertation, Univ, of Oxford.
Хорн (Horn A.)
[1951] On sentences which are true of direct unions of algebras, J. Symb.
Logic, 16, 14—21.
Хьюитт (Hewitt E.)
[1948] Rings of real-valued continuous functions, Trans. Amer. Math. Soc.,
64, 45-99.
Чёрч (Church A.)
[1956] Introduction to Mathematical Logic, Vol. I, Princeton Univ. Press,
Princeton, N. J. (Русский перевод: Чёрч А., Введение в математи-
ческую логику, ИЛ, М., I960.]
Чудновский Г. В., Чудновский Д. В.
[1974] Убывающие неполные ультрафильтры, ДАН СССР, № 5, 218, 1032—
1035.
Чэн (Chang С. С.)
[1954 ] Some general theorems on direct products and their applications in
the theory of models, Koninkl. Ned. Akad. Wetensch. Proc., Ser. A, 57
(= Indag. Math., 16), 592—598.
1959] On unions of chains of models, Proc. Amer. Math. Soc., 10, 120—127.
1960] A lemma on ultraproducts and some applications, Prelim. Rept.,
Notices Amer. Math. Soc., 7, 635.
[1964a]On the formula «there exists x such that / (x) for all / € Notices
Amer. Math. Soc., 11, 587.
[1964b]Some new results in definability, Bull. Amer. Math. Soc., 70, 808—
813.
[1965a]A ilote on the two-cardinal problem, Proc. Amer. Math. Soc., 16,
1148—1155.
[1965b]A simple proof of the Rabin — Keisler theorem, Bull. Amer. Math.
Soc., 71, 642—643.
[1967a]Omitting types of prenex formulas, J. Symb. Logic, 32, 61—74.
[1967b]Ultraproducts and other methods of constructing models, in Sets,
Models and Recursion Theory, J. N. Crossley, ed., North-Holland,
Amsterdam, 85—121.
[1967c]Descendingly incomplete ultrafilters, Trans. Amer. Math. Soc., 126,
108—118.
[1968a]Infinitary properties of models generated from indiscernibles, in Logic,
Methodology, and the Philosophy of Science, B. van Rootselaar and
J. F. Staal, eds., North-Holland, Amsterdam, 9—21.
[1968b]Some remarks on the model theory of infinitary languages, in The
Syntax and Semantics of Infinitary Languages, Lecture Notes in Math.
72, J. Barwise, ed., Springer, Berlin, 36—63.
[1968c]A generalization of the Craig interpolation theorem, Notices Amer.
Math. Soc., 15, 934, also see Symposia Mathematica, V [1971], 1—19,
Academic Press.
Список литературы
603
Чэн и Кейслер (Chang С. С., Keisler Н. J.)
[1962] Applications of ultraproducts of pairs of cardinals to the theory of
models, Pacific J. Math., 12, 835—84,5.
[1966] Continuous Model Theory, Princeton Univ. Press, Princeton, J. J.
[Русский перевод,: Кейслер Г. Дж. и Чэн Чень-чунь, Теория не-
прерывных моделей, «Мир», М., 1971.]
Чэн и Морел (Chang С. С., Morel А. С.)
[1958] On closure under direct product, J. Symb, Logic, 23, 149—154.
Чэн и Московакис (Chang С. C., Moschovakis Y. N.)
[1968] On S^-relations on special models, Notices Amer. Math. Soc., 15, 934.
ЛПелах (Shelah S.)
[1969] Stable theories, Israel J. Math., 7, 187—202.
1970a]On theories T categories in | T ], J. Symb. Logic, 35, 73—82.
1970b Finite diagrams stable in power, Ann. Math., Logic, 2, 69—119.
1970c]When every reduced product in saturated (abstract), Notices Amer.
Math. Soc., 17, 453.
[1970d]Solution of Los’conjecture for uncountable languages (abstract), No-
tices Amer. Math. Soc., 17, 1968.
[1971a]A note on Hanf numbers, Pacific J. Math., 34, 539—544.
[1971b]A combinatorial problem; stability and order for models and theories
in infinitary languages, Pacific J. Math., 41, 247—261.
[1971c]The number of non-isomorphic models of an unstable first-order theory,
Israel J. Math., 9, 473—487.
[1971d]Stability, the f. c. p.,and superstability model-theoretic properties of
formulas in first-order theories, Ann. Math. Logic, 3, (1971), 271—362.
[1972a]Uniqueness and characterization of prime models over sets for totally
transcendental first-order theories, J. Symb. Logic, 37, 107—113.
[1972b]Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapo-
wers, Israel J. Math., 10, 224—233.
[1972c]Remark to «Local definability theory» of Reyes, Ann. Math. Logic,
2 (1971), 441—448.
[1975] Paper to appear in the Proceedings of the Abraham Robinson Memo-
rial Conference, Israel J. Math., to appear.
[1976a]J6nsson groups, simple groups with no maximal subgroups, Frattini
subgroups, and untopologized groups, to appear.
[1976b]A two-cardinal theorem and a combinatorial problem. Proceedings
Amer. Math. Soc., to appear.
[1976c]Ultraproducts of finite cardinals and Keisler order, Notices Amer.
Math. Soc., 23, A-494 (abstract).
Шенфилд (Shoenfield J. R.)
[1967] Mathematical Logic, Addison-Wesley, Reading, Mass. [Русский пе-
ревод: Шенфилд Дж., Математическая логика, «Наука», М., 1975.]
Шмелёва (Szmielew W.)
[1955] Elementary properties of Abelian groups, Fund. Math., 41, 203—271.
(Abstract: Bull. Amer. Math. Soc., 55 [1949], 65.)
Шмерл (Schmerl J.)
[1969] On hyperinaccessible-like models (abstract), Notices Amer. Math.
Soc., 16, 843, also see J. Symb. Logic, 37 [1972], 521—530.
[1975] An axiomatization for a class of two-cardinal models, to appear,
Journal of Symbolic Logic.
Шмерл и Шелах (Schmerl J., Shelah S.)
[1969] On models with orderings (abstract), Notices Amer. Math. Soc., 19,
840, also'see J. Symb. Logic, 37 [1972], 531—537.
39*
604
Список литературы
Шпеккер (Specker Е.)
[1949] Sur un ргоЫёше de Sikorski, Colloq. Math., 2, 9—12.
Штейниц (Steinitz E.)
[1910] Algebraische Theorie der Korper, J. Reine Angew. Math., 137, 167 —
309.
Энгелер (Engeler E.)
[1959] A characterization of theories with isomorphic denumerable models,
Notices Amer. Math. Soc., 6, 161.
Эрдёш (Erdos P.)
[1942] Some set-theoretical properties of graphs, Rev. Univ. Nacl. Tucu-
mdn, Ser. A, 3. 363—367.
Эрдёш, Гиллман и Хенриксен (Erdos Р., Gillman L., Henriksen M.)
[1955] An isomorphism theorem for real closed fields, Ann. of Math., Ser. 2,
61, 542—554.
Эрдёш и Радо (Erdos P., Rado R.)
[1956] A partition calculus in set theory, Bull. Amer. Math. Soc., 62, 427—
489.
Эрдёш и Тарский (Erdos P., Tarski A.)
[1961] On some problems involving inaccessible cardinals, in Essays on the
Foundations of Mathematics, Magnus Press, The Hebrew Univ., Je-
rusalem, 50—82.
Эрдёш и Хайнал (Erdos P., Hajnal A.)
[1958] On the structure of set mappings, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 9,
111 — 131.
[1962] Some remarks concerning our paper «On the structure of set mappings»,
Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13, 223—226.
[1966] On a problem of B. Jonsson, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math.
Astron. Phys., 14, 61—99.
Эрдёш, Хайнал и Радо (Erdos Р., Hajnal A., Rado Р.)
[1965] Partition relations for cardinal numbers, Acta Math., 16, 93—196.
Эренфойхт (Ehrenfeucht A.)
[1957] On theories categorical in power, Fund. Math., 44, 241—248.
[1961] An application of games to the completeness problem for formalized
theories, Fund. Math., 49, 129—141.
Эренфойхт и Мостовский (Ehrenfeucht A., Mostowski A.)
[1956] Models of axiomatic theories admitting automorphisms, Fund. Math.,
43, 50-68.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А |= ф 19
t= 20, 47
Н 20, 39
S 1= ф 25, 47, 67
IL# II 33
91 = 93 35
91 <=93 36
t (Уо, • • •, vn) 38
Ф (v0, • • •, vn) 38
— 39
S p ф 39
1*^0, • • •» 42
91 t= Ф[x0, Xg] 43
911= ф 45
91 == 93 47
91 c 93 48
Sa (X) 52
TlX 52
ZF 60
R(a) 61, 561
86
9b 86
Aa 87
91 ~ 93 89
(^i» • • • ? *^n) 95
91 (=2(0!, ..., a„] 95
9f < 93 1-02
2(C1, ...,cn) 118
Th (91) 130
91 ^93 130
U sin 136
0<a
S°n, Щ 140
Я (91) 150
Kn(a) 158
5n(a) 158
H (x) 169
$ (x) 169
S(I) 194, 560
f = vg 198
ПА 198
/п 198
1191г 199
fe, II™ 207
Xa 215
Я (a) 222
Фи 281
T]a 303
D x E 372
ZFL 381
П1 384
D
91s 418
Xaa, 501
a (₽)? 525
Pn 529
L 531
L(a) 531
Ф<у) 533
ФА 533
XY 552
КГ 559
ОКГ 559
559
559
a>5 559
<o 559
a+ 559
Sa(X) 560
S“(X) 560
5(X) 560
cf(a) 562
ZFC 566
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
автоморфизм изотопный 174
аксиома бесконечности 565
— выбора 557, 566
— выделения 568
— конструктивности 224
— объединения 565
— объемности 565, 567
— пар 565
— подмножеств 565
— подстановки 568
— пустого множества 565
— регулярности 565, 568
— семейств 565
— степени 565
— универсального класса 568
аксиомы кванторов 39
— логические 38
— предложений 38
— равенства 39
алгебра Йонссона 524
— Линденбаума 63
----предложений 64
----теории 92
арифметика Пеано (теория чисел) 58
— теоретико-множественная 567
атом 461
— булевой алгебры 55
атомный элемент 335
базис трансцендентности 181
бит элементов булевой алгебры 341
булева алгебра атомная 55
----безатомная 55
---- нетривиальная 335
---- тривиальная 335
булевы алгебры подобные 342
ветвь^230
вложение естественное 205, 450
— изоморфное 36
— изотопное 174
— полное 418
— элементарное 116
вполнс-упорядочение 552
— строгое 552
вхождение символа негативное 109
вхождение символа позитивное 109
вывод высказывания 22
— формулы из множества предло-
жений 39
выводимость с помощью правила от-
деления 22
выполнимость формулы в модели 44
----на последовательности 42
высказывание 17
— выводимое из 2,22, 39
— выполнимое 30
— выполняющееся в модели 20
— истинное 20
----в модели 20
— ложное в модели 20
— не выполняющееся в модели 20
— позитивное 26
— условное 27
высказывания эквивалентные 30
гензелизация 315]
гипотеза Артина 330
— об п-разрыве 496
— о недостижимости 563
— Чэна 160
гомоморфизм модели 89
— строгий 281
гомоморфный образ модели 89
грань верхняя точная 554
— нижняя точная 554
группа абелева периодическая 96
— значений 311
----замкнутая относительно кор-
ней 315
действие 433
дерево 230
— Курены 246
диаграмма модели 86
----позитивная 88
— элементарная 130
замыкание алгебраическое относи-
тельное 315
— вещественное 306
— множества скулемовское 169
Предметный указатель
607
замыкание подполя алгебраическое
относительное 306
значение высказывания при интерпре-
тации 20
— терма 42
идеал булевой алгебры 335
-------главный 336
изоморфизм 555
— моделей 35
инвариант булевой алгебры 338
индукция трансфинитная 555
йнтерполянт Крэйга 105
интерпретация 20
интерпретирующее отображение 34
истинность 13
кардинал (мощность) 558
-----модели 35
----- языка 33
— измеримый 214
— недостижимый 563
— неопределимый 234
— предельный 559
— Рамсея 509
— регулярный 562
— Роуботтома 516
— сильно компактный 231
— сингулярный 562
— слабо компактный 218
— строго предельный 559
— П^-неопределимый 233
квантор ограниченный 534
класс моделей а-категоричный 478
----замкнутый относительно объ-
единений вполне упорядоченных
цепей 144
------------направленных мно-
жеств моделей 144
---------ультрапроизведений 204
--------- элементарной эквива-
лентности 204
----компактный 416
----относительно компактный 247
----псевдоэлементарный 209
----элементарный 204
------ базисный 204
кольцо нормирования 313
комбинация булева 67
конкатенация 557
конструкция челночная 115
континуум-гипотеза 559
— обобщенная 559
конфинальность ординала 562
лемма Гензеля 314
— Цорна 557
метод диаграмм ^86
множество аксиом 25 $$
-----для двухкардинальных моде-
лей 505
-----теории 52
— высказываний выполнимое 23
-----категоричное в мощности а 14
-----конечно выполнимое 24
-----монотонное 26
-----независимое 31
— — непротиворечивое (совместное)
22
-------максимальное 22
-----противоречивое (несовместное)
22
-----устойчивое относительно ко-
нечных пересечений 27
---------произвольных пересече-
ний 27
— замкнутое 232
— конструктивное 531
— конфинальное 562
— неограниченное 232
— определимое в модели 65
— предложений, выполняющееся
(реализуемое) в модели на последо-
вательности 95
----непротиворечивое (совместное)
40
------максимальное 40
----противоречивое (несовместное)
40
— свидетелей 78
— формул автономное 394
----неявно определяющее отноше-
ние 107
----самоопределяющееся 394
----совместимое с теорией 97
----явно определяющее отношение
107
— ф-определимое 370
модели изоморфные 35
— эквивалентные 48
— элементарно эквивалентные 47
модель алгебраически замкнутая 136
— атомная 114
----относительно класса моделей
255
— вполне упорядоченная 146
------по типу а 506
— высказывания 20
— двухкардинальная 504
— для 17
608
Предметный указатель
модель жесткая 571
— Йонссона 505
— конечно порожденная 91
— минимальная 280
— множества высказываний 23
— насыщенная 250
— натуральная 61
— нестандартная 58
— однородная 255
— опускающая множество предло-
жений 96
— построенная из множества кон-
стант 84
— предложения 47
— прослоенная 267
— простая 116, 463
— слабо однородная 262
— специальная 253
— стандартная 58
— счетно-насыщенная 117
— счетно-однородная 154
— счетно-простая 116
— счетно-универсальная 121
— транзитивная 61
— универсальная 255
— языка <£ 34
— а-насыщенная 250
— а-однородная 255
— а-подобная 528
— а-стандартная 500
— а-универсальная 242, 255
— п-прослоенная 268
— со-насыщенная 117
— COi вполне упорядоченная 528
— со-од породная 154
модус поненс (правило отделения)
22, 39
мощность (кардинал) 558
— модели 35 к
— языка 33
неразличимость 174
нестандартный анализ 88
нормирование 311
— р-адическое 328
обеднение модели 35
— языка 33
обогащение модели 34
----скулемовское 168
— теории скулемовское 168
— языка 33
----простое 33
----скулемовское 168
объединение множества моделей 281
объединение моделей 143
— цепи моделей 136
ограничение теории 52
— функции 552
операция п-арная 552
ординал 552
— конечный (натуральное число) 554
— начальный 558
ординал-последователь 554
ординал предельный 554
— фундированной модели 223
относительное алгебраическое замы-
кание 315
отношение антисимметричное 552
— конгруэнтности 81
— направленное 144
— рефлексивное 552
— связное 552
— симметричное 552
— транзитивное 552
— фундированное (со свойством об-
рыва убывающих цепей) 223
— эквивалентности 552
— — определенное элементом 422
п-местное 551
отношения соответствующие 34
отображение интерпретирующее 34
пара совместная 352
— упорядоченная 551
пересечение диагональное 233
перечисление 557
периодическая абелева группа 96
подмножество модели тотально не-
различимое 467
— наследственное 301
— определимое 433, 531
— трансцендентное (алгебраически
независимое) над подмножеством
309
подмодель 36
— порожденная множеством 50
— элементарная 102, 129
— 0-насыщенная относительно мо-
дели 482
подполе нормированное 314
— относительно алгебраически замк-
нутое 315
подтеория 52
поле гензелево 313
— множеств 55
— нормированное 311
----ранга 1 333
— упорядоченное архимедово 88
— формальных степенных рядов 313
— р-адических чисел 328
Предметный указатель
609
поле ^-нормированное 332
полугруппа 530
понятие истинности 13
пополнение модели 418
— поля нормированного 312, 313,
333
порядковый тип фундированной мо-
дели 224
порядок ветви 230
— дерева 230
— частичный со свойством обрыва
убывающих цепей 97
— элемента группы 56
---- дерева 230
последователь кардинала 559
последовательность Коши 312
правила вывода 38
правило обобщения 39
— отделения (модус поненс) 22, 39
предикат арифметический 381
предложение 38
— выполнимое 47
— замкнутое относительно фильтро-
ванных корней 416
— истинное 47
----(верное) в модели 47
— ложное в модели 47
— опровержимое 47
— отделяющее теории 105
— позитивное 90
— слабо хорновское 386
— строго хорновское 385
— универсальное 49
— универсально-экзистенциальное
144
— устойчивое относительно фильтро-
ванных произведений 378
---------сомножителей 386
— хорновское 373
— — специальное 386
— экзистенциальное 49
— экзистенциально-позитивное 278
принцип максимума Хаусдорфа
557
произведение декартово 551, 552
— (точная нижняя грань) множества
92
— множеств фильтрованное 198
— моделей подпрямое 386
----прямое 208
----фильтрованное 199
— прямое 371
— ультрафильтров 434
— фильтрованных атомов 396,
397
процесс рекурсивный 392
— эффективный 391
ранг модели 470
— теории 473
— типа 470
— трансцендентности 188
----формулы 468, 469
— элемента 470
распределение переменных 68
----задаваемое отношением 72
расширение концевое 167
----арифметики Пеано 112
----теории ZF 102
— модели 36
----внешнее 282
---- полное 418
----счетно-насыщенное над ней 153
----ультрастепенное 248, 419
— теории 52
----с помощью определений 192
— элементарное 102, 129
реализация транзитивная 65
релятивизация формулы 280
росток мероморфной функции 333
свидетель для теории 78
свойство ветвления 230
— конечного покрытия 370
— обрыва убывающих цепей 97
— центрированности 62, 171
сегмент начальный 556
семантика 15
символ константный (индивидной
константы) 32
— предикатный 32
----определимый явно с точностью
до дизъюнкции 289
--------------------и параметров
289
----------------- параметров 289
— функциональный 32
символы логические 36
синтаксис 15
система обратная 282
— прямая 282
скулемовское замыкание множества
169
— обогащение модели 168
---- теории 168
----языка 168
следствие 118
— высказывания 30
— множества высказываний 25
----предложений 47, 67
— предложения 47
совокупность моделей направленная
144
сомножитель прямой 281
610
Предметный указатель
степень кардинальная ординала а
с показателем 0 559
— множества фильтрованная 198
— прямая существенно конечная 400
— фильтрованная 396, 397
----предельная 429
— формулы 468, 469
сумма (точная верхняя грань) мно-
жества 92
— ординалов 557
схема аксиом индукции 58
— подстановки 566
таблица истинности 21
тавтология 20
— языка 38
теорема Бета 108
— Гёделя о полноте 48, 84
— Ершова 410
— Кейслера о сандвиче 270
— компактности 24, 48, 85, 203
— Крэйга интерполяционная 105
— Кьюкера 291
— Лёвенгейма Скулема Тар-
ского 85
— Линденбаума 23, 40, 234
— Линдона интерполяционная 110
— Линдстрёма 136
— Морли об опускании типов 483
----о категоричности 466
— об опускании типов 99, 102, 104
----элементарных цепях 138
— о полноте 21
----се-пол ноте 101
-------обобщенная 24, 48, 84
----- слабой компактности 217
— Рамсея 173
— Робинсона v о непротиворечивости
109, 283
— Роуботтома 515
— Свенониуса 290
— Силвера 518
— Скотта 224
— Скулема о нормальной форме 181
— Тарского 307
— Фрейна 243
— Чэна — Маккея 294
— Чэна о двух кардиналах 492
— Эрдёша — Радо 482
теории неотделимые 106, 111
теория 25
— атомная 114, 461
— булевых алгебр 54
------атомных 55
------безатомных 55
— групп 55
теория групп абелевых 56
-------без кручения 56
------------полных 56
-------экспоненты р 56
— допускающая пару (а, 0), опу-
скающую множество формул 503
------- кардиналов 158
---- тройку кардиналов 502
— замкнутая 25, 52
— имеющая термальные скулемов-
ские функции 169
— индуктивного порядка 345
— колец коммутативных 56
— конечно аксиоматизируемая 25,
52
— линейного (простого) порядка 53
— локально опускающая множество
формул 98
----реализующая множество фор-
мул 98
— множеств Бернайса — Морса 568
----Цермело Z 566
----Цермело — Френкеля без ак-
сиомы степени ZF — Р 567
— моделей бесконечных 62
— модели 52
— модельно полная 133
— нестабильная 477
— областей целостности 57
— первого порядка 52
— плотного линейного порядка 53
----порядка без концевых точек
54
— подмодельно полная 145
— полей 57
алгебраически замкнутых 57
вещественно замкнутых 57
упорядоченных 57
характеристики нуль 57
р 57
— полная 31, 52
— скулемовская 168
— стабильная 477
----в мощности а 457
— суперстабильная 477
— типа 118
— тотально трансцендентная 473
— устойчивая относительно гомо-
морфизмов 147
-------объединений цепей 147
-------пересечений 28
-------подмоделей 147
— функции следования 77
— частичного порядка 53
— чисел (арифметика Пеано) 58
--- аддитивная 59
--- полная 58
Предметный указатель
611
теория а-категоричная 454
— а-насыщенная 478
— а-опускающая множество формул
104
— a-реализующая множество фор-
мул 104
— у-насыщенная 572
— co-категоричная 123
— (о-непротиворечивая 100
— (о-полная 100
— Z-групп 332
терм 36
тест Лося — Вота 135
тип 97
— алгебраический над множеством
468
— порядковый 555
— последовательности элементов 118
— теории 118
— п-ки 97
тотально неразличимое подмножество
467
точная верхняя грань 554
— нижняя грань 554
тройка х-совместная 358
ультрапроизведение множеств 198
ультрастепень множества 198
----итерированная 437
— модели итерированная 437
предельная 422, 423
ультрафильтр 63
— над множеством 171, 196
— неглавный 171
— нормальный 225
— сохраняющий произведение 93
---- сумму 93
— a-полный по убыванию 245
— а-хороший 350
универсум конструктивный 531
— модели 33 s
упорядочение линейное 552
— частичное 552
утверждение арифметическое 381
факторалгебра 336
фильтр 62
— главный 63, 194
над множеством 194
неразложимый 452
— несобственный 194
— однородный 239
порожденный множеством 195
— собственный 194
— счетно-неполный 235
фильтр тривиальный 194
— Фреше 194
— а-полный 211
— а-регулярный 235
форма нормальная негативная 110
формула 37
— абсолютная для транзитивного
класса 533
— алгебраическая (ранга трансцен-
дентности нуль) 468
----в теории 500
----неприводимая над множеством
468
— атомная 36
— базисная 67
— негативная 272
— непополнимая 114
— неприводимая над множеством
470
— ограниченная 534
— определимая 388
----последовательностью формул
388
— открытая 68
— позитивная 150
— полная 114, 461
— пополнимая 114, 461
— равенства 38
— совместимая с теорией 97
— существенно экзистенциальная
283
— устойчивая относительно гомо-
морфизмов 151
— хорновская 373
---- базисная 373
----строго базисная 385
формулы S-эквивалентные 67
функция аддитивная 349
— монотонная 349
— определимая 430, 433
— просеивающаяся 444
— ранга 560
центрированность 62, 171
цепи изоморфные 552
цепь 552
— вполне упорядоченная 552
— моделей 136
---- специальная 253
---- элемантарная 137
— ультрастепенная 248
челночная конструкция 115
число Мало 232
612
Предметный указатель
число Морли 501
— Ханфа 501
язык 32
эквивалентность (семантическая) вы-
сказываний 30
— по модулю 437
элемент алгебраический 500
----над множеством 468
-------подполем 305
— бесконечного порядка (в абелевой
группе) 96
— булевой алгебры атомный 335
-------безатомный 335
— модели арифметики Пеано не-
стандартный 96
----- определимый 50, 193
— поля алгебраический над под-
полем 305
----степени п над подполем
309
----трансцендентный (бесконечной
степени) над подполем 309
----упорядоченного положительно
бесконечный 96
элементы модели неразличимые
174
элементы модели однотипные отно-
сительно автоморфизмов 182
(а, 0)-модель 158, 240
(а)-последовательность 557
n-ка упорядоченная 551
(п + 1)-предельная точка 345
л-сандвич 268
1-предельная точка 345
1-сандвич 267
со-лигика 101
со-модель 100, 487
со-правило 101
Щ-предложение 140
Щ-формула 140
р0-кардинал 529
рп+1-кардинал 529
^-предложение 140
^расширение 140
22-формула 140
S^-цепь 140
Т-расширение 136
ца-множество 303
V-релятивизация формулы 567
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редакторов перевода 5
Предисловие .... 7
Как пользоваться этой книгой 10
Глава 1. Введение 13
1.1. Что такое теория моделей? . . 13
1.2. Теория моделей логики высказываний 16
1.3. Языки, модели и выполнимость 32
1.4. Теории и примеры теорий 52
1.5. Элиминация кванторов 66
Глава 2. Модели, построенные из констант 78
2.1. Полнота и компактность . ............ 78
2.2. Усовершенствование метода. Опускание типов и интерполя-
ционные теоремы . . 95
2.3. Счетные модели полных теорий ИЗ
Глава 3. Дальнейшие теоретике-модельные конструкции 129
3.1. Элементарные расширения и элементарные цепи 129
3.2. Приложения элементарных цепей . . . 147
3.3. Скулемовские функции и неразличимые элементы 168
3.4. Некоторые примеры 184
Глава 4. Ультрапроизведения 194
4.1. Основная теорема 194
4.2. Измеримые кардиналы 211
4.3. Регулярные ультрастепени 235
Глава 5. Насыщенные и специальные модели 250
5.1. Насыщенные и специальные модели 250
5.2. Теоремы об устойчивости ... . 264
5.3. Применение специальных моделей в теории интерполяции и
определимости . . 283
5.4. Применения к теории полей . 302
5.5. Приложения к булевым алгебрам 334
Глава 6. Дополнительные сведения об ультрапроизведениях и их обоб-
щениях 347
6.1. Насыщенные ультрапроизведения........................ 347
614
Оглавление
6.2. Прямые произведения, фильтрованные произведения и хор-
новские предложения . . 371
6.3. Прямые произведения, фильтрованные произведения и хор-
новские предложения (продолжение) . ... 388
6.4. Предельные ультрастепени и полные расширения 417
6.5. Итерированные ультрастепени 432
Глава |7. [Избранные вопросы 454
7.1. Категоричность в мощности............................. 454
7.2. Обобщение теоремы Рамсея и ее применения, некоторые тео-
ремы о двух кардиналах 481
7.3. Модели большой мощности . . . 505
7.4. Большие кардиналы и конструктивный универсум 530
Приложение А» Теория множеств 551
Приложение В. Открытые проблемы в классической теории моделей 570
Исторические замечания 576
Список литературы 592
Указатель обозначений 605
Предметный указатель........................................... 606
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим
присылать по адресу: 129820, И-110, ГСП, 1-й Риж-
ский пер., д. 2, издательство «Мир».